Julian Schwinger
University of California
at Los Angeles
PARTICLES,
SOURCES,
and
FIELDS
VOLUME II
Addison-Wesley Publishing Company
Advanced Book Program
Beading, Massachusetts
1973
LONDON •' AMSTERDAM . DON MILLS,
ONTARIO ¦ SYDNEY • TOKYO

Ю. Швингер
ЧАСТИЦЫ I ИСТОЧНИКИ | ПОЛЯ
ТОМ 2
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО КАНД. ФИЗ.-МАТ. НАУК А. И. НАУМОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ ПРОФ. А. М. БРОДСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1976

УДК 539.12+530.145
Книга представляет собой 2-й том трехтомной монографии, в которой выдаю-
выдающийся физик-теоретик Ю. Швингер излагает свой подход к теории элемен-
элементарных частиц. Во втором томе автор на примере такой сравнительно хорошо
изученной динамической теории, как квантовая электродинамика, иллю-
иллюстрирует особенности своей теории источников, которая, по его мнению,
может быть распространена на задачи теории сильных н слабых взаимодей-
взаимодействий.
Книга рассчитана на физиков-теоретиков, а также студентов и аспирантов,
специализирующихся в области теоретической физики.
Редакция литературы не физике
©Addison-Wesley Publ. Co 1973.
©Перевод на русский язык, «Мир» 1976
20402-070
Ш 041@1)-76

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой
второй том трехтомной монографии, посвященной вопросам кван-
квантовой теории поля и теории элементарных частиц. Первый том,
вышедший на английском языке в 1970 г., был переведен на рус-
русский язык и опубликован в издательстве «Мир» в 1973 г. Третий
том в настоящее время еще не вышел из печати.
Рассмотрение центральных для современной физики проблем
квантовой теории поля и теории элементарных частиц ведется
Швингером с позиций развитого им специального подхода, назван-
названного теорией источников и объединяющего элементы стандартной
квантовой теории поля и теории ^-матрицы. Принципиальные
основы данного подхода и используемый в нем формальный аппа-
аппарат были разобраны в первом томе. Этот том вызвал большой
интерес, и его русское издание быстро разошлось. Подобный
интерес не оказался неожиданным, поскольку появление каждой
книги Швингера — одного из наиболее активно работающих
в настоящее время физиков-теоретиков — значительное научное
событие.
Второй том посвящен в основном квантовой электродинамике,
в развитии которой сам автор сыграл выдающуюся роль. Расчеты
квантовоэлектродинамических эффектов сейчас уже прочно вошли
в науку — они с высокой степенью точности согласуются с экспе-
экспериментом и изложены во многих учебниках. На примере такой
сравнительно хорошо изученной динамической системы, как кван-
квантовая электродинамика, Швингер и иллюстрирует особенности
теории источников. Развиваемая при этом своеобразная техника
расчета заслуживает внимания в первую очередь в связи с тем,
что она, как обещает автор, может быть распространена на задачи
теории сильного и слабого взаимодействий. Поэтому посвященный
таким задачам последний том будет определяющим для оценки
всего направления, развиваемого Швингером в данном издании.
Однако логические и расчетные усовершенствования в схеме
изложения квантовой электродинамики, содержащиеся во втором
томе, представляют несомненный самостоятельный интерес. В част-
частности, здесь можно выделить оригинальное рассмотрение двухча-
двухчастичной задачи, совместный анализ высокоэнергетических и низко-
низкоэнергетических составляющих лэмбовского сдвига, улучшенную
трактовку задач позитрония и мюония.
Отметим одну интересную особенность книги. Автор уделяет
некоторое внимание истории квантовой электродинамики в ее
«героический период» второй половины сороковых — начала пяти-
пятидесятых годов. Точнее говоря, отмечается главным образом вклад
самого автора в эту историю, причем все это делается в своеобраз-

6 I ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ной форме вкрапленного в текст иронического диалога Швингера
с воображаемым вдумчивым, хотя и несколько простоватым,
читателем.
В конце английского издания второго тома содержится обшир-
обширный список опечаток, обнаруженных автором в первом томе.
Основная их часть представляет собой простые описки, почти
неизбежные в книге со столь большим объемом математических
выкладок. Эти, а также некоторые не замеченные автором опечатки
были в основном исправлены в русском издании первого тома.
Однако в процессе издания в нем появились, к сожалению, и новые
опечатки. Их список, составленный редактором и переводчиком
(не без помощи читателей), приведен в приложениях.
И в заключение еще одно замечание. В книге довольно много
перекрестных ссылок и на формулы к данной главе, и на формулы
других глав. Ради краткости мы во втором томе придерживаемся
следующей системы. Если, например, в гл. 4 автор ссылается
на формулу B.11), то она содержится в § 2 той же главы. Но если
написано C-2.11), то эту формулу следует искать в гл. 3, § 2.
А. М. Бродский

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ТОМУ
Этот второй том был написан за два года и на двух континентах.
Значительная его часть была написана в Токио, где я, пользуясь
очередным годовым отпуском, предоставленным мне Гарвардским
университетом, и дополнительной помощью из Гуггенхеймовского
фонда, провел первые восемь месяцев 1970 г. Как-нибудь, когда
я не буду занят никакими книгами, я вновь вернусь в Японию
с тем, чтобы по-настоящему вкусить ее прелести. Книга заверша-
завершалась на протяжении 1971—1972 гг., в период моего пребывания
в качестве приглашенного профессора в Калифорнийском универ-
университете в Лос-Анджелесе.
Данный том почти полностью посвящен квантовой электроди-
электродинамике, так что по своей тематике он носит ретроспективный
характер. Но, концентрируя внимание на такой сравнительно
простой динамической ситуации, мы имеем целью изыскание
и разработку путей и методов, которые были бы пригодными
и в области сильного и слабого взаимодействий. И мы исходим
из того, что квантовая электродинамика новых поколений будет
представлять собой некое замкнутое развитие теории источников
с ее большими концептуальными и вычислительными упрощениями
Пишущим об этом предмете не придется более совмещать востор-
восторженные высказывания о точности количественных выводов теории
с бормотанием о ее неудовлетворительном концептуальном обосно-
обосновании.
Одно-два слова нужно, пожалуй, сказать о небольших отступле-
отступлениях исторического характера, которые иногда появляются
на последующих страницах. Это отнюдь не заявки на приоритет.
Теперь, когда прошло столько лет? Мне просто Хотелось зафикси-
зафиксировать отдельные моменты своих собственных воспоминаний
о разного рода событиях, которые вряд ли могут быть почерпнуты
из какого-либо другого источника.
Требует пояснения также один пункт, касающийся плана
изложения (или его отсутствия). Иногда к тому или иному вопросу,
с которым, казалось бы, уже покончено, я возвращаюсь вновь
с тем, чтобы некоторые его стороны проанализировать более
подробно. Это соответствует истории развития данной темы,
в ходе которого разные тонкости выяснялись лишь спустя неко-

8 | ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ТОМУ
торое время. Единственная альтернатива такому плану изложе-
изложения — зто переписывать различные разделы по достижении
большей ясности. Но, как показал мне многократный опыт, встав
на путь постоянных переделок, мы не придем ни к какой книге
вообще, а потому такая альтернатива была мною отвергнута.
В заключение считаю долгом еще раз поблагодарить талантли-
талантливых и любящих свое дело машинисток из Гарвардского и Кали-
Калифорнийского университетов С. Уейдженсил и Р. Бона.
Ю. Швингер

Глава 4 | ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Теория источников строится на принципах причинности и однород-
однородности пространства-времени. Принцип однородности пространства-
времени имеет также дополнительный смысл, соответствующий
переменным импульс — энергия. Эта его сторона иллюстрируется
концепцией обобщенного источника. Понятие источника опреде-
определено и наполнено содержанием не только в частном случае баланса
энергии и импульса при испускании или поглощении одной
частицы. Когда имеется достаточный избыток энергии над импуль-
импульсом — избыток массы,— возможно испускание и поглощение
нескольких частиц. Описание связи между источниками должно
учитывать подобные акты многочастичного обмена.
Процесс добавочного испускания (или поглощения) одного
фотона, которым может сопровождаться действие источника
заряженных частиц, мы уже рассматривали. Он описывается
примитивным взаимодействием. То же самое примитивное взаимо-
взаимодействие позволяет также обобщенному фотонному источнику
испускать (или поглощать) нейтральную пару заряженных частиц.
Указанные двухчастичные процессы — это простейшие примеры
процессов многочастичного обмена, дополняющих одночастичный
обмен и дающих определенные добавки к соответствующей функции
распространения. Замена исходных одночастичных функций рас-
распространения модифицированными носит универсальный характер,
но ею не исчерпывается сущность многочастичного обмена. Моди-
Модификация функций распространения принимает в учет то общее,
что свойственно всем реальным источникам определенного класса,
но она не затрагивает их индивидуальные характеристики. Чтобы
проиллюстрировать этот дополнительный аспект проблемы, рас-
рассмотрим обобщенный фотонный источник, испускающий пару
заряженных частиц. Такой процесс можно представлять себе
как превращение виртуального фотона в пару реальных частиц.
Описание процесса примитивным взаимодействием относится
к условиям, в которых эти две частицы не взаимодействуют.
Чтобы получить механизм, приводящий к модификации функции
распространения виртуального фотона, нужно учесть взаимодей-
взаимодействие частиц в дальнейшем. Как мы уже видели в гл. 3, § 12 и 13,
где речь шла о частицах со спином 0 и 1/2, в случае рассеяния
античастицы на частице имеются два разных механизма. Один
из них — простой процесс рассеяния, с которым мы имеем дело
и при рассеянии частицы на частице; при таком рассеянии частицы
продолжают существовать, пока они обмениваются простран-
пространственно-подобным виртуальным фотоном (фотоном с простран-
пространственно-подобным импульсом). Другой механизм — аннигиляция
пары частица — античастица с рождением времениподобного

10 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
виртуального фотона, который вновь быстро распадается на части-
частицы. Именно этот последний процесс и приводит к модификации
фотонной функции распространения, поскольку конечная пара
заряженных частиц связана с обобщенным фотонным источником
цепочкой событий, в которой виртуальный фотон рождает пару
частиц, рекомбинирующих затем и рождающих виртуальный
фотон. Это и есть дополнительная связь между обобщенными
фотонными источниками. Но модифицированная фотонная функция
распространения не полностью описывает явление взаимодей-
взаимодействия между частицами, так как она не учитывает процесс про-
простого рассеяния, при котором происходит обмен пространственно-
подобным фотоном.
Примитивное взаимодействие можно характеризовать как
локальную связь полей. Это — произведение полей двух заря-
заряженных частиц и электромагнитного векторного потенциала,
причем все три величины берутся в одной пространственно-вре-
пространственно-временной точке. При введении модифицированных функций распро-
распространения изменяются численные значения полей, но не нару-
нарушается локальный характер их связи. Однако такая полная
локальность исчезает, если рассматривать простое рассеяние
противоположно заряженных частиц, которое может происходить
на некотором расстоянии (во времени и в пространстве) от той
точки, где виртуальный фотон распался на пару частиц. Действи-
Действительно, поля, описывающие конечные частицы, соответствуют
области их рождения, тогда как электромагнитный векторный
потенциал соответствует акту рождения начальных частиц и, стало
быть, другим координатам. В результате такой нелокальной
модификации примитивного взаимодействия изменяются электро-
электромагнитные характеристики, приписываемые заряженным частицам.
Могут возникнуть новые связи, причем нелокальность всех связей
выражается в появлении формфакторов, учитывающих эффектив-
эффективное пространственно-временное распределение электромагнитных
характеристик частиц. К количественному анализу такого рода
усложнений, возникающих на динамическом уровне при учете
двухчастичного обмена, и будут ниже применены методы Теории
Источников.
$ 1 ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Чтобы описывать испускание или поглощение заряженной частицы
тл фотона обобщенным источником частиц, нам нужно выбрать
некоторую электромагнитную модель для этого источника. Как мы
видели в гл. 3, § 10 и 11, наиболее естественная — ковариант-
ная — модель источника подавляет излучение заряда, движуще-
движущегося с ускорением. При таком выборе модели заряженные частицы
со спином 0 не сопровождаются фотонами и соответствующая

Л-
где мы опустили член
§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | И
модификация в функции распространения не возникает. В случае
же частиц со спином V2 излучение имеется, и мы исследуем ниже
этот случай.
Примитивное взаимодействие, входящее в функционал действия
C-10.63), содержит произвольное гиромагнитное отношение g.
При частном значении g = 2, очень близком к эксперименталь-
экспериментальному значению g для электрона и мюона, эффективный источник
испускания частицы и фотона будет иметь вид [формула C-11.79)]
Ut {к) т,2 {р) |9фф = Л- <**4kveqr\2 (Р), A.1)
кр ч \К'П-кр кР— кр > к1-*)
отвечающий ускорению заряда, так как он не дает вклада в излу-
излучение:
e!Sta=O. A.3)
Амплитуда вероятности для двухчастичного процесса испуска-
испускания дается выражением
(h%lpoq | О.) = i (dcoftI/2etU^ (к) i Bm rfcopI/2 u*paqV°iJ (p) |эФФ, A Л)
или
(l^lpo, | О.I12 = ieq (duh2m dcop)Va u^^yk^,^ (P) ^-^, A.5)
где использованы следующие эквивалентные формы записи:
ieti^k\ A.6)
Аналогичный вывод можно было бы провести и для процесса
двухчастичного поглощения. Но амплитуду вероятности такого
поглощения можно получить, просто взяв с обратным знаком
величину, комплексно-сопряженную амплитуде испускания:
@+ | ihkipoq)^1 = ieq (dah2m dcopI/2 p2 + m2. ill (P)* yoyehj,ykupaq. A.7)
Для этого у нас те же основания, что и в случае одночастичного
испускания — ортогональность вакуумного состояния той сово-
совокупности состояний, в которые слабые источники испускают
или из которых они поглощают.
Рассмотрим теперь причинно-упорядоченную пару обобщен-
обобщенных источников частиц и вычислим вклад двухчастичного обмена

12 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
в вакуумную амплитуду:
- е2 j
2 % (p)*V0Vekkyk {m~ ур) укуе%хц2 (P)
A.8)
здесь мы учли условие полноты всевозможных состояний частицы
с определенным значением импульса в виде
2 "родину0 = 2-j- (m - ур). A.9)
eg
Из алгебраического соотношения
(Y/cJ == — А:2 = 0 A.10)
следует, что
ук (т — ур) ук = 2крук, A.11)
тогда как
(Y^, Y*} = - 2eft,/c = 0. A.12)
Воспользуемся, далее, правом выбора вещественных векторов
поляризации, т. е. примем
(yehtf = - 1. A.13)
В результате получим
% = 2 (Р2+ /и2) ?*• A.14)
Поскольку источники задают только полный импульс Р, сле-
следует провести интегрирование по всем возможным его распреде-
распределениям между частицей и фотоном. Эта задача упрощается, если
взять за переменную интегрирования полный импульс, а его
кинематическую связь с импульсами р и к учесть при помощи
соответствующей б-функции. Введем множитель, равный единице,
P-p-/c), A.15)
где энергетическая переменная интегрирования заменена вели-
величиной
М* = — Р2 A.16)
согласно соотношению
2P°dP°=dM2. A.17)
Тогда вклад в вакуумную амплитуду оказывается равным
сор M2_mz %(/>)*'
где
diopd(oh8(P-p-k). A.19)

.„
§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 1о
В последнем интеграле выделенное направление для к^ может
быть связано только с вектором Р^, и потому к^ можно заменить
его проекцией на Р^:
кР Р - д/2~"г2 р
Следовательно, величина
где
(opd(x)k8 (P— р— к), A.22)
есть скалярная функция переменной —Р2 = М2 ^ /п2.
Подобный интеграл мы уже вычисляли в случае произвольных
масс та и ть, когда речь шла о сечениях рассеяния. Выполнив
в формуле C-12.75) интегрирование по угловым переменным
и разделив результат на 2я, получим
, та, mb) = BnK j dwa dcob6 (P — pa — pb) =
Отметим два частных случая этой формулы:
1{М, т, m) = -JL- A_^-I/2, A.24)
(^) A.25)
Мы проводили выкладки в системе покоя, отвечающей време-
ниподобному вектору Р». Теперь в поисках разных способов
вычисления повторим расчет, пользуясь совсем.другой координат-
координатной системой, с которой мы также уже не раз имели дело. Речь
идет о системе отсчета, в которой скорость, ассоциированная с век-
вектором Р^, близка к скорости света. Такие координатные системы
часто называют системами бесконечного импульса. Все импульсы
разлагаются на две компоненты: продольную (L) и поперечную
(Т) относительно направления вектора Р. Обозначив модуль
этого вектора через РЬ: получим для соответствующей ему энер-
энергии
Р° = (Pi + M2I/2 ^PL+^-, A.26)
где знак приблизительного равенства означает, что данное соот-
соотношение становится точным асимптотически при Рь -> оо. Для

14 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
отдельных частиц а и Ь мы будем записывать, например,
PaL = PlMa,
n2""Um|. A.27)
Инвариантная мера в импульсном пространстве становится рав-
равной
duaPL JL (dpaT) dua ,. „я.
а четырехмерная дельта-функция переходит в функцию
Ь(Р — Ра — Рь)жЪ (Par + Рьг) б [Pi, A — иа~иь)] х
[ ??{3?&]. ,..29)
ИЛИ
б (Р — ра — Pb) « б (par -f рЬг) б A — Ua — МЬ) Г] (Ua) rjfcUb) X
аГ °+ Ь~М2). A.30)
"а Щ I К '
Из второй формы записи сразу видно, что если иа и мь не являются
положительными, то множители, отвечающие энергии и продоль-
продольному импульсу, оказываются несовместными. Принтом исполь-
используется свойство дельта-функции
| Я- | б (кх) = б (х). A.31)
Проводя непосредственное интегрирование по переменным одной
из частиц, мы теперь получим
I (M, та, тъ) =
Ступенчатая функция здесь задает условия, при которых интеграл
не обращается в нуль. В общем случае (та, ть Ф 0) ее аргумент
отрицателен на обоих пределах интегрирования и становится
положительным внутри области интегрирования лишь при М >
>та-\-ть. Величина интеграла по и равна длине интервала,
на котором этот аргумент положителен. Она находится путем
вычитания двух корней квадратного уравнения
М*и A-й) — ml A — и) — mlu = 0. A.33)
В итоге мы вновь приходим, конечно, к результату A.23).

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 15
Вернемся теперь к вкладу A.18) в вакуумную амплитуду
и воспользуемся полученной формулой A.25). Подставив в выра-
выражение A.18) величину
для этого вклада будем иметь
Причинная упорядоченность в пространстве-времени становится
явной, если написать
, A-36)
%(/>)•= J (dx)r]i(x)exV(iPx),
что приводит к следующей пространственно-временной связи:
J A»pexpliP(«—ж')]]т1,(а;'). A.37)
X Gт
В выражении, соответствующем причинной упорядоченности
ж0 >а;0', мы узнаем инвариантную функцию распространения
A+(z—x', Мг) = 1 j dcoPexp[SP(a:— *')]> A.38)
где в явной форме фигурирует массовая переменная М. Добавле-
Добавление этой связи к связи, обусловленной одночастичным обменом,
учитывается модифицированной функцией распространения
A.39)
которая обладает свойством антисимметрии
(y°G+(x'-x))T= -уос+(х-х'), A.40)
требуемым статистикой Ферми — Дирака.
В импульсном пространстве имеем
/_.\ 1 1 Ot Г йМ^ /л ттг2 \ —vv
л. ( т = : 1 I /1 1 ir
Л/2
а_ f i^./^_J2!_\ Г 1 ! 1 1
A.41)

16 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В последнем выражении учтено, что нижним пределом спек-
спектрального интеграла по массе должна быть точка М = т и что,
поскольку интеграл сходится (как это явствует из первой формы
записи), мы можем попытаться распространить интегрирование
на большие значения масс.
Другой способ проведения такого расчета основан на рассмо-
рассмотрении того члена вакуумной амплитуды для случая невзаимо-
невзаимодействующих частиц, который описывает обмен одним фотоном
и одной заряженной частицей:
j г © d+ a -1') jiv. ю x
X i \ (dx) (dx') y\i (x) y°G+ (x—xr) r\2 (x') + . .. . A.42)
В этот член
(dg) .. . (dx') iJ» A) T|l (x) y°Z)+ (g-g') G+ (x- x') i/21l (g') тJ (x1)
A.43)
введем эффективный источник C-11.66) с g = 2
г/1* (|) т] (ж) |Эфф = eg [б (g— x) yv-ty (ж)— ?/ц (g— x) т] (ж)], A.44)
применимый равным образом и в случае испускания и в случае
поглощения. Правда, во втором случае более предпочтительным
оказывается выражение
iJ» (?) т| (х) у0 [вфф = [if (ж) Y V« (a:-g) - ii\ (х) у°р (х-I)] eq. A.45)
В импульсном пространстве такие источники будут иметь вид
U% (к) ц2 (р) |эфф =ед [у^г (Р)— г/ц (к) щ (Р)},
, гМ / т\ / \П1 г i I Т~\ V * (\ ¦ ¦ • / Г\\ П rLL / 7 \ т
j / " / L* 1 "п I /i\ ц*1-1 I , , 1 IP I i-* I A%Ui«%Ll /у» ( /-'1 *M т I/el I />/7
t*' \ \ —¦ h) *\i \ — P) у |эфф — l т l \ — *¦ ) % i — *• li V — / i / \"yJ 4*
A.46)
Прежде всего выделим вклад, который не содержит фотонов,
испущенных или поглощенных источниками, и для которого, сле-
следовательно, несущественна электромагнитная модель источника.
Подставив в формулу A.43) выражения для функций распростра-
распространения, отвечающие причинной упорядоченности, получим
( ( _ Р) Y<y (m _ ур) у^2 (Р) =
где
-e'jdco
= — е2 \ dM2 dwp*! (— Р) Y^1*^ (^) 7Л (Р), A -47)
F(Р) = BлK f d(opdcoft6 (P — p—k)(m — yp) =

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 17
Единственное отличие от вычисления /^ (Р) здесь в том, что произ-
производится замена
которая впрочем также следует из соотношения A.20), ибо р =
= Р —к. Матрица F (Р) входит в комбинации
где учтены свойства
ii= (-2^V-VV) Yn = 2YV. A.51)
Таким образом, рассматриваемая часть вакуумной амплитуды
жазывается^ равной
= -^-J dMzda>PX
A.52)
Матрица, фигурирующая во второй строке, допускает алгебраи-
алгебраическое упрощение, которое достигается путем введения проекто-
проекторов для матрицы уР, соответствующих ее собственным значени-
значениям ±М:
L (М-т)* У *• °6)
Заметим, что при М ^> т полученная связь источников сводится
к A.35). Пространственно-временная экстраполяция осущест-
осуществляется так же, как и раньше, а поскольку коэффициенты фикси-
фиксируются асимптотическим совпадением выражения в области
М ^> т с результатом прежних вычислений, мы можем сразу же
написать неполную модифицированную функцию распростране-
распространения в импульсном пространстве:
+ W~ yp+m — is, + 4п )~М~\ W
->-т
. ЪпМ ЪпМ -.
(J|f-WJ а+(Д/ + та)а
уР+М-1в ^~ yp-M+ie J*
[ ЪпМ ЪпМ
2—0983

18 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В противоположность выражению A.41) теперь имеется инфра-
инфракрасная расходимость — логарифмическая особенность на ниж-
нижнем пределе спектрального интеграла. Однако было бы прежде-
преждевременным делать какие-то количественные заключения об этом
явлении, так как полученная функция распространения не яв-
является полной. Заметим также, что опять-таки в противополож-
противоположность A.41) весовой множитель (ур-\-М)~г не всегда положи-
положителен.
Проведенный расчет позволяет нам оттенить те физические
требования, которые до сих пор оставались скрытыми. Допустим,
что пространственно-временная экстраполяция производится на
основе первой формы записи A.52), учитывающей связь полей,
а не на основе второй ее формы записи, в которую входит связь
источников. Дополнительный член в действии, получаемый таким
путем, будет иметь вид
— i j (dx)(dx')^(x)y°M(x—x') ф (х'), A.55)
где
а Г AM I. т? \ Г(М—тJ—2тМ . (М-\-тJ + 2тМ1 ,, ,„
~ 4п J М \ ЛЯ / L yp+M—ie, + yp—M + ie, J* vll0D/
т
Здесь имеются две неточности. Во-первых, если выразить поля
через источники, то мы получим модифицированную функцию
распространения
11 *
ур + т—is, yp-\-m—te,
A-57)
Поскольку М (ур) ф 0 при ур + т = 0, поведение функции рас-
распространения оказывается сильно измененным в окрестности
¦ур ~\- т ~ 0. Но это противоречит феноменологическим основа-
основаниям теории, о которых подробно говорилось в гл. 3, § 9, где
речь шла о нормировке массы. Во-вторых, пространственно-вре-
пространственно-временная экстраполяция, проводимая при выводе формулы A.55),
неверна, так как интеграл A.56) не существует, если область ин-
интегрирования простирается до бесконечно больших значений М.
Связи между источниками, выводимые на основании простран-
пространственно-временной экстраполяции их причинной упорядоченно-
упорядоченности, всегда можно дополнить контактными взаимодействиями.
Если нет никаких других физических соображений, то контакт-
контактные члены остаются произвольными, и их можно отбросить.
Но если перейти от источников к полям, то такие члены локаль-
локального взаимодействия имеют физический смысл; необходимо вы-
выяснить условия, при которых они существуют, и связать это

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 19
с соответствующими физическими требованиями. Поскольку кон-
контактные связи в координатном пространстве возникают из поли-
полиномов в импульсном пространстве, правильное выражение для
М (ур) можно получить, добавив к выражению A.56) некоторую
полиномиальную функцию аргумента ур~-{- т. Квадрат и более
высокие степени этой удобной комбинации добавляют к функции
распространения A.57) постоянное слагаемое или полиномиаль-
полиномиальные функции импульсов. Нас не интересуют контактные добавки
к функции распространения, достаточно взять константу и члены,
содержащие первую степень ур -[- т. Они фиксируются тем
физическим требованием, чтобы второе слагаемое в выражении
A.57) не имело особенностей в окрестности ур-}-т = 0, чему
соответствуют условия
М(ур=-т) = 0, д-%-Щ = 0. A.58>
При любом значении спектральной переменной М это достигается,
следующими контактными модификэциями:
1 ^ 1 1 . ур+т _
. yp+M—ie, yp-\-M—i& M—m~*~ (M—m)*
J 1 .
(М — тJ ур-\-М — it
1 ^ * L-J I УР + т -
yp—M-\-ie yp—M+iR ~ M+m* (M +
^ (yp+m)* 1
mJ yp
т„_„±,т- A-60)
С такой поправкой будем иметь
1 2mM 2mM -.
ур+M-iB + ур-М+щ J ' (*-61)
Функция распространения, получаемая теперь из A.57), в точ-
точности совпадает с функцией A.54).
Рассмотренная нами частичная функция распространения имеет
свой аналог и в случае спина 0. Согласно формуле C-11.16),
эффективные источники в импульсном представлении имеют вид
iJ» (к) К* (р) |9фф = eg l(p» + Р») ф2 (/>) _ if (ЩК% {Р)\,
A.62)
Uf {-k)Kt{~p) |эфф = [ф1 (_Р) (рй + Р»)-Ki{-P) if (k)}eg. :
г*

20 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Если в выражении для связи
j (dt) ... (АО iJ» (?) Kt (х) |эфф D+ (I -V) X
X A+ (*-*') iJiVL (?') K2 (x1) |8фф, A.63)
обусловленной двухчастичным обменом, опустить члены с />*,
то вклад в вакуумную амплитуду будет равен
(- Р) (р + Р)* ф2 (Р) =
a f
IF J
dM2 М*-\-т2
Неполная модифицированная функция распространения, полу-
получаемая путем пространственно-временнбй экстраполяции этой
связи, записывается как
, . _ 1 а_ f
Л/2 — т2
где интегрирование по М2 можно распространить до бесконечно-
бесконечности, но при М2 -*¦ /»2 имеется инфракрасная особенность.
Чтобы выявить структуру модифицированной функции рас-
распространения, рассмотрим сначала более простой случай спина 0,
соответствующий электромагнитной модели источника, в которой
ускоренный заряд излучает. Если в выражение A.62) подставить
функцию C-10.44)
то при вычислении вакуумной амплитуды в формуле A.64) сле-
следует произвести замену
_9_JM2+m2_ 0 Д/2 + та2 2 /0 пР .\ i__
(Л/2 —m2J ""*¦ (M2-m2J "+" Л/2 —m2 \ nk J (reftJ '
A.67)
Обратные степени nk нужно усреднить по всем возможным разбие-
разбиениям полного импульса Р; введем с этой целью обозначения
<op dcoft6 (P-p-k) {nk)-''2 = ^ (^)
A.68)
В системе покоя, отвечающей^вектору Р>*, единственной существен-
существенной переменной является z — косинус угла между вектором отно-

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 21
сительного импульса частиц и вектором п. Таким образом,
1
/ 1 \ / 1М \ 2 1 f dz
~"' / \ М^ — т? / 2 J (иО — | п | zJ ' ^ '
-1
причем на основании соотношения
кР М
м гм
A.70)
можно заключить, что здесь содержится также информация об
энергии фотона в системе покоя вектора Р^. Интеграл в формуле
A.69) зависит лишь от комбинации
(га0J — | п |2 = 1, A.71)
и в результате получаем
\7^)г"/ = (л/2-т2 ) * ' AJ2>
Интеграл же, возникающий при вычислении ((пк)'1) в системе
покоя вектора Р&, содержит явным образом | п |а. В ковариант-
ном виде эта величина записывается как
где
Хотя этот второй интеграл столь же элементарен, как и предыду-
предыдущий, нам будет удобнее сохранить здесь интегральную форму
записи:
пР\ If, гео 1 f , (поу
A-75)
Теперь^подстановка A.67) принимает вид
~№=^W -»8 {m_m2? -Wr)dz q, • A-76)

22 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В результате всего этого из неполной функции распространения
A.65) получим
JLZ2
, 2а Г <Щ2 Г , 1 М» ,, 77Ч
где q2 — величина, образованная из произвольного вектора р^
согласно формуле A.74). Заметим, что неравенство q2 >0 остается
справедливым, поскольку пР — времениподобный вектор. В про-
противоположность тому, что мы имеем в формуле A.65), весовой
множитель при каждой комбинации (р*-\-М2 — ie) оказы-
оказывается теперь положительным числом. Интеграл по М2 в выра-
выражении A.77) быстро сходится с возрастанием М2, но при М2 -> т2
он обладает инфракрасной особенностью. Для функции распро-
распространения A.77) возможно и другое представление, соответствую-
соответствующее переменной
М'* = ^, A.78)
а именно
« Г
n J
— ie
Структуры типа A.41) и A.65), описывающие спектр масс одно-
частичных и двухчастичных возбуждений, представляют собой
простые спектральные формы. Функция же A.79) содержит двой-
двойную спектральную форму. Но на основании чисто математиче-
математического вывода этой структуры невозможно сказать, какому имен-
именно типу возбуждения отвечает масса М'.
Поскольку спектральные формы характеризуют возможность
возбуждений с переменными значениями массы, весовой множи-
множитель при стандартной функции распространения, скажем при
(ра + М2 — ie)-1, должен служить мерой эффективности источ-
источника, т. е. он должен давать относительную вероятность возбуж-
возбуждения данного типа. Таким образом, нефизический характер частич-
частичных функций распространения, общий вид которых иллюстри-
иллюстрируется выражением A.65), обнаруживается в появлении отрица-
отрицательных весовых множителей. В целях проверки этой интуитивной
вероятностной интерпретации мы выделим уже известный нам
результат, исследуя функцию распространения A.77) в области
М2 ~ т2, соответствующей частице, которая сопровождается

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 23
мягким фотоном:
= т? — 2рк = т?+ 2тк° ~ т2.
A.80)
Величина к0 (к0 <С т) есть энергия фотона в системе покоя частицы.
Для простоты ограничимся случаем, когда
Если его интерпретировать в системе покоя единичного вектора
п", где
то он будет соответствовать случаю медленно движущихся заря-
заряженных частиц. В результате часть функции распространения,
выделяемая условиями A.80) и A.81), примет вид
-г , . 1 . 2а 9 Г dk<> 1 ,. ооч
А+(Р, g) » p2+m2_,-e +Fv2 } ^Г p2+(m2 + 2mfeo)-fe • С1'83)
Так как при выводе этого выражения мы пренебрегли множест-
множественным испусканием фотонов, фигурирующая здесь дифферен-
дифференциальная вероятность
2а , *о
Зя v fto
дает среднее число испущенных фотонов. Это полностью согла-
согласуется с выражением C-11.60). Там, где приводится указанное
выражение, подчеркивается ложный характер математической
особенности при к0 = 0. Интегрирование в формуле A.83) сле-
следует обрезать на таком значении к0, чтобы т? и тп?-\-2ткй были
уже неразличимы экспериментально. Вклад всех меньших зна-
значений к0 уже учтен при описании испускания и поглощения заря-
заряженной частицы без детектируемого сопровождающего фотона.
Возникновение инфракрасной особенности — это весьма общее
явление, которое мы будем каждый раз комментировать при ана-
анализе разного рода приложений.
Чтобы провести аналогичный расчет в случае спина V2, вер-
вернемся к эффективным источникам A.46) и подставим в них функ-
функцию A.66), соответствующую определенной электромагнитной
модели. Тогда в вакуумной амплитуде A.52) нужно будет произ-
произвести замену

24 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где угловые скобки имеют такой же смысл, как и в формуле A.68).
Раскрывая скобки в правой части и подставляя в нее выражения
для некоторых известных интегралов, получаем
Мы уже вычислили величину [формула A.75)]
1+zl
где
1 оо
\ M2
М^ - J OZ ^ - 2 J М'« I1
О 1 + A22) 2
A.87)
Необходимо знать также величины {yk/(nkI'2), в которых у
играет роль некоторого произвольного постоянного вектора.
После интегрирования остаются только комбинации уп и уР,
и эти выражения полностью фиксируются результатами, которые
получаются при замене у на п и на Р. Последние же нам известны,
а потому не требуется никаких новых интегрирований. В итоге
будем иметь
<?>-S-(i»+?) *(*•)¦
\ * /~ пР ^\ М* "^ пР 1 \ М* )' К '
\
Проводя алгебраические преобразования различных слагае-
слагаемых в формуле A.85), мы получаем возможность ввести простран-
пространственно-подобный вектор
Q» = р» 4- п»пР, ruQ = 0. A.89)
Такое определение правильно, поскольку
Qv-Q» = {nPf — п*Р* = Q2. A.90)
Полученный нами результат можно представить и в другом виде:
(уР m)Q Z (Q* \ \ 4
_уР+М 1 Г, 8 М
~~ ЪМ М V ¦" М2 — m2 M +
^ ^ A.91)

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 25
Если положить здесь Q = 0, то это даст уР1М2, что соответствует
выражению A.35). Возникающая теперь модифицированная
функция распространения представляет собой смесь простой
и двойной спектральных форм:
ia , 8
Г1
\— 1 а С ЛМ \
. Я) — yp+m_ie + 4я J Ml
yp+M — ie
-»m
m2, 8
ур—М -\-iz
ОО '
я ™ J
Ш].
Все инфракрасные особенности сконцентрированы здесь в одном
слагаемом. Если оставить лишь ту часть спектрального интеграла,,
для которой
к0 = М — т < т, A.93)
и принять также упрощающие условия A.81) и A.82):
4- (
то функция распространения примет вид [для мягких фотонов
выполняются неравенства к0 <^ (дгI/г <^ т]
Как и следовало ожидать, для испускания мягких фотонов мы
получили ту же дифференциальную вероятность, что и в формуле-
A.83), соответствующей спину 0.
Спектральное представление A.92) затемняет один аспект
характеристик распространения, свойственных двухчастичным
возбуждениям, а именно различие в их четности. Основная функ-
функция распространения для объектов со спином 1/2, величина
(ур+М — is)'1, отличается от (ур + т — Щ-1 только массой.
Обе эти функции описывают возбуждения, для которых в соот-
соответствующей системе отсчета у0' = + 1, т. е. четность которых
одинакова. Функция же распространения (ур — М + ?е) ~х опи-
описывает возбуждения спина Va с разной четностью. Этим, кстати,
объясняется, почему в частичной функции распространения
A.95) отсутствуют члены такого типа. Необходима некая гиб-
гибкость, позволяющая проводить различие в описании между элек-
электроном, сопровождаемым детектируемым фотоном, и электроном,
сопровождаемым недетектируемым фотоном, что возможно лишь

26 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
тогда, когда в обоих этих случаях четность одинакова. Но в по-
последнем слагаемом в функции A.92) нет классификации по чет-
четности, которая имеется в предыдущих членах. Поэтому мы попы-
попытаемся найти другое представление, в котором два упомянутых
типа возбуждения выступали бы в более явном виде.
Вернемся с этой целью к формуле A^.91) и введем пространст-
яенно-подобный вектор Q'v-:
Умножив выражение A.91) на М, чтобы сделать его безразмер-
безразмерным, получим
тМ
о
' ¦*" П1° V " I I * —1 я. /-ШГП „,9\9 ~ 4f *^ I ЛЯ
Л?2 у 7С?' /л qy\
Далее, уР и yQ' антикоммутируют, так как векторы Q' и Р орто-
ортогональны, а это означает, что квадрат линейной комбинации уР
и yQ' кратен единичной матрице. Обозначив соответствующее
число через N2, имеем
Достаточно весьма слабого неравенства
для доказательства соотношения
Слагаемое с yQ' можно исключить путем преобразования Лорен-
Лоренца. Действительно, мы можем написать
Г, , л М»+го» п27-} уР . . М* ? yQ' ,.,Г„тПг
L! + 4 (м1-т«J <?zJir+4 м*-т* Z~W = L lN-W]Lt
A.101)
где
LTy°L = y°. A.102)

i 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 27
Матрица преобразования имеет следующий вид:
L = a + ^.yPyQ', A.103)
причем ее параметры, задаваемые равенствами
удовлетворяют соотношению
^( ) AЛ05)
В такой реализации подразумевается положительность N, а по-
потому произведение аЪ должно быть также положительным, что
позволяет нам приписать положительные значения как параметру
а, так и параметру Ъ.
С учетом сказанного выражение A.97) можно переписать как
где
¦i(iV+ + iV.) = iV, j(N+—JV_)= -7jf2^2J <?% A-Ю7)
причем неравенство A.100) гарантирует положительность обоих
чисел JV+ и N... Поскольку матрицы (М ± уР)/2М — это проек-
проекционные матрицы для уР, то, основываясь на выражениях
A.108)
комбинацию A.106) можно записать иначе:
LL., A.109)
причем
Эти последние матрицы таковы, что
A.111)
Они удовлетворяют также соотношению
М-уР , , м + уР т .
L+ гм L++L- гм ь—1- (

28 | ГЛАВА 4, ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В результате функция распространения приобретает тот вид,
к которому мы и стремились:
оо
Q tp q\ = *—_ + ( dM [a+L+ , * , L+ +
+ «^ *' yp+m—ie ' J L yp+M—№ + '
где
Как положительные числа А±, так и матрицы L± являются функ-
функциями М и вектора
и? = 0, A.115)
которые получаются путем замены в приведенных выше выраже-
выражениях Q на q. Условие нормировки A.112) остается справедли-
справедливым при замене Р произвольным вектором р, поскольку оно осно-
основывается только на соотношении
pq = q\ A.116)
Свойство антисимметрии, требуемое статистикой Ферми — Дира-
Дирака, выглядит теперь следующим образом:
[Y°G+( -р, -q)F = - •?&+ (р, q), A.117)
где обращение знака у q диктуется изменением знака р. Эта опе-
операция необходима для того, чтобы снова получались матрицы
L+ и L-, которые при транспонировании переходят друг в друга
[формула A.111)]. Наличие дополнительных матриц преобразова-
преобразования Ь± не изменяет интерпретацию функции распространения
A.113) как суперпозиции возбуждений, обладающих переменной
массой и четностью, причем величина A±dM служит мерой отно-
относительной вероятности. Это также полностью согласуется с пре-
предельным случаем мягких фотонов, когда при упрощающем пред-
предположении q2/m2 <^ 1 мы имеем
<^+«i-^r. A-118)
так что величине
^^ A.119)
воспроизводит вероятность испускания мягких фотонов.

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА | 29
$ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА
В предыдущем параграфе был изложен метод расчета, в кото-
котором поля играют роль источников. При таком подходе мы вы-
вынуждены в явном виде учитывать определенные физические тре-
требования, возникающие при анализе процессов многочастичного
обмена,— исходное феноменологическое описание одночастичных
процессов не должно изменять своей формы. Нам уже ясно, что
поведение свободных частиц удовлетворяет этому условию. Но,
когда речь заходит о движении во внешних электромагнитных
полях, возможны отклонения от примитивного электромагнит-
электромагнитного взаимодействия. Дело в том, что о примитивном электромаг-
электромагнитном взаимодействии можно говорить лишь в случае элемен-
элементарных процессов, в которых отсутствуют какие-либо последую-
последующие взаимодействия. Если же, как это бывает^в различных экспе-
экспериментальных установках, подобные взаимодействия имеют ме-
место, то они приводят к модификации эффективной электромагнит-
электромагнитной связи. Это станет ясным в ходе дальнейшего изложения. Но
уже сейчас мы в состоянии извлечь из данного обстоятельства
одно важное с экспериментальной точки зрения следствие, для
чего потребуется лишь незначительно видоизменить вычисления,
проведенные в § 1.
Рассмотрим сначала некоторые характерные свойства функ-
функции распространения GA (х, х') частицы со спином V2 в слабом
однородном электромагнитном поле. В матричных обозначениях
типа тех, которые были введены в гл. 3, § 12, дифференциальное
уравнение C-12.2), определяющее функцию распространения,
примет вид
(тП + ш)^=1, B.1)
где
П = р — eqA. B.2)
Далее, напишем
б? = (в»-тП)Д?, B.3)
откуда
[— (yUJ + m2]\f = [П2—eqoF + m*] А*=1. B.4)
При выводе этого уравнения использованы алгебраические свой-
свойства
~ eqFp.v, B.5)
где
[П,,, nv] = [Plx, - eqAv] — [pv, — eqA,,.] ^'ieqF^, B.6)

30 ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
и введено сокращенное обозначение (следует обратить внимание
на коэффициент V2)
aF^-ja^F^. B.7)
Из матричной записи сразу ясно также, что выражение B.3)
можно представить в форме
6}=\Цт-уП), B.8)
ибо \а является функцией только матрицы уП.
Уравнение, определяющее А^, нам хорошо знакомо. Оно
отличается от уравнения C-11.40) для функции Грина частицы
со спином 0 лишь наличием члена —eqoF. Если же Гцу — одно-
однородное поле, то этот дополнительный член представляет собой
постоянную матрицу, которую можно объединить с ire2. Мы знаем
также, что после выполнения фазового преобразования C-11.37)
в случае однородного поля C-11.46) и в предположении его сла-
слабости в уравнении C-11.52) можно пренебречь членами, квадра-
квадратичными по полю. В результате преобразованная функция рас-
распространения примет тот же вид, что и для свободной частицы.
Таким образом, величина \f в случае слабого однородного элек-
электромагнитного поля равна
Д^ (ж, х') = exp [ieq ф (х, х')] А+ (х — х', m2 — eqoF),
B.9)
где через ф обозначен фазовый интеграл по отрезку прямой:
(^). B.10)
Возвращаясь к функции Gf, мы встретимся с соотношением
(— гдц — eqAp (x)) exp [ieq ф (х, х')\ =
) B.11)
которое учитывает калибровочное преобразование, приводящее
к векторному потенциалу C-11.46). Еще одно соотношение такого
рода получается путем взаимной замены а; на ж' с обращением
знака у F^:
exp {ieq ф (х, х')\ (— id'p—eqA» (x')) =
{x, x')], B.12)
где символ дт введен для указания того, что оператор дифферен-
дифференцирования действует налево с одновременным изменением знака.

§ 2, ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА | 31
Если взять среднее арифметическое выражений B.3) и B.8), то
члены v^^v (х — x')v, возникающие при использовании соотно-
соотношений B.11) и B.12), будут обладать противоположными зна-
знаками. Это слагаемое не удается исключить лишь потому, что оно
не коммутирует с oF. Однако соответствующий вклад квадрати-
квадратичен по напряженности поля, и поэтому мы его опустим. В итоге
получим
(я, х')]
где подразумевается, что произведение двух матричных сомножи-
сомножителей симметризовано.
Обратимся теперь к связи A.43), обусловленной двухчастич-
двухчастичным обменом, и зададимся вопросом, к каким ее изменениям при-
приводит наличие слабого однородного электромагнитного поля
Изменение в физических условиях находит свое выражение во вве-
введении только что построенной функции распространения заряжен-
заряженной частицы. Опуская, как и в A.47), всякие указания на фото-
фотоны, испущенные или поглощенные непосредственно источниками,
мы для члена в вакуумной амплитуде, описывающего связь, полу-
получим
е2 j (dx) (dxr) ih (x) ty»D+ (х-х') Gf (x, x') y^ (xf). B.14)
Используя более удобную для наших целей причинную последо-
последовательность, суммируем некоторые из наиболее существенных
моментов проведенных ранее вычислений, написав
^>жэ': D+(x—x')G+(x—x') =
= — j dM*dti>Pexv[iP(x — x')]F(P), B.15)
где
^(?)(*?V) B.16)
Соответствующая функция, получаемая путем пространственно-
временной эстраполяции, имеет вид
D+{x—x')G+(x—x') =
+ контактные члены. B.17)

32 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Структура выражения B.13) показывает, что переход к G* до-
достигается путем введения фазового множителя
Ф = exp [ieq q> {х, х')] B.18)
и замены т2 на т? — eqoF, а тем самым М2 на М2 — eqaF, с рас-
расстановкой матриц у1* на концах всех произведений симметрич-
симметричным образом:
X A+(a;—x\ M2—eqaF)-\- контактные члены. B.19)
Заметим, что мы не позаботились о выделении матриц у — подра-
подразумевается, что матричные множители расставлены в надлежащем
порядке.
Поскольку мы ограничиваемся анализом лишь случая слабых
полей, выражение B.19) можно заменить эквивалентным ему
выражением
D+(x-x')G?(x,x') =
= ф W J dM211 - ж) (m—ш^у (т) д)
2
_-^-у (тM) д+(х—x'' M2) + контактные члены. B.20)
X
Чтобы можно было на основании соответствующих физических
соображений фиксировать контактные члены, необходимо завер-
завершить выкладки, включив в рассмотрение сомножители у*1, кото-
которые имеются в формуле B.14). Основное свойство матриц Дирака
состоит в том, что]
Yn = 0,1 B.21)
ибо две у-матрицы коммутируют, а две другие антикоммутируют
с любой из матриц а. Поскольку мы ограничиваемся эффектами,
линейными по полю, из этого свойства вытекает, в частности,
равенство
(х -х',М*- eqaF) v№ = ~ 4Д+ (* - *', ЯР). B.22)

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА | 33
Кроме того, нам нужны две следующие комбинации:
yVydoFy» = — 2ydoF, B.23)
у^9Д+ {х — х', М2 ~ eqoF) у^, =
= — 2удД+ (х — х', М2 — eqoF) + 4удД+ (х — х', М2).
B.24)
Желательно также вновь восстановить комбинацию М2 — eqaF.
Это достигается применением соотношения
Д+(я—х', М2) = Ь+(х—х', M2~eqaF)+eqoF1^A+(x-x', М2),
B.25)
получаемого путем интегрирования по частям по переменной М2\
при этом никакие вклады от пределов интегрирования, равных
т2 и бесконечности, не возникают. Проделывая все зти выкладки,
мы опять придем к функции распространения B.9), соответст-
соответствующей теперь переменной массе М2:
+ контактные члены. B.26)
Формальная матричная запись
lie B-27)
позволяет нам представить B.26) в виде
i "Т дМ (. __т^_\ Г (М — mJ — 2mM (M+ т)-2т.Д/ ~1
DяJ J М V iW2 / L уП+Л/—ie + уП — Л/+»е J
L_ F
DяJ J
М М2
т
+ контактные члены, B.28)
где по-прежнему подразумевается, что произведение матриц сим-
метризовано. Физические требования, которыми фиксируются
контактные члены, относятся к случаю, когда отсутствует элек-
электромагнитное поле. Они находят свое выражение в подстановках
3-0983

34 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
A.59) и A.60), хотя мы и сохраняем калибровочно-ковариантный
символ я, который в любой заданной калибровке можно отожде-
отождествить с р. В результате первое слагаемое в B.28) заменяется на
DяJ vr ' ' J M
[. 2тМ . 2тМ -.
1——.—- 1 j I
\JVI—ill f . \t\i-i-ni) I in nr\\
—Тл—: 1 — I . iz.^y)
Таковы, и ничуть не более, требования феноменологического
характера. Дополнительный член в действии, который теперь
возникает взамен A.55), имеет вид
—4- ( (dx) (dx') г)? (х) у°М (х, x',F)ty (x')t B.30)
где
«¦m
2стАГ 2mAf
1+
Г 1
L уП + М — ге ' уП. — M + ie J
оо Г / i W \ / ¦ f7l \ 
I U lit III тл I \ 1VI / . \ JKl / I if\ t\ ж v
2я j М М2 " L ^П -)- Af — is уП — M -(- is J * '
m
Он складывается с исходным выражением для действия
Ограничим наше дальнейшее рассмотрение движением частицы
вдали от ее источника. В отсутствие электромагнитного поля
величина \|э в этой области удовлетворяет уравнению
(Yll-fm)i|> = 0. B.33)
Использование этого уравнения при упрощении выражений B.30)
и B.31) находит свое оправдание в том, что мы ограничиваемся
предельным случаем слабого поля. В итоге получим
Комбинируя B.32) с B.30) и B.34), для эффективного действия
при рассматриваемых условиях имеем
){x), B.35)

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА | 35
откуда видно, что дополнительный спиновый магнитный момент
оказывается равным а/2я магнетонов. Выразим этот результат
через ^-фактор, входящий в действие C-10.63):
B.36)
Взяв для постоянной тонкой структуры значение
а = 17137,036, B.37)
т. е.
^- = 0,00116141, B.38)
получим для величины V2 g значения, блестяще согласующиеся
с экспериментальными значениями этой величины для электрона
A,0011596) и для мюона A,001166). Небольшие расхождения,
вполне значимые, естественно приписать еще не учтенным про-
процессам обмена с участием более двух частиц. Итак, мы приходим
к следующему выводу относительно электрона и мюона: для
этих частиц g-фактор примитивного взаимодействия не совпадает
с экспериментальными значениями величины g; вместо этого мы
имеем точное равенство ?Прим = 2.
Наше заключение о динамическом происхождении малого
отклонения величины 1/2^ от единицы и о том, что мы не должны
приписывать его локальному примитивному взаимодействию,
находит дополнительное подтверждение в следующем. Выраже-
Выражения для действия B.30) и B.32) устанавливают связь поля \|э с его
источником череэ посредство модифицированной функции распро-
распространения:
ф = G+ (F) т|, B.39)
причем
[уП + т + М (F)] G+ (F) = 1 B.40)
(мы по-прежнему пользуемся матричной символикой в простран-
пространственно-временных координатах). В такой более общей форме
записи та часть М (F), которая зависит от поля, т. е. второе сла-
слагаемое в формуле B.31), оказывается нелокальной, так как в нее
в качестве составных элементов входят функции распростране-
распространения [уП ± (М—ie)]~x. Если рассматривать это взаимодействие,
отвечающее распределенному магнитному моменту, в течение
очень малых промежутков времени, что описывается по дополни-
дополнительности предельным переходом уП->- °°, то асимптотически оно
примет вид
обращаясь тем самым в нуль без всяких следов остаточного
локального взаимодействия.
3*

36 I 'ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Существует еще один способ вычисления магнитного момента,
еще более феноменологический, а именно: в исходное электромаг-
электромагнитное взаимодействие мы включим в качестве наблюдаемой вели-
величины отклонение величины V2g от единицы. При таком подходе
это отклонение определяется на основании добавочной гипотезы
о динамической природе эффекта возникновения дополнительного
магнитного момента, который подавляется, если ограничиться
рассмотрением очень малых промежутков времепи. В дополне-
дополнение к т в уравнение B.40) для модифицированной функции рас-
распространения будет входить теперь взаимодействие, обусловлен-
обусловленное магнитным моментом, т. е. слагаемое
Разумеется, при изменении электромагнитных характеристик
меняется и динамический член М (F). Но при учете только эффек-
эффектов порядка а/2я всеми добавками такого рода можно прене-
пренебречь, ибо они имеют более высокий порядок малости. Однако
на этот раз в соответствии с предположением, что g есть экспери-
экспериментально установленный g-фактор, мы должны наложить на
М (F) феноменологическое условие нормировки. Мы должны
добавить к М (F) кошактный член, который исключал бы зави-
зависимость от электромагпитиого поля при условиях, символически
описываемых соотношением уП + то = 0. Для этого необходимы
следующие замены:
1,1-,- *
yli±(M—te) yll±(M—te)
В результате слагаемое, отвечающее полному магнитному момен-
моменту, примет вид
о» Г л HL. — 14-— 11
у а Г dM I m \2 2m M __Л_ i 10 АА\
2я J М \м) М 1уП+М—гг yU—M + UJ}' <• Л '
т
Для очень малых промежутков времени (при уП ->• со) асимптоти-
асимптотический предел множителя, заключенного в фигурные скобки,
равен
Если в соответствии с предположением о динамическом происхож-
происхождении разности Ч^ — 1 потребовать, чтобы это предельное выра-

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 37
жение обращалось в нуль, то мы вновь придем к полученной
ранее формул? B.36). Принятая здесь точка зрения обладает тем
преимуществом, что при таком взгляде некоторые из малых попра-
поправок порядка (а/2яJ оказываются обязанными своим происхожде-
происхождением условию самосогласованности: величина g вычисляется
с учетом динамических процессов, которые в какой-то степени
характеризуются самой этой величиной. Но здесь мы не будем
заниматься усовершенствованными расчетами такого рода.
П;.авд , "дин из пунктов требует некоторых пояснений. Мы
пока еще совсем не упоминали об испускании или поглощеппи
фотонов непосредственно источниками, хотя и зпаем, что такие
процессы весьма существенны для физической непротиворечиво-
непротиворечивости всей схемы в целом. Дело, конечно, в том, что на вычислении
магнитного момента подобные процессы, вместе со всеми прису-
присущими им элементами произвола, не сказываются. При соответст-
соответствующем расчете одно или оба поля г|) заменяются источником т|,
т. е. фактически выражением GП -\- m) г|). Поэтому упомянутые
процессы не дают никаких вкладов в физических условиях, при
которых измеряется магнитный момент, ибо тогда выполняется
соотношение уП + т = 0. Но они вызывают изменения некото-
некоторых деталей в структуре функции G+ {F), хотя непротиворечи-
непротиворечивость описания и требует, чтобы качественно поведение магнит-
магнитного взаимодействия оставалось тем же, что и прежде.
§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
В рамках схемы примитивного электромагнитного взаимодей-
взаимодействия для заряженных частиц со спином х/а выше массового поро-
порога, т. е. при условии
- fc2 = М2 > BтJ, C.1)
электромагнитный векторный потенциал можно отождествить
с эффективным обобщенным источником, испускающим или погло-
поглощающим пару противоположно заряжепных частиц. Поскольку
мы считаем, что частицы не взаимодействуют друг с другом,
будем сравнивать вакуумную амплитуду для элементарного про-
процесса
i^(dx)^Mp(x)Y>eqy^(x)AVL(x) C.2)
с вакуумной амплитудой, описывающей распространение двух
невзаимодействующих частиц,
= -1 j (dx) (da?) ф (x) V°r, (x) r, (*') Щ (*'). C.3)

38 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Последняя представляет собой квадратичный член в разложении
экспоненты
exp [i } (dx) (dx') t|j (x) y°G+ (x-x') % (x% C.4)
где через т| (x) обозначен интересующий нас испускающий или
поглощающий источник, а ф (х) есть соответствующее поле ча-
частицы. Сравнивая выражения C.2) и C.3), придем к матрице
Щ(х)г](х')\т^8(х-х')еду^А11(х). C.5)
Антисимметрия относительно перестановки всех индексов, соот-
соответствующая в левой части этого равенства статистике Ферми —
Дирака, в его правой части обеспечивается антисимметрией заря-
зарядовой матрицы.
Связь между источниками двухчастичного испускания и погло-
поглощения описывается квадратичным членом в разложении экспо-
экспоненты C.4). Исходное выражение для нее
-1 [г } (dx) (dx') % (х) y»G+ (x- x') % (x')J =
' = 1 j (dx) ... (dx"') Щ2 (x-) y°G+ (x* - x") ir\t (аГ) X
Xi\l(x)'pG+(x-x')i\t(x') . C-6)
можно представить целиком в матричной форме:
- у J (dx) ... (Ac-) Sp Цщ (хГ) т)! (ж) v'G+ (а: - х') щ* (хГ) х
X л. (*")Т°С+(;г--Ob 43.7)
К ней приводит цепочка равенств
Т| (Ж) М„(Ж") = Т|а (х) МаЬЦъ {*") =
= - МаЬщ (х") т|в (ж) - - Sp Шу] (хЪ (х)], C.8)
в которой учтено, что в интересующем нас случае матрица М пере-
перестановочна с антикоммутирующими источниками. Кроме того,
использовано свойство цикличности следа произведения. Если
ввести затем два эффективных источника, связанных через вектор-
векторные потенциалы А*}^ с обобщенными фотонными источниками
Jt.z> т0 мы придем к вакуумной амплитуде, описывающей двух-
двухчастичный обмен между обобщенными фотонными источниками:
-1 { (Ac) (dx') Sp [egyAi (x) G+ (х- х') eqyA2 (x') G+ (x' -х)] =
= - у J (dx) (dx') Аг (х) SP И7ц?+ (х ~ *') eqyvG+ (х' - х)] А\ (х').
C.9)

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ [ 39
Подставив сюда соответствующие причинные выражения для
функций распространения, получим
—-i j dcop d®p.A? (— к) Sp [eqy^ {m — yp) eqyv (—m — yp')\ A\ (k),
C.10)
где
к = р + p< C.11)
есть импульс, которым обмениваются между собой обобщенные
фотонные источники. Умножив это выражение на величину
\ '-k) = l, C.12)
для члена в вакуумной амплитуде, описывающего связь, будем
иметь
- «* j dM* йщ А» (- к) 1^ (к) А\ (к), C.13)
где
1^ (к) = J *юр d(op. BяK 6 (р + р' - к) X
—YP)Yv(—»»—YP')b C-14)
Подчеркнем, что символ следа здесь относится только к четырех-
четырехмерному пространству матриц Дирака. Дополнительный же мно-
множитель 2, связанный с зарядовым пространством, выделен в яв-
явном виде.
Тензор /„.v (к) обладает двумя важными свойствами — он
симметричен по индексам |д, и v и удовлетворяет соотношению
***nv (к) = 0. C.15)
Для доказательства симметрии тензора заметим, что
Sp [у,, (т - ур) yv (-т — ур')] = — Sp [v6yv (—m — ур') X
X Уц {т — ур) уъ] = Sp [yv (то — ур') 7ц (—т — ур)].
C.16)
Проверку свойства
V (к) = /vtl (Л) C.17)
завершает замена в интеграле р на р' и наоборот. Для доказатель-
доказательства соотношения C.15) достаточно воспользоваться равенством
yjc = (vp + т) + (ур> _ т) C.18)
и учесть, что первое слагаемое его правой части дает нуль под
знаком следа при умножении на т — ур, а второе — при умно-
умножении па —т — ур'. Доказанные нами свойства являются необ-
необходимыми с физической точки зрения. В частности, соотношение

40 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
C.15) выражает калибровочную инвариантность связи. Указан-
Указанными свойствами обладает тензор вида
C-19)
его форма говорит о том, что возбуждение с конечной массой,
испущенное векторным источником, ведет себя подобно частице
с единичным спином. Скалярную функцию / (М2) можно вычис-
вычислить, взяв след тензора I)lv (к):
= \ d<up da>p. BпK б (р + р' — к) Sp [у» (т —
-уР)У»{-т-УР% C.20)
где след комбинации матриц Дирака равен просто
Sp [(-4те - 2ур) (—т - ур')] = 4 Dт2 - 2рр') =
= 4 (М2 — 2т2). C.21)
Остающийся в C.20) интеграл в точности совпадает с величиной
A.24), так что
(F + 2ffl2)AI" C-22)
Калибровочная инвариантность связи позволяет выбрать век-
векторный потенциал в виде
&>№)=¦?¦*»№=—&¦*»&)• C-23)
Условие же
к^ (к) = 0, C.24)
соответствующее обращению в нуль дивергенции источника,
позволяет представить вакуумную амплитуду в следующей форме:
В интеграле
? (- к) idahj2ll (к) - J (dx) {dx') J\t (x) X
X [г j dcoftexp [Л(ж-лг')]] J*AX>) C-26)
мы узнаем величину, описывающую причинно-упорядоченный
обмен источников возбуждением с массой М. Необходимая про-
пространственно-временная экстраполяция достигается путем вве-
введения функции распространения А+ (х — х', М2). Складывая
полученную связь со связью, обусловленной обменом фотоном,

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 41
придем к следующей модифицированной фотонной функции рас-
распространения:
oo
В импульсном пространстве она имеет вид
оо
л щ^ 1 а [
J
Bт)8
*• <3-28>
Поскольку интеграл по М2 оказывается всюду сходящимся, мы
распространили область интегрирования от порогового значения
BтJ до бесконечности.
Мы проводили расчет для частиц со спином V2, так как это
соответствует важному физическому случаю заряжепной частицы
с минимальной массой — электрону. Но не менее интересно про-
проследить и за параллельными вычислениями для заряженных
частиц со спином 0. Заметим, что при учете только двухчастичного
обмена заряженные частицы различных сортов дают аддитивные
вклады в функцию D+ (к). Примитивное взаимодействие в случае
спина 0 приводит к вакуумной амплитуде
(dx) Ф (х) eq I ^<p (,) А» (ж), C.29)
которую следует сравнивать с комбинацией
| [i J (dx) К_(а) ф (x)f = -1 j (dx) (dx') Ф (х) К (х) К (х1) <р (х1).
C.30)
Это дает
iK(x)'K(x')\m=eq [А*{х)+А» (х')}±-д»Ь(х-х') C.31)
где симметрия левой части, свойственная статистике Бозе —
Эйнштейна, согласуется с симметрией правой части. Двухчастич-
Двухчастичный обмен описывается выражением
¦|- [i j (dx) (dx') К, (х) Д+ (х -х') К2 (х') J =
- • idx'") SP №i (xl Ki («) Д+ (« -*') X
X iff, (а/) ЛГ2 («*) A+ (*"-s")], C.32)

42 j ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
в котором след берется по переменным зарядового пространства
и в которое нужно подставить эффективные источники C.31).
В целях упрощения записи мы представим эту связь в виде выра-
выражения в импульсном пространстве, соответствующего наличию
причинной упорядоченности. При этом используется следующий
эквивалент источника C.31):
гк (р) к GO !эфф = гк (-р') к (-р)
(к), C.33)
откуда ясно, что мы имеем дело с противоположно заряженными
частицами. Вакуумная амплитуда равна
— 4" j daP dap'A" ( — к) Sp [eg (p— p\eq (p— p')v] Al (k) =
= - e2 j dM2 dakA1} (- ft) V (ft) Al (ft), C.34)
где теперь тензор
/^ (к) = j dcop da>p. BлK б (р + р' - к) (р- р% (р- p')v C.35)
¦очевидным образом симметричен по индексам \i и v, а также обла-
обладает необходимым свойством калибровочной инвариантности
C.15), поскольку
к(р-р')=чУ-Р'2 = 0. C.36)
Скалярный множитель выражения C.19) оказывается равным
так как
(р _ р'J =Мг — 4m2v C.38)
Итак, модифицированная фотонная функция распространения,
в которой учитываются только заряженные частицы со спином О,
имеет вид
00
2
2mJ
Для модифицированной фотонной функции распространения
можно указать ряд прямых применений. Прежде всего она позво-
позволяет решать динамические задачи с использованием выражения
для вакуумной амплитуды^
<0+10_/ =ехр [ i i j \dx) (th>) J»\x)\D+ (х- x') J^ (*')] , C-40)

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 43
которой определяется вероятность возмущения вакуумного состоя-
состояния, дополняющая до единицы вероятность его сохранения. В слу-
случае слабого обобщенного источника отсюда получается следую-
следующая вероятность испускания источником одной пары:
| <0+10_>Jр = 1 - j -^J»(к)* Im D+ (к)/„ (к), C.41)
где в случае спина V2
V2
C.42)
Таким образом, для вероятности испускания пары имеем
(dk) I I, ,2m2\ /1 4m2\V2 jV, , .
a f
Т J
Этот результат можно получить также из амплитуды C.2) путем
непосредственного расчета.
Как явствует из соотношения
/№(A)* *WV (Л) = J*(к)* (^v + -jgr ^Л) /v (A) =
C-44)
квадратичная комбинация источников в формуле C.43) положи-
положительна. Кроме того, данное соотношение свидетельствует и о
том, что в системе покоя вектора к две частицы обладают единич-
единичным угловым моментом. Это позволяет в какой-то мере объяснить
различие между результатами, полученными в случаях спина V2
и спина 0. Для частиц со спином V2, которые рождаются почти
покоящимися, единичный угловой момент может быть реализован
в 3?-состоянии, отвечающем нулевому орбитальному моменту.
Вероятность перехода вблизи порога будет изменяться как отно-
относительная скорость частиц, т. е. пропорционально (М — 2тI'2.
Для бесспиновых же частиц равенство углового момента единице
вынуждает их рождаться в Р-состоянии орбитального момента,
причем вероятность перехода содержит две дополнительные сте-
степени относительного импульса и вблизи порога изменяется как
(М — 2тK/2.
Введение модифицированной фотонной функции распростра-
распространения означает, что изменяется взаимодействие покоящихся заря-
зарядов — нужно изменить кулоновский потенциал. Кулоновская

44 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I •
функция B-3.92) заменяется теперь на
3>(х) =
Зя J 2 М* \ ^ М* I \ М»
4я|х| т зя J Л?2 \ ' Л/2 / V Л/2 / 4л|х
Vi ехр( — М \х\)
5.45)
1 —W2
где при переходе к последней строке введена переменная
1—U2-) • C-46)
Соотношение C.45) показывает, что интегрирование по времени
превращает четырехмерную функцию Грина в трехмерную, а имен-
именно в функцию Грина дифференциального оператора — V2 + М2.
Выражение для нее можно получить, например, подстановкой
в интеграл C-14.35) значения р° = 0. На расстояниях, удовлетво-
удовлетворяющих условию
2т|х|>1, C.47)
кулоновский потенциал не претерпевает сколько-нибудь сущест-
существенных изменений. В другом же предельном случае имеем
^[^(^-С-|-)], C-48)
где
С = 0,57721... C.49)
есть постоянная Эйлера. Появление добавочного логарифмиче-
логарифмического члена при этих условиях обязано своим происхождением
интервалу интегрирования по М
! х Г1 > М > 2т, C.50)
в котором интеграл C.45) сводится к 2 \ dMIM. Выражение C.48)
получается в результате разбиения всего промежутка интегриро-
интегрирования такой точкой, в которой М удовлетворяет неравенствам
C.50).
Эффект, рассматриваемый нами, называется обычно поляриза-
поляризацией вакуума. Он приводит к увеличению интенсивности кулонов-
ского взаимодействия на малых расстояниях. Правда, при всех
достижимых расстояниях это возрастание оказывается чрезвы-
чрезвычайно малым. Так, при 2т J ас | '— 10~3, что для массы электрона

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ 1 45
соответствует приблизительно расстоянию 10~14 см, увеличение
интенсивности взаимодействия составляет около 1%. Поскольку
зависимость эффекта от расстояния логарифмическая, этот поря-
порядок величины не может быть существенно изменен никакими мыс-
мыслимыми достижениями в области экспериментальной техники.
Чтобы увеличить интенсивность взаимодействия на 10%, нужно
приблизиться на расстояния около 10~3' см! Да к тому же задолго
до того, как такие расстояния будут достигнуты, ситуация каче-
качественно изменится из-за возрастающей роли частиц, более тяже-
тяжелых, чем электрон. Несмотря на их малость, эффекты, обуслов-
обусловленные поляризацией вакуума, можно обнаружить уже при суще-
существующем состоянии развития экспериментальной техники. Про-
Проще всего случай атомов водорода, в которых из-за усиления при-
притяжения между электроном и ядром снижается энергия состоя-
состояний с нулевым орбитальным моментом, поскольку в них электрон
вполне ощутимое время проводит вблизи ядра.
Чтобы вычислить изменение энергии взаимодействия, можно
воспользоваться простой теорией возмущений для
8F (х) = - Ze26 3) (х), C.51)
где через ЬЗ) (х) обозначена разность между 3 (х) и
C.52)
В состоянии с нерелятивистской волновой функцией я|? (х), кото-
которую можно применять при условии Za <^ 1, имеем
ЬЕ - \ (dx) 8V (х) | яр (х) |2« — 4nZa | яр @) |2 ( (dx) Ш (х). C.53)
Здесь учтено то обстоятельство, что возмущение играет заметную
роль лишь на расстояниях,- малых по сравнению с размерами ато-
атома. Необходимое в данной формуле интегрирование эквивалентно
вычислению предельного значения функции &D+ (к) для нуле-
нулевого импульса, и поэтому
= ^r J -^(l-f — ^l-
B)S
I a ¦ \ l а \1/2
Bm)S
-т-')-йг^- <3-54>
Мы должны рассматривать только s-состояния. Для главного кван-
квантового числа п имеем
C.55)

46
так
ЗЛ1
ГЛАВА 4.
ЧТО
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
&Ens
1 Z*a"
2 ^ m
i
4
15я
гез
8
15я
-m,
Z2«3
re
C.57)
причем в последней формуле сдвиги отнесены к боровским значе-
значениям энергии. Здесь мы не будем вникать в детали этой пробле-
проблемы, поскольку из дальнейшего станет ясным, что рассматривае-
рассматриваемый эффект весьма мал по сравнению с другим эффектом, бла-
благодаря которому s-состояния смещаются в противоположном
направлении. О существовании поляризации вакуума приходится
судить по результатам количественного сравнения теории с экс-
экспериментом; если допустить, что поляризации нет, то останутся
малые, но значимые расхождения с экспериментальными дан-
данными.
В свете сказанного чрезвычайно интересно то, что имеются
экспериментальные данные, прямо указывающие на явление
поляризации вакуума. Речь идет об измерениях ^-фактора элек-
электрона и мюона, в которых обнаруживается небольшое расхо-
расхождение
х^-4-^=0'66-10- (з-58>
Отклонение величины 1/2g от единицы обусловлено процессами
обмена фотонами и заряженными частицами, каждый из которых
описывается соответствующей функцией распространения. Под-
Подставляя D+ вместо D+, мы должны учитывать и более сложные
обменные процессы, в нашем примере — трехчастичный обмен.
Асимметрия между электроном и мюоном возникает благодаря
тому, что в добавке 8D+ доминирующую роль играют процессы
поляризации вакуума с участием легкого электрона. Масштаб
для наиболее существенных актов обмена задается массой каждой
частицы. Поэтому тяжелый мюон оказывается более подвержен-
подверженным влиянию явлений поляризации вакуума. С кинематической
точки зрения безмассовый фотон и электронно-позитронные пары
с массой М <^ Тоц не различаются сколько-нибудь существенно,
и в таком приближении модифицированную фотонную функцию
распространения в случае мюона можно считать равной
C.59)

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 47
Пределы интегрирования фиксируют область значений М, для
которой можно повторить простые рассуждения, проведенные
в связи с выражением C.48). Возникающий здесь множитель
#- In — C.60)
служит мерой превышения величины V2g^ над 1/2ge-
1 _ 1 а 2а, %_
-^ U Т^е~'2яя П^7~
= 1,16.10-3х 0,825.1(Г2~10-3, C.61)
что качественно согласуется с экспериментальным результатом
C.58). Несколько позже в этом параграфе будет проведен более
точный анализ, в котором найдет свое дополнительное подтвер-
подтверждение интерпретация различия между g^ и ge как эффекта, обу-
обусловленного поляризацией вакуума.
Но сначала вернемся вновь к члену в вакуумной амплитуде,
описывающему связь [формулы C.13) и C.19)]:
v2(k), C.62)
и преобразуем его так, чтобы калибровочная инвариантность
выступала в явном виде. Для этого введем напряженности поля
^v (к) = ЛИ v (*) - ibvA v (к) C.63)
согласно соотношению
-±Fr(-k)F^(k) = M>AU-k) (g^ + ^-)Al(k). C.64)
Результат, который получается из C.62),
( -т) ^(-к) tfokFwW, C-65)
допускает непосредственную пространственно-временную экстра-
экстраполяцию. Соответствующее выражение мы представим в виде
некоторого действия:
J UNPM4 (М2) ( —1) J (dx) {da!) F»v (x) x
X [А+(« —ж', М2) + конт. чл.]^(ж'), C.66)
где
()() C.67)
(последняя форма записи отвечает случаю спина V2). Указанный
здесь контактный член необходим для сохранения физического

48 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
условия нормировки — действие, отвечающее фотонам (к2 = 0),
не должно изменяться. Это достигается использованием комбина-
комбинации
^Л C.68)
или, в записи в импульсном пространстве,
3fi
Таким образом, более полное выражение для действия электро-
электромагнитного поля имеет вид
= j (dx) |> {x) A» (x) —i- F*" (a:) F^ (x)] -
- J
xAt(i-i', M2) diF^(ж'). C.70)
Локальность, необходимая для того, чтобы можно было опре-
определить функцию Лагранжа, вообще говоря, уже не имеет места.
Но если рассматриваются поля, которые мало меняются на интер-
интервалах ИМ < 1/ Bт), то выражение C.70) можно упростить, под-
подставив в напряженности х вместо х'. Тогда, с учетом равенства
J dx'A+ (х-х\ М2) = Д+ (к = 0, М2) = -^s-, C.71)
а также соотношения C.54)
BтJ
мы можем заменить последнее слагаемое в действии C.70) вели-
величиной
^ I ( ) (х). C.73)
В рассматриваемом пределе существует функция Лагранжа
C-74)
Ей соответствуют следующие модифицированные полевые уравне-
уравнения Максвелла:
"Точное решение этих уравнений было бы бессмысленным занятием,
так как они справедливы лишь при условиях, когда д2 <^ тп?.

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 49
Поэтому с точностью до калибровочного члена мы ограничимся
приближенным решением вида
Тогда для действия W получаем выражение
= i- J (Ac) (Ac') /" (ж) Z>+ (ж - ж') /№ (г')
которому соответствует модифицированная энергия взаимодейст-
взаимодействия двух стационарных распределений зарядов и токов
—lST-^ J (<Ь)-Я(х)-Мх). C-78)
Дополнительный контактный член в энергии воспроизводит полу-
полученный ранее результат C.53) и C.54), отвечающий случаю двух
распределений заряда с плотностями Zeb (х) и —е | яр (х) |2. Оправ-
Оправдывается данный подход как раз незначительным изменением
последней плотности заряда.
В общем случае полевые уравнения, которые получаются из
действия C.70), приводят к модифицированной функции распро-
распространения
(*), C-79)
удовлетворяющей условию
&2 U _ к2 f dM2 aWp 1 jj ,щ = 1# /3 щ
L J ft2 + Л/2 — J8JV/ v '
Таким образом, теперь мы получаем
" "~ d j — C.81)
вместо прежнего выражения [формула C.28)]
/С 18 J
4—09R.1

50 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Последнее можно снова получить, оставив только первые члены
в разложении дроби, фигурирующей в формуле C.81). Благодаря
тому что при выводе модифицированных полевых уравнений мы
пользовались принципом стационарного действия, нам удалось
точнее учесть изменения в характеристиках распространения,
обусловленные явлениями поляризации вакуума. Кстати, именно
в таком контексте и обретает свой смысл подобная терминология —
модифицированные полевые уравнения можно представить в фор-
форме уравнений Максвелла с некоторым добавочным током в обла-
областях, где поля претерпевают резкие изменения. В соответствии
с физической картиной, лежащей в основе всего нашего рассмо-
рассмотрения, должно существовать представление функции распростра-
распространения C.81) в виде C.82), но с другим положительным весовым
множителем:
dM 2 тога C83>
Функцию А (М2) можно найти путем сравнения мнимых частей
в точке —к2 = М2, используя соотношение
М"-м>-и -Р-ШгУиг + ыЧМ'Ь-М*). C.84)
Тогда мы получим величину
a%\ , C.85)
[
-. a%\
-JI#*P J dM" m,_m'z
которая положительна.
В качестве не слишком радикального упрощающего предполо-
предположения примем, что в а (М2) все добавки вида BтJ/М2 пренебре-
пренебрежимо малы, т. е.
?: а(АР)^^-^-. C.86)
Тогда необходимые интегралы вычисляются совершенно элемен-
элементарно:
М^ЪЧ^ <3-87>
C.88>
В случае отрицательных значений &2 + 4т2 в формуле C.87)
к ним следует подходить из нижней половины комплексной плос-
плоскости, что соответствует правилу обхода полюсов, которое нахо-
находит свое выражение в записи кг — гг. В результате логарифм
приобретает мнимое слагаемое — in, согласующееся с наличием
мнимой части in (—М2) а (М2) у величины, стоящей слева.

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 51
Такой упрощенный вариант дает
?(&) ^C89)
и
~+\ k* — iz A а л
1 Зя
— 1
dM* И. Зя П \ 4m2 J
/ к2
\ 4m2
+ l)
/
-1
J
BтJ
Действительно ли эквивалентны эти два выражения? При реше-
решении этой математической задачи лучше всего рассматривать к2
как комплексную переменную. Функция C.89) имеет полюс при
F = 0 и точку ветвления при А;2 = — 4 /л2, причем обе эти осо-
особенности надлежащим образом представлены и в формуле C.90).
Но у функции C.89) есть также полюс при
-|5-) —l], C.91)
который не содержится в C.90), поскольку он является нефизиче-
нефизической особенностью при пространственно-подобном значении к.
Это чисто математическое противоречие, несущественное с физи-
физической точки зрения; Как и в случае функции C.48), значения
импульсов, или расстояний, при которых логарифмический мно-
множитель может скомпенсировать малую константу а/Зл, лежат
неизмеримо ниже всякого физически мыслимого уровня. Для
всех физических целей функция распространения C.89) и ее
более точное выражение C.81) оказываются корректными, без
каких бы то ни было ограничений на рассматриваемые физиче-
физические процессы. У нас здесь нет никаких причин полагать, что фор-
формальное противоречие обусловлено чем-то иным, кроме физиче-
физической незамкнутости схемы, которая выявляется при слишком
уж неправомочной экстраполяции. Кстати, фотонная функция
распространения C.89) дает указания и на более общую форму-
формулировку асимметрии между электроном и мюоном, проявляющейся
в различии их ^-факторов,— к ней приводит замена
1——
Зя
3.92)
Это обстоятельство действительно представляло бы собой самый
важный аспект эффектов высшего порядка, если бы логарифм
был большим числом, однако In (mjme) = 5,3.
4*

82 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Последнее замечание возвращает нас к проблеме улучшения
оценки C.61). Для этого следует отказаться от сверхупрощающих
предположении, приводящих к представлению C.59), в котором
полностью препебрегается массами электронно-позитронных пар.
Мы должны вновь повторить расчет, проведенный в § 2, эаме-
нив теперь фотонную функцию распространения D+ (х — х') на
Д+ (х — х', М'г), а затем взяв интеграл по спектральному рас-
распределению величины М'2, входящей в модифицированную функ-
функцию распространения D+ {х — х'). Непосредственные кинемати-
кинематические изменения в комбинации B.17) определяются подстанов-
подстановками
о
где мы использовали значения интегралов A.23) и A.32). Замена
тп2 на тп2 — eqaF вновь объединяется с подстановкой М2 -*¦ М2 —
— eqaF. Но, вместо того чтобы изменять комбинацию 1 — (т2/М2)
по способу, вытекающему из рассмотрения B.19), теперь мы долж-
должны пользоваться подстановкой C.94) и разложением, отвечающим
случаю слабого поля:
/ **•> _е- mi — eqoF М'г
т] (M*-eqoF ^ 1-_
п T^r)+-T-e^F8(M—п Т=т)- C-95)
В результате комбинация B.20) переходит в
{x, x') =
{x-x', M*-eqoF) +
+ j dAPdw^gaF1^-^^ у D") дА+ (х-а>, АГ*), C.96)
где ради упрощения записи перенесены в левую часть некоторые
общие множители и опущены одинаковые аргументы у ступенча-
ступенчатой функции т] и у дельта-функции. Проводя выкладки по тому

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 53
же образцу, что и при получении B.26), теперь будем иметь
- i DлJ 7»Д+ (*- *\ Мг) G$ (х, х') Ъ =
= J dM*dubeqaF [Am + **+*?-№ ±±±-yU] А? (х, х',№)~
(х, х', М*), C.97)
- j
где представлены лишь члены, явно зависящие от поля. Входя-
Входящую сюда ступенчатую функцию можно превратить в дельта-
функцию, проводя интегрирование по частям, при котором возни-
возникающий внеинтегральный член обращается в нуль:
i i
J *и,= (в-1)л l+\ du{u-l) (-5—-^-) б. C.98)
0 0
К эффективному зпачепию связи, включающей зависимость
от поля и соответствующей величине \|з, которая удовлетворяет
уравнению B.33), мы придем, произведя подстановки
±^-wL-J. C.99)
Зависимость Af2 от параметра и определяется дельта-функцией,
которая дает
В результате получаем следующее выражение для коэффициента
— (а/2я) A/2т) eqaF в эффективном действии:
2 f du"li-1>\ +Я ( dau(i-u)\2uA \ *
J (I—uf-\-%u ' J v 'L 1 —ц
о о
где
¦К = -^-. C.102)
Оно было получено путем лишь алгебраических преобразований.
Но отсюда видно также, что подынтегральное выражение во вто-
втором слагаемом представляет собой полный дифференциал функ-
функции
цA —ц) , 1п A—ц)
+1П
обращающейся в нуль на конпах интервала интегрирования.
Тогда, в случае фотона, рассматривая возбуждение с массой М',

54 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
вместо единицы можно подставить выражение
1
. . / J _ \ О.
=^- <3-104>
При грубом анализе, который приводил к оценкам C.60) и
C.61), этот множитель мы заменяли единицей при М' «< т
и нулем при М' >• т. Теперь же он объединяется с весовым
множителем
1
фигурирующим в формуле C.28), где
Va
am' — масса заряженной частицы, которая дает вклад в поляри-
поляризацию вакуума. В результате мы приходим к двойному интегралу
1
Щ- \ duu{\-u
1
Отметим, что вклад поляризации электронного^вакуума в ge
и вклад поляризации мюонного вакуума в g^ одинаковы,
поскольку для них т' = т. Асимметрия же возникает благо-
благодаря различию вкладов поляризации электронного вакуума
в gy. (т' = те, т = т^) и поляризации мюонного вакуума
в ge \т' = Шц, т = те)- В последнем случае большое отношение
масс позволяет упростить интеграл:
Этот эффект чрезвычайно мал. При приближенном анализе слу-
случая тЧт = Ше/пг^ <С 1 преобразуем интеграл C.107) к виду
dv 2-A.)A-У

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 55
и пренебрежем величиной Bте/т^J всюду, кроме первых трех
членов. Проводя интегрирование по переменной v, получим
1 ,
_2а_ Г , Г\ / mj. A —ц)а \ 5_] _2«_ /, j^__25_\ C3 110^
Зя J L V "*| и ) 3 J Зя \ тпе 12 / '
0
и в результате вместо C.61) будем иметь
Желательно улучшить эту оценку, сохранив члены порядка
тв/тй, что вполне можно сделать. Такие члены возникают из-за
того, что при значениях и, близких к единице, в области с раз-
размерами ~те1т^ величина Bme/mv)i и/ A — иJ уже не является
малой. Один из способов их вычисления — выполнить сначала
интегрирование по г; в формуле C.109):
о«
C.112)
где
Затем нужно разбить область интегрирования по и на два проме-
промежутка, в первом из которых величина х всюду мала по сравнению
с единицей, а во втором может принимать большие значения, но
и столь мало отличается от единицы, что справедливо дифферен-
дифференциальное соотношение
и~1: d« = -^?"?-. r C.114)
Преобразовав далее два члена так, чтобы исключить произволь-
произвольную точку сшивания, получим следующую добавку (к 3.110):
^Л[4[*-1п4- +A—5-) (+^^
C.115)
Проводя интегрирование по частям, будем иметь

56 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Вводя снова вспомогательную переменную v, мы для коэффи-
коэффициента при комбинации D<ж/я) (mjm^) получим
оо 1 1
If 1 — 7J jr (• ~2
dx \ dv , . , . =4- \ dv(l — г;2I/2 = 4-. C.117)
0 0 0
В итоге C.111) заменяется следующим более точным выражением:
1 1 w 2а /, "Hi 25 3 2 те \ /о /I/ICn
Если воспользоваться численным значением
,_ "»й 25 , 3 , тр
C.H9)
то вместо оценки C.61) будем иметь
Общее согласие данного результата с последним эксперименталь-
экспериментальным значением @,66 ± 0,03) «10~5 убедительно свидетельствует
о том, что основной вклад в рассматриваемый эффект дает поля-
поляризация вакуума. Относительно же реальности имеющегося здесь
расхождения заметим, что, помимо всевозможных малых попра-
поправок типа C.92) (к этому вопросу мы, по-видимому, еще вернемся
в следующих главах), существуют не учтенные нами физические
процессы, в которых, помимо электрона и мюона, участвуют
другие частицы. Так, например, я-мезон ненамного тяжелее
мюона, и он может давать существенный вклад в асимметрию.
Этот эффект можно оценить, заменив весовую функцию C.105)
величиной, соответствующей спектральному представлению C.39)
для частиц со спином 0:
=-&Г^Т=^- <ЗЛ21>
Тогда вместо интеграла C.107) будем иметь
Е1 1
о
Даже этот верхний предел отличается от величины C.120) только
последней значащей цифрой. Однако при таком расчете совер-
йенно не учитываются свойства я-мезона, связанные с его уча-
участием в сильных взаимодействиях. Пара противоположно заря-

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 57
женных я-мезонов посредством сильного взаимодействия связан»
с нейтральным р-мезоном, который обладает теми же квантовыми
числами, что и фотон. Вне сферы действия электрон-мюонных
процессов наиболее существенную роль в явлениях поляризации
вакуума может играть как раз непосредственная связь фотона
с р° (а также с <о и <р). Мы еще не подготовлены к количественному
анализу этой проблемы, но все же на пути к ее решению можно
сделать один шаг, заметив, что для столь массивных частиц вместо
C.104) применимо более простое выражение
Добавка к фотонному эффекту, обусловленная сильным взаимо-
взаимодействием, получается путем усреднения C.123) по распределе-
распределению тяжелых частиц в фотонной функции распространения. В опре-
определении среднего значения обратного квадрата массы мы будем
явным образом выделять электромагнитный фактор а/я. Тогда
дополнительный вклад сильного взаимодействия примет вид
- <ЗЛ24>
Если подставить сюда для прикидки массу р-мезона, то сразу
будет видно, что рассматриваемые явления дают существенный
вклад в последнюю значащую цифру величины C.120).
Последнее приложение модифицированной функции распро-
распространения из числа рассматриваемых в данном параграфе также
несколько выходит за границы области явлений, в которых уча-
участвуют фотоны и заряженные лептоны. Нейтральный я-мезон
распадается главным образом на два фотона. Некоторую долю рас-
распадов составляют процессы с образованием фотона и электрон-
позитронной пары, в гораздо меньшей части событий испускаются
две электрон-позитронных пары. Описание соотношений между
этими процессами дается модифицированной фотонной функцией
распространения.
Эффективная связь для двухфотонного распада пиона 0" сход-
сходна с выражением C-13.75), описывающим двухфотонную анниги-
аннигиляцию электрон-позитронной пары, — роль квадратичной по
полю комбинации У2 if (х) ¦p°Y51l> (x) играет псевдоскалярное пион-
ное поле ф (х):
{ D* **"(*) *Л*)> C.125)
где / — соответствующая константа связи. Функции поля ф (х)
как эффективного двухфотонного источника становятся ясными

58 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
из сравнения величины iWno->2y с
±-[i$(dx)J*(x)A»(x)]\ C.126)
которое дает
I]. C.127)
Двум таким источникам при их причинно-упорядоченном распо-
расположении отвечает следующая связь, обусловленная двухчастич-
двухчастичным обменом:
2\m
±[t j (dx)(dx')J>}(x)D+(x-x')J2ll(x')]2
= /2 j (dx) (dx') <pt (х) [д»дЖ (x-x') д^3+ (х- x1) -
- дЮ+ (х~х') dW+ (x— x')] ф2 (х1), C.128)
где использовано соотношение
-±^v^w==O&-6?& C.129)
Комбинацию в квадратных скобках удобнее представить как
\ D+ (х~х'))*-д* [D+ (x-x') d*D+ {x~x')\ +
C.130)
К квадратичному по полю действию добавляется выражение,
получаемое путем пространственно-временной экстраполяции
этой связи с учетом требований нормировки массы. Если рассма-
рассматривается поле вдали от источника, где его поведение в основных
своих чертах определяется уравнением
(-02 + ml) Ф (х) = 0, C.131)
то эффективный лагранжиан примет вид
\ 1-йпяу)^]. C.132)
Величина (?/2) тпуц>г здесь представляет собой дополнительный
член, записанный в приведенной форме. (Изменение величины
Жя исключено нормировкой массы.) Эта величина характеризует
нестабильность частицы. В случае слабой нестабильности
C.133)

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 59
и поле, соответствующее частице, в ее системе покоя изменяется
во времени по закону
4)|2 C-134)
Отсюда видно, что константу у, обратную среднему времени жизни,
следует отождествить с полной скоростью распада. Вычисляя
у с помощью модифицированной функции распространения D+,
можно явным образом выделить вклады всевозможных двухфо-
тонных, однофотонных или безфотонных процессов.
Проиллюстрируем сказанное на примере расчета константы
двухфотонного распада. В этом случае следует учесть лишь функ-
функцию D+, причем в условиях причинной упорядоченности источ-
источников, соответствующей формулам C.128) и C.130), мы имеем
d2D+ = 0. Тем самым выражение для связи сводится к
i- P J (dx) (dx') д*ц (*) [D+ (х- x')f д*щ (x1) ->
При переходе к последней форме записи мы учли то обстоятель-
обстоятельство, что поле, соответствующее рассматриваемой связи, должно
будет удовлетворять уравнению C.131). Заметим теперь, что
в соответствии с выражением A.23), взятым при та — ть = 0,
мы имеем
х°>х0': [D(x—я')}2=[г j dah exp [ik(x—x')]J =
= i ( dM* ( dah dah. BяK 8 (k + k'~P) x
X i j dcopexp [iP (x-x')] = -^- j dM2A+ (x-x1, M2). C.136)
При пространственно-временной экстраполяции произведение
фхф2 заменится величиной 1/2у<$>, и, отбросив множитель i, мы по-
получим выражение для дополнительного действия. Из того обстоя-
обстоятельства, что мы ограничиваемся рассмотрением поля, удовле-
удовлетворяющего уравнению C.131), вытекает возможность замены
j (dx') Д+ (х~ х', М2) Ф (х') =
Взяв мнимую часть этого множителя, равную отб (М2 — т%), мы
выделим интересующую нас добавку к действию

60 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
что дает
Соотношение скоростей процессов с образованием одной и
двух пар можно быстро оценить путем упрощенных рассуждений
типа приведших к формуле C.59), положив тп в качестве верхнего
предела для масс электрон-позитронных пар. Поскольку пере-
перемножаются две функции распространения, скорость распада при-
приобретает множитель
-(*+-? *•?•)'• <ЗЛ40>
Им и определяются относительные скорости процессов с образо-
образованием одной и двух пар:
? ^! _«„ ' Ц /2а 1п^?J. C.141)
у Зя те ' у \ Зя те / v '
Теперь мы проведем более точный расчет отношения y'/?'
После подстановки общего выражения C.83) для функции распро-
распространения следует выделить вклады с одной функцией D+ (х — х')
и одной функцией А+ (х — х', М'г). Имея в виду, что операторы
дг, действие которых можно отнести к полям, заменяются множи-
множителем mj, эффективную комбинацию C.130) для рассматривае-
рассматриваемых процессов запишем в виде
(M'2) (rnl-M'YD+ (x—xr) A+(x—x', M'2). C.142)
~ \
х° >х0':
Эти произведения функций распространения таковы:
D+(x-x')A+(x-x', M'2) =
_ i
X i \ da>p exp [iP (x— х')] =
C.143)
где использовано значение интеграла A.25). Из сравнения с ре-
результатами предыдущих вычислений для искомого отношения
получаем
ml
¦f = 2 j dM'*A(M")(i-??)'. C.144)
BотеJ я /
В случае весовой функции C.67)
<3-145>

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 61
интеграл может быть вычислен с достаточной точностью. Нужно
лишь разбить промежуток интегрирования на два, взяв значение
М'г = Ml, удовлетворяющее неравенствам
ml < Ml < т%, C.146)
что приводит к следующим упрощениям:
,2m!w .MV4
о
у' 2а Г
1 ~М J
Bте)г
2а f dM'* i. М'* \3
Для вычисления первого интеграла может быть использована пара-
параметризация C.105). В итоге получаем
*-? (•¦^¦4)+?(¦¦:?-$¦)-
что согласуется с оценкой C.141). Получаемый таким способом
численный результат
•21= 1,18-10-" C.149)
блестяще согласуется с экспериментальным значением, равным
A,17 ± 0,04)-10. Относительно же у" заметим лишь, что уточ-
уточненный расчет приблизительно сохраняет простое соотношение,
вытекающее из C.141):
§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ
В начале данной главы мы отмечали, что, хотя модифицирован-
модифицированные функции распространения имеют очень важное значение, они
все же не обеспечивают полного описания процессов многочастич-
многочастичного обмена. Когда речь шла о примитивном взаимодействии
и процессах взаимодействия, порождающих модифицированную
«фотонную функцию распространения, мы указывали, что наличие
таких процессов взаимодействия приводит и к другим следствиям,
которые описываются модифицированными электромагнитными
связями. Теперь мы перейдем к подробному рассмотрению этих
вопросов.

62 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Примитивное взаимодействие для частиц со спином 0 отожде-
отождествляет электромагнитный векторный потенциал
4„ (*)=/)+(*)/„(*) D-1)
с эффективным источником испускания двух частиц [формула
C.33)]
iK, (р) К2 (р') | эфф = eq (р - p'YA^k) D.2)
при условии, что выполняется соотношение
-ft2>BmJ, D.3)
означающее, что превышен массовый порог. Соответствующие
противоположно заряженные частицы рождаются в условиях,
которые отвечают отсутствию взаимодействия между ними.
Однако с течением времени эти частицы могут вступать во взаимо-
взаимодействие по схеме, изложенной в гл. 3, § 12 при анализе рассея-
рассеяния. Рассматривавшуюся там вакуумную амплитуду C-12.83)
будем представлять теперь в более удобной форме, содержащей
многокомпонентные источники в зарядовом пространстве:
I *Ч da *Ч ^*(л)[/Г <л) к (рЭ1 * (- р.') х
D.4)
Такая форма записи будет верна при условии, что обеспечивается
отбор противоположно заряженных частиц, соответствующий
выражению D.2). После его подстановки связь примет вид
-е21 j c?coPirfcop, BлL б (a + p[-k) dM*d^K^ (~Pi)x
X eqKt (- p\) I»A» (ft) + e2 i j daPi йщ{ BяL (Pl + p't - ft) x
где
1* = J <42 rfcop- BяK б (й + р; - ft) ^^L^t^ (Й~ ftI1 D-6)
BяK >c (ft + p; - ft) (p2 - PD^ (ft - pOv =
- <4-7>
Выражение для последнего интеграла мы написали, вспомнив,
что он уже встречался нам, когда речь шла о поляризации вакуу-

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 63
ма для частиц со спином 0 [равенства C.35), C.19) и C.37)].
Заметим также, что вектор тока
1 ои„ ,_ч Dg)
в области, предшествующей во времени действию детектирующего
источника Къ равен
f (z) = j Jcopj dco^ iKx (— Pi) eg -¦ (Pi — p\)№1Кг{ — р'^х
xexV[~i(Pl + p[)x]. D.9)
Следовательно, второе слагаемое в формуле D.5) имеет вид
. а
X [if dc
= i j {dx){dx')f{x) [D+{x-x')-D+{x~x')]J»{x'). D.10)
Здесь мы узнаем выражение для модифицированной фотонной
функции распространения C.39) в случае частиц со спином 0.
Это тот самый механизм, который мы заранее предполагали, обес-
обеспечивающий замену D+ на D+ в векторном потенциале примитив-
примитивного взаимодействия.
Ниже все наше внимание будет сконцентрировано на первом
слагаемом в формуле D.5) и на интеграле D.6). Вектор, опреде-
определяемый последним интегралом, должен представлять собой неко-
некоторую линейную комбинацию конечных импульсов pj1 и р[^. Пере-
Перестановка их одновременно с перестановкой р2 и р'г приводит
к изменению знака у № [напомним, что (р\ — р'^J = \рг — р2J].
Отсюда заключаем, что
D.11)
где
ор-гBлK8(р2 + р'2~к)х
D.12)
В системе покоя, отвечающей вектору к, энергии всех четырех
частиц равны 1/2М, и в процессе вычисления D.12) интегрирование
проводится по углу рассеяния 9 — углу между векторами рх =

64 ГЛАВА 4.
= —Pi и Рг
<¦•
2(М2
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ч f d(cos6) ~Мг
" i 2 (
о 9\ (* d fcos 6)
i
— (Tlf2—4m2
/l/2_4m2)sin
!1
f2 —4m2) sin2
со
21
6
?,
s2t
-+4
cos 9 —
Tlf2 —2m2
Л/2 —4m2 "
Здесь мы вынуждены констатировать, что интеграл по углам обла-
обладает логарифмической особенностью при 9 = 0. Это оказывается
¦следствием того, что в случае дальнодействующего кулоновского
потенциала сечение рассеяния вперед неограниченно. Форма-
Формализм напоминает нам, что схема примитивного взаимодействия,
¦основанная на представлении о свободных частицах, не может быть
реализована полностью, когда частицы заряжены. Здесь мы имеем
¦еще один аспект инфракрасной проблемы, ибо за неограниченность
радиуса действия кулоновского потенциала ответственна нуле-
нулевая масса покоя фотона. Поэтому можно думать, что данная труд-
трудность всего лишь внешняя и исчезнет при учете дополнительных
процессов с участием мягких фотонов. Однако пока мы обойдем
эту проблему, представив себе, что фотон имеет очень малую,
но конечную массу ji. Вспомнив происхождение комбинации
{Pi — Р2J в фотонной функции распространения, получим, что
¦сингулярный интеграл D.13) принимает вид
> 9 , 2
(М4m)sin2-7r--f-n2
tL .
ж поэтому
2).
D.15)
Внимательно посмотрев на первое слагаемое в формуле D.5)
после подстановки в него выражения D.11), мы увидим, что
ив нем присутствует векторная комбинация, совпадающая с током
D.9). В итоге это слагаемое может быть представлено в форме
X j (dx) (dx1) f (x) [i j dcoft exp [ik (x — x')]j A» {x'). D.16)
Однако до пространственно-временной экстраполяции, которую
мы должны теперь осуществить, следует остановиться на одном

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 65
пункте, касающемся калибровочной инвариантности полученного
выражения. В рассматриваемых условиях причинной упорядо-
упорядоченности источников оно действительно калибровочно-инва-
риантно, так как
V (*) = 0 [* (Pl -p[) = 0]. D.17)
Но это свойство существенно связано с кинематикой свободных
частиц и не сохранится после проведения пространственно-времен-
пространственно-временной экстраполяции. Следовательно, мы должны переписать выра-
выражение D.16) таким образом, чтобы обеспечить его калибровочную
инвариантность в общем случае, не прибегая к рассмотрению при-
причинных связей. Возвращаясь на мгновение к импульсному про-
пространству, заметим, что комбинация
[] D.18)
отличается от Ап (к) лишь калибровочным преобразованием
и векторный потенциал в формуле D.16) можно заменить этой
величиной. Такая замена соответствует подстановке
после которой выражение, получаемое путем пространственно-
временной экстраполяции величины D.16), принимает вид
-i J ^!~f{M^l(dx)(dx')f(x)A+(x-x',M^)d"'Fnv(x'), D.20)
BmJ
где введено обозначение
-V2/. 2т2 \ /, М2— 4та
Ту часть действия, в которую примитивное взаимодействие
входит в комбинации с двумя только что вычисленными поправ-
поправками, порождаемыми вторичными взаимодействиями, можно
представить в форме
j (dx) (dxr) f (x) fa (x -x') Av (xr), D.22)
D.23)
)ЯМОЙ
D.24)
где
/ iT r>"\ t i~. «'\
/nv к* x ) — /vn \x —x ) —
хотя эта конструкция и не совсем укладывается в рамки прямой
расчетной схемы, включающей модифицированное поле
5-0983

66 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Эквивалентном функции D.23) в четырехмерном импульсном
пространстве служит функция
Если подчинить векторный потенциал калибровке Лоренца и пере-
переписать D.24) с учетом этого условия, то члены с kllkv или —дпд^
исчезнут и мы получим
/nv (к) = gmF (к), D.26)
где
М2
Тогда выражение D.22), описывающее взаимодействие, примет вид
j (dx) (dxf) у" И F(х-х') A» (x1) = j (At) у" И |8ффЛ, (*). D.28)
Такой формой записи подчеркивается, что ток, эффективно взаимо-
взаимодействующий в данной точке с векторным потенциалом, полу-
получается путем усреднения с некоторым весом локальной комбина-
комбинации полей j11 по всему пространству-времени. Называя функцию
F (х — х') или F (к) «формфактором», мы указываем на роль этой
функции в создании дополнительного распределения или кон-
конфигурации заряда, отвечающего локальному току j* (x). Следует
иметь в виду, что один-единственный формфактор F (к) служит
лишь упрощенной заменой тензорного формфактора fnv (к).
Прежде чем исследовать физический смысл формфактора,
воспроизведем наши проведенные ранее выкладки для частиц со
спином V2. Согласно формуле C.5), эффективный источник испу-
испускания двух частиц, ассоциируемый с электромагнитным вектор-
векторным потенциалом, имеет здесь вид
*т|. (Р) Л2 0»') Цф = ew»y° An (к). D.29)
Поскольку теперь совершенно ясно, что аннигиляционный меха-
механизм рассеяния порождает модифицированную фотонную функцию
распространения, мы будем рассматривать только вакуумную
амплитуду для кулоновского отклонения частиц. Чтобы пред-
представить ее в форме, пригодной для наших целей, проще всего
вернуться к выражению для члена взаимодействия
| j (dx) (dx') Ъ (х) vV«rti И D+ (x-x1) i|>, (*') vVegfc (*') D.30)
поля, отвечающие наличию причинно-сле
(х) v° = \ dcopiTh (— р) у0 (т — ур) ехр (— ipx),
и ввести поля, отвечающие наличию причинно-следственных
связей:
J D-31)
l(x)= — J d©pexp( — ipx)(—m—yp)iT\i( — p)

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 67
И
ф2 (х) = \ dap exp (ipz) (m—yp) ir\2 (р),
J D.32)
Ф» (•*) V0 = — J ЛМЛ» (P) Y° ( — »»— YP) ехр (ipz).
Это приводит к такому слагаемому в вакуумной амплитуде:
-i j d(oPj rfa>p. dco^ dcop^ BяL 6 (pt + pj - p2 - ft) (ft_!ft), X
X % (— Pi) Y° 0» — VPi) V11? ("»- ТРг) Ла (Рг) Ля (Pi) V° X
X(— иг — VP;)Vn?( — m— yPd^ii—Pd- D-33)
Подставив сюда эффективный источник D.29), получим
—- j ebpt d^ BяL 6 (pi + pi - Л) dM2 do)u x
X % (-Pi) Y° (m-YPi) ?" (-"»-YPD ^li (~ PD Л №. D-34)
где
/•» = { dcop2 dcop> BяK б (р, + pi- ft) Yv (^ - vp2) v^ X
x(_m_YP;)Vv __!__. D.35)
Калибровочная инвариантность этой связи, т. е. соотношение
к»Р = О, D.36)
является следствием алгебраических свойств проекционных
матриц т — YP2 и —т — YPsi:
(т—ур2) ук (— т — ур'2) =
= (»*—YPaM(YP2+ »0 +(ТРг — ™)] (~m~YPD^0- D-37)
Приведение матриц в № осуществляется при помощи проек-
проекционных матриц т — ург и —щ — ур[, входящих в выражение
D.34). Благодаря их наличию масса т эквивалентна матри-
матрице —YPb стоящей слева от 1^, и матрице ур\, стоящей справа от
1^. Учитывая это, а также алгебраические свойства матриц, имеем
vv (т-ур2) у»{ — т — ур'г) Yv =
= [2pv + (т + ур2) Yv] vn [2p^v + Yv (- m + ypz)] -+
-> I2pj- Y (Pi -P«) Yv] Y11 [2pav - YvY (P[ -Pt)\ =
= Ьргр'ъу» + 2y|JtP2Y (Pi — Pi) — 2y (Pi — p2) YP^—
-2y(Pi-P2)y|AY(Pi-P2), D.38)
причем мы здесь воспользовались также соотношениями
= 2Y«». D.39)
5*

68 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Дальнейшие упрощения таковы:
Y^YPzY (Pi — Рг) = YTPiY (Pi — Рг) + (Pi — РгJ Y* -»¦
-* ««ТТ (Pt - Рг) - 2pfY (Pi - Рг) + (Pi - РгJ Yut D-40)
— Y (Pi — Рг) УРгУ11 = — Y (Pi — Рг) YP^ + (Pi — P2J Y1* -»"
- p,) vi* + 2p'*y ^ - p2) + (pi - p2J yi». D.41)
В результате придем к выражению, которое можно проинтегриро-
проинтегрировать:
p2)llY(Pi-P2). D.42)
Используя обозначение, введенное в формуле D.12), теперь будем
иметь
Заметим, прежде всего, что
-°С"-^" D-44)
поскольку при перестановке импульсов рх и р'„ а также р2 й р'г
»тот вектор изменяет свой знак. Умножив обе части этого равен-
равенства на 2р1A, получим
так как
2pi (Pi — р2) = (Pi — Р2)й»
2Pi (Pi - PD = (Pi - PiJ = M* - 4m2. D.46)
Далее, основываясь на преобразованиях
— -j (—y&—2m) 71* = 2mv* + io-i*vA:V) D.47)
будем иметь
2m <S^S>

t 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ
Сходный вклад можно выделить из последнего слагаемого в фор-
формуле D.43):
Am . ,.ц
). D.49)
Рассмотрим, далее, равенство
^)с(Р1-рГ(Р1-р[)\ D.50)
в правой части которого стоит общее выражение для симметрич-
симметричного тензора, не изменяющегося при перестановке рг и р[ и обра-
обращающегося в нуль при его умножении на кп. Свертывая индексы
в обеих частях равенства, получаем одно соотношение между Ь
1 = 36 + (Ма - 4т2) с. D.51)
Другое соотношение получим, умножив D.50) на (рг — р'^р =
= Bрг - %:
± , D.52)
где учтено, что
В результате будем иметь
так что
\ „ _
/Tv~
"* "У ^+^-4тИ2^ + ^^), D.55)
где произведена эффективная замена
ук=(уР1 + т) + (ур[-т)-+0. D.56)
Объединив все наши выкладки, придем к выражению
-f f-jp-to. BmT>+№'4v)]. D.57)

70 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Как и при анализе случая частиц со спином 0, оставшийся инте-
интеграл заменяется на
\(Pl-P2J + P-V ~~ 71f2_4m2 ш ца » \*-°°)
и в итоге мы получаем
^=-ММЗ)^+A?-1)^/2(М2)кх^, D.59)
где
и
)
D.61)
Хотя величина I*1 первоначально зависела от каждого из
импульсов рг и р\ [формула D.35)], чисто кинематические преобра-
преобразования привели нас к выражению D.59), в которое входит только
полный импульс к. Поэтому копечпые частицы в D.34) фигури-
фигурируют лишь в двух локальных комбинациях полей
Ь () 'W (х) = | j da>Pi dco^rh (-Pi) y° (m-yPi) eqy» X
D.62)
и
у *i (*) tey*" *i (*) = Y J d«Pt dappt (- Pi) V° (m - yPi) ego™ X
X (— m — vp;) tj± (— pj) exp [ — i (pt + p'J x\. D.63)
Тем самым связь D.34) будет записываться в виде
-' J РГ А № J №) №) Y * И Т^"* И X
X [г j d(ou exp [Л (г—ж1)]] 5'у^ (ж') +
+ * (т?-1) J d^2/2 (^2) J (*t) (^') |*(^)Y°^r ^¦W X
X [i j d(Dft exp [ik(*-*')]] 4"^v (^')- D-64)
Чтобы сделать это выражение в явной форме калибровочно-инва-
риантным, мы произвели подстановку D.19). Проводя простран-
пространственно-временную экстраполяцию дополнительной связи и объеди-

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 71
няя результат с примитивным взаимодействием, получим сле-
следующее слагаемое в действии:
{ (dx) (dx') [I Ч> (х) у°еду^ (х) Д, (х-х') Jv (xr) +
+ (\g-i)^W4<>-^^(z)FAx-*')\Fv.Ax')], D-65)
где
В лоренцевской калибровке этот тензор можно заменить тензором
fv» (ft) = *,„Л (*) . D-67)
с зарядовым формфактором
fiW-i—k j M2 A2 + jW2_te • D.b»)
Отметим равенство
^(^ =0) = j D.69)
означающее, что в случае медленно меняющихся полей (\ к2 |<^
<^ т2) примитивное взаимодействие не подвергается пикаким
модификациям. Такое же условие нормировки мы наложим и на
второй формфактор:
4^' F2(k> = 0) = l. D.70)
В соответствии с тем, что
Т 4m2\-i/2 ? ,/, Am2 \V2
4m2\-i/2 ? ,/, Am2 \V2 .
—лл") = ) rff1—ж) =1'
BmJ BmJ
оно будет выполняться при
/2m = .§? A-Jglp, D.72)
а поэтому
Как показывают обозначения, последний результат пред-
представляет собой полученный иным способом дополнительный маг-
магнитный момент, соответствующий однородным полям [формула
B.36)]. Динамическое происхождение этого магнитного момента
проявляется здесь в том, что магнитный формфактор F2 (к) обра-
обращается в нуль при к2-+¦ оо. В асимптотической области имеем
ft2»!»*: ^(/^iglln-gr, D.74)

72 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
что вытекает из общего выражения
1
?г (к) = J
о
ln . 4m» Vfr .
в котором
Попутно отметим, что при —к2 >4m2 фаза логарифма выбирается
так, чтобы мнимая часть интеграла была равной ?я/2 (—к2).
Ситуация оказывается иной, чем в случае зарядового формфак-
формфактора, для которого
а
4т2
о
а 1 , fe2 , k2
111111
где мы сохранили лишь главные логарифмические члены. Так как
в выражении для Fx (к) эта функция умножается на —к2, добавка
к примитивному взаимодействию не обращается в нуль при
к? —*¦ оо. Но при восстановлении тензорного формфактора /uv (к)
на эту проблему можно взглянуть и с другой точки зрения, ибо
величина
(к) = А,(к)-1^- ^U *%, (к) D.78)
содержит две разные связи. Одна из них представляет собой при-
примитивное взаимодействие, модифицируемое эффектами поляриза-
поляризации вакуума, а другая — связь с полем OVFI1V, имеющая динами-
динамическое происхождение и не обращающаяся в нуль при к2 ->• оо.
Хотя в принципе последнее утверждение справедливо, практи-
практически из выражения D.68) для зарядового формфактора вытекает,
что соответствующее взаимодействие постепенно ослабевает с воз-
возрастанием А2. Это должно проявляться в сдвигах энергетических
уровней и в изменениях сечений рассеяния. Чтобы как-то оценить
подобные эффекты, рассмотрим в качестве первого приближения
тот случай медленно меняющихся полей, в котором для Fx (к)

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 73
можно принять упрощенное выражение
оо
^(*)~1-*2 J -(~-/i(^). D.79)
BmJ
Согласно формуле D.77), входящий сюда интеграл равен
1
так что
Этот эффект можно сравнить и объединить с усилением связи
за счет поляризации вакуума, которое в рассматриваемых условиях
описывается формулой C.76):
?Kw- D>82)
В итоге приходим к равенству
()](*). D-83)
которое свидетельствует о том, что усиление связи, обусловлен-
обусловленное поляризацией вакуума, полностью подавляется ее ослаблением
из-за уменьшения формфактора, хйтя здесь еще нужно выяснить,
какая эффективная замена отвечает временно введенному пара-
параметру [х. Так, например, вполне возможно, что при анализе сдви-
сдвигов энергетических уровней вместо ц, придется подставлять какие-
то из энергий возбуждения атома АЕ. Если произвести замену
1 , m
и пренебречь аддитивными константами, то формула C.57) для
поляризации вакуума перейдет в формулу
б?„« fc« 8 Z2a3 , - i»
Этот путь оказывается действительно правильным, но мы пока
отложим более точный анализ и обратимся к рассмотрению моди-
модификаций, возникающих при исследовании рассеяния.
Начнем с частиц со спином 0, которые рассеиваются кулонов-
ским полем. При отклонении частицы из состояния с импульсом р3

74 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
в состояние с импульсом рх кулоновское поле передает ей импульс
q = Pi - Р,. D-85)
Из-за наличия эффектов, о которых мы говорили выше, дифферен-
дифференциальное сечение приобретает множитель
_ 1
' (q) D+ (q)
1 —2а2 йЫг
содержащий только тот вклад в поляризацию вакуума, который
дают частицы со спином 0 (поправочные члены, нелинейные по а,
опущены). К данному упругому сечению следует добавить как
минимум сечение рассеяния с испусканием мягких фотонов,
энергия которых принимает все значения, меньшие кпмин —
минимальной энергии фотона, детектируемой экспериментальной
установкой. Тогда мы получим сечение «почти упругого» рассея-
рассеяния, которое имеет физический смысл и которое всегда можно
дополнить сечением рассеяния, сопровождающегося излучением,
с любой степенью неупругости.
При расчете мягкофотонной добавки мы должны быть последо-
последовательными. Введение массы фотона требует, чтобы он рассматри-
рассматривался в качестве частицы с единичным спином, со свойственными
ей тремя состояниями поляризации. Но с практической точки
зрения существенно лишь изменение соотношения между энергией
фотона и его импульсом:
к0 = (к2 + Ц2I/2- D.87)
Элемент матрицы перехода для отклонения частицы кулоновским
полем с испусканием мягкого фотона входит в формулу C-14.61)
в виде произведения двух сомножителей. Один из них описывает
процесс упругого рассеяния, другой равен
D.88)
Если говорить точнее, то знаменатели следует слегка изменить,
так как
L = * t L_ = \ . D.89)
Но поправки не превышают отношения массы [х к энергии частицы,
которое пренебрежимо мало, поскольку мы требуем, чтобы выпол-

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 75
нялось условие
Ц<Айин. D.90)
Здесь может вызвать некоторое смущение то обстоятельство, что
сумма векторов поляризации
содержит множитель 1/ц2, ибо эффективный фотонный источник
D.88) при изменении его знаменателей не будет сохраняться.
Но комбинация
имеет достаточно высокие степени [х в числителе, чтобы все обстоя-
обстояло благополучно. И, конечно, величина D.88) есть лишь некоторое
приближение к выражению, для которого справедлив точный
закон сохранения.
В итоге для относительной вероятности испускания мягких
фотонов получаем
J!L.
kpl
BяK 2^0 L A.plftP2
ИЛИ
+1
г]'
D.94)
При переходе к последней форме записи мы воспользовались ком-
комбинаторикой, основанной на преобразовании C-14.116). После
интегрирования по угловым переменным будем иметь
[(¦+*¦)
*
i
0
и
D.95)

76 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где
р2 = Р? = р*. D.96)
Оставшийся интеграл имеет вид (к°„аи^> ц,)
"мин
J
_±__
и в реаультате для D.95) получаем
XI* Г=*ТЪ—?тЪ&т • D-98)
Хотя параметры v вводились в D.86) и D.98) совершенно раз-
разными способами, все же два эти выражения можно сложить, и фик-
фиктивная масса [I действительно полностью сократится. Рассмотрим
сначала нерелятивистский случай, когда q2 <^ т2, р2 <^ т2,
р° « т. Элементарные выкладки дают для двух наших слагаемых
2« q^ /, т 31 \П Г2« q^ / 2^, 5
Г 2« q^ /, т 31 \П Г2« q^ /
У нас имеется также и нерелятивистское выражение для диффе-
дифференциального сечения всех неупругих процессов с энергиями
фотона, принимающими значения от &мин до Г — кинетической
энергии падающей частицы [формула C-14.70)]. Если этот вклад
неупругих процессов представить в виде доли дифференциального
сечения упругого рассеяния, то получим для него
AT , Оч . 8 cosG , 1 ~| // л
(я } g~~Q Г D<1
J
Г, A
erff

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 77
«Почти упругое» и неупругое сечения складываются и дают диффе-
дифференциальное сечение рассеяния в состояния без фиксированного
значения конечной энергии частицы. Оно составляет следующую
долю резерфордовского сечения:
т , 7 . . m . 8 . cos В
COS
В, 1 
Т 1п—Т •
— SinyJ
Такого рода динамические модификации сечений рассеяния
остаются совсем малыми, пока мы не вступаем в релятивистскую
область. Чтобы облегчить анализ высоких энергий, введем обозна-
обозначения
1H = ^O(P2-H2^)V2, Р-Ш- D.102)
и, кроме того, введем в явном виде угол рассеяния 9:
q2 = 4p2sin2-i D.103)
При возрастании v от 0 до 1 новая переменная \ будет изменяться
в пределах от р cos F/2) до р. В этих обозначениях сложный
интеграл по v во втором слагаемом выражения D.98) принимает вид
где мы воспользовались также соотношением
Заметим, далее, что имеет место тождество
1 In 1+S I 1 In
i iiE ^ ii2
In I
In 1A+|) ln±(l-B
правая часть которого обладает весьма слабой сингулярностью
при 1—>• 1. Справедлива также аналогичная формула с заменой |
на р. Если ввести величину
' I In
q2
2m»"-Vi^2m»/Jw6L 1-Е 1+1

78 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
то выражение D.98) можно будет представить следующим образом:
2я т* Ш I ц ро J J йг; q2 2п (Р0)
0 + 4m2 A v '
Но и такая форма записи еще не окончательна — последнее
слагаемое в D.108) допускает более удобное представление, кото-
которое основывается на тождестве
D.109)
справедливом для пространственно-подобного вектора д. Докажем
прежде всего это тождество. Как нетрудно убедиться путем инте-
интегрирования по переменной м,
—>•
D.И0)
Обозначим теперь параметр v в первом слагаемом правой части
через z/ и положим
1 _ у* = A _ „'¦) м. (
Новая переменная v также пробегает значения от 0 до 1. Это пре-
преобразование приводит к равенствам
, j , vdv j , vdv // ллп\
v dv'= , dv — ту, D.112)
«* {а[а—A —i;2)J}1/2 v '
из которых становится очевидным условие и > 1 — i;2 при фикси-
фиксированном v. В новой форме записи величина D.110) принимает вид
{ Г /L_T 1 Г7 ll— f "L\, D.113)

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 79
и к тождеству D.109) мы придем, подставив сюда значение интег-
интеграла по и, равное In [4i^/(l — у2)].
С учетом формул D.108), D.109) и D.86) получаем для дина-
динамического поправочного множителя выражение
Все самые сложные моменты вычисления э'той структуры сосредо-
сосредоточены в интеграле L, даваемом формулой D.107), где мы имеем
довольно сложную зависимость величины
]V2 D.115)
от независимой переменной v. Правда, можно выделить два про-
простых предельных случая. При низких энергиях
ра~т: L = 4(l-ln2) + T' DЛ16>
откуда мы вновь приходим к формуле D.99). В области высоких
энергий, когда р* ->¦ 1, имеем
l(|) D.117)
где
D.118)
Этот интеграл можно вычислить аналитически в случае рассея-
рассеяния на угол 8 = л:
<р@) = -^-, D.119)
причем результат оказывается весьма точным даже при 8 = я/2.
Вблизи к направлению вперед
' <4'120>

80 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Выражение D.114) в области высоких энергий принимает вид
i+Tsinyf (cosl)]-
где использованы предельные значения (при высоких энергиях)
следующих интегралов:
f
Го= j dv
о
1
\ A,. v 'T* ЛО—*¦ II. 4O0\
0
1
,= [dv
0
В случае рассеяния частиц со спином 1/2 появляется нечто новое,
ибо в этом случае вступает в игру также и магнитное взаимодейст-
взаимодействие. По сравнению с тем, что у нас было в гл. 3, § 14, связь изме-
изменится за счет динамических поправок. В соответствии с выраже-
выражениями D.65) и D.67) это изменение выражается подстановкой
Если нас интересует только скалярный потенциал, описывающий
модифицированный кулоновский потенциал, то она сводится
к замене
уоАо (q)-+[Fl(q)y°+ ^-^-Fziq) iybo.q]AO (q). D.124)
В элемент матрицы перехода, заменяющий A4.11), входит
(fD) +
Если использовать спиральные состояния, как это делается
в формуле C-14.13), то возникнет комбинация
MpjOjVtVetf' (Pi - pj Мр2„2 = | р 1 (ct — at) uJ^jY^VeWpja,. D.126)
где [вспомним соотношения B-6.90)]
) »j

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ
81
Следовательно
= (с* — а.) 4т-1- Vn Va
D.128)
*—v%v^ D.129)
откуда вытекает, что магнитное взаимодействие дает~ вклады
только в переходы с изменением спиральности. Если обратиться
к формуле C-14.13), то мы увидим, что интенсивность рассеяния
будет содержать теперь множитель
D.130)
Что же касается дифференциального сечения A4.14), то учет
рассматриваемых эффектов приводит к следующей его динами-
динамической модификации:
= l_2q2j
где мы оставили лишь члены, линейные по а.
С некоторыми незначительными изменениями анализ частиц
со спином 0 можно перенести и на случай спина V2. При этом,
помимо явного включения члена с магнитным моментом, необхо-
необходимо учесть лишь небольшую разницу в зарядовых формфакторах
-1/2
D.132)
а также подставить функцию, описывающую поляризацию вакуума
для частиц со спином V2:
_ _а_ / - Jm2 \ -V2
[¦-
4от2 \2
D.133)
6—0983

82 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Комбинация, входящая в формулу D.131), изменяется на величину
\h (М2) - МЧ (М2)с„„н vJ -1/ W - МЧ (М2)спин о] =
которая дает очень быстро сходящийся вклад в спектральный
интеграл. Это обстоятельство весьма существенно с точки зрения
высокоэнергетического поведения, ибо оно означает, что все
члены, логарифмически возрастающие с энергией, в обоих случаях
одинаковы. Действительно, если отбросить последнее слагаемое
в формуле D.131), то разность между этим выражением и выра-
выражением D.86) будет равна
о_ 2 Г dM2 \ М2 ) \
2я q J М3 q3+M2
BтJ
1
a q2 Г , A —у2J 2а
Благодаря наличию множителя (т/р0J влиянием дополнитель-
дополнительного магнитного момента при высоких энергиях можно пренебречь,
и мы сразу же приходим к аналогу выражения D.121) для случая
частиц со спином 1/2:
В нерелятивистском пределе, прибавив к величине
—Bа/3п) (qa/m-2I/6, получаемой из D.135), вклад магнитного
момента—Ba/3rc)(q2/m2) C/8), мы вместо D.99) придем к выражению
л 2a g» /, т 19 \
1 Зя т»2 1Ш 2*^ + 30 Г
и, следовательно, аналогом величины D.101) будет величина
т» , 19 , , m . 9 , cos 9 , 1
cos2 у Sln-2"
Общая формула в случае спина V2, записанная с учетом обозна-
обозначений D.122), имеет вид

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 83
Относительно экспериментальной проверки этих выводов для
спина Va, касающихся рассеяния электронов, мы заметим лишь,
что согласие с экспериментом наблюдается и рассмотренные выше
эффекты в настоящее время всегда учитываются при анализе
тех экспериментов по рассеянию электронов с очень высокими
энергиями, в которых предметом исследования является внутрен-
внутренняя структура протона.
Здесь вмешивается Гарольд и с особым историческим блеском
в глазах задает вопрос.
Гарольд. Как мне известно, изложенные выше результаты
для частиц со спином V2 впервые были получены Вами много лет
тому назад. Мой вопрос касается сделанного вскоре после этого
и время от времени повторявшегося замечания, что в своих преж-
прежних расчетах Вы допустили две ошибки, которые каким-то образом
скомпенсировались, так что в итоге был получен правильный
ответ. Не могли бы Вы прокомментировать это замечательное
достижение ?
Швингер. Я думаю, что мои заслуги сильно преувеличены.
Нет на свете людей, столь умных, чтобы сделать две такие слож-
сложные и в точности компенсирующиеся ошибки. На самом деле
все гораздо проще. Сечение «почти упругого» рассеяния искус-
искусственным образом разбивается на чисто упругую часть и на мягко-
фотонную добавку к ней. Ни одна из этих компонент не имеет
по отдельности физического смысла, и разные методы расчета
будут давать для них различные выражения, хотя сумма и ока-
окажется правильной. В частности, две эти составляющие допускают
перестройку, причем каждая из них по отдельности может и не быть
оправданной, но полное выражение окажется все же правильным.
Таким образом, существует несколько вариантов представления
двух компонент, оставляющих неизменным ответ для их суммы.
Придется, видимо, признаться, что тогда у меня не было и тени
сомнения относительно правильности результата, так как я выпол-
выполнил расчет двумя разными способами и получил одинаковый
ответ. В те времена я всячески настаивал на том, что работать
следует только с физическим безмассовым фотоном, поскольку
используемый тогда операторный метод скачкообразно менялся
при изменении числа степеней свободы, сопутствующем введению
конечной массы фотона. Тем не менее я все^же провел вычисления,
используя конечную массу фотона, но не опубликовал их резуль-
результаты, ибо такой подход был нарушением запретов, которые я сам
на себя наложил. На страницах же данной книги никакие препят-
препятствия подобного рода к использованию массы фотона не возникают,
поскольку мы знаем, что описание массивной частицы со спином 1
связано с описанием фотона непрерывным образом. Конечно,
самый важный вывод из всей этой истории — это то, что должен
6*

84 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
существовать более совершенный метод расчета, который сразу
давал бы физическое сечение рассеяния, без всякого разбиения,
не имеющего физического смысла. Один такой метод будет изложен
ниже.
§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНЫЕ
ФОРМЫ
Обсуждавшееся примитивное взаимодействие, линейное по фо-
фотонному полю и квадратичное по полям заряженных частиц,
находит два разных применения, в которых только один источник
действует как обобщенный, испуская две невзаимодействующие
частицы. Последующее взаимодействие этих частиц модифицирует
способность испускания или поглощения таким источником двух
частиц. Подобный эффект мы рассматривали для обобщенных
фотонных источников, испускающих пару заряженных частиц.
Теперь же мы обратимся к источнику частиц, который испускает
заряженную частицу вместе с фотоном, и исследуем, к каким
модификациям приводит учет взаимодействия, ответственного
за рассеяние частицы и фотона. Описание источника заряженных
частиц предполагает выбор той или иной электромагнитной модели.
Простейшей из них является тсовариантная модель, в которой
ускоренные заряды не излучают. Но.тогда нам не следует оста-
останавливаться на спине 0, а нужно сразу же обратиться к спину Va,
ибо в рамках такой модели частицы со спином 0 вообще не излу-
излучают.
Вспомним выражение для эффективного двухчастичного источ-
источника:
^(к)щ(р)\эфф = ед1у^2(Р)~1Г(к, P)i\t(P)], E.1)
где
4ё^- <5-2>
Процесс последующего рассеяния описывается вакуумной ампли-
амплитудой [формула C-14.137)]
jl 2a BяL б (рг + ki—p2 — к2) X
X /f (- Ai) % (- Pi) Y° («¦ - TPi) X
[1 1 l
Yli V (P2 + A2) + « Tv + Yv V (P2-fci) + « VAJ X
E.3)

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 85
ИЛИ
X /? (- h) rii (- a) / (m - YPi) eq X
^S^tP)]. E.4)
Здесь, используя обозначение
jAoft2^2BnK6(A-2 + P2-P)(...)=-^-(l--^)(...), E.5)
мы ввели величины
L^\{y^-w^yv+yvTi^w^^)(m~m)r) E<6)
и
Благодаря наличию здесь проекционной матрицы т. — ур2
а в формуле E.4) — проекционной матрицы т — ург для эффек-
эффективных источников испускания фотонов выполняется закон
сохранения:
г 1 11
= — (YPi + m) —fri 7v + Yv —; гт-i— (vP-2 + те) X
Х(те —yp2)-^O. ' E.8)
Мы начнем наш расчет с преобразований, цель которых состоит
в том, чтобы удовлетворить этому требованию явным образом:
т — у (Р2 —
^fi
где выражения с матрицей •y/'i + те, стоящей слева, опущены.
Три члена в последней строке E.9) удовлетворяют каждый по
отдельности условиям закона сохранения, так как
(yktJ = 0, - 2klPl = М* - тг. E.10)
Заметим, кстати, что между YnY^i и —Y^iYn нет никакого суще-
существенного различия, ибо всякую величину, кратную йг1A, можно

ob | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
просто выбросить, если она входит в выражение E.4). Каждое
из этих матричных произведений можно заменить на —Шц^ку.
Проиллюстрируем процедуру интегрирования, необходимого
при вычислении величин типа (...}, на примере расчета величины
A/(—p2^i)) B системе покоя:
/ L-\= \*L
\ P2*i / J 2 М*-
2M L 2М 2М
1 , М2
где z — косинус угла рассеяния. Другие интегралы подобного
рода содержат дополнительные множители р2A и p2v.P2\- To обстоя-
обстоятельство, что члены, кратные &1A, можно опустить, упрощает
все эти выкладки. Так, например,
/
\
^.^ak _^0, E.12)
— т2 in ' v /
куда слагаемое, кратное pltl, которое в принципе могло бы возник-
возникнуть, не входит, так как левая часть обращается в нуль при ее
умножении на к^. Аналогичные преобразования дают
E.13)
где
Эта положительная функция изменяется в пределах от V3 до 1:
первое значение она принимает в точке М2 = тг, а последнее —
при М2^>т2. Проведя все указанные выкладки, получим
X (М2) + YvYnY^iYP (ipz^r~ W X № ) +
Нужные нам величины содержат дополнительно справа сомно-
сомножитель yv или Pv. Искомые результаты получим путем простых

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 87
преобразований, которые дают
E.16)
Для комбинации, входящей в формулу E.4), имеем
Щ (Р). E.17)
Импульсы отдельных конечных частиц фигурируют только в ма-
матрице iOpvk"*, и поэтому вся зависимость от характеристик этих
частиц в вакуумной амплитуде E.4) может быть представлена
посредством следующего локального произведения полей:
«top,*»* Bя)« б ^ + ki — P)J»(- kt) щ (-Pi) У» (m-уPi) X
X egia^ = - j (dx) ^ (ж) 70^ i. ^м* ^ exp ^^j. E_ 18)
Если ограничиться рассмотрением лишь члена, в который поля
частиц входят явным образом, то вакуумная амплитуда E.4)
примет вид
x[i J cfopexp [?/>(?— ж')]] ^(а'). E.19)
Проводя пространственно-временную экстраполяцию этого выра-
выражения, получаем
i -^ j (dx) (dx') * (Ж) v» -g- 4" ^^v^"» X
X G2(x—x')ipoao6m(x'), E.20)
где фоооощ — поле обобщенного источника.'
От получившейся асимметрии можно, конечно, избавиться.
Заметим, что
оо
7rp2+j^_ie> E-21)

88 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
„01 I .Ct A
E.22;
E.23)
где использовано тождество
1 _ 1 pa-i-m2 1
и равенство
В результате действия на поле ^обобщ оператора т + ур, содер-
содержащегося в разложении р2 + т2 = (т — ур) (т + ур), возни-
возникает соответствующий источник. Мы сгруппируем его с другими
членами, явно зависящими от источников. Тогда оставшаяся
комбинация полей, если ее представить в виде некоторого действия
с единым полем частиц, примет вид
E.24)
Мы снова получили для дополнительного спинового магнитного
момента значение, равное а/2я магнетонов.
Рассмотрим теперь причинно-упорядоченную пару из одного
обобщенного источника частиц и одного обобщенного источника
фотонов, считая, что последний порождает пространственно-подоб-
пространственно-подобные импульсы. На этот раз мы будем иметь дело с частицами
со спином 0. Обобщенный источник частиц Кг испускает заря-
заряженную частицу и фотон. Две эти частицы пролетают вблизи
обобщенного фотонного источника, где происходит процесс рас-
рассеяния с участием виртуального фотона от обобщенного источника,
а затем рассеянная заряженная частица детектируется простым
источником Кг. Вакуумная амплитуда для процесса рассеяния
имеет вид [см. выражение C-12.92), но без использования лорен-
цевской калибровки]
где
{2p2-ki)llBpi-k!iL
+
— p2 — k2) A* (— /q) X
X Kt (- A) е»2У^Кш (р.) /2V (h), E.25)
~2^v E.26)
tfl(b)Kt (а) |аФФ = eg [BP-k2f щ (/>) -if (*,) K2 (P)}. E.27)
В эффективном источнике мы будем учитывать лишь^слагаемое
с ф2, описывающее излучение заряженной частицей, а не самим
источником. Тут меня прерывает Гарольд.

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 89
Гарольд. Может быть, мой вопрос покажется не совсем дели-
деликатным, но я думаю, что его все же следует задать. Я слышал, что
в своих лекциях по теории источников Вы часто приводите про-
пространственно-временные схемки физических процессов, называя
их каузальными (причинными) диаграммами. Совпадают ли они
с общеизвестными фейнмановскими диаграммами? И почему
. каузальные диаграммы не используются в этой книге?
Швингер. Ценность схем и диаграмм при обучении зависит
от обстоятельств. На лекции, где необходимо постоянное внима-
внимание к излагаемому предмету, без иллюстраций такого рода иногда
совершенно невозможно обойтись. Чтение же книги — это совсем
другое дело. Читатель вполне может привлекать свои собственные
дополнительные материалы, и ему следует поступать так всякий
раз, когда это имеет смысл. Я предпочел не помещать в тексте
никаких диаграмм — как для того, чтобы подчеркнуть ведущую
роль аналитической структуры теории, так и для того, чтобы
несколько снизить стоимость книги. Но, пожалуй, мне все же
следует воспользоваться рассматриваемым сейчас причинным
расположением источников и проиллюстрировать способ построе-
построения каузальных диаграмм. Для графического представления
трех членов вакуумной амплитуды E.25) —E.27) требуются три
такие диаграммы.
При этом приняты следующие условности: ось времени направ-
направлена вертикально; источники изображаются кружками, тонкая
прямая линия указывает на причинное распространение реальной
частицы; тонкая зигзагообразная линия соответствует причин-
причинному распространению реального фотона; толстая прямая и тол-
толстая зигзагообразная линии описывают некаузальное распростра-
распространение виртуальной частицы и виртуального фотона. Различные
линии можно маркировать полями или функциями распростра-
распространения, которым они соответствуют, или же, как на наших картин-
картинках, импульсами отдельных реальных или виртуальных частиц.
Каузальные диаграммы не совпадают с фейнмановскими
диаграммами. В последних не проводится различия между реаль-

90 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
ными и виртуальными частицами; фейнмановские диаграммы
некаузальны.
Возвращаясь [к вакуумной амплитуде E.25)—E.27), заметим,
что тензор Уцг обладает следующими свойствами калибровочной
инвариантности:
)v - BPl -к2)ч- 2к1ч =
-р1-к1)ч = 0, E.28)
где использованы соотношения между импульсами
Р2 + ^2 = Pi + кг, рг — к2 = р2 — kY; E.29)
аналогично этому
Vpjq = 0. E.30)
Рассматриваемый вклад в вакуумную амплитуду принимает
теперь вид
- i2ez j pi (^ P (a + i )
>), E.31)
где
У^=| dcofe2 dcoP3 BяK б (p2 + кг - P) V^2P\ E.32)
причем
4
При выводе формулы E.33) были использованы кинематические
соотношения
-2Рр2 = Мг + m2,
= Af2 + тг + к\. E.34)
Все соотношения такого рода основываются на свойстве физиче-
физического фотона, для которого к\ = 0. Снова пользуясь для обозна-
обозначения интегралов типа E.32) символом среднего значения, пред-
представим Vy следующим образом:
+ ( м2 + m2 + К - -I (M2 - m2)) (\pt~Tki)v.Sj\. E.35)
\ Pik2 /J

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 91
Входящее сюда среднее значение обладает векторной структу-
структурой вида
/ Р2— -п-&1 \
\ ^ / = BPl + k1)a + kib. E.36)
Далее, так как
fri(p2-4-^) = ^Pi, E.37)
ТО МЫ ВИДИМ, ЧТО
1 = _(м2 — т?) а + fcjft. E.38)
Второе соотношение можно получить, если умножить обе части
равенства E.36) на рг и воспользоваться формулой
^~\к,)^-р^~\{М^ + т^к\)-\т\ E.39)
что дает нам
+т)а-±(Мт+1Ц)Ъ. E.40)
В результате для коэффициента а получаем
-Aa = M>-m>-k\ + k?(M2+f+kl +т>)(-1^), E.41)
где
д = (м* — т2J +2 (М2 + т?) к* + (/с?J =
= (М2 + т2 + k\f — 4M2m2. E.42)
Среднее значение, входящее в формулу E.41), проще всего вычис-
вычислить в системе покоя вектора Р:
/ L_\ =
\ Pi^2 /
2Л/ f dz
- Л/2 —m2 JT" A/2-rm2 + fc?
1 —5F—
Af2 +m2 + fc?\2 ni/2
—ш—) ~m \
Вектор V^ представляется в виде линейной комбинации векторов
2рг + кх и кг. С точностью до множителя Dя)~2 [1 — (т/МJ],
коэффициент при 2рг + кх равен

92 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где
-го2). E.45)
После некоторых перегруппировок членов величина / может быть
представлена следующим образом:
1(М\ к\) =
о
Коэффициент при /сх полностью определяется свойством калибро-
калибровочной инвариантности
Afi» = 0, E.47)
из которого получаем комбинацию
-к* BPl + k1)Vb + k^k, BPl + к,) =
= - (tig** - Khv) BPi + ЪГ- E.48)
Теперь можно видеть, что вклад E.31) имеет вид выражения,
которое содержит только поля:
<2(х'), E.49)
где
VPi \ / ^Ц ~~ ~~ LL т 1 \ / * V • ^*-' /
Величина / входит сюда в качестве нелокального в пространстве,
но локализованного во времени оператора, действующего на напря-
напряженности электромагнитного поля. Чтобы провести пространствен-
пространственно-временную экстраполяцию выражения E.49), нужно подста
вить функцию А+ (х — х', ЛР) вместо ее причинного выражения
при х° > х0'. Однако, как и раньше в этом параграфе, чтобы пред-
представить связь в виде единого выражения, включающего поля ц>г
и ф2, следует обратиться к разложению E.22). Возникающий
в итоге член в действии, если его объединить с примитивным взаи-
взаимодействием, можно записать как
j (dx) (dx') f (x) /nv (x- x') Av (x1), E.51)

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 93
где
f{x) = <p(x)eq±P<p(x) E.52)
И
j ^{M\ F). E.53)
Получаемый таким способом формфактор должен совпадать
с формфактором, задаваемым формулами D.25) и D.21). Точнее
говоря, так должно было бы быть, если бы для устранения инфра-
инфракрасной особенности в интеграле E.53) мы ввели массу фотона.
Мы удостоверимся лишь в том, что совпадают логарифмические
инфракрасные особенности двух выражений, и опустим все допол-
дополнительные обстоятельства, сопутствующие ненулевой массе фото-
фотона. Сингулярностью в формуле E.46) обладает член с разностью
ЛР — тг в знаменателе. Его вклад в интеграл E.53) таков:
Здесь введение массы фотона в нижний предел интегрирования —
существенная, но не единственная необходимая модификация; тем
не менее нам достаточно выяснить зависимость от массы фотона.
Требуется убедиться в справедливости следующего тождества:
1 1
С , 2 № + 4т* _f
J aZZ fe2(fc2 + 4m2)(l_22L-BTO2J^ J fl
0 0
Можно просто выполнить два сходных интегрирования, и в итоге
мы придем к одному и тому же выражению
К = -^г, E.56)
где использованы обозначения D.122). Выглядит все это, конечно,
не очень элегантно. Более предпочтительно было бы отыскать
такое хитроумное преобразование переменных интегрирования,-
чоторое прямо связывало бы два эквивалентных выражения.
К этому идеалу приблизимся в дальнейшем.
А пока, в продолжение анализа частиц со спином 0, рассмотрим
причинно-упорядоченную пару двух обобщенных источников
частиц — Кх и Кг. Между ними причинно расположен обобщен-

94 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
ный фотонный источник, способный передавать пространственно-
подобные импульсы. Обобщенный источник частиц испускает или
поглощает фотон и заряженную частицу. Фотон распространяется
между двумя обобщенными источниками, оставаясь свободным,
а заряженная частица отклоняется обобщенным фотонным источ-
источником. Таким образом, здесь описывается некоторое обобщение
схемы, которая использовалась в § 2 для первого вывода допол-
дополнительного спинового магнитного момента частиц со спином У2.
Однородное магнитное поле теперь заменяется произвольным
полем. Вакуумная амплитуда, описывающая историю двух частиц,
равна
j (dx) ... (dt) U» ® К, (х) |эфф D+ (I - f) x E.57)
где эффективные источники определяются формулами типа E.27).
Мы будем сохранять только линейный по А член разложения
C-12.28):
А^ = А+ + А+ eq (PA + Ар) А+ + . . . . E.58)
Кроме того, если пользоваться только теми частями эффективных
источников, которые зависят от полей, то в результате мы придем
к следующему выражению для члена вакуумной амплитуды:
— ie2 \
— к) BР2 — к) q>4 (— Pt) eq x
2k)A(K)<p2(P2), E.59}
где
К = Pj - P2 E.60)
и
Р1 = р1 + к, Р2=р2 + к. E.61)
Удобно учесть эти кинематические соотношения, записав
б (p\ + m?) 6 {p
/cJ+'n21; E>62)
здесь подразумевается, что все энергии^положительны. В итоге
величина E.59) превращается в
ie2 С dM\ dM\ d<x>Pi da>p2 du>hb BkPt + Ml — иг2) б BкР2 + M\ — m2) X
X BЯ2 + M\ + Ml + 2m2) ф1 (- Pt) eq (Pt + P2- 2k) А (К) ф2 (Р2).
E.63)

§ 5 ФОРМФАКТОРЫ IJ. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 95
Входящий сюда основной инвариантный интеграл
J dm8BкР{ + М*~т2) б{2кР2 + Ml-т2) E.64)
может быть вычислен в системе покоя любого из импульсов. Так,
выбирая Ръ будем иметь
X 6 (- 2kPPI + 2k> | P2 | 2-f Ml- m2), E.65)
где z — косинус угла между векторами к и Р2. Компоненты Рг
имеют инвариантный смысл, как это видно из записи
i i
где
А = BPiP2J- АМ\М\ = (К2 + М\ + MlJ- AM\M\. E.67)
Для того чтобы интеграл по z не обращался в нуль, необходимо,
чтобы выполнялось неравенство
ш 2 пь
2 "" M,
или
(М\-Mlf < -g- {Ml- m*) {Ml - m% E.69)
При таких условиях интеграл E.65) имеет следующее значение:
j dcoft6 {2kPt + М\-т2) б {2kP2 + Ml -т*) --JL,- —j^-. E.70)
Чтобы учесть неравенство E.69), удобно ввести новые пере-
переменные х и V.
± + и [К2 {К* + 4т2)]1/2},
E.71)
= т2 + i- a:
4m2 — и [Я2 (А:2+ 4т2)]1/2}.
Тогда наше неравенство примет вид
v* < 1, E.72)
а а; будет пробегать значения от 0 до оо. Имеем также
А = К* {К2 + 4тп2) A + 2х + А2) E.73)

96 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
И
dM\ dM\ = i- {K2jr Ьт2) [К2 (K2 + bm?)\v*x dx dv. E.74)
Эффективная замена для Pi + P2 — 2k в интеграле E.63)
имеет вид
Умножив это равенство сначала на Рх + Р25 а затем на Рх — Р8,
придем к двум уравнениям
г?-А^)р\ E.76)
В итоге получим
E.77)
где
R*-\-M?+M% + 2m* 1 1+g /к 7Q\-
Д = Я* 1+2*+*»«;»• ^ '
Заметим также, что
2K2 +М\ + М1+ 2т2 = Я2+ (Я2 + 4т2) A + х). E.79)
Скомбинировав все эти соотношения, для вакуумной ампли-
амплитуды будем иметь
I ? J doPl
X [Я2А (/Г) — /Г,К:^4 (К)]. E.80)
Замечая, далее, что
ф1 (-Pi) А (К) ф2 (Р2) = j {dx) ф! (ж) ехр (гР^) X
х
X j (da:') ехр (- iP2x') ф2 (а:'), E.81)
можно написать
— j daPi dffiftcpj (— Pi) А (К) щ (Р2) =
= j (dx)(dl)(dx')(f>i(x)[i J Aop.expfiPj^-l)]] X
X A (|) [i j dvPl exp [tP2 (g-a;')]] Ф2 (*'), E.82)

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 97
откуда сразу видно, что в вакуумную амплитуду входят причин-
причинные выражения двух функций распространения. Проводя про-
пространственно-временные экстраполяции, удобно произвести под-
подстановки
E.83)
№2) ехр[гр2 (?-*')]
BлL
а затем вернуться к четырехмерному импульсному пространству
по следующему рецепту:
(-Pi) А (К)
- J w
где
ft = Р, - />2. E.85)
Не следует забывать, что к каждой из двух спектральных форм
можно добавлять контактные члены. Учитывая это, напишем
выражение, которое получается путем пространственно-времен-
пространственно-временной экстраполяции вакуумной амплитуды E.80), в виде двойной
спектральной формы
где для простоты мы приняли лоренцевскую калибровку:
Ы (к) = 0. E.87)
Самый элементарный случай, в котором можно применить эту
вакуумную амплитуду,— это случай, когда нет никаких полей.
В лоренцевской калибровке из пропорциональности векторов А
и к вытекает, что к2 = 0. Отметим, что при этом условии величина
E.86) не обращается в нуль, так как она содержит член с 1/к2;
таким образом, имеется вакуумная амплитуда, зависящая от
потенциала. Согласно формуле E.71), при К%-*¦ к2 мы имеем
к2 = 0: Ml = М\ = т2 A + 2х) = Мг. E.88)
7-0983

98 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В этом случае в выражении E.86) можно выполнить интегрирова-
интегрирование по и:
1
К
В результате это выражение принимает вид
т* v g
Х J M2 Л/2 —т
где мы указали и те контактные члены, которые диктуются физи-
физическими соображениями. Они служат для того, чтобы заменить
поля источниками. Для этого достаточно воспользоваться тож-
тождеством
М2 — го2
после чего выражение E.90) преобразуется к виду
_о_ f <Ш» М* + т* jdPi) [dp2) „ , 1
' 2я J М2 Л/2 — т2 Bя)« Bя)« iK Pi'р*+М* — fe
^ieg«(P«)- E-92)
Корректность этой процедуры подтверждается сравнением с выра-
выражением A.65) для соответствующей модифицированной функции
распространения в отсутствие электромагнитного поля и в калиб-
калибровке А = 0. Мы придем к более общему описанию случая, когда
отсутствует поле, если произведем матричную -подстановку
р -*¦ р — eqA:
(р — eqAJ-\-M2— is р2 + М2 — г
+ .... E.93).
Дополнительный член в связи двух источников, который линеен
по А, в точности совпадает с величиной E.92). Это как раз и тре-
требуется условиями нормировки феноменологической теории.
Вернемся теперь к выражению E.86) и выделим в нем члены
с полями частиц, отбрасывая все члены, содержащие явным обра-
образом источники. Для этого воспользуемся тождественными пре-

§ 5. ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТР. ФОРМЫ | 99
образованиями вида
1
M\ - m2 pj + Ml — ie '
которые эквивалентны подстановке
11 1
—m? M\—m?
E.95)
Кроме того, напишем
и опустим слагаемое с 1//с2 — как было только что показано; его
функция заключается лишь в том, чтобы включить в модифици-
модифицированную функцию распространения калибровочно-ковариант-
ную комбинацию р — eqA. Результат может быть представлен
в форме действия, зависящего от поля. Объединив его с примитив-
примитивным взаимодействием, получим
j (dz) (dzr) q (z) eq± д^у (z) F (z-zr) A» (x'), E.97)
где
1
\vdv ?&¦ E.98)
E.99)
Здесь мы вновь сталкиваемся с неизбежной логарифмической
особенностью на нижнем пределе интегрирования. На этот раз
представляется уместным ввести конечную массу фотона ц,
чтобы можно было провести детальное сравнение с нашими преж-
прежними результатами. Наличие массы у фотона существенным обра-
образом сказывается на неравенстве E.68), которое теперь будет
записываться так:
!-т2-.
7*

100 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
(вместо К2 сюда входит /с2), или
x2(i — v2) (m2 + -^-)>fA2(l + z). E.101)
В интеграле E.99) достаточно лишь заменить нижний предел на
. E.102)
Выполнив интегрирование по х, получим
*<•>-¦?•
<5103>
Но имеет место тождество, несколько напоминающее D.109):
/ к2
E.104)
Его можно проверить либо путем алгебраических преобразований,
либо рассматривая — /с2/4тп2 как комплексную переменную.
В последнем случае обе части формулы E.104) представляют
собой функции комплексной переменной, обращающиеся в нуль
на бесконечности и имеющие разрезы вдоль вещественной оси
от 1 до <х>. Заметив, что на этом интервале обе мнимые части
совпадают, мы и убеждаемся в справедливости тождества E.104).
В итоге получаем следующую функцию, эквивалентную функции
E.103):
Отсюда видно, что / (v) совпадает с функцией/ (М2), определяемой
формулой D.21).
В трактовке конечной массы фотона возникают некоторые тон-
тонкости, требующие дополнительного исследования. Но мы пока
отложим этот вопрос и обратимся к соответствующему анализу
частиц со спином V2.

§ 6. ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН Vs I 101
§ 6. ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН V2
Анализ случая частиц со спином V2 основывается на двухчастич-
двухчастичной амплитуде
... (d?) ич (i) % (x) t |ЭФФг>+ a - W x
xG?(x,x')iJ2ila')r\2(x')\m F-1)
с сохранением только зависящей от поля части источника:
iJ>4l)r](x)\m^eq6(x~l)y^(x)+... . F.2)
При этом учитывается лишь линейный по полю член разложения
G+ = G+ + G+ eqyAG+ + . . . . F.3)
Соответствующая вакуумная амплитуда равна
— ie2 j dM\ dM\ d<aPi dvP2 da>h б (p\ + m2) б {p\ + m?) X
X ip4 (— Pi) v°Yv (m-TPi) eqyA (К) (т-уРг) yvMp2 (p2), F.4)
где
Pl = P, - A, p2 = P2 - A. F.5)
Прежде всего мы упростим матрицу
M» = yV(m-yPi)y»(m-yp2)yv, F.6)
основываясь только на кинематических соотношениях
¦-р\=-р\=т\ ¦ F.7)
При этом мы хотим сделать очевидным свойство калибровочной
инвариантности
К^М^ = 0, F.8)
являющееся следствием равенства
уК = (yPl + т) - (ур* + т). F.9)
Первый шаг соответствующего упрощения состоит в преобразо-
преобразовании
= _ 2 (К* + 2т2) у» + 2 (т -f TPl) TA?i» +
+ гу^Р! (»» + YPi) + 2 (m + YPi) Y1" (m + yp2). F.10)
На следующем этапе систематически используется соотношение
К =Рг - р2; F.11)

102 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
например,
(т + УРг) УРч. = (т + yPi) (yPi — yK) =
= т (т + ypj) — (т + YPi) Y^. F.12)
В итоге приходим к следующему выражению:
p2)vYv. F.13)
В него входят четыре набора слагаемых, каждый из которых
по отдельности обладает свойством F.8). Для двух из них это
условие удовлетворяется тождественно, а для двух других его
выполнимость основывается на соотношении ортогональности
К (р! + рг) = 0. F.14)
В процессе интегрирования в формуле F.4) возникает среднее
значение вектора рг + Ръ- В силу равенства F.14) в матричных
обозначениях оно должно иметь следующий вид:
. F.15)
Используя алгебраическое соотношение
(Рг + Р2) (р, + Рд = (Рг + Р,)« - 2& (Рх + Р.) =
= -(/s:2 + м; + л/22 + 2т2) F.16)
и замечая, что
- (Pi + Р2) (Я2 - КК) (Рг + Р2) = А, F.17)
получим
а К* (К* + Ml + Ml + 2m^) 6lgj
т. е. мы вновь приходим к результату E.77). Другое необходимое
нам среднее значение дается симметричной матрицей
F.19)
Образуя след этой матрицы и умножая обе части равенства F.19)
на вектор Рг + Р2> мы приходим к системе двух уравнений для
коэффициентов а и Ь:
(Я2 + 4тп2) За&А-,
F.20)

§ 6. ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН V*
Бе решение таково:
0.= —.
F.21)
Через переменные E.71) три параметра а, а и Ъ выражаются сле-
следующим образом:
i+x
F.22)
, _ 1 3
и — Я "Г о "
8Т2 б2 '
где введена величина
б = 1 + 2х + и2хг. F.23)
Заметим, что от К2 зависит только а, причем линейным образом.
Теперь, когда в (М^) входят только векторы Рг, Р2 и их раз-
разность К, нам достаточно выполнить еще одно, последнее, пре-
преобразование. Оно основывается на тождествах типа
(Pi + P*f = ~ (уР^ + Y^2) + io^Kv F.24)
и на сравнительно сложном тождестве
,. F.25)
Эти тождества позволяют выразить (М^) через базисные матрич-
матричные векторы у^ и io^v Zv, справа от которых могут стоять множи-
множители уР2, а слева — множители y^V Поступая таким образом,
мы принимаем одно упрощение, а именно вводим лоренцевскую
калибровку, заменяя тем самым у^ — (К^уК/К2) на у11. Это
не приводит к потере общности, поскольку проекционная мат-
матрица 1 — (KKIКг) индуцирует калибровочное преобразование,
после которого векторный потенциал удовлетворяет лоренцевскои

104 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
калибровке. Окончательный результат таков:
- [a + b A + Mf~M|) ] yPtM"Kv-
- [a4 b A + Mi~2M? ) ] ia^KvyP2. F.26)
Это выражение входит в вакуумную амплитуду F.4), которую
теперь можно записать как
-i -^ j d<oPi dcoP2 Ш^* i|>t (- Р±) y>eq (M») А» (К) ^2 (/>2). F.27)
Если провести пространственно-временную экстраполяцию
этой вакуумной амплитуды, не учитывая, как и в формуле E.84),
контактные члены, то мы придем к двойной спектральной форме:
Напомним, что
Xpl+U-iepl + Ml-b- F'28>
Рассмотрим сначала случай, когда отсутствует электромагнитное
поле. В такой ситуации в формуле F.26) следует опустить все
члены с a^vA;v и к2, так что остается
2, F.30)
где
$ = (l + 2x + 2vW)b—^t1-"') . F.31)
Нам нужны следующие интегралы по переменной v:
i 1
1 , 113 Г 1 , 1 — у21
aV ^ аУ
__ __
2 aV бз/2 - A + *)A+2*) ' 2 _^ 2 аУ 6»/2
i*' IllA + 2a:)
-1

§ 6. ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН Vt
Они позволяют вычислить интегралы
1 1
Р
J 2 6V2 1 + 2* ' J 2
1+2* '
-1 _i - '
H'
Zi б1^ (i
1+V- F-33>
В итоге для эффективного значения (Л/*1) получаем
F.34)
чем и вводится массовый параметр простой спектральной формы:
М2 = тг A + 2х). F.35)
С точностью до множителя (т2/2М*) только что полученный
результат можно записать также в виде
\{М — т)я — 2тпМ] (М — ург) у11 (М — ур2) +
т)я + 2тМ] (М + yPl) у» (М + ур2). F.36)
Это дает возможность представить унифицированное выражение
для вакуумной амплитуды F.28) в следующем виде:
X ([(М— т)— 2тМ] ^—-еауА(к) -^—- +
+ [(M+m2J + 2mM]J^
- 2 t1 (Ж=^] е^ (к)} * (Р,). F.37)
Чтобы удовлетворить физическим требованиям нормировки, сюда
добавлен также полностью локальный контактный член. Эти тре-
требования вытекают из калибровочно-ковариантного обобщения
модифицированной функции распространения. Удобнее и естест-
естественнее всего пользоваться при этом выражением для дополни-
дополнительного вклада в действие, которое дается формулами A.55)
и A.56) с контактными модификациями A.59) и A.60), не прибе-
прибегая, однако, к тождественным алгебраическим преобразованиям,
которые были произведены в формуле A.60). Указанное обобще-
обобщение, к которому приводят замены
^ + ^А + F38)
-eqA) ± М = ур ± М + ур±Мвд^А ур ±

106 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
И
УР-> УР — eqyA, F.39)
сразу же дает нам выражение F.37).
Кстати, совершенно аналогично можно было бы действовать
и в случае частиц со спином 0. Сохраняя в A.64) только поля
и добавляя к этому выражению подходящее контактное взаимо-
взаимодействие, для вакуумной амплитуды получаем
— I
2я
X
Тогда калибровочно-ковариантная подстановка будет приводить
к следующему дополнительному члену в выражении для связи:
В итоге воспроизводится двойная спектральная форма E.90),
но с заменой фигурирующих там дополнительных контактных
членов, которые содержат простые спектральные формы, одним
полностью локальным контактным членом. Различие между
двумя этими выражениями сказывается только на связях, в кото-
которые явным образом входят источники; с точки же зрения связей,
зависящих от полей, они полностью эквивалентны. Такой подход
к рассмотрению случаев и спина 0 и спина V2 обладает определен-
определенным преимуществом, так как он показывает, что можно обойтись
без простых спектральных форм.
Возвращаясь к двойной спектральной форме F.28), рассмотрим
каждый член с магнитным моментом по отдельности. Соответ-
Соответствующие выражения мы применим в трех случаях, в которых нам
уже известны простые спектральные формы. Первым из этих чле-
членов [формула E.20)] определяется зависимость от поля связи
обобщенного источника частиц с простым источником частиц
и с простым источником фотонов (к2 = 0). Явно зависящие от
источников члены отбрасываются в формулах F.26) и F.28)
подстановками ypi~>-—т, ур2-> — тп и, если отождествить г^
с полем простого источника частиц, подстановкой (pi -f- Мг)~х —>¦
-*• (М2- — тп2). В итоге коэффициент при — 2miaM-vA;v в формуле
F.26) оказывается равным а — Ь. Он входит в интеграл [ср. с фор-
формулами F.33)]
1
М- — пг2 ,а /о.

§ 6. Ф О РМФАКТОРЫ III. СПИН Чг | 107
В результате мы придем к простой спектральной форме:
^с_ Г (dPi) (dp2) nfi 11 m* \ . eg
1 2я J Bя)* B)« aM M* \l M*)V[ Р1'У 1Г
X F(k) Цобо5щ(Ра)p|+^2_.e , F.43)
которая совпадает с выражением E.20), если его записать в пере-
переменных импульсного пространства.
Простая спектральная форма, задаваемая равенствами D.65),
D.73) и D.75), целиком относится к простым источникам частиц.
Знаменатели двойной спектральной формы приводятся в этом
случае к виду
1 L_ = _L__i 1 ,п ,,,
т +—т- A — f )
На этот раз нам следует выполнить интегрирование по перемен-
переменной х. Используя интегралы
J б3/2
б3/2 1 + 1 ' I б5/
xdx
будем иметь
F^jx-ь. F dr 1 з**!-^-] 1 F46
J ж gVa J L S3/2 2 б /2 J 2 .
g J S3/
В результате мы получаем искомую простую спектральную
форму
2я] BяL
Г f
Ч
^^^(*ЖР2). F.47)
Третье применение относится к случаю, рассмотренному в § 2.
Электромагнитное поле здесь однородно, так что интересующие
нас члены в (М^) А ^ (к) имеют вид
BSJT «(Pi- рЗ l^ncuiF + 2(a + b) ypoF], F.48)
где р = рг — рг и подразумевается, что" произведение ур на oF
симметризовано. Выполним интегрирование по переменной v:
[4maoF+2(a + b) ypaF] = 4 -jg-
-

108 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Получающуюся при этом вакуумную амплитуду
. a f (dp) dM2 1 , . . . Гг. / л "i
( Г ] F-50>
можно представить в виде обычного однократного спектрального
интеграла. Для этого достаточно выполнить интегрирование
по частям по переменной М2. Поскольку вклады граничных точек
интервала интегрирования (т2 и оо) равны нулю, мы приходим
к следующему слагаемому в действии (множитель i опущен):
(dp) dM m2 1 , , .
а Г
F-51)
причем входящую сюда комбинацию можно переписать в виде
/2 — ie yp + M—is ^ yp
Если не считать, что теперь вместо П стоит р, то полученное выра-
выражение совпадает с той частью действия B.30) и B.31), которая
зависит от электромагнитного поля.
Наша конечная задача здесь состоит в том, чтобы из двойной
спектральной формы получить известное выражение для простой
спектральной формы зарядового формфактора частицы со спи-
спином V2. Производя подстановки урх-*- — т и ур2 ->- — /те, которыми
отбрасываются члены с явной зависимостью от источников, мы
получаем следующий коэффициент при у^ в среднем значении
F.53)
Как и при выводе выражения для магнитного формфактора в рас-
рассматриваемых условиях (—р\, —pl~>-m2), мы имеем также
dM? dM\ 1 J_ , _dx 1 /RK?\
2
Поскольку член с векторным потенциалом, который получается
при к2 — 0, следует включать в модифицированную функцию рас-

§ 6. ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН Чг I 109
пространения, мы избавимся от него путем эффективной под-
подстановки
Am2 -> - A — v2) к2 F.55)
{равенство E.96)]. Возникающий при этом коэффициент —k2yv,
который определяется на основании формулы F.53), можно пред-
представить в виде
] , xW(\—v*) . 3
26 "•" 2 б2
В первом слагаемом мы узнаем полное выражение для формфак-
тора частицы со спином 0, даваемое формулой E.99). Это сразу же
приводит к соотношению
ОО
^ tfh
Поведение полученного интеграла на нижнем пределе говорит
о том, что при обоих рассмотренных значениях спинов возможны
одни и те же рассуждения, основывающиеся на введении конечной
массы фотона, и повторять их здесь нет никакой необходимости.
Подынтегральное выражение можно несколько упростить, приведя
его к виду
3 s(l-p»)(l+:ro2) (i+x)v* „
Y ?Я ^~' ( )
После этого, пользуясь соотношениями (у >0)
d*i±L—L, 3fd.iil+*a.e ' , F.59)
J g3/2 j; J g5/2 1 _j-f * v '
мы получим
¦ »/iH-y/H=-5r(l-3i;). F.60)
В то же время, согласно формуле D.132), имеем
vh(v)-vf(v) = -^-. F.61)
Может показаться, что мы потерпели неудачу.
Такое заключение было бы слишком поспешным. Но здесь,
несомненно, можно видеть указание на то, что в своих вычисле-

110 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
ниях мы упустили какие-то тонкости. Пора, видимо, подчеркнуть,
что то, чем мы здесь занимаемся, относится скорее к области искус-
искусства, чем науки. Мы пытаемся воспроизвести результаты, уже
известные из анализа простой спектральной формы, пользуясь
одной только двойной спектральной формой без привлечения
добавочных простых спектральных форм. Будет ли такая попытка
успешной или нет, зависит от того, как мы построим процедуру
вычислений. Объяснить эффекты, связанные с магнитным момен-
моментом частиц со спином х/2, нам удалось, вне всякого сомнения,
благодаря отсутствию здесь контактных членов, что характерно
для явлений, индуцируемых динамикой. Несогласованность же
результатов для зарядовых формфакторов частиц со спином О
и со спином V2 ведет свое происхождение, видимо, от существова-
существования в последнем случае двух разных типов функций распростра-
распространения, характеризующихся противоположными значениями внут-
внутренней четности. Как видно из выражения F.37), они не смеши-
смешиваются в отсутствие электромагнитного поля. Но при наличии
поля эти функции сливаются в единое целое за счет некоторого
механизма, необходимость в детальном рассмотрении которого
у нас пока не возникала. В такой ситуации встает вопрос, нельзя ли
указанную трудность обойти, построив процедуру вычислений
для частиц со спином 1/i по тому же образцу, что и в случае спина 0.
С подобной процедурой мы уже знакомы. Она состоит в замене
функции распространения Gf, удовлетворяющей уравнению B.1),
функцией распространения Af, которая подчиняется уравне-
уравнению B.4):
[П2 — eqoF + тЦ Af = 1 - F.62)
и которая отличается по внешнему виду от соответствующей функ-
функции для частиц со спином 0 лишь наличием дополнительного члена
eqoF. В сущности замена G+ -> А+ сводится к следующему изме-
изменению линейной связи с электромагнитным полем:
^ F]. F.63)
Чтобы подробнее ознакомиться с таким методом расчета, вернемся
к анализу, который проводился в § 4. Напомним, что там исследо-
исследовался обобщенный фотонный источник, испускающий пару заря-
заряженных частиц, которые затем взаимодействуют друг с другом.
Попытаемся теперь ввести комбинацию F.63), описывающую
взаимодействие, путем чисто алгебраических преобразований
известного выражения для частиц со спином V2. Обратимся для
этого к векторной величине D.35), в которую входит следующее
произведение матриц:
v. F.64)

§ 6. ФОРМФАКТОРЫ HI. СПИН Чг I 1И
Наличие проекционных матриц слева и справа от у^ позволяет
произвести подстановку
Вспоминая, далее, что в D.34) содержатся еще и проекционные
матрицы m — YPi и — m — ур\, напишем
Yv (m - YP21 ={m + yp2) yv + 2p\ -> у (pB - Pi)
= (Pi + P2)v-i<*m(Pi-P*)* F-66)
и
( — m—YPDYv = Yv( — m+yp'2) + 2p'2v -> yvy(p2— p;) + 2p'2v =
= (Pi + P2)v + iOvx(Pi — /#*¦• F.67)
В результате величина F.64) заменяется произведением
X
F-68)
что и соответствует подстановке F.63). (С точностью до некоторых
степеней 2тп, которые можно включить во внешние сомножители.)
Если опустить здесь спиновые члены, то в этом выражении мы
узнаем комбинацию, отвечающую частицам со спином 0, которая
входит в выражение D.6).
Раскрывая произведение F.68), полезно иметь в виду равен-
равенства [напомним, что р[ — р'г = — (рх — р2)]
= [ - У (Pi — Р2) Tv — (Pi- P2)v] [YvT (Pi - P2) 4-
+ (Pi-Pzh)=-^(Pi-P2J F.69)
и
[ - J0V* (A - p2)x] tf№ [ - i0vX (Pl - p2)^] =
= [ - У (Pi - to) Yv - (Pi - P2H ct^p [YvY (Pi - P.) +
F.70)
Здесь учтено соотношение
=0. F.71)

112 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
На этом этапе интеграл D.35) с точностью до простых множителей
принимает вид
где мы воспользовались тем обстоятельством, что
<(р2-р2)> = 0. F.73)
Нам уже известен интеграл
\ (Р1-Р2J (Р2 P2V~
<1> ^|^] F.74)
[формула D.13)], а аналогичные выкладки дают
(Р1-Р2J / +
Еще один знакомый нам интеграл [формулы D.44) и D.45)J вхо-
входит в два последних слагаемых выражения F.72), где можно
произвести подстановки
/ (Pi + P2)v(Pi-P2)x \ _^ 2 v / {Pi-P2)
\ (Pi-P2J / ZPl \ (Pl-P2J
F.76)
(b.77)
поскольку нужны лишь антисимметричные части тензоров. В итоге
остается интеграл
/ (Pl-P2)K(P2-P^f
\ (Р1-Р2J
+ b(p,-p'i)"(Pi-p'i)tl- F.78)
Структура правой части показывает, что он симметричен относи-
относительно перестановки рх и р[ и что при умножении на кх или /сц этот

§ 6. ФОРМФАКТОРЫ Ш. СПИН 7. I ИЗ
интеграл обращается в нуль. Две скалярные комбинации, которые
получаются при образовании следа и при умножении на
(рх — p[)>i(Pi — Pi)»* дают нам систему уравнений
—1 = За + (АР — 4т?) Ъ, О = а + (М* — 4т2) b, F.79)
решив которую, получим
— Ь^ <680>
Комбинируя все эти соотношения, можно будет представить
F.72) как
F.81)
Упростим последний спиновый член, записав его в виде
7*7 (р, — р|) (л — p\Y + (у»ук + к») уку (р4 - р\) + у (р, — р[) ук х
X (уку» + Щ=- (укур[ + yptyk) (Pi-рУ-
-М*{Р1-р^-+-№(рх-р\)», F.82)
где на конечном зтапе преобразований мы воспользовались нали-
наличием проекционных матриц и сделали подстановки ург -> —т,
ур[ -v т. Получающееся при этом выражение,
[(Pi-W-to^Kl [-2(ЛЯ-2т») (^-1-^ +
\ + ^чК F.83)
после его умножения на 1/2т и на A/4яJ [1 — Dт2/М*)]Ч* пол-
полностью совпадает с D.57). Нельзя сказать, чтобы этот расчет был
намного короче предыдущего, но зато отсюда сразу вытекает
соответствующий результат для частиц со спином 0.
Обратимся теперь к причинному расположению источников,
которое приводит к двойной спектральной форме, и рассмотрим
следующую комбинацию, входящую в вакуумную амплитуду F.4):
у^ [т-у (Р1-к))у^[т-у(Р2-к)]уч. F.84)
Соответствующие подстановки имеют здесь вид
в—0983

114 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
И
Yv [m — y (.Pi — k)] = (m-\- yPt) y'
v
Матричные сомножители m -f- y-^i и m+ Y^2> действуя на поля,
превращают их в источники. Если отбросить эти члены, то ком-
комбинация F.84) заменится на
-gjj- [BP,- *)* - iorv^] [(Р, + Р, -2fc)n- towJTp] X
F.87)
Опустив здесь спиновые члены, мы придем к комбинации для
частиц со спином 0, которая входит в вакуумную амплитуду E.59).
После замены в формулах F.69) и F.70) импульса ру — р2
импульсом реального фотона (—А2 = 0) эти члены никаких вкла-
вкладов давать не будут и величина F.87) примет вид (с точностью
до множителя 1/2т.)
p p F.88)
где
B/>t-fc) BP2-k)= -BK^ + M2i + Ml + 2mz). F.89)
Согласно равенствам F.15) и F.19), интегрирование по перемен-
переменной к сводится к подстановкам
F.90)
(Р, + Р, - 2к) (Pi + Р2- Щ ->
F.91)
Все входящие сюда коэффициенты задаются формулами F.22).
В итоге комбинация F.88) в лоренцевской калибровке принимает
вид
(Л + ЛI* [- «(Ж* + М\ + Ml + 2m2) + (а- Ъ)
+ ia^Kv [2K*+М\ + М1+ 2т? + а] -
F.92)

i
Заметим далее, что
ia^KpP\ia^p\ = у^уК (уКуР2
P\iav^P2iowKp = (yPflK + KF
откуда получаем
{iowKp, PiOvj.j
и
[iowKp, Р\1а^%Р\\=К2 (yPty11-
i 6. ФОРМФАКТОРЫ III
-f KP2)= —Кгу*уР2
\)уКу»= —Kt-yPfi»
P\}=K*{P1 + Piy
-у»уРг)+(М\-М1)-<
Нам потребуется также соотношение
2P4osJ>\ = yl
\уК-уКуР2 + К*.
. СПИН Vi | "О
. — КР%ир»Къ
F.93)
+ KPiWKv,
F.94)
iov»Kv. F.95)
F.96)
Для дальнейшего упрощения исключим члены, явно зависящие
от источников, т. е. отбросим комбинации
+ т). F.97)
В результате для F.92) будем иметь
(Л + РгУ \ - «B#2 + Ml + Ml + 2т2) + (а-Ь) Ю-- A - а) К2) +
+ 2m2 +a-a (*f|~2M|)* ] , F.98)
или, если подставить сюда явные выражения для коэффициентов
а, а и Ъ [формулы F.22), а также E.79I,
Ранее, когда речь шла о частицах со спинами 0 и V2, мы опусти-
опустили члены, пропорциональные 4т2 + К* A — v*), положив
рЬ Р* = —т%- Аргументировалось это тем, что необходимое
сокращение обеспечивается соответствующим контактным членом.
Однако такой подход не вполне удовлетворителен, поскольку
отдельные члены обладают инфракрасными расходимостями и при
введении конечной массы фотона с ними нельзя оперировать
по тому же самому рецепту. Вместо этого будем действовать сле-
следующим образом. Благодаря соотношению
— v2)} = -^-(М\— mz) (M22—m2) F.100)
8*

116 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
вся зависимость подобных вкладов в двойную спектральную форму
от К2 концентрируется в множителе
М\ -m» M\-m* {
где уже добавлен соответствующий контактный член, не зависящий
от К2. Если положить здесь р\ и р\ равными —т2, то эта комбина-
комбинация, которая является обобщением соответствующей комбинации,
фигурирующей в формуле F.41), обратится в нуль.
Чтобы получить связи, содержащие у* и ia^k^, которые нам
нужно сравнить с результатами предыдущих вычислений, доста-
достаточно поделить величину F.99) на 2т. В итоге коэффициент при
—у^к2, заменяющий F.56), оказывается равным
A+»)[1+р» (!+*)! , *2 , 3 *¦(!-»¦) .
б h"~6 hT Р ' (
где снова первое слагаемое совпадает с соответствующим резуль-
результатом для частиц со спином 0. Соотношение F.57) заменяется
теперь соотношением
Используя интегралы [формулы F.45) и F.59)]
[**-&¦=&&' 3j*^-?iw. FЛ04)
будем иметь
vft(v)—vf (v) = -^-. F.105)
В отличие от формулы F.60) это выражение дает нам тот резуль-
результат, который мы и хотели получить.
Правда, если обратиться к магнитному формфактору, то мы
увидим, что здесь ситуация изменяется на противоположную.
Первое слагаемое в коэффициенте при ia^k^ то, которое нам
и нужно. Но во второй вклад входит интеграл
00
м-
х , x{i-v2) , 1 3 x(l-v*) 13 1
T+ з/ +-Ж—Т—ЗРЯ—J-TT'
так что при попытке воспроизвести выражение для магнитного
формфактора мы терпим неудачу. Однако в обоих случаях нежела-
нежелательные добавочные члены имеют примерно одинаковый вид,
и возникает естественное предположение, что трудность лишь
кажущаяся. Добавки к зарядовому и магнитному формфакторам,

{ в. ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН »/i I 11'
возникающие при двух разных способах расчета, пропорциональны
в первом случае интегралу
м2
F.107)
а во втором—интегралу
»
причем вектор А; по-прежнему считается пространственно-подоб-
пространственно-подобным: k2 >0. Но каковы здесь области интегрирования? Обычно
они задаются квадратным корнем, входящим в качестве сомно-
сомножителя и определяющим порог процессов многочастичного обмена.
Тут же нет никаких пороговых множителей. Как мы увидим
и в следующем параграфе, при обобщении исходного причинного
расположения- источников также снимаются первоначальные
. ограничения на массы, которые накладываются только пороговыми
множителями. В такой ситуации область изменения величины М2
становится безграничной. Эта величина изменяется от —оо до оо,
поскольку именно такие значения принимает величина —pz в четы-
четырехмерном импульсном пространстве. Два слагаемых в выраже-
выражении F.107) обладают особенностями при вещественных значениях
М2 = 0 и М2 = —А2; аналогично, в выражении F.108) имеются
особенности при М2 = 4тге2 и М2 = —А2. Однако эти члены свя-
связаны друг с другом конечным сдвигом переменной М2. Ограничен-
Ограниченный, но бесконечно удаленный интервал не дает в отдельные
интегралы никаких вкладов. Таким образом, два зти члена взаимно
уничтожаются, а потому интегралу F.107) и интегралу F.108)
следует приписать нулевые значения.
Тут меня прерывает Гарольд.
Гарольд. У меня одно замечание, которое будет Вам полезно,
и один вопрос. В ходе анализа частиц со спином 0, проводимого
на основе одного обобщенного источника частиц, возникла пробле-
проблема установления эквивалентности с известными результатами.
Она свелась к доказательству тождества E.55), а доказательство
проводилось путем независимого вычисления обеих его частей.
При этом Вы сказали, что хорошо бы найти подходящее преобра-

118 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
зование, которое связывало бы два выражения, полученных
разными способами. Вот то преобразование, которое Вам хотелось
иметь:
где обе переменные z и v пробегают значения от —1 до +1. Так как
dz = гу-^ г, , F.110)
[( + lI/2(a.1)V2I;]2 ' V '
мы получаем
Г * \ ^F.111)
или, вычитая из обеих частей этого равенства 2/х и производя
некоторые перегруппировки,
J tt(l*)a 1 dv
J + (tt() 1
Бели положить затем
то мы получим искомый результат.
Теперь вопрос. Мне не совсем ясна цель того, что Вы делаете.
Разными способами получены одни и те же динамические модифи-
модификации электромагнитных характеристик. Зачем это нужно?
Не достаточно ли одного вывода?
Швингер. Благодарю Вас за преобразование. Что же касается
Вашего вопроса, то именно совпадение результатов разных методов
расчета и важно, поскольку тем самым подтверждена согласован-
согласованность принципов причинности и равноправности точек в про-
пространстве-времени. Разные причинные комбинации источников,
которые в одном случае действуют как простые, а в другом — как
обобщенные источники, приводят к одним и тем же выводам.
Кроме того, попутно мы рассмотрели два обобщенных источника
частиц, которые нам очень пригодятся в различных приложениях.
Но прежде чем к ним переходить, нам следует получше познако-
познакомиться с простой и двойной спектральными формами.
§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН
Проблемы, на которых мы теперь сосредоточим свое внимание,
строго говоря, выходят за рамки чистой электродинамики. Они
лежат в области ядерной физики низких энергий. Тем не менее

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН I H9
в нашем анализе ядерные силы явным образом не будут фигуриро-
фигурировать. Помимо фотона, нас интересуют нейтрон, протон и дейтрон.
Последний будет описываться чисто феноменологически, хотя
у нае и нет никаких сомнений в сложной природе этой частицы.
Для простоты все указанные частицы рассматриваются так, как
если бы они были бесспиновыми объектами. Мы не учитываем
различия в массах нейтрона и протона, обозначая их массу через т.
Масса дейтрона будет записываться как
то = 2т — е, G.1)
где е — энергия связи дейтрона, весьма малая по сравнению с т.
Физическая взаимосвязь между дейтроном, с одной стороны,
и нейтроном и протоном, с другой,— учитывается путем введения
обобщенного источника. Если взять энергию, весьма большую
по сравнению с импульсом (достаточный избыток массы), то источ-
источник, обычно испускающий дейтрон, сможет испускать также нейт-
нейтрон и протон. Такая взаимосвязь описывается примитивным
взаимодействием
Wbpn = 4jt/ j (dx) фО (х) фр (х) фп (х), G.2)
ч
в которое входит скалярное произведение в зарядовом простран-
пространстве, общем для протона и дейтрона.
Прежде всего мы рассмотрим модификацию дейтронной функ-
функции распространения, обусловленную примитивным взаимодей-
взаимодействием, которое позволяет представить дейтронное поле в виде
эффективного двухчастичного источника:
iKv (х) Кл (х1) |эфф = 4п/фБб (х-х1). G.3)
Возникающее при этом выражение для связи двух причинно-упоря-
причинно-упорядоченных обобщенных источников дейтронов получается из
вакуумной амплитуды
J (dx) ... (dy1) iKvi (х) Кя1 (у) |эфф х
X Др(*-аО Дп (У-У') iKpi (х1) Кп2 (у1) |зфф. G.4)
Оно имеет вид
Dл/J j (dx) (dx') фШ (х) Ар(х — х') Дп {х—х') <pD2 (x1). G.5)

120 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Благодаря наличию причинной упорядоченности для произведе-
произведения функций распространения имеем
х°>х0': &р(х — х')Аа(х—х') =
= — I dcopdcon exp [iP (х—х')] =
DяJ
Bm)i
G.6)
где использован кинематический интеграл A.24). Чтобы удовлет-
удовлетворить физическим условиям нормировки, к этому выражению
следует добавить контактные члены. Эти условия требуют, чтобы
добавочная связь относилась к источникам, а не к дейтронному
полю. В противном случае изменялось бы исходное описание
дейтрона, которое дается его функцией распространения. Необхо-
Необходимые добавочные члены вводятся с помощью подстановки
—т 2
17- G-7)
Получаемый таким способом дополнительный член в выраже-
выражении для действия имеет вид
F dAf2 /4 4т» \У2 1 ._ „.
Х J (Af2—m2J V Af2 / р2+М2—fe ' ^ '
BmJ u
Если добавить его к исходному выражению для действия
[Ж[4(^в(-р)-1фс(-Р)(ЯЦ)?оD G.9)
то принцип стационарного действия будет приводить к полевым
уравнениям, которые решаются с помощью модифицированной
функции распространения
f
f

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | Ш
Хотя для получения зтого результата мы воспользовались
релятивистскими методами, весьма важной областью его примене-
применения является нерелятивистский случай. Переход к нему можно
осуществить, записывая
^ =2m + W, E,W,^,e<^m. G.11).
Предельное выражение для функции распространения имеет вид.
-~ G(E), G.12):
где
G(E) = ^ . G.13),
Чтобы не путать е, энергию связи дейтрона, с параметром 8 ¦
мы для последнего ввели обозначение f\ -*¦ +0. Входящий сюда
интеграл может быть вычислен методами контурного интегриро-
интегрирования, либо примененными непосредственно, либо в более про-
простой форме, с использованием новой переменной интегрирования;
W1'* = х:
f W42 I d f
Это дает
где введено обозначение
V = (meI/2. G.16).
При больших значениях Е (/? Э" 8) асимптотическое поведение-
этой функции таково:
G{E) \Ajl.~*- GЛ7)
8 my
Примитивное взаимодействие с электромагнитным полем имеет
вид
= j (dx) [фП (х) eg у d»q,D (х) А» (х) + фр (х) eq у д» фр (ж) Л^ (аг) ] .

¦122 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Чтобы установить, каким образом электромагнитные характери-
характеристики дейтрона модифицируются динамикой, рассмотрим сле-
.дующую совокупность причинно-упорядоченных источников.
Пусть имеются два обобщенных дейтронных источника и обобщен-
обобщенный фотонный источник с пространственно-подобными импуль-
'Сами. Виртуальный дейтрон, испускаемый обобщенным источни-
источником, распадается на нейтрон и протон. Протон рассеивается фотон-
фотонным источником, а затем рекомбинирует с нейтроном, образуя
виртуальный дейтрон, который детектируется другим дейтронным
источником. Такая схема рассматривалась в предыдущих парагра-
параграфах, но теперь происходит не обмен фотоном, а обмен нейтроном.
•Соответствующая вакуумная амплитуда дается формулой G.5),
¦в которой протонная функция распространения имеет теперь вид
Д? = Ар + АР eq (рА + Ар) Ар + ... . G.19)
Подставив причинные выражения трех функций распространения,
для вакуумной амплитуды интересующего нас процесса получим
— i Dя/J j d(Opt <foPi <&)рфш (— Pt) eq (рг +р2) А (К) <pr>2 (P2) =
= - i Dя/J j dM\ dM\ da>Pi dvPi dap6 [(Рх - pf + mz] x
X б [{Рг-рJ + т*\ tpiHl-PJeqvmiPz) (Pi + P2-2p)A(K). G.20)
Здесь через р обозначен импульс нейтрона; другие символы имеют
тот же смысл, что и раньше. Существенное изменение по сравнению
<! прежним анализом состоит в замене соотношения между энер-
энергией и импульсом фотона соответствующим соотношением для
нейтрона:
р2 + т2 = о. G.21)
Вследствие этого основной интеграл, возникающий в ходе вычисле-
вычислений, принимает теперь вид
<op6 BpPt + Ml) б BpP2
Мы приходим к тем же значениям, что и раньше, при
А = К* + 2К2(Ml +Ml) + {Ml -MlJ, G.23)
но условие, при котором интеграл отличен от нуля, оказывается
теперь иным. Оно получается из требования

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 123
и записывается как
A<-^-AfJA/?, G.25)
или
т2 (М\ -MlJ < К2 [(Ml - 2т2) (М\ - 2т2) - т>- (К2 + 4т2)]. G.26)
Выполнение этого неравенства обеспечивается, если выбрать
переменные
М\ —2т? = т (К2 + 4т2I/2 х + тК (х2 — if2 и,
где
*<1, х>1. G.28)
Вот как выражаются через эти переменные некоторые другие
нужные нам величины:
А = К2 [К2 + 8т2 + 4т (К2 + 4т2I/2 х + 4т2 (х2 — 1) v2],
dM\ dM\ = 2mzK (К2+4m2I/2 (a? — l)Vl dxdv.
Алгебраическим соотношением
К (Pi + P2 — 2p) — (p1 — p2) (Pi + Pz) = O G.30)
вновь фиксируется вид векторного среднего значения
КК
G.31)
где -
G-32)
Если не учитывать контактных членов и взять лоренцевскую калиб-
калибровку, то выражение, получаемое путем пространственно-времен-
пространственно-временной экстраполяции вакуумной амплитуды, будет даваться двой-
двойным спектральным интегралом:
•j:2 f tfPl) (Ар2)
4 J BJXL Bя)«
X q>Dl (~Pi)eQ(Pi +Pa) k2A (k) (pD2 (Pi) X
X-
В случае свободного поля, когда k2 = 0, мы имеем
G.34)
G35)
Д*/2 2 [2A+1)+A2 —

124 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Пользуясь формулой
1
~2 Vv [2A+*)+(*«-1)р»]'л =ТITR8"' G-36>
получим, что величина G.33), как это и должно быть, прини-
принимает вид
Фш (- А) Ч (А + Р.) ^ (*) Ф1>2 (Р.) X
J [ |/2_ie — (jtfi-mj)! j » G-37>
куда мы включили чисто локальный контактный член, к которому
приводит калибровочно-ковариантное обобщение комбинаций G.7)
и G.8).
Применим двойной спектральный интеграл G.33) к дейтрон-
ным полям, ассоциируемым с простыми источниками. Член в выра-
выражении для действия, получающийся в результате замен р\, р\ -*-
-*• — тЬ, равен
= [т (h?+4m*I/2x + 2m2 — mb]z—mzk2 (ж2-1)»». G.39)
где
Здесь мы ограничимся нерелятивистским случаем, которому соот-
соответствуют условия и упрощения типа
*»< т2 G.40)
и
тЬ = Bш - еJ ж 4щ2 - 4V2. G.41)
В такой ситуации
G.42)
откуда видно, что наиболее существенны малые значения ж — 1,
порядка А2/т2 и у2/т*. Положим поэтому упрощенно
х2 — 1 &2(х — 1), а также напишем
*-! = »¦. G.43)

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 125
а
2)
и f dMfdMl
J Дв'2
Тогда спектральный интеграл, фигурирующий в G.38), примет
вид (с учетом множителя к2)
Переменная г/ изменяется в пределах от 0 до оо. Но выраже-
выражение G.44) с точностью до множителя 2~3/2/пг2 можно записать в сле-
следующей эквивалентной форме:
f dv I f
-
21/2
Производя затем преобразование сдвига
y^y+Ytv' ' G'46)
получаем
1 оо 1
1-»2) о
я 28/2
Как показывает равенство
зависимость соответствующего множителя в формуле G.42) от к
имеет вид спектральной формы. Нам нужно еще исключить связь
с векторным потенциалом при к2 = 0, которая должна учиты-
учитываться модифицированной функцией распространения. (Это авто-
автоматически обеспечивается введением контактного члена.) Следова-
Следовательно, в действительности спектральный интеграл входит в форме
J dM ( к*+М* ~~W) = ~-^) ~Ж~к* + М*- С7'49)
4
Складывая возникающий при этом член действия с примитивным
электромагнитным взаимодействием дейтрона, получаем следую-

126 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
щее выражение для дейтронного формфактора:
2
G.50)
При больших значениях А; (& ^> 4у) формфактор стремится
к постоянному пределу:
Эта комбинация встречалась нам и раньше, в асимптотическом
выражении G.17) для дейтронной функции распространения. Оче-
Очевидно, что особенно важную роль играет нулевое значение этой
комбинации, которым определяется соотношение между константой
связи / и энергией связи дейтрона:
•Г —= 1. G-52)
8 ту v '
При таком соотношении эффективное электромагнитное взаимо-
взаимодействие дейтрона с высокочастотными фотонами должно обра-
обращаться в нуль и дейтронная функция распространения утратит
свою форму, характерную для функции распространения частицы.
Из этого явствует, что дейтрон представляет собой составную
частицу, которая с полной определенностью диссоциирует при
воздействии на нее внешнего возмущения с достаточно высокой
энергией. При таких условиях можно объединить два члена форм-
фактора G.50), что приводит к выражению
ir- <7-53>
Для пространственных компонент векторов к можно интерпре-
интерпретировать эту формулу обычным образом на основе представления
о распределении заряда. Вспоминая, что
ехр <
где i/2r— вектор, характеризующий положение, мы получаем
Сюда входит волновая функция дейтрона, зависящая от расстоя-
расстояния между нейтроном и протоном; вектор VjT указывает положе-
положение протона относительно центра масс дейтрона. Эта волновая
функция носит название предела нулевого эффективного радиуса»

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 127
Она является решением уравнения Шредингера, отвечающим
внутренней энергии —е, в случае, когда при любом конечном
расстоянии между частицами отсутствует взаимодействие.
Мы можем принять, что соотношение G.51) выполняется при
значениях к, больших по сравнению с у, но все же малых по срав-
сравнению с импульсами виртуальных частиц, которыми обмениваются
нейтрон и протон. Тогда дейтрон будет не полностью диссоцииро-
диссоциировавшим и предельное значение G.51) не обязано равняться нулю-
Обозначим последнее через — уге/A — уге), так что
Формфактор примет вид
~ *4 г)
где
Распределение заряда мы по-прежнему характеризуем движением
протона и нейтрона, подразумевая при этом, что нейтрон-протон-
нейтрон-протонные силы обусловлены обменом какими-то частицами. Это означает,
что плотность заряда определяется некоторой волновой функцией.
F(к) = J (А)ехр (-&.-§-г) I¦ W 12 =
= J (А) ехр ( - ft 4 г) (| гр (г) Р-1 гр0 (г) И +
(-ft4r) I ^ w i2- G-59>
Выражения G.57) и G.59) согласуются с такой интерпретацией.
Волновые функции г|) (г) и ф0 (г) совпадают при всех значениях ту
кроме тех, при которых кг мало в рассматриваемой ограниченной;
области переменной к, что приводит к отождествлению
J (А) (| ^о (О |2-1 г|> (г) Р) = 1^-. G.60).
Это соотношение станет более прозрачным, если ввести радиаль-
радиальные волновые функции и (г) и и0 (г), написав
где
1. G.62),

28 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Тогда соотношение G.60) примет вид
-u2) = |re, G.63)
« это не что иное, как обычное определение эффективного радиу-
<5а ге. Из обычного же граничного условия и @) = 0 следует, что ге,
как и должно быть, представляет собой некоторое положительное
расстояние.
Интересно, оставаясь на развиваемой здесь точке зрения,
вывести известные результаты двух разных классов, включающие
эффективный радиус. Один из них относится к сечениям фоторас-
фоторасщепления дейтрона. Примитивное взаимодействие усиливается,
когда на заряженные частицы воздействует электромагнитное
лоле. Весьма существенно, что этот эффект связан не с влиянием
фотона на движение дейтрона, а с искажением внутреннего состоя-
состояния, которое обусловлено действием на протон. Поэтому соот-
соответствующий член взаимодействия, получаемый из величины
4я/ } (dx) фС (х) [ j (dxr) At (х, х') Kv (*')] Ф„ (х), . G.64)
имеет вид
4я/ j (dx) (dx') фо (х) Ар (х-х1) eq (рА +Ар) (х') Фр (х') фп (х). G.65)
Для элемента Г-матрицы, т. е, для коэффициента при произведе-
произведении источников
получаем (q = +1)
<РРРп | Т | РъЩ = 4nfe (dvPp d«pn *%<to>ft)V2 (рр1^У+та2, G-66)
где в соответствии с законом сохранения импульса
Р = Рр + Рп = Рт> + к. . G.67)
Мы пользуемся калибровкой, в которой у вектора поляризации
нет временной компоненты в системе покоя импульса Р. В этом
и находит свое оправдание полное пренебрежение электромагнит-
электромагнитным взаимодействием с дейтроном. Согласно формуле C-12.70),
множитель, отвечающий инвариантному потоку, равен
2(M*-mh)d<uPDd<uh, G.68)
а интегрирование по конечным состояниям в системе центра масс
при заданном значении телесного угла dQ вьшолняется с помощью

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН [ 129
равенства C-12.75), которое в нашем случае записывается в виде
dQ. G.69)
В итоге для дифференциального сечения получаем
V2 1
G.70)
Эта формула будет применяться в нерелятивистской области,
где
М &2т + Е = 2т — е +к°, G.71)
а значит,
к0 = Е + е. G.72)
В выражение
для кинетической энергии нейтрона и протона входит относитель-
относительный импульс этих частиц, вычисленный в системе центра масс:
Рр = -Рп = р. G.74)
Мы имеем также
— 2jDDPn — тЬ « гпъ Bр°п — mD) » 2m (E + е), G.75)
что приводит к следующему нерелятивистскому выражению для
сечения:
i^2a^р
-^—, . ...
I — Ve (P2 + V K
(е-рJ, G.76)
где мы воспользовались соотношением G.56), с тем чтобы исклю-
чить/2. Проводя усреднение по начальным поляризациям и интег-
интегрирование по конечному угловому распределению, получим
полное сечение
a = -Ta G7?)
Максимального значения оно достигает при р = у, причем
_ Л 1 1
°а
ТТ^7^ G-78)
В итоге мы приходим к хорошо известным результатам теории
эффективного радиуса.
. Вторым из упомянутых выше примеров служит нейтрон-про-
нейтрон-протонное рассеяние. Оно происходит за счет обмена дейтроном,
описываемым модифицированной функцией распространения.
Необходимый нам член взаимодействия имеет вид
Dя/J-1 j (dx) (dx1) Фр (х) щ(х) Ad (х-х') Фр (х1) фп (хг), G.79)
9-0983

130 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
откуда для соответствующего элемента Г-матрицы получаем
(PpiPni | Т | рр2Рп2> = Dя/J (cfoPpi сЦ,п1 dcoPp. dwPn2I/2 x
X[AD(P) + AD(pn2-ppl)], G.80)
где
Р = Ppi + Рш = рР2 + Рм G.81)
и
Рпг — Ppi = Рш — Ррг- G.82)
Такх как рассматриваемый процесс представляет собой упругое
столкновение, кинематические множители, входящие в определе-
определение сечения, сокращаются и мы имеем
G.83)
Вторая форма записи здесь отвечает нерелятивистскому случаю.
В этом пределе член Ad (рпз —Ppi), необходимость которого дик-
диктуется соображениями кроссинг-симметрии, пренебрежимо мал.
Мы воспользовались также формулой G.56) для константы связи.
Если подставить последнее соотношение в G.15), то получим
7sin6exp(^' G-84>
где б — вещественный угол, определяющийся уравнением
i . G.85)
Дифференциальное сечение
Ж^81п26 G-86)
обычным образом выражается через фазовый сдвиг б, отвечающий
s-волне, а формула G.85) для этого фазового сдвига представляет
собой хорошо известный результат теории эффективного радиуса.
Кроме того, в выражении G.84) мы узнаем обычную комплексную
форму записи амплитуды рассеяния через фазовый сдвиг. Это
означает, что условие унитарности выполняется автоматически.
Здесь с серьезным видом вдруг заговорил Гарольд.
Гарольд. По-моему, ученые, подобно полководцам и полити-
политическим деятелям, должны писать мемуары. Как бы ни было велико
влияние субъективной точки зрения и естественной человеческой

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 131
склонности к самовозвеличению, свидетельство человека, непосред-
непосредственно участвовавшего в событиях, ничем нельзя заменить.
Ясно ведь, что весьма значительная часть истории науки, механи-
механически воспроизводимой в статьях и книгах, написанных людьми,
которые сами «там не были»,— сплошная фантазия. Я говорю все
это в связи с формулой для фазового сдвига, выраженного через
эффективный радиус. Качественные соображения на этот счет
наверняка высказывались и раньше. Но я думаю, что именно Вы
первым осознали все важное значение указанной формулы и пред-
представили ее [вывод, в котором эффективному радиусу, как Вы его
назвали, был придан совершенно точный смысл, допускающий рас-
распространение этого понятия и на другие задачи. Ваш вывод осно-
основывался на вариационном методе. Позднее другими были предло-
предложены более элементарные выводы, причем один из них вошел
в учебники так, словно его автор первым и получил соответствую-
соответствующую формулу. Трудно поверить, чтобы Вы ничего не знали о воз-
возможности элементарного вывода. Почему же Вы все-таки пред-
предпочли не совсем привычный вариационный подход?
Швингер. Этот вопрос о мотивировке очень интересен. Видимо,
стоит указать, что и вариационный метод для рассеяния, и формула
для эффективного радиуса ведут свое происхождение от задач
распространения электромагнитных волн в волноводах. Частично
история данного вопроса изложена в пашей книге Schwinger J.,
Saxon D. S., Discontinuities in Waveguides, New York, 1968.
Там можно найти формулы для производных по частоте от некото-
некоторых электромагнитных величин, которые также обладают свой-
свойствами стационарности. Каждая из этих производных представ-
представляется в виде разности между полным и асимптотическим выра-
выражениями для энергии. Мне была очень хорошо известна соответ-
соответствующая аналогия, которая имеет место для уравнения Шредин-
гера. В этом случае электромагнитные величины заменяются три-
тригонометрической функцией фазового сдвига, а ее производная
по энергии определяется вероятностью, появляющейся вместо
электромагнитной энергии. Однако нужна была не точная фор-
формула с неопределенной варьируемостью параметра по энергии,
а приближенная, справедливая в ограниченной энергетической
области. По этой причине представлялось более предпочтитель-
предпочтительным воспользоваться свойством стационарности фазового сдвига.
К тому же формула с эффективным радиусом была первым вопло-
воплощением неспекулятивной точки зрения, которая впоследствии
нашла свое полное выражение в теории источников. Поэтому
весьма приятно вывести результаты приближения эффективного
радиуса еще раз, на основе теории источников.
В предыдущих параграфах мы получили выражения для эле-
электромагнитных формфакторов, рассматривая обобщенные фотонные
9*

132 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
источники, которые испускают времениподобные импульсы. При-
Применим такой подход к дейтронному формфактору. Виртуальный
фотон распадается на протон и антипротон. Затем эти частицы
взаимодействуют, обмениваясь виртуальным нейтроном, и обра-
образуют дейтрон-антидейтронную пару. Реакция рассеяния описы-
описывается членом взаимодействия
(WJ у j (dx) (dx') фС (х) фр (х) Ап (х-х1) Фр (х') фс (х'), G.87)
где эффективный двухчастичный источник протонов вводится
равенством
iKp (р2) Кр (р'г) |эфф = eq (р2 — р'г) A (ft), G.88)
причем
к = р2 + ft. G.89)
Амплитуду вероятности, которая получается отсюда, можно пред-
представить в форме
р< BяL б (Pi + p[—k)x
X dM2 du>kKD (— pj) eqKD (~p'i)Il>'All(k), G.90)
где
BлK б (ft + Р'2 — к) -.—=—«im2 (Рг —Р'гI1 —
= (Pi — p'ifS(Mz). G.91)
Возникающая здесь скалярная функция записывается через сред-
среднее значение:
, dcop< BлK б (ft + р'2- к) (pi_n\2J_m2 X
х (pi-pD2 2 =Wfr\i~^ir
V / 1 (Pi —Рр (Pz — Рг) \ п с
\(Р1-Р2)а+«2 (Pi-PiJ /• 1
Пока мы действовали в полной аналогии с тем, что делалось в § 4.
Но теперь необходимо проводить различие между начальными
сталкивающимися частицами, каковыми являются протоны,
и конечными частицами — дейтронами. Это различие проявляется
в абсолютных величинах пространственных импульсов частиц,
вычисляемых в системе центра масс:
" ]

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 133
У
• ••>«{>!
Соответственно этому
1
хтт (w- G-94)
()
где z — косинус угла рассеяния.
Прежде чем переходить к подробному обсуждению полученного
интеграла, закончим формальную пространственно-временную
экстраполяцию. Запишем скалярную функцию S (М2) в виде
и введем дейтронный вектор тока. Тогда для вакуумной амплитуды
получим
[г j dwftexp[jA; (я-*')]] (- ^'F^ (x1)), G.96)
X
где мы к тому же произвели калибровочно-инвариантную под-
подстановку D.19). Как и обычно, пространственно-временная экстра-
экстраполяция осуществляется путем замены причинного выражения для
функции распространения величиной А+ (х — х', М2). Добавив
примитивное взаимодействие дейтрона, мы для его формфактора,
записанного в лоренцевской калибровке, будем иметь
Явное выражение для о" (М) имеет вид
где
Поскольку рождается пара дейтронов, может показаться, что
при М == 2/пв, т. е. при [х = 0, должен быть порог. Но функция
переменной (i, входящая в формулу G.98), четна, и при малых ц
можно написать
14±2 = 4ц»+..., G.100)

134 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
что дает
M-+2mD±0: a (M)= 4j^Z^l. G.101)
Здесь нет никакого порога. Когда М становится меньше 2тв,
величина [х оказывается мнимой:
но функция а (М) остается действительной. Поэтому никакой
разницы между iv и —iv нет. Если написать
? G.103)
где
Ф = 2 arctgv, ф BmD) = 0, G.104)
то мы будем иметь
^^(±) G.105)
Порождается также и пара протонов, и следующий порог при
уменьшении М достигается в точке М = 2т. Если бы выполня-
выполнялось неравенство
mD<21/2m, G.106)
отвечающее очень большой энергии связи, превышающей
B — 21/2) т, то знаменатель в выражении для v, равный М2 — 2тЬ,
оставался бы на всем интервале положительным, а угол ф при
М = 2т возвращался бы к нулевому значению. Точнее, мы
имели бы
что соответствует нормальному пороговому поведению.
Однако неравенство G.106) не выполняется. При значении М,
лежащем между 2tod и 2т, а именно при М = 21/2тв, величина v
обращается в бесконечность, а ф = я. Затем при М ->¦ 2т + 0
величина v стремится к нулю со стороны отрицательных значений,
а ф —>¦ 2я. Соответствующее предельное значение таково:
(x-+2m + 0: a(M) = |- """^l/, • G-108)
Можно ли спуститься ниже точки М — 2т? Да. В этой области
(М2 - 4т2I/2 = ± i Dm2 - М2I^ G.109)

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН I 135
тогда как
Ф = 2я±}1п4^. G.111)
Оставив неоднозначные члены в том виде, как они есть, будем иметь
Поскольку мы не можем выбрать тот или иной знак из каких-либо
физических соображений, возьмем среднее двух этих выражений,
как это делается при вычислении главного значения. В результате
придем к действительной функции
М<.2т: о(М) = 2п ^- , G.113)
которая непрерывным образом сшивается с функцией G.108).
Когда же застопорится такая экстраполяционная процедура?
Есть еще одна особая точка, при [х = 1, что явствует из выраже-
выражения G.112). Если учесть, что значение, принимаемое величиной |х
при М = 0, а именно 2т/тц, очень близко к единице, то станет
ясным, что равенство |х = 1 достигается при весьма малых М,
и мы можем воспользоваться разложением
^ G.114)
Таким образом, особенность возникает при М = Мо, где
Мо = Ау. G.115)
Но на этот раз, когда мы окажемся ниже особой точки, где ц >1,
неоднозначная мнимая часть логарифма будет приводить к появле-
появлению неоднозначных действительных членов в функции а (М).
Неопределенность при М = Мо вынуждает нас остановиться.
При нерелятивистских значениях к основной вклад в формфак-
тор G.97) дают малые М, при которых мы имеем
-^. G.116)
Таким образом, дейтронный формфактор имеет вид
47

136 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
т. е. совпадает с G.50). Этот независимый результат дает нам
дополнительную уверенность в правильности процедуры экстра-
экстраполяции по массе.
§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
Мы разобрали эффекты многочастичного обмена, приводящие
к модификации скелетного взаимодействия. Перейдем теперь
к вопросу о том, каким образом за счет многочастичного обмена
вводятся новые классы взаимодействий. Простейшим примером,
который, несмотря на отсутствие пока прямой связи с экспери-
экспериментом, имеет огромное значение с точки зрения анализа исход-
исходных принципов, служит процесс рассеяния света на свете.
Процессам, в которых участвуют два источника частиц со спи-
спином V2 и источники фотонов (число их может быть любым), соот-
соответствует следующий член в выражении для связи:
W2 .. . =1 J (At) (dxr) л И у< (х, х') Л (х'),
Gi=G+ + G+eqyAG+ + G+eqyAG+eqyAG+ + ... .
Так, например, величина
W2i = -g- j (At) (dx') ф (x) y°eqyA (x) G+ (x~xr) eqyA (xr) ф (*') (8.2)
описывает комбинацию двух фотонных полей как эффективный
электрон-позитронный источник:
щ (х) г] (х1) |Эфф = eqyA (x) G+ (х — х') eqyA (x1) у0. (8.3)
Соответствующий физический процесс представляет собой столкно-
столкновение двух фотонов с образованием электрон-позитронной пары
или обратную ему реакцию (гл. 3, § 13). Рассмотрим теперь сле-
следующую причинно-упорядоченную систему источников. Фотон-
Фотонными полями, обозначаемыми через А2, порождается электрон-
позитронная пара, а ее последующая аннигиляция в два фотона
детектируется источниками, поля которых обозначим через А1.
Вакуумную амплитуду, которая описывает связь между эффектив-
эффективными источниками, обусловленную двухчастичным обменом,
удобно представить в форме, аналогичной C.7), с использованием
соответствующего следа:
- i J (At) ... (At") Sp [it)! (x) щ (х') у0 |эфф G+ (x' -x") X
X Щг [х") ть (Xя) у0 |Эфф G+ (x" - x) \. (8.4)

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. I 137
Подставив сюда выражение (8.3), получим
— i Г (dx) . .. {dx1") Sp [eqyAi (x) G+ {x-x') eqyAi (x') G+ (x'-x'") X
X eqyA2 {x") G+ (x" — xm) eqyA.2 (xm) G+ (x"' — x)\, (8.5)
или, в более компактных обозначениях, в которых пространствен-
пространственно-временные координаты выступают в роли матричных индексов
и объединяются со спиновыми и зарядовыми переменными,
— у SP [eqyAiG+eqyAiG^eqyA2G+eqyA2G+]. (8.6)
Вакуумную амплитуду можно представить в виде некоторого уни-
унифицированного члена в выражении для действия:
W04 = i -о- SP [eqyAG+eqyAG+eqyAG+eqyAG+] =
±*. (8.7)
Наличие дополнительного множителя 74 объясняется тем, что
начало заданной последовательности A1A1AiA2 можно фиксиро-
фиксировать четырьмя разными способами, и в силу свойства циклической
симметрии следа мы во всех случаях получим один и тот же вклад.
Это и есть тот самый процесс, который не имеет аналога в ске-
скелетном взаимодействии из гл. 3, § 12, так как в нем не участвует
явным образом ни одна заряженная частица. Он описывается
выражением, применимым во всей области изменения простран-
пространственно-временных переменных. Но справедливость этого не очень
определенного утверждения должна быть проверена на основе
физических критериев. Таких критериев имеется два — калибро-
калибровочная инвариантность и существование. Если допустить, что
рассматриваемое выражение действительно существует, то в его
калибровочной инвариантности можно убедиться путем формаль-
формальных выкладок с матрицами, причем достаточно ограничиться
инфинитезимальным калибровочным преобразованием
6Л = дЬХ = i [р, 6Я,]. (8.8)
При таком преобразовании
S^04= -^SP\(eqyAG+)s [yp, eqbl] G+], (8.9)
а из цепочки тождеств
eqyAG+ [yp, eqbl] G+ = eqyAG+ (G;\ eqbX] G+ =
= eqyA [eq&k, G+) = [eqbk, eqyAG+] (8.10)
вытекает, что
l, (eqyAG+K] = 0. (8.11)

138 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Проблема существования возникает, когда четыре поля пол-
полностью перекрываются, т. е. в случае, который не предусмотрен
исходным расположение^ причинно-упорядоченных источников.
В качестве самой крайней возможности рассмотрим столь малую
область пространства-времени, что в ее пределах векторные потен-
потенциалы можно считать практически постоянными. Тогда, если
не учитывать численных множителей, для кратных интегралов,
входящих в вакуумную амплитуду (8.7), получаем
. .. (dx'") Sp [eqyA (x) G+ (x — x') eqyA (x) G+ (х — х") X
X eqyA (x) G+ (х" — х") eqyA (x) G+ (х'" — х)} =
С (dx) (dp) с г . , . 1 -]4
= \ 1 \Г Sp eqyA (x) ; — ~
J BлL FL ' ' ур-\-т— ie J
(dx)(dp) Sp[eqyA(x)yp)i .„ . „
" Bя)« (Р2)* ' (°-iZ)
где последнее выражение записано при дополнительном ограни-
ограничении случаем очень больших импульсов. Эта комбинация,
конечно, должна обращаться в нуль, так как она не является
калибровочно-инвариантной. Правда, с первого взгляда вовсе
не очевидно, что интеграл по импульсам существует. Но в соот-
соответствии с тем, что ^мы исходим из первоначально неперекрываю-
неперекрывающихся полей, к бесконечно большим импульсам следует перехо-
переходить в самую последнюю очередь. При таком условии правильное
значение, которое нужно приписать этому интегралу, оказывается
все же равным нулю. Этот результат есть следствие лоренцевской
инвариантности процедуры интегрирования, выражением которой
служит возможность ковариантной замены
Но тогда элементарные выкладки сразу же показывают, что
Sp (yAyp) * -+ 0. (8.14)
Если ввести производные от векторного потенциала, которые
необходимы, чтобы получить напряженности поля, то появятся
соответствующие обратные степени импульсов и интегралы станут
абсолютно сходящимися при больших импульсах.
Выражение (8.7) допускает обобщение и на случай произведе-
произведений произвольного числа полей (v ^ 4). Рассмотрим два эффек-
эффективных источника, которые обмениваются парой частиц, причем
с одним из них ассоциировано очень слабое поле ЬА, а с другим —
произвольно распределенное поле А. Первый эффективный источ-
источник имеет вид
 (х) Ц (*') 1эФф = eqybA (x) у°6 (х - х'), (8.15)

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. ] 139
тогда как другой, получаемый из сравнения iW2... с
(8.16)
представляется эффективным произведением полей
й|) (х) ф (*') |эфф = Gf (х, х') /. (8.17)
Связь между двумя источниками, даваемая вакуумной амплитудой
i6W (А) = —i J (di) (da;') Sp [it] (*') t) (x) у0 |эфф *ф (a:) ф (а:') у» |эфф],
(8.18)
имеет вид
i. (8.19)
Тут содержится и обмен парой между источниками полней ЬА,
а также однократно действующими источниками полей А, кото-
который мы не хотим учитывать еще раз. Проще всего, однако, выки-
выкинуть этот член из окончательного результата. Как явствует из
самого обозначения bW (А), при добавлении к исходному полю А
бесконечно малого поля ЬА порождается некоторое дифферен-
дифференциальное выражение для члена действия W (А), содержащее все
WOv с v ^ 4. Формальное интегрирование осуществляется
с помощью интегрального уравнения C-12.21)
Gf = G+ + G+eqyAG? (8.20)
и его формального решения C-12.22)
G$ = A - G+eqyA)-1G+ = G+ (I - eqyAG+y1. (8.21)
Это дает
- &W(A) = -ji SP [A -eqyAG+y* eqy6AG+] =.
= — i t6 SP In A —eqyAG+) = —i t6 In det (l — eqyAG+), (8.22)
где последняя форма записи основывается на дифференциальном
свойстве определителей
б In det X = SP (Х^бХ). • (8.23)
Проинтегрировав, будем иметь
W (А) = - y i In det A -eqyAG+) = —i- i SP In (l — eqyAG+), (8.24)
или, разложив в ряд и опустив член с v = 2,
W(A) = i 2 -^SP(eqyAG+)v. (8.25)
v=4, 6,...

140 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Нечетные степени здесь отсутствуют, так как след матрицы q
равен нулю. Заметим, что для члена WOi мы получили уже известг
ное выражение. Это еще раз напоминает нам, что для вывода
одной и той же общей пространственно-временной связи источни-
источников можно пользоваться разными причинными последователь-
последовательностями заданного числа источников.
Проведенный нами анализ легко перенести и на частицы со спи-
спином . Связь частиц задается выражением
Wn — — С (dr\ (dr'\ К (т\ \А(т т'\ К (т'\ (R 9fi\
которое описывает фотонные источники посредством эффектив-
эффективного двухчастичного поля
. щ (х) ф (х) |эфф = А^ (х, х'). (8.27)
Слабое же электромагнитное поле описывается следующим эффек-
эффективным двухчастичным источником:
1К (х) К (х1) |эфф = eq (рЬА + ЬАр) (х) Ь (х - х') (8.28)
[сравн. с формулой C.31)]. В таком случае причинная связь меж-
между двумя фотонными источниками, с которыми ассоциирова-
ассоциированы поля ЬА и А, может быть выражена при помощи вакуумной
амплитуды
ibW (A) = j j (dx) (dx') Sp [ iK (х-) К (х) |эфф щ (х) ф (х1) |эфф] =
= -у SP [eq (рЬА-{- ЬАр) А+ ]. (8.29)
Однако здесь имеется одна тонкость, которая выявляется при
формальном решении уравнения для А^ [формулы C-12.27)
и C-12.28)]:
Af = [1 — А+ (eq (pA + Ар) — е2Л2)]-хА+ =
= А+ [1 - (eq (рА + Ар) - А42) А+]. (8.30)
Чтобы можно было проинтегрировать выражение для bW (А) так,
как это делалось в случае частиц со спином 1/2, величину (8.29)
следует заменить величиной
ibW (А) = -^ SP [(eq (рЬА + ЬАр) - 2е2ЬАА) А^ ]. (8.31)
Такая замена не вызывает возражений, поскольку при той при-
чиннод упорядоченности, для которой выводилось выражение
(8.29), поля ЬА и А не связаны друг с другом и их произведение

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. I 141
равно нулю. Итак, мы можем утверждать, что
W (А) =1l ln det [1 - (е9 (РА + АР) —
2
[
2
= ~SSP In [I-(eg(PA + Ар)-еМ2)Д+]. (8.32)
В частности
= - i ^ SP
+ i у SP [(eq (PA + AP) Д+J е2Л2Д+] — i \ SP [е2Л2Д+]2. (8.33)
Это выражение можно вывести иначе, рассматривая обмен части-
частицей между двумя парами фотонных источников. Его существо-
существование и калибровочная инвариантность проверяются почти так
же, как и в случае частиц со спином 1/2.
Возможны и другие представления для W (А), особенно удоб-
удобные при некоторых специальных условиях. Начнем со случая
спина 0 и напишем (П = р — eqA)
*)], (8-34)
причем в интеграле в неявной форме учитывается условие е -*¦ + О
множителем ехр (—es), обеспечивающим сходимость. Тогда диф-
дифференциальное выражение (8.31) примет форму
8W(A)=—±- j dsSP[6(IP)exp( — is(U2 + m2))], (8.35)
о
откуда
W(A)= — г|- j iisPexp[— is(Yl2+m2)], (8.36)
о
хотя здесь и следует оставить только члены, содержащие по мень-
меньшей мере четыре полевых сомножителя. Калибровочная инва-
инвариантность доказывается теперь весьма просто, поскольку замена
А ->- А + дК влечет преобразования
П ->¦ ехр (ieqX) П ехр (—ieqk) (8.37)
и
ехр (—йП2) -э- ехр (ieq%) ехр (—isIP) ехр (—ieqX),
(8.38)
при которых след не изменяется.

142 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Вывод аналога выражения (8.36) для частиц со спином V2
основывается на конструкции [формулы B.1), B.3) и B.4)]
G+ = (т уЩ
— ie =(т — уЩ jp —e?CTF+m2 — ie
где теперь мы будем записывать
^Zfe- = 4 dsexp{ — is[U2~eqoF + m2]}. (8.40)
о
Так как след произведения, содержащего нечетное число матриц
у, равен нулю (матрицы у* и —у*1 = Y^Y^Ts эквивалентны)
и так как
—eqybAyU — yUeqybA = б [(yIIJ] = — б [П2 — eqoF),
(8.41)
дифференциальное выражение (8.19) принимает вид
о
откуда
00
W{A) = i\ \ — SPexp[ — is(U2—eqaF + m2)\. (8.43)
о
Полученные выражения удобны в случае медленно меняющихся
полей, практически .постоянных в пределах соответствующих
областей пространства-времени. В подобной ситуации можно вос-
воспользоваться формальным сходством комбинаций П2 + т% или
П2 — eqoF 4ffl' с гамильтонианом частицы, а параметра s —
с временной переменной. Хотя такая аналогия имеется всегда,
в данном случае результаты оказываются простыми благодаря
постоянству коммутатора
[Пц, П„] = ieqF^y. (8.44)
Заметим, что
[П^, П2] = 2ieqFilvny, (8.45)
а, следовательно, векторная величина
Пц (s) = exp (isW) П,,, ехр (—isU2) (8.46)
удовлетворяет уравнению движения
йЩ(в) v „
; = 2eqFu„П (s). (8.47)

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. | 143
Решение его, записанное в матричных обозначениях, имеет вид
П (в) = exp BeqFs) П = П ехр (-2eqFs), (8.48)
где учтена антисимметрия тензора F^. Рассмотрим теперь следую-
следующий тензор, задаваемый следом, который не затрагивает индек-
индексов, относящихся к зарядовому пространству:
7VV = SP' [n,JIv ехр (-ЙП2)] = SP'tll^ exp (-isW) IIV (s)] =
= SP' [IIV (s) П^ exp (-is П2)], (8.49)
или, в другой, эквивалентной форме записи,
Т^ = SP' [n^v (в) exp (—isU2)] —
—SP' [[ПЦ) П„ (вI exp (—isU2)]. (8.50)
Для входящего сюда коммутатора имеем
[П,,, П„ (в)] = [П,„ № [exp (—2eqFs)]kv] =
= ieq [F exp {-2eqFs)]llv, (8.51)
так что, возвращаясь к матричным обозначениям, получаем
Т = Т exp (-2eqFs) — ieqF exp (—2egFs) SP' [exp (-ЙП2)],
(8.52)
или
SP' [ППехр(-Ш2)] = -^geXpBe^s)-iSP> fexP (-иП2)]. (8.53)
Этот результат позволяет вычислить
i-^SP' [ехр (- isTl2)] = SP' [П2 exp (- isu2)] =
Решение вытекающего отсюда дифференциального уравнения имеет
вид
причем в последней форме записи мы учли размерность простран-
пространства-времени и то обстоятельство, что знак заряда q на ответе не
сказывается.
Постоянную С можно определить, рассматривая предел при
малых s. В этом случае основной вклад дают большие значения П
и некоммутативность различных компонент II становится несуще-
несущественной. Пользуясь четырехмерной записью обычных кванто-

144 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
вых соотношений, получим
5 -> 0: SP' ехр (— isW) = j (dx) (х | exp (— isp*) \ x) =
-^). (8.56)
Четырехмерный интеграл по C -\- 1)-мерному импульсному про-
пространству берется следующим образом:
— оо —оо
1 / Я \1/2~13 1 / ni \V2 1 1
так что
Чтобы завершить вычисление И7 (А) для частиц со спином 0,
нам осталось лишь добавить множитель 2, возникающий из следа
по зарядовым индексам. В итоге получаем
(8.59)
и> /гл J | и» / . ч.\ I 1 . I "¦» \ 1 '2
\ Л'Спин О I' ) —
Функция Лагранжа действительна, что становится очевидным,
если деформировать контур интегрирования по is так, чтобы
он совпал с положительным участком действительной оси (см.,
однако, замечание ниже):
г
...»
оо
где теперь уже нежелательные члены выброшены. Здесь мы ввели
величину
в дополнение к которой введем
I *^^ = Е • Н (8.62)

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. | 145
S8± = 2 (& ± 13) = (Е ± ШJ. (8.63)
Для вычисления определителя в общем виде достаточно отыскать
собственные значения тензора F. При зтом удобно пользоваться
самодуальными тензорами
F± = F ± i *F, *F± --= + iF±. (8.64)
Рассматриваемые в качестве матриц, два эти тензора коммутируют
друг с другом, а квадрат каждого из них кратен единичной матри-
матрице. В этом можно убедиться непосредственной проверкой, взяв
небольшое число независимых компонент. Для квадратов имеем
(^±Vv = ^v^±. (8.65)
Чтобы установить, что коэффициенты здесь равны именно $8±,
достаточно взять след от обеих частей равенства. Ему эквивалент-
эквивалентны соотношения
= gVLVS, (8.66)
из которых вытекает следующее уравнение для тензора F:
(8.67)
овых
м
F', F" = у [<mlj2 ± SB1!2]. (8.68)
Собственные значения представляют собой две пары одинаковых
величин с противоположными знаками ±F' и ±F", причем
Следовательно,
eF's eF"s
sin eFs } I sin eF's sin eF"s'
?l/2) — cos (е<й?У2) Im cos (e
где в последнем выражении мы вместо 36- написали просто Ш.
В итоге для частиц со спином 0 приходим к следующему резуль-
результату:
{F) =
] (8.70)
Но нам нужен только член, пропорциональный 4-й степени поля.
Поэтому проще, видимо, вернуться к функции Лагранжа (8.60)
и воспользоваться разложением определителя
det(l+Y)=l+Spy-fl[(Spn2-Sp(y2)]+... . (8.71)
10—0983

146 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Это дает
так что
сшшО: Хн-^-^ G &*
] (8-73)
К соответствующему результату для частиц со спином V2 мы
придем, подставив в подынтегральное выражение функции Лагран-
жа X следующий след по B X 4)-мерному зарядово-спиновому про-
пространству:
—^-Sp(8) exp (egaFs) = — у SpD)ch(es0F), (8.74)
где уже произведена замена is —>- s. В силу алгебраических свойств
спиновых матриц выполняется соотношение
W <*} ?g - (8.75)
Следовательно,
(oF)* = 2(-^ + y53) (8.76)
и собственные значения тензора eF таковы:
(oF)' = ± ШУ2, ± Шх1г. (8.77)
Это дает
1/ . (8.78)
так что
-fexp( —m2s)x
о
L\ ' Im cos (es^1/!!) 3l '
Чтобы найти интересующий нас член, воспользуемся разложением
Re cos {esffl1'2) = 1 — {esf^ + -i- (esL (^2— ^2) + ... . (8.80)
В итоге будем иметь
спин 1: Хй1к = ^§- -±- (А^+ 7^) =
^4 Е.НJ]. (8.81)

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. | 147
Полученные выражения для низкознергетической функции
Лагранжа имеют несколько различных применений. Ввиду того
что вопрос о сравнении с экспериментом пока не стоит на повестке
дня, мы довольствуемся оценкой общих порядков величин, опус-
опуская все численные множители (кроме я). Элемент Г-матрицы для
фотон-фотонного рассеяния получается из гИ^как коэффициент
при
В системе центра масс, где энергии всех фотонов равны V2 M,
из-за наличия четырех напряженностей поля появляется множи-
множитель G2 MY, и •
< W*ft | Т1W^j) ~ (dcoki ... <*ofe-I/2 «2 (-^ L. (8.82)
Так как рассматриваемый процесс представляет собой упругое
столкновение, отношение кинематических множителей, входя-
входящих, по определению, в дифференциальное сечение, равно
~ A/п2) A/М2), и для полного сечения получаем
я
(8.83)
Отметим как один из случаев фотон-фотонного рассеяния, что
область с макроскопическим электромагнитным полем является
средой, анизотропной для распространения фотона. Так, в слу-
случае магнитного поля с напряженностью Н отклонение характери-
характеристик распространения от единицы имеет порядок а2Н2/пг*. Квар-
тичный характер связи фотонных полей приводит также к тому,
что обобщенный фотонный источник может испустить или погло-
поглотить три реальных фотона. Такой процесс интересен тем, что он
может протекать, хотя и слабо, ниже массового порога М = 2пг
для обмена парой частиц. Весовой множитель а (М2) в выраже-
выражении C.82) для модифицированной фотонной функции распростра-
распространения имеет вид
М < 2т: а[(МЩ~ -^- ~ \ {Wf d^ (/с0"J da^y dm,,, X
Из существования этого эффекта, порог которого лежит при
М = 0, вытекает, что первоначально дальнодействующее откло-
отклонение от кулоновского взаимодействия покоящихся зарядов харак-
характеризуется не экспоненциальной, а степенной зависимостью от
расстояния:
10*

148 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА Г
И, наконец, еще одно применение общего выражения для
функции Лагранжа, скажем (8.79), относящегося к частицам со
спином V2. Оно касается области с сильным электрическим полем
Е. В предельном случае исчезающего магнитного поля (который
инвариантным образом можно охарактеризовать условиями "§ = О,
JF >0) имеем
1/2 {.Щ =
оо
= - ш J w ехР (- тЧ) [eEs cts (eEsi - * + т (eEs?] ¦ (8-86)
Правда, здесь необходимо одно замечание. Значения переменной,
обозначаемой теперь через s, первоначально лежали на положи-
положительном участке мнимой оси, а затем контур интегрирования был
деформирован так, что они стали принадлежать положительному
участку действительной оси. Следует вспомнить, что мы услови-
условились подходить к действительной оси сверху, так как на ней
имеются особые точки подынтегрального выражения
eEsn = гея, ге = 1, 2 (8.87)
Необходимая в связи с этим деформация контура вблизи указан-
указанных особых точек в верхнюю полуплоскость приводит к функции
Лагранжа X с мнимой частью, равной
о*
СПИН /2 V Зя ^ s\
71=1
ИЛИ
п=1
еЕ \2
~)
Поскольку вероятность всех процессов с сохранением вакуумного
состояния дается величиной
| exp (iW) |2 = exp (-2Im W), (8.90)
величиной 2liaX определяется вероятность рождения злектрон-
позитронной пары эа единицу времени в единице трехмерного
объема.
Такой процесс интересен лишь с принципиальной точки зре-
зрения, ибо никакое конечное число столкновений (в смысле схемы
рассеяния) со статическим электрическим полем не может дать
энергию, требующуюся для рождения частиц.

§ 9. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ II. | 149
§ 9. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ И.РАССЕЯНИЕ ВПЕРЕД
В предыдущем параграфе мы получили пространственно-времен-
пространственно-временные выражения для связей с участием только электромагнитного
поля, а также применили эти выражения для конкретных расче-
расчетов в частном случае медленно меняющихся полей. Но в более
общих случаях обычно удобнее рассматривать подходящую при-
причинную последовательность источников и затем проводить про-
пространственно-временную экстраполяцию. Тут мы видим, что тео-
теория источников оказывается весьма гибкой. Она не обязывает
придерживаться какого-то одного способа расчета и позволяет
свободно выбирать наиболее удобный из них. Больше того, именно
сочетание и синтез разнообразных вычислительных схем, наи-
наиболее подходящих к тем или иным конкретным условиям, и со-
составляет суть общего метода расчета теории источников.
Рассмотрим случай, когда два сталкивающихся'фотона порож-
порождают пару частиц, а затем детектируются два фотона, испущенных
при последующей аннигиляции этих частиц. Для частиц со спи-
спином 0 мы можем использовать связь (8.33), подставив туда
А=Аг+Ал (9.1)
и оставив только члены вида Л1Л1Л2Л2, которые описывают рож-
рождение или аннигиляцию частиц, обусловленную совместным дей-
действием двух простых фотонных источников, а не отдельными обоб-
обобщенными фотонными источниками. Соответствующая вакуумная
амплитуда имеет вид
i-Sp [(toqpAiAJeqpAi — (eqA.f) A+BegpA2A+2egpA.2- (egA2Y) A+],
(9.2)
где мы для упрощения записи заменили рА + Ар на 2рА, что
отвечает выбору лоренцевской калибровки. Здесь мы видим отдель-
отдельные множители, соответствующие эффективным двухчастичным
источникам, которые описывают двукратное воздействие электро-
электромагнитного поля. Именно из этого причинного выражения можно
было бы исходить при выводе вакуумной амплитуды (8.33). Под-
Подставив, в выражение (9.2) причинные разложения полей
А? (х) = 2 Шм (doftl)V2 e&i exP (~ *М).
2 (<2coh2I/2 ejka,, exp (ik2x) iJhiX2, (9.3)
а также причинные выражения для функции распространения
Д+, мы придем к следующей вакуумной амплитуде:
— 2 iJi&iiJh'viJbzkJ-Jh'b- (riffle • • • dxok-I^ x
X BяL б (/с, + к[ - к2 - к'2) еЧми ... ЧК, (9.4)

/= 1 йил d(oP'BяL 6 (p + p'~ k2 — k'2) X
Г о e'lP'eiP 2 eiP'e{p cc'
Г о ^рг2р'
L V-*2J
150 | HYIABA 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где
Х
Здесь использованы упрощенные обозначения, а векторы поляри-
поляризации выбраны действительными. Основываясь на кинематических
свойствах импульсов, приведем зту величину к виду
/= j dcop day BлL 8(р+р' —К-к'2) X
L phi pki ' 4J L p'k2 ' ¦ p'fe^ , 2 2J v ;
В дальнейшем полученные формулы будут применяться только
для вывода связи, которая описывает рассеяние фотонов вперед
(и назад). Если мы рассматриваем систему покоя полного импуль-
импульса, то для такого процесса имеется лишь одно выделенное направ-
направление, совпадающее с направлением движения фотонов. В нашем
случае все они распространяются вдоль одной прямой, ибо их
импульсы связаны соотношениями
k1 = -k;=k2 = -k;, k=K^K=4[-jM. (9.7)
Выберем калибровку, в которой у векторов поляризации имеются
только пространственные составляющие. Все они перпендику-
перпендикулярны общему направлению движения фотонов. В формулу (9;6)
входят интегралы по переменной г, являющейся косинусом угла
между импульсом р = — р' и выделенным направлением, и по
углу в плоскости, перпендикулярной этому направлению. Сред-
Средние значения, возникающие при вычислении второго интеграла,
даются формулами
i[D2] (9-8)
(9.9)
С учетом этих выражений получим
1/2Г , , .
Laei-e.<ve2+
] (9.10)

9. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ II. | 151
где
=-1
i—v
(9.11)
•-{•-¦?)'
(9.12)
Результаты интегрирования мы выразили через переменную
(9.13)
Чтобы подчеркнуть причинный характер рассматриваемого
явления, напишем
BяL
= j BnL
= - i j -^ (
Bя)* б(Лг—Аг2—к',) =
') exp [ - i (A, + k\) x\ x
(9.14)
где в явном виде представлена зависимость от координат отдель-
отдельных напряженностей поля и функции распространения, устанав-
устанавливающей причинную связь между двумя областями. Чтобы для
вакуумной амплитуды получить ковариантное пространственно-
временное выражение, нам нужно заменить комбинацию (9.10),
составленную из векторов поляризации, эквивалентными комби-
комбинациями из напряженностей поля. Рассмотрим сначала случай,
когда все векторы поляризации параллельны, а, стало быть, выра-
выражение (9.10) сводится к выражению
V« / , 3
Заметим, что в самом общем случае
— 2
X у
dwh[I/2 exp [ - i {ki + k[) x] x
eh[K-k, x eklM.k| X eh[K] (9.16)

152 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 1
и что при рассматриваемых теперь условиях множитель, содержа-
содержащий векторы поляризации, сводится к
_-*.*,*;=_.1. (*, + *;)*=±м*. (9.17)
Аналогичное замечание справедливо и для ,F2 (ж'). Следовательно,
в частном случае параллельных поляризаций вакуумную амплиту-
амплитуду (9.4) можно представить в форме
X .Fi (x) A+ {х-х1, М2) jF2 (х'). (9.18)
Соответствующее выражение для действия имеет вид
2J
J (
BmJ
X .F (*) Д+ (ж-ж', М2) jF (ж')- (9.19)
Если рассматривается предел слабо переменных полей, в котором
масштаб длины задается величиной 1/2т, то в формуле (9.19)
величину jF {x') можно заменить величиной .F (ж), ив резуль-
результате возникает интеграл
Тогда член действия можно будет представить функцией Лагран-
жа, которая равна
BтJ
1
= jdw?(l-^)(a + -|b)-^-[^(a:)]z. (9.21)
о
Поскольку
1 1
j dw2 A -у2) a =-g-, j dw2 A -v2) b = -1-, (9.22)
о о
коэффициент при (aVm4)^2 оказывается равным 7/90 в согласии
с соответствующей частью функции Лагранжа, фигурирующей
в формуле (8.73). Заметим, что исходное требование рассматри-
рассматривать лишь случай рассеяния вперед, которое фактически пред-
представляет собой условие, накладываемое на импульс, переда-
передаваемый в процессе столкновения, в данном пределе малых импуль-
импульсов перестает быть ограничением на угол рассеяния.

§ 9 РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА CBETEJII. I 153
Выбрав параллелыше^поляризации, мы получаем один из
примеров, когда векторы поляризации фотонов не меняются в про-
процессе рассеяния. Другой пример такого рода дают нам перпенди-
перпендикулярные поляризации начальных фотонов и конечных фотонов:
В этом случае величина (9.10) равна
*. 4т2 \Уг 1
Q o/
(9'24)
а соответствующая ей комбинация полей имеет вид
= — 2 iJtiuiJbfc (dc°fti d^fh exp [ — i fa + k[) x] x
X - [k4ehtXl'k[ x e^ + К'е^-К Х еш]. (9.25)
Фигурирующий здесь множитель общего вида, который составлен
из векторов поляризации, при рассматриваемых условиях сво-
сводится к
±Mki.eixe'i = ±~M\ (9.26)
где знаки ± определяются конкретной ориентацией взаимно^пер-
пендикулярных4векторов ех и е[. Но, поскольку векторы поляри-
поляризации не изменяются в процессе рассеяния, тот же самый знак
войдет и в &2 (х'). Поэтому в данном случае вакуумная амплитуда
(9.4) оказывается равной
to» j dM* (l-^I/2^|b (M2) J (dx) (dx') X
X Si {x) A+ {x-xr, Mz)^2 (xr), (9.27)
а соответствующее выражение для действия имеет вид
(9.28)
В пределе слабо переменных полей возникает член с функцией
Лагранжа
(9.29)
BтJ
1

154 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
также согласующийся с соответствующим слагаемым в выражении
(8.73).
Теперь, когда путем исследования частных ориентации векто-
векторов поляризации установлена связь с результатами предельного
случая низких частот, что можно сказать об общей комбинации
векторов поляризации, фигурирующей в формуле (9.10)? Слагае-
Слагаемое с коэффициентом а весьма просто представляется в калибро-
вочно-инвариантной форме, так как множитель в произведении
•fi (x)-^2 (х')> составленный из векторов поляризации, равен
;. (9.30)
Более же сложную комбинацию с коэффициентом Ъ в общем слу-
случае не удается выразить через произведения двух скаляров
&\ (х)-?'ч (х') и &i (х) &2 (х>)- Приходится использовать также
и тензор
F2 (xfv = F^ (х) Fav (х). (9.31)
Далее,
FJ (*Г F\ (x%v = 2 iJUtiJti4iJk*jJhM X
х
где с точностью до компенсирующихся множителей ± i
(/)^v = Fev-A'v^. (У.ЗЗ)
Проводя вычисления в системе центра масс и ограничиваясь рас-
рассеянием вперед, мы на самом деле для поляризационного фактора,
входящего в формулу (9.32), получим
M^eejee^ + eeele^ee^-ea). (9.34)
Как мы уже видели, в двух случаях, в которых поляризация не
изменяется, тензорную комбинацию можно заменить скалярами:
(х) <f2 (x') (параллельн.),
{6#\ (х) <f2 (x') (параллельн.),
2#, (х) Уг (х') (перпендикулярн.). [ '
Тогда искомый дополнительный член дается разностью
F\ (xfv F\ (x'Vv- 6^, (x) .Г 2 (*') -2?, (x) $2 (x'). (9.36)
Казалось бы, мы должны добавить выражение, получаемое путем
пространственно-временной экстраполяции этой связи, к уже
известным нам выражениям, задаваемым формулами (9.19) и (9.28).
Но тогда изменится статическое взаимодействие. Это вытекает
из того, что если х' положить равным х, то величина (9.36),

§ 9. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ II. | 155
записанная в унифицированной форме, не будет равняться нулю:
- 6.F2- 2?2 = 2 (^ + $z) ф 0. (9.37)
Надлежащая процедура должна быть совершенно очевидной.
Статическое взаимодействие дает условие нормировки для более
общих расчетов. Чтобы избежать изменений в уже полученных
правильных результатах, пространственно-временную экстрапо-
поляцию вклада, содержащего разность (9.36), следует проводить
с дополнительным контактным членом. Его роль состоит в том,
чтобы исключить этот вклад при низких частотах. Возьмем
Л+(*-х', М*)--±гЩх-х') = -±г&Ь+{х-Я>*М*). (9.38)
Получаемое таким способом полное выражение для действия,
записанное в импульсном пространстве, имеет вид
W -4а*
Г ш% It
J
J
BтJ
X [Bа + 36) (М2) ,?г( — к)&(к) + Ъ (Mz) $ (— ft) У (к) —
] (9.39)
или, в иной форме,
J (M*)*\ Ж2 ) J Bя)* А2 + Л/2 — ге Х
BmJ
X [2а (М2) ^г (— ft) ^ (А) + 4- Ь (М2) F2 (— /с)^ F2 (к)^'\. (9.40)
Тензорную комбинацию можно переписать также как
- *) ^ (й) + 4- (F^F^) (- ft) (*¦„»/»„) (A;) +
F^) (к). (9.41)
Тогда соответствующий член в формуле (9.39) примет вид
(- к) (Fk^v) (ft) - 2^" (- ft) jr. (ft) +
ft) (Fxx*^v) (к) -23{-к)$ (к). (9.42)

156 | (ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Подчеркнем, что наличие в формуле (9.39) дополнительного
сомножителя —к2/М2 не обязательно с точки зрения существова-
существования спектрального интеграла. Его наличие диктуется исключитель-
исключительно условием нормировки, накладываемым при низких частотах.
В случае заряженных частиц со спином 1/2 все подобные явле-
явления фотон-фбтонного рассеяния можно исследовать с применением
одного из двух методов расчета. Первый из них исходит из выра-
выражения (8.6) для вакуумной амплитуды, а второй основывается
на сходстве связей в случаях спина 0 и спина V2. Из сравнения
(8.36) и (8.43) можно заключить, что после подстановки П2 ->
-> П2 — eqoF и добавления множителя —V2 величина W (у4)СПин о
переходит в W (^4)спин1/2- При этом считается, что след берется
также и по спинорным индексам. Второй метод более экономен,
так как большая часть вычислений оказывается одинаковой при
обоих значениях спина. Вакуумная амплитуда, получаемая таким
способом из выражения (9.2), отвечающего спину 0, равна
—i Sp [(eg BрА, + oFJ A+eq BpAl + oF{)~ (eqAtf) A+ X
X (eqBpA2 + 0F2)A+eqBpA2-t- oF2)— {eqA2f) A+]. (9.43)
Вычисление ее спиновой части упрощается, если написать
oF = о- Н + 75<ьЕ= -(ysd0+io.V)o-A, (9.44)
где использованы формулы для напряженностей поля в радиа-
радиационной калибровке, вдали от источников. Если сохранить для
вакуумной амплитуды представление (9.4), то соответствующее
выражение для /спин*/» мы получим, введя спинорный оператор
—V2Sp и осуществив следующие подстановки:
erp->erp— jM(iy6 + о.п) о.еи
—e'rp'-+—e'rv' — -T-M(iys — o.n)o.e't,
! . (9.45)
е2 • р->- е2• р + -?• М(iy5 + ст»п) ст-е2,
—е2*Р'
> — е2-р' + хм № — о-п) о-е'2,
где п — единичный^вектор, фиксирующий выделенное направле-
направление (9.7). Заметим также, что
(iy6 ±[о-п) ст-е = ст-е (tys ч= <*-п) (9.46)
и
(«Ye ±. ° -пJ = 2 A ±[1уъо -п).\ (9.47)

§ 9. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ II. | 157
Входящие сюда следы по спиновым индексам таковы:
^Spa.ea-e' = e-e', (9.48)
— SpCT.eo-e'o.e"o-e'" = e-e'e"-e'" —e-e"e'.e'" + e-e'"e'.e". (9.49)
Последний из них можно получить, приводя произведения матриц
а или последовательно переставляя по одному множителю под
знаком следа слева направо. В результате таких выкладок будем
иметь
г __ ог | * / л 4m2 \V2
-* СПИН 1/2 -^ СПИН О "Т ~g^"" I * Hf2 j X
X[c(ere[e2-e'2— ei-e'2ere2-}-ei.e2e're2)+2d(ere'2ere2 — e^e^.e;)],
(9.50)
где
i
c(Mz)= [dz , 122 =±lnp^-,
V ' J 1—V2Z2 V 1— V '
, "' (9-51)
-1
Отметим также, что
l
[ dvvz(l — v2)c = ~. (9.52)
J 3
Jo
Это единственный интеграл, который требуется при анализе
низкочастотных пределов в случаях параллельных и перпендику-
перпендикулярных поляризаций, не изменяющихся в процессе рассеяния.
При этом множители, входящие в формулы (9.21) и (9.29), заме-
заменяются следующим образом:
о
1 1
J
1
-2 J <Ws(l-w»)(a + yb)+ j dvv2(i-v2)c, (9.53)
о
1 1 1
1 f -' °" "" Р ' "" "" ¦ j dvv2(i-v2)c,
о

158 [ ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
так что соответствующие численные значения оказываются рав-
равными
7 7 1 4
•^ - 90 45 "•" 3 ~ Х 45 '
tt _l _JL^1_9V^ (9'54)
^ • 90 "^ 45 + 3 Х 45 '
Они действительно совнадают с коэффициентами в формуле (8.81).
Чтобы провести пространственно-временную экстраполяцию
в случае произвольной ориентации векторов поляризации, пере-
перепишем две векторные комбинации, фигурирующие в формуле
(9.50), следующим образом:
е, • eje2 • е2 — ej • е'2е[ • е2
= e1.e;e2-e2 + (e1xe;)-(e2xej),
а—ei-ele2-ej)= (9.55)
= (е? • е|е2 • е2 -f e4 • e2ej • е2-f e 4• е'2е[ • е2) — Зе4 • е[е 2 • е'2—
— (е,хе;).(е2хе;),
В первой из них можно узнать поляризационный фактор, входя-
входящий в выражение S'l (х) $Р\ (х>) + ^i (ж) ^2 СО» а вторая соот-
соответствует разности (9.36). Эта последняя не дает вкладов ни в од-
одном из случаев рассеяния без изменения поляризации, и при ее
пространственно-временной экстраполяции необходимо ввести кон-
контактный член, который исключает из данной связи вклад низких
частот. Результат таков:
пш i / 9 F dM* Ia 1ит? \1/2
, спин 1/2 =— 2ИК04,спин0 + 4а2 j Щг}Ц1 Jjr) X
BmJ
х
-d (Ж2)-^r(F\-kfvF*(ft)^-6JF(- к)& (к) -2&{-к)$(к))'].
(9.56)
Его можно представить и в иной форме:
W(L, спин 1/2 = 2W(L, спин 0 +
Г
B)
.
V» Г (dk)
J (
BтJ
X [2с (М2) (.F (- *) F (к) + 8 (- *) 8 (к)) +
+ d (М*) (Я (- kf" F2 (ftVv - 6.F (- A) .F (к) -23 {-к) 8 (к))].
(9.57)

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА CBETEIII1, | 159
§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III.
ДВОЙНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Мы подошли, наконец, к общему случаю фотон-фотонного рассея-
рассеяния. Чтобы получить требуемую связь, рассмотрим следующую
причинную последовательность. Обобщенный фотонный источ-
источник /2 испускает пару заряженных частиц. Каждая из них неза-
независимо от другой отклоняется обобщенными фотонными источни-
источниками /а и /ь, порождающими пространственно-подобные импуль-
импульсы, а в конце две эти частицы детектируются обобщенным фотон-
фотонным источником Jv Поля, ассоциируемые с четырьмя источни-
источниками, не перекрываются, причем в причинной последовательно-
последовательности поле А а -±-Аь лежит между Ах и А2. Соответственно этому
вакуумная амплитуда для частиц со спином 0, получаемая из
(8.33), имеет вид
-i-Sp [2eqpAiA+2eqpAa&+2eqpAb&+2eqpA2AJr] +(а*+6). A0.1)
Здесь мы приняли во внимание, что каждый-из полевых сомножи-
сомножителей, скажем Аг, можно поместить в четыре эквивалентных поло-
положения. Согласно нашей причинной последовательности, множи-
множители Аа и Аъ должны находиться между Ах и А2. Характерная
особенность такого причинного расположения состоит в том, что
все четыре функции распространения описывают реальные
частицы. Поля четырех обобщенных источников мы будем запи-
записывать в виде
а вакуумную амплитуду для рассматриваемого процесса предста-
представим как
Фигурирующий здесь скалярный интеграл / обладает следующей
структурой:
4
Это связано, во-первых, с тем, что имеется четыре инвариантные
меры в импульсных пространствах, по числу реальных частиц.
Во-вторых, должны входить четыре векторных потенциала, кото-
которые описывают действие отвечающих им источников. И, в-третьих,
возникают три дельта-функции, что обусловлено сохранением
импульса при соответствующих взаимодействиях [четвертая дель-
дельта-функция подобного типа уже включена в формулу A0.3)].
Удобнее заменить трехмерные меры в импульсном пространстве

160 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
четырехмерными:
а затем, используя дельта-функции, исключить все импульсы
частиц, кроме одного. Выбор последнего произволен. Возникаю-
щие~при этом возможности видны из выражения
х Bр + ка~кь) Ai (Aj)Bр+ к, + ка) Аа (ка) BР-к3—кь) Аь{кь) X
(к2) + (а^Ь). A0.6)
Переменная р здесь не является импульсом какой-то частицы;
настоящие импульсы частиц входят во всевозможные дельта-функ-
дельта-функции. Каждый векторный потенциал умножен на сумму импульсов
двух соответствующих частиц с надлежащими знаками заряда.
Благодаря этому снимается ограничение на векторные потенциалы,
накладываемое на них выбором определенной калибровки, позво-
позволяющей заменить комбинацию рА + Ар величиной 2рА.
Четыре дельта-функции, фигурирующие в формуле A0.6),
можно записать также в виде
A0.7)
Они накладывают на р четыре условия, которыми этот вектор
определяется (почти) однозначно. Наличие первого сомножителя
в*A0.7) ведет к тому, что в системе покоя времениподобного векто-
вектора к2, в которой к\ = М2, мы имеем р° = 0 . Второй из них фикси-
фиксирует абсолютную величину импульса р:
|рр = 1м22-^. (Ю.8)
Две оставшиеся дельта-функции дают проекции р на направле-
направления векторов ка и кь, определяющих некоторую плоскость. Абсо-
Абсолютную величину (но не знак) компоненты р, перпендикулярной
этой плоскости, можно найти из равенства A0.8). Если она не
является^действительной, то интеграл оказывается равным нулю.
Итак, с точностью до знака вектор р определяется единственным
образом. Поэтому весь процесс вычисления величины A0.6)
сводится к интегрированию произведения дельта-функций. Этот
инвариантный интеграл легко взять, выбрав систему координат
так, чтобы векторы ка и кь лежали в плоскости ху, а вектор ка

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III. | 161
был направлен вдоль оси х:
L^. (Ю.9)
p
Перепишем этот результат так, чтобы не было никаких указаний
на систему координат:
Т°=ТТ=1^> A0Л°)
где
(_ ЛI/2 = | e^^kV |• (Ю. 11)
Введя величину (—ЛI/2, мы предусмотрели возможность пред-
представления определителя, входящего в формулу A0.11), в явно
инвариантной форме (в виде определителя Грама), для чего
достаточно возвести его в квадрат и воспользоваться свойством
мультипликативности. Правда, здесь имеется одно опасное место,
связанное с индефинитностью метрики Минковского, но эту труд-
трудность можно преодолеть, записав все векторы в евклидовой форме
(F4 = iV°). Поскольку тогда в определитель A0.11) явным обра-
образом вводится множитель i, мы заключаем, что
(к2, k%ka, fc2kb, k2p\
: : : : I. A0.12)
pk2l pka, pkb, p2 I
Ниоткуда не следует, однако, что эта формула дает нам самый
простой способ построения величины А.
Общее выражение для вектора р, удовлетворяющего условию
к2р = 0, таково:
Последнее слагаемое здесь дает нам ковариантную запись компо-
компоненты pz. Умножив обе части равенства A0.13) на векторы ка
и кь, получим уравнения
1 (hi 4 1*\ ( к2 (*g*°J \ L h I h h kikakikb \
A0.14)
е*\ —
)
которыми определяются коэффициенты а и Ъ. Чтобы найти с,
возведем обе части равенства A0.13) в квадрат. При этом возник-
возникнет комбинация
;1), A0.15)
11—0983

162 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
а также
) {.Ч^.'%-кХкък\') = - k\D, A0.16)
где D — определитель, составленный из коэффициентов системы
уравнений A0.14):
= к&1 - (какъ)г - -ц [к* (к2кьJ + Н (кгкаJ - 2какък2какгкъ]. A0.17)
Условие pi >0, при котором интеграл /0 отличен от нуля, при-
принимает вид
-klDc2 = ja(k2ka+k2a)-±b(k2kb + kl)-m*-±kl>0 A0.18)
(для краткости мы оставили его в нераскрытой форме). Еще
один полезный результат можно получить, умножив обе части
равенства A0.13) на р^. Он воспроизводит выражение, возникаю-
возникающее при возведении A0.13) в квадрат, с той разницей, что член
с с2 заменяется членом, линейным по с. Сравнивая их, приходим
к соотношению [которое содержится также и в формуле A0.9)]
-А = {k\Dcf = (-ВД (—klDc2). A0.19)
Последняя комбинация включает величины A0.16) и A0.18)
и дает нам другой способ вычисления А.
В рассматриваемой причинной последовательности имеются
только обобщенные фотонные источники, причем импульсы кх
и к% являются времениподобными, а ка и кь — пространственно-
подобными. Теперь, когда установлен вид соответствующей связи,
мы экстраполируем ее на весьма интересный случай, когда к\ —
= ка = kl = к\ = 0. Проиллюстрируем рассмотренные выше ал-
алгебраические соотношения с учетом тех кинематических упро-
упрощений, которые свойственны реальным фотонам. В качестве двух
переменных, необходимых при анализе фотон-фотонного рассея-
рассеяния, удобно выбрать
• Ml = - (fca + kaf -»¦ - 2кфа,
A0.20)
Ml = - (kt + кь)*-*-— Zkjcb,
где вторая форма записи отвечает случаю реальных фотонов.
При этом условии получаем
- k\D ->-1МЖ Щ1 + Ml),
l Ml i Ml (Ю.21)
l
2

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III. | 163
0, A0.22)
A0.23)
где мы воспользовались равенством
*; = - (к + h+ k2f
из которого можно заключить, что
2какь -»- Ml + Ml
Критерий положительности A0.18) теперь принимает вид
>т2,
а из A0.19) получаем
A0.24)
A0.25)
о
Конечно, к тому же результату можно прийти, исходя из опреде-
определителя A0.12),
1 2 1
jMa —-?
1WI n 1 fMi
A0.26)
0 ' "
= det
2 '
0
0
— m2
но выкладки при этом оказываются более громоздкими. Если
ввести переменные
Ua.b=i
М
а, Ъ
A0.27)
которые изменяются от 0 до 1, то неравенство A0.24) примет вид
иа + иь >1, A0.28)
а выражение для А будет таким:
А = D^У ""+ЛГ* . A0.29)
Комбинации импульсов, входящие в формулу A0.20),
Ка = К + ка = - (Лх + Ль),
кь = К + К = - (*i + К),
A0.30)
соответствуют двум разным способам рассмотрения причинной
связи между источниками через двухчастичные обмены (Ма,ь >
> 2т). Источники /2 + Jа обмениваются парой реальных частиц
с источниками /!+/&, а /2 + Jъ обмениваются парой частиц
И*

164 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
с J1 -f- Ja. Введем эти импульсы Ка и Кь явным образом, вклю-
включив единичный множитель
1 = j (dKa)(dKb) 8(Ka-h-ka) 6(Кь-h-h) =
x
X exp [i(?b — A«-*«,)&]• (W.31)
Объединив его с дельта-функцией полного импульса,
BяL б (ki + ka + h + k2)=] (dx) exp li(ki + ka+h + h) х\, A0.32)
получим
С dMl dMl
= \ (fc) (d\a) (dlb) -^- -^- скаа d(ab exp (iKa\a) exp (i^bgb) x
X exp (ikix) exp [ika (x— ga)] exp [i7c& (x — %b)] exp [iA2 (ж—10 —1ь)]-
A0.33)
Причинный характер этой формы становится очевидным из рас-
рассмотрения выражения
dMl dMl
С dMl dMl с
= - ] -ъС-ъГ ) (dx) (dla) (dib) А, (х) Аа (x-la) X
X Аь(х — \ь)Аг(х—la — 1ь) yt\ dcoaexp(i#aEa)l ]J \
A0.34)
В соответствии с причинной упорядоченностью полей векторы
Ъ,а и \ъ времениподобны, а их временные компоненты положитель-
положительны. Мы видим, что в A0.34) входят причинные выражения для
функций распространения
А (I к М2 Л - [ {dk) exp ('fcg«'ь) -
bla.b), й,ь>0. (Ю.35)
Здесь еще остается учесть другие детали, в том числе вопросы
калибровочной инвариантности и контактных членов, но получен-
полученный результат составляет основу для процедуры пространственно-
временной экстраполяции. Чтобы представить его в более удоб-
удобном виде, вернемся к четырехмерному импульсному пространству
и запишем выражение, получаемое путем пространственно-вре-

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III. | 165
меннбй экстраполяции амплитуды A0.34), в виде двойной спек-
спектральной формы
-J
2я 2я
Очень полезно применить полученные нами сведения к упро-
упрощенной задаче для скалярного поля и сравнить некаузальный
расчет связи, аналогичной A0.1), с вычислениями, основанными
на двойной спектральной форме. Соответствующие выкладки
будут проделаны только в пределе, когда импульсы всех фотонов
стремятся к нулю. Термин «некаузальный расчет» относится к не-
непосредственному использованию функции распространения в ее
четырехмерной записи в отличие от каузального метода вычисле-
вычислений, приводящего к двойной спектральной форме. Двум этим
альтернативам отвечают левая и правая части равенства
f_№)__J Г Ша ШЬ 111 1 г10о7ч
J BпL (p* + m2 —fe)*~ J 2я 2я М\ М% 8 (-ДI^ " ^ '
Левую часть можно вычислить разными способами. Во-первых,
ее можно преобразовать к евклидовой метрике (р0 — ф4), а
затем выполнить однократное интегрирование по радиальной
составляющей импульса и учесть, что площадь поверхности еди-
единичной сферы в четырехмерном пространстве равна 2я2. В итоге
получим
uu
J (p2
6m* '
Можно поступить иначе, основываясь на представлении типа
(8.34) и используя его здесь в форме
]. A0.39)
о
Применяя затем формулу (8.57), будем иметь
оо
If 11
"тг \ ass ехр ( — tsTTt ):== i ~r-i———^—j-1
о J Ditl* bfft
0
A0.40)
Если обратиться к правой части равенства A0.37), то выяснится
один важный аспект экстраполяционной процедуры. В случае
причинной последовательности, приводящей к интегралу A0.9),
A0.10), величина А обязательно отрицательна. Но, как видно

166 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
из формулы A0.25), после экстраполяции на случай реальных
фотонов эта величина становится положительной. Возникает
вопрос, какой квадратный корень из —1 следует выбрать, вы-
вычисляя (—АI/2. Сравнение двух частей равенства A0.37) пока-
показывает, что
Эта проверка будет завершена, если мы убедимся в численном
совпадении правой й левой частей равенства A0.37). В обозна-
обозначениях A0.27) нам следует установить, что
duadub 1
8 J {иа + иь — 1) /з 6 ч '
где иа и иь пробегают значения в интервале от 0 до 1 и удовле-
удовлетворяют условию положительности A0.28), которое здесь содер-
содержится в знаменателе интеграла. Проводя последовательные инте-
интегрирования, получим
-j- j duad (и. + щ- \)Уг = -L j duau4z = -i-, A0.43)
что и требовалось доказать.
Теперь нам нужно перейти к векторным потенциалам, входя-
входящим в качестве сомножителей в выражение A0.6), и попытаться
записать это выражение в такой форме, в которой калибровочная
инвариантность выступала бы в явном виде. При причинном рас-
расположении источников это условие выполняется, но необходимо,
чтобы оно сохранялась и после пространственно-временной эк-
экстраполяции. Поскольку фотон-фотонное рассеяние интересует
нас лишь методологически, мы будем избегать сложностей, связан-
связанных с произвольными поляризациями. Их преодоление вознаграж-
вознаграждается в весьма малой степени, а потому рассмотрим лишь про-
простейший случай, когда все векторы поляризации параллельны
друг другу и перпендикулярны плоскости рассеяния. В такой
ситуации вторая группа сомножителей в формуле A0.6), вклю-
включающая векторные потенциалы, принимает вид
4 / MIMl \2
1 а
Входящие сюда функции представляют собой единственные отлич-
отличные от нуля компоненты векторов, а именно компоненты, перпен-
перпендикулярные плоскости рассеяния. Чтобы ввести напряженности
поля, рассмотрим произведение
Р* (к) Fxv {к') = [ik»Ax (к) — ikxA» (к)] [iki.Av (к') — ik'vA% {к')] =
= кк'А» (к) А1 (к') + k4'vA (к) А (к'), A0.45)

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III. | 167
где мы положим к'А (к) и кА (к') равными нулю, что соответствует
случаю, когда пространственные составляющие векторов поля-
поляризации перпендикулярны плоскости рассеяния. Один из спосо-
способов использования этого соотношения для представления произ-
произведения четырех векторных потенциалов в виде калибровочно-
инвариантного выражения состоит в том, что мы записываем
(F (к) F (к')) (F (к") F (к)) =
= (кк1) (к"к"') А (к) А (к') А (к") А (Г), A0.46)
где введено обозначение
(F (к) F (к')) = \F»v (к) /v (к'). A0.47)
В зависимости от того, как спариваются напряженности поля,
одно и то же произведение четырех однокомпонентных потенциа-
потенциалов допускает разные калибровочно-инвариантные интерпрета-
интерпретации. Вот соответствующие примеры:
\mimi
При исходном причинном расположении источников все эти пред-
представления совпадают, но после пространственно-временной экс-
экстраполяции они оказываются неодинаковыми. Три комбинации
полей, фигурирующие в формуле A0.48), всегда могут быть пред-
представлены в виде произведения Ах . . . Аг, взятого с импульс-
импульсным множителем, равным в этих трех случаях
Г №а+Ы2]2 Г (fc2+feaJT я Г (*»+Ц'1 Г (fe2+fcbJ1
L mi J ' L mi J и L mi JL м% у
A0.49)
Применительно к двойной спектральной форме A0.36) все эти
возможные варианты различаются простыми спектральными фор-
формами, примером чему служит соотношение
2 к2 А'2
\ М2
М* М'2
[11 1 1 "I
~W k'2 + M'2 W2 к* + м* }' (Ю.50)
к2
M2 [la*
Элемент произвола, возникающий при формулировке калибро-
калибровочной инвариантности, указывает на возможное присутствие
дополнительных простых спектральных форм, а значит, требуется

168 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
некоторая добавочная физическая информация. Такую информа-
информацию мы почерпнем из простой спектральной формы, соответствую-
соответствующей рассеянию вперед, которая была получена в предыдущем
параграфе.
Собрав воедино имеющиеся у нас на данный момент резуль-
результаты, мы можем выражение для действия записать следующим
образом:
^ = «г(||... |§- Bя)* 8(к+...+к'")А(к) ...А (к'") х
X
U mi
^2 m ,Л^ №'
*")']' 1
+M2-J6 J'
где
спин 0: ф2 (Ml Ml) = -±? ( щ+Щ
Мы предпочли воспользоваться наиболее симметричным из кали-
бровочно-инвариантных представлений A0.48) и A0.49). Видно
также, что благодаря симметрии по к', к" я симметриям, вытекаю-
вытекающим из равенств
(к' + к"'J = (к + А:"J, (к" + ГJ = (к + к')\ A0.53)
описание исходного причинного процесса содержится в восьми
эквивалентных членах A0.51). Однократный спектральный инте-
интеграл с неизвестной еще весовой функцией срх (ЛР) по своей струк-
структуре совпадает с выражением (9.19), если записать последнее
в импульсных переменных и заменить в нем напряженности поля
векторными потенциалами согласно равенству
(F(k)F(k'))= —^{к+к'JА(к)А{к'). A0.54)
Импульсы четырех фотонов удовлетворяют соотношению
(к + к"'J + (к' + к"'J + (к" + к"'J = 0. A0.55)
В случае рассеяния вперед одна из этих трех комбинаций обра-
обращается в нуль, а две другие равны по величине, но противополож-
противоположны по знаку. Это приводит к следующей эффективной подста-
подстановке:
A0.56)

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III. | 169
в справедливости которой можно убедиться, если сравнить три
члена, которые получаются путем симметризации входящих сюда
величин по к, к', к", используя при этом симметрию ср2 по М\
и М%. Отождествляя получающуюся простую спектральную форму
с (9.19), получаем
±-V + ^v(l-v) + ±.(l-v) [4(l-")-l] lnT=f • A0-57>
После соответствующего интегрирования будем иметь (u = v%)
спин 0: ф1(М2) = -|-у+A —у2)Bу—ln-iij-). A0.58)
Тем самым полностью определяются спектральные формы, фигу-
фигурирующие в формуле A0.51).
Чтобы прийти к соответствующим результатам для частиц со
спином V2, нам достаточно произвести подстановку
4
Д 2РА -*:"—|-Sp \{2РА, + aFt) BрАа + eFa) x
1
X BpAt + aFJ BpAb+oFb)h A0.59)
Порядок перемножения здесь [формула A0.1)] соответствует
причинной последовательности. Для правой части соотношения
A0.59) имеем
-2lBpx?Ai ...A2 + BPz)^Ti + T2], A0.60)
где
Т, = 2 АА Т
+ AtAb (FzFa) + A^Aa (F.Ft) + АЛ (FaFb) +AaAb (FtFJ A0.61)
и
T2 = 1. Sp loFtaFaaFtoFb) =
= (FtFa) (F2Fb) + (FtFb) (F2Fa)-(ЗД) (FaFb). A0.62)
Последнее равенство, аналогичное равенству (9.49), относится
к той конкретной рассматриваемой нами ситуации, когда все элек-
электрические поля перпендикулярны магнитным полям. В условиях
причинной упорядоченности величина Тх дается выражением
Ti = ~ [(*а + КJ + (Ла + hJ + (ка + кьу] Ах . . . А, = 0,
A0.63)

170 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
тогда как
= —\-MlMUt. ... Аг. A0.64)
Соответственно этому весовой множитель двойной спектральной
формы можно получить из весового множителя, отвечающего
частицам со спином 0, путем подстановки
B^гL -*¦ - 2 Bр2L + МШь, A0.65)
так что
спин i- : ф2 {Ml, М1) = -~(и" + иь~ 1)~1Ы -
Чтобы закончить анализ, нужно воспользоваться информа-
информацией, соответствующей случаю рассеяния вперед. Метод такой
же, как и при выводе соотношения A0.57), но удобнее применять
его к комбинациям
Ф; (М2) = ф1 (М2)сп„н i/2 + 2ф1 (Л/2)спи„ о, (Ю.67)
Ч>; {Ml Ml) = ф2 {Ml, М1)сяяи i/2 + 2ф2 {Ml, Ml)caiIH о =
л к аналогичной комбинации амплитуд рассеяния вперед [ср.
¦с подстановками (9.53I
= 41п4Й-- (Ю.68)
Проводя интегрирование
мы получим
9;(M*) = lni±f, A0.70)
а следовательно,
спин i-: ф1(М2) = у+C-21;2Iп(|^--21;). A0.71)
В реальном случае фотон-фотонного рассеяния в системе
центра масс с полной энергией М и углом рассеяния 0 три ком-
комбинации импульсов, которые входят в соотношение A0.55), будут

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. I 171
такими:
-Л/2,
Элемент Т-матрицы имеет вид
A0.72)
A0.73)
где
М2 sin2 4-
— Л/2 — ie
sin2 4- + М2
Л/2 cos2 4-
Л/2 sin2 4-
М2 cos2 4-
е
М4 Sill4 -g-
Л/'2 —М2 —ie
M* COS* -я-
так что для дифференциального сечения получаем
Jl_^ Li/12
/JO тт2 М2 I * I *
A0.74)
A0.75)
Относительно деталей углового распределения мы заметим лишь,
что при низких энергиях (М <^ пг) амплитуда рассеяния t про-
пропорциональна величине
+sin4 4-+cos4 4-=4- C+cos2 e).
A0.76)
а при высоких энергиях (М ^> ш) зависимость от угла рассеяния
носит логарифмический характер.
| 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИЗ
Как-то мимоходом уже упоминалось о сдвигах энергетических
уровней связанных систем. Даше была приведена одна явная
формула D.84), но точный смысл энергии возбуждения атома
в ней остался нераскрытым. В противоположность рассеянию
(§4), которое представляет интерес главным образом при высо-
высоких энергиях, достижимых экспериментально, в проблеме энерге-

172 [ ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
тических сдвигов определяющую роль играют низкие энергии,
характеризующие связанные системы. В соответствии с этим мы
начнем исследование энергетических сдвигов //-частиц с нереляти-
вистского анализа.
Раньше часто рассматривались нерелятивистские пределы для
релятивистских динамических расчетов. На этот раз мы будем
оперировать непосредственно с нерелятивистской динамикой,
хотя и используя при этом без пространного объяснения методы,
которые уже получили свое общее пространственно-временное
описание. В нерелятивистском случае, которому отвечает запись
энергии в виде
причинные выражения для функции распространения А+ (х — х')
будут (х° = t) такими:
п, д . ,. ехр [ — im (zo — xf>')
X
X j -^|rexp{j[p.(r-/)-r(p)(f-i')]}, A1.2)
А+(х-х)ж1
X |Щ{[(')
х
Чтобы перейти к нерелятивистскому началу отсчета энергий, нуж-
нужно умножить величину А+ (х — х') на ехр [im (а;0 — х0')]. (Этому
эквивалентно умножение на ехр [—im (х° — ^°')]i при котором
меняются ролями частица и античастица, допускающие в нереля-
нерелятивистском пределе раздельное описание.) В пределе, когда т
сколь угодно большая энергия, мы приходим к следующему нере-
лятивистскому выражению для функции распространения:
= (
G(r—r', t — t') = lim{( — 2m)exp[im(xo — x°')]A+(x—x')} =
f<f: 0.
Эта запаздывающая функция является функцией Грина неодно-
неоднородного уравнения Шредингера
*-0 = в(г-Об(*-0- (и-4)
В импульсном пространстве данное уравнение записывается в виде
(P, t-t') = 8(t-t'), A1.5)

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. | 173
где
б(р, t-f)= J (dr)_exp[-ip.(r-r')]G(r-r\ t-t'). A1.6)
Преобразованные по времени функции
со
G( , Е)= j dtexv[iE(t-t')\G( , t-t') A1.7)
удовлетворяют уравнениям, соответствующим выбору простран-
пространственных переменных:
[4г(т)] (г-г\ S) = 8(r-r'), A1.8)
или
Ш-Г(рIб(р, Е) = 1. A1.9)
Поскольку функция Грина является запаздывающей по времени,
преобразованная функция A1.7) существует при комплексных
значениях Е, лежащих в верхней полуплоскости: Im. E >0.
Таким образом, соответствующее решение уравнения A1.9) мы
получим, подходя к действительной оси сверху:
G(Pg) e
Прямая проверка показывает, что вытекающее отсюда поведение
во времени оказывается как раз таким, какое и должно быть в слу-
случае запаздывающей функции:
со
(р, «-«')= J ^f-exp[-^(*-t'
ie-T (p)
— CO
= Ti(i_t')i-exp[-ir(p)(*-O]- (П.")
Выражение для действия, которое приводит к неоднородному
уравнению Шредингера, имеет вид
*, t\)=\ (dr) dt [ — г\* (г, *)\|з(г, f) — i|>*(r, t)i\(r, t) +
A1.12)
Из него получаются следующие полевые уравнения:
[д \ I \ \2-| A1.13)

174 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Как явствует из самих обозначений, эти уравнения комплексно
сопряжены друг другу. Решение полевого уравнения для if имеет
вид
г|> (г, t)= j (dr') dt'G (r- r', t~t')v) (r', f). A1.14)
На основе'этого решения найдем явную зависимость W от источ-
источников:
W (т)*, л) = - j (dr) dtn* (r, t) ф (г, t) =
= - J (*)d*(dr')*V(r, t)G(T-r', t-t')r](r', t'). A1.15)
В отличие от релятивистских формул здесь появился знак «—»,
что объясняется наличием знакового множителя в соотношении
A1.3) — он был введен для того, чтобы наши обозначения согла-
согласовались с общепринятыми обозначениями нерелятивистских
функций Грина. Соответствующее определение полей, к которому
приводит принцип действия, выглядит следующим образом:
f, tj)=- j (dT)dt[6if(T,t)ip{r,t)W(T,t)&r\(T,t)]. A1.16)
Из него вытекает выражение еще для одного поля:
г|)*(г', t')= j (dt)dti\*(t, t)G(r—r', t—f). (ПЛТ)
Заметим, что это поле не является комплексно-сопряженным
с тр (г', t'). Поле тр связано со своим источником т], действующим
в предшествующие моменты времени, тогда как \|>* определяется
значениями г\* в последующие моменты времени. Выбирая пере-
переменные другими способами, можно будет явное выражение для
W представить, например, в таких формах, как
j^ «-ОЛ(Р, П, A1.18)
при
Л (Р. 0= ( (dr)exp(-sp.r)Ti(r, t),
. A1.19)
¦П* (Р, 0 = J (dr) ехР (Ф-г) Л* ('. О
?)ri(p, E), A1.20)
где
J A1.21)
V( , Д)= \dtexV(-iEt)r]*( , t).

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. | 175
Электромагнитные взаимодействия вводятся путем подстановок
-jV -^^-V+eA(t, t), V-A(r, 0 = 0,
i-|-^i-|--F(r, 0, V(t, t)=-eA°-(r, t),
которые записаны для частиц с зарядом —е, причем выбрана
радиационная калибровка. В этой калибровке все внимание кон-
концентрируется на векторном фотонном источнике J. Если отбро-
отбросить мгновенное кулоновское взаимодействие плотности заряда
/° [ср. с выражением C-15.51)], то затем временную компоненту
можно исключить на основании закона сохранения
V.T (г t\-L. ^ то (г t\ П Hi 9Ч\
Тогда вклад фотонов в действие W может быть представлен в сле-
следующей диадной форме [ср. с C-15.52) и C-15.53)]:
WC) = ^-\ (dr)dt(dr')dt'J(r, t)-D(r-r', t—t')-3(i', t'), A1.24)
где
t>t': D(r —r', t — t') =
. A1.25)
В нерелятивистских задачах, которые мы будем рассматривать,
импульс, переносимый фотоном, весьма незначителен, или, иначе
говоря, длина волны фотона велика по сравнению с пространствен-
пространственными размерами системы, т. е. | к- (г — г') | ^ 1. В таком слу-
случае выражение для фотонной функции распространения (умно-
(умноженной на е2) можно упростить:
;«': e2B[(t — t')sai-^- j dkokoexV[-ik0 (t — t')]l. A1.26)
Чтобы получить это выражение, мы ввели сферические координаты
в к-пространстве,
\k\*d\k\dU 1 dQ ,,, ,,0 ,И2
Й@* BлK 2к° - ^ ЧГ ! К I Uft ' {li-?i)
выполнили интегрирования по углам,
kk^i-|k|2l, A1.28)
а после'этого воспользовались свойством импульса фотона
|к|=А°. A1.29)
Выведем сначала некоторые уже известные нерелятивистские
формулы для модифицированных функций распространения

176 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
и формфакторов. Из выражения для слагаемого действия
- j(dr)d*|>»(r, *)-1-р.А(г, ОФ(г, *). P=-»V (И.ЗО)
явствует, что обобщенный источник частиц т]2 (г, t) можно рассма-
рассматривать как эффективный источник, испускающий две частицы:
б(г-г')б(^-О-^Р^(г, t), A1.31)
и точно так же для обобщенного поглощающего источника
T)f (г, t) имеем
В действительности существенна только поперечная часть этих
векторов, но она автоматически отбирается фотонной функцией
распространения A1.25). Член вакуумной амплитуды, который
описывает обмен фотоном и свободной частицей, дается выражением
drj)*! ... it|i(*i. *i)JiK, Q\m-D (г[-г'2, t[-Q x
xG(rt-r2, *4 — ?2)-?J2(r;, Qri2(r2, ^2)|эфф =
= —-^-J (dr) dt (dr') Л'г|)? (г, f)p-D(r-r', t — t')x
X G (r - r', t -1'). pip, (r', *'). A1.33)
Если воспользоваться упрощенной фотонной функцией распростра-
распространения A1.26) и функцией распространения частиц A1.3), то эта
вакуумная амплитуда станет равной
В комбинации
-1 exp{-i[Г (р) + *Ч (*-*')>
мы узнаем выражение (взятое при t > t') для функции распро-
распространения частицы, которая имеет энергию Т (р) + к0. Ее общий
вид дается формулой A1.11), если произвести подстановку Т -*¦
-> Т + к0. Сюда можно добавить временные контактные члены,
т. е. дельта-функцию б (t — t') и конечное число ее производных.
Таким образом, в результате временной экстраполяции амплитуды
A1.34) мы получим
X [ E + ie-T(p)-kP +контактн- члены] р2ф (р, Е), A1.35)

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Л-ЧАСТИЦ. | 177
куда контактные члены входят теперь в виде полиномиальных
функций энергетического параметра Е. Конкретная их форма
фиксируется условием, согласно которому полученная добавоч-
добавочная связь должна относиться не к полям, а к источникам, чтобы
не изменялось первоначальное описание свободной частицы. Не-
Необходимые для этого сомножители, фигурирующие в уравнениях
у* (р, Е) [Е - Т (р)] = г,* (р, Е),
возникнут, если образовать комбинацию
1 1 Е-Т _/Е-Т \2 1
_/Е-Т \
—\ к0 )
T-lfi "Г *о ^ (fco)* —\ к0 ) E+is-T—k» ' К11'0')
В итоге для модифицированной функции распространения будем
иметь
2« Ра Г
E-\-ie-T(p)-k»
Здесь можно узнать результаты, которые были получены при ана-
анализе, основывающемся на рассмотрении мягких фотонов, а именно
формулу A.83) для частиц со спином 0 и формулу A.95) для частиц
со спином Va.
В случае частицы, движущейся в статическом поле с потенциа-
потенциалом V (г), нужно сначала взять другое уравнение для функции
Грина:
У(Г, г', «-О = 6(г-О
A1.39)
Ему эквивалентно интегральное уравнение в абстрактной записи
G* = G + GVGV. A1.40)
Формальное решение последнего имеет вид
G* = (\— GV)-lG = G + GVG + . . . . A1.41)
В более явной форме эти первые члены записываются как
Gy(p, t; p\ O = «(P-P')G(p, t-t') +
+ jd*tG(p, *-*i)F(p-p')G(p', tt-?)+..., A1.42)
где
F(P-P')= J(dr)exp[-i(p-p')-r]F(r). A1.43)
Модифицированную вакуумную амплитуду для движения в поле
с потенциалом V мы получим, подставив в формулу A1.33) функ-
функцию распространения Gv.
12-0983

178 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Рассмотрим сначала линейный по V член в разложении A1.41).
Он соответствует эффекту однократного рассеяния на потенциале
в случае причинно-упорядоченной пары обобщенных источников
частиц, которые обмениваются частицей и фотоном. С учетом
того, что
exp[-ift°(i-t')l j Atexp[ —»7I(p)(*-t1)]F(p-p')X
X exp [ - iT (p') («»-*)] = } dt, exp [ - i (T (p) + k°) (t - «»)] x
X V (p-p') exp [-г (Г (p') + A») (tt-1')], (И-44)
мы придем непосредственно к выражению, которое получается
путем экстраполяции вакуумной амплитуды:
.2a If
Bл)з
J
Сюда введен также контактный член, не зависящий от Е. Необ-
Необходимость в нем диктуется тем требованием, чтобы добавление
постоянного потенциала V приводило лишь к изменению начала
отсчета энергии: Е -*- Е — V. Произведя такую подстановку
в формулах A1.35) и A1.37) и выделив члены, линейные по кон-
константе V, мы увидим, что они аналогичны двум вкладам в ампли-
амплитуду A1.45), где произведение p2F записано в общей форме, полу-
получаемой путем его симметризации.
Если вакуумную амплитуду A1.45) применить к случаю одно-
однократного рассеяния на потенциале, то поля будут подчиняться
уравнениям
Ч>* (р, Е)[Е-Т (р)] = О, [Е - Т (p')J Ч> (р', Е) = О,
A1.46)
так что сама эта вакуумная амплитуда сводится к
A1.47)
Таким образом, эффективный потенциал, которым обусловлено
рассеяние частицы с переходом из состояния с импульсом р' в со-
состояние с импульсом р, равен

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. | 179
Мы видим, что по своей структуре это выражение сходно с заря-
зарядовым формфактором D.81). Для более детального сравнения
возьмем для спектрального интеграла \ dk°/k° верхний предел
К, соответствующий границе области применимости нерелятивист-
нерелятивистского подхода, и нижний предел, соответствующий конечной
массе фотона \i. Тогда изменится выражение для импульса:
| к | = [(*»)»-|i»]V«, A1-49)
что скажется на формулах A1.25) и A1.27) и приведет к следую-
следующей модификации:
Г dk» Г \k]dko 3 г, 1__Ш!Л
J A° J (А;0J 2 L 3 (к?)* J
f ^ко_ г4 Й1Т/.Г. , J__fi!_
«In ^-4-, -?->!. A1.50)
Заметим, что при вычислении данного интеграла удобно произ-
произвести замену переменной
/с° = цсЬ9. A1.51)
Сравнив теперь A1.48) и A1.50) с зарядовым формфактором
D.81) для частиц со спином V2, мы можем точно указать предел
применимости нерелятивистского анализа:
спин -1: ln~T-T = l- <"-52>
Согласно соотношению D.132) и вытекающему из него следствию
1
Bт)а
в случае частиц со спином 0 предел иной:
спинО: la^-=|_i.=^..
В случае, когда возможно любое число взаимодействий с по-
потенциалом V, нужно подставить в амплитуду A1.33) полную
функцию Грина Gv. Она удовлетворяет двум разным интегральным
уравнениям
в? = G + GVGV = G + GVV&, A1.55)
в чем сразу можно убедиться, исходя из алгебраического тожде-
тождества
GV G = G(i- VG)~\ A1.56)
12*

180 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Два этих уравнения можно объединить в одно уравнение
Gv = G + GVG + GVGWG, A1.57)
в которое входит точное выражение для суммы всех членов разло-
разложения по степеням V, кроме двух первых. Формальное рассмо-
рассмотрение этого остаточного выражения проводится просто. При
умножении Gv на фотонную] функцию распространения к кине-
кинетической или полной энергии частицы добавляется энергия фото-
фотона, и больше нет каких-либо дополнительных физических усло-
условий нормировки, которые требовали бы введения контактных
членов. Окончательный результат мы представим в виде доба-
добавочного слагаемого в действии:
- j (dr
)dfty* (r, t) W (г, t; г', f) ф (г', f), A1.58)
где (в матричных обозначениях)
лт/ 2а 1 f,,i,,r,/ 1 , 1 , Е—Т
E+te-T-H
~( jrJT
T-lfi ' E+te—H—lfl '
И
H--=T + V. A1.60)
Это добавочное взаимодействие мы применим к связанным
состояниям, которые первоначально удовлетворяют уравнениям
на собственные значения
ф*(Я — Я) = 0, (Е — #)\|> = 0. A1.61)
Учет этих уравнений в формулах A1.58) и A1.59) приводит к взаим-
взаимному уничтожению членов с ра(? — Г) и —Va (p2F + Fp2). Даль-
Дальнейшее упрощение обеспечивается алгебраическим тождеством
[совпадающим по существу с формулой^A1.55)]
— Т—k°
Если применить его к первому члену в формуле A1.59), то станет
ясным, что зависимость этого члена от потенциала V линейна.
Получающееся в результате выражение мы представим в форме
8F = 8FA) + 8F<2\ A1.63)

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. | 181
где
= ^-^r J «Р-
!_Т-
&—H—k°
A1.65)
Заметим, что в приближении однократного рассеяния, в котором
полевые уравнения A1.61) заменяются уравнениями A1.46), из
б Va) еще раз можно получить добавку к рассеивающему потен-
потенциалу, даваемую формулой A1.48). В нерелятивистском случав
величина б FB) определена совершенно корректно. Благодаря
наличию трех множителей с к0 в знаменателе спектральный инте-
интеграл сходится при высоких энергиях. Кроме того, не возникают
какие-либо инфракрасные трудности, так как для связанных со-
состояний, для которых Е < 0, разность Т — Е никогда не обра-
обращается в нуль. Даже существование нулевого собственного зна-
значения у оператора Н — Е, в связи с чем появляется сингулярный
множитель —1/кв, не играет роли, поскольку в пределе] при
fe° -»- 0J матричные элементы, входящие в виде сомножителей,
обращаются в нуль:
A1.66)
Все это позволяет с полным основанием считать, что вклад 6F<2>
весьма незначителен. Если пока совсем не учитывать логарифми-
логарифмическую зависимость при большом значении энергии К, то основ-
основная часть сдвига энергетического уровня будет обусловлена
именно членом б Vll).
4to6hJупростить расчет этого основного вклада, перепишем
б Va> (опустив добавку ie, которая ни на что не влияет) в виде
Зя
к
Т-Е-\-У>
j ^ \_
Т-Е+к» )
Т-Е+к» )У Т-Е+кР

182 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Кулоновский потенциал
обладает тем свойством, что
- fp, I -Р, V]) = V2F = AnZab (г). A1.69>
Для интересующего нас состояния с волновой функцией ij) (г)
введем вспомогательную волновую функцию, определяемую ра-
равенством
Х(г, *°)= г_
или
Благодаря наличию в формуле A1.69) дельта-функции вклад %
в соответствующий член будет определяться значением в начале
координат. Энергетический сдвиг дается формулой
A1.72)
Для удобства перепишем это выражение в безразмерных пере-
переменных, построенных из боровского радиуса
и из боровских значений энергии
(Здесь By — так называемая ридберговская единица энергии.)
Новые переменные таковы:
соответственно чему волновые функции переопределяются сле-
следующим образом:
^(х) = [п(паоу)У^(т),
/»х(г *°) { }

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. | 183
что дает
Простейшим примером подобного расчета служит рассмотре-
рассмотрение основного состояния (п = 1, 1 = 0), для которого
1|>10 (х) = ехр (—х),
A1.78)
XlB(x, S)=exp(-,)- (igU exp(x)gp([(l+.)/(l.
X
Xw @, *) = *. (И.79)
Проводя последовательные интегрирования, придем к результату
->1
Л 2s5 ^n i_s2
в который входит величина
-^¦ — 2 In 2 =2,8637. A1.81)
Относительно же вклада 6F<2) заметим, что, вводя полный набор
волновых функций \$Еа (r)i B общем случае мы будем иметь
_ 2О 1 f
Ea
A1.82
В частности, для основного состояния все входящие сюда матрич-
матричные элементы таковы, что Е — Ег >0, и этот дополнительный
энергетический сдвиг оказывается отрицательным. Он следующим
образом *) изменяет аддитивную постоянную A4.81):
2,8637 + 0,1105 = 2,9742. A1.83)
*) Наиболее эффективно необходимые вычисления были выполнены путем
построения функции Грина //-частицы в импульсном пространстве, изло-
изложенного в нашей монографии «Квантовая кинематика и динамика» (/. Schwin-
ger, Quantum Kinematics and Dynamics, W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park,
1970). Подробности можно найти в диссертации Либера (М. Lieber, Thesis,
Harvard, 1967); см. также М. Lieber, Phys. Rev., 174, 2037 A968).

184 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Стало быть, если полностью отвлечься от играющего основную
роль логарифма In (т/\ Ег |) « 10,5, то в результате проведенных
элементарных выкладок аддитивная постоянная фиксируется
с точностью до 4%.
При аналогичном анализе других s-состояний целесообразно
исходить из производящей функции
(И-84)
n=l
которая почти совпадает с производящей функцией для полиномов
Лагерра. У нее такое же экспоненциальное поведение, как и у
волновой функции i|I0 (x), и она сводится к последней, если поло-
положить t = 0. Соответственно этому производящая функция для
%п0 (х, s), а именно
Х(х, s, *)= 2
п=1
, в),
A1.85)
также похожа на %10 (х, s). Эта производящая функция является
решением дифференциального уравнения
exp{-[
A1.86)
и равна
X(x, s, t)- A »,,
x
X
I 1-s) \ 1-t j
X
X-
Вычислив ее значение в начале координат, получим
со о°
2 *"^%..<о, *)=7i^V=i 2 И"'
п=1
а следовательно,
п=1
%по @, ») = Л
A1.87)
A1.88)
A1.89)

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. | 185
Хотя можно было бы построить и производящие функции' для
интегралов, которые входят в A1.77), мы ограничимся рассмо-
рассмотрением s-состояния с п = 2. Нужные для этого волновые функции
даются выражениями
1|>20 (х) = A — х) ехр (—х),
A—S)a Г / ч A+SJ
ехр (— х) — ехр { —
X
L^L] A1.90)
A —S2J
A1.91)
Численные значения входящей сюда константы и дополнительного-
вклада от б FB), по-прежнему содержащего только отрицательные
члены, таковы:
2,5463 + 0,2655 = 2,8118. A1.92>
Несмотря на увеличение вклада от 6FB) по сравнению со случаем
» = 1, он все же составляет лишь несколько процентов всега
эффекта в целом.
Рассматривавшиеся состояния Is и 2s специфичны тем, что они
стабильны. (Конечно, уровень 2s не полностью стабилен, но мы не
будем учитывать зто при нашем несколько упрощенном с физиче-
физической точки зрения подходе.) Нестабильность других уровней про-
проявляется в том, что у величины 6F<2), даваемой формулой A1.82),.
возникает мнимая часть
dk° %
Еа
A1.93)
Здесь учтено ограничение на энергию, накладываемое дельта-
функцией, которое позволяет упростить интеграл, фигурирующий
в формуле A1.82):
- J (dt)
р (Г-E)^Ea=-k"{nlm\p\Ea). A1.94)
В полученном выражении мы узнаем структуру вероятности спон-
спонтанного испускания C-15.69), отнесенной к единице времени. Сум-

186 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
таируя такие вероятности, получаем полную скорость затухания
Лср. с формулой C-16.41)]
Е<Еп,а
При такой модификации энергии временной фазовый множитель
становится равным
exp
[-i [Enl—\iyn
Тем самым правильно описывается нестабильность «/-состояния,
обусловленная переходами в состояния //"-частиц с меньшей энер-
энергией, сопровождающимися испусканием фотона. (Напомним, что
ранее мы подходили к вопросу о значениях энергии чисто фено-
феноменологически. Теперь же мы постепенно уясняем себе структуру
энергетических уровней.)
Для состояний с ненулевым моментом обе волновые функции
ij) (г) и % (г, к0) обращаются в нуль в начале координат, так что
главный член в выражении A1.77) для 6FA> исчезает. Объединив
оставшийся вклад с вкладом от 6FB>, мы получим чрезвычайно
малый сдвиг. Примером может служить уровень 2р, для которого
Re FFA) + 6F<2)>21 = -3^- Z4a3Ry @,0300). A1.97)
Релятивистские эффекты в интересном с точки зрения экспери-
эксперимента случае спина V2 частично учитываются соотношением
A1.52). Воспользовавшись им, мы вместо формул A1.91) и A1.92)
будем иметь
^ [ i ii] . A1.98)
Кроме того, имеется эффект, связанный с магнитным моментом,
который описывается, например, формулой D.124). Он приводит
к следующему энергетическому сдвигу:
Фигурирующие здесь волновые функции удовлетворяют уравне-
уравнению Дирака, которое можно записать в виде
(т + Е — V) ij) = (y&o-V + ту0) i|>' A1.100)
и
r(nt + E-V) = r(y^-VT + my),
A1.101)

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. | 187
Комбинируя эти уравнения, получаем
2 (т + Е — V) ур*у°у&а ¦ Wi|> =
= i|>Y (<r- VTo- VV— a-VVa-V) Ч3 =
= i|5*V0(Vr-VF-V7-V + J<r(V:rxVF—WxT))f A1.102)
Затем пользуясь нерелятивистским приближением, в котором
разность Е — V пренебрежимо мала по сравнению с т, можно
будет представить энергетический сдвиг A1.99) в виде
Как показывает сравнение с формулами A1.67) и A1.69)., про-
проведенное с учетом входящего туда коэффициента (а/Зя) A/т2),
первое слагаемое в формуле A1.103), которое дает вклад только
в s-состояниях, добавляет к главному логарифмическому члену
константу, равную %.
В состояниях с ненулевым орбитальным моментом и с задан-
заданным квантовым числом j = I ± V2 полного момента выражение
A1.103) принимает вид
{' —1+ — • I
2
A1.104)
, 1 1 Л
7 = Z-y: -1-1.
Напомним, как выводятся фигурирующие здесь известные средние
значения. Будем исходить из того, что в стационарном состоянии
среднее значение радиальной силы обращается в нуль:
/ d I 1A+1) _ Za \\ __ 1A+1) /
\dr \ 2тг2 г I/ ~ т \i
A1.105)
а из ^общеизвестной линейной зависимости главного квантбвбго
числа п от орбитального квантового числа I (п = пг +¦ I + 1)
вытекает
-з-У (И-106)
dl n \ dl 2mr2 / го
Это дает
14 1 1 / 1 ^ 1 1 , A1.107)
так что для энергетического сдвига, индуцируемого дополнитель-
дополнительным магнитным моментом в состояниях с I > 0, получим

188 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Отметим, что ранее установленный результат для уровней 8щ
также вытекает из этой формулы.
Собрав вместе все рассмотренные эффекты, в том числе и эффект
поляризации вакуума, мы получим следующее выражение для
относительного сдвига первоначально вырожденных уровней 2si/2
и 2руг в атоме водорода:
Ег,1/2 -E2pi/2
A1.109)
В последнюю строку мы включили некоторые из наиболее очевид-
очевидных массовых поправок для реальных #-частиц. Они учитывают,
что именно приведенная масса электрона (т) и нуклона (М) вхо-
входит в боровский радиус
и в боровские значения энергии
Z* M
R Н
~n* М+т Иу (
(ридберговскую единицу мы сохранили в прежнем виде, отнеся
ее к бесконечной массе). Взяв численное значение
и энергетическую единицу (которая обычно приводится в частот-
частотном выражении)
= 135,644 МГц, A1.113)
мы по формуле A1.109) для частотного сдвига в атоме водорода
получим
Н: E2,i/2-E2pi/2= 1050,55МГц. A1.114)
Последние измерения дают для расщепления уровней 1057,90 ±
± 0,10 МГц. Такое совпадение с погрешностью меньшей 1 %,
представляется поразительным, тем более что можно надеяться
на уточнение этого результата за счет релятивистских эффектов,
которые имеют относительную величину порядка а = 7,3 «10~s.
Тут задает вопрос Гарольд, по-прежнему поглощенный древ-
древней историей.

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. I 189
Гарольд. Поскольку Вы первым указали на дополнительный
магнитный момент, а также вычислили радиационную поправку
к рассеянию электрона, было бы удивительно, если бы не Вы
первым получили и формулу для энергетических сдвигов, вывод
которой был только что воспроизведен. Ведь Вы, не так ли?
Швингер. Мне кажется, да, хотя в то время A947 г.) я вовсе
не был убежден в правильности полученного результата. По-
Позвольте мне кратко напомнить историю этого периода, которую
можно проследить также по многочисленным статьям, помещен-
помещенным в сборнике «Избранные работы по квантовой электродина-
электродинамике» (Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Pub-
Publications, Inc., New York, 1958). Моя дискуссия с Вайсскопфом,
которая предшествовала конференции, проходившей в Исландии
в июне 1947 г., и продолжалась в ходе ее работы, выявила общ-
общность наших взглядов на то, что вычисления с использованием
релятивистских методов должны давать конечное расщепление
энергетических уровней водорода. Вскоре после этого Бете провел
нерелятивистский расчет, при котором оставалось неопределен-
неопределенным значение константы, добавляющейся к основному логариф-
логарифмическому слагаемому. В ту пору, в июне 1947 г., в моей жизни
произошли два знаменательных события — я бросил курить
и женился. Свой продленный медовый месяц я провел, путеше-
путешествуя по стране, после чего снова занялся релятивистской задачей.
В рамках модной тогда нековариантной операторной теории поля
я ввел некоторое каноническое преобразование, позволившее
выделить физические эффекты, связанные с заданным внешним
электромагнитным полем. После подстановки однородного маг-
магнитного поля был получен дополнительный магнитный момент,
равный а/2я магнетонов. Неоднородное же электрическое поле
приводило в точности к тем самым результатам, которые даются
формулой A1.98). Однако возникающая при этом спин-орбиталь-
спин-орбитальная связь содержала неправильный множитель, который следо-
следовало отождествить с дополнительным магнитным моментом, —
нарушалась релятивистская инвариантность. При подстановке
правильного значения этого множителя получается (как нам те-
теперь известно) верный ответ, но в то время подобная процедура
не представлялась сколько-нибудь убедительной. Поэтому все
внимание было переключено на построение явно ковариантных
методов расчета. Хотя они позволили значительно упростить вы-
вычисления, в определенный период было неясно, как корректно
сшивать вклады высоких и низких частот. К этому времени A948 г.)
за проблему взялись другие группы, которые, по-разному исполь-
используя нековариантные и ковариантные методы, получили множество
различных ответов. Между прочим, именно Вайсскопф настаивал
на одном конкретном значении, с которым все в конце концов

190 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
согласились, — оно совпадает с почти уже забытым результатом
моих прежних вычислений. (Я до сих пор помню, как я был по-
потрясен, когда, сравнив как-то эти значения, увидел, что они совпа-
совпадают. Классификация процессов в первом методе не имела сколько-
нибудь четкого физического смысла, и формулировался лишь окон-
окончательный ответ в виде аддитивной постоянной, равной некоторому
дробному числу. Ковариантная же методика позволяла совершен-
совершенно прозрачным с физической точки зрения способом выделить раз-
различные эффекты, которые поэтому явным образом и входили в от-
ответ в виде соответствующих составляющих. Я решительно отме-
отметал всякие воспоминания о нековариантном расчете, и мне по-
почему-то никогда не приходило в голову собрать все эти отдельные
вклады воедино.) Как и в истории с формулой для рассеяния, здесь
можно вывести мораль. Нужно избегать искусственного разделе-
разделения на высокие и низкие частоты, при котором к первым и вторым
подходят по-разному. Как будет видно из дальнейшего, при реля-
релятивистском рассмотрении энергетических сдвигов это требование
выполняется.
Но прежде чем оставить нерелятивистскую область, интересно
остановиться на одном методе, который позволяет объединить
упругий и неупругий процессы в рассеянии и тем самым избежать
упомянутого искусственного разделения. Вакуумная амплитуда,
описывающая одночастичный обмен между парой причинно-упоря-
причинно-упорядоченных источников, в случае свободной частицы равна
Jdr)...dfTf(r, *)G(r-r\ *-f)T](r', *'), (И.Н5)
где
G(r-r', *-П=-»2Ыг. *)Ч>р(г', О*.
Пользуясь определениями источников
Т1Р = j (dt) dt i|)p (г, t)* л (r, t), тгё = j (dt) dt ti* (r, t) i|)p (r, t),
A1.117)
мы для вакуумной амплитуды A1.115) получим выражение
2(-й1р)(-й1р). A1.118)
р
р
соответствующее тому, что частица, испущенная с импульсом р,
детектируется с достоверностью в том же самом состоянии.
Заменим теперь G на Gv и выделим опять коэффициент при
(—р) (—Щр)- Квадрат модуля этой амплитуды дает вероятность

t§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. | 194
того, что частица, несмотря на действие потенциала V, останется
в своем исходном состоянии. В разложении A1.41) мы сохраним
только два первых члена, что дает для рассматриваемой амплитуды^
вероятности
1 - i j (dr) ... dt % (r, t)* [V (г) б (г- г') б (t-f) +
+ 7(r)G(r-r\ t-t')V(r'))%{r', ?). A1.119)
Интегрирования по временным переменным сводятся к вычисле-
вычислению одного интеграла по промежутку времени Т между актами
испускания и поглощения. В итоге амплитуда вероятности при-
принимает вид
e-TW) J'
1 if 1>@М [
1 U Bя)» l/(">+ J BяK
где Е = Т (р), a F @) есть V (р — р). Отсюда для вероятности
процессов без изменения начального состояния имеем
4 jdp)_ г 0 г (dp') |Г(р-р')|' ]_
1 1 BяK *• ^^[•'Wi-J BЯK ?+iE_r(p') J
чем определяется также и полная вероятность процесса рассея-
рассеяния. Если разделить эту вероятность, отнесенную к единице вре-
времени, на поток падающих частиц [(йр)/BяK] [| р |/лг], то для;
полного сечения рассеяния получим
(р-р')|2- A1Л22>
Введем в импульсном пространстве сферические координаты:,
(dp') = d Q | p' \Ч | p' | = d Q | p' | mdT (p'),
A1.123)
где d Q — элемент телесного угла. Тогда сразу становится оче-
врдным, что дифференциальное сечение упругого рассеяния
равно
Фактически это выражение совпадает с хорошо известным первым
борновским приближением.
Проделанный анализ подготовил нам почву для аналогичного
рассмотрения рассеивающего потенциала V + 6F. Две состав-
составляющие 8F даются формулами A1.64) [или A1.67) с добавкой
ie к энергии] и A1.65), где для нашей конкретной задачи Н сле-
следует заменить на Т. Как и прежде, применима амплитуда A1.120),

192 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
если произвести в ней подстановки
V@) > V@) 2a p
v (V) -+ v (и; Зл м
Bл)з Jfco
dk<>
+.fc j, I
В подстановку для F (p' — p) входит тот же множитель, что и
в A1.126) (а не комплексно-сопряженный ему). Так же как в вы-
выражении A1.120), члены, явно содержащие р2, здесь полностью
взаимно уничтожаются. В результате для полного сечения полу-
получаем
HL( QNTf W IF(P-P'>'2 w
X
HL( Tmf
|p|(-2)lmj Bя)
о
Из его структуры видно, что при к0 = 0 у нас нет особенности.
Чтобы упростить выделение мнимой части, напишем
11
ie — Г(р') [? + 18 — Г(р') — кО
-TW) j '
Тогда для добавки к сечению рассеяния получим
X j -^-2я[8(Я-Г(р'))-6(Я-Г(р')-/сО)]. A1.129)
о
Оба слагаемых с полной определенностью показывают, что сече-
сечение для чисто упругих процессов уменьшается, а, следовательно,
роль неупругих процессов возрастает. То обстоятельство, что
при к0 -> 0 невозможно различить два этих класса событий, ком-
компенсируется точным взаимным уничтожением вкладов от них в этом
пределе. Чтобы получить соответствующую добавку к угловому
дифференциальному сечению, можно воспользоваться выраже-
выражением A1.123), которое дает
к
^УЦ A1.130)

§ 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ | 193
Здесь еще остается свобода в выборе области изменения кинети-
кинетической энергии для рассеиваемой частицы.
Рассмотрим случай почти упругого рассеяния, когда выпол-
выполняются неравенства
О, A1.131)
где величина &2,Ин характеризует точность, с которой может быть
измерена энергия рассеиваемой частицы. В предположении, что
&шш <С Е, мы будем иметь | р' | « | р | и интегралы, фигурирую-
фигурирующие в формуле A1.130), сведутся к
Е+0 К
j dT ^
U К"
МИН
В результате добавка к дифференциальному сечению «почти
упругого» рассеяния оказывается равной
da\l da 2a (p-p'f , К ..
В случае частиц со спином 0 релятивистские эффекты можно учесть,
произведя подстановку A1.54):
111^ = 111-5^—Н--^- ' (Н.134)
(мы по-прежнему рассматриваем, конечно, медленные частицы), и
добавив вклад от поляризации вакуума. Для частиц со спином 0
последний составляет V8 вклада для частиц со спином У2, так
что аддитивную постоянную в формуле A1. 134) следует заменить
на
В итоге мы приходим к тому же результату, который дает нам
формула D.99).
12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
Как уже указывалось, в процессах, в которых могут испускаться
фотоны, разбиение сечения на упругую и неупругую части про-
проводится искусственно, поскольку экспериментально невозможно
13-0983

194 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
провести такое разделение в случае достаточно мягких фотонов.
Более реальный смысл имеет не упругое сечение, а сечение «почти
упругого» рассеяния, которое определяется экспериментальными
возможностями контроля за энергией. Для нерелятивистской
задачи мы только что изложили методику прямого расчета «почти
упругого» сечения. Применим теперь тот же метод к релятивист-
релятивистскому рассеянию заряженных частиц кулоновским полем. По-
Поскольку мы хотим проиллюстрировать сам метод, а не получить
какие-то новые результаты, достаточно ограничиться случаем
бесспиновых частиц (после чего легко могут быть получены и
результаты для частиц со спином V2). Но для удобства мы слегка
видоизменим по сравнению с § 4 ту цель, которая ставится при
расчете. Там отбирались такие процессы, в которых энергия ис-
испущенного фотона была меньше, чем &мин <С Р° — т- Мы заменим
этот критерий, фиксирующий область «почти упругого» рассеяния,
следующими ограничениями на массу конечного двухчастичного
состояния:]
т2 < М2 < (т + ЬМJ, ЬМ < т. - A2.1)
Затем, пользуясь методами § 4, мы сначала построим «почти упру-
упругое» сечение для случая, когда выполняется данный критерий.
Амплитуда вероятности C-14.61) для испускания мягких фото-
фотонов дает вероятность испускания с кинематическими множителями
d(ofc. Мы предпочитаем иметь дело с полным импульсом
Р = Pi + к, A2.2)
записывая
2). A2.3)
Тогда, используя для сравнения полный импульс, а не импульс
частицы, для относительной вероятности испускания фотона
вместо D.93) получим
(т+6МJ
j (?±---?2-J . A2.4)
Нижний предел в интеграле по М* напоминает нам, что фотону
временно приписана масса ц. Основной интеграл по импульсам
фотона можно вычислить в системе покоя вектора Р, а затем упро-
упростить его с учетом неравенства
— т2 < 2тШ < т2,

§ 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ | 195
что дает
dkO [(АОJ—[i2]1/*
A2.5)
~ Bя)«
Принимая во внимание это обстоятельство, перепишем интеграл
A2.4) в виде
ш
а
п
/ т2 ™г
\ (fcPl)« (Ap2J
\
/
где усреднение, обозначенное угловыми скобками, проводится
по угловой переменной. Так, например,
/ 1 \ J f , 1
\
1 \ _ J_ f
P2f/ ~~ 2 j
/ \ _ J_ f
\JkP2f/ ~~ 2 j aZ (кОр%-\к | | р2 | zf (АО)* [(pj)«-|p, I2] +^2 I P2 Г т
A2.7)
или
Последнее выражение получено в системе покоя вектора Р « рх,
в которой, если воспользоваться обозначением
Я. = Pi - Pi. A2.9)
введенным в § 4, мы имеем
Чтобы завершить вычисление интеграла A2.4), заметим, что
1 1
^ m)a A2.11)
(fepIF^ m?(M—m)a
и что тождество
1
1—= f4-
A;p2 J 2
-1
A2Л2>
13*

196 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
приводит к равенству
где учтены соотношения
/ A2.14)
Входящие сюда спектральные интегралы имеют вид [ср. с форму-
формулой D.97)]
и в результате'всех этих вычислений интеграл A2.4) можно пред-
представить в форме
2л ° (л m2
/+Г , -6D-) A2.16)
4 т2
Функция 0, выраженная через переменную 9,
имеет вид
j Il|±||A2.18)
где
A2.19)
Но это не самое удачное представление функции 0. Мы
можем представить ее в ином виде, если учтем тождество

? 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ | 197
которое приводит к выражению
-ie (i_p)
X
m
+в
A2.21)
Далее, проводя явным образом симметризацию по у и —v как
по переменным интегрирования и интегрируя несколько раз
по частям, в качестве эквивалента правой части равенства A2.21)
получим
1
\ dv
Скомбинировав затем равенство
^ ы 2 A2#22)
she
A2.23)
ч
1—d2 g2
с тождеством D.109), придем к следующему результату:
В итоге относительная вероятность испускания фотона, зада-
задаваемая выражением A2.16), принимает вид
1
1
т
1 + -
Добавив сюда еще и коэффициент D.86), соответствующий модифи-
модификации упругого сечения, мы увидим, что «почти упругое» сечение
приобретает множитель
. A2.26)

198 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Именно его мы и должны получить еще раз путем прямого расчета
«почти упругого» сечения. Кстати, в нерелятивистском пределе,
когда не нужно проводить различие между 8М и й&щ,, формула
{12.26) должна давать нам комбинацию D.99) и она действительно
дает ее.
Проведем на примере локального векторного потенциала А
прямой расчет сечений рассеяния. Это будет релятивистским обоб-
обобщением анализа, проведенного в § 11. Вакуумная амплитуда,
описывающая одночастичный обмен при наличии потенциала,
равна
i J (dx) {dx') Zd (x) Af (x, x') K2 (xr), A2.27)
где
A? = A+ + A+ [eg (pA + Ap) - eU2] A+ +
+ A+eq (pA + Ap) A+eq (pA + Ар) Д+ + ... A2.28)
(выписаны только члены, линейные и квадратичные по А). Вы-
Выделив коэффициент при (iKfpq) (iK2pg), мы для амплитуды вероят-
вероятности процессов с сохранением начального состояния получим
выражение
+ eg (pA + Ар) (х) А+ (х- х') (РА + Ар) {х')\ Фр, (х'), A2.29)
в котором
Фр, (х) = Фд (d(Dp)V* exp (ipx). A2.30
Собственный вектор заряда q>q можно опустить, заменив при этом
зарядовую матрицу ее собственным значением. В случае не за-
зависящего от времени потенциала, который может действовать
на частицу в течение промежутка времени Т, величина A2.29)
принимает вид
A2.31)
где используются трехмерные фурье-образы, а р0' = р°. Из
вытекающего отсюда выражения для вероятности процессов с со-
сохранением начального состояния,
A?~j>')\z, A2.32)
мы заключаем, что полное сечение рассеяния дается формулой
^'М(р~р')|2' A2<33)

§ 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ | 199
С учетом же соотношения
для дифференциального сечения будем иметь
plf. A2.35)
Последняя форма записи отвечает чисто скалярному потенциалу.
На примере кулоновского потенциала можно видеть, что мы дей-
действительно получили уже известный результат, который дается,
скажем, формулой C-14.8).
Проведенным анализом мы подготовили почву для рассмотре-
рассмотрения модифицированного (нелокального) потенциала, который
возникает за счет связи с фотонами. С одним из его аспектов, на-
находящим свое выражение в формфакторе из § 5, мы, конечно,
уже знакомы. Здесь же существенно отметить, что нам нужен не
формфактор, соответствующий свободным частицам, для которого
оба импульса в двойной спектральной форме лежат на массовой
поверхности, как это явствует из самой его записи, а формфактор
лишь с одним импульсом на массовой поверхности. Это ясно хотя
бы из амплитуды вероятности A2.31), в которой значения импуль-
импульса р' отвечают не только свободной частице. Таким образом, ис-
исходное выражение для формфактора, на который умножаются
как А (р — р'), так и А (р' — р), имеет вид
-jr- dv
A2.36)
Оно получено из выражения E.86) (с изменением в обозначениях
к-> q) путем использования соотношения F.99), но не включает
вклад, содержащий комбинацию F.100), который будет рассмо-
рассмотрен отдельно. Подставив сюда р'г = — т2, мы вновь придем
к формфактору, даваемому формулами E.98) и E.99). При вычис-
вычислении полного сечения берется мнимая часть квадрата этой функ-
функции, умноженной на (р'2 + гп2 — ie)~l; после отбрасывания мно-
множителя я она оказывается равной
xdx — dv
(
х w-Um-nv 1Д(р"+»»')-6(р"+м;I. A2.37)
Как и при нерелятивистском анализе, мы видим, что в этом вы-
выражении упругий процесс, которому соответствует б (р'2 + т?),

200 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
объединен с неупругими процессами, выделяемыми дельта-функ-
дельта-функцией б (р'2 + Ml). Взаимное уничтожение их вкладов при М2 -> т
означает, что величина A2.37) не имеет инфракрасной особенно-
особенности. Но поскольку нам было бы удобно воспользоваться уже по-
полученными ранее результатами для формфакторов, мы введем
массу фотона и будем рассматривать два класса процессов по
отдельности.
Область интегрирования в неупругом члене ограничена с од-
одного конца комбинацией E.102), включающей массу фотона, а
с другого конца требованием М\ — т2 < 2тЬМ. На всем этом
интервале х <^ 1, и коэффициент неупругости в выражении A2.37)
можно упростить, записав его в виде
2я
где
а д* Г Ах 1
2я т* J х 2
) J
39)
Это дает для величины A2.38) следующее значение:
^LJL \ 1 ЙГ 1+»2 1пГ6М A-^/2 "I
2я m2 J 2°" _1-р» ?2 Ш м / ?2 \V2 / 9i VV2
A2.40)
где симметризация по v и —v приводит к замене
Затем на основании тождества [эквивалентного тождеству D.109)]
A2.42)
получим
2я

§ 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ | 201
Что касается главного логарифмического члена, то данное выра-
выражение полностью согласуется с формулой A2.25). Но "как уже
указывалось, проведенный выше анализ формфактора является^
неполным. Теперь нам надлежит исследовать всю картину в целом.
Вакуумную амплитуду в случае причинного обмена фотоном
для частицы, движущейся в поле с потенциалом А, можно записать
в виде
е2 j (dx) (dx') <pt BП - к) (х) ida>k x
-х')]А?(х, х'){2Т1-к)ц2(х'), A2.44)
где появление калибровочно-ковариантной комбинации
П = р — eqA A2.45)
говорит о том, что теперь рассматриваются акты испускания и по-
поглощения, происходящие в области с ненулевым потенциалом.
Мы снова воспользуемся разложением A2.28) для А+. Первый
член разложения, Д+, при наличии причинной упорядоченности
входит в комбинации
exji[ik(x —х')\ А+(ж — x') = i I datp exp [i(p-}-k)(x—x')) =
= i \ dM2 da>p6 [(P — kJ-i-m2]exp[iP(x — x')\. A2.46)
Вклады соответствующей вакуумной амплитуды равны
-е2 j dM2dwP d&k8 BРк + Мг —т2) [q>i( — P)( — 2) (М2 + т2) х
X ф2 (P)-(q>i2eqA)(-P)BP~k) q>2 (Р)-ф1 (-Р) BР-к) X
X BeqAy2) (P) + 4 (^eqA) (P) (eqA<p2) (P)], A2.47)
где можно произвести эффективную подстановку
и использовать значение интеграла A2.5). После проведения
пространственно-временной экстраполяции с добавлением под-
подходящих контактных членов получим для действия выражение
Х
(Л/2 —
¦ A2-49)

202 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Мы узнаем в нем дополнительное действие для свободной частицы
с контактными членами, обеспечивающими появление эффектив-
эффективного множителя (р2 + т2J [по существу выражение F.40), видо-
видоизмененное в соответствии с наличием у фотона ненулевой массы].
Кроме того, имеются члены, линейные и квадратичные по век-
векторному потенциалу. Они содержат более простой контактный
член. Его оказывается достаточным, чтобы предотвратить моди-
модификацию примитивного взаимодействия в случае медленно ме-
меняющегося потенциала и полей почти свободных частиц.
Поскольку поле ф в формуле A2.49) описывает частицы, дви-
движущиеся под влиянием потенциала А, можно произвести под-
подстановку
(р2 + т2) Ф (р) -> BедрА<р) (р). A2.50)
При этом выбрана лоренцевская калибровка и опущен член с А2 —
для нас здесь такая точность вполне достаточна. Для соответст-
соответствующего слагаемого действия получаем выражение
(<PeqA)(-P) (-^—-wL-,)(eqA(p)(P)}. A2.51)
Оно дает вклад в амплитуду вероятности, которая описывает не-
неупругие процессы, так как ее мнимая часть содержит б (р2 -(- М2).
Поскольку мы рассматриваем лишь случай «почти упругого»
рассеяния, в формуле A2.51) существен только член с инфракрас-
инфракрасной особенностью. Эта добавка к множителю A2.43) равна
2— т2J — 4а 1М2] /2
-,— \
4л J
»75- 1Ш— т)— 4а М] /27!75 ?Ъ
Следующий член в разложении А^ , содержащий eq (pA -f-
Н- Ар) — е2А2, дает в величину A2.44) три разных вклада, каж-
каждый из которых представляется в виде двойной спектральной
формы. В члене с А2 оба импульса лежат на массовой поверхности,
и мнимый вклад не возникает. Рассмотрим теперь член, сочетаю-
сочетающий линейную зависимость от А функции распространения с зави-
зависимостью от А эффективного испускающего или поглощающего
источника. Здесь на массовой поверхности лежит один импульс.

§ 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ | 203
Соответствующая мнимая часть, которая описывает неупругие
процессы, имеет следующий вид:
A2.53)
где тремя точками обозначены множители, обладающие конечными
пределами при х -> 0. Итак, в противоположность аналогичному
члену в формуле A2.37) здесь имеется только один спектральный
знаменатель, который не дает выражения с инфракрасной особен-
особенностью. В результате остается двойная спектральная форма из
§ 5, которая была уже рассмотрена. Завершим теперь наш анализ.
Сравнение с полным выражением E.86) при учете соотноше-
соотношения F.100) показывает, что в формфактор A2.36) не включен сле-
следующий член:
_^_ ?***-$*> _4_ Г (Mj-m»)(Ml-ii.') _ 11_
4я J б3/2 х* L (ATf—т*H>'» + ЛГ| —ie) A
— (р24-т2)— \ —-!гdv ,, 7* , ,,g—-. A2.54)
Его вклад в мнимую часть квадрата формфактора, умноженного
на (р'2 + m — ie) и деленного на п, равен
Он описывает неупругие процессы. Поскольку пределы интегри-
интегрирования по х такие же, как и в формуле A2.39), интересующий
нас коэффициент имеет вид
1 (л ,,2\V2
2а С 1 , dx 2a f 1 , 1 Г&М (l~v 1
)dv) dvlniTufY/(
1
T^r—2-J
0
A2.56)
или после интегрирования по частям
1
— In — 1 —7Ц- \ dy -. 5— . A2.57)
я L )л 4ma J I —i>a g3 J v >
0 + 4 nfi
Отметим, что этого вклада не возникало бы, если бы мы придер-
придерживались старой методики, которая применялась при выводе
выражения E.90) и основывалась на использовании более слож-
сложных контактных членов.

204 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Обратимся теперь к последнему члену разложения A2.28).
Если подставить его в вакуумную амплитуду A2.44), то он будет
описывать процесс, в котором между испусканием и поглощением
фотона происходят два акта рассеяния на векторном потенциале
А. Для наших целей наиболее удобна следующая причинная по-
последовательность. Свободная частица испускает фотон, а возни-
возникающая при этом виртуальная частица рассеивается на потенциале
и превращается в реальную частицу, которая вместе с фотоном
детектируется по аналогичной схеме. Это приводит к простой спек-
спектральной форме по массе М двухчастичной системы. Ее мнимая
часть описывает неупругие процессы. Нас интересуют только
мягкие фотоны, для которых рассматриваемый процесс можно
разбить на двойное упругое рассеяние частицы и обмен фотоном.
Следовательно, этот вклад в модификацию «почти упругого» рас-
рассеяния в точности равен той части выражения A2.4), которая
целиком относится к начальному импульсу р2. В нем учитывается
испускание фотона начальной частицей и детектирование фотона
конечной частицей. Применяя формулы типа A2.8) и A2.23),
получаем для него
(т+6МJ
6М
я J
X
* Гф / + f , 1. A2.58)
Если объединить три добавочных эффекта, описываемых фор-
формулами A2.52), A2.57) и A2.58), то масса фотона и параметр
неупругости выпадут и останется следующий член:
1
a q* С , 1—v2
~~Ы^ J dv . , i-»« e1 ' A2-59)
0 1+~4~^"
Добавив его к величине A2.43), мы получим в точности величину
A2.25), сложив которую с упругим фактором, придем к A2.26).
Отметим еще раз, что, хотя мы из соображений удобства сохра-
сохранили искусственное разделение на упругое и неупругое рассеяние,
метод прямо дает и поправочный множитель для сечения «почти

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 205
упругого» рассеяния. Этот множитель выводится из формфактора,
записанного в виде двойной спектральной формы, причем малый
дополнительный член можно найти путем весьма простых рас-
рассуждений.
При заданном ЬМ поправочный множитель A2.26) зависит
только от переданного импульса q2. В противоположность этому
в формуле D.114) имеется также и явная зависимость от энергии.
При <j»2 <C ™2 применимо нерелятивистское выражение
В другом предельном случае мы находим, что множитель, модифи-
модифицирующий сечение «почти упругого» рассеяния, дается формулой
¦?•>'= '-•?[(*¦?¦-1) (>»?-•$
Зная простое соотношение между задачами для спинов 0 и 1/2
[формула D.135) и относящийся к ней текст], мы можем сразу же
написать и соответствующие результаты для частиц со спином V2:
№ гг 1- 1 2а g2
A2.62)
§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ
Предыдущими следующий параграфы посвящены анализу раз-
различных физических аспектов связей заряженной частицы, кото-
которые включают повторное, действие кулоновского поля. В данном
же параграфе проводится аналогичный анализ, но относящийся
к полям фотонов. Физический процесс представляет собой рас-
рассеяние фотонов на заряженных частицах (комптоновское рассея-
рассеяние), и нас будет интересовать, к каким его модификациям приво-
приводят механизмы двухчастичного обмена. Один из систематических
подходов к этой проблеме основывается на дополнительных слагае-
слагаемых действия, которые выводятся из вакуумной амплитуды A2.44),
отвечающей причинному обмену фотоном. Члены, не зависящие от
А, описывают модифицированную функцию распространения
заряженной частицы; члены, линейные по А, определяют моди-
модификацию в механизмах однофотонного испускания и поглоще-
поглощения; члены же, квадратичные по А, выполняют аналогичную

206 | [ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
функцию по отношению к двухфотонным процессам. Возникаю-
Возникающая при этом эффективная связь, которая содержит два поля
частиц и два поля фотонов, описывает интересующий нас про-
процесс. Мы намерены приступить к решению данной проблемы еще
одним и, видимо, более простым способом, рассматривая процесс
как единое целое, а не разбивая его на разного рода отдельные
акты. Поскольку относительно фотон-электронного рассеяния
нет достаточно точных экспериментальных данных, вопрос пред-
представляет в основном методологический интерес, и мы ограничимся
случаем частиц со спином 0.
Чтобы проиллюстрировать возможности более прямого метода
расчета, рассмотрим следующую причинную последовательность.
Заряженная частица и фотон сталкиваются, и образуется новая
их конфигурация. По истечении некоторого промежутка времени
эти частицы снова сталкиваются, а затем детектируются конеч-
конечные продукты. Таким образом, мы имеем дело с процессом двух-
двухчастичного обмена, причем в эффективных испускающем и детек-
детектирующем источниках используется механизм рассеяния. Слагае-
Слагаемому действия C-12.92) соответствует следующее выражение для
эффективного испускающего источника:
iKjip) Л* (к) |эфф= BяL 8 (к+ р- к2-р2) 2e2Ffe2v x
X (dcoP2 йю^I^ iK2iJ2, A3.1)
где
I^Щ guv. A3.2)
Здесь учтены* упрощения, обеспечиваемые лоренцевской кали-
калибровкой, и введены сокращенные обозначения для источников
частиц, участвующих в столкновении. Аналогичный эффективный,
поглощающий источник дается выражением
iK (- р) /* (- ft) [8фф = lK*iJ* («top, da>fcl)Vi BлL х
Хб (kl + pl-k-pJe*e*jw, A3.3)
где
Вакуумная амплитуда, описывающая двухчастичный обмен, полу-
получается из выражения для связи
J iK (- р) /ц (- ft) \midmidapiK (p) /й (ft) [8фф. A3.5)
Ее можно представить в виде следующего элемента матрицы пере-
перехода (индекс с напоминает о наличии причинной упорядоченности

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 207
событий):
A1Т | 2)с = 2ni (da)pi ... dcoft2)V2 x
Х4е4 ( йщ(к>рBп)П(к + p-P)e*lV1V2e2, A3.6>
где величина
Р = *i + Pi = К + Р* A3-7)
есть вектор полного импульса. Мы будем пользоваться системой
покоя этого вектора, позволяющей выбрать удобную калибровку,
в которой
Рех = Ре2 = 0. A3.8)
Поскольку каждый вектор поляризации ортогонален и своему
собственному импульсу, можно произвести подстановки
Piei = Р2е2 = 0i Ре2 = — ke2i Pei = — ^ei- A3.9)
Тогда
где круглые скобки служат для того, чтобы отличать скалярные
произведения от диад. Можно также написать
р1ег = — кге2, р&х = — к#х. A3.11)
Однако соответствующие члены после интегрирования все равна
исчезают, так как, например, вектор
(^)<^.> A3.12)
может быть линейной комбинацией только векторов Р и plf но
оба они при умножении на вектор е* дают нуль. То же самое можно
сказать о величине (к/крг) и векторе поляризации е2. Итак, нам;
нужны лишь интегралы," входящие в тензор
Н<7 > A3ЛЗ>
Из последнего выражения становится ясным, что выкладки при
Pi ^ Рг ненамного сложнее, чем в случае рх — р2. И все же, по-
поскольку результат, который мы получим при рассматриваемой
причинной последовательности событий, мы будем использовать
только при рх = р2, ниже мы примем это условие. Для удобства
в вычислениях мы введем произвольный вектор q, который в ко-

208 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
нечном итоге отождествляется с рг = р2:
=Р2. A3.14)
Тем самым необходимые нам интегрирования сводятся к вычис-
вычислению величины
- \
1
4-*
-1
A3.15)
причем в системе покоя вектора Р единственная переменная ин-
интегрирования представляет собой косинус угла между векторами
q и к. Дифференцируя один раз, получаем
Но фигурирующий здесь вектор Р будет умножаться на один
из векторов поляризации, а потому его можно опустить. Следо-
Следовательно, эффективное значение этой производной таково:
A3Л7)
При следующем, и последнем, дифференцировании можно будет
отбросить оба вектора Р и q -> p2. Таким образом, существен
только вклад, обусловленный дифференцированием вектора q
в знаменателе. Это дает
(+ г za/2-M2< A3Л8)
мы произвели замену
q*=p\=-m\ (gPJ=(/,2PJ=(^!+^_J> A3.19)
причем М — масса, соответствующая импульсу Р.

S 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 209
Наши результаты могут быть выражены через функцию
%(M*) = l-m*\dz i+m2 '* /ЛР_т, ч>, A3.20)
0 ( гм ) ~z \~2M~
или
1
1 7 Z
' . AT»
Ш
которая имеет простые предельные значения, а именно:
Элемент причинной матрицы перехода равен
{l\T\2)c = 2ni(d«>Pi ...do)ft2)V24a2^2(l-^-)x(M2). A3.23)
Проводя его пространственно-временную экстраполяцию, напишем
= j (Лс) [dx') exp [ - г (ftt + Pl) *]*?.[* j йшР ехр [гР (x- *')]] X
A3.24)
¦J¦*P«,,U.(,-^),^ J^^jEgl. A3.25)
где
Кроме того, пропадает различие между полями начальных и ко-
конечных частиц, что приводит к кроссинг-симметрии
е*'-^е2, h++—ki, A3.26)
или
Pi**-Р.- A3.27)
Чтобы после таких экстраполяции сохранялась калибровочная
инвариантность, векторы поляризации в формуле A3.23) сле-
следует предварительно заменить эквивалентными комбинациями
14-0983

210 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
напряженностей поля:
A3.28)
Проводя вычисления в калибровке, в которой векторы поляриза-
поляризации ортогональны импульсу частицы (или полному импульсу),
мы тогда для элемента матрицы перехода, описывающего рассея-
рассеяние вперед, окончательно получаем
A1Т | 2) = - (deep, . . . *ofeaI/2 &ttze?e2 +
1/ 2k2)z X
ЛЯР X(Af) Г 1 1
J'
причем спектральный интеграл может быть представлен также
в виде
оо
f dM2't. A3.30)
Отметим, что теперь мы включили и член, являющийся непосред-
непосредственным следствием примитивного взаимодействия, — он дается
формулой C-12.98), написанной применительно к рассеянию
вперед.
Полученный результат можно проверить, вычислив на его
основании полное сечение рассеяния фотона на частице. О таком
вычислении говорилось в § И и 12. Для этого нужно вычислить
вероятность сохранения начальной конфигурации частиц, не-
несмотря на влияние, оказываемое взаимодействием. Анализ, про-
проведенный в гл. 3, § 12, где была введена матрица перехода, показы-
показывает, что вакуумная амплитуда с сохранением заданного двух-
двухчастичного состояния равна (в сокращенных обозначениях)
B | 2) = 1 + iV B | Т | 2>, A3.31)
где V — четырехмерный объем, в котором происходит взаимо-
взаимодействие. Отсюда мы находим вероятность сохранения
| B | 2) |2 = 1 - 2V Im B | Т \ 2) A3.32)
и сразу же получаем дополняющую ее до единицы полную вероят-
вероятность процесса рассеяния. Этой вероятности, отнесенной к еди-
единице объема и к единичному инвариантному потоку F начальных

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 211
частиц, соответствует следующее полное сечение:
^ A3.33)
В рассматриваемом нами случае, когда масса одной из частиц
равна нулю, формулы C-12.68) и C-12.69) дают для потока
F = daP2dak2 2 (~2к2р2), -2к2р2 = М2 - т\ A3.34)
и мы заключаем, что
Ат A3.35)
В предельных случаях A3.22) мы действительно получаем те же
выражения,.что и в формуле C-12.118), и полное сечение, найден-
найденное интегрированием выражения C-12.117), согласуется с общин
выражением A3.21) для функции % (М2).
Действительную часть спектрального интеграла A3.30) удобно
вычислить, подставив для % (М2) интегральное выражение A3.21)
и взяв сначала интеграл по М2. Результат таков (индексы опу-
опущены):
J Л/2 (M2-m2)a-BpA:J ~
1
Г 1 Г , гA — гK П, / m3
~ L m*-B/)feJ + J Z 4т* —A-zK BpfeJ J Ш \ -2р
() (p) J 2рк
При низких энергиях фотона правая часть сводится к
<13-37)
а в другом предельном случае она принимает вид
Выразив в двух предельных случаях дифференциальное сечение
рассеяния вперед через энергию фотона в системе покоя частицы,,
т. е. через
14*

212 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
мы получим
к°<т Ж=Ы 1е*-е^Ч з5гGй) (W2
A3.40)
Отметим, что здесь не возникают какие-либо инфракрасные труд-
трудности, поскольку заряженная частица не отклоняется, и что сече-
сечение увеличивается по сравнению с его значением, к которому
приводит скелетная схема взаимодействий. Независимо от началь-
начальной поляризации величина | е* • е2 |2 при суммировании по конеч-
конечным поляризациям заменяется единицей.
В случае фотон-фотонного рассеяния простая спектральная
форма, возникающая при рассмотрении рассеяния вперед, будучи
взятой вместе с двойной спектральной формой, полностью опреде-
определяла матрицу перехода. Данный же случай, когда участвуют
два поля частиц и два поля фотонов, оказывается более сложным,
так как возможны два разных варианта причинной последователь-
последовательности при рассеянии вперед. В качестве второго варианта можно
взять столкновение двух фотонов с образованием пары частиц,
которая затем участвует в рассеивающем взаимодействии. Это
двухфотонный аналог последовательности, рассматривавшейся
в § 4. Но здесь вместо виртуального фотона рассматриваются
реальные фотоны. В системе центра масс случаю рассеяния вперед
отвечает требование, чтобы направления противоположно движу-
движущихся заряженных частиц совпадали с направлениями противо-
противоположно движущихся фотонов. Эффективный двухчастичный
источник, который опять можно получить из формулы C-12.92),
имеет вид
iK (А) К (р'г) [эфф = Bя)* S (А + ft* - к - к') 2АцУЧ X
X(da>kda>k')lhiJ2iJ2', A3.42)
где (в диадных обозначениях)
Этот источник и следует подставить в ту часть вакуумной ампли-
амплитуды D.4), которая описывает кулоновское рассеяние. Конечно,
присутствует также и член, отвечающий аннигиляпионному ме-
механизму, но в него входят эффективные источники, антисимме-
антисимметричные по р2 и р'2, тогда как источник A3.42) симметричен. В ре-
результате для элемента матрицы перехода, соответствующего на-
нашей причинной последовательности, получаем (ненужные здесь

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 213
причинные индексы опущены)
A1Т12>с = — 2яг (d(op ... dwft,)I/2 2e4 X
X j еЦ,2<Ч^2яK Ь(Р2 + Рг—к-к') х
j
X {Р+{Рр±(Рр'+Р*] еУе'. A3.44)
Процедуру интегрирования, необходимую для вычисления
тензорного среднего значения
Ш^1 y A3.45)
можно упростить, учитывая, что рассматривается рассеяние впе-
вперед. Соответствующее условие, записанное в ковариантной форме,
имеет вид
^жГП A3-46)
где
М2 = - (к + к'У = -(р+ р')\ A3.47)
Поэтому тензор Л следует строить из векторов к и к' в различных
их комбинациях кк, к'к', кк', к'к и из единичного тензора. Но
имеются также и ограничения, накладываемые калибровочными
свойствами
kV = k\ Vk' = к. A3.48)
Они находят свое выражение в записи
А** а A--1щ)+ЪШ+ €(№+№).] A3.49)
Но в окончательный результат входит только коэффициент а (М2):
A \\Т 12)с = 2ni (Жор ... d®h.fh 4а2 х
Информацию, необходимую для построения а (М2), можно
получить, образовав след тензора Л:
A3.51)
и вычислив &'Л&:
/(Р+Р2)(Р'+Р2) Г1
Л (Р-Рг)а 12
A3.52)

214 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
С учетом соотношения
= ~
выражение A3.52) можно упростить:
М* A3.53)
\ (р-йJ
= ^a+*Mzb. A3.54)
Сложив эту величину с величиной A3.51), получим
а(У) = |^/(р+Рг)(р'+Р') ГА+-У1У A3-55)
Эквивалентный этому выражению интеграл по углу рассеяния
в системе центра масс выглядит следующим образом (мы опять
вводим массу фотона ц):
х Г 1 i
u2 / 4ти2 \Vs X
— 4m2 u2 /, 4ти2 \Vs
¦ Чтобы провести пространственно-временную экстраполяцию
амплитуды вероятности A3.50), напишем
{ ) ) exp [ -1 (p
li \ d(i)
где под знаком интеграла стоят некоторые дополнительные функ-
функции от М2. Соответствующий вклад в элемент матрицы физического

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 215
перехода равен
.. dah')y*4а2е{(кк')-к'к) е' х
х J -iH1—if) а(М2)^шч=м^1Г- A3-58)
Bт) 2
Такой вывод мы сделали, основываясь непосредственно на выра-
выражении A3.50), так как оно уже представлено в калибровочно-
инвариантном виде.
Рассмотрим теперь причинную последовательность, которая
приводит к двойной спектральной форме. (Рекомендуем читателю
нарисовать каузальную диаграмму ромбовидной формы для
описываемого процесса.) Обобщенный фотонный источник, испус-
испускающий времениподобный импульс К2, порождает пару частица —
античастица. Одна из этих частиц проходит вблизи еще одного
обобщенного фотонного источника, где ей передается простран-
пространственно-подобный импульс Ка. Другая же попадает в окрестность
обобщенного источника частиц, где при слиянии этой частицы
с виртуальной (анти)частицей с импульсом Ра рождается фотон.
Затем фотон и частица, возникающие на этих промежуточных
стадиях, объединяются и детектируются обобщенным источни-
источником частиц, который поглощает импульс
Рг = Кш + Ка+ Ра. A3.59)
В этой схеме участвуют реальный фотон с импульсом к и три
реальные частицы с импульсами р', р", р'". Эти импульсы опреде-
определяются законами сохранения, соответствующими каждому акту
взаимодействия:
Кг = р'+р0, Ра = к-р\
Ка=Р' -р", Pt = k + p'. A3.60)
Таким образом, импульс'частицы, которая детектируется вместе
с фотоном, равен
р' = Р1- к, A3.61)
импульс частицы, которая участвует в рождении фотона, есть
р" = к- Ра, A3.62)
а для оставшегося импульса имеем
р" = К2 + Ра — к = Рг - к - Ка. A3.63)
Рассматриваемый процесс представляет собой однофотонный
обмен, при котором частица последовательно взаимодействует
с полями 42 и 4„. В символической форме записи ему отвечает

216 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
следующая вакуумная амплитуда:
J i dah<fneq [р exp {ikx) -f exp (ikx) p] A+eg (pAa + Aap)x
X A+eg (рАг + A2p) A+eg [p exp (— ikx) + exp (— ikx) p] q>a. A3.64)
В явном виде она представляется как
ИгС^фа^а)/^, A3.65)
где
hv= J (^);5(^ + [г2) б^Л-^ + т^] 6[(Л-А:-,й:оJ+™2] X
X ^^-^-^^[г^а-^ + ^к. A3.66)
По поводу последнего выражения заметим, что импульсный множи-
множитель, с которым входит в выражение для связи поле А*а, равен
(р' -f- p")fx, так как им обусловлено отклонение частицы с задан-
заданным зарядом, поле жвА\, рождающее пару частиц с противополож-
противоположными зарядами, умножается на {р" — p")v- Соответствующие за-
законы сохранения, или условия калибровочной инвариантности,
имеют вид
0. A3.67)
Двум независимым способам рассмотрения возбуждений, рас-
распространяющихся в нашей системе, отвечают спектральные массы
М* = - (Ра + KJ* = -(Pi- КаГ >та A3.68)
М'а = - (Кг + Ка? = -(Pi- Ра)ш >4т2. A3.69)
Первая относится к распространению частицы и фотона, а вторая
к паре частица — античастица. [Конечно, первое неравенство
следует записывать как М2 >(пг + иJ; в^формуле A3.68) мы
указали физический нижний предел.] Введем также массы
М\=-Р\,\ М1=-Р1 A3.70)
В конечном итоге мы их экстраполируем, переходя от значений,
соответствующих причинной последовательности, к интересую-
интересующему нас значению /га2, которое отвечает истинному процессу
рассеяния. Набор шести скалярных кинематических величин
(двенадцать компонент трех независимых векторов с исключен-
исключенными шестью параметрами группы Лоренца) получим, включая
также скаляры К* и К\, которые впоследствии мы положим рав-

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 217
ными нулю. Дельта-функции в формуле A3.66) приводят к соот-
соотношениям вида (масса фотона здесь опущена)
Выполняются также соотношения
2а, A3.72>
2КаРа = \ 1
В качестве применения этих формул отметим, чтб"
BPi-k)BPa-k)s=2M'z-Ml-Ml-2m\ A3.74)
Основной интеграл в выражении A3.66) имеет вид
I = j (dk) б {№ + ц2) б BkPi + М\ — m2) x
X бBЖ2 + М2 - Ml) б {2кРа + М2а- т2) =
X Ь{2хК2) б B%Ра + М1—т*+^^—К2Ра) , A3.75)
где
\Kl K2. A3.76)
Он очень похож на интеграл A0.7), и точно так же
7==?P^"f A3-77>
где
(-AI/2He«Mn№M*v|. A3.78)
Для вектора х^ можно написать следующее общее выражение
[формула A0.13)]:
A3.79)

218 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Чтобы получить уравнения, позволяющие найти а и Ъ, умножим
обе части равенства A3.79) на векторы Ра и Р4:
= а (Р{Ра~ р^р* ) +Ъ ( -М\-???-). A3.80)
Определитель этой системы равен
"~~\ Ма К\- }\ Mi Щ ; \^аГ1 щ
aPiPaK2PlK2]. A3.81)
Для квадрата вектора A3.79) имеем
¦ (Щ-М
<у2 ¦ * 2. "'
5_ КгР
^c^-KlD), A3.82)
где для того, чтобы интеграл A3.75) отличался от нуля, должно
выполняться условие
c2(-KlD)>0. A3.83)
Сравнивая с A3.82) другое выражение
xlt = axPa + bxP'1+c&™htvPavPi«KiK, A3.84)
получаемое путем умножения A3.79) на х^, получим
С*(_/ЗД = |С|(-ЛI/2, A3.85)
A3.86)
Для иллюстрации приведенных соотношений рассмотрим
непосредственно интересующий нас случай, когда
М1 = М2а^т\ К1=*К1=0, A3.87)
хотя к значению К\ = 0 следует переходить путем вычисления
соответствующего предела. Приведем для удобства значения раз-

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 219
личных скаляров в этом пределе:
2Р1Ра^М'*-2т*; -2К2Ка^М'2;
2КаР1, - 2К2Ра -+М2- т2; ( 8)
2КаРа, - 2K2Pi -+М* + М'*-т2.
Далее,
± A3.89)
а решения уравнений A3.80) при М\ = М\ = тг, имеющие вид
К\ Da = —1 (М2- т2) [т*К2Ра + К2Р^аР^,
A3.90)
КРР
дают
1
2" (M2-
Условие существования интеграла в случае М\ = М„ = /га2 записы-
записывается так:
[ i]n2>0. A3.92)
Воспользовавшись линейными уравнениями A3.80), можно будет
вычислить комбинацию A3.92) двумя эквивалентными способами:
P.Paa-m^b). A3.93)
В итоге неравенство A3.92) в рассматриваемом пределе будет
иметь вид
В случае когда можно не учитывать фиктивную массу фотона,
это неравенство просто содержит в себе независимые спектраль-
спектральные условия
Мг >тп2, М'2 >4тп2. A3.95)
Но если наличие конечной массы у фотона существенно, то ни
один из входящих сюда нижних пределов не достигается. Эта
спектральная область с достаточной точностью задается неравен-

220 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
СТВОМ
^J7-. A3.96)
Из соотношения A3.86) вытекает следующее предельное выраже-
выражение для А:
^L (М2- m2J M'z (M'z —Amz) -
— j-H2M'z[(M* — m2J + MzM'2]. A3.97)
В соответствии с упрощением, принятым в формуле A3.96),
в коэффициенте при (д,2 с достаточно хорошим приближением
можно Мг заменить на т%.
Как и при анализе фотон-фотонного рассеяния, величина А,
получаемая путем экстраполяции, оказывается положительной,
и приходится выбирать одно иэ значений
(_ДI/а = ± гд1/2. A3.98)
И здесь зто достигается сравнением каузального и некаузального
решений сходной, но упрощенной задачи. С этой целью нужно
вычислить интеграл (в D+ входит масса фотона)
/= f (da;) ... (dx™) D+ (х"—х) exp (ipx) Д+ (ж— х') X
X А+ (х' - х") А+ (х№ - яГ) ехр (- ipV), A3.99)
где
р2 _|_ m2 = 0) A3.100)
двумя разными способами — сначала некаузальным методом,
при котором функций распространения записываются в четырех-
четырехмерном виде:
/ = Bji)*6(p_pVo,
Т [ (dk) I г 1 -]3 A3.101)
J°~ J Bя)* A? + |i2-ie L(A-pJH-m2-i8 J '
а затем с использованием двойной спектральной формы, при помо-
помощи которой проводится пространственно-временная экстраполя-
экстраполяция амплитуды, описывающей причинную последовательность
событий. Кинематический интеграл имеет вид A3.75), причем
нас интересует только результат его экстраполяции на случай
/4Г2 = Ка = 0 и Рг = Ра ¦= р. Вводя двойные спектральные фор-
формы тем же способом, что и при анализе, приводящем к формуле
A0.36), мы вместо A3.101) получим следующее выражение:
, _ С dM* dM'* I 1

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 221
Первый же метод расчета Jo основывается на использовании
параметрического представления обеих функций распростране-
распространения, фигурирующих в формуле A3.101):
О
j ids2exp[— isa(/i:2 + n2)]]. A3.103)
о
Произведя замену переменных
Si = su, s2 = s A — и), ск^ъ = sdsdu,
0<s<oo, 0<и<1, , A3.104)
перепишем Jo в виде
yduM2dss3 [-в.ехр{ —is[&2 —2/сры+и2A-м)]}. A3.105)
При интегрировании по импульсу мы сначала выделим полный
квадрат
к2 = 2кри = (к — риJ + т2иг, A3.106)
а затем воспользуемся обычной формулой (8.57). Это дает
1 оо
T=W' A3.107)
Поскольку входящий сюда интеграл положителен, сравнение его
с выражением A3.102) решает вопрос о выборе ±? в пользу -\-i.
Убедимся, однако, также и в совпадении обоих численных множи-
множителей, по крайней мере при ц/т <^ 1.
Ввиду того что член сц2в знаменателе существен только в том
случае, когда и очень мало, множитель 1 —• и можно заменить
просто единицей. Но тогда, вводя переменную
•) т и П л-" V <г" '"* ~ го М "X \ пЯ\
мы в этом приближении получаем
оо
J°- 32я2 тЗц J °"

222 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Альтернативная же выкладка дает
Jn~l ' 2я 2я М* — т2 М'2 2 М' (-W'2—4го2I/2
Х-
Если ввести переменную г/ по формуле
M2-m2=2fim ——тгу, 1<у<оо, A3.111)
то будем иметь
1 Г dy 1 F J^!_
il J к fl/2 l>*/2 J Ш'2J —
1 Vff ' BJ
_J J^!_
16я2 nil J к fl/2 l>*/2 J Ш'2J — 128я
Vff ' BmJ
Из формул A3.76) и A3.79) вытекает следующее явное выра-
выражение для вектора импульса фотона:
A3.113)
где в соответствии с A3.93)
1 (Л/2-т2)(Л/'2-4т2)
2 (Jl/2—m2
Заметим, что предельные значения коэффициентов связаны соот-
соотношением
d = a-b. A3.115)
Вспомним также, что у коэффициента с фиксирована только
абсолютная величина, а потому можно использовать среднее зна-
значение по обоим знакам этого коэффициента (основной интеграл /
уже содержит двойку в качестве сомножителя). Из равенства
A3.86) для экстраполированного значения величины с2 получаем
4т2 \ (Л/2 — т2J
Векторные комбинации, входящие в выражение A3.66), можно
представить следующим образом:
+ A - а + Ъ) К%
A3.117)

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 223
где использованы преобразования типа
Pi = у (Pi + Ра)+ у <** + *•)¦ A3.118)
Имеется одно соотношение между а и Ь, диктуемое условиями
калибровочной инвариантности:
О = Ка [2 (Рх - к) - Ка] = Кг [2 (Рв - к) + К2] =
= {М2 — т2) A - а — Ъ) - М'2Ъ. A3.119)
Оно действительно выполняется, так как
1 а 6 (
После пространственно-временных экстраполяции, которые мы
собираемся проводить, калибровочная инвариантность не будет,
вообще говоря, сохраняться, если не считать членов с коэффи-
коэффициентом с. Поэтому нужно сделать так, чтобы она выступала в яв-
явном виде уже на исходной стадии, когда рассматривается причин-
причинная последовательность событий. Как и в случае фотон-фотон-
фотон-фотонного рассеяния, этого можно добиться разными способами. Один
из возможных вариантов основан на калибровочном преобразо-
преобразовании
A3.121)
Новые выражения обращаются в нуль при умножении на К2 -\- Ка.
Если выбрать затем лоренцевскую калибровку, то при скалярном
умножении на любой из импульсов фотона эти комбинации также
обратятся в нуль. Это позволяет нам тоже заменить сумму Рх -\-
+ Ра, когда она выступает в качестве сомножителя при вектор-
векторных потенциалах, либо величиной 2РХ, либо величиной 2Ра.
В результате мы имеем
Aa(K2)[2(Pl-k)-Ka][2(Pa-k) + Kt]Ai(KJ =
X [РаК2КаА2 (К2) - KaK2PaAz (К2)\ —
Aav (Ka) К2кРАг^КшА,у (К,) КауРаи A3.122)
где опущены члены, линейные по с. Заметим, что в одно из этих
слагаемых входят напряженности поля, а в другое — дуальные
им величины.

224 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Как и при переходе от A0.34) к A0.36), пространственно-вре-
пространственно-временная экстраполяция проводится путем введения структуры
типа двойной спектральной формы, а именно
2я 2я (
Чтобы при записи наших результатов как можно реже повторя-
повторялись сложные выражения, введем непосредственно двойную спек-
спектральную часть физической матрицы перехода, получаемой путем
экстраполяции
Ра-^Р^, Р1-+Р1, ?«-»- —*i, Kz-+k2, A3.124)
дополненной кроссинг-преобразованием
k2+-» — ku е2*-+е? A3.125)
или эквивалентным преобразованием
Р2«—— Pi- . A3.126)
Она имеет вид
, Х L (ft+*i)*+JK»-fe + (ръ-ktf + M* J Х
+ A —jpr) f-^^к^ЛхР1хв1«"*ЛЧ1в,ЛкР.х } , A3-127)
где
Изложенный нами способ сделать калибровочную инвариант-
инвариантность явной довольно прямолинеен. Но у него есть тот недостаток,
что в окончательном результате зависимость числителя от импуль-
импульсов оказывается приводимой. В рассматриваемом случае имеются
две основные калиоровочно-инвариантные и кроссинг-симметрич-
кроссинг-симметричные величины, в которые входят векторы поляризации, а именно
величина
A3.129)
гкоторой определяется структура процесса скелетного рассеяния, и
G2 = кхк2еХе2 - к2е*кге2. A3.130)

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 225
Введя их, будем иметь
(kje^p^e* — к^р^е*) (к^к^р^ъ — к^р^е^ =
i A3.131)
2) G2. A3.132)
В справедливости этих соотношений можно убедиться либо путем
алгебраических преобразований, либо путем сравнения их обеих
частей в какой-то координатной системе, например в системе
покоя вектора р2. Поскольку появление в числителе множителей,
содержащих импульсы, диктуется исключительно калибровочной
инвариантностью, лишние множители такого типа следует выки-
выкинуть, преобразовав их в дополнительные простые спектральные
формы. При этом кгк2 заменится величиной Ч2М'2, а произве-
произведения —kzPz и к^ръ, которые снабжаются соответствующим знаме-
знаменателем, заменятся величиной V2 (Мг — т2). В результате воз-
возникнет следующая двойная спектральная форма:
X {к1-к2J+М2 [(pB
/j xVa/ 9 in f dM*dM'* i. 2m« \ 1
г l 1 1
x L (p2+ktf+M*-it + fa-w+M*]' A3.133)
где использовано соотношение
[A3.134)
Добавочные простые спектральные формы" определяются
информацией, которая вытекает из того обстоятельства, что мы рас-
рассматриваем случай рассеяния вперед. Построим сначала простую
спектральную форму, которая явится обобщением выражения
A3.29) на произвольные углы рассеяния. Как видно из калибро-
вочно-инвариантных выражений A3.28), в эту связь, если пред-
представить ее в пространственно-временной форме, поля входят в ком-
комбинации
~-j (dx)(dx')dli({>(x)F]lv(x)A+(x-x',M2)FvX(x')d'\(x'), A3.135)
15-0983

226 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
которую следует проинтегрировать по М2 с соответствующим весо-
весовым множителем. Возникающая при этом простая спектральная
форма содержит приводимые калибровочно-инвариантные комби-
комбинации
[(Mi) e* — (Pie*) К] [(Pih) e2— (р2е2) h] = Gi + k2p2G2,
[(P«*i) <- (p2e?) *!] [(Pik2) e2- (Pie2) k2] = Gj - A,pA. A3.136)
Преобразованное выражение имеет вид
<*
*
—is Г (p2-fci) +
oo
X L (p2+fc2J+M2-ie + (Pt-kiP+W lm A3-137)
В интересующем нас случае рассеяния вперед, когда pjc2 = psklt
оно не содержит никаких инфракрасных особенностей. Данное
выражение нужно сравнить с предельным выражением для двой-
двойной спектральной формы, отвечающим рассеянию вперед, которое
получается, если наложить кинематическое ограничение (кг —
— fe2J = 0. Один из возникающих при этом спектральных инте-
интегралов таков (ц = 0):
J
m«)» 8
_от2J]2 ~ 71/2 Л/2_ГО2 '
A3.138)
Определение функции х (Л^2); которая фигурирует здесь,
X (М») ^ (М* + my j cto (Л/2+тоТ!Г;2(^-го2J , A3-139)
о
эквивалентно определению A3.20). Нам потребуется также инте-
интеграл
\
Г dM'* М'*-2т* _ 1 1 \
J дх/2 Ш'2J да2 М2 — т* J
2ТПJ О
J д ) J М2 —то2
BТПJ О
A3.140)

§113. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ^ | 227
В результате получим следующую простую спектральную форму:
+ (dcoPi .. .)V\8a^2 J dM*' M2_J [ j, A3.141)
гдёГквадратными скобками обозначена комбинация из функций
распространения, входящая в формулу A3.137). Первые два сла-
слагаемых здесь воспроизводят результат A3.137). Следует ли отсюда
вывод, что нужна какая-то дополнительная простая спектральная
форма, которая скомпенсировала бы последний член в* формуле
A3.141)?
Ответ на этот вопрос отрицателен — никакие простые спек-
спектральные формы с комбинациями импульсов (ра -f ^2J и (Рг — &iJ
не требуются. Мы намеренно заострили внимание на этой пара-
парадоксальной, с первого взгляда, ситуации, с тем чтобы подчерк-
подчеркнуть одну тонкость, возникающую при анализе особого кинема-
кинематического случая. Что означает термин «рассеяние вперед»—
равенство кх = /с2 или же (kt — fe2J = 0? Выкладки, в результате
которых мы получили выражение A3.137), основывались* на ра-
равенстве к-,. — fe2» ПРИ приведении же двойной спектральной'формы
к виду A3.141) мы принимали, что (кх — fe2J = 0. Различие меж-
между двумя этими подходами видно из того, что G2 обращается в нуль
при кг = к2; на самом деле таким способом может быть получена
только простая спектральная форма с множителем 6гх. Нам сле-
следует вернуться к расчету среднего значения A3.13), результатом
которого явилась формула A3.18), и сохранить добавочную комби-
комбинацию в числителе, приводящую к 6?2, по-прежнему пользуясь
при этом теми упрощениями знаменателя, которые возникают
благодаря соотношению (кг — к2)'2 = 0. Тогда, введя обозначение
? = -Ц^А + -^Р.. A3.142)
будем иметь
1
15*

228 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Здесь учтено, что это выражение умножается на е*^ и e2V, а по-
поэтому можно произвести замены
^ 1A3-144)
К последней из них приводит результат вычисления интеграла по
v, входящего в формулу A3.13). Вьшолняя в дополнительном сла-
слагаемом в формуле A3.143) интегрирование по частям, мы для
A3.10) теперь получаем
(М2) —f ] , A3.145)
или, если произвести калибровочно-инвариантную подстановку
A3.28),
[A3.146)
Мы видим, что отношения коэффициентов у этих трех слагаемых
точно такие же, как и в комбинации A3.141).
Чтобы применить двойную спектральную форму к случаю
рождения пары, произведем кроссинг-подстановки
К еТ -+•}- К е, Рг ->> р'и A3.147)
а, кроме того, вместо к2, ег, рх напишем к', е'в р. В результате
6?! -*•]— кркр'ее' + крер'е'р + кр'ере'р',
G2 -> - Шее' + ек'е'к. ^ A3.148)
В случае рассеяния вперед, которому соответствуют соотношения
р + р' = к+к', p-p'^i + jj^lJ^Yk-k'), X13.149)
мы получим
-»- 0, A3.150)
тогда как
1 . 1
М2 —
М2 — т* — 2рк ^ М2 — т2—2рк' ~

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 229
Комбинация, которая входит в двойнукГЪпектральную форму,
имеет вид
_ 2 (ЛЯ —т*)-\-М'2 1
'2 — ie,
"+" М2 (Л/2 —т2
Функция
[(ft - А:'J + (М2 -
описывает перенос пространственно-подобного возбуждения; он
отличается от механизма обмена парой, которому отвечает функ-
функция
[(к + k'f + М'* - ie}-K
Вклад последнего равен
— («top, • ¦ .)V24a2m2G2 j dM'2 X
2m2
^'2 f
+ЛГ'2 —ie J
Входящий сюда интеграл по М2 можно вычислить, разбив
весь интервал интегрирования на два, для чего введем промежу-
промежуточное значение Л/2 — т2 = X, удовлетворяющее неравенствам .
2A7» < X < т\ A3.154)
Это позволяет нам представить интеграл в виде
4 / • 4го2\-1/2
1
X
'2 -i мч
где
В результате получим
•2 /,, 4»2 \-У»Г1 ЛГ2 — 4m» /. 4m2 \Va
X

230 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Сравнение с формулами A3.56) и A3.58) показывает, что к двой-
двойной спектральной форме необходимо добавить следующую про-
простую спектральную форму, которую мы записываем для случая
рассеяния фотона:
J м,% м,2 х
-In
Но остается еще один вопрос. Условием рассеяния вперед
A3.149) никак не определяются выражения, содержащие Gx -f-
+ 1/2те26г2. Правильно ли фиксирует их двойная спектральная
форма или требуется какая-то дополнительная простая спектраль-
спектральная форма? На основании всего сказанного ранее о функции G2
можно полагать, что в двойной спектральной форме действительно
содержится вся необходимая информация. Чтобы удостовериться
в этом, вернемся к вычислению матричного элемента A3.44)
и рассмотрим случай, когда импульсы частиц р = — р' состав-
составляют с импульсами фотонов к = — к' угол а. К тому же мы возь-
возьмем разность результатов, соответствующих случаю, когда век-
векторы поляризации е = е' лежат в плоскости импульсов р и к,
и случаю, когда они перпендикулярны ей. Тем самым мы выделим
зависимость от Glt поскольку величина G2 при обеих ориентациях
векторов поляризации принимает одно и то же значение, а
in2a. A3.159)
Возникающий теперь интеграл имеет вид
—БГ- [ ^_т2) 2A_cos 1] \
х
X [( — sin a cos 6 -f cos a sin 6 cos cpJ — (sin 6 sin q>J], A3.160)
где
1,18 1
-Pzk -P2k'
A3.161)
Здесь использована сферическая система координат, в которой
вектор р направлен по оси z, а вектор к лежит в плоскости xz.
Отметим, что слагаемое ,—1 в первой квадратной скобке не дает
вклада, так как в отсутствие выделенного направления, связан-

§113. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 231
ного с импульсом р, две ориентации векторов поляризации экви-
эквивалентны, и соответствующие члены взаимно уничтожаются.
После второго дифференцирования достаточно рассмотреть
предел при а -^> 0. Тогда в формуле A3.160), взяв предварительно
интеграл по азимутальному углу, получим
2го2
1
М2 тЛ
4 )
1
4m2
ЛЯ
X
ХГ—4 li^il_±
Х |_ Д2 i 4 Z?2
где введено обозначение
Оставшееся интегрирование дает
A3.162)
A3.163)
A3.164)
где
2 — 2т?
In
X
х-
-ln-
\ М
В итоге мы получаем следующую спектральную форму:
(d^ ...I/216-^-
A3.165)
BШJ
Теперь ее нужно сравнить с той простой спектральной формой,
которую выделяет из первого слагаемого в формуле A3.133)
условие рассеяния вперед в его скалярном варианте. С учетом
выражения для коэффициента при ее' в формуле A3.148) это усло-
условие можно представить в виде равенства
2кркр' + тгкк' = 0, A3.167)

232 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
так что достаточно произвести подстановку A3.151). Спектраль-
Спектральная форма может быть записана в том же виде, что и A3.166), но с
V
д1/2
X
A3-168>
Выполняя здесь интегрирование, мы приходим в точности к функ-
функции A3.165). Отсюда следует, что поправка к рассеянию фотона
на частице полностью описывается двойной спектральной фор-
формой A3.133) и простой спектральной формой A3.158).
Здесь вставляет свой вопрос Гарольд.
Гарольд. Прежде чем идти дальше, скажите мне, пожалуйста,
вот что. Почему ничего не говорилось об одночастичном обмене?
Ведь процесс скелетного комптоновского рассеяния можно рас-
рассматривать исходя из такой причинной последовательности собы-
событий: частица рассеивается электромагнитным полем, а возникаю-
возникающая при зтом реальная частица детектируется-в результате еще
одного подобного процесса рассеяния. Тогда мы имели бы дело
с динамической модификацией каждого отдельного акта рассеяния.
Швингер. Вообще говоря, Вы правы: одночастичный обмен
также следует учитывать. Но спин 0 составляет исключение.
Если рассматривать рассеяние частицы каким-либо подходящим
полем, а затем провести экстраполяцию на случай поля фотонов,
то в конечном итоге зарядовый формфактор F (к) нужно будет
вычислять при к2 = 0, а при этом условии он остается равным
единице. Поэтому в случае спина 0 одночастичный обмен описы-
описывается скелетной связью.
Масса фотона входит только в двойную спектральную форму.
Эта зависимость допускает простую проверку, ибо она должна
сбалансировать дополнительное рассеяние, которое сопровож-
сопровождается мягким фотоном, — так называемое двойное комптонов-
ское рассеяние. Теперь нас будут интересовать только коэффициен-
коэффициенты при In 1/ц, а не аддитивные константы. Соответствующий вклад
двойной спектральной формы, обусловленный окрестностью
М2 ~ т2, равен
v Vi ' kip2kiP2 |x J M 2
BmJ
2m2
' A3.169)

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 233
где учтено соотношение
1 --Hfe^- <13-170>
Совместно с амплитудой A2.98), описывающей процесс скелетного
рассеяния, он дает
. ..)¦'¦&¦„
Отсюда видно, что относительная поправка к сечению упругого
рассеяния равна
Комбинируя ее с вероятностью A2.16) испускания мягкого фото-
фотона, в которой
<72 = (Pi - РаJ = (*! - Л2J, A3.173)
мы увидим, что зависимость от фиктивной массы фотона действи-
действительно полностью исчезает.
Низкоэнергетический предел процесса рассеяния частично
характеризуется условием
(К - К? < Ьп*> A3.174)
а поэтому его можно исследовать так же, как случай рассеяния
вперед, в котором мы получили простую спектральную" форму
A3.141). Но теперь нам нужно учесть инфракрасное поведение
вблизи значения М2 = пг2. Для этого мы можем повторить все
сказанное только что о массе фотона с дополнительным условием
A3.174), за тем исключением, что теперь нас интересует константа,
которая добавляется к In A/(л). Пусть нижний предел первого
интеграла в формуле A3.141) равен М2 = пг2 + X, где X удовле-
удовлетворяет условиям A3.154). Тогда добавка к нему будет равна
/J \1/ Q 2Л (*1 — к*У Г
(dcop, ...)V- Sort?, Ц^ J
BтJ
X , /?'vlfa t-^тгтг, A3.175)

234 | ]ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где Y — величина, определяемая формулой A3.156). Для входя-
входящего сюда двойного интеграла имеем
Испускание мягкого фотона, которым компенсируется зависимость
от \i, описывается выражением A2.25). В системе покоя начальной
частицы процесс является нерелятивистским, и величину ЬМ
в этом выражении можно отождествить} с к^аа, минимальной
детектируемой частотой дополнительного мягкого фотона. От
всех этих характеристик фотона зависит интеграл
A3.177)
Таким образом, член, который чувствителен к инфракрасным
эффектам, равен
(dm- ...)V._|.-gi-C, ^-y In 0 * . A3.178)
Для отыскания низкоэнергетического предела вклада A3.141)
воспользуемся интегралом, сходным с A3.36),
fdr 2A~z) 1
J ""* 2m2 — A — z) x J
1
-1
в котором считается, что х >0. Чтобы получить правильное зна-
значение этого интеграла при х < 0, следует в аргументе первого
логарифма написать | х |. Выделив ту часть выражения A3.179),
которая нечетна по х, мы вновь придем к формуле A3.36). Главные
члены в разложении по малым х таковы:
2) __:
m2
Зот2
<13'180»

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 235
В слагаемое A3.141), содержащее величину Gx, входит интеграл
вида
J
dM2
J 2 M2 — rrfl М2 — т2-)-х
ТП.2+Х
_J_ Г dM2 хОТ 1 Г
х J М2 М2 — т2 х J
2+X
М*
Первый интеграл в правой части можно получить из выражения
A3.180), если учесть, что х <^ X <^ т2. Имеем
J Л/2 M2-m2 + 3
m2 3 M2—г
2
откуда
%{M2)
При объединении этого члена с A3.178) произвольный параметр
X исчезнет.
В низкоэнергетическом пределе последнее из трех слагаемых
в формуле A3.141) приводит к интегралу
j MJ mm A3.184)
m2
в существовании которого можно убедиться, переписывая A3.139)
в виде
1
m,)]>. A3.185)
Введя переменную
и= ZlTml . 0<u<l, A3.186)
получим
1 1
, u2(l-u2)
о о
' '" sir- A3-187)

236 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Последний из нужных нам интегралов дается простой спектраль-
спектральной формой A3.158). Он равен
С dM'2 2m2 , ^ \ М'*
J (М'2J ~М'2 П / 4m2 \V2 ~~
BтJ 1—^1 ^дтг )
Собирая все вклады вместе, для матрицы перехода в низко-
низкоэнергетическом пределе будем иметь
<13Л89>
Мнимый член мы опустили, так как он оказывает пренебрежимо
малое влияние при вычислении дифференциального сечения, кото-
которое и составляет в данный момент предмет нашего рассмотрения.
В системе покоя начальной частицы и в калибровке, в которой
векторы поляризации ортогональны ее импульсу (р2е = 0), наш
результат записывается в виде
J1--JL)]. A3.190)
Здесь nll2 — единичные векторы, задающие направления распро-
распространения фотонов:
щ-Пг = cos 0, A3.191)
а А0 — энергия фотона, которая в рассматриваемом низкоэнерге-
низкоэнергетическом столкновении практически не изменяется.
Из A3.190) сразу же можно получить модифицированное диф-
дифференциальное сечение для поляризованных фотонов, обобщающее
результат A3.40). Мы ограничимся тем, что приведем выражение
для поправки к дифференциальному сечению в случае неполяри-
зованных фотонов. Необходимые суммирования по конечным
поляризациям и усреднения по начальным поляризациям прово-
проводятся с помощью формул [ср. с C-14.101)]
-2-Sle?-esl2 = TA + cos26> A3.192)

§ 14. НВКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 237
И
-g-2 ef.e1n2-efn1.e2= —|-cos 9A —cos2Э). A3.193)
Результат таков:
+ ± A _ cos 6J- -1 A - cos в) A + cos2 0) (In J?-- 1) ] .
A3.194)
В частном случае рассеяния назад мы получаем
0=я: Чж) = -Ы -wh?) (lniu"-ir)' A3-195)
A3Л96)
а поправка к полному сечению дается выражением
2
мин
В зависимости от количественного соотношения между
и (т/2к0J она может как увеличивать, так и уменьшать полное
сечение. Мы не будем останавливаться на деталях высокоэнерге-
высокоэнергетического неведения; заметим лишь, что относительная поправка
к дифференциальному сечению по порядку величины равна коэф-
коэффициенту а, взятому с логарифмическим множителем, вид кото-
которого зависит от рассматриваемой области углов; примером может
служить формула A3.41).
Примечание исторического характера. Энергетическую и угло-
угловую зависимости поправки A3.194) опубликовали в эквивалент-
эквивалентной форме в 1948 г. Коринальдези и Йост [Е. Corinaldesi, R. Jost,
Helv. Phys. Acta, 21, 183 A948)]. Эти авторы пользовались мето-
методом унитарного преобразования, которым были получены также
первые результаты, касающиеся магнитного момента электрона,
энергетических сдвигов и поправок ,к кулоновскому рассеянию.
§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Мы уже применяли в ряде случаев некаузальные методы расчета.
Самым интересным был случай низкочастотного рассеяния -света
на свете и сходные задачи. Наиболее удивительными оказались
результаты вычисления вероятности порождения электрон-пози-
тронной пары сильным однородным электрическим полем, по-
поскольку этот эффект не может быть вызван конечным числом актов
однократного рассеяния. Теперь же мы хотим показать, что не-
некаузальные методы особенно подходят для исследования сдвигов

238 I ГЛАВА i. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
энергетических уровней связанных состояний, поскольку такие
сдвиги тоже обусловлены бесконечным числом взаимодействий.
Сделать это весьма желательно по той причине, что каузальные
методы не подсказали нам достаточно изящного решения вопроса
о едином подходе к процессам, протекающим при высоких и при
низких энергиях. В самом деле, пытаясь рассчитать такими мето-
методами поправку порядка Za к энергетическому сдвигу в кулонов-
ском поле, мы, затратив много времени и труда, убедились
в излишней сложности соответствующей процедуры и вынуждены
были отказаться от своей попытки. Заметим, что свободой в выборе
каузального и некаузального методов расчета или какого-то их
сочетания подчеркивается то обстоятельство, что в теории источ-
источников осуществлен синтез аналитической теории ^-матрицы, с ее
акцентированием принципа причинности (но без предположений
об аналитичности), и некаузальной операторной теории поля (но
без самих операторных полей).
Чтобы показать, какого рода подход будет теперь развиваться,
вернемся к вакуумной амплитуде A2.44) для случая спина 0.
Функция распространения частиц сохраняет здесь свою общую
пространственно-временную форму, но фотонная функция распро-
распространения входит сюда в своем причинном выражении. Чтобы снять
зто ограничение, произведем замену
^ A4Л)
(член —?е в знаменателе опущен) и более не будем считать, что
поля (Pj и ф2 обязательно причинно-упорядочены. Однако по-
прежнему требуется, чтобы они не перекрывались. Итак, в сим-
символических обозначениях вакуумная амплитуда выглядит теперь
следующим образом:
*)** A4-2)
Можно написать
= ^-^4 (п-^^ ~2[П' [п4(п-
где точкой обозначено симметризованное произведение:
А .В =i-{А, В}. A4.4)
Кроме того,
BП — кJ = 2 [(П — кJ + тЧ — к2 + 2П2 - 2т2, A4.5)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫВ МЕТОДЫ | 239
причем первое слагаемое может быть отброшено, так как в рас-
рассматриваемых условиях, когда поля не перекрываются, соответ-
соответствующий локальный член в формуле A4.3)- обращается в нуль.
Итак, мы будем исходить из следующего выражения для вакуум-
вакуумной амплитуды:
-2[П, [n,^(n_fc;2 + m2]]}cp2. A4.6)
Для функций распространения мы будем пользоваться пред-
представлениями [ср. с формулой (8.34)]
оо
=i J ^ехр{-И(П-*J + /^]},
О
оо
-?T = f \ dsexp( — isk2) A4.7)
о
и соответствующим выражением для их произведения
оо
IT {U_kJ+m2 = — I dsi ds2 ехР { — isi [(П — кJ + т2] — is2№}.
A4.8)
Если в последнем произвести замену переменных
Si = su, s2 = s(l — и), dsids2 = sdsdu, A4.9)
то получим
оо 1
у (П-к)*+т* = ~ 1 ds s j duexP[ ~teX(Ц)Ь A4.10)
о о
где
X (и) = u [(П— ftJ + m2] + A — и) к* = (к — uUf + и A - и) П2 + "*2w-
A4.11)
Заметим, что если мы хотим учесть массу «фотона» ц, то к % (и)
следует добавить член ц2 A — и).
Проиллюстрируем применение представления произведения
в простом случае, когда отсутствует электромагнитное поле, так
что в соответствии с перестановочным соотношением (8.44)
[П,П] = ieqF A4.12)
разные компоненты вектора П коммутируют друг с другом. Бла-
Благодаря этому последнее слагаемое в формуле A4.6) обращается

240 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
в нуль. Кроме того, в первом слагаемом можно заменить пере-
переменную интегрирования, произведя подстановку к — П-> к, после
которой сразу видно, что этот вклад локален и его можно опустить.
Производя в % (и) аналогичное преобразование к — иП ->¦ к,
получаем
Г (Щ 1 1
J Bя)« к2 (П — кJ + т2
°° 1
= ~1 dss \ duexv{~ is[u(l— u)Hz+m2u + ^2(l — u)]}x
о о
х J w
где мы включили член с массой фотона и учли формулу (8.57)
для интеграла по импульсу. По переменной и удобно выполнить
интегрирование по частям:
\ duexp( — is[ ]) = uexp( —is[ ])|J +
o
+ is j duu{(i — 2и)П2 + т2— ц2}ехр(—is[ ]). A4.14)
Первый член в правой части при и = 1 дает вклад ехр (—ism2),
который, будучи локальным, при подстановке в A4.6) обратится
в нуль. Выполняя теперь интегрирование по переменной s, мы для
вакуумной амплитуды A4.6) получим
а Г , BП2 —
Учитывая еще раз, что поля у нас не перекрываются, можно будет
в числителе произвести замену
П2->—т^ -V-. A4.16)
1 — и и v '
Это дает
/• .. , А \ А
¦Ф« A4.17)
где для простоты мы положили ц в числителе равным нулю. На
данной стадии и производится полная пространственно-временная
экстраполяция. Для этого достаточно воспользоваться уже из-

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 241
вестным нам рецептом и добавить соответствующие контактные
члены:
1 11 . ГР+л»а ... <я.
Если положить (г равным нулю, считая тем самым, что
М*=-^, A4.19)
то спектральный весовой множитель, входящий в формулу A4.17),
окажется равным
в полном согласии с F.40). В случае конечной массы фотона
в спектральном представлении, к которому приводит выражение
A4.17) при
используется параметризация, уже встречавшаяся нам в интегра-
интеграле A.32). В этой связи отметим, что
<М2 ГО° '"Ь \
и 1 — и I
1
\ du\\ L
Мы намерены повсеместно пользоваться разложениями экспо-
экспоненты ехр [—is % (и)], которые являются аналогами разложения
квантовомеханической теории возмущений:
t
= ехр (— itH0) — i \ dti ехр [ — i (t — tt) Ho] Ht ехр (— tf^0)
о
о
t
о о
X exp[— i(ti—12)Ho]Htexp(— it2H0) + ... A4.23)
[вывод в связи с квантовомеханическим принципом действия мож-
можно найти в § 6 и 7 нашей монографии «Квантовая кинематика и ди-
динамика» (/. Schwinger, Quantum Kinematics and Dynamics,
W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park, 1970), хотя зависимость от
16-0983

242 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
времени не выделена там явным образом]. В качестве переменных
интегрирования удобно пользоваться временами, выраженными
в относительных единицах, записывая их в соответствующей сим-
симметричной-форме. Так, например, в интересующем нас случае,
когда
Г = ЗСо + Xi. A4-24)
мы напишем
1
ехр (- is%) = ехр (— к%) — is j \ dvexp { _ fc-itl %0 J %i x
_i • ¦ ¦
i i
| — is-^-&>} — s2 J Ydv J dwwexp j — i
1 0
xexp | — is-^-&>} — s2 J Ydv J dwwexp j — is-^^Xo} Xi X
-1 0
Xexp{—is (l — ^)Xo}Xi exp {—is-i^wXo}+••• • A4.25)
Если Xi — бесконечно малая величина, то разложение закан-
заканчивается членом, линейным по Xi- Это соответствует случаю, когда
% (и) подвергается бесконечно малому изменению, иллюстрацией
чему служит соотношение
1
[П, exp(-isx)]= -is j YdyexP{— ts[(l+y)/2]x}x
X [П, x] exp {- is [A -v)/2] x}. A4.26)
В этом примере мы имеем
[П, х (и)] = и [П, (П - &J] = 2uieqF.(U - к).
A4.27)
Остановимся здесь также на вычислении двойного коммутатора
[П, [П, ехр (—is%)]], в котором подразумевается скалярное произве-
произведение векторов П. Рассмотрим с этой целью преобразование
ехр (ХП) ехр (—is %) ехр (—ХП) =
= ехр I—is ехр (ЯЛ) х ехр (—ЯЛ)], A4.28)
где X — произвольный постоянный вектор. При сравнении обеих
частей равенства мы будем основываться на общем коммутаторном
разложении
В] + -%-[А, [А, В]]+..„ A4.29)
•в справедливости которого можно убедиться путем последова-
последовательных дифференцирований по скалярному параметру, входя-
входящему в А. Так, например, вплоть до членов, квадратичных по

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 243
X, мы имеем
ехр (- is%) + [Ш, ехр (- is%)] + \ [Ш, [Ш, ехр (- fctfll =
= ехр { - is% - is [Ш, x] - is y № № JCll} • A4 30)
Используя разложение A4.25), представим правую часть в виде
ехр (— is%) — is \ -у dv ехр { — is ^ X ) [^П, х] X
1
г | l?1 1 1 (* 1 f - j\i; *\
tJAp 4 to q д ? to ~к~ 1 q u-t/ илр Ч — to q ^ / л
X [Ш, [Ш, x]] ехр { - is-^- X } -
l l
(*1 Г Г 1-f-y "l
— s2 \ ~2 dv \ dwwexp < —is—^—w% > [Ш,
. A4.31)
Сравнивая результат с левой частью, мы вновь получим A4.26),
а также искомое выражение:
1
[П, [П, ехр (— is%)]] = — is \ -=- dv ехр
-1
1
х [П, ш, х '
-1 О
хехр { —is—pLjj^X [П, х]ехр{—is(l—н;)х}х.
, X [П, х]ехр | — isizi^x} , A4.32)
где
[П, [П, х-(")]] = — Zueq(П — k)J — 2uezFllvFilVf A4.33)
причем мы ввели
^=д^. A4.34)
Заметим, .что симметризация в соответствующем слагаемом ока-
оказывается излишней, так как
i[Dn.-^1-Vli^P- A4.35)
16*

244 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Перед нами встает техническая, проблема выполнить интегрирова-
интегрирование по А; в случае, когда из-за некоммутативности компонент век-
вектора П при наличии электромагнитного поля нельзя производить
подстановку к — вП-»- к. Мы предлагаем один прием, подсказы-
подсказываемый следующими квантовомеханическими соображениями.
В системе, где число переменных q и р равно п, среднее значение
W I/O?) I 9) дается выражением
<?' I/ <Р) I Я') = j <<?' IP')(dp')/<Р )<Р' Iff')- J |§r /(Р') A4-36)
и не зависит от q'. Соответственно этому пусть \ — координата
{четырехмерный вектор), дополнительная к к; напишем
«0>. A4.37)
Преимущество такой переформулировки состоит в том, что она
позволяет ввести канонические преобразования, не затрагиваю-
затрагивающие величины среднего значения, но изменяющие его форму удоб-
удобным для нас образом. Так, например, путем операторного пре-
преобразования можно получить выражение, максимально прибли-
приближающееся к случаю недопустимой теперь замены к — ufl-> к.
Действительно, когда поле равно нулю и компоненты П коммути-
коммутируют друг с другом, мы имеем
ехр (—ш?П) f(k — »П) ехр (ш|П) = / (к) A4.38)
и
<&' = о | / (к - «п) i v = 0) =
= <Г<1=0 |/(ft) 1Г = 0>.1 A4.39)
Простейший способ — выполнить то же самое преобразование
ипри наличии поля. Таким образом, мы хотим вычислить преобра-
преобразованные величины'
к = ехр (—шЩ к ехр (ш|П),
A4.40)
П = ехр (—шЩ П ехр (ш|П).
Воспользовавшись наличием переменной и, можно получить
дифференциальные уравнения
-|- к = ехр (— ш|П) i [к, Щ] ехр AиЩ) = П,
а . "
? П = ехр (- 1м|П) i [П, |П] ехр (гиЩ) = -
где
/¦ = ^ (ж), х4 = ехр (— шЩ х ехр (ш|П). A4.42)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫБ МЕТОДЫ I 245
Цепочка преобразований обрывается на ж, так как благодаря
коммутативности компонент ? друг с другом мы имеем
-?¦ х = ехр (-ВД i [х, Ш] ехр (ш|П) = - 5- A4.43)
Следовательно,
х = х - и|, A4.44)
и мы имеем уравнение
^fl A4.45)
проинтегрировав которое, получим
и
П-пП-eg jdu'F(x-w'|)|. A4.46)
о
Интегрируя эатем дифференциальное уравнение для к, получаем
и и'
l-eq J da'
о
о о
^ -u'Dl. A4.47)
о
Выпишем также комбинации
и
\ du'u'F{x—u'Ql A4.48)
и
П-&=A— и)П— k + eq j du'(u— 1—»')*"(* —и'?)|. A4.49)
о
Преобразованное выражение для 1{и) имеет вид
I (и) = [Л + eq j du'u'F (x - u'l) |]2 +
о
и
+ и A - и) [П - eq j du'F (ж- u'|) |]2 + m2u, A4.50)

246 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
ИЛИ
С du'u'k.F{x—u'l)l—
{
и и
— 2equ(l-u) \ du'Yl.F (x-u'Q % + e2 [ j du'u'F(x — a'g)|]2 +
о о
и
+ е2иA — и) [ j dw'F (x—u'g) g]2. A4.51)
о
В качестве первого применения выделим только те члены, кото-
которые явным образом линейны по электромагнитному полю. В слу-
случае когда поля частиц подчиняются уравнению (П2 -f- т2) ц> = О,
из полученного результата должно вытекать хорошо известное
выражение для формфактора, отвечающего реальным частицам.
В такой ситуации следует ввести массу фотона. Начнем с послед-
последнего слагаемого A4.6) и представим комбинацию Ш, [П, ехр (—isy)]]
в виде A4.32). Чтобы не появились степени F выше первой, мы
сохраним только первый член в правой части равенства A4.33)
и воспользуемся упрощенным выражением A4.32):
1
[П, [П, ехр (— is%))] = is j -у dv ехр j — is—^- % } 2ueq x
• . . ¦ -l
Х(П—fc)/exp {—**-!=?. JC}. A4.52)
Выполнив преобразование, которое обозначается символом л,
мы с достаточной для наших целей точностью будем иметь
%'(й) -*¦ к2 + и A — и) П2 + т2и, П — к -» A — и) П — к,
J (х) -*¦ J (x - ug). ¦ A4.53)
Рассмотрим теперь типичную гармоническую составляющую
ехр (ipx) тока / (х) и исследуем операторное выражение
ехр { -is-Ц^к2} ехр(-iupt)exp { -is+^-k2} , A4.54)
содержащее | и к, или, в иной форме записи,
ехр { _fe!+?.#} ехр { -m±^pl} exp{ -foi+E-
X ехр | — is ~v к2\ = ехр | — iu ~v pi j
x

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 247
1 — v Г, , 1 + v "I2-
yk+upj
Г . 1 — v Г, , 1 + v "I2-» f . l + v л
Xexpj — is——yk+u—y~ pj | exp | — ш—— pi] =
= exp | — iu -~- pi | [exp (— isk2) exp j — isu2 ~? ¦ p2} ] X
A4.55)
Эти выкладки основываются только на том свойстве экспонен-
экспоненциальных по | сомножителей, что они приводят к соответствую-
соответствующим сдвигам импульсов. Если выделить диагональный матричный
элемент eg' = 0, то в окончательном выражении эти сомножители
заменятся единицами и останется только множитель, заключенный
в квадратные скобки. Коммутатор A4.52), в котором произведены
подстановки A4.53), содержит также член, линейный по к. Произ-
Произведя трансляции, указанные в формуле A4.55), мы для соответ-
соответствующей комбинации получим к — и 1A — v)/2] p. Но pJ = О,
а оставшаяся нечетная функция импульса к при интегрировании
дает нуль. Итак, при учете членов, линейных по F, мы имеем
[П, [П,
1
_ 1 2иA — и)
exp{ — isu2 ^=^-р2} egtt/exp { _ *s .±=il t|j J , A4.56)
где
ф(и) = и A — и) П2 + т2и + [х2 A — и), A4.57)
а гауссова функция переменной р определяется ее мультиплика-
мультипликативным действием на фурье-компоненты величины J (х). Пере-
Переходя к полям частиц, позволяющим произвести подстановку
П2 -*¦ — ni2, мы для последнего слагаемого в формуле A4.6) по-
получим
Ji
__
Bл)*
1 1
"~" j-^-dy jduu(l —u) j dsexp | — is
-10 0
1
A4.58)

248 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Отметим, что если положить ц = 0, то в пределе при и -*¦ О воз-
возникнет инфракрасная особенность.
Рассмотрим теперь среднее слагаемое в формуле A4.6), для
которого нам нужно разложение
ехр (— isy) = exp [ — i,
-i
du'u'k.F(x-u'l
о
l
l
X exp { —is-^L (kz +1|>)} + isuA — u) j -|- dv X
xexp {-is-i±L (/с2 + г|>)} 2eg j du'K.F (х—и'\)\ х
A4.59)
где мы ограничились первой степенью F. Комбинация
к. П = 4" ^?^Vli + Т Г^^ A4.60)
4"
имеет структуру углового момента i,i.&v — Sv^n- Она коммути-
коммутирует с любой функцией переменной к2, обращая тем самым в нуль
инвариантные относительно вращений состояния (?' = 0 | и
| |' = 0). Поэтому все сводится к анализу последнего члена
A4.59), в котором мы сталкиваемся с произведением
ехр{ — is g" A2} exp (— iup%) I exp | —is ~" A;2| =
. 2sw
' -i=^- p exp (- isP) exp { - isu'2 i=^- p2 } . A4.61)
Переходя к случаю реальных частиц (П2->- — т?) и сохраняя
только члены, линейные по F, получаем
f
Bя)* Л2 (П
1 1
u
X J du'2m2 j dssexp { —
о о
A4.62)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 249
Два последних интегрирования можно выполнить в любом
порядке; например,
du'z —
-]
— U) + Ц2
p
Относительно первого слагаемого в формуле A4.6) заметим, что-
соответствующая ему экспонента содержит
X A) = (П - к? + т?, A4.64)
так что следует использовать преобразование по | с и = 1. Как
зто явствует из наличия сомножителя 1 — и в последнем слагае-
слагаемом в формуле A4.59), этот вклад не дает членов, линейных по F.
Таким способом мы для оператора, стоящего между гфх и ср2,
получаем
A4-65>
где произведено вполне допустимое упрощение ([х <С ш)
ц2 A — и) « fx2. A4.66)
Член и2 в произведении и A — и) приводит к интегралу, который
в пределе при ц -*- 0 корректно определен; здесь массу фотона
можно положить равной нулю. Член же с и дает следующие
интегралы:
о
1 In (т2/ц2) + In [1 + A —у2) (p2/4m2)]
~ 2
l
\ duu
о
A4.67)

250 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
С учетом тождества A2.42) и соотношения
и2
мы для A4.65) сразу же получим следующий результат:
1 f 4m2 v2 \
Помещая это выражение между полями частиц ср и умножая его
на г/2, получаем добавку к действию. Поскольку в лоренцевской
калибровке / = р2А, в коэффициенте при 2eqUA мы узнаем пред-
предполагавшееся раньше выражение для F (р) — 1.
В качестве сравнительно простого примера эффектов, квадра-
квадратичных по F, рассмотрим поле вдали от его источника, полагая
тем самым / = 0. Он относится к рассеянию фотонов, причем мы
ограничимся случаем рассеяния вперед. Это позволяет нам отбро-
отбросить полевую структуру F^F^, которая порождает комбинацию
G2 из векторов поляризации, задаваемую формулой A3.130).
В такой ситуации оба слагаемых коммутатора [П, [П, %]] обра-
обращаются в нуль и мы получаем
С 1
[П, [П, ехр (— is%)]] -*¦ 8s2uze2 \ -z-dvdwwx
X ехр { - is-Ц^- w-i} F» (П- k)v ехр { - is A - w) %} х
A4.70)
Поскольку сюда уже входят необходимые степени F, расчет замет-
заметно облегчается; g-преобразование сводится просто к замене
к -»- к + иП, х -»- х — ul. A4.71)
Так как мы ограничиваемся случаем рассеяния вперед, два поля
не дают никакого суммарного импульса. Рассмотрим далее ком-
комбинацию
ехр (—is ? w^2 } ехР (iuPl) ехр { — is A — w) А;2} ехр (— iupQ x
X ехр | — is ~" wk2 \ ->- ехр | — is—~ w (k+ upJ \ x
xexp{-zs(l — н;)/с2}ехр{ — is^-p-w(k + upJ} , A4.72)
которая после замены переменной интегрирования
к-+к— тор A4.73)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 251
принимает вид
exp (—isk2) exp {—isu2w A — и;) р2}. A4.74)
В применении к рассеянию фотонов, когда р2 = 0, последний
сомножитель равен единице. Так как / = О, преобразование
A4.73) не затрагивает линейных по к членов в формуле A4.70).
У нас возникает также импульсный интеграл
J ^Aexp -tO*)= j Цг^(^) J^erpC-btf)-
1 11
g^ !*~' A4.75)
2
Однако он порождает полевую комбинацию F^F^, а потому
не дает вклада в интересующем нас частном случае. Таким путем
мы получаем
«a j J^ [П, [П, ехр (-is%)]] = - i8a2u2 (I - uf exp (- ш?) х
1
X j dwwF^Uvexv{ — is(l-w)u(l — u)(П2 + m2)}F^Jl*. A4.76)
о
По переменной w удобно выполнить интегрирование по частям:
1
l dwwexY>{ — is(l — w)S6} =
A4.77)
где
$8 = и A — и) (П2 + т2). A4.78)
Интегрируя затем по s, получаем
bcf Ln' Ln' "P" (п-feJ
Bл
1 1
= }¦ " I du(l — uJ \ dw(l—wJF^nvX
о о
m27y2_L/i ./Л ц 1\ ,,\ (ПП™!! "|Л" • A4. IV)
Рассмотрим теперь разложение экспоненты ехр (—isX), в котором
нас интересует только член, квадратичный по FH. При упрощаю-

252 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
щем условии (П2 + и&2) ф = 0 он равен
— sV4w4 A — uf ехр (— ismW) [-jdvdwwx
X ехр { — is A - w) [A2 + и A — и) (П2 + m2)]} ?Й1 X
X ехр { - is-^- w№ } , A4.80)
где
F = ± j du'F (x - u'\). A4.81)
о
Преобразуем возникающее здесь операторное выражение с к и ?,
пользуясь равенствами / = 0 и р2 = 0:
ехр { - is ^±^- wk2 } ?v ехр (iw'pl) ехр { - is A - w) Щ ^ x
X exp (— iu'pl) exp { — is ~" w№ \ ->
-> exp { -is-Ц^- w (k+ м'рJ} |vexp{-is(l -w)k*}l% x
X exp | — is-Ц^-
'-НA — v)u"]kp} -»
-> — s2 A - у2) i^ArA exp (— iskz); A4.82)
здесь на последнем этапе мы воспользовались преобразованием
переменной интегрирования
к -> k-w (-!±^- и' + -^- и") р. A4.83)
Параметры и' и и" исчезли, и F становится эффективно рав-
равным F. Итак, удерживая только квадратичный по F член, мы
будем иметь
е2 j -Щг ехр { -isX (м)} = - i- a2su4 (I - мJ ехр (- ism2u2) X
1
X j dw ufF^Uv exp { — U A -*¦ w) и A — u) (П2 + те2)} F^nx. A4.84)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТбДЫ | 253
Целесообразно еще раз выполнить интегрирование по частям по
переменной w:
1
С dww*exp{ — is(l — w)SS} =
о
1 ' 3 [l-2 J du> u; exp {-is (l-u>) <$?}]. A4.85)
о
Результат интегрирования по s таков:
(dk) 1 1
m о
Bя)« ft2 (П-/
l l
Относительно же первого слагаемого в формуле A4.6) заметим,
что если в выражении A4.84) положить и = 1, то интересующий
нас вклад обратится в нуль.
Комбинируя A4.79) и A4.86), мы для оператора, стоящего
между i(px и ф2, получаем
Щ2
где
[~2w(l — w)]x
A4.88)
Если исключить переменную и и написать
10=1.A+в), A4.89)
то функция %{М2) примет вид
1
-i
i
=1 ~ т-1* J T dz M2 + m2_Zz(^2_m2)- A4-90)
-1

254 :| ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Таким образом, мы снова получили функцию A3.21), на этот,раз
каузальным методом. ' ,
Теперь перед нами встает главная проблема: каким образом
корректно учесть повторные взаимодействия, которые характери-
характеризуют возбуждения связанной системы, обладающие малыми
импульсами? Надлежащую процедуруподсказывает нам сравнение
расчета двойного коммутатора A4.56) для слабых полей с выра-
выражением,, которое получится, если вторую коммутацию осущест-
осуществить не сразу, а в конце вычисления. Чтобы вывести это послед-
последнее выражение, обратимся к формулам A4.26) и A4.27):
[П, ехр (— is%)] = 2su j ~ dv ехр { — is-^-lp- % } eqF. (П — к) X
A4.91)
и, сохраняя только члены, линейные по полю, выполним преобра-
преобразования A4.53). Это дает
1
[П, ехр (—is%)] -*¦ 2su \ -z-dvexv < —is—л— (&2 + ^)} X
-1
где
\|) (u) = и A — и) (ГР + m?) + mW. A4.93)
Проводя теперь выкладки A4.55) и учитывая, что
ехр { - is-^- к2} exv(-iupl).kexp { — й-Цр- А2} -*
-^exp(^-rS^)(A; + i-ai;p)exp{-isa2-^-pi!}, A4.94)
мы получаем
[n
X A—1
{— is^-^}. A4.95)
Выпишем теперь два члена второго коммутатора с П и заменим
оператор П2'там, где он действует непосредственно на поля частиц,

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 255
величиной —т2. В результате будем иметь
е2 1 1 L [П, [П, ехр(—isy)]] =
= — i -s exp (— isrrfiu?) \ -rrdv exp ¦! — isu2 —-,— p2 \ X
X
X [A — и) eqF^v• nv + у iuveqJy,J —
— Г A — u) eg^v. Ilv + -Tj- iuveqJy, 1 X
b } A4.96)
а затем
Bя)*
1
n Гп 1
' L ' /c2 (П-
a
-i о
X J А-1ц з ^ ]i ] X
¦B(l —M)
t &
x[(i-
Г v 1
— A — и) eqEuv -П + -7г iuveqJa I X
Ifi iu
X
цA —и)
T
Если множитель П2 + ш2 в обоих знаменателях положить
равным нулю, то мы вновь получим формулу A4.58). Сохранив
же его, мы получаем естественное «обрезание» для инфракрасной
особенности при и — 0, которое без этого вводили произвольным
образом, приписывая конечную массу фотону.
Приведем также один вариант выражения A4.97), который
применим в случае медленно меняющихся полей (Za <^ 1). С этой
целью опустим р2 в знаменателях и отбросим член с /. Кроме
того, разобьем область интегрирования по переменной и на два
интервала, введя промежуточное значение и = и0, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию
uo~Zcc<l. A4.98)

256 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Тогда
\du
\
« I du-
o
где в соответствии с тем, что в знаменателе подразумевается
наличие добавки —ге, имеем
. A4.100)
Выражение A4.97) упрощается к виду
A4.101)
тде использовано соотношение
1
J4-<b(ln-H^- + l)=0. A4.102)
-1
<С учетом выражения для коммутатора
[П^, n2 + m2] = 2ie?F(lv.nv A4.103)
атот результат можно представить также в виде
^fn^ <14-104>
Теперь нам предстоит аналогичным образом усовершенство-
усовершенствовать выкладки A4.62) и A4.63). Сначала мы сделаем это для слу-
случая медленно меняющихся полей. В этом случае наиболее суще-
существенными членами в % (и), зависящими от поля, являются по-
последнее слагаемое A4.51), квадратичное по F, и слагаемое, содер-
содержащее П. Остальные члены обращаются в нуль или приводят
к квадратичным по полю членам без инфракрасных особенностей.
Указанные вклады в % (и) имеют вид
Х(м) = Аг2 + мA— u)W+m2u — 2equ2(l — u)U.Fl +
+ equ3 A - в) П№ .dtfvZ t -*2 A - «0 E^ia^Iv, A4.105)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 257
где мы оставили только два первых члена разложения F (х — и'|)
по степеням ?. Выполнив преобразование
ехр { -
j— jsJ-=^L^} A4.106)
xexp
с учетом выражения A4.75), получим следующие линейные и квад-
квадратичные по полю члены:
X exp (- ism2uz) (eqUJ + e^F^F^) + -^- sm4 A - aJ x
l
X exp (- ism2u2) j dw ws2ieqFw .IIV X
о
X exp { — is A — w) и A - и) (П2 + /re2)} 2ieqF]?x .П\ A4.107)
Воспользовавшись коммутатором A4.103), последний сомножи-
сомножитель можно представить и по-другому:
j dw w4ieqF^ .П„ ехр { — is A — w) и A — а) (П2 + то2)} 2ieqFv3, .Пх =
х 2^^ .Пх = ,иA'и) j dw w*2ieqF»v.nv x
|^ A4.108)
Мы усредним два эти выражения, выполнив предварительно инте-
интегрирование по частям. Тогда коммутатор, возникающий при
w = 1,
[№, ieqF^.lT\= -eqUJ-e^F^F^, A4.109)
даст вклад, который компенсирует первое слагаемое в правой
части равенства A4.107). В результате останется [напомним, что
Ш определяется формулой A4.78)]
- -^ и* A - и) ехр (- ism2u2) j dw w2 [П1* ехр { — is A - w) SB) X
о
XeqF^.TT -eqF^.XT exv{—is({-w)m}W], A4.110)
17-0983

258 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где мы еще раз проинтегрировали по частям:
1
\ dw'w2 ехр { — is A — и;) Щ =
1
о
Выполняя затем интегрирование по s, мы для членов, аависящих
от поля, получаем
1 1
2с Г л Г Г и 1 v
JtJ * ^ J * ' \_ m2u2-(-(l — w) &6 liv*
A4.112)
Входящий сюда интеграл по и, если заменить в нем 1 — и;
на Vg A + у), будет совпадать с выражением A4.99). Остальные
же интегралы по параметру оказываются отличными от него:
1 1
Г , ,- . i , 1 —у2 1
\ dwwfl—w)— \ -rr-dv—;— = -т^,
J ' J 2 4 6
° j -1 A4.113)
0
-jfi^O-^+O-i--
После этих упрощений выражение A4.112) может быть записано
в виде
Снова отметим, что, поскольку величина A4.110), например, обра-
обращается в нуль при и = 1, первое слагаемое A4.6) не дает подоб-
подобного вклада. Сложив A4.104) с A4.114) и отбросив множитель i,
мы для оператора, стоящего между <рх и <р2, получим выражение
<14Л15)
Соответствующая добавка к действию получится путем образова-
образования скалярного произведения с полем частиц ф и умножения
на V,.

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 259
Энергетический сдвиг, соответствующий такой прибавке к дей-
действию, можно найти либо методом обычной теории возмущений из
модифицированного полевого уравнения, либо рассматривая опре-
определенную причинную последовательность событий. Испускающий
и детектирующий источники, разделенные интервалом времени Т,
обмениваются частицей, с которой ассоциировано поле
Ф (х) = ф (х) ехр (—ip°x°). A4.116)
В этом случае вакуумная амплитуда, отвечающая оператору
A4.115), принимает вид
IK* l-iT6E] iK2, A4.117)
где
представляет собой сдвиг энергии рассматриваемого состояния
(как явствует из обозначений, здесь имеется в виду трехмерное
скалярное произведение). Нам осталось показать лишь, что в пре-
пренебрежении членами относительного порядка Za. и выше это
выражение совпадает с результатом, полученным в § 11 путем
комбинирования нерелятивистского и релятивистского расчетов»
С указанной точностью мы имеем
2mV.(H-E) J
где
1пК= In -у т + -^2- A4.120)
Отбросив первое слагаемое в правой части соотношения A4.119)г
мы пренебрегли членами, квадратичными по V, а кроме того учли,
что ф является собственным вектором оператора Н с собственным
17*

260 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
значением Е. Написав теперь
ТС ТС
]да *
]ff_
о
к
= j dfc°fc° [
„ ^ Л-т-Т—к" ' ft» ' E — T—tfl ' E—T—k0 "•"
о
+ ?_r_fto F E—H-k* V E-T-k« J A4.121)
и заметив, что множитель 2m превращает ф в нерелятивистскую
волновую функцию \|э, мы будем иметь в точности выражение
A4.59) (если учесть компенсацию фигурирующих там контактных
членов). При этом верхний предел интегрирования, фиксируемый
равенством A4.120), совпадает с тем, который задается формулой
A1.54). Так что действительно это и есть тот самый унифицирован-
унифицированный вывод, к которому мы стремились. Аналогичный расчет для
частиц со спином V2 будет проведен несколько позже.' Отметим,
кстати, что не учтенный явным образом эффект поляризации ва-
вакуума должен приводить к изменению аддитивной константы
1/12. Как показывает формула A1.135), это изменение таково:
_L_>J L A4 122)
12 12 40 Vi^.izz;
15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.
СПИН 0, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
Нашей целью здесь является отыскание такой поправки к полу-
полученным выше энергетическим сдвигам, относительная величина
которой имеет порядок Za. Видимо, прежде всего следует пока-
показать, что подобные релятивистские поправки порядка Za дей-
действительно существуют, причем они преобладают, вообще говоря,
над эффектами, которым соответствует характерный для тонкой
структуры фактор (ZaJ. В этом проще всего убедиться на примере
расчета поляризации вакуума, выполненного в § 3, где принима-
принималось приближение, состоящее в замене | if> (x) |2 -v | if> @) |2. При-
Приближение можно улучшить, если учесть изменение г|э (х) в обла-
области | х f <^ а0 = (mZa)'1. С достаточной для нас точностью соот-
соответствующее изменение волновой функции учитывается уравне-
уравнением Шредингера
i ^]x) = 0. A5.1)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН О I 261
Ее поведение вблизи начала координат не зависит от энергии
s-состояния, так что решение имеет вид
Соответственно этому формула C.53) для энергетического сдвига
заменяется теперь выражением
ЬЕ да — 4nZa | г|з @) |2 \ (dx) 62) (х) +
+ 8jtZ2a21ф @) |2 J (dx) m\x\83> (х), A5.3)
где относительная величина дополнительного слагаемого дей-
действительно имеет порядок Za. Сюда входит новый интеграл, ко-
который в случае спина 0 равен
f
BmJ
Соответственно этому эффекту в формуле A4.122) для аддитив-
аддитивных констант нужно произвести следующее изменение:
В качестве первого шага мы еще раз, уже иным методом,
проанализируем интеграл
что будет весьма полезно с точки зрения поставленной выше цели.
При этом будем исходить из аналогичного интеграла
где
+ мA-а)П2 + т.2и. A5.8)
Мы написали здесь / (А,2), поскольку совершенно очевидно, что
интеграл является четной функцией переменной Я,. Прежде всего
отметим, что выражение
/ @) = J -Щг ехр (- isW) exp {- ш|> («*)} A5.9)

262 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
совпадает с результатом, который получается для / = / A)
в отсутствие электромагнитного поля, когда допустимо преобра-
преобразование к — иН -*¦ к. Таким образом, записывая
A5.10)
мы выделяем в виде последнего слагаемого ту часть, которая яв-
явным образом зависит от поля. Кроме того, осуществив допол-
дополнительно преобразование
г 1
j dtf-gj/ (Я.а)=-^/ №=о+ J № (l-^2) (^J /(П A5.11)
о о
мы выделим в виде компоненты с к = 0 как раз ту часть, чув-
чувствительную к инфракрасным эффектам, которая фигурирует в фор-
формуле A4.110). В результате у нас остается член, анализ которого
значительно проще.
Начнем с выражения для производной
(dk) dv
A5.12)
которую мы намерены переписать, используя равенство
J(dk) dv д Г f . 1-I-» )п Г . 1—»
w^-^:Lexp{ -^-p}nMexP{-^-2-
A5.13)
Продифференцировав каждую из экспонент, получим
л Г (dk) С dv dv' Г ( . 1 +v I +»' 1 1+v n . п.
¦X
2
A5.14)
или
J -Цг4
I(dk) f 1 (" Г 1 + » 1
д. ^4 1 -s- dy \ dit; w exp < — is^x, —ц— w \ П x
-1 0
xexp{ — is^l — ш)}Пехр { — is%k ~v w\ . A5.15)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН О | 263
В последнем выражении трем параметрам, в сумме равным еди-
единице, придана более симметричная форма записи, такая же, как
в формуле A4.25). Преобразование первого слагаемого в правой
части равенства A5.14) приводит к замене
i-\-v dv dv'
W. A5.16)
Второе слагаемое полностью аналогично первому и дает такой
же вклад. С учетом этого тождества выражение A5.12) приводится
к виду
1
-^ -^- ехр (— ism2u2) 2 f dw wU x
A5.17)
Чтобы убедиться в справедливости замечания, касающегося значе-
значения этой производной при X = 0, достаточно упростить ее, ограни-
ограничившись полями, которые подчиняются уравнению (П2 + тге2)ф=0:
О
X {ехр {— is A — w) Щ — 1] П. A5.18)
Применив здесь тождество A4.111) и воспользовавшись комму-
коммутатором A4.103), мы узнаем в полученном результате выражение
A4.110).
В случае члена с двойным коммутатором ситуация оказывается
еще проще. Здесь интегралом
2 j dssdu e^ -gj§r[II, [П,ехр{-ити(и)}]Ь=о A5.19)
дается основной член выражения A4.97) в том приближении, в ко-
котором отбрасываются члены с / и р2. Пользуясь равенством
dk
мы для величины A5.19) получаем выражение
x2su{l-u)eqF.n6xv{—is -LzL^J]. A5.21)

264 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В случае когда (П2 -f- т?) ф = 0, будем иметь
""И -rdv\duu{i-u)\n ij^
-eqF.U L-^— nl . A5.22)
2 jJf J
В итоге мы действительно приходим к тому самому результату,
который можно выделить из выражения A4.97) упомянутым
выше способом.
Исследование поправок порядка Za мы начнем с рассмотре-
рассмотрения ошибок, которые возникают за счет приближений, приня-
принятых в формулах A4.99) и A4.119). Сравним (неполное) выражение
для энергетического сдвига
4V ni\t п*> <15-23>
которое получается, если скомбинировать A4.112) с приближен-
приближенной формой записи интеграла A4.97), и еще более упрощенное
выражение A4.118):
11^ 4)ф. A5.24)
Вычислим с этой целью интеграл
л 1—u
m2 , r m2
In m2 1, A5.25)
где дифференцирование не распространяется на т? в П2 -f- то2.
Упрощенный вариант получится, если в знаменателе пренебречь
величиной П2 + тпг по сравнению с то2. В этой связи отметим, что
1
_3_
2
-l

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 0 | 265
Разность двух величин
1
1-й
du
~ [^1п
¦ln-
A5.27)
снова можно записать как
И
A5.28)
Появление двух множителей П2 + то2 в числителе окончательного
выражения означает, что оно явным образом квадратично па
полям:
Ф*П^(П2 + ™2)( )(П2 + те2)П|Аф = 4е2Ф*^-ПЛ,( )^П\р. A5.29)
Как и для высокоэнергетических эффектов, существенным оказы-
оказывается только поведение поля ф вблизи начала пространственной
системы координат. В соответствии с этим мы заменим функцию
Ф (х) величиной
ф = Ф (х = 0), A5.30)
что эквивалентно пренебрежению зависимостью этой функции от
пространственного импульса. Далее, выражение A5.29) можно
переписать в виде
* 1 [F», Pk]( ) 1 [Ph F0i] ф + 4e^*F*° (- т) (
= —е2ф*/"( )/«ф + 4то2е^2*^<"«( )Р»ф, A5.31)
где величину П° мы заменили ее приближенным значением т.
Сюда входят
(х) =
exp(ф-х).
Кроме того, поскольку П° tarn, величина П2 + пг2 в знаменателе
выражения A5.28) приближенно равна р2. Получаемый таким

266 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
образом энергетический сдвиг равен
X
-1
1
X ( — пг2-Д»-) -V [ du гт • A5.33)
\ от2 / то2 J 1+у v '
q т2м-| ^—A — и) р2
Нужно иметь в виду, однако, что интерес для нас представляет
сравнение не с упрощенным выражением A5.24), а с его нереляти-
нерелятивистским пределом A4.119). Разница здесь во временной компо-
компоненте скалярного произведения, где П° да т + V дает дополни-
дополнительный вклад
ri.»J1j??(ln?+?). A5.34)
Заметим теперь, что
о
(in—^? l), A5.35)
P
1 m2p2 2
2 P
где нам удобно на время вернуться к явной функции от р2. Вклад
последнего слагаемого A5.35) в A5.33) в точности компенсирует
¦A5.34), а оставшийся член приводит к частичному энергетиче-
энергетическому сдвигу
о
1
du з-^ 1. A5.36)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН О I 267
Интеграл по импульсам равен
Г (dp) 1
J Bя)8 ра
A ")pa m2ju(l—u)J
")pa m2—sjp-u(l—u)J
а последующее интегрирование по и дает
A5.38)
как простой частный случай следующих общих соотношений для
Г-функции:
jduu-41-u)b-i = 4^f-, A5.39)
о
Г(а)ГA-а)= ." .
Результат таков:
В дальнейшем не всегда возможно полностью пренебрегать
пространственным импульсом в поле частицы, как это делается
в формуле A5.30). В некоторых случаях необходимо учитывать
и поведение на малых расстояниях, описываемое формулой A5.2).
Теперь мы хотим показать, что последнюю можно рассматривать
как первый шаг при решении однородного полевого уравнения
(р2 + т?) ф = 2eqJ q> — еЧ \ A5.41)
методом итераций исходя из поля
ф (pfi) = ф ехр (— imofi). A5.42)
При сохранении только линейного по А члена первая итерация
дает
Ч>=Ф+ р2^т2 2едр.Аф, A5.43)
или, после подстановки необходимого для связанного состояния
соотношения между кулоновским полем и зарядом,
, , 1 2mZa , .._ ...
Ф=4>+^г-|^|-<?. A5.44)
Точнее говоря, наше утверждение состоит в особой интерпрета-
интерпретации трехмерной функции Грина, символически представленной

268 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
множителем (р2)~х. Эта интерпретация такова:
О, A5.45)
где берется главное значение интеграла по Коши. В справедли-
справедливости данного соотношения мы можем убедиться непосредственно
(подразумевается lim P):
J_ _J f (dp) exp(ip-x) Ы_ _ _2_ J_ Г
P2 |X|-J Blt)S p2_62 p2 - Я |X| J
dp sin p | x |
Р p2—t
о
где последний интеграл можно переписать в виде
dp exp (ip | х |) — 1 я cos е | х ] — 1 я
Im
1 Г
2 J
Главное значение интеграла вычисляется путем перехода в комп-
комплексную плоскость и усреднения результатов, которые отвечают
двум контурам, проходящим выше и ниже особой точки. Из четы-
четырех контуров, которые связывают точки е и —е, целиком распо-
расположенный выше действительной оси дает нуль. Контур же, про-
проходящий ниже действительной оси, удваивает сумму двух дру-
других вкладов, соответствующих контурам, которые эффективно
охватывает одну особую точку. Итак, мы показали, что выпол-
выполняется равенство
^ = -{1x1, A5.48)
которое отличается от элементарного обратного утверждения
V2 (i.|x| + const)=--L A5.49)
в силу специальной интерпретации функции Грина, предотвра-
предотвращающей появление аддативной константы. Тем самым подтверж-
подтверждается, что конструкция A5.43)—A5.45) действительно дает
A5.50)
Рассмотрим теперь ошибки, вносимые заменой / A) на / @) или
на / @) + dl/dk2 |?,=0. Поскольку такие остаточные члены отно-
относятся исключительно к высокоэнергетическим явлениям, мы
прибегнем к элементарному методу — к разложению по степеням
векторного потенциала. Соответственно этому перепишем теперь
выражение A5.8) для %х (и) в виде
%х (и) = 1% (и) + 2%и (к — %up).eqA —
- 2и A - u) p.eqA + [Я2иа + и A - и)] А4а, A5.51)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 0 | 269
где
^ (и) = (к - %upf + и A - и) р2 + mhi. A5.52)
После интегрирования по к главный член в выражении для / (X2),
X ехр{ — is[u(l — u)p2 + m2u]}, A5.53)
перестает зависеть от к, а потому не дает вклада ни в одну И8 инте-
интересующих нас разностей. Линейный по А член дается выражением
/ (Я2)А= -is j -^Bj--* exp { -i, i+1 Ex} [2%u(k-Xup).eqA-
— 2u(l— u) p.eqA]exp | — is ~v ?,Л . A5.54)
При переходе к типичному матричному элементу, отвечающему
импульсам р' и р", возникают интегралы
exP { i№±^ ('У} A5.55)
X (р' —р") ехр { - is%hi2 ^- {р' - ряJ} , A5.56)
вычисление которых основывается на преобразовании
*&. A5.57)
Если принять лоренцевскую калибровку, положив тем самым
(р' -р")А=0, A5.58)
то последний интеграл не будет давать вклада в формулу A5.54)
и для матричного элемента мы получим
- j dssduеЧ(W)A -+ i-^ j ±duиA -и) <P'+^eqA , A5.59)
где
и A - и) ±f- (рГ* + ma) + ^u2 i=il (p' - p")\ A5.60)

270 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Если бы величина A5.59) вычислялась в состоянии ф с нулевым
импульсом, то величина D% не зависела бы от Я, и никакой вклад
в равность по Я не возникал бы.
Мы должны взять поле A5.43), которое получается в результате
одной итерации. Оставив только перекрестные члены между двумя
составляющими ф, будем иметь
= iZ2nZ2as | ф |2 тЦ \ j dv du и A — и) X
где теперь
[±^ ^]2. A5.62)
Это выражение, или очень близкое ему, имеет два применения.
Первое из них относится к среднему слагаемому суммы A4.6),
в котором, согласно формулам A5.10) и A5.11), мы должны обра-
образовать разности по Я, исключив тем самым из / A) член, линейно
зависящий от X2. Таким образом, возникает комбинация
D\ Dq d№ Dx
где
»<». ¦ A5.63)
Соответствующий вклад в энергетический сдвиг таков:
82Е = 128jtZ2a3; | ф |2 т^ j -i dv du и A - и) х
I ,Г1 —иа\2 f (dp) 1 1 _ „
X(U-4-) ) BяK ?2-e2 DID, ' <15-65)
При выполнении элементарного интегрирования по р не пред-
предполагается, что (р2 — е2) интерпретируется в смысле главного
значения. Это дает
1 ф p -L j dw w3/* J du -^f x
о о "
A5.66)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 0 | 271
где
и; =1A +у). A5.67)
Это выражение можно упростить, выполнив два интегрирования
по частям по переменной ик
1 1
о о
A5.68)
Общее выражение для интеграла такого типа (при а, Ь >0,
с > — 1) дается формулой
A5.69)
Пользуясь этой формулой, получим
i- A5-70>
Второе применение выражения A5.61), в родственной ему форм©
записи, относится к слагаемому A4.6) с двойным коммутатором.
Если не учитывать в выражении для П векторного потейциала, то
за счет двойного коммутатора в матричном элементе возникает
дополнительный множитель (р' — р "J. При вычислении среднего
значения в состоянии ф, где один пространственный импульс
равен нулю, а другой ±р, это приведет к появлению в подынте-
подынтегральном выражении формулы A5.61) дополнительного множителя
р2. Остаточный эффект в слагаемом с двойным коммутатором будет
точно совпадать с разностью величин, отвечающих значениям
I = 1 и 1 = 0. В результате возникнет комбинация
~dT d0 ~ ДА ' A51)
а энергетический сдвиг, соответствующий этому источнику, будет-
таким:
=— 64n;Z2a31 <? |2m.2 \ ~-doduu(l~
X ^dww^A du±=ii[(l_UM;I/2 — A— u)Vi]. A5.72)
о

272 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Выполнив одно интегрирование по частям, получим выражение
1 1
IIP
о
A5.73)
так что
ЬгЕ = — nZ2a3 \ф\2 — . A5.74)
По поводу первого слагаемого в формуле A4.6) отметим, что при
и = 1 величина / (Я2)л обращается в нуль и аналогичный вклад
здесь не возникает.
Нам осталось исследовать члены, которые явным образом
квадратичны по А. Это делать проще, ибо достаточно положить
Ф = ф. Тогда выражение с двойным коммутатором [П, [П, /]] не
•будет давать никаких вкладов интересующего нас вида. В него
входят квадратичные члены
lp, lp, /а2П - [р, [eqA, /J1 - [eqA, [p, IA}}, A5.75)
где через IА* обозначена та часть разложения / (к2), которая сама
квадратична по А. Поскольку теперь мы берем диагональный ма-
матричный элемент для состояния с определенным импульсом, пер-
первые два коммутатора обратятся в нуль. Третий же коммутатор
с учетом тождества Якоби A-1.22) можно представить в виде
[eqA, [p, IJ] = [р, [eqA, IA}] - [[p, eqA], IA]. A5.76)
В лоренцевской калибровке, которой мы сейчас систематически
пользуемся, последний из приведенных выше членов также обра-
обращается в нуль.
Явное выражение для / (^2)а2 таково:
^-dvdwwexp { -is^ w^} X
X [2hi (к — Кир).eqA — 2u A — и) p.eqA) exp {— is A — w) ?*.} x
X [2%u(k— Xup).eqA — 2u(l — u)
(dk)
X [№u? + «(!-«)] e2A2 exp { - is Ц^ ^ } . (A5.77)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН 0 | 273
Нам нужен только диагональный матричный элемент в состоя-
состоянии ф с импульсом р' (р'° = т, р' = 0). Поэтому интеграл по
импульсам в последнем слагаемом формулы A5.77) равен
A5.78)
В результате последнее слагаемое оказывается линейной функ-
функцией X2 и не дает вклада в интересующую нас разность по К.
Основной интеграл по импульсам в первом слагаемом A5.77) имеет
вид [он совпадает с интегралом A5.55), если в последнем произ-
произвести замену A + v)/2 ->¦ w]:
Имеется также интеграл с дополнительным множителем к — Хир',
который, как и в формуле A5.56), дает величину, кратную р' — р".
В лоренцевской калибровке его вклад равен нулю. Кроме того,
имеется интеграл с двумя множителями к — Кир'. Выбрав лорен-
цевскую калибровку, мы снова добьемся упрощения и приведем
интеграл к виду A4.75). Вследствие этого
а, (*
e2l (%2)а2 -*~i-r~ \ dww ехр (— ism2u2) X
X [4Х2м2 ( - -^-) eqA ехр { — is A — ц») и A — и) (р + т2)} eqA 4-
+ 4и2 A — иJp'eqA ехр {— is(l — w)u A-й) (р + т2)}р'eqA^ X
Xexp{-isk2u2w(l-w)(p'—p"J} A5.80)
1
еV/ (WUW = fSnZW | ф |2 j \ dv ^
j }
-v) х
{-isDb), A5.81)
где мы написали
ш=-^-A—у), A5.82)
18—0983

274 1 ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
так что Dx обладает такой же структурой, как и в формуле A5.62).
Выполнив интегрирование но s, получим
— \dss due2y*I (%2)A*<V =
A5.83)
Требующиеся здесь разности по Я даются формулами A5.63)
и A5.71). В результате имеем следующее выражение для вклада
в энергетический сдвиг:
_|_ dv til du j Ш х
,1—1;*
или
84^=6^ + 8^, A5.85)
где
1 1
б;? = 8Z2a31 ф |2 -1- j dw (I — w) i^/« j dw и-V« x
m о о
X[(l — uw)Vi — A— u)I/2] A5.86)
J 1
8;?= 24Z2a3| ф |2-i j du;(l-u;) u^/i j du il=^i X
о ои
A-«)/2A-«')]- [A5.87)
Здесь мы сочли более удобным вновь вернуться к переменной и>,
даваемой формулой A5.67). Интегрируя один раз по частям и ис-
используя соотношение A5.69), для Ь\Е получаем
1 1
6;Е= 8Z2a31 ф |2± j dw (-1- w3/2-i-u;5'2) J duuh A-й wy1/2 =
о о
*Pi' A5-88)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН О I 275
Аналогично для 6^? два интегрирования по частям дают
о
1
X
Сумма двух этих вкладов равна
Осталось рассмотреть первое слагаемое суммы A4.6), которое
пока нам ничего еще не дало. Положим в выражении A5.81)
в = 1:
1
е2Ф*7 (К2, и= 1)а2Ф = i4nZ2a31 ф |2 j dv x
, A5.91)
где
Ях(и=1) = т* + А,аЦ^р8 A5.92)
есть четная функция переменной v. Соответственно этому и перепи-
переписан интеграл по v, в котором отброшен линеппый по этой пере-
переменной член. Выполнив по v интегрирование по частям, получим
1 1
I dv ехр (— isD),) = ехр (— ism2) —5" *s^2P2 \ dv v2 ехр (— wZM.
о о
A5.93)
Первое слагаемое правой части приводит к появлению в фор-
формуле A5.91) члена, линейного по X2, который не дает вклада в не-
необходимую нам разность по К. В таком случае мы фактически
имеем
е2ф*7 (к2, и = 1)а2<Р -»- i2nZ2<x3 \ ф |2 х
i
X } dvv2 j Ш ±-(К2J ехр (~isDK) A5.94)
о
и
оо 1
I (Я,2, и= 1)лзф= i2n;Z2a31 ф |2
j
0
A5.95)
18*

276 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Функция (№J, а также ее первая производная по X2 обращаются
в нуль при % — 0. Поэтому искомый вклад в энергетический
сдвиг дается выражением
= Ъга? | ф |2 -1 j <fc v2 A - У2)~1/2, A5.96)
о
или
~- A5.97)
Суммировав полученные пять членов A5.40), A5.70), A5.74),
A5.90) и A5.97), будем иметь
С учетом эффекта поляризации вакуума [формулы A5.3) и A5.4)]
получаем
±±[(^ ^)]. A5.99)
В такой записи множитель, заключенный в квадратные скобки,
представляет собой поправку порядка Za к аддитивным констан-
константам Vu—1/40. Относительно же величины этого эффекта мы здесь
заметим лишь, что большой численный множитель ~3я примерно
совпадает с главным логарифмом основного вклада. Поэтому
в хорошем приближении можпо считать, что этот дополпитель-
ный сдвиг s-уровнсй вверх при Z = 1 равен а = 7,3-Ю.
Обсуждение точных численных значений мы отложим до анало-
аналогичного анализа системы со спином V2, которую гораздо проще
реализовать экспериментально.
§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.
СПИН V2, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ I
Аналогом вакуумной амплитуды A4.2) в случае спина х/2 служит
величина
1 т~V (П — к)
Мы воспользуемся представлением вида A4.10):
со 1
11 Г (*
^.»i-^^-™»^^_« ^— ~_ I /70 О I /77/ ОТГП / ^^и. ТОЛ/ ^7/\\ ^1 R 0\
IT (n_4)._ega/4.m« --J dssJ ймехр{ — их(»)Ь AЬ-^)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН V«. I I 277
где
= (к—иПJ + и A — и) (П2—egtfF + m2) + и2 (m2 — eg<xF). A6.3)
Далее произведем преобразование
(т—у (П—к)) ехр (— is%) у»=
-A -и)уЩу^ех?(-is%) + y»(m-(l-u)yll) X
X [ехр(-tax). yp}+y^(k-uu)exv(-isx)y^ A6.4)
причем будем записывать
vix (т— A _ и) 7П) = (ш -f A — и) уП) 711 + 2 A — и) Пи. A6.5)
Тогда симметризация по левой и правой частям даст нам
у» [т - у (П - к)) ехр (- isx) у» =
-( —4т —2A —иOП).«хр( —fcx)+(l—«МП14, [ехр(—kx), Тц11+
-|-[ехр (-
Кроме того, мы будем отбрасывать все появляющиеся слева и
справа члены с ^П + тп, которые не порождают энергетических
сдвигов. Это дает
у» (т - у (П - к)) ехр (- is%) Vll -*~ 2m (I + и) ехр (- i
muir
причем здесь полезно отметить, что
у (к— иП).ехр(—isx) =
± -WX), у]]. A6.8)
В отсутствие электромагйитного поля при образовании ком-
коммутаторов и интегрировании по А; сохраняется только первое
слагаемое правой части соотношения A6.7). В этом случае
~is* (")> = ~1 "И" -F ехр (~isw?u^ ехр (~1
A6.9)

278 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где
<$? = иA-ы)(т2— (уПJ). A6.10)
В итоге мы имеем
- j dssdue* j J0j-y»(m-y<u-k))eii>(-t8X)yv-
l
= —i-^-m\ du(i + u) \ — exp{ — is{mzuz-\-S6)}, A6.11)
о
или, после интегрирования по частям по переменной и с отбра-
сывапием локальных членов (которые обращаются в нуль в слу-
случае неперекрывающихся полей ifo и \|з2),
1
Л duiu+^-uA [2m2u+(l —2u)(m2—(уПJ)]х
о
1
X \ dsexp{ — is(mhi2+ffl)}->—i-p—m\ dw(u+-p-u2lx
В последнее выражение включены контактные члены, необходи-
необходимые для того, чтобы удовлетворялось условие нормировки; назна-
назначение их — ввести сомножитель (^П + тJ. Применительно к по-
полям частиц, подчиняющимся уравнению (уП + т) ф = 0, это
выражение всегда обращается в нуль. Интерес для нас представ-
представляют только члены, явно зависящие от поля.
В качестве первого примера рассмотрим случай слабого одно-
однородного электромагнитного поля. В этом случае на интегриро-
интегрировании ехр (—is x) по к не сказывается некоммутативность ком-
компонент П, поскольку из-за нее может возникнуть только комбина-
комбинация [Пц, Ilv] F»v, которая квадратична по полю. Модифицируя
A6.9), необходимо учесть лишь спиновый член:
= — i(a/4ns2)exp( — rsm2w2)exp( — is$e)(l + isu2eqoF), A6.13)
где мы оставили только два первых члена разложения соответст-
соответствующей экспонепты. Вектор, получаемый при интегрировании
(к — ыПI*. ехр (—t.?x) но к, должен быть пропорциональным
F^TTv (эти элементарные замечания подтверждаются, конечно,
и результатами явного интегрирования). Но
Iv = V2 i [OF, тП + m], A6.14)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН */». I I 2?9
а эта комбинация не дает вклада в энергетические сдриги. Кроме
того, в случае однородного поля члены в формулах A6.7) и A6.8),
содержащие коммутаторы с П, обращаются в нуль. Замечая, что
у №, [oF, Y.J] = y^oFy^+AaF = 4<rF, A6.15)
и применяя это равенство к полному спиновому члену
$?—u2eqoF = u(l — u)(n2 + m2) — ueqoF, A6.16)
мы после подстановки Ш —>- 0 получим следующие два вклада
в импульсный интеграл A6.7), зависящие от поля:
е2 J W
~у {П~к))ехр (~~
_._Л- JH и2 A + и) ехр (— ismW) eqoF +
^Л S
+ ~«2ехр(- ismW) eqoF =
= ^_ i M2 A _ M) exp ( — tomV) egaf. A6.17)
В таком случае интегралы по параметрам, фигурирующие в фор-
формуле A6.11), дадут
W'^'* A6-18)
о
и дополнительный член в действии, получаемый путем простран-
пространственно-временной экстраполяции,
-%oFip(x) A6.19)
приведет к уже известной нам добавке а/2л к магнитному момен-
моменту. Разумеется, этот вывод оказывается столь же коротким, как
и всякий другой.
При исследовании энергетических сдвигов в кулоноЕСком поле
мы будем следовать схеме, развитой в случае спина 0. Итак,
рассмотрим теперь величину
Хх (и) = (к- ХиП)* + и A - и) (т2 -
+ и2 (тг — WeqaF) A6.20)
и интеграл
= j да-«Р{-'«Ми)}. A6-21)
Последний обладает тем свойством, что его значение
еЧ @) = — i -^- i- ехр (- ismW) ехр (— ixSB) A6.22)

280 I ГЛАВА 4. 8ЛЁКТР0ДИНАМИКА I
воспроизводи!1 выражение A6.9), отвечающее нулевому электро-
электромагнитному полю. Что касается первого слагаемого в правой
части соотношения A6.7) с контактными добавками, указанными
в формуле A6.12), то оно не дает никаких вкладов в энергетиче-
энергетические сдвиги. Первая производная по Я2 отличается от случая ну-
нулевого спина только тем, что теперь появляется спиновый член
с коэффициентом К2. Таким образом, на основании формулы
A5.17) мы заключаем, что
Хехр{ — is%x(i — и>)}Пехр { Фсp^
— -j j cfoexp | — isXK-^-} (n2—eqoF)exip { —
A6.23)
и
а. Ф
и? Г Г 1
ехр(— ism2u2) 2 I -z-dvdwwy.
X exp { _iS(^?i±iLu;} ITexp{ — isSS A — wj) x
X Пехр { —b&e±=Z-w} - j Id» exp { -isSS i±^} x
X (IP—eqoF) exp { —isM -^-} ] • A6.24)
Если это выражение прямо умножить на поля, подчиняющиеся
уравнению (уП + т)\$ = 0, то оно сведется к величине
X \eqaF -f 2 f dwwu {exp [ — isc^? A — w)\ — 1} п] A6.25)
и мы получим
A6.26)
где произвели замену параметра и;:
u;=i-(l-i;). A6.27)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН Vs. I I 28*
Обратимся, далее, к коммутатору ехр (— is%) с у:
{ехр( — is
2«s J Idyexp { _wXi±!L} e^yexp { _йх±=^-} , A6.28)
где
(W-^V A6.29)
Аналогичная величина получится и при подстановке в правую
часть равенства A6.28) величины %\ вместо %. При К = 0 будем
иметь
[ехр (— is%), у]0 = — 2us ехр (— isk2) ехр (— ism2u2) X
X j у dv exp { - i*|0 i±^ } e?F7 ехр { -Uffl ^- } A6.30)
X
X eqFy exp { - isM ^- } . A6.31)
Отсюда мы приходим к следующей приведенной форме (Ш ф = 0)
для выражения с двойным коммутатором, содержащим П:
- J assdu(\-u)e* j 1&L [П, [exp (-tax), 7W =
. A6.32)
Отметим, что имеет место равенство
1 П], A6.33)
которое позволяет нам заменить выражение A6.32) эквивалент-
эквивалентным ему выражением
"+ П. A6.34)
Дроби с одинаковыми знаменателями, входящие в формулы
A6.26) и A6.34), различаются тем, что в числителе первой из

282 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 1
них стоит дифференциальный оператор Дирака второго порядка,
а в числителе второй — такой же оператор первого порядка.
В силу равенства
m* — GПJ = 2m{yU + m) — GП + mJ A6.35)
соотношение между ними таково:
* п ~ П = иA—и)Гп УП+Ц П—
A6.36)
Итак, для первых двух слагаемых в формуле A6.7) мы указали
те выражепия, которые в соответствии со случаем спина 0 дают
правильные пизкоэнергетические характеристики системы, нахо-
находящейся в связанном состоянии. На остальных слагаемых не
сказываются низкоэнергетические закономерности. Мы покажем
это, проведя расчет в случае слабых медленно меняющихся полей.
Оп уже был выполпеп для третьего слагаемого формулы A6.7),
содержащего двойной коммутатор с у, причем соответствующий
результат таков:
- { dssdu Imue* j Jg- [у, [ехр (- fax), Til » i ~ oF. A6.37)
Отметим, между прочим, что опять мы имеем два вклада в маг-
магнитный момент, которые даются формулами A6.20) и A6.37).
Рассмотрим теперь последнее слагаемое в выражении A6.7), а
также его разложение A6.8). Начнем со второй части этого раз-
разложения и воспользуемся равенством A0.31) вместе с вытекаю-
вытекающим из него следствием для слабого поля:
"*" * ~%Г Т ехр (~ism2n2) (ПедРу—eqFyu). A6.38)
В результате получим
- J dssdu^ue^ ^-^[П, [ар(-fax), Viol У*=*
i A6.39)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН »/.. I I 283
Анализ члена с (к — иЩ. ехр(—is%) основывается на тождестве
W
{
A6.40)
Интегрируя по частям по переменной v, будем иметь
-z-dvexp { —wx—о—г («—мП)ехр 1 —isx-
l
f 1 1
= («—кП).ехр(—is%)— isu I -^dv-^-v:
_J4 2 2
X exp ( — is% —^- ) [x, П] exp ( — is% —^
откуда вытекает, что, имея в виду последующее интегрирование
по к, можно произвести подстановку
(к— иП). ехр (— is%) -»-
-«х-^-} • A6.42)
Поскольку коммутатор [х, П] уже линеен по полю, в приближе-
приближении слабого поля
у. ((к— ип). ехр(— is%)) я*
ttisu^ i-dyi-yexpj—isx^y^JY-lX. П]ехр{—isx-i=i} ,
A6.43)
где
¦=— 2ш(к—U).eqFy. A6.44)
На предпоследнем этапе используется тот факт, что оператор
X, который строится из у (П — к), коммутирует с этим последним
оператором. Отметим здесь, что
—2i u.eqFy = [7П + т, IF] = [ТП + т, eqoF], ;A6.45)
а следовательно, этот член выпадает. Интеграл по к от оставше-
оставшегося выражения может быть взят путем ^-преобразования. При

284 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
атом возникает интеграл
A6.46)
что в случае медленно меняющихся полей дает
о и3 С 1 1
— -г- ехр (— ism2u2) \ -s- dvv2 -г [П, eqFy], A6.47)
-i
— \ dss due2 \ -L\i 7^7 • ((^~ иЩ • exP (~ ^)) Vn —
-1
Собрав вместе все эти вклады, мы получим оператор, стоящий
между —ЦгУ0 и t|>2, который, будучи добавкой к yU + m, может
быть назван поправкой к массовому оператору. Он равен
<LJL
2д 2го
+ ЪГ \ Tdvduu(l-u)[l + v*-u(l-v*))n 2П+2. П +
Второе слагаемое можно для удобства частично преобразовать,
пользуясь цепочкой равенств
ищ
A6.50)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИЦ V.. I I 285
В результате выражение A6.49) принимает вид
*п+" П +
4Я m J *
A6.51)
Прследпие два слагаемых явным образом квадратичны по полю.
Если отбросить их и взять интеграл по и во втором слагаемом
приближенно, так же как и в формуле A4.99), то мы получим
+^)П, A6.52)
где изменение аддитивной константы по сравнению с ее значе-
значением 1/12 для спина 0 обусловлено целиком третьим слагаемым
выражепия A6.51):
Исследование нерелятивистского предела выражения A6.52)
можпо песколько упростить, если вновь ввести коммутатор A6.33),
после чего будем иметь
» р.(Н-Е) (ln-^-+iij p. A6.54)
На последних этапах мы использовали нерелятивистское при-
приближение, перейдя к состояниям, для которых у0' = + 1. Отме-
Отметим, что в противоположность случаю нулевого спина член, явно
квадратичный по полю, теперь исчезает в нерелятивистском пре-
пределе, в том смысле, что он не будет давать вклада в поправку

286 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
порядка Za. Это обусловлено тем, что состояния с противополож-
противоположными значениями у0 связывает только у. Устаповив нерелятивист-
нерелятивистские формулы A6.52) и A6.54), мы пришли тем самым путем некоей
единообразной процедуры к главной части энергетического сдви-
сдвига, в которой эффективный верхний предел энергии фотопа опре-
определяется, как и в выражении A1.52), уравнением
1пЛГ = 1п1/ге+^. A6.55)
И на этот раз аддитивную копстапту следует изменить, если учи-
учитывать явно эффект поляризации вакуума:
-й—й-т- <16-56>
Теперь мы должны найти поправку порядка Za к этому извест-
известному результату. Установим сначала ошибки, которые епосятся
переходом от A6.51) к A6.52). Следуя по пути, проложенному
при анализе нулевого слипа, мы получим следующую поправку
ко второму слагаемому формулы A6.51):
A6.57)
\
-1
1
X \ du
J
куда достаточно подставить значепие поля в начале координат
t|> @) с у0' — -f- 1. В соответствии с зтим
Fy(m - 7П) Fy -> Fhoyom (I + 7°) Fhoy°, A6.58)
так как ни у«р, ни временная компонента произведения не дают
вклада:
FOkyh т A + у0) Fot?1 -*- 0. A6.59)
В результате получаем
1 1
I4>(°)i2-i U^a+i^f-^rUuu-v^i-u)-1/.
{ i }
-1 О
A6.60)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН 7.. I I 287"
Последнее слагаемое в выражении A6.51) также содержит
комбинацию A6.58) и приводит к энергетическому сдвигу
1 1
du(l-uJX
С (dp) 1
J BлK p*
-1 О
1
~^° A — ц)р*
1±1 j
j () j
-1 0
Ц^-. A6.61)
Предпоследнее же слагаемое выражения A6.51) содержит произ-
произведение (с несущестгенным мпожителем)
FyFy = Fkoy°Fhoy» - FokyhFotf. A6.62)
Так как
—Ук-У1 — hi, A6.63)
второй член здесь фактически равен удвоенному первому. Это
слагаемое дает
1 1
-i
J Bn)» P2 "
-l
X j du u-Vi A - и)Уг A + ц) = i- nZ2a31 ф @) |2 -^. A6.64)
о
Сумма трех указанных вкладов такова:
6a? = (б,+ 62 + 63) Я =G + ^)^^@I^. A6.65)
Следующий набор поправок связан с ошибками, возпикающи-
ми при заменах / A) па / @) + dJ/dX2 |>=0. Как и в случае нуле-
нулевого спина, проведем разложение по степеням векторного потен-
потенциала. Запишем поэтому функцию х». («). определяемую форму.

288 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
дой A6.20), в виде
Х\ (и) = 1% (и) + 2ки (к — %up).eqA — 2и A — и) p.eqA —
— [и A — и) + Я2ы2] ego-F + [и A — и) + А,2и2] е242, A6.66)
где ?>, (и) имеет тот же смысл, что и в формуле A5.52). Линейный
член в разложении / (А,2) равен [ср. с формулой A5.54)]
X [2A,u (& — Xup).eqA — 2и A — u) p.eg-4 —
— (и A — в) + Я2м2) eqaF] ехр { - is 1^2. ^ J . A6.67)
Поскольку его отличие от соответствующего выражения для ну-
нулевого спина выступает в совершенно отчетливой форме, мы мо-
можем сразу же выписать аналог матричного элемента A5.59), но
•с учетом того, что применительно к первому слагаемому A6.7)
требуется ввести дополнительный множитель 1 + и:
— j ds s du A + и) еЧ (Я,2)А =
A6.68)
Если вычислять это выражение в состоянии ф @), то результатом
будет линейная функция переменной Я2, которая дает нуль для
интересующей нас здесь разности по Я. Как и в случае спина 0,
•следует рассматривать итерированное поле.
Исходя из квадрированного уравнения Дирака
(IP — eqaF + m2) tj> = 0, A6.69)
мы в качестве аналога выражения A5.43) получим
^^^@) + -^rBeqp.A + eqaF)ylp@) A6.70)
и
* Bедр.А +едоР)-^^, A6.71)
где мм учли, что ф @) описывает состояние с нулевым простран-
пространственным импульсом и с определенной четностью у0' — -}- i. По
аналогии с A5.61) это дает
^ — \ ds s du (I + и) e2v|)*Y°/ (Я,2)А ф =
= i8nZ2a311|> @) |2 J -| dv du A + и) х
(dp) I 1 \3 u{i-u)bm*-\u(i-
laoMpW ^

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН У2. I I 289
так как в состоянии ф @)
o0hF0ka°lF0l -> - FokFok. A6.73)
Образовав нужную нам разность по "К, мы придем к следующему
вкладу в энергетический сдвиг:
где
X
J Bя)» рг ЩТ>Х '
A6.75)
и
ЩЕ = — 16я22а31 ф @) |2 т j ~ dv du (I + и) и A — и) и2 ^—^- х
xfiM__LJL A6 76)
Х J BяK р2 Dg " (LO.IO)
При таком разбиении использовано соотношение
«2±=^-P2 = ?>i-M>. A6.77)
Вклад б^ отличается от аналогичного выражения A5.65) для
спина 0 только дополнительным множителем 1 + и. В частности,
все коэффициенты совпадают, так как
| ф @) |2 = 2т | ф \\ A6.78)
Поэтому соответствующая модификация выражения A5.68) дает
1 1
8'tE = 16Z2a31 ф @) |2-У -А. [ dw w7/z \ du ц-1/» A —и2) A - uw)~l/2 =
о о
Интеграл по импульсам, входящий в б^, нам также уже встре-
встречался в формуле A5.72). Изменив должным образом численный
множитель и зависимость A5.73) от и, получим
1 1
8"tE = 4Z2a31 ф @) I2 -jjjj- -| j dw w*l* j du и-Vi (I + it) A — uw) /2 =
^11-. A6.80)
19—0983

290 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Выполнив в третьем члене интегрирование по импульсам, будем
тамртт.
-1
1
X
о
j dit(l+it)u-l/»(l_uI/2=~-|-nZ2o8|i|)@)|8-^r. A6.81)
о
Складывая три этих вклада, получаем
С первым слагаемым в формуле A6.7) мы покончим, рассмотрев
ту часть величины / (Я2), которая явным образом квадратична
по потенциалу. Обратимся к результату A5.80), полученному
для нулевого спина, и введем дополнительный спиновый член:
еЧ (Я2)д2 = i ii- f dw w exp (- isrnhi*) { AX2u\ ( - -i-) eqA x
X exp { — is A — w) и A — и) (p + те2)} eqA +
+ [2u A — u) p'eqA + (u A — u) + №u2) eqeF] x
X exp { - is A - w) и A — и) (р"г + те2)} х
X [2и A - и) p'eqA + (и A — и) + Х2ц2) egcrF] } х
хехр{ — is%Ww(l — w)(p'-p"J}. A6.83)
Тогда мы в качестве аналога выражения A5.81) получим
¦;,*¦
X [й2^- + 2/ге2и2 A — uJ—-i (и A — и) + A,2w2J р2] ехр (— isDx).
A6.84)
Проводя так же, как и в формуле A5.83), но с дополнительным
множителем 1 + и, интегрирование по s, затем получаем
x
- j ds s du A + и) е2
= i8nZ2a31 ф @) |2 j -jdv-^-duA + и) х
J BяK \ p2 / L jD>.

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН V». I I 291
Переход в этом члене к разности по X осуществляется путем под-
подстановок
я» j L
DX "*" Z>! Z)o
которые проводились и в формуле A5.84), а кроме того, путем
подстановки
1 У2
М ,,^2 i;2 П
4
2
Из соответствующего энергетического сдвига 8ЪЕ мы выделим
две части, простым образом связанные с выражениями, отвечаю-
отвечающими нулевому спину:
8'ЬЕ = 16я22а31 ф @) р т j i- dy -^- du (I + и) и4 -Ц^- X
. Г Jdp)lJ L.
Л J Bя)8 рг JDqOi '
в;Я = 32я22а3 11|) @) р т j -i d;-^- du A + и) A - иJ х
и третий член, происхождение которого связано непосредственно
с наличием спина:
@) |2-1- j jdv^- du(l+u) x
^
-^--i-U 1 P
Bn)8 p2 lDl Do +P 5»
A6.89)
Пользуясь выражением A5.88), получим
l
1 v|> @) P ±- j du> (i w3/2-1 ит»«) х
±- j )
о
l
X j duu1/2(l + it)(i-.uu7)-1/l, A6.90)
о •
19*

292 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
а выражение A5.89) дает
X J duu-^{i + u)(i-uf{l~uw)-sl\ A6.91)
Эти интегралы представляют собой частный случай общего соот-
соотношения A5.69), отвечающий равенству а = Ъ:
1 1
jdu j dwua~^wa-l{i-uwY-^ = l^^-[^(a + c) — ^{a)}. A6.92)
'О О
Для наших целей достаточно знать, что функция
if B) ±. In Г B) A6.93)
обладает свойством
фB) = фB-1) + --1г, . A6.94)
вытекающим из равенства
Г (z) = (z - 1) Г (z - 1), A6.95)
и что для нее
?^() A6.96)
Последнее соотношение есть частный случай (когда п = 2, z = V2)
формулы
n-l
ret|)(nz)-2^(z+^-)=«bR, A6.97)
ь=о
которая вытекает из следующего свойства мультипликативности
Г-функции:
V
Г(п«) =Bя)" VB« д Г (г+1) . A6.98)
Таким образом,
(g)^ A6.99)
^. A6.100)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН •/«. I I 293
Обратимся теперь к спиновому члену Ь"Е. Выполнив в нем
интегрирование по импульсам, получим
1
б1"/? = Z2oc3 I tto @} I2 — \ dw I w1?2—=- w*l21 X
о
l
X \dub
l l
J
о о
1 1
— 4- \dww-V*(A — wJ f duu-^il — uf'^l+u)!, A6.101)
о о
где в первом и третьем слагаемых уже проведено интегрирование
по частям по переменной w. Вычислив все эти интегралы, получим
J_, A6.102)
так что сумма трех членов оказывается равной
б^= D+TJ-ж~41п2) «z2»3! да р J_. A
Полный вклад первого слагаемого в выражении A6.7) выглядит
следующим образом:
^. A6.104)
При анализе второго слагаемого A6.7) будем исходить из
равенства
[ехр( — %
- -2us J ±
A6.105)
и заметим, как в случае нулевого спина, что при вычислении
дополнительного коммутатора с р, входящего в П = р — eqA,
достаточно учесть только члены, линейные по F. Что же касается
дополнительного коммутатора с А, то единственная компонента
А0 отбирает комбинацию Fohyk, матричный элемент которой в со-
состоянии t|) @) с 7°' = + 1 равен нулю. В таком случае мы полу-
получаем
ЦП, [exp(-isX), vlx] =
= 2us J i-dyexp { -fcki+l} eqyJexp { -^1=1} A6.106)

294 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
и, имея в виду переход к матричному элементу,
1
A6.107)
откуда следует, что
A6.108)
Чтобы получить интересующий нас энергетический сдвиг, доста-
достаточно образовать одну-единственную разность по X:
1 г|з @) |2 т \ ~ dvduu(l — u)u2 i~^ x
<16Л09>
Сравнение этого выражения с его аналогом A5.72) при учете
обычного соответствия
2т 1 ф |2 = 1 ф @) \\ A6.110)
показывает, что они совпадают, а, следовательно,
Рассмотрим теперь третье слагаемое в выражении A6.7). И
здесь, и в четвертом слагаемом мы будем применять прямое раз-
разложение по степеням А, из которого следует исключить первые
члены, даваемые здесь формулой A6.37), а в четвертом слагае-
слагаемом — формулами A6.39) и A6.48). Взяв линейный член выра-
выражения A6.68) при Я = 1, получим
— j
-y- тиег1А =
A6.112)
После образования коммутатора с у останется только спиновый
член, причем, согласно равенству A6.15),
ly, loF, у}} = 8aF. A6.113)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН '/г. I I 295
В результате для соответствующего энергетического сдвига
будем иметь
Ь1Е= —jj-m \\dvduu^*yaeqaF[-^-^) t|>, A6.114)
где мы вычли комбинацию A6.37) (умножив ее на i, чтобы выделить
энергетический сдвиг). Вычисляя матричный элемент, получаем
67Д = - 32nZ*a31 ф @) р ±- j dio du uu; A - uw) j -^-^г ^ =
= - 8Z2a3141 @) |2 -ji- С dwduvVni-^il — uwf; A6.115)
так что
^Е^-ЗлгЮЩф)]^. A6.116)
По поводу квадратичного по А члена отметим, что после образова-
образования коммутатора с 7 в /д2 останутся только члены вида aF и
aF . . . aF. Переписав первый из них с учетом равенства A6.113),
мы увидим, что в состоянии ty @) с у0' = + 1 конечный матричный
элемент для aok = iy°yh равен нулю. В то же время благо-
благодаря инвариантности г|з @) 'относительно вращений величина
o°hFoh . . . o°lF0i сводится к комбинации —FOh ¦ . . Fok, кото-
которая кратна единичной матрице, а значит, коммутирует с у.
Таким образом, IАч не дает никакого вклада и весь эффект,
соответствующий третьему слагаемому выражения A6.7), содер-
содержится в величине б7#.
В соотношениях, вывод которых основывается на равенстве
A6.106), уже содержится двойной коммутатор с П и у, входящий
в формулу A6.8). Выражение A6.108) модифицируется следую-
следующим образом:
-в2 j ds sdu I и j ^ t|3*T V* [П, [exp (- is%), y]] yrf =
, A6.117)
где мы положили Я = 1. Вытекающий из него энергетический сдвиг
[если исключить из него член, даваемый формулой A6.39)] дается
выражением
= — 16jtZ2cc3 I tjj @) I2 — f dwduuw(l-uw) f _^-JL 1 .
IT " и J x 'J BяK p2 z?i
A6.118)
Поскольку он точно совпадает с ijQ!b1E. мы имеем
|^. A6.119)

296 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Читателю предоставляется в качестве самостоятельного упраж-
упражнения убедиться в том, что подстановка A6.42) дает линейный
член
- ((к—ыП).ехр( — is%))Ay>l = su j -^dvvexp j — ist,^-t]L^ x
X [ — 2ueqyF. (k—up) + 2u A — u) eqyF. p] exp {ist, ±p- } .
A6.120)
Здесь возникает также некоторое слагаемое, которое мы опустили.
Оно пропорционально комбинации
yKo^F^ = iy^e^^F^, A6.121)
которая обращается в нуль в отсутствие магнитного заряда.
С учетом импульсного интеграла A5.56) будем иметь
У»
1 J
X [ -u2veqyF (p' - р") + и A - и) eqyF (p' + р")\, A6.122)
а затем
- j dssdue*
")}. A6.123)
В итоге для энергетического сдвига после необходимого вычита-
вычитания получаем
8дЕ = &;Е+8;Е, A6,124)
где
б»?= —?- j Tdyi;2 J **u4Ve^ (tJj— -shjt) ¦ A6-125)
и
6;? = ^ j |.eh, v j du u2 A - u) ity*y0 egyF ^ +p>) ф. A6.126)
Для первого из этих вкладов имеем A -j- v = 2u?)
ф @) |2 — ( dw Bw -1J f du u2w A — uar) X
о о
f (dp) 1 1 __
X J BяK Р2 Dl
l l
= 4Z2a3143 @) |2 Jj- f dw j dwBm7— IJ w1/2U,V2(i __«и,)^. A6.127)
о о

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН 'Л. I I 297
Поскольку же, как мы сейчас увидим, б[,7? = 0, это дает
i- A6-128>
Для доказательства равенства б^ = 0 достаточно заметить, что
ity*y°yF (р' + р") t|> = Ц*у° lyp + m, oF] i|) =
= t|>* @) y° leqyA, oF) t|? @), A6.129)
ибо в состоянии t|) @) коммутатор
[/, aoh] = 2iyk A6.130)
имеет нулевой матричный элемент.
Нам осталось рассмотреть квадратичный член, сходный
с A6.123). Прежде всего отметим, что векторные потенциалы,
добавляемые в A6.120) к импульсам, выпадают, так как в состоя-
состоянии ty @) матрица
yFA = уъРмА0 A6.131)
дает нуль. Вклад дают только линейные члены разложения экспо-
экспонент ехр {—is% (I ± v)I2). При этом возникают сомножители
—2ueqF.(к—up) + 2и A — и) eqF.p + ueqdoF
A6.132)
и
2и (к — up).eqA — 2и A — и) p.eqA — ueqaF.
A6.133)
Сразу же заметим, что появляющиеся здесь спиновые члены могут
быть отброшены. Как мы уже видели, имеет место равенство
у. {doF) = 0, A6.134)
которое выполняется тождественно. При перемножении двух
спиновых членов нам встретится, например, комбинация
4».oFdvfsF-*-ytl. (aola°m) FoldkFom, A6.135)
а, поскольку входящая в нее матрица антикоммутирует с у0, в со-
состоянии if @) она дает нуль. То же самое справедливо и в случае,
когда aF = o°kFok входит один раз, так как yv.aoh либо обра-
обращается в нуль (при [х = 0), либо, если \i = I, содержит трехмер-
трехмерную векторную матрицу [уь, УгЬ коэффициент при которой должен
равняться нулю в инвариантном относительно вращений состоя-
состоянии ty @). Интегрирование по к приводит к дальнейшим упроще-
упрощениям. Вспоминая анализ выражения A5.77), основывающийся
на характерном свойстве лоренцевской калибровки, отметим еще
раз, что переопределение переменной интегрирования приводит

298 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
¦к эффективной подстановке]
[к-и р'\р" ) AyF (к-и p'\p" ) -+\KAyFk, A6.136)
куда входит обращающийся в нуль после интегрирования член
с одним множителем к. При интегрировании величины A6.136),
пропорциональной yFA = ykFk0A°, в состоянии t|) @) не возни-
возникает никакого вклада. Члены с одним сомножителем к в выра-
выражении (к — up).eqA при интегрировании также дают нуль. Не-
Нетривиальные члены, возникающие при двукратном перемноже-
перемножении, можно переписать так:
7^7. ((к- иП). ехр (- мХ))д, ТA =
= — i2s2u \ Y^vdwiv 1
хехр | — ist,w ~^v | [ — 2u(l—u)p.eqA] x
X ехр { — ist, A — w)} [ — 2ueqyF. (к— up) + 2м A — u) egyF. p] X
xexp | — it,w
— i2s2u \ -y-dvdww (
w ^ ~ ) exP { is^w
X [— 2ueqyF. (k — up)+2u(l—u)eqyF.p] X
. xexp{ — isC(l— »)}[— 2u(l— и)р.е^] х
X exp { - fe&p ^=^ } . A6.137)
Отметим, что при записи результата разложения экспонент мы
ввели, как и в формулах A5.13) — A5.16), более симметричный
набор параметров. Интегрируя A6.137) по к, получаем
J "^
= ~~Ши S dw1н;-^Е-[-мA -«)(Р' + P")eqA]exp (-
X
[ - 2u2 (| - н;) i^y/ + и A - и) e^F (p' + р")] -
X
X ехр (- isO,) [- и A -и) (р' +р") едЛ], A6.138)
где, как это фактически делалось и при выводе выражения A5.87),
мы произвели подстановку
w-+l—w. A6.139)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН Vi. I I 299
В члене
yF {р' + р") = y°Foh (p' + p'f + yhFh0 {p' + p'T A6.140)
вклад в среднее значение может давать только матрица у°. Коэф-
Коэффициент при ней записывается по-разному в зависимости от того,
какое из двух слагаемых A6.138) рассматривается. Для первого
из них (напомним, что р' = 0)
Fon ip' + P")h ч- Fok (p" - P')h = iJ°, A6.141)
тогда как для второго
Fok (р' + Р")"-> - Foh (p' -p")h = - iJ\ A6.142)
Отсюда видно, что два слагаемых в формуле A6.138) оказываются
одинаковыми. Учитывая это обстоятельство, напишем
-i j dssdue* j -^¦т|)Ч<|Т|17-((*-иП).ехр(-мх))л^111|) =
= ^ m \ dw w A — w) du u2 A — u) (u — 2u2w) ty*y°eqJ0 -^ eqA°\lp.
1 A6.143)
Итак, последний вклад в энергетический сдвиг равен
1 1
61ОЯ = 16^Z2a31 if @) |2 -i- j dw w(l-w)^duu(l—u)(l — 2uw) x
о о
dm?
1
J BЯK Р2 Dt -
= 2Z2a3 | ф @) |2 A- j da; j dw ит1/* A - ш) х
о о
X u-Vz A — u) A — 2uw) A — uw)~1/2. A6.144)
Здесь уместно, видимо, подчеркнуть, что все встретившиеся нам
вклады содержат двойные интегралы по параметрам, которые
сводятся к выражению A5.69) или к его частному случаю A6.92).
Применительно к рассматриваемой здесь величине это дает
S10?=(ln2-i)nZ2a3|^@)P^. A6.145)
Суммируя все составляющие б,,/?, . . ., 61О?, даваемые фор-
формулами A6.104), A6.111), A6.116), A6.119), A6.128), A6.145),
получаем
6ьЯ=(84+... + б10)Я =
^- <16-146>

300 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Вспоминая, далее, выражение A6.65) для ЬаЕ, мы придем к сле-
следующему полному вкладу в энергетический сдвиг:
^г, A6.147)
где не учтен еще эффект поляризации вакуума. Он примерно на
20% меньше результата A5.98) для случая нулевого спина. Чтобы
завершить наш расчет, подставим в поправки A5.3)—A5.5),
обусловленные поляризацией вакуума, комбинацию, отвечающую
спину г/2:
BmJ v" >
V2
1
о
что дает для энергетического сдвига
-^nZW |ф@)|^. ' A6.149)
Окончательный результат таков:
^1 ^)]. A6.150)
Мы опять представили его в такой форме, что величина в квад-
квадратных скобках является эффективной добавкой к набору адди-
аддитивных констант, которые прибавляются к основному логарифму.
По поводу точной величины дополнительного сдвига s-уровней
вверх напомним, что при п = 2 она равна
^K МГц, A6.151)
где учтено, что в \|з @) входит приведенная масса. Для водорода
это дает
Н: 6E2s =7,13 МГц. A6.152)
Складывая эту величину с полученным ранее результатом A1.114),
мы теперь будем иметь следующее теоретическое значение для
сдвига:
Н: E2s -E2p =1057,68 МГц. A6.153)
V2 V2
На этот раз согласие с экспериментальным значением 1057,90 ±
± 0,10 МГц даже лучше, чем этого можно было бы ожидать, так

§ 17. ЭНЁРГКТЙЧКСКЙЁ СДВИГИ Н-ЧАСтЙЦ. СПИН У,. И 1 3°1
как остались неучтенными всевозможные вторичные эффекты,
самым главным из которых является поправка относительной
величины порядка а (тогда как здесь рассматривались вклады
порядка Za).
Попутно отметим, что вывод, представленный в данном пара-
параграфе, воспроизводит результаты, которые довольно давно были
получены двумя независимыми группами исследователей в Гар-
Гарвардском и Корнельском университетах. Первыми публикациями
по этому вопросу были статьи Карплуса, Клейна, Швингера г)
и Беренджера2). Полностью соответствующая методика была
изложена в работах Карплуса, Клейна, Швингера 3) и Берендже-
Беренджера, Бете, Фейнмана *). Имеется некое генетическое родство между
проведенным выше анализом и прежними исследованиями гар-
гарвардской группы, но последние в своих деталях были гораздо
более сложными.
§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.
СПИН V2, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ II
Кроме заряда, у атомных ядер имеются и другие характеристики:
магнитные дипольные моменты, электрические квадрупольные
моменты и т. д., причем все они определяются только спином
ядра. Соответственно этому в энергетическом спектре проявляется
дополнительная сверхтонкая структура. На s-уровни атома водо-
водорода, которым свойствен лишь спиновый угловой момент, влия-
влияние может оказывать только магнитный дипольныи момент ядра.
Он приводит к дублетной структуре уровня 1яг/г, расщепление
которого измерено с очень высокой точностью в водороде, дейте-
дейтерии и тритии. В данном параграфе мы изложим элементарную тео-
теорию этого эффекта и остановимся на электродинамических поправ-
поправках к нему с относительной величиной порядка а и Za?.
Магнитный момент ядра выражается через его спин S и g-
фактор gs'
где Mv — масса протона. Пространственный ток с нулевой дивер-
дивергенцией, с которым магнитный момент связан формулой [ср.
с формулой C-10.59I
lj A7.2)
») Karplus R., Klein A., Schwinger J., Phys. Rev., 84, 597 A951).
*) Baranger M., Phys. Rev., 84, 866 A951).
s) Karplus R., Klein A., Schwinger J., Phys. Rev., 86, 288 A952) (имеется
перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).
*) Baranger M., Bethe H., Feynmann Л., Phys. Rev., 92, 482 A953).

302 | ГЛАВА i. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
дается выражением
J(r) = VXfi6(r). A7.3)
Соответствующие ему векторный потенциал и магнитное поле
таковы:
Как правило, мы будем рассматривать магнитное поле с координат-
координатной зависимостью, усредненной по всем направлениям:
i 4. A7.5)
Начнем с энергетического сдвига, к которому приводит при-
примитивное взаимодействие в нерелятивистском приближении. Об-
Обращаясь к выражению для действия C-10.63), описывающему
поведение частицы со спином Va в электромагнитном поле, и по-
полагая в нем ?Прим = 2, что соответствует электрону, мы для энер-
энергетического сдвига, вызываемого слабым векторным потенциалом
А (г), получаем
ЬЕ = — j (dr) \|з (г)* у°еду. А (г) i|> (г) =
= е J (dr) t|>(r)*YVA(r)\|)(r). A7.6)
В последней строке учтено, что для заряда электрона
(eg)' = -е. A7.7)
В поле основного состояния t|) (г) не включен временной множи-
множитель ехр [—ip°x°]. На основании уравнений Дирака
т) t|) = 0, \|>*/ СуП + т) = 0 A7.8)
перепишем выражение A7.6) в виде
= ~k J (^)Г7°BР.А+о.Н)гр, A7.9)
где мы воспользовались тем обстоятельством, что при описании
кулоновского поля посредством скалярного потенциала А0 имеет
место равенство П = р и что симметризовать произведение р»А
необязательно, так как .
V-A = 0. A7.10)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН V.. П I 3°3
В нерелятивистском приближении ij; (r) отвечает состоянию с ну-
нулевым орбитальным моментом (s1/2) и с определенной четностью
7°' = + 1. Поэтому орбитальный член
1.Ь> L=rxP, A7.11)
обращается в нуль, а магнитное поле можно заменить его сред-
средним значением A7.5). В результате мы мгновенно получаем
6Еар\
где произведению
приписывается одно из его собственных значений, выбор которого
диктуется величиной полного углового момента
F = S + ya. A7.14)
Эти собственные значения таковы:
A7.15)
и мы для расщепления s-состояния имеем
gs[MM^m KRy- A7.16)
Последнее выражение здесь написано для конкретного случая
ls-состояния, причем массу ядра М мы заменили соответствую-
соответствующей приведенной массой.
Экспериментальное значение магнитного момента протона
в единицах ядерного магнетона el2Mv равно
flip =-igp = 2,79278 ±0,00002. A7.17)
Тогда для величины расщепления s-состояния формула A7.16)
дает
Н: ДЯнерел = 1418,83 МГц. A7.18)
Мы должны сравнить ее с экспериментальным значением (в кото-
котором на самом деле имеется гораздо больше значащих цифр)
Н: ДЯэксп = 1420,406 МГц. A7.19)

304 | ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Основную часть расхождения в 1,58 МГц можно устранить, если
учесть добавку а/2л к магнитному моменту электрона. Для моди-
модифицированного таким образом теоретического значения будем
иметь
Н: Д?„ерел+а = 1420,48 МГц. A7.20)
Что же касается остающегося расхождения в 0,07 МГц, то в дан-
данном параграфе мы рассмотрим теоретические поправки порядка
{ZaJ и Za2 по сравнению с основным эффектом.
Первая из них, порядка (ZaJ, представляет собой чисто реля-
релятивистскую поправку к нерелятивистскому выражению. Ее мож-
можно попытаться вычислить, оценив соответствующие погрешности
в формуле A7.9). Но проще, видимо, воспользоваться в формуле
A7.6) релятивистскими волновыми функциями водорода. Для
основного состояния решением уравнения Дирака
(r) = 0 A7.21)
является смесь волн sx/2 и рх/2 с противоположными внутренними
четностями
Ч> = Ь + ФР, A7.22)
которые связываются друг с другом градиентным членом, входя-
входящим в формулу A7.21). Эта связь описывается следующей парой
уравнений [° ]
A7.23)
Зависимость двух этих составляющих от спина и углов выглядит
¦следующим образом:
ф8 (г) = / (г) v, Мрр (г) = - y6a-ng (r) v, A7.24)
где п — единичный радиус-вектор,
а v — произвольный единичный спинор с у0' = + 1. Убедиться
;в этом можно, выделив чисто радиальные уравнения
A7.26)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН Чг- И | 305
в последнем из которых учтено следующее тождество из алгебры
операторов [г х Vg = 0]:
. A7.27)
Для диагонализации пары подобных уравнений напишем
g (г) = yf (г) A7.28)
и приравняем в них аналогичные коэффициенты:
L lza. A7.29)
В результате получим (физически приемлем только один корень
квадратного уравнения для у)
Y=^{i-[i-(ZaJ]1/2}«-|-za, Za<1' A7-3°)
и
Р° = т ТТ?" = т A -ZaV) = m (I —(Zaf]lh « m—j (Zaf т.
A7.31)
Далее, решив уравнение
f+(Zam + ^)/==0, A7.32)
для радиальной зависимости будем иметь
\f (r) = Nr~z?v exp (-Zamr). A7.33)
Коэффициент N определяется (с точностью до фазового множителя)
условием нормировки [ср. с соотношением C-15.33)]
оо
1 = j (dr) у (г)* ф (г) = j 4яг2 dr (/^ + g*) =
о
j
о
== A + Y2LлЛГ2 j dr r2 ~2Zav ехР (—
о
A7.34)
Пренебрегая здесь величиной 2Zay «4y2, мы вновь получаем
известную нерелятивистскую нормировочную константу | ф @) |2:
i(ZamK. A7.35)
формула A7.6), или
6Я = е j (dr) гр (г)* щьа-А (г) ф (г), A7.36)
20—0983

306 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
дает для энергетического сдвига
ЬЕ=е \ (dr)f(r)g(r)v*i[o-A(r), o-n]v =
= 2е j (dr) / (г) g (r) v*o.n x A (r) v, A7.37)
где
причем на самом последнем этапе здесь проведено усреднение по
всем направлениям. Таким образом, в собственном состоянии
оператора <x-S мы имеем
оо
^ ^ A7.39)
Проще всего разделить входящий сюда радиальный интеграл на
равный единице нормировочный интеграл A7.34):
оо
\ drP
= J
f drr^f*
о
в результате чего получим
При малых Za релятивистский поправочный множитель равен
+ (*«>' A742>
Взятый сам по себе, этот эффект порядка (ZaJ не уменьшает,
а увеличивает расхождение между значениями A7.19) и A7.20).
Он приводит к увеличению соответствующей разницы до 0,19 МГц.
Поэтому перейдем к поправке порядка Za2, т. е. к поправке,
которая составляет долю порядка Za от величины A7.20). Если
собрать воедино все сведения, полученные в предыдущем пара-
параграфе, то сделать это не так уж трудно. Прежде всего следует
учесть поляризацию вакуума. По сравнению со случаем кулонов-
ского поля здесь она оказывается гораздо более существенной,
что обусловлено большей концентрацией ядерного магнитного
поля. Изменение векторного потенциала А& на ЬА& сдвигает

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ. СПИН V». II I 307
значения энергий на величину, даваемую формулой
, A7.43)
= —-L С
которая является обобщением выражения A7.9). При этом ха-
характер изменения поля находит свое выражение в записи
8A(r)= j (dr1) 63J(r —г')/(г'), A7.44)
или
6А(Р) = р«6#(рL(р). A7.45)
Нужно сразу же, видимо, отметить, что при пренебрежении зави-
зависимостью волновой функции t|) от импульса [т. е. при использова-
использовании только \р @)] в противоположность случаю кулоновского
поля никакой модификации в связи с магнитным полем за счет
поляризации вакуума не возникает. Это обусловлено тем, что
величина
6Н(р) = Р26ЗДН(р) -+ p26?Z>(p) A р A7.46)
при р = 0 обращается в нуль. Поэтому интерес для нас представ-
представляет только итерированное поле
-А + еЯаР) Ф (°)- A7.47)
Отсюда для энергетического сдвига получаем
ЬЕ = - -I. ^ @)* Bедр6Л + eqobF) -^^ BедрА + egoF) ф @) =
A7.48>
где учтено, что два члена с перекрестными произведениями дают
равные вклады, и выделена линейная зависимость от спина. В про-
процессе данного анализа члены, квадратичные по спину, можно
отбросить, так как комбинация
A7.49)
дает нуль в состоянии \|) @), для которого у0' = + 1. Приведен-
Приведенное выражение описывает влияние магнитного поля на поляри-
поляризацию вакуума кулоновским полем и влияние кулоновского поля
на поляризацию вакуума магнитным полем. Два эти эффекта
оказываются одинаковыми, поскольку оба они приводят к одному
и тому же члену
^-Н. A7.50).
20*

308 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
Таким образом, ,
6Я„ол.ва«=16ж4<х.Н*@)|22е j-g^-j^Cp), A7.51)
где [ср. с C.28)]
A7.52)
Все энергетические сдвиги такого рода, отвечающие сверхтонкой
структуре, мы будем относить к нерелятивистскому значению
A7.12), обозначая его как
^Т A7-53)
Таким образом,
A7.54)
Далее мы будем действовать так же, как в § 16, но анализ
упрощается тем, что теперь не возникает инфракрасных особен-
особенностей (благодаря короткодействующему характеру магнитного
поля). Поэтому мы прибегнем непосредственно к степенному раз-
разложению, используя Я-схему только в первом слагаемом выраже-
выражения A6.7), с тем, чтобы выделить часть [формула A6.12)], зави-
зависящую от поля неявным образом. Последняя не дает вклада
в энергетические сдвиги. При этом нужно иметь в виду лишь одно
обстоятельство. Наш расчет преследует вполне определенную
цель, а именно отыскание поправок к такому описанию электрона,
в котором уже учтена добавка а/2л к магнитному моменту. По-
Поэтому те два члена, которые приводят к эффекту порядка а/2л,
должны быть отброшены.
Начнем с выражения A6.68) и воспроизведем его здесь, доба-
добавив дополнительный постоянный множитель:
— \ dssdu(l+u) ( — 2m) еЧ(№)А =
X
„ u(l-u)(p + p)eqA+[u{i-u) + %W]eqoF ,,, rr,
X щ . [It.OS)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН V». II I 309
Взяв первую разность по %, получим вклад в энергетический сдвиг,
равный
6^=6^ + 6^, A7.56)
где
б; Е = -gr m j I dv du A + и) ур*у°и A - и) х
xUp' + ^^ + egorF]^-^-)* A7.57)
и
^{1 A ^) >.< A7.58)
В последнем слагаемом мы отбросили член, дающий вклад в маг-
магнитный момент в случае медленно меняющихся полей [он экви-
эквивалентен первому члену в правой части соотношения A6.17)].
Подставив в формулу A7.57) итерированное поле частиц и выде-
выделив линейный по спину член, будем иметь
б; Е =j?- m j I dv du A + и) и A - u) i|> @)* (р' + р") eqA X
= F32Za2m3 j -| di;<2u A + u) u A -u) u2-^-^- X
или, имея в виду соответствующим образом модифицированные
формулы A5.72) и A5.73),
^Д = Za2 ~ | dwivh | dHU-Vi A -u2) A - ий-)'1'2. A7.60)
"о о
Входящий сюда двойной интеграл уже встречался нам раньше,
что вообще является характерной особенностью данного расчета,
и мы получаем
A7.61)
Обратившись к формуле A7.58), мы увидим, что
Ь\Е = — т ( 4 dv du (I + и) и2^ @)* (р' + р") eqA X
•ГС J di
j du,d« A + U) ии» A - ии») j^-^-^, A7.62)

310 ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
откуда
$? = Za2 ^ j dw du A + и) ц-1/.^/* A _ ми,I/* =
= (| + ln2)Za2. A7.63)
Сумма двух составляющих равна
)a2. A7.64)
Таким образом, она совпадает с окончательным результатом
(без учета поляризации вакуума), взятым с обратным знаком.
Линейный по спину член в формуле A6.83) приводит по ана-
аналогии с формулой A6.85) к выражению
— j dssdu A + и) Ц*у°еЧ (А,2)Аг\|) = — iSZa? ^dv ^-p- du A-й2) X
которое дает следующий вклад в энергетический сдвиг:
fin/?. = _ 16Za2m j dw (I - w) du A - и2) X
F
X
Разобьем его на две части:
-^-= — 16Za2m \ dw(l—w)du{\—u2) ( — ™2-т-г) X
х J
1 1
J
о о
——|- -д Z JI) Zl Z/Ct yi 1.0 I)
И
•-^~= -16Za2m
X
1
X j duU-1/i(l_«i-1/*(l-u2)= —|Za2. A7.68)
о

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН Vt. П I 3И
Их сумма равна
-M-=(i-_21n2)Za2. A7.69)
Складывая эту величину с ^Е, получаем полный вклад первого
слагаемого (I) в формуле A6.7):
^(Jia2. A7.70)
При вычислении второго слагаемого будем исходить из выра-
выражения A6.108), взятого при X = 1:
-е* J dssdu(i -и) j Ш^-^уОЦП, [ехр(-йХ), у]\ i|> =
хотя заметим, что векторный потенциал в П не дает спинового
члена. Подставив итерированное поле, получим энергетический
сдвиг
)- A7-72)
Здесь нужно быть внимательным и иметь в виду, что в каждом
произведении содержатся два вклада, равные
-7°/°( )a-H-Y-J( )»T°Y-E, A7.73)
или, поскольку 7°\|) @) = \|) @),
-J°( )o.H + ox(VxH).( )E. A7.74)
С учетом векторного тождества
ax(VxH) = V(<T-H)-a(V-H) + Vx(<rxH), A7.75)
а также равенств
V-E = /°, V-H=0, VxE = 0, A7.76)
которыми следует воспользоваться после интегрирования по
частям, мы получаем, что два слагаемых в выражении A7.73)
эквивалентны, так как порядок перемножения несуществен для
рассматриваемого матричного элемента. В результате имеем
ЬпЕ =-^-^dvduu(l-u)q@)*-^ eqJ» -^r eqo- Щ Ф) =
= -lbZa*mF$dwduu(l-u) J J0L±±., A7.77)

312 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
ИЛИ
1 1
^-= ~Za2^\ dw\ duw
о о
= B-81n2)Za2. A7.78)
С третьим слагаемым в формуле A6.7) мы поступим аналогич-
аналогично тому, как это делалось при переходе от A6.112) к A6.114),
причем здесь второй вклад в магнитный момент а/2я является
уже лишним. Это дает
= -32Za,*mF\ dwdu uw A - uw) \ -jeb^TTi A7.79)
или
-uwf'\ A7.80)
куда входит тот же интеграл, что и в формуле A6.115). Таким
образом,]
^-= -3Za2. A7.81)
Обращаясь к члену, который явным образом квадратичен по
полю и линеен по спину, вспомним, что при образовании двой-
двойного коммутатора
-^ти\у, [exp ( — is%), у]]
спиновый член, согласно соотношению A6.113), приобретает
множитель 8. Поэтому его можно получить из соответствующей
комбинации, входящей в первое слагаемое формулы A6.7), если
произвести подстановку
1 + и ->- — 2и A7.82)
и положить А, = 1. Выделив подобное выражение из A7.67), по-
получим
—-— = Za2— \ dw \ d uw*1!* (I — w) и*1!2 A — и) A —uw)~ =
F к J J
о о
= (— 6+ 12 In 2)Za2. A7.83)
Прибавляя к нему A7.81), будем иметь
A7.84)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН >/«. II | 313
Первые три слагаемых, приводящие к формулам A7.70),
A7.78) и A7.84), дают
6)? (^ ) A7.85)
Эта величина отличается от одного отдельного вклада A7.64)
только знаком. Учитывая сделанное там замечание, можно заклю-
заключить, что она совпадает с полным результатом. И это действи-
действительно так, поскольку оказывается, что четвертое слагаемое
в A6.7) приводит к нулевому вкладу. Было бы весьма приятно,
если бы удалось доказать это утверждение одним виртуозным
росчерком, но мы вынуждены воспользоваться более прозаиче-
прозаическими средствами. Энергетический сдвиг, возникающий благо-
благодаря слагаемому в A6.8) с двойным коммутатором, фактически
уже получен — он дается формулой A6.117):
= -ZZa?mF\\dvduu>\-^±±-, A7.86)
откуда
1 1
^у-= —z<#\ j dw j d«u;-I/i(l_uB?)"I/2u1/2= -Za?. A7.87)
о о
j
о о
Рассмотрим теперь слагаемое в формуле A6.123), линейное по
полю, воспроизведя его здесь для удобства в форме энергетиче-
энергетического сдвига:
-i j dssdue* j -g-M,*yyY.((k- uU) .exp (-isX))A y» =
= Т5Г J Y dv vdu u^*4°l ~u2ve<WJ +»(!-«) ie<nF (P' + P")\ -щ Ф-
A7.88)
Первую из двух его компонент
^lf A7.89)
можно вычислить путем выкладок, аналогичных тем, которые
проводились при выводе A7.77) из A7.71). Производя соответ-
соответствующие подстановки, получаем
8'7E=8Za?mF j dw du Bи? -1J u3 j ^.-i--^". A7.90)
Для удобства еще до дальнейших преобразований объединим эту
величину с b'!jE.

314 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
При анализе второго слагаемого в формуле A7.88) есть неко-
некоторая опасность запутаться в обозначениях. Во-первых, напом-
напомним, что р' — индекс строки, а р" — индекс столбца в стандарт-
стандартном матричном элементе. Поэтому, если мы хотим употребить
индекс р' для задания импульса в состоянии тр @), то в одном из
двух слагаемых, получаемых путем подстановки итерированного
поля, нужно произвести транспозицию. Во-вторых, следует обра-
обратить внимание и на условия, принятые при преобразовании выра-
выражения для D), от вида A5.60) к виду A5.62). До сих пор мы избе-
избегали подобного балансирования на канате благодаря тому, что
все подынтегральные выражения (кроме D>) были четными функ-
функциями переменной и. Второе же слагаемое в формуле A7.88) не
принадлежит к этой категории. Теперь видно, что
= ф@)* ieqyF(р' + р") DJ_v) ^тг eqeFq @) +
+ * @)* wFy4^ жщiegyFip' + р"} *@)' A7"91)
где временно мы написали D1 (v) с тем, чтобы указать, что Dt
дается формулой A5.64), в которой
Р* = (р' - рУ = рк* + т*. A7-92)
Заменим в первом слагаемом формулы A7.91) переменную инте-
интегрирования v на —v и воспользуемся преобразованиями A6.141)
и A6.142). Замечая, что два слагаемых в формуле A7.91) эффек-
эффективно равны друг другу, и учитывая эквивалентность двух спи-
спиновых комбинаций, отмеченную в связи с выражением A7.73),
получаем
р") ф -к - 2уф @)* [ego-H f^+m, j- eqP +
^iO). A7.93)
Таким образом, возникает вклад
%Е= -8Za*mF ^ dip{2w-i)duu*{l-u) J^-^-i-, A7.94)
сложив который с A7.90) получим
dwduBw~l)u2(l—2uw)
A7.95)
dw

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 'Л. II I 315
Имеется, наконец, явно квадратичный член, который строится
из линейных множителей A6.132) и A6.133). Поскольку нам нужна
линейная по спину зависимобть, интересующие нас члены полу-
получаются путем умножения —ueqaF на два бесспиновых слагаемых
выражения A6.132) и путем перемножения спиновых слагаемых.
Последнее произведение представляет собой исключение из пра-
правила, ибо оно содержит также комбинацию с у^ в качестве сомно-
сомножителя. Отметим сначала, что
v= — 2у».oF, A7.96)
так как
' yvaFyv = 0. A7.97)
Опустив несущественные коэффициенты и проведя возможные
интегрирования по частям, мы для спинового произведения будем
иметь
]. A7.98)
Следующий шаг основан на равенстве V х Е = 0, эквивалентном
свойству симметрии
dhEi = 3tEh. A7.99)
Оно позволяет произвести замену
и применить соотношение [у = iT°Y5
— 8hlom, A7.101)
вытекающее непосредственно из соотношения антикоммутативности
{Ко(} = 8й, A7.102)
Учитывая то дополнительное обстоятельство, что V*H = 0, можно
будет произвести эффективную подстановку
y».(oFdVieF)-+2iy0o.HJ0, A7.103)
а значит,
iio.HJ0. A7.104)

316 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
В качестве аналога выражения A6.138) теперь мы имеем ~
^ J W Гу • «*- иП> • ехР (- isX»A* У» =
= — -^- и \ dw w -^- 12ueqoF ехр (— tsDj) X
~2и2 (^ -w) iegyj +u(l~u) eqyF (p' + р")
+ uHieqa- H ехр ( — isD4) eg/0 j —
JLM j d^i^i { [2u* (±~w) ieqyJ +
u(l — u) eqyF (p' + p") J exp (— isDJ 2ueqaF —
A7.105)
Те же, что и раньше, выкладки дают следующее выражение для
энергетического сдвига:
- i j ds s due* J -ggj- ф-vVY•((*- «П) .
exp
X [4м2A— 2uw)eqo-HeqJ0+4u2eqo-neqJ°]y@), A7.106)
или
= Za2 -?- j dw j dw и?-Vt A _ w
о о
==B —21n2)Za2. A7.107)
Итак, действительно сумма вкладов A7.87), A7.95) и A7.107)
равна нулю:
61У?=0. A7.108)
Окончательный результат, который получится, если к A7.85)
добавить энергетический сдвиг A7.54), обусловленный поляриза-
поляризацией вакуума, таков:
(§) A7.109)
Взятый сам по себе, он уменьшает теоретическое значение сверх-
сверхтонкого расщепления в водороде на 0,137 МГц. Комбинация же
релятивистского эффекта, описываемого формулой A7.42), с толь-

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 72. II ! 317
ко что вычисленным электродинамическим эффектом приводит
к сравнительно небольшому уменьшению
Н: - A - In 2) а2 = - 1,64 -10. A7.110)
Оно соответствует уменьшению на 0,023 МГц, и в итоге теорети-
теоретическое значение A7.20) заменяется величиной
Н: ДЯРел+а+2а2 = 1420,46 МГц. A7.111)
Что можно сказать об оставшемся расхождении в 0,05 МГц?
Совершенно очевидно, что тут мы уже выходим за пределы обла-
области чистой электродинамики и вступаем в область сильных взаимо-
взаимодействий, которыми определяются свойства протона.
Из экспериментов по рассеянию электронов с высокими энер-
энергиями известно, что с точки зрения своих электрических и маг-
магнитных характеристик протон действует как некий объект, раз-
размазанный по определенному пространственному объему. Другими
словами, имеются электрический и магнитный формфакторы, кото-
которые почти полностью должны определяться неэлектромагнитными
взаимодействиями, ассоциируемыми с субъядерными частицами,
с которыми связан протон. Из качественных соображений ясно,
что отказ от точечности заряда и точечности диполя должен приво-
приводить к уменьшению величины взаимодействия, ответственного за
сверхтонкое расщепление. При таком подходе энергетические
уровни сдвигаются в том направлении, которое и нужно для
устранения оставшегося расхождения. Оценим величину этого
эффекта.
В нерелятивистской теории распределение ядерного магнетиз-
магнетизма рт (г), которое до сих пор бралось в виде дельта-функции, ин-
интегрируется с квадратом электронной волновой функции. В соот-
соответствии с этим теперь мы приходим к замене
I Ф @) I2-^ J (dr) ftn (г) | ф (г) р. A7.112)
На малых расстояниях поведение волновой функции определяется
электрическим зарядом нуклонов. Если его распределение опи-
описывается функцией ре (г), то мы должны учесть и это обстоятель-
обстоятельство:
^jdr')|r-r>e(r'). A7.113)
Отметим, что за пределами распределения заряда никакие изме-
изменения не возникают. Как результат совместного действия ука-
указанных эффектов получаем
I Ф @) |2 -»- A — 2Zon»il) | ф @) |2, A7.114)

318 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I
где R—средний нуклонный радиус:
Д= j(dr)(dr')Pm(r)|r-r'|pe(r'). A7.115)
Представим его в иной форме, для чего воспользуемся формулой
A5.48):
|г-г'| = -8я ^SffiLexpIip-fr-OJV-r-r. A7-116)
откуда
или
Л=А f dp-^-[l—pm(p)pe(p)]. A7.118)
о
Мы воспользовались здесь интегралом в смысле главного значения
1р р2^_е2 =0 A7.119)
и сферической симметрией функций распределения.
Экспериментальные данные о протоне приближенно описывают-
описываются формулой
pm (р) жре(р) «?— гтт> A7.120)
где
Мо «0,90ikfp. A7.121)
Вычислив интеграл в формуле A7.118), получим
д = ^._1_=:1H.10-13 см, A7.122)
откуда вытекает следующее относительное уменьшение сверхтон-
сверхтонкого расщепления:
Н: ~а^- = 3,8.10-5. A7.123)
В абсолютных единицах это уменьшение составляет 0,05 МГц,
и с точностью, которую мы здесь приняли, теория и эксперимент
полностью согласуются.
Раз уж мы завели разговор о конечных размерах ядра, оценим
заодно и влияние этого эффекта на относительное смещение s-

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН •/*• II I 319
и р-уровней. Энергия кулоновского взаимодействия изменяется
на
bV{x')=-Za J (dr)[J7±-7[-±']pe(r), A7.124)
что приводит к энергетическому сдвигу
8?= { (dr'NF(r')|ijj(r')|2»— Za|ip@)|2 { (dr)(dr')X
y[ ! 1-1 n (r\ (M 19^
I j r JTT rr re V1/- ^-*-' .1^*J/
Комбинируя свойство
— У2((йг')Г-|—L_ 1-1 = 4я A7.126)
J ' I. | г—г | r J v '
с равенством нулю интеграла при г = 0, заключаем, что
j (dr')[]rlt'\ ~7^]= —Цгг2- A7.127)
Это дает
6?' = -|^Za|i|3@)|2(r2), A7.128)
где
(г2) = j (dt) г2ре (г) = - v?pe (р) |р=0 =
=¦-^- = @,81-Ю-13 смJ. A7.129)
Существенным энергетический сдвиг оказывается только в s-
состояниях, причем ия-уровень смещается вверх на
^Ry. A7.130)
Для 2s-ypoBHfl водорода это составляет
6?2,1/2 = 0,13 МГц, A7.131)
и в результате еще более уменьшается расхождение между теоре-
теоретическим значением, равным теперь
Н: E2s -E2p =1057,81 МГц, A7.132)
V2 V2
и экспериментальным значением 1057,90 + 0,10 МГц. Но мы еще
раз хотим предупредить, что пока еще не учтены эффекты, которые
в принципе более существенны, чем только что рассмотренный
(хотя и можно утверждать, что они в значительной мере взаимно
компенсируются).

Глава 5 | ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Выше мы уже занимались какое-то время вопросами, связанными
с учетом двухчастичного обмена. Но при этом остался неиссле-
неисследованным ряд важных моментов. Сюда относится очевидная про-
проблема распространения соответствующих методов на процессы
более сложного многочастичного обмена. Кроме того, в практиче-
практических приложениях полученных результатов мы ограничивались
в сущности идеализированным случаем частицы, движущейся
в заданном поле, избегая релятивистской проблемы двух тел.
Данная глава посвящена исследованиям проблем того и другого
типа. Правда, чтобы не было чрезмерного скопления зачастую
весьма громоздких расчетов, связанных с учетом процессов мно-
многочастичного обмена высших порядков, такого рода анализ будет
вкраплен на фоне двухчастичного случая (отчасти в соответствии
с потребностями сравнения с экспериментом).
§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.
НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИЗ
В качестве подготовительного этапа в построении двухчастичной
релятивистской теории полезно сначала исследовать более про-
простой нерелятивистский случай. Рассмотрим два сорта частиц,
нумеруемых индексами 1 и 2 (не следует их путать с встречаю-
встречающимися ниже причинными индексами). Описывающая эти частицы
вакуумная амплитуда в отсутствие взаимодействия имеет вид
W (ц)невзат,= -J (dt)dt(dr')dt'r]*(tt)G(t-t', «-*') Л (*'*') li-
— j {dt)dt(dT')dt\*{tt)G{t-t\ t—t') Ti(r'f)|j. A.1)
Чтобы не выписывать все пространственно-временные координа-
координаты, мы в подобных выражениях часто будем пользоваться сле-
следующими обозначениями:
A.2)
Тот конкретный член в разложении экспоненты ехр НИ7], кото-
который описывает две частицы, по одной каждого сорта, равен
-Jdl ...d2VB)T|*(l)G(l, l')GB,2')Ti(l')TiB')t A.3)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 321
откуда видно, что функция распространения системы двух невзаи-
невзаимодействующих частиц равна произведению функций распро-
распространения каждой из них:
6A2, 1'2')нев8аим = СA, 1')СB, 2'). A.4)
Исходя из отдельных дифференциальных уравнений [ср. с фор-
формулой D-11.4)], которые мы будем записывать в виде
h F=i— (л *л
(E — TJGB, 2')=f-'n °'х at ' K '
получим дифференциальное уравнение для двухчастичной функ-
функции распространения:
(E-T)t(E-T)tG(l2, 1'2')невэаим=бA, 1') б B, 2'). A.6)
Ее явное выражение A.4) можно найти и из этого дифференциаль-
дифференциального уравнения, если наложить на его решение запаздывающие
граничные условия типа D-11.3).
Сходное по форме дифференциальное уравнение возникает
и в том случае, когда вводятся поля отдельных частиц
dl'G(l, l')ri(l'), i|;B)={rf2'GB,2')riB'), A.7)
для которых
(Е - Г)хф A) = г! A), (Е - ГJф B) = г! B). A.8)
Тогда двухчастичное поле, определяемое в отсутствие взаимо-
взаимодействия как
¦ A2)нев3аим=Ч>A) Ф B) = j dl'd2'G(l, l')GB, 2')T|(l')tlB'), A.9)
будет подчиняться уравнению
(E-T)t (E-T)t ф A2)невзаим = т| A) т| B). A.10)
Важнейшая особенность нерелятивистской теории — пред-
представление об абсолютной одновременности. Поэтому естественно
рассматривать частный случай наших многовременных полей
и функций распространения, отвечающий равным временам. Функ-
Функцию распространения, соответствующую уравнениям D-11.3),
можно написать в виде
G (г - г', t — t') = - iTj (t - t') exp [- iT (t — t')] б (г - г'),
A.11)
так что
gx (rx - г;, t - f) g2 (г, - г;, * - ?) =
= - т) (t - О exp [- i (Tx + Г2) (t - t')} б (rx - г;) б (r2 - r^.
A.12)
21-0983

322 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Функция, определяющаяся равенством
G (rtr2t, г;г/) = iG (r^rgt, трер), A.13)
будет подчиняться уравнению
(Е-Т,-~ Тг) G (гЛ<, г;г^')невзаим = б (rt - Г^) б (г2 - т',) &(t-f),(l. 14)
которое представляет собой более известное обобщение уравне-
уравнений A.5) для одночастичных функций Грина на случай двух
частиц.
В целях более детального исследования связи между двумя
типами функций распространения удобно ввести для пространст-
пространственных переменных матричную символику, сохраняя временные
переменные в явном виде. Перепишем в соответствии с этим фор-
формулы A.4), A.12) и A.13) следующим образом:
Gu (Ms, #i) =-¦ Gi {h, t[) G2 {t2, Q =
= - Л (*i-*3 Л (*s-O«P [-iTt (*!-*;)] expI-iT-g^-^], A.15)
G1+2 (t, f) = - щ (t - t') exp [-i (Гх + T2) (t - t')], A.16)
где обозначение Gx+2 выбрано так, чтобы подчеркнуть, что выра-
выражение с равными временами относится к частицам 1 и 2, рассма-
рассматриваемым в качестве составных элементов некоторой единой
системы. Допустим, например, что tx >t2 и t[ >t'2. Тогда спра-
справедливо равенство
= - exp [ - iTt {tt - «,)] Л («. -1[) exp [ - i (T± + Г2) (t2 -t[)]x
Xexv[-iTAt[-Q] = iGi(t1, h)G1+2(t2, rt)Gt{fu Q, A.17)
являющееся частным случаем общего соотношения (в предполо-
предположении, что ?< >?>)
Ga (Ms, t\Q = i° («>. *<)G^ (*<, *>) G (*>, f<), A.18)
в правой части которого первая одночастичная функция Грина
отвечает частице с большей (?>) из временнйх переменных tv t2,
а вторая одночастичная функция соответствует частице с мень-
меньшим (?<) из значений времени t[, t'2. Явное свое выражение это
свойство находит в записи
G (*>f f<) = G, {tu t2) + G2 (t2, t,),
(напомним, что все функции являются запаздывающими). Соот-
Соответствующая многовременной функции распространения физи-
физическая картина, к которой приводит формула A.18), оказывается
совсем простой. В момент времени ?< рождается одна из частиц.

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 323
Одна эта частица существует до момента времени ?>, в который
испускается другая частица. Двухчастичная конфигурация
сохраняется до момента времени t<, когда одна из частиц детекти-
детектируется. В конечном итоге в момент ?> детектируется также и по-
последняя частица. Отметим к тому же, что в соотношении A.18)
содержится и исходное определение A.13), или
G1+2 (t, t') = iG12 (tt, ft'), A.20)
так как
iG(t, i')|i-p-H-o = l. A-21)
Двухчастичное поле с равными временами определяется соот-
соответственно этому как
4>i+2 (t) = 4>i2 («)• A-22)
Обращаясь к частному случаю равенства A.18)
мы для этого поля получим следующее выражение:
t\ A;G1+, (t, *'>) G(*>, Г<) т), ft) i\t (*;). A.24)
Если ввести величину
т]1+,(О ={ df<G(*>, ?<)гц(*i)л»(О. *'=f>. A-25)
то можно будет написать
^i+2 (*) = J dt'Gw (t, f) тI+2 (?). A.26)
Эквивалентное полевое дифференциальное уравнение имеет вид
(E-Ti-Tz) $м @невааим= ТI+2 (*), A.27)
откуда видно, что тI+2 (t) имеет смысл источника двухчастичного
поля с равными временами. Выписывая в последнем уравнении
координаты явным образом, получаем
(Е — Т± — Т2) у (Г^невзаим = Л (*Л*). A-28)
Здесь мы опустили индексы, как это принято делать, когда сами
аргументы функций уже несут всю необходимую информацию.
Если аналогичным образом ввести источник
<шС) = j *>ЛГ С») Vg (h) G (t>, f<), t= t<t A.29)
то мы сможем представить двухчастичную вакуумную амплитуду
A.3) в форме, применимой и к единой системе:
-i j dtdt'vT1+iGi+2 (t, t') tll+a @- A.30)
21*

324 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Отметим, однако, что функции 1^+2 С) и т)*+2 (t) комплексно
сопряжены друг другу только в том случае, когда действующий
ранее испускающий источник т^+г и действующий позже детек-
детектирующий источник т)?+2 являются обобщенными, т. е. испускают
и поглощают виртуальные, а не реальные частицы. Это вполне
логично, поскольку именно при такой степени локализации во
времени и допустимо эффективное описание, основанное лишь
на одной временной переменной. Чтобы более обстоятельно в этом
разобраться, развернем наши источники, пользуясь формулами
A.19):
, , A-31)
<* С) = J Лл* (*) vg СО Gi Ci. *) + J *i4? Ct) л? С) G2 (и, t),
где каждую функцию распространения можно представить как
( 2
— 00
При комплексном сопряжении первое выражение в формуле
A.31) превращается в выражение, по форме сходное со вторым,
но вместо обычной функции распространения
в него входит транспонированная и комплексно-сопряженная,
т. е. эрмитово-сопряженная, ей функция
П+ f dE
J
'SJ 2n B-ie-T ' \lmM>
— oo
Правда, эти функции эквивалентны, если несуп(ествен знак вели-
величины ie, т. е. если наши источники таковы, что на практике соот-
соотношение Е — Т — 0, характеризующее распространение реаль-
реальной частицы, никогда не выполняется.
Пусть теперь две частицы, по одной каждого сорта, сближаются
и рассеиваются за счет примитивного взаимодействия. В нереля-
нерелятивистской теории примитивное взаимодействие представляет
собой мгновенный процесс, вообще говоря, не локализованный
в пространстве. Рассеянные частицы можно описать эффектив-
эффективным двухчастичным источником, который характеризуется интен-
интенсивностью возбуждения (произведением двух отдельных полей)

1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 325
и некоторой функцией V, связанной с самим механизмом взаимо-
взаимодействия. Соответственно этому напишем
7-Tl(rifi)Tl(r^)k$=6(i1[ l*,)V(*i-*»)!>(*i<i)M>(r»t.). A-35)
Помимо выделенной здесь явным образом трансляционно-инва-
риантной зависимости от пространственных координат, функция
V может содержать также импульсы, спины и прочие характери-
характеристики частиц. Согласно определению A.9), поле, которое полу-
получится, если скомбинировать испускающие источники с эффек-
эффективным источником A.35), имеет вид
1>A2)-1|>AЖ2Ж \di'd2'G(l, 1')СB, 2') F(l'2')f (l')f (П
A.36)
где
6(t1-tJV(Tl-Tt). A.37)
Из выражения для добавки к действию V, описывающей обмен
парой частиц между эффективным испускающим источником
A.35) и детектирующими источниками, можно вывести одно важ-
важное свойство функции взаимодействия W. Обратившись к комби-
комбинации A.3), мы увидим, что добавка bW может быть представлена
в форме
i6W = -J dld2T)*B)T)*(lN\|>A2), A.38)
где 6т|> A2) — та часть поля в формуле A.36), которая индуци-
индуцирована взаимодействием. Таким образом,
6PF=— j dld2i|>*B)i|>*(l)FA2)l>(l)l>B), С1-39)
где учтены равенства
r{l')=]dl<<?(l)G(l, I'), 1>*B')= jd2T)*B)GB, 2'). A.40)
В более явной форме записи выражение A.39) имеет вид
6PF= - j (dri) (drs) dtr (Tit) V (tj) F(r, -г2) у (rj) f (r,Q. A.41)
Допустим, что мы рассматриваем такие условия, при которых
источники не могут испускать реальные частицы (Е — Т ф 0).
Тогда функция [ср. с формулой D-11.11)]
СОг-г\ *-*')- J -^exp^tp^r-O-S^-OO-FzV^r
A.42)

326 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И
будет удовлетворять соотношению
G (г — г', t — О* = G (г' — г, t' — t), A.43)
в котором находит' свое более конкретное воплощение связь
между A.33) и A.34). Как следствие этого каждое поле т|>* (rt) ока-
оказывается комплексно-сопряженным полю \|> (rt). Кроме того,
в рассматриваемых условиях амплитуда вероятности процессов
с сохранением вакуумного состояния должна равняться единице,
т. е. величина W вещественна. Это справедливо для вкладов
A.1) отдельных частиц, а также будет справедливым и для 6W
при условии, что V (гх — г2) — действительная или, в более
общем случае, эрмитова функция своих переменных.
При повторных актах примитивного взаимодействия к нолю
A.36) будет добавляться все больше и больше членов. Однако
все эти эффекты можно легко просуммировать. Полное поле \f A2)
представляет собой суперпозицию поля \f A) т|> B), описывающего
невзаимодействующие частицы, с полем, которое отвечает части-
частицам после последнего их столкновения, опять-таки возбуждае-
возбуждаемого полем т|> A2), которое порождается всеми источниками. Заме-
Заменив, таким образом, под знаком интеграла величину 1|з A') т|> B')
величиной г|з A'2'), мы получим интегральное уравнение, описы-
описывающее бесконечно большое число актов примитивного взаимо-
взаимодействия:
i|>A2) = i|> A) i|> B) + i f di' d2'GA,1') G B, 2') VA'2') i|> A'2'). A -Щ
Эквивалентное ему дифференциальное уравнение
(Е - Т)х (Е - Т)% ф A2) = г) A) г) B) + iV A2) ф A2) A.45)
можно получить и непосредственно из выражения A.35), если
заменить в нем поле невзаимодействующих частиц полным полем.
Итак, дифференциальное уравнение для величины т|) A2) имеет
вид
[(В - Г)х (Е - Г), - iV A2)] ф A2) = г, A) г, B). A.46)
Запишем его решение через функцию Грина:
ф A2) = j d\' di'G A2, 1'2') т] A') т] B'), A.47)
причем уравнение
[(Е - Т\ (Е - Т)л - *7 A2)] G A2,1'2') = б A,1') б B,2')
A.48)
обобщает A.6) на случай взаимодействующих частиц.
Поскольку эффективный источник A.35) действует только
в совпадающие моменты времени, одновременной двухчастичный

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 327
источник, определяемый формулой A.25), выглядит совсем просто.
Дельта-функцией из G (?>, ?<) выделяется предельное значение
при равных временах, переход к которому осуществляется со
стороны положительной разности времен [соотношение A.21)].
Итак,
Л far,*) |эФФ = V (rt —г2) г|> {tit) у (t2t), A.49)
причем путем таких же рассуждений, что и в случае дифферен-
дифференциального уравнения A.28), получаем
{Е-Тх- Т2) ф (гЛ«) = т) (гЛ«) + 7 (гх - r2) ф (гЛ0, A-50)
или '
[E-T.-T^-V (гх - г,)] ф (гЛ«) = т) (гЛ«). A.51)
Решение записывается через функцию Грина как
= J
dt'G (tltj, т\т'/) т) (Г;г/), A.52)
причем уравнение
[Е - Тг - Га - F (гх - r2)] G (гЛ*, t\t[t) =
= б (гх - г;) б (г, - г^ б (t - ?) A.53)
обобщает A.14) на случай взаимодействующих частиц. Мы видим,
что функция примитивного взаимодействия V играет роль, при-
приписываемую обычно потенциальной энергии.
Интуиция подсказывает нам, что связь A.18) между двумя
типами функций распространения должна сохраняться и при
наличии взаимодействия, ибо его влияние сказывается только
тогда, когда существуют обе частицы. Тем не менее докажем это.
Интегральное уравнение для функции Грина, эквивалентное
A.44), имеет вид
GA2, 1'2')-GA, l')GB, 2')
dld2G(l, T)GB, 2)F(T2)GA2, 1'2'). A.54)
Рассмотрим случай, когда tx >t2. Пользуясь матричными обо-
обозначениями, можно написать (при условии ?а >t[)
Gi (tv t\) = exp [-iTj, (*! - *2)] Gx (*„ t\) =
- iGx (tu tt) Gx (*„ tj), A.55)
так что соотношение A.54) принимает вид
G (Uh, t\Q = iG, («lt ад ^ (h, t\) G2 (t2, Q +
+ i j
t, t) Gt (*„ T) FG (й, ОД] , A.56)

328 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
где V (гх — г2) обозначено череэ V. Далее, если t'2 < t't, то мы
имеем
Gi (h, Q G (*2, Q = G, (и, Q G* (h, Q iG2 (#;). A.57)
Таким образом, если определить теперь функцию G1+2 соотно-
соотношением (относящимся к более общему случаю)
G (tfy, Щ = iG (*>, «<) G1+2 (*<, t>) G (f>t fK), A.58)
то эта функция будет удовлетворять интегральному уравнению
Gi+i (t, t') = iGi (t, t') G2 (t, f) + j dliG, (t, t) G2 (t, t) VG1+i (t, f).
A.59)
Отсюда явствует, что
iG.it, t')G2 (f, О = тт»(*-О «P[-«Gi + Tt)(t-t')] A.60)
есть равновременная функция Грина для системы без взаимодей-
взаимодействия, подчиняющаяся дифференциальному уравнению A.14):
(Е-Тх- Г2) iGx (t, f) G2 (t, f) = б \t - ?). A.61)
Следовательно,
(Е-Тг- Tt) G1+2 (t, f) =b(t-t') + VG1+2 (t, f),
A.62)
а это не что иное, как дифференциальное уравнение A.53),
написанное в матричных обозначениях:
[Е-Тх-Т2- V] G1+2 (t, f) = 8(t- f). A.63)
Здесь следует подчеркнуть, что в процессе нашего анализа пред-
предполагалось наличие промежутка времени, в течение которого
существуют обе частицы сразу (?< > ?>). Если это не так
(t< <C ?>), то взаимодействие полностью отсутствует и функция
Грина сводится просто к произведению одночастичных функций.
Функции Грина для двух указанных областей сшиваются непре-
непрерывным образом.
Перейдем теперь к формулированию принципов действия,
которые будут описывать взаимодействующую систему в целом, по
крайней мере с точки зрения ее двухчастичных взаимодействий.
Некоторые составные элементы у нас уже имеются — выражение
для действия D-11.12), отвечающее невзаимодействующим части-
частицам:
j * A) * (!)+*• A) Л D)—**<1) (^—ГI * AI —
A.64)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ
и примитивное взаимодействие A.39):
=- J
В принципе действия должно фигурировать также и двухчастич-
двухчастичное поле г|з A2), но оно обязано входить таким образом, чтобы
в отсутствие взаимодействия никаких его следов не оставалось,
поскольку в таком случае ситуация полностью описывается
полями г|з A) и \|5 B). Поэтому мы введем поле
X A2) = -ф A2) — -ф A) Ч> B). A.66)
Комбинируя дифференциальные уравнения A.8) и A.46), мы для
этого ревностного поля получаем уравнение
1(Е - Т)х (Е - Т)ш - IV A2)] х A2) = iV A2) ф A) ф B).
Ив него видно, что источником поля % является первое взаимодей-
взаимодействие дотоле не взаимодействовавших частиц.
Сформулируем теперь соответствующий принцип действия,
считая для простоты, что никаких добавочных источников поля зс
он не включает:
м. взаим + Wx, A.68>
где
Wx=-ijdld2%*(i2)l(E-T)l(E-TJ~iV(l2)]%(l2)-
]. A.69)
Выбор именно такого выражения найдет свое оправдание в выте-
вытекающих из него следствиях. Полевое уравнение, получаемое
варьированием х* A2), совпадает с A.67), а при варьировании
X A2) возникает аналогичное уравнение:
X* A2) [(Е - Т\ (Е - T)t - IF A2)] = Г B) ф* A) i V A2).
A.70)
Их решения могут быть записаны с помощью функции Грина
GA2, 1'2'):
X A2) = [ dY d2'G A2, 1'2') iV A'2') \J) (I') i|> B'),
; (i7i)
X*"(l'2')= J
В последнем из них мы воспользовались возможностью предста-
представить A.48) в виде
G A2, 1'2') [(Е - Т)[ (Е - Т)'2 — iV A'2'I = б A,1') б B,2').
A.72)

330 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Совместность этой системы подтверждается тем, что W% можно
вычислить двумя разными способами, причем оба дают
W% = — J dl ... d2'i|;* B) i|>* A) V A2) iG A2, 1'2') x
X7(l'2')i|)(l')i|)B'). A.73)
В сумме WnmM. взаим и W% между произведениями одночастич-
ных полей стоит следующая комбинация:
iV A2) G A2,1'2') iV A'2') + iV A2) б A,1') б B,2') =
= (Е — Т\ (Е — ТJ G A2,1'2;) IV A'2') =
= (Е - Т\ (Е - Т)г G A2,1'2') (Е - Т)[ (Е - Т)'2 -
~(Е- Т\ (Е - ТJ б A,1') б B,2'), A.74)
при преобразовании которой последовательно использованы урав-
уравнения A.48) и A.52) для функции Грина. Последнюю комбинацию
можно представить также в виде
(Е - Т\{Е - Т)г [GA2, 1'2') - G A,1')СB,2')](Е-Т)[ (Е - Т)'2.
A.75)
В итоге для явных выражений, отвечающих первой форме записи
правой части A.74) и ее записи в виде A.75), получаем
d\ ... d2'f * B) V A) (Е - Г), X
X(E-TJGA2, l'
+ W%= i j dl ... d2'r B) ip A) (E-T), (E-TJ x
A.77)
Исключив % и х*, мы теперь уже можем применить принцип
действия к вариациям т|> и г|з*. Так, например, для т|> B) из дей-
действия A.76) получается следующее полевое уравнение:
(Я-ГJ1|>B)-т)B)=
XGA2, l'2')F(l'2')f (l')i|> B'). A.78)
В итоге возникает система нелинейных уравнений, которую можно
решить методом последовательных приближений. Очевидно, что
правая часть равенства A.78) по крайней мере кубична по источ-
источникам (считая как испускающие, так и поглощающие источники).
Если ее опустить, то благодаря стационарности действия W

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 331
ошибка при его вычислении будет иметь не четвертую, а шестую,
степень по источникам. Поэтому если в разложении вакуумной
амплитуды нас интересуют члены второй и четвертой степени по
источникам (описывающие одну частицу или пару частиц), то
для полей т|> A) и т|> B) достаточно взять решения, получаемые
в отсутствие взаимодействия. В таком случае мы имеем
W-+— j dldl'ti* ANA, 1?)т)A')-[ d2d2VB)GB,2'LB') +
+ i j dl ... d2'i\* B) tj* A) [G A2, 1'2') -
A.79)
@+10_)" = 1 - г j dl dl'ri* A) G A, 1') t) A') -
— j dl ... d2V B) т]* A) G A2, 1'2') л A') Л B') + • • • • I1-80)
Как теперь видно, влияние члена четвертой степени в формуле
A.79) свелось к тому, что место функции Грина двух невзаимо-
невзаимодействующих частиц заняла функция G A2,1'2'), в которой пол-
полностью учтено все взаимодействие.
В рассматриваемом случае, когда взаимодействия являются
мгновенными, принцип действия может быть сформулирован также
и с использованием равновременного поля т|) (гхг2?) или, точнее,
поля
% (глО = ф (гЛ0 - ф (гх0 ф (r,t). A -81)
Действие сохраняет общую структуру A.68), причем теперь мы
можем написать
м. взаим = j
XF^-rO^MiKr,*), A.82)
HO
W% = j (drt) (dr.) d* [X* (глО (^-Г, -Г,-F (Fl-r2)) X (rir,t) -
-X* (Vrf) ^ (ri-О *"('!*) Ф (r,0 -
-Ф* (rrf) V (Tit) V (r, - r2) x (гЛ«Я. A-83)
Уравнения для поля % имеют вид [V = V (гх — г2)]
(JF - ^ - Га - F) х (V,*) = Vy (rxt) ф (г,«) A.84)

332 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
И
X* (гЛ«) (Е - Тх - Т2 - V) = г|>* (г,*) г|>* (Tlt) F, A.85)
а их решения таковы:
X (гл*) = {(dr;) (dr'2) dt'G (гЛ«, rfct') F (г;-О
С помощью любого из этих решений для W% получаем
w%=~] №i) • • • (Ф-;)dtdt'r (г,*) tf* (г,*) F(г!-г2) х
Если добавить примитивное взаимодействие, то возникнет ком-
комбинация (испольвуются матричные обозначения)
FG1+2 (t, t')V + 6(t- ?) V = (Е - Тг - Tt) G1+2 (*, *') F,
A.88)
где в последней форме записи учтено дифференциальное уравне-
уравнение A.63). С помощью альтернативного его варианта
G1+2 (*, О IE' - Тх - Tt - V] = б (* - *') A.89)
мы полностью избавимся от V и получим
(Е-Т,- Тг) G1+2 (*, *') (Б1 -Tt- Т2) -
-{Е-Тг- Т2) б (t - Г) = {Е-Тг~ TJ [G1+2 (*, *') -
- 1GX (t, f) G2 (t, t')] (E' -Tx- Г,). A.90)
Последнее выражение развертывается следующим образом:
WnvBM. В88ИМ+ W%= - j (dr,) ... dt'Mf* (г,*) Г (т^) (E-Tt-Tt) X
x [G (r,r,j, r;r;t') - ;g (rit, r;«') g (r,t, r^')l x
f'). A.91)
Как было показано выше, теперь мы можем пользоваться полями,
которые подчиняются уравнениям бее учета взаимодействия.
В результате имеем
W -> ТУневзаим - j (dtt) . . . dt'i)* (гЛ«) [G (гЛ*. Г^О -
— <Gj('i*, rl*') G (r,t, г/)] т) (гК**)- A -92)
Как и прежде, дополнительное слагаемое здесь служит для того,
чтобы в соответствующий член вакуумной амплитуды ввести функ-
функцию Грина системы с взаимодействием [ср. с-?ыражением A.80)].

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 333
Как и всегда при рассмотрении нерелятивистских систем,
весьма выгодно пользоваться координатами центра масс и отно-
относительными координатами
Соответствующие им импульсы равны
На основании обратных соотношений (М = тг + т2)
r,
A.95)
мы заключаем, что
li~ М 2М + дг г Р+ 2пц ' 7а~Л/ 2М Af r р+ 2да4 *
A.96)
Отсюда вытекает известное разбиение полной кинетической энер-
энергии
где |х — приведенная масса, определяющаяся равенством
1Г~=Г + тЬ A'98)
Независимость движения центра масс от относительного движе-
движения находит свое выражение в свойстве факторизации функций
Грина
g (гЛ*, г;г;о = tG (m, R'*') с к гТ). A-99)
Убедиться в этом можно, основываясь на уравнении A.53) для
функции Грина, которое здесь мы напишем в виде
[i-L-TP-T-V(T)]G(Rrt, R'rTH
= 8(*-O8(R-R')fi(r-r'). A.100)
Вводя фурье-образ
A.101)

334 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
получаем следующее уравнение, не содержащее Р:
[t-|— T-V(r)JG(it, r't')=b(t-t')b(T-r'). A.102)
Но это как раз и составляет суть равенства A.99), в котором
G(Rt, RV) отождествляется с функцией Грина свободной частицы
с массой М.
Собственные функции
Ъа (Г0 = $Еа W вхр (— lEt), A.103)
классифицируемые по энергии Е и совокупности прочих кванто-
квантовых чисел, которая обозначается через а, являются решениями
однородного уравнения для функции Грина
(Е - Т - V) уВа (г) = 0. A.104)
Они обладают свойством ортонормированности, которое для
состояний с дискретными индексами записывается как
Еа (Г) Ч>В'„. (Г) = ЬЕЕ'Ьаа'. A-105)
Зная функцию Грина, можно указать все собственные функции,
и, наоборот, из них можно построить функцию Грина. Чтобы
доказать последнее утверждение, умножим обе части уравнения
A.102) на г|)|а (Г) и проинтегрируем результат. Учитывая затем
уравнение
1|>|а (г) (Е - Т - V) = 0, A.106)
сопряженное с A.104), будем иметь
*-!-- Е) j (dT)y%a(T)G(Tt, r't') = 6(*-*')Ч>ЫО. (
Решение этого уравнения для функции Грина таково:
j (dr) #„ (г) G (it, r't') = 1 т| (t -1') exp [ - iE (t -1')] г|>|а (r').
A.108)
Пользуясь затем свойством полноты, которое записывается
в виде равенства
2(г)гЦа(г') = б(г-г'), A.109)
2
Еа
получим следующую формулу для функции Грина, выраженной
через собственные функции:
Еа

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ I 33S
И наоборот, свойство полноты само может быть получено из срав-
сравнения A.110) с предельным значением, которое дает дифферен-
дифференциальное уравнение и запаздывающее граничное условие:
iG(rt, r'i')|t_t4+0 = 6(r—г'). A.111)
В соответствии с соотношением A.99) мы можем вновь присоеди-
присоединить движение центра масс и в итоге будем иметь следующее-
разложение функции Грина:
= 2 ^pE° (г1Га) ~ л (*—О ехР {— ч "одг ~Ь ^1С—О
РЕа
где
^а(г1Г2)=Г-^г1 2exp(iP.R)\J)Eo(r).
Эти собственные функции обладают свойством ортонормирован-
ности
j (drO (dr2) г|з?Еа (r4r2) \|зР.Е'а. (г4г2) = бРР. ЬЕЕ'Ьаа'- A.114).
Можно написать также
PEa
где
%-Ea (гл*) = \j3PEa (гл) exp { - i [-^ + Я] t} . A.116>
Рассмотрим теперь разложения по собственным функциям для
многовременных функций Грина. Напомним, что (при t<
где
G(«>, i<) = G1(f1, *2) + G2(*2, «О,
причем матричные обозначения подразумевают интегрирования
по всем пространственным координатам. Подставляя разложение
A.115) для Gx+2 (?<, f>), получаем
S ^ (ГАГ,*,) фр
РЕо

336 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
где
= i \ (dli) Gi fa*!, Г!*2) *|>РЕа (Г1г2^г) Н~
(dr2) G2 (г2*2, r2*i) \t)pEo (rir2*i), A.120)
+ i j (iFj) #Ea (Fir2*2) d (F,^, rjt). A.121)
Множители i введены с тем, чтобы выполнялись равенства
I = ipPEo fa*«*)« A-122)
Как подсказывается самой конструкцией A.119), многовременные
функции являются собственными функциями однородного урав-
уравнения, соответствующего уравнению A.48) для функции Грина.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например (индексы кван-
квантовых чисел опущены),
(Е-Т)г {ё-ТJ Ч> fafAfe) = (i -щ- -Т\) i6 (*! — *,) * far2*2) +
= Й (*! - ti) ( 2f -^ - Г4 -
-б' (*!_*,) [г|з far^-ip (r,r2f2)]. A.123)
Поскольку
б' (h- h) [f (*») —/(«a)] = - б (h - к) f (t) |М1,ь, A.124)
правая часть равенства A.123) равна
ib (h -12) (i S- - Tt - Ta ) v|) (гл*) |(=tl=tg =
= ib (h -12) V fa - r2) г|з (r,r2t) \t=ti=h. A.125)
Учитывая первое соотношение A.122), мы и получим ожидаемое
уравнение:
[(Е - Т\ (Е - Г), -
- ?6 fa - *2) 7 fa - га)] г)) fa^^) = 0, A.126)
причем таким же путем получаем, что
1|>*ОГ1*А*|)[(Я-ГI(Я-Г).-
- a (h - *2) у fa - г,)] = о. A.127)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 337
Проводя аналогичные выкладки, можно представить в иной
форме собственные функции. Так,
G± [pi, t) G2 (?2, t) \E — ij — T2) =
= 8 (^ — t) G2 (t2, tj) + 6 (f2 — t) Gj (*!, f2), A.128)
откуда мы заключаем, что (используются матричные обозначе-
обозначения и опущены индексы)
= i { dtGi (t,, t) G2 (t2, t) (E—Tt — T%) 1? (t) =
A.129)
Последняя форма записи позволяет интерпретировать физически
многовременные собственные функции с точки зрения измерений,
проводимых (по окончании последнего воздействия) в системе
свободных частиц. Аналогично имеем
= * J
t, h)G2(t, h). A.130)
Перейдем теперь к вопросу о том, как использовать многовре-
многовременные собственные функции для записи условия ортонормиро-
ванности. В качестве первого этапа некоего эмпирического иссле-
исследования этого свойства рассмотрим произведение функций (в ма-
матричных обозначениях)
$РЕа (*|*2) = fc (*i) Л (*i ~ «.) вХР [ - iT\ (tt — t,)] +
+ ЦрЕа (*.) Л (*, —«0 ехр [ -iTi (*, — «01 A-131)
и
ipP'B'a' (*1<2> = Л (<1 — *2) ехр [ — lTt (tt — t2)] Цр'Е'а- (h) +
+ Л (*«-*i) ехр [-iT2(«, — *!)] i|*'B'a' (*0, A -132)
а именно
2) (h - tt)] Цг»Е'а- («,) +
a (t,) exp [ - i B\ + Tt) (t2 - *01 i^P'B'e' (*i). A -133)
В обычные соотношения ортонормированности, записанные либо
в виде A.114), либо в эквивалентной форме
) (dr2) iCgEa (rjr^) i|3p'E'a' (rtr2f) = 6pP'8EE-8aa<, A.134)
не входят интегралы по времени. Но вдесь имеются две временные
переменные: tx и t2 или, иначе,
t = -^{h + t2), T = t1-*s, A.135)
22—0983

338 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
а это говорит о том, что необходимо интегрирование по относи-
относительному времени т. Отметим, что
t—^т) =
A.136)
exp [ -il^^L-Ti-Ti) т] г|>Р,Е,а, (t), A.137)
причем в первом из этих двух выражений величина- т должна быть
положительной, а во втором — отрицательной. Мы видим, что
после компенсации эффектов, возникающих за счет интегрирова-
интегрирования по г от — оо до оо, множителем, пропорциональным V2 (Е +
+ Е') — Тг — Т2, вновь справедливо обычное условие ортонор-
мированности:
~ j dx (dFl) (dr2) ifpBa {Tihtih) (^^~ ~ Tl-T*) ^P'E'a' (rt^r.t,) =
= 8pp»8EE'fiaa'- A.138)
Более прямым путем можно прийти к такой структуре, рас-
рассматривая уравнение на собственные функции A.126), в котором
мы теперь напишем
E2 = j-E-Ex, A.139)
где
Это дает
r.-r^-j^-^l'-iSWFJ^-^O A.141)
и, аналогично,
(^^J]0. A.142)
Здесь дифференциальный оператор Е заменен собственными зна-
значениями энергии, так как ими определяется реакция системы
на общий сдвиг обеих переменных, при котором т остается фикси-
фиксированным. Поэтому в формулах A.141) и A.142) в качестве пере-
переменных остаются тг, г2 и т. Теперь мы применим обычный способ —
умножим каждое уравнение на функцию из другого уравнения,
произведем вычитание и проинтегрируем разность по всем пере-

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 339
менным. В итоге получим
dx(did (dxt) ipfea№ А) \{Е-Tt~T2f -
- (E' - Tt. - T2J} yP.E'a' (r,t,r.<i) = 0, A.143)
или
1 j dididj^i) (^^ЪТ) x
A.144)
Здесь сразу можно узнать структуру выражения A.138). Но
чтобы фиксировать абсолютный множитель в условии нормиров-
нормировки, необходим проведенный ранее анализ.
Теперь нам известна в явном виде многовременная функция
Грина в двух не связанных между собой временных областях
?< > t> и t< <. <>. В первой из них две частицы существуют
вместе в течение некоторого конечного интервала времени и функ-
функцию Грина можно представить в виде разложения по собственным
функциям, задаваемого формулой A.119). В другой временной
области частицы вместе не существуют, а значит, они не взаимо-
взаимодействуют, и поэтому мы имеем
*<<*>: GA2, 1'2') =GJi, V)GB, 2'). A.145)
Было бы желательно получить два эти выражения неким еди-
единым способом, исходя из какого-то одного выражения. Чтобы
сделать это, применим интегральные уравнения, эквивалентные
дифференциальным уравнениям A.48) и A.72), а именно
G12 = G,G2 + G&iV A2) Gu A.146)
и -Ш
Git = G1G2 +lG12i V A2) GtG%, A.147)
которые записаны в четырехмерных матричных обозначениях Гер.
с формулой C-12.21)]. Комбинируя их, придем к уравнению
G12 = GA + GjG%tV A2) G±G2 +
+ GjGtiV A2);G12JF A2) G^, A.148)
которое фактически содержится также и в A.74). Обратимся те-
теперь к трехмерным матричным обозначениям и напишем это
уравнение в развернутой^форме:
+ j dtG, (*„ t) G2 (t2, t) iVGi (t, t[) G% (t, Q +
+ j Л dt'Gt (h, t) G2 (*„ t) iV j G1+2 («, t') x
22*

340 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
где учтено, что в последнее слагаемое входит равновременная
функция Грина
Gi+2(t, *')=-7 ^ О5 ~~ О 2 ^ СО Ф* (О* A.150)
Фигурирующие здесь величины if (t) представляют собой собст-
собственные функции A.116) с опущенными для простоты индексами.
Заметим, далее, что
где использовано однородное уравнение для собственных функций
(^_Г1_Г,-УI|)@=0, Е = 1±, A.152)
и условие полноты
2 Ч> (*I>* (*) = 1- ¦ A-153)
Получаемое таким способом дополнительное слагаемое с дельта-
функцией компенсирует линейный по V член в формуле A.149).
Кроме того, вспомним, что
Gi (*i, *) G2 (*„ t) {Е-Тх- Г,) =
= в (*i — *) ^2 (*¦, к) + в (*. - *) G, (*lf t2). A.154)
В итоге мы приходим к следующему преобразованному выраже-
выражению:
+ jdtdt'[8(ti-t)G2(t2,ti)+b(t2-t)Gi(ti,h)]x
t^QGzit',^). A.155)
Чтобы полностью исключить V, будем действовать аналогич-
аналогичным образом и напишем
- 2 Ф @ ^* (*') Л (* — *') (#' - ^i - Т'г) - »б («- «')• A • 156)
Комбинируя это равенство с соотношением
(E'-T1-T2)Gl(t',t'1)G2(t',Q =
= b{t'-t\)G2{t\, и) + Ч?-Ъ)Ъ$„ t[), A.157)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 341
получаем
^12 (M2i t\t'^ =
= G± (*ь t[) G2 (tt, Q -iGi (tit t\) G2 (*„ *,) G2 (tt, Q-
или
G12
= [б4 (*i, O- *Gi (*i, *.) Gj (*», *;)] X
X [G,(t,, Q — iG,'(t,, h)G2{U, Q]~
В последней форме записи мы учли, что произведение
Gi (*i, ^2) G2 (i2, ^i) равно нулю и что после двукратного интегри-
интегрирования по времени t и t' заменяются на t< и f>, а также приняли
во внимание выражения A.120) и A.121) для многовременных
собственных функций. Относительно входящей сюда комбинации
функций Грина свободных частиц напомним, что
*>*'>*': G (t, t") = iG (t, t') G (*', *"). A-160)
причем произведение в правой части обращается в. нуль, если
временные переменные расположены в другой последовательно-
последовательности. Следовательно, слагаемое в формуле A.159), отвечающее сво-
свободным частицам, равно нулю, когда tt > t2 >• t[ или t\ > fx > t'v
чему соответствует неравенство t< >i>; в противоположном же
случае, когда t< <; f>, равно нулю произведение двух функций
Грина одной и той же частицы. В результате мы получаем выра-
выражение, которое и ожидали:
Gi, (t,tt, t\Q = т) (^ -*<) Gi (*lt *;) G2 (tt, Q -
Состояния двухчастичной системы распадаются на две раз-
разные группы: при Е >0 имеем состояния рассеяния, а при
Е <С 0 — связанные состояния. Каждое из последних отвечает
составной частице, которая при принятом здесь упрощенном
описании выступает в качестве некоторой стабильной частицы.
Мы должны теперь убедиться в непротиворечивости нашей тео-
теории — составной характер частицы не должен сказываться на ее
феноменологическом описании. Обратимся к формуле A.79)
и выделим из члена W, имеющего четвертую степень по источникам,

342 I ГЛАВА 5. ЭЛККТРОДИНАМИКА II
вклад в G A2, 1'2') какого-то определенного связанного состоя-
состояния, используя с этой целью выражения A.148) и A.149). Без
особой строгости в обозначениях будем иметь
Wcoct. част = i j dl ... d2V B) Ц* A) Gfi2iV A2) 1 x
X Gi+i |связ. C0CTjF A2) GA*1 A') л B'), A.162)
где, согласно формулам A.99) и A.110),
Gi+i |связ. сост = G (Rt, R'f) г|з (rt) г|з* (r'f), A.163)
а
ф (rt) = ф (г) exp (-iEt) A.164)
есть собственная функция рассматриваемого конкретного состоя-
состояния. Выделяя затем движение составной частицы как целого, полу-
получаем
Wcoct. таот= — j (dR) dt (dR1) dt'yf (Rt) G (Rt, R'f) r\ (R'f), A.165)
где
ti (Rt) = j (dr) di' d2'\|j* (rt) V (r) Gt fat, 1') X
xG2(r2t, 2')цA')г)B'),
rf (Rt)= j (dr) dl' d2V B') л* (lf) d A', ttt) X
Хб,B', r,tO(r)i|)(r, t),
а [соотношения A.95)]
^ A.167)
Структура действия A.165) оказывается такой, какой она
и должна быть [ср. с формулой E.1I, но феноменологическая
схема будет замкнутой лишь в том случае, если r\ (Rt) и r\* (Rt)
в действительности являются комплексно-сопряженными вели-
величинами. Это утверждение будет справедливым, когда для одно-
частичных функций Грина эффективно выполняется соотношение
G (rt, г'*')* = G (гГ, П). A.168)
В полной аналогии с тем, что говорилось по поводу выражения
A.30), а также выражения A.41), для этого необходимо, чтобы
при условиях, которые характеризуют действие источников
составных частиц, не распространялись никакие одиночные реаль-
реальные частицы. Такое требование заведомо выполняется, если ни
один из одночастичных источников не способен испускать или
поглощать реальные частицы. Приведем также явные выражения

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 343
для источников какой-то определенной составной частицы,
(dR)dtex.1>[-i(P.R-TPt)]r\(Rt),
A.169)
которые даются равенствами
Лр = j (dri) (*я) dt dl' d2'yp (г4г2«) V (г) Gt (rt«, 1') X
, • A-170)
XG2B', ra*)V(rI>p(*i*a*). A.171)
где \[)p (Г]Г2?) — собственные функции A.116). Мы видим, что
сюда входят- комбинации, отвечающие многовременным собствен-
собственным функциям A.129) и A.130) (напомним, что в этих последних
формулах использовались матричные обозначения), и, таким
образом,
f A.172)
р=] dld2Tj*B)Ti*(l)i|)pA2).
Подобные многовременные конструкции возникают также и при
подстановке в формулу A.79) разложения по собственным функ-
функциям A.119).
В данном параграфе не встречалось каких-либо определенных
ссылок на бозевский или фермиевский характер источников. Не-
Некоторого комментария требует лишь связь статистики сложной
частицы со статистикой составляющих ее элементов (см. т. 1,
стр. 319). Произведения двух коммутирующих величин или двух
антикоммутирующих величин будут объектами, полностью ком-
коммутирующими: если два составляющих элемента подчиняются
статистике одного и того же типа, то сложная частица является
бозоном. Произведение коммутирующей величины с антикоммути-
рующей дает антикоммутирующий объект: составные элементы
с противоположными типами статистики образуют сложную ча-
частицу, являющуюся фермионом.
Имеется один интересный способ символического представле-
представления решения уравнения A.48) для многовременной функции Грина.
Его подсказывает нам рассмотрение первых двух слагаемых выра-
выражения A.148), которые к тому же оказываются и начальными чле-

344 | "ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
нами итерационного решения:
GA2, 1'2') = GA, l')GB,2') +
did2G(l,T)GB,2)iV(i2)G(T, l')GB, 2')+... A.173)
Вернемся к уравнению для одночастичной функции Грина и вве-
введем в него член с произвольной потенциальной энергией — неко-
некоторой функцией пространства и времени:
[Е - Т - V A)] Gv(l,l') = S A, 1')- A-174)
Бесконечно малое изменение величины V A) оказывает следую-
следующее влияние:
[Е - Т - V A)] 6GV A, 1') = 8V A) Gv (I, 1'), A.175)
а решение этого дифференциального уравнения имеет вид
8Gy(i, l') = j diGv(U Т) 8FA)GV(T, 1'). A.176)
Для записи этого дифференциального выражения мы будем исполь-
использовать символ функциональной производной
61/A) w / x . ,
Если после дифференцирования A.177) положить вспомогатель-
вспомогательную функцию F A) равной нулю, то мы получим как раз произве-
произведение двух свободных функций Грина, входящее (для каждой
частицы) в разложение A.173). Поэтому последнее мы можем за-
записать как
'. 2') +
did2—^FA2) —^Gv(l, i')GvB, 2'
6V(l) ' 6FB) V ' ' K '
v=o
A.178)
Естественно предположить, что влияние бесконечного числа
последовательных актов взаимодействия выражается экспонен-
экспоненциальным оператором, первые члены которого указаны в формуле
A.178):
GA2, 1'2') = ехрГг \dld2—^-FA2)—^-1 X
к ' L J 6F A) v ; 6K B) J
XGVA, l')GvB, 2')|y=o- A-179)
Убедимся в справедливости этой гипотезы. (Аналогичный кванто-
вомеханический анализ, основывающийся на принципе действия,
можно найти в книге /. Schwinger, Quantum Kinematics and Dyna-
Dynamics, W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park, 1970, § 7.9.)

i 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 345
В соответствии с уравнениями типа A.174) мы имеем
(Е -T^iE -ГJ G A2, 1'2') =
= ехр[ ]{бA, l') + F(l)Gv(l,l')}{SB,2')+FB)GvB,2')}|y=o-
= 5A, l')8B, 2') + exp[ ]FA)FB)GVA, l')GvB, 2')|y=o,
A.180)
где квадратными скобками обозначен функциональный дифферен-
дифференциальный оператор, фигурирующий в формуле A.179), и учтены
упрощения, возможные для членов, не содержащих одновре-
одновременно V A) и F B). Заметим теперь, что имеет место равенство
|ехр[ ]F(l)=F(l)exp[ ]+exp[ ] i j d2FA2)-^-, A.181)
которое вытекает из следующего свойства функциональной произ-
производной:
^ 1), A.182)
6FA)
соответствующего тождеству
6FA)= j dlSF(TN A, 1), A.183)
После того как величину F A) мы поместили слева от всех функ-
функциональных производных, ее можно положить равной нулю. На
первом этапе проведения той же схемы для F B) используется
соотношение
. A.184)
Применяя теперь равенство, аналогичное равенству A.181),
получаем
, 1'2')-6A, 1') 6B, 2') =
х
= - ехр [ }[dld2 FA2) V B1)
8=-Gv(l,l')GvB,2')\v=Q. A.185)
6FA)
Согласно формуле A.177), для входящей сюда второй функцио-
функциональной производной имеем
6 6=-Gv(l,l')GvB,2') =
6FB)
; 2)GVB, 2'). A.186)

346 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Здесь решающее значение приобретают мгновенность взаимодей-
взаимодействия и запаздывающий характер функций Грина. Дельта-функ-
Дельта-функции времени, входящие в F, требуют, чтобы выполнялись равен-
равенства
U = *1. \ = *i- (!-187)
Следовательно, в произведении функций Грина в формуле A.186)
содержится множитель
бГ(*1,*2) <?(*„*!)= О, A.188)
так как
т, & - *2) т| (*2 - *х) = 0 A.189)
всюду, кроме отдельной точки ?х — ?2 — 0, которая не дает отлич-
отличного от нуля интеграла по времени. Этим и завершается проверка
представления A.179).
Мгновенный характер взаимодействия можно учесть явным
образом, записав выражение A.179) в виде
GA2, 1'2')
(rt t)
xGri(l, l')GV2B, 2')|rli2=o. A.190)
Можно также перейти к равновременной функции Грина:
С(г1г2*,г;гУ) = мр[ ] б7».» (гЛ*, т[т'2П |vi>2=0, A.191)
где
(Я _ Tl - Т, - V, - 7,) Gvi.2 (гЛ«, rftO =
-г;). A.192)
Чтобы прямо вывести дифференциальное уравнение A.53), при-
применим предыдущее уравнение для GVi-2:
1>2=o, A-193)
а затем, воспользовавшись равенством A.181), представим пра-
правую часть в виде
ехР[
X Gvi.2 (тЛ*, т[т'/) |у12=0. A.194)
Далее, рассмотрим двухчастичный аналог соотношения A.176),
5Gvi.2 (Г1г2г, r;r;t')= j <п(<ьд (*,) gvi.2 (Г1гаг, Ft F2F) x
X [6Fj (F/) + 6F2 (?,?)] Gvi.2 (rj/, r;r;t'), A.195)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ I 347
который в функциональных производных записывается как
A.196)
и
6F2(r2i)
A.197)
Чтобы преобразовать выражение A.194), нам нужно вычислить
эти функциональные производные при t = t, причем подразу-
подразумевается, что берется среднее арифметическое двух предельных
значений при t -> t ± 0. Вспомнив, что
= 0.
A.198)
мы будем иметь
lim iG (r,r2t, tjj) = 4"б (ri - 'i) б (Г2 - U, A -199)
и тем самым
2 A.200)
В результате, как и можно было ожидать, мы для правой части
равенства A.193) получаем
V (гх - г2) G (гЛ*, г>^')- A-201)
Пока что мы рассматривали только взаимодействие двух раз-
разных частиц. Нужно сказать несколько слов и о тех модификациях,
которые возникают в случае, когда две частицы тождественны.
Если исходить из выражения
И^невзаим-"! dl dl'rf A) G A, 1')Т|A'), A-202)
то для квадратичного члена в разложении экспоненты
ехр [^И^не'взаим] мы будем иметь
—4-j dl ... d2'yf B) т,* A) G A, 1') G B, 2') r, A') ц B'), A.203)

348 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
где цифры 1 и 2 уже не относятся к разным сортам частиц. Это
выражение можно переписать в виде
^^ A.204)
причем
, 1'2')невзаим = СA, l')GB, 2')±GA, 2')GB, 1'), A.205)
где в явной форме учитывается тип статистики рассматриваемых
частиц (знак плюс отвечает бозонам, а минус — фермионам). Соот-
Соответственно этому двухчастичная функция Грина обладает опре-
определенными свойствами симметрии (имеющими место и в общем
случае, а не только в отсутствие взаимодействия):
G A2, 1'2') = ± G B1, 1'2') = ± G A2, 2Т). A.206)
Тем самым подразумевается, что благодаря множителям V2 в диф-
дифференциальных элементах объема не учитываются дважды тожде-
тождественные частицы. Функция Грина A.205) подчиняется дифферен-
дифференциальному уравнению
= 6A, 1') 5B,2') ± б A,2') б B, 1'). A.207)
Теперь уже становится совсем ясным, что справедливо следую-
следующее общее правило. Все предыдущие результаты переносятся и на
случай тождественных частиц. Для этого нужно заменить дельта-
функции соответствующим образом симметризованными комби-
комбинациями, которые указаны выше, а, кроме того, все интегриро-
интегрирования следует проводить так, чтобы одни и те же частицы не учи-
учитывались 2 раза.
§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ I
Прежде чем приступать к построению релятивистской теории
частиц, взаимодействие между которыми обусловлено электромаг-
электромагнитными силами, напомним некоторые моменты теории скелетного
взаимодействия, изложенной в гл. 3, § 12. Нас будет интересо-
интересовать многофотонная аннигиляция частицы и античастицы со спи-
спинами 1/2, а также обратное превращение. Таким процессам соот-
соответствуют члены скелетного взаимодействия C-12.17), приведен-
приведенные в формулах C-12.24). Первые два из них можно представить
в виде вакуумной амплитуды:
, . B.1)
iW22 = у i2 ] (dx) (dx1) A11 (x) Av {x') /„ (x) /v (x') |эфф,

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 349
где эффективные фотонные источники таковы:
J\i (я) | эфф = y Ф ix) Y°e<3"iV^ (x) B -2)
и
B-3)
Поскольку происхождение этих комбинаций связано с разложе-
разложением члена взаимодействия
W%... = ~ j (Ас) (Д^) л (х) tGf (x, х1) т) (х'), B.4)
они допускают более компактное и единообразное представление
с использованием вариационных производных:
) I.» = f
Отсюда видно, в каком именно смысле A/i) б/бЛ^ (ж) играет сим-
символическую роль источника многофотонного испускания (или
поглощения). Все подобные выражения содержатся в функцио-
функциональной форме записи разложения в ряд Тейлора
XGt'(x,x')r\(x')\A,=0. B.6)
В гл. 3, § 12 отмечалось также, что при использовании некото-
некоторых определенных калибровок для фотонных функций распро-
распространения не возникает никаких проблем, связанных с излуче-
излучением фотонов источниками заряженных частиц. В нашем случае
это обстоятельство находит свое выражение в записи
dx')D»v(x-x')Jv(x'), B.7)
где D$y — функция, даваемая формулами C-12.8) и C-12.9). От
более простой комбинации gllvD+ (x — х') эта функция отли-
отличается калибровочными членами, соответствующими одному или
обоим векторным индексам ц, и v. Конкретные детали мы напом-
напомним ниже.
Интересующая нас в данном параграфе система состоит из
двух заряженных частиц разного сорта, спин каждой из которых
равен 1/2 и которые нумеруются индексами 1 и 2. В отсутствие

350 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
взаимодействия они описываются вакуумной амплитудой
[i | j (dx) (dxr) т, (x) 7°G+ (*-*') Л И]1 [i ~ j (dx) (dx') т, (x) X
X Y°G+ (* -x)'r\ (x')~]z = - 4 j (d*i) • • • (dxQ ц (х2) т, (я,) x
X 7?7^+ (*i - *1) G+ (*2 - a?) т, («;) n D), B.8)
которую мы выразили через двухчастичную функцию Грина
G+ (^i — х[) G+ (хг — x't). B.9)
Влияние взаимодействий можно учитывать по-разному, рассма-
рассматривая разные причинные последовательности. Мы выбрали такой
вариант: частица и античастица сорта 2 аннигилируют, давая
произвольное число фотонов, которые затем рекомбинируют, по-
порождая частицу и античастицу сорта 1 (и обратный процесс).
Скелетное описание этих процессов дает нам величина B.6);
в отбрасывании формфакторов для различных актов взаимодей-
взаимодействия и состоит суть скелетной схемы. Кроме того, сопоставляя
фотонам, которыми обмениваются частицы, простую функцию рас-
распространения D+ (проблема калибровки пока не затрагивается),
мы также применяем скелетное описание. Процессы обмена сколь
угодно большим числом фотонов символически представляются
в вакуумной амплитуде множителем
* J
действующим на ту ее часть, в которую входят частицы. Послед-
Последняя же совпадает с величиной B.8), если функции распростра-
распространения заменить их выражениями, в которых учтено влияние элек-
электромагнитных полей А* , в соответствии с уравнениями
? (±д-)]
B И)
В результате мы получаем некое символическое представление
двухчастичной функции распространения, в котором собраны
все рассматриваемые скелетные взаимодействия:
Gt (ztz,, x'X) = ехр [ -i j (ф (di') a(g) D+ (l-iy* X
X -uffcj-] G? (*i, *D Gf2 (*., 4) K, ,=o. B-12)

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 351
Мы записали эту функцию в пространственно-временнбй форме,
исключив тем самым всякие ссылки на исходную причинную по-
последовательность.
Здесь имеется совершенно очевидное сходство с нерелятивист-
нерелятивистским выражением A.179). Поэтому при выводе дифференциального
уравнения сначала можно действовать аналогично предыдущему:
= ехр[ ][8(x-x') + eqyA(x) G?(x, х%[8(х-х') +
+ eqyA (х) G? (х, х')}2 \А^ 2=0 = «(*,- х\) 8 (*, -х'г) +
+ ехр [ ] [eqyA (x) G? (x, x')]t [eqyA (x) G? (х, х')]2 Ць f=0. B.13)
Следующий шаг состоит в использовании тождества
ехр[ ]A»(t)^A»(?)exvl ] + exp[ ]х
-, B.14)
которое вместе с аналогичным равенством для А\ дает нам
~8(xt-x[) 8(xt-x'2)=-exp[ ] j (d|) (d?) (eqy»)t X
X (едГJD+ (xt-1
x M^g)
где
t. B.16)
Из соотношений B.11) вытекает дифференциальное уравнение
GП + т) 8G* (х, х') = eqy8A (x) G* (х, х'), B.17)
решение которого имеет вид
8Gf (х, х') = j (d?) G? (х, 6) eqy8A (|) G* (g, x'). B.18)
Через функциональную производную этот результат выражается
следующим образом:
[Примером данного соотношения может служить эквивалент-
эквивалентность первого из утверждений B.5) определению B.2).] Итак,

352 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
в полной аналогии с формулами A.185) и A.186) для правой части
равенства B.15) получаем
- ехр [ ] j (dg) (dlr) (eqy^ (eqyvJ D+ {x,- g'U D+ i^~lU X
X Gf1 (xb I) (eqy")t G? (I, x't) Gf2 (*„ V) X
tGt4V, ^)Uli2=o. B.20)
Однако на этом и кончается сходство с нерелятивистским слу-
случаем. Фотонная функция распространения не переносит мгновен-
мгновенного взаимодействия, а функции распространения частиц не удо-
удовлетворяют запаздывающим граничным условиям. Появление
же в выражении B.20) четырех функций распространения частиц
означает, что в процессе отыскания 6г+ (х1хг, х[х'2) вводятся новые
классы функций распространения. Таким образом, в релятиви-
релятивистской области нет прямого аналога двухчастичному уравнению
нерелятивистской теории, если не считать понимаемых в не сов-
совсем точном смысле некоторых приближенных схем, связывающих
комбинацию B.20) непосредственно с двухчастичной функцией
Грина. Пример такого рода схемы возникает в том случае, когда
мы различаем множители из функций распространения
С& (I, x[) G?* (!', х'2) и G?« (*lt I) G*z (xt, %')¦ Первым из них
описывается распространение частиц из области, где они перво-
первоначально родились, в область, где происходит процесс двухфотон-
ного обмена, который учтен в формуле B.20), тогда как второй
множитель соответствует частицам, участвующим в процессе
взаимодействия. Возможно, что при определенных условиях
дополнительные взаимодействия между частицами (которым отве-
отвечает множитель ехр [ ]) весьма малы в течение процесса двухфо-
тонного обмена, хотя ими заведомо нельзя пренебрегать во время
предшествующего существования этих частиц. В таком случае
мы для величины B.20) получим приближенное выражение
j (dxt) (dx2) Л2» (zjsss, XiX2)G+(xlx2, x[x'2), B.21)
в котором
2D+(xi — x2)llv X
X P+ (s,-*i)« G+ (*,-щ) G+ (x,-xt) (eqy")t (eqy^J, B.22)
и в итоге придем к двухчастичному уравнению, которое в симво-
символической форме записи имеет вид
l(yp + mI(yp + m)t-Ilt]Glt = it B.23)
где
... B.24)

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I I 353
Этот анализ относился к общему случаю, когда
D+ (х — x')fiV = gu.vD+ (x — х') + калибровочные члены. B.25)
Но наша основная задача состоит, очевидно, в извлечении физиче-
физических следствий из развиваемого формализма, а они не должны
зависеть от какого-то конкретного выбора калибровочных членов.
Чтобы исследовать влияние последних, выясним, к каким резуль-
результатам приводит изменение величины D+ (| — ^')M'vi обусловлен-
обусловленное калибровочным преобразованием, зависящим от \i. Оно при-
приводит к появлению в формуле B.10) дополнительного множителя
вида
B.26)
где к (|) — также некоторый линейный функционал величины
6/8Аг. Оператор B.26) ^вызывает сдвиг величины А»
+ д»Х® B.27)
Но такой сдвиг есть калибровочное преобразование, в результате
которого функция Gf* (х±, х[) изменяется следующим образом:
x\) -v exvlieqlix^GfiXi, x't)i*p[-ieqb(x't)]. B,28)
Здесь существенно то, что изменению подвергаются крайние аргу-
аргументы функции Грина, и это не удивительно, если вспомнить,
что калибровочные члены соответствуют некоторому альтернатив-
альтернативному способу описания злектромагнитной модели источника,
а также имеющегося в ней излучения источников. Подобные аспек-
аспекты функции Грина в общем-то не представляют никакого физичес-
физического интереса, и нам нужно научиться отделять их от той инфор-
информации, которую мы хотим иметь. Конечно, данная ситуация для
нас не нова. Так обстоит дело во всякой схеме рассеяния, но там
имеются интуитивно очевидные теоретические эквиваленты экспе-
экспериментального экранирования, благодаря которому поглощается
прямое электромагнитное излучение источников частиц.
В данном параграфе мы будем заниматься энергетическими
спектрами. Проиллюстрируем проблему на совсем простом при-
примере, рассмотрев с этой целью предельный случай чрезвычайно
массивных частиц, которые почти сохраняют свое состояние покоя.
При таких условиях частицы допускают описание посредством
формализма фотонных источников. Это становится очевидным
из уравнения для функции Грина, записанного в приведенной
форме, которую оно примет, если опустить все пространственные
импульсы:
[-y°(ido-eqA°) + m]G?(x, V)«-6(aP—««') б(х-х'). B.29)
23—0983

354 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Действительно, его решение (при х° > х0')
б? (*, х') = б (х- х') ехр [ - ieq j dtA« (x, «)] -i- A + Т°) X
Хехр[ — im(x°~ x0')] B.30)
обнаруживает свойства заряда eg, находящегося в точке х в интер-
интервале времени от х0' до х°. Независимо от того, будем ли мы исхо-
исходить из выражения B.12) или прямо применим формализм источ-
источников, взаимодействие между частицами будет описываться мно-
множителем
4 А
ехр [i(eg)i (eqJ j dtt j dt2D+ (Xl-x2, i,-^)»»] . B.31)
Л
В радиационной калибровке, где, согласно соотношению C-15.51),
A» (xt) = Г (dxr) 3) (х -х') /«(х'0,
i ' B.32)
мы имеем
D+ (Xl - х2, tx - г2H0 = _ б (*! - *8) SB (хх - х2). B.33)
Но тогда множитель B.31) сводится к величине
ехр 1-iET], B.34)
где Т — длительность промежутка времени, в течение которого
существуют обе частицы сразу, а
Е = (eq)x (eg), 3 (х, - х2) B.35)
есть предполагаемая энергия кулоновского взаимодействия заря-
зарядов.
Сравним теперь этот элементарный результат с тем результа-
результатом, который получится, если опустить все калибровочные члены
и оперировать прямо с
0"^11' B-36)
При выполнении в формуле B.31) интегрирований по времени
удобно воспользоваться дифференциальным уравнением
^a*-aP')- B-37)

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 355
В итоге будем иметь
|кр
4'
3=2
-exp(-i|k||s»-<|) + «p(-i|k|| *»'-*•'[I, B.38)
где через Т мы снова обозначили промежуток времени, в течение
которого существуют обе частицы сразу. В случае равных вре-
времен, когда
i ^[ —~ -* )
эта комбинация сводится к
В таком случае мы имеем
f tit rlt ГH0 — f {dk
B-40)
x
так что множитель B.31) принимает вид
Meg). J -^ ехр
х[1_ехр(-*|к|Г)]],
X
B.41)
B.42)
где Е — по-прежнему энергия, даваемая формулой B.35).
Величина B.42) представляет собой производящую функцию
для энергетического спектра. В обозначениях
«k= -(«gMegh-gq. "РИк^-жЦ B.43)
B.44)
23*

356 | ГЛАВА 5. ЭЛККТРОДИНАМИКА II
она записывается как
= ехр(-А)ехр(-iET)+ 2 ехр{-A)av exp[-i(E + |k[)T] +
к
¦ + j2i <*V(-A)akak.exy[~i(E + \k\ + \k'\)T]+ ... . B.45)
kk'
Мы видим, что у нашей системы есть основное состояние с энер-
энергией Е и возбужденные состояния, в каждом из которых присут-
присутствует произвольное число фотонов. Последнее обстоятельство
носит искусственный характер и связано с тем конкретным (не-
(нефизическим) способом, которым была построена двухчастичная
система. Вся физическая информация, содержащаяся в произво-
производящей функции B.42) — это энергия системы в отсутствие фото-
фотонов, т. е. кулоновская энергия Е. Встает вопрос, каким образом
можно извлечь этот единственный бит информации, не имея ника-
никаких других сведений. Ответ таков: нужно свести к минимуму
не относящиеся к делу краевые эффекты, рассмотрев очень боль-
большой промежуток времени. Осциллирующий характер экспоненты
ехр (—i | к | Г) гарантирует нам, что в соответствующую состав-
составляющую интеграла по импульсам B.42), которая служит инфра-
инфракрасным обрезанием к части интеграла, не зависящей от Т, дают
вклад лишь значения | k | < IIT. Таким образом, величина B.42)
асимптотически ведет себя как
ехр {—А т) ехр (—iET), B.46)
где грубо приближенно можно принять
л («9I Ml 2 f dk° sin k0R Д I x Y I /o A7\
-l/T
Множитель ехр (—Ат) имеет вид (содержащей инфракрасную
особенность) вероятности того, что в процессе рождения не будет
испущено ни одного фотона. Но даже и он не несет физической
информации, поскольку в случае зарядов с противоположными
знаками величина ехр (—Ат) превышает единицу. В итоге остается
как раз энергия Е.
В дальнейшем, по крайней мере в тех случаях, когда основную
роль играют нерелятивистские эффекты, наиболее подходящей
будет радиационная калибровка, обеспечивающая два преиму-
преимущества. Она упрощает проблему выделения физически значи-
значимой информации, а также улучшает сходимость разложения B.24).

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 357
Оба преимущества основаны на предположении, что главные вкла-
вклады обусловлены мгновенной компонентой B.33) тензорной функ-
функции распространения. Остальные компоненты можно выделить
из полного выражения, даваемого формулами C-12.8) и C-15.48),
"I n /1л_
J U* (K) -
или же, менее ковариантным способом, из уравнений C-15.52)
и C-15.53) для поперечной составляющей поля. Приведенное
в последнем из этих уравнений выражение для той части J (я),
дивергенция которой равна нулю, может быть представлено
в следующей символической форме:
Jr(*) = (l-_-*Ў).!(*), B.49)
и тогда
( ^) j {dx')D+{x-x'K{x'). B.50)
Отсюда мы находим пространственные компоненты тензорной
функции распространения
(°^)+{x-x'), B.51)
которые можно получить и из последнего слагаемого в формуле
B.48), рассматривая его в системе координат, где вектор п^ на-
направлен вдоль оси времени.
Выделим мгновенную часть величины B.51). Это достигается
путем тождественного преобразования
1 _ 1 , ("ftJ I /9r9v
fe2 ft2 + (reftJ "т" fc2-f(rafcJ ft» ' \ь.ш)
или
д+(*-»*)=в(«°-^')^(»-х')+з;-^-д+(*-»')- B-53)
Таким образом, мгновенная часть оказывается равной
D+ {х-х')%*=Ь{х*-«») J
B.54)
а остаток дается формулой
г> (.т- .т'&емгн- f (dfe) (бл. khkl\ (fe0J ехр[i"fe(*-х<)] ¦ «та
л ^г J Bя)« lOfei k^ /T2^ pTZfe • (^-oi>)

358 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Чтобы получить явное пространственное выражение для мгно-
мгновенной функции, заметим, что
Здесь учтено равенство D-15.48), в котором нас не интересует
аддитивная константа, поскольку необходимы только производные
ET(ft?) B.57)
В результате получаем
х-1У'" ]'<2-58»
Мы начнем с двухчастичного уравнения B.23), в котором
сохраняется лишь мгновенная часть величины 1$. Напишем
для нее
н = 16 («• -*•) 7?7°2F (xt- x2), B.59)
t —x2)
J'
где
причем мы снова пользуемся эрмитовыми матрицами
a = T°V B-61)
Эквивалентное интегральное уравнение имеет вид
<%гн = GA + <WS*G«H. B.62)
Мы будем работать с равновременными функциями
gU2 (хЛ*. х;х;*') = iG12 (хлй,*, х;?'х;*')мгн7?7" B.63)
и
G1+2 (XlX2f, х;х^')невзаим = &+ (Xjt, x|t') V?G+ (х,*, Х^') YJ. B.64)
Этому частному случаю соответствует интегральное уравнение
+2 (xlx2^> XjX2i ) = Gj+2 (XiX2f, XjX2i )невзаим~Г
(dXi) (dx2) dtGU2 (XjXat, XjX2f )невзаим X
X F(Xi -it) Gi+2 fcxj, xW). B.65)
Перепишем его в виде дифференциального уравнения, восполь-
воспользовавшись для этого уравнением Дирака, которому подчиняется

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 359
функция G+(x — х'):
где
— а'р-\-у°т, р = —V. B.Ь7)
Так, например, мы имеем
\lOf— Иi — -/ +2 (XiX2?, XjX2* )цввзаим ^^
= б (t- Г) у [6 (xi -x;) G+ (x2t, x'2t) v°2 +
x;f)v?]. B.68)
Для каждой из функций G+ (xt, x't) берется среднее двух ее пре-
предельных выражений при t — t' -*- ± 0:
B.69)
или
-G Ы x't)v°-H С
В последнем случае результат представлен в символической фор-
форме, причем мы ввели обозначение
W = (р2 + т2I/2. B.71)
В итоге дифференциальное уравнение B.68) принимает вид
-x2), B.72)
и от соответствующего нерелятивистского уравнения A.14) оно
отличается наличием множителя, содержащего H/W.
Заметим, что
( Н \2 (a.p + vomJ
\ W ) ~ |р2 + т2 Х' ^•'<3')
а, следовательно, собственные значения эрмитовой величины
.ff/W7 равны ±1. В соответствии с этим дополнительный множитель,
или правая часть равенства B.72), имеет собственные значения
1, 0, —1. Это становится ясным, если написать
2 \Wt + W2 ) LI i Д j
йЛй)] <2-74>

360 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Соответствующим решением дифференциального уравнения B.72)
является функция
Ц?) X
X G (xtX2, XjXj \t— t )невзаим4-
где G(xjX2, XiX^J?—t') — запаздывающая функция Грина, которая
подчиняется уравнению
{idt — Wi— W2)G(XiXit x;x;|?— *')невзаим =
= 8(t — *')б(г, —xjN(x,—xj). B.76)
Конечно, к этому результату можно прийти и прямым путем,
перемножив равновременыые выражения для двух одночастичных
функций Грина
= * J W 1^5- (а-Р + ^Т0 ± Р°)ехр [ip.(x-x')-ip»|aP-«o' |] -
-± l]exp(-iW|y-«o'|N(x-x')- B-77)
Дифференциальное уравнение B.72) можно упростить, заметив,
что
JL=U-*fU, B.78)
где U — унитарная матрица:
Так, в отсутствие взаимодействия функция
Ъи, = иги&+&41? B.80)
подчиняется уравнению
-x;). B gl)
В представлении, в котором диагональны обе матрицы y°t и yl
с собственными значениями ± 1, имеются только две возможности,
а именно
7?' = V"' = + 1: G~U2 (ЩХ-zt, X'^f')невааим =
= G (Xlx2, x'lX; | *- О„евзаим B.82)

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫК ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РКЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 361
И
i —Та — *¦' +2 Vxlx2b ^V /невзаим—
. A (тс -г y'tt' If' f\ A 83V
— *-* \Л1А2, AjAg | ^ ^^ t-/невзаим• ^a*.\_?*j^
Обе возможности можно учесть, написав
GM (Xi,X2t, XJX^')невзаим = "^ A + 7?) (! + 7г) X
A^ *-T^AjA2» AiA2 I "~~ * /невзаим ~г
+ -j- A — Y?) A — *VS) G (X1X2. XX I *' —Оневзаим- B.84)
Это выражение, естественно, совпадает с тем, которое получается
путем преобразования решения B.75).
Дифференциальное уравнение, вытекающее из B.65), имеет вид
(idt — Hi — Н2) GU21
-^. . B.85)
В соответствии с B.80) оно преобразуется к виду
' |2~ v n ~r ^2/ " \Ai ¦ ~ Ai)" (X2 ^s)? B.86)
где _
V= UJJJU^U?. B.87)
Наличие множителя V2 GJ + Y°)' в частности в неоднородном
члене уравнения, означает, что нужно рассматривать только такие
индексы строк и столбцов матрицы G1+2, для которых 7i'=?2 • Одна-
Однако введением матрицы V нарушается диагональность матрицы Gx+2.
Пользуясь для указания общего значения 7?' = Y2' b индексах
строк и столбцов символами + и —, перепишем B.86) в виде двух
пар уравнений
'~ "~ " ¦'¦-(—). ^28g^
• ^\ ттт ТТ7 Т^ \ ^Т" ТТ /~t t\ \ * s

362 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА III
Прежде чем двигаться дальше, отметим, что
F++ = F__^F0. |B.90)
Кроме того, матрицы можно взять такими, чтобы выполнялось
равенство
F^-VUsV,. B.91)
¦Эти соотношения показывают нам, какой характер имеет зависи-
зависимость функции V, определяемой формулой B.60), от матриц у0
и дополнительных матриц у&. Субматрицы F++ и F__ не содержат
матриц -у5, а в отдельное слагаемое могут не входить матрицы у0
или множитель -yj-y!!. Одиночные матрицы у0 отсутствуют, по-
поскольку источником каждой из них является матрица
Y = ?Уь°, . B-92)
¦отличающаяся от
« = iyba, B.93)
а значит, не сохраняется и ни одной одиночной матрицы уъ. Так
пак входит только YiY" ~~*~ 1» то нет никакого различия между
F++ и F_, как зто и утверждалось. Происхождение субматриц
F+_ и F_+ связано с частью F, пропорциональной Y5iV52> B кото-
которую, как и прежде, все множители входят в виде у?7г ~*" 1- Произ-
Произвольные фазы, содержащиеся в элементах эрмитовой матрицы
-у51у52, всегда можно подобрать так, чтобы она стала симметрич-
симметричной, что и составляет содержание утверждения B.91).
Введя обозначение
#0 = W1 + W, + Fo, B.94)
вапишем теперь уравнения B.88) и B.89) в виде систем
(idt - Но) G++ - Vfi_ = б (*- *'), ._ Q_4
(id, + tfo)G__ + V&- = - б (* - ?),
B.96)
(idt - Яо) G+_ - Vfi- = 0.
Тогда недиагональные элементы G можно будет найти с помощью
запаздывающей и опережающей функций Грина, которые под-
подчиняются уравнениям
(idt-H0)Gm(t-t') = b(t-tf),
(idt + H0)Gomp(t-f)=-6(t-f), ( " ]

§ 2, ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 363
а также условию
Gonep(t- О =G3an (t'-t). B.98)
В символической форме эта конструкция записывается как
1G++, G+_ = G3anV1G__. B.99)
Воспользовавшись еще раз запаздывающей и опережающей функ-
функциями, представим оставшиеся уравнения в виде интегральных:
G— = Gonep + GonepV fianaV fi
Симметрия этой системы во времени дает нам дополнительное
соотношение
G-(t-t') = G++{t'-t). B.101)
Однако каждая из этих функций не является запаздывающей
или опережающей, а удовлетворяет понимаемым в некотором
более общем смысле граничным условиям, накладываемым на G+.
Мы довольствуемся приближенным решением уравнений
B.100), которое получается в результате однократной итерации:
^зап- B.102)
Выписав временные переменные в явном виде, будем иметь
G++ (i- t')r= G3an (t - О + j #i dh GS№ (t - h) Vt X
. X Gonep(*i - h) FAan (*. - t') = G3an (* - *') +
00 OO
+ J dx J d%' G3an (T) F^onep (t-t'-X- T') FAan (т'). B.ЮЗ)
о о
J J
о о
Чтобы убедиться в том, что выполняются временные граничные
условия, накладываемые на G+, достаточно рассмотреть отдельные
временные экспоненты, содержащиеся в различных функциях
Грина. Так, например, при t — t' > 0 возникает комбинация
— *?V), B.104)
которая после замены переменных
Т = х + х', s = l (т-т') B.105)

364 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
приводит к интегралу
Т/2
dT \ dsexp [ — i?(i-r4-s)]exp[ — iE'(T~(t~t'))\ X
*-*' -T/2
oo
Xexp[-iF'(-ir-s)]= j dr-^^rlexpC
- exp (- iE"T)] exp [ — iE' (T—(t—t'))) =
_ 1 Г exy[-tE(t-t')} exyl-iE"(t-t')]~\
- e-e" L я+я7 f+f J ¦
Сюда входят положительные частоты, которые как раз и требуются
при положительных t — ?. Если же t — t' <L 0, то опережающая
функция Грина не накладывает никаких дополнительных огра-
ограничений на т и т', и мы сразу приходим к временной зависимости
вида
exp HE' (t — t')] = exp (-iE' \t — t'\), B.107)
т. е. при отрицательных t — t' возникают отрицательные частоты.
Этими общими свойствами обладает также и функция G {t — t').
Энергетический спектр оператора энергии Но, даваемого
формулой B.94), мы рассмотрим в случае, который является почти
нерелятивистским. Другими словами, будут учитываться только
первые отклонения от нерелятивистского поведения, чему соот-
соответствует сохранение в разложении
^=:(PH^I^^+i-i-E-J + ... B.108)
лишь указанных здесь членов. Следовательно, унитарная матрица
B.79)
гт 1 , Y-P • 1 / W + m \V» , vp
^) () B.109)
упрощается и принимает вид
Нас интересуют комбинации
B 111)

S 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I I 365
В функции V имеются слагаемые двух типов. Первое из них
пропорционально единичной матрице:
а второе содержит произведения матриц Дирака. Мы будем запи-
записывать его как уь1Чь?Уь, причем
4я 2 L | х4 — х21 "¦" |xj—х213 _Г У '
При вычислении субматрицы Vo все члены с матрицей у5 любой
из частиц отбрасываются. Соответственно этому
<рр%ил?и?)„ «7.-4- {НЗ-НЙг) • Ч+
l • Pi + -Щ О2. p2VaO 2 • р2 =
r B.114)
где использованы соотношения
i I xp B.115)
pt) =
. B.116)
В последнем из них
а поскольку эта конструкция ведет свое происхождение от по-
поперечной функции распространения B.54), то в комбинациях
вида pj'A-Pa симметризация произведения становится излишней
(Ў•А = 0):
B.118)

366 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Обозначения в последнем слагаемом подразумевают скалярное
перемножение диады Л с двумя векторами. Представив Л в явно
поперечной форме
4JT L V _} | Х| — Х2 |
мы увидим, что
VxA = VFaX. B.120)
Это дает, в частности,
(<*1 X V?) (a2 X V2):A = (Oj X Vt) • (a2 X V2) Fa =
a B.121)
(в последнем слагаемом выделен результат усреднения по всем
пространственным направлениям).
В итоге мы для энергетического оператора получаем
я.-
1 ff2-rxp2
km\ г» +4m| г»
fff
2я
3
rxp2
rs
-oro,
5(r)
•rXpj
},B
B
\
/
.122)
.123)
где
т = х1 — x2,
причем для простоты мы вместо (eq)li2 написали е12. Основная
наша цель — найти спектр величины Но в системе покоя двух-
двухчастичной системы, т. е. ее внутреннюю энергию. Но определен-
определенный интерес представляет и вопрос о том, каким образом в рас-
рассматриваемом случае малых релятивистских отклонений от нере-
нерелятивистского поведения возникает ожидаемая зависимость энер-
энергии от полного импульса системы. Подставив соотношения между
импульсами A.95) и выделив члены Но, содержащие Р, будем
иметь
j>2 1_ 1 Р' \2 рз р2 1 / Р-р \2
2Л/ 2М \ Ш ) 2М* 2ц 2ц \ М I
Здесь мы опустили комбинации вида Р-A/г) р и au хг-Р,
которые в состоянии с определенной внутренней четностью не

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 367
дают вклада в средние значения. Отметим, что в формуле B.124)
фигурирует оператор нерелятивистской внутренней энергии
-|- + ^4, B-125)
собственное значение Ештгр которого входит в среднее значение
величины B.124):
Р2 (л Двнутр\ !/_Е!_\2 L-P /РР , «1«2 "\ р
2М \ М ) Ш \2М ) Ш* \ ц "•" 4п гЗ /
B.126)
Первые два слагаемых совпадают с тем, что мы ожидали, причем
мы видим, что полная масса системы равна М + ^внутр, где
^внутр ^ М. Поэтому последнее слагаемое должно быть равным
нулю:
<> 0- <2Л27>
Если рассмотреть диагональную сумму этого диадного соотно-
соотношения , /
то мы получим общеизвестную теорему вириала (т. е. соотношение
между средней внутренней кинетической и средней внутренней
потенциальной энергией), записанную в форме, соответствующей
кулоновскому полю. Но диадное обобщение теоремы вириала,
в формулировке B.127), нужно еще доказать.
Это можно сделать прямым путем, исходя из простого обоб-
обобщения масштабного преобразования, вытекающего из обычной
теоремы вириала. Рассмотрим инфинитезимальное унитарное
преобразование
U = l + iG, G=-|(p.6K-r + r-6K-p), B.129)
где 6К — инфинитезимальная диада, которая вещественна и сим-
симметрична. Это преобразование имеет вид [ср. с формулами A-1.18)
и A-1.19I _ _
т=и-1ти=т—Ьт, р = U-ipU = р - бр, B.130)
где
8r=i[r, G] = 6K.r, 6p = l[p, G] = -6K-p. B.131)
Оператор Н изменяется на величину .
6Я = |[Я, G], B.132)

368 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
равную
B.133)
Но среднее значение величины Н стационарно по отношению
к вариациям волновой функции, а поэтому среднее значение
величины ЬН равно нулю (это можно сказать сразу — поскольку
$>Н имеет вид коммутатора). В итоге мы и приходим к равенству
<2.127).
Перейдя в систему покоя, мы для энергетического операто-
оператора B.122) будем иметь
_i_ /_1 , 2 \ oyrxp 1_ /_1
4 V wif ¦" mjm2 / г» 4 V m|
oyrxp
г3
3
В последних слагаемых, содержащих оба спина, можно узнать
взаимодействие, ответственное за сверхтонкую структуру в случае
частиц с магнитными моментами, для которых 42g =1, что соот-
соответствует выбору примитивного взаимодействия. Пренебрежем,
скажем, всеми членами с а2, опустив тем самым сверхтонкую
структуру, и рассмотрим случаи атома водорода и мюония
<ц.+ + е~), когда
mi (=m) < m2 (=M). B.135)
Если пренебречь второй и более высокими степенями т/М, то энер-
энергетический оператор Но сведется к {ехегИл = —а)
/7_/т + _Е!_ 1 / Р2 \2 а па . а оггхр
В комбинации, заключенной в фигурные скобки, можно узнать
приближенное преобразованное выражение для энергетического
оператора Дирака частицы в кулоновском тюле:
[U (а-р +у°т -у) U-4++ « { }. B.137)
Его появление и следовало ожидать в пределе при т/М -»- 0.
Таким образом, член с множителем \1М дает первую поправку
к идеализированному случаю, когда более массивное тело считает-
считается неподвижным источником.

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I I 369
Элементарная теория возмущений приводит к следующему
исправленному значению энергии:
где Ере„ — стандартное значение энергии, отвечающее преобра-
преобразованному энергетическому оператору Дирака:
L_HL J
2m j r + 2ra> ° W + 4ma r3 / •
B.139)
Выполнив изотропное масштабное преобразование этого операто-
оператора, мы получим следующий полезный результат:
B.140)
Сравнивая два последних соотношения, мы видим, что
B.141)
Для вычисления оставшегося выражения применим некую моди-
модификацию масштабного преобразования. Оно порождается опера-
оператором
? = 6Я-рр, B.142)
в котором подразумевается симметризованное произведение. Само
преобразование имеет вид
6r = i[r, G] = 6?i-'-, бр = |[р, G]=.-6b(-i—?).р. B.143)
Поскольку соответствующее слагаемое в формуле B.138) имеет
дополнительный множитель а, проводя такое преобразование,
можно рассматривать только оператор нерелятивистской энергии:
B.144)
где произведение р-A/г) р предполагается полностью симметри-
зованным; в явной форме записи
24-0983

370 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
В то же время можно написать
4{ f}, B.146)
и мы получаем
D)И^}б(г)- B-147>
Но в таком случае из равенства нулю среднего значения вели-
величины B.144) вытекает соотношение
B.148)
скомбинировав которое с B.141), будем иметь
B.149)
В последнем выражении использованы нерелятивистские обозна-
обозначения
г--sir. 7=-т-- BЛ50>
*
Для состояния с нерелятивистской энергией #нерел получаем
еЛJ, B.151)
где мы воспользовались теоремой вириала B.141) в ее нереля-
нерелятивистской формулировке
B.152)
Итак, возникает первое указание на массовую зависимость в спек-
спектре системы из двух тел с М ^> т:
т2~^ . B.153)
До сих пор мы не касались тонкой структуры [если не счи-
считать косвенной ссылки, сделанной по поводу формулы D-11.109),
на то обстоятельство, что простая теория тонкой структуры не
снимает вырождения' некоторых определенных уровней], а кро-
кроме того, не привели явного выражения для ^рел- Но нам доста-
достаточно подставить в среднее значение величины B.139) уже извест-
известные нам значения различных слагаемых. Так, при I =/= 0 в соот-

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I I 371
ветствии с равенствами D-11.104) и D-11.107) имеем
а \2\ та4 1 1
та2
_:
B.155)
где использовано соотношение D-11.106) и теорема вириала
в формулировке, эквивалентной B.152),
^-) = -2Янерел. B-156)
Заметив, что
1
— I —• — "~ 'A-— '
Li Ir Li
мы и придем к искомому результату:
^ ' 2геа 2п3 lj+i in)
Он остается справедливым и при I = 0, / = 1/2, как в этом можно
убедиться, заменив последнее слагаемое в формуле B.154) та*/2п3,
в действительности обращающееся в нуль, членом с дельта-функ-
дельта-функцией, который дает
Релятивистская поправка B.158) описывает расщепление 2п2-
кратно вырожденных уровней с квантовым числом га на га разных
уровней, которые нумеруются квантовым числом полного угло-
углового момента / ==1/2, • . ., п—V2. Каждый из полных моментов
j ^ п — 3/2 может быть получен из разных значений орбиталь-
орбитального момента, и поэтому мультиплетность соответствующего
24*

372 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
уровня равна 2 B/ + 1). Исключение составляет уровень / =
= п — V2 с мультиплетностью, равной 2/ + 1 = 2п. Относи-
Относительно массовой зависимости, описываемой формулой B.153),
прежде всего следует отметить, что она определяется величиной
Epea (n, j), а следовательно, не приводит ни к какому новому
расщеплению все еще вырожденных уровней. Рассмотрим эту
зависимость с количественной точки зрения. Написав
2W=»<1-*). ^&+^{~r-i\ B-160)
мы получим
Е-М=т-тA _?) g-^-g*. B.161)
С той точностью, с которой
в качестве массового параметра как в грубую, так и в тонкую
структуру входит приведенная масса:
Однако мы увидим, что если принять во внимание еще не учтен-
учтенные аспекты теории, то для тонкой структуры уже не будет иметь
места такая простая зависимость от массы.
Но прежде чем переходить к этой проблеме, сделаем одно
дополнительное замечание к только что выполненному расчету.
Как легко видеть, последнее слагаемое в формуле B.138) пред-
представляет собой некоторое, приближение к преобразованному выра-
выражению
к которому можно было бы прийти и непосредственно, применив
унитарное преобразование только к тяжелой частице. Возникает
вопрос, что же мы получим, вычислив в создавшейся ситуации
это среднее значение. Применим с этой целью к энергетическому
оператору Дирака преобразование B.143):
( .^-.p-a.i 9+~]. B.165)
Тогда для соответствующего среднего значения будем иметь
«• 5-р)= (fa'P—f) ' B-166)

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I I 373
После этой подстановки выражение B.164) примет вид
B.167)
Чтобы завершить наш расчет, применим к энергетическому опе-
оператору обычное масштабное преобразование, которое дает
0= (a-v-^-y = Epen-m{yt>). B.168)
Вытекающее отсюда равенство
<У>=~ B-169)
приводит к выражению для величины B.164), совпадающему
с B.153)
Конечно, тут имеется и очевидная разница. В последнем расче-
расчете Ерел отвечает точным собственным значениям уравнения Дира-
Дирака, тогда как в формуле B.153) величина Ерел соответствует
членам, фигурирующим в разложении B.158). Имеет смысл убе-
убедиться в том, что с принятой выше в ходе приближенного рас-
рассмотрения точностью не возникает никакого расхождения. При-
Приближение состоит в том, что тонкая структура, или ее массовая
зависимость, считается малой (порядка а2) по отношению к гру-
грубой структуре. Мы будем исходить из однородного уравнения
Дирака в форме уравнения второго порядка:
[П2 - eqoF + т2] г|> = 0. B.170)
Соответствующее уравнение для собственного значения энергии Е
связанного состояния в кулоновском поле ядра с зарядом Ze
имеет вид
B.171)
Разбиение р2 на радиальную и угловую части мы запишем как
V2=Pr + j^, L = rxp. B.172)
Это дает уравнение
^L VW+**?*T/r j^Q; BЛ73)
которое мы сравним с нерелятивистским уравнением, соответст-
соответствующим квантовым числам п и I:
^]0, B.174)

374 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
где
п — I — 1 = пг == 0, 1, 2, . . . , B.175)
Отсюда сразу же очевидны соответствия
2mZa ^-+ 2EZa, (-~J ^^ т*-Е\ B.176)
но нерелятивистской комбинации I (I + 1) пока сопоставляется
некоторый оператор. Нам нужны его собственные значения.
Что касается свойств углового момента частиц со спином V2,
то, как мы знаем из гл. 2, § 7, заданное квантовое число / пол-
полного момента отвечает двум состояниям с Z = / + V2 и Z = / — V2,
в которых противоположны значения орбитальной четности.
Мы знаем также, что при умножении на 1уьа-(т/г), где iyb обра-
обращает внутреннюю четность у0, спин-орбитальные функции двух
типов, отвечающие заданному /, меняются ролями. В соответствии
с этим коэффициент при 1/г2 в уравнении B.173) можно пред-
представить в виде двумерной матрицы, строки и столбцы которой
нумеруются значениями I = / + V2, / — V2:
t iw ix I <2Л77)
-iZa (i)( i) ZJ
Собственные значения этой матрицы имеют вид V (V + 1) с числа-
числами
[( lJf[( |Jf-l, B.178)
которые при Za -*- 0 сводятся к / + lU и / — ^г- Таким образом,
правила сопоставления B.176) дополняются следующим:
l(l + i)**V (V + 1). B.179)
Применяя эти соотношения, мы для релятивистского энергети-
энергетического спектра получаем
или, используя любое из значений V и проводя соответствующее
отождествление для п,
, . B 181)
Отметим в качестве побочного результата, что аналогичное урав-
уравнение для частицы со спином 0 отличается от B.171) отсутствием
спинового члена. Следовательно, коэффициент при 1/г2 в урав-

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 375
нении B.173) оказывается равным
1A + I) - (Zaf = V (V + 1), B.182)
так что
[(J]1/2-4- BЛ83)
Соответствующая формула для энергии и в этом случае имеет
вид B.181), но с заменой полуцелого / целым числом I. В част-
частном случае, когда п = 1, / = V2, формула B.181) сводится
к равенству
то \2 (ZaJ 1
) =1 + = (
откуда
Е = те [1 — (ZaJ]1^. B.185)
С этим результатом мы уже встречались [формула D-17.31)].
Аналогичная формула справедлива и при всех п = j + V2:
J
J
1 / 1а \2 1 / Zo \4 1 / Za \в -] /О .ос.
-^! —) -т(-г) —!в(-Г-) -—J-B-186)
Данное разложение с точностью, принятой в формуле B.158),
согласуется с этой формулой (в которой Z = 1). Такое же согла-
согласие имеет место и при разложении общей формулы B.181).
Одно замечание относительно массовой зависимости B.153).
Если для Ерел взять выражение B.181), то благодаря четности
этой функции по а не возникнет никаких членов вида
a5-^-~-j^-a (тонкая структура). B.187)
В полной же теории подобные эффекты есть, и в следующем параг-
параграфе мы займемся их вычислением.
§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ И .
Мы начнем с того, что продемонстрируем существование энерге-
энергетических сдвигов с величиной B.187), т. е. эффектов порядка a
(а не а2) по отношению к массовой зависимости тонкой структуры
вида т/М. Простейший эффект такого рода, хотя и не самый
существенный с количественной точки зрения, возникает при
сравнении только что проведенного расчета на основе уравнения
Дирака с мгновенным взаимодействием с расчетом, основываю-
основывающимся на системе уравнений B.94) и B.95). Поскольку полная

376 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
поперечная часть взаимодействия может быть с успехом проана-
проанализирована и другим способом, мы здесь будем рассматривать
только мгновенное кулоновское взаимодействие. Чтобы оба упо-
упомянутых подхода выступали на равной основе, уравнения B.94)
и B.95) следует упростить, сохранив в них только первую степень
отношения т/М, что можно считать вообще отличительным при-
признаком всего нашего рассмотрения, преследующего здесь ограни-
ограниченные цели. Итак, мы имеем
() C.!)
где U относится только к частице с массой т, а символ «(+)»
служит для указания только собственного значения у0, отве-
отвечающего этой частице. Такое обозначение принято для того,
чтобы не путать подобные индексы с индексами в формуле B.95),
где знак «+», например, указывает общее собственное значение
матриц yl и y°-
Прежде всего покажем, что в уравнениях B.95), написанных
в объединенной форме
J|] C.2)
слагаемое, содержащее Vlt имеет относительный порядок (
и поэтому его можно отбросить. Для величины V± имеем следую-
следующую грубую оценку:
C.3)
а знаменатель в слагаемом с V± приближенно можно заменить
на 2М. Однако заключение, что в знаменатель рассматриваемого
члена величина М входит в третьей степени, неверно. Чтобы
убедиться в этом, выразим его среднее значение через импульсные
переменные, пренебрегая импульсом, соответствующим волновой
функции (иными словами, для волновой функции берется ее зна-
значение в начале относительных координат):
(*¦)' (¦?-
-|i-. C.4)
На последнем этапе этих преобразований учтено, что при пере-
передаваемых импульсах ~М нерелятивистские оценки типа C.3)
становятся неверными и завышенными. Поскольку | г]) @) |2 ~
~ (amK, этот эффект имеет порядок (m/MJa(a*m), а потому
мы его опускаем.

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 377
Интерес для нас представляет сравнение собственных значе-
значений оператора энергии
W (P)=(P2+ <»2)''*
с собственными значениями оператора
^ ^ C.6>
Рассмотрим с этой целью уравнение для функции Грина, отве-
отвечающее оператору Н или, точнее, оператору, получаемому путем
преобразования Я:
(idt-H)G=b(t~t'),
? U^-U-*. C.7)
Соответственно собственным значениям у0 оно распадается на два
уравнения
(idt—H0) G(+)(+) — Я (+,<_,(?<_,<+> = б (t— t'),
— _ _ _ (<J-°)
(idt — Я(_)(_>) G,_)(+) — Я(_)(+)С(+)(+) = О,
которые дают
\idt-Яо-Я(+)(_, —-4 Я(_)(+) 1 G(+)(+) = б (*- *')¦' C.9>
В принятом приближении членом взаимодействия в знаменателе-
C.9) можно пренебречь:
|L C.10).
В качестве еще одного упрощения энергию интересующего нас
состояния, которой заменяется производная idt в знаменателе,
приближенно можно положить равной М + т, опустив тем самым
энергию связи. Получаемое таким способом среднее значение
эффективного энергетического оператора в собственном состоя-
состоянии гамильтониана Но дает для соответствующего собственного'
значения оператора Н выражение
Е= Ео+ (ff"(+)(_, w+w,(p)L(p2/2M) #<-><+>) • C.11)-
Отсюда по известному спектру величины Е определяется спектр
величины Ео.
Собственные функции оператора Но [ср. с формулой B.136)}
приближенно совпадают с собственными функциями B.162) нере-

378 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
лятивистской системы с приведенной массой ц. В выражении
C.11), поведение которого определяется релятивистскими энер-
энергиями ~т [а не энергиями ~М, как в формуле C.4)], импульс,
связанный с волновой функцией, пренебрежимо мал. Поэтому
равенство C.11) можно переписать в виде
-Ео = ЖО) Р j Цг F.¦,«-, та + ^(рI_(р2/Ш) Я,-„+„ C-12)
где матричные элементы оператора Н взяты в импульсном пред-
представлении, причем мы учли, что при р = 0 оператор U сводится
к единице. Таким образом, выделив коэффициент при iy5, мы
¦будем иметь
п<+)(-) = -"(-)<+) = ~у \-~2W—} ~~р*~' @.16)
Входящий сюда множитель [{W — m)/2W]1/2 ведет себя в нереля-
нерелятивистской области, как | р \/2пг, а при W Э" m стремится к неко-
некоторой постоянной — это может служить иллюстрацией к тому,
что было сказано по поводу оценок C.4). В итоге получаем
V чЛ
C.14)
или, с учетом приближения т/М <^ 1,
[^] C.15)
Введя новую переменную интегрирования 9,
р = mshQ, W = mche, C.16)
мы для двух входящих сюда интегралов будем иметь
оо оо
} dP W(W+mf = 1*Г 1 dQ (che + 1J =W'
f , W-m 1 f , che-1 1
} dPW(W+mf ^^TJ ^
Ът '
0 0
В результате для s-состояния с главным квантовым числом п
лолучаем

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 379
Этот эффект как раз и служит примером энергетического сдвига
порядка а (т/М) (а*т).
Другой же результат данного расчета может вызвать некото-
некоторое смущение: в пределе при т/М —*¦ 0 разность двух энергий
не обращается в нуль. Иными словами, в этом пределе спектр
оператора Но не совпадает с энергетическим спектром заряда
в кулоновском поле статического источника. Столь явное проти-
противоречие напоминает нам, что мы не учли еще один аспект мгно-
мгновенного взаимодействия — члена взаимодействия /<2), фигури-
фигурирующего в формулах B.22) — B.24). Если оставить в этом члене
только мгновенную кулоновскую часть, то он примет вид
|Xl — X2| |X2 —Xj|
C.19)
Чтобы извлечь следствия из подобного нелокального взаимодей-
взаимодействия, необходимо провести дополнительное исследование урав-
уравнения для функции Грина в случае локального взаимодействия,
поскольку равновременная схема теперь оказывается уже недо-
недостаточной.
Рассмотрим с этой целью уравнение для функции Грина
= l C.20)
и эквивалентное ему интегральное уравнение
G =¦¦ Gfi2 + Gfi2ib {x\-x\) y\y\VG. C.21)
Положим в G (х1х2, х[х'2), как того требует член взаимодействия,
зс\ — х\ = t, оставив, однако, переменные х\' и х% свободными.
Нам нужно дифференциальное уравнение, которому при этих
условиях подчиняется величина G±G2. Оно выглядит следующим
образом:
(idt - Ht - Н2) G+ (*,- х\) v«G+ (x2 - х'2) v°2 =
= -[8(x1~x'i)G+(x2-x'2)yl+b(x2-x'2)G+(xi-x[)y0i]. C.22)
Отсюда для G получаем дифференциальное уравнение
C.23)
где использованы символические обозначения; если положить
в нем x°i — х\ = t', то оно сведется к B.85). Преобразованная
форма этого уравнения получается путем подстановок
H-+y°W, V-+V C.24)

380 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
И
xexv(-iW\x°-x°'\), C.25)
причем множитель в квадратных скобках можно представить так-
также как
_. [у0 -j- e (x° — х0')], C.26)
где
С х°>х0': + 1
C.27)
Как и всякое другое уравнение для функции Грина, данное урав-
уравнение может быть представлено в еще одной, транспонированной,
форме записи, в которой все дифференцирования относятся к вто-
второму набору переменных. Таким эквивалентом для C.23) являет-
является уравнение
C.28)
где дифференцированный оператор дт действует налево с допол-
дополнительным знаком минус.
Добавим теперь к мгновенному взаимодействию в формуле C.20)
нелокальное взаимодействие, которое мы запишем как
/<2> = y\f2v. C.29)
В результате интегральное уравнение C.21) заменится уравнением
- G=GlG2 + GlG2yoif2[i8(xo1-xl)V + v]G. C.30)
Тогда дифференциальное уравнение C.23) примет вид
.Y!)wG!Y?ti- C-31)
Вследствие нелокальности величины v в двух стоящих слева
координатах функции Грина G значения времени оказываются
разными. Приближенное описание нужной нам зависимости от
относительного времени можно получить из уравнения C.28),
в котором стоящие справа временные переменные равны друг
другу. Равновременная функция Грина, отвечающая мгновенно-

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 381
му взаимодействию, подчиняется уравнениям
Отсюда с достаточной для нас точностью мы получаем решение
уравнения C.28)
iGy\'y\ = - i (Gifi + G*yl) Gl+t, C.33)
которое позволяет приближенно переписать C.31) в виде равно-
временного уравнения
=8(г-О]-(^-+^). C.34)
В преобразованной форме это уравнение в принятом прибли-
приближении, когда сохраняются только компоненты с индексом «+»,
записывается как
(idt — Wi — Wt — V0 — bV0) C++ = 6 (t - t') C.35)
(надеемся, что временное смешивание трехмерных и четырехмер-
четырехмерных матричных обозначений для координат не приведет к недора-
недоразумениям). Здесь
6F0= i(Gi3an + G2 опер) ^о (^1зап + ^2 опер), V0=V++, C.36)
а
G3an = -f i\(t-t')ezv[-iW(t-t% C.37)
Выписав в явном виде временные переменные, опущенные в фор-
формуле C.36), получим
SV0(t, t') = i \ dtidffimnit — tdvofat, «lOGiaan(*;-*') +
+ i J dbdt'fiiwit — tdvoitj, t'QG23an(t'2-t') +
+ i J dtidtfoaanit — tJVoitti, *Ю Glean (*;-*') +
+ i j dt2dt'fi2saLa(t-t2)v0(tt2, tX)G23an(t'2-t'). C.38).

382 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
В случае нелокального взаимодействия C.19), имеющего вид
M*i*2, t'it'2) = 8(tl-t'2)8(t2-t'i)v(ti~t2), C.39)
слагаемые в C.38) с функциями Грина разных частиц будут обра-
обращаться в нуль, примером чему может служить равенство
Gi зап (* — *i) G2 опер (*i — *) = 0. C.40)
Поэтому выражение C.38) сводится к виду
Wo (t, t') = iGi зап (t-t')v (Г -1) Gx зап (*—*') +
+ iG2 зап (* - О V(t — t') G2 зап (* - f). C.41)
Если бы взаимодействие 6V0 было мгновенным, то оценку
для вызываемого им энергетического сдвига давало бы нам его
среднее значение, получаемое путем трехмерного интегрирования
по координатам. Истинное же выражение включает и интегри-
интегрирование по времени:
^lt, T)G++(l f), . C.42)
и поэтому мы должны учесть, что при рассмотрении заданного
состояния с энергией Е функция G++ (t, t') эффективно отличает-
отличается от ?f+ {t, t') фазовым множителем
ехр[—iE(t — t)]. C.43)
Следовательно, энергетический сдвиг равен
ЬЕ = / \ dtbV0 (t, i) exp [ — iE (Г—1)]\ . C.44)
Подставив сюда выражение C.41) при
t — J = т > 0, C.45)
получим
оо
^x[Gi зап (х) v (- т) Gi зап (т) exp {iEx) +
2 зап (V)V(X)G2 зап (х) вХр(Шх)]^ . C.46)
Как мы увидим, в рассматриваемый эффект дают вклад только
релятивистские значения энергии. Это позволяет для энергии
состояния написать Е « М + т; внутренняя волновая функция
заменяется функцией г|) @), в результате чего унитарное преобра-
преобразование ихи2 сводится к единице, а запаздывающие функции
Грина отвечают массе покоя соответствующей частицы.

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 383
С учетом энергетических упрощений C.46) приводится к виду
оо
ЬЕ= —i([ dx{exp[?(M — m)i]v{— т) +
+ ехр[ — i{m—M)%]v(%)}\. C.47)
Благодаря тому что волновая функция несет индекс
(Т?? = Т°' = +1)' функции v (±т), получаемые из C.19), C.29),
C.39), оказываются равными
X exp [iPi.^-xO-iWiX] j -g? _L_ (il/ =р VF2) x
Xexp[ip2.(x2— x2) — iW2%]. C.48)
Отсюда сразу же видно, что энергетический сдвиг, связанный
с членом v (т), имеет относительный порядок (тп/МJ, и поэтому
его нужно отбросить. При нерелятивистском рассмотрении тяже-
тяжелой частицы зависимость этого члена от т имеет вид ехр [—i2M%],
так что при интегрировании по т он дает множитель~\1М. Кроме
того, в величину (W2 — M)IW% входит множитель ~рУМ2. Как
и при оценках C.4), если исследовать зависимость интеграла
от импульса, то кажущаяся зависимость вида 1/М3 сведется
к зависимости вида ММ2.
В среднее значение C.47) входят интегрирования по коорди-
координатам обеих частиц, ограниченные волновой функцией [ср. с фор-
формулой A.113)]
Мр (хА) = Мр (г) фр (R), C.49)
что соответствует разбиению почти нерелятивистского движения
на относительное движение и движение центра масс. Поскольку
все наше рассмотрение проводится в системе центра масс, причем
мы пренебрегаем относительным импульсом, первая совокуп-
совокупность интегрирований дает
x2) \p* (x4x2) v (— т) да
@) Ц$ (R) J (dx.) (dx2) v (- т), C.50)
где
Pi P2
2W,. X
T]) C51>

384 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
причем мы умышленно рассматриваем волновую функцию в систе-
системе центра масс, чтобы не прибегать к затемняющему суть дела
условию нормировки
j=l- C-52)
Поскольку в формулу C.51) входят только относительные коор-
координаты, оставшиеся интегрирования сразу же дают
}, C.53)
где мы воспользовались нерелятивистским выражением для энер-
энергии тяжелой частицы и опустили индекс у Wx. Выполнив теперь
в формуле C.47) интегрирование по относительному времени,
получим
т. е. мы приходим к результату, очень похожему на C.14). Дейст-
Действительно, если пренебречь величиной p2/2ikf, то оба выражения
скомпенсируются, как это и должно быть. Кроме того, члены
относительного порядка тп/М в C.14) и C.54) совпадают. Следо-
Следовательно, суммарный энергетический сдвиг, возникающий за счет
мгновенного кулоновского взаимодействия, равен
FЯ)кул = —г_._|г|,(О)Р= ____т. C.55)
Последняя форма записи здесь относится к ns-состоянию, причем
мы пренебрегли разницей между \i и тп. В важном частном слу-
случае, когда п = 2, эта формула записывается в виде (численное
значение относится, к водороду)
^ C.56)
Прежде чем приступать к релятивистскому анализу попереч-
поперечного взаимодействия, вернемся к нерелятивистскому рассмотре-
рассмотрению, проведенному в гл. 4, § 11. Причинная вакуумная амплиту-
амплитуда дяя_обмена фотоном и частицей дается формулой D-11.33), где
динамический характер системы находит свое выражение в выбо-
выборе функции распространения частиц. Для образования из двух
частиц с зарядами и массами, равными —е, m и е, М, если рас-
рассматривать его в системе центра масс, достаточно произвести
подстановку

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ ТЕОРИЯ II | 385
используя при этом координатную зависимость фотонной функции
распространения для указания того, какая именно из частиц
участвует в актах испускания и поглощения. [См. аналогичный
анализ в т. 1, стр. 442—444, но там через М обозначена масса
составной частицы.] В дополнительную связь между разными части-
частицами явным образом входит множитель ММ. Поэтому оставшиеся
выкладки можно проводить так, словно имеет место равенство
т/М = 0. Это позволяет поместить тяжелую частицу в начало
координат, а легкой частице приписать радиус-вектор г. Полу-
Получаемые таким способом два слагаемых в вакуумной амплитуде
равны
r, t-t')G(rt', t-t') +
+ G(ri, t—t')D{r', t —*')]• pi|>8(rY). <3>58)
Наличие здесь фотонной функции распространения D-11.25)
D(r, t—t') = i f dcofeexp[ik.r— ik°(t — t')] (l — -^) C.59)
приводит к тому, что к энергии составной частицы, как и прежде,
добавляется энергия к°. После проведения пространственно-вре-
пространственно-временной экстраполяции соответствующая добавка к 6F [формула
D-11.58)] оказывается равной
+ is
или
-H-ko "P(*")]P, C-60)
Е — Н ехр(гк-г)
JP- C-61)
Последнее разбиение основывается на равенстве
k2 ) р ^--vs-J J 72SJ3-—F——
&(*)- C-62)
Соответствующее слагаемое представляет собой нерелятивистское
выражение для мгновенной части поперечного взаимодействия.
Оно уже учтено (в релятивистской форме), а потому это слагаемое
в формуле C.61) следует отбросить.
25-0983

386 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Наличие в существенном члене C.61) экспоненциального мно-
множителя ехр (гк -г) приводит к тому, что в него входит характерная
энергия фотона К — некая малая величина, кратная (йоI = ат>
скажем,
К ~ а3'г т. C.63)
При к0 < К экспоненциальный множитель эффективно становится
равным единице и интегрирование по всем направлениям фотона
дает
Как легко видеть, мы (с точностью до множителя 2т/М) имеем
здесь более компактную форму записи выражения D-11.59).
Своим происхождением этот простой результат обязан следующе-
следующему замечанию, основывающемуся на подстановке C.57): две
частицы испускают и поглощают фотоны с большими длинами волн
в точности так же, как и одна частица, но с измененной констан-
константой связи: elm -> e/\i. Получаемый из формул D-11.91) и D-11.92)
при Z = 1 дополнительный энергетический сдвиг для 25-уровня
равен
C.65)
Согласно формуле D-11.97), для 2р-уровня мы имеем
-~-^ «3Ry [0,0300]. C.66)
При импульсах к0 > К, что на порядок величины больше
атомных энергий связи, в знаменателе C.61) величиной Е—Н
можно пренебречь по сравнению с к0:
+ (Е—Я) ехр (гк-г)] р. C.67)
При вычислении среднего значения этого оператора в собствен-
собственном состоянии Н с собственным значением Е в выражении C.67)
можно произвести замены
[Е-Н, Р]= -iVF,
V(E-H) ^ [p, E—H] = iW { '

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 387
после которых оно примет вид
к
-pexp(ik-r)VF}, C.69)
или
J
к
оо
J dWk -w (* —w):
к
Анализ оператора C.69) несколько упростится, если выбрать
вещественную волновую функцию, что дает нам
)\ C.71)
Как и в формулах D-11.75) и D-11.76), мы будем пользоваться
безразмерными переменными, записывая
г=ио0х, 1|л(г)=П—j-g-l 2г|)(х), C.72)
а также »
к= —и. C.73)
па0 к >
Введя косинус угла между векторами х и и,
получим
1 оо
FF>k)=: »7—г-"У \ dv. A—w2) \ —X
п М п» j J х
-1 па0К
ОО
X ( их ехр {мхц) -j- (г|> {x)f. C.75)
j ax
Обращаясь к производящей функции D-11.84),
оо
A * ехр { — [A + t)l{\ — t)] 4=2 *п~1пУп» И> C-76)
п=1
которая, кстати, является решением дифференциального уравнения
C.77)
25*

388 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
будем иметь
со
1 / м \ V~l
а следовательно,
)' ехр(~Кх) |t=t'=0# C'79)
В итоге у нас возникают следующие повторные интегралы:
со
X \ dx ехр (Ых\1) ехр ( — Хх)=* -^-^ >¦ ^J^» , C.80)
о
(на последнем этапе учтено последующее интегрирование по ц);
далее,
f *L ^a ^1П_*__ naJC^l; C.81)
тшоК
и наконец,
1
-1
В результате приходим к производящей функции
16 то а» та 1 /, Я, , 4
Коэффициент в ее разложении при t^H'1, деленный на га2,
совпадает с искомым средним значением в ras-состоянии. По тому
же рецепту в важном частном случае, когда га = 2, получим
<«">*>« = -?¦!?¦ a'Ry (in -?¦+-§-) • C.84)
Добавив сюда C.65), мы найдем, что
Выше нам представился случай продемонстрировать лишь
метод получения с помощью производящей функции C.76) вол-
волновых функций s-состояний. Связь между состояниями с одним

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 389
и тем же квантовым числом п, но с разными I можно описать,
введя аксиальный вектор
A=^-+fl0i-(Lxp-pxL), C.86)
который является интегралом движения. В последнем нетрудно
убедиться прямой проверкой, если исходить из уравнений дви-
движения
dr dp г /о о™.
т^Г = Р' ^Г=-а7з- <3-87)
и взять симметризованное произведение, что допустимо в силу
квадратичной зависимости оператора энергии от импульса [ср.
с уравнением A-2.51)]. Поскольку оператор А — интеграл дви-
движения, при его действии волновая функция с заданной энергией
должна переходить в волновую функцию с той же самой энер-
энергией. Согласно перестановочному соотношению
Lxp + PXL=2ip, C.88)
характеризующему р как векторную величину, для волновой
функции s-состояния (LtJ),,s = 0) имеем
) C.89)
Будучи вектором, эта комбинация представляет собой волновую
функцию р-состояния. При п = 1, когда имеется только s-состоя-
ние, мы заключаем, что
±) C.90)
Отсюда мы приходим к простой экспоненциальной функции, кото-
которая, как известно, и описывает данное состояние. Радиальная
зависимость волновой функции 2я-состояния [см. формулу D-11.90)]
C.91)
приводит к трем волновым функциям типа 2р, которые выглядят
как компоненты некоторого вектора:
*«* <г>=ЫйгГ^г ехр(-г/2а»)' C-92)
причем мы ввели здесь соответствующую нормировочную постоян-
постоянную.
Вместо того чтобы подставить в C.71) какую-то одну из вол-
волновых функций р-состояния, мы воспользуемся операцией усред-

390 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
нения:
где последнее выражение записано через безразмерные перемен-
переменные для случая п = 2. Применяя теперь формулу C.75), полу-
получаем
I
2а0К
о
Если написать
оо
X j cteexp (ixx\i) -^-[-f- exp(-2z)] . C.94)
х2 ехр (- 2х) = (-?- ) 2 ехр (- he) |x=2, C.95)
то мы сможем пользоваться производящей функцией C.83) без
множителя A — 0~2A — t')~2, что дает
^, . 4
<3-96>
Комбинируя этот результат с C.66), получаем
<6F'JP=^r^«3Ry [0,0300—1-]. C.97)
Порядок величины рассмотренных эффектов таков:
^H C-98)
Такой же сдвиг возникает и благодаря обмену двух частиц двумя
фотонами. Действительно, в множителях aim и а/М мы узнаем
амплитуды рассеяния фотонов с низкими энергиями на соответ-
соответствующих частицах (вспомним томсоновское сечение рассеяния),
которые определяют также испускание и поглощение двух фото-
фотонов с низкими энергиями. Расчет этого эффекта мы проведем
в нерелятивистском случае. Добавка к слагаемому в действии,
даваемому формулой D-11.30), равна
- { (dp) dtr (rt) -^ (A (rt)J ф (rt). C.99)

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II I 391
На двухчастичный случай он распространяется следующим обра-
образом:
- j (dr.) (dra) dtr (Tlxtt) [^- (А (r^)J +
(З.Ю0)
В нерелятивистской области основную роль играет именно послед-
последний процесс, а не два последовательных акта, описываемых двух-
двухчастичным обобщением выражения D-11.30). Таким образом,
эффективный источник испускания двух фотонов и составной
частицы обобщенным источником составных частиц равен
/ft (х) Ji (*') т\ (rtr2i) |эфф =
_= _ S (х~х') 6 (х° -1) Ьы [-?- б (х-гО + 4" S (х~ г*)] 1> (rir2*)
C.101)
и аналогичное выражение, содержащее \J)* (r^i), мы имеем
для процесса трехчастичного поглощения. Вакуумная амплитуда,
описывающая трехчастичный обмен между различными компо-
компонентами составной частицы, равна
* 1Г1Г J (dri) •" • ^* (Г»Г2^ Sft< Т[D (Г1~ г^' *~ f)km Х
xi?(ri—pj, *—*')/в-1-^(г2—r;,'-t—*')м»^(гя—г;, *— t')ln]x
xG(r,r2t, r;r^')Sm^(r;r;o. C-102)
Отметим, что тензоры, отражающие поперечный характер фотон-
фотонной функции распространения, входят в комбинации
IX Л I * * / / Q
которая напоминает угловую зависимость сечения рассеяния
фотонов с низкими энергиями [см., например, формулу C-13.118)].
Кроме того, наличие множителя ИМ позволяет нам, очевидно,
поместить тяжелую частицу в начало координат, а значит, добав-
добавка к действию по форме совпадает с выражением D-11.58), куда
в качестве взаимодействия нужно подставить
х
х Е—н — ho—ko' ~г к_я_ю_г.о' ехр[цк + к )-г] . (d.lU4)

392 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Среднее значение величины 8V в собственном состоянии опера-
оператора Е — Н с нулевым собственным значением равно
--44 J
'г1|*(')|г- <3-105)
Рассмотрим сначала приближение, в котором импульсом частицы
лренебрегается, что соответствует замене \|) (г) на \J) @). Это дает
~ 4-1 ¦ да
^-. C.106)
Область появляющегося здесь интегрирования по энергиям фото-
фотона ограничивается релятивистскими эффектами при к0 ~ т и ко-
конечным импульсом, ассоциируемым со связанным состоянием,
при к0 ~ am. Следовательно,
и в качестве грубой оценки при п = 2 мы получаем
F7% 4г-Жа* 1п? КУ- (
Этот эффект составляет приблизительно 3/4 величины C.85) и имеет
противоположный знак.
Уточним теперь нашу оценку на низкоэнергетическом пределе.
Обращаясь к производящей функции C.76) для «-состояний,
мы видим, что в интеграл по координатам, фигурирующий в фор-
формуле C.105) и записанный через безразмерные переменные, входит
\ (dx) exp [i (х + х') • х] ехр (— %х) =
Воспользовавшись тождеством
'V+X» = J ^exp{-s[(>c + >c'J+^]}t C.110)

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 393
представим C.109) в форме
\ (dx) exp [i (х + х') • х] ехр (— Хх) =
= Ш Jdssexp{-s[(x-}-x'J+>-2]}- C.111)
о
Преобразуя рассматриваемый член тем же способом, что и при
выводе выражения C.83), мы для производящей функции, соот-
соответствующей среднему значению C.105), получаем
м
l
X \<fcsexp{—s [x2-t-x'2-f-2xxV + ^2]}» C.112)
о
где x и x' — модули соответствующих векторов, a |i — косинус
угла между ними. Для удобства произведем замену переменных
,-1<0<1, 0<y<Y.
Верхний предел Y соответствует тому, что интегрирование по
энергиям фотона необходимо оборвать, прежде чем мы достигнем
релятивистской области. В этих переменных величина C.112)
записывается как
2 т «3 и 1 Г 23/2 , Л ,,(,,,
бу LuJ(ЗЛ14>
где
У 1 1
/= J d^>* J dv(l — в») J йц,;A +ц2) dss х
:0 о -1
A—Р2)^2 + Я2]}- C.115)
Два слагаемых, возникающих при тождественном преобразо-
преобразовании
1 + ц2 = 2 - A - ц"), C.116)

394 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
мы будем рассматривать разными способами. Для постоянного
слагаемого выполним сначала интегрирования по ц и затем по s:
Y 1 1 оо
/' = 2 jdj/i/2 j dy(l-y2) jdji j
0 0 -1.0
Y 1 CO
= 2 f dy \ dv \ ds exp (— sX2) [exp (—s2v2y2)—exp (—s2i/2)] =
0 0 0
Y 1
= 2 J
о
о о
Последующее интегрирование по v дает
_ V2 i
гг
где последнее выражение получено интегрированием по частям.
Логарифмическая зависимость от Y является следствием того,
что при малых значениях v в C.117) входит комбинация с vy.
Таким образом, она соответствует случаю к~ у! ~ ]/2i/.
В результате этого
\/2Y=Lnan = , C.119)
' " am ч '
где L — верхний предел для энергии фотона. В предвидении
последующей сшивки с результатом релятивистского расчета
мы выберем его лежащим где-то между нерелятивистскими (~аиг)
и релятивистскими {—т) импульсами, положив, скажем,
L ~ aWm. C.120)
Достаточно большое значение Y /~^J%~1/Z позволяет нам упростить
выражение C.118):
C.121,
где учтено соотношение

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 395
Во втором куске интеграла /, равном
Y 1 1
Г= — J dyy^dv (I -vz) j d|i A — \i2)
0 1
j | ( \) X
-1
X j dssexp{ —5[A+у2)г/2+ц,A-у2)г/2 + Л2]}, C.123)
величина 1 — ц,2 обращается в нуль при ji = —1. Согласно
выражению C.106), это соответствует случаю высоких энергий
и дает возможность заменить Y на оо. Здесь мы сначала выполним
интегрирование по у, а затем по s и \и:
i 1
Г= --i^L \dv(l — у2) J d|i A — ^2) х
о -1
X f ds «-V2 exp (- X2s) [1 + у2 + ц, A — у2)] /2 =
о
1 1
= —7т-\ауA—у2) \ац,A — ц,2) [1 + у + М-A — v)\ • C.124)
о - -1
Интеграл по \i возьмем по частям:
1 1
о -1
и окончательно получим
/"=--2^-1A-In 2). C.126)
Теперь сложим два куска /:
^21)| C.127)
Таким образом, производящая функция C.114) оказывается равной
4 т а3 т, 1 Гт 2n.L 7 , 4
Ry Lln+
7 , 4 , о
При я =2 она дает
^[^5 4]. C.129)

396 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Как и в случае формулы C.96), результат для 2р-уровня полу-
получается путем применения к производящей функции C.128) без
множителя A — t)~2(l — t')~2 оператора 1/s(d/dKJ, что дает
/ci/ffv 1 m „в 1 d2 , 1 1 т 4Tt
'ip 2n M J 3 ал2 К %=2 24я М J
C.130)
Основная задача, которую нам осталось решить, состоит
в расчете релятивистского процесса — сшив его результат
с C.129), мы сможем исключить зависимость от параметра L.
Обратимся к выражению B.12). Входящая в него функция
D+ (х — x')nV в радиационной калибровке имеет компоненты
двух сортов, которые мы выпишем еще раз:
D+(x — х'H0 = —6 (х° — х0>) 3)(х — х') C.131)
и
D+(x-x')hl= (bhl—№-)D+(x-x'). C.132)
Мгновенное взаимодействие мы анализировали, конструируя диф-
дифференциальное уравнение для двухчастичной функции Грина.
Поперечное же взаимодействие будем рассматривать более элемен-
элементарным способом, с использованием степенного разложения для
соответствующей части функционального дифференциального опе-
оператора:
В соответствии с равенствами
б
(х, х') = GX (х, 1) eqykG% (I, x') C.134)
6 ^rr Gi (х, х') = Gi (х, 1) eqyhGi (?, |') egyfii (Г, х') +
6ЛA) бЛг(
+ G$ (х, l')eqyiGi (Г, l)eqykGi (I, x') C.135)
эти функциональные производные можно применять прямо к функ-
функциям Грина отдельных частиц. Но в случае тяжелой частицы
такая процедура излишне сложна. Поскольку мы будем сохранять

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 397
только эффекты порядка 1/М, вместо того, чтобы переходить
в этих формулах к нерелятивистскому пределу, проще прямо
вывести нужные нам результаты из нерелятивистского выражения
для функции Грина. Из выражения
+ уП+М —
вытекает следующее промежуточное представление для этой
последней функции Грина, относящееся к частице с зарядом
е (р° -> М + р°):
х°> х0': G+ (х, х') да-уA + /)exp [-IM(х° — х0')] X
Коль скоро нас интересует зависимость от А, уже включающая
малый параметр 1/М, кинетической энергией р2/2М можно пре-
пренебречь, и мы получаем выражение
А Ъ
ХехрГ —i f Л(еЛ°—^-р-А + -^-I б(х—х'). C.138)
зсО'
являющееся обобщением формулы B.30). В случае когда значе-
значения времени ?° и ?0' лежат в интервале между х° и х0', мы таким
способом получаем
¦ Gi (х, x')&i-L- pkb A- х) G% (x, x') C.139)
(i)
** -i-jr&ubft-l') 8(l°-l0') 6 A- x)G$(x-x'). C.140)
В других случаях эти функциональные производные равны нулю.
Здесь, пожалуй, нужно сделать отступление и проиллюстриро-
проиллюстрировать методику выделения энергетического сдвига при задании
функции Грина приведенным выше разложением. Рассмотрим для
простоты функцию Грина одной-единственной частицы, главные
члены разложения которой равны
G+(x, x')- J (dy)(dy')G+(x, y)V(yy', y°-y°')G+(y', *') +
C.141)

398 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Исходная функция Грина представляется через собственные
функции так:
х° > х0': G+ (а\ х') = i 2 Ф (х) ехР [ —iE {х° — х°')\ ф* (х') у0.
C.142)
При указанном соотношении моментов времени сюда входят поло-
положительные частоты, а при х° < х0' — отрицательные. Множитель
при п|) (х) ф* (х') у0, соответствующий определенной собственной
функции в формуле C.141), равен (х° — х0' = Т)
ехр (— iET) — i exp (— iET) X
X j dyodyo'V(yo~yo')exV[iE(yo~yO')], C.143)
где
V(y°-y°')= j (dy)(dy')y*(y)y°V(yyr, y°-y°')\p(y% C.144)
причем представлен только вклад, соответствующий временной
области
у0' >х0'. C.145)
Причина этого станет ясной, если вычислить асимптотику инте-
интеграла C.143) в случае, когда микроскопическая временная пере-
переменная t — у0 — у0' эффективно пробегает значения от — оо
до оо, а значения оставшейся временной переменной у0 тау0'
лежат в промежутке с длительностью Т. Это дает для C.143)
ехр (—iET) [1 - ШТ] «ехр l—i (Е + ЬЕ) Т], C.146)
где
оо
= \ dtV(t)exv(iEt). C.147)
В отличие от вековой вариации, фигурирующей в формуле C.146),
существенные интервалы времени в областях у0 >> х° и у0' < х0'
являются микроскопическими и не дают вклада в формулу C.147)
для энергетического сдвига, которая эквивалентна формуле C.44).
Еще один полезный результат можно получить, заметив, что
имеет место равенство
{x, x'),
C.148)
представляющее собой некую разновидность дивергентного урав-
уравнения [ср. с формулой C-6.48)]
^ C.149)

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 309
Рассмотрим случай, когда х° >ж0', и пусть х° лежит в интервале
хо>~х°>х°'. C.150)
Выполним теперь пространственно-временное интегрирование по
полубесконечной области, в которой время меньше х°. В итоге
придем к соотношению
4 j (dx) Gl (x, x) y°Gi (x, x') = G+ (х, х'), C.151)
показывающему, что функция A/i) G^ у0 обладает мультиплика-
мультипликативным свойством композиции. В случае свободных частиц это
утверждение элементарно; мы же обобщили его на произвольные
электромагнитные поля. Отметим, кстати, что если обратить оба
неравенства C.150), то в правой части равенства C.151) появится
знак минус. Если же обратить только одно из названных нера-
неравенств, то интеграл в формуле C.151) станет равным нулю.
Указанная в формулах C.139) и C.140) факторизация функ-
функции Грина тяжелой частицы позволяет нам рассматривать в случае
легкой частицы эффективную одночастичную функцию Грина.
Исключив подобным способом все двухчастичные аспекты, необ-
необходимо ограничиться также учетом только относительного движе-
движения, когда импульс тяжелой частицы в формуле C.139) заменяется
в то же самое время импульсом легкой частицы, взятым с противо-
противоположным знаком. Для этого, пользуясь разложением C.151),
мы вводим явным образом момент времени, в который испускается
или поглощается тяжелая частица. Принимая в качестве начала
координат положение тяжелой чаетицы, мы для эффективного
изменения функции Грина легкой частицы, обусловленного одно-
фотонным обменом, получаем
-*-? J (dt)(d?)D+(l, |«-?>%ехр[ ]{лF°-6°')<#(*, I) X
х ykGt а, г) y°piGi (г, х')+г\ (г -1») g$ (х, г) fpfii a1, d x
X yhGi (I, x')}exV (i j dteA°) |a0=q , C.152)
¦ где через ехр [ ] обозначена та часть функционального оператора,
фигурирующего в формуле B.12), которая отвечает мгновенному
взаимодействию. Действие ее проще всего описывается, если
положить период времени тяжелой частицы, т. е. область интегри-
интегрирования по времени в последнем множителе выражения C.152),
большим по сравнению с х° — х°' = Т, считая при этом, что
он полностью содержит в себе данный интервал. Исключая подоб-
подобным способом граничные эффекты, мы сводим действие функцио-
функционального оператора просто к замене eg А0 в G+ статическим куло-

400 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
новским потенциалом. Проводя затем сравнение с разложением
C.141), получаем следующую формулу для энергетического
сдвига (здесь используются несколько иные обозначения, причем
функция D+ki выписана в явном виде):
со
б?=—?- J dx*k (бй,—igp-) J dtexv[i(E-k°)t]X
о
X (exp (ik-x) afi+ (t) у°рт + PmG+ (t) y°atexp (ik-x». C.153)
Выполним теперь унитарное преобразование B.79) и учтем, что
наша система является почти нерелятивистской и, следователь-
следовательно, можно произвести подстановки
«i-^-S-- C-154)
и [ср. с формулами C.137) и C.138)]
оо оо
j dt exp [i(E — k°) t] G+ (t) y° -+ \ dt exp [i (Е^ерел—к°) t] i X
о о
В результате придем к формуле для энергетического сдвига,
в точности совпадающей с той, которая вытекает из выражения
C.60), полученного путем полностью нерелятивистского расчета.
Двухфотонный обмен приводит к следующему изменению
в функции распространения:
X
i ^- J №) ... (C) ?>+ A — l")kmD+(l' —lm)ln exp [ ] G+ (ar,
X exp ( - i J ЛеЛ°) |дО=о. C.156)
Сюда входит интегрирование по общей временной переменной
go» _ go»' Если мы все внимание сконцентрируем на релятивист-
релятивистской области, где импульс, связанный с волновой функцией,
пренебрежимо мал и функцию G+ (?,?') приближенно можно
заменить трансляционно-инвариантной функцией распростране-
распространения свободной частицы, то тогда эффективно возникнет четырех-
четырехмерный интеграл
_ f
-J

§ 3. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ II | 401
Формула для энергетического сдвига имеет вид (Е »т)
Tb+wT(mtP) C.158)
где
—v<>(m — hfl) fc»+2mfc<> —fe
Поскольку \|з @) есть собственный вектор матрицы у° с собствен-
собственным значением у0' = +1, среднее значение любой нечетной сте-
степени величины у равно нулю, и поэтому y *k можно опустить,
а матрицу в формуле C.159), которая действует на угЧ* @), можно
положить равной —1. В итоге величина C.158) сводится к
DяаJ iitrtni2-1 f m 1 2тк°
Bя)« (fc2_j8J
Интеграл по частотам можно вычислить методом контурного
интегрирования, что дает
_1_ f° й0 г 1 1
i J 2я L (й2—геJ Л2 — fe
Чтобы осуществить сшивку с нерелятивистским расчетом, оборвем
последующее трехмерное интегрирование по импульсам на ниж-
нижнем пределе | к | = L <^ т. Это приводит к частичному энерге-
энергетическому сдвигу
при сопоставлении которого с производящей функцией C.128)
или с явным результатом C.129) для случая п = 2 величина L
эффективно заменяется величиной 1/2т. Таким образом,
C.163)
Объединяя вклады в энергетический сдвиг 2«-уровня, указан-
указанные в формулах C.56), C.85) и C.163), получаем
2S~~ Зл Та У[_Т п"а ' 2"f~~l2"~^"Ttr ' ('
тогда как сдвиги 2р-уровня, указанные в формулах C.97) и C.130),
дают
б^=ет a3Ry [°'030°- ж -ш]- (
26-0983

402 j ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
В случае атома водорода мы имеем
Н: ¦ж-жаЗКУ==2тЩ
так что
ЬЕга = 0,342 МГц, 6Е2Р = -0,017 МГц. C.167)
Добавив энергетический сдвиг в 0,36 МГц к последнему теорети-
теоретическому значению D-17.132), получим новое значение:
Н: E2Sl/2-E2pi/2= 1058,17 МГц. C.168)
На этот раз мы несколько превысили номинальное эксперимен-
экспериментальное значение.)
§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II
При анализе модифицированной фотонной функции распростра-
распространения, проводившемся в гл. 4, § 3, мы имели дело с обменом при-
причинно-упорядоченных обобщенных фотонных источников парой
невзаимодействующих противоположно заряжепных частиц. Теперь
мы будем рассматривать следующий динамический уровень для
этого процесса, на котором выявляется, например, возможность
взаимодействия между частицами за счет обмена виртуальным
фотоном. На таком динамическом уровне следует учитывать и дру-
другие механизмы, которые можно выявить, подходя к проблеме
с разных точек зрения. Так, наряду со всяким процессом, проте-
протекающим с участием виртуального фотопа, возможен аналогичный
процесс с участием реального фотона. При рассматриваемой при-
причинной упорядоченности он соответствует возможности испуска-
испускания не пары реальных частиц, а одной реальной и одной виртуаль-
виртуальной частицы. Последняя излучает фотон, что дает нам трехчастич-
ный акт испускания. Имеет место и соответствующий процесс
поглощения, когда фотон объединяется с заряженной частицей,
порождая виртуальную частицу, которая затем вместе с другой
реальной частицей детектируется обобщенным фотонным источ-
источником. Правда, здесь возможны два варианта: фотон может погло-
поглотиться либо той частицей, которая ранее испустила его, либо
другой. Именно второй вариант, когда фотоном обмениваются
противоположно заряженные частицы, и эквивалентен процессу
рассеяния, т. е. процессу с обменом виртуальным фотоном. В то же
время должны существовать механизмы, вносящие соответствую-
соответствующие модификации в такие элементы акта двухчастичного обмена,
как примитивное взаимодействие, соответствующее взаимопревра-
взаимопревращению виртуального фотона с парой частиц, и функции распро-
распространения частиц. В том конкретном трехчастичном процессе,
в котором одна из частиц не принимает участия в обмене фотоном,

I 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 403
мы как раз и узнаем механизм, обусловливающий модификацию
фупкций распространения частиц. П роцесс же рассеяния дает нам
модификацию примитивного взаимодействия, вводя в него неко-
некоторый формфактор. Поскольку зта последняя модификация
сопровождает как акт испускания, так и акт поглощения в начале
и в конце процесса, то при наличии соответствующего каузального
контроля механизм рассеяния должен выполнять обе указанные
функции.
Новой характерной особенностью подобных проблем является
процесс трехчастичпого обмена, на котором мы прежде всего
и остановимся. Рассмотрим в качестве введения трехчастичный
кинематический интеграл, обобщающий формулу D-1.23):
/ (М, та> ть, пге) = BлK \ d<oa dab da>e8 (Р — ра — рь — рс)• D.1)
Сначала путем элементарного преобразования выполним интег-
интегрирования, объединяющие две частицы в одну составную систему
с переменной массой М', а затем рассмотрим оставшуюся эффек-
эффективную двухчастичную систему. Именно, мы напишем
б(Р— ра— РЪ— Ре) =
в j 6(Р-Р'-рс)dwp*dM'2BлKб(Р'-ра-Рь). D.2)
Повторные интегрирования для двухчастичной системы дают
, та, ть, тс)= j dM'4(M', ma, ть)BпKх
X j d(x>p>dwc6(P—P' — Fe)= j dM'4(M', ma, mb)I(M, M\ mc).
D.3)
Простейшим примером вычисления последнего интеграла по М'
может служить случай, когда массы отдельных частиц равны
нулю, или, что то же самое, когда выполняются условия М ^>
^> та, ть, тс. В этом случае выражение D.3) принимает вид
/(М, 0,0,0)=j dM'^-J^r(l-^)=1^r^-. D.4)
Следующим по простоте является случай, когда только одна
из масс отлична от нуля:
26*

404 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Для интересующей нас здесь системы, в которой та = ть
тс = 0, мы имеем
Bm)»
- 8m' Г А>  fco-"a) _
~14S)«"J aV A-^K -
3 + pjj . 1+ro
При вычислении этого интеграла мы ввели переменную
положив
Асимптотически в области ИР ^> BтJ (у0 ~ 1) интеграл дейст-
действительно совпадает с величиной D.4), тогда как вблизи порога,
т. е. при М2 > BтJ (v0 <^ 1), он ведет себя следующим образом:
1 4 (Л/а—4,«-, •- ,/t щ
Можно более симметрично трактовать частицы, если перейти
к системе отсчета с бесконечным импульсом, обобщив анализ,
результатом которого была формула D-1.32). Обратим внимание
на инвариантный элемент объема в импульсном пространстве
D-1.28) и отметим, что D-1.30) имеет в качестве трехчастичного
аналога дельта-функцию
6 (Р — Ра~ Рь — Ре) = б (Par + РбТ + Per) X
X 8A — иа—иь — ис)г\(иа)г\(иь)г\(ис) х
X 26 ( P°r+m° + P|r+mg + P°r + mg -MA ¦ D.10)
V ua "ь "с • /
При несимметричных пока интегрированиях по поперечным
импульсам исключим рсг с помощью соответствующей дельта-
функции в D.10), в результате чего в дельта-функции от энергий
возникнет квадратичная форма
? ? 4^ ^ . D.Н)

I 4 ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 405
Здесь отражена также возможность диагонализации квадратичной
формы путем ортогонального преобразования, при котором
. D.12)
При последпем переходе учтены симметрии подынтегрального
выражения относительно вращений, так что теперь мы имеем
duadubducdPlTdplTlI-^I-6(l-ua-ub-ue)x
J lTdplT
X 8 (
где подразумевается, что все параметры ц положительны. Отсюда
сразу видны спектральные ограничения, которые в параметриче-
параметрической форме записываются так:
Предполагая, что пороговая масса имеет значение
М0=^тм D.15)
можно будет условия D.14) переписать в виде
М*-М\ > 2 их (^—М0J>0. D.16)
Поскольку указанный здесь нижний предел достигается при
величина il/0 действительно имеет смысл пороговой массы. Как
явствует из общего характера обозначений, все сказанное спра-
справедливо и в случае произвольного числа частиц.
Оставшиеся в формуле D.13) интегралы по импульсам берутся
путем соответствующей замены переменных, причем считаются
выполненными условия D.14):
J dPiT dp!rs (%lPiT+KvIt- (м*- 2 ¦§¦)) =

406 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Произведение Х^г есть определитель квадратичной формы D.11):
Ч «t/\»i «с/ "с иаиЬ иаис '
I * _ * // Л(Л
Это дает
/ (М, ma, ть, тс)= „ 4 j йцайиьйис8A — ма — мь — мс) X
D.20)
«а «Ь "с
где область интегрирования ограничивается дельта-функцией
и условиями D.14). Предел высоких энергий D.4) получается
сразу же:
1
1
= J duaduby\(i — иа— иъ)= \ dua(l~ua)—-j-. D.21)
о
В случае двух нулевых масс не будем проводить в D.21) послед-
последнее интегрирование:
dubduc8(i — иа—иъ—Ue) = l — ua. D.22)
Возникающий при этом однократный интеграл по параметру
1
1(М, т, 0, 0) = -JL- f duA-й) (л#*—?) D.23)
i/i
эквивалентен выражению D.5). Обращаясь к случаю та = тъ =
= т, тс = 0 и исключая один параметр, получаем
1 С
1{М, т, т, °) = "DHjrJ duadubt](l~ua—ub)X
D.24)
Теперь для удобства введем новые переменные
ua = w-g-(l + i;), ub = u-g-(l — v), duadiib — du
в которых DяL/ (М, т, т, 0) записывается как
D.26)

S 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 407
Обе переменные пробегают значения от 0 до 1, подчиняясь огра-
ограничению
4т2
ИЛИ
D-28)
где мы ввели обозначение D.8). Так как и не может достигать
единицы, необходимо, чтобы выполнялось соотношение
v<v0. D.29)
Интегрируя^теперь по и, придем к выражению
, т, ш, 0) =
которое напоминает интеграл по параметру, фигурирующий
в формуле D.6), но отличается от него некоторыми деталями.
В действительности две эти формы записи эквивалентны, но D.30)
несколько более непосредственно приводит к предельным выра-
выражениям при высоких и низких энергиях.
Процесс испускания двух частиц и одного фотона обобщенным
фотонным источником описывается связью между двумя источ-
источниками частиц и двумя источниками фотонов. Здесь мы имеем
еще одно применение взаимодействия W2%, описывающего также
рассеяние фотона частицей [ср. с формулой C-12.29)]:
W22 = i- j (dx) (da!) Ф (x) [2eqp. A (x) Д+ (x-x') 2eqp. A (x') -
— 8(x—x')eU2(x)]<p(x'). D.31)
Сравнивая часть вакуумной амплитуды iWi2i которая линейна
по полю А 2 обобщенного источника и по полю испущенного фото-
фотона, с эквивалентной трехчастичной вакуумной амплитудой
i- [i J (dx) К (х) Ф (х) У i j (dQ J% (I) Ax (I), D.32)
мы получимследующий эффективный испускающий источник:
-Кг(х)Кг(х')^A)\афф =
= 2eqpK 8 (х— I) Д+ (х- х') 2eqp. A2 (х') +
+ 2eqp. А2 (х) Д+ (х — х') 2eqp>>. 8 (х' — |) —
— 8 (ж—х">Ь(х—1Jе2А\(х). D.33)

408 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
В импульсном представлении имеем
-К% (р) Кг (р') J\ (к) |8ФФ = 2e*V?A2v (К), D.34)
где
2 4 рк +4 р'к 8 '
D.35)
причем мы упростили эту комбинацию, учитывая свойства реаль-
реальных частиц
р2 + т2 = р'2 + т* = к2 = 0 D.36)
и то, что
К = р + р' + А D.37)
представляет собой полный импульс, испущенный источником.
Отметим равенства
^ = 0, V\vKv = 0, D.38)
выражающие закон сохранения и свойство калибровочной инва-
инвариантности. Соответствующий поглощающий источник равен
D.39)
где
Vf = V\». D.40)
Отметим, кстати, что в этих последних величинах подразумевается
наличие единичной матрицы, действующей в зарядовом простран-
пространстве.
Вакуумная амплитуда для процесса трехчастичного обмена
равна
D.41)
След здесь, который берется по индексам зарядового пространства,
дает коэффициент 2 в получаемом таким способом выражении
(-Ik*J j dM*d(DKA»(-K) /^ (tf)^^ (JT), D.42)
где все внутренние операции мы включили в тензор
BлK &(К-Р-Р'-к) V^Vz"v. D.43)
Согласно соотношениям D.38) и D.40), тензор /lvv симметричен
по индексам ц, v и подчиняется условию калибровочной инвариант-
инвариантности
0, D.44)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 409
чем и определяется его структура:
/^ (К) = (?цУ Н—j^- \ I (M2), D.45)'
где скаляр I (M2) равен
1 Г, л.. j.. 'Т„)8в(^_р_р'_й)^1УЛ». D.46)
4
Тензор FjV можно представить в форме
D.47)
Сюда входят три комбинации, каждая из которых при умножении
на кь дает нуль. Следовательно, та из них, которая содержит мно-
множитель №, не дает вклада в нужное нам произведение:
Т ((Wj^) D.48)
В комбинации
_
рк
V' \2 _ и» т* 2Рр' .
р'к } (рк)г (р'кJ ркр'к ^
мы узнаем множитель, играющий главную роль в испускании
мягких фотонов. Эта комбинация часто встречалась нам при описа-
описании отклонения частицы. Именно она и соответствует рождению
пары частиц с противоположными зарядами. Воспользовавшись
соотношением
М2 = — (р + р' + кJ = 2т2 — 2 (рр' + рк + р'к), D.50)
Можно объединить два первых слагаемых в правой части равен-
равенства D.48):
У 2 v*to- 4 [ {ркJ (р'к)*^ ркр'к ](р Р>
Мы будем проводить интегрирование по способу D.3), груп-
группируя сначала частицы в составную систему с массой М':
8(K—P—k)d(OpdM'2BnK8(P—p — p').
D.52)

410 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Выполняя, далее, в формуле D.46) интегрирование по частицам,
придем к скалярной функции
S {М'\ М*) = j dcop dov BлK б (Р- р-р') V?V2%V. D.53)
Тогда оставшийся кинематический интеграл даст нам
=4 J dM>*-^(i-Ml.)S{M'\M*), D.54)
хотя при М' -> М следует модифицировать входящий сюда кине-
кинематический множитель, с тем чтобы учесть фиктивную массу
фотона ц:
1 —JF~+-Sr [(ЛР-М'^-фМ'*]1'*» *- [(М-М')*-\*fh .
D.55)
При интегрировании выражения D.53) введем обозначение
^^ptOW D.56)
и проведем его в системе покоя импульса Р. В этой системе коор-
координат в инвариантной форме записи
Р = Р=~М, |р| = |р|=^-(М
а кроме того, имеется еще инвариант
(р-р'J = М'2-4т2. D.58)
Инфракрасными особенностями обладают интегралы
\W/-XF^")~ j Tdz
(pO*»-|p,|k|*)'
1
M—M' ~% и: тттъ—.,..¦.,>—з-
#:!/4) — m2j
D.59)
И
I
\pApT/ J Tdz (p<W>J-(|p||k|ZJ ' ^4-60^

I 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II I 411
Последний интеграл мы рассмотрим только в тех двух областях,
которые указапы в конце цепочки равенств D.59). В первой из них
(М — М' Э> У>) в разных формах записи для зтого интеграла имеем
2—Л/'2)* m2 J
О
L \
(Л72—Л/'2)* m2 J az l-H(Ai'2/4i»2)-l](l-z2)
О
8 М' С
4mM-V2
)
В области же М—М' ~ \л он принимает вид
1
4 Г , 1_
Л/2 J Z (M — M'f—22[1 — Dm2;
In Af-M + П-(*™2/м2IУ2КМ-мУ-иЧ2 (А 62)
М — ЛУ —[1 —Dт2/Л/2)]1/2[(Л/7И'Jц2]1/2 • V • ;
Остался интеграл
Af'« j Д Т dZ {1_2[1
вычислив который получим
4 А/'» 8 /. 4т" \-У2, 1 + [1 — DтуА/'»)]1/г
АЯ- Л/'2 т2 Л72—А7'2\ Л/'2 / Ш l_[i_Dm2/A/'2)Jl/2 '
D.64)
Прежде чем собирать вместе все эти выражения, выясним,
какая же величина пас фактически интересует. Это весовая функ-
функция а (Л/2), фигурирующая в выражении для действия D-3.70)
и в вытекающей из него формуле D-3.81) для функции распростра-
распространения. Расчет, проведеппый в гл. 4, § 3, давал нам вклад в а (М2),
обусловленный двухчастичным обменом:
спин 0: W> (М*) = -j?L- A - ^-f%. D.65)

412 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Теперь же мы ищем вклад al3)(Mz) от трехчастичного обмена,
возникающий в действии в качестве еще одного слагаемого с ана-
аналогичной структурой, а потому входящий в a (iW2) аддитивным
образом. Сравнивая связь D.42), D.54) и D.56) с формулами
D-3.34) м D-3.37), получаем
D.66)
где кавычки напоминают нам, что при М — М' <— ц следует
пользоваться комбинацией, модифицированной в соответствии
с D.55).
При последующих интегрированиях часто будет встречаться
функция
* И = т J dv> T=bi = -5- 1п4Й
С ее помощью величина (F|VF2>,V), соответствующая области М —
— М' Э" V > записывается как
где введены переменные
2iу21
D-69)
Используя эти последние, можно написать также
4то2 A —с2) A—и'2) г/ пг\\
М2-М'* = J^Ti ' D-70>
и тогда для коэффициента при сс2/12я2 в формуле D.66) получим
D.71)
Интегрирование здесь проводится от Ж' = 2от до М' = М—8М,
где
и < 6Ж < т, D.72)
или же от v' = 0 до v' = v — 8v, где
2т
'

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 413
Кроме D.71), возникают и другие члены, а именно
о о
D.74)
но эта комбинация обращается в нуль, в чем можно убедиться
непосредственным интегрированием:
В области М—М' ~ ц мы имеем
У-2т7-
v )
о
(М — Л/'J+Ц2 [»ад1 —wa)] J ' D*77)
где оставлены только члены с инфракрасными особенностями.
В этой области интеграл D.66) принимает вид
?=??- \d(M'-M) [(M-M'J-^]1/2<OW, D.78)
причем интегрирование по Ж" — М' проводится от \л до ЬМ.
Входящий сюда основной интеграл равен [ср. с формулой D-4.97I
ЬМ
D.79)
и в итоге для величины D.78) мы получаем выражение
-l] In
V
v) — 2^A+ „a) j dy' JL^r • D-80)

414 | ГЛАВ \ 5 ЭЛЕКТРОДИНАМИКА П
При сложении его с D.71) зависимость от ЬМ выпадает. Чтобы
исключить фиктивную массу фотона, мы должны учесть второй
эффект — модификацию в процессе двухчастичного обмена.
Как мы знаем, модификация отдельных актов испускания
и поглощения пары частиц учитывается формфактором
1 / 4т2 у'2 \
Но прежде чем применять выражение D.81), нам нужно выяснить,
как обстоит дело с причинностью. В исходном процессе двухчастич-
двухчастичного обмена области испускания и поглощения подчиняются кау-
каузальному контролю. Когда же к описанию отдельных актов испу-
испускания и поглощения привлекается формфактор, это, вообще
говоря, перестает быть верным, так как при энергиях, при кото-
которых знаменатель в формуле D.81) обращается в нуль, имеет
место полная пелокальность (распространение). Положение при-
близительпо такое же, как при описании нестабильных частиц,
где при наличии каузальпого контроля нельзя было рассматривать
простые источники. Аналогично тому, как вводился обобщенный
источник в ходе этого последнего анализа, мы должны при каж-
каждом значении v' в формуле D.81) исключить те источники, для
которых v лежит в непосредственной близости от этого значения,
причем
1^г- D-82)
Кроме того, как и в случае нестабильных частиц, при окончатель-
окончательном предельном переходе вводится главное значение интеграла.
Тем самым формфактор D.81) эффективно заменяется величиной
F(v) = i—^f(v), D.83)
где
. / 4m2 y'a \ .
In —5—-; г?-)— 2
dv' A +1/*) V M ^_~l ' . D.84)
о
Последним выражением и определяется поправка на взаимодей-
взаимодействия частиц, должным образом локализованные вблизи испу-
испускающего или поглощающего источника. Суммарное влияние
на причинный процесс двухчастичного обмена учитывается мно-
множителем
n , Л- D-85)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 415
Соответствующее изменение величины а<2)(М2) дается формулой
^. D.86)
Чтобы выявить здесь зависимость от массы фотона, разобьем
функцию / (v) на две части:
+ P)dv' „,_„,, v . D.87)
о
Используя затем равенство
1 1
J у*— у'2 J to \ v-\-v' ' v—v' J Л \ /» \ /
о о
мы будем иметь
i
-1. D.89)
Получаемая таким способом величина, стоящая с коэффициентом
а2/12л2 в правой части равепства D.86), компенсирует слагаемое
в формуле D.80) с массой фотона.
Оставшиеся в формулах D.71), D.80) и D.87) интегралы можно
выразить через некую трансцендентную функцию, о которой
будет сказано ниже, но результат будет не очень ясным. Вместо
этого здесь мы лучше возьмем эти интегралы в том виде, как они
есть, и извлечем из них численные выводы относительно рассмат-
рассматриваемого процесса. Это будет видоизменением расчета поляриза-
поляризации вакуума, проведенного в гл. 4, § 3, где мы видели, что суще-
существенно предельное значение величины 8D+ (к) при нулевом
импульсе. Как явствует из выражения D-3.81)
это значение таково:
6D+@)= J

416 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Вклад двухчастичного обмена в интеграл имеет вид
1
спин 0: \ dv2M2а<2> (ЛР) = -~ j dv2v* = -^-f"" <4-92)
и
Искомая добавка к нему дается интегралом по у2 от суммы вели-
величин D.71) и D.80), умноженных на сс2/12л.2, и величины D.86).
Начнем с выражения D.71) и проинтегрируем его сначала
по i^ от у'2 + 6V2 до 1. Возникающий при этом основной интеграл
имеет вид
Г dl;2_JL7_==inizifl = lnr-^r *-"]. D.93)
O'2+6o'2 V '
По индукции путем дифференцирования по у'2 можно убедиться
в том, что
6M (i_p'i)J
V ' ft=l
D.94)
Пользуясь этими результатами, мы находим, что интеграл D.71)
сводится к
(штрих у оставшейся переменной интегрирования опущен). Обра-
Обращаясь к интегралу D.80) и выполняя интегрирование по частям,
мы видим прежде всего, что
1 v 1
j А,'-?4^_ = А J
0
^. D.96)
0
Сумма двух этих вкладов, компенсирующая ЬМ, равна
1 1
—~ [ dv A 4- v2) % (v) -f 6 \ dv y*x (v). D.97)
о о

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 417
К ней добавляется [см. формулы D.86) и D.87)]
1
о
1
-2 J dv (-J. + ^-^p)) (l+^ln-j^, D.98)
о
J
о
где использовано главное значение интеграла
1
Если сложить D.97) с D.98), то все нефизические параметры
выпадут и мы получим
1 1
2 С ^
о о
1 1
+ b^d»ib(v)-2\dv(±- + i?-W))(l+i?)ln1^. D.100)
о о
Чтобы вычислить оставшиеся интегралы, выполним несколько
интегрирований по частям, например
1 1
о о
1
+ Jdb(A_I7*_^pe)x(l7)i D.101)
о
и воспользуемся формулой
п>1: Iduv^x^^^—j; D.102)
о ь=о
в частности,
J *,(!-*"-¦?*•) 1п^= -й- D.103)
о
В итоге получим
л/г->\ и 2 . а2 95 а Г< , 5а 95
М2) + |1 +
спин 0: J
D.104)
27—0983

418 [ ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Таким образом, влияние поляризации вакуума увеличивается
примерно на 1 %. Точнее мы вычислим поправку в более важном
с точки зрения эксперимента случае спина У2.
В интегралы, которые нужно вычислить, чтобы представить
а (М2) в явном виде, входят выражения с разными линейными
функциями одной переменной в знаменателе и под знаком лога-
логарифма. Стандартной функцией такого типа является так называе-
называемый дилогарифм Эйлера (или, иначе, функция Спенса)
=jAin_L_= 2|L. D.105)
п=1
Интегрируя по частям и производя затем подстановку t -> 1 — t,
мы получаем, что эта функция удовлетворяет равенству
J(s) + Z(l—*) = JJ—in(_L) in^^J—) , D.106)
в котором учтено, что
со
Z(l) = 2 -р- = 1Г- D.107)
n=l
Аналогичные функции, определяемые для других областей изме-
изменения х, связаны с I (х) простыми соотношениями. Так, рас-
рассматривая при х >-1 функцию
х
ж>1: 1(х)= \ ^Lln(t~ 1), D.108)
1
мы видим, что подстановка t -v ilt дает
7>)= ( Aln-bi, D.109)
l/x
т. е.
D.110)
При изменении знака величины х возникает функция

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 419
а аналогичное соотношение при х > 1 имеет вид
X
J-f.
D.Ш,
Все они, конечно, равноправны, но при количественных расчетах
мы предпочитаем в качестве стандартной функции использовать
Их).
Иного рода соотношения возникают, если произвести в фор-
формуле D.108) подстановку t-+i + t, которая дает
ас—1 ас—1
-l)- ( -y-ln(l-M). D.113)
Это равенство записывается по-разному в зависимости от того,
больше ли а; — 1 единицы или меньше. В последнем случае, при-
применяя D.111), мы получаем
1<ж<2; 7(х) = \пх\п(х-1)-1 (х-1) +¦- l((x-l)z), D.114)
тогда как в силу соотношения D.112) и формулы
J? ? -g- D.115)
о
будем иметь
ж>2: Т(х)= —^- + 1пхЫ(х — 1)—j[ln(x—
DЛ16)
С учетом равенства D.110) эти выражения преобразуются к виду
i-:
Эти выражения связаны друг с другом соотношением D.106).
Параметризуя х в соответствующих областях D.117) и D.118)
как 1/2 A ± у) и производя вычитание, мы в качестве следствия
27*

420 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
из этих равенств получаем
Чтобы показать, как используется дилогарифмическая функ-
функция, рассмотрим второй интеграл в формуле D.87), который мож-
можно разбить на отдельные интегралы со знаменателем или v — г/,
или v + v' и с логарифмом от и', 1 + v' и 1 — v'. Прежде всего
заметим, что
! 1
О О
v 1
v—v' . I" dv' . v'—v ,
Jdv
—
о
J
о
Затем путем подстановки v' = vt приведем эти интегралы к виду
-!4'»тЬ-+[4'"<'-1>--тг+тD-). <4-ш»
или
j^f i(iJ D.122)
о
Производя подстановку v -+¦ 1 — v, v' -*¦ 1 — i/, получаем еще
одно следствие:
j
о
Отметим, кстати, что, согласно соотношению D.106),
Г
*' , v'\ 2я» . 1 /, 1 \2 1 /. 1 \
r=Flni=^=—г+тAпт) +тAпт=1г)
D.124)
Изменив знаменатель в формуле D.120), придем к интегралу
1 1 1/е
0 0 0
0
±.l(v*), D.125)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 421
который в сумме с D.122) дает
о
Кроме того, необходима величина
1 1
п f dv' 1 ,л , r\ n f Л/ т v—v'
Р \ г In A + v) =Re \ -г-.—- Ь —л =
J V—V VI/ I 1-i-y' 1—V
о о
v 1
Jdv' , v — v' , f dv' , v' — v ,, inn\
, , , ln-i \- \ . . , In-. . D.127)
1 + v 1 —y'Jl + w 1 —у ч
0
Выполнив теперь преобразование 1 + v' — A + v)/t, придем к вы-
выражению
1 2/A+»)
1/A)
I
1
1
D.128)
После дополнительного преобразования v = 1 — A +р) f будем иметь
\ —i—г In A — v)= \ -. г In ¦¦ , , =
0 0
1/A+»)
о
J
о
тогда как преобразование i/= —1 + A — v)t Даст нам
2/A-d)
i±-r- J 4
1/A)
J
1/A-1))
-i;)-Z(i^). D.130)

422 | ГЛАВА;_5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
В результате для рассматриваемого интеграла получаем
\ ) In [р"/A-р'»)]
2 In 2.
D.131)
Отметим, что это выражение можно было бы получить и с помощью
соотношения D.119).
Не вникая в детали оставшихся интегрирований, сформули-
сформулируем окончательный результат для a B
D.132)
Осмыслить это сложное выражение можно, перейдя к пределам
высоких энергий (v-*-l) и низких энергий (v-*-0). В этих двух
случаях мы имеем
^ ^^( + ^-), D.133)
где вклад порядка аа полностью обусловлен последним слагаемым
в фигурных скобках выражения D.132), и 'f
D.134)
здесь к члену с а2 приводит первая квадратная скобка в форму-
формуле D.132), происхождение которой связано, как это можно про-
проследить, с интегралом D.126), дающим частичный формфактор.
Последний результат особенно интересен, так как он свидетель-
свидетельствует об изменении порогового поведения. К такому выводу
можно прийти путем обычных нерелятивистских рассуждений.
За счет влияния кулоновского притяжения между зарядами,
рождающимися с относительной скоростью уотн, вероятность
образования состояния увеличивается соответственно множителю
Bл«/ротн) ~ \ \ па (
1-ехр[-Bяа/.,О1Н)]~-1~1~1,отн ' {

; § 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 423
где знак приближенного равенства относится к условиям 1 ^
Э> уотн Э> а' ПРИ которых кулоновское взаимодействие можно
рассматривать как слабый нерелятивистский эффект. Согласно
нерелятивистскому соотношению
Mtt2m + -^-mv2OTH, D.136)
мы имеем
т. е.
г;0Тн«2г;, D.138)
так что величина D.135) действительно совпадает с поправочным
множителем D.134). Кстати, в нерелятивистском пределе сам
упругий формфактор почти совпадает с волновой функцией отно-
относительного движения в кулоновском поле, вычисленной в начале
координат и нормированной тем условием, что амплитуда асимп-
асимптотической плоской волны равна единице.
Взяв явное выражение для Мга (М2), можно было бы повто-
повторить расчет поляризации вакуума, представленный в форму-
формуле D.104). Но мы вместо этого воспользуемся следующим прибли-
приближенным соотношением. Два предельных выражения D.133) и
D.134) можно интерполировать простой, но несколько искусст-
искусственной формулой
Интегрируя эту функцию по у2, мы для численного коэффициента,
фигурирующего в формуле D.104),
11 = 1,759, D.140)
получаем приближенное значение
ii + -J= 1,758. D.141)
Проделаем теперь аналогичные выкладки в случае заряжен-
заряженных частиц со спином Va. При описании процесса трехчастичного
обмена мы будем исходить из величины [ср. с формулой C-12.24)]
W22 = \ J (&х) (dxr) г|> (х) у°едуА (х) G+ (х-х') еду А (х') г|> (х'}.
D.142)
Сравнивая соответствующую часть вакуумной амплитуды^Л^гг
с эквивалентной амплитудой *
4- [i j (dx) г|> (х) у»ц (х)]2 i J (d?) Jx (I) A% A), D.143)

424 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
получаем эффективый источник
— г\2 (х) гJ (х') yuj\ {I) |эфф = е2 [б (х — I) ^6+ (х — х') уА2 (хг) +
+ уА2 (х) G+ (х - х') у*Ь (х' -1)). D.144)
В импульсном представлении имеем
- <4-145>
а аналогичный процесс поглощения описывается источником
\ уА.( — Щ + уА^ — К) Д
— Y(P
D.146)
В таком случае вакуумная амплитуда для трехчастичного обмена
выводится из выражения
~~ Т J du)p dm»»'dtOft SP [^i (— P') Ч| (—P) T°^i (- [*) |эфф (»» — TP) X
X тJ (р) тJ (р1) y°J2% (k) |эфф (- тп~ур')], D.147)
полученного путем преобразования выражения
D.148)
Снова его можно записать в виде
где теперь
-Bе2J j dM*d«>KA»{-К) 1^{К) Al(К), D.149)
> {К.) = \ йй)р йсор/ dcoft BяK 6 (ЛГ—р — р' — к)х
Х SP" { 1Ъ(Р + к)+тУ"+ГХ У(Лк) + тУ»] (те"^) X
а через Spn обозначен след, нормированный условием
Spnl = l. D.151)
Непосредственно проверяемая калибровочная инвариантность
связи D.149) приводит к тензорной структуре
Т^ (К) = (gliv + Mr.) / (Щ. D.152)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 425
Нам нужно вычислить скалярную функцию
'(Ор й(лр> dtOft BяK Ь{К — р — р' — к)х
X [тхт(р+ц + ,Т. +Tv.T(p>+t)+B>Ti] (-™-TP')} • D-153)
Матричные множители в квадратных скобках приводятся
с помощью имеющихся в формуле D.153) проекционных матриц:
* Y
2рк
1
D 154)
D-155)
В итоге матричное произведение в формуле D.153) принимает
вид
р'к ) У
Ухукуч , учукух 1 i т ,,„/\ // лкр\
п—; п—п— I \ '— "*¦ — VP I. l^t. 100/
2рк ' 2р к J v '^ ' v
Отметим специально появление здесь члена
v(_m_vp'), D.157)
соответствующего ожидаемой радиационной модификации меха-
механизма двухчастичного обмена, которая содержит инфракрасные
особенности.
В формуле D.156) содержатся два типа членов с парой мно-
множителей ук. Для одного из них имеет место равенство
(т-ур) yxykyv (~m — ур') =
= у%ук [2у%укур +{т+ ур) yvyxykyv] (— 1» — ур') = 0, D.158)

426 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
поскольку
у*-уку%ук = 2 (укJ = 0, D.159)
а комбинация
vVp^Vv = 4Afc D.160)
также приводит к нулевой величине (укJ. Для другого члена
имеем
уЬуку* (т—ур) yvykyx { — m—yp')-*-
-+ ykyv {m — yp) yvyky% ( — т— yp') v\ D.161)
поскольку эти комбинации дают один и тот же след. Далее,
ук (—4те — 2ур) ук Dт — 2ур') =
= Щук Dт — ур') ->- Ъкркр' D.162)
(на последнем этапе выполнена операция взятия следа).
Примером члена в формуле D.146) с одним множителем ук
служит величина
(m-yp)(^fF)yky4(-m-yp')r, D.163)
где уже учтено свойство цикличности следа. Если написать
Tv (—т — ур') у* = 2т + 2 (т — ур'), D.164)
то выражение^ D.163) разобьется на
^)к D.165)
D.166)
(при упрощении последней комбинации использовано наличие
проекционных матриц). Далее, след произведения нечетного
числа у-матриц равен нулю. Доказать это можно путем прямого
обобщения доказательства для ¦у~матРиЦы [формула B-6.79)],
основывающегося на ее антикоммутативности с уъ. Таким обра-
образом, для следа величины D.165) получаем
(^)к=о, D.167)
поскольку
SVnyAyB = -АВ. D.168)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 427
При вычислении же следа величины D.166) возникают комбина-
комбинации
Spn (т — ур) ук (т — ук') = — т Spn (урук + укур') =
= т {рк + р'к) D.169)
и
SPn (т - ур) (т - ур') = т*- рр' = \м'\ D.170)
След матрицы, входящей в формулу D.153), выражается сле-
следующим образом:
Он преобразуется к виду
WF + T №-M'Y -^ , D.172)
в котором он имеет много общего с выражением D.51) для частиц
со спином 0. В самом деле, при вычислении среднего значения
этой функции, необходимого для получения аналога выражения
D.66),
D.173)
не возникает никаких новых интегралов. Действуя так же, как
в случае спина 0, рассмотрим сначала область М — М' ^> ц,
в которой
=( м*—М'* I 1-у'2 L 1-у2 х(у')~ i_t,'2 J +
И-1- D-174)
Соответствующий вклад в множитель при коэффициенте а2/3ла
в формуле D.173) таков:

428 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
причем интеграл берется в тех же пределах, что и в формуле D.71).
Но здесь члены с инфракрасными особенностями не обращаются
в нуль при интегрировании, и мы их оставили в том виде, в каком
они есть.
Поведение в области М — М' ~ \i оказывается таким же,
как и в случае спина 0. Различие состоит лишь в том, что в al2y(M2)
вместо М2 — Am2 входит теперь М2 + 2т2, причем множитель 4
введен, чтобы заменить а2/12я2 на а2/3я2. Производя таким обра-
образом в формуле D.80) подстановку v-+ 1/2 C — v2), мы получаем
следующую добавку к величине D.175):
D-176)
о
В результате параметр ЬМ выпадает.
Влияние формфактора в случае частиц со спином V2 оказы-
оказывается чуть более сложным, так как в игру вступает связь с допол-
дополнительным магнитным моментом:
?F. D.177)
Это приводит к тому, что при вычислении следа величины, давае-
даваемой формулами D-3.20) и D-3.21), возникает комбинация
Spre ly»(m-yp) ъ(-т-ур')] = М* + 2т? -»
(rn-yp) х
х (рл»+-шгрямк) i-m-yp')] - D-178)
причем мы здесь опустили слагаемые с к11, учитывая соответствую-
соответствующий закон сохранения. Чтобы упростить выражение для связи
с магнитным моментом, мы опять воспользуемся алгебраической
основой этого закона, наличием проекционных матриц:
уку» = (ур + ур') у» _>- 2ту» — 2р» D.179)
и аналогично
YnY& = У» (.УР + УР') -* 2туц - %Рц, D.180)
где возникающую комбинацию ур можно затем заменить величи-
величиной —т. Это дает для величины D.178)
^F,F2 Spn [(m-yp)(-m-yp')) «
D.181)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 429
ИЛИ
D.182)
где мы сохранили только эффекты порядка а. Соответствующие
формфакторы таковы:
где [ср. с формулами D-4.68) и D-4.77)]
, , A + у'2) In [Dw2/tx2) (е/2/A — ь''2))] — 1 — 2t/2
$i/-sr±?r-, D.184)
о
и [формула D-4.75)]
F*(v)=-(i-*)p\to'-1?=?r=-{i-*)%(v). D.185)
о
Изменение величины
MV2>(Af2) = -^rj;-|-C-i;2) D.186)
дается выражением
D.187)
Как и в случае спина 0, мы сначала вычислим интеграл
1
(M2),
который служит мерой сдвига атомных энергетических уровней
за счет поляризации вакуума. Интеграл по v2 от величины D.175),
получаемый путем соответствующей модификации выражения
D.95), равен
D.188)

430 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
где аддитивная постоянная —2/3 возникает за счет интегрирования
тех членов D.175), которые не обладают особенностями:
- vY J dv'
о
| J
о о
= 2 j
о
В случае интеграла от D.176) заметим, что
1 »
1
1 1
о о
^ГСт+Т-}5']^1')- D.190)
о
Сумма интегралов от D.175) и D.176), из которой 8М выпадаем
оказывается равной
1
2 j ^^C-^)[A + ^)ХИ-1]1
1
J-#, D-191)
куда мы подставили численные значения всех интегралов типа
D.102),
j
о
Что же касается интеграла от D.187), то его вклад в множитель
при коэффициенте а2/3я2 равен
1
_2 (^)
о
1 i
dv v2y' (v) + 4 \
Jo
1
\ j /л ) 2\ I 2 2 /Q 2\ / \ I 1 '^ // 4 Q0\
0

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 431
где использовано главное значение интеграла
1
р \ dv—5 —L-— 1/2 — i/2M — v*)x(v). D.19o)
J у2 v2 3 v
о
Для суммы величин D.191) и D.192), из которой фиктивная
масса фотона полностью выпадает, получаем
1
о
1
14
3~ J a^XW — 7"
о
Учитывая, что
\ dv vz A + у2) C- у2) х (v) In у2 —
J
о
и
j dv A-4^ + 4-y»
0
мы в результате будем иметь
82 «2
7" Зл2
Относительное увеличение оказывается несколько меньшим, чем
в случае спина 0, но по-прежнему составляет около 1%. Адди-
Аддитивная постоянная в энергетическом сдвиге заменяется теперь
следующим образом:
где соответствующая единица [формула D-11.113)] равна 135,6|МГц.
В итоге расщепление 2я-уровня уменьшается на 0,24 МГц, и вме-
вместо последнего теоретического результата C.168) мы теперь имеем
Н: Е2$1/2-Е2р1/2= 1057,93 МГц, D.199)

432 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
что удивительно хорошо согласуется с номинальным эксперимен-
экспериментальным значением 1057,90 ± 0,10 МГц. Но еще раз напомним,
что мы не учли еще целый ряд эффектов.
Интегрирования, которые нужно выполнить, чтобы получить
а (М2) в явном виде, аналогичны тем, которые проводились в слу-
случае спина 0. То же относится и к результатам интегрирования —
подстановка v2 -> V2 C — v%) во всех слагаемых D.132), куда
входит этот множитель, дает нам точные аналоги соответствую-
соответствующих членов для частиц со спином 1/i:
D.200)
В предельных случаях мы имеем
^(^), D.201)
где опять вклад с а2 целиком обусловлен последним слагаемым
в фигурных скобках, и
= -grv + ^=^rv(l+-%-) , D.202)
где член порядка а2 обусловлен первой квадратной скобкой, обя-
обязанной своим происхождением формфактору. Действительно, мно-
множитель в формуле D.202) оказывается таким же, как и в случае
спина 0 [формула D.134)], что, впрочем, можно было ожидать.
Простая интерполяционная формула с несколько иным весом,
чем для частиц со спином 0, имеет вид
3 —и2 Г., , яа 3+у /я 3
Причина этого различия в весах становится ясной, если провести
следующее сравнение двух фигурных скобок в выражениях D.132)
Я D.200):
D.204)

§ 4. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ II | 433
Если воспользоваться интерполяционными формулами, заменив
весовой множитель 3/4 буквой К, то представленная выше раз-
разность примет вид
Тогда отождествление двух выражений при v <^ 1 даст нам вели-
величину
Х = -1-^±|- = 0O1, D.206)
которую мы для простоты заменили близкой ей дробью 3/4. Если
при вычислении интеграла D.197) применить интерполяционную
формулу D.203), то множитель при а2/я2 окажется равным
тогда как точный ответ таков:
|| = 1,012. . D.208)
Тут задает вопрос Гарольд.
Гарольд. Может быть, я это пропустил, но мне кажется, что
Вы не упомянули об аннигиляционном механизме рассеяния,
сопутствующем процессу кулоновского рассеяния, который был
рассмотрен Вами при расчете энергетического сдвига, обуслов-
обусловленного поляризацией вакуума.
Швингер. Позвольте мне иначе сформулировать этот вопрос
и тем помочь Вам припомнить. Модифицированную фотонную
функцию распространения мы представили ранее в двух формах —
в виде D-3.81),
и в виде D-3.83),
D+(k)=±+ j dM*-^^, D.210)
причем обе формы взаимосвязаны соотношением D-3.85):
fl . D.211)
\
Весовая функция а (М2) характеризует неприводимый процесс
взаимодействия, бесконечное повторение которого учитывается
28—0983

434 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
знаменателем в выражении D.209). С той точностью, которая
принята в данном параграфе, достаточно разложить дробь, пред-
представив ее в виде
J^ [W^]2 D.212)
Последнее слагаемое здесь и отвечает аннигиляционному взаимо-
взаимодействию, т. е. бесконечному повторению процесса двухчастично-
двухчастичного обмена. Как мы видим, оно не дает вклада при к = 0, т. е. в при-
приближении, которое делается при расчете энергетического сдвига.
Теперь можно спросить, каким образом этот вывод следует из
выражения D.210), в котором нужной нам величиной является
интеграл
^'ЛШ D.213)
поскольку повторение основного процесса взаимодействия, несом-
несомненно, описывается функцией А(М2), даваемой формулой D.211).
Укажем просто, что с требуемой точностью
\А (М2) « а (М*) + 2М2а (М2) Р j dM)z ^2(^,2 , (D.214)
так что действительно
D.215)
Кстати, я хотел бы обратить Ваше внимание на соотношение
D.214), представленное в форме
|gl]2a(Af2), D.216)
поскольку такое представление аналогично введению формфакто-
ров для более точного выражения вклада двухчастичного обмена.
Возникающий здесь формфактор представляет собой величину,
на которую нужно умножить D+ (к), чтобы получить D+ (к) при
к* = -АР:
1
—18
\__ie. D.217)
Соотношение D.216) — приближенное; точное же соотношение,
согласно формуле D.211), имеет вид
А (М2) = I F fa (M2). D.218)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 435
Такое соотношение имеет физический смысл, ибо весовая функ-
функция А (М2) есть мера вероятности и потому может быть построена
из квадратов модулей амплитуд вероятности испускания.
§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ
Электродинамика, в узком смысле этого слова, имеет дело со свой-
свойствами тех нескольких частиц, основные механизмы взаимодей-
взаимодействия которых носят электромагнитный характер. К ним отно-
относятся фотон, электрон (позитрон) и мюон (положительный и отри-
отрицательный). Имеется также два сорта нестабильных составных
частиц, экспериментальное исследование которых стало уже воз-
возможным: позитроний (е+е~) и мюоний (\i+e~). В давном параграфе
основное внимание уделяется позитронию. Позитроний — это
чисто электромагнитная система. Атомы позитрония обнаружи-
обнаруживают тонкую и сверхтонкую структуру, отражающую доскональ-
досконально изученные нами электромагнитные взаимодействия, а их неста-
нестабильность выражается только в распаде на фотоны. В противо-
противоположность этому в анализ мюония вовлекаются и слабые взаимо-
взаимодействия, связанные с образованием нейтрино:
\i+e~ -*• е+ + е~ + 2v.
Структуры позитрония оказываются почти нерелятивистски-
нерелятивистскими, причем соответствующий энергетический спектр грубо дается
формулой Бора с приведенной массой 1/2т. Энергии связи таковы:
i v I 1 в 6,8029 „ ,с ..
|?| = Ry = ^ эВ E1>
Эти состояния с главным квантовым числом ге = 1, 2, 3, ...
можно классифицировать далее по значениям квантового числа
относительного орбитального момента L =-0, 1, 2, . . ., спино-
спинового квантового числа 5 = 0, 1 и квантового числа полного
момента / = 0, 1, 2, .... Каждое определенное состояние
обозначается символом n2S+1Lj. Релятивистские эффекты и элек-
электромагнитные взаимодействия, отличвые от кулоновского притя-
притяжения, вызывают тонкое расщепление и сверхтонкое расщепление.
В отличие от случая водорода, где велико отношение масс, тонкая
и сверхтонкая структуры в позитронии по величине оказываются
одного и того же порядка. Особенно интересна тонкая структура,
основного состояния — расщепление между уровнями l3^ и 115г0.
Атомы позитрония, образовавшиеся в возбужденных состояниях,
переходят с излучением на один из сверхтонких уровней основ-
основного состояния. В конечном итоге они полностью аннигилируют,
превращаясь в фотоны. Мы начнем с того, что рассмотрим меха-
механизм аннигиляции.
28*=

436 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Характер фотонного распада позитрония определяется прави-
правилом отбора, связанным с понятием обращения заряда. Вообще
говоря, при обращении заряда (Q -*- —Q) данное состояние пере-
переходит в какое-то другое. В случае же электрически нейтральных
систем возникает еще одно состояние того же сорта, что и исход-
исходное, и можно ввести собственные векторы для операции обращения
заряда. Если у нас имеются две частицы с противоположными
зарядами, как в позитронии, то возможпы две комбинации заря-
зарядовых состояний, симметричная и антисимметричная, которым
соответствуют значения
rq = ±1. E.2)
Но результат полной перестановки всех характеристик двух
частиц зависит от типа их статистики; в случае частиц, подчиняю-
подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, должен меняться знак. При
перестановке пространственных координат в состоянии с орби-
орбитальным квантовым числом L сферическая гармоника, которой
определяется угловая зависимость, приобретает множитель (—1)L
{ср. с формулой B-7.21)]. Что касается спиновых функций, то
триплетное состояние симметрично, а синглетное — антисиммет-
антисимметрично, и потому им отвечает множитель — (—l)s. Итак, статисти-
статистика Ферми — Дирака для электрон-позитронной системы находит
свое выражение в равенстве
-1 = rq [- (-1)8] (_1)ь E.3)
откуда
г, = <-1)Ь+Я. E-4)
Следовательно, состояние 15г0 симметрично по заряду (г, = +1)>
а состояние 3S1 антисимметрично по заряду (rq — —1).
Состояние системы из п фотонов описывается произведением п
источников, испускающих или поглощающих эти частицы. Посколь-
Поскольку каждый фотонный источник (ибо это электрический ток) изме-
изменяет свой знак при обращении заряда, зарядовая четность ге-фо-
тонного состояния дается формулой
rq = (-1)п. E.5)
Поэтому, если потребовать, чтобы зарядовая четность сохраня-
сохранялась во времени, то состояние 115г0, для которого rq — +1» будет
распадаться на четное число фотонов, с наибольшей вероятностью
на два (п = 2), тогда как состояние l3^ должно распадаться
на нечетное число фотонов, преимущественно на три, поскольку
испускание одного реального фотона исключается. Вследствие
такого подавления механизма распада состояния *St скорость
распада последнего должна быть значительно меньше, чем в случае
позитрония 11

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 437
Заслуживает внимания и еще один вопрос, касающийся отра-
отражения рассматриваемых состояний. Речь идет о пространственной
четности. Согласно формуле B-6.39), матрица пространственного
отражения имеет вид
rs = iY°, E-6)
т. е. внутренняя четность частицы, для которой в системе покоя
7°' = +1, равна i. Это ее значение (которое с тем же успехом
можно было бы положить равным и —i) никак не связано со зна-
значением электрического заряда. В случае же состояний позитро-
позитрония, образованного из двух частиц, для внутренней четности
имеем (±iJ = —1) и никакого произвола здесь не остается. Эта
величина комбинируется с орбитальной четностью, которая
в состоянии с квантовым числом момента L равна (—1)L. В итоге
для полной пространственной четности получаем
Р = _ (_i)L E.7)
Чтобы согласовать нашу символику с общепринятой, мы в даль-
дальнейшем будем обозначать зарядовую четность через С:
С = (—1)ь+». E.8)
Отметим также, что
СР = — (_l)s. E.9)
В той мере, в какой С и Р или по крайней мере произведение СР
являются точными квантовыми числами, различие между синглет-
ным и тршшетным спиновыми состояниями строго сохраняется.
Синглетный позитроний иногда называют также парапозитронием,
а триплетный — ортопозитронием.
Для 5-уровней, составляющих основное состояние грубой
структуры, мы имеем Р = —1, чем и определяется внутренняя
четность двухчастичной системы. Следовательно, частица типа
15г0, с нулевым полным моментом и отрицательной четностью,
будет описываться псевдоскалярным полем Хц>), а частица типа
3SU с единичным моментом и отрицательной четностью,— век-
векторным полем (фц). Феноменологически двухфотонный распад
позитрония 1S0 описывается калибровочно-инвариантной связью
ф(-т)
И в самом деле, мы уже встречались с подобной связью псевдо-
псевдоскалярного типа в формулах C-13.75) и C-13.76). Как указыва-
указывалось там, при такой связи два фотона обладают взаимно перпен-
перпендикулярными поляризациями. Для системы с единичным спином
возможны две калибровочно-инвариантные связи, а именно:
E.11)

438 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
И
( -1) V**1*. E.12)
Они Соответствуют двум способам, которыми можно образовать
комбинацию из пары фотонов, инвариантную по отношению к че-
четырехмерным вращениям. Ниже мы выведем точную комбинацию,
отвечающую ортопозитронию, и покажем, что в природе двух-
фотонной и трехфотонной связей имеется глубокое различие.
Скорость распада парапозитрония можно быстро найти из
сечения аннигиляции свободных частиц а, даваемого формулой
C-13.74). Чтобы применить последнюю к аннигиляции в синглет-
ных состояниях, следует отбросить в ней множитель 1/i, который
возник при усреднении по всем ориентациям спина. Тогда ско-
скорость аннигиляции получается умножением 4о на относительный
поток частиц, равный v | г|) @) |2, где \|) — нерелятивистская вол-
волновая функция относительного движения. Чтобы отразить и усло-
условия протекания релятивистского процесса аннигиляции, ее нужно
взять в начале координат. Итак, для скорости распада имеем
выражение
Тп15 = 4я ? | 4>nS0 P = -2^r <x*m, E.13)
поскольку
где а — боровский радиус позитрония, определяющийся равен-
равенством
Отсюда для времени жизни основного уровня парапозитрония
получаем
= 4-^ = 1,245.10-1» с, E.16)
ибо в соответствии со значением энергетической единицы D-11.113)
i 1. E.17)
Воспроизведем теперь этот вывод исходя из феноменологиче-
феноменологической связи E.10), получаемой из формулы C-13.75). Входящее
сюда произведение полей вида \|з (х) ф (х1) следует заменить двух-
двухчастичным полем \|з (хх') для системы без взаимодействия. Поле
данного атома парапозитрония имеет весьма простую природу —
оно нерелятивистское. Для двух спинорных индексов мы эффек-
эффективно имеем у0' = +1; зарядовые индексы в этом состоянии

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 439
с С = 1 включаются в симметричную нормированную функцию
2-1%,-д'-, E.18)
нормированная же спиновая функция антисимметричного синглет-
ного состояния равна
2-1/20бо, _„-. E.19)
Имеются также нормированная (равновременная) волновая функ-
функция относительного движения \|з (г) и волновая функция движения
центра масс [ср. с формулами A.113) и A.116)], которая в системе
покоя имеет вид
D mdatpf* exp (iPx) = [-j^"]1'* е*Р (-#тж°), E-20)
так как масса позитрония очень близка к 2т. Заметим, наконец,
что в условие нормировки для двух тождественных частиц входит
множитель 1/2, который включается для того, чтобы не учитывать
их дважды. Таким образом, поле, ассоциируемое с одним конкрет-
конкретным атомом, равно
21/2 [р-г%, _,.] [2-1/2(Гба, _И i|> (г) Dm AopI/2 exp (iPz), E.21)
где подразумевается, что у0' — -\-1. Далее, антисимметричная
матрица y°y5 антикоммутирует с у0, но коммутирует с зарядовой
и спиновой матрицами. Поэтому она связывает равные значения у0
и противоположные значения зарядового и спинового квантовых
чисел, поскольку все соответствующие матрицы антисимметричны.
Примером тому могут служить равенства
В подпространстве с у0' — +1 антисимметричная матрица y°Y5
сводится к одо, -ч>, если не считать фазового множителя, фигури-
фигурирующего в формуле C-13.72), где используются индексы спираль-
ности. Этот результат эквивалентен следующему:
1г|) (х) Y°Y54> (х) - 2~1/2 [21/г] [21/а] ф @) DтI/а Ф (х) =
E.22)
где для описания движения центра масс введено феноменологи-
феноменологическое поле парапозитрония ф (х). Тем самым член взаимодейст-
взаимодействия C-13.75) заменяется величиной
J №)<!(х)Е(х).И(х). E.23)

440 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Ей соответствует скорость распада
Ynapa = ;DяаJ J_ | ^ @) |2 j d(Oft d(Ofe, BяL fi (A + ft' - />) =
i E-24)
совпадающая, естественно, с величиной E.13).
Вакуумная амплитуда, описывающая трехфотонный распад,
равна [ср. с формулой C-12.24)],.
i \ j (dx) (dz1) (dz") ф (x) y°eqyA (x) G+ (x-x1) X
X eqyA (x1) G+ (x' —x") eqyA (x") \|з (х"). E.25)
Выделим коэффициент при произведении U%% iJt'%> iJ%»%», в ко-
котором поле частицы берется в виде \|з exp [ipox] при условии р% +
+ т? = 0:
iez [ \ (dx) exp [i Bро—к — к' — к") х] ] (da>h da>k. dcoft»I/2 ~ \jpyoeq X
E.26)
(это выражение соответствует лишь одному из шести возможных
способов расстановки трех фотонов). В приближении свободного
движения частиц мы имеем]
(уро + т) ф = 0, t|>v0 (уро - я») = 0, E.27)
причем в дальнейшем для всех фотонов принимается калибровка
Рое = 0. E.28)
В итоге приходим к подстановкам
\|5VV И — V (к~ Ро)] = ^Y° (m~ УРо) уе — $у°уеук=
= ЦуЧо^кч E.29)
и
[в*—V (ft—AT)] V«"+ = yf^ye'^ + ye" (m + yp0) t|>= io^^, E.30)
благодаря которым взаимодействие магнитного момента с электро-
электромагнитным полем выступает теперь в явной форме. Запишем
последнее в трехмерном виде
tfH-V^a-exk — у5о-ек°, E.31)
где использовано соотношение
'' E.32)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 441
или, иначе,
Y = 1у°уъо E.33)
и учтено условие калибровки E.28) в системе покоя импульса р0.
Выражение в фигурных скобках в формуле E.26) теперь можно
развернуть следующим образом:
X k + V5g-efe°a-e' (a-e" х к"-у5о.е"к°") + (в-е'' X
X к"+уьо.е"к°") а-е'(а-е хк — у5а-ек0)] +цикл. перест., E.34)
куда результат перестановки к, е и к", е" входит в явном виде.
Всевозможные спиновые произведения приводятся с помощью
соотношений
аА —2ACa.B E.35)
и
а-Аа-Ва.С —a.Ca-Ba-A=2iAxB-C. E.36)
Последняя комбинация входит в виде произведения с уъ. Однако
получающаяся в результате структура \\>y°eqy°ty из дираковских
полей при принятых допущениях не дает никакого вклада. Это
вытекает из уравнений E.27), комбинируя которые имеем
О = \^у°ед (YPo + m) t|> + tV° (УРо — m) eq\\> =
= —2mt|)Y°eg7°i|), E.37)
где последняя форма записи относится к системе покоя вектора р0.
В итоге для E.34) возникает следующее выражение:
— е-е"у-е')]+цикл. перест. E.38)
Результат сложения трех циклических перестановок особенно
прост в случае второй совокупности членов в формуле E.38)г
которые дают симметричную комбинацию g
кок°'к°"(е-е'у-е" + е'-е"у-е + е"-еу.е'). E.39)
В элементах е X к и ек° мы узнаем векторные характеристики
магнитного и электрического полей, ассоциируемых с одним
определенным фотоном. Действительно, в формуле E.38) мы
имеем комбинацию отдельных фотонных полей, порождаемую
полной полевой структурой
i Y-H. E.40)

442 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Отождествив с точностью до множителя величины уУ
и доФь — dftcp0, мы придем к некоторой линейной комбинации
двух величин вида E.11) и E.12). Несколько неожиданно для
нас появление в этих феноменологических выражениях дополни-
дополнительного множителя (крок'рок"р°)~1, фигурирующего в форму-
формуле E.38). Он представляет собой некий формфактор, связывающий
нелокальным образом поля фотонов с полем ортопозитрония.
Ретроспективно мы можем усмотреть, что двухфотонная ампли-
амплитуда вероятности, выраженная через напряженности поля, тоже
содержит множитель {крйк'р0)~1, однако последний определяется
исключительно кинематикой. Напомним, что интуитивные пред-
представления, ассоциируемые обычно с феноменологическими связя-
связями, относятся к системе, обратные размеры которой велики срав-
сравнительно с импульсами возбуждений, испускаемых или поглощае-
поглощаемых ею. Здесь же мы имеем противоположный случай, так как,
•согласно соотношению E.15), величина Ма гораздо меньше т —
характерной для процесса аннигиляции единицы. Соответственно
этому и имеется нелокальность в масштабе т.
Важная роль формфактора становится особенно ясной при
переходе к пределу, когда энергия одного фотона стремится
к нулю и тем самым имитируется физический процесс, в котором
наличие однородного магнитного поля вынуждает атом ортопози-
ортопозитрония распадаться с испусканием двух фотонов. Сингулярный
характер предела нулевой энергии указывает на вековой рост
амплитуды со временем, который реально ограничивается конеч-
конечным расщеплением между основными уровнями ортопозитрония
и парапозитрония и составляет основу для измерений этой вели-
величины. Если обозначить такое однородное поле через Но, то поле-
полевая структура, получаемая из E.40), будет иметь вид
EY-H, E.41)
или
EHYH0-(ExH) (YH0). E.42)
Последнее слагаемое не дает вклада в двухчастичный обмен —
здесь импульсы фотонов равны по величине и противоположны
по направлению, а поэтому
е X (е' X к') + е х (е X к) = - (к + к') е-е' = 0. E.43)
Оставшаяся часть в точности совпадает с псевдоскалярной связью,
которая описывает двухфотонный распад парапозитрония. Такой
Индуцированный распад имеет место для атомов ортопоэитрония,
которые поляризованы параллельно магнитному полю или, дру-
другими словами, имеют нулевое магнитное квантовое число отно-
относительно направления магнитного поля. Мы пришли к случаю
смешивания парапозитрония и ортопозитрония, вызванного маг-

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 443
нитным полем. Он обычно исследуется методом атомной теории
возмущений. Некоторые детали последней, в том числе отказ
от ограничения случаем слабого магнитного доля, мы рассмотрим
позднее.
Приступая к вычислению скорости трехфотонного распада,
рассмотрим определенное состояние системы типа 3S1 (С = —1),
имеющее, как и выше, нулевое магнитное квантовое число отно-
относительно некоторого произвольного направления с единичным
вектором v. Соответствующее ему поле, аналогичное полю E.21),
имеет вид
2V2 {2-lhqbq, _,-] [2-1/2бО) _„.] ф (г) (AmdwPI/2 exp (iPz), E.44)
так что
-g- if (х) VV Y* (*) -»- 23/2m1/2i|) @) vq> (х). E.45)
Отсюда для скорости распада получаем
1 1С
Yopto = DлаK -^j-1 i|5 @) |2 -g- j d(dk dah> d<av> X
X BпL б (к + fr+k" - P) 2 ВЛ* I2, E.46)
где
M = (e X n • e' + e' x n' • e) v • e" +
-f-(e»e' — e X n-e'X n') у-е" + цикл. перест., E.47)
причем n — единичные векторы, задающие направления распро-
распространения фотонов, а суммирование в формуле E.46) проводится
по всем возможным поляризациям. Множитель У6 включен для
того, чтобы не учитывать один и тот же фотон по нескольку раз.
Поскольку окончательный результат не зависит от вектора v,
сначала удобнее провести усреднение по его направлениям.
Суммирования по поляризациям выполняются с помощью диад-
ного соотношения
2 ее =2 exnexn=l— nn, E.48)
е е
которое выражает полноту совокупности двух векторов е и век-
вектора п. Примеры вычисления подобных сумм таковы:
2
ее'е"
e'xn'.eJ(e"xn"J =
= 22 [(exn-e'J + (e'xn'-eJ+2exn.e'e'xn'.e] =
2
ее'
= 22 [l-(n'.exnJ + l-(n'.eJ-2n.n'] = 4(l-n.n'J E.49)

444 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
И
2 (e.e'-(exn).(e'+n')J(e"J =
ee'e"
=2 2l(l—n-n'J(e.e'J+(e-n'J(e'-nJ+2(l—n-n')e.e'e.n'e'.n] =
ее'
e
— 2A— n-n')n-n'(n'-eJ] = 4(l— n-n'J. E.50)
Члены всех других типов взаимно уничтожаются, и в итоге
мы приходим к равенству
2|М|2=8A-п.п'J, E.51)
записанному в несимметричной форме, но это несущественно
ввиду эквивалентности всех фотонов по отношению к интегриро-
интегрированию. Итак, на данной стадии расчета мы получаем
Vopxo = DлаK -^ | \р @) |2 -g- j dak da>h. dah» x
X BлL б (ft + к' + ft" - P) A - n • n'J. E.52)
Представим 1—n-n' в инвариантной форме:
кк' [кк'
1— n-n'= — 4m2 крк,р = — im2 {Ш+кГ)[к?+к>г) - E.53)
и сгруппируем два фотона в одну систему с массой М:
\ dah dwk. d(ok» BлL б (к+ к' + &"— Р) =
= j dak d©h» BяK б(к + к' — К) dM2 x
X douKdQuk» BлL б (К + к" — Р), E.54)
где
М* = - (ft + &'J = —2ft*' E.55)
и
BтJ - - (Я + /с"J = Мг-2Кк". E.56)
В системе покоя' импульса .ЙГ мы имеем
j dak dak' BлK б (*+ ft' — К) A -n.n'J =
—(S55 J 2"
4m2 4
E57)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 445
где z — косинус угла между векторами к = —к' и к". Выполняя
интегрирование по z, получаем
[1 ^w2 1
«* .. * *. E.58)
Dm2+M2) Dт2-М2) ^ 2 4т2Л/2 J v '
Далее, поскольку
(^), E.59)
оставшийся интеграл пропорционален величине
J Г 1 4т2
Г 1 4т2 -|
I а~М*~ ¦ 1 1
L Dт2+М2) Dт2-М2) ^ 2 4т2М2 J
= J HtT+V^Tr+TH+iorJ' E>60)
о
в которой
Последовательные интегрирования по частям дают для последнего
интеграла
Ь*тт1Г1пт-т=-ш-(я2-9>' <5-62>
где проведено еще одно интегрирование по частям и использовано
равенство D.115):
Собирая все это вместе, мы для скорости распада находим
^^(^-д)±.^т, E.64)
откуда для времени жизни основного уровня ортопозитрония
получаем
Чтобы найти энергетический спектр позитрония , применим
прежде всего результаты § 2, в частности выражение B.134) для
энергетического оператора в системе покоя, причем теперь мы

446 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
имеем
Это дает
иг е4= — ег — е. E.66)
1 /ч g^rffa-r ff^ffz \ 2я 1 _в/\\ ,rfi7v
-тр-13—f^ ^-)—r^°»-a26W;- E-67>
Простейший случай — синглетные уровни парапозитрония, для
которых эффективно выполняется равенство
°i + о2 = 0, E.68)
так что выражение E.67) сводится к виду
——5(^)
Чтобы найти первые отклонения от грубой структуры, т. е. от
спектра нерелятивистского оператора энергии
¦?—j = T + V, E.70)
мы воспользуемся формулой B.148), заменив в ней т на Чйт
в соответствии с тем, что эта величина ведет свое происхождение
от нерелятивистского оператора энергии [преобразование B.144)].
Вытекающее из нее следствие
^ E.71)
позволяет нам представить среднее значение оператора E.69)
в форме
Ярел-2т = Янерел + ^<2{2\ 7} + У2-Г2). E.72)
Исключив потенциальную энергию, получим
B {Т, V} + V2 - Г2) = Я^ерел + 2Я„ере„ (Т) - 4 (Г*) =
= -Я?ерел-4<Г2>, E.73)
так как, согласно соотношению B.152), в кулоновском поле
E.74)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 447
Мы знаем также, что в состоянии с орбитальным квантовым чис-
числом L имеет место равенство
получаемое из равенства B.155) путем подстановок I -*- L, т ->¦
-*¦ Vam. Результатом является следующее выражение для первых
членов степенного разложения тонкой структуры парапозитрония:
_г(ТТ77-_тв;-). E.76)
Отметим, что формула B.163) с приведенной массой, если поло-
положить в ней М = т, ц = 1/2"г и j = L, воспроизводит этот резуль-
результат с точностью до числового коэффициента 11/1в. [Он получился
бы совсем правильным, если бы в согласии с принятым в форму-
формуле B.163) приближении М ^> т мы заменили бы в ней последнее
слагаемое на — ц2а4/8 (М + т) га4.]
Спектр ортопозитрония оказывается значительно более слож-
сложным. Здесь мы должны принять во внимание спин-орбитальный
член в формуле E.67)
_3_ a (ffj + <r2)-rxp _ 3 а S-L
4 т2 гЗ ~ 2 т2 гЗ '
а также входящую туда тензорную спин-спиновую связь
При заданном квантовом числе /, принимающем в общем случае
значения J — L -\- I, L, L—1, достаточно вычислить среднее
значение оператора E.77) в состоянии nLJ:
Мы имеем
и, согласно формуле D-11.107) при ао-+2ао,
I
E.81)

448 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
В частном случае, когда / = L — 1, 2, . . ,$ спин-орбитальный
энергетический сдвиг равен
/3 a L-S\ __JLJL/_L\ —
\2ffl» гЗ /njj ~ 2 т2 \ гЗ /nj —
= _ 3 afm 1 E.82)
16 ге3 ' 1 ч '
Тензорное взаимодействие E.78) сложнее спин-орбитальной
связи, ибо оно может изменять орбитальный момент, сохраняя
в то же время орбитальную четность (—1)L, а тем самым может
приводить к смешиванию двух типов состояний с L = J ± 1.
Поскольку при J = L никакого смешивания нет, в подобного
рода состоянии спин-угловой множитель
3(S-nJ-S2, n=y, E.83)
должен иметь некоторое собственное значение. В соответствии
с двумя возможностями для единичного спина
(S-nJ' = 1, 0 . E.84)
указанная комбинация обладает только двумя собственными зна-
значениями:
[3 (S-nJ - S2]' = 1, -2. E.85)
Чтобы установить, какое из них правильное при J = L, доста-
достаточно провести качественные рассуждения, которые асимптоти-
асимптотически, при больших L, становятся вполне строгими. Собственные
значения E.84) соответствуют двум случаям, в одном из которых
спин S параллелен (или антипараллелен), а в другом ортогонален
вектору п. Поскольку единичный радиус-вектор п ортогонален
вектору L, в первом из двух возможных вариантов, указанных
в формулах E.84) и E.85), векторы L и S взаимно ортогональны.
Собственные значения оператора L • S, представленные в фор-
формуле E.80), таковы, что при L ^> 1 значениям / = L + 1, L, L —1
соответствуют значения 1, 0, —1 величины (L-S)VL. Следова-
Следовательно, асимптотический случай L-S ~ 0, в котором собствен-
собственное значение оператора E.83) равно 1, мы имеем при J = L.
Естественно, собственное значение 1, которое получается при
/ = L, можно вывести и более формальным путем, который не
столь уж долог, но тогда останется непонятным, почему возникает
именно это собственное значение. В итоге формула E.78) дает
энергетический сдвиг
a
16
г5 г
. . E.86)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 449
Складывая величины E.82) и E.86), мы для состояний ортопо-
зитрония 3Jj, отличных от состояния S, получаем следующее
энергетическое смещение по отношению к уровням парапозитро-
ния lJy.
Eopi0{nJJ)-Emia(nJJ)= —4--^—7 П • E>8?)
Простейшим примером смешанных состояний ортопозитрония
могут служить состояния SS1 + 3Di и 2Р2 -{- 3F2, причем, если
мы требуем, чтобы смешивание было ощутимым, оба орбитальных
состояния должны принадлежать одному и тому же уровню грубой
структуры. Следовательно, пр^ п = 1, когда имеется только
L = 0, и при п = 2, когда L — О, 1, подобное смешивание невоз-
невозможно. Поскольку все имеющиеся экспериментальные данные
ограничиваются случаем п = 1, мы никаких дальнейших дета-
деталей, касающихся смешивания уровней, приводить не будем.
Орто-пара-расщепление основного iS-уровня целиком обусловлено
последним слагаемым в формуле E.67). Вспоминая, что
E88)
= 0: -3, E'88)
мы получаем
Яорто -Япара = 4р -?" | * @) |2 = | <*ГП- E.89)
Такой же результат дает и формула сверхтонкой .структуры
D-17.16), если положить в ней Мр = т, Z = 1, S = V2, gs = 2.
Но даже с принятой здесь точностью проблема еще не исчерпы-
исчерпывается.
Ортопозитроний, для которого С = —1, распадается на три
фотона, так как его превращение в один реальный фотон запре-
запрещено кинематикой. Но он может испускать или поглощать один
виртуальный фотон, что приводит к дополнительному смещению
относительно парапозитрония. Обмен виртуальным фотоном опи-
описывается взаимодействием
W = I j (dx) (dxr) f (x) D+ (x-x') /ц(a:'), E.90).
в котором, как результат сформулированного ковариантным
образом соответствия E.45),
f (х) -+ е23/*т1/г\р @) </ (х). E.91)
Поскольку аннигиляционный механизм представляет собой обмен
массой 2т, мы эффективно имеем
ехрЖ^И ^__?_Нх_хг E.92)
29-0983

450 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
и аннигиляционная связь принимает вид
И'анниг = ~ ~ I * @) |2 { (At) 4 Ф" (*) Фц (*) =
= J (Ас) [ - биг*рто1 фи (ж) ф|4 (х)] , E.93)
причем последней записью устанавливается феноменологическая
интерпретация этого члена как массового сдвига. Следовательно,
8лгорто = (?орто — ?пара)аНниг = ~^Г I Ф @) |2 = -J СС^ТП, E.94)
так что полный результат, заменяющий E.89), таков:
Яорто-ЯпаРа= (т + т) «4™=4 «2 % = 2,0439-10* МГц. E.95)
Последнее же экспериментальное значение равно
Яорто-ЯпаРа = B,0340 ± 0,0001)-10» МГц. E.96)
Согласие с точностью в полпроцента можно считать вполне удов-
удовлетворительным, тем более что должны существовать теоретиче-
теоретические поправки относительного порядка а.
Но прежде чем переходить к этим поправкам, выполним наше
обещание и рассмотрим вопрос о смешивании ортопозитрония
и парапозитрония под влиянием магнитного поля. В iS-состоя-
ниях относительного движения связь с магнитным полем обуслов-
обусловлена целиком спиновыми магнитными моментами. Энергия такого
взаимодействия при определенном выборе зарядовых индексов
имеет вид
—sr@i-0«)-H- E-97)
Из антисимметрии по двум спинам вытекает равенство нулю
среднего значения этого оператора в синглетном и триплетном
состояниях. Действительно, единственным результатом взаимо-
взаимодействия E.97) оказывается то, что мы и ожидали,— смешивание
состояния 1S0, С = 1 с состоянием 3iS1, С = —1. С состоянием 1S0
связан только магнитный уровень состояния 3St с m = 0, так
как проекция момента на ось z, т. е. на направление магнитного
поля, продолжает сохраняться. Матричный элемент можно вычис-
вычислить, заметив, что справедливо равенство
(о, -о,),]» |» S) = <i? | (о, -о2)г |3 S) CS | (о, - аа)г | »5) = 4, E.98)
поскольку в синглетном состоянии ot -[- о2 дает нуль. Соответ-
Соответственно этому при подходящем выборе фазы субматрица опера-
оператора энергии для двух наших уровней имеет вид
Япара -еН/т\
, — еН/т

§ 5- ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 451
Ее собственные значения таковы:
Е = ~ (Еорт + Япара) ± [j (^орто-^параJ+ (еЯ/^J]1/2 , E.100)
тогда как амплитуды двух состояний, определяемые уравнениями
для собственных векторов и условием нормировки, даются фор-
формулами
ИЛИ
Эти амплитуды позволяют нам вычислить скорость распада сме-
смешанного состояния:
V= I Фпара Р Vnapa + l^opTO |2 VopTO- E.103)
В случае слабых магнитных полей, когда
еЯ/т<4-А^, E.104)
где
A? = ;?OpTO-,Enapa, E.105)
собственные значения энергии равны
Е Ш ЕОрто~\ Tg—» "пара Tg—• E.10Ь)
Соответственно двум этим альтернативам, т. е. возмущенному
ортоуровню и возмущенному парауровню, мы имеем
E.107)
И
Скорости распада данных состояний таковы:
V « Vopto + ("^д^-) 2 (Vnapa — Vopxo) E.109)
И
V» Vnapa —(-Лр ) (Vnapa—Vopro)- E.110)
Первая из формул показывает, что скорость распада возрастает
за счет индуцированного процесса двухфотонного испускания.
29*

452 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Это и есть тот самый механизм, который мы учитывали раньше
качественно, вводя формфактор, соответствующий трехфотонному
распаду. Результаты, которые мы получили здесь методом теории
возмущений, применимы в общем случае магнитного поля с произ-
произвольной напряженностью. В частности, в пределе сильного поля,
когда неравенство E.104) меняется на противоположное, мы
имеем фпара = -Рфорто» так что обе скорости распада стремятся
к одному и тому же пределу, равному среднему арифметическому
lU (Тпара + 7орто)-
В качестве первого шага к вычислению модификации порядка а
в орто-пара-расщеплении энергии мы рассмотрим однофотонный
обмен аннигиляционного механизма. В соответствующий расчет
входят совместно два элемента: примитивное взаимодействие,
описывающее взаимопревращение фотона и электрон-позитронной
пары, и фотонная функция распространения. Для последней
мы должны взять модифицированное выражение
о
а примитивное взаимодействие нужно изменить в соответствии
с обобщением его на случай наличия формфакторов:
уА (к) -> F, (к) уА (к) + ?-±г F2 (к) aF (к). E.112)
Эффекты, связанные с функцией распространения, можно рас-
рассчитать сразу же. Вычислив ее при к2 — —im2, получим
так что аннигиляционный вклад в орто-пара-расщепление умень-
уменьшается, приобретая множитель
1-4-2-. E.114)
Обращаясь к связи с дополнительным магнитным моментом,
которая появилась в формуле E.112), отметим, что
oF(k) = ±[-yk,yA(k)]. E.115)
В системе покоя процесса рождения мы имеем, например,
—ук = 2ту° E.116)
и
ф*/ = у*, у°у* = _ф*. E.117)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 453
Это означает, что примитивное взаимодействие умножается на
эффективный формфактор
Компоненты этого формфактора, в которых для нас существенна
только действительная часть, даются формулами D.183) — D.185):
так что мы имеем
Fe=i—?[f(v) + B-v*)x(v)]. E.120)
В интересующем нас нерелятивистском случае (v <С 1) функ-
функция % (v) сводится к единице, а в силу равенств D.87) и D.89)
можно написать
согласно формуле D.131) в пределе малых v, когда
1
E.121)
^ E.122)
Отметим, что на данном уровне точности масса фотона, этот при-
признак инфракрасных особенностей, в формулы не вошла. В итоге
модификация за счет процесса однофотонного обмена будет опи-
описываться множителем
В комбинации 1 + (na/2v) можно узнать функцию, возникающую
при нерелятивистской оценке | гр @) |2 для свободных частиц
[см. формулы D.135) и D.138)]. Но исходный расчет уже пред-
предполагает её замену оценкой, соответствующей связанному атому
позитрония. Поэтому истинная поправка на рассматриваемый
эффект определяется вторым сомножителем в формуле E.123),
равным
*—-it- EЛ24)
Следовательно, полное изменение орто-пара-расщепления, обус-
обусловленное однофотонной аннигиляционной частью, дается мно-

454 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
жителем
Теперь, когда уровень точности описания изменяется соответст-
соответственно дополнительному множителю а, следует учитывать также
двухфотонные процессы типа аннигиляционного механизма пара-
позитрония. Эффективный двухфотонный источник в данном слу-
случае равен
U» (х) Г (х1) |эфф =4 е* [i|> (s) YVG+ (х- х') V^ (*') +
х1) Y>y"G+ (x' - х) у^ (х)), E.126)
а вакуумная амплитуда, описывающая двухчастичный обмен,
получается из выражения
¦ I j (dx) . . . (dx'") iJ» (X) Jl (X') |эфф X
X D+(x-x")D+(x'~x"')iJ2ll(x")J2v(xm)\m. E.127)
При анализе этой связи мы можем воспользоваться либо кау-
каузальным, либо некаузальным методом расчета. Последний позво-
позволяет добиться некоторых упрощений за счет специфики состоя-
состояния lS, и поэтому мы обратимся к нему, заменив E.127) соответ-
соответствующим выражением в импульсном представлении:
2 J (F1F
Xi/2ll(fc)/2v(fc')|3i$. E.128)
Пространственно-временная структура полей частиц такова:
ф, (ж) = exp ( — f-| р1Я;) ф*, iM*) = exp(ji-p2*)i|>, E.129)
причем в системе покоя позитрония
р\ = р\ж2т. E.130)
Следовательно,
X[> г—Л—; Tv + Tv ; V^ T^lf E-131)
-» J
iJl (к) Л (к1) | эфф = BяL 8(к + кг- р,) 2na$y» X
Гу» ^_ Tv + Tv_ 1 yx-U. E.132)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 455
В силу ограничений, налагаемых на импульсы дельта-функциями,
у нас фактически имеется только один четырехмерный импуль-
импульсный интеграл. Чтобы записать его, произведем замену перемен-
переменных (р1 = р2 = р)
к-^^р + к, к'-^^-р-к, E.133)
в результате которой выражение E.128) приводится к виду
(—ге подразумевается)
-
X W[y, ^S7v + Tv 5±g 7,] ¦¦ E-134)
Свойства ^-состояния таковы, что можно образовать лишь псев-
псевдоскалярную и псевдовекторную комбинации полей частиц. Произ-
Произведение трех 7"матРиЦ в формуле E.134) удовлетворяет этому
требованию, так как
xT5) E.135)
где многоточием обозначены другие слагаемые, содержащие по
одной 7-матрице. С учетом такого упрощения получаем, что вели-
величина E.134) равна
X (к^ - kyb,) \|J*vW5^*^70VvT5^; E.136)
при этом использовано соотношение
ZUx E.137)
Отметим, что наша система имеет спин 0, и благодаря этому псев-
псевдовекторная комбинация оказывается пропорциональной градиен-
градиенту псевдоскаляра, а именно:
tYVYsf = —|jr WW E-138)
В справедливости данного равенства можно убедиться в системе
покоя вектора р, где из соотношения y°ty = г|з и из антисимметрии
матрицы у0 следует, что полевая структура, содержащая матри-
ДУ УьУы которая коммутирует с у0, равна нулю. Точно так же,
но с учетом равенства гр*7° = гр*, можно убедиться в справедли-

456 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
вости соотношения
ПФУбГ=>^-ФУъГ- ' E-139)
В качестве конкретного следствия укажем, что
^VyWWy^ = 4'*T°Ye4'*4VT54'- E.140)
Чтобы вычислить импульсный интеграл E.136), воспользуем-
воспользуемся представлением
1 1 1
. 1 \2 / 1 \
+тр) (к-тр)
оо
= f dsj ds2 ds3 s3 exp [ — г^ ( fe + -^ p) 1
о
Xexp[ — is2(k — -j p} Jexp[— is3(k2 + m2)
oo 1 1
= \ ds s3 I du и A — и) \ ~2-dv exp | — is\ -— и (к
0 0 -1
|pJ + A — w)(fc2 + ™2)]} • E.141)
Учитывая равенство
p2 = _4те25 E.142)
мы для множителя при коэффициенте —is в экспоненте получаем
выражение
2. E.143)
После этого возникает следующий основной интеграл по импуль-
импульсам:
-^. E-144)
где использованы импульсные интегралы D-8.57) и D-14.75).
Применительно к нашему случаю имеем
Jr . E.145)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 457
Вследствие безвихревого характера вектора E.138) комбинация
P2#nv — PuPv вклада давать не будет. В итоге мы эффективна
получаем
11Lfb2«, frfc>
oo 1
0 0 0
Xexp[ — ism2(l — 2u+u2v2)) = i-~rrYSnV^rI, E.146)
/= f duu(l-u) [ dv-.—o / „ ,—— . E.147)
где
Если применить равенство E.140) и учесть соответствие E.22),
которым вводится псевдоскалярное поле, то вакуумная амплиту-
амплитуда E.136) примет вид
8-^-|гр@)|2/, E.148)
т. е. мы приходим к следующему вкладу в действие:
48 -jj?. | у @) |2 / j (Ac) -i [Ф (х)]2. E.149)
Он имеет структуру массового члена и дает нам сдвиг квадрата
массы, который в соответствии с нестабильностью частицы ока-
оказывается комплексным. Таким образом,
а2
Swinapa — WlnapaYnapa = — 48 | \J) @) |2 / E.150)
и (таараиа2т)
1Г а2 0 * Re EЛ51>
Для сравнения с полученным ранее результатом E.24) проведем
следующие выкладки:
If
duu(l — и) \ dv8(i—2u-\-u2v2) =
J
о о
1 1
— ____ 1 /77/ ^.^—^—~ -^— \ /1ПГ __ 11 ^_ Т1"\ —~ ^—— I I i Г1х в
х/г 0

458 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Причем на последнем этапе произведена подстановка
2и - 1 = х\ E.153)
Результат, вытекающий из формул E.151), действительно согла-
согласуется с E.24). Чтобы вычислить действительную часть величины /,
1 1
Rel=p\duu(i-u)\ dVi_2u\ , E.154)
о о
рассмотрим две области, и < V2 и и > V2. В первой из них имеем
1
Jl 1 и
dv—.—=—;—5-5— = rrarctg ту. E.155)
1 —2u + u2i?2 A —2u)/2 A — 2uI/2
0
Преобразование
1 — 2u = ж2 E.156)
приводит этот вклад к виду
1 1 д. I _^ д-З
J 2 ^ 2х j 1-\-х2 3 \ 2 /
о о
В области и > Vj величина E.155) заменяется величиной
1
dv . 2 ' t, = 1 ln 1+B.-1>у» ; 5Л58)
J 1-2и+«2?72 Bв—1I/2 1-Bи — 1)Х/2 V 7
Воспользовавшись преобразованием E.153), мы для этого вклада
в Re / будем иметь
1
- j dx-L(i-a*)ln±±Z.=* -4 B1n2—i-) , E.159)
о
j
о
так что
ReJ=i(l—1п2). E.160)
В результате вклад двухфотонной аннигиляции оказывается
равным
gЩ2 E.161)
Помимо аннигиляционных процессов, характерных для позитро-
позитрония, имеются также обычные механизмы взаимодействия, при
которых две частицы все время существуют как таковые. Мы будем
придерживаться классификации, введенной в § 3, где исходная

§ 5. позитроний, мюоний I 459
схема, учитывающая только мгновенное кулоновское взаимодей-
взаимодействие, была дополнена обменом поперечными фотонами. Но теперь,
когда мы рассматриваем высокоэнергетический процесс, более
предпочтительно с самого начала считать, что во время актов
обмена фотонами частицы практически свободны. Помимо обмена
двумя поперечными фотонами, мы должны принять во внимание
и то влияние кулоновского взаимодействия на обмен одним попе-
поперечным фотоном вместе со статистическим спиновым взаимодейст-
взаимодействием, которое не учитывается при использовании волновой функ-
функции гр @). Может иметь место, например, дополнительное куло-
кулоновское взаимодействие во время пролета поперечного фотона.
Кроме того, нам следует отказаться от полного пренебрежения
импульсом, соответствующим относительному движению частиц,
что и составляет суть использования значения гр @). Как это уже
неоднократно делалось в связи с одночастичными процессами,
искомое поведение на малых расстояниях можно найти, если взять
волновую, функцию, получаемую из ф @) путем однократной
итерации кулоновского взаимодействия. Перечисленные нами
процессы представляют собой все возможные способы, которыми
поперечный фотон может комбинироваться с мгновенным кулонов-
ским взаимодействием. В действительности нас интересует сум-
суммарный эффект от двухфотонного обмена. [Включение повторного
кулоновского взаимодействия не приносит никакого вреда, по-
поскольку оно не содержит спин-спинового взаимодействия.] В такой
ситуации вместо разбиения C.131) и C.132), отвечающего выде-
выделению мгновенной и поперечной частей взаимодействия, несколько
проще воспользоваться непосредственно ковариантной функцией
распространения
»+(*)iw=^v-Sr=ii-- E-162)
Если поля частиц снабдить причинными индексами, то эффек-
эффективный источник, соответствующий выражению E.126), запишет-
запишется как
Г (х) Г (*') |эфф = е2 [^ (х)
+ (x' -xO^2 (x)]. E.163)
Две частицы мы будем различать индексами а и Ъ, так что вакуум-
вакуумная амплитуда для двухфотонного обмена представляется в. форме
if
2 J
E.164)
Вновь достаточно воспользоваться тем простым выражением для
полей частиц, которое дается формулой E.129). Из него следует,

460 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
что к' = —к, и вакуумная амплитуда сводится к
/1
+ VV
V 1-я-
Yl-n-P—'
E.165)
Разделяя пространственные и временные компоненты и отбрасы-
отбрасывая член, который содержит только последние, мы для данной
величины получаем выражение
2яL б (А- р2) Dяа)а-1 J -Щ* -L
'X
V (у? —
»Х
X
Tft
V Иг
¦У1 + У1
X
X
X
-rP — k \+m
аХ
7 T
— p — к I 4-m
E.166)
Ввиду того что в системе покоя вектора р функции гр и гр*
являются собственными векторами матрицы у0, в отдельных сла-
слагаемых величины E.166) могут остаться только члены с четным
числом у-матриц.
В результате возникают определенные упрощения: например,
V "о"/
E.167)

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 461
и
где сохранена только нужная нам спиновая структура. Простран-
Пространственный вектор из последнего выражения можно затем усред-
усреднить по всем направлениям:
bkn + ^bJ?. E.169)
В итоге для двух слагаемых вакуумной амплитуды получим
BлL б (Pi-Pi) (гр„гр6)* aa.ab%^b^~^(h 4- /,), E.170)
где, в ковариантной записи,
_ Г (dk) I 1 \2 (pft)i /1 1
1 J BяL V к2 ) 4 \ fca — pk "г A;2+
J BяL (А:2 —рА;J(
и
_ 2 Г (dfc) (pfe
3 J BnL (A:2 —p
Сумма двух членов равна
у-г | г -1 С W (P
причем первый вклад под знаком интеграла можно отождествить
с обменом двумя поперечными фотонами, а второй — с обменом
одним поперечным фотоном.
При вычислении интегралов используется представление
оо оо
1 1 f Г
= j dsisi J ds2s2exp{— i[st(A;2 — pk) +
о о
1
= f dss3 ( -i-dyl3ilexp{-is(A:2— pkv)}, E.174)
Jo -1
где
к2 — pkv= (k-^-pvJ + mW. E.175)

462 [ ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Произведя подстановку к— i/2pv -> к, мы для основного импульс-
импульсного интеграла, входящего в /, получаем
\ 2 / J
8m2kz + 12m4f2] ехр (— isk2) =
Следовательно, мы имеем
1
7 = - wm21dy"^ Id5 ("I" +-m2y25)ехр (~
Если учесть теперь равенство
J 2 ч ' L i'2 — ie (v2 — ieJ J J 2 v ' dv v2 —
0
is
J
0
то интеграл E.177) приведется к виду
Гарольд в замешательстве:
Гарольд. Здесь, конечно, что-то не так. Ведь последний интег-
интеграл не существует!
Швингер. Вы правы. Но я хотел бы напомнить об одном спе-
специальном правиле, которое входит в качестве составного элемен-
элемента в методику учета поведения волновой функции на малых рас-
расстояниях. Оно выражено в формуле D-15.45) и состоит в том,
что функцию распространения частиц (р2 + пг2 — ге) при вычис-
вычислении ее в точке р° == т следует заменять функцией (р2 — е2)"
при е ->• 0, т. е. переходить к главному значению интегралов
в смысле Коши. В нашем последнем случае роль величины р2
играет величина m2i>2. С физической точки зрения такое отождест-
отождествление обосновывается следующим образом. Первое слагаемое

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 465
в правой части E.173); обязанное своим происхождением двойно-
двойному обмену поперечными фотонами, не приводит к подобному
интегралу:
Г (dk)
J BяL (ft2 —p*J (ft2+pfcJ DяJ
о
x(_l___^_) = -_i_. E.180)
За сингулярный интеграл E.179) ответственно второе слагаемое
в формуле E.173), в которое наряду с мгновенным кулоновским
взаимодействием входит один поперечный фотон. Этим и оправды-
оправдывается применение правила о главном значении интеграла. Его
можно было бы включить явным образом в расчет и раньше,
но проще прибегать к нему по мере необходимости. С учетом
сказанного интеграл, фигурирующий в формуле E.179), следует
заменить величиной
1
Р [ dv
J
2 — ба
=-limRe4-ln-^b_
е-»о е.»0 2е v — s,
=—1, E.181)
J
так что
- EЛ82>
В итоге для вакуумной амплитуды E.170) имеем
)ь)*оа-Оьфа^ь-^- .. E.183)
В комбинации ф„фь exp (ip2x) мы узнаем двухчастичное поле
ф (хх), отвечающее свободным частицам, которое связано с испу-
испущенным атомом позитрония. Аналогично поле (tyatyb)* exp (—ipix)
относится к детектируемому атому. При описании связанной
системы их заменяют множители нормированной функции центра
масс, которые исчезают при пространственном интегрировании,
имеющемся в E.183), и волновая функция относительного движе-
движения, вычисленная в начале координат, т. е. ф @). Получающийся
в результате коэффициент при —i \ dx° в E.183) и дает нам иско-
искомый энергетический сдвиг
^а.оь, E.184)
где
[
орто: 1
„. E.185)
пара: —3 '

464 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Следовательно, этот вклад в орто-пара-расщепление оказывается
равным
-2*\Ъ@)\*=-±*>Лу. E-186)
На данном уровне описания следует учесть и еще один эффект.
Речь идет о поправке порядка а/2я к магнитному моменту, бла-
благодаря которой величина E.89) приобретает множитель
Суммируя всевозможные вклады в орто-пара-расщепление
порядка a3 Ry, содержащиеся в формулах E.125), E.161), E.186)
и E.187), получаем
] E.188)
так что полная поправка к величине E.95) равна
y. E.189)
Она приводит к уменьшению расщепления примерно на полпро-
полпроцента, и в итоге численное значение E.95) заменяется на
Яорто-Япара- 2,0338-Ю5 МГц, E.190)
что резко улучшает согласие с экспериментальным значением
E.96).
Гарольд. Как я вижу, Вы воспроизвели старый результат
Карплуса — Клейна [см. книгу Selected Papers on Quantum
Electrodynamics, Dover, 1958 1)]. Но поскольку у Вас нет таких
несуразностей, как расходимости, тяжелые фотоны и инфракрасное
обрезание, Вы добились явного концептуального улучшения.
Кроме того, вычисления значительно упростились в результате
замены громоздкого аппарата двухчастичных уравнений элемен-
элементарными выкладками. Вероятно, теперь можно, идя примерно
по тому же пути, перейти и к следующему уровню описания?
Швингер. Мне кажется, что зто действительно так, по крайней
мере касательно эффектов относительного порядка a2 In 1/а,
но рассчитывать поправки порядка а2 мы пока еще не готовы.
Однако я лучше перейду теперь к тесно связанной с этим проб-
проблеме сверхтонкой структуры мюония.
•) См. также в сб. "Новейшее развитие квантовой электродинамики", ИЛ,
1954.— Прим. ред.

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 465
В большинстве случаев мюоний ведет себя, как водород с более
легким ядром [т^1те = 206,77, тахю^1те = 1836,1]. В частности,
сверхтонкое расщепление основного состояния — величина, кото-
которую можно измерить — в основном правильно описывается тео-
теорией, развитой в гл. 4, § 17, для неподвижного ядра. Но необхо-
необходимы динамические поправки, включающие отношение масс те1т^;
их то мы и намерены вычислить в духе предшествующего анализа
позитрония. Конечно, здесь нет никакого аналога аннигиляцион-
ному механизму, и все внимание будет уделено обсуждению про-
процессов двухфотонного взаимодействия, описываемых в случае
позитрония формулой E.165). Единственное изменение состоит
в том, что теперь следует учесть различие в массах и в соответ-
соответствии с этим произвести замены
е: т, j р -> те, -^- р; fx: m, j p -> тй, ^- р, E.191)
где
М = Шц + те. E.192)
Вплоть до выражения E.17,0) можно все точно повторить, но
дальше A/пг2) (/х + /2) нужно заменить на
(dk)
" J
E.193)
Используя представление
11
E.194)
получаем
1 1 1 1
2ти 2т. , 2т„ ,, 2те
к*~чгк к pk к2+к к+г
оо 1
1
1 1 1
1 1 1
-1 -1 -1
E.195)
где
V = v + J?±pL(v+S+L-v_±?L). E.196)
3 0-0983

466 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Опять можно воспользоваться интегралом E.176), но с подста-
подстановками 4т2 ->• М2, v -> V, а вместо выражения для A/т2) /,
вытекающего из E.177), теперь имеем (—ie опущено)
. E.197)
Отметим, далее, что
и после интегрирования по частям выражение E.197) принимает
вид
*__?_ Г 1 j_. 1 j.. 1 j.. Г1—у2
DяJ Л/2
<"?+*¦>
причем комбинацию к квадратных скобках можно представить
также в форме
— me)/2M](i;++t7_) „
^AfJ(»++»_) V» '
Выполним сначала интегрирование по v. Действуя так же,
как и в формуле E.181), напишем
+v) р \\
причем интеграл по F берэтся в пределах от 1-f-[("Hi—me)/M]v+
до — A + [(/Пц—/пё)/М]г;_). Это дает
Другой необходимый нам интеграл, который появляется в выра-
выражении
J 2aV V*~ li+[{mVL-me)/2M]{v+ + v.))* X
х№'*ГГ-1{я»-Я'?М1{'+-л-), E.203)
дается формулой

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ I 467
Комбинируя их, будем иметь
1 , 1 l(mll-me)/2M](v+-v_) i+[(mVL-me)/M]v+
J 2
J
+ + i;)]2 ' E.205)
где квадратными скобками в левой части обозначена комбинация
E.200). Теперь заметим, что правую часть равенства E.205)
можно получить, проводя дифференцирования в выражении
1 М д д V+ — V. , 1 + [(л»ц— me)/M]v+
¦ In
2 т^ — те dv+ dv_ l + [(mu— me)/2M] (v+ + r_) 1 -)- [(m^, — me)/M] v_ '
E.206)
Это сразу же дает
У av+ -я- ay_ -s- dv [ ] = -* In , E.207)
и величина E.199) приобретает вид
Энергетический сдвиг мюония можно найти по формуле E.184)»
соответствующей позитронию, путем подстановки
E.209)
дополненной подходящим выражением для | Ир @) |г:
В итоге для зтого вклада в сверхтонкое расщепление
мы будем иметь
При сравнении с энергетическим расщеплением, к которому при-
приводит элементарная теория, если произвести в формуле D-17.16)
подстановки М = Мр-> т^, т -»- те, Z" = 1, S — V2, gs = 2::
E.212)-
величину E.211) можно квалифицировать как относительную
поправку, равную
О т
E.213).
30*=

468 | ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
Численно формула E.212) дает
ЛЯнерел = 4453,8 МГц, E.214)
тогда как экспериментальное значение таково:
ЛЕЭКСП =4463,3 МГц E.215)
(оба результата приведены лишь с той точностью, которая доста-
достаточна здесь для наших целей). Основная доля расхождения
в 9,5 МГц отпадает при учете поправки а/2п к двум магнитным
моментам, за счет которой значение E.214) возрастает до
АЯнерел+а= 1,00232-4453,8 МГц= 4464,2 МГц. E.216)
Оставшаяся разница, имеющая теперь противоположный знак,
составляет 0,9 МГц. Как показывает соотношение D-17.110),
эффекты, рассмотренные в гл. 2, § 17, приводят к уменьшению
теоретического значения на
- [1,64-Ю-5] [4,45.10s МГц] = -0,073 МГц, E.217)
и тем самым расхождение понижается до 0,8 МГц. Но именно
такую величину и дает массовый эффект, который описывается
формулой E.213):
-[1,8.10-*] [4,45.10» МГц] = -0,8 МГц. E.218)
Таким образом, в отличие от сверхтонкой структуры водорода
для систем позитрония и мюония оказывается достаточным чисто
электродинамических механизмов, чтобы получить блестящее
согласие с экспериментом.
Гарольд. В проведенном сравнении с экспериментом меня
смущает одно обстоятельство. Вы учли эффекты порядка а* [типа
E.217)], которые возникают за счет взаимодействия между части-
частицами, но не учли поправки того же порядка величины к характе-
характеристикам отдельных частиц — к их магнитным моментам. Не будет
ли зто непоследовательностью?
Швингер В принципе Вы правы. Однако практически число-
числовые коэффициенты в упомянутых Вами эффектах столь малы,
что они не будут сказываться сколько-нибудь существенным обра-
образом на^результатах нашего довольно грубого (на уровне несколь-
нескольких десятков на миллион) сравнения с экспериментом. Тем не
менее, как уже упоминалось в гл. 4, § 3, прямые измерения с точ-
точностью, позволяющей обнаружить поправки порядка а* к маг-
магнитным моментам электрона и мюона, действительно проводились.
Одной из наших следующих задач как раз и является построение

§ 5. ПОЗИТРОНИЙ. МЮОНИЙ | 469
соответствующей теории магнитного момента электрона. Но, хотя
применение теории источников приводит к значительным их упро-
упрощениям, выкладки все нее остаются весьма громоздкими, и, пожа-
пожалуй, имеет смысл прервать здесь изложение, закончив второй том.
Тогда может статься, что благодаря все более распространяюще-
распространяющемуся знакомству с методами, подробно изложенными в данной
книге, более широкий круг читателей будет подготовлен к такого
рода обсуждению в третьем томе, в котором мы намерены рас-
рассмотреть методы и основные положения теории источников при-
применительно к проблемам из области сильного и слабого взаимо-
взаимодействий.

Приложения
I. КАК ЧИТАТЬ ПЕРВЫЙ ТОМ
Про первый том говорилось, что он представляет собой одно-
одновременно оригинальный научный труд и учебник. К сожалению,
начинающему студенту не было дано никакой путеводной нити,
которая указывала бы ему, под какую именно категорию подпа-
подпадает тот или иной конкретный раздел. Позтому вот некоторые
рекомендации для первого знакомства с теорией источников
и с релятивистской квантовой механикой.
Глава 1
Опустить § 4.
Глава 2
В § 4 может быть опущен вывод поведения функции источника
при преобразованиях Лоренца из поведения состояний. Из выра-
выражения A.35) достаточно очевидно, что, например, К (х) является
скалярной функцией.
В § 2 опустить обобщения вакуумной амплитуды на много-
многочастичный случай. Интерес они представляют главным образом
в многочастичных приложениях теории, которые пока еще нахо-
находятся вне сферы нашего внимания.
§ 5 нужно прочитать только для того, чтобы получить какое-то
представление об общем линейном преобразовании источников
и его связи со спином, а также о возможности построения произ-
произвольных спинов из более элементарных.
Рассмотрение в § 6, начинающееся с формулы F.24), можно
опустить. Достаточно просто понимать, что оператор F.26) являет-
является ковариантным обобщением проекционной матрицы Vs A + р3),
отбирающей в системе покоя определенную четность, а тем самым
две компоненты, соответствующие спину V2.
В § 7 опустить обобщения на многочастичный случай.
В § 8 достаточно познакомиться с анализом спина 3/2.
Глава 3
В § 1, 2 опустить обобщения на многочастичный случай.
В § 3 опустить анализ спинов 3 и Б/2.
В § 4 ограничиться изучением мультиспиноров рангов 2 и 3.
В § 5 ограничиться теми же спинами, что и раньше.
Разбросанные по § 7 рассуждения о произволе в тензоре натя-
натяжений достаточно лишь бегло прочитать.

ПРИЛОЖЕНИЯ | 471
Пространное описание магнитного заряда в § 8, 9 и той роли,
которую он может играть в поведении адронов, читать не обя-
обязательно. Однако не стоит пренебрегать ни дискуссией с Гароль-
Гарольдом на стр. 304, 305, ни замечаниями о нормировке масс на
стр. 312.
Большую часть § 17 читать не обязательно. Особенно это
относится к обсуждению нарушенной конформной инвариантно-
инвариантности, космологии и спиновой гравитационной связи.
II. ОПЕЧАТКИ В ПЕРВОМ ТОМЕ
Далее приводится (заведомо неполный) перечень опечаток, обна-
обнаруженных в первом томе ').
1. В формуле B.24) на стр. 24 dN следует заменить на dN.
2. В равенстве C.30) на стр. 33 вместо t должно стоять i.
3. В первое уравнение C.40) на стр. 34 вместо 1/dP0 входит
d/dP°.
4. В первом уравнении C.77) на стр. 39 dx нужно заменить
на ds.
5. В формулу D.3) на стр. 41 вместо d^ входит д^.
6. Ссылку на формулу A.45) в первой строке после A.51)
на стр. 66 следует заменить ссылкой на формулу A.48).
7. На стр. 79, первая строка снизу, на стр. 80, пятая строка
снизу, на стр. 81 в формуле B.51) и на стр. 82 в форму-
формуле B.54) оба значка «плюс» и «минус» должны стоять вне
фигурных скобок.
8. В показатель экспоненты во втором выражении B.97)
на стр. 88 входит не Р, а р.
9. В формуле B.110) на стр. 90 пропущен знак равенства.
10. В выражении C.78) на стр. 103 следует убрать звездочку,
стоящую справа.
11. В уравнение D.56) на стр. 114 вместо dcp3 входит <2ф2.
12. В E.8) на стр. 115 символ da? должен записываться как
13. В формуле E.75) на стр. 124 величину Bт)\ в знаменателе
нужно заменить на Bп)\.
14. Во второй строке после формулы E.75), стр. 124, \i — 2
нужно читать как п = 2!.
15. В равенство E.107) на стр. 128 вместо х" входит yv.
16. В выражении F.71) на стр. 139 разорваны символ функции
распространения G+ и ее аргумент (х — х').
17. Во второй строке F.120) на стр. 146 у0 следует поставить
сразу же после г\ (р)*.
4) См. предисловие редактора перевода.— Прим. ред.

472 | ПРИЛОЖЕНИЯ
18. После формулы (8.84) на стр. 168 ссылку F.86) нужно
заменить на E.53).
19. В одной из частей равенства (9.6) на стр. 175 следует
поменять местами индексы 1 и 2.
20. В левой части равенства (9.71) на стр. 185 под знаком
следа в конце необходимо поставить еще одну матрицу у0.
21. В первой строке выражения A.17) на стр. 191 вместо Дк
должно быть Д+.
22. В первом интеграле A.32) на стр. 193 нужно закрыть
квадратные скобки.
23. В одной из частей равенства A.55) на стр. 195 следует
переставить х и х'.
24. В формуле A.58) на стр. 196 в показателе последней экс-
экспоненты числителя нужно закрыть знак модуля.
25. В первое уравнение B.39) на стр. 209 вместо га входит ц.
26. В соотношениях B.45) на стр. 210 предыдущая опечатка.
27. В равенствах C.8) на стр. 213 у второй функции G индек-
индексы \i и v должны стоять в обратном порядке.
28. Числитель первого выражения D.11) на стр. 230 должен
возводиться не в квадрат, а в куб.
29. В самом конце формулы D.31) на стр. 232 if нужно заме-
заменить на г\.
30. В первой дельта-функции (8.68) на стр. 268 х'в нужно заме-
заменить на ж0'.
31. Во второй строке формулы (9.26) на стр. 305 вместо дх*
должно быть 8х^.
32. В выражение (9.33) на стр. 308 входит не х (s), a xa (s).
33. В первой строке на стр. 347 ссылку C.11) следует заме-
заменить на A1.12).
34. В конце второй строки A1.88) на стр. 350 стоит не ср, a if.
35. В формуле A2.7) первый знак «минус» нужно заменить
знаком равенства.
36. Под знаком интеграла A2.71) вместо р° должно быть р%.
37. Во втором выражении верхней строки A2.100) на стр. 368
знак перед 2р1к1 следует заменить на противоположный.
38. В знаменателе первого слагаемого A3.116) на стр. 401
т должно возводиться в квадрат.
39. В формуле A4.63) на стр. 412 в знаменателе не хватает к0.
40. В формулах A4.89) — A4.90) на стр. 416 вместо к\? долж-
должно стоять к\.
41. В формулах A4.126) на стр. 421 и A4.153), A4.154) сле-
следует заменить &мин на kMSLKC.
42. В равенстве A6.68) на стр. 462 вместо римского индекса III
должен быть индекс П.
43. В формуле A7.6) на стр. 468 в одном месте переставлены
местами круглая скобка и знак «плюс».

ПРИЛОЖЕНИЯ 1 473
44. В третьем слагаемом уравнении A7.10) на стр. 469 вместо д
должно быть д%.
45. Во втором слагаемом во второй строке A7.62) знаменатель S
нужно заменить на S2.
III. ДВА ЗАМЕЧАНИЯ
В заключение мы сделаем два небольших замечания, касающихся
некоторых специальных вопросов, которые были затронуты
в первом томе.
1. Из анализа соотношения A-1.44) вовсе не очевидно, что
в качестве альтернативной возможности операторы смеще-
смещений взаимно коммутируют (путем переопределения опера-
операторов нельзя изменить числовой коэффициент так, чтобы
он из нуля превратился в единицу).
2. В тексте были просто.приведены выражения для функций
Лагранжа, приводящие к дифференциальным уравнениям
первого порядка. Их происхождение можно пояснить на
следующем примере, относящемся к случаю спина 0.
Исходя из выражения 2-го порядка [формула C-5.12)]
X = -
введем независимое векторное поле ф^, добавляя к X член
1/2(фи_5^ф)(ф[г-^ф). (А.2)
При этом природа системы не меняется, поскольку, распростра-
распрострай З б
рр
нив принцип действия и на срц, мы увидим, что ср^, — З^ф обра-
обращается в нуль (может появиться только член с источником).
Но при сложении (А.1) и (А.2) квадраты первых производных
сократятся, и мы придем к функции Лагранжа C-15.16), из кото-
которой следуют полевые уравнения первого порядка. Данная проце-
процедура является аналогом процедуры, применяемой в обычной
квантовой механике, при которой исходят из квадратичного
лагранжиана
и(д), (А.З)
где т — несингулярная симметричная матрица, и вводят неза-
независимые переменные р, добавляя
 (р— тд). (А.4)
Сумма (А.З) и (А.4),
L = pg-H, H=1/2pm-ip+v(g), (A.5)
приводит к эквивалентному гамильтонову формализму первого
порядка.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ТОМУ 7
Глава 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I 9
§ 1. Функции распространения заряженных частиц 10
§ 2. Вычисление магнитного момента 29
§ 3. Фотонная функция распространения 37
§ 4. Формфакторы I. Рассеяние 61
§ 5. Формфакторы II. Простая и двойная спектральные формы 84
§ 6. Формфакторы III. Спин х/2 101 .
§ 7. Формфакторы IV. Дейтрон 118
§ 8. Рассеяние света на свете I. Низкие частоты 136
§ 9. Рассеяние света на свете II. Рассеяние вперед 149
§ 10. Рассеяние света на свете III. Двойные спектральные формы 159
§ 11. Энергетические сдвиги Я-частиц. Нерелятивистский анализ 171
§ 12. Релятивистская задача рассеяния 193
§ 13. Рассеяние фотона на заряженной частице 205
§ 14. Некаузальаы'е методы 237
§ 15. Энергетические сдвиги Я-частиц. Спин 0, релятивистская
теория 260
§ 16. Энергетические сдвиги Я-частиц. Спин 1/г, релятивистская
теория I 276
§ 17. Энергетические сдвиги Я-частиц. Спин Va, релятивистская
теория II 297

ОГЛАВЛЕНИЕ | 47!
Глава 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II
§ 1. Двухчастичные взаимодействия. Нерелятивистский анализ 320
§ 2. Двухчастичные взаимодействия. Релятивистская теория I 348
§ 3. Двухчастичные взаимодействия. Релятивистская теория II 375
§ 4. Фотонная функция распространения II 402
§ 5. Позитроний. Мюоний 435
Приложения 470
I. Как читать первый том 470
П. Опечатки в первом томе 471
III. Два замечания 473

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве
перевода и другие, просим присылать по адресу: 129820, Москва,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2. Изд-во «Мир».

К), швингер 1 Частицы, источники, поля (том 2)
Редактор Е. КУРАНСКИЙ. Художник С. БЫЧКОВ. Художественны* редактор В. СА-
САМОЙЛОВ. Технический редактор Н. ТОЛСТЯКОВА
Сдано в набор 4/VIII1975 г. Подписано н печати 25/ХИ 1975 г. Бум, тип. N 2
60x90Vi«=15 буи. л. ЗОпеч. л. Уч.-изд. л. 31,60. Изд. J4 2/8144, Цена 2 р. 39 н.
Зак. 0983
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Зааиени Московская типография Mi 7 «Искра революции»
Соювполиграфпрожа при Государственное комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9