Общая теория электрических машин - Адкинс Б.

Author: Адкинс Б.

Tags: электротехника электричество электрические машины

Year: 1960

Similar

Изоляция электрических машин общего назначения

Электрические аппараты. Общая теория

Электрические машины

Электрические машины. Часть вторая. Машины переменного тока

Text

А ЬО
Б. АДКИНС
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
МАШИН
ГОС ЭНЕРГОИЗДАТ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Перевод с английского И. В. Антика
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1960 ЛЕНИНГРАД
ЭЭ-5(4)-3
.В книге чается общая теории вращаю-
щихся электрических машин с применением
обычных алгебраических .методов .решения
уравнение.
Изложены основы теории машин посто-
янного и переменного тока, охватывающей
установившиеся ре'квмы и переходные про-
цессы. Приведено большое количество при-
меров применения теории при анализе от-
дельных машин, а также рассмотрены не-
которые вопросы, касающиеся работы
электрических машин в системах автомати-
ческого регулирования и энергетических си-
стемах.
Bernard Adkins
THE GENERAL THEORY OF ELECTRICAL MACHINES,
Chapman and Hall, London, 1959
Редактор И- И Такалоз
Теми, редактор К. П. Вороник
Сдало в набор 3I/VIU 1960 г.
Т-13478 Бумага 84X1087^
Подписано к печати II/XI I960 г-
13,94 пеЧ. л- Уч.-язд, л. 14,8.
Тираж 20330 эка. Цена II р. 4D к-, с I/I 1961 г. цена 1 р. tl К« Заказ 2442
Типография Гссэиергомздята. Москва. Шлюзовая наб. 10.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
За последнее время предпринят ряд (попыток изло-
жить теорию электрических машин на единой основе
[Л. 24, 46, 49 и 67]. В отличие от ранее опубликованных
работ, где применяются матричные и тензорные методы
анализа, представленная'в этой книге общая теория
вращающихся электрических машин дается в более си-
стематизированном виде и использует обычные алгебраи-
ческие методы решения уравнений; только в последней
главе приводятся элементы матричной алгебры и рас-
сматриваются примеры ее применения при анализе элек-
трических машин. Большое внимание уделяется обосно-
ванию и физическому объяснению основных положений.
Это делает книгу Б. Адкинса доступной широкому кругу
читателей.
Автор исходит из представления об обобщенной идеа-
лизированной двухполюсной машине, имеющей несколь-
ко катушек по двум взаимно-перпендикулярным осям, и
показывает, что все основные типы вращающихся элек-
трических машин как постоянного, так и переменного
тока при соответствующем выборе числа и расположе-
ния катушек могут быть аппроксимированы подобным
образом. В связи с этим для описания любой машины
можно использовать известные уравнения теории двух
реакций. Такой подход позволил автору при сравни-
тельно небольшом объеме книги изложить основы
теории машин постоянного и переменного тока, охва-
тив установившиеся режимы и переходные процессы,
привести большое количество примеров применения тео-
рии при анализе отдельных машин, а также рассмотреть
некоторые вопросы, касающиеся работы электрических
машин в системах автоматического регулирования н
энергетических системах.
3
Вместе с тем нельзя не отметить и ряд недостатков
книги. В первых двух главах автор излишне подробно,
иа наш взгляд, останавливается па вопросах, хорошо из-
вестных из курса теоретических основ электротехники
и общего курса электрических машин (изображение си-
нусоидально изменяющихся величин векторами и ком-
плексными числами, основы операторного метода, пред-
ставление намагничивающих сил и потоков в электри-
ческих машинах, индуктивностей их обмоток и т. п.)
Принятая в книге система относительных единиц не
всегда удобна для выполнения практических расчетов.
Недостаточно освещен выбор базисных единиц для вели-
чин вторичных цепей в синхронных машинах.
Однако перечисленные выше отдельные недостатки
нс умаляют достоинств книги в целом. Широта рассмот-
ренных вопросов и доступность изложения позволяют
надеяться, что она будет полезна не только специали-
стам по электрическим машинам, но и инженерам, ра-
ботающим в области их применения, а также студентам
старших курсов электротехнических и энергетических ву-
зов соответствующих специальностей.
При редактировании перевода использованные в кни-
ге обозначения величин подверглись небольшим измене-
ниям с целью приблизить их к употребляемым в нашей
литературе. Согласно принятым автором обозначениям
и правилу знаков все члены в уравнениях для напряже-
ний цепей машин являются составляющими приложен-
ных напряжений. Это не совсем обычно и удобно для
генераторов, особенно в тех случаях, когда они рабо-
тают на отдельную нагрузку. Тем не менее во избежа-
ние нарушения единства изложения форма записи урав-
нений оставлена без изменения.
Автор совершенно нс упоминает работ советских уче-
ных, сделавших существенный вклад в развитие теории
электрических машин и смежных отраслей электротех-
ники. Приведенный в книге список литературы расши-
рен. В него включены основные труды отечественных и
некоторые интересные работы зарубежных авторов.
И. И. Талалов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Несмотря на бурное развитие техники, электриче-
ская машина до сих пор остается наиболее важным и
основным элементом энергетических установок. В наши
дни почти вся используемая электрическая энергия вы-
рабатывается генераторами, а более половины ее по-
требляется различными электрическими двигателями.
Изучению электрических машин отводится значительное
место в процессе обучения любой электротехнической
специальности. Исследования в этой области проводи-
лись на протяжении более длительного периода вре-
ме1ги, чем в большинстве других отраслей электротехни-
ки. Однако и теперь существует широкое поле деятель-
ности для дальнейшего практического и теоретического
развития предмета. Теория электрических машин не
стоит на месте. В настоящее время назрела необходи-
мость согласовать разобщенные прежние методы ана-
лиза с тем, чтобы найти более действенное средство для
решения новых «проблем. Предел явленная в этой книге
общая теория электрических машин позволяет изло-
жить различные разделы предмета в более едином пла-
не и яснее паметить «пути дальнейших исследований.
В основу книги положен курс лекций, прочитанных
в 1951 г. студентам-выпускникам Лондонского Имперско-
го колледжа и группе инженеров-проектировщиков
в Рагби. Она возникла в результате двадцатилетнего
труда, предпринятого в то время, когда я «работал в каче-
стве инженера-проектировщика и консультанта Бритиш
Томсон-Хаустон Компани в Рагби. Значительная часть
материалов заимствовала из американскпх работ, кото-
рые, однако, разрознены и требуют увязки. Использо-
ванные источники по мере возможности перечислены
в списке литературы. В частности, исходное понятие об
обобщенной электрической машине впервые выдвинуто
5
Г. Кроном, изложившим теорию с применением матрич-
ного и тензорного анализа. Настоящая книга ле требу-
ет предварительного ознакомления с этим довольно
сложным методом, хотя некоторые более простые приемы
матричной алгебры приводятся в последней главе. Эта
глава совершенно не касается применения тензорного
анализа в теории электрических машин, однако есть
надежда, что она может служить введением к работам
Крона.
Книга адресована студентам и инженерам, уже имею-
щим некоторое знакомство с электрическими машинами.
Поэтому в ней отсутствует описание их конструкции. Не-
обходимая математическая подготовка ограничивается
знанием дифференцирования, интегрирования и алгеб-
ры комплексных чисел. Для решения некоторых задач
использован операторный метод Хевисайда, краткое
объяснение которого прилагается.
Общая теория может 'привести к совершенно новой
работе, которая может быть посвящена или развитию
теории, или ее применению к решению практических за-
дач. Однако многие из представленных здесь понятий и
методов очень просты и могут быть с успехом исполь-
зованы в элементарных курсах теории электрических ма-
шин. Таким -образом, книга должна представить инте-
рес для 'преподавателей высших учебных заведений, и сле-
дует надеяться, что она облегчит им задачу последова-
тельного и единого изложения теории всех различных
типов электрических машип.
Мне хочется выразить благодарность дирекции Бри-
тиш Томсон-Хаустон Компани и руководству Имперского
колледжа, давших разрешение опубликовать эту книгу,
и с глубокой признательностью отметить помощь, оказан-
ную многими моими коллегами при ее подготовке к пе-
чати, в частности, я весьма обязан Р. А. Хейсу, чрезвы-
чайно внимательно проверившему текст с точки зрения
ясности и точности изложения, и В. И. Гиббсу за ряд
ценных замечаний общего характера. Разделы, относя-
щиеся к анализу энергетических систем, просмотрены
М. В. Хамфри Девисом.
Южный Кенсингтон Бернард Адкинс
апрель 1955
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
В — магнитная индукция.
С—постоянная демпфирования (коэффициент демпфирующего
момента).
в — электродвижущая сила (э. д. с.); основание натуральных
логарифмов.
/г F — мгновенное значение намагничивающее силы (н. с.) и ее
комплексное представление.
/ — частота сети; сила.
Н — постоянная инерции.
I, / — мгновенное значение тока и его комплексное представ-
ление.
J — момент инерции.
К— постоянная упругости (коэффициент синхронизирующего
момента).
L — полная индуктивность.
I — индуктивность рассеяния.
Af— взаимная индуктивность; среднее значение момента.
т — мгновев ное значение момента.
Р— активная мощность,
/ d \
р—дифференциальный оператор ( р )
Q — реактивная мощность.
Л. г — активное сопротивление.
s — скольжение.
7 — постоянная времени.
/ — время.
и, U—мгновенное значение напряжения него комплексное
представление.
V — установившееся значение напряжения, предшествующее
переходному процессу.
X, х — индуктивное сопротивление.
х(р} — операторное сопротивление.
Y — комплексная проводимость.
Z — комплексное сопротивление.
z — полное сопротивление,
й— угол нагрузки.
Д — малое отклонение (в сочетании с точкой над обозначением
величины —малые колебания).
6 — угол между осью фазы А статора и продольной осью.
X— начальный фазовый угол
v — мгновенное значение скорости вращения.
7
—угоЛ между векторами напряжения в тойя.
Ф — магнитный нотой.
Ф — мгновенное зна юнце потокосцепления п его комплексное
представление.
<о — номинальная скорость вращения, угловая частота.
1 — единичная функция Хевисайда.
Re — вещественная часть комплексной велнчины.
ПОД СТРОЧНЫЕ ИНДЕКСЫ
а — цепь якоря.
а, Ъ, с — фазы трехфазной обмотки.
d, ч — продольная н цопере |ная оси, цепи якоря по этим осям
f — цепь г тввной обмотки возбуждения.
k — эквивалентная цепь успокоительной обмотки.
т — амплитудное значение; намагничивания.
s — цепь обмотки последовательного возбуждения в матине
постоянного тока.
t — транспонированная.
z—значение с учетом внешнего сопротивления.
О — нулевая последовательность; начальное значение; холо-
стой ход.
I, 2...— цепи успокоительной обмотки в синхронной машине.
сп—установившееся значение.
2 — обратная последовательность.
вц — внешняя по отношению к машине величина (приложен-
ный момент, сопротивление).
г — генератор.
д — двигатель; датчик.
к —колебаний.
осв — основная гармоническая составляющая.
п — приемник.
с — суммарное.
сн — синхронизирующий.
эм — электромагнитный.
НАДСТРОЧНЫЕ ИНДЕКСЫ
' — переходное значение; наложенное значение.
" — сверхпереходное значение.
(2> — двухфазное короткое замыкание.
ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящей книги является представление об-
щей теории вращающихся электрических машин, охва-
тывающей все нормальные типы машин и все режимы
их работы и, следовательно, более фундаментальной и
имеющей более широкую область применения, чем изве-
стные теории, излагаемые в обычных учебниках. Теория
относится ко 'всем машинам, в которых по окружности
цилиндрической поверхности создаются магнитные полю-
сы чередующейся полярности, за исключением специ-
альных машин индукторного типа с явно выраженными
полюсами как на неподвижной, так и на вращающейся
частях.
Теоретическое исследование электрических машин де-
лится на две стадии:
1. Нахождение основных параметров, т- е. ряда вели-
чин, называемых «постоянными машины».
2. Определение характеристик машины при заданных
внешних условиях с использованием ее постоянных.
Название «теория электрических машин», как оно по-
нимается в данной книге, относится только ко второй
стадия. Теория «сходА из рассмотрения идеализирован-
ной машины, свойства которой определяются известны-
ми постоянными, и дает возможность рассчитать ее ха-
рактеристики. Используемые при анализе постоянные,
являющиеся в основном активными и индуктивными со-
противлениями, должны быть найдены с достаточной точ-
ностью. Однако методы их определения, применяемые на
первой стадии теоретического исследования, хотя и име-
ют весьма важное значение для практических расчетов
при проектировании машин, представляют собой само-
стоятельную область.
В обычных теориях электрических машип, излагав
мых в учебниках, каждый тип машин рассматривается
Э
обособленно, без серьезного согласования с другими
типами, и разрабатываются простые методы анализа, по-
зволяющие рассчитать характеристики машины для за-
данного режима. Основное внимание в этих теориях уде-
ляется анализу установившегося режима. Они приводят
к графическим или аналитическим методам расчета. Для
машин переменного тока очепь широко применяются
векторные диаграммы. Недостаток такого обычного
подхода заключается в том. что в случае необходимости
выполнить анализ нового типа машины, а также иссле-
довать 'несимметричные режимы или переходные про-
цессы приходится каждый раз проделывать весь путь
заново, от начала до конца.
Интересно проследить историческое развитие теории
электрических машин. Ранние теории электрических ма-
шин переменного тока исходили из векторных диаграмм.
Для решения задач производились геометрические по-
строения. Вслед за этим начались поиски схем заме-
щения, в результате которых из большого числа возмож-
ных схем было выбрано несколько типовых. Дальней-
шим важным шагом явилось введение комплексных ве-
личин или «символического метода». Однако в то время
алгебраический метод еще не вступил в свои права и
служил только подспорьем при решении задач с по-
мощью векторных диаграмм или схем замещения. Но-
вые «методы основаны на ином подходе к вопросу. В со-
временной теории алгебраические уравнения принимают-
ся в качестве основного средства представления соотно-
шений, а иопользование векторных диаграмм и эквива-
лентных схем ограничивается разработкой других мето-
дов решения, справедливых только для частных случаев.
Применение уравнений согласуется с новейшими дости-
жениями теории цепей и -приводит к обшей теории элек-
трических машин, охватывающей все типы -машин и все
режимы работы.
Основная система уравнений выводится для идеали-
зированной двухполюсной машины, приближенно (с уче-
том некоторых четко сформулированных допущений) эк-
вивалентной действительной машине. В общем случае
эта система состоит из дифференциальных уравнений,
в которых приложенное напряжение приравнено сумме
нескольких составляющих напряжений, зависящих от то-
ков, а приложенный момепт представлен в виде суммы
и)
Составляющих моментов, ts машинах постоянного тока
уравнения, связывающие действительные токи с напря-
жен иядги и моментом, обычно имеют вид, удобный для
практической обработки, тогда как в большинстве за-
дач, касающихся машин переменного тока, уравнения ус-
ложняются и их решение становится затруднительным.
Уравнения для машин переменного тока значительно
упрощаются, если их выразить через некоторые фиктив-
ные токи и напряжения, отличающиеся от действитель-
ных, но связанные с ними известными соотношениями.
Фиктивные токи можно представить физически как токи,
протекающие в фиктивных обмотках, которые располо-
жены по двум взаимно-перпендикулярным осям, назы-
ваемым продольной и поперечной осями. Из этого исхо
дит «теория двух осей» машин переменного тока, а по-
лученные таким образом уравнения, оказывается, близ-
ко соответствуют уравнениям для машин постоянного
тока. Согласование уравнений для разных типов машин
позволяет создать общую теорию, применимую ко всем
типам электрических машин.
В связи с изложенным важнейшая особенность совре-
менной общей теории, отличающая ее от более ранних
методов, состоит в том, что она формулируется в виде
уравнений. По-видимому, это обстоятельство гораздо
важнее побочного фактора — используются ли матрицы
или тензоры для записи и обработки уравнений. В прак-
тике матричные методы часто чрезвычайно полезны для
упорядочения алгебраических н арифметических опера-
ций, а тензоры играют важную роль при выполнении но-
вых теоретических исследований. Тем не менее в данном
случае как матрицы, так и тензоры следует считать ма-
тематическим аппаратом, служащим для представления
основных зависимостей, которые могут быть полностью,
хотя и менее изящно, выражены с помощью обычной
алгебры.
Первым шагом па пути 'развития обобщенной теории
была «теория двух реакций» Блонделя для установив-
шегося режима явнополюсной синхронной машины. Этот
метод детально исследован Догерти и Никлом, опубли-
ковавшими пять важных работ (Л. 3—6 и 10]. В статье
Веста «Теория поперечного толя машин переменного
тока» [Л. 2] принято без доказательства, что вращаю-
щаяся обмотка типа беличьей клетки эквшзалентна об-
ll
мотке якоря машины постоянного тока с двумя паря-
ми короткозамкнутых щеток. Очень ценный вклад враз- д
вигне теории сделал Парк в трех работах [Л. 7, 8 и 15].
В этих работах не только выведены общие уравнения
теории двух осей синхронной машины, но и показано,
каким образом эти уравнения могут быть использованы <
для решения многих важных практических задач. Пре-
образование Парка является краеугольным камнем обоб-
щенной теории Крона, которая была опубликована вна-
чале в виде ряда статей [Л. 18], а затем вышла отдель-
ной книгой [Л. 24]. «
В течение последних 20 лет появился целый ряд ра-
бот, посвященных решению частных задач. Некоторые из
них включены в библиографию. Многие важные ре-
зультаты вошли в книги Конкордиа [Л. 42] и Лайбля
(Л. 48]. Гиббс опубликовал статью о применении матриц
в теории машин [Л. 46] и книгу о применении тензоров
[Л. 49].
В настоящей книге первые две главы (гл. 1 и 2) яв-
ляются вводными. За ними следуют две главы (гл. 3 и
4), касающиеся машин постоянного тока, и шесть глав
(гл. 5—10), посвященных машинам переменного тока.
В этих главах выведены общие уравнения и показано
их применение для решения широкого круга практиче-
ских задач. Основная цель, которая при этом преследует-
ся, состоит в том, чтобы представить полное объяснение
теории и продемонстрировать обширную область се при
менсния. Здесь те ставится задача дать исчерпывающий
анализ всех проблем. Поэтому читатель, желающий про-
должить изучение того или иного вопроса, должен об-
ратиться к литературе, указанной в библиографии
В гл. 11 общая теория излагается в матричной форме
и объясняются некоторые из более простых методов
матричной алгебры.
С помощью общих уравнений могут быть исследо-
ваны почти все возможные режимы работы электриче-
ских машиш, хотя решение некоторых 'практических за-
дач указанными методами может потребовать сложных
математических выводов и длительных числовых расче-
тов. Не все задачи могут быть решены точно, в тех же,
которые 'поддаются такому решению, оно может оказать-
ся слишком трудоемким. В связи с этим серьезное вид
мание уделяется, с одной стороны, обоснованию прибли-
12
женных методод анализа и, с другой стороны, использо-
ванию моделей и вычислительных устройств. Этим мето-
дам принадлежит большое будущее в дальнейших иссле-
дованиях электрических машин и энергетических систем.
ТЕРМИНОЛОГИЯ и ОБОЗНАЧЕНИЯ
Терминология и обозначения, использованные при
изложении общей теории, почти полностью согласуются
с применяемыми в статьях и книгах, перечисленных
в библиографии. В частности, сохранены прочно обосно-
вавшиеся обозначения и названия постоянных синхрон-
ной машины, за исключением небольших изменений,
указанных в § 25. Правило знаков, как отмечено
в § 2, соответствует принятому Кроном.
При исследовании установившихся режимов перемен-
ного тока находят применение векторы и комплексные
величины, однако анализ основан на алгебраическом,
а не на обычно принятом геометрическом (подходе
(см. § 7). Подчеркивается важность введения различных
обозначений для векторов и комплексных чисел, изо-
бражающих синусоидально изменяющиеся величины, и
для мгновенных значений этих величин. Использование
названия «вектор» вместо такого термина, как «фазор»
[Л. 44], обусловлено тем, что вектор, представляющий
синусоидально изменяющуюся величину, является под-
линным двухмерным вектором, хотя его, конечно, сле-
дует отличать от трехмерного «вектора поля», характе-
ризующего физическое свойство пространства в некото-
рой точке.
Как отмечено в § 8, при составлении, обработке и
решении дифференциальных уравнений используется опе-
раторный метод Хевисайда. Этот метод применялся Кро-
ном и многими другими авторами, (разрабатывавшими
теорию электрических машин. Однако появились выска-
зывания |Л. 48], что при анализе машин следовало бы
отдать предпочтение более строгому -преобразованию
Лапласа, которое сейчас находит преимущественное
применение в работах по теории цепей и теории автома-
тического регулирования. Нам кажется, что в общих
уравнениях машин лучше использовать метод Хевисай-
да, поскольку они ‘нелинейны. Преобразование Лапласа
более подходит для изучения электрических цепей и си-
13
СТем автоматического регулирования, так как в этйк
случаях уравнения, лежащие в основе теории, являются
линейными.
Изложение теории электрических машин может быть
разделено на две части:
а) составление и обработка уравнений;
б) решение уравнений.
Метод Хевисайда очень удобен для составления
уравнений даже в том случае, если они нелинейны. Кро-
ме того, им можно пользоваться для обработки уравне-
ний при определенных условиях, например, когда неко-
торые из них линейны, а другие нелинейны, как это име-
ет место в задаче, рассмотренной в § 36, Для этих слу-
чаев преобразование Лапласа неприменимо. В задачах
с линейными уравнениями (таких, как приведенные
в § 13 и 31 задачи, касающиеся анализа коротких замы-
каний) как для составления уравнений, так и для их
решения могут быть использованы и метод Хевисайда
и метод Лапласа, т. е. эти два метода фактически эк-
вивалентны.
Таким образом, в настоящей книге повсюду приме-
няется метод Хевисайда при записи уравнений соглас-
но Крону [Л. 24], за исключением одного небольшого из-
менения, заключающегося в том, что скорость вращения
обозначается через v, а нс через /?6- Хотя в работе Кро-
на подразумевается, что рб всегда следует рассматри-
вать как единую переменную, такое обозначение вносит
неяспость и использование одной буквы предпочтительно.
СИСТЕМА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦ
В большинстве уравнений этой книги токи, напряже-
ния и другие величины представлены в нормализованной
системе единиц, известной под названием системы от-
носительных единиц. Напряжения и токи главных или
первичных цепей выражены в долях номинальных зна-
чений этих величин, выбираемых в качестве базисных
единиц, как показано в § 2, Для других цепей, индуктив-
но связанных с ними, за базисную единицу тока прини-
мается ток, создающий такую же намагничивающую си
лу (н. с), как и единичный первичный ток, а базисная
единица напряжения определяется из условия, чтобы ес-
14
наводил тот жс’самый поток, который индуктирует еди-
ничное первичное папряжение
Базисные единицы мощности, момента и других ме-
ханических величин определяются в § 5. Базисной еди-
ницей времени является секунда, а базисной единицей
скорости — один радиан н секунду. В этом отношении
выбранные базисные единицы отличаются от единиц,
принятых в некоторых работах, где используется базис-
ная единица времени, 'при которой номинальная скорость
вращения становится равной единице. По-видимому, вы-
бор тэтой до некоторой степени искусственной единицы
времени, стирающей различие между индуктивностью и
индуктивным сопротивлением, больших преимуществ не
дает.
1 Подобный выбор базисных единиц тока и напряжения во вто-
ричных цепях в общем случае, когда одинаковые и. с. первичкой
и вторичной цепей не создают равных потоков, приводит к не-
обратимости индуктивностей взаимной яндукдии в относительных
единицах Для того чтобы уравнения в системе относительных
единиц полностью соответствовали уравнениям в физических еди-
ницах, базисные единицы мощности должны быть одинаковы для
всех цепей. Поэтому для вторичной цепи независимо может быть
выбрана только одна базисная единица — тока или напряжения.
(Прим, ред)

- ggUJ. №_^J_(v
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ОБШЕИ теории
1. ИДЕАЛИЗИРОВАННАЯ МАШИНА
Все виды вращающихся электрических машин имеют
между собой много общего. В типичную конструктивную
схему машины, изображенную на рис. 1, входят внешняя
неподвижная часть и внутренняя часть, вращающаяся
в подшипниках, укрепленных на неподвижной части.
Каждая из этих частей содержит цилиндрический
стальной сердечник. Сердечники разделяет узкое кольце-
образное пространство, называемое воздушным за-
зором, через которое от одного сердечника к другому
проходит общий магнитный поток Ф. Оба сердечника и
зазор входят в состав магнитной цепи машины. Значи-
тельно реже встречаются электрические машины с не-
подвижной внутренней и вращающейся наружной частя-
ми, а также машины, в которых могут вращаться обе ча-
сти. Важной особенностью всех машин является относи-
тельное движение двух близлежащих стальных цилин-
дрических поверхностей. Цилиндрическая поверхность
каждой из частей в одних случаях может быть почти
ровной (гладкой) и прерываться лишь 'Небольшими от-
крытиями (шлицами) пазов, равномерно распределен-
ными вдоль окружности. В других случаях поверхность
представляет собой четное число явно выраженных по-
люсов, разделенных междулолюсными пространствами.
Вблизи поверхности каждой части, параллельно оси
цилиндра, расположены токоведущне проводники. Про-
водники соединяются в катушки с помощью лобовых со-
единений, вынесенных за пределы сердечпика. Катушки
также соединяются между собой и образуют обмотки
машины. При этом обмотка каждой из частей машины
состоит из сравнительно небольшого числа цепей, токи
которых не зависят друг от друга. Рабочий процесс ма-
2 Б. Адкннс
17
7
3
б
6
Рис. I- Типичная конструктивная
схема электрических машин.
1—станина; 2—сердечник статора: 3— об-
мотка статора; 4—сердечник ротора; 5—
обмотка ротора; £—подшнпинн: 7—рал.
шины определяется в первую очередь распределением
токов по окружностям поверхностей сердечников. Анализ
обмоток касается именно этого распределения, а особен-
ности конструктивного исполнения лобовых частей име-
ют второстепенное значение.
Таким образом, главные элементы конструкции
у всех машин одинаковы Отдельные типы машин раз-
личаются между собой в основном только распределени-
ем проводников, обра-
зующих обмотки, а так
же формой поверхно-
стей сердечников их
частей: гладкой или с
явно выраженными по-
люсами. Кроме того,
поведение каждой ма-
шины зависит также от
характера напряжений,
приложенных к ее об-
моткам.
Воздушный зазор
является самой важной
областью в машине, и
теория интересуется
прежде всего процес-
или около него. Магнит-
сами, протекающими в зазоре
ное поле внутри стального сердечника очень сложно, од-
нако вследствие высокой магнитной проницаемости ста-
ли можно исследовать только распределение поля в воз-
душном зазоре или в непосредственной близости от пего.
При этом теория становится достаточно простой и вме-
сте с тем точной. В (реальной машине .проводники (распо-
лагаются нс в самом воздушном зазоре, а вблизи от не-
го, в пазах сердечника, набранного из листовой стали,
или в междуполюсных пространствах. Тем не менее для
теоретического анализа действительные проводники за-
меняются эквивалентными проводниками, размещенными
на поверхности сердечника. Обычно предполагается, что
они имеют весьма малое (точечное) сечение. Вторичные
явления, которые не поддаются объяснению, если при-
нять эти допущения, рассматриваются под общим назва-
нием «рассеяние» Более подробпо об этом будет сказз
но в дальнейшем.
Рис. 2. Типичная электрическая машина.
а—поперечный разрез. С—развернутая схема.
Отсюда следует, что самые существенные конструк-
тивные особенности машины могут быть отражены на ее
поперечном разрезе в плоскости, перпендикулярной оси
сердечников. Такое изображение может быть еще более
упрощено и представлено в виде развернутой схе-
м ы, на которой поверхность воздушного зазора разво-
рачивается вдоль прямой линии. На рис. 2,а показан
в качестве примера поперечный разрез шестиполюсной
машины с явно выраженными полюсами на внешней ча-
сти и сердечником с ровной поверхностью, расположен-
ным на внутренней части. На рис. 2,6 показана соответ-
ствующая развернутая схема Поскольку радиальная
длина воздушного зазора мала, вполне допустимо при-
ближенно изображать на развернутой схеме зазор в ви-
де прямой линии и говорить об определсяпюм .значении
магнитной индукции в любой точке этой линии. При этом
обычно принимают, что токи сосредоточены в тех точках
линии, представляющей воздушный зазор, которые отве-
чают серединам открытий пазов или краям явно выра-
женных полюсов.
2»
19
На развернутой схеме распределение индукции и то-
ков повторяется через каждые два полюса независимо
от того, сколько полюсов имеет машина в действитель-
ности (небольшими отклоиениямн от этого правила у ма-
шин, имеющих обмотки с дробным чистом пазов на по-
люс и фазу, при выводе теории пренсбрегается). В свя-
зи с этим любая машина может быть заменена эквива-
лентной двухполюсной машиной, которую и следует рас
сматривать. Изложенная в этой книге теория построена
для двухполюсных машин. При расчете параметров ма-
шины', и в частности постоянных, необходимых для опре-
деления механических величин (момента, скорости вра-
щения и т. д.), следует, конечно, учитывать действитель-
ное число полюсов.
Классификация обмоток
Обмотки электрических машин делятся на три ос-
новных вида:
1. Катушечная обмотка. Такая обмотка со-
стоит из катушек, фазмещенпых одинаково на всех полю-
сах и соединенных между собой последовательно или
параллельно в одну общую цепь. Обычно катушки рас-
полагаются па явно выраженных полюсах, как это по-
казано да рис. 2, но иногда катушечная обмотка укла-
дывается и в пазы, например обмотка возбуждения тур-
богенератора.
2. Многофазная обмотка. В этой обмотке от-
дельные проводники распределяются по пазам и соеди-
няются в несколько самостоятельных цепей, по одной
цепи на каждую фазу. Группы проводников, принадле-
жащие к разным фазам( фазные зоны), чередуются на
следующих друг за другом полюсных делениях в опре-
деленном порядке.
3. Коллекторная обмотка. Проводники кол-
лекторной обмотки размещаются в пазах и в непрерыв-
ной последовательности присоединяются к коллекторным
пластинам. Соединение обмотки с внешней цепью осу-
ществляется посредством щеток, наложенных на поверх-
ность коллектора. В зависимости от конструкции щеточ-
ного устройства обмотка может быть соединена с одной
или с несколькими внешними цепями.
Тип машины определяется сочетанием этих видов об-
моток на статоре и на роторе. Например, машина посто-
20
Явного тока имеёт катушечную и коллекторную обмотки,
синхронная машина — катушечную и многофазную,
а асинхронный двигатель имеет две многофазные обмот-
ки. Обмотки двух первых видов могут быть расположе-
ны как на вращающейся, так н на неподвижной частях
машины, а коллекторная обмотка при неподвижных щет-
ках должна обязательно находиться на вращающейся
части.
Приведенная выше классификация, очевидно, не
очень строга. Например, однофазная обмотка перемен-
ного тока может рассматриваться по-разному: или как
разновидность многофазной обмотки, или как катушеч-
ная обмотка. Беличья клетка асинхронного двигателя,
строго говоря, не является многофазной обмоткой с не-
зависимыми цепями, но обычно может быть заменена
таковой. С другой стороны, успокоительную обмотку син-
хронной машины следует считать совокупностью отдель-
ных катушечных обмоток.
Идеализированная двухполюсная машина
Машина любого типа приводится в этой книге
к идеализированной двухполюсной маши-
н е, приближенно эквивалентной действительной маши-
не. Каждая обмотка действительной машины или ее
часть, образующая отдельную цепь, (заменяется в идеа-
лизированной машине отдельной катушкой. Для теорети-
ческого анализа безразлично, какая из частей машины
вращается, а какая неподвижна, так как рабочий про-
цесс связан только с их относительным перемещением.
Например, если действительная машина имеет явно вы-
раженные полюсы, то они могут быть расположены на
любой части/ но при замене такой машины идеализиро-
ванной удобно принять, что полюсы неподвижны, и пока-
зать их в схеме на внешней части. Коллекторная обмот-
ка всегда располагается на роторе и изображается
в схеме идеализированной машины на внутренней вра-
щающейся части.
В качестве примера на рис. 3 представлена идеали-
зированная трехфазшая явнополюсная синхронная маши-
на. В действительной синхронной машине трехфазная об-
мотка якоря обычно располагается на статоре, а кату-
шечная обмотка возбуждения на роторе. Однако часто
встречаются и машины с обратным расположением об-
21
коток. Этому типу машин соответствует схема рис. 3.
Полюсы здесь изображены на внешней неподвижной ча-
сти, однако, очевидно, что теория остается справедливой
вне зависимости от местонахождения полюсов. В схему
входит только один из явно выраженных полюсе®. На
статоре расположены обмотка возбуждения F и успокои-
тельные обмотки K.D и KQ. Ось полюса с катушкой воз-
буждения F называется продольной осью машины,
а ось, повернутая относительно нее на 90° против часо-
вой стрелки, называется поперечной осью. В рас-
Рис. 3 Схема идеализированной синхронной
машины.
сматриваемый момент времени ось катушки, представ-
ляющей обмотку фазы А якоря, образует с продольной
осью угол 6, отсчитываемый против часовой стрелки.
Буквой v обозначено .мгновенное значение угловой ско-
рости
Для тока в любой катушке положительным принято
направление к катушке от ее зажима, ближайшего
к центру схемы, как показано стрелками на рис. 3. По-
ложительное направление потока, сцепленного с катуш-
кой, выбрано по радиусу от центра. Это также отмечено
стрелками по осям внутри петель, изображающих катуш
ки. Петли катушек не отражают направления их на-
мотки. В этом нет необходимости, поскольку принимает-
ся, что ток положительного направления создает поло-
жительно направленный поток.
По отношению к схемам идеализированных машин
(например, рис. 3) термин катушка употребляется для
22
обозначения части волной обмотки, образующей отдель-
ную цепь, в которой протекает независимый ток. В дей-
ствительной машине этой одной катушке может соответ-
ствовать большое число витков, распределенных под мно-
гими пол!осами, причем и «под одним полюсом они часто
лежат в нескольких пазах. С другой стороны, слово о б-
мотка может относиться как к одной катушке (на-
пример, катушке возбуждения F), так и к нескольким
катушкам (например, трехфазная обмотка якоря заме-
Рис. 4. Схема идеализированной машины
постоянного тока поперечного поля.
няется тремя катушками А, В и С). Часто возникает не-
обходимость принять некоторые допущения. Коротко-
замкнутая успокоительная обмотка синхропной машины
в действительности состоит из большого числа цепей,
в которых протекают различные токи, и для се точного
представления потребовалось бы много катушек. Однако
для многих практических целей достаточную точность
дает вамена успокоительной обмотки только двумя ка-
тушками KD и KQ, как показано на рис. 3. Эта замена
является иллюстрацией допущений, которые необходимо
принять для того, чтобы упростить теорию и сделать ее
пригодной для практического применения.
Рассмотрим второй пример. На рис. 4 изображена
схема идеализированной машины постоянного тока по-
перечного поля, имеющей явно выраженные полюсы на
статоре и коллекторную обмотку. На коллекторе уста-
новлены главные шетки по продольной оси и дополни-
23
тельные (поперечные) щетки по поперечной оси. В схе-
мах коллекторных машин принимается условие, что щет-
ка должна быть показана в положении, занимаемом
тем проводником обмотки якоря, с которым она соеди-
нена через' коллекторную пластину. Цепи, проходящие
через щетки, обозначены D и Q. Приведенная машина
имеет, кроме того, главную обмотку возбуждения F и
поперечную обмотку возбуждения О, действующие со-
ответственно по продольной и поперечной осям Такая
машина может быть 'представлена также четырьмя ка-
тушками (рис. 5), соответствующими четырем отдельным
цепям на рис. 4
Общая теория электрических машин излагается ниже
для обобщенной машины с несколькими катушками по
неподвижным продольной и поперечной осям. На рис. 5
показана обобщенная машина, имеющая на каждой ча-
сти одну катушку по каждой из осей, а именно F и G на
неподвижной части и D и Q на вращающейся. Для идеа-
лизации некоторых реальных машин может потребовать-
ся менее четырех катушек, тогда как для других ма-
шин—большее число. Однако нетрудно показать, что
любая машина эквивалентна обоб!ценной машине с со-
ответствующим числом катушек по каждой из непо-
движных осей. Если катушки в реальной машине неиз-
менно располагаются по осям, то опи точно отвечают ка-
24
ТуШкам обобщенной машины, 6 противном случае необ-
ходимо 'Произвести замену. Процесс замены реальных ка-
тушек машины матушками по осям •соответствующей
обобщенной машины или обратно называется преоб-
разованием.
Для того чтобы отразить в «эквивалентной» обобщен-
ной машине влияние, оказываемое движением вращаю-
щейся части в реальной машине, необходимо, как бу-
дет показано ниже, приписать особые свойства катуш-
кам D щ Q, расположенным на вращающейся части. Это
те самые свойства, которыми обладает 1коллектор1ная об-
мотка, когда через нее между двумя щетками протекает
ток, а именно:
1) протекающий в катушке ток создает магнитное
поле, неподвижное в пространстве;
2) тем не менее при движении вращающейся части
в катушке может индуктироваться электродвижущая
сила (э. д. с.).
Такая катушка, расположенная на вращающейся ча-
сти, но имеющая неподвижную ось и обладающая поэто-
му указанными выше свойствами, может быть названа
псевдонеподвижной катушкой.
В машине постоянного тока, изображенной на рис. 4,
реальные цепи D и Q, замыкающиеся через коллектор-
ную обмотку, не только образуют псевдонеподвижные
катушки, подобные катушкам D и Q обобщенной маши-
ны (рис. 5), но и имеют те же самые оси, что и эти ка-
тушки. Таким образом, существует точное соответствие
между рис. 4 и рис. 5 й, следовательно, уравнения, по-
лученные для обобщенной машины (рис. 5), непосредст-
венно применимы к машине постоянного тока (рис. 4).
С другой стороны, три вращающиеся катушки якоря син-
хронной машины, изображенные на рис. 3, нс отвечают
непосредственно катушкам D и -Q па рис. 5. При выводе
общей теории двух осей синхронной машины три фазные
катушки Д В и С заменяются двумя эквивалентными
осевыми катушками D и Q, аналогичными катушкам, по-
казанным на рис. 5. В основу преобразования положено
условие, что в обеих системах в машине должна созда-
ваться одинаковая намагничивающая сила (н. с.).
Объяснение и обоснование этого условия приводятся
в §23.
Применение обобщенной теории к вращающейся
25
электрической машине любого типа осуществляется сле-
дующим образом. Прежде всего составляется схема
идеализированной двухполюсной машины с наименьшим
числом катушек, требующимся для того, чтобы получить
результат с достаточной точностью. После этого идеали-
зированная двухполюсная машина или непосредствен-
но, или с помощью необходимых «преобразований заме
няется обобщенной машиной с требующимся числом ка-
тушек. Далее составляется система уравнений для на-
пряжений, связывающих между собой токи и напряже-
ния в обобщенной машине, а также выводится уравне-
ние для момента, определяющее момент через токи.
В этих уравнениях скорость вращения является перемен-
ной величиной.
2. ДВУХОБМОТОЧНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР.
ПРАВИЛО ЗНАКОВ И СИСТЕМА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
ЕДИНИЦ
Идеализация, описанная в § 1, приводит машину
к системе катушек, связанных взаимной индукцией. Эта
система, однако, отличается от обычных индуктивно свя-
занных катушек вследствие того, что катушки, разме-
щенные на вращающейся части, обладают особыми
Рис. 6. Схема трансформатора.
свойствами. Отличие машины от трансформатора по су-
ществу состоит именно в том, что она вращается. Однако
для уяснения исходных положений полезно ознакомить-
ся с более простым устройством. В этом параграфе для
объяснения некоторых важных понятий теории вращаю-
щихся машин используется двухобмоточный трансфор-
матор.
Рассмотрим изображенную на рис. 6 систему, состоя-
щую из двух индуктивно связанных катушек. Допустим,
26
что каждая из катушек выполнена сосредоточен-
ной. т. е. составляющие ее витки уложены так близко
друг к другу, что любой из них сцеплен с одним и тем
же магнитным потоком. Токи, протекающие в катушках
в направлениях, показанных на рисунке, создают маг-
нитные потоки, (направления которых отмечены стрел-
ками.
Главный поток и поток рассеяния
Поток в трансформаторе может быть разделен -на три
части.
а) главный поток Ф, сцепленный с обеими ка-
тушками;
б) первичный поток рассеяния Фд, создан-
ный током io и сцепленный с катушкой А, но не сцеп-
ленный с катушкой В;
в) вторичный поток рассеяния Ф», создан-
ный током ib и сцепленный с катушкой В, но не сцеп-
ленный с катушкой А.
Отсюда вытекает основное определение потока рас-
сеяния одной катушки относительно другой как потока,
который создается током одной катушки и сцепляется
с этой катушкой, >но не сцепляется с другой катушкой.
Обозначения и правило знаков
В этой книге во всех схемах идеализированных ма-
шин катушки обозначаются буквами, которые затем ис-
пользуются в (виде индексов для напряжений, токов и
других величин. На рис. 6 первичная и вторичная катуш
ки трансформатора обозначены буквами А и В.
Для напряжений и токов принято следующее прави-
ло знаков:
и представляет собой напряжение, приложенное к за-
жимам катушки от внешнего источника;
i обозначает протекающий в катушке ток, который
считается положительным, есчи его исправление совпа-
дает с направлением и.
При этом условии мгновенная мощность id потреб-
ляется цепью извне, если uni положительны.
В общей теории, охватывающей как двигатели, так и
генераторы, важно всегда применять одно и то же пра-
вило знаков. Принятое условие непосредственно соответ-
ствует двигательному режиму, но вводит отрицательные
27
величины для генераторного режима. Это условие отве-
чает обычному правилу знаков теории электрических
цепей. Его преимущество состоит в том, что в уравне-
ниях появляется минимальное число отрицательных зна-
ков. Оно отличается от условия, выбранного Парком, ис-
следования которого касались в основном синхронного
генератора, но совпадает с правилом знаков, принятым
Кроном, стремившимся создать общую основу для ана-
лиза всех машин.
Рассмотрим простой пример. Уравнение для цепи
с активным сопротивлением г и индуктивностью L име-
ет вид:
t г
U=rl+L~dt-
Если ввести используемый в этой книге оператор р,
заменяющий символ производной по времени d/di, при-
веденное выражение может быть представлено следую-
щим образом:
u--=(r-]Lp)i. (Ы)
При выводе уравнений эта запись может рассматри-
ваться лишь как сокращение, однако в дальнейшем она
используется для решения уравнений с помощью опера-
торного метода Хевисайда.
Система относительных единиц
При анализе электрических машин и энергетических
систем во многих отношениях предпочтительно выра-
жать величины не в обы'чяых физических единицах,
авснстеме относительных ед и н и ц. В случае
применения системы относительных единиц для транс-
форматора, показанного па рис. 6,6 аз иен ы с едини-
цы первичных напряжения и тока выбира-
ются произвольно. Обычно в качестве базисных единиц
принимаются номинальные значения величин. Тогда от-
носительные значения напряжения и тока ка-
тушки будут |равны действительным значениям, деленным
на базисные. Например, если действительное напряже-
ние составляет половину номинального, то и=0,5 о. е.
Базисные единицы вторичных величин связаны с базис-
ными единицами первичных величин. Если отношение
чисел витков вторичной и первичной катушек равно п.
28
тобазисная единица вторичного напряже-
ния в п раз больше базисной единицы первичного на-
пряжения, а базисная единица вторичного
г о к а составляет 1/п базисной единицы первичного тока.
Базисная единица магнитного потока
определяется как поток, при единичной скорости измене-
ния которого в каждой из катушек индуктируется еди-
ничная э. д. с. (время измеряется в секундах).
Базисные единицы индуктиввестей вы-
бираются такими, чтобы удовлетворялись соотношения
Ф=Л1 . (f-U);
ао \ а
Ф =/£ ;
а Л а*

где Л1аЬ—взаимная индуктивность;
и — индуктивности рассеяния.
Базисная единица сопротивления каждой
из катушек определяется как сопротивление, на котором
при протекании единичного тока возникает единичное
падение напряжения.
Электродвижущая сила, индуктируемая в катушке
А, равна:
-£(*+ФД
Приложенное напряжение по знаку обратно индуктируе-
мой э. д. с. Поэтому напряжение, приложенное к ка-
тушке А, равно:

Для вторичной катушки может быть написано ана-
логичное выражение. Если использовать оператор /7,
уравнения трансформатора принимают вид:
иа=+ (Чь + Q р] + МаЬ pibi
и. = М . pi
t> ab ' а
ЧЧ^Н'ИоЬ4ЧМ‘ь- (1-2)
29
Полная индуктивность и индуктилность рассеяния
При рассмотрении трансформаторов и машин термин
индуктивность часто употребляется с двумя различными
значениями. Строго говоря, индуктивность катушки
определяется э. д. с., индуктируемой в ‘этой катушке
полным потоком, созданным протекающим в ней током,
если скорость изменения тока равна единице. У пер-
вичной катушки А ‘эта индуктивность соответствует
потоку Ф+Фя, когда вторичная катушка разомкнута
(it=0). Она называется п о л ной ип д у кти в н ос тью
и обозначается символом £д. С другой стороны, практи-
чески индуктивностью первичной обмотки часто назы-
вают се индуктивность рассеяния 1а, которая значитель-
но меньше полной индуктивности и соответствует пото-
ку рассеяния Фо.
Очень важно отчетливо представлять различие между
полной индуктивностью и индуктивностью рассеяния.
В -этой книге полная индуктивность обозначается про-
писной буквой L, а индуктивность рассеяния строчной
буквой I. В двухобмоточном трансформаторе при исполь-
зовании системы относительных единиц пол-
ная индуктивность каждой мз обмоток равна сумме вза-
имной индуктивности и индуктивности рассеяния1:

(1-3)
Теперь можно записать уравнения (1-2) несколько иначе
= (г„ + Lap) io 4- МаЬ pib; I
иь = Мсъ P‘a + + Lbp) J
Преимущества системы относительных единиц
Система относительных единиц очень полезна при
расчете машин, поскольку она существенно облегчает
сравнение между разными машинами. Значения соответ-
1 Равенства (1-3) справедливы не только в системе относитель-
ных единиц, как это отмечает далее автор. Они сохраняют силу
и в физических единицах, если вторичная обмотка приведена к пер-
вичной. В общем случае приведение должно производиться с ис
пользованием отношения эффективных чисел ibktkdb, которое нахо-
дится яз условия, чтобы приведенный и действительный токи со-
здавали один и тот же осчовлой поток. (Поли, рел.)
30
ствующих величин даже для сильно отличающихся кон-
структивных вариантов имеют один и тот же порядок.
Важное для теоретического анализа достоинство си-
стемы относительных единиц заключается в том, что
в уравнениях отсутствуют числа витков катушек. Кроме
того, весьма полезное соотношение, установленное выра-
жениями (1-3), что полная индуктивность катушки равна
сумме взаимной индуктивности и интуитивности .рассея-
ния, теряет справедливость, если величины выражены
в обычных физических единицах.
3. НАМАГНИЧИВАЮЩАЯ СИЛА И МАГНИТНЫЙ
ПОТОК ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАШИНЫ
Во всех машинах результирующий магнитный поток
создается совместным действием токов, протекающих во
всех обмотках. Действие электрической машины основа-
но на следующих явлениях: во-первых, магнитный поток
индуктирует в обмотках э. л. с. и, во-вторых, в результа-
те взаимодействия магнитного потока с токами возника-
ет электромагнитный момент.
Главный поток в воздушном зазоре
Магнитный поток проходит по всей магнитной цепи
электрической машины, однако его действие зависит
в первую очередь от распределения магнитной индукции
вдоль воздушного зазора. Таким образом, эта область
требует особого внимания. Кривая распределения маг-
нитной индукции вдоль воздушного зазора или кривая
поля в какой-либо момент времени может иметь произ-
вольную, нс обязательно синусоидальную форму. Обычно
полагают, что главный поток машины определяется
основной гармонической кривой поля, а радиус, проходя-
щий через точку с амплитудным значением индукции,
называют осью поля. Тогда главный поток полностью оп-
ределен как по величине, так и по направлению.
Намагничивающая сила
Для того чтобы найти поток, обусловленный извест-
ной -системой токов, необходимо .-прежде всего опреде-
лить -на-мапничивающую силу (и. с.), создаваемую этими
токами. На рис. 7 (изображена развернутая схема двух-
полюсной машины при изменении угла в пределах от О
31
до 2л. Проводники, составляющие катушку, распреде-
лены по пазам и токи образуют, как показами на схеме,
две зоны, симметричные относительно точек А и В. То-
ки в разных зонах протекают в противоположных на-
правлениях. Поскольку распределение токов известно,
можно найти и. с. вдоль любого замкнутого пути и, в ча-
стности, н. с. вдоль контура, пересекающего воздушный
зазор, например ACDFGH. Вследствие высокой магнит-
ной проницаемости стали можно считать, что вся и. с.
вдоль замкнутого пути приходится на воздушный зазор
и сосредоточена в точке F, если точка А воздушного за-
зора выбрана таким образом, что магнитная индукция
в ней раина нулю. При симметричном распределении то-
ков такая точка должна находиться посередине каждой
зоны. Исходя из этого, можно построить кривую распре-
деления н. с. вдоль воздушного .зазора при любом значе-
нии тока в катушке. Таким образом, несмотря на то, что
н. с. определяется как линейный интеграл вектора напря-
женности магнитного толя вдоль замкнутого пути, ее
значения можно отнести к соответствующим точкам ли
нии воздушного зазора и получить кривую распре-
деления н. с. машины. Если предположить, что
проводники сконцентрированы в точках на линии воз-
душного зазора, кривая н. с. будет иметь ступенчатую
форму, однако из нее можно выделить основную гармо-
ническую составляющую, по условиям симметрии про-
ходящую через нуль в точках А и В, как показано на
рис. 7. Радиус, проведенный через точку с амплитудным
значением н. с. (XX на рис. 7), называется осью н. с„
и, поскольку положение этой точки зависит только от
распределения проводников. он является также осью
катушки. Кривая представляет мгновенные значения
Рпс. 7. Развернутая схема распределения токов и я, с,
!—пространственное распределение и, с.
32
н. с., которые определяются мгновенным значением тока.
Зная кривую н. с., можно определить кривую -доля.
Есзд машина имеет равномерный воздушный зазор и
насыщением пренебрегается, магнитная индукция в лю-
бой точке протор1ги<й1аль<па и. с. Однако в явнополюс-
ных машинах эта зависимость не сохраняется и для то-
го, чтобы рассчитать магнитный -поток, приходится сна-
чала раскладывать волну н. с. на составляющие волны
по продольной и поперечной осям. По каждой из осей
синусоидальная волна н. с. создает маппитное поле, кон-
фигурация которого может быть найдена построением
картин поля или другими (известными методами. Кривая
поля несинусоидальна, однако благодаря симметрии
полюсов ось се оакханой гармонической составляющей
совпадает с осью н. с., создающей это поле. Следова-
тельно; если пренебречь гармоническими, волны н. с. по
продольной и -поперечной осям создают пропорциональ-
ные им синусоидальные поля по соответствующим осям,
причем коэффициенты пропторциодальности для продоль-
ной и поперечной осей различны. Отсюда можно найти
составляющие потока ло двум осям при любом значении
тока и, если насыщение отсутствует, путем их суммиро-
вания определить результирующий основной /поток.
4. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ. НАСЫЩЕНИЕ, ВЫСШИЕ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ. РАССЕЯНИЕ
Допущения, принятые в предыдущем параграфе,
сформулированы Парком [Л. 7]. Важнейшими из них яв-
ляются пренебрежение насыщением и пространственны-
ми высшими гармоническими составляющими потока.
Эти допущения нуждаются в некоторых пояснениях, ко-
торые целесообразно привести, прежде чем приступить
к изложению теории.
Насыщение, влияние нелинейностей
В идеализированной -машине принимается, что все
э. д. с. пропорциональны создающим их токам, т. е. что
насыщепие отсутствует. Пренебрегается также и други-
ми явлениями, вызывающими отклонения от линейной
зависимости между токами и э. д. с. или падениями на-
пряжения. Однако в реальной машине влияние насыще-
ния может оказаться весьма значительным, и при раз-
работке методов его учета было проявлено много
3 Б. Адкинс
33
изобретательности. Описанию этих методов отводится
большое шесто в любом учебнике по электрическим маши-
нам, например при рассмотрении реакции якоря в .маши-
нах постоянного тока млн (применения «индуктивного со-
противления Потье» в теории синхронных машин. Тем
не менее ни один из предложенных методой не вводит
в основные уравнения функций изменения индуктивно-
стей в зависимости от токов. Все они касаются главным
образом определения значений параметров, соответст-
вующих условиям частных задач. При решении уравне-
ний выбранные параметры считаются не зависящими от
токов.
•Общая теория должна исходить из линейных соотно-
шений, иначе она будет слишком сложна для практиче-
ского применения. При введении уточнений необходимо
стелить за те.м, чтобы они не затемняли основных обложе-
ний теоретического анализа. В этой книге рассматрива-
ются главным образом линейные зависимости.
Применяя теорию к решению практических задач,
нельзя забывать о возможности насыщения, поскольку
точность конечных результатов зависит от (правильно-
сти выбора значений параметров. Ввиду того, что насы-
щение вносит некоторую неопределенность, следует, если
имеется возможность, проверять полученные результаты
опытным путем на реальных машинах. Это поможет
разработать эмпирические методы определения необхо-
димых значений параметров [Л. 19].
Предположение о линейности основных зависимостей
позволяет использовать л р и*н ц и п н а л о ж е щ и я. Ток
каждой катушки создает свою н. с. и, следовательно, со-
ставляющую магнитного (потока, которая может индук-
тировать э. д. с. не только в собственной, но и в любой
другой катушке. В соответствии с принципом наложения,
для того чтобы найти результирующую э. д. с. в любой
катушке, необходимо сложить все составляющие э. д. с.
Применяя закон Кирхгофа, согласно которому сумма
всех падений напряжения в цепи равна /приложенному
к ней напряжению, можно составить уравнения для всех
катушек машины. Эти уравнения для напряжений совме-
стно с уравнением для момента образуют -систему ос-
новных у|рав1нений машины, полностью опреде-
ляющих ее поведение, если приложенные напряжения и
момент известны.
34
Внешне гармонические составляющие
Пренебрежение высшими пространственными гармо-
ническими составляющими потока' в общей теории об-
легчает представление исходных положений, однако оно
не используется в полной мере, поскольку действие мно-
гих гармонических 'Составляющих потока может быть
учтено путем изменения значений главной индуктивности
и индуктивностей рассеяния. В неподвижной машине
можно учесть все гармонические составляющие потока,
поскольку машина в этом режиме аналогична обычному
трансформатору. При вращении машины для учета неко-
торых э д. с., индуктируемых гармоническими состав-
ляющими потока, потребовалось бы введение в уравне-
ния дополнительных, обычно довольно сложных членов.
Имемно этими гармоническими пренебрегастся.
Рассмотрим вначале машину, в обмотках которой про.
текают переменные токи, работающую в установившем-
ся режиме. В векторную диаграмму для каждой цепи
могут вхо.н/итъ только э. д. с. и напряжения одинаковой
частоты. Поэтому любые пространственные гармониче-
ские составляющие потока, индуктирующие э. д. с. этой
же частоты, могут быть учтены теорией, а гармониче-
скими, индуктирующими в. д. с. других частот, следует
пренебречь. Гармонические, входящие во вторую группу,
вызывают вредные явления: шум, пульсацию э. д. с., па-
разитные моменты — и их стремятся по возможности
уменьшить. Этой проблеме уделяется серьезное внима-
ние, и в хорошей конструкции предусматриваются спе-
циальные меры для подавления нежелательных гармони-
ческих составляющих потока. Более детальное рассмо-
трение затронутых вопросов выходит за рамки данной
книги. При построении общей теории принимается, что
этими гармоническими можно пренебречь.
Общие уравнения машины справедливы при любых
закономерностях- изменения мгновенных значений токов
и напряжений. Синусоидальное изменение является толь-
ко частным случаем. Однако и в общем случае гармони-
ческие .потока делятся на две группы: гармонические, ин-
дуктирующие э. д. с„ которые могут быть включены
в уже имеющиеся члены общих уравнений, л гармониче-
1 В дальнейшем для сокращения чашки вместо высшие гар-
монические составляющие б>дет также применяться тер-
мин гармонические. (Прим, ред.)
3'
35
ские, требующие введения дополнительных членов. Пре-
небрегается только гармоническими, принадлежащими
ко второй грутипс.
Рассеанне
Преобладающая часть потока рассеяния в машине
определяется так же, как и в трансформаторе (см. § 2).
Она обусловлена тем, что проводники расположены в па-
зах, а не на поверхности воздушного зазора, а также
тем, что обмотки имеют лобовые части, выступающие
за пределы сердечника. Рассмотрим сначала машину,
имеющую только одну обмотку на жаждой части. Поток
рассеяния, замыкающийся вокруг пазов, не пересекает
воздушного зазора и, следовательно, сцеплен только
с той обмоткой, которая его создает. Кроме того, суще-
ствует поток зубцового рассеяния или рас-
сеяния зигзаг, пересекающий воздушный зазор, но
не проникающий в сертечник настолько глубоко, чтобы
создать сцепление с обмоткой, расположенной на дру-
гой части машины. Индуктивности, соответствующие
этим нидам рассеяния, вполне определенны и могут быть
рассчитаны известными способами.
Далее в .соответствии с изложенным выше обмотка
создаст гармонические составляющие потока, которые
пересекают воздушный зазор и создают сцепления с дру-
гой обмоткой, но не входят в главный поток, соответ-
ствующий основной гармонической кривой поля. В неко-
торых случаях э. д. с., индуктируемые этими гармониче-
скими, могут быть с успехом учтены в уравнениях
машины, в других случаях этого сделать нельзя. Напри-
мер, в асинхронном двигателе, вращающемся с устано-
вившейся скоростью, э. д. с., наводимая в одной из об-
моток гармонической потока, созданного другой обмот-
кой, не может быть включена в уравнения, так как
вследствие относительного движения обмоток частота
этой э. д. с. отличается от частоты э. д. с., .индуктируе-
мой основной гармонической составляющей потока.
Электродвижущая сила, наводимая гармонической пото-
ка, может быть учтена только в обмотке, создающей
данный поток. Действие этой гармонической эквивалент-
но увеличению потока рассеяния, сцепленного с обмот-
кой. Соответствующее увеличение потока рассеяния на-
зывают зонным -или поясовым рассеянием.
С другой стороны, в коллекторной машине коллек-
36
торная обмотка создаст гармонические составляющие
потока, аналогичные гармоническим, обусловленным об-
моткой статора. Эти гармонические обычно индуктируют
в статоре такие э. д. с., которые могут быть (включены
в уравнения, и, следовательно, их действие эквивалентно
увеличению главного потока.
Таким образом, утверждение, что в общей теории
пренебрегастся всеми гармоничоокими, несправедливо,
если в расчете используются уточненные значения ин-
ду1ктив1ностсй. Одпако неучитываемые гармонические
могут вызвать значительную неточность в .расчетах, если
машина неудачно сконструирована. Гармонические сле-
дует уменьшать 'правильным выбором числа и размеров
газов, шага обмоток я другими хорошо (известными
средствами.
Распределенные обмотан
Трансформатор, рассмотренный в § 2, имел сосредо-
точенные обмотки. Поэтому оказалась возможным про-
вести четкую границу между главным потоком и пото-
ком рассеяния. Однако если катушки состоят из витков,
распределенных в пространстве, и сдвинуты друг относи-
тельно друга, ясного различия между этими двумя ча-
стями потока не существует, поскольку невозможно
установить, какой поток сцеплен с обеими катушка'Ми.
В этом случае необходимо произвольно определить, что
понимать под термином «главный поток», и использо-
вать для (каждой катушки эффективное число
витков вместо действительного. В соответствии с раз-
личными способами определения главного потока полу-
чаются различные значения взаимной индуктивности,
индуктивностей рассеяния и отношения чисел витков.
Во вращающейся машине обмотки всегда в большей
или меньшей степени распределены, а главный поток
определяется, исходя 1из основной гармонической кривой
поля. Иногда утверждают, что четко разграничить глав-
ный поток и поток рассеяния в машине нельзя. Однако
если придерживаться принятого в этом анализе опреде-
ления главного потока как основной составляющей, не-
ясности нс возникает. Эффективное число витков обмот-
ки •машины в случае синусоидальной кривой поля опре-
деляется умножением действительного числа витков на
обмоточный коэффициент, который рассчиты-
вается известными способами*
37
Многообмоточные машины
Рассеяние каждой катушки может быть определено
только по отношению к некоторой другой катушке. Сле-
довательно, если имеются три катушки или более, лю-
бая из них имеет различные потоки рассеяния по отно-
шению ко всем остальным катушкам. Поэтому точный
анализ с использованием индуктивностей ра'ссеяния
значительно усложняется, и уравнения часто предпочи-
тают составлять, исходя из полных и взаимных индук-
тивностей.
Практически понятие о рассеянии можно применить
в простом виде к машинам с тремя обмотками или бо-
лее, если допустимо некоторое упрощение. Например,
если можно с достаточной точностью предположить, что
все обмотки сцеплены с одним и тем же главным пото-
ком, вполне достаточно найти ветчины индуктивностей
рассеяния для каждой из обмоток и одну общую взаим-
ную индуктивность. I
ГЛАВА ВТОРАЯ
МЕТОДЫ АНАЛИЗА
5. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИИ И МОМЕНТА.
МАТРИЧНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ
Установившиеся и переходные режимы
Уравнения обобщенной машины могут быть использо-
ваны для определения характеристик машины любого
типа как в установившемся, так и в переходном режи-
мах. Обычно приложенные напряжения известны, и за-
дача сводится к нахождению токов. Момент и скорость
вращения в одних случаях могут быть заданы, а в дру-
гих неизвестны. Поскольку общее решение, которое от-
носилось бы ко всем режимам, получить нельзя, следует
обратиться к решению частных задач.
Прежде всего необходимо уяснить различие между
установившимися и переходными процессами При пере-
ходном процессе выражения для напряжений и токов,
а также для момента и скорости «вращения являются
функциями времени. Для решения соответствующих
дифференциальных уравнений в любом частном случае
должны быть нзцестны начальные или другие граничные
38
условия. Установившиеся режимы делятся на два гипй:
режим постоянного тока, когда величины не изменяются
во времени, и режим переменного тока, когда величины
являются синусоидальными функциями времени. Для
установившихся режимов общие дифференциальные
уравнения могут быть превращены в алгебраические
уравнения с вещественными или комплексными шеремен-
ными. В этой гла-ве приводится классификация различ-
ных типов задач» с которыми приходится встречаться
практически (см. табл. 1), и рассматриваются методы их
решения.
Обычная теория электрических машип относится
главным образом к установившимся режимам, которые
поддаются исследованию легче, чем более общие пере-
ходные процессы. Методы анализа установившихся ре-
жимов обычно разрабатываются для отдельных типов
машин и используются векторные диаграммы, схемы за-
мещения и другие средства, тогда как переходные режи-
мы этих машин изучаются совершенно самостоятельно.
Общая теория, излагаемая в этой книге, охватывает все
различные режимы и устанавливает связь между .пере-
ходными и установившимися режимами, а также между
различными типами машин.
Матричное обозначение
Любую систему совместных уравнений можно пред-
ставить в матричной форме, разделив коэффициенты и
переменные. Например, уравнения (1-4) в матричной
форме принимают вид:
(2-D
Каждая система однородных величин, представлен-
ная « виде прямоугольной таблицы, называется матри-
цей. В приведенном простом примере матрица на-
пряжений и матрица токов состоят из двух эле-
ментов, а матрица сопротивлений— из четырех.
В общем случае .матрицы напряжений и токов могут
иметь соответственна п и т элементов, а матрица сопро-
тивлений гпп элементов.
3»
Первое из уравнений (1-4) может быть получено из
выражения (2-1), сели умножить каждый элемент пер-
вой горизонтальной строки матрицы сопротивлений на
соответствующий ток вертикального столбца матрицы
токов, сложить полученные члены н приравнять сумму
первому элементу матрицы напряжений. Второе уравне-
ние (1-4) можпо получить аналогичным образом, связав
элементы шторой строки матрицы сопротивлений с эле-
ментами матрицы токов. Более полное объяснение обо-
значений приводится ниже.
Первое время матричное обозначение можно считать
просто сокращенным способом записи уравнений. В этом
отношении преимущество матричного обозначения состо-
ит в том, что уравнения располагаются в определенном
порядке. В большей части книги матричное обозначение
используется только для этой цели, а решение произво-
дится обычными алгебраическими методами.
Тем не менее следует отметить, что существуют спе-
циальные правила обработки матричных уравнений.
Этот раздел математики называется матричной
алгеброй. Она дает большие преимущества при ре-
шении сложных уравнений. Объяснение и примеры при-
менения некоторых простых .приемов матричной алгебры
приводятся в гл. И.
Общие уравнения для напряжений
Обобщенная машина, изображенная на рис. 5, имеет
по каждой оси две катушки, подобные двум катушкам
трансформатора, показанного на рис. 6. Поскольку не-
подвижные катушки, расположенные по взаимно-перпен-
дикулярным осям, не имеют индуктивной связи друг
с другом, то при неподвижной машине ни в одной из ка-
тушек не будут наводиться э. д. с., обусловленные тока-
ми катушек <по другой оси. Следовательно, уравнения
для каждой пары катушек в отдельности будут анало-
гичны уравнениям трансформатора. Однако если маши-
на вращается, в уравнениях появляются дополнитель-
ные члены, так как в результате вращения в псевдоне-
•подвиждых катушках D и Q наводятся э. д. с., обуслов-
ленные потоками, созданными токами по другим осям
(см. § 1).
Можно показать (см. § 10), что для машины постоян-
ного тока по рпс. 4 или для ее другого представления
40
с помощью четырех катушек по рис. 5 уравнения, свя-
зывающие токи и напряжения, имеют стедующий вид:
«/ = (rf + Lip> Ч + Mdt Р '1й>
иа = Л}<4 Р‘{ + ('d + LaP) +
+ + ЖЛ;
« — — М м. — Мм. -!-
ч If а а 1 I
H+Ms+V/
(2-2)
Коэффициентами в приведенных уравнениях являются
активные сопротивления г, полные индуктивности L и
взаимные индуктивности М. Индексы обозначают ка-
тушки, к которым эти величины относятся. Mdl и Af
анатогичны взаимной индуктивности М^ в уравнениях
трансформатора (1-4). Мс, MQ, М£ и Mf представляют
собой дополнительные коэффициенты, определяющие
э. д. с„ наводимые в катушках якоря по одной из осей
полями, созданными токами катушек по другой оси при
вращении машины.
Система уравнений (2-2) может быть записана также
в виде одного матричного уравнения;
иг г/ + LfP MdlP
“d М<цР rd~t~^dP
ич ~М^ ~М<Г гч+ЬчР Mqep '1ч
ие Mqgp rg+Lgp lR
(2-3)
Систему уравнений (2-2) можно получить из матрич-
ного уравнения (2-3), если приравнять напряжение
в каждой строке -матрицы напряжений сумме произведе-
нии каждого из элементов той же строки матрицы со-
противлений на соответствующий ток столбца матрицы
токов. Так, например, третий элемент строки матрицы
сопротивлений (считая слева направо) умножается на
третий ток в столбце (считая сверху вниз).
Каждый член в уравнениях (2-2) можно найти, опре-
делив э. д. с., наведенную в данной цопи, когда ток про-
41
текает только в одной цепи, точно так же, как н в обыч-
ной теории цепей. Уравнение для любой цепи нетрудно
составить, сложив все падения напряжения* и приравняв
сумму приложенному напряжению. Применение матрич-
ного обозначения облегчает сравнение различных коэф-
фициентов и позволяет сразу же обнаружить, какие токи
имеют коэффициенты, равные нулю.
В уравнениях (2-3) некоторые члены включают диф-
ференциальный оператор р и соответствуют э. д. с., обус-
ловленным изменением токов, протекающих щ катушках
по той же оси. что и рассматриваемая катушка. Эти
э. д. с. возникают даже шри неподвижной машине и на-
зываются трансформаторными э. д. с. Другие
члены содержат скорость v и соответствуют э. д. с., на-
водимым полями, созданными токами катушек по дру-
гой оси при вращении машины. Например,— MyWy урав-
новешивает э. д. с., наведенную между щетками по попе-
речной оси током катушки возбуждения по продольной
оси.Такая э. д. с. возникает в обычной машине постоян-
ного тока, состоящей только из двух цепей Q и F. Эти
э. д. с. называются э. д. с. вращения. Когда в ка-
тушках протекают постоянные токн, ’Возникают только
э. д. с. вращения, а трансформаторные э. д. с. отсутст-
вуют.
Исходя из условий, сформулированных в § 1, знаки
членов, соответствующих э- д. с. вращения, отвечают
принятым в уравнениях (2-3). Эти знаки могут быть
определены из рассмотрения момента, обусловленного
взаимодействием полей, созданных токами, протекаю-
щими в катушках. Положительный ток I. создает ма-
гнитный поток, направленный от центра по продольной
1 В соответствии с принятыми в этой книге обозначениями
и правилом знаков (см. § 2) все члены в уравнениях для напряже-
ний цепей являются составляющими приложенных напряжений, т. е.
падениями напряжения или напряжениями, уравновешивающими
э. д. с. Падением напряжения может -быть названа и величина, рав-
ная, но обратная по знаку э. д. с., наведенной в цепи токами, про-
текающими в других цепях.
В дальнейшем, как это принято в теории электрических машин,
подобные члены уравнений напряжения типа Lpi и Mpi обычно
называются э. д. с., а также вводятся понятия трансформаторной
э. д. с, э. д. с. вращения и внутренней э. д. с машины, равные на-
веденным э. д. с., взятым с обратным знаком. (Прим. ред.).
42
оси, т. е. образует южный полюс на поверхности поло-
са статора, тогда как положительный ток 1д создает
северный полюс на поверхности якоря. Притяжение этих
разноименных полюсов приводит к возникновению мо-
мента, действующего на якорь в отрицательном направ-
лении, отвечающем генераторному режиму, если вы-
бранное направление скорости вращения > считать поло-
жительным, Следовательно, согласно условиям, изло-
женным в § 1, соответствующая составляющая потреб-
ляемой электрической мощности должна быть отрица-
тельной, что и определяет отрицательный знак у члена
(— Mf Член (— также имеет отрицательный
знак, так как положительные токи ia и I. создают поля
одного и того же направления.
Атта логичные рассуждения показывают, что члены
уравнения для катушки якоря по продольной оси, 'соот-
ветствующие э, д, с. вращения, обусловленным токами
по поперечной оси, имеют положительные знаки.
Более подробно вывод уравнений для машины посто-
янного тока приводится в § 10. В гл. 6 (показано, что
уравнения машины переменного тока могут быть пред-
ставлены в таком же виде, как и уравнения машины
постоянного тока, если в качестве (переменных вместо
действительных напряжений и токов использовать фик-
тивные (напряжения и токш по продольной м поперечной
осям, определяемые преобразованием Парка, В связи
с этим уравнения для обобщенной машины и методы их
решения, рассматриваемые в настоящей главе, относят-
ся как к машинам (постоянного, так и переменного тока.
Четыре уравнения (2-3) относятся к машине, которая
может быть заменена четырьмя катушками (рис, 5).
В общем случае машине, представленной на схеме п ка-
тушками, соответствуют п уравнений для напряжений,
связывающих п напряжений с п токами. Матрица сопро-
тивлений подобной машилы имеет п2 элементов
Общее уравнение для момента
Мгновенное значение развиваемого машиной момента
определяется токами, протекающими в се обмотках.
Уравнение для момента может быть выведено из урав-
нений для напряжений, если исследовать выражение
для мгновенной мощности.
43
Момент, возникающий в результате взаимодействия
между потоком и токами, называется электромаг-
нитным м о мем том. При вращении машины с из-
меняющейся скоростью он отличается от внешнего
приложенного момента вследствие инерции вращающих-
ся частей.
Введем следующие обозначения:
тзм—мгновенное значение электромагнитного момента,
считающееся положительным, если механическая мощ-
ность подводится к машине извне при положительной
скорости; тт — мгновенное значение внешнего прило-
женного момента (подразумевается, что твв учитывает -
все виды трения; J—момент инерции.
Тогда
'у- (2-4)
Принятое (В отношении знаков условие позволяет
вскрыть аналогию между электрическими и механиче-
скими величинами. Напряжение приложено к зажимам
машины, а момент приложен к валу. Следовательно,
отвлекаясь от влияния потерь, положительные напряже-
ние и ток определяют двигательный режим, а (положи-
тельные момент и скорость вращения соответствуют ге-
нераторному режиму.
Базисные единицы механических величин в системе
относительных единиц
Общая электрическая мощность Р, подводимая к ма-
шине, равна сумме мощностей, /потребляемых отдельны-
ми цепями (мгновенное значение мощности будет обо-
значаться прописной буквой Р для отличия от дифферен-
циального оператора р). При 'Попользовании системы от-
носительных единиц желательно, чтобы подводимая
мощность имела значение, равное или близкое к едини-
це, когда напряжения и токи в главных цепях .равны еди-
нице. Поэтому для машин, имеющих несколько главных
пепей, необходимо ввести в выражение для мощности
коэффициент kp, зависящий от типа машины Тогда
P-kYut. (2-5)
Базисная единица мощности определяется
как мощность, соответствующая единичным напряжению
44
й току so все/ главных цепях. Например, для трехфаЗ-
ной машины потребляемая мощность равна единичной,
когда во всех трех фазах протекают единичные токи
при единичных напряжениях (рассматриваются действую-
щие значения) и коэффициенте мощности, равном еди-
нице. В связи с этим для трехфазной машины
= 71* Для генератора поперечного поля, в котором
главной цепью является только одна из цепей якоря,
единичная мощность определяется номинальными током
и напряжением этой цепи и, следовательно, k =1.
В общем случае kp является величиной, обратной числу
главных цепей.
Следует отметить, что согласно приведенному выше
определению единичная мощность машины переменного
тока соответствует не номинальной активной мощности,
а ее номинальной полной мощности (ква). Так, для ге-
нератора, имеющего номинальную полную мощность
1000 ква при коэффициенте мощности 0,8, единичная
мощность равна 1 000 кет, а 'номинальная активная мощ-
ность составляет 800 кет, или 0,8 о. е.
Базисная единица скорости вращения,
принятая в этой книге, равна одному радиану в секунду.
Каждая машина имеет люминальную скорость
вращения, обозначаемую со, которая может быть
взята за остову при сравнении. Для машин тстояшного
тока номинальная скорость вращения равна номиналь-
ной скорости вращения эквивалентной двухполюсной ма-
шины, выраженной в электрических радианах в секунду.
В машинах переменного тока номинальной скоростью
вращения является синхронная скорость эквивалентной
двухполюсной машины, ранная 2л/, где / — частота пи-
тающей сети, гц.
Базистая единица момента в системе отно-
сительных единиц определяется как -момент, который со-
здает единичную мощность при номинальной скорости
вращения св.
Моменту инерции машины ® системе относительных
единиц соответствует пост о яапн а я инерции, обо-
значаемая через Н и определяемая как отношение
запаса энергии при синхронной скорости
(квт-сек) к номинальной полной .мощно-
сти (ква).
45
Постоянная инерции обычно рассчитывается, исходя
из момента инерции и скорости вращения, выраженных
в обычных физических единицах, и имеет размерность
времени. Ее значения привидятся в секундах. Так -как
в системе относительных единиц базисная едини-
ца энергии определяется единичной мощностью, дей-
ствующей в течение 1 сек, то Н численно равно относи-
тельному значению запаса энергии. Для того чтобы ма-
шина при постоянном ускорении разгонялась за 1 сек из
неподвижного состояния до номинальной скорости, по-
требовался бы согласно уравнению (2-4) момент, рав-
ный /о». Запасенная при этом энергия -обусловлена мощ-
ностью, развиваемой этим моментом при средней скоро-
сти w/2, и равна */г (До). В относительных единицах,
учитывая приведенное выше определение момента, (по-
стоянная инерция Н составляет '/а /о или
и уравнение (2-4) принимает вид:
+ -
—
(О
(2-6)
Ценное свойство системы относительных единиц, как
уже отмечалось выше, состоит в том, что значения со-
ответствующих величин для разных машин имеют один
и тот же порядок. Постоянная инерции, используемая
главным образом в теории синхронных машин, изменяет-
ся в пределах от 2 до 6 сек для широкого диапазона
конструктивно отличающихся друг от друга машин,
имеющих различные размерит скорости вращения. В от-
ношении механических величин недостатком системы
относительных единиц является несоответствие размер-
ностей в уравнениях.
Электромагнитный момент
Если ограничиться рассмотрением катушки Д (рис. 5),
расположенной ша роторе, подводимая к .ней мощность
Ра согласно уравнению (2-3) равна:
В написанном выражении для Ра .первый член опре-
деляет потери в активном сопротивлении, а [второй и тре-
тий члены представляют скорость изменения запаси
магнитной энергии в .машине. Только четвертый и пятый
члены относятся к отдаваемой мощно1сти, соответствую-
щей электромагнитному моменту. Отсюда следует, что
общая мощность Рэи, развиваемая электромагнитным
моментом, В'озпикающи'м три взаимодействии магнитно-
го потока и тока, равна сумме произведений всех чле-
нов уравнений, обусловленных э. д. с. вращения, на со-
ответствующие томи. Следовательно. для машины, пред-
ставленной на рис. 5.
Сж = (М</Л + МЕ^е -
(2'7)
Используя определения электромагнитного момента
и единичного момента, получаем:
рэи = —
Отрицательный знак в выражении для мощности
Р,т появляется вследствие того, что она получена из
электрической мощности, подводимой к зажимам, тогда
как тэм представляет собой момент, приложенный к валу.
Исходя из этого, электромагнитный момент опреде-
ляется следующим образом:
m=J М Лi. — Mil -к (М. — М ) i.i 1. (2-8)
эм Pl I d I е d в 1 ' d q' d q* ' '
Уравнение (2-8) относится к частному случаю маши-
ны, представленной четырьмя катушками на рис. 5 и
описываемой уравнениями (2-3). В более общем случае
выражение для тзм можно вывести аналогичным путем,
однако число членов при этом может быть ббльшим
или меньшим в зависимости от числа членов, соответст-
вующих э. д. с. вращения, в уравнениях для напряже-
• Появление множителя 'До в выражении для мощности, иска-
жающего физический смысл уравнения, определяется произвольным
выбором единицы момента. В согласованной системе относительных
единиц базисный момент быт бы равенМб — Рб/>б и множи-
тель ’Да отсутствовал. (Прим.ред.)
47
пий. Если подставить выражение для msu в уравне-
ние (2-6), получим зависимость, определяющую т№
через токи и скорость вращения.
6. ТИЛЫ ЗАДАЧ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Машина, -представленная на идеализированной схеме
л катушками, описывается п уравнениями для напряже-
ний и одним уравнением для момента. Так, например,
при л=4 (см. рис. 5) действительны уравнения (2-3) и
(2-8). В этих уравнениях -время t является независимой
переменной, к зависимым же переменным относятся п
токов и скорость вращения. Если п нтрило-женных напря-
жений и приложенный момент известны, полученных
п+1 уравнений достаточно для -нахождения л токов и
скорости вращения. Следовательно, теоретически пове-
дение машины полностью определено.
В общем случае уравнения, включающие -произведе-
ния скорости и токов, представляют собой нелинейные
дифференциальные уравнения, решение которых встре-
чает серьезные затруднения. Однако в частных случаях
они нередко могут быть значительно упрощены. Поэтому
встречающиеся практически типы задач можно класси-
фицировать, как это сделано ниже и -систематизировано
в табл. I. Некоторые из математических ’методов, упомя-
нутых в табл. 1, рассматриваются в § 7—9.
-При установившемся режиме скорость -вращения по-
стоянна, и уравнения для напряжений могут рассматри-
ваться независимо -от уравнения для момента. Как было
отмечено выше, уравнения для напряжений в этом слу-
чае превращаются в систему обычных линейных алгеб-
раических уравнений ю вещественными для постоянного
тока (см. п. 1, табл. 1) и комплексными для переменно-
го тока (в. 2, табл. 1) переменными.
При переходных процессах, когда напряжения и токи
могут изменяться произвольно, задача значительно упро-
щается, если скорость вращения машины остается по-
стоянной (-п. 3, табл. 1). При этом уравнения для напря-
жений, которые по-прежнему могут решаться независи-
мо от уравнения для момента, становятся линейными
уравнениями -с постоянными коэффициентами.
Если напряжения известны, такие уравнения могут
быть решены или алгебраическими методами (для уста-
4Я
новившегося режима), или операторным методом (для
переходных шроцеосов). Токи, найденные в результате
решения, можно ввести в уравнение для момента. При
постоянной скорости вращения внешний приложенный
момент определяется непосредственно, так как он равен
электромагнитному моменту.
Более сложны задачи но п. 3 габл. 1. Это задачи,
встречающиеся при исследовании несимметричной ра-
боты многофазной машины, когда приложенные напря-
жения Uj и явно не определены, «о могут быть ‘най-
дены мз известных соотношений В этих случаях также
могут быть использованы алгебраический и операторный
методы решения, однако они становятся более трудоем-
кими (см. § 41).
Сложность уравнений возрастает, если скорость вра-
щения изменяется, но является известной функцией вре-
мени (см, ш. 4 табл, 1). Уравнения для (напряжений при
этом также могут рассматриваться отдельно, однако
'входящие в них коэффициенты, зависящие от скорости
вращения, становятся переменными. Для решения этих
дифференциальных уравнений с переменными коэффи-
циентами операторный метод неприменим. Обычно мож-
но получить только численные решения, которые могут
быть выполнены или путем непосредственных расчетов,
или с помощью вычислительных машин. Электромагнит-
ный момент находится из выражения (2-8) после под-
становки в него рассчитанных значений токов. Если тре-
буется определить приложенный момент, к нему следует
прибавить согласно уравнению (2-6) динамический мо-
мент, учитывающий инерцию вращающихся частей.
Наиболее сложны те задачи, в которых скорость вра-
щения является неизвестной переменной (см, п. 5,
табл, 1), Они относятся к самому общему типу задач,
касающихся переходных процессов. Все n+1 уравнений
в этом случае должны решаться совместно численными
(методами.
Некоторые особые режимы, охватываемые inn. 6 и 7,
табл. 1, могут быть исследованы более простыми мето-
дами, чем общий случай. При малых отклонениях от за-
данного установившегося режима нелинейные дифферен-
циальные уравнения для напряжений и момента пре-
образуются с достаточной точностью в линейные
уравнения. Если же эти отклонения принимают вид си-
4 в. Адвдл? 49
Таблица 1
Режим Тип уравнения Метод решения Вид решения
Скорость юстоявна. Ра с с м а т р в в а ю тс я только
гравневия для и аи ряжений
1. Установив- Алгебраические Алгебра веще- Вещественные
итийся ре- жим посто- янного тока уравнения с ве- щественными ве- личинами ственных чи- сел числа
2. Установив- А.тгсбраичсские Алгебра комп- Комплексные
гпинся ре- жим пере- менного тока уравнения с ком- плексны мн не ли- чинами лекспых чи- сел. Вектор- ные диаг- раммы. Мо- делирование числа
3. Переходный процесс Линейные диффе- ренциальные уравнения с по- стоянными ко- эффициентами Операторный метод Функции t
Скврость — известная функция времени Рассмат-
риваются только уравнения дл я нвпряжеинй
4. Переходный
процесс
Линейные диффе-
ренциальные
уравнения с пе-
ременными ко-
эффициентами
Метод после-
довательных
интервалов.
Интегратор.
Цифровые вы-
чнс тигель-
ные машины
Функции t
Скорость неизвестна. Рассматриваются уравне-
ния для напряжений и момента
5. Переходный Нелинейные диф- ференциальные уравнен»я Как в п. 4 Функции t
процесс
6- Малые от- клонения Линейные диффе- ренциальные уравнения с по стоянными ко- эффициентами Как в в. 3 Функции t
7. Малые ко- лебания Алгебраические уравнения с ком- плексными вели- чинами Как в п. 2 Комплексные числа
5"
иусоидальных колебаний известной частоты, уравнения
могут быть еще более упрощены и превращаются в ал-
гебраические уравнения с комплексными величинами.
В § 12 «подробно рассматривается вывод уравнений для
малых отклонений и колебаний.
Применение теории
Развитие обобщенной теории всех типов электриче-
ских машин в этой книге начинается с рассмотрения
каждого из -главных типов в отдельности. Однако их
анализ 'следует по одному и тому же пути, т. е. в соот-
ветствии «с вышеизложенным для каждой машины реаль-
ные обмотки заменяются катушками, расположенными
по двум взаимно-перпендикулярным осям, и составля-
ются общие дифференциальные уравнения.
Исторически, начиная с опытов Фарадея, первенст-
вующая роль принадлежит генератору «переменного
тока. С достаточным основанием его можно «считать
основной электрической машиной. Действительно, общие
уравнения синхронной машины, выведенные Парком
в 1929 г., включают большинство основных положений
общей теории всех машин.
Однако, как уже отмечалось выше, наиболее важной
•идеей работы Парка является введение «преобразо-
вания, осуществляемого для замены действительных
токов и напряжений вращающихся обмоток эквивалент-
ными осевыми величинами. В общей теории с преобразо-
ванием переменных связано введенное Кроном понятие
о фиктивных твеевдоненодвижных осевых катушках, об-
ладающих особыми свойствами, «которые были описаны
и § 1. Эти свойства, присущие реальным цепям якоря
в машинах -постоянного тока, служат связующим звеном
между различными типами .машин. Таким образом, из-
ложение теории удобно начать с рассмотрения машин
постоянного тока, имеющих две отчетливо выраженные
оси как на статоре, так и на роторе. Оси статора связа-
ны с явно выраженными полюсами, а оси ротора опре-
деляются положением щеток. Поэтому для анализа ма-
шин постоянного тока следует использовать теорию двух
осей. Рассмотрение коллекторной обмотки этих машин
позволит ® самом начале объяснить происхождение осо-
бых свойств псевдонеподвижных обмоток ротора обоб-
щенной машины. Общая теория машин постоянного то-
51
кй относится также ко многим типам Однофазных Кол-
лекторных машин переменного тока (ом. § 44).
Вслед за анализом машин постоянного тока, которо-
му посвящены гл. 3 л 4, в гл. 5—10 подробно исследуют-
ся синхронная машина и асинхронный двигатель. Здесь
разбираются многие важные практические задачи.
У синхронной машины на части, создающей магнитное
поле, можно выделить две очевидных оси независимо от
того, 'имеет ли она явно или неявно выраженные полю-
сы Поэтому, несмотря на то, что для неявнополюсных
машин некоторое ограниченное число задач можно ре-
шать, не 'прибегая к теории двух осей, любой исчерпы-
вающий анализ должен исходить из нее. С другой сто-
роны, асинхронные машины (как беоколлекторные, так
и коллекторные) нс имеют определенных осей ни на од-
ной из частей, и для их исследования при симметричном
режиме можно использовать теорию вращающихся по-
лей. Однако даже и для этих машин всесторонний ана-
лиз требует введения двух осей. В с.тучае асинхронного
двигателя теория двух осей или «теория поперечного
лоля» становится предпочтительной при изучения несим-
метричных режимов ,и почти незаменимой три рассмо-
трении переходных процессов. Анализ многофазных кол-
лекторных машин в принципе аналогичен рассмотрению
асинхронных бесколлскторных двигателей, однако он бо-
лее сложен ввиду наличия добавочных обмоток.
В гл. 11 кратко изложена методика использования
обобщенной теории в качестве исходной точки при ана-
лизе машин любого типа. Особенности применения тео-
рии к любому конкретному типу машин зависят от вида
преобразования, используемого для (перехода от пере-
менных, входящих в общие уравнения, к (переменным
действительной машины.
7. ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ
ВЕЛИЧИН ВРАЩАЮЩИМИСЯ ВЕКТОРАМИ
И КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Геометрический вектор является отрезком прямой
линии, имеющим определенные направление и величину.
Первоначально использование векторов для изображе-
ния гармонически изменяющихся величин было осно-
вано на геометрическом построении. Мгновенное значе-
ние величины находилось как (проекция вращающегося
52
с постоянной скоростью вектора на неподвижную оСЬ.
Поскольку вес векторы, изображающие величины, изме-
няющиеся с одной и той же частотой, вращаются с оди-
наковой скоростью, «на неподвижной векторной диаграм-
ме могут быть показаны их угловые .положения друг от-
носительно друга, т- е. отражены сдвиги по фазе во вре-
мени. При изложении теории установившихся режимов
машин переменного тока, особенно в ранее вышедших
учебниках, обычно используются векторлые диаграммы
подобного типа. По отношению к любым двум гармони-
чески изменяющимся величинам, представленным на не-
подвижной -векторной диаграмме, необходимо отличать
опережение от отставания. Для этого нужно условиться
о том, в каком направлении следует вращать диаграм-
му, чтобы проекции составляющих ее векторов на непо-
движную ось да-вали мгновенные значения изображае-
мых величин. Обычно в качестве нормального направле-
ния вращения принимается вращение векторов «против
часовой стрелки.
Позднее было установлено, что векторы неподвиж-
ной диаграммы, изображающие гармонически изменяю-
щиеся величины, могут быть представлены комплексны-
ми числами. Это позволило значительно ускорить расче-
ты. Вещественная и мнимая части комплексного числа
равны составляющим вектора по двум неподвижным
взаимно-перпендикулярным осям. Таким образом, вектор
определяется координатами точки на «диаграмме Ар-
гавда» (комплексной плоскости), по осям которой от-
кладываются обе части комплексного числа. Если ком-
плексные числа используются для изображения -пере-
менных напряжения или тока, следует иметь в виду, что
они заменяют не вращающиеся, а .неподвижные векторы.
Условие равенства нулю суммы всех мгновенных зна-
чений напряжений, действующих в электрической цепи,
отражается в векторной диаграмме напряжений тем, что
векторы, изображающие эти напряжения, образуют за-
мкнутый многоугольник. С одинаковым успехом это
условие может быть выражено уравнением в сим-
волической форме, т. е. в комплексных величи-
нах. в котором сумма всех комплексных величин, пред-
ставляющих напряжения, должна быть равна (нулю.
В этом параграфе будет показано, каким образом об-
щие дифференциальные уравнения машины можно пре-
53
образовать ъ уравнения а символической форме, еблй
известно, что нее переменные в уравнениях изменяются
с одной и той же частотой, т. е. машина работает в уста-
новившемся режиме.
Вектор и комплексное число изображают одну и ту
же величину, однако эти два термина имеют несколько
различные значения в зависимости от исходного пред-
ставления. При аналитическом исследовании, которому
посвящена эта книга, комплексные числа более удобны,
тогда как геометрические векторы дают более наглядное
представление.
Следует отметить, что векторы, «изображающие гар-
монически изменяющиеся величины, не обязательно
должны быть .временными векторами, т. е. представлять
величины, изменяющиеся синусоидально во времени.
Они могут также изображать величины, синусоидально
распределенные в пространстве. Такие «пространствен-
ные векторы» имеют очень важное значение в теории
электрических машин (ом. § 18).
Как было 'подчеркнуто выше, вектор или комплексное
число, изображающие гармонически изменяющуюся ве-
личину, по своей сущности отличаются от самой величи-
ны. В связи с этим их обозначения должны четко отли-
чаться от обозначения мгновенного значения величины.
Векторы и комплексные величины в дальнейшей! будут
обозначаться прописными буквами (исключая «несколько
величин, обозначенных греческими буквами с точкой на-
верху), в то время как мпновенные значения величин
будут обозначаться строчными буквами. Например,
мгновенное значение тока обозначается г, а изображаю-
Рис. 8. Векторное представление
гармонически изменяющейся всли-
чини.
щая ток комплексная ве-
личина /.
Геометрическое представление
Геометрическая связь
между вращающимся век-
тором, изображающим пе-
ременную величину, и ее
мгновенным значением
проявляется в том, что
мгновенное значение оп-
ределяется как проекция
вектора на неподвижную
координатную ось. На
54
рис. 8 проекция на ось ОХ вращающегося вектора ОР
равна мгновенному значению тока i. Линия ОЛ являет-
ся координатным вектором, вращающимся с постоянной
скоростью со. Вектор ОР образует с ОА постоянный
угол q>, а его длина равна
Аналитическое представление
Переменный ток полностью определяется следующим
выражением:
cos Н+<?),
где 1т— амплитудное значение тока;
— фазовый угол тока;
tu=2irf (f— частота сети).
Далее соз(ю/-|-<р) можно представить как вещест-
венную часть g<<"r+’) и записать в виде: Ке[еЛ<и,+т)|.
Тогда
i=Re
|/ \ F 2 J ]
ИЛИ
f=Re[ (2-9)
где
Уравнение (2-9) устанавливает связь между мгновен-
ным значением тока i и комплексным числом /, соот-
ветствующим неподвижному вектору векторной диа-
граммы.
Комплексное число / полностью определяет ток.
Его модуль Jт1^2 равен действующему значению тока.
а аргумент <р определяет фазу тока
во времени. Если / известно, мгно-
венное значение тока нетрудно
найти с использованием соотношения
(2-9)
Применение комплексных вели-
чин для решения дифференциальных
уравнений цепи или машины в слу-
чае установившегося режима пере-
менного тока иллюстрируется сле-
Рис. 9. Схема простой
цепи переыеаного
тока.
55
дующим 'примером. Простая обладающая индуктив-
ностью цепь, показанная «а рис. 9, описывается диффе-
ренциальным уравнением:
(21°)
где
ц = cos Н-(-?).
Приложенное напряжение и может быть выражено
комплексной величиной О = <4/2 №
Пусть ток, как и в выражении (2-9), будет пред-
ставлен комплексной величиной/. Тогда уравнение (2-10)
можно записать в следующем виде:
[R+1-4) IRe = Re (/2"
Поскольку
4 Re [e'(ttl+”j = — ш sin (of + ?) = Re [/wC'(“,+”].
можно написать:
Re [(/? + te^] = Re
Так как последнее выражение справедливо при лю-
бых значениях t, получим:
(/? + /«£)/=0. (2-11)
Соотношение (2-11) представляет собой уравнение в
символической форме, связывающее две комплексные
величины 1 и U. Его можно сравнить с исходным диф-
ференциальным уравнением (2-10), которое в операторной
форме после замены d[dt на р имеет вид:
(R+Lp)i=«. (2-12)
Метод, использованный для 'получения уравнения
(2-11) в символической форме, остается справедливым
для любой системы дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами. Очевидно, что члены любо-
го дифференциального уравнения этого типа могут быть
преобразованы в комплексные величины аналогичным
путем. Следовательно, все уравнение может быть прс-
56
образовано в уравнение в символической форме с по-
мощью двух следующих простых правил:
I. Изменяются обозначения всех переменных. Строч-
ные буквы (мгновенные значения) заменяются пропис-
ными буквами с точкой наверху (комплексные вели-
чины).
2. р заменяется на /со.
Следует подчеркнуть, что символический метод по-
добно принципу .наложения и операторному методу, рас-
смотренному в § 8, применим только к линейным диффе-
ренциальным уравнениям с постоянными коэффициента-
ми. Для цепи, описываемой нелинейным дифференциаль-
ным уравненном или включающей зависящие от тока па-
раметры, не может быть получено решения, в котором
все токи и напряжения являются синусоидальными функ-
циями. Это обстоятельство вновь показывает важность
принятого вначале предположения об отсутствии насы-
щения.
Мощность в цепня переменного тона
В цепи с 'переменявши напряжением и током изве-
стной частоты мощность не изменяется с этой же часто-
той. Ее значение складывается из постоянной составляю-
щей, называемой средней мощностью, и состав-
ляющей, изменяющейся с двойной частотой. Выражение
для мгновенного значения мощности может быть полу-
чено как произведение мгновенных значений напряжения
и тока. Однако часто интерес представляет только сред-
няя мощность, которая определяется простой формулой.
Предположим, что мгновенные значения напряжения
и тока равны:
«^П^соб^ + ф);
^^«кН+ф + О).
Тогда средняя мощность
(2-13)
Если ток и напряжение представлены комплексными
величинами
У 2 т
57
1 = 4=1 ei{4+\
|Л2 ж
выражение для мощности Р, определяемой уравне-
нием (2-13), можно записать следующим образом:
=Re [ V? и-е~" ' “I - * <z" ’• <2-14>
L г z F
или иначе
P=Re(W), (2-15)
где U к I — комплексные величины, сопряженные с U
и /.
Комплексная величина, сопряженная с данной, .полу-
чается изменением знака перед ее мнимой частью, т. е.
комплексной величиной, сопряженной с (a+jb), являет-
ся (ajb).
Формулы (2-14) и (2-15) наиболее удобны для опре-
деления средней мощности в тех случаях, когда напря-
жения и токи выражены комплексными величинами.
8. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ХЕВИСАЙДА
Операторный метод оказывает большую помощь при
обработке дифференциальных уравнений, встречающие-
ся при анализе электрических машин. Он полезен для
сокращения записи уравнений, выполнения алгебраиче-
ских операций -над ними, а в некоторых типах задач и
для нахождения решения.
В .пояснениях к табл. 1 отмечалось, что протекающие
в машинах процессы описываются линейными дифферен-
циальными уравнениями с постоянными коэффициента-
ми, когда скорость вращения машины сохраняется не-
изменной (см. п. 3), а также при рассмотрении малых
изменений переменных, в том числе и скорости враще-
ния (см. в. 6). Для системы совместных уравнений этого
типа операторный -метод позволяет получить простое
решение, если (известны начальные условия. Однако про-
стой операторный метод неприменим, когда скорость
вращения машины не остается постоянной и коэффици-
енты в ура'впе<ниях изменяются (см. п. 4) или некоторые
из уравнений нелинейны (см. in. 5).
58
Операторный метод предложен Хевисайдом в дни
возникновения теории электрических цепей [Л. 25]. Со-
гласно этому методу символ 'производной по времени
djdt заменяется в уравнениях на р, а затем оператор р
рассматривается как самостоятельная алгебраическая
ветичина. Для решения системы линейных уравнений
они подвергаются алгебраическим операциям, выполняе-
мым в соответствии с некоторыми определенными пра-
вилами, основанными на сравнении с 'известными реше-
ниями. Хевисайд не дал строгого математического обос-
нования метода, однако за прошедшее время математи-
ки сумели 1найти достаточные доказательства его
справедливости. Иллюстрация применения операторного
метода для решения уравнений ограничена здесь просты-
ми случаями, аналогичными задаче, рассмотренной да-
лее. При ио1юль'зо(ва1нии метода должны соблюдаться
необходимые условия.
Решение линейных уравнений
Приведенный ниже простой пример относится к при-
менению метода Хевисайда при анализе процессов, опи-
сываемых дифференциальными уравнениями с постоян-
ными коэффициентами. Опера- л в
торный метод непосредственно
применим, если шо условиям за-
дачи начальные значения входя-
щих в уравнения переменных
равны пулю, как это имеет место
в данном случае. В дальнейшем
будет показано, каким образом,
используя принцип наложения.
Рис. 10. Внезапное под-
ключение трансформато-
ра к источнику постоян-
ного тока.
этот метод можно распростра-
нить на анализ коротких замыка-
пий (см. § 13 и 32).
Рассматриваемая в примере
задача касается определения пер-
вичного тока трансформатора (рис. 6) с замкнутой вто-
ричной обмоткой, когда первичная обмотка подключает-
ся к источнику постоянного тока (рис. 10). Вторичные
активные сопротивление и индуктивность в случае не-
обходимости могут включать соответствующие состав-
ляющие внешнего сопротивления.
Если отсчет времени начинается с момента замыка-
59
ния рубильника, .приложенное напряжение иа равно
пулю при /<0 и имеет постоянную величину V при />0.
Таким образом, иа является ступенчатой функ-
цией напряжения, равной VI, где 1 — единич-
ная ступенчатая функция X ев и с а йд а, изо-
браженная на рис. 11. При «a=Vl и иь — 0 уравнения
(1-4) принимают вид:
м^р* j- *;= о* J
(2-16)
Для того чтобы выразить токи в виде функций от
р, этот оператор согласно Хевисайду рассматривается
как алгебраический множитель. Исходя из этого, путем
алгебраического исключения хь можно получить опера-
торное выражение для хо:
'ьЛ^р__________ VI.
Vo+ £пр)(гь + LbP) — M^abP1
(2-17)
При исследовании -машин и цепей обычно стремятся
получить зависимости, выраженные не через активные
fCt)^
t f Г
О
Рис. II. Единичная ступенчатая
функция Хевисайда.
сопротивления и индуктив-
ности, а через постоянные
времени цепей. Это удобно
не только потому, что урав-
нения становятся менее гро-
моздкими, но и вследствие
того, что решения содержат
(экспоненциальные множи-
тели, быстрота изменения
которых характеризуется по-
стоянными времени. В рас-
сматриваемом примере можно ввести две постоянные
времени:
первичной цепи
вторичной цепи
У——
1 Ь~ г,.
60
Тогда зависимость (2-17 J может быть представлена
следующим образом;
1 + ^Р_____1^(
'«
(1+7»(1 + Гьр)--77Г
а о
(2-18)
Решение методом Хевисайда
Для определения I в виде функции времени нужно
разложить выражение (2-18) на простейшие дроби, а
затем найти решение для каждой из них в отдельности.
В данном примере прежде всего необходимо разложить
на множители знаменатель выражения в правой части
уравнения (2-18), записав последнее в виде:
- 1 + гъР V
1а~ Ц+Гар}(У+Т'ьр) га
(2-19)
где Т'а и Ть — новые постоянные времени, значения
которых находятся решением квадратного уравнения,
получаемого путем приравнивания знаменателя нулю.
Наиболее удобный вид разложения на простейшие
дроби в этом случае может быть определен из тождества
_______________= J____<£______(2-20)
(i+rorf(i+rtp) i-bT’L/’ i+T-bP
где Л и В—постоянные.
Постоянную А проще всего найти, умножив обе
части уравнения (2-20) на 1 —|—/? и положив р-—
=*—1/Т'а, откуда
Л-Гс-7-ь
п-п
Аналогичным образом
Тъ-Та ‘
Применение метода Хевисайда основано на известном
соотношении
д+«
(2-21)
==е м
61
или иначе
(2-22)
где a vl Т — постоянные (Т=1 (а).
Поэтому решение задачи для трансформатора имеет
вид:
i=l— АТ'аР - ВТ’ьР 1 l- 1 =
1° L »+г'ор
= (I — Ae-t,Ta — Be~t,Tb)^~. (2-23)
? п
Уравнения высшнх порядков
В более сложных задачах может встретиться большее
число уравнений и переменных. Однако седа дифферен-
циальные уравнения линейны .и имеют постоянные коэф-
фициенты, операторное выражение для любой перемен-
ной, получаемое путем алгебраического исключения дру-
гих переменных, всегда определяется зависимостью
,=Ж1> (2-24’
где g(p) и f(p) — полиномы. Функция f(p) обычно
имеет вид:
f (Р)= anp" р ал_, рп ~1 +. • • Р + До.
где п (целое число) — степень полинома, а а п, ап_
а,, а0 — постоянные.
Функция g(p) является аналогичным полиномом,
степень которого не выше л-
Определив корни уравнения f (/?)=0, можно разло-
жить на множители знаменатель уравнения (2-24) и
представить правую часть выражения (2-24) в виде
простейших дробей:
(2-25>
где Д), А„ Ла,..Лп— постоянные;
(х0, а,, а.,..., ап—корни уравнения f(p)=O, взя-
" тые с обратными знаками (пред-
полагается, что все они раз-
личны).
Й2
Тогда решение может быть представлено следую-
щим образом:
«— f
(2-26)
9. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
УСТРОЙСТВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
МАШИН
Как уже упоминалось выше, применение теории, изла-
гаемой в этой книге, к решению практических задач
часто требует продолжительных числовых расчетов.
В «прошлом расчеты, связанные с конструированном элек-
трических машин, обычно выполнялись с помощью лога-
рифмической линейки и нередко требовали большой
затраты времени. Однако в настоящее время разработан
ряд различных вычислительных машин, с упехом ис-
пользуемых при подобного рода расчетах. Достигаемое
при этом (преимущество заключается не только в (простой
экономии 'Времеии, но и в том, что (предоставляется воз-
можность провести дсхпол1Н11тел1Л1Ые расчеты, которые
прежде не могли бы быть выполнены совсем. Многие
существующие методы заставляют вводить упрощения,
ставящие под -сомнение полученные результаты, посколь-
ку более точный анализ потребовал бы чрезвычайно
Кропотливых и трудоемких вычислений. Хорошим .приме-
ром вычислительных машин являются модели цепей
переменного тока, встретившие вначале сильную оппози-
цию со стороны приверженцев существовавших прежде
(методов расчета. Однако в настоящее время область их
применения значительно расширилась.
Вычислительные машины, .позволяющие (получить чис-
ленное решение любой из рассмотренных выше проблем,
разделяются на две следующие главные группы.
Аналоговые вычислительные машины,
составные части которых представляют .исследуемую си-
стему в таком виде, что величины, подлежащие опреде-
лению, могут быть непосредственно измерены. Деталь
ипалоговой вычислительной машины может быть одно-
типна соответствующей составляющей системы и слу-
жить как бы се м о д е л ь ю или же может отличаться от
Нее, действуя скорее как аналог.
бз
Цифровые вычислитель'йые машины со-
стоят из элементов, выполпяющцх арифметические дей-
ствия, требующиеся для решения уравнений системы.
Всякая математическая операция может быть осуще-
ствлена в -виде последовательности сложений и вычита-
ний цифр, составляющих числа, входящие в расчет.
Собственная точность цифровых вычислительных ма-
шин определяется только числом цифр, которое может
быть иопоичьэовано на различных стадиях ее работы,
тогда как у аналоговой машины она зависит от того, на-
сколько точно се элементы изображают части действи-
тельной системы, а также от точности измерительных
приборов. Вообще говоря, хотя собственная точность
цифровых машин выше, чем аналоговых, правильная
конструкция последних может удовлетворить требова-
ниям, обычп1ым для инженерных расчетов. Более того,
на аналоговых машинах легче производить изменение
параметров системы и наблюдать их последствия.
Область применения вычислительных машин распро-
страняется на все виды научной работы, требующие вы-
полнения числовых расчетов. Для решения задач, касаю-
щихся электрических машин, особенно если они входят
в состав сложной системы, прежде обычно использова-
лись аналоговые устройства. Тем не менее при анализе
подобных проблем существует широкое поле деятель-
ности м для цифровых машин.
Типы аналоговых вычислительных машин
Наиболее очевидным типом вычислительного устрой-
ства является выполненная в небольшом масштабе точ-
ная модель вроде гидравлической модели. Однако такое
точное представление едва ли возможно для сложных
электрических систем. В качестве элементов аналоповых
устройств часто используются модели отдельных частей
системы, принципиально схожие, но сильно отличаю-
щиеся по форме и размерам. Например, небольшая ка-
тушка со стальным сердечником может представлять
индуктивное сопротивление линии электропередачи.
В других .аналоговых устройствах элементы неоднотипны
частям системы и соответствуют им .по аналогии. Назва-
ние «аналоговые, вычислительные машины» относится
ко всем этим устройствам, потому что даже самые точ-
ные модели работают отчасти как аналоги.
64
Если существует близкое соответствие между элемен-
тами модели и частями системы, модель можно соста-
вить, исходя из -схемы системы, не прибегая к ее уравне-
ниям. Для других типов аналоговых устройств, где пря-
мая аналогия отсутствует, прежде чем использовать вы-
чистительную машину, необходимо составить уравнения.
Преимущество устройств первого типа состоит в том, что
они дают непосредственное представление о работе си-
стемы и экономят время при выполнении вычислений.
Однако для уяснения принципов использования модели
уравнения все-таки представляют значительную цен-
ность, поскольку они выражают основные соотношения
в самом общем виде.
Наиболее правильным способом представления элек-
трической системы является составление схемы, вклю-
чающей модели машин, сопротивления и другие аппара-
ты, соединенные таким же образом, как и оборудование
в действительной системе. Аналоговое устройство этого
типа, применяемое для исследования энергетических си-
стем, называется динамической моделью си-
стемы [Л. 40]. Модели генераторов, синхронных ком-
пенсаторов и двигателей с достаточной точностью отра-
жают поведение машин в реальной системе, хотя они
значительно меньше по размерам. С помощью таких ми-
ниатюрных машин могут быть представлены как устано-
вившиеся, так и переходные режимы, а также учтено
влияние насыщения. Аналогичным образом можно моде-
лировать систему регулирования, используя 'модели ма-
шин постоянного тока совместно с усилителями и други-
ми устройствами или модель цепей, составленную только
из сопротивлений.
Некоторые типы моделей более всего подходят для
изучения установившихся режимов. Ранее других появи-
лись модели цепей, выполненные из активных сопротив-
лений. Первоначально они получали питание от источни-
ка постоянного тока и назывались «расчетными столами
постоянного тока», однако в настоящее время иногда
применяется и переменный ток. Более полное исследова-
ние системы переменного тока может быть выполнено
с помощью модели цепей в е р е мелкого т ок а,
которая воспроизводит в уменьшенном масштабе реаль-
ную систему и состоит из элементов, обладающих как
активиьим, так и реактивным сопротивлением. Модели
•> Б. Адкинс
65
цепей этого типа, широко используемые для изучения
процессов, возникающих в энергетических системах, вы-
полняются однофазными -и дают менее точное представ-
ление генераторов, чем динамические модели, онисанлше
выше. Обычно они работают при одной частоте, и их
применение ограничивается случаями, когда система мо-
жет быть представлена в виде схемы замещения [Л. 31].
Еще одип способ изучения установившихся режимов
цепей переменного тока предоставляет трансформа-
торная модель. В этом типе вычислительных
устройств элементы состоятдиз трансформаторов с пере-
менным коэффициентом трансформации, используемых
для умножения вещественных или компвеисных чисел.
Такие устройства пригодны для анализа более широкого
круга проблем, чем модели цепей переменного тока,
поскольку’ с их помощью могут решаться задачи, в кото-
рых для системы не может быть составлена схема заме-
щения [Л. 53].
Для исследования переходных процессов можно
использовать модели цепей, иногда называемые моде-
лями для и'ссл е д ов аи и я переходных про-
цессов, или упомянутые выше динамические модели.
С другой стороны, возможно также применение устрой-
ства, основанного на -представлении величин с помощью
аналогов. Такого рода устройством является интегра-
тор. При подготовке интегратора к решению его эле-
менты «соединяются, исходя из уравнений системы, таким
образом, чтобы величины-аналоги «подчинялись тем же
самым дифференциальным уравнениям, что и соответст-
вующие величины в действительной системе. Разработано
два принципиально «различныхтипа этих устройств. В ме-
ханических интеграторах переменные представлены дви-
жением валов, в то время как в электронных интеграторах
им соответствуют напряжения <и токи. Интеграторы
обоих типов состоят из различных элементов, служащих
для сложения, умножения, интегрирования и получения
функций переменных. Задача, решенная с помощью ин-
тегратора, описана в § 36 ]Л. 20].
Тины цифровых вычислительных машин
Цифровые вычислительные машины подразделяются
на 3 группы: ручные, полуавтоматические и автоматиче-
ские. К ручпым вычислительным машинам
66
относятся обычнее арифмометры, которые то существу
являются машинами тля сложения, однако три последо-
вательных повторениях сложения и вычитания могут
применяться также для умножения 'и деления. Полу-
автоматические вы числите л ын ые машины
включают арифмометры с электроприводом и машины
с перфорированными карточками. Они широко приме-
няются для бухгалтерских расчетов. Такие машины мо-
гут выполнять несколько простых арифметических дей-
ствий, но требуют надзора оператора, который должен
задавать им программу работы и изменять ее на каждой
стадии вычислений. В этих машинах обычно применяется
десятичная система счисления.
Автоматические цифровые вычисли-
те лыны е машины имеют широкие внутренние воз-
можности для хранения информации и программ работы
и могут выполнять расчеты 'полностью без вмешатель-
ства оператора. В последнее время для выполнения
сложных математических расчетов создан ряд больших
автоматических быстродействующих цифровых вычисли-
тельных машин, в которых используется много элек-
тронных ламп. Эти машины, так же как ручные и полу-
автоматические вычислительные машины, являются в ос-
новном устройствами для сложения, однако в автома-
ктических машинах почти всегда используется двоичная
[система счисления. Описание цифровых вычислительных
машин можно найти в [Л. 52].
Применение вычислительных машин
Прежде чем использовать вычислительное устройство
дтя решения конкретной задачи, ее необходимо сформу-
лировать, т. е. получить соответствующие уравнения, или
наши схему замещения, или, наконец, составить схему
соединений системы с тем, чтобы их можно было непо-
средственно перенести на модель мли вычислительную
машину. Полученный результат должен быть обоснован
и проверен Только после этого он приобретет практиче-
скую ценность. Таким образом, модель или вычнелитель-
вая машина выполняют только математическую часть
анализа. Такая помощь в расчетах, однако, имеет
громадное значение щ должна использоваться при иссле-
довании электрических машин значительно более широ-
ко, чем в прошлом [Л. 56].
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
10. УРАВНЕНИЯ МАШИН ПОСТОЯННОГО ТОКА
Основы теории машин постоянного тока, так нее как
и их уравнения, очень просты, поскольку эти машины
имеют две четко выраженные осн. Однако практическое
применение теории, по-видимому, более сложно, чем
у любого другого типа машин, вследствие возникнове-
ния вторичных явлений, которыми пренебрегает общая
теория, основанная на линейных соотношениях. Инже-
нер-проектировщик наиболее часто встречается с таки-
ми факторами, как коммутация, насыщение и реакция
якоря. Изложению именно этих вопросов почти целиком
посвящено большинство учебников по машинам посто-
янного тока. Влияние насыщения на работу машины по-
стоянного тока особенно существенно. При его отсут-
ствии не могла бы работать машина с параллельным
возбуждением. Кроме того, вследствие насыщения реак-
ция якоря, обусловленная током якоря, оказывает влия-
ние на главный поток. Иногда действие насыщения
должно рассматриваться самостоятельно, в других же
случаях его можно учесть приближенно в рамках об-
щей теории. Ниже приводятся примеры применения обо-
их методов.
Однако если отвлечься от упомянутых выше вторич-
ных явлений, для уяснения главных принципов работы
машин постоянного тока может быть использована про-
стая теория, не учитывающая насыщения Даже при
изучении установившихся режимов, когда напряжения
складываются только из падений напряжения в актив
ных сопротивлениях и членов, уравновешивающих
э. д. с., индуктируемые в роторе при вращении, картина
получается более ясной, если вначале исследовать идс
авизированную машину, а затем учесть вторичные яв-
ления. При анализе переходных процессов линейные
уравнения общей теории позволяют обосновать един-
ственно возможный метод исследования, хотя влияние
насыщения и коммутации остается значительным и за-
ставляет вводить некоторые практические уточнения.
Кроме того, машины постоянного тока являются важ
ними элементами современных систем регулирования,
а пригодную для практического анализа сложных
68
устройств, состоящих из нескольких машин, теорию
можно создать только при идеализации отдельных эле-
ментов.
Уравнения (2-3) для напряжений машины попереч-
ного поля, представленной на рис. 4, не были пол-
ностью обоснованы. Для их проверки можно рассмот-
реть каждый член в отдельности, принимая его за на-
пряжение, которое существовало бы в данной цепи, если
бы ток протекал только в одной из четырех цепей, а во
всех остальных трех цепях токи отсутствовали. Члены
уравнений, представляющие падения напряжения в ак-
тивных сопротивлениях и соответствующие э. д. с., ин-
дуктируемым в обмотках статора, нс требуют дополни-
тельных пояснений, тогда как составляющие напряже-
ний в цепях якоря, описанные в § 5, рассматриваются
ниже более детально.
Трансформаторные э. д. с. в целях якоря
Трансфэрматориая э. д- с., индуктируемая между
щетками по любой из осей, пропорциональна скорости
изменения потока, направленного по этой осн. Напря-
жение, уравновешивающее трансформаторную э. д. с.,
создашгую в продольной цепи якоря главным магнитным
потоком Ф^ в воздушном зазоре, может быть представ-
лено в виде:
(3-0
где потокосцепление цепи якоря с магнитным
потоком Ф1М.
Как так и Фпи1 зависят от формы кривой рас-
пределения магнитной индукции в воздушном зазоре-
Потокосцепление пропорционально потоку, а значение
коэффициента пропорциональности зависит от формы
кривой поля и от распределения обмотки. Таким обра-
зом, трансформаторные э. д. с. можно выразить через
индуктивности, как это сделано в уравнениях (2-3).
Если кривая поля синусоидальна, между индуктив-
ностями существуют определенные соотношения, которые
играют важную роль в обобщенной теории. Трансформа-
торную э. д. с., индуктируемую между щетками по про-
дольной оси продольным потоком, можно найти, опре-
делив э. д. с., наведенную в отдельном витке, и проипте-
69
грировав полученное выражение в пределах половины
окружности. На рис. 12,а точки и крестики обозначают
направления, в которых проходят отмеченные проводни-
ки якоря при обходе цепи в положительном направле-
нии между щетками по продольной осн. Положительный
В)
Рис. 12. Направления токов в проводниках цепей якоря.
а—по ггродалъйюй оси: б—по поперечной осп.
ток, протекая в этой цепи, в соответствии с условием,
принятым в § 1, создаст магнитный ноток, проходящий
в сторону положительного направления продольном оси
Если кривая поля по продольной оси синусоидальна,
а амплитудное значение индукции равно Вт, то
B=B;jcosti
<1' = Г Blrdii=2Btr,
тц I т
где В — магнитная индукция в точке Ь воздушного за-
зора:
г — радиус якоря;
I — длина сердечника якоря.
Магнитный поток, сцепленный с витком, стороны
которого расположены в точках 6 и я 4- 0, равен:
Вт cos Wrdh == 2В1г sin 0 — sin в,
70
а индуктируемая в этом витке э. д. с.
— 4 (Ф.. г sin 9-
dt У ntcj 7
Напряжение, уравновешивающее трансформаторную
э. д. с. между щетками по продольной оси
w ,т— ( Агиs*nfj)Z^—Ar(2Ф л*)•
“Т | dt ' 1 dt ' '
о
где z — число проводников в слое обмотки на 1 рад.
Таким образом, согласно уравнению (3-1) потокосцеп-
ление при синусоидальном распределении магнитной
индукции оиредечяется соотношением:
Ф .= 2Ф ,г.
md md
Аналогично при синусоидальном распределении ма-
гнитной индукции по поперечной оси
и = пФ ,
0Т Г mg*
(3-2)
где
Г =2Ф г.
mq mq
Электродвижущие силы вращения в цепях якоря
Если в цепях машины по продольной оси протекают
токи и создают продольный магнитный поток, э. д. с.,
наводимую этим потоком между щетками по попереч-
ной оси при вращении ротора, можно определить, полу-
чив выражение для э. д. с. в отдельном проводнике и
проинтегрировав его в пределах половины окружности.
На рис. 12,6 точками и крестиками показаны направле-
ния, в которых проходятся отмеченные проводники яко-
ря при обходе цепи в положительном направлении меж-
»ду щетками по поперечпой оси.
Согласно закону электромагнитной индукции в про-
водниках обоих слоев обмотки якоря, занимающих ма-
I лый участок внешней поверхности якоря, ограниченный
углом dfj, наводится положительная э. д. с.
Blry2zdt).
71
Поток по продольной оси можно представить в виде:
Ф Л-- - Blrdb.
md J
~~ 2*
Следовательно, напряжение, уравновешивающее э. д. с.
вращения между щетками по поперечной оси равно:
2
«,.= J iBlr-гЧЧ^- 2,гФ„=- Л,(3-3)
Таким же образом можно ' найти э- д. с. вращения
между щетками по продольной оси, созданную магнит-
ным потоком по поперечной оси. Выражение для напря-
жения, уравновешивающего э. д- с., имеет тот же вид,
что и уравнение (3-3), но оно теперь имеет положитель-
ный знак (см. § 5):
к . (Зл)
£?в ту ' z
Следует отметить, что э. д. с. вращения, определяе-
мые выражениями (3-3) и (3-4), совершенно нс зависят
от формы кривой поля. Форма кривой тюля в машинах
постоянного тока значительно отклоняется от синусом
ды, одноко о. д. с. вращения зависит только от площади,
лежащей под кривой, которая пропорциональна полно-
му магнитному потоку на полюс.
Уравнения для напряжений якоря
Уравнения (3-1)—(3-4) определяют трансформаторные
э. д с. и э. д. с. вращения, обусловленные потоками
в воздушном зазоре Фт<г и Ф по двум осям при сину-
соидальном распределении магнитной индукции. Каждый
поток может быть представлен соответствующим пото-
косцеплением или W . При составлении уравнений
для напряжений якоря необходимо также принять во
внимание действие рассеяния. Для этого допустим, что
э. д. с. вращения и трансформаторные э. д. с., наводи-
мые в якоре, связаны с потоком рассеяния якоря такой
же зависимостью, как и с магнитными потоками в воз-
72
душном зазоре при синусоидальном распределении
индукции. Тогда, если обозначить через ’lrd и полные
потокосцепления якоря по продольной и поперечной
осям, учитывающие рассеяние, то уравнения для напряже-
ний могут быть представлены следующим образом:
1
%=- W'.HV I
(3-5)
где ги—активное сопротивление якоря мсжду двумя
щетками, которое принимается одинаковым для обеих
осей-
Ес,ли все величины выражены в системе относитель-
ных единиц, потокосцепления и протекающие в обмот-
ках токи связаны соотношениями
’Г /
(3-6)
где La и Lg—полные индуктивности цепей якоря;
и М—взаимные индуктивности между каждой
L из цепей якоря и обмоткой возбуждения
по той же оси.
Таким образом, уравнения для напряжений машины
принимают вид:
uf — rf+Lfp MdfP •
“d rd+LdP ld
ич - A1dfy ~LdN '•+ Lqp MqBP
ue Mvt,p re+" LgP lg
(3-7)
Следует еще раз подчеркнуть, что эти уравнения со-
ставлены в предположении, что потоки определены при
синусоидальном распределении индукции. Вид уравне-
ний аналогичен выражениям (2-3), однако если кривые
полей синусоидальны, некоторые из коэффициентов по-
парно равны между собой, а именно:
ЛГ|=£(; М.= М-
a dr f af9
73
M==La M=M.
4 ч e ее
Эти равенства становятся нс вполне справедливыми,
если в кривой поля присутствуют гармонические, одна-
ко порядок значений величин сохраняется. Для прак-
тического расчета характеристик машин постоянного
тока в случае необходимости нетрудно -найти точные
значения индуктивностей, входящих в уравнения (2-3).
Выражения (3-7) являются уравнениями обобщенной
машины и относятся, как показано в гл. 6, к машинам
и постоянного и переменного тока.
Простая машина постоянного тока
Простейшая машина постоянного тока изображена
на рис. 13 (обмотка статора, показанная пунктиром,
пока не будет учитываться). Эта машина имеет только
две обмотки- На статоре по осн полюса (или продольной
Рис !3. Схема простой машины посто-
янного тока.
1—обмотка дополнительных полюсов н ком-
пенсационная обмотка.
оси) расположена обмотка возбуждения F, а на роторе
имеется коллекторная обмотка. Щетки расставлены та-
ким образом, что ток якоря создает поле по поперечной
оси. Следовательно, на схеме показана обычная маши-
на постоянного тока с независимым возбуждением при
установке щеток на нейтрали. Как и на рис. 4, цепь яко-
ря, проходящая через щетки, может быть заменена ка
74
тушкой Q, расположенной по поперечной оси. Катуш-
ка Q является пссвдопеподвижной, т. е. обладает свой-
ствами, описанными в § 1.
Катушки F и Q -на рис. 13 соответствуют катушкам
F и Q обобщенной машины, представленной па рис. 5.
Поэтому уравнения машины, изображенной на рис. 13,
могут быть получены из выражений (2-3), если исклю-
чить второе и четвертое уравнения и второй и четвер-
тый столбцы в матрице сопротивлений. Таким образом,
получим:
«,=(^+М‘г 1 (3.8)
Справедливость этих двух уравнений не ограничи-
вается условием синусоидальности кривой поля, так как
составляющие напряжений — Mfvi} обмотки якоря и
Lfpif обмотки возбуждения зависят только от полного
потока, но не от распределения индукции. Lf и Lq
являются полными индуктивностями обмоток. Уравне-
ния (3-8) остаются п силе независимо от того, выражены
лп величины в обычных физических единицах или в си-
стеме относительных единиц.
Для более удобного обращения с полученными урав-
нениями лучше избавиться от отрицательного знака,
используя новые обозначения ик и для напряжения и
тока возбуждения:
Кроме того, для обозначения цепи якоря удобно
ввести индекс а вместо q. С учетом этих изменений,
отмеченных на рис. 13, уравнения (3-8) могут быть пред-
ставлены в виде:
и, =(б+Lfp) 1
х 1 1 * I (3-9)
a = M,w -4-(г .
a f х I ' а I > а )
Электромагнитный момент может быть найден из
члена уравнений, соответствующего э. д. с. вращения,
как показано в § 5:
(а-ш)
75
где ka — постоянная, зависящая от выбранной системы
единиц. Если ia и ix положительны, отрицательно
и соответствует двпгате шному режиму. Конечное урав-
нение для момента получим, объединил уравнения (2-4)
и (3-10):
^.= O-J1)
В установившемся режиме токи не изменяются во
времени. Поэтому зависимости для этого режима могут
быть получены из уравнений (3-9), если положить /7=0
«*=гН\;
(3-12)
Зависимость напряжения на зажимах генератора по-
стоянного тока от тока якоря в установившемся режи-
ме при постоянных токе возбуждения и скорости враще-
ния приведена на рис. 14 (кривая /). Согласно приня-
тому правилу знаков ia положительно для двигатель-
Рис. 14. Внешние характеристики маши-
ны постоянною тока.
пего режима и отрицательно для генераторного. Поло-
жительные значения ia, соответствующие двигательно-
му режиму, откладываются на рис. 14 влево, чтобы по-
казать внешнюю характеристику генератора с незави-
симым возбуждением в том виде, в каком опа обычно
приводится в учебниках. Для идеализированной маши-
ны эта кривая является прямой линией.
76
II. ОБМОТКА ДОБАВОЧНЫХ ПОЛЮСОВ,
КОМПЕНСАЦИОННАЯ ОБМОТКА И ОБМОТКА
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ
Вспомогательные обмотки машины постоянного тока
можно учесть, увеличив число катушек идеализирован
ной машины. Во многих случаях анализ может быть
упрощен при сохранении достаточной для практических
целей точности, если пренебречь некоторыми менее важ
ними катушками.
Обмотка добавочных полисов и компенсационная
обмотка
Большинство современных машин постоянного тока
имеет добавочные полюсы с обмотками, а некото-
рые машины снабжены, компенсационными обмотками.
И та и другая обмотки, показанные на рис. 13 пункти-
ром. соединяются последовательно с обмоткой якоря и
создают н. с., действующую по поперечной оси прямо
противоположно н. с. якоря. В большинстве случаев со-
четание обмотки якоря с обмоткой добавочньсх по-
люсов или компенсационной обмоткой может рассматри-
ваться как одна обмотка, активное сопротивление кото-
рой равно сумме активных сопротивлений отдельных
обмоток, а общая индуктивность зависит от характера
магнитной связи между отдельными обмотками. Обычно
обмотка добавочных полюсов увеличивает эффектив-
ное значение индуктивности якоря, тогда как компен-
сационная обмотка уменьшает его. При использовании
новых значений активного сопротивлении и индуктивно-
сти уравнения (3-9) и (3-10) остаются в силе.
Обмотка последовательного возбуждения
Обмотка последовательного возбуждения, располо-
женная на главных полюсах и представленная катуш-
кой S на рис. 15, обычно применяется для изменения
характеристик генераторов и двигателей постоянного
тока в установившемся режиме. Она соединяется после-
довательно с обмоткой якоря. Обмотки S и Q образуют
одну цепь, обозначенную буквой А. Число уравнений
при этом не изменяется, однако в них появляются до-
полнительные члены:
77
ua= M?ix-\-kvia+(ra-y Lap)ia + Afpix, ( '*
где ra — общее активное сопротивление цепи А;
La — полная индуктивность цепи А;
М — взаимная индуктивность между катушками F и S;
k*=nMj;
п— отношение чисел витков катушек S и F-
Момент находится из двух членов уравнений (3-13),
которые соответствуют э- д. с. вращения, пропорцио-
нальным двум составляющим потока по продольной оси,
При установившемся режиме уравнения для напряже-
ний принимают вид:
r,IJ I (3-15)
иа = + (га + М fe- J
Для машины с встречно включенной обмоткой после-
довательного возбуждения, и. с. которой в генераторном
режиме (ia—отрицательно) оказывает размагничи-
вающее действие, ks положительно. Кривая 2 на
рис. 14 изображает внешнюю характеристику такой ма-
шины. В этом случае наблюдается более резкое сниже-
Рис. 15. Схема машины постоянного го ха
с обмоткой последовательного возбужде-
ния.
78
нпе напряжения при генераторной нагрузке. Для маши-
ны с согласно включенной обмоткой последовательного
возбуждения k, отрицательно и характеристика откло-
няется в противоположную сторону. (На рис. 15 показа-
но встречное последовательное соединение, когда дей-
ствие тока якоря в генераторном режиме — ia проти-
воположно действию тока возбуждения 1Я.) Таким об-
разом, при соответствующем выборе обмотки последо-
вательного возбуждения можпо получить любой желае-
мый наклон внешней характеристики, т. е. сделать ее
более крутой или более пологой. Характеристики реаль-
ных машин в отличие от идеализированных кривых,
представлепных на рис 14, имеют некоторую кривизну,
однако приближенно их можпо заменить прямыми ли-
ниями.
Сдвиг щеток
Если щетки установлены не точно на нейтрали, ток
якоря создает составляющую потока, направленную по
продольной осп. При небольшом угловом смещении это
влияние примерно 'Эквивалентно действию обмотки по-
следовательного возбуждения с соответствующими зна-
чениями ks и М и для анализа могут быть использованы
уравнения (3-13) —(3-15). Смещение щеток часто при-
меняют в практике для топкой регулировки внешней
характеристики, однако в любой машине возможны не-
большие неточности даже в том случае, когда щетки
предполагается установить в нейтральном положении.
Поскольку щетки имеют определенную тангенциаль-
ную ширину, утверждение, что щетка установлена на
нейтрали, означает, что ее середина находится на оси и
что ток распределяется по сечению Щетки равномерно.
Однако если коммутация не идеальна, эффективная се-
। редина щетки пе совпадает с ее геометрической середи-
ной. Например, у генератора при отсутствии добавоч-
ных полюсов или при их недостаточном возбужде-
нии эффективное положение щетки смещается от гео-
метрической 'Нейтрали в направлении вращения. Поэто-
му внешняя характеристика такой машины в области
генераторного режима будет иметь больший наклон.
Для учета этого влияния могут быть использованы
соответствующие значения kt и М, как и для обмотки
последовательного возбуждения. Тем не менее в связи
79
с тем, что действие коммутации не точно пропорцио-
нально току, введение постоянного значения ks является
только приближением.
Реакция якоря
В маши не с ненасыщенной магнитной цепью н. с.,
создаваемая током якоря, по оказывает влияния на пол-
ный магнитный поток полюсов. Однако в большинстве
машин постоянного тока степень насыщения зпачитель-
100 200 300 400 SOO
Тон, %
Рис. 16. Внешняя характеристика
генератора постоянного тока.
на, особенно при больших токах, вследствие чего глав-
ный поток под действием поперечного намагничивания
уменьшается. Это уменьшение пи в коем случае не про-
порционально току и нс может быть
точно учтено теорией, исходящей из
линейных зависимостей. Влияние
реакции якоря на внешнюю харак-
теристику генератора с независимым
возбуждением в устано-
вившемся режиме пока-
зано па рис. Гб. В приве-
денном примере сниже-
ние напряжения при пе-
реходе от холостого хода
к «полной нагрузке незна-
чительно, однако если
протекающий в генера-
ле сравнению с номиналь-
торе ток возрастает в 5 раз
дым значением, то -размагничивающее действие реакции
якоря становится настолько сильным, что напряжение
на зажимах падает до нуля. В «этом отношении реакция
якоря сказывается благоприятно, ограничивая ток ко-
роткого замыкания генератора.
Действие реакции якоря может быть приближенно
учтено следующим образом. Прежде всего необходимо
провести прямую линию, как показано на рис. 16 пунк
тиром, возможно более близкую к действительной кри-
вой в пределах токов, ожидаемых в рассматриваемой
задаче. После этого в анализе можно использовать зна-
чения и М, относящиеся к идеализированной маши-
не с обмоткой последовательного возбуждения, которой
соответствует полученная линейная характеристика.
В § 13 этот метод используется для расчета неустано-
вившегося тока короткого замыкания генератора по-
стоянного тока.
80
12. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
ИЛИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ
Последние два типа задач, охватываемые табл. 1 §6,
соответствуют тем случаям. когда машина, работавшая
в установившемся режиме, подвергается небольшому
изменению рабочих условий, т. е. малому возмущению.
Если изменения переменных малы и их квадратами и
произведениями можно пренебречь, дифференциальные
уравнения для этих изменений становятся линейными
даже в том случае, когда общие уравнения нелинейны.
Полученные уравнения могут быть использованы для
изучения устойчивости, определяемой последствиями
малых отклонений от состояния равновесия, или для на-
хождения амплитуды малых колебаний, которые могут
накладываться на процессы, протекающие в установив-
шемся режиме.
В настоящем параграфе детально излагается метод
анализа малых отклонений или малых колебаний, возни-
кающих в простой машине постоянного тока, представ-
ленной на рис- 13 и описываемой уравнениями (3-9) и
(3-11). Если скорость вращения v переменна, должны
быть рассмотрены все уравнения — как для напряжений,
так и для момента. Уравнения являются нелинейными,
поскольку в них входят произведения wx и ix ia.
Дифференциальные уравнения для малых отклонений
Допустим, что напряжение, приложенное к цепи
возбуждения, изменилось от установившегося значения
«х0 до несколько отличающегося от него значения кх1)Ч-
а также, что все другие переменные изменились
аналогичным образом. Тогда уравнения (3-9) и (3-11)
принимают вид:
“жо+=0} + LfP) +ЧЛ
(3-16)
6 Б. Адкинс
81
Если пренебречь произведениями Ат* Д1х и &хЫв и вы-
честь из полученных уравнений исходные, получим ли-
нейные соотношении:
&“x = (rf + MJ Л‘х;
Дии = Mf\Mx + Aff 1х0Л> | -
-4-(г -4-L о)Д/„; ।
Дт.,а = - I ^AV- {
Нетрудно заметить, что выполненные операции ана-
логичны дифференцированию. Если, например, уравнение,
связывающее переменные х и у, содержит какую-либо
функцию f(x, у), то малое изменение этой функции
равно:
Тогда третье из уравнений (3-17) может быть выве-
дено следующим образом:
Ди„н=— kM A (t\ f J -I JA (/л)=
= — \ + «Лд‘х) + JP^-
После этого ix и i заменяются через lxi и iel) для того,
чтобы выделить исходные установившиеся значения.
Дифференцирование производится по зависимым пере-
менным, но не по времени, поэтому оно не касается
оператора р. Это утверждение можно объяснить с по-
мощью довольно длинных выкладок, основанных на тех
же принципах, которые были использованы выше для
вывода уравнений (3-16) и (3-17).
Дифференциальные уравнения (3-17) можно использо-
вать при изучении устойчивости. Для этого необхо-
димо предположить, что произошло внезапное малое
изменение одной из приложенных к машине величин их ,
иа или швн, и найти обусловленные этим возмущением
изменения ix, ia и v, Независимо от того, какая из
переменных рассматривается, знаменатель операторного
выражения для нее имеет вид f (р) и равен определителю:
82
f(p)=
Lfp
0
*xu
0
\o
Jp
=(rj+M\Jp (^+l4p) -Ь Mtk^ 4j.
Условия устойчивости удовлетворяются, если урав-
нение Др)—О не имеет корней с положительной веще-
ственной частью. Для исследования уравнения может
быть использован любой из известных критериев устой-
чивости, например критерий Рауса. Применение этого
метода для анализа простой системы регулирования
описано в § 17.
Уравнения для малых колебаний в символической форме
В тех случаях, когда малые отклонения изменяются
синусоидально с частотой и>к/2я, уравнения (3-17) можно
преобразовать в уравнения в символической форме» за-
мелив р на /шк, а мгновенные значения величин Ди
и т. д- — комплексными величинами Д(7ж и т. д. (для обо-
значения комплексной величины, представляющей коле-
бания скорости вращения, сохраняется строчная буква
Av). Уравнения в символической форме при небольшом
опыте могут быть составлены непосредственно, исходя
из общих уравнений. Они имеют вид:
=('/+/“Л)
(3-18)
Простым примером применения изложенного метода
является исследование генератора постоянного тока, при-
водимого во вращение двигателем внутреннего сгорания.
Предположим, что момент пульсирует с частотой mJZtr,
а напряжения, приложенные к обмотке якоря и обмотке
возбуждения, остаются постоянными. Пульсации мо-
мента, накладывающиеся на нормальное установившееся
значение момента, могут быть представлены комплексным
числом ДМШ1. Пульсации напряжений отсутствуют и,
ьз
6*
следовательно, ДПХ = bUa = 0. Первое из уравнений
(3-18) показывает, что Д/х также равно нулю (т. С- что
поток постоянен). Таким образом, уравнения (3-18) упро-
щаются и могут быть представлены следующим образом:
°= b>4-(rc+ /4Q
дмвп=/с>куд;—Ай »;0д/о.
(3-19)
Av и Д/а определяют амплитуду и фазу пульсаций ско-
рости и тока якоря.
13. ВНЕЗАПНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ГЕНЕРАТОРА
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Задача расчета неустановившегося тока внезапного
короткого замыкания приобретает все большее практиче-
ское значение в связи с использованием крупных машин
постоянного тока в металлургии и других отраслях про-
изводства, а также с применением систем питания по-
стоянного тока на судах и самолетах [Л. 34 и 38]. Она
относится к задачам третьего типа по табл. 1 § 6. Для
получения приближенного решения предполагается, что
короткое замыкание происходит мгновенно, а также,
что скорость вращения после возникновения короткого
замыкания не изменяется
При коротком замыкании ток якоря вначале очень
быстро возрастает до высокого пикового значения, а за-
тем более медленно спадает до установившегося значе-
ния в режиме короткого замыкания. Ток возбуждения
изменяется аналогичным образом. Поскольку возникаю-
щие токи великя, очень важно учесть действие реакция
якоря и распределения тока под щеткой. В связи с этим
для анализа следует воспользоваться уравнениями
(3-13), выбрав значения постоянных таким образом, что-
бы они возможно более близко соответствовали иссле-
дуемому процессу.
Генератор с независимым возбуждением
Рассмотрим вначале генератор, возбуждаемый от
постороннего источника постоянного напряжения и ра-
ботающий до момента возникновения короткого замы-
кания в режиме холостого хода. Действие короткого за-
84
мыкания проявляется в том, что напряжение па зажи-
мах якоря иа внезапно падает до нуля, в то время как
напряжение, приложенное к обмотке возбуждения, ос-
тается неизменным. Постоянное значение напряжения
на зажимах якоря генератора до короткого замыкания
обозначим через V. Задача заключается в определении
изменения тока якоря во времени при коротком замыка-
нии. Предполагается, что скорость вращения сохраняет-
ся неизменной.
Анализ значительно упрощается, если использовать
принцип наложения. Все напряжения и токи при корот-
ком замыкании могут быть представлены в виде исход-
ного значения и изменения, обусловленного коротким
замыканием. Тогда

/О=«ви+С
где !л0 и <я0—исходные значения токов перед корот-
ким замыканием (в данном примере
‘-о=О):
i'x и ia — наложенные токи.
Поскольку напряжение возбуждения не изменяется,
наложенное напряжение возбуждения их равно нулю.
С другой стороны, напряжение якоря составляет V перед
коротким замыканием и резко падает до нуля в момент
короткого замыкания. Отсюда следует, что наложенное
напряжение якоря и'г—- VI. Ввиду того, что уравне-
ния линейны, они удовлетворяются и для наложенных
значений. Поэтому можно написать:
0=0} + LfP) ix + pi j
— Vi = л/Х+/гХ+(га !
(3-20)
В этом и приведенных в дальнейшем примерах сло-
во исходный относится к значениям величин, суще-
ствовавшим до возникновения изменения, а слово н а -
Чаявный относится к значению, возникающему непо-
средственно вслед за изменением. В рассматриваемом
примере начальные значения наложенных токов равны
85
нулю. Это позволяет, как отмечалось в § 8, использо-
вать для решения уравнений метод Хевисайда.
Членом 7И pi'x можно пренебречь и представить урав-
нения в следующем виде;
0 = rf (1 + 1ж + МPla’
-vi+тор) i'a.
(3-21)
где
k~ Mf\
— LJrl — постоянная времени цепи возбуждения;
Ta=Lalk — эффективная постоянная времени цепи
якоря.
Постоянные k3 и М должны учитывать все последо-
вательно включенные обмотки, эффективный сдвиг ще-
ток и реакцию якоря. При протекании больших и быстро
изменяющихся пеустановившихся токов влияние допол-
нительных полюсов практически не сказывается, посколь-
ку они насыщаются, а также потому, что в их сердеч-
ггиках возникают вихревые токи, препятствующие быст-
рому изменению потока. Для приближенного расчета
целесообразно допустить, что эффективное положение
щетки совпадает с ее сбегающим краем. Действие ре-
акции якоря можно оцепить только приближенно, исхо-
дя из внешней характеристики в установившемся режи-
ме (рис. 16). Тем не менее теория может быть исполь-
зована для практического изучения процесса короткого
замыкания, хотя постоянные предпочтительно опреде-
лять с помощью эмпирических методов, основанных на
опытных данных.
В рассматриваемой задаче действительный ток корот-
кого замыкания г не отличается от ij, так как исход-
ный ток i ранен пулю. Он имеет отрицательное значе-
ние, поскольку машина работает в генератором режиме-
Положительное значение согласно уравнению (3-21) равно:
i =-i =_________ J+r^ у,
к ° мир ц
Решение может быть получено в простой форме, если
при разложении знаменателя на множители, а также при
86
представлении всего выражения в виде простейших дро-
бей ввести упрощения, основанные на том, что в реать-
ной машине постоянная времени цепи возбуждения Tt
всегда значительно больше постоянной времени цепи
якоря Та- Знаменатель может быть представлен выраже-
нием (1 -| Тпр)(1 +Tf р), где Т'а и Т}' приближенно опре-
деляются соотношениями
(3-23)
Если использовать эти постоянные, знаменатель урав-
нения (3-22) примет вид:
1+(т1+г,

Из этого выражения нетрудно заметить, что ошибка
касается только значения коэффициента при р. Она
определяется разностью между Та и Т°, которая неве-
лика по сравнению с Т{. Подобное упрощение неодно-
кратно используется в следующих главах. Оно обеспе-
чивает точность, вполне достаточную для практических
цепей, а полученные зависимости отражают характер
изменения величин нагляднее, чем более сложные точ-
ные формулы.
Для нахождения решения необходимо разложить
выражение (3-22) на простейшие дроби, применив ме-
тодику. изложенную в § 8, и использовать операторное
соотношение (2-22):
. __ 1 + Tfp р
‘K~(i4-7';p)(i + r;p)
Ti-Tf т\р______V ,
1 + T'fp T'a-T'f i + rap) H
(1 - T>i~Tf c',IT’f - T'a~T{ e~“T'a 1 -L
\ Ti-To ra-rf } R
(3-24)
87
Полученную зависимость можно упростить, если пре-
небречь Т'о по сравнению с Tf и Т’х
; _ V I / V_И _ У_(Г!1Т«
~ к "Ц R' R ) R'
где
—(3-26)
‘ t ч
R’ называется переходным активным сопро-
тивлением. Постоянные времени Та и Тf могут быть
выражены через У?':
T'.-LJK-.
T^ItLJRr,
17 изображает типичное
замыкания, рассчитанное по
уравнению (3-25). Выше
лежащая кривая (пока-
занная в .начальной части
пунктиром) (представляет
сумму первого и второго
членов. Ее было бы мож-
но .получить, если бы ин-
дуктивность якоря была
равна нулю.
Ток, определяемый
этой кривой, нарастает
мгновенно до значения,
равного V/R’, а затем
постепенно спадает до
V/R с постоянной вре-
Сплошная кривая на рис.
изменение тока короткого
Рис. 17. Изменение тока при вне-
запном коротком замыкании гене-
ратора постоянного тока.
установившегося значения
мени Г'. Благодаря наличию индуктивности якоря дей.
ствительный ток возрастает не мгновенно, но с высо-
кой скоростью, зависящей от Та. Тем не менее макси-
мальное значение все-таки принимается приближенно
равным V/R', хотя в действительности оно немного
меньше. Начальная скорость нарастания тока равна
V/La.
88
Генератор с параллельным возбуждением
Для идеализированной машины постоянного тока,
изображенной на рис. 15, при параллельном возбужде-
нии установившееся значение тока короткого замыкания
было бы равно нулю, поскольку обмотка возбуждения
замыкается накоротко. Однако практически под дей-
ствием остаточного магнетизма в короткозамкнутом ге-
нераторе протекает ток. Для того чтобы учесть этот эф-
фект, в схеме предусматривается дополнительное посто-
янное возбуждение, создаваемое третьей обмоткой воз-
буждения Ft. представленной па рис. 18. По обмотке Ft
протекает постоянный ток i0, индуктирующий в обмот-
ке Q постоянную э. д. с., которая уравновешивается со-
ставляющей приложенного напряжения Vc.
Поскольку мало по сравнению с in, ток в главной
цепи может быть принят равным току во внешней цепи.
С учетом этого предположения могут быть составлены
уравнения
(3-27)
В исходном установившемся режиме и ia0=0.
Следовательно,
г.--k
| Поперечппя
(3-28)
Рис. 18. Схема генератора постоянного тока
с параллельным возбужденней.
89
Уравнения для наложенных токов имеют вид:
— VI =(rf + bfp) i'x+Mpi'a;
- Vl=ki'x + (/?+£сР),;.
откуда ток короткого замыкания равен:
______1 + тиР rf — k у 1
к~ (i+O)(i+7>) rr R '
где
(3-29)
Выражение (3-29) по виду аналогично уравнению
(3-24). Поэтому, пренебрегая по сравнению с T'f и ГК1
получим:
Применение метода анализа коротких замыкании
Несмотря на то, что вследствие принятых предполо-
жений полученные результаты являются только прибли-
женными. изложенная выше теория должна дать удов-
летворительное количественное объяснение 'поведения
генератора 'постоянного тока при коротком замыкании.
Практически невозможно определить постоянные кон-
кретной машины теоретическим путем, однако можно
обосновать эмпирические методы их расчета, основан-
ные на анализе опытов короткого замыкания ряда раз-
личных машин. Приведенный ниже пример показывает,
каким образом это может быть сделано.
Опыты проводились на генераторе постоянного тока
с параллельным возбуждением 130 в, 300 а. Получен-
ные результаты позволили определить постоянные ма-
шины.
90
Опыт нагрузки-.
иа = 130 в; ia -=—300 а; {* = 3.5 а.
Опыт угтановияшегося короткого замыкания при незави-
симом возбуждении г
иа = 0. ia~ — I 500 a; iK = 3,5 а.
Подставляя эти значения в уравнения (3-27), получаем:
130—3,5rf;
130 = 3,54—3001?+1'0;
0 = 3,54—1 5001? +У„;
откуда
rf = 37,2 ом; R=- 0,108 ом; V, 4- 3,54 = 162,5 в.
Опыт внезапного короткого замыкания- Осциллограмма
тока якоря аппроксимируется следующей зависимостью:
i R = 730 + 2 530c~i/o-uM — 3 260с-1/0'0023.
Сравнивая с выражением (3-30). можпо найти:
V, V
=730 а; =3 260 а;
r‘f = 0,089 сек; Т'а = 0,0023 сек.
откуда
V. = 79 в; k = 21.3; /?' = 0,04 ом;
7f = 0,24 сек; £а = 0,09.10-» гн;
Lf = 8,Q гн; М =0,284 гн.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА
В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ
14. ГЕНЕРАТОР ПОСТОЯННОГО ТОКА КАК УСИЛИТЕЛЬ
Подавляющее большинство обычных энергетических
систем, служащих для распределения электрической
энергии, работает на переменном токе. Исключение со-
ставляют сравнительно маломощные системы постоян-
ного тока специального назначения, применяемые на
электрическом транспорте, а также на судах и самоле-
тах. Тем не менее машины постоянного тока широко рс-
рользуются в промышленности для создания гибких си-
9*
стем регулирования [Л. 51]. В приводах, треоующих
точного и быстрого автоматического регулирования, все
более часто применяются системы, состоящие из не-
скольких генераторов и двигателей постоянного тока,
работающих совместно с регулирующими устройствами
различных типов. Теория автоматического регулирова-
ния является очень разветвленной. Эта глава касается
только роли машин постоянного тока в таких системах.
Важно уметь анализировать систему регулирования
с достаточной точностью как при установившихся, так
и при переходных режимах. Однако поскольку в систему
могут входить несколько машин постоянного тока и дру-
гих элементов, каждый из них должен быть представлен
предельно просто, иначе анализ системы в целом стано-
вится слишком сложным. Метод, 'получивший общее
признание, основан на представлении любой машины
постоянного тока или другого элемента в виде усили-
теля. Полная система составляется как цепь из отдель-
ных усилительных звеньев, соединяемых таким образом,
чтобы получить желательные характеристики.
Ниже рассматриваются способы представления ма-
шин, упрощенные по сравнению с более общими мето-
дами, изложенными в гл. 2 и 3. Так же как и прежде,
в основе анализа лежит составление системы дифферен-
циальных уравнений, с помощью которых могут быть
рассчитаны искомые характеристики.
Генераторы и возбудители постоянного тока
В отношении генератора или возбудителя, питающе-
го некоторую внешнюю цепь, 'принимается, что его ско-
Рис. 19. Генератор по-
стоянного тока как уси-
литель.
рость вращения не изменяется,
а также, что сопротивления яко
ря (активное к индуктивное) мо-
гут быть включены в сопротив-
ление внешней цепи.
Если исходить из упрощен-
ной схемы, на-рис. 13, в качестве
напряжения па выходе можно
принять внутреннее напряжение
якоря Это выходное на-
пряжение управляется напряжением возбуждения
обозначаемым теперь через иг Простейшая машина по-
стоянного тока, схематически представленная на рис. 19.
92
рассматривается как усилитель, напряжение па выходе
которого «2 управляется входным напряжением Из
уравнений (3-9) следует, что
яа~ । -\-тр uv (4-1)
М.ч
где К =—------коэффициент усиления по напряжению;
г!
Lf
Т=-г-—постоянная времени цепи возбуждения.
rf
Если одна машина постоянного тока используется
в качестве возбудителя другого генератора (рис. 20),
выходное напряжение и, этой системы машин, выражен-
ное через напряжение на входе и„ будет равно:
и»~ 1“+ т,р Т+"?\р в*’ (4‘2)
где индексы при К и Т соответствуют первой и второй
машинам.
Если рассматривать систему из двух генераторов по-
стоянного тока как двухступенчатый усилитель, цепь
возбуждения первой машины является входной цепью
усилителя и используется для управления напряжением
Рис. 20. Генератор постоянного тока и воз-
6} тигель как двухступенчатый усилитель.
на выходе. Мощность, необходимая для создания вы-
ходной мощности и покрытия потерь, поступает, конеч-
но. от двигателя, вращающего генераторы. В любом ге-
нераторе постоянного тока выходная мощность всегда
значительно больше мощности возбуждения, и их отно-
шение называется коэффициентом усиления
по мощности. Составляя цепь из нескольких гене-
раторов постоянного тока, можно получить очень боль-
шой общий коэффициент усиления по мощности, равный
произведению отдельных коэффициентов усиления.
93
Кривые нарастания напряжения генераторов
постоянного тока
Кривая нарастания напряжения представляет собой
зависимость изменения выходного напряжения от вре-
мени, когда управляющая обмотка возбуждения внезап-
но подключается к источнику постоянного напряжения
или внезапно уменьшается активное сопротивление в це-
пи возбуждения. Для отдельного идеализированного
генератора (рис. 19) кривую нарастания напряжения
при включении обмотки возбуждения невозбужденной
машины на напряжение возбуждения V можно полу-
чить с помощью уравнения (4-1), положив, что щ рав-
но ступенчатой функции напряжения VI. Решение имеет
вид:
(4-3)
Кривая, изображенная на рис. 21 сплошной линиеи,
является экспонентой, имеющей постоянную времени Т
и конечное установившееся значение KV. Постоянная
врсмспи экспоненциальной кривой определяется време-
нем, в течение которого было бы достигнуто конечное
установившееся значение, если бы процесс протекал
с постоянной скоростью, равной начальной, как показа-
.иг но па рис. 21 касательной
Рис. 21, Кривая варастапия на-
при жевия генератора постоялнего
тока.
Рис. 22. Кривая нарастания напря-
жения генератора постоянного тока
с возбудителем.
к экспоненте в начале ко-
ординат.
Для двух генераторов
постоянного тока, соеди-
ненных по схеме рис. 20,
кривая нарастания на-
пряжения уже не являет-
ся простой экспонентой.
Она имеет вид кривой,
представленной па рис. 22
сплошной линией. Если
построить экспоненту, воз-
можно более близкую к
действительной кривой,
как это сделано пункти-
ром на рис. 22, эффектив-
ная постоянная времени
окажется в грубом при-
ближении равной сумме
94
отдельный постоянных времени. Следовательно, часто
можно с достаточно хорошим приближением принимать
в качестве кривой нарастания напряжения простую экс-
поненту с постоянной времени, равной Т^+’Тг-
Изменение напряжении на выходе отстает от вызы-
вающего его изменения входного напряжения. Запазды-
вание обычно оказывает неблагоприятное действие на
работу систем регулирования и, если даже отвлечься от
соображений устойчивости, постоянную времени жела-
тельно иметь как можно более малой.
Кривая нарастании напряжения насыщенного возбудителя
Возбудитель может быть использован для быстрой
форсировки возбуждения генератора переменного тока,
когда напряжение на его зажимах по каким-либо при-
чинам стремится упасть. Для этого необходимо резко
увеличить напряжение, приложенное к обмотке возбуж-
дения возбудителя, в связи с чем часто приходится счи-
таться с насыщением его магнитной цепи. Кривую нара-
стания напряжения насыщенного возбудителя при
холостом ходе можно рассчитать численно методом по-
следовательных интервалов, если известна кривая на-
магничивания [Л. 16] При отсутствии насыщения урав-
нения (3-9) могут быть представлены следующим об-
разом:
_ и» । тРиа^г1 1__T^du,
К Ч" К гГ*“Г к dt •
Второй член правой части уравнения показывает, что
напряжение, уравновешивающее индуктируемую э. д. с.,
равно некоторой постоянной, умноженной на скорость
изменения потока, который пропорционален и,- Поэтому
написанное выше уравнение справедливо также и для
насыщенной машины. Следовательно,
д'=4-г^у7л“.' <«>
где А/ и Д«2 — малые приращения времени и напряже-
ния. Если напряжение и2 для некоторого момента време-
ни известно, соответствующее значение 1Х может быть
найдено по кривой намагничивания, а приращение Да2
>а интервал времени А/ можно рассчитать по уравне-
нию (4-4). Этот способ позволяет шаг за шагом по-
95
строить всю кривую нарастания напряжения, начиная
от любого известного начального значения. Сравнение
пунктирной кривой (рис. 21) со сплошной линией пока-
зывает влияние насыщения на кривую нарастания на-
пряжения для первоначально невозбужденной машины.
Более часто приходится строить кривые нарастания на-
пряжения для генераторов, уже имеющих некоторое
возбуждение.
В литературе нередко используют понятие скороеп
нарастания напряжения возбудителя [Л. 26]. Однако
для четкого определения последней должны быть зада-
ны начальное и конечное значения напряжения, прило-
женного к цепи обмотки возбуждения, а также величи-
на активного сопротивления в этой цепи. Более того,
этот термин обычно относится к кривой нарастания на-
пряжения при холостом ходе, тогда как практически
важнее кривая, полученная при подключении возбуди-
теля к обмотке возбуждения более мощного генератора,
когда должны учитываться реакция якоря и насыщение.
15. ГЕНЕРАТОР ПОПЕРЕЧНОГО ПОЛЯ
Машина поперечного поля является специальным
типом машин 'постоянного тока и имеет щетки, установ-
ленные как по продольной, так и по поперечной осям
(рис. 4). Такие машины часто используются в качестве
электромашинных усилителей в системах регулирова-
ния Их конструкция может обеспечить высокий коэф-
фициент усиления по мощности при сравнительно не-
большой постоянной времени [Л. 37 и 54]. На рис. 23
показана схема идеализированного генератора попереч-
ного поля (амплидина или метадина), предназначенного
для работы в системе регулирования. На схеме показа-
ны действительные цепи, проходящие через щетки,
а также заменяющие их псевдонсподвнжные катушки
D и Q. Поперечная цепь Q замкнута накоротко, а глав-
ное выходное напряжение снимается с катушки D, рас
положенной по продольной оси. Машина имеет обмотку
возбуждения F по продольной оси, по поперечной же
оси обмотки на статоре нет. Во всех других отношениях
машина подобна представленной на рис. 4.
В установившемся режиме поток по продольной осп,
созданный током возбуждения if, наводит э. д. с. вра-
96
щения между щетками по поперечной оси. Поскольку
эти щетки замкнуты накоротко, в поперечной цепи Q
возникает ток ig, который вызывает появление магнит-
ного потока, направленного по поперечной оси и индук-
тирующего э. д. с. между главными щетками по про-
дольной оси. При наличии тока нагрузки магнитный по-
ток по продольной оси создается совместным действием
if и id. Следует отметить, что положительный ток воз-
буждения создает положительное напряжение на вы-
ходе иа- Поэтому нет необходимости использовать обо-
значения их и «т, которые были введены на рис. 13 для
исключения отрицательного знака в уравнениях (3-9).
Общие уравнения для трех катушек имеют вид:
11 f—
ич = Md/pit + (rd 4- Ldp) id 4-
0=— Mi4t~ lqP)
(4-5)
Эти уравнения могут быть получены из уравнений
(2-2), если исключить четвертое уравнение и четвертый
столбец в матрице сопротивлений, а также принять
и« = °-
Обычно машина снабжается компенсационной обмот-
кой С, показанной на рис. 23 пунктиром. Она вклю-
чается последовательно с главными щетками и служит
7 Б. Адкинс
97
для уменьшения влияния н. с., создаваемой током ld.
Для того чтобы ее учесть, необходимо изменить по-
стоянные Мл, rd, Ld п Л!^. входящие в уравнения (4-5).
Для полностью компенсированной машины,
в которой компенсационная обмотка точно уравновеши-
вает н. с- якоря, постоянные и Mdf равны нулю.
Если положить uf—u^ а внутреннее напряжение ud—
— (ra -J- Ldp) id приравнять п2, уравнения полностью ком-
пенсированной машины упрощаются и зависимость вы-
ходного напряжения от входного может быть представ-
лена следующим образом:
A4f>
= r4+Lqp rr\ LfpU^
(4-6)
При неизменной скорости вращения ото выражение
аналогично по виду уравнению (4-2) для двух генерато-
ров постоянного тока. Таким образом, полностью ком-
пенсированный генератор поперечного поля эквивален-
тен системе из двух обычных генераторов и обладает
в связи с этим высоким коэффициентом усиления по
мощности. Его работа характеризуется двумя постоян-
ными времени: одной для цепи возбуждения и другой
для поперечной цепи якоря.
Недокомпснсированный и перекомпсн-
сированный генераторы поперечного поля отли-
чаются от полностью компенсированной машины тем,
что в них возникают добавочные э. д. с., зависящие от
тока нагрузки id- Их действие в установившемся ре-
жиме аналогично влиянию дополнительной обмотки по-
следовательного возбуждения в обычном генераторе.
16. ДВИГАТЕЛИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
В СИСТЕМАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Типичная электрическая система регулирования со-
стоит из главной машины, которая может быть генера-
тором или двигателем, и ряда вспомогательных машин
или регулирующих устройств, используемых для регули-
рования главной машины. Если главная машина являет-
ся двигателем, она сочленяется с рабочим механиз-
мом, создающим механическую нагрузку. В этом слу-
чае задача системы регулирования состоит в измене-
98
рии скорости крашения двигателя в соответствии с ве-
личиной момента, требующейся при любых условиях
работы. Вспомогательные двигатели часто применяются
также в системах «регул ироваиия не только электриче-
ских машин, но и других устройств.
Регулирование скорости вращения двигателей по-
стоянного тока может производиться двумя способами:
а) изменением напряжения возбуждения;
б) изменением напряжения якоря
Для любого из этих способов регулирования или ка-
кого-либо их сочетания уравнения (3-9) к (3-11) ос-
таются в силе и нередко поддаются упрощению в част-
ных случаях. При регулировании в цепи возбуждения,
осуществляемом изменением напряжения возбуждения
при ^постоянном напряжении якоря, уравнения услож-
няются вследствие того, что изменению подвергаются
как ток якоря, так и ток возбуждения, а также потому,
что в них появляются произведения вида vif и ifiQ.
Полное решение можно получить только численным
расчетом, а это затруднительно, если система содержит
много элементов. Полезный анализ устойчивости или
работы при малых отклонениях может быть выполнен
с помощью метода, изложенного в § 12.
К счастью, наиболее распространенным способом
регулирования двигателей постоянного тока, особенно
в более сложных системах, для которых важен точный
анализ, является изменение напряжения якоря с исполь-
зованием системы генератор — двигатель.
В этой системе при изменении напряжения якоря на-
пряжение возбуждения, а следовательно, и ток возбуж-
дения остаются постоянными. Таким образом, уравне-
ния могут быть значительно упрощены.
Регузнрованне скорости двигателя постоянного тока
изменением напряжения якоря
На рис. 24 показана схема двигателя постоянного
тока, ток возбуждения которого ix постоянен, а ско-
рость вращения > регулируется изменением напряжения
якоря обозначаемого теперь через и- Уравнения (3-9)
в (3-11) при этом упрощаются:
4- Lp) i; |
7*
99
где к1=Л‘1Л— напряжение, отнесенное к единице ско-
рости вращения (рад{сек)-,
— — вращающий момент, отнесенный к еди-
нице тока якоря.
В установившемся режиме при постоянном прило-
женном напряжении V соотношение между скоростью
вращения и моментом может быть представлено в виде:

К . R
-—Tin— го .
Л, 1 klkT oti
(4-8)
Механические характеристики двигателя в устано-
вившемся режиме при различных значениях V приводят-
ся на рис. 25 Положительные значения тпк, соответ-
РВЖИМ
ГЕнираторнъ й V ЦВииатель><ь.й
везгеим
V-V,
тВи
Рис. 24. Схема двигателя
постоянного тока.

Цемент
Рис. 25. Механические харак-
теристики двигателя постоян-
ного тока.
ствующие генераторному ре-
жиму, откладываются влево
с тем, чтобы придать харак-
теристикам вид, обычпый для двигателей независимого
возбуждения. Для идеализированной машины характе
ристики представляют собой прямые линии. Они пока-
зывают, что скорость вращения с возрастанием двига-
тельного момента несколько уменьшается. При переход-
ном процессе скорость определяется выражением
-Г"О + 7» meu
v = Алп .гг-Г- . (4-9)
14- гмл(1 + Тр} '
т 1
где Т = —постоянная времени якоря;
Л.
J/?
Тч -------механическая постоянная времени.
Анализ переходных процессов системы, регулирования
обычно производится при условии, что приложенный мо-
100
мент равен нулю. С другой стороны, если существует по-
стоянный приложенный момент, переменные, входящие
в уравнение (4-9), рассматриваются как наложенные
изменения напряжения, момента и скорости.
Следовательно, в любом случае гл п = 0. Более того,
электрическая постоянная времени Т обычно значи-
тельно меньше механической постоянной времени Ты. По-
этому приближенно
ч=й+7>и1 + гмлХ* <4’10)
Таким образом, двигатель, регулируемый напряже-
нием якоря, аналогичен двухступенчатому усилителю,
состоящему из электрической ступени с постоянной
времени Т и механической ступени с постоянной времени Гн-
Во многих случаях индуктивностью L можно полностью
пренебречь, что дает:
Если, например, ненагруженный двигатель внезапно
подключается к источнику постоянного напряжения, ско-
рость вращения возрастает экспоненциально 'с постоян-
ной времени Ты.
17. АНАЛИЗ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Системы регулирования состоят из нескольких эле-
ментов, каждый из которых действует как ступень уси-
лителя. Большая мощность па выходе регулируется зна-
чительно меньшей управляющей мощностью на входе.
В системе с замкнутым циклом регулирования выходное
напряжение или другая выходная величина соединяет-
ся посредством цепи обратной связи с входной цепью
| тем, чтобы повысить точность работы и чувствитель-
»ость системы. Для изучения такой системы составляет-
я дифференциальное уравнение, которому подчиняется
ее работа (Л. 43]. В втом параграфе рассматриваются
IJJBa примера.
Система генератор—двигатель с регулятором скорости
На рис. 26 представлена схема системы регул прова-
гия скорости вращения двигателя постоянного тока. Ток
возбуждения двигателя остается постоянным, а к якорю
101
подводится напряжение от генератора, вращаемого с по-
стоянной скоростью и возбуждаемого от возбудителя.
Схема остается справедливой, если заменить генератор
и возбудитель одним электромашинным усилителем Ре-
гулирование скорости вращения двигателя осуще-
ствляется изменением напряжения возбуждения возбу-
дителя и. С валом двигателя связан тахогенератор, со-
здающий напряжение До, пропорциональное скорости
Рис. 26. Схема регулирования скорости в системе гене-
ратор-двигатель.
/—задающее устройство; 2—возбудитель; 3—генератор 4—
двигатель. 5—тахогенератор: о—обратная снизь.
вращения. Для автоматического регулирования скоро-
сти это напряжение через цепь обратной связи подводит-
ся ко входу системы усиления. Оно включено встречно
с постоянным, но регулируемым эталонным напряже-
нием «I, снимаемым с потенциометра, включенного на
источник постоянного тока, а разность напряжений и0 и
Hi определяет напряжение и, подведенное к обмотке воз-
буждения возбудителя. Вследствие того, что и значи-
тельно меньше U], выходное напряжение и0 в любом
установившемся режиме нс может сильно отличаться от
эталонного напряжения Этим достигается точное ре-
гулирование скорости вращения двигателя.
Поскольку «0 пропорционально скорости вращения v,
из уравнений (4-2) и (4-11) следует:
Д'
“° = U + r1j>Hi+r1ri(i4-ru’) (4‘12’
где К — постоянная.
Так как u~ut — uD, то
К
“с = (1 + 7^)114- 7\р) (1 + Тнр) + К “*• <4’1 '
102
Таким образом, получено дифференциальное уравне-
ние системы, которое может быть использовано для рас-
чета установившихся и переходных режимов, а также
для изучения устойчивости системы. Приведенный про-
стой пример позволил представить типичное уравнение
для системы с замкнутым циклом регулирования.
Рис. 27. Схема генератора
постоянного тока с уголь-
ным регулятором напряже-
ния.
I—генератор; 2—обмпткв воз-
буждения; 3—угольвыП столбик;
4—магнит; S—пружина.
Генератор постоянного тока с угольным регулятором
напряжения
На рис. 27 показана схема системы, в которой напря-
жение генератора постоянного тока регулируется с по-
мощью угольного регулятора. Столбик из угольных
шайб имеет нелинейную характеристику. Напряжение
ис на концах столбика зависит от линейного перемеще-
ния х (изменения длины стол-
бика) и тока G, т. е. опреде-
ляется некоторой функцией
/ (х, if). Система характеризу-
ется следующими постоян-
ными:
ku — напряжение генератора
на единицу тока воз-
буждения;
Гр Lf — активное сопротивле-
ние и индуктивность
цепи возбуждения;
гк, £к — активное сопротивле-
ние и индуктивность
катушки регулятора;
kf — усилие регулятора на
единицу тока в ка-
тушке;
К — постоянная пружины
регулятора;
М — масса движущихся ча-
стей регулятора-
Сопротивлением якоря генератора и демпфированием
! регуляторе препебрегается.
I ли к сердечнику магнита приложена небольшая
возмущающая внешняя сила [м. для цепи возбуждения,
•тип катушки магнита и механической системы рсгуля-
103
тора могут быть составлены три следующих дифферен-
циальных уравнения:
*Л=('К+М)';;
(4-1Г
При исключении 4 чисто уравнений уменьшается до
двух:
0=/(х.—*U-|-Z7p)if;
(4-iS)
Полученные два нелинейных дифференциальных урав-
нения (4-15) можно использовать для определения х
и ip если приложенная сила /ы известна. Для малых
отклонений Дх и Д^ от установившихся значений хс
и i уравнения принимают вид:^
rjfU.Q) 1 Дл_и а/и*/И Д£ I
L дх J, L d,f Jo 1
+(rf—4~
=(К + W) Дх - Д £/.
(4-16)
где 11 [ 0f —значения частных произ-
водных в установившемся режиме-
В стучае возникновения малых колебаний с част"-
той шк/2«, обусловленных пульсациями силы, представ-
ленными комплексным числом ДГн, уравнения (4-16'
могут быть преобразованы в уравнения в символической
форме- Колебания тока возбуждения if и перемещения л
в этих уравнениях выражены комплексными величина'^
Д/, и ДХ:
104
°=]/*+[ ]i/,+
+(Г,~ k
1 4 f и * * К Р р
ДГ =_ (/( ОГ/И) ДХ - - ,Y" . д/,.
к гк + /“жк f
(4-17)
J
Уравнения (4-16) могут быть использованы для изуче-
ния устойчивости системы С помощью одного из хорошо
известных критериев. Уравнения (4-17) можно приме-
нить для расчета амплитуды и фазы колебаний тока и
перемещения, обусловленных известными пульсациями
силы. Аналогичная задача решается в (Л. 22] матричным
методом.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ МАШИН
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА В УСТАНОВИВШЕМСЯ
РЕЖИМЕ
18. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВОЛН Н. С.
И МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ
ВЕКТОРАМИ
Прежде чем приступить к составлению общих опе-
раторных уравнений машин переменного тока, целесо-
образно кратко остановиться на частном случае и рас-
смотреть установившийся режим, который может быть
исследован самостоятельно с помощью уравнений в сим-
волической форме или векторных диаграмм. Метод, ис-
пользуемый в этой главе, в основных чертах одинаков для
всех типов машин переменного тока. Он значительно
проще изложенной в дальнейшем общей теории, хотя их
I развитие следует по одному и тому же пути. Настоящая
глава служит связующим звеном между методами ана-
лиза, описываемыми в обычных учебниках, и общей
теорией, являющейся главной темой этой книги.
Анализ начинается с рассмотрения токов, протекаю
щи- в различных обмотках машины. После этого нахо-
дя я создаваемые ими н. с., а затем магнитные потоки.
Далее можно найти индуктируемые этими потоками
э. д. с. и построить векторные диаграммы или составить
105
уравнения. В .машинах переменного тока, работающих
в установившемся режиме, при симметричных многофаз-
ных напряжениях и токах основная волна магнитной
индукции вращается в воздушном зазоре с постоянной
скоростью 'относительно обмотки переменного тока, т. е.
является вращающейся волной индукции.
Векторная диаграмма для установившегося режима ис-
ходит из рассмотрения вращающихся волн н. с. и маг
ниткой индукции, созданных многофазными токами.
Векторы, рассматривавшиеся в предыдущих главах,
называются временными векторами, поскольку
они изображают величины, изменяющиеся синусоидаль-
Рис. 28. Кривая н. с. в воздушной зазоре.
но во времени. В отличие от них пространствен-
ные векторы изображают величины, синусоидально
распределенные в пространстве. Примером таких вели-
чин может служить основная гармоническая составляю-
щая н. с., действующей вдоль поверхности воздушного
зазора. В любой момент времени синусоидальная волна
н. с. может быть представлена пространственным векто-
ром, направленным по оси, проходящей через точку, где
н с. имеет амплитудное значение Если несколько таких
волн неподвижны или вращаются с одной и той же ско-
ростью, они могут складываться «как векторы.
Пространственный вектор н. с., представленный комп-
лексным числом F. связан с пространственно распре-
деленной п. с. такой же зависимостью, какая существует
между временным вектором тока, определяемым комп-
лексным числом /, и изменением тока во времени [см-
уравнения (2-9)]. На рис. 28 приведена развернутая
схема, изображающая изменение н. с. в зависимости от
106
угла 6. Если обозначить амплитудной значение н. с.
через Fm. значение н. с. в точке 6 будет равно:
/ = Fm cos (6 +?)=Re [Fe% (5-1)
ГД»
m
Таким образом, F является комплексным числом,
аналогичным комплексным числам, используемым для
определения временных векторов, за исключением того,
что согласно установившейся практике величина про-
странственного вектора принимается равной амплитуд-
ному, а не действующему значению величины. Поэтому
коэффициент I/2 в уравнении (5-1) не появляется.
В машинах, рассматриваемых в этой главе, волны н. с.
и магнитной индукции изображаются пространственны-
ми векторами, а напряжения и токи—временными век-
торами. Необходимо различать эти два вида векторов.
Электродвижущая сила, индуктируемая в катушке
вращающейся или неподвижной волной индукции, про-
порциональна магнитному потоку и скорости относи-
тельного перемещения потока и катушки. Фаза 9. д. с.
во времени зависит от пространственного положения
волны магнитной индукции относительно катушки. Сле-
довательно, временной вектор, изображающий индукти-
руемую э. д. с., непосредственно связал с пространствен-
ным вектором, представляющим магнитный поток.
Если машина имеет равномерный воздушный зазор,
магнитная индукция в любой точке зазора пропорцио-
нальна и. с., и индуктируемая э. д. с. может быть выра-
жена непосредственно через н. с. В машине с явно вы-
раженными полюсами такой пропорциональности нет.
Однако если волна н. с. вращается с той же самой ско-
ростью, что и полюсы, ее можно разложить на состав-
ляющие по продольной и поперечной осям. После этого
можно найти (см. § 3) соответствующие составляющие
магнитного потока. Обычная теория неявнополюсных
синхронных и асинхронных машин не требует разложе-
ния магнитного потока на составляющие по осям и яв-
ляется, таким образом, действительно теорией вра-
щающихся п о л е й. С другой стороны, для анализа
синхронных машин с явно выраженными полюсами
Должна использоваться теория двух осей.
107
18. АСИНХРОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ
На рис. 29 представлена схема двухполюсного асин-
хронного двигателя, имеющего фазные катушки Дь Bi
и Ci на статоре и Д21 В2 и С2 на роторе (на рисунке для
упрощения показаны только катушки Д[ и Д2) Катуш-
ка At неподвижна и расположена по поперечной осн, а
катушка А2 вращается, как и ротор, с постоянной ско-
ростью ь)(1—s), где со— синхронная скорость, as —
скольжение. В установившемся режиме волны н с. и
магнитной индукции, создаваемые симметричной много-
Рнс. 29. Схема асинхронного двигателя.
фазной системой токов каждой из обмоток, вращаются
относительно статора с синхронной скоростью ю.
Рассмотрим момент времени, когда результирующая
волна н. с., представленная пространственным векто-
ром F, расположена, как показано на рис. 29, по пр>
дольной оси, совпадающей с осью абсцисс Составляю-
щие и- с., создаваемые первичными и вторичными токами
в этот же момент времени, изображаются пространствен-
ными векторами Ft и расположенными под углами
(—?,) и (180° —<ра) к оси ординат. Все три вектора вра-
щаются со скоростью ш и могут быть представлены с
помощью векторной диаграммы (рис. 30,с).
Если пренебречь потерями в сердечнике, ось резуль-
тирующей волны магнитной индукций, созданной н. с.
F, также совпадает с продольной осью и, следовательно,
внутренняя э. д. с., индуктируемая в фазе Д, первичной
108
обмотки, в рассматриваемый момент времени будет иметь
амплитудное значение. Внутреннее напряжение, уравно-
вешивающее эту э. д. с , изображается Если бы про-
текающие в фазах первичной обмотки токи носили такой
характер, что ток фазы Д, совпадал по фазе с напря-
жением иъ, то в данный момент времени первичная
и. с. была бы направлена по поперечной оси. Однако
поскольку вектор Ё, сдвинут относительно оси_ордипат
на угол соответствующий первичный ток в дей-
Iic. 30. Векторные диаграммы многофазного асинхронного двига-
теля.
-прострзистэеппня яекториея диаграмме н. с: б—временная векторная
аграмма первичных напряжений; в—креме иная векторная диаграмма вто-
ричных напряжений-
витсльности отстает от на угол ф, (рис. 30,6). В век-
)рной диаграмме первичных напряжений, построенной
пя фазы (рис. 30,6), напряжение, приложенное к за-
имам О, равно сумме внутреннего напряжения и па-
ший напряжения в активном сопротивлении г^/, и ин-
<ктивном сопротивлении рассеяния jxjt.
Вторичная обмотка нс занимает какого-то опредс-
шного положения относительно первичной обмотки и
общем случае имеет другое число витков на фазу,
ели использовать систему относительных единиц, ко-
)рая для асинхронного двигателя вводится точно так
е, как и для трансформатора (см. § 2), то при непо-
Я1жном роторе э. д. с., индуктируемая в фазе Д1 рс-
гльтирующим магнитным потоком, будет численно рав-
I Ut. При скольжении л- поток индуктирует э. д. с ча-
10»
стоты скольжения. Ее -амплитуда равна произведению s
и первичной э. д- с., а фаза зависит от положения ро-
тора. Па рис. 30,в вектор sUt аналогично вектору Оь
на рис. 30,6 представляет напряжение, уравновешиваю-
щее индуктируемую э. д. с. Если бы протекающие в фа-
зах вторичной обмотки токи носили такой характер, что
ток фазы Ая совпадал по фазе с индуктируемой в этой
фазе э. д. с., то в момент времени, когда поток на-
правлен по продольной оси, вторичные токи создали бы
п. с. пз поперечной оси. Это соотношение справедливо
независимо от того, какое действительное положение
занимает втори шан обмотка в этот мзме.чт времени. По-
скольку для режима работы, которому соответствует
рис. 29, /в сдвинуто относительно оси ординат на угол
(л — фа), вектор вторичного тока сдвинут относительно
вектора sUt на этот же угол, как показано на времеп-
нбй векторной диаграмме на рис. 30,в. В векторной диа-
грамме вторичных напряжений (рис. 30,в) сумма sUt
и падений напряжения в активном сопротивлении rjt и
индуктивном сопротивлении рассеяния равна нулю,
так как вторичная обмотка замкнута накоротко.
Таким образом, в основе теории асинхронного дви-
гателя лежат три отдельных векторных диаграммы:
1) пространственная векторная диаграмма н. с.;
2) временная векторная диаграмма первичных на-
пряжений частоты сети;
3) временная векторная диаграмма вторичных на-
пряжений частоты скольжения.
При введении системы относительных единиц отно-
шение первичной и вторичной н. с. равно отношению соз-
дающих их токов.
Составляющая протекающего в первичной обмотке
тока, создающая результирующую и. с., называется на-
магничивающим током. Его вектор, обозначенный
через /т, отстает от на 90° и, следовательно распо-
ложен на рис. 30,6 по оси абсцисс. Рис. 30,а может рас-
сматриваться как векторная диаграмма токов. Из нее
следует, что /го является суммой /, и /„ так как каж-
дый вектор и- с. пропорцнонатен соответствующему век-
тору тока.
110
Исходя из ^векторных диаграмм (рис 30,«, б и в),
можно составить уравнения в символической форме. От-
ношение к 1 постоянно и носит название индуктив-
ного сопротивления намагничивания Хт- У равнения имеют
вид:
tf=A+('i +М-Х;
о=
(5-2)
Исключив из этих уравнений Съ и /т, получим два
уравнения напряжений асинхронного двигателя:
^-К+/Ит+^)]/.+^Л 1 (53)
О = isXj, +IG+/S (Х„ + x,)l/a.J
Нетрудно заметить, что уравнения (5-3) подобны
уравнениям трансформатора. Если представить уравне-
ния (1-2) в символической форме и ввести новые обозна-
чения для индуктивных сопротивлений, то они будут
точно соответствовать уравнениям (5-3), за исключением
Рис. 31. Схема замещения асинхронного
двигателя.
того, что в последние входит скольжение s. При непо-
движном роторе (х=1) уравнения двигателя становятся
идентичными уравнениям трансформатора.
На рис. 31 изображена схема замещения асин-
хронного двигателя. Схема замещения машины пред-
ставляет собой электрическую цепь, составленную из не-
подвижных элементов таким образом, что токи и на-
111
пряжения в ней связаны между собой теми же уравне-
ниями, что и в реальной машине. Очевидно, что уравне-
ния (5-3) справедливы для схемы рис. 31.
20. НЕЯВНОЛОЛЮСНАЯ СИНХРОННАЯ МАШИНА
На рис. 32 схематически показана двухполюсная син-
хронная машина, имеющая обмотку возбуждения F на
внешней неподвижной части и трехфазную обмотку на
внутренней вращающейся части. В реальных машинах,
например в крупных генераторах, полюсная система, как
правило, находится на роторе, однако на схеме идеали-
зированной машины она изображается на статоре, а ее
ось принимается за продольную ось. Название «неявпо-
Рис. 32. Схема синхронной машины.
полюсная машина» обычно .применяется к таким маши-
нам, как турбогенераторы', в которых полюсная система
расположена на роторе и нс имеет явно выраженных
полюсов. Однако исходя из теоретических соображений,
етот термин будет относиться ко всем синхронным маши-
нам с .постоянным воздушным зазором. Показанные иа
рис. 3 успокоительные обмотки на рис. 32 отсутствуют,
потому что они не оказывают никакого влияния в уста-
новившемся режиме. Катушки якоря обозначены в той
же последовательности, что и на рис. 3.
Рис 32, так же как и рис. 33—-37, относится к уста-
новившемуся генераторному режиму работы машины
при отстающем коэффициенте мощности. Ротор вра-
щается с постоянной синхронной скоростью со. Предпо-
лагается, что вращение происходит по часовой стрелке,
т. е. v=—<i>. В обмотке якоря протекают оим.метр'ичныс
многофазные токи, порядок следования фаз которых
112
“I
дфжен быть С—В—Л. Выбор направления вращения
по часовой стрелке сделан с той целью, чтобы, как бу-
дет показано ниже, угловые соотношения в простран-
ственной векторной диаграмме н. с. (рис. 33) соответ-
Рис. 33. Пространственная векторная
диаграмма и. с синхронной машины.
катушки А и про-
34.
Векторная диа-
Рис.
грамма неявнополгосний син-
хронной машины.
ствовали диаграмме напряжений (рис. 34), которая
строится обычным образом.
(Волна н. с., создаваемая токами якоря, вращается
относительно якоря против часовой стрелки со ско-
ростью <о и поэтому неподвижна в пространстве незави-
симо от положения якоря. Положение обмотки якоря
определяется углом 6 между осью
I дольной осью. На рис. 32 ка-
I тушки показаны в тех положе-
► ниях, которые они занимают,
когда ток в фазе А имеет ма-
I ксимальное значение. При
этом угол 5 принимает значе-
ние ₽, большее 180° Ось н. с.
якоря в этот момент совпадает
с осью фазы А и, следователь-
но, вектор н. с. Fa, остающий-
ся при вращении якоря непо-
движным, находится в указан-
ном положении.
Вектор н. с., создаваемой
током возбуждения /f, направ-
ен в диаграмме пэ продоль-
ной оси. Результирующая н. с.,
определяемая суммой Fa и Fh
представлена вектором F. Про-
|странственпая векторная диа-
8 Б Адкинс
113
грамма (рис. 33) отражает соотношение между тремя
векторами н. с.
Вследствие того, что машина имеет постоянный воз-
душный зазор, результирующая магнитная индукция
в каждой точке зазора пропорциональна н. с., а магнит-
ный поток может быть определен как сумма двух со-
ставляющих потока, пропорциональных Fa и F{- Более
того, э. д. с., индуктируемая в фазе Л, пропорциональна
потоку, а ее фаза во времени зависит от положения по-
тока в пространстве. Поэтому э. д. с. может рассмат-
риваться как сумма двух соответствующих составляю-
щих э. д. с. Следовательно, пространственную векторную
диаграмму и. с. можно преобразовать во временную век-
торную диаграмму напряжений (см- треугольник OST па
рис. 34).
На рис. 34 OS представляет вектор напряжения О0>
уравновешивающего э. д. с., индуктируемую в фазе А
составляющей потока, создаваемой током возбуждения.
Он пропорционален Ff и направлен по оси ординат, так
как это напряжение максимально, когда ось .катушки А
совпадает с осью ординат. Таким образом, О0— это на-
пряжение холостого хода, которое зависит только от тока
возбуждения. ST изображает напряжение, уравновеши-
вающее э. д. с., индуктируемую составляющей потока,
созданной током якоря /, и может быть определено на-
падение напряжения в индуктивном сопротивк
лении намагничивания х Оно опережает ток
на 90° и равно jx Наконец ОТ представляет внут-
реннее напряжение соответствующее э. д. с., индук-
тируемой результирующим: потоком. Треугольник напря-
жений OST подобен треугольнику н. с. на рис. 33, но
повернут на 90°.
Для того чтобы закончить векторную диаграмму на-
пряжений, необходимо прибавить к внутреннему напря-
жению падения напряжения в активном сопротивле-
нии rj и индуктивном сопротивлении рассеяния jxj.
Полученный вектор определяет напряжение, приложенное
к зажимам генератора U. Он направлен под углом я к
оси абсцисс. Рис. 34 является полной векторной диа-
граммой, связывающей напряжение на зажимах U и
ток 1.
114
Несмотря на то, что векторная диаграмма выведена
для частного случая, когда машина работает в генера-
торном режиме с отстающим коэффициентом мощности,
изложенная теория носит общий характер и остается
справедливой для любого установившегося режима. Вид
диаграммы, конечно, значительно изменяется в зависи-
мости от величины нагрузки и значения коэффициента
мощности. С другой стороны, соотношения, представлен-
ные векторной диаграммой, могут быть выражены также
или уравнением в шгмъолической форме, или схемой за-
мещения. Уравнение может быть записано следующим
образом:
(5-4)
где xd — xmiJ-}-xa— синхронное индуктивное сопротив-
ление.
Схема замещения неявнополюсной синхронной маши-
ны приведена на рис. 35. Очевидно, что уравнение (5-4)
соответствует этой схеме.
Напряжение на зажимах (в пренебрежении активным
падением напряжения) определяется как сумма й0, т. е-
напряжения, возникающего в том
случае, если в машине протекает
[только ток и падения напря-
жения jxj, которое создается,
когда существует только ток L
Такое представление основано на
принципе наложения, исходящем
из предположения о линейности за-
висимостей. Электродвижущая си-
ла }ха1 индуктируется в якоре
Рис. 35. Схема заме-
щения неявнополюс-
ной синхронной на-
шими.
полтям потоком, создаваемым током якоря I при отсут-
ствии других токов в машине. Иногда утверждают, что
синхронное индуктивное сопротивление является фиктив-
ной величиной, однако это представление совершенно не
соответствует современной точке зрения. В действитель-
ности, синхронное индуктивное сопротивление ха более
реально, чем индуктивное сопротивление рассеяния xat
так как ха представляет собой полное индуктивное со-
противление обмотки якоря, а ха составяяет только часть
его (см. § 2).
в*
1(5
Для синхронной машины все индуктивные сопротив-
ления обозначены строчными буквами. Это отступление
от принятой в § 2 системы обозначений связано с тем,
что применение строчных букв для обозначения индук-
тивных сопротивлений синхронной машины стройно обо-
сновалось в литературе. Кроме того, некоторые из про-
изводных индуктивных сопротивлений, например -пере-
ходные индуктивные сопротивления (см. § 25), занимают
промежуточное положение между полными индуктивны-
ми сопротивлениями и индуктивными сопротивлениями
рассеяния и было бы трудно решить, какой буквой, про-
писной или строчной, их следует обозначать
21. ЯВНОПОЛЮСНАЯ СИНХРОННАЯ МАШИНА
Для машины с явно выраженными полюсами, пока-
занными на рис. 32 пунктиром, остается в силе диаграм-
ма н. с., 'приведенная на рис. 33, однако теперь уже не
Мнимая I
Рис. 36. Векторная диаграмма
явнололюспоб синхронной ма-
шины.
существует постоянного для
всех точек воздушного зазо-
ра соотношения между зна-
чениями н. с. и магнитной
индукции. Определить ин-
дукцию можно, разложив
н. с. якоря на составляющие
Fa и ?q по двум осям. При
этом принимается, что каж-
дая из составляющих н. с.
создает «пропорциональный
ей поток по той же оси, хо-
тя коэффициенты пропорци-
ональности для разных осей
неодинаковы. Четырехуголь-
ник OSLT на рис. 36 пред-
ставляет собой видоизме-
ненную векторную диаграм-
му напряжений, построен-
ную на основании этого
предположения. Составляю-
щие векторы Га и F па
пространственной векторной
диаграмме н. с. (рис. 33) со-
ответствуют составляющим
116
1 векторам /tJ и / на временной векторной диаграмме токов
(рис. 36). Напряжение, уравновешивающее э. д. с., индук-
тируемую продольной составляющей потока, представ-
лено на рис. 36 отрезком LT и равно /xmd/d, где хта—
индуктивное сопротивление намагничива-
ния по продольной оси. Аналогично напряжение,
I соответствующее э. д. с., индуктируемой поперечной
составляющей потока, изображается отрезком SL и равно
Д, где —индуктивное сопротивление
намагничивания по поперечной оси. Напряже-
ние холостого хода Оо, внутреннее напряжение Uv па-
[ депия напряжения в активном сопротивлении и индуктив-
ном сопротивлении рассеяния, а также напряжение на за-
жимах О остаются такими же, как прежде*.
Уравнение в символической форме, соответствующее
I векторной диаграмме рис. 36, может быть представлено
в виде:
#=0.+'о/+мЛ+/*Л. <5'5>
где = — синхронное индуктивное сопротив-
ление по продольной оси;
л,(/ = хтД-ла — синхронное индуктивное сопротив-
ление по поперечной оси.
Таким образом, векторная диаграмма по теории двух
осей для машины с явно выраженными полюсами сама
по себе лишь немного более сложна, чем векторная диа-
грамма пеявнополюсной машины. Однако применить ее
значительно труднее, так как для разложения вектора
тока необходимо знать неизвестный угол р. Составить
простую схему замещения для нахождения тока, соот-
ветствующего заданному приложенному напряжению,
невозможно.
1 В нашей литературе составляющие фазных э. д. с. и напря-
жений по продольной и поперечной осям обычно обозначаются
в соответствии с потоками, которые их создают. (В згой книге, так
Же как и в большинстве американских и английских работ, при-
нято обозначать э. д. с. и напряжения индексами тех осей, на
Коп ые они проектируются. Такое обозначение более удобно н ло-
гич[ , для учета связи между составляющими фазных величин по
Продольной и поперечной осям и осевыми величинами (см. § 28).
(Прим, ред.)
117
Приближенный метод определения угла ₽ и других
величин приводится в следующем параграфе.
Вектор ld называется продольной составляющей то-
ка, а / — поперечной составляющей, так как они отве-
чают составляющим н. с по двум осям. Названия «про-
дольная ось» и «поперечная ось» на рис. 34 и 36 взяты
в скобки, поскольку они хотя и используются для опре-
деления токов, но относятся, строго говоря, к простран-
ственной векторной диаграмме п. с., а не к временной
векторной диаграмме токов. Разложение тока на состав-
ляющие по осям соответствует преобразованию фазных
величин в осевые величины в общей теории. Однако опи-
санный выше процесс [проще, чем общее преобразование,
так как он заключается всего лишь .в разложении вре-
менного вектора. Этот вопрос рассматривается ниже
в § 28, где теория установившегося режима не исходит
из первоначальных принципов, а выводится как частный
случай общей теории.
22. УГЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНХРОННОЙ
МАШИНЫ
Синхронная машина при работе обычно связана
с внешней энергетической системой. Напряжение систе-
мы во многих случаях выбирается за основу, относи-
тельно которой определяются величина и фаза напряже-
ния машины. Пространственное положение вращающего-
ся ротора машины, представленной на рис. 32, в любой
момент времени можно установить, если известно изме-
нение во времени напряжения холостого хода на зажи-
мах какой-либо из фаз якоря, например фазы А. Обрат-
но, напряжение системы! может быть связано с равно-
мерно вращающейся координатной осью. Ес положение
в пространстве соответствует [положению оси вращающе-
гося ротора, если напряжение холостого хода машины
во всякий момент времени равно напряжению системы
Таким образом, положение оси ротора в любом режиме
работы машины можно определить по се сдвигу относи
тельно выбранной координатной оси.
Если синхронная машина работает в установившемся
режиме под нагрузкой, ее скорость остается равной по-
стоянной синхронной скорости ы, однако ось ротора сме-
щается относительно координатной оси на постоянный
угол б. Угол б называется углом нагрузки, так как
118
его величина с ростом нагрузки непрерывно возрастает.
Этот угол принимается положительным, когда положи-
тельна подводимая мощность, т. е. при работе машины
в двигательном режиме. Кривая зависимости подводи
мой мощности от угла нагрузки называется угловой
характеристикой мощности.
Величина 5 определяется углом между векторами
и U векторной диаграммы. Векторная диаграмма рис. 36
соответствует генераторному ре-
жиму, для которого 6 отрица-
тельно. Поэтому угол между
U и обозначенный 8г, ра-
вен— 8. Кроме того, электриче-
ская подводимая мощность Р
в генераторном режиме отрица-
тельна, т. е. мощность, отдавае-
мая генератором Р = — Р- Если
пренебречь активным сопротив-
лением якоря гц, простое соотно-
шение между Рг и 8г может
быть выведено из векторной диа-
граммы.
На рис. 37 показан упрощен-
ный вид векторной диаграммы,
изображенной на рис. 36. Активным
падением напряжения rj здесь
пренебрежено, а каждая составляю-
Рис. 37. Упрощенная век-
торная диаграмма син-
хронной машины.
гцая падения напряжения в индуктивном сопротивлении
намагничивания объединена с соответствущей составляю-
щей падения напряжения в индуктивном сопротивлении
рассеяния jxj в общую составляющую падения напря-
жения в синхронном индуктивном сопротивлении. Если
обозначить через I, Id и величины векторов, представ-
ляющих токи, значения падений напряжения в синхронных
индуктивных сопротивлениях будут равны xdla и
Таким образом, векторная диаграмма на рис. 37 соответ-
ствует уравнению (5-5), есчи не учитывать активного па-
д< .ия напряжения. На диаграмме отмечены угол нагрузки
генератора 6Г и угол у, определяющий коэффициент
1ЩНОСТН.
119
Конец вектора напряжения U обозначен буквой R.
Для того чтобы найти 6Г, проведем перпендикулярно
вектору тока линию RQ, пересекающую отрезок OS в
точке Q. Из точки Q опустим перпендикуляр QN па пря-
мую OR. Угол RQN—ф, а
sin OQR
следовательно, й г ОЛ' ~(,' | xqi sin f (5-6)
Кроме того,
I cos у=Id sin &r -f- 1 cos 6r;
I sin у = Idcos 8r - 1 sin 8r;
(5-7)
Uc — Ucos\=fdxd,
(/sin 6.=/^.
Для трехфазного генератора единичная мощность
определяется как сумма мощностей всех трех фаз при
единичных действую-
щих значениях напря-
жения и тока и коэф-
фициенте мощности,
равном единице, во
всех трех фазах.
Следовательно, мощ-
ность, отдаваемая ге-
нератором, определяет-
ся выражением
Pr~UI cosy,
используя соотношения
(5-7),
,. UU,.- s . Ux f I IX , к ох
Р> = s,n 8.+ Т § 25г. (5-8)
мощности синхронное машины.
которое можно преобразовать,
На рис. 38 сплошной линией показана угловая харак-
теристика мощности, построенная согласно уравнению
(5-8) для машины с явно выраженными полюсами. В слу-
120
час неявнополюсной машины при = второй член
правой части выражения (5-8) равен пулю, и угловая
характеристика принимает вид простои синусоиды, пред-
ставленной на рис. 38 пунктиром.
Выражение для подводимой мощности Р в функции
от угла нагрузки б двигателя имеет аналогичный
вид. Если в качестве единичного момента выбран мо-
мент, создающий единичную мощность при скорости ы
и полном отсутствии потерь, зависимость для момен-
та Л4Д двигателя при скорости со определяется тем же
самым уравнением;
М sinS ) (5-9)
Л \ "а/
Коэффициент синхронизирующего момента
Ввиду того- что момент синхронной машины при за-
данных напряжении на зажимах и токе возбуждения
с увеличением угла нагрузки возрастает, машина экви-
валентна спиральной пружине, один конец которой свя-
зан с валом, а другой с вращающейся координатной
осью, соответствующей напряжению системы. Если ро-
тор отстает от координатной оси, угол б положителен и
машина работает в двигательном режиме, развивая мо-
мент, стремящийся ускорить ротор. Если же ротор опе-
режает координатную ось, машина работает в генератор-
ном режиме и развивает тормозной момент.
При малых yi лах, положительных или отрицательных,
момент приблизительно пропорционален угловому сдви-
гу, однако при дальнейшем увеличении угла возрастание
момента замедляется, и в конце концов он достигает
максимального значения. Таким образом, эквивалентная
машине пружина имеет нелинейную характеристику. Эф-
фективная постоянная упругости для малых и 'Медлен-
ных отклонений от любого установившегося режима
определяется наклоном угловой характеристики. Сна на-
зывается коэф фи ц йен том синхронизирующе-
го момента, который в принятой в книге системе
относительных единиц численно равен коэффициен-
ту синхронизирующей мощности:
рси— И L ljcos2«- (5-10)
121
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ МАШИН ПЕРЕМЕННОГО
ТОКА
23. УРАВНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ТРЕХФАЗНОЙ ОБМОТКИ
Идеализированная синхронная машина, представлен-
ная ла рис. 3 в виде двухполюсной схемы, имеет вра-
щающуюся трехфа-зную обмотку. Уравнение для напря-
жения любой катушки такой машины можно вывести,
сложив составляющие напряжения, обусловленные каж-
дым из токов. Однако некоторые из коэффициентов в по-
лученных таким путем уравнениях являются перемен-
ными. К переменным коэффициентам относятся полные
и взаимные индуктивности катушек якоря, а также вза-
имные индуктивности между катушками якоря и стато-
ра. Все они изменяются в зависимости от утла 0, опре-
деляющего положение якоря в любой момент времени.
В связи с этим составленные уравнения трудно решить.
Уравнения машин переменного тока можно предста-
вить в более простом виде, впервые предложенном Пар-
ком, если принять в качестве переменных якоря не
действительные фазные напряжения и токи иа, ub, uct
ia, S и а фиктивные величины ud, ид, и0, *d, iq и 10.
Новые переменные отличаются от старых, но связаны с
ними известными соотношениями. Процесс перехода от
одной системы переменных к другой связанной с ней си-
стеме называется преобразованием, как было от-
мечено в § 1. Метод анализа машин переменного тока
с использованием преобразованных уравнений называется
теорией двух осей.
Вначале преобразование можно рассматривать как ма-
тематлчг ский прием, однако новые величины могут по-
лучить простое физическое представление. В дальнейшем
показано, что ил, uq и id, iq можно отнести к фик-
тивным катушкам, расположенным по продольной и по-
перечной осям аналогично катушкам D и Q на рис- 5,
и называть их осевыми напряжениями и то-
ками, a uoni0 — напряжением и током нулевой
последовательности.
122
Токя по продольной и поперечной осям
Осевые токи ia и i определяются как токи, проте-
кающие в фиктивных катушках по осям d и q. Число
витков каждой из них равно чис ту витков фазной катушки.
Токи id и iq создают такую же волну и. с., что и дей-
ствительные токи ia, ib и ic. Поскольку три реальные
кагушки заменяются системой из двух осевых катушек,
TjIh сохранения принятого в § 5 определения базисной
мощности машины переменного тока необходимо увели-
чить величину базисного тока осевых катушек в 1,5 раза
по сравнению с базисным током фазных катушек.
Амплитуда синусоидальной волны н. с., созданной то-
ком ia фазной катушки Л (рис. 3), пропорциональна iul
а ее положение совпадает с осью катушки, т. е. опре-
деляется углом 0. Эту волну н. с. можно разложить на
две составляющие, направленные по продольной и попе-
речной осям. Амплитуда продольной составляющей равна:
kfia cos б,
где kf—постоянная.
Исходя из этого, продольная составляющая результи-
рующей н. с., созданной совместнцм действием трех фаз-
ных токов, имеет амплитуду
kf [ lo cosНЧ cos (е — ic cos (б — у
Амплитуда волны н. с., обусловленной! током ia, про-
текающим в катушке по продольной оси, с учетом от-
меченного выше изменения величины базисного тока со-
ставляет
*ki
2 Rlld-
Следовательно, продольный ток ia равен:
=Г [ C0S 0 + COS (б - у) -|- 1е СОБ^б —
£23
Аналогичным образом ток по поперечной оси опре-
деляется выражением
% =4 [ sin4- lb sin (° - $)+ iе sin - у) ] -
Ток нулевой последовательности
Ток 10 может быть представлен в виде:
'о-у (г„ 4Л IU-
Название «ток нулевой последовательности» при-
нято по аналогии с термином «составляющая тока ну-
левой последовательности» метода симметричных со-
ставляющих. Однако здесь i0 является мгновенным зна-
чением тока, который может изменяться во времени по
любому закону. Его можно представить физически как
значение каждого из системы равных по величине то-
ков, протекающих во всех трех фазах. Такие токи не
создают результирующей н. с. © воздушном зазоре.
Преобразования токов
Уравнения преобразования, определяющие новые
токи через действительные токи, могут быть представле
ны следующим матричным уравнением:
Уравнения обратного преобразования, выражающие
действительные токи ia, ib и ie через токи id, iq и i„,
получаются в результате решения приведенных выше
уравнений:
124
(6-2)
Следует заметить, что вследствие до некоторой сте-
пени произвольного выбора базисной единицы тока
в уравнения (6-1) входит численный коэффициент,
тогда как в уравнениях обратного преобразования (6-2)
он отсутствует. Как показано ниже, в результате такого
выбора единичного тока уравнения (6-7) для -напряже-
ний цепей якоря по продольной и поперечной осям, свя-
зывающие осевые величины, не содержат численных ко-
эффициентов.
Преобразования напряжений
Новые напряжения определяются системой уравне-
ний, полностью аналогичной системе уравнений для
токов:
125
Подводимая мощность
Согласно определению единичной мощности, приве-
денному в § 5, мощность, подводимая к трехфазной об-
мотке якоря, равна-
р=i (“Л + аь*ь + «Л’- С65)
Если подставить сюда выражения для фазных токов
и напряжений, определяемых уравнениями преобразова-
ния (6-2) и (6-4), нетрудно получить’:
^>=-|(«Л + йЛ) + Л«/о- (6-6)
В нормальном установившемся режиме при симмет-
ричных многофазных токах и напряжениях величины ии
и io равны нулю. Таким образом, выражение (6-6) со-
ответствует определению единичной мощности машины
с двумя главными цепями.
Распределение обмотки якоря
Теория исходит из допущения, что волна н. с., со-
здаваемая протекающим в катушке якоря током, сину-
соидальна, В действительности возникают также и выс-
шие гармонические составляющие волны и. с., однако
они не учитываются. Величина каждой гармонической
н. с. зависит от значений обмоточных коэффициентов
для этой гармонической, которые могут быть рассчита-
ны при любом распределении проводников. Предположе-
нию, что все обмоточные коэффициенты для гармониче-
ских составляющих пренебрежимо малы, соответствует
принятое Парком «синусоидальное распределение» об-
мотки.
Обмоточные коэффиценты для гармонических опре-
деляют также а. д. с., индуктируемые в обмотке гармо-
ническими составляющими потока. В машинах с явно
выраженными полюсами кривая распределения магнит-
1 'Переход от трехфазных величин к осевым при подобном вы-
боре коэффициентов в уравнениях преобразования (6-1), (6-3) со-
провождается введением другой системы единиц. Базисная единица
мощности в новой системе относительных единиц в s/s раза больше,
чем в старой. Для того чтобы в новой системе не было утрачено
свойство обратимости взаимных индуктивностей между первич-
ными и вторичными цепями, величины целей обмотоо, возбуждения
126
ной индукции в'воздушном зазоре может значительно
отличаться от синусоиды даже в том случае, если вол-
на н. с., создающая это поле, синусоидальна. Тем не
менее, поскольку обмоточные коэффициенты для гармо-
нических близки к нулю, при расчете э. д. с. якоря сле-
дует учитывать только основную составляющую кривой
ноля.
Потокосцепление
При введении системы относительных единиц для
трансформатора (см. § 2) единичный поток был выбран
таким образом, чтобы при единичной скорости его из-
менения в каждой катушке индуктировалась единичная
з. д. с. Для вращающейся машины к этому определению
следует добавить ограничение, что ось волны индукции
должна совпадать с осью катушки, в которой индукти-
руется э. д. с. При этом условии поток становится иден-
тичным «потокосцеплению» катушки. В излагаемой ни-
же теории потокосцепление обозначается буквой 4f и
используется для определения потока.
Волна магнитной индукции в воздушном зазоре для
любого момента времени полностью определяется ампли-
тудным значением индукции и фазовым углом. В связи
с этим се можно представить через потокосцепление ’Гт
катушки, имеющей ту же самую ось, и угол, опреде-
ляющий положение оси. С другой стороны, волну ин-
дукции можно разложить на две составляющие по про-
дольной и поперечной осям и выразить через соответ-
ствующие потокосцепления и Ч" Практически
разложение па осевые составляющие оказалось лучшим
способом выражения мгновенного значения потока.
Согласно понятиям Парка каждое из потокосцепле-
иий 4>"т(1 и используемых для представления пото-
ка в воздушном зазоре, определяется как потокосцепле-
н успокоительной обмотки также необходимо перевести в новую
сперму единиц. В противном случае значения этих 1ИНаухтияиюстей
U уравнениях для вторичных цепей будут в s/s раза больше зпа-
ий тех же индуктивностей в уравнениях для цепей якоря. Пере-
к осевым величинам можно произвести и без изменения базис-
ной единицы 'мощности Для этого (необходимо выбрать коэффици-
ент в уравнениях преобраооэанмя (6 1), (6-3) .равными не 2/3.
а У .73 [Л. 58]. Взаимные Индуктивности между первичными и вто-
Vibhmii цепями при этом останутся обратимыми (Прим, ред.)
127
ние катушки по соответствующей оси. При этом Ч’и(
и Ч‘ представляют собой потокосцепления любых ка-
тушек независимо от действительного числа витков, при-
нимая во внимание выбор единичного напряжения дли
любой вторичной обмотки (см. § 2).
Электродвижущие силы, индуктируемые в цепях якоря
Предполагая, что составляющие потокосцепления
4rm(f и ¥ известны, можно найти э. д. с., индуктируе-
мые в катушках якоря, и составить уравнения для на-
пряжений цепей. Электродвижущая сила, индуктируемая
в катушке А, зависит от значений составляющих пото-
косцеплений и от углового положения катушки, так как
э. д. с. уменьшается, если ось катушки смещается от-
носительно направления потока. Электродвижущая сила,
индуктируемая составляет — P(4'„idcos(l), а з. д. с.,
индуктируемая Ч,’глв, равна —p(4fm(7sin (I). Следователь-
но, полное внутреннее напряжение, уравновешивающее
э- д. с., индуктируемую главным потоком в воздушное
зазоре, составит:
Р (Чг„,л cos fj -Ь ’Г sin 6)-
Поток в воздушном зазоре создается совместным
действием токов, протекающих во всех обмотках ста-
тора и ротора. Однахо токи якоря создают также мест-
ные потоки, которые не пересекают воздушный зазор,
но, несмотря на это, сцепляются с фазой А. Ток ia со-
здает падение напряжения в индуктивном сопротивлении
рассеяния l^pi^ где lt - индуктивность рассеяния ка-
тушки А- Токи ib и ic создают в катушке А падения
напряжения —1тР^ь и —1тР*е' где является частью
взаимной индуктивности между двумя катушками якоря,
обусловленной потоком, не пересекающим воздушны п
зазор. Эти составляющие имеют отрицательный знак-
так как оси катушек сдвинуты друг относительно друга
на 120°. С достаточно хорошим приближением можно
считать, что индуктивности lt и /т не зависят от поло-
жения ротора.
Приложенное напряжение иа равно сумме внутрен-
него напряжения, соответствующего э. д. с., индукти-
128
руемой главный потойом в воздушном зазоре, падений
напряжения, уравновешивающих э. д. с., наведенные
местными потоками якоря, и активного падения напря-
жения гпхо- Таким образом, напряжение иц может быть
представлено следующим выражением:
иа == р c°s 0 + 4 sin 0) -I- (Га + tlP) ia —
— t„,pi,, — l pi'-
mr о c
Если использовать соотношение ia4~/J,4_‘^=3^ и
ввести значение io, опредетяемое соотношениями (6-2),
уравнение принимает вид:
иа = md C0S ° + sitl °) 4" & 4" lm> P (‘d COS 0 +
4- % sin 5 -I- f„) - 3/mFi0 -I- ra ia = p [4Tmd -f la id) cos 6 4-
4- 4- iaic)sin 6] \1вр1„ 4- roin=
= p [T, cos О 4- »Fe Sin fjj 4- lspi0 4- ra ia,
где введены следующие новые величины:
zo='.4-/m;
4=^-3zm;
т,=*™,+'Л;
Здесь 4rtf и Ч»’9 представляют собой общие потокосцеп-
ления катушек якоря по соответствующим осям, обу-
словленные не только главным магнитным потоком в воз-
душном зазоре, но и потоком рассеяния якоря, а /и —
«эффективная* индуктивность рассеяния каждой из осе-
вых катушек. Индуктивность связанная с током ну-
левой последовательности, называется индуктив-
ностью нулевой последовательности. Эта
величина хорошо известна и используется в методе сим-
метричных составляющих.
Уравнения для напряжений nd, uq и ив теперь могут
быть получены, если раскрыть скобки и перегруппиро-
вать члены написанного выше уравнения с использова-
9 Б- Адкинс
129
ином значений io и иа из уравнений преобразования
(6-2) и (6-4), а также произвести дифференцирование
произведений в скобках и положить Тогда
("а - га Ы cos ° + — ru ffl)sin 0 +
+ («0 — ra = cos 0 (P'l‘d 4 4-
4- sin 0 (p’F — v'l^)-
Это выражение должно оставаться справедливым для
всех значений 0. Исходя из этого, приравняв коэффи-
циенты в левой и правой частях уравнения, найдем:
(6-7)
Метод приравнивания коэффициен гов, часто применяю-
щийся в этой книге, является изящным способом полу-
чения приведенных уравнений. Метод вполне строг, од-
нако читатели, сомневающиеся в его справедливости,
могут получить выражения для п;, uq и и0 другим, бо-
лее длительным путем, определив напряжения и , «ь и
ис и подставив их в уравнения преобразования (6-3).
Это должно привести к тому же самому результату.
Уравнения (6-7) составляют основу теории двух осей.
Величины и0 и i0 связаны друг с другом, но не зависят
от других величин. Поэтому во многих задачах доста-
точно ограничиться рассмотрением только осевых на-
пряжений и токов. Таким образом, преобразование при-
водит к значительному упрощению.
Фиктивные осевые катушки обобщенной машины
Два уравнения для осевых величин идентичны урав-
нениям (3 5) для машины постоянного тока. Отсюда
следует, что для машины переменного тока напряжения
u<t и которые были определены произвольно урав-
нениями (6-3), можно представить как напряжения,
приложенные к катушкам по продольной и поперечной
осям, при условии, что эти катушки являются псевдо-
неподвижными, т. е. обладают свойствами, описанными
130
в § L Тогда синхронная машина, изображенная на
рис. 3, может быть заменена обобщенной машиной, пред-
ставленной на рис. 39, где катушки D и Q представляют
собой псевдонеподвижные катушки, расположенные по
осям. Следовательно, одна и та же схема обобщенной
машины относится как к машине постоянного тока, так
мя успокоительными катушками.
и к машине переменного тока. Так же как и для машин
постоянного тока, члены в уравнениях (6-7), содержа-
щие р, соответствуют трансформаторным э. д. с., а чле-
ны, включающие v,— э. д. с. вращения.
Вид уравнений для напряжений якоря подсказывает
простой метод составления полных уравнений синхрон-
ной машины. Если бы катушки D и Q рис. 39 были
обычными неподвижными катушками, им соответство-
вали бы уравнения для напряжений:
и . = P’F.-kr i •
а * а । а (Г
и = r№ I г i .
q г q ' и q
Уравнения (6-7) отличаются от них только наличием
членов, уравновешивающих э. д. с. вращения. Поэтому
полные уравнения для машины, »показанной на рис. 39,
можно составить, если вначале написать пять уравне-
ний для системы из пяти неподвижных катушек, а затем
включить в два уравнения для катушек якоря добавоч-
ные члены, уравновешивающие э. д. с, вращения. Этот
метод используется в дальнейшем,
9*
131
Уравнение для момента
Как было показано в § 5, электромагнитный момент,
развиваемым машиной, имеющей две катушки якоря D
и Q по продольной и поперечной осям (рис. 5), может
быть найдсп из членов уравнении для напряжений яко-
ря, соответствующих э. д. с. вращения. Кроме того, вы-
ше отмечалось, что при определении мощности, подво-
димой к осевым катушкам, коэффициент kp должен
быть равен 7г- Выражение для полной подводимой мощ-
ности Р, помимо членов, входящих в уравнение (2-5).
содержит член:
= га *0 4~Л*о
Эта мощность, однако, полностью поглощается или
в виде потерь в активном сопротивлении, или увеличи-
вая запас магнитной энергии. Поэтому, учитывая сооб-
ражения, приведенные в § 5, она не сказывается на ве-
личине момента.
Таким образом, отдаваемая мощность, определяемая
членами уравнений (6-7), уравновешивающими э. д. с.
вращения, равна:
Л.-И"'.',-«W
Следовательно, уравнение для момента имеет вид:
(6-8)
В выражение для момента входят две составляющие,
рассмотренные в § 5. Первая составляющая обусловле-
на взаимодействием между потоком по продольной оси
и током но поперечной оси и имеет положительный знак.
Вторая составляющая создается в результате взаимо-
действия между поперечной составляющей потока и
продольной составляющей тока и имеет отрицательный
знак. Взаимодействие составляющих потока и тока по
одной и той же оси момента нс создает.
24. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
Обмотка возбуждения и успокоительные цепи
Обмотка возбуждения синхронной машины состоит
из катушек, расположенных на полюсах, и образует от-
дельную цепь. На схеме идеализированной двухполюс-
132
ной машины она представлена одной катушкой F по
продольной оси (рис. 39 или 40). Обычно приложенное
напряжение подается от возбудителя или другого
источника постоянного тока.
К успокоительным цепям относятся все другие замк-
нутые цепи полюсной системы. Явнополюсные синхрон-
ные машины почти всегда снабжаются успокоительной
обмоткой, которая состоит из стержней, лежашпх в па-
зах полюсного наконечника и соединенных на лобовых
частях кольцами или
сегментами. Иногда за-
мкнутую цепь вокруг ।

полюса создает коль-
цо, служащее для креп-
ления катушки воз-
буждения. Кроме того,
в машинах с массив-
ными стальными полю-
сами, а также в мень-
шей степени и в маши-
нах с полюсами, на-
бранными из листовой
стали, возникают ви-
хревые токи. Их влия-
Рис. 40. Обобщенная схема
ной машины.
синхрон-
ние
может
быть пред-
ставлено успокоитель-
ными контурами. Все
эти цепи противодействуют изменениям шотока ма-
шины, и для полного учета их в схеме идеализированной
машины потребовалось бы введение большого числа це-
пей. К успокоительным цепям внешнее напряжение
обычно не подводится.
Все успокоительные цепи, как правило, симметрич-
ны относительно продольной и поперечной осей и могут
быть изображены на схеме рис. 40 с помощью т кату-
шек по продольной оси и п катушек по поперечной оси.
Катушки, соответствующие цепям успокоительной об-
мотки или контурам вихревых токов, соединяются меж-
ду собой у концов сердечника, как показано в дальней-
шем. Контуры вихревых токов в стали могут рассмат-
риваться как успокоительная обмотка, имеющая
бесконечно большое число стержней, и требуют для
своего отражения на схеме бесконечно большого числа
133
успокоительных катушек. Практически может быть ис-
пользовано только приближенное представление в виде
небольшого числа успокоительных катушек.
Рассмотрим короткозамкнутую успокоительную об-
мотку. показанную на рис. 41. Она состоит из шести
стержней па полюс (пунктиром показан полюсный на-
конечник), соединенных на концах полными кольцами.
Такая обмотка может быть изображена на схеме идеа-
лизированной машины тремя катушками по продольной
оси и тремя катушками по поперечной оси. На рис. 41.а
показаны пути продольных токов, а на рис. 41,6—пути
поперечных токов. Действительное распределение токов
в стержнях и кольцах успокоительной обмотки опреде-
ляется наложением продольных и поперечных токов.
Вследствие симметрии машины относительно продоль-
ной и поперечной осей катушки, расположенные по раз-
личным осям, не оказывают влияния друг па друга,
однако катушки по одной и той же оси имеют индук-
тивную связь. Кроме того, они связаны взаимными ак
тивнымп сопротивлениями, так как ток любой симмет-
ричной пары стержней протекает по замыкающему
кольцу и создает активное падение напряжения в цепи
любой другой симметричной пары стержней.
Большинство успокоительных обмоток синхронных
машин имеет упрощенную конструкцию, в которой части
134
замыкающих колец между полюсами отсутствуют. Тем
не менее всегда остаются пути в стали, замыкающие по-
-оеречные цепи. Аналогичным образом контуры вихре-
вых токов в стали массивных полюсов могут быть пред-
ставлены приближенно соответствующим числом успо-
коительных катушек по двум осям.
Уравнения по продольной оси
। Уравнения для системы неподвижных индуктивно
связанных катушек D, F и (рис. 40) могут
быть составлены с использованием их полных и взаим-
ных операторных сопротивлений. Однако в случае вра-
щающейся машины уравнение для катушки D якоря
определяется первым из уравнений (6-7) и отличается
от уравнения для неподвижной катушки наличием члена,
соответствующего э. д. с. вращения .
Потокосцепление зависит только от токов по про-
дольной оси и выражается соотношением
d ' ^dl Zdl ^d2 Zd2 ‘ ' F 1 d' (6-91
где Al, M ч и т. д.—взаимные индуктивности между
fl катушками F, и т. д. и ка-
fl тушкой D, a Ld — полная индук-
V тивность катушки D-
I Уравнения для катушки возбуждения и успокоитель-
ных катушек по продольной оси имеют следующий вид:
В Uf " (Г/ + Lfp) if ^jd\Pld\ Н" ^fd2Pl 12 +
Р = Pl! + (Г41 + Ld^ «41 + («412 + ^W)«42 +
4~ ••• 4“
I zPfdiP1! 4~ ^rdl2 4 «41 +
I 4-(^2 4- W) ^4--4-^42^4 И T. A,
(6-10)
где rf, r,v rd2, L , Ldl, Lo и т. д. -активные сопро-
тивления и полные индуктивности катушек F, DJt Da
и т. д.;
135
Ms — взаимная индуктивность между катушками
F и D,;
Ald|2—взаимная индуктивность между катушками
Di и D2\
г 2 — взаимное активное сопротивление между ка-
тушками D, и D,.
Аналогичным образом обозначены взаимные величины
для других пар катушек.
Уравнения (6-9) и (6-10) образуют систему из т-{~2
уравнений, в которые входят r?i-^-2 токов и величины и.
и Urd. Во многих задачах находить ток возбуждения
и токи успокоительной обмотки ие требуется, и можпо
исключить их из уравнений. Тогда остается одно опе-
раторное соотношение, связывающее 4'd, id и и.. Оно
имеет вид:
г- _; I О(д)
'<*“ w 1<|Т <о “г
(6-И)
Множитель w в знаменателях членов правой части
уравнения (6-11) введен в связи с тем, что xd(p) долж-
но иметь размерность операторного сопротивления.
Для исключения токов лучше всего использовать
определители. xd(p) и G(p) являются функциями от р.
Во всех случаях они могут быть выражены как отно-
шение двух определителей, каждый из которых в раз-
вернутом виде представляет собой полином от р. хАр)
определяется следующей алгебраической зависимостью:

где степени полиномов в числителе и знаменателе рав-
ны т+ L В выражение для G{p) входит тот же самый
знаменатель, что и в формулу для х4(р), но другой чис-
литель, являющийся полиномом, степень которого рав-
на т.
Уравнения по поперечной оси
Уравнения по поперечной оси подобны уравнениям
по продольной оси, однако они проще, так как обметка
возбуждения по поперечной оси обычно отсутствует.
136
Используемые обозначения аналогичны обозначениям
в уравнениях для продольной оси:
Ш = Л4 I -4- Л4 i I- 'Li'
1 q \1 . J fl fl’
6=(Л?| 4P) *01-Г (rci2~l~ MQVtp) ^гЧ-
+--- + ^i/V
0 =zi,’ql2 "Ь 1 ?l4~ ^qzP^ *q'2 "H
+ • • • + ^q2piq
(6-12)
. (6-13)
и T. Д.
Исключение токов успокоительной обмотки из си-
стемы п 1 уравнений приводит к соотношению
«г =^’/ ,
« Сл> Я
(6-14)
где х (р) — функция от р, равная отношению двух по-
линомов п-й степени.
Полная система уравнений н схемы замещения
Полную систему уравнений синхронной машины, та-
ким образом, можно свести к уравнениям (6-7), (6-8),
(6-11) и (6-14). Если не учитывать уравнения для вели-
чин нулевой последовательности, общее число уравнений
равно пяти. Они приводятся совместно в следующем
параграфе.
Главная трудность, встречающаяся при решении прак-
тических задач с использованием полученных уравнений,
заключается в определении операторных выражений
х.(р), х (р) и G(p). В некоторых случаях эти величи-
ны удобнее находить из схем замещения, а не анали-
тическим путем. Схемы замещения особенно полезны
при рассмотрении установившихся режимов, когда реше-
ние может быть получено с помощью моделей цепей.
। Рассмотрим вначале соотношения для продольной
оси. Умножив на р уравнение (6-9), можно считать
приложенным напряжением. Если в системе линейных
уравнений, подобных уравнениям (6-9) и (6-10), все
взаимные индуктивности и активные сопротивления по-
парно равны между собой, для нее всегда может быть
составлена схема замещения, которая описывается этими
уравнениями. pW(. представляет собой главное прило-
137
женпое напряжение, а и, определяется как приложенное
напряжение, действующее в ветви схемы, соответствую-
щей цепи возбуждения. Аналогичным образом для по-
перечной оси может быть построена другая схема заме-
щения, где главным приложенным напряжением являет-
ся р^ч.
В этой книге приводятся только схемы замещения
упрощенной машины, рассмотренной в следующем пара-
графе. Изображенная на рис. 39 упрощенная машина
позволяет лучше всего объяснить принципы составления
схем замещения и может быть использована для реше-
ния целого ряда практических задач. Более детальный
анализ полных схем замещения синхронных машин мож-
но найти в [Л. 30].
25. УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СИНХРОННОЙ
МАШИНЫ С ДВУМЯ УСПОКОИТЕЛЬНЫМИ КАТУШКАМИ
При анализе некоторых режимов работы синхронных
машин в следующих главах используются уравнения
упрощенной машины с одной успокоительной катушкой
KD по продольной оси и одной успокоительной катуш-
кой KQ по поперечной оси (рис, 39). Хотя такое пред-
ставление является только приближенным, получаемые
результаты достаточно точны для многих целей. Напри-
мер, понятие о переходных и сверхпереходных индуктив-
ных сопротивлениях исходит из этого упрощения. Одна-
ко даже при таком допущении практическое решение
задач встречает серьезные затруднения, и часто возни-
кает необходимость введения дальнейших упрощений.
С другой стороны, выведенные в предыдущем парагра-
фе общие уравнения предоставляют возможность более
детального исследования, если приближенное представ-
ление становится слишком натянутым, как это имеет
место в машинах с массивными полюсами или сложными
успокоительными системами.
Для упрощенной машины уравнения (6-9) и (б 10)
теперь приводятся к трем уравнениям для продольной
оси:
® d ~ if + ^kd lkd 1“ Ld |
+ + MfkdP'kd-\-Mfpid' } (6-15)
0 = Mfkdpif + <fka + ^ЫР) ikd + МыР1<г J
I3S
L Точно так Ж(Г уравнения (6-12) и (6-13) преобразуются
в два уравнения для поперечной оси:
W — Al i *4 Li' 1
q 'Vikqlkq I
0 = (r, - L p)L +Aff pi .
' kq I kq“f kq I kq* q *
(6-16)
j Функции xa(p), x (p) и G(p) в уравнениях (6-11) и
(6-14) становятся значительно более простыми, чем
прежде, и принимают вид:
х , п)+ + .
• d'e/ atp2-j- atp + ав’

xQ(p)=
dxp + dQ
^iP 4“ c0
Уравнения с индуктивностями рассеяния в относительных
единицах
[ Уравнения (6-9) — (6-16) остаются в силе независимо
от того» выражены ли величины статора в системе от-
носительных единиц или в системе обычных физических
единиц. Однако при использовании относительных еди-
ниц (см. § 2) решение уравнений упрощается, особенно
в том случае, если дополнительно принять, что три вза-
имные индуктивности между катушками по продольной
оси, выраженные в относительных единицах, равны меж-
ду собой. Это предположение очень близко к действи-
тельности для обычных синхронных машин, в которых
потоки рассеяния катушек возбуждения и стержней
успокоительной обмотки отчетливо выделяются и суще-
ствует единый главный поток, сцепленный с этими ка-
тушками и с обмоткой якоря. В особых случаях, напри-
мер для машины с короткозамкнутыми кольцами у ос-
нований полюсов, следует пользоваться более точными
уравнениями.
I В системе относительных единиц с учетом изложен-
ных выше допущений
М..= ;И — M.b. = L ’
Rd f i kd ma9
fiq mq
139
г^е 11 относительные значения взаимных ин-
дуктивностей или и и д у к т и в и о с т е й
намагничивания по двум осям.
Полная индуктивность каждой катушки равна сумме
взаимной индуктивности и индуктивности рассеяния
(см. § 2).
Отсюда
где /а, lj, lkd, I — относительные значения индуктив-
ностей рассеяния. Индуктивность
рассеяния якоря Ij определена в
§ 23. Она принимается одинаковой
для обеих осей-
Теперь уравнения (6-15) и (6-16) принимают вид:
Подстановка значений < и Ф в уравнения (6-7)
приводит к следующей системе из пяти уравнений для
синхронной машины. С целью обобщения приложенные
напряжения ukd и ukq показаны и для успокоительных
цепей, хотя в действительности они почти всегда равны
нулю.
Следует ia метить, что при выводе этих уравнений не
было сделано никаких особых предположений относи-
мо
“f
ukd
Ukq
Ud
Л- rf+ +^nul+ + lf)p L/ndP
Tkd + " “ Ikrf) Р I'mdP
1 rkq “Ь +м + ikqlP ^mqP
^mdP LmdP ^mqN % + + la} P "I" + 0>
I'mqP dmd^~ ra “Ь + U/>
(6-19)
тельно распределения обмоток» за исключением их сим-
метрии относительно обеих осей. Распределение индук-
ции в синхронной машине, особенно в явнополюсной, не
обязательно синусоидально. Это следует учитывать при
определении значений полных и взаимных индуктивно-
стей. Однако в отношении обмотки якоря было принято
(см. § 23) специальное допущение, что обмоточные ко-
эффициенты для гармонических равны нулю или прене-
брежимо малы. Другими словами, ток якоря не создает
гармонических н. с. и гармонические потока не индукти-
руют э. д. с. в обмотке якоря.
Как отмечалось в § 4, эффективнее число витков рас-
пределенной обмотки не является определенной величи-
ной. Поэтому четко разграничить главный поток и по-
ток рассеяния можно только в том случае, если принять
какое-либо допущение относительно распределения
магнитного поля. В изложенной выше теории индуктив-
ности намагничивания Lmd и Lma определяются, исхо
ля из предположения синусоидального распределения
магнитной индукции в воздушном зазоре. Благодаря
этому отношения эффективных чисел витков, от которых
141
зависят базисные единицы величин обмоток статора
установлены и неясности при разделении индуктивно-
стей намагничивания и рассеяния не возникает.
Схемы замещения
На рис. 42 показаны схемы замещения по продоль-
ной и поперечной осям синхронной машины, изображен-
ной на рис. 39, которые могут быть использованы для
ее анализа. Очевидно, что величины в схеме рис. 42,а
удовлетворяют уравнениям (6-17), тогда как величины
в схеме рис. 42,6 подчиняются уравнениям (G-18). Схемы
Рис. 42. Схемы замещения синхронной машины.
а—по продольной осн; б— по поперечной-оси.
замещения, составленные из операторных сопротивлений,
удобны для вывода основных соотношений и часто ока-
зывают помощь при выполнении численных расчетов.
Для синхронной машины, имеющей две или большее
число успокоительных цепей по каждой оси (рис. 40),
могут быть составлены аналогичные схемы замещения
с большим числом ветвей.
Схемы замещения представляют особенную ценность
при анализе установившегося режима, когда численные
значения могут быть получены либо путем расчетов, ли-
бо с помощью моделей цепей. При исследовании пере-
ходных процессов схемы замещения используются для
разработки моделирующих устройств.
Операторные сопротивления хд и функция G (р)
Если исключить из уравнений (6-17) и то
можно представить в виде выражения (6-11). Значение id
равно отношению двух определителей:
i = ^
d *
142
Значения постоянных, входящих в эту зависимость,
приводятся ниже. Они выражены через индуктивные и
активные сопротивления, обозначаемые через х и г
с надлежащими индексами. Все индуктивные сопротив-
ления равны соответствующим индуктивностям, умно-
женным на со, как показано далее:
Г.=—(X .4-Л- );
1 (or. , ' та ' ka'9
гСуЛ
143
8
xkd
шгм
тс1л'1ла
L. — L „+1 .
a md 1 a
Значения xd(p) и G(p) для синхронной машины с
одной успокоительной катушкой по каждой оси найдены
путем сопоставления уравнений (6-11) и (6-20) и прирав-
нивания коэффициентов. Таким образом, выражения для
xd(p) и G(p) могут быть представлены в виде:
xd (p)-=
d9
(6-21)
G(p)=
xmd
где новые постоянные определяются из тождеств
(1 + Т’МР) (1 + О)И 1 + (Л + 7.) р + 7, 7, р\ (6-23)
(I 4-7>)(1 +Т”р)= 1 + (7\+7\)p + TtTtp*. (6-24)
Четыре новые постоянные Т'м, Т”а, T'd и Td явля-
ются основными постоянными времени синхронной ма-
шины. Их точные значения можно найти, решив два
квадратных уравнения. Однако чаще всего для опреде-
ления этих постоянных вводится дополнительное упро-
щение, которое исходит из того, что в относительных
единицах активное сопротивление успокоительной об-
мотки» как правило, значительно больше активного со-
противления обмотки возбуждения1. Тог ха Т9 и Г, го-
я з
1 Это предположение близко к действительности для явнопо
люсных синхронных машин с успокоительными обмотками, у ко-
торых отношение относительных значений активных сопротивлений
успокоительной обмотки и обмотки возбуждения доходит до 50.
Однако у неявпополюсных машин относительное значение актив-
ного сопротивления успокоительного контура, представляющей'
массивную бочку ротора, приближается к величине активного со-
противления обмотки возбуждения в относительных единицах.
144
раздо меньше Tv и правая часть уравнения (6-23) весьма
мало отличается от (1 "ЬГ,р). Следовательно,
и Т”о приблизительно равны соответственно 7\ и Г,-
Аналогично Г* и T'J примерно равны 7\ и Тл. Прибли-
женные выражения для этих четырех постоянных вре-
мени и их определения приводятся далее.
В таких случаях принятое допущение приводит к серьезным ошиб-
кам. Лучшее приближение дают зависимости
где а0 и ак — значения коэффициента рассеяния между цепями об-
мотки возбуждения и успокоительной обмотки соответственно при
разомкнутой и замкнутой (в общем случае на сопротивление) обмотке
якоря.
а ак определяется аналогичным образом, по вместо х г вводится
| ХаХт
а « m
Постоянные времени и Г* должны учитывать внешнее
сопротивление.
Следует заметить, что из принятого допущения исходит не-
верное физическое представление о переходных процессах в машине,
которого придерживается в дальнейшем и автор. Согласно этому
представлению быстро изменяющиеся сверхпереходные составляю-
щие токов и напряжений обусловлены только успокоительной об-
моткой, а медленно изменяющиеся переходные составляющие —
только обмоткой возбуждения. Если пренебрегается сверхпереход-
ными составляющими, успокоительная обмотка исключается из рас-
смотрения. В действительности сверхпереходные составляющие
возникают вследствие изменения потоков рассеяния обмотки воз-
буждения и успокоительной обмотки, а переходные составляющие
обусловлены изменением потока взаимной индукции, сцепленного
с обеими обмотками Приведенные нами выражения для постоянных
времени правильно отражают сущность процесса и носят более
общий характер. Как частный случай при 1\ > Т2 и Т5 из них
могут быть получены постоянные времени, используемые автором.
Только при выполнении этого условия результаты анализа будут
обладать достаточной точностью. Более подробно см. [Л. 69"|-
(Прим, ред.}
IО Б. Адкинс
И5
Значение xf(p) находится исключением ikd из урав-
нений (6-18) и сравнением полученного выражения с
уравнением (6-14):
х<,№= <6-25)
* ' qO Р
TqQ и 7^ определяются ниже.
Система уравнений синхронной машины с одном
успокоительной обмоткой по каждой из осей
При решении практических задач, касающихся син-
хронных машин, часто более удобно пользоваться вели-
чинами и Чгв, а не уравнениями (6-19). Этот метод
применяется во всех задачах, рассматриваемых в гл. 7*10.
С учетом допущений, принятых в настоящем параграфе,
система уравнений синхронной машины может быть
представлена в виде:
и, — р'Г. J-v'F -i-r i
а ‘ a q 1 a
II , ==— v’F . 4- ЛТ -U Г I \
q d I г q I a q9
(6-7)
(6-8)
где
(6-11)
(Ч-^орИ1 + Л%р) *di
хд
(6-14)
(6-21)
(6-22)
(6-25)
Постоянные синхронной машины
Ниже в систематизированном виде перечислены ос-
новные параметры синхронной машины, а также приве-
дены формулы для расчета постоянных, использованных
в выведенных ранее уравнениях. Сюда включены также
146
некоторые другие -величины, которые вводятся в следую-
щих главах. Все величины выражены в относительных
единицах, а через ю обозначена синхронная скорость
машины в электрических радианах в секунду. Для каж-
дой величины дается ее определение в соответствии
с обычно применяемой терминологией. Часть определе-
ний уже встречалась прежде, а все остальные объясня-
ются в следующих главах, в частности в гл. 8, посвя-
щенной анализу внезапного короткого замыкания.
Многие из принятых терминов определены в [Л. 23].
Некоторые методы расчета постоянных приводятся
в [Л. 12], а методы их опытного определения описаны
в (Л. 13 и 32].
Основные постоянные машины
га — активное сопротивление якоря;
। rf — активное сопротивление обмотки возбуж-
дения;
гы — активное сопротивление успокоительной
! обмотки по продольной оси;
rkq~ активное сопротивление успокоительной
। обмотки по поперечной оси;
хта ~^md — индуктивное сопротивление намагничива-
ния по продольной оси;
xmq ~^mq — индуктивное сопротивление намагничива-
ния по поперечной оси;
ха ~^а — индуктивное сопротивление рассеяния
якоря;
xf~ — индуктивное сопротивление рассеяния об-
мотки возбуждения;
xhd~mlkd— индуктивное сопротивление рассеяния успо-
коительной обмотки по продольной оси;
xkq ~^kq — индуктивное сопротивление рассеяния
успокоительной обмотки по поперечной
оси.
Постоянные времени 1
I —— (•*» I--х Л
оО ' f * nid’
— переходная постоянная времени по продольной оси
при холостом ходе;
1 См. сноску на стр. 144.
10*
147
йёрёходнЯя постоянная времени по продольной оси
при коротком замыкании;
Т'* z_ _J_ / v | xmdxf \
dO и>Гь > \ fid • у »-4~ Xt
kd \ *rnd * А/ J
— сверхпероходная постоянная времени по продольной
оси при холостом ходе;
I d шгы \ ka *“ xmdxa + xmdxf + xaxf J
— сверхпереходная постоянная времени по продольной
оси при коротком замыкании:
TqU ^гьа "Xmq)
КЧ
— сверхпереходная постоянная времени по по пере п гой
оси при холостом ходе; -
—сверхпереходная постоянная времени по поперечной
оси при коротком замыкании;
xkd
ьа—
— постоянная времени успокоительной обмотки по про-
дольной оси, обусловленная индуктивностью рассеяния.
Производные индуктивные сопротивления
md
— синхронное индуктивное сопротивление по продольной
оси;
— переходное индуктивное сопротивление по продольной
оси;
__ Т d^ d । xmdxfxkd
?d()Tdo ° xmdxt + xmdxkd 4“ xfxkd
148
к
— Сверхпереходпое индуктивное сопротивление по про-
дольной оси;
Х^Ха + Хтч
^синхронное индуктизнэе сопротивление по поперечной
осп;
— сверхпереходное индуктивное сопротивление по попе-
речной оси.
Следует заметить, что принятые обозначения постоян-
ных синхронной машины, хотя и совпадают в большин-
стве случаев с теми, которые были введены в более
ранних работах, иногда отличаются от них, если пред-
ll ложенные прежде обозначения недостаточно логичны.
А Индуктивное сопротивление рассеяния якоря здесь обо-
I значено ’х в соответствии с активным сопротивлением га,
а индуктивные сопротивления намагничивания и
х. Соответствующие индуктивности имеют такие же
индексы. Для обозначения всех индуктивных сопротив-
I лений использованы строчные буквы л, как уже упоми-
I налось в § 20, а для индуктивностей рассеяния приняты
1 строчные буквы I в отличие от полных и взаимных ин-
дуктивностей, которые, как и индуктивности на.магничи-
I вания. обозначаются прописными буквами L (см. § 2).
26. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Асинхронный двигатель имеет постоянный воздуш-
ный зазор. Обе его обмотки являются обмотками пере-
менного тока, распределенными по пазам. В подавляю-
щем большинстве реальных асинхронных двигателей
первичная обмотка расположена на статоре, а вторич-
ная— на роторе, но иногда встречается и обращенное
исполнение. Поскольку воздушный зазор двигателя по-
стоянен, к его анализу можно подойти двумя различ-
ными путями в зависимости от того, какая из обмоток,
первичная или вторичная, вращается. Тем не менее оба
метода могут быть использованы для любого практиче-
ского исполнения.
Если первичная обмотка идеализированной машины
расположена на вращающейся части, асинхронный дви-
149
гатель может рассматриваться как частный случай син-
хронной машины. Этому случаю соответствуют уравне-
ния (6-19) в упрошенной форме. С другой стороны, если
первичная обмотка неподвижна, получаются другие
уравнения и требуются иные преобразования. Уравне-
ния в таком виде были впервые получены Кроном
[Л. 18]. Вывод уравнений приводится в [Л. 21].
Уравнения Парка для асинхронного двигателя

Схема идеализированного асинхронного двигателя
с вращающейся первичной обмоткой показана на рис- 43.
Индексами 1 и 2 обо-
значены первичная и
втор ичная обмотки.
В связи с тем, что воз-
душный зазор равноме-
рен, соответствующие
индуктивности по обе-
им осям
। Поперечная
ОСо
D,
ud?
“di
Рис. 43. Схема асинхронного двигате-
ля с первичной обмоткой на роторе.

одинаковы-
и uq2 представля-
эвведенные
прило-
”d2
ют собой
напряжения*,
женные ко вторичной
обмотке извне- В обыч-
ных асинхронных дви-
гателях с короткоза-
мкнутой вторичной об-
моткой
ны нулю. Уравнения для напряжений и
Ud2
момента
и uq2 рав-
имеют
вид:
(6-27)
Для трехфазной обмотки ротора преобразование от
действительных фазных величин к фиктивным осевым
150
величинам и обратное преобразование описываются
уравнениями (6-1) — (6-4) с добавлением индекса 1 для
каждого напряжения и тока. На вторичной стороне осе-
вые напряжения и токи в уравнениях были бы действи-
тельными величинами, если бы обмотка была двухфаз-
ной и фаза D2 располагалась по продольной оси. Однако
обычно вторичная обмотка или является трехфазной
обмоткой, или выполняется в виде беличьей клетки.
Поэтому для определения токов и напряжений эквива-
лентной двухфазной обмотки, исходя из действительных
величин, необходимо произвести преобразование. Для
неподвижной трехфазной обмотки, фаза А которой рас-
положена по продольной оси, преобразования представ-
лены уравнениями (6-28) — (6-31). К обозначению каж-
дого тока и напряжения здесь следует добавить ин-
декс 2. Эти уравнения получены из уравнений (6-1) —
(6-4) подстановкой 0 = 0:
и
и
к
“rf
(6-28)
1 1_ 2
0 Уз 2
1 1
2 2
“ь
1 0 1
1_ 2 V 2 1
Т_ 2 Уз 2 1
и
3
1 __ 1 2 1 2
о Уз Уз;
2 2
1 1 1
ТГ 2 2
(6-29)
(6-30)
151
Уравнения Крона для асинхронного двигателя
(6-31)
Другая схема, в которой первичная обмотка непо-
движна, представлена на рис. 44. Она соответствует
Рис. 41. Схема асинхронного двигате-
ля с первичной обмоткой на статоре.
обычному расположе-
нию обмоток .в реаль-
ном двигателе м обыч-
но более удобна для
анализа, особенно, ес-
ли вторичная обмотка
з а мкн у та на кор от ко.
Единственное сущест-
венное различие по
сравнению со схемой
рис. 43 состоит в том,
что первичные и вто-
ричные приложенные
напряжения поменя-
лись местами. Поэтому
вид общих уравнений
остался точно таким
же, как и прежде, но
индексы взаимно переместились. Уравнения для напря-
жений и момента могут быть представлены следующим
образом:
2 Zyl)*
*41
*42
lq2
‘<71
(6-33)
152
Преобразование первичных величин теперь определя-
ется уравнениями (6-28) —(6-31) с добавлением инде-
кса 1, а «преобразование вторичных величин — уравне-
ниями (6-1)—(6-4) при использовании индекса 2.
Обмотки типа беличьей клетки
Для анализа любой короткозамкнутой обмотки, со-
стоящей из стержней и замыкающих колец, включая
двойную беличью клетку, может быть использован ме-
тод, аналогичный описанному в § 24, Однако исследова-
ние всякой обмотки типа беличьей клетки, образован-
ной из т равномерно распределенных стержней, состав-
ляющих m-фазную обмотку, можно упростить в резуль-
тате преобразования ее в эквивалентную двухфазную
обмотку. Для вращающейся обмотки напряжения по
продольной и поперечной осям равны:
(6-34)
При неподвижной обмотке значения напряжений
можно получить из уравнений (6-34), положив 0=0.
Для того чтобы дополнить систему переменных, сле-
довало бы найти еще т—2 напряжений и токов, соот-
ветствующих величинам нулевой последовательности
и0 и iQ трехфазной системы. Эти напряжения и токи по-
добны величинам, получаемым при разложении т фаз-
ной системы на симметричные составляющие, и опреде-
ляются отдельными уравнениями. Действительная бе-
личья клетка состоит из большого числа цепей, связан-
ных между собой посредством замыкающих колец. Каж-
дая цепь, строго говоря, является контуром схемы, ток
в котором представляет собой ток стержня. Поскольку
ни к одной из цепей напряжение не подводится, все сим-
метричные составляющие напряжений равны нулю. Сле-
довательно, все составляющие токов, исключая id и
также равны нулю. Таким образом, беличья клетка эк-
153
Бивалентна двухфазной обмотке, представленной .ка-
тушками D2 и Q2 на рис. 44, и в большинстве случаев
нет никакой необходимости вводить действительные
токи.
Уравнения для двигателя с двойной беличьей клет-
кой можно составить, если ввести в схемы рис. 43 или
44 добавочную пару катушек, соответствующую двух-
фазной обмотке, и прибавить еще два уравнения для
напряжений.
27. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПРИ АНАЛИЗЕ МАШИН
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Общие уравнения, выведенные в этой главе, справед-
ливы для любых режимов работы. Однако, как уже от-
мечалось выше, всеобъемлющее решение получить не-
возможно. В гл. 7—10 подробно рассмотрено несколько
конкретных примеров, входящих в ограниченный круг
проблем, согласно классификации табл. 1 § 6. В каждой
задаче прежде всего необходимо установить частные
условия, определяемые приложенными напряжениями,
скоростью вращения или граничными условиями пе-
реходных процессов, и ввести их в общие уравнения. Пос-
ле этого можно найти частное решение. Примеры, при-
веденные в следующих главах, принадлежат к числу ти-
пичных практических проблем, которые могут быть ре-
шены указанным путем. Тем не менее не следует пола-
гать, что анализ является исчерпывающим. Преследуе-
мой целью является скорее объяснение метода, который
позволил бы читателю с меньшим трудом разобраться
в задачах, встретившихся в ранее опубликованных рабо-
тах, или предпринять исследование каких-либо из мно-
гих до сих пор нерешенных проблем.
Для того чтобы полученный результат мог быть ис-
пользован практически, следует по мере возможности
вводить упрощения. При этом, чем сложнее исследуемый
процесс, тем более далеко идущими должны быть допу-
щения. В некоторых, менее сложных из взятых приме-
ров достаточно полное решение можно получить, приняв
лишь небольшое число допущений. Они могут исходить,
например, из заранее известного условия, что активные
сопротивления или другие величины малы. Такие зада-
чи входят в гл. 7—9. Они относятся главным образом
к отдельной машине, работающей совместно с мощной
154
энергетической системой. Болес сложные задачи» каса-
вшиеся крупных энергетических систем, в которые вхо-
дят несколько генераторов, связанных с другими уста-
новками, требуют более действенных упрощений (см.
гл. 10).
Когда напряжение системы задается в качестве од-
ного из доминирующих условий, известные приложенные
напряжения являются действительными фазными вели-
чинами. Поэтому первый шаг, который должен быть
сделан при анализе, состоит в определении осевых на-
пряжений для последующей подстановки их в уравне-
ния. В важном классе задач скорость вращения может
быть принята постоянной, и уравнения для осевых то-
ков становятся линейными дифференциальными уравне-
j ниями с постоянными коэффициентами. Примеры, при-
> веденные в гл. 7 и 8, относятся к этому типу.
Если все приложенные напряжения представляют
► собой или постоянные напряжения, или переменные на-
пряжения одинаковой частоты, уравнения можно пре-
| образовать в вещественные или комплексные алге-
браические уравнения соответствующей заменой one-
к ратора р. Однако в этом отношении решающее влия-
I ние оказывает частота осевых напряжений и токов, а не
I частота действительных фазных величин. Анализ уста-
| повившегося синхронного режима синхронной машины,
I когда осевые напряжения являются установившимися
| постоянными напряжениями приводится в § 28, а асии-
[ хронный режим, при котором осевые напряжения
изменяются с частотой скольжения, рассмотрен в § 30
и 31.
I При переходном процессе, если можно допустить,
I что после конечного внезапного изменения осевого на-
I пряжения скорость вращения остается постоянной, для
| определения неустановнвшихся токов может быть ис-
[ пользован операторный метод Хевисайда. Принятое
предположение о постоянстве скорости справедливо
[ только в том случае, если изменения происходят быстро.
Расчет неустановнвшихся токов и момента в машине,
I связанной с симметричной внешней системой, довольно
I подробно разбирается в гл. 8.
I Анализ задач, рассмотренных в гл. 7 и 8, исходит из
[ допущения, что скорость вращения машины остается не-
изменной, Гл. 9 посвящена некоторым случаям, для ко-
155
торых это предположение не принимается. Более общий
тип задач рассмотрен в § 36. Точное решение здесь мо-
жет быть найдено только методом численных расчетов
для частного случая. Для выполнения расчетов можно
использовать вычислительные машины, например инте-
гратор. Колебательные процессы, когда скорость вра-
щения и все другие величины претерпевают колебания
относительно установившихся значений, исследуются
в § 37 и 38 аналогично установившемуся режиму пере-
менного тока с помощью алгебраических уравнений
с комплексными величинами.
Методы, разобранные в гл. 7—9, приводят к доста-
точно точным результатам, однако решение часто тре-
бует большого труда даже для сравнительно простых
задач. Кроме того, круг вопросов, которые могут быть
решены этим путем, ограничен. В гл. 10 приводятся не-
которые упрощенные методы, основанные на различных
степенях приближения. Содержание § 40 составляет ис-
следование симметричных трехфазпых цепей и изложе-
ние основ упрощенной теории машин, применяемой в со-
временных методах анализа переходных процессов
в энергетических системах. Анализу несимметричных
режимов посвящен § 41. Здесь дается краткий обзор
точной математической теории и приближенных методов,
которые находят применение для изучения таких режи-
мов. В § 42 систематизированы практические методы,
используемые при анализе различных процессов, возни-
кающих при работе энергетических систем.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ И ПУСКОВЫЕ
ПРОЦЕССЫ МАШИН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
28. УСТАНОВИВШИЙСЯ СИНХРОННЫЙ РЕЖИМ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
Векторная диаграмма трехфазной синхронной маши-
ны и уравнения в символической форме были получены
в § 21 на основе рассмотрения вращающейся н. с., соз-
даваемой токами якоря. В настоящем параграфе те же
зависимости выводятся как частный случай из общих
уравнений.
156
В нормальном установившемся режиме скорость
врашенпя машины равна постоянной синхронной скоро-
сти со. Напряжение и ток возбуждения не изменяются,
в успокоительной обмотке токи пе протекают, а фазные
напряжения л токи якоря являются симметричными
трехфазпыми величинами. Следовательно, если за на-
чало отсчета времени (/=0) выбрать момент, когда
фаза А расположена по продольной оси, то
v = u>;
O = u>Z;
«о=/о = 0.
В соответствии с уравнениями преобразования (6-2)
и (6-1) напряжение и ток фазы А
иа=и 4 cos «>/ 4“11 q s*n
i cose»?-1-/ sitiotf.
a a q
Далее, если напряжение, и ток фазы А представле-
ны в виде векторов (7 и /, как показано на рис. 36,
между их составляющими и осевыми величинами суще-
ствует взаимная связь, которая будет выяснена ниже.
Составляющие векторы тока обозначены на рис. 36
прописными буквами ld и / с точками наверху. Обозна-
чив абсолютные значения составляющих обычными про-
писными буквами / и I без точек, получим:
итсюда следует, что
| 4
4=°+/Л-
Аналогичным образом обозначим абсолютные значения
составляющих напряжения через Ц и Ur> Тогда
ia = Pe[V2(Id
I — j/2 (Jd COS co? — sin co/);
iia = |/2 (C/^cos «rf — UQ sin W).
15 7
Поскольку те и ~ другие соотношения справедливы
для любых значений Л приравнивание коэффициентов
дает:
/,=-/27v:
“d = I 2 = - /2 и9.
Таким образом, в установившемся режиме при син-
хронной скорости все осевые напряжения и токи по-
стоянны по величине и не изменяются во времени. Кро-
ме того, постоянны также иг и а илГ ия , ikd и jfc.
равны пулю. Поэтому общие уравнения ($-19) можно
упростить, ПОЛОЖИВ /7=0 и V = tD и используя синхрон-
ные индуктивные сопротивления х и х t которые бы-
ли определены в § 25:
(7-2)
где
— напряжение холостого хода. Уравнение (7-2) совпа-
дает с уравнением (5-5).
Проведенные выше выкладки показывают, что для
установившегося режима существует непосредственная
связь между осевыми напряжениями и токами и со-
ставляющими векторов, изображающих фазные вели-
чины. 1аким образом, ld и могут быть найдены по
опытным данным. При построении векторной диаграм-
ма
мы фактически следуют по тому же пути, что и в § 21, т. е.
используют составляющие векторы L Однако этот ме-
тод относится к установившемуся режиму и не может
быть использован в общем случае для исследования пе-
реходных процессов. Если изменение фазных напряже-
ний и токов во времени происходит несинусоидально,
единственным способом их замены осевыми величинами
является использование уравнений преобразования
(6-1) —(6-4).
29. ПУСКОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ДВИГАТЕЛЕЙ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
В § 30 общие уравнения используются для исследо-
вания машины переменного тока, получающей питание
от сети с симметричными трехфазными напряжениями
и вращающейся с постоянной скоростью, отличной от
синхронной. Этот режим включает нормальный устано-
вившийся рабочий процесс асинхронного двигателя и,
кроме того, может быть взят за основу при изучении по-
ведения асинхронного и синхронного двигателей во вре-
мя 'пуска. Анализ исходит из уравнений Парка и непо-
средственно относится к синхронной машине, имеющей,
кроме обмотки возбуждения, успокоительную обмотку
1 В теории электрических машин часто используется представ-
ление о пространственных или обобщенных векторах тока, напря-
жения и других величин якоря, вращающихся относительно него
с синхронной скоростью. Их проекции па оси фаз определяют мгно-
I венные значения фазных величин, а проекции на оси d и q — мгно-
венные значения осевых величин. Вектор тока совпадает с осью
волны линейной нагрузки, а вектор напряжения — с осью волны
напряжения, характеризующей мгновенное распределение напряже-
ния между распределенными по окружности проводниками обмотки
якоря. Пространственный угол между обобщенными векторами на-
пряжения и тока соответствует сдвигу по фазе этих величин во вре-
мени в проводнике, а в конечном итоге и в фазах обмоткн. Само
собой разумеется, что это представление относится только к сим-
метричному режиму.
В установившемся симметричном синхронном режиме обобщен-
ные векторы тока и напряжения якоря неподвижны относительно
полюсной системы, и их проекции на продольную и поперечную оси
могут рассматриваться как составляющие векторы. Благодаря этому
Для осевых величин также может быть построена «екторяая диа-
|грамма, по виду ани логична я обычной «временной векторной диа-
I грамме для комплексных величин, представленной в § 21, но по
Существу отличающаяся от нее, поскольку эта диаграмма являет-
ся пространственной. Более подробно см. [Л. 42] (Прим. ред.)
159
& I
I по каждой из осей. Полученное решение может быть ис-
пользовано и для асинхронного двигателя, если рассмат-
ривать его как частный случай синхронной машины,
у которой все параметры по обеим осям одинаковы.
, I Для того чтобы применить теорию к исследованию
- пускового процесса, необходимо принять некоторые до-
пущения. Началом пуска является подключение к сети
неподвижного двигателя. Для анализа пускового про-
। цесса обычно рассчитывается пусковая характеристика,
И Она для каждого значения скорости определяет величн-
I ну момента, который развивался бы двигателем, если бы
он работал в установившемся режиме при этой скоро- I
сти. Однако пуск представляет собой переходный про- I
цесс, сопровождающийся непрерывным изменением ско- I
рости и всех других величин. В связи с этим мгновенное
значение момента, соответствующее мгновенному значе-
нию скорости, в действительности до некоторой степени
отличается от величины, найденной из пусковой харак-
теристики. Если ускорение не очень значительно, ошибка
невелика [Л. 27].
Скорость асинхронного двигателя при пуске посте
пенно нарастает и в конце концов достигает установив-
шегося значения, несколько меньшего синхронной скоро-
сти. Обычно принимается, что момент, развиваемый дви-
гателем во время разгона, соответствует моменту, опре-
деляемому пусковой характеристикой, построенной для
установившихся режимов. Этот метод считается надеж-
ным средством изучения поведения асинхронного дви-
гателя при пуске.
Синхронный двигатель, подключенный к сети пере
менного тока, разгоняется аналогичным образом. Успо-
коительная обмотка и обмотка возбуждения действуют
при этом подобно вторичной обмотке асинхронного дви-
гателя. Однако он не может (если не учитывать влияния
небольшого «реактивного момента» в машинах с явно
выраженными полюсами) достигнуть синхронной скоро-
сти до тех пор, пока поданное на обмотку возбуждения
напряжение постоянного тока не заставит его втянуться
в синхронизм. Таким образом, пусковой процесс син-
хронного двигателя значительно сложнее, чем асин-
хронного. Возможны два варианта пуска;
1. Если обмотка возбуждения подключена к возбу
дителю, который создает напряжение уже при пепо-
160
движком двигателе, для синхронизации не требуется
никаких дополнительных управляющих операций.
2. Если в период разгона возбудитель не создает на-
пряжения в цепи обмотки возбуждения, оно должно
быть поднято до значения, достаточного для успешной
синхронизации двигателя. Обмотка возбуждения при
пуске обычно замыкается на разрядное активное сопро-
тивление с целью ограничить напряжение, возникающее
при неподвижном двигателе. Для синхронизации необ-
ходимо подключить обмотку возбуждения к возбудителю
или, если якорь возбудителя соединен с обмоткой воз-
буждения двигателя, подать питание на обмотку воз-
буждения возбудителя.
Таким образом, пуск синхронного двигателя следует
разделить на две части: разгон и синхронизация. Ана-
лиз процесса разгона производится так же, как и для
асинхронного двигателя, т. е. находится пусковая ха-
рактеристика, дающая значения момента, который раз-
вивался бы двигателем, вращающимся с постоянными
скоростями. Метод расчета пусковой характеристики из-
ложен в § 30. Что же касается синхронизации, разо-
бранной в § 36, она может быть исследована только как
действительный переходный процесс.
Асинхронный двигатель, вращающийся с установив-
шейся -скоростью, отличной от синхронной, развивает
постоянный момент, однако синхронный двигатель из-
за отсутствия симметрии в цепях полюсной системы соз-
дает пульсирующий момент. При пуске двигателя полез-
ное действие оказывает только средний момент.
Поэтому при определении пусковой характеристики
принимается во внимание лишь среднее значение мо-
мента.
Приведенный в § 30 расчет исходит из предположе-
ния, что напряжение, приложенное к обмотке возбужде-
ния, равно нулю. Если бы в цепи возбуждения действо-
вало напряжение возбуждения uft то в обмотке якоря
возникали бы добавочные токи. Согласно принципу на-
ложения их можно найти, приняв напряжение якоря
равным нулю. Таким образом, накладывающиеся токи
аналогичны токам короткозамкнутого генератора, ра-
ботающего при соответствующей частоте, и создают тор-
мозной момент. В связи с этим синхронные двигатели
обычно пускаются при отсутствии возбуждения.
п Б Адкинс 161
зо. пусковая характеристика синхронного
двигателя
Если машина вращается при постоянном скольже-
нии $, а значение угла & при 1=0 составляет А, то

0 = (1 — s) ш/ 4-1
При симметричных трехфазных напряжениях состав-
ляющая напряжения нулевой последовательности ио
равна нулю. Согласно уравнениям преобразования
(6-4) напряжение фазы А связано с осевыми напряже
ниями соотношением
иа = ud cos [(1 — s) wt 4~ A] 4~
4" и ? sin [1 — s)tn/4“^h
Приложенное напряжение изменяется синусоидально
с частотой w/2r. Следовательно, если начальная фаза
напряжения фазы А определяется углом V, оно может
быть представлено в виде:
иа — Um COS (<of + *')•
При изучении установившихся режимов начало от-
счета времени может быть принято произвольно. В дан-
ном случае анализ значительно упростится, если вы-
брать его таким образом, чтобы удовлетворялось равен-
ство Тогда второе выражение для иа может быть
переписано следующим образом:
иа~ {cossco/cos [(1 —s)u>/4-^] —
— sin sW sin [(I — s)tot4-Z]}.
Значения ua. найденные из двух выражений, должны
быть тождественно равны между собой для любого зна-
чения /. Исходя из этого, в результате приравнивания
коэффициентов получим:
и, — U cos s tot;
и„ = — U si о s о>/.
q т
Здесь принято также, что напряжение возбуждения
равно нулю(&/ = 0).
162
Таким -образом, если к зажимам синхронного двига-
теля, вращающегося при скольжении s, подводится
трехфазное напряжение частоты сети, фазные токи из-
меняются с частотой сети, а осевые токи — с частотой
скольжения. Токи в обмотке возбуждения и успокои-
тельной обмотке, действующих аналогично вторичной
обмотке асинхронного двигателя, также имеют частоту
скольжепия.
Обшие уравнения
При подстановке найденных значений величин в об-
щие уравнения (6-7), (6-11) и (6-14) они принимают
вид:
Г ^m.coss<0/=pTd + (l^s)m4re4-reid; |
I — t7msins«>/ = — (I — s)®^d4-/7'Fe-|-raici (
где
------GJ
(D a’
v =2^ i
Q <0 Q*
Уравнения для установившегося режима в символической форме
I Уравнения (7-3) представляют собой линейные диф-
ференциальные уравнения. Входящие в них приложен-
ные напряжения изменяются синусоида пыю с частотой
скольжения so>/2^. Следовательно, решение этих уравне-
ний может быть пэлучено как для установившегося ре-
жима. Все осевые величины /* , 'Г^ и изменяются
с частотой скольжения. Комплексные величины, изобра-
жающие осевые напряжения, можно найти, представив
ud и и следующим образом:
=R- (Ц. =Re (/2Че'”');
откуда
н
163
Где скаляр, величина которого равна действующе-
му значению приложенного напряжения.
Уравнения в символической форме можно получит!
подставив в уравнения (7-> p — jsm и заменив строч-
ные буквы прописными с точками наверху:
U = /su>'ird + (1 — s) _ rJ^ j
iu=—(i — , । 1
где
<оФЛ=Хд(/5«)74; "j
== х (isw)f ( <7^
q q\J J q* I
Среднее значение момента Л1 может быть найдено
из уравнения (6-8), преобразованного для установивше-
гося режима, как показано в § 7:
Ч>=“ T*(V,-'V<A Р-6)
Среднлй момент двигателя Л4 равен и противо-
положен Л! . т. е.
э.г
А/д = у Re (’iyd (7-7)
где ’Fd и —комплексные величины, сопряженные
с ‘Г и ’Г
а
Пусковая характеристика без учета активного сопротивления
обмоткн якоря
Если пренебречь ги, уравнения для напряжений (7-4
упрощаются:
U ~= jsm 4ld -j (1 — s)
jU= — (1 - s) jswVa,
откуда
a>’rd= — jU;
шФ =0.
164
Подставив полученные выражения в уравнение. (7-7),
получим средний двигательный момент:
д= Т + M'^/sco) = (7’8)
<7-9>
где
Alad~ 2 К /’
Млд 2
(МО)
Q

Q
X
q'
используя развернутые выражения для xd(p) и xq(p)>
определяемые уравнениями (6-21) и (6-25).
Таким образом, момент представляет собой сумму
двух составляющих. Каждая из них зависит только от
величин по одной оси. Типичная пусковая характери-
стика синхронного двигателя, рассчитанная изложенным
выше методом, показана на рис. 45, где верхняя линия
изображает полный средний момент М , а нижние ли-
нии соответствуют двум его составляющим М f и М Q.
Схемы замещения
Операторные схемы замещения, представленные на
рис. 42, можно преобразовать в схемы замещения для
установившегося режима переменного тока, подставив
p — jsw и заменив в обозначениях величин строчные
[ буквы приписными с точками наверху. Если в доверше-
ние разделить приложенные напряжения и все сопротив-
ления на s и положить и.— 0, получим схемы замеще-
ния, показанные на рис. 46. Очевидно, что результирую-
щее полное сопротивление схемы по продольной оси
(рис. 46,а) равно Z ., поскольку из уравнений (7-5) следует;
I /4(Jsm)4= ZJ4.
165
Аналогично полное сопротивление схемы по попе-
речной оси (рис. 46,6) равно Z^
Расчет пусковой характеристики синхронного двига
теля упрощается, если использовать схемы замещения,
Рис. 45. Пусковые характеристики синхронного дви-
гателя.
а не уравнение (7-8). Этот метод подобен широко при-
меняемому способу определения пусковых характери-
стик асинхронных двигателей за исключением того, что
теперь должны быть выполнены два расчета. Схема по
поперечной оси (рис. 46,6) аналогична схеме замещения
Рис> 46. Схемы замещения для расчета пусковой характеристики
синхронного двигателя.
д—до продольное ося: б—по поперечной оси.
J66
асинхронного двигателя (рис. 31), но не включает пер-
випного активного сопротивления. Схема по продольной
оси (рис. 46,а) подобна схеме замещения асинхронного
двигателя с двойной беличьей клеткой, имеющего две
вторичные цепи. Таким образом, каждая составляющая
момента рассчитывается по соответствующей схеме за-
мещения так же, как и для асинхронного двигателя.
Если обратиться к асинхронному двигателю, рассмат-
ривая его как частный случай синхронной машины,
у которой обмотка возбуждения отсутствует, а все па-
раметры по продольной и поперечной осям одинаковы,
обе схемы замещения становятся идентичными. Следо-
вательно, для расчета необходима только одна схема,
и найденный из нее момент является искомым момен-
том асинхронного двигателя.
Используя метод схем замещения, можно найти бо-
лее точное значение момента синхронных машин в тех
случаях, когда введенные в § 25 упрощения вызывают
недопустимые ошибки. Нетрудно составить более де-
тальные схемы замещения, учитывающие распределение
1 стержней успокоительной обмотки, а также влияние ко-
• роткозамкнутого кольца или массивной крестовины ро-
тора. Эти конструктивные части в некоторых случаях
могут оказать значительное влияние на пусковую ха-
рактеристику двигателя. Усложнение схем замещения
влечет за собой более длительные расчеты, для выпол-
нения которых может потребоваться применение моде-
лей цепи. Полный анализ этой проблемы содержится
в [Л. 9].
I Зависимость момента М от скорости на рис. 45
аналогична пусковой характеристике асинхронного дви-
гателя с высоким относительным значением вторичного
* активного сопротивления, обусловленного активным со-
противлением успокоительной обмотки, в то время
как кривая момента Л1 d подобна характеристике дви-
гателя с низким относительным значением вторичного
активного сопротивления, которое зависит в основном
от активного сопротивления обмотки возбуждения.
Afw сказывается главным образом на величине началь-
I кого пускового момента, тогда как М д d оказывает наи-
большее влияние на входной момент. Расхождение
* между и Д4л является признаком существования
167
большого пульсирующего момента, играющего важную
роль при определении способности двигателя к втяги-
ванию в синхронизм после подачи возбуждения.
Пусковая характеристика с учетом активного сопротивления
обмотки якоря
Пусковая характеристика, рассчитанная в пренебре-
жении Гд, достаточно точна для многих практических
целей. Кривые, построенные по опытным данным, полу-
ченным при испытаниях синхронных машин, отличаются
от пусковых характеристик, рассчитанных по этому ме-
тоду, наличием двойного изгиба вблизи полусинхронной
скорости, как показано пунктиром на рис. 45. Если не
пренебрегать активным сопротивлением якоря, теорети-
ческие кривые, найденные в результате более точного
расчета, имеют аналогичный изгиб. Кроме того, при уче-
те активного сопротивления якоря наблюдается умень-
шение момента при всех скоростях.
С использованием уравнений (7-5) можно предста-
вить уравнения (7-4) в виде:
jU = - (1 - s) co'F, + / (s + rYq) шч;,
(7-12)
где
Y =—’—=—.
9 ix4U^)
1
I
• (7-13)
Из уравнений (7-7) и (7-12) может быть найдено сле-
дующее выражение для среднего значения момента:
(7-1 4)
где
а = 1 — 25.
168
Пунктирная кривая па рис. 45 была рассчитана по
уравнению (744). Наличием множителя а=1—2s в зна-
менателе некоторых членов объясняется возрастание
влияния га вблизи полусинхронной скорости, когда ве-
личина и мала [Л. 48].
31. ИНДУКТИВНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
[ При анализе энергетических систем с помощью мето-
да симметричных составляющих принимается, что син-
хронный генератор имеет определенное индуктивное со-
противление обратной последовательности. Справедли-
вость этого предположения и определение соответ-
ствующего значения сопротивления могут быть рас-
смотрены на основании метода, изложенного в § 30.
Ток, создаваемый напряжением обратной последовательности
В обмотках вращающейся с синхронной скоростью
машины, к зажимам которой приложены напряжения
обратной последовательности, возникают такие же токи,
какие протекали бы и в том случае, если бы она вра-
щалась с отрицательной скоростью, равной синхронной,
и к ее зажимам были приложены напряжения прямой
последовательности. Следовательно, при анализе можно
воспользоваться результатами предыдущего параграфа,
положив s = 2.
При таком большом скольжении все множители
вида 1 -2}&Т в выражениях (7-11) для и Z могут
быть приближенно приняты равными 2/\о7\ так как 2и>Т
значительно больше единицы. Таким образом, если пре-
небречь г , из уравнений (7-5) следует:
f — jU —jlJ ^d^dO _ jU.
T'dTd xd’
i = u u^TJn — U-
Xo T” x"q'
Для того чтобы найти фазный ток определим
мгновенные значения осевых токов i. и I , полагая U ~
= UJ]/2^
169
id = Re (Г 2 />2/ю') = sin 2<»t;
Kd
iq = Re (J, 2i/ial)='^coM
XQ
Используя уравнения преобразования (6-2). при 6 =
= — u>/-|-2 получаем:
— sin 2<о/ cos (wt — Л)—
cos 2(i)/ sin (u>t — 2) =
sin (ш/ —|— Я J-
1 \
о lsin(3w/ — 1).
x<j /
(7-15)
Приложенное напряжение равно:
“a = 4n C0S И+ 4
Таким образом, токи, создаваемые напряжениями
обратной последовательности, кроме основной гармони-
ческой, содержат третью гармоническую. Если рассмат-
ривается только основная гармоническая, эффективное
индуктивное сопротивление обратной последовательно-
сти определяется соотношением
(7-16)
Напряжение, обусловленное током обратной
последовательности
Напряжение, обусловленное симметричной системой
токов обратной последовательности, можно найти на ос-
новании анализа вращающейся со скольжением s = 2
машины, в которой протекают токи прямой последова-
тельности. При определении токов используем допуще-
ния, принятые выше для напряжений:
*e=7mcos(<o/ + 2);
J70
Из уравнений (7-4) при $ = 2 и го = 0 получим:
’ ^=2Md~<:
I и = шФЯ- 2jo?i’
*Т В
где, как прежде,
[ (i)4rrf = A“d/d,
шФ = х'7 .
fl fl fl
Следовательно.
[ &d — 1 №ха 2 f
и — (х." — 2л") —;
<7 \ d А ' у 2 »
I «d=-^(2<-<)sin2<
4q = — 1т (2лГ — Xd ) cos 2to/’
откуда
ua= — Im [(2Л-" — x") sin 2w/cos(<o/ — A) —
[ — (2л " Л'') cos 2u>/ sin (tot Z)[ —
= --^(x; + <)SinK-A)-
- !/2m (x'' - x’;) sin (3^ - 1). (7-17)
Таким образом, при симметричных токах обратной
последовательности напряжение содержит третью гар-
моническую. Значение индуктивного сопротивления об-
ратной последовательности, исходя из основной гармо-
нической напряжения, равно:
^=4 «'К’- <718’
171
Значение индуктивного сопротивления обратной
последовательности
Для более общего случая несимметричных режимов,
когда несимметрична внешняя нагрузка, соответствую-
щее значение индуктивного сопротивления обратной по-
следовательности определяется как отношение основной
гармонической напряжения к основной гармонической
тока. Поэтому пи то, ни другое из найденных выше
значений не используется. Дальнейшее развитие этого
вопроса приводится в § 41.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СИММЕТРИЧНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
ГЕНЕРАТОРА
32. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ГЕНЕРАТОРА
ПРИ ХОЛОСТОМ ХОДЕ
В практике эксплуатации энергетических систем при-
ходится сталкиваться главным образом с несимметрич-
ными короткими замыканиями. Однако изучение симмет-
ричных коротких замыканий имеет важное значение, по-
. скольку они хотя и реже встречаются, ио зато более тя-
желы. Кроме того, этот случай легче поддается анализу
и может служить основой для исследования других ко-
ротких замыканий. Опыт короткого замыкания, при ко-
тором все три зажима генератора, работающего в ре-
жиме холостого хода, одновременно замыкаются нако-
ротко, является хорошо зарекомендовавшим себя спосо-
бом определения сверхпсреходиых и переходных пара-
метров машины. В настоящем параграфе приводится
полный анализ внезапного симметричного короткого за-
мыкания генератора, возникшего при холостом ходе.
Исследование продолжено в § 34 с тем, чтобы включить
случай короткого замыкания нагруженной машины
[Л. 47].
Операторные уравнения
Выберем в качестве начала отсчета времени (/=0)
момент возникновения короткого замыкания и допустим,
что угол между осью фазы А и продольной осью в этот
момент времени равен X. Угол X определяет точку перво-
172
да изменения переменной, когда происходит короткое
замыкание. Тогда, предполагая, что скорость имеет по-
стоянное значение со, имеем:
к (j со/ —Л.
Обозначения величин в исходном установившемся
режиме и наложенных значений приняты такими же, как
и в § 13. Для установившихся значений величин остают-
ся в силе уравнения § 28, за исключением того, что те-
перь tot заменяется на tof+1:
«<ю=/2cos №+ч - ича sin (ш/ + 41-
(8-1)
Сравнивая это выражение с уравнением преобразова-
ния
йа0 — Ud0 C0S (Ю/ + 4 + й40 S‘ П (wt + 4.
получаем:

Новые обозначения Vd и VQ введены для того, чтобы
выделить напряжения в исходном установившемся режиме-
V и V являются постоянными осевыми напряжениями»
и f
равными по величине максимальным значениям двух со-
ставляющих фазного напряжения, определяемого уравне-
нием (8-1). Поэтому мгновенные значения двух состав-
ляющих иа0 равны:
KJ(f='TcoSH+4; 1
sin К-J-X). J
(8-2)
Для ненагруженного генератора оба тока idQ и ig0
равны нулю- Следовательно, из уравнений (7-1)
11 м ~— 'Т
«(7o=V?=-xmdI‘r
Таким образом, исходное фазное напряжение
ы«п —Vv sin (о>/4-Л).
1 73
Решение проще всего найти, используя принцип на-
ложения, как показано в § 13. У равнения, определяющие
изменения токов, могут быть получены путем подста-
новки и'=0, ud~0 и ип~ — VI в уравнения для на-
ложенных величин, соответствующие уравнениям (6-7):
0= n»F'4-ш'Р'4-г I-
A d J q * a d ’ ;
, , ' (8-3)
— v 1 = — шЧ' 4- o’F -4- r i.
ld и x равны i, и iq, так как zd0 = t,„ =0. Значения
»F' и ’F определяются уравнениями (6-11) и (6-11) при
и — 0. Поэтому уравнения (8-3) принимают вид:
V„ I — х. (р) — Г г 4—— хп (/?)] I.
q а a I u I зд q\r/ д
(8-4)
Ток короткого замыкания
Исключив из уравнений (8-4) i , получим:
(Р) Xq(P>)
(8-5)
Выражение в фигурных скобках может быть упро-
щено, если учесть, что га мало. Член, включающий га ,
можно совершенно опустить, а член, в который входят
ra’ xd(p) и х9(р)> упростить, пренебрегая гр rkd и rkq.
Это равносильно замене всех множителей вида l-j-Гр
в этом члене на Т р. При введении такого допущения
х,,(р) и хДр) становятся равными сверхпереходиым
индуктивным сопротивлениям xJ и х" (см. § 25). Тогда
_ 04 7^(1 + __________ Vql - g
d O + T'aPj^ + T'aP) Рг+2с1р+^ Xd • v ;
174
где
Для отыскания решения операторное выражение (8-6)
следует разложить на простейшие дроби, как показано
в § 8, представив рг 4- 2а. р -j- ш9 в виде произведения
(р ~Ь ai) (Р + яа)- В результате получим:
СО2
a j (a j ‘
(1 -аг^о)(1 <>»
(1 - aj'd} (1 - aj") - «а)
(8-7)
Далее следует учесть, что Т" и Td, малы по срав-
нению с Td и TdQ. Кроме того, Г,.,, Т T n Td значи-
тельно больше ’/<и, а а невелико по сравнению с ш. Таким
образом,
ал а-{- /<о;
и
а2 ~ а — /а>
— е~ cosw^.
175

Отсюда
приближенно» полагая
Ток по поперечной оси I может быть найден ана
гичным путем:
t
\'
_r-^_ , ^7 * Д •
——-и е snifflf.
хч
г
xd переходное индуктивное сопротивление,
ние которого дано в § 25.
Подстановка значений I и I в уравнения
вания (6-2) при б = z дает выражения для
(8-9)
определе-
преобразо-
1Ь И '1е :
/76
Г Iе
Токи i и I можно найти, заменив А в выражении
для 1а соответственно на А — 2п/3 и А — 4к/3. Значения
ха, хxj и ха определены в § 25.
Момент при коротком замыкании
В Для того чтобы найти выражение для момента, необ-
ходимо определить величины и М’Л До возникновения
короткого замыкания их значения согласно уравнениям (6-7)
равны:
После короткого замыкания
где и —наложенные величины, найденные из урав-
нений (8-3)» (6-11) и (6-14). Используя уравнение (8-6),
полу чаем:
Следовательно,
t
’Г,= — ^2-е ' ° cos mt. (8-11)
Аналогично
I Чг =—^—е (8-12)
Q со
12 Б. Адкинс
177
Две волны индукции, представленные *I‘d и ’Г , скла-
дываются и образуют прямо вращающееся синусоидаль-
ное магнитное поле, движущееся со скоростью <о ц
в связи с этим неподвижное относительно якоря. Его
амплитуда затухает до нуля с постоянной времени
якоря Га, зависящей от активного сопротивления якоря.
Таким образом, действие короткого замыкания можно
объяснить, исходя из представления, что поток, враща-
ющийся относительно якоря при нормальной работе ма-
шины, в момент короткого замыкания останавливается,
а затем затухает с постоянной времени Т .
Момент можно найти, подставив выражения для Ф и Ф
id и ig в уравнение (6-8): ”
где U — действующее значение напряжения, равное V /|/2.
Момент двойной частоты, представленный вторым
членом уравнения (8-13), сравнительно мал. Следовательно,
главная составляющая колебаний момента изменяется
с нормальной частотой, а ее начальная амплитуда со-
ставляет U2jxd.
178
Ток возбуждения при коротком замыкании
К Перед коротким замыканием ток возбуждения опре-
деляется уравнением (7-1) при i = i =&.
fv X X ’
md *md
I После короткого замыкания ток возбуждения нахо-
дится прибавлением к i 0 наложенного тока i'f. Для по-
лучения if необходимо решить уравнения, уже исполь-
зовавшиеся выше для расчета тока якоря. Зависимость
между t’ и id можно найти, исключив ikd во втором и
третьем из уравнений (6-17) при «. = 0:
[- + ',) Л + (LM + Z„) р] -
I -Z-md/?2}Z/ + W(rAd4-,wP)Zd=°-
I Отсюда, подставляя значение id из уравнения (8-6),
В £' ^mdP 11 ТьдР) .
I 1 ~ (1 + т'мр)7Г+т7~р) " d ~
ЙГ._______’ + ТмР <»Р Xmd Vq . /0144
I (1 +rdp)(I +T’a P) P3 + 2ip + ^ xa rf { ~
I Приведенное ниже решение получено с использова*
ином метода разложения на простейшие дроби и введе-
ния тех же допущений, которые были приняты при опре-
делении тока якоря:
f t
| e I “Td rtxd 1 Tkd 1 Td Далее | 1 q^md */<•_ ^md _ I ^P’dVd ~ T'd ' Tf / T \ d I 1 kd\ d 1 * / / 1 \ Td.) t ? 7° COS art • _ • ? do J d « xd xd T' ~ fo ’ 1 d xd
12*
179
Таким образом, общий ток возбуждения при корот-
ком замыкании определяется выражением
33. АНАЛИЗ ОСЦИЛЛОГРАММ КОРОТКОГО
ЗАМЫКАНИЯ
Осциллограммы токов якоря
Выше уже отмечалось» что опыт внезапного коротко-
го замыкания, для снятия которого производится одно-
временное замыкание накоротко трех фаз генератора,
вращающегося без нагрузки при номинальном напря-
жении па зажимах, лежит в основе общепризнанного
способа определения постоянных машины. По осцилло-
граммам токов якоря могут быть найдены основные
сверхпереходные и переходные индуктивные сопротив-
ления и постоянные времени.
На рис. 47 представлены осциллограммы токов яко-
ря синхронного компенсатора 30 000 ква при коротком
замыкании. Опытные кривые очень хорошо согласуются
с расчетными данными, полученными по уравнению
(8-10) для тока фазы Л, и соответствующим выраже-
ниям для токов фаз В и С.
Через максимумы кривых токов па рис. 47 проведены
огибающие, а также построены пунктирные линии посе-
редине между ними. Таким путем каждый из токов мож-
но разделить на апериодическую и пери одиче
скую составляющие. Обе составляющие в пер-
вый момент имеют определенные начальные значе-
ния и с течением времени уменьшаются. Начальные
значения периодических составляющих находятся про-
должением огибающих назад, до момента возпикпове
ния короткого замыкания.
Пунктирные линии определяют апериодические токи,
представленные четвертым членом уравнения (8-10) и
четвертыми членами соответствующих выражений для
ib и ic. Начальные значения этих токов в фазах Л, В
180
?и С различны, так как они пропорциональны соответ-
ственно cos Л, cos (2. — 2т. 3) и cos(l—4^/3), однако они
затухают до нуля с одной и той же постоянной вре-
мени Та- Точные значения индуктивного сопротивле-
ния угла I и постоянной времени Та могут быть
найдены, если перенести пунктирные кривые в полуло-
гарифмические координаты [Л. 14].
Рис. 47. Осциллограммы токов обмотки якоря при
коротком замыкании.
Периодическую составляющую тока любой фазы
можно выделить, исключив из соответствующей кривой
апериодическую составляющую. Существует также не-
большая составляющая двойной частоты, определяемая
последним членом уравнения (8-10), но опа в большин-
стве случаев пренебрежимо мала, так как зависит от
разности двух сверхпереходных индуктивных сопротив-
лений. Поскольку время затухания амплитуды периоди-
ческой составляющей значительно больше периода пере-
менного тока основной частоты, можно построить зави-
симость изменения действующего значения тока в функ-
ции времени. Эта зависимость, представленная на
181
рис. 48 сплошной линией, получена измерением отрез-
ков ординат между огибающими рис, 47.
Ординаты кривой АВ на рис. 48. отражающей изме-
нение во времени действующего значения тока в отно
сительных единицах, пропорциональны выражению
в квадратных скобках уравнения (8-10). Хотя фазы пе-
риодических составляющих токов зависят от X и раз-
личны для трех фаз в соответствии с косинусоидальны-
ми функциями за скобками, действующие значения то-
ков одинаковы во всех трех фазах. Начальное значение,
которое можно найти подстановкой равно У^/У'.
Рис. 48. Периодическая составляющая тока короткого за-
мыкания.
С течением времени ток уменьшается; сначала быстро,
затем более медленно и, наконец, достигает установив-
шегося значения.
Ток, определяемый кривой ЛВ^на рис. 48, в свою
очередь можно подразделить на три составляющие, соот-
ветствующие трем членам в квадратных скобках выра-
жения (8-10). Установившееся значение тока короткого
замыкания представлено на рис. 48 пунктирной линией ЕЕ
и равно V fxd. Переходная составляющая, по-
казанная пунктирной линией СВ, имеет начальное зна-
чение EC =Vo xd— VQ ‘Xd и затухает с постоянной вре-
мени Td. С ве рх пе реходная составляющая’
определяемая разностью ординат кривых АВ и СВ*
имеет начальное значение CA—VJx”—Vjxd и зату-
182
хает с постоянной времен» Т". Пять составляющих тока
короткого замыкания сведены в табл 2.
Таблица 2
Составляющие тока короткого замыкания
Составляющая I Йча.тъное зна- чение Частота Постоянная времени
Периодиче- ские состав- ляющие Установившееся Основная
значения Переходная ха V V 5 ? Основная T'd
Сверхпереходная xd V V Q 1 q ff ~~ / Основная Td
Другие сос- тавляющие Апериодическая X. a d vo . — cos A. Нуль т л
Bi оран гармони че- Удвоенная
ская лл основная Та
Г Таким образом, значения переходного и сверхпере-
ходного индуктивных сопротивлений по продольной оси
могут быть найдены с помощью осциллограмм токов
короткого замыкания. Анализ осциллограмм позволяет
уяснить физическое представление о переходном и
свсрхперехолном индуктивных сопротивлениях. Сверх-
переходное индуктивное сопротивление х‘, представля-
ет собой эффективное индуктивное сопротивление гене-
ратора, определяющее начальное значениспериодической
составляющей тока короткого замыкания. Переходное
индуктивное сопротивление xd является эффективным
индуктивным сопротивлением, от которого зависело бы
начальное значение этого тока, если бы быстро зату-
хающая сверхпереходная составляющая отсутствовала.
Рис. 47 и 48 заимствованы из [Л. 47], где приведены
результаты численных расчетов.
183
Осциллограмма тпка возбуждения
На рис. 49 приводится осциллограмма тока возбуж-
дения, снятая одновременно с осциллограммами токов
якоря, показанными на рис. 47. Так же как и прежде,
через максимумы проведены огибающие и построена
пунктирная линия посередине между ними. Общий ток,
как следует из осциллограммы, состоит из апериодиче-
ской составляющей, представленной пунктирной линией,
и периодической составляющей.
Периодическая составтающая соответствует послед
нему члену уравнения (8-15). Она изменяется с основной
Рис. 49. Осциллограмма тока обмотки возбуждения при коротком
замыкании.
/—ток обмогки возбуждения при коротком замыкании; 2—нормальный ток
возбуждения.
частотой и затухает до нуля с постоянной времени Г
Изменение апериодической составляющей начинается
с установившегося значения //(1. Она мгновенно возра-
стает в момент возникновения короткого замыкания,
а затем следует пунктирной кривой и возвращается
в конце концов к установившемуся значению. Эта со-
ставляющая соответствует первым трем членам уравне-
ния (8-15).
Пунктирная кривая рис. 50 воспроизводит полученную
из осциллограммы пунктирную линию рис. 49. Кроме
того, па рис. 50 показаны кривая АВ, рассчитанная по
первым трем членам выражения (8-15), и кривая СВ, со-
ответствующая первым двум членам. Апериодическую
составляющую тока возбуждения, определяемую кри-
вой АВ, можпо представить в виде трех составляющих-
1. Установившийся ток возбуждения i — прямая EF;
2. Переходная составляющая, равная разности орди-
нат СВ и EF. Она затухает с постоянной времени Т л.
184
3. Сверхпереходная составляющая» определяемая раз-
ностью ординат кривых СВ и АВ Эта составляющая
вычитается из кривой СВ и затухает с постоянной вре-
мени Td.
Г Совпадение между опытными и расчетными данными
хуже, чем для тока якоря, гак как сверхпереходная со-
ставляющая для полученной опытным путем пунктирной
кривой меньше и спадает быстрее ее расчетной величины.
Причиной этого является, вероятно, существование до-
полнительных короткозамкнутых успокоительных конту-
ров, не учитываемых теорией, в которых могут проте-
Рис. 50. Апериодическая составляющая тока обмотки
возбуждения.
кать токи, изменяющие ток возбуждения. Можно отметить
что значение ОС равно i^xd/xd. Это позволяет оценить
возрастание тока возбуждения, однако в действитель-
ности максимальное значение тока больше вследствие
того, что к кривой СВ следует прибавить периодиче-
скую составляющую.
Четыре составляющие тока возбуждения полностью
соответствуют четырем составляющим тока по продоль-
ной оси содержащимся в выражении (8-8), как
в отношении постоянных времени затухания, так и
в том, является ли данная составляющая апериодиче-
ской или периодической. Они соответствуют также со-
ставляющим фазного тока определяемого выраже-
нием (8-10), однако при этом апериодической состав-
ляющей тока возбуждения соответствует периодическая
составляющая тока якоря и обратно. В обоих случаях
соответствующие щруг другу составляющие токов в об-
мотках создают одинаковые по характеру н. с. Напри-
185
мер, апериодическая составляющая тока возбуждения
и периодическая составляющая тока якоря создают
н. с., неподвижные относительно полюсов. Тем не менее
величины соответствующих составляющих неодинаковы
ввиду существования тока, протекающего в успокоитель-
ной обмотке по продольной оси, а также вследствие на-
личия н. с., необходимой для намагничивания сердеч-
ника.
34. КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ИЛИ ВНЕЗАПНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ
НАПРЯЖЕНИЯ НАГРУЖЕННОГО ГЕНЕРАТОРА
Для анализа короткого 'замыкания предварительно
нагруженного генератора можно использовать те же урав-
нения, которые были выведены выше при рассмотрении
короткого замыкания, возникшего при холостом ходе.
Однако установившиеся значения напряжения и тока
в исходном режиме будут другими, Осевые напряжения
и определяются уравнениями (7-1). При нормаль-
ном нагрузочном режиме и нс равно нулю. В соответ-
ствии с принятыми ранее обозначениями V и V явля-
ются установившимися значениями этих напряжений
перед коротким замыканием.
Для определения изменения тока, обусловленного
внезапным приложением напряжений—Vd и — как и
прежде» может быть применен принцип наложения.
В связи с этим можно состазить следующие уравнения:
(8-1 б)
Общий ток короткого замыкания in определяется сло-
жением токов, найденных из этих уравнений, с исход-
ным током /о0 и, следовательно, равен сумме трех со-
ставляющих:
1. Исходный установившийся ток ia0.
2. Ток ial, который находится решением уравнений
(8-16) при Vd=-0. iel определяется выражением (8-10).
3. Ток получаемый решением уравнений (8-16) при
1'с = 0. Зависимость для «о, аналогична выражению (8-10),
за исключением того, что в нее входят индуктивные
186
сопротивления и постоянные времени по поперечной, а
не по продольной оси. В уравнение входят те же члены,
что и в выражение для 1а , но переходная составляющая
отсутствует, так как по поперечной оси обмотки воз-
буждения нет:
sin —|— Л) —|—
-t~ — e r°sini---е Г° si п (2ш/Я).
хт хп
(8-17)
Таким образом, теорию, изложенную в § 32, можно
использовать при нахождении полного решения для тока
внезапного трехфазного короткого замыкания, возникаю-
щего в установившемся режиме при любой нагрузке.
Аналогичным путем с помощью принципа наложения
могут быть найдены ток возбуждения I и потокосцеп-
ления и Ч-’ Момент определяется подстановкой в
уравнение (6-8) полных выражений для , i , 'F и ’F
cZ Q if
Внезапное изменение напряжения
Изложенный метод может быть использован также
для расчета изменения тока, когда генератор подвер-
гается не короткому замыканию, а внезапно подклю-
чается к напряжению, отличающемуся от напряжения
на его зажимах, и создаваемому «системой бесконечной
мощности», синхронизированной с генератором, и
не зависящему от величины* тока. В этом случае в каче-
ства Vd и V должны быть приняты изменения напря-
жений по продольной и поперечной осям. Обший ток на-
ходится, так же как и прежде, путем сложения двух то-
ков, обусловленных этими напряжениями, с исходным
током.
Влияние последовательно включенного сопротивления
Последовательно с генератором может быть вклю-
чено некоторое полное сопротивление, состоящее из
активного сопротивления и индуктивного сопротив-
ления ? которое остается введенным н до и после
короткого замыкания или внезапного изменения напря-
жения. В этом случае полученные выше уравнения оста-
187
ются справедливыми, если внешнее сопротивление при-
бавить к внутреннему сопротивлению генератора. Следо-
вательно, выведенные зависимости можно использовать
заменив га и ха на гс и х4, где
(8-18)
Все индуктивные сопротивления и постоянные вре-
мени изменяются в связи с увеличением активных и ин-
дуктивных сопротивлений якоря. Поскольку многие при-
ближенные выражения основаны на допущении, что га
мало, с введением гви точность расчетов снижается.
Если г з велико, то может потребоваться выполнение
более трудоемких расчетов, в которых эти допущения
не вводятся.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ПРОЦЕСС СИНХРОНИЗАЦИИ И НЕЗАТУХАЮЩИЕ
КОЛЕБАНИЯ СИНХРОННЫХ МАШИН
35. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ МАШИНЫ
ВБЛИЗИ СИНХРОННОЙ СКОРОСТИ
В настоящей главе рассмотрены некоторые процессы,
протекающие с изменением скорости вращения машины.
Для таких режимов общие уравнения становятся нели-
нейными. как было отмечено в § 6 при описании задач,
входящих в пп. 5—7 табл. I. В § 36 исследуется процесс
синхронизации синхронного двигателя, в § 37 и 38 по-
священы анализу малых колебаний синхронных машин.
В том и другом случаях обмотка якоря подключена
к симметричной трехфазной сети, а скорость вращения
машины близка к синхронной. Уравнения при этим, как
показано ниже, могут быть представлены в несколько
ином виде.
Для преобразования уравнений вводится угол б, со-
ответствующий отставанию ротора машины от его поло-
жения в синхронном режиме при отсутствии нагрузки.
Для уяснения физического смысла угла б необходимо
мысленно представить на рис. 3 фиктивную вращаю-
щуюся с синхронной скоростью о» координатную ось, на-
188
холящуюся в положении, которое занимала бы ось фазы
у}, если бы к обмотке якоря машины, работающей
в установившемся режиме с синхронной скоростью, бы-
ло подведено напряжение сети, ио токи в ней не проте-
кали. В установившемся режиме б представляет собой
постоянный угол нагрузки, определенный в § 22. Его
значение положительно для двигательного режима, от-
рицательно для генераторного режима и равно нулю
при холостом ходе. Для двигателя перед синхрониза-
цией б является переменной величиной, вначале положи-
тельной, а затем, когда он втягивается в синхронизм,
принимающей после ряда затухающих колебаний по-
стоянное значение. При качаниях машины, рассматри-
ваемых в § 37 и 38, б колеблется около среднего зна-
чения.
I Угловое положение 0к фиктивной координатной
оси в любой момент времени можно найти из соотно-
шения

Поэтому при переменной скорости вращения положение
ротора машины определяется выражением
I —г. (9-1)
Фазное напряжение аи может быть представлено в
виде:
и — U sinwf = sin(fJ4-8) =
— U sin 8 cos 6-1-С/ cos S sin О-
т 1 т
Сопоставляя это выражение с уравнениями преобра-
зования (6-4) при 0 и приравнивая коэффициенты,
получаем:
u.~U sin 8;
а т ’
tt~(J cos8.
q т
Скорость вращения машины можно определить, про-
дифференцировав уравнение (9-1):
v = а> — рЬ.
189
Подставив найденные величины в уравнения (6-7),
получим видоизмененные общие уравнения:
U sin6 = p*r 4 г —W лб; \
т * d q ' a d qr » 1 ,g
£7 cos 8 = •— шЧ* 4 - л’Г 4- r i Т,р8. J
т а * * q a q J d * '
Согласно выражению (9-1) ускорение ротора равно:
Следовательно, уравнение для момента может быть
представлено следующим образом:
%-Т. У(9-3)
36. СИНХРОНИЗАЦИЯ
Термин с и н х р о и и з а ц и я относится к процессу,
когда две или несколько синхронных машин синхрони-
зируются друг с другом после того, как они вращались
с несогласованными скоростями. Наиболее часто это
имеет место при пуске двигателя или генератора, кото-
рый должен работать совместно с энергетической систе-
мой, связанной с другими синхронными машинами, или
после возмущения в системе, вызвавшего временное вы-
падение машины из синхронизма. В этом параграфе на
основе исследования [Л. 20] приводится краткий анализ
процесса синхронизации синхронного двигателя, разо-
гнавшегося, как асинхронный двигатель, до скорости,
несколько меньшей синхронной. Эта задача принадле-
жит к пятому типу согласно классификации табл. 1 § 6,
так как скорость вращения представляет собой неизве-
стную функцию времени. Уравнения для токов и ско-
рости являются нелинейными дифференциальными урав-
нениями и не поддаются решению никакими точными
математическими методами. В исследовании, описанном
в (Л. 20], численные решения для ряда различных усло-
вий были получены с помощью механического интегра-
тора.
Применение интегратора
При использовании механического интегратора ураз-
нения (9-2), (9-3), (6-11), (6-14), (6-22). (6-23) и (6-25)
необходимо представить в таком виде, чтобы каждый их
190
цЛён мог быть отражен угловым положением одного на
валов интегратора. Если валы, представляющие члены
любого уравнения, соответствующим образом связаны
между собой с помощью суммирующих элементов, вели-
чины должны удовлетворять этому уравнению. Выраже-
ние для ’Frf может быть разложено на простейшие дро-
би и записано в виде:
где Д, А2 и Ва — постоянные, зависящие от пара-
метров машины, a и —новые переменные, вве-
денные для упрощения решения.
Приложенный момент является моментом нагрузки М
и имеет отрицательное значение, поскольку мощность
отводится от двигателя:
твн = —ЛГ. (9-5)
В результате получим семь уравнений, содержащих
семь зависимых переменных 8, i , 'F , Ф* Чг.„ и Ф
1 a Q и1 а|’ а2
и независимую переменную t:
На валах интегратора прежде всего необходимо пред-
ставить переменные Л pb, id, pi^ рТр p\Vd2
p'V и известное напряжение а
191
После этого, используя интегрирующие элементы,
можно получить величины:
6- 'Га- '14Г Ч«’ J'W* И
Интеграл произведения мож^т быть получен в ре-
зультате двух последовательных интегрирований, напри-
мер
С i d/ = С »FJ( Ci di).
J d q 1 a ' | q i
Члены t/pisin6 и t/mcos6 вводятся от „столов функ-
ций*, а члены 4’dp§ и получаются с помощью ум-
ножающих элементов. Любая величина может быть
умножена на коэффициент с помощью элементов, умно-
жающих на постоянную.
Рис. 51. Кривые синхронизации, полученные с по
.мощью интегратора.
Следовательно, интегратор может быть собран таким
образом, чтобы переменные удовлетворяли уравнениям.
Он должен быть приведен в действие при надлежащих
начальных условиях и тогда может исппльзоваться для
определения изменений токов и угла в функции времени.
На рис. 51 представлены типичные кривые синхро-
низации, выбранные из результатов исследования
[Л. 20], к которому следует обратиться при желании
192
ознакомиться с вопросом более детально. Здесь приво-
дятся зависимости изменения скольжения, найденного
как р&, в функции от б. Кривые получены в два приема.
Сплошная линия, изображающая периодические коле-
бания, снята до замыкания ключа синхронизации во
время предварительного включения интегратора при
=0. Вид кривых синхронизации, показанных пунк-
тирными линиями, зависит от момента времени, при ко-
тором замыкается ключ. На рис. 51 показаны две от-
личающиеся друг от друга кривые, обозначенные через
.4 и В. Они получены с помощью интегратора при соот-
ветствующих начальных условиях. Для одного момента
включения (кривая Л) скорость вращения возрастает до
синхронной, а затем после нескольких колебаний насту-
пает установившийся синхронный режим. Для второго
менее благоприятного момента включения (кривая В)
машина не втянется в синхронизм и переплет к другому
режиму незатухающих колебаний.
37. ВЫНУЖДЕННЫЕ И СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
| При некоторых условиях скорость вращения синхрон-
ной машины, связанной с энергетической системой и ра-
ботающей при других обстоятельствах нормально с син-
хронной скоростью, может претерпевать колебания око-
ло среднего значения. Когда возникают колебания, токи
во всех обмотках также пульсируют с этой же частотой,
обычно значительно меньшей частоты сети. Ротор маши-
ны, вместо того чтобы вращаться строго синхронно при
постоянном значении угла б, опережая фиктивную коор-
динатную ось, соответствующую холостому ходу, или
отставая от нее, колеблется около среднего положения.
Колебания могут быть вынужден н ы м и, вызванными
пульсирующими моментами, внешними по отношению
к машине, или свободными, возникающими в самой
машине в результате процесса самовозбуждения.
Вынужденные колебания возникают в генераторах,
приводимых во вращение двигателями внутреннего сго-
рания, или в синхронных двигателях, приводящих порш-
невые компрессоры. Двигатели внутреннего сгорания и
компрессоры обычно выполняются с несколькими ци-
линдрами для уменьшения пульсаций момента. Кривую
результирующего момента можно разложить на ряд
13 Б. Адкинс j 93
гармонических составляющих различной частоты. Тогда
действие каждой из них может быть исследовано неза-
висимо. Высшие гармонические составляющие момента
изменяются слишком быстро и не оказывают существен-
ного влияния на магнитный поток и ток машины. Поэто-
му их анализ превращается в чисто механическую зала
чу» при решении которой необходимо считаться с жест-
костью вала. Напротив, наиболее медленные пульсации
момента, совершающиеся I раз за оборот (в двухтакт-
ном двигателе) или 1 раз за два оборота (в четырех-
тактном двигателе) и обусловленные неравномерным
распределением нагрузки между отдельными цилиндра-
ми, могут привести к заметным пульсациям тока. Для
таких медленных колебаний вал обычно может считать-
ся идеально жестким. Максимальное значение ампли-
туды пульсаций угла в электрических градусах обычно
называется угловой девиацией.
С другой стороны, свободные колебания или к а ч а -
н.ия не связаны с пульсациями внешнего приложенного
момента. Например, небольшой синхронный двигатель,
получающий питание от сети, может непрерывно качать-
ся» если он имеет относительно высокое активное сопро-
тивление якоря и слабую успокоительную обмотку.
Анализ малых колебаний синхронной машины произ-
водится на основании изучения эквивалентной механи-
ческой системы, обладающей упругостью и демпфирова-
нием. В качестве исходного допущения принимается, что
угловое положение ротора, определяемое углом б, си-
нусоидально колеблется около среднего значения. Элек-
тромагнитный момент, развиваемый машиной, также
пульсирует с этой же частотой около своего среднего
значения. Если пульсации настолько малы, что в урав-
нениях можно пренебречь членами с произведениями
переменных, колебания момента тоже синусоидальны,
а их амплитуда пропорциональна амплитуде пульсаций
угла. Однако пульсации момента не обязательно имеют
ту же фазу, что и колебания угла, и их можно разло-
жить на две составляющие, одна из которых совпадает
по фазе с колебаниями угла, а другая — поперечная —
находится в квадратуре с ними. Составляющая пульса-
ций момента, совпадающая по фазе с колебаниями угла,
эквивалентна моменту упругости пружины, а по-
перечная составляющая, имеющая одинаковую фазу со
I 91
скоростью изменения угла, эквивалентна м о м с и т у
демпфирования вязкого демпфера. Таким образом,
могут быть найдены значения постоянной упруго-
сти или жесткости и постоянной демпфировав
и и я эквивалентной механической системы *.
Следует отметить, что значения постоянных упруго-
сти и демпфирования, найденные этим путем, справедли-
вы только для одной частоты и не остаются постоянны-
ми для других частот, как у пружины и демпфера меха-
нической системы. Однако их значения для разных
частот могут быть представлены « виде кривых и исполь-
зованы для расчета пульсаций при любой частоте.
Анализ механической системы
Синхронная машина аналогична простой механиче-
ской системе, обладающей упругостью, демпфированием
и инерцией. Уравнения такой системы могут быть состав-
лены или для произвольного движения общего характе-
ра, или для малых колебаний. Для получения уравне-
ния в таком виде, чтобы оно относилось также и к элек-
трической машине, величины выражены в системе отно-
сительных единиц.
Пусть 0 — угол отклонения от положения равнове-
сия, рад;
т — мгновенное значение внешнего приложен-
ного момента;
К— постоянная упругости, момент на 1 рад;
С постоянная демпфирования, момент на
1 рад/сек-
Угол отклонения r механической системе соответ-
ствует углу нагрузки в машине, измеряемому в электри-
ческих радианах. Соответствующее значение постоянной
инерции определено в § 5. Поэтому динамический мо-
мент составляет рч. Моменты, создаваемые упруго-
стью и демпфированием, равны соответственно Д’6 и С ph.
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид;
— P2fi 4- Срб -|-К6 = т.
(9-7)
1 Эти постоянные часто называются коэффициентами синхрони-
зирующего и демпфирующего моментов. (Прим, ред.)
195
Для малых колебаний с частотой ш. /2т. уравнение
для комплексных величин ДО и ДЛ7, изображающих ко-
лебания .угла и момента, может быть представлено сле-
дующим образом:
9 2// • . • .
— ш2к — д е + /шкс д е -[ - к л о = д м.
(9-8)
ОI сюда пульсации угла определяются выражением
дл/
(9-9)
В простой механической системе с вязким демпфи-
рованием К и С постоянны. Уравнение (9-9) показывает,
каким образом изменяются в зависимости от частоты
амплитуда и фаза пульсаций угла при заданном значе-
нии пульсаций момента* При отсутствии демпфирования
амплитуда пульсаций угла при /( = -— неограниченно
возрастает. Частота, при которой это происходит, на-
зывается .собственной частотой и определяется
соот ношением
(9-10)
1ри наличии демпфирования максимальная ампли-
туда колебаний ограничивается значением С. Если С
невел 1ко, наибольшие колебания возникают при часто-
те, близкой к собственной.
Приближенный метод расчета вынужденных колебаний
в электрической системе (старый метод)
Простой метод определения угловой девиации син-
хронной машины, обусловленной пульсациями прило-
женного момента, используется уже много лет [Л. 5].
Метод основан на представлении машины в виде спи-
ральной пружины без демпфирования, противодей-
ствующий момент которой изменяется в зависимости от
углового смещения б согласно кривой, изображенной
на рис. 38. Для колебаний, наложенных на некоторую
установившуюся нагрузку, соответствующее значение
196
постоянной упругости равно Рсн, т. е. определяется на-
клоном угловой характеристики при этой нагрузке, учи-
тывая, что момент и мощность в выбранной системе от-
носительных единиц численно равны. Выражение для
р , полученное в пренебрежении активным сопротивле-
нием якоря, представлено уравнением (5-10).
Таким образом, в упрощенном методе принимается
X-Р и С=0. При этих допущениях собственная ча-
стота машины, при которой колебания неограниченно
возрастают, равна:
К “и* - 1
2тс
СП61
2Н
(9-11)
Если демпфирования нет, важно, чтобы частота вы-
нужденных колебаний не совпала с собственной часто-
той. Для частоты, значительно отличающейся от соб-
ственной. угловая девиация может быть рассчитана по
уравнению (9-9) при С=0.
Г Если собственная частота синхронной машины, рас-
считаная изложенным методом, слишком близка к ча-
стоте пульсаций приложенного момента, существуют
два способа преодоления затруднения. Один из них за-
ключается в увеличении момента инерции, что умень-
шает собственную частоту, а другой — в создании зна-
чительного демпфирования. Современная практика
предпочитает второй метод, осуществляемый установкой
сильной успокоительной обмотки, конструкция которой
обеспечивает эффективное демпфирование как по про-
дольной, так и по поперечной осям.
Для машины без успокоительной обмотки упрощен-
ный метод приближенно справедлив, так как демпфи-
рующее действие замкнутой обмотки возбуждения неве-
лико. Однако если существует значительное демпфиро-
вание. обусловленное короткозамкнутой обмоткой Или
контурами вихревых токов в массивных стальных час-
тях полюсной системы, этот метод может привести
к большой ошибке. Успокоительная обмотка нс только
вводит постоянную демпфирования, которая не учиты-
валась в упрощенном методе, по и вызывает существен-
ное изменение постоянной упругости К по сравнению
с Р в. Как К, так и С изменяются в зависимости от ча-
стоты колебаний, и значение собственной частоты, нан-
197
дснпое .ио уравнению (9-11), теряет смысл. Значения по-
стоянных могут быть рассчитаны точно по методу, из-
лагаемому в § 38.
Критерий свободных колебаний
Для свободных колебаний, возникающих в результа-
те самовозбуждения при отсутствии пульсаций внешнего
момента, Л0, определяемое уравнением (9-9), отлично
от нуля даже в том случае, если ДМ равно пулю. Сле-
довательно, знаменатель выражения (9-9) должен быть
равен нулю. Разделяя вещественную и мнимую части,
имеем:
/г 2 п )
л-----— О;
“ к • (9-12)
С = 0. J
При отрицательном С процесс будет неустойчивым, и
амплитуда возникающих колебаний неограниченно воз-
растет. Практически машина насыщается и колебания
ограничиваются, но их амплитуда при этом условии мо-
жет очень увеличиться, что вызовет серьезные повреж-
дения. Критерий, определяющий возможность самовоз-
буждения, состоит в том, что рассчитанное согласно тео-
рии малых колебаний значение С должно равняться
нулю или быть отрицательным, или, другими словами,
должно возникнуть отрицательное демпфирова-
н и е.
Кроме того, /С и С являются функциями шк. Следо-
вательно, самовозбуждение возникнет при условии, если
С равна нулю или отрицательно для частоты, при кото-
рой К~ Дальнейшее рассмотрение задачи про-
ведено в § 38.
38. РАСЧЕТ ПОСТОЯННЫХ УПРУГОСТИ И ДЕМПФИРОВАНИЯ
В приведенном ниже анализе используются те же са-
мые обозначения, которые были приняты в § 12. Уста-
новившиеся значения величин, около которых происхо-
дят колебания, шмеют индекс 0. Например, установив-
шийся ток по продольной оси обозначен Комплексным
величинам, представляющим малые колебания, соответ-
198
ствуют прописные буквы с точкой наверху и символом Д
перед ними. Например, пульсации тока по продольной
оси обозначены Д/н (пульсации угла обозначены строч-
ной буквой ДВ).
Г Для сопоставления синхронной машины с рассмотрен-
ной выше механической системой момент должен счи-
таться положительным, когда машина работает в двига-
тельном режиме, поскольку в этом случае положитель-
ный момент действует в направлении уменьшения
положительного угла 6. как было принято для пружины.
При этом условии момент т численно равен и противо-
положен по направлению электромагнитному моменту тэн>
Определенному в § 5,
т — — т .
Уравнения для установившегося режима
[' Уравнения для установившегося режима могут быть
получены из выражений (9-2), (6-8), (6-11) и (6-14), если
принять р = 0:
t/msin 80=«’%4-гд^0;
t/mcos5o = -»’rd0-(-ra/?0;
। ^md
Ш rfO ~ Xd Г ~ UfQ>
(9-13)
(9-14)
(9-15)
(9-16)
шЧ , -— X I J
^0 q q'V
— там0 2 (^rf0 id^ (9-17)
Уравнения для малых колебаний
У равнения для малых колебаний с частотой
выводятся из тех же уравнений при подстановке р~
f=ju»K, как было показано в § 12. Поскольку напряже-
ние возбуждения постоянно, Д(Л—0
/7п) cos So ДЗ = /шк Дфй -J- <0 ДТ? |_
+/ а ДЛ - i «»лв Дб; (9-18)
199
— U si п S Д8 = — шДЧ д 4- 7 ’ Д 'I’ +
т о и । j к j
+ глЧ + /Ч'Гяод6‘; (9-19)
wAl>d=A-d(/»K)A/d; (9-20)
шД'Г^л^/ш^Д/;,- (9-21)
Приближенный метод расчета вынужденных колебании
(новый метод)
Простые приближенные формулы для расчета посто-
янных упругости и демпфирования можно вывести, если
пренебречь активным сопротивлением якоря как было
сделано при выводе выражений для Р и Р (5-9) и
(5-10). Приближенные результаты, полученные этим
путем, вообще говоря, достаточно точны для расчета
вынужденных колебаний.
Обозначим через U действующее значение приложен-
ного напряжения, а через t/0— действующее значение
его составляющей, уравновешивающей э. д. с., созда-
ваемую при холостом ходе тем же самым напряжением
возбуждения /г/0. Тогда
Отрицательный знак в выражении для Uq означает,
что согласно принятому правилу знаков для создания по-
ложительного напряжения якоря требуется отрицатель-
ное напряжение возбуждения.
При подстановке этих значений в уравнения (9-13) —
(9-16), полагая =0, получим следующие выражения
200
для установившихся значений токов и потокосцеплении:
to^'do ~ у 2 t7 cos
ш'Г?о = /^£/ sin 8в’

(9-23)
.=— Osino..
’° хч °
Подстановка значений 4'd ( и Т из уравнений (9-23)
в уравнения (9-18) и (9-19) при га~0 и перегруппировка
членов приводят к системе из двух совместных уравне-
ним:
ju»KA’i'd + ш Д$ = (/о>к sin 80 ш cos 80) Д«;
----О)Д ’| И —|— /'<•> АЧ
“ I ‘ к q
V'2U , • . | ;
----(—«о si no. 4-
ГО--u 1 л
cos 60) До.
Решение этих уравнений совместно с уравнениями
(9-20) и (9-21) даст выражения для колебаний токов и
потокосцеплении:
u)A4'd = j/2 С/ sin % До;
шАТ = )/ 2 U cos 80До;
^7
sin 6СД6;
д/ =
’ xq (1“к)
cos 8РЛ5.
(9-24)
Значения постоянных упругости и демпфирования
К и С, введенных в предыдущем параграфе, можно
получить, подставив значения величин, выраженных
уравнениями (9-23) и (9-24), в уравнение (9-22) и разде-
лив на Д5:
д.Й=Ш0
Дд xd
cos 60 -|-L72 cos2 60
201
Постоянные Д' и С, определяемые нахождением веще-
ственной и мнимой частей уравнения (9-25), являются
функциями шк. Характер их изменения в зависимости
о / г J 4 ги
Рис. 52. Зависимости постоян-
ных упругости и демпфирова-
ния синхронной машины от
частоты.
от частоты показан па рис.
52. Нетрудно заметить, что
в предположени и шк = О
выражение для ДМ Дб соот-
ветствует уравнению (5-10)
для Р н. Следовательно, при
этом постоянная упругости
равна Р н, а постоянная
демпфирования равна нулю.
Очевидно, что старый при-
ближенный метод, рассмот-
ренный выше, использует
постояннные, которые были
бы точны для очень низких
частот, но могут оказаться
совершенно непригодными
для частот, возникающих в действительности, особенно,
-если машина имеет сильную успокоительную обмотку.
Расчет для дизель-генератора
Зависимости значений К и о>к С от частоты для 28-
полюсиого дизель-генератора 2 600 кеа, рассчитанные по
уравнению (9-25), построены графически на рис. 52.
Предварительный расчет, выполненный на основе ста-
рого приближенного метода, показал, что собственная
частота (1,93 гц) очень близка к частоте вынужденных
колебаний (1,78 гц), создаваемых четырехтактным дви-
гателем внутреннего сгорания. Генератор был снабжен
сильной успокоительной обмоткой. Как показывает рис.
52, значения постоянных упругости и демпфирования
при частоте возникающих колебаний сильно отличаются
от их значений при частоте, близкой к нулю.
С помощью кривых рис. 52 по формуле (9-9) можно
рассчитать пульсации угла, обусловленные пульсациями
приложенного момента. Па рис. 53 представлены
две кривые чувствительности, отражающие изменение Дп
в зависимости от частоты для пульсаций момента, равных
'единице. Кривая 1 рассчитана по старому приближенному
202
Рис. 53. Зависимость амплиту-
ды пульсаций угла синхронной
машины от частоты.
/—без успокоительной обмотки;
3— с успокоительной обмоткой.
метолу в предположений К=Рсн и С = 0. Согласно этой
кривой пульсации угла неограниченно возрастают при
частоте 1,93 гц, т. е. при собственной частоте. Более
точная кривая 2 построена с использованием значений
К и С, найденных по кривым рис. 52. Кривая 2 показы-
вает, что максимальные пульсации угла возникают при
частоте, значительно превы-
шающей гак называемую
собственную частоту.
Амплитуда (пульсаций мо-
мента зависит от степени не-
равномерности работы от-
дельных цилиндров двига-
теля, и ее трудно опреде-
лить. Обычно принимается,
что амплитуда пульсаций со-
ставляет 10% от номиналь-
ного значения момента. Но-
минальный коэффициент
мощности генератора равен
0,8 и, следовательно, ам-
плитуда и ул ьса ции п р и л о-
женного момента составля-
ет 0,08 относительных еди-
ниц при частоте 1,78 гц. Согласно кривой 2 на рис. 53
угловая девиация при этом приложенном моменте и ча-
стоте 1,78 гц равна 0,034 эл. рад, или 2 эл. град. Бри-
танский стандарт № 640 требует, чтобы угловая девиа-
ция не (превышала 2’/2 М- град. .
Расчет пульсации угла и собственной частоты маши-
ны без успокоительной обмотки основан на предположе-
нии, что машина связана с мощной энергетической си-
стемой. Если же система состоит из нескольких дизель-
генераторов, работающих параллельно, эго условие не
удовлетворяется. Собственная частота машины без
успокоительной обмотки зависит от параметров генера-
торов, с которыми она работает. При таких обстоятель-
ствах рекомендуется применение успокоительной обмот-
ки, поскольку она улучшает работу машины независи-
мо от значения собственной частоты. Эта проблема
рассмотрена более подробно в [Л. 41].
2ПЗ
Самовозбуждение или качания синхронных машин
Результаты, полученные в пренебрежении сопротив-
лением гй, достаточно точны для. расчета вынужденных
колебаний, вызываемых пульсациями внешнего момента.
Однако этот метод неприменим для изучения самовоз-
буждаемых колебаний, поскольку при rQ, равном нулю,
постоянная демпфирования С согласно уравнению (9-25)
всегда положительна. В действительности самовозбуж-
дение возникает при значительном активном сопротив-
лении якоря, что уже отмечалось выше.
11сследовапие самовозбуждения любой конкретной
машины можно выполнить, определив значения К и С
из уравнений (9-18)—(9-22), не пренебрегая га. Приве-
денное ниже выражение получено в предположении,
что wK маио по сравнению с со, в связи с чем
2 з g
<0 — WK ш *
да 2D {0,S^'I«o “<'1a«*do+'Ieo<e,l) +
1“’лв <"«+ «О —(В-Л) ('| >и _ Vм _
-<‘л+0.1 Ч - d 1“ЛВ('Г„<Л+«„«О -
- + в>01] = К + /«„С, (9-26)
где
л==—;
В——1—;
XQ (/Ь>к)
1-е>+/-’лв.
Для всякого заданного установившегося режима
можно рассчитать значения К и «>КС при любой часто-
те колебаний, а использование сформулированного
в предыдущем параграфе критерия позволяет опреде-
лить, склонна ли машина к качаниям. Однако выраже-
204
нне (9-26) очень громоздко и сделать общие выводы
относительно условий, определяющих возможность воз-
никновения качаний, затруднительно. Упрощенный ана-
лиз привадится в [Л. 11, 17 и 48].
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ГЕНЕРАТОРОВ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
39. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В предыдущих главах были изложены методы, с по-
мощью которых, исходя из общих уравнений, можно
получить полные решения ряда проблем, касающихся
синхронных машин. При анализе для упрощения реше-
ния часто вводились допущения, основанные на соотно-
шениях между значениями постоянных, однако сохра-
нялись в-се предположения, принятые в отношении ма-
шины в § 24 и 25 при выводе уравнений (6-19).
В гл. 8 дано полное решение для тока, возникающе-
го при симметричном коротком замыкании генератора.
Оно получено в предположении, что скорость вращения
генератора после короткого замыкания не изменяется.
Аналогичные, но более сложные задачи встречаются
в случае возникновения короткого замыкания или дру-
гого внезапного изменения режима работы в какой-либо
точке энергетической системы, которая может включать
несколько генераторов, связанных трансформаторами,
линиями электропередачи и другими устройствами. Для
такой системы полное решение было бы гораздо более
сложным, в связи с чем появляется необходимость в до-
полнительных упрощающих допущениях.
Свободные токи, возникающие при внезапном изме-
нении в системе, могут быть разделены па сверхпереход-
ную, переходную и апериодическую составляющие так
же, как и токи короткого замыкания, рассмотренные
в гл. 8. Во многих случаях находить полное решение не
требуется. Например, иногда допустимо пренебречь апе-
риодической составляющей и ограничиться определе-
нием периодической составляющей. Подобные упрощен-
ные результаты можно получить, если произвести не-
которые изменения основных предположений, как пока-
205
зано ниже. В зависимости от того, какая составляющая
представляет интерес при решении дайной задачи, вво-
дятся различные допущения.
Для анализа энергетических систем, даже при ис-
пользовании модели цепей, желательно с целью упро-
щения заменить каждый генератор источником неизмен-
ного напряжения и включенным с ним последовательно
полным сопротивлением. Такой метод представления
генератора в схеме замещения системы вносит некото-
рые весьма грубые допущения, описанные в § 40.
Практические задачи анализа энергетических систем
могут быть разделены па четыре группы. Характер до-
пущений, лежащих в основе методов их решения, рас-
сматривается ниже. Для того чтобы оценить точность
полученных результатов, очень важно иметь ясное пред-
ставление о том, какие именно допущения принимаются
при использовании того или иного метода для решения
любой конкретной задачи.
1. Ус т а п о в и в ш и й с я р е ж и м. Если не учитывать
насыщения, неявнополюсная синхронная машина может
быть с достаточной точностью представлена источником
неизменного по амплитуде и фазе синусоидального на-
пряжения и синхронным индуктивным сопротивлением.
Явнополюсная синхронная машина часто замещается
приближенно таким Же образом с использованием син-
хронного индуктивного сопротивления по продольной
оси. Основное затруднение при применении этого мето-
да состоит в определении соответствующих значений на-
пряжения и индуктивного сопротивления с учетом насы-
щения [Л. 19].
2. К о р о т к и е зам ы к а и и я. I [ахождсиие макси-
мального значения гока, возникающего при коротком
замыкании, имеет важное значение, поскольку он опре-
деляет номинальные данные коммутационной аппарату-
ры и наибольшие силы, действующие на проводники
обмоток машин и трансформаторов. Для того чтобы рас-
считать максимальное значение тока, следует найти на-
чальные значения его составляющих, характер же их
дальнейшего изменения не представляет интереса.
3. Динамическая у с т о й ч и в о с т ь. Д.пя изуче-
ния динамической устойчивости энергетических систем
наиболее важна переходная составляющая каждого
тока, поскольку сверхпереходная и апериодическая со-
206
ставляюшие быстро затухают. Ввиду того, что скорость
меньшения переходной составляющей мала, часто до-
пустимо не считаться с ее затуханием Определение
кривой качаний генератора, характеризующей
изменение угла нагрузки после внезапного возмущения,
требует расчетов, при выполнении которых обычно при-
нимается, что генератор имеет постоянное сопротивле-
ние, равное переходному индуктивному сопротивлению.
4. Изменение тока и напряжения при
внезапном изменении режима работы. Часто
возникает необходимость определить характер измене-
ния тока или напряжения после внезапного изменения
режима работы, например внезапного подключения или-
отключения нагрузки. Кроме того, нередко приходится
учитывать действие регулятора напряжения, восстанав-
ливающего напряжение до исходного значения.
40. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ
ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАСЧЕТОВ
Использование схем замещения для исследования пе-
реходного процесса генератора при внезапном измене-
I нии режима работы основало на предположении, что
время затухания или нарастания периодически измепяю-
। щихся величин значительно больше периода переменно
го тока основной частоты, т. е- что э. д. с., индуктируе-
мые в катушке по любой оси вследствие изменения по-
I тока по этой оси, могут не учитываться. Это допущение
I позволяет значительно упростить исследование процесса
короткого замыкания, изложенное в гл. 8. Как показы-
вает анализ, если ввести указанное допущение и, кроме
I того, пренебречь активным сопротивлением якоря, в ре-
I рультате решения уравнений правильно определяется
I периодическая составляющая тока, но вместе с тем пол-
ностью опускаются апериодическая и вторая гармони
чсская составляющие [Л. 47].
I В случае внезапного уменьшения напряжений по про-
| дольной и поперечной осям соответственно па V
I как было принято в § 34, остаются в силе уравнения
I для напряжений (8-16). Если затем положить в уравнении
I для продольной оси —0 и в уравнении для по-
I перечной оси —0, а также принять г„— 0» уравне-
d Ч '
207
«ия (8-16) можно представить в виде:
(10-1)
Схемы замещения для периодических составляющих тока
Рассмотрим вначале уравнения для катушек по про-
дольной оси. Изменения токов tno продольной оси опре-
деляются уравнениями (6-17) при uf =0. Эти уравне-
ния теперь могут быть переписаны следующим образом:
co Р^ ^mdP^f ~ la) pitft
° = к/ + (Lmd + 9 Pl if 4- Lmdpikd + Lmdpid\
0 = LmdPif + I rkd + Kd 4- lkd) Pl ikd 4 - LmdPid’
(Ю-2)
Приложенное напряжение ~ pl в этих уравнениях
представляет собой импульсное напряжение, величина
которого бесконечно велика, а продолжительность дей-
ствия равна нулю. Этот импульс возникает вследствие
внезапного изменения потока по продольной оси, а следо-
вательно, и 4^. Ток по продольной осн id обусловлен
только напряжением по поперечной оси V . Аналогично-
как показано ниже, iQ создается исключительно V
Решение этих уравнений относительно ia может быть
найдено исключением i; и ikd и разложением полученного
выражения па простейшие дроби, как это было сделано
при нахождении полного решения в § 22. Операторное
уравнение имеет вид:
= 1 v O+^oPKI+r” р) I
d xd<pi « п+г;р)(1+г;7) *d
(10-3)
функции времени:
Отсюда можно определить i в
t
t
V_ \ ~T7~!
-Л e d , (10-4)
xd J
208
a соответствующая составляющая фазного тока / , иахо»
дится с помощью уравнений преобразования (6-2) при

cos (iof 4- X),
(10-5)
Следовательно, решение, полученное в предположе-
нии, что изменения величин происходят медленно, дей-
ствительно дает только периодическую составляющую
тока. Решение задач, в которых требуется найти только
периодическую составляющую, значительно упрощается.
Схема Ба
Схема Б й
Схема &а
Схема G5

PncZ54. Схемы замещения для определения периодических состав-
ляющих тока.
а—с учетом сверхпереходной составляющей тока; б—в пренебрежении сверх-
переходной составляющей тока.
Схема замещения (рис. 42,а) при uf=V и значении
t определяемом уравнением (Ю-1), теперь принимает
вид, показанный на рис. 54 (схема Da). Ток, протекаю-
щий в этой схеме, когда к ней приложено напряжение
14 Б. Адкинс
209
1Уд1т)р1> представляет собой апериодическую состав
лающую тока по продольной оси i и соответствует г..
риодической составляющей ia, фазного тока.
Таким же путем может быть найдена периодическая
составляющая фазного тока ia2, обусловленная напря-
жением Va. Согласно уравнениям (6-15) и (10-1
имеем:
IZd • 1
<> ^mqPlkq~^~ Р^ ' I (1(J-G)
0 = 1% + Р\ 1кд -\-Lm4Piq • I
Операторное решение имеет вид:
i =______— V 1 ~ _ 1 + р
’ Л 1 + 7"р *д
откуда выражение для i в функции времени
(10-7)
(10-8)
Соответствующая составляющая фазного тока равна:
t
sin (wf -4-2). (10-9)
Схема замещения по леперечной оси (рис. 42,6) те-
перь преобразуется в схему Qa рис. 54, которая анало-
гична схеме Da, по продольной оси, .но не имеет вет-
ви, представляющей обмотку возбуждения.
Таким образом, с помощью замещения схем Da и Qa
(рис. 54) можно определить периодическую составляю-
щую тока, возникающего при внезапном изменении на-
пряжения, в виде суммы трех составляющих:
1. Исходный ток / 0 .
2. Ток iaX , соответствующий току , который про-
текает в схеме по продольной пси Dei, когда к ней при-
ложено напряжение (V r/w)pl,
3. Ток iaA соответствующий току i , который проте-
кает в схеме по поперечной оси Qa* когда к ней при-
ложено напряжение
210
Мгновенные значения составляющих напряжения» при-
ложенного к фазе Л, определяются уравнениями (8-2).
Следовательно, каждый из токов, представленных урав-
нениями (10-5) и (10-9), отстает на 90° от создающего
его напряжения. /д1 создается напряжением р/0 , a 1а2
напряжением
Схемы замещения для периодических составляющих тока
в пренебрежении сверхпереходной составляющей
Во многих случаях при расчете токов, возникающих
при коротких замыканиях или других внезапных изме-
нениях напряжения, можно пренебречь быстро зату-
хающими сверхпереходными составляющими. Тогда
схемы замещения могут быть упрощены и принимают
вид D6 по продольной оси 1 и Q6 по поперечной оси.
При введении этих допущений ток по продольной оси
состоит только из установившейся и переходной состав-
ляющих. а ток по поперечной оси сразу достигает конеч-
ного установившегося значения.
Схемы замещения для начальных значений периодических
составляющих
Иногда по условиях задачи требуется определить
только начальное значение неустановившегося тока.
В этом случае решение может быть еще более упроще-
но. Затухание тока вызвано рассеянием энергии в ак-
тивных сопротивлениях обмотки возбуждения и успо-
коительных обмоток. Если бы эти активные сопротив-
ления были равны пулю, начальное значение тока со-
хранялось бы неограниченно долго.
Рассмотрим сначала токи по продольной оси. Если
допустить, что активные сопротивления обмотки воз-
буждения и успокоительной обмотки равны нулю,
уравнения упрощаются и принимают виц обычных
алгебраических уравнений, не содержащих опера-
тора р:
1 См. сноску на стр, 144
(10-10)
14*
211
Уравнения (10-10) определяют постоянное значение г
равное начальному значению V /л" тока, описываемого
выражением (10-5). Соответствующая составляющая фа3.
ного тока г представляет собой незатухающий перс,
менный ток, равный:
iai =-77COS(w/-|-l).
xd
Для нахождения начального значения пеустановившс-
гося тока могут быть использованы схемы замещения
рис. 55. Ток ia и создающее его напряжение
являются мгновенными значениями тока и напряжения,
изображаемыми векторами 1, и , которые ориентиро-
ваны таким образом, что Id отстает otL^ на 90°. С уче-
том соотношений между осевыми величинами и состав-
ляющими векторов фазных величин в установившемся
режиме (см. § 28) из уравнений (10-10) следует, что j
представляет собой ток, протекающий в упрощенной
схеме замещения Da на рис. 55, когда к ней приложено
напряжение . Сравнение схемы Da с выражением для
(см. § 25) показывает, что ее общее сопротивление

Рис. 55. Схемы замещения для определения начальных и устано-
вившегося значений тока.
а—с учетом сверхперсхолной составляющей; б—в пренсбреженпп сверхпереход-
ной составляющей; ®—для установившегося режима.
212
равно сверхпереходному индуктивному сопротивлению
по продольной оси Л'У. Аналогичным образом может быть
составлена соответствующая схема по поперечной оси Qu
на рис. 55. Ее результирующее сопротивление равно
сверхпереходному индуктивному сопротивлению по попе-
речи зй оси х^.
[ Токи, определяемые схемами Da и Qa на рис. 55,
являю гея начальными токами, учитывающими влияние
успокоительной обмотки. Если пренебречь сверхпереход-
пыми составляющими, что во многих случаях допустимо,
можно получить еще более простые схемы D6 и Q6,
которые не имеют ветвей, представляющих успокоитель-
ные обмотки. Сравнение схемы D6 с выражением для xd
(см. §25) показывает, что ее общее сопротивление равно
переходпэму индуктивному сопротивлению по продоль-
ной оси х , тогда как сопротивление схемы Q6 равно
синхронному индуктивному сопротивлению по поперечной
оси х, действительному как для переходного, так и
для установившегося режима. Ток, найденный с помощью
этих схем, равен начальному значению неустановивше-
гося тока, который возник бы при отсутствии быстро
I затухающей сверхпереходной составляющей. Например,
если обратиться к рис. 48, ток короткого замыкания,
1 рассчитанный по схеме замещения D6 рис. 55, будет
переменным током, имеющим постоянную, а не затухаю-
щую в соответствии с кривой ЛВ амплитуду, представ-
ленную прямой CD.
1 Для полноты картины на рис. 55 приводятся также
k схемы замещения De и Qe, отвечающие установивше-
муся режиму. Общие сопротивления этих схем равны
синхронным индуктивным сопротивлениям.
Изложенный метод основан на упрощенном пред-
ставлении переходного процесса, согласно которому
переменные напряжения и токи имеют неизменяющие-
ся во времени амплитуды, поскольку, за исключением
внезапного начального изменения, их изменение вроис-
г ходит достаточно медленно по сравнению с периодом
переменного тока основной частоты. Внезапное началь-
ное изменение представляет собой быстрое изменение
амплитуды периодической величины. Если дополнитель-
но предположить, что все активные сопротивления рав-
213
пы нулю, действие внезапного изменения переменного
напряжения на зажимах генератора проявляется про-
сто в изменении амплитуды переменного тока. Измене
ние тока определяется как сумма двух составляющих
токов. Один из них протекает в схеме по продольной
оси, когда к пей приложено напряжение по поперечной
оси, а другой протекает в схеме по поперечной оси, когда
к ней приложено напряжение по продольной оси. Если
бы активные сопротивления действительно были равны
нулю, ток сохранял бы найденное значение, неограничен-
но долго. Однако практически ввиду наличия активных
сопротивлений ток, рассчитанный по этому методу, яв-
ляется только начальным значением. С течением вре-
мени ток изменяется и з конце концов достигает уста-
новившегося значения.
Общие определения переходного и сверхперсходно-
го индуктивных сопротивлений, приведенные в Стан-
дарте ЛТЕЕ [Л. 23], основаны на изложенном выше
представлении о внезапном изменении амплитуд пере-
менных напряжения и тока. Каждое индуктивное со-
противление определяется как отношение составляю-
щей внезапного изменения напряжения к соответствую-
щему изменению тока при условии, что учитывается
только начальное значение периодической составляю-
щей тока, а апериодической составляющей прспебре-
гается. Кроме этих общих определений, существуют
отличающиеся от них определения Л1ЕЕ для индук-
тивных сопротивлений по продольной оси, исходящие
из опыта внезапного короткого замыкания, который,
как отмечалось в § 33, является обычным методом на-
хождения этих величин.
Выбор схемы замещения зависит от условий, по-
ставленных в задаче. Если требуется найти начальное
значение тока, включая свсрхперсходпую составляю-
щую, применяются схемы Da и Qa. Если же сверхпере-
ходной составляющей можно пренебречь, используют-
ся схемы D6 и Q6. К схемам De и Qe обращаются при
расчете установившихся режимов.
Принцип постоянства потокосцепления
При изучении переходных процессов в синхронных
машинах часто используется принцип постоянства по-
токосцепления, сформулированный Догерти (Л. 1]. Он
214
исходит из хорошо известного факта, что потокосцеп-
ление обладающей индуктивностью цепи, активное
сопротивление которой равно пулю, остается неизмен-
ным, какие бы процессы пи протекали в других
цепях, индуктивно связанных с ней. В действительности
при наличии активного сопротивления справедливость
этой закономерности ограничивается тем. что пото-
косцепление обладающей индуктивностью цепи не мо-
жет измениться мгновенно. В случае возникновения
внезапного изменения режима, например короткого за
мыкания, в цепи, индуктивно связанной с рассматри-
ваемой замкнутой цепью, ее потокосцепление в первый
момент остается неизменным, но с течением времени
по мере выделения энергии в активном сопротивлении
изменяется и достигает конечного установившегося зна-
чения.
При использовании принципа постоянства потоко-
сцепления в теории синхронных машин обычно прини-
мается дополнительное предположение, что амплитуды
переменных величин изменяются медленно. Когда это
допущение не вводится, применение принципа приводит
к решению, включающему апериодическую составляю-
щую, как показано Догерти и Никлом |Л. 10]. Если
принять оба предположения, будет получено точно та-
кое же начальное значение периодической составляю-
щей, какое было найдено выше с помощью схем заме-
щения рис. 55, составленных в пренебрежении актив-
ными сопротивлениями. Поскольку схемы замещения
позволяют представить ход решения более ясно, им бы-
ло отдало предпочтение перед методом, основанным
на принципе постоянства потокосцепления.
Векторная диаграмма теории двух осей для внезапных
изменений режима
Схемы замещения Da и Qa на рис. 55 устанавливают
соотношения между изменениями напряжения и тока
генератора при любом внезапном изменении режима
работы. Если генератор связан с энергетической си-
стемой, внезапное изменение может быть вызвано ко-
ротким замыканием или коммутационной операцией
в любой точке системы. Зависимости, полученные из
схем замещения, позволяют построить векторную диа-
грамму, которую можно использовать для определения
215
начальных значений напряжения и тока при переходном
процессе.
Обозначим через и &Ud внезапные изменения
составляющих напряжения, а через Д/ и Д/ соответ-
ствующие изменения составляющих тока. При этом под-
разумевается, что симметрия трех фаз все время сохра-
няется. Тогда из схем Da и Qa на рис. 55, общие ин-
дуктивные сопротивления которых равны соответственно
ха н П0^Учим:
ДЧ,=/Ч' д/л
Отсюда
д<Л=м'' д/.
d * q q
—Mrf 4=const=1 T;
«4-/<4=const=^'-
(10-11)
Таким образом, в течение короткого промежутка вре-
мени после внезапного изменения (при котором О и /
Рис. 56. Векторная диаграмма по
теории двух осей для началь-
ных значений тока и напряже-
ния.
принимают новые значения),
вызванного коротким замы-
канием или коммутационной
операцией где-либо в си-
стеме, напряжения (Л и Ud,
равные разностям между
составляющими U и U
напряжения на зажимах и
падениями напряжения в
сверхпереходных индуктив-
ных сопротивлениях }х"1а и
jx ^Q, остаются неизменны-
ми. Эти соотношения отра-
жает векторная диаграмма на
рис. 56, аналогичная вектор-
ной диаграмме па рис. 37,
за исключением того, что
в ней пренебрегается актив-
ным сопротивлением якоря
гп. Здесь L' Р - падение на-
пряжения в сверхпереход-
ном индуктивном сопротйвле-
216
нии по продольной оси jxd 1 d, N"L" падение напряже-
ния в сверхпереходпом индуктивном сопротивлении по
поперечной оси jx / , а ON” соответствует напряже-
нию О"=O'd -j- , называемому «напряжением за
сверхпереходным индуктивным сопротивлением*. Напря-
жение О" после любого изменения в системе вначале
сохраняется неизменным.
Если машина не имеет успокоительной обмотки или
по условиям задачи можно пренебречь быстро затухаю-
щими сверхпереходными составляющими напряжения и
тока, соотношения между внезапными изменениям'и на-
пряжения и тока определяются схемами замещения Do
Q6 на рис- 55, общие индуктивные сопротивления кото-
рых равны соответственно xd и х_,:
— jxd bld ;
д/,.
Отсюда
О —jx' / , — const- О' ;
q г a Q
O. — jx,i = const = 1/'.
d • (j q «
(10-12)
Таким образом, если сверхпереходными составляю-
щими пренебрегается, при внезапном изменении режима
напряжения О' и О[ , равные разностям между состав-
ляющими Оу и Od напряжения на зажимах и падениями
напряжения в переходных индуктивных сопротивлениях
jx. id и /х lt , первое время остаются неизменными.
На рис. 56 L'P — падение напряжения в переходном ин-
дуктивном сопротивлении пи продольной оси jxdId ,
N'L' — падение напряжения в синхронном индуктивном
сопротивлении по поперечной оси jx^l , a ON' соответ-
ствует напряжению О' —Od 0°', называемому «напря-
жением за переходным индуктивным сопротивлением*.
Напряжение О' после любого внезапного изменения вна-
чале сохраняется неизменным.
217
На рис, 56 показана также векторная диаграмма для
установившегося режима, в которой из напряжения на
зажимах вычитаются падения напряжения в синхронных
индуктивных сопротивлениях jxaf и Здесь ON
соответствует 170 — „напряжению за синхронным индук-
тивным сопротивлением4*, остающемуся неизменным в
любом установившемся режиме.
Векторные диаграммы, отвечающие двум различным
видам переходных 'процессов, аналогичны векторной диа-
грамме для установившегося режима и отличаются
только используемыми значениями индуктивных сопро-
тивлений. Отсюда следует, что применение векторной
диаграммы для определения начальных значений токов
после внезапных изменений режима соответствует ана-
лизу установившегося режима методом двух осей.
Упрощенные векторные диаграммы для внезапных
изменений режима
Если генератор связан с энергетической системой,
применение теории двух осей требует сложных расче-
тов. В этом случае изложенный метод можно значи-
тельно упростить, предположив, что все индуктивные
сопротивления по поперечной оси равны соответствую-
щим индуктивным сопротивлениям по продольной оси:
xq~xd (неявнополюсная машина);
х, = х (отсутствие „переходной явнополюсности*);
х ~xd (отсутствие „сверхпсреходпой явнополюс-
НОСТИ").
На рис. 57 показана векторная диаграмма, построен-
ная с учетом принятого допущения. Точки N, Nr и N"
диаграммы метода двух осей (показанной пунктиром)
сместились и совпали с точками ЛЕ ЛГ и /И", лежащими
на одной прямой, проведенной через точку Р перпенди-
кулярно вектору тока /. Здесь МР— падение напряже-
ния в синхронном индуктивном сопротивлении jxj;
МР — падение напряжения в переходном индуктивном
сопротивлении jx Ц а М”Р — падение напряжения в
сверхпереходном индуктивном сопротивлении jx.l.
Предположение х ~xd в установившемся режиме
означает, что генератор рассматривается как нсягчюпо-
218
люспая машшА. Напряжение за синхронным индуктивным
сопротивлением U s при этом равно ОМ и генератор мо-
жет быть представлен как источник неизменного напря-
жения Us, последовательно с которым включено син-
хронное индуктивное сопротивление x.L' отличается
от (/01 так как значение х изменилось.
При расчете .медленных" переходных процессов,
когда можно пренебречь сверхперсходными составляю-
Это условие отвечает от-
щими, принимается х =xd.
сутствию .переходной явно-
полюсное ги “ и нс имеет
никакой связи с предположе-
нием, что машина является
неявнополюсиой, ввиду влия-
ния обмотки возбуждения.
В действительности оно бо-
лее справедливо для явиопо-
люсных генераторов, чем
для турбогенераторов. В этом
случае напряжение за пере-
ходным индуктивным сопро-
тивлением О' равно ОЛТ, и
генератор может быть заме-
нен источником неизменного
по амплитуде и фазе напря-
жения О' и включенным с
ним последовательно переход-
ным индуктивным сопротив-
лением х^.
При расчете .быстрых"
Рис. 67. Упрощенная вектор-
ная диаграмма для начальных
значений тока и напряжения.
переходных процессов, когда
требуется определить начальные значения напряжения
и тока непосредственно вслед за внезапным изменением,
приближенный метод исходит из предположения, что
машина не имеет .сверхпереходной явнополюсности",
т. е. принимается х'~х'е. Для большинства современ-
ных машин это предположение близко к действитель-
ности, особенно, если их сверхпереходные индуктивные
сопротивления малы по сравнению с индуктивными сопро-
тивлениями внешней системы. Напряжение за сверхпс-
рсходным индуктивным сопротивлением О" равно ОЛТ
2(9
на рис. 57, и генератор может быть представлен как
источник неизменного напряжения U", последовательно
с которым включено сверхпереходное индуктивное сопро-
тивление х',.
и
41. АНАЛИЗ НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ
Если цепи, к которым подключен генератор, обра-
зуют несимметричную трехфазную систему, анализ ста-
новится значительно более сложным, чем для симмет-
ричного режима. Как было показано в § 31, в устано-
вившемся режиме приложенное напряжение обратной
последовательности создает не только ток обратной по-
следовательности, ио и третью гармоническую состав-
ляющую тока. Аналогично токи обратной последова-
тельности вызывают появление третьих гармонических
составляющих напряжения. В общем случае, когда на-
пряжения и токи не заданы, но связаны между собой
соотношениями, устанавливаемыми внешними цепями,
как напряжение, так и ток должны* быть выражены
бесконечными рядами гармонических. При переходных
процессах напряжение и ток могут быть разложены на
составляющие, затухающие с различными скоростями,
причем каждая составляющая содержит бесконечный
ряд гармонических.
В предположении, что скорость вращения остается
постоянной и равной синхронной скорости о, нз уравне-
ний (6-7) следует:
w.— рТ.-РюФ - г 1
’ I (10-13)
шЧ ,Д- nT \ г i . \
q d'^q\a q )
Уравнения для осевых величин, таким образом, ли-
нейны, но значения ud и uq в отличие от симметрич-
ного короткого замыкания явно не заданы. Между осе-
выми напряжениями и токами существуют дополнитель-
ные соотношения, зависящие от внешних соединений, по
они имеют такой вид, что обычный операторный метод
не может быть использован. Тем нс менее для основных
видов несимметричных коротких замыканий получены
полные решения. Для более общих процессов, когда ге-
нератор присоединен к внешней системе, можно исполь-
зовать только приближенные методы анализа, анало-
220
сичные методам, изложенным в предыдущем парагра-
фе. Для исследования несимметричных режимов приме-
няется метод симметричных составляющих, в котором
принимается, что всеми гармоническими можно пре-
небречь.
Однофазное и двухфазное короткие замыкания син-
хронного генератора впервые рассмотрены Догерти и
Никлом [Л. 6]. получившими выражения для неустано-
вившихся токов в цепях якоря и возбуждения и прове-
рившими их осциллографированием. Очень полный тео-
ретический анализ трех различных типов коротких за-
мыканий трехфазного генератора (двухфазного, одно-
фазного на нейтраль и двухфазного на нейтраль) дан
Конкордиа [Л. 42]. Для каждого случая приведены вы-
ражения не только для токов, но и для мгновенных зна-
чений .возникающих момента и напряжения незамкну-
той фазы. Используемый этими авторами метод заклю-
чается в приближенном определении начальных значе-
ний составляющих токов и нахождении постоянных вре-
мени для каждой составляющей.
Болес строгий и полный анализ несимметричных ре-
жимов синхронных машин, в основу которого положено
преобразование Лапласа, содержится в [Л. 55] В этой
работе приводится методика расчета гармонических
для установившихся несимметричных режимов и раз-
работан общий подход к исследованию переходных про-
цессов. Решения, найденные для коротких замыканий,
подтверждают результаты, полученные в [Л. 6 и 42].
Для того чтобы объяснить сущность проблемы, ниже
рассмотрен частный случай двухфазного короткого за-
мыкания. Анализ ограничивается составлением уравне-
ний и получением выражения для тока якоря. Для бо-
лее полного изучения вопроса следует обратиться к ука-
занным выше работам.
Двухфазное короткое замыкание
При коротком замыкании фаз В и С генератора, ра-
ботавшего в режиме холостого хода, фазные напряже-
ния и токи подчиняются следующим соотношениям:
С помощью уравнений преобразования (6-2) и (6-4)
можно получить уравнения для осевых величин;
221
i z cos 0 -| i sin 0 — 0;
ud sin 0 — uq cos h = 0,
где
(1044)
6=w/-p.
Уравнения (10-14) совместно с уравнениями (10-13),
(6-9) и (6-12) при извсстпы-х начальных условиях опре-
деляют напряжения и токи. Однако найти решение не-
легко, поскольку коэффициенты теперь содержат функ-
ции времени, в связи с чем теряется основное 'преиму-
щество, которое дает преобразование к осевым величи-
нам. При получении решений в перечисленных выше
работах осевые величины фактически не используются.
Фазные токи и напряжения или определяются непосред-
ственно, или вводятся эквивалентные двухфазные ве-
личины (а, р составляющие). Тем нс менее независимо
от способа составления уравнений их решение гораздо
сложнее, чем для симметричного режима.
Выражение для тока короткого замыкания, найден-
ное в результате решения уравнений, имеет вид:
оо
J] (- b)n cos (2н 1)04-
П'~^1
где1
1 Выражения для постоянных времени Т {2) и Т справедли-
вы, если правильно определены, постоянные времени Td(} и Tdr
(см. сноску на стр. 141).
222
(10-16)
dO ’
Определения остальных величии приведены в § 25.
Установившееся значение, которое принимает ток
после затухания всех составляющих переходного про-
цссса, определяется следующим гармоническим рядом:
оо
(6оо /3L ( Xd + X2 }
S <- *>"
л—О
COS (2/7 — 1)0.
(10-17)
Уравнение (10-15) для тока, возникающего при не-
симметричном коротком замыкании, аналогично соот-
ветствующему7 выражению (8-10) для тока симметрич-
ного короткого замыкания, за исключением того, что
первый член содержит бесконечный ряд нечетных гар-
монических, а второй член содержит бесконечный ряд
четных гармонических. Амплитуды гармонических за-
висят от величины Ь. которая равна нулю, если „сверх-
переходные индуктивные сопротивления xd и XQ оди-
наковы. Для приближенного анализа можно пренебречь
гармоническими и апериодической составляющей, вхо-
дящей во вторую часть уравнения (10-15). Основная
'гармоническая периодической составляющей равна:

1 ! \
-1-----------J— е а cos (<»/ 4- Л). (10-18)
xd 4 х2 xd 4* 1
223
Установившаяся, переходная и снерхпгреходная
составляющие тока
Выражение для тока (10-18) имеет такой же вид,
как и периодическая составляющая тока симметрично’
го короткого замыкания, определяемая первым членом
уравнения (8-10). Ток также состоит из установившей-
ся, переходной и сверхпереходной составляющих, однако
значения различных индуктивных сопротивлений отли-
чаются от тех, которые входят в выражение для тока
симметричного короткого замыкания.
Основная гармоническая установившегося тока фа
зы В при двухфазном коротком замыкании фаз В и С
после затухания всех составляющих переходного про-
цесса определяется выражением

(10-19)
Нетрудно показать, что тот же результат может быть
получен при использовании метода симметричных со-
ставляющих, если индуктивное сопротивление прямой
последовательности равно xd, а индуктивное сопротив-
ление обратной последовательности х2.
Начальное значение тока с учётом сверхпсреходпой
составляющей согласно уравнению (10 18) может быть
представлено в виде:
(Ю-20)
Начальное значение тока [в пренебрежении сверхпс-
реходной составляющей
cos (wt -|- Л).
(10-21)
К тем же выражениям для начальных значений тока
приводит метод симметричных составляющих, если при-
нять индуктивные сопротивления прямой последователь-
ности равными соответственно xd и х'а. а индуктивное
сопротивление обратной последовательности равным х3.
Отсюда следует, что установившееся и начальное
значения основной гармонической периодической состав-
ляющей тока при двухфазном коротком замыкании
224
легко нантн с помощью метола симметричных состав-
ляющих. При этом используются те же самые индуктив-
ные сопротивления прямой последовательности, что и
в случае симметричного короткого замыкания, а индук-
тивное сопротивление обратной последовательности х2
определяется из уравнений (10-16).
Постоянные времени Г и для переходной и
сверхпереходной составляющих тока отличаются от
соответствующих величин Т и 7 при симметричном
коротком замыкании, которые определяются следующими
выражениями, полученными из формул § 25:
(10-22)
Постоянные времени для несимметричного короткого
замыкания им не равны, поскольку в выражения (10-16)
входит индуктивное сопротивление обратной последова-
тельности %2-
Общий обзор несимметричных коротких замыканий
Выполнив аналогичный анализ для однофазного и
двухфазного коротких замыканий на нейтраль, нетруд-
но убедиться, что основные гармонические составляю-
щие токов и в этих случаях можно определить с по-
мощью метода симметричных составляющих. При этом
используются то же индуктивные сопротивления пря-
мой последовательности xdl xd и xv что и прежде,
однако требуемые значения индуктивного сопротивлс-
ния обратной последовательности отличаются от зна-
чения, найденного для двухфазного короткого замыка-
ния. Следует также учитывать индуктивное сопротивле-
ние пулевой последовательности хо-
В энергетических системах, состоящих из нескольких
генераторов, связанных между собой ‘посредством транс-
форматоров и линий электропередачи, могут возникнуть
более сложные несимметричные короткие замыкания.
При их анализе в соответствии с изложенным целесо-
образно исходить из предположения, что основные гар-
монические составляющие токов короткого замыкания
15 в. Адкнцс
225
могут быть па идеи ьп с использованием метода симмет-
ричный составляющих. Основным затруднением являет-
ся выбор соответствующего значения индуктивного
сопротивления обратной последовательности х2. На осно-
вании анализа пяти различных режимов, представлен-
ного в [Л. 39], Дюстсргофт пришел к выводу, что вели-
чина х2 всегда лежит между двумя предельными зна-
чениями, определяемыми выражениями (7-16) и (7-18):
(10-23)
Если провести сравнение с симметричным коротким
замыканием, обычные приближенные методы- анализа
которого рассмотрены в § 40, главный дополнительный
источник ошибок кроется в наличии гармонических со-
ставляющих. Амплитуды гармонических определяются
величиной fe, а опа в свою очередь зависит от отноше-
ния сверхпереходных индуктивных сопротивлений по
продольной и поперечной осям. Для двухфазного корот-
кого замыкания значение b находится из уравнений
(10-16). Другим несимметричным коротким замыкани-
ям соответствуют отличающиеся от него, но аналогич-
ные по виду выражения для Ь. При равенстве сверхпере-
ходных индуктивных сопротивлений по продольной и
поперечной осям 6=0 и гармонические не возникают.
Более того, нетрудно заметить, что при xd = xr пре-
дельные значения х2, представленные уравнениями
(10-23), становятся одинаковыми.
Для уменьшения гармонических, возникающих при
несимметричных токах, сверхпереходные индуктивные
сопротивления х” и лГ генераторов, которые могут ока-
заться в таком режиме, должны иметь по возможности
близкие значения. Тогда метод симметричных составляю-
щих позволит получить результаты, достаточно точные
для большинства практических применений анализа энер-
гетических систем. Если значения xd и х, почти оди-
наковы, обычно вполне удовлетворительно предположе-
ние, что индуктивное сопротивление обратной последо-
вательности равно среднему арифметическому между
ними согласно* первому из уравнений (10-23). Если же
значения х и х„ значительно отличаются друг от
друга, расчеты становятся неточными. Кроме того, это
может вызвать и другие неприятности, например чрез-
мерное повышение напряжения па незамкнутой фазе.
42. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
ПРИ АНАЛИЗЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изложенные в этой главе приближенные методы
анализа лежат в основе простых способов расчета рас-
пределения токов в энергетических системах для неко-
торых режимов. Как было показано выше, генератор мо-
жет быть заменен источником неизменного синусоидаль-
ного напряжения и индуктивными сопротивлениями
трех последовательностей, необходимые значения кото-
рых выбираются в соответствии с рассматриваемым ре-
жимом. Тогда система превращается в обычную цепь
с сосредоточенными параметрами, и для расчета может
быть использован любой из хорошо известных методов
анализа цепей. Для простых систем, состоящих из двух
или трех машин, можно произвести численные расчеты,
однако при анализе сложных систем нельзя обойтись
без модели цепей или вычислительной машины [Л. 50,
29 и 36].
Ниже приводится краткое описание методов решения
задач различных типов согласно классификации, приня-
той в § 39.
1. Установившийся режим. Определение то-
ков, протекающих в системе в установившихся режимах
при заданных приложенных напряжениях, известно под
названием расчета распределения нагру-
зок. Подобный расчет можно выполнить, предположив,
что каждый генератор имеет известное возбуждение, и
использовав его синхронное индуктивное сопротивление.
Постоянное возбуждение соответствует неизменному
«напряжению за синхронным индуктивным сопротивле-
нием» которое принимается в качестве напряжения
источника питания. Однако индуктивное сопротивление
вследствие насыщения не имеет определенного значе-
ния. Более того, практически генератор обычно работает
при неизменном напряжении, поддерживаемом с по-
мощью регулятора напряжения, а не при неизменном
15* 227
Возбуждении. Таким образом, расчет распределения на-
грузок для установившихся режимов является задачей
чистой теории цепей. При се решении задается напря-
жение генератора, а его характеристики в рассмотрение
не входят.
Характеристики генераторов более важны при ис-
следовании устойчивости работы в установившемся ре-
жиме, т. е. статической устойчивости. Энергетическая
система статически устойчива, если изменение электро-
магнитного момента любого генератора, обусловленное
медленным и небольшим изменением углового положения
ротора, стремится возвратить генератор в исходное со-
стояние. Для проверки устойчивости может быть ис-
пользована модель цепей, па которой собирается схема
заданного режима работы, после чего производится ма-
лое изменение режима, измеряются токи и рассчитывает-
ся изменение момента. Генератор должен быть пред-
ставлен своим индуктивным сопротивлением и источни-
ком питания, создающим неизменное напряжение, рав-
ное напряжению за этим индуктивным сопротивлением.
При отсутствии насыщения можно было бы взять значе-
ние синхронного индуктивного сопротивления, однако
практически следует выбирать меньшее значение, опре-
деляемое наклоном кривой намагничивания в точке, где
возникает малое изменение. Значение индуктивного со-
противления, принимаемое при расчете статической
устойчивости, называется эффективным син-
хронным индуктивным сопротивлением
или эквивалентным индуктивным сопро-
тивлением и составляет обычно 0,6—0.8 синхронно-
го индуктивного сопротивления.
2. Короткие замыкания. Когда в энергетиче-
ской системе происходит короткое замыкание, ток мгно-
венно возрастает до значительной величины, а потом за
несколько секунд затухает до нового установившегося
значения (рис. 47). Неустановившийся ток состоит из
периодической составляющей, не зависящей от момента
возникновения короткого замыкания, и апериодической
составляющей, смещающей кривую тока в течение не-
большого отрезка времени после короткого замыкания.
Начальное значение периодической составляющей мо-
жет быть найдено с помошыо модели цепей, если каж-
дый генератор заменить сто сверхпереходны-м индуктив-
228

цым сопротивлением и-неизменным «напряжением за
£верхпереходным индуктивным сопротивлением», кото-
рое принимается в качестве напряжения источника пн-
гания. Напряжение за свсрхпереходньгм индуктивным
сопротивлением t/'7 было определено в § 40. На модели
цепей вначале собирается схема исходного установивше-
гося режима, и из нее находятся значения U" для каж-
дого генератора. Затем в схему вносятся изменения
с тем, чтобы представить режим, возникающий после
короткого замыкания. В новом режиме сохраняются те
же значения U". Тогда ток, протекающий в любой точ-
ке схемы, будет представлять собой начальное значение
периодической составляющей.
Максимальный ток больше начального значения ам-
плитуды периодической составляющей вследствие сме-
щения, обусловленного апериодической составляющей.
В наихудшем случае, если короткое замыкание проис-
ходит в наиболее неблагоприятный момент времени, это
значение может удвоиться. Ввиду быстрого затухания
тока теоретическое начальное значение никогда не 'воз-
никает, что подтверждается рис. 47 (фаза С). Поэтому
в соответствии с определением Британского стандарта
№ 116 максимальная величина тока обычно принимает-
ся равной 1,8 начального значения амплитуды периоди-
ческой составляющей, рассчитанной согласно изложен-
ным выше методам. Таким образом, если действующее
значение начального тока, найденное с использованием
одного из методов анализа цепей, равно /максималь-
ное значение тока составляет 1,8 [/*2Г'.
г 3. Динамическая устойчивость. При воз-
никновении в системе короткого замыкания апериоди-
ческая и свсрхпереходпая составляющие тока затухают
в течение долей секунды, однако переходный процесс,
вызванный возмущением, длится несколько секунд.
Если система во время этого переходного процесса
устойчива, генераторы в конце концов переходят в но-
вый установившийся синхронный режим. С другой сто-
роны, сильное возмущение может привести к потере
устойчивости, в результате чего генераторы выпадают
из синхронизма и должны» быть отключены. Протекание
процесса сильно зависит от механических характери-
стик генераторов, поскольку их рогорц то ускоряются,
229
го замедляются, вызывая колебания мгновенных значе
ний углов нагрузки. Для анализа динамической
устойчивости системы рассчитывается кривая
качаний каждого генератора. Кривая качаний ха-
рактеризует изменение угла 6 во времени (см. § 35).
Если апериодическая и сверхпереходная составляю-
щие не учитываются, генератор в течение небольшого
промежутка времени после короткого замыкания (до
половины секунды) может быть заменен его переходным
индуктивным сопротивлением и неизменным «напряже-
нием за переходным индуктивным сопротивлением» 6",
как было показано в § 40. Из этого представления ис-
ходит обычный метод расчета динамической устойчиво-
сти. В его основе лежит предположение, что потоко
сцепление обмотки возбуждения за рассматриваемый
отрезок времени не изменяется. Это вносит ошибку, уве-
личивающуюся с течением времени. Обеспечиваемая
методом точность достаточна для расчета первого коле-
бания, однако на него нельзя положиться при расчете
последующих колебаний. При использовании метода
рассчитывается только первое колебание. Можно счи-
тать, что генератор, не выпавший за это время из сип
хронизма, перейдет в установившийся режим.
Расчет производится методом последовательных ин-
тервалов, согласно которому по отдельности опреде-
ляются значения момента генератора для каждого из
нескольких следующих друг за другом малых проме-
жутков времени. Изменение скорости при качаниях не-
значительно, и момент для любого времени принимает-
ся пропорциональным мощности. Считается, что момент,
сообщаемый каждому генератору его первичным дви-
гателем, во время возмущения остается постоянным,
в связи с чем ротор-генератор ускоряется, если электро-
магнитный момент в результате короткого замыкания
уменьшается. Для определения начального изменения
момента производится расчет токов с помощью модели
цепей. Способ расчета аналогичен изложенному выше,
за исключением того, что вместо сверхпереходного ин-
дуктивного сопротивления вводится переходное индук
тявное сопротивление. Каждый генератор замещается
на модели цепей напряжением U' и индуктивным сопро-
тивлением Если ускоряющий момент известен, мож-
но найти изменение угла 6 за установленный интервал
230
| времени, а затем повторно представить каждый тенора-
тор на модели при новом значении угла. Это позволит
определить новое значение момента для следующего ин-
тервала.
Метод последовательных интервалов трудоемок, и
для сокращения числовых расчетов разработано много
I различных вспомогательных вычислительных устройств.
I Болес того, его точность невелика, поскольку он не учи-
I тывает затухание потокосцепления обмотки возбуждс-
|пия, влияние успокоительной обмотки и различие пере-
уодных индуктивных сопротивлений по «продольной и по-
перечной осям. Тем не менее он хорошо зарекомендовал
себя как практический метод анализа динамической
Я устойчивости энергетических систем Э тот вопрос очень
подробно рассмотрен в [Л. 361
4 Изменения тока и напряжения после
il внезапного изменения режима. Описанные
выше методы позволяют определить начальные значе-
1 иия напряжения и тока в системе непосредственно вслед
за внезапным изменением режима, а также их конечные
значения в установившемся режиме. Однако часто воз-
W никает необходимость приближенно определить харак-
1 тер изменения величины- в промежуточный период. Ме-
1 тод последовательных интервалов, используемый для
I анализа динамической устойчивости, учитывает влияние
J изменения угла ротора, пренебрегая изменением потока,
и дает возможность рассчитать изменение всех величин
при этих условиях. В других задачах качания ротора
менее важны, однако должно быть принято во внимание
изменение распределения потока во времени, Для их ре-
мнения применяется несколько отличный метод, который
поясняется ниже па двух простых примерах. Расчет
в этом случае значительно упрощается по сравнению
с методом последовательных интервалов, однако метод
I является очень приближенным и должен применяться
с осторожностью.
По аналогии с процессом короткого замыкания при-
нимаотся, что изменение тока между начальным и ко-
> печным значениями может быть разложено на состав-
ляющие, каждая из которых изменяется экспоненциально
с определенной постоянной времени. Таким образом, за-
• дача состоит в определении амплитуд и постоянных вре-
мени для этих составляющих. Поскольку обычно рас-
231
сматриваются одна или две составляющие, применение
метода к сложным системам может привести к грубой
ошибке.
Резкое увеличение нагрузки 1енератора
Если к генератору, работающему в режиме холостого
хода при постоянном возбуждении, подключается на-
грузка, напряжение на его зажимах падает и в конце
концов достигает нового установившегося значения. Про
стым примером такого процесса является пуск крупного
Рис. 58. Изменение напряжения при резком
увеличении нагрузки.
/—с регулятором напряжения; 2—при постоянном
возбуждении.
асинхронного двигателя, подключаемого к генератору.
Напряжение вначале резко падает, а затем снижается бо-
лее медленно, как показано сплошной линией на рис. 58.
Если нагрузка представляет собой чисто индуктивное
сопротивление, решение можно найти, прибавив внешнее
индуктивное сопротивление х... к сопротивлению гене-
ратора и воспользовавшись зависимостями, полученны-
ми в § 32 для короткого замыкания. Периодическая со-
ставляющая тока, возникающего после подключения на-
грузки, согласно уравнению (10-5) равна:
t
232
I
cos (и/—|~Л),
(10-24)
гдс v — действующее значение напряжения до подклю-
чения нагрузки, а добавочный индекс z означает, что
при расчете постоянных по формулам § 25 вместо ха
должно использоваться индуктивное сопротивление Д‘я +
Ь-х . Таким образом,
(12
dz

(10-25)
dz ^rka
Действующее значение напряжения на зажимах гене-
ратора равно:
На рис. 58 сплошной линией показано изменение на-
пряжения на зажимах в функции времени. Вначале на-
пряжение внезапно падает от исходной величины V до
, г
начального значения после изменения режима -j,-—у.
xd “Ь*вн
Это начальное значение могло бы быть определено по-
другому, исходя из предположения, что V представляет
собой напряжение за сверхпереходным индуктивным
сопротивлением генератора.
233
Если быстро затухающей сверхпереходной составля-
ющей, определяемой третьим членом уравнения (10-26),
пренебрегается, напряжение внезапно падает от исход-
ного значения V до начального значения РИ—-V, kg-
*d + Лж
торос могло бы быть найдено в предположении, что V
является напряжением за переходным индуктивным со-
противлением генератора.
Наконец, установившееся значение напряжения
хвн
— У может быть найдено согласно обычной теории
установившихся режимов, если допустить, что V пред-
ставляет собой напряжение за синхронным индуктивным
сопротивлением генератора.
Таким образом, зависимость изменения напряжения
па зажимах можно рассчитать, определив начальные
неустановившиеся и установившееся значения напря-
жения с помощью векторных диаграмм на рис. 56 или
57, а затем подобрав соответствующие постоянные вре-
мени для составляющих изменения.
Переходная постоянная времени 7^,. выраженная чет-
вертым из уравнений (10-25), зависит от внешнего индук-
тивного сопротивления. Она равна Та. если хвц=0 (ко-
роткое замыкание), и когда х1н = ею (холостой ход).
При любом заданном сопротивлении нагрузки значение Т \
лежит между этими предельными величинами. Анало-
гично значение сверхпереходной постоянной времени 7
является промежуточным между Т" и 7^{).
Подобные расчеты играют важную роль при изучении
действия регулятора напряжения, применяемого для под-
держания постоянства напряжения. Действие регулятора
не может быть настолько быстрым, чтобы предупредить
резкое падение напряжения до начального значения
хвн
—-------V, однако он может за короткий срок восста-
+ Хвн
повить напряжение до исходного значения, автоматиче-
ски увеличивая возбуждение. Этот процесс иллюстри-
руется пунктирной кривой на рис. 58. Для того чтобы
рассчитать такую кривую, необходимо рассмотреть дей-
234
ствие регулятора напряжения отдельно и применить
принцип наложения. Более подробное изложение этого
вопроса можно найти в [Л. 28].
Нарастание напряжения после отключения нагрузки
При внезапном отключении нагрузки напряжение
генератора возрастает вначале быстро, а затем более
медленно до тех пор, пока не будет достигнуто новое
^становившееся значение. и/г
Кривую изменения на- ;____________j _________
пряжения можно рассчи- и , slSS-—----------
тать описанным выше /
методом. Обычно сверхпе- U
реходный процесс длится — ------------
очень кратковременно и
его влияние несуществен-
но. Поэтому в ’приведен-
ном ниже анализе он не________________________£
учитывается. О
Рис. 59. Изменение напряжения
при внезапном отключении на-
грузки.
Если исходному ре-
жиму генератора под на-
грузкой СООТВеТС ВуСТ век- j—ПрН постоянном возбуждении; 3—
с регулятором напряжения.
торная диаграмма, при-
веденная на рис. 56,
напряжением за синхронным индуктивным сопротив-
лением является Uq. Исходя из этого, в пренебреже-
нии насыщением установившееся значение напряжения
после отключения нагрузки равно Uq. Напряжением за
переходным индуктивным сопротивлением является Uf.
Оно определяет начальное значение напряжения непо-
средственно после отключения нагрузки. Соответствую-
щая постоянная времени представляет собой переход-
ную постоянную времени по продольной оси при холо-
стом ходе Г^о- Следовательно, действующее значение
напряжения равно:

(10-27)
Его изменение показано на рис. 59 оплошной линией.
Практически задача обычно сводится к определению
времени, в течение которого регулятор напряжения мо-
235
жст восстановить напряжение до нормального значения,
и максимального значения напряжения, возникающего
при этом. Действие регулятора, а также влияние изме-
нения скорости вращения генератора после отсоедине-
ния от системы можно исследовать, применив приищи
наложения. Пунктирной кривой на рис. 59 показано из-
менение напряжения генератора после отключения от си-
стемы при наличии регулятора. Пунктиром представле-
но также влияние сверхпереходного процесса на ход
кривой в начальной части. Следует отметить, что уста
повившееся значение напряжения l/о, найденное этим ме-
тодом, будет значительно завышено ввиду пренебреже-
ния насыщением. Тем не менее расчет кривой напря
жепия при наличии регулятора, ограничивающего нара-
стание напряжения, будет достаточно точным.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ОБОБЩЕННАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ МАШИНА
43. МАТРИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Как было показано выше, уравнения всех рассматри-
ваемых типов вращающихся электрических машин мо-
гут быть представлены в одинаковом виде. Для этого
в случае необходимости производится соответствующее
преобразование переменных. В обобщенных уравнениях
напряжения и токи относятся к двум неподвижным
осям независимо от того, являются ли они действитель
ными величинами или фиктивными, полученными в ре-
зультате преобразования. Для машины» постоянного
тока, которая может иметь щетки, расположенные или
по одной, пли по обеим осям, в уравнения входят дей-
ствительные величины. В уравнениях синхронной маши-
ны напряжение и ток обмотки возбуждения представ-
ляют собой реальные величины, а напряжения и токи
обмотки якоря являются фиктивными преобразованны-
ми величинами. При анализе асинхронного двигателя
напряжения и токи вращающейся обмотки должны быть
преобразованы, как и для синхронной машины. Величи-
ны статора асинхронного двигателя могут быть реаль-
ными, если на статоре расположена двухфазная обмот-
ка, однако в случае трехфазной обмотки их следует
236
преобразовать к эквивалентной двухфазной обмотке.
Преобразование, осуществляемое для замены реальных
напряжений и токов вращающихся обмоток фиктивными
осевыми величинами, но существу представляет собой
алгебраическую подстановку, использующую систему
уравнений преобразования.
Поскольку все типы машин описываются аналогич-
ными по виду обобщенными уравнениями, появляется
возможность пересмотреть теорию электрических машин
и изложить ее по-новому. Для любой машины обобщен-
ные уравнения можно составить, исходя из схемы маши-
ны, подобной схемам, представленным на рис. 5. 39 и 40.
Число катушек по продольной и поперечной осям вы-
бирается в соответствии с особенностями рассматривае-
мой машины. Обобщенные уравнения для фиктивных
величин на любой стадии анализа при введении соответ-
ствующей подстановки могут быть преобразованы» в но-
вые уравнения для действительных величин. Однако
чаще всего такое преобразование нс требуется до тех
пор, пока не будет получено решение. Во всех рассмот-
ренных выше задачах, касающихся машин переменного
тока, решались непосредственно уравнения для осевых
величин, а действительные напряжения и токи опреде-
лялись через осевые величины с помощью уравнений
преобразования.
Матрица, составленная из коэффициентов системы
уравнений преобразования, называется матрицей
преобразования. В общем случае требуются две
системы уравнений; одна для напряжений, а другая для
токов, хотя обо системы обычно связаны между собой.
Преобразование фазных напряжений и токов вращаю-
щейся трехфазной обмотки в осевые величины представ»
лено в матричном виде уравнениями (6-1) и (6-3).
В этом частном случае матрицы преобразования для на-
пряжений и токов одинаковы. Матрицы обратного пре-
образования в уравнениях (6-2) и (6-4), определяющих
фазные величины через осевые, также одинаковы. Пре-
образование величин неподвижной трехфазной обмотки
в соответствующие величины эквивалентной двухфазной
обмотки описывается уравнениями (6-28) и 6-30).
Кроме преобразования фазных величин в осевые су-
ществует много других видов 1преобразоваиим, посред-
ством которых одна система переменных может быть
237
связана с другой системой. В этой главе рассматривают-
ся три таких преобразования:
1. Преобразование для уменьшения числа перемен-
ных, когда между цепями существуют внешние соеди-
нения.
2. Преобразование коллекторной обмотки при уста-
новке щеток не по осям.
3. Преобразование для уменьшения числа перемен-
ных в симметричном многофазном режиме.
Как уже отмечалось выше, вместо того чтобы непо-
средственно решать обобщенные уравнения, их можно
преобразовать в новые уравнения, содержащие другие
переменные, которые и использовать для нахождения
решения. При анализе синхронных машин такой путь
обычно приводит к более сложным уравнениям и за-
трудняет решение. Тем не менее для целого ряда дру-
гих задач этот метод может упростить решение, особенно
в тех случаях, когда преобразование приводит к умень-
шению числа переменных.
Таким образом, применение обобщенной теории для
решения частных задач осуществляется следующим об-
разом:
1. Составляется схема обобщенной или «элементар-
ной» машины.
2, Записываются обобщенные уравнения.
3. Составляется матрица преобразования, и обоб-
щенные уравнения преобразуются таким образом, чтобы
получить новую систему с меньшим числом уравнений
или легче поддающуюся решению. Напряжения и токи
в новых уравнениях обычно являются реальными вели-
чинами, одпако пе исключается и возможность введе-
ния системы фиктивных величин, если это дает какие-
либо преимущества.
Алгебраические действия, требующиеся для преоб-
разования уравнений, лучше всего выполнять с исполь-
зованием методов матричной алгебры. Ниже рассмотре-
ны некоторые из более простых методов и показано их
применение для решения ряда типичных задач.
Матричное умножение
В матричном обозначении матрица, представляющая
собой таблицу, составленную из miioihx отдельных ве-
личин, обозначается одной буквой» заключенной в квад-
238
ратные скобки. Таким образом, система
вида:
уравнении
(11-1)
может быть представлена в виде матричного уравнения:
«1
«2
«3
Z11 7 ^12 Лэ
^21 ^22 -?аз
Z ^32 ^зз
(11-2)
или при сокращенной записи

(11-3)
где [zz] и [/] — матрицы первого ранга, а [2]—матрица
второго ранга.
Наиболее важным действием над матрицами являет-
ся матричное умножение. Например, в уравне-
нии (11-3) [Z] «умножается» на [/]. Однако матричное
умножение представляет собой более сложную опера-
цию, чем умножение обычных чисел, и правила, которые
должны при этом соблюдаться, имеют некоторые особен-
ности. Матричное умножение применяется главным об-
разом для упорядочения операции алгебраической под-
становки, осуществляемой при преобразовании пере-
менных, и объяснить его лучше всего именно на таком
примере.
Допустим, что требуется преобразовать переменные
/а и i3 в новые переменные Г, i\ связанные с исход-
ными следующими уравнениями:
(П-4)
239
Матричное уравнение имеет вид:
или
РМС)-[Г].
(Н-5)
Если подставить выражения (11-4) в уравнения (11-1),
соотношения между «а, ;/3 и i', i* могут быть пред-
ставлены матричным уравнением:
или
(11-8)
Матрица [Л] называется матричным произве-
дением [Z\ и [С]:
Таким образом, правило матричного умножения заклкг
чается в том, что каждый элемент матричного произве-
дения |/С| находится как сумма произведений элементов
строки первой матрицы [Z] на соответствующие элементы
столбца второй матрицы [С].
Если записать [ЛС] в виде:
[К]=
Kti
к» ка
к» ^32
(1Ы0)
2-ю
то
п
(11-11)
Это правило матричного умножения относится и
к произведению в правой части уравнения (11-2). Ис-
ходные уравнения (11-1) можно получить из выражения
(11-2) нахождением матричного произведения соглас-
но установленному выше правилу.
Умножение двух матриц может быть выполнено
только при соблюдении некоторых условий. Для более
полного ознакомления с методами матричной алгебры
читателю следует обратиться к учебникам, например
[Л. 33].
Преобразование матрицы сопротивлений
Когда, помимо преобразования токов напряжения ut,
ий и также преобразуются в напряжения и между
матрицей преобразованных напряжений [я'] и матрицей
преобразованных токов [Г] существует соотношение
= (Н-12)
где [Z'] — матрица преобразованных сопротивлений.
Если преобразование напряжений определяется выра-
жением:
или
то
отсюда
И ^[В] -и- iq- [Г],
R'l=!/?]• [Z] [С].
(11-13)
(11-14)
(11-15)
Таким образом, новая матрица сопротивлений полу-
чается в результате двух последовательных матричных
умножений, которые должны производиться в опреде-
ленном порядке.
| 6 Б. Адкинс
241
Инвариантность мощности
Следует заметить, что две матрицы- [В] и [С] отли-
чаются друг от друга в связи с тем, что [В] преобразует
исходные напряжения в новые, тогда как [С] преобра-
зует новые токи в исходные. С математической точки
зрения эти две матрицы преобразования могут быть со-
вершенно не связаны между собой. Однако в приклад-
ных задачах переменные имеют физический смысл, и на
выбор их преобразований накладываются ограничения.
Для электрических машин и цепей общая мощность
в обычных единицах является -определенной величиной
независимо от того, как выражены напряжения и токи.
Если изменения переменных связаны с изменением си-
стемы единиц, коэффициент kp в уравнении (2-5) мо-
жет иметь различные значения для двух систем описа-
ния. Если же преобразование осуществляется без изме-
нения коэффициента, то
Р — k S (ui) — k£
(1146)
В этом случае о мощности говорится, что опа при
преобразовании инвариантна.
При выполнении этого условия между матрицей пре-
образования напряжений [В] и матрицей преобразова-
ния токов [С] существует простое соотношение. Для взя-
того примера
* - - i <• I «3 uj j L
• .9
и I ,
Я 2
Если теперь подставить и /, из уравнений (11-4)
в левую часть, а также и и и из уравнений (11-13)
в правую часть равенства, получим:
^*31^3^ F 2 — 1 -J-
^8«з‘\ ^22^2^2 “F ^23^з\*
Полученное тождество справедливо для любых зна-
чении rz2, zz3, и Л Следовательно,
1^1-[CJ.
(11-17)
212
где [CJ — матрица, транспонированная относительно мат-
рицы JC|. Транспонированная матрица получается из
исходной при взаимной замене соответствующих строк
и столбцов. Таким образом, элементы п-го столбца [CJ
равны элементам л-й строки ] С], т. е.
(С,)„=С„.
••
Это соотношение, очевидно, остается в силе для
матриц с любым числом строк и столбцов. Поэтому,
если известно, что мощность инвариантна, необходимо
только найти матрицу преобразования токов [С]. Матри-
ца преобразования напряжений равна [С/], а матрица
преобразованных сопротивлений определяется выраже-
нном

(11-18)
Матрица соединения
Составление уравнений для электрической цепи или
системы, состоящей из нескольких взаимно связанных
ветвей, часто является длительной процедурой. Уравне-
ния могут быть получены более простым и последова-
тельным способом, если вначале составить их для отдель-
ных ветвей, а затем преобразовать с учетом взаимных
связей между ветвями. Этот метод может быть исполь-
зован для систем, содержащих как машины, так и стати-
ческие элементы, однако рассмотренный ниже пример
касается простой системы, состоящей из индуктивно свя-
занных катушек.
На рис. 60,а показаны три катушки, нс имеющие
электрических связей. Активное сопротивление, полная
индуктивность, приложенное напряжение и ток каждой
катушки обозначены через г, L, у и i с соответствующим
индексом —1, 2 или 3. ЛГгз, Мм и ТИ12 являются взаим-
ными индуктивностями. Буквы Н и К означают начало
и конец каждой катушки по отношению к определенно-
му направлению намотки. Тогда операторные уравнения
системы могут быть представлены матричным уравне-
нием:
[о] = И ф], (11-19)
16*
213
где
|2]=
ri + Ltp MiiP Л133р
Млр Мир
МгхР Mi3p гг+Цр
(11 -20)
Допустим далее» что три катушки взаимно связаны,
как показано на рис. 60.6, а последовательно с ними
включены напряжения z/p и2 и иу Взаимная связь накла-
Рис. 60. Преобразование простой цепи,
а—элементарная цепь; б—реальная цепь.
дывает ограничение, в связи с чем распределение токов
можно определить, исходя только из двух токов, напри-
мер контурных токов t и Л Новые токи связаны с ис-
ходными токами матричным уравнением:
или
244

(П-21)
где
|С]=
(11-22)
называется матрицей соединения.
Как известно, если в качестве новых переменных
напряжений принимаются контурные напряжения ut и
и , мощность при этом преобразовании инвариантна.
Таким образом, можно использовать полученное выше
соотношение:
['ЛМЛФ'Ь (И-23)
где
|Z'] = [Cf]-[Z].[C].
(1Ы8)
Равенство матрицы преобразования напряжений и
транспонированной матрицы преобразования токов можно
легко подтвердить из рассмотрения схемы на рис. 60,6.
Имеем:
(11-24)
т. с.

Этот метод справедлив для любых взаимных соеди-
нений при любом числе ветвей и удобен для составления
уравнений электрической цепи или системы.
Операции должны выполняться в следующей после-
довательности:
1. Составление матрицы сопротивлений [Z] для эле-
ментарной цепи, где каждая ветвь рассматривается от-
дельно.
246
2. Составление матрицы соединения [С] для данного
случая взаимных соединений.
3. Определение новой матрицы сопротивлений [Z']
согласно уравнению (11-18) с помощью двух последо-
вательных матричных умножений.
Матрица сопротивлении для цепей переменного тока
Когда для анализа цепей переменного тока исполь-
зуются уравнения в символической форме, необходимо
внести некоторые коррективы в связи с изменением вы-
ражения для мощности. Комплексная мощность при
этом остается инвариантной:
(п-25)
Если комплексные напряжения и токи связаны мат-
ричным уравнением
P1 = [2J(/J,
а преобразование токов определяется соотношением
И = [С| [/'],
где элементы [Z] и [С] могут быть комплексными вели-
чинами, матрица преобразованных сопротивлений будет
иметь вид:
(r] = ICJ.IZMCJ. (11-26)
На матрице соединения, выраженной уравнением
(1122), это изменение по скажется, так как она не со-
держит комплексных элементов, однако в дальнейшем
используются и комплексные преобразования.
Другие преобразования
Ниже приводятся примеры других видов преобразо-
ваний. Для некоторых из них мощность не инвариантна,
и выражение (11-18) нельзя использовать без введения
особого коэффициента.
Следует отметить, что при преобразовании от фаз-
ных величин к осевым, описываемом уравнениями (6 1)
и (6-3), мощность не инвариантна, поскольку се значе-
ния определяются выражениями (6-5) и (6-6), в кото-
рые входят различные числовые коэффициенты. Причи-
на этого, как было отмечено в § 23, кроется в том, что
базисные единицы осевых и фазных токов неодинаковы.
246
44. ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИИ МАШИНЫ
С ТРЕМЯ КАТУШКАМИ
Для того чтобы показать, насколько обширна об-
ласть применения обобщенной теории, в этом параграфе
рассмотрено несколько простых примеров, которые ис-
ходят из идеализированной схемы, приведенной на
рис. 61. Для машины, представленной двумя катушками
якоря D и Q и катушкой возбуждения F (рис. 61), мат-
рица операторных сопротивлений имеет вид:
(11-27)
а электромагнитный момент равен:
т, —k со[L .Li -k(L.— L I.
эм р I md f q * ' a q' d q*
(11-28)
Против строк и столбцов матрицы [Z] поставлены
буквы f, dt q. показывающие, с какими переменными
связаны элементы матрицы.
Машина постоянного тока
। Поперечная
Рис. С>1. Схема обобщенной машины
с тремя катушками.
Уравнения непосредственно относятся к генератору
поперечного поля, имеющему три цепи, показанные на
рис. 62. Если исклю-
чить цепь Z), уравнения
могут быть использо-
ваны для обычной -ма-
шины постоянного то-
ка, обмотка якоря ко-
торой .представляет со-
бой только одну цель.
Синхронная машина
В уравнения входят
фиктивные осевые на-
пряжения 1И токи, и для
того чтобы перейти к
247
Рис. 62. Схема машины постоянного тока
с двумя цепям» якоря и одной цепью возбуж-
дения.
фазным величинам, необходимо выполнить преобразова-
ние. Таким образом, хотя уравнения имеют тот же вид.
’что и для машины постоянного тока, толкование их со-
вершенно иное.
Машина постоянного тока со сдвинутыми щетками
На рис. 63 показана схема машины постоянного тока
с одной парой щеток, обозначенной буквой Л. Щетки
смещены относительно продольной оси на угол а. Мат-
рица сопротивлений может быть получена из уравнения
(11-27) с помощью простого преобразования.
Токи в машине по рис. 63 будут создавать такую же
[ Поперечная
Рис. 63. Схема машины постоянного
тока со смешенными шетками или
репульсионного двигателя.
н. е., как и токи в ма-
шине по рис. 61, если
/' =/ cos а;
а а
sin а
Следовательно, пре-
образование определяет-
ся матрицей:
248
ИЛИ
(П’29)
|С] является матрицей соединения» которая может
быть использована для преобразования уравнений» По-
скольку мощность инвариантна, новая матрица сопро-
тивлений имеет вид:
I Для того чтобы определить матрицу [Z'], вначале
находится матричное произведение [Z]-[C]:
iz]-[q = rf+ Lfp Lmd Pcosa
^mdP <ra+ LdP'> cos ° H p sin a
— Ld4 COS a + (rj h sin a
Матрица, транспонированная относительно [С], равна:
[CJ =
1
COS a sin a
Тогда второе матричное умножение дает:
|Z'] = [CJ-[Z]-[C]~
Amdpcosa
Lm^P cos а ~
— v sin а)
ra+ +
+ LQp sin2 a —
— (Ld— L ) sin a cos T-
(11-30)
Репульсионный двигатель
Схема на рис. 63 относится также и к репульсионно-
му двигателю. Поэтому для него остаются в силе полу-
ченные выше уравнения. Отличие репульсионного двига-
теля от машины постоянного тока проявляется в сле-
дующем:
L К обмотке статора приложено переменное напря-
жение, а щетки замкнуты накоротко.
249
2. Воздушный зазор равномерен, следовательно, Ld=
3. Угол а изменяется в широких пределах для регу-
лирования скорости вращения двигателя (в машине по-
стоянного тока значение а близко к 90°).
В этом случае матрица операторных сопротивлений,
представленная выражением (11-30), упрощается:
[Z'] =
Lmd? cos а
Lmd (Р cos а—у sin а)
. (11-31)
В установившемся режиме приложенное напряже-
ние изменяется с частотой о/2л, а скорость вращения
остается постоянной. Уравнения в символической фор-
ме можно получить, если заменить р на /и и ввести
комплексные напряжения и токи, как было показано
в § 7, Представим скорость вращения в виде у = где
v — постоянная. Тогла
cos а
jXm (cos а— V sin а)
(11-32)
X *
m md9
где
‘ A' — co/. ; Xt~ • X =mL .
m md9 / p a a
Среднее значение момента равно:
Жэм= Re (Lmd/fQ = fepRe (XmtfIa sin a). (11-33)
Симметричный многофазный режим синхронной машины
Для нормального установившегося режима синхронной
машины i}t id, i^, и , ud и я являются величинами по-
стоянного тока. При подстановке р — 0 и v=co урав-
нения принимают вид:
(11-34)
ХтЛ
25П
В § 28 было показано, что комплексные величины,
изображающие фазные напряжения и токи, равны:
Объединив второе и третье из уравнений (11-34) и
подставив и i^—^2 jL, получим:
Для неявнополюсной машины при уравнения
еще более упрощаются:
45. УРАВНЕНИЯ МНОГОФАЗНОГО АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ И ДВИГАТЕЛЯ ШРАГЕ
В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
(11-36)
Многофазный асинхронный двигатель
Для установившегося режима при скольжении $
уравнения (6-32) принимают вид:

Г, + /х,
IЖ т Ма (l-s)X,
га ~Ь '1 а ixm
г i 4- jX ।
(11-37)
25 J
пл»
Р] = [2]-(/].
В симметричном многофазном режиме каждая пара
осевых токов образует двухфазную систему, причем
токи по поперечной оси отстают от токов по продоль-
ной оси на 90°. Следовательно,
• • Л
^di~ 1?Qi~
(12 q2 2'
Эти соотношения могут быть выражены с помощью
матрицы преобразования [<?], которая преобразует четыре
исходных тока / , / 2, / и / в два новых тока /.
и /.:
или
[/]- [С].[/'].
При этом преобразовании мощность не инвариантна,
поскольку, для того чтобы учесть уменьшение числа
цепей, необходимо ввести коэффициент 2. Выражение
для мощности имеет вид:
Р+id=(pi) -= 2k^ (О'Г).
(11-39)
Следовательно, матрица преобразованных сопротив-
лений равна:
[Z']=4 [C,]-[Z] [С].
Определив [Z'| с помощью двух матричных умноже-
ний, получим известные уравнения для установившегося
режима многофазного асинхронного двигателя:
(11-40)
252
13 Системе относительных единиц k^— l/s, как й
в уравнении (6-6). Следовательно, двигательный момент
оп р еде л яется вы ра же н не м
MA=4-XmRe(/X (П-41)
Двигатель Шраге
Двигатель Шраге имеет три многофазные обмотки.
Па схеме, изображенной на рис. 64, все обмотки яв-
ляются трехфазными:
1. Трехфазная первичная обмотка на роторе (катуш-
ки Ль и Ci), к которой подводится напряженно ча-
стоты сети.
2. Трехфазная вторичная обмотка на статоре (ка-
тушки A2t В2 и С2).
3. Коллекторная обмотка на роторе с тремя парами
подвижных щеток (цепи Дз» и С3). Установка щеток
определяется угловым расхождением а щеток X и X'
одной и той же фазы и углом сдвига р средней линии
между щетками X и X' от поперечной оси. При р^-0 ось
253
волны и. с., создаваемой током в цепи Лз, направлена по
продольной оси.
Между обмотками 2 и 3 существуют электрические
связи, изображенные пунктирными линиями. Коллектор-
ная обмотка создает добавочную э. д. с., используемую
для регулирования скорости асинхронного двигателя,
первичной цепью которого является обмотка /, а вто-
ричной— обмотка 2,
Поперечная
ось Laz
и4з
Рнс. 65. Обобщенная схема двигателя Шраге.
Каждая из трех многофазных обмоток может быть
заменена двумя катушками по осям, как показано на
обобщенной схеме (рис. 65). Вывод уравнений для уста
повившегося режима производится в три .приема:
1. Составляются уравнения для обобщенной маши-
ны по рис. 65. Каждая из шести катушек при этом рас-
сматривается отдельно.
2. Производится преобразование к трем новым урав-
нениям, действительным для симметричного многофаз-
ного режима.
3. Выполняется повторное преобразование с тем.
чтобы учесть взаимную связь м^жду вторичной и кол-
лекторной обмотками, что сокрашает число уравнений
до двух.
Предполагается, что машина вращается в прямом
направлении с установившейся скорстью (1—где
s — скольжение. Чередование фаз приложенного напря-
254
жепия происходят в порядке А—В—С, следовательно,
поток вращается в обратном направлении по отношению
к первичной обмотке. Если преобразовать цепи маши-
ны в катушки, представленные на рис. 65, напряжения
и токи становятся переменными величинами, изменяю-
щимися с частотой скольжения. В связи с этим в урав-
нениях следует заменить р на
/so), после чего они примут вид
матрицы (11-42).
В матрицу сопротивлений вхо-
дят три «полных индуктивности
£ь L2 и £з и три взаимных индук-
тивности Мгз, Л4з] и Эти ве-
личины могут 'быть выражены че-
рез обычные индуктивные сопро-
тивления намагничивания и рас-
сеяния, исходя из рассмотрения
потоков, оцепленных с тремя об-
мотками. На рис. 66 показана
схема, где каждая обмотка пред-
ставлена одним inp-овод ником.
Коллекторная обмотка занимает
верхнюю часть паза ротора. Если
величины в уравнениях выраже-
ны в системе относительных сди-
Рис. 66. Схематическая
картина магнитных пото-
ков в двигателе Шраге.
/—обмотка /: 2—обмотка 2;
3 —обмотка 3.
ниц, каждому из четырех пока-
занных на рисунке потоков соот-
ветствует индуктивное сопротивление взаимной индук-
ции ил-и рассеяния. Их значения при данной частоте мо-
гут быть найдены с помощью обычных расчетных мето-
дов. Все индуктивные сопротивления, приведенные ни-
же, определены при частоте сети.
Ф представляет собой главный поток, сцепленный со
всеми обмотками и определяющий индуктивное сопро-
тивление намагничивания Хт.
Фг Ф2 и Ф3 являются потоками рассеяния, опре-
деляющими индуктивные сопротивления рассеяния
х3 и л3.
Предполагается, что потока, сцепленного только с
обмоткой 3. не существует, т. е. поток Ф„ сцеплен не
только с обмоткой 5, но и с обмоткой /.
При этих условиях индуктивные сопротивления
взаимной индукции и <»)АП3 равны Хт, а <оЛТ31 =
255
^rf2 r*J Q CO •> СЧ <» Cr
•
1 (1 - s)w£l <*» 3 1 ••—• ГЭ >—« Q w el V -2. •* *3 JO •HI
(1— s) ГО CM 3 1 » *2 ^_e* 3 CM 3 r^J C4 K. CM —« 3 Jo^
(1—s)w.W3l *3 1 > ' » «Э 3 (< *3 гф CM 3 JO <• Э t®
"з JO e> CM 3 JO ₽» 3 JO 4* M *1 3 to 2 *W^r- 1 <T> 1 7
KM 3 JO « 3 JO + CM u. *» CM 3 Jo f4 M Э 1 7 el •w «С 1 •—1 7
*3 <o. РЙ «4 3 <o «*> 3 .CO ГИ ro 3 ^to* 1 1 7 *4 Si 'co 1 1

13 (M 13 CO co СЧ о •я—* Cr

Каждое из индуктивных сопротивлении
самоиндукции <»£,, ш£2 и <»L, равно сумме А'т и соот-
ветствующего индуктивного сопротивления рассеяния.
Таким образом.
<o/W3J = Хт;
t»Lt X т xlt
Матрица преобразования для симметричного
многофазного режима
При установившемся симметричном многофазном
режиме каждая пара осевых токов образует двухфаз-
ную систему, как это имеет место в асинхронном двига-
теле. Однако в двигателе Шраге, если s положительно,
поток вращается в обратном направлении, что уже от-
мечалось выше. Следовательно, ток по поперечной оси
опережает ток по продольной оси:
Лн ~ ~ *1*
4/з = ~ /^з = Л-
В матричном виде:
17 Б. Адкичс
257
или
Новая матрица сопротивлений равна:
а новые уравнения могут быть представлены следую-
щим образом:
Матрица соединения
Поскольку обмотки 2 и 3 соединены встречно, их
действительные фазные токи (но не относительные
значения) равны по величине и противоположно направ-
лены. В связи с этим, если и /о3 являются фазными
токами, выраженными в системе относительных единиц,
а и— отношение эффективных чисел витков обмоток
3 и 2, то
П?а2 ~ ^аУ
Соотношения между фазными и осевыми токами
обмотки 2, если фаза Д3 расположена по продольной
оси» определяются уравнениями (6-31) при С—0. От-
сюда
^а2" ^d2'
Уравнение преобразования для обмоткн 5, если фа-
за расположена под углом р к продольной оси,
имеет вид:
—43cos р+z’,3sin р=
258
уравнения пре-
Таким образом, получим следующие
образования:
(11-45)
или
При этом преобразовании соединения мощность ин-
вариантна и конечная матрица сопротивлении равна:
Приложенные напряжения равны U для первичной
цепи и нулю для объединенной вторичной цепи. Сле-
довательно, уравнения для двигателя Шраге могут быть
представлены в виде:
Момент двигателя можно найти из членов урав-
нений (11-42), соответствующих э. д- с. вращения. Вы-
ражение для момента может быть упрощено с исполь-
зованием соотношений между токами (11-43) и (11-45):
^д = -4 Re[/dI+ A4ia/;2+M31Q +
1“ ^23^2 + ^8^93)
— + ^12^2 + ^31^з) +
Г/’
259
= Re (Я„Л(Л- Л«^;р)1- (11-47)
Это выражение совпадает с результатами, получен-
ными в (Л. 35 и 45] другими способами.
46. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЗАИМНО СВЯЗАННЫХ МАШИН
Во всех приведенных выше примерах рассматрива-
лись отдельные машины при заданных внешних услови-
ях. Однако часто две или большее число машин соеди-
няются между собой таким образом, что каждая из них
оказывает влияние на работу других машин. В таких
случаях систему следует анализировать как единое це-
лое, и возникает необходимость составить объединен-
ную систему уравненной, переменными в которых были
бы все независимые токи и скорости полной системы.
Кроме того, в них должны войти напряжения источни-
ков питания и приложенные моменты, соответствующие
токам и скоростям. Уравнения удобнее всего получить,
составив вначале уравнения для каждой ее части от-
дельно, а затем объединив их с помощью матрицы со-
единения.
Для системы, состоящей из машин постоянного тока,
этот путь нс более сложен, чем для статических цепей,
поскольку токи в уравнениях машин постоянного тока
представляют собой реальные токи во внешних цепях.
Для машин переменного тока осевые токи, входящие
в уравнения, связаньи с внешними токами соотношения-
ми преобразования. Анализ таких систем может значи-
тельно усложниться. В качестве иллюстрации метода
ниже приводятся два простых примера. Один из них
касается общего анализа системы машин постоянного
тока, а во втором рассматривается частный случай уста-
новившегося режима системы машин переменного тока.
Система регулирования напряжения с электромашинным
усилителем
На рис. 6< изображена простая система регулирова-
ния напряжения, состоящая из электромашинного уси-
лителя поперечного поля, генератора постоянного тока
и стабилизирующего трансформатора. Электромашин-
260
Hbiii усилитель, используемый Для возбуждения генера-
тора, имеет две обмотки возбуждения. Одна из них со-
здает нормальное возбуждение, а другая вместе с транс-
форматором служит для стабилизации. Три машины,
входящие в систему, представлены сплошными линия-
ми, а соединения между ними показаны пунктиром
Каждая цепь обозначена буквой или цифрой, которые
Рис. 67. Схема регулирования напряжения с по-
мощью электро машинного усилителя поперечного
поля.
используются в виде индексов. Выходное напряжение
генератора ug по цепи обратной связи подводится
к главной обмотке возбуждения электромашипного уси-
лителя, последовательно с которой включено эталонное
напряжение иэт. Уравнения выведены для холостого
хода генератора.
Общая матрица сопротивлений для цепей, состав-
ляющих машины, когда они рассматриваются по отдель-
ности, получена объединением трех матриц сопротивле-
ний отдельных машин, выделенных в выражении (11-48)
жирными линиями. Падением напряжения в якоре гене-
ратора. обусловленным небольшим током ig1 прснебрс-
гается, в связи с чем последний столбец матрицы не со-
держит цп одного элемента.
261

ч 4 U *r^° 7
•G I Л/р
^J3 u5 Mp
^<3 **4^ 1
f7p7+p-/ <3 ► t3 1
с* 5 Г2 + L2p M4/> <3 1
r/r7+ l n WHI <f’w J3 •4

262
Матрица соединения имеет вид:
(11-49)
Поэтому новая матрица сопротивлений будет:
[Z']=|CJ[Z) -[CJ =
г 2 q а
м1гр
Мпр Г г + гь -Ь Мр
— Мг-а го + L»P — £dva
ЛТр ra +LaP
— Мгр — Mtp ~Lq fa rd + тх + +(£d+£x)P
(11-50)
Два асинхронных двигателя в схеме силовых сельсинов
На рис. 68,о в б изображены схемы с двумя силовы-
ми сельсинами. Машины являются обычными асинхрон-
ными двигателями, имеющими трехфазные обмотки как
263
на статоре, так и па роторе. Каждая из обмоток пред-
ставлена только фазой А. Первичные обмотки сельси-
нов ДАХ и /Mi на рис. 68,а подключены! к общему на-
пряжению сети l)f а вторичные обмотки ДА2 и ПА2 со-
единены между собой встречно. В установившемся ре-
жиме машины вращаются синхронно друг с другом при
строго одинаковых скоростях и работают как силовые
ЫМьсин-датчак
Сельсин-приемнин
Рис. 68. Схема силовых сельсинов.
а—схема соединения фаз; б —обобщенная
схема-
сельсины, одна в качестве датчика, а другая — приемни-
ка. Их роторы вращаются с одним и тем же скольже-
нием s и постоянным углом сдвига 6 между ними. Та-
ким образом, если в рассматриваемый момент времени
фаза ДА2 вторичной обмотки сельсина-датчика нахо-
дится в угловом положении 6, угол, определяющий по-
ложение фазы ПА2 сельсина-приемника, равен 0—б.
Схема соответствующих обобщенных машин изобра-
жена на рис. 68,6. Здесь представлены только катушки
по продольной оси Д|, Д2, П} и /72. Матрица сопротив-
лений при рассмотрении четырех катушек по отдельно-
сти имеет вид:
261
Л1
где через X с соответствующими индексами обозначены
индуктивные сопротивления собственной и взаимной ин-
дукции обеих машин при частоте сети.
Для того чтобы учесть соединение вторичных об-
моток, необходимо выявить связь между токами /
и 4-
Ввиду существования этого соединения действитель-
ные вторичные фазные токи равны по величине и про-
тивоположно направлены». Следовательно, если обмотки
обеих машин одинаковы, между токами, выраженными
в относительных единицах, существует соотношение
В установившемся многофазном режиме осевые токи
связаны зависимостью
Д^2
Следовательно,
Лп2 = Wos 6 + 4?2sin б = 1д2е °.
Аналогично
Отсюда
пл2
-/(8-М
п2е
Поэтому матрица соединения может быть представ-
лена следующим образом:
265
д! rtl
2
а объединенная матрица сопротивлений
(11-52)

Таким образом, уравнения системы могут быть запи-
саны в виде:
(11 -53)
Более сложные задачи
Два очень простых примера, приведенных выше, по-
зволили ясно и кратко объяснить метод анализа. Они,
так же как и другие примеры, рассмотренные в этой
главе ранее, показывают, какИлМ образом, используя
матричное умножение, можно выполнить алгебраиче-
ские подстановки, необходимые для преобразования
одной системы переменных в другую. Путь решения
в действительности настолько ясен, что для читателей,
недостаточно освоивших матричные методы, в любом
из представленных простых примере® было бы проще ис-
пользовать знакомые алгебраические приемы. Для бо-
лее сложных задач, в которых обычные алгебраические
преобразования могут стать очень сложными, преиму-
щества матричного метода становятся очевидными.
Полное изложение теории этого вопроса можно найти
в (Л. 24 и 46]. Рассмотренные здесь основные положения
являются только введением к этим трудам.
ЛИТЕРАТУРА
I. Doherty R. Е.» A simplified method of analysing short-
circuit problems, Trans. Al EE, 1923, v. 42» p. 841.
2. W e s t H. R.. Cross-field theory of alternating current ma-
chines, Trans, A1EE, 1926, v. 45, p. 466.
3. D о h e r t у R. E. and Nickle C. A., Synchronous machines.
I, An extension of BlondeFs two-reaction theory, Trans. AIEE, 1926,
v. 45, p. 912.
4. Doherty R. E. and N i с к I e C. A., Synchronous machines.
II, Steady power angle characteristics, Trans. Al EE, 1926, v. 45,
p. 927.
5. D о h e rt у R. E. and Nickle C. A , Synchronous machines.
Ill, Torque angle characteristics under transient conditions, Trans.
Al EE. 1927. v. 46, p. 1.
6. Doherty A. E. and Nickle C. A.. Synchronous machines-
IV, Single-phase short circuits. Trans. AIEE, 1928, v. 47. p. 457.
7. P a г к R. H., Definition of an ideal synchronous machine.
G. E. Review. 1928, v. 31, p. 332.
8. P a г к R. H., Two-reaction theory of synchronous machines,
Trans. AIEE, 1929, v. 48, p. 716.
9. L i n v i 11 e T. M., Starting performance of salient-pole syn-
chronous machines, Trans. AIEE. 1930, v. 49, p= 53L
10. Doherty R E. and Nickle C. A., Synchronous ma-
chines. V, Three-phase short circuit, Trans. AIEE, 1930, v. 49, p. 700.
11. Wagner C. F., Effect of armature resistance on hunting
of synchronous machines, Trans. AIEE, 1930, v. 49, p. 1011.
12. Kilgore L. A., Calculation of synchronous machine con-
stants, Trans. AIEE, 1931, v. 50. p. 1201.
13. Wright S. H., Determination of synnehronous machine con-
stants by test, Trans. AIEE, 1931, v. 50, p. 1331.
14. Wagner С. Г. and Evans R. D., Symmetrical compo-
nents (book), McGraw-Hill, 1933.
15. P a г к R. H., Two-reaction theory of synchronous machines.
II, Trans. AIEE. 1933, v. 52, p. 352.
16. Lewis W. A, Quick response excitation. Electric Journal,
1934, v. 31, p. 308.
17. Prescott J. C. and Richardson J. E., The inherent
instability of synchronous machinery, Journ IEE, 1934. v. 75, p 497.
18. Kron G., The application of tensors to the analysis of
rotating electrical machinery, G. E. Review. 1935, v. 36, p. 181.
19. Kingsley C., Jr., Saturated synchronous reactance, Trans.
AIEE, 1935. v. 54. p. 300.
20. S h о u 11 s D, R.t С г a г у S. B. and Lauder A. H., Pull-
267
in characteristics of synchronous motors, Trans. AIEE, 1935» v. 54,
p. 1385.
01. Stanley H. C., An analysis of the induction machine,
Trans. AIEE. 1938, v. 57, p. 751.
22. Boice W K., Crary S. B., Kron G. and Thomp-
son L. W., The direct-acting generator voltage regulator, Trans.
AIEE, 1940, v. 59, p. 149.
23. American standard definitions of electrical terms (book),
AIEE Publication, 1941.
24. Kron G.. Application of tensors to the analysis of rotating
electrical machinery (book), G. E. Review, 1942.
25. Carter G. W., Electrical transients (book), Cambridge
Univ. Press, 1944.
26. Wagner C. F., Machine characteristics, Electrical trans-
mission and distribution (book), Chap. 7, Westinghouse Co., 1944.
27. M a g i n e s s F. J. and Schultz N- R., Transient perfor-
mance of an induction motor, Trans. AIEE, 1944, v. 63, p. 641.
28. Harder E. L. and Cheek R. C., Regulation of a. c.
generators with suddenly applied loads, Trans. AIEE, 1944, v. 63,
p. 310.
29. Crary S. B., Power system stability, v. 1, Steady State
Stability (book), John Wiley, 1945.
30. R а п к i n A. W., The direct and quadrature axis equivalent
circuits of the synchronous machine, Trans. AIEE, 1945, v. 64,
p. 861.
31. Peterson II. A and Concordia C., Analysers for use in
engineering and scientific problems, G. E.. Review, 1945, v. 48, p. 29.
32. AIEE test code for synchronous machines. AIEE Publication
№ 503, New York, 1945.
33. Pipes L. A., Applied mathematics for engineers and phy-
sicists (book), McGraw-Hill, 1946.
34. L i n v i 11 e T. M., Current and torque of d. c. machine on
short circuit, Trans. AIEE, 1946, v. 65, p. 956.
35. Gibbs W. J., The equations and circle diagrams of the
Schrage motor, Journ. I EE, 1946, v. 93, pt II, p. 621.
36. С г a г у S. B., Power system stability. Transient Stability
(book), John Wiley 1947, v. D.
37. Adkins B , Amplidyne regulating systems, Journ. IEE.
1947, v. 94. pt II A. p. 49.
38. L t n v i 11 e T. M. and Ward H. С.» Solid short circuit
of d. c. motors and generators, Trans. AIEE, 1949, v. 68, p. 119,
39. D u e s t e r h о e f t W. С.» The negative sequence reactances
of an ideal synchronous machine, Trans. AIEE. 1949, v. 68, p. 510.
40 Robert R_. Micro-machines and micro-reseaux. QGRE,
1950, Paper № 338.
41. Kilgore L. A. and Whitney E. C.. Spring and damping
coefficients of synchronous machines and their application. Trans.
AIEE, 1950, v. 69, p. 226.
42. * Concordia C., Synchronous machines (book), John Wi-
ley, 1951.
43. Macmillan R. H, Theory of control (book), Cambridge
Univ.—Press, 1951.
44. AI g e г P. IThe nature of polyphase induction machines
(book), John Wiley. 1951.
268
45. Adkins В. and Gibbs W. J.. Polyphase commutator
machines (book), Cambridge Univ. Press, 1951.
46. Gibbs W. J., The modern approach to electrilcal machine
analysis, The Engineer, 1951, Oct. 12th, et seq.
*47 . Adkins B., Transient theory of synchronous generators
connected to power systems, Journ. IEE, 1951, v. 98, p. 510.
48. * L a i b 1 e Th., Die Theorie der Synchronmaschine im nicht-
slationaren Betrieb (book), Springer, 1952.
49. Gibbs W. J-, Tensors in electrical machine theory (book),
Chapman and Hall, 1952.
50. M о r 11 о с к J. R. and Humphrey Davies M. W.,
Power system analysis (book), Chapman and Hall, 1952.
51. T u s t i n A., Direct current machines for control systems
(book), E. & F. N. Spon, 1952.
52. Bowden В V. (Editor), Faster than thought (book), Pit-
man, 1953.
53. Humphrey Davies M. W. and S lemon G. R.. The
transformer analogue network analyser, Journ. IEE, 1953, v. 99, pt П,
p= 459.
54. * S а у M. G. (Editor), Rotating amplifiers (book), George
Newnes, 1954.
55. Ching Y. K., and Adkins B., Transient theory of syn-
chronous generators under unbalanced conditions, Journ. IEE, 1954,
v. 101, pt IV, p. 166.
56. Chorlton A., Robert R. and Concordia C., Com-
putational aids to power system analysis, CIGRE, 1954, Paper №323.
57. * К i m b a г к E. W., Power system stability, Synchronous
machines, John Wiley and Sons, New York. Chapman and Hall, Lon-
don, 1956, v. HI.
58. L e w i s W. A.. A basic analysis of synchronous machines,
pt I, Trans. AIEE, pt III, Power Apparatus and Systems, 1958, v. 77,
№ 37.
59. H e й м а н JI P. и Калантаров П. Л, Теоретические
основы электротехники, ч. I и II, Госэнергоиздат, 1959.
60. К р у г К. А., Переходные процессы в линейных электри-
ческих цепях, Госэнергоиздат, 1948.
61. Конторович М. И., Операционное исчисление и не-
стационарные явления в электрических цепях, Гостехиздат, 1953.
62. Г о р е в А. А., Переходные процессы синхронной машины,
Госэнергоиздат, 1950.
63. К о с т с н к о М. П. и Пиотровский Л. М., Электриче-
ские машины, ч. 1, Госэнергоиздат, 1957, ч. II, Госэнергоиздат, 1958.
64. Костенко М. П., Электрические машины, Специальная
часть, Госэнергоиздат, 1949.
65. Т о л в и и с к и й В. А., Электрические машины постоянно-
го тока, Госэнергоиздат, 1956.
66. Лютер Р. А,, Теория переходных режимов синхронной
машины, Ленинград, 1939.
67. Грузов Л Н, Методы математического исследования
электричехких машин, Госэнергоиздат, 1952.
• Звездочкой отмечены книги, изданные в переводе на русский
язык.
269
68. К а зо в ск пн Е. Я, Некоторые вопросы переходных про
цессов в машинах переменного тока, Госэнергоиздат, 1953.
69. Мамиконяпц Л. Г., О переходных процессах в синхрон-
ных машинах с успокоительными контурами на роторе, «Электри-
чество», 1954, № 7.
70. Веников В А. н Ж у к о в Л. Л., Переходные процессы
в электрических системах, Госэнергоиздат, 1953.
71. Веников В. А., Электромеханические переходные про-
цессы в электрических системах, Госэнергоиздат, 1958.
72. Жданов П. С., Устойчивость электрических систем. Гос-
энергонздат, 1948.
73. У л ь я и о в С. А., Короткие замыкания в электрических
системах, Госэнергоиздат, 1952.
74. Е г о р о ь К- В., Основы автоматического регулирования,
Госэнергоиздат, 1955.
75. С о к о л о в Т Н , Электромеханические системы автома-
тического управления, Госэнергоиздат, 1952.
76. М е е р о в М. В , Основы автоматического регулирования
электрических машин, Госэнергоиздат. 1952.
77. Ф е л ь д б а у м Л. Л., Электрические системы автомати-
ческого регулирования, Оборонгиз, 1957.
78. И о с и ф ь я н А. Г. и Каган Б. М., Основы следящего
привода, Госэпергоизда г, 1954.
79. Сиротин А. А., Автоматическое управление электропри-
водами. Госэнергоиздат, 1958.
80 Майоров Ф В., Электронные цифровые вычислительные
устройства, Госэнергоиздат, 1957.
81. Kara и Б. М. и Тер-Микаэлян Т. М., Решение ин-
женерных задач на автоматических цифровых вычислительных ма-
шинах, ’’осэнергоиздат, 1958.
82. JI е б е д е в С. Л., Электронные вычислительные машины,
изд. АН СССР. 1956.
83. Корн Г. А. и Корн Т. М., Электронные моделирующие
устройства, 1ИИЯ, 1955.
84. К о б р и н с к и й Н. Е., Математические машины непрерыв-
ного действия, Гостехиздат, 1954.
85. Крон Г., Применение тензорного анализа в Электротех-
нике, Госэнергоиздат, 1955.
86. Л анон В.. Анализ переходных процессов в электрических
машинах переменного тока методом симметричных составляющих,
Г осэнсргоиздат, 1958.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к русскому изданию .......................... 3
Предисловие............................................... 5
Условные обовначсния .................................... 7
Введение................................................. 9
Глава первая. Основы общей теории ....................... 17
1. Идеализированная машина......................... |7
2. Двухобмоточный трансформатор. Правило знаков н си-
стема относительных единиц......................... 2С
3. Намагничивающая сила и магнитный поток вращающейся
машины ............................................ 31
4. Основные допущения. Насыщение, высшие гармониче-
ские составляющие, рассеяние....................... 33
Глава вторая. Методы анализа ......................... 38
5. Уравнения для напряжений и момента. Матричное обо-
значение .......................................... 38
6. Типы задач и методы их решения................. 48
7. Изображение синусоидально изменяющихся величин
вращающимися векторами и комплексными числами . 52
8. Операторный метод Хевисайда.................... 58
9. Применение моделей и счетно-решающих устройств
при исследовании электрических машин.............. 63
Глава т 1 е т ь я. Машины постоянного тока.............. 68
10. Уравнения машин постоянного тока.............. 68
II. Обмотка дополнительных полюсов, компенсационная
обмотка и обмотка последовательного возбуждения 77
12. Уравнения для малых отклонений или малых колеба-
ний .............................................. 81
13. Внезапное короткое замыкание генератора постоян-
ного тока......................................... 81
Глава четвертая. Машины постоянного тока в си-
стемах регулирования................................. 91
11. Генератор постоянного тока как усилитель...... 91
15. Генератор поперечного поля.................... 96
16. Двигатели постоянного тока в системах регулирования 98
17. Анализ систем регулирования................... 101
Глава пятая. Векторные диаграммы машин перемен-
ного тока в установившемся режиме. ..................105
18. Представление синусоидальных волн и. с. н магнитной
индукции пространственными векторами ....... 105
19. Асинхронный двигатель........................ 108
20. Неявнополюсная синхронная машина..............112
21 Явнополюсная синхронная машина.................116
271
22. Угловые характеристики синхронной машины .... 118
Глава шестая. Общие уравнения машин переменного
тока ................................................... 122
23. Уравнения преобразования для вращающейся трех-
фазной обмотки.......................................122
24. Общие уравнения синхронной машины................132
25. Упрощенные уравнения для синхронной машины с
двумя успокоительными катушками......................138
26. Общие уравнения асинхронного двигателя...........149
27. Применение теории при анализе машин переменного
тока..................................................154
Глава седьмая Установившиеся режимы и пусковые
процессы машин переменного тока .....................156
28. Установившийся синхронный режим синхронной ма-
шины ...................................... 156
29. Пусковые процессы двигателей переменного тока . . 159
30. Пусковая характеристика синхронного двигателя . . 162
31. Индуктивные сопротивления обратной последователь-
ности синхронной машины...........................169
Глава восьмая. Симметричное короткое замыкание
генератора .......................... ... . . •
32. Короткое замыкание генератора при холостом ходе 172
33. Анализ осциллограмм короткого замыкания.......180
31. Короткое замыкание или внезапное изменение напря-
жения нагруженного генератора.....................186
Глава девятая. Процесс синхронизации и незатухаю-
щие колебания синхронных машин..................... . . 188
35. Общие уравнения для работы машины вблизи син-
хронной скорости..................................188
36. Синхронизация..................................190
37. Вынужденные и свободные колебания.............‘19; •
38. Расчет постоянных упругости н демпфирования ... 198
Глава десятая Приближенные методы анализа ге-
нераторов и энергетических систем . . ... 203
39. Задачи анализа энергетических систем....... . 205
40. Схемы замещения н векторные диаграммы для при-
ближенных расчетов ....................2(Й
41 Анализ несимметричных режимов................22(
42. Применение приближенных методов при анализе
энергетических систем...........................22'.
Глава одиннадцатая. Обобщенная вращающаяся
машина ... 23(
43. Матричные преобразования................... 231
44. Применение обобщенных уравнений машины с тремя
катушками........................................24.
45. Уравнения многофазного асинхронного двигателя и
двигателя Шраге в установившемся режиме , 25
46. Уравнения для взаимно связанных машин ...... 261
Литература............................................26.