/
Author: Дюмина Т.Ю. Махонина А.А.
Tags: воспитание обучение образование алгебра методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика 8 класс
ISBN: 978-5-7057-2713-1
Year: 2011
Text
Для ----------
преподавателей
АЛГЕБРА
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику
Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк,
К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой
Издательство «Учитель»
АЛГЕБРА
8 класс
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ю. Н. Макарычева,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой
Авторы-составители
Т. Ю. Дюмина, кандидат педагогических наук
А. А. Махонина, кандидат педагогических наук
Волгоград
УДК 372.016:512*08
ББК 74.262.21
А45
Авторы-составители
Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина
Алгебра. 8 класс : поурочные планы по учебнику Ю. Н. Ма-
А45 карычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой /
авт.-сост. Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина. - Волгоград :
Учитель, 2011. - 399 с.
ISBN 978-5-7057-2713-1
В пособии представлены поурочные планы, составленные в соответствии
с программой и учебником: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нсшков К. И., Суво-
рова С. Б. Алгебра. 8 класс: учеб, для общеобразоват. учреждений / под ред. С. А. Тс-
ляковского. М.: Просвещение, 2010. В разработках содержатся устные упражнения,
рекомендации к объяснению нового материала. эесты, проверочные и самостоятель-
ные работы, математические диктанты и др. Целью предложенных материалов явля-
ется оказание практической помощи учителю в выборе путей построения урока, от-
вечающего современным требованиям, в подборе дополнительного дидактического
материала, призванного обеспечить высокую эффективность учебного процесса.
Предназначено учителям математики общеобразовательных учреждений; мо-
жет быть полезно учащимся, студентам педагогических учебных заведений.
УДК 372.016:512*08
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-7057-2713-1 © Дюмина Т. Ю., Махонина А. А.,
авторы-составители, 2009
© Издательство «Учитель», 2009
© Оформление. Издательство «Учитель», 2010
Издание 2011 г.
ВВЕДЕНИЕ
Поурочные планы составлены в соответствии с программой
и учебником для общеобразовательных учреждений «Алгебра.
8 класс» (авторы Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Пеш-
ков, С. Б. Суворова; под редакцией С. А. Теляковского. М.:
Просвещение, 2010).
Разработки уроков содержат задания для устной работы, ре-
комендации к объяснению нового материала, тесты, провероч-
ные и самостоятельные работы, математические диктанты и др.
Целью данного пособия является практическая помощь учи-
телю математики, особенно молодому, в выборе путей постро-
ения урока, отвечающего современным требованиям, в комплек-
товании собственной педагогической копилки разнообразным
дополнительным дидактическим материалом и контрольно-из-
мерительными заданиями. Подбор задач призван обеспечить
высокий темп урока.
Предлагаемое распределение учебного времени на изучение
тем, соответствующих программе, носит примерный характер.
Учитель может по своему усмотрению вносить коррективы в
ход урока с учетом специфики и уровня подготовки класса.
Представленные поурочные планы могут служить дополне-
нием к планам, составленным учителем.
Г л а в a I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
У рок 1
ПОНЯТИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
Цели: ввести понятия «дробное выражение» и «рацио-
нальная дробь»; формировать умение находить значения рацио-
нальных дробей при заданных значениях переменных.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Назовите дробь, соответствующую данному частному:
а) 3 : 7 д)-2:9
6)18:5 е)3:(-8)
в) 20 : 30 ж)-5 : (-11)
г) 4: 12 з) — 2 : (—4)
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника, обращая
внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для кон-
троля предложить учащимся задание на распознавание различ-
ных рациональных выражений.
Задание. Какие из следующих рациональных выражений
являются целыми, а какие - дробными?
а) ; 1 2 т1 -2 Д)4"+ 5 ;
б)|-4; е) 2х-3 + — х + 4
в)1 + -; а . 2х + а г) 2 ; с . a3-ab ж) 4 ; . х + 3 3) 2 х -2ху
Какие из дробных выражений являются рациональными
дробями?
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 1 (устно), 3, 4, 5 (а).
Образец оформления задания № 5 (а):
(-3-1)2-! (-4)2-1 16-1 _ 15 1;
(-3)2 + 1 9 + 1 10 10 ’ '
№ 7 (а), 8,9,16.
В случае затруднения учащихся при выполнении заданий
7 (а), 8 нужно напомнить им, что для выражения переменной из
формулы достаточно рассматривать эту переменную как неиз-
вестную величину.
V . Итоги урока.
- Какое выражение называется целым? Дробным?
- Как называются целые и дробные выражения?
- Что такое рациональная дробь?
- Всякая ли рациональная дробь является дробным выраже-
нием? Приведите примеры.
-Как найти значение рациональной дроби при заданных
значениях входящих в неё переменных?
Домашнее задание: № 2, 5 (б), 6, 7 (б).
Урок 2
ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ,
ВХОДЯЩИХ В ДРОБНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
Цель: формировать умение находить допустимые значе-
ния переменных, входящих в дробные выражения.
Ход урока
I. Организационный момент.
П. Устная работа.
Подставьте вместо значка * какое-нибудь число и назовите
полученную дробь:
1 * а)*; B>v * 3 ^5 ч 7 б) - -; г) - ; * * ч 1 ч 2 д), ж) |±,; 3-* 1 + * ч 5+* ч 6 е) ; з) . 4 *-5
Ш. Объяснение нового материала.
1. Актуализация знаний учащихся.
- Какую дробь называют рациональной?
- Всякая ли дробь является дробным выражением?
- Как найти значение рациональной дроби при заданных
значениях входящих в неё переменных?
2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рацио-
нальная дробь имеет смысл.
Задание. Найдите значение дроби при указанных значе-
ниях переменной:
х + 3
---- при х = 4; 0; 1.
х —1
Выполняя задание, учащиеся понимают, что при х = 1 не-
возможно найти значение дроби. Это позволяет им сделать сле-
дующий вывод: в рациональную дробь нельзя подставлять
числа, которые обращают ее знаменатель в нуль (этот вывод
должен быть сформулирован самими учащимися).
Далее учитель сообщает учащимся, что все значения пере-
менных, при которых рациональное выражение имеет смысл,
называют допустимыми значениями переменных.
3.Вывод правила нахождения допустимых значений
переменных, входящих в рациональную дробь.
- Как находить допустимые значения переменных?
1) Если выражение является целым, то все значения входя-
щих в него переменных будут допустимыми.
2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного
выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель
обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допус-
тимыми значениями.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 10,11,13,14(а, в),
15 (г), 17.
Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, вхо-
дящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Напри-
3
мер, рассматривая рациональную дробь -, можно сказать,
х-4
что допустимыми значениями переменной являются все числа,
кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не вхо-
дит число 4, то есть х ф 4.
№11.
. х2-8
г)-------
4х(х +1)
4х (х + 1) - 0
4х = 0 или х + 1 = 0
х = 0 х = - 1
Ответ:х^Оих^ 1 (или все числа, кроме 0 и - 1).
При выполнении заданий № 14 (а, в), 15 (г), 17 следует обра-
тить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых
значений переменных.
№15.
х(х + 3) =()
2х + 6
х (х + 3) = 0 2х + 6 Ф 0
х = 0 или х = - 3 х - 3
Ответ: х = 0.
• Дополнительные задания (для учащихся с высо-
ким уровнем подготовки): № 18, 20.
№ 18.
Из всех дробей с одинаковым положительным числителем
большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим,
то есть необходимо найти, при каком значении а выражение
а2 + 5 принимает наименьшее значение.
Поскольку выражение а2 не может быть отрицательным ни
при каких значениях а, то выражение а2 + 5 будет принимать
наименьшее значение при а = 0.
Ответ: а = 0.
б)----------.
О-З)2 +1
Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то
значение а, при котором выражение (а - З)2 + 1 принимает наи-
меньшее значение.
Ответ: а = 3.
№20.
18
4х2 + 9 +у2 + 4ху '
Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать
выражение, стоящее в знаменателе дроби.
18 18 18
4х2 + 9 + у2 + 4ху 4х2 + 4ху + у2 + 9 (2х + у)2 + 9
Дробь будет принимать наибольшее значение, если выраже-
ние (2х + у)2 + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку
(2х + у)2 не может принимать отрицательные значения, то наи-
меньшее значение выражения (2х +у)2 + 9 равно 9.
т - 18 о
Тогда значение исходной дроби равно — = 2.
V. Итоги урока.
- Какие значения называются допустимыми значениями пе-
ременных, входящих в выражение?
- Каковы допустимые значения переменных целого выражения?
- Как найти допустимые значения переменных дробного вы-
ражения?
- Существуют ли рациональные дроби, для которых все зна-
чения переменных являются допустимыми? Приведите примеры
таких дробей.
Домашнее задание: № 12,14 (б, г), 212, 19 (дополнительно).
У рок 3
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ
Цели: вывести основное свойство дроби; формировать уме-
ние его применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1 тт - _ а + Зс
1. Найдите значение дроби--при а = 12, с = -2.
с
2. Найдите значение переменной, при котором значение дро-
_ 2х-6
би------равно нулю. Сделайте проверку.
х + 2
3. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
. 2х-4 1
а)-----; б) 4а----------
5 a-t
. п + 3
/7—2/7
Вариант 2
2х - у
1. Найдите значение дроби-— при х = -4, у = -16.
ч
2. Найдите значение переменной, при котором значение дро-
3«-9 г -
би------равно нулю. Сделайте проверку.
а + 1
3. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
w + 4 3
а)——; б) а-1 +------------
7 а + 8
III. Объяснение нового материала.
1. Актуализация знаний о сокращении обыкновенных
дробей и приведении их к общему знаменателю.
- Что значит сократить дробь?
12
Сократим дробь —. Для этого разделим числитель и знаме-
18
с . 12 2-6 2
натель на их общий множитель. — =----= —
18 3-6 3
г. , 15 14 9
Сократите дроби: —, —, — .
35 18 21
- Как привести дробь к новому знаменателю?
3
Приведём дробь — к знаменателю 28. Для этого умножим
3 л 3 3-4 12
числитель и знаменатель дроби — на 4. — =---= —.
7 7 7-4 28
2 3 2
Приведите дроби у, —, у к знаменателю 60.
- Каким свойством мы воспользовались при сокращении
дробей и приведении дробей к новому знаменателю? Сформу-
лируйте основное свойство дроби.
Буквенная запись основного свойства дроби (выносится на
доску):
а ас .
— - —, b Ф 0, с 0
b Ьс
2. Два типа заданий, при выполнении которых приме-
няется основное свойство дроби:
- приведение дробей к новому знаменателю;
- сокращение дробей.
Для демонстрации примеров применения основного свойст-
ва дроби можно использовать:
1) пример 1 из учебника (приведение дроби к новому знаме-
нателю);
2х2у3
2) (сокращение дроби).
8ху
IV. Формирование умений и навыков.
1. Умножьте числитель и знаменатель дроби на указанное число.
2 1
n п . -Х+~у
х 2а г 2а + с . з 6
а) — на 5; б)---------- на2; в) —---------— наб.
36 5с х
10
2. Разделите числитель и знаменатель дроби на указанное число:
. 4(2
а) — на 2:
6Ь
3(2 + 66
б)--------- на 3;
9с
10х
------- на 5.
5 + 20у
3. Заполните пустые места так, чтобы равенство было верным:
1) — =— • ь2 ь3’ 2)|^ = -; ab а2Ь4 4) = ; 5с 3 2 а п _п 5(2 и
3) — = • j ab ЗаъЬ2 ’ .. 6cV 3d 6)8с’+= '
4. Выполните задания по учебнику: № 23, 25(а, в, д), 26,
28 (а, б), 47.
V. Итоги урока.
- В чём состоит основное свойство рациональной дроби?
- Что такое тождество?
- Когда применяется основное свойство дроби?
Домашнее задание: № 24, 25 (б, г, е), 28 (в, г), 48.
У рок 4
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Цель: формировать умение применять основное свойство
дроби при сокращении дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Сократите дробь:
ч 2 ч 10 х 20 х 24
а) - в) —; д) —; ж) —;
6 45 32 56
6 ч 7 ч 13 х 27
6 "77’ г) —; е—; 3) ^7‘
21 28 39 72
III. Объяснение нового материала.
1. Актуализация знаний и умений (учащиеся долж-
ны помнить формулы сокращенного умножения и основные
приёмы разложения многочлена на множители).
- Какие существуют способы разложения многочлена на мно-
жители?
- В чём состоит каждый из этих способов?
- Разложите на множители многочлен:
а) х2у - 2х;
б) За2Ь - 9аЬ2;
в) т2 - 4и;
г) а3 - а',
д) х2 + 6х + 9;
е) а2 - Юл + 25;
ж) ах + bx + ay + by.
з) ab - b + За -3.
2. Разбор примера из учебника и формирование вы-
вода: чтобы сократить рациональную дробь, нужно сначала
разложить на множители её числитель и знаменатель.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 29, 30 (а, в, д),
32 (а, в), 31, 34, 35 (а, в).
№35.
2х + bx - 2у - by _ 2(х - у) + Ь(х - у) _ (х - у)(2 + Ь) _
7х-7у 7(х-у) 7(х-у)
= 2 + Ь
7
в) ху-х + у-у2 = х(у — 1) — у(у — 1) = (у-1)(х-у) _ у-1
х2-у2 (х-у)(х + у) (х-у)(х + у) х + у'
•Дополнительное задание.
№36.
ч х2-25
а) у =-----.
2х + 10
Областью определения этой функции является множество
всех чисел, кроме х = - 5. Сократим дробь, задающую функцию:
х2 -25 _ (х-5)(х + 5) _ х-5
2х +10 2(х + 5)
2
12
Графиком функции
х-5
у = —-— является пря-
мая, а графиком функции
х2-25
у =------ - та же пря-
2х + 10 F
мая, но с «выколотой»
точкой (- 5; - 5).
V. Итоги урока.
- В чём состоит основное свойство дроби?
- Когда применяется основное свойство дроби?
- Что нужно сделать, чтобы сократить рациональную дробь?
- Какие существуют способы разложения многочлена на мно-
жители?
Домашнее задание: № 30 (б, г, е), 32 (б, г), 33, 35 (б, г),
36 (б) (дополнительно).
Урок 5
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ОСНОВНОГО СВОЙСТВА ДРОБИ
Цели: продолжить формирование умения сокращать дро-
би; вывести следствие из основного свойства дроби и формиро-
вать умение применять его при сокращении дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Сократите дробь:
ч з ч -4 а) ; в) —; 12 6 z-ч Ю ч 14 б) —; г) —; 25 35 ч 11 ч 18 д) ; ж) ; -77 45 ч -9 ч -16 е) ; з) . -21 -32
13
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Приведите дроби к указанному знаменателю:
Зх2 2х 3
а)^- =----т; б)—— =----------; в)-----= —-----
5у 15ху х-2у Зх-ву а-b а2 -Ь2
2. Сократите дробь:
. la2b d(a-b)
а)---г; б)-------------•
14я3 ca-cb
Вариант 2
1. Приведите дроби к указанному знаменателю:
. 5а2 Зя .5
а) —г =---г ’ б)------=------; в)-----= —------ .
4с \2ас а + Зс 2а + 6с х + у х -у
2. Сократите дробь:
. 16х2 тх-ту
а) —у-; б)--------.
8х у р(х~У)
IV. Объяснение нового материала.
Специальное внимание необходимо уделить следствию
из основного свойства дроби, а также следует провести анало-
гию с обыкновенными дробями.
Задание: среди данных дробей найдите такие, которые
2
равны у; ответ объясните.
-2-2 -22 2 -2
3 ’ -3’ 3 ’ -3’ -3’ -3 '
Вспомните, что «минус» перед дробью можно записывать
как перед числителем, так и перед знаменателем.
Задание: среди предложенных дробей найдите такие, ко-
5
торые равны -—; ответ объясните.
^5. 5. 5 -5.____5 -5
14
Буквенная запись следствия из основного свойства дроби
(выносится на доску):
а а а _ -а
Учащиеся должны знать и осознавать формулировку этого
следствия. В случае затруднений можно продемонстрировать
практическое применение следствия и дать его более приклад-
ную к задачам формулировку:
1. «Минус» перед дробью мож- 2. «Минус» из числителя или
но вносить либо в числитель, знаменателя дроби можно
либо в знаменатель дроби. выносить за знак дроби.
2а-Ь _ -(2а-Ь) _Ь-2а х-у _-(у-х) _ у-х
с-3 с-3 с-3 z-4 z — 4 z-4
2а — b 2а-Ь 2а-Ь х —у _ X — у _ X-у
с-3 -(с-3) ~ 3-с z-4 -(4 -z) 4 - z
V. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 38, 39, 40 (а, в,
д, ж), 41, 43, 44 (а, в).
№44.
При выполнении этого задания учащиеся могут допустить
ошибку, вынося за скобки общий множитель. Поэтому следует
привести подробную запись преобразований:
а) (2a-2b)2 (2(a-b))2 22(а-Ь)2 4(а-Ь)2
а-b а-Ь а-Ь а-Ь
в) (Зх + 6^
5х + 10у 5(х + 2у) 5(х + 2у) 5
• Дополнительное задание (для учащихся с высо-
ким уровнем подготовки):
№ 46.
э п+2 'уп
15
32-3" 3"(9-1) 3"-8 8
Сначала необходимо сократить данную дробь, вынося в чис-
лителе и знаменателе за скобки общий множитель.
3"+2-3” Г‘
3”+2+3w+l+3n " 3"-32+3"-3 + 3" -3”(9 + 3 + 1) ~ 3"-13 " 13 '
Таким образом, каким бы ни было п, данная дробь принима-
8
ет значение —, то есть значение дроби не зависит от и.
16”+' 2"+4 (24)"+1 2и+4 2^4п+4_2”+4
б) 4-2"(23” -1) ” 4-2"(23” -1) ” 4-2"(23" -1) ”
_ 2*7+4. 23« _2П+4 _ 2"+4(23" -1) _ 2"-24 _ 16 _4
4-2"(23”—1) ~ 4-2”(23"-1) ~ 4-2" ~ 4 "
V I. Итоги урока.
- В чём состоит основное свойство дроби?
- Сформулируйте следствие из основного свойства дроби.
- Как применяется это следствие при преобразовании дробей?
Домашнее задание: № 40 (б, г, е, з), 44 (б, г), 42, 45 (допол-
нительно)
Урок 6
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ДРОБЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Цели: актуализировать знания о сложении и вычитании
обыкновенных дробей и одинаковыми знаменателями; формировать
умение вести подробные и исчерпывающие записи вычислений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
ч 2 3 .89
а) - + -; в) — + —;
77 13 13
8 5 ч 7 5
б) ; г)------------;
11 11 88
.23 4 6
Я)Г~5’
е) — —+ —з)-2-+А
15 15 12 12
16
III. Объяснение нового материала.
Рациональные дроби с одинаковыми знаменателями складыва-
ются и вычитаются по тем же правилам, что и обыкновенные дроби.
Буквенная запись (выносится на доску):
а Ь _а — Ь
с с с
а Ь а + Ь
— + — =-----
с с с
и
Рассмотрим примеры 1-3 из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 53, 55, 57, 58 (а),
59 (а), 60.
При вычитании дробей учащиеся могут допускать распро-
страненную ошибку: не учитывать, что «минус» перед дробью
вносится в числитель, и неправильно расставлять знаки. Поэто-
му учащимся важно первое время вести подробные записи.
№57.
За-1 _ 36-1 _ Зб/~ 1 - (3Z> -1) _ За -1 -3Z> +1 _
В а2-Ь2 а2-Ь2~ а2-Ь2 ~ а2-Ь2
_За-ЗЬ _ З(а-Ь) _ 3
a2-b2 (а-Ь)(а + Ь) а + Ь
№ 60.
a2-12Z> 3ab-4a _ a2-V2b-3ab + 4a _
а2-ЗаЬ а2-ЗаЬ а2-ЗаЬ
_ а(а - ЗЬ) + 4(а - ЗЬ) _(а- ЗЬ)(а + 4) _ а + 4
а(а - ЗЬ) а(а - ЗЬ) а
а+ 4
При а = - 0,8 дробь-равна - 4, то есть данное в условии
а
значение Ь является лишним.
V. Итоги урока.
-Сформулируйте правило сложения рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями.
- Сформулируйте правило вычитания рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями.
Домашнее задание: № 54, 56, 59 (б).
17
У р о к 7
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
С ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Цель: формировать умение складывать и вычитать рацио-
нальные дроби с противоположными знаменателями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
\ 5 2
а) I—;
7 7
4 7
б) —+ —;
9 9
X 3 -1 ч 7 7
д) - + — ; ж)--+---;
88 15-15
2-7 4-8
е)-----; з) — +---.
13 13 21 -21
н 1Г
1 4
-5 + 5 ’
III. Объяснение нового материала.
Вспомните следствие из основного свойства дроби. Выпол-
ните задание, в котором нужно поменять знак числителя или
знаменателя рациональной дроби.
. 2х-1 _ч 5а + 4 ч l-6z . 2п-т
а)------; б)----------; в)--------; г)----------.
3-4у Зх-7 3 + 2а 4-3/эт
Разбор примера 4 из учебника и формулирование вывода
о том, как сложить или вычесть две рациональные дроби с про-
тивоположными знаменателями.
IV. Формирование умений и навыков.
1. Выполните сложение или вычитание дробей:
.53 . х +1 2х
а) — + ; в)-----+ — ;
а -а -п и
-Зх Зх 2у -2у
2. Выполните задания по учебнику: № 61, 63.
3. Преобразуйте выражение:
. 2х —3 5 —х
а)-----Г +------Г ’
(х-1)2 (1-х)2
16-7х х-х2
б)-----у-------у
(х-4)2 (4-х)-
х~ +9 6х
(х-З)3 + (З-х)3 ‘
18
4. Выполните задания по учебнику: № 66, 68.
№68.
5и2+3и + 6 5п2 Зп 6
6
п п п п п
Полученное выражение принимает натуральные значения,
6
если дробь — является натуральным числом, то есть когда 6 де-
п
лится на п. Значит, п = 1; 2; 3; 6.
Ответ: 1; 2; 3; 6.
V. Итоги урока.
-Сформулируйте правило сложения и вычитания рацио-
нальных дробей с одинаковыми знаменателями.
- Как выполнить сложение или вычитание рациональных
дробей, знаменатели которых являются противоположными вы-
ражениями?
Домашнее задание: № 62, 64, 67, 69 (дополнительно).
Урок 8
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ДРОБЕЙ
С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Цель: формировать умение приводить рациональные дро-
би к общему знаменателю и выполнять их сложение и вычитание.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
Выполните сложение и вычитание дробей:
ч 16 4 ч 4х-5 7х-9 9х-13
а)— +—;
5х 5х
_ч 5л + 2 3<2 + 2
б)~
. 4 - т
г) -------------------,
6х - 3 6х - 3 6х - 3
ч За-5Ь 2а-4Ь
Д)-----Г + Т----•
а-b о-а
a3
6 — m
2т2 2т2
19
Вариант 2
Выполните сложение и вычитание дробей:
4 17 7 a) 1 j 6x 6x 6a - 5 2a - 5 6) 3 3 ; a a . 7 + m 10 + m в) 7" + 3m2 3m2 . 3x + 5 5x-7 4x-13 r) + ; 8x - 4 8x - 4 8x - 4 . 7a-8b 6a-7b д) н . b-a a-b
III. Устная работа.
Найдите наименьший общий знаменатель дробей:
x 1 1 a) - и 3 2 2 1 б) — и -; 5 6 x 1 1 в) — и —; 2 4 x 3 5 x 1 1 г) — и —; ж) — и -; 7 21 4 9 х 3 1 х 2 5 д) — и -; з) - и —; 4 6 3 27 . 5 2 1 .. е) 6 И 9; И) 6 И ’
IV. Объяснение нового материала.
Выделим три случая, которые возникают при нахождении
общего знаменателя, и приведем аналогичные примеры с алгеб-
раическими дробями.
Случай 1. Знаменатели дробей не имеют общих делителей.
В этом случае наименьший общий знаменатель равен произ-
ведению знаменателей дробей.
Обыкновенные дроби:
1 4_ 7 4‘4_ 7 Л-22
4 7~ 4-7 + 4-7 - 28 28 " 28 *
Рациональные дроби:
2 b 2- с 3ab 2с + ЗаЬ
1) — + - =-+----=-------.
За с Зас Зас Зас
1 1 _ а-b а + b _
а + Ь а-b (а + Ь)(а -Ь) (а + Ь)(а - Ь)
_a-b-(a + b)_a-b-a-b_ -2b _ 2b
(a + b)(a-b) a2-b2 a2-b2 b2-a2
20
Случай 2. Знаменатель одной из дробей является делите-
лем знаменателя второй дроби.
В этом случае знаменатель, который делится на другой, яв-
ляется наименьшим общим знаменателем дробей.
Обыкновенные дроби:
11 2 _ 11 24 = 11 8 3 1
12 3 ” 12 3-4~12 12~12~4*
Рациональные дроби:
I \ 1 ab_\-ab
а о аи а и а и а и
х +1 3 х +1 Зх х +1 + Зх 4х +1
2)------+---=---------+------=--------=------.
х(х + у) х + у х(х + у) х(х + у) х(х + у) х(х + у)
Случай 3 . Знаменатели дробей имеют общие делители, но
знаменатель одной из дробей не является делителем знаменате-
ля другой дроби.
В этом случае наименьший знаменатель состоит из несколь-
ких множителей: общего делителя дробей и результатов деления
на этот делитель.
Обыкновенные дроби:
3_j___J_____1 3 3 2 927
4 6~2-2 2-3~ 2-2-3 2-2-3~12 12" 12 ‘
Рациональные дроби:
2 b -3'2с ьь 6с ь2 _ьс-ьг
ab 2ас 2abc 2abc 2abc 2abc 2abc
2) _ -V~2 = _ У~2 =
X2 + xy y1 + xy x(x + y) y(x + y)
_ y(x -1) x(y - 2) _ xy - у - xy + 2x _ 2x - у
xy(x + y) xy(x + y) xy(x + y) xy(x + y)
V. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 73, 75, 76, 78 (а, г),
79 (б, г), 84 (а, в, д), 85 (а, в).
№85.
При выполнении этого задания учащиеся впервые будут
складывать и вычитать дроби, в которых для нахождения обще-
21
го знаменателя необходимо сначала разложить на множители
знаменатели исходных дробей. Важно, чтобы учащиеся осозна-
вали это и использовали в дальнейшем при выполнении дейст-
вий с рациональными дробями.
ax-ay by-bx а{х-у} Ь(у-х)
3 2 3/>-2л
а(х-у) b(x-y) ab(x-y)
VI. Итоги урока.
- Как найти общий знаменатель дробей, если их знаменатели
не имеют общих делителей?
- Как найти общий знаменатель дробей, если знаменатель
одной дроби является делителем знаменателя другой дроби?
- Как найти общий знаменатель дробей, знаменатели кото-
рых имеют общий делитель, не совпадающий ни с одним из
знаменателей этих дробей?
Домашнее задание: № 74, 77, 84 (б, г, е), 85 (б, г).
У р о к 9
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ
Цель: продолжить формирование умения складывать и вы-
читать рациональные дроби с разными знаменателями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите общий знаменатель дробей:
X 1 1 х 1 1
а) - и -; г) — и —;
х У ах ау
1 1 х 1 1
б) — и -; Д) и
л л х + 3 у
ж)-------- и —;
х(х + 3) х
в)-----и-------; е)---------у и-----?;
х-2 х+2 (х+1)2 (х + 1)3
ч 1 1
и)-------? и--------.
(л-2)3 (л-2)4
22
III. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий : № 86 (а, в), 87, 88, 92, 93.
• Игра «Дешифровщик».
Помимо христианства и ислама существует еще такая ре-
лигия, как буддизм. Эта религия возникла в Древней Индии
в VI-V веках до нашей эры. Сейчас буддизм распространен
в Азии, его приверженцами являются несколько сотен миллионов
человек. В отличие от других культов, священнослужителями
здесь могут стать и мужчины, и женщины. Если вы верно упрости-
те выражения и замените результаты соответствующими буквами,
то узнаете, как называют буд дийского священнослужителя.
п _Z±L_ 1-х
2 2
у -ху х -ху
д. Х-У + 21У. м н.^
ху(у-х) ху(у-х) х-у ху
о y.ZM.
2х 2х
15 12
3)-----------------1-------—.
(ли + 2)(ли - 3) 4-ли2
д. Зт н. 3
ли — 3 ’ (ли - 2)(ли - 3) ’
4) —-------1---.
х2 -2х 2-х
х2 — 2х ’ х2 — 2х ’ х' х — 2
2Ь 462
2Ь + с 4Ь2+4Ьс + с2
А И^- О Uc_
(2Ь + с)г ' 2Ь + с’ ' (2Ь + с)2 ’ ' 2Ь + с
Ответ: БОНЗА.
23
• Задание на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
1) Упростите выражение:
1 1 а а2+4
-----------1— -----------.
2-а 2 + а а2-4 8а-2а3
2) Вычислите значение выражения при х = 3,1:
2х-5 х + 8 10
х2 — 6х + 9 (3 - х)2 9 + х2 - 6х
Карточка 2
1) Упростите выражение:
1 1 а
а2-8а + 16 а2+8а + 16 а2-1б’
2) Вычислите значение выражения при а = 4,5:
2(а + 4) 1 а + 2
а3-8 2-а а2 + 2а + 4
Решение заданий карточки 1
1 1 а а2+4 1 1
2-а 2 + а а2-4 8а-2а3 2-а 2 + а
а а2+4 1 1
+-------------------------=----1------
(а-2)(а + 2) 2а(2-а)(2 + а) 2-а 2 + а
______а а2+4
(2 - а)(2 + а) ~ 2а(2 - а)(2 + а) ~
_ 2а(2 + а) + 2а(2 - а) - 2а2 - а2 - 4 _
” 2а(2-а)(2 + а)
_ 4а + 2а2 + 4а-2а2 -За2 -4 _ 8а-3а2 -4
2а(2 - а)(2 + а) 2а(2 - а)(2 + а)
2х-5 х + 8 10 _2х-5_х + 8
} х2-6х + 9 (3-х)2 + 9 + х2-6х ” (х-3)2 (х-3)2
10 _ 2х-5-х-8 + 10 _ х-3 _1
+ (х-3)2~ (х-3)2 " (х-3)2” х-3’
24
при х = 3,1:----
х-3
1
3,1-3
1
0,1
= 10.
Решение заданий карточки 2
1__________1 а _ 1_______1
а2-8а + 16 а2 + 8а + 16 + а1 -16~ (а-4)2 (а + 4)2
а _ (а + 4)2 - (а - 4)2 + а(а — 4)(а + 4) _
+ (а-4)(а + 4) (а-4)2 (а+4)2
_ а2+8а + 16-а2+8а-16 —а3-16а _ а3
(а-4)2(а + 4)2 (а2 -16)2 '
2) 2(О + 4) , 1 0 + 2 2(а + 4) ,
а3-8 2-а а2 + 2а + 4 (а-2)(а2+2а + 4)
1 и + 2 2я + 8 1
2-а а2 +2а + 4~ (2-а)(а2 +2а + 4) 2-а
а+ 2 _ 2а + 8 + а2 +2а + 4-(а + 2)(2-а) _
а2+2а + 4~ (2-а)(а2 + 2а + 4)
а2 + 4а + 12-4 + а2 _ 2а2 + 4а +12
(2 - а)(я2 + 2а + 4) ” 8-я3
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
Упростите выражение:
_____2_. 6_____2_.
5л2у Злу2’ 5а-10 За-б’
4______1_. 1_______1
у2-4 у-2’ х2-ху х-ху2
2 За + ЗЬ
a + b a2 + 2ab + b2 ’
25
Вариант 2
Упростите выражение:
2 3 5 ______1_.
а Зх2/ 5х3/ ’ Г;4л + 8 Зб? + 6 ’
. _J_____6_. . 1 1
у-3 у2-9’ ab-b1 a2-ab
ч 3 4c-4J
В)------1-г-------у
c-d c2-2cd + d2
V . Итоги урока.
- Как найти общий знаменатель двух рациональных дробей?
- Как найти общий знаменатель трёх и более рациональных
дробей?
- Как выполнить сложение или вычитание рациональных
дробей с разными знаменателями?
Домашнее задание: № 86 (б, г), 89, 94, 102 (дополнительно).
Урок 10
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ
И ЦЕЛОГО ВЫРАЖЕНИЯ
Цели: формировать умение выполнять сложение и вычи-
тание рациональных дробей и целых выражений; продолжить
формирование умения преобразовывать рациональные дроби.
Ход урока
I. Организационный момент.
П. Устная работа.
Вычислите:
а) а b а а ч 3 4а г) - + —; а а ж) а + Ь a + h b a + h’
б) 1 с с с ’ . 4т 5 д) — + —; т т 3) 1 + п-т п-т п-т'
2b 1 ч 9а 7 с + d 2с
в) Т Р е) — + -; а а и) + с + d с + d
26
III. Объяснение нового материала.
При объяснении целесообразно использовать аналогию с чи-
словыми выражениями.
гл ~ а
Выполните сложение: 2 + —.
Ь
Известно, что любое целое число может быть представлено
в виде дроби со знаменателем 1.
_ а 2 а „ _
Поэтому 2 + — = — + — . Очевидно, что общим знаменателем
Ь 1 Ь
этих дробей будет Ь.
тл _ а 2 а 2Ь а
Имеем: 2 + — = — + — =----и — =
Ь 1 b b Ь
2Ь +а
Ь
Принцип сложения и вычитания рациональной дроби и це-
лого числа вы могли увидеть и при выполнении устной работы.
Любой многочлен может быть также представлен в виде рацио-
нальной дроби со знаменателем 1. В этом и состоит основная
идея сложения и вычитания рациональных дробей и целых вы-
ражений.
Пример 1.
b а Ь ас Ь ас + Ь
а+—=—+—= — + — =------.
с \ с с с с
Пример 2.
+ £ a2 _a + b а2 _(а + Ь)(а-Б) а2 _
а-Ь 1 а-Ь а-Ь а-Ь
„2 к2 2 к2 „2 /2 >2
__а — и а _ а — о —а — и и
а-Ь а-b а-Ь а-Ь Ь-а
Сделайте вывод о том, как складываются (вычитаются) ра-
циональные дроби с целыми выражениями.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы:
1-я группа. Задания на сложение (вычитание) рациональ-
ных дробей с целыми выражениями: № 80, 82, 90 (а, в, д).
27
2-я группа. Задания на различные более сложные преоб-
разования дробно-рациональных выражений: № 91 (а), 96 (б, г),
97 (а, в), 98 (а), 99 (а).
• Выполнение заданий по учебнику.
№91.
а2+3а а _ а2+3а а _
а ab-5b + Sa-40~T+S~ b(a-5) + S(a-5)~T+S~
_ а2+3а а _ а2 -За-а(а-5) _а2-За-а2 +5а _
~ (а-5)(6 + 8) ~7+8" (а-5)(Ь + 8) ~ (а-5)(6 + 8) “
"(a-5)(Z> + 8)'
№99.
Чтобы доказать тождественное равенство данных выраже-
ний, нужно преобразовать их.
. 3 а2 _ 3 а2 _ 3 + а2
а2-За а-3 а(а-З) а-3 а(а-З)’
_ 9а + 3 а2 - За2 + За2 - 9а + 9а + 3 а2 + 3
а + 3 + —--=---------------------=------.
а2 -За а(а-З) а(а-3)
Значит, данные выражения тождественно равны.
• Дополнительное задание. Запишите данные дроби
в виде суммы целого выражения и дроби.
. а2 - За+ 4
а) -—;
а-3
х2 + 4х-16
б) л---•
х-4
Решение
. а2-За+ 4 а2-За 4 а(а-З) 4 4
а)--------—-------1-----—-------1---------— ан-.
а-3 а-3 а-3 а-3 а-3 а-3
х2+4х-16 х2-16 4х (х-4)(х + 4) 4х
б) =-------+-----= ---------- +---=
х-4 х-4 х-4 х-4 х-4
28
V. Итоги урока.
- Как найти общий знаменатель рациональных дробей?
- Как выполнить сложение или вычитание двух рациональ-
ных дробей с разными знаменателями?
- Как выполнить сложение или вычитание рациональной
дроби и целого выражения?
Домашнее задание: № 81, 83, 90 (б, г, е), 91 (б), 97 (б, г).
Урок 11
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
Вариант 1
1. Сократите дробь:
ч 14а4/) . Зх ' /-z2
3 49а3/>2 ’ х2+4х’ 2y + 2z'
2. Представьте в виде дроби:
ч Зх-1 х-9 1 1 ч 5 5с-2
х2 Зх 2а-Ь 2а+ Ь с + 3 с2 +3с
3. Найдите значение выражения:
а2 -Ь
-------а при а = 0,2; b = -5.
а
4. Упростите выражение:
3 х + 15 2
х-3 х2-9 х
5. При каких целых значениях а является целым числом зна-
(а + 1)2-6а + 4
чение выражения 2------------?
а
Вариант 2
1. Сократите дробь:
а)2^Г; б)^-;
26х2у у -2у
ч За-ЗЬ
в)-Т—7Т-
а — и
29
2. Представьте в виде дроби:
ч 3-2а 1-а2 1 1
а)----------—; б)--------------;
2а а" Зх + у Зх-у
ч 4-зг> 3
в) —з---+------•
Ь2-2Ь Ь-2
3. Найдите значение выражения:
Х~6у2 т О П 1
------+ Зу при х = - 8, у = 0,1.
^У
4. Упростите выражение:
2 х + 8 1
х-4 х2 -16 х
5. При каких целых значениях b является целым числом зна-
(b-2)2 + 86 + 1
чение выражения-------------?
Вариант 3
1. Сократите дробь:
22p*q2 7а х2 -уу
а) —~~; б) —----; в)-----—.
99р q а~+5а 4х + 4у
2. Представьте в виде дроби:
. j^-20 5у-2 1 1
а) -----+ ; б)-----------------;
4у у 5с - d 5с + d
ч 7 7а-3
в) ~
а + 5 а + 5а
3. Найдите значение выражения:
1462 -с
--------2Ь при b = 0,5; с = - 14.
7Ь
4. Упростите выражение:
5 2 Зх 21
х-7 х х~ -49 49-х2
5. При каких целых значениях р является целым числом зна-
(2р + 1)2-Зр + 2
чение выражения —------------?
Р
30
Вариант 4
1. Сократите дробь:
75/>sc3 ________
50/>4с4 ’ f b2-9b’
2. Представьте в виде дроби:
ч ЗЬ + 7 Ь2-5 1 1
3Z? b2 4p + q 4p-q
ч 5 - 4 у 4
в) —>—— +----•
У ~6у у-6
3. Найдите значение выражения:
---— — Зр прир - -0,35, q - 28.
4р
4. Упростите выражение:
4____2 2у 10
у у-5 + 25-/ у2-25'
5. При каких целых значениях х является целым числом зна-
(Зх-1)2-6х + 6о
1ение выражения--------------?
х
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
, х 14а4Ь 2а Зх Зх 3
1. а)--г—г - — ; б) —----=------------;
49а3 b2 1Ь х2+4х х(х + 4) х + 4
у2 — z2 = (y~z\y + z) = y-z
2y + 2z 2(y + z) 2
Зх-1 х-9 3(3х -1) + х(х - 9) 9х-3 + х2-9х
2. а) —— +----= —----—— ----=--------------=
х2 Зх Зх2 Зх2
_х2-3|
1 1 _ 2a + b-2a + b _ 2b
2a-b~ 2a + b ~ (2a-b)(2a + b) ~ 4a2-b2 '
. 5 5c- 2 5 5c- 2 5c-5c+ 2 2
B) ------=-------------=---------= —:---.
c + 3 c2+3c c + 3 c(c + 3) c(c + 3) c + 3c
a2-b a2—b — a2 -b
3.-------a =--------=------
a a a
при a = 0,2, b = - 5: —- - = 25.
H a 0,2
. 3 x + 15 2 3 x +15 2
4. --------=---------------------=
x-3 x2 -9 x x-3 (x-3)(x + 3) x
_ 3x(x + 3) - x(x +15) - 2(x2 - 9) _
x(x-3)(x + 3)
3x2 + 9x - x2 -15x - 2x2 +18
x(x-3)(x + 3)
18 — 6x 6(x —3) 6 6
x(x-3)(x + 3) x(x-3)(x + 3) x(x + 3) x2+3x
(a +1)2 -6(7 + 4 a2 + 2a +1 - 6a + 4 <72-4<7 + 5_
a a a
л 5
= a-4-\—.
a
Чтобы исходное выражение принимало целые значения,
е 5 г
яужно, чтобы — было целым числом.
а
Ответ: ± 1; ± 5.
Вариант 2
. . З9х3у Зх 5у 5у 5
1.а)-----= ; б) —— =--------—-------;
26х2/ 2у У2~2у у(у-2) у-2
ч За-ЗЬ З(а-Ь) 3
в) _ _ — —
a2 -b2 (a-b)(a + b) а + Ь
3-2а \-а2 _ а(3-2а)-2(1-а2) _
2а а2 2а"
_ За-2а2-2 + 2а2 За-2
2а2 ~ 2а2 ’
32
1 1 _ Зх- у-Зх- у _ -2у _ 2у
Зх + у Зх-у (3х + у)(3х-у) 9х2-у2 у2-9х2 ’
ч 4-36 3 4-36 3 4-36 + 36 4
в) —-----1---—--------1----=---------= —----.
b2-2b b-2 b(b-2) b-2 b(b-2) b2-2Ь
3 х-6/ ! х-6у2+6у2 X
' 2у У 2у 2у
О л 1 Х ~8 „Л
прих = -8,^ = 0,1: — = — = -40.
2у 0,2
л 2 х+8 1 2 х+8 1
х-4 х -16 х х-4 (х-4)(х + 4) х
_ 2х(х + 4) - х(х + 8) - (х + 4)(х - 4) _
х(х + 4)(х - 4)
2х2+8х-х2-8х-х2 +16 16
х(х + 4)(х - 4) х3 -16х
(b-2)2 +86 + 1 _ Ь2 -46 + 4 + 86 + 1 _ 62 +46 + 5 _
6 6 6
= Ь + 4 +
b
Ответ: ± 1; ± 5.
Вариант 3
, ч 22p4q2 2q la la 1
99р q 9р а2+5а а(а + 5) а+ 5
в) х2-уу = (х-у)(х + у) = х-у
4х + 4у 4(х + у) 4
.у-20 t 5у-2^у(у-20) + 4(5у-2)
4у у2 4у2
_у2-20y + 20y-S у2 -S
4/ ” 4/ ’
~ 1 1 _ 5с + d - 5с + d _ 2d
5с-d 5с+ d (5с - d)(5c + d) 25с2-d2’
33
ч 7 7а-3 7 7а-3 7а-7а + 3 3
в)-------------=------------=-----------= ------•
а + 5 а + 5а а + 5 а(а + 5) а(а + 5) а + 5а
, \4Ь2-с \4Ь2-с-\4Ь2 с
7b 7b 7Ь
с 14
при Ь = 0,5; с = -14:-= — = 4.
7Ь 3,5
л 5 2 Зх 21 5 2 Зх
х-7 х х2 -49 49-х2 х-7 х (х-7)(х + 7)
_ 21 _ 5х(х + 7) - 2(х2 - 49) - Зх2 - 21х _
(х-7)(х + 7) х(х-7)(х + 7)
_ 5х2 +35х-2х2 +98-Зх2 -21х _ 14х + 98
х(х-7)(х + 7) х(х-7)(х + 7)
14(х + 7) 14
х(х - 7)(х + 7) х2 - 7х
(2р + 1)2-Зр + 2 4р2 + 4р + 1-Зр + 2 _4р2 + р + 3 __
Р Р Р
4р + 1 + -
Р
Ответ: ± 1; ± 3.
Вариант 4
, ч 75Ь5с3 ЗЬ 2b 2Ь 2
1. а)--—— = —; б) —----=-------=-----;
50Ь4с4 2с b2-9b b(b-9) Ь-9
d) 7х-7^ 7(х-у) 7
х2-/ (х-у)(х + у) х + у'
ЗЬ + 7 Ь2-5 _b(3b + 7)-3(b2-5) _
3b2 +7Ь-ЗЬ2 +\5 _7Ь + 15
ЗЬ2 ~ ЗЬ2 ’
1 * 1 = 4р-д-4р-д = -2д =
4р + д 4р-д (4р+ д)(4р-д) \6р2-д2
34
q2 *-\6p2i
в) + 4 _ 5-4}/ + 4 _5-4у + 4у _
У2—бу у-6 у(у-6) у-6 у(у-6)
5
У2 -бу
3 12/-? Зр^2р2-д-\2р2^ д
4р 4р 4р
при р = - 0,35, д = 28: - = — = 20.
4р 1,4
4 4___2 [ 2^ 10 = 4__2 2у
' У У~5 25-у2 у2-25 у у —5 (у-5)(у + 5)
10 = 4(у2-25)-2у(у + 5)-2у2 -10у
(у - 5)(у 4-5) Я^-5)(^ + 5)
4у2-100-2/-10у-2у2-10у -20}/-100
У(У ~ 5)СУ + 5) у(у - 5)(}/ + 5)
_ 20(}/ + 5) _ 20 _ 20 _ 20
У(У - 5)0 + 5) у(у~5) у(5-у) 5у-у2 '
_ (Зх-1)2 -6х + 6 9х2 4-6x4-1-6x4-6 9х24-7 л 7
5. 1----------=--------------=------= 9x4- — .
X XXX
Ответ: ± 1; ± 7.
Урок 12
ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
И ВОЗВЕДЕНИЯ ИХ В СТЕПЕНЬ
Цель: формировать умение умножать рациональные дро-
би и возводить их в степень.
Ход урока
I. Организационный момент.
35
II. Устная работа.
Вычислите:
а) -5; 7 , 4 ! . Г 11 4’
б)4-|; д)0>5'|
\ 1 2 в) - • —; 3 5 е)ш2; 1 9 1
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновен-
ными дробями.
Сформулируйте правила умножения рациональных дробей
и возведения их в степень.
Эти правила выносятся на доску.
а с _ а'с (л Y а”
b d bd Ьп
Рассмотрим несколько примеров из учебника, показыва-
ющих применение данных правил.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 108,109,111 (а,г),
115, 116, 112, 114,
Для простоты преобразования дробных выражений жела-
тельно в буквенном выражении на первое место ставить коэф-
фициент и располагать буквы, содержащиеся в числителе и зна-
менателе дроби, в соответствующем порядке.
№ 109.
2,5 4я3 _ 2,5 • 4я3 _ а
) 2а2 5Ь2 ~ 2-5а2Ь2 ~~Ь2'
• Дополнительное задание.
№ 118.
Возведём обе части равенства а - — = 2 в квадрат.
а
36
гт ( 5? . 2 5 25 , 2 25 .
Получим: а— =2 ; а -2а’ —+— = 4; а -10+—= 4;
\ а) а а а
a)
2 25 1Л
a +— = 14.
a
• Работа на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
1. Выполните умножение:
24/ 49? <
35?4 16р
45ху 14xz3 27у3
2Sm5 6
б)----- • 46и .
23w4
4 ’
81 у1 5xz
В) _ 2
IZ
2. Найдите значение выражения:
т8 12и10 т
---—'-у прит = 2,и = -3.
8и т Зп
Карточка 2
1. Выполните умножение:
a3b Зс 2/>V 15m8
а) 15с a2b2 ’ ’ 5m’ 4p3q7 ’
32ab 52Ьс2 54а2с
В) 13с’ 128а’ 81*’
2. Найдите значение выражения:
х3у2 4с 25ху4
——’ •------ при с = 2,х = 6, у = - 1.
5с 15х у с
V. Итоги урока.
- Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.
-Сформулируйте правило возведения рациональной дроби
в степень.
- Как удобно располагать буквы и числа в числителе и зна-
менателе перемножаемых дробей?
Домашнее задание: № 110, 11 (б, в), 113, 117.
37
Урок 13
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ДЕЙСТВИЕ УМНОЖЕНИЯ
Цель: продолжить формирование умения выполнять ум-
ножение рациональных дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Выполните действия:
г) - • 2х;
х
в) 2- — ; е) 4а' —;
2Ь 8
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке задания направлены на сокращение получен-
ных при умножении дробей.
• Выполнение заданий по учебнику: № 119 (а, в, д),
121, 120 (а, в), 123, 125, 127.
№ 123.
г) (5~.У)2 . /-36 = (5-у)2Ч^-6)(у + 6) = (у-5)2(у-6) =
2у + 12 2у-10 20 + 6/20-5) 4(у-5)
Jy-5)(y-6) /-Иу + 30
4 4
№ 125.
Ьх + ЗЬ 25-10х + х2 _ />(х + 3)-(5-х)2 _
х2 - 25 ах + За (х - 5)(х + 5) • а(х + 3)
b(x-5)2 b(x — 5) _ Ьх-5Ь
а(х-5)(х + 5) а(х + 5) ах + 5а
38
№ 127.
1-a2 a2+4aZ> + 4Z>2 _ (l-q)(l + a)-(a + 2ZQ2 _
} 4a + 8Z> 3-3a ” 4(a + 2Z>) • 3(1 - a)
_ (1 + a)(a + 2b) _ a2 + 2ab + a + 2b
~ 12 " 12 ’
Z>3+8 2Z> + 3 _ (Z> + 2)(Z>2-2Z> + 4)-(2Z> + 3) _ b + 2_
Г) \Sb2 +27b b2 -2b + 4~ 9b(2b + 3)-(b2-2b + 4) ~ 9b
• Дополнительное задание. Упростите выражение:
2т 5т
.а а
а) ——: ——, где тип- натуральные числа.
bn b
и+З in+в и+1 i.n+5
а 'о а ‘Ь
о)----:---------——, где п - натуральное число.
с с
Решение
2т 5т
2т-5т 1.2п-п „~3т гп
а)----: —7— =-------— = а • b — а • b .
b" b2n b"aSm
а"*3 -Ь"*6 а"*' -Ь"*5 _ сп*" _ а"*1 Ь"*6с"+’ _
и+7 ’ и+9 п+7 n+\rn+5 п+\ in+5 п+7
с с с a b а b с
^л+3-(и-1) . ^и+6-(и+5) c«+9-(n+7) _ ^2^2
I V. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
Учащиеся выполняют задания, отдельно выписывая ответы.
Затем проводится взаимопроверка, полученные ответы сравни-
ваются с верными, записанными учителем заранее на откидной
части доски.
Вариант 1
Выполните действия:
6 b /и2 24 10х2 у2 21а3
1) 4) 7)
а 10’ 16 тп 9а 2 5ху
4 2х 6х2 10.У3 8л17 ь20
2) — • 5) 8)
X 5 Зх Ь" 24а'5 ’
18 3 с b Зх2 ^У2 5у
3) — • —_ 6) 2а2 9)
с4 24 ’ За2 5/ 9х3 Зх
39
Ответы:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
ЗЬ 5а 8 5 3 4с Зт ~2п 4ху2 2Ь 3 баху 2, з а b 3 2 9х2
Вариант 2
Выполните действия:
1) 2) 8 d_. с 14’ 4х у У 12х ’ 4) 5) 1 9х3 8с 21J2 Зх 2а2' Id 6с2 ’ 2т3 1а2Ь Ъ ГТ' Г’ 35а3/>2 6m3
8) 4m4 п3 w5 2т6 ’
3) 12х5 15 6) 4х2 _1_ 9) 1р1. .4/
25 8х2 ’ 8х ’ 10<?3 14р2 Зр
Ответы:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4J 7с 3 9х3 10 1 6а2х2 4 9cd X бу 1 15аЬ 2п2 т2 рд2 3
За каждый верный ответ выставляется 1 балл.
Критерии оценки:
«5» - 10 баллов;
«4» - 9, 8 баллов;
«3» - 7, 6 баллов;
«2» - менее 6 баллов.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.
- Какие знания и умения необходимы, чтобы сократить ра-
циональную дробь, полученную в результате умножения?
Домашнее задание: № 119 (б, г, е), 120 (б, г), 124, 126 (б, г).
40
Урок 14
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Цель: изучить правило деления рациональных дробей
и формировать умение его применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а)| 5; г) 7:1; о 3 1 о J 1 б) —: 3; д) —: -; 2 4 3 2 2 3 в) 4 —; е)—; 15 7 4 ч 1 2 ж) ; 5 3 ч 5 6 з) 7 7 4 и) — :8. 5
III. Объяснение нового материала.
Сформулируйте правило деления рациональных дробей
(правило выносится на доску):
а с _ a-d
b d b-с
Рассмотрим несколько примеров из учебника, показыва-
ющих применение этого правила.
IV. Формирование умений и навыков.
Отрабатываем правило деления рациональных дробей
на простых примерах: если числитель и знаменатель делимых
дробей являются одночленами.
• Выполнение заданий по учебнику: № 132 (а, в, д, ж),
133,135.
Как и при умножении дробей, выполняя деление, важно сле-
дить за рациональностью проводимых записей.
№ 133.
ч 6х2 Зх 6х2 10 у3 610х2у3 л 2
а)---:----- ----—— =--------— = 4ху .
5у 10д/ 5у Зх 3-5л^
41
. 3ab
’ел
2la2b}3ab
10х2у J 4ху
ЮхМ
21a2Z>)
3-\0ab-x2y_ 5х2
42\ху-а2Ь 14а
•Дополнительное задание. Выполните действия:
ч а а а) —: — • 2а; г) х3у2 : —: у2-
ЗЬ ЬЬ х2
тп х2 1 . 2аЪ 1
6) —— • 9 д) —: -—:(26с);
X п тх Зс бас
ч „ ? X 6х2 Зт2 Зт „,
в) Зху • — е) х 2 :—-:(15mw).
У У 2п2 10й
• Задания на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
Выполните действия:
а) 5х-5у
х 2х2
B)£ii4^4:(/?2_4):
/7-2
3
2/2-4
~ 2а2 Юа
б)-------:--------;
7 25-5а (а-5)2
Карточка 2
Выполните действия:
а а2
ab-b2 ' Ь2-а2 ’
а2 - 6а + 9 2 2
в)--------: (а - 9):---
а + 3 За + 9
/~\ п — 4 .о
б) -у-: (2-л) ;
V. Итоги урока.
- Сформулируйте правило деления рациональных дробей.
- Как удобно располагать буквы и числа в числителе и зна-
ленателе делимых дробей?
Домашнее задание: № 132 (б, г, е, з), 134, 136.
42
Урок 15
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ДЕЙСТВИЕ ДЕЛЕНИЯ
Цель: продолжить формирование умения выполнять де-
ление рациональных дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
ч 1 1
а) -: —;
5 2
х 2 1
ж) —: —
5 2
б) |:5;
в) 4:|;
44
х 4 8
з) —
И 9
х 1 3
и) —
2 8
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке выполняем деление дробей, у которых числи-
тель и (или) знаменатель являются многочленами. Вам приго-
дится умение раскладывать многочлен на множители и сокра-
щать дробь.
• Выполнение заданий по учебнику: № 137 (а, в, д, ж),
138, 139, 142.
№ 139.
2а3 -а2Ь 2а-Ь а2(2а-Ьу9Ь3 _а2Ь
} 3662 ’ 963 ~ 3662-(2а-6) ~ 4
гх 9/72 — 1 . 1-3/7 = (3/7 - 1)(3/7 + 1) > 3(/7 - 2) = _3(3/7+ 1)
pq-2q 3/7-6 q(p-2)(1 -3/?) q
№ 142.
бх аР2 . Р + 3 = а(р2 -9)‘2(/7-2) =
/73 - 8 2/7 - 4 (/7 - 2)(/72 + 2/7 + 4)-(/7 + 3)
43
2а(р-3)(р + 3) _ 2й(р-3)
(р2 +2р + 4)(р + 3) /?+2р + 4'
•Дополнительное ч а2 + 4а + 4 За + 6 а) • ; 2а - 2 а2 - а Зх-Зх2 х2-2х + 1 6) : ; 2у + 1 4/-1 задание. Выполните деление: в) 2z~2.v . (2у ~2z)3. (2z + 2y)3 ' (2y + 2z)2 ' (х-2)2 .(4-2х)3 7 (х-1)2 (З-Зх)2 '
Решение
Зх-Зх2 . х2-2х + 1 _Зх(1-х)’(2у-\)(2у + \)
2/ + 1 ' 4,у2-1 (2у + 1)-(х-1)2
Зх(2у-1)
1 -х
. (х-2)2 (4-2х)3 (х-2)2-(3-Зх)2 (х-2)2-9(1-х)2
r)^lF:^F=(x-l)2-(4-2x)3=(x-l)2.8(2-x)3
9(2-х)2(х-1)2 9
- 8(х-1)2-(2-х)3 ~8(2-х)
• Игра «Дешифровщик».
Когда астрономы начали исследование Вселенной с по-
мощью радиотелескопов, они обнаружили, что многие звёзды
меняют интенсивность и частоту излучаемых ими волн.
Однако некоторые из звёзд испускают постоянный поток волн,
который меняется только в зависимости от времени. Долгое время
ученые не могли объяснить природу этого явления.
Говорили, например, что это радиостанции, с помощью ко-
торых неизвестные нам разумные существа ищут во Вселенной
собратьев по разуму.
Но исследования, проведенные с помощью искусствен-
ных спутников Земли, показали, что эти звёзды являются
просто звёздами огромной величины и состоят из раскален-
ной материи.
Вы узнаете, как называются эти необычные звёзды, если
правильно выполните все задания и составите слово из полу-
ченных букв.
44
Учащиеся выполняют задания по вариантам: первый вариант
получает первую, третью, пятую и седьмую буквы данного сло-
ва, а второй - вторую, четвёртую, шестую и восьмую.
Вариант 1
Z \3 , 2 Л 2
1) [ X | J У Х
2х у3 •
д. —; К. И. 4х П. —.
4х X 2у У
2) а-b а2-9Ь2
а + ЗЬ 2 д2 а — и
о 1 а-ЗЬ . _ а + ЗЬ г» ЗЬ-а
3. Л. : М. Р. .
а + Ь а + Ь а-Ь а + Ь
3) т2 г !3 2п2
т2 -2тп + п2 г I2 -тп
К. — 2 щ2 п2 2 2 т т п
к л М. ; с.
п-т т-п п-т т-п
а2-Ь2 ( а + Ь \ 2
4а4Ь2 \Ъа2Ь •
н. — р 9(а-/>); Т.^|; v 3(t7-Z>) Л.
4(а + Ь) 4(а + о) а + Ь а + Ь
Варна нт 2
( 2>3 т 2т4 2
1) 3 * 5
п ) 1 п J
п2 1 Л п 1
А. -Ц Е. О. —; у- —Г
4т2 2тл 2т 4m2
2) х2 —4х х2 —16
Sa1 16а4
ах2 ах _ 2ах „ 2ах
и. у. : Ь. ; Ю. .
х-4 х + 4 х + 4 х-4
45
3) , 1 , (4Z>2-4aZ> + a2).
a2-4Z>2
а а-2Ь
А.------;
а + 2Ь
z \2
2Ь + а
,з з
а-2Ь
2Ь + а
2Ь-а
4)
2 У J х2-2ху + у2
И. -
С.
Ы.
Ответ: ПУЛЬСАРЫ.
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте правило деления рациональных дробей.
- Что нужно сделать, чтобы сократить рациональную дробь?
- Какие существуют способы разложения многочлена на мно-
жители?
Домашнее задание: № 137 (б, г, е, з), 140, 141.
Урок 16
СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ
С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ДРОБЯМИ
Цель: формировать умение упрощать выражения, содер-
жащие различные действия с рациональными дробями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
Выполните действия:
!) У.х2~хУ.
2)
3) 2 2
4х2-у 4х
4)
ах-ху а2 -ау
а х
я2-6а+ 9 2а -6 , _ч2
---;----:-----‘(а-2) .
а2 —4 а + 2
2
2 у - 2х .
46
Вариант 2
Выполните действия:
' 2а ab-b2 ’
ТА х Зх-1
' 1-9х2 5х2 ’
ab + ac ab-ac
be be2
.. х2—9 3-х х
4) :---------•
х + 4х + 4 Зх + 6 х + 3
III. Объяснение нового материала.
Необходимо разобрать примеры 1 и 2 из учебника. Вопросы
о преобразовании «многоэтажных» дробей и вычислении сред-
него гармонического ряда целесообразно рассмотреть на сле-
дующих уроках.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 148(а,в), 149(а, в),
150 (а), 151 (а), 152 (а, в), 153 (а, в).
Преобразования можно выполнять как по действиям, так
и «цепочкой». Выбор способа зависит от особенностей дробных
выражений, а также от личного желания учащихся.
Например, выражение из задания № 148 (а) удобно пре-
образовывать «цепочкой»:
( X 1 ( 1 l^fx2 у2 У ( X уУ
— — : - + - = —_ 2 : — + — =
х) х) \ху ху ) ^ху ху)
= X1 - у2 . х + у = (х - у)(х + у) • ху = х — у
ху2 ху ху2-(х + у) у
Выражение из задания № 150 (а) выполнять по действиям:
(2т + 1 2т-1А 4т
^2m-l 2т+ 1) Ют-5
2т+ 1 2т-1 _ (2т + 1)2-(2т-1)2 _
2т-1 2т+ 1 (2т-1)(2т + 1)
_ 4т2 + 4т +1 — 4т2 + 4т -1 8m
(2т - \}(2т +1) (2т - l)(2m +1) ’
47
8m 4m _ 8m- 5(2m -1) _ 10
(2m - l)(2m +1) 10m-5 (2m-l)(2m + l)-4m 2m+ 1
№ 153.
a) (a2 + 2a + !)[ -Ц.+-J—-L. ].
a +1 <7-1 a -1)
1 1 1 _ 67 - 1 + 1 - 67 -1 _ 1 _ 1
67 + 1 a2-l <7-1 <72 — 1 <72 — 1 1-6?2 ’
2) (<72 + 2<7 +1) --------
1 - a2
(67 +1)2 67 + 1
(1 — <7>(1 + <7> — 1 — 67
2_______2 _ 2(67+ 2)-2(67-2) _ 267 + 4-267 + 4
} 67-2 67 + 2 " (67-2)(67 + 2) " (67-2)(67 + 2)
8
~ (67-2)(67 + 2)
Зб7 + 2 4<7-3<7-2 <7-2
2) <7-------=----------=-------;
4 4 4
3) 8 67-2 _ 8-(<7-2) _ 2
} (б7-2)(б7 + 2) 4 "(б7-2)(б7 + 2)-4”б7 + 2’
.. 1 2 <7 + 2-2 <7
4) I------=---------=------.
<7 + 2 <7 + 2 <7 + 2
V . Итоги урока.
-Как выполнить сложение или вычитание нескольких ра-
циональных дробей?
- Сформулируйте правила умножения и деления рациональ-
ных дробей.
- Какими способами можно упрощать выражения, содержа-
щие совместные действия с рациональными дробями?
Домашнее задание: № 148 (б, г), 149 (б), 151 (б), 152 (б),
153 (б, г).
48
Урок 17
СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ДРОБЯМИ
Цель: продолжить формирование умения выполнять пре-
образования на совместные действия с дробями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
8;
ч 5 2 1 7
з) -•-------• —
6 3 2 9
х-2у 1 х4-2у । (х4-2у)2
х24-2ху х2 -4у2 (2y-x)2J 4у2
III. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику:№ 154 (а, в), 155,
159,161.
№ 155.
б)
1 х + 2у ____1-(х-2у)2_______ х-2у
х2 - 4у2 (2у -х)2 (х - 2у)(х + 2у) • (х + 2у) (х + 2у)2 ’
2} Х~2У _ Х~2У = х-2у _ х-2у =
х2+2у (х + 2у)2 х(х + 2у) (х + 2у)2
_ (х - 2у)(х + 2у) - х(х - 2у) _ х2 - 4у2 - х2 4- 2ху _
х(х 4- 2 у)2 х(х 4- 2у)2
2ху-4у2 .
х(х + 2у)2 ’
2ху-4у2 (х + 2у)2 = 2у(х - 2у) • (х + 2у)2 = х-2у
х(х + 2у)2 4у2 х(х + 2у)2-4у2 2ху
49
№ 161.
3 2 (
У х -ху X_____________у_
х-у х2 + у2 Цх-у)2 х2-у2
! X х________У = х_____________У =
(х - у)2 X2 -у2 (х - у)2 (х - у)(х + у)
= х(х + у) - у(х - у) = X2 +ху-ху + у2 = х2 +у2 .
(х + у)(х - у)2 (х + у)(х - у)2 (х + у)(х - у)2 ’
. х3 - ху2 х2+у2 _ х(х- у)(х + у)(х2 + у2) _ х
х2+/ (х + у)(х-у)2 (х2 +у2)(х + у)(х-у)2 х-у’
3) у х = у~х = 1
х-у х-у х-у
Таким образом, исходное выражение принимает значение -1
при любых значениях переменных х и у.
• Дополнительные задания (для учащихся с высо-
ким уровнем подготовки).
№ 157.
Сначала упростим данное выражение:
(0,5(а -1)2 -18)(.
\а-7 а + 5)
а + 5 а —7 _ (а + 5)2 + (а-7)2
а-7 а + 5 (а- 7)(а + 5)
_ а2 + 10а + 25 + а2 - 14а + 49 2а2-4а + 74
(а-7)(а + 5) " (а-7)(а + 5) ’
2) 0,5 (а - I)2 - 18 = 0,5 (а2 - 2а + 1) - 18 = 0,5а2 - а + 0,5- 18 =
= 0,5а2-а - 17,5;
3) 2,(°2~2/ + 3Р • (0>5а2 - а -17,5) =
(а-7)(а + 5)
(а2 -2а + 37)(а2 -2а-35) 2 _
а С*« । «Л / •
а2 -2а-35
Представим полученный многочлен в виде суммы квадрата
двучлена и некоторого числа:
а2 - 2а + 37 = а2 - 2а + 1 - 1 + 37 = (а - I)2 + 36.
50
Поскольку выражение (а - 1 )2 неотрицательно при любом а,
то выражение (а- I)2 + 36 принимает наименьшее значение при
а = 1, и это значение равно 36.
Ответ: 36.
№ 160.
1,2х2-лу _ 20х
а) 0,36х2 -0,25/ ~6х + 5/
Преобразуем выражение, стоящее в левой части равенства:
1,2х2-лу _ х(1,2х-у) _
0,36х2 - 0,25/ (0,6х - 0,5/(0,6х + 0,5у)
_ 2х(1,2х - у) _ 2х(\,2х-у) _
~ 2(0,6х-0,5/(0,6х + 0,5/ “ (1,2х - /(0,6х + 0,5/ ”
2х _ 10 2х _ 20х
0,6х + 0,5у 10 • (0,6х + 0,5/ 6х + 5 у
Таким образом, эти выражения тождественно равны.
• Задания на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
Упростите выражение:
а3-Ь3 (а + Ь а-Ь\ a2+ab + b2
2а + 2Ь \а-Ь а + Ь) а2-Ь2
Решение
a + b ±a-b _(а + Ь)2 + (а-Ь)2 _
а-Ь а + Ь (а- Ь)(а + Ь)
a2+2ab + b2+а2-2аЬ + Ь2 _ 2а2+2Ь2
(а - Ь)(а + Ь) (а — Ь)(а + Ь) ’
a3-ft3 2а2 + 2Z>2 _ (a-Z>)(a2 +a6 + &2)-2(a2 +fe2) =
2a + 2b (a-b)(a + b) 2(a + b)(a-b)(a + b)
(a2 +ab + b2)(a2 +b2)
(а + Ь)2
51
(<72 + ab + b2)(a2 + b2} a2 + ab + b2
{a + b}2 a2-b2
_ (a2 + ab + b2 }(a2 + b2 }(a - b}(a + b) _ (a2 + b2}{a -b}
{a + b}2{a2 +ab + b2} a + b
Карточка 2
Упростите выражение:
\-2b2-2ab (a2+ab + b2 b3-a3 } a2-ab + b2
b2-a2 <73+Z?3 a2 - ab + b2 , a3-b3
Решение
Данное выражение лучше преобразовать «цепочкой», при
этом рациональнее будет сначала раскрыть скобки:
\-2b2-2ab a2+ab + b2 a2-ab + b2
Ьг-аг + a3+fe3 ’ a3-ft3
b3 -a3 a2-ab + b2 _ \-2b2-2ab
a2 -ab + Ъ2 а3 -Ь3 Ь2 - а2
! (a2+ab + b2}{a2-ab-b2}
(а + b}(a2 - ab + b2)(а -b}(a2 + ab + b2}
_ \-2b2 -2ab 1 1 _ 1-262-2ab-\ + b2-а2 _
{Ь - а}(Ь + а) (а + Ь}{а -Ъ} (Ь- а}{Ь + а}
_-b2 - 2аЬ-а2 _ {b + а}2 _ b + а _а + Ь
(Ь - а}(Ь + а) {Ь- а}(Ь + я) b-а а-Ь
IV. Итоги урока.
- Как выполнить сложение или вычитание рациональных
дробей? Сформулируйте правила умножения и деления рацио-
нальных дробей.
- Какими способами можно упрощать выражения, содержа-
щие совместные действия с дробями?
Домашнее задание: № 154 (б, г), 156, 162; № 158, 160 (б)
(дополнительно).
52
Урок 18
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Цель: формировать умение преобразовывать дроби, чис-
литель и знаменатель которых являются дробными выражениями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
j_ 2 ]_
a) Y; б) -2-; в) у ; г) у; д) у; е) у;
3 j 1 1 Z 1
2 3 3 2
ж) у;
5
2
3>т-
4
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Упростите выражение:
ч 10-Зти 6-5ти т т2-4
а)--------------+------------;
т + 2 т + 2 т + 2 т
( а2 + 2^ \-2а + а2
б) а-------•----------.
, <7-1 1 <7 + 2
Вариант 2
Упростите выражение:
ч Зх-4 2х-5 х х
а)------------+ : —;—;
х +1 х +1 х +1 х -1
( а2 -3 । 3-2<7
б)----------<7--------: -.
I <7-2 ) 4-4<7 + <72
IV. Объяснение нового материала.
Вы уже знакомы с аналогом изучаемых дробей - «много-
этажными» числовыми дробями и знаете несколько приёмов уп-
рощения таких выражений. Сейчас рассмотрим пример 3 из
учебника.
53
V. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 163 (а, в), 164,
168 (а), 166.
№ 166.
ab
a + b _ab-a(a + b) _ab-a2 -ab _ а2
ab ь ab-b(a + b) ab-ab-b2 b2
a + b
a a-b aka + b)- b(a - b) a2 + ab-ab-b2
6) ft a + b = b(a + b) = b = ~b2)
' b ! a-b b(g + b) + a(a—b) ab+b2+a2-ab b(a2+b2)'
a a + b a(a + b) a
• Дополнительное задание (для учащихся с высо-
ким уровнем подготовки).
№ 169.
Чтобы это выражение имело смысл, необходимо потребо-
вать от всех входящих в его запись знаменателей необращения
в нуль, то есть:
1)х-2*0, 2)3----— *0
х-2
х 2; 3(х - 2) - 1 0,
Зх - 6 - 1 0,
Зх 7,
7 „1
хФ — . Ответ:х^2, х^2—.
3 3
VI. Итоги урока.
-Сформулируйте правила действий с дробными выраже-
ниями.
- Какими способами можно преобразовать дробь, числитель
и знаменатель которой являются дробными выражениями?
Домашнее задание: № 163 (б, г), 165, 168 (б), 167 (дополни-
тельно).
54
Урок 19
НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ГАРМОНИЧЕСКОГО РЯДА
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Цели: формировать умение отыскивать среднее гармони-
ческое для ряда положительных чисел; продолжить формирова-
ние умения выполнять преобразования дробных выражений.
2’
_ О
~4Г
3 .
2 4’
3 7
г) -• — Ц;
5 2
ч 2 5 А
д) 7+т'2;
3 о
ч 5 1 2 1
е) — • —
6 2 3 4
а) 7 и 10;
б) 3,5 и 13;
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислите:
А 1 • 1
а 2 3
6)-:f-
5 <2
ч 7 1
в) —
8
2. Найдите среднее арифметическое чисел:
в) 0,5 и — ;
4
ч 1 2 3
г) , , •
7 7 7
III. Объяснение нового материала.
Рассмотрим задачу на вычисление средней скорости, в кото-
рой данные будут числовыми.
Задача. Одну и ту же дистанцию лыжник прошёл сначала
со скоростью 18 км/ч, а затем - со скоростью 20 км/ч. Какова
была средняя скорость на всём пути?
Очень часто учащиеся допускают ошибку: находят среднюю
скорость как среднее арифметическое данных скоростей. Так
отыскивать среднюю скорость нельзя. Чтобы найти среднюю
скорость, нужно разделить весь пройденный путь на общее вре-
55
мя движения на этом пути. Если обозначить длину дистанции
как S км, то в первый раз лыжник потратил на её прохождение
S S 2S
— ч, а во второй раз — ч. Получим: V = —--—.
ср S S_
18 + 20
Упростим полученное дробное выражение:
2S _ 2 _ 2 2 _ 360 _ 18
s JL X 1 ~ 10 9 ~ 19 ~ 19 ~ 19
18 20 18 20 180+ 180 180
Таким образом, средняя скорость лыжника на всём пути бы-
1О18
ла равна 18— км/ч.
Рассмотрим пример 4 из учебника, в котором показан общий
вид решения подобных задач. Объясните понятие среднего гар-
монического ряда положительных чисел.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы:
1-я группа. Задачи на нахождение среднего гармониче-
ского ряда положительных чисел: № 170 (а, в), 171, 172, 173.
2-я группа. Задания на преобразование дробных выраже-
ний: № 247, 248 (а, в), 249 (б).
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 247.
56
-a2-3ab + b2 + 3ab-2b2 -a2-b2 4 7 a2 -1 b2 |
= 4_______________= _4_____= U 9 J = „
fl 1 , V 1 1 , 1 2 1 12 1 2 1 12
— a—b —a + — b — a —b —a —b
12 3 Л 2 3 J 4 9 4 9
Таким образом, исходное выражение не зависит от значений
а и Ь.
№ 249.
б) Чтобы выражение ----Ц— имело смысл, необходимо
X
выполнение трёх условий:
1) х 0;
2)1 —1*0; 1*1; х*1;
X X
3)1---!—*0; —Ц-*1; 1-1*1; 1*0.
1-_ 1- х х
X X
Ответ:х^О;х^1.
V. Итоги урока.
-Сформулируйте правила действий с дробными выраже-
ниями. Как найти среднюю скорость движения на определённом
участке пути?
- По какой формуле вычисляется среднее гармоническое ря-
да положительных чисел , ап?
Домашнее задание: № 170 (б), 250, 251, 248 (б, г).
Урок 20
к
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у = —
X
Цели: ввести понятие функции обратная пропорциональ-
ностью формировать умение строить график этой функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
57
II. Устная работа.
Выразите из формулы величину х:
а) у = х • z; г) За - сх;
б) а = b • х; д) у = 2xz;
в) t - 7х; е) р2 = —4йс.
III. Объяснение нового материала.
1. Введение функции обратная пропорциональность (рас-
смотрение реальных процессов и ситуаций).
Пример 1. Пешеходу надо пройти 12 км. Если он будет
идти со скоростью V км/ч, то зависимость времени /, которое
он затратит на весь путь, от скорости движения выражается
ж - 12
формулой t = — .
Пример 2. Площадь прямоугольника равна 60 см2, а одно
из его измерений равно а см. Тогда второе измерение можно
ж и 60
наити по формуле о = — .
а
Пример 3. Количество товара т, которое можно купить
на одну и ту же сумму денег в 500 р., зависит от его стоимости Р
, R ч ~ . 500
(в рублях). Эта зависимость выражается формулой т =-.
Полученные в примерах формулы выносятся на доску:
12 , 60 500
t = —; b =—; т =
V а Р
- Что общего имеют все данные формулы? Запишите полу-
_ к
ченные зависимости в общем виде: у = —.
х
Заметить, что в данной формуле величины находятся в об-
, к
ратно пропорциональной зависимости, поэтому функцию у = —
х
называют обратной пропорциональностью.
58
На доску выносится запись:
Функция, заданная формулой вида у - —, где к Ф О,
х
называется обратной пропорциональностью
Задание. Укажите, какие из функций являются обратной
пропорциональностью.
ч 3 ч 7 ч 5
а)у = -; в)у = —; д) у = -', ж) у = —;
X X 5 X
б)у = 2х-1; r)y = LX; 4 0,6 е) у = ; X ч 1 3) у = ~— 2х
2. График функции у = —.
х
12
Построим график функции у = —. По этому графику опи-
х
шем некоторые свойства функции. Затем построим график
х 12 х л. 12
функции у =----и сопоставим его с графиком функции у = —.
х х
Сделаем вывод о расположении гиперболы в зависимости
от коэффициента к (№ 192). Занесем в тетрадь следующую ил-
люстрацию:
_ к
Функция у = —
X
График - гипербола
59
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение з а д а н и й: № 179, 182, 185, 181.
• Дополнительное задание. Графиком какой из функ-
х 1 3
ций у = — , у = —х, у = — является гипербола? Постройте эту
3 3 х
гиперболу.
• Задание для сильных учащихся: № 257 (а, д).
4
а) Для построения графика функции у = рт необходимо рас-
смотреть два случая. При х > 0 данная функция совпадает с функ-
- Функция какого вида называется обратной пропорцио-
нальностью?
60
- Что является графиком функции у = — ?
х
- В каких координатных четвертях расположен график функ-
£
ции у = — в зависимости от к!
- Какова область определения функции у = — ?
х
Домашнее задание: № 180, 184, 193, 257 (б, г) (дополни-
тельно).
Урок 21
к
ФУНКЦИЯ у = — И ЕЕ ГРАФИК В РЕШЕНИИ
X
РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цель: продолжить формирование умения использовать
, , к
понятие, свойства и график функции у = — при решении раз-
личных задач.
Ход урока
1. Организационный момент.
II. Устная работа. Даны функции:
Какие из них являются обратной пропорциональностью?
Среди таких функций найдите те, которые:
а) расположены в I и III координатных четвертях;
б) расположены во II и IV координатных четвертях;
в) положительны на промежутке (0; + оо);
г) отрицательны на промежутке (0; + оо).
III. Проверочная работа.
Вариант 1
4
Дана функция у = —.
х
61
1) Найдите значение у, соответствующее значению х, равно-
му 2; 8; -1; -7.
б) Найдите значение х, которому соответствует значение у,
равное 2; - 1; - 8.
в) Постройте график этой функции.
г) Укажите, при каких значениях х функция принимает по-
ложительные значения.
Вариант 2
, 6
Дана функция у = —.
х
а) Найдите значение у, соответствующее значению х, равно-
му 2; 8; - 3; - 9.
б) Найдите значение х, которому соответствует значение у,
равное - 3; 1; 12.
в) Постройте график этой функции.
г) Укажите, при каких значениях х функция принимает по-
ложительные значения?
IV. Формирование умений и навыков.
• № 183, 190 (в), 191, 186 (а), 187.
• В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить
несколько дополнительных заданий, связанных с использовани-
, , „ к
ем графика функции у - — при решении уравнении.
х
№ 188.
Проиллюстрируйте каждый из случаев.
62
№261.
Если ответ на вопрос будет положительным, то необходимо
показать его на рисунке.
Графики функций у = — и у = кх + Ь
х
могут пересекаться только в одной
точке. В этом случае прямая касается
одной из ветвей гиперболы.
в) Прямая не может пересекать гиперболу в трёх точках. Это
утверждение можно доказать, решая соответствующее уравне-
£ L
ние: — = ах + b.
х
63
Преобразовав это уравнение, получим квадратное уравнение
ах1 +Ьх-к = 0, которое не может иметь более двух корней.
к
Значит, графики функций у = — и у = кх + Ь не могут пере-
х
секаться в трёх точках.
Найдите координаты какой-нибудь точки, принадлежащей
, , 5
графику функции у = — и находящейся от оси х на расстоянии,
х
меньшем, чем 0,1.
Решение
Сначала необходимо изобразить схематически график функ-
ции у = — и прямые у = 0,1 и у = - 0,1, поскольку точки, нахо-
X
дящиеся от оси х на расстоянии 0,1, лежат на этих прямых.
Прямые у = 0,1 и у = - 0,1 пересекут ветви гиперболы в точ-
ках А и В, которые находятся от оси х на расстоянии, равном 0,1.
Очевидно, что все точки на гиперболе, расположенные правее
точки А, будут ближе к оси х, значит, находятся на расстоянии,
меньшем 0,1. То же самое можно сказать обо всех точках гипер-
болы, находящихся левее точки В.
Найдем абсциссу точки А : 0,1 = — , откуда х = 50.
х
Таким образом, для нахождения искомых точек можно брать
те точки, абсциссы которых больше 50. Аналогично получаем,
что для левой ветви гиперболы такими точками будут те, абс-
циссы которых меньше - 50.
V. Итоги урока.
к
- Как называется функция у = — ? Что является ее графиком?
х
к
- В каких четвертях расположен график функции у = — ?
х
к
- Какова область определения функции у = — ?
х
Домашнее задание: № 186 (б), 189, 190 (б), 262 (дополни-
тельно).
64
Урок 22
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Вариант 1
1. Представьте в виде дроби:
42л5 у2
у* 14л5 ’
4а2 -1 ба + 3
а2-9 ' а + 3 ’
а)
_ 63б7 Ь 2i_\
б)--------:(18д Ь);
с
2.
Р \Р~Я я)
Постройте график функции у = —. Какова область опре-
х
деления функции? При каких значениях х функция принимает
отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях b ф ±1 значение выра-
z, 1\2 ( 1 1 2 ,
жения (о-1) • —z------+ —; ч-------не зависит от о.
Iz>2 3 *-2Z> + 1 Z>2-1J Z> + 1
4. При каких значениях а имеет смысл выражение-—— ?
3 + —---
4я-6
Вариант 2
1. Представьте в виде дроби:
. 2а 7 24Z>2c 166с
а)---z-’17х7у; б)---2-:-^-;
51х6у За6 а5
ч 5х + 10 х2—1 ч у + с \ с с |
В)---— г) —------------.
х-1 х -4 с [у у + с)
2. Постройте график функции у = . Какова область опре-
х
деления функции? При каких значениях х функция принимает
положительные значения?
3. Докажите, что при всех значениях хф ±2 значение выра-
х (х-2)2 <1 1 А
жения------------— • —----+ —-------- не зависит от х.
х + 2 2 1х2-4 х2-4х + 4/
65
4. При каких значениях Ь имеет смысл выражение--— ?
2~3-2/>’
Вариант 3
1. Представьте в виде дроби:
, 28Й6 с5 „ „ , 72ху
а) —— •----; б) ЗОх у :--;
с3 84Z>6 z
ч Зх + 6 х2 3-9 ч la-b (а а\
в) -----• —;--; г) ----• -----+ - .
хч-3 х2-4 а \2a-b Ь)
4
2. Постройте график функции у = —. Какова область опре-
х
деления функции? При каких значениях х функция принимает
положительные значения?
3. Докажите, что при всех значениях у ±3 значение выра-
2у 2 f 2 1
жения------1- (у - 3) • ------ ч--- не зависит от у.
у + 3 1^9-буч-у2 9-/J
Зх
4. При каких значениях х имеет смысл выражение--— ?
1- 6-
10-5х
Вариант 4
1. Представьте в виде дроби:
б) 45я3/?-- с2
q 56р ЗОя т>
ч Зя-9 я2 -9 в) . : 2 J . Зх ч- у г) "у Зу
яч-2 я2-4 У ^х Зх + у
2. Постройте график функции у - —. Какова область опре-
х
деления функции? При каких значениях х функция принимает
отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях а ±5 значение выра-
( 3 1 (5-я)2 Зя
жения ------- ч—:--------- •-------ч-----не зависит от а.
\2S-a2 я2-10яч-25у 2 я + 5
66
4. При каких значениях у имеет смысл выражение
$У___
7
6 + 2.у
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
42х5 у2 _ 42х5у2 _ 3
у4 14х5 ~ 14х5/ ~ у2 ’
63a3b Z1O 2 1 ч 63а3 b 1а
-----:<18й = =
с----18я Ьс 2с
ч4д2-1 бя + 3 (2я-1)(2д + 1)-(д + 3) 2а-1
в) • — — ,
а2-9 а + 3 (а-3)(а + 3)-3(2а + \) За-9
Г) Р~^ .[ Р । . Р । р-я .Р =
Р \Р~Я Я) Р Р~Я Р Я
=! + р~я = я + p-q = р_
я я я
67
Область определения функции: (- оо; 0) о (0; + оо).
Функция принимает отрицательные значения при х е (- оо; 0).
3. Упростим данное выражение:
,, 1Ч2 ( 1 0 2
(b — 1) • — -----1—- н-------.
<6-26 + 1 £>2-lJ 6 + 1
1) 1 । О 1 । 1
b2 -2b + \ + b2 - \ (6-1)2 + (b-1)(6 +1)
6+1+6-1 _ 2b
(6-1)2(6 + 1)~(6-1)2(6 + 1)’
,, П2 2b (6-l)2-26 2b .
2) (6-1) •-------=------------------
(6-l)2(6 + l) (6-l)2(6 + l) 6 + 1
3 26 ! 2 26 + 2 2(6 + 1) 2
6+1 6+1 6+1 6+1
Таким образом, при любом значении 6 данное выражение
равно 2, то есть не зависит от 6.
. -г 15а
4. Чтобы выражение -----—-— имело смысл, должны вы-
з+О
4а-6
подняться два условия:
1)4а-6*0 2) 3 + -7!—*0 4а - 6
4а Ф 6 12а- 18 + 21 *0
а = 1,5 12а т^-3
1 а Ф — 4
Ответ: а 1,5; а ~4 ’
Вариант 2
2а 7 2-Мах1 у 2ах
1.а) —Ц—- 17jc7 у =--^- =---;
51х6у 51х6у 3
68
24b2c 16bc _24b2c'a5 _ b
За6 a5 3a6-\6bc 2a’
5x + 10 x2 — 1 5(x + 2)(x-l)(x +1) _ 5x +10
x-1 x2 — 4 (x - l)(x - 2)(x + 2) x-2
г) У +c | c c । _ у + c c У+ c c _ У.+ c । _
c y + c J с у c y + c c
y+c-y_c
У У '
Область определения функции: (- оо; 0) и (0; + оо).
Функция принимает положительные значения при х е (- оо; 0).
3. Упростим данное выражение:
х_____(х-2)2 ( 1 1
х + 2 2 L-x2-4 х2-4х + 4
1) 1 । 1 1 ।
} х2-4 + х2-4х + 4 (х-2)(х + 2) + (х-2)2
69
х - 2 + х + 2 2х
~ (х + 2)(х - 2)- ” (х + 2)(х - 2)2 ’
(х-2)2 2х _ 2х-(х-2)2 _ х .
2 (х + 2)(х-2)2 ” 2-(х + 2)(х-2)2 " х + 2 ’
3) —-------— = 0.
х + 2 х + 2
Таким образом, при любом значении х данное выражение
равно нулю, то есть не зависит от х.
56
-------- имело смысл, должны вы-
2--——-
3-2*
4. Чтобы выражение
полниться два условия:
1)3-26*0
26*3
6 * 1,5
4
2) 2------*0
3-26
6 - 46 - 4 * 0
46*2
6*0,5
Ответ: 6 * 0,5; 6 * 1,5.
Вариант 3
, ч 28*6 с5 28* с5 с2
1 • а) —г- ’-г =--гт = — J
с’ 84*6 84*6с3 3
™ 2 72xv 30х2у-х 5xz
б) ЗОх у :-— -------— =----
z Т2ху 12
Зх + 6 х2 -9 _ 3(х + 2)-(х-3)(х + 3) _ Зх-9
В х + 3 х2-4 " (х + 3)-(х-2)(х + 2) ” х-2 ’
. 2а -Ь ( а аУ 2а -Ь а 2а-Ь а
г)------• ----+ — =--------•-----+-----• —
а \2a-b b) а 2а-b а b
, 2а -b b + 2a-b 2а
1 +----=--------=-----
70
Область определения функции: (- оо; 0) о (0; + оо).
Функция принимает положительные значения при х е (0; + оо).
3. Упростим выражение:
2у ( ( 2 1
—— + (у-3)2 • -------- +------ .
у + 3 1^9-бу + у 9-у )
1) 2 । 1 2 । 1
9-6у + уг+9-у2 (3-у)2+(3-у)(3 + у)
_ 6 + 2у + 3-у _ у+ 9
"(3-у)2(3 + у)"(3-у)2(3 + у)’
2)(у з)2- у+9 ^(у~^2'(у+9^у+9-
(3-у)2(3 + у) (3-у)2(3 + у) у + 3’
3 2у ! у + 9 = 2у + у + 9 = Зу + 9 = 3(у + 3)
у + 3 у + 3 у + 3 у + 3 у + 3
71
Таким образом, при любом значении у данное выражение
равно 3, то есть не зависит от у.
Зх
4. Чтобы выражение ----— имело смысл, должны вы-
1—
10-5х
подняться два условия:
1)10-5x^0 2)1------—+ 0
10-5х
5х 10 10 - 5х - 6 0
х 2 5х 4
4
х —
5
4
Ответ: х 2; х .
5
Вариант 4
14/ д5 Ыр4д5 = 1 .
д6 56р4 56р4д6 4д ’
.. з, с2 45<73Zrс2 Зс2
б) 45а*Ь •---— =-----------;
30б/46 30а4Ь 2а
За-9 а2 -9 _ 3(а-3)'(а-2)(а + 2) _ Зо-б
В а + 2 V-4- (а + 2)-(а-3)(а + 3) ~ а + 3 ’
Зх + у ' у Зу _3х +у у Зх + у Зу _
у \х Зх + у J у х у Зх + у
Зх + у ^_3х + у-Зх _ у
X XX
72
Область определения функции: (- оо; 0) о (0; + оо).
Функция принимает отрицательные значения при х е (0; + оо).
3. Упростим данное выражение:
( 3 1 (5-а)2 За
1^25-а2 + а2-10а+ 25J " 2 + а + 5’
25-а2+а2-10а + 25 (5-аХ5 + а) + (а-5)2
_15-За + 5 + а_ 20-2а
(5-а)2(5 + а) (5-а)2(5 + а)
20-2а (5-а)2 _ 10-а .
(5-а)2(5 + а) 2 ” 5 + а ’
10-а+ За _ 10 + 2а _ 2(5+ а) _
5 + а а + 5 а + 5 а + 5
Таким образом, при любом значении а данное выражение
равно 2, то есть не зависит от а.
73
4. Чтобы выражение
имело смысл, должны вы-
6 + 2у
7
2) 2-------*0
6 + 2у
12 + 4у - 7 ф 0
4у*-5
4
полняться два условия:
1) 6 + 2у * О
2у Ф -6
У*~3
Ответ: у ф -3; у ф
Урок 23
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДРОБИ В ВИДЕ СУММЫ ДРОБЕЙ
Цели: изучить метод неопределённых коэффициентов;
формировать умение представлять рациональную дробь в виде
суммы дробей.
Ход урока
I. Изучение нового материала.
Существуют задачи, в которых нужно уметь выполнять дей-
ствие, обратное сложению дробей: представлять рациональную
дробь в виде суммы дробей.
Разберем три основных приёма, позволяющих со-
вершить данное действие.
1-й приём. Использование элементарных преобразований
2т + 3 _ 2т-2т + 2 + 3 2(т-1) + 5 5
т-1 т-1 т-1 т-1
2-й приём. Деление уголком числителя на знаменатель
(пример 3 из учебника).
3-й приём. Метод неопределённых коэффициентов (при-
мер 1 из учебника).
74
II. Формирование умений и навыков.
1. № 197, 198, 199 - использование метода неопределённых
коэффициентов.
2. № 200, 201, 203 - выделение целой части из дроби путём
деления числителя на знаменатель.
3. № 202, 204 - выделение целой части из дроби с помощью
элементарных преобразований.
4. № 205, 206, 207.
•Выполнение заданий.
№ 205.
тл 1 1 1 и
Известно, что — + — = — . Необходимо наити все пары нату-
а b 7
ральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
Выразим из этого уравнения переменную а через Ь:
1-1_1 -Izl-
а ~ 7 b ~ lb ’
lb lb-49 + 49 l(b-l) +49 n 49
a —----—-----------—-----------— 74----.
b-1 b-1 b-1 b-1
49
Значение дроби -—— является натуральным числом в трёх
случаях: b - 7 = 1 Ь-1 = 7 Ь-1 = 49
b = 8 6=14 6 = 56
Ответ: (56; 8), (14; 14), (8; 56).
№ 206.
х — V
Известно, что --— = 2. Преобразуем выражение, стоящее
У
X у _ X X
в левой части равенства:-— = 2;---1 = 2; — = 3.
У У У У
х
Таким образом, теперь нам известно значение выражения —.
У
Выделим целую часть из данной в условии дроби.
Зх2 - ху 4- 6у2 Зх2 ху бу2 _ f х ,
---------— = —Z----у + -Аг- - 3 — — ч- 6. Подставляя
У У У У [yj У
в это выражение значение — = 3, получим: 3 • З2 - 3 + 6 = 30.
У
Ответ: 30.
75
Г л а в a II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Урок 24
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Цели: изучить множество рациональных чисел; формиро-
вать умение сравнивать рациональные числа и представлять их
в виде бесконечных десятичных дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Сравните числа:
а) 0,07 и 0,123; г) -2-| и-2,1;
б) 1-J- и 1,02; д) 0,913 и 0,91;
4
в) -3,72 и -3,6; е) 6,7 и бу.
2. Переведите обыкновенную дробь в десятичную:
12 4 1 3 7
а)-; б)-; в)--; г)-; д) е)
III. Объяснение нового материала.
1. Введение множества рациональных чисел.
Рассмотрим, как происходит
расширение числовых множеств
от натуральных до рациональных
чисел. Для наглядности на доске
изобразим вложение одних мно-
жеств в другие.
Задание. Определить, к какому множеству принадлежит
каждое из чисел:
2 7
7;-5; -;-6,1;- 100; -1 — .
3 12
76
2. Представление рациональных чисел в виде обыкновенных
дробей.
Любое рациональное число может быть представлено в виде
т
дроби — (т g Z, п е N) различными способами.
и
3. Представление рациональных чисел в виде десятичных
дробей.
Показать, как с помощью деления уголком любое рацио-
нальное число может быть представлено в виде конечной или
бесконечной периодической десятичной дроби.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 263, 264, 265,
267 (а, в, д, ж, и), 268 (а, в, д, ж), 269, 271.
V. Итоги урока.
- Принадлежит ли число - 2 множеству натуральных чисел?
целых чисел? рациональных чисел?
- Какие числа составляют множество рациональных чисел?
-Сколькими способами можно представить рациональное
число в виде обыкновенной дроби?
-Как представить рациональное число в виде десятичной
дроби?
- Какая десятичная дробь может представлять рациональное
число?
Домашнее задание: № 266, 267 (б, г, е, з, к), 268 (б, г, е, з),
270.
Урок 25
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Цели: изучить множества иррациональных и действитель-
ных чисел; формировать умение различать эти множества чисел
и сравнивать действительные числа.
Ход урока
I. Организационный момент.
77
II. Устная работа.
Определите, к какому множеству принадлежит каждое из чисел:
3 4
-7; 19; - ; - 5,7; 235; - 90; -1—.
8 11
III. Объяснение нового материала.
1. Измерение длин отрезков на координатной прямой.
2. Постановка проблемной задачи: как измерить диагональ
квадрата со стороной 1.
Обратимся к истории этого вопроса.
Математики Древней Греции более двадцати веков тому на-
зад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, вы-
ражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кри-
зис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины
у неё нет!
Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося
запаса чисел - целых и дробных - не хватает для выражения
длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появи-
лись иррациональные числа.
3. Введение множества
действительных чисел.
- Что вам известно о раз-
личных множествах чисел?
На доску выносится
рисунок:
4. Сравнение иррацио-
нальных чисел с помощью
различных примеров.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на д в е группы:
1-я группа. Задания на определение принадлежности чи-
сел различным числовым множествам: № 276, 277, 279.
Пример выполнения задания.
Даны числа:
9; 0; -6(3); 7,020020002...; 1,24(53); 345; л; -7-.
2 8
78
- Разделите их на две группы: рациональные и иррациональные.
- Заполните таблицу:
Натуральные числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа
2-я группа. Задания на сравнения действительных чисел:
№280,281 (а, в, д), 285, 286.
V. Итоги урока.
- Какие числа называются рациональными, иррациональными?
- Из каких чисел состоит множество действительных чисел?
Домашнее задание: № 278, 281 (б, г, е), 282.
Урок 26
ДЕЙСТВИЯ НАД ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Цель: формировать умение различать рациональные и ир-
рациональные числа и осуществлять действия над ними.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а) 0,15+ 1,37; д)-3,8-5,7;
б) 1,27 + 3,3; е) 2,9-6,3;
в) 6,42 - 3,2; ж) 1,7-0,95;
г) -8 + 4,7; з) — 1,25-5,8.
III. Тест с последующей проверкой.
«+» - согласен с утверждением;
«-» - не согласен с утверждением.
1) Всякое целое число является натуральным.
2) Всякое натуральное число является рациональным.
3) Число -7 является рациональным.
4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натураль-
ным числом.
79
5) Разность двух натуральных чисел всегда является нату-
ральным числом.
6) Произведение двух целых чисел всегда является целым
числом.
7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.
8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рацио-
нальным числом.
9) Частное двух рациональных чисел всегда является рацио-
нальным числом.
10) Всякое иррациональное число является действительным.
11) Действительное число не может быть натуральным.
12) Число 2,7(5) является иррациональным.
13) Число я является действительным.
14) Число 3,1(4) меньше числа л.
15) Число - 10 принадлежит одновременно множеству це-
лых, рациональных и действительных чисел.
Ключ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15
— + + + — + — + + + — — + — +
IV. Объяснение нового материала.
Рассмотрим примеры из учебника, показывающие, как осуще-
ствлять арифметические действия над иррациональными числами.
V. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий № 283, 284 (а), 287, 288, 290.
•Дополнительные вопросы и задания.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополни-
тельно разобрать вопрос о том, каким числом представляется
сумма или разность рациональных и иррациональных чисел.
Для этого нужно решить ряд задач.
№ 292.
Сложим данные иррациональные числа в столбик:
1,323223222...
+ 2,313113111...
3,636336333...
Получим число, дробная часть которого представлена груп-
пой цифр, состоящих из одной, двух, трёх и т. д. троек, разде-
80
лённых шестёрками. Очевидно, что данное число является ир-
рациональным.
- Может ли сумма двух иррациональных чисел быть числом
рациональным?
Решение
В предыдущей задаче мы выполнили сложение двух ирра-
циональных чисел и получили в сумме иррациональное число.
Но это не означает, что сумма любых двух иррациональных чи-
сел является иррациональным числом.
Нужно подобрать такие два иррациональных числа, которые
в сумме дали бы бесконечную десятичную периодическую
дробь. В качестве первого слагаемого можно взять число
из предыдущей задачи: 1,323223222... Тогда вторым слагаемым
может быть число 1,676776777... (группы цифр состоят из од-
ной, двух, трёх и т. д. семёрок, разделённых шестёрками).
1,323223222...
+ 1,676776777...
2,999999999...
То есть в сумме получим число 2,(9), или 3.
Значит, можно подобрать два таких иррациональных числа,
которые в сумме дают рациональное число.
- Может ли разность двух иррациональных чисел быть чис-
лом рациональным?
- Если число а - рациональное, а число b - иррациональное,
то каким числом будет сумма а + b и разность а - Ь?
VI. Итоги урока.
- Какие множества чисел вы изучили? Как они связаны меж-
ду собой?
- В виде какой десятичной дроби может быть представлено
любое рациональное число?
-Существуют ли иррациональные числа, которые могут
быть представлены в виде периодической десятичной дроби?
- В виде каких десятичных дробей представляются иррацио-
нальные числа?
Домашнее задание: № 284 (б), 289,291, 293 (дополнительно).
81
Урок 27
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ
Цели: ввести понятия квадратного корня и арифметиче-
ского квадратного корня; формировать умение извлекать квад-
ратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
С о \2 ( \2
а)72; в) II2; д) 1-1 ; ж) ly I ;
( 1 А2 ( 2\2
Ы; г) I ? I; е)0,22; 0,б2‘
III. Объяснение нового материала.
1. Введение понятия квадратного корня.
Сначала необходимо рассмотреть задачу о нахождении сто-
роны квадрата по его площади.
Затем предложить учащимся следующее задание: вписать
в пустые клеточки числа, чтобы равенства были верными:
|2=16 |2=- |2=100
После этого дать определение квадратного корня из числа.
Определение: число b называют квадратным корнем
из числа а, если Ь2 = а.
Задание: выяснить, является ли число п квадратным кор-
нем из числа т, если:
а) п = 5, т - 25; в) и = 0,3, т = 0,9;
б) п = —7, т - 49; i) п - 6, т = -36.
2. Введение понятия арифметического квадратного корня.
Учащиеся должны усвоить существенный признак данного
понятия - арифметический квадратный корень является нсотри-
82
цательным числом (то есть необходимо знание того, что равен-
ство 4а = b означает одновременное выполнение двух условий:
Ь2 = а и b > 0).
Задание: определить, является ли число и арифметиче-
ским квадратным корнем из числа т, если:
а) и = 8, т = 64; в) п = 0,2, т = 0,4;
б) п - -3, т - 9; г) и = 0,4, т - 0,16.
3. Историческая справка.
Обратим внимание на совпадение в терминах - квадратный
корень и корень уравнения. Это совпадение не случайно. Урав-
нения вида х2 = а исторически были первыми сложными уравне-
ниями, и их решения были названы корнями по метафоре, что из
стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. В даль-
нейшем термин «корень» стал употребляться и для произволь-
ных уравнений.
Название «радикал» тоже связано с термином «корень»: по-
латыни корень - radix (он же редис - корнеплод). Также слово
«радикальный» в русском языке является синонимом слова «ко-
ренной». Происхождение же символа 4~ связывают с написа-
нием латинской буквы г.
4. Основное свойство арифметического квадратного корня.
Вычислите значения следующих выражений:
Сформулируйте вывод (выносится на доску):
= а, еслия>0
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий № 298, 299, 300.
На первых порах необходимо, чтобы учащиеся проговарива-
ли вслух и объясняли полученный результат. Например:
V49 = 7 , поскольку 72 = 49.
83
При нахождении корня из дроби пока нельзя извлекать от-
дельно корень из числителя и из знаменателя, поскольку соот-
ветствующее свойство корней будет рассмотрено позже.
• Дополнительные задания № 305, 306 (а, б), 309.
V. Итоги урока.
- Что называется квадратным корнем из числа al
- Сколько квадратных корней может быть из числа о?
- Что такое арифметический квадратный корень из числа а?
- Имеет ли смысл запись V~^9 ? Почему?
- Всегда ли верно равенство (4а)2 = а?
Домашнее задание: № 301, 304, 306 (в, г).
Урок 28
ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: продолжить формирование умения извлекать квад-
ратные корни; формировать умение применять понятие квад-
ратного корня при решении различных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
a) V49; в) л/8100 ; Д) л/0,09;
г) л; е) Д-
2. Найдите значение выражения: 2
а) 4б4 : V400 ; в)?;л к ’ ' > 9
б) -д/0,36-1; 6 г) т/42 +33 .
84
Вариант 2
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
а)л/36; в) 71600; д) 7^04;
2. Найдите значение выражения:
а) 781:7900; в) 6-
б)^Т^64-2; г)752 +24.
8
III. Формирование умений и навыков.
Задания этого урока можно разделить на две группы:
1-я группа. Задания на нахождение значений квадратных
корней: № 302, 307.
№ 307.
а) Чтобы значение выражения 711-и являлось натураль-
ным числом, подкоренное выражение должно быть равно 1, 4
или 9. Получаем три случая:
11—w—1 11-и = 4 11-и = 9
п = 10 и = 7 п = 2.
Эти же значения можно было найти подбором.
Ответ: 2; 7; 10.
2-я группа. Задания на решение простейших уравнений
с квадратным корнем: № 310, 3111, 312.
- Найдите значение переменной х, при котором верно равен-
ство:
а) 72х-1 =3; б) 7з-5х = 7 ; в) ^4х + -| = 0.
Решение
а) 72х-1 =3.
Нужно найти такое число, корень которого равен 3. Это чис-
ло 9, то есть 2х - 1 = 9; 2х=10; х = 5.
85
Нельзя допускать, чтобы учащиеся полагали, что при реше-
нии этого уравнения обе части возводятся в квадрат. Иначе, ре-
шая в дальнейшем, например, уравнение Ут + 1 = -2, они пе-
рейдут к уравнению х + 1 = 4.
б) л/3-5х = 7 в) J 4х + у - 0
3 - 5х = 49 5х = - 46 х = - 9,6. 4х + — = 0 3 4х = -— 3 1 х = —. 6
№ 315 (дополнительное задание).
Решение
Чтобы значение выражения -\1п2 +39 являлось двузначным
числом, необходимо выполнить два условия:
1) корень из этого выражения должен извлекаться;
2) квадраты числа и и числа п2 + 39 должны отличаться на 39.
Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, заметим,
что, начиная с 20, квадраты чисел отличаются друг от друга бо-
лее чем на 40. Значит, число п нужно искать среди чисел двух
первых десятков.
Заметим, что только квадраты чисел 19 и 20 отличаются на
39; 192 = 361 и 202 = 400. Это означает, что /7=19. Получим:
э//?2 +39 = д/192 +39 = V361 + 39 = V400 = 20 .
Ответ:/?=19.
IV. Итоги урока.
- Что называется арифметическим квадратным корнем
из числа а?
- Может ли подкоренное выражение быть отрицательным?
- Когда уравнение Jx = а имеет решение? Сколько решений
может иметь такое уравнение?
- Как решаются уравнения вида у[х = а?
Домашнее задание: № 303, 313, 314, 466 (дополнительно).
86
Урок 29
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДАХ2 = а
Цель: рассмотреть вопрос о количестве корней уравнения
х2 = а и формировать умение решать такие уравнения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а) ^0,04; г)ё; ж) 0,32;
Д) л/2>25; з)(-0,3)2
в) л/196 ; е У 169 ’ и) Й)
III. Объяснение нового материала.
Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно решили во-
~ 2
прос о возможном количестве корней уравнения вида х = а.
Задание: какие числа можно вписать в пустые карточки,
чтобы равенство было верным?
а) _2 = 25; г) — 2 _ .
16
б) — 2 = — • _ 4’ д) 2 = 0;
в) 2--9; е) 2 _
81
Рассмотрим уравнение х2 = а. Сформулируйте утверждение
о различных случаях, возникающих при поиске корней таких
уравнений (запись выносится на доску):
Уравнение х2 = а
1) имеет 2 корня, если а > 0;
2) имеет 1 корень, если а = 0;
3) не имеет корней, если а < 0.
87
2 _
Графическая интерпретация решения уравнения х - а.
Вывод: если а > 0, то корнями уравнения х2 = а будут чис-
ла у/а~ и-у[а.
IV. Формирование умений и навыков.
• №319, 320, 321 (а, в).
• Задание. Даны уравнения:
х2=16, х2 = -100, х2 = 5, ? = 0, х2=~.
9
Выберите из них те, которые:
а) имеют два корня;
б) имеют два рациональных корня;
в) имеют два иррациональных корня;
г) имеют один корень;
д) не имеют корней.
• № 322.
• Задание. Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее
корни: а) 7 и-7; б) 0,2 и-0,2; в) 7з и - 7з .
Соревнование: у кого из вас получится больше различных
уравнений к каждому случаю?
Например, в первом случае можно составить такие урав-
нения:
х2 = 49, 2х2 = 98, х2 + 1 = 50, 10-х2 = -39 и т. п.
• № 324 (а, в).
Образец оформления:
а)(х-3)2 = 25
х - 3 = 5 или х - 3 = - 5
х = 8 х = - 2
Ответ: - 2; 8.
V. Итоги урока.
- Что называется арифметическим квадратным корнем из числа?
- Может ли в выражении у[а число а быть отрицательным?
Почему?
- Сколько корней может иметь уравнение х2 = л? От чего это
зависит?
- Какие корни имеет уравнение х2 = а, если а > 0; а = 0?
Домашнее задание: № 321 (б, г), 323, 324 (б, г).
88
Урок 30
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Цель: продолжить формирование умений преобразовы-
вать выражения, содержащие квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислите:
а) 7121; в) 7900; б)^; г)^; Д) л/0,25;
2. Решите уравнение: а)*2 = 16; в)х2 = 0; б) х2 = —; г) х2 = ; 49 4 д)? = 0,04; . 2 ЮО е) х = . 121
III. Формирование умений и навыков.
• Все задания можно разбить на две группы:
1-я группа. Задания на нахождение допустимых значе-
ний переменных, входящих в выражения с квадратным корнем:
№ 325, 326.
- Укажите несколько значений переменной х, при которых
выражение 74- 2х имеет смысл.
2-я группа. Задания на вычисление значений выражений,
содержащих квадратные корни: № 328.
- Найдите значение выражения: а) ( Тз)2; в) ; 1 7 ( /з У 6)477-77; г) ; Д) (2V5 У; е) (-3V2)2.
89
• Дополнительные задания: № 330, № 332, 331 (а, в).
№331.
a) (2-TJ)2+4TJ = 4-471+ 5 + 475 =9;
в) (2-Т5)2 +(2 + Т5)2 = 4-475 +5 + 4 + 475 +5 = 18.
• Задания на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
1. Решите уравнение: у(х-10)2 =^.
2. Из формулы W = выразить /.
V п
3. При каких значениях переменной х имеет смысл выра-
жение:
2 1 7
а)-=; б) ; в) -=.— ?
7х 7х +1 7х - 2
Карточка 2
, П (-V-1)2 J
1. Решите уравнение: —-— = 5—.
2. Из формулы Т -2тс — выразите /.
V#
3. При каких значениях переменной х имеет смысл выра-
жение:
3 2 1
а)^=; б)^=---; в) ?
л/х л/х + 2 vx —3
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а)х2 = 36; г)3-х2 = 3;
б)х2= —; д)2х2 + 6 = 0;
4
А 2 + 1 7 J И' 4
В)Х =3; е) |/"9j
90
2. Имеет ли смысл выражение VlO-Зх при:
а) х = 2; в) х = 4;
б) х - 0; г) х = - 1.
3. Найдите значение выражения:
a) (-VTT)2; в) (-2V10)2;
б) -Зл/б-Тб; JVTf ° 4 ' Вариант 2
1. Решите уравнение: а) х2 = 64; б) х2=|; г) 5 -х2 = 5; д)3х2+ 12 = 0;
в)х2-2= 1; j П2 9 1 4) 16
2. Имеет ли смысл выражение V13-2x при
а) х = 3; б) х = —; 2 в) х - 7; г) х = -А.
3. Найдите значение выражения:
a)(-V7)2; в) (-Зл/5)2;
б) -2л/3-73; .Гл/2? г) — • 9 \ )
V. Итоги урока.
- Сколько корней может иметь уравнейие х2 = al От чего это
зисит?
- Какие корни имеет уравнение х2 = а, если а > 0; а = 0?
- При каких значениях а выражение 4а имеет смысл?
- При каких значениях b выражение 4~Ь имеет смысл?
Домашнее задание: № 327, 329, 331 (б, г), 332.
91
Урок 31
НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПОМОЩЬЮ ОЦЕНКИ
И НА КАЛЬКУЛЯТОРЕ
Цель: формировать умение находить приближенные зна-
чения квадратного корня при помощи оценки и на калькуляторе.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а) л/81 ; г) ; ж) ,/0,0036 ;
6>/я; «>ЛЙ;
b)V225; e)4fh и)<2^)2;
III. Объяснение нового материала по учебнику.
Сначала показать учащимся, как найти приближённое значе-
ние квадратного корня, оценивая его. При этом желательно при-
влекать учащихся к «открытию» этого способа. Затем попросить
их сформулировать, как с помощью оценки может быть найдено
приближённое значение любого квадратного корня.
Приведем несколько примеров, как применяется калькуля-
тор для извлечения квадратных корней.
IV. Формирование умений и навыков.
• Все задания можно разбить на две группы:
1-я группа. Задания на нахождение приближенных значе-
ний квадратных корней с помощью оценки: № 336.
- Площадь квадрата равна 5 см2. Чему равна его сторона?
Дайте точный ответ, записав его с помощью знака у[~, и при-
ближённый, выразив результат десятичной дробью с двумя зна-
ками после запятой.
92
2-я группа. Задания на нахождение приближенных зна-
чений квадратных корней с помощью калькулятора: № 338 (б).
- С помощью калькулятора найдите значение 4п для всех
натуральных и от 1 до 10. Заполните таблицу, указывая прибли-
жённое значение 4п с тремя знаками после запятой.
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4п
Используя таблицу, сравните Тб и 7з ; 77 и 77; 710 и 78 .
• Дополнительные задания: № 342, 343, 344 (а, в, д),
345, 347.
V. Тест с последующей проверкой.
«+» - согласен с утверждением;
«-» - не согласен с утверждением.
Утверждения:
1) 777 - это иррациональное число;
2) Тб4 - это иррациональное число;
3) 757 - это действительное число;
4) ТзТ - это действительное число;
5) 77 меньше 1;
6) 7190 больше 7160 .
7) Любое иррациональное число заключено между двумя це-
лыми числами;
8) Если число стоит под корнем, то оно иррациональное;
9) 77 меньше, чем - 710 ;
10) 759 заключено между числами 7 и 8.
Кл юч:
1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10
+ — + + | - + + — — +
VI. Итоги урока.
Учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются «клю-
чами» к тесту. Учитель снова читает все десять утверждений,
каждое из которых обсуждается. Одновременно учащиеся про-
93
веряют свои работы и ставят друг другу отметки по сле-
дующей шкале:
«5» - все ответы верные;
«4» - одна или две ошибки;
«3» - три или четыре ошибки;
«2» - более четырёх ошибок.
- Как найти приближённое значение квадратного корня
с помощью метода оценки; с помощью калькулятора?
- Какое из чисел, V5 или V? , расположено левее на число-
вой оси? Почему?
Домашнее задание: № 337, 339, 334 (б, г, е), 346.
Урок 32
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у = д/х
И ПРИМЕНЕНИЕ ЕЁ СВОЙСТВ
Цели: изучить функцию y = Jx, её график и свойства;
формировать умение строить график этой функции и применять
её свойства.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Решите уравнение: а) х2 = 16; в) х2 = 0; б) х2 = —; г) х2 ; 49 4 2. Вычислите: д)х2= 10; е) х2 = -. 3
а) л/36 ; в) V40000 ; д) ^0,0025 ;
III. Объяснение нового материала.
1) Рассмотреть по учебнику, из каких практических ситуа-
ций возникает потребность в изучении функции у = у/х .
94
2) Составить таблицу значений функции у = 4х и построить
её график.
3) Перечислить свойства функции у = 4х .
4) Сопоставить графики функций у = х2 и у = 4х .
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые должны быть выполнены учащими-
ся на этом уроке, можно условно разбить на три группы:
1-я группа. Выражение из различных формул зависимости
вида у = 4х : № 352, 354.
№ 354.
5 = 4лЯ2; Л2= —; R = ,F~.
4тг у 4л
2-я группа. Построение графика функции у - 4х и его
«чтение»: № 355, 357.
3-я группа. Применение свойства возрастания функции
у = 4х для сравнения квадратных корней: № 364.
- С помощью графика функции у = Jx сравните числа:
a) и 1;
б) 3 и 4^5 ;
в)
7хб и
7,1.
г)
№ 364.
Учащиеся должны воспользоваться следующим свойством
функции у = 4х : большему значению аргумента соответству-
ет большее значение функции. При сравнении квадратного
корня с рациональным числом можно это число записать
в виде корня.
a) 727 <728; г) 7^25 = 7^25 ,
б) 7и < 7^5 ; то есть у/6,25 = 2,5;
в) 77 < 79 , то есть 77 < 3; д)
95
V . Итоги урока.
- Что называется арифметическим квадратным корнем из чис-
ла а?
- Как построить график функции у = Jx ?
- Какими свойствами обладает функция у = Jx ?
- Как располагаются относительно друг друга графики
функций у = х2 и у = Jx при х > О?
Домашнее задание: № 353, 356, 363.
Урок 33
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКА И СВОЙСТВ ФУНКЦИИ
у = 4х ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цель: продолжить формирование умения строить график
функции у - 4х и использовать её свойства при решении раз-
личных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
П. Устная работа.
Определите, принадлежат ли графику функции у = *Jx сле-
дующие точки:
а) Л (49; 7); в)С^;Д
б) В (-36; 6); Г)£>Ц;1\
\ о 1 у J
III. Формирование умений и навыков.
1. Сравните числа:
а)7(2и72й; В)^И|;
б)^|и7ГЗ; г)2,7иЛ0.
2. Расположите числа в порядке убывания:
a) 5;V2T;V3^8;7-^; б) 0,25; 7(Х5; | и .
3. Выполните задания по учебнику: № 358, 362 (а), 359.
№ 359.
Чтобы доказать, что
графики функций у = 4х
и у - х + 0,5 не имеют
общих точек, достаточно
их построить.
Можно эту задачу
решить аналитически, по-
казав, что с увеличением
значений аргумента значения функции у = х + 0,5 увеличивают-
ся быстрее, чем значения функции у = д/х .
4. Дополнительные задания для учащихся с высоким уров-
нем подготовки: № 360 (а, в), 361,475.
№ 475.
а) Построим график функции у = 4х и будем относительно
него передвигать прямые вида у = х + b. Это параллельные
прямые, которые образуют острый угол с положительным на-
правлением оси абсцисс.
Таким образом, очевидно, что уравнение 4х =х + Ь может
иметь один, два корня, а может и не иметь корней.
97
б) Прямые вида у = - х + b - это параллельные прямые, кото-
рые образуют тупой угол с положительным направлением оси
абсцисс.
Получаем, что уравнение Jx =-x + b имеет либо один ко-
рень, либо не имеет корней.
I V. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Постройте график функции у - Jx . По графику найдите:
а) значение функции при х = 1; 3; 4; 6.
б) значение аргумента, которому соответствует значение
у=±; 1; 1.8; 3.
4
2. Принадлежит ли графику функции у - Jx точка:
а) J(36; 6); б) В (- 9; 3); в) сЦ;^?
3. Сравните числа:
а)Т32иТ29; б)ТГ4и^|; в)2и^|; г)Т4?7и2.
Вариант 2
1. Постройте график функции у --j~x . По графику найдите:
а) значение функции при х = 0; 2; 5; 9.
б) значение аргумента, которому соответствует значение
у = 0,49; 1,5; 2^; 2,8.
98
2. Принадлежит ли графику функции у = 4х точка:
а)Л(81;9); б) В (- 16; 4); в)
<2 4;
3. Сравните числа:
а)717ил/2Т; 6)J|h7L2; в)ЗиД; г)715Ди4.
V . Итоги урока.
- Какими свойствами обладает функция у = *Jx 1
- Как сравнить два квадратных корня?
- Сколько общих точек могут иметь графики функций
у = у[х и у - кх + Ь1
Домашнее задание: № 360 (б, г), 362 (б), 365.
Урок 34
ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ
Цели: выявить и доказать свойства квадратного корня;
формировать умение непосредственно применять их при вычис-
лениях.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
a) VFVF;
в) д/0,0036 ;
ж) 72,25;
и) 2V7-V? .
99
III. Объяснение нового материала.
При объяснении необходимо показать преимущество, кото-
рое дает при вычислениях использование свойств корней.
Задание: вычислите на калькуляторе значения нескольких
корней:
1) V25-49 ; 2) ,/0,36-81;
3) ^0,04 0,64.
- Вычислите другим способом - без использования кальку-
лятора:
V25-49 = 725 • V49 =5-7 = 35;
д/0,36 -81 = Дзб • ТиТ = 0,6 • 9 = 5,4;
70,04 0,64 = Д04 • 7^64 = 0,2 • 0,8 = 0,16.
Сравните результаты и выдвиньте предположения. (Такой
прием будет справедлив для любых неотрицательных чисел.)
Сформулируйте данное свойство.
Учитель четко сам формулирует свойство: корень из
произведения неотрицательных чисел равен произведению кор-
ней из этих чисел.
Проводится доказательство свойства (выносится на доску):
Аналогично формулируется второе свойство (выносится на
доску): __________________________________
[а 4а
J— = —f= для любых а > 0 b > 0
\b 4ь
Вычислите 72 • 78 . (Большинство учащихся догадается вне-
сти множители под общий корень.)
Использование полученных равенств справа налево дает пра-
вила умножения и деления корней:
a -yb - yah , где а > 0 и b > 0
i = , где а > 0 и b > 0
100
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить непо-
средственному применению изученных свойств квадратных
корней при вычислениях.
• № 369, 370, 378, 379.
• № 382, 383, 385 (а, в, д, ж), 386.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте свойство вычисления корня из произведе-
ния неотрицательных чисел.
- Сформулируйте свойство вычисления корня из частного от
деления неотрицательного числа на положительное число.
- Сформулируйте правила умножения и деления корней.
- Как вычислить корень из смешанного числа?
Домашнее задание: № 371, 384, 385 (б, г, е, з).
Урок 35
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ
ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВЫРАЖЕНИЙ С КОРНЕМ
Цель: продолжить формирование умения применять свой-
ства квадратного корня при преобразовании выражений.
Ход урока
I. Организационный момент. II. Устная работа. а) д/0,0004; г) б)^Г; д)71Г; b)V3-V3; е)Ж; ж) д/1,96 ; з)Л'Л; и) 722500.
101
III. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий № 372, 387 (а, в, д, ж), 374,
376, 380.
№ 374.
Это задание может вызвать затруднения у учащихся. Раньше
им встречались выражения вида Jab, в которых Ja и Jb из-
влекались. При выполнении предложенного задания это свойст-
во корней напрямую применять нецелесообразно.
Необходимо подкоренное выражение представить в виде
произведения таких множителей, из которых корень извлекается.
а) 7810-40 =781-10-4-10 =781-4-100 =9-2-10 = 180;
б) 710-250 =710-25-10 =7100-25 =10-5 = 50;
в) 772-32 =736-2-16-2 =736-16-4 = 6-4-2 = 48;
г) 78-98 =74-2-49-2 = 749-4-4 = 7-2-2 = 28;
д) 750-18 =725-2-9-2 =725-9-4 =5-3-2 = 30;
е) 72,5’14,4 = 725-0,1-14,4 = 725-1,44 = 5 • 1,2 = 6 ;
ж) 790-6,4 = 79-10-6,4 =79-64 =3-8 = 24;
з) 716,9-0,4 = 71,69 -10 -0,4 = 71,69-4 = 1,3 • 2 = 2,6.
№ 376.
Учащиеся довольно часто допускают следующую ошибку:
л/132 -122 =713?-712? = 13-12 = 1.
В этом случае следует предложить им вычислить значение
подкоренного выражения, извлечь корень и сравнить получен-
ные результаты.
Данный пример помогает избежать подобных ошибок
в дальнейшем и еще раз заостряет внимание учащихся на свой-
ствах квадратных корней.
Если в примерах а) и б) учащиеся просто могут вычислить
значение подкоренного выражения и извлечь корень, то в сле-
дующих примерах это можно сделать только при помощи каль-
кулятора. Чтобы учащиеся «увидели» формулу разности квадра-
тов, нужно требовать вычислений без калькулятора.
в) 73132-3122 = ^/(313-312X313 + 312) = 71 • 625 = 25 ;
102
д) 745,82 3-44,22 = 7(45,8-44,2)(45,8+44,2) = 71,6-90 =
= 71,6-9-10 = 716-9 =4-3 = 12 .
№ 380.
Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства:
Задания на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
, „ 111
1. Расположите в порядке возрастания числа: -^=,—, .
2. Найдите значение выражения:
a) V30- 66-220; /1652 -1242
б) 2725-з7б-4730 -73; ” V 164
3. Известно, что а < 0 и b < 0. Представьте выражение Jab
в виде произведения корней.
Карточка 2
5 V2 д/З
1. Расположите в порядке возрастания числа: —.
2. Найдите значение выражения:
a) V54-48-50; I 98
6) 475-745-750-372; В) V 1762 -1122 '
3. Известно, что а < 0 и b < 0. Представьте выражение
в виде частного корней.
103
Решение заданий карточки 1
1. Все дроби имеют числители, равные 1. Поэтому достаточ-
но сравнить знаменатели дробей. Имеем:
2V2 < з < Vio , поэтому —< — < —.
Ло з 2V2
2. а) д/30-66-220 = л/З• 10• 6• 11 • 10• 2• 11 = V100-121-36 =
10-11 -6 = 660;
б) 2V15-3V6- 4730 л/3= 2-3-4V15-6-30-3 =
24V5-3-3-2-3-5-2-3 = 24л/25-9-4-9 = 24 • 5 • 3 • 2 • 3 =
= 2160;
/1652 —1242 _ /(165-124)(165 4-124) _ /41-289 __
В V 164 V 164 V 164
f289 _17
ч --- — — О, J .
V 4 2
3. Если а < 0 и b < 0, то 4аЬ #= 4а • 4~Ь .
Чтобы подкоренные выражения стали положительными, пе-
ред ними нужно поставить «минус». Получим, что
4аЬ = у/-а • V-b .
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте свойство вычисления корня из произведе-
ния неотрицательных чисел.
- Сформулируйте свойство вычисления корня из частного от
деления неотрицательного числа на положительное число.
- Сформулируйте правила умножения и деления корней.
- Как преобразовать выражение вида -Jxy, если корни из
чисел х и у не извлекаются?
Домашнее задание: № 373, 375, 377 (б, г, е), 387 (б, г, е, з).
104
Урок 36
ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВА КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ СТЕПЕНИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
Цель: изучить свойство квадратного корня из степени
и формировать умение его применять при вычислении выраже-
ний с корнем.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Найдите значение корня:
a) V9-36; в) ^6,25-0,16 ;
6)70,64-25; г) Д; Vol 2. Найдите значение выражения: е)И. \ 36
/- г— V99 a) V2-V18; в) ; Д) V5-45;
б)750* Вариант 2 е) 712,1-0,4.
1. Найдите значение корня:
а) >/25-81; в) д/400-2,25; \ к 6 Д) Г 25’
6) 70,49-16; г) Д- V о4 2. Найдите значение выражения: е)д/Д. V 49
а)712-73; в)^=^; Vni Д) л/12-75 ; е) 74,9 0,9.
105
III. Объяснение нового материала.
Вам знакомо следующее свойство: (7х)2 = х.
Вычислите устно:
Выдвиньте предположение: чему равно значение выражения
Тх2” ? (Часто учащиеся говорят: как (Тх)2 = х, так и Тх2” = х.)
Вы поняли, в чём состоит ошибка? Возьмите конкретные
значения х и подставьте их в выражение 7?. Например,
х = 5; -1; -3.
2
Полученные равенства вынести на доску:
V5T = V25 = 5; л/<-*)2 = -Л = 1;
Сформулируйте, в чём состояла ваша ошибка и как её ис-
править. Если х - положительное число, то Тх2” = х, а если х -
отрицательное число, то Тх2” = -х. Поэтому
IV. Формирование умений и навыков.
• В ы п олнение заданий: № 393 (а, в, д, ж, и), 394 (а, б),
402, 403.
№ 393.
На первых порах нужно требовать от учащихся подробных
записей:
a) TwF = |0,1| = 0,1; в) д/(-О,8)2 = |- 0,8| = 0,8.
Это позволит закрепить изученное свойство и избежать
ошибок в дальнейшем.
106
№ 402.
При выполнении этого задания также необходимо вести
подробные записи.
a) 71F = 7(H2)2 =|112| = 121;
в) ТйЙ7 = 7«-з)4)2 = |(-з)4| = 81;
д) 7г8 -З2 =72?-7з? = 7(24)2 -Тз7 = |2“|-|3| = 16-3 = 48.
№ 403.
a) V20736 =д/28 -З4 =7F-7F = 16-9 = 144;
г) д/680625 = лЛ4 • З2 -II2 = 7F • Тз7 7Й7 = 25 • 3 • 11 = 825.
• Дополнительное задание (для учащихся с высо-
ким уровнем подготовки).
№ 482.
а) 747 = л/42-4 = 747-л/4=4-2 = 8;
в) 7167 = 7164-16 =716Т-716 = 256-4 = 1024;
д) V8-162 = л/23-2-81 = л/24 -З4 = 7F• 7F = 4-9 = 36;
ж) л/750-270 = 725-3-10-27-10 = V52-З4-102 =
= Т57-Тз7-7107 = 25-9-10 = 2250.
V. Итоги урока.
- Чему равно выражение (V*)2 ?
- Сформулируйте свойство квадратного корня из квадрата.
- Чему равно выражение V*2”, если х > 0? х < 0?
- При каких значениях х верно равенство VP" = (V*)2 ?
Домашнее задание: № 393 (б, г, е, з), 394 (в), 401, 404.
107
Урок 37
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ СТЕПЕНИ
ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ РАЗЛИЧНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Цель: продолжить формирование умения применять свой-
ство квадратного корня из степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
a) 77;
Д) 2д/(-11)2 ;
е) -77.
2
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно условно разбить на две группы.
1-я группа. Задания, в которых необходимо применить
формулу V? = | х |, раскрыв знак модуля в зависимости от зна-
чения х: № 395, 396 (а, б, г, д, ж), 484 (устно), 487 (а, б, г, ж).
№ 487.
а) 777=777-777=|аТИ-
Так как а2 > 0 при любом а и Ь2 > 0 при любом Ь, то
|я2| = а2 и |б2| = Ь2. Имеем: ^а4Ь4 - а2Ь2.
б) 777==|*31 • 1СТ
По условию b > 0, значит, |б3| = Ь3; с4 > 0 при любом с, зна-
чит, |с41 = с4. Имеем: y/b6c* = Ь3с4.
г) д/0,25/?2/ = Т0Д5-77-7(7? = °’5И-Ki-
no условию р > 0, поэтому |р| = р ; у < 0, поэтому |j?| = -у3.
Имеем: у]о,25р2у6 ~-Q,5py3.
108
4x2 _V4x2 _7?-7х2 _ 2 -|x|
V/ = 77 = Vo¥ = H'
По условию x < 0, поэтому |х| = —х; у < 0, поэтому |у3| = -у3
„ [ZZ7 2 • (-х) 2х
Имеем: J—— = — = — .
11 ,,3 3
2-я группа. Задания повышенного уровня сложности:
- Упростите выражение:
a) 7(9-V15)2 + 4 + 715; б) 7(75-3)2 + 75 + 7;
в) 7(3-2л/3)2 -2-2-Тз.
№397.
7а2-4а + 4 = ^(а-2)2 = \а -2|.
Если 0 < а < 2, то а - 2 < 0, то есть |а - 2| = 2 - а .
Если а > 2, то а - 2 > 0, то есть |я - 2| = а - 2 .
№ 400.
а) 77 + 4д/3 =77 + 2-2-л/з = 7(2 + 7з)2 = ,2 + 7з| = 2+ 7з ;
б) 7б-2-75 = 7б-2-1--75 =7(1-л/5)2 =|1 -VB] = л/5-1.
№ 485.
Преобразовав выражение -----, получим функцию у = — .
X X
Для построения её графика нужно раскрыть знак модуля, рас-
смотрев два случая:
X
1) если х > 0, то у = —, то есть у = 1;
х
— X
2) если х < 0, то у = —, то есть у - - 1.
109
у
Получим такой график:
1<*>
1
г) у = -xjx2
У = -х-|х| .
1) если х > 0, то у = - х2;
2) если х < 0, то у = х2.
О
—о- 1
№ 488.
Преобразуем выражение, стоящее под корнем. Сначала пе-
ремножим первый множитель с четвёртым, а второй - с третьим.
y]n(n -I- 1)(и + 2)(/7 + 3) +1 = у](п2 + Зп)(п2 4- Зи 4- 2) 4-1 .
Сделаем замену: п2 + Зп = т. Получим:
yj(n2 + Зи)(и2 4- Зи 4- 2) 4-1 = ^т(т + 2) +1 = -у]т2 + 2т 4-1 =
= у](т + \)2 = \т +1|.
Если п - натуральное число, то выражение п2 4- Зп принимает
натуральные значения, то есть число т - натуральное. Это зна-
чит, что \т 4-1| = т 4-1 и это выражение принимает всегда нату-
ральные значения.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Вычислите:
a) ;
в) -олТЙ7;
Г) 7F;
д)Т<-2)?;
е) 7з4 -62 .
ПО
2. Упростите выражение:
a) ylm2 , если т > 0;
б) 14с2 , если с < 0;
3.* Вычислите:
^21 + 875-V5+1.
1 ,
в) -3J—и , если п < 0;
V9
г) 2,з7100х12 .
Вариант 2
1. Вычислите:
б) 7(-1-9)2;
в) -О.зл/зз7;
г) №,
д) #7+
е) -У26-72 .
2. Упростите выражение:
a) Jp2 , если р < 0;
б) - зТх2” , если х > 0;
в) - 2^10,25с2 , если с < 0;
г) 4J— а8
V16
3.* Вычислите:
711 + 477-1-7?.
V. Итоги урока.
- Чему равно выражение 7х2 , если х > 0? х < 0?
- При каких значениях а верно равенство 7«10 = а5 2
I б” 3 Г)
yja =—а :
- Может ли выражение Т74" принимать отрицательные зна-
чения? Почему?
- Какие значения может принимать выражение у}у}4 ?
Домашнее задание: № 396 (в, е, з), 487 (в, д, е, з);
№ 398, 485 (б, в) (дополнительно).
111
Урок 38
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3
в
-1;
6
Вариант 1
1. Вычислите:
а) О,
2. Найдите значение выражения:
а) д/0,25-64; 6) 756-714;
в)^1; Г) 7з4-26 .
72
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,49; б) х2 = 10.
4. Упростите выражение:
а) х2 79х2 , где х > 0; б) - 5Ь2^-^-, где b < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним
знаком после запятой, между которыми заключено число 717.
6. При каких значениях переменной а имеет смысл выраже-
8 9
ние —==---?
77 - 4
Вариант 2
1. Вычислите:
а) 17196 + 1,57036; 6)l,5-7j||; в)(271зГ
2. Найдите значение выражения:
а) 7036 25 ; 6)78-718;
\ 727 /Тд ту
в) —г) у2 -5 .
7з
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,64; б) х2 = 17.
4. Упростите выражение:
, где а < 0.
112
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним
знаком после запятой, между которыми заключено число 738 .
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выраже-
2 9
ние —т=--?
4х -5
Вариант 3
1. Вычислите:
в) (о,5^20 j2.
г) д/б2 -З4 .
2. Найдите значение выражения:
а) 79-1,44; 6)7150’724;
А ^75
в) 7Г
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,81;
б) х2 = 46.
4. Упростите выражение:
a) 7962 , где 6 < 0; б) 2х2^^-, гдех> 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним
знаком после запятой, между которыми заключено число 728 .
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выраже-
10 9
ние —j=--?
7х-2
Вариант 4
1. Вычислите:
а) 17144 + ; б) 2,1 + ; в) (о,4Т5
2. Найдите значение выражения:
а) 7225-0,04 ; б) 728 -ТбЗ ;
в)^; г) 726-72 .
7з
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,09; б) х2 = 92.
113
4. Упростите выражение:
a) -^-х2 д/49х6 , где х > 0;
б) -5/
, где у < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним
знаком после запятой, между которыми заключено число у[56 .
6. При каких значениях переменной у имеет смысл выраже-
2 о
ние ——---?
77+3
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. а) 0,5Д04+-Т144 = 0,5- 0,2 + --12 = 0,1 + 2 -2,1;
6 6
б) 2 /1^-1 = 2 /^-1 = 2- —-1 = —-1 = 1,5;
V 16 V16 4 2
в) =22-(Д5)2 =4-0,5 = 2.
2. а) д/0,25-64 =Д25-7б4= 0,5-8 = 4;
б) V56-V14 =756-14 =74-14-14 = ^4-142 =2-14 = 28;
г) 7з4 -26 =7(з2)2 -7(23)2 -9-8 = 72.
3. а)х2 = 0,49 б)х2 = 10
х = ±0,7; х = ±710.
4. а) х2 д/9х2 = х2 • 3|х|.
Так как х > 0, то |х| = х. Получим: х2 д/9х2 = х2 • Зх = Зх3.
б) -5Ь2
Так как b < 0, то
|^| = -Ь . Получим: - 5Ь2
2
-5Ь2 • — =
— Ь
114
5. 4,1 < 717 < 4,2.
, тт tz 8
6. Чтобы выражение —=---- имело смысл, должны выпол-
4а - 4
няться два условия:
1) а> 0;
2) Va-4*0
4а 4
о^16.
Ответ: а > 0 и а Ф 16.
Вариант 2
1.а) |Т196 +1,5^036 =-^•14 + 1,5-0,6 = 7 + 0,9 = 7,9;
[25 5
б) 1,5-7J—= 1,5 - 7 • —= 1,5 - 5 =-3,5;
в) (2VV)2 = 22-(TU)2 =4-1,5 = 6.
2. а) 70,36-25 =7036-725=0,6-5 = 3;
б) 78-718= 78-18 = 74-2-2-9 = 2-2-3 = 12;
г) 724-52 =7(22)2 -Тб7 = 4-5 = 20.
3. а)? = 0,64 б)х2=17
х = ±0,8. х = +717 .
4. а) /Т^ = /-2Н
Так как у > 0, то |у| = у. Получим: у3 у]4у2 = у3 • 2у = 2у4.
[16 __ 4
б) 7а.. 7а . ..
V а |а|
Так как а < 0, то |л| = -а. Получим: 7а= 7а • = -28.
У а2 —а
115
5. 6,1 < 738 < 6,2.
л г, . 2
6. Чтобы выражение -=------
у/х -5
имело смысл, должны выпол-
мяться два условия:
1)х>0
у]Х Ф 5
х * 25.
Ответ:х>Оих^25.
Вариант 3
1. а) 0,8^225-0,5ТйТ = 0,8-15-0,5-1,1 = 12-0,55 = 11,45;
б) 2-3.—= 2-3-- = 2--= -0,5;
V 36 6 2
в) (0,5720^ = 0,52 • (V20)2 = 0,25 • 20 = 5.
2. а) 79’1,44 =79-7М4= 3-1,2 = 3,6;
б) 7150-724 =7150-24 =725-6-6-4 =5-6-2 = 60;
г) 7б2-34 = 7б?-л/(32)2 =6-9 = 54.
3. а)х2 = 0,81 б)х2 = 46
х = ±0,9. х = ±746 .
4. а) |b3Jbb2 = |b3 • 3|Z>| = Ь3 • \Ь\.
Так как b < 0, то
|Z?| = —b. Получим: ^-Z?379Z>2 = b3 • (-&) = -Ь4.
б)2х2^ 2x2 '|х|'
Так как х > 0, то |х| = х . Получим: 2х2
= 2х2-- = 14х.
116
5. 5,2<V28 <5,3-
, TT _ 10
о. Чтобы выражение -=-- имело смысл, должны выпол-
ух - 2
ться два условия:
1)х > 0; 2) у[х -2 Ф 0
7х ф 2
х*4.
Ответ:х>Оих^4.
Вариант 4
l.a) — V144 +—= — -12 +— • 0,9 = 2 + 0,3 = 2,3;
6 3^ 6 3
б) 2,1 +1,3J— = 2,1 +1,3 • — = 2,1 + 0,9 = 3;
V169 13
в) (о,4V5)2 = 0,42 -(л/5)2 =0,16-5 = 0,8.
2. а) д/225 • 0,04 = 7225 • 7^04 = 15 • 0,2 = 3;
б) 728'ТбЗ =728-63 =л/4-7-7-9 = 2-7-3 = 42 ;
г) 726-72 =7(23)2 -7^ = 8-7 = 56.
3. а)? = 0,09
х = ±0,3;
б)х2 = 92
4. а) ух2749х6 =~х2 ’7|х3| = х2 -|х3
Так какх > 0, то lx31 = х3. Получим: —х2749х6 = х2
3 5
X = X .
Так как у < 0, то у5 = -у5.
Получим: - 5 у6 I--— = -5 у6 •--г = —.
У У ^81у10 У -9/ 9
117
5. 7,4 <756 <7,5.
6. Чтобы выражение
няться два условия:
1)У>О;
Ответ:у>0.
2
77+3
имело смысл, должны выпол-
2) 77+3*0
у - любое.
Урок 39
ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ЗА ЗНАК КОРНЯ.
ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ
Цели: изучить такие преобразования квадратных корней,
как вынесение множителя за знак корня и внесение множителя
под знак корня; формировать умение выполнять эти преобразо-
вания.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
a) V9 -49 ;
ж) 781-0,09 ;
б)
е) 70,16 -36 ;
г) ТбО • 72 ;
4 25 ’
III. Объяснение нового материала по учебнику.
Объяснению материала следует придать больше проблемно-
сти и требовать от учащихся самостоятельности при формули-
ровании выводов.
1. Поставить проблему: как сравнить значения выражений
ТбО ибд/2 .
2. Рассмотреть два способа, которые могут быть использова-
ны для этого.
3. Сделать выводы.
118
- Какое действие нужно было выполнить при решении зада-
чи первым способом? (Такое преобразование называется выне-
сением множителя из-под знака корня.)
Аналогично проанализируем действие, выполняемое при
решении задачи вторым способом. Это преобразование называ-
ется внесением множителя под знак корня.
- В каких случаях пригодится умение выносить множитель
из-под знака корня и вносить множитель под знак корня?
Выделите две основные ситуации, в которых применяются
данные умения:
1) Сравнение двух выражений.
2) Преобразование выражений.
IV. Формирование умений и навыков.
Задания можно разбить на три группы:
1-я группа. Вынесение множителя за знак корня: № 407,
408.
Не все учащиеся могут быстро раскладывать подкоренные
выражения на два «удобных» множителя. Некоторые подбирают
«очевидные» делители, например 4 или 9. В этом случае не
нужно требовать от учащихся, чтобы они отыскивали другое
разложение, главное - получение верного результата.
Например, 748 = 716-3 = 716 • 7з = 473 .
Этот же результат можно получить по-другому:
748 = 74-12 =2 712 =274^3 =4ТЗ.
2-я группа. Внесение множителя под знак корня: № 410,
412.
При выполнении задания № 412 учащиеся могут допустить
довольно распространённую ошибку: внести под корень отрица-
тельный множитель:
-1076^2 =7100-7^02 =7i 00 0,02 =72 .
В этом случае нужно предложить учащимся сравнить с ну-
лем данное и полученное число. Данное число является отрица-
тельным, а после внесения множителя под корень получили по-
ложительное число. Учащиеся должны найти ошибку в рассуж-
дениях и сделать вывод.
119
3-я группа. Сравнение значений выражений с корнями:
№ 411, 414, 416, 417.
№411.
Из данных четырех выражений не имеет смысла то, которое
содержит под корнем отрицательное число. Таким образом,
нужно сравнить с нулем все подкоренные выражения. А для
этого нужно сравнить уменьшаемое и вычитаемое.
1) -J2V17-4 имеет смысл, так как 2-Л7 >4.
2) дШ2-л/7 имеет смысл, так как 2V2 >V7.
3) 7бд/3-772 имеет смысл, так как
4) л/Зл/з -14 не имеет смысла, так как 8л/3 <14.
V . Итоги урока.
- В чем состоит прием вынесения множителя из-под знака
корня; внесения множителя под знак корня?
- Как сравнить значения выражений, содержащих корни?
- Как сравнить корень с целым числом?
Домашнее задание: № 409, 413, 415.
Урок 40
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ РАДИКАЛОВ
И ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО
УМНОЖЕНИЯ ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ВЫРАЖЕНИЙ
С КОРНЯМИ
Цель: формировать умения выделять и приводить подоб-
ные радикалы, преобразовывать выражения, содержащие корни,
с использованием формул сокращённого умножения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
/— 1 I--- у/ 44
a)2V12; б)-л/200; в) .
120
2. Внесите множитель под знак корня:
a)|V20; б)6л/2; в)-|л/45.
3. Сравните значения выражений:
а) 2л/5 и Зл/2 ; 6)V24h|V216.
Вариант 2
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) Зл/28 ; б) |V80 ; в)
2. Внесите множитель под знак корня:
а) 2^7; б) 3 Д; в)-|>/75 .
3. Сравните значения выражений:
а) Зл/З и 2д/7 ;
III. Объяснение нового материала.
Вспомните все свойства квадратных корней и все виды пре-
образований выражений с корнями, которые вы уже умеете вы-
полнять.
Рассмотрим несколько примеров, отражающих другие виды
преобразований: приведение подобных радикалов и применение
формул сокращённого умножения.
Пример 1 (пример из учебника).
Пример 2. Преобразуйте выражение:
a) (V5+3)(2>/5-3) = (2т/5)2-З2 = 20-9 = 11;
б) (2-т/З)2+4д/з =4-4л/з+3 + 4д/з = 7 .
IV. Формирование умений и навыков.
Вам уже известно понятие «подобные слагаемые».
На этом уроке введем понятие «подобные радикалы»
и сформируем умение упрощать соответствующие выражения.
• Все задания можно разбить на две группы:
121
1-я группа. Выделение и приведение подобных радикалов:
№421,422 (а, в).
- Приведите подобные слагаемые.
а) 577 - з77 - 77; в) 5у[х-Зу[х - у[х--^х;
б) 77 - 477 + 77 ; г) бу/а + у/а + 4у/п - ТуГп .
2-я группа. Преобразование выражений, содержащих кор-
ни, с использованием формул сокращенного умножения: № 423,
426, 425.
№ 425.
a) [^4 + 77 + 74-77 ) =p4 + V?) +2^ + y/7-yj4-yfl +
( I-----A2 I---------
+ 74-77 =4 + V7+2V42-(V7)2+4-V7 = 8 + 2л/9 =
+8 + 6 = 14.
б) р5 + 2д/б - 75-2^6 = р5 + 2д/б^ -
- 27(5 + 2л/б)(5-2л/б) +р5-2л/б^| = 5 + 2у[б-
-2-752 -(2д/б)2 + 5-277 = 10-271 = 8.
• Задания на карточках для сильных учащихся.
Карточка 1
1. Упростите выражение:
а) (2л/х -2у[у); б) (1-77)(1 + 77 + я);
ч 777 + ТзО 77з0-77
в)---------♦----------.
5 5
2. Докажите, что
77 -72 + 72-72 + 72 + 72 • 72-72 + 7? = 2.
3. Выберите выражение, равное yj\6-6y/l :
А. 77-3; Б. 77-73; в. з-77.
122
Карточка 2
1. Упростите выражение:
а) (4д/« - -л/2а); б) (Ух + 2^(х - 2у[х + 4^;
л VV3+V15 лД/И-л/з
в) .
2 2
2. Докажите, что
УЗЗ-Уб-Уз-д/з + д/з-Уз -д/з~Уз-Уз = 33 .
3. Выберите выражение, равное д/8-4Уз :
А. Уб-2; Б. У2-Уб; В. Уб-У2.
Решение заданий карточки 1
1. а) (2>/х + у[у)(зУх - 2у[у)= 6х - 4-jxy + 3^[ху - 2у =
= 6х - 2у - у[ху ;
б) (1 ->/я)(1 + 4а +#)= I3 -(^ = 1~У<У";
д/У5+Узо .7Узо-У5 _д/(У5+Узо)-(Узо-У5)
В 5 5 25
_ д^Узо)2 -(У?)2 _ УзО-5 _ V25 = 5 1
25 " 25 25 ~ 25 ~ 5 '
2. У2-д/2 + У2 -^2 + ^2 +^2 -^2-42 + 72 =
= У2 • 72 + У2 • У4-2-У2 = У2 • У2 + У2 • У2-У2 =
У2 • 7(2 + У2)(2-У2) = У2 • У4^2-У2-У2 =2.
3. Выражение А является отрицательным, поэтому его мож-
но не проверять. Возведём выражения Б и В в квадрат.
(УТ-Уз)2 =7-2УЯ + 3 = 10-2УЯ;
(з-У?)2 =9-бУ7+7 = 16-бУ7 .
Ответ: В.
123
V. Итоги урока.
- Какие существуют виды преобразований квадратных кор-
ней?
- Как привести подобные радикалы?
- Рациональным или иррациональным является выражение
Домашнее задание: № 422 (б, г, д, е), 424, 496 (дополни-
тельно).
Урок 41
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ
КОРНИ, И ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ
Цель: продолжить формирование умения преобразовы-
вать выражения, содержащие квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Приведите подобные радикалы:
а)2-Уз+Зд/3; д)л/7-|л/7;
б)7^1“5^; e)V5--V5;
в) 672+17^2; ж) 27Й + 11а/1Т-37П;
г) 9^/04-Зд/оД ; 3)5j|-2j|.
III. Формирование умений и навыков.
• Задания можно разбить на две группы:
1-я группа. Сокращение дробей, содержащих квадратные
корни: № 427, 428, 429.
2-я группа. Освобождение от иррациональности в знаме-
нателе дроби: № 431, 433 (а, в, д).
124
№ 433.
a) < = = 4[73-1)=4[73-1) = 2Л_2.
V3 + 1 (,/з +1)(л/з -1) 3-1 2
в) 1 = + = Jx + Jy .
Jx-Jy (л/7-77)(^+77) х~у
. зз = зз(?+з7з) _ зз(?+з7з) _
7-3-Уз (7-3^)(? + 3-7з) 72 -(зл/з)2
33(7 + з7з) з(7 + зУз) 21 + 9-Уз
22 2 " 2
• Дополнительные задания для учащихся с высоким
уровнем подготовки.
1) Сократите дробь:
3V8-2V12+V20
3>/Г8-2727+л/45 ‘
Решение
Зл/8 - 2V12 + л/20 374^2 - 274^3+УГ5_
3V18-2V27 + 745 ~ з79?2-279:3 + 79:5 ~
= б72-47з+275 _ 2(з72-27з+75) _ 2
972 - бТз+зТ5 з(з72-273+75) 3
2) Вычислите:
л/2 + 7з • д/з + д/з + Тз • д/2 + д/2 + 72 + 7з • ^-д/з + д/з + Тз
Решение
125
3) Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1
1 + V5-V6 ’
Решение
1 ______1 + V5+V6______=
1 + V5-V6 ((1 + 75)_7б)((1 + yfs)+ л/б)
1 + V5+Уб _ 1 + V5+V6 _ 1 + V5+Уб _ V5+5 + V30
(l + Vs)2-^)2 ~ 6 + 2V5-6- 2д/5 10
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Упростите выражение:
a) V4x + V64x-V8k ; б) fily -0,5^48? + 2^108jp ;
в) (5T7-V63+V14)-V7 .
2. Выполните действия:
а) (2 + Тз)(1 -Тз); б) (Т14 + г)(г-Тй);
в) (1-2Т3)2.
3. Сократите дробь:
ч 5-V5
Э) 2Т5 ’
б)
а* 1 2 3 4 -3
а + у/з
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) -4=;
5 УЗ
Вариант 2
1. Упростите выражение:
a) V49c - V16c + у/25с ;
в) (7V2 - л/98 + л/Го)- л/2 .
б) y/Sm - 0,2yj200m + Зу[Т2т ;
2. Выполните действия:
а) (1 -V2)(3 +V2);
в) (1 + 3TI)2.
б) (з + Т15)(Т15-з);
126
3. Сократите дробь:
с2-2
с->/2
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
ч 12 ^5
а) /— , б) .— .
7V6 V13+V3
V . Итоги урока.
- Как приводить подобные радикалы?
- Как освобождаться от иррациональности в знаменателе
дроби в различных случаях?
Домашнее задание: № 430, 432, 433 (б, г, е),
№ 503 (а, д), 507 (а) (дополнительно).
Урок 42
РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ,
СВЯЗАННЫХ С ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Цель: закрепить знания и умения учащихся по преобразо-
ванию выражений, содержащих квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Приведите подобные слагаемые:
а) 3^2-5^2; д),/5-|л/5;
6)4J^-3j^; е) 2-Ух-б4х ~з4х ;
в) 57L2+117U; тк)4п-~^г,
г) ~]у[а -\2у[а - у/а ; з) у[х - 5у[х + 2у[у - З-Jy .
127
III. Формирование умений и навыков.
• Все задания можно разбить на две группы.
1-я группа. Более сложные, чем на предыдущем уроке,
задания на преобразование выражений, содержащих квадратные
корни: № 436 (а, в, д), 437, 435 (а, в), 434, 438.
№ 434.
а) Преобразуем данное выражение:
1______1 _ Зд/з+4-зУз+4 _ 8 = 8
Зд/З-4 Зд/з+4 (з7з-4)(з7з+4) 27-16 11
Таким образом, значение выражения является рациональным
числом.
1_______1 5 + 2>/б-5 + 2д/б 4Уб
5-2д/б 5 + 2^6 (5 - 2>/б)(5 + 2л/б) 25-24
Таким образом, значение выражения является иррациональ-
ным числом.
№ 438.
Известно, что взаимно обратные числа в произведении дают
единицу, а противоположные числа в сумме дают ноль.
(2->/з)(2 + л/з)= 22 -(л/з)2 =4 — 3 = 1, то есть данные числа
являются взаимно обратными.
Г 1 _ (2V6-5)(2л/б+5) +1 _ (2-Уб)2-52 +1
+ 2д/б+5 2д/б + 5 2д/б+5
24-25 + 1 Л
=----=-----= 0, то есть данные числа являются противополож-
2V6 + 5
ными.
2-я группа. Задания повышенного уровня сложности на
преобразование выражений, содержащих квадратные корни:
№ 508,511.
№ 508.
Сначала сократим данную дробь:
у[х -у/1 _ у[х -5/2 _ 1
X-2 (a/x-V2)(Vx + V2) -Jx+Jz'
128
Так как выражение Jx + 41 положительно при любых х, то
А 1
дробь —7=--= принимает наибольшее значение, когда ее зна-
у/х +у/2
менатель наименьший. Выражение 4х + V2 принимает наи-
меньшее значение при х = 0.
Ответ: прих = 0.
№511.
ylb + 49-Ujb + д/* + 49 + 14л/* = =
= \4b - 7| + \-Jb + 7|.
Выражение 4b + 7 положительно при всех допустимых зна-
чениях Ь, поэтому \Jb + ?| = y[b + 7.
По условию 0 < b < 49; при таких значениях b выражение
4b - 7 меньше либо равно нулю, поэтому \Jb - 7| = 7 - 4b .
Таким образом, имеем:
7z> + 49-147K + 7/> + 49 + 14а/К = 7 - Jb + Jb + 7 = 14,
то есть исходное выражение не зависит от Ь.
• Дополнительное задание. Докажите, что верно ра-
венство:
Доказательство
Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой
дроби:
1 ’тУ7 л 1-
1 + V2 (14-л/2 )(1 - V2) 1-2
1 = Уг-Уз = Уг-Уз =
У2+Уз (У2 + Уз)(У2-Уз) 2-3
1 = Уз-74 = Уз-Л = д _ .
Уз+У? (Л+У4)(Уз-У4) з-4
129
1 _ 74-75 _ 74-75 =
74 + 75 (V4 + V5)(V4-V5) 4-5
Преобразуем левую часть исходного равенства, подставляя
в него полученные выражения:
V2-1 + V3-V2+V4-73+V5-V4 =75-1
75-1 = 75-1.
Равенство доказано.
IV. Итоги урока.
- Что называется арифметическим квадратным корнем
из числа al
- Сформулируйте все свойства арифметического квадратно-
го корня.
- В чём состоит приём вынесения множителя из-под знака
корня? внесения множителя под знак корня? Когда используют-
ся эти приёмы?
- Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?
Домашнее задание: № 435 (б, г), № 436 (б, г, е), № 439, 506
(в, г) (дополнительно).
Урок 43
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4
Вариант 1
1. Упростите выражение:
a) 10V3-4V48-V75; б) (5л/2-л/Гв)-V2;
2. Сравните: и V20 .
в) (з-д/!)2.
3. Сократите дробь:
ч б+7б
а) -р=—/=;
7зо + 75
б)
9-а
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
б)
77-1
а) 2V5 '
130
с тт 11
5. Докажите, что значение выражения —;=------— есть
2V3 + 1 2V3-1
число рациональное.
6. При каких значениях а дробь
большее значение?
Вариант 2
1. Упростите выражение:
а - У5
принимает наи-
в) (ч/з + л/г)2.
2.
3. Сократите дробь:
Л 5-V5 Ь — 4
a) ~j=—т=; б) -=---.
V10-V2 Jb-2
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
ч 2 4
а) —7=; б) ~^=—.
3V7 УП+З
с „ 11
5. Докажите, что значение выражения -—^-^ + -—есть
число рациональное.
6. При каких значениях х дробь ——- принимает наиболь-
х-4
шее значение?
Вариант 3
1. Упростите выражение:
a) 6T3 + V27 -3-/75; 6) (т/50-2V2)-V2 ; в)(2--Л^.
2. Сравните:—л/Г2 и —>/45.
2 3
3. Сократите дробь:
X >/3 — 3 а-2у[а
а)-7=--7=; б) —7=--•
V5-V15 ЗУя-6
131
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
Ю—б)-7=-----------------------=.
Зд/10 д/6 + д/2
с „ 11
5. Докажите, что значение выражения —,=-==— есть
2V7-1 2д/7+1
число рациональное.
гг Л Vx-V?
6. При каких значениях х дробь - принимает наи-
х —7
большее значение?
Вариант 4
1. Упростите выражение:
2 3
3. Сократите дробь:
а)----=; б) —.
2+ 710 2л/х-6
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
7 22
2л/21 713-72
с „ 11
5. Докажите, что значение выражения ---= есть
3 + 715 3-715
число рациональное.
yfp ~ 1
6. При каких значениях р дробь ------ принимает наиболь-
/2-1
шее значение?
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1.а) юТз-4748 -775 = юТз-4716-3 - 725-3 =
= 10д/3-16д/3-5д/з = -11д/з ;
132
6) (5>/2-VTs)-V2 = 572*72-718*72 = 5*2-Тзб =
= 10-6 = 4;
в) (з-л/2)2 =32-2*3*72+(72^ =9-бТ2+2 = 11-672.
2
-720= J--20=T5.
2 Н
Так как 77 > 77, то 7 J— > —720 .
V7 2
б+7б _ 7б(7б+1) _ Тб _ [б _ г-г
V30 + V5 75(76+1) 75 V 5
б) 9~а = (3~^)(3 + ^) _3
3 + 44 3 + 44
. . 1 77 77
277 277-77 Ю’
8 _ 8(77+1) 8(77+1) _ 8(77+1) _
б)77-Т=(Т7-1)(7+1) =(77)2-Р= 7-1
8(Т7+1) _4(Т7 + 1) _ 477 + 4
6 “ 3 " 3
1______1 2T3-I-2T3-I -2
2Тз + 1 273-1 (2T3+1)(2Тз-1) (273 У -I2
-2 _ 2
“12-1” 11’
Значит, значение исходного выражения есть число рацио-
нальное.
yla-y[5 _ 7^-77 _ 1
а~5 (Тя-Т^Тя+Тз) 7«+75
Выражение 4а + 75 принимает положительные значения
при всех допустимых значениях а.
133
Дробь —=-= будет наибольшей, если её знаменатель -
у/а + у/5
наименьший, а выражение 4а + 4$ принимает наименьшее зна-
чение при <7 = 0.
Ответ: при <7 = 0.
Вариант 2
l.a) 2V2+T50-V98 =2л/2 + л/25-2-д/49-2 =
= 2л/2+5л/2-7л/2 =0;
б) (Зл/5-л/20)-75 =Зл/5-л/5-л/20-75 =3-5-7100 =
= 15-10 = 5;
в) (V3+V2)2 =(д/з)2 4- 2л/з ’ V2 + (V2)2 =3 + 276+2 =
=5+2^6.
2. -7б0=Л/--60=715;
2 V4
|о7=/°Ч=7^-
Так как Vt5 < V20, то-^ТбО < 10J— .
2 V5
З.а) 5-V^=MM=^ /5=vi7
V10-V2 vi(7F-i) V2 Ъ
б) 6-4 JVb-2\Vb + 2)_^i2
4b-z 4ь~2
4а) А- = . =^L
’ 3>/7 Зд/7-V7 21
к. 4____ 4(ЛТ-з) _ 4(ЛТ-з) _4(ТП-з)_
Vh+з (тГТ+зХТГГ-з) (Тп7-з2 н-9
4(^-3)=2(7П-з)=2#1-6.
134
5 1 । 1 1 + зТ5 + 1-Зл/5 _ 2 2
1-Зл/5 1 + Зл/5 (1-3V5X1 + 3>/5) I2 -(Зл/з)2 !“45
2 1
~-44~ 22'
Значит, значение исходного выражения есть число рацио-
нальное.
у[х -2 _ Jx -2 _ 1
х“4 {у[х-2\4х+1) 4х + 2
Выражение 4х + 2 принимает положительные значения при
всех допустимых значениях х.
Дробь —=^— будет наибольшей, если её знаменатель -
у/х + 2
наименьший, а выражение у[х + 2 принимает наименьшее зна-
чение при х = 0.
Ответ: прих = 0.
Вариант 3
1. a) 6V3+V27-Зд/75 =6V3+V9T3-3V2573 =
= б7з+з73-157з = -б7з ;
б) (д/50-2л/2)х/2 =750-72-2V2-V2-7100-2-2 =
= 10-4 = 6;
в) (2-Тз)2 =22-2-2-7з+(7з)2 =4-47з+3 = 7-47з.
1^45 = J--45 =75 .
3 V9
Так как 7з < 75, то—712 < —745 .
135
a - 2л[а _ JayJa - 2) _ y[a
з77-б з(>/л-2) 3
4 a) 5 _ _ 5V10 _ л/Го .
а зТГо ”з7Го-7Го “ з-ю ” 6
8 = 8(л/б ->/2) = 8(л/б - V2) =
V6+V5"(Тб+лф-Л) "Й-И"
= 8(Тб-Л) = s(V6-V2) =
6-2 4 V 7
1_______1 2>/7 +1-2V7 +1 2
2 V7 -1 277 + 1 (2V7-1X2V7+1) (2Т7)2 -12
2 _ 2
" 28-1 ” 27 ’
Значит, значение исходного выражения есть число рацио-
нальное.
\[х -ypl _ y[x~yTi 1
х ~ (Тх - 77 + V? )
Выражение у[х + V7 принимает положительные значения
при всех допустимых значениях х.
Дробь —= будет наибольшей, если её знаменатель -
у]х + л/7
наименьший, а выражение у[х + V7 принимает наименьшее
значение при х = 0.
Ответ: прих = 0.
Вариант 4
l.a) 5V2+2V32-V98 =5V2 + 2V16-2-V49-2 =
-5л/2+8л/2-7л/2 =6л/2 ;
б) (4V3+V27)-V3=4V3-V3+V27-V3 =4-3 + 781 =
= 12 + 9 = 21;
в) (х/5-д/з)2 =(75)2-2л/5-7з+(7з)2 =5-2715+3 =
= 8-2715 .
136
-754 = J—-54=Тб.
3 V9
Так как 7? > Тб, то—728 > -754 .
2 3
3 710+5 = 75(72+75) i~-
2+Tio 42^2+45) V2 ’
х-ЗТх _ 7х(Тх-з) _ Тх
2(7%-з) 2
л ч 7 7721 7721 721
2721 2721-721 2-21 6
= 22(713 + 72) =2^+л/5)=
22 - 22(У^+^2) _ 22(713+72) _
7Н-7^ = (Ti3-7^)(7il+^) = (лЙ-Й =
_ 22(713+72)
~ 13-2
= 2713+272 .
1 1 _ 3-715+3 + 715 _ 6
3+715 3-715 (з+7й)(з-715) з2 -(Тй)2
=-^=±=_\.
9-15 -6
Значит, значение исходное выражение есть число рацио-
нальное.
Выражение 7F +1 принимает положительные значения при
всех допустимых значениях р. Дробь —=— будет наибольшей,
7/? + 1
если её знаменатель - наименьший, а выражение 7F +1 прини-
мает наименьшее значение при р = 0.
Ответ: при р = 0.
137
Глава III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Урок 44
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Цели: ввести понятия квадратного уравнения, приведен-
ного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения;
формировать умения записывать квадратное уравнение в общем
виде, различать его коэффициенты.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Является ли число а корнем уравнения:
а) 2х - 7 = 8, а = 7,5;
б)х2-х-20 = 0, а = 5;
в)(?+ 12) (х2 - 8) = О, а=2^2?
2. Найдите корни уравнения:
а) (х-3 )(х + 12) = 0;
б) (6х - 5) (х + 5) = 0;
в) (х - 8) (х + 2) (х2 + 25) = 0.
III. Объяснение нового материала.
Для введения понятия квадратного уравнения используется
задача, при решении которой появляется уравнение, еще не из-
вестное учащимся. Возникает проблемная ситуация: мы не мо-
жем решить практическую задачу, так как пока не умеем решать
уравнения нового вида. На этом уроке можно просто указать,
какие корни имеет полученное уравнение, и сообщить, что такое
уравнение называется квадратным.
На доску выносится запись:
Уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0,
где а, Ь, с- числа, <7^0,
называется квадратным
138
Далее рассматривается вопрос о коэффициентах квадратного
уравнения. Число а называется первым коэффициентом, число
b - вторым коэффициентом и число с - свободный член. Особое
внимание обращаем, что число а не может быть равным нулю,
так как в этом случае уравнение примет вид Ьх + с = 0, а это ли-
нейное уравнение.
Числа b и с, в отличие от а, могут быть и равными нулю. Ес-
ли хотя бы одно из них равно нулю, то уравнение называется
неполным. Можно предложить учащимся самостоятельно выпи-
сать виды неполных квадратных уравнений:
ь с Уравнение
0 X ах2 + с = 0
X 0 ах2 + Ьх-0
0 0 ах2 = 0
Для усвоения понятия квадратного уравнения и его коэффи-
циентов следует предложить учащимся следующее задание:
Укажите, какие из данных уравнений являются квадратны-
ми, объясните ответ:
а) 2х2 + 7х - 3 - 0; 1 ? д) —х — 6х +1 = 0 ; 4
б) 5х - 7 = 0; е) 7х2 + 5х = 0;
в) - х2 - 5х - 1 = 0; 2 г) — + Зх + 4 = 0; X ж) 4х2 +1=0; , 1 з) х2 — = 0. X
Затем определяется, какое квадратное уравнение называется
приведенным, приводятся примеры.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить тому,
чтобы учащиеся усвоили понятие квадратного уравнения, могли
выделять его из множества уравнений, называть коэффициенты,
преобразовывать неприведённое квадратное уравнение в приве-
дённое, овладели соответствующей терминологией.
139
1.Заполните таблицу.
Уравнение Коэффициенты
а b с
Зх2 + 7х-6 = 0
- 5х2 + 2х + 4= 0
15х-х2 = 0
7х2 = 0
Зх-х2+ 19-0
2х2 - 11 = 0
-х2 -2х = 0 3
х2 + 2 - х = 0
2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:
а) а = - 4; b - 3; с = 1; в) а - -1; h = —; с = 0;
б) а = ; b = 0; с = д/з ; г) а = 2; b = 0; с = 0.
3. Приведите уравнение к виду ах2 + Ьх + с = 0:
а) - х + 2х2 - 4 = 0; г) (х - 3) (х + 3) = 2;
б) 2х2 - Зх = 5х - 1; д) (х - 1 )2 = 2х + 4.
в) (х - 2) (Зх - 5) = 0;
4. Какое из чисел 1; -3 является корнем данного уравнения?
а)2/-3^+ 1 =0; в) |/2 +г-1,5 = 0;
б)— х2 - 5х- 6 = 0; г) 25г2 - 10z + 1 = 0.
5. Какие из данных уравнений являются приведёнными; не-
полными?
а)х2 - Зх + 5 = 0; r)x2-jX = 0;
б)-х2-7х+ 1=0; д) -х2 =0;
3
в) -^х2 +5х-1 = 0; е) х2 - 5 = 0.
140
6. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:
а) — х2 + 2х - 5 = 0; г) Зх2 + 9х-^- = 0 ;
б) |х2+Зх-1 = 0; д)-5х2+ 10х+ 125 = 0;
в) 2х2 - 4х = 0; е) 18х2 = 0.
V. Итоги урока.
- Какое уравнение называется квадратным?
-Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть
равным нулю?
- Является ли уравнение Зх2 - 7 = 0 квадратным? Назовите
коэффициенты этого уравнения.
-Какое квадратное уравнение называется неполным? При-
ведённым? Приведите примеры.
- Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в
приведённое?
Домашнее задание: № 512, 513.
- Приведите уравнение к виду ах2 + Ьх + с = 0.
а) (Зх- 1) (х + 2) = 0; в) (3 -х) (3 +х) = 2;
б) - Зх2 + 4х = - 8х + 1; г) (х - 2)2 = - Зх + 5.
Урок 45
РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель: формировать умение решать неполные квадратные
уравнения различных видов.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите корни уравнения:
а)х2 = 0; в) х2 = —; д)х2=-—; ж)х2 = 2,56;
9 4
б)х2=16; г)х2=144; е) х2 =-^-; з) х2 .
121 ' 196
141
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам и про-
верьте, является ли указанное число хо корнем этого уравнения:
а) а = 2; b = -3; с = 1; х0 = ±;
б) а = -1; b = 4; с - 0; х0 = 4 ;
в) а - у[2; b = -1; с = V2; х0 - V2 .
Вариант 2
Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам и про-
верьте, является ли указанное число х0 корнем этого уравнения:
а) <7 = 3; b = -2; с = -1; х0 — - j;
б) а - -1; b - 0; с - 9; х0 = 3;
в) а - д/З; b = -1; с - л/З; х0 - д/з .
IV. Объяснение нового материала.
Для осознанного восприятия приемов решения неполных
квадратных уравнений объяснение проводим на конкретных
примерах с последующим составлением алгоритмов решения.
1. Выполнение упражнения № 514 (устно).
2. ах2 = 0
Пример 1 . 3,8х2 = 0.
Решение
Разделим обе части уравнения на 3,8 (число, не равное нулю)
и получим уравнение, равносильное исходному: х2 = 0.
Мы знаем, что существует только одно число нуль, квадрат
которого равен нулю, следовательно, уравнение имеет единст-
венный корень хо = 0.
Ответ: 0.
Вывод: уравнение вида ах2 = 0 (а Ф 0) имеет единственный
корень Хо = 0.
142
3. ох2+с = (), гдес^О
Пример 2. -Зх2 + 21 = О.
Решение
Перенесём свободный член в правую часть уравнения и раз-
делим обе части получившегося уравнения на - 3:
-Зх2 = -21; х2 = 7.
Отсюда х - 41 или х = -41
Ответ: х = 41\ х = -41 •
Пример 3. 4х2 + 6 = 0.
Решение
Перенесём свободный член в правую часть уравнения и раз-
делим обе части получившегося уравнения на 4:
4Х2 = - 6;
2 '
Так как квадрат числа не может быть отрицательным чис-
лом, то уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Вывод: Для решения уравнения вида ах2 + с = 0 (с * 0)
воспользуемся алгоритмом:
1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения.
2) Делим обе части уравнения на а (с * 0, а Ф 0), получаем
2 с
уравнение х = —.
а
с
3) Если--> 0, то уравнение имеет два корня:
а
Если — < 0, то уравнение не имеет корней.
а
143
4. ax2 + bx = 0, где b 0
Пример 4. 5x2 + 7x = 0.
Решение
Разложим левую часть уравнения на множители:
х (5х + 7) = 0.
Отсюда: х = 0 или 5х + 7 = 0;
5х = - 7;
7
Х~ 5*
х = - 1,4.
Ответ: 0; - 1,4.
Вывод: Для решения уравнения вида ах2 + Ьх = 0 (Ь Ф 0)
воспользуемся алгоритмом:
1) Разложим левую часть уравнения на множители, получим
х(ах + Ь) = 0.
2) Решаем уравнение ох + 6 = 0; х = —.
а
£
3) Уравнение имеет два корня: х{ = 0;х2 = —.
а
5. Приведённые примеры показывают учащимся, что непол-
ное квадратное уравнение может иметь один или два корня,
а может и не иметь корней. В дальнейшем возможно обобщение
этого вывода для любых квадратных уравнений. Для системати-
зации знаний, полученных на уроке, можно предложить уча-
щимся составить следующую таблицу:
Коэффициент, равный нулю О О II II 6 = 0 с = 0
Вид ах2 = 0 ах2 + с = 0 ах2 + Ьх = 0
Решение х2 = 0 2 2 е ах = —с; х = — а х (ах + 6) = 0 х = 0 или ах + b = 0
Корни х = 0 С 1 с Если > 0, ТО X] 2 = ±J а ’ V а - с п Если — < 0, то корней нет а Xi = 0, b х2= а
144
V. Формирование умений и навыков.
На первых порах желательно, чтобы учащиеся перед реше-
нием неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их
вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчи-
вый навык.
№ 515 (а, в, д), 517 (а, в, е), 519 (устно), 523 (а, в).
VI. Итоги урока.
- Какое квадратное уравнение называется неполным?
- Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?
- Какие корни имеет уравнение вида ах2 = О?
- Как решается неполное квадратное уравнение, в котором
коэффициенты b = 0, с Ф 0? Сколько корней может иметь такое
уравнение?
- Как решается неполное квадратное уравнение, в котором
коэффициенты b Ф 0, с = 0? Сколько корней может иметь такое
уравнение?
Домашнее задание: № 515 (б, г, е), 518 (а, г, д, е), 521 (а, в),
520, 522 (а, в).
Урок 46
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цели: продолжить формирование умения решать неполные
квадратные уравнения различного вида; формировать умение
решать задачи с использованием неполных квадратных уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
2 5 3
а) 1—3; в)-:5; д) 6,3 :7; ж) з|:3;
б) 0,7-8; г) 2^-2; е)1,2-6; з) 0,06 • 7.
145
III. Математический диктант.
Вариант 1 [Вариант 2]
1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэф-
фициент равен 3 [-5], второй коэффициент равен -5 [3]. Сво-
бодный член равен нулю.
2. Запишите приведённое квадратное уравнение, у которого
второй коэффициент и свободный член равны -2 [-3].
3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого пер-
вый коэффициент равен -5 [-3], свободный член равен 7 [5],
и решите его.
4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого
первый коэффициент равен 3 [5], второй коэффициент равен
5 [7], и решите его.
IV. Формирование умений и навыков.
• Задачи, решаемые на этом уроке, можно разбить на д в е
группы:
1-я группа. Уравнения, сводящиеся к неполным квадрат-
ным уравнениям путём преобразований.
Решение
Умножив обе части уравнения на 4, получим:
(х - 2)2 3 + 2 (х + I)2 = 8.
После преобразований имеем уравнение:
Зх2-2 = 0, х2=~, х = ±Д.
3 V3
Ответ: ± J— .
V3
2 х2 + 3 х2 + 2 х2 + 4
2) х2 +1-----=-------------.
3 2 4
Решение
Умножив обе части уравнения на 12, получим:
146
12? + 12 - 4 (? + 3) = 6 (? + 2) - 3(? + 4),
12? + 12-4х2- 12 = 6?+ 12-3?- 12,
5х2 = 0, х = 0.
Ответ: 0.
(х-5)2-6х + 5 / v
3) 1-----------= (2 - хХх + 5).
Решение
Умножив обе части уравнения на 3, получим:
(х — 5)2 - 6х + 5 = 3 (2 — х)(х + 5),
х2 - 1 Ох + 25 - 6х + 5 = 6х + 30 - Зх2 - 15х,
4? - 7х = 0,
х(4х-7) = 0,
х = 0 или 4х - 7 = 0,
х = 4/7.
Ответ: 0; 4/7.
2-я группа. Текстовые задачи, решаемые алгебраическим
методом с помощью неполных квадратных уравнений: № 524,
526, 527.
Прежде чем перейти к решению задач, необходимо, чтобы
учащиеся проговорили, какие этапы включает в себя решение
любой задачи алгебраическим методом.
№ 524.
Последовательные целые числа отличаются на единицу (по-
следующее больше предыдущего).
Пусть х - меньшее целое число, тогда (х + 1) - последующее
целое число (большее). Произведение этих чисел равно х(х + 1),
что составляет х2 + х. Зная, что произведение в 1,5 раза больше
квадрата меньшего числа, составим уравнение:
х2 + х = 1,5?,
- 0,5х2 + х = 0,
х (- 0,5х + 1) = 0,
х = 0 или - 0,5х +1=0,
х = 2.
147
Очевидно, что х = 0 противоречит условию задачи (произве-
дение чисел будет равно квадрату меньшего числа). Значит, эти
числа 2 и 3.
Ответ: 2; 3.
№ 526.
Площадь квадрата составляет
59 + 85 = 144 см2. Пусть х см - сторона
квадрата, тогда х2 см2 - его площадь. По-
лучаем уравнение:
х2 = 144,
х = + 12.
Так как длина стороны квадрата выражается положительным
числом, то х = - 12 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 12 см.
№ 527.
Пусть t ч - время, через которое
расстояние между туристами бу-
дет 16 км. За это время один ту-
рист прошёл на север 4г км, а вто-
рой на запад St км. Расстояние
между ними равно длине отрезка
ЗС и вычисляется по теореме Пифагора: (3Q2 = (ОЗ)2 + (OQ2.
Зная, что длина отрезка ЗС равна 16 км, составим уравнение:
(16)2 = (5/)2 + (41)2,
256 = 25?+ 16?,
41? = 256,
2 _ 256
41 ’
t« +2,5.
Так как время выражается положительным числом, то t « -2,5
не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: «2,5 ч.
• Задача повышенной трудности для сильных уча-
щихся.
№ 530.
Согласно условию, отношение длины экрана к его ширине
равно 4:3, это значит, что можно обозначить 4х и Зх длину
148
и ширину экрана соответственно (в дюймах). Диагональ вычис-
ляется по теореме Пифагора:
(25)2 = (4х)2 + (Зх)2,
625 = 16? + 9?,
25х2 = 625,
х2 = 25,
х = ± 5.
х = - 5 - не удовлетворяет условию задачи. Длина экрана рав-
на 4 • 5 = 20 дюймов, а ширина равна 3-5 = 15 дюймов. В сан-
тиметрах эти величины составляют 20 • 2,54 = 50,8 и 5 • 2,54 = 38,1
соответственно.
Ответ: 20; 15; 50,8; 38,1.
V. Итоги урока.
- Какое квадратное уравнение называется неполным?
- Какие существуют виды неполных квадратных уравнений
и как они решаются?
- Какие этапы выделяются при решении задачи алгебраиче-
ским методом?
Домашнее задание: № 532 (б, г), 525, 528, 529.
Урок 47
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
ВЫДЕЛЕНИЕМ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА
Цель: ознакомить учащихся с приемом решения квадрат-
ного уравнения выделением квадрата двучлена.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:
а)3х2-17х + 4 = 0; в)|-х2=0;
б) 2х - х2 + 1 = 0; г) х2 + 2х = 0.
149
2. Найдите корни уравнения:
а)*2 =1,21; в) х2;
б) х2 = —; г) х2 = 0,0049.
225
3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения
двух множителей:
а) 1 Ох; в) 1а;
б) - 8у; г) 4\2z .
4. Разложите на множители:
а)х2-4х + 4; в)^-у2+у + 1;
4
б)я2 + 6я + 9; г)3х2-6х + 3.
III. Объяснение нового материала.
Для осознанного восприятия приёма решения квадратных
уравнений путём выделения квадрата двучлена объяснение сле-
дует проводить в несколько этапов.
1. Актуализация знаний.
Прежде всего учащимся необходимо научиться свободно
решать уравнения вида х2 = а и (х + к)2 = т.
Частично знания учащихся были актуализированы при выпол-
нении устной работы. Чтобы ребята вспомнили, как решаются урав-
нения вида (х + к)2 = т, необходимо предложить им задание:
- Решите уравнение:
а) (х + 2)2 =16; в)(х+1)2 = 4; д)(1-Зх)2=-;
9
б)(х-3)2=1; г) (2х-7)2 е)(2х+1) = 0.
4 36
2. Ознакомление с приёмом решения квадратно-
го уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать
с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть
которого представляется в виде полного квадрата двучлена:
х2 + 10х + 25 = 0; х2-6х + 9 = 0; х2+х + —= 0 и т. п.
4
150
После этого появляется возможность подвести учащихся
к мысли о том, что для решения квадратного уравнения нужно
привести его к виду (х + к}2 = т, а сделать это можно путём вы-
деления квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое
квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм реше-
ния квадратных уравнений данным приёмом.
х2 — 6х — 7 = О
1-й шаг. Записываем второй коэффициент в виде произведе-
ния двойки и некоторого числа: b = 2п.
х2 — 6х — 7 = х2 — 2 * Зх — 7.
2-й шаг. Число п представляет собой второе слагаемое в ис-
комом квадрате двучлена: п = 3. Для того, чтобы получить ис-
комый квадрат двучлена (х - п)2 = х2 - 2 • х ♦ п + п2, необходимо
прибавить п2 и одновременно вычесть его:
х2-2 •Зх-7 = х2 ~2-Зх + 9-9-7.
3-й шаг. Выделяем квадрат двучлена:
х2 - 6х - 7 = х2 -2 -Зх+ 9-16 = (х-3)2 -16.
4-й шаг. Решаем полученное уравнение, равносильное ис-
ходному:
(х-3)2- 16 = 0
(х-3)2=16
х - 3 = 4 или х - 3 = - 4
х = 7 или х = - 1.
Ответ: - 1; 7.
3. Решение неприведённых квадратных урав-
нений приёмом выделения квадрата двучлена.
Целью рассмотрения приёма решения квадратных уравнений
путём выделения квадрата двучлена является подготовка к осоз-
нанному восприятию вывода общей формулы корней. Поэтому
не стоит заострять внимание учащихся на технически сложных
заданиях. Однако нужно рассмотреть со всем классом пример
решения неприведённого квадратного уравнения указанным
приёмом (с. 116-117 учебника).
151
IV. Формирование умений и навыков.
Следующие упражнения представляют собой последова-
тельность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделе-
ния квадрата двучлена, от простых к более сложным.
1. Решите устно.
а) х2 + 12х + 36 = О,
(х + 6)2 = О,
х = - 6.
б) х2-х + —= 0,
ГхЛ=0,
V 2j
1
х = —.
2
2. а) х2 - 8х + 15 = 0,
(х2-8х + 16)- 16+ 15 = 0,
(х-4)2- 1 =0,
(х-4)2=1
х - 4 = - 1 или х - 4 = 1,
х = 3 или х=5.
Ответ: 3; 5.
б) х2 - 5х - 6 = 0,
(х2 - 2 • 2,5х + 6,25) - 6,25 -6 = 0,
(х - 2,5)2- 12,25 = 0,
(х-2,5)2= 12,25,
х-2,5 = 3,5 или х-2,5 = -3,5,
X = 6 или х = - 1.
Ответ: -1; 6.
в) х2 - 6х + 14 = 0,
(х2 - 2 • Зх + 9) - 9 + 14 = 0,
(х-3)2+ 5 = 0,
(х - З)2 = - 5. Уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.
3. а) Зх2 - 4х - 4 = 0,
г 4 4
х —х — = 0,
3 3
х2 -2•—Х-— = 0,
3 3
152
р-2-2
I 3
( 2У
х---
I 3J
( 2У
х---=
I
2 4
х — = —
3 3
х = 2
4 А
х + — -
9;
“*=<>,
9
16
9 ’
или
или
i-i=0,
9 3
2_ 4
3 “ 3 ’
_2
3 ’
„ 2
Ответ: — ; 2.
3
б) 2? - 9х + 10 = 0,
х2 х + 5 = 0,
2
7 9
х2-2-~ х + 5 = 0,
4
( 2 „ 9 81Л 81
х2 -2--х + —-----
t 4 16J 16
( 9 | 81 с
I 4J 16
( 9?_ 1
С 4; ”16’
9 1
х — = — или
4 4
х = 2,5 или
Ответ: 2; 2,5.
4. а) При каком значении а уравнение х2 - ах + 9 =
ин корень?
9 1
х — = —,
4 4
х-2.
0 имеет
Решение
Выделим квадрат двучлена.
х2 - ах + 9 = 0,
х2-2 •— х + 9 = 0,
2
153
2 ~ a a a
x -2- —-x-i-----------1-9 = 0,
2 4 4
I 2 4,
/ \ 2 э
I а I
х----=----9 .
I 2J 4
Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если
2
-—9 = 0;
4
— = 9; а2 =36; а = +6.
4
Ответ: при а = ± 6.
б) При каком значении т уравнение Зх2 - тх -6 = 0 имеет
единственный корень?
Решение
Выделим квадрат двучлена.
Зх2 - тх -6 = 0,
х2 х-2 = 0,
3
х2 -2-—х-2 = 0,
6
^|-^-2 = 0,
36 36
2
W
- — + 2.
36
2 ~ m
x -2- —
\ 6
Z \ 2
I m I
X----
I 6 )
Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если
т2
зб+2 = 0;
^ = -2.
36
т2 = -72 - нет корней.
Ответ: нет решений.
154
V. Итоги урока.
- Какое уравнение называется квадратным?
- Какое квадратное уравнение называется приведённым?
- Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение
в приведённое?
- В чём заключается приём решения квадратных уравнений
путём выделения квадрата двучлена?
- Любое ли квадратное уравнение может быть решено ука-
занным приёмом?
Домашнее задание:
1. Решить методом выделения квадрата двучлена:
а) 5Х2 + Зх - 8 = 0; б) х2 - 8х - 9 = 0;
2. При каких значениях п можно представить в виде квадрата
двучлена выражение:
а) х2-их+16; б)их2-12х + 4?
3. Выполнить задания по учебнику: № 534 (б, г, д), 653 (а).
Урок 48
ВЫВОД ФОРМУЛЫ
КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
Цели: вывести общую формулу нахождения корней квад-
ратного уравнения; формировать умение её использовать.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
1. Выпишите коэффициенты а, Ь, с квадратного уравнения:
Вариант 1 Вариант 2
а) х2 - Зх + 17 = 0; а) 7Х2 + 6х - 4 = 0;
б) Зх2 = 2; б) - х2 = 5х;
в) - 7х + 1 бх2 = 0; в) 18-х2 = 0;
г) V5x2 =0. г) V7x2-4 = 0.
155
2. Найдите корни уравнения:
Вариант 1
а) 2л2- 18 = 0;
6) 4у2 + Ту = 0;
в)х2+ 16 = 0;
г) (х - З)2 - 9 = 0.
Вариант 2
а) х2 - 7;
б) 8/ 5v = 0;
в) л2 + 9 = 0;
г) (х + З)2 - 4 = 0.
3. Решите уравнение приемом выделения квадрата двучлена:
Вариант 1 Вариант 2
2х2 - 24х + 54 = 0 Зх2 + 24х - 27 = 0
III. Объяснение нового материала.
Для мотивации изучения общей формулы корней квадратно-
го уравнения достаточно обратить внимание учащихся на два
момента:
1) решение квадратных уравнений выделением квадрата
двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;
2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приё-
мом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).
Указанные пункты позволяют предположить, что можно
провести рассуждения о решении квадратного уравнения приё-
мом выделения квадрата двучлена для уравнения общего вида.
Для наглядности и осознанности восприятия можно процесс
вывода формулы корней квадратного уравнения разбить на не-
сколько шагов, записывая при этом на доске параллельно реше-
ние конкретного уравнения и уравнения общего вида.
2х2 + Зх + 1 — 0 ах2 + Ьх + с = 0, а * 0
Шаг 1. Преобразуем уравнение в приведённое
х2 + —х + — = 0 2 2 2 Ь С _ х н— х н— — 0 а а
Шаг 2. Представим второе слагаемое в виде удвоенного произведения, в котором один из множителей есть х
х2 + 2- —-х + —= 0 4 2 х2 +2- — -Х + — = 0 2а а
156
/ ь \2 Шаг 3. Прибавим к левой части уравнения выражение — и вычтем его:
2.3 9 9 1 х 4-2*— 'х + 1— = 0 4 16 16 2 2 _ b ( b У ( b У с А х + 2 — х + — - — ч— — 0 2а \2а ) \2а) а
Шаг 4. Выделим квадрат двучлена:
ГхЛ-± = 0 1 4J 16 ( Ь}2 Ь2 с х ч — ч— — 0 1 2а) 4а2 а
Шаг 5. Решим полученное уравнение:
( 3V 1 х + — = — 1 4j 16 3 1 3 1 х ч- — = — ИЛИ X + — = — 4 4 4 4 1 х = — или х = -1 2 ( b У 62-4ас х ч- — = — V 2а) 4а2
Замечаем, что в левой части уравнения находится квадрат
выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит
от знака правой части уравнения. Более того, 4а2 > 0 для лю-
бого а * 0, значит для решения важен только знак выражения
Ь2 - 4ас. Так появляется понятие дискриминанта D = Ь2 - 4ас
(«дискриминант» в переводе с латинского - различитель).
После рассмотрения вопроса о количестве корней квадрат-
ного уравнения и вывода их общей формулы желательно выве-
сить на доску плакат:
Решение квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, а Ф 0;
D = b2-4ac.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней;
Если D = 0, то х =--;
2а
-ь±415
Если/)>0, то х =--------
2а
157
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить вопросу
определения количества корней квадратного уравнения с помо-
щью дискриминанта. Желательно, чтобы учащиеся за урок вы-
учили формулу D = Ь2 - 4ас и хорошо усвоили алгоритм нахож-
дения корней квадратного уравнения.
1. Выполните упражнение по учебнику: № 533.
2. Докажите, что уравнение не имеет корней:
а)х2-5х + 9 = 0; б) Зх2 - 7х + 18 = 0; в) у/2 -2z + 8 = 0 .
3. Убедитесь, что уравнение имеет единственный корень,
найдите этот корень:
а)х2-8х + 16 = 0; б) 0,04z2 -0,2z + 0,25 = 0 ;
в)1/-3.у + 9 = 0.
4
4. Выполните упражнения по учебнику: № 534 (а, в), 535 (а, в, г),
536 (в, д), 538 (a).
V. Итоги урока.
- На чем основан вывод формулы корней квадратного урав-
нения?
- Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?
- Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
- Как определить количество корней квадратного уравнения?
- Если квадратное уравнение имеет единственный корень,
то что можно сказать о трёхчлене, стоящем в левой части
уравнения?
Домашнее задание: № 535 (б, д, е), 536 (б, г, е), 537 (а, в).
Урок 49
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛЕ
Цель: продолжить формирование умения решать квадрат-
ные уравнения по формуле.
Ход урока
I. Организационный момент.
158
II. Устная работа.
Вычислите:
б) (V283)2;
е) 7^56-
г) 70,0081;
III. Проверочная работа.
Вычислите дискриминант квадратного уравнения и напиши-
те, сколько корней имеет уравнение:
Вариант 1
а) 5х2 4x1=0;
б) х2 - 6х + 9 = 0;
в) Зх - х2 + 10 = 0;
г) 2х + 3 + 2х2 = 0.
Ответы:
Вариант 1
a) D = 36, 2 корня;
б) D = 0, 1 корень;
в) D = 49, 2 корня;
г) D = - 20, нет корней.
Вариант 2
а) Зх2 - 5х + 2 = 0;
б)4х2-4х + 1 =0;
в) 2х - х2 + 3 = 0;
г) Зх + 1 + бх2 = 0.
Вариант 2
a) D = 1,2 корня;
б) D = 0, 1 корень;
в) D = 16, 2 корня;
г) D = - 15, нет корней
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить непо-
средственному применению алгоритма вычисления корней
квадратного уравнения по формуле. Важно, чтобы учащиеся за-
помнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали
запоминать формулу корней.
Во избежание формального применения алгоритма на этом
уроке следует решать упражнения, в которых требуется прово-
дить преобразования квадратного уравнения к общему виду.
Кроме того, следует приучать учащихся преобразовывать
даже квадратные уравнения стандартного вида к более «удоб-
ным», решение которых будет менее громоздким и трудным,
чем решение исходного уравнения. Для этого следует обратить
159
внимание на три случая, встречающиеся при решении квад-
ратных уравнений:
1) Коэффициент а является отрицательным. Нужно домно-
жить обе части уравнения на -1.
2) Все коэффициенты уравнения имеют общий делитель.
Нужно разделить обе части уравнения на этот делитель.
3) Среди коэффициентов уравнения встречаются дробные.
Нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее
кратное знаменателей дробей, чтобы коэффициенты стали це-
лыми (возможны исключения).
Также на этом уроке следует чередовать полные и неполные
квадратные уравнения, чтобы учащиеся осознанно выбирали
рациональный способ решения: по общей формуле либо по од-
ному из алгоритмов решения неполного квадратного уравнения.
• № 541 (а, г, д), 542 (б, г, ж), 543 (б, е),
• № 544 (а, г), 546 (б), 547 (б, г), 549.
№ 544.
а) (2х - зХ5х +1) = 2х + ,
2
1 Ох2 + 2х -15х - 3 - 2х — = 0,
5
7 17
10х2-15х------= 0,
5
7 ( 17Л
Z) = (-15)2-4-10-1-у I = 225 + 136 = 361, D > 0; 2 корня.
15 + V361 15 + 19 34
х. =---------=------= — = 1,7;
2*10 20 20
15-ТзбТ 15-19 4
х? =---------=------=-----= -0,2 .
2 2 10 20 20
Ответ: - 0,2; 1,7.
Примечание. При решении этого квадратного уравнения нецеле-
сообразно домножать обе части уравнения на число, чтобы получить це-
лые коэффициенты. Наоборот, работа с дробным свободным членом по-
зволяет упростить ход вычислений.
160
г) - х(х + 7) = (х - 2)(х + 2),
-х2 -7х = х2 -4,
-2х2 -7х + 4 = О,
2х2 + 7х-4 = О,
D = (7)2-4-2-(-4) = 49 + 32 = 81, D > О, 2корня.
-7 + 781 -7 + 9 2
х, =-------=-------= — = 0,5 ;
1 2-2 4 4
-7-781 -7-9 16
х, =-------=-------=----= -4.
2 2-2 4 4
Ответ: -4; 0,5.
№ 546.
б) 15?+ 17= 15 (х + I)2,
15? + 17= 15(х2 + 2х+ 1),
15? + 17= 15х2 + 30х+ 15,
30х-2 = 0,
Ответ:—.
15
№ 549.
х2 = 0,5х + 3.
Графическое решение
Построим график функций у = х2 и у = 0,5х + 3.
Абсциссы точек пересечения графиков будут являться реше-
нием данного уравнения.
Графиком функции у = х2 является парабола, вершина кото-
рой находится в начале координат, ветви направлены вверх.
Контрольные точки:
X -2 -1 0 1 2
У 4 1 0 1 4
Графиком функции у = 0,5х + 3 является прямая, проходящая
через точки ___________________
X 0 -2
У 3 2
Xi ~ - 1; х2 = 2.
161
Аналитическое решение
(с помощью формулы корней)
х2 - 0,5х -3 = 0,
2х2 - х - 6 = 0.
D = (- I)2 - 4 • 2 • (- 6) = 1 + 48 = 49, D > 0, 2 корня.
1-749 1-7 6 '
х, =-----=-----= — = -1,5,
1 2-2 4 4
1 + 749 1 + 7 8 ,
х2 =----— =----= - = 2 .
2 2-2 44
Ответ: - 1,5; 2.
V. Итоги урока.
- Как определить количество корней квадратного уравнения?
- Каков алгоритм вычисления корней квадратного уравнения?
- Что нужно сделать, прежде чем применять алгоритм вы-
числения корней, если коэффициент а квадратного уравнения
является отрицательным?
- Что нужно сделать, если все коэффициенты квадратного
уравнения имеют общий делитель?
- Что нужно сделать, если хотя бы один коэффициент квад-
ратного уравнения является дробным?
Домашнее задание: № 542 (а, в, е, з), 543 (г, д), 544 (в), 545
(а, г), 547 (в).
162
Урок 50
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧЕТНЫМ ВТОРЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Цели: вывести формулу (И) нахождения корней квадрат-
ного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать
умение применять формулы I и II для решения квадратных
уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите коэффициенты а, Ь, с уравнений:
а) 4х2 - 5х - 7 = 0; г) 8 - 9? = 0;
б) х2 + 2 - Зх = 0; Д) 11? = 0;
в) Зх2 + 2х = 0; е) 17 - х2 - х = 0.
2. Решите уравнение: а) 2х2 -18 = 0; в)х2 + 16 = 0;
б) Зх2 - 12х = 0; г) З^х2 = 0.
3. Сколько корней имеет уравнение:
а) 6х2 - 5х = 0; в) Зх2 - 4 - 0;
б) х2 - 4х + 4 = 0; г) 2х2 + 7 = 0.
III. Объяснение нового материала.
1. Создание проблемной ситуации.
Предложить учащимся для решения квадратное уравнение
15? - 34х + 15 = 0. Используя формулу нахождения корней
квадратного уравнения, получаем:
Z) = (— 34)2 — 4 • 15 • 15= 1156-900 = 256.
34-7256 34-16 18 3
- 2-15 “ 30 ~ 30 ~ 5 ’
34 + 7256 34 + 16 50 5
*2 ~ 2-15 ’ ~ 30 " 30 ” 3 ’
Решая это уравнение, учащиеся вынуждены проводить вы-
числения достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых
уравнений.
163
Можно теперь сообщить учащимся, что для решения квад-
ратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, су-
ществует другая формула корней, позволяющая упростить вы-
числения.
2. Вывод этой формулы проводится согласно пункту учеб-
ника. Причём в сильном классе можно предложить учащимся
проделать это самостоятельно, записав только общий вид такого
уравнения: ах2 + 2- Л- х + с = 0 (Ь = 2к).
После вывода формулы возвращаемся к решенному уравне-
нию и применяем новую формулу:
D = (- 17)2- 15 • 15 = 289-225 = 64.
17-V64 17-8 3 17 + V64 17 + 8 5
х, =-------=------= —; х, =---------==------- —.
15 15 5 15 15 3
Как видим, вычисления можно произвести «в уме», так как
все значения квадратов чисел - табличные.
На доску можно вынести плакат:
Решение квадратного уравнения а2 + кх + с = 0, а 0;
D\= к2 - ас.
Если D\ < 0, то уравнение не имеет корней;
к
Если D] = 0, то х = — ;
а
-k±JK
Если D\ > 0, то х =----—
а
Обращаем внимание учащихся, что D\ в четыре раза меньше,
чем D.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, можно разбить на т р и
группы:
1-я группа. Задания на непосредственное применение
формулы (II) корней квадратного уравнения: № 539 (б, г, ж),
540 (в, з).
164
При решении этих заданий демонстрируем учащимся при-
менение новой формулы для случая, когда корни уравнения яв-
ляются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к
доске и параллельно проводим решение по разным формулам.
№ 539.
ж)7?-20г+ 14 = 0
Формула I Формула II
D = (-20)2 - 4 • 7 • 14 = = 400 -392 = 8 D\ = (-10)2 - 7 • 14 = = 100-98 = 2
(Ещё раз замечаем, что D, = -^ )
20±V8 _ х = . Вынесем множитель 14 20±2д/2 из-под знака корня: х = , 14 ю ± 41 то есть х = 7 10 ± V2 х = 7
Таким образом, получаем такие же корни.
2-я группа. Задания с выбором формулы (I или II) корней
квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента:
№ 541 (б, в, ж), 546 (а, г), 550 (б), 552 (а, в), 553 (а).
3-я группа. Задания повышенной трудности: № 554, 555
можно предложить сильным учащимся, сократив для них коли-
чество заданий из 1-й и 2-й групп.
№ 554.
а) х2 - 5х + 6 = 0;
D = (- 5)2-4- 1 -6 = 25 -24= 1,Z)> 0.
5-V1 4 п 5 + VT 6 _
1 2-1 2 2 2-1 2
6х2 - 5х + 1 = 0;
Z) = (-5)2 - 4 • 6 • 1 = 25 - 24 = 1, Z) > 0.
165
5-VT _ 4 _ 1 _ 5 + Vf _ 6 _j_
2-6 "12-3’ ~ 2-6 12 2
6) 2x2 - 13x + 6 = 0;
D = {- 13)2 - 4 • 2 • 6 = 169 - 48 = 121, Г>>0.
13-V121 _ 13-11 _ 1
Г2 4 “ 2’
x2
13 + V121 _ 13 + 11
Г2 ~ 4
6x2 - 13x + 2 = 0;
D = (- 13)2 - 4 • 6 • 2 = 169-48= 121, D>0.
13-V12T 13-11 1 13 + ViIT 13 + 11 „
x 1 — — , x — — — 2.
2-6 12 6 ' 2-6 12
Можно предположить, что корни уравнений ах1 + Ьх + с = 0
и сх2 + Ьх + а = 0 являются взаимно обратными числами. Дока-
жем это.
ах2 + Ьх + с = 0
сх2 + Ьх + а = 0
- b + ylb2 - 4ас
2а
-b-y/b2 -4ас
2 ~ й
2а
— Ь + дМ2 - 4 • с<7
2с ’
-Ь -лМ2 -4-с-а
2с
(Мы предполагаем, что Ь2 - 4ас > 0, то есть корни существуют.)
-Ь + у/Ь2 -4ас -b-yjb2 -4ас
Вычислим х, -х. ---------------•--------------=
1 2а 2с
(-b)2-\b2-4ас\ Ь2-Ь2+4ас , п
=---------------1 =------------= 1. Значит, Xi и х4 — взаимно
4бгс 4ас
обратные числа.
Аналогично доказывается, что xj и Х3 - взаимно обратные
числа.
№ 555.
х2 - ах + (а - 4) = 0.
D = (- а)2 - 4 • 1 • (а - 4) = а2 - 4а + 16.
166
Чтобы определить количество корней, необходимо оценить
дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:
D = (я2 - 2 • 2 • я + 4) + 12 = (а-2)2 + 12.
Дискриминант принимает положительные значения при любом
а (точнее D > 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.
О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.
V . Итоги урока.
- В каких случаях применяется формула II корней квадрат-
ного уравнения?
- В каком отношении находятся D\ и D2
- По какой формуле вычисляется D\2
- Можно ли применять формулу I корней квадратного урав-
нения, если коэффициент b чётный?
- Могут ли получиться разные корни при применении раз-
личных формул корней квадратного уравнения?
Домашнее задание: № 539 (в, е, з), 540 (б, е, ж), 541 (е, з),
548 (б, г), 551 (а, г, д).
Урок 51
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ТЕКСТОВОЙ ЗАДАЧИ
Цели: ввести понятие математическая модель; выделить эта-
пы решения задач алгебраическим методом; формировать умение
составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:
а) 81 см2; в) м2; д) 225 см2;
121
, 1 э 9 э
б) 0,49 дм2; г) — м2; е) —— м2.
64 144
167
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.
а) Зх2 - 7х = 0; в) 2х2 - 1 = 0;
б) х2 - 2х + 1 = 0; г) х2 + Зх + 3 = 0.
2. Решите уравнение:
а) 5х2 + 14х - 3 = 0; в) 7х2 + 8х + 1 = 0;
б) х2 - 2х + 2 = 0; г) х - Зх2 - 2 = 0.
Вариант 2
1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.
а) 6х2 - 5х = 0; в) Зх2 - 4 = 0;
б) х2 - 4х + 4 = 0; г) х2 - 4х + 5 = 0.
2. Решите уравнение:
а) 5х2 + 8х - 4 = 0; в) 7х2 + 6х - 1 = 0;
б) х2 - 6х + 11 = 0; г) 4х - Зх2 -2 = 0.
IV. Развивающее задание.
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:
а) 1 и 3; б) л/з и -д/з ; в) 1 - л/з ; 1 + Тз .
V. Объяснение нового материала.
Объяснение следует начать с конкретной (с. 124 учебника)
задачи, в процессе решения которой учащиеся открывают но-
вый факт: корень уравнения, составленного по условию зада-
чи, может не удовлетворять этому условию. В то же время
полученные при решении квадратного уравнения два различ-
ных корня могут одновременно отвечать условию задачи. По-
этому возникает необходимость интерпретации полученного
решения.
Важно, чтобы учащиеся осознали значимость новой ситуа-
ции и вместе с учителем чётко выделили этапы решения задачи
алгебраическим методом:
1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.
2. Перевод естественной ситуации на математический язык
(построение математической модели текстовой задачи).
168
3. Решение уравнения, полученного при построении матема-
тической модели.
4. Интерпретация полученного решения.
Четвёртый этап решения задачи алгебраическим методом
является принципиально новым для учащихся, поэтому на нём
следует заострить внимание. Можно попросить учащихся при-
вести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения
может противоречить условию задачи.
В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить не-
сколько самых распространённых ситуаций:
1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда
за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражать-
ся только положительным числом (например, длина, пло-
щадь, объём и т. п.).
2) Корень уравнения является числом из более широкого
множества, чем то, которое описывается в задаче (например,
получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о це-
лых числах).
3) Несоответствие полученных положительных размеров с
реальными (например, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.)
При решении задач учащиеся могут в процессе интерпрета-
ции полученных решений соотносить ситуации с тремя выде-
ленными.
VI. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику: № 559, 561, 563.
№ 563.
Пусть х см - длина одного катета прямоугольного треуголь-
ника, тогда (23 - х) см - длина второго катета. Зная, что пло-
щадь прямоугольного треугольника равна половине произведе-
ния катетов и составляет 60 см2, составим уравнение:
| х- (23-х) = 60,
х(23-х)= 120,
23х-х2- 120 = 0,
х2 - 23х + 120 = 0,
Z) = (-23)2-4- 1 • 120 = 529-480 = 49, D > 0, 2 корня.
169
23 +<49 23 + 7 1Г
x. =-------=-------= 15;
1 2 2
23-V49 23-7 o
x-, =------=-------= 8.
2 2
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 8; 15.
№ 564.
В задаче встречается понятие «последовательные натураль-
ные числа». Нужно убедиться, что учащиеся понимают, о чём
идёт речь.
№ 566.
(26 - 2х) см
80 см2
26 см
Анализ: Пусть х см - ши-
рина листа картона, тогда дли-
на оставшейся части картона
равна (26 - 2х) см, а её площадь
х (26 - 2х) см2. Зная, что площадь
оставшейся части картона равна 80 см2, составим уравнение:
х (26 - 2х) = 80,
26х - 2х2 - 80 = 0,
х2- 13х + 40 = 0,
D = (- 13)2 - 4 - 1 -40= 169- 160 = 9, D>0, 2 корня.
13 + V9 16 о
х, =--------= — = 8;
1 2 2
13-79 10 с
х7 ---------= — = 5 .
2 2 2
Интерпретация (чертёж в масштабе 1: 2).
170
2-е решение:
5 см 16 см 5 см
Ответ: 5 см; 8 см.
№ 568 (самостоятельное решение).
Пусть х - число рядов в кинотеатре, тогда (х + 8) - число
мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х • (х + 8). Зная,
что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:
х • (х + 8) = 884,
х2 + 8х - 884 = О,
£>i = 42 - 1 • (- 884) = 16 + 884 = 900, £>i > 0, 2 корня.
х, =-4 + ^900 =-4 + 30 = 26;
х2 - - 4-V900 = - 4-30 = -34 - не удовлетворяет условию
задачи.
Ответ: 26 рядов.
V II. Итоги урока.
- Что понимается под математической моделью текстовой
задачи?
- Какие этапы решения задачи алгебраическим методом вы-
деляют?
- В чём состоит интерпретация полученного решения за-
дачи?
- Приведите примеры, когда полученное решение противо-
речит условию задачи.
Домашнее задание: № 560, 562, 565, 567.
171
Урок 52
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель: продолжить формирование умения решать тексто-
вые задачи с помощью составления квадратных уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и опреде-
лите, сколько корней имеет уравнение:
а) х2 + 8х - 3 = 0; в) х2 + 6х + 9 = 0;
б) 2х2 - х + 10 = 0; г) 7х2 + 2х + 5 = 0.
2. Решите уравнение:
а)х2= 1600; в) х2 = ——; д)х2 = 0;
4
б) х2 = 5; г) х2 = 1,44; е) х2 = .
III. Формирование умений и навыков.
№ 570.
Z X 2
Пусть х - число обезьян в стае, тогда I — - 3 I обезьян спря-
талось в гроте. Зная, что на виду осталась одна обезьяна, соста-
вим уравнение:
Г— — 3^1 + 1 = х,
15 )
х2 6х ,
--------н 9 +1 — х 0,
25 5
х2 - ЗОх + 250 - 25х = 0,
х2 - 55х + 250 = 0,
£> = (- 55)2 -4*1-250 = 3025 - 1000 = 2025, D > 0, 2 корня.
55 + 72025 55 + 45
х, =-------------------= 50 ,
2 2
172
55-72025 55-45 с
х2 =-----------= —-— = 5 - не удовлетворяет условию
х -у
задачи, так как — - 3 в этом случае - отрицательное число.
Ответ: 50 обезьян.
№ 571.
Пусть х - количество сторон в выпуклом многоугольнике,
тогда (х + 25) - количество диагоналей в нём. Зная, что количе-
ство диагоналей (р) связано с количеством сторон (л) по форму-
лам -3)
ле р = —-—, составим уравнение:
x + 25 = x(xz3)
2
2х + 50 = х (х - 3),
2.x + 50 = х2 - Зх,
2х + 50 — х2 + Зх - 0,
5х + 50 - х2 = 0,
х2 - 5х - 50 = 0,
D = (- 5)2 - 4 • 1 (- 50) = 25 + 100 = 125, D > 0, 2 корня.
5 + 7125 5 + 15 5-7125 5-15
1 2 2 2 2 2
Так как х выражает число сторон многоугольника, то это не
может быть отрицательное число, значит, Х2 - - 5 не удовлетво-
ряет условию задачи.
Ответ: в десятиугольнике.
№ 573.
При решении этой задачи используются элементы комбина-
торики, поэтому следует разобрать её с учителем.
Решение
Пусть х - количество участников турнира, тогда каждый
участник играл с (х - 1) участником. Количество комбинаций
равно х (х - 1). Но так как в комбинации участвует два человека,
х(х -1)
а партия одна, то число партии равно------.
173
Зная, что всего было сыграно 45 партий, составим уравнение:
=45;
2
х • (х - 1) = 90,
х2 - х - 90 = 0,
D = (-I)2-4- 1 (-90)= 1 +360 = 361, Z)>0, 2 корня.
1 + л/ЗбГ 1 + 19 1Л 1-7збТ 1-19
х, =-------=------= Ю; Х-, =----------=-----= - 9.
1 2 2 2 2 2
Так как х выражает количество участников турнира, то это
не может быть отрицательное число, значит, х2 = - 9 не удовле-
творяет условию задачи.
Ответ: 10 участников.
№ 575.
Пусть х, (х + 1), (х + 2) - три последовательных целых числа.
Зная, что сумма их квадратов равна 869, составим уравнение:
х2 + (х+ I)2 + (х + 2)2 = 869,
х2 + х2 + 2х + 1 + х2 + 4х + 4 - 869 = 0,
Зх2 + 6х - 864 = 0,
х2 + 2х-288 = 0,
£> = (-1)2- 1 • (-288) = 289, D>0, 2 корня.
X! = -1 + V289 = -1 +17 = 16,
х2 =-l-V289 = -1 -17 = -18 .
Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это по-
следовательные числа 16; 17; 18 или - 18; - 17; - 16.
Ответ: 16; 17; 18 или - 18; - 17; - 16.
IV. Проверочная работа.
Решите задачи:
Вариант 1
1. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат
большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти
числа.
2. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую - на
1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см2. Найдите
длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.
174
Вариант 2
1. Два последовательных нечётных числа таковы, что квад-
рат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите
эти числа.
2. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую - на
1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см2. Найдите
длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.
Примечание. В зависимости от уровня подготовки класса можно
сократить содержание проверочной работы до одной задачи.
Пример выполнения проверочной работы:
Вариант 1
1. Пусть х и (х + 2) - два последовательных чётных числа.
Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего
числа, составим уравнение:
(х + 2)2 = 9х,
х2 + 4х + 4 - 9х = О,
х2 - 5х + 4 = О,
Г) = (-5)2 - 4 - 1 - 4 = 25 - 16 = 9, D>0, 2 корня.
5 + 79 5 + 3 . 5-79 5-3 ,
х. =------=-----= 4, х7 =--------=------= 1.
1 2 2 2 2 2
Так как число - чётное, то хг = 1 - не удовлетворяет условию
задачи.
Ответ: 4; 6.
2 . Пусть х см - сторона квадра-
та, тогда (х - 2) см и (х - 1) см -
стороны прямоугольника. Зная,
что площадь полученного пря-
моугольника равна 6 см, соста-
вим уравнение:
(х-2)(х-1) = 6, 2с
х2-х-2х + 2- 6 = 0,
х2-Зх-4 = 0,
Г> = (-З)2 - 4 • 1 • (-4) = 9-ь 16 = 25, D>0, 2 корня.
3 + 725 3 + 5 л 3-725 3-5
х. =-----=-----= 4, х9 =----------=-----= -1.
2 2 2 2 2
175
Так как сторона квадрата выражается положительным чис-
лом, то *2 = - 1 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 4 см.
Вариант 2
1. Пусть х и (х + 2) - два последовательных нечётных числа.
Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего
числа, составим уравнение:
(х + 2)2 = 9х,
х2 + 4х + 4 - 9х = О,
х2 - 5х + 4 = О,
Г> = (-5)2-4- 1 -4 = 25-16 = 9, D>0,
5 + 79 5 + 3 л 5-79 . . ,
1 2 2 2 2 2
Так как число - нечётное, то Xi = 4 - не удовлетворяет усло-
вию задачи.
Ответ: 1; 3.
2 корня.
5-3
2 . Пусть х см - сторона квадра-
та, тогда (х + 2) см и (х + 1) см -
стороны прямоугольника. Зная,
что площадь полученного прямо-
угольника равна 12 см, составим
уравнение:
(х + 2)(х+ 1)= 12,
х2 + х + 2х + 2- 12 = 0,
х2 + 3х- 10 = 0,
см
D = З2 - 4 • 1 • (- 10) = 9 + 40 = 49, D > 0, 2 корня.
-3 + 749 -3 + 7 о -3-749 -3-7
х, =--------=------= 2 , х9 =---------=-------= - 5 .
1 2 2 2 2 2
Так как сторона квадрата выражается положительным чис-
лом, то Х2 = -5 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 2 см.
V. Итоги урока.
-Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраиче-
ским методом?
176
- В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?
- Когда полученное решение может противоречить условию
задачи?
- Какие решения, полученные на сегодняшнем уроке, вы ин-
терпретировали как противоречащие условию задачи?
Домашнее задание: № 569, 572, 574, 578 (б).
Урок 53
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ВИЕТА
И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ
Цели: изучить теорему Виета; формировать умение при-
менять теорему Виета и обратную ей теорему при решении при-
ведённых квадратных уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные
уравнения:
а) Зх2 - 2х = 0; 6)7? - 16х + 4 = 0; в)?-3 = 0; г) - ? + 2х - 4 = 0; д) 2 - 6х + ? = 0; е) - 21? + 16х = 0; ж) х2 = 0; з) ? + 4х + 4 = 0; и) ? = 4; к) - 7? + 6 = 0.
2. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:
а) Зх2 + 6х - 12 = 0; 1 7 1 г) —х2 ч х-2 = 0 ; 4 16
б) 2х2 = 0; в) - ? - 2х + 16 = 0; д) 3?-7 = 0; е) - 5? + 1 Ох - 2 = 0.
III. Объяснение нового материала.
1. «Открытие» теоремы Виета.
Целесообразно организовать лабораторную исследователь-
скую работу. Для этого разбить класс на пять групп, каждой из
177
которых дать решить приведённое квадратное уравнение. После
его решения один представитель от каждой группы выходит
к доске и заполняет соответствующую строку в таблице:
Уравнение h с Корни Сумма корней Произведение корней
х2-3х+ 12 = 0
х2 — х — 12 = 0
х2 + 5х + 6 = 0
х2 + 3х- 10 = 0
х2 - 6х - 7 = 0
После этого учитель предлагает учащимся сравнить сумму
и произведение полученных корней с коэффициентами b и с и вы-
двинуть гипотезу. Учитель подтверждает сделанное предполо-
жение, сообщая, что данное утверждение называется теоремой
Виета, обращая внимание учащихся, что эта теорема справедли-
ва для приведенных квадратных уравнений.
Можно привести краткий исторический материал о жизни
и деятельности Франсуа Виета.
Рассмотреть доказательство теоремы можно как по учебнику
(с. 127-128), так и привлекая учащихся, поскольку оно не явля-
ется сложным. После доказательства на доску выносится запись:
Теорема Виета
Если х\, х2 - корни уравнения х2 +рх + q = О,
Toxi+x2 = -p; *1 ’ х2 = q
Для первичного усвоения теоремы Виета можно предложить
учащимся выполнить устно упражнение на нахождение суммы
и произведения корней квадратного уравнения:
1) № 580 (а, б, в, г) - устно.
2) х2 х-5 = 0.
7
З)х2 + Зх + 5 = О.
При выполнении этого задания необходимо предотвратить
формальное применение теоремы Виета. Нужно убедиться, что
178
квадратное уравнение имеет корни. Если учащиеся сами не выска-
жут эту мысль, то при решении третьего задания предложить им
найти дискриминант уравнения и сделать соответствующий вывод.
2. Теорема Виета для неприведённого квадратного уравнения.
При выполнении устной работы в начале урока учащиеся
вспомнили, как преобразовать квадратное уравнение в приве-
дённое. Следует предложить им самостоятельно вывести фор-
мулы для неприведённого квадратного уравнения, используя
теорему Виета. После этого на доску выносится запись:
Теорема Виета
Если xi, Х2 - корни уравнения ах2 + Ьх + с = О,
b с
то х, + х2 = —; х( • х2 = —
а а
3. Теорема, обратная теореме Виета.
Обращаем внимание учащихся, что по теореме Виета мы
можем только убедиться в правильности нахождения корней
с помощью дискриминанта. Возникает вопрос: а если мы подбе-
рем такие числа, которые в сумме будут равны второму коэф-
фициенту с противоположным знаком, а в произведении - сво-
бодному члену, то не будут ли они являться корнями уравнения?
Подчеркиваем, что мы хотим воспользоваться утверждением,
обратным теореме Виета, значит, мы должны его доказать. Ра-
бота с теоремой Виета и обратной ей теоремой позволяет фор-
мировать элементы математической культуры учащихся.
После рассмотрения (по учебнику) доказательства теоремы
привести примеры нахождения корней квадратного уравнения
подбором.
IV. Формирование умений и навыков.
• Все упражнения, выполняемые на этом уроке, можно раз-
бить на две группы:
1-я группа. Упражнения на непосредственное примене-
ние теоремы Виета: № 580 (д, е, ж, з) - устно.
179
2-я группа. Упражнения на нахождение подбором корней
приведённого квадратного уравнения: № 581 (а, в), 582 (а, б, г, д).
- Решите квадратное упражнение по формуле и сделайте
проверку, используя теорему Виета:
а) х2 + 7х - 8 = 0; в) х2 - 4х - 5 = 0;
б) х2 - 5х - 14 = 0; г) х2 + 8х + 15 = 0.
• Дополнительное задание: № 583 (а, в).
- Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 - 11х + 28 = 0; г) х2 + Зх - 28 = 0;
б) х2 + 11х-ь28 = 0; д) х2 + 20х + 36 = 0;
в) X2 - Зх - 28 = 0; е) х2 + 37х + 36 = 0.
V . Проверочная работа.
Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х\ и хг.
Не находя их, найдите значение выражений х\ +хг и х\ • хг:
Вариант 1
а) х2 - 7х - 9 = 0; в) 5х2 - 7х = 0;
б)2х2 + 8х- 19 = 0; г) 13х2-25 = 0.
Вариант 2
а) х2 + 8х - 11 = 0; в) 4х2 + 9х =0;
б)3х2-7х- 12 = 0; г) 17х2-50 = 0.
V I. Итоги урока.
- Сформулируйте теорему Виета.
-Что необходимо проверить, прежде чем находить сумму
и произведение корней приведённого квадратного уравнения?
- Как можно применить теорему Виета для неприведённого
квадратного уравнения?
- В чём состоит теорема, обратная теореме Виета? Когда она
применяется?
Домашнее задание: № 581 (б, г), 582 (в, е), 583 (б, г), 584.
Дополнительно: найти подбором корни уравнения:
а) х2 - 12х + 27 = 0; в) х2 + 9х - 36 = 0;
б)х2 + 6х-27 = 0; г) х2 - 35х - 36 = 0.
180
Урок 54
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА
И ОБРАТНОЙ ЕЙ ТЕОРЕМЫ
Цель: продолжить формирование умения применять тео-
рему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых
и неприведённых квадратных уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
П. Устная работа.
Убедитесь, что уравнение имеет корни, и назовите их сумму
и произведение:
а)х2- 12х-45 = 0; д) х2 - 27х = 0;
б)у2+ 17у + 60 = 0; е) 60z + z2 = 0;
в) Зу - 40 + у2 = 0; ж) Зх2 - 15х + 18 = 0;
г)х2-2х+ 16 = 0; з) х2 + х + 8 = 0.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень,
используя теорему Виета:
а) х2 - Зх - 18 = 0; Xi = - 3;
б) 2х2 - 5х + 2 = 0; X] = 2.
2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями
уравнения х2 - ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?
Вариант 2
1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень,
используя теорему Виета:
а)х2-4х-21 =0;xi =-3;
б) 2х2 - 7х + 6 = 0; xi = 2.
2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями
уравнения х2 - 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?
181
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприве-
дённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной
теореме Виета.
На первых порах учащимся может быть трудно подбирать
корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни
уравнения и записывать соответствующие равенства.
Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем
с оценивания произведения корней, то есть находим делители
свободного члена квадратного уравнения.
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 586.
Пусть X] = 12,5 и *2 - корни уравнения х2 - 1 Зх + q = О,
тогда X] + х2 = 13 и Х| • х2 = <?.
Имеем 12,5+х2 = 13, значит, х2 = 13 12,5, х2 = 0,5.
Тогда 12,5 • 0,5 = q, q = 25.
От в е т: х2 = 0,5; q = 25.
№ 587.
Пусть Xi = 8 и х2 - корни уравнения 5х2 + Ьх + 24 = 0,
Ь 24
тогда х, + х7 = —, х, • х7 = —.
5 5
24 3
Имеем 8 • х7 - — , значит, х7 - —.
5 2 5
Тогда 8 + - = -—, 8,6 = -0,2 -Ь, /> = -43.
5 5
Ответ: х2 = 0,6; Ь = -43.
№ 589, 590 (самостоятельно).
№ 593 (а), 594 (а, д, е), 595 (б, д, е), 675.
После выполнения задания № 675 можно рассмотреть
с учащимися два способа нахождения корней квадратного урав-
нения, вытекающие из теоремы Виета.
1-й способ. Если в квадратном уравнении ах2 + Ьх + с = 0
сумма коэффициентов равна нулю, то Xi = 1, х2 = —.
а
182
2-й способ. Если в квадратном уравнении ах2 + Ьх + с = О
сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту Ь, то xj = - 1,
с
х2 = —.
а
В буквенном виде это может быть записано так:
ах2 + Ьх + с = 0
Если а + b + с = 0, то , с X! = 1; х2= — а Если а + с = Ь, то . с Х]=-1; = — а
• Дополнительное задание повышенной трудности.
№ 591.
Пусть Xi, х2 - корни уравнения х2 + 2х + q = 0.
По теореме Виета Xi + х2 = - 2 (I) и Xi ♦ х2 = q (2).
По условию х2—х2 =12 (через Xi обозначим больший ко-
рень). Значит, по формуле сокращенного умножения
(Х1 -Х2)(Х1 + х2) = 12,
(х!-х2)-(-2)=12,
Х1 -х2 = - 6,
Х] = х2 — 6.
Подставим в первое равенство вместо Xi его значение:
х2 - 6 + х2 -- - 2,
2х2 = 4,
х2 = 2.
Вычислим Х[ = 2 - 6 - - 4.
Из второго равенства найдём q = - 4 • 2, q = 8.
Ответ: q — 8.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.
- Если коэффициент с квадратного уравнения является по-
ложительным числом, то какими по знаку могут быть его кор-
ни? А если с - отрицательное число?
- Какие корни имеет квадратное уравнение, если сумма его
коэффициентов равна нулю? А если а + с = Ь?
Домашнее задание: № 585, 588, 594 (б, в, г), 595 (а, в, г), 592*.
183
Урок 55
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 5
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) 2х1 2 + 7х- 9 = 0; в) 100? 16 = 0;
б) Зх2 = 18х; г) х2 - 16х + 63 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его сто-
роны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.
3. В уравнении х2 + рх - 18 = 0 один из его корней равен - 9.
Найдите другой корень и коэффициент р.
Вариант 2
1. Решите уравнение:
а) Зх2 + 13х - 10 = 0; в) 16х2 = 49;
б) 2х2 - Зх = 0; г) х2 - 2х - 35 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его сто-
роны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.
3. Один из корней уравнения х2 + 1 lx + q = 0 равен - 7. Най-
дите другой корень и свободный член q.
Вариант 3
1. Решите уравнение:
а) 7х2 - 9х + 2 = 0; в) 7х2 - 28 = 0;
б) 5х2 = 12х; г) х2 + 20х + 91 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь
36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3. В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из его корней равен - 4.
Найдите другой корень и коэффициент р.
Вариант 4
1. Решите уравнение:
а) 9х2 - 7х-2 = 0;
б) 4х2 - х = 0;
в) 5х2 = 45;
г) х2 + 18х - 63 = 0.
184
2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь
24 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
3. Один из корней уравнения х2 - 7х + q = 0 равен 13. Найди-
те другой корень и свободный член q.
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. а) 2х2 + 7х-9 = 0.
1-й способ. D = 72-4 • 2 • (-9) = 49 + 72 = 121,£)>0,2 корня.
-7 + V12T -7 + 11 4 ,
х, =--------=-------= — = 1;
1 2-2 44
-7-7121 -7-11 18
х-, =-------—-------=-----
2-2 4 4
2-й способ. а + Ь + с = 0,
1 с
значит, Xi = 1, х2 = —, то есть
а
г~4-5
X] = 1, х2 = = - 4,5 .
б) Зх2 = 18х.
Зх2 - 18х = 0,
Зх (х - 6) = 0,
х = 0 или
в) ЮОх2- 16 = 0,
100х2 = 16,
2 16 2
X =-----, X
100
х = 6.
__4_
”25’
-, х = ±0,4.
5
г) х2 - 16х + 63 = 0.
1 -й с п о с о б. D\ = (- 8)2 - 63 = 64 - 63 = 1, D\ > 0, 2 корня.
X] = 8 + 71=9; х2 =8-71 =7.
2-й способ. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:
Xi + х2 = 16, Х1 • х2 = 63. Подбором получаем Xi = 9, х2 = 7.
Ответ: а)-4,5; 1; б) 0; 6; в)±0,4; г) 7; 9.
185
2. Пусть х см - одна сторона прямоугольника, тогда вторая
20-2х
сторона —-— см, что составляет (10 - х) см. Зная, что пло-
щадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:
х (10-х) = 24,
10х-х2-24 = 0,
х2- 10х + 24 = 0,
D} = (-5)2 - 1 • 24 = 25 - 24 = 1, Di > 0, 2 корня.
х( = 5 + 71 = 6; Хт = 5 — д/Т — 4. Оба корня удовлетворяют
условию задачи.
Ответ: 4 см; 6 см.
3. Пусть X] = - 9 и х2 - корни уравнения х2 + рх - 18 = 0, то-
гда по теореме Виета - 9 + х2 = - р и - 9 • х2 = - 18.
— 18
Имеем: х, =----; х2 = 2 и -9 + х2 = - р, отсюда р = 7.
— 9
Ответ: х2 = 2;р = 7.
Вариант 2
1.а) Зх2 + 13х- 10 = 0.
D = 132 - 4 • 3 • (-10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.
-13 + 7289 -13 + 17 4 2
х. ----------=--------= —= —;
2-3 663
-13-7289 -13-17 -22__5
6
6
2-3
б) 2х2 - Зх = О.
х (2х - 3) = О,
х = О или
lx - 3 = О,
3
Х~ 2'
х = 1,5.
в) 16.V-49.
16
7
4’
х = ± 1,75.
186
г) х2 - 2х - 35 = 0.
D} = (-1)2 - 1 • (-35) = 1 + 35 = 36, Dj > 0, 2 корня.
Xj = 1 + 736 =1 + 6 = 7;
х2 = 1 - 736 = 1 - 6 = -5.
Ответ: а) - 5; |; б) 0; 1,5; в) + 1,75; г) - 5; 7.
2. Пусть х см - одна сторона прямоугольника, тогда вторая
30-2х
сторона —-— см, что составляет (15 - х) см. Зная, что пло-
щадь прямоугольника равна 56 см2, составим уравнение:
х (15 -х) = 56,
15х-х2-56 = 0,
х2 - 15х + 56 = 0,
D = (- 15)2 - 4 • 1 • 56 = 225 - 224 = 1, D > 0, 2 корня.
15 + 71 16 о 15-71 14 п
х, =------= — = 8; х9 =-------= — = 7 .
2 2 2 2 2
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 7 см; 8 см.
3. Пусть Xi = - 7 и Х2 - корни уравнения х2 + 1 lx + q = 0, то-
гда по теореме Виета, - 7 + Х2 - - 11 и-7 • хг = q.
Имеем: Х2 = - 11 + 7, Х2 = - 4 и - 7 • (- 4) = q, отсюда q = 28.
О т в е т: Х2 = - 4; q - 28.
Вариант 3
1. а) 7х2 - 9х + 2 = 0.
1 -й с п о с о б. D = (- 9)2 - 4 • 7 • 2 = 81 - 56 = 25, D > 0,2 корня.
9 + 725 9 + 5 9-725 _9-5 _ 4 _2
Х* “ 2-7 14 " ’ Х2~ 2-7 14 "14" 7'
с
2-й способ. a + Z) + c = 0, значит,xi = 1, х2 = —,
а
, 2
то есть X] = 1, х2 = —.
187
б) 5х2 = 12х.
5х2 - 12х = 0,
х (5х - 12) = О,
х = О или 5х - 12 = 0,
5х = 12,
12
Х~ 5 ’
х = 2,4.
в) 7х2 -28 = 0.
7х2 = 28,
х2 = 4,
х = ±V?,
х = ±2.
г)х2 + 20х+91 =0.
Di = 102 - 1 • 91 = 100-91 =9,£>, >0,2 корня.
х, =-10 + л/9 = -10 + 3 = -7;
х2 =-10-л/9 = -10-3 = -13 .
От в е т: а) 1; у; б) 0; 2,4; в) ± 2; г) - 13; - 7.
2. Пусть х см - одна сторона прямоугольника, тогда вторая
26 -2х ч г-»
сторона —-— см, что составляет (13 - х) см. Зная, что пло-
щадь прямоугольника равна 36 см2, составим уравнение:
х (13 -х) = 36,
13х-х2 - 36 = 0,
х2 - 13х + 36 = 0,
£> = (- 13)2 - 4 • 1-36= 169- 144 = 25, D> 0, 2 корня.
13 + V25 13 + 5 „ 13-V25 13-5 л
1 2 2 2 2
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 4 см; 9 см.
3. Пусть Xi = - 4 и Х2 - корни уравнения х2 + рх + 56 = 0, то-
гда по теореме Виета - 4 + хг = -р и -А • х2 = 56.
188
Имеем: х2 = —; Х2 = - 14 и - 4 + (-14) = -р, отсюдар = 18.
-4
Ответ:х2 = -14;р=18.
Вариант 4
1. а) 9х2- 7х-2 = 0.
1-й способ. £> = (-7)2-4 • 9 • (-2) = 49 + 72 = 121, D > 0,
2 корня.
7 + 7121 7 + 11 , 7-712? 7-11 -4 2
1 2-9 18 2 2-9 18 18 9
с
2-й способ. а + Ь + с - 0, значит,Xi = 1, х2 = —,
а
, 2
то есть X] = 1, х2 = -—.
б) 4х2 - х = 0.
х (4х - 1) = 0,
х = 0 или 5х - 12 = 0,
4х- 1 =0,
4х = 1,
1
*“4’
х = 0,25.
в) 5х2 = 45.
5 ’
? = 9,
х = +7? ,
х = + 3.
г)х2 + 18х- 63 = 0.
Di = 92 - 1 (- 63) = 81 + 63 = 144, Di > 0, 2 корня.
х, =-9 + 7144 =-9 + 12 = 3 ;
х2 =-9-7144 =-9-12 = -21.
2
Ответ: а) —; 1; б) 0; 0,25; в) ± 3; г) - 21; 3.
9
189
2. Пусть х см - одна сторона прямоугольника, тогда вторая
22 -2х
сторона —-— см, что составляет (11 - х) см. Зная, что пло-
щадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:
х (11 -х) = 24,
11х-х2-24 = 0,
х2 - 11х + 24 = О,
Г>-(-11)2 4 • 1 • 24- 121 -96 = 25,2) >0,2 корня.
11 + V25 11 + 5 о
х, =-------------= 8;
2 2
11-V25 11-5 „
х2 =-------=-----= 3.
2 2 2
Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 3 см; 8 см.
3. Пусть Xi = 13 и х2 - корни уравнения х2 - 7х + q = 0, тогда,
по теореме Виета, 13 + х2 = 7 и 13 • х2 = q.
Имеем: х2 = 7 - 13, х2 = - 6 и 13 • (- 6) = q, отсюда q = - 78.
Ответ:х2 = -6;^ = - 78.
Урок 56
ПОНЯТИЕ ДРОБНОГО РАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Цели: ввести понятие дробного рационального уравнения;
формировать умение применять алгоритм решения дробного
рационального уравнения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Анализ результатов контрольной работы.
Проанализировать и исправить ошибки, допущенные уча-
щимися при решении контрольной работы. Решить на доске за-
дания, вызвавшие затруднения у учащихся.
190
III. Устная работа.
1. Какие из выражений являются целыми, какие - дробными?
а) 7*2У; 4 ч 8 г) 2 2 ’ т + п
б) (а - Ь)2 - ЗаЬ; ч х2 -Зху Д) 12 ;
. т + 5 в) е; т-5 е) (с + 2)2+—. с
2. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) 2х2 - 8; Г)/-4’
б)^5; х-2 х2 в) о; х + 3 д)44; Г+1 х 8 1 е) + . У-5 У
IV. Объяснение нового материала.
Объяснение следует проводить в несколько этапов.
1. Введение понятия дробного рационального уравнения.
При проведении устной работы необходимо актуализировать
следующие знания учащихся: целые выражения, дробные выра-
жения, рациональные выражения, допустимые значения пере-
менных. Целесообразно предложить учащимся самим сформу-
лировать понятие дробного рационального уравнения и акцен-
тировать их внимание на следующем: наличие дроби в выраже-
нии не свидетельствует о том, что это дробное выражение
(уравнение), необходимо присутствие переменной в знаменателе
дроби.
2. Рассмотрение алгоритма решения дробного рационально-
го уравнения.
Рассматривая способ решения дробного рационального
уравнения, учащиеся используют приём аналогии: решая целое
уравнение с числом в знаменателе, они умножают обе части
191
уравнения на общий знаменатель, что позволяет избавиться от
дробей. Возникает идея применить этот приём для нового вида
уравнений. После домножения обеих частей уравнения на об-
щий знаменатель следует спросить учащихся, что произошло
с областью допустимых значений уравнения. Она «расшири-
лась», и теперь допустимыми стали любые значения перемен-
ных, то есть полученное уравнение не равносильно исходному.
Следует задать вопрос: как же следует поступить в этом случае?
Затем формулируется алгоритм решения дробного рационально-
го уравнения:
1) Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2) Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
3) Решить полученное целое уравнение.
4) Исключить из его корней те, которые обращают в нуль
общий знаменатель.
V. Формирование умений и навыков.
На этом уроке отрабатывается применение алгоритма реше-
ния дробных рациональных уравнений. Не следует предлагать
для решения упражнения, требующие преобразование знамена-
телей по формулам сокращенного умножения перед нахождени-
ем общего знаменателя.
№ 600.
у2 у
а)----= ——. Общий знаменатель (у + 3).
у+з у + з
Умножим обе части на общий знаменатель дробей.
У2=У',
у2-у = 0;
у(у-\) = 0;
у - 0 или у - 1 = 0,
У = 1-
При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль.
192
. 2х2 -7х + 6
в)-----=-------,
х-2 2-х
2х2 _ -7х + 6
х-2 х-2
2х2 7х + 6 _ _ _ w
= . Общий знаменатель дробей (х-2).
х-2------х-2
Умножим обе части на общий знаменатель дробей.
2х2 = 7x 6,
2х2 - 7х + 6 = О,
D = (-7)2 - 4 - 2 - 6 = 49 -48 =\,D> 0, 2 корня.
7 + VT 8 _ 7-V1 6 3 1С
1 2-2 4 2 2-2 4 2
Если х = 2, то х - 2 = 0.
Если х = 1,5, то х - 2 Ф 0.
д)-----=--------. Общий знаменатель дробей (х + 7)(х - 1).
х+7 х-1
Умножим обе части на общий знаменатель
(2х- 1) (х- 1) = (Зх + 4)(х + 7),
2х2 - 2х - х + 1 = Зх2 + 21х + 4х + 28 = 0,
2х2 - 2х - х + 1 - Зх2 - 21х - 4х - 28 = 0,
—х2 - 28х - 27 = 0,
х2 + 28х + 27 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х\ = - 27, х^ = - 1.
Если х = - 27, то (х + 7)(х - 1)^0.
Если х = - 1, то (х + 7)(х - 1)^0.
. х-1 2х -1 _
и)--------------= 0;
2х + 3 3-2х
х — 1 2х — 1
-----=--------. Общий знаменатель дробей (2х + 3) (3 - 2х).
2х + 3 3 - 2х
Умножим обе части на общий знаменатель.
(х — 1) (3 — 2х) = (2х- 1)(2х + 3),
Зх - 2Х2 - 3 + 2х = 4Х2 + 6х - 2х - 3,
Зх - 2Х2 - 3 + 2х - 4Х2 - 6х + 2х + 3 = 0,
193
- 6х2 + х = О,
6х2 - х - О,
х (6х - 1) = О
х- О или
6х - 1 = О,
6х = 1,
1
х = —.
6
Если х = 0, то (2х + 3) (3 - 2х) 0.
Если х = —, то (2х + 3) (3 - 2х) 0.
6
Ответ: а) 0; 1; в) 1,5; д) - 27; - 1; и) 0; —.
6
№ 601.
Можно предложить учащимся другой способ исключения по-
сторонних корней. Как уже говорилось, при домножении обеих
частей уравнения на общий знаменатель дробей мы изменяем об-
ласть допустимых значений выражений, входящих в запись урав-
нения. Можно тогда вначале определить ОДЗ (любые числа, кро-
ме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце прове-
рить, входят полученные корни в ОДЗ или нет.
2х-5
а)-------4 = 0; ОДЗ:х + 5*0, х*-5.
х + 5
2х - 5 - 4 (х + 5) = 0,
2х - 5 - 4х - 20 = 0,
- 2х - 25 = 0,
- 2х = 25,
х - - 12,5.
х2 — 4 Зх — 2
в)-------= ; ОДЗ: х * 0.
4х 2х
х2 - 4 = 2 (Зх - 2),
х2 - 4 = 6х - 4,
х2 - 6х = 0,
х (х - 6) - 0,
х = 0 или х - 6 = 0,
х = 6.
194
г)-----= х-1; ОДЗ:2х-3^0, х^1,5.
2х-3
10 = (х- 1) (2х - 3),
10 - 2х2 - Зх - 2х + 3,
10-2х2 + Зх + 2х-3 =0,
- 2х2 + 5х + 7 = 0,
2х2 - 5х - 7 = О,
с 7
а + с - Ь, значит, Xi =- 1; х2 - —, т. е. xj =- 1; х2 = — - 3,5.
а 2
Ответ: а) - 12,5; в) 6; г) - 1; 3,5.
№ 602.
х2 7х
а) —---= —----; ОДЗ: х2 + 1 Ф 0, х - любое.
X +1 X + 1
х2 = 7х,
х2 - 7х - О,
х (х - 7) - О,
х = 0 или х - 7 = О,
х — 7.
3 1
е)-!— = ОДЗ:х^О.
х + 2 х
Зх - х2 + 2,
Зх - х2 - 2 = О,
х2 - Зх + 2 = О,
По теореме, обратной теореме Виета, xi = 2; Х2 = 1.
Ответ: а) 0; 7; е) 1; 2.
V I. Итоги урока.
- Какое уравнение называется дробно рациональным?
- Приведите примеры целого и дробного уравнения.
- Сформулируйте алгоритм решения дробного рационально-
го уравнения.
-Какими способами можно исключить «посторонние» кор-
ни дробного рационального уравнения?
Домашнее задание: № 600 (б, г, е), 601 (б, е, з), 602 (в, д, ж).
195
Урок 57
РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель: продолжить формирование умения решать дробные
рациональные уравнения по алгоритму.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Разложите на множители:
а) а2 - 9;
б)х2 + 2х + 1;
в) Зх2 - 6х;
2. Решите уравнение:
. х + 5
а)----= 0;
х-4
г) 2х3 - 8х;
д) 9/-1;
е) —х2 + 6х - 9.
В)^
х -9
б) ----- = 0;
z2 _ 3z
z-3 z-3
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Решите уравнения:
,. Зх — х2 2х2 — х
1)------+-----=
2 6
. 2х2 +3х _ х-х2
3-х " х-3 ’
5х-7 _ 4х-3
х-3 х
Вариант 2
Решите уравнения:
1)------1---------- 2х;
2 8
х2 + Зх _ х2 - х .
) ~л ~л ’
х-4 4-х
2х + 3 _ Зх + 2
•^7 ~
196
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке отрабатывается умение находить общий зна-
менатель дробей, выполнив предварительно разложение знаме-
нателей дробей, входящих в уравнение, вынесением общего
множителя либо по формулам сокращенного умножения.
№ 603.
а) 3*±1_*21 = 1; ОДЗ:х*-2; х*2.
х + 2 х-2
(Зх + 1) (х-2) - (х- 1)(х + 2)= 1 • (х + 2) (х-2),
Зх2 -6х + х- 2- х2-2х + х + 2= х2-4,
Зх2 - 6х + х - 2 - х2 - 2х + х + 2 - х2 + 4 = 0,
х2 - 6х + 4 = 0.
Dx = (-3)2-14 = 9- 4 = 5,Р,> 0, 2 корня.
Xj = 3 + V5; х2 = 3 - V5 .
ч 4 4 5
в) —----------=------;
9/-1 Зу + 1 1-Зу
4__________4 -5
(Зу-1)(Зу + 1) Зу + 1"Зу-1’
4-4 (Зу-1) = -5 (Зу+1),
4 - 12у + 4 = - 15у-5,
3у = -13,
ОДЗ:у*-|; уД.
г)----------=-----
х+3 3-х х-3
ОДЗ:х^-3; х^З.
4 (х - 3) + 4 (х + 3) + (х + 3) (х - 3) = 0,
4х- 12 + 4х+ 12+х2-9 = 0,
х2 + 8х - 9 = 0.
197
По теореме, обратной теореме Виета, х\ = - 9, Х2 = 1.
Ответ: а) 3- V5;3 + V5 ; в) -4-^ ; г) - 9; 1.
ОДЗ: х Ф 2; х - 2.
№ 605.
1 1 6-х
б)-----1 =------------;
2-х х-2 Зх2-12
— —1——+ 6~* =0,
х-2 х-2 3(х2-4)
- ^--1 +---—-------= 0;
х-2 3(х-2)(х4-2)
- 2 • 3 • (х + 2) - 1 • 3 • (х - 2) (х + 2) + 6 -х = 0,
— 6х — 12-Зх2+ 12 + 6-х = 0,
- Зх2 - 7х 4- 6 = 0,
Зх2 + 7х-6 = 0,
D = 72 - 4 • 3 • (-6) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.
-7-7121 -7-11 „
х, =--------=------= -3.
2 2-3 6
хх =--------=-------= -
2-3 6 3
. 5х + 7 2x4-21 _ 2
е)-------------= 8—;
х-2 х+2 3
5х + 7 2х + 21 26
х-2 х 4* 2 3
ОДЗ: х Ф 2; х - 2.
3 (5х + 7) (х + 2) - 3 (2х 4- 21) (х - 2) = 26 (х - 2) (х + 2),
3 (5Х2 4- 10x4-7x4- 14)-3(2х2-4х + 21х-42)-26(х2-4) = 0,
15х2 + 51х + 42 - 6х2 - 51х + 126 - 26х2 + 104 = 0,
-17х2 + 272 = 0,
х2= 16,
х = ± 4.
2
Ответ: б)- 3; — ; е) ± 4.
№ 604 (б).
х2 4- х — 2
1) ±——_10; ОДЗ:х^-3.
х + 3
198
х2 + х - 2 = - 10 (х + 3),
х2 + х - 2 = - 1 Ox - 30,
х2 + 11x4-28 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, Xi = - 4; х2 = - 7.
х + х - 2 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xj = - 2; х2 = 1.
х2 + х-2 _
э) _ — э,
х + 3
х2 + х - 2 = - 5 (х + 3),
х2+х-2 + 5х+ 15 = 0,
х2 + 6х + 13 = 0,
Di = З2 - 1 • 13 = 9 - 13 = - 4, < 0, нет корней.
Ответ: 1) при х = - 4 или х = - 7; 2) при х = - 2 или х = 1;
3) нет решений.
№ 606.
5^ + 13 4-6^
5^ + 4 Зу-1
4 1
ОДЗ: у*-у; у#-.
(5у+13) (37-1)-(4-6у)(5у + 4) = 3(5у + 4)(Зу-1),
15/ - 5у+ 39у- 13 - 20у - 16 + 30/ + 24>' =
= 3 (15/-5у+ 12^-4),
17? = 17,
У= 1-
. у + 1 10 ^ + 1 10
в)2—- +---- = — ------ОДЗ: у/5; у*-5.
у-5 у + 5 у-5 у + 5
(у +1)(>> + 5) + 10(j; - 5) = 10(у +1) ,
у2 +6y4-5 4-10j/-50-10y-10 = 0,
/+6у-55 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, у\ = 5; у2 = - 11.
О т в е т: б) 1; в) - 11.
199
№ 607.
y(y2~V y(y-\) 7 + 1
ОДЗ:у^О;>>* 1;
у^-1.
ОДЗ: х Ф 4.
у(7“1)(7 + 1) 7(7-1) у + 1
10-Су + 1)-7(7-1) = 0,
10-у -1 - у2 + у = 0,
9-72 = 0,
72 = 9,
7 = ±3.
ч , 45 14
д) 1 4- —-----=-----•
х“ -8х +16 х - 4
1 45 14 л
1 4---------------— 0 j
(х-4Хх-4) х-4
х2 -8х + 16 + 45-14(х-4) = 0,
х2-22х + 117 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х\ = 9, Х2 = 13.
Ответ: г) ± 3; д) 9; 13.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте алгоритм решения дробного рационально-
го уравнения.
- Как находится общий знаменатель дробей, входящих в за-
пись дробно рационального уравнения?
- Какими способами можно исключить «посторонние» кор-
ни дробного уравнения?
Домашнее задание: № 603 (б, е), 605 (в, г), 606 (а, г), 607 (в, е).
200
Урок 58
РЕШЕНИЕ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель: продолжить формирование умения решать дробные
рациональные уравнения по алгоритму.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Найдите подбором корни уравнения:
а)х2-2х- 15 = 0;
б) х2 + 5х + 6 = 0;
в) х2 + 7х - 8 = 0;
2. Решите уравнение:
ч х-4
а) —----= 0;
х2-16
х2-25 п
б) 2 = 0 ’
х + 25
г) х2 - 29х + 100 = 0;
д) х2 - 6х + 8 = 0;
е) х2 + 15х + 36 = 0.
х 1(2 ~49 л
в)----— = о;
х-7
чх2-9 „
г) -г-,-= 0.
1 х
ОДЗ: х 3; х Ф - 4.
III. Формирование умений и навыков.
Задания, предлагаемые учащимся на этом уроке, направлены
на закрепление умения решать дробные уравнения по алгоритму.
1. Выполнение заданий: № 608 (б, г), 609 (а, б).
№ 608.
17
б)-----------------------,
(х - 3)(х + 4) х-3 х + 4
17 - (х + 4) - х (х - 3) = 0,
17 - х - 4 - х2 + Зх = 0,
- х2 + 2х + 13 = 0.
D\ = 1 + 13 = 14, D\ > 0, 2 корня.
1 /77 -1 + V14
= 1 + д/14; х7 =------
-1
= 1-V14.
Х| -1
201
ч 4 1 4
г) —~ —'>-------------------•
9х2—1 Зх2 — х 9.x2— 6.x+ 1
4 1 4 1 1
------------+--------~7; ОДЗ: х ; х .
(Зх-1)(Зх + 1) х(Зх-1) (Зх-1)2 3 3
Общий знаменатель дробей х(3х -1)2 (Зх +1).
4х(3х -1) + (Зх - 1)(3х +1) = 4х(3х +1),
12х2-4х + 9х2-1 = 12х2+4х,
9х2-8х-1 = 0.
с 1
а + b + с = 0, значит, х, = 1, х2 = —, то есть xt =1, х2 = —.
а 9
О т в е т: б) 1 - 7м ; 1 + 714 ; г) - 1 ; 1.
На этом примере наглядно демонстрируем учащимся необ-
ходимость разложения знаменателей на множители для после-
дующего «составления» общего знаменателя.
№ 609.
ч 21 16 6
а) =--------;
х+1 х-2 х
21х(х - 2) = 16х(х +1) - 6(х +
21х2 - 42х - 16х2 +16х - 6х2
2 lx2 - 42х -16х2 -16х + 6х2
Их2 -64х-12 = 0;
Dy = (32)2- И • (- 12)= 1024
32 + VT156 32 + 34 ,
х, =---------- ------= 6
И 11
32-71156 32-34
2 11 11
2 1 5
б) 2 -I 7 ~ 3 О '
у -Зу у-3 у -9у
2 1 5
У(У~2) у-3 у(у-3)(у1
ОДЗ: х Ф -1; х Ф 0; х * 2.
1)(х-2),
+ 6х + 12,
-6х-12 = 0,
+ 132 = 1156; Dy > 0, 2 корня.
2
П ’
—; ОДЗ:
у*-3.
202
2(y + 3)-y(y + 3)-5 = 0,
2у + 5-у2 -Зу-5 = 0,
-y2-y = o,
y2+y = 0,
у (у + 1) = 0,
у ' 0 или у = - 1.
2
О т в е т: а) - —; 6; б) - 1.
- Решите уравнения:
7б/-6 _ 1________1_
J 673+27~б72-Зб7 + 9 67 + 3 '
7б/-6 1 1 Л
---------------------------h----= 0; ОДЗ: а Ф - 3.
(67+ 3)(б72 -367 + 9) а2 -367 4- 9 67 + 3
7б7 - 6-(б7 + 3) + 672 -Зб7+ 9 = 0 ,
7б7-6-67-3 + б72-Зб7 + 9 = 0,
672 + Зб7 = О,
а (б7 + 3) = О,
67 = 0 ИЛИ 67 = — 3.
Ответ: 0.
2)-Т—+ -Г---------Ат = °-
х — х х +х х -1
11 2
---7 ।----7--------7----7--- — 0 •
;фг2-1) х(х2 + 1) (х -1)(х +1)
Общий знаменатель дробей х(х2 - 1)(х2 +1).
Домножим обе части уравнения на общий знаменатель:
х2 +1 + х2 -1 — 2х = 0,
2х2 — 2х = 0,
2х(х- 1) - О,
х - 0 или х = 1.
Если х = 0, то х(х2 - 1)(х2 +1) = 0.
Если х = 1, то х(х2 - 1)(х2 +1) = 0.
Ответ: нет решений.
203
№ 611 (б).
Графиком функции у = — является гипербола, расположен-
х
ная в I и III координатных четвертях. Запишем координаты кон-
трольных точек:
X 0,5 1 2 3 6
X 12 6 3 2 1
Графиком функции у = -х + 6 является прямая, проходящая
• Дополнительные задания повышенной трудности:
№610 (а), 612.
№ 610.
3 +------— 3 +--------
2 1 10-2х2+1
5-х2 5-х2
1 31 1 31
, 5-х2 ~ 24 ’ + 33-6х2+5-х2 ” 24’
11-2х2 11-2х2
204
, 11-2х2 31
-7х2+38 24
-9х2 +49 31
-7х2+38~24’
- 7х2+38 +11-2х2 _ 31
— 7х2+38 ~24’
24(-9х2 + 49) = 31(-7х2 + 38),
216х2 +1176 + 217х2-1178 = О
2 = 2
х = ±д/2 . Оба корня удовлетворяют уравнению.
Ответ: ±72 .
IV. Итоги урока.
- Какие уравнения называются дробными рациональными?
- Каков алгоритм решения дробных уравнений?
- Как определить общий знаменатель дробей, входящих в урав-
нение?
-Каким способом можно исключить «посторонние» корни
дробного рационального уравнения?
Домашнее задание: № 608 (а, в), 609 (в), 611 (а), 695 (д, з).
Урок 59
СОСТАВЛЕНИЕ ДРОБНОГО РАЦИОНАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
Цели: формировать умение составлять дробное рацио-
нальное уравнение по условию текстовой задачи и решать его.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Решите уравнение:
а) х2 - 4х + 4 = 0;
б) Зх2 + 6 = 0;
г)/+ 13х±22 = 0;
..2 9
Д)----" =---
у-3 у-3
ч 2 1
е)---Ч =----7’
у-3 у+1
205
2.Заполните таблицу.
V t
60 км/ч 1,5 ч
5 км/ч 200 м
45 мин 1 км
80 км/ч 15 мин
20 м/с 2 км
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Найдите корни уравнений:
Зх2 + 11х-4 _
} Зх-1 ” ’
7 18
2)-----1-1 — —-----
х-3 х2 -6х + 9
Вариант 2
Найдите корни уравнений:
2х2 +х-1 _
? 2х-1 ” ’
5 14
2)---+ 1=^-------
х-2 х2-4х + 4
IV. Объяснение нового материала.
Учащиеся уже знакомы с алгебраическим методом решения
текстовых задач. Единственное отличие от ранее решаемых за-
дач в том, что математической моделью будет являться дробное
рациональное уравнение. Это можно продемонстрировать, ис-
пользуя примеры, разобранные в учебнике. При этом основное
внимание следует уделять процессу перевода условия задачи на
математический зык.
Затем следует ещё раз напомнить учащимся основные
этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом:
1-й этап. Анализ условия задачи и его схематическая запись.
2-й этап. Перевод естественной ситуации на математиче-
ский язык (построение математической модели: введение пере-
менной и составление дробного рационального уравнения).
3-й этап. Решение полученного уравнения.
4-й этап. Интерпретация полученного результата.
206
Первые два этапа являются для учащихся наиболее сложны-
ми, поэтому на этом уроке основной целью является формиро-
вание у учащихся умения составлять дробное рациональное
уравнение по условию задачи.
V. Формирование умений и навыков.
Большая часть урока должна быть посвящена анализу ус-
ловий задач, их схематичной записи, обоснованию выбора пе-
ременной и составлению уравнений. Решение самих уравне-
ний можно также предлагать учащимся для самостоятельной
работы.
№617.
Анализ:
х + 7
х + 3 + 5
х
х + 3
1
на —.
2
Пусть х - числитель обыкновенной дроби, тогда (х + 3) - её
знаменатель. Увеличив числитель на 7, а знаменатель на 5, мы
_ х + 7 „ - 1
получили дробь -----. Зная, что дробь увеличилась на —, со-
х + 8 2
ставим уравнение:
х _ х + 7 1
х + 3 х + 8 2
ОДЗ: х Ф -3; х Ф -8.
Общий знаменатель 2(х + 3)(х + 8).
2х(х + 8) = 2(х + 7)(х + 3) - (х + 3)(х + 8),
2х2 +16х = 2х2 +20х + 42-х2 - Их-24,
х2 +7х-18 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х> = 2, хг = - 9. Смыслу
„ 2
задачи удовлетворяет только х = 2, тогда дробь равна у .
2
Ответ: —.
5
Обращаем внимание учащихся, что уравнение исходное
можно было записать и по-другому:
207
-----------= — (из большего значения вычитаем меньшее
х+8 х + 3 2
. х 1 х + 7
и получаем разницу) или-------F — =---.
х + 3 2 х+8
№ 619.
Анализ:
И| = х км/ч t _ 22. ч <
•-------> 1 х
на 20 мин
' , меньше
20 км
•-------------> 20
V2 = (х + 2) км/ч z2 = —т 4 —
2 v ’ х + 2
Пусть х км/ч - скорость лыжника, тогда (х + 2) км/ч - ско-
гт - 20
рость второго лыжника. Первый лыжник затратил времени — ч,
ОДЗ: х 0, х ф - 2.
20
второй--------ч. Зная, что второй лыжник затратил на 20 мин,
х + 2
1
или — ч, меньше первого, составим уравнение:
20 20 1
х х + 2 3’
Зх (х + 2) - общий знаменатель.
60(х + 2) - 60х = х(х + 2),
60х + 120-60х-х2 * -2х = 0,
-х2 -2х +120 - 0 ,
х2 +2х —120 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х\ = - 12, Х2 = 10. Ко-
рень х = - 12 не удовлетворяет условию задачи. Значит, 10 км/ч -
скорость второго лыжника.
Ответ: 10 км/ч; 12 км/ч.
208
№ 621.
Анализ:
V, км/ч t, ч S, км
По расписанию X 720 X на 1 ч меньше 720
В действительности х+10 720 J х + 10 720
ОДЗ: х ф 0, х Ф - 10.
Пусть х км/ч - скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10)
, . 720
км/ч - действительная скорость поезда. - ч - время, которое
х
720
должен был идти поезд по расписанию, а ---- ч - время, за-
х +10
траченное поездом в действительности. Зная, что поезд затратил
на 1 ч меньше, чем должен был по расписанию, составим урав-
нение:
720 720
х х + 10
720(х + 10)- 720х = х(х +10),
720х + 7200 - 720х - х2 -1 Ох = 0,
х2 +10х-7200 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, Xi = - 90, xi = 80. Ко-
рень х = - 90 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 80 км/ч.
№ 623.
Анализ:
Цена, р. Кол-во, шт. Стоимость, р.
«Надежда» X 240 ч. X на 4 больше 240
«Удача» х- 5 240 _ х - 5 240
Пусть х р. - цена лотерейного билета «Надежда», тогда
(х - 5) р. - цена лотерейного билета «Удача». Андрей купил
209
билетов лотереи «Надежда», и билетов лотереи «Уда-
х----------------------------------х-5
ча» он мог бы купить. Зная, что Андрей мог бы купить на 4 би-
лета лотереи «Удача» больше, составим уравнение:
240х - 240(х - 5) = 4х(х - 5),
60х - 60х + 300 - х2 + 5х = 0,
х2 -5х-300 = 0,
D = (- 5)2 - 4 • 1 • (-300) = 1225, D > 0, 2 корня.
5 + V1225 5 + 35 40
х. =-------=------= — = 20;
1 2 2 2
5-V1225 5-35 40
х2 -------= —-— = - = -15 - не удовлетворяет усло-
вию задачи.
Ответ: 20 р.
V I. Итоги урока.
- Каковы этапы решения задач на составление дробного ра-
ционального уравнения?
- Каков алгоритм решения дробного рационального уравнения?
- Как проводится интерпретация полученных решений? В ка-
ких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетво-
рять условию задачи?
Домашнее задание: № 618, 620, 624, 639.
Урок 60
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель: формировать умение решать текстовые задачи с по-
мощью дробных рациональных уравнений.
Ход урока
I. Организационный момент.
210
II. Устная работа.
Найдите:
а) 50 % от 42; е) 20 % от 55;
б) 1 % от 300; ж) 50 % от 31;
в) 2 % от 200; з) 3 % от 90;
г) 10 % от 35; и) 10 % от 7;
д) 25 % от 280; к) 25 % от 84.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя.
Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28,
то она увеличится на —. Найдите эту дробь.
Вариант 2
Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше
её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаме-
натель - на 21, то дробь уменьшится на — . Найдите эту дробь.
4
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке следует разнообразить содержание текстовых
задач. Следует прорешать задачи на движение; на работу; на
концентрацию. Учащимся необходимо продемонстрировать
важность этапа анализа условия задачи и удобство и универ-
сальность таблиц и схем для записи связи исходных и требу-
емых величин.
№ 622.
Анализ:
Урожайность, ц/га Площадь, га Урожайность, ц
Прошлый год X 192 X 192
Этот год х + 2 192 х + 2 192
211
По условию------меньше----- на 0,4 га.
х + 2 х
Пусть х ц/га - урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом
году, тогда (х + 2) ц/га - урожайность пшеницы в этом году.
„ 192 192
В прошлом году под пшеницу занято ---- га, в этом ----га.
х х + 2
Зная, что в этом году эта площадь была меньше на 0,4 га, соста-
вим уравнение:
192 192
----------= 0,4; ОДЗ: х * 0, х Ф - 2.
х х + 2
192(х + 2) -192х = 0,4х(х + 2),
384-0,4х2 -0,8х = 0,
х2 + 2х-960 = 0,
Z>i = 1 + 960 = 961, D\ > 0, 2 корня.
X! = -1 + д/9бТ = -1 + 31 = 30;
х2 = — 1 — л/961 =-1-31= -32 - не удовлетворяет условию
задачи.
Ответ: 30 ц/га.
№ 625.
Анализ:
Доля в оплате, шиллинг Кол-во людей, чел. Счет (сумма), шиллинг
По плану 175 X X 175
В действитель- ности 175 х-2 х-2 175
В действительности---- больше--- на 10 шиллингов.
х-2 х
Пусть х человек обедало, тогда (х - 2) человек оплачивали
zr 175
поровну весь обед. - шиллингов заплатил бы один человек,
х
_ zr 175
если бы деньги были у всех едоков, а- шиллингов заплатил
х-2
212
каждый человек с деньгами в действительности. Зная, что каж-
дому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, составим
уравнение:
175 175
---------= 10; ОДЗ:х*0,х*2.
х-2 х
175х -175(х - 2) = 10х(х - 2),
350 -10х2 + 20х = 0,
х2-2х-35 = 0,
По теореме, обратной теореме Виета, xi = 7, Х2 = - 5 - не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 7 человек.
Перед решением задачи № 630 необходимо вспомнить, что та-
кое концентрация вещества в растворе (сплаве, слитке, смеси и т. п.).
ЛИ
= —L-100% ,
т
где к - концентрация вещества в процентах, т\ - масса вещества,
т - общая масса.
Также необходимо вспомнить, что для содержащегося ве-
щества мы можем указывать как его относительное содержа-
ние в растворе (в процентах или в долях), так и абсолютное
содержание (в граммах, тоннах, литрах и т. п.). Как правило,
в текстовых задачах на концентрацию мы составляем уравне-
ние по зависимости между абсолютным и относительным ко-
личеством вещества.
№ 630.
Анализ:
Концентрация соли, % Масса соли, г Масса раствора, г
1 -й раствор “юо X 30 X
2-й раствор — 100 х +100 30 х + 100
213
ОДЗ: х Ф 0, х Ф - 100.
По условию ——— • 100 % меньше —100 % на 1 %.
х + 100 х
Пусть х г - первоначальная масса раствора, тогда (х + 100) г -
масса нового раствора. Концентрация соли первоначально со-
х 30
ставляла — 100%, затем стала --------• 100 %. Зная, что кон-
30 х + 100
центрация соли снизилась на 1 %, составим уравнение:
— 100 -----— 100 = 1;
х х + 100
30(х +100) - ЗОх = 0,01х(х + 100),
3000 = 0,01х2 + х,
0,01х2 + х-3000 = 0,
D = 1 +4-0,01 -3000= 121, Z) >0,2 корня.
_ -1 + V12T _ -1 + 11
~ 2-0,01 ” 0,02
-1-V12T -1-11
х2 = 2 001 = 002 ~ - не УД°влетв0Ряет условию
задачи.
Ответ: 500 г.
= 500;
Перед решением задач № 627, 629 нужно вынести на доску
табличку: ________________________________________
В стоячей воде V ^собст
По течению V ~~ ^собст + ^теч
Против течения у=у - _у r г собст г тем
В классе только проанализировать условие и составить урав-
нение. Уравнения дорешать дома.
№ 627.
Анализ:
V, км/ч 1, ч 5, км
Против течения х-2 6 х-2 6
По озеру X 15 X 15
214
По условию — больше----- на 1 час.
х х-2
Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда (х - 2) км/ч -
6
скорость лодки при движении против течения. --- ч турист
х-2
15
плыл на лодке против течения, а — ч - он плыл на лодке
х
по озеру. Зная, что на путь по озеру он затратил на 1 час больше,
составим уравнение:
—-----— = 1; ОДЗ:х*0,х*2.
х х-2
15(х - 2) - 6х = х(х - 2),
15х — 30 — 6х — х2 + 2х = 0,
х2 -11х + 30 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xi = 5, Х2 = 6. Оба кор-
ня удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч.
№ 629.
Анализ:
Г, = 20 - Гтеч (км/ч),
-------->
36 км
36
tx =— Ч
и
22 км
<--------------• 22
V-2 = 20 + Итеч (км/ч), t2 = — 4
"2
По условию t\ + /2 = 3 ч.
Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда против течения ка-
тер шёл со скоростью (20 - х) км/ч, а по течению - (20 + х) км/ч.
тт 36 22
Против течения он шел ------ ч, а по течению --- ч. Зная,
20-х 20 + х
что на весь путь катер затратил 3 часа, составим уравнение:
215
-$6— + =3; ОДЗ: х * 20, х * - 20.
20-х 20 + х
36(20 + х) + 22(20 - х) = 3(20 - х)(20 + х),
720 + 36х + 440 - 22х = 1200 - Зх2,
Зх2 + 14х-40 = 0.
А = 72 + 3 • 40 49 + 120 = 169, Dx > 0, 2 корня.
-7 + V169 -7 + 13 п
х, =---------=--------= 2 ;
1 3 3
-7-V169 -7-13 20
х2 =---------=--------= -— - не удовлетворяет усло-
вию задачи.
Ответ: 2 км/ч.
V . Итоги урока.
-Назовите основные этапы решения текстовой задачи ал-
гебраическим методом.
-Какие способы схематичной записи условия задачи вы
знаете?
- В чём особенности решения задач на концентрацию?
- В чём особенности решения задач на движение, если в тек-
сте идёт речь о движении по реке?
Домашнее задание: № 626, 628, 627 (дорешать уравнение),
629 (дорешать уравнение).
Урок 61
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ
И ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ
Цели: продолжить формирование умения решать тексто-
вые задачи с помощью дробных рациональных уравнений; фор-
мировать умение решать задачи на совместную работу и задачи
повышенной сложности.
216
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа.
Вариант 1
Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл
50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь
путь 3 ч. Какова скорость течения реки?
Вариант 2
Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения,
затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера,
если скорость течения 2 км/ч?
III. Формирование умений и навыков.
Все задачи, решаемые на этом уроке, можно разбить на т р и
группы:
1. Задачи на конкретную работу.
2. Задачи на абстрактную работу.
3. Задачи повышенной трудности.
В задачах на работу фигурируют величины: производитель-
ность (р), время (/) и работа (А), связанные формулой А = р • t.
Причём в задачах на конкретную работу мы за А принимаем
конкретное число (количество выточенных деталей, количество
напечатанных страниц и т. п.), а в задачах на абстрактную рабо-
ту принимаем значение А, равное 1 (заполнен водой бассейн,
вспахано поле и т. д.).
Необходимо разъяснить учащимся, что это не искусственный
приём.
v _111
Каждый участник выполняет часть работы: —; —и т. д.
• Решение задач.
Задача 1. Две мастерские должны были пошить по 96 кур-
ток. Первая мастерская шила в день на 4 куртки больше, чем
вторая, и потому выполнила заказ на 2 дня раньше. Сколько
курток шила в день каждая мастерская?
217
Анализ:
р, шт./день /, день А, шт.
1 -я мастерская х + 4 96 х + 4 96
2-я мастерская X 96 96
По условию — больше-------- на 2 дня.
х х + 4
Пусть 2-я мастерская шьёт в день х курток, тогда 1 -я мастер-
ская в день шьёт (х + 4) куртки. Первая мастерская выполнит
96 96
заказ за --- дня, а вторая - за — дня. Зная, что первая мас-
х + 4 х
терская шила на 2 дня меньше, составим уравнение:
96 96
---------=2; ОДЗ: х * 0, х * - 4.
х х + 4
96(х + 4) - 96х = 2х(х + 4),
384-2х2 -8х = 0,
х2 +4х-192 = 0;
£>i = 22 + 192 = 196, Z), > 0, 2 корня.
X! = -2 + V196 =-2 + 14 = 12;
х2 = -2- V196 = -2 -14 = -16 - не удовлетворяет условию за-
дачи. Значит, вторая мастерская в день шила 12 курток, а первая 16.
Ответ: 16 курток, 12 курток.
№ 632.
Анализ:
Р t А
I, П Р\ +Р2 6 1
I X X 1
II 1 X 6 l:f--x1 \6 ) 1
218
По условию задачи — больше 1: [ — - х | на 5 часов.
х 16 J
Пусть х - производительность первого крана, тогда
производительность второго крана. На разгрузку баржи первый
1 J1 U
кран затратил — часов, второй 1: — х . Зная, что первому
х J
крану потребовалось на 5 часов больше, составим уравнение:
= 5, = 5,
х 1--------------х 1 — 6х ’
— X ----
6 6
—-----— = 5; ОДЗ: х ф 0, х Ф —.
х 1 - 6х 6
1 — 6х - 6х = 5х(1 - 6х),
1 -12х - 5х + ЗОх2 = 0,
ЗОх2-17х +1 = 0;
D = (-17)2 - 4 • 30 = 289 - 120 = 169, D > 0, 2 корня.
17 + V169 _ 17 + 13 __ 1
Х'~ 2-30 ” 60 ” 2’
_ 17-V169 _ 17-13 _ J_
Х2~ 2-30 60 "15
2
не удовлетворяет условию задачи, так как первый
кран в этом случае разгрузит баржу за 2 часа.
Имеем, первый кран разгрузит баржу за 15 часов, а второй -
за 10 часов.
Ответ: 15 часов, 10 часов.
Задача 2. Слесарь может выполнить заказ за то же время,
что и два ученика, работая вместе. За сколько часов могут вы-
полнить заказ слесарь и каждый из учеников, если слесарь мо-
жет выполнить его на 2 часа скорее, чем один первый ученик,
и на 8 часов скорее, чем один второй?
219
•Задача повышенной трудности.
№ 634.*
Анализ:
ПуСТЬ X КМ/Ч - СКОрОСТЬ Г|=х(км/ч)
велосипедиста от посёлка до • >
станции. Обозначим этот П 1 и2 = х + 5 (км/ч)1 С
путь за 1. Тогда от посёлка до 4 •
1 1
станции велосипедист ехал —, а от станции до поселка -
х х ч- 5
, 1
часов, значит, всего в пути он был — ч-часов, а весь путь
^х х ч- 5 J
составил 2. Зная, что средняя скорость на всем пути следования
составляла 12 км/ч, получим уравнение:
^х х ч- 5 J
— ч—-— = 1; ОДЗ: х Ф 0; х Ф - 5.
х х + 5
6(х ч- 5) ч- 6х = х(х ч- 5),
6х ч- 30 ч- 6х - х2 - 5х = 0,
- х2 + 7х ч- 30 = 0,
х2 - 7х - 30 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xj = 10; хг = - 3 - не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 10 км.
IV. Итоги урока.
- Назовите основные этапы решения задачи алгебраическим
методом.
- Какие виды задач на работу вы знаете?
- В чём отличие решения задач на конкретную и абстракт-
ную работу?
Домашнее задание: № 633, 695 (а, е), 702.
220
Урок 62
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 6
Вариант 1
1. Решите уравнение:
. х2 12-х 6 5 _
а)—----= —---; б)---------+ —= 3.
х2 -9 х2 -9 х-2 х
2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной до-
роге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, ко-
торая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути вело-
сипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный
путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из
А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в 5?
Вариант 2
1. Решите уравнение:
ч Зх + 4 х2 3 8 _
а) —7--= ; б)---+ - = 2 .
х2-16 х2-16 х-5 х
2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по те-
чению. При этом он затратил столько времени, сколько ему
потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова
собственная скорость катера, если известно, что скорость те-
чения реки равна 3 км/ч?
Вариант 3
1. Решите уравнение:
х2 4х + 5 5 8 _
-т---= —---; б)-----= 3 .
х -1 х -1 х-3 х
2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге
длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, ко-
торая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути ско-
рость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем
на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист
из пункта А в пункт В?
221
^8 10 п
б)-----= 2.
Вариант 4
1. Решите уравнение:
. 5х + 14 х2
а) ’
х-4 х-4
2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, за-
тратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребова-
лось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная
скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна
2 км/ч?
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
, х X2 12-х 2
1. а) —--= —----. Общий знаменатель х - 9.
х2-9 х2-9
х2 - 12-х,
х2 + х - 12 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xi = 3; х2 = - 4.
Если х = 3, то х2 - 9 = 0.
Если х = - 4, то х2 - 9 0.
б) —+ — = 3 . Общий знаменатель х (х - 2).
х-2 х
6х + 5(х - 2) = Зх(х - 2),
6х + 5х -10 - Зх2 + 6х = 0,
-Зх2 + 17х-10 = 0,
Зх2 - 17х +10 = 0.
D = (- 17)2 - 4 • 3 • 10 = 289- 120= 169, D > 0, 2 корня.
17 + V169 17 + 13 30 с
X] =--------=------= — = 5;
2-3 6 6
17-V169 17-13 4 2
2 2-3 663
Если х = 5, то х (х - 2) + 0.
222
2
Если х = — ,тох(х-2)*0.
2
Ответ: а)-4; б) — ; 5.
2. Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, с которой он ехал
из А в В, тогда (х - 3) км/ч - скорость, с которой он ехал обрат-
27 27-7
но. На путь из А в В он затратил — ч, а обратно- ч. Зная,
х х-3
что на обратный путь он затратил на 10 мин (— часа) меньше,
6
составим уравнение:
27 20 1
------------ - —. Общий знаменатель 6х (х - 3).
х х-3 6
162(х-3)-120х-х(х-3) = 0,
162х-486-120х-х2 + Зх = 0,
х2-45х + 486 = 0.
D = (-4-5)2 - 4 • 486 = 81, D > 0, 2 корня.
45 + V81 45 + 9
х. =-------=------= 27;
1 2 2
45-V8T 45-9 1О
х, =-------=------= 18.
2 2 2
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но ко-
рень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая
скорость для велосипедиста).
Ответ: 18 км/ч.
Вариант 2
Зх I 4 х2
1. а) —----= —----. Общий знаменатель х2 - 16.
х2-16 х2-16
Зх + 4 = х2,
х2 - Зх - 4 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, Xi = 4; Х2 = - 1.
Если х = 4, то х2 - 16 = 0.
223
Если х = - 1, то х2 - 16^0.
3 8
б)-----+ — = 2 . Общий знаменатель х (х - 5).
х - 5 х
Зх + 8(х - 5) = 2х(х - 5),
Зх + 8х - 40 - 2х2 +1 Ох = 0,
-2х2 + 21х-40 = 0,
2х2 -21х + 40 = 0.
Z? = ( 21 )2 4 - 2 - 40 = 441 -320= 121, D > 0, 2 корня.
21 + 7121 21 + 11 о
х, =---------—------= 8;
1 2-2 4
21-V12T 21-И Ю 5
х, =---------—------— — = — = 2,5 .
1 2-2 4 4 2
Если х = 8, то х (х - 5) 0.
Если х = 2,5, то х (х - 5) Ф 0.
Ответ: а) - 1; б) 2,5; 8.
2. Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда против
течения он шёл со скоростью (х - 3) км/ч, по течению -
12
(х + 3) км/ч и по озеру - х км/ч. Против течения он шёл - ч,
х-3
5 - А 18 Q
по течению------ ч, а по озеру он шел бы — ч. Зная, что на все
х + 3 х
плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на
плавание по озеру, составим уравнение:
12 5 18 . (
----н--------- —. Общий знаменатель х (х - 3)(х + 3).
х-3 х+3 х
12х(х + 3) + 5х(х - 3) = 18(х - 3)(х + 3),
12х2 + 36х + 5х2 - 15х - 18х2 +162 — 0,
х2-21х- 162 = 0.
Z) = (— 21)2 — 4 • 162 = 441 +648 = 1089, D > 0, 2 корня.
21 + 71089 21 + 33
г. =--------=---------= 27 :
224
21-71089 21-33
х2 =--------=--------= -6.
2 2
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = - 6
не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 27 км/ч.
Вариант 3
1 . х2 4х + 5 „ 2 1
1. а) —--= —----. Общий знаменатель х - 1.
х2—1 х2—1
х2 - 4х + 5,
х2 - 4х - 5 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, х\ = 5; Х2 = - 1.
Если х = 5, то х2 - 1 Ф 0.
Если х = - 1, то х2 - 1 - 0.
5 8
б)-------= 3. Общий знаменатель х (х - 3).
х-3 х
5х - 8(х - 3) = Зх(х - 3),
5х - 8х + 24 - Зх2 + 9х = 0,
Зх2-6х-24 = 0,
х2 - 2х - 8 - 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xj = 4; Х2 = - 2.
Если х = 4, то х (х - 3) Ф 0.
Если х = - 2, то х (х - 3) Ф 0.
Ответ: а) 5; б)-2; 4.
2. Пусть х км/ч - скорость, с которой велосипедист ехал
из А в 5, тогда (х + 4) км/ч - скорость, с которой он ехал обратно.
48 48 — 8
На путь из А в В он затратил — ч, а обратно-- ч. Зная, что
х х + 4
на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:
48 40 - _ ~
---------= 1. Общий знаменатель х (х + 4).
х х + 4
48(х + 4) - 40х - х(х + 4) = 0,
48х + 192- 40х - х2 - 4х = 0,
х2-4х-192 = 0.
225
D} = (- 2)2 + 192 = 196, D} > 0, 2 корня.
X) =2 + V196 =2 + 14 = 16;
x2 =2-V196 = 2-14 = -12.
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но ко-
рень х = - 12 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 16 км/ч.
Вариант 4
. 5х + 14 х2 2
1. а) —;--= —----. Общий знаменатель х - 4.
х2-4 х2-4
5х + 14 = х2,
х2-5х- 14 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xj = 7; х2 = - 2.
Если х = 7, то х2 - 4 Ф 0.
Если х = - 2, то х2 - 4 = 0.
8 10
б)--------= 2. Общий знаменательх(х-3).
х-3 х
8х-10(х-3)-2х(х-3) = 0,
8х-10х + 30-2х2+6х = 0,
2х2 - 4х - 30 = 0,
х2-2х- 15 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета, xi = 5; х2 = - 3.
Если х = 5, то х (х - 3) 0.
Если х = - 3, то х (х - 3) Ф 0.
Ответ: а) 7; б) - 3; 5.
2. Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда против
течения он шёл со скоростью (х - 2) км/ч, по течению - (х + 2)
км/ч и по озеру - х км/ч. Против течения он шел - ч, по те-
х-2
6 •• Л 22 Q
чению----- ч, а по озеру он шел бы — ч. Зная, что на все пла-
х + 2 х
вание по реке он затратил бы столько же времени, сколько
на плавание по озеру, составим уравнение:
226
+ = —. Общий знаменатель х(х- 2)(х + 2).
х-2------х+2 х
15х(х + 2) + 6х(х - 2) - 22(х - 2)(х + 2) = О,
15х2 + ЗОх + 6х2 -12х - 22х2 + 88 = 0,
х2- 18х-8 = 0.
D\ = (-9)2 + 88 = 169, D\ > 0, 2 корня.
х, = 9 + 7169 =9 + 13 = 22; х2 = 9-7169 = 9-13 =-4.
Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но ко-
рень х = - 4 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 22 км/ч.
Урок 63
УРАВНЕНИЕ С ПАРАМЕТРОМ
Цели: изучить понятие уравнение с параметром', сформи-
ровать умение решать линейные и квадратные уравнения
с параметром.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
Решить уравнения:
а) Зх - 15 = 0;
б) (х - 2)2 = х2 - 4х + 3;
в)/-(у-3)(у + 3) = 9;
г) 2х2 + 4х - 30 = 0;
д) х2 - 6х + 9 = 0;
е)у2-2у + 8 = 0.
II. Изучение нового материала.
1. Изучение понятия «уравнение с параметром».
Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что ли-
нейное уравнение, в зависимости от коэффициентов, может
иметь одно решение, бесконечно много решений либо не иметь
решений. Так же квадратное уравнение, в зависимости от дис-
криминанта, а значит, от коэффициентов, может иметь один ко-
рень, два корня либо не иметь корней.
Если уравнение записано в виде равенства двух выражений,
в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно
четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:
227
1) x, a - равноценные переменные. Говорят, что задано урав-
нение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а),
которые удовлетворяют данному уравнению.
2) х - переменная, а - фиксированное число. Говорят, что за-
дано уравнение с одной переменной х и требуется найти значе-
ние х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значе-
нии а.
3) х - переменная, а - любое число из некоторого множества
А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром
а (А - множество изменения параметра) и требуется решить
уравнение относительно х для каждого значения а.
Область изменения параметра либо оговаривается заранее,
либо обычно подразумевается множество всех действительных
чисел.
Тогда задачу решения уравнения с параметром можно перефор-
мулировать в задачу решения семейства уравнений, получаемых из
уравнения при любых действительных значениях параметра.
2. Приём решения уравнения с параметром.
Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного се-
мейства уравнений невозможно. Тем не менее каждое уравнение
семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по не-
которому целесообразному признаку разбить множество всех
значений параметра на подмножества и решить затем заданное
уравнение на каждом из этих подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмноже-
ства удобно воспользоваться теми значениями параметра, при
которых или при переходе через которые происходят качест-
венные изменения уравнения. Такие значения параметра назы-
ваются контрольными.
3. Алгоритм решения уравнения с параметром:
1-й шаг. Находим область изменения параметра.
2-й шаг. Находим ОДЗ уравнения.
3-й шаг. Определяем контрольные значения параметра и раз-
биваем область изменения параметра на подмножества.
228
4-й шаг. Решаем уравнение на каждом подмножестве об-
ласти изменения параметра.
5-й шаг. Записываем ответ.
4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.
На примерах со с. 141-143 учебника рассмотреть, как обна-
руживаются контрольные значения параметра, как с их помо-
щью множество значений параметра разбивается на подмноже-
ства и как затем на каждом из подмножеств решается заданное
линейное или квадратное уравнение.
III. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно раз-
бить на 3 группы:
1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном
виде: № 641;
2) преобразовать уравнение с параметром и решить его: № 642,
644;
3) найти значения параметра, при которых будет выполнять-
ся некоторое условие: № 646.
• Выполнение упражнений по учебнику.
№641 (а).
ру-р-1 =0
Если р = 0, то уравнение примет вид: -1=0.
Данное уравнение не имеет корней.
Если р Ф 0, то ру = р + 1; у = ? + .
Р
Ответ: при /? = 0 нет корней; прир* 0 у =? +- •
Р
№ 642.
ах - 2х - а3 - 2а2 — 9а +18,
х(а-2) = а2(а-2)-9(а-2),
(а-2)-х = (а-2)(а2-9).
Если а - 2 = 0, то есть а = 2, то 0 • х = 0 • (22 - 9),
0 • х = 0,
х - любое.
229
а =
и
Если а - 2 ф 0, то есть а Ф 2, то х =---------,
а-2
х = а2 - 9.
Ответ: при а = 2х - любое; при а 2 х = а2 - 9.
№ 644 (б).
Зх2 - Юах + За2 = О
D = (- 1 Об/)2 4 • 3 • Зб? 100а2 - 36а2 = 64а2.
10а
х =----; х = 0.
2-3
10а±д/б4а2
х =-----------
2-3
10а±8|а|
6
1 Оа ± 8а
х= 6 ;
Если а Ф 0, то D > О
и
а, если а > О
< , значит,
-а, если а < О
18а _ 2а а
---- За; х, - — -- —
6 -63
Ответ: при а = 0, х = 0; при а Ф 0, х\ = За, х2 = у .
№ 646.
х2-ах + а- 3 = 0
D = (- а)2 - 4 • 1 • (а - 3) = а2 - 4а + 12 = (а - 2)2 + 8, D > О
при любом а, 2 корня.
а + >[d а - у/d
х. -------; хэ =-----------;
2 2 2
2 2 + 2-\/D + В + а2 — 2л/D + D 2а2 + 2£> о + D
X. + Х2 — — — ,
4 4 2
2 2 а2+а2 — 4(7 4-12 2а2-4а+ 12
1 2 2 2
-а2 -2а + 6 = (а-1)2 + 5 .
х2 + х2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.
Ответ: 5 при а = 1.
230
Г л а в a IV. НЕРАВЕНСТВА
Урок 64
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВОГО НЕРАВЕНСТВА
Цели: повторить правила сравнения чисел; ввести опреде-
ление понятия числового неравенства; формировать умение ис-
пользовать данное определение для сравнения чисел и доказа-
тельства неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Анализ результатов контрольной работы.
1. Объявить результаты контрольной работы, выделить ти-
пичные ошибки, допущенные учащимися при её выполнении.
2. Вынести на доску решение заданий, с которыми учащиеся
не справились.
III. Актуализация знаний.
Необходимо вспомнить с учащимися материал о сравнении
действительных чисел. Напоминаем, что геометрически опреде-
лению понятий «больше» и «меньше» соответствует взаимное
расположение точек на координатной прямой: из двух чисел
больше то, которое на координатной прямой расположено пра-
вее, и меньше то, которое расположено левее. Используя коор-
динатную прямую, напоминаем, что всякое отрицательное число
меньше нуля. Затем повторяем правила сравнения чисел:
1. Всякое отрицательное число меньше любого положитель-
ного числа.
2. Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та,
у которой больше числитель.
Отсюда следует, что для сравнения обыкновенных дробей
следует вначале привести их к общему знаменателю.
3. Из десятичных дробей больше та, у которой больше целая
часть. Если целые части совпадают, то сравниваем в разрядах
десятых, сотых, тысячных и т. д., пока не «увидим» большую
цифру в разряде.
231
4. Чтобы сравнить обыкновенную и десятичную дроби, при-
ведём обыкновенную дробь к десятичной и сравним две деся-
тичные дроби.
5. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого
меньше.
IV. Устная работа.
1. Поставьте вместо * знак =, > или < так, чтобы получилось
верное равенство или неравенство:
а)-15*0; б) 3— *0; в) — * 2;
И 4
3 7 1 3
г)-*-; д) 1,25*1-; е) 0,6 * - ;
4 8 4 7
ж) --*--; з)-0,07* - —; и) - 5,6786 *-5,679.
2 3 50
2. Сравните с нулём значение выражения:
а) ( - 6,3)’; в) О5;
V. Объяснение нового материала.
1. После актуализации знаний возникает потребность в та-
ком способе сравнения, который позволил бы охватить все рас-
смотренные числа. Удобнее и проще всего проводить сравнение
числа с нулём, поэтому вводится следующее определение:
число а больше числа Ь, если разность а - Ь - положительное
число; число а меньше числа Ь, если разность а-Ь - отрица-
тельное число.
Замечаем, что если разность а-b равна нулю, то числа а и Ь
равны.
2. Рассматриваем рис. 22 на с. 153 ученика и получаем гео-
метрическую интерпретацию нового определения.
3. Разбираем пример 1 на с. 153 учебника. Можно предло-
жить учащимся составить другую разность - между правой
и левой частями неравенства. После преобразования получится
положительное число. Просим учащихся сделать соответст-
вующий вывод.
232
VI. Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, можно разделить на
две группы:
1) на непосредственное применение определения числового
неравенства (сравнение чисел): № 724, 725 (устно), 726.
2) на доказательство числовых неравенств (определение вер-
ности неравенства при любом значении, входящей в его запись
буквы): № 728 (а, б), 729 (а, г), 730 (а, в), 732 (а, б).
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 726.
При а = - 5.
За (а + 6) = 3 • (- 5)(- 5 + 6) = - 15,
(За + 6)(а + 4) = (3 • (- 5) + 6)(- 5 + 4) = - 9,
значит, За(а + 6) < (За + 6)(а + 4).
При а = 0.
За (а + 6) = 3 • 0 • (0 + 6) = 0,
(За + 6)(а + 4) = (3 ♦ 0 + 6)(0 + 4) = 24,
значит, За(а + 6) < (За + 6)(а + 4).
При а = 40.
За (а + 6) = 3 • 40 (40 + 6) = 5520,
(За + 6)(а + 4) = (3 • 40 + 6)(40 + 4) = 5544,
значит, За(а + 6) < (За + 6)(а + 4).
Докажем, что За(а + 6) < (За + 6)(а + 4) при любом значении
а. Составим разность выражений:
За (а + 6) - (За + 6)(а + 4) = За2 + 18а - За2 - 12а - 6а - 24 = - 24.
При любом а рассматриваемая разность отрицательна, зна-
чит, За(а + 6) < (За + 6)(а + 4).
№ 728.
а) 3(а +1) + а - 4(2 + а) = За + 3 + а- 8-4а = -5 <0, значит, не-
равенство верно при любом значении а.
б) (7р - 1)(7р +1)-492 = 49р2 -1-49р2 = -1 < 0, значит, не-
равенство верно при любом значении р.
233
№ 729.
a) 2Zr - 66 +1 - 2b(b - 3) = 2b2 - 6b +1 - 2b2 + 6b = 1 > 0, значит,
неравенство верно при любом значении Ь.
г) 8дл(3у -10) - (5 у - 8)2 = 24/ - 80у - 25у2 + 80 у - 64 =
= -у2 - 64 = -(/ + 64) < 0, значит, неравенство верно при
любом значении у.
Надо обратить внимание учащихся, что если + 64 > 0 для
любого v, то противоположное ему по значению выражение
- / + 64) < 0.
№ 730.
а) 4х(х + 0,25)-(2х + 3)(2х-3) = 4х2 + х-4х2 + 9 = х + 9.
Выражение может быть как положительным, так и отрица-
тельным, и равным нулю в зависимости от х, значит, неравенст-
во неверно при любых х.
в) (Зх + 8)2 - Зх(х +16) = 9х2 + 48х + 64-3х2 -48х =
= 6х2 + 64 > 0, значит, неравенство верно при любом зна-
чении х.
№ 732.
а) 1 Об/2 - 5а +1 - а2 - а - 9 а2 -6(7 +1 = (3(7 -1)2 > 0,
значит, неравенство верно при любом значении а.
б) 50(72 -15(7 + 1 -(72 +(7 = 49(72 -14(7 + 1 =(7(7-1)2 >0,
значит, неравенство верно при любом значении а.
V II. Итоги урока.
- Сформулируйте правила сравнения положительных чисел,
отрицательных, разного знака.
- Сформулируйте правила сравнения обыкновенных дробей,
десятичных.
- Сформулируйте универсальный способ сравнения чисел.
Приведите геометрическую интерпретацию.
Домашнее задание: № 727, 728 (в, г), 729 (б, в), 730 (б, г),
745 (а).
234
Урок 65
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Цели: продолжить формирование умения доказывать чи-
словое неравенство по его определению; формировать умение
решать задачи на составление и доказательство числового нера-
венства.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Сравните числа а и Ь, если а-b равно:
а)-3; в) 0; д)Ь-а;
6)0,2; г)(-3)6; е) 2^3-3.
2. Расположите в порядке возрастания числа:
1 2 1
1,2; 1—; 1—; 1,4; 1-.
3 7 9
3. Сравните числа:
a) V50 и 6у/2 ; в) 7^6 и ;
б) зТз и у/п ; г) 7196 и 14^2 .
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Докажите неравенство:
1) (6у-1)(у + 2) < (3j/ + 4)(2y +1);
2) 4(х + 2) < (х + 3)2— 2х.
Вариант 2
Докажите неравенство:
1) (3j> - l)(2j> +1) > (2д/-1)(2 + Зу);
2) (х-5)2 + 3х>7(1-х).
Решение заданий проверочной работы
Вариант 1
1) (бу —1)(у + 2)-(Зу + 4)(2у + 1) =
= бу2 ч-12д/— д/— 2 — 6д/2-Зу-8у-4 = -6 < 0, значит, нера-
венство верно при любом значении у.
235
2) 4(х + 2) - (х + З)2 + 2х = 4х + 8 - х2 - 6х - 9 + 2х =
= -х2 -1 = - (х2 +1) < 0 , значит, неравенство верно при
любом значении х.
Вариант 2
1) (3^-1)(2>л + 1)-(2у-1)(2 + 3^) =
= бу2 + у - 2у -1 - 4у - бу2 + 2 + Зу = 1 > 0, значит, неравен-
ство верно при любом значении у.
2) (х-5)2 +Зх-7(1-х) = х2-10х + 25 + Зх-7 + 7х =х2+18>0,
значит, неравенство верно при любом значении х.
IV. Формирование умений и навыков.
1. Разобрать пример 2 со с. 153-154 учебника.
2. Выполнить задания № 731 (а, в), 733,735 (б), 736 (а), 737.
№731.
а) а(а + b)~ ab = а2 + ab - ab = а2 >0 при любом значении а,
значит, неравенство верное.
в) 2bc-b2 — с2 - ~{Ъ2 -2Ьс + с2) = -(b-с)2 < 0 при любых
значениях b и с, значит, неравенство верное.
№ 733.
« + 2 2 + 67 + 2 _ 2(я + 2) - 4 • 2я + + 2) _
а 2 2<7
_(а + 2)(я 4- 2) — 8<зг _ а2 + 4я + 4 - 8я _ а2 - 4а + 4 _
2а 2а 2а
f о \
=--------> 0 при а > 0 (так как (а - 2)2 > 0 и а > 0), значит,
2а
неравенство верное при любом положительном а.
№ 735.
с 1 2с-с2-1 — (с2-2с + 1) (с-1)2 z
б) — -----------= —----------- = — . <--<0 (так
с2+1 2 2(с2+1) 2(с2+1) 2(с2+1)
как (с - 1 )2 > 0, с2 + 1 > 0), значит, неравенство верное при лю-
бом значении с.
236
№ 736.
а) б?2 - 6б? + 14 = 672 - 2-3• 67 + 9 + 5 = (б?-3)2 + 5 > О
при любом значении а.
№ 737.
Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать
общий ответ.
1) а2-2б? + 3 = б72-2-1-67 + 1 + 2 = (б?-1)2 + 2>0
при любых значениях а.
2) б?2+ 6-4б? = б?2- 2- 2- 67 + 4 + 2 = (б?-2)2+2>0 при лю-
бых значениях 67.
3) 4б7-4-б72 =-(б72 -2-2-67 + 4) =-(б?-2)2 <0, значит, не
является верным при любом значении 67.
4) 867-70-672 =-(б72 -2-4-67 + 16 + 54) = -((б7-4)2 +54)<0
при любых значениях 67.
Ответ: 3.
3. Выполнить задания № 738 (а, в), 739, 741.
Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предпола-
гают осознанное применение правила сравнения чисел.
№ 738.
Пусть а и b - положительные числа и а2 > Ь2. По определе-
нию б?2 -Ь2 >0. Разложим левую часть неравенства на множи-
тели (б? - />)(б7 + Ь) > 0. Сомножитель а + b > 0 (так как 67 > 0
и b > 0), значит, и сомножитель а - b > 0, то есть а > Ь, что и
требовалось доказать.
а) Составим разность квадратов чисел:
(л/б + л/з)2-(77 +V2)2 = 6 + 2718+3-7-2714-2 =
= 2(Л8 - 7м)> 0. Значит, по доказанному выше свойству,
7б+7з >77 + 77.
в) (Т5-2)2 -(Тб-Тз)2 =5-475+4-6 + 2718-3 =
= 2718-2720 = 2(718-Т20)< 0 . Значит, по доказанному
выше свойству 77 - 2 < Тб - Тз .
237
№ 739.
Это задание является продолжением предыдущего. Учащие-
ся могут вначале попытаться составить разность левой и правой
части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная
ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результа-
тами решения предыдущей задачи, также следует задать уча-
щимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.
Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой
и правой частях неравенства
+ la2 + Л2 a2+2ab + h2 a2 A-b2
V 2 J V 2 ~ 4~ 2
\ 7
_ а2 + 2ab А-Ь2 - 2а2 -2Ь2 _ а2 - 2аЬ А-Ь2 _ (а -Ь)2 <
4 4 ” 4
при любых а > 0 и Ь > 0. Значит, неравенство верно
(aA-b^\ ( 1а2 А-h2 аА-Ь 1а2 А-Ь2 _ Л ,
---- < J--------- и верно------< J------- для любых а > 0 и Ь > 0.
\ 2 ) \ 2 2 У 2
4 7 \ 7
№741.
Даны числа 0; 1; 2; 3. Получили числа к; к + 1; к 4- 2; к 4- 3.
Сравним произведения к • (к 4- 3) и (к 4- 1) (к + 2). Составим раз-
ность этих выражений:
к(к А-3)-(к А-Г)(к+ 2) = к2 + 3к-к2 -2к-к-2 = -2<0, зна-
чит, к • (к + 3) < (к 4- 1) (к 4- 2) при любом значении к.
4. Сильным учащимся можно предложить для решения в клас-
се или дома задачу повышенной трудности.
№ 742.
Анализ:
Сравним время,
затраченное Колей
и Мишей на путь от
посёлка до станции.
Составим разность
_ 1
Коля ~ 5 км/ч t к $ 1
П Ь" 4; - —I С
Миша V2 пути Уз пути
Ум = 5,5 км/ч = 4,5 км/ч
И 99-45-55 ______1_
5 [ 11 + 9 J ~ 495 ~ 495
238
Значит, Коля затратил на путь меньше времени и пришёл
на станцию раньше.
Ответ: Коля.
V . Итоги урока.
- Дайте определение числового неравенства.
- Сформулируйте универсальное правило сравнения двух
чисел.
-Какие выражения называются средним арифметическим,
средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел?
Каким соотношением они связаны?
Домашнее задание: № 735 (а), 736 (б), 738 (б, г), 740.
Урок 66
ТЕОРЕМЫ, ВЫРАЖАЮЩИЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ
НЕРАВЕНСТВ
Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых
неравенств; формировать умение применять теоремы-свойства
при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
И. Устная работа.
1. Сравните числа:
ч 5 3
а) —и-;
12 8
б) 0,4и —;
7
ч 1 1
в) —и —;
4 3
г) — — и —0,75.
4
2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
в) 289-17и289:—;
17
4 7
а) 1547- — и 1547- —;
9 9
2 2
б) 2187 : — и 2187 • —;
3 3
3. Сравните выражения:
а) а2 + 25 и 10я;
г) 156,4: 0,2 и 156,4 0,2.
б) Ь2 3 + 5 и 2Ь + 3.
239
III. Объяснение нового материала.
1. «Открытие» свойств числовых неравенств.
На этом этапе можно организовать работу учащихся в груп-
пах (лабораторная работа).
1-я гр у ппа - арифметический блок.
Задание 1. Сравните числа:
а) 5,1 и 2,5; 2,5 и 5,1;
б) - 3 и 2; 2 и - 3;
в) 1,05 и 1,005; 1,005 и 1,05.
Вывод. Если а >Ь, то b ... а.
Если а < Ь, то b ... а.
Задание 2. Сравните числа:
а) 2,3 и 7,6; 7,6 и 8,7; 2,3 и 8,7;
б)-1,5и-1,25; -1,25и-1; -1,5и-1;
в)-0,7 и 2; 2 и 2,1; -0,7 и 2,1.
Вывод. Если а < b и b < с, то а ... с.
Задание 3. Сравните:
а) 2,3 и 3,6; 2,3 + 2 и 3,6 + 2;
б) 1,6 и 2,07; 1,6 - И и 2,07 - 11
в)-4и-3; -4+— и-3+—.
2 2
Вывод. Если а < Ь, то а + с ... b + с.
Задание 4. Сравните:
а) 11,1 и 12,1; 11,1 -Зи 12,1 • 3;
б) 0,7 и 1; 0,7- 1,1 и 1 • 1,1;
в) 0,01 и 0,001; 0,01 • 10 и 0,001 • 10.
Вывод. Если а < b и с > 0, то ab ... Ьс.
Сравните:
а) 11,1 и 12,1;
б) 0,7 и 1;
в) 0,01 и 0,001;
11,1 -(-3)и 12,1 (-3);
0,7 • (- 1,1) и 1 • (- 1,1);
0,01 -(-10) и 0,001 -(-10).
Вывод. Если а < Ь и с < 0, то ab ... Ьс.
240
2-я гру ппа - геометрический блок.
Задание 1. Если а правее Ь, то b ... а (а > Ь, то b ... а),
Ь а
Задание 2. Если а левее b и b левее с, то а ... с.
Задание 3. Если а левее b и с - любое число, то а + с ... b + с.
Задание 4. Если а левее b и с - положительное число, то
ас ... Ьс.
Используя рисунок, заполните пропуски так, чтобы получи-
лись верные утверждения.
Так как 2 < 3, то 2 • 100 ... 3 • 100.
Так как 2 < 3, то 2 ♦ 0,01 ... 3 • 0,01.
0 2 3
200 300
0
0,02 0,03
3-я гру ппа - практический блок.
Задание 1. Если а тяжелее Ь, то b ... а (а > Ь, то b ... а).
241
Задание 3. Если а легче b и с - любое число, то а + с ... b + с.
b и с - положительное число,
2. Формулировка и доказательство теорем, выражающих
свойства числовых неравенств.
Разобрать доказательство четырёх теорем согласно пункту
учебника.
3. Прочитать правило (формулировка теоремы 4) на с. 158
учебника. Обратить внимание на важность знания этой теоремы
для решения неравенств с одной переменной.
4. Рассмотреть на конкретном примере следствие из теоремы
4 на с. 158.
IV. Формирование умений и навыков.
• № 746, 748.
Эти задания на применение теорем 1 и 2. При решении сле-
дует выполнять как построение координатной прямой с точками
242
(геометрическая интерпретация), так и запись соответствующих
числовых неравенств.
• № 749 (а, в), 750 (б, г), 751 (а, в, е).
Примеры выполнения заданий:
№ 749.
а) а - 3 > b - 3; я - 3 + 3 > Ь-З + З; а> b (по Т3).
а> b и b : тельные числа. в) 7 а > 7Ь; >4, то а>4 (по Т2). Значит, аиЬ -положи- 7a:7>7Z>:7; <7>/>(поТ4).
а > b и b : >у, то а >у (по Т2). Значит, anb - поло-
жительные числа.
№ 750. б) 5 > -3; 5>-3; 5>-3; г) 15 >-6; 15 >-6; 15 >-6; №751. а) а < Ь; в) а < Ь; е) а < Z>; 5 - 2 > -3 - 2; 3 > -5. 5- 12 > -3 - 12; -7 >-15. 5 - (-5) >-3 - (-5); 10 >2. 15:3 >-6:3; 5>-2. 15 : (-3) <-6 : (-3); -5 < 2. 15 : (-1) < -6 : (-1); -15 <6. а + 4 < b + 4; 8о<8/>; а : (-1) > b :(-1); -а>-Ь.
• № 752 (устно), 753 (устно).
V. Итоги урока.
- Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.
- Если к обеим частям верного неравенства прибавить отри-
цательное число, то получится ли верное неравенство?
- Можно ли обе части верного неравенства домножить
на отрицательное число, чтобы получилось верное неравенство?
Какое ещё условие необходимо соблюсти?
- Если а < b и b > 4. Можно ли утверждать, что а > 4 ?
Домашнее задание: № 747, 749 (б, г), 750 (а, в), 751 (б, г, д),
764 (а, в).
243
Урок 67
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ЧИСЛОВЫХ
НЕРАВЕНСТВ ПРИ ОЦЕНКЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ
Цели: закрепить знание теорем, выражающих основные
свойства числовых неравенств; формировать умение применять
изученные свойства при оценке значения выражения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства
числовых неравенств. Для каждой теоремы приведите примеры.
2. На основании какого свойства можно утверждать, что ес-
ли х < у, то:
а) х + 20<у + 20; в)у>х; д)-3х>-3у;
б)х-20<у; r)^-x<iy; е)->-.
2 2 х у
3. Каков знак числа а, если:
а) 1а > 2а ; б) - 5а < -За; в) 5а < 4я.
III. Проверочная работа.
Вариант 1.
1. Зная, что Ь> а, с <а и d > b , сравните числа а и d; b и с.
2. Сравните с нулём числа а и Ь, если известно, что:
а)я + 5>6 + 5и6>0,5; б) -12а > -12Ь и b < -1.
Вариант 2.
1. Известно, что d > b, с < а и Ь> а. Расположите числа
a, b,c,db порядке возрастания.
2. Сравните с нулём числа а и Ь, если известно, что:
а) а +1,2 > b +1,2 и b > 3; б) - 4я < -4Z> и b > 1.
IV. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий: № 754 (устно), 755.
№ 755.
a, b,c,d- положительные числа, значит, если:
244
1) а>ь, то
abba
, L 11
2) a < b, to — < —;
d b
-<i
a c
a a c
твет: — .
d b a c
3) c> a, to — > —;
c a
ТЛ 111
Имеем: — < —; — <
d b b
1111
- Известно, что a>b. Расположите в порядке возрастания
числа: а + 2; b - 8; а + 11; b; b - 6; а.
Решение
а + 2 > а, так как я + 2- я = 2>0;
а + 11 > а + 2, так как а+ 11 -(а + 2) = а + 11- а- 2 = 9 > 0;
b - 6 < Ь, так как Z>-6-Z> = -6<0;
b - 8 < b - 6, так как b-8-(b- 6) =b-8-b+6= -2 < 0.
Имеем: а + > а + 2; а + 2> а; а > b', b> b - 6; b — 6 > — 8.
Ответ:/>-8;/)-6;/>;я;я + 2;я + 11.
• Перед выполнением следующих заданий следует напом-
нить учащимся, что неравенства одного знака а<Ь и b < с
можно записать в виде двойного неравенства а <Ь <с.
Следует проанализировать, как можно преобразовать двой-
ное числовое неравенство, используя свойства числовых нера-
венств. Особое внимание уделить видоизменению неравенства
при умножении на отрицательное число («переворачиваем» не-
равенство).
Метод оценивания значения числового выражения следует
разобрать на примере со с. 158 учебника.
№ 757.
3<я<4.
а) 3-5 < а-5 < 4-5 ; 15 < 5а < 20.
б) 3-(-1) < а • (-1) < 4-(-1) ; -4<-я<-3.
в)3 + 2<я + 2<4 + 2; 5 < я + 2 < 6 .
г) 5 - а = - 1 • а + 5, значит, - 4 + 5<-я + 5<-3 + 5;
1 < 5-а < 2.
245
д) 3-0,2 <0,2(7 <4-0,2; 0,6 + 3 < 0,2я + 3 < 0,8 + 3;
3,6 < 0,2 + 3 < 3,8.
№ 759.
1,4 <72 <1,5.
а) 1,4 + 1 < 72+1 < 1,5 + 1; 2,4 < 72 +1 < 2,5 .
б) 1,4-1 <72-1 <1,5-1; 0,4<72-1 <0,5.
в) 2-72 =(-1)-Т2+2;
1,4 • (-1) > (-1) • 72 > 1,5 • (-1); -1,5 < -72 < -1,4 ;
-1,5 + 2 < -72+2 < -1,4 + 2; 0,5 < 2-72 < 0,6.
№ 762.
При выполнении этого упражнения используем следствие
теоремы 4. Обращаем особое внимание учащихся, что утвер-
ждение справедливо только для положительных чисел.
ч с о 111 111
а) 5 < у < 8, значит, — > — > —, т. е. — < — < — .
5 у 8 8 у 5
б) 0,125 < у < 0,25, - < у < —, значит, 8 > — > 4, т. е. 4 < — < 8.
8 4 у у
№ 761.
В этом упражнении демонстрируется практическое приме-
нение свойств числовых неравенств.
а) Пусть а см - сторона квадрата, тогда Р = 4я см - периметр
квадрата. 5,1 < а < 5,2; 5,1 • 4 < 4а < 5,2 • 4; 20,4 < 4а < 20,8.
Р
б) Пусть Р см - периметр квадрата, тогда а = — см - сторона
4
квадрата. 15,6 < Р < 15,8; 15,6:4 < — < 15,8:4; 3,85 < а < 3,95 .
4
Ответ: а) 20,4 < 4а < 20,8; б) 3,85 < а < 3,95 .
• Предлагаемое задание более сложное, по сравнению с пре-
дыдущим и носит развивающий характер.
Пусть а и b - отрицательные числа. Верно ли, что:
а) если а<Ь, то а2 < Ь2;
б) если а2 < Ь2, то а<№
246
Решение
а) Если а < Ь, то а-Ь <0 (I). Так как а и b - отрицатель-
ные числа, то (а + Ь) - отрицательное число, то есть а + b < 0.
Домножим обе части неравенства I на (а + Ь}, поменяв знак не-
равенства:
(а - Ь)(а + Ь) > 0 • (а + Ь); (а - Ь)(а + Ь) > 0 ;
а2 - Ь2 > 0, значит, я2 > Ь2, то есть утверждение неверное.
б) я2 < Ь2, значит, а2 - Ь2 < 0; (а - Ь)(а + Ь) < 0 . Разделим
обе части неравенства на отрицательное число (а + 6). Получаем
а - b > 0; а > Ь, то есть утверждение - неверное.
Ответ: а) нет; б) нет.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.
- В каком случае целесообразно записать неравенства в виде
одного двойного неравенства?
- Каким образом используют основные свойства числовых
неравенств при оценке значения выражения?
Домашнее задание:
1. № 758, 760.
2. Известно, что а > Ь > 0. Поставьте вместо * знак > или <
так, чтобы получилось верное неравенство:
a) Sa * 6b; б)12а*Ь; в) -6а* -4b; г) - 1* - ЗЬ.
3. Известно, что а < Ь. Расположите в порядке возрастания
числа: а - 2; b + 3; а - 17; а; b + 23; Ь.
Дополнительное задание № 756.*
Урок 68
ТЕОРЕМЫ О ПОЧЛЕННОМ СЛОЖЕНИИ
И УМНОЖЕНИИ НЕРАВЕНСТВ
Цели: изучить формулировки и доказательства теорем
о почленном сложении и умножении неравенств; формировать
умение применять данные теоремы при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
247
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Известно, что 10 < а < 16. Оцените значение выражения:
а)^я; б)-Зя; в) я-16.
2. Известно, что 2,2 < ^5 < 2,3. Оцените значение выражения:
a) 5V5 ; б) -V5 ; в) 3 + ^5; г)3->/5.
Вариант 2
1. Известно, что 5 < т < 15. Оцените значение выражения:
a)jw; б) -2пг, в)т-6.
2. Известно, что 2,6 < V? < 2,7. Оцените значение выражения:
а) 2^7; 6)-V7; b)2 + V7; г) 3-V7.
Вариант 3
1. Известно, что 15 < х < 20. Оцените значение выражения:
а) б)в)Зх+10.
2. Известно, что 3,31 < VTT < 3,32. Оцените значение выра-
жения:
а) зТн ; б)-|7П; в) VlT + 1,8; r)4,53-Vn.
Вариант 4
1. Известно, что 6 < у < 9. Оцените значение выражения:
a)j; + 5; б) -^у; в)|у-3.
2. Известно, что 4,12 < V13 < 4,13. Оцените значение выра-
жения:
а) |ЛЗ; б)-3713 ; в) Лз+0,5; г) 2,7-Лз.
III. Объяснение нового материала.
1. Для мотивации изучения теорем о сложении и умножении
числовых неравенств следует предложить учащимся для реше-
ния задачи практического характера.
248
Задача 1. Длина прямоугольника больше 12 см, а его ши-
рина больше 3 см. Можно ли утверждать, что периметр этого
прямоугольника больше 30 см?
Решение
Пусть а и b - длина и сторона прямоугольника соответст-
венно, тогда периметр равен 2я + 2Ь.
а> 12; 2а > 24;
Z>>3; 2b >6.
Доказать, что 2а + 2Ь > 30.
Учащиеся могут интуитивно сложить почленно неравенства
и получить следующий результат:
2а + 2Ь > 24 + 6;
2а + 2Ь > 30.
Следует отметить, что так можно поступать, но необходимо
провести доказательство, используя известные теоремы, выра-
жающие свойства числовых неравенств.
□ : 2а > 24; 2а + 2Ь > 24 + 2b (1)
2Ь > 6; 2Ь + 24 > 6 + 24; 24 + 2Ь > 30. (2)
Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что 2а + 2Ь > 30. Ц
Далее просим учащихся сформулировать «открытое» ими
утверждение в общем виде и записать его аналитическую мо-
дель:
Если а<Ь и c<d, то а + с < b + d Теорема 5
Доказательство теоремы можно разобрать по учебнику, так
как в нём повторяется ход рассуждений для решения задачи 1.
Задача 2. Длина прямоугольника больше 15 дм, а его ши-
рина больше 6 дм. Можно ли утверждать, что его площадь
больше 90 дм2?
Решение
Можно предложить учащимся провести доказательство ут-
верждения самостоятельно по аналогии с предыдущей задачей.
Пусть а и b - длина и сторона прямоугольника, тогда его
площадь равна а • Ь.
а > 15; b > 6.
249
Доказать, что ab > 90.
I |: <?> 15; b > 0, значит, а • b > 15 • b. (1)
6 > 6; 6 • 15> 6 • 15; 156 >90. (2)
Из неравенств (1) и (2) по теореме 2 следует, что ab > 90. |
Просим учащихся дать общую формулировку утверждения.
Замечаем, что теорема о почленном умножении неравенств
справедлива для положительных чисел. Если среди чисел есть
отрицательные, то при почленном умножении неравенств может
получиться неверное неравенство. Просим учащихся привести
контрпримеры. На доску выносится запись:
Если а<Ь и c<d, где
а, Ь, с, d - положительные числа, то ас < bd
Теорема 6
Доказательство разбираем по учебнику.
2. Следствие из теоремы 6 также разбираем по учебнику.
IV. Формирование умений и навыков.
Обращаем внимание учащихся, что для почленного сложе-
ния или умножения неравенств удобнее их записывать друг под
другом.
• Выполнение заданий: № 765, 766, 767 (а), 768.
№ 767.
а) а2 > Ь2, значит, а2 -Ь2 > 0; (a-b'jia + b) > 0.
а и b - положительные числа, значит, а + b > 0. Разделим обе
части неравенства на а + 6, получим а - b > 0, значит, а> Ь.
Имеем: а2 > Ь2
а > b
а2 • а> Ь2 • 6, то есть а3 > Ь3.
№ 768.
а) 3 < а < 4
4<6<5
7 < а + b < 9
в) 3 < а < 4
4<6<5
12 < ab < 20
250
б) а - b - а +(- 1) • b 4 < 6 < 5 Г) "=0.1 b ь 4 < b < 5
-5 <-£><-4 1 1 1
3<а<4 Л / Л /
3 + (-5) < a + (-Z>) < 4 4-(- 4); - 2 < a- Z) < 0 U1 | — О л л о | >— О | £> л 4^1-
• Задание повышенной применение теорем 5 и 6: № 776. № 776. сложности на «прямое»
Запишем соотношение между средним арифметическим
и средним геометрическим для всех пар чисел:
ijab < a + b
2y[bc<b + c => ijab-ljbc -2у/ас < (a + b)(b + c)(a + c)
2y/ac <a + c 8i](abc)2 <(a + b)(b 4- c)(a 4- c)
8 • \abc\ <{a + b)(b + c)(a 4- c).
Так как a > 0, b > 0, c > 0, to \abc\ = abc, значит,
8abc < (a + b)(b 4- c)(a 4- с), то есть (a 4- b)(b 4- c)(a + c)< 8abc.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте теорему о почленном сложении нера-
венств.
- Сформулируйте теорему о почленном умножении нера-
венств. Какие ограничения накладываются на числа?
- Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умно-
жении неравенств.
-Можно ли применить данные теоремы к более чем двум
неравенствам указанного вида?
Домашнее задание: 1. № 767 (б), 769.
2. Докажите, что если а > 5 и b > 6, то
а)2а + Ь> 15; б) 12а>4Ь > 80.
3. Докажите, что если а>6и£><-1,то
а)За-Ь> 16; б) b - 12а < -50.
4. № 776 (б)* (дополнительное задание).
251
Урок 69
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМ О ПОЧЛЕННОМ
УМНОЖЕНИИ И СЛОЖЕНИИ НЕРАВЕНСТВ
ПРИ ОЦЕНКЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЯ
Цели: закрепить знание теорем о почленном сложении
и умножении неравенств; формировать умения применять дан-
ные теоремы для оценки значения выражения, решать задачи
повышенной трудности.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Известно, что - 5 < а < 9. Оцените значение выражения:
а) 2а; в) у; д) а + 4;
б) - 4а; г) - а; е) 3 - а.
2. Пусть b - произвольное число, сравните с нулём значение
выражения:
a)-b2- 16; г) (£ - 2)2 + 16;
б) 13 + Ь2; д) (156- 127)2 + (1 -Ь)2.
3. Известно, чтох > 5, у > 15. Оцените значение выражения:
а) х + у; в) 2х + у; д) -2ху;
б) х-у; г)—+ —; е)х2-25.
х у
III. Формирование умений и навыков.
1. Актуализация знаний.
При выполнении устной работы учащиеся использовали те-
оремы о почленном сложении и умножении неравенств и след-
ствие. Просим их сформулировать данные теоремы.
2.Работа по учебнику.
Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств ис-
пользуются для оценки суммы, разности, произведения и частного.
Разбираем примеры 1^4 на с. 162-163 учебника. Еще раз обращаем
внимание на удобную запись неравенств (одного под другим) при
выполнении почленного сложения либо умножения: № 770.
252
3.Задание. Докажите, что если 0<я<7и0<6<3,то
а) 5а + 11 b < 70; б) ab + 4 < 30.
Доказательство
а)0<я<7; 0 < 5а <35
0 < b < 3; 0 < 116 < 33
0<5я + 116 <68
Так как 68 < 70, то 0 < 5а + 116 < 70.
б) 0 < а < 7;
0<6<3;
0 < об <21; 4 < ab + 4 <25
Так как 25 < 30, то 4 < ab + 4 < 30.
4. В следующих заданиях демонстрируется практическое
применение теорем о почленном сложении и умножении нера-
венств.
№ 772.
Пусть а - основание, 6 - боковая сторона равнобедренного
треугольника, тогда Р = а + 26 - периметр этого треугольника.
41 <6 <43; 82 <26 <86
26<о<28
108<о + 26< 114.
Ответ: 108<Р< 114.
№ 774.
Пусть а и 6 - длина и ширина прямоугольной комнаты, тогда
её площадь равна ab.
7,5 < а < 7,6
5,4 < 6 < 5,5
40,5 < а • 6 < 41,8.
Так как требуется комната площадью не менее 40 м2 (то есть
S > 40), то данное помещение подойдёт для библиотеки.
О т в е т: да.
№ 775.
Пусть а, (3 - углы треугольника, тогда третий угол у, по
теореме о сумме углов треугольника, равен 180 ° - а - /3.
253
58 ° < a < 59 °; - 59 ° < - a < - 58 °
102 ° </?< 103 °; - 103 °<-Д<- 102°
180 ° - 59 ° - 103 ° < 180 ° - <7-/?< 180 ° -58 ° - 102°
18°< 180 °-a-f5< 20 °.
Ответ: 18 ° < y< 20 °.
5. Задания повышенной трудности (для сильных
учащихся).
№ 777.
Пусть ABCD - выпуклый четырёхугольник, тогда его диаго-
нали пересекаются в точке О.
Докажем, что АВ + DC < АС + BD и ВС + AD < АС + BD.
| |: Воспользуемся неравенством
треугольника (каждая сторона тре-
угольника меньше суммы двух
других сторон). Л
1) АВ<АО + ВО
DC<OD + ОС
АВ + DC < АО + ВО + DO + ОС;
АВ + DC < (АО + ОС) + (ВО + OD);
АВ + DC < АС + BD.
2) ВС < ВО + СО
AD < ОА + OD
ВС + AD < ВО + СО +ОА + OD-
BC + AD < (ВО + OD) + (СО + ОА)
ВС + AD < BD + АС. Я
D
№ 778.
Медианы треугольника АВС
пересекаются в одной точке О.
Обозначим длины сторон тре-
угольника а, Ь, с. /4/41, ВВ\, СС\ -
медианы.
1) Докажем, что сумма длин
медиан треугольника больше
его полупериметра.
| |: Воспользуемся нера-
венством треугольника:
А
2
254
ВО + ОА.> —
' 2
СО + ОВ. >- =>ВО + ОА, +СО + ОВ. + АО + ОС. >а + ь + с
' 2 2
АО + ОС, >| (5О + Ов,) + (^О + ОЛ|) + (СО + ОС|)>-|
ВВ,+АА,+СС,>^. |
2) Докажем, что сумма длин медиан треугольника меньше
его периметра.
Предлагаем учащимся решить самостоятельно это задание
в классе или дома.
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.
- Сформулируйте теоремы о сложении и умножении число-
вых неравенств.
- Каким образом используют теоремы о сложении и умно-
жении числовых неравенств при оценке значения выражения?
Домашнее задание: 1. № 771, 773.
2. Верно ли, что:
а) если а > 4 и b > 6, то 2а + Ь> 45;
б) если а > 3 и Ь> 9, то ЗаЬ > 30.
3. Сравните, если возможно:
а) За + 2Ь и 16, если а > 4 и b > 8;
б) 5а - b и20, если а > 4 и b < -3.
4. № 776 (б)*.
Урок 70
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО
ЗНАЧЕНИЯ
Цели: ввести понятие абсолютной погрешности прибли-
женного значения; формировать умение находить абсолютную
погрешность приближенного значения и значение величины по
точности её измерения.
Ход урока
I. Организационный момент.
255
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Пусть 2<6/<Зи1<6<2. Оцените значение выражения:
а) а + Ь; б) а- Ь; в) ab; г) —.
b
2. Зная, что 1,7 < 7з < 1,8 и 2,4 < у[б < 2,5, оцените значе-
ние выражения:
а)7з+7б; б)7б-7з.
Вариант 2
1. Известно, что 5<х<6и2<у<3. Оцените значение вы-
ражения:
а)х + у; б)х-у; в)ху; г)—.
У
2. Зная, что 1,4 < 72 < 1,5 и 2,2 < 75 < 2,3, оцените значе-
ние выражения:
а) 72 + 75 ; б) 75 - 72 .
Вариант 3
1. Известно, что 8 < а < 10и 1 < b <2. Оцените значение вы-
ражения:
а) а + Ь; б) а- Ь; в) ab; г) —.
b
2. Зная, что 2,4 < Тб < 2,5 и 3,1 < 710 < 3,2, оцените значе-
ние выражения:
а)7б+710; б)7б-710.
III. Устная работа.
1. Округлите число:
а) 35,7 до единиц;
б) 289 до десятков;
в) 82,3591 до десятых;
г) 0,53748 до тысячных;
д) 3847,5 до сотен;
е) 1,384795 до десятиты-
сячных.
2. а < b и b < 0, найдите значение выражения:
а) |а + b\ - *; в) \b - л| = *;
б) |а| + \b\ = *; г) |а • b\ - *.
256
3. Представьте в виде десятичной дроби.
х 2 ^3 1 х 8
а) — ; б) - ; в) - ; г) -.
8 4 3 5
IV. Объяснение нового материала.
1.Мотивация изучения.
Многочисленные приложения математических методов
в различных областях знаний и жизненной практики часто осу-
ществляются в форме решения задач на вычисление. Значения
таких непрерывных величин как расстояние, скорость, стои-
мость, сила тока и др. обязательно являются приближенными
числами, так как точные измерения таких величин принципи-
ально невозможны. Это связано с особенностями как самих из-
мерительных приборов, так и с погрешностями, которые допус-
кает человек, пользующийся этими приборами.
Практическое использование полученного приближенного
числа без оценки его погрешности может оказаться опасным.
Например, изготовление хотя бы одной детали самолёта по рас-
чётным данным, точность которых неизвестна, может обернуть-
ся катастрофой.
2.Введение понятия абсолютной погрешности.
Объяснение проводить в соответствии с пунктом учебника.
На доску выносится запись:
Абсолютной погрешностью приближённого
значения называют модуль разности точного
и приближённого значений
Обращаем внимание учащихся, что абсолютная погрешность
показывает разницу между точным и приближённым значением
в абсолютном выражении, не указывая, в какую сторону ошиб-
лись при вычислении - увеличения или уменьшения числа.
3. Первичное закрепление понятия абсолютная по-
грешность.
Выполним задания по учебнику: № 782, 783 (а, б).
№ 782.
1. 17,26 ~ 17,3.
Абсолютная погрешность равна |17,26 -17,3| = |- 0,04| = 0,04.
257
2. 12,034 * 12,0.
Абсолютная погрешность равна |12,034-12,0| = |0,034| = 0,034.
3. 8,654^8,7.
Абсолютная погрешность равна |8,654-8,7| = |-0,04б| = 0,046.
№ 783.
а) 9,87 « 10.
Абсолютная погрешность равна |9,87 -10| = |- 0,13| = 0,13.
б) 124 « 120.
Абсолютная погрешность равна |124 -120| = |4| = 4.
4. Рассмотрение случаев, когда абсолютную по-
грешность найти невозможно (мы не знаем точного значения).
В подобных ситуациях мы указываем число, больше которого
абсолютная погрешность быть не может.
Вообще, если х ~ а и абсолютная погрешность этого прибли-
жённого значения не превосходит некоторого числа Л, то число а
называют приближённым значением х с точностью до h.
На доску выносим соответствующую запись:
х % а с точностью до h
или
х - а ± h, что означает a-h<x<a + h
Предлагаем учащимся привести примеры, где они встречали
подобную запись (надпись на рулоне обоев: 18 ± 0,3 м; на ко-
робке с конфетами: 300 ± 5 г; на упаковке с замороженными
продуктами: - 20 ± 2 °C).
V. Формирование умений и навыков.
1. Выполнение упражнений по учебнику.
№ 784.
0,14. Абсолютная погрешность равна
--0,14
7
7
7 50-49 1 1
50 350 350 ~ 350
258
785 (a).
у = 6,5 ± 0,1, значит, 6,5 - 0,1 <y < 6,5 + 0,1;
6,4 < у <6,6.
2. Задание. Представьте обыкновенную дробь в виде де-
сятичной и округлите до тысячных. Найдите абсолютную по-
грешность приближения:
а)-; 6)1—.
6 11
Решение
а) - = 0,8(3) = 0,83333...« 0,833 .
Абсолютная погрешность равна
--0,833 6 5 833 5-500-833-3 1 1
6 1000 3000 3000 ~ 3000
6) 1 — = — = 1,(45) = 1,4545... * 1,455 .
11 11
Абсолютная погрешность равна
--1,455 И 16 1455 16 291 1 1
И 1000 11 200 2200 ” 2200
3. Выполнение заданий по учебнику.
№ 787.
а = 420 г ± 3 %, значит, 420 - 3 % < а < 420 + 3 %.
—-3 = 12,6; 420 - 12,6 <^<420+ 12,6;
100
407,4 < а < 432,6.
Ответ: 407,4 < а < 432,6.
№ 789.
Масса мешка картофеля равна 32 ± 1 кг, то есть
32- 1 <w<32 + 1; 31 <w<33.
Пусть а - приближённое значение массы мешка картофеля
с точностью до 0,1 кг, тогда а- 0,1 < т < а + 0,1.
а) Если а = 31,4, то 31,3 < т < 31,5.
31,3 > 31 и 31,5 < 33, значит, масса может оказаться рав-
ной 31,4 кг.
259
б) Если а = 32,5, то 32,4 < т < 32,6.
32,4 >31 и 32,6 < 33, значит, масса может оказаться рав-
ной 32,5 кг.
в) Если а = 33,2, то 33,1 < т < 33,3.
33,1 > 33, значит, масса не может оказаться равной 33,2 кг.
г) Если а = 30,7, то 30,6 < т < 30,8.
30,8 <31, значит, масса не может оказаться равной 30,7 кг.
О т в е т: а) да; б) да; в) нет; г) нет.
V I. Итоги урока.
- Сформулируйте правило округления чисел.
- Что называют абсолютной погрешностью приближенного
значения?
- Объясните смысл записи х = а ± h.
- От чего зависит точность приближённого значения?
Домашнее задание: № 783 (в, г), 785 (б), 786, 788.
Урок 71
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
ПРИБЛИЖЁННОГО ЗНАЧЕНИЯ
Цели: ввести понятие относительной погрешности при-
ближённого значения; формировать умение оценивать качество
измерения с помощью относительной погрешности.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Приближённое значение числа х равно а. Найдите абсо-
лютную погрешность приближения, если:
а) х = 2,85, а = 2,9; в) х = 18,65, а = 19;
б) х - 26,3, а = 26; г) х = 686, а = 690.
2. Оцените точное значение Ь, если:
а) = 6 ± 1; в)Ь = 14,568 ±0,001;
б)Ь= 15 ±0,1; г) 6= 120 ± 10.
При проведении устной работы одновременно актуализируем
определение абсолютной погрешности приближённого значения.
260
II. Объяснение нового материала.
1.Мотивация изучения.
Предлагаем учащимся для рассмотрения следующую си-
туацию. Марина, измеряя длину детали, имеющую истинную
длину 10 см, допустила абсолютную погрешность, равную 1 см.
Сергей, измеряя длину комнаты, истинная длина которой 5 м,
также допустил абсолютную погрешность, равную 1 см. Вопрос:
кто из ребят выполнил измерение более точно (качественно)?
Учащиеся интуитивно понимают, что Сергей более качест-
венно выполнил работу, так как относительно размера комнаты
эта абсолютная погрешность не столь существенна, как относи-
тельно размера детали.
2.Введение понятия «относительная погреш-
ность».
Сообщаем учащимся, что точность приближения, или его ка-
чество, как правило, характеризуется не абсолютной его по-
грешностью, а относительной. Выносим на доску запись:
Относительной погрешностью приближённого
значения называется отношение абсолютной
погрешности к модулю приближённого значения
В рассмотренной выше ситуации при измерении (в санти-
метрах) детали и длины комнаты получены результаты:
а = 10 ± 1 (длина детали); b = 500 ± 1 (длина комнаты).
В первом случае относительная погрешность составляет
1 1
—, во втором . Выразив относительную погрешность
в процентах, получим 10 % и 0,2 %.
Вывод: чем меньше относительная погрешность прибли-
жения, тем приближение считается более точным.
3. По примеру со с. 166-167 учебника разбираем способ
оценки относительной погрешности в случае, когда
абсолютная погрешность не известна, а известна только точ-
ность приближённого значения.
Пусть а - приближённое значение х с точностью до h, тогда
х = а ± h. Значит, относительная погрешность не превосходит
261
— 100%. Иными словами, приближение выполнено с точно-
ст
h
стью до — • 100 % .
а
III. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые учащиеся должны выполнить на этом
уроке, можно разбить натри группы:
1) Определение точности измерения.
2) Вычисление относительной погрешности приближённого
значения по абсолютной погрешности.
3) Оценка относительной погрешности приближённого зна-
чения по его точности.
• №790, 791.
№791.
17,9 мм - получено штангенциркулем;
18 мм - получено линейкой;
17,86 мм - получено микрометром.
Измерение:
- линейкой с точностью до 1 мм;
- штангенциркулем с точностью до 0,1 мм;
- микрометром с точностью до 0,01 мм.
3 а д а н и е. Округлите число единиц и найдите относитель-
ную погрешность округления:
а) 1,7; 6)5,314.
Решение
а) 1,7-2.
Абсолютная погрешность равна |1,7 - 2| = 0,3 .
0,3
Относительная погрешность равна — • 100 % = 15 % .
б) 5,314 -5.
Абсолютная погрешность равна |5,314 - 5| = 0,314 .
Относительная погрешность равна ' 100 % = 6,28 %.
Ответ: 15 %; б) 6,28 %.
262
№ 793.
р = 7,8 г/см3 - табличное значение плотности железа.
7,6 г/см3 - приближённое значение.
Абсолютная погрешность составляет |7,8 - 7,б| = 0,2.
0 2
Относительная погрешность равна —— • 100 % » 2,6 % .
7,6
О т в е т: » 2,6 %.
№ 795.
d= 0,15 ± 0,01 мм;
/ = 384000 ±500 км.
Относительная погрешность измерения толщины волоса
не превышает • 100 %, то есть « 6,7 %.
Относительная погрешность измерения расстояния от Земли
до Луны не превышает —^0 • 100 %, то есть 0,1 %.
384000
6,7 % > 0,1 %, значит, измерение расстояния от Земли до
Луны произведено более качественно (с большей точностью).
IV. Итоги урока.
-Почему по абсолютной погрешности приближённого зна-
чения нельзя судить о качестве приближения (измерения)? При-
ведите пример.
-Что называется относительной погрешностью приближён-
ного значения?
- Каким образом можно оценить относительную погреш-
ность приближённого значения, если абсолютная погрешность
неизвестна?
Домашнее задание:
1. № 792, 794.
2. Сравнить качества измерения массы М электровоза и мас-
сы т таблетки лекарства, если М » 184ти (с точностью до 0,5w)
и т » 0,25 г (с точностью до 0,01 г).
3. Подготовиться к контрольной работе, повторить п. 28-30.
№ 797 (а), 930 (а), 932.
263
Урок 72
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 7
Рекомендации по оцениванию.
Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые
два задания. Для получения отметки «5» необходимо выполнить
любые четыре задания. Если выполнены все пять заданий, уча-
щийся может получить дополнительную оценку.
Вариант 1
1. Докажите неравенство:
а) (х - 2)2 > х(х - 4); б) а~ +1 > 2(3а - 4).
2. Известно, что а<Ь. Сравните:
а) 21а и 21b; б) - 3,2а и - 3,2b; в) 1,5b и 1,5а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 2,6 < 77 < 2,7. Оцените:
а) 2л/7 ; 6)-V7.
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторо-
нами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7, 1,2 < b < 1,3.
5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же
число а. Сравните произведение крайних членов получившейся
последовательности с произведением средних членов.
Вариант 2
1. Докажите неравенство:
а) (х + 7)2 >х(х + 14); б) Ь2 + 5>10(Ь-2).
2. Известно, что а > Ь. Сравните:
а) 18а и 18Ь; б) - 6,7а и - 6,7 b; в) - 3,7 b и - 3,7а.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,1 < 710 < 3,2. Оцените:
а) з710 ; б)-710.
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторо-
нами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6, 3,2 < b < 3,3.
5. Даны четыре последовательных натуральных числа. Срав-
ните произведение первого и последнего из них с произведени-
ем двух средних чисел.
264
Вариант 3
1. Докажите неравенство:
а) (х-3)2 >х(х-6); б) у2 +1 > 2(5у-12).
2. Известно, что х <у. Сравните:
а) 8х и 8у ; б) - 1,4х и - 1,4у; в) - 5,6у и - 5,6х.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,6 < V13 < 3,7 . Оцените:
а) З-Лз ; б)-2-Лз.
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторо-
нами х см и у см, если известно, что 1,1 < х< 1,2, 1,5 < у < 1,6.
5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните
квадрат среднего из них с произведением двух других.
Вариант 4
1. Докажите неравенство:
а) (х + 1)2 >х(х + 2); б) а2 +1 > 2(За-4).
2. Известно, что х >у. Сравните:
а) 1 Зх и 1 Зу; б) - 5,1х и - 5,1у; в) 2,бу и 2,6х.
Результат сравнения запишите в виде неравенства.
3. Известно, что 3,3 < VTT < 3,4 . Оцените:
а) 5л/1Т; б)-2т/п.
4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторо-
нами с см и b см, если известно, что 4,6 < с < 4,7, 6,1 < b < 6,2.
5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же
число тп. Сравните произведение средних членов получившейся
последовательности с произведением крайних членов.
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. а) (х-2)2 -х(х-4) = х2 -4х + 4-х2 + 4х = 4 > 0, значит,
(х-2)2 > х(х-4).
б) я2+1-2(Зя-4) = я2+1-6я + 8 = я2-6я + 9 = (я-3)2 >0,
значит, а2 +1 > 2(3я - 4).
265
2. a) a< b; б) а<Ь; в) а < Ь;
21а<21b; - 3,2а >- 3,2b; Ь>а;
1,5b > 1,5а.
Ответ: а) 21а < 21Z>; б) - 3,2а > - 3,2b; в) 1,5Л> > 1,5о.
3. а)2,6 < 77 < 2,7; б) 2,6<77 <2,7
5,2 <277 <5,4; - 2,7 <-77 <-2,6 .
О т в е т: а) 5,2 < 277 < 5,4; б) - 2,7 < -77 < -2,6 .
4. S = а-b см2;
2,6 < а < 2,7
1,2<Ь< 1,3
Р = 2(а + Ь) см;
2,6 <а <2,7
1,2<Ь< 1,3
2,6- 1,2 <а- Ь<2,1 • 1,3
3,12 < лЛ < 3,51
3,12 < 5< 3,51
2,6+ 1,2<а + Ь<2,1 + 1,3
2 • 3,8 < 2(а + Ь) < 2 • 4
7,6 < 2(а + Ь)< 8,0
7,6<Р<8,0
Ответ: 3,12 < 5< 3,51; 7,6<Р<8,0.
5. Пусть 2 +д, 3 + а, 4 + а, 5 + а - полученная последова-
тельность.
(2 + а) (5 + а) - (3 + а) (4 + а) = 10 + 2а + 5а + а2 - 12 - За -
- 4а - а2 = - 2 < 0, значит, произведение крайних членов после-
довательности меньше произведения её средних членов.
Вариант 2
1. а) (х + 7)2 -х(х + 14) = х2 +14х + 49-х2 -14х = 49>0,
значит, (х + 7)2 >х(х + 14).
б) b2 + 5-10(6-2) = 62 + 5-106 + 20 = 62 -106 + 25 =
= (6 -5)2 >0, значит, Ь2 +5 > 10(6-2)
2. а) а > b б) а> b в) а> b
18а > 18Z?; - 6,7а < - 6,1b; Ь<а
- 3,1b >-3,1а.
Ответ: а) 18а> 18Z>; б) - 6,1а < - 6,1b; в)-3,1b >-3,1а.
3. а) 3,1 < 710 < 3,2 б) 3,1 < 710 < 3,2
9,3 < ЗТГО < 9,6 ; -3,2 < -710 < -3,1.
Ответ:а) 9,3 < зТП) < 9,6 ; б) -3,2 <-710 <-3,1.
266
4. S = а-b см2
1,5 <я< 1,6
3,2 <Ь <3,3
4,80 < ab < 5,28
4,80 <5< 5,28.
Р = 2(a + b) см.
1,5 <а< 1,6
3,2<b< 3,3____________
1,5 +3,2< a + b< 1,6+ 3,3
2 • 4,7 < 2(а + b) < 2 • 4,9
9,4 < 2{а + b) < 9,8
9,4<Р<9,8.
Ответ: 4,80 < S < 5,28; 9,4 < Р < 9,8.
5. п, п + 1, п + 2, п + 3 - последовательные натуральные числа.
п {п + 3) - (п + 1) (п + 2) = п* 2 + Зп - /?2 - 2п - п -2 = -2 < 0, зна-
чит, произведение первого и последнего числа меньше произве-
дения двух средних чисел.
Вариант 3
1. а) (х - З)2 - х(х - 6) = х2 - 6х + 9 - х2 + 6х = 9 > 0,
значит, (х-3)2 >х(х-6).
б) у2 +1 - 2(5у -12) = у2 +1 - 10у + 24 = у2 - 10у + 25 =
- (.У - 5)2 > 0, значит, у2 +1 > 2(5у -12).
2. а)х<у б)х<у в)х<у
8х < 8у; - 1,4х > - 1,4у; у > х;
- 5,бу < - 5,6х.
О т в е т: а) 8х < 8у; б) - 1,4х > - 1,4у; в) - 5,бу < - 5,6х.
3. а) 3,6 < V13 < 3,7
10,8 <3л/13 <11,1.
Ответ:а) 10,8 < 3^/13 < 11,1;
4. S = х • у см2
1,1 <х< 1,2
1,5 <у< 1,6
1,1 • 1,5 < ху < 1,2 • 1,6
1,65 <ху < 1,92
1,65 <S< 1,92.
Ответ: 1,65 <£< 1,92; 5,2
б) 3,6 < V13 < 3,7
.7,2 < 2,/Гз < 7,4
- 7,4 <-2л/13 <-7,2 .
б) - 7,4 <-2д/Гз <-7,2 .
Р = 2(х + у) см.
1,1 <х< 1,2
1,5 <у< 1,6
1,1 + 1,5<х+у< 1,2+ 1,6
2 • 2,6 < 2(х+у) < 2 • 2,8
5,2 < 2(х+у) < 5,6.
5,2<Р<5,6.
Р<5,6.
267
5. п,п + 1, п + 2 - последовательные натуральные числа.
(и + I)2 - п (п + 2) = и2 + 2п + 1 - и2 - 2и = 1 > 0, значит, квад-
рат среднего числа больше произведения двух других чисел.
Вариант 4
1. а) (х + I)2 - х(х + 2) = х2 + 2х +1 - х2 - 2х - 1 > 0,
значит, (х + 1)2 >х(х + 2).
б) а2 + 1-2(Зя-4) = я2 + 1-6б7 + 8 = я2 -6я + 9 =
= (я -З)2 > 0, значит, а2 +1 > 2(3<я -4).
2. а)х>у б)х>у в)х>у
1 Зх > 1 Зу; — 5,1х< —5,1у; у>х;
2,бу < 2,6х.
Ответ: а) 13х> 13у; б)-5,1х<-5,1 у; в)2,6у<2,6х.
3. а) 3,3 < < 3,4 б) 3,3 < V1T < 3,4
16,5 < 5ТЙ < 17,0 ; -6,6 > -2VTT > -6,8 ;
-6,8<-2л/н <-6,6.
Ответ: а) 16,5 < 5л/ГТ < 17,0; б) -6,8 < -2л/ГТ < -6,6.
4. S = С'Ь см2 4,6 < с <4,7 6,1 <6 <6,2 Р = 2(с + Ь) см. 4,6 < с < 4,7 6,1 <Ь<6,2
4,6-6,1 < с • Z? < 4,7 • 6,2 4,6+ 6,1 < с + b < 4,7 + 6,2
28,06 <cb< 29,14 2 • 10,7 < 2(с +/>) < 2 • 10,9
28,06 < 5 < 29,14. 21,4 <2(с + Ь)< 21,8
21,4 < Р < 21,8.
Ответ: 28,06 < 5< 29,14; 21,4 < Р < 21,8.
5.6 + w, 5 + т, 4 + т, 3 + т - полученная последователь-
ность.
(5 + т)( 4 + т) - (6 + т)(3 + т) = 20 + 5т + 4т + т2 - 18-6/и-
- Зт - т2 = 2 > 0, значит, произведение средних членов после-
довательности больше произведения её крайних членов.
268
Урок 73
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Цели: ознакомить учащихся с основными понятиями тео-
рии множеств, операциями над множествами (пересечение
и объединение множеств); формировать умения задавать мно-
жества и проводить над ними основные операции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Запишите в виде двойного неравенства b = 5,82 ±0,01.
гт iJl
2. Представьте каждое из чисел 2— и 14— в виде десятич-
8 16
ной дроби. Округлите полученные дроби до сотых и найдите
абсолютную и относительную погрешности приближения.
Вариант 2
1. Запишите в виде двойного неравенства и = 6,75 ± 0,01.
3 7
2. Представьте каждое из чисел 6— и 18— в виде десятичной
дроби. Округлите полученные дроби до десятых и найдите аб-
солютную и относительную погрешности приближения.
III. Объяснение нового материала.
Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащих-
ся с теоретико-множественными понятиями является введение
неопределяемых понятий множества, его элемента и принад-
лежности.
I блок.
1.Основные понятия.
Одно из основных понятий современной математики -
множество. Это понятие обычно принимается за первичное
и поэтому не определяется через другие.
269
Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек,
функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое -
множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций
и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Ге-
орг Кантор (1845-1918), выразил эту мысль следующим обра-
зом: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое».
Множество - это совокупность объектов, объединённых
между собой по какому-либо признаку.
Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается
с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу
множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной
речи не говорят, что перед домом «множество деревьев».
Математическое же понятие множества не связывается обя-
зательно с большим числом предметов. В математике удобно
рассматривать и «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет,
и даже «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое
множество). Например, мы говорим о множестве решений урав-
нения, до того как узнаем, сколько оно имеет решений.
Произвольные множества обозначают большими латински-
ми буквами А, В, С, ... Пустое множество, то есть множество,
которое не имеет элементов, обозначается символом 0.
О предметах, составляющих множество, говорят, что они
принадлежат этому множеству или являются его элементами.
Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами
а, Ь, с, ... или одной какой-нибудь буквой с индексом, например
671, Ф, ••• ,ап.
Предложение «предмет а принадлежит множеству А» (или
«предмет а - элемент множества А») обозначают символом а е А.
2. Способы задания множеств.
1) Множество может быть задано непосредственным пере-
числением всех его элементов (в произвольном порядке). В та-
ком случае названия всех элементов множества записываются
в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются
в фигурные скобки.
Например: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} - множество цифр
десятичной системы счисления,
Необходимо различать объекты, обозначаемые символами
а и {а}. Символом а обозначается предмет, символом {а} -
270
множество, состоящее из одного элемента а (единичное множе-
ство). Перечислением всех элементов можно задать лишь ко-
нечное множество. Множества, например, всех натуральных (N)
или всех целых чисел (Z) нельзя задать таким способом, так как
мы не можем перечислить все N и все Z - таких чисел бесконеч-
ное множество.
2) Имеется другой, универсальный, способ задания множе-
ства в том смысле, что этим способом может быть задано не
только конечное, но и бесконечное множество. Множество мо-
жет быть задано указанием характеристического свойства, то
есть такого свойства, которым обладают все элементы этого
множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его
элементом.
Например :{х|х - делятся на 10 };
А = {а | а - числом, меньше чем 100 }
3. У пражнения.
а) Назовите известные вам множества людей (например ко-
манда).
б) Запишите множества, элементами которых являются:
1) планеты Солнечной системы;
2) столицы государств;
3) все двузначные числа;
4) числа, делящиеся на 7.
в) Пусть А - множество чисел, на которые делится 100 без
остатка. Верна ли запись:
1)5еЛ; 3)7М;
2) 12 е А- 4)4ёА.
г) Пусть даны множества А = {а | а - число, кратное двум}
и В = {Ь | b - число, кратное шести}.
Выпишите:
1)два элемента, принадлежащих множеству А, но не при-
надлежащих множеству В;
2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множе-
ству В;
3) два элемента, не принадлежащих ни множеству А, ни мно-
жеству В.
271
II блок.
1. Равенство множеств.
Очень важной особенностью множества является то, что
в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны
друг от друга. Это значит, можно записать сколь угодно одина-
ковых элементов, но выступать они будут как один. То есть
множество не может содержать одни и те же элементы в не-
скольких вариантах. Предположим, мы записали множество
{7, 9, 7, 11, 7}. В этом множестве элемент 7 повторяется не-
сколько раз, но мы его рассмотрим как один. Поэтому наше
множество будет {7,9,11}.
Рассмотрим два множества {а, Ь, с} и {Ь, а, с}. Эти множест-
ва состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны
в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак,
два множества равны, если содержат одни и те же элементы.
2. Пересечение множеств.
Рассмотрим два множества А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7,
8, 9}. Составим новое множество С, в которое запишем общие
элементы А и В. Общими у них являются элементы 5 и 6, значит,
С = {5, 6}. Множество С является пересечением множеств А и В,
обозначается так:
А пВ = С
Определение: пересечением двух множеств называют
множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
3. Объединение множеств.
Возьмём те же два множества А = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6,
7, 8, 9}. Составим теперь множество D таким образом, чтобы
в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы од-
ному из множеств А и В.
Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объ-
единения множеств: сперва мы выписываем все элементы множе-
ства А, а затем те элементы множества В, которые не принадле-
жат множеству А. Получим: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множест-
во D является объединением множеств А и В, обозначается так:
A '^B = D
272
Опр еделение: объединением двух множеств называют
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя
бы одному из этих множеств.
4. Упражнения.
а) Верна ли запись?
1) {8, 12, 16, 20} = {12, 20, 16, 18};
2) {т, п,р, q} = {р, т, q, п};
3) {3,4, 3,5} = {3,4, 5}.
б) Запишите множества, равные:
1) {2, 3,2,4, 2, 5}; 2) {fff т, т, т}.
в) Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8}
и К = {1, 3, 5, 7}. Найдите:
1)ЛпК; 3)Лп5; 5) Л kJ/С; 7)Лий;
2)ЛпС; 4)Аг\КгуВ; 6)ЯиС; 8)Ли^иВ.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке отрабатываются умения задавать множества,
правильно оформляя запись, а также находить пересечение
и объединение множеств, пользуясь введенными определениями.
№ 799.
х= {2, 3,5, 7, 11, 13, 17, 19},
у = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,20}.
хпу= {11, 13, 17, 19};
хиу={2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
- Найдите пересечение и объединение множеств букв, которые
используются при записи слов «типография» и «фотография».
Решение
А = {т, и, п, о, г,р, а, ф, я} - множество букв, используемых
в записи слова «типография»;
В = {ф, о, т, г, р, а, и, я} - множество букв, используемых
в записи слова «фотография».
А п В = {т, и, о, г, р, а, ф, я},
А kJ В = {т, и, п, о, г, р, а, ф, я}.
Примечание. Обращаем внимание учащихся, что в этом случае
А иВ = А.
273
№ 801.
а)х = {1, 2, 3, 4};у = {1,2, 3, 6}.
х у — {1,2, 3};iU})= {1,2, 3, 4, 6}.
Примечание. Подчёркиваем необходимость «упорядоченной» за-
писи множеств, так как в этом случае будет удобнее отыскивать общие
элементы множеств.
№ 802.
а) Чтобы число принадлежало пересечению множеств А и В,
оно должно являться одновременно квадратом натурального
числа и кубом натурального числа.
1= I2; 1 = I3, значит, 1 е А п В;
4 = 2", но не является кубом натурального числа, значит,
4 g А п В.
64 = 82, 64 = 43, значит, 64 е А п В.
V. Итоги урока.
- Какие способы задания множеств существуют?
- Какие два множества являются равными?
- Как называется множество, в котором нет ни одного эле-
мента?
- Что называется пересечением двух множеств?
- Что называется объединением двух множеств?
Домашнее задание: 1. № 800, 801 (б), 802 (б).
2. Укажите наибольший и наименьший элементы пересече-
ния множества двузначных чисел, кратных 9, и множества не-
чётных двузначных чисел.
Урок 74
КРУГИ ЭЙЛЕРА
Цели: ознакомить учащихся с возможностями иллюстра-
ции соотношения между множествами с помощью кругов Эйле-
ра; продолжить формировать умение находить объединение
и пересечение множеств.
Ход урока
1. Организационный момент.
274
II. Устная работа.
1. Пусть даны множества А = {х \ х- имя девочки} и В = {х |
х - имя мальчика}. Выпишите:
а) два элемента, принадлежащих множеству А, но не при-
надлежащих множеству В;
б) два элемента, принадлежащих множеству В, но не при-
надлежащих множеству А;
в) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множе-
ству В;
г) два элемента, не принадлежащих ни множеству А, ни мно-
жеству В.
2. Найдите А п В, если:
а) А = {0, 1,2, 3, 4} и В = {1, 2, 3, 4, 5};
б) А = {х | х - двузначное число} и
В = {х | х - число, меньше 75}.
3. Найдите А о В, если:
а) Л = {17, 18, 19} и 2?= {3};
б) А = {у | у -число, меньшее 32} и
В = {у | у - число, большее 7, но меньше 45}.
III. Объяснение нового материала.
1 .Мотивация изучения.
Предложим учащимся для решения задачу, которую доста-
точно трудно решить без наглядного представления информации.
Задача. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в ма-
тематическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посе-
щают кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?
Решение
Изобразим различные множества учащихся в виде кругов.
Большой круг будет изображать всех учащихся класса. В этот
круг поместим два поменьше. Один обозначим буквой М, и он
будет изображать математиков класса. Другой круг обозначим
Б - биологи класса. Очевидно, в общей части кругов, обозна-
ченной МБ, окажутся те самые биологи-математики, которые
нас интересуют. Теперь посчитаем: всего внутри большого
круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 - 10 = 25 ребят.
Внутри «математического» круга М находятся 20 ребят, значит,
275
в той части «биологического» круга, кото- ----
рая расположена вне круга Л/, находятся
25 - 20 = 5 биологов, не посещающих ма- ( м Б ) )
тематический кружок. Остальные биологи, J J
их 11 - 5 = 6 человек, находятся в общей
части кругов МБ. Таким образом, 6 биоло-
гов увлекаются математикой.
О т в е т: 6 биологов увлекаются математикой.
2 . Введение понятия «круги Эйлера».
Сообщаем учащимся, что эти круги называются кругами
Эйлера.
Один из величайших математиков петербургской академии
Леонард Эйлер (1707-1783) за свою долгую жизнь написал более
850 научных работ. В одной из них появились круги, которые
«очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».
С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать
операции над множествами. Можно рисовать не только круги, но
и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры.
По учебнику на с. 169-170 рассматриваем иллюстрацию пере-
сечения и объединения двух множеств с помощью кругов Эйлера.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся решают качественно новые упраж-
нения, в которых необходимо рассматривать множества различ-
ной природы, а не только числовые. Востребуются знания
из других разделов математики.
№ 803.
Задача. Известно, что точки А, В, С и D расположены на
одной прямой, причём пересечением множеств точек отрезков
АВ и CD являются: а) отрезок CD; б) отрезок СВ.
Для каждого случая сделайте чертёж.
Решение
а\ ____^222^^_______________
7 А С О В
276
№ 804 (a).
Вспомним определения:
Прямоугольником на-
зывается параллелограмм,
у которого есть прямой угол.
Ромбом называется па-
раллелограмм, у которого
смежные стороны равны.
Изобразим соотноше-
ние множества этих фигур
с помощью кругов Эйлера.
Параллелограммы
Пересечением двух множеств будет множество параллело-
граммов, у которых есть прямой угол и равны смежные сторо-
ны. Это множество квадратов.
Ответ: множество квадратов.
№ 805.
Из темы «действительные
числа» учащиеся знают, что
NczZ^Q^R.
a)Nr\Z = N; NuZ = Z;
6)ZnQ = Z; ZuQ = Q;
B)Qr\I=0; Q'u/^R.
№ 806.
A = {x\x- кратное 4},
В = {у | у - кратное 3}.
А п В - множество чисел,
которые одновременно делят-
ся на 3 и на 4, значит, это
множество чисел, кратных 12.
Ответ:?! Г\В= {z | z - кратное 12}.
№ 808 (а).
А"пУ=0; ТиУ=ЛЩ1}.
Так как по определению:
- натуральное число называется простым, если оно имеет
только два различных делителя: 1 и само это число;
277
- число, имеющее более двух делителей, называется состав-
ным;
- число 1 не относится ни к простым, ни к составным, так
как имеет только один делитель.
V . Итоги урока.
- Для чего служат круги Эйлера?
- Как с помощью кругов Эйлера изобразить пересечение
множеств? Объединение множеств?
Домашнее задание: № 804 (б), 807, 808 (б), 937.
Урок 75
АНАЛИТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ
ЧИСЛОВОГО ПРОМЕЖУТКА
Цели: ввести понятие числового промежутка как геомет-
рической модели числового неравенства; рассмотреть различ-
ные виды числовых промежутков; формировать умение изобра-
жать на координатной прямой числовой промежуток и множест-
во чисел, удовлетворяющих неравенству.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям неравенства - 1 < 3 прибавить число 4;
число - 2;
б) из обеих частей неравенства -15 <-2 вычесть число 3;
число - 5;
в) обе части неравенства 6 > - 1 умножить на 8; на - 5;
г) обе части неравенства 9 < 27 разделить на 9; на - 3; на - 1.
2. Заполните пустые квадратики:
а)
А пВ =
278
III. Объяснение нового материала.
1. Актуализация знаний.
Напоминаем учащимся, что алгебра, в частности, занимается
тем, что описывает различные реальные ситуации на математи-
ческом языке в виде математических моделей, а затем имеет де-
ло уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, ис-
пользуя разные правила, свойства, законы, выработанные в ал-
гебре.
Математические модели бывают не только алгебраические
(в виде числового равенства, уравнения, неравенства), но и сло-
весные (в виде словесного описания реальной ситуации), гра-
фические (в виде схемы, графика, чертежа). Учащиеся уже зна-
комы со всеми этими видами моделей. Напоминаем, что алгеб-
раическую модель ещё называют аналитической, а графиче-
скую - геометрической. Чтобы свободно оперировать любыми
видами математических моделей, нужно учиться переходить
от одного из них к другому.
Например:
Словесная модель 1 Аналитическая модель Г еометрическая модель Словесная модель 2
b больше а Ь> а а b • • > Точка с коорди- натой b лежит правее точки с координатой а
2.Введение нового понятия.
Работаем с представленными выше моделями, причём
идём в обратном порядке: от словесной модели 2 к словесной
модели 1.
Возьмём произвольную точку х на координатной прямой,
причём эта точка лежит между точками а и Ь. Это означает, что
ей соответствует число х, которое больше а и меньше Ь, то есть
а < х < Ь. Верно и обратное: для любой точки, лежащей между
точками а и Ь, будет выполняться это неравенство.
Определение: множество чисел, удовлетворяющих ус-
ловию а < х < Ь, называют интервалом и обозначают так: (<?; Ь).
Т1Ч
На рисунке (геометрическая модель) это множество изобра-
жают в виде:
_______^////////////////<$_>
а Ь х
Светлые кружочки означают, что числа а и b не принадлежат
этому множеству.
Аналогично вводим определения отрезка, полуинтервала,
числового луча, открытого числового луча и числовой прямой.
Определение: числовые отрезки, интервалы, полуин-
тервалы, числовые лучи, открытые числовые лучи и числовая
прямая называются числовыми промежутками.
3. Операции с различными моделями.
Рассматриваем на с. 173 учебника таблицу, в которой пред-
ставлены такие модели числовых промежутков, как:
- аналитическая (неравенство, задающее числовой промежу-
ток), например а < х < Ь;
- словесная (обозначение и название числового промежут-
ка), например [a; Z>] - числовой промежуток от а до Ь;
- геометрическая (изображение числового промежутка на ко-
ординатной прямой), например:
_______^////////////////^ >
а Ъ_х
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания этого урока можно разбить на три группы:
1) Изобразить на координатной прямой числовой промежу-
ток по его обозначению (создание геометрической модели).
2) Назвать числовой промежуток, изображённый на коорди-
натной прямой, и обозначить его (создание словесной модели).
3) Изобразить на координатной прямой множество чисел,
удовлетворяющих неравенству, и записать неравенство, соот-
ветствующее изображенному или обозначенному числовому
промежутку (переход от аналитической к геометрической моде-
ли и наоборот).
Особое внимание уделяем:
- правильным формулировкам;
280
- верному использованию круглых и квадратных скобок при
обозначении числового промежутка;
-верному использованию светлых кружков («выколотых»
точек) и тёмных при изображении числовых промежутков
на координатной прямой.
• №812 (а, б, д, е), 813, 814,
• №815 (а, г), 816 (в, г).
№ 815.
а) х > - 2;
г)х <- 5;
№ 816.
в) -5 < х < -3—;
3
г) 2 < х < 6,1;
-2 х
[-2; + оо).
(-оо;-5).
(-2; 6,1].
• № 817 (а) (устно), 819 (а, в).
№ 819.
а) 72*1,4,
в) 75 * 2,2,
Т2ё(1,5;2,4).
75g(1,5;2,4).
- Задайте неравенством числовой промежуток:
а)
-11 -4 у
е)
- 15
ж)х G [2; 7,3];
з)у е (- оо; 100);
и) х е (- 8,3; 0];
к) у е (0; + оо);
л) х е (- 15; - 4);
м)у е [- 60; 100).
281
а)О<х< 14;
б) у <17,5;
в) х > л/2 ;
г) я < х < Зтг;
д) - 11 < у < - 4;
е)- 15 <у < 0;
Решение
ж) 2 < х < 7,3;
з) у < 100;
и) - 8,3 < х < 0;
к)у>0;
л) - 15 <х < - 4;
м) - 60 <у < 100.
V . Итоги урока.
- Что называется числовым промежутком?
- Какие виды числовых промежутков существуют?
- - Как выглядит геометрическая модель числового проме-
жутка?
- Как записать аналитическую модель числового промежут-
ка с помощью неравенства?
Домашнее задание: № 812 (в, г, ж, з), 815 (б, в), 816 (а, б),
817(6), 819(6, г).
Урок 76
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ОБЪЕДИНЕНИЕ
ЧИСЛОВЫХ ПРОМЕЖУТКОВ
Цели: продолжить формирование навыков оперирования
аналитической и геометрической моделями числовых проме-
жутков; формировать умение находить пересечение и объедине-
ние числовых промежутков.
Ход урока
1. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите числовой промежуток:
б) \\\\\\х\\\\\\\\\\\) >
-з
’ 0 1
г) ////////////////////////// х
д) ______&//////////////«____>
- 10 -2
е\ >
’ 100
282
ж) (-3; + оо);
з) [-15; 15];
и) [5; 17);
к) (- оо; 0].
2. Выполните задание: № 818 (в).
III. Актуализация знаний.
1. Выполните задания: № 821, № 823 (б, в), № 824 (устно).
2. Дайте определения пересечения двух множеств и объеди-
нения двух множеств.
IV. Объяснение нового материала.
Числовой отрезок - множество чисел, удовлетворяющих
некоторому числовому неравенству, значит, к нему можно при-
менить определение пересечения и объединения множеств.
Рассматриваем эти определения на конкретных примерах,
причём следует охватить различные случаи взаимного располо-
жения.
1. Найти пересечение и объединение числовых промежутков
[1; 5] и [3; 7].
—>
13 5 7
[1; 5] п [3; 7] = [3; 5];
[1; 5] и [3; 7] = [1; 7].
2. Найти пересечение и объединение числовых промежутков
[- 4; + оо) и [3; + оо).
-4 3
[- 4; +оо) п [3; +оо) = [3; + оо);
[- 4; +оо) и [3; +оо) = [- 4; + оо).
3. Найти пересечение и объединение числовых промежутков
[1; 4) и (7;+оо).
1 4 7
[1; 4) п (7; +оо) = 0;
[1; 4) и (7; +оо) - не является числовым промежутком.
283
4. Найти пересечение и объединение промежутков (- со; - 4]
и (- 4; + оо).
-4
(- оо; - 4] п (- 4; + оо) - 0;
(- оо; - 4] о (- 4; + оо) = (- оо; + оо).
5. Найти пересечение и объединение промежутков (- оо; 0]
и [0; +оо).
о
(-оо; 0] п [0; + оо) = {0};
(- оо; 0] U [0; + оо) = (- оо; + оо).
V. Формирование умений и навыков.
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 825.
(1;8)п(5; 10) = (5; 8);
> [-4; 4]п[-6; 6] = [-4; 4];
в) --------» (5’+ °°)п (7; +°°)= (7; +°о);
5 7
6 10
г) ---------> (-оо; 6) П (-оо; 10) = (-оо; 6).
№ 826.
(-4,3; 1)п(-3,9; 2) = (-3,9; 1).
В полученный интервал вхо-
дят целые числа: - 3; - 2; - 1; 0. - з?9
Ответ: четыре числа.
№ 827.
- 3 5
а> —> [-7; °1 1-3;5] = 1-7;5ь
-7 0
284
б) ——> (-4; 1) и (10; 12);
В) ----------(0Z///////// > (_оо;4)и(10; + оо);
4 10
Г) ---------> [3; + oo)u(8; + oo) = [3; + co).
VI. Самостоятельная работа.
1. Заполнить таблицу по образцу.
Неравенство, задающее числовой промежуток Обозначение числового промежутка Название числового промежутка Геометрическая модель числового промежутка
3<х<8 [3; 8] отрезок от 3 до 8 > 3 8 х
х >8
(-10; 13)
2 >
Полуинтервал от - 3 до 0, включая -3
(15; 100]
7 <х< 12
2. Сильным учащимся можно предложить задание повышен-
ной трудности.
№ 820.
а
54
1 1
—; — ,то
9 6
1 а 1
есть . Домножим неравенство на
54, получим 6 < а < 9. Так как a g N, то а принадлежит множе-
ству {6; 7; 8; 9}. Значит, промежутку —; — принадлежат дроби
9 6
_L_L_L Л
54’ 54’ 54’ 54'
гч 6 7 8 9
Ответ: —;—;—; —.
54 54 54 54
285
V II. Итоги урока.
- Как изобразить на координатной прямой пересечение чи-
словых промежутков? Объединение числовых промежутков?
- Всегда ли пересечение (объединение) числовых промежут-
ков есть числовой промежуток? Приведите примеры.
Домашнее задание: № 822, 823 (а, г), 828, 936.
Урок 77
ПОНЯТИЕ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цели: ввести понятия неравенства с одной переменной
и его решения, равносильных неравенств; формировать умение
решать неравенства с одной переменной путём перехода к рав-
носильному неравенству.
Ход урока
I. Организационный момент.
П. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение
промежутков:
а) (-2; 10) и (0; 15);
б)[-3;6]и [- 1; 1]; в) (- оо; 2) и (- 2; + со).
2. Покажите штриховкой на координатной прямой объеди-
нение промежутков:
а) [-4; 0] и [- 1; 5];
б) (- 3; 3) и (- 6; 6); в) (- со; 5) и (- со; 10).
Вариант 2
1. Используя координатную прямую, найдите пересечение
промежутков:
а) [-4; 5] и [0; 10];
б) (- 3; - 1) и (- 2; 4); в) (- оо; 5] и [- 5; + оо).
286
2. Покажите штриховкой на координатной прямой объеди-
нение промежутков:
а) (- 3; 8) и (1; 9);
б) [-4; 4] и [-1; 1]; в) (-оо; 1) и (-оо; 4).
Решение заданий проверочной работы
La)
О Вариант 1
--------------> (- 2; 10) п (0; 15) = (0; 10);
-2 10 15
- 3 -1 1 6
б) ► [— 3; 6] о [— 1; 1] = [— 1; 1];
2
в) > (_оо;2)п(-2; + сю) = (-2;2).
- 1 5
2. а) --> [- 4; 0] и [- 1; 5] = [- 4; 5];
-4 о
б) ——> (- 3; 3) и (- 6; 6) = (- 6; 6);
-6 6
(-оо; 5)и(-оо; Ю) = (-оо; 10).
Вариант 2
О 10
1. а) > [-4; 5] п [0; 10] = [0; 5];
-4 5
(-3;-l)n(-2;4) = (-2;-1);
5
в) > (- оо; 5] п [- 5; + оо) = [- 5; 5].
-5
(-3; 8) u (1; 9) = (- 3; 9);
287
6) ► [—4; 4] [ 1; 1] [ 4; 4];
-4 4
в) ----> (- °о;1)u (- °°; 4) = (- да; 4).
III. Объяснение нового материала.
1. Неравенство 5х - 11 > 3 содержит переменную х. При под-
становке некоторых числовых значений вместо х мы можем по-
лучить как верное, так и неверное числовое неравенство.
Например:
при х = 4 неравенство 5 • 4 - 11 > 3 - верное (9 > 3),
а при х = 2 неравенство 5 • 2 - 11 > 3 - неверное (- 1 > 3). Го-
ворят, что число 4 является решением неравенства или удовле-
творяет неравенству.
Определение 1. Решением неравенства с одной пере-
менной называется значение переменной, которое обращает его
в верное числовое неравенство.
Опр еделение 2. Решить неравенство - значит найти все
его решения или доказать, что решений нет.
2. Чтобы решать неравенства, необходимо уметь их преобра-
зовывать в неравенство вида ах> b или ах< b (где а и b - неко-
торые числа). Неравенства такого вида называют литейными
неравенствами с одной переменной. Данное неравенство должно
быть равносильно исходному.
Опред е л е н и е 3. Неравенства, имеющие одни и те же
решения, называются равносильными.
3. По учебнику на с. 177 разобрать основные свойства, ис-
пользуемые при преобразовании неравенства с одной перемен-
ной к равносильному неравенству.
4. Разобрать примеры 1, 2 по учебнику со с. 177-178.
IV. Формирование умений и навыков.
При решении упражнений на этом уроке следует особое
внимание уделить правильному использованию свойств при
равносильном преобразовании неравенства, а также изображе-
нию геометрической модели полученного решения неравенства
288
в виде числового промежутка. На первых порах в ответ можно
записывать все три модели, например:
х > 3; [3; + оо); ________^/////////////////// >
• № 833, 834 (устно), 835, 837.
№ 835.
а) х + 8 > 0; х > - 8; #////////////////// > - 8 х
б)х-7<0; х < 7; \\\\\\\\\\\\\\\\\\\^, 7 —> X
в) х + 1,5 < 0; х < - 1,5; \\\\\^хх^х\\\\\\\^ - 1,5 —> X
г) х - 0,4 > 0; х > 0,4; 0,4 х
О т в е т: а) (- 8; + оо); б) (- оо; 7); в) (- оо; 1,5]; г) [0,4; + оо).
№ 837.
а)2х<17; х<17:2; х<8,5; >
8,5 х
б)5х>-3; х>-3:5; х>-0,6; >
- 0,6 х
в)-12х<-48; х>(-48): (-12); х>4; --------------------
г)—х< —7,5; х > (-7,5): (-1); х>7,5; -------------------^/////////// >
। 7,5 х
д)30х>40; х>40:30; х>1-; ____^/////////////////////// х
3 11
3
е)- 15х < - 27; х > (-27): (- 15);
ж) —4х>-1; х<(-1):(-4); х<0,25; -------->
0,25 х
з) 10х < - 24; х < (- 24): 10; х < - 2,4; ^\\\\^--->
-2,4 х
и)—х<2; х<2: —; х<2-6; х<12; ---------
6 6 12 х
K)-ix<0; х>0:(--); х>0; --------
3 I з I 0 х
289
л) 0,02х > - 0,6; х > (- 0,6): 0,02; х > - 30; ^///////////^^^^^ >
м)-1,8х<36; х>36:(- 1,8); х>-20; ---------
Ответ: а) (- оо; - 8,5); б) [- 0,6; + оо); в) (4; + оо); г) (7,5; + оо);
д) ^; + °о^ ; е) (1,8; + °о); ж) (- оо; 0,25]; з) (- оо; - 2,4]; и) (- со; 12);
к) (0; + оо); л) [- 30; + оо); м) [- 20; + оо).
• № 838, 841.
V . Итоги урока.
- Что называется решением неравенства с одной переменной?
- Что означает «решить неравенство»?
- Какие неравенства называются равносильными?
- Какие свойства используются для преобразования нера-
венства в равносильное?
Домашнее задание: № 836, 839, 840.
Урок 78
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цель: продолжить формирование умения решать неравен-
ства с одной переменной путём перехода к равносильному нера-
венству.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Решите неравенство:
а) Зх < 42; в) - 4х < 24;
б)5х> 115; г)-6х>- 102.
2. Назовите неравенство, множеством решений которого
служит промежуток:
а)(-оо;3]; в) [0; + оо);
б)(15; + оо); г)(-оо;2).
290
3. Какие из чисел - 18; 10; 8; -3; 11 являются решениями не-
равенства Зх < 24?
III. Актуализация знаний.
- Дайте определение решения неравенства с одной перемен-
ной.
- Что значит решить неравенство?
- Какие неравенства называются равносильными?
- Сформулируйте свойства равносильности неравенств, ис-
пользуемые при решении неравенства с одной переменной.
IV. Формирование умений и навыков.
Задания этого урока можно разбить на две группы:
1) Решение неравенств приведением к равносильному.
2) Составление неравенства по условию и последующее ре-
шение.
• Выполнение заданий: № 842 (а, в), 843 (а), 844.
№ 842.
а) Составим неравенство:
2х-1>0; 2х>1; х>1:2; х>0,5.
в) Составим неравенство:
5-ЗО80; -Зс>75; с<75:(-3); с<-25.
Ответ: а)х> 0,5; в) с < - 25.
№ 843.
а) Составим неравенство:
2а—1< 7—1,2а; 2а + 1,2а < 7 + 1; 3,2а <8; а<8:3,2;
а < 2,5.
Ответ: при а <2,5.
- Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее нера-
венству: а) 5х <25; б) - х > 15.
Решение
а) 5х < 25; х < 25 : 5; х < 5.
Наибольшее целое число х = 5. ’*
291
б)-х> 15; х< 15 : (- I); х<-15.
Наибольшее целое число х = -16 ---->
(так как - 15 не входит в данный от- - 16 - 15 х
крытый числовой луч).
Ответ: а) 5; б) - 16.
№ 844.
а) 5 (х - 1) + 7 < 1 - 3 (х + 2),
5х - 5 + 7 < 1 - Зх - 6,
5х + Зх < 5 - 7 + 1 - 6,
8х < - 7,
х<-7 : 8,
7
х < —.
8
б) 4(я + 8)-7(я- 1)< 12,
+ 32 - 7« + 7 < 12,
4(7-7(7 <-32 - 7 + 12,
-За <-27,
« > (-27): (-3),
а >9.
в) 4(/> - 1,5) - 1,2 > 6b- 1,
4b-6- 1,2>6Z>- 1,
4b-6b>6 + 1,2- 1,
-lb >6,2,
6 <6,2: (-2),
b < - 3,1.
r) 1,7-3(1 -m)<-(m- 1,9),
1,7 - 3 + 3m < - m + 1,9,
3m + m < -1,7 + 3 +1,9,
4m < 3,2,
m < 3,2 : 4,
m < 0,8.
д) 4x > 12(3x- 1)- 16(x+ 1),
4x > 36x - 12 - 16x - 16,
4x - 36x + 16x > -12 - 16,
- 16x>-28,
wwwwwwww^
_2
8
Г 7“
I 8
&/////////////////////// y
9 a
(9; + oo)
wwwwwwwwx^>
-3,1 b
(-«>;- 3,1]
0,8 m
(- «о; 0,8]
292
11
7
%<4’
х<1-.
4
е)а + 2<5(2а + 8) + 13(4-а),
а + 2< 10а+ 40+ 52- 13а,
а - 10а+ 13(7 <-2 + 40 + 52,
4а < 90,
а < 90 : 4,
а <22,5.
ж) бу - (у + 8) - 3(2-у) < 2,
-оо;12
22,5 а
(-°о;22,5)
8у< 16,
у<16:8,
2
(-«>; 2]
У
Ответ: а) | ; б) (9; + оо); в) (-оо; -3,1]; г) (-оо; 0,8];
\ О
; е) (- оо; 22,5); ж) (- оо; 2].
• № 846, № 847 (а, б), № 848 (а, б).
№ 846.
а) а(а - 4) - о2 > 12 - 6а,
а2 - 4а - о2 > 12 - 6а,
а2 - 4а - а2 + 6а > 12,
2а >12, ^/////////////////// >
а > 12:2, 6 а
а> б. (6; + оо)
б) (2х - 1) 2х - 5х < 4г2 - х,
4х2 - 2х - 5х < 4х2 - х,
4х2 - 2х - 5х —4х2 + х < 0,
- бх < 0, ^//////////////////////// >
х > 0: (- 6), 0 х
х > 0. (0; + оо)
293
в)5у2-5у(у + 4)> 100,
5/ - 5у2 - 20у > 100,
-20у> 100,
у< 100: (-20),
у<~5.
г) 6я(я - 1) - 2<7(3<7 - 2) < 6,
6а2 - 6а - 6а2 + 4а <6,
-2а <6,
«>6:(-2),
а > - 3.
О т в е т: а) (6; + оо); б) (0; + оо'
- 5 у
(- °о; - 5]
у//////////////////////// >
3 а
(- 3; + оо)
; в) (-оо;-5];г) (-3; + оо).
№ 847.
а) 0,2х2 - 0,2(х - 6)(х + 6) > 3,6х,
0,2х2 - 0,2(х2 - 36) > 3,6х,
0,2х2 - 0,2х2 + 7,2 - 3,6х > 0,
- 3,6х > - 7,2,
х<(- 7,2): (-3,6),
х < 2.
2 х
(-оо; 2)
б) (2х - 5)2 - 0,5х < (2х - 1)(2х + 1)- 15,
4х2 - 20х + 25 - 0,5х < 4х2 - 1 - 15,
4х2 - 20х-0,5х - 4х2 <-25 - 1 - 15,
- 20,5х <-41, ----------«/////мм//+
х>(-41): (-20,5), 2 х
х > 2. (2; + оо)
О т в е т: а) (-оо; 2); б) (2; +оо).
№ 848.
a) 4b(\-3b)-(b- 1262) < 43,
4b-\2b2-b + 12Zr<43,
ЪЬ < 43,
b < 43 : 3,
з
h
-oo; 14—|
6) 3j/2 - 2y - 3y(y - 6) > - 2,
3y2-2y-3y2+ 18y>-2,
16y > - 2,
294
у>-2 : 16,
О т в е т: а)
V. Итоги урока.
- Что значит решить неравенство с одной переменной?
- Какие преобразования приводят неравенство к равносиль-
ному?
- Какие виды записи решения неравенства существуют?
Домашнее задание: № 842 (б), 843 (б), 845, 847 (в, г), 848 (в, г),
871 (а).
Урок 79
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ ДРОБИ
Цели: разобрать способ решения неравенств с одной пе-
ременной, содержащих дроби; продолжить формирование навы-
ков решения неравенств путём перехода к равносильным нера-
венствам.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Математический диктант.
Вариант 1 [Вариант 2]
1. Запишите числовой промежуток, служащий множеством
решений неравенствах < 3.
2. Запишите неравенство,
служит промежуток (- 3; + оо).
3. Решите неравенство:
2х- 1 <2(2х-3).
4. Решите неравенство:
5(а2 - 1) - 5а(а + 2) > 3.
множеством решений которого
[(-«>; 7)]
[3(2х+ 1)>3х + 1]
[6? - Зх(2х + 4) > 48]
295
Ответы:
Вариант 1 Вариант 2
1 (-о; 3] (-8; +°о)
2 х > -3 х < 7
3 L1 2 —; + °о L 2 ) Г 2 L з )
4 (-оо; -0,8)
III. Объяснение нового материала.
Проверить выполнение домашнего задания: № 871 (а).
Рассмотреть по учебнику пример 3 на с. 178.
IV. Формирование умений и навыков.
В предлагаемых заданиях необходимо уметь находить об-
щий знаменатель дробей, входящих в запись уравнения, затем
домножить обе части неравенства на общий знаменатель и ре-
шить полученное неравенство. Также следует уделять внимание
изображению множества решений на координатной прямой.
№ 849.
2 х 2х
а)у>1; у5>1-5; 2х>5; х>5:2; х>2,5.
д)2>у^; 2-5>-^^-5; 10>6-х; х>6-10; х>-4.
12-7х 12-7х
ж) >0; -42>0-42; 12-7х>0; -7х>-12;
42 42
х<(-12):(-7); х<1|.
з)|(х + 15)>4; |(х + 15)-3>4-3; х + 15>12;
х>12-15; х>-3.
2 2
и)6<у(х + 4); 6-7 <у(х + 4)-7; 42<2х + 8;
-2х<8-42; -2х<-34; х>17.
Ответ: а)х > 2,5; д) х > - 4; ж) х < 1—; з) х > - 3; и) х > 17.
296
№ 851.
a)7s2Z>3Zz7
2(7-2y) >3y-7,
14-4y > 3y-7,
- 4y - 3y > - 14 - 7,
- 1y >-21,
y<(-21): (-7),
y<3.
в) 5у -1 >
4(5у-1) > Зу-1,
20у-4 > Зу-1,
20у-Зу > 4-1,
17у > 3,
3
У>Т1
3
О т в e т: а) при у < 3; в) при у > —.
№ 852.
б) --—>2 /б
2 3 /
3-3у-2у>2-6,
9у-2у>12,
7у > 12,
(2; + оо).
Зх
е) — -2х<0
4 I
Зх - 8х < О,
- 5х < О,
х>0:(-5),
у>12:7,
О т в е т: б)
1^; + °°|; г)(2; + оо); е) (0; + оо).
№ 853.
5 - 2я .
б)->2(7 / • 4
4 /
5 - 2а > 8(7,
- 2(7 - 8а > - 5,
- 10(7 >-5,
а< (-5): (- 10),
2
а
г) ^-^>1 / 10
5 2 /
2 • 1у - 5у > 10,
297
-у> 10,
у<- 10.
О т в е т: б)
(_ оо; - Ю] _____
- 10
г) (-оо; - 10].
№ 854.
. 3 + х 2-х л
а)----+----<0 /• 12
4 3 /
3(3 + х) +4(2— х) < 12-0,
9 + Зх + 8 - 4х < 0,
Зх - 4х < -9 - 8,
-х<-17,
х> 17.
4 — у /
б)---—-5у>0 /• 5
4 -у- 25_у > 0,
-26у>-4,
у < (-4): (-26),
^//////////////////////// у
17 х
(17; + оо)
2
13
________>
by - 2у + 1 >4
2у>3
у>3 : 2
^>1,5
х — 3 2х — 1 /
г) х- — + ^——<4 /• 10
5 10 /
10х - 2(х - 3) + 2х - 1 <40,
10х-2х + 6 + 2х - 1 < 40,
10х<-6 + 1 +40,
10х < 35,
х<35 : 10,
х < 3,5.
^//////////////////////// у
1,5 у
[1,5; + оо)
3,5 х
(-«>; з,5]
298
y-1 2y-I /
д)^----1 + -2-— >У /ь
2 6 /
3(у - 1) - 6 + 2у - 1 > бу,
Зу - 3 - 6 + 2у - 1 > бу,
5у - бу > 10,
-У>Ю,
у< 10.
. р-1 р+3 /л
е) р---------->2 /-4
2 4 /
4р - 2(р - 1) -р - 3 > 8
4р-2р + 2- р- 3>8
р>8 + 1
р>9
Ответ: а) (17; + оо); б) ^-оо
д)(-оо;- 10); е)(9; + оо).
- 10 у
(- оо; - 10)
^/////////////////////// у
9 р
(9; + «>)
- ; в)[1,5; + оо);г)(-оо;3,5];
№ 856.
3*-1_1 + 5*<0 /
2 4 /
2(36 - 1) - 1 - 56 < О,
66 - 2 - 1 - 56 < О,
Ь<3.
Ответ: при b < 3.
V . Итоги урока.
- Что значит решить неравенство с одной переменной?
- Каков алгоритм решения неравенства с одной переменной,
содержащего дробь?
Домашнее задание: № 850, 851 (б, г), 852 (а, в, д), 855,
856 (а).
299
Урок 80
РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ВИДА 0 • х > b ИЛИ 0 • х < Ь,
ГДЕ b - НЕКОТОРОЕ ЧИСЛО
Цели: рассмотреть решение неравенств, которые либо не
имеют решений, либо их решением является любое число; про-
должить формирование умения решать неравенства с одной пе-
ременной, а также задачи, сводящиеся к решению таких нера-
венств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Решите неравенство:
. 2х х-1 Зх + 1
а)----х > 3 ; б)------2х>----.
5 3 2
2. При каких значениях b двучлен 26+11 принимает поло-
жительные значения?
Вариант 2
1. Решите неравенство:
. Зх _ _ч 2х-1 _ 10х + 1
а)----х > 2; б)------Зх >------.
4 5 5
2. При каких значениях а двучлен 12 - а принимает положи-
тельные значения?
Ответ:
Вариант 1 Вариант 2
1 а) (-оо; -5); б) оо; - а) И»;-8); б)
2 (-5,5; +оо) Но; 12)
III. Устная работа.
1. Решите неравенство:
a) 2х + 1 > 5; б) - Зх + 9 < 0;
7
300
2. Какие из чисел 0; 7; -4; 6; — являются решением неравен-
ства Зх - 12 > 6?
IV. Объяснение нового материала.
1. Создание проблемной ситуации.
На предыдущих уроках мы решали неравенства вида ах > b
(ах < Ь), где а 0. Алгоритм решения был прост: мы преобразо-
вывали неравенства, приводя к такому виду, а затем делили обе
части неравенства на коэффициент а (с учетом знака) и получа-
ли числовой промежуток в качестве решения. Пробуем приме-
нить этот алгоритм к следующему заданию:
2(х + 8) - 5х < 4 - Зх,
2х + 16 - 5х < 4 - Зх,
2х - 5х + Зх < -16 + 4,
0 х<- 12.
Наш алгоритм «не работает» - на нуль делить нельзя. Заме-
чаем, неравенство будет иметь решение, если при подстановке
какого-то числа вместо х мы получим верное неравенство. Но в
данном случае при любом значении х неравенство обращается в
числовое 0 < -12, которое является неверным, значит, исходное
неравенство не имеет решений.
2. Самостоятельное решение уравнения.
5(х + 11) - 9х < 65 - 4х,
5х + 55 - 9х < 65 - 4х,
5х - 9х + 4х < 65 - 55,
0-х<10.
Замечаем, что при любом значении х неравенство обращает-
ся в верное числовое неравенство 0 < 10, значит, решением яв-
ляется любое число.
3. Общий вывод.
Неравенства вида 0 • х > b (0 • х < Ь), а значит, и неравенства,
равносильные данным, либо не имеют решений, либо их реше-
нием является любое число (множество решений либо 0, либо
(- оо; + оо)).
301
V. Формирование умений и навыков.
Задания, решаемые на этом уроке, можно разбить на три
группы:
1) Решение неравенств, сводящихся к неравенствам вида
О • х > b (0 • х < Ь);
2) Решение задач, сводящихся к решению неравенств с од-
ной переменной;
3) Решение заданий повышенной трудности.
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 857 (а, б).
а) 31 (2х + 1)- 12х> 5 Ох,
62х + 31 - 12х > 50х,
62х - 12х - 50х >-31,
О • х> - 31,
при любом значении х имеем верное неравенство 0 > -31,
значит, х - любое число.
б) х + 4-—<— /-3
3 3/
Зх + 12 - х < 2х,
Зх - х - 2х < - 12,
0х<- 12,
при любом значении х имеем неверное неравенство 0 < - 12,
значит, неравенство не имеет решений.
Ответ: а) х - любое число; б) нет решений.
№ 858.
у > 0, если 2х + 13 > 0; 2х>-13; х>-6,5;
у < 0, если 2х + 13 < 0; 2х<-13; х<-6,5.
О т в е т: (- 6,5; + оо); (- оо; - 6,5).
№ 859 (а, в, д).
а) при 2х - 4 > 0; 2х > 4; х > 2.
1 + , 1
в) при - > 0; 1 + За > 0; За > - 1; а>~—.
д) при - 3( 1 - 5х) > 0; 1 - 5х < 0; - 5х < - 1; х > (- 1): (- 5);
х > 0,2.
Ответ: а) при х > 2; в)прия>~—; д)прих>0,2.
302
№ 861 (a).
a)l,6-(3-2^)<5,
1,6 - 3 + 2y < 5, ___>
2y <5 -1,6 + 3, 3 3,2 у
2y<6,4,
У <3,2. (-oo;3,2)
Наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству,
равно 3.
Ответ: 3.
№ 862 (а).
а) (2 - 2w) - (5м - 27) > О,
2 - 2п - 5п + 27 > 0, д!
- 7п > - 29, ____>
п < (- 29): (- 7), 1 2 3 4 п
л 1
п < 4—.
7
Данному неравенству удовлетворяют натуральные числа
1,2, 3,4.
Ответ: 1; 2; 3; 4.
№ 865.
Пусть х см - длина другой стороны прямоугольника, тогда
его периметр равен 2 • (х + 6) см; периметр квадрата равен 4 • 4 см,
то есть 16 см. Зная, что периметр прямоугольника меньше пе-
риметра квадрата, составим неравенство:
2(х + 6)< 16,
2х + 12 < 16,
2х<4,
х < 2.
Ответ: меньше 2 см.
• Задания повышенной трудности для сильных
учащихся: № 860 (а), 863, 869.
№ 860 (а).
о а ж >/7-14х
В область определения функции у =------- входят значе-
х + 8
ния х, для которых 7 - 14х > 0 и х+8^0.
303
7 - 14х > 0, х + 8 О,
- 14х > - 7, х Ф - 8.
х - 7): (- 14), \\\^\\^\^\\\\\\^>
х<0,5; -8 о,5 х
Ответ: (- оо; - 8) и (- 8; 0,5].
Примечание. На этом примере учащиеся видят, что если в реше-
нии в полученном числовом промежутке есть «выколотая» точка, то ответ
мы записываем в виде объединения числовых промежутков.
№ 863.
(а + 5)х2 + 4х - 20 = 0 - квадратное уравнение,
£>, = 4 - (а + 5) • (- 20) = 4 + 20а + 100 = 20а + 104.
Уравнение не имеет корней, если А < 0, то есть
20а + 104 < 0,
20а <- 104,
а <(- 104): 20,
а <-5,2.
Ответ: при а < - 5,2.
Примечание. Необходимо сообщить учащимся, что данное урав-
нение представляет собой уравнение с параметром а и переменной х.
№ 869.
Анализ:
У\ = Исоб + ^теч Уг = ^соб - ^теч Исоб = 1 8 КМ/Ч
।I Итеч = 2 км/ч
X км
Пусть х км - расстояние, на которое могут отъехать туристы,
тогда по течению они плыли со скоростью 18 + 2, то есть 20 км/ч
и против течения - со скоростью 18 - 2, то есть 16 км/ч, и на
X X
путь по течению они затратили — ч, а против течения — ч.
Зная, что туристы должны вернуться к стоянке не позднее, чем
через 3 часа, составим неравенство:
4х + 5х < 240,
2 2
9х<240, х<26—. Ответ: не более 26—км.
3 3
304
VI. Итоги урока.
- Сколько решений может иметь неравенство с одной пере-
менной?
- В каком случае неравенство не имеет решений? Приведите
примеры.
-В каком случае решением неравенства является любое
число? Приведите примеры.
Домашнее задание: № 857 (в, г), 859 (б, г, е), 861 (б), 862 (б),
866, 867.*
Урок 81
ПОНЯТИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цели: ввести понятия системы неравенств с одной пере-
менной, решения системы неравенств; формировать умение ре-
шать системы неравенств с помощью геометрической модели
числовых промежутков.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Решить неравенство:
( 3 А
а)2х-1 <2(х-1); б) Злг < 71 14-у лг I.
2. При каких значениях х функция у = 0,5х - 11 принимает
отрицательные значения?
Вариант 2
1. Решить неравенство:
а) 3(х + 1) > Зх + 1; б) 8^-у-2^ >4у.
2. При каких значениях х функция у = 1,5х - 9 принимает по-
ложительные значения?
305
Ответы:
Вариант 1 Вариант 2
1 а) нет решений б) х - любое а) х - любое б) нет решений
2 (-°о; 22) (6; + оо)
III. Актуализация знаний.
1. Изобразите на координатной прямой и запишите, исполь-
зуя введенные обозначения, промежуток, задаваемый условием:
а) х > 1,5; в) 0 < х < 1;
б)х<3,2; г)-5<х<-3.
2. Используя координатную прямую, найдите пересечение
промежутков:
а) (- оо; 6] и (3; + оо); в) (- 3; 0] и (0; + оо);
б) (- оо; 2) и [4; + оо); г) (- оо ; 4) и (- оо; 0].
IV. Объяснение нового материала.
Объяснение материала проводится втри этапа.
На первом этапе рассматривается задача, решение которой
приводит к понятию «система неравенств с одной переменной»
и «решение системы неравенств с одной переменной». На вто-
ром этапе рассматривается способ решения системы неравенств.
На третьем этапе приводятся различные примеры решения сис-
тем неравенств.
1-й этап.
Рассматриваем задачу со с. 184 учебника.
Анализ текстовой задачи показывает две основных зависи-
мости, которые могут быть записаны в форме неравенств. Тре-
буется найти значения переменной, удовлетворяющие одновре-
менно обоим неравенствам.
Теперь появляется возможность ввести новое понятие. Со-
общаем учащимся, что в тех случаях, когда нужно найти общее
решение двух и более неравенств, говорят, что требуется решить
систему неравенств. Затем вводим определение:
Решением системы неравенств с одной переменной
называется значение переменной, при котором верно
каждое из неравенств системы.
306
Решить систему - значит, найти все её решения или дока-
зать, что решений нет.
2-й этап.
Теперь перед учащимися возникает новая проблема: как ре-
шить полученную систему неравенств. Мы умеем решать от-
дельно неравенство, тогда получим:
|4(х + 1) > 20, 1х>4,
[5(х -1) < 20; [х < 5.
Получили, что множество решений первого неравенства есть
открытый числовой луч (4; + оо), а второго - (- оо; 5). Пересече-
ние этих двух числовых промежутков и будет являться решени-
ем системы неравенств:
(- оо; 5) п (4; + оо) = (4; 5).
5 х
Решение можно записать как в виде числового промежутка,
так и соответствующего ему неравенства: 4 < х < 5.
3-й этап.
Рассмотрим примеры 1^4 на с. 185-187 учебника. Это помо-
жет увидеть различные варианты получаемых решений: интер-
валы, числовые лучи, пустое множество.
Таким образом, учащиеся наметили несложный алгоритм
решения системы неравенств с одной переменной:
1-й шаг. Решаем каждое неравенство системы отдельно.
2-й шаг. Находим пересечение числовых промежутков, яв-
ляющихся решением неравенств системы, с помощью коорди-
натной прямой.
3-й шаг. Записываем полученное решение в виде числово-
го промежутка или неравенства.
V. Формирование умений и навыков.
Задания, которые учащиеся должны выполнить на уроке,
можно разделить на две группы:
1) задания на отработку новых терминов и символики,
а также на геометрическую интерпретацию решения систем не-
равенств: № 874, 875 (устно);
307
2) задания на решение несложных систем неравенств: № 876,
877 (б, г), 879 (б, г), 879 (б, г).
№ 876. 12 17 х (17; Н- оо); х> 17.
а) « х > X > 17, 12.
б)< X < X < 1, 5. 5 X (- оо; 1); х < 1.
в) • X > X < 0, 6. 0, 6 X (0; 6); 0<х<6.
г) < X < -3,5, -3,5 ^У//////у 0; нет решений.
X > 8. УУУУУУ? 8 х
д) X > -1, ^ууууууууууууу&ууууууу ъ [- 1;3]; - 1 <х<3
X < 3. 3 X
X > 8, 8 (8; 20]; 8<х<20.
е) < X < 20. УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУГ ' 20 х
Ответ: а) (17; + оо); б) (- оо; 1); в) (0; 6); г) нет решений;
д) [- 1; 3]; е) (8; 20].
№ 877.
4у < -4,
5-у>0;
у<-1,
U>-5; V<5.
(-оо; - 1); у<- 1.
[бу > 42, у > 7, [у > 7,
[4_у + 12<0; |4у<-12; [у<-3. -3
0; нет решений.
О т в е т: б) (- оо; - 1); г) нет решений.
J////////////// у
7 У
308
№ 879.
(0,7х-2,1<0,
б) I2 1
—х > 1;
13
0,7х < 2,1,
3
(1,5; 3).
— х-10:
6
Зх<1—;
3
г) ’
1,5 х
(5х-60<0, [5х<60,
1 4
х < —
I 3
_4
9;
4
9
4
9 12
у
( 4
Ответ: б) (1,5; 3); г) -оо; —
\ 9
4
— оо; —
9
VI. Итоги урока.
- Что называется решением системы неравенств?
- Является ли решением системы неравенств
< число 3? Число 5?
Зх<10
к.
- Что значит решить систему неравенств?
Домашнее задание: № 877 (а, в), 878, 879 (а, в), 880.
Урок 82
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цель: продолжить формировать умение решать системы
неравенств с одной переменной путем равносильных преобразо-
ваний неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
309
II. Устная работа.
1. Является ли число 6 решением системы неравенств:
г э [х-3 < 2,
2. Решите систему неравенств:
х > 2, х > 5, х > 0, X2 > 0,
а) < л В) ' л д> . ж) '
х > 4; х < 0; х < 0; х > 3;
г < 3, х > 8, х > 0, (х-1)2 <0,
б) _ г) < /о е) 1 , з) *
г < -2; х < 8. X < 6. х > 16.
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащимся предлагаются для решения более
сложные системы неравенств. Кроме того, задания сформулиро-
ваны таким образом, что требуется не только найти решение
системы, но и проверить выполнение каких-либо дополнитель-
ных условий.
№ 822 (б, г).
б)
1 - 12у < Зу +1,
f-12y-3y < 1-1,
<
-6у-4у > 4-2;
-15у <0,
< - 10у >2;
2-бу >4 + 4у;
6 + 6,2х > 12 —1,8х,
2-х> 3,5-2х;
6,2х + 1,8х >12-6,
-х + 2х > 3,5 - 2;
8х > 6,
<
х > 1,5;
х > 0,75,
х>1,5.
[1,5; +оо).
0,75 1,5 х
г) <
О т в е т: б) нет решений; г) [ 1,5; + оо).
№ 883 (б, г).
Допустимы те значения переменной, при которых подкорен-
ные выражения неотрицательны:
310
б)
х > О,
Зх-1>0;
Jx > О,
Зх > 1;
х > О,
1
—; + оо
3
г)
2х + 2 > О,
2х>-2, Гх>—1,
< <
-4х>—6; [х< 1,5.
6 - 4х > О;
[- 1; 1,5].
Ответ: б) —;-ьоо I; г) [—1; 1,5].
№ 884 (б).
б) В область определения функции у = .----. вхо-
у2х-1 -л/х + 1
дят те значения х, для которых подкоренные выражения неотри-
цательны и знаменатель дроби не обращается в нуль.
2х-1>0, 2х > 1, (х > 0,5,
х + 1>0; |х>-1; [х>-1.
>
0,5 х
Знаменатель равен нулю, если
>/2х-1 = >/х +1,
2х - 1 =х + 1,
2х -х = 1 + 1,
х = 2.
Значит, из области определения функции необходимо ис-
ключить х = 2.
0,5 2
[0,5; 2) kJ (2; + оо).
Ответ: [0,5; 2) и (2; + оо).
№ 886 (б, г).
J3,3 - 3(1,2 - 5х) > 0,6(1 Ох +1),
} [1,6 - 4,5(4х -1) < 2х + 26,1;
3,3 - 3,6 +15х > 6х + 0,6,
* 1,6 -18х + 4,5 <2х +26,1;
311
15х - 6х > 0,6 - 3,3 + 3,6, [9х > 0,9, Jх > 0,1,
-18х-2х < 26,1-1,6-4,5; [-20х<20; |х>-1.
(0,1; +сю).
х(х -1) - (х2 -10) < 1 - 6х,
3,5 - (х -1,5) < 6 - 4х;
х2 - х-х2 +10< 1 — 6х,
<
3,5-х +1,5 < 6-4х;
-х + бх < 1 -10,
- х + 4х < 6 - 3,5 -1,5;
1
J5x < -9,
’ Зх<1;
х < -1,8,
3'
з
О т в е т: б) (0,1; + оо); г) (- оо; - 1,8).
№ 887 (б, г).
[12 - 6х < 0,
б) 1
Зх +1 < 25 - х;
-6х<-12, Jx>2, Jx>2,
|Зх + х<25-1; [4х<24; [х < 6.
2
6 х
[2; 6].
Целыми решениями являются: 2; 3; 4; 5; 6.
3-4х<15,
\1 - 2х > 0;
-4х<12,
1-2х>-1;
г) «
Целыми решениями являются: - 2; - 1; 0.
Ответ: б) 2; 3; 4; 5; 6; г)-2;-1;0.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
Решите систему неравенств:
0,5х<2, [бх + 2>9-х,
1. < 2. <
-Зх>-9. |х + 8,3 < 11.
312
Вариант 2
Решите систему неравенств:
[0,2х>2, [7х + 2>6х —1,
1. Л 2J
[-Зх<-1,2. |х + 1,6>2.
V. Итоги урока.
- Что называется решением системы неравенств?
- Что значит решить систему неравенств?
- Каков алгоритм решения системы неравенств?
- Сколько решений может иметь система неравенств?
Домашнее задание: № 881, 883 (а, в), 885, 886 (а, в), 888.
Урок 83
РЕШЕНИЕ ДВОЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Цели: рассмотреть решение двойного неравенства через
систему неравенств; продолжить формирование умения решать
системы двух и более неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Решите систему неравенств:
2’ Л* >5, Л.У<-2,
J_ [у>-3; |х<-1; [у<-7.
10’
2. Известно, что 2 < х < 5. Оцените значение выражения:
а) 2х; б) -х; в) х-3; г) Зх-1.
III. Объяснение нового материала.
1. На с. 187 рассмотреть пример 5.
Необходимо, чтобы учащиеся уяснили, что двойное нера-
венство представляет собой иную запись системы неравенств:
а) <
313
Решая систему, получим < ’ Полученное решение
[х > -2.
можно записать как в виде числового промежутка (- 2; 0), так
и в виде двойного неравенства - 2 < х < 0.
2. Двойное неравенство можно решать и другим способом,
используя теоремы-свойства числовых неравенств:
- 1 < 3 + 2х < 3. Прибавляем к каждой части неравенства - 3,
получим:
- 1 - 3 < 3 + 2х - 3 < 3 - 3
- 4< 2х < 0. Разделим каждую часть неравенства на 2, получим:
- 4 : 2< 2х : 2 < 0 : 2
- 2<х<0.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, можно разбить на
4 группы:
1. Решение систем неравенств, содержащих дроби.
2. Решение двойных неравенств.
3. Решение систем трёх (и более) неравенств.
4. Решение заданий повышенной трудности.
1-я г р у п п а. № 890 (а, в), 891 (б, г).
№ 890.
•12
4х + 3х < 7 • 12,
6 - х > 0;
7х < 84,
<
- х > -6;
х<12,
<
х < 6.
От в е т: а) (- оо; 6); в) [0,6; 5].
314
№ 891.
3x<-3, Jx<-1,
- x < 2; x > -2.
(-2; -1).
5a + 8 _
-------a > 2a,
3
, 6-15л
—-a;
5a + 8 - 3a > 6a, -4a> -8,
4-6 + 15я > 4a; 1 la > 2;
11
О т в e т: 6) (— 2; — 1); r)
2-я г p у п п a. № 893(6; г), 894 (а; в), 895 (а).
№ 893.
б) -1<^-
3
1-3^
2
-3- 4<-a< 15-4,
-7<-«<ll, /:(-!)
-11 <a<l; [-11; 7).
- 6 < - 3y < 2,
2 <
3~У '
2 „
Ответ: 6) [- 11; 7); г) _y;2 .
№ 894.
a) -1 < 15a +14 < 44 <=> <
2
15x + 14<44,
I5x + 14>-1;
15x < 30,
' 15x>-15;
-1
[-1; 2).
в) -1,2 < 1 - 2у < 2,4 <=> <
1-2у<2,4,
1-2у >-1,2;
'~2у < 1,4,
- 2у > -2,2;
315
\у > -0,7,
b < 1,1-
(-0,7; 1,1).
Ответ: а) [-1; 2); б) (-0,7; 1,1).
№ 895.
а) - 1 <Зу-5< 1,
4 < Зу< 6,
Ответ: При 1 — < у < 2 .
3-я г р у п п а. № 898 (а, в), 899 (б).
Обращаем внимание, что в системе три неравенства, значит,
решением является пересечение трёх числовых промежутков.
№ 898.
х > ►8,
а) - X > ►7,
X > ►-4;
т >9,
в) < т >10,
т <12;
- 4 7 8 *
9 10 12 т
Ответ: а) (8; + оо); в) (10; 12).
№ 899.
2х-1 < х + 3, х < 4, х < 4,
б)< 5х-1>6-2х, « 7х>7, < х > 1,
х-5 < 0; х < 5; х < 5.
Ответ: (1; 4).
(8; + оо).
(Ю; 12).
(1;4).
4-я группа (для сильных учащихся).
- При каких значениях а система неравенств
Зх>12,
<
х < а
не
имеет решений?
316
Решение
Зх>12, х > 4,
< < Чтобы система не имела решений, необхо-
х <а‘, [х < а.
димо, чтобы (4; + оо) п (- оо; а) = 0.
4
> Это верно, если а < 4.
а а
Ответ: При а < 4.
№ 896.
х2 + 2ах + я2 -4 = О - квадратное уравнение.
= а2 -(а2 -4) = 4, Dx >0, значит, уравнение имеет два
различных корня. Найдём их:
х, =-а + д/д” = -а + 2 = 2 - а;
х2 = —а - дД^ = -а - 2.
Так как оба корня должны принадлежать интервалу (- 6; 6),
то одновременно выполняются условия:
(-6 < 2-я <6; Г-8<-я <4, Г-4<я<8,
[- 6 < -а - 2 < 6; - 4 < -а < 8; - 8 < а < 4.
- 8 - 4.........
----> - 4 < а < 4.
4 8 а
Ответ: при - 4 < а < 4.
V . Итоги урока.
- Что называется решением системы неравенств?
- Каков алгоритм решения системы неравенств?
— Какими способами можно решить двойное неравенство?
- В чём сущность решения системы, содержащей три и бо-
лее неравенств?
Домашнее задание: № 891 (а), 895 (б), 900 (а), 889. Повто-
рить п. 32-35 (подготовка к контрольной работе).
317
Урок 84
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 8
Вариант 1
1. Решите неравенство:
а) — х<5; б) 1 -Зх<0; в) 5(у- 1,2)-4,6 > Зу + 1.
6
т п cz 7 + а
2. При каких значениях а значение дроби —-— меньше со-
zr 12-67
ответствующего значения дроби —-—
3. Решите систему неравенств:
2х-3>0,
а) L л „
б)
4. Найдите целые решения системы неравенств
6-2х < 3(х-1),
' х
6 — > х.
I 2
5. При каких значениях х имеет смысл выражение
л/Зх-2 + д/б-х ?
6. При каких значениях а множеством решений неравенства
Зх - 7 < у является числовой промежуток (- оо; 4)?
Вариант 2
1. Решите неравенство:
а)|х>2; б)2-7х>0; в) 6(у - 1,5) - 3,4 > 4у - 2,4.
_ b + 4
2. При каких значениях b значение дроби —-— больше со-
ответствующего значения дроби —-—
3. Решите систему неравенств:
4х-10 > 10,
а) к с ,
б)
5-2х>2.
318
4. Найдите целые решения системы неравенств
10-4х>3(1-х),
3,5 + —<2х.
I 4
5. При каких значениях а имеет смысл выражение
V5tz- 1 + + 8 ?
6. При каких значениях b множеством решений неравенства
£
4х + 6 > — является числовой промежуток (3; + оо)?
Вариант 3
1. Решите неравенство:
а)— х > 1; б)1-6х>0; в) 5(у- 1,4) - 6 < 4у- 1,5.
4
2. При каких значениях т значение дроби - меньше со-
ответствующего значения выражения т - 6?
3. Решите систему неравенств:
а) <
Зх-9<0,
5х + 2 > 0;
15-х < 14,
4-2х<5.
4. Найдите целые решения системы неравенств
|5(1 - 2х) < 2х - 4,
12,5 + — > х.
I 2
5. При каких значениях а имеет смысл выражение
л/12 — За + у/ а + 2. 2
6. При каких значениях а множеством решений неравенства
5х -1 < — является числовой промежуток (- оо; 2)?
Вариант 4
1. Решите неравенство:
а)—х<2; б)2-5х<0; в) 3(х-1,5)-4 < 4х + 1,5.
8
2. При каких значениях а значение выражения а + 6 меньше
Л 67 + 2 о
соответствующего значения дроби---?
4
319
3. Решите систему неравенств:
[бх-12 > О,
а) 1
2х-3>0;
б) <
'26-х <25,
2х + 7<13.
4. Найдите целые решения системы неравенств
(1-5х < 4(1-х),
|3,5 + — > 2х.
I 4
5. При каких значениях т имеет смысл выражение
V15-5W + V4 + т ?
6. При каких значениях b множеством решений неравенства
£
6х +11 > — является числовой промежуток (1; +оо)?
4
Рекомендации по оцениванию.
Задания 1 и 3 соответствуют уровню обязательной подготов-
ки. Для получения отметки «3» достаточно решить любые 2 за-
дания. Для получения оценки «5» необходимо решить любые
5 заданий.
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1.а)-х<5; /-6 в) 5(у - 1,2) - 4,6 > Зу + 1,
6 5у-6-4,6>3у + 1,
х < 30; (- од; 30). 5у - Зу > 1 + 6 + 4,6,
б)1-Зх<0; 2у>11,6, / :2
-Зх<1;/:(-3) у >5,8; ' (5,8; + оо).
Ответ: а) (-оо; 30); б)
|;+ooj; в) (5,8; + оо).
7 + а \2-а
3 < 2
2(7 + а) <3(12 -а),
Ы + 2а<36-За,
2а + 3а <36- 14,
320
5а < 22, у
а < 4,4. '
Ответ: при а < 4,4.
2х - 3 > 0,
7х + 4 > 0;
З.а)
3 - 2х < 1,
б) 1
1,6 + х < 2,9;
2х > 3,
|7х > -4;
- 2х < -2,
Ответ: а) (1,5; +оо); б) (1; 1,3).
4. <
1,5
4,
7’
4
7
1,3
х < 1,3;
1
(1; 13).
6 - 2х < Зх - 3,
12-х > 2х;
- 2х - Зх < -3 - 6,
-х-2х > -12;
6- — >х.
2
- 5х < -9,
-Зх>-12;
Ответ: 2; 3; 4.
5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе
х > 1,8,
х<4;
2 3 4
1,8
Зх-2>0, j3x>2,
6 - х > 0; [ - х > -6;
3
2
Ответ: при у < х < 6.
6. Зх-7< —,
3
9х- 21 < а,
9х < а + 21,
а 7
Х< 9 + 3’
2
х~ 3’
х < 6;
а 7
—I—
9 3
2
3
6
321
Множеством решений является числовой промежуток (- оо; 4),
а 7 /
если — + — = 4; / • 9
9 3 /
а+ 21 =36,
а = 15.
Ответ: при а = 15.
1.а)-х>2; /-3
3 /
х > 6; [6; + оо).
б)2-7х>0;
- 7х> - 2, /: (- 7)
2 ( 2А
*<-; •
7 < 1J
Вариант 2
в) 6(у-1,5) - 3,4 > 4у-2,4,
бу —9 - 3,4 > 4у-2,4,
бу - 4у > 9 + 3,4 - 2,4,
2у>10, /: 2,
У >5; (5; + оо).
О т в е т: а) [6; + оо); б)
в) (5; + оо).
Ь + 4 5-2Ь.
2 > 3 ’
3(Ь + 4) >2(5 - 2Ь)Ч
ЪЬ + 12 > 10-4Z>,
36 + 46> 10-12,
1Ь>-2,
2
Ответ: при b > .
4х-10>10,
Зх - 5 > 1
4х > 20,
Зх > 6;
(5; +оо).
б)
1,4 + х>1,5,
5-2х > 2.
х>1,1,
- 2х > -3;
(1,1; 1,5).
Ответ: а) (5; + оо); б) (1,1; 1,5).
322
10-4х > 3(1-х),
4. < х
3,5 + —<2х.
I 4
10-4x > 3-3x, J-4x + 3x > 3-10,
14 + x<8x; [x-8x<-14;
3 4 5 6 7
2
-7х<-14; [х >
Ответ: 3; 4; 5; 6; 7.
5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:
5-я > 0, С-я>-5, (а <5, 5
a
-8
я + 8>0; [я>-8; [a>-8;
- 8 < a < 5.
Ответ: при - 8 < a < 5.
. . b
6. 4x + 6 > —,
5
20x + 30 > b,
20x > b - 30,
A_2. f_L_2
X> 20 2’ U0 2
Множеством решений является числовой промежуток (3; + оо),
b 3 .
гели-----= 3,
20 2
b - 30 = 60,
b = 90.
Ответ: при b = 90.
Вариант 3
в) 5(у-1,4) - 6 < 4у-1,5,
5у - 7 - 6 < 4у - 1,5,
4
б) 1 — 6x > 0;
- 6x > - 1;
1
x~6;
— oo; —
6
О т в е т: а) (4; + оо); б) - оо; — ; в) (- оо; 11,5).
I 6
323
т + 1
2.
3 '
т + 1< 3(т - 6),
т + 1< Зт - 18,
т - Зт < -1 - 18, .
- 2т < - 19; /
т > 9,5.
Ответ: при т > 9,5
•3
» . j3x-9<0, (Зх<9, jx<4,
З‘а) [5х + 2>0; [5х>-2; 1х>-0,4
-о,4
(-0,4; 3).
б)
15-х<14,
4-2х<5;
- 2х < 1;
0,5 1
з
Ответ: а) (- 0,4; 3); б) (1; + оо).
4.
5(1 - 2х) < 2х - 4,
5 - 10х < 2х - 4,
-1 Ох - 2х < — 4 - 5,
х - 2х > -5;
х
2
12 3 4
2 5
4
-12х<-9,
4 а
3
Х>4’
х<5;
Ответ: 1; 2; 3; 4; 5.
5. Выражение имеет смысл при а, удовлетворяющих системе:
(12-Зя>0, f-3tz>-12, р<4,
[tz + 2>0; |а>-2; [а>~:
-2 <tz<4.
Ответ: при - 2 < а < 4.
6. 5х-1 < — ,
4
20х - 4 < а,
20х < а + 4,
324
al f al]
20 5 20 5 J
Множеством решений является числовой промежуток (- оо; 2),
а 1
;сли--1- — = 2,
20 5
a + 4 = 40,
а = 36.
Ответ: при а = 36.
Вариант
4
1. a) < 2;
8
x < 16;
6) 2 - 5x < 0;
в) 3(x-1,5)-4<4x+1,5,
3x - 4,5 - 4 < 4x + 1,5,
3x - 4x < 4,5 + 4 + 1,5,
-x < 10,
x>-10; (-10; +oo).
(-oo; 16].
:(-5)
(0,4; + ®).
x> 0,4
О т в e т: a) (- oo; 16]; 6) (0,4; + oo); в) (- 10; + oo).
_ , a + 2 / .
2. a + 6 <--------; / • 4
4 /
4a + 24 < a + 2,
4a - a < 2 - 24,
3a <-22,
a<-7—.
3
-J
Ответ: при a < -7 —.
6x-12>0, [6x>12.
2x - 3 > 0;
3. a)
2x > 3;
1,5 2
(2; + оо).
26-х<25, [—х <—
б) < Ч
[2х + 7<13; [2х < 6;
з
(i;3).
Ответ: a) (2; + oo); 6) (1; 3).
325
11 - 5х < 4(1 - x), fl . . . г с л . ,
v ' Jl-5x<4-4x, J-5x + 4x<4-l,
3,5+ — > 2х; [14 + х>8х; |х-8х>-14;
4
f-г < 3 (х > - 3 -2-101
/X г. —14, [XSZ, _3 2х
Ответ: -2; - 1; 0; 1; 2.
5. Выражение имеет смысл при т, удовлетворяющих системе:
15 - 5т > 0,
4 + т > 0;
-5т>-\5, \т<3,
т>-4; [т >-4;
-4
3 w
- 4 < т < 3.
Ответ: при - 4 < т < 3.
6. 6х +11 > —,
4
24х + 44 > Ь,
24х>Ь- 44,
b И ( b И
х >------; ------; + оо
24 6 U4 6
Множеством решений является числовой промежуток (1; + оо),
b 11,
если------= 1,
24 6
b - 44 = 24,
b = 68.
Ответ: при b = 68.
Урок 85
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
Цели: изучить основные приёмы доказательства нера-
венств; сформировать умение доказывать сложные неравенства
различными приёмами.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
1. Сформулировать определение: число а больше числа Ь,
если разность а - b - положительное число; число а меньше
числа Ь, если разность а-b- отрицательное число.
326
2. Сформулировать основные свойства числовых неравенств:
Теорема 1. Если а > Ь, то b < а; если а < Ь, то b > а.
Теорема 2. Если а < b и b < с, то а < с.
Теорема 3. Если а < b и с - любое число, то а + с < b + с.
Теорема 4. Если а < b и с > 0, то ас < be;
Если а < b и с < 0, то ас > Ьс.
Следствие. Если а>$иЬ>$иа<Ь, то — > —.
а b
3. Сформулировать правила почленного сложения и умно-
жения числовых неравенств.
Теорема 5. Если а< b и с < d, то а + с < b + d.
Теорема 6. Если а < b и с < d, где a, b, с, d- положительные
числа, то ас < bd.
Следствие. Если а > О, b > 0 и а < Ь, то а” <Ьп, где п е N.
II. Изучение нового материала.
1. Сначала показываем отличие заданий «решить неравенст-
во» и «доказать неравенство». В первом случае мы выполняем
равносильные преобразования исходного неравенства, получаем
более простое неравенство и находим те значения переменной,
которые обращают неравенство в верное числовое неравенство
(или доказываем, что таких значений нет).
В заданиях на доказательство неравенства в условии есть ут-
верждение, что данное неравенство верно при любых значениях
переменной либо при некоторых значениях (задано заранее
множество значений переменной), и необходимо это утвержде-
ние доказать.
2. Доказательства проводятся с помощью различных
приёмов, некоторые из которых знакомы учащимся.
1-й приём. Составляем разность левой и правой частей
неравенства и показываем, что она сохраняет знак при любых
указанных значениях переменных.
Рассматриваем данный приём на примере 1 со с. 193 учебника.
2-й приём. Показываем, что данное неравенство следует
из других неравенств, справедливость которых известна.
К таким неравенствам (их ещё называют «основными» и
«базовыми») относятся:
327
a2+b2 >2аЬ;
a2 + 2ab + b2 > 0;
a2-2ab + b2 >0;
2 /—г а + Ь
"j—<—- и др.
a b
Рассматриваем данный приём на примере 2 со с. 193-194
учебника.
3-й приём. В отдельных случаях можно доказать неравен-
ство, используя некоторые очевидные соотношения.
В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты,
2 1 1
например, такие: (1 + а) > 1 + 2а при любом а + 0;-< — при
с + 1 с
с > 0; у!х + 2 > л/х +1 при х > - 1 и т. п.
Рассматриваем данный приём на примерах 3 и 4 со с. 194-195
учебника.
III. Формирование умений и навыков.
При доказательстве неравенств можно использовать любые
предложенные приёмы, следует поощрять осознанный выбор
того или иного приёма.
При рассмотрении задач на доказательство неравенств
у учащихся может возникнуть представление об оторванности
таких задач от потребностей практики. Чтобы этого не произош-
ло, необходимо решать также прикладные задачи на неравенства.
№ 905 (а).
Составим разность:
а2 +Ь2 + 4-2(а +b + V) = а2 + Ь2 + 4-2а-2Ь-2 = а2 -2а +
+ 1 + Z)2-2b + l = (a-V)2 +(6-1)2
Имеем: (я-1)2>0
(fe-l)2S0
(а - I)2 + (b - I)2 > 0 для любых а и Ь,
значит, а2 + b2> 2(а + b + 1). Неравенство доказано.
328
№ 907 (a).
Составим разность
(а + b)(ab +16) -16ab = a2 b +16tz + ab1 +166 -16ab =
= (a2b- Sab + 166) = (ab2 - Sab +16a) = b(a2 - Sa +16) +
+ a(b2 - 26 +16) = b(a - 4)2 + a(b - 4)2.
(a - 4)2 > 0, 6 > 0, значит, b(a- 4)2 > 0;
(6 - 4)2 > 0, a > 0, значит, a(b - 4)2 > 0;
6 (a - 4)2 + a(6 - 4)2 > 0,
значит, (a + 6) (ab + 16) > 0 при a > 0, 6 > 0. Неравенство до-
казано.
№ 909.
(а + ЬУ a3 + 63 ~ n , A
Доказать, что ----- <--------для любых а > 0, 6 > 0.
I 2 J 2
(а + 6)3 < 4СО3 + 63).
Составим разность
4(а3 + 63) - (а + 6)3 = 4а3 + 463 - а3 - За2Ь - ЗаЬ2 -Ь3 =
= За3 - За2Ь + З63 - ЗаЬ2 = За2(а - 6) - ЗЬ2(а - 6) = 3(а - Ь)(с? - 62) =
= 3(а - Ь)(а - Ь)(а + 6) = 3(а - Ь)2(а + 6)
(а-6)2>0
а + 6 > 0
(а-6)2(а + 6)>0;
3(а - Л)2(а + Ь) > 0, значит, 4(а3 + й3) > (а + й)3, неравенство
доказано.
№ 912.
Воспользуемся соотношениями.
>/4х + 1 < л/4х +1 + 4х2 = |2х +1|;
74у + 1 < 74у + 1 + 4>>2 = |2 у +1|;
V4z + 1 < V4z + l + 4z2 = |2z +1|
V4х +1 + 4у +1 + V4z +1 < |2х +1| +12у +1| + |2z +1|.
Имеем: 4х+1>0; 4х>-1: х> -—; 2х>-—;
4 2
329
2х +1 > — > 0, значит, |2х +1| = 2х +1.
Аналогично докажем, что |2у +1| = 2у +1 и |2z +1| = 2z +1.
Имеем: |2х +1| +12у +1| + |2z +1| = 2х +1 + 2у +1 + 2z +1 =
= 2(х + y + z) + 3- 2 + 3 = 5.
Значит, д/4х +1 + + 1 + V4z +1 < 5, что и требовалось до-
казать.
№ 914.
Анализ:
1 1 1 2 1 z ч
'1 =- + - + - = - + т (ч)
х 2 х х 2
V = x км/ч п I _ j Г
/2^/1-?
Пусть х км/ч - намеченная скорость велосипедиста, обозначим
2 1 z ч
путь за 1, тогда, по расчетам, он должен был затратить — + — (ч)
х 2
на весь путь, а на самом деле затратил-+ — +---(ч).
х-2 2 х + 2
Велосипедист успеет к сроку, если
111 2 1
---+ — ч--< — + —. Докажем это.
х — 2 2 х + 2 х 2
Составим разность:
1 + 1 1 2 1 х(х + 2) + х(х-2)-2(х2-4)
х(х - 2)(х + 2)
х-2 2 х + 2 х 2
х2 + 2х + х2 -2х- 2х2 + 8
х(х2 - 4)
Имеем:------и —н---
х-2 2 х + 2
=--------> 0, так как х > 2.
х(х2-4)
2 1
—F —, значит, велосипедист не
х 2
успел вернуться к назначенному сроку.
О т в е т: не успел.
330
Г л а в a V. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
Урок 86
ПОНЯТИЕ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Цели: ввести понятие степени с целым отрицательным
показателем и формировать умение его применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Анализ результатов контрольной работы.
Проанализировать ошибки, допущенные учащимися в рабо-
те. Вынести на доску решение заданий, вызвавших затруднения
у большинства учащихся.
III. Устная работа.
Вычислите:
( 1 А5
а)23; б)(-7)2; в)(-3)3; г) I --1 ;
(] А4 ( ] А3
Д)53; е) I -I ; ж)(-2)4; э) I| ’
( 1 А2
и) 63; к) -- ; л)(-3)°; м)2'.
\ S)
IV. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить по следующей схеме:
1. Показ необходимости представления больших и малых
чисел в обозримом и удобном для практики виде (рассмотрение
примеров со с. 203-204 учебника). Можно провести аналогию
с введением десятичных дробей, когда для уменьшения единиц
в десять раз мы ввели запятую для отделения разрядов десятых,
сотых и т. д. В случае со степенями с основанием 10 мы посту-
пили аналогично, введя отрицательный показатель степени для
. 1 1
выражении: ——- и т. д.
10' 102
331
2. Введение понятия степени с целым отрицательным пока-
зателем.
Необходимо дать определение степени с целым отрицатель-
ным показателем и вынести на доску запись:
1
а = -------,
а п
где а ф 0 и п - целое отрицательное число
Затем привести несколько примеров, показывающих, как
вычисляются степени с целым отрицательным числом. При этом
обратить внимание на типичную ошибку: у учащихся степень
с целым отрицательным показателем может ассоциироваться
с отрицательным числом (например, 2“3 = - 23).
3. Можно вывести следствие, что числа ап и а~п являются вза-
имно обратными. Для этого привести несколько примеров типа:
З3=27; 3’3=^- = —
З3 27
flY -_L- fl
I2J ”16’ 12
if16
2 J
Затем сделать общий вывод: ап-а п - = 1 •
4. Напоминаем, что а0 = 1 для а * 0; выражение 0° - не имеет
смысла; 0" = 0 для натуральных п.
Правило: выражение 0” для целых отрицательных п не
имеет смысла.
Примеры:
12°= 1; (-3,5)°=1;
О4 = 0; О' = 0;
0° - не имеет смысла;
0 -3 - не имеет смысла.
V . Формирование умений и навыков.
На этом уроке необходимо начать формировать у учащихся
следующие умения:
- преобразовывать выражения в дробь или произведение,
используя определение степени с целым отрицательным показа-
телем;
332
- вычислять степени с целым отрицательным показателем;
- представлять числа в виде степени с целым показателем.
• № 964, 965 (устно), 966, 968 (а, б, в, е, з, к), 970 (в, г, е).
№ 966.
а)8 = 23; 4 = 22;
1 = 2-; 1 = ^ = 2-;
2 4 22
2 = 2’; 1=2°;
“=Л=2’3-
8 2’
б) — = -т = 5-3;
125 5’
25 = 52;
№ 968.
. .-2 1 1
а) 4 = — = —;
42 16
— = —= 5“2-
25 52
125 = 53.
1 1
-27 ~ 27’
1 = 5-1; 1 = 5°; 5 = 5
5
в)(-1)-’=Лг=-1;
Л 2Y3 1 1
еЧ з) ( 2Y
I з) 27
( 2Y2 ( 12Y2
з) -2- = -— =-
I I 5 J (
27
8
= -3-;
8
. ,, _ (- 125
к) 1,125 1 = 1-----
I 1000
1
125
12у ~ 144 ~ 144 ’
yj 25
n-1 - PT1
8j "W -9~9‘
8
Многие учащиеся допускают ошибки при вычислении значе-
ний степеней с дробным основанием. И сами вычисления очень
громоздкие, записываются в виде «многоэтажных» дробей. Необ-
z х —2 z X 2
.. Pi Рг
ходимо научить учащихся рациональному приему: — = — .
I3 J 14)
333
Можно предложить в сильном классе самостоятельно про-
вести доказательство:
ду" __l___L=1.£44=|4Y
W ~р¥' ~ а^_~ ' bn~ ап "Ы ’
Ш Ьп
Полученное равенство выносится на доску:
\ -п / J \п
а ] { b ]
ь
a
№ 970.
.( 3Y2 ( 4? 16 ,7
Ч V < 3J 9 9
xTjV my 27
Ч 3j Ш IV 64
. мм MV m 4
I 2 Ш Ш 25
• № 969 (а, в, д), 971,972 (устно).
Эти три упражнения являются очень важными. Выводы, ко-
торые получат учащиеся, помогут им избежать ошибок в вычис-
лении степеней, особенно «путаницы» в знаках результата.
№ 969.
а) -10 4
д) -(-2)‘3
Ч- =------ = -0,0001;
104 10000
f--T2 -f--T -—-14.
5J Д 4) ~ 16 " 16’
___1______М-1
(-2)3 ~ Ji’8 ’
№ 971.
а) 9“5 =4
95
( зМ (1зМ ( 5 V
б) 2,б-4 = 2— = — = — >°;
I 5J <5) <13)
334
7 1V6 ( 71T6 ( 1°Y n
в) (-7.1) = —7 = >0;
v О J \ J
r)(_3,9)-q-<=pY<o.
I 10 J I 39 J
После выполнения упражнения № 972 полезно дать учащим-
ся задание по составлению блок-схемы полученного вывода:
VI. Итоги урока.
- Как определяется степень с целым отрицательным показа-
телем?
- Чему равно любое число (не равное нулю) в нулевой сте-
пени?
- Какое значение имеет выражение 0” при целом п < 0?
- Чему равно ап • а~п?
-Можно ли получить отрицательный результат при возве-
дении положительного числа в отрицательную степень?
Домашнее задание: № 967, 968 (г, д, ж, и), 969 (б, г, е), 970
(а, б, д), 983.
335
Урок 87
НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Цели: закрепить знание определения степени с целым от-
рицательным показателем; продолжить формирование умения
вычислять значение выражений, содержащих степени с целым
показателем.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите: а)(-2)4; г) (- 7)2; ж) Г17;
61 (4)’; д) 8~’; з) 2“2;
в) (-I)5; е) 10°; и)
Ш. Формирование умений и навыков.
к)-22;
На этом уроке важно, чтобы учащиеся достигли определён-
ного автоматизма в вычислениях степеней с целыми показате-
лями, научились преобразовывать различные выражения, со-
держащие степени.
• № 973 (а, б), 974 (а, б), 975, 976.
В сильном классе упражнения № 973, 974 можно выполнить
устно.
№ 975.
При выполнении этого задания вспоминаем, что хп • х~п= 1.
Но не следует сразу пользоваться этим равенством, в этом уп-
ражнении отрабатывается также умение верно подставлять чи-
словые значения буквенных выражений.
№ 976.
а) 8-4"3 = 8-Д- =
43
8
64
8
б) -2-Ю’5
•2-—-—
100000
2
100000
= -0,00002;
336
1 1 я
в) 18(-9)~' =18—-— = -— = -2;
(-9)' 9
01”{4)
= 10(-5)1 =-50;
ч а-2 л-1 1 1 1 1
Д) 3 +4 = - + - = - + - =
З2 4 9 4
13 .
36’
е) 2-3-(-2)-4 = -L-!— = 1- —= —;
23 (-2)4 8 16 16
ж) 0,5’2+^ = 22+3‘ =4 + 3 = 7;
з) 0,3°+о,Г4 = 1 + 104 =10001.
• № 978 (а, в, д, ж, з), 979 (а, в, д, ж, з).
При выполнении этих заданий учащиеся должны уметь пе-
реходить от дроби к произведению и наоборот, пользуясь опре-
делением степени с целым отрицательным показателем.
№ 978.
X О -5 1 3
а) Зх = 3 • — = —-;
х х
с 1 5д
= 5д- —= —;
Ь1 Ь1
11
3 — 3 ’
с хс
1
в) 5аЬ 7
д) X 1 • с 3
1
X
ж) 2(х + у)~4 = 2 •-!—- =--—- ;
(х + у)4 (х + у)4
3 = ю——!-^ = —
х (х-у) х(х-у)
з) 10-х 1 • (х - у)
№ 979.
а)-^- = 36-2;
и
х 1 1
Д) ~2,,3 “
\ 2д8 ~ 8 -5
в) —— = 2а с ;
с
1
-2 . и-3 •
ж) —= 2д •--------!—- = 2а(а - 2) 2;
(д-2)2 (д-2)2
337
(с + 6)5 ,ч5 1 1 ,ч5 _ , ,ч-4
з) -----— = (с + Ь) • --------т = (с + Ь) 2-(а-Ь)
2(а-Ь)4 2 2(а-Ь)4
= 2"'-(с + b)5-(а-Ь)"4.
• №980 (б, г), 981 (б).
№ 980.
б) ху-1 4- ху“2
x xy + x #
7л ~ 2
ч z ~ -1 ч / -1 ч Г 2 Y 1 А ху - 2 1 + 2ху
г) (х - 2 у )(х + 2у) = х--— + 2у =--------•------=
(xy-2)-(l + 2xy)
xy
№ 981.
(a-by2 -(сТ2 -b~2) = — -f-L-J-L---
a-b U2 b2) (a-b)2
_ b2-a2 _(b-a)(b + a)_ a + b
(a-b)2a2b2 (b-a)2a2b2 a2b2(b-a)
Ь2-а2
а2Ь2
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показа-
телем:
ч 1 1 I 1
б)—; в>-; г)ттт-
2 х а 23
2. Замените дробью степень с целым отрицательным показа-
телем:
а) 7-3; б) у10; в)/)'1; г) (3^;
3. Преобразуйте в дробь выражение (х-2 - у’ 2): (х-1 - у”1).
Вариант 2
1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показа-
телем:
а)
б)-^;
в)|;
г) —•
32
338
2. Замените дробью степень с целым отрицательным показа-
телем:
а)5“7; б)«и; в) Г1; г) (2у)’5.
3. Преобразуйте в дробь выражение (х“3 -1)(1 - х)~2 ♦ х3.
V. Итоги урока.
- Как вычислить значение степени с
показателем?
целым отрицательным
- Как рациональнее возвести дробь в степень с целым отри-
цательным показателем?
- В каком случае значение степени с целым отрицательным
показателем будет отрицательным?
- Чему равно значение выражения
_L?
5-2 ’
Домашнее задание: № 973 (в, г), 974 (в, г), 977, 980 (а, в),
981 (а), 982.
Урок 88
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ СТЕПЕНИ
С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИЙ
Цели: изучить свойства степени с целым показателем;
формировать умение применять данные свойства для нахождения
значения выражения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
3 Г 1 Y3 2
а)5-3; б)М ; в)(-11) 2;
С о V1 ( 1 А2
г) - ; д)(-3)-2; е) -- ;
О у
( 2V3
ж)2 5; з)1-1 ; и) (-З)4.
339
HI. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить по следующей схеме:
1. Актуализировать знания.
Вспомнить свойства степени с натуральным показателем
и продемонстрировать их применение для преобразования и на-
хождения значений выражений.
23 • 22 = 23+ 2 = 25 = 32;
З4 : З2 = З4”2 = З2 = 9;
(22)3 = 22'3 = 26 = 64;
(3 • 4)3 = З3 - 43 = 27 • 64 = 1728;
< 2 Y _ 23 _ _8_
2. Сообщить учащимся, что все рассмотренные свойства рас-
пространяются и на степени с любым целым показателем. Единст-
венное: что предполагаем: основание степени не равно нулю.
На доску выносится запись:
Для каждых а #= О, b #= 0 и любых целых т и п\
ат - а” = ат + п (1)
а" :а" = ат~п (2)
{ату = УУУ = атп (3)
(а-ЬУ =а"-Ь" (4)
/ \ " п
[ а ] а
Доказательство утверждений можно рассмотреть по учебни-
ку на с. 207.
3. Привести примеры, показывающие применение свойств
степени с целым показателем для нахождения значения выраже-
ния (с. 207-208 учебника, примеры 1-3).
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке необходимо начать формирование у учащихся
следующих умений:
- непосредственно применять свойства степени с целым по-
казателем для нахождения значения выражений;
340
- преобразовывать выражение в степень с «нужным» осно-
ванием для рационального применения свойств степени с целым
показателем;
- упрощать выражения, используя свойства степени с целым
показателем.
• Выполнение заданий по учебнику.
№ 985.
а)3",-36 = 3"' + 6 = 32 = 9;
б) 24 • 2“3 = 24-3 = 2;
в) 10’10’s 10’6 =108‘5‘6 =10‘3 = —!— = 0,001;
1000
г) 210:212 = 2,0~12 = 2'2 =4 = -;
22 4
д) 5~3:5~3 = S'3'*'3’ = 5° = 1;
е) З’4 :3 = 3~4-1 = 3-5 = ;
З5 243
ж) (2^Г' = 2"* ‘-1’ = 24 = 16;
з) (52)-2 -53 =5“4 -53 =5“443 =5“1 = |;
и) 3" (3’V = З 4 З8 = 3" *8 =34 = 81.
№ 987, 988 - самостоятельное решение (два ученика у доски).
№ 989.
(1V3 3
а) - = З3 = 27 ;
4
б) - = -;
в) 0,0Г2= 1002= 10000;
V.2Y4 Г5У4 ГзУ 81
Ч 625
д) 0,0024 = 1^ = 500;
ч J Y5 ( 4 у5 ( 3? 243
I 3) I 3) {4} 1024
341
№ 990.
a) 27-3~4 =33 -З’4 = 33~4 =3"' =|;
б) (з-1)5 -812 = 3’5 -(з4)2 -3 5 -З8 = 3’5+8 = 33 = 27 ;
в) 9’2 :3“6 = (з2)2 :3”6 = 3~4 :3 6 = 3’4-(~6) = З2 = 9;
г) 813 : (9 2 )“3 = (34 У : 96 = 312 : (32 )6 = 312 :312 = З12’12 = 3° = 1.
№ 992.
^т . __^от + m + l + l-m _^m+2 .
6) (5W)2 • (5’3)w = 52'” • 5’3z" = 52w‘3w =’ 5 m;
в) 625 : 54w~2 = 54 : 54z”“2 =54-^-2 = 56-4W
№ 993.
При выполнении этого упражнения учащиеся должны
определить, в виде степени с каким основанием им удобно
обходимо представить выражение.
а) 8’2 -43 =(23)’2 -(22)3 = 2’6 -26 = 2° =1;
б) 9^ • 275 = (З2) 6 • (З3)5 = 3 12 • З15 = З’12115 = З3 = 27;
в) 10°: 10’3= ЮОч3= 103= 1000;
125~4 :25’5 = (53)’4 :(52)’5 = 5’12 :5 10 = 5’,2+|° = 5’2
сами
и не-
г)
~ 25 ’
Д)
е)
-22
'ч -21 О _21 О _21
z _ •£ _ _ ?-21 + 22 .
4 5 • 4-6 “ 4-11 “ 2’22 '
4-2.8-6 2-4.2-18 _2-22 _
2’“ “ ~ ;
a-ю .q8
3-----— = 3_|° -97 =3“10 -314 =34 =81;
9
s-5 . s20
S =5~5 + 20~9 =56 = 15625.
59
222
Q-'O .О»
ч 5~5 -2510
з)------;—
1253
• Задание повышенной
учащихся.
№ 995.
лгт <- 2m
a) -^- = ^- = 52w-2w + 1 =5;
' ^2m-l ^2ot-I
трудности для сильных
342
(хт 'Ут . '1т О
___ZL______ _ '•im-m + l _ уп-т-т _ О-' . Э 1 _
' • 3m+^ 2W-' * 3w+i 3 *
V . Итоги урока.
-Сформулируйте правила умножения и деления степеней
с одинаковым основанием.
- Сформулируйте правило возведения в целую степень про-
изведения и дроби.
- Сформулируйте правило возведения степени в степень.
Домашнее задание: № 986, 991, 994, 1072.
Урок 89
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
Цель: продолжить формирование умения применять свой-
ства степени с целым показателем.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а) 10“2; г) ; ж) 5“3; к)
(1 А-5
б)3 3; д)0,3’'; з) - ; л)
7 1 А2
в)1-у1; е)4“2; и)
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Вычислите:
а) 7-14-'; в) З 2 + 6д) 9 +
б)-5-2”3; г) 5-1 - 10"1; е) 137-0,Г2.
Ц
<2
343
2. Представьте в виде дроби:
а)х~ +У*1; б) ab2 - а2Ь;
Вариант 2
1. Вычислите:
а) З’2 • 72; в) 8Ч + 2 2;
б)-2-5~3; г)4-1 —12_|;
2. Представьте в виде дроби:
а) х~2 + у“2; б) х~]у + ху~1;
в) (т - п) 3.
д)’з+Ш;
е) 0,0Г‘ - 165.
в)(х-у)-2.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке формируется умение выполнять преобразова-
ния и упрощать выражения, содержащие степень с целым пока-
зателем.
• № 996 (устно), 997, 998 (б, г), 999, 1000, 1002, 1004 (б, г).
№ 997.
а) я12 = я4 3 = (а4)3; б) а12 = аь (-2) = {a-ty2.
№ 998.
б)х° : х “5 = х°-(-5) = /; б)? :x"’2=x6Hw + 2)-/-w.
№ 999.
a) l,5ab-3-6a~2b = \,5-6-a'-2-b-M =9а']Ь^;
б) — т~2гУ-8т3п~2 = — • 8 • т~2 + 3 • я4-2 = бтп2;
4 4
в) 0,6с2б/4 - — б/"4 = 0,6 - — • с2 2 • бЛ4 = 0,2с0d° = 0,2;
3 3
х о п -I -5 5 ~ 5 _| + 1 _5 ] 0 -4 _4
г) 3,2х у -—ху = 3,2- — -х -у - 2х у = 2у ;
8 8
\ 1 -I -3 1 2 -5 11-1 + 2
д) -Р 'Я -~Р Я
2 6 2 6
-3-5 1 -8
4 =Г2ря ,
е) з1а;618 О.ба-'б20 =^-3-а5-' •6-|8+2° =2а4Ь2.
3 3 5
№ 1000.
а) 0,2а~2Ь4-5а3Ь~3 =0,2-5гГ2 + 3 • Ь4~3 = а • b;
при а = -0,125,/) = 8 ab = (- 0,125) • 8 = - 1.
344
б) —-8b2Z>4 = —-81-я’1 + 2 -ZT5 + 4 = 3ab~' = — ;
27 27 b
1 , 1
при a = —,b = —
7 14
— = —^ = -•14 = 6.
b 1 7
14
№ 1002.
а) И-')’2 =И’2 -(b-'Y =aV-,
в) (o,5• a-3b5)-'2 = W 12-(a-3)"12-(i5)"12 =212 <№;
г) (-2га5л?~3)2 =(-2)2 -(w5)2 '(л 3)2 =4w10/i-6;
д) (r-2 -^y3 =Н’'ИЧТ = 33pV6 =27pV6;
• № 1005 (б, r), 1007 (б, r), 1008 (б, r).
Перед выполнением этих упражнений следует повторить
правило умножения дробей.
№ 1005.
6V.l^,= 63aW=81a2.,.^5)=81aZ)
2b~5 7 а 2Ь~5-7а
. ^>Р~У 25р6 = 1677-|^2-25776 = 5 2+8 6_1 =
7 5 64<Г8 5-64^-8 4 4 Р
= 1,25/?V0-
№ 1007.
< -3l4V2 / -у \-3 / п \2 ( -2,з\3
} У 9 J ”U’3^4J \ 3 )
81 .a^-b9
д-в-Ьг 27
345
№ 1008.
6) 4oV (—'l = 4aV• — = 20<?7’'Л’1’1 = 20ол6 2.
• Задание повышенной трудности для сильных
учащихся.
№ 1009.
П ТЛ 3 П
По теореме Виета + х2 = — и х} х2 = —.
-1 -1 , 1 1 z х, + х2 ,
Xj + х2 — 6,-1---— 6j ------— 6 .
X] х2 Х\ ' х2
Подставляем в уравнение соответствующие значения и по-
лучаем:
3
4 3 8 , 6 , ,
— = 6; — • — = 6; — = 6; п = \.
п 4 п и
8
Ответ: 1.
V . Итоги урока.
- Сформулируйте правила умножения и деления степеней
с одинаковым основанием.
- Сформулируйте правила возведения в целую степень про-
изведения и дроби.
- Сформулируйте правило возведения степени в целую сте-
пень.
Домашнее задание: № 1001, 1003, 1004 (а, в), 1006, 1007 (а, в).
346
Урок 90
СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА
Цели: ввести понятие стандартный вид числа; формиро-
вать умение применять его при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Заполните пустые клеточки:
а)25 = П2; г)^ = 3 ;
6)81 =3! ; д) (а3)8 = а ;
ж)(у'У4=у28;
з) (ab2)~* = aJb'\
в) 625 = (52)'; е) х 8 = (х2) ;
III. Самостоятельная проверочная работа.
Вариант 1
Упростите выражение:
1) 6х‘У • 2,5.<У6;
2) 3,2ллЛ: (0,8a3Z>-’);
т,13х у .
’ у~6 52х“5 ’
-з А-2
9т \ _6 з
----- • 81/77 п .
5и-1 \
4)
Вариант 2
Упростите выражение:
1) 2,2a’8Z>s 'So1"* 4;
2) 2,8т8и: (o,7mV2);
14а Ь~2
} Ь~3 56а~4 ’
<5Х-2 V3
-125х-у.
4)
I V. Объяснение нового материала.
Согласно пункту учебника ввести понятие стандартного ви-
да числа. Вынести на доску запись:
Стандартный вид числа: а • 10й,
где 1 < а < 10, п — целое число, п - порядок числа
347
После этого дать учащимся задание, которое направлено
на усвоение данного понятия.
Задание. Определите, какие из чисел записаны в стан-
дартном виде, а какие - нет. Ответ объясните:
а) 2,3 • 10’; г) 8 • 10~5; ж)-3 • 1015;
б) 1,23 • Ю’11; д) 4,2 • 1005; з)0,24- 1017;
в) 15 10м; е) 5,8 • 1023; и) 10- 104.
После усвоения понятия показать, как оно может быть при-
менено на практике (разобрать примеры на с. 211-212 учебника).
V . Формирование умений и навыков.
• № 1013 (устно), 1014, 1015(6, г), 1016(6, г, е, з),1017, 1018.
- Представьте в виде степени числа 10 выражение:
а) 1000- 10 6; д) 0,1 • 100- 10 5
б) Ю10- 10 5; е) 10000;
в) 10’8: 104; ж) 0,001;
г)(102)3; з) 0,01 • 100.
№ 1014.
а) 52000000 = 5,2- 107;
Примечание. На этом примере разбираем, что в стандартном ви-
де числа а • 10", а е [1; 10). В исходном числе мы перенесли запятую
на 7 цифр влево, то есть уменьшили число в 107 раз. Поэтому 52000000
больше 5,2 в 107 раз.
6)2180000 = 2,18 • 106;
в) 675000000 = 6,75 • 108;
г) 40,44 = 4,044 • 101;
д) 0,00281 =2,81 • 10’3.
Примечание. На этом примере разбираем, что в исходном числе
мы перенесли запятую на 3 цифры вправо, то есть увеличили число
в 103раз. Поэтому 0,00281 меньше 2,81 в 103 раз.
е) 0,0000035 = 3,5 • 10’6.
№ 1015.
б) 1 17- 105 = 1,17- 102- 105 = 1,07- 107;
г) 0,06- 105 = 6 • 10 2 • 105 = 6- 103.
348
№ 1016.
б) 6000000 = 6- 106;
г) 0,85 = 8,5- IO’1;
е) 0,000282=2,82 • 10^;
з) 0,042 • 102 = 4,2 • 10’2 • 102 = 4,2 • 10°.
№ 1017.
Масса Земли равна 6 • 1021 т.
Масса атома водорода равна 1,7 • 10"21 г.
№ 1018.
а) 3,8 • 103 (т) = 3,8 • 103 • 103 (кг) = 3,8 • 103 • 106 (г) =
= 3,8- 109 (г);
б) 1,7- 10^(км)= 1,7- 10^- 103 (м)= 1,7- 10"1 • 102(см) =
= 1,7- 10 (см);
в) 8,62 • 10"1 (кг) = 8,62 • 10’1 • 10'3 (т) = 8,62 • 10^(т);
г) 5,24 • 105 (см) = 5,24 • 105 • 10-2 (м) = 5,24 • 103 (м).
- Выполните действия. Результат запишите числом в стан-
дартном виде:
а) (2,8 • 105) • (2,5 • ИГ7);
б) (5,7- 104): (3,8 • 10“3);
в) 6,2- 10’2 + 4,8 • 10“2.
Решение
а) (2,8 • 105) • (2,5 • 1 СТ7) = (2,8 • 2,5) • (105 10’7) = 7 • 1(Г2.
б) (5,7 • 104): (3,8 • 10’3) = (5,7 : 3,8) • (104 : 1(Г3) = 1,5 107.
в) 6,2 • 10’2 + 4,8 • 10“2 = 10“2 • (6,2 + 4,8) = 11 1(Г2 = 1,1 10‘3.
VI. Итоги урока.
- Как записывается число в стандартном виде?
- Записаны ли числа 11 • 108 и 0,93 • 10 5 в стандартном ви-
де? Почему?
- Если число записано в стандартном виде, что называется
его порядком?
-Для чего на практике применяется запись чисел в стан-
дартном виде?
Домашнее задание: № 1015 (а, в), 1016 (а, в, д, ж), 1019,
1020, 10226.
349
Урок 91
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ФИЗИЧЕСКИМИ
ВЕЛИЧИНАМИ
Цели: продолжить формирование умения представлять
числа в стандартном виде; формировать умения сравнивать чис-
ла, представленные в стандартном виде, решать задачи, связан-
ные с физическими величинами.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Назовите число в стандартном виде:
а) 608,5; г) 0,0009;
6)0,083; д) 1,367;
в) 400; е) 2.
2. При каком значении п верно равенство?
а) 32,4- 10" = 0,00324;
б) 0,072 • 10" = 7,2;
в) 4 10" = 4.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Запишите в стандартном виде число:
а) 70000; д)28Ю5;
б) 60,3; е) 563 • 10";
в) 14200,5; ж)0,031 106;
г) 0,56; з)0,0077- 10“2.
2. Выполнение действия:
а) (1,5- 10“3)(9,2- 10"4);
б) (1,56- 10“2): (2,6 10
в) 5,1 105 + 2,9- 106.
Вариант 2
1. Запишите в стандартном виде число:
а) 900000; д) 47 • 104;
6) 800,5; е) 672 • 10’5;
в) 2400,8; ж) 0,0055 • 107;
г) 0,73; з)0,046- 10’3.
350
2. Выполните действия:
а) (7,8- КГ4) - (3,5 - 10*);
б) (3,36 • 103): (4,8 • 10“7);
в) 5,2- 104 + 2,8 • 105.
Решение заданий проверочной работы
Вариант 1
д)28- 105 = 2,8 • 106;
е) 563 • 10 4 =5,63 • 10~2;
ж) 0,031 • 106 = 3,1 • 104;
з) 0,0077- 102 = 7,7 • 10 5.
1.а) 70000 = 7- 104;
б) 60,3 = 6,03 • 10;
в) 14200,5= 1,42005 • 104;
г) 0,56 = 5,6- 10’1;
2. а) (1,5- 10‘3)-(9,2- 10-4) =(1,5 • 9,2) • (10“3 • 10^) =
= 13,8 • 10“7= 1,38 • 10 • 10”7= 1,38 • 10"6;
б) (1,56- 10“2): (2,6 • 10"6) = (1,56: 2,6) (10'2: 10"6) =
= 0,6- 104 = 6 10 1 • 104 = 6- 103;
в) 5,1 • 105 + 2,9 • 106 = 0,51 • 106 + 2,9 • 106 = 106 (0,51 + 2,9) =
= 3,41 • 106.
д)47- 104 = 4,7 - 105;
е) 672 • 10 5 = 6,72 - 10’3;
ж) 0,0055 - 107 = 5,5 104;
з)0,046- 10 3 = 4,6 10 5.
Вариант 2
1.а) 900000 = 9- 105;
б) 800,5 = 8,005 • 102;
в) 2400,8 = 2,4008 103;
г) 0,73 = 7,3 • 101;
2. а) (7,8 10 4) (3,5 10^) = (7,8 • 3,5) • (КГ* • 10-6) =
= 27,3 • 10“'° = 2,73 • 10 Ю’10 = 2,73 10
б) (3,36 • 103): (4,8 • 10’7) = (3,36 : 4,8) (10-3: 10’7) =
= 0,7- 104 = 7- 10ч 104 = 7- 103;
в) 5,2 • 104 + 2,8 • 105 = 0,52 • 105 + 2,8 • 105 = 105 (0,52 + 2,8) =
= 3,32- 105.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся должны сравнивать и упорядочи-
вать числа, записанные в стандартном виде, переходить от од-
них единиц измерения к другим, округлять числа.
1. Сравните числа:
а) 1,78 • 106 и 2,1 • 106;
6)3,9- 1(Г8и6,5- КГ8;
в) 8,3 ♦ 104и 1,4 • 105;
г) 4,7- 10“7и5,8- ЮЛ
351
При решении этих упражнений выводим свойство, что удоб-
но сравнивать числа одного порядка. Если числа разного поряд-
ка, то больше то число, порядок которого больше.
Решение
а) 1,78 <2,1, значит, 1,78 • 106 < 2,1 • 106;
б) 3,9 < 6,5, значит, 3,9 • 10-8 < 6,5 • 10~8;
в) Порядок числа 1,4 • 105 больше порядка числа 8,3 • 104,
значит, 1,4 • 105 > 8,3 • 104;
г) Порядок числа 4,7 • 10”7 больше порядка числа 5,8 • 10 8,
значит, 4,7 • 10 7 > 5,8 • 10-8.
2. Порядок числа а равен - 12. Каков порядок числа:
а) 100а; б) 0,001а; в)а-1015; г)
Решение
Так как порядок числа а равен -12, то его стандартный вид
b • 1012, где 1< b < 10, тогда:
а) 100а = 100 • b • 1012 = b • 102 • 1012 = b • Ю10, порядок
числа равен - 10.
б) 0,001а = 0,001 • b • IO’12 = b • 10 3 • 1012 = b • 10’15, порядок
числа равен -15.
в) а • 1015 = b • 10-12 • 1015 = b • 103, порядок числа равен 3.
г) |q^-2o ~ ~ 0^20 = & • 10-12+20 = b • 108, порядок числа равен 8.
Ответ: а)-10; б) -15; в) 3; г) 8.
№ 1021.
Формула пути S = V • t;
t=2,8- 106 (с); И=3- 105 (км/с);
5 = (2,8 • 106) -(3 • 105) = 8,4 • 1011 (км).
Ответ: 8,4 • 1011 (км).
№ 1022.
тз = 6,0 • 1024 кг; тм = 6,4 • 1023 кг.
Порядок тз больше порядка тм, значит, масса Земли больше
массы Марса.
352
Чтобы узнать, во сколько раз больше, найдём частное:
— = In» = <6-0: 6’4>• (Ю24 :Ю“) = 0,9375• 10 =
тм 6,4 1023
= 9,375 «9,4.
Ответ: масса Земли больше массы Марса в » 9,4 раза.
№ 1024.
р- 7,8 • 103 кг/м3; Р = m = p-V.
Найдём объём железной пластины:
V= 1,2 • 6 • НГ1 • 2,5 • 10’1 = 18 • 10’2= 1,8 • 10’1 (м3);
т = 7,8 • 103 • 1,8 • 10’1 = 14,04 • 102 = 1,404 • 103 (кг).
Ответ: 1,404 • 103 кг.
V. Итоги урока.
- Какую запись числа называют его стандартным видом?
-Покажите на примере, как представить число в стандарт-
ном виде.
- Как сравнивают числа одного порядка?
- Как сравнивают числа разного порядка?
- Какие физические величины выражают числами стандарт-
ного вида? Приведите примеры.
Урок 92
НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Цели: ввести понятия частоты появления числа в ряду,
таблицы частот и таблицы относительных частот; формировать
умения составлять таблицы частот, находить средние статисти-
ческие характеристики.
Ход урока
I. Организационный момент.
353
II. Устная работа.
Даны ряды:
1)4;1;8;5;7. 2) 1; 9; 3; 0.5; —. 3) 6; 0,2; - ; 4; 7,3.
3 7 4
Найдите:
а) наибольшее и наименьшее значение каждого ряда;
б) размах каждого ряда.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника.
Познакомить учащихся с элементами статистики как науч-
ного направления. Прежде всего речь идёт об элементах так на-
зываемой «описательной» статистики, которая занимается вопро-
сами сбора и представления первичной статистической информа-
ции в табличной и графической формах, вычисления числовых
характеристик для совокупности статистических данных.
На примере таблицы частот со с. 215 учебника показываем,
как анализируются данные статистического исследования, какие
обобщающие показатели используются.
Необходимо затем подытожить, какие статистические харак-
теристики теперь могут находить учащиеся. Для этого на доску
можно вынести пример:
Упорядоченный ряд чисел: 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5.
1) Размах: 5-1=4;
х 1 + 2-2 + 3 + 4-2 + 5-3 31
2) среднее арифметическое: ----------------= —;
3) Мода: 5;
4) Медиана: 4.
2. Вводится понятие таблицы относительных частот - таб-
лица, в которой для каждого данного указывается не частота,
а отношение частоты к общему числу данных в ряду, выражен-
ное в процентах.
354
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся отрабатывают умения составления
таблиц частот и таблиц относительных частот, а также стати-
стических характеристик. Необходимо следить, чтобы учащиеся
чётко мотивировали свои ответы, избегали формализации.
№ 1028.
Кандидат Алексеев Иванов Карпов
Количество голосов 13 23 14
Проверяем, что 13 + 23 + 14 = 50.
Данных недостаточно, чтобы сделать вывод о предстоящих
результатах голосования.
- Подсчитывая число семян сорных растений в 15 одинако-
вых пакетах, получили такие данные:
3, 1,0, 3,2, 2, 1,0, 1,3,2, 1,0, 0,2.
Представьте эти данные в виде таблицы частот.
Решение
Количество сорных семян 0 1 2 3
число пакетов 4 4 4 3
Проверяем, что 4 + 4 + 4 + 3= 15.
№ 1030.
Находим общее число учащихся (сумма чисел в правом
столбце); п = 625.
Относительные частоты вычисляем делением каждого числа
в правом столбце на 625 и умножаем на 100 % (с округлением
до 1 %):
Число выполненных заданий 0 1 2 3 4 5 6
Относительная частота, % 0 4 8 14 36 23 14
355
Проверяем: 0 + 4+ 8 + 14 + 36 + 23 + 14 = 99 %. А должно
быть 100 %. Это результат округления. В таких случаях увеличи-
вают на 1 число, которое имеет самую большую отброшенную
е 53-100% оло
дробную часть; в данном случае это ------= 8,48 ; в таблице
625
процент выполнивших 2 задания следует записать 9 вместо 8.
№ 1031.
Наибольшее различие в числе допущенных ошибок: 6-0 = 6.
Типичное число ошибок: 3 (встречается 26 раз из 70).
Использованы: размах и мода.
№ 1032.
1) Данные представлены в виде таблицы частот, поэтому
среднее арифметическое находим по формуле.
2-20 + 5-12 + 10-7 + 25-4 + 100-2 470 лл
х =-----------------------------=-----« 10,44 .
20 + 12 + 7 + 4 + 2 45
Эта величина характеризует среднее количество акций на ру-
ках одного сотрудника.
2) Размах А = xmax - xmjn = 100 - 2 = 98.
Размах показывает, что разброс наблюдаемых значений
очень велик.
3) Мода Л/= 2 показывает, что наибольшее число сотрудни-
ков приобрело по 2 акции.
Ответ10,44; ~ 98; 2.
V. Итоги урока.
- Что называется таблицей частот?
- Какие данные заносятся в таблицу относительных частот?
- Какие существуют средние статистические характеристики?
-Объясните на примере, как по таблице частот находят
среднее арифметическое, размах и моду.
Домашнее задание: № 1029, 1033, 1034, 1093.
356
Урок 93
ИНТЕРВАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Цели: ввести понятия интервального ряда, характеристик
выборочного исследования; формировать умение использовать
данные понятия при решении задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Для упорядоченных рядов найдите размах, среднее арифме-
тическое, моду и медиану.
а) 0; 0; 1; 2; 3. б) 1; 2; 2; 2; 3; 3. в) 1; 2; 3; 4; 5; 5.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. В таблице приведён возраст сотрудников одного из отделов:
Фамилия Возраст
1 Синицын 42
2 Воробьёв 24
3 Соловьёв 30
4 Чижов 24
5 Лебедев 40
Найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое
этого ряда.
2.* Постройте ряд из четырёх чисел, у которого размах равен
2, а среднее арифметическое равно моде.
Вариант 2
1. В таблице приведено количество очков, набранных в чем-
пионате некоторыми стрелками:
Фамилия Возраст
1 Кузнецов 48
2 Иванов 26
3 Сидоров 20
4 Петров 40
5 Николаев 26
357
Найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое
этого ряда.
2.* Постройте ряд из четырёх чисел, у которого размах равен
2, а среднее арифметическое равно медиане.
IV. Проверка домашнего задания.
№ 1034.
Среднее арифметическое находим по формуле:
0-3 + 1-16 + 2-26+ 3-17+ 4-18 + 5-10+ 6-3 + 7-5 + 8-1 + 9-1
х -------------------------------------------------=
100
= 211 = 3.11.
100
Среднее арифметическое характеризует уровень наблюда-
емых значений, а при известном и = 100 позволяет сразу опреде-
лить общее число сорных семян во всех пакетах:
3,11 • 100 = 311.
Мода М = 2 показывает, что больше всего пакетов, в кото-
рых содержится по 2 семени сорняка.
От в ет: 3,11; 2.
V. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту учебника.
1. Запись статистической информации в форме простого
ряда имеет два наиболее существенных недостатка: громозд-
кость и труднообозримость (закономерности ряда не броса-
ются в глаза). В этих случаях для анализа данных строят ин-
тервальный ряд. Для этого разность между наибольшим
и наименьшим значениями делят на несколько равных частей
(примерно 5-10) и, округляя полученный результат, опреде-
ляют длину интервала. За начало первого интервала часто вы-
бирают наименьшее данное или ближайшее к нему целое чис-
ло, его не превосходящее. Для каждого интервала указывают
число данных, попадающих в этот интервал, или выраженное
в процентах отношение этого числа к общей численности
358
данных. При этом граничное число обычно считают относя-
щимся к последующему интервалу.
Рассмотреть пример со с. 217 учебника.
2. Вводится понятие выборочного исследования и выборочной
совокупности (выборки), которая подвергается исследованию.
Репрезентативность выборки рассматривается на примере со
с. 218 учебника.
VI. Формирование умений и навыков.
№ 1035.
Для построения интервального ряда находим наименьшее
и наибольшее значение результатов наблюдения:
•^min — 15, Хтах — 39.
Определяем количество частичных интервалов:
х — х • 39 —15
_ max min _ 1 u — Д g
5 5 “ ’
Мы увеличим хтах = 39 до хтах = 40, чтобы получить целое к.
Так можно сделать, поскольку при этом мы не теряем ни одно
наблюдавшееся значение и не допускаем никаких посторонних
значений в результаты.
£ _ ~^max 'X’min _ 40 ~ 1 5 _
5 5
Строим таблицу распределения интервального ряда.
Время выполнения домашнего задания (мин) 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40
Количество учащихся 5 1 7 8 3
Поскольку xmin = 15 мин попало на границу первого интер-
вала и мы включили это значение в интервал, то и во всех слу-
чаях попадания значений на границу интервалов будем вклю-
чать эти значения в правый интервал.
359
Задание 1. В таблице показано распределение призывни-
ков района по росту:
Рост, см Частота
155-160 6
160-165 10
165-170 28
170-175 36
175-180 48
180-185 26
185-190 16
190-195 8
По данным таблицы составьте новую таблицу с интервалом
в 10 см.
Решение
В таблице весь размах значений наблюдаемой величины (от
155 до 195 см) разбит на к = 8 частичных интервалов шириной
h = 5 см. Объединим каждые два соседних интервала, начиная
с первого, и просуммируем частоты соседних интервалов; полу-
чаем новую таблицу распределения с интервалом h\ = 10 см
и числом интервалов к = 4.
Рост, см Частота
155-165 16
165-175 64
175-185 74
185-195 24
Задание 2. Имеются следующие данные о распределении
участников похода по возрасту:
Возраст, лет 18-22 22-26 26-30 30-34
Число участников 25 18 5 2
Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний
возраст участников похода.
360
Решение
Середины интервалов имеют значения 20, 24, 28, 32 (лет).
Объём выборки п = 25 + 18 + 5 + 2 = 50.
Средний возраст участников похода:
20-25 + 24-18 + 28-5 + 32-2 „
Тср =------------—------------= 22,72 ~ 23 года.
50
Полученное значение является приблизительным, так как
вместо реальных наблюдавшихся значений мы осредняли сере-
дины интервалов ряда распределения.
Ответ: ~23 года.
№ 1037.
а) Не является, так как примерно половина восьмиклассников -
мальчики, у них есть свои особенности, а их не опрашивали.
б) Не является, так как время на выполнение уроков зависит
от расписания, которое меняется по дням недели. В четверг го-
товят уроки на пятницу, а в пятницу могут быть уроки, не тре-
бующие большой подготовки.
в) Не является, так как гимназии и лицеи - это меньшая
часть общеобразовательных учреждений со специальным отбо-
ром учащихся и специфическими особенностями учебных про-
грамм и перечня изучаемых предметов. Время на выполнение
уроков в гимназиях и лицеях может отличаться от времени, за-
трачиваемого учениками обычных школ.
О т в е т: а) нет; б) нет; в) нет.
VII. Итоги урока.
- В каком случае таблица частот не является удобной для ана-
лиза статистических данных?
- Что собой представляет интервальный ряд?
- Чем выборочное исследование отличается от сплошного?
- В каком случае выборка является репрезентативной? При-
ведите примеры.
Домашнее задание: № 1036, 1038, 1097.
361
Урок 94
СТОЛБЧАТЫЕ И КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ
Цели: рассмотреть возможности наглядного представле-
ния статистической информации в виде диаграмм; формировать
умение строить столбчатые и круговые диаграммы, характери-
зующие результаты статистических исследований.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислите:
а) 25 % от 200; в) 50 % от 185; д) 75 % от 800;
б) 12 % от 1000; г) 0,1 % от 4000; е) 3 % от 160.
2. Заполните пустые квадратики в пропорциях:
а) 360 ° - 100 % б) 360 ° - 100 % в) 360 0 - 100 %
90’-□%; 72’-□%; 54° П%.
III. Объяснение нового материала.
1. Сообщение учащимся.
Статистическая информация может быть представлена в раз-
личных формах. Учащиеся уже знакомы с такими из них, как:
- простой статистический ряд;
- вариационный (упорядоченный) ряд;
- таблица частот;
- таблица относительных частот;
- интервальный ряд.
Наряду с этими формами представления статистических
данных широко используется графическая форма.
Одним из хорошо известных способов наглядного представле-
ния ряда данных является построение столбчатой диаграммы.
Они используются тогда, когда нужно проиллюстрировать ди-
намику изменения данных во времени или распределение данных
в результате статистического исследования.
362
Рассматриваем пример построения столбчатой диаграммы
на с. 222 учебника.
2. Для наглядного изображения соотношения между частями
исследуемой совокупности данных удобно использовать круго-
вые диаграммы. Исходные данные для построения круговой
диаграммы можно брать из таблицы относительных частот.
В этом случае круг разбивается на секторы, центральные углы
которых пропорциональны относительным частотам, опреде-
ленным для каждой группы данных.
Рассматриваем пример построения круговой диаграммы
со с. 223 учебника. Обращаем внимание на алгоритм вычисле-
ния величин центральных углов для секторов.
Замечаем, что круговая диаграмма сохраняет свою нагляд-
ность и выразительность лишь при небольшом числе частей со-
вокупности. В противном случае иллюстрация получается «за-
соренной» и её применение малоэффективно.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся приобретают навыки как постро-
ения диаграмм, так и интерпретации данных, показанных на ди-
аграмме.
1. Жалобы на опоздание электричек, поступившие в диспет-
черскую станцию Жуково в течение недели, позволили соста-
вить следующую диаграмму частот по опозданиям за неделю.
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс День недели
Определите среднее число опозданий за неделю.
363
Решение
Найдём по диаграмме частот количество опозданий в каждый
из семи дней недели и вычислим их среднее арифметическое х:
2+3+4+5+4+2+1 „
х =---------------= 3 - среднее число опоздании за не-
делю.
Ответ: 3.
№ 1042.
364
№ 1045.
Определяем величину соответствующих углов:
360° 12 % ._о 360°-40 % 1ЛЛО 360°-48 %
---------«43 ----------= 144 ----------
100% ’ 100% ’ 100%
2. Совокупный доход семьи из четырёх человек составляет
40 тыс. р. Распределение бюджета происходит следующим обра-
зом: 15 % - оплата коммунальных услуг;
45 % - питание;
25 % - одежда;
8 % - развлечение;
7 % - прочие нужды.
Представить данные в виде таблиц частот и относительных
частот, а также построить столбчатую и круговую диаграммы
распределения бюджета.
Решение
Статья расхода Коммун, услуги Питание Одежда Развлече- ния Прочие нужды
Расход, тыс. р. 6 18 10 3,2 2,8
Проверяем: 6 + 18 + 10 + 3,2 + 2,8 = 40 (тыс. р.).
Статья расхода Коммун, услуги Питание Одежда Развлече- ния Прочие нужды
Расход, % 15 45 25 8 7
Проверяем: 15 + 45 + 25 + 8 + 7 = 100 %.
365
4) Определяем величину соответствующих углов:
360°• 15 %
100%
360°-45 %
100%
= 162 °;
360°-25 %
100%
= 90 °;
360°-8 %
100%
360°•7 %
100%
V. Итоги урока.
- Какие способы наглядного представления статистической
информации существуют?
- Как строится столбчатая диаграмма?
- Что показывает круговая диаграмма? Как вычисляется
центральный угол каждого сектора?
- Как взаимосоответствуют таблица частот и таблица отно-
сительных частот диаграммам?
366
Домашнее задание:
1. № 1044.
2. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую рас-
пределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое пред-
ставлено в следующей таблице:
Тарифный разряд 1 2 3 4 5 6
Число рабочих 4 2 10 16 8 4
3. В таблице показано распределение сотрудников отдела
по стажу работы:
Стаж работы, лет 3 и менее 4 5 6 7 и более
Относительная частота, % 8 12 16 24 40
Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распре-
деление сотрудников отдела по стажу работы.
Урок 95
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ
В ВИДЕ ПОЛИГОНА
Цели: рассмотреть возможности наглядного представле-
ния статистической информации в виде полигона; формировать
умение строить полигон для иллюстрации динамики изменения
статистических данных во времени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
В фермерском хозяйстве площади, отведенные под зерно-
вые, распределены следующим образом: под пшеницу - 60 %,
под овёс - 12 %, а остальное - под просо и гречиху, причём под
367
просо втрое больше, чем под гречиху. Постройте круговую диа-
грамму, характеризующую распределение площадей, отведён-
ных под посевы зерновых в этом хозяйстве.
Вариант 2
В фермерском хозяйстве площади, отведённые под зерно-
вые, распределены следующим образом: под пшеницу - 50 %,
под овёс - 17 %, а остальное - под просо и гречиху, причём под
просо вдвое больше, чем под гречиху. Постройте круговую диа-
грамму, характеризующую распределение площадей, отведён-
ных под посевы зерновых в этом хозяйстве.
III. Объяснение нового материала.
Сообщение учащимся.
Динамику изменения статистических данных во времени
часто иллюстрируют с помощью полигона. Для построения по-
лигона отмечают в координатной плоскости точки, абсциссами
которых служат моменты времени, а ординатами - соответст-
вующие им статистические данные. Соединяя последовательно
эти точки отрезками, получают ломаную, которую называют
полигоном.
Рассматриваем пример на с. 223-224 учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке формируются умения строить полигоны для
иллюстрации динамики изменения статистических данных
и анализировать данные по готовым полигонам.
• № 1046, 1047.
При выполнении этих заданий отрабатывается умение стро-
ить полигоны по таблице частот и таблице относительных частот.
№ 1046.
Урожайность, ц/га 18 19 20 21 22
Число хозяйств 3 9 13 11 7
368
Число
хозяйств
№ 1047.
Количество членов семьи 1 2 3 4 5 и более
Относительная частота, % 10 18 35 26 И
Полигон относительных частот можно строить, выражая
значение по оси у (ординаты) как в процентах, так и в частях
целого.
Относительная
частота, %
369
№ 1049 (устно).
а) Во втором и третьем кварталах 1992 г. производство рас-
тительного масла снижалось, достигнув в III квартале мини-
мального уровня 120 тыс. т. За IV квартал 1992 г. производство
выросло, почти достигнув уровня на начало 1992 г.
В первом квартале 1993 г. рост производства продолжался,
достигнув максимального уровня 320 тыс. т. Во втором и треть-
ем кварталах 1993 г. производство снижалось, а в IV квартале
росло, превысив к концу 1993 г. уровень на конец 1992 г.
б) Наибольшее падение - во II и III кварталах 1992 г. (на 180
тыс. т).
в) Наибольший прирост - в IV квартале 1992 г. и I квартале
1993 г. (на 200 тыс. т).
Ответ: а) II—III кв. 1992 г.; в) IV кв. 1992 - I кв. 1993 г.
2004 г. 2005 г.
а) За II квартал 2004 г. производство упало до минимального
уровня 625 шт., затем в III—IV кварталах 2004 г. и I квартале
2005 г. - росло. Во II и III кварталах 2005 г. производство вновь
снижалось, а в IV квартале 2005 г. быстро росло, достигнув мак-
симального уровня 910 шт.
370
б) Наибольшее увеличение выработки (сразу за два последних
квартала) произошло в III и IV кварталах 2004 г. (на 185 шт.).
О т в е т: б) III—IV кв. 2004 г.
V. Повторение изученного материала.
Для подготовки к контрольной работе предложить учащимся
для решения следующие упражнения:
Упростить выражение:
а) 0,8 • а 6 • Ь4 • 5а12Ь^;
б) 3—/и-8и-7—/и“5и-7\
2 <8 )
21а"4 5Ь~6 .
В 1066 7я’8 ’
Решение
а) 0,8а"6*4 • 5а'2 Ь"* = 0,8• 5• а-6*12 *4'4 = 4а6.
ч 21а’4 Si-6 21-5-a^ i-6 3 4,_,2
в) —7.---Г =------г—Г = ~аЬ
\0Ь6 1а~" 10-7а’8/>6 2
VI. Итоги урока.
-Какие способы наглядного представления статистической
информации существуют?
- Что иллюстрирует полигон распределения данных? Как он
строится?
Домашнее задание: № 1048, 1051, 1059, 1061.
371
Урок 96
ИЗОБРАЖЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ РЯДОВ ДАННЫХ
С ПОМОЩЬЮ ГИСТОГРАММЫ
Цели: рассмотреть возможности наглядного представле-
ния статистической информации в виде гистограммы; формиро-
вать умения строить гистограмму и анализировать динамику
статистических данных по исходной гистограмме.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
На некотором маршруте метрополитена провели исследова-
ние пассажиропотока. Для этого каждый час в случайно вы-
бранном вагоне электропоезда на протяжении всего пути счита-
ли число пассажиров разных возрастов. Результаты исследова-
ния представлены в следующей таблице:
^\Время Возраст^^ 6 ч 30 мин 7 ч 30 мин 8 ч 30 мин 9 ч 30 мин 10 ч 30 мин 11 ч 30 мин
До 7 1 3 5 13 16 11
7-18 12 16 35 38 26 12
18-30 15 25 38 35 17 15
30-45 27 67 93 78 66 30
45-65 5 13 29 22 22 20
Старше 65 0 2 0 3 1 2
а) Определите час пик - время, когда в вагоне едет макси-
мальное число людей.
б) Найдите время, когда относительная частота возрастной
категории от 30 до 45 лет максимальна.
в) Какой процент пассажиров вагона, отправившегося в 11 ч
30 мин, составляют люди в возрасте от 18 до 65 лет?
372
Решение
а) Чтобы определить час пик, найдём общее количество лю-
дей, едущих в вагоне, за каждый час.
Время 6 ч 30 мин 7 ч 30 мин 8 ч 30 мин 9 ч 30 мин 10ч 30 мин 11 ч 30 мин
Количество людей 60 126 200 189 148 90
Из выборки видно, что час пик наступает в 8 ч 30 мин.
б) Сначала найдём относительную частоту указанной воз-
растной категории за каждый час. Для этого, воспользовавшись
исходной таблицей и таблицей из пункта а), вычислим отноше-
ние людей данного возраста к общему числу людей в вагоне.
Время 6 ч 30 мин 7ч 30 мин 8 ч 30 мин 9 ч 30 мин 10ч 30 мин 11 ч 30 мин
Относитель- ная частота числа людей 30-45 лет, % 45% 53% 47% 41 % 45% 33%
Таким образом, искомое время 7 ч 30 мин.
в) В вагоне, который отправляется в 11 ч 30 мин, находятся
15 + 30 + 20 = 65 пассажиров в возрасте от 18 до 65 лет.
Они составляют — • 100 % « 72 % пассажиров вагона.
90
III. Объяснение нового материала.
Сообщение учащимся.
Интервальные ряды изображают с помощью гистограмм.
Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состав-
ленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого
прямоугольника равно длине интервала, а высота - частоте или
относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отли-
чие от обычной столбчатой диаграммы, основания прямоуголь-
ников выбираются не произвольно, они строго определены дли-
ной интервала.
Рассматриваем пример построения гистограммы на с. 224-
225 учебника.
373
IV. Формирование умений и навыков.
№ 1052.
Время, ч Частота
0 1 12
1-2 24
2-3 8
3-4 5
№ 1054 (устно).
а) Рабочих в возрасте от 18 до 23 лет - 12 человек (высота
первого столбика гистограммы).
б) Наибольшее число рабочих относится к возрастной груп-
пе от 33 до 38 лет (самый высокий столбик).
в) Общее число рабочих цеха находим как сумму высот всех
столбиков диаграммы:
12+ 14 + 20 + 22 +18+ 16+12 + 4= 118 чел.
Ответ: а) 17 чел.; б) 33-38 лет; в) 118 чел.
№ 1055.
Вес, кг Частота
20-22 4
22-24 7
24-26 4
26-28 4
28-30 7
30-32 4
Вес, кг Частота
20-23 6
23-26 9
26-29 8
29-32 7
374
Гистограммы имеют одинаковый диапазон значений по оси
абсцисс (от 20 до 32 кг) и одинаковую сумму высот всех столб-
цов (30 для обеих гистограмм).
Гистограммы различаются количеством столбцов, их шири-
ной и высотой.
V . Проверочная работа.
Вариант 1
Имеются следующие данные о времени, которое токари цеха
затрачивали на обработку одной детали:
Время, мин 18-20 20-22 22-24 24-26
Число токарей 6 8 6 2
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гисто-
грамму.
375
Вариант 2
Имеются следующие данные о распределении участников
похода по возрасту:
Возраст, лет 16-22 22-28 28-34 34-42
Число участников 12 15 10 6
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гисто-
грамму.
V I. Итоги урока.
- Какие способы наглядного представления статистической
информации вам известны?
- Объясните, в чём состоит каждый из этих способов.
- Что называется гистограммой?
- Как изображается на гистограмме общий объём исследу-
емой совокупности?
Домашнее задание: № 1053, 1056, 1087 (а, в), 1091.
Урок 97
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 9
Вариант 1
1. Найдите значение выражения:
а)4и-4“9; б) 6 5:6 3;
2. Упростите выражение:
а) (х“3)4 5-х14; б) 1,5а2/)"3 -4<7“3/)4.
в)(2’2)3.
3. Преобразуйте выражение:
б)
•бху2.
4. Вычислите: -----— .
27’6
5. Представьте произведение (4,6 • 104) • (2,5 • 10-6) в стан-
дартном виде числа.
376
6. Представьте выражение (о ’+6’До + б) 1 в виде рацио-
нальной дроби.
Вариант 2
1. Найдите значение выражения:
а)5^-52; б) 12’3 : 12^; в) (З’1)’3.
2. Упростите выражение:
а) (а“5 )4 • а21; б) 0,4* V8' 50х“5у9.
3. Преобразуйте выражение:
a) f-; б) 10а7/>3.
Чб ) I26 J
26.4- 3
4. Вычислите: -----— .
8“7
5. Представьте произведение (3,5 10“5) (6,4 • 102) в стан-
дартном виде числа.
6. Представьте выражение (х-1 - у-1)(х-у)-1 в виде рацио-
нальной дроби.
Вариант 3
1. Найдите значение выражения:
а) 615 • 6“13; б)4^:4’3; в) (51)3.
2. Упростите выражение:
а) (х-2р -х’7; б) 1,2а’5й* -5а6Ь~6.
3. Преобразуйте выражение:
а)|3а’4*’2| ; б) 10а364.
5"9 • 25"2
4. Вычислите: ------—.
125
5. Представьте произведение (6,8 • 106) • (4,5 • 10”8) в стан-
дартном виде числа.
6. Представьте выражение (а-1 +/>)(а + 6~1) ' в виде рацио-
нальной дроби.
377
Вариант 4
1. Найдите значение выражения:
а) 521 • 5“23; б) З’8: 3 9; в) (22)~3.
2. Упростите выражение:
а) (я~3)5 -я18; б) 2,4х-8у5 -5х9у-7.
3. Преобразуйте выражение:
а)
14
зх
15х3у.
4. Вычислите: -----—.
64'
5. Представьте произведение (2,5 • 107) • (6,2 10 °) в стан-
дартном виде числа.
6. Представьте выражение (х-1 -у)(х-у' в виде рацио-
нальной дроби.
Рекомендации по оцениванию:
Задания 1 и 2 соответствуют уровню обязательной подготов-
ки учащихся.
Для получения отметки «3» достаточно выполнить любые
2 задания. Для получения отметки «5» необходимо решить лю-
бые 5 заданий.
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. а) 4" 4'9 = 4" '9 = 42= 16;
б) 6'5 :6‘3 =6'5*3 =6‘2 ;
62 36
в) (2“2У =2'2 3 =2'6 .
3 ’ 26 64
О т в е т: а) 16; б) —; в) —.
36 64
2. а) (х"3)4-х14 = х"12-х14 = х'12*14 = х2;
378
б) 1,5а2*-’-4а’3*4 = (1,5-4)-(а2 -а-’)(*-’ bi)=6a-'b = —
а
О т в е т: а) х2; б) —.
а
4. 3 9,- = 3~9-(з2)~4-276 = 3~9-3~8-318 =3.
27 6 7
Ответ: 3.
5. (4,6- 104) • (2,5 • 10"6) =4,6-2,5- 104 6 = 11,5 10’2 =
= 1,15 • 10- 10’2 = 1,15 ♦ 10’1.
Ответ: 1,15 • 10 *.
6. (<7-1 +Z)-1)((7-|-Z))_1
1 1 _(a+z0- 1 - 1
a b)(a + b) ab (a + b) ab
Ответ: —.
ab
Вариант 2
La) 5 4 • 52 = 5’4+2 = 5“2 =~V = — = 0,04;
52 25
6) 12“3 : 12"* = 12'3 + 4= 12;
в) (3’1)’3 = З("1) (~3) = 33 = 27.
Ответ: a) 0,04; 6) 12; в) 27.
n 4 ( -5 )4 22 -20 22 -20 + 22 2
2. a) (a ) -a = a -a = a = a ;
б) 0,4х6^-8-50х‘5/ =(0,4-50)-(х6-х-5)-(^-8-/)= 20лу.
Ответ: a) a2; б) 20xy.
379
Зо~4Л|
2b
\9а7Ь3
^-У\ -Юа’й3
За"4
4Ь~6’\0аЬ3
9а~*
9 9
40<715
9Ь3
6х4 _.
Ответ: а) ——; б)
У
40<715
%3
= 29 = 512.
Ответ: 512.
5. (3,5- 105)- (6,4 • Ю2) =3,5 -6,4- 10’5т2 = 22,4- 103 =
= 2,24- 10- 10 3 = 2,24 • 10 2.
Ответ: 2,24 • 10“2.
111 _(у-х) 1
х У) (х~у) ху (х-у)
ху '
1
Ответ: -----
ху
1. а) 615 • б"13 = б15’13
б) 4’6 :4“3 = 4’6+3
в
Вариант 3
= 62 = 36;
= 4-3= —= —•
43 64’
= 5-3 =-j = —•
53 125
О т в е т: а) 36; б) —; в) -J— .
64 125
380
2. a) (x-2)-4'*’7 =x(-2) (-4)-x-7 =хг-х-7 =x-
6) 1,2a~5b‘ •5a66“6 = (1,2 • 5)-(a’5-a6)-(*8-Zr6)= 6a62.
Ответ: a)x; 6) 6ab\
3. a) f-a’V2)
U )
- Z78A4 •
--a* ,
2
2
•a8-*4
6)
5a~2
.6ZT1
3610-a3-6“2-64
• 10a3Z>4
= 10a364 =^Ц--10а364
(5a’2J 25a~4
72 7t2 72a’Z>2
- „ -----a b =--------.
25a“4 5 5
л ч 9 8A4 m 72a762
Ответ: a)— ab o)----------
4 5
5-9 • 25~2
4. ---= 5-9
125“4
= - = 0,2.
5
Ответ: 0,2.
= 5-9-5'4-5l2=5-’-4tl2=5
5. (6,8 106) • (4,5 IO'8) = (6,8 4,5) • 106’8 = 30,6 10~2 =
= 3,06 10 10'2 = 3,06 IO’1.
Ответ: 3,06 • 10
6. (a 1 +b)(a + b ')' =(—+b
V a
1 1 + ab
1
ab + \
b
_\ + ab b _ b
a \ + ab a
b
Ответ: —
a
381
Вариант 4
1. а) 521 • 5"23 =521-23 = 5 2 =-!- = —= 0,04;
52 25
б) 3’8:3~9 = 3’8 + 9 = 3;
в) (22)-3 = 22 (’3) = 2’6 =-L = —.
26 64
О т в е т: а) 0,04; б) 3; в) —.
64
2. а) (д’3)5-д'8 = а{~3} 4 5-л18 =д-15-л18 = а3;
б) 2,4х^8_у5 • 5х9у~7 = (2,4-5)-(х“8-х9)-(у5-у-7)= 12xj<2
12х
О т в е т: а) а3; б) .
77 г5
О т в е т: а) 16х4у6; б) — 3
4 1(3 - 4-6. (4213. (43 У = 4~6- 4-6- 415 _ 4-6+6+15 _
64~5 V / V /
= 43 =64.
Ответ: 64.
382
5. (2,5- 107) • (6,2 • 1O~10) = (2,5 • 6,2) • IO710 = 15,5 IO3 =
= 1,55- 10- IO’3 = 1,55 • 10 2.
Ответ: 1,55 • 102.
•ху-1. У _ У
x xy -1 x
Ответ: .
x
Урок 98
ФУНКЦИИ J = X"1 И у = X-2 И ИХ СВОЙСТВА
Цели: рассмотреть функции у = х-1 и у = х“2, изучить их
свойства; формировать умения строить графики данных функ-
ций, решать задачи с их использованием.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
Повторить свойства изученных ранее функций:
1. у = кх и частный случай у = х при к = 1.
2п 2
. у = х , где п - натуральное число, в частности, у = х и
у = х3 (знакомы из курса алгебры 7 класса).
0 к 1 . .
3. у - — и частный случаи у = — при к = 1.
х х
II. Объяснение нового материала.
1. Замечаем, что — = х-1, и перечисляем свойства функции
х
1) Если х > 0, то у > 0;
Если х < 0, то у < 0.
Графиком функции является гипербола, расположенная в 1-й
и 3-й четвертях координатной плоскости.
383
2) Противоположным значениям аргумента соответствуют
противоположные значения функции; график функции у = х-1
симметричен относительно начала координат.
3) Если значения аргумента при х > 0 неограниченно возрас-
тают (х —> оо), то соответствующие им значения функции убы-
вают (у 0). Если значения аргумента при х > 0 убывают, то
есть стремятся к нулю (х —> 0), то соответствующие значения
функции неограниченно возрастают (у —> оо).
Можно предложить учащимся самостоятельно сделать ана-
логичные выводы для х< 0.
4) Значения аргумента и соответствующие им значения
функции являются взаимно обратными числами.
2. Замечаем, что х-2 =—и перечисляем свойства функции
-2.
1) При любом значении аргумента значения функции - по-
ложительные числа.
2) Любым противоположным значениям аргумента соответ-
ствуют равные значения функции; график функции у = х2 сим-
метричен относительно оси у.
3) Если х —> + оо или х —> - оо, то у 0;
4) График функции состоит из двух ветвей (плавных кри-
вых), расположенных в 1-й и 2-й четвертях координатной плос-
кости. Для его построения необходимо взять несколько значе-
ний х > 0, причём как 0 < х < 1, так и х > 1, и вычислить соответ-
ствующие значения функции. Построив одну ветвь графика,
вторую получаем отображением её относительно оси у.
III. Формирование умений и навыков.
№ 1062.
1 -1 1 1
----а ; ------= —; а-247.
247 247 а
384
№ 1064.
у = -х + 1, />0иу = х|.
Определим общие точки графиков, решив уравнение:
, / -1 1 1 1 1 л -X2 +/х-1
-х + Z = х ; -х + 1 = —; -х + 1 — = 0; -= 0 ;
ххх
- х2 + lx -1 = 0, при х ф 0.
х2 - lx +1 = 0 - уравнение с параметром I.
Z) = (_/)2-41 -1 = Z2-4.
1) Уравнение имеет 2 корня, если D > 0 (графики имеют две
общие точки).
D > 0, если Z2 — 4 > 0; Z2 > 4, по свойству неравенств, Z > 2.
2) Уравнение имеет 1 корень, если D = 0 (графики имеют од-
ну общую точку).
D = 0, если Z2 - 4 - 0; Z2 = 4, Z - 2 (так как Z > 0).
3) Уравнение не имеет корней, если D < 0 (графики не имеют
общих точек).
D < 0, если Z2 - 4 < 0, Z2 < 4, по свойству неравенств Z < 2.
385
№ 1068.
У = х~\
—-— = я“2; —-— = Д-; <з2 =2601; а = 51 или а = -51;
2601 2601 а2
( 1 А-2
b = (0,0625)’2; ^ = 1 — 1 ; b = 162; b = 256.
Ответ:<з = ±51;/) = 256.
№1069. ,
а) 0 < х() < 1 / • х() (знаки не меняются);
О < Хд < х0. .
О < хо < 1 / • -to (знаки не меняются);
О < 1 < —; /: х() (знаки не меняются);
х0 /
]_
2 ’
хо
Имеем: х()2 >х0’; xj1 >х^; Хд >х0; х0 >Хд, значит, в по-
рядке возрастания числа будут располагаться так:
X2- X • Х°- X"1- х’2
л-0 , а-д, Л.о, Лд , Ад .
б) Аналогично докажем, что при х0 > 1 в порядке возраста-
ния числа будут располагаться так:
X’2- х’1- Х°- X • х2
Л0 ’ Л0 ’ л0 ’ л0’ ло •
0<-
.-I -2
О < *0
№ 1071.
Выполняем построение, аналогичное номеру 1070. Можно
предложить выполнить дополнительное задание: определить,
сколько корней имеет уравнение у = dl {а - параметр).
Уроки 99-101
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
Задания для итогового повторения курса алгебры 8 класса
можно найти в дидактических материалах к учебнику.
Урок 102
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
у2 +6у + 9
5
3. Упростите выражение:
1. Решите систему неравенств:
3(х —1) - 2(1 + х) < 1,
Зх-4>0.
2. Упростите выражение (д/б + -х/з }/Г2 - 2>/б • VI" .
6 t 1
/-9 3-у
4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города
в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого
автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому пер-
вый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите ско-
рость каждого автомобиля.
х _ 8
5. При каких значениях х функция у =---+ 1 принимает
4
положительные значения?
Вариант 2
1. Решите систему неравенств:
5(2х-1)-3(Зх + 6) < 2,
< 2х-17>0.
387
2. Упростите выражение: (л/То + V5 )• V20 - 5д/8 .
7 Г 2 1 1
3. Упростите выражение: —----н------г- :—---------.
^х -4 2х-х ) х + 4х + 4
4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и на-
гнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на
10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова была
скорость поезда по расписанию?
- 1-Г 1 6-х „
5. При каких значениях х функция у = — ---2 принимает
отрицательные значения?
Вариант 3
1. Решите неравенство: 4(2х -1) - 3(3х + 2) > 1.
2. Упростите выражение: (л/Й + V5jx/15-|V27 .
У \т ( 3 1 х
3. Упростите выражение: -----н-----:—--------.
<9-х2 х-з; х2-6х + 9
4. «Ракета» на подводных крыльях имеет скорость, на 50 км/ч
большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она
прошла на 7 ч 30 мин скорее, чем теплоход. Найдите скорость
«Ракеты».
х — 3
5. При каких значениях х функция у = —-— + 4 принимает
отрицательные значения?
Вариант 4
1. Решите неравенство: 9(х - 2) - 3(2х +1) > 5х.
2. Упростите выражение: (л/Тв + л/з )^2 - 0,5^24 .
f 4 1 А х2 + 4х + 4
3. Упростите выражение: —---н-----•----------.
Vx -4 2-х) 3
4. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч
20 мин вслед за ним вышла из пункта А моторная лодка, которая
догнала плот на расстоянии 20 км от пункта А. С какой скоро-
стью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла бы-
стрее него на 12 км/ч?
388
12-х
5. При каких значениях х функция у =----+ 1 принимает
6
положительные значения?
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
! Г3(х — 1) — 2(14-х) < 1, (Зх-3-2-2х < 1, 1х-5<1,
Зх - 4 > 0; Зх > 4; Зх > 4;
х < 6,
4
I 3
Ответ: 11-;6 |.
I 3 J
2. (7б+7з)7Т2-27б-7з = 7б-12+7з-12-27бТ3 =
= 76-6-2 +Тзб -272-3-3 = бл/2 + 6-672 = 6.
3 6 । 1 6_1 = 6-у-З
‘ у2-9 + 3-у (у-3)(у + 3) у-3~ (у-3)(у + 3)”
3-у _1_.
(у - + з) у + з ’
2)1 /+6у + 9_1 _(У + 3)2^ у + 3
у + 3 5 у+3 5 5
~ -У+ 3
Ответ:---------.
5
4. Пусть скорость первого автомобиля х км/ч, тогда скорость
второго автомобиля (х- 10) км/ч.
Время, затраченное первым автомобилем на прохождение
сгл 560
пути в 560 км, равно -- ч, а время, затраченное вторым авто-
х
560
мобилем на прохождение этого же пути, равно---ч.
х-10
389
Первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше вто-
рого. Получим уравнение:
560 560 _ 1
х —10 х
Решим это уравнение:
560х-560(х- 10) = х(х- 10)
560х - 560х + 5600 = х2 - 10х
х2 — 10x 5600 = 0
Xi = - 70 (не подходит по смыслу задачи)
%2 = 80
Получим, что скорость первого автомобиля равна 80 км/ч,
а скорость второго 70 км/ч.
Ответ: 80 км/ч и 70 км/ч.
5. Чтобы узнать все значения х, при которых функция
х-8
у =-----4-1 принимает положительные значения, нужно ре-
шить неравенство:-------—и 1 > 0.
4
8-х>-4
-х>- 12
х< 12
Ответ: прих< 12.
Вариант 2
5(2х -1) - 3(3х 4-6) < 2,
2х-17>0;
10х-5-9х-18 < 2,
2х>17;
х-23<2,
(2х>17;
Ответ: (8,5; 25).
х < 25,
х > 8,5.
390
2. (7Го+75)-72О-578 = 710-20+ 75-20-STT7! =
= 710-10-2+75-5-4-10T2 =10V2+10-10V2 =10.
14 2 1 2 1
3. 1) — -1 — —-----------1------—
x2-4 2x-x2 (x-2)(x + 2) x(2-x)
_ 2 1 2x - x - 2
(x - 2)(x + 2) x(x - 2) x(x - 2)(x + 2)
х-2 1
x(x - 2)(x + 2) x(x + 2)
2) 1 1 1-(x + 2)2_x + 2
x(x + 2) x2+4x + 4 x(x + 2)-1 x
_ x + 2
Ответ: ------.
x
4. Пусть x км/ч - скорость поезда по расписанию, тогда
(х + 10) км/ч - его скорость на перегоне в 80 км. Если бы на пе-
регоне в 80 км поезд шёл по расписанию, то он затратил бы на
80 „ 80
это — ч. В реальности этот перегон он преодолел за--- ч.
х х + 10
Отрезок пути, равный 80 км, поезд в реальности прошёл на
4
16 мин (или — ч) быстрее, чем предполагал по расписанию.
Получим уравнение:
80 _ 80 = 4_
х х + 10 15
Решим это уравнение:
15 • 80 (х+ 10)- 15 • 80х = 4х(х + 10)
15 • 80х+ 15 • 80 • 10- 15 • 80х = 4х2 + 40х
4х2 + 40х - 15 • 80 • 10 = 0
х2+ 10х-3000 = 0
X] = - 60 (не подходит по смыслу задачи)
Х2 = 50
Ответ: 50 км/ч.
391
5. ^--2<0
5
6-х- 10 < О
-х < 4
х > -4
Ответ:х>-4.
Вариант 3
1. 4(2х -1) - 3(3х + 2) > 1
8х - 4 - 9х - 6 > 1
-х > 11
х<- И.
О т в е т: (- оо; - 11).
2. (715+75)715-|д/27= 715 •л/Г5 + л/ГТ5-|л/973 =
= 15 + 75-5-3---ЗТЗ =15 + 573-57з =15.
3
3 3 + 1 _ 3 1 _ 3-3-х _
} 9-х2 + х-3 " (3-х)(3 + х) 3-х ~ (3-х)(3 + х) ”
_ ~х _ х
~ (3-х)(3 + х) " (х-3)(х + 3) ’
х х _ х-(х-З)2 х-3
(х-3)(х + 3) х2-6х + 9 (х-3)(х + 3)-х х + 3
„ х-3
Ответ: ----.
х + 3
4. Пусть скорость «Ракеты» х км/ч, тогда скорость теплохода
210
(х - 50) км/ч. Путь в 210 км «Ракета» проходит за - ч, а теп-
х
2Ю
доход - за --- ч. По условию этот путь «Ракета» проходит
х-50
быстрее теплохода на 7,5 ч.
210 210
Получим уравнение:---------=7,5.
х-50 х
392
Решим это уравнение:
210х-210(х-50) = 7,5х(х-50)
21 Ох - 21 Ох + 210 • 50 = 7,5? - 7,5 • 50х
7,5?-7,5 • 50х - 210 -50 = 0
15? - 15 - 50х-210 • 100 = 0
?-50х- 1400 = 0
ху = - 20 (не подходит по смыслу задачи).
Х2 = 70
Ответ: 70 км/ч.
х — 3
5. ——+ 4<0
3
х-3 + 12 < 0
х<-9
Ответ:х<-9.
Вариант 4
1 . 9(х - 2) - 3(2х +1) > 5х
9х - 18 - 6х - 3 > 5х
Зх - 5х > 21
- 2х > 21
х< — 10,5
Ответ: (-оо; - 10,5).
2 .(V18 + л/з)>/2 -0,5д/24 = л/18-2 + л/П-О^д/^б =
736+7б-7б =6.
„ 4 1 4 1 4-Х-2
3 . 1) -7-1-------=--------------— ------
х2 - 4 2-х (х - 2)(х + 2) х-2 (х - 2)(х + 2)
2-х _1_
(х - 2)(х + 2) х + 2 ’
1 х2+4х + 4 _ 1-(х + 2)2 _ х + 2
} х + 2 3 “ (х + 2)-3 ” 3
393
4. Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда моторная л о/
ка шла со скоростью (12 +х) км/ч.
20
Расстояние в 20 км плот прошёл за — ч, а моторная лодка
х
20 с 1
за----- ч. Лодка была в пути на 5— ч меньше, чем плот.
12 + х 3
Получим уравнение:
20 _ 20 =
х \2 + х 3
Решим это уравнение:
20(12 + х) - 20х = 51 х(12 + х)
20-12 + 20х-20х = ух(12 + х)
60- 12 = 16х(12+х)
15 -3=х(12 + х)
х2 + 12х-45 = 0
Xi = - 15 (не подходит по смыслу задачи)
Х2 = 3
Ответ: 3 км/ч.
5. ^-^ + 1>0
6
12 - х + 6 > 0
-х>- 18
х< 18
Ответ: х < 18.
394
ЛИТЕРАТУРА
1. Алгебра. 8 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений /
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова ;
под ред. С. А. Теляковского. - М. : Просвещение, 2010.
2. Макарычев, Ю. Н. Дидактические материалы по алгебре для
8 класса / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, Л. М. Короткова. - М. :
Просвещение, 2008.
3. Математические диктанты для 5-9 классов : книга для учи-
теля / Е. Б. Арутюнян, М. Б. Волович, Ю. А. Глазков, Г. Г. Левитас. -
М. : Просвещение, 1991. - 80 с.
4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории веро-
ятностей. 7-9 классы / авт.-сост. В. Н. Студенецкая. - 2-е изд.,
испр. - Волгоград : Учитель, 2006. - 428 с.
5. Ткачева, М. В. Элементы стохастики в курсе математики
7-9 классов основной школы / М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова // Ма-
тематика в школе. - 2003. - № 3. - С. 36-50.
395
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.....................................................3
Глава I. Рациональные дроби..................................4
Урок 1. Понятие рациональной дроби...........................4
Урок 2. Допустимые значения переменных, входящих в дробное вы-
ражение......................................................5
Урок 3. Основное свойство дроби..............................9
Урок 4. Сокращение дробей...................................11
Урок 5. Следствие из основного свойства дроби...............13
Урок 6. Правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми зна-
менателями..................................................16
Урок 7. Сложение и вычитание дробей с противоположными знаме-
нателями ...................................................18
Урок 8. Правило сложения и вычитания дробей с разными знамена-
телями......................................................19
Урок 9. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями..22
Урок 10. Сложение и вычитание рациональной дроби и целого вы-
ражения.....................................................26
Урок 11. Контрольная работа 1...............................29
Урок 12. Правила умножения рациональных дробей и возведения их
в степень...................................................35
Урок 13. Преобразование дробных выражений, содержащих дейст-
вие умножения...............................................38
Урок 14. Правило деления рациональных дробей................41
Урок 15. Преобразование дробных выражений, содержащих дейст-
вие деления.................................................43
Урок 16. Совместные действия с рациональными дробями.........46
Урок 17. Совместные действия с рациональными дробями.........49
Урок 18. Преобразование дробных выражений...................53
Урок 19. Нахождение среднего гармонического ряда положительных
чисел.......................................................55
£
Урок 20. Построение графика функции у = — ..................57
х
к
Урок 21. Функция у = — и ее график в решении различных задач.61
х
Урок 22. Контрольная работа 2...............................65
Урок 23. Представление дроби в виде суммы дробей............74
396
Глава II. Квадратные корни...................................76
Урок 24. Рациональные числа..................................76
Урок 25. Множество действительных чисел......................77
Урок 26. Действия над иррациональными числами................79
Урок 27. Извлечение квадратных корней........................82
Урок 28. Применение понятия квадратного корня при решении раз-
личных задач.................................................84
Урок 29. Решение уравнений вида х2 = а.......................87
Урок 30. Вычисление значений выражений, содержащих квадратные
корни........................................................89
Урок 31. Способы нахождения приближенных значений квадратного
корня с помощью оценки и на калькуляторе.....................92
Урок 32. Построение графика функции у = 4х и применение ее
свойств......................................................94
Урок 33. Использование графика и свойств функции у~л[х при
решении различных задач.......................................96
Урок 34. Вычисление квадратного корня из произведения и дроби.99
Урок 35. Квадратный корень из произведения и дроби при преобра-
зовании выражений с корнем..................................101
Урок 36. Применение свойства квадратного корня из степени при
вычислениях.................................................105
Урок 37. Квадратный корень из степени при преобразовании раз-
личных выражений............................................108
Урок 38. Контрольная работа 3..............................112
Урок 39. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя
под знак корня..............................................118
Урок 40. Приведение подобных радикалов и применение формул
сокращенного умножения при преобразовании выражений с корнями.. 120
Урок 41. Сокращение дробей, содержащих квадратные корни, и ос-
вобождение от иррациональности в знаменателе дроби..........124
Урок 42. Решение различных задач, связанных с преобразованием
выражений, содержащих квадратные корни......................127
Урок 43. Контрольная работа 4...............................130
Глава III. Квадратные уравнения.............................138
Урок 44. Определение квадратного уравнения..................138
Урок 45. Решение неполных квадратных уравнений..............141
Урок 46. Решение задач с помощью неполных квадратных уравне-
ний ........................................................145
397
Урок 47. Решение квадратного уравнения выделением квадрата дву-
члена ......................................................149
Урок 48. Вывод формулы корней квадратного уравнения.........155
Урок 49. Решение квадратных уравнений по формуле............158
Урок 50. Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффи-
циентом ....................................................163
Урок 51. Квадратное уравнение как математическая модель тексто-
вой задачи..................................................167
Урок 52. Решение задач с помощью квадратных уравнений........172
Урок 53. Доказательство теоремы Виета и ее применение.......177
Урок 54. Применение теоремы Виета и обратной ей теоремы......181
Урок 55. Контрольная работа 5...............................184
Урок 56. Понятие дробного рационального уравнения...........190
Урок 57. Решение дробных рациональных уравнений.............196
Урок 58. Решение дробных рациональных уравнений..............201
Урок 59. Составление дробного рационального уравнения по усло-
вию задачи..................................................205
Урок 60. Решение задач с помощью дробных рациональных уравне-
ний ........................................................210
Урок 61. Решение задач на совместную работу и повышенной слож-
ности ......................................................216
Урок 62. Контрольная работа 6.............................221
Урок 63. Уравнение с параметром...........................227
Глава IV. Неравенства.......................................231
Урок 64. Определение числового неравенства................231
Урок 65. Доказательство числовых неравенств...............235
Урок 66. Теоремы, выражающие свойства числовых неравенств..239
Урок 67. Использование свойств числовых неравенств при оценке
значения выражения..........................................244
Урок 68. Теоремы о почленном сложении и умножении неравенств ..247
Урок 69. Использование теорем о почленном умножении и сложе-
нии неравенств при оценке значения выражения................252
Урок 70. Абсолютная погрешность приближенного значения.......255
Урок 71. Относительная погрешность приближенного значения....260
Урок 72. Контрольная работа 7...............................264
Урок 73. Основные понятия теории множеств. Пересечение и объ-
единение множеств...........................................269
Урок 74. Круги Эйлера.......................................274
398
Урок 75. Аналитическая и геометрическая модели числового про-
межутка ......................................................278
Урок 76. Пересечение и объединение числовых промежутков........282
Урок 77. Понятие решения неравенств с одной переменной........286
Урок 78. Решение неравенств с одной переменной................290
Урок 79. Решение неравенств, содержащих дроби..................295
Урок 80. Решение неравенств вида 0 • х > b или 0 • х < Ь, где b - не-
которое число.................................................300
Урок 81. Понятие решения системы неравенств с одной переменной. 305
Урок 82. Решение систем неравенств с одной переменной.........309
Урок 83. Решение двойных неравенств...........................313
Урок 84. Контрольная работа 8..................................318
Урок 85. Доказательство неравенств.............................326
Глава V. Степень с целым показателем. Элементы статистики...331
Урок 86. Понятие степени с целым отрицательным показателем.....331
Урок 87. Нахождение значений выражений, содержащих степени
с целым показателем...........................................336
Урок 88. Использование свойств степени с целым показателем для на-
хождения значений выражений...................................339
Урок 89. Использование свойств степени с целым показателем для пре-
образования выражений.........................................343
Урок 90. Стандартный вид числа..............................347
Урок 91. Решение задач, связанных с физическими величинами.....350
Урок 92. Нахождение средних статистических характеристик....353
Урок 93. Интервальные ряды..................................357
Урок 94. Столбчатые и круговые диаграммы......................362
Урок 95. Представление статистических данных в виде полигона...367
Урок 96. Изображение интервальных рядов данных с помощью гис-
тограммы......................................................372
Урок 97. Контрольная работа 9.................................376
Урок 98. Функции у = х 1 и у = х~2 и их свойства..............383
Уроки 99-101. Итоговое повторение.............................387
Урок 102. Итоговая контрольная работа.........................387
Литература....................................................395
399
Охраняется законом об авторском праве. Воспроизведение всего пособия или
любой его части, а также реализация тиража запрещаются без письменного
разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться
в судебном порядке.
Приглашаем к сотрудничеству
учителей, методистов и других специалистов в области образования для
поиска и рекомендации к публикации интересных материалов, разработок,
проектов по учебной и воспитательной работе. Издательство «Учитель»
выплачивает вознаграждение за работу по поиску материала. Издательство
также приглашает к сотрудничеству авторов и гарантирует им выплату
гонораров за предоставленные работы.
E-mail: metod-uch@bk.ru
Телефон: (8442) 42-23-48; 42-23-38
Подробности см. на сайте издательства «Учитель»: www.uchitel-izd.ru
АЛГЕБРА
8 класс
Поурочные планы
по учебнику Ю. Н. Макарычева,
Н. Г. Миндюк, К. И. Пешкова, С. Б. Суворовой
Авторы-составители
Татьяна Юрьевна Дюмина,
Анжела Анатольевна Махонина
Ответственные за выпуск
Л. Е. Гринин, А. В. Перепёлкина
Редактор А. В. Перепёлкина
Редакторы-методисты Л. В. Голубева, Г. П. Попова
Выпускающий редактор Н. Е. Волкова-Алексеева
Технический редактор Л. В. Иванова
Редактор-корректор Р. Ш. Энсани
Компьютерная верстка О. В. Анненковой
Издательство «Учитель»
400067, г. Волгоград, ул. Кирова, 122
Если Вы напишете по адресу: 400067, г. Волгоград, ул. Кирова, 122, издательство «Учитель»
или позвоните по телефону: код (8442) 42-24-79, 42-20-63, Вам будет выслан полный каталог
пособий и книг издательства «Учитель». Адрес электронной почты (E-mail): uchitel@avtlg.ru
По вопросам оптовых поставок обращаться по тел.:
42-03-92, 42-40-12, 42-25-58.
Подписано в печать 21.10.10. Формат 60 х 90/16.
Бумага 1азетная. Гарнитура Тип Таймс. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 25.00. Тираж 9 000 экз. (1-й з-д 1-3 000). Заказ 4562.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных
издательством материалов в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного
Знамени полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР».
170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46.