/
Author: Лауренсон П. Гаррис М. Стефенсон Дж.
Tags: электротехника физика инженерия электрические машины издательство энергия
Year: 1975
Text
X
- * 1
-3
я
М. ГАРРИС
П. Л АУРЕ НСОН
ДЖ.СТЕФЕНСОН
СИСТЕМЫ
ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
'• • su I. -Tl i л’
G
ЕДИНИЦ В ТЕОРИк
ЭЛЕКТРИЧЕСКИ
/ 1 . V . Д1 L ?^'J - g I • L
МАШИН ЙМШМ
Ц4г1
*s
т
; uk !
Я 1
& Л
* '•. i'AL.*
,’ЛМ
“ 1 *
-I
t-
<,
'1V •*} i . • .
•4.Л • .' i'J2k'
Y 1
М. ГАРРИС, П. ЛАУРЕНСОН,
Дж. СТЕФЕНСОН
.) хМ
СИСТЕМЫ
ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
ЕДИНИЦ В ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. Я. БЕСПАЛОВА
«Э Н Е Р Г И Я»
МОСКВА 1975
6П2.1.081
Г 20
УДК 621.313
М. R. Harns, Р. J. Lawrciison. J. М. Slefenson. Per-unit systems:
with special reference to electrical machines, Cambridge Univer-
sity Press, 1970.
M. ГАРРИС, П. ЛОУРЕНСОН, ДЖ. СТЕФЕНСОН
Системы относительных единиц
в теории электрических машин
Редактор IO. С. ЛА а р и п и и
Редактор издательства II. В. Ли гик
Технический редактор II. А. Г а л а и ч с в а
Корректор А. К. У л е г о в а
Сдано в па5г>р 24/1 1975 г. Подписано к печати I0/VI 1975 г.
Формат 84Х108*/з2. Бумага типографская № 2 Усл. печ. л. 6,3
Уч.-изд. л. 6.89 Тираж 1090 экз. Зак. 23. Цела 49 коп.
Издательство «Энергия», Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Московская типография № 10 Союзпотпграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва М-114, Шлюзовая наб., 10.
Гаррис М. и др.
Г 20 Системы относительных единиц с теории электри-
ческих машин. Пер. с англ. М., «Энергия», 1975.
i 20 с. с пл.
Перед загл. авт.: М. Гаррис, П. Лаурепсон, Дж. Стефен-
сон.
Книга посвящена вопросам упорядочения различных подходов
к обшей теории электрических машин. Сравниваются различные си-
стемы единиц и возможные пути преобразования координат с точки
зрения упрощения программирования для ЦВМ.
Книга предназначена для инженеров, работающих в области
проектирования и расчета электрических машин.
„ 30307-373
Г 051(01)-75 1Г,,‘75 6П2.1.081
Русский перепоя, «Энергия». 1975
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Монография английских авторов «Системы относи-
тельных единиц в теории электрических машин» посвя-
щена основам построения систем относительных единиц
и их применению для решения научных и инженерных
проблем в области электромеханики. Этим вопросам
уделяли внимание многие авторы. В данной книге содер-
жится, пожалуй, наиболее полный критический обзор
существующих систем относительных единиц, сравнение
их достоинств и недостатков.
Особое внимание в книге уделено физической интер-
претации математических символов п выражений в раз-
личных системах единиц и координатах. То, что эти во-
просы поставлены и решаются в тесной взаимосвязи,
безусловно увеличивает научную и методическую цен-
ность книги.
Представление физических величии в безразмерной
форме, в виде отношений к некоторым базисным значе-
ниям широко используется в механике, электротехнике
и других науках. Известно большое число систем отно-
сительных единиц, рекомендуемых в зависимости от типа
задач п отличающихся базисными величинами, полным
или частичным представлением переменных и парамет-
ров в безразмерном виде и другими качествами. Боль-
шинство типов долевых единиц используется для описа-
ния электрических машин и энергетических систем с по-
зиций теории цепей с сосредоточенными параметрами.
Именно им посвящена эта книга.
Относительные единицы упрощают численные расче-
ты, причем вероятность ошибок значительно уменьшает-
ся, так как порядки всех величии обычно известны. Пре-
имуществом систем относительных единиц следует счи-
тать возможность легко обобщать результаты расчетов
и экспериментов, представлять их в критериальной фор-
ме. Сравнение однотипных электрических машин произ-
водится гораздо нагляднее, если их характеристики вы-
3
ряжены в безразмерной форме пли -в процентах. Значе-
ние относительных единиц особенно возрастает в связи
с широким использованием ЭВМ для исследования ди-
намических и статических режимов работы электриче-
ских машин и приводов.
В обзоре литературы авторы, к сожалению, вообще
не упоминают работ советских ученых по различным
аспектам систем относительных единиц. В частности, они
ограничивают возможности метода симметричных со-
ставляющих, рекомендуя его для расчета установивших-
ся режимов работы машин и систем, хотя существуют
опубликованные работы советских авторов, в которых
долевые единицы и симметричные составляющие успеш-
но применяются для анализа переходных процессов в не-
си м м етр и ч и ы х р еж и м а х.
Материал книги включает особенности использования
относительных единиц для анализа электрических машин
различных типов. Авторы включили в нее даже сообра-
жения по этому вопросу применительно к коллекторным
машинам, что обычно не делается в литературе. До сих
пор нс разработаны физические основы и способы выра-
жения в долевых единицах уравнений, описывающих
коллекторные машины. Трудность состоит в том, что
высшие гармоники поля воздушного зазора в этих маши-
нах наводят полезную э. д. с. в обмотке или создают по-
лезный момент, т. е. не могут быть отнесены к рассея-
нию. Эта задача еще требует внимания исследователей.
Оригинально написана в книге глава, в которой вы-
водятся безразмерные уравнения для мощности и мо-
мента. После нормализации всех переменных, включая
мощность, потокосцепление и время, оказывается воз-
можным получить простые выражения для электромаг-
нитного и инерционного моментов. Базисным моментом
инерции назван такой, который обеспечивает единичное
ускорение ротора при единичном электромагнитном
моменте.
Книга завершается заключениями и рекомендациями.
Она проясняет многие проблемы выбора и применения
относительных единиц. Это дает уверенность, что она
будет безусловно интересной и полезной для инженеров,
аспирантов, научных работников и преподавателей, име-
ющих дело с электромеханикой в своей работе.
Б Я. Беспалов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Решая задачу, математик ищет соотношение между
математическими символами. Физик будет удовлетворен,
если он сможет представить себе модель анализируемой
системы. Инженеры всегда дают такие объяснения сущ-
ности явлений, которые намного проще самих явлений.
Например, электрическая машина — это очень сложное
электромагнитное устройство для преобразования энер-
гии. Физические явления в нем очень многообразны,
включая молекулярные процессы в стали, ъ меди и изо-
ляции, в материалах, применяемых для смазки и охлаж-
дения. Инженер' должен их упростить. Вращение элек-
трона п молекулярное трение проявляются в макропро-
нессах намагничивания и возникновения потерь, поля
сложных конфигураций сводятся к определяемым ими
параметрам электрических цепей, электромагнитные
явления представляются через соответствующие зависи-
мости токов и напряжений па зажимах обмоток. Модель,
с которой имеет дело инженер, должна быть предельно
упрощенной; если что-то не поддается объяснению,
инженер должен догадываться и предлагать гипотезы,
так как он имеет дело с реальными работающими объ-
ектами.
Эти предположения не должны делаться вслепую.
Способность к абстрактному мышлению позволяет ему
объединить вместе множество физических причин и явле-
ний п выразить их в виде некоторых «безразмерных па-
раметров». При определенных допущениях раздельное
исследование этих параметров может дать ключ к реше-
нию задачи.
Одной из простых разновидностей таких безразмер-
ных параметров является отношение однотипных физи-
ческих величин, выраженное в виде дроби или процен-
тов. т. с. в относительных единицах. Но эта простота
обманчива. Когда вы начинаете разбираться в количе-
ственных соотношениях величин в машине, возникают
5
вопросы, которые Moiyi поставить в затруднительное
юложеппс. Что такое единичное потокосцепление или
намагничивающая сила обмоток с различающимися чис-
лами витков, шагами, количествами фаз, напряжениями
п другими поминальными данными? Каковы соотноше-
ния переменных одной и той же машины в относитель-
ных единицах, если они выражены в различных системах
координат? Как выглядит безразмерное уравнение ме-
ханического движения ротора (баланса моментов)?
Существуют различные и противоречивые ответы на
эти вопросы, содержащие даже несовместимые доводы
п допускающие двусмысленные толкования. Очеви дна на-
стоятельная необходимость дополнительных разъясне-
нии. Авторы данной монографии рассмотрели трудности,
которые имеют место при решении этой проблемы, попы-
гались решить се и изложить существо вопроса в про-
стой и понятной для широкого круга читателей форме.
Здесь имеет смысл заметить, что всегда полезно еще раз
задуматься над многим из того, что кажется простым и
очевидным.
М. Сэй
ВВЕДЕНИЕ
Роль относительных единиц в теории электрических
машин и энергетических систем хорошо известна. Она
особенно возрастает по мере повышения интереса
к исследованию неустаиовившихся режимов.
Многие авторы по-разному использовали или рас-
сматривали системы относительных единиц в своих рабо-
тах, однако в настоящее время нет опубликованных ра-
бот, которые бы обобщали пли критически сравнивали
известные системы относительных единиц. Кроме того,
в ряде работ встречаются выводы, которые могут при-
вести к ошибочным результатам. Положение осложняет-
ся тем, что большинство авторов исходит из привычного
представления, что относительные единицы являются
чем-то абсолютно очевидным, требующим минимум раз-
мышлении и объяснений. В результате этого вопрос до
сих пор не имеет четкого толкования, что мешает пол-
ностью использовать преимущества универсальной, четко
определенной и стандартизованной системы относитель-
ных единиц.
Авторы настоящей монографии ставили перед собой
следующие цели:
критически рассмотреть существующие системы отно-
сительных единиц, отмечая общность и различие между
ними;
найти общий подход к проблеме относительных еди-
ниц, с позиций которого можно было бы рассмотреть
уже известные и новые задачи, давая, где это необходи-
мо, логичное и последовательное объяснение методов ре-
шения.
В книге дается строгий анализ физических процессов
в рассматриваемых машинах и системах, чго весьма су-
щественно для выбора подходящей системы относитель-
ных единиц. На этой основе для синхронных и асинхрон-
ных машин рекомендуется единая система относитель-
ных единиц, в которой за базовую величину сопротивле-
ния принято Х(1а обмотки с диаметральным шагом. Мы
надеемся, что после надлежащего обсуждения специали-
стами эта ('истома относительных единиц потупит всеоб-
щее признание
7
Глава 1 киши содержит вводную информацию об
относительных единицах и обзор существующей литера-
туры. В ней подчеркиваются достинства систем относи-
тельных единиц.
В гл. 2 проводится анализ однофазного трансформа-
тора с позиций теории электрических цепей. Метод за-
тем обобщается с использованием матричной алгебры.
Проблема выбора базовых величин для вторичной цепи
связана с неопределенностью соотношения витков и ин-
дуктивных сопротивлений рассеяния. Это приводит к не-
обходимости введения понятий «идеального» поля и
«идеального» коэффициента трасформации, которая де-
лает более перспективным обычный подход к расчету и
анализу, а также требует внимания при использовании
этого подхода к решению задач.
Глава 3 посвящена общим вопросам применения ме-
тодов теории цепей к анализу вращающихся электриче-
ских машин. Сюда включены: последовательный вывод
уравнений метода двух реакций в относительных едини-
цах, теория синхронной машины при различных базовых
величинах (особенно для токов в цепях ротора), особен-
ности применения относительных единиц для исследова-
ния асинхронных и коллекторных машин, ранее очень
слабо освещавшиеся в литературе.
В гл. 4 рассмотрены уравнения механического движе-
ния в относительных единицах, даны понятия о потоко-
сцеплениях, мгновенном вращающем моменте и норма-
лизованном времени. Показана возможность выбора
амплитудных и действующих значений переменных
в качестве базисных величии.
Глава 5 содержит основные выводы и рекомендации
по выбору и использованию систем относительных еди-
ниц. В приложениях (гл. 6) представлены: преобразова-
ние матрицы сопротивлений трехфазной машины в мат-
рицу соответствующей двухфазной, «идеальные» коэффи-
циент трансформации и индуктивное сопротивление рас-
сеяния, схема замещения синхронной машины с полной
демпферной клеткой.
Чтение книги требует определенного знакомства
с обобщенной теорией электрических машин и элемен-
тарной теорией электрических цепей.
М. Гаррнс
П. Лаурен сон
Дж. Стефенсон
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВОДНАЯ
1-1. ПЕРЕЧЕНЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Чтобы избежать излишних повторений, отмстим, что
напряжения, токи и мощности, обозначенные строчными
буквами, представляют собой мгновенные величины.
Прописными буквами обозначаются векторы напряже-
ний н токов на комплексной временной плоскости перед-
ние величины мощностей, а жирным шрифтом отмечают-
ся нормализованные величины, т. е. выраженные в от-
носительных единицах. Модуль комплексного вектора
представляет собой амплитудное (максимальное), а не
действующее значение.
Обозначения:
я, Ь, с — индексы фаз трехфазной системы;
d, q, z— индексы продольной осп, поперечной оси,
пулевой последовательности;
р, п— индексы прямой и обратной последовательно-
стей;
[, b — индексы прямо вращающихся и обратно вра-
щающихся составляющих (используются только § 3-3,6);
/ — индекс обмотки возбуждения;
k—индекс демпферной обмотки (обычно использует-
ся с другим индексом, соответствующим оси, в направ-
лении которой действует демпферная обмотка); напри-
мер, kd, kq (когда на оси находятся п демпферных об-
моток, k заменяется числами от 1 до /г);
I — индекс, соответствующий потокам рассеяния;
т — индекс, соответствующий потоку взаимной ин-
дукции;
о — индекс базовой величины в системе относитель-
ных единиц;
г—индекс роторных величин;
s — индекс статорных величин;
9
t — индекс транспонированной матрицы;
и, р — индексы фаз двухфазной системы;
а = е1 я/3 — оператор поворота вектора в положитель-
ном направлении;
— коэффициент, па который умножают макси-
мальною индукцию поля, чтобы получить амплитуду
основной гармоники индукции поля, создаваемого сину-
соидальной волной и. с. реакции якоря по продольной
осп;
|с]—матрица преобразований;
— то же, что 1(/|, но для ноля, создаваемого п й
демпферной обмоткой по продольной осп;
= л/2 — коэффициент, на который умножают
максимальную индукцию поля, чтобы получить среднюю
индукцию внутри демпферного контура с шагом i/r,<i по
продольной осп;
l'\i — то же, что 1,/|, ио для поля, создаваемого п. с.
обмотки возбуждения по продольной осп;
// — инерционная постоянная;
/ —ток;
J — момент инерции;
/г — коэффициент трансформации (связи);
Ки — коэффициент распределения;
— коэффициент укорочения;
Кф—отношение полного потока возбуждения полю-
са к потоку основной гармоники поля, созданного об-
моткой возбуждения ио продольной осп при холостом
ходе;
L — индуктивность; обычно имеет два индекса, на-
пример Lll)m — индуктивность ///-й обмотки (контура),
Lmn — взаимная индуктивность m-й и и-й обмоток (кон-
туров) ;
A/ц /дга, — соответственно индуктивно-
сти цепей с/, q, f, kd, kq\
l.df, Ldkd, Ljkd — взаимные индуктивности цепей cl,
f, kd;
Lqkq — взаимная индуктивность цепей q и kq\
Laid — взаимная индуктивность между фазой а об-
мотки якоря и обмоткой возбуждения /, когда ось фазы
и совпадает с продольной осью;
f-nhd — взаимная индуктивность между фазой </ об-
мотки якоря и демпферной обмоткой kd, когда ось фазы
а совпадает с продольной осью;
Ю
Lu.kq — взаимная индуктивность между фазой а об-
мотки якоря и демпферной обмоткой kq, когда ось фазы
а совпадает с поперечной осью;
L,t — синхронная индуктивность фазы по продольной
осп в симметричном режиме;
La<i — индуктивность реакции якоря, входящая в /,/;
Lq— синхронная индуктивность фазы по поперечной
осн;
Lnq— индуктивность реакции якоря, входящая в Lq\
'N — отношение чисел витков;
— число последовательно соединенных витков
в фазе обмотки якоря:
Njj— число витков обмотки возбуждения НЛП иной
обмотки с диаметральным шагом, приходящееся па один
полюс;
>Ni — идеальное отношение чисел витков обмоток;
p — djdt-,
Р — мощность;
п — число пар полюсов;
R — активное” сопротивление;
s — скольжение;
i — время;
Т — момент;
и — напряжение;
А' — индуктивное сопротивление; имеет те же индек-
сы, что н
уlUi — шаг /z-й демпферной обмотки на одном полюс-
ном делении;
Z — полное сопротивление;
б — угол момента;
О — электрический угол в градусах пли радианах;
со — электрическая угловая скорость в градусах или
радианах в секунду;
W — потокосцепление;
v — геометрическая угловая скорость в градусах пли
рпдианах.
1-2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Система относительных единиц представляет собой
набор безразмерных параметров или групп параметров,
входящих в спетому полностью пли частично безразмер-
ных уравнений. Относительные единицы широко исполь-
зуются для упрощения списания физических явлений
11
при пслседоваппп многих проблем. В ряде случаев вме-
сте с безразмерными параметрами могут применяться
довольно сложные комбинации размерных параметров.
Одним из хорошо известных примеров является число
Рейнольдса в гидродинамике.
В случаях, когда методами теории цепей анализиру-
ются электрические системы и в особенности электриче-
ские машины, которым посвящена данная монография,
безразмерные величины имеют очень простую форму.
Большинство из них получается в результате процесса
нормализации, когда одна физическая величина или па-
раметр делится па другую той же размерности1. В этом
случае делитель называется базисным значением дайной
величины. Некоторые базисные значения могут выби-
раться произвольно, другие определяются на основании
законов, описывающих физические явления в рассмат-
риваемой системе. Выбор базисных величин делается
так, чтобы в максимальной степени упростить расчеты,
сделать несложной и наглядной процедуру определения
и анализа основных характеристик. На практике это
часто означает, что переменные в относительных едини-
цах принимают единичные значения в режиме полной
и о м и и а л ы ю й и а гр узки.
Многие авторы рассматривали и использовали отно-
сительные единицы для исследования электрических ма-
шин и систем. Однако в их работах мы встречаем суще-
ственно различные подходы к этой проблеме. До сих пор
ист публикаций, в которых удовлетворительно анализи-
ровались бы эти различия, критически сравнивались бы
различные системы относительных единиц. Более того,
иногда встречаются спорные и даже ошибочные положе-
ния и выводы. Вообще существует сложившееся мнение,
что с теоретической точки зрения относительные еди-
ницы очевидны и требуют минимальных объяснений.
В итоге в этом вопросе до сих пор остаются неясности и
запутанные толкования. Данная монография написана
с целью дать критический обзор общих и отличительных
особенностей существующих работ, глубже рассмотреть
1 В этой книге не рассматриваются сравнительно более слож-
ные, частично безразмерные, параметры, которые используются
в теории электрических машин, по у любого инженера не ассоции-
руются с относительными единицами. Например, «коэффициент доб-
ротности». которому уделяет внимание Лейтвэйт в ряде своих публи-
каций.
12
некоторые вопросы и сравнить достоинства и недостатки
различных систем относительных единиц.
Анализ простейших режимов работы электротехниче-
ских устройств и систем может осуществляться с по-
мощью относительных единиц без затруднений. Никаких
недоразумений не возникает, если, скажем, трансформа-
тор пли электрическая машина характеризуются обычны-
ми активно-реактивными сопротивлениями. Вероятность
ошибок существенно возрастает, когда речь идет об ана-
лизе характеристик в переходных и несимметричных ре-
жимах. Он проводится как при исследованиях электро-
технических устройств, так и на стадии их проектирова-
ния. Именно таким режимам уделяется основное внима-
ние в этой монографии. Мы будем останавливаться и на
простых режимах, но более полный их анализ читатель
найдет во многих известных работах [Л. 11, 14, 15, 37].
Особое внимание в книге уделено физической интер-
претации математических выражений в различных систе-
мах относительных единиц. Как будет показано в § 2-1,
2-3, 3-1,а и 3-2,а, выбор системы относительных единиц
влияет на вид схемы замещения. Это объясняется тем,
что магнитные поля в машине можно по-разному описать
соответствующими индуктивностями.
В этой главе кратко рассмотрены основные достоин,
ства относительных единиц и приведен обзор соответст-
вующей литературы.
В гл. 2 на примере однофазного трансформатора из,
ложеиы основы теории цепей, при этом используется на-
глядный подход, принятый в обобщенной теории. Отдел ь-
по анализируются значения индуктивных сопротивлений
рассеяния и коэффициентов трансформации.
Глава 3 посвящена задачам, возникающим в исследо,
ваниях вращающихся машин. Она содержит последовав
тельный вывод уравнений в относительных единицах,
составленных по методу двух реакций, детальный ана-
лиз синхронной машины при различных базисных вели-
чинах, особенно для токов ротора. Изложены принципы,
которыми следует руководствоваться, выбирая базисные
величины, описаны особенности применения систем отно-
сительных единиц в теории асинхронных и коллекторных
машин. Последний вопрос в литературе обычно не изла-
гается.
В гл. 4 рассмотрены особенности нормализации урав-
нении механического движения, потокосцеплении, мгно
1а
венного момента и врем* ни, отмечены возможности выбо-
ра амплитудных и действующих значений переменных
в качестве базисных величин.
Глава 5 содержит выводы и рекомендации.
В книге обсуждаются физический смысл и различие
размерных и безразмерных параметров. Напряжение,
ток, полное сопротивление, время, скорость и момент
инерции обычно называют физическими величинами.
Слово «физический» лучше использовать для обозначе-
ния других понятий. А. Ранкин, опубликовавший ряд
принципиальных работ по относительным единицам,
предложил термин «ампер-дюймовып» для обозначения
системы единиц. Это неудачный термин. Он неприемлем
потому, что мы сейчас пользуемся другой системой еди-
ниц. Поэтому предлагается реальные (размерные) зна-
чения величин называть обычными. Например, обычным
будет ток, измеренный в амперах. Ток х в относительных
единицах при некотором базисном токе у равен
х ампер/р ампер, что дает безразмерную величину х/у
о. е. (Обозначение «относительные единицы» (о. е.) будет
употребляться только с численными значениями. В тек-
сте оказалось более удобным использовать полное на-
звание.)
Аналитические выражения в относительных единицах
часто имеют такой же вид. как и соответствующие урав-
нения с размерными величинами. Например, уравнение
u=Ri может быть понято как в обычной, так и в безраз-
мерной форме. Математические методы их решения так-
же будут одинаковыми. Это послужило причиной широ-
кого распространения мнения, что уравнения обычные и
в относительных единицах всегда имеют одинаковую
форму и что последние всегда можно проверить па ра-
венство размерностей. В действительности это не всегда
соблюдается.
Отметим, что уравнения баланса мощностей в отно-
сительных единицах зачастую имеют все коэффициенты,
отличающиеся от коэффициентов в обычных уравнениях.
Это может относиться и к формулам преобразования
одной системы координат в другую. Что касается равен-
ства размерностей, то его нельзя заметить в форму-
лировке типа «потери в обмотке статора PR при номи-
нальной нагрузке равны активному сопротивлению об-
мотки», которая справедлива только в относительных
единицах.
14
1-1 ПРЕИМУЩЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
Применение относительных единиц дает следующие
преимущества:
а) Размерные величины токив, потерь и параметров
конкретного типа электрической машины изменяются
в широких пределах в зависимости от геометрических
размеров, напряжения па зажимах, номинальной мощ-
ности, числа фаз, характера внутренних соединений
и г. п. То же величины в относительных единицах непос-
редственно не зависят от любою из вышеперечисленных
факторов1 и имеют сравнимые численные значения для
большого числа типов машин. Простое сопоставление
безразмерных величин дает гораздо больше информации
о сути явлений, происходящих в машине, чем анализ
размерных величии. При этом, например, к. п. д., коэф-
фициент мощности, максимальный момент и ток при
максимальном моменте наглядно выражаются в долях
соответствующих величин при поминальной нагрузке;
хорошо видно соотношение электрических и магнитных
потерь. Таким образом, система относительных единиц
включает в себя набор безразмерных коэффициентов,
которые характеризуют машину и упрощают сравнение.
Инженеры-механики также широко используют относи-
тельные единицы [Л. 1, 4], а расчетчики привыкают
к порядку определяемых величин, что существенно
уменьшает вероятность ошибок.
Не только машины, но и отдельные обмотки внутри
одной машины можно успешно сравнивать, сопоставляя
их полные сопротивления в относительных единицах.
Этому вопросу уделено внимание в § 3-2,д. Сравнение
обычных размерных сопротивлений дает меньше инфор-
мации.
Необходимо помнить, что во всех случаях сравнивае-
мые величины в относительных единицах должны иметь
одинаковые базисные значения, т. е. быть выражены
в одной системе относительных единиц. Необходимость
этого обосновывается в гл. 2 и 3. В табл. 1-1 показано
1 Строго говоря, здесь следовало сказать «не должны зависеть».
Например, многофазную синхронную машину можно анализировать
в относительных единицах и в системе двух координатных осей,
в которых полное сопротивление обмотки возбуждения зависит от
числа фаз якоря (см. § 3-1,а). Такая система относительных единиц
не рекомендуется в данной работе.
15
различие численных значений параметров, выраженных
по отношению к различным базисным величинам, что
указывает на отсутствие взаимозаменяемости парамет-
ров в разных системах относительных единиц.
б) Все величины в относительных единицах обычно
имеют порядок единицы н меньше. Упрощаются ручные
расчеты. Такой порядок чисел особенно удобен, если за*
дачи решаются на аналоговых и цифровых вычислитель-
ных машинах.
в) Относительные единицы позволяют упростить ана-
лиз многофазных цепей в симметричных режимах. Опре-
делив в относительных единицах линейные величины,
соответствующие фазным, можно одновременно про-
вести анализ и составить схему замещения в отно-
сительных единицах для линейных и фазных парамет-
ров [Л. 11]. Этот вопрос подробно рассматривается
в § 4-1 и 4-2.
г) Если анализ однофазного или многофазного транс-
форматора проводится в относительных единицах, пз не-
го исключаются коэффициенты трансформации и схема
соединения фаз. Эти факторы учитываются при выборе
базисных величин для первичной и вторичной обмоток.
Отсюда следует, что собственная индуктивность обмотки
в относительных единицах равна сумме взаимной индук-
тивности и индуктивности рассеяния, также выражен-
ных в безразмерной форме. Требует дополнительных
разъяснений понятие индуктивности рассеяния и ее за-
висимость от отношения чисел витков обмоток. Также
не совсем ясен физический смысл индуктивностей, после-
довательно включенных в схему замещения. Эти вопро-
сы детально рассматриваются в § 2-3 и 3-1.
д) Уравнения синхронной машины с размерными пе-
ременными, составленные по методу двух реакций, со-
держат численные коэффициенты, зависящие от выбран-
ных инвариантов преобразования. Физические условия,
при которых проводятся преобразования, часто постули-
руются некорректно, что приводит к ошибочным значе-
ниям этих коэффициентов. Аналитические выражения
в относительных единицах таких коэффициентов не со-
держат, что помогает исключить возможные ошибки
(см. § 3-1,а).
е) Безразмерные параметры помогают избежать
ошибок в процессе пересчета рабочих характеристик из
одной системы единиц в другую. Необходимость в таком
преобразовании может возникнуть при проектирований
плп по требованию заказчика.
ж) Важным преимуществом систем относительных
единиц является возможность нормализации времени.
Она оказывается особенно полезной для анализа режи-
мов работы устройств при переменной частоте. Эта нор-
мализация общепринята в американской литературе; она
подробно рассматривается в § 4-3.
1-4. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Рассмотрим наиболее существенные работы в обла-
сти относительных единиц, отмечая различные подходы
к этому вопросу у разных авторов. Сделаем это не ради
критики, а чтобы показать неблагополучную картину,
которую представляет собой существующая литература
на данную тему.
Первой и основной проблемой, связанной с относи-
тельными единицами, является определение соотношений
между безразмерными величинами статора и ротора.
При этом возникает наибольшее количество недоразуме-
ний. Необходимо помнить, что выбор отношения чисел
витков обмоток, имеющих магнитную связь, эквивален-
тен выбору базисных токов, так как воздействие одной
обмотки на другую зависит от созданной ею и. с. Ойо
в равной мерс зависит и от числа витков, и от тока. Оче-
видно, что в любом конкретном случае, вообще говоря,
можно выбрать бесчисленное множество соотношений
этих величии. Значительные трудности возникают в свя-
зи с -преобразованием в относительных единицах основ-
ной гармоники поля к двум осям координат, а также
при пользовании безразмерными аналитическими выра-
жениями для мощностей и механических характеристик.
Здесь мы лишь кратко остановимся на них (подробный
анализ проводится в других главах).
Основы применения относительных единиц в теории
электрических машин хорошо изложены Штефеном
[Л. 5]. Он особо отмечает простоту численных расчетов
в относительных единицах и подтверждает это примера-
ми. Показывая преимущества, которые обеспечивают
относительные единицы в анализе асинхронных машин,
он дает сравнение безразмерных параметров машин су-
щественно различных конструкций. Возможность приме-
нения относительных единиц в теории асинхронных ма-
2—23 17
Шип только упоминается другими авторами, которые
имеют дело главным образом с синхронными машинами.
За единичную (базисную) и. с. воздушного зазора
в синхронной машине Штефен выбирает такую, которая
возбуждает единичную э. д. с. в обмотке якоря при хо-
лостом ходе. Эго кажется естественным, но, к сожале-
нию, приводит к недоразумению. Оно возникает из-за то-
го, что номинальный ток якоря, обычно принимаемый за
базисный, не создает единичной н. с. В рассматриваемой
работе нет предложений о выборе других величин в ка-
честве базисных, но делается заявление о необходимости
да л ы 1 е й ш их и сел ед о в а и 11 и.
В двух наиболее существенных статьях на эту тему
(Л. 2, 3] Ранкин ограничивается рассмотрением тех ас-
пектов применения относительных единиц к синхрон-
ным машинам, которые связаны с чисто электрическими
явлениями. Он обобщил предыдущие работы, посвящен-
ные параметрам машин в относительных единицах, пред-
ставил расчетный формуляр [Л. 5J и отметил, что следует
различать два класса параметров: те, которые можно
определить с помощью измерений на зажимах обмотки
статора, и те, которые нельзя так определить. Первые
не зависят от базисных величии ротора (отношения чи-
сел витков), и их использование не вызывает сомнений.
Вторые являются функциями базисного тока, поэтому
их использование сопряжено с ошибками. Ранкин ана-
лизирует базисные величины токов ротора, которые вы-
бирались авторами работ, опубликованных до 1945 г.,
и обращает внимание на их различие.
Хотя теоретически количество базисных величин то-
ков ротора бесконечно, он выбирает для дальнейшего
обсуждения четыре величины, наиболее важные и доста-
точные для практических целей.
а) Система с базисным Хаа> В этой системе относи-
тельных единиц, которую Ранкин рекомендует как наи-
лучшую, базисным током в любой цепи ротора является
такой ток, который индуцирует в каждой фазе статора
э. д. с., равную Xadiao- Отметим, что это определение
справедливо лишь при допущении о синусоидальном рас-
пределении индукции рабочего потока в воздушном
зазоре.
б) Система с базисной н. с. В этой системе базисным
током ротора является такой, который создает на полюс-
ном делении прямоугольную волну н. с., равную упло-
18
щенной сверху кривой и. с. реакции якоря. Пространст-
венная во.ппа п. с. вызвана симметричной системой трех-
фазных токов якоря максимальной единичной величины.
Этот тип н. с. реакции якоря рассматривается в § 3-2,в.
в) Система с базисным единичным напряжением.
В этом случае базисный ток ротора определяется как
ток, который при отсутствии насыщения индуцирует
в разомкнутой обмотке якоря э. д. с., равную номиналь-
ному напряжению. Определение напоминает единичную
н. с., введенную Штефеном.
г) Система с равными взаимными индуктивностями.
Базисные токи ротора в этом случае выбираются так,
чтобы машина с тремя обмотками по продольной оси
имела все одинаковые взаимные индуктивности этих
обмоток в относительных единицах.
С помощью выведенных расчетных формул Ранкин
показал, что в этих четырех системах относительных
единиц одна и та же машина имеет различные числен-
ные значения параметров. Чтобы подчеркнуть это важное
обстоятельство, рассмотрим приводимый им численный
пример. Пусть машина имеет следующие значения
постоянных:
= 0,98;
4 А
D(/ln = 0.84; £)0nynfi = 0,73; Xoj=l,2. Примем за 100%
значения безразмерных параметров Хд, Xnfd и Ху/ в си-
стеме относительных единиц с базисным Xad- Их значе-
ния в других системах представлены в табл. 1-1.
Таблица 1-1
Расчетные численные значения параметров Vd,
-Va/d и Xjj в процентах от их величины в системе
с базисным Xad
Система относительных единиц
С базисным A'ari
С базисной н. с.
С базисным единичным напряжением
С равными взаимными индуктивностями
100
100
100
100
100
91
83
105
100
83
69
110
Большое различие этих величии с очевидностью ука-
зывает на необходимость внимательного подхода к выбо-
ру базисных токов
Излагая основы обобщенной теории электрических
машин, Гиббс дал краткую информацию о системе отно-
сительных единиц, но упростил ее до такой степени, что
она, строго говоря, оказалась незавершенной. В этой
системе номинальные значения напряжения и тока каж-
дой фазы якоря приняты за базисные. Используются на-
пряжение и ток обмотки возбуждения, выраженные
в относительных единицах, но не дано их исчерпываю-
щее определение. Вполне резонно можно было бы пред-
положить, что базисными значениями для обмотки воз-
буждения также являются номинальные, т. с. тс, кото-
рые соответствуют номинальной скорости. Если бы это
было так, пришлось бы добавить еще одно определение
относительных единиц к тому главному, которое дал
Ранкин. Кроме того, появилась бы система относитель-
ных единиц, имеющая нежелательные математические
свойства, как показано в § 2-1 и 2-2.
Уайт и Вудсон выбирают для цепей ротора систему
относительных единиц с равными взаимными индуктив-
ностями, но упоминают и возможные альтернативы
[Л. 7]. Их определение относительных единиц применимо
к величинам как по продольной, так и по поперечной
оси. Предполагается, что оно справедливо при любом
числе обмоток по каждой осн. Существенно отметить,
однако, что такая система относительных единиц не мо-
жет быть применена до тех пор, пока на машину не на-
ложены определенные, вообще говоря, неприемлемые
ограничения. Этот вопрос обсуждается в § 3-2,г.
В теории электрических машин часто принимаются
вполне обоснованные упрощающие допущения. Адкинс,
например, предположил, что все обмотки синхронной ма-
шины создают пространственную волну п. с. одинаковой
формы [Л. 8]. Это позволило ему определить единичный
ток ротора как ток, создающий «такую же н. с., какую
создает номинальный трехфазный ток якоря». При этом
допущении системы относительных единиц с базисным
Хп(1 и базисной н. с. становятся идентичными относитель-
ным единицам Адкинса. В § 3-2,а и 3-2,6 показаны су-
щественные недостатки такого способа определения
относительных единиц, который строится на сравнении
н. с. л* -।
Адкинсом и другими авторами в некоторых случаях
делается предположение о приблизительном равенстве
взаимных индуктивностей по продольной оси в зависи-
20
мости от расположения обмоток и сердечника. Этот слу-
чай приблизительного равенства надо отличать от точно-
го равенства, когда применяется четвертая система отно-
сительных единиц, предложенная Ранкиным.
В хорошо известной книге Конкордиа [Л. 10] опреде-
ляет базисный ток возбуждения как ток, создающий та-
кую же основную гармонику поля в воздушном зазоре,
какую создаст амплитудное значение трехфазного тока
якоря. Это определение физически более наглядно, чем
то, которое дается в системе с базисным Аас?.
Роуз дает ясное обоснование преимуществ относи-
тельных единиц при выполнении расчетов однофазных
и трехфазных цепей (Л. 11]. Для анализа синхронных ма-
шин выбирается система с базисным X„d без обсужде-
ния других возможных вариантов. Он утверждает, что
эта система позволяет представить основные уравнения
в виде схем замещения для главной оси машины. Но
это может быть сделано и в других системах относитель-
ных единиц. Еще Ранкин отмечал [Л. 2], что главным
преимуществом системы с равными взаимными индук-
тивностями является простота схемы замещения.
В § 3-2,а показано, что наиболее важным свойством си-
стемы с базисным Xad является ее глубокая физическая
значимость, что в этих относительных единицах индук-
тивные сопротивления схемы замещения соответствуют
параметрам, обычно определяемым при проектировании.
Относительные единицы упоминаются в работах дру-
гих авторов, посвященных электрическим машинам
[Л. 12, 13] и системам [Л. 14, 15]. Они не рассматривают
проблему выбора базисных токов в цепях с взаимными
индуктивностями и не отмечают каких-либо неясностей
в этом пли других вопросах.
В действительности еще ряд вопросов вызывает
трудности при решении. Особенно существенно в этом
плане преобразование к двум осям координат, при осу-
ществлении которого возникают две проблемы. Во-вто-
рых, различные авторы [Л. 8, 10] выводят одинаковые
безразмерные уравнения в двух осях координат, хотя по-
разному выбирают базисные величины. В § 3-1,а показа-
но, что они пользуются различными преобразованиями
к двум осям, причем в одном случае оно физически пра-
вильно, а в другом нет.
Вторая проблема особенно четко поставлена в рабо-
те Левиса [Л. 16], а детально разработана позднее.- Он
21
рекомендует и принимае! физически правильное преоб-
разование к двум осям координат. Однако формулы
преобразования содержат численный коэффициент
1'2/3, а не 2/3. Затем выбирается такая система относи-
тельных единиц, чтобы размерные и безразмерные урав-
нения имели одинаковую форму. Хотя это обстоятель-
ство и привлекательно, оно кардинально изменяет поня-
тие системы относительных единиц. Против этого имеют-
ся существенные возражения, которые рассмотрены
в § 3-1,а—3-1,в.
Мы уже упоминали работы по обобщенной теории
электрических машин, основоположником которой явля-
ется Крон. Представляет интерес его подход к относи-
тельным единицам, хотя во многих работах [Л. 9] он нс
пользуется ими.
Можно привести аргументы в пользу относительных
единиц и против них, ио они безусловно упрощают изло-
жение обобщенной теории. Нормализация параметров
обмотки, вообще говоря, изменяет ее эффективное число
витков (гл. 2). Это изменение должно быть учтено в ана-
литических выкладках, если обмотка имеет соединения
с другими обмотками. В качестве примера назовем пре-
образование матрицы полных сопротивлений элементар-
ной коллекторной машины, в результате которого с по-
мощью матрицы соединения получаются уравнения ма-
шины с последовательной обмоткой возбуждения.
Очевидно стремление Крона получить уравнения
в относительных единицах в той же форме, что и соот-
ветствующие размерные уравнения [Л. 17]
Расхождения другого рода возникают из-за выбора
различных величии в качестве базисных для машин пе-
ременного тока. Иногда это действующие значения на-
пряжения и тока, но чаще, и как правило, без специаль-
ных указаний на это — амплитудные. В некоторых про-
стых случаях [Л. 5, 12, 18] этой проблемы нс возникает.
Действующие значения обычно выбираются за базисные
при анализе трансформаторов. Роуз, например, без вся-
кого обоснования использует действующие величины для
1 Крон использует тензор индуктивности [Л. 17] как метриче-
ский тензор. Его можно рассматривать как тензор характеристиче-
ских величин, и уравнения машины путем умножения на обратный
метрический тензор можно представить в весьма интересной форме.
Но они не станут безразмерными. Эта операция похожа на переход
к относительным единицам, но отличается от него.
22
трансформаторов, а амплитудные— для машин. Сущест-
вуют, однако, серьезные причины для этого. Они рас-
смотрены в § 4-1.
В [Л. 18] даны некоторые простые рекомендации по
выбору предпочтительных систем относительных единиц
в машинах переменного тока. Для статора синхронной
машины в качестве основных базисных величин предла-
гаются действующие значения номинального напряже-
ния и тока (разы обмотки, соединенной в звезду, и поми-
нальное значение полной мощности. Предпочтительные
величины для цепи ротора нс рассматриваются. В дру-
гой работе [Л. 16] номинальная полная мощность фазы
является базисной мощностью (в данной книге исполь-
зуется иной подход). В некоторых практических задачах
возникает необходимость определения безразмерных ве-
личин в линии, связанной с машиной [Л. 11]. Амплитуд-
ные и действующие значения этих переменных рассмат-
риваются в § 4-1 и 4-2 в логической связи с набором
других базисных величин. Эта связь обусловила назва-
ние, данное линейным величинам,— «сопутствующие
(ассоциативные) величины в относительных единицах»,
которое оказалось весьма полезным.
Трудности понимания проблемы возрастают из-за то-
го, что не отмечается разница между обычными и без-
размерными величинами. Действительно, уравнения
в относительных единицах у одних авторов идентичны
уравнениям для размерных величин и других, хотя они
должны быть различными. Во избежание таких недора-
зумений здесь используются различные обозначения:
обычные размерные величины обозначаются курсивом,
жирным шрифтом отмечаются величины в относительных
единицах. Эти обозначения прямо противоположны тем,
которыми пользовался Ранкин, но они были обоснованны.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОСНОВЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ СО ВЗАИМНОЙ
ИНДУКТИВНОСТЬЮ
2-1. ОДНОФАЗНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
В этом параграфе проводится нормализация обычных
уравнений теории цепей и уравнений мощностей двухоб-
моточного трансформатора. При этом используются про-
извольно выбранные величины базисных напряжений и
23
гоков. Анализ результирующих уравнений показывает,
что практически полезную систему относительных еди-
ниц можно получить, если сделать некоторые базисные
значения зависимыми от других произвольно выбран-
ных величин.
Для индуктивно связанных обмоток (рис. 2-1) можно
записать через комплексные векторы (фазоры) обычные
размерные уравнения теории цепей и уравнения мощ-
ностей:
Предположение о синусоидальности токов и напря-
жений позволяет использовать векторы па комплексной
Рис. 2-1. Однофазный
трансформатор.
временной плоскости. На данном
этапе в уравнения пе входит время
и пе возникает необходимость его
нормализации. Это делается позднее
в § 4-3.
Четыре переменных (напряже-
ния и токи) можно разделить на че-
тыре независимо выбранных базис-
ных (пли характеристических) ве-
личины, переходя, таким образом,
к нормализованным переменным. Тогда после умноже-
ния коэффициентов при переменных (полных сопро-
тивлений) на согласующие множители уравнения (2-1)
и (2-2) примут вид:
Каждый член уравнения, заключенный в скобки, не
имеет размерности и может быть заменен символом,
принятым для относительных величин. Очевидно, что ба-
зисное сопротивление (например, «юДю для первичной
обмотки) есть зависимая величина. Однако такая систе-
ма относительных единиц является слишком общей, и,
как мы сейчас покажем, полезность ее сомнительна.
В этой системе относительных единиц безразмерные
взаимные индуктивности асимметричны. При ее исполь-
зовании будет фигурировать набор физически бессмыс-
ленных величин, а форма безразмерных уравнений и
значения всех величин в относительных единицах не бу-
дут иметь ничего общего с их обычными аналогами. Из
уравнений (2-5) и (2-6) видно, что симметрия взаимных
индуктивностей имеет место, если базисные напряжения
и токи удовлетворяют соотношению
* 20 10
--- у
^10 ^20
ИЛИ
-- ^20^20* ~ Ь ••
Ясно также, что если сопротивления взаимной индук-
ции в относительных единицах несимметричны, то они
нс могут быть представтсны в безразмерной схеме заме-
щения простыми пассивными элементами. Рассматривая
далее уравнения для мощностей, получаем еще более
убедительные основания для сохранения равенства со-
противлений взаимной индукции в относительных едини-
цах. Если напряжения и токи в уравнениях (2-3) и (2-4)
разделить на те же четыре независимые базисные вели-
чины. безразмерные уравнения мощностей будут иметь
вид:
л 1
U 1 0 1 о
1 2
^20^ 20
Очевидно, что базисные мощности являются зависи-
мыми величинами. Более того, они различны для цепей
первичной и вторичной обмоток, если не соблюдается
условие (2-7). Когда базисные мощности неодинаковы,
отдельные составляющее мощности (скажем, потери и
выходная мощность) в относительных единицах не оста-
ются в тех же относительных пропорциях, что и соот-
ветствующие им обычные размерные мощности. Следо-
вательно, значения мощности и энергии в относительных
единицах, так же как и к. п. д., пе имеют смысла в та-
кой системе относительных единиц.
Мы ясно видим, что анализ нельзя проводить из-за
нарушения принципа взаимности, т. е. из-за неравенства
25
взаимных индуктивностей в относительных единицах, так
как переменные в относительных единицах имеют иные
соотношения, чем соответствующие размерные величины.
Поэтому необходимо принять ограничение, накладывае-
мое уравнением (2-7). Его смысл расширяется тем, что
оно определяет базисную мощность для рассматривае-
мого примера
Ро= ^10/-10 = ^20*20- (2-10)
Следует, однако, отметить, что базисная мощность
в любой цепи совсем не обязательно должна быть равна
произведению базисных напряжения и тока в любой си-
стеме относительных единиц. Все предыдущие доводы
остаются справедливыми, если ввести постоянный коэф-
фициент пропорциональности для всех цепей рассматри-
ваемой схемы, т.е. Для анализа обычных трех-
фазных систем используется общая для всех фаз систе-
ма относительных единиц, где за базисные напряжения
и токи принимаются действующие значения их номи-
нальных фазных величин, а за базисную мощность —
общая мощность трех фаз. В этом случае К=3. Во мно-
гих примерах, которые рассматриваются в § 3-1,а и 4-1,
где фигурируют безразмерные переменные в системе
двух осей координат, К равно единице. Итак, существен-
ным в условии (2-7) является то, что произведения ба-
зисного напряжения на базисный ток должны быть
равны.
Целесообразно привести и другое выражение,
рое является альтернативой уравнения (2-7):
^20 - f/io '
Go ^20
KOTO-
(2-11)
N может быть выбрало произвольно. Очевидно, что
в относительных единицах отношение первичного тока
ко вторичном} изменяется в /V раз, а отношение соответ-
ствующих напряжений— в 1/.V раз по сравнению с отно-
шениями обычных размерных величин. Это явление
идентично тому, что имеет место при приведении вторич-
ной обмотки к первичной, когда коэффициентом приве-
дения является отношение числа витков первичной
обмотки к числу витков вторичной — коэффициент транс-
формации N. Система относительных единиц приобре-
тает важные преимущества, если принять N в (2-11)
равным коэффициенту трансформации. Обычно это дела-
ется во всех системах относительных единиц. Эти преи-
26
мущества показаны в дальнейших параграфах. Они име-
ют место благодаря тому, что относительные единицы
органически включают в себя понятие приведенных ве-
личин, устраняя, таким образом, необходимость приве-
дения обмоток, если задача решается в относительных
единицах. (Делались, однако, предложения по использо-
ванию относительных единиц, не обладающих таким
свойством [Л. 37].)
Здесь уместно заметить, что не всегда можно одно-
значно определить отношение чисел витков магнитно-
связанных обмоток. По этой причине в теории относи-
тельных единиц возникает много неопределенностей.
Особенности выбора N для трансформаторов рассмат- .
рпваются в § 2-3, для вращающихся машин — в § 3-2
о • т
н 3-3.
В случае двух обмоток со взаимной индуктивностью
базисные напряжение и ток для одной из них выбира-
ются независимо, а для другой только одна величина
может быть выбрана произвольно: базисное напряже-
ние, или ток, или отношение чисел витков ('коэффициент
трансформации). Две другие величины определяются
как зависимые — это базисные мощность и сопротивле-
ние. Именно по этой причине говорят, что выбор базис-
ного значения вторичного тока эквивалентен выбору ко-
эффициента трансформации [Л. 2]. Болес того, если ко-
эффициент трансформации простейшего трансформатора
считать равным отношению чисел витков реальных обмо-
ток, то это значит с учетом уравнения (2-11) 7Л1о=^о,
что единичные токи обеих обмоток создают одинако-
вые и. с.
Это наглядно иллюстрирует простой принцип, кото-
рый неоднократно используется в данной монографии
иногда в более широком и гораздо менее очевидном ви-
де (см. § 3-1,6). Его можно назвать принципом равного
действия. Он оказывается весьма полезным при физиче-
ской интерпретации системы относительных единиц.
В*рассматриваемом случае можно говорить об одинако-
вом действии первичной и вторичной обмоток трансфор-
матора, единичные токи которых создают одинаковую
н. с., измеряемую в относительных единицах.
Подстановка выражения (2-11) в уравнения (2-5) и
(2-6) дает:
(£) -Г» £) Ш +< ((4) «
27
Очевидно, что базисные полные сопротивления явля-
ются зависимыми величинами и определяются следую-
щим образом:
С помощью уравнении (2-11)—(2-14) можно обоб-
щить некоторые свойства величии, выраженных в отно-
сительных единицах:
Приведенные здесь переменные и параметры имеют
одно важное свойство. Результат в относительных еди-
ницах получается одинаковым, если любую из этих ве-
личин сначала привести с помощью коэффициента транс-
формации N к соответствующей размерной величине
в первичной обмотке, а затем нормализовать ее путем
деления па базисное значение для первичной обмотки
или привести се ко вторичной обмотке, а затем разде-
лить на соответствующую базисную величину для вто-
ричной обмотки.
Понятие приведенного индуктивного сопротивления
взаимной индукции, видимо, менее привычно, чем дру-
гие приведенные параметры. (Имеется в виду NXi2—
величина, приведенная к первичной обмотке, или
.Yi2/Af — величина, приведенная к вторичной обмотке.)
Можно избежать необходимости такого приведения, если
произвести простую нормализацию Х12 посредством ба-
зисного тока одной обмотки и базисного напряжения
другой:
(2-16)
28
Некоторые авторы [Л. 16] пользуются уравнением
(2-16), чтобы ввести отдельное понятие базисного сопро-
тивления взаимной индукции, равного ДщЛ’го или Иго/бо-
Другой возможной его величиной будет |
Этот подход может быть полезным, однако он без необ-
ходимости обосабливает индуктивное сопротивление вза-
имной индукции, тогда как в выражениях (2-15) оно
нормализуется таким же образом, как и другие ве-
личины.
Введем обозначения для всех величин в относитель-
ных единицах. Тогда уравнения (2-12) и (2-13) будут
иметь вид:
(2-17)
<2-18)
Эти уравнения можно представить в виде схемы за-
мещения в относительных единицах (рис. 2-2). Нет
смысла говорить о при-
ведении величии в этой
схеме к первичной или
вторичной обмотке, так
как выше было показано,
что безразмерные величи-
ны не зависят от такого
приведения. Обычное раз-
мерное значение пере-
менной или параметра,
приведенное к первичной
Рис. 2-2. Схема замещения одно-
фазного трансформатора в отно-
сительных единицах.
или вторичной обмотке, получается умножением относи-
тельной величины на ее базис соответственно в первич-
ной пли вторичной обмотке.
Запишем в относительных единицах уравнения для
мощностей (2-8) и (2-9):
/>= Re £/,/*; (2-19)
P2=ReZ/2/2. (2-20)
В этом параграфе не только определена система
относительных единиц, удобная для анализа простейше-
го трансформатора, но и изложены некоторые фундамен-
тальные идеи, которые проще всего иллюстрируются
этим примером. Чтобы закончить рассмотрение, отметим,
что для исследования установившихся режимов работы
29
трансформатора с автономной нагрузкой1 при синусои-
дальных переменных за базисные Пю и г’ю обычно прини-
маются их номинальные действующие значения. Тогда
ро как зависимая величина будет номинальной полной
мощностью. За //20, вероятно, следует взять номинальное
вторичное напряжение, a /го определяется как зависимая
величина (см. § 2-3).
2-2. ОБОБЩЕНИЕ НА МНОГОКОНТУРНЫЕ ЦЕПИ
В данном параграфе для того, чтобы перейти к опи-
санию вращающихся машин, обобщаются положения
предыдущего параграфа на несколько цепей со взаим-
ной индуктивностью с учетом их относительного дви-
жения.
PaccMuipiiM м.нричнои уравнение для обычных раз-
мерных мгновенных значений переменных п взаимосвя-
занных обмоток
IH = l|Z||||i||. (2-21)
Матрица ||Z|| имеет общий вид:
HZH = ||ЯИ + \\рЦ\. | (2-22)
Ола содержит член, учитывающий движение,
||Z|l = ||/?i|4-||GpO|H-||Tp||. (2-23)
Последнее выражение представляет особый интерес
в системе пссвдоиеподвпжных координат.
Уравнение (2-21) нормализуется без изменения его
вида простым делением всех напряжений и токов на
базисные величины одной цепи, скажем, iii0 и г'ю. Все
элементы матрицы полных сопротивлений нормализуют-
ся путем деления на зависимое базисное значение z/io/t*io-
В результате получим:
Это уравнение можно записать в виде
Здесь штрих показывает, что используется одна груп-
па базисных величии. Различные базисные токи для
1 В отличие от большой системы, одним из элементов которой
может быть трансформатор, где выбор поминальных и базисных
величин должен осуществляться с учетом всей системы.
30
каждой обмотки теперь можно ввести посредством пре-
образования:
|| Zz|| = || С || || г ||. (2-26)
Для нашего случая
n2
Nn
(2-27)
Эту матрицу называют матрицей преобразования
[Л. 17]. Она вводит новые базисные токи для всех обмо-
ток. кроме первичной,
i jo — N ji\o. (2-28)
Известно [Л. 6], что из формулы преобразования тока
(2-26) автоматически следует закон преобразования на-
пряжений, если в результате преобразования остается
инвариантной мгновенная величина полной электриче-
ской потребляемой мощности:
||tt|| = ||CJ|||«'||. (2-29)
Выражения (2-26) и (2-29) являются формулами пре-
образования координат при неизменной мощности. Урав-
нения в новой системе координат имеют следующие
свойства:
а) Все взаимные индуктивности в матрице сопротив-
лений симметричны и отвечают принципу взаимности.
б) В процессе преобразования не изменяется не толь-
ко потребляемая мощность, но и другие компоненты
мощности и их соотношение. В новой системе координат
остаются прежними механическая мощность, суммарные
электрические потери и скорость изменения запасенной
магнитной энергии. Следовательно, пе изменяются к. п.д.
и вращающий момент, так как частота вращения вала
остается прежней.
в) Формулы для расчета всех приведенных выше ве-
личин в обеих системах координат имеют одинаковый вид.
Короче говоря, система обладает всеми важными фи-
зическими свойствами, которые должна иметь практи-
чески приемлемая система относительных единиц. По-
скольку уравнение (2-29) следует из уравнения (2-26),
а матрица ||С|| имеет вид (2-27) и ||CJ =||С||, то урав-
31
пение (2-29) позволяет получить повое базисное напря-
жение
Отсюда можно сделать простое заключение, обобща-
ющее вывод предыдущего раздела, а именно: для всех це-
пей (обмоток), описанных в относительных единицах, про-
изведения базисных напряжений и токов должны быть
одинаковыми. Таким образом, из уравнений (2-28) и
(2-30) будем иметь:
UjQi.jo= HioGo- (2-31)
Известно также, что приведенным формулам преоб-
разования токов и напряжений (2-26) и (2-29) соответ-
ствует следующий закон преобразования матрицы со-
противлений
|| Z || = || Ct || || Z' || С ||. (2-32)
Для рассматриваемого примера это дает:
Преобразования (2-26) и (2-29) можно интерпрети-
ровать как приведение переменных и параметров /-й об-
мотки к первичной через коэффициент трансформации
этих обмоток Nj. В более общем случае по сравнению
с рассмотренным в § 2-1 любая безразмерная величина
для /-й обмотки может быть определена либо путем
деления размерной на базисное значение для этой обмот-
ки, либо через приведение ее к любой другой (/г-й)
обмотке с последующей нормализацией по отношению
к соответствующему базису для /е-й обмотки. Таким
образом,
Нетрудно видеть, ^что уравнения (2-34) представляют
собой более общий вид уравнений (2-1). Они получаются
после определения элементов || Z\\ согласно уравнению
(2-ЗЗч> и применения выражений (2-28) и (2-30) вместе
с уравнениями для зависимых базисных значений сопро-
тивлений к /-й обмотке
Z jo — Ujol G'o-
(2-35)
Ясно, что нс в любой системе относительных единиц
можно -принимать за базисные поминальные значения
напряжений и токов, так как, вообще говоря, не для всех
обмоток их произведения одинаковы, как того требует
условно (2-31).
Было бы полезно рассмотреть это обстоятельство под-
робнее, прежде чем вводить незначительные, но важные
отклонения от общего требования. Мы уже показали,
что все обмотки (цепи) изучаемого объекта в одной си-
стеме координат должны иметь одинаковые произведе-
ния базисных доков и напряжений. Этому требованию
должна отвечать любая обмотка реального устройства,
описываемого следующим уравнением в относительных
единицах:
|| а || = || Z|
(2-36)
После преобразования координат устройство описы-
вается уравнением:
IIи'
(2-37)
Из вышеизложенного не следует, что цепи, описывае-
мые матрицей ||Z"|| должны иметь те же самые базис-
ные величины, что и цепи в II Z||. Одинаковыми должны
быть произведения базисных напряжений и токов всех
обмоток, опнсыавемых одной матрицей, но эти произве-
дения могут различаться у обмоток, которым соответст-
вуют разные матрицы сопротивлений. Эта гибкость
в некоторых случаях даст значительное преимущество
систем относительных единиц при проведении преобра-
зования координат. Хорошим примером являются отно-
сительные единицы, рекомендуемые для анализа трех-
ф'азных устройств в двух осях координат. Приведенные
здесь соображения позволяют теоретически обосновать
требование инвариантности мощности применительно
3—23 33
к этой давно используемой системе относительных еди-
ниц. На первый взгляд оно кажется нереальным.
Наиболее желательно, чтобы каждый этап преобразо-
ваний при переходе к конкретной ситеме относительных
единиц выполнялся отдельно от других, чтобы избежать
возможных ошибок. Мы так и будем делать в дальней-
шем.
Рекомендуются следующие четыре основных этапа:
а) совместная запись всех обычных (размерных)
уравнений теории цепей, описывающих рассматриваемое
устройство;
б) применение любого преобразования координат, ко-
торое упрощает аналитические выражения (приведение
обмоток через отношение чисел витков сюда не вклю-
чается) ;
в) нормализация всех величин по одной оси коорди-
нат по отношению к единой группе базисных значений;
г) введение надлежащих величин коэффициентов
трансформации в соответствии с принципами, изложен-
ными в § 2-3, 3-1,6 н 3-2.
Этот параграф желательно закончить кратким общим
комментарием по поводу физической интерпретации ре-
зультатов преобразований, проводимых при инвариант-
ной мощности. Мы уже показали, каким образом сохра-
няются важные физические свойства электромеханиче-
ских систем и устройств. Поскольку преобразованная
система во многих отношениях физически подобна
исходной, естественно желание представить ее в виде
некоторой повой комбинации взаимосвязанных цепей,
т. с. необходимо создать простую физическую модель
преобразованной системы. Но, несмотря на широкое рас-
пространение различных математических преобразова-
ний, смысл которых вполне понятен, далеко не всегда
удается представить физическую модель преобразован-
ной системы. Вообще говоря, сначала необходимо вы-
полнить преобразование, а затем исследовать результи-
рующие уравнения, чтобы установить возможную их фи-
зическую интерпретацию.
Этот вопрос затрагивается в нескольких параграфах
гл. 3, так как оценка любой системы относительных еди-
ниц неизбежно связана с обсуждением физической при-
роды анализируемого устройства. Там, где анализ вклю-
чаёт преобразование координат, конечно, необходимо по-
нимать физический смысл этого преобразования.
34
2-3. КОЭФФИЦИЕНТ ТРАНСФОРМАЦИИ И ИНДУКТИВНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
В предыдущих разделах коэффициент трансформации
считался произвольным. '1еперь необходимо рассмотреть,
чем следует руководствоваться, выбирая его для практи-
ческих систем относительных единиц. Некоторые авторы
обсуждают возможные варианты выбора коэффициента
трансформации [Л. 1'1, 13, 16], но они принимают во вни-
мание только конфигурацию схемы замещения, получае-
мой в результате использования той или иной системы
относительных единиц. Ниже следует более полное изло-
жение этого вопроса, которое содержит вводную -инфор-
мацию для § 3-2.
В случае трансформатора естественно выбрать в ка-
честве коэффициента трансформации отношение действи-
тельных чисел витков обмоток. Общепринято считать,
что при этом два последовательных индуктивных сопро-
тивления (рис. 2-2) будут сопротивлениями рассеяния
в относительных единицах. Одно свойство системы отно-
сительных единиц очевидно из рис. 2-2: полное индуктив-
ное сопротивление самоиндукции любой обмотки равно
сумме сопротивления взаимной индукции и соответству-
ющего последовательно включенного индуктивного со-
противления. Таким образом, для первичной и вторичной
обмоток соответственно можно записать:
(2-38)
Здесь N-—действительный коэффициент трансформации.
Однако па практике для анализа силового трансформа-
тора в относительных единицах наиболее часто прини-
мают i/V равным отношению номинальных напряжений.
Цренмущество этой величины в том, что единичные на-
пряжения точно равны номинальным в первичной и вто-
ричной обмотках. Иногда выбирают другие значения N,
как отмечено ниже в этом параграфе, но -ни одно из них
нельзя считать абсолютно правильным. Для многих
силовых трансформаторов разница между этими коэф-
фициентами трансформации невелика вследствие мало-
го рассеяния, т. е. очень близки суммы индуктивных со-
противлений взаимной индукции и рассеяния соответст-
3* • 35
вующих обмоток. (Болес сложным примером является
трансформатор с переключением числа витков обмоток
[Л. 37].)
Электрические машины имеют более сложное распре-
деление обмоток, индуктивно связанных между собой.
Две естественные трудности возникают при их анализе.
Во-первых, пе всегда удастся определить отношение но-
минальных напряжений, так как часто они не существу-
ют (например, у короткозамкнутых демпферных обмоток
синхронных машин). Во-вторых, существенно то, что
в машинах нельзя дать общее определение отношения
чисел витков обмоток, из которого однозначно следовало
бы имеющее физический смысл понятие индуктивных со-
противлений рассеяния, хотя практически часто удастся
найти отношение чисел витков, обладающее этим свой-
ством. Поскольку отношение чисел витков и индуктив-
ное сопротивление рассеяния обычно фигурируют в рас-
четах при проектировании, необходимо тщательно про-
анализировать принимаемые при этом допущения, начи-
ная с простого примера с трансформатором.
Именно для расчетов электрических машин наиболее
важны результаты такого анализа (см., например,
§ 3-2,а и 3-2,6).
Общий подход к расчету состоит в определении
отношения витков двух обмоток па базе анализа полей
взаимной индукции и рассеяния, сцепленных с обмот-
ками.
Суммарное потокосцепление первичной обмотки
со всеми потоками взаимной индукции
Суммарное потокосцепление вторичной
обмотки со всеми потоками взаимной индукции
(2-39)
Индуктивность рассеяния каждой обмотки рассчи-
тывается как
Суммарное потокосцепление обмотки
с потоками рассеяния
Ток в обмотке
(2-40)
Обычно принято находить индуктивные сопротивле-
ния рассеяния, соответствующие этим индуктивностям,
которые приводятся к одной обмотке. Они входят в схе-
му замещения для обычных размерных величии, имею-
щую такой же вид, как схема рис. 2-2. Приведение осу-
ществляется с помощью отношения чисел витков (2-39).
36
Изложенная процедура является настолько общей,
что легко предположить, б)дто любая задача расчета
индуктивно-связанных обмоток может быть решена та-
ким образом. Поэтому существенно отметить, что этот
подход нельзя считать универсально приемлемым; он
оправдан только в тех случаях, когда полям, сцепленным
с обмотками, присущи отмеченные выше особенности.
В более общих случаях появляются две трудности.
Первая связана с тем, что отношение витков (2-39) не
является однозначной константой, а зависит от нагрузки
индуктивно-связанных обмоток, т. с. от относительных
величин протекающих в них токов. Из этого следует, что,
вообще говоря, пе имеет смысла величина 7V, определяе-
мая в диапазоне различных нагрузок из уравнения
(2-39) ио конкретной картине ноля.
Вторая трудность возникает оттого, что в общем слу-
чае нет прямой связи между величинами индуктивных
сопротивлений, последовательно включенных в ветви схе-
мы замещения, и индуктивностями рассеяния, рассчи-
тываемыми по уравнению (2-40). Нетрудно, например,
представить себе простую задачу с электромагнитной
цепью, где нот потока рассеяния. Но, выбирая любые
отношения чисел витков, нельзя будет сделать одновре-
менно равными пулю оба последовательные индуктив-
ные сопротивления в схеме замещения. Таким образом,
фактически исчезает ценность понятия индуктивности
рассеяния отдельной обмотки — это понятие связано со
схемой замещения. Задача, следовательно, не сводится
к простому отысканию подходящего отношения чисел
витков, с помощью которого схема замещения приводит-
ся к одной обмотке. Эта задача достаточно сложна, если
учесть непостоянство N при изменении нагрузки.
Оба эти затруднения исчезают, если па характер маг-
нитных полей наложить одно ограничение,— считать, что
каждая трубка магнитного поля взаимной индукции иде-
ально сцепляется с обеими обмотками, создавая таким
образом неизменную картину поля взаимной индукции.
Другими словами, предполагается, что существуют нич-
тожно малые трубки потока взаимной индукции, которые
лишь частично сцеплены с обмотками (рис. 2-3), и что
картина распределения этого потока пе изменяется в за-
висимости от нагрузки. Такую картину поля можно наз-
вать идеальной, а отношение чисел витков (2-39)—иде-
альным коэффициентом трансформации Ni.
37
Эти понятия иллюстрируются в приложении 6-2 па
примере конкретной конфигурации магнитной цепи и
обмоток с взаимными индуктивностями. Показано, что
в реальных условиях обмотки нс имеют идеальной маг-
нитной связи. Она 'возникает при вышеупомянутом до-
пущении.
Во многих практических случаях поле с хорошей сте-
пенью точности может рассматриваться как идеальное.
Некоторые важные подтверждающие примеры приведе-
Рис. 2-3. Картина поля, соответствующая идеальному коэффициенту
трансформации. Показаны те же направления токов и потоков, что и
па рис. 2-1.
пы в гл. 3. Однако понятие идеального коэффициента
трансформации всегда связано с некоторой степенью
приближенности, хотя часто отклонение очень невелико.
Это происходит, в частности, из-за конструктивной сим-
метрии большинства реальных устройств и потому, что
их сердечники изготовляются из стали с высокой магнит-
ной проницаемостью, которая концентрирует поле и упро-
щает картину его распределения в пространстве. В-та-
ких случаях расчетчик имеет основания определять
индуктивные сопротивления рассеяния отдельных обмо-
ток с помощью коэффициента трансформации, найден-
ною по уравнению (2-39). Необходимо помнить, что
в этих расчетах используется конкретная величина Ni
и последующие преобразования цепи не должны изме-
нять ее.
38
В «практике проектирования принято сначала рассчи-
тывать индуктивное сопротивление рассеяния обмотки,
а затем приводить его к другой обмотке (имеющей с пер-
вой магнитную связь) путем умножения на квадрат
отношения чисел витков М В относительных единицах
поэтому можно записать:
где штрих означает, что сопротивления рассеяния рас-
считаны через величины потоков рассеяния. Отмстим,
что уравнения (2-41) эквивалентны более общим выра-
жениям (2-38), если картина /поля считается идеальной
и отдельные индуктивные сопротивления рассеяния рас-
считываются при этом допущении. Тогда для приведения
в формулах (2-41) используется отношение чисел витков
V, равное идеальному коэффициенту трансформации АЗ.
Если, скажем, для удобства анализа цепи выбрано дру-
гое N, то уравнения (2-41) будут неправильными и сле-
дует 1Применять выражения (2-38). Это положение мож-
но обосновать следующим образом. Пусть Ац в уравне-
ниях (2-38) представляет собой сумму индуктивного со-
противления рассеяния Х'п и сопротивления АЗ, соответ-
ствующего потоку, идеально сцепленному с обеими
обмотками. Х22 представим таким же образом. Тогда
коэффициент магнитной связи обмоток с потоками, опре-
деляющими At и Х2, равен единице и
Отсюда следует, что Xi = N{Xl2 и X2=Xi2/i\ i. Если эти
величины подставить в уравнения (2-38), получим выра-
жения (2-41).
Можно отметить два практических случая, в которых
потокосцепления можно считать идеальными. Во-первых,
в некоторых случаях с достаточной степенью точности
реальную картину поля можно считать идеальной, на-
пример в синхронных машинах с демпферными обмот-
ками (см. § 3-2,6 и 3-2,в). Во-вторых, непдеальная кар-
тина поля может быть принята за таковую, если речь
идет об основном потоке, определяющем работу устрой-
ства. В этом случае реальные обмотки могут быть заме-
нены эквивалентными с идеальной магнитной связью.
Эквивалентными обмотками следует считать такие, у ко-
торых такое же, как и у реальных, потокосцепление вза-
имной индукции с основным наиболее важным потоком.
В качестве примера можно привести рассмотренную
в § 3-2,а замену распределенных трехфазпых обмоток
эквивалентными сосредоточенными.
Можно предположить, что для устройств, в которых
картина поля отличается от идеальной, существует неко-
торое, имеющее более общий физический смысл опреде-
ление отношения чисел витков. В действительности это
не так. Например, Левис дает такое же определение
предпочтительного отношения чисел витков, каки (2-39),
для частного случая питания со стороны первичной
обмотки [Л. 16]. Когда пространственное распределение
индукции магнитного поля можно считать идеальным,
это определение даст идеальный коэффициент трансфор-
мации. Однако, как показано в приложении 6, считать
его универсальным нельзя, так как при питании со сто-
роны вторичной обмотки согласно этому определению
получим другую величину коэффициента трансформации.
Конечно же никаких физических причин для такого раз-
личия нет.
Индуктивное сопротивление рассеяния иногда опреде-
ляют через запасенную энергию магнитного поля.
В [Л. 19] дается привлекающий своей простотой способ
определения индуктивного сопротивления рассеяния че-
рез векторные величины, характеризующие поле. Но по-
лученные при этом формулы содержат коэффициент
трансформации, равный отношению вторичного тока
к первичному при замкнутой накоротко вторичной обмот-
ке '. Это определение не позволяет получить идеальный
1 Сущность метода, используемого в [Л. 19, разд. 7], состоит
в следующем. Определяется полная запасенная энергия магнитного
поля при подаче напряжения питания на одну (скажем, первичную)
обмотку, когда все остальные обмотки замкнуты накоротко. Выра-
жение мгновенного значения этой энергии имеет вид:
п
4- У ф ‘Л аГ1- (А)
1
где 6 — ток в /-й обмотке; At— результирующий векторный потен-
циал поля, созданного всеми потоками. Контурный интеграл берется
40
Коэффициент трансформации для идеальной картины
поля, если не пренебречь намагничивающим током.
Можно было бы предложить и другие определения, ни
одно из которых не может претендовать на универсаль-
ность, но оказываются удобными для решения конкрет-
ных типов задач с позиций теории цепей.
Выразим через базисное сопротивление первичной
обмотки индуктивные сопротивления (2-38), включенные
последовательно в ветви схемы замещения (рис. 2-2).
Здесь попользуется индекс /, хотя видно, что эти со-
противления не равны расчетным величинам индуктив-
ных сопротивлений рассеяния, если ис принято условие
Можно выбрать четыре практически удобных
значения /V. Во-первых, если принять N=]/Лц/Х'22
го индуктивные сопротивления рассеяния обмоток
в относительных единицах будут равны. Вторым
вокруг /-i'i обмотки. Уравнение (А) или, точнее говоря, эквивалентное
ему используется для отыскания индуктивностей рассеяния первич-
ной и любой /-й обмотки. Индуктивность рассеяния для первичной
обмотки двухобмоточного трансформатора можно найти из урав-
нения
равно сумме векторных потенциалов А{ и Л2 от пер-
По интеграл ф А\ dl\ равен потоко-
Здес!
внчпой и вторичной обмоток.
сцеплению самоиндукции первичной обмотки, которое можно запи-
сать как Lull, а интеграл ф А» dl{— потокосцеплению первичной
обмотки с потоком взаимной индукции, созданным вторичной обмот-
кой. Последняя величина всегда отрицательная и может быть за-
писана как —А|2Й2-
Подстановка их в уравнение (Б) дает-
(В)
Отсюда
Сравнивая уравнение (В) с выражениями (2-38), обнаружи-
ваем, что в рассматриваемом случае отношение чисел витков прини-
мает значение
?V = 1'2/и.
Необходимо подчеркнуть, что приведенный анализ приводит
к удовлетворительному результату только в том случае, если пре-
небречь намагничивающим током. Это ограничение подробно обосно-
вывается в последующих разделах работы [Л. 19]. Отметим еще, что
простая форма уравнения (Б) более общего смысла не имеет.
41
вариантом может быть N—XwIXqs. пли N = Ati/A'i2.
В этих случаях индуктивные сопротивления, вхо-
дящие в цепь соответственно первичной или вторич-
ной обмотки, становятся равными нулю, упрощая, таким
образом, схему замещения. Третье значение N выбирал
Роуз [Л. 11] как отношение Ui/U2. Напряжения опреде-
ляются экспериментально из опыта холостого хода при
условии пренебрежения влиянием активных сопротивле-
ний обмоток. Эго условие строго соблюдается лишь для
режима питания со стороны вторичной обмотки. Когда
напряжение подается на первичную обмотку, отношение
напряжений при холостом ходе IJJIJ2 равно Агн/Аг12, что
соответствует упомянутому выше второму варианту. Оба
режима питания дают одинаковый результат только
тогда, когда коэффициент связи равен единице, г. с.
когда
\ ч \7 Y
А “12-* V ц А 22-
В обоих случаях получаются положительные значе-
ния индуктивных сопротивлений, включаемых последо-
вательно в ветви схемы замещения. Подробно об этом
будет сказано ниже. Наконец, четвертое возможное зна-
чение /V может быть взято равным единице. Оно широко
используется при рассмотрении электронных схем, одна-
ко для целей нашего анализа является слишком произ-
вольным.
11рипцппнальио можно выбрать бесконечное множест-
во значений А, которому будет соответствовать беско-
нечное количество схем замещения, имеющих вид рис. 2-2.
Ловис показал [Л. 16], что все индуктивные сопротивле-
ния в схеме замещения положительны, если значения N
лежат в диапазоне
(2-43 )
Вне этого диапазона будет отрицательным одно из
двух индуктивных сопротивлений, последовательно вклю-
ченных в ветви схемы замещения. Такие сопротивления
ио имеют физического смысла и не могут быть определе-
ны экспериментально, ам, где можно применять иде-
альный коэффициент трансформации между двумя
обмотками, очевидно, оба последовательных индуктив-
ных сопротивления схемы замещения получатся в ре-
зультате расчета положительными, так как они соответ-
42
ствуют физически различным положительным потоко-
сцепленням рассеяния.
Ниже показано, что у обмоток с сильной магнитной
связью сумма двух индуктивных сопротивлений, после-
довательно включенных в ветвь схемы замещения, отно-
сительно мало изменяется при изменении /V в диапазоне
значений, где эта сумма остается положительной. Вслед-
ствие этого результирующее индуктивное сопротивление
рассеяния в относительных единицах принимает практи-
чески неизменные значения, даже если коэффициент
трансформации не считается идеальным. Таким образом,
практический интерес представляют те значения /V, кото-
рые в результате расчетов дают положительные значе-
ния последовательно включенных индуктивных сопротив-
лений как первичной, так и вторичной обмотки. Резуль-
тирующее индуктивное сопротивление рассеяния в отно-
сительных единицах из уравнений (2-38) можно выра-
зить в виде
Хг - 4^1 < 1 - - 2/V Ф +/V2Y (2-44)
1 о \ у * 1 1 - * 1 1 /
Неравенство (2-43) дает пределы изменения Af, для
которых сохраняются положительными последователь-
ные индуктивные сопротивления в схеме замещения.
Подставляя крайние значения /V в уравнение (2-44),
находим пределы изменения результирующего сопротив-
ления рассеяния. Значения Хь соответствующие край-
ним значениям N, будут:
Введем коэффициент связи k = Хп/УХиХгг.
Тогда предыдущие выражения примут вид:
В табл. 2-1 дается сравнение величин (1 — k2) и
для различных значений k обмоток с сильной
магнитной связью. Варьируя k, т. е. силу этой связи, по-
лучаем диапазон изменения положительных индуктив-
ных сопротивлении рассеяния. Если поток взаимной
индукции составляет 99% общего, то этот диапазон ра-
43
Таблица
/г
Сравнение величин (1—/г2) и
для четырех значений
k 1 — k2 Изменение, %*
0,99 0,0199 0,0203 2,0
0,98 0,0390 0,0413 14,2
0,95 0,0975 0,108 10,5
0,9 0,19 0,2346 22,3
* Здесь изменение опреде1яется как разность максимального и минимального
значений индуктивных сопротивлений рассеяния, де полная на результирующее сопро-
тивление рассеяния для случая, когда два индуктивных сопротивления, последова-
тельно включенных в схему замещения, равны. Легкс показать, что последняя вели-
чина равна:
вен 2%. При магнитной связи в 90% диапазон измене-
ния сопротивлений рассеяния возрастает до 22,3%.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН С ПОЗИЦИИ
ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
В § 3-1 уделяется внимание некоторым общим вопро-
сам о сущности преобразований из одной системы коор-
динат в другую в относительных единицах. Даются ре-
комендации по проведению таких преобразований. Это
позволяет естественно перейти к § 3-2, в котором рас-
сматриваются различные способы определения базисных
значений вторичного тока в синхронной машине. Нако-
нец, в § 3-3 показаны пути использования этих положе-
ний для анализа машин некоторых других типов.
3-1. ПРИНЦИПЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
а) Преобразование трехфазной системы
в двухфазную
В литературе наиболее часто встречается одпа фор-
ма уравнений преобразования, связывающих безразмер-
ные переменные в двух осях координат с трехфазными
44
переменными в относительных
Эти уравнения одинаковы для
и токов
единицах [Л. 8, 10, 11].
мгновенных
напряжений
и имеют вид:
ud
Uq.
cos О
cos (8 — 120°)
— sin (8—120°
cos (0 — 240°)
—sin (8 — 210°
Ua
Ub
cos 8
— sin 8
cos (8 —
— sin (8 —
120°)
120°
cos (8 — 240°)
— sin (8—210°
1ц
I
с
а
с
Уравнения, обратные (3-1) и (3-2):
Ua
uh
Uc
cos 9
— sin (6 — 120°
cos (8 — 240°
cos 8
cos (6 —
cos (8 —
240°
— sin 8
n (8 — 120°
n /0 — 240°
(3-4)
уравнении
Различные знаки отдельных членов
зависят только от того, выбрана ли ось
ось d пли отстающей от нее.
На данном этапе анализа постоянный коэффициент
в уравнениях (3-1) и
при этом значении величина амплитуды фазного напря-
жения в симметричном синхронном режиме равна
ЭТИХ
q опережающей
(3-2) принят равным 2/з, так как
a
h
С
«d
пока целесообразно
?•
Аналогичное равенство существует для тока. Это до
некоторой степени абстрактное обоснование будет су-
щественно дополнено позднее
привести одну математическую деталь. В симметричном
режиме мы имеем:
иа= — и sin со/;
<х
иь = — « sin (Ы — 120°);
и
ис = — и sin — 240°);
(3-6)
45
где и амплитуда напряжения [см. (3-8)]; 0 — электриче-
ский угол между осью обмотки возбуждения и осью фа-
зы а статора; б — угол момента.
Так, рис. 3-1,6/ соответствует моменту времени /=0,
когда 6=0.
Подставив выражения (3-5) и С ,
(3-1), нетрудно получить следующий результат:
(3-6) в уравнение
ud=^ — и sin о;
ид = и cos о;
Здесь
Это означает, что <
амплитуда фазного напряжения
в относительных единицах равна максимальной безраз-
мерной величине tid или и
которая имеет место при
оимоток.
обмотку статора.
а— расположение обмоток
тельном движении статора
за .меняющие i рехфазиу
сматривастся отдельно.
|)аз а, о и с и обмотки возбуждения при относн-
и ротора; б — псевдонеподвижные обмотки d и Q.
11улевая последовательное!ь рас-
изменении 6. Из уравнения (3-3) для напряжения фазы
а можно получить:
wa = wdcos(w/—6)—sin (со/—6). (3-9)
Через векторы на комплексной временной плоскости
это выражение будет:
(3-10)
46
где
ud
= «а;
= Uq.
(3-11;
Аналогичные соотношения существуют для токов:
Заметим, что были предложены другие виды преобра-
зовании, отличающиеся от представленных уравнениями
(3-1) — (3-13). Сравнение их достоинств дано ниже. Сей-
час же рассмотрим некоторые встречающиеся в лите-
ратуре разновидности преобразовании (3-1)—(3-13),
способы вывода и обоснования этих уравнений.
Наиболее распространенным является метод получе-
ния безразмерных величин в двух осях координат, ко-
торым пользуется Конкордиа в [Л. 10]. Сначала он дает
формулы преобразования обычных размерных напряже-
ний и токов, имеющие ту же математическую форму, что
и уравнения (3-1) и (3-2). По причинам, которые будут
здесь рассмотрены, оказывается, что эти законы преоб-
разования приводят к нарушению принципа взаимности,
г. с. к неравенству сопротивлений взаимной индукции
между обмотками статора и ротора. Оказывается, равен-
ство восстанавливается, если все токи ротора умножить
на 2/з- Этот шаг не столь уж парадоксален, как может
показаться, так как величины все равно должны норма-
лизоваться. И хотя окончательные уравнения в относи-
тельных единицах имеют вполне рациональный вид, пре-
образование теряет физический смысл.
Совсем иной подход использует Адкинс [Л. 8]. Мож-
но показать, что его преобразование имеет гораздо
больший, хотя сразу и неочевидный, физический смысл.
Он преобразует величины, выраженные в относительных
единицах, при базисном токе в двух осях координат,
равном З/ао/2. Хотя в работе Конкордиа этот базисный
ток принимался равным iao, их окончательные уравнения
для безразмерных величин в двух осях координат совпа-
дают.
В своем теоретическом анализе Адкинс упоминает
двухфазную модель машины в двух осях координат,
47
у которой обмотки по осям d п </ имеют то же количе-
ство витков, что и обмотки фаз реальной машины. Пре-
образованию же, предложенному Конкордпа, нельзя
дать прямого физического истолкования. Как будет по-
казано ниже, это происходит от физической несовмести-
мости выбранных им преобразований размерных напря-
жений и токов. Единственное обоснование правомерно-
сти его преобразований ь том, что они приводят в ре-
зультате к топ же системе уравнений в относительных
единицах, которая более строгим путем получена ниже.
Метод, используемый здесь, представляет собой даль-
нейшее развитие работы Адкинса путем введения па
первом этапе преобразования обычных размерных вели-
чии при условии инвариантности мощности. Затем пока-
зывается, что переменные в осях координат d и q соот-
ветствуют конкретной физической модели. Последующая
нормализация, таким образом, совершенно отделена от
процесса преобразования, так что переход к системе
относительных единиц может рассматриваться при нали-
чии физической модели. Полезность модели иллюстриру-
ется, например, тем, как с се помощью объясняется
смысл полных сопротивлении машины в относительных
единицах.
Центральное место при рассмотрении системы отно-
сительных единиц занимают переменные в осях коорди-
нат d и q. Переменные пулевой последовательности (по
осп г) пе играют большой роли потому, что относитель-
ные единицы вводятся для анализа работы машины
главным образом в режиме номинальной нагрузки, т. е.
при нормальных симметричных условиях, для которых
переменные нулевой последовательности равны пулю.
Однако здесь приводятся некоторые комментарии по по-
воду переменных пулевой последовательности, хотя в це-
лом симметричные составляющие в относительных еди-
ницах кратко рассматриваются в § 3-1,г.
Запишем уравнение преобразования напряжения
(3-1) для обычных размерных величии:
cos О
— sin 0
cos (9 — 120°)
2
cos (0 — 240°)
— sin (0—210°)
Ua
Ub
(3-14)
2
В матричной форме его можно записать в виде
l|Wd,g,zll == ||С|| ||Wa,b,cll• (3-15)
48
Как показано в § 2-2, отсюда Автоматически следует
закон преобразования токов, поскольку мощность при
преобразовании должна сохраниться инвариантной,
или
cos О
cos (0 — 120°)
cos (0 — 210°)
•—sin 6
— sin (0—120°)
— sin (0 — 240°)
Уравнение, обратное (3-14), индентично
ражению (3-3)
иа
и-ъ
«с
cos О
cos (9 — 120°)
cos (0 — 240 )
— sin О
— sin (0 — 120°)
— sin (0 —240°)
Аналогично для токов:
id
'ч
iz
cos 0
— sin О
1
cos (0 — 120°)
sin (0 — 120°) —sin (0—240°)
(3-16)
по форме вы-
cos (0 — 240°)
Поскольку уравнение преобразования напряжений
(3-14) выбрано по типу уравнения (3-1), соответствую-
щее уравнение для токов (3-19) вследствие инвариант-
ности мощности неизбежно принимает вид, отличающий-
ся от (3-2). Во-первых, исчезает множитель 2/3 и, во-
вторых, элементы матрицы, соответствующие нулевой
последовательности, равны единице вместо 1/2. Послед-
него затруднения можно избежать, если выбрать для
этих элементов матрицы величины 1/ | 2 в исходных
уравнениях (3-1) и (3-2). Аргументы в пользу и против
этого выбора приведены в § 3-1,г. Однако уравнение
(3-2) очень распространено в литературе, и на первом
этапе можно просто заменить единицу в нижней строке
уравнения (3-19) на 1/2. Тогда преобразование iz будет
осуществляться без сохранения инвариантности мощно-
сти и результирующее уравнение будет:
cos (0 — 120°)
— sin (0—120°)
1
2
cos (9 — 240°)
— sin (0—240°)
I
2
1ь
(3-20)
1—23
40
Следует подчеркнуть, что этот волевой прием создал
бы физический и математический хаос в преобразова-
ниях более общего типа. Здесь ои допустим вследствие
особого вида задачи, в которой переменные нулевой по-
следовательности не связаны с переменными по осям d
и q. Это явление знакомо специалистам по электрическим
машинам [Л. 34]. Оно представляет собой одно из преи-
муществ анализа в двух осях координат. Преимущество
очевидно нз матрицы сопротивлений в уравнении в двух
осях координат (6-3), приведенном в приложении 6-1.
Все члены уравнения, соответствующие нулевой последо-
вательности, можно умножить на произвольный коэффи-
циент, как это сделано в уравнении (3-20), нс вызывая
каких-либо изменений в уравнении для переменных по
осям d и q. В данном параграфе и § 4-1 показано, что
в действительности можно ограничиться введением не-
скольких коэффициентов в уравнения для сопротивления
и мощности нулевой последовательности.
Рассматривая размерные переменные в осях коорди-
нат d и q уравнений (3-14) и (3-20), нетрудно устано-
вить соответствие напряжений и токов переменным двух-
фазной машины в двух осях координат. Каждая псевдо-
пеподвижная обмотка d и q этой модели имеет то же са-
мое эффективное число витков, что и обмотки фаз а, b
и с. Это можно пояснить с помощью рис. 3-1. Обмотки
а, b и с заменяются на обмотки d и q, а каких-либо
изменений обмоток ротора не происходит. Остаются
прежними обмотки возбуждения и демпферные и отно-
сящиеся к ним напряжения и токи. Рассмотрим конкрет-
ные условия работы машины, выбранные так, чтобы со-
ответствующие уравнения преобразования было легче
объяснить. Например, для сличая, когда обмотка воз-
буждения питается от источника переменного напряже-
ния, а ротор остается неподвижным в положении, пока-
занном на рис. 3-1, имеем 0=0, uq=uz=0. Тогда из
уравнения (3-18) иа = иа. Это означает, что обмотки а
и d имеют одинаковое количество витков. Если при этом
же положении ротора подать напряжение только на
обмотку фазы а, из уравнения (3-20) получим id = ia>
Для равенства н. с. якоря по оси d в обоих этих случаях
требуется, чтобы числа витков обмоток были равны1.
1 В этом конкретном примере ток й=0, но он не создает допол-
нительной н. с. по оси d, так как в двухфазной модели он магнитно
не связан с обмотками d и q.
50
Аналогичные рассуждения можно провести применитель-
но к обмотке q, когда ротор повернут па 90°. Итак, пере-
ход к двухфазной модели осуществляется посредством
правильных преобразований напряжений и токов, сов-
местно обеспечивающих инвариантность мощности.
Следующим этапом является нормализация уравне-
ний преобразования. Все члены уравнения (3-14) делят-
ся па базисную величину zzuo (амплитудное значение на-
пряжения фазы якоря), после чего сразу получаются
уравнения требуемой формы (3-1). При нормализации
уравнения (3-20) важно иметь в виду следующее. Если
токи in, ib и делятся на базисную величину /а0 (ампли-
туду фазного тока якоря), то базисной величиной для
токов id, г, и iz будет 3/по/2. В результате этого в правой
части уравнения (3-20) появляется множитель 2/3 и оно
приобретает форму уравнения (3-2).
Таким образом, все члены уравнения (3-14) норма-
лизуются путем деления на одно базисное напряжение,
а уравнение (3-20) — на комбинацию двух базисных то-
ков. Это допускает, определенную гибкость в выборе ве-
личины произведения базисного напряжения и тока,
отмеченную в § 2-2. Уравнение (3-20) связывает токи
в двух различных системах координат. При этом сумма
произведений базисных напряжений и токов для всех
обмоток в одной системе координат должна равняться
сумме таких произведений в другой. Следовательно, ана-
лиз в относительных единицах может проводиться, если
произведение базисных величин в координатах а, Ь, с
равно UaQiaQ, а в координатах d, q, z равно 3iWao/2.
Здесь необходимо вспомнить о существовании обмо-
ток ротора. Их переменные можно было включить
в уравнения (3-1) — (3-20), но это не принесло бы ника-
кой пользы, так как все токи и напряжения ротора оста-
ются неизменными в результате преобразований. Однако
при нормализации обмотки ротора должны иметь то же
самое произведение базисного напряжения на базисный
ток, что и другие обмотки машины в рассматриваемой
системе координат. Это в равной мере относится к ана-
лизу в двух осях координат.
Рассмотрим только обмотку возбуждения, отметив,
что подход к ее анализу типичен для анализа всех обмо-
ток ротора. В системе двух координатных осей можно
записать соотношение для обычных размерных величин
II Ud,g,z,j\\ — II ^d,
g,z,/ll lli'd.g.zjll
(3-21)
51
Разделив это уравнение на базисные величины иао
и 3ftIo/2, получим:
Здесь, как и прежде, штрих означает, что для всех
обмоток используется единый набор базисных величин.
Теперь можно ввести различные базисные значения для
каждого тока ротора. В § 2-2 показио, что это эквива-
лентно выбору различных отношений чисел витков.
(В § 3-2 представлены соображения о том, как их луч-
ше всего выбирать для системы относительных единиц.)
Если за базисный ток возбуждения вместо 3iao/2 взять
некоторую величину /уо, то отношение чисел витков
будет:
^=z/0/(3/2)io0. (3-23)
Прежде чем продолжить анализ, отметим, что в не-
которых случаях вышеизложенная методика преобразо-
вания приводит к недоразумениям. Вопрос о се прием-
лемости должен отдельно решаться в каждом конкрет-
ном случае. Так, если анализ проводится в относитель-
ных единицах и системе координат a, b, с, f, то для
обмоток фаз а, b и с произведение базисных величин
будет waoi’ao, а для обмотки f будет Зп0о^о/2. Вследствие
этого уравнения машины в данной системе координат
не будут обладать желаемыми свойствами, которые
обычно имеют уравнения, полученные в результате пре-
образований с инвариантной мощностью. Чтобы устра-
нить это явление, пришлось бы ввести для обмотки воз-
буждения новые безразмерные переменные, которым со-
ответствовало бы произведение базисных величин Uoaiao,
но тогда появилось бы недопустимое несоответствие этих
двух систем относительных единиц. К счастью, систему
координат п, Ь, с, [ не имеет смысла использовать на
практике, так как в ней индуктивности обмоток машины
зависят от угла О [Л. 10, 12].
В [Л. 16] показано детальное решение нескольких
задач в координатах a, b, с, f [Л. 21, 22], но мы считаем,
что этих частных примеров недостаточно, чтобы оправ-
дать ревизию системы относительных единиц. В системе
координат a, b, с, f принято давать оценку одному кон-
кретному типу индуктивных параметров в относительных
единицах — взаимной индуктивности между фазой а и
обмоткой возбуждения Lajd, когда их пространственные
оси совпадают. (Так же определяются величины взаим-
ных индуктивностей между фазой а и демпферными
обмотками). Этот параметр можно рассматривать, как
имеющий смешанное значение, т. е. связывающий две
системы координат, у которых не равны произведения
базисных величин токов и напряжений. Как следствие
этого Laf(I не обладает свойством взаимности и принци-
пиально может быть определена как
L^P^(j^(^LafdP} ИЛИ LafdP=(~^(LaJdP)-
Е действительности всегда применяется второе выра-
жение [Л. 3, 8, 10]. Для пего
Laidp = (^LafdP) = g) (La/dP). (3-24)
Конечно, было бы неправильным утверждать, что
координаты а, Ь, с совсем не используются на практике.
Обычно они оказываются полезными при анализе одной
фазы, когда обмотки ротора прямо не представлены,
а учитывается только их влияние на обмотку статора.
Примерами могут быть: определение э. д. с. холостого
хода, переходных и сверхпереходных индуктивных со-
противлений и др. В таких задачах, естественно, ника-
ких трудностей, не возникает.
Возвращаясь к уравнениям (3-21) — (3-23), покажем,
как из них можно вывести безразмерные величины ряда
полных сопротивлений с помощью физических свойств
двухфазной модели. При этом время будет нормализо-
вано путем деления на базисную величину 1/соо, где
coo — синхронная электрическая угловая скорость. Идея
о нормализации времени сразу же возникает при рас-
смотрении уравнения (3-24), ее достоинства будут рас-
смотрены в § 4-3.
Полное сопротивление обмотки возбуждения в отно-
сительных единицах должно быть выражено через отно-
шение чисел витков N/:
Z„ = R, + Lijp = №, g) Zlt. (3-25)
Размерная величина взаимной индуктивности обмо-
ток d и j равна Lafd, так как обмотки а и d в двухфаз-
53
пой модели имеют равное число витков. Поэтому
(3-26)
Полезность двухфазной модели в двух осях коорди-
нат очевидна, но пользоваться ею необходимо с осторож-
ностью. Например, хотя обмотки а и d имеют одинако-
вое число витков, их размерные активные сопротивления
различны. Приравняем для обоих случаев электрические
потери в обмотках в симметричном режиме, скажем,
для момента времени, когда амплитудное значение тока
1а=1 А, и ii) = ic=—0,5 А. Из уравнения (3-20) получим
j//2d-[~/2д = 1,5 А.Легко видеть, что
Отсюда
(3-27)
И в относительных единицах
*<=*=(й)(4>в(-£>=л- (з-28)
Кроме того, обычная размерная величина собствен-
ной индуктивности обмотки d отличается от индуктивно-
сти обмотки а во всех случаях, когда равна нулю индук-
тивность пулевой последовательности1 (см. приложе-
ние 6-1). Flo L,i,i можно выразить через синхронную
индуктивность фазы La, которая соответствует симмет-
ричному установившемуся режиму. Полагая, что в фаз-
ных обмотках (рис. 3-1,ц) протекают те же мгновенные
токи, которые принимались при выводе формулы
(3-27\ отметим, что обмотка создаст результирующую
и. с., действующую вертикально и превышающую
в 3/2 раза и. с., которую создает при таком же токе одна
1 Проблема создания физической модели машины в осях коорди-
нат d q, z, которая была бы полностью эквивалентна даже идеали-
зированной трехфазпой машине, более значительна, чем может пока-
заться из приведенного простого анализа. Здесь нет необходимости
продолжать заниматься ею. Имея дело с сопротивлениями Rd и
Ra, входящими в формулу (3-27), будем просто считать, что объем
проводникового материала обмоток d и </ равен объему, затрачен-
ному на обмотки а, b и с.
54
фаза а. Таким образом, амплитуда основной волны
индукции реакции якоря по продольной оси, соответст-
вующая Ld, в 3/2 раза больше амплитуды, созданной
максимальным током, который протекает только в обмот-
ке а или d, имеющих одинаковое число витков. Из это-
го очевидно, что
(3-29)
Отсюда
L>ddP
11оэтому
Ldd
(3-30)
Заметим, что формулы (3-25), (3-26), (3-28) и (3-30)
совпадают с теми, которые приводит, например, Ранкин
[Л. 2].
Здесь специально обращаем внимание на результаты
математических преобразований, выполняемых в соот-
ветствии с уравнениями (3-14) и (3-20) с последующим
приведением к системе относительных единиц (3-22)
(приложение 6-1). Некоторые из этих результатов ча-
стично повторяют те, чго приведены в данном разделе.
Некоторые авторы, особенно Ловис [Л. 16], использу-
ют преобразования обычных размерных напряжений и
токов, аналогичные (3-14), по с множителем | 2/3
вместо 2/3. Кроме того, элементы матрицы, соответству-
ющие нулевой последовательности, приняты равными
1 /1/2 (мы уже отмечали такую возможность). Тогда
формулы преобразования имеют вид:
cos 9 cos (9—120°)
—sin 9 —sin (9—120°)
cos 0 cos (6—120°)
—sin 9 —sin (9—120°)
cos(9—240°)
—sin (9—240°)
/“T
cos (9 — 240°)
—sin (0—240°)
Известно, что это преобразование проводится при ин-
вариантной мощности, а выбор коэффициента J/2/3
55
делает его ортогональным *. Сравнивая величины полу-
ченных таким образом напряжений и токов с темп, ко-
торые определялись уравнениями (3-14) и (3-20), легко
видеть, что обмотки d и q в двухфазной модели, соот-
ветствующей преобразованиям (3-31) и (3-32), имеют
в у 3/2 раз больше витков, чем обмотки л, b и с. Инте-
ресно отметить, как это делается и в других работах,
что ортогональное преобразование не имеет какого-либо
конкретного физического смысла. Конкордиа указывал
[Л. 20], что существует бесконечное число видов преобра-
зований напряжений и гсков, которые согласуются с тео-
рией тензоров и являются инвариантными по мощности.
Их физической интерпретацией может быть просто бес-
конечный диапазон возможных отношений чисел витков
обмоток d, q и а, с.
В работе [Л.16] уравнения преобразования в относи-
тельных единицах имеют такой же вид, как и уравнения
(3-31) и (3-32) для обычных размерных величии. В этом
состоит важное отличие такого подхода от принятого
в данной монографии. Наш метод можно рассматривать
как новую систему относительных единиц. Ее безуслов-
ным достоинством является простота. Например, пере-
менные в координатах d, q, z и а, b, с имеют одинако-
вое произведение базисного напряжения и тока. Однако
у пес имеется несколько особенностей, на которых и
остановимся.
Во-первых, во многих работах отдается предпочте-
ние уравнениям в относительных единицах вида (3-1) и
(3-2) и ряд аналитических выражений, базирующихся на
этой системе относительных единиц, сравнительно хоро-
шо известен [например, формулы (3-23) — (3-30)]. Наше
новое определение системы относительных единиц изме-
няет вид выражений >(3-23), (3-25) п (3-26), оставляя
неизменными формулы (3-28) и (3-30). Изменение числа
витков обмоток d и q является компенсацией изменения
произведения базисных напряжения и тока. Другие отли-
чия появляются в некоторых уравнениях для мощности,
предпочтительная форма которых рассматривается
в § 4-1.
Во-вторых, особенность нового определения относи-
тельных единиц состоит в выборе простейшего (т. е.
1 Ортогональным называется преобразование, осуществляемое
с помощью ортогональной матрицы преобразования | С |, у которой
транспонированная и обратная матрицы равны. {Прим, переводчика.)
56
ортогонального) алгебраического преобразования. Уже
было отмечено, что этому преобразованию соответствует
отношение чисел витков обмоток d, q и а, Ь, с, равное
|/ 3/2. В предпочитаемой другими авторами системе
относительных единиц исчезают численные коэффициен-
ты, появляющиеся из-за выбора конкретной величины
отношения чисел витков. Любое преобразование раз-
мерных напряжений и токов, если оно выполнено при
инвариантной мощности, предполагает ту же самую
форму безразмерных уравнений (3-1) и (3-2) после нор-
мализации. Выбор всякой новой величины отношения
чисел витков обмоток d, q и а, Ь. с будет требовать вы-
бора новых величин базисных напряжений и токов. Мы
увидим, что эти аргументы относятся к переменным по
осям d и 7; различие в анализе переменных пулевой
последовательности, проводимых в данном параграфе и
в (Л. 16], играет меньшую роль. Особенностью системы
относительных единиц, предпочитаемой другими автора-
ми, является такое соотношение переменных в коорди-
натах d, q и я, 6, с (3-8), (3-10) — (3-13), которое не со-
держит численных коэффициентов. Вследствие этого
в симметричном режиме ток по продольной оси, равный,
например, 0,5, можно понимать либо как продольный
ток Z(/ = 0,5, либо как комплексный фазный ток якоря
/(/|=0,5. В широком смысле это может означать, что
и. с. якоря по продольной осп равна половине и. с., ко-
торую создали бы поминальные токи якоря по продоль-
ной оси. В новой системе относительных единиц нет
такого соотношения и, например, |/d||=0,408, когда
/^ = 0,5. Иначе говоря, в старой системе одни и те же
численные значения параметров соответствуют поми-
нальному режиму безотносительно к системе коорди-
нат,— это могут быть фазные величины трехфазной
обмотки или двухфазной по осям d и q.
В-третьих, старая система относительных единиц
распространяется па многофазный якорь с любым чис-
лом фаз, т. е. равенство Zd = |/d| и ДР-, всегда соответ-
ствует уравнениям (3-10) — (3-13). Случай для двух фаз
показан в § 3-1,6. Новая же система относительных еди-
ниц дает различные соотношения между Zd и | d| для
обмоток с разными числами фаз. Число фаз, таким
образом, приобретает важное значение в этой системе
относительных единиц, которое не отражается в физн-
57
ческих процессах в многофазных машинах. Это пред-
ставляется нежелательным, так как одна из целей при-
менения любой системы относительных единиц — завуа-
лировать менее значительные особенности анализируе-
мого объекта.
Так как трехфазные токи нормализуются посредст-
вом деления па /п1), то может показаться, что необходи-
мость делить токи в осях координат d, q, z и токи ро-
тора па базисное значение ЗКо/2 является недостатком
старой системы относительных единиц. В действитель-
ности это имеет фундаментальное значение и является
отражением принципа равного действия, уже упоминав-
шегося в § 2-1. Для иллюстрации сравните действие:
а) единичного тока 3t’(lo/2 в обмотке d\
б) единичного тока ЗКо/2 в воображаемой обмотке
возбуждения, имеющей конструкцию, идентичную кон-
струкции обмотки d\
в) номинальных токов в обмотках а, b и с в момент
времени, когда ток в фазе а равен амплитудному зна-
чению iao и положение максимума результирующей и. с.
совпадает с продольной осью ротора.
Из вышеизложенного должно быть ясно, что во всех
этих случаях создается одинаковая результирующая
н. с. по продольной осн, т. е. одинаковая амплитуда
основной волны индукции в воздушном зазоре. Следо-
вательно, с этой точки зрения, которая существенна для
работы машины, во всех трех случаях имеет место рав-
ное действие. Важную роль в этом играет различие
базисных токов в примерах пн. а и б, с одной стороны,
и в случае пп. б и в—другой.
Когда рассматривают реальную обмотку возбужде-
ния и другие обмотки ротора, которые имеют конструк-
цию, непдептичную обмотке якоря d, возникает необхо-
димость определить отношения их чисел витков к числу
витков обмотки статора. Различные аспекты этой задачи
рассматриваются в § 3-2; принцип равного действия
оказывается полезным и весьма важным в этом случае.
Наконец, несколько слов о влиянии предлагаемых
нами видоизменений системы относительных единиц на
особенности определения базисных токов вторичных
обмоток. Строгая и широко распространенная система
относительных единиц с базисным Xad основана на
принципе равного действия; она рассматривается
в § 3-2,а. Однако значительная часть ее преимуществ
58
теряется, если она используется в комбинации с пред-
лагаемой нами новой системой относительных единиц,
которая не столь строго обоснована.
Во-первых, индуктивность «рассеяния» схемы заме-
щения по продольной оси в относительных единицах
Ldd — La! может быть отрицательной и не равна без-
размерной индуктивности «рассеяния» статора La — Laa-
Рис. 3-2. Схемы замещения с обычными размерными переменными и
параметрами.
а — для продольной осн; б —для поперечной осп; в — для пулевой последова-
тельности.
Величины, показанные в правых частях уравнений, надписанных у элементов
схем, появляются при использовании преобразований (3-14) и (3-20) для раз-
мерных величин, соответствующих обмоткам rf, q и а, Ь, с, у которых одина-
ковое количество эффективных витков. Другие тождественные соотношения
параметров обмоток с/, г/, z и а, Ь, с даны в приложении G-1. Так как анали-
тические выражения параметров вторичных обмоток не содержат отношений
чисел витков, многие индуктивности обмоток по осям d и q нс имеют физи-
ческого смысла и могут принимать отрицательные значения.
59
Во-вторых, к сожалению, единичный ток возбуждения
становится равным но своему действию номинальному
току в трехфазной обмотке статора в симметричном ре-
жиме, в то время как единичный продольный ток не
равен ему. Положение с индуктивностью рассеяния
в этом случае рассматривается ниже1, но читателю
предварительно надо ознакомиться с материалом § 3-2,а.
Главная цель данного раздела была установить
основы наилучшего преобразования трехфазной обмот-
ки в двухфазную, осуществляемого в относительных еди-
ницах. Выяснилось, что преобразования (3-1) и (3-2)
обычно намного предпочтительнее любых других. Одна-
ко следует сказать, что для предлагаемой нами новой
системы относительных единиц характерны практически
удобные упрощения. Хорошо обоснованное их использо-
вание и обзор многих проблем применения относитель-
ных единиц содержатся в [Л. 16].
1 В уравнении (3-26) уже отмечалось, что при конкретном пре-
образовании (3-14) н (3-20)
Ldf = Lafd. (А)
Принципы системы относительных единиц с ба шспым Хаа дают
нам уверенность, что всегда
Lafd — Lad- (^)
Отсюда и и 5 уравнения ।(3-26) следует, что в общепринятой
(старой) системе относительных единиц
Ldj — Lad- (В)
Учитывая соотношение (3-30), получаем, что безразмерная индук-
тивность рассеяния по продольной оси Ldd—Ldf равна индуктивно-
сти рассеяния обмотки якоря Ld — Lad в относительных единицах.
В предлагаемой новой системе относительных единиц число вит-
ков обмотки по оси d увеличено в 3/2 раза. Вследствие этого в про-
тивоположность выражпеию (3-29) имеем:
Ldd — L,i. (Г)
Обе части этой формулы теперь должны быть нормализованы
посредством деления па одно и то же базисное значение, и мы снова
получим соотношение (3-30). Однако из-за увеличения числа витков
обмотки d будем иметь в отличие от уравнения .(А)
Ldl = Lald. (Д)
После перехода к системе относительных единиц, в которой удо-
влетворяется равенство (Б), получим:
Таким образом, индуктивность рассеяния по продольной оси
Ldd — Ldf равна разности Ld—r3/2£adl которая не имеет физическо-
го смысла и практически может принимать отрицательное значение.
60
Рисунки 3-2 н 3-3 резюмируют некоторые папоолсе
важные выводы данного раздела и приложения 6-1. На
них показаны схемы замещения для переменных по
осям d, q и z, выраженных соответственно в размерной
форме и в относительных единицах. Необходимо под-
Рис. 3-3. Схема замещения с переменными и параметрами в относи-
тельных единицах.
а — для продольной оси; б — для поперечной оси; в — для нулевой последова-
тельности.
Величины, показанные в правых частях уравнений, надписанных у элементов
схем, появляются при использовании преобразований (3-1) и (3-2) для величии
в относительных единицах. Сюда не включены тождественные равенства или
упрощения, которые зависят от выбора конкретных величин базисных токов
в обмотках ротора (см. рис. 3-7). Так как аналитические выражения парамет-
ров вторичных обмоток не содержат отношений чисел витков, то многие индук-
тивности обмоток по осям d и q не имеют физического смысла и могут при-
нимать отрицательные значения.
черкнуть, что рис. 3-2 соответствует уравнениям преобра-
зования (3-14) и (3-20) для размерных величин,
а рис. 3-3 — уравнениям преобразования (3-1) и (3-2)
61
для величин в относительных единицах. Для общности
по каждой оси показана одна демпферная обмотка. Эти
обмотки не включены в анализ, проводимый в этом па-
раграфе и в приложении 6-1, по в приложении показано,
что для них справедливы выводы, полученные для об-
мотки возбуждения. Схема рис. 3-3 отражает только
свойства, появляющиеся вследствие использования без-
размерных уравнений преобразования (3-1) и (3-2). Она
не содержит каких-либо величин или элементов, соот-
ветствующих конкретным способам определения базис-
ных токов ротора. Этот этап представлен в § 3-2.
В схемах замещения как для размерных величин,
так п в относительных единицах присутствуют потоко-
сцепления Ч'а и Ч’7. В общем случае всякая 1-я обмотка,
индуктивно связанная с п другими обмотками, имеет
полное потокосцепление (размерное или в относитель-
ных единицах), равное
п
= (3-33)
/=1
Уравнения (6-6) и (6-8) являются конкретными при-
мерами потокосцеплений. Чтобы объяснить появление
потокосцеплении в схеме (рис. 3-3), следовало бы по-
казать здесь способ их нормализации, но лучше отло-
жить это до § 4-3, где он будет рассмотрен вместе
с тесно связанным с ним способом нормализации вре-
мени.
Что касается уравнений преобразования, которые
связывают потокосцепления обмоток d, q, z и а, b, с,
можно ожидать, что для размерных величин они будут
иметь тот же вид, что и уравнения преобразования на-
пряжений, а не токов. По аналогии с уравнением (3-14)
можно записать:
cos 6
cos (9 —120°)
cos (6 — 240°)
— sin 9 —sin (9—120°) —sin (9—240°)
заметить, что это уравнение согласуется
двухфазной модели машины, описываемой
координат. Рассмотрим, например, непо-
Нетрудно
с понятием о
в двух осях
движпую машину при 0 = 0, когда установившийся ток
протекающий только в обмотке возбуждения, создаст
поток, направленный вдоль вертикальной
рис. 3-1,а. Из этого рисунка видно, что
= Ч'. = —Чгя COS 60° = —Va/2.
оси на
(3-35)
Уравнение
для 4rd
(3-34) позволяет получить выражение
Подставив в него значения потокосцеплении из (3-35),
получим
Vd=Ta. (3-36)
Это естественный результат для модели, если учесть,
что обмотки а и d имеют одинаковое эффективное число
витков.
6) Принципы построения предпочтительной системы
относительных единиц
В предыдущем разделе при сравнительной оценке
достоинств общепринятой и новой систем относитель-
ных единиц, используемых в преобразованиях трехфаз-
ных обмоток в двухфазные, были выявлены некоторые
фундаментальные аспекты этого вопроса. Их целесооб-
разно обобщить в сжатой форме и рекомендовать при
создании всякой новой системы относительных единиц.
Они окажут значительную пользу, например, в после-
дующих параграфах этой главы и в гл. 4. Три обоб-
щающих положения представлены ниже. В скобки за-
ключены краткие сведения о соответствии этим положе-
ниям общепринятой системы относительных единиц и
преобразования трехфазной обмотки в двухфазную.
1. Независимые базисные величины переменных, т. е.
выбираемые произвольно, следует выбирать так, чтобы
единичные значения переменных имели место в номи-
нальном режиме или при условиях, в рассматриваемом
смысле соответствующих номинальному режиму (т. е.
в номинальном симметричном режиме максимальные
иа и ia равны единице). Если предположим, что сим-
метричные номинальные токи статора действуют только
по продольной оси, то ia будет равен единице, хотя это
и не номинальный режим, а лишь соответствующий ему
по физическому смыслу. Аналогичные доводы справед-
ливы для /7,
G3
2. С первым принципом тесно связано представление
о том, что единичные токи в различных обмотках пред-
почтительно определять как токи, создающие в широ-
ком смысле одинаковый физический эффект. Так как
существование всякого тока связано с несколькими
«эффектами», то об одинаковом действии можно гово-
рить в каждом конкретном случае, имея в виду то соот-
ношение, которое оказывается наиболее важным для
работы машины (Например, единичный ток соз-
даст такую же основую волну индукции ноля по про-
дольной оси, как единичный ток id в симметричном
трехфазном режиме. Единичный ток iq создаст первую
гармонику индукции магнитного ноля по поперечной
оси такую же, как и единичный ток | Iq | в симметрич-
ном трехфазном режиме).
3. Фазы симметричной многофазной обмотки дейст-
вуют совместно, а не отдельно; анализ номинального
режима в системе относительных единиц следует про-
водить по результирующему действию всех фаз (т. е.
единичный ток id в этом смысле нельзя считать экви-
валентным единичному току |Л|, протекающему толь-
ко в одной фазе обмотки, и можно, если единичный ток
14| соответствует нормальному симметричному много-
фазному режиму).
Изложенные принципы не являются строгими пра-
вилами, которым система относительных единиц должна
удовлетворять при любых обстоятельствах. В каждом
конкретном случае возникают свои трудности при вы-
боре предпочтительной системы относительных единиц.
в) Преобразование координат в двухфазной машине
Рассмотрим кратко особенности анализа двухфазной
машины в системе двух координат и в относительных
единицах. Преобразование обычных размерных мгновен-
ных величии реальных напряжений двух фаз1 а и >
к координатам d и q осуществляется следующим обра-
зом [Л. 7J:
iid
cos 0 •
— sin 6
sin О
cos 0
(3-37)
1 Составляющие нулевой последовательности в двухфазной ма-
шине отсутствуют,
64
Здесь 0 — мгновенное значение электрического угла
между осями обмотки возбуждения и фазы а. Преобра-
зование, обратное (3-37), будет:
cos„9
sin 9
— sin 9
— cos 6
Ид
tlq
(3-38)
Закон преобразования токов, при котором мощность
остается инвариантной, получим из уравнений (2-26)
Рис. 3-4. Расположение обмоток в двухфазной машине.
а — расположение обмоток а, Р и обмотки возбуждения при относительном
движении статора и ротора; б —- псевдонеподвижные обмотки d и q, которыми
заменяются реальные обмотки статора.
н (2-29):
cos 9
— sin 9
sin О
cos 9
(3-39)
Обратное преобразование имеет вид:
cos 9
—sin 9
sin 9
—cos 9
(3-40)
Это преобразование является ортогональным, напря-
жения и токи преобразуются одинаковым образом.
Уравнения (3-37) — (3-40) определяют переменные
в эквивалентных обмотках d и q, имеющих то же коли-
чество эффективных витков, что и обмотки а и [3. По-
следнее обстоятельство является главной причиной для
выбора этого типа преобразования. Эквивалентность
обмоток а, р и псевдонеподвижных обмоток d, q в мо-
дели можно пояснить с помощью рис. 3-4. Пусть ротор
5—23 65
машины неподвижен в положении 6 = 0, а обмотка воз-
буждения питается от источника переменного тока.
Тогда из уравнения (3-37) видно, что Ud = wa, а это со-
ответствует условию равенства эффективных витков
обмоток d и а. Аналогичный простой пример показы-
вает, что то же самое справедливо для обмоток q и р.
Физические условия во всех этих случаях оказываются
одинаковыми. Таким образом, ортогональное преобра-
зование для двухфазной машины в отличие от трехфаз-
ной имеет определенный физический смысл. Он состоит
в том, что реальные фазные и преобразованные обмотки
имеют одинаковое число витков.
Хотя уравнения (3-37) — (3-40) записаны для размер-
ных переменных, они сразу устанавливают равенство
переменных в обеих системах координат, которое для
трехфазной машины с трудом было получено в § 3-1
и притом только для переменных в относительных еди-
ницах. Следовательно, для симметричного двухфазного
режима можно записать:
и =— и sin <4;
a ’
— — usin (<о/ — 90 ’);
О = (of ---Q.
11з уравнения (3-37) следует, что
= — и sin 6;
(3-41)
(3-42)
(3-43)
Ug = U COS 8,
откуда
и = У (u2d
Ьи%)-
(3-44)
Можно сравнить уравнения (3-41) — (3-44) для обыч-
ных размерных переменных с записанными в относитель-
ных единицах выражениями (3-5) — (3-8) в § 3-1,а. Лег-
ко показать, что в рассматриваемом случае для размер-
ных токов справедливо соотношение типа (3-44), так как
законы преобразования токов и напряжений одинаковы.
Таким образом, достаточно нормализовать уравне-
ния (3-37) и (3-38) путем деления на общее базисное
напряжение иао, а уравнения (3-39) и (3-40)—на еди-
ный базисный ток /до, чтобы получить уравнения пре-
образования координат двухфазной машины в предпо-
чтительной системе относительных единиц. В отличие
от трехфазной машины у двухфазной уравнения преоб-
разования в относительных единицах идентичны по фор-
ме соотношениям для размерных переменных, а в фаз-
ных и преобразованных координатах используется одно
и то же произведение базисного напряжения па базис-
ный ток ЫаЫао- Так же как и в § 3-1,a, uaQ и /п0 приняты
равными амплитудным значениям поминальных фазных
величин.
Рассмотрение двухфазной машины на данном этане
заканчивается приведением выражений, эквивалентных
(3-10) — (3-13). Они записываются для симметричного
режима с использованием комплексных векторов в отно-
сительных единицах и следуют непосредственно из
уравнений (3-37) — (3-43):
+ (3-45)
(3-46)
^7 9 Uq. J
II соответственно для токов
/а=Л+4 (3-47)
где
(3-48)
Напомним, что у трехфазной машины были выбраны
различные произведения базисных напряжения и тока
для реальных фазных и преобразованных обмоток глав-
ным образом для того, чтобы получить уравнения вида
(3-45) — (3-48). В случае двухфазной машины нет необ-
ходимости для такого различия. Уравнения получаются
просто, и достоинством системы относительных единиц
является се соответствие принципам, изложенным
в § 3-1,6. Таким образом, в относительных единицах
двухфазная машина может рассматриваться как мо-
дель всякой многофазной машины. Анализ трехфазной
машины в относительных единицах проводится так же,
как двухфазной, по с использованием различных про-
изведений базисных напряжений и токов.
г) Переход к симметричным составляющим
В § 3-1,а мы уже затрагивали вопрос о переменных
нулевой последовательности. Рассмотрим теперь трех-
фазные симметричные составляющие, которые вклю-
5* 67
чают нулевую последовательность. Они иллюстрируют
два положения: а) не всегда можно найти простую
физическую модель, соответствующую преобразованию
при инвариантной мощности (это уже отмечалось
в § 2-2); б) нет точных правил выбора систем относи-
тельных единиц; в каждом конкретном случае это дела-
ется с учетом типа задачи и достоинств каждой системы.
В § 3-1,а определялись мгновенные значения пере-
менных пулевой последовательности. Можно также
ввести понятия мгновенных значений переменных пря-
мой и обратной последовательностей, но мы ограничим-
ся главной областью применения симметричных состав-
ляющих. Речь идет об анализе несимметричных устано-
вившихся режимов работы с помощью комплексных
векторов. Основы теории симметричных составляющих
изложены, например, в [Л. 11]. Хорошо известно, что
существуют два обычно применяемых типа уравнений
преобразования размерных переменных в трехфазной
системе в симметричные составляющие. Первый тип
соответствует ортогональному преобразованию при ин-
вариантной мощности
иг
иР
й„
1 а а2
1 а2 а
и.
иь
йе
(3-49)
Обратное ему преобразование
имеет вид:
(3-50)
Уравнения преобразования токов, конечно, имеют ту
же форму, что и выражения (3-49) и (3-50).
Уравнения преобразования другого типа отличаются
от первого в 1/|/ 3 раз
1
йР =т
Обратное преобразование
На
иь =
। । ।
1 а а2
1 а2 а
1 1 1
1 а2 а
1 а а2
V,
Ub
Uc
V,
йР
V*
(3-51)
(3-52)
68
II в этом случае токи преобразуются точно так же,
как напряжения. Очевидно, что это преобразование не
обладает свойством инвариантности мощности.
Рассматривая подробнее инвариантное преобразова-
ние (3-49) и (3-50), целесообразно попытаться создать
его физическую модель в осях координат z, р, п.
В § 3-1,а были введены понятия обмоток по осям d и q,
появляющихся после преобразования трехфазной маши-
ны к двум осям координат. Эти обмотки были псевдо-
неподвижными, т. с. в пих индуктировалась э. д. с.
вращения. При напряжениях и токах u<i, i<j и п(/, i4 эти
обмотки образовывали полностью эквивалентную элек-
тромагнитную замену обмоток а, b и с при отсутствии
пулевой последовательности па статоре. До сих пор мы
имели дело с системами относительных единиц для
анализа главным образом симметричных режимов. По-
этому не было необходимости говорить о физической
сущности обмотки z. В случае двухфазной машины этого
вопроса нс возникает, так как там нет пулевой после-
довательности. Данный раздел посвящен анализу пере-
менных не только нулевой последовательности z, но и
прямой р и обратной п последовательностей. Мы уви-
дим, что не существует простой физической интерпрета-
ции новых обмоток р, п и z.
Известно [Л. 11], что переменные прямой последова-
тельности создают круговое прямо вращающееся разно-
полярное магнитное поле в воздушном зазоре электри-
ческой машины. Поэтому первое, что надо сделать для
построения простой модели, это определить свойства
обмотки р, которая создает такое поле. Эта обмотка
должна быть неподвижна по отношению к статору, так
как частоты переменных в обмотках ц, Ь, с и z, р, п
одинаковы. Поскольку неподвижная однофазная обмот-
ка при любом способе возбуждения не может создать
круговое вращающееся поле, ясно, что нельзя предста-
вить себе такую обмотку р, т. е. дать физическую интер-
претацию симметричной составляющей, как это было
сделано в случае переменных по двум осям. Модель,
содержащая одну вращающуюся обмотку р, здесь не
допустима, так как она потребует дополнительных пре-
образований. Эти причины способствовали возникнове-
нию общепринятого мнения о том, что переменные z, р
и п являются составляющими переменных а, b и с
в реальных обмотках а, b и с. Однако симметричные
69
составляющие напряжения, подведенного к каждой фазе
обмотки, не равны симметричным составляющим, опре-
деленным теоретически, — они отличаются в 1/J^3 раз.
Это соотношение справедливо и для токов. Соответст-
вующая схема показана на рис. 3-5.
Обратимся теперь к выбору системы относительных
единиц для симметричных составляющих. Если рассмат-
ривать вначале уравнения
риантной мощности (3-49)
Рис. 3-5. Обычная трехфазпая ма-
шина с размерными переменными
в обмотке статора, выраженными
через симметричные составляю-
щие. Переход к симметричным со-
ставляющим осуществляется при
инвариантной мощности.
преобразования при инва-
н (3-50), то естественным
будет нормализовать на-
пряжения путем деления
на базисную величину w.o0.
В аналогичных уравнени-
ях преобразования токов
нормализация будет осу-
ществляться делением на
базисный ток iao. Таким
образом, уравнения пре-
образования переменных
в относительных единицах
по форме не будут отли-
чаться от ортогональных
уравнений для обычных
размерных переменных.
Аналогичный результат
получен в §3-1,а для пре-
образования трехфазной
машины к двум осям ко-
ординат в повой, предло-
женной нами системе от-
носительных единиц.
В обоих случаях процедура нормализации проста с ма-
тематической точки зрения, по опа приводит к некото-
рым результатам, которые нежелательны для системы
относительных единиц1. Например, если система трех-
фазных напряжений, питающих машину, симметрична и
они имеют номинальные величины, то фазные напряже-
ния в относительных единицах можно записать:
Ua = e‘°“-, Ub = a,el'“‘; ис=аеы. (3-53)
1 Для общности отметим, что в новой системе относительных
единиц мгновенные значения составляющих нулевой последователь-
ности удовлетворяют уравнению (3-49), тогда как в предпочтитель-
ной системе они соответствуют уравнению (3-51),
70
Отсюда с помощью уравнения преобразования (3-49)
получим в относительных единицах
Uz = 0, = йп = 0. (3-54)
Таким образом, в этой системе относительных еди-
ниц амплитуда напряжения прямой последовательности
равна | 3, когда напряжение па зажимах фазы машины
содержит только составляющие прямой последователь-
ности, а амплитуда полного фазного напряжения равна
единице. Аналогичное положение справедливо для на-
пряжений и токов обратной и нулевой последовательно-
стей. Иначе говоря, номинальному режиму работы ма-
шины соответствуют напряжения и токи прямой после-
довательности, имеющие безразмерную величину КЗ,
• хотя можно было ожидать, что они равны единице и
удовлетворяется условно 1 § 3-1,6.
В свою очередь, уравнения (3-51) и (3-52) можно
нормализовать делением на базисное напряжение ипо,
а идентичные уравнения для токов — па базисный ток /’по-
В симметричном поминальном режиме, которому соот-
ветствуют напряжения в относительных единицах (3-53),
с помощью выражения (3-51) будем иметь:
{/2 = 0; г/р = г/„ = о.
(3-55)
Таким образом, для этой системы относительных еди-
ниц характерны единичные величины напряжения и тока
прямой последовательности в номинальном режиме. Это
удовлетворяет условию 1 § 3-1,6, ио достигнуто ценой
потери инвариантности мощности в процессе преобра-
зования.
Отсутствие инвариантности мощности в большинстве
случаев не является препятствием для применения ме-
тода симметричных составляющих. Этим объясняется
распространенность в литературе уравнений (3-51) и
(3-52) в размерной и безразмерной формах. Это пре-
образование приводит к тому, что взаимная индуктив-
ность дайной обмотки с любой другой обмоткой х уже
не обладает свойством взаимности в системе координат
z, р, и, х. Это могло бы создать серьезные трудности,
показанные в § 2-1 и 2-2. Но обычно симметричные со-
ставляющие используются для решения таких задач,
в которых другие обмотки непосредственно не рассмат-
риваются, а учитывается только их влияние на обмотки
71
a, b и с, так что отмеченные трудности не возникают.
Поэтому можно сказать, что преобразование типа (3-51)
предпочтительно для напряжений и токов в относитель-
ных единицах общего применения.
Наконец, представляет интерес провести параллель
между рассматриваемыми здесь преобразованиями и
теми, которые были представлены в § 3-1,а при пере-
ходе от трехфазной машины к двухфазной в относитель-
ных единицах. Начиная с уравнений преобразования
(3-49) и (3-50), при котором мощность сохраняется ин-
вариантной, и с аналогичных уравнений для токов,
можно разделить напряжения обмоток а, Ь, с па базис-
ное напряжение wao, а напряжения обмоток 2, р, п—
на базисное | 3 иа0. То же самое следует проделать для
токов. В результате произведение базисного напряжения
на ток в координатах а, Ь, с. будет иаО1ао. а в координа-
тах z, р, п будет 3wao*ao- Уравнения преобразования на-
пряжений и токов в относительных единицах тогда при-
мут предпочтительный вид (3-51) и (3-52). Это можно
логично объяснить тем, что в обеих системах координат
в качестве базисных были выбраны величины, соответ-
ствующие номинальному режиму работы. Удобно то, что
количественное соотношение безразмерных переменных
в этих двух системах координат не содержит численных
коэффициентов.
3-2. БАЗИСНЫЕ ТОКИ ВТОРИЧНЫХ КОНТУРОВ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
а) Система относительных единиц с базисным Xad
В этой системе относительных единиц за базисный
ток в любой обмотке ротора принимается такой ток,
который индуктирует в каждой фазе якоря э. д. с., рав-
ную Xadiao в симметричном синхронном режиме. Такую
же величину имеет э. д. с. реакции якоря по продольной
оси, что говорит о справедливости в этом случае прин-
ципа равного действия, который сформулирован в п. 1
§ 3-1,6. Следовательно, единичный ток ротора создает
в воздушном зазоре такое же магнитное поле, как и
симметричная трехфазная система токов в обмотке яко-
ря при единичном амплитудном значении тока, когда ее
результирующая н. с. направлена по продольной оси.
Магнитные потоки, создаваемые в воздушном зазоре
72
машины, определяют ее характеристики. Единственный
имеющий физический смысл способ оценки влияния
обмоток состоит в сравнении созданных ими полей.
С этой точки зрения система относительных единиц
с базисным X(l,i наиболее точно отражает физические
явления в машине.
Итак, поле в воздушном зазоре является мерой
эффективности обмотки и определяет характеристики
машины. Это относится к действительной кривой распре-
деления поля, а она, вообще говоря, пе является сину-
соидой. Общепринято, однако, в системе относительных
единиц с базисным Xad принимать допущение о сину-
соидальном распределении поля, тогда величина Ха(йап
относится только к первой гармонике. Это допущение
полностью правомерно, па его базе строится вся теория
синхронной машины, излагаемая как с помощью век-
торных диаграмм, так и в обобщенном виде.
При нормальной работе синхронной машины, когда
в обмотке возбуждения протекает постоянный ток,
а в обмотке статора — симметричный многофазный ток,
сложный закон распределения индукции поля в воздуш-
ном зазоре может быть представлен в виде суммы основ-
ной и высших гармоник. Основная гармоника, конечно,
наибольшая по величине; только опа индуктирует э.д. с.
основной частоты в обмотке статора и одновременно
с этим вращается синхронно с ротором. Индуктивная
связь между обмотками, обусловленная высшими гармо-
никами поля, составляет небольшую часть результирую-
щего потокосцепления. Она не оказывает существенного
влияния на синхронный режим работы, высшими гармо-
никами передается незначительная мощность. Поэтому
высшие гармоники поля можно учесть с помощью от-
дельных составляющих индуктивного сопротивления рас-
сеяния и добавочных потерь, выразив их в системе отно-
сительных единиц, построенной на базе идеальной
машины.
Рассмотрим теперь вопрос о взаимодействии много-
фазной обмотки статора и обмотки ротора с диамет-
ральным шагом, которая с хорошей точностью представ-
ляет обмотку возбуждения. На основании вышеизложен-
ного можно считать, что эти обмотки имеют индуктив-
ную связь только по основной гармонике индукции
воздушного зазора. Это идеальная ситуация, когда
основная гармоника поля в воздушном зазоре образует
73
идеальное потокосцепление с обмоткой статора и об-
моткой возбуждения. В двухфазной модели машины
можно определить идеальное отношение чисел витков
по формуле (3-23), выбрав соответствующую величи-
ну i/o. Этой величиной будет
Рис. 3-6. Распределения маг-
нитного потока в воздушном
зазоре явпополюсной машины.
а—синусоидальная н. с. статора
действует по продольной оси; б —
поле, созданное сосредоточенной
обмоткой возбуждения (на рисунке
не показана).
ток, который создает в воз-
душном зазоре такую же ос-
новную гармонику индук-
цин, как и ток Зг0о/2, проте-
кающий в обмотке d. По-
следний в свою очередь
эквивалентен симметричной
трехфазпой системе токов в
обмотке статора при единич-
ном амплитудном значении
тока, когда их результирую-
щая и. с. направлена по
продольной осн.
В практических расчетах
f/o необходимо учесть все
факторы, влияющие на фор-
му кривой поля. Мы имеем
в виду не только простран-
ственное расположение обмо-
ток (т. е. являются ли они
сосредоточенными, распре-
деленными или имеют уко-
роченный шаг), по и непо-
стоянство магнитной прово-
димости зоны воздушного
зазора, которое учитывается
простым изменением величи-
ны зазора, и сложный за-
кон распределения поля воз-
буждения между полюсами *. Все эти факторы по-раз-
ному влияют на поля, созданные обмотками статора и
ротора. Примерные картины основного поля показаны
на рис. 3-6. Липни потока на рис. 3-6,а образованы
1 Влияние насыщения обычно не учитывается. Строго говоря,
потокосцепление взаимной индукции и, следовательно, отношение
чисел витков, зависят от режима работы машины [Л. 26]. Однако
мы предпочитаем дать недвусмысленное определение отношению
чисел витков. Поэтому насыщение следует учитывать посредством
разумного изменения индуктивных сопротивлений.
74
синусоидальной и. с. распределенной обмотки якоря по
продольной оси, а поле рис. 3-6,6 создано сосредоточен-
ной обмоткой возбуждения. Свойства стали в обоих
случаях не изменяются. Очевидное различие в распре-
делении полей создает поток рассеяния между полюс-
ными наконечниками на рис. 3-6,6. Другое более суще-
ственное различие полей под полюсом возникает потому,
что в случае рис. 3-6,а падение магнитного потенциала
синусоидально изменяется вдоль воздушного зазора,
в то время как па рис. 3-6,6 разность магнитных потен-
циалов постоянна. Методы определения картины поля
в таких случаях хорошо известны: можно воспользо-
ваться кривыми Виесмана [Л. 23], интегральными фор-
мулами Ранкина [Л. 24], аналоговыми или цифровыми
вычислительными машинами.
Зная действительный закон распределения поля,
можно в системе с базисным X(„i найти отношение чисел
витков обмотки статора и расположенных по продоль-
ной оси обмоток ротора с диаметральным шагом, в том
числе и для обмотки возбуждения. Для них справедливо
’ •'•di ^ап /О
3/а0/2 ’
Обращаясь теперь к поперечной оси машины, отме-
тим, что строгое применение принципа равного дейст-
вия дает значения базисного тока в обмотке ротора
с диаметральным шагом и отношения чисел витков, от-
личающиеся от соответствующих величин по продоль-
ной осп. Объясняется это тем, что произведение п. с.
обмотки на магнитную проводимость по поперечной оси
также не одинаково для случаев, когда поле создается
обмоткой якоря и обмоткой возбуждения. В общем слу-
чае нельзя простым образом связать это различие
с тем, которое имеет место по продольной оси. Однако
точно определенные отношения чисел витков обмоток по
двум осям отличаются мало, поэтому в теории и прак-
тических расчетах принято брать одно и то же отноше-
ние чисел витков как для продольной, так и для по-
перечной оси [Л. 3, 8, 10, 24]. Одним из важных преиму-
ществ этого является возможность непосредственно
складывать с другими безразмерные величины токов
в соответствующих демпферных обмотках по продольной
и поперечной осям,
75
Существенно отметить, что принятое таким образом
единое отношение чисел витков не является идеальным
для поперечной оси. Вследствие этого параметры схемы
замещения по поперечной оси должны рассчитываться
по формулам (2-38). Было бы неправильно просто пере-
считать индуктивность рассеяния вторичной обмотки
путем умножения на квадрат дроби, числителем которой
является выбранное отношение чисел витков, а знамена-
телем— идеальное отношение чисел витков. При этом
должно быть справедливым уравнение (2-41). Такое
утверждение справедливо в тех случаях, когда исполь-
зуется нендеалыюс отношение чисел витков.
Как уже говорилось, отношение чисел витков по
продольной оси является идеальным и согласно § 2-3
и выражениям (2-41) индуктивности в относительных
единицах, включенные последовательно в схему замеще-
ния для продольной оси, соответствуют безразмерным
индуктивностям рассеяния, которые получены расчет-
ным путем. Отметим, что если время нормализовано
способом, указанным в § 4-3, то безразмерные индуктив-
ности становятся равными индуктивным сопротивлениям
в относительных единицах при номинальной частоте.
Тогда понятия «индуктивность» и «индуктивное сопро-
тивление» будут взаимозаменяемы [Л. 2, 3].
Понятие индуктивности рассеяния требует некото-
рого уточнения. Система относительных единиц с базис-
ным Х„а определенно означает, что единичный ток воз-
буждения создает такое же амплитудное значение пото-
косцепления взаимной индукции с фазой обмотки ста-
тора, как и симметричный ток статора с единичной
амплитудой. Поэтому
Lad=L(Lfd' (3-57)
Здесь Lnfd определяется в соответствии с уравне-
нием (3-24). Уравнения преобразования в относитель-
ных единицах (3-1) и (3-2) вместе с выражениями (3-26)
и (3-30) с учетом соображений, изложенных в сноске
на стр. 60, позволяют получить следующий результат:
Ldd — Laf — Ld — Lad- (3-58)
Левая часть этого выражения представляет собой
безразмерную индуктивность обмотки d, последователь-
но включенную в схему замещения для продольной оси,
а правая часть — индуктивность рассеяния обмотки яко-
76
ря в относительных единицах, обычно рассчитываемую
при проектировании машины и часто принимаемую оди-
наковой по обеим осям.
Принципы, положенные в основу системы относитель-
ных единиц с базисным Xad, можно распространить на
любое количество демпферных обмоток по продольной
оси как с диаметральным, гак и с укороченным шагом.
В соответствии с уравнениями преобразования в отно-
сительных единицах (3-1) и (3-2) в любом случае будем
иметь:
Lad — Lajd—^Lakd—Ldf—^L^kd- (3-59)
Однако вследствие укорочения шага демпферных
обмоток среди индуктивностей обмоток ротора могут
появиться отрицательные величины (см. § 3-2,6).
На рис. 3-7 изображены схемы замещения для осей
d и q и для переменных нулевой последовательности.
Они получены из схем рис. 3-3 с помощью отношения
чисел витков, характерного для системы с базисным Xll(i,
когда по каждой осп машины имеется одна демпферная
обмотка с диаметральным шагом. Уравнение (3-57) по-
казывает, что использование этого отношения чисел
витков позволяет заменить Lafd па £ad в схеме заме-
щения для продольной оси, что является удобным при
расчетах. Следует иметь в виду, что замена La/d па £od,
часто осуществляемая в схеме замещения в системе
относительных единиц с равными взаимными индуктив-
ностями (§ 3-2,г), строго говоря, не верна, так как ра-
венство (3-57) справедливо только при отношении чисел
витков, которое имеет место в системе с базисным Xad-
В схеме замещения для оси q показаны два неравенст-
ва, чтобы подчеркнуть неидеалыюсть для этой осн отно-
шения чисел витков в системе с базисным A'ftd.
Схему замещения для оси d можно упростить, пре-
небрегая индуктивностью Lfkd — Lad- Это упрощение
оправдано потому, что на практике поток, сцепленный
с демпферной обмоткой, почти равен потоку, сцеплен-
ному с обмоткой якоря. Можно возразить, что это усло-
вие выполняется только в том случае, если демпферная
обмотка расположена вблизи воздушного зазора. Однако
ясно, что этого условия недостаточно. Идеальным об-
стоятельством, которое делает Lfkd равным £ad, явля-
ется то, что обмотки возбуждения якоря и демпферная
77
Рис. 3-7. Схема замещения с переменными и параметрами в относи
тельных единицах.
п — для продольной осп;
(5 — для поперечной оси; в — для нулевой
послсдова-
уравнений, надписанных у элементов
реобразований (3-1) и (3-2) в системе
Базисные токи в обмотке возоужде-
осям определяются в предположении,
гельности. 4,r(iv
Величины, показанные в правых частях
схем, появляются при использовании п
относительных единиц с базисным
чня и демпферных обмотках по обеим
что они имеют диаметральные шаги.
78
сцеплены с одним и тем же идеальным потоком взаимо-
индукции. Очевидно, что демпферная обмотка при этом
тоже должна иметь диаметральный шаг. Этому условию
не отвечают ни демпферные обмотки с укороченным ша-
гом, ни массивный ротор. Учитывая это, авторы не
рекомендуют пользоваться названным упрощением.
Кроме того, при современных методах расчета его нель-
зя считать существенно полезным. Этот вопрос затра-
гивается также при обсуждении системы относи-
тельных единиц с равными взаимными индуктивностями
в § 3-2,г.
Система относительных единиц с базисным Хаа ис-
пользуется в работах [Л. 2, 3, 8, 10, 24, 25].
б) Распространение системы относительных единиц
с базисным Xaii на демпферные обмотки
с укороченным шагом
Рассмотренные выше принципы, которые положены
в основу системы относительных единиц с базисным Ха(ц
могут быть применены к демпферной обмотке с укоро-
ченным шагом. Например, в [Л. 3] таким образом полу-
чено выражение для отношения чисел витков, эквива-
лентное формуле (3-56). Однако автор не рекомендует
использовать этот способ. Мы с ним согласны, посколь-
ку в этом случае отношение чисел витков не является
идеальным.
В предыдущем параграфе рассматривались сосредо-
точенные обмотки с диаметральным шагом или эквива-
лентные им, имеющие идеальное потокосцепление с основ-
ной гармоникой поля. Катушки с укороченным шагом
полностью пе охватывают половину волны индукции, по-
этому не может быть идеального потокосцепления между
демпферной обмоткой и обмоткой якоря. Но взамен это-
го можно принять и использовать допущение об идеаль-
ности магнитной связи демпферных контуров с укорочен-
ным шагом, с одной стороны, и демпферной обмотки
с диаметральным шагом — с другой.
На рис. 3-8 показаны концентрические демпферные
контуры по продольной оси явнополюсной машины и
индукция в воздушном зазоре, создаваемая током во
внутреннем контуре /. Этот ток ь нормальном режиме
работы равен и противоположен по знаку току в таком
же контуре на соседнем полюсе другой полярности. Если
79
рассматривать взаимодействие изображенного на рисун-
ке воля с обмоткой якоря, то оно не будет идеальным.
Но более существенно, что поток, созданный демпфер-
ным контуром /, полностью сцеплен со всеми внешними
демпферными контурами 2, 3 и 4. Если по любому из
внешних контуров протекает ток той же величины, что
и в цепи 1, то пересекающий ее поток будет распределен
в пространстве так же, как поток на рис. 3-8 К
Рис. 3-8. Концентрические демпферные контуры по продольной осп и
график индукции, созданной током, протекающим только во внутрен-
них контурах 1.
Следовательно, заштрихованная область представ-
ляет собой идеальный поток взаимной индукции, а отно-
1 Конечно, это справедливо лишь при бесконечной магнитной
проницаемости стали, тогда и. с. в пределах каждого контура
с током одинакова в каждой точке воздушного зазора. В действи-
тельности магнитная проницаемость стали имеет конечную величину,
поэтому поверхность, определяющая пространственное распределение
н. с. в зазоре, не эквипотенциальна [Л. 26]. Кроме того, явление на-
сыщения приводит к нарушению принципа взаимности в отношении
взаимных индуктивностей демпферных контуров [Л. >26]. Однако, как
мы уже отмечали, основную часть анализа лучше всего проводить,
считая магнитную проницаемость стали бесконечной, а затем учесть
влияние ее конечной величины.
80
шение числа витков контура / к числу витков люоого
внешнего контура является идеальным и равно единице.
Также идеальным и равным единице будет отношение
витков любого контура и тех, внутри которых он за-
ключен.
Таким образом, вместо прямого приведения реальных
демпферных обмоток к якорю, которое неизбежно осу-
ществляется с помощью иеидсального отношения чисел
витков, можно попользовать два идеально правильных
отношения. Первое равно единице, оно приводит все дем-
пферные контуры к демпферной обмотке с диаметраль-
ным шагом, которая может существовать или пе суще-
ствовать б действительности. Второе приводит демпфер-
ную обмотку с диаметральным шагом к якорю так, как
рассмотрено выше. Это означает, что все демпферные
контуры имеют одинаковое отношение чисел витков
с обмоткой якоря, величина которого может быть полу-
чена после подстановки в уравнение (3-56) iltQ=iJQ
и
3/2ia0
(3-60)
Такое отношение соответствует системе относитель-
ных единиц, которую можно назвать «системой с базис-
ным Хаа при диаметральном шаге обмоток». Авторы на-
стоятельно рекомендуют использовать ее для расчетов
миогоконтурных демпферных обмоток, так как опа имеет
наибольший физический смысл1 и существенно упрощает
расчеты. В одной из поздних работ Ранкина использует-
ся эта система относительных единиц [Л. 24]. В приложе-
нии 6-3 приведена (полная схема замещения в этой систе-
ме относительных единиц. В нее входят отдельные эле-
менты, соответствующие различным составляющим пото-
ка в воздушном зазоре, потокам пазового рассеяния и
рассеяния лобовых частей, а также собственные актив-
ные сопротивления обмоток и активные сопротивления
в ветвях взаимной индуктивности.
1 Опа, например, исключает возможность появления отрицатель-
ных сопротивлений в схеме замещения в относительных единицах,
которые могли бы быть в более общей системе относительных еди-
ниц С баЗИСПЫМ A'ad-
6—23 81
в) Система относительных единиц с базисной н. с.
В этой системе относительных единиц базисный ток
обмотки ротора выбирается таким, при котором обмотка
ротора на полюсе создаст такую же пространственную
кривую и. с., как и уплощенная кривая и. с. реакции
якоря при симметричных трехфазных токах с единич-
ным амплитудным значением. Понятие уплощенной кри-
вой и. с. реакции якоря является искусственным. Эта
и. с. в 3/2 раза больше и. с., созданной амплитудным
током фазы, который протекает в вымышленной сосредо-
точенной обмотке с диаметральным шагом. Последняя
имеет количество витков, при котором создается такая
же по величине основная гармоника и. с., как и у реаль-
ной распределенной (обычно имеющей укороченный шаг)
фазы обмотки статора. Соотношение упомянутых и. с.
будет определяться уравнением (3-56), если из него
исключить 1л и Fai- Уплощенная волна и. с. имеет фор-
му прямоугольника, что позволяет иначе сформулиро-
вать физический принцип, положенный в основу системы
относительных единиц с базисной и. с. В этой системе
единичные токи в обмотках ротора и якоря создают пря-
моугольную пространственную волну н. с. одинаковой
амплитуды. Но ширина волны может быть разной, так
как, например, у демпферной обмотки она зависит от
шага. Прямоугольная волна и. с. будет реальной для
обмотки ротора и вымышленной для статора.
Система относительных единиц с базисной и. с. не
имеет никакого физического смысла. Ее единственное
преимущество — несколько более простой способ опре-
деления отношения чисел витков, чем в системе с базис-
ным Xad- Он базируется только на и. с. и не зависит от
распределения потока и конфигурации воздушного зазо-
ра. Вследствие потери физического смысла расчеты, вы-
полненные в этой системе относительных единиц, не сов-
сем отражают обычные характеристики машины. Авторы,
например, обнаружили, что индуктивность Ljj — по-
следовательно включенная в схему замещения для про-
дольной оси, может быть отрицательной у^ мощной явно-
полюсной машины, если пе учитывается демпферная
обмотка. Ясно, что для машин с равномерным цилиндри-
ческим воздушным зазором система с базисной и. с. дает
те же результаты, что и система с базисным Хаа-
82
Рассматриваемая система относительных единиц
используется редко. Применительно к многоконтурным
демпферным обмоткам [Л. 29] она позволяет получить
единичные отношения витков контуров, которые счита-
ются идеальными, как показано в предыдущем парагра-
фе. В этом отношении опа имеет физический смысл, но
это не очень существенно, так как одновременно нельзя
найти идеальное отношение чисел витков для обмоток
якоря.
Анализ многоконтурных демпферных обмоток в лю-
бой системе относительных единиц должен сопровож-
даться тщательным рассмотрением картины поля, созда-
ваемой контурами с укороченным шагом, для того чтобы
правильно определить их взаимные индуктивности
с обмотками якоря. Упомянутая работа [Л. 29] может
оказаться полезной при решении такой задачи.
г) Система относительных единиц с равными
взаимными индуктивностями
В этой системе относительных единиц, как видно из
се названия, отношения чисел витков выбираются так,
чтобы сделать равными все безразмерные взаимные
индуктивности по каждой оси. Следует подчеркнуть, что
она может применяться только в случае трех индуктив-
но связанных обмоток, т. е. когда па роторе имеется
обмотка возбуждения и одна демпферная или только две
демпферные обмотки.
Для этого ограничения имеются следующие причи-
ны. При произвольном числе индуктивно-связанных це-
пей N количество независимых сопротивлений взаимной
индукции равно-гл (/V — 1), а соответствующих отноше-
ний чисел витков равно /V—1. Поэтому, приравнивая сте-
пени свободы, получаем число цепей, для которых можно
выбрать такие отношения чисел витков, которые сделают
все сопротивления взаимной индукции равными одной
произвольной величине
4-(JV— I) .. i = w- i. (3-6i)
Отсюда М=3.
Рассмотрим теперь М демпферных контуров, распо-
ложенных один внутри другого. Очевидно, что каждый
6* 83
контур 'имеет одинаковые сопротивления взаимной
индукции со всеми контурами с большим шагом
(см. § 3-2,6), т. е. общее число различных сопротивле-
ний взаимной индукции контуров будет Л4—1. Кроме то-
го, каждый контур имеет свое сопротивление, обуслов-
ленное взаимной индуктивностью с обмоткой статора по
продольной осп. Соответствующая магнитная связь осу-
ществляется только с основной гармонической составля-
ющей индукции, а общее количество таких взаимных
индуктивностей равно М. Количество независимо выби-
раемых отношений чисел витков в этом случае равно
числу демпферных контуров Л1. Тогда максимально допу-
стимую величину Л4 найдем, приравняв общее число со-
противлений взаимной индукции без одного и незави-
симо выбираемые отношения чисел витков
(2М—1) —1=Л1.
(3-62)
Отсюда Л4=2.
Таким образом, и в этом случае максимально воз-
можное число обмоток равно трем. Стоит упомянуть
единственное исключение из этого правила, когда маши-
на имеет неравномерный воздушный зазор и более трех
фаз у распределенной обмотки статора.
Работа [Л. 7], например, проигрывает оттого, что авто-
ры применяют систему относительных единиц с равными
взаимными индуктивностями к машинам с неопреде-
ленным количеством обмоток, пе оцепив упомянутого вы-
ше существенного ограничения. Данная система относи-
тельных единиц распространяется па машины, имеющие
не более трех индуктивно-связанных обмоток. Поскольку
некоторые реальные машины пе удовлетворяют этому
условию, возможности ее для современных расчетов
ограничены и мы не рекомендуем ее.
Преимуществом системы относительных единиц с рав-
ными взаимными индуктивностями является то, что для
машины с тремя обмотками она дает несколько более
простую схему замещения, чем система с базисным Уп</
(рис. 3-7). Так как все сопротивления взаимной индукции
равны, упрощение имеет место из-за равенств нулю
индуктивности Lfkd — Lai, последовательно включенной
в схему замещения. Следует, однако, отметить, что
индуктивность Ldj = LQid в схеме замещения в отно-
сительных единицах системы с равными взаимными
84
индуктивностями не может быть заменена на Lad (что
допустимо в системе с базисным Хаа). Авторы ряда ра-
бот пе обратили внимания на это обстоятельство.
д) Система относительных единиц с единичным
базисным напряжением
ювятся равными единице для
любой другой обмотки рото-
Рпс. 3-9. Гипотетический синхрон-
ный двигатель с одинаковыми об-
мотками статора и ротора.
В этом случае за базисный ток ротора принимается
такой ток, который индуктирует в разомкнутой обмотке
якоря э. д. с., равную номинальному напряжению. Такая
система относительных единиц была предложена глав-
ным образом для упрощения анализа обмотки возбуж-
дения, так как в пей взаимные индуктивности между ста-
тором и ротором Ldf ста!
обмотки возбуждения или
ра. Опа широко использо-
валась, папример, в
[Л. 5, 27, 28]. Однако Ран-
кин отмечает [Л. 3], что
в этой системе относи-
тельных единиц сопро-
тивления взаимной ин-
дукции пе обладают
свойством взаимности, ис-
ключая поэтому возмож-
ность анализа дополни-
тельных обмоток на рото-
ре. Ниже будет показано,
что система относитель-
ных единиц с базисным
единичным напряжением
имеет серьезные недо-
статки, пе давая каких-
либо реальных преиму-
ществ при анализе. Мы
не рекомендуем пользо-
ваться сю.
Во-первых, она отличается от трех других рассмот-
ренных систем относительных единиц тем, что в ней
отношение чисел витков обмоток может существенно
отличаться от идеального. Машина, у которой безраз-
мерное синхронное индуктивное сопротивление имеет
порядок единицы, будет в этой системе относительных
единиц иметь отношение чисел витков для обмотки воз-
буждения, примерно равное отношению в системах с ба-
85
зпспымп Xa<i и п. с. или с равными взаимными индуктив-
ностями. Уменьшив вдвое воздушный зазор без измене-
ния обмоток, получим синхронное индуктивное сопро-
тивление порядка 2. Тогда отношение чисел витков
в системе относительных единиц с базисным единичным
напряжением будет примерно в 2 раза больше величины
в системе с базисным Хпа- Это происходит потому, что
в рассматриваемой системе относительных единиц еди-
ничный ток в одной обмотке не оказывает на машину
того же действия, что и единичные токи в других обмот-
ках, как это имеет место в системах с базисными Xn(i
и н. с. Хотя па первый взгляд это свойство системы ка-
жется полезным, оно не имеет физического смысла при
сопоставлении различных обмоток. Одним из его послед-
ствий будет то, что эта система относительных единиц
неудобна для использования со схемами замещения. Они
в общем случае будут содержать индуктивности, по фи-
зическому значению и размерам совершенно не связан-
ные с темп, которые обычно рассчитываются при проек-
тировании машины. Некоторые, вероятно, будр иметь
о гр и на тел ы i ы с знаки.
Есть еще одна причина, по которой системе относи-
тельных единиц с базисным единичным напряжением
недостает физического смысла. Представим себе син-
хронный двигатель, у которого обмотка возбуждения
идентична трехфазной обмотке статора, т. е. имеет 'оди-
наковые с ней схему, количество витков и другие обмо-
точные данные. По обмотке статора протекает симмет-
ричный трехфазный ток, а обмотка ротора, соединенная
но схеме (рис. 3-9), возбуждается постоянным током. Из
§ 3-2,а и 3-2,в следует, что для этого примера отношение
чисел витков будет одинаково в системах относительных
единиц с базисным ХП(] и базисной и. с.; это отношение
согласно формуле (3-23) равно 2/3. Хотя обычное актив-
ное сопротивление обмотки возбуждения по рис. 3-9 бу-
дет его безразмерное значение в этих системах
можно найти из выражения (3-25) как
(3-63)
Таким образом, обмотки статора и ротора имеют
одинаковые активные сопротивления в относительных
единицах, что указывает па их полную идентичность.
Можно добавить, что в системах относительных единиц,
86
имеющих физический смысл, безразмерные активные со-
противления обмоток, которые оказывают одинаковое
влияние на работу машины, обратно пропорциональны
общему объему затрачиваемых на них проводниковых
материалов. Разумеется, сопротивления зависят от раз-
мера лобовых частей, укорочения и распределения
обмотки и др. Такого рода сравнение обмоток, однако,
теряет смысл в надуманной системе относительных еди-
ниц с базисным единичным напряжением.
3-3. ДРУГИЕ ТИПЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Два предыдущих параграфа данной главы были по-
священы главным образом синхронной машине. Это
естественно потому, что относительные единицы прак-
тически используются почти исключительно для анали-
за и расчетов синхронных машин и обеспечивают упро-
щение особенно сложных уравнений роторных обмоток.
Однако в ходе предшествующего изложения мы устано-
вили ряд общих принципов, и было бы интересно по-
смотреть, как их -можно применить к анализу машин
других типов. Мы не ставим цели дать исчерпывающую
информацию по этому вопросу, а выберем только неко-
торые интересные аспекты.
а) Многофазный асинхронный двигатель
В § 3-2,а была показана важная роль основной гар-
моники индукции в воздушном зазоре при определении
основных характеристик синхронной машины и физиче-
ски обоснованной системы относительных единиц с ба-
зисным Xad. Первая гармоника поля столь же сущест-
венна в многофазной асинхронной машине. Поэтому для
определения вторичных токов ротора представляется
наиболее естественным п полезным выбрать систему отно-
сительных единиц с базисным Xad. Первая гармоника
имеет идеальную магнитную связь с распределенной
многофазной обмоткой якоря синхронной машины. Точ-
но так же она образует идеальное потокосцепление пер-
вичной и вторичной обмоток асинхронной машины, не
отличающихся от якорной обмотки синхронной машины.
Обмотка типа беличьей клетки тоже эквивалентна трех-
фазной по результирующему действию. Все другие со-
ставляющие поля, включая гармоники индукции воздуш-
ного зазора, как и в синхронной машине, можно учесть
87
в индуктивностях рассеяния и через некоторые вызван-
ные ими добавочные потерн1. Такой подход принят, на-
пример, в [Л. 30].
Сравнительно недавно возникла необходимость иссле-
довать частотные свойства и устойчивость работы трех-
фазного асинхронного двигателя. Метод двух реакций
оказался очень эффективным для такого анализа [Л. 35,
36]. Здесь трехфазные обмотки статора и ротора заменя-
ются нсевдонснодвижпыми обмотками ds и qs па ста-
торе, dr и qr— па роторе (рис. 3-10). Асинхронный дви-
гатель, конечно, имеет неявнополюсную конструкцию, со-
вершенно симметричную по обеим осям. Поэтому для
обмоток статора и ротора справедливо
Xds==XqSt Xdr===^-qri ^ads==Xaqs> Xadr==Xaqr- (3-64)
Рис. 3-10. Двухфазная модель
трехфазного асинхронного дви-
гателя с псевдонеподвижнымп
обмотками на статоре и ро-
торе.
Во многих задачах, представляющих практический
интерес, переменные нулевой последовательности можно
считать равными пулю.
Вследствие равномерности
воздушного зазора стано-
вятся идентичными системы
относительных единиц с ба-
зисной и. с. (см. § 3-2,в) и
с базисным Xad. Физически
обоснованной по-прежнему
будет система с базисным
Xad.
В рассматриваемом слу-
чае остаются полностью
справедливыми принципы,
на которых базируется рас-
смотренная выше предпочти-
тельная система относитель-
ных единиц, применяемая
при преобразовании трехфаз-
ной машины к эквивалентной двухфазной, т. е. преобра-
зование безразмерных переменных трехфазной обмотки
статора в переменные обмоток ds и qs будет осущест-
вляться по формулам (3-1) — (3-4). Таким же образом
преобразуются переменные трехфазного ротора, выра-
женные в относительных единицах, в переменные обмо-
ток dr и qr. Специфика состоит в том, что в формулы
преобразования переменных ротора входит угол 0Г меж-
1 Конечно, это справедливо лишь с некоторым приближением.
88
ду осями пссвдонеподвпжпой обмотки и реальной вра-
щающейся обмотки ротора [Л. 35], отличающийся от
угла (3-6),
0г=$Ы+6, (3-65)
где s — скольжение ротора.
Произведение базисного тока и напряжения, как и
ранее, в двух осях координат равно 3waoHo/2, а в трех-
фазной системе и,цйао- В качестве базисных по-прежнему
предпочтительно выбирать амплитудные значения пере-
менных (см. § 4-1).
Базисной величиной для u,/s и ичя является ия0, а Для
токов 3i’ao/2. Это вытекает из их соотношений с поми-
нальными величинами переменных обмотки статора.
Можно выбрать различные базисные величины для
«</,• и uqr, iqr н iqr в зависимости от отношения чисел вит-
ков1. Именно на этой стадии надо воспользоваться пра-
вилами перехода к системе относительных единиц с ба-
зисным Таким образом:
а) Единичным током в обмотках ротора dr и qr будет
такой ток, который создаст в воздушном зазоре машины
такую же по величине основную гармонику магнитного
ноля, какую создает симметричный поминальный ток,
протекающий в обмотке статора.
б) Предпочтительная система относительных единиц,
рассмотренная в § 3-1,а, строилась на базе принципа
равного действия. Используя его в данном случае, мож-
но констатировать следующее: симметричная система то-
ков в трехфазной обмотке ротора при базисном ампли-
тудном значении тока создаст в воздушном зазоре ма-
шины основную грамоипку поля такой же величины, как
и симметричная система токов обмотки статора при ба-
зисной амплитуде номинального тока. Заметим, что в слу-
чае ротора типа беличьей клетки под трехфазиой обмот-
кой ротора понимается некоторая воображаемая обмот-
ка, используемая для упрощения расчетов. Токи этой
обмотки связаны с действительными токами в стержнях
ротора известными соотношениями.
Для целей данного анализа нет необходимости при-
водить здесь точные схемы замещения машины в систе-
ме двух координат. Достаточно отметить, что при вы-
1 Обычно при нормальной работе асинхронного двигателя ротор
замкнут накоротко и «dr = «9r=0, но это не влияет на выбор базис-
ных значений этих напряжений.
7—23 89
бранном значении отношения чисел витков безразмер-
ные индуктивности рассеяния обмоток ds ai qs, dr и qr
равны тем индуктивностям, которые обычно рассчиты-
вают .я при проектировании машины. Поэтому схемы
замещения имеют физически наиболее обоснованный
вид, как и в случае синхронной.машины (рис. 3-7).
Схема замещения каждой фазы в относительных еди-
ницах может быть получена для установившегося сим-
метричного режима работы из уравнений машины в двух
осях координат. С этой целью они сначала преобразу-
ются в уравнения установившегося режима работы при
скольжении $. Затем с помощью уравнений (3-3) и (3-4)
совершается переход от переменных uds, u,JS, ids и iqs
к переменным ии и /а,чтобы получить схему замещения
для одной фазы. Не рассматривая в деталях эти преоб-
разования, приведем результирующую схему замещения
(рис. 3-11). Это хорошо известный тин схемы замещения
для комплексных переменных. Входящие в нес безраз-
мерные индуктивные сопротивления рассеяния статора и
ротора Xis и Х/г обычно рассчитываются при проектиро-
вании машины.
Следует вновь отмстить преимущество принципа рав-
ного действия, присущего системе относительных единиц
с базисным Xad, при сравнении различных обмоток. Если
представить себе, что пл статоре и роторе расположены
идентичные трехфазпыс обмотки, получим физически
обоснованное соотношение их параметров
/?г-- Х[1---X)s.
(3-66)
При любых других базисных токах ротора результат
был бы иным. Уравнения преобразования переменных
в относительных единицах позволяют в данном случае
записать выражения, аналогичные (3-8):
---1 (w ds Ч 4s)’
(3-67)
Применение одной системы относительных единиц
как для асиихорниого двигателя, так и для синхронной
машины дает возможность сравнивать величины полных
сопротивлений обеих машин. Если одинаковы их статор-
90
ные обмотки и номинальные токи, активные сопротивле-
ния этих обмоток в относительных единицах будут оди-
наковы; безразмерные индуктивные сопротивления рас-
сеяния также будут равны с хорошей степенью точности.
Этих соотношении нс может
быть, если выбрана иная
система относительных еди-
ниц. В литературе предлага-
ется [Л. 18] и довольно ча-
сто используется для анализа
асинхронного двигателя дру-
гая система относительных
единиц. Опа отличается тем,
что за базисный ток стато-
ра принята активная состав-
ляющая поминального то-
ка фазы статора. Это дает
ей некоторые практические
Рис. 3-11. Схема замещения
в системе относительных еди-
ниц с базисным Xad для фазы
грехфа июго асинхронного дви-
гателя в симметричном устано-
вившемся режиме работы.
(Активное сопротивление по-
терь в стали по учитывается.)
преимущества: исключается
зависимость базисного тока
от довольно неопределенной
расчетной величины коэф-
фициента мощности при номинальной нагрузке, а ба-
зисная мощность становится равной активной потребляе-
мой мощности, а нс полной. Однако эти достоинства пе
компенсируют потерн наглядности и единообразия мето-
да анализа, поэтому мы не рекомендуем пользоваться
этой системой относительных единиц. Той же точки зре-
ния придерживается автор работы [Л. 5].
б) Однофазный асинхронный двигатель
Остановимся на применении системы относительных единиц для
анализа однофазного асинхронного двигателя — па вопросе, который,
насколько нам известно, нс получил освещения в литературе. Это
дает хорошую возможность показать, как принципы, рассмотренные
в предыдущих разделах, распространяются на существенно отличаю-
щуюся машину. Ограничимся простым однофазным двигателем с рав-
номерным воздушным зазором оез пусковых устройств и жраинро-
вапных полюсов (рис. 3-12). С точки зрения применения системы
относительных единиц равномерность зазора роли не играет, но
упрощает анализ. Многофазный ротор представлен в виде эквива-
лентного двухфазного |(рис. 3-12,а), который заменен ротором
с псевдонеподвижпымп обмотками dr и qr по двум осям координат.
Так как двухфазная обмотка ротора эквивалентна многофазной,
а на статоре находится однофазная обмотка, то эта машина подоб-
на двухфазной синхронной машине с одной обмоткой возбуждения,
если статор и ротор поменять местами. Сразу же примем за
базисные номинальные величины напряжения и тока однофазной
7* 91
обмотки s. Что касается переменных обмотки ротора в двух осях
координат, то ;десь возникает вопрос о выборе отношения чисел
витков. Ясно, что предпочтительной следует считать систему относи-
тельных (динпц с базисным Хан- Собственные индуктивности обмо-
ток dr и у/ в относительных единицах равны безразмерной синхрон-
ной индуктивности Ld обмоток а и р. При выбранных базисных
величинах взаимная индуктивность обмоток dr и s равна индуктив-
ности реакции якоря Lnd для обмоток а и р.
В этой системе относительных единиц единичные токи idr и tqr
создаю! в воздушном зазоре машины такую же основную гармонику
поля, как и единичный ток ts. Можно записать матрицу полных со-
а) о)
9
Рис. 3-12. Простейший однофазный асинхронный двигатель.
а—однофазный статор н двухфазный вращающийся ротор; б — вращающиеся
обмотки ротора заменены лсевдопеподвижными по двум осям координат.
противлений однофазного асинхронного
единицах для двух осей координат
двигателя
в относительных
Л, dr, Чг ||
jcdi-ad
(s — 1) wLd
4- juLd
4''
(3-68)
Эта матрица относится только к установившемуся режиму рабо-
ты, поэтому входящие в нес индуктивности могут быть умножены
на /, а угловая скорость ротора выражена через скольжение s. При
этом подра <умсвается, что все напряжения п токи машины имеют
номинальную частоту и являются векторами па комплексной времен-
ной плоскости. [Отметим, что в матрице (3-68) э. д. с. вращения по
обеим осям имеют обратные знаки по сравнению, например, с урав-
нением (6-3). Это следствие принятого правила знаков. Сравнивал
рис. 3-12 с трехфазиой синхронный машиной (рис. 3-1), можно вн-
92
деть, что положительное направление вращения обмоток d и q по
отношению к однофазной обмотке в этих двух случаях различно] *.
Очевидным аргументом в пользу выбора системы относительных
единиц с базисным Xa(i является определяющая роль основной гар-
моники поля для работы машины. Теперь необходимо отметить, что
рабочие свойства данной однофазной машины нельзя адекватно
описать без анализа в этой системе относительных единиц двух
основных гармоник поля — прямо вращающейся и обратно вращаю-
щейся, появляющихся при подаче питания к однофазной обмотке
статора. Возможность для такого анализа появляется, если преобра-
зовать переменные обмоток dr и qr в новые переменные / и Ь, соот-
ветствующие прямому п обратному полям1 2. Это преобразование для
токов осуществляется согласно уравнению
Формула обратного преобразования имеет вид:
(3-G9)
(3-70)
Соответствующее преобразование осуществляется для пап
ний в относительных единицах. Формула
ляегся из условия сохранения
комплексных напряжений она
ряже-
опрсде-
। мощности инвариантной [Л. 6]. Для
аналогична выражению (2-29)
Таким образом,
Us
йъ
Обратное преобразование
1 Нормализованная угловая скорость ритора о рассматривается
в § 4-3. При анализе однофазного асинхронного двигателя понятие
угловой скорости в относительных единицах не вызывает никаких
трудностей. При необходимости в каких-либо разъяснениях по этому
поводу рекомендуем обращаться к § 4-3.
2 Схему замещения каждой фазы по методу вращающихся по-
лей можно получить и нс прибегая к этому преобразованию [Л. 33].
Существует возможность вывести схему замещения более сложного
вида, которая вообще не отражает существования в машине двух
полей, вращающихся в противоположные стороны [Л. 31], хотя, ко-
нечно, дает ту же информацию о работе машины. Однако рассматри-
ваемый здесь подход представляется наиболее ясным и простым.
93
Можно получить ндвую матрицу полных сопротивлений. Онй
определяется из уравнения, аналогичного (2-32), которое для ком-
плексных параметров имеет вид:
||Z|| = ||C*J|Z'|| II С ||. (3-74)
В развернутой форме запишем:
s f b
Если учесть, что для короткозамкнутого ротора
Uf = Ub = Q, (3-7G)
можно иначе представить соотношение между напряжениями и то-
ками. Для этого надо умножить вторую и третью строки матрицы
(3-75) соответственно на 1 /s и 1/(2—s). Тогда
. Lad
. Lod
. Lag
(3-77)
Уравнение (3-77) позволяет изобразить единую схему замещения
машины в виде рис. 3-13. Эта схема замещения обычно используется
для анализа однофазного асинхронного двигателя [Л. 32, 33], хотя
в других работах она получена без связи с системой относительных
единиц.
Индуктивное сопротивление Xt—Xad, последовательно включен-
ное в схему замещения (рис. 3-13), равно индуктивному сопротив-
лению рассеяния обмотки статора в относительных единицах, так же
как у ранее рассмотренных синхронной и многофазной асинхронной
машин. Именно это сопротивление обычно рассчитывается при проек-
тировании двигателя. Безразмерное индуктивное сопротивление ро-
тора Ха—Xnii наполовину соответствует прямо вращающемуся полю
и наполовину обратно вращающемуся. Активное сопротивление ро-
тора в относительных единицах R,- подразделяется таким же обра-
зом. Необходимо, однако, заметить, что эти их свойства зависят от
конкретного вида уравнений преобразования.
Если, например, сделать преобразования ортогональными *, то
получим значительно менее полезную форму схемы замещения
в относительных единицах. Безразмерное индуктивное сопротивление
1 Это достигается подстановкой в уравнение (3-69) коэффициен-
та 1/ I 2 вместо 1/2 и заменой элемента 2 в матрице на I 2. Тогда
ток Is не изменяется при преобразовании.
94
статора, последовательно включенное в схему замещения, станет
равным Xs—2X„d- Эта величина совершенно не имеет отношения
к индуктивном}' сопротивлению рассеяния обмотки статора в отно-
сительных единицах и может быть отрицательной. Все остальные
индуктивные сопротивления в схеме становятся физически менее
обоснованными. Безразмерное активное сопротивление, соответствую-
щее каждому из вращающихся полон, принимает значение /?г вместо
Rr№- Такой подход к анализу
ся в работе [Л. 31], но прово-
дится там для обычных размер-
ных величин переменных и па-
раметров без какой-либо связи с
системой относительных единиц.
Рассматриваемый пример
напоминает случай, который
имел место в системе относи-
тельных единиц, использован-
ной ранее при преобразовании
трехфазной машины в двухфаз-
ную. Как и там, ортогональное
преобразование безразмерных
однофазного двигателя использует-
Рис. 3-13. Схема замещения в от-
носительных единицах для про-
стейшего однофазного асинхронно-
го двигателя, полученная с по-
мощью уравнений преобразования
(3-69) —(3-73).
переменных и параметров не
соответствует полностью физи-
ческим явлениям в машине. Но
между ними есть и интересное
различие: в данном случае
нельзя ввести различные произ-
ведения базисного напряже-
ния и базисного тока для
сне гем координат /, b и dr, qr. Оперируя переменными d,
q, z и а, Ь, с в предпочтительной системе относительных единиц, мы
имели такую возможность. Причиной этого является то, что обмот-
ка s не изменяется в обеих системах координат — s, dr, qr и s, f, b,
которые одинаково приемлемы для анализа. Отсюда следует, что
произведение базисных напряжения и тока должно быть одинаковым
для обеих систем координат, чтобы перейти к практически полезной
и физически обоснованной общей системе относительных единиц. Это
хорошо иллюстрирует высказанную в § 3-1,6 мысль о том, что для
каждой конкретной задачи переход к той или иной системе относи-
тельных единиц должен осуществляться с учетом се особенностей
и преимуществ перед другими *.
Таким образом, есть основания считать уравнения (3-69) —
(3-73) предпочтительными для преобразования переменных в отно-
сительных единицах. Имеет смысл проверить, как они удовлетворяют
принципу равного действия, изложенному в и. 2 § 3-1,6.
Уравнения (3-69) — (3-73) можно интерпретировать так же, как
уравнения для симметричных составляющих (см. § 3-й,г), т. е. счи-
тать, что переменные в координатах f, b представляют собой компо-
ненты переменных в системе координат dr. qr и относятся к обмот-
1 Кстати, не следует делать
ведения базисных напряжения и
ства в рассматриваемом случае,
зовапы в анализе,
вывод о том, что различные произ-
тока давали бы какие-то преимуще-
Оии просто не могут быть исполь-
95
кам dr и qr. Выбранные памп соответствующие переменные показаны
на рис. 3-14, из которого ясно видно, что переменным в осях [, b
соответствуют две двухфазные системы напряжении и токов с раз-
личным порядком чередования фаз. Но этой причине они создают
магнитные поля, вращающиеся в противоположные стороны, и по
своему влиянию на работу машины эквивалентны переменным в осях
координат dr, qr, т. е. и переменным обмотки s. Для иллюстрации
рассмотрим пример, когда /</,•= I и /,,,=(). Нз уравнения (3-70)
следует:
if = ib = idr- (з-78)
Это позволяет утверждать, что единичный ток /у или /ь пред-
ставляет собой симметричную систему двухфазных токов, которые,
протекая в обмотках dr и qr, создают основную гармонику вращаю-
щегося магнитного поля с такой же амплитудой, как и у основной
волны пульсирующего поля, созданного единичным током Idr
в обмотке dr. Следовательно, согласно принципу системы относи-
тельных единиц с базисным Хаа, который устанавливает соотноше-
ние между токами Idr и Is, первая гармоника вращающегося поля
имеет ту же амплитуду, что и основная гармоника пульсирующего
поля, созданного единичным током /« в обмотке s.
Очевидно, что если в уравнения преобразования ввести коэффи-
циент '.I/г 2, который соответствует ортогональным преобразованиям,
принцип равного действия для единичных токов соблюдаться пе
будет.
в) Коллекторные машины
Мы не намерены устанавливать здесь предпочтитель-
ные системы относительных единиц для коллекторных
машин различных типов, а просто хотим кратко осветить
тс трудности, которые могут возникнуть при определении
базисных величин их вторичных токов. Можно утверж-
дать, что эта область применения систем относительных
единиц до настоящего времени относительно мало
изучена.
Коллекторные машины переменного тока работают
в основном по принципу асинхронного двигателя (напри-
мер, двигатель Шраге). Очевидно, что у них основная
волна поля в воздушном зазоре определяет характер
взаимодействия статора и ротора. В соответствии с этим
система относительных единиц с базисным Ха<1 дает есте-
ственный и физически обоснованный принцип выбора ба-
зисных токов вторичных контуров. Задача определения
базисных величин токов различных обмоток пе отличает-
ся от рассмотренных выше для асинхронной и синхрон-
ной машин и пе требует дальнейшего обсуждения,
96
Более сложные проблемы появляются при анализе
коллекторных машин постоянного тока, где нечетные
гармоники индукции в воздушном зазоре существенно
влияют на э. д. с. в обмотке якоря и таким образом уча-
ствуют в рабочем процессе машины. Ясно поэтому, что
принципы системы относительных единиц с базисным
XMi неприемлемы в этом случае
Можно не рассматривать проблему выбора базисных
величин, а просто нормализовать переменные обмотки
якоря и возбуждения путем деления их на поминальные
токи и напряжения на зажимах. Это, конечно, означает,
что отношение чисел витков двух обмоток равно единице.
Такая
система
относительных
единиц
практические преимущества,
машины с параллельным
возбуждением в относи-
тельных единицах и на-
пряжение на обмотке воз-
буждения машины с по-
следовательным возбуж-
дением в относительных
единицах будут равны той
части потребляемой мощ-
ности в относительных
единицах, которая выде-
ляется в виде электриче-
ских потерь в обмотке воз-
буждения. С другой сторо-
ны, ни о каком принципе
равного действия в этой си-
стеме относительных еди-
ниц пе может быть речи.
Принцип равного дей-
ствия соблюдается, если
за базисный ток воз-
буждения взять такой
имеет некоторые
ток возбуждения
11а и ример
~jUr А
Рис. 3-14. Составляющие токов и
напряжении в псевдонеподвпжиых
обмотках dr и qr, соответствую-
щие уравнениям преобразования
для однофазного асинхронного
двигателя в предпочтительной си-
стеме относительных единиц.
ток, который при заданной
скорости наводит э. д. с. между щетками по попереч-
ной осп якоря, равную э. д. с., наведенной поми-
нальным током якоря, протекающим между воображае-
мыми щетками по продольной осп. Привлекая вни-
мание к этим двум возможным путям решения задачи
выбора системы относительных единиц для коллектор-
ных машин, следует отметить, что вопрос этот сложен и
требует глубокого анализа, который здесь не проводится.
97
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
МОЩНОСТЬ, МОМЕНТ И ДРУГИЕ ВЕЛИЧИНЫ
В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦАХ
4-1. СРЕДНЯЯ И МГНОВЕННАЯ МОЩНОСТЬ.
ДЕЙСТВУЮЩИЕ И АМПЛИТУДНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
БАЗИСНЫХ ВЕЛИЧИН
В § 1-4 уже отмечалось, что за базисные величины
переменных напряжений и токов иногда принимают их
действующие значения [Л. 6, 8, 16, 18], а иногда ампли-
тудные [Л. 2, 7, 10, 11]. Для системы относительных еди-
ниц, используемой при преобразовании трехфазной ма-
шины в двухфазную по основной гармонике поля, мы на-
стоятельно рекомендуем брать амплитудные значения
в качестве базисных величин. Ниже приводится обосно-
вание этой рекомендации.
Если за базисные принять действующие значения, то
гшплитуды трехфазных симметричных номинальных на-
пряжений и токов в относительных единицах будут рав-
ны I 2. Следовательно, амплитуда потокосцепления лю-
бой фазы, в которой наводится э. д. с., равная поминаль-
ному напряжению, также будет ]/2 (см. § 4-3). При
номинальной нагрузке справедливо
I '(v‘d + = Кi2d + <%) = J/2.
Исходя из принципа равного действия в обмотке ро-
тора должен протекать ток, равный У 2 относительных
единиц, чтобы создать такую же основную гармонику
индукции в воздушном зазоре, какую создает поминаль-
ный трехфазный ток в обмотке якоря. Согласно принци-
пам, сформулированным в § 3-1,6, в номинальном режи-
ме лучше иметь безразмерные переменные, равные еди-
нице, чем У 2. А этого можно достигнуть, если взять
за базисные величины амплитудные значения.
Можно возразить, что в теории переменных токов ча-
ще принято пользоваться действующими значениями пе-
ременных. Ответом на это является то, что рассматри-
ваемый здесь анализ машин в двух осях координат, во-
обще говоря, предполагает наличие интереса к исследо-
ванию переходных процессов. В таких задачах ампли-
98
туда переменной играет более значительную роль и впол-
не резонно принять се за единицу.
В системе относительных единиц с базисными ампли-
тудами средняя полная мощность в цепи переменного
тока при единичном напряжении п токе равна 0,5. При
этих же условиях в системе с базисными действующими
значениями мощность равна единице (что более удоб-
но). Это не совсем строгий довод, так как нет никакой
существенной необходимости требовать, чтобы базисная
мощность равнялась произведению базисных напряже-
ния и тока. В рассматриваемой нами системе относи-
тельных единиц это соблюдается для переменных в двух
осях координат, по не для реальных фазных переменных.
Кроме того, средняя мощность не представляет интереса
при исследовании переходных процессов, более сущест-
венно иметь выражения для мгновенной мощности. Эти
выражения, как будет показано ниже, одинаково удоб-
ны в любой системе относительных единиц.
Средняя мощность обычно рассчитывается в устано-
вившихся режимах, для анализа которых можно пред-
ложить совершенно новую систему относительных еди-
ниц со своими безразмерными параметрами. Мы на ней
остановимся в следующем разделе. Здесь же за базисные
величины принимаются амплитуды номинальных напря-
жений и токов фаз якоря. Фазами обмотки полезно счи-
тать некоторые эквивалентные обмотки, соединенные
в звезду, вне зависимости от способа соединения фаз ре-
альной обмотки. Эта простая рекомендация содержится
в [Л. 18]. Она имеет ограниченное значение, так как от
псе совершенно нс зависит вид уравнении в относитель-
ных единицах. Однако она гарантирует неизменное соот-
ношение между переменными реальной трехфазноп
обмотки и их базисными величинами. Так, номинальное
линейное напряжение равняется ]/* 3 базисного напря-
жения, а номинальный линейный ток равен базисному
току. Кроме того, базисная мощность представляет собой
номинальную полную мощность, которую через базисное
напряжение и ток в двух осях координат можно выра-
зить как
Ро — 3iZaQt'ao/2. (4-1)
Рассмотрим теперь выражение мгновенной мощности
трехфазной обмотки в обычной размерной форме
Р — Wata Т llbib 4“
Разделим его иа базисную величину р0 из (4-1):
Р ___________ f llaln ИЬ1к I 4r'f \
It bib
9 ^aO^aO
(4-3)
Тогда уравнение мгновенной мощности трехфазной
обмотки в относительных единицах будет иметь вид:
Р (^a^a ^с)- (4-4)
Размерная величина мгновенной мощности в двух
осях координат определяется выражением
Р = Udid + Uqiq + 2цд‘
(4-5)
Напомним, что базисный ток в дву.хкоордппатной
системе равен Зц(0/2 (см. § 3-1,а). Следовательно, урав-
нение (4-5) в нормализованной форме будет:
P = udid+uqi
(4-6)
Заметим, что необычный коэффициент 2 у составля-
ющей мощности пулевой последовательности появляется
вследствие неинвариантпости мощности при преобразо-
вании переменных нулевой последовательности. Тем не
менее это преобразование, упоминавшееся в § 3-1,а,
используется иа практике. Разные множители у правых
частей уравнений [2/3 в уравнении (4-4) л единица
в уравнении (4-6)] объясняются различием произведений
базисных напряжений и токов в этих двух системах ко-
ординат.
Если за базисные принимаются действующие значе-
ния переменных, то правые части обоих выражений (4-4)
и (4-6) имеют коэффициент 1/2.
Для системы относительных единиц, в которой прово-
дилось преобразование трехфазной машины в двухфаз-
ную, были выбраны в качестве базисных величин
амплитуды фазного напряжения, тока и полная мощ-
ность. Будем их называть «основными базисными вели-
чинами» или «основными базисами». Такие базисные
значения удобны для детального исследования многих
проблем в области электрических машин. Другие воз-
можные базисные величины переменных, которые могут
оказаться полезными, рассматриваются в следующем па-
раграфе.
100
4-2. ПОНЯТИЕ О СОПУТСТВУЮЩИХ ВЕЛИЧИНАХ
В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦАХ
В 'предыдущем разделе было продолжено рассмотре-
ние системы относительных единиц, принятой при преоб-
разовании трехфазной машины в двухфазную. Эта систе-
ма с некоторыми вариациями находит применение при
решении многих задач анализа электрических машин.
Для примера можно назвать исследование переходных
процессов в синхронных генераторах, асинхронного
пуска синхронных двигателей и недавно рассмотренную
устойчивость многофазных асинхронных машин. Отличи-
тельной особенностью этих задач является, как указыва-
лось в § 1-2, необходимость тщательного проникновения
в физические процессы, происходящие внутри машины.
В тех же случаях, когда рассматривается в целом электри-
ческая система, а нс отдельные входящие в нес машины.
используются системы относительных единиц с другими
базисными величинами. В § 2-1, например, уже отмеча-
лось, что для анализа однофазного трансформатора
в установившемся режиме принято брать за базисные
действующие значения напряжений и токов. Если пере-
менными являются комплексные симметричные состав-
ляющие (см. § 3-1,г), также удобно использовать в ка-
чество базисных действующие величины. Болес того,
в случае, когда задача-решается в трех реальных фазо-
вых координатах, целесообразно взять за базисные, на-
пример, действующие значения линейных или фазных
напряжений [Л. 11].
Вообще правомерно считать, что для каждой области
исследований можно определить новую и совершенно
особую систему относительных единиц. Однако в этом
разделе мы намерены показать, что, наоборот, некото-
рые системы относительных единиц взаимосвязаны. Это
может представлять некоторый общий интерес 1 и, кроме
того, помочь при решении некоторых задач, где прием-
лемы различные системы относительных единиц (напри-
мер, детальный анализ работы машины в сложной систе-
ме, где машина питается несимметричным напряжени-
ем).
1 Именно по этой причине мы включили сюда приводимые сооб-
ражения, которые не следует принимать за общепринятый подход
к данному вопросу.
101
Существенным моментом является следующий.
Выбрав систему относительных единиц с основными ба-
зисами, можно определить так называемые «сопутствую-
щие безразмерные величины». Каждая сопутствующая
переменная нормализуется путем деления на свое ба-
зисное значение. Последнее выбирается так, чтобы со-
путствующая величина в относительных единицах рав-
нялась единице при тех же условиях, когда равна едини-
це соответствующая переменная в системе относительных
единиц с основными базисами. Например, действующее
значение сопутствующего безразмерного линейного на-
пряжения в симметричном режиме равно единице, когда
напряжение в системе номинальное.
Легко видеть, что его базисная величина будет
иа0 J/3/2 . Если фазное напря кеиие в системе относитель-
ных единиц с основными базисами имеет единичную ам-
плитуду, то амплитуда линейного напряжения в этой же
системе равна |/3, а действующее значение линейного
напряжения ]/3/2. Однако сопутствующая безразмерная
величина амплитуды линейного напряжения при этом рав-
на единице, так как она нормализуется делением на
иа() | 3. Единичное значение имеет также сопутствую-
щее действующее линейное напряжение в относительных
единицах, так как оно нормализуется делением на иао У 3/2.
Преимуществом этого понятия является то, что оно
объединяет многие величины в относительных единицах,
используемые отдельно в анализе машин и электричес-
ких систем, и логично связывает их с 'Переменными в си-
стеме относительных единиц с основными базисными
величинами!. Было бы утомительным для полной харак-
теристики каждой безразмерной величины всякий раз
отмечать, в какой системе относительных единиц опа
выражена — в сопутствующей или с основными базиса-
ми. На практике, однако, такое полное описание часто
не требуется, так как оно очевидно из физической сущ-
ности рассматриваемой задачи.
Вот один из примеров использования сопутствующих
безразмерных величии. Средняя мощность в симметрич-
ной системе с любым количеством фаз определяется
выражением
Р = Re Ш.
(4-7)
102
Здесь U и 1 представляют собоп сопутствующие дей-
ствующие значения линейных или фазных напряжений
и токов в относительных единицах.
4-3. ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЕ, МОМЕНТ И ВРЕМЯ
В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦАХ
Существует мнение [Л. 8], что нормализация времени
вносит ненужное усложнение в систему относительных
единиц с основными базисами, которая используется при
преобразовании трехфазной машины в двухфазную.
Однако в американской литературе [Л. 2, 3, 10, 16, 21,
27—29] целесообразность представления времени в отно-
сительных единицах считается общепризнанной. Мы раз-
деляем эту точку зрения по причинам, изложенным
ниже.
Система относительных единиц упрощается и лучше
удовлетворяет первому принципу из изложенных в
§ 3-1,6, если сделать равной единице безразмерную элек-
трическую угловую скорость машины соо в номинальном
режиме. Это делает уравнения особенно удобными, когда
машина работает при переменной частоте питающего
напряжения, что значительно упрощает анализ частот-
ных электроприводов с синхронными и асинхронными
двигателями, которые находят все более широкое при-
менение. Ниже показано также, что при нормализован-
ном времени уравнение момента (4-20) принимает более
простой вид.
Безразмерная величина со/ должна быть выражена
в системе относительных единиц с основными базисными
величинами. Поэтому выбор соо в качестве базиса для со
эквивалентен выбору 1/соо в качестве базисного времени
(т. е. /о=1/о)о). Нормализуем для примера выражение
мгновенного напряжения фазы а:
иа
и sin со/.
(4-8)
Введем сюда базисные величины
Ug
^а0
----Sill
^аО
В итоге можно записать в относительных единицах
иа = и sin «Л
(4-9)
103
Это справедливо, если
/(1=1/о)<>. (4-10)
Следует отметить, что поскольку индуктивное со-
противление равно произведению индуктивности и угло-
вой частоты, а безразмерная величина последней равна
единице при поминальной частоте, индуктивность и ин-
дуктивное сопротивление в относительных единицах
равны. Между этими величинами нет никакого различия,
если время нормализовано [Л. 29].
Выразив время в относительных единицах, можно
дать определение безразмерного оператора дифференци-
рования р. В обычной размерной форме он равен:
()t '
(4-11)
Из выражения (4-10) очевидно, что I-
этого
' dt со0 01 соо
//со»!. С учетом
(4-12)
Найдем теперь точное выражение операторного со-
противления в относительных единицах. Формула (3-26)
будет иметь вид:
(433)
Так подтверждается численное равенство безразмер-
ных величин X// и Ldi‘
Нормализация времени влияет на величину зависи-
мого базисного значения другой переменной— потоко-
сцепления. Рассмотрим уравнения Парка для перемен-
ных по продольной и поперечной осям координат и пуле-
вой последовательности
ud = d
Wqpb -ф- idRd'i
U4 = pWq ТфрО -ф- ^qRq'i
(4-14)
uz — pWz + izRz-
В этих уравнениях в иной форме отражены те же свя-
зи между величинами, что и в схемах замещения
рис. 3-2, с учетом общих выражений для потокосцепле-
104
Ний (3-33). Перепишем уравнение для осп
перехода к нормализованным величинам:
d с целью
Принимая во внимание определение безразмерного
активного сопротивления Rd (3-28), представим это
уравнение в относительных единицах
U<1 = рЧгн —xV‘4pO +i dRa •
Ясно, что зависимое базисное потокосцепление равно:
Ч'о=«0о/соо.
(4-15)
Выражение (4-15) показывает, что АР‘о является ам-
плитудой потокосцепления, которое, изменяясь с номи-
нальной частотой, индуктирует в обмотке э. д. с., равную
поминальному напряжению. Другими словами, это мак-
симальное потокосцепление обмотки фазы, в которой
при разомкнутых зажимах наводится поминальное на-
пряжение (что соответствует первому принципу из из-
ложенных в § 3-1,6 — свойство, которое имеет место
только при нормализации времени). Уравнения (4-14)
в относительных единицах имеют вид:
«2 = Р'Г2 + /2/?а-
(4-16)
Полная система уравнений, описывающая машину,
включает в себя уравнения для цепей обмоток и уравне-
ние моментов. Записанные для обычных размерных ве-
личин, они содержат члены, в которые входит число пар
полюсов машины п. При переходе к относительным еди-
ницам желательно исключить п из уравнений, потому
что оно не оказывает решающего влияния на работу
машины. Кроме того, механическая и электрическая
угловые скорости ротора в относительных единицах
оказываются одинаковыми. Этого можно достигнуть,
если принять за базисную механическую угловую ско-
рость vo величину, связанную с базисной угловой часто-
той соо соотношением
Vn=0)o/«-
8—23
105
Отсюда
(4-17)
Выражение (4-17) можно интерпретировать как нор-
мализующее механический угол поворота ротора 0пг пу-
тем деления на базисную величину угла 1/zz, рад.
Базисный момент теперь можно определить как за-
висимую величину. Это будет момент, соответствующий
базисной мощности при базисном значении механической
угловой скорости, т. е.
ЗЦдо40о -
(4-18)
Отметим, что Адкинс предложил другую систему от-
носительных единиц [Л. 8], в которой момент и механи-
ческая скорость многополюсной машины нормализуются
по отношению к базисным величинам эквивалентной
двухполюсной машины той же мощности. Это усложне-
ние не дает больших преимуществ.
Взаимная согласованность вышеприведенных величин
может быть показана в процессе вывода уравнения мо-
мента в относительных единицах. Момент будем опре-
делять через потокосцепления и токи. Электрическая
мощность, соответствующая э. д. с. вращения в уравне-
ниях (4-11), равна выходной механической мощности на
валу. Запишем се через обычные размерные переменные
в двух осях координат
(4-19)
р = Т\'—4fd/\p0—4f Qif/pO.
После введения сюда базисных величин получим:
С учетом выражений (4-17) и (4-18) будем иметь
уравнение для мгновенного значения момента в относи-
тельных единицах
Т = (4-20)
Такую простую и физически обоснованную форму
уравнения момента можно получить, только если время
нормализовано. Если этого не сделать, в этом уравне-
нии появляется лишний множитель «о [Л. 8].
106
4-4. ДИНАМИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
Размерное значение динамического момента зависит от момента
инерции J и механического углового ускорения следующим образом:
T—Jpv. (4-21)
Введем сюда базисные величины с целью нормализации этого
выражения
Уравнение принимает хорошо известный вид [Л. 8, 11], когда
момент выражен через так называемую инерционную постоянную Н,
равную отношению запаса механической мощности при единичной
механической скорости к номинальной полной мощности. Таким
образом,
'^ЧаО^аО
(4-23)
Уравнение (4-22) тогда будет:
Т=2wo^/pv=2 wo Нр20.
(4-24)
Коэффициент 2(оо// не только усложняет уравнение, по и делает
его отличающимся от соответствующего размерного аналитического
выражения. Это происходит потому, что Н является размерной ве-
личиной и измеряется в секундах. Так же, как и Конкордиа в работе
[Л. 10], мы предпочитаем использовать понятие момента инерции
в относительных единицах
/= 4“ = 2й>0//. (4-25)
J о
где
3 по
2 co0v20
Теперь уравнение i(4-24) предельно упрощается
Т= J p2Q.
(4-26)
В [Л. 5] встречается как Н, так и J, но J называется инер-
ционной постоянной, а Н — постоянной запаса энергии. Эта термино-
логия нс лишена смысла, по, к сожалению, может послужить при-
чиной недоразумений. 'Вследствие этого мы предпочитаем более
длинное название для J—«момент инерции в относительных еди-
ницах».
Физический смысл J можно представить так:
Запас механической мощности при единичной
механической скорости
Номинальная полная мощность, потребляемая' ' ~ 1
за единицу времени
Очевидно, что базисным моментом инерции называется такой,
который обеспечивает единичное ускорение ротора при единичном
электромагнитном моменте.
8* 107
ГЛАВА ПЯТАЯ
РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Здесь излагаются основные идеи и результаты. полученные
н предыдущих главах, чтобы в сжатой форме дать общее представ-
ление о системах относительных единиц и полнее осветить некоторые
выводы путем их сопоставления с другими результатами.
Мы уделили значительное внимание предпочтительной системе
относительных единиц с основными базисными величинами, которая
используется при преобразованиях трехфазиой машины в двухфаз-
ную. При этом делается акцент не только на тщательную математи-
ческую формулировку проблемы, по и в особенности на физическую
интерпретацию явлений и результатов. С помощью предложенной
системы относительных единиц можно анализировать большое коли-
чество различных устройств и систем. По существу она применима
ко всем задачам в области электрических машин, которые до сих
пор решались в относительных единицах. В прошлом областью наи-
более частого применения относительных единиц были трехфазные
синхронные машины, анализируемые методами теории электрических
цепей, и сравнительно недавно стали уделять внимание трехфазпым
асинхронным машинам. В будущем роль относительных единиц не-
сомненно будет возрастать пе только в изучении синхронных машин
п систем, по и асинхронных машин, особенно в свете возрастающей
сложности электрических систем и связанной с этим важности иссле-
дования переходных процессов. Применение систем относительных
единиц обеспечивает преимущества, детально рассмотренные в гл. 1.
Сгруппируем здесь отличительные особенности рекомендуемой
памп предпочтительной системы относительных единиц. После каж-
дой характерной особенности указан раздел настоящей книги, в ко-
тором опа впервые рассматривалась.
а) Уравнения преобразования (3-1) и (3-2) связывают трехфаз-
ные и двухфазные переменные в относительных единицах; обратное
преобразование осуществляется согласно выражениям (3-3) и (3-4).
Преимущество этих преобразований состоит в равенстве амплитуд
переменных в обеих системах координат (§ 3-1,а).
б) Базисные токи вторичных контуров выбираются по принци-
пам, положенным в основу системы относительных единиц с базис-
ным Xad при диаметральном шаге обмотки. Согласно этим принци-
пам базисные токи вторичной многофазной распределенной обмотки,
сосредоточенной обмотки с диаметральным шагом или той, которая
заменена эквивалентной обмоткой с диаметральным шагом, опреде-
ляются как токи, создающие в воздушном зазоре такую же основ-
ную гармонику поля, какую создают номинальные токи в первичной
обмотке. Обмотки с укороченным шагом (например, демпферные)
легко заменяются эквивалентными обмотками с диаметральным ша-
гом без изменения копичества витков (§ 3-2,а и 3-2,6).
в) Базисными напряжением и«о и током i0o трехфазной первич-
ной обмотки являются максимальные значения номинальных величин
для эквивалентного соединения обмотки в звезду (§ 4-1). Соответ-
ствующие базисные величины в двух осях координат будут иао и
3/„о/2 (§ 3-1,а).
г) Базисная мощность равна номинальной полной мощности
Зняо^оо/2 (§ 4-1).
д) Время нормализуется по отношению к базисному значению
1/(||о. где соц — номинальная угловая частота (§ 4-3).
е) Механическая угловая скорость ротора выражается в отно-
сительных единицах так. что она становится равной электрической
угловой скорости (§ 1-3).
ж) Рекомендуется переводить в относительные единицы момент
инерции. Ченее удобной альтернативой является постоянная инерции
(§ 44).
При рассмотрении систем относительных единиц был затронут
ряд вопросов, представляющих более широкий интерес. Некоторые
из них перечислены ниже.
4) Значение и популярность всякой системы относительных еди-
ниц возрастают, если понятны физические и чисто математические
основы их применения для анализа конкретных устройств. Этому
способствует четкое разделение следующих трех этанов в переходе
к системе относительных единиц:
преобразование переменных,
нормализация всех переменных за одну математическую опе-
рацию,
разумный выбор отношения чисел витков для каждой цепи.
'2) Численные значения взаимосвязанных величин отношения чи-
сел витков и индуктивного сопротивления рассеяния для отдельных
обмоток, вообще говоря, являются неопределенными н не имеют
физического смысла. Идеальному отношению чисел витков при опре-
деленных обстоятельствах можно дать физическое толкование. Для
большинства реальных устройств можно определить идеальное отно-
шение чисел витков. Система относительных единиц с ба шеным X„d
при диаметральном шаге обмотки основана па использовании такого
отношения витков в тех машинах, в работе которых главную роль
играет основная синусоидальная волна поля в воздушном зазоре.
Любая физически обоснованная система относительных единиц дает
пример использования принципа равного действия обмоток.
3) Предложена система относительных единиц, предпочтительная
при проведении преобразования трехфазной машины в двухфазную.
Ее идея состоит в том, чтобы, когда это возможно, единичные зна-
чения переменных имели место одновременно в обеих машинах при
номинальной нагрузке. Это достигается изменением величины произ-
ведения базисных напряжений и токов в обеих системах .координат.
Такой способ нельзя использовать во всех случаях, что указывает
на необходимость гибкого подхода к созданию систем относитель-
ных единиц с учетом конкретных условий. Это пе означает, что
должна изменяться базисная мощность, так как форма уравнений
для мощностей в относительных единицах всегда одинакова. Просто
трехфазные обмотки на одной части машины в относительных еди-
ницах рассматриваются независимо от обмоток на других. При этом
оказываются одинаковыми безразмерные полные сопротивления фаз
тоехфазной и эквивалентной двухфазной машины.
Полезность п область применения рассмотренной системы отно-
сительных единиц показаны па примере анализа многофазной асин-
хронной машины, который оказывается довольно простым; еще более
эффективно — па примере простейшей однофазной асинхронной ма-
шины и, наконец, коллекторных машин. Мы надеемся, что привели
здесь полное описание однофазной машины в системе относительных
единиц с базисным Xa<i и первыми распространили относительные
единицы на однофазные и коллекторные машины. Исчерпывающим
109
образом в относительных единицах описано большинство коллектор-
ных машин переменного тока. В отношении машин постоянного тока
мы ограничились констатацией различия между ними и машинами
переменного тока и объяснением, как в этом случае воспользоваться
принципом равного действия.
В заключение отметим причину, которая побудила авторов рас-
смотреть в одной работе вопрос о системах относительных единиц,
в особенности с точки зрения их применения к электрическим маши-
нам. Это решение было принято из-за совершенно различных под-
ходов к применению относительных единиц и из-за неправильного
их использования в литературе. В данной монографии сделана по-
пытка лучше объяснить и сопоставить ранее опубликованные рабо-
ты, а также представлены аргументы в пользу определенной пред-
почтительной системы относительных единиц. Авторы надеятся, что
эта система станет общепринятой. Наконец, применяя любую систе-
му относительных единиц, очень важно делать четкое различие меж-
ду уравнениями в обычной размерной и безразмерной форме. Всегда
должна даваться ясная и полная информация об используемой си-
стеме относительных единиц.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ
6-1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ СОПРОТИВЛЕНИЙ
ТРЕХФАЗНОЙ МАШИНЫ В МАТРИЦУ ДВУХФАЗНОЙ
Ниже приводится преобразование, в которое включена одна
обмотка ротора f. Преобразованиям в соответствии с уравнениями
(3-14) и (3-20) подвергаются размерные переменные. Следует отме-
тить, что это не ортогональное преобразование и что мощность не
остается инвариантной в результате преобразования переменных ну-
левой последовательности.
В координатах a, b, с, f можно записать следующее соотноше-
ние между напряжениями и токами:
^a-j-P^cc
Р^с!
ы>
ic
(G-l)
Правило знаков исходит из того, что положительными считают-
ся токи, потребляемые обмоткой статора и возбуждения, т. е. вхо-
дящие в начало обмотки и протекающие в направлении положитель-
ного приложенного напряжения.
НО
При обычных упрощающих допущениях индуктивности можно
считать следующими функциями угла 0:
Laa — La0 -f- La2 cos 26; Lbb —LaQ-\-La2 cos (20—240 ); )
Z>cc=^ao4-^a2COS (20 —120°); Lab=— Aato+^a2cos (10—120°); I
= — ^abo + ^a2 cos 20; Lca=—Labo+ ^2 cos (20 —240°);
La} = Lald cos 0 ; Lbi ~Lafdcos (0 — 120°);
Lc1 = Laid cos (0 - 240°).
(6-2)
Здесь Lao, L„2, Lnbci—постоянные коэффициенты (индекс 0 не
означает базисной величины), Lafd была определена выше.
В результате преобразования этих уравнении к системе коорди-
нат d. q, z, f получаем:
— LqqpO
^dfP
LdjP^
Rz “I" RzzP
Rf+LjfP
(6-3)
Электрический угол 0 измеряется между осью фазы а и продольной
осью машины, т. е. осью обмотки возбуждения, а величина рО поло-
жительна тогда, когда ротор вращается в направлении а—
Можно показать, что при таком преобразовании существуют
следующие соотношения между параметрами:
Rd—Rq — %Ra/3', Ldd—^(RaO-i-Labo)/^~l~La2',
— 2 (Aa0 + L(t Ьо) /3-----Lh2'i
Rz— 2Ra/3", Lzz — 2(La0—2Lab0) /3-
Нормализуем эти величины в системе относительных единиц
с основными базисами, которая используется при преобразовании
трехфазной машины в двухфазную. Напомним, что базисные сопро-
тивления обмоток а, b и с равны 2/.ч базисных сопротивлений обмо-
ток d, q, z и f. В относительных единицах соотношения (6-4) при-
мут вид:
Rd == Rq. == Ra> Rid == La§ -|- Labb -J- 3Z,a2 2,
чч
(6-5)
3^*a2 —» Ldf ----- Lajdt
Параметр Lafd рассмотрен в § 3-1.
Потокосцепления обмоток а, b и с можно записать:
(6-6)
Если время нормализовано, то это уравнение имеет одинаковый
вид как для размерных величин, так и в относительных единицах.
Уравнение преобразования потокосцеплении такое же, как для
напряжений. Если обычные размерные напряжения преобразуются
согласно (3-4 1), оно одинаково для размерных и
токосцеплений. В безразмерной форме
безразмерных по-
Чф
Ч«()
Ф-
Аналитическая связь потокосцеплении с индуктивностями и то-
ками в системе координат d, г/, z, [ также одинакова и в относи-
тельных единицах, и для обычных размерных величин. Для общности
добавим одну демпферную обмотку по каждой оси:
* <i — -ф Lfifif -ф
4% = Lqqt’q -ф Lq^qt^q-
(6-8)
Отметим, что уравнения (6-5) — (6-8) в системе относительных
единиц похожи на приведенные в работе [Л. ЛО] и отличаются от
них лишь знаками токов статора. Это объясняется тем, что мы поль-
зовались другим правилом знаков. Однако промежуточные этапы
преобразования, описываемые уравнениями '(6-3) и (6-4) для обыч-
ных размерных величин, являются отличительной чертой представ-
ленного здесь анализа.
6-2. ИДЕАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ ЧИСЕЛ ВИТКОВ
И ИНДУКТИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ
Па рис. 6-1 показана простая конструкция с первичной и вто-
ричной обмотками, подразделенными на две части и расположенны-
ми па магиитопроводе из стали, магнитная проницаемость которой
считается бесконечной. Сердечник имеет три небольших воздушных
зазора с магнитными сопротивлениями Ri, R> и 7?.г, в двух частях
первичной обмотки т\ и И\ витков, а в двух частях вторичной —
т2 и п> витков. Можно считать, что это устройство не имеет потоков
рассеяния. Ведь если зазоры достаточно малы, то можно пренебречь
потоками, которые проходят минуя зазоры, так как они ничтожны
по сравнению с потоками в этих зазорах. Весь поток воздушных за-
зоров сцеплен по крайней мере с частью обеих обмоток.
Если только в первичной обмотке протекает ток 1 А, то можно
записать:
till =/?|(Р|-ф/?2((1’1'Ф11,2) i (6-9)
П1 =— R2 (Ф,-фФ2) —/?3<1>2. (6-10)
Здесь Ф] и <1»2 — потоки, пересекающие воздушные зазоры 1 и 2
в направлениях, показанных па рис. 6-1, обратный путь потоков
проходит через зазор 2. Собственная индуктивность первичной
обмотки рассчитывается через ее полное потокосцепление, созданное
собственным током в 1 А. Следовательно,
L11 = т । Ф1—/11Ф2.
Взаимная индуктивность рассчитывается через
сцепление вторичной обмотки при тех же условиях
L12 == —ЛгФг-
(6-11)
общее потоко-
(6-12)
112
Формула (2-39) позволяет определить отношение чисел витков
для случая, когда возбуждается только первичная обмотка
/Л|Ф| /11Ф*2 ^11
ЛК = —. (б- I 3
Р /Л72Ф| /ЫФг ^12 v
Этот результат получается потому, что нет потока рассеяния.
Решив совместно уравнения /(6-9) и (G-JO) и подставив резуль-
тат в выражения G-11)—'(6-13), получим:
(//?! +/?l)2 /?2 + ^‘‘1^3 +
RlR2 + R2R3 Н~ R3R1
Вследствие симметрии устройства отсюда следует:
(ш2 + п2)г R2 + l/R2R3 + //22^i
= R& + R^R, + RjR' ';
(m, + /h)(m2 + /г2)Т?2 + mxm2R3 + fi'ii 2R,
Ll2 = RtR2 + R2R3 + R3Rt
Найдем теперь выражение:
w22»22
»?t_____«i
W2 «2
Отношение чисел витков Nр по формуле (6-13) можно
ставить в виде
(///| + /?i)2/?2 + m2\R3 ll2xRx
~ (wzi + «1)('«2 + !12)R2 + mxm2R3 -\-Hxn2R\
(G-15)
(6-16)
(6-17)
пред-
(6-18)
Если определить отношение чисел витков для случая возбужде-
ния со вторичной стороны, то оно будет равно LiziL™ из-за отсут-
ствия потока рассеяния. В результате будем иметь:
_ (,,?1 + + /гг) R2 + /Н1/И2Я3 4- iixii2Rx л нл
Ns= (fn2^n2)2R2-{-m22R3 + n22Rx ’
Ниже рассмотрен физический смысл выражений типа (6-17) —
(6-19).
Из формулы (6-/17) видно, что коэффициент связи обмоток мень-
ше единицы, хотя в устройстве нет потока рассеяния в общеприня-
том смысле. Поэтому расчет индуктивных сопротивлений рассеяния
каждой из обмоток по обычным методикам дал бы в результате
нули для обеих обмоток. С другой стороны, при коэффициенте связи
меньше единицы не могут быть одновременно равны нулю индуктив-
ные сопротивления, последовательно включаемые в схему замещения.
Это видно из рассуждений, предшествующих уравнению (2-45). Сле-
довательно, между индуктивными сопротивлениями рассеяния и
теми, что последовательно включаются в схему замещения, в общем
случае не может быть прямой связи.
Кроме того, формулы (6-18) и (6-19) дают два различных зна-
чения отношения чисел витков, отображая таким образом обстоя-
тельства, уже отмеченные в § 2-3 и в [Л. 16].
из
Для целей данного анализа будет достаточно показать условия,
при которых исчезают эти два препятствия. Устройство тогда обла-
дает свойствами, соответствующими идеальной магнитной связи
между обмотками. Вот эти условия:
а) Если Rt равно бесконечности, коэффициент связи становится
равным единице, как видно из выражения (6-17). Этого следовало
ожидать, так как ноток теперь замыкается только внутри нижнего
контура в сердечнике, образуя идеальное сцепление (в смысле, опре-
деленном в § 2-3) с витками, числа которых имеют отношение /21//Z2-
Формулы '(6-18) и (6-Г9) показывают, что N Р и Ns оказываются
равными этой величине, которая и есть идеальное отношение чисел
витков. Аналогично, если R:>. бесконечно велико, идеальное отношение
чисел витков будет а если /?2, то
(Ш|+Л1)/(П«2-ЬН2).
6) Сделаем равными отношения чисел витков на двух половинах
сердечника, т. с.
W1 _ Л|
т 2 п2
(6-20)
по
Очевидно, что коэффпцпен1
показать, что /V,, = lVs — t\'i.
связи станет равен единице, и мож-
Этот случай интересен тем, что по
Рис. 6-1. Устройство с обмотка-
ми, имеющими индуктивную
связь.
все витки первичной и вторичной
обмоток идеально сцеплены со все-
ми трубками потока взаимной ин-
дукции. Это происходит, несмотря
па неизменное распределение поля
взаимной индукции, отмечаемое
выражением (6-20), что является
составной частью определения
идеального коэффициента связи
и идеального отношения чисел
витков, данных в § 2-3.
Последнее показывает, что по-
нятие идеальной магнитной связи
определено в § 2-3 достаточно пол-
но, по допускает более широкое
толкование. Это можно сделать.
чтобы распространить его на не-
сколько более общие случаи
устройств с взаимной индуктив-
ностью. Нетрудно привести приме-
ры таких случаев, но в этом нет
необходимости. В интересующих нас реальных устройствах идеаль-
ная магнитная связь обычно соответствует тем ограниченным усло-
виям, которые были изложены выше.
6-3. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ СИНХРОННЫХ МАШИН
С ДЕМПФЕРНЫМИ ОБМОТКАМИ В ПАЗАХ РОТОРА
На рис. 6-2 показаны общие схемы замещения для продольной
и поперечной осей синхронного двигателя в переходных режимах
Предполагается, что машина имеет по продольной оси обмотку воз-
буждения с диаметральным шагом и по каждой из осей — три
демпферных контура с укороченным шагом. Обозначения па рис. 6-2
114
il 6-3 справедливы только для уравнении преобразования (3-1) И
(3-2) в системе относительных единиц с базисным Xad при диамет-
ральном шаге, которая описана в § 3-2,6.
nd)p Rf (Xff Xad+Xo5d Xf3d)p
(%od ^a.3d)P
(R33d.-R23d)(X33d Xf3(i+Xf2C[ Xz3d)p
----i__/А-------
Ч-d
(Xo3d. XaZdjP
(Xazd Xaldty
(Xzzd Xz5ci)p
(^22d~^23d)
(Rz3tL R 1Zd)
Xn3d+Xa?„d)P
(X„d~Xi?d) P
(Rl1cL~R I2d)
(Xzsd %f2d
~ XfZ(i+Xffd)P
Xa td P
(Xaiq Xa3q)P
'(XfZd Xffd
~~ XaZd^afd )P
ys pO ^x(X/‘d XrjitfJp
-4-— ------О---------------a,
/?
(f^33q~^32q^X\
(X33q~Xj2q)p
{Xnfq Xa?q)p
iq
R a Rffq Rizq)
(Xq~~X(]in)p (X'iq~ X?iq~ p
Рис. 6-2. Схемы замещения продольной и поперечной осей синхрон-
ного двигателя в переходных режимах.
По продольной осп расположена обмотка возбуждения с диаметраль-
ным шагом, по каждой оси имеются три демпферных контура. Пре-
образование осуществляется согласно уравнениям (3-1) и (3-2) в си-
стеме относительных единиц с базисным А’оа при диаметральном шаге.
115
Номера демпферных контуров совпадают с номерами стержней
беличьей клетки на рис. 3-8, т. е. ток внутреннего контура по оси </,
протекающий по стержням 1, будет iid,a ток внешнего контура l3tI.
По осп г/ стержни 3 образуют внутренний контур с током /зу, в то
время как во внешнем контуре по оси протекает ток hg- Такой же
нумерации придерживается Левис в [Л. 16]. Ранкин пользуется дру-
гим способом, нумеруя каждый стержень дважды — один раз в смыс-
ле его действия но оси d, другой — по оси q.
Схемы замещения па первый взгляд кажутся очень сложными.
Если рассмотреть каждую ячейку, легко увидеть, что они соответст-
вуют известным уравнениям в двух осях координат для обмотки
возбуждения и демпферных контуров, индуктивно-связанных со ста-
тором через синусоидальную волну поля в воздушном зазоре. На-
пример, для левого контура схемы по оси d можно записать:
Ud — (Ra 4“ XdP) id + XadPif + -^пзй pi^i-V
4“ -^"aidPi'id X a\dpi\d
. (ля второго демпферного контура по оси d справедливо
(^?22d 4“ X%2dp)
(^|2с/4~ X 1 2dP) il d +
Идеальные трансформаторы с коэффициентом трансформации 1
необходимы, когда по продольной осп имеются два пли более демп-
ферных контура. Это происходит потому, что обмотка возбуждения
имеет индуктивную связь со всеми обмотками по продольной осп, но
нс имеет с ними электрической связи. В схему замещения включен
идеализированный источник напряжения llj,символизирующий возбу-
дитель, соединенный с обмоткой возбуждения. Вследствие идеально-
сти трансформаторов току // в одной обмотке соответствует такой
же ток в другой, и это равенство сохраняется в любой момент вре-
мени. Аналогично падение напряжения с одной стороны трансфор-
матора всегда равно напряжению с другой. Поэтому пень обмотки
возбуждения описывается следующим уравнением:
ЧI — Rfi / 4~ IJ Xad 4“ Xa3d ' X j3d) Pi] I
4~ (Xfad —Xf2d — Хаза 4“ А’ага) Р {isd 4“ if) 4~
4~ {Xj2d Xfm X(l2(] -j- p {'2d + Г-ы 4~ if) +
4~ (Xfia — Xaill) P (Ga 4- i-2d 4~ isd b if) ~\~Xa,iP X
X ('</ 4- ii) 4~ Xa2dPl3d 4- Xa2dPl2d 4" XaulPlld-
Отсюда
iij = {Rf 4“ Xj/p) i) 4- XjzdPibd 4- Xi2dpi>id 4* XjXdPi\d-
В схеме замещения может быть представлено без идеальных
трансформаторов любое количество демпферных контуров, имеющих
электрический контакт через замыкающие кольца.
Ключ 32 включен в схему замещения по осн q в точке, соответ-
ствующей середине беличьей клетки по этой осп, т. е. последователь-
но с общим активным сопротивлением R-nq- Размыкание этого клю-
ча означает отсутствие взаимного соединения демпферных обмоток,
лежащих па разных полюсах. Не следует считать, что при этом по
оси q перестает действовать демпферная обмотка, просто размыка-
нном ключа мы накладываем условие
i\4 4“ 4<1 4~ ~ О*
116
1> частном случае, когда по каждой осп имеется по одному
демпферному контуру, схема замещения принимает вид рис. 3-7.
Две схемы замещения па рис. G-2 соответствуют переходным
режимам и связаны между собой посредством э. д. с. вращения
Xg-.q)
:jri) j(X-53d Xf3cd+XfZcL~
j^a3d XaZd)
Xald)
JlXzza Xz^d)
~S l^22d~^23d)
j(Xzzq-Xziq)
12qf \
j( Хцц~Х2fq Xa3y+Xa2q)
R 23(f)
j(X2lq~Xa2i]~Xj2q+Xa3q)
j(Xfjd X/zd.)
i/d~^!2d)
Pnc. 6-3. Схемы замещения рис. 6-2, упрощенные для асинхронного
режима работы синхронного двигателя при постоянном скольже-
нии s.
'1%р0 и Ч'арО. Эта связь подробно рассмотрена в работе [Л. 16] для
постоянного скольжения н нулевого напряжения возбуждения. В ре-
зультате анализа получена схема замещения '(рис. 6-3) в предпочти-
тельной системе относительных единиц. Преобразование выполнено
для случая, когда ось q в положительном направлении вращения
опережает ось J. Эта схема замещения предназначена для иссле-
дования асинхронных режимов работы синхронных двигателей
[Л. 16]. При се выводе напряжения статора считались комплексными
векторами, имеющими частоту скольжения
Ud=Ua’, Uq^jUa.
Наиболее интересная отличительная особенность схемы замеще-
ния состоит в том, что из нее устранены э. д. с. вращения, которые
имелись в схеме рис. 6-2. Вместо них в схему вошло сопротивление
связи (11—s) Ra/(2s—1) и все активные сопротивления контуров ро-
тора делятся на скольжение s. Конечно, это сопротивление связи
отрицательно при 5<0,б. Интересно отметить, что у всех машин,
в том числе и у симметричных асинхронных двигателей, у которых
оси d и q идентичны, при 5 = 0,5 это сопротивление равно бесконеч-
ности и в цепи нет тока, так как Id—jlq.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sheppard D. G. I*Irnivnis of fluid mechanics. Harcourt, Brace
and World, 1965.
2. Rankin A. W. I’ri mid impedances of synchronous machines.—
«T rans. Л1ЕЕ», 1915, v. 61.
3. Rankin A. W. Per unit impedances of synchronous machines.
Part 2.—«Trans. All E , 1915, v. 61.
1. Parkhurst R. ( I mu msimial analysis and scale factors. Chap-
man and Hall, 1961.
5. Stephen D. I). Coordinated per-unit systems for electrical
machine characteristics.- Electr. Energy», 1957, v. 1.
6. Gibbs W. J. Ek-chic machine analysis using matrices. Pitman,
1962.
7. Уайт Д., By n on l. Электромеханическое преобразование
энергии. M., «Энергия», 1964.
8. Адкинс Б. Общая теория электрических машин. М.—Л., Гос-
энергонздат, 1960.
9. Kron G. Tensors for circuits. Dover, 1959.
10. Конкордиа Ч. Синхронные машины. Переходные и устано-
вившиеся процессы. 1|ер. с англ. М., «Энергия», 1959, 271 с.
11. Rothe Г. S. Introduction to power systems analysis, Wiley,
1953.
12. Fitzgerald Л. I ., Kingsley C. Electric machinery. McGraw-
Hill, 2nd cdn., 1961.
13. Сили С. Электромеханическое преобразование энергии. M.,
«Энергия», 1968.
14. Кимоарк Э. Синхронные машины и устойчивость синхронных
машин. Пер. с англ. М., «Энергия», 1960, 322 с.
15. Crary S. В. Power system stability, vol. 1, Wiley, 1945.
16. Lewis W. A. A basic analysis of synchronous machines,
Part 1.— «Trans. А1ЕЕ», 1958, v. 77.
17. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике.
М.—Л„ Госэпергонздат, 1955.
18. Definitions of basic per-unit quantities for alternating current
rotating machines. A1EE, proposed standard 86, Feb. 1961.
19. Billing E. The calculation of the magnetic field of rectangular
conductors in a closed slot, and its application to the reactance of
transformer windings. — «Ргос. 1ЕЕ», part 4, 1951, v. 98.
20. Concordia C. Relations among transformations used in electri-
cal engineering problems.— «Gen. Elect. Rev.», 1938.
21. Doherty R. E., Nickle C. A. Synchronous machines. Part 4.—
«Trans. Al ЕЕ», 1928, v. 47.
22. Doherty R. E., Nickle C. A. Three-phase short-circuit synchro-
nous piachines.— «Trans. А1ЕЕ», 1930, v. 49-
119
23. Wieseman R. W. Graphical determination of magnetic fields —
«Trans. А1ЕЕ», 1927, v. 46.
24. Rankin A. W. The direct and quadrature axis equivalent circu-
its of_ the synchronous machine. — «Trans. А1ЕЕ», 1915, v. 64.
25. Kilgore L. Л. Calculation of synchronous machine constants —
«Trans. А1ЕЕ», 1931, v. 50.
26. Matliur R. M. Starting performance of segmental rotor reluc-
tance machines. Ph. D. thesis, University of Leeds, 1969.
27. Doherty R. E., Nickle C. A. Synchronous machines. Part 1 —
«Trans. Al ЕЕ», 1926, v. 45.
23. Park R. H. I wo reaction theory of synchronous machines —
«Trans. А1ЕЕ», 1929. v. 18.
29. Linville T. M. Starting performance of salient-pole synchro-
nous motors—«Trans. А1ЕЕ», 1930, v. 49.
30. Alger P. L. The nature of polyphase induction machines,
Wiley, 1957.
31. Langsdorf A. S. The theory of a. c. machinery. McGraw-Hill
1955.
32. Vickers H. The induction motor. Pitman, 1949.
33. Jones С. V. The unified theory of electrical machines. Butter-
worth, 1967.
34. Majnnidar H. Electromechanical energy convertors. Allyn and
Bacon, 1965.
35. Rogers G. J. Linearised analysis of induction — motor transi-
ents.— «Proc. 1ЕЕ», 1965, v. 112.
36. Lawrenson P. J., Stephenson I. M. Note on induction-machine
performance with a variable-frequency supply. — «Proc. 1ЕЕ», 1966
v. 113. ’ ’
37. Reed M. B., Roberge R. M. Generalisation of the normalisation
(per-unit) technique— «IEEE Trans.», 1969, v. PAS-88.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловию к русскому изданию............................. &
Предисловие................................................ 5
Введение.................................................. 7
Глава первая. Вводная...................................... 9
1-1. Перечень обозначении............................ 9
1-2. Общие сведения...................................И
1-3. Преимущества относительных единиц .... 15
1-4. Обзор литературы ,..............................17
Глава вторая. Основы анализа цепей со взаимной индук-
тивностью ............................................23
2-1. Однофазный трансформатор........................23
2-2. Обобщение на многоконтурные цепи................30
2-3. Коэффициент трансформации и индуктивное сопро-
тивление рассеяния..............................35
Глава третья. Анализ электрических машин с позиций
теории цепей ........................................ 44
3-1. Принципы преобразований.........................44
3-2. Базисные токи вторичных контуров синхронной
машины..........................................72
3-3. Другие типы электрических машин.................87
Глава четверга я. Мощность, момент и л ругне величины
в относительных единицах..............................98
4-1. Средняя и мгновенная мощность. Действующие и
амплитудные значения базисных величин ... 98
4-2. Понятие о сопутствующих величинах в относитель-
ных единицах...................................101
4-3. Потокосцепление, момент и время в относительных
единицах........................................ЮЗ
4-4. Динамический момент............................107
Глава пятая. Рекомендации и заключение....................108
Глава шестая. Приложения...................................ПО
6-1. Преобразование матрицы сопротивлений трехфазной
машины в матрицу двухфазной.....................ПО
6-2. Идеальное отношение чисел витков и индуктивность
рассеяния......................................112
6-3. Схемы замещения синхронных машин с демпфер-
ными обмотками в пазах ротора . . . . . . 114
Список литературы.........................................119