Алгебра. 7класс. Поурочные планы по учебнику Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой - Макарычева Ю.Н.

Author: Макарычева Ю.Н.
Tags: воспитание обучение образование алгебра методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе материалы математический анализ издательство учитель издательство волгоград
ISBN: 978-5-7057-2708-7
Year: 2011
Similar
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть II
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Поурочные планы по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова. Часть I
Алгебра. 8 класс. Поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой
Алгебра и начала анализа. 10 класс: Поурочные планы по учебнику Ш.А. Алимова, Ю.М. Колягина, Ю. В. Сидорова, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина. II полугодие
Text
                    Для	—-
преподавателей
ЖГЕБРА
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику
Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк,
К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой
Издательство «Учитель»
АЛГЕБРА
7 класс
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ю. Н. Макарычева,
Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой
Авторы-составители
Т. Ю. Дюмина, кандидат педагогических наук
А. А. Махонина, кандидат педагогических наук
Волгоград
УДК 372.016:512*07
ББК 74.262.21
А45
Авторы-составители
Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина
Алгебра. 7 класс : поурочные планы по учебнику Ю. Н. Ма-
А45 карычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой /
авт.-сост. Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина. - Волгоград :
Учитель, 2011. - 431 с.
ISBN 978-5-7057-2708-7
В пособии представлены поурочные планы, составленные в соответствии
с программой и учебником: Макарычев Ю. H., Миндюк H. Г., Пешков К. И., Суво-
рова С. Б. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений / под ред.
С. А. Теляковского. М.: Просвещение, 2010. В разработках содержатся устные
упражнения, рекомендации к объяснению нового материала, tccim, проверочные
и самостоятельные работы, математические диктанты и др. Целью предложенных
материалов является оказание практической помощи учителю в выборе путей по-
строения урока, отвечающего современным требованиям, в подборе дополнительно-
го дидактического материала, который призван обеспечить высокую эффективность
учебного процесса.
Предназначено учителям математики общеобразовательных учреждений; мо-
жет быть полезно учащимся, студентам педагогических учебных заведений.
УДК 372.016:512*07
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-7057-2708-7	© Дюмина 1. Ю., Махонина А. А.,
авторы-составители, 2010
© Издательство «Учитель», 2010
© Оформление. Издательство «Учитель», 2010
Издание 20 11 г.
ВВЕДЕНИЕ
Поурочные планы составлены в соответствии с программой
и учебником для общеобразовательных учреждений «Алгебра:
учебник для 7 класса» (авторы Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,
К. И. Пешков, С. Б. Суворова; под редакцией С. А. Теляковского.
М.: Просвещение, 2008).
Представленные разработки уроков содержат задания для
устной работы, рекомендации к объяснению нового материала,
тесты, проверочные и самостоятельные работы, математические
диктанты и др.
Целью данного пособия является практическая помощь
учителю математики, особенно молодому, в выборе путей постро-
ения урока, отвечающего современным требованиям дидактики
и практической педагогики.
Специально подобранный дополнительный дидактический
материал, проверочные работы и задачи с решениями призваны
обеспечить оптимальную насыщенность и высокую эффектив-
ность урока.
Предлагаемое распределение материала имеет примерный
характер и предполагает творческое применение. Учитель мо-
жет по своему усмотрению вносить коррективы в ход урока
с учетом специфики и уровня подготовки класса. Поурочные
конспекты могут также служить дополнением к планам, состав-
ленным учителем.
ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ
У ро к 1
ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ,
ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ В НИХ,
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СКОБОК
Цел и : ввести понятия числового выражения, значения чи-
слового выражения; формировать умение находить значение
числового выражения, выполняя действия над числами и ис-
пользуя скобки.
Ход урока
I.	Устная работа.
Вычислите.
а) 13-18,5;	б)-19+ 21,3;	в)-14-71,03;
г) 17-(-21,3);	д)-(-3-2,8);	е) 3 • 15-7;
3	7
ж)12-16:4; з) (15 - 2) • (-3); и) (-2) • -; к) 7 : -
4	4
II. Объяснение нового материала.
1.	Для введения понятия «числовое выражение» целесооб-
разно сообщить учащимся следующую информацию. При реше-
нии многих задач приходится над заданными числами произво-
дить арифметические действия: сложение, вычитание, умноже-
ние и деление. Но часто, прежде чем доводить до конца каждое
из этих действий, удобно заранее указать порядок (план), следуя
которому надо производить эти действия. Этот план сводится
к тому, что по данным задачи с помощью чисел, знаков дейст-
вий и скобок составляется числовое выражение.
2.	Разбираем задачу со с. 3 учебника и показываем на приме-
ре полученное числовое выражение.
Следует привести достаточное число различных числовых
выражений:
43 : 5;
9,6-3 • 1,2;
1 .±-(3-5)2;
5J 13 V 7 4
5-(7,4-6,1);
3 • 22
(39-15):23 + —
3
2
Л
3.	Если в числовом выражении выполнить все указанные
в нем действия, то в результате получим действительное число,
про которое говорят, что оно равно данному числовому выраже-
нию и называется значением выражения.
Подчеркнем, что числовое выражение дает указание, какие
арифметические действия и в каком порядке мы должны произ-
вести над данными числами. Скобки помогают установить по-
рядок действий.
Задание. Расставить над знаками арифметических дейст-
вий порядковые номера их выполнения.
3,5-	8 • 2,7 + 2,5 : 3 - 112 • 5;
(3,5 - 8)  2,7 + 2,5 : (3 - 112)  5;
3,5	- 8 • (2,7 + 2,5 : 3) - 112  5;
3,5	- 8 • (2,7 + 2,5 : (3 - II2)) • 5.
4.	№ 1 (а, г, ж). Решение:
а) 6,965 + 23,3 = 30, 265; ж) 53,4 : 15 = 3,56.
г) 6,5 • 1,22 = 7,93;
5.	Мы, конечно, предполагаем, что все действия возможно
осуществить. Поясним эти слова. Всегда возможно произвести
сложение, вычитание и умножение любых чисел. А вот делить
числа одно на другое возможно, только если делитель не равен
нулю: на нуль делить нельзя. Если в данном выражении на не-
котором его этапе требуется делить на нуль, то это требование
неосуществимо. Такое выражение не имеет смысла.
3 1 । Q172
Например, выражения 35 : (4 • 2 - 8) и 0,37 ~ ।	’ 5) 2
не имеют смысла, потому что при выполнении указанных в них
действий появляется необходимость делить на нуль.
6.	Замечаем, что числовое выражение может состоять и из
одного числа.
III. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, выполняемые на этом уроке, можно раз-
бить на группы:
1-я группа. Нахождение значения числового выражения,
представляющего собой сумму или разность, произведение или
частное.
2-я группа. Нахождение значения числового выражения,
содержащего в записи два и более арифметических действия,
а также скобки.
3-я группа. Задания на составление числовых выражений,
отвечающих заданным условиям (наличие или отсутствие смыс-
ла, равенство определенному значению).
1 -я г р у п п а
1.	№ 1 (б; д; з). Самостоятельно.
2. Найдите сумму или разность. х 1 5	5	1 а) - + -;	б)	; 3 6	7 14 . 3 1 .	\ 7 2. Г 11 13’	Д 20 + 3’ ж)А_Ч;	з)3±-5^; 34 51	30	90 3. Найдите значение выражения.	ч Л _ 5 в) 2—+ 5—; 3	12 х 2	1 с) 3	1-; 15	7 1	3 и) 6—10—. 7	14
а) 7+ 5,31 +9 + 13,49;	6) 62,7 + 8,31 + 5,79 + 0,07.
4. № 4 (д, е, ж, з); № 5 (а, г, ж); № 6 (а, г, ж).
2-я группа
1.№3(а, б).
2. Найдите значение выражения.
а)	3:1^ + 5:1-;
2	4
в) Г10—-5—:3—;
Ч 3	3) 3
3. Вычислите.
б)	10—-5—: 3—;
3	3 5
' J 8 12
г) 4- • --5-: 10-.
2 9	3	3
а)	(0,008+ 0,992): (5-0,6-1,4);
( 7	17Л	1
б)	8-----2— • 2,7-4-:0,65.
Ч 12	36)	3
3-я группа
1,№13.
2. Записать несколько числовых выражений, значение кото-
рых равно:
а) 8;	6)0;	в)-14; г) 3,76.
6
3. Придумать два примера числовых выражений, где бы уча-
ствовали все арифметические действия, причем одно из них
имело бы смысл, а второе нет.
IV. Итоги урока.
-	Что называется значением числового выражения?
-	Для чего в записи числового выражения присутствуют
скобки?
-	Когда числовое выражение имеет смысл? Приведите при-
мер такого выражения.
-	Когда числовое выражение не имеет смысла? Приведите
пример такого выражения.
Домашнее задание.
1. № 1 (в, е, и); № 2; № 4 (а, б, в, г); № 5 (б, в, д, е, з, и) (устно);
№ 6 (б, д, з).
2. Найдите значение выражения.
11	( 2 Н 3
а) 7:2—+ 4:1—;	б) 12—6- :7-.
3	3	Ч 5	5) 4
Урок 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ»
Цели: продолжить формировать умение находить значе-
ние числового выражения; формировать умение составлять чи-
словое выражение по условию задачи и находить его значение.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Найдите значение числового выражения.
2	5	Ч	26	1 < И
3 12	13 27	2 V 32 J
е)-3,7-2,3; ж)-8,1: (-9); з)-3,4+ 7,5.
ч 1	4
а) - +—;
5 15
д)-0,3-(-0,2);
2. Найдите:
а)	10% от 480;
б)	1 % от 500;
в)	50 % от 23;
г)	25 % от 36;
д)	2 % от 150;
е)	20 % от 45.
7
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Вычислите.
13	(	4А
а) -3- • 1—;;	б) -14: -2- .
7	11	t	5)
2. Найдите значение выражения.
0,7- 1,3+ 5,1 : 0,17.
Вариант 2
1. Вычислите.
1 (
а) -4— • -2— ; б) -5: -1- .
6 I 5J	{ 3J
2. Найдите значение выражения.
1,8-0,4 + 6,4:0,16.
III. Актуализация знаний.
На этом уроке учащиеся составляют числовое выражение
по условию задачи на проценты, на работу, на движение. Следу-
ет повторить понятия «процент», нахождение процента от числа
и числа по его проценту.
1.	№7(в; г).
2.	Найдите число, если 17 % его равны:
а) 340;	б) 2,89.
3.	Сколько процентов число 8 составляет от числа:
а) 16;	6)0,8?
4.	Выразите десятичной дробью числа его процент:
а) 43 %;	6)11,4%.
5.	Выразите в процентах дробь числа:
а) 0,5;	6)1,35.
IV. Формирование умений и навыков.
При решении упражнений следует обращать внимание уча-
щихся на обоснование получаемого числового выражения,
а также на грамотную запись.
о
1.	№ 8. Решение:
Для нахождения количества жира в молоке необходимо най-
ти 3,2 % от числа 200. Выразим 3,2 % обыкновенной или деся-
тичной дробью:
3	2
3,2% = —= 0,032.
100
Умножим данное число на дробь и получим числовое выра-
жение: 0,032 • 200. Найдем значение данного выражения, оно
равно 6,4.
Аналогично находим количество белка и углеводов:
2 5
2,5 % = — = 0,025;	0,025 • 200 = 5.
100
4	7
4,7 % = _zL = 0,047;	0,047 • 200 = 9,4.
100
О т в е т: 6,4 г; 5 г; 9,4 г.
2.	Завод по плану должен был изготовить 537 000 изделий.
План был выполнен на 102,5 %. Установите:
а)	сколько изделий выпустил завод;
б)	сколько изделий выпустил завод сверх плана.
Решение:
а)	Выразим 102,5 % обыкновенной или десятичной дробью:
Умножим данное число на дробь и найдем значение выра-
жения.
537 000 • ^5. = 537 • Ю25 = 550 425.
1000
б)	По плану завод должен был изготовить 537 000, а изгото-
вил 550 425 изделий, значит, сверх плана он изготовил:
550 425 -537 000= 13 425.
Ответ: а) 550 425; б) 13 425.
Замечание. Обращаем внимание учащихся, что перед вы-
числением значения числового выражения следует подумать, нель-
зя ли применить свойства действий для более удобных вычисле-
ний. Записывать промежуточные результаты, получаемые от при-
9
менения свойств действий, следует только тогда, когда становится
затруднительным их запоминание. Данные навыки являются не-
отъемлемой частью вычислительной культуры учащихся.
3*. Цена изделия сначала возросла на 20 %, а затем на столь-
ко же процентов снизилась. Как и на сколько процентов изме-
нилась цена по сравнению с первоначальной?
Решение:
Цена выросла на 20 %, то есть составляет 120 % от первона-
120
чальной. Выразим 120 % в виде обыкновенной дроби:	= 1,2 .
Следующее изменение составляет уменьшение на 20 %, то есть
цена составит 80 % от предыдущей.
80 % = — = 0,8.
100
Значит, изменение цены составило 1,2 • 0,8 = 0,96. Таким об-
разом, новая цена составляет 0,96 от исходной или, в процентах,
96 %. Значит, цена уменьшилась по сравнению с первоначаль-
ной на 4 %.
Ответ: уменьшилась на 4 %.
4. № 15. Решение:
За 3 часа первый пешеход прошел 3 • 4 (км), а второй пеше-
ход 3 • 5 (км), значит, вместе они прошли 3 • 4 + 3 • 5 (км). Зная,
что расстояние между пунктами составляет 40 км, найдем рас-
стояние между пешеходами:
40-(3 -4 + 3 • 5) = 13.
Ответ: 13 км.
5. Следующая группа заданий направлена на формирование
грамотной математической речи и закрепление навыков по на-
хождению значения числовых выражений.
№ 12; № 17 (устно); № 18.
V. Итоги урока.
- Что называется значением числового выражения?
- Каков порядок выполнения действий при нахождении зна-
чения числового выражения?
-	Как выражается 18 % в виде обыкновенной или десятич-
ной дроби?
-	Какие термины используются при прочтении выражения
(3,7-4): (7 + 35,8)?
Домашнее задание: 1. № 9, № 10, № 16.
2. № 12, № 11* (дополнительное задание).
У рок 3
ВЫРАЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ
И ЕГО ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Цели: ввести понятия «переменная», «выражение с пере-
менной», «числовое значение выражения с переменной»; фор-
мировать умение находить значение выражения с переменной,
используя различные формы записи («если... , то...», таблица).
Ход урока
I. Устная работа.
1. Назовите числовые выражения, не имеющие смысла.
а) - + 8:4-2 ♦ 2; 3	3 + 15,2	ч	8 б)	;	в)	; 7-3,5 • 2	3,7-(-3,7)
г) 3,4:8 • (—2) +16; д) 3 : (3 • 0,9 - 2,7) + 2; е)
11-4
2. Найдите значение числового выражения.
1
а)	| • (-9);
д) з3;
5 Г 101
б)	-------;
7 1 21J
е) (-8)2;
з) (-0.2)2.
II. Объяснение нового материала.
1.	Мотивация изучения.
При решении многих практических задач удобно для обо-
значения различных чисел использовать буквы.
Например, если а и b - длины сторон прямоугольника,
то выражение а • b показывает способ вычисления его площади.
11
Это утверждение носит общий характер, оно относится к любо-
му прямоугольнику, имеющему любые значения длин сторон;
а и b - переменные, входящие в запись выражения.
Затем рассматриваем задачу со с. 5 учебника. Выражение
60/ обозначает путь, пройденный автомобилем за некоторый
промежуток времени. Подчеркиваем, что в этом выражении t
является переменной, подставляя вместо t различные значения,
мы можем находить путь, пройденный автомобилем за различ-
ные промежутки времени.
2.	Определение 1. Если в числовом выражении некоторые
(или все) входящие в него числа заменить буквами, то получим
выражение с переменными (переменной).
Определение 2. Если в выражение с переменными подста-
вить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то по-
лучится числовое выражение. Его называют значением выра-
жения с переменными при выбранных значениях переменных.
3.	Необходимо ввести понятие допустимых значений пере-
менных, входящих в выражения с переменными. Рассматриваем
различные примеры выражений с переменными, имеющих
смысл при любых значениях переменных (всех значениях)
и не имеющих смысла при некоторых значениях переменной.
Ш. Формирование умений и навыков.
На этом уроке отрабатываются умения выполнять в буквен-
ных выражениях числовые подстановки и производить соответ-
ствующие вычисления.
Все задания можно условно разделить на группы:
1-я группа. Нахождение значения выражения с одной пе-
ременной с использованием записи «Если... , то...» и таблицы.
2-я группа. Нахождение значения выражения с несколь-
кими переменными с использованием записи «Если... , то...»
и таблицы.
3-я группа. Нахождение значения выражения с перемен-
ными при заданных значениях других выражений с переменными.
1-я группа
1.	Найдите значение выражения.
а)	х + 3,2 при х - -6,8; -3,2; 1-^;
б)	-5у при у = -2,6; 0; 1; 2^;
в)	12^-7 при а = -1; 0; -7,6; 0,05;
г)	3 - 1,5т при т = 4; -2; - —; 0,8.
При выполнении задания обращаем внимание учащихся
на запись решения.
Решение:
а)	Если х = -6,8, то х + 3,2 = -6,8 + 3,2 = -3,6;
б)	если х = -3,2, то х + 3,2 = -3,2 + 3,2 = 0;
ч J	,1	4	J	4	16
в)	еслих= 1—, то х + 3,2 = 1 — + 3,2 = — + 3— = — + — =
3	3	3	5	3	5
20 + 16 36	6	2
=-------= — = 2— = 2-.
15	15	15	3
2. № 21. Решение:
У	-3	-1	0	2	3	4	6
10 -2у	16	12	10	6	4	2	-2
10 + 2у	4	8	10	14	16	18	22
Данное задание можно вынести на доску. Каждый ученик са-
мостоятельно выполняет все задания в тетради, а затем «по це-
почке» ученики выходят к доске и заполняют соответствующую
ячейку таблицы. Также данное задание можно выполнить устно.
3.Заполните таблицу.
	-3	-2	-1	0	1	2	3
х (3 - 5х)	-54	-26	-8	0	-2	-14	-36
2-я группа
1. № 22 (устно); № 23.
2. Найдите значение выражения.
2
a) 8т + Зп + 1, при т = и и = 10; т = -6,5 и п - 4—.
б) [а + Ь)-(а - Ь), при а = 1,7 и b = -1,3;
в) 2 - 0,3'(Ь + За), при а = -0,2 и b = 0,6;
. a + 2b 2а-5Ь	_ _ .	_
г)----------------, при а ~ 2,8 и о = 0.
3	6
13
3-я группа
1. Пусть х + у = 5 и z = -8. Найдите:
\	—	Z
a)x + y-z; в) x-5z + y;	д)--------;
х + у + Z
б) 2z-(x + y);	г) 3(х + у) + 2z; е) z(x + y + 5z).
2. № 27.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1.Заполните таблицу:
р	0	-1	2	-3	3	2
t	-7	2	3	0	9	6
Р (3/-р)						
2. Найдите значение выражения х + у - 2z, если х + у = 3 и z =
= -2.
Вариант 2
1.Заполните таблицу:
т	0	-1	3	2	-2	4
п	-2	-3	6	0	1	3_ 2
т (п - 2т)						
2. Найдите значение выражения а-Ь + Зс, если а - b = 11
и с = -6.
V	. Итоги урока.
-	Что называется выражением с переменной?
-	Может ли выражение состоять из одной буквы?
-	Как найти значение выражения с переменной при опреде-
ленном значении переменной?
-	Какие способы записи можно использовать при нахожде-
нии значения выражения с переменной?
Домашнее задание: № 19, № 20, № 24 (а; в), № 26 (а; в), № 28.
14
Урок 4
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ»
Цели: продолжить формировать умение находить значе-
ние выражения с переменными; формировать умение составлять
выражение с переменными по условию задачи, в том числе
формулы, и находить их значение.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Назовите выражения, не имеющие смысла.
а) 2 • 4 - 8;
г) 3 : 3 - 7 • 2;
ж) 2 : 4 - 2;
6)3-2: (6-1,5-4);
ч 3-2-7
Д 8:2-(-4)’
з) 3:| 2-7  -
I 7
в)----------'>
2-4 • (-2)
ч 3-2-1,2
е)-----------;
1,3 • 2-2,6
2. Найдите значение выражения За - Ь, если:
а) а = 2 и b = -А;	6) а = 0 и b = j;
в) а - -А и b = 5; г) а = — иЬ = —.
7	6	2
3. Сколько процентов составляет:
а) 50 от 200;	6) 13 от 260;
в) 1,5 от 20;	г) 240 от 80?
II. Объяснение нового материала.
На этом уроке учащиеся по аналогии с числовым выражени-
ем формулируют понятие выражения с переменной, не имеюще-
го смысла. Затем вводится понятие формулы. Следует привести
примеры различных формул, применяемых на практике (вычис-
ление площадей, объемов, числовые формулы и т. п.). Также
следует объяснить учащимся, что есть стабильные формулы,
которые уже выведены и могут использоваться для расчетов.
А есть задачи, для решения которых необходимо самостоятель-
но выявить закономерности (зависимости), описанные в условии,
15
ввести переменные, составить выражение с переменными (фор-
мулу) и использовать его для вычисления искомого задачи при
конкретных исходных данных.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения, решаемые на этом уроке, можно разбить
на две группы:
1-я группа. Задачи практического характера, для решения
которых необходимо составить формулу и вычислить по ней
результат.
2-я группа. Задания на формирование грамотной матема-
тической речи (использование терминов «сумма», «разность»,
«произведение» и «частное») при чтении и записи выражений
с переменными.
1-я группа
1.	№ 29. Решение:
Если площадь первого участка а га, а с каждого га собрали
32 ц пшеницы, то со всего участка собрали 32# ц пшеницы.
Аналогично получаем для второго участка урожай 406 ц пшени-
цы. Тогда с обоих участков был собран урожай 32<т + 406 (ц).
Если а = 120 и 6 = 80, то 32я + 406 = 32 • 120 + 40 • 80 = 3840 +
+ 3200 = 7040.
Ответ: 32<т + 406 (ц); 7040 ц.
2.	№ 31. Решение:
Фигура состоит из отдельных частей. Её площадь можно
найти двумя способами:
1-й способ. «Разбить» фигуру на отдельные фигуры, для
которых можно легко найти площадь, и, сложив полученные
результаты, получить общую площадь.
16
Площадь состоит из суммы площадей трех прямоугольников
со сторонами: d и с; d и с; а и b - с. Их площади соответственно
равны: cJ; cd; а (b - с). Значит, площадь искомой фигуры со-
ставляет:
cd + cd + а (b - с) или 2cd + a(b- с).
2-й способ. Представить фигуру в виде прямоугольника
со сторонами а и b с «вырезанным» прямоугольником со сторо-
нами с и а - 2d. Их площади соответственно равны ab и с(а - 2d).
Значит, площадь искомой фигуры составляет ab - с(а - 2d).
Ответ: 2cd + а (b- с) (см2) или ab - с(а - 2d) (см2).
3.	№ 33. Решение:
После добавления 5 г соли в раствор масса его стала равна
255 г. Масса чистой соли в растворе также увеличилась на 5 г
и стала составлять (х + 5) г. Концентрация соли, таким образом,
х + 5
составляет-----100%.
255
х 4- 5
Ответ: ---- 100%.
255
4.	№ 35 (устно); № 36 (устно).
2-я группа
1.	№ 37 (устно); № 38.
2.	№ 39 (устно); № 40 (устно).
3.	№ 41 (устно); № 42.
IV.	Проверочная работа.
Вариант 1
Составьте выражение для вычисления площади пола, уло-
женного п квадратными плитками со стороной а см. Вычислите
эту площадь, если а = 20 и п = 500.
17
Вариант 2
Составьте выражение для вычисления пути, пройденного ве-
лосипедистом за время t ч со скоростью и км/ч. Вычислите путь
велосипедиста, если у = 25, / = 1,2.
V.	Итоги урока.
- Что называется значением выражения с переменными?
- В каком случае выражение с переменными не имеет смыс-
ла? Назовите выражение, которое содержит переменную х и ко-
торое не имеет смысла при х = -3,5.
- Назовите выражение, имеющее смысл при любых значени-
ях входящей в него переменной у.
- Что из себя представляет формула? Назовите формулу
четного числа, нечетного числа.
Домашнее задание: 1. № 30, № 32, № 34, № 43.
2*. Запишите трехзначное число, содержащее: а) 6 сотен,
а десятков, b единиц; б) х сотен, 7 десятков, у единиц; в) 8 сотен,
р десятков,/? единиц.
Урок 5
СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
И ВЫРАЖЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: формировать умение сравнивать значения числовых
выражений, а также буквенных выражений при заданных значе-
ниях входящих в них переменных; применять свойства действий
над числами при нахождении значений числовых выражений;
ввести понятие двойного неравенства; формировать умение за-
писывать результат сравнения выражений в виде двойного нера-
венства.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Проанализируйте порядок выполнения действий в каждом
из данных выражений и объясните, как оно читается:
а) а + Ь\	б) а - Ь, в) 2аЬ; г) а + (h - с);
\ аЬ	Лоа	ч / .1.	. а + Ь
д)—;	е)2х-3у;	ж)ак + р;	з)-----.
с	с-а
1 Q
2.	От куска проволоки длиной а м первый раз отрезали b м,
а второй раз -см проволоки. Какой смысл имеют следующие
выражения:
а) b + с; б) а - (Ь + с); в) а - Ь; г) а-Ь-сЧ
3.	Поставьте вместо звездочек такое число, чтобы получи-
лось верное равенство.
а)-(-12) = *; б) 1,5 =-(*); в) = -8 = -(*); г) 0 = -(*).
II. Объяснение нового материала.
1. Данная тема входит в пропедевтическое изучение нера-
венств. Уже в начальной школе учащиеся приобретают первые
представления о неравенствах - сравнивают числа, решают за-
дачи на установление знака «>» или «<» между двумя числовы-
ми выражениями: 3 + 7и 7 • 2; 5 • 3 и4 + 9. Затем сведения о не-
равенствах повторяются и закрепляются. Так, при изучении те-
мы «Больше или меньше» отмечается, что результат сравнения
двух чисел записывается в виде неравенства с использованием
символов «<» (меньше) или «>» (больше). Здесь же вводится
и двойное неравенство. Запись 3 < 5 < 7 означает, что число
меньше 5, а число 5 в свою очередь меньше 7.
Использование данных символов осмысливается учащимися
в процессе выполнения достаточного числа упражнений
на сравнение чисел (с активным использованием координатной
прямой) и сравнение значений величин.
После ознакомления учащихся с буквенными выражениями
задания усложняются.
2. Рассмотрим задачу со с. 10 учебника. Она носит чисто
практический характер, и её решение служит мотивацией изуче-
ния темы. Показываем учащимся, что при записи неравенства
слева или справа (или в обеих частях) может стоять числовое
выражение. Просим назвать неравенства.
Здесь следует напомнить, что неравенства бывают верные
или неверные.
Задание. Определите, верно ли неравенство.
а) 3 • 15 >8: 2;	б) 14 : 2 <-3 ♦ 2;
-32
в) 1,7 - 10 > 7 : 10; г) —^-<-2,5 • 2.
4 • 2
1Q
3. Показываем на конкретных примерах, что если выражения
содержат переменные, то для разных значений переменных ре-
зультат сравнения значений этих выражений может оказаться
различным.
Рассматриваем пример со с. 10 учебника. Также целесооб-
разно попросить учащихся подобрать несколько значений пере-
менной а, при которых будут верны либо не верны неравенства
2а > а + 4 и 2а < а + 4.
4. Вводим понятие двойного неравенства. Обращаем внима-
ние на различные формулировки прочтения двойного неравенства.
III. Формирование умений и навыков.
При выполнении упражнений всегда имеется в виду, что ра-
бота с буквенными данными является естественным продолже-
нием работы с конкретными числами и числовыми выражения-
ми. Учащиеся на первых порах испытывают затруднения в ус-
воении буквенной символики: в усвоении наименования и их
записи. Поэтому при выполнении всех упражнений на этом уро-
ке следует побуждать учащихся проговаривать как результаты
сравнения, так и саму запись выражений.
1-я группа. Сравнение числовых выражений.
1. Сравните значение выражений:
ч 1 1 11 а) —+ — и —; 3 8	2 9 чп с	1	1 в) 0,5 и - + —; 3 4 д) 3,2 • 6,01 и 77,2 : 4; 2. № 50.	3	5	5 3 б)	и	; 11 7	7 7 г) -1 —+ — и -1,6; 3 6 е) 38,4 : 6 и 12-5,6.
3. № 48 (а; в); № 49 (а; б).
При выполнении этих заданий ученики должны грамотно
формулировать обоснование полученного результата. Напри-
мер: 6,16 - 7,44 < 7,23 + 8,11. Слева стоит выражение, значением
которого является отрицательное число (из меньшего числа вы-
читаем большее), а справа значением выражения является поло-
жительное число (сумма двух положительных чисел). Следова-
тельно, отрицательное число меньше положительного.
20
2-я группа. Сравнение буквенных выражений.
1.	№ 51; № 52 (устно).
2.	Сравните значения выражений:
2
а)	2х + 5 при х = 0 и х = -1—;
б)	3 - 3<7 при а - 1 и а - -1;
в)	Зх + 5у при* = -0,3,У = 0,6 и х = 1,2, у = -0,3;
г)	7<7 + b - 2с при а = 2, b = -4, с - 3 и а - -1,2, b = 0,4, с = 1.
3.	Для выражений 25х + 1 и 800 : х - 99 составьте таблицу
значений при х = 1; 2; 4; 5; 8. При каких из этих значений х:
а)	первое выражение меньше второго;
б)	первое выражение равно второму;
в)	первое выражение больше второго?
Решение:
X	1	2	4	5	8
25х + 1	26	51	101	126	201
800 : х - 99	701	301	101	61	1
Ответ: а) 1; 2; 6)4; в) 5; 8.
3-я группа. Сравнение выражений в виде двойного нера-
венства.
1.№56, №57.
2.	Какие числа, кратные 5, удовлетворяют неравенству:
а) 64 < х < 78;	б) 405 < у < 450?
3.	Запишите все числа х, у которых знаменатель дробной
3	7
части 10, если 2— < х < 2—.
10	10
4.	№ 59.
IV. Итоги урока.
- В каком отношении могут находиться числовые выражения?
- Каким образом сравниваются выражения, содержащие пе-
ременные?
- Верны ли неравенства:
а)	Зх + 5 > -7х + 11 при х = -1; х = 2?
21
б)	Зх - 2 = - 5х + 6 при х = -2; х = 1 ?
в)	-2х - 1,4 > х + 5 при х = 1; х = О?
- Прочитайте неравенство:
а)-5<х<-8; б) 15,7 < 15,9 < 16,2; в) -1 < 3-< 5,85 .
6
Домашнее задание: № 47; № 48 (б; г); № 49 (в; г); № 53;
№ 54; № 58.
Урок 6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИЙ»
Цели: продолжить формировать умение сравнивать значе-
ния числовых выражений, а также выражений с переменными
при заданных значениях входящих в них переменных; ввести
понятие строгого и нестрогого неравенства; формировать уме-
ние составлять выражения по условию задачи и сравнивать их
значения.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Сколько процентов составляет: а) число 8 от числа 200;
б)	число 15 от числа 1500; в) число 24 от числа 12; г) число —
64
от — ?
32
2.	Замените звездочку знаком: >, < или =.
а)	1—+ 2— * 3;	г) 32,5-12 *4,01;
6	6
25-5
б)	 * 5-2,5;	д) (5-2)-7,5 *5-2-7,5;
8
в)	(-2) • I -- | • 7 * -3,5; е)-3,7 - 2,4 *-6,2.
I 4J
3.	Прочитайте неравенство:
а) 3,7 < 3,8 < 3,95;	в) -Ь <-а< -с;
22
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Сравните значения выражений:
1) Зх - 6,2 и 2х - 1,8 при х = -4; х = 4,4;
2) 2а-ЗЬ и За - 2Ь при а = -2 и b = 3.
2. Запишите в виде двойного неравенства: t положительно
и меньше 45.
Вариант 2
1. Сравните значения выражений:
1) 5х + 11 и Зх - 6 при х = 2; х = -8,5;
2) За + 2Ь и 2а - ЗЬ при а = -2 и b = 4.
2. Запишите в виде двойного неравенства: р отрицательно и
больше -18.
III.	Объяснение нового материала.
Вводится понятие строгого и нестрогого неравенства на кон-
кретных примерах (число дней в месяце, количество пассажиров
в автобусе, предельные температуры и т. п.).
Определение. Неравенства, составленные с помощью зна-
ков > и <, называют строгими неравенствами, а неравенства,
составленные с помощью знаков > и <, называют нестрогими.
Необходимо подчеркнуть, что нестрогое неравенство явля-
ется верным, если выполняется хотя бы одно соотношение:
18 > 14 - верно (выполняется 18 > 14);
-35 < -35 - верно (выполняется -35 = -35).
Если не выполняется ни одно из соотношений, то неравенст-
во является неверным:
-35 > -34.
Двойные неравенства также могут быть записаны с помо-
щью знаков > и <:
1	2
18<х< 19; 1,7<и< 1,8; -<х<~.
3	3
IV.	Формирование умений и навыков.
Все упражнения, выполняемые на этом уроке, можно услов-
но разделить на две группы:
1-я группа. Упражнения на запись и чтение строгих и не-
строгих неравенств.
23
2-я группа. Решение практических задач на составление
выражений и их сравнение.
1-я группа
1. № 60 (устно); № 61 (устно).
2. Задание по вариантам.
Запишите каждое предложение с помощью знаков неравен-
ства. Подберите три значения переменной, при которых данное
неравенство верно, и три, при которых неверно.
Вариант 1
1) a) t меньше 5; б) р больше или равно -11,3;
в) т - неотрицательное число;
2) а) х меньше 5 и больше или равно 4;
б) а больше 0,01 и меньше 0,02;
в) с больше или равно -0,7 и отрицательно.
Вариант 2
1) a) t больше 7;	б) v меньше или равно -1,17;
в) р - неположительное число;
2) а) b меньше 8 и больше или равно -7;
б) а меньше 0,07 и больше 0,06;
в) q меньше или равно 0,1 и положительно.
3. Расположите числа в порядке возрастания.
_ н_ _2_. __L. 1
17’ 17’ "Т? ”п’ 20
4. Расположите числа в порядке убывания.
(0,3)2; 0,3; (0,3)3.
2-я группа
1. Один сплав состоит из 5 кг олова и 15 кг меди, другой -
из 3 кг олова и 7 кг меди. В каком из сплавов процентное содер-
жание меди больше?
(При решении задач на проценты нужно использовать на-
глядное изображение данных, что в дальнейшем позволит уча-
щимся грамотно выполнять анализ условия текстовых задач,
решаемых алгебраическим методом.)
24
Решение:
олово	медь
3 кг	7 кг
олово 5 кг	медь 15 кг
			J
20 кг
10 кг
1)	Масса первого сплава равна 20 кг, второго - 10 кг.
2)	Выразим процентное содержание меди в первом и во вто-
ром сплавах:
15	7
— 100% = 75% и — -100 % = 70%.
20	10
3)	75 > 70, значит, в первом сплаве процентное содержание
меди больше.
Ответ: в первом сплаве.
2.	№ 65. Решение:
г- ЛТГ	700
Средняя скорость автомобиля «Жигули» равна -------- км/ч,
х
_	630	, „
а автомобиля «Москвич»-------км/ч. Сравним средние скоро-
сти автомобилей:
700	700	630 630
а)	Если х = 12,5, у =10,5, то -=----= 56, а ---------=
х	12,5	у	10,5
= 60. То есть при данных значениях переменных верно неравен-
700	630
ство----<-----.
X у
700 700	630 630
б)	Если х = у = 14, то ---=-----= 50, а ----=----= 45.
х	14	у	14
То есть при данных значениях переменных верно неравенство
700	630
х у
Ответ: а) Средняя скорость автомобиля «Жигули» меньше,
б) Средняя скорость автомобиля «Жигули» больше.
3.	Цену товара понизили сначала на 20 %, а через 5 лет еще
на 25 %. При каком снижении цена понизилась больше?
25
Решение:
Обозначим за х цену товара. При первом снижении цена
уменьшилась на 20 %, то есть стала равна 80 % от х. Выразим её
в виде десятичной дроби: 0,8х. Значит, снижение составило
х - 0,8х = 0,2х.
При втором снижении цена снизилась на 25 %, то есть равна
75 % от 0,8х. Выразим ее в виде десятичной дроби: 0,75 • 0,8х =
= 0,6х. Значит, снижение составило 0,8х - 0,6х = 0,2х.
Таким образом, в обоих случаях цена снижалась одинаково.
Ответ: одинаково.
V. Итоги урока.
- Какое неравенство называется строгим? Приведите примеры.
- Какое неравенство называется нестрогим? Приведите при-
меры.
- Когда верно нестрогое неравенство? Когда оно не верно?
Приведите примеры.
Домашнее задание: 1. № 62, № 63, № 64.
2. Один сплав состоит из 21,9 кг цинка, 6 кг алюминия
и 2,1 кг магния, другой сплав - из 22 кг цинка, 12 кг алюминия
и 2 кг магния. В каком из сплавов процентное содержание маг-
ния меньше?
3. № 68 (а; в).
Урок 7
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ
И УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ
Цели: актуализировать знания основных свойств сложе-
ния и умножения чисел (переместительное, сочетательное
и распределительное свойства); формировать умение применять
свойства действий над числами при нахождении значений чи-
словых выражений.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Объясните следующие записи:
а) +(2х-Зу + 5) = 2х-3у+ 5; б) -(2х-3у + 5) = -2х + Зу-5.
26
2.	Раскройте скобки.
а)	а • (-6 +с);	г) 2 • (a + b-с);	ж) (2x+4y-5z-3) • 7;
б)	(-а + b) -с;	д) -5 • (а-Ь + с);	з) -0,5• (4а-ЗЬ-2с+7).
в)	(1 + 6)-(-4); е) (« + 6-4)-(-5);
3.	Следующие выражения заключите в скобки двумя способами:
1)	поставив перед скобкой знак «плюс»;
2)	поставив перед скобкой знак «минус»:
а) а + 6; б) 1 - 6; в) 0,5 - 2х; г) -1,3х + 2,4;
д)-2 + б?-6; е)-х-у + 5; ж)6-5б? + 6; з)—15 -7х-2у.
4.	Вынесите за скобки общий множитель.
а) ах + Ьх + сх\	б) 10<7-56-15с;
в) ау-by + 3у;	г) 6xy-12x + 9xz;
д) -8б?6 - 29<7<? +16<7;	е) %abc - 24abd - 6ab.
II. Актуализация знаний.
Выполнение устной работы позволит вспомнить основные
свойства сложения и умножения чисел, которые целесообразно
записать в буквенной форме для любых чисел и оформить в ви-
де плаката._________________________________________
Переместительное свойство
Для любых чисел а и 6 верны равенства:
<7 + 6 = 6 +л; а • 6 = 6 ♦ а.
Сочетательное свойство
Для любых чисел <7, 6 и с верны равенства:
(б7 + 6) + с = а + (6 + с);	(б?6) с = а (Ьс).
Распределительное свойство
Для любых чисел <7, 6 и с верно равенство:
а (6 + с) = ab + ас.
Также следует отметить, что комбинация данных свойств
позволяет сделать вычисление числовых выражений более про-
стым и рациональным. Иными словами, речь идет о формирова-
нии вычислительной культуры учащихся.
В то же время основная трудность заключается в том, чтобы
научить учащихся «видеть» возможности применения свойств
действий над числами и осознанно их применять.
27
Например:
1.	Найдите значение выражения 928 •36 + 72 • 36.
Для нахождения значения выражения целесообразно преоб-
разовать его, применив распределительное свойство:
928 • 36 + 72 • 36 = (928 + 72) • 36 = 1000 • 36 = 36 000.
Заметим здесь, что если приучать школьников при выполне-
нии аналогичных упражнений рассуждать таким образом: «Для
любых чисел а, b и с справедливо распределительное свойство
(а + Ь) с = ас + Ьс, значит, и для наших чисел оно верно,
то есть...», то тем самым будем развивать у учащихся умения
выполнять отдельные виды дедуктивных умозаключений. Так
на простом учебном примере воспитывается потребность
в обосновании выполняемых действий и в доказательстве, что,
в свою очередь, явится хорошей пропедевтикой для проведения
более сложных дедукций при изучении систематического курса
алгебры и геометрии.
2.	Вычислите сумму 1,23 + 13,5 + 4,27.
В учебнике указано, что «удобно объединить первое слагае-
мое с третьим». Учащиеся должны объяснить, в чем это удобст-
во (в сумме получается десятичная дробь с одним разрядом
после запятой):
1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 +4,27)+ 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19.
3.	1,8 • 0,25 • 64 • 0,5 = (1,8 • 0,5) • (64 • 0,25).
Такое распределение целесообразно потому, что 0,5 = у
и 0,25 = -к То есть следует понимать, что, умножая число на
мы получаем половину, а умножая на -j, - четверть. Поэтому
удобно найти половину от 1,8 и четверть от 64.
Аналогично комментируем все примеры со с. 15 учебника.
III. Формирование умений и навыков.
При выполнении упражнений на этом уроке следует требо-
вать от учащихся обоснования своих действий с проговаривани-
ем основных свойств действий над числами.
28
1.	№ 70 (устно).
2.	№ 71. Решение:
а)	3,17 + 10,2 + 0,83 + 9,8 = (3,17 + 0,83) + (10,2 + 9,8) =
= 4 + 20 = 24;
б)	4,11 + 15,5 + 0,89 + 4,4 = (4,11 + 0,89) + (15,5 + 4,4) =
= 5 + 19,9 = 24,9;
в)	15,21 - 3,9 - 4,7 + 6,79 = (15,21 + 6,79 + (-3,9 - 4,7) =
= 22 +(-8,6)= 13,4;
г)	-4,27 + 3,8 - 5,73 - 3,3 = К,27 - 5,73) + (3,8 - 3,3) =
= -10+ 0,5 = -9,5.
3.	Вычислите наиболее рациональным способом.
а)	527 - 825 + 925;	б) -5,37 + 9,27 + 4,37.
Решение:
а) 527 - 825 + 925 = 527 + (925 - 825) = 527 + 100 = 627;
б)	-5,37 + 9,27 + 4,37 = (4,37 - 5,37) + 9,27 = -1 + 9,27 = 8,27.
4.	№ 73.
5.	№ 75 (а; в); № 76 (а; в); № 77.
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте переместительное свойство сложения
и умножения. Приведите примеры.
-	Сформулируйте сочетательное свойство сложения и умно-
жения. Приведите примеры.
-	Сформулируйте распределительное свойство умножения.
Приведите примеры.
-	Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычис-
лений, утверждать, что верно равенство:
а) 3 • 17,8 = 17,8 • 3;	б) 35 + 73 = 73 + 35;
в) 32+ (14 + 3) = (32+ 14)+ 3;	г) 13 • (5 + 11)= 13 • 5 + 13 • 11?
Домашнее задание: № 72; № 74; № 75 (б; г); № 76 (б; г); № 78.
Урок 8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ЧИСЛАМИ»
Цель: продолжить формирование умений применять ос-
новные свойства действий над числами (переместительное,
29
сочетательное, распределительное) при
числовых выражений.
нахождении значений
Ход урока
I. Устная работа.
1. Вычислите:
х 2 3
а)
7 7
Г 9 9’
ж)
5 5
2. Вычислите:
8	5
б)--------;
11 11
х 5 3
д) -+-;
8 8
X 5	2
з)-------.
7 7
ч 3	8
в) — +—;
13 13
х 4	11
е)----+—;
15 15
а) — • 2;
3
х 1	1
7'6’
б)-:3;	в)^
5	4
х 2	6	12
е) — •	ж) — : —
11	7	3 5
3.
7’
г) 5 7;
3
. 3 1
з) —
13 4
II.	Актуализация знаний.
Вычислить значение каждого выражения наиболее простым
способом, проговорив при этом используемое свойство дейст-
вий над числами:
а)	405 • 82 + 405 • 18;
б)	707- 13 +х- 13 прих- 293;
в)	417/2 - 217 • 163 прир = 163;
г)	24« - 48 • 15 при а - 33;
д)	(64 • 37 + 64 • 23): 5.
III.	Формирование умений и навыков.
На этом уроке решаются задания более высокого уровня
сложности.
1.	№ 79. Решение:
а)	24 • 17 + 17 • 6 = 17 • (24 + 6) = 17 • 30 = 17 • 6 • 5, значит,
выражение делится на 5.
б)	34 • 85 + 34 • 36 = 34 • (85 + 36) = 34 • 121 = 34 • 11 • 11,
значит, выражение делится на 11.
30
2.	№ 223. Решение:
а)	5,9 • 2,6 +	5,9 • 3,2 + 5,8 • 4,1 = 5,9 (2,6 + 3,2)	+	5,8	•	4,1	=
= 5,9 • 5,8 + 5,8 •	4,1 = 5,8 (5,9 + 4,1) = 5,8 • 10 = 58;
б)	6,8 • 8,4 -	1,6 • 8,4 + 5,2 • 1,6 = 8,4 (6,8 - 1,6)	+	5,2	•	1,6	-
= 8,4 • 5,2 + 5,2 •	1,6 = 5,2 (8,4 4-1,6) = 5,2 • 10 = 52.
3.	Вычислите наиболее рациональным способом.
ЛЛЛЛЛЛЛ. 12 . 11Л - Л Л 12 12
а 2 3 4 5 6 7 8’ 6 12 10 8 6 7 7 9 1Г
Решение:
а)	Выполняем сперва умножение первой дроби на вторую,
затем полученный результат - на третью дробь и т. д. Получим 2..
б)	f!2.12 Y fll 12 Y Л Л Y [1.2W12 1Г|. 2 i =
Ц2 11J 110 9J 1^8 1) <6 1) 111 9)1
= в Л-12-12.
9 1~ 7 " 7’
4.	Найдите последовательно значение каждой из разностей:
111111111111
2 3’ 3 4’4 5’5 6’6 7’7 8 ’
а затем значение
суммы
11111
6 12 20 30 42
1
56*
Решение:
2 3’6 б"б’
1_1__4.__2.-_L.
3 4 ” 12 12 “ 12 ’
4 5 ” 20 20 “ 20 ’
5 6 ” 30 30 30 ’
6 7 _ 42 42 " 42 ’
7 8 - 56 56 ~ 56
31
6 12 20 30 42 56 <2 3J <3 4J <4 5J
1	1W1	1W1	П	1	fl	1W1	1W1	1
---+-----+----—---h---+-----+----
5	6J <6	7) V	8;	2	<3	3J <4	4j ^5	5
6 бГи 7) 8~2 8 - 8’
в) 5 • (-724);
е) (-0,626) • 5.
6)5-412;
д) 43,6 • 5;
заключается в том,
чтобы разложить четный
5.	Разберите, как выполнено умножение.
5-424 = 5-2-212= 10-212 = 2120.
Используя данный прием, выполните вычисления устно.
а) 5 • 822;
г) 822,2 • 5;
Решение:
Суть приема
сомножитель на произведение 2 • х, тогда выражение примет вид
5 • 2 • х = 10 • х, что позволит выполнить действие устно.
а)	5 • 822 = 5 • 2 • 411 = 10 • 411 =4110;
б)	5 • 412 = 5 • 2 • 206 = 10 • 206 = 2060;
в)	5 • (-724) = 5 • 2 • (-362) = 10 • (-362) = -3620;
г)	822,2-5 = 411,1 -2-5 = 411,1-10 = 4111;
д)43,6-5 = 21,8-2-5 = 21,8 - 10 = 218;
е) (-0,626) • 5 = (-0,313) • 2 • 5 = (-0,313) • 10 = -3,13.
6. № 224*. Решение:
а)	(1,25 • 1,7 • 0,8 -1,7) • 3,45 = 1,7 • (1,25 • 0,8-1) • 3,45 =
(5 4
= 1,7- —- — -1 -3,45 = 1,7-(1-1)-3,45 = 0;
и 5 )
б)	3,947 : (3,6 - 2,6 • 4 • 0,25) = 3,947 : (3,6 - 2,6 • 1) =
= 3,947 : (3,6 - 2,6) = 3,947 : 1 = 3,947.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
Вычислите наиболее рациональным способом:
17	3	1
1. 7- + 13- + 15- + 17-.
4	8	4	8
32
2. 28  3,9  —.
14
Вариант 2
Вычислите наиболее рациональным способом:
5	7	8	8
1. 4— + 8— + 11— + 14—.
13	15	13	15
2.36-2,7- —.	3. 8 • | 5 + -
18	I 8J
V	. Итоги урока.
-	Сформулируйте переместительное и сочетательное свойст-
ва сложения и умножения.
-	Сформулируйте распределительное свойство умножения.
Приведите пример.
-	Запишите названные свойства в буквенной форме.
Домашнее задание:
1.	Вычислите наиболее рациональным способом:
9	13 17	5
а)	6,89 + 5,37 + 3,11 + 4,63; д) — • — • — • —;
'	17	5	9	13
( 1О ( 5^ Г37>
б)	-321 +457 + 921;	е)	Г О28);
I 37J I 14J 111J
в)	-4,83 + 3,99 + 2,83;	ж) 9 - 7^.
г)	— • 37,4 • 15;
15
2.	№ 80, № 82.
Урок 9
ПОНЯТИЕ ТОЖДЕСТВА.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
Цели: ввести понятия тождественно равных выражений
и тождества; формировать умение определять тождественное
равенство выражений на основе выражения основных свойств
действий над числами.
33
Ход урока
I. Устная работа.
1. Найдите значение числового выражения.
а) 3 + 15: (-5);	ч 3-15 Ч-Г-'-Т 1 з;
б) (-18-2): (-4);	д) 9-0,1 -0,1;
в) 7 • 2 + (-4): 2;	ч 8:4-2 е)	; 0,75 • 3,57
ж) 0,5 • 3 + 0,5 • 8 - 0,5 • 10; з) 0,86 : 2 • 100.
2. Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычис-
лений, утверждать, что верно равенство?
а)	-368 + 2,54 = 2,54 - 368;
б)	| 3-- |+2,9 = 3+| --+2,9 |;
(о \ о
----2=3 •----3 • 2;
И )	11
г) (1,5-3)- 10 = 1,5 • (3 • 10);
д) — • 7,54 = 7,54 • —;
84	84
е) (2,8- 10) • 5 = 2,8-5-10-5.
II. Объяснение нового материала.
1.	Значение темы «Тождественные преобразования» состоит
в следующем:
-	ученики должны понимать, что в алгебре все действия
только обозначаются, а затем выражения преобразуются в более
простые заменой суммы, произведения тождественно равным вы-
ражением;
-	тождественные преобразования нс самоцель; они исполь-
зуются для удобства нахождения числовых значений выраже-
ний, решения уравнений, доказательства неравенств и выявле-
ния свойств функций.
Это значит, что с тождественными преобразованиями связа-
ны все линии курса алгебры.
2.	Мотивация изучения.
Предлагаем учащимся для выполнения следующую лабора-
торную работу.
34
Заполните таблицу.
X	1	1	2	-3
У	2	-2	0 '	2
2(х+у)	6	-2	4	-2
2х + 2у	6	-2	4	-2
х-(2+у)	-3	1	0	-7
(х-2)+у	1	-3	0	-3
(х-2)~у	-3	1	0	-7
Задания:
1)	Назовите выражения, равные при всех наборах значений
хи у.
2)	Назовите выражения, равные при одних наборах х и у и не
равные при других наборах значений х и у.
3)	Из каких свойств действий над числами следует равенство
этих выражений (или не следует)?
3.	Введение определений.
Определение 1. Два выражения, значения которых равны при
любых значениях переменных, называются тождественно рав-
ными.
Определение 2. Равенство, верное при любых значениях пе-
ременных, называется тождеством.
Следует помнить, что в 8 классе с введением дробно-рацио-
нальных выражений авторы учебника вернутся к понятию тож-
дества и определят тождество как равенство, верное при всех
допустимых значениях входящих в него переменных.
4.	Рассматриваем примеры тождеств со с. 18 учебника. Под-
черкиваем, что равенства, выражающие основные свойства дей-
ствий над числами, являются тождествами.
Отмечаем, что замена выражения тождественно равным по-
зволяет часто упростить вычисление значения исходного выра-
жения.
III. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, решаемые на этом уроке, направлены
на усвоение определений тождества и тождественно равных вы-
ражений, а также на закрепление навыка применения основных
35
свойств действий над числами для преобразования выражений
в тождественно равные.
1.	№ 85 (устно).
При выполнении этого упражнения ученики должны четко
проговаривать свойство действий, которое позволило им сде-
лать соответствующий вывод.
2.	№ 86, № 87.
3.	№ 88, № 89.
4.	Упростите выражение.
а)	2,8 • 5<з; в) 3,6 • 0,8<з; д) 8х • (-Зя); ж) -0,25у • 8Л»;
3	7
б)	-3,5я • 4; г) -Sa • (-12); е) 3,5х • 2у;	з)—р-—д.
5.	№ 92, № 94.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Упростите сумму.
а) -8 + х + (-22);	б) -10 + а + 34.
2.	Выполните вычисления, выбирая удобный порядок дейст-
вий: -25- 123,7-4.
3.	Представьте выражение в виде произведения.
а) 27-41 +41 • х;	б)31я + 14а
Вариант 2
1.	Упростите сумму.
а) -17 + с + 47;	б) -16 +р + (-21).
2.	Выполните вычисления, выбирая удобный порядок дейст-
вий: -50 • 12,1 -4.
3.	Представьте выражение в виде произведения.
а)	38 • 54 + 54у;	б) 34х + 15х.
Решение заданий проверочной работы
Вариант 1
1.	а) -8 + х + (-22) = (-8 + (-22)) + х = -30 + х = х - 30;
б)	-10 + а + 34 = (-10 + 34) + а = 24 + а = а + 24.
36
2.	-25 • 123,7 • 4 = (-25 ♦ 4) • 123,7 = -100 • 123,7 = -12370.
3.	a) 27-41 +41 -x = 41 -(27+x);
6)31a + 14a = (31 + 14)-я = 45я.
Вариант 2
1. a) -17 + c + 47 = (-17 + 47) + c = 30 + с = c + 30;
6)	-16 +p + (-21) = (-16 + (-21)) +p = -37 +p =p - 37.
2.-50- 12,1 -4 = (-50-4)- 12,1 =-100- 12,1 =-1210.
3. a)38-54 + 54y = 54-(38+y);
6)	34x + 15x = (34 + 15) • x = 49x.
V	. Итоги урока.
-	Какие выражения называются тождественно равными?
Приведите пример тождественно равных выражений.
-	Какое равенство называется тождеством? Приведите при-
мер тождества.
-	Для чего необходимо заменять выражения тождественно
равными?
Домашнее задание: № 90, № 91, № 93, № 108.
Урок 10
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Цели: закрепить усвоение понятий тождественно равных
выражений и тождества; ввести понятие тождественного преоб-
разования выражения; формировать умения выполнять основ-
ные тождественные преобразования (приведение подобных сла-
гаемых, раскрытие скобок).
Ход урока
I. Устная работа.
1. Сравните значения выражений, не вычисляя их:
а)35,8 + — и 35,8 +—; 3	4	г) -2,8 + 4 и 1- 4	4	-2,8;
11 11 б) --- и ---;	д) 19,7 4 и 19,7	•	—9
7 3	3 7	3	3
ч 3 2	3 2		
в)	и	; 7 5	7 5	е) 3,8: 2,1 и 3,8 •	2,1.
37
2.	Является ли тождеством равенство:
а)	х + 4 = (3 + х) + 1;	г) За - 4 = (2я - 4) - а;
б)	5у - 35 = 5 (у - 7);	д) -2 (Ь - 3) = -2h - 6;
в)	7х - 42 = (х - 6) • 7;	е) 25 (а - а) = 25?
II. Объяснение нового материала.
1. Объяснение проводить согласно пункту 5 учебника. Осо-
бое внимание следует уделить конкретным примерам тождест-
венных преобразований. Для лучшего закрепления необходимо
использовать как буквенные, так и числовые выражения.
2. Изучение всей темы направлено на то, чтобы добиться
от учащихся соблюдения следующей системы требований:
1)	Если в задачнике (или со стороны учителя) нет указаний,
каким способом производить вычисления, то там, где это по-
сильно, их следует выполнять устно.
2)	Перед вычислением значения числового выражения или
выражения с переменными подумать, нельзя ли применить
свойства действий для более удобных вычислений. Записывать
промежуточные результаты, получаемые от применения свойств
действий, следует только тогда, когда затруднительно их запо-
минание.
3)	Запись цифр и букв должна быть правильной, аккуратной.
4)	Результат вычислений считать правильным только после
проверки; после введения уточняющих понятий о тождественно
равных выражениях, тождестве и тождественных преобразова-
ниях эти требования расширяются.
5)	Если нужно выполнить тождественные преобразования
заданного выражения, то не следует сразу же руководствоваться
возникшей догадкой - надо мысленно поискать возможные ва-
рианты преобразований и выбрать тот из них, который покажет-
ся наиболее выгодным.
3. Важно добиться, чтобы учащиеся хорошо понимали, что
такие виды тождественных преобразований, как раскрытие ско-
бок, приведение подобных членов, сокращение дробей, приве-
дение дробей к общему знаменателю и т. д., являются следст-
виями определений и свойств соответствующих действий.
38
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно условно разбить на три группы:
1-я группа. Упражнения на узнавание и применение ос-
новных видов тождественных преобразований выражений (при-
ведение подобных слагаемых и раскрытие скобок).
2-я группа. Комбинированные упражнения на применение
основных видов тождественных преобразований.
3-я группа. Практические задачи.
1-я группа
1.№95.
Образец оформления:
в) 6х- 14- 13х + 26 = (6х- 13х) + (-14 + 26) = (6- 13)х + 12 =
= -7х + 12.
2. № 96 (в; г); № 97 (в; г).
3.№98, №100.
2-я группа
1.	№102 (б; г).
Образец оформления:
г)37-(х- 16) + (11х 53) = 37 х + 16+ 11х-53 = (-х+ 11х) +
+ (37+ 16-53) = (-1 + 11) х + 0 = 10х.
Если х = -0,03, то 10х = 10 • (-0,03) = -0,3.
Ответ: -0,3.
2.	№ 103 (а; б; в) (самостоятельно).
3.	№ 104, № 105, № 106.
3-я группа
1. № 107 (а). Решение:
В первом альбоме а марок, тогда во втором - (а + 15) марок,
а в третьем - 3 • (а + 15) марок.
Всего марок у Игоря: а + (а + 15) + 3 • (а + 15). Упростим
данное выражение:
а + {а + 15) + 3 • {а + 15) = я + <7 + 15 + За + 45 = (1 + 1 + 3) а +
+ (15 + 45) = 5« + 60.
Ответ: всего 5(7 + 60 марок.
39
Напоминаем учащимся, что удобно отмечать подобные сла-
гаемые подчеркиванием их одинаковыми линиями:
а + а_+ 15 + За + 45.
2. В магазине товар стоит а рублей. На распродаже его цена
упала на 30 %. На сколько полученная прибыль магазина мень-
ше предполагаемой первоначальной прибыли, если закупочная
цена товара составляет 0,6<з?
Решение:
Предполагаемая прибыль: а - 0,6<з.
Новая цена: 0,7<з.
Полученная прибыль: 0,7<з - 0,6а.
Составим разность:
(а - 0,6а) - (0,7а - 0,6а) = а- 0,6а - 0,7а + 0,6а = а - 0,7а = 0,3а.
Ответ: 0,3а.
На этом примере показываем, что если подобные слагаемые
имеют противоположные коэффициенты, то их сумма равна ну-
лю и такие слагаемые можно «сокращать».
- 0,6а + 0,6а - (-0,6 + 0,6) а = 0 • а = 0.
IV. Итоги урока.
- Какие выражения называются тождественно равными?
- Какие преобразования выражений называются тождест-
венными? Приведите примеры.
- Каким способом приводятся подобные слагаемые?
- Назовите правило раскрытия скобок, перед которыми стоит
знак «плюс». На каком свойстве действий основывается это правило?
- Назовите правило раскрытия скобок, перед которыми сто-
ит знак «минус». На каком свойстве действий основывается это
правило?
Домашнее задание: № 96 (а; б); № 97 (а; б); № 99; № 101;
№ 102 (а; в).
Урок 11
ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК
ПО ТЕМЕ «ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВА»
Цели: обобщить и систематизировать знания: свойства
действий над числами, термины «числовое выражение», «выра-
40
жение с переменными», «значение выражения», «тождество»,
«тождественные преобразования»; актуализировать умения: вы-
полнять в буквенных выражениях числовые подстановки и про-
изводить соответствующие вычисления; сравнивать значения
буквенных выражений при заданных значениях входящих в них
переменных; применять свойства действий над числами.
Ход урока
I. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Приведите подобные слагаемые.
а) 8Ь +126-216 + Ь;	б) 1,2с + 1-0,бу-0,8-0,2с.
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
(1-9у)-(22у-4)-5.
Вариант 2
1. Приведите подобные слагаемые.
а) 9я + 17я-30я + 4я;	б) 1,8у+ 3-2,8с-0,2-2у.
2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
(2-46)-(316-6)-11.
II. Повторение материала.
Повторение целесообразно организовать в форме практику-
ма по решению задач. Все задания можно разбить на три группы.
1-я группа. Нахождение значения числового выражения
и выражения с переменными.
1.	Устная работа.
1)	Используя термины «сумма», «разность», «произведение»
и «частное», прочитайте выражение:
1 3
а) ---;	г) 3,72 • 8,02;	ж) 3,12 ♦ (5,3 + 2,7);
6)6,8:34;	д) |	з) | • 2^ +11;
в) 5,3 + 7,2;	е) (10 - 18): 3,4;	и) 3,11 • (12 : 3,5).
41
2)	Из данных выражений выберите выражение, не имеющее
смысла:
а)	32 : (7 • 2 - 3,5 • 3);
2,6-130 • 0,02
б)	5-----------;
2.	Письменная работа.
1)	Найдите значение выражения.
а)	13 + 27,13 + 40 + 50,07;
б)	5,47-(8,32 -5,3И);
в)	4,24- 17,05 : 12,5;
г)	(0,018 + 0,982): (8 0,5 -0,8).
0,32	.
В 0,8-0,4 • 2’
г) (3,8 • 2 - 7,6): 4.
При выполнении этих упражнение учащиеся должны обосно-
вывать, почему они выбирают тот или иной порядок действий.
2)	Найдите значение данного выражения:
а)	2т + 6/7 -11 при //? = - 12 и /7 = 4; //7 = -3,5 и п - 3 j;
б)	8-0,7(36-5#) при # =-3,3 и 6 = 5,5;
. 2# + 76 За -146	_ . _ _
в)	н--------------при а - 0 и 6 = 2,3;
3	6
г)	пусть х —у = 3 и z = -5. Найдите-.
х-у-Z
2-я группа. Сравнение значений выражений.
1.	Устная работа.
Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а)	3,5 • 0,24 и 3,5;	г) 0,57 : 6 и 0,57 : -;
6
б)	3,5 • 0,24 и 0,24;	д) - 0,57 : | и -0,57;
в)	-3,5 • 0,24 и -3,5;	е) 94 : (-2,1) и 64 : (-2,1).
2.	Письменная работа.
1)	Сравните значения выражений:
X 1	1	11	1 4
а)- + - и — + — ; б) 0,5 и — + — ;
5 3	6 2	9 5
42
в) 5 - 2х при х = 2 и х = -2;
г) 4х + 1 Оу при х = -0,7, у = 0,9 и х - 1,4, у = -1,37.
2)	Расположите числа в порядке убывания:
2,07; 2,007;-1,65;-1,66; 0.
3-я группа. Преобразование выражений на основе свойств
действий, приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.
1.	Устная работа.
Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычисле-
ний, утверждать, что верно равенство?
а)	— + 354 = 354 +—; в) 3,75 + | ^ + -| = | 3,75 + - I + -;
8	8	19 3) L	9) 3
(3	4 А	3	4
6)	85-11 = 11-85; г) 11 • — + — = 11 • — + 11 • —.
U1 22J	11	22
2.	Письменная работа.
1)	Вычислите наиболее рациональным способом.
а)	6,83 + 7,81 +3,17 + 8,19;
б)	— • 13,5 • 19;
19
V	7^	(	2>	<ЗП	(	13А
в)	•--------------- — •-------;
Ч	31J	I	13J	t 7 )	<	20J
г)	-4,83 + 3,99 + 2,83.
2)	Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
а)	2а + (Зя - 86);	в) 9х + 3 (15 - 8х);
б)	(2а - 7 у) - (5а - 7у);	г) 33 - 8 (116 -1) - 26.
3)	Найдите значение данного выражения:
а)	1,7 (а - 11) - 16,3 при а = 3,8;
б)	0,6 (4х - 14) - 0,4 (5х - 1) при х = 4—.
6
При выполнении всех заданий учащиеся должны проговари-
вать правила, на которые опираются, а также обосновывать ра-
циональность вычислений. Следует приветствовать устный счет.
43
III. Итоги урока.
- Что называется значением числового выражения?
- Как находится значение выражения с переменными?
- Каким образом сравниваются выражения с переменными?
- Какие свойства действий используются при преобразова-
нии выражений?
- Сформулируйте правила приведения подобных слагаемых
и раскрытия скобок.
Домашнее задание: повторить п. 1-5; № 210; № 109,
№217 (а; г), № 230 (а).
Урок 12
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
2	5
1.	Найдите значение выражения 6х - 8у при х =—, у = —.
3	8
2.	Сравните значения выражений -0,8х - 1 и 0,8х - 1 при х = 6.
3.	Упростите выражение.
а)	2х - Зу - 11х + 8у;
б)	5(2а + 1)-3;
в)	14х - (х - 1) + (2х + 6).
4.	Упростите выражение и найдите его значение.
2
- 4 (2,5а -1,5) + 5,5а - 8 при а = ~—.
5.	Из двух городов, расстояние между которыми 5 км, одно-
временно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль
и грузовик и встретились через t ч. Скорость легкового автомо-
биля v км/ч. Найдите скорость грузовика. Ответьте на вопрос
задачи, если 5 = 200, t = 2, v = 60.
6.	Раскройте скобки: Зх-(5х-(Зх-1)).
Вариант 2
1.	Найдите значение выражения 16а + 2у при а = —, у =	.
8	6
2.	Сравните значения выражений 2 + 0,3а и 2 - 0,3а при а = -9.
44
в) 206-(b-3) + (36-10).
3.	Упростите выражение.
а)	5а+ 76-2а-86;
б)	3 (4х + 2) - 5;
4.	Упростите выражение и найдите его значение.
2
- 6 (0,5х -1,5) - 4,5х - 8 при х = у-
5.	Из двух городов одновременно навстречу друг другу вы-
ехали автомобиль и мотоцикл и встретились через t ч. Найдите
расстояние между городами, если скорость автомобиля v i км/ч,
а скорость мотоцикла v 2 км/ч. Ответьте на вопрос задачи, если
t = 3, v 1 = 80, 1)2 = 60.
6.	Раскройте скобки: 2р-(3р-(2р-с)).
Вариант 3
в) 15а-(а-3) + (2а-1).
3	1
1.	Найдите значение выражения 4х + Зу при х = —, у = —.
4	6
2.	Сравните значения выражений -0,4а + 2 и -0,4а - 2 при
а = 10.
3.	Упростите выражение.
а) 5х + Зу - 2х - 9 у;
б)2(За-4) + 5;
4.	Упростите выражение и найдите его значение.
4
- 2 (3,5у - 2,5) + 4,5)/ -1 при у = -.
5.	Из двух пунктов, расстояние между которыми 5 км, одно-
временно навстречу друг другу отправились пешеход и велоси-
педист и встретились через t ч. Скорость велосипедиста v км/ч.
Найдите скорость пешехода. Ответьте на вопрос задачи, если
5 = 9, t = 0,5, v = 12.
6.	Раскройте скобки: 5а-(За-(2а-4)).
Вариант 4
3	5
1.	Найдите значение выражения 12а - 36 при а = —, 6 = —.
4	6
2.	Сравните значения выражений 1 - 0,6х и 1 + 0,6х при х = 5.
45
3.	Упростите выражение.
а) 12# -106 -10# + 66;	в) 8х - (2х + 5) + (х -1).
б)4(Зх-2) + 7;
4.	Упростите выражение и найдите его значение.
4
- 5 (0,6с -1,2) - 1,5с - 3 при с - -—.
5.	Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вы-
шли два пешехода и встретились через # ч. Найдите расстояние
между пунктами, если скорость одного пешехода t>i км/ч, а дру-
гого о2 км/ч. Ответьте на вопрос задачи, если t>i = 5, t>2 = 4, # = 3.
6.	Раскройте скобки: 7х-(5х-(3х + у)).
Рекомендации по оцениванию контрольной работы
Первые три задания соответствуют обязательному уровню
усвоения материала. Их выполнение оценивается на «3». Для
получения отметки «4» достаточно выполнить правильно 5 лю-
бых заданий, для получения отметки «5» - все шесть.
Для слабого класса можно рассматривать одно из двух по-
следних заданий как резервное и на отметку «5» достаточно вы-
полнить 5 заданий.
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
2	5	2	5
1.	Если х = —, у = —, то 6х-8у = 6 • —8- - = 4-5 =-1.
3	8	3	8
Ответ: -1.
2.	Если х = 6, то -0,8х - 1 = -0,8 • 6 - 1 = -4,8 - 1 = -5,8;
0,8х - 1 = 0,8 • 6 - 1 = 4,8 - 1 =3,8.
-5,8 < 3,8, значит, -0,8х - 1 < 0,8х - 1 при х = 6.
Ответ: -0,8х - 1 < 0,8х - 1 при х = 6.
3.	а) 2х-3у-11х + 8у = (2-11) х + (-3 + 8)у = -9х + 5^;
6)5(2# + 1)-3= 10# +5-3 = 10#+ 2;
в) 14х - (х -1) + (2х + 6) = 14х - х +1 + 2х + 6 =
= (14-1+ 2)х + (1+ 6) = 15х + 7.
О т в е т: а) -Эх + 5у; б) 10# + 2; в) 15х + 7.
46
4.	-4 (2,5#-1,5)+ 5,5#-8 = -10#+ 6 +5,5#-8 =
= (-10 + 5,5) а + (6 - 8) = -4,5# - 2.
Если а--—, то — 4,5-1	| — 2 = 1 — 2 = — 1.
9 I 9J
Ответ: -1.
v км/ч, /ч	? км/ч, 1ч
S км
Автомобиль проехал v • t км, значит, грузовик проехал
(5 - v • /) км. Скорость грузовика равна (5 - v • t): t км /ч.
Если 5 = 200, t - 2, v - 60, то (s - v • t) : t - (200 - 60 • 2) : 2 =
= 80 : 2 = 40.
Ответ: 40 км/ч.
6. Зх - (5х - (Зх -1)) = Зх - (5х - Зх +1) = Зх - 5х + Зх -1 =
= (3-5 + 3)х-1 = х-1.
Ответ: х - 1.
Вариант 2
,	1	1	„ .	„ 1 . ( С . 1 ,2
1.	Если а = -,у =— , то 16# + 2у= 16- -+2 • — = 2— = 1-.
8	6	8 L 6J 3 3
2
Ответ: 1—.
3
2.	Если а = -9, то 2 + 0,3# = 2 + 0,3 • (-9) = 2 - 2,7 = -0,7;
2 - 0,3# = 2 - 0,3 • (-9) = 2 + 2,7 = 4,7.
-0,7 < 4,7, значит, 2 + 0,3# < 2 - 0,3# при # = -9.
О т в е т: 2 + 0,3# < 2 - 0,3# при # = -9.
3.	а) 5#+ 76-2#-86 = (5-2)# +(7-8)6 = 3#-6;
б)3(4х + 2)-5 = 12х + 6 5- 12х+ 1;
в) 206-(6-3)+ (36-10) = 206-6+ 3 + 36-10 =
= (20-1 + 3) 6 + (3-10) = 226-7.
О т в е т: 3# - 6; б) 12х + 1; в) 226 - 7.
47
4.-6 (0,5 х -1,5) - 4,5л- - 8 = -Зх + 9 - 4,5х - 8 = (-3 - 4,5)х +
+(9-8) = -7,5х + 1.
2	2	15
Если х = —, то -7,5х +1 = -7,5 • — + 1 -----1-1 = -5 +1 = -4.
3	3	3
О т в е т: -А.
D1 км/ч, 14	и2 км/ч, t Ч
? КМ
Автомобиль проехал v\ • t км, мотоцикл - v>2 ' t км, значит,
расстояние между городами равно v\t + V2t км.
Если t = 3, di - 80,	= 60, то V\t + V2t = 80 • 3 + 60 • 3 =
= (80 + 60) • 3 = 140 • 3 = 420 км.
Ответ: 420 км.
6. 2р-(3р-(2р-с)) = 2р-(3р-2р + с) = 2р-3р + 2р-с =
= (2-3 + 2)р-с = р-с.
Ответ:/? - с.
Вариант 3
Ответ: -3—.
2
2. Если а -- 10, то -0,4а + 2 = -0,4 • 10 + 2 = ~4 + 2 = -2;
-0,4а - 2 = -0,4 • 10 - 2 = -4 - 2 = -6.
-2 > -6, значит, -0,4а + 2 > -0,4а - 2 при а = 10.
Ответ: -0,4а + 2 > -0,4а - 2 при а = 10.
3. а) 5х + Зу -2х -9 у = (5 - 2)х + (3 -9)у = 3х- бу;
б) 2 (За - 4) + 5 = 6а - 8 + 5 = 6а - 3;
48
в) 15а - (а - 3) + (2а -1) = 15а - а + 3 + 2а - 1 =
= (15- 1+2)а + (3-1) = 16а+ 2.
О т в е т: а) Зх - бу; б) ба - 3; в) 1 ба + 2.
4.-2 (3,5)/ - 2,5) + 4,5)/ -1 = -7у + 5 + 4,5)/ - 1 = (-7 + 4,5))/ +
+ (5-1) = -2,5)/+ 4.
4	4	10
Если у — ~, то _2,5)/+ 4 = -2,5 • J +	——+ 4 = -2 + 4 = 2.
Ответ: 2.
5.	? км/ч, /Ч	D км/ч, 14
S КМ
Велосипедист проехал v  t км, значит, пешеход прошел
5 - v • t км. Скорость пешехода равна (s-v t):t км/ч.
Если 5 = 9,/ = 0,5, v = 12, то (s - v • f) : t = (9 - 12 • 0,5): 0,5 =
= 3 : 0,5 = 6.
Ответ: 6 км/ч.
6. 5а - (За - (2а - 4))= 5а - (За - 2а + 4) = 5а - За + 2а - 4 =
= (5 -3 + 2)а-4 = 4а-4.
Ответ: 4а-4.
Вариант 4
1.Если а = ——,Ь =—,то 12а-ЗЬ = 12-(~- |-3-- =
4	6	I 4J 6
= -9-—= -9-2—= -11—.
2	2	2
Ответ: -11—.
2
2.	Если х = 5, то 1 - 0,6х = 1 - 0,6 • 5 = 1 - 3 = -2;
1 + 0,6х= 1+ 0,6 ♦ 5 = 1 + 3 = 4.
-2 < 4, значит, 1 - 0,6х < 1 + 0,6х при х = 5.
Ответ: 1 - 0,6х < 1 + 0,6х при х = 5.
3.	a) 12а-106-10а + 66= (12 - 10)а + (-10 + 6)6 = 2а - 46;
б)	4 (Зх-2) + 7 = 12х-8 + 7 = 12х- 1;
49
в)	8х — (2х + 5) + (х — 1) = 8х - 2х -5 + х - 1 = (8 - 2 + 1)х +
+ (-5 - 1) = 7х - 6.
Ответ: а) 2а - 46; б) 12х - 1; в) 7х - 6.
4.	-5(0,6с-1,2)-1,5с-3= -Зс + 6 - 1,5с - 3 = (-3 - 1,5)с +
+ (6-3) = -4,5 с + 3.
4	( 4>	18
Если с = —, то - 4,5с + 3 = -4,5- — + 3 --ьЗ — 2 + 3 = 5.
9	t 9J	9
Ответ: 5.
5.	щ км/ч, оч	у2 км/ч, а ч
? км
Первый пешеход прошел о1 • а км, второй - t>2 ' а км, значит,
расстояние между пунктами равно щ • а + d2 • а км.
Если Di = 5, и2 = 4, а = 3, то щ • а + v2 ' а = 5 • 3 + 4 • 3 =
= (5 + 4) • 3 = 9 • 3 = 27.
Ответ: 27 км.
6.	7х - (5х - (Зх + у)) = 7х - (5х - Зх - у) = 7х - 5х + Зх + у =
= (7 - 5 + 3)х + у = 5х + у.
Ответ: 5х + у.
Урок 13
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Цели : проанализировать задания контрольной работы, вы-
явить типичные ошибки, допущенные учащимися, провести ра-
боту над ошибками; ввести понятия «уравнение с одной пере-
менной», «корень уравнения», «решить уравнение», «равно-
сильные уравнения»; формировать умение заменять уравнение
равносильным на основе некоторых свойств уравнения.
Ход урока
1.	Анализ результатов контрольной работы.
50
II.	Устная работа.
Найдите значение выражения.
ч 1	3
а)	- +
4 8
1 5
б)	;
3 12
ч 7	26
в)	— • —;
13 35
г)	72 + 5;
д)(-з)2+|;
*) (-2)3-|;
ж) |3| + 0,5;
3) |-5|-7;
III.	Объяснение нового материала.
1.	Значимость изучаемого материала.
Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно.
Оно функционирует как:
•	средство решения текстовых задач;
•	особого рода формула, служащая в алгебре объектом изу-
чения;
•	формула, которой косвенно определяются числа или коор-
динаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Линия уравнений тесно связана со всеми содержательными
линиями школьного курса математики. На данном этапе важно
показать учащимся тесную связь линии уравнений именно с ли-
нией тождественных преобразований. Последняя приобретает
новое содержание и смысл именно при изучении равносильных
преобразований уравнений и, в дальнейшем, неравенств. В свою
очередь, владение содержанием линии уравнений и неравенств
позволяет расширить список выполнимых преобразований.
2.	Мотивация изучения.
Уравнение, будучи математической моделью реальных про-
цессов, первоначально возникает как обобщение метода реше-
ния задач арифметическим методом, а затем используется при
решении текстовых задач, фабула которых отражает многооб-
разные реальные процессы окружающего мира. Данный аспект
линии уравнений обеспечивает мотивацию изучения школьного
курса математики в целом. Демонстрируем учащимся, что при
решении текстовых задач ведущим аппаратом является матема-
тическое моделирование, а одним из средств построения модели
и решения ситуации в её рамках - уравнение.
51
Разбираем задачу со с. 22-23 учебника и вводим понятие
«уравнение с одной переменной».
3.	Введение основных определений.
Вводим четкое определение понятия корня уравнения.
Определение 1. Корнем уравнения называется значение пе-
ременной, при котором уравнение обращается в верное число-
вое равенство.
Показываем на примерах, что уравнение с одной переменной
может иметь как конечное число корней, так и бесконечное,
а также может не иметь корней вообще. Отсюда вытекает сле-
дующее определение.
Определение 2. Решить уравнение - значит найти все его
корни или доказать, что корней нет.
4.	Понятие равносильных уравнений.
Определение 3. Уравнения, имеющие одни и те же корни, на-
зываются равносильными уравнениями.
Следует подчеркнуть, что замена исходного уравнения рав-
носильным позволяет более просто и рационально решать ис-
ходное уравнение.
Показываем на примерах, с помощью каких приемов можно
получать уравнения, равносильные данному. Отмечаем, что та-
кие свойства уравнений опираются на свойства числовых ра-
венств.
IV. Формирование умений и навыков.
Задания, решаемые на этом уроке, направлены на усвоение
понятия «корень уравнения» (1-я г р у п п а), на нахождение кор-
ней некоторых уравнений (2-я группа) и на применение
свойств уравнений, позволяющих заменять их равносильными
уравнениями (3-я группа).
1-я группа
№ 111, № 112, № 114.
При выполнении этих заданий ученики проговаривают оп-
ределение корня уравнения и способ проверки.
52
2-я группа
№ 116. Решение:
а) 1,4 (у + 5) = 7 + 1,4у;
1,4у + 1,4 • 5 = 7 + 1,4у;
1,4у + 7=1,4у + 7.
При любом значении у равенство верное, значит, корнем
уравнения является любое число.
б)у-3=у.
При любом значении у левая часть уравнения на 3 меньше
его правой части, значит, уравнение не имеет корней.
№ 118. Решение:
1.	2(х + 3) = 2х + 6;
2х + 6 = 2х + 6.
Корнем уравнения является любое число.
2.	2у = 4у;
2У - 4у = 0;
-2у = 0;
у = 0.
3.	4 (с- 2) = Зс-6;
4с - 8 = Зс - 6;
4с - Зс = 8 - 6;
с = 2.
4.	Зх + 11 = 3(х + 4);
Зх + 11 = Зх + 12.
Уравнение не имеет корней.
Ответ: 4.
№	120. Решение:
а)	|х| = 1, если х = 1 или х = -1, значит, уравнение имеет
2 корня.
б)	|х| = 0, если х = 0, значит, уравнение имеет один корень.
в)	|х| = -5. Уравнение не имеет корней, так как, по опреде-
лению модуля, модуль любого числа есть число неотрицательное.
г)	|х| = 1,3, если х = 1,3 или х = -1,3, значит, уравнение имеет
два корня.
53
3-я группа
1. а) Составить уравнение, корнем которого является число 5;
б) составить уравнение, корнями которого являются числа -3 и 0;
в) составить уравнение, которое не имеет корней.
2. № 121. Решение:
а)0,Зх = -4 | • 10;	б)5х-4 = 21;
0,Зх • 10 = ^4 • 10; 5х = 21 +4;
Зх = -40.	5х = 25.
При выполнении этих упражнений ученики должны прого-
варивать свойства уравнений, позволяющие получить уравне-
ние, равносильное исходному.
V. Итоги урока.
- Дайте определение уравнения с одной переменной. Приве-
дите пример.
- Дайте определение корня уравнения. Является ли чис-
ло 8 корнем уравнения 7х - 11 = х + 37?
- Что значит «решить уравнение»?
- Какие уравнения называются равносильными? Сформули-
руйте свойства уравнений.
- Приведите пример уравнения, равносильного уравнению
Зх- 16- 18; 3,8х = -11.
Домашнее задание: № 113, № 115, № 117, № 119.
У р о к 14
ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Цели: ввести определение линейного уравнения с одной
переменной (общий вид); выяснить, сколько корней может
иметь линейное уравнение; формировать умение решать линей-
ное уравнение переходом к равносильному уравнению, применяя
свойства уравнений и выполняя тождественные преобразования.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Какие из чисел 3; -2; 2 являются корнями следующих
уравнений:
а) Зх = -6;	в) х + 3 = 6;	д) 1 Ох = 5(2х + 3);
б)3х + 2= 10-х;	г)4х-4 = х + 5;	е)10 + х=13?
54
2. Являются ли уравнения равносильными? Если да, то
сформулируйте, по какому свойству уравнений.
а)	Зх + 4 = 2	и
б)	-Зх + 12 + 2х = 4
в) Зх + 15 = 0	и
г)	0,5х = 0,08	и
д)	120х = -10	и
е)	—х -11	и
4
Зх = -2;
и 2х + 12 = Зх + 4;
Зх - 15;
50х — 8;
12х = 1;
Зх = 44.
II. Объяснение нового материала.
1.	Актуализация знаний.
Напомним учащимся свойства верных неравенств (запись
в виде таблицы):
Для чисел, обозначенных цифрами	Для чисел, обозначенных буквами	Словесная формулировка
1.7 = 7 7+2=7+2 7-2=7-2	а = b a+l=b+l а-1 = Ъ-1 I - любое число	Если к обеим частям верного равен- ства прибавить одно и то же число или из обеих частей верного ра- венства вычесть одно и то же чис- ло, то получится верное равенство
2.27 = 27 27 • 3 = 27 • 3 27 : 3 = 27 : 3 3*0	а = b а • т = b • т а : т = b : т т * 0	Если обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится верное равенство
Используя данные таблицы, учащиеся формулируют свойст-
ва уравнений.
2.	Мотивация изучения.
Рассмотрим уравнение 9х - 23 = 5х - 11. Применим извест-
ные свойства уравнений и получим равносильные уравнения:
9х — 5х =• — 11 + 23;
4х= 12;
х - 3.
Уравнение, равносильное исходному, имеет единственный
корень 3, значит, исходное уравнение также имеет единствен-
ный корень 3.
55
Используя свойства уравнений, многие из них всегда можно
привести к виду ах = b, где х - переменная, а а и b - некоторые
числа. Уравнения такого вида называются линейными.
Важно подчеркнуть учащимся, что, используя буквенные
обозначения, мы записали целый класс уравнений.
3.	Организация исследовательской деятельности учащихся.
На этом этапе востребуется логический прием мышления -
обобщение.
Задание. Привести уравнение к линейному виду, исполь-
зуя свойства уравнений:
а) Зх - 11 = 5х + 7; б) 2 (х + 1) = 2х + 2; в) -8х + 11 = 8 (3 -х).
Решение:
а) Зх - 11 = 5х + 7;	б) 2 (х + 1) = 2х + 2;
Зх - 5х = 7 + 11;	2х + 2 = 2х + 2;
-	2х =18.	2х - 2х - 2 - 2;
О • х = 0.
в)-8х+ И =8 (3-х);
-	8х + 11 = 24 - 8х;
-	8х + 8х = 24- 11;
0-х= 13.
Теперь, глядя на линейное уравнение, записать, чему равны
коэффициенты а и b и сколько корней имеет уравнение. Как это
определили?
а)	а = -2; h - 18 - один корень х = -9, определили, разделив
обе части на (-2).
б)	а = 0; b - 0 - бесконечно много корней, так как равенство
0 • х = 0 верно при любом значении х.
в)	а = 0; b - 13 - нет корней, так как равенство 0 • х = 13 не
верно ни при каком значении х.
Обобщая полученные данные, заполняем таблицу решения
линейного уравнения в общем виде:
Линейное уравнение
ах = Ь, где х - переменная, а, b - любое число.
b
Если а Ф 0, то х = — ;
а
если а = 0 и b — 0, тох - любое;
если а = 0 и b * 0, то нет корней.
56
4.	Создание алгоритма решения уравнений, сводящихся
к линейным.
Анализируя решенные примеры, приходим к выводу, что
решение многих уравнений сводится к решению линейных.
Учащиеся могут сами создать алгоритм:
1-й шаг. Если выражения, стоящие в левой или правой час-
ти уравнения, содержат скобки, то раскрываем их по правилам.
2-й шаг. Переносим слагаемые с переменными в левую
часть уравнения, а без переменных в правую.
3-й шаг. Приводим подобные слагаемые в обеих частях
уравнения, приводя его к виду ах = Ь.
4-й шаг. Решаем получившееся линейное уравнение, равно-
сильное исходному, в зависимости от значений коэффициен-
тов а и Ь.
III. Формирование умений и навыков.
Задания, решаемые на этом уроке, направлены на усвоение
определения линейного уравнения и решение линейных уравне-
ний в зависимости от значений коэффициентов а и Ь.
1. (Устно.) Назовите коэффициенты а и b линейного уравне-
ния ах = Ь. Сколько корней имеет уравнение:
а) Зх - 12;	в) 1—х = -14;	д) 0 • х - 0; 8
б) -Зх= 18;	г) 0 -х = |;	е)-18х = -2?
2. Решите уравнение.
а) -8х = 24;	ч ,	2	ч^1 г) -Зх = —;	ж) -6-—х; 8	6
б) 50х = -5;	3	3	2 д) -х = -1—;	з) —х = —; 5	7	14
в) -18х = 1;	е) А = -5х;	и)-0,81х = 72,9.
3. Определите значение х, при котором значение выраже-
ния -Зх равно:
3	10	2
а)0; 6)6; в)-12; г)--; д) -• е) 2-.
57
3.	(Устно.) На доске было записано решение линейного урав-
нения, но правую часть данного уравнения стерли. Восстановите ее:
а) Зх =
ч 2
в) —х =
7
б) 5х =
х = 11.	х = 0.	х = 14.
4.	При каких значениях а уравнение ах = 8:
а)	имеет корень, равный -4; у; 0;
б)	не имеет корней;
в)	имеет отрицательный корень?
IV. Итоги урока.
- Дайте определение линейного уравнения с одной перемен-
ной. Приведите примеры.
- В каком случае уравнение ах = b имеет единственный ко-
рень? Бесконечно много корней? Не имеет корней?
- Сформулируйте алгоритм решения уравнения, сводящего-
ся к линейному.
Домашнее задание: № 126, № 127, № 245, № 142.
Урок 15
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ,
СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНЫМ
Цель: формировать умение решать по алгоритму уравне-
ния, сводящиеся к линейным.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Вычислите.
29	4	( 3^
а)---;	В) 8:-;	д) ^-(-16);
б)(-3)- —;	г)-: — ;	с)-16.
15	7 14	8
2. Является ли число -11 корнем уравнения:
9
а)-3х = 33;	в)0х = 0;	д)х = -9;
7
б)4х-44;	г)-—х = 7;	е)0-х = -11?
58
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Сколько корней имеет уравнение:
а) -2х =17; б) 0 • х = 6;	в) 0 • х = О?
2. Найдите корень уравнения.
а)26х = -78; б)0,2х = 2,8; в)-|х = 24; г)-Зх = у.
Вариант 2
1. Сколько корней имеет уравнение:
а) 0  х = -72; б) — х = 11;	в) 0 • х = О?
8
2. Найдите корень уравнения.
1	4
а)21х = 84; б)-1,2х = 0,36; в)-х = 21; г)-2х = —.
4	9
III. Формирование умений и навыков.
1. Актуализация знаний.
Предлагаем учащимся вспомнить свойства уравнений и ос-
новывающийся на них алгоритм решения уравнений, сводящих-
ся к линейным.
2. Задания, решаемые на уроке, выстроены по нарастанию
уровня сложности: сперва на применении одного свойства урав-
нений, затем их комбинации и, наконец, на полное применение
алгоритма с преобразованием выражений, стоящих в обеих час-
тях уравнения.
№ 128 (а; б; е; ж; и); № 129; № 131.
3№131,№132.
№ 131. Решение:
а)	О + 4) - (у - 1) = бу;
у + 4 у + 1 = 6у;
у-у-6у = -4- 1;
- бу = -5;
у = (-5): (-6);
5
б)Зр-1 (р + 3)=1;
Зр - 1 - р - 3 = 1;
Зр р =1 + 1+3;
2р = 5;
Р = 5:2;
Р = 2,5;
59
в)6х-(7х- 12)= 101;
6х-7х + 12= 101;
6х -7х= 101 - 12;
-х = 89;
х = -89.
г) 20х 19-(3 + 12х);
20х = 19-3- 12х;
20х + 12х= 19-3;
32х = 16;
х = 16 : 32;
х = 0,5.
№ 132. Решение:
а)(13х- 15) - (9 + 6х) = -Зх;
1 Зх - 15 - 9 - 6х = -Зх;
1 Зх - 6х + Зх = 15 + 9;
10х = 24;
х = 24 : 10;
х = 2,4.
б)	12 - (4х - 18) = (36 + 4х) + (18 - 6х);
12-4х + 18 = 36 + 4х + 18-6х;
- 4х - 4х + 6х = 36 + 18- 12- 18;
- 2х = 24;
х = 24 : (-2);
х = -12.
в) 1,6х - (х - 2,8) = (0,2х +1,5)- 0,7;
1,6х - х + 2,8 = 0,2х + 1,5 - 0,7;
1,6х - х - 0,2х =1,5- 0,7 - 2,8;
0,4х = -2;
х = (-2): 0,4;
х = -5.
г) (0,5х + 1,2) - (3,6 - 4,5х) = (4,8 - 0,Зх) + (10,5х + 0,6);
0,5х + 1,2 - 3,6 + 4,5х = 4,8 - 0,Зх + 10,5х + 0,6;
0,5х + 4,5х + 0,Зх - 10,5х = 4,8 + 0,6 - 1,2 + 3,6;
-5,2х = 7,8;
х = 7,8: (-5,2);
х = -1,5.
4. № 134. Решение:
a) Sb -27 = 5;
86 = 5 + 27;
86 = 32;
6 = 32:8;
6 = 4.
б) Sb - 27 = -11;
Sb = -11 +27;
86= 16;
6= 16 : 8;
6 = 2.
60
в) 86-27= 1,8;
86 = 1,8 + 27;
86 = 28,8;
6 = 28,8 : 8;
6 = 3,6.
г) 86 - 27 = -1;
86 = -1 +27
86 = 26;
6 = 26 : 8;
6 = 3,25.
5.	При каком значении t:
а)	значение выражения 5/ + 11 равно значению выражения
7/ + 31;
б)	значение выражения 8/ + 3 в три раза больше значения
выражения St - 6;
в)	значение выражения St + 1 в два раза меньше значения
выражения 10/ + 18;
г)	значение выражения 0,25/ - 31 на 5 больше значения вы-
1
ражения -/-18;
д)	значение выражения 13/ - 7 на 8 меньше значения выра-
жения 12/ + 11;
е)	разность выражений 1,5/ - 37 и 1,5/ - 73 равна 36?
Основную трудность при составлении равенств у учащихся
вызывают задания б) - д). Следует разобрать принцип составле-
ния равенства с использованием наглядности.
Решение:
б) 8/ + 3	5/-6	8/ + 3	3 (5/-6)
(8/+ 3) = 3 (5/-6);
8/ + 3 = 15/-18;
8/- 15/ = - 18-3;
-7/= -21;
/ = 3.
10/+ 18
5/+1	(10/+18):2
в) 5/+ 1

61
5t + 1 = (10/ + 18): 2;
5t + 1 = 5t + 9;
5/-5/ = 9- 1;
0 • / = 8 - нет решений.
г) 0,25/-31	—/-18	0,25/-31	|-/-18| + 5
4	к 4 J
0,25/-31 = -/-18 +5;
4
0,25/- -/ =- 18 + 5 + 31;
4
0 • / = 18 - нет решений.
д) 13/-7 = (12/+ 11)-8 или (13/-7) + 8 = 12/+ 11.
На этом примере можно показать, что, составив равенство
по принципу «из большего вычитаем меньшее и получаем раз-
ность», мы получаем два равносильных уравнения. Просим объ-
яснить учащихся почему.
е) (1,5/-37)-(1,5/-73) = 36;
1,5/ - 37 - 1,5/ + 73 = 36;
1,5/- 1,5/= 36+ 37-73;
0 • / = 0	- / - любое число.
IV. Итоги урока.
-	Какое уравнение называется линейным уравнением с од-
ной переменной?
-	Если а = 0 и Ь + 0, то сколько корней имеет уравнение вида
ах = b ? Если а = 0 и b = 0?
-	Сформулируйте алгоритм решения уравнения, сводящего-
ся к линейному.
Домашнее задание: № 128 (в; г; д; з); № 130; № 133; № 135.
62
Урок 16
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Цели: продолжить формировать умение решать уравне-
ния, сводящиеся к линейным.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Показать, что следующие уравнения не имеют решений,
и объяснить почему:
а)х + 3=х; в)2х = 2(х+1); д) (-х)2 + 1 = 0.
б) х - 1 = х + 1; г) х2 + 4 = 0;
2.	Определить, равносильны ли уравнения и почему:
а)	5х + 1 = 2 и 1 Ох + 2 = 4;
б)	2х - 1 - 4 и 2х - 6;
в)	Зх + 1 = 10 и х = 3;
г)	2х + 3 = 2х - 4 и х + 5 = х;
х 1	2
д)	— х = — и 21х = -6.
3	7
II. Математический диктант.
Вариант 1
1.	Придумайте и запишите какое-нибудь линейное уравне-
ние с одним неизвестным х.
2.	Как называется уравнение -2х = 17?
3.	При каком условии уравнение сх = 5 имеет единственный
корень? Запишите этот корень.
4.	Решите уравнение 0,2х = -1.
5.	К обеим частям уравнения прибавили число -3. Какими
являются полученное и исходное уравнения?
6.	Решите уравнение 2х + 1 = Зх - х.
7.	Решите уравнение 5 - х = 2х + 2.
Вариант 2
1.	Придумайте и запишите какое-нибудь линейное уравне-
ние с одним неизвестным у.
2.	Как называется уравнение 17х = -2?
63
3.	При каком условии уравнение ау = 3 не имеет корней?
4.	Решите уравнение -0,3* = 1 •
5.	Обе части уравнения умножим на число -7. Какими явля-
ются полученное и исходное уравнения?
6.	Решите уравнение х + 3 = 5 + х - 2.
7.	Решите уравнение 2 - 2х = -2х + 3.
III. Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, относятся к более вы-
сокому уровню овладения изучаемым материалом. Их выполне-
ние требует более продвинутых технических навыков, нестан-
дартных приемов решения, определенной сообразительности.
1.	Решите уравнение.
а)	(5х - 3) + (7х - 4) = 8 - (15 - 11х);
б)	(4* + 3) - (10х + 11) = 7 + (13 - 4х);
в)	(7 - 5х) - (8 - 4х) + (5х + 6) = 8;
г)	(3 - 2х) + (4 - Зх) + (5 - 5х) = 12 + 7х.
Решение:
а)	(5х - 3) + (7х - 4) = 8 - (15 - 11х);
5х-3 + 7х-4 = 8- 15 + Их;
5х + 7х - 11х = 8 - 15 + 3 + 4;
х - 0.
б)	(4х +3) - (10х + 11) = 7 + (13 - 4х);
4х + 3- 10х- 11 = 7 + 13-4х;
4х-10х +4х = 7 + 13 - 3 + И;
-2х - 28;
х - 28 : (-2);
х = -14.
в)	(7 - 5х) - (8 - 4х) + (5х + 6) = 8;
7 - 5х - 8 + 4х + 5х + 6 = 8;
- 5х + 4х + 5х = 8 - 7 + 8 - 6;
4х = 3;
64
г)	(3 - 2х) + (4 - Зх) + (5 - 5х) = 12 + 7х;
3 - 2х + 4 — Зх + 5 - 5х — 12 + 7х;
- 2х - Зх - 5х - 7х = 12-3-4-5;
-17х = 0;
х - 0.
2.	Среди данных уравнений выберите те, которые имеют тот
же корень, что и уравнение 2х - 3 = 5х + 6:
а)	19 (2х-3) = 19 (5х + 6);
б)	5х - 2х = 6 - 3;
ч 2х-3 5х + 6
в)	=-----------.
11 11
Решение:
2х - 3 = 5х + 6;
2х - 5х = 6 + 3;
-Зх = 9;
х - -3.
а)	19 (2х - 3) = 19(5х + 6);	| : 19
2х - 3 = 5х + 6;
х = -3, так как уравнение равносильно исходному.
При решении данного уравнения важно заметить, что разде-
лить обе части уравнения на 19 рационально, а выполнить ум-
ножение числа на скобку - нет.
б)	5х-2х = 6 - 3;	8)+^+ = -^+ I-И;
11 11
3х = 3;	2х-3 = 5х + 6;
х = 1.	2х - 5х = 6 + 3;
х = -3,
так как уравнение равносильно ис-
ходному.
Ответ: а); в); х = -3.
3.	Среди данных уравнений укажите те, которые не имеют
корней:
а)	5х - 10 - 4х;	в) 5 - х = 6 - х;	д) |х| +1 = 0.
б)	Зх + 7 = Зх + 11;	г) |х| = 8;
65
Решение:
а) 5х - 10 = 4х;
5х - 4х = 10;
х= 10.
в)	5 - х = 6 -х;
-х + х = 6 - 5;
б)	3х + 7 = 3х+ 11;
Зх - Зх = 11 - 7;
0 • х = 4 - нет корней.
г)	|х| = 8;	д) |х| +1 = 0 .
х = 8илих = -8.	|х| = —1 —
0 • х = 1 - нет корней.
нет решений,
так как |х| > 0.
4.	№ 238*, № 239*, № 242*.
Данные задания повышенной трудности.
№ 238. Решение:
Если т 0, то тх = 5 имеет единственный корень х = 5 : т.
Если т = 0, то уравнение примет вид 0 • х = 5, оно не имеет
корней.
Не существует такое значение т, чтобы уравнение имело
бесконечно много корней.
№ 239. Решение:
Если х = -5, то р • (-5) = 10 - верное равенство.
Найдем р\ р = 10 : (-5);
/7 =-2.
Если х = 1, то р • ( 1) = 10;
Р= Ю : (-1);
р = -10.
Если х = 20, тор • 20 = 10;
/7=10:20;
р = 0,5.
Ответ: -2; -10; 0,5.
Обращаем внимание учащихся, что это уравнение с пара-
метром р.
№ 242. Решение:
а)	(х + 5) (х + 6) + 9 = 0;
х2 + 6х + 5х + 30 + 9 = 0;
66
х2 + 1 lx + 39 = 0;
x2 =-1 lx - 39.
Слева стоит выражение, значение которого не отрицательно.
Если х - положительное число, то -11х < 0 и -11х - 39 < 0, зна-
чит, х2 = -11х - 39 - неверно для любого положительного х, зна-
чит, уравнение не может иметь положительный корень.
б)	х2 + Зх + 1 = 0.
Если х > 0, то каждое слагаемое в левой части уравнения по-
ложительно, значит, и вся сумма положительна, следовательно,
х > 0 не может являться корнем данного уравнения.
IV. Итоги урока.
-	Дайте определение линейного уравнения.
-	Когда линейное уравнение имеет единственный корень?
Бесконечно много корней? Не имеет решений?
-	Назовите шаги решения уравнения, сводящегося к линей-
ному.
n	9U-5) 72
-	Решите уравнение-----------.
F	121	121
Домашнее задание: № 136, № 137, № 138, № 246*.
Урок 17
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
Цели: обеспечить понимание уравнения в качестве мате-
матической модели некоторой жизненной ситуации, описанной
в текстовой задаче; выделить этапы решения задач алгебраиче-
ским методом; формировать умение составлять уравнение по усло-
вию задачи и решать его.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Найдите корни уравнения.
9	1
а)8х=16; б) Зх = —;	в)—х = 5;
14	2
67
г) Зх-15 = 0;
ж)	0 • х - —;
12
2.	Найдите:
а)	50 % от 80;
б)	10 % от 300;
в)	1 % от 30;
д) -х - 4 = 0;
з)	2х = 2х-4;
е)х + 7 = -11;
и)	2(х + 3) = 2х + 6.
г)	20 % от 25;
д)	25 % от 400;
е)	5 % от 200;
ж)	50 % от 17;
з)	40 % от 10;
и)	9 % от 500.
II. Объяснение нового материала.
1. Решение текстовых задач способствует развитию логиче-
ского мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи
функциональной зависимости, повышает вычислительную куль-
туру. В процессе решения текстовых задач у учащихся форми-
руются умения и навыки моделирования реальных объектов
и явлений.
В курсе математики рассматриваются два основных способа
решения текстовых задач: арифметический и алгебраический.
При изучении предыдущих пунктов 6-7 учащиеся пользовались
арифметическим способом: неизвестную величину находили
посредством составления числового выражения (числовой фор-
мулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан
на использовании уравнений и систем уравнений, составленных
при решении задач.
В методике математики общепринято следующее деление
процесса решения задач:
1)	анализ текста задачи;
2)	поиск способа решения задачи и составление плана решения;
3)	осуществление найденного плана;
4)	изучение (анализ) найденного решения.
Основную трудность представляет для учащихся первый
этап. Поэтому на этом уроке следует максимально использовать
средства наглядности (таблицы, схемы, чертежи) при анализе
условия.
2. Объяснение лучше начать с решения конкретной (приведен-
ной в учебнике) задачи № 1.
68
Можно воспользоваться таблицей:
	Корзина		Ящик	
Было	в на 10 меньше	2 раза X	меньше на 10 больше	2х
Стало	в <		х- 10| 5 раз б	олыне	2х+ 10
Сперва в таблице стрелками обозначаем и подписываем все
зависимости, затем видим, что неизвестны все четыре клеточки,
значит, обозначить переменной удобно главный вопрос задачи,
например, количество яблок в корзине первоначально. Затем,
по стрелкам, заполняем все клеточки. Последняя стрелка даст
уравнение: 5(х- 10) = 2х + 10.
Аналогичную таблицу можно составить для задачи № 2:
I	1-1	в 2 раза меньше	X
II		-*-2>78	2х
III		на 12 больше г	х+ 12
х + 2х + (х + 12) = 78.
При решении второй задачи особое внимание уделяется по-
следнему этапу - интерпретации полученного результата.
III. Формирование умений и навыков.
При решении задач особое внимание уделяем анализу усло-
вия задачи, выбору переменной и выбору основной зависимости
для составления уравнения. При решении уравнения используем
соответствующий алгоритм.
1.	№ 143. Решение:
Пусть в одной кассе было х билетов, тогда во второй - (х + 36)
билетов. Зная, что всего было продано 392 билета, составим
уравнение:
х + (х + 36) = 392;
х + х + 36 = 392;
2х = 356;
х — 178.
69
Следовательно, в первой кассе было продано 178 билетов.
Так как х + 36 = 178 + 36 = 214, то во второй кассе было про-
дано 214 билетов.
Ответ: 178 и 214 билетов.
2.	№ 146. Решение:
Анализ условия:
6940 м
1-й тоннель 2-й тоннель наземная часть
(х + 17) м	хм	703 м
Пусть хм- длина одного тоннеля, тогда (х + 17) м - дли-
на другого. Так как наземная часть составляет 703 м, а вся трас-
са - 6940 м, то длина тоннелей в сумме составляет (6940 - 703) м.
Зная, что длина тоннелей равна х + (х + 17) м, составим уравнение:
х + (х + 17) - 6940 -703;
х + х + 17 = 6237;
х + х = 6237- 17;
2х = 6220;
х = 3110.
Значит, длина одного тоннеля равна 3110 м. Так как х + 17 =
= 3110+ 17 = 3127, то длина другого тоннеля равна 3127 м.
Ответ: 3110 м и 3127 м.
Обращаем внимание учащихся, что для анализа условия
можно использовать не только таблицы, но и рисунки-схемы.
Если ученик делает удобный ему чертеж, соответствующий ус-
ловию задачи, то стоит его поощрить.
3.	№ 147. Решение:
Анализ условия:
в 2 раза больше в 3 раза больше в 4 раза больше
132 рупии
70
Пусть первый жертвователь дал х рупий, тогда второй дал
2х рупий, третий - 3 • 2х рупий, четвертый - 4 • (3 • 2х) рупий.
Зная, что все вместе они дали 132 рупии, составим уравнение:
х + 2х + 3 • 2х + 4 • (3 • 2х) = 132;
х + 2х + 6х + 24х — 132;
33х = 132;
х = 132:33;
х — 4.
Значит, первый жертвователь дал 4 рупии. Так как 2х = 2 • 4 =
= 8, то второй дал 8 рупий. Так как 3 • 2х = 3 • 8 = 24, то третий
дал 24 рупии. Так как 4 • (3 • 2х) = 4 • 24 =.96, то четвертый дал
96 рупий.
О т в е т: 4; 8; 24 и 96 рупий.
4.	№ 148. Решение:
Анализ условия:	на 15»/обольше
86 деталей
Пусть х деталей изготовил второй рабочий, тогда первый
изготовил (х + 0,15х) деталей. Зная, что вместе они изготовили
86 деталей, составим уравнение:
х + (х + 0,15х) = 86;
х + х + 0,15х = 86;
2,15х = 86;
х = 86 : 2,15;
х = 40.
Значит, второй рабочий изготовил 40 деталей. Так как
х + 0,15х = 40 + 0,15 • 40 = 40 + 6 = 46, то первый рабочий изго-
товил 46 деталей.
О т в е т: 46 деталей и 40 деталей.
Учащиеся могут сами заметить, что во всех задачах мы за пе-
ременную обозначаем меньшее неизвестное. Это более удобно.
Можно спросить: почему? Это связано с тем, что если мы обо-
значим за переменную большее число, то в уравнении появятся
дробные коэффициенты, а это несколько усложняет его решение.
71
IV. Итоги урока.
- Какими способами можно решать текстовые задачи?
- Из каких этапов состоит алгебраический метод решения
текстовой задачи?
- Чем является уравнение для описываемой в тексте задачи
ситуации?
- Какие способы наглядного представления условия задачи
мы можем использовать?
- Для чего необходимо истолковывать полученный корень
уравнения в соответствии с условием задачи?
Домашнее задание: № 144; № 145; № 149; № 165.
Урок 18
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ,
СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНЫМ
Цели: продолжить формировать умение решать текстовые
задачи алгебраическим методом - с помощью составления урав-
нений, сводящихся к линейным.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Вычислите.
1	2	13+27
а)	0,35 • 0,2 + 0,35 • 0,8; в) - + 0,375 + -; д) ’	’
3	3	8-4
б)	1-0,5-8;	г) [4 + 0 е) (—З)2 — 9,2.
2.	Выразите:
a) t из 5 = v • /;	в) у из v = 2a-y,
ч	8(7
о)р из N = p : /;	г)х из у =—.
х
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Двое рабочих изготовили 657 деталей, причем первый из-
готовил на 63 детали больше второго. Сколько деталей изгото-
вил каждый рабочий?
72
2. Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, ес-
ли папа в 2 раза моложе дедушки?
Вариант 2
1. В двух седьмых классах 67 учеников, причем в одном
на 3 ученика больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом
классе?
2. У Коли и Пети вместе 98 марок, причем у Коли в 6 раз
больше марок, чем у Пети. Сколько марок у каждого мальчика?
Решение заданий проверочной работы
Вариант 1
1. Пусть х деталей изготовил второй рабочий, тогда (х + 63)
деталей - первый. Зная, что вместе они изготовили 657 деталей,
составим уравнение:
х + (х + 63) = 657;
х + х + 63 = 657;
2х = 657-63;
2х = 594;
х = 297.
Значит, второй рабочий изготовил 297 деталей. Так как х + 63 =
= 297 + 63 = 360, то первый рабочий изготовил 360 деталей.
Ответ: 360 деталей и 297 деталей.
2. Пусть папе х лет, тогда дедушке 2х лет. Зная, что папе и
дедушке вместе 111 лет, составим уравнение:
х + 2х = 111;
Зх = 111;
х = 37.
Значит, папе 37 лет. Так как 2х = 2 • 37 = 74, то дедушке
74 года.
О т в е т: 37 лет и 74 года.
Вариант 2
1. Пусть в одном классе х учеников, тогда во втором (х + 3)
ученика. Зная, что в двух классах 67 учеников, составим уравне-
ние:
х + (х + 3) = 67;
х + х + 3 = 67;
73
2х = 67-3;
2х = 64;
х = 32.
Значит, в одном классе 32 ученика. Так как х + 3 = 32 + 3 -
= 35, то во втором классе 35 учеников.
Ответ: 32 ученика и 35 учеников.
2. Пусть у Пети было х марок, тогда у Коли - 6х марок. Зная,
что вместе у них было 98 марок, составим уравнение:
х + 6х = 98;
7х = 98;
х = 14.
Значит, у Пети было 14 марок. Так как 6х = 6 • 14 = 84,
то у Коли было 84 марки.
Ответ: 14 марок и 84 марки.
III.	Формирование умений и навыков.
При решении задач замечаем, что неизвестную величину
не обязательно обозначаем за х. Наоборот, если в задаче исполь-
зуется формула, например, s = v • t, то и переменную удобно
обозначать соответствующей буквой.
1.	№ 151. Решение:
Анализ условия. в раз меньше на 5 г больше
555 г
Пусть х г шерсти ушло на шапку, тогда на свитер ушло 5х г,
а на шарф - (х - 5) г шерсти. Зная, что на все изделия ушло 555 г
шерсти, составим уравнение:
х + 5х + (х - 5) = 555;
х + 5х + х- 5 = 555;
7х = 560;
х = 80.
Значит, на шапку ушло 80 г шерсти. Так как 5х = 5 • 80 = 400,
то на свитер ушло 400 г шерсти.
Так как х - 5 = 80 - 5 = 75, то на шарф ушло 75 г шерсти.
Ответ: 400 г; 80 г; 75 г.
74
2.	№ 152. Решение:
Анализ условия:
на 5 больше
158 книг
Пусть на первой полке расположено п книг, тогда на второй
полке - (п + 8), а на третьей - (п - 5) книг. Зная, что на трех пол-
ках необходимо расположить всего 158 книг, составим уравнение:
и + (и + 8) + (и-5)= 158;
и + и + 8 + и- 5 = 158;
3и + 3 = 158;
Зп= 155;
и = 51—.
3
Интерпретация результата: так как п - число книг, то п дол-
_	гЛ	г
жно быть натуральным числом. 51 у - дробное, значит, указан-
ным способом нельзя разместить книги на полках.
Ответ: нельзя.
На примере этой задачи видно, что важен этап интерпрета-
ции полученного решения.
3.	№ 154. Решение:
Анализ условия:
	I участок		II участок	
Было	W	R S ПЯ'(		ППкШР	1>	
	а 45 X 1>	я		
		5х	45 х	о	
Стало	СЧ ) сч	равн	сч * °	
	ей Д	5х-22	я х + 22	
Пусть х кустов малины было на втором садовом участке, то-
гда на первом было 5х кустов. После пересадки на первом уча-
стке осталось (5х - 22) кустов малины, а на втором стало (х + 22)
75
куста малины. Зная, что после пересадки на обоих участках ста-
ло кустов малины поровну, составим уравнение:
5х - 22 - х + 22;
5х -х - 22 + 22;
4х = 44;
х — И.
Значит, на втором участке было 11 кустов малины. Так как
5х = 5 • 11 = 55, то на первом участке было 55 кустов малины.
О т в е т: 55 и 11 кустов малины.
4. № 155. Решение:
Анализ условия:
	V (км/ч)	/(ч)	5 (КМ)
По течению	vc + 2	9	9 • (ос. + 2) |Ь
Против течения	vc-2	11	11(dc-2)	1.1
Пусть vc км/ч - собственная скорость теплохода, тогда по те-
чению он шел со скоростью (vc + 2) км/ч и за 9 часов прошел
9 • (vc + 2) км. Против течения он шел со скоростью (рс - 2) км/ч
и прошел 11 • (ис - 2) км. Зная, что он прошел по течению и про-
тив одинаковое расстояние, составим уравнение:
9-(ис + 2) = 11 • («с - 2);
9ус + 18= 11 vc-22;
9vc-И vc = -22- 18;
-2 vc = -40;
vc = 20.
Значит, собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.
Ответ: 20 км/ч.
При обозначении переменной можно не ставить индекс vc,
а просто обозначить v. Не возбраняется использовать любую
букву латинского алфавита.
5.	№ 157. Решение:
Анализ условия:
	v (верст/день)	t (день)		s (верст)	
I	40	|на 1 больше]	п + 1	J3 X ей св	' 40 (л + 1)
II	45		п <		
76
Пусть второй человек догонит первого через п дней, тогда
за эти дни он пройдет 45и верст. Первый человек, так как он шел
на день дольше, пройдет 40 (п + 1) верст. Зная, что они пройдут
одинаковое расстояние, составим уравнение:
45^ = 40 (и + 1);
45и = 40л + 40;
45 л - 40л = 40;
5л = 40;
л = 8
Значит, через 8 дней второй догонит первого.
IV.	Итоги урока.
- Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраиче-
ским методом?
- В чем состоит интерпретация полученного решения задачи?
- Когда полученное решение может противоречить условию
задачи?
- Какие решения, полученные на сегодняшнем уроке, вы ин-
терпретировали как противоречащие условию?
Домашнее задание: № 150, № 153, № 156, № 248.
У ро к 19
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ,
СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНЫМ
Цель: продолжить формировать умение решать текстовые
задачи алгебраическим методом - с помощью составления урав-
нений, сводящихся к линейным.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
1.	Запишите в виде выражения:
а)	сумма чисел а и Ь;
б)	сумма числа х и произведения чисел а и Ь;
в)	разность числа к и частного чисел х и у;
г)	произведение суммы чисел а и b и числа с;
д)	произведение числа с и разности чисел х и z;
е)	сумма частного чисел а и b и числа с;
ж)	частное разности х и у и числа z.
77
2.	Запишите в виде равенства:
а)	х в 2 раза больше у\
б)	сумма чисел а и b в 2 раза меньше числа с;
в)	а на 2,5 больше Ь;
г)	х меньше у на 18;
д)	а больше h на 18 %;
е)	х составляет 25 % от у.
II.	Формирование умений и навыков.
Все задачи, решаемые на этом уроке, требуют составления
более сложного уравнения. Основная трудность при их решении
заключается в умении «увидеть» основную зависимость и пра-
вильно её записать в виде равенства.
На уроке продолжаем использовать схемы, таблицы, графи-
ки для наглядного представления условия задачи.
1.	№ 158. Решение:
Анализ условия:
	Было		Стало	
Маляры		на 4 больше		
	раза >ше	2,5х	<я о 2,5х + 4 й 3	
Плотники	в 2,5 боль	,	на 2 ме	ныне	м ,	
		X	т - 2	
Пусть х плотников было в бригаде, тогда маляров было 2,5х.
После переводов в бригаде стало (2,5х + 4) маляров и (х - 2)
плотников. Зная, что маляров стало в 4 раза больше плотников,
составим уравнение:
(2,5х + 4) = 4 • (х - 2);
2,5х + 4 = 4х - 8;
2,5х - 4х = -8 - 4;
-1,5х = -12;
х = (-12) : (-1,5);
х = 8.
Значит, в бригаде было 8 плотников. Так как 2,5х = 2,5 • 8 =
= 20, то в бригаде было 20 маляров.
Ответ: 20 маляров и 8 плотников.
78
В таблице основную зависимость, по которой формируем
равенство, можно выделить другим цветом или более жирной
линией.
2.	№ 161. Решение:
Анализ условия:	-	с
J	на 2 меньше в 5 раз меньше
в 3 раза больше
Пусть х кг - масса первого арбуза, тогда второй арбуз весит
(х + 2) кг, а третий - 5х кг. Первый и третий арбуз вместе весят
х + 5х, то есть 6х кг. Зная, что в сумме они весят в 3 раза больше
второго арбуза, составим уравнение:
3	• (х + 2) = 6х;
Зх + 6 = 6х;
Зх - 6х = -6;
-Зх = -6;
х = 2.
Значит, первый арбуз весит 2 кг. Так как х + 2 = 2 + 2 = 4, то
второй арбуз весит 4 кг. Так как 5 • х = 5 • 2 = 10, то третий арбуз
весит 10 кг.
О т в е т: 2 кг, 4 кг, 10 кг.
3.	№ 162. Решение:
Анализ условия:
	Было	Взяли	Осталось
I	50	X	50-х
II	50	Зх	50-Зх
<_| в 2 раза
__| меньше
Пусть х кг сахара взяли из первого мешка, тогда из второго
мешка взяли Зх кг сахара. В первом мешке осталось (50 - х) кг
сахара, а во втором - (50 - Зх) кг. Зная, что во втором мешке ос-
талось в 2 раза меньше сахара, чем в первом, составим уравнение:
2 • (50 - Зх) = 50 -х;
100-6х = 50-х;
—6х + х = 50 - 100;
79
-5х - -50;
х = (-50): (-5);
х = 10.
Значит, из первого мешка взяли 10 кг сахара. Так как 50 -х =
= 50 - 10 = 40, то в первом мешке осталось 40 кг сахара. Так как
50 - Зх = 50 - 3 • 10 = 50 - 30 = 20, то во втором мешке осталось
20 кг сахара.
О т в е т: 40 кг и 20 кг.
На примере этой задачи показываем, что не всегда за пере-
менную следует принимать главный вопрос задачи. В нашем
случае выгоднее обозначить промежуточное неизвестное, а за-
тем вычислить искомые величины. Кроме того, искомые можно
вычислить по разным зависимостям. Например, как мы взяли
алгебраические выражения из ячеек таблицы. А можно было
найти оставшееся количество сахара в первом мешке, а во вто-
ром - вычислить по зависимости «в 2 раза меньше».
4.	Федя на 7 лет старше Пети, а их папе в 3 раза больше лет,
чем им обоим вместе. Сколько лет каждому из них, если папе
было 36 лет, когда родился Петя?
Решение:
Анализ условия. на больше на 7 больше
। ; { ।
Пусть х лет Пете, тогда Феде (х + 7) лет, а папе (х + 36) лет.
Пете и Феде вместе х + (х + 7) лет или 2х + 7 лет. Зная, что папе
лет в 3 раза больше, чем им обоим вместе, составим уравнение:
(2х + 7) • 3 =х + 36;
6х + 21 = х + 36;
6х -х = 36 - 21;
5х = 15;
х = 3.
Значит, Пете 3 года. Так как х+ 7 = 3 + 7= 10, то Феде
10 лет.
Ответ: Пете 3 года, Феде 10 лет.
80
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Стоимость изделия третьего сорта в 3 раза меньше стоимо-
сти изделия первого сорта. Сколько стоит каждое изделие, если
изделие первого сорта на 5000 р. дороже изделия третьего сорта?
Вариант 2
Мама весит в 5 раз больше дочери, а дочь на 40 кг легче ма-
мы. Сколько весят мама и дочь в отдельности?
Решение заданий проверочной работы
Вариант 1
Анализ условия:	в Зраза меньше
на 5000 больше
Пусть х р. стоит изделие III сорта, тогда изделие I сорта сто-
ит Зх р. Зная, что изделие I сорта на 5000 р. дороже изделия
III сорта, составим уравнение:
Зх = х + 5000;
Зх-х = 5000;
2х - 5000;
х = 2500.
Значит, изделие III сорта стоит 2500 р. Так как Зх = 3 • 2500 =
= 7500, то изделие I сорта стоит 7500 р.
Ответ: 7500 р. и 2500 р.
Вариант 2
Анализ условия:	в 5 раз больше
' I
дочь
J
на 40 меньше
Пусть дочь весит х кг, тогда мама весит 5х кг. Зная, что дочь
весит на 40 кг меньше, составим уравнение:
х + 40 = 5х;
мама
т
81
х-5х = -40;
-Ах = -40;
х= 10.
Значит, дочь весит 10 кг. Так как 5х = 5 • 10 = 50, то мама ве-
сит 50 кг.
Ответ: 10 кг и 50 кг.
IV. Итоги урока.
- Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраиче-
ским методом?
- Когда за переменную можно обозначать не главный вопрос
задачи?
- В чем состоит интерпретация полученного решения задачи?
- Когда полученное решение может противоречить условию
задачи?
Домашнее задание: 1. № 159, № 160, № 252.
2. Поезд был задержан в пути на 1 час. Увеличив скорость
на 30 км/ч, он через 3 ч прибыл на станцию по расписанию. Ка-
кова скорость поезда до остановки?
Урок 20
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ, РАЗМАХ И МОДА
Цели: ввести понятия таких статистических характери-
стик, как среднее арифметическое, размах и мода; формировать
умение находить средние статистические характеристики раз-
личных рядов.
Ход урока
I. Устная работа.
Вычислите.
1	4	3	2	3	5
а) 1- • 3;	б) 4- : 4;	в) 2- + 1-;	г) 1- + 1-;
3	7	5	5	7	7
д) 5-2-|;	е) 0,9 • 6;	ж) 5,6 : 7;	з) 0,4 • 0,9;
и) 0,06 : —; к) 8,2 • —.
10	100
82
II. Объяснение нового материала.
1.	Данный параграф (§ 4 учеб.) является первым в изучении
стохастической линии. Одной из главных особенностей школь-
ного изучения стохастики является тесная связь отвлеченных
понятий и структур с окружающим миром. Поэтому математиче-
ская деятельность школьников не должна ограничиваться изуче-
нием только готовых статистических и вероятностных моделей.
Напротив, процессы построения и истолкования моделей рас-
сматриваются как ведущие формы ученической деятельности.
Сперва целесообразно провести беседу с учащимися, выяс-
нить их представления о статистике как науке, о приложении
статистики к практической деятельности человека. Речь будет
идти об элементах так называемой «описательной» статистики,
которая занимается вопросами сбора и представления первич-
ной статистической информации в табличной и графической
формах, вычисления числовых характеристик для совокупно-
стей статистических данных.
2.	Начинать обучение желательно с тех задач, в которых ста-
тистические сведения заданы изначально и требуется найти ре-
шение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.
Объяснение следует проводить согласно пункту 9 учебника.
Особое внимание следует уделить целесообразности исполь-
зования различных средних статистических характеристик в за-
висимости от ситуации.
Необходимо подытожить, какие статистические характери-
стики теперь могут находить учащиеся. Для этого на доску
можно вынести пример.
Упорядоченный ряд чисел:
1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5
х	1 + 2-2 + 3 + 4-2 + 5-3 31
1)	Среднее арифметическое: -----------------= —
2)	Размах: 5-1=4
3)	Мода: 5
83
III.	Формирование умений и навыков.
1.№167, №168.
Необходимо, чтобы учащиеся четко мотивировали свои ответы.
а)	Сложили все члены ряда и полученную сумму разделили
на их количество. Значит, искали среднее арифметическое.
б)	Нашли разность между наибольшим и наименьшим чис-
лом в ряду, то есть размах ряда.
в)	Число ... встречается наибольшее количество раз, значит,
это мода ряда.
2.	Даны упорядоченные ряды чисел:
а) 1; 1; 2; 3; 4; 5; 6;	б) 1;
2 2 3 4
Для каждого из них найти среднее арифметическое, размах
и моду.
3.	Найти среднее арифметическое, размах и моду рядов чисел:
а)	1; 2; 5; 2; 3; 4; 2;
б)	1; 2; 0; 2; 0; 1;2; 1;3; 1.
4.	№ 170.
5.	№ 171. Решение:
Средний ежемесячный расход электроэнергии находим
по формуле среднего арифметического:
85 + 80 + 74 + 61 + 54 + 34 + 32 + 32 + 62 + 78 + 81 + 83
х =--------------------------------------------= 63.
12
Ответ: 63 кВт ч.
6.	Шесть сотрудников отдела обсуждали, кто сколько раз
ходил на выборы за последние пять лет. Соответствующие дан-
ные приведены в таблице:
Фамилия	Сколько раз участвовал в выборах
1. Андреев	8
2. Борисов	0
3. Васильев	2
4. Григорьев	0
5. Дмитриев	0
6. Евдокимов	2
84
Определите:
а)	Сколько раз в среднем участвовали в выборах сотрудники
этого отдела (среднее арифметическое)?
б)	Как чаще всего поступали сотрудники отдела (мода)?
Решение:
а)	среднее арифметическое равно
8+0+2+0+0+2 12
у! =-----------------=--- = X.
6	6
б)	Мода равна 2.
Ответ: 2; 2.
7.	№ 173*. Решение:
Сумма прежних десяти членов ряда равна 15 • 10 = 150; после
добавления числа 37 она станет равна 187, а количество членов ряда
станет 11, поэтому среднее арифметическое нового ряда равно:
v 15- 10 + 37 187 17
10 + 1	11
Ответ: 17.
8.	№ 176*. Решение:
а)	Обозначим неизвестное число через х:
3 + 8 + 15 + 30 + Х + 24
6	“18;
^i^ = 18;x+80=18-6;x= 108 - 80; х = 28.
6
б)	А - xmax -xmin. Возможны два варианта решения:
если считать хтах = 30, то xmm = А - хтах = -10;
если считать xmin = 3, то xmax - А + xmin = 43.
в)	Числа в ряду не повторяются, поэтому для того, чтобы 24
стало модой, нужно его повторить, то есть пропущенное число
должно быть 24.
О т в е т: а) 28; б) 43 или -10; в) 24.
IV. Итоги урока.
- Какие существуют средние статистические характеристики
ряда?
85
-	Какой ряд называется упорядоченным?
-	Что называется размахом ряда? Приведите пример.
-	Что такое мода ряда? Приведите пример.
-	Как найти среднее арифметическое ряда?
У рок 21
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНИХ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цель: продолжить формировать умения находить средне-
статистические характеристики ряда (среднее арифметическое,
размах, мода) при решении различных задач.
Ход урока
I. Устная работа.
Для упорядоченных рядов:
а)0; 0; 1; 2; 3;
б) 1;2; 2; 2; 3; 3;
в) 1; 2; 3; 4; 5; 5
найдите размах, среднее арифметическое, моду.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. В таблице приведен возраст сотрудников одного из отделов:
Фамилия	Возраст
1. Башмачкин	42
2. Галошсв	24
3. Каблуков	30
4. Сапогов	24
5. Тапочкин	40
Найдите среднее арифметическое, размах и моду этого ряда.
2*. Постройте ряд из четырех чисел, у которого размах ра-
вен 2, а среднее арифметическое равно моде.
Вариант 2
1. В таблице (см. далее на с. 87) приведено количество оч-
ков, набранных в чемпионате некоторыми баскетболистами.
86
Фамилия	Количество очков
1. Дождева	48
2. Градова	26
3. Лунева	20
4. Метелева	40
5. Снежкова	26
Найдите среднее арифметическое, размах и моду этого ряда.
2*. Постройте ряд из четырех чисел, у которого размах ра-
вен 2, а среднее арифметическое в два раза больше моды.
III.	Формирование умений и навыков.
1.	№ 177. Решение:
Среднее арифметическое равно:
38+42+36+45+48+45+45+42+40+47+39 467 „ ле
X =-----------------------------------------~ 42,45.
11 11
Размах А = xmax - xmm =48-36=12.
Мода М= 45 (встречается 3 раза).
Среднее арифметическое - это условная величина (она не
целая, хотя число деталей может быть только «целым»); она по-
казывает центр «рассеивания» наблюдаемых величин (сумма
отклонений от неё равна нулю); также это можно назвать сред-
ней выработкой рабочими деталей.
Размах характеризует разброс наблюдаемых значений, а мо-
да показывает, какое число изготовленных деталей встречается
чаще всего в данной смене рабочих.
Ответ:» 42,45; 12; 45.
2.	№ 179. Решение:
Найдем средний балл каждого выпускника по формуле
среднего арифметического:
14 v 4-9 + 5 6	66	. .
Ильин: X =-----------= — = 4,4;
15	15
v 3-9+4-5+5 52
Семенов: X =-----------= — ~ 3,5;
15	15
n v 3-4 + 4-10 + 5 57 „о
Романов: X =-------------= — = 3,8;
15	15
87
Попов: X -
4 • 5 + 5 • 10
15
22.4,7.
15
Чтобы выявить наиболее типичную оценку для каждого вы-
пускника, найдем для каждой совокупности моду, то есть оцен-
ку, встречающуюся чаще других:
Ильин: М = 4 (9 раз из 15);
Семенов: Л/= 3 (9 раз из 15);
Романов: М= 4 (10 раз из 15);
Попов: М= 5 (10 раз из 15).
Использованы среднее арифметическое и мода.
Ответ: 4,4 и 4; 3,5 и 3; 3,8 и 4; 4,7 и 5.
3.	№ 180. Решение:
Средняя урожайность пшеницы в хозяйстве равна общему
сбору зерна, деленному на общую площадь полей; общий сбор
зерна равен 18 ц/га • 12 га + 19 ц/га • 8 га + 23 ц/га • 6га = 506 ц,
а общая площадь участков равна 12 га + 8 га + 6 га — 26 га. Сред-
506ц	/
няя урожайность в хозяйстве---» 19,5 ц/га .
26 га
1Т	„	18 + 19 + 23
Нельзя находить среднюю урожайность как -----------=
= 20 (ц/га), так как значения 18, 19 и 23 характеризуют участки
разной величины и их «вклад» в общую урожайность зависит
от площади каждого участка.
Ответ: « 19,5 ц/га.
4.	№ 181. Решение:
1'3+2'4+3*2
Среднее арифметическое равно: X -------—-------= 1,7.
Размах равен: А - х v - х • =3-0 = 3.
Л	IlldX	I1I1II
Мода равна: М= 4 (встречается 4 раза из 10).
Среднее арифметическое показывает среднее количество
бракованных деталей.
Размах показывает разброс количества бракованных деталей
в ящиках.
Мода показывает наиболее часто встречающееся количество
бракованных деталей.
Ответ: 1,7; 3; 4.
88
5.	№ 183. Решение:
Среднее значение находим по формуле среднего арифмети-
ческого:
_ (-2) + (-1) + (-3) + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 3 _ 9
А —----------------------------------—---— U, у.
10	10
Составим таблицу отклонений от средней температуры воз-
духа в полдень в каждый из дней декады:
Число месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Отклонение температуры от среднего, С °	-2,9	-1,9	-3,9	-0,9	0,1	1,1	1,1	2,1	3,1	2,1
Обращаем внимание, что сумма всех отклонений (вторая
строка таблицы) равна нулю.
Ответ: 0,9 °C; таблица отклонений.
IV.	Итоги урока.
- Какие существуют средние статистические характеристики
ряда?
- Как найти среднее арифметическое ряда?
- Что такое размах ряда? Что он характеризует?
- Что такое мода ряда? Что она характеризует?
Домашнее задание: № 178, № 182, № 253*.
Урок 22
МЕДИАНА УПОРЯДОЧЕННОГО РЯДА
Цели: ввести понятие медианы как статистической харак-
теристики упорядоченного ряда; формировать умение находить
медиану для упорядоченных рядов с четным и нечетным числом
членов; формировать умение интерпретировать значения медиа-
ны в зависимости от практической ситуации.
Ход урока
I	. Устная работа.
Даны ряды:
1)4; 1; 8; 5; 1;7.
89
2	) -; 9; 3; 0,5; -.
3	7
3)6; 0,2; - ; 4; 6; 7,3; 6.
4
Найдите:
а)	наибольшее и наименьшее значения каждого ряда;
б)	размах каждого ряда;
в)	моду каждого ряда.
П. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 10 учебника. Следу-
ет подчеркнуть, что перед нахождением медианы нужно всегда
упорядочить ряд данных.
На доску следует вынести правила нахождения медианы для
рядов с четным и нечетным числом членов:
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечет-
ным числом членов называется число, записанное
посередине, а медианой упорядоченного ряда чи-
сел с четным числом членов называется среднее
арифметическое двух чисел, записанных посере-
дине.
Медианой произвольного ряда называется медиа-
на соответствующего упорядоченного ряда.
Особое внимание следует уделить интерпретации значений
медианы для различных задач. Учитель должен прививать кри-
тическое отношение к статистическим выводам и обобщениям.
III. Формирование умений и навыков.
1-я группа. Упражнения на применение формул нахожде-
ния медианы упорядоченного и неупорядоченного ряда.
1.	№ 186. Решение:
а)	Число членов ряда п = 9; медиана есть среднее в упорядо-
ченном ряду значение варианта Me = 41;
б)	п = 7, ряд упорядочен, Me = 207;
90
a) 27, 29, 23,31,21,34;
ч z	20 + 22
в)	и = 6, ряд упорядочен, Me = —-— = 21;
2 6 + 32
г) п = 8, ряд упорядочен, Me = ’.= 2,9.
Ответ: а) 41; б) 207; в) 21; г) 2,9.
Учащиеся должны обосновывать способ нахождения медианы.
2.	Найдите среднее арифметическое и медиану ряда чисел:
J 1 2 5,
в) -; —; —; —; 1.
3 6 3 6
б) 56, 58, 64, 66, 62, 74.
Решение:
Для нахождения медианы необходимо каждый ряд упорядочить:
а) 21, 23, 27, 29,31,34.
21 + 23 + 27 + 29 + 31 + 34 165 с
п = 6; X =------------------------=-----= 27,5;
6	6
27 + 29
Me ----------= 28;
2
б) 56, 58, 62, 64, 66, 74.
56 + 58 + 62 + 64 + 66 + 74 380	„
п = 6; X =---------------------------=-----® 63,3;
6	6
„ 62 + 64 „
Me =----= 63;
2
J 1 2 5,
в) -; -; -; -; 1.
6 3 3 6
_ .	112 5
16 3 3 6
1 + 2 + 4 + 5 + 6 _ 18 _
~ 6 ’
6
=3:5 = 0,6;
Me — —.
3
3.	№ 188 (устно). Решение:
а)	Может, если сумма членов не кратна числу членов.
б)	Не может, так как разность двух натуральных чисел,
из которых уменьшаемое больше вычитаемого, есть натураль-
ное число.
91
в) Не может, так как мода - один из членов ряда, а все члены
ряда - натуральные числа.
г) Может, если число членов ряда четное и числа хп и хп
-	-+1
2	2
не равны между собой.
О т в е т: да; б) нет; в) нет; г) да.
4. Зная, что в упорядоченном ряду содержится т чисел, где
т - нечетное число, укажите номер члена, являющегося медиа-
ной, если т равно:
а) 5; б) 17; в) 47; г) 201.
Решение:
т
Номер находим как — +1, где
т
7
47
_ 2 _
"201
2
- целая часть числа.
5
2_
17
б)	— +1 = 8 + 1 = 9;
_ 2 _
Ответ: а) 3; б) 9; в) 24; г) 101.
2-я группа. Практические задачи на нахождение медианы
соответствующего ряда и интерпретацию полученного результата.
1. № 189. Решение:
Число членов ряда п = 12. Для нахождения медианы ряд
нужно упорядочить:
136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194.
174 + 178
: ------- = 176.
2
больше медианы у следующих
4)	Бобков;
5)	Рылов;
6)	Астафьев.
а)
-+1 = 24-1 = 3;
в)
г)
•"'6 ' -^7
Медиана ряда Me = —2-----
2
Выработка за месяц была
членов артели: 1) Квитко;
2)	Баранов;
3)	Антонов;
Ответ: 176.
2. № 192. Решение:
Упорядочим ряд данных:
30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35,
+ 1 = 23 + 1 = 24;
+ 1 = 100 + 1 = 101.
92
35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42;
число членов ряда п = 20.
Размах А - хтях - хт.п - 42 - 30 - 12.
ПИЛ	111111
Мода Мо = 32 (это значение встречается 6 раз - чаще других).
к л	*ю+*и	35 + 35
Медиана Me	=------= 35.
2	2
Размах показывает наибольший разброс времени на обра-
ботку детали; мода показывает наиболее типическое значение
времени обработки; медиана - время обработки, которое не пре-
высили половина токарей.
Ответ: 12; 32; 35.
IV. Итоги урока.
- Что называется медианой ряда чисел?
- Может ли медиана ряда чисел не совпадать ни с одним
из чисел ряда?
- Какое число является медианой упорядоченного ряда, со-
держащего 2п чисел? 2п - 1 чисел?
- Как найти медиану неупорядоченного ряда?
Домашнее задание: № 187, № 190, № 191, № 254.
Урок 23
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНИХ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: продолжить формировать умение использовать
средние статистические характеристики (размах, мода, среднее
арифметическое, медиана) при решении различных задач (вы-
числение и интерпретация).
Ход урока
I. Устная работа.
1. Педагогический стаж восьми учителей школы, работаю-
щих в старших классах одной школы, следующий:
5 лет, 8 лет, 15 лет, 12 лет, 8 лет, 14 лет, 18 лет, 9 лет.
Найдите моду и медиану этой выборки.
93
2. Найдите среднее арифметическое и размах ряда:
2; 3; 5; 6; 14; 15; 17; 18.
П. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Найдите медиану упорядоченного ряда:
ч 1 1 1 1 1 1 1
а)
9 8 7 6 5 4 3
б)	И, 12, 18, 23,29,31,37,42.
2.	Найдите медиану неупорядоченного ряда:
8, 1 1,4, 17,35,21, 19, 50.
Вариант 2
1.	Найдите медиану упорядоченного ряда:
1111111
а)	—;—;—;—;—;—; —;
30 28 26 24 22 20 18
б)	0,5; 1,2; 1,8; 2,5; 3,5; 4,8; 5,1; 5,9.
2.	Найдите медиану неупорядоченного ряда:
21, 13, 18, 11,27,32, 23,41.
III. Формирование умений и навыков.
На данном уроке обобщаются знания по теме «Статистиче-
ские характеристики» и учащимся предлагаются задания на на-
хождение всех характеристик и их интерпретацию в зависимо-
сти от условия задачи.
Кроме того, сильным учащимся можно предложить для ре-
шения задачи повышенной сложности. В конце занятия целесо-
образно привести пример, показывающий необходимость кри-
тического отношения к полученным результатам.
1. В таблице показано число посетителей выставки в разные
дни недели:
День недели	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
Число посетителей	604	638	615	636	625	710	724
Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни не-
дели число посетителей выставки было больше медианы?
94
Решение:
Число членов в ряду п = 1. Для нахождения медианы упоря-
дочим ряд: 604, 615, 625, 636, 638, 710, 724.
Медиана Me = 636. Число посетителей было больше медиа-
ны во вторник, субботу и воскресенье.
Ответ: 636; вторник, суббота, воскресенье.
2. Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц)
заводами сахарной промышленности некоторого региона:
12,2; 13,2; 13,7; 18,0; 18,6; 12,2; 18,5; 12,4; 14,2; 17,8.
Для представленного ряда данных найдите среднее арифме-
тическое, моду, размах и медиану. Что характеризует каждый
из этих показателей?
Решение:
Число членов ряда п = 10. Упорядочим ряд:
12,2; 12,2; 12,4; 13,2; 13,7; 14,2; 17,8; 18,0; 18,5; 18,6.
Среднее арифметическое характеризует средний уровень
значений и общую сумму всех значений:
Х= 15,08.
Мода Мо = 12,2 показывает значение, встречающееся чаще
других (в данном случае слабо выражена, значение 12,2 встре-
чается только 2 раза).
Размах A = xmax -xmjn = 18,6 - 12,2 = 6,4 характеризует вели-
чину разброса наблюдаемых значений.
„ х5+хб 13,7 + 14,2
Медиана Me = —-------- =--------= 13,95 показывает, что
2	2
половина членов ряда не превосходит по величине 13,95.
Ответ: 15,08; 12,2; 6,4; 13,95.
3. Девочки седьмого класса на уроке физкультуры при прыж-
ках взяли высоты, величины которых (в см) учитель записал
в журнал:
90; 125; 125; 130; 130; 135; 135; 135; 140; 140; 140.
Какая высота прыжка наилучшим образом характеризует
спортивную подготовку девочек класса?
95
Решение:
Ряд наблюдений упорядочен: п = 11.
Ряд имеет две моды: Мо\ = 135, Moi = 140.
Среднее арифметическое ряда равно X » 129,5.
Медиана Me =135.
Наилучшей характеристикой спортивной подготовки дево-
чек следует признать медиану: мода неоднозначна (135 и 140),
а среднее значение занижено за счет одного очень плохого ре-
зультата 90 см (если этот результат отбросить, то Х = 133,5 см).
Ответ: 135 см.
4. № 257*. Решение:
а) Среднее арифметическое увеличится:
12.x+ 6	_ _
= х + 0,5.
12
б)	Размах увеличится:
4 =	+ 6) - •»„„ =	- \,liri ) + 6 = А + 6.
в)	Мода не изменится.
г)	Медиана не изменится, так как в упорядоченном ряду, со-
ответствующем исходному, величина и порядок членов не изме-
нится, кроме величины последнего члена, что не влияет на ве-
личину медианы.
Ответ: а) увеличится на 0,5; б) увеличится на 6; в) нет;
г) нет.
5. Владелец одного частного предприятия уволил большую
часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20 % (см. табл.).
После этого он заявил, что средний заработок его рабочих повы-
сился. Так ли это?
	Заработок до увольнения		Заработок после увольнения	
	1000 р.	400 р.	800 р.	320 р.
Число рабочих	200	800	200	120
Решение:
Вычисляем средние статистические характеристики:
мода до увольнения Мо = 400;
96
мода после увольнения Мо = 800;
медиана до увольнения Me = 400;
медиана после увольнения Me = 800;
среднее арифметическое
1000-200 + 400-800
до увольнения л =--------------------= 520;
1000
800-200 + 320-120
после увольнения л =------------------= 620.
320
Вычисления подтверждают, что средние характеристики
действительно увеличились. Однако простой взгляд на таблицу
подтверждает, что жизнь рабочих не улучшилась, а, наоборот,
ухудшилась! Не говоря уже о тех, кто потерял работу. Здесь
итоги решения математической задачи противоречат здравому
смыслу. Математическая модель не всегда адекватна практиче-
ской ситуации. В данном случае средние характеристики не яв-
ляются типичными представителями статистических данных,
поэтому их использование приводит к ложному выводу.
На примере этой задачи показываем учащимся, что необхо-
димо не только формально вычислять средние характеристики,
но и уметь правильно истолковывать статистическую информацию.
IV. Итоги урока.
- Какие средние статистические характеристики вы узнали?
- Как вычисляются размах ряда? мода? Что они характери-
зуют?
- Как вычисляется среднее арифметическое ряда? Для чего
служит эта характеристика?
- Как вычисляется медиана упорядоченного ряда с четным
числом членов? нечетным? Что она характеризует?
Домашнее задание:
1.	Найдите размах, моду и медиану ряда:
а)1;3;-2; 4;-2; 0; 2; 3; 1;-2; 4;
б)	0,2; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6.
2.	В вашем (или соседнем) классе соберите данные о месяцах
рождения учеников. Месяцы удобнее перечислять не по назва-
ниям, а по номерам.
97
Найдите: а) размах; б) моду; в) среднее арифметическое для
экспериментальной выборки.
3.	Для упорядоченного ряда, содержащего т чисел, где т -
четное число, укажите номера двух последовательных членов,
между которыми заключена медиана, если т равно:
а) 6;	6)18; в) 56; г) 240.
Урок 24
ОБОБЩЕНИЕ МАТЕРИАЛА
ПО ТЕМЕ «УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Цели: обобщить и систематизировать материал по теме
«Уравнение с одной переменной», подготовиться к написанию
контрольной работы.
Ход урока
I. Устная работа.
Найдите корень уравнения.
а)-2х = -14;	б) -2х = |;	в)48х = -16;
г)-3 = -^х;	д)-х = -5,6;	е)-25х = -1;
1	3	1
ж) 2(х - 3) = 2х - 6;	з) 4х = 4(х + 2);	и)—х = —х + —.
II. Обобщение и систематизация изученного материала.
Во время выполнения устной работы учащиеся должны
вспомнить, как решается линейное уравнение, сколько оно мо-
жет иметь корней и от чего это зависит.
Затем следует вспомнить алгоритм решения уравнений, сво-
дящихся к линейным.
Третий блок для повторения - решение текстовых задач
с помощью уравнений. Напоминаем, что в этом случае линейное
уравнение и числовые данные задачи выступают в качестве ма-
тематической модели реального процесса. Математическое мо-
делирование состоит из следующих этапов:
1.	Анализ условия задачи.
2.	Поиск способа решения задачи и составление плана решения.
98
3.	Осуществление найденного плана.
4.	Изучение (анализ) найденного решения.
III. Практикум по решению задач.
Подготовку к контрольной работе целесообразно организо-
вать в виде практикума по решению задач. Следует предусмот-
реть наличие как заданий обязательного уровня, так и повышен-
ной трудности для сильных учащихся.
1.	Ответьте устно на вопрос, равносильны ли уравнения
и почему:
а)	2х + 3 = 0
б)	Зх - 7 = 4х - 3
в)	-Зх - 7 = 0
г)	-2х +3 = 0
д)	Зх - 7 + 2х - 3 = х
2.	Выполните задание самостоятельно по вариантам.
Вариант 1
Решите уравнение.
а) (7х + 1)-(6х + 3) = 5;	б) (8х + 11)-13 = 9х-5;
в) 2 = (Зх-5)-(7-4х);	г) 8х + 5 = 119 + (7-Зх).
Вариант 2
а) (6х + 1)-(3-2х) = 14; б) (6-2х) + 4 = -5х-3;
в) 12 = (7х-9)-(11-х); г) 11х +103 = 1 + (12х-31).
Решение заданий по вариантам
Вариант 1
а) (7х + 1)-(6х + 3) = 5;
7х + 1-6х-3 = 5;
7х-6х = 5-1 + 3;
х = 7.
и
и
и
и
2х = -3;
О = (4x 3) (Зх - 7);
Зх + 7 ~ О;
2х + 3 = О;
и 4x10 = О?
б) (8х + 11)-13 = 9х-5;
8х + 11-13 = 9х-5;
8х-9х = -5-11 + 13;
—х - -3;
в) 2 = (Зх-5)-(7-4х);
2 = Зх-5-7 + 4х;
-Зх - 4х = -5 - 7 - 2;
-7х = -14;
х = 2.
г) 8х + 5 = 119 + (7-Зх);
8х + 5 = 119 + 7-Зх;
8х + 3х = 119 + 7-5;
11х = 121;
99
Вариант 2
а)	(6х + 1)-(3-2х) = 14;
6х +1 - 3 + 2х - 14;
6х + 2х ---14-1 + 3;
8х = 16;
б)	(6-2х) + 4 = -5х-3;
6-2х + 4 = -5х-3;
-2х + 5х = -3 - 6 - 4;
Зх — -13;
х = 2.
в) 12 = (7х-9)-(11-х);;г) 1 к + 103 = 1 + (12х-31);
12 = 7х-9-11 + х;
-7х - х = -9-11 -12;
-8х = -32;
х = 4.
1 1х +103 = 1 + 12х-31;
1 1х-12х = 1 -31 -103;
-х= -133;
х = 133.
х = -4-.
3
3.	Решите уравнение.
а)	(10х-3) + (14х-4) = 8-(15-22х);
б)	(2х + 3)-(5х + 11) = 7 + (13-2х);
в)	(7 -1 Ох) - (8 - 8х) + (1 Ох + 6) = -8;
г)	(2х + 3) + (Зх + 4) + (5х + 5) = 12-7х.
Решение:
а)	(10х-3) + (14х-4) = 8 —(15 —22х);
10х-3 + 14х-4 = 8-15 + 22х;
1 Ох +14х - 22х = 8-15 + 3 + 4;
2х - 0;
х = 0.
б)	(2х + 3)-(5х +11) = 7 + (13 —2х);
2х + 3-5х-11 = 7 + 13-2х;
2х - 5х + 2х = 7 +13 - 3 +11;
—х -- 28;
х = -28.
в)	(7-10х)-(8-8х) + (10х + 6) = -8;
7 -1 Ох - 8 + 8х +1 Ох + 6 = -8;
-10х + 8х + 10х — -8-7 + 8-6;
8х = -13;
х = -1,625.
100
г)	(2х +3) + (Зх +4) + (5х +5) = 12 - 7х;
2х + 3 + Зх + 4 + 5х + 5 = 12- 7х;
2х + Зх + 5х + 7х = 12 - 3 - 4 - 5;
17х = 0;
х = 0.
Ответ: а) 0; б) -28; в)-1,625; г) 0.
4.	Масса ящика с яблоками 22 кг и еще половина его массы.
Какова масса ящика с яблоками?
5.	Моторная лодка развивает скорость в стоячей воде 15 км/ч.
Рыбак проплыл на ней против течения реки 30 ч, а затем вер-
нулся на прежнее место за 20 ч. Какова скорость течения реки?
Решение:
Анализ условия:
	и (км/ч)	/(ч)	5 (КМ)
По течению	15+х	20	3 м 20(15 + х)
Против течения	15-х	30	30(15-х)
Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда (15 + х) км/ч -
скорость лодки по течению и (15 - х) км/ч - против течения.
По течению лодка проплыла 20( 15 + х) км, а против течения -
30(15 - х) км. Зная, что по течению и против него лодка про-
плыла одинаковые расстояния, составим уравнение:
20(15 +х) = 30(15-х);
20 - 15 + 20 х = 30 - 15-30 х;
300 + 20х = 450 - ЗОх;
20х + 30х= 450 - 300;
50х= 150;
х = 3.
Значит, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ: 3 км/ч.
6.	Фермер планировал засевать в день по 9 га поля. Приме-
нив новую технику, он каждый день засевал на 3 га больше,
и за 3 дня до намеченного срока осталось засеять 9 га. Какова
площадь поля?
101
Решение:
Анализ условия:
	Производительность (га/день)	Сроки (день)		Площадь (га)	
По плану	9	3 -а S	1	X 9	<и, g 2 ж <u	X
Фактически	9 + 3=12	s св	х-9 12	S’ о св I	х- 9
Пусть х га - площадь поля, тогда намеченный срок был —
дней. Так как фактически фермер засевал на 3 га/день больше,
то есть 12 га/день, и осталось ему засеять 9 га (то есть он засеял
г — 9
(х - 9) га), то он работал ' дней. Зная, что срок работы был
на 3 дня меньше запланированного, составим уравнение:
х-9 „ х ,
-------+ 3 = -;	-36
12	9
3(х - 9) + 36 • 3 = 4 • х;
Зх-27+ 108 = 4х;
Зх-4х = 27- 108;
-х = -81;
х = 81.
Значит, площадь поля равна 81 га.
Ответ: 81 га.
IV. Итоги урока.
- Какое уравнение называется линейным? Сколько решений
оно может иметь?
- Какие уравнения называются равносильными? Приведите
пример.
- Назовите алгоритм решения уравнений, сводящихся к ли-
нейным.
- Назовите основные этапы решения текстовых задач алгеб-
раическим методом.
102
Домашнее задание: повторить п. 6-8.
1.	Решите уравнение.
a) 0,71х-13 = 10-0,29х; б) 8с + 0,73 = 4,61 -8с;
в) 48 = 11-(9а + 2);	г) 13-(5х + 11) = 6х.
2.	№ 240 (а; в).
3.	№249;№251.
Урок 25
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 1
1.	Решите уравнение.
а)^х = 12;	в) 5х-4,5 = Зх + 2,5;
б) 6х-10,2 = 0;	г) 2х-(6х-5) = 45.
2.	Таня в школу сначала едет на автобусе, а потом идет пеш-
ком. Вся дорога у неё занимает 26 мин. Идет она на 6 мин доль-
ше, чем едет на автобусе. Сколько минут она едет на автобусе?
3.	В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена
в 3 раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая
увезли 20 т сена, а во второй привезли 10 т, в обоих сараях сена
стало поровну. Сколько всего тонн сена было в двух сараях пер-
воначально?
4.	Решите уравнение 7х - (х + 3) = 3(2х -1).
Вариант 2
1.	Решите уравнение.
а)^х = 18;	в) 6х-0,8 = Зх + 2,2;
б) 7х + 11,9 = 0;	г) 5х-(7х + 7) = 9.
2.	Часть пути в 600 км турист пролетел на самолете, а часть
проехал на автобусе. На самолете он проделал путь в 9 раз
больший, чем на автобусе. Сколько километров турист проехал
на автобусе?
103
3.	На одном участке было в 5 раз больше саженцев смороди-
ны, чем на другом. После того как с первого участка увезли 50 са-
женцев, а на второй посадили еще 90, на обоих участках сажен-
цев стало поровну. Сколько всего саженцев было на двух участ-
ках первоначально?
4.	Решите уравнение 6х - (2х - 5) = 2(2х + 4).
Вариант 3
1.	Решите уравнение.
а)—х = 5;	в) 4х + 5,5 = 2х-2,5;
б) Зх-11,4 = 0; г) 2х-(6х + 1) = 9.
2.	Саша решил две задачи за 35 минут. Первую задачу он
решал на 7 мин дольше, чем вторую. Сколько минут Саша ре-
шал вторую задачу?
3.	В первом мешке в 3 раза больше картофеля, чем во вто-
ром. После того как из первого мешка взяли 30 кг картофеля,
а во второй насыпали еще 10 кг, в обоих мешках картофеля ста-
ло поровну. Сколько килограммов картофеля было в двух меш-
ках первоначально?
4.	Решите уравнение 8х - (2х + 4) = 2(3х - 2).
Вариант 4
1.	Решите уравнение.
а)— х = 8;	в) Зх-0,6 = х + 4,4;
4
б)5х-12,5 = 0;	г) 4х-(7х-2) = 17.
2.	Длина отрезка АС равна 60 см. Точка В взята на отрезке
АС так, что длина отрезка АВ в 4 раза больше длины отрезка ВС.
Найдите длину отрезка ВС.
3.	В первом контейнере в 5 раз больше моркови, чем во вто-
ром. Когда из первого контейнера взяли 25 кг моркови, а во вто-
рой засыпали еще 15 кг, то в обоих контейнерах моркови стало
поровну. Сколько килограммов моркови было в двух контейне-
рах первоначально?
4.	Решите уравнение Зх - (9х - 3) = 3(4 - 2х).
104
Рекомендации по оцениванию контрольной работы.
Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые
два задания (обязательный уровень). Для получения отметки «4»
достаточно выполнить любые три задания, для отметки «5» -
все четыре задания.
Решения заданий контрольной работы
Вариант 1
1,а)|х = 12; |-3
х = 12-3;
х = 36.
в) 5х-4,5 = Зх + 2,5;
5х-Зх = 2,5 + 4,5;
2х - 7;
х = 3,5.
б) 6х-10,2 = 0;
6х = 10,2; | : 6
х = 1,7.
г) 2х-(6х-5) = 45;
2х-6х + 5 = 45;
2х-6х = 45-5;
—4х = 40;
х = -10.
Ответ: а) 36; б) 1,7; в) 3,5; г) -10.
2.	Анализ условия:
26 мин
автобусом
X мин
пешком
(х + 6) мин
Пусть Таня едет на автобусе х мин, тогда пешком она идет
(х + 6) мин. Зная, что вся дорога занимает 26 минут, составим
уравнение:
х	+ (х + 6) = 26;
х	+ х + 6 = 26;
х	+ х = 26 - 6;
2х - 20;
х= 10.
Значит, на автобусе Таня едет 10 минут.
Ответ: 10 мин.
105
3.	Анализ условия:
	1 -й сарай	2-й сарай
До	в 3 раза б<	элыпе
	Зх	X
После	равнс	
	Зх-20	х+ 10
Пусть во втором сарае было х т сена, тогда в первом сарае
было Зх т сена. После того как из первого сарая вывезли 20 т се-
на, там осталось (Зх - 20) т сена, а после того как во второй са-
рай довезли 10 т сена, там стало (х + 10) т. Зная, что после этого
сена в обоих сараях стало поровну, составим уравнение:
Зх - 20 = х + 10;
Зх - х = 10 + 20;
2х - 30;
х = 15.
Значит, во втором сарае первоначально было 15 т сена.
Так как Зх = 3 • 15 = 45, то в первом сарае было 45 т сена.
Следовательно, всего в двух сараях первоначально было 15 +
+ 45, то есть 60 г сена.
Ответ: 60 т.
4.	7х-(х + 3) = 3(2х-1);
7х-х-3 = 6х - 3;
7х - х - 6х = -3 + 3;
0 • х = 0;
х - любое число.
О т в е т: х - любое число.
1.а)—х = 18; |-6
6
х — 18-6;
х= 108.
Вариант 2
б) 7x4-11,9 = 0.
7х = -11,9;
х = (-11,9): 7;
х = -1,7.
106
в) 6х-0,8 = Зх + 2,2;
бх-Зх = 2,2+ 0,8;
Зх = 3;
г) 5х-(7х + 7) = 9;
5х-7х-7 = 9;
5х- 7х = 9 + 7;
-2х = 16;
х = -8.
Ответ: а) 108; б) -1,7; в) 1; г) -8.
2.	Анализ условия:
600А км
самолет 9х км автобус х км
Пусть турист проехал на автобусе х км, тогда на самолете он
пролетел 9х км.
Зная, что весь путь составил 600 км, составим уравнение:
х + 9х = 600;
1 Ох = 600;
х = 60.
Значит, на автобусе турист проехал 60 км.
Ответ: 60 км.
3.	Анализ условия:
	1-й участок	2-й участок
До	в 5 раз больше	
	5х	X
После	равно	
	х - 50	х + 90
Пусть на втором участке было х саженцев смородины, тогда
на первом было 5х саженцев. После того как с первого участка
увезли 50 саженцев, там осталось (5х - 50) саженцев смородины,
а после того как на второй участок посадили еще 90, там стало
(х + 90) саженцев смородины. Зная, что после этого на обоих
участках стало поровну саженцев смородины, составим уравнение:
5х - 50 = х + 90;
5х - х = 90 + 50;
4х= 140;
х = 35.
107
Значит, на втором участке первоначально было 35 кустов смо-
родины.
Так как 5 • 35 = 175, то на первом участке было 175 кустов
смородины.
Следовательно, всего на двух участках первоначально было
35 + 175, то есть 210 саженцев смородины.
Ответ: 210.
4.	6х-(2х-5) = 2(2х + 4);
6х - 2х + 5 = 4х + 8;
6х-2х-4х = 8-5;
0 • х = -3;	нет корней.
Ответ: нет корней.
Вариант 3
1. а) -^х = 5; | • 5
х = 25.
в) 4х+ 5,5 = 2х-2,5;
4х -2х = -2,5 -5,5;
2х = -8;
х = (-8):2;
х = ^Ь.
б) Зх-11,4 = 0;
Зх= 11,4;
х - 11,4 : 3;
х = 3,8.
г) 2х - (6х +1) = 9:
2х - 6х -1 -- 9;
2х-6х = 9 +1;
-4х = 10;
х= 10:(—4);
х - -2,5.
Ответ: а) 25; б) 3,8; в) -4; г) -2,5.
2. Анализ условия:
на 7 мин больше
1 I
1 -я задача
35 мин
2-я задача
Пусть х минут Саша решал вторую задачу, тогда первую за-
дачу он решал (х + 7) минут. Зная, что две задачи Саша решил
за 35 минут, составим уравнение:
х + (х + 7) = 35;
х + х + 7 = 35;
108
2х = 35-7;
2х = 28;
х = 28:2;
х = 14.
Значит, вторую задачу Саша решил за 14 минут.
Ответ: 14 минут.
3.	Анализ условия:_________________________
	1-й мешок | 2-й мешок
До	в 3 раза больше Зх	|	х *
После	равно 3*х - 30	| х + 16
Пусть во втором мешке было х кг картофеля, тогда в первом
мешке было Зх кг картофеля. После того как из первого мешка
взяли 30 кг картофеля, в нем осталось (Зх - 30) кг, а после того
как во второй мешок насыпали еще 10 кг, в нем стало (х + 10) кг
картофеля. Зная, что после этого в обоих мешках стало поровну
картофеля, составим уравнение:
Зх - 30 = х + 10;
Зх-х = 10 + 30;
2х = 40;
х = 40 : 2;
х = 20.
Значит, во втором мешке было 20 кг картофеля.
Так как Зх = 3 • 20 = 60, значит, в первом мешке было 60 кг
картофеля.
Следовательно, всего в двух мешках было 20 + 60, то есть 80 кг
картофеля.
Ответ: 80 кг.
4.	8х-(2х + 4) = 2(Зх-2);
8х - 2х - 4 = 6х - 4;
8х - 2х - 6х = -4 + 4;
0 • х = 0;
х - любое число.
О т в е т: х - любое число.
109
Вариант 4
1.а)^х = 8; |-4
х = 8 • 4;
х = 32.
в) Зх-0,6 = х + 4,4;
Зх-х = 4,4+ 0,6;
2х = 5;
х = 5 : 2;
х - 2,5.
О т в е т: а) 32; б) 2,5; в) 2,5; г) -5.
б) 5х-12,5 = 0;
5х = 12,5;
х = 12,5 : 5;
х = 2,5.
г) 4х-(7х-2) = 17.
4х-7х + 2 = 17;
-Зх = 17-2;
-Зх = 15;
х= 15 : (-3);
х = -5.
2.	Анализ условия:
в 4 раза больше
60 см
Пусть х см - длина отрезка ВС, тогда 4х см - длина отрезка
АВ, зная, что сумма отрезков АВ и ВС равна длине отрезка АС,
то есть 60 см, составим уравнение:
х + 4х = 60;
5х = 60;
х = 60 : 5;
х= 12.
Значит, длина отрезка ВС равна 12 см.
Ответ: 12 см.
3.	Анализ условия:
	1 -й контейнер	2-й контейнер
До	в 5 раз С	>ольше
	5х	X
После	рав	но
	5х-25	х+ 15
НО
Пусть х кг моркови было во втором контейнере, тогда в пер-
вом было 5х кг моркови. После того как из первого контейнера
взяли 25 кг, в нем осталось (5х - 25) кг моркови, а во втором,
после того как в него засыпали еще 15 кг моркови, стало (х + 15) кг
моркови. Зная, что после этого в обоих контейнерах стало по-
ровну моркови, составим уравнение:
5х - 25 = х + 15;
5х-х = 15 + 25;
4х = 40;
х = 40 : 4;
х = 10.
Значит, во втором контейнере было 10 кг моркови.
Так как 5х = 5 • 10 = 50, значит, в первом контейнере было
50 кг моркови.
Следовательно, всего в двух контейнерах было 10 + 50,
то есть 60 кг моркови.
О т в е т: 60 кг.
4.	3х-(9х-3) = 3(4-2х);
Зх - 9х + 3 = 12 - 6х;
Зх-9х + 6х = 12-3;
0 • х = 9; нет корней.
Ответ: нет корней.
Урок 26
АНАЛИЗ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
ОБОБЩЕНИЕ МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ
«УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Цели: проанализировать результаты контрольной работы,
выявить типичные ошибки, допускаемые учащимися, выполнить
работу над ошибками; обобщить изученный материал, проре-
шать задания повышенной сложности.
Ход урока
I. Анализ результатов контрольной работы.
При анализе обратить особое внимание на решение тексто-
вых задач, моделирование условия в виде блок-схем, таблиц,
чертежей. Выполнить работу над ошибками.
111
II. Обобщение и систематизация материала, углубление
знаний по теме.
1. Актуализация знаний.
Проводится по карточкам с последующим взаимоконтролем.
Карточка № 1
1.	Определение уравнения.
2.	Записать в виде равенства:
а)	сумма выражений 2х + 7 и -х + 12 равна 4;
б)	число 56 в 8 раз больше числа 7;
в)	произведение выражений 2х и Зх + 5 равно 0.
Карточка № 2
1. Назвать элементы уравнения.
2. Заполнить таблицу:
Уравнение	Левая часть	Правая часть	Члены уравнений
а) х2 - 2х + 3 = 7			
б)	7х-8	3 - 5х	
Карточка № 3
1. Что называется корнем уравнения?
2. Какие из чисел 3; -2 являются корнем уравнений:
Зх = -6;	|х| = 3; 5х - 8 = 2х + 4?
Карточка № 4
1. Что значит «решить уравнение»? Сколько корней может
иметь уравнение?
2. При каких значениях х уравнения 2х - 1 = 0; (х - 5)(х + 4) = 0;
|х| = 5 обращаются в верное равенство?
Карточка № 5
1. Общий вид линейного уравнения с одной переменной.
Чем отличается линейное уравнение от других уравнений?
X
2. Назовите линейные уравнения: х(х - 2) = 0; —
6
7’
|х| = 10;
1 , 1 ,
—X + 3 — —h 5.
2	2
112
Карточка № 6
1. Обосновать способ решения линейного уравнения с одной
переменной с помощью свойств числовых равенств на примере
уравнения 10 - х = Зх - 5.
2. Решить уравнение 5х - 3 = 7 + Зх.
Карточка № 7
1. В каком случае уравнение ах = b имеет единственный ко-
рень?
2
2. Решить уравнения 9х = —;	-0,7х = 49.
Карточка № 8
1. В каком случае уравнение ах = b не имеет корней?
2. Решить уравнение 2х + 1 = 2 + 2х.
Карточка № 9
1. В каком случае уравнение ах = b имеет бесконечное мно-
жество корней?
2. Решить уравнение 3 - Зх + 2 = 5 - Зх.
Карточка № 10
1. В каком случае уравнение ах = b имеет корень, равный О?
2. Решить уравнение 10х = 0, -Зх + 8 = Зх + 8.
Карточка № 11
1. Как проверить: верно ли решено уравнение?
2. Верно ли решено уравнение?
4х + 4 = х + 5;
4х - х = 5 - 4;
Зх= 1;
х = 1 : 3;
1
х - —.
3
n	J4
Ответ: х = < — >.
[з]
2. Решение заданий повышенной сложности.
№ 1184*; № 1185* (а, в); № 1187*; № 1193*.
113
№ 1184. Решение:
(а-1)х = 12; |:(а-1)^0
12
х =---.
а-1
Чтобы х было натуральным числом, 12 должно нацело де-
лится на а - 1. Возможны следующие варианты:
а- 1 = 1;	а= 1 + 1;	а = 2;
а- 1 =2;	а = 2 + 1;	а = 3;
а- 1 =3;	а = 3 + 1;	а = 4;
а - 1 = 4;	а = 4+ 1;	а = 5;
а - 1 = 6;	а = 6 + 1;	а = 7;
а-1 = 12;	а= 12+ 1;	а= 13
Ответ: 2; 3; 4; 5; 7; 13.
№ 1185. Решение:
а) |х-3| = 7, значит, х-3 = 7 или х-3=-7;
х = 7 + 3; х = -7 + 3;
х = 10; х = -4.
в) |4-х| = 1,5 , значит, 4-х =1,5; или 4-х = -1,5;
-х=1,5-4;	-х = -1,5-4;
-х = -2,5;	-х = -5,5;
х = 2,5;	х = 5,5.
Ответ: а) 10; -4; в) 2,5; 5,5.
№ 1187. Решение:
Анализ условия:
Пусть в обеих бочках было по а литров воды. В первой боч-
ке сперва уменьшили на 10 %, то есть воды стало 0,9а, а затем
увеличили на 10 %, то есть воды стало 1,1 • (0,9а), то есть 0,99а.
1 14
Во второй бочке сперва увеличили на 10 %, то есть воды
стало 1,1 а, а затем уменьшили на 10 %, то есть воды стало
0,9 • (1,1а), то есть 0,99а. Значит, в бочках воды осталось поровну.
Ответ: поровну.
№ 1193. Решение:
Пусть число записано цифрами ху, где х - число десятков, у -
число единиц. Значит, ху = 10х + у. Сумма цифр равна х + у.
Зная, что число в 4 раза больше суммы цифр, составим уравнение:
Юх + у = 4(х + у);
1 Ох + у = 4х + 4у;
10х - 4х - 4у-у;
6х ~ Зу;
2х = у.
Так как х и у могут принимать значения от 0 до 9 (причем
х 0), то возможны варианты:
X
1
2
3
4
У
2
4
6
8
Значит, число может быть 12, 24, 36 и 48.
Ответ: 12; 24; 36; 48.
Домашнее задание: № 1185* (б, г); № 1188*; № 243 (а, б); № 244.
Урок 27
ФОРМУЛЫ
Цели: формировать умения вычислять значение перемен-
ной по формуле, выражать из формулы одну переменную через
другую, применять формулы при решении практических задач.
Ход урока
1.	Актуализация знаний.
1. Выразите в метрах:
а) 14 см;	б) 12,8 км;	в) 13 дм;
г) 330 мм;	д) 0,32 км;	е) 0,03 дм.
115
2. Выразите в м2:
а) 16 см2;	б) 0,35 дм2;	в) 1,2 км2;
г) 0,03 а;	д) 13 га;	е) 283 дм2.
II. Изучение нового материала.
1. Актуализация знаний.
Напоминаем учащимся, что для записи формул используют-
ся выражения с переменными. Например,
т = 2п - формула четного числа и т. п.
2. Объяснение проводим согласно пункту 11 учебника, рас-
сматривая примеры из художественной литературы, практиче-
ской деятельности человека.
3. Первичное закрепление. Просим записать формулу пере-
вода в метры длины, выраженной в сантиметрах (миллиметрах,
километрах и т. п.). М= 0,01 • а,	где М — длина в метрах, а - длина в сантиметрах;
М= 0,001 • Ь, М= 1000 -с,	где b - длина в миллиметрах; где с - длина в километрах и т. д.
III. Закрепление изученного материала.
Все задания данного пункта можно условно разбить на три
группы:
1-я группа. Вычисление значения переменной по формуле.
2-я группа. Выражение одной переменной через другую
из формулы.
3-я группа. Решение практических задач с использовани-
ем формул.
1-я группа
№ 196, № 197, № 198.
№ 197. Решение:
Если т - 3, то - 16,38 • 3 = 49,14;
если т = 20,5, лор = 16,38 • 20,5 = 335,79.
Ответ: 49,14 кг; 335,79 кг.
116
№ 198. Решение:
а)	Если/= 8, то с = 1,409 • 8 = 11,272.
б)	Если/= 30,5, то с = 1,409 • 30,5 « 42,97.
Ответ: 11,272 кг; б) « 42,97 кг.
2-я группа
1. № 205. Решение:
	4 „ a + b
а) 5 = at; | : а	б) v = w0 + at;	в) S =	 • h; 2
s	. — = t;	v — vq — at; | : t	2S = (a + b) - h;
a	
. S	V-Vo t			= a;	2^ — = a + b;
a	t	h
v-Vo	
a =	.		a = b;
t	h
	
	b =	a.
	h
2. Выразите из формулы:
а) у = Зх -15 переменную х;
б) у = ах + 2Ьх переменную х;
3	(1 2
в) у = —х-2х! у + ~^а I переменнуюх.
Решение:
б) у = ах + 2Zjx;
у = х(а + 2Ь);
~^— = х-
а + 2Ь ’
х = ^—.
а + 2Ь
х з <1 А
в) у = -х-2х\ — + 3а ;
5	<5	J
3	2	„
у = —х—х-Ьах;
5	5
117
у --х-бах;
5
fl а
у = х\ —6а
И )
= х(0,2-6а);
-------= *;
0,2-ба
0,2 - 6а
О т в е т: а) х = ----; б) х -------;
3	a + Zb
0,2 -6а
3-я группа
1.№199, №200.
№ 199. Решение:
Пусть длина прямоугольника равна а, ширина - Ь, а пло-
щадь - 5.
По формуле площади прямоугольника находим 5 = ab.
а)	После уменьшения длины и ширины на 10 % длина будет
равна а - 0,1а = 0,9а, а ширина b - 0,1 £> = 0,96. Тогда площадь
будет равна
0,9а • 0,96 = 0,81 аб, то есть уменьшится на ab - 0,81 ab = 0,19а6.
Имеем: 2112^2 . 100 % = 19 %. Значит, площадь уменьшится
ab
на 19%.
б)	После увеличения длина будет равна а + 0,3а = 1,3а, ши-
рина после уменьшения будет равна 6 - 0,36 = Тогда пло-
щадь будет равна
1,	3а • 0,76 = 0,91а6, то есть уменьшится на аб - 0,91а6 = 0,09 • 6.
,,	0,09а6 1ЛЛО/ по/ о
Имеем: ------• 100 % = 9 %. Значит, площадь уменьшится
аб
на 9 %.
Ответ: а) уменьшится на 19 %; б) уменьшится на 9 %.
118
2.	После повышения цен (с) на обувь в 2,5 раза приняли ре-
шение о 30-процентном снижении цен на детскую обувь. Со-
ставьте формулу расчета новых цен на детскую обувь.
Решение:
После повышения цена составила 2,5с, а после снижения -
2,5с - 0,3 • (2,5с) = 2,5с - 0,75с = 1,75с.
Новая формула ci = 1,75с, где с - первоначальная стоимость
обуви, a ci - новая.
3.	№ 201, № 202.
№ 201. Решение:
После повышения цена стала равна а + 0,15cz = 1,15а (р.).
После снижения цена составляла 1,15а - 0,15 • (1,15а) = 1,15а -
- 0,1725а = 0,9775а.
То есть окончательная цена b » 0,98а, значит, b < а.
Ответ: 1.
№ 202. Решение:
Пусть х р. - исходная цена костюма, тогда после снижения
цены она стала равна х - 0,2х = 0,8х. Чтобы вернуться к перво-
начальной цене, её надо увеличить на 0,2х. Вычислим, сколько
процентов составляет 0,2х от 0,8х:
0,2х
—— • 100 % = 25 % . Значит, увеличить цену надо на 25 %.
0,8.x
О т в е т: на 25 %.
4.	№ 203, № 204.
№ 203. Решение:
Формула с =
5(7 ~ 32)
9
позволит переводить температуру,
выраженную в градусах Фаренгейта, в градусы Цельсия. Чтобы
проводить обратную операцию, выразим из формулы/
С = ^2)
9
9с = 5(7-32);
9с = 57-160;
119
9с+ 160 = 5/;
9с + 160	„
9с + 160
5
чт, л о г 9-4 + 160 196
а)	Если с = 4 °, то f =-----------= 39,2 °F;
5	5
,_о	_ 9 (-15) + 160 25 сос,
если с = -15 , то f =-------------- — = 5 °F;
5	5
если с - 0 °, то f = -—9 + ^0 - 32 °F.
5
/• оно 5(20-32)	60	.1
б)	Если f - 20 , то с ------- =----- -6— °C;
9	9	3
Z 1ГО	5(—16 —32)	240	^2О^
9	9	3
Л 0	5(0-32)	160	7
если / = 0 , то с = —----- =-----= -17 — С.
9	9	9
1	2	7
От в ет: а) 39,2 0 F; 5 °F; 32 °F; б) -6- °C; - 26- °C; -17- °C.
3	3	9
№ 204. Решение:
5( /*—32)
а)	Не может, так как если/<0, то/-32<0и	—- < 0;
5(/-32)
б)	может, так как если 0 </< 32, то/- 32 < 0 и ——- < 0.
О т в е т: а) не может; б) может.
IV. Итоги урока.
ФУНКЦИИ
Урок 28
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ТАБЛИЦЫ
Цели: ввести понятие функциональной зависимости; дать
определения независимой переменной (аргумента), зависимой
120
переменной, области определения функции, области значений
функции.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Нацдите значение выражения.
а)	Зх-(2 + Зх) при х = 7,862;
б)	2а-(а-0,3) при а = 0,7;
в)	---------------- при у = 7,62;
(Зу + 15)-(14 + Зу)
г)	0,5(2 +я) при а = 0,3.
2.	Решите уравнение.
а) Зх = -9;	б)— у = —;	в) 5а -15 = 0;
3	6
г) Зх = Зх+ 11; д) ~х~4 = -^(х-8); е) Зу +j = 0.
II.	Объяснение нового материала.
1.	Основная задача первого занятия: показать, что функция -
это математическая модель, позволяющая описывать и изучать
разнообразные зависимости между реальными величинами.
Функция имеет общекультурное, мировоззренческое значе-
ние. При её изучении учащиеся знакомятся с идеей всеобщей
связи, идеей непрерывности, бесконечности, интерполяции.
2.	Объяснение проводить согласно пункту 12 учебника. Не-
обходимо привести достаточно примеров функциональной зави-
симости (учебник, с. 51-53). Также нужно не только показывать
зависимости, но и сразу обсуждать, в какой области человече-
ской деятельности применяются такие функциональные зависи-
мости.
3.	Вводим понятия независимой и зависимой переменных
и определение функции как зависимости одной переменной
от другой. На примерах показываем, что область определения
функции может быть бесконечным и конечным множеством чисел.
121
III.	Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, направлены на усвое-
ние как самого понятия функции, так и различных способов её
задания (словесный, с помощью формулы, табличный, графиче-
ский). Ученики должны уметь переходить от одного вида зада-
ния к другому и находить значения функции при каждом спосо-
бе задания.
1.№258, №260.
2. Функция задана формулой у = 2 - 5х, верны ли равенства:
а) у = 12 при х = -2;	б)у = 3 при х =
в) у = 20 при х = 4;	г) у = -0,5 при х = -^ ?
З.№261.
4.	Функция задана графиком:
а)	Найти значения функции при х = 0; 2; 3,5; -1.
б)	При каком значении х значение функции равно 1; 2; 0?
в)	Назвать несколько значений х, при которых значение
функции положительно.
г)	Назвать несколько значений х, при которых значение
функции отрицательно.
5.	Устно.
Результаты измерений температуры воздуха за сутки даны
в следующей таблице:
Вре- мя, ч	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Тем- пера- тура, °C	-1	+ 1	-3	4	2 — 2	5	8	10- 2	11	9	6	3- 2	1- 2
122
а)	Назовите температуру в 6 ч, 8 ч, 24 ч.
б)	В какое время температура была равна +1°, -4°, 11 °?
в)	Почему эту зависимость можно назвать функцией?
6.	№ 263. Решение:
Если г - остаток от деления натурального числа п на 4,
то можно записать п = 4 • х + г, где 0 < г < 4.
Найдем соответствующие значения г.
а)	Если «= 13, то 13 = 3-4+1, то есть г = 1;
б)	если п = 34, то 34 = 8 • 4 + 2, то есть г = 2;
в)	если я = 43, то43 = 10-4 + 3, то есть г = 3;
г)	если «=100, то 100 = 25 • 4 + 0, то есть г = 0.
В рассматриваемой функциональной зависимости аргумен-
том является переменная п.
Областью определения является множество чисел {13; 34;
43; 100}.
Значениями функции служат числа 0; 1; 2; 3.
IV. Итоги урока.
- Что называется функцией?
- Что называется аргументом?
- Приведите пример функциональной зависимости одной
переменной от другой. Укажите независимую и зависимую пе-
ременную.
- Какими способами можно задать функцию? Назовите пре-
имущества каждого из них.
Домашнее задание: 1. № 259; № 262; № 264.
2.	Функция задана графиком:
а)	Найти значения функции при значениях аргумента 0; -2; 1; 3.
б)	При каком значении х значение функции равно 2; 0; 1; -1?
123
в)	Назвать несколько значений х, при которых значение
функции положительно.
г)	Назвать несколько значений х, при которых значение
функции отрицательно.
Урок 29
АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ
ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Цели: продолжить работу по усвоению понятия функции
и связанных с функцией понятий (область определения функ-
ции, область значений функции и др.); формировать умение на-
ходить значения функций, заданных аналитически (с помощью
формулы).
Ход урока
I. Устная работа.
1. Задайте формулой функцию, сопоставляющую каждому
числу третью степень этого числа; сумму этого числа с числом 5.
2. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч и за t ч проходит
расстояние 5 км (зависимость 5 от /). Найдите значение функции,
1 И
соответствующее значению аргумента, равному —; 2; 2—.
II. Объяснение нового материала.
Цель этого и последующих занятий - в упорядочении
имеющихся представлений о функции, развертывании системы
понятий, характерных для функциональной линии. Значитель-
ное место должно быть отведено усвоению важного представле-
ния - однозначности соответствия аргумента и определенного
по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса
привлекаются различные способы задания функции.
Чаще других в математике и её приложениях применяется
задание функции формулой. Все другие способы играют подчи-
ненную роль. Однако сопоставление разных способов задания
выполняет важную роль:
1) и таблицы, и графики служат для удобного в определен-
ных обстоятельствах представления функции, имеющей анали-
тическую форму записи;
124
2) необходимо для усвоения всего многообразия аспектов
понятия функции.
Объяснение проводить согласно пункту 13 учебника. Разби-
раем пример № 1 со с. 55 учебника. Показываем, что для того,
чтобы найти значение функции, необходимо подставить некото-
рое значение аргумента в формулу.
Также объясняем, что в случае, когда область определения
функции явно не задана, считают, что она состоит из всех значе-
ний независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
III. Формирование умений и навыков.
Задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить
на группы:
1-я группа. Нахождение значения функции по формуле
при заданном значении аргумента.
2-я группа. Составление таблицы значений некоторой
функции.
3-я группа. Нахождение области определения функции.
1-я группа.
1	.№267.
2	. Вычислить значение следующих функций при х, равном
-2; -1; 0; 1;2.
а)у = 3х; б)у = -2х; в)у = -х-3; г)у = 20х + 4.
2-я группа.
1	.№270.
2	. № 271. Решение:
у = х(х-3,5)
X	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
У	0	-1,5	-2,5	-3	-3	-2,5	-1,5	0	2
3-я группа
1. Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) у = Зх + 2;	б) у -	; х - 2	в) у = х7 + 2х - 3;
ч	2	\	7х	.	2х + 3	3
Г)Л’=?-Г	д) у -	.; х + 4	е) у =	+	 х-3	х-5
125
2.	№ 351. Решение:
ч 7
а)
X -4
Область определения функции - все числа, кроме тех, при
которых х - 4 =0, то есть х2 = 4. Значит, не входят в ООФ х = 2
и х = -2.
8
б) У =
Область определения функции - все числа, кроме тех, при
которых х~ + 4 = 0, то есть х2 = -4. Уравнение не имеет решения,
значит, ООФ - любое число.
О т в е т: а) любое число, кроме 2 и -2; б) любое число.
3.	Дополнительные задания (для сильных учащихся).
3.1.	Найдите область определения функции.
а) у = <
х
х2-9
при х > 2,
при
б) у = <
2х-11
4
3
при
чх-2
при
3.2.	Задайте формулой какую-нибудь функцию, область оп-
ределения которой:
а)	все действительные числа;
б)	все действительные числа, кроме -11;
в)	все действительные числа, кроме 3 и 5;
г)	все неотрицательные действительные числа;
д)	все неположительные действительные числа.;
е)	только одно число.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Дана функция у = 2х2 - 4х. Найдите значение функции при
х = 0 и х = -1.
126
2. Найдите область определения функции.
а) у = 2х - 7;	б) у - ——-;
х + 6
в)* у = < (х-2)(х + 3)
з , 1
при х > О,
при х < 0.
Вариант 2
1. Дана функция у = 5х2 + х. Найдите значение функции при
х = 0 их - 1.
2. Найдите область определения функции.
х -+- 2
а)у = 3х + 6;	б) у =-----;
х-9
	2-х3	при	х > 0,
в)* у = <	2	при	х < 0.
	(х - 5)(х + 4)		
			
V. Итоги урока.
- В каком смысле употребляется термин «функция»?
- Что называется областью определения функции? Как най-
ти ООФ?
- Какими способами можно задать функцию?
- Каким образом находится значение функции, заданной
формулой?
Домашнее задание: 1. № 268; № 269; № 272.
2. Составьте таблицу значений функции, заданной формулой
у = Зх2 - 2х + 1, где -1 < х < 0, с шагом 0,1.
Урок 30
НАХОЖДЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
ПРИ ЗАДАННОМ АРГУМЕНТЕ И НАОБОРОТ
Цели: продолжить формировать умение находить значе-
ние функции по формуле, а также формировать умение нахо-
дить значение аргумента, соответствующее заданному значению
127
функцию, умение решать практические задачи с использовани-
ем функциональной терминологии.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Найдите значение функции у = 2х - 1 для значений аргу-
мента, равного 0; 1; 2; -1.
2. Найдите область определения функции:
а) у = Зх - 7;	2	7	Э б) у — —;	в) у - х3 -2х2 -1; X
.	х + 2 г) у =	, ; х-1 .	5х ж) у =	; х + 3	4	ч	х2+Зх3 д) у = 2 ,;	е) у = . ; X +1	2 .	Зх2 -х з) У = 2х
II. Формирование умений и навыков.
1. На данном уроке учащиеся продолжают выполнять зада-
ния, направленные на усвоение понятия функции и связанных
с функцией понятий (область определения функции, область
значения функции и др.). Также учащиеся учатся выполнять
действие, обратное нахождению значения функции по формуле,
а именно, нахождение соответствующего аргумента.
Эти задания составляют п е р в у ю группу. Вторая груп-
па - задания на составление формулы функциональной зависи-
мости по условию практической текстовой задачи. При решении
таких задач формируются межпредметные связи.
Также следует указывать учащимся на используемые внут-
рипредметные связи: при нахождении значения функции работа
сводилась к нахождению значения выражения с переменной;
при нахождении значения аргумента следовало решать некото-
рое уравнение (см. пример 2 со с. 56 учебника).
2. Затем приступаем к выполнению упражнений.
1-я группа
1	.№273, №274.
2	. Функция задана формулой у = 2х - 1.
а)	Какое значение у соответствует х, равному 10; —4,5; 15;
251; 600?
128
б)	При каком значении х соответствующее значение у равно:
-19;-57; 205; -3-?
2
Решение:
а)	Если х= 10, то у = 2 • 10 - 1 - 19;
если х = ^4,5, то у = 2 • (^4,5)- 1 =-10;
если х= 15, то 7 = 2-15-1=29;
если* = 251, то у = 2 • 251 - 1 = 501;
если х = 600, то 7 = 2-600- 1 = 1199.
б)	Если7 = -19, то 2х-1=-19;
Если 7 = -57,
Если 7 = 205,
2х = -19 + 1;
2х = -18;
х = -9; то есть 7 = -19, при х = -9.
2х- 1 =-57;
2х = -57+ 1;
2х = -56;
х = - 28, то есть у = -57 при х = - 28.
2х- 1 =205;
2х = 205 + 1;
2х = 206;
х = 103, то есть7 = 205 при х = 103.
Если7= -3—, то 2х - 1 = -Зу;
2х = -3,5 + 1;
2х = -2,5;
х =-1,25, то есть7= -Зу прих= -1у.
2-я группа
1.	Из формулы равномерного движения s = vt выразить ско-
рость v как функцию пути 5 и времени I. Вычислить по этой
формуле среднюю скорость полета пули, если 5 = 3 км, t = 6 с.
2.	№ 276. Решение:
Обозначим за т массу пробки в граммах, а за И - объем в см3.
Тогда зависимость массы куска пробки от объема можно выра-
зить формулой т = 0,18 • V.
а) Если V= 240, то т = 0,18 • 240 = 43,2 (г);
129
б)	если т = 64,8, то 0,18 • V= 64,18;
Г = 64,18 : 0,18;
И = 360 (см3).
Ответ: а) 43,2 г; б) 360 см3.
3.	№ 278. Решение:
Анализ условия:
.$’ км
5= 12 t.	60 км
а)	Если/= 3,5, то 5 = 12 • 3,5 = 42 (км);
б)	если 5 = 30, то 12 • / = 30;
/ = 30 : 12;
/ = 2,5 (ч).
Ответ: а) 42 км; б) 2,5 ч.
4.	№ 352. Решение:
Анализ условия:
х %
у = 1,5х + 150.
а)Еслих=10, то у = 1,5 • 10 + 150 = 15 + 150 = 165;
б)	если у = 180, то 1,5х + 150 = 180;
1,5х= 180 - 150;
1,5х = 30;
х = 30: 1,5;
х = 20, значит, у = 180 при х = 20.
О т в ет: а)у = 165; б) х = 20.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Функция задана формулой у = Зх - 7. Найдите значение
аргумента, при котором значение функции равно нулю.
2.	Найдите значение аргумента, при котором функция
у = -Зх - 2 принимает значение 0,3.
130
3.	Запишите область определения функции, заданной фор-
3
мулои у =----.
12-х
Вариант 2
1.	Функция задана формулой у = 5 + 2х. Найдите значение
аргумента, при котором значение функции равно нулю.
2.	Найдите значение аргумента, при котором функция
у = -5х + 11 принимает значение 0,2.
3.	Запишите область определения функции, заданной фор-
5
мулои у =----.
3-х
IV. Итоги урока.
-	Дайте определение функции. Что называется аргументом,
значением функции?
-	Объясните на примере функции, заданной формулой у = Зх + 18:
а) как по значению аргумента найти соответствующее значе-
ние функции;
б) как найти значения аргумента, которым соответствует
указанное значение функции.
Домашнее задание: № 275; № 277; № 279; № 353.
Урок 31
ГРАФИК ФУНКЦИИ.
ГРАФИКИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Цели: формировать понятие «график функции», умение
строить график функции, заданной аналитически, а также с по-
мощью графика находить значение функции, соответствующее
заданному значению аргумента, и значения аргумента, которым
соответствует данное значение функции.
Ход урока
I. Проверочная работа.
Вариант 1
X
1. Найдите значения функции, заданной формулой У = ~^
для значений аргумента, равных -6; 1,5.
131
2. Найдите значение аргумента, при котором функция
л э	2
у = 4х + 3 принимает значение, равное — .
3*. Найдите значения переменной h, соответствующие зна-
чениям переменной а, равным -5; 0, если b = |а| - 4.
Вариант 2
1. Найдите значения функции, заданной формулой
X
у -	- 6 для значений аргумента, равных -8; 0,8.
2. Найдите значение аргумента, при котором функция
у = 5х + 4 принимает значение, равное 1,5.
3*. Найдите значения переменной и, соответствующие зна-
чениям переменной г, равным -25; 0, если и = |г| -8 .
11.	Устная работа.
На рисунке изображен график зависимости некоторой вели-
чины у от некоторой величины х.
Ответьте на в о п р о с ы :
а)	Чему равное значение у, если х = -3; -1; 2; 5?
б)	Чему равны значения х, если у = 3; 0; 1 ?
в)	Какое минимальное и какое максимальное значения при-
нимает величина^?
III.	Объяснение нового материала.
1. На предыдущих занятиях учащиеся уже познакомились
с основными способами задания функции. Особое внимание бы-
ло уделено связи аналитического и табличного способов. На этом
уроке наша задача - показать, что эти два способа тесно связаны
с графическим, причем его особенность в том, что с помощью
графика мы можем наглядно представлять функциональную
132
зависимость не только для точечной, но и бесконечной области
определения функции:
формула
таблица
график
задание функциональной зависимости
В соответствии с этими положениями объяснение нового ма-
териала проводится в несколько этапов:
1)	Формирование представления о графике функции на ос-
нове связи аналитического, табличного и графического способов
задания функции.
2)	Введение определения понятия графика функции.
3)	Построение графика функции по точкам.
4)	Работа по изображенному графику функции.
2. На первом этапе предлагаем учащимся такое задание.
На рисунке изображены точки на координатной плоскости,
выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлени-
ем. Построить график зависимости давления от времени в про-
межутке 12 < t < 18, соединив эти точки плавной линией.
р, мм рт. ст.> ‘
761 --	•
• • -
760 --
759 --
758 --
Ч-----1----1----1----1----1----1----1----1---1—*
И 12	13	14 15	16 17	18	19	20 Ан
Затем рассматриваем пример со с. 58 учебника, в котором
показано, как по точкам строится график функции у =-----,
х + 3
где -2 < х < 3.
Необходимо сделать вывод: по точкам можно построить
график любой функции, заданной таблично или аналитически
(с помощью формулы).
Вводим определение:
Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны
значениям аргумента, а ординаты - соответствующим
значениям функции.
133
На примере 2 со с. 60 учебника показываем работу по изо-
браженному графику на нахождение значения функции по за-
данному значению аргумента и обратное задание.
IV. Формирование умений и навыков.
1.	№283.
Можно задать учащимся дополнительные вопросы:
а)	Сколько точек пересечения с осью х имеет график? Како-
во значение^ в этих точках?
б)	Сколько точек пересечения с осью у имеет график? Како-
во значение х в этой точке?
в)	Сравните значения функции в точках -2 и 1.
г)	Назовите координаты какой-нибудь точки графика, у ко-
торой значения аргумента и функции положительны; значение
аргумента положительно, а функции - отрицательно и т. д.
2.	№ 284, № 285.
3.	Используя график функции, заполните таблицу значений
функции для -2 < х < 3 с шагом 0,5.
4.	№ 354*.
V. Итоги урока.
- Что называется графиком функции?
- Как построить график функции, заданной формулой?
- Как по графику найти значение функции, соответствующее
данному значению аргумента?
- Как по графику функции найти значение аргумента, кото-
рому соответствует данное значение функции?
- Как по графику зависимости определить, является ли она
функцией?
134
Домашнее задание: 1. № 286; № 287; № 288.
3—х
2. Постройте график функции, заданной формулой у---,
где 1 < х < 6 , предварительно заполнив таблицу с шагом 1.
Урок 32
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «ГРАФИК ФУНКЦИИ»
Цел и: продолжить формировать умения строить график функ-
ции и находить значение функции по заданному аргументу с по-
мощью графика; формировать умение интерпретировать в не-
сложных случаях графики реальных зависимостей между вели-
чинами, отвечая на поставленные вопросы практической задачи.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Какие из графиков, изображенных на рисунках, являются
графиками функций?
2.	По графику, изображенному на рисунке д), найдите:
а)	значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному -3; -2; 1; 2;
б)	значения аргумента, при которых значение функции равно
-1; 2; 3;
в)	координаты точек пересечения с осью х;
г)	координаты точек пересечения с осью у.
II. Формирование умений и навыков.
1,№289.
2. №291, №293.
3. На рисунке изображен график зависимости потребления
районом электрической энергии р (%) от времени суток t (ч).
а)	В какое время суток электрическая нагрузка была макси-
мальной?
б)	В какое время суток нагрузка не превосходила 20 %
от максимума?
в)	Какова была нагрузка в 18 ч?
г)	Какое событие может отражать участок графика АВ?
д)	Возрастала или убывала нагрузка с 4 до 8 ч; с 18 до 20 ч?
4. В таблице представлено население (млрд) земного шара
в различные годы.
Год, t	1900	1940	1950	1970	1990	2000
Население, Н	1,63	2,25	2,53	3,64	5,3	6,1
По этим данным постройте график. Оцените приближенно
по графику население Земли в 1981, 1987, 2010 гг.
136
5. (Криминальная история.) В 11 ч вечера слуга зажег хозяи-
ну две свечи, а утром в 7 ч обнаружил его убитым. Одна свеча
лежала на полу потухшая, а вторая догорала. В какое время про-
изошло убийство, если длина целой свечи 21 см, опрокинутой
во время убийства 16 см, а непотухшего огарка 1 см? Постройте
график зависимости длины горения свечи от времени.
III. Итоги урока.
- Как по графику найти значение функции, соответствующее
данному значению аргумента?
- Как по графику найти значения аргумента, которым соот-
ветствует данное значение функции?
- Как, не строя график, выявить принадлежность ему точки
с данными координатами?
- Как, не строя график, определить, в каких точках он пере-
секает ось абсцисс; ось ординат?
Домашнее задание: № 290; № 292; № 355; № 356*.
Урок 33
ПОНЯТИЕ ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Цели: ввести понятие прямой пропорциональности как
функции определенного вида; формировать умение распозна-
вать прямую пропорциональность и вычислять значение функ-
ции по формуле; повторить тему «Построение точек в коорди-
натной плоскости» для последующего изучения графика прямой
пропорциональности.
Ход урока
I. Устная работа.
1 и -	л.	Зх — 11
1.	Найдите значение функции у =---- для следующих
2 + х
значений аргумента:
а) 0;	6)4;	в) -Д- г)-2.
2.	Проверьте, принадлежат ли графику функции, заданной
формулой у = 2х + 14, следующие точки:
а)Л(0;14); б) В (-2; 8); в)С(-7;0); г)Щ7;0).
137
3.	Решите уравнение.
а)3х=12;	б)-2х+14 = 0;	в)х-15 = 2; г)х + 2=х.
II. Объяснение нового материала.
1. Введение понятия основывается на рассмотрении кон-
кретных практических примеров. Желательно их привести не-
сколько. Так, следует рассмотреть пример со с. 65 учебника.
Кроме того, представить уже знакомую учащимся задачу: «Вы-
числить площадь прямоугольника, основание которого равно 3,
а высота равна х». Если искомую площадь обозначить буквой у,
то ответ можно записать формулой:
у - Зх.
Если основание прямоугольника равно к, то зависимость
между высотой х и площадью у выразится формулой
у = кх.
Каждое заданное значение числа к определяет некоторую
функцию у = кх.
Затем формулируем четкое определение:
Прямой пропорциональностью называется функция,
которую можно задать формулой вида у = кх, где х -
независимая переменная, к - не равное нулю число.
2. Просим учащихся привести примеры прямой пропорцио-
нальности и примеры функций, не являющихся прямой пропор-
циональностью. Также рассматриваем примеры со с. 66 учебни-
ка. Показываем, что число к называется коэффициентом прямой
пропорциональности, а само название функции связано со сле-
дующей пропорцией:
у = кх.
При Xj Ф 0 yt - к • х, => к = —
х,
У->
При х2 Ф 0 у2 - к:  х, => к = —
х2
III. Формирование умений и навыков.
Задания, решаемые на этом уроке, можно разбить на 2 блока.
В первом блоке представлены упражнения на усвоение
Xj х2
138
понятия прямой пропорциональности и выполнение основных
действий по формуле. Второй блок носит повторительный
характер и направлен на актуализацию знаний по теме «По-
строение точек в координатной плоскости».
1-й блок
1.	№ 297, № 298 (устно).
2.	Книга стоит 150 рублей. Выразите формулой зависимость
между купленным количеством (и) данных книг и уплаченной
суммой (у) в рублях.
3.	Автомобиль «Лада» движется по шоссе со скоростью
80 км/ч. Записать формулу, выражающую зависимость длины
пути s (в км) от времени движения t (в ч). Чему равно s (3), 5 (5,4)?
4.	Зависимость между переменными х и у выражена форму-
лой у = кх. Определить к, если у = -5 при х = 2,5.
5.	Дана таблица значений функции у = кх:
X	0,5		1,4	2,1	3	
У		1	4,2			9,6
Найти к и заполнить пропущенные клетки.
2-й блок
Самостоятельная работа
Вариант 1
1.	Постройте систему координат. Отметьте в координатной
плоскости точки:
(2,5; 1), (2,5;-1), (0,4; 3,5), (-0,4; 3,5).
2.	Запишите координаты точек:
139
3.	В каких координатных четвертях расположены точки:
А (-87; 98); В (0,1; -0,01); С (-1,25; -3,48)?
4.	Постройте в координатной плоскости прямую проходя-
щую через точки С (-А; 3) и D (3; -1). Найдите координаты то-
чек, в которых эта прямая пересекает ось х и ось у.
Вариант 2
1.	Постройте систему координат. Отметьте в координатной
плоскости точки:
(4; 3,5), (4; -3,5), (-5,3; -1,5), (5,3; -1,5).
2.	Запишите координаты точек:
3.	В каких координатных четвертях расположены точки:
А (25; 360); В (-2,5;-100); С
4.	Постройте в координатной плоскости прямую, проходя-
щую через точки А (3; 4) и В (-5; -1). Найдите координаты то-
чек, в которых эта прямая пересекает ось х и ось у.
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте определение прямой пропорциональности.
-	Приведите примеры прямой пропорциональности.
-	Как называется число к в записи формулы прямой пропор-
циональности у = кх‘? Какое это число?
-	Почему данная функция получила свое название?
140
Домашнее задание: 1. № 299.
2. Один килограмм конфет стоит 98 рублей. Записать прави-
ло, выражающее зависимость стоимости у (в р.) от массы кон-
фет х (в кг).
3. Дана функция у = 4х. Заполнить таблицу:
X	-2		0	0,5		2
У		0			-2	
4. №310; №311.
Урок 34
ГРАФИК ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Цели: определить график прямой пропорциональности как
прямую, проходящую через начало координат; выявить распо-
ложение прямой в зависимости от знака коэффициента пропор-
циональности; формировать умение строить график прямой
пропорциональности по формуле и выполнять обратное дейст-
вие - записывать по графику формулу функции.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Найдите область определения функции.
35 а)у = Зх + 2;	б) у = —; X . 2 3 .1 г)^ + Г д)^ = -/;	. Зх2 + 4х в) у = п ; х-2 е) у = 2х2 + 6х +1.
2. Является ли функция прямой пропорциональностью:
х2	1
а)у = 182х;	б)у = -у;	в)у = —х;
г)у = -17х2;	д)у = ~г;	е)у = Зх + 11?
3. Функция задана формулой у = кх. Найдите коэффициент
прямой пропорциональности к, если:
а)х = 2;у = 4;	б)х = -|;у = -4;
в)х = 3;у = ^-;	г)х = 0;у = 0.
141
II.	Объяснение нового материала.
При объяснении нового материала необходимо подчеркнуть,
что у функций одного вида должны быть и графики одного ви-
да. Следует выяснить, что представляет собой график прямой
пропорциональности.
Начинаем с рассмотрения конкретной функции (см. учебник,
с. 66). Можно предложить учащимся лабораторную работу:
подобрать функции, заданные формулами:
у = 0,5х;	У = -0,5х;
У = х;	у = -х;
У = 1,5х;	у = -1,5х;
У = 2х;	У = ~2х;
у = 2,5х;	У = -2,5х;
У = Зх;	У = -Зх;
У = 3,5х;	у = -3,5х;
у = 4х;	у = -4х.
Затем заполнить	таблицу значений функции при -4 < х < 4
с шагом 0,5.
Учащиеся заполняют каждый свою таблицу и отмечают
в координатной плоскости точки, координаты которых помеще-
ны в таблице.
Учитель проходит по рядам и следит, чтобы учащиеся не
допустили ошибок.
После выполнения этого задания и обсуждения результатов
ученики с учителем делают следующие выводы:
1)	График прямой пропорциональности является прямой,
проходящей через начало координат.
2)	Если коэффициент пропорциональности к > 0, то график
расположен в первой и третьей координатных четвертях.
3)	Если коэффициент пропорциональности к < 0, то график
расположен во второй и четвертой координатных четвертях.
На основе этих выводов учащиеся выводят простейший ал-
горитм построения графика прямой пропорциональности:
1-й шаг. Для х\ Ф 0 вычислить у 1 по формуле у = кх.
142
2-й шаг. Отметить в координатной плоскости точки с коор-
динатами (0; 0) и (xi; у\).
3-й шаг. Провести прямую через построенные точки.
III.	Формирование умений и навыков.
Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены на от-
работку алгоритма построения графика прямой пропорциональ-
ности и нахождения значений функции по графику.
1.№300, №302.
№ 302. Решение:
Пусть х = 3, тогда у = -0,5 • 3 = -1,5. Проведем прямую, про-
ходящую через начало координат и точку с координатами
(3; -1,5).
а) Если х = -2, то у = 1;	б) у = -1 при х = 2;
если х = 4, то у - -2;	у = 0 при х = 0;
если х - 1, то у - -0,5.	у = 2,5 при х = -5.
Если у = -150, то найдем х, решив уравнение:
-0,5х - -150;
х = -150 : (-0,5);
х = 300.
При выполнении этого задания повторяем с учащимися пра-
вило нахождения по графику значения функции по данному
значению аргумента и наоборот (отмечаем точку на оси абсцисс;
проводим прямую, перпендикулярную оси абсцисс, до пересе-
чения с графиком функции; из полученной точки опускаем пер-
пендикуляр на ось ординат и находим соответствующее число-
вое значение ординаты).
Также на этом примере показываем, что очень важен выбор
правильной величины единичного отрезка. Если взять в качест-
143
ве единицы измерения одну клеточку, то будет очень неудобно
строить график, точки будут «слипаться», чертеж будет грязным
и нефункциональным.
При больших значениях аргумента или функции (у = -150)
удобнее работать с формулой и выполнять действия аналитиче-
ски (решить уравнение; вычислить по формуле).
2. № 303 (устно).
Выполняем работу по предыдущему чертежу.
3. № 305, № 306.
№ 305. Решение:
^у=\,1х\
б) у = -3,1 х;	_________>
в) у = 0,9х;	*
г)у, = -2,3х;	\\\
д) у = кх, где к > 0;	/	\ \ X
е) у = кх, где к < 0.	' '
После выполнения этого задания обсудить с учащимися, по-
чему график а) расположен в первой четверти выше графика в).
№ 306. Решение:
Все графики являются прямыми, проходящими через начало
координат, значит, функции являются прямыми пропорцио-
нальностями и их можно задать формулой у = кх. Задача сводит-
ся к нахождению коэффициента к.
Выберем на каждом графике произвольную точку с целыми
координатами:
I (2; 6), значит, 6 = к • 2; к = 3; у = Зх;
II (4; 1), значит, 1 = к • 4; к = 0,25; у = 0,25х;
III (2; -2), значит, -2 = к • 2; к = -1; у = -х;
IV (2; -6), значит, -6 = к • 2; к = -3; у - -Зх.
О т в е т: у = Зх; у = 0,25х; у = -х; у = -Зх.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. График функции у = кх проходит через точку В (-30; 3).
Найдите к.
144
2. Построить графики функций:
а) у = 5х; б) у - -5х.
В каждом случае указать координаты двух точек графика,
лежащих выше оси абсцисс.
Вариант 2
1.	График функции у = кх проходит через точку А (4; -80).
Найдите к.
2.	Построить графики функций:
а) у = 6.x;	б) у - -6х.
В каждом случае указать координаты двух точек графика,
лежащих ниже оси абсцисс.
V. Итоги урока.
- Сформулируйте определение прямой пропорциональности.
- Что является графиком прямой пропорциональности?
- Каков алгоритм построения графика прямой пропорцио-
нальности?
- Как расположен в координатной плоскости график функ-
ции у = кх при к > 0 и к < 0?
Домашнее задание: 1. № 301; № 304. 2. № 357.
3.	Построить график функции, заданной формулой у = 0,2х.
Найти по графику:
а)	значение у, соответствующее значению х, равному -5; 0; 5;
б)	при каком значении х значение функции равно -2; 0; 2;
в)	несколько значений х, при которых значения у неотрица-
тельны.
Урок 35
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ»
Цели: продолжить формировать умение строить график
прямой пропорциональности и работать с ним; формировать
умение решать практические задачи с использованием прямой
пропорциональности.
145
Ход урока
I. Математический диктант.
Вариант 1
1.	Формулой какого вида задается прямая пропорциональность?
2.	В каких координатных четвертях проходит график прямой
пропорциональности у = 50лг?
3.	На графике функции лежит точка (0; 1). Может ли эта
функция быть прямой пропорциональностью?
4.	В каких координатных четвертях проходит график прямой
2 9
пропорциональности у = -— х '
5.	На графике прямой пропорциональности лежит точка
(3; -1,5). Запишите формулу этой прямой пропорциональности.
6.	Укажите две какие-нибудь точки, через которые проходит
график прямой пропорциональности с коэффициентом -4.
7.	Постройте график функции у = 2.5т.
Вариант 2
1.	График функции проходит через точку (5; 0). Может ли
эта функция быть прямой пропорциональностью?
2.	В каких координатных четвертях проходит график прямой
пропорциональности у = 4^x1
3.	Формулой какого вида задается прямая пропорциональность?
4.	В каких координатных четвертях проходит график прямой
3 о
пропорциональности у = — х?
4
5.	На графике прямой пропорциональности лежит точка
(-1; 2,3). Запишите формулу этой прямой пропорциональности.
6.	Укажите две какие-нибудь точки, через которые проходит
. , , 2
график прямой пропорциональности с коэффициентом —.
7.	Постройте график функции у = -3,5х.
II. Формирование умений и навыков.
Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на фор-
мирование умения интерпретировать графики прямой пропор-
циональности, отражающие реальные зависимости.
146
Задания можно комбинировать по тематике и уровню слож-
ности. Они отражают разные предметные области. Это задачи
физико-технического, химико-биологического и гуманитарного
содержания.
1.№307, №308 (устно).
2.	Задайте зависимость формулой и выберите её график
из трёх данных:
а)	Зависимость массы молока т от его объема V. (Плотность
молока равна 1028 кг/м3.)
б)	Зависимость суточной дозы d лекарства эритромицина
от веса ребенка т (эритромицин назначают детям по 50 мг в сут-
ки на 1 кг веса).
в)	Зависимость количества слов к, сказанных человеком
в споре, от времени спора t (считать, что за 1 минуту человек
в споре произносит 50 слов).
147
3.	а) Если вес человека на Земле равен 600 Н, то его вес
на Луне - 100 Н. Задайте формулой и графиком зависимость
лунного веса человека от его земного веса. Найдите лунный вес
человека, у которого земной вес равен 420 Н.
б)	Пропорциональный подоходный налог составляет опреде-
ленный процент от дохода человека. Задайте формулой и графи-
ком зависимость 10 %-ного налога от дохода. Найдите налог на до-
ход в 900 рублей.
в)	Длительность звучания музыкальных нот выражается
л	1
числами: целая нота - 1, половинная-и т. д. Увеличим дли-
2
тельность каждой ноты некоторой мелодии в 2 раза. Задайте
формулой и графиком зависимость длительностей нот получен-
ной мелодии от длительностей нот исходной. Найдите длитель-
ность ноты полученной мелодии, если она соответствует ноте
1
исходной мелодии длительностью в —.
16
4.	Сжатие х пружины пропорционально приложенной силе F
(то есть F = кх). Для сжатия пружины на 3 см нужна сила ЮН.
Какая сила потребуется для сжатия пружины на 5 мм? Построй-
те график зависимости длины пружины от приложенной силы
(для0<^< ЮН).
Замечание. Обратите внимание учащихся на то, что х - сжа-
тие, а не длина пружины. Сообщите им, что закон F = кх верен
лишь при не очень больших деформациях пружины, отсюда огра-
ничение на величину силы.
III. Итоги урока.
- Функция какого вида называется прямой пропорциональ-
ностью?
- Как построить график прямой пропорциональности?
- В каких координатных четвертях расположен график
функции у = кх при к > 0, к < 0?
- Задачи какого характера отражают прямую пропорцио-
нальность?
Домашнее задание: 1. № 309.
148
2. Задайте прямую пропорциональность формулой, если из-
вестно, что её график проходит через точку:
а) Л (2; 9);	б) В (3; -7).
3. Постройте график функции.
а) у = —б) у = —.
0,5	5
_ 2х,
4*. Постройте график функции у = <
2х,
если х > 0;
если х < 0.
Урок 36
ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ И ЕЁ ГРАФИК
Цели: ввести понятие линейной функции; формировать
умение выделять линейную функцию из множества функций;
определить график линейной функции и выявить роль парамет-
ров к и b в расположении графика линейной функции.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Какие из функций являются прямой пропорциональностью:
х	13
а)у=13х; б)у = —;	в) у =--;
13	х
13 г2 -1
г) у = 13(х-2); д)у = 13х2;	е) у =-----?
х
2. Какая из точек принадлежит графику функции, заданной
формулой у =	:
а) (0; -2);	бч	-1; 2J	в) (4; -2);
г) (0; 0);	д)	-1- 2; 4J’	е) d; ~2?
3. График	линейной	пропорциональности проходит через	
точку А. Найдите коэффициент пропорциональности, если:
ГО	(2 >
а) 2 /	бО(2;-6);	В) А I —; 5
149
г) А [1; -11; д)Л(О;О);
к 2 о j
е) Л (3;-0,3).
II. Объяснение нового материала.
Весь материал целесообразно разбить на несколько логиче-
ских частей и на каждом уроке изучать одну из них.
На этом уроке целесообразно рассмотреть два вопроса: по-
нятие линейной функции и влияние параметров к и b на распо-
ложение графика линейной функции.
В соответствии с этим объяснение проводится в два этапа.
1.	Введение понятия линейной функции.
Понятие линейной функции начинаем изучать с рассмотре-
ния реальных процессов и реальных ситуаций.
Необходимо привести примеры из учебника и вынести по-
лученные формулы на доску:
5 = 50/ + 20, где / > 0;
у = Зх + 5, где х е N.
Далее можно спросить учащихся: что общего во всех этих
формулах? Затем сообщить им, что зависимости такого вида
называются линейными функциями, и дать четкое определение.
На доску может быть вынесена запись:
Линейной функцией называется функция, которую можно
задать формулой вида у = кх + Ь, где х - независимая пере-
менная, киЬ - некоторые числа.
2.	Определение прямой пропорциональности как частного
случая линейной функции.
Обращаем внимание учащихся, что в отличие от определе-
ния прямой пропорциональности, где к 0, в формуле линейной
функции коэффициенты к и b - любые числа, то есть могут рав-
няться нулю. Причем как по отдельности, так и одновременно.
В случае, если к: ф 0 и b = 0, функция у = кх + b принимает
виду = кх, то есть является прямой пропорциональностью. Сра-
зу делаем вывод: графиком линейной функции в этом случае
является прямая, проходящая через начало координат, и для её
построения необходимо вычислить по формуле координаты ещё
одной точки.
150
3.	График линейной функции и роль параметров к и b в её
расположении.
а)	Следующим шагом целесообразно рассмотреть случай
к ф 0 и b ф 0. Заполняем таблицу со с. 71 учебника для функций
у = 0,5х и у = 0,5х + 2. Анализируя полученные данные, учащие-
ся делают вывод: графиком функции у = 0,5х + 2 является
прямая, параллельная прямой, являющейся графиком функции
у = 0,5.x, и любая точка графика получается сдвигом по оси у
на 2 единицы вверх.
Устное упражнение.
Что является графиком функции у = Зх + 1; у = -1,5х + 2;
у - 2х - 14; у = -Зх - 1,5?
б)	Рассматриваем случай к = 0, b ф 0. Функция у = кх + b
принимает вид у = Ь. Получаем, что, независимо от значения х,
у всегда равно Ь. Значит, графиком функции является прямая,
параллельная оси х и проходящая через точку (0; Ь).
в)	Рассматриваем случай к = 0, b = 0. Функция у = кх + b
принимает вид у = 0, то есть графиком является сама ось х.
После этого на доску можно вынести запись:
Графиком линейной функции является прямая:
а)	при к ф 0 и b = 0, проходящая через начало координат
и совпадающая с графиком функции у = кх;
б)	при к Ф 0 и b * 0, параллельная графику функции у = кх;
в)	при к = 0, b ф 0, параллельная оси х;
г)	при к = 0, b = 0, совпадающая с осью х.
4.	Последним шагом формулируем простейший алгоритм
построения графика линейной функции:
1-й ш а г. По формуле найти координаты двух точек графика.
2-й шаг. Отметить полученные точки на координатной
плоскости.
3-й шаг. Провести через построенные точки прямую.
III. Формирование умений и навыков.
1. Рассматриваем примеры 3-5 со с. 72-73 учебника. Во время
работы учащиеся должны называть значения коэффициентов kub.
151
2. Определите, какие из следующих функций являются ли-
нейными. Назовите для них значения коэффициентов kwb.
а) у = 2,5х-7;	б)у = 4-^-х;	в)у = 4х-5х2;
.	3 г) у = -; ж) у = Зх2 + 2;	\	7	А	1 д)у- Зх;	е)у = 2х + 3 з)^ = -5;	и)у = 0.
3. Что является графиком линейной функции и как он распо-
ложен?
а) у = -Зх + 5; б)у = -х;	в)у = -3;
ч 6х-4	.1	.
г ) У = —^~;	^y=2"	e)y = 0.
4.	На рисунках изображены графики функций. Какие из этих
функций являются линейными?
5.	№313, №315.
6.	№319, №321.
IV. Итоги урока.
- Дайте определение линейной функции.
- Что является графиком линейной функции?
- Как влияют параметры к и b на расположение графика ли-
нейной функции?
- Каков алгоритм построения графика линейной функции?
Домашнее задание: № 314; № 316 (устно); № 318; № 320.
152
Урок 37
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ
ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Цели: продолжить формировать умение строить график
линейной функции и определять по графику значение функции
по данному аргументу и наоборот; ввести понятие углового ко-
эффициента прямой и выявить случаи взаимного расположения
графиков линейных функций в зависимости от значений угло-
вых коэффициентов.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли линейной функция, заданная формулой?
3 2
а)у = -2;	ь)у = -х -1; д)у = 2х;
=	+ Г)-У = 7-Ц-; е)у = 0,5х-|.
2. Какой из графиков расположен выше?
а) у - Зх или у = Зх - 2;	б) у = -х или у = -х 4-
в) у - 2 или у = 4.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Постройте график функции, заданной формулой
у = -2х+ 0,5.
2.	Линейная функция задана формулой у = 5х - 12. Найдите:
а)	значение у, если х = 1,2; -3;
б)	значение х, при которому = 0; -1,5.
Вариант 2
1.	Постройте график функции, заданной формулой
у = -Зх- 1,5.
2.	Линейная функция задана формулой у = -Ах + 7. Найдите:
а)	значение у, если х = -1,3; 8;
б)	значениех, при которому = -2,8; 0.
153
III. Актуализация знаний.
1. Назовите координаты точек пересечения графиков функ-
ций с осями координат. Какие особенности этих точек?
2.	№ 322, № 324.
№ 322. Решение:
а)	у = -2,4.x + 9,6.
Точка пересечения с осью х имеет ординату, равную нулю.
Найдем её абсциссу, решив уравнение:
-2,4х + 9,6 = 0;
-2,4х = - 9,6;
х = - 9,6 : (-2,4);
х = 4.
(4; 0) - точка пересечения с осью х.
Точка пересечения с осью у имеет абсциссу, равную нулю.
Найдем её ординату по формуле:
Если х = 0, то у = -2,4 • 0 + 9,6 = 9,6.
(0; 9,6) - точка пересечения с осью у.
б)	у =-0,7.x-28.
Если у = 0, то -0,7.x -28 = 0;
-0,7х = 28;
х = 28 : (-0,7);
х = -40.
(-40; 0).
154
Если х = 0, то у = -0,7 • 0 - 28 = -28.
(0; -28).
в)	у = 1,2х + 6.
Если у = 0, то 1,2х + 6 = 0;
1,2.x = -6;
х = -6 : 1,2;
х = -5.
(-5; 0).
Если х = 0, то у = 1,2 • 0 + 6 = 6.
(0; 6).
г)	у = -5х + 2.
Если у - 0, то -5х + 2 = 0;
-5х = -2;
х = -2:(-5);
х = 0,4.
(0,4; 0).
Если х - 0, то у = -5 -0 + 2 = 2.
(0; 2).
Ответ: а) (4; 0), (0; 9,6); б) (-40; 0), (0; -28); в) (-5; 0),
(0; 6); г) (0,4; 0), (0; 2).
При выполнении этого задания обращаем внимание учащих-
ся, что находить точку пересечения с осью у, подставляя значе-
ние в формулу, не рационально. Данное действие можно выпол-
нять устно, рассуждая так: график линейной функции у = -2,4х +
+ 9,6 получен перемещением графика прямой пропорциональ-
ности у = -2,4х на 9,6 единиц по оси у вверх. Значит, если ис-
ходный график пересекал ось у в точке (0; 0), то полученный
график пересекает её в точке (0; 9,6).
3,№325.
При выполнении этого задания учащиеся замечают, что для
построения графика линейной функции частного вида у = b до-
статочно построить точку с координатами (0; Ь) и провести пря-
мую, параллельную оси х (если выполняем задание в тетради
в клеточку), либо построить 2 точки с координатами (0; Ь) и (хо;
Ь), где хо - любое число, и провести через них прямую.
155
IV.	Объяснение нового материала.
1.	Напоминаем, что график прямой пропорциональности
у = кх располагается в I и III или в II и IV координатных четвер-
тях в зависимости от знака коэффициента к. Посмотрев в тетра-
ди выполненные ранее построения, замечаем, что графики ли-
нейных функций пересекают ось х либо под острым углом
(с положительным направлением оси х), либо под тупым. Угол
зависит от знака к. Если к = 0, то прямая параллельна оси х. Так
как от к зависит угол, то к называют угловым коэффициентом
прямой.
2.	Затем рассматриваем и анализируем рис. 36, 37 со с. 73
учебника. Делаем вывод: если угловые коэффициенты пря-
мых, являющихся графиками двух линейных функций, равны, то
эти прямые параллельны, а если угловые коэффициенты различ-
ны, то прямые пересекаются.
3.	Рассматриваем случай, когда у линейных функций к раз-
личны, а b - одинаковые. Во время актуализации знаний мы
вспомнили, что графики этих функций все проходят через точку
(0; Ь), значит, они все пересекаются в этой точке.
V.	Формирование умений и навыков.
1.	Постройте в одной системе координат графики функций:
1 1 1
у = ~—х + 1у = -—х - 2 ; у = -—х. Ответьте на в о п р о с ы :
1)	Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?
2)	Каково взаимное расположение графиков функций?
3)	Каковы координаты точек пересечения каждого графика
с осями координат?
2.	Пересекаются ли графики функций у = 2х - 4иу = -4х + 2;
у = 2х - 3 и у = 2х + 3?
В том случае, когда графики пересекаются, постройте их.
Определите по графику координаты точки пересечения и про-
верьте результаты вычислением.
3.	№327.
4.	Постройте прямую, если её угловой коэффициент равен
-0,5 и она проходит через точку (-6; 4). Задайте формулой ли-
нейную функцию, график которой параллелен этой прямой
и пересекает ось у в точке (0; 5).
156
VI. Итоги урока.
- Дайте определение линейной функции.
- Что является графиком линейной функции? Как его построить?
- Почему коэффициент к называется угловым? Как от к зави-
сит расположение графика линейной функции?
- В каком случае графики двух линейных функций пересе-
каются и в каком случае они являются параллельными прямыми?
Домашнее задание: № 323; № 326; № 328; № 329.
Урок 38
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК»
Цели: формировать умение использовать знания о линей-
ной функции и её график при решении практических задач; ин-
терпретировать полученные результаты.
Ход урока
I. Устная работа.
Разгадайте кроссворд. В жирной рамочке прочтите клю-
чевое слово - вещество, без которого организм не будет никогда
здоровым.
1.	Одно из условий задания ко-
ординатной плоскости.
2.	Множество точек в коорди-
натной плоскости, удовлетворяющих
некоторому условию.
3.	Способ задания функции.
4.	Независимая переменная.
5.	График линейной функции.
6.	Вид функции.
7.	Зависимость между величинами.
Ответы: 1. Направление. 2. Гра-
фик. 3. Таблица. 4. Аргумент. 5. Пря-
мая. 6. Линейная. 7. Функция.
Ключевое слово', витамин.
157
II. Тест.
1.	Отметьте знаком «+» пары функций, графики которых пе-
ресекаются:
2
а) у - у х и у = 0,4х -1;	б) у = 4,2х + 2 и у = 4,2х - 2;
в) у = Зх + 1 и у = х + 1;	г) j/ = 2х + 5 и j/ = 2х - 10.
2.	Даны функции:
3
а)у = 0,75х; б)у =—х-5; в)у = х;
4
3	2
г)у = —4х + 3;	д);/ = -8х + 5; с)у = — х + —;
выпишите функции, графики которых параллельны графику
функции у = 0,75х - 5.
3.	Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у = 37х - 8 и у = 25х + 4.
III. Формирование умений и навыков.
Упражнения, решаемые на этом уроке, содержат задания
на построение и чтение графиков линейных функций, описы-
вающих реальные процессы. Особое внимание следует уделять
интерпретации полученных результатов.
1	.№330, №332.
2	. Дорожный просвет - это расстояние между днищем авто-
мобиля и дорогой, на которой он стоит. Для некоторого легко-
вого автомобиля дорожный просвет можно вычислить по фор-
т
муле Л = 40-—, где “ дорожный просвет (в см), т - масса
груза (в кг), погруженного в автомобиль.
а)	Вычислите дорожный просвет, если масса груза в автомо-
биле равна: 100 кг; 150 кг; 200 кг; 0 кг.
б)	Является ли зависимость величины дорожного просвета
от массы груза, погруженного в автомобиль, линейной функци-
ей? Чему в этом случае равны коэффициенты к и Ь?
в)	Начертите координатные оси, выбрав на них подходящий
т
масштаб, и постройте график функции h = 40-, где 0 < т < 600.
158
г)	С помощью построенного графика найдите, какой груз по-
гружен в автомобиль, если дорожный просвет равен: 33 см;
38 см; 35 см; 40 см.
д)	С помощью графика определите:
1)	на сколько сантиметров уменьшится дорожный просвет,
если к грузу в 50 кг добавить груз в 25 кг; к грузу в 100 кг доба-
вить груз в 25 кг;
2)	на сколько сантиметров увеличится дорожный просвет,
если с машины с грузом в 150 кг снять груз в 50 кг.
3.	№ 1201*. Решение:
а)	у - |х| - 3. Данную функцию можно переписать в виде:
х - 3, если х > 0,
у = s
-х-3, если х < 0.
Функция «кусочная», на каждом
промежутке области определения
является линейной.
у1\ (0; 4)
б)	у = 4-|х|.
Если х > 0, то 4 - |х| = 4 - х = -х + 4;
если х < 0,
то 4 —|х| - 4-(-х) = 4 + х - х + 4.
- х + 4, если х > 0;
у = s
х + 4, если х < 0.
НЦ 0) о
1	(4;
IV. Итоги урока.
- Какая функция является линейной?
- Что является графиком линейной функции?
- Как называется коэффициент к? Что он показывает в фор-
муле линейной функции?
- Как расположен график функции у = х + 2 ; у - -Зх; у =	?
159
- Назовите признак параллельности графиков двух линей-
ных функций.
Домашнее задание: № 332; № 333; № 335; № 366.
Урок 39
ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ
«ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ»
Цели: обобщить и систематизировать знания по теме «Линей-
ная функция»; подготовиться к написанию контрольной работы.
Ход урока
I. Игра-слалом.
Класс разбивается на 3 команды. Игра состоит из теоретиче-
ского и практического конкурсов. Задания выполняются на вре-
мя. Побеждает команда, получившая наибольшее число пра-
вильных ответов за наименьшее время.
1.	Теоретический конкурс
1.	Какую зависимость называют функциональной или функ-
цией?
2.	Что такое аргумент и что такое функция?
3.	Что называют областью определения функции?
4.	Что такое график функции?
5.	Какую функцию называют линейной?
6.	Что является графиком линейной функции?
7.	Что является графиком прямой пропорциональности?
8.	В чём их сходство и различие?
9.	От чего зависит расположение графика линейной функции?
10.	Сколько точек необходимо для построения графика ли-
нейной функции?
11.	А для графика прямой пропорциональности? Почему?
12.	Что такое угловой коэффициент?
13.	Как расположен график функции у = кх при к >0 и к <0?
14.	Как найти координаты точки пересечения графиков двух
линейных функций?
15.	В каком случае графики двух линейных функций явля-
ются параллельными прямыми?
160
2.	Практический конкурс
1. Заполните таблицу для функции, заданной формулой
у = -0,5(8 -х).
X	-1,4		2,6		8,8	
У		-3,4		-1,8		2,4
2. Какова область определения функции?
б)у = 7х + 6;	г)у = ~—
х +1
в) у - х(6 - х);
3.	Является ли линейной функция:
ч 4х-7
а)' = —
б)у = 3(х+8);	г)у = 2(1 - Зх)(х-3)?
4.	Постройте график функции, заданной формулой у = 2х + 3.
5.	Постройте график функции, заданной формулой у = 0,5х + 3.
С помощью графика найдите:
а)	значение у, если х = -А;
б)	значение х, если у = 6;
в)	координаты точек пересечения графика с осями координат;
г)	корень уравнения 0,5х + 3 = 0.
6.	Не выполняя построения, выясните, проходит ли график
функции, заданной формулой у = 1,25х - 5, через точку:
а) Л (20; 20);	б) Я (20; 10).
7.	Функция задана формулой у = 0,25х + 3, где х принадле-
жит промежутку от -4 до 8.
Постройте график этой функции и укажите все целые значе-
ния, которые может принимать эта функция.
8.	Пересекает ли ось х график линейной функции, и если пе-
ресекает, то в какой точке? Функция задана формулой:
а) у = 7х + 49;	б) у = 15.
161
9.	График некоторой линейной функции вида у = кх + \ па-
раллелен графику функции у = -0,4*- Найдите значение коэффи-
циента к и выясните, принадлежит ли этому графику точка
М (50; -19).
10.	Не выполняя построения, найдите координаты точки пе-
ресечения графиков линейных функций: у> = 4х + 9 и у> = 6х - 5.
11.	Отметьте точки А (-4; 3) и В (2; -6). Проведите прямую
АВ и найдите координаты точек пересечения этой прямой
с осьюх и осью у’.
12.	Постройте график функций:
а)у = -5;	б)х = 3.
13.	Какие из графиков функций параллельны, а какие пере-
секаются:
а)у> = -Зх + 4;	в)у =-(2 + Зх);
б)^ = -х + 3;	г)у = х + 3?
14.	В одной и той же координатной плоскости постройте гра-
фики функции: = 5, у = х - 2, у = -2х + 4, у = 0.
15.	В каких координатных четвертях расположен график
прямой пропорциональности, параллельный графику линейной
функции, заданной формулой:
а) у = 0,8х -1,6;	б) у = - 0,4х + 1 ?
II. Итоги урока.
Домашнее задание: повторить п. 15, п. 16. № 360; № 363;
№ 372.
Урок 40
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Вариант 1
1.	Функция задана формулой у = 6х + 19. Определите:
а)	значение^, если х = 0,5;
б)	значение х, при котором у = 1;
в)	проходит ли график функции через точку А (-2; 7).
162
2.	а) Постройте график функции у = 2х - 4.
б)	Укажите с помощью графика, чему равно значение у
при х - 1,5.
3.	В одной и той же системе координат постройте графики
функций: а)у = -2х; б)у = 3.
4.	Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у = 47х - 37 и у = -1 Зх + 23.
5.	Задайте формулой линейную функцию, график которой па-
раллелен прямой у = Зх - 7 и проходит через начало координат.
Вариант 2
1.	Функция задана формулой у = 4х - 30. Определите:
а)	значение у, если х = -2,5;
б)	значение х, при котором у = -6;
в)	проходит ли график функции через точку В (7; -3).
2.	а) Постройте график функции у = -Зх + 3.
б)	Укажите с помощью графика, при каком значении х зна-
чение у равно 6.
3.	В одной и той же системе координат постройте графики
функций: а) у = 0,5х; б)у = -4.
4.	Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у - -38х + 15 и у = -21х - 36.
5.	Задайте формулой линейную функцию, график которой па-
раллелен прямой у = -5х + 8 и проходит через начало координат.
Вариант 3
1.	Функция задана формулой у = 5х + 18. Определите:
а)	значение у, если х = 0,4;
б)	значение х, при котором у = 3;
в)	проходит ли график функции через точку С (-6; -12).
2.	а) Постройте график функции у = 2х + 4.
б)	Укажите с помощью графика, чему равно значение у
при х = -1,5.
3.	В одной и той же системе координат постройте графики
функций: а) у = -0,5х; б)у = 5.
163
4.	Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у = -14х + 32 и у = 26х - 8.
5.	Задайте формулой линейную функцию, график которой па-
раллелен прямой у = 2х + 9 и проходит через начало координат.
Вариант 4
1.	Функция задана формулой у = 2х - 15. Определите:
а)	значение у, если х = -3,5;
б)	значениех, при которому = -5;
в)	проходит ли график функции через точку К (10; -5).
2.	а) Постройте график функции у = -Зх - 3.
б)	Укажите с помощью графика, при каком значении х зна-
чение у равно -6.
3.	В одной и той же системе координат постройте график
функций: а) у = 2х; б) у = -4.
4.	Найдите координаты точки пересечения графиков функ-
ций у = -1 Ох - 9 иу = -24х + 19.
5.	Задайте формулой линейную функцию, график которой
параллелен прямой у = -8х + 11 и проходит через начало коор-
динат.
Рекомендации по оцениванию.
Задания 1-3 относятся к базовому уровню знаний по теме.
Верное выполнение любых трех заданий оценивается отметкой
«3». Для получения отметки «5» необходимо выполнить верно
все пять заданий.
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.	у = 6х + 19.
а)	Если х = 0,5, то у = 6 -0,5 + 19 = 3+ 19 = 22;
б)	если у = 1, то 6х + 19= 1;
6х = 1 - 19;
6х = -18;
х = -18 : 6;
х = -3;
164
в)	7 = 6-(-2)+ 19;
7 = -12 + 19;
7 = 7- верное, значит, график функции проходит через
точку А (-2; 7).
О т в е т: а) 22; б) -3; в) проходит.
2.	а) у = 2х - 4. Построим две точки, принадлежащие графику.
Если х = 0, то j = 2 • 0 - 4 = -4;
если х = 2, тоу = 2- 2- 4 = 0.
(0; -4), (2; 0).
б)	При х = 1,5 у = -1.
3.	а) у = -2х. Графиком явля-
ется прямая, проходящая через
начало координат и точку (2; -4).
б)	у = 3. Графиком является
прямая, проходящая через точку
(0; 3) и параллельная оси х.
4.	Решим уравнение:
47х-37 = -13х + 23.
47х + 13х = 23 + 37;
60х = 60;
х = 1, значит, абсцисса точки пересечения графиков функций
равна 1. Найдем соответствующее значение ординаты:
если х = 1, то у = 47 • 1 - 37 = 10.
Точка пересечения имеет координаты (1; 10).
Ответ: (1; 10).
5.	График параллелен прямой у = Зх - 7, значит, угловые ко-
эффициенты равны. Так как прямая проходит через начало ко-
ординат, то это прямая пропорциональность. Значит, у = Зх.
Ответ:у = Зх.
165
Вариант 2
1.	у = 4х - 30.
а)	Если х = -2,5, тоу = 4 • (-2,5) - 30 = -10 - 30 = -40;
б)	если у = -6, то 4х - 30 = -6;
4х = -6 + 30;
4х - 24;
х = 24 : 4;
х = 6;
в)	-3 = 4 • 7 - 30;
-3 = 28 - 30;
-3 = -2 - неверное, значит, график функции нс проходит
через точку В (7; -3).
О т в е т: а) -40; б) 6; в) не проходит.
2.	а)у = -Зх + 3.
Построим две точки, принадлежа-
щие графику.
Если х = 0, то у = -3 - 0 + 3 = 3;
если х = 2, то у = -3 • 2 + 3 = -3; —
(0; 3), (2; -3)
б)	Если у = 6, то х = -1.
3.	а) у = 0,5х. Графиком явля-
ется прямая, проходящая через
начало координат и точку (4; 2).
б)	у = -4. Графиком является
прямая, проходящая через
точку (0; -4) и параллель-
ная оси х.
у = 0,5х
4.	Решим уравнение:
-38х+ 15 = -21х - 36;
-38х + 21х = -36 - 15;
-17х = -51;
х = (-51) : (-17);
166
х = 3, значит, абсцисса точки пересечения графиков функций
равна 3.
Найдем соответствующее значение ординаты:
если х - 3, то у = -38 • 3 + 15 = -99.
Точка пересечения имеет координаты (3; -99).
Ответ: (3; -99).
5.	График параллелен прямой у = -5х + 8, значит, угловые
координаты равны. Так как прямая проходит через начало коор-
динат, то это прямая пропорциональность. Значит, у = -5х.
О т в е т: у = -5х.
Вариант 3
1.у = 5х + 18.
а)	Если х = 0,4, то у = 5 • 0,4 + 18 = 2+ 18 = 20;
б)	если у = 3, то 5х + 18 = 3;
5х = 3-18;
5х = -15;
х = -15 : 5;
х = -3;
в)-12 = 5 • (-6) + 18;
-12 = -30+ 18;
-12 = -12 - верное, значит, график функции проходит че-
рез точку С (-6;-12).
О т в е т: а) 20; б) -3; в) проходит.
2.	а) у = 2х + 4.
Построим две точки, принадлежа-
щие графику.
Если х = 0, то у = 2 • 0 + 4 = 4;
если х = - 2, то 2 • (-2) + 4 = 0.
(0; 4), (-2; 0)
б) Если х = -1,5, то у = 1.

у = 2х + 4
-1,5 0
3.	а) у = -0,5.x. Графиком является прямая, проходящая через
начало координат и точку (4; -2).
167
б) у = 5. Графиком является прямая, проходящая через точку
(0; 5) и параллельная оси х.


у = -0,5х
4.	Решим уравнение:
-	14х + 32 - 26х - 8;
-	14х-26х = -8 - 32;
-	40х = ^0;
х = 1, значит, абсцисса точки пересечения графиков равна 1.
Найдем соответствующее значение ординаты:
если х = 1, то у = -14 • 1 + 32 = 18.
Точка пересечения имеет координаты (1; 18).
Ответ: (1; 18).
5.	График параллелен прямой у = 2х + 9, значит, угловые ко-
эффициенты равны. Так как прямая проходит через начало ко-
ординат, то это прямая пропорциональность. Значит, у = 2х.
О т в е т: у = 2х.
Вариант 4
1.	у = 2х — 15.
а)	Если х = -3,5, то у - 2 • (-3,5) - 15 = -7 - 15 = -22;
б)	если у = -5, то 2х - 15 = -5;
2х = -5 + 15;
2х = 10;
х = 5;
в)-5 = 2- 10-15;
-5	= 20-15;
-5	= 5- неверное, значит, график функции не проходит
через точку К (10; -5).
О т в е т: а) -22; б) 5; в) не проходит.
168
2.	а) у = -Зх - 3. Построим две
точки, принадлежащие графику:
если х = 0, то у = -3 • 0 - 3 = -3;
если х = -2, то у = (-3) • (-2) -3 = 3.
(0; -3), (-2; 3).
б)	Если у = -6, то х = 1.
3.	а) у = 2х. Графиком являет-
ся прямая, проходящая через на-
чало координат и точку (2; 4).
б)	у = -4. Графиком является
прямая, проходящая через точку
(0; -4) и параллельная оси х.
4.	Решим уравнение:
-10х - 9 =-24х + 19;
-10х + 24х =19 + 9;
14х = 28;
х = 28 : 14;
х = 2, значит, абсцисса точки пересечения графиков равна 2.
Найдем соответствующее значение ординаты:
если х = 2, то у =-10’2-9 = -29.
Точка пересечения имеет координаты (2; -29).
Ответ: (2; -29).
5.	График параллелен прямой у = -8х +11, значит, угловые
коэффициенты равны. Так как прямая проходит через начало
координат, то это - прямая пропорциональность. Значит, у = -8х.
О т в е т: у = -8х.
Урок 41
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.
ОБОБЩЕНИЕ МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ»
Цели: проанализировать результаты контрольной работы,
выявить типичные ошибки, допущенные учащимися; провести
169
работу над ошибками, обобщить изученный материал по теме
«Функции»; приобрести опыт решения заданий повышенной
трудности по теме «Функции».
Ход урока
I.	Анализ результатов контрольной работы.
Учитель в целом характеризует полученные результаты, ука-
зывает на типичные ошибки, истоки их возникновения и спосо-
бы преодоления, раздает тетради с контрольной работой.
II.	Работа над ошибками.
Учащиеся самостоятельно в тетрадях выполняют работу, по-
лучая консультацию учителя. Если какое-то задание решено не-
верно третью класса и более, оно выносится на доску.
III.	Обобщение материала и решение заданий повышен-
ной трудности.
№ 361*, № 362*, № 364*, № 368*, № 373*.
№ 361. Решение:
а)	Функция линейная задается формулой у = кх + Ь. Так как
график проходит через точку (0; -8), значит, он получен сдвигом
прямой у = кх на 8 единиц внизу по оси у. Значит, в формуле
коэффициент b = -8, то есть у - кх - 8. Осталось найти коэффи-
циент к. Так как график проходит также через точку (2; 12), то
к • 2 - 8 = 12;
2к = 20;
к = 10.
Следовательно, формула, задающая линейную функцию, -
у = 10х - 8.
Заполним таблицу, подставляя соответствующие значения
в формулу:
при х = -2, у = 10- (-2) - 8 = -28;
при х = 4, у = 10-4-8 = 32;
при х = 6, у = 10-6-8 = 52.
X	-2	0	2	4	6
У	-28	-8	12	32	52
170
б)	Рассуждаем аналогично.
В формуле у = кх+Ь коэффициент b равен 5, то есть у=кх+5.
Точка (10; 6) принадлежит графику функции, значит,
к- 10 + 5 = 6;
10£ = 1;
к = 0,1.
Функция задана формулой у = 0,1х + 5.
Если у = -15, то 0,1х + 5 = -15;
0,1х = -20;
х=-200;
если х = -10, у = 0,1 • (-10) + 5 = 4;
если х = 30, у = 0,1 -30 + 5 = 8;
если у = 15, то 0,1х + 5 = 15;
0,1х = 10;
х= 100.
X	-200	-10	0	10	30	100
У	-15	4	5	6	8	15
№ 362. Решение:
X	1	2	3	4	5	6	7
У	11	21	31	41	51	61	71
у = 1 Ох + 1.
О т в е т: у = 1 Ох + 1.
№ 364. Решение:
Если точка Л (я; -1,4) принадлежит графику прямой пропор-
циональности у = 3,5х, то -1,4 = 3,5 • а.
Найдем значение а, решив это уравнение:
3,5<7 = -1,4;
а = -1,4: 3,5;
а = -0,4.
Ответ: при а = -0,4.
№ 368. Решение:
а)	у = ах, где а > 0	.
,	иа>Ь.
у = ох, где о > 0
171
Обе функции - прямые пропорциональности с положитель-
ными угловыми коэффициентами, значит, графиками являются
прямые, расположенные в I и III координатных четвертях и про-
ходящие через начало координат.
Так как а > Ь, то для х > 0 зна-
чение ах > Ьх, значит, в I коорди-
натной четверти прямая у = ах
лежит выше прямой у = Ьх.
б)	Рассуждаем аналогично.
а < О, Ь < 0 и |д| < \b\. Графики
функции у = ахиу = Ьх- прямые,
проходящие через начало коорди-
нат и расположенные во II и IV ко-
ординатных четвертях.
|д| < |/)|, значит, для х > 0 зна-
чение ах < Ьх, то есть в IV четвер-
ти график функции у = ах лежит ниже графика функции у = Ьх.
Замечание. При выполнении этого упражнения, если у уча-
щихся возникают трудности с буквенными неравенствами, можно
подбирать конкретные числовые значения параметров а и Ь и стро-
ить графики функций с числовыми коэффициентами. Но затем, по-
сле анализа, все равно необходимо обосновать обобщенный вывод.
№ 373. Решение:
Решим это задание графически. Построим графики данных
функций.
а)	у = Зх + 2.
Если х = 0, то у = 3 • 0 + 2 = 2;	(0; 2);
если х = 2, то у = 3 • 2 + 2 = 8.	(2; 8).
б)	у = -2х + 3.
Если х = 0, то у = -2 • 0 + 3 = 3;	(0; 3);
если х = 2, то у = -2 • 2 + 3 --1.	(2;-1).
172
в)	у = 0,5х - 2.
Если х = 0, то у = 0,5'0 - 2 - -2;	(0; -2);
еслих = 2, то = 0,5 • 2 - 2 =-1.	(2;-1).
О т в е т: да.
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: повторить п. 12-16.
Урок 42
ЗАДАНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИМИ ФОРМУЛАМИ
Цели: ознакомиться с понятием «кусочной» функции, за-
даваемой несколькими формулами; приобрести навыки по-
строения и работы с графиками «кусочных» функций.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
1.	Найдите область определения функции:
2 1	1
а)у = Зх-14;	6)j> = 3x + —х; в) у = —;
2	2х
\ с \	X + 15
г).у = 5; д)у = —4-; е)у = -г—~.
х-2	х +5
2.	Какая из данных функций является линейной:
\ о 2 л	6х~4	.	1
а) >> = 3x4-4;	б)у = —^—;	в) у = -х;
1	Зх-5
г) >> = -15x4-0,1;	Я)у = ---;	ё)у = ———2
2х-4	2
173
3.	Найдите значение функции у = -Зх - 4, если значение ар-
гумента равно:
а)0;	б)-^;	в)3; г) 18.
4.	Какому значению аргумента функции у = Зх + 2 соответ-
ствует значение функции:
а)г-0; б)у= 14; в)у = -1; г)у = 0,4?
5. Найдите значение функции при х = 5, если:
а) у = |х|;	б) У = |-|х|;	в) у = х-6 ;
Г) >' = -|'|3-лг|;	х-11|	1. , Д) У =	2 i	е) у = 3 4х .
И. Изучение нового материала.
Изучение следует начинать с рассмотрения практических за-
дач, в которых описываются ситуации функциональной зависи-
мости, но различной на разных частях области определения.
Указываем, что вместо того, чтобы для каждого промежутка
записывать новую функцию, мы используем для записи фигур-
ную скобку. Например:
6/, если 0 < / < 1,5;
.у = <
9, если 1,5 </ < 2;
5/ -1, если 2 < t < 3.
Обязательно подчеркиваем, что каждый промежуток не пе-
ресекается с другими, но все вместе они составляют область оп-
ределения функции.
Каждый «кусочек» области определения можно задать нера-
венством, двойным неравенством, либо это будет вообще от-
дельная точка или конечное множество точек.
Рассматриваем примеры 2-3 учебника. Особенно обращаем
внимание на то, что, задавая функцию несколькими формулами,
необходимо следить за тем, чтобы каждому значению х соответ-
ствовало единственное значение у. В противном случае такая
зависимость не будет являться функцией.
174
III. Закрепление изученного материала.
№ 339. Решение:
Разобьем на 3 интервала область определения функции:
х < 0;
0<х< 1;
х > 1.
На каждом интервале заданы линейные функции у = кх + b.
Зададим их аналитически, используя зависимость расположения
графика от значения коэффициентов к и Ь'.
-х +1, если х < 0;
если 0 < х < 1;
если х > 1.
№ 340. Решение:
Из бака всего может вытечь 20 ♦ 0,9 = 18 л воды. Время t из-
меняется от 0 до 12. Так как вода вытекает со скоростью
2 л/мин, то 18 л вытекут за 9 мин, а в оставшееся время объем
воды в баке не будет меняться, а будет составлять 2 л. Значит,
функцию можно задать следующим образом:
20 - It, если 0 < t < 9;
V = \
2, если 9 </<12.
№ 341.
№ 342. Решение:
а) у = 0,25|х| +1. Запишем функцию несколькими формула-
ми, используя определение абсолютной величины:
-0,25 + 1,
0,25х +1,
если х < 0;
если х > 0.
175
|х|
В)	у = —(х-2~).
X
ОДЗ - все числа, кроме нуля.
Если х > 0, то у - — • (х - 2) = х - 2 ;
х
если х < 0, то у = — • (х - 2) = -(х - 2) = -х + 2 .
-х + 2, если х < 0;
у “ 1
х-2, если х > 0.
На каждом интервале графиком является прямая.
№ 343. Решение:
Если х < 0, то |х| = -х, значит, -х + 2 = |.
если х > 0, |х| = х, значит, х + 2 = |х| + 2 .
Таким образом, у = |х| + 2 .
Ответ: у = |х| + 2 .
№ 344. Решение:
Область определения функции разбита на три интервала:
-2 < х < 1;
1 <х<3;
3 < х < 6.
На каждом интервале задана линейная функция, запишем её
формулу:
X 4-1,
у = <-х + 3,
х-3,
если - 2 < х < 1;
если 1 < х < 3;
если 3 < х < 6.
176
№ 345. Решение:
Запишем полученные данные в виде таблицы:
t	0	20	30	45	60	90
т	60	100	100	95	90	80
Если 0 < t < 20, то вода в баке нагревается;
если 20 < t < 30, то вода кипит;
если 30 < t < 90, то вода остывает до 80 °C.
№ 346. Решение:
Запишем полученные данные в виде таблицы.
t	0	2	Os |	1	1,5	2
Т	0	3	5	5	2,5	0
№ 347. Решение:
СбО/, если 0</<1,5;
5 = 90, если 1,5 < t < 2;
[9О/, если 2<Г<3.
Скорость автомобиля до остановки 60 км/ч. Скорость авто-
мобиля после остановки 90 км/ч.
IV. Итоги урока.
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Урок 43
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Цели: ввести понятие степени числа а с натуральным по-
казателем л; определить значение степени с натуральным пока-
зателем положительного и отрицательного числа в зависимости
от четности / нечетности показателя степени; формировать уме-
ние вычислять значение степени и представлять число в виде
степени с натуральным показателем.
Ход у рока
I. Устная работа.
Вычислите.
1	3 11
а) 3 -45; б)-120;	в) - • —;
3	7 13
177
е) -3 • (-16);
ж)-(-З)- 12;	з)-(2(-9));
к) 18-1-|1 + 11; л) (-|1 • (11-6);
И)^;
ч 8-2-4
м) ------.
3,672-2,18
II. Объяснение нового материала.
1.	Объяснение проводить согласно пункту 18 учебника. Напо-
минаем, что вместо длинной записи произведения 5-5-5-5-5-5-5
можно записать выражение 57, где 5 - основание степени (по-
вторяющийся множитель), а 7 - показатель степени (число по-
вторяющихся множителей).
Понятие степени определяем для любого числа а в качестве ос-
нования и любого натурального показателя (аналитическая запись).
На доску выносится запись:
Степенью числа а с натуральным показателем п, боль-
шим 1, называется выражение а", равное произведению
п множителей, каждый из которых равен а. Степенью
числа а с показателем 1 называется само число а.
Проговариваем с учащимися правило чтения степени, при-
водим примеры.
2.	Мини-лабораторная работа.
Найдите значение степени.
(0,1)2;(0,1)3;(0,1)4;(0,1)';03;
(—2)2; (—2)3; (—2)4; (—2)5; О4;
V2j\2j\2j\2j’ ’
(-0,1)2; (-0,1/; (-0,1/; (-0,1/; О6.
178
Задания разбиваем либо по группам, либо раздаем индиви-
дуально. Затем «по цепочке» ученики выходят к доске и запи-
сывают результаты.
После анализа полученных результатов на доску выносятся
следующие правила:
При возведении в степень положительного числа
получается положительное число.
При возведении в степень нуля получается нуль.
Степень отрицательного числа с четным показа-
телем - положительное число.
Степень отрицательного числа с нечетным пока-
зателем - отрицательное число.
Обособленно выносим правило для квадратов чисел (пропе-
девтика изучения решения квадратных уравнений):
Квадрат любого числа есть положительное число
либо нуль (а2 > 0 при любом а).
3.	Рассматриваем примеры 1-3 со с. 88-89 учебника.
III.	Формирование умений и навыков.
Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно раз-
бить на группы:
1-я группа. Задания на усвоение понятия степени.
2-я группа. Задания на вычисление значения степени чис-
ла с натуральным показателем.
3-я группа. Задания на вычисление значения числового
выражения, содержащего степень.
1-я группа
№ 374, № 375 (устно), № 376, № 378, № 380.
При выполнении этих заданий учащиеся должны четко на-
зывать степень, можно просить назвать их основание и показа-
тель степени.
2-я группа
1.	№382, №381 (а, б).
179
2.	Не выполняя вычислений, сравните значение данного вы-
ражения с нулем:
а) (4,1)  (-5,6)6; б) (-З.З)3: (-5,7);
в) 44,8)2 • (-1,2)4; г) 4~2,7)4 • (-6,4)5.
3.	Сравните значения выражений:
а) (—б,5)4 и (-2,4)3; б) (-0,2)6 и (-0,2)'°; в) (-1,5)’и (-1,5)’.
3-я группа
№ 384, № 385 (а, в, г), № 386 (а, в, д, ж), № 387 (а, б, в).
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте определение степени числа с натуральным
показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них
основание и показатель степени.
- Чему равна первая степень любого числа?
- Какой знак имеет результат возведения положительного
числа в натуральную степень?
- Какой знак имеет значение степени отрицательного числа
с четным показателем? с нечетным показателем?
- Каков порядок действий при нахождении значения выра-
жения, содержащего степени с натуральным показателем?
Домашнее задание: № 377; № 379; № 381 (в, г); № 383;
№ 385 (б, г, е); №386 (б, г, е, з).
Урок 44
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ»
Цели: продолжить формировать умение вычислять значе-
ние числового выражения, содержащего степень; формировать
умение вычислять значение буквенного выражения, содержаще-
го степень, и решать практические задачи с использованием по-
нятия степени с натуральным показателем.
Ход урока
I. Математический диктант.
Вариант 1
1.	Запишите в виде произведения третью степень числа 4
и найдите её числовое значение.
180
2.	Чему равна первая степень числа -5?
3.	Вычислите значение выражения 23 ♦ 0,5.
4.	Чему равна сумма кубов чисел 5 и 3?
5.	Вычислите значение выражения (-3)2 + (0,1 )3.
Вариант 2
1.	Запишите в виде произведения четвертую степень числа 3
и найдите её числовое значение.
2
2.	Чему равна первая степень числа у ?
3.	Вычислите значение выражения З2 ♦ 0,7.
4.	Чему равен квадрат разности чисел 7 и 5?
5.	Вычислите значение выражения (-5)3 - (0,2)2.
II. Актуализация знаний.
№ 387 (г, д, е, ж, з, и), № 388.
№ 388. Решение:
а) — 13 + (—2)3 = —1 + (-8) = -9;
б)-62-(-1)4 = -36- 1 =-37;
в)	-83 + (-3)3 = -512 + (-27) = -539;
г)	10-5 • 24= 10-5 • 16= 10-80 = -70;
д)	2	•	З4 - 3 • 24 =	2	•	81 - 3	•	16 = 162	- 48	=	114;
е)	2	•	53 + 5 • 23 =	2		125 +	5	• 8 = 250	+ 40	=	290;
(7 У 1	4	75
ж)	З4- - • 6- = 81- — • - = 81-1 = 80;
Ы 4	25	4
з)	0,2 • З2 - 0,4 • 24 = 0,2 • З2 - 0,2 • 2 • 24 = 0,2(32	- 2	•	24) =
= 0,2(9 - 2 • 16) = 0,2 • (9 - 32) = 0,2 • (-23) = -4,6;
и)	8 • 0,53 + 25 • 0,22 = 2 3 • 0,53 + 52 • 0,22 = (2 • О,5)3 +	(5 • 0,2)2 =
= 13 + 12 = 1 + 1 = 2.
При выполнении этого упражнения учащиеся выводят
правило:
ап • Ьп = (а • Ь)п, для любых а и Ь.
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке отрабатывается умение вычислять значение
буквенного выражения, содержащего степень.
181
1-й блок
1.	Найдите значения выражений х2; - х2; х2 - 4 для заданных
значений х и заполните таблицу (используйте найденные значения
выражения х2 для вычисления значений двух других выражений):
X	-5	-2,5	0	0,3	1	12
						
-х2						
?-4						
2.	Найдите значение выражений х 0,1х3; х3 + 10 для задан-
ных значений х и заполните таблицу:
X	-4	-0,3	-1	0	9
х3					
0,1х3					
х3+ 10					
3.	№ 392 (устно).
2-й блок
1.	Найдите значение выражения.
а)	(ху)2 при х = 12 и у = -0,5; х = -14 и у = -1;
/ у
б)	— при х = -6 и у - 1,5; х = 0 и у = -23;
в)	(х + у)4 при х = 0,7 и у = 0,3; х = -11 и у = 6;
г)	(у — х)3 при х = -14 и у = -10; х = 0,9 и у = 1,1.
2.	№ 393.
3.	Сравните значения выражений.
а)	-а3 и (-<я)2 при а = 3; -5; 0;
б)	-а3 и (-я)3 при а = 10; -2; 0.
4.	№ 395. Решение:
а)	а3 • а = (а • а • а) • а = а4;
б)	а4 • а3 = (а • а • а • а) • (а • а) = о6;
в)	а3 • а6 = а • а • а • а • <? '•••' Ч = ® '>
V з ) V 6	)
182
X 20	12
г) а -а
№ 396, № 397.
3-й блок
1.	№389.
2.	Сколько биений сделает сердце человека за сутки, если
за 1 мин оно делает в среднем 75 биений?
3.	Может ли школьник поднять 1 м3 пробки? (Масса 1 см3
пробки 0,2 г.)
Решение:
Рассчитаем, сколько см3 в 1 м3:
1 м3 = 1 • 1 • 1 ( в м) = 100 • 100 • 100 (в см) = 1 000 000 =
= 106 см3.
Масса 1 м3 пробки равна 0,2 • 106 (г), что составляет 200 000 г
или 200 кг. Значит, школьник не сможет поднять такую массу.
Ответ: нет.
4.	Если разрезать кубический метр на кубические сантиметры
и поставить их один на другой, то какой высоты получится столб?
При решении этой задачи следует использовать результаты
предыдущей задачи.
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте определение степени с натуральным пока-
зателем.
- Чему равна любая натуральная степень нуля?
- Каков порядок действий при нахождении числового и бук-
венного выражения, содержащего степень?
- Чему равно значение выражения 0,28 • 58? Как рационально
вычислить? Каким правилом необходимо воспользоваться?
Домашнее задание: № 390; № 391; № 394; № 398.
Урок 45
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
С ОДИНАКОВЫМИ ОСНОВАНИЯМИ
Цели: вывести правила умножения и деления степеней
с одинаковым основанием; дать определение нулевой степени
183
числа, не равного нулю; формировать умение выполнять ука-
занные действия со степенями.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Вычислите.
nV	( iV
а) З2;	6)1-1;	В)(0Д)3;	ГЧ22 J ;
( 1 Л3	З2
д)1--1;	е)<-0’1)4;	ж)-т;
и)-(-2)3;	к) О'6;	л)(-1)18;	м)-(-1)23.
2. Сравните значение двух выражений:
а) (—8,64)20 и О30;	б) (-1)76 и (-1)70;
(	иЧ	( 2У	( зУ
в) -2— и(-3,82)13;	г)- — и - -- .
Ч	18)	[5)	{ 1)
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Найдите значение выражения.
а) П 1^-(О,5)2; 6)3000 (0,2)3-(-2)6; в)-(-З)3.
<4; 3	(0,4)
2. Вычислите значение выражения г3 -х2 при:
а)х = 0,3;	б)х = -6.
Вариант 2
1. Найдите значение выражения.
а) П '|| + (0,6)2; 6)2000-(0,3)4-(-2)4; в) -AL-(-4)’.
2. Вычислите значение выражения х2 + г3 при:
а) х = -0,4;	б) х - 10.
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке изучаем два важных свойства степени: сложе-
ние и умножение степеней с одинаковыми основаниями.
184
Вывод правил целесообразно осуществлять, работая сразу
с числовыми и буквенными выражениями, результаты оформить
в виде таблицы.
Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми ос-
нованиями основание оставляют прежним, а показатели
степеней складывают.
22-23 =(2-2)-(2-2-2) = 2 раза	3 раза	ат ап = (а- а-...-а)-(а- а- а-...-а) = л? раз	л раз
по сочетательному свойству умножения	
= 2-2-2-2-2 = 5 раз	= сгсга-..:а = (т+п) раз
по определению степени с натуральным показателем	
= 25 Итак, 22  23 = 22 + 3		 „т + п — а
	т п _ т + п 1а • а — а	
Свойство 2, При делении степеней с одинаковыми осно-
ваниями, основание оставляют прежним, а из показателя
степени делимого вычитают показатель степени делителя.
5>3 З5 : З3 = = (3-3-3-3-3):(3-3-3) = 5 раз	3 раза	т > п, а Ф 0 . jn 	 а : а — = (а- а*...-а)'.(а- а- а-...- а) = т раз	праз
запишем частное в виде дроби	
5 раз з-з-з-з-з 3^3J 3 раза	II р	ft	'I з	ft	ft	5 •О < •	• >тз В	:	:	й U J II
сократим дробь	
(5-3) раза Гз 1	(ш-м)раз _ а-а\..-а _ 1
по определению степени с натуральным показателем	
=32 Итак, З5: З3 = З5 “3	= ат п ат\ап = ат~п
185
Замечаем, что ат : ат = сГ т = a3 = 1.
Определение. Степень числа а, не равного нулю, с нулевым
показателем равна единице.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом занятии можно отрабатывать только умение нахо-
дить произведение степеней с одинаковым основанием.
1. № 403. Решение:
г5 8 _ 5 + 8 _	13.
aj Л Л — Л — Л ,
ж)
X 12	1 + 12	13.
е) уу = у = у ;
з) 757 = 75 + | =76.
2. № 405. Решение:
а) я15 = л6+9 = я%9;
в) а15 = л2 + 13 =а2-я13;
/-Х	15	9 + 6	9	6
б) а	= а	- а  а ;
X 15	14+1	14	14
г) а	-а	= а • а- а • а .
3. № 407. Решение:
Представим число 6 в виде суммы двух натуральных чисел
всеми возможными способами:
6=1+5;	6 = 2 + 4;	6 = 3 + 3.
Значит, а' - а • а5; аь = а2- а а6 = а3- а3.
4. № 409. Решение:
а) т3т2т* = /т?3 + 2 + 8 =/т?13;
д) 78-7-74 = 78+, + 4 = 713;
X 4 4	1+4 + 4 + 1	10.
в) хх х х = х = х ;
е) 5-52 -53-55 = 51 + 2 + 3 + 4 =5'\
5 . №410.
При выполнении этого упражнения ученики сами определя-
ют основание степени, которое будет являться общим для двух
степеней.
Решение:
а) 58- 25 = 5х- 52 = 58 + 2 = 510 * *;
в) 615- 36 = 615- 62 = 6,5 + 2 = 617;
д) 0,45- 0,16 = 0,45- 0,42 = 0,45 + 2 = 0,47;
е) 0,001 • 0,14 = 0,13- 0,14 =0,13 + 4 =0,17.
186
6.	№ 411. Решение:
а)	24- 2 = 24+1 = 25 = 32;
б)	26- 4 = 26- 22 = 26 + 2 = 28 = 256;
в)	8 • 27 = 23- 27 = 23 + 7 = 210 = 1024;
г)	16 • 32 = 24- 25 = 24 + 5 = 29 = 512.
7.	№ 413. Решение:
а)	(с4)2=с4-с4=с4 + 4=с8;
б)	(с2 )4 = с2 • с2 • с2 • с2 = с2+2+2+2 = с8.
V	. Итоги урока.
-	Дайте определение степени с натуральным показателем.
-	Сформулируйте основное свойство степени.
-Сформулируйте правила умножения и деления степеней
с одинаковыми основаниями. Приведите примеры.
-	Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
Домашнее задание: № 404; № 406; № 408; 412; № 533.
Урок 46
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ»
Цели: продолжить формировать умение выполнять дейст-
вия со степенями с одинаковыми основаниями.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Найдите значение выражения.
а) 43;	б)(0,7)2;	в) I-1;	г) О12;
/ 2 У
д)(-6)2; е)(-0,3)4;	ж)(-1)8;	з) I -1- I .
2.	Сравните с нулем значение выражения.
а) (-25)12  (-25)9; б) М)19: (^)7; в) (-12)15 • (-12)8.
187
3.	Замените звездочку степенью с основанием а так, чтобы
стало верным равенство:
а) а4 • * = я12; б) *-<7 = а\ в) а14: * = а7; г) * : я9 = я10.
II. Формирование умений и навыков.
На этом занятии учащиеся отрабатывают умение делить сте-
пени с одинаковыми основаниями и решают комбинированные
задачи.
1. № 414. Решение:
г5 .	3 _ 5 - 3 _	2.	х 21 .	_	21 - I _	20.
dJJC • ЛГ X	JV у	By Cl • Cl Cl — Cl у
з) 0,79 : 0,74 = 0,79-4 = 0,75.
2. № 416. Решение:
a) 56 : 54 = 56 " 4 = 52 = 25;
б) 1015: 1012 = 101512 = 103 = 1000;
в) O,510: 0,57 = 0,510~7 = O,53 =0,125;
д) 2,7313 : 2,7312 = 2,7313 ”12 = 2,73;;
3. Используя правила умножения и деления степеней, упро-
стите выражение.
а) х8-х3 :х5;	б) х20 :х|()-х;
в) х7 :х3 :х3 4;	г) х14 :х9-х5.
Решение:
а) х8-х3 : х5=х8 + 3 :х5 = х" :х5 =х" “5 =х6;
б) х20: х,0-х = х20Ч0-х = х,0-х = х1(К1 =х";
в) х7 : х3 : х3 = х7-3 : х3 = х4 : х3 = х4”3 = х;
14 . 9 5	14-9 5	5 5	5-+5	10
г) X . X • X = X X = X X = X = X .
4. № 417. Решение:
а) 1- = 86:84 = 86’4 = 82 = 64;
84
188
о я7
б) = 0,87:0,84 = 0,87’4 = О,83 = 0,512;
0,8
в)
= (-0,З)5: (-0,3)3 = (-0,3)5-3
= (-0,3)2 = 0,09;
343 =п_19
27	27'
5. Найдите значение выражения.
816.85
3	й18	’
О
в) (~2)7- (-2)4.
(-2)8
_ч Ю10
б)-------г;
10-105
(О,3)10- (0,3)7
(0,3)8- (0,3)6 
При выполнении этого упражнения уже не обязательно пе-
реписывать дробь в виде частного.
Желательно, чтобы учащиеся проговаривали не только пра-
вила действий над степенями, но и правила возведения в степень
отрицательного числа при четном нечетном показателях.
Решение:
816. 85	8'6+5
10IO 10ю
б) -------- =--ГТ
10 105 101+5
я21
— = 821-18 =83 ^512;
О
1 о10
= —- = 1О10’6 = 104 =10 000;
106
189
(~2)7- (~2)4 (~2)7+4 (-2)11
7	(-2)8	(-2)*	'
(О,3)10-(0,3)7 _ (ОД)10-17
Г? (0,3)8- (0,3)6	(0,3)8+6
=(-2),ММ-2)3=-8;
v
= 1212L = (O,3)1714 = (0,3)3 =0,027.
(0,3)'4
6. № 419 (а, в, д). Решение:
а) х" • х3 = х"+ 3;	в) х- х" = х1 +" = х"+|;
д) сдст = с9~т.
7. Представьте данное выражение сначала в виде произведе-
ния степеней, а затем в виде частного степеней.
a) a ;	о) a ; в) a .
Решение:
a) a = a -a ; a = a .a ;
„In „2n,	4n 5/1 , n.
o) a =a • a ; a = a .a ;
)n n - I  	/1	2n . n
a - a a; a = a .a .
Выполняя это упражнение, учащиеся могут предложить свои
варианты разбиения на множители.
8. № 420 (а, в), № 421 (а, б).
№ 420. Решение:
а) Если х = 2,6, то Зх° = 3 (при любом значении х);
в) 10a2Z>° = 10а2,
если a = 3, b = -8, то 10а2 = 10  З2 = 10 • 9 = 90.
№ 421. Решение:
а) b4-b° =Ь4- \ = Ь4; б) с5: с° = с5: 1 = с5.
При выполнении этого упражнения учащиеся могут вос-
пользоваться правилом умножения и деления степеней.
III.	Итоги урока.
-	Дайте определение степени с натуральным показателем.
-	Сформулируйте правило возведения отрицательного числа
в четную степень, в нечетную степень.
190
-	Какой знак имеет результат возведения любого числа
в квадрат?
-	Сформулируйте правила сложения и умножения степеней
с одинаковыми основаниями.
( зУ
-	Чему равно значение выражения 2°; (-1)1; — ?
Домашнее задание: № 415; № 418; № 419 (б, г, е); № 420
(б, г); № 421 (в, г); № 422.
Урок 47
РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ»
Цель: формировать умение использовать правила умно-
жения и деления степеней с одинаковыми основаниями при ре-
шении практических задач.
Ход урока
I. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Представьте в виде степени произведение.
а) х6 • х’ • х1;	б) (-7)’ • (-7)2 • (-7)’.
2.	Представьте в виде степени частное.
а) X8: X4;	б) (-0,5)”: (-0,5)®.
3.	Найдите значение выражения.
1015- 107	(-3)15
а 10” ’	6 (-3)10-(-3)2'
Вариант 2
1.	Представьте в виде степени произведение.
а) У5-У9-У2; б) (-6)8-(-6)2-(-6)3.
2.	Представьте в виде степени частное.
< 1Y7 < 17
a) z12 : z7;	б) —	: — .
191
3.	Найдите значение выражения.
(~5)|0-(-5)6.	Ю20
'	(-5)14	’	J10"-105'
1036 - андециллион
1039 - дуодециллион
1042 - тредециллион
1045 - кваттордециллион
II. Мотивация изучения.
Данная тема предоставляет учителю возможность познако-
мить детей с числовыми величинами, которыми можно выразить
количественные отношения реального мира. В этом плане осо-
бенно важны задачи, содержащие реальные величины, например
задачи о Солнечной системе, планетах и других космических
телах.
Полезно ознакомить учащихся с названиями классов приня-
той десятичной нумерации:
103 - тысяча
106 - миллион
109 - биллион (миллиард)
1012 - триллион
1015 - квадриллион
1018 - квинтиллион
1021 - секстиллион
1024 - септиллион
1027 - октиллион
1О30 - нониллион
1033 - дециллион
Интересно для сравнения
старинной русской нумерации. Л. Магницкий в своей «Арифме-
тике», изданной при Петре I, упоминает такие названия:
103	- тысяча
104	- тьма
105	- легион
106	- леодр
107	- вран
108	- колода.
Операции с числовыми великанами делают актуальными
приближенные вычисления. Если исходные данные в задаче по-
лучены в результате измерений (например, астрономических)
с точностью до 2-3 десятичных знаков, нет никакого смысла
1О100 - гугол
привести наименования классов
192
в последующих десятках цифр. Поэтому в этой теме уместно
познакомить детей с правилами округления чисел.
Ш. Формирование умений и навыков.
1. Найдите отношение массы каждой из планет Солнечной
системы к массе Земли.
Справка.
Планета	Солнце	Меркурий	Венера	Земля	Марс
масса, кг	2 • 1030	3,4 • 1023	4,9- 1024	6- 1024	6,4- 1023
Планета	Юпитер	Сатурн	Уран	Нептун	Плутон
масса, кг	1,9 • 1027	5,7 • 1026	8,8 • 1025	1,0  1026	1,1 • 1021
2. В астрономии одной из единиц длины является световой
год, то есть расстояние, которое проходит за год луч света. Ско-
рость света с = 300 000 км/с. Вычислите:
а)	за какое время луч света доходит от Земли до Луны,
от Солнца до Земли;
б)	величину светового года в километрах;
в)	расстояние от Земли до звезды Сириус в световых годах.
Справка. Среднее расстояние от Земли до Луны 384 000 км,
от Земли до звезды Сириус 8,2 • 1013 км.
3.	Ежегодно прирост древесины на опытном участке состав-
ляет 10 %. Какое количество древесины будет на участке через
10 лет, если сейчас её 105 м3?
4.	В сберегательном банке вкладчику начисляется 20 % в год
от сданной на хранение суммы. Через сколько лет первоначаль-
ная сумма увеличится более чем в 2 раза; в 5 раз?
5.	Найдите массу мотка медной проволоки сечением 2 мм
и длиной 50 м.
Справка. Масса вычисляется по формуле т = р • V, где р -
плотность вещества. В частности, для меди р = 8,9 г/см3. А для
вычисления объема цилиндра V нужно воспользоваться форму-
лой V = 7vR2H.
6*. Какое наибольшее число абонентов может быть прикре-
плено к одной АТС при семизначной записи номеров телефона?
Первые три цифры всех номеров данной АТС одинаковы.
193
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте определение степени с натуральным пока-
зателем.
-	В каких областях используются вычисления больших сте-
пеней числа 10?
Домашнее задание: 1. Во сколько раз число 4,8 • 1019 боль-
ше числа 1,2 • 1019?
2. Найдите расстояние от Солнца до планет Солнечной сис-
темы в астрономических единицах.
Справка.
Планета	Мерку- рий	Венера	Земля	Марс	Юпи- тер	Сатурн	Уран	Нептун	Плутон
Среднее расстоя- ние от Солнца, млн км	58	108	150	228	778	1430	2870	4500	5900
Астрономическая единица (а. е.) - среднее расстояние
от Солнца до Земли.
3. № 542; № 543.
Урок 48
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Цели: вывести правило возведения в степень произведе-
ния двух и более сомножителей; формировать умение вычислять
степень произведения, а также рационально преобразовывать
выражения, содержащие степень произведения либо предпола-
гающие использование данного свойства.
Ход урока
I.	Устная работа.
Вычислите.
73
а)	23 • 53;	в) 122;	д) 53- —;	ж) (йх)5;
б)	103;	г) З2 • 42;	е) (2а)3;	з) (ab)".
194
II.	Объяснение нового материала.
Конструкция примеров и их последовательность позволяют
сделать обобщение. В результате появится следующая запись:
{ab)n = апЬп.
Заготовленный лист с этим свойством закрепить на доску
к ранее изученным. Это равенство можно доказать устно с под-
робной записью доказательства на доске:
Для любых а и b и произвольного натурального п
верно равенство {ab)n = апЬп.
Доказательство:
{ab)n = {ab) • {ab) •...• {ab) по определению степени п раз;
(ab) • (ab) •...• (ab) - {aa...a){bb...b) по свойствам умножения
п раз п раз; {аЬУ =апЬп.
Ученики пробуют самостоятельно сформулировать алгорит-
мическое правило возведения в степень произведения. Они при-
ходят к выводу, что необходимо выполнить два шага:
1)	каждый множитель возводить в эту степень;
2)	результаты перемножить.
Следует записать выводы учащихся в виде алгоритма на дос-
ке и подчеркнуть глаголы. Глагол обозначает действие, которое
необходимо выполнить. Ребята выясняют, можно ли поменять
местами порядок выполнения действий. Далее идёт работа
с учебником. Ребята сравнивают формулировку, которая полу-
чилась у них, с той, которая находится в учебнике на с. 97.
Такой подход даёт хороший результат быстрого заучивания
формулировок свойств степени.
Последним можно предложить следующий пример:
(abed)4 = ...
Решение:
{abed)4 = a4b4c4d\
Учащиеся могут самостоятельно доказать, что данная формула
верна не только для двух сомножителей, но и большего их числа.
По окончании объяснения нового материала рассмотреть
пример 1 со с. 97 учебника.
195
III.	Формирование умений и навыков.
При выполнении упражнений на уроке ученики должны
проговаривать правило и алгоритм возведения произведения
в степень.
Кроме того, задания предполагают применение формулы как
слева направо, так и справа налево. Необходимость того или
иного способа обусловлена рациональностью преобразования
выражения либо вычисления его значения.
1.№428.
2. Выполните возведение в степень, представив предвари-
тельно основание степени в виде произведения множителей -1 и х:
а) (-х)2;	б) (-х)8;
д) (-х)3;	е) (-х)9;
в) (-х)100;
ж) (-х)71;
г) (-х)2";
ч / ^\2и + 1
Решение:
а) (-х)2 = ((-1 )-х)2 = (-1)2  х2 = 1  х2 = х2;
е) (-х)9 = ((-1 )-х)9 = (-1)’  х9 = -1  х’ = -х9;
г) (-х)2" = ((-1) х)2" = (-1 )2"  х2" = 1 • х2" = х2";
з) (—х)2”*1 = ((-1 )-х)2"+1 = (-1 )2"+1  х2"' 1 = -1 • х2"*1 = -х2"+1
3. № 431. Решение:
ап-а- противоположные числа.
(-Lr)2 = ((-1) - 47)2 = (-1)2 - 472 = 1 -а2 = а2,
2 _ / 2ч
значит, а = (-а ).
4. № 432. Решение:
Пусть а - сторона квадрата, тогда площадь
квадрата равна а2.
Если сторона квадрата увеличится в 2 раза,
то станет равна 2а, а его площадь будет равна
(2а) • (2а) = (2а)2 = 22 • а2 = 4а2, то есть увеличится в 4 раза.
Аналогично рассуждаем для остальных случаев.
5.	№ 433. Решение:
*1 Пусть а - ребро куба, тогда его объем равен а3.
Если ребро увеличить в 3 раза, то объем куба
будет вычисляться по формуле (За) • (За) • (За) =
а = (За)3 = З3 • а3 = 27а3, значит, объем увеличится
в 27 раз.
196
6.	№ 434.
Для решения используем данные задачи № 432.
Решение:
Поверхность куба состоит из 6 квадратов площадью а2,
то есть равна 6б/2.
Если ребро куба увеличить в 3 раза, то площадь боковой грани
составит 9л2, а общая площадь поверхности равна 6 • 9а2 или 54<т2.
Новая площадь больше в 9 раз, значит, и краски потребуется
в 9 раз больше, то есть 40 • 9 = 360 г. Следовательно, 350 г крас-
ки на хватит.
Ответ: не хватит.
7.	Представьте произведение в виде степени.
а)х5/;	б) 36а2 Ь2;	в) О,ОО1х3с3;
г)-г3;	д)-8х3;	е) -32а5 Ь5;
ж) -x5y5z5; з) 0,027я3/)3с3; и) ——x3a3z3.
64
8.	Вычислите значение выражения, используя свойство сте-
пени произведения.
nV	(
а) 53 - 23; б) — • 204; в) (О.5)3 • 603; г) (1,2)4- 1- .
у4у	\ 3)
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте определение степени с натуральным пока-
зателем.
-	Сформулируйте правило возведения в степень произведения.
-	Сколько сомножителей может стоять в формуле степени
произведения?
-	Чему равно значение выражения (3 • 5 • 78)°?
Домашнее задание: № 429; № 430; № 435; № 436; № 437.
Урок 49
ВОЗВЕДЕНИЕ СТЕПЕНИ В СТЕПЕНЬ
Цели: вывести правило возведения степени в степень;
формировать умение выполнять преобразование выражений,
содержащих степень в степени.
197
Ход урока
I. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Возведите в степень произведение.
8 Г1 Y	ч ( 2	>
a) (xyz) ; б) I — xyz I ; в) (-2а) ; г) I -—ahc I
2. Вычислите значение выражения.
(1V
а) 252  42; б) -  9’;	в) (-О,5)3 • 403.
Вариант 2
1. Возведите в степень произведение.
( 1	\4	( з >
a) (abc)w; б) —xyz ; в) (-4#)3; г) —abc
< 4	;
2. Вычислите значение выражения.
/1 \2
а) 203 • 53; б) - I • 252;	в) (-0,2)4 • 504.
II. Объяснение нового материала.
1. Устная работа.
Представьте в виде степени.
а) (я5)3 = а5 • а5 • а5 = ... ; б) (у2)5 = ... ;
в)(^)7-...;	v)(am)n=....
В результате появится запись:
(ат)п = атп.
2. Доказательство свойства можно оформить в виде таблицы.
Свойство. При возведении степени в степень основание ос-
тавляют тем же, а показатели перемножают.
(23)2 = 23-23 =	/ т \п	т т	т \а J — а а ...а — п раз
по первому свойству степени	
= 23 + 3 =	ира< т + т +...+ т -а	~
198
по определению умножения			
= 23'2 Итак, (23)2 = 232		п = а f m У7 ^тп \а ) =а	
Подчеркиваем, что формулу можно применять в следующем
виде:
III. Формирование умений и навыков.
Все задания, решаемые на этом уроке, можно разделить
условно на две группы:
1-я группа. Закрепление навыков возведения степени
в степень.
2-я группа. Решение заданий на правило возведения в сте-
пень произведения и степени.
1.	№ 438 (устно). Решение:
а) (х3)2 = х3 2 = х6; з) (Z)5)2 = Z>5'2 = Z)10.
2.	№440, №441.
№ 441. Решение:
а) а"  а3 = а" + 3;	г) (а2)" = а2”.
3.	№ 443, К» 445, № 446.
№ 443. Решение:
a) 220 = 22 10 = (22)10;	б) 220 = 24 5 = (24)5;
в) 220 = 25 4 = (2s)4;	г) 220 = 210 2 = (210)2.
№ 445. Решение:
12=1-12	а|2 =	(а1)12;
12 = 2-6;	а|2 = (а2)6;
12 = 3-4;	а|2 = (а3)4;
12 = 4-3;	а|2 = (а4)3;
12 = 6-2;	а|2 = (а6)2;
12=12-1	а12 =	(а|2)‘.
№ 446. Решение:
а2 = т;
а6 = а2 3 = ^ = т\
199
4.	Представьте выражение в виде квадрата числа.
а) я4;	б) Z?6;	в) б/8;	г) с10;
\ J20 ч 25	13	( _ 1
д) «°;	е)—;	ж) 1 —;	з) -2—	.
36	69	Ч 2)
5.	№ 447, № 449 (а, б), № 450 (а, б).
№ 447. Решение:
а)	х3- (х2)5 = х3-х2 5 = х3-х10 =х3 + |° =х13;
б)	(а3)2, <75 = а3 2-а5 = а6-а5 = а6 *5 = а11;
в)	(л2)3-(а4)2 = а2 3-а4'2 =ав + * = я14;
Г) (х2)5-(х5)2 = х2 5-х5 2 =х'0-х’° =(х10)2 =х10-2 = х20;
д) (а’а’)2=(а6)2=а6 2=а12;
№ 449. Решение:
я2» г5- ( х2 V - г5 - у6 - У11-
d) Л I Л I — Л л — л ,
б) (/)4-х8=х|2-/=х20.
№ 450. Решение:
-ч5 ^12	-ч17
—— = — = 24=16;
2 3	23
516- 57 _ 523
522	- 522 "
6.	(Устно.) Найдите примеры, в которых допущена ошибка,
1) (аб)’=а’б’;	5) (-32)’= 36;
2) (-2бс)2 = -462с;	6) (с4)2? = с;
А/ з\2А4
3)(2 • 5)4 = 10000;	7) 1(-а) I = а24;
4) (-3’)2 =36;	8) ((2а)’б7)2 =26а6б14.
200
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте определение степени с натуральным пока-
зателем.
-	Сформулируйте правило возведения степени в степень.
Приведите примеры.
-	Каков алгоритм возведения степени в степень?
-	Чему равно значение выражения: ((я2 J ; (х3)° ?
Домашнее задание: № 439; № 442; № 444; № 448; № 449
(в, г); № 450 (в, г).
Урок 50
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ»
Цел и: обобщить знания по теме «Степень и её свойства»;
закрепить умения преобразовывать числовые и буквенные вы-
ражения, содержащие степень.
Ход урока
I.	Обобщение и систематизация материала.
Повторяем и систематизируем теоретический материал и прак-
тическую часть.
Дана таблица. В левом столбце заполнить пропущенные
места, в правом - выполнить задания.
Степенью числа а с натуральным показателем п называется	 п	, каждый из которых равен а. Степень числа а с показателем, равным 1		1.	Представьте в виде степени произведение: а)	(-8) • (-8) • (-8) • (-8) • (-8); б)	(х-у) • (х-у) • (х-у) • (х - у). 2.	Возведите в степень: ( 1V З4; (-0,2)’; 12-1 Назовите основание и показатель записанных степеней.
При умножении степеней с оди- наковыми основаниями	 складывают, а 	 остав- ляют прежним.	Выполните действия: а4  а12; Ь6 • ь9 • ь- з2-з3
201
При делении степеней с одина- ковыми основаниями 	 оставляют прежним, а из	 числителя 	 	 знаменателя	Выполните действия: Z,8: Ь2- п : л6; с9 : с; 57 : 54
При возведении степени в сте- пень 	оставляют преж- ним, а	перемножают.	Выполните действия: (W3)7; (Г)5; (22)3
При возведении в степень произ- ведения возводят в эту степень 	 и результаты перемножают	Выполните возведение в степень: (-2<Л)5; [ipVj4
Степень числа а, не равного ну- лю, с нулевым показателем равна	Вычислите: Зх° при х = 2,6
II.	Закрепление умений и навыков.
Индивидуальная проверочная работа с кодиро-
ванным ответом.
Каждый учащийся выполняет задания, к ним прилагается
ключ, в котором использован весь алфавит, чтобы исключить
угадывание ответов по буквам. В случае правильного решения -
правильное слово.
Задания для каждого ряда индивидуальные. Желательно при
наличии места разместить задания на доске, чтобы можно было
проверить ответы, ход решения. Побеждает команда, набравшая
наибольшее число баллов за правильные ответы.
202
№ п/п	Задание I ряд	Ответ	
			код
1	3	2	8 т • т • т	ти'3	У
2	20 . 17 Р Р	Р3	Н
3	с3: с°	с5	И
4	(За)3	27а3	к
5	5	3	0 т • т • т • т	т9	А
6	214 : 28	64	Л
7	(-х)3-х4	-х7	ь
8	(РР3)2-Р5	Р3	н
9	З7 • (З2)3: З10	27	о
№ п/п	Задания II ряд	Ответ	
			код
1	а4 • а3 • а2	а9	Г
2	(24)5: (27)2	64	Л
3	3 • З2 • 3°	27	О
4	(W	32/	Б
5	(ли2)4 • т	т9	А
6	(23)2	64	Л
7	(-х3) ‘ (-х)4	-х7	Ь
8	(//)/:/	Р3	Н
9	(З5)2 ’ З7: З14	27	О
№ п/п	Задание III ряд	Ответ	
			код
1	а4 • а • а3а	а9	Г
2	(7х)2	49х2	Е
3	рр2р9	Р3	Н
4	3 с • с с	с5	И
5	4 z 2\2	0 т • т • (ли ) ' т	т9	А
6	(23)7: (25)3	64	Л
7	-х3 • (-х)4	-х7	Ь
8	(/Л/	Р3	Н
9	(З4)2 - (З2)3:3й	27	О
Кл ю ч
А	Б	В	Г	д	Е	Ж	3	И	К	Л
т9	32/	81	$ а	х3	49х2	т5	Р4	с5	27а3	64
М	н	о	П	Р	С	т	У	Ф	X	ц
з4	р1	27	25	х7	Р6	т3	13 т	а8	81а3	с>
ч	Ш	щ	ъ	Б	Ы	Э	Ю	Я
16а4	25	10/	9/	-х7	а2	32х5	49/	х5
III.	Итоги урока.
- Сформулируйте определение степени числа с натуральным
показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них
основание и показатель степени.
203
-	Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
-	Сформулируйте правило умножения и правило деления
степеней с одинаковыми основаниями.
-	Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
-	Сформулируйте правило возведения в степень произведе-
ния, правило возведения в степень степени.
Домашнее задание: № 534; № 535; № 539; № 547; № 548.
Урок 51
ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА И ПРИВЕДЕНИЕ ЕГО
К СТАНДАРТНОМУ ВИДУ
Цели: ввести понятие одночлена и его стандартного вида;
формировать умение приводить одночлен к стандартному виду
путем его упрощения; формировать умение определять коэффи-
циент и степень одночлена.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Упростите выражение.
а) х3 • (-х4);	б) х3 • (~х)4;	в) (-х)3 • х4;
г) (-х3) • (-х)4;	д) (а2)5 • аъ\	е) {а2 • я5)2.
2. Выполняя задания на преобразование выражений, содер-
жащих степени, ученик допустил следующие ошибки:
а) 5 • 5 • 5 • 5 = 45;	б) (-3)2 = -3 • 3	= -9;	в) 71 = 1;
г) 0° = 1;	д) 23-27 = 221;	e)23-2s = 410;
ж) 23 + 27 = 210;	з) 230 : 210 = 23;	и) (2х)3 = 2х3;
к) (а3)2 = а\	л) (я2)3 • (а4)2 =	(а6)5	= а30.
Какие определения, свойства, правила не знает ученик?
П. Объяснение нового материала.
1.	При решении различных задач часто встречаются алгеб-
1
раические выражения вида а- Ь; —-a-b-с; 3-а~-Ь. Для сокра-
щения записи этих выражений знак умножения «точка» обычно
1 2
опускается, то есть пишут просто ab;	Ь- Каждое
из этих произведений называют одночленом.
204
На доску выносится запись:
Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами
или буквами, называют одночленом.
Например, одночленами являются выражения: abc, (-4)a3aZ>;
-^a(-0,3)bab; 172; Так как произведение равных множите-
лей можно записать в виде степени с натуральным показателем,
то степень числа и произведение степеней чисел также называют
одночленами.
,2 ( 1
| ; (-7)3; с5; 4л2; I --L2Z>.
Множители одночлена, записанные с помощью цифр, назы-
вают числовыми множителями одночлена, а множители, обо-
значенные буквами, называют буквенными множителями.
2.	Одночлены можно упрощать, пользуясь переместительным
и сочетательным законами умножения.
Стандартным видом одночлена называется его
запись, когда на первом месте стоит числовой коэф-
фициент, а затем степени различных переменных.
Обращаем внимание учащихся, что коэффициент одночле-
на может быть равен единице, в этом случае мы его не пишем
перед буквенной частью. Переменные принято записывать в ал-
фавитном порядке, то есть не Зх2л4с, а Зл4сх2.
3.	Вводим понятие степени одночлена.
Степенью одночлена называют сумму показателей
степеней всех входящих в него переменных.
Если одночлен не содержит переменных и является
числом, отличным от нуля, то степень этого одночлена
считают равной нулю.
Число 0 является одночленом, степень которого
не определена.
205
III.	Формирование умений и навыков.
На этом занятии необходимо отработать следующие уме-
ния:
1)	выявлять одночлен, используя определения;
2)	выделять элементы одночлена: числовой коэффициент
и буквенную часть;
3)	определять, записан ли одночлен в стандартном виде;
4)	приводить одночлен к стандартному виду;
5)	вычислять значение одночлена в стандартном виде;
6)	определять степень одночлена стандартного вида.
1.	(Устно). Назовите числовые и буквенные множители од-
ночлена.
а) 6а (0,3)Ь2с;	б) 0,5я—ЬЗс;
4
в) Зр (-0,1)б/7г;	г) 2,5z77^л?4^.
2.	№ 455 (устно).
3.	Вместо словесной формулировки запишите алгебраиче-
ское выражение:
а)	удвоенное произведение чисел а и Z>;
б)	утроенное произведение чисел b и с;
в)	произведение квадратов чисел х и у;
г)	произведение числа а и квадрата числа 6;
д)	произведение куба числа т и числа р\
е)	утроенное произведение квадрата числа а и числа Ь.
4.	№ 456 (устно).
При выполнении этого упражнения ученики должны моти-
вировать свой ответ.
5.	Среди одночленов 10,2я262с; - 1,3ab2c\ \'la2bca\ -2,6аЬ2с;
-пт, ЗаЬ; -28а2 Ь2с2; ЗааЬс; -2а—b; -m4m; m • 2; 17я2/?2с2:
2
а)	назвать одночлены стандартного вида;
б)	указать одночлены, отличающиеся только коэффициентами.
206
6.	№ 457. Решение:
а)	8х2х = 8х2+1 = 8х3;
б)	1,2я/>с • 5а = (1,2 • 5) • (а • а) • Ьс = 6а2Ьс;
в)	Зху(-1,7)у = 3 • (-1,7) -х - у -у = -5,\ху2’,
г)	6с2(-0,8)с = 6 (~0,8)с2с =-4,8с3;
д)	— т2 п • 4,5п3 = I — • 4,5 | • т2- п • п3 = Зт2п4;
3	U )
. _ 1 т | 3 | з 2 /а 1 I 3 I > з 2	53
е)	2—а х — \а х =2— • — \а~а хх =-а х .
3 7J 3 { 7J
7.	№ 459. Решение:
а)	Если у = -2, то -0,125/ = -0,125 • (-2)4 = -0,125 • 16 = -2;
б)	если х - -0,3, у = —, то 12х2у = 12- (-0,3)2 • — = 2 • 0,09 = 0,18.
6	6
Ответ: а) -2; б) 0,18.
8.	№ 461. Решение:
тсм S = 5т т^5т2 (см2).
5т см
Ответ: 5т2 (см2).
9.	Запишите одночлен в стандартном виде и определите его
степень.
а) ас!2с;	б) — aSb2— ba3’,
6	4
в) -0,5ху2—х3;	г) — • 4;
3	18
2	1
д) —т3пр',	е) — a3df)x.
3	8
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте определение одночлена.
-	Приведите пример одночлена стандартного вида и назови-
те его коэффициент.
207
- Каким образом можно привести одночлен к стандартному
виду?
- Сформулируйте определение степени одночлена. Чему
равна степень одночлена, не содержащего переменных? Чему
равна степень О?
Домашнее задание: № 458; № 460; № 462; № 463; № 554;
№ 555.
Урок 52
УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ
Цель: формировать умение умножать одночлен на одно-
член, используя правило умножения степеней с одинаковыми
основаниями.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Назовите коэффициент одночлена.
а) \5а2Ь2с',	б) 18я3 462с;	в) -24<7/гс3;	г) -З5я/>3с2;
д) пт2',	е) п3т ;	ж) -pqr2;	з) -pq2r .
2. Определите степень одночлена,
э
а) 37а2Ьх3', б) ~хУг> [у] х~У‘-> г)-862.
Н. Актуализация знаний.
Работа в парах с тестами с последующей взаимопроверкой.
Вариант 1
1. Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1,
называется произведение  множителей, каждый из кото-
рых равен: ап =.
2. 43 =_______=____________, здесь 4 -___степени, 3 -
степени, 64 -степени 43.
3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями
основание остается прежним, а показатели степеней.
4. ат : а" = ? (т > п, а * 0).
208
5.	При возведении степени в степень основание остается
прежним, а показатели степеней.
6.	(ab)n = .
7.	При возведении дроби в степень следует в эту степень
8.	Произведение числовых и буквенных множителей назы-
вают .
9.	Коэффициент одночлена (~а3Ь2) равен.
Вариант 2
1. В выражении а число а называют степени, число
п -степени.
2. 54 =_______=________, здесь 5 -______степени, 4 -
степени, 625 -степени 54.
Зт
. а • а =.
4.	При делении степеней с одинаковыми основаниями осно-
вание остается прежним, а показатели степеней.
5.	(ату =.
6.	При возведении в степень произведения, в эту степень
возводится.
7.	При возведении в степень дроби следует в эту степень
8.	Числа, переменные и их степени называют.
9.	Числовой множитель одночлена, записанного в стандарт-
ном виде, называют.
III.	Объяснение нового материала.
1.	Решим следующую задачу.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по фор-
муле V = abc, где а - длина, b - ширина и с - высота этого па-
раллелепипеда.
Каким будет объем нового параллелепипеда, если длину
данного увеличить в 5 раз, ширину - в 2л раз, высоту в Зя раз?
209
Решение:
Найдем измерения нового параллелепипеда:
длина - 5<з;
ширина -
высота - Зпс.
Тогда его объем равен (5а) • (2пЬ) • (Зпс). Данное выражение
является произведением трех одночленов. По правилам умно-
жения можно записать равенство:
(5а)  (2пЬ)  (Зпс) = 5а • 2пЬ • Зпс - (5 • 2 • 3) • (annbe) =
= 30ап2Ьс = ЗОаЬсп2.
2.	В результате умножения одночленов снова получается од-
ночлен, который можно упростить, записав в стандартном виде:
(За2Ь3с}  ^4a/?2j = (3 • 4) • (я2#) ’ (^2) ’ с ~ \2а3Ь'с.
3.	Аналогично находим произведение трех и более одночленов.
IV.	Формирование умений и навыков.
На уроке отрабатываются умения перемножать одночлены
и раскладывать одночлен в виде произведения двух и более од-
ночленов.
1. Выполните умножение.
1) а) 12у • 0,5у;	б) 8х2- | у |; в) -Ь3- ЗЬ2;
( 4 J
2) а) — ху216у; б) \,6а2с • (~2ас2);; в) -х3у4, 1,4х6 * *у5.
4
Решение:
1)а) 12у • 0,5у = (12 • 0,5) (у • у) = бу2;
б) 8х2- ^--^-у^ = ^8 • ^--|^(х2у) =-6х2у;
в) -Ь3- ЗЬ2 =(-1 • 3)(b3b2) = -3b5;
2) а) ^ху2' 16у = ^-| • 16^(лу2у ) — 12ху3;
б) 1,6я2с • (~2ас2) = (1,6 • (-2)}{а2сас2) = -З,2а3с3;
в) -х3у4- 1,4х6у5 =(-1 • 1,4)(х3у4х6уэ) = -1,4х9у9.
210
2. Перемножьте одночлены.
а) (-0,4х5y6z2\(-\,2xyz3);
б) (-2,5п4т5к2)-(3пт2к5);
в)
г)	• ^-з|я362с4^.
Решение:
а) (-0,4хУг2) • (—1,2хк^3) =(-0,4 * (—1,2)) • (х5х) • (/>) • (z2z3) =
= 0,48x6y7z5;
б) (-2,5п4т5к2)• [Зпт2к5)= (-2,5• З)-(и4и)-(т5т2)• (к2к3)=
= 7,5и5/Л7 ;
= 2x3y5z4-
г)	g  [-^) • (М) • (/-V) • (с’с4
= -7,5а5Ь7с7.
3. Перемножьте одночлены.
1)-20х4, 0,5х/ и -0,3*У;
2) 12x2y2z , ~^xy2z2 и -0,lx2yz2.
Решение:
1) (-20jt4) • (о,W) • (-0, W) =(-20  0,5 • (-Q3))  (xW) • (У/) =
= 3х7/;
2) (12x2y2z)  (“Лу2221 • (-0,1х2>г2)-
= [12  [-Д (-0,1)1  (xW) • (у2у2у)  (zzV) = 0,9x5y5z5.
211
4.	Выполните умножение.
а)	(-а)  (3Z>) • (4<з26) • (5аЬ2);
б)	(5а) • (а2Ь2)  (~2Ь) • (-За);
в)	(~\,5аЬ) • | — Ьс | • (~2ас) • (2АаЬ).
И J
Решение:
а)	(-а)  (ЗЬ)  (4а2Ь)  (5аЬ2) = (-1 • 3 • 4 • 5) • (аа2а)  (bbb2) =
= -60aW;
б)	(5а)  (а2Ь2)  (~2Ь)  (-За) = (5 • 1 • (-2) • (-3))  (аа2а)  (Ь2Ь) =
= ЗОа463;
в)	(-1,5ай) • \—Ьс I • (—2ас) • (24ай) = |-1,5 • -  (-2) • 24 | х
И J	^4	)
х (ааа) • (bbb) • (сс) = 18я363с2.
5. Замените значок * одночленом стандартного вида так,
чтобы получившееся равенство было тождеством:
1) *  4с2 = ЗОас3;	2) 8а264 • * = -8а'6".
Решение:
I) 7,5ас • 4с2 = ЗОас3;	2) 8а264 • (-а3*2) = -8аV.
6. Представьте двумя способами в виде произведения двух
одночленов стандартного вида следующий одночлен:
a) 18?/z; б) --а’й’с;	в) -0,24aVz.
4
V. Итоги урока.
- Дайте определение одночлена. Приведите примеры.
- Приведите пример одночлена стандартного вида и назови-
те его коэффициент.
- Сформулируйте определение степени одночлена.
- Каким образом можно умножить одночлен на одночлен?
На какие правила мы опираемся?
Домашнее задание: № 467; № 468; № 469; № 470; № 471.
212
Урок 53
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ
Цели: формировать умение возводить одночлен в степень
и приводить его к стандартному виду.
Ход урока
I.	Устная работа.
Разгадайте кроссворд.
По вертикали:
2.	Числовой множитель в одно-
члене стандартного вида.
3.	Чему равен коэффициент од-
ночлена а5Ьс5г!
4.	Чему равна степень одночле-
на 85?
5.	Чему равна степень одночле-
на 102xy5z2?
6.	Чему равно (—2)2?
7.	Какое число получается при
возведении отрицательного числа
в нечётную степень?
8.	Сумма показателей всех пе-
ременных одночлена.
9.	Вид одночлена, в котором
на первом месте числовой множи-
тель, а за ним степени различных
переменных.
По горизонтали: 1. Выражение, которое содержит только
числа, натуральные степени переменных и их произведения.
Ответы : 1. Одночлен. 2. Коэффициент. 3. Единица. 4. Ноль.
5. Восемь. 6. Четыре. 7. Отрицательное. 8. Степень. 9. Стандартный.
II. Объяснение нового материала.
1. Актуализация знаний.
Выполните устно умножение одночленов.
а) а3' а4; б) а  ~а2’	в) ~а ' а2’
213
( з 1
г) а • (-х);	д) (-х) • (-у);	е) (-х) • I --у I;
ж) (-2(7) • а2;	з) Ь2- (-ЗЬ2);	и) ^x^j * бу;
к) (0,2(7) • (~5Ь); л) ‘ (_4(7/>); м) (-8m3) • (-0,5л).
2. Теперь рассмотрим произведение двух или нескольких
одинаковых одночленов, то есть степень одночлена. Например,
(5а2 Ь2 с)2. Так как этот одночлен является произведением чисел
5, а2, Ь2, с, то по свойству возведения в степень произведения
имеем:
(5а2Ь2с)2 = 52(а2)2(Ь2)2с2 = 25авЬ4с2.
В результате возведения одночлена в натуральную степень
снова получается одночлен.
III. Формирование умений и навыков.
1.	№ 472. Решение:
а)	(Зх2)3 =33(х2)3 =27х6;
б)	(4m)2 = 42 m2 = 16m2;
в)	(~2а4Ь2)2 = (-2)2 (а4 )2 (Ь2 )2 = -%апЬь;
г)	(-Зх2у)4=(-3)4(х2)4(/) = 81хУ;
д)	(-а2Ьс2)5 = (~\)5 (а2)5 (Ь5 )(с2 )2 = -Л5с15;
е)	(-а2Ь2с)2 =(-])2(а2)2(Ь2)2с2 = аьЬ4с2.
2.	Выполните возведение одночлена в степень.
(1 Y
1)а)(6у)2;	б)1-б72!;	в)	(0,1с5)4;
2)	а) (5(тх)3;	б)	(4лс4)3;	в)	(5ху3)3;
( 1 У
3)	a) I --xyj ;	б)	(-10х2у6)3;	в)	(-Л3с4)7;
4)	а) ~(За2Ь)2;	б)	-(-2аЬ4)2;	в)	-(-а2Ь2с)\
214
Решение:
1)а) (6^)2 =62/=36/;
(1	V 13	1
б) -а2	= - (а2)3=-!-а6;
U )	2	8
в) (0,1с5)4 = 0,14(с5)4 =0,000к20.
2) а) (5ах)3 = 53я3х3 = 125я3х3;
б) (W)3 = 43а3(с4)3 = 64я3с12;
в) (5х5/) 3= 53(х5)3(у3)3 = 125х'У.
(\4 z \4
1	। J 1 ।	4 4	1	4 4
”7^ "I 7 Iх у = 77х у ;
Э J у Э)	о 1
б) (-10х2/) 3=(-Ю)3(х2)3(/)3 =-1000хУ8;
в) (-Л3с4)7 = (-l)7(a2)7(Z>3)7(c4)7 =-а{лЬ2хс2\
4) а) -(З^)3 =-33(а2)3/,3 =-27Л3;
б)	-{-2аЬУ = -(-2)3a3(Z>4)3 = -(-8Л12) = 8а3/?12;
в)	-(-ab2c)4 =Ч-1)4(я3)4У)4с4 = -а'2Ь*с4.
При выполнении этих упражнений впоследствии можно не
записывать подробно возведение в степень каждого сомножите-
ля. Можно выполнять устно.
Следующие задания направлены на формирование умения
раскладывать одночлен на множители либо представлять в виде
степени некоторого одночлена.
3.	№ 475, № 477.
№ 475. Решение:
а)	81х* =92- (х1)2 =(9х2)2;
б)	121а6 = II2- (а5)2 =(11а3)2;
в)	0,09У2 =(0,3)2-(/)2 =(0,3/)2;
- М = М-
3j v 7 1з J
215
№ 477. Решение:
а) 9й2с2 =32Z>2e2 =(3йс)2;
lOOmV = 1О2т2(я3)2 = (10ти3)2;
б) -Л6 = (-1)’а3(й2)3 =(-аЬгУ;
-27Л’ =(-3)3(х2)’(*3)3 =(-ЗЛ3)3-
4.	№ 479. Решение:
а) хбУ2=(х3)2(/)2=(х3/)2;
х6У2=(%2)3(/)3=(х2/)3.
б) 1000000m'8 = (103)2(m9)2 = (1000л??9)2;
1000000m18 = (102)3 (m6)3 = (100m6)3.
5.	Упростите выражение.
1)а) 35а • (2а)2; б) -4х3- (5х2)3;
В) (-4у2)зУ;
( 1 Y
б) 90а4/)3• -3-а/>6 .
• (2<у)4;
Решение:
1) а) 35а • (2а)2 = 35а • 4а2 = 140а3;
б) -4х3- (5х2)3 =-4х3- 125х6 =-500х9;
в) (-4/)3-/=-64/-/=-64уи.
2) а)	' (2/у)4 =-|х2/- 16х24/ =-2х26/;
к о J	о
,	\ 2	z	\
б) 90я463- I -З-аЬ* | =90а4&3- I агЬ'2 I = -1000а6615.
I 3 J	9	)
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
Выполните действия.
1)	• (-24и) • (4тп);
(1 V
2) -пт2 ;	3) (0,1а3/>3)3.
U J
216
Вариант 2
Выполните действия.
1) (-18л) ♦ | т2 | • (~5тп);
у 6	)
2) (—п2т2'] ;
3) (0,4<Л>2)2.
V. Итоги урока.
- Дайте определение одночлена.
- В каком случае мы говорим, что одночлен задан в стан-
дартном виде?
- Сформулируйте определение степени одночлена. Приведи-
те пример.
- Каким образом можно умножить одночлен на одночлен?
Что получится в результате?
- Как возвести одночлен в степень? На какое правило мы
при этом опираемся?
Домашнее задание: № 473; № 474; № 476; № 478; № 480.
Урок 54
ОБОБЩЕНИЕ МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ
«УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ.
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ В СТЕПЕНЬ»
Цели: закрепить навыки действий с одночленами (пред-
ставление в стандартном виде, умножение одночленов и возве-
дение одночлена в степень, разложение одночлена на множите-
ли и представление одночлена в виде степени).
Ход урока
I. Математический диктант.
Вариант 1
1.	Запишите выражения: (х + а)(х - а); ~x\y ’ Зху‘, х2 + х3 -1.
Подчеркните то, которое является одночленом.
217
2.	Запишите одночлен be2- (-0,5b2) • (-8с). Перепишите его
в стандартном виде и подчеркните коэффициент.
3.	Является ли одночленом выражение \1х2у? Если да, то
каков его коэффициент и какова его степень?
4.	Является ли одночленом выражение -Ь? Если да, то ка-
ков его коэффициент и какова его степень?
5.	Возведите в квадрат одночлен -Зху3.
6.	Запишите в виде одночлена стандартного вида произведе-
ние одночленов 50я26х и -7асх2.
Вариант 2
1.	Запишите выражения: 34-с?4 + сг; (а-Ь)(а + Ь); 7х3--^х.
Подчеркните то, которое является одночленом.
2.	Запишите одночлен -2х2- Зх3у. Перепишите его в стан-
дартном виде и подчеркните коэффициент.
3.	Является ли одночленом выражение -х? Если да, то каков
его коэффициент и какова степень?
4.	Является ли одночленом выражение 12аЬ2 2 Если да, то
каков его коэффициент и какова его степень?
5.	Возведите в куб одночлен -2аЬ2.
6.	Запишите в виде одночлена стандартного вида произведе-
ние одночленов 3b2cd и -2b2yd.
II. Закрепление умений и навыков.
Тренажер по вариантам.
Вариант 1
1.	Найдите значение одночлена.
1)3,5х2 для х = 4; 0,2; 0; -1; -10;
2)	-Да3 для а = -9; -0,5; 0; 3; 10;
2
3)	бху для х = 7иу=1,5; х = 1уиу = -1,4;
4)	-0,02а2с для а - -5 и с — -8; а - —4 и с = 100;
5)	\0abc для а = 1, b = -1 и с = 0,4; а = -2, b = -3 и с = 5.
218
2.	Найдите с помощью калькулятора значение одночлена.
1)	0,4я/>с Для а = 1,2, b = 0,6 и с = 2,3;
2)	1,5х3у для х = 12 и у = 1,6.
3.	Найдите:
1)	значение с, при котором значение одночлена 0,4с равно 0;
1;-1; 10;
2)	какую-нибудь пару значений b и с, при которых значение
одночлена 6Ьс равно 12; -60; 0; 3.
4.	Верно ли, что одночлен:
1)	70а1 при любом а принимает положительные значения;
2)	0,04с2 при любом с принимает неотрицательные значения;
3)	-25х2 при любом х принимает отрицательные значения;
4)	бу3 при любом у принимает положительные значения?
При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение,
при отрицательном приведите опровергающий пример.
5.	Представьте в виде одночлена стандартного вида.
<2 У
1) а) (4яс2)3- (0,5я3с)2; б) Ух2/ I ‘ (-9*4)2;
2) а) -(-х2/)4- (6х4/2; б) (-ЮЛ2)5• (-0,2я/>2)5.
6. Можно ли представить в виде квадрата одночлена выра-
жение:
1) а) 81х2/;	2) а) -5х3/- ^“Х5/
б) -100х4/;	б) -(-Зху)3- 27/?
Решение заданий 5,6 из варианта 1
5. 1) а) (4яс2)3- (0,5я3с)2 =64я3с6- 0,25л6с2 = 16а9с8.
б)	' (~9х4)2 =	81х8 =24х14/;
2) а) — (—х2/)4  (6х4/2 = -х8/6,36х8/ =-36х8/8;
б) (-10<73Л2)5-(-0,2«Л2)5 = (-10л3/>2(-0,2)я62)5 =
= (2Л4)5 =32Л>20.
219
6. 1)а) 81х2у4=92х2(у2)2=(9ху2)2;
б) нельзя, так как -100х4у8 < 0;
2) а) -5х у • I --х у I = х у = (х ) • (у ) = (х у ) ;
б) -(-Зху)3,27у6 = 27х3у327у6 = 272х3у9 - нельзя, так
как показатели степени 3 и 9 - нечетные.
Вариант 2
1.	Найдите значение одночлена.
1)—1,5а2 для а = 2; 0,8; 0; -1; -20;
2)	5у3 для у --10; -0,4; 0; 2; 8;
3)	-ЗаЬ для а = -2,5 и b = 8; а = 1,75 и b = 1 —;
3
4)	0,04ху2 для х - 15 и у -- -2; х = -8 и у = -10;
5)	0,lxyz для х = —1,у = 1 и z = 20; х = 3, у = -4 и z - -2.
2.	Найдите с помощью калькулятора значение одночлена:
1)	1,7xyz х = 2,1, у = 0,8 и z = 5,6;
2)	-0,8а2/?3 для а = 1,4 и b = 2,5.
3.	Найдите:
1)	значение а, при котором значение одночлена 0,3а рав-
но 0; 0,6; -0,8; -1;
2)	какую-нибудь пару значений а и Ь, при которых значение
одночлена Sab равно 30; -10; 0; 5.
4.	Верно ли, что одночлен:
1)	2а3 при любом а принимает положительные значения;
2)	-10х6 при любом х принимает отрицательные значения;
3)	-0,03у при любому принимает неположительные значения;
4)	2,7с2 при любом с принимает неотрицательные значения?
При утвердительном ответе обоснуйте свое заключение,
при отрицательном приведите опровергающий пример.
5.	Представьте в виде одночлена стандартного вида.
? 1 Y3
1)а) (10а2у)2- (Зау2)3;	б) --ху3 I • (4у5)2;
220
2) а) -(ЗхУ)’ • (~x2y)4;	6) (-5aZ>6 )4 • (0,2a6*)4.
6.	Можно ли представить в виде квадрата одночлена выра-
жение:
1) а) 49а664;	2) а) -0,la4Z>2 (-10а2*4);
б)-25хУ;	б)-(-2«4)3-26"?
Решение заданий 5, 6 из варианта 2
5. 1)а) (10«У2- (Злу2)3 =100<у2- 27«У =2700«У;
( 1	у	I
б) -|у • (4/)2 = -\у• 16У° = -2хУ9;
\ 2	)	о
2) а) -(ЗхУ )’• (-х2у)' =-27х1!/-х8У =-27х26У°;
б) (-5aZ>6)4-(0,2a6Z>)4 = (-5-0,2-айУ6*)4 = (-а7*7)4 =
= ааЬа.
6. 1)а) 49aV =72- (а2)2-(Ь2)2 = (1а2Ь2)2;
б) нельзя, так как - 25х2У < 0 ;
2) а) -0,1а462- (-10а264) = Уб6 =(а3)2(63)2 =(а3*3)2;
б)	-(-2а4)3-2/>* =»a'2-2bs =16al2№ = 42(У)2(й4)2 =
= (4а‘й4)2.
III. Итоги урока.
-	Дайте определение одночлена.
-	Как найти значение одночлена.
-	Сформулируйте правило умножения одночленов и правило
возведения одночлена в степень.
Домашнее задание:
1.	Составьте таблицу значений одночлена:
1)	8х2 для значений х из промежутка от -0,5 до 0,5 с шагом,
равным 0,1;
2)	О,5х3 для значений х из промежутка от -10 до 10 с шагом,
равным 2.
221
2.	Представьте в виде:
1)	квадрата одночлена выражение —а6; 0,16я4/>10;
9
2)	куба одночлена выражение 0,008х9; - 27<з3/)II. 12.
З.	№ 556;№559.
Урок 55
ФУНКЦИИ у = х2 И у = х3 И ИХ ГРАФИКИ
Цели: изучить функциональные зависимости у = х2 и у = х3;
формировать умение строить графики данных функций и рабо-
тать с ними.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Назовите область определения функции.		
а) у = Зх;	г) у = 2х2;	ч	2х + 11 ж) у = 2 ;
б) у = _ .; 2х +1	А	1 3 д) т = -*;	ч	5 з) у = , ,; X +1
в) у - -Зх2 +11;	ч	X е) У = х + 5	и) у = (3-х)(х + 6)
2. Найдите значение функции у - х2		-11, если:
а)х = 3; б)х = 0;	ч 1 в) х = —; 2	г) х = 0.
II. Объяснение нового материала.
Организуем самостоятельную работу по учебнику в парах.
С помощью учебника (пункт 23, с. 105-108) учащиеся долж-
ны ответить на вопросы, описанные в таблице (см. далее на
с. 223), и сравнить две функции: в чем схожи и в чем их отличие.
Для удобства выполнения работы можно заранее заготовить
миллиметровую бумагу.
Также следует обсудить такие вопросы, как расположение
графика, промежутки знакопостоянства, нули функции.
222
III. Формирование умений и навыков.
На данном уроке учащиеся строят графики функций и нахо-
дят значение функции для заданного аргумента и наоборот.
Также определяют принадлежность некоторой точки графику.
1.№484, №485.
При выполнении этих заданий учащиеся проговаривают пра-
вила выполнения действий с графиком.
2.	№ 487. Решение:
а)	Л (6; 36)
б)	В (-1,5; 2,25)
в)	С (4;-2)
r)D(l,2; 1,44)
36 = 62;
36 = 36 - верно, значит, принадлежит;
2,25 = (-1,5)2;
2,25 = 2,25 — верно, значит, принадлежит;
-2 = 42;
-2 = 16 - неверно, значит, не принадлежит;
1,44 = (1,2)2;
1,44 = 1,44 - верно, значит, принадлежит.
О т в е т: а) да; б) да; в) нет; г) да.
223
3,№489.
4.	№ 490. Решение:
а)	А (-0,2; -0,008) -0,008 = (-0,2)3;
-0,008 = -0,008 - верно, значит, принад-
лежит;
б)	В\ 1
27 27
— =------верно, значит, принадлежит;
8	8
27 I 3J ’
1 1
— = -— - неверно, значит, не принад-
лежит.
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
5.	№491.
6.	№ 492. Решение:
а)	Р (а; 64)	64 = а2;
82 = а2 - возможно в случае а = 8 или а = -8.
б)	Р (а; 64)	64 = а3;
43 = а3 возможно в случае а = 4.
Ответ: а) 8; -8; б) 4.
При решении этого упражнения учащиеся часто допускают
ошибку: если 82 = а2, то а = 8, то есть забывают второй случай.
Следует обратить внимание, что х2 = (-х)2
. Это тождество им
уже знакомо.
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте свойства функции у = х2. Как отражаются
эти свойства на графике функции?
-	Как называется график функции у = х2 ?
224
-	Сформулируйте свойства графика функции у = х3. Как от-
ражаются эти свойства на графике функции?
-	Как называется график функции у = х3 ?
Домашнее задание: № 486; № 488; № 562; № 563.
Урок 56
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВИДА
у = х И J’ = x3
Цели: формировать понятие графического решения урав-
нения как нахождения абсциссы точек пересечения графиков
двух функций; формировать умение решать графически уравне-
ния вида у = х2 и у = х3.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Заданы функции:
1)3' = 2х;	4)у = Зх + 2;	Ъ У = \\
3)у = -3х;	6)у = -Зх-2;	9)у = х3.
На рисунках а) - и) изображены графики этих функций. За-
полните таблицу соответствия:
Формула	1	2	3	4	5	6	7	8	9
График									
225
2.	Как называется функция вида у = кх ?
3.	Как называется функция вида у = кх + b ?
4.	Как называется график функции у = х2 ?
5.	Как называется график функции вида у = х3 ?
II.	Актуализация знаний.
Решить уравнение.
а) х2 =16;	б) х3 = 8;	в) х2 =
г) х3 =	д) х2 = 0;	е) х2 = -4.
III.	Объяснение нового материала.
Необходимо разъяснить принцип графического решения
уравнения.
Рассматриваем примеры 1,2 со с. 109 учебника. Показываем,
что равенство (аналитическое) х2 = х +1 можно понимать как
равенство значений двух функций у = х2 и у = х + 1. Графиче-
ски, если графики этих функций пересекаются, то точка иересе-
226
чения показывает значение х (абсцисса), при котором значения
функций (ордината) равны.
Отсюда учащиеся могут сами вывести и сформулировать ал-
горитм графического решения уравнения:
1-й шаг. Преобразовать уравнение к равенству двух функ-
ций известного вида (у = кх;у = кх + Ь’,у = х2 ;у = х3).
2-й шаг. В одной системе координат построить графики
этих функций.
3-й шаг. Определить наличие или отсутствие точки (точек)
пересечения.
4-й шаг. Если точки пересечения есть, то найти по графику
их абсциссы, которые и будут являться решениями уравнения.
Если точек пересечения нет, то, значит, уравнение не имеет ре-
шений.
Подчеркиваем учащимся, что решение, полученное графиче-
ски, может быть как точным, так и приближенным. Проверить
полученное значение можно, подставив в уравнение.
IV.	Формирование умений и навыков.
1.	№ 493 (устно).
2.	Решите графически уравнение.
а) х2 = 2х; б) х2 = ^х;
в) х2 = -2х.
3.	№ 566.
В следующем упражнении от учащихся требуется сначала
преобразовать уравнение к «удобному» виду, а затем решить его
графически.
4.	№ 494. Решение:
б)	х2 + 2х - 3 = 0;
х2 = -2х + 3.
Построим графики функ-
ций у = х2 и у = -2x4-3.
Ответ: х = -3;х = 1.
227
5.	№ 495 (устно).
6.	№ 496.
V	. Итоги урока.
-	В каком случае уравнение можно решить графически?
-	Назовите алгоритм решения уравнения графическим спо-
собом.
-	В каком случае уравнение не имеет корней?
-	Как можно проверить точность корней уравнения, найден-
ных графическим способом?
Домашнее задание:
1.	Решите графически уравнение.
а)х = 3х;	б)2х = -^х + 2;	в)Зх = Зх + 4.
2.	Решите графически уравнение.
а) х2 = 9; б) х2 = —; в) х2 - -3; г) х3 = 8.
16
3.	Решите уравнение графически.
а)	х2 = 6 - х;	в) х2 - 4х = 0;
б)	х2 -I- 4х = -3;	г) х3 + 2 = Зх.
Урок 57
ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ
«СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ».
ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Цели: обобщить и систематизировать знания по теме
«Степень с натуральным показателем»; оценить степень сфоми-
рованности умений и навыков, провести коррекционную работу.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Представьте в виде степени.
а) с7-с4;	6)b-b2-b3;	в) (-7)3-(-7)8-(-7)’;
228
г) <я10: <я8;	д)2,4:29;	е) (х5)2;
Л 2 V
ж) (-а3)3;	з) I -—abc I ; и) (а2)5- а5.
2. Упростите.
а)	(б/5)2-(б/2-б/3)2; в)(4ху)2;	д) 94: З7;
б)	(/)5: (/)2;	г) 20я3- (5л)2;	е) 1012: (24- 54).
3.	Выполняя задания, ученик допустил ошибки. Какие свой-
ства, правила не знает ученик?
35-38 =340;	81 = 1;	24 +22 = 26;
(2а)5=2а5;	(х2)’=х8.
4.	Представьте в виде степени.
(-3)8- (-3)4;	(0,1)2°: (0,1)6;	(Г)2.
5.	Найдите значение выражения.
(1014- 107):1019;	53- 23.
6.	Представьте произведение в виде степени.
х5/;	36а2/)2;	—a'b’c’.
8
IL Теоретический опрос.
1)	Сформулируйте определение степени с натуральным по-
казателем.
2)	Каким числом является:
а)	степень положительного числа;
б)	степень отрицательного числа с четным показателем;
в)	степень отрицательного числа с нечетным показателем?
3)	Сформулируйте правило умножения степеней с одинако-
выми показателями.
4)	Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми
показателями.
5)	Дайте определение степени числа с нулевым показателем.
6)	Сформулируйте правило возведения степени в степень.
7)	Сформулируйте правило возведения в степень произведения.
229
III. Математический диктант.
Вариант 1
1.	Упростите.
а) х2 • х8:х;	б) о10:аь• я4.
2.	Найдите значение выражения.
94:	З7.
3.	Представьте в виде квадрата одночлена.
0,25х4;	49mV.
4.	Выполните умножение.
|х2у3- 16ух.
5)	Вычислите.
(516 • З16): 1515.
Вариант 2
1.	Упростите.
а) Ь3-Ь2 :Ь;	б) у2:у5-у2.
2.	Найдите значение выражения.
44:	26
3.	Представьте в виде квадрата одночлена.
0,36/;	100с2а6.
4.	Выполните умножение.
-~а3Ь4- \2аЬ2.
3
5.	Вычислите.
(З10 • 710): 219.
IV. Работа по карточкам.
Карточка № 1
1.	Вычислите.
(494 • 75): 712.
2.	Упростите выражения.
1	( 1	V
а) 4-ЛЛ -|-а56 ;
6	L 5	)
б)
Карточка № 2
1. Вычислите.
(56 • 125) :254.
2. Упростите выражения
(	1	V 1
а)	-2—а3Ь  3-а*Ь5;
4 2	)	5
б)	х2" : (х" ~')2.
230
V. Итоги урока.
Домашнее задание: 1. Повторить п. 18-23.
2.	Ответьте на вопросы теста:
1)	Выполните умножение: 0,5хУ • (~ху) -
а) -0,5х3у2;	б) 0,5у2х3;	в) -0,5х2у3.
2)	Упростите: -0,4х4у3- 2,5х2 у1 =
а) х8у6;	б)-10х6у7;	в)-х6у7.
3)	Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
20л3 • (-5л)2 =
а) 100л5;	б)-500л6;	в) 500л5.
4)	Вычислите: (25 • (23)4): 213 =
а) 23;	6)16;	в) 32.
Урок 58
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Вариант 1
1.	Найдите значение выражения 1 - 5х2 при х = -А.
2.	Выполните действия.
а) /У2; б) у20:/; в) (у2)8; г) (2у)4.
3.	Упростите выражение.
а) -2аЬ’- За2- Ь4;	б)(-2а5Ь2)3.
4.	Постройте график функции у = х2. С помощью графика
определите значение у при х = 1,5; х = -1,5.
252- 55
5.	Вычислите:----—.
57
6.	Упростите выражение.
2	( 1 V
а) 2ух2у8- I -1—ху3 I ;	б) хп ~2- х3 х.
231
Вариант 2
„ з	1
1.	Найдите значение выражения -9р при р = -—.
2.	Выполните действия.
а) с3-с22;	б) с18: с6; в) (с4)6; г) (Зс)5.
3.	Упростите выражение.
a) -4х5у2 • Зху4;	б) (Зх2у3 )2.
4.	Постройте график функции у = х2. С помощью графика
определите, при каких значения х значение у равно 4.
З6- 27
5.	Вычислите:---
812
6.	Упростите выражение.
3 А 1 У
а) ЗуХ5/- I-2|хМ ; б) У+ 1)2: а2п-
Вариант 3
1.	Найдите значение выражения -Зх2 + 7 при х = -5.
2.	Выполните действия.
а) а8- а'6;	б) а'6 :а\ в) (а3)5; г) (2а)3.
3.	Упростите выражение.
а) За2*  (-2а3*4);	б) (-За3*2)3.
4.	Постройте график функции у = х2. С помощью графика
определите значение у при х = 2,5; х = -2,5.
494- 75
5.	Вычислите:-----—.
72
6.	Упростите выражение.
1	(	1	У
а) 4-Л5- -1-Л ; б) ат + х-а-а3-т.
6	\ 5	)
Вариант 4
1.	Найдите значение выражения -12с3 при с = -—.
232
2.	Выполните действия.
а) х7-х12;	б) х12 :х3; в) (х6)3; г) (Зх)4.
3.	Упростите выражение.
a) 5х4у • (-Зх2у3);	б) (-2ху4)4.
4.	Постройте график функции у = х2. С помощью графика
функции определите, при каких значения х значение у равно 9.
56- 125
5.	Вычислите: ----—.
254
6.	Упростите выражение.
а)	' 3б) х2": (х” ’ ')2.
Рекомендации по оцениванию.
Задания 1^4 обязательного уровня. Их необходимо решить
для получения отметки «3». Для получения отметки «5» необхо-
димо решить все 6 заданий.
В более слабом классе необходимо решить любые три зада-
ния для получения отметки «3» и любые пять для получения от-
метки «5».
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.Еслих = ^,то1-5х2=1-5*(-4)2=1-5- 16= 1-80 = -79.
Ответ: -79.
2. а) у7-у12 = у7 + 12 = у19;	б) у20:у5 = у20 ’5 = у15;
в) (У2)8 =/’8 =У6;	г) (2у)4 = 24у4 = 16у4.
Ответ: а)у19; б)у15; в)у16; г) 16у4.
3. а) -2аЬ3- За2- Ь4 = (-2 • 3)(^2)(^4) = -6а3Ь7;
б) (~2a5b2)3 =(-2)3(о5)3(/>2)3 = -8а'5Ь6.
Ответ: а) -6я367;б) -8а'5 Ь6.
233
Ответ: 25.
б) х"-2-х3-"-х = х”-2 + (
О т в е т: а) 13,5х6у20; б) х2.
Вариант 2
1.	Если р -	, то -9/ = -9 |	| - -9 |—— | = —.
3	I 3J 27) 3
ГЛ	1
Ответ: —.
3
2.	а) с3-с22 = с3 + 22 = с25;	в) (с4)6 = с4 6 = с24;
б)	с18 :с6 =с18-6 = с12;	г) (Зс)5 = 35с5 = 243 с5.
Ответ: а) с25; б) с12; в) с24; г) 243с5.
3.	а) -4х5/- Зх/ = (-4 • 3)(х5х)(//) = -12х6/;
б) (3х2/)2=32(х2)2(/)2=9х4/.
Ответ: а) -12х6/; б) 9х4/.
234
Ответ: 3.
6.а)з|хУ^-2|х5^ Лу.(-2] (х!)У =
б) (а"'1)2: а2" =а2,"*1> :а2" = а2"*2 :а2" = а2"*2-2" =а2
Ответ: a) ISyX15^8 * * *; б) а1.
Вариант 3
1. Еслих = -5,то-Зх2 + 7 = -3 • (-5)2+7 = -3 • 25 + 7 = -75 + 7 = -68.
Ответ: -68.
2. а) а -а = а = а ; о) а :а = а = а ;
в) (а3 *)5 = а3 5 = а15;	г) (2а)3 = 23а3 = 8а3.
Ответ: а) а24; б) а12; в) а15; г) 8а3.
3. а) За2Ь  (-2а364) = (3 • (-2))(а2а3) (**4) =-6а5*5;
б) (-За3*2)3 =(-3)’(а3)’(*2)3 = -27а’*6 *.
Ответ: а) -6а5*5; б) -27а’*6.
235
494- 7s _ (72)4'7’ _ 78-75
^12	“	^Y2	— yl2
Ответ: 7.
6. а) Д<Л)5/-1|а5/3	'(a5)’-*3
7- = 7.
712
-7,2апЬ*;
6)	-a3	1 *3 ”= a5.
О т в e т: a) - 7,2o23/)8 ;6) a5.
Вариант 4
1. Если с = -|,то -12c3 = -12	=-12 (-£j = -| = l,5.
Ответ: 1,5.
2. a) x7-x12 = x7 +12 = x19;	6) x12 : x3 = x12 ’3 = x9;
в) (x6)3 =x6'3 =x18;	r) (3x)4 =34x4 =81x4.
Ответ: a)x19; б)х9; в)х18; r) 8lx4.
3. a) 5x4j/ • (-3x2j/) = (5 • (-3))(x4x2)(yy3) =-15x6j^4;
б) (-2х/)4=(-2)4х4(/)4=16х4У6.
Ответ: а) -15х6^4;б) 16х4^16.
236
Ответ: -3; 3.
56- 125 _ 56-53 _ 59
254 ’' (52 )4 ~ 58 ” ’
Ответ: 5.
6. a) f-2—a3b \ -З-а'Ь* =f--l (а3У/>4-—<Л5 =
к 2 J 5 И) 5
^.^•(Л')(*4*5) = 125оа,г>’;
б) X2" :(х"-’)2 =х2” :х2<"-11 =х2я
Х2п~2 = x2w-<2w"2)
= Х2п “ 2” + 2 — х2
О т в е т: а) 125а2Qb9; б) х2.
Урок 59
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Цели: проанализировать результаты контрольной работы,
выявить типичные ошибки, допущенные учащимися; провести
коррекционную работу.
Ход урока
I.	Анализ результатов контрольной работы.
II.	Работа над ошибками.
Учащиеся в тетрадях выполняют работу над ошибками. При-
меры, вызвавшие наибольшие затруднения, выносятся на доску.
237
III.	Решение заданий повышенной трудности.
Учащиеся, получившие отметки «5» и «4», могут приступить
к выполнению дополнительных заданий и заданий повышенной
трудности.
1. № 549*, № 550*, № 551*, № 552*.
2. № 560, № 561, № 564*, № 565*, № 566.
IV. Итоги урока.
-	Какие типичные ошибки допущены во время выполнения
контрольной работы?
-	Какие основные понятия и правила необходимо знать для
выполнения контрольной работы?
Домашнее задание: закончить решение упражнений из 4-го
блока.
Урок 60
О ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЛАХ
Цели: рассмотреть разложение любого числа на простые
множители для нахождения НОД и НОК двух и более чисел;
научиться представлять любое число в виде произведения сте-
пеней простых чисел.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
1.	Выберите из чисел простые. Объясните свой выбор.
а) 11;	б)|;	в) 1;	г) 27;
2
Д)3;	е) 29;	ж)--;	з) 0;
25
и)—;	к) 37;	л) 43;	м) 121.
36
2.	Найдите НОД (наибольший общий делитель) чисел.
а) 11 и 121;	б) 8 и 20;	в) 37 и 45;	г) 35 и 65.
3.	Найдите НОК (наименьшее общее кратное) чисел.
а) 15 и 45;	б) 17 и 21;	в) 1 и 20;	г) 60 и 90.
238
II. Изучение нового материала.
1.	Напоминаем определения простого и составного числа.
Рассматриваем возможное доказательство утверждения, что
простых чисел - бесконечное множество.
2.	Рассматриваем разложение любого составного числа
на простые множители. Удобен способ разложения «в столбик».
Берем простые делители не наугад, а начиная с самого малень-
кого - 2, затем, если необходимо, - 3, 5, 7, 11 и т. д.
Например:			
360	2	504	2
180	2	252	2
90	2	126	2
45	3	63	3
15	3	21	3
5	5	7	7
1		1	
Запишем числа в виде произведения:
360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 23 • З2 • 5;
504 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 = 23 • З2 • 7.
3.	Формулируем правила.
©Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чи-
сел, надо:
1)	разложить каждое число на простые множители;
2)	записать числа в виде произведения степеней простых чисел;
3)	взять каждый из множителей в степени с наименьшим по-
казателем, с каким он входит в эти числа.
Пример со с. 112-113 учебника.
©Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чи-
сел, поступают аналогично, но берут степени с наибольшим по-
казателем.
III. Закрепление изученного материала.
№ 500. Решение:
а2 + а должно быть кратно 17.
При а = 16: о2 + о = 162+ 16 = 16(16 + 1) = 16 - 17, значит,
делится на 17.
Ответ: а = 16.
239
№ 502*. Решение:
1 Ox + у - двузначное число, где хиу- числа 1, 2, 3,... ,9.
Если х = 7 (наибольшее простое из перечня), то удобно взять
у = 7: 10-7 + 7 = 7( 10 +1) = 7- 11- произведение двух простых
чисел. Значит, это число 77.
Ответ: 77.
№ 506*. Решение:
<2 = 1 ’	2-3-4-5-6-7-8-9-	10= 1	2 • 3 • 2 • 2 • 5 • 2 • 3 • 7 х
х2-2-2-	3 • 3 • 2 • 5 = 28  З4  52 •	7.	
Ответ: а = 28 • З4 • 52 • 7. № 507. Решение:			
а) 765	5	765 = 32-5-17	315	5	315 = 32-5-7
153	3	63	3
51	3	21	3
17	17	7	7
1		1	
НОД ('	765; 315) = 32-5 = 45.		
б) 792	2	7 92 = 23 • З2 • 11	1936	2	1936 = 24-И2.
396	2	968	2
198	2	484	2
99	3	242	2
33	3	121	11
11	11	И	И
1		1	
НОД (792; 1936) = 23 • И =88.			
Ответ: а) 45; б) 88. № 508. Решение:			
а) 294	2	294 = 2 • 3 • 72	756	2	756 = 22 • З3 • 7.
147	3	378	2
49	7	189	3
7	7	63	3
1		21	3
		7	7
		1	
НОК (294; 756) = 22 • З3 • 72 = 4 • 27 • 49 = 5292;
240
б) 693	3	693 = З2- 7 • 11	1617	3	1617 = 3-72-11
231	3	539	7
77	7	77	7
11	11 11	И
1	1	
НОК(693; 1617) = З2 - 72 • 11 =4851.
О т в е т: а) 5292; б) 4851.
№ 510*. Решение:
НОК (15; а) = 90.
15 3	15 = 3-5	90 3	90 = 2 • З2 • 5.
5 5	30 3
1	10 2
5 5
1
Очевидно, что в разложение искомого числа на простые
множители должны входить двойка, две тройки и не более од-
ной пятерки, значит, это число либо 2 • З2 = 18, либо 2 • З2 • 5 = 90.
Ответ: 18 или 90.
IV. Итоги урока.
МНОГОЧЛЕНЫ
Урок 61
ПОНЯТИЕ МНОГОЧЛЕНА
Цели: ввести понятие многочлена, подобных членов мно-
гочлена, стандартного вида многочлена; формировать умение
приводить многочлен к стандартному виду.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Является ли одночленом выражение:
а)	7*У;	в) у3 + у;	д) 5{а + Ь)3;
( 1А	г9	2
б)	а- — ;	г)—;	е) --а2Ьа?
I 3)	2	7
241
2.	Представьте одночлен в стандартном виде и назовите его
коэффициент:
а)	4х3х;	в) 10х2 • (-0,1х2);	д) -2р5 • 5р3;
q	4	1
б)	-З-aba1;	г) • 4с;	е) ~ХУ2' (~3х7).
II. Объяснение нового материала.
С позиции выполнения упражнений, предложенных в учеб-
нике, данная тема не является сложной для учащихся. Однако
при её изучении появляется много новых понятий, которые они
должны усвоить.
Необходимо акцентировать внимание учащихся на этих по-
нятиях, а также на формулировках типа «приведите подобные
члены многочлена», «представьте многочлен в стандартном ви-
де». Иначе впоследствии школьники, встречая такие задания,
могут не понять, что от них требуется. Поэтому в течение урока
нужно как можно больше проговаривать изучаемые понятия, их
определения и просить учащихся пояснять, что требуется сде-
лать в том или ином задании.
Из-за большого количества новых понятий определение сте-
пени многочлена можно отложить до следующего урока.
Объяснение материала проводится в несколько этапов, каж-
дый из которых закрепляется примерами и устными заданиями.
1.	Введение понятия многочлена.
При выполнении устной работы у учащихся была возмож-
ность вспомнить понятие одночлена, поэтому определение мно-
гочлена не должно вызывать у них затруднений.
Задание. Назовите каждый член многочлена и определите
вид многочлена (одночлен, двучлен, трёхчлен).
а) -6<з3 + 1,ЗЛ2;	г) 4ab + 2ah2;
б) 7 в)5х2 + 7х-8;	д) xyz + x2-z; е) За2Ь2с3.
242
2.	Приведение подобных членов многочлена.
Можно предложить учащимся определить вид многочлена
Зу4 + 2у-2у4. Некоторые из них скажут, что это трёхчлен. То-
гда следует обратить внимание на то, что слагаемые Зу4 и -2у4
являются подобными, и после их приведения получится много-
член у4 + 2у, который является двучленом.
Делается вывод, что приведение подобных членов много-
члена является важной операцией, которая должна предшество-
вать многим заданиям, связанным с многочленами. Рассмотреть
пример 1 из учебника.
3.	Стандартный вид многочлена.
Сначала необходимо вспомнить, что называется стандарт-
ным видом одночлена, а затем рассмотреть вопрос о приведении
многочлена к стандартному виду.
Обратить внимание учащихся на то, что для приведения мно-
гочлена к стандартному виду нужно выполнить две операции:
-	каждый член многочлена записать в стандартном виде;
-	привести подобные члены многочлена.
Пример. Привести многочлен Зх5 - 2х2 + Зх • (-2) + 4Х2
к стандартному виду.
Зх5 - 2Х2 + Зх • (-2) + 4х2 = Зх5 - 2Х2 - 6х + 4х2 = Зх5 + 2х2 - 6х.
Как уже говорилось, вопрос о степени многочлена лучше
рассмотреть на следующем уроке.
III. Формирование умений и навыков.
Как при объяснении нового материала, так и при форми-
ровании умений и навыков рассматриваются три основные
группы вопросов:
1)	понятие многочлена;
2)	приведение подобных членов многочлена;
3)	стандартный вид многочлена.
1-я группа
1	.№567.
2	. Определите количество членов многочлена и назовите его
(двучлен, трёхчлен).
2 S	7
а) —х +2аЬ;	б) ху + х-2у + 5;
243
в) Sab + b5 -9;	г) 5х3 - -.у2 -5х3.
8
2-я группа
1.	Приведите подобные члены многочлена.
а)	2а +	- 6аЬ\	в) 2х3 - 5х2 + 4х - х3 + Зх2;
б)	5х2+6х-9х2;	г) 4л5-7а3 + 2-2а -10.
2.	№ 569.
3-я группа
1.	Запишите в стандартном виде многочлен:
а)	Зх7 + 2х • (-5) + 5у;	в) 5я4 - 2а • а1 - а1 + 7 а3;
б)	2р3 - р1 + 7р+ 9р2\	г) 2/-(-4/) + 5у У-Зу5.
2.	№571.
IV. Итоги урока.
- Что называется многочленом? членом многочлена?
- Приведите примеры двучленов, трёхчленов.
- Что такое подобные члены многочлена?
-	Как записать многочлен в стандартном виде?
-	Записан ли многочлен -Зх7 + 2х3 + 4х • (-х2) + х в стан-
дартном виде? Почему?
Домашнее задание: № 568, № 570.
Урок 62
НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ МНОГОЧЛЕНА
Цели: ввести понятие степени многочлена; формировать
умение определять степень многочлена и находить значения
многочлена; продолжить формирование умения записывать
многочлен в стандартном виде.
Ход урока
I. Устная работа.
Записаны ли многочлены в стандартном виде?
а) 3>аЬ2 -7 у -9;	б) -^х5 + 2х2 -abc,
244
2
в)3/-7/+2,-9/;	г)-х4-Зх  х2+5;
д) 4ху - 8х2у + 2ху2 - х2у2;	е) 2 я4 + За (-4) + а3 + Sa.
Приведите к стандартному виду все многочлены.
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут задания на нахождение значений многочлена, а во 2-ю
группу - наопределение степени многочлена.
1-я группа
1.	№ 572. Решение:
(Важно, чтобы учащиеся поняли, что перед подстановкой
данного значения в многочлен необходимо привести подобные
члены многочлена.)
а)	5х6 - Зх2 + 7 - 2х6 - Зх6 + 4х2 = х2 + 7
при X =10:	х2 + 7 = (-10)2 + 7= 107.
б)	4а2b - ab2 - 3a2b + ab2 -ab + 6 = а2Ь -аЬ + 6
при а = -3, b - 2:	a2b -ab + 6 = 9 • 2 + 3 • 2 + 6 = 30.
2.	№ 574.
2-я группа
Сначала необходимо ввести понятие степени многочлена.
Учащиеся уже умеют определять степень одночлена, поэтому
данный вопрос не должен вызывать у них затруднений. Особое
внимание следует обратить на то, что перед определением сте-
пени многочлена необходимо сначала привести его к стандарт-
ному виду.
1.№577 (а), №578 (а).
2.	Определите степень многочлена.
а)	Зх2 - х5 + 8х3; г) 2a3b - 5Ь5 + 2а4 Ь2;
б)	8 - 6а;	д) 5t2 -3/ + 8-4/ • t2;
в)	5ху + 2у - Зл^2;	е) Зя2х2 + 2ах - а2х2 + 5 - 2а1 х2.
3.	Вместо значка * запишите такой одночлен, чтобы полу-
чился многочлен четвертой степени.
а)	Зх3-5х2+7-*; б) 5л-4л4 +1 + *;
245
в) х5 + 2х4 - Зх2 + *; г) 4<73Zr + 3a2b2 + ab + *.
Решение:
а) Данный многочлен содержит одночлен второй и третьей
степени. Чтобы многочлен был четвертой степени, вместо *
нужно записать любой одночлен четвертой степени. Например,
7х , За , х у , ао и т. п.
б)	Данный многочлен содержит одночлены первой и четвер-
той степени. Чтобы он был четвертой степени, вместо * доста-
точно записать любой одночлен не выше четвертой степени.
Например, 2<з2, xz2, 8у и т. п.
в)	Данный многочлен содержит одночлены второй, четвер-
той и пятой степени. Чтобы он был четвертой степени, нужно
вместо * записать такой одночлен, который взаимно уничто-
житься с одночленом х5, то есть - х5.
г)	Аналогично предыдущему заданию вместо * нужно запи-
сать одночлен 4а3Ь2.
III. Итоги урока.
- Что называется многочленом? Членом многочлена?
- Как записать многочлен в стандартном виде?
- Как найти значение многочлена при данных значениях пе-
ременных?
- Что называется степенью многочлена? Как определить
степень произвольного многочлена?
Домашнее задание: № 573, № 577 (б); № 578 (б); № 579.
Урок 63
ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ
МНОГОЧЛЕНОВ
Цели: рассмотреть вопрос о сложении и вычитании мно-
гочленов; формировать умение выполнять эти действия.
Ход урока
I. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Приведите многочлен к стандартному виду.
а)	5х • 8у • (-7х2) + (-6х) • Зу2;
246
б)	5а + За-7-5а3-За2 + 7л-11;
в)	6а2 b - 5аЬ2 + 5л3 + lab2 - Ъа3 - За2Ь.
2.	Найдите значение многочлена.
а)	-15а - b - 2 +14а при а = -29, b = -2;
б)	т4 -Зт3п + т2п2 -т3п-4тп3 при т = -1, п ~ 1.
Вариант 2
1.	Приведите многочлен к стандартному виду.
а)	8х-3у • (-5у)-7х2-(-4у);
б)	3t2-1 \t-5t2 +5t-3t2 +11;
в)	3а2х + 3ах2 + 5<73 + 3ах2-8я2х-10я3.
2.	Найдите значение многочлена.
а)	-х-Зу-4+2у при х = -15,у - —4;
б)	3uv3 + u2v2 — luv3 +u3v-u4 при и = 1, v = -l.
II. Устная работа.
1.	Назовите выражение, которое получится после раскрытия
скобок.
a)	x + (y-z);	в) х-(а-Ь);
б)	a — (b + c);	r)2p — (p + q).
2.	Найдите значение выражения разными способами.
а)	17+ (2-10);	в)10 + (-3 + 8);
б)	4-(5+ 2);	г) 12-(4-7).
III. Объяснение нового материала.
Если учащиеся хорошо усвоили материал о раскрытии ско-
бок и приведении подобных слагаемых, то данная тема не долж-
на вызывать у них затруднений. Достаточно актуализировать
знания учащихся и рассмотреть примеры из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
1.	№ 585.
2.	№ 587 (а, в, д); № 589 (а, в).
3.	№ 588 (а, в).
4.	№ 591. Решение:
а)	Любое нечетное число можно записать в виде 2и + 1, то-
гда следующее за ним нечетное число будет равно + 3.
247
Найдем сумму этих чисел:
2/7 + 1 + 2/7 + 3 = 4/7 + 4.
Первое слагаемое этой суммы делится на 4 и второе слагае-
мое делится на 4. Значит, вся сумма 4/7 + 4 делится на 4.
б)	Пусть 2/7 + 1, 2/7 + 3, 2/7 + 5 и 2/7 + 7 - четыре последова-
тельных нечетных числа. Найдем их сумму:
2/7 + 1 + 2/7+ 3 + 2/7+ 5 +2/7+ 7 = 8/? + 16.
Оба слагаемых этой суммы делятся на 8, значит, и вся сумма
делится на 8.
V. Итоги урока.
- Что называется многочленом? степенью многочлена?
- Как привести многочлен к стандартному виду?
- Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»? знак «-»?
- Как выполнить сложение или вычитание многочленов?
Домашнее задание: № 586; № 587 (б, г, е); № 588 (б, г);
№ 589 (б, г).
Урок 64
РЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ УПРАЖНЕНИЙ
НА СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Цели: продолжить формирование умения выполнять сло-
жение и вычитание многочленов.
Ход урока
I.	Устная работа.
Выполните сложение или вычитание многочленов.
а)	(1 + а) + (3 + 2а);	г) (5-у) + (Зу-2);
б)	(а - Ь) - (а + Ь);	д) 4р2-(р2 +2);
в)	Зх-(1-2х);	е) (2 + х) - (х - 3).
II.	Формирование умений и навыков.
1.№590, №592.
2.	№ 593. Решение:
Учащиеся должны понять, что для выполнения этого зада-
ния нужно в левой и правой частях равенства отыскивать
248
подобные слагаемые и подбирать выражение М таким образом,
чтобы они были равны.
а)	Если упражнение вызовет затруднения, то можно предста-
вить его более наглядно:
М + (5х2 - 2хр) = 6х2 + 9ху - у2
Слева:	Справа:
5х2	6х2
-2ху	9ху
О	-у2
Нужно найти такие одночлены, которые в сумме с одночле-
нами из левой части дадут одночлены, равные стоящим в правой
части. Получаем их: х2, 11ху, у2.
Значит, вместо М нужно записать многочлен х2 + 11ху +у2.
б)	М-(4ab-3b2) = a2-7ab + 8b2.
Сначала раскроем скобки:
М- 4ab + 3b2 = а2 - 7ab + 8b2
Слева:	Справа:
-4ab	-lab
3b2	8Ь2
О	а2
Находим недостающие одночлены: -3ab, 5Ь2, -а2. Получаем
многочлен: 5Ь2 - ЗаЬ - (?.
Если задание не вызывает затруднений у учащихся, то они
могут выполнять его устно.
3.	Запишите во втором столбце многочлен, сумма которого
с многочленом из первого столбца равна многочлену из третьего
столбца.
1)	Зх + 5
2)	7х + 3
3)	а3 + За2Ь + Ь3
4)	2xzy - Зху2 - 8
5)	х2 + 2ху + у2
6)	Зх + 2а
8х - 11
х2 + 7х - 15
а3 + За2Ь + Ь3
О
х2 - 2ху + у2
2х + b
249
4.	№ 605. Решение:
Необходимо объяснить учащимся, что решение любого
уравнения начинается с его преобразования.
в) (3,2дл- 1,8) -(5,2у + 3,4) = -5,8;
3,2дл - 1,8 - 5,2^л- 3,4 = -5,8;
3,2у — 5,2у = 1,8 -ь 3,4 — 5,8;
-2у = -0,6;
дл = -0,6 : (-2);
Д^ = 0,3.
Ответ: 0,3.
д) 3,8 - 1,5>л + (4,5дл- 0,8) = 2,4>л + 3;
3,8 - 1,5у + 4,5у - 0,8 = 2,4_у + 3;
- l,5j/4- 4,5j/-2,4y = 3 -3,8 + 0,8;
0,6j/ - 0;
> = 0.
Ответ: 0.
III. Итоги урока.
- Что называется многочленом? степенью многочлена?
- Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»? знак «-»?
- Как выполнить сложение или вычитание многочленов?
Домашнее задание: № 594; № 596; № 606.
Урок 65
ЗАКЛЮЧЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА В СКОБКИ
Цели: формировать умение представлять многочлен в ви-
де суммы или разности многочленов; закрепить умение склады-
вать и вычитать многочлены.
Ход урока
1. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Составьте сумму и разность многочленов и приведите их
к стандартному виду:
а)	2у2 + 8у -11 и 3у2-6у + 3;
б)	2/Г + 3pq + 8q2 и 6р2 -pq-8q2.
250
2.	Упростите выражение.
а)	(Зх +10.у) - (6х + Зу) + (бу - 8х);
б)	(8с2 + Зс) + (-7с2 -11с + 3) - (-Зс2 - 4).
Вариант 2
1.	Составьте сумму и разность многочленов и приведите их
к стандартному виду.
а)5у2-Зу-1 и 8у2+2у-11;
б) 8х2 + 2рх-3р2 и 2х2 + 3рх-3р2.
2.	Упростите выражение.
а)	(За + 5Ь) - (9а - 7Ь) + (~5а +1 \Ь);
б)	(Зх2 + 2х)+(2х2 - Зх - 4) - (—х2 +19).
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут упражнения на закрепление умения складывать и вычи-
тать многочлены. А во 2-ю группу - упражнения на пред-
ставление многочлена в виде суммы или разности многочленов.
1-я группа
1.	№597;№599.
2.	№ 602. Решение:
Выполним вычитание многочленов.
f 3	А (	2 А
I —х2 -0,4ху-1,5у + 1 1-1 у2	ху + 0,6х2 I -
= 0,6х2 - 0,4ху - 1,5у + 1 -у2 + 0,4ху - 0,6х2 =1-1,5у -у2.
В полученный многочлен не входит переменная х, значит,
исходное выражение не зависит от этой переменной.
3.	№ 610. Решение:
а)	Пусть п, w + 1 и и + 2 - три последовательных натураль-
ных числа. Найдем их сумму:
п + п + 1 + п + 2 = 3п + 3.
Каждое слагаемое этой суммы кратно трём, значит, и вся
сумма кратна 3.
251
б)	Пусть и, п + 1, л? + 2, п + 3 - четыре последовательных на-
туральных числа. Найдем их сумму:
и + и + 1 + п + 2 + п + 3 — 4/7 + 6.
Первое слагаемое этой суммы кратно четырём, а второе -
нет, значит, вся сумма не кратна четырем.
2-я группа
Представление многочлена в виде суммы или разности мно-
гочленов является обратной задачей к сложению и вычитанию
многочленов. Поэтому начинать выполнение соответствующих
упражнений можно, только убедившись, что учащиеся хорошо
овладели умением находить сумму и разность многочленов.
Начать рассмотрение данного вопроса лучше с задачи.
Задача. После сложения одночлена с двучленом был полу-
чен многочлен 2а - ЗЬ + 4с. Какой одночлен с каким многочле-
ном был сложен?
Решение:
Важно, чтобы учащиеся поняли, что существует несколько
вариантов, каждый из которых нужно рассмотреть:
2а + (-36 + 4с), - ЗЬ + (2а + 4с), 4с + (2а - ЗЬ).
После этого можно переформулировать задачу, сказав, что
многочлен 2а - ЗЬ + 4с был получен в результате вычитания
многочлена из одночлена. Здесь также нужно рассмотреть все
варианты:
2а - (ЗЬ - 4с),	- ЗЬ - (-2а - 4с), 4с - (-2а + ЗЬ).
В результате делается вывод о том, как представлять
многочлен в виде суммы или разности многочленов, а затем
приступить к выполнению соответствующих заданий.
1.	Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь дву-
членов:
а) 2я3 - 5а2 - а + 8;	б) -Зу5 + 2у3 + 7у - 5.
2.	Представьте выражение в виде разности одночлена и трех-
члена:
а) у3 + Зу2 - 4у - 7;	б) 2р4 + р2 + 7р-8.
3.	Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов,
один из которых содержит переменную Ь, а другой нет:
а) Ьх2 - х + 1 - 6;	б) а2 - b2 - 2ab - 1.
252
Решение:
а)	6х2 - х + 1 — b — (bx2 - b) + (1 - x);
6)	a1 - b1 - lab - 1 = (a1 - 1) + (-Й2 - 2ab).
4.	Представьте многочлен в виде разности двух многочленов
с положительными коэффициентами:
а)	рс + р - с - 1;	в) 3z - 5у - 2;
б)	8х - За - 1 + 24ах;	г) -За -56 + 8.
Решение:
а)	рс + р - с- [ = (pc + р) - (с + 1);
б)	8х - За - 1 + 24<ях = (8х + 24<ях) - (За + 1);
в)	3z - 5у - 2 = 3z - (5у + 2);
г)	-За - 56 + 8 = 8 - (За + 56).
III. Итоги урока.
- Что называется многочленом? Степенью многочлена?
- Как выполнить сложение или вычитание многочленов?
-	Как представить многочлен в виде суммы или разности
двух многочленов?
-	В многочлене 2а2 - а + 1 заключите в скобки два послед-
них члена, поставив перед скобками сначала знак «+», а потом
знак «-».
Домашнее задание: № 598; № 603; № 607; № 608.
Урок 66
ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Цели: изучить правило умножения одночлена на много-
член; формировать умение применять это правило при преобра-
зовании выражений.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Раскройте скобки.
а)3(2х-5);	в)-|(4 + 2Л);	д) ^х-1) • (-3);
б)(5а-1)4;	г)-5 (Зр-8);	е) 0,7 (За-10).
253
2. Упростите выражение.
а) а5  а7;	в) аа2а3;	д) (л?3)2 и4;
б)х8:х3;	г) (х2)5;	e)jW)2-
II. Объяснение нового материала.
В процессе выполнения устной работы у учащихся была
возможность актуализировать необходимые знания. Поэтому
при объяснении этого материала достаточно привести несколько
примеров умножения одночлена на многочлен и сформулиро-
вать соответствующее правило.
Вопрос о решении уравнений с применением умножения од-
ночлена на многочлен целесообразно рассмотреть на следую-
щем уроке. Поэтому примеры 3 и 4 из учебника приводить не
нужно.
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить форми-
рованию у учащихся умения непосредственно применять прави-
ло умножения одночлена на многочлен. Необходимо следить
за грамотностью их записей, за обоснованием каждого шага,
поддерживать внимание учащихся.
1. № 614; № 615 (а, в, д).
2. № 616. Решение:
(На первых порах желательно, чтобы учащиеся (особенно
слабые) вели подробные записи, это позволит избежать ошибок
в преобразованиях.)
ч 1 /2	2	3	,	4,2)	12,	1,3,
в) — ab — а-----ab + — b	\ = —аЬ-—а-ab-—ab +
2	4	5	J	2	3	24
1,4,2	1	3,	3	2,2	2	,3
-I—ab • —b — —a b —a b -I—ab .
2	5	3	8	5
х 2 2 21 2-	>	1	2	3 3 |	2 2 2 с 2
г) -—а у I 5ау~ -—а у-—а 1 = -у^ У '^аУ +
2	2 2	1	2	2	, 2 3	3	« 3 4	1	4 3	1	5 2
ч—а у • —ау +—а~у •— а = -2а у +—а у +—а у .
5	2	5	6	5	3
3. № 618 (а, в). Решение:
(Здесь важно ещё раз напомнить учащимся о том, что перед
нахождением значения любого выражения его сначала упрощают.)
254
в)4у-2(10у-1) + (8у-24) = 4у-20у + 2 + 8у-24 = -8у-22
приу = -0,1:	-8у-22 = -8‘(-0,1)-22 = 0,8-22 = -21Д
4. № 619.
IV. Итоги урока.
-	Как выполнить умножение одночлена на одночлен?
-	Перемножьте одночлены -2Х2 и 5х4.
-	Сформулируйте правило умножения одночлена на много-
член.
-	Умножьте одночлен 4я3 на многочлен 2я - 3.
Домашнее задание: № 617; 618 (б, г); № 620.
Урок 67
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Цели: продолжить формирование умения умножать одно-
член на многочлен; формировать умение выполнять данное дей-
ствие при решении уравнений.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Выполните умножение одночленов.
а) 2х5 • Зх2; в) (-36) • (-76); д) (х2)3 • 5х;
б) -4я3-	г) (-Зу);
А 2	(	1 2
е) —а • —а
5	I 2
2. Упростите выражение.
а) 2х (х2 - 4х);	в) 4у
б) -а2 (а + 8);
г) -|р2(2^-4).
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на три группы: в 1-ю и 2-ю
группы войдут уравнения с целыми и дробными коэффициен-
тами соответственно, а в 3-ю группу - задания на преобразо-
вание выражений.
255
1-я группа
1. № 630 (а, в, д, ж).
2. № 631 (а, в). Решение:
а) Зх (2х - 1) - 6х (7 + х) = 90;
6х2 - Зх - 42х - 6х2 = 90;
-45х = 90;
90
х =---;
45
х = -2.
Ответ: -2.
в) 5х(12х-7)-4х(15х-11) = 30 + 29х;
60х2 -35х - 60х2 + 44х = 30 + 29х;
-35х + 44 х - 29х = 30;
-20х - 30;
30
х =----;
20
х = -1,5.
Ответ :-1,5.
2-я группа
Учащиеся должны осознать, что если в уравнении встреча-
ется дробь, то необходимо выполнить такое преобразование,
которое приведёт к равносильному уравнению с целыми коэф-
фициентами. Для этого обе части уравнения нужно умножить
на наименьшее общее кратное знаменателей входящих в урав-
нение дробей;
1.	№ 634 (а, в, д, и).
2.	№ 636.
3.	№ 637. Решение:
а + 13 2а 3- а а
б)------------=------+ —.
10	5	15	2
Умножим обе части уравнения на 30:
Г<т + 13 2(3^1	(3-а а\
V 10	5 )	05	2)
3 (а + 13)-6 • 2а = 2 (3-а) + 15а;
256
Ъа + 39 - 1 la = 6 - 2а + 15л;
-9л- 13л = 6-39;
-22л = -33;
33
л = —;
22
а = 1,5.
Ответ: 1,5.
ч х + 1 х —1 „ х + 3
г)---------= 2------.
9	6	2
Умножим обе части уравнения на 18:
18 • f— 1 = 18 • f2-^^l;
<9	6 )	2 )
2 (х + 1) - 3 (х - 1) = 36 - 9 (х + 3);
2х + 2 - Зх + 3 = 36 - 9х - 27;
-х + 9х = 9 - 5;
8х = 4;
1
х = —.
2
Ответ: 0,5.
3-я группа
1	.№622.
2	. № 629. Решение:
Преобразуем данное выражение:
2х(х - 6) - 3(х2 - 4х +1) = 2х2 -12х - Зх2 +12х - 3 = -х2 - 3.
Очевидно, что при любом значении х значение выражения -х2
будет неположительным, тогда значение выражения -х2 - 3 бу-
дет отрицательным при любом значении х.
III. Итоги урока.
-	Как выполнить умножение одночлена на одночлен?
-	Сформулируйте правило умножения одночлена на много-
член.
-	Как решить уравнение, в котором встречаются дроби?
Домашнее задание: № 632; № 634 (б, г, е, з); № 638; № 627.
257
9 f1 2
Zn —п -5 :
<2	)
-4у2(5 + 2у).
Урок 68
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Цели: формировать умение решать задачи с помощью
уравнений; закрепить умение выполнять умножение одночлена
на многочлен; проверить степень усвоения учащимися изучен-
ного материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Выполните умножение одночленов.
а)	За2 (-2а);	г) (-4х);
б)	7й’-|&2;	д)(а2)4-2а;
в)	-Ас  (-2с5);	е)
2.	Упростите выражение.
а)	За (4 - о2);	в)
б)	-х3 (х + 2);	г)
И. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Упростите выражение.
а) Зр (8с + 1)-8с (3/7-5); б) 5п2(Зп + \)-1п (5п2 -3).
2.	Решите уравнение.
а) 6х-5 (Зх + 2) - 5 (х-1)-8; б)	-2..
3.	Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
-х/ (х2/2-х/-3) р.
Вариант 2
1.	Упростите выражение.
а) 5Ь (За -Ь)-За (5Ь + а)‘,	б) а (2а2 -Зп)-п (2п2 +я).
258
2.	Решите уравнение.
2 — х х 1
а) 40-8 (11 -2х) = 3 (5х-4); б)	=
3.	Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
-ab (a2b-ab2 — а3Ь3) р.
III. Формирование умений и навыков.
1.	№ 642. Решение:
Составим таблицу:
	Было	Стало
1-й сарай	Зх т	(Зх - 2) т
2-й сарай	X т	(х + 2) т
Составим и решим уравнение.
х + 2 = у(Зх-2);
7 (х + 2) = 5 (Зх - 2);
7х+ 14= 15х- 10;
-8х = -24;
х = 3.
Значит, во втором сарае было 3 т сена, а в первом 9 т сена.
Ответ: 9 т, Зт.
2.	№ 643. Решение:
Составим таблицу:
	А	к	t
По плану	х га	50 га/день	X — дн. 50
Реально	х га	60 га/день	X — дн. 60
Составим и решим уравнение:
х х
50 60
6х - 5х = 300;
х = 300.
Значит, площадь луга равна 300 га.
Ответ: 300 га.
259
3.	№ 646. Решение:
Составим таблицу:
	5	1)	t
Велосипедист	X КМ	12 км/ч	X — ч 12
Мотоциклист	(х + 60) км	30 км/ч	х + 60 	 ч 30
Составим и решим уравнение:
х _ х + 60
Г2 ~ 30 ’
5х = 2 (х + 60);
5х = 2х + 120;
Зх = 120;
х = 40.
Значит, велосипедист проехал 40 км до того, как его догнал
мотоциклист.
Ответ: 40 км.
4.	№ 648. Решение:
Представим наглядно описанную в задаче ситуацию.
Пусть первоначально в растворе было х г соли, то есть её
х	1 Ох
концентрация была равна---- • 100 % =---%.
190	19
В новом растворе уже имеется (х + 10) г соли, значит, её
Х + 10 1ЛЛ о/ х + 1° о/ тт
концентрация стала равна • 100 % = —-— %.. По усло-
вию концентрация соли в новом растворе повысилась на 4,5 %.
260
Составим и решим уравнение:
х + 10	10х	. _
----------= 4,5;
2	19
19(х + 10) - 20х = 38 • 4,5;
19х + 190-20х- 171;
-х - -19;
х= 19.
Ответ: 19 г.
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте правило умножения одночлена на много-
член.
-	Умножьте одночлен -Зх4 на многочлен 2х - 5.
-	Как начать решение уравнения, в котором есть дроби?
-	Как узнать концентрацию какого-либо вещества в растворе?
Домашнее задание: № 640; № 644; № 647; № 649.
Урок 69
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ВЫНЕСЕНИЯ
ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
Цели: ввести понятие разложения многочлена на множи-
тель; изучить способ вынесения общего множителя за скобки
и формировать умение его применять.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Выполните умножение.
а)	Зх (2х2 -5);	в) 5/	1
б)	-~а2(а + 2);	г) -ab (а2 -Ь).
2.	Найдите наибольший общий делитель чисел.
а) 10, 15 и 25	в) 8, 12 и 16;
6)6, 9 и 21;	г) 12, 18 и 30.
261
11.	Объяснение нового материала.
Вынесение общего множителя за скобки является обратной
задачей к умножению одночлена на многочлен. Поэтому данный
материал будет понят учащимися только в том случае, если они
хорошо усвоили предыдущую тему.
Объяснение проводится в несколько этапов.
1.	Начать лучше с постановки проблемной задачи.
Задача. После умножения некоторого одночлена на некото-
рый многочлен был получен многочлен 4х2 - 6х4. Какой одно-
член на какой многочлен умножали?
Учащиеся подбирают варианты:
2 (2х2 - Зх4), х (4х - 6х3), 2х2 (2 - Зх2) и т. п.
Можно рассмотреть ещё несколько подобных задач. Глав-
ное, чтобы учащиеся осознали, что такие задачи всегда имеют
решение и являются обратными к выполнению умножения од-
ночлена на многочлен.
2.	Сообщить учащимся, что представление многочлена в ви-
де произведения двух или нескольких многочленов называется
разложением многочлена на множители. Данная операция
является очень полезной при решении ряда задач, которые впо-
следствии будут рассмотрены.
3.	Вернуться к разложенным на множители многочленам
и обратить внимание учащихся, что для задач наиболее целесо-
образным является нахождение «наибольшего» общего множи-
теля каждого члена многочлена. Поэтому в рассмотренном при-
мере лучше записать следующее равенство:
4х2 - 6х4= 2х2 (2 - Зх2).
Данный способ разложения многочлена на множители назы-
вается вынесением общего множителя за скобки.
4.	Разобрать несколько примеров вынесения за скобки обще-
го множителя:
a)	8х2.у - 6х; б) За4 + 9а2 - 6а; в) пример 1 из учебника.
Сделать вывод: при вынесении общего множителя за скоб-
ки среди модулей коэффициентов берут их наибольший общий
262
делитель, а переменные, выносимые за скобки, берут с наимень-
шим показателем.
III.	Формирование умений и навыков.
1. № 654; № 655 (а, в, д, ж, и); № 656 (а, в, д).
В данных заданиях у многочленов общим множителем явля-
ется либо только число, либо только буква. Необходимо, чтобы
учащиеся сначала научились находить такие простые общие
множители.
2. № 657 (а, в, д, и, л); № 659.
Здесь общие множители находить сложнее. Важно, чтобы
учащиеся отыскивали правильно «наибольшие» общие множители.
№ 659. Решение:
а)	14х + 21у = 7 (2х + 3у);
б)	15а + 10/) = 5 (За + 2Ь);
в)	8а/? - бас = 2а (4/) - Зс);
г)	9ха + 9хЬ = 9х (а + /));
д)	6а/) - За - За (2b — 1);
е)	4х-12х2 -4х (1-Зх);
ж)	т4 -т2 = т2 (т2 -1);
з)	с3 + с4 = с3(1 + с);
и) 7х-14х3 =7х (1 -2х2);
к) 1 бу3+12/ = 4у2(4у + 3);
л) 18а/)3-9/)4 =9/)3(2а-/));
м) 4х3у2-6х2у3 = 2х2у2(2х-Зу).
IV. Итоги урока.
- Что называется разложением многочлена на множители?
- Какой способ разложения многочлена на множители мы
узнали на этом уроке?
- В чём состоит способ вынесения общего множителя за скобки?
- Как отыскивать выносимый за скобки общий множитель?
Домашнее задание: № 655 (б, г, е, з); № 656 (б, г, е); № 657
(б, г, е, з, м); № 658.
263
Урок 70
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: продолжить формирование умения выносить за скоб-
ки общий множитель; проверить степень усвоения учащимися
изученного материала.
Ход урока
I.	Устная работа.
Найдите общий множитель членов многочлена.
а)	За + 6Ь;	г) 5а4 - 1 Оа2;
б)	х3 - 2х;	д) -За2с - ас,
в)	4xy + 6xz;	е) 12х-16х2у.
Если его вынести за скобки, то какое выражение останется?
II.	Объяснение нового материала.
На этом уроке учащиеся впервые встречаются с новым для
них видом уравнений, поэтому данному вопросу следует уде-
лить особое внимание.
Начать можно с рассматривания примера 4 из учебника
и сделать соответствующие выводы. После этого учащиеся
должны проговорить своими словами, как решаются подобные
уравнения.
Следует обратить внимание учащихся, что по-другому такие
уравнения решить нельзя. Это указывает на важность умения
выносить за скобки общий множитель.
III.	Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на три группы.
1-я группа. Задания на решение уравнений.
2-я группа. Задания на нахождение значений выражений.
Эти группы заданий отражают, как может быть использован
способ вынесения общего множителя за скобки.
3-я группа. Задания на закрепление умения выносить об-
щий множитель за скобки.
264
1-я группа
№661. Решение:
г) Зх2 - 1,2х = 0;
х (Зх - 1,2) = 0;
х - 0 или Зх - 1,2 = 0;
ДУ + - 1 = 0;
Зх = 1,2;
х = 0,4.
у = 0 или у + — = 0;
Ответ: 0; 0,4.
Ответ: 0; —.
3
2-я группа
№ 660 (а, г). Решение:
Важно, чтобы учащиеся увидели, как вынесение общего
множителя за скобки помогает при нахождении значений выра-
жений рациональным способом.
а) 3,28х - х2 = х (3,28 - х)
при х = 2,28:
х (3,28 -х) = 2,28 (3,28 - 2,28) = 2,28 • 1 = 2,28;
г) -mb-m2 = -т (Ь + т)
при т = 3,48 и b = 96,52:
- т (Ь + т) = -3,48 (96,52 + 3,48) = -3,48 100 = -348.
3-я группа
№ 664 (а, г); № 666.
Если на прошлом уроке учащиеся выносили за скобки об-
щий множитель у двучленов, то в этих заданиях им придётся
работать с трёхчленом.
№ 666. Решение:
а)	х3 - Зх2 + х = х (х2 - Зх +1);;
б)	т2 - 2т3 -т4 = т2 (\-2m-m2);
в)	4я5 — 2я3 + а = а (4а4 - 2а2 +1);
г)	6х2 - 4х3 +1 Ох4 = 2х2 (3 - 2х + 5х2);
265
д)	15а3 - 9а2 + 6а = За (5а2 - За + 2);
е)	-Зт2 - 6га3 +12т5 - -Зт2 (1 + 2т - 4га3).
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Разложите на множители многочлен,
а) 5аЬ + 10а2;
б) 6х2 -Зх3 -9х4;
в) 6с2х3 — 4с3х2 + 2с2х2.
2. Решите уравнение.
а) 2х2 + 4х = 0;	б) Зх - 5х2 = 0.
Вариант 2
1.	Разложите на множители многочлен.
a)	Tab -14а2;
б)	За2 -6а3 + 18а4;
в) 4а3с2+8а2с3-12а3с3.
2.	Решите уравнение.
а) Зх2 - 12х = 0;	б) 4х + 7х2 = 0.
V. Итоги урока.
- Что называется разложением многочлена на множители?
- В чём состоит способ вынесения общего множителя за скобки?
- Как отыскать выносимый за скобки общий множитель?
- При решении каких заданий пригодится умение выносить
за скобки общий множитель?
- Как решаются уравнения с помощью вынесения за скобки
общего множителя?
Домашнее задание: № 660 (б, в); № 662; 664 (б, в); № 667.
Урок 71
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: закрепить умение выносить за скобки общий мно-
житель; рассмотреть, как используется это умение при решении
266
вопроса о делимости и кратности чисел; формировать умение
выносить за скобки двучлен.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Вынесите за скобки общий множитель.
а) 5аЬ + 5ас;	в) аъ + а5;	д) бх2 - 9х4;
б)х2-лу;	г)и2щ + щи2;	е)8/?3-12/?.
2.	Найдите корни уравнения:
а)	(х + 1) (х - 1) = 0;	в) х2 - 2х = 0;
б)	(х - 3) (х + 2) = 0;	в) х2 + 4х = 0.
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на три группы. В 1-ю группу
войдут задания, в которых требуется применить умение выно-
сить за скобки общий множитель для выяснения вопроса о де-
лимости и кратности чисел. Во 2-й группе будут задания
на закрепление умения выносить за скобки общий множитель.
А 3-я группа состоит из заданий, в которых за скобки нужно
вынести двучлен.
1-я группа
1. № 663 (а, в). Решение:
а) Вынесем в сумме 165 + 164 за скобки общий множитель:
165 + 164= 164(16+ 1)= 164- 17.
Так как в произведении 164 • 17 встречается множитель 17,
то данное произведение кратно 17.
в) Преобразуем выражение и вынесем за скобки общий
множитель:
365 - 69 = (62)5 - 69 = 610 - 69 = б9 (6 - 1) = б9 • 5 = б8 • 30.
Очевидно, что полученное произведение кратно 30.
2. № 665 (а, в).
а) Вынесем за скобки общий множитель:
78 _ 77 + 76 = 76 (72 _ 7 +	= 76.43>
Так как один из множителей полученного произведения де-
лится на 43, то и всё произведение делится на 43.
267
в) Преобразуем выражение и вынесем за скобки общий
множитель:
274 - 95 + З9 = (З3)4 - (З2)5 + З9 = З12 - З10 + З9 = З9 (З3 - 3 + 1) =
= 39-25.
Так как один из множителей полученного произведения де-
лится на 25, то и все произведение делится на 25.
2-я группа
№ 668. Решение:
а)	За3 -15а2b + Sab2 - а (За2 — 1Sab + Sab2);
б)	20? - 25х2у2 -10? = 5? (4? - 5у2 - 2х);
в)	-6am2 + 9т3 -12w4 - -3т2(2а-3т + 4т2у,
г)	\2a2b-\8ab2-ЗОаЬ3 =6ab (2а-3b-Sb2);
д)	4д? + 8а2 х2 -12?х = 4ах (х2 + 2ах - За2);
е)	-Зх4у2 - 6х2у2 + 9х2у4 = -Зх2у2 (х2 + 2- Зу2).
3-я группа
Прежде чем приступить к решению задач этой группы, нуж-
но рассмотреть примеры 2 и 3 из учебника.
1. № 670. Решение:
б) у (а -Ь)-(а -Ь) = (а -Ь) (у-1);
г) 9 О -1) + О-I)2 = О -1) (9 + р-1) = (р-1) (р + 8);
д) -3b(b-2) + 7(b-2)2 = (b-2)(-3b + 7(b-2)) =
= (b-2) (-36 + 76-14) = (6-2) (4b-14).
2. № 671. Решение:
б) x (y-S)-y (5-у) = х (y-S) + y (y-S) = (y-S) (х + у);
г) (х — у)2-а (у-х) = (х-у)2 +а (х-у) = (х-у) (х-у-а);
е) 2(3-6) + 5(6-3)2 = 2(3-6) + 5(3-6)2 =
= (3-Ь) (2 + 5 (3-b)) = (3-b) (2 + 15-56) = (3-6) (17-56).
III. Итоги урока.
- Что называется многочленом? Стандартным видом много-
члена?
- Сформулируйте правило сложения и вычитания многочленов.
268
- Как умножить одночлен на многочлен?
- Какое преобразование называется разложением многочле-
на на множители?
- В чём состоит способ вынесения общего множителя за скобки?
- Какой общий множитель имеют слагаемые суммы
Зх (б/ - 3)+ 2 (3 - л)2?
Домашнее задание: № 663 (б, г); № 665 (б, г); № 669; № 672.
Урок 72
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Вариант 1
1.	Выполните действия.
а) (За - 4ах + 2) - (1 la -14ах);	б) Зу2 (у3 +1).
2.	Вынесите общий множитель за скобки.
а) 10а6-1562;	б) 18а3+ 6О2.
3.	Решите уравнение 9х - 6 (х - 1) = 5 (х + 2).
4.	Пассажирский поезд за 4 ч прошёл такое же расстояние,
какое товарный за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда,
если известно, что скорость товарного на 20 км/ч меньше.
Зх — 1 х 5 — х
5.	Решите уравнение — --— = ——.
6.	Упростите выражение
2а (а + Ь-с)-2Ь (а-Ь-с) + 2с (а-Ь + с).
Вариант 2
1.	Выполните действия.
а) (2а2 - За + 1)-(7а2-5а);	б)3х(4х2-х).
2.	Вынесите общий множитель за скобки.
а)2ху-3лу2;	б)8А‘ + 2д’.
3.	Решите уравнение 7 - 4 (Зх - 1) = 5 (1-2х).
4.	В трех шестых классах 91 ученик. В 6 «А» на 2 ученика
меньше, чем в 6 «Б», а в 6 «В» на 3 ученика больше, чем в 6 «Б».
Сколько учащихся в каждом классе?
269
__	х-1 5-х Зх
5.	Решите уравнение —— - = ——н—.
6.	Упростите выражение
Зх (х + у + с)-3у (х — у — с) — 3с (х + у- с).
Вариант 3
1.	Выполните действия.
а) (12аЬ - 5а) - (ab + 6а); б) 5х (Зх2 - 2х - 4).
2.	Вынесите общий множитель за скобки.
а) Зх2 + 9xv;	б) 1 Ох5 - 5х.
3.	Решите уравнение 4 (х + 1) = 15х - 7 (2х + 5).
4.	Ученик за 8 ч работы сделал столько же деталей, сколько
мастер за 5 ч. Сколько деталей в час изготовил ученик, если из-
вестно, что мастер изготовлял в час на 6 деталей больше, чем
ученик?
. ~	2х 2х + 1 Зх-5
5.	Решите уравнение---------=----.
3	6	4
6.	Упростите выражение
4х (а + х + у) + 4а (а- х- у)-4у (х-а-у).
Вариант 4
1.	Выполните действия.
а) (4у3 +15у) - (17у - у3);	б) 2а (За - b + 4).
2.	Вынесите общий множитель за скобки.
a) 2аЬ-аЬг;	б) 2х2 + 4х6.
3.	Решите уравнение 5 (х - 3) = 14 - 2 (7 - 2х).
4.	В трёх корзинах 56 кг яблок. Во второй корзине на 12 кг
яблок больше, чем в первой, а в третьей - в 2 раза больше, чем
в первой. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?
3 — х х + 1 5х
5.	Решите уравнение —-— - —---—.
6. Упростите выражение
6а (а - х + с) + 6х (а + х - с) - 6с (а-х- с).
270
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.	а) {За -4<ях + 2) - (11а - 14<ах) = За -4ах + 2 -11а + 14ах =
= 10ах-8а + 2;
б)	ЗуI 2{у3 *+1) = Зу5+Зу2.
2.	a) 10я6-15/г =5Z> {2а-ЗЬ);
б)	18я3 + 6а2 = 6а2 {За+ 1).
3.	9х-6(х-1) = 5 (х + 2);
9х - 6х + 6 = 5х + 10;
Зх - 5х ~ 10-6;
-2х - 4;
х = -2.
Ответ: -2.
4. Составим таблицу:
	5	и	1
Пассажирский поезд	4х км	х км/ч	4 ч
Товарный поезд	6 (х - 20) км	(х - 20) км/ч	6 ч
Известно, что поезда прошли одинаковое расстояние. Полу-
чим уравнение:
4х = 6 (х - 20);
4х = 6х - 120;
-2х = -120;
х = 60.
Ответ: 60 км/ч.
Зх -1 х _ 5 - х
' ~~6	3~~9~‘
Умножим обе части уравнения на 18:
I 6	3)	9
3(3х- 1)-6х = 2 (5-х);
9х - 3 - 6х - 10 - 2х;
Зх + 2х = 10 + 3;
271
5х = 13;
13
х - —;
5
х = 2,6.
Ответ: 2,6.
6. 2а {а + b - с) - 2b (а - b - с) + 2с (а - b + с) = 2а1 + 2аЬ -
-2ас - 2ab + 2b2 + 2bc + 2ас - 2Ьс + 2с2 = 2а2 + 2Ь2 + 2с2.
Вариант 2
1.	а) (2а1 -Зя + 1)-(7я2-5а) = 2а2-За + Х-Та1 + 5а =
— —Sa + 2t7 +1;
б)	Зх (4х2 - х) = 12х3 - Зх2.
2.	a) 2ху - Зху2 = ху (2 - Зу);
б)	8Z>4+2Z>3 =2Z>3(46 + 1).
3.	7-4(Зх- 1) = 5 (1-2х);
7- 12х + 4 = 5- 10х;
- 12х+ 10х = 5- И;
-2х = -6;
х = 3.
Ответ: 3.
4.	Пусть в 6 «Б» классе всего х учеников. Тогда в 6 «А»
(х - 2) ученика, а в 6 «В» (х + 3) ученика.
По условию всего в трех классах 91 ученик. Составим и ре-
шим уравнение.
х + (х-2) + (х +3) = 91;
х + х- 2 +х + 3 = 91;
Зх = 90;
х - 30.
Значит, в 6 «Б» классе 30 учеников. Тогда в 6 «А» 28 учени-
ков, а в 6 «В» 33 ученика.
Ответ: 28, 30 и 33 ученика.
х-1 5-х Зх
5.	=-------+ —.
272
Умножим обе части уравнения на 20.
х-1 ™ (5-х Зх^
20 • --= 20 • ----+ — ;
5 I 2	4 )
4(х- 1)= 10(5-х)+ 15х;
4х - 4 = 50 - 10х + 15х;
4х - 5х = 50 + 4;
-х = 54;
х = -54.
Ответ: -54.
6. Зх (х + у + с) - 3j/ (х - у - с) - Зс (х + у - с) = Зх2 + 3xj/ +
+3хс - Зху + Зу2 + 3ус - Зхс - 3ус + Зс2 = Зх2 + Зу2 + Зс2.
Вариант 3
1. а) (12ab — 5а) — (ab + 6а) = 12ab-5a-ab-6a = \ \ab-11а;
б) 5х (Зх2 - 2х - 4) = 15х3 -1 Ох2 - 20х.
2. а) Зх2 + 9ху = Зх (х + Зу);
б) 10х5-5х = 5х (2х4- 1).
3.4(х + 1)= 15х-7(2х+5);
4х + 4 = 15х - 14х - 35;
4х-х = -35 -4;
Зх = -39;
х = -13.
Ответ: -13.
4. Составим таблицу:
	А	к	t
Ученик	8х дет.	х дет./ч	8 ч
Мастер	5 (х + 6) дет.	(х +6) дет./ч	5 ч
По условию мастер и ученик изготовили одинаковое количе-
ство деталей. Получим уравнение:
8х = 5(х + 6);
8х = 5х + 30;
Зх - 30;
х= 10.
Ответ: 10 деталей.
273
2x 2x +1 _ 3x-5
3	6	4
Умножим обе части уравнения на 12:
12 (2х + П -12 .
I 3	6 )	4 ’
8х-2(2х + 1) = 3 (Зх-5);
8л-4х-2 = 9х- 15;
4х-9х = - 15 + 2;
-5х = -13;
13
х - —.
5
х = 2,6
Ответ: 2,6.
6. 4х (а + х + у) + 4а (а- х- у)-4у (х-а-у) = 4ах + 4х2 +
+4ху + 4я2 - 4ах - 4ау - 4ху + 4ау + 4у2 = 4х2 + 4я2 + 4 г2.
Вариант 4
1.	а) (4у3 + 15у)-(17у-у3) = 4у3 +15у-17у + у3 =5у3 -2у;
б)	2а (За - b + 4) = 6а2 - 2аЬ + 8я.
2.	a) 2ab - ah2 = ah (2 - Z>);
б)	2х2 + 4т6 = 2х2 (1 + 2х4).
3.	5(х-3) = 14-2(7-2х);
5х - 15 = 14 - 14 + 4х;
5х-4х = 15;
х = 15.
Ответ: 15.
4.	Пусть в первой корзине х кг яблок. Тогда во второй корзи-
не (х + 12) кг яблок, а в третьей 2х кг яблок.
По условию всего в трёх корзинах 56 кг яблок. Составим
и решим уравнение:
х + х + 12 + 2х = 56;
4х = 44;
х = 11.
Значит, в первой корзине 11 кг яблок. Тогда во второй кор-
зине 23 кг яблок, а в третьей - 22 кг яблок.
Ответ: 11, 23 и 22 кг яблок.
274
3-х_х + 1 5х
’ ””3~””2	Г’
Умножим обе части уравнения на 12:
3	<24
4(3 - х) = 6 (х + 1) - 15х;
12 - 4х = 6х + 6 - 15х;
—4х + 9х = 6 - 12;
5х = -6;
6
Х = ~5;
х = -1,2.
Ответ: -1,2.
6. 6а (а - х + с) + 6х (я + х - с) - вс (а - х - с) = ба2 - бах +
+ бас + бах + 6х2 - бсх - бас + бсх + 6с2 = 6а2 + 6х2 + 6с2.
Урок 73
ИЗУЧЕНИЕ ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ
МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Цели: вывести правило умножения многочлена на много-
член и формировать умение применять это правило.
Ход урока
I.	Устная работа.
Выполните умножение.
а)я(х-у);	б)	(3-#);
г) 4у (у3 +^|;	д)	—с2 (с3+2);
У 4J	2
ж) 2я4я3	з)	-q\q3 -q5).
в) -2х (х - 4);
е) -5х (Зх2 - 4);
II.	Объяснение нового материала.
Объяснение проводится в несколько этапов согласно ма-
териалу учебника.
275
1.	Вывести правило умножения многочлена на многочлен
и наглядно представить его на доске:
(дн-	- ас + ad + bc + bd.
2.	Сформулировать полученное правило, попросить несколь-
ких учащихся повторить его.
3.	Разобрать примеры применения правила.
Поскольку данная тема является новой для учащихся, целе-
сообразно привести несколько несложных примеров непосред-
ственного применения правила умножения двух многочленов.
Примеры использования этого правила при решении ряда задач
лучше рассмотреть на следующих уроках.
П р И
(х +	2>3) = ху + Зх + 2у + 6.
П р и^м^д2.
(д-	= ас + 4а - be -4Ь.
П р и,м|тр~3.
(и-	- пт -Зп - т + 3.
III.	Формирование умений и навыков.
За урок следует опросить как можно больше учащихся, что-
бы убедиться, что они усвоили правило умножения многочлена
на многочлен. Поэтому для выполнения каждого задания к дос-
ке можно вызывать сразу трёх учащихся.
1.	№677, №678.
В этих заданиях на умножение многочленов каждый из мно-
жителей является линейным. Важно, чтобы учащиеся следили
за точностью применения соответствующего правила и не оши-
бались в знаках.
2.	№ 680.
Эти задания несколько сложнее, поскольку помимо приме-
нения правила умножения многочленов учащиеся должны пом-
нить свойства степеней.
Решение:
а)	(х2 + у)(х + у2) = х3 + х2у2 +ху + у3;
276
6)	(m2 - п)(пг + 2n2 )~m4 + 2m2 n2 - m2n — 2n2;
в)	(4a2 +b2)(3a2 -b2) = ]2a4 -4a2b2 +3a2b2 -b4 =
= \2a4-a2b2-b\
r) (5x2 -4x)(x +1) = 5x3 + 5x2 -4x2 -4x = 5x3 +x2 -4x;
д) (a - 2)(4<ar3 - 3<r) = 4a‘ - 3a2 - 8a3 + 6a2 = 4a4 -1 la3 + 6a2;
e) (7p2-2p)(8/>-5) = 56p3-35p2-16p2 + lOp =
= 56p3-51p2+10p.
3.	№ 682 (а, в). Решение:
a) (x + 10)2 = (x + 10) (x + 10) = x2 + lOx + lOx + 100 = x2 +
+ 20x + 100;
в) (Зя - I)2 = (Зя- 1)(Зя- 1) = 9я2 - Зя - Зя - 1 = 9я2-6я+ 1.
IV. Итоги урока.
-	Как умножить одночлен на многочлен?
-	Сформулируйте правило умножения многочлена на много-
член.
-	Какие знаки будут иметь слагаемые, полученные при ум-
ножении многочленов: а) (х + у) (я - b); б)(п-т) (р-
Домашнее задание: № 679; № 681; № 682 (б, г).
Урок 74
ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ
МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Цели: продолжить формирование умения умножать мно-
гочлены; проверить уровень усвоения изучаемого материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Выполните умножение.
а)	Зх2 • 4х3; в) -0,4я2 • (-2я4);
б)	-12.у • ±у5; г) |х (Зх2+1);
д)-5/(2^-3);
е) I р-- I.
277
2.	Сколько слагаемых получится со знаком «плюс» (+)
и сколько со знаком «минус» (-) при умножении следующих
многочленов:
а)	(2 + а) (х + 4);	в) (с - 8) (1- J);
б)	(у-4) (а2 + 5);	г) (-а - 3) (* - 2)?
II. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащимся предстоит выполнить более слож-
ные преобразования. Сначала необходимо рассмотреть примеры
1 и 2 из учебника.
1.	№ 683 (а, в, д, ж).
Важно, чтобы учащиеся осознали, что при умножении мно-
гочлена, содержащего т членов, на многочлен, содержащий п чле-
нов, в произведении должно получиться тп членов (до приведе-
ния подобных).
Решение:
а) (х2 + ху- у2 )(х + у) = х3 + х2у + х2 у + ху2 - ху2 - у3 =
- х3 + 2х2у-у3;
в) (а + х)(а2 - ах- х2) = а3 - а2 х - ах2 + а2 х - ах2 - х3 =
= а3 - 2ах2 -х3;
д) (а2 - 2а + 3)(б/ - 4) = а3 -4а2 -2а2 + Sa + За -12 =
-а3-6а2 + 1167-12;
ж) (2 - 2х + х2 )(х + 5) = 2х +10 — 2х2 -1 Ох + х3 + 5х2 —
х3 + 3х2 -8х +10.
2.	Представьте в виде многочлена.
а)	х2(х + 3)(х -2);
б)	-2у3(у-1)(^ + 4);
В) (б7 + 1)(б7 — 2)(б7 + 5).
Решение:
а)	х2(х + 3)(х-2) = (х3 + 3х2)(х-2) = х4 -2х3 +Зх3 -6х2 =
= х4 + х3 - 6х2.
б)	-2у3(у-\)(у + 4) = (2у3 -2/)(у + 4) = 2/ +8/ -8у5 -8/ =
= -8/-б/+8/.
278
в)	{а +1)(я-2)(а + 5) = (а2 -2а + а-2\а + 5) =
= (а2 -а — 2)(а+ 5) = а3 +5а2 —а2-5а-2а-10 =
= а + 4а2-7д-10.
3.	№ 687 (а, в, д).
Важно, чтобы учащиеся были внимательны при раскрытии
скобок, перед которыми стоит знак «-». Если это вызывает
у них затруднения, то можно сначала выполнять умножение
многочленов, а потом раскрывать скобки.
Решение:
в) х3 - (х2 - Зх)(х + 3) = х3 - (х3 + Зх2 - Зх2 - 9х) = х3 - х3 +
+ 9х = 9х;
д) (а - Ь)(а + 2) - (я + Ь)(а -2) = a2 +2a-ab-2b-
— (а2 -2а + ab-2b) = a2 +2a-ab-2b-a2 + 2a-ab + 2b = 4a — 2ab.
4.	№ 689. Решение:
Согласно условию запишем выражение ac-bd:
(Зх - 1)(2х + 4) - (х + 1)(6х - 5) = 6х2 +12х - 2х - 4 -
- (6х2 - 5х + 6х - 5) = 6х2 +1 Ох - 4 - 6х2 - х + 5 = 9х +1.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Выполните умножение.
а)	(а + 3)(Ь-1);	в) (х + 2)(х2-х-3);
б)	(Зх2-1)(2х + 1); г) -4(у-1)(у + 5).
2.	Упростите выражение.
8р-(Зр + 8)(2р-5).
Вариант 2
1.	Выполните умножение
а)	(х + 4)(у - 5);	в) (а - 3)(я2 + а - 2);
б)	(5у2 + 1)(3у - 2);	г) -3(х + 4)(х -1).
2.	Упростите выражение
5/-(Зу-1)(5у-2).
279
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
- Как перемножить три многочлена?
- Сколько слагаемых получится при умножении многочлена,
содержащего т членов, на многочлен, содержащий п членов?
Домашнее задание: № 684; № 685; № 686; № 687 (б, г).
Урок 75
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ И УТВЕРЖДЕНИЙ
Цели: продолжить формирование умения умножать мно-
гочлены; применять это умение для доказательства тождеств
и некоторых утверждений.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Выполните умножение.
а) ух2- 7х5;	г) 2х (х2 - 7х);
б)-8я • 4<з4;	д) -4р4^2р--^;
в)-6у3, |—-у2|;	е)-З/?5 (/?3 - 2/?).
у 6 )
2. Сколько слагаемых получится со знаком «+» и сколько
со знаком «-» при умножении многочленов:
а)	(<7 + 2)(/> + 5);	в) (и2-3)(т-5);
б)	(х-3) (у + 7);	г) (-а-2) (с-4)?
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут задания на доказательство тождеств, а во 2-ю группу -
на доказательство утверждений о делимости, кратности и др.
1-я группа
Прежде чем приступить к выполнению заданий этой группы,
нужно вспомнить логику доказательства тождеств.
280
Для наглядности можно вынести на доску схему:
2)
О
3)
То есть существует три основных приема доказательства
тождеств:
1)	преобразовать левую часть тождества в правую или пра-
вую часть тождества в левую;
2)	показать, что левая и правая части исходного равенства
тождественно равны одному и тому же выражению;
3)	показать, что разность левой и правой части исходного
равенства тождественно равна нулю.
1	.№690 (а), №691 (а).
При доказательстве этих тождеств используется первый
прием, то есть мы будем преобразовывать одну часть равенства
до тех пор, пока она не станет тождественно равной другой час-
ти равенства.
2	. № 692 (а).
При доказательстве этого тождества используется второй
прием.
Решение:
а) (х-3)(х + 7)-13 = (х + 8)(х-4)-2.
Преобразуем левую часть равенства:
(х-3)(х + 7)-13 = х2+7х-Зх-21-13 = х2+4х-34.
Преобразуем правую часть равенства:
(х + 8)(х-4)-2 = х2-4х + 8х-32-2 = х2+4х-34.
Получаем следующее: левая и правая части равенства тож-
дественно равны одному и тому же выражению, значит, исход-
ное равенство является тождеством.
2-я группа
1.	№ 693. Решение:
а)	Упростим данное выражение:
(х-5)(х+8)-(х+4)(х-1) = х2 +8х-5х-40-х2 +х-4х+4 = -36.
281
Получаем, что исходное выражение равно числу -36, значит,
не зависит от переменной х.
б)	х4 - (х2 - 1)(х2 +1) = х4 - х4 - х2 + х2 +1 = 1.
2.	№ 699 (а). Решение:
а) Упростим данное выражение:
п (п + 5) - (п - 3)(и + 2) = п2 + 5п - п2 - 2п + Зп + 6 = 6п + 6.
Поскольку каждое слагаемое суммы 6п + 6 кратно 6, то и вся
сумма кратна 6.
3.	№ 696. Решение:
Четыре последовательных нечётных числа можно записать
в следующем виде:
а - 2п + 1, b = 2п + 3, с - 2п + 5 и d=2n + l.
Составим разность cd - ab'.
(2п + 5)(2лг + 7) - (2п + 1)(2и + 3).
Преобразуем это выражение:
(2и + 5)(2и + 7) - (2и +1)(2 п + 3) = 4и2 +14л +1 Ои + 35 - 4и2 -
-6л? 2/7-3 = 16/7 + 32 = 16(/7 +2).
Очевидно, что полученное выражение кратно 16.
III. Итоги урока.
- Сформулируйте правило умножения многочлена на много-
член.
- Как перемножить три многочлена?
- Какие существуют приемы доказательства тождеств?
Домашнее задание: № 690 (б); № 691 (б); № 692 (б); № 694;
№ 695 (б).
Урок 76
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ЗАДАЧ
НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Цели: закрепить умение умножать многочлены; рассмот-
реть применение данного умения при решении уравнений и тек-
стовых задач; проверить уровень усвоения материала.
282
Ход урока
I. Устная работа.
Выполните умножение.
а) 2а3- ~а5’	г) 4л2 (2а - 7);	ж) (а + 2) (Ь - 7);
б)-OJx2 • 5х8;	д) —i-x (2х-5х2);	з) (х - 3) (2-у);
В) ~~гУ  (-6/);	е) -Зр4 (2р2 - 5/?);	и) (2? - 1) (х4 + 3);
к) (-2 - п) (т - 5).
II. Формирование умений и навыков.
Задания можно разбить на две группы. 1-я группа - это
задания, в которых требуется использовать умение выполнять
умножение многочленов для решения уравнений. А во 2-ю
группу войдут задачи на составление уравнений.
1-я группа
№ 697. Решение:
б)	(1 -2х) (1 - Зх) = (бх- 1)х- 1;
1 - Зх - 2х 4- бх2 = бх2 - х - 1;
бх2 5х + 1 бх2 + х + 1 = 0;
-4х = -2;
1
х = —.
2
Ответ: —.
2
г) (х + 4) (х + 1) = х - (х - 2) (2 - х);
х2 + х + 4х + 4 = х - 2х + х2 + 4 - 2х;
х2 4- 5х 4- 4 - х2 4- 4х - 4 = 0;
9х - 0;
х - 0.
О т в е т: 0.
2-я группа
1.	№ 701. Решение:
Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п 4- 1,
2п 4- 3, 2п 4- 5. Найдем произведение двух больших из них:
283
(In + 3) (2n + 5) и произведение двух меньших: (2п + 1) (2п + 3).
По условию разность между этими произведениями равна 76.
Составим и решим уравнение.
(2п + 3) (2п + 5) - (2п + 1) (2п + 3) = 76.
4и2 + 1 On + 6п + 15 - 4и2 - 6п - 2п - 3 = 76;
8и + 12 = 76;
8л = 64;
л = 8.
Найдем числа: 2л + 1 = 2 • 8 + 1 = 17.
2л+ 3 = 2- 8 + 3= 19.
2л+ 5 = 2-8 + 5 = 21.
Ответ: 17, 19 и 21.
2.	№ 702. Решение:
Пусть длина прямоугольника равна х см, тогда его ширина
равна (35 - х) см. Значит, этот прямоугольник имеет площадь
х (35 -х) см2.
Длину уменьшили на 5 см, и она стала равна (х - 5) см,
а ширину увеличили на 5 см, и она стала равна (40 -х) см. Тогда
площадь нового прямоугольника стала (х - 5) (40 - х) см2. По
условию эта площадь на 50 см2 больше, чем площадь данного
прямоугольника.
Составим и решим уравнение:
(х - 5) (40 - х) - х (35 - х) = 50;
40х - х2 - 200 + 5х - 35х + х2 = 50;
1 Ох-200 = 50;
10х = 250;
х = 25.
Значит, длина исходного прямоугольника равна 25 см, тогда
его ширина равна 10 см.
От в ет: 25 см и 10 см.
В процессе решения задач сильным учащимся дополни-
тельно можно предложить выполнить задания на карточках.
Карточка № 1
1.	Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:
(2m3 -7m2 +4m)(3-8m + m2).
284
2.	Докажите, что значение выражения (163 - 83) (431 + 23) де-
лится на 63.
3.	Докажите, что произведение двух средних из четырех по-
следовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних
чисел.
Карточка № 2
1.	Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:
(х + 1)(х2 -х + 1)(х6 — х3 +1).
2.	Докажите, что значение выражения (1252 + 252) (52 - 1)
делится на 39.
3.	Докажите, что квадрат среднего из трёх последовательных
нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.
Решение заданий на карточках
Карточка № 1
1.	(2m3 -7m2 + 4m)(3-8m + m2) = 6m3 -16m4 +2m5 -21m2 +
+56m3 -Irn' + 12m-32m2 + 4m3 = 2m5 -23m4 +64m3 -53m2 +12m.
2.	Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки об-
щий множитель:
(163 - 83) (43 + 23) = (212 - 29) (26 + 23) = 29(23 - 1) • 23 (23 + 1) =
= 212 • 7 • 9 = 212 • 63.
Очевидно, что данное произведение делится на 63.
3.	Пусть даны четыре последовательных целых числа: п,п+ 1,
п + 2, п + 3. Произведение средних чисел равно (п + 1) (« + 2),
а произведение крайних чисел равно п (п + 3).
Составим разность и упростим её:
(п + 1) (п + 2) - п (п + 3) = п2 + 2п + п + 2 - п2 - Зп = 2.
Утверждение доказано.
Карточка № 2
1.	(х + 1)(х2 - х + 1)(х6 - х3 +1) = (х3 - X2 + X + х2 - X + 1) х
х (х6 - х3 +1) = (х3 + 1)(х6 - х3 +1) = х9 - X6 + х3 + х6 - х3 + 1 = X9 + 1.
2.	Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки об-
щий множитель:
(1252 + 252) (52 - 1) = (56 + 54) (52 - 1) = 54 (52 + 1) (52 - 1) =
= 54 • 26 • 24 = 54 • 2 • 13 • 8 • 3 = 54 • 16 • 39.
Очевидно, что данное произведение делится на 39.
285
3.	Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п + 1,
2п + 3, 2п + 5. Квадрат среднего из них равен (2п + З)2, а произ-
ведение крайних равно (2п + 1) (2п + 5).
Составим разность и упростим сё:
(2п + З)2 - (2п + 1) (2п + 5) = (2п + 3) (2п + 3) - (2п + 1) (2п + 5) =
= 4/?2 + 6п + 6/7 + 9 - 4/?2 -10/7-2/7-5 = 4.
Утверждение доказано.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1. При каком значении х равны значения следующих выра-
жений: (Зх + 5)(4х - 1) и (6х - 3) (2х + 7)?
2. Упростите выражение.
а)	ху (х + у)-(х2 + у2 )(х-2у);
б)	(х3 + 2у)(х2 - 2у) - (х2 + 2,у)(х3 - 2у).
Вариант 2
1.	При каком значении а равны значения следующих выра-
жений: (5а + 1) (2а - 3) и (10а - 3) (а + 1)?
2.	Упростите выражение.
а)	ху (х2 + у) - (х2 + yXycy -1);
б)	(р1 -Зк)(р2 + 3к)-(р2-ЗкХУ +3к).
IV. Итоги урока.
- Сформулируйте правило умножения многочлена на много-
член.
- Как перемножить три многочлена?
Домашнее задание: № 698; № 700; № 703.
Урок 77
ИЗУЧЕНИЕ СПОСОБА ГРУППИРОВКИ РАЗЛОЖЕНИЯ
МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Цели: познакомить учащихся со способом группировки
разложения многочлена на множители; формировать умение
применять этот способ.
286
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Вычислите.
а)	(-0.1)2 + (-0,2)2;
б)	(-0,1-0,2)2;
в)- (0,1 -0,2)2;
2.	Разложите многочлен на множители.
a)	ab -а2Ь',	в)6у5-9г2;	д) 3 (а-Ь)-х (а-Ь);
б)	2х3 + 4х;	г) п2т3 + п3пг,	е) (у + 2)2 - х (у + 2).
И. Объяснение нового материала.
Данная тема зачастую вызывает затруднения у учащихся.
Связано это с формальным усвоением способа группировки,
с непониманием его сути и того, что этот способ является об-
ратной задачей к умножению многочлена на многочлен.
Поэтому, прежде чем изучать способ группировки, целесо-
образно будет вынести на доску пример, отражающий поша-
говое умножение двучлена на двучлен. А потом на этом же при-
мере рассмотреть обратную задачу.
(Ь + У) («-2)
1 -й шаг. b (а - 2) + 3(а - 2)
2-й шаг. (ab - 2Ь) + (За - 6)
3-й шаг. ab - 2Ь + За - 6
ab - 2Ь + За - 6
1 -й шаг. (ab - 2Ь) + {За - 6)
2-й шаг. b {а - 2) + 3(а - 2)
3-й шаг. {а - 2) (Ь + 3)
Затем можно рассмотреть пример 2 из учебника.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что из трёх возможных ва-
риантов группировки первого члена два являются верными,
а один не даёт результата. Учащиеся могут убедиться в этом
на конкретном примере:
1)	ху + 4х - 2у - 8 = (ху + 4х) - (2у + 8)-х(у + 4)-2(у + 4) =
= (у + 4)(х —2).
2)	ху + 4х - 2у - 8 = (ху - 2у) + (4х - 8) = у (х - 2) + 4 (х - 2) -
= (х-2)(у + 4).
3)	ху + 4х - 2у - 8 = (ху - 8) + (4х - 2у) - не даёт результата.
Пример 3 из школьного учебника лучше рассмотреть на сле-
дующем уроке.
287
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке нужно опросить как можно больше учащихся,
чтобы убедиться, что они усвоили способ группировки разложе-
ния многочлена на множители.
К доске на одно задание можно вызывать двух учащихся,
которые будут группировать члены многочлена по-разному,
а затем убеждаться, что результат получен одинаковый.
1	.№708, № 709.
2	. №711 (а, в, д, з). Решение:
(На первых порах нужно требовать от учащихся подробных
записей.)
а) х3 + х2 + х + 1 = (х3 + х2) + (х + 1) = х2 (х + 1) + (х + 1) =
= (х + 1) (х2 + 1).
в) а4 + 2я3 - а - 2 = (а4 + 2я3) - (а + 2) = а2 (а + 2) - (а + 2) =
= (я + 2) (а3 - 1).
д) а1 - ab - 8<7 + Sb = (я2 - ab) - (Sa - Sb) = а (а - Ь) - 8 (а - Ь) =
= (а- Ь)(а- 8).
з) кп - тп - п2 + тк = (кп + тк) - (тп + п2) = к (п + т) - п (т +
+ п) = (т + п) (к - п).
IV. Итоги урока.
- Как умножить многочлен на многочлен?
- Что является обратной задачей к умножению многочленов?
- Опишите алгоритм способа группировки разложения мно-
гочлена на множители.
- Сколько существует вариантов группировки первого члена
многочлена, содержащего 4 слагаемых? Сколько из этих вари-
антов дадут возможность разложить многочлен на множители?
Домашнее задание: № 710; № 711 (б, г, е); № 712.
Урок 78
ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ГРУППИРОВКИ
РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Цели: продолжить формирование умения применять спо-
соб группировки при разложении многочлена на множители;
проверить уровень усвоения материала.
288
Ход урока
I. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Вынесите за скобки общий множитель.
а)	а (Ь + с) + р (Ь + сУ,	в) 3 (х-2) + у (2-х)2.
б)	7 (х - с) + (с - х) хс;
2.	Разложите многочлен на множители (проверьте получен-
ный результат умножением).
а)	ах + Ьх + ас + Ъс\	в) 2х2 - Зх + 4<ах - 6я.
б)	6х + 7у + 42 + ху;
Вариант 2
1.	Вынесите за скобки общий множитель.
а)	а (х + с)-Ь (х + с)',	в) 2 (х-7)-р (7-х)2.
б)	9 (a-b)-(b-a) ab;
2.	Разложите многочлен на множители (проверьте получен-
ный результат умножением).
а)	ах - ay + bx - by,	в) ay -12Ьх + Зах - 4 by.
б)	2х +7j> +14 + ху;
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут задания на применение способа группировки при доказа-
тельстве тождеств и нахождении значений выражений. А во 2-ю
группу войдут сложные задания, в которых нужно разложить
на множители многочлены способом группировки.
1-я группа
1.№713.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что непосредственная под-
становка данных значений переменных приведет к громоздким
вычислениям.
Решение:
^)p2q2 + pq-q3 -р3 = (p2q2 - q3) + (pq - p3) = q2 (p2 - q) +
+p(q-p2) = q2(p- q) -p (p-q) = (p- q) (q2-рУ
При p — 0,5 и q = -0,5:
(p2 - q) (q2 -p) = (0,25 + 0,5) (0,25 - 0,5) = 0,75 • (-0,25) =
4 4" 16'
289
б) Зх3 - 2у3 - 6х2у2 + ху = (Зх3 - бх2^2) - (2у3 - ху) = Зх2 (х - 2 г2) -
—у (2у2 - х) = Зх2 (х - 2у2) + у (х- 2у2) = (х - 2у2) (Зх2 + у).
2	1
При х -- — и у - —:
3	2
(х-2у2) (Зх2 + у) = |--2—| 3-- + -|
U 4Л 9 2)
1 У 4 Н
— —'—
2ДЗ 2)
2
3
1 11-11
6 6-3б‘
2.	№715.
Заметим, что, исходя из логики доказательства тождеств,
можно преобразовать левую часть равенства в правую (для это-
го многочлен нужно разложить на множители), а можно преоб-
разовать правую часть в левую (для этого нужно перемножить
двучлены).
2-я группа
1№716.
До этого учащиеся использовали способ группировки для
разложения на множители многочленов, состоящих из четырёх
членов. Нужно обратить внимание учащихся, что это самый
распространенный случай применения данного способа. Но ино-
гда способ группировки может быть использован при разложе-
нии на множители многочленов с другим количеством членов.
Решение:
а)	ас2 -ad + с3 - cd - be2 +bd = (ас2 + с3 - be2) + (bd -ad -
-cd) = c2(a + c -b) + d(b -a-c) = c2(a + c -b) - d(a + c-b) =
= (a + c-b)(c2 -d).
6)	ax2 + ay2 - bx2 - by2 +b-a = (ax2 + ay2 - a)- (bx2 + by2 -
— b) — a(x2 + y2 -1) - b(x2 + y2 -1) - (x2 + у2 -1)(<7 -b).
в)	an2 + cn2 -ap + ap2 -cp + cp2 = (an2 -ap + ap2) + (cn2 -
-cp+ cp2) = a(n2 - p + p2) + c(n2 - p + p2) = (n2 - p + p2)(a + c).
r) xy2 - by2 - ax + ab + y2 - a = (xy2 - by2 + y2)- (ax -ah +
+a) = y2(x - b + \) - a(x - b + Y) - (x-b + \)(y2 - a).
290
2. № 718 (а, в).
Прежде чем решать этот номер, нужно рассмотреть при-
мер 3 из учебника.
Решение:
а) х2 + 6х + 5 = х2 + х + 5х + 5 = (х2 + х) + (5х + 5) = х(х +1) +
+5(х +1) = (х + 1)(х + 5).
в) а2 - 5а + 4 = а2 - а - 4а + 4 = (а2 - а)- (4а - 4) = а(а -1)-
—4(a-V) = (a — V)(a — 4).
III.	Итоги урока.
-	Какие вы знаете способы разложения многочлена на мно-
жители?
-	Опишите алгоритм способа группировки.
-	Сколько членов содержали многочлены, которые мы рас-
кладывали на множители способом группировки?
Домашнее задание: № 714; № 717; № 718 (б, г).
Урок 79
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6
Вариант 1
1.	Выполните умножение.
а)	(с + 2) (с - 3);	в) (5х - 2у) (4х - >>);
б)	(2а - 1) (За + 4);	г) (а - 2) (а2 - За + 6).
2.	Разложите на множители.
а) а (а + 3) - 2 (а + 3);	б) ах - ау + 5х - 5у.
3.	Упростите выражение -0,1х (2х2 + 6) (5 - 4Х2).
4.	Представьте многочлен в виде произведения.
а) х2 — ху — 4х + 4у;	б) ab — ас — Ьх + сх + с — Ь.
5.	Из прямоугольного листа фанеры вырезали квадратную
пластинку, для чего с одной стороны листа отрезали полосу ши-
риной 2 см, а с другой, соседней, - 3 см. Найдите сторону полу-
чившегося квадрата, если известно, что его площадь на 51 см2
меньше площади прямоугольника.
291
Вариант 2
1.	Выполните умножение.
а)	(а - 5) (а - 3);	в) (Зр + 2с) (2р + 4с);
б)	(5х + 4) (2х - 1);	г) (Z) - 2) (Z>2 + 2Ь - 3).
2.	Разложите на множители.
а) х(х - у) + а(х - у); б) 2a-2b + ca-cb.
3.	Упростите выражение 0,5х (4х2 -1)(5х2 +2).
4.	Представьте многочлен в виде произведения.
а) 2а - ас - 2с + с~; б) bx + by - х - у - ах - ау.
5.	Бассейн имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон
на 6 м больше другой. Он окружен дорожкой, ширина которой
0,5 м. Найдите стороны бассейна, если площадь окружающей
его дорожки 15 м2.
Вариант 3
1.	Выполните умножение.
а)	(х - 8) (х + 5);	в) (6я + х) (2а - Зх);
б)	(ЗЬ - 2) (46 - 2);	г) (с + 1) (с2 + 3с + 2).
2.	Разложите на множители.
а) 2х(х-1)-3(х-1); б) ab + ас + 4Ь 4- 4с.
3.	Упростите выражение -0,4а (2а2 +3)(5-За2).
4.	Представьте многочлен в виде произведения.
a) a2 +ab-За- ЗЬ; б) кр - кс - рх + сх + с - р.
5.	Из квадратного листа фанеры вырезали прямоугольную
дощечку, одна из сторон которой на 2 см, а другая на 3 см
меньше стороны квадрата. Найдите сторону квадратного листа,
если его площадь на 24 см2 больше площади получившейся до-
щечки.
Вариант 4
1.	Выполните умножение.
а)	(а -4) (а- 2);	в) (Зу -2с)(у + 6с);
б)	(Зх + 1)(5х-6); г) (6 + 3) (62 4-26 - 2).
2.	Разложите на множители.
а) 2х(а - Ь) 4- а(а - Ь); б) Зх 4- Зу + Ьх 4- by.
292
3.	Упростите выражение 0,2у (5у2 -1)(2у1 +1).
4.	Представьте многочлен в виде произведения.
а) 3х-ху-3у + у2; б) ах-ау + су-сх-х + у.
5.	Клумба прямоугольной формы окружена дорожкой, ши-
рина которой 1 м. Площадь дорожки 26 м2. Найдите стороны
клумбы, если одна из них на 5 м больше другой.
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.	а) (с + 2) (с - 3) = с1 - Зс + 2с - 6 = с1 - с - 6.
б)	(2а - 1) (За + 4) = 6а2 + 8а - За - 4 = 6а2 + 5а - 4.
в)	(5х - 2у) (4х-у) = 20Х2 - 5ху - 8ху + 2^ = 20.x2 - 1 Зху + 2jA
г)	(а - 2) (а2 - За + 6) = а3 - За2 + 6а - 2а2 + 6а - 12 =
-а3-5а2 + 12а- 12.
2.	а) а (а + 3) - 2 (а + 3) = (а + 3) (а - 2).
б)	ах - ау + 5х - 5у - (ах - ау) + (5х - 5у) - а(х-у) + 5(х-у) -
= (х-у)(я + 5).
3.	-0,1.x (2х2 + 6) (5 - 4Х2) = -0,1х (10х2 - 8х4 + 30 - 24х2) =
= -х3 + 0,8х5 - Зх + 2,4х3 = 0,8х5 + 1,4х3 - Зх.
4.	а) х2— ху- 4х + 4у = (х2-ху) - (4х- 4у) = х(х-у) - 4(х-у) =
= (х-у)(х-4).
б)	аЬ - ас - Ьх + сх + с - Ь = (ab - ас) - (Ьх - сх) -(Ь-с) =
= а(Ь— с) —x(b -c)-(b-c) = (b-с)(а-х-1).
5.	Пусть сторона получившего-
3 см
ся квадрата равна х см, тогда его	.
2	2 г'	X СМ ,----Л----
площадь равна х см . Стороны ---------------7—।----------
прямоугольника равны (х + 2) см
и (х + 3) см, значит, его площадь хсм ...
равна (х + 2) (х + 3) см2.
Составим и решим уравнение:	,--•———
(х + 2) (х + 3)-х2 = 51;	2 см J
x2 + 3x + 2x + 6- x2 = 51;	LI------------------
5х = 45;
х = 9.
Ответ: 9см.
293
Вариант 2
1.а)(я-5)(я-3) = ?-3я-5я+ 15 = ?-8я + 15.
б)	(5х + 4) (2х- 1)= 10х2 - 5х + 8х - 4 = 10х2 + Зх-4.
в)	(Зр + 2с) (2р + 4с) = 6/?2 ч-12ср + 4ср + 8с2 =
= 6р2 + \6ср + 8с2.
г)	(Ь - 2) (b2 + 2Ь - 3) = Ь3 + 2b2-3b-2b2 -46 + 6 =
= Ь3-7Ь + 6.
2.	а) х(х - у) + а(х - у) = (х- у)(х + а).
б)	2a-2b + ca-cb = (2а - 2b) + (са - cb) = 2(а - Ь) +
+с(а -Ь) = (а- Ь)(2 + с).
3.	0,5х (4? -1 )(5х2 + 2) = 0,5х(20х4 + 8? - 5? - 2) = 1 Ох5 +
+4? -2,5? -х = 10? +1,5? -х.
4.	а) 2а - ас - 2с + с2 = (2а - 2с) - (ас -с2) = 2(а - с) -
-с(а -с) = (а- с)(2 - с).
б) bx + by - х - у - ах - ay = (bx + by) - (х + у) -
-(ах + ау) = Ь(х + у) ~(х + у)- а(х + у) = (х + y)(b - а -1).
(х + 6) м
	X N
1} 0,5 м
Пусть одна сторона бассейна х м, тогда другая его сторо-
на (х + 6) м. Значит, площадь бассейна х (х + 6) м2.
Найдем площадь бассейна вместе с окружающей его дорож-
кой. Фигура является прямоугольником, стороны которого рав-
ны (х + 1) м и (х + 7) м. Значит, площадь прямоугольника равна
(х + 1) (х + 7) м2.
Составим и решим уравнение:
(х + 1) (х + 7) - х (х + 6) = 15;
х2 + 7х + х + 7 - х2 - 6х = 15;
2х = 8;
2х = 4.	Ответ: 4 м и 10 м.
294
Вариант 3
1.	а) (х —8) (х + 5) = х2 + 5х-8х-40 = х2-Зх-40.
б)	(ЗЬ-2) (4/>-2) = 12Z>2 - 6Z> - 8Z> + 4 = 12Z>2 - 14Z> + 4.
в)	(6а+х) (2а - Зх) = 12а2- 18ах + 2ах - Зх2 = 12а2 16ОХ-ЗХ2.
г)	(с + 1) (с2 + Зс + 2) = с3 + Зс2 + 2с + с2 + Зс + 2 = с3 + 4с2 +
+ 5с + 2.
2.	a) 2х(х -1) - 3(х -1) = (х - 1)(2х - 3).
б)	ab + ac + 4b + 4c = (ab + ас) + (4Z> + 4с) = а(Ь + с) + 4(Z> + с) =
= (£ + с)(а + 4).
3.	- 0,4а (2а2 + 3)(5 - За2) = -0,4а(1 Оа2 - 6а4 +15 - 9а2) =
= -4а3 + 2,4а5 -6а + 3,6а3 = 2,4а5 -0,4а3 -6а.
4.	a) а2 + ab - За - ЗЬ = (а2 + аЬ) - (За + ЗЬ) = а(а + Ь) - 3(а + Ь) =
= (а + Ь)(а-3).
б) кр - кс - рх + сх + с - р = (кр - кс) - (рх - сх) - (р - с) =
= к(р - с) - х(р -с)-(р-с) = (р- с)(к - х -1).
5.
	(х - 2) см
(х - 3) см	
Пусть сторона квадрата равна х см, тогда его площадь равна
х2 см2. По условию стороны полученного прямоугольного листа
равны (х - 2) см и (х - 3) см, значит, его площадь равна
(х - 2) (х - 3) см2.
Составим и решим уравнение:
х2-(х-2)(х-3) = 24;
х2-х2 + Зх + 2х-6 = 24;
5х = 30;
х = 6.
Ответ: 6 см.
Вариант 4
1.	а) (а - 4) (а - 2) = а2 - 2а - 4а + 8 = о2 - 6а + 8.
б)	(Зх + 1) (5х - 6) = 15Х2 - 18х + 5х - 6 = 15Х2 - 1 Зх - 6.
295
в)	(Зу - 2с) (у 4-6с) = Зу2 4- 18су-2су- 12с2 = 3у2 + 16су- 12с2.
г)	(Ь + 3) (Z)2 + 2Ь - 2) = Z? + 2b2 - 2b + ЗЬ2 + 6Ь - 6 = Ь2 +
+ 5b2 + 46-6.
2.	а) 2х(а - Ь) + а(а -Ь) = (а- Ь)(2х + а).
б)	Зх + Зу + Ьх + by = (Зх 4- Зу) 4- (Ьх 4- by) = 3(х 4- у) 4- Ь(х 4- у) =
= (х + у)(3 + 6).
3.	0,2у (5у2 - 1)(2у2 +1) = 0,2у(1 Оу4 + 5у2 - 2у2 -1) = 2у5 +
+у3 - 0,4у3 - 0,2у = 2у5 4- О, бу3 - 0,2у.
4.	а) Зх-ху-Зу + у2 = (3х-ху)-(3у-у2) = х(3 - у) - у(3 - у) =
= (3-у)(х-у).
б) ах-ау + су-сх-х + у = (ах - ау) 4- (су - сх) -(х- у) =
= а (х-у)-с(х-у)-(х-у) = (х- у)(а - с -1).
(х 4- 5) м

}1 м
Пусть одна сторона клумбы равна х м, тогда другая сторона
равна (х 4- 5) м. Значит, площадь клумбы равна х (х 4- 5) м2.
Найдем площадь участка, состоящего из клумбы и дорожки.
Этот участок имеет прямоугольную форму, его стороны равны
(х + 2) м и (х + 7) м. Значит, площадь участка равна (х 4- 2) (х 4- 7) м2.
Составим и решим уравнение:
(х 4- 2) (х 4- 7) - х (х + 5) = 26;
х2 + 7х + 2х + 14 - х2 - 5х = 26;
4х= 12;
х - 3.
Ответ: Зми8м.
Урок 80
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся;
проанализировать ошибки, сделанные в контрольной работе.
296
Ход урока
I. Анализ результатов контрольной работы.
Самые распространенные ошибки разбираются на доске
с обсуждением, а затем каждый из учащихся делает работу над
своими ошибками под контролем учителя.
II. Обобщение и систематизация знаний.
Те учащиеся, которые допустили ошибки в контрольной ра-
боте, после их исправления решают номера из учебника: № 754
(а, в); № 761; № 778 (а, в); № 786.
Сильным учащимся можно предложить задания повышенно-
го уровня сложности.
1.	№ 774. Решение:
а)	Запишем числа ab и Ьа в виде многочлена:
ab = 10<7 + 6, ba = 10& + а.
Найдем их сумму и преобразуем её:
ab + ba = 10а + b +1 Ob + а = 1 la +11Z) = 11(<7 + Ь).
Очевидно, что число 11 (а + Ь) делится на а + Ь.
б)	ab = 10<7 + b, ba = 10Ь + а.
ab - ba = 10а + b - (10b + а) = 10а + b -10Ь - а = 9а - 9Ь = 9(а-Ь).
Очевидно, что это число кратно 9.
2.	№ 760. Решение:
Рассмотрим процесс движения мотоциклистов до их встре-
чи. Пусть скорость первого мотоциклиста х км/ч, тогда скорость
второго 1,5х км/ч. До встречи они вместе проедут расстояние,
равное 240 км.
Заполним таблицу:
	5	о	t
Первый мотоциклист	2,4х км	х км/ч	2,4 ч
Второй мотоциклист	2,4 • 1,5х км	1,5х км/ч	2,4 ч
Составим и решим уравнение:
2,4х + 2,4 • 1,5х = 240;
2,4 (х + 1,5х) = 240;
2,5х = 100;
х = 40.
297
Получаем, что скорости мотоциклистов равны 40 км/ч
и 40 • 1,5 = 60 км/ч.
Расстояние от пункта А до места встречи равно 2,4х = 2,4 • 40 =
= 96 км. Тогда расстояние от места встречи до В равно 120 - 96 =
= 24 км.
О т в е т: 40 км/ч, 60 км/ч, 24 км.
3.	№ 766. Решение:
Сделаем рисунок к задаче:
раствор соли, 500 г
концентрация по-
высилась на 3,75 %
Пусть в растворе первоначально было х г соли, значит, её
концентрация была равна • 100 %.
В новом растворе стало (х + 20) г соли, то есть её концентра-
х-1-20 .....
ция стала равна----- • 100%.
500
По условию концентрация соли повысилась на 3,75 %. Со-
ставим и решим уравнение:
х	+ 20
500
х	+ 20
5
х	+ 20
• 100—— • 100 = 3,75;
480
х
----= 3,75;
4,8
_5х _ 15
5	24 ~ 4
Домножим обе части уравнения на 120.
120	Ъ120 • —;
V 5	24)	4
24 (х + 20) - 25х = 30 • 15;
24х + 480 - 25х = 450;
-х = -30;
х - 30.
298
Значит, первоначально в растворе было 30 г соли.
Ответ: 30 г.
4. № 797. Решение:
Преобразуем левую часть равенства:
(10а + Л>)(1 Ъа + с) = 100 о2 +1 Оас +1 Oab + be = 100а2 +
+ 10a(Z) + c) +Ьс.
Преобразуем правую часть равенства:
100а (а + 1) + be = 100а2 + 100а + Ьс.
У полученных выражений есть одинаковые слагаемые. Это
100а2 и Ьс. Но если Ь + с = 10, то 10а (Ь + с) - 10а ♦ 10 = 100а,
то есть все слагаемые у этих выражений равны. Значит, данное
равенство верно при условии, что Ь + с = 10.
а)	23 • 27.
Здесь а = 2, Ьс = 3’7 = 21. Имеем:
23’27= 100’2’3 + 21 =621.
б)	42 • 48.
Здесь а = 4, Ьс = 2 • 8 = 16. Имеем:
42-48 = 100-4-5 + 16 = 2016.
III. Итоги урока.
- Что называется многочленом? Степенью многочлена?
- Как умножить одночлен на многочлен?
- Как умножить многочлен на многочлен?
- Какие вы знаете способы разложения многочлена на мно-
жители?
- Опишите алгоритм способа группировки разложения мно-
гочлена на множители.
Домашнее задание: № 754 (г, е); № 762; № 778 (б, г); № 787.
Урок 81
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
Цели: изучить, как может быть представлено любое целое
число при делении его с остатком на некоторое натуральное
число; использовать данное представление при решении задач
на делимость чисел.
299
Ход урока
I. Актуализация знаний.
Учащиеся уже умеют делить с остатком натуральные числа.
Можно дать им выполнить несколько таких заданий и записать
полученные результаты:
17:2 = 8 (ост. 1);	20 : 3 = 6 (ост. 2);	23 : 5 = 4 (ост. 3).
Затем предложить учащимся записать числа17, 20 и 23, ис-
пользуя делитель, частное и остаток:
17 = 8-2+1;	20 = 6-3 + 2;	23 = 4-5 + 3.
П. Изучение нового материала.
1.	Рассмотреть деление целых чисел на натуральные с остат-
ком и снова прийти к равенствам, подобным тем, которые были
получены на этапе актуализации. Например:
-13 = 5- (-3) + 2;	-20 = 7 • (-3) +1;	-32 = 3 • (-11) + 1.
2.	Делается вывод о том, что любое целое число а при де-
лении на натуральное число b может быть записано в виде:
а = bq + г, где q - частное от деления,
г - остаток, 0 < г < Ь.
Данное утверждение доказывается.
3.	Рассматривается вопрос о разбиении чисел на классы при
делении с остатком.
Ш. Закрепление изученного материала.
1.	№ 724. Решение:
Если число а при делении на 7 даёт в остатке 3, то оно может
быть записано в виде:
а = 1q + 3, где q - частное от деления.
Перебирая различные q, будем получать искомые числа:
q = 0, о = 7- 0 + 3 = 3;
q = 1,о = 7- 1 +3 = 10;
q = 2, о = 7- 2 + 3 = 17 (не удовлетворяет условию);
q = -\,a = 7 • (-1) + 3 = ^4;
^ = -2,о = 7 • (-2) + 3 =-11;
q = -3, о = 7- (-3) + 3 = -18 (не удовлетворяет условию).
Ответ: -11, -4, 3, 10.
300
2.	№ 726. Решение:
Если число тп при делении на 35 даёт в остатке 15, то оно
может быть записано в виде:
тп = 35q + 15, где q - частное от деления.
Каждое слагаемое этой суммы делится на 5, значит, и вся
сумма делится на 5.
Первое слагаемое суммы делится на 7, а второе не делится,
значит, вся сумма не делится на 7.
Ответ: на 5 делится, на 7 не делится.
3.	№ 727. Решение:
Согласно условию число а может быть записано в виде:
а = bc + d.
Если числа Ь, с и d нечётные, то приходим к следующим
выводам:
1)	число Ьс - нечётное (как произведение двух нечётных чисел);
2)	число bc + d- чётное (как сумма двух нечётных чисел).
Получится следующее: если числа Ь, с и d нечётные, то чис-
ло а будет только чётным. Значит, числа а, Ь, с и d не могут
быть одновременно нечётными.
4.	№ 728. Решение:
Если числа а и b при делении на 3 дают различные остатки,
то они могут быть записаны в виде:
а - 3q + 1 и b - Зр + 2.
Найдем число ab + 1:
ab + 1= (3q + 1 )(3у? + 2) + 1 = 9pq + 6q + 3р + 3.
Каждое слагаемое полученной суммы делится на 3, значит,
и вся сумма делится на 3.
5.	№ 730. Решение:
Если при делении числа ст на 12 получается остаток 5,
то число а может быть записано в виде:
а = 12^ + 5, где q - частное от деления.
При делении числа а = 11q + 5 на 4 первое слагаемое суммы
разделится на 4 без остатка, а второе даст в остатке 1. Значит,
число а при делении на 4 даст в остатке 1.
Ответ: 1.
301
6.	№ 732. Решение:
Если число а при делении на 5 даёт в остатке 1, то оно может
быть записано в виде:
а = 5q + 1, где q - частное от деления.
Если же это число при делении на 7 даёт в остатке 1, то его
можно записать так:
а = 1р+ 1, где р - частное от деления.
По условию q большер на 4. Получим систему уравнений:
[5q +1 = 1 р +1,	j5(/? + 4) +1 = 7р + 1,
[q = ^ + 4; [q = р + 4;
5р + 20 + 1 = 7р + 1;
2р = 20;
р = 10.
Найдем число а:
а = 7р + 1 =7- 10+ 1 =71.
Ответ: 71.
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: № 723; № 725; № 731; № 733.
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Урок 82
ФОРМУЛЫ КВАДРАТА СУММЫ И РАЗНОСТИ
ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ
Цели: вывести формулы квадрата суммы и разности двух
выражений; формировать умение использовать эти формулы.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Выполните возведение в степень.
/ 1 л3
а)	(-2л )2;	в)|-у1;	д) (7л\2)2;
А1 V
б)	(5а2)2;	г) I -/>’ I ;	е) (-0,6n4m5)2.
302
2.	Выполните умножение.
а) 2х2 • Зх7;	в) За (2а2 - 5а); д) (х - 3) (у + 4);
6)1/-(-4/); г)е) (2а-1)(й-5).
II. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала следует производить в не-
сколько этапов. При этом стремиться, чтобы учащиеся само-
стоятельно вывели формулы квадрата суммы и разности двух
выражений.
1.	Предложить учащимся представить выражение (а + Ь)2
в виде многочлена. Они уже встречали подобные задания, когда
умножали многочлен на многочлен. Одного из учащихся нужно
вызвать к доске, а остальные записывают у себя в тетрадях:
(а + Ь)2 = (а + b)(a + b) - а2 + ab +ab +b2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
Аналогично возводится в квадрат выражение а-Ь\
(а-b)2 -(a-b)(a-b) = а2 -ab-ab + b2 =а2 -2аЬ + Ь2.
2.	Сообщить учащимся, что полученные тождества называ-
ются формулами квадрата суммы и разности двух выраже-
ний. Они нужны, чтобы сделать проще преобразования.
Далее предложить учащимся самостоятельно сформулиро-
вать правила, по которым выполняется возведение в квадрат
суммы и разности выражений.
3.	Разобрать примеры 1 и 2 из учебника. Остальные примеры
приводить пока не нужно.
III. Формирование умений и навыков.
Основное внимание на этом уроке следует уделить тому,
чтобы учащиеся запомнили формулы квадрата суммы и разно-
сти, научились их правильно применять. На первых порах сле-
дует требовать от учащихся подробных записей и комментиро-
вания выполняемых действий.
1.	№ 799.
(К доске на одно и то же задание желательно вызывать сразу
несколько учащихся.)
303
2.	№ 803. Решение:
(В целях избежания ошибок следует вести подробные записи.)
а) (2х + З)2 = (2х)2 + 2 • 2х • 3 + З2 = 4х2 +12х + 9;
д)|<5я + -/й =(5б/)2+2  5г/ • —= 25а2 +2ab +—b2;
<	5 J	5 И J	25
'V	(i V	i	i
e) — m-2n \	= — m\ -2‘	-nr	2n + (2ri)2	= — m2 -mn + An2\
<4 J	<4 J	4	16
з) (10c + 0, ly)2 = (1 Oc)2 + 2 •	10c • 0, ly + (0, ly)2 =	100c2 + 2cy + 0,01/.
3№812.
Это более сложный номер, поскольку помимо формул квадрата
суммы и разности учащимся нужно помнить свойства степеней.
Решение:
а)	(а2 - За)2 = (а2)2 - 2а2 • За + (Зб/)2 = я4 - 6а2 + 9я2;
б)	f—х3+6х^ = f—хИ +2 • — х3, 6х + (6х)2 =— х6 + 6х4 + 36х2;
42	) <2 )	2	4
в)	(с2 -0,7с3)2 =(с2)2 -2с2- 0,7с3 +(0,7с3)2 =с4 -1,4с5 +0,49с6;
г)	(4/ -0,5/)2 = (4/)2 -2-4/-0.5/ + (о,5.у2)2 = 16/ -
-4/ + 0,25/;
д)	fl-5-я5 +8«2) =fl-<з0 + 2-1 —а5-8а2+fea2)2 =—а10 +
Ч 2	) I, 2 )	2	' ’ 4
+24а7+64а4;
е)	(о,6b- 60b2 )2 = (0,66 )2 - 2 • 0,66 • 60b2 + (бОб2)2 = 0,3662 -
-72b2 + 3600b2.
IV. Итоги урока.
-	Как возвести в квадрат сумму двух выражений?
-	Как возвести в квадрат разность двух выражений?
-	Зачем нужны формулы квадрата суммы и разности двух
выражений?
-	Выполните возведение в квадрат: а) (За + I)2; б)(х-5)2.
Домашнее задание: № 800; № 804; № 813.
304
Урок 83
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ
КВАДРАТА СУММЫ И РАЗНОСТИ
Цели: продолжить формирование умения возводить в квад-
рат двучлен; преобразовывать выражения, используя соответст-
вующие формулы; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
Выполните возведение в квадрат.
а)(с + ^)2;	б) (х + 1)2; в) (я-2)2; г) (у-5)2.
II. Формирование умений и навыков.
Сначала необходимо разобрать, как возводить в квадрат вы-
ражения вида - а + b и -а-b. Затем перейти к упрощению вы-
ражений с использованием формул квадрата суммы и разности.
В соответствии с этим задания делятся на две группы.
1-я группа
Сначала предложить учащимся преобразовать выражения
(-х + З)2 и (-j> + 7)2. Согласно известным формулам преобра-
зования будут выглядеть следующим образом:
(-х + З)2 = (-х)2 +2 • (-х) • З + З2 =х2-6х + 9;
(-у + 7)2 = (-^)2 +2 -(-у) -7 + 72=/-14у + 49.
Учащиеся должны осознать, что в таком виде возведение в квад-
рат проводить неудобно, лучше поменять местами выражения:
(3 - х)2 = З2 - 2 • 3 • х + х2 = 9 - 6х + х2;
(7-д;)2 =72-2 • 7 -у + у2 = 49-14у+ .У2.
Затем следует выполнить № 807. После этого сделать соот-
ветствующие выводы:
(-а + Ь)2 = (Ь-а)2;
(a-b)2=(b-a)2-,
(-а-Ь)" = (я + £)2 •
305
Нужно объяснить учащимся, что применение этих равенств
упрощает возведение в квадрат двучлена и пригодится им при
дальнейших преобразованиях выражений.
После этого можно перейти к выполнению заданий.
1.№805, 806.
2.	№ 809. Решение:
a)	(-Зя + 106)2 = (10Z?-Зб7)2 = 100Л2-60яЛ + 9я2;
б)	(-6т-я)“ =(бга + и)2 = 36w2 + 12/77Л? н- Л22;
в)	(8х-о,3^)2 = 64х2-4,8ху + 0,09/;
А	1 Y	2	1
г)	5я +—Ь\ =25сг+—аЬ-\-------Ь2;
<	15 J	3	225
д)	(-О,2р-ю?)2 = (0,2/2 + lOqr)2 =0,04р2+4р9 + 100?2;
е)	(0,8х-0,1.у)2 =0,64? -0,16лу+ 0,01/.
2-я группа
1	.№815.
2	. № 817 (а, в, д). Решение:
а) (х - З)2 + х(х + 9) - х2 - бх + 9 + х2 + 9х - 2х2 + Зх + 9;
в) 9ф-1)-(36 + 2)2 =9b2-9b-9b2 -12Z>-4 = -2-4;
д) (я + 3)(5 - я) - (я -1)2 = 5я - я2 +15 -Зя- я2 + 2а -1 =
= -2а2 + 4я + 14.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Преобразуйте в многочлен.
а)	(у + 4)2;	в) (-Зя + 5)2;
б)	(2х - Зу)2;	г) (-х2 - 2х)2.
2.	Упростите выражение.
а) (8я - Ь)2 - 64я2; б) я (4 - я) + (4 - я)2.
Вариант 2
1. Преобразуйте в многочлен.
а) (л -6)2;	б)(7т + 3п)2;	в)(-2у + 3)2; г) (-/ - 4г)2.
306
2. Упростите выражение.
а) 8 lx2 - (9х + 2у)2; б) х (х - 7) + (х + З)2.
IV. Итоги урока.
- Как возвести в квадрат сумму (разность) двух выражений?
- Как возвести в квадрат выражения вида -а + b и -а - Ы
Домашнее задание: № 808; № 816; № 817 (б, г, е).
Урок 84
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ КВАДРАТА
СУММЫ И РАЗНОСТИ
Цели: закрепить умение возводить в квадрат двучлен
по формуле; рассмотреть ряд задач при решении которых при-
меняется это умение.
Ход урока
I.	Устная работа.
Выполните возведение в квадрат.
( э Л2
а)	(-Зх2/)2;	г) I --х6/ I ; ж) (-и + З)2;
(1 У
б)	I -ab5 I ;	д) (х - 8)2;	з) (-а - 10)2.
B)(-0,7pV)2;	е)(2у + 5)2.
П. Формирование умений и навыков.
1.	№ 814 (устно).
2.	№ 818 (а, в).
3.	№ 819. Решение:
а) (х-6)2-х (х + 8) = 2; б) 9х (х + 6) - (Зх + 1)2= 1;
х2- 12х + 36-х2- 8х = 2;	9х2 + 54х-9х2-6х-1 = 1;
-20х = -34;	48х = 2;
34	1
х = —;	х = —.
20	24
х = 1,7.
Ответ: 1,7.	Ответ:—.
24
307
в) v (v - 1) - (v 5)2 = 2; г) 16у (2 -у) + (4j>-5)2 = 0;
/-у-/ + 10у- 25 = 2;	32>>- 16/+ 16/-40у + 25 = 0;
9у = 27;	-8у = -25;
Ответ:3.	Ответ: 3—.
8
4.	№821.
При решении этого номера учащимся предстоит выполнять
более сложные преобразования. Зачастую они делают очень
распространенную ошибку: сначала умножают число на выра-
жение в скобках, а потом результат возводят в квадрат.
Необходимо напомнить учащимся, что действие возведения
в степень является приоритетным среди всех остальных, поэто-
му его выполняют в первую очередь.
Решение:
а)7(4я- 1)2 = 7(16я2-8я+ 1) = 112я2 - 56я + 7;
(1	V	(1 7 А	7
в) -10 -6 + 2 =-10 —b2+b + 4 =-2,562-106-2,5;
u	J	U )
д) 9с2 - 4 + 6 (с - 2)2 = 9с2 - 4 + 6 (с2 - 4с + 4) = 9с2 - 4 + 6с2 -
-24с + 24 = 15с2-24с + 20.
5.	№ 823 (а, в). Решение:
а) а (я + 96)2 = а (а2 + \8ab + 8162) = a2 + \8а2Ь + 8IczZ?2;
в) (а + 2\а -1)2 = (я + 2)(<72 -2я + 1) = а2 -2а2 +а + 2а2 -4а +
+2 = а2 -За + 2.
III.	Итоги урока.
-	Как возвести в квадрат сумму (разность) двух выражений?
-	Каким из следующих выражений тождественно равно вы-
ражение (х - 2)2: (х + 2)2, (2 - х)2, (-2 - х)2, (-2 + х)2?
-	Как выполнить следующие преобразования:
а) —2 (л —4)2;	б) (у + 3) (у - 2)2?
Домашнее задание: № 818 (б, г); № 820; № 822; № 823 (б, г).
308
Урок 85
ИЗУЧЕНИЕ СПОСОБА РАЗЛОЖЕНИЯ
НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
КВАДРАТА СУММЫ И РАЗНОСТИ
Цели: показать, как применяются формулы квадрата сум-
мы и квадрата разности при разложении на множители трехчле-
нов; формировать умение выполнять данное действие.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Выполните возведение в квадрат.
а)(х-2)2;	б)(2+х)2;	в)(-х + 2)2;	г)(-х-2)2.
2.	Будут ли тождественно равны следующие выражения:
а)	(а - 2)2 и (2 - а)2;	в) (3 - с)2 и (-с + З)2;
б)	(х- I)2 и (1 + х)2;	г) (-у - 5)2 и (у + 5)2?
3.	Представьте выражение в виде квадрата одночлена.
а) 25а2;	в)—у2;	д) 2,25m4;
36
б) 121х2;	г) 0,64с4;	е) -и6.
4
II. Объяснение нового материала.
1. Чтобы учащиеся увидели место данной темы среди других
тем и поняли её важность, необходимо сначала актуализировать
их знания о разложении многочлена на множители.
- Что значит «разложить на множители многочлен»?
- Какие вы знаете способы разложения многочлена на мно-
жители?
- При решении каких задач пригодится умение раскладывать
многочлен на множители?
2. Затем сообщить учащимся, что на этом уроке они позна-
комятся с ещё одним способом разложения многочлена на мно-
жители. Этот способ состоит в применении формул квадрата
суммы и разности.
309
3.	Согласно пункту 33 учебника ознакомить учащихся с новым
материалом, привести примеры и сделать следующие выводы:
1)	с помощью формул квадрата суммы и разности можно
раскладывать на множители только трёхчлены;
2)	чтобы трёхчлен раскладывался на множители, два его чле-
на должны являться квадратами некоторых одночленов, а третий
член должен быть удвоенным произведением этих одночленов.
Ш. Формирование умений и навыков.
1.№833, №834.
Чтобы в дальнейшем избежать ошибок, учащиеся должны
всегда проверять, правильно ли они выполнили представление
трехчлена в виде квадрата двучлена. Для этого на первых порах
можно требовать от них письменную проверку полученных ре-
зультатов.
2	1 2 f 1 У
Пример: 9а -ab-\----b = За—Ь\ .
36 I 6 J
Проверка: Зег —Ь\ - (За)2 - 2 • Зег • —Ь + \ —Ь =
- 9ег2 -ab + — Ь2.
36
Затем проверку можно будет делать устно.
2.	№ 836, № 837.
Важно, чтобы учащиеся не просто осуществляли подбор,
а поняли, как это делается. Если у них возникают затруднения,
можно решение данных заданий расписывать подробно.
№ 836. Решение'.
а)	* + 56ег + 49.
49 = 72
56а = 2 • 7 • Sa
=>* = (8ег)2 = 64ег2.
б)	36- 12х + * .
36 = 62
12х = 2 • 6 • х
310
в)	25а2+* + -b2.
4
25а2 = (5а)2
1.2 fl.Y
4	12 J
==> * = 2 • 5а • — b = 5аЬ.
2
г) 0,0162 + * + 100с2.
0,0162 = (0,16)2
100с2 = (10с)2
=^* = 2 • 0,16 • 10с = 26с.
3.	№ 839 (а, в, г).
Перед выполнением этого номера следует привести пример.
Спросить учащихся, можно ли разложить на множители трёх-
член -х2 + 2х - 1? Ясно, что в таком виде он сразу на множители
не разложится, так как «мешают минусы». Поэтому сначала
нужно вынести знак «-» за скобки, а затем применить формулу:
-х2 + 2х - 1 =-(х2-2х+ 1) = -(х - I)2.
Решение:
а)-1 +4а-4а2 = -(1 -4а + 4а2) = -(1 -2а)2;
в) 24 ab - 16а2 - 962 = -(16а2 - 24 аб + 962) = - (4а - 36)2;
г) ААах + 121а2 + 4г2 = (11а - 2х)2.
4.	№ 840 (б). Решение:
(Важно, чтобы учащиеся поняли, что непосредственная под-
становка данных значений переменной приведет к громоздким
вычислениям.)
4х2 - 20х + 25 = (2х - 5)2
при х = 12,5: (2х - 5)2 = (25 - 5)2 = 400;
прих = 0: (2х-5)2 = (0 - 5)2 = 25;
прих = -2: (2х - 5)2 = (-4 - 5)2 = 81.
IV. Итоги урока.
-	Какие существуют способы разложения многочлена на мно-
жители?
-	Какие многочлены могут быть разложены на множители
с помощью формул квадрата суммы и разности?
311
-	Можно ли разложить на множители следующие трёхчлены:
а) х2 - 6х + 9;	в) а2 - 2а - 1;
б)х2 + 4х + 6;	г) 4m2 - 4m + 1?
Домашнее задание: № 835; № 838; № 839 (б, д, е); 840 (в).
Урок 86
ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА РАЗЛОЖЕНИЯ
НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
КВАДРАТА СУММЫ И РАЗНОСТИ
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: продолжить формирование умения раскладывать
на множители многочлены с помощью формул квадрата суммы
и разности; применять это умение при решении различных задач.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Представить выражение в виде квадрата одночлена.
a)	81m2;	в)—у4;	д) 0,04х8;
9
б)	±-х2;	г) 25а6;	ж) 144р14.
2.	Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена.
а)	х2 + 4х + 4;	в) 9у2 + бу + 1;
б)	а2 - 2а + 1;	г) п2 - 1 On + 25.
II. Формирование умений и навыков.
1.№841, №842.
2.	Поставьте вместо многоточия один из знаков > или < так,
чтобы получившееся неравенство было верно при любом значе-
нии X.
а)	х2 - 1 Ох + 25 ... 0;	в) —х2 + 6х - 9 ... 0;
б)	4 + 4х + х2 ... 0;	г) —49 - 14х - х2 ... 0.
3.	№ 844.
До этого в заданиях учащимся предлагали представить
в виде квадрата двучлена только те трёхчлены, которые возможно
представить таким образом. В этом номере все трёхчлены содер-
312
жат выражения вида а1 2 и Ь2, но не все содержат удвоенное про-
изведение 2аЬ.
При выполнении этого номера учащимся можно дать до-
полнительное задание: исправить один из членов трёх-
члена так, чтобы полученный трёхчлен можно было представить
в виде квадрата двучлена.
Решение:
а) —х2 +Зх + 9.
4
1 2 fl V
—х = —х
4	<2
9 = 32
1	1 2
=> 2 — х -3 = Зх, то есть—х + Зх + 9 =
2	4
= /+зТ.
б) 25а2 -ЗЪаЬ + 9Ь\
25а2 =(5#)2
9Ь2 = (ЗЬ)2
в) р2 -2/2 + 4.
Р2=(Р)2
4 = 22
=> 2 • 5а • ЗЬ = ЗОаЬ, то есть 25#2 - 3Qab + 9Ь2
= (5а-ЗЬ)2.
нельзя представить; вместо - 2р
должно стоять —4/2.
1 >
25'
х 1 2	2	1	2
г) —х +—ху +— у .
9	15
1 2 (1 Y
9	<3 )
1 2_fl Y
25У
1	2
5' 15'’	"
2.... i 2 М . 1 Y
,11	2
=> 2- - х • — у = — ху, то есть
1	2	-	<	, -	-	,
—х ч---хуч--у = — х + — у .
9	15	25	1 3	5
15”' 25'	13	5
д) 1ООЬ2 + 9с2 - 60Ьс = (1ОЬ - Зс)2.
е) 49х2+12ху + 64/.
49х2 =(7х)2
64/ =(8у)2
=> нельзя представить; вместо 12ху
должно стоять 112ху.
313
4.	№ 845. Решение:
а)	х4 - 8х2/ +16^4 = (х2 - 4/ )2;
1	(1	У
б)	—X4 + 2х2 а +16а2 = — х2 + 4а] ;
16	<4	)
1	(1	Y
в)	-a2 + 2ab2+4b4 = -а + 2Ь2 ;
4	<2	)
г)	а2х2 - 2abx + Ь2 - (ах - Ь)2.
Сильным учащимся можно предложить выполнить до-
полнительно № 848. Решение:
а)	х2 + 2х + 2 = х2 + 2х +1 +1 = (х +1)2 +1.
Так как (х + I)2 > О при любом х, то (х + I)2 + 1 > 0.
б)	4у2 - 4у + 6 = 4 у2 - 4у +1 + 5 = (2у -1)2 + 5;
(2у-I)2 > 0 => (2у-I)2 + 5 > 0.
в)	a2+b2-2аЬ + 1 = (а-Ь)2+1;
(а-b)2 >0^(а-Ь)2+1>0.
г)	9х2 + 4-бху + 4у2 = 9х2-6ху + 1+ 3 + 4/ = (Зх-1)2+3 + 4у2.
(Зх-1)2>0	,	2
V 7	=> (Зх-1)2+3 + 4/ >0.
3 + 4/>0
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Представьте многочлен в виде квадрата двучлена.
а)	4#2 + 4аЬ + Ь2;	в) а2 + 9с2 + бас,
б)	25х2 - 10х +1;	г) ±а2 + ab + b2.
2.	Замените знак * одночленом так, чтобы получившийся
трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена.
а)	16х2 +* + у2;	в) а2 +18# + *;
б)	49- * +х2;	г) *-12х + 9х2.
314
Вариант 2
1.	Представьте многочлен в виде квадрата двучлена.
а)	16а2 + Sab + b2;	в) 4х2 + у2 + 4ху;
б)	36х2-12x4-1; г) — р2-2pq + 4q2.
4
2.	Замените знак * одночленом так, чтобы получившийся
трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена.
а)	9а2 4- * 4- Ь2;	в) х2 4-14х 4- *;
б)	81- * +/;	г) * - 24а +16а2.
IV. Итоги урока.
-	Какие существуют способы разложения многочлена на мно-
жители?
-	Приведите пример трёхчлена, который можно представить
в виде: а) квадрата суммы; б) квадрата разности.
-	Какие значения могут принимать следующие выражения:
а) а2 4-5; б) х2-2x4-1; в)-3-х2;	г)-и24-4и-4?
Домашнее задание: № 843; № 846; № 975 (а, в, д, ж).
Урок 87
ВЫВОД ФОРМУЛЫ УМНОЖЕНИЯ РАЗНОСТИ
ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ НА ИХ СУММУ
Цели: вывести формулу умножения разности двух выраже-
ний на их сумму; формировать умение применять эту формулу.
Ход урока
I. Устная работа. 1. Выполните возведение в квадрат, /с	\2 а) (-Зх2)/)2;	г) --х3/ ; у о	J (1 Y б)1уа&51;	д)(2х-1)2; в)(О,9А'0)2;	е)(а+11)2.	ж) (-3/И4-2)2; з) (-У-9)2.
315
2. Выполните умножение.
а) -За2(5а-а4);	в) (у-3)(х + 4);
б)|?(2х-х5);	г) (а-1)(2й-5).
II. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 34 учебника в не-
сколько этапов.
1.	Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили уже извест-
ную им формулу сокращенного умножения. Вынести её на доску.
(я ± Ь}2 = а2 ± lab + b2.
Это позволит при выводе новой формулы сопоставить её
с ранее изученной, чтобы не путать их в дальнейшем.
2.	Спросить учащихся, чем важна эта формула и когда она
применяется. Затем сообщить им, что на этом уроке они позна-
комятся с ещё одной формулой сокращенного умножения,
и предложить им выполнить умножение (а - Ь)(а + Ь).
Один из учащихся выполняет умножение на доске, осталь-
ные - в тетрадях.
(а - Ь)(а + Ь)~ a2 +ab-ab-b2 = а2 -Ь2.
3.	Сделать выводы, сформулировать правило умножения
разности двух выражений на их сумму, разобрать примеры 1 и 2
из учебника.
III. Формирование умений и навыков.
Важно, чтобы учащиеся в течение урока выучили новую
формулу наизусть и не путали её с ранее изученными. На пер-
вых порах следует требовать от учащихся подробных записей.
1.	№854.
После преобразования нескольких выражений учащиеся за-
частую начинают делать распространенную ошибку: возводят
в квадрат выражения в том порядке, в котором они записаны
в первой скобке. Например:
е) (7 + Зу)(Зу-7) = 72-(Зу)2 =49-9у2.
Важно, чтобы учащиеся осознали суть этой ошибки и не дела-
ли её в дальнейшем. С этой целью после выполнения данного но-
мера можно дать им несколько дополнительных заданий.
316
1)	(х + 2у)(2у - х);
2)	(6-ь5л?)(5л7-6);
3)	(4а + 1)(1-4а);
лчГ1	Y	О
7 (8	Л	8J
2.	№ 859. Решение:
а) (Зх2-1)(3х2+1) = (Зх2)2-I2 =9х4-1;
б)	(5а - Ь3 \Ь3 + 5а) = (5а)2 - (Ь3 )2 = 25а2 - Ь6;
.<3 з 1 3УЗ з 1 ,) (3 з? fl з? 9 «	1 6
в)	—т +—п —т —п = — т -\-п	=—т-------п ;
(7	4	Д 7	4	J (7 ) И )	49	16
г)	(0,4у3+5а2Х5а2-0,4у3) = (5а2)2-(0,4у3)2 = 25а4-0,16уб;
д)	(1,2с1 -Па1 )(1,2с2 + Па1) = (1,2с2 )2 - (la1 )2 = 1,44с4 - 49а4;
е)
3.	№ 858 (устно).
4.	№ 860.
При выполнении этого номера у учащихся появляется воз-
можность увидеть, как новая формула сокращенного умножения
позволяет выполнить рационально вычисления.
Решение:
г) 74 • 66 = (70 + 4) (70 - 4) = 702 - 42 = 4900 -16 = 4884;
е) 1,05 • 0,95 = (1 + 0,5) (1 - 0,5) = 1 - 0,52 = 1 - 0,25 = 0,75.
IV. Итоги урока.
- Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
- С какой формулой вы познакомились на этом уроке?
- Выполните умножение:
а) (х + 1) (1 -х); б) (Зу + 1)(1 - Зу); в) (п + 7) (7 -п).
Домашнее задание: № 855; № 857; № 861 (б, г, е).
Урок 88
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ УМНОЖЕНИЯ РАЗНОСТИ
ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ НА ИХ СУММУ
Цели: продолжить формирование умения применять форму-
лу (а-Б)(а + Ь) = а1 -Ь1; проверить уровень усвоения материала.
317
Ход урока
I.	Устная работа.
Представьте в виде многочлена.
а) (х - 1) (х + 1); г) (с + 2) (2 - с); ж) (а2 -b)(b + а2
б) О + 5) (67-5); д)	(1 Y1 1 Л 5 1 Y 1 5 <7 Д7 ) Ч ИДИ
Ч !Y 0 а1 в г з Jl/+3 J’ е	<2	У 2) <5	Д 5)
II. Формирование умений и навыков.
1№862.
Учащиеся должны осознать, что до применения нужной
формулы следует преобразовать выражения, поменяв местами
слагаемые или вынесев знак «минус» (-) за скобки.
Решение:
а)	(-у + х)(х + у) = (х-у)(х + у) = х2-у2;
б)	(-а + b)(b -a) = (b- a)(b -a)~(b- a)2 =b2 - 2аЬ + а2;
в)	(-Ь - с)(Ь - с) = -(Ь + с)(Ь - с) = ~(Ь2 -с2) = с2-Ь2;
Г) (х + у)(-х-у) = -(х + у)(х + у) = -(х + у)2 =-х2 - 2ху-у2;
Д) (* “ У)(У ~ *) = “(* - у)(х - у) = ~(х - у)2 =-х2 +2ху-у2;
е) {-а - Ь)(~а -Ь) = (а + Ь)(а + Ь) = (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
2.	№ 864.
3.	№ 866. Решение:
а)	(5а - 0,2)(0,2 + 5а) = 25а2 - 0,04.
Выражение 25а2 может принимать только неотрицательные
значения, значит, наименьшее значение выражения 25а2 - 0,04
равно -0,04, а наибольшего значения нет.
б)	(12 - 7у) (7у + 12)=144 - 49у2.
Выражение -49у2 не имеет наименьшего значения, а наи-
большее значение равно 0, то есть наибольшее значение выра-
жения 144 - 49у2 равно 144.
4.	№ 867 (а, в, д). Решение:
а) 2 (х- 3) (х + 3) = 2 (х2 - 9) = 2х2 - 18;
в) 5х (х + 2) (х - 2) = 5х (х2 - 4) = 5х3 - 20х;
д) (0,5х - 7) (7 + 0,5х) (~4х) = (0,25х2 - 49) (-4х) = 196х -х3.
318
5.	№ 869 (а, в, д, ж). Решение:
а)	(Ь - 2)(й + 2)(62 + 4) = (Ь2 - 4ХЙ2 + 4) = Ь4 -16;
в) (а2 + 1)(а + 1Ха -1) = (а2 + 1)(а2 -1) = а4 -1;
д)(х-3)2(х + 3)2 = ((х-3)(х + 3))2 = (х2-9)2 = х4-18х2+81;
ж) (а - 5)2 (5 + а)2 = ((а - 5)(а+ 5))2 = (а2 - 25)2 = а4 - 50а2 + 625.
Ш. Проверочная работа.
Вариант 1
Выполните умножение двучленов.
а) (х - 7) (х + 7);	д) (я2 - 3) (о2 + 3);
б)	(у -| J| + У J	е) (2х - у3)(у3 + 2х);
в)	(0,3 + ь) (ь - 0,3);	ж) fp9 +|Y|-p9>|;
I 4Д4	)
г)	-1I1+XV)-
Вариант 2
Выполните умножение двучленов.
а)	(я-9)(я + 9);	д) (х2 - 4)(х2 + 4);
6)	(C--II -+с I; е) (За-64)(64+3а);
I 7Д7 )
в)	(0,2 + х) (х - 0,2); ж) [q" +1Yq" 1
о До )
°	з) (а365-2)(2+ а365).
IV. Итоги урока.
-	Чему равно произведение разности двух выражений и их
суммы?
-	Как преобразовать в многочлен следующие выражения:
а)	(-3 + х) (х + 3); в) 3 (а - 7)(а + 7);
б)	(-у-2) (2-у); г) (т - 2)2 (т + 2)2?
Домашнее задание: № 863; № 865; № 867 (б, г, е); № 869 (б, г,
е, з).
319
Урок 89
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ
(а ± b)2 = а2 ± 2аЬ + Ь2 И (а- Ь)(а + Ь) = а2 - Ь2
К ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ВЫРАЖЕНИЙ
Цели: закрепить умение применять формулы сокращенно-
го умножения к преобразованию выражений.
Ход урока
I.	Устная работа.
Какие из следующих равенств верные:
а)	^х + -^^х-^ = х2	е) (а~ + 3)(3-а2) = 9-а4;
б)	(у + 2)(2-у) = у2-4; ж) (х3	=
в)	(с - З)2 = с2 - 9;	з) (а - 4)2 = а2 - Sa - 16;
г)	(х - 2)2 = х2 - 2х + 4;	и) (3 - у)2 = у2 - бу+ 9;
д)	(п +1)2 = и2 + 2п +1;	к) (—х + 5)(5 -х) = 25 -х2 ?
II.	Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут задания на закрепление формулы (а -Ь)(а + Ь) = а2 -Ь2,
а во 2-ю группу - задания, в которых эта формула применяет-
ся с ранее изученной формулой (а ± Ь)2 - а2 ± 2аЪ + Ъ2.
1-я группа
1.	№870.
2.	№ 875. Решение:
а)	5а (а - 8) - 3(а + 2)(а - 2) = 5а2 - 40а - 3(а2 - 4) = 5а2 -
-40а- За2 +12 = 2а2 -40а+ 12;
б)	(1 - 4b)(4b +1) + 6Ь(Ь - 2) = 1 -16b2 + 6b2 -12Ь = -1 Ob2 -12b +1;
в)	(8/2 - q)(q + 8/2) — (/2 + q\p -q) = 64р2 -q2 - р2 +q2 = 63 р2;
г)	(2х - 7у)(2х + 7у) + (2х - 7у)(7у - 2х) = 4х2 - 49у2 -
- (2х - 7у)2 = 4х2 - 49у2 - 4х2 + 28ху - 49у2 = 28ху - 98у2.
320
3.	№ 876. Решение:
a)	8m (1 + 2m) - (4m + 3)(4m - 3) = 2m;
8m + 16m2 -16m2 + 9 = 2m;
8m - 2m = -9;
6m = -9;
3
tn = —.
2
Ответ: -1,5.
6)	x - 3x(l - 12x) = 11 - (5 - 6x)(6x + 5);
x - 3x + 36x2 =11-25 + 36x2;
-2x = -14;
x = 7.
Ответ: 7.
2-я группа
1.	Упростите выражение.
а)	(х + 7)2 -10(х + 4);	в) {а + Зс)2 - (6 + Зс)(6 - Зс);
б)	5Ьг-(а-2Ь)2;	г) (х + 3)2-(х-3)2.
2.	№ 978 (б, г). Решение:
б)	(х + 6)2 - (х - 5)(х + 5) = 79;
х2 +12х + 36 - х2 + 25 = 79;
12х = 79-36-25;
12х= 18;
18
х = —;
12
х = 1,5.
Ответ: 1,5.
г) (5х -1)2 - (1 - Зх)2 = 16х(х - 3);
25х2 -1 Ох +1 -1 + 6х - 9х2 = 16х2 - 48х;
16х2 -4х-16х2 + 48х = 0;
44х = 0;
х = 0.
Ответ: 0.
321
Некоторым сильным учащимся дополнительно м
предложить выполнить задания на карточках.
Карточка № 1
1.	Выполните действия, применив нужную формулу.
а) (2х + 2у)(3х - Зу);	б) (За - Зх)(7а - 7х).
2.	Разложите на множители.
а)	(Зх + 1)(3х -1) + (5х +1)2;
б)	(3p-2k)(2k + 3p)-(3p-k)2.
3.	Найдите значение выражения
(2 -1)(2 +1)(22 + 1)(24 +1 )(28 +1) - 2'6.
Карточка № 2
1.	Выполните действия, применив нужную формулу.
а) (5а - 5b)(2a + 26);	б) (Зу - Зс)(2с - 2у).
2.	Разложите на множители.
а)	(1 -5х)(1 + 5х)-(3х-1)2;
б)	(а + 2b)(2b - а) + (а + ЗЬ)2.
3.	Найдите значение выражения
(2 +1)(22 +1)(24 +1 )(28 + 1)(216 + 1) - 232.
Решение заданий на карточках
Карточка № 1
1.	а) (2х + 2у)(3х - Зу) = 2(х + у)  3(х - у) =
= 6(х + у)(х - у) - 6(х2 - у2) = 6х2 - бу2;
б)	(3а-3х)(7а-7х) = 3(а - х)-7(а - х) = 2\(а-х)2 =
= 21 (а2 -2ах + х2) = 2 It/2 -42ах + 21х2.
2.	а) (Зх + 1)(3х -1) + (5х + I)2 = 9х2 -1 + 25х2 + 10х +1 =
= 34х2 + 10х = 2х(17х + 5);
б)	(3p-2k)(2k + 3p)-(3p-k)2 =9р2 -4£2-9р2 +
+6рк -к2 - 6рк-5к2 = к(6р-5к).
322
3.	(2 -1)(2 +1)(22 +1 )(24 +1)(2“ +1) - 2'6 = (22 -1)(22 +1) х
х (24 + 1)(28 +1) - 2'6 = (24 -1)(24 +1)(28 +1) - 216 =
= (28 -1)(28 + 1) - 216 = 2'6 -1 - 216 = -1.
Карточка № 2
1.	а) (5а - 5b)(2a + 2Ь) = 5(а - Ь) • 2(а + b) = 10(а - Ь)(а + Ь) =
= 10(а2-Ь2) = \0а2-\0Ь2;
б) (Зу - Зс)(2с - 2 у) = 3(у - с) • 2(с - у) = -6(с - у)2 =
- —6(с2 - 2су + у2) = -6с2 +12су - бу2.
2.	а) (1 - 5х)(1 + 5х) - (Зх -1)2 = 1 - 25х2 - 9х2 + 6х -1 =
- -34х2 + 6х = 2х(3 -17х);
б) (а + 2b)(2b - а) + (а + 3Z>)2 = 4b2 - а2 + а2 + 6ab + 9Ь2 =
= 1 ЗЬ2 + 6ab = Z)(l ЗЬ + 6а).
3.	Выражение (2 4-1)(22 4- 1)(24 4- 1)(28 4-1)(216 4-1) можно ум-
ножить на выражение (2 - 1), а дальше выполнить преобразова-
ния так же, как в задании на первой карточке.
III.	Итоги урока.
-	Чему равно произведение разности двух выражений и их
суммы?
-	Как возвести в квадрат разность двух выражений?
-	Объясните, какая ошибка допущена в преобразованиях:
а)	(х 4- 3)(3 - х) = х2 - 9;	в) (х - 5)2 = х2 4-1 Ох 4- 25;
б)	(х-4)2 =х2-16;	г) (-х4-2)(х-2) = х2 -4.
Домашнее задание: № 871, № 874, № 877.
Урок 90
ИЗУЧЕНИЕ ФОРМУЛЫ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ
Цель: изучить формулу разности квадратов и формиро-
вать умение её применять при разложении на множители много-
членов.
323
Ход урока
I. Устная работа.
1. Представьте в виде квадрата двучлена.
а)81х2;	в) 4с10;	д)
б) -^а4;	г) 0,0009л8; е) 1,44а2х6.
2. Выполните умножение.
а)	(х - 8)(х + 8);	в) (2х2-1)(1 + 2х2);
б)	+	г) (с3 +5)(5-с3).
II. Проверочная работа.
Вариант 1
Упростите выражение.
а)	(а + 11 )2 - 20а;	в) (а - 2b)2 + (а + 2b)(a - 2Ь);
б)	25а2 - (с - 5а)(с + 5а);	г) (х - 1)(х +1) - (у + 1)(у -1).
Вариант 2
Упростите выражение.
а)	4х2 - (х - Зу)2;	в) (х - Зу)2 + (х - 3у)(3у + х);
б)	(За + р)(3а - р) + р2;	г) (а + 2)(а - 2) - (Ь - 2)(2 + Ь).
III. Объяснение нового материала.
1.	Актуализация знаний.
Вопросы учащимся:
- Что значит «разложить многочлен на множители»?
- Какие вы знаете способы разложения многочлена на мно-
жители?
- Как разложить на множители трёхчлен, используя формулу
квадрата суммы или разности?
На до с ку выносится з ап и с ь:	а2+2аЬ +Ь2 =(а + Ь)2.
2.	В ы в о д формулы разности квадратов.
Важно, чтобы учащиеся поняли, что они изучают не новую
формулу, а просто меняют местами левую и правую части из-
вестной формулы.
324
Следует указать учащимся на аналогию с изучением формул
квадрата суммы и разности. Сначала их использовали для упро-
щения выражений, а затем - для разложения на множители. Так
же и формула разности квадратов сначала применялась, чтобы
раскрыть скобки, а теперь будет изучаться с целью разложения
на множители многочленов.
На доску выносится запись: а2 -Ь2 = (а-Ь)(а + Ь).
Учащиеся должны несколько раз проговорить словесную
формулировку этого тождества.
3.	Рассмотрение примеров.
Учитель демонстрирует примеры 1 и 2 из учебника.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. Сначала учащие-
ся отрабатывают умение использовать новую формулу для раз-
ложения многочлена на множители, а затем рассматривают
применение этой формулы для рационального нахождения зна-
чений выражений.
1-я группа
1	.№883.
К доске вызываются сразу несколько учащихся, остальные
выполняют задания в тетрадях.
2	. № 885.
На первых порах следует требовать от учащихся подробных
записей.
Решение:
а) х2-64 = х2-82 = (х-8)(х + 8);
г) -81 + 25/ = 25/ - 81 = (5/2. - 92 = (5у - 9)(5^ + 9);
е) 0,64х2 -0,49/ = (0,8х)2 -(0,7/2 =
= (0,8х - 0,7/(0,8х + 0, Ту)-,
ж) х2/-0,25 = (ху)2-0,52 =(ху-0,5)(хг + 0,5).
2-я группа
1.	№ 886.
Важно, чтобы учащиеся осознали, что применение формулы
разности квадратов значительно упрощает вычисления.
Решение:
г) 21,32 - 21,22 =(21,3 - 21,2X21,3 + 21,2) = 0,1  42,5 = 4,25;
325
z ч 2 z \ 2 х	х ✓
J.2)	ГлП (с2 jYc2	лП	J	in 40	, 1
е) 5— - 4- = 5—-4— 5—+ 4— = 1- • 10 = — = 13-.
UJ I з з д з з)	з з з
2.	№ 887.
Для выполнения этого номера учащиеся помимо формулы
разности квадратов должны помнить об основном свойстве дро-
би, поэтому перед решением заданий имеет смысл его повто-
рить.
Решение:
ч 36	36	36	3
а)	—------ =--------------=-----=
132 -112 (13-1 1)(13 +1 1) 2-24 4
792 - 652	(79 - 65)(79 + 65) 14-144 24 л о
б)	= ---------------------- =--------= — = 4,8;
420	420	420	5
532 -272 _ (53-27)(53 + 27) _ 26 -80 _4
В 792 -512 ” (79-51)(79 + 51) “ 28 • 130 ” 7’
532 -322 _ (53-32)(53 + 32) _ 21 • 85 _ 21 • 5
Г 612 -442 ~(61-44)(61 + 44) ” 17- 105 “ 105
V	. Итоги урока.
-	Какие существуют способы разложения многочленов
на множители?
-	Как разложить на множители разность квадратов?
-	Можно ли разложить на множители следующие многочлены:
а)	—-х2;	в)-и2+121;
4
б)	а2+ 9;	г)-х2/-49?
Домашнее задание: № 884, № 888.
Урок 91
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ
ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Цели: продолжить формирование умения применять фор-
мулу разности квадратов для разложения многочлена на множи-
тели; проверить уровень усвоения материала.
326
Ход урока
I.	Устная работа.
Какие из следующих многочленов можно разложить на
множители:
а)	а2-16;	в)4у2-1;	д)
б)	х2 +^;	г)-25 + л2;	е) а2Ь2 -9?
Выполните разложение на множители в тех случаях, когда
это возможно.
II.	Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут задания, в которых нужно разложить на множители дву-
член выше второй степени, а во 2-ю группу - задания на ре-
шение уравнений.
1-я группа
1№889.
2.	№ 892.
Если у учащихся возникнут затруднения, то нужно требо-
вать от них подробной записи и комментирования решения.
Решение:
а) с6 - 9х4 = (с3 )2 - (Зх2 )2 = (с3 - Зх2 )(с3 + Зх2);
в) 4х4 - 25b2 = (2х2 )2 - (56)2 = (2х2 - 5Z>)(2x2 + 56);
д) 0,36-х4/ =0,62 -(х2/)2 =(0,6-х2/)(0,6 + х2/);
ж) 1 6m2/ - 9и4 = (4ту)2 - (Зи2 )2 = (4ту - Зп)(4ту + Зл);
и) 0,81/m4 -0,01х2 =(О,9/т2)2 -(0,1х)2 =
= (0,9/т2 -0,1х)(0,9р3л>2 +0,1х).
2-я группа
№ 890.
Учащиеся уже решали уравнения, в которых к нулю приравни-
валось произведение нескольких многочленов. Тем не менее, сле-
дует напомнить им о принципе решения таких уравнений. Особое
внимание нужно уделить уравнениям, не имеющим решений.
327
Решение:
а) х2 - 16 = 0.
(х-4) (х +4) = 0;
х - 4 - 0 или х + 4 = 0;
х = 4 или х = -4.
Ответ: -4; 4.
в) --х2 - 0.
9
— х = 0 или — + х = 0;
3	3
1	1
х = — или х = —.
3	3
1 1
Ответ: —; —.
3 3
д) Ь2 +36 = 0.
Выражение Ь2 +36>0
при любом значении Ь.
Ответ: решений нет.
ж) 4х2 -9 = 0.
(2х-3)(2х + 3) = 0;
2х - 3 = 0 или 2х + 3 = 0;
3	3
х - — или х = —.
2	2
Ответ: -1,5; 1,5.
Ш. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Разложите на множители.
а)9х2-1;	в)-100<72+Z)2;	д) п4——;
144
б)-^--16с2;	г)х2у2-4;	е)х6-/.
49
о и-	а 215-152
2.	Найдите значение дроби: -------.
18
3.	Решите уравнение.
а)х2-64 = 0;	б)х2 + 9 = 0.
Вариант 2
1.	Разложите на множители.
а)4р2-9;	в)-121х2+у2;	д)
О 1
б) --25/;	г)ab1 -49;	е) а10-Ь6.
36
328
2.	Найдите значение дроби:----.
36
3.	Решите уравнение.
а) х2-100 = 0;	б)х2 + 25 = 0.
IV. Итоги урока.
- Как разложить на множители разность квадратов двух вы-
ражений?
-	Как решить уравнение х2 - 4 = О?
-	Можно ли разложить на множители выражения:
а)х2--^; б) а2+ 36; в)-у2+ 25;	г)-и2--^?
Домашнее задание: № 891, № 893.
Урок 92
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: закрепить изученный материал; выполнить более
сложные задания на применение формулы разности квадратов;
подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход урока
I. Устная работа.
Какие из следующих многочленов можно разложить на мно-
жители? Если возможно, сделайте это.
а) а2 - 49;	г) х2 + 4х - 4;	ж) 16х2 - 8х + 1;
б)х2+^-;	д)~ + и2;	з) -~у2-
4	9	16
в) х2 - 2х + 1; е) х2 + Зх + 9;
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу
войдут задания на применение формулы разности квадратов.
А во 2-ю группу - задания на все известные учащимся фор-
мулы сокращенного умножения, чтобы подготовить их к кон-
трольной работе.
329
1-я группа
1.	№ 894. Решение:
(Записи лучше вести подробно, Скобки, перед которыми сто-
ят знаки «минус» (-) и «плюс» (+), открывать не сразу.)
а)	(х + 3)2-1 = (х + 3-1)(х4- 3 + 1) = (х + 2)(х + 4);
б)	64-(6 + 1)2 82 -(Лн-1)2=(8-(Л> + 1))(8 + (А>11))-
= (8-г?-1)(8ч-г>+1) = (7-г>)(9+г>);
в)	(4а-3)2 -16 = (4а-3)2 -42 = (4а-3-4)(4а-3 + 4) =
= (4а-7)(4а + 1);
г)	25 - (а + 7)2 =52 -(а + 7)2 = (5 - (а + 7))(5 + (а + 7)) =
= (5 - а - 7)(5 + а + 7) = (-а - 2)(а +12) = -(а + 2)(а +12).
2.	№ 897 (а, б). Решение:
а)	(2х + у)2 - (х - 2у)2 = ((2х + у) - (х- 2у))((2х + у) +
+(х - 2у)) = (2х + у - х 4- 2у)(2х + у + х - 2у) = (х + 3у)(3х - у);
б)	(а + Ь)2 -(Ь +с)2 - ((a + b)-(b + с))((а + b) + (b + с)) -
= (a + b-b- с)(а + b + b + c) = (a- с)(а + 2Ь + с).
3.	№ 898. Решение:
Разложим на множители данное выражение:
(п + 7)2 - п2 = (п + 1 - п)(п + 7 + и) = 7(2я 4- 7).
Поскольку один из множителей произведения 7(2и 4- 7) де-
лится на 7, то и всё произведение делится на 7.
2-я группа
1.	Упростите выражение.
а)	(а -5)2-а (а + 2); г) (За + 4)(4 - За) - а (5 - 9а);
б)	(с-4)(с + 4) + (с-2)2;	д) 2х(1-Зх)-2 (х-1)2;
в)	4х2 - (1 + 2х)(2х -1); е) у (4 - у) - 2 (у + 3)(у - 3).
2.	Решите уравнение.
а) (х - З)2 - 4 = (5 + х)(х - 5); б) (2х - 1)(2х +1) - 5х = 4 (х - 2)2.
Некоторым сильным учащимся дополнительно можно
предложить выполнить задания на карточках.
330
Карточка № 1
1.	Вычислите наиболее рациональным способом.
4,2 • 7,3* 2-4,2 • 2,72
2,1 • 6,42-2,1 • 3,62 ’
2.	Решите уравнение х3 + 2х2 - 4х - 8 = 0.
3.	Докажите, что разность квадратов двух последовательных
целых чисел равна сумме этих чисел.
Карточка № 2
1.	Вычислите наиболее рациональным способом.
5,6 • 5,52-5,6 ♦ 4,52
2,8 • 7,22-2,8 • 2,82
2. Решите уравнение х3 + 5х2 - 25х -125 = 0.
3. Докажите, что разность квадратов двух последовательных
чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.
Решение заданий на карточках
Карточка № 1
! 4,2-7,32 -4,2-2,72 4,2(7,32 -2,72) _
2,1 -6,42 -2,1 -3,62 ~ 2,1(6,42 -3,62) ~
_ 2(7,3-2,7)(7,3 +2,7) _ 2 • 4,6 • 10 _ 2 - 46 _ 23 _ 2
” (6,4-3,6)(6,4 + 3,6) ” 2,8 10 ” 28 " 7 " 7’
2. х3 + 2х2 - 4х - 8 = 0.
(х3 + 2х2)-(4х + 8) = 0;
х2(х + 2)-4(х + 2) = 0;
(х + 2)(х2 -4) = 0;
(х + 2)(х-2)(х + 2) = 0;
х + 2 = 0 или х — 2 = 0;
х — —2	или х = 2.
Ответ: -2; 2.
3. Обозначим два последовательных целых числа за п и п + 1.
Согласно условию задачи нужно доказать следующее тождество:
(и + 1)2-и2 =2и + 1.
331
Преобразуем левую часть равенства:
(п +1)2 - и2 = (и +1 - п)(п +1 + п) = 1 • (2п +1) = 2п +1.
Доказано.
Карточка № 2
5,6-5,52-5,6-4,52 _ 5,6(5,52 -4,52)
' 2,8 • 7,22 -2,8-2,82 ” 2,8 (7,22 -2,82) ”
= 2 (5,5-4,5)(5,5 + 4,5) _ 2-1-10 _ 20 _ _5_
(7,2 — 2,8)(7,2 + 2,8) " 4,4 • 10 " 44 ” 11 ’
2.	х3 + 5х2-25х-125 = 0.
(х3 + 5х2)-(25х +125) = 0;
х2(х + 5)-25(х + 5) = 0;
(х + 5)(х2 -25) = 0;
(х + 5)(х - 5)(х + 5) = 0;
х + 5 = 0 или х — 5 — 0;
х = -5 или х = 5.
Ответ: -5; 5.
3.	Пусть 2п и 2п + 2 - два последовательных чётных числа.
Найдем разность их квадратов.
(2п + 2)2 - (2п)2 = (2п + 2 - 2п)(2п + 2 + 2п) = 2 (4« + 2).
Найдем удвоенную сумму чисел 2п и 2п + 2:
2 (2л? + 2л?-г 2) = 2 (4w + 2).
Получили одинаковые выражения, то есть утверждение до-
казано.
III. Итоги урока.
- Назовите известные вам формулы сокращенного умножения.
- Когда эти формулы применяются слева направо, а когда
справа налево?
- Всегда ли можно разложить на множители разность квад-
ратов двух выражений?
- Когда можно разложить на множители трёхчлен?
Домашнее задание: № 896; № 897 (в, г); № 899; № 975 (б, г,
е, з).
332
Урок 93
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7
Вариант 1
1.	Преобразуйте в многочлен:
а)	(у-4)2;	в)(5с-1)(5с+1);
б)	(7х + а)2;	г) (За + 2fe)(3a - 2Z>).
2.	Упростите выражение (о - 9)2 - (81 + 2а).
3.	Разложите на множители:
а)х2-49;	б) 25х2-Юху + у2.
4.	Решите уравнение (2 - х)2 - х (х +1,5) = 4.
5.	Выполните действия.
а) (у2 - 2а)(2а + у2); б) (Зх2 + х)2; в) (2 + т)2 (2 - т)2.
6.	Решите уравнение.
а) (2х - 5)2 - (2х - 3)(2х + 3) = 0; б) 9у2 - 25 = 0.
7.	Разложите на множители.
а) 4х2/2 - 9а4;	б) 25а2 - (а + З)2.
Вариант 2
1.	Преобразуйте в многочлен.
а)	(Зя + 4)2;	в) (Ь + 3)(Ь - 3);
б)	(2х-Ь)2;	г) (5у-2х)(5у + 2х).
2.	Упростите выражение (с + Ь)(с -Ь)- (5с2 - Ь2).
3.	Разложите на множители.
а) 25/ -а2;	б) с2+4bc + 4b2.
4.	Решите уравнение 12 - (4 - х)2 = х (3 - х).
5.	Выполните действия.
а) (3х + у2)(3х-у2); б) (а3 - 6я)2;	в) (а - х)2 (х + а)2.
6.	Решите уравнение.
а) (4х-3)(4х + 3)-(4х-1)2 = Зх; б)16с2-49 = 0.
7.	Разложите на множители.
а) 100а4-/;	б) 9х2-(х-1)2.
333
Вариант 3
1.	Преобразуйте в многочлен.
а)(х + 6)2;	в) (3у-2)(3у + 2);
б) (За - 1 )2;	г) (4а + Зк)(4а - Зк).
2.	Упростите выражение (Л — 8)2 -(64-66).
3.	Разложите на множители.
а) 25-у2;	б) а2 - бай + 9й2.
4.	Решите уравнение Зб-(б-х)2 = х (2,5-х).
5.	Выполните действия.
а) (с2-3а)(3а + с2); б) (Зх + х3)2;	в) (3-<t)2(<t + 3)2.
6.	Решите уравнение.
а) (Зх - 2)2 - (Зх - 4)(4 + Зх) = 0;	б) 25у2 - 64 = 0.
7.	Разложите на множители:
а)	36<74 - 25а2Ь2;	б) (х - 7)2 - 81.
Вариант 4
1.	Преобразуйте в многочлен.
а)(2х-1)2;	в) (у-5)(у + 5);
б)	(За + с)2;	г) (4Ь + 5с)(46 - 5с).
2.	Упростите выражение (х + у)(х - у) - (х2 + 3у2).
3.	Разложите на множители.
а) 16у2 - 0,25;	б) а2 + 10я6 + 2562.
4.	Решите уравнение (5 - х)2 - х (2,5 + х) = 0.
5.	Выполните действия.
а) (2а-й2)(2а + й2); б) (х-6х3)2; в) (у + й)2(у-й)2.
6.	Решите уравнение.
а) (5х-2)(5х + 2) —(5х-1)2 = 4;	б) ЮОх2- 16 = 0.
7.	Разложите на множители:
а) —а2 -0,09с4; б) (й + 8)2 -4Й2.
334
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.	а) (у-4)2 =у2-8у + 16;
б)	(7х + а)2 = 49х2 + 14ох + о2;
в)	(5с - 1) (5с + 1) = 25с2 - 1;
г)	(За + 2Z>)(3a - 2b) = 9а2 - 4b2.
2.	(а - 9)2 - (81 + 2а) = а2 -18а + 81 - 81 - 2а = а2 - 20а.
3.	а) х2 - 49 = (х-7)(х + 7);
б)	25х2 -1 Оху + у2 - (5х - у)2.
4.	(2-х)2-х (х + 1,5) = 4.
4-4х + х2 -х2 -1,5х = 4;
-5,5х = 0;
х = 0.
Ответ: 0.
5.	а) (у2 - 2а){2а + у2) = (у2 )2 - {2а)2 = у4 - 4а2;
б)	(Зх2+х)2 =(3х2)2+2 • Зх2-х + х2 = 9х4+6х3+х2;
в)	(2 + т)2 {2 - т)2 = ((2 + т)(2- т))2 = {4-т2)2 =
16-8/и2 +т4.
6.	а) (2х - 5)2 - (2х - 3)(2х + 3) = 0.	б) 9у2 - 25 = 0.
4х2 - 20х + 25 - 4х2 + 9 = 0;	(Зу - 5)(3у + 5) = 0;
-20х = -34;	Зу - 5 = 0 или Зу + 5 = 0;
34 х = —; 20	5	5 у = — или у = —. 3	3
17	1 х = — = 1,7. 10	
Ответ: 1,7.	2	2 Ответ: -1—; 1—. 3 3
7. а) 4х2у2 - 9а4 = {2ху)г - {За2 )2 = {2ху - За2 ){2ху + Зя2);
б) 25а2 - {а + З)2 = (5а)2 - {а + З)2 = {5а ~{а + 3)) • {5а + {а + 3)) =
{5а-а-3){5а + а + 3) = {4а -3){6а + 3).
335
Вариант 2
l.a) (Зя + 4)2 = 9я2+24а + 16;
б)	(2x-b)2 = 4х2 - 4Ьх + Ь2
в)	(Z> + 3)(Z>-3) = Z>2-9;
г)	(5у - 2х)(5 j; + 2х) = 25у2 - 4х2.
2.	{c + b\c-b)-(5c2 -Ь2) = с2 -Ь2 -5с2 +Ь2 = -4с2.
3.	а) 25у2 -а2 = (5 у-а)(5у + а);
б)	с2 +4bc + 4b2 =(с + 2Ь)2.
4.	12-(4-х)2 =х (3-х).
12 -16 + 8х - х2 = Зх - х2;
5х = 4;
4
х = —.
5
Ответ: 0,8.
5.	а) (Зх + у2 )(3х - у2) = (Зх)2 - (.у2 )2 = 9х2 - /;
б)	(<73 - 6<7)2 = (а3 )2 - 2<73 • 6(7 + (6(7)2 = а6 -12(74 + 36
в)	((7 - х)2 (х + а)2 = ((а - х)(х + а))2 - (а2 -х2)2 =
= а -2а х + х .
6.	а) (4х - 3)(4х + 3) - (4х -1)2 = Зх.
1 бх2 — 9 -1 бх2 + 8х -1 = Зх;
5х= 10;
х = 2.
Ответ: 2.
б) 16с2 -49 = 0.
(4с-7)(4с + 7) = 0;
4с - 7 = 0 или 4с + 7 = 0;
7	7
с - — или с = —.
4	4
3 3
Ответ: -1—; 1—.
4 4
336
7. a) 100a4-Ъ2 =(10a2)2 -Qftl = (10a2-|i) • ^10а2+^й|
6) 9x2 - (x -1)2 = (3x)2 - (x -1)2 = (Зх - (x -1)) • (3x + (x -1)) =
= (3x - x + l)(3x + x -1) = (2x+l)(4x -1).
Вариант 3
1.	a) (x + 6)2 = x2 + 12x + 36;
б)	(3<7 - I)2 = 9<72 - 6<7 + 1;
в)	(3y-2)(3y + 2) = 9/-4;
r)	(4<7 + 3A:)(4<7-3A:) = 16<72-9A:2.
2.	(b - 8)2 - (64 - 6b) = b2 -16b + 64 - 64 + 6b = b2 -1 Ob.
3.	a)25-/ = (5-y)(5+^);
6)	a2-6ab +9b2 = (a-3b)2.
4.	36-(6-x)2 =x (2,5-x).
36-36 + 12x-x2 = 2,5x-x2;
9,5x = 0;
x = 0.
Ответ: 0.
5.	a) (c2 -3a)(3a + c1) = (c2 )2 - (3a)2 = c4 - 9a2;
6)	(3x + x3 )2 = (3x)2 + 2 • 3x • x3 + (x3 )2 = 9x2 + 6x4 + x6;
в)	(3 -A:)2(A + 3)2 = ((3-A)(3 + *))2 =(9-A:2)2 =
= 81-18*2 +k'.
6.	а) (3x-2)2-(3x-4)(4 + 3x) = 0; 6)25/-64 = 0;
9x2 -12x + 4-9x2 +16 = 0;	(5y - 8)(5y + 8) = 0;
-12x = -20;	5y - 8 = 0 или 5y + 8 = 0;
5	8	8
3	5	У 5
2
Ответ: 1—.	Ответ:-1,6; 1,6.
3
7.	a) 36<74 - 25a262 = (6<72 )2 - (5a6)2 = (6a2 - 5a6)(6a2 + 5a5);
6) (x- 7)2 - 81 = (x — 7)2 - 92 = (x- 7 - 9)(x- 7 + 9) =
= (x- 16)(x + 2).
337
Вариант 4
1. а) (2х - 1 )2 = 4х2 - 4х + 1;
б)	(3<7 + с)2 = 9а2 + бас + с2;
в)	(у-5)(у + 5) = /-25;
г)	(46 + 5c)(4Z> - 5с) = 16Ь2 - 25с2.
2-	(х + у)(х-у)-(х2+3/) = х2-/-х2-3/ = -4у2.
3.	а) 16/ - 0,25 = (4^ - 0,5)(4у + 0,5);
б)	я2+10aZ> + 25Z>2 = (a + 5Z>)2.
4.	(5-х)2-х (2,5 + х) = 0.
25-10х + х2-2,5х-х2 =0;
-12,5х = -25;
х = 2.
Ответ: 2.
5.	а) (2а-Ь2)(2а +Ь2) = (2а)2 -(Ь2)2 = 4а2-Ь4;
б)	(х - 6х3 )2 = х2 - 2х • 6х3 + (6х3 )2 = х2 -12х4 + Збх6;
в)	{У + Ь)2(у-b)2 = ((у + Ь)(у-Ь})2 = {у2 -Ь2)2 =
= / -2у2Ь2 +Ь4.
6.	а) (5х - 2)(5х + 2) - (5х -1)2 - 4.
25х2-4-25х2 + 10х —1 = 4;
10х = 9;
х = 0,9.
Ответ: 0,9.
б)	ЮОх2- 16-0.
(10х-4)(10х + 4) = 0;
1 Ох - 4 = 0 или 1 Ох + 4 = 0;
х = 0,4 или х = -0,4.
Ответ: -0,4; 0,4.
7.	а) -^а2-0,09с4	~(О,Зс2)2 = а - 0, Зс2 • |^д + 0,Зс2^
б)	(Z> + 8)2 -4Z>2 = (6 + 8)2-(2b)2 =(b + 8-2b)(b + S + 2b)^
= (8-Z>)(3Z> + 8).
338
Урок 94
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
СУММЫ И РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ
Цели: вывести формулы суммы и разности кубов; форми-
ровать умение применять их при разложении многочлена на мно-
жители.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Представьте выражение в виде куба одночлена:
а)	8я3;	в) 125/;	д) -^-х12;
64
б)	^-х3;	г) Л6;	е) 8л6/5.
2.	Выполните возведение в квадрат.
(	1У
а) (2х-1)2; б) I а + ~ I ; в) (9-л)2; г) (-Зя + 5)2.
II. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 36 учебника. Необ-
ходимо, чтобы учащиеся умели давать формулировки выведен-
ным формулам.
После изучения новых формул следует вынести их н а
доску, объединив в одну:
а3 ± Ь3 = (а ± b)(a2 + ab + b2).
III. Формирование умений и навыков.
Желательно, чтобы в течение урока учащиеся выучили но-
вые формулы наизусть.
1.	№905, №907.
На каждое задание к доске лучше вызывать по одному уче-
нику, который должен комментировать свои действия.
2.	№ 909 (а, в, д).
3.	№ 911. Решение:
а)	-х3 +/ = у3-х3 = {у-х){у2 + ху + х2);
б)	-8 - р3 = -(8 + р3) = -(2 + р)(4 - 2р + р2);
339
8 8 UJ U JU 2
Ip)1
r) -—-z>6 = -| —+z>61 = - ।.
27	<27	)	<<:
x fl--U2+Z,4\
<9 3	)
д) (c6+l) = (c2)3+l = (c2+l)(c4
e) x6 + / = (x2 )3 + (/ )3 = (x2 + / )(x4 - x2y2 + /).
- + b2
3
4.	№ 912 (а, в, д).
5.	№ 914. Решение:
а) З83 +373 =(38 + 37)(382-38 • 37 + 372) = 75 (382 -38 • 37 + 372).
Поскольку один из множителей произведения делится на 75,
то и всё произведение делится на 75.
IV. Итоги урока.
-	Назовите формулы суммы и разности кубов.
-	Когда применяются эти формулы?
-	Какие ещё формулы позволяют разложить многочлен на мно-
жители? Назовите их.
Домашнее задание: № 906; № 908; № 910; № 912 (б, г, е).
Урок 95
ПОНЯТИЕ ЦЕЛОГО ВЫРАЖЕНИЯ
Цели: ввести понятие целого выражения; формировать
умение преобразовывать целые выражения.
Ход урока
I.	Устная работа.
Преобразуйте в многочлен.
a)	-i-x (2х2 -4);	в) (х + 4)2;
б)	(х + 3)(х - 3);	г) +
340
д) (а - 1)(я2 +я + 1); ж) (х - 3)(^ - 2);
(	1 У	2
e^lx~2J;	з) (-1-2п)2.
II.	Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 37 учебника в не-
сколько этапов.
1.	Введение понятия целого выражения.
Сначала необходимо напомнить учащимся о том, что такое
математическое выражение, а затем дать определение целого
выражения. Сделать вывод: математическое выражение мо-
жет быть целым или нецелым.
После этого привести примеры и выполнить № 918.
2.	Целое выражение и многочлен.
На основе изученного учащиеся сами смогут сделать вы-
вод, что любой многочлен является целым выражением. По-
сле этого следует задать им вопрос: любое ли целое выраже-
ние является многочленом?
Делаются соответствующие выводы, приводятся примеры,
показывающие, как целое выражение представляется в виде
многочлена.
3.	Преобразование целых выражений.
Сообщить учащимся, что преобразование целых выражений
является одним из основных действий в математике. Чтобы вы-
полнять такие преобразования, нужно уметь следующее:
-	выполнять умножение одночлена на многочлен и много-
члена на многочлен;
-	приводить подобные слагаемые;
-	знать формулы сокращенного умножения.
Далее привести пример 1 из учебника.
III. Формирование умений и навыков.
Для преобразования целых выражений учащиеся выполняют
действия, которые уже должны быть у них отработаны в про-
цессе изучения предыдущих тем. По сути, задания, предложен-
ные в учебнике, служат для обобщения и систематизации зна-
ний и умений учащихся.
341
1.	Упростите выражение.
а)	(4а-b)(a-6b) + a (25b-За);
б)	2с (5с-3)-(с-2)(с-4);
в)	(у - 3)(5 - у) - (4 - у)(у + 6).
2.	Преобразуйте в многочлен.
а)	Зх (Зх + 7)-(Зх + 1)2; в) (р + \)2-(р + 2)2;
б)	4b (3b + 6)-(3b-5)(5 + 3b); г) 2(2ab-b2) + 2(a-b)2.
3.	Найдите значение выражения.
а)	(7-х)(7 + х) + (х + 3)2 прих = -3,5;
7	7	3
б)	(2а-Ь)2 — (2а + Ь)2	при а = b = 0,7.
4.	Упростите выражение.
а)	(4я3 + 5)2 + (4я3 -1)2 - 2 (4я3 + 5)(4я3 -1);
б)	х (2х-1)2-2 (х + \)(х2 — х + \).
Решение:
а)	Можно выполнять возведение в квадрат и раскрывать
скобки, но это будет нерационально. Заметим, что данное выра-
жение является полным квадратом.
(4я3 + 5)2 - 2 (4я3 + 5)(4<73 -1) + (4я3 -1)2 = ((4я3 + 5) -
-(4я3 -1))2 = (4я3 + 5 - 4я3 +1)2 = 62 = 36.
б)	х (2х -1)2 -2(х + 1)(х2 - х +1) = х(4х2 - 4х +1) - 2(х3 +1) =
= 4х3 - 4х2 + х - 2х3 - 2 - 2х3 - 4х2 + х - 2.
IV. Итоги урока.
-	Какие математические выражения называются целыми?
-	Приведите примеры целых выражений и выражений, кото-
рые не являются целыми.
-	Являются ли многочлены целыми выражениями?
-	Любое ли целое выражение можно представить в виде
многочлена?
Домашнее задание: № 920, № 921, № 922.
342
Урок 96
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Цели: продолжить формирование умения преобразовы-
вать целые выражения; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Какие из следующих выражений являются целыми:
з а)3х2-2я;	в)5т2 + т +—; т _ 2	ч 7х + 8 б)2у+7у+з;	г)	; 2. Преобразуйте в многочлен.	ч 2х2-3 л д) 5	4; X . х + 2 х2 -1п е)	+	? 3	2
а) ^а2(За + 6);	в) (х-5)(у - 2);
б) (-х-4)2;	г) +
II. Формирование умений и навыков.
1.	№ 923. Решение:
Преобразуем данное выражение:
(2и + 1)(и + 5)-2(и + 3)(и-3)-(5и + 13) = 2и2+10и + и + 5-
-2(и2-9)-5и-13 = 2и2+11и + 5-2и2+18-5и-13 = 6и + 10.
При любом целом п первое слагаемое полученной суммы
делится на 6, а второе слагаемое не делится на 6. Значит, ни при
каком целом п сумма би + 10 не делится на 6.
2.	№ 925. Решение:
а)	х (х + 2)(х-2)-х (х2-8) = 16.
х (х2 - 4) - х3 + 8х = 16;
х3 - 4х - х3 + 8х - 16;
4х = 16;
х = 4.
Ответ: 4.
343
б)	2у (4у-1)-2 (3-2у)2 = 48.
8/ - 2у - 2(9 -12у + 4 у2) = 48;
8/-2у-18 + 24у-8у2 =48;
22у = 66;
У = 3.
Ответ: 3.
3.	№ 927 (а). Решение:
а) Упростим данное выражение:
(а - 1)(а2 + 1)(а +1) - (а2 -1)2 - 2(а2 - 3) = (а2 - 1)(а2 + 1)-
-а4 + 2а2 —1-2а2+6 = а4-1-а4 + 5 = 4.
Значит, значение выражения не зависит от а.
4*. № 999 (а). Решение:
а) 2 (а2 -1)2 - (а2 + 3)(а2 - 3) - |(а2 + а - 4)(2а2 + 3) =
= 2(а4-2а2 +1)-а4 +9-^(2а4 + За2 +2а3 + 3а-8а2 -12) =
= 2а4 -4а2 +2-а4 +9-^(2а4 +2а3 -5а2 + За-12) = а4 -4а2 +
+ 11 -o' - а3 + 2,5<з2 -1,5(7 + 6 = -а3 - 1,5а2 -1,5(7 + 17.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Преобразуйте в многочлен.
а)	(с + 2)(с-3)-(с + 1)(с + 3);	в) (6 + 3)(/>-3) + (26 + 3)2.
б)	(4х-3)2-6х (4-х);
2.	Найдите значение выражения
(За + Ь)2-(За-b)2 при а = Зр b - -0,3.
3.	Упростите выражение
8 (5у + 3)2 +9 (Зу-1)2.
Вариант 2
1.	Преобразуйте в многочлен.
а)	((7 — 5)((7 +1) — ((7 — 6)((7 — 1);	в) (р + 3)(р -11) + (р + 6)2.
б)	(а - 4)(а + 4) - 2а (3-а);
344
2.	Найдите значение выражения
(4х-у)2-(4х + у)2 при х = 1-, у = -0,2.
8
3.	Упростите выражение.
(2х-5)2 -2 (7х-1)2.
IV. Итоги урока.
- Какое выражение называется целым?
- Приведите примеры целых и нецелых выражений.
- Являются ли многочлены целыми выражениями?
- Какие действия и в каком порядке надо выполнить, чтобы
представить целое выражение 2х(х-5)2 - (х + 1)(х -1) в виде
многочлена?
Домашнее задание: № 924; № 926; № 928 (а); № 929 (а).
Урок 97
ТРИ СПОСОБА РАЗЛОЖЕНИЯ
МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Цели: повторить известные способы разложения много-
члена на множители и закрепить умение их применять.
Ход урока
I.	Устная работа.
Разложите многочлен на множители.
а)	5х3 - 10х;	г) у2 + бу + 9;;	ж) а3 + 1;
б)	я2-4;	д)4х2-4х + 1;	з)49/?2-#4.
в)	— -х2;	е) 9п2—— т2;
25	121
II.	Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся. Сле-
дует задать им вопрос о том, какие существуют способы раз-
ложения многочлена на множители. Сделать вывод, что та-
ких способов три:
1)	вынос общего множителя за скобки;
2)	способ группировки;
3)	применение формул сокращенного умножения.
345
Затем можно привести примеры, которые демонстрируют
каждый из этих способов:
1) 6a3b2 - 9а2 b2 +12аЬ3 = ЗаЬ2 (2а2 - За + 4/>);
3)	2х3 + 6х-5х2 -15 = (2х3 + 6х)-(5х2 + 15) = 2х(х2 +3)-
-5(х2 +3) = (х2 + 3)(2х-5).
После этого сообщить учащимся, что иногда для разложения
многочлена на множители нужно последовательно применить
несколько способов. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника, ос-
тальные примеры лучше рассмотреть на следующем уроке.
III.	Формирование умений и навыков.
1.	№934 (а, в, д), № 935.
2.	№ 937. Решение:
Это тождество можно доказывать как слева направо, так
и справа налево.
Разложим на множители левую часть равенства:
аг - Л8 = (а4 - Ь4 )(а4 + Ь4) = (а2 - Ь2 )(а2 + Ь2 )(а4 + Ь4) =
= (а - *)(а + Ь)(а2 + Ьг )(а4 + Ь4).
Доказано.
3.	№ 938.
4.	№ 939 (а, в, д). Решение:
а) Зх2 + бху + Зу2 = 3(х2 + 2ху + у2) = 3(х + у)2;
в) -4х - 4 - х2 - -(х2 + 4х + 4) = -(х + 2)2;
д) 45х + ЗОах + 5<з2х = 5х (9 + 6а + а2) = 5х (3 + а)2.
5.	№ 942 (а, в). Решение:
а) 4ху + 12у-4х-12 = (4ху - 4х) + (12у -12) = 4х(у-1) +
+12(у -1) = (у - 1)(4х +12) = 4(у -1 )(х + 3);
в) - abc - Sac — 4ab - 20а = —а(Ьс + 5с + 4Ь + 20) =
= -a ((be + 4b) + (5с + 20)) = -а (Ь(с + 4) + 5(с + 4)) = -а (с + 4)(Ь + 5).
IV. Итоги урока.
- Какие вы знаете способы разложения на множители?
346
- Чему равна разность квадратов двух выражений?
- Как разложить на множители сумму (разность) кубов?
- В чём состоит способ группировки разложения многочлена
на множители?
Домашнее задание: № 934 (б, г, е); № 936; № 939 (б, г, е);
№ 942 (б, г).
Урок 98
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ
Цели: закрепить умение раскладывать многочлен на мно-
жители; рассмотреть особенности применения способа группи-
ровки в сочетании с формулами сокращенного умножения; про-
верить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
Разложите многочлен на множители.
а) 4я2 - 8<з;	г) п2 + 8л +16;	ж) х3 - 1;
б)х2-100;	д)9х2-6х + 1;	з) 225я2-с6.
в) —-а2;	е) 25р2—— q2;
81	144
II. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-й группе
будут задания на обобщение различных способов разложения
многочлена на множители, а во 2-ю группу следует отдельно
включить задания, в которых используется метод группировки
в сочетании с формулами сокращенного умножения.
1-я группа
1,№940.
2.	№ 943 (а, в).
3.	№ 1009. Решение:
а)	9с'5-с13 = <?3(9с2-1) = с13(Зс-1)(Зс + 1);
?-\ 22	1 20	201 2	1 1	201	1 11	1
б)	X----X = X X-------= X X-----X + —
49 I 49 J I 7 Л 7
347
в)	а5 - 0,64б/2 = а2 (а3 - 0,64) = а2 {а - 0,4)(я2 + 0,4а + 0,16);
ч 7	1^ 5	2	16^ 5Г	4А
Г) .У -1-.У =У 1^ -— \ = У Р"з 1и + у1-
4.	№ 1010. Решение:
а)	2х8-12х4+18 = 2 (х8-6х4+9) = 2 (х4-3)2;
б)	-2а6 - 8Л - 862 = -2 (аь + 4Л + 4Ь2) = -2 (а3 + 2Ь)2;
в)	а4Ь + 6а2 Ь3 + 9 b5 = b (a4 +6a2b2 +9b4) = b {а2 + ЗЬ2)2;
г)	4х + 4хув +ху2 = х (4 + 4у6 +у,2) = х (2 + у6)2.
2-я группа
Сначала следует разобрать пример 3 из учебника и сделать
вывод о том, что не всегда члены многочлена группируются по два.
1.	№ 944. Решение:
а)	х2 - 2хс + с2 -d2 = (х2 - 2хс + c2)-d2 = (х - с)2 - d2 =
= (х - с - <7)(х - с + d);
б)	с2 +2с + \-а2 = (с2+2с + 1)-б/2 = (с + \)2-а2 =
- (с +1 - а)(с + 1 + <7);
в)	р2 - х2 + 6х - 9 = р2 - (х2 - 6х + 9) - р2 - (х - З)2 =
= (р-(х-3)) (р + (х-3)) = (р-х + 3)(р + х-3);
г)	х2 - а2 -10а - 25 = х2 - (а2 +10а + 25) -х2 - (а + 5)2 =
= (х - (б7 + 5))(х + (б/ + 5)) = (х - а - 5)(х + а + 5).
2.	№ 946 (а, г). Решение:
а) х2 -у2-х-у = (х2 -у2)-(х + у) = (х-у)(х + у)-(х + у) =
= (х + у) -(х-у-1);
Р)к2 -к- р2 - р = {к2 - р2)-(к + р) = (к- р)(к + р)~(к + р) =
= (к + р)(к-р-\).
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Разложите на множители.
а)	Зх2 - 12;	в) ах2 + 4ах + 4а\
б)	-За3+ЗаЬ2-,	г) -Зх2+12х-12.
348
2.	Представьте в виде произведения.
а) ^а2-ab + ^b2; б) х2(х-3)-2х(х-3) + (х-3).
3*. Какой многочлен надо записать вместо *, чтобы полу-
чившееся равенство было тождеством:
(х + 1) • * = х2+Зх + 2?
Вариант 2
1. Разложите на множители.
а)5х2-45;	в) ах2 - 2аху + ау2;
б) -2ау2 + 2а3;	г) -2х2 - 8х - 8.
2. Представьте в виде произведения.
1	3
а) —х2 - ху +—у2;	б) (с + 5) с2 - (с + 5) • 2с + (с + 5).
6	2
3*. Какой многочлен надо записать вместо *, чтобы полу-
чившееся равенство было тождеством:
(х-1) • * = х2-4х + 3?
IV. Итоги урока.
- Какие вы знаете способы разложения многочлена на мно-
жители?
- В чём состоит каждый из этих способов?
- Как способ группировки применяется в сочетании с фор-
мулами сокращенного умножения?
Домашнее задание: № 941; № 943 (б, г); № 945; № 947.
Урок 99
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ
Цели: закрепить умение использовать различные способы
разложения многочлена на множители; рассмотреть решение
некоторых задач с применением разложения на множители.
Ход урока
I. Устная работа.
Разложите многочлен на множители.
а)4/-6/;	б)4900-а2;	в)х2--;
9
349
г) у2 -бу + 9; д) 81х2 ~^У2’	в) 25а2-10а+ 1;
ж)у* + 8;	з) 121w2-w10.
II.	Формирование умений и навыков.
На этом уроке следует рассмотреть, как могут быть приме-
нены различные способы разложения на множители при реше-
нии задач. Можно выделить три направления такого при-
менения:
1)	для упрощения вычислений на калькуляторе;
2)	для решения уравнений;
3)	для доказательства некоторых утверждений.
В соответствии с этим все задания можно разделить на три
группы.
1-я группа
Сначала необходимо рассмотреть пример 4 из учебника, по-
казывающий, как можно рационально выполнить вычисления
на калькуляторе, если использовать разложение на множители.
Для закрепления следует выполнить № 948.
2-я группа
1.	№ 949. Решение:
а)	х3 х ~ 0.
х(х2 — 1) = 0;
х(х - 1 )(х + 1) = 0;
х = 0, или х - 1 = 0, или х + 1 = 0.
Ответ: 0; -1; 1.
б)	9х - х3 = 0.
х(9-х2) = 0;
х(3 - х)(3 + х) = 0;
х = 0, или 3 - х = 0, или 3 + х = 0.
Ответ: -3; 0; 3.
в)	х3 + х2 = 0.
х2 (х + 1) = 0;
х2 = 0 или х + 1 = 0;
х = 0 или х = -1.
Ответ: -1; 0.
350
г)	5х4 - 20? = 0.
5? (х2 - 4) = 0;
5х2 (х - 2)(х + 2) = 0;
5х2 - 0, или х - 2 = 0, или х + 2 = 0;
х = 0, или х - 2, или х - -2.
Ответ: -2; 0; 2.
2.	Можно предложить учащимся решить более сложные урав-
нения.
а)	2х3 - х2 -18х + 9 = 0;
б) 2х3 + Зх2 = 2х + 3.
Решение:
а) 2х3 - х2 -18х + 9 -- 0.
(2х3-х2)-(18х-9) = 0;
х2(2х-1)-9 (2х- 1) = 0;
(2х-1)(х2 -9) = 0;
(2х-1)(х-ЗХх + 3) = 0;
2х - 1 = 0, или х - 3 = 0,
1
х = —, или х = 3,
2
Ответ: -3; — ; 3.
2
б)	2х3 +3х2 = 2х + 3.
(2х3 +3х2)-(2х + 3) = 0;
х2(2х + 3)- (2х + 3)-0;
(2х + 3)(х2 -1) = 0;
2х + 3 = 0, или х - 1 = 0,
3
х = —, ИЛИ X = 1,
2
Ответ: -1,5; -1; 1.
или х + 3 = 0;
или х = -3.
или х + 1 = 0;
или х = -1.
3-я группа
1. № 951. Решение:
Разложим данный многочлен на множители:
х3 - х = х(х2 -1) = х (х - 1)(х +1) = (х -1) X • (х + 1).
Получили произведение трёх последовательных целых чи-
сел. Так как числа последовательные, то хотя бы одно из них
351
чётно, то есть кратно 2, а другое кратно 3. Это означает, что всё
произведение кратно 6.
2. № 952. Решение:
Пусть 2п + 1 и 2п + 3 - два последовательных нечётных чис-
ла. Найдем разность их квадратов.
(2и + 3)2-(2и + 1)2 = ((2л + 3)-(2л + 1))((2и + 3) + (2и + 1)) =
= (2и + 3 - 2и - 1)(2и + 3 + 2n + 1) = 2 (4и + 4) = 8 (и + 1).
Значит, исходное выражение делится на 8.
III. Итоги урока.
-	Какие вы знаете способы разложения на множители?
-	Опишите суть каждого способа.
-	При решении каких задач пригодится умение раскладывать
многочлен на множители?
Домашнее задание: № 950; № 953; № 998 (а); № 1012 (а, г).
Урок 100
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
Вариант 1
1.	Упростите выражение.
а)	(х - 3)(х - 7) - 2х (Зх - 5); в) 2 (т +1)2 - 4ди.
б)	4а (а-2)-(а-4)2;
2.	Разложите на множители.
а) х3 - 9х; б) -5а2 -1 Oab - 5Ь2.
3.	Упростите выражение
(у2 - 2у)2 - у2 (у + 3)(у - 3) + 2у{2у2 + 5).
4.	Разложите на множители.
а) 16х4 - 81; б) х2 - х - у2 - у.
5.	Докажите, что выражение х2 -4х + 9 при любых значени-
ях х принимает положительные значения.
Вариант 2
1.	Упростите выражение.
а)	2х (х-З)-Зх (х + 5);	в) 3(у+ 5)2-Зу2.
б)	(я + 7)(д-1) + (д-3)2;
352
2.	Разложите на множители.
а) с3-16с; б) За2 -6ab + 3b2.
3.	Упростите выражение
(За-а2)2-а2(а-2)(а + 2) + 2а (7 + За2).
4.	Разложите на множители.
а)81а4-1; б) /-х2-6х-9.
5.	Докажите, что выражение -а2 +4я-9 может принимать
лишь отрицательные значения.
Вариант 3
1.	Упростите выражение.
а)	2с (1 + с)-(с-2)(с + 4); в) ЗОх + З (х-5)2.
б)	(у+ 2)2-2у(у+ 2);
2.	Разложите на множители.
а) 4а - я3; б) ах2 + 2ах + а.
3.	Упростите выражение
(b2 + 2b)2 -b2(b- \)(b +1) + 2Ь (3 - 2Ь2).
4.	Разложите на множители.
a) 16-^j>4;	б) а + а2-b-b2.
5.	Докажите, что выражение с2-2с+ 12 может принимать
лишь положительные значения.
Вариант 4
1.	Упростите выражение
а)	5а (2-а) + 6а (а-7); в) 20х + 5(х-2)2.
б)	(b-3)(b-4)-(b + 4)2;
2.	Разложите на множители.
а)25у-.у3;	б) -4х2 + 8ху-4у2.
3.	Упростите выражение
(Зх + х2 )2 - х2 (х - 5)(х + 5) + 2х(8 - Зх2).
4.	Разложите на множители.
а) —-64; б) а2-х2 +4х-4.
81
353
5.	Докажите, что выражение -у2 +2у-5 при любых значе-
ниях у принимает отрицательные значения.
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1.	а) (х - 3)(х - 7) - 2х (Зх - 5) = х2 - 7х - Зх + 21 - бх2 +1 Ох =
= -5х2+21;
б)4д (д-2)-(д-4)2 =4д2-8д-а2+8д-16 = 3д2-16;
в) 2 (т +1)2 - 4т - 2(т2 + 2т +1) - 4т - 2т2 + 4т + 2- 4т =
- 2т2 + 2.
2.	а) х3 - 9х = х (х2 - 9) = х (х - 3)(х + 3);
б)	-5а2 -1 Oab - 5Ь2 = -5(д2 + 2аЬ + Ь2) = -5(а + Ь)2.
3.	(У2 - 2у)2 - у2 (у + 3)(у - 3) + 2у{2у2 + 5) = у4 - 4у3 + 4у2 -
-у2{у2 -9) + 4у3 +1 Оу = у4 + 4у2 -у4 + 9 у2 +1 От = 1 Зу2 +1 Оу.
4.	а) 16х4 -81 = (4х2)2-92 =(4х2-9)(4х2 +9) = (2х-3) -(2х+3)х
х (4х2 +9);
б)	X2— х — у2-у = (х2-у2)-(х + у) = (х-у)(х + у)-(х + у) =
— (х + у)(х — у — 1).
5.	Выделим из данного трёхчлена квадрат двучлена:
х2 -4х + 9 = (х2 -4х + 4) + 5 = (х-2)2 + 5.
Выражение (х - 2)2 не может быть отрицательным ни при ка-
ких значениях х. Значит, выражение (х - 2)2 + 5 принимает по-
ложительные значения при любых х.
Вариант 2
1.	а) 2х (х - 3) - Зх (х + 5) = 2х2 - бх - Зх2 -15х = -х2 - 21х;
б)	{а + 7)(а-1) + {а-З)2 =сг -а + 7а-7 + а2 -6а + 9 = 2а2 +2;
в)	3(у + 5)2 -Зу2 =3(у2 + 10у + 25)-Зу2 =3у2 +ЗОу +
+75-Зу2 = ЗОу + 75.
2.	а) с3 - 16с - с (с2 -16) = с (с - 4)(с + 4);
б)	За2 - 6ab + ЗЬ2 = 3(а2 -2ab + b2)^ 3(а -Ь)2.
354
3.	(За - а1 )2 - а2 (а - 2)(а + 2) + 2а (7 + За2) = 9а2 - 6а3 +
+а4 - а2 (а2 -4) + 14а + 6а3 = а4 + 9а2 + 14а-а4 + 4а2 = 13а2 +14а.
4.	а) 81 а4 - 1 = (9а2 -1 )(9а2 +1) = (За - 1)(3а + 1)(9а2 +1);
б)	у2 — х2 -6х —9 = у2 — (х2 + 6х + 9) = у2 — (х + 3)2 =
= (у - (х + 3))(у + (х + 3)) = (у - х - 3)(у + х + 3).
5.	Выделим из данного трёхчлена квадрат двучлена:
- а2 + 4а - 9 = -(а2 - 4а + 9) = -((а2 - 4а + 4) + 5) =
= -((а - 2)2 + 5) = -(а - 2)2 - 5.
Выражение -(а - 2)2 не может принимать положительных
значений ни при каком значении а. Значит, выражение
-(а - 2)2 - 5 может принимать только отрицательные значения.
Вариант 3
1. а) 2с (1 + с)-(с-2)(с + 4) = 2с + 2с2-с2-4с + 2с + 8 = с2+8;
б) (у + 2)2 - 2у(у + 2) = у2 + 4у + 4 - 2у2 - 4у = 4 - у2;
в) 30х + 3(х-5)2 = 30х + 3(х2 -10х + 25) = 30х + Зх2 -
-30х + 75 = 3х2 +75.
2. а)4а-а3 = а (4-а2) = а (2-а)(2 + а);
б) ах2 + 2ах + а = а (х2 + 2х +1) = а (х +1)2.
3.	(b2+2b)2-b2(b-\)(b + \) + 2b(3-2b2) = b4+4b3+4b2-
-b2(b2-l) + 6b-4b3 =b4+4b2+6b-b4+b2 = 5b2+6b.
4.	a) 16-—у4 =| 4--у2 |f4+-у2 |=| 2--у Y2+-у || 4+-у2 |;
81 I 9 Л 9 J I 3 Л 3 Л 9 )
б)	а + а2 — b — Ь2 = (а2 -b2) + (а -b) - (а -b)(a + b) + (a-b) =
= (а - b)(a + b +1).
5.	Выделим из данного трёхчлена квадрат двучлена:
с2 -2с +12 = (с2 -2с + 1) +11 = (с-1)2 +11.
Выражение (с - I)2 не может принимать отрицательных зна-
чений ни при каком значении с. Значит, выражение (с - I)2 + 11
может принимать только положительные значения.
355
Вариант 4
1.	а) 5а (2-а) + 6а (а~7) = 10а- 5а2 + 6а2 - 42а = а2 - 32я;
б)	(6-3)(6-4)-(6 + 4)2 =62-46-36 + \2-b2 -86-16 =
= -156-4;
в)	20х + 5(х - 2)2 = 20х + 5(х2 - 4х + 4) = 20х + 5х2 - 20х +
+20 = 5х2 + 20.
2.	а) 25у-/ = у (25-/) = у (5 -у)(5 + у);
б)	-4х2 + 8ху - 4у2 = -4(х2 - 2ху + у2) = -4(х - у)2.
3.	(Зх + х2)2 - х2(х - 5)(х + 5) + 2х(8 - Зх2) = 9х2 + 6х3 + х4 -
-х2 (х2 - 25) +16х - 6х3 = х4 + 9х2 +16х - х4 + 25х2 = 34х2 +16х.
Л X 16 >4 (	1.2/4 >2^ ( 2	2	/ 4	2^
4.	а)--6 = —6	—+ 6 = —6 — + 6 — + 6 ;
81	1.9 А9 J U Дз Д9 )
б)	а2 - х2 + 4х - 4 = а2 - (х2 - 4х + 4) = а2 - (х - 2)2 =
= (а - (х - 2))(я + (х - 2) = (а - х + 2)(я + х - 2).
5.	Выделим из данного трёхчлена квадрат двучлена:
-у2+2у-5 = -(у2-2у + 5) = -((у2-2у + 1) + 4) =
= -((у-1)2+4) = -(у-1)2-4.
Выражение -(у - I)2 не может принимать положительных
значений ни при каком значении у. Значит, выражение
—(у - 1 )2 - 4 может принимать только отрицательные значения.
Урок 101
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся;
проанализировать ошибки, сделанные в контрольной работе.
Ход урока
1. Анализ результатов контрольной работа.
Самые распространенные ошибки разбираются на доске
с обсуждением, а затем каждый из учащихся делает работу над
своими ошибками.
356
II. Обобщение и систематизация знаний.
Те учащиеся, которые допустили ошибки в контрольной ра-
боте, после их исправления решают номера из учебника:
№ 990 (а); № 992 (г); 1012 (а, в); 1023 (а).
Сильным учащимся можно предложить задания повышенно-
го уровня сложности.
1.	№ 1005*. Решение:
Преобразуем данное выражение в многочлен:
(х2 + х - 1)(х - а) = х3 - ах2 + х2-ах-х + а = х3+(\- а)х2 -
~(а + Г)х + а.
а)	Чтобы многочлен не содержал х2, коэффициент, стоящий
перед ним, должен быть равен нулю:
1 - а = 0,
а = I.
б)	Чтобы многочлен не содержал х, должно выполняться
условие:
а + 1 = 0,
а = -1.
Ответ: а= 1; а = -1.
2.	№ 1014*(в). Решение:
2/-/-32у + 16 = 0.
(2/-/)-(32у-16) = 0;
/(2у-1)-16(2у-1) = 0;
(2у-1)(у2-16) = 0;
(2у - 1)(у — 4)(у + 4) = 0;
2у - 1 - 0, или у - 4 = 0, или у + 4 = 0;
1
у = —,	или у = 4, или у = ~А.
Ответ: —4: —; 4.
2
3.	№ 1018*(а, в, д). Решение:
a) a2 +b2-2ab-25 = (a2 -2ab + b2)-25 = (a-b)2-52 =
= (а-Ь~ 5)(я - b + 5);
357
в) 49 - 2ах - а1 - х2 = 49 - (а2 + 2ах + х2) = 72 - (а + х)2 =
= (7 - (а + х))(7 + (а + х)) = (7 - а - х)(7 + а + х);
д) 8 \а2 + 6bc - 9Ь2 - с2 = 81 а2 - (с2 - 6Ьс + 9Ь2) = (9а)2 - (с - ЗЬ)2 =
= (9я - (с -3/>))(9я + (с -ЗЬ)) = (9а + ЗЬ-с)(9а -ЗЬ + с).
4.	№ 1019* (а, в, д). Решение:
а)	х3 + у2 + 2ху (х + у) = (х + у)(х2 - ху + у2) + 2ху (х + у) =
= (х + у)(х2-ху + у2 + 2ху) = (х + у)(х2 +ху + у2);
в)	а2 -Ь2 + 5а1 b - 5ab2 = (а2 -b2) + (5а2 b - 5аЬ2) = (а-Ь) х
х (а2 + ab + b2) + 5ab(a -b) = (a- b)(a2 + 6аЬ + Ь2);
д)	8b2 +6b2 +ЗЬ + \ = (8Ь2 +1) + (6Ь2 +ЗЬ) = (2Ь + \) х
х (4£2 -2b +1) + 3b(2b +1) = (2b +1 )(4b2 -2b + \ + 2b + \) = (2b + \) *
х(4/)2 +2) = 2(2Ь + \)(2Ь2 +1).
5.	№ 1020* (а, в). Решение:
а) х3 + у2 + 2х2 - 2ху + 2у2 - (х2 + у2) + 2(х2 - ху + у2) =
= (х + у)(х2 -ху + у2) + 2(х2 -ху + у2) = (х2 -ху + у2)(х + у + 2);
в) я4 + ab2 - a2b — b4 = (a4 -b4) + (ab2 - а2Ь) = (а2 -Ь2) х
х (а2 + b2) + ab(b2 -а2) = (а2- b2 )(а2 +b2)- ab(a2 -Ь2) =
= (а2 - b2 )(а2 +b2 - ab) = (а- b)(a + b)(a2 -ab + b2).
III. Итоги урока.
Домашнее задание: № 990 (б); № 992 (в); № 1012 (б, г);
№ 1023 (б).
Дополнительно: № 1006; №1019 (б, г, е).
Урок 102
ВОЗВЕДЕНИЕ ДВУЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ
Цели: рассмотреть, как возводятся двучлены в степень
выше третьей; формировать умение строить и использовать тре-
угольник Паскаля для возведения двучлена в степень.
358
Ход урока
I.	Актуализация знаний.
Попросить учащихся записать формулу квадрата и куба дву-
члена:
(а + b)2 = а2 + lab + b2;
(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 +Ь3.
С помощью этих формул выполнить возведение в степень:
а)	(7х + 3)2;	в) (За + 1)3;
б)	(х + 2)3;	г) (л-4)3.
II.	Изучение нового материала.
Объяснение проводится согласно пункту 39 учебника.
1. На доске и в тетрадях учащихся уже записаны формулы
квадрата и куба двучлена. Предложить учащимся самостоятель-
но вывести формулы для возведения двучлена в четвёртую
и пятую степень. Вынести все эти формулы на доску, найти за-
кономерность в коэффициентах.
2. Изучить, как могут быть получены коэффициенты в фор-
мулах возведения двучлена в л-ю степень с помощью треуголь-
ника Паскаля.
Предложить учащимся самостоятельно построить треуголь-
ник Паскаля до восьмой степени, чтобы потом выполнять зада-
ния из учебника:
л = 0	1
л= 1	11
п=2	1 2	1
л = 3	1331
л = 4	1 4 6 4 1
л = 5	1 5 10 10 5 1
л = 6	1 6 15 20 15 6 1
л = 7	1 7 21 35 35 21 7 1
л = 8	1 8 28 56 70 56 28 8 1
III.	Закрепление изученного материала.
1.№958, №959.
Эти задания учащиеся выполняют, используя построенный
треугольник Паскаля.
359
2.	№ 961. Решение:
a)	(я2+363)3 =(я2)3 + З(а2)2-З*>3 + 3a2-(3Z>3)2 + (3Z>3)3 =аь +
+9a4b3+27a2b6+27b\
б)	(1 -2jcy)4 =1-4 • l3- (2xy)+6 • I2- (2xy)2 -4 • 1 • (2л/3 +(2лу)4 =
= 1 - 8xy + 24x2/ - 32x3/ + 16x4/.
3.	№ 962 (а). Решение:
a) (x + y)6 + (x-y)e = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 +
+ 6xy5 + y6 + x6 -6x5y + 15x4y2 -20x3y3 + 15x2y4 -6х^5 + у6 =
= 2x6 + 30x4/ + 30x2/ + 2/.
4.	№ 963. Решение:
Представим данное выражение в виде многочлена:
(1 + у)3 + (1 + /4 + (1+/5 = 1 + Зу + Зу2 +/ +1 + 4у + 6у2 +
+ 4у3 + у4 +1 + 5у + 10у2 4-1 Ojy3 + 5у4 + у5 = у5 + бу4 + 15/ +
+19/ + 12у + 3.
Получаем: а) при у2 стоит коэффициент 19; б) при у3 - коэф-
фициент 15.
Ответ: а)19; б) 15.
5.	№ 964.
Представим число 1476 как (145 + 2)6. Если мы будем возво-
дить данную сумму в шестую степень, то получим 6 слагаемых,
первые пять из которых содержат множитель 145, то есть делят-
ся на 145. Шестое слагаемое будет равно 26, это и будет остат-
ком от деления 1476 на 145.
Ответ: 64.
6.	№ 965 (а). Решение:
Представим число 834 как (81 + 2)4. Выполним возведение
в степень:
(81 + 2)4 = 814 + 4 - 813 • 2 + 6 • 812 • 22 + 4 • 81 • 23 + 24.
Найдем значение выражения 834 + 65:
834 + 65 = 814 + 4 • 813 • 2 + 6 • 812 • 22 + 4 • 81 • 23 + 81.
Получим, что каждое слагаемое суммы делится на 81, зна-
чит, и вся сумма делится на 81.
IV.	Итоги урока.
Домашнее задание: № 960; № 962 (б); № 965 (б).
360
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Урок 103
ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: ввести понятие линейного уравнения с двумя пере-
менными и его решения; формировать умение подбором нахо-
дить решение таких уравнений.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Прочитайте каждое из выражений.
(1 А2
а)	х -у ;	г) I - + а I
б)	(х — у)2;	д) + я
ж) p3-q3;
) (2х + 3)3;
и) (2х)3+33.
2. Решением каких уравнений является число 2—?
ч 1	.
а) х + — = 2;
3
б)х-| = 2;
в) 4-х = 2—;
3
г) 3-х = —.
3
II.	Объяснение нового материала.
На этом уроке целесообразно разобрать следующие во-
просы:
-	уравнение с двумя переменными;
-	линейное уравнение с двумя переменными;
-	решение уравнения с двумя переменными.
Вопрос о том, как находить решение линейного уравнения
с двумя переменными с помощью выражения одной переменной
через другую, лучше рассмотреть на следующем уроке.
361
Объяснение материала проводится в несколько этапов.
1.	Понятие уравнения с двумя переменными.
Изучение данного вопроса следует начать с рассмотрения
задачи.
Задача. Обозначив зах первое число и за^ второе число, со-
ставьте соотношение по следующим условиям:
а)	Первое число на 5 больше второго:
х-.у = 5.
б)	Сумма квадрата первого числа и удвоенного второго чис-
ла равна 17:
х2 + 2у = 17.
в)	Утроенное произведение чисел равно 24:
Зху = 24.
г)	Разность куба первого числа и половины второго числа
равна 12:
х3-—у = 12.
2
Когда вес полученные равенства будут вынесены на доску,
сообщить учащимся, что они называются уравнениями с двумя
переменными.
2.	Понятие линейного уравнения с двумя переменными.
На откидной части доски заранее выписать в два столбика
уравнения:
2х + у2 =10;	7х + 2у = —; 2
|х3-^ = 5;	3x-5j> = 11;
х2-/=8;	—х + 0,8у = 0; 6
|х/+.у = 7;	-4х + Зу = 9;
4х - 5ху = 2;	-2x-10jr =
Спросить учащихся:	в чём характерная особенность уравне-
ний из второго столбца? Замечаем, что эти уравнения имеют вид
ах + by = с . Сообщаем учащимся, что такие уравнения называ-
ются линейными уравнениями с двумя переменными, и предла-
гаем им самим сформулировать определение этих уравнений.
362
Затем даём задание учащимся: назвать коэффициенты а,b
и с в линейных уравнениях из второго столбца.
3.	Решение уравнений с двумя переменными.
Сначала следует вспомнить, что называется решением урав-
нения с одной переменной, а затем перейти к определению ре-
шения уравнения с двумя переменными.
Дать учащимся задание: проверить, какие из пар чисел
являются решениями уравнения х + у = 3.
а)(1;2); б) (-2; 4); в) (5;-2); г) (-7; 11).
Предложить учащимся найти ещё какие-либо решения этого
уравнения.
После этого сделать вывод: линейное уравнение с двумя
переменными может иметь бесконечно много решений.
Затем ещё раз следует повторить определения всех понятий,
изученных на этом уроке, и перейти к выполнению заданий.
III. Формирование умений и навыков.
1. № 1025, № 1026 (устно).
2. № 1027 (а).
Данный номер можно выполнить устно или письменно в за-
висимости от уровня подготовки класса.
3. № 1028. (Это задание лучше сделать письменно, вызвав
одного ученика к доске. Предложить учащимся форму записи
решения такого задания.)
Решение:
10х+у = 12. (3; 20):	10 • 3 4- (-20) = 10 (-2; 12): 10 • (-2)+12 =-8 (0,1; 11): 10-0,1 + 11 = 12 (1;2):	10-1+2=10 (2; 1):	10-2 + 1=21	10 Ф 12 - не является; -8 + 12 - не является; 12 = 12 - является; 12 = 12 - является; 21 ф 12 - не является.
4. № 1029 (а).
Каждый из учащихся должен составить своё уравнение, не-
которые из которых выносятся на доску.
IV. Итоги урока.
- Приведите пример уравнения с двумя переменными.
363
- Какое из уравнений с двумя переменными называется ли-
нейным?
- Что называется решением уравнения с двумя переменными?
- Как проверить, является ли пара чисел ^1-^;3^ решением
уравнения х + 2у = 7-^7
- Сколько решений может иметь линейное уравнение с дву-
мя переменными?
Домашнее задание: № 1027 б); № 1029 (б); № 1137; № 1138 (а, в).
Урок 104
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: формировать умение решать линейные уравнения
с двумя переменными с помощью выражения одной переменной
через другую; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Какие из следующих уравнений являются линейными
с двумя переменными?
4
а)5ху + 3 = 7;	в)у-х = 10;	г 7х-= 5;
У
б)3х-7у = ^-;	г) 5х + 2х2 = 1;	е) -4х + 0,8у = -2.
В линейных уравнениях назовите коэффициенты а, b и с.
2. Решением какого уравнения является пара чисел (1;	?
a)2x+v = lj;	в)х + 2у = 2^-;
2
=	г)х-Зу = 0.
II. Объяснение нового материала.
На этом уроке следует разобрать, как в линейных уравнени-
ях выражать одну переменную через другую и как с помощью
364
этого можно находить решения таких уравнений. Также нужно
рассмотреть вопрос о решении уравнений в целых числах.
1. Выражение одной переменной через другую.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, за-
дав им следующие вопросы:
-	Какие два уравнения называются равносильными?
-	Будут ли уравнения Зх = 9 и 2х = 6 равносильны?
-	Какие преобразования можно совершать при решении ли-
нейных уравнений с одной переменной?
-	Поясните каждое из проводимых преобразований на при-
мере решения уравнения 1 - 2х = 5.
Затем сообщить учащимся, что уравнения с двумя перемен-
ными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной
переменной, а значит, при их решении можно выполнять анало-
гичные преобразования. Благодаря этому появляется возмож-
ность выражать в таких уравнениях одну переменную через другую.
Примеры:
а)	х + 2у = 4.
Выразим переменную х через у.
х = 4-2у.
Выразим переменную у через х:
2у - 4 - х;
б)	3x-5j^ = 2.
Зх = 2 + 5у\	-5 у = 2 - Зх;
2 + 5у	Зх-2
х =-----.	у =-----.
3	5
2. Решение линейных урвнений с двумя переменными.
Замечаем, что с помощью выражения одной переменной че-
рез другую можно находить разнообразные решения линейных
уравнений с двумя переменными. Рассмотреть по учебнику ре-
шение уравнения 5х + 2у = 12. Ещё раз сделать вывод о том,
что подобные уравнения могут иметь бесконечно много решений.
3. Решение уравнений в целых числах.
Учащиеся уже разобрали, как решаются линейные уравнения
с двумя переменными, и выяснили, что они могут иметь беско-
365
нечно много решений. Среди всех решений есть пары, вклю-
чающие в себя дробные числа.
Однако при решении некоторых задач возникает необходи-
мость отыскать только целые или натуральные пары решений
уравнений с двумя переменными. Рассмотреть пример решения
такой задачи из учебника.
III.	Формирование умений и навыков.
Основная цель на этом уроке состоит в том, чтобы учащиеся
научились в линейных уравнениях с двумя переменными выра-
жать одну переменную через другую и отыскивать решения та-
ких уравнений.
К решению задач на составление уравнений можно перейти
только в том случае, если данное умение будет сформировано
в полной мере.
1№ 1030.
2.	№ 1032. Решение:
а) Зх + 2у = 12.
2у= 12-Зх;
12-Зх
у=—'
у = 6 - 1,5х;
если х = 2, то у - 6 - 1,5 • 3 ~ 3	(2; 3);
если х - -4, то у = 6 - 1,5 • (-4) = 12	(-4; 12);
если х = 10, то г = 6 - 1,5 • 10 =-9	(10;-9).
3.	№ 1035.
4.	№ 1037. Решение:
Пусть было взято х двухрублёвых и у пятирублёвых монет.
Получим уравнение:
2х + 5у = 28.
Требуется найти все пары натуральных значений перемен-
ных х и у, удовлетворяющих этому уравнению.
Выразим переменную х через у:
2х = 28 - 5у;
28 -5у
х =-------.
2
366
Имеем:
если у = 2, то х - 9;
если у = 4, то х - 4.
Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравне-
нию 2х + 5у = 28, нет.
О т в е т: 4 или 9 монет.
5.	№ 1039.
Решается аналогично предыдущей задаче.
Сильным учащимся можно предложить выполнить до-
полнительно № 1042. Реш ение:
Пусть п - некоторое натуральное число. Если оно при деле-
нии на 5 даёт остаток 1, то справедливо следующее равенство:
п = 5q +1, где q - частное от деления на 5.
Аналогично можно записать равенство:
п = 6р + 2, где р - частное от деления на 6.
Получим уравнение:
5<? + 1 = 6/? + 2;
5q -6р = 1.
Выразим переменную q через переменную р:
5q = 6/2 + 1;
6р +1
Я~ 5
Нужно подобрать наименьшую натуральную пару (р; q),
удовлетворяющую уравнению.
п л 6-4 + 1 с u -
Если р = 4, то q =---= 5. Найдем п:
и = 5<? +1 = 5 • 5 +1 = 26 .
Ответ: 26.
IV.	Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Решением каких уравнений является пара чисел (-2; 3):
а)2х + у = 1; б)х-у = -5; в)х2+у = 1; г)3х + у2=3?
2.	Выразите из уравнения 2х - Зу = 7 переменную х через у
и найдите три решения этого уравнения.
367
Вариант 2
1. Решением каких уравнений является пара чисел (1; -4):
а) 2х + у - -2; 6) х - у - -3; в) 2х2 + у - -2; г) 4х - уг = -7 ?
2. Выразите из уравнения 5х + 2у = 3 переменную у через х
и найдите три решения этого уравнения.
V. Итоги урока.
- Какие уравнения называются линейными с двумя пере-
менными?
- Что называется решением уравнения с двумя переменными?
- Какими свойствами обладают уравнения с двумя перемен-
ными?
- Как можно найти решение линейного уравнения с двумя
переменными?
- Сколько может иметь решений линейное уравнение с дву-
мя переменными?
Домашнее задание: № 1031, № 1034, № 1036, № 1038.
Дополнительно: № 1041.
Урок 105
ПОНЯТИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: ввести понятие графика линейного уравнения с дву-
мя переменными; формировать умение строить такие графики
и находить по ним решения уравнений.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Что является графиком функции у = Ъх-^2 Как называ-
ется эта функция и как построить её график?
2. Графикам каких функций принадлежит точка А (3; -2):
а) у = 2х + 1; б)у = х-5; в)у = -х + 2; г)у = 4-2х?
II. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 41 учебника в не-
сколько этапов.
1.	Ввести понятие графика уравнения с двумя переменными.
368
2.	Выяснить, что представляет собой график линейного урав-
нения с двумя переменными.
3.	Рассмотреть случаи, когда коэффициенты при х или у
в уравнении ах + by = с равны нулю.
4.	Сделать выводы и рассмотреть примеры построения гра-
фиков линейных уравнений с двумя переменными.
III. Формирование умений и навыков.
1.№ 1045.
Необходимо, чтобы учащиеся могли ответить на вопрос:
как определить, принадлежит ли графику уравнения какая-либо
точка с данными координатами? Вызвать к доске одного из уча-
щихся и предложить способ оформления решения подобных задач.
Решение:
Зх + 4у-12.
а) Л (4; 1):	3-4 + 4-1 = 16	16 Ф 12 - не принадлежит;
б)В(1;3):	31+4-3=15	15 Ф 12 - не принадлежит;
в) С (-6; -7,5): 3 • (-6) + 4 • (-7,5) = -48 -48 + 12 - не при-
надлежит;
r)Z)(0;3):	3-0 + 4-3 = 12	12 = 12 - принадлежит.
2.	№ 1047.
3.	По данному графику линейного уравнения с двумя пере-
менными найдите три какие-либо его решения:
4.	№ 1048 (а, б).
5.	В одной системе координат постройте графики уравнений:
а)|х = 1; б)2х = -8; в) 1,2у = -2,4; г)|у = 3.
369
IV. Итоги урока.
- Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
- Что является графиком линейного уравнения с двумя пе-
ременными?
- Как построить график линейного уравнения с двумя пере-
менными?
- Как определить, принадлежит ли точка с данными коорди-
натами графику уравнения с двумя переменными?
Домашнее задание: № 1046; № 1048 (в, г, д, е).
Урок 106
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: продолжить формирование умения строить графики
линейных уравнений с двумя переменными; проверить уровень
усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли решением уравнения х - 2у = 3 пара чисел:
а)(3;1); б) (7; 2);	в)(-1;-1);	г)(-1;-2)?
Принадлежит ли графику этого уравнения точки с такими
координатами?
2. Принадлежит ли графику уравнения Зх + у = 5 точка:
а)Я(1;2);	б)В(2;-3);	в)С(-1;8);	г)Г>(-2;1)?
Являются ли решением этого уравнения данные пары чисел?
II. Формирование умении
и навыков.
1. Дан график некоторого ли-
нейного уравнения с двумя пе-
ременными:
а)	Определите по графику,
какие из пар чисел (1; -2), (-2; 0),
(-3; -1), (-1; -1) являются ре-
шениями этого уравнения.
б)	Найдите несколько реше-
ний этого уравнения.
370
2.	В одной системе координат постройте графики уравнений:
а)2х + у = 3;	б)-^-х = 2;	в)0,7у = 2,1.
3.	№ 1050 (а, в).
4.	№ 1051, № 1052.
Сильным учащимся можно предложить выполнить допол-
нительно № 1154 (а, в).
Решение:
а) (х-2)(у-3) = 0.
Произведение равно ну-
лю, когда хотя бы один из
множителей равен нулю:
х - 2 = 0; или у - 3 - 0;
х = 2	у = 3.
Значит, графиком данного
уравнения служат две пря-
мые: х = 2 и у = 3.
III.	Проверочная работа.
Вари
1.	Принадлежит ли графику уравнения 2х - 5у = 1 точка:
а)у4(3;1);	б)5(-1;-1);	в)С(-2;-1)?
2.	Постройте график линейного уравнения - 4х + Зу = 6.
3.	Известно, что график уравнения х + 2у = 2 проходит через
точку А, абсцисса которой равна 2. Найдите ординату этой точки.
Вариант 2
1.	Принадлежит ли графику уравнения Зх - 4у = 2 точка:
а)^(3;1);	6)5(2; 1);	в) С (-2;-2)?
2.	Постройте график линейного уравнения - 2х + 5у = 10.
3.	Известно, что график уравнения у = jx - 5 проходит через
точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.
IV.	Итоги урока.
- Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
371
- Как построить график линейного уравнения с двумя пере-
менными?
- Как определить, принадлежит ли точка А (2; -4) графику
уравнения Зх + у = 2?
- Как найти абсциссу точки, принадлежащей графику како-
го-либо уравнения, если известна её ордината?
Домашнее задание: № 1049 (б, в, г); № 1050 (б, г); № 1148.
Урок 107
ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: ввести понятие системы уравнений с двумя пере-
менными; формировать умение решать графически системы ли-
нейных уравнений с двумя переменными.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Какие из пар чисел являются решениями уравнения
-х — у = 5?
а)(2;3); б) (-2; 3); в) (-3;-2);	г)(1;-6).
2. Даны два уравнения: х+ у = 3 их-у= 1. Какие из пар чисел
являются одновременно решением каждого из этих уравнений:
а)(1;2);	б)(-1;2);	в)(2;1); г) (-2; 5)?
II.	Объяснение нового материала.
На этом уроке следует ввести понятие системы уравнений
с двумя переменными и рассмотреть, как графически решаются
системы линейных уравнений. Вопрос о возможном количестве
решений таких систем целесообразно рассмотреть на следую-
щем уроке.
Объяснение проводить согласно пункту 42 учебника в не-
сколько этапов.
1.	Рассмотреть задачу из учебника, подводящую к понятию
системы уравнений с двумя переменными. Здесь необходимо
добиться чёткого понимания учащимися того, в чём состоит от-
личие простых уравнений с двумя переменными от их систем.
372
Можно вернуться ко второму заданию устной работы, обра-
тив внимание учащихся на то, что мы искали общее решение
двух уравнений.
2.	Ввести понятие решения системы уравнений с двумя пе-
ременными. Учащиеся должны уметь формулировать определе-
ние этого понятия.
Желательно привести примеры, показывающие, что некото-
рые пары чисел могут быть решением какого-либо одного урав-
нения системы, но не являться решением всей системы.
Пример. <
2х + у = 5,
х-у = -2.
(2; 1) - является решением 1-го уравнения системы, но не
является решением 2-го, значит, не является решени-
ем системы уравнений.
(-1; 1) - является решением 2-го уравнения системы, но не
является решением 1-го, значит, не является решени-
ем системы уравнений.
(1; 3) - является решением и 1 -го, и 2-го уравнений, значит,
является решением всей системы.
3.	Рассмотреть, как можно графически решить любую сис-
тему линейных уравнений. При этом обратить внимание уча-
щихся, что данный способ не всегда позволяет находить точные
решения системы, поэтому в дальнейшем будут изучены другие
способы.
III.	Формирование умений и навыков.
1.№ 1056.
Необходимо показать учащимся, как следует оформлять ре-
шение подобных заданий:
(х +у = 4,
[2х-у = 2.
а)х = 3,у = 1: .
3 + 1 = 4,	(4 = 4 - верно,
< <
2-3-1 = 2; [5 = 2 -неверно.
Ответ: не является.
373
4 = 4 - верно,
2 = 2 - верно.
б) х = 2, у = 2
/2 + 2 = 4,
|2-2-2 = 2;
Ответ: является.
2.	№ 1058 (а).
3.	№ 1059.
Каждый из учащихся составляет систему самостоятельно,
а затем некоторые из систем выносятся на доску. Можно устро-
ить конкурс: у кого система получилась «красивее», то есть та-
кая, которую сложнее составить.
Г0,5х + 2 у = 9,
Например: < 1
— х-2у = -3.
I 4
4.	№ 1060 (а, б).
При построении графиков учащиеся могут выражать пере-
менную у через х, а могут просто в каждое из уравнений подста-
вить некоторое значение х и находить соответствующее ему
значение у.
IV. Итоги урока.
-	Что представляет собой система уравнений с двумя пере-
менными?
-	Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
-	Является ли пара чисел (1; -2) решением системы уравне-
[Зх + у -1,
НИЙ <
2х-у = 0?
-	Как решить систему линейных уравнений с двумя пере-
менными графически?
Домашнее задание: № 1057; № 1058 (б); № 1060 (в, г).
Урок 108
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цели: продолжить формирование умения решать графиче-
ски системы линейных уравнений с двумя переменными; рас-
374
смотреть вопрос о возможном количестве решений таких сис-
тем; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (2; -5) решением уравнения:
а) 2х + у = 9;	в) -х + у - 3;
б)х-у = 7;	г)у-2х = -9?
2. Является ли пара чисел (1; 2) решением системы уравнений:
а) <
12х + у = 4,
б) У
[х- 2у = -3;
(х + 2у = 5,
в) 1
’ \2х-у = 1?
II.	Объяснение нового материала.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся. Они
должны чётко сформулировать, как графически решаются сис-
темы линейных уравнений.
Акцент делаем на то, что решением системы уравнений бу-
дет координата точки пересечения двух построенных прямых.
После этого ставим вопрос: сколько решений может иметь
система линейных уравнений и от чего это зависит? Ясно, что
система будет иметь столько решений, в скольких точках пере-
секутся графики уравнений, входящих в неё.
Спросить у учащихся: может ли система линейных уравне-
ний с двумя переменными иметь два или три решения? Очевид-
но, что нет, поскольку прямые могут пересечься только в одной
точке. Тогда задаём учащимся следующий вопрос: а как ещё
могут располагаться прямые?
Далее рассматриваем все случаи расположения двух прямых
на плоскости и зависимость этого расположения от уравнений
этих прямых. Делаем выводы и даём их учащимся под запись:
1)	Если угловые коэффициенты прямых различны, то они
пересекаются в одной точке, следовательно, система имеет
единственное решение.
2)	Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки
пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, следо-
вательно, система не имеет решений.
3)	Если уравнения прямых одинаковы, то их графики совпа-
дают, следовательно, система имеет бесконечно много решений.
375
III.	Формирование умений и навыков.
1. Решите графически систему уравнений:
2х + у = 5,
х + 2у = 0.
2. № 1062. Решение:
а) <
4у-х = 12,
Зу + х = -3;
4у = х +12,
Зу = -х - 3;
4
3
1 1
— Ф —, значит, система имеет одно решение.
4	3
1,5х = 1,
в) 1
\-Зх + 2у = -2.
1,5.x = 1 - прямая, параллельная оси у
-Зх + 2у = -2
- прямая, не параллельная оси у
система
имеет
одно
решение
'2у = -х + 3,
у = -0,5х;
у = -0,5.x +1,5,
у = -0,5х.
х + 2у = 3,
у = -0,5х;
-0,5 = -0,5
1,5 * 0
3. № 1064 (а).
Сильным учащимся можно дать дополнительное за-
дание.
г) <
=^> система не имеет решений.
4. Подберите, если возможно, такое значение к, при котором
данная система имеет единственное решение; не имеет решений;
имеет бесконечное множество решений.
[у = Зх-5,	\2у = Зх-2,	[Ах + 2у = 1,
а) Г	б) Л	вЯ
[у = Ах + 4;	[у = 1,5х + А;	[6х + 4у = 2.
Решение:
а)
у = Зх-5,
<
у = Ах+ 4.
376
Если к - 3, то прямые будут параллельны, то есть система
не будет иметь решений. В остальных случаях прямые пересе-
каются, значит, система имеет единственное решение.
2 у = 3.x-2,
б)
у = 1,5.x + к',
у = 1,5х -1,
у = 1,5.x + к.
Поскольку коэффициенты при х равны, то прямые будут ли-
бо параллельны, либо совпадать, то есть единственное решение
система иметь не может.
Если к = -1, то прямые совпадают, значит, система будет
иметь бесконечное множество решений. В остальных случаях
прямые будут параллельны, то есть система не имеет решений.
Если — = —, то есть к = 3, то уравнения системы будут
одинаковы, значит, прямые совпадают, то есть система имеет
бесконечное множество решений. В остальных случаях система
будет иметь единственное решение.
IV. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Решите графически систему уравнений:
2x-j^ = -l,
X + у = -2.
2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений
имеет система уравнений.
в)
2х-3_у = -1,
9у - 6х = 3.
Вариант 2
1. Решите графически систему уравнений:
Зх + у = 1,
[х-у = 3.
377
2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений
имеет система уравнений.
а) <
5х + у = 2,
3х-3у = 1;
f 2у - Зх - 2,
б)
19х - бу = 5;
в)
Зх - 4у - 1,
8 у - 6х - -2.
V	. Итоги урока.
-	Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
-	Является пара чисел (-1; -1) решением системы уравнений
'2х + у = -3,
< х-3у = 2?
- Как графически решить систему линейных уравнений
с двумя переменными?
- Сколько решений может иметь система линейных уравне-
ний с двумя переменными?
- Как найти количество решений системы линейных уравне-
ний с двумя переменными?
Домашнее задание: № 1061; № 1063; № 1064 (б).
Урок 109
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ
Цели: разобрать, в чём состоит способ подстановки реше-
ния систем линейных уравнений; вывести алгоритм применения
этого способа; формировать умение решать системы уравнений
способом подстановки.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:
х + у = 5,	[х + 2у = 8,	fx-y = -l,
a) 5	, б) <!	в)
х-у = 1;	[2х-у = 1;	[~х + у = 2?
2. Сколько решений имеет система уравнений:
378
II. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 43 учебника.
1.	Разобрать пример 1, сообщив учащимся, что данный спо-
соб решения систем уравнений называется способом подстановки.
2.	Дать определение равносильных систем уравнений и при-
вести их геометрическую интерпретацию.
3.	Предложить учащимся самостоятельно на основе разно-
образного примера сформулировать, в чём состоит способ под-
становки решения систем линейных уравнений.
Желательно, чтобы учащиеся записали в тетрадях алгоритм
решения систем уравнений способом подстановки. При этом
каждый шаг алгоритма должен отражаться соответствующим
действием в решении системы уравнений.
|4х + у = 2, [х-у = 3. Алгоритм		
1-й шаг. Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую		х = 3 + у.
2-й шаг. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение		4(3 + у) + у = 2, х = 3 + у.
3-й шаг. Решить полученное уравнение с одной переменной	4(3 + у) + у = 2, 12 + 4у + у = 2, 5у = -10, у = -2.	
4-й шаг. Найти соответствующее значение вто- рой переменной	х = 3 + у, х = 3 + (-2), х = 1. О т в е т: (1; -2)	
Обратить внимание учащихся, что выражать следует ту пе-
ременную, при которой стоит более «удобный» коэффициент
(в частности ±1).
Пример 2 лучше разобрать на следующем уроке.
Ш. Формирование умений и навыков.
Желательно, чтобы в течение урока учащиеся запомнили
алгоритм решения систем уравнений способом подстановки
379
и могли его применять, не обращаясь к записям в тетрадях и ра-
зобранным примерам.
1.	Выразите в уравнениях х через у и у через х.
а)х+у = 5',	в)х-3у = -6;	д)5х-2у = 0;
б)	у- х = - 2;	г)-2х+у = 3;	е)Зх + 5у = -7.
2.	№ 1068.
3.	№ 1069.
Для решения каждой системы следует вызывать к доске
по одному учащемуся. Требовать, чтобы они вслух комментиро-
вали все шаги решения.
Можно предложить учащимся такое оформление решения
систем уравнений, при котором их не нужно «тянуть» до конца
решения, а после получения уравнения с одной переменной
приступать отдельно к его решению.
у-2х = 1,
6x-v = 7;
'у = 2х +1,
< 6х-(2х +1) = 7.
6х-(2х + 1) = 7;
бх - 2х - 1 = 7;
4х = 8;
х = 2;
у = 2х + 1;
у = 2 -2+ 1 =5.
Ответ: (2; 5).
х + у = 6,	1х = 6-у,
Зх-5у = 2; [3(6-у)-5у = 2.
3(6-у)-5у = 2;
18 - Зу-5у = 2;
-8у = -16;
т = 2;
х = 6-у;
х = 6-2 = 4.
Ответ: (4; 2).
IV. Итоги урока.
- Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
380
- Какие вы знаете способы решения систем уравнений?
- Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений спо-
собом подстановки.
- Из какого уравнения системы лучше выражать переменную?
Домашнее задание: № 1070.
Урок 110
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ
Цели: продолжить формирование умения решать системы
уравнений способом подстановки; проверить первоначальный
уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
Является ли пара чисел (-3; 1) решением системы уравнений:
х + 5у = 2,
х-2у = 5?
х + 2у = -1,
X - у = -2;
II. Проверочная работа.
Вариант 1
1. Выразите в уравнении х черезуиу через х.
&)х + у = -^;	б)2х-у = 7;	в)-3х + 5у = 1.
2. Решите систему уравнений способом подстановки и сде-
лайте проверку.
х + у = 7,
2х + у = 8;
х + у = -2,
у-х = 4;
а) <
б)
а) <
б)
5а -ЗЬ = 14,
2а + 6 = 10.
Вариант 2
1. Выразите в уравнении х через уиу через х.
а)х-у = ±; б)х + 3у = 5;	в)4х-5у = -1.
2. Решите систему уравнений способом подстановки и сде-
лайте проверку.
х - у = -2,
а)
|х-2у = 4;
2с - Зр = 9,
с-2р = 5.
б)
381
III.	Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся будут решать системы уравнений,
в которых ни один коэффициент при переменных не равен ±1.
Сначала нужно разобрать пример 2 из учебника, сделать соответ-
ствующие выводы, а затем приступить к выполнению заданий.
1№1071.
Следует обратить внимание учащихся, что иногда удобнее
выражать переменную вместе с её коэффициентом.
Решение:
2и + 5v -- О,
-8w + 15v = 7;
20v + 15v = 7;
35v = 7;
2и = -5v,
-4-(-5v) + 15v = 7.
а) <
V 5;
, , 1
2w = -5 • — = -1;
5
1
и = —.
2
Ответ: —; — .
I 2 5 J
б) Здесь не получится сделать, как в предыдущей системе,
поскольку коэффициенты при переменных не являются кратными.
_ 5
5р-3q = 0, ^3q = 5p,	3
3/2+ 4^ = 29; |3/2 + 4</ = 29; |	5
i	3/2 + 4 — /2 = 29
3/2 + 4-|/2 = 29;
3-3/2 + 4-5/2 = 29-3;
9/2 + 20/2 = 29-3;
29/2 = 29-3;
р = 3>\
5	5	,	с
q = — р = — -3 = 5.
4 3	3
Ответ: (3; 5).
382
f4« + 3v = 14, [3v = 14-4w,
в)
[5z/-3v = 25; [5u-(14-4w) = 25.
5u-(14-4u) = 25;
5w-14 + 4w = 25;
9w = 39;
39 л 1
и = — - 4—;
9	3
3V = 14 _ 4.41;
3
3v = 14-17— = -3—;
3	3
5 • (5<? + 22) + 7<y =-2;
25q + 110 + 7q = -2;
32q = -]l2;
q = -3,5.
2p = 5- (-3,5)+ 22;
2/? = -17,5 +22 = 4,5;
/7 = 2,25.
Ответ: (2,25; -3,5).
2. № 1073. Решение:
Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых,
ужно решить соответствующую систему уравнений.
7х + 4у = 23, [4у = 23-7х,
8х -1 Оу = 19; [8х -1 Оу = 19;
У = -(23-7х),
8х-10— (23 - 7х) = 19.
383
8х-|(23-7х) = 19;
16х-5 (23 - 7х) = 38;
16х- 115 + 35х = 38;
51х = 153;
х = 3.
Л = |(23-7 • 3) = 1(23-21) = -!-  2 = 0,5.
4	4	4
Ответ: (3; 0,5).
IV. Итоги урока.
-	Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
-	Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений спо-
собом подстановки.
-	В каких случаях при решении системы уравнений можно
выражать переменную вместе с её коэффициентом?
Домашнее задание: № 1072, № 1074.
Урок 111
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ
Цели: закрепить умение учащихся решать системы линей-
ных уравнений способом подстановки; проверить уровень ус-
воения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (-2; -2) решением системы урав-
нений:
х + у = -4,	12х + у = —6,
б)
х-у-4;	[х-2у = 2;
х - у = 0,
-х + Зу = -8?
а) «
2. Из какого уравнения системы и какую переменную выра-
зить «удобнее»? Ответ объясните.
[2у- х = 5,
[2х + 3у = 1;
Зх + 2 у = 2,
4х - у = 3
в) <
2х + 2 у = 4,
- 4х + Зу = -2.
384
II. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся будут решать системы уравнений,
в которых до выражения одной переменной через другую пред-
варительно необходимо провести ряд преобразований.
1№ 1075.
Решение таких систем не должно вызывать затруднений
у учащихся. Достаточно открыть скобки, привести подобные
слагаемые - и система станет похожей на ранее решённые.
2.	№ 1171 (а). Решение:
(х-1)2 - (х + 2)2 = 9у,	х2 - 2х +1 -х2 -4х-4 = 9у,
(у-3)2 -(у + 2)2 =5х; [у2 -6у + 9-у2 -4у-4 = 5х;
J-6x-3 = 9y, J2x + l = -3y, (2(1-2у) + 1 = -Зу,
-10у + 5 = 5х; [-2у + 1 = х; [х = 1-2у.
2(1-2у) + 1 = -Зу;
2-4у+ 1 = -Зу;
-у = -3;
У = 3;
х = 1 - 2у;
х=1-2-3 = -5.
Ответ: (-5; 3).
3.	№ 1077.
Учащиеся уже знают, что если в линейном уравнении встре-
чаются дроби, то обе части уравнения нужно умножать на наи-
меньший общий знаменатель этих дробей.
Необходимо объяснить учащимся, что таким же приёмом
пользуются и при решении систем уравнений.
Решение:
3 2’ 2х-Зу = -24, 2(-у-2)-Зу = -24,
а) <	1	1
£ + 2 = _р \х + у = -2-, [х = -у-2.
.2 2
2 (-у - 2) - Зу =-24;
-2у - 4 - Зу =-24;
-5у = -20;
у = 4;
385

6т + 5п = 15,
3/77-35/7 = 120; [3/77 = 35/7 + 120.
2 (35/7+ 120) +5/7 = 15,
в) <
х = —у - 2;
х - - 4 - 2 = -6.
Ответ: (-6; 4).
Замечание. Обращаем внимание на опечатку: во втором
уравнении системы вместо -2 должно стоять -1.
2т
5
т
ДО
2 (35/7 + 120)+ 5/7 = 15;
70/7 + 240 + 5/7 = 15;
75/7 = -225;
/7 = -3;
3/77 = 35 • (-3)+120;
3/77 = -105 + 120 = 15;
777 = 5.
Ответ: т = 5, и = -3.
4*. Сильным учащимся дополнительно можно предложить
выполнить № 1173. Решение:
5х- 4у = 1,
Зх +1 = 13,
7х-5у = 1.
Система содержит три уравнения, а переменных всего две.
Такая система имеет решение, если общее решение двух любых
её уравнений будет являться решением третьего уравнения.
Сначала нужно решить систему из двух уравнений:
19
V=T’
х = 4.
а) <
'5x-4j/ = 1, [5х-4у = 1, [5-4-4у = 1,
’ Зх + 1 = 13;
Зх —12;
х - 4;
п	л 19 1
Подставим пару чисел I 4; — I в третье уравнение:
7 -4-5  — = 1.
4
Очевидно, что равенство будет неверным. Поэтому исходная
система решений не имеет.
386
1 lx + Зу = 1,
6) <2х + у = 3,
5х + 2у = 4.
Решим систему уравнений:
11х + 3у = 1, Jllx + 3(3-2x) = 1,
2х + у = 3; [у = 3 - 2х.
11х + 3(3-2х) = 1;
11х + 9 - бх = 1;
5х = -8;
х = -1,6;
У = 3 -2 • (-1,6);
У = 6,2.
Подставим пару чисел (-1,6; 6,2) в третье уравнение:
5 -(-1,6) + 2 -6,2 = 4;
-8+ 12,4 = 4;
4,4 = 4 - неверно.
Значит, исходная система решений не имеет.
III. Проверочная работа.
Вариант 1
1.	Решите систему уравнений
(2х-3у = 11,
[4х + 5у = -11.
2.	Не выполняя построений, найдите координаты точки пе-
ресечения графиков уравнений Зх + 7 у = 2 и 2х - 5у = 1.
3.	Решите систему уравнений
|(х + у) = 2,
у(х-у) = 1.
Вариант 2
1.	Решите систему уравнений
Зх-4у = 10,
5х + 2у = 8.
387
2.	Не выполняя построений, найдите координаты точки пе-
ресечения графиков уравнений 2х - 9 у = 1 и 5х + 2 у = 3.
3.	Решите систему уравнений
<
i(x + y) = 2.
14
IV. Итоги урока.
-	Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
-	Сформулируйте алгоритм решения системы уравнений
способом подстановки.
-	Как, не выполняя построений, найти координаты точки пе-
ресечения графиков двух уравнений?
-	Как следует начать решение системы уравнений, в которой
встречаются дробные коэффициенты?
Домашнее задание: № 1076; № 1171 (б); № 1078.
Дополнительно: № 1174.
Урок 112
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ
Цели: разобрать, в чём состоит способ сложения решения
систем линейных уравнений; вывести алгоритм применения это-
го способа; формировать умение решать системы уравнений
способом сложения.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (4; -1) решением системы уравне-
ний:
а) <
х + у = 3,
х-у = 5;
|х + Зу = 1,
б) У
[2х-у = 6;
(2х + Зу = 5,
2у = 6?
388
2. Являются ли данные системы уравнений равносильными:
[х-2у = 3,	[2у-х = -3,
4	и <
[Зх + >> = 2	[бх + 2у = 4?
II. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 44 учебника в не-
сколько этапов:
1.	На примере 1 выявить суть способа сложения решения
систем линейных уравнений.
2.	Рассмотреть вопрос о равносильности систем уравнений
и его геометрическую интерпретацию.
3.	Рассмотреть пример 2 из учебника.
4.	Вывести алгоритм решения систем линейных уравне-
ний способом сложения.
Так же, как был записан алгоритм решения систем уравне-
ний способом подстановки, учащиеся должны занести в тетради
новый алгоритм вместе с примером.
Зх + 2у = -1, 5х + 4у = -3. Алгоритм	
1-й шаг. Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффици- енты при одной из переменных стали противоположными	Г—бх - 4у = 2, [5х + 4д> = -3.
2-й шаг. Сложить почленно левые и правые час- ти уравнений системы	J-x = -1, [Зх + 2д> = -1.
3-й шаг. Решить получившееся уравнение с од- ной переменной	-х = -1, х = 1.
4-й шаг. Найти соответствующее значение вто- рой переменной	3 • 1 +2^ = -1, 2у = -4, у = -2. О т в е т: (1; -2)
Системы, в которых нужно подбирать множители к обоим
уравнениям, на этом уроке решать не нужно, поэтому пример 3
также лучше разобрать на следующем уроке.
389
J2/?-3^ = 4,
в) 1
[4/2 + 5q = -1.
III. Формирование умений и навыков.
В течение урока учащиеся должны запомнить алгоритм ре-
шения систем линейных уравнений способом сложения.
1. Умножьте одно из уравнений системы на какое-нибудь
число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить
одну из переменных.
\х-у = 7,	\а + Ь = 2,
а) <	б)
[-2х + 3у = 5;	|5а + 26 = 3;
2. № 1082.
Для решения каждой системы следует вызывать к доске
по одному учащемуся. Требовать, чтобы они вслух комментиро-
вали все шаги решения.
Необходимо показать учащимся вариант оформления реше-
ния системы уравнений способом сложения.
Решение:
[4х-7у = 30, (-1) (-4х + 7у = -30, [2у = 60,
В) 5	<	S
[4х - 5 у = 90;	[4х - 5 у = 90;	[4х - 5 у = 90.
2у = 60;
У = 30;
4х-5 • 30 = 90;
4х = 240;
х = 60.
Ответ: (60; 30).
3. № 1084 (а, б, в).
Этот номер несколько сложнее предыдущего. Учащимся
придётся подбирать множитель, который сделает коэффициенты
противоположными. Множитель лучше не
а записывать справа от уравнения.
Решение:
40х + Зу = 10,	|40х + Зу = 10,
а)
20х-7у = 5; (-2) [-40х +14j> =-10;
15у = 0;
у = 0;
«держать в уме»,
15у = 0,
20х - 7у = 5.
390
20х-7-0 = 5;
20х = 5;
1
х = —.
4
Ответ: | —; 0
U )
IV. Итоги урока.
- Какие существуют способы решения систем уравнений?
- Сформулируйте алгоритм решения систем линейных урав-
нений способом сложения.
- Сколько решений может иметь система линейных уравне-
ний?
Домашнее задание: № 1083; № 1085 (а, б).
Урок 113
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ
Цели: продолжить формирование умения решать системы
уравнений способом сложения; проверить первоначальный уро-
вень усвоения материала.
Ход урока
I.	Устная работа.
Являются ли следующие системы уравнений равносильными:
\4х-у = -2,	fy-4x = 2,
а)	<	и <
[х + у = 3	[3х + 3у = 9?
(х + 2у = -1,	(2х + 4у = -2,
б)	<	и 5
[Зх-у = 2	[бх-2у = б?
II.	Проверочная работа.
Вариант 1
1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число,
чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из пе-
ременных.
391
a) <
х + Зу = 1,
- 4x + 2y = 5;
x - у = 7,
б) Л ’
[Зх + Зу’ = 2;
[ 2х + Зу = -2,
в) 1
[5х-6_у = 4.
2. Решите способом сложения систему уравнений:
а) <
х + у = 4,
Зх-5у = 20;
б)
4т -5/1 = 1,
2т -Зп = 2.
Вариант 2
1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число,
чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из пе-
ременных.
а) <
х + 2у = 5,
-2х + 7у = -2;
х - у = 4,
б) Л ’
|3х + 2у = 1;
|5х-2_у = 3,
в) 1
[Зх + 6^ = 2.
2. Решите способом сложения систему уравнений:
х-_у = -10,
а) 1
[2х + 3^ = 15;
б)
6т + 5/1 = 1,
2т -7w = 9.
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке следует разобрать с учащимися решение сис-
тем уравнений, в которых для применения способа сложения
нужно подбирать множители для обоих уравнений системы.
Сначала необходимо рассмотреть пример 3 из учебника,
сделать выводы, а затем приступить к выполнению заданий.
1. № 1084 (г, д, е). Решение:
fl3x-12jp = 14, (3) J39x-36jy = 42, J17x = 34,
Г) [llx-4 = 18j;; (-2) [-22х + З6.у = -8; [11х-18^ = 4.
17х = 34;
х = 2;
11 • 2 - 18у = 4;
-18^ = 18;
У~ 1-
Ответ: (2; 1).
После решения подобных систем необходимо, чтобы уча-
щиеся сделали вывод: для нахождения множителей нужно
сначала узнать наименьшее общее кратное коэффициентов.
392
2.	№ 1093.
Прежде чем применять способ сложения для подобных сис-
тем уравнений, нужно избавиться от дробных коэффициентов.
Решение:
1 1 Л
т^ + т>;-2 = 0,
3	4
5х - у = 11;
(19х = 57,
[5х-;и = И-
19г = 57;
х = 3;
5-3-^ = 11;
4х + 3^ = 24, (4х + 3^ = 24,
5х-у = \\’, (3) (15х-3^ = 33;
a) <
и - 2v = -18, (-2) [-2м + 4v = 36,
2м +v = 39;
-з,
2u + v = 39;
у = 4.
Ответ: (3; 4).
'1 1
—и —v -
Г) U 3
0,2м + 0,lv = 3,9;
5v = 75,
2м + v = 39.
5v=75;
v= 15;
2м + 15 = 39;
2м = 24;
м= 12.
Ответ: (12; 15).
3.	№ 1095 (а, г).
IV. Итоги урока.
-	Сформулируйте алгоритм решения систем линейных урав-
нений способом сложения.
-	На какое число нужно умножить каждое из уравнений системы
[2х + 3_у = 7,
С л „ чтобы её можно было решить способом сложения?
рх-4_у = 2,
Домашнее задание: № 1085 (в, г); № 1094.
393
Урок 114
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ
Цели: закрепить умение учащихся решать системы урав-
нений способом сложения; разобрать, как с помощью системы
уравнений можно составить уравнение прямой, проходящей че-
рез две заданные точки; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1.	Являются ли
ними:
f2x-3y = l,
а) I
[х-у-2
следующие системы уравнений равносиль-
]Зу-2х = -1,
[4х-4^ = 8?
2х + 2у = 6,
4у - 6х - -1 ?
и
и
б)
Зх-2>’ = 1
2.	Первое уравнение системы у = 2х - 1. Подберите второе
уравнение так, чтобы полученная система:
а)	имела единственное решение;
б)	не имела решений;
в)	имела бесконечное множество решений.
П. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В 1-й группе
будут задания на закрепление умения решать системы уравне-
ний способом сложения. Во 2-ю группу войдут задания, в ко-
торых требуется написать уравнение прямой, проходящей через
две точки с данными координатами.
1-я группа
1. № 1086 (а, в). Решение:
(0,75х + 20у = 95, (5) ГЗ,75х + 100у = 475,
а) [0,32х-25>' = 7; (4)	[1,28х-100^ = 28;
[5,03х = 503,
[0,32х-25_у = 7.
394
5,03х = 503;
х = 100;
0,32- 100-25^ = 7;
-25^ = -25;
У= 1-
Ответ: (100; 1).
2. № 1092 (а).
2-я группа
1.	№ 1087 (а, в). Решение:
а) Чтобы составить уравнение прямой, нужно найти коэф-
фициенты к и Ь. Подставляя координаты данных точек М (5; 5)
и N (-10; -19) в уравнение у = кх + Ь, получим систему уравнений:
5 = 5k + b,	(5 = 5k + b, J15£ = 24,
-19 =-10Л+Л; (-1) [19 = 10£-Ь; [5к+Ь = 5.
15£ = 24;
к = 1,6;
5 • 1,6 + Z> = 5;
Z> = 5-8;
b = -3.
Получим уравнение: у = 1,6.x - 3.
2.	№ 1088.
3.	№ 1091. Решение:
Чтобы задать формулой функцию по её графику, нужно най-
ти на этом графике две любых точки и записать их координаты.
Например, А (-1; 1) и В (1; -3). Задача свелась к составлению
уравнения прямой у = кх + b, проходящей через точки А и В.
Jl = -£ + Z>, Г-2 = 2Л>,
[—3 = & + />; 1=— к + Ь.
2Ь = -2;
Ь = -\;
1 = -к- 1;
к = -2.
Получим уравнение: у = -2х - 1.
395
Сильным учащимся можно предложить дополнительно
выполнить задания на карточках.
Карточка № 1
Решите систему уравнений:
х + у + z = 6,
a) <x + y- z = 4,
х- у-z = 0;
— = 2,
— = 13.
Карточка № 2
Решите систему уравнений:
Решение заданий на карточке № 1
а) <x + y~z = 4,
х - у - z = 0.
Если сложить первое и третье уравнения системы, то полу-
чится уравнение с одной переменной:
2х = 6;
х - 3.
Подставив найденное значение х в первое и второе уравне-
ния, получим и решим систему:
f3 + y + z = 6, fy + z = 3, J2y = 4,
[3 + y-z = 4; [y-z = l; [y-z = l.
2y = 4;
У = 2;
2-z= 1;
z = 1.
Ответ: (3; 2; 1).
396
б) Сделаем замену переменных: — = а, — = Ь. Получим
х У
и решим систему уравнений:
5a-6Z> = 2, (-2) (~10a + 12b =-4, (ЗЬ = 9,
10a-9b = 13;	[10a-9Z> = 13;	[5a-6Z> = 2.
3b = 9;
b = 3\
5a - 6 • 3 = 2;
5a = 20;
a = 4.
Вернёмся к замене: — = 4, значит, х = —;
х	4
1 о	1
— = 3, значит, у = —.
У	3
III. Проверочная работа.
Вариант 1
Решите систему уравнений.
J2x-3(2y> +1) = 15,
[3(х + 1) + 3.у = 2.у-2;
2х+-1 2у + 2 1
-----+ —-----= ~,
7	5	5
б) 1
Зх-2 у + 4 л
-----4- ---= 4.
. 2	4
Вариант 2
Решите систему уравнений.
Зх-2(Зу + \) = -2,
2(х4-1)-1 = 3^-1;
б)
г 3x4-1 2у-1 2
5 + 3 ~5’
Зх-2 у - 3 ,
-----+ ----= 1.
а) «
IV. Итоги урока.
- Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
397
- Какие существуют способы решения систем уравнений?
- Опишите, в чем состоит каждый из трёх способов решения
систем уравнений.
- Любую ли линейную систему уравнений можно решить
графически? способом подстановки? способом сложения?
Домашнее задание: № 1086 (б, г); № 1087 (б, г); № 1089;
№ 1092 (б).
Урок 115
СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ПО УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
Цели: изучить способ решения задач с помощью состав-
ления систем уравнений; формировать умение составлять сис-
темы уравнений по условию задачи и решать их.
Ход урока
I. Устная работа.
[2х— у -1,
Какое из уравнений нужно записать в систему <
чтобы она имела единственное решение? не имела решений?
имела бесконечное множество решений?
а) у + Зх - 7;	в) у - 2х = 3;
6)4x-2j> = 2;	r)jx = 5.
П. Объяснение нового материала.
Сначала следует вспомнить, в чём заключается способ ре-
шения задач с помощью составления уравнения, а затем пока-
зать, что задачи могут решаться и с помощью составления сис-
темы уравнений.
Разобрав примеры решения задач, учащиеся должны сфор-
мулировать действия, которые необходимо выполнить, чтобы
решить задачу с помощью составления системы уравнений.
398
III. Формирование умений и навыков.
Сначала необходимо дать учащимся несколько заданий
на составление системы уравнений по условию задачи, а затем
уже переходить непосредственно к решению задач.
1.	Запишите с помощью системы уравнений следующую си-
туацию:
а)	Сумма двух чисел равна 17. Одно из них на 7 меньше дру-
гого.
б)	Периметр прямоугольника равен 400 м. Его длина в 3 раза
больше ширины.
в)	Четыре боксёра тяжёлого веса и пять боксёров лёгкого ве-
са вместе весят 730 кг. Спортсмен тяжелого веса весит на 70 кг
больше спортсмена лёгкого веса.
г)	Таня заплатила за 3 тетради и 2 карандаша 58 р., а Лена
за 3 такие же тетради и 1 карандаш - 78 р.
2.	№ 1099, № 1101.
3№1103.
4.	№ 1104. Решение:
Пусть ослица несла х мешков, а мул нёс у мешков. Если ос-
лица отдаст 1 мешок мулу, то у неё останется х - 1 мешок,
а у мула станет у + 1 мешок. По условию у мула станет в 2 раза
больше мешков, чем у ослицы, то есть получим уравнение:
у+ 1 = 2(х- 1).
Если мул отдаст 1 мешок ослице, то у него останется у - 1
мешок, а у ослицы станет х + 1 мешок. По условию в этом слу-
чае количество мешков у них станет равным, то есть получим
уравнение: у - 1 = х + 1.
В итоге имеем систему уравнений:
y + \ = 2(x-V), \у-2х = —3, [х + 2-2х = -3,
1	it
у,-1 = х + 1; [у-х = 2;	[j> = x + 2.
х + 2 - 2х = -3;
-х = -5;
х — 5;
399
,у = 5 + 2;
У = ^-
Ответ: 5и7 мешков.
IV. Итоги урока.
- Какие существуют способы решений систем уравнений
с двумя переменными? Опишите каждый из них.
- Как решаются задачи с помощью составления системы
уравнений?
- Придумайте ситуацию, которая описывается следующей
х + у = 30,
х-у = 4.
системой уравнений: <
Домашнее задание: № 1100, № 1102, № 1105.
Урок 116
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ»
С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Цели: продолжить формирование умения решать задачи
с помощью систем уравнения, уделив особое внимание задачам
«на движение»; проверить уровень усвоения материала.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Являются ли данные системы уравнений равносильными:
	х - у = 5,	у-х = -‘5,
а) *	и	
	2х + у - 3	4х + 2у = 6?
	х + ^ = 2,	Зх + Зу = 6,
б) <	и	
	Зх - у = 1	6х-2^ = 3?
2. Придумайте ситуацию, которая описывается следующей
системой уравнений:
а)
х + у = 26,
х-у = 5;
б)
2х + Зу = 54,
х-у = 2.
400
II. Формирование умений и навыков.
Сначала необходимо актуализировать знания учащихся. Они
должны вспомнить, как используется таблица при решении за-
дач «на движение» и какая существует зависимость между ве-
личинами S, V и t.
1.	№ 1108.
2.	№ 1110. Решение:
Обозначим скорости автомобилей через х км/ч и у км/ч. Вы-
делим процессы: движение автомобилей навстречу друг другу
и движение в одном направлении. Соответственно заполним две
таблицы.
Движение навстречу
	5	V	t
1-й автомобиль	2х км	х км/ч	2 ч
2-й автомобиль	2у км	у км/ч	2 ч
Получаем уравнение: 2х + 2у = 280.
Движение в одном направлении
	5	V	t
1-й автомобиль	14х км	х км/ч	14 ч
2-й автомобиль	14jv км	у км/ч	14 ч
Получаем уравнение: 14х - 14у = 280.
Составим и решим систему уравнений:
2х + 2у = 280, х + у = 140, 2.x = 160,
14х-14у = 280; х-у = 20; х-у = 20.
2х= 160;
х = 80;
80—у = 20;
у = 60.
Ответ: 80 км/ч и 60 км/ч.
3.	№ 1111.
401
4.	№ 1113. Решение:
Пусть х км/ч - собственная скорость теплохода, а у км/ч -
скорость течения реки. Выделим процессы: движение теплохода
по течению и против течения реки в первом и во втором случаях.
	S	V	t
По течению	3(х + у) км	(х + у) км/ч	3 ч
Против течения	4(х у) км	(х - у) км/ч	4 ч
Получим уравнение: 3(х + у) + 4(х - у) = 380.
	5	V	t
По течению	(х + у) км	(х + у) км/ч	1 ч
Против течения	0,5(х-у) км	(х -у) км/ч	0,5 ч
Получим уравнение: (х + у)+ 0,5(х-у) = 85.
Составим и решим систему уравнений:
J3(x + у) + 4(х - у} = 380, Зх + Зу + 4х - 4у = 380,
[(х + у) + 0,5(х - у) = 85; х + у + 0,5х - 0,5у = 85;
7х-у = 380, J7x-у = 380, Jl0x = 550,
1,5х + 0,5у = 85; Зх + у = 170; Зх + у = 170.
10х = 550;
х = 55;
3 • 55 +у= 170;
у= 170- 165;
у = 5.
Ответ: 55 км/ч и 5 км/ч.
111. Проверочная работа.
Вариант 1
1. У Толи 18 монет по 2 р. и по 5 р. на сумму 97 р. Сколько
монет каждого достоинства у Толи?
2. Поезд прошёл первый перегон за 2 ч, а второй за 3 ч. Все-
го за это время он прошёл 330 км. Найдите скорость поезда
на каждом перегоне, если на втором перегоне она была
на 10 км/ч больше, чем на первом.
402
Вариант 2
1. У Лены 8 монет по 10 р. и 5 р. Сколько у неё десятирублё-
вых и сколько пятирублёвых монет, если всего у неё 65 р.?
2. Туристы прошли 24 км, причём 3 ч дорога шла в гору,
а 2 ч - под гору. С какой скоростью туристы шли в гору и с ка-
кой под гору, если на первом участке их скорость была на 2 км/ч
меньше, чем на втором?
IV. Итоги урока.
- Как решаются задачи с помощью систем уравнений?
- Как используется таблица при решении задач «на движе-
ние»?
Домашнее задание: № 1106, № 1109, № 1112.
Урок 117
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Цели: закрепить умение учащихся решать задачи с помо-
щью систем уравнений; подготовить учащихся к контрольной
работе.
Ход урока
I. Устная работа.
Придумайте задачу, для решения которой нужно составить
[5х + Пу = 45,
систему уравнений: <
[у— х ~ 3.
II. Формирование умений и навыков.
1.	№ 1107. Решение:
Пусть первый автомат изготовлял в час х деталей, а второй -
у деталей. Заполним таблицу:
А	к работа	производительность	t время
Первый автомат	Зх дет.	х дет./ч	3 ч
Второй автомат	Пу дет.	у дет./ч	2 ч
Совместная работа 2(х + у) дет.	(х + у) дет./ч	2 ч
403
Составим и решим систему уравнений:
J3x + 2 у = 720, J Зх + 2 у = 720, J3x + 600 - 2х = 720,
[2(х + у) = 4 • 150; [2х +2_у = 600; [2у = 600-2х.
Зх + 600-2х = 720;
х= 120;
2у = 600-2 • 120 = 360;
у = 180.
Ответ: 120 и 180 деталей.
2.	№ 1115. Решение:
Пусть слиток золота весит х г, а слиток серебра весит у г.
Согласно условию 9 слитков золота и 11 слитков серебра весят
одинаково. Получим уравнение: 9х = 11у.
После того как поменяли местами один слиток золота с од-
ним слитком серебра, на левой чаше оказалось 8 слитков золота
и 1 слиток серебра, их общая масса равна (8х + у) г. На правой
чаше стало 10 слитков серебра и 1 слиток золота, их общая мас-
са равна (1 Оу + х) г. По условию левая чаша на 13 г легче пра-
вой, значит, получим уравнение: (10у + х) - (8х +у) =13.
Составим и решим систему уравнений:
9х = 11 у,	(9х = 11у,
10у + х-(8х + у) = 13; 9у-7х = 13;
9у-7-Уу = 13.
9у- — у = 13;
81у-77у= 117;
4у= 117;
У = 29,25;
И 117
х = — •--;
9 4
х = 35,75.
Ответ: 35,75 г и 29, 25 г.
404
3.	№ 1118. Решение:
Пусть первая бригада по плану за месяц должна была изго-
товить х деталей, а вторая бригада - у деталей. По условию вме-
сте они должны за месяц изготовить 680 деталей, то есть полу-
чим уравнение: х + у = 680.
Первая бригада, перевыполняя план, изготовила за месяц
на 0,2х деталей больше, а вторая - на 0,15у деталей больше.
По условию сверх плана было изготовлено 118 деталей, то есть
получим уравнение: 0,2х + 0,15у = 118.
Составим и решим систему уравнений:
х + у = 680, Jx = 680-y,
<	0,2х + 0,15у = 118; [0,2(680 - у) + 0,15у = 118.
0,2(680 - у) + 0,15у = 118;
136 - 0,2у + 0,15у = 118;
-	0,05у = -18;
у = 360;
х = 680 - 360;
х = 320.
Ответ: 320 и 360 деталей.
Если останется время, можно предложить учащимся задачи
повышенного уровня сложности.
4*. № 1120. Решение:
Пусть на вклад «Депозитный» клиент положил х р., а на вклад
«До востребования» -у р.
По условию всего клиент положил в банк 45000 р., то есть
получим уравнение: х + у = 45000.
Доход от вклада «Депозитный» составил 9 %, то есть 0,09 х р.,
а от вклада «До востребования» 1 %, то есть 0,01у р. Общий до-
ход клиента по условию равен 3410 р., значит, получим уравне-
ние: 0,09х + 0,01у = 3410.
Составим и решим систему уравнений:
Jx + y = 45000,	fx+y = 45000,
’ 0,09х + 0,01у = 3410; (100) |9х + у = 341000;
405
у = 45000 - х,
9х + 45000-х = 341000.
9х +45000-х = 341000;
8х = 296000;
х = 37000;
у = 45000 - 37000;
у = 8000.
Ответ: 37000 р. и 8000 р.
5*. № 1121. Решение:
Пусть 10%-ного раствора нужно взять х г, а 15 %-ного -у г.
Всего нужно получить 80 г раствора, то есть получим урав-
нение: х +у = 80.
В х г 10 %-ного раствора содержится 0,1х г соляной кислоты,
а в у г 15 %-ного раствора - 0,15у г соляной кислоты. В резуль-
тате получили 80 г 12 %-ного раствора, в нём соляной кислоты
80 • 0,12 = 9,6 г. Получим уравнение:
0,1х + 0,15у = 9,6.
Составим и решим систему уравнений:
х + у = 80, Jx + y = 80, Jx = 80-y,
0,1х + 0,15у = 9,6; х + 1,5у = 96; 80-у + 1,5у = 96.
80 — у + 1,5у = 96;
0,5у = 16;
У	= 32;
х = 80 - 32 ;
х = 48.
Ответ: 48 г и 32 г.
111. Итоги урока.
- Что называется решением системы уравнений с двумя пе-
ременными?
- Какие существуют способы решения систем уравнений?
Опишите каждый из них.
- Как решить задачу с помощью системы уравнений?
Домашнее задание: № 1114; № 1116; № 1117.
Дополнительно:.^ 1122.
406
Урок 118
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9
Вариант 1
4х + у = 3,
1.	Решите систему уравнений: <
[бх - 2у = 1.
2.	Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций
по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала ку-
пил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.?
[2(Зх + 2у) + 9 = 4х + 21,
3.	Решите систему уравнений /
|2х + 10 = 3-(6х + 5у).
4.	Прямая у = кх + b проходит через точки А (3; 8) и В (-4; 1).
Напишите уравнение этой прямой.
5.	Выясните, имеет ли решение система и сколько:
Зх - 2у = 7,
бх - 4у = 1.
Вариант 2
1. Решите систему
13х-у = 7,
уравнений <
[2х + 3у = 1.
2.	Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1 ч по шоссе,
всего он проехал 40 км. Скорость его на шоссе была на 4 км/ч
больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью ве-
лосипедист ехал по шоссе и с какой скоростью по лесной дороге?
[2(3х - у) - 5 - 2х - Зу,
3.	Решите систему уравнений <
|5-(х-2у) = 4у + 16.
4.	Прямая у - кх + b проходит через точки А (5; 0) и В (-2; 21).
Напишите уравнение этой прямой.
5.	Выясните, имеет ли решение система и сколько:
5х-у = 11,
-10х + 2у = -22.
407
Вариант 3
1.	Решите систему уравнений
4х + Зу = 2,
х-4у = -9.
2.	На турбазе имеются палатки и домики, вместе их 25.
В каждом домике живут 4 человека, а в палатке - 2 человека.
Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если турбаза
рассчитана на 70 человек?
3.	Решите систему уравнений
3(2х + у) - 26 = Зх - 2у,
15 - (х - Зу) = 2х + 5.
4.	Прямая у = кх + b проходит через точки Л (10; -9) и В (-6; 7).
Напишите уравнение этой прямой.
5.	Выясните, имеет ли решение система и сколько:
5х-3у = 8,
* 15х-9у = 8.
Вариант 4
1.	Решите систему уравнений
Зх - 2 у = 16,
х + 4у - -4.
2.	За 15 акций компании «Трансгаз» и 10 акций компании
«Суперсталь» заплатили 35000 р. Сколько стоит одна акция ка-
ждой компании, если акция «Трансгаза» на 1000 р. дешевле ак-
ции «Суперстали»?
3. Решите систему уравнений
4х - у - 24 = 2(5х - 2у),
\Зу-2 = 4-(х-у).
4.	Прямая у = кх + b проходит через точки А (-2; 11) и В (12; 4).
Напишите уравнение этой прямой.
5.	Выясните, имеет ли решение система и сколько:
4х-у = 7,
2у + 14 = 8х.
408
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
у = 3 - 4х,
6х-2(3-4х) = 1.
\4х + у = 3,
1J i
[бх-2у = 1;
6х-2(3-4х)= 1;
6х - 6 + 8х = 1;
14х = 7;
х = 0,5;
у = 3-4-0,5;
У = 1-
Ответ: (0,5; 1).
2.	Пусть г-н Разин купил х облигаций по 2000 р. и у облига-
ций по 3000 р.
По условию всего он купил 8 облигаций, то есть получим
уравнение: х + у = 8.
За облигации номинала 2000 р. предприниматель заплатил
2000 х р., а за облигации номинала 3000 р. заплатил ЗОООу р.
Всего за облигации было заплачено 19000 р., то есть получим
уравнение: 2000% + ЗОООу = 19000.
Составим и решим систему уравнений:
1х + у = 8,
[2000х + 3000у = 19000;
2000 (8 - у) + ЗОООу = 19000;
16000 - 2000у + ЗОООу = 19000;
1000у = 3000;
у = 3;
х = 8 - 3;
х = 5.
Ответ: 5 облигаций по 2000 р. и 3 облигации по 3000 р.
[2(Зх + 2у) + 9 = 4х + 21, [бх + 4у + 9 = 4х + 21,
3.	<
2х +10 = 3 - (6х + 5 у);
2х + 4у = 12, Jx + 2y = 6.
8х + 5у = -7; 8х + 5у = -7; |8(6-2у) + 5у = -7.
х = 8 - у,
2000 (8 - у) + ЗОООу = 19000.
2х +10 = 3 - 6х - 5 у;
, \х = 6-2у,
409
8(6-2у) + 5у =-7 ;
48- 16y + 5y = -7;
-lly = -55;
x = 6 - 2 • 5;
x = -4.
Ответ: (-4; 5).
4.	Подставляя координаты точек А и В в уравнение у - кх + b,
получим систему уравнений:
'Зк + Ь = Ъ, (b = 8-3k,
-4k+b = \; [-4k + S-3k = \.
-4к + 8-Зк = \;
-7к = -7;
к= 1;
6 = 8-3;
6 = 5;
у = х + 5.
От вет: у = х + 5.
5. Выразим в каждом уравнении системы у через х и сравним
коэффициенты к и 6:
[ _3 _7
J3x-2y = 7, J2y = 3x-7x, ? ~ 2* 2’
6х - 4 у = 1; 4 у = 6х -1;	3	1
1	1	у = —х—.
Г 2	4
Так как коэффициенты к равны, а 6 не равны, то прямые па-
раллельны. Значит, система не имеет решений.
Ответ: не имеет.
Вариант 2
I Зх-у = 7, у = Зх-7,
2х + 3у - 1; 2x + 3(3x-7) - 1.
2х + 3(Зх-7) = 1;
2х + 9х-21 = 1;
410
Их = 22;
х = 2;
у = 3-2-7;
у = -1.
Ответ: (2; -1).
2.	Пусть по лесной дороге велосипедист ехал со скоростью
х км/ч, а по шоссейной - со скоростью у км/ч.
На шоссе его скорость была на 4 км/ч больше, поэтому по-
лучим уравнение: у - х = 4.
За 2 ч по лесной дороге и 1 ч по шоссе велосипедист проехал
(2х + у) км, по условию всего он проехал 40 км. Получим урав-
нение: 2х +у = 40.
Составим и решим систему уравнений:
У~х-4, (у = 4 + х,
2х + у = 40; 2х + 4 + х = 40.
Зх + 4 = 40;
Зх ~ 36;
х = 12;
у = 4+12;
У = 16.
Ответ: 16 км/ч и 12 км/ч.
5 - х + 2 у = 4у +16;
2(3х - у) - 5 = 2х - Зу, бх - 2у - 5 = 2х - Зу,
3‘ [5-(х-2у) = 4у + 16;
4х + у = 5, (у = 5- 4х,
\х + 2у = -11; [х + 2(5-4х) = -11.
2 (5-4х) + х =-11;
10 - 8х + х = -11;
-7х = -21;
х = 3;
у = 5-4-3;
у = -7.
Ответ: (3;-7).
411
4.	Подставляя координаты точек А и В в уравнение у = кх + Ь,
получим систему уравнений:
5к + Ь = О, Ь = -5к,
\-2к + Ь = 2\‘ [-2к-5к = 2\.
-7/: = 21;
к = -3;
6 = -5 - (-3);
Ь = 15.
Ответ :у = -3х + 15.
5.	Выразим в каждом уравнении системы у через х и сравним
коэффициенты кнЬ\
J5x-y = ll, fy = 5x-ll, (у = 5х-11,
[-10х + 2у =-22; [2у = 10х-22; у = 5х -11.
Получили два одинаковых уравнения, значит, система имеет
бесконечное множество решений.
Ответ: имеет бесконечное множество решений.
Вариант 3
, [4х + 3у = 2, |4(4у-9) + Зу = 2,
1-1 1
х-4у = -9; [х = 4у-9.
4(4у-9) + Зу = 2;
16г - 36 + Зу = 2;
19у = 38;
У = 2;
х = 4-2-9;
х = -1.
Ответ: (-1; 2).
2. Пусть на турбазе х палаток и у домиков.
По условию их всего 25, то есть получаем уравнение:
х + у = = 25.
В домиках живут 4у человек, а в палатках 2х человек. Всего
на турбазе находится 70 человек. Получим уравнение:
2х + 4у = = 70.
412
Составим и решим систему уравнений:
х-1-у = 25,	|х4-у = 25, |х = 25-у,
2х-ь4у = 70; х4-2у = 35; 25 - у + 2у = 35.
25 + у = 35;
У =10;
х = 25 - 10;
х = 15.
Ответ: 15 палаток и 10 домиков.
3 13(2х + у) - 26 = Зх - 2у,
15-(х-Зу) = 2х + 5;
6х + Зу - 26 = Зх - 2у,
15-х + Зу = 2х + 5;
Зх-ь5у = 26,
-Зх-ь Зу = -10;
8у=16;
у = 2;
3x4- 10 = 26;
Зх= 16;
8у = 16,
Зх-ь 5у = 26.
Ответ: 5—;2
I 3
4.	Подставляя координаты точек А и В в уравнение у = кх 4- b,
олучим систему уравнений:
'\0k + b = -9, lb = -9-10k,
-6к + Ь = 7; [-6£ + (-9-10£) = 7.
-6к - 9 - ЮЛ = 7;
-16£= 16;
к = -\;
6 = -9-10(-1);
Z>= 1.
Ответ:у = -х4- 1.
413
5.	Выразим в каждом уравнении системы у через х и сравним
коэффициенты к и Ь:
|5х-3у = 8, j3y = 5x-8,
15х-9у = 8; 9у = 15х-8;
Так как коэффициенты к равны, а b не равны, то прямые па-
раллельны. Значит, система не имеет решений.
Ответ: не имеет.
Вариант 4
[Зх-2у = 16, (3(-4у-4)-2у = 16,
1. < 1
х + 4у = -4; [х - -4у - 4.
3(-4у-4)-2у = 16;
-12у- 12 - 2у = 16;
-14у = 28;
у = -2;
х = -4(-2)-4;
х = 4.
Ответ: (4; -2).
2. Пусть одна акция «Трансгаза» стоит х р., а одна акция
«Суперстали» стоит у р.
Известно, что акция «Трансгаза» на 1000 р. дешевле, поэто-
му получим уравнение: у - х = 1 000.
За 15 акций «Трансгаза» было заплачено 15х р., а за 10 акций
«Суперстали» - Юг р. Известно, что всего заплатили 35000. По-
лучим уравнение: 15х + 10у = 35000.
Составим и решим систему уравнений:
у-х = 1000,	(у = 1000 + х,
15 х + 1 Оу = 35000; [ 15х +10 (1000 + х) = 35000.
15х-Ы0 (1000 + х) = 35000;
15x4- 10000+ 10х = 35000;
25х = 25000;
х= 1000;
414
у = 1000+ 1000;
у = 2000.
Ответ: 1 000 р. и 2000 р.
3.
4х-у-24 = 2(5х-2у),
Зу-2 = 4-(х-у);
4х - у - 24 = 1 Ох - 4у,
Зу-2 = 4-х + у;
-	6х + Зу = 24,
х + 2у = 6;
-	2х + у = 8,
х + 2у = 6;
у = 2х + 8,
х + 2 (2х + 8) = 6
х + 2 (2х + 8) = 6;
х + 4х + 16 = 6;
5х = -10;
х = -2;
у = 2-(-2) + 8;
У = 4.
Ответ: (-2; 4).
4. Подставляя координаты точек Л и В в уравнение у = кх + b,
получим систему уравнений:
-2к + Ь = \1, [Ь = 2к + \],
< 12£ + Ь = 4;	|\2к + 2к +11 = 4.
V 	7 к
14Л + 11 = 4;
14)1 =-7;
к = -0,5;
6 = 2 • (-0,5) + 11;
6= 10.
О т в е т: у = -0,5х + 10.
5. Выразим в каждом уравнении системы у через х и сравним
коэффициенты киЬ'.
|4х-у = 7, Гу = 4х-7, 1у = 4х-7,
[2у + 14 = 8х; [2у = 8х-14; у = 4х-7.
Получили два одинаковых уравнения, значит, система имеет
бесконечное множество решений.
Ответ: имеет бесконечное множество решений.
415
Урок 119
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ИХ СИСТЕМЫ
Цели: ввести понятия линейного неравенства с двумя пе-
ременными и системы таких неравенств; формировать умение
их решать.
Ход урока
I. Актуализация знаний.
Необходимо, чтобы учащиеся сначала вспомнили, что такое
неравенство, как оно записывается и как читается. Также они
должны знать, что неравенства бывают верными и неверными.
Задание. Какие из следующих неравенств верные, а какие
неверные:
а) 5 <7,1;	в)-<0,25;	д)-1,63 >-2,1;
4
б)-4 > 2;	г) —10<—15;	е) -| > -0,9?
Далее нужно дать задание, в котором раскрывается понятие
решения неравенства с одной переменной.
Задание. Какие из следующих чисел являются решением
неравенства 2х +1< 4:
-3; 2; 0; 2,7; -1-; 1-; -2,5?
4	3
II. Изучение нового материала.
Изучение проходит согласно пункту 46 учебника в несколь-
ко этапов.
1.	Ввести понятие неравенства с двумя переменными и его
решения.
2.	Привести примеры неравенств с двумя переменными и по-
казать графическую иллюстрацию их решения.
3.	Ввести понятие системы неравенств с двумя перемен-
ными и её решения.
4.	Показать, как на координатной плоскости отыскивается
решение системы неравенств.
416
III. Закрепление изученного материала.
1.№ 1128.
2. № ИЗО. Решение:
б)
У >х-2,
<
у < х + 3.
417
У -2х + 4,
У < X + 1.
5.	№ 1135. Решение:
У -0,5х + 2,
< У >0,
у>0.
5=1.4.2 = 4.
2
IV. Итоги урока.
Домашнее задание: № 1129, № 1131, № 1134, № 1136.
Уроки 120-125
ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ
Обобщающее повторение проводится по следующим темам:
1.	Линейное уравнение с одной переменной.
2.	Системы линейных уравнений с двумя переменными.
3.	Линейная функция и её график.
4.	Степень с натуральным показателем. Одночлен.
5.	Многочлены и действия с ними.
6.	Формулы сокращенного умножения.
Желательно обобщающее повторение проводить в виде кол-
лективного решения контрольно-измерительных материалов
(КИМ) по выделенным темам (см. список литературы на с. 426 по-
собия).
418
Урок 126
ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
1.	Упростите выражение (а + 6)2 - 2я(3 - 2а).
[5х-2у = 11,
2.	Решите систему уравнений <
[4х-у = 4.
3.	а) Постройте график функции у = 2х - 2.
б)	Определите, проходит ли график функции через точку
А (-10;-20).
4.	Разложите на множители:
а) 2а4Ь3 - 2 а'h3 + 6aV;	б) х2 - Зх - Зу - у2.
5.	Из пункта А вниз по реке отправился плот. Через 1 ч на-
встречу ему из пункта В, находящегося в 30 км от Л, вышла мо-
торная лодка, которая встретилась с плотом через 2 ч после сво-
его выхода. Найдите собственную скорость лодки, если ско-
рость течения реки 2 км/ч.
Вариант 2
1.	Упростите выражение (х - 2)2 - (х - 1)(х + 2).
[Зх + 5 у = 12,
2.	Решите систему уравнений <
|х- 2у = -7.
3.	а) Постройте график функции у = -2х + 2.
б)	Определите, проходит ли график функции через точку
А (10;-18).
4.	Разложите на множители:
а) Зх’у3 + Зх2/ - бху2;	б) 2а + а2 - Ь2 - 2Ь.
5.	Из поселка на станцию, расстояние между которыми
32 км, выехал велосипедист. Через 0,5 ч навстречу ему со стан-
ции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5 ч
после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста
на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость
каждого из них.
419
Вариант 3
1. Упростите выражение 2х(2х + Зу) - (х + у)2.
2
Решите систему уравнений
4х - у - 9,
Зх + 1 у = -1.
3.	а) Постройте график функции у = 2х + 2.
б)	Определите, проходит ли график функции через точку
А (-10;-18).
4.	Разложите на множители:
а) 2а3х3 - 2а3х2 -10а2х;	б) а2 + 5а+ 5Ь-Ь2.
5.	Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км,
вышел пешеход. Через 0,5 ч навстречу ему из пункта В вышел
второй пешеход и встретился с первым через 1,5 ч после своего
выхода. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что
скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго.
Вариант 4
1. У простите выражение (у - 4)(у + 2) - (у - 2)2.
2
Решите систему уравнений
х + 8 у = -6,
5х-2у = 12.
3. а) Постройте график функции у = -2х - 2.
б) Определите, проходит ли график функции через точку
А (10; -20).
4. Разложите на множители:
а) Зх3у3 -Зх4 5у2 + 9х2у;	б) 2х-х2 + у2 +2у.
5. Из пункта А вверх по течению к пункту В, расстояние
до которого от пункта А равно 35 км, вышла моторная лодка.
Через 0,5 ч навстречу ей из пункта В отплыл плот и встретил
моторную лодку через 1,5 ч после своего отправления. Найдите
собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
420
Решение заданий контрольной работы
Вариант 1
1. (а + 6)2 - 2я(3 - 2d) = а2 +12а + 36 - 6а + 4а2 = 5а2 + 6а + 36.
5х-2у = 11
4х - у = 4;
2. /
5х -2(4х- 4) = 11,
у = 4х - 4.
5х-2(4х-4) = 11;
5х - 8х + 8 - 11;
-Зх = 3;
х = -1;
д, = 4-(-1)-4;
у = -8.
Ответ: (-1; -8).
3.	а) График функции у = 2х - 2:
б)	Л (-10;-20):
-20 = 2-(-10)-2;
-20 = -22 - неверно.
Ответ: не проходит.
4.	a) 2a*b3 - 2aW + 6а2Ь2 =
= 2a2b2(a2b-ab2 +3)\
б)	х2 -Зх-Зу - у2 = (х2 - у2) - (Зх + 3у) = (х-у)(х + у)-
-3(х + у) = (х + у)(х - у - 3).
5.	Пусть собственная скорость лодки х км/ч. Выделим про-
цессы: движение плота из пункта А до встречи с лодкой и дви-
жение лодки из пункта В до встречи с плотом.
Заполним таблицу:
	5	V	t
Плот	6 км	2 км/ч	3 ч
Лодка	2(х - 2) км	(х - 2) км/ч	2 ч
421
Составим и решим уравнение:
6 + 2(х - 2) = 30;
6	+ 2х - 4 = 30;
2х = 28;
х = 14.
Ответ: 14 км/ч.
Вариант 2
1. (х — 2)2 — (х — 1)(х + 2) = х2 - 4х + 4 - х2 - 2х + х + 2 -
= -5х + 6.
Зх + 5 у = 12,
х-2у - -7;
3(2у -7) + 5у = 12,
х = 2у - 7.
3(2у - 7) + 5у = 12;
бу-21 +5у= 12;
11у = 33;
у = 3;
х = 2 • 3-7;
х = -1.
Ответ: (-1; 3).
3.	а) График функции у = -2х + 2:
б) А (10;-18):
-18 = -2 -10 + 2;
-18 = -18 - верно.
Ответ: проходит.
4.	а) Зх3у3 + Зх2у4 - бху2 = Зху2 (х2у + ху2 - 2);
б) 2а + a2 -b2 -2b = (2a-2h) + (a2 -b2) = 2(a-b) +
+(а - b)(a + Ь) = (а- Ь)(2 + а + Ь).
5.	Пусть скорость велосипедиста х км/ч, тогда скорость мо-
тоциклиста (х + 28) км/ч. Выделим процессы: движение велоси-
педиста до встречи с мотоциклистом и движение мотоциклиста
до встречи с велосипедистом.
422
Заполним таблицу:
	5	V	t
Велосипедист	X КМ	х км/ч	1 ч
Мотоциклист	0,5 (х + 28) км	(х + 28) км/ч	0,5 ч
Составим и решим уравнение:
х + 0,5 (х + 28) = 32;
х + 0,5х + 14 = 32;
1,5х -- 18;
х= 12.
Получаем, что скорость велосипедиста равна 12 км/ч, тогдг
скорость мотоциклиста равна 12 + 28 = 40 км/ч.
Ответ: 12 км/ч и 40 км/ч.
Вариант 3
у = 4х - 9,
Зх + 7(4х-9) =-1.
1. 2х(2х + Зу) — (х + у)2 = 4х2 + бху-х2 -2ху-у2 =
= 3х2 + 4ху-у2.
(4х - у = 9,
2 J	\
[Зх + 7 у = -1;
Зх + 7(4х-9) = -1;
Зх + 28х - 63 = -1;
31х = 62;
х = 2;
у = 4’2-9;
у = -1.
Ответ: (2; -1).
уА
3.	а) Г рафик функции у = 2х + 2:
б)	А (-10; -18):
-18 = 2-(-10) +2;
-18 = -18 - верно.
Ответ: проходит.
423
4.	а) 2a3x3 - 2я3х2 - 10а2х = 2а2х(ах2 - ах - 5);
б) а2 + 5а + 5Ь - Ь2 = (а2 -Ь2) + (5а + 5Ь) = (а- Ь)(а + Ь) +
+ 5(а + b) = (a + b)(a - b + 5).
5.	Пусть скорость первого пешехода равна х км/ч, тогда ско-
рость второго пешехода (х + 2) км/ч.
Рассмотрим движение обоих пешеходов до встречи.
Заполним таблицу:
	5	V	t
Первый пешеход	2х км	х км/ч	2 ч
Второй пешеход	1,5(х + 2) км	(х + 2) км/ч	1,5 ч
Составим и решим уравнение:
2х + 1,5(х + 2) = 17;
2х + 1,5х + 3 = 17;
3,5х - 14;
х = 4.
Получаем, что скорость первого пешехода равна 4 км/ч, то-
гда скорость второго равна 6 км/ч.
О т в е т: 4 км/ч и 6 км/ч.
Вариант 4
1. (у-4)(у + 2)-(у-2)2 = у2+2у-4у-8-у2+4у-4 =
= 2^-12.
2. /
х + 8 у = -6,
5х-2у = 12;
х - -8у-6,
< 5(-8у-6)-2у = 12.
5(-8у-6)-2у = 12;
-40у-30-2у = 12;
-42у = 42;
у = -1;
X = -8 • (-1) - 6;
х = 2.
Ответ: (2; -1).
424
3.	а) Г рафик функции у = -2х - 2:
б)	А (10; -20):
-20 =-2- 10-2;
-20 = -22 - неверно.
О т в е т: не проходит.
4.	а) Зх3у3 - Зх4у2 + 9х2у = Зх2у(ху2 - х2у + 3);
б)	2х - х2 + у1 + 2 у = (2х + 2у) + (у2 - х2) = 2(х + у) +
+(У ~ х)(у + х) = (х + у)(2 + у - х).
5.	Пусть собственная скорость лодки равна х км/ч. Выделим
процессы: движение лодки от пункта А до встречи с плотом
и движение плота от пункта В до встречи с лодкой.
Заполним таблицу:
	5	V	t
Моторная лодка	2(х - 2) км	(х - 2) км/ч	2ч
Плот	3 км	2 км/ч	1,5 ч
Составим и решим уравнение:
2(х-2) + 3 = 35;
2х- 4 + 3 = 35;
2х = 36;
х= 18.
Ответ: 18 км/ч.
425
ЛИТЕРАТУРА
1.	Алгебра : сб. заданий для подготовки к итоговой аттеста-
ции в 9 кл. / Л. В. Кузнецова [и др.]. - 2-е изд. - М. : Просвеще-
ние, 2007. - 191 с.
2.	Алгебра. 7 класс : сб. тестов и контрольных заданий / сост.
Т. Ю. Дюмина, А. А. Махонина. - Волгоград : Учитель, 2010.
3.	Алгебра. 7 класс : учеб, для общеобразоват. учреждений /
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Пешков, С. Б. Суворова ;
под ред. С. А. Теляковского. - М. : Просвещение, 2010.
4.	Жохов, В. И. Уроки алгебры в 7 классе / В. И. Жохов,
Л. Б. Крайнова. - М. : Вербум. - М., 2000.
5.	Звавич, Л. И. Алгебра : дидактические материалы. 7 класс /
Л. И. Звавич, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова. - М. : Просвеще-
ние, 2010. - 159 с.
426
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..................................................3
Выражения, тождества, уравнения
Урок 1. Числовые выражения, порядок действий в них, исполь-
зование скобок............................................4
Урок 2. Решение задач по теме «Числовые выражения»........7
Урок 3. Выражение с переменной и его числовое значение...11
Урок 4. Решение задач по теме «Выражения с переменными»..15
Урок 5. Сравнение значений числовых выражений и выражений
с переменными............................................18
Урок 6. Решение задач по теме «Сравнение значений выраже-
ний» ....................................................22
Урок	7. Основные свойства сложения и умножения чисел...26
Урок 8. Решение задач по теме «Свойства действий над числами».... 29
Урок	9. Понятие тождества. Доказательство	тождеств.....33
Урок	10. Тождественные преобразования..................37
Урок 11. Обобщающий урок по теме «Выражения. Тождества»..40
Урок 12. Контрольная работа № 1..........................44
Урок 13. Анализ результатов контрольной работы. Уравнение
и его корни..............................................50
Урок 14. Понятие линейного уравнения с одной переменной..54
Урок 15. Решение уравнений, сводящихся к линейным........58
Урок 16. Решение задач по теме «Линейное уравнение с одной
переменной»..............................................63
Урок 17. Составление уравнения по условию задачи.........67
Урок 18. Решение задач с помощью уравнений, сводящихся
к линейным...............................................72
Урок 19. Решение задач с помощью уравнений, сводящихся
к линейным...............................................77
Урок 20. Среднее арифметическое, размах и мода...........82
Урок 21. Использование средних статистических характеристик
при решении различных задач..............................86
Урок 22. Медиана упорядоченного ряда.....................89
Урок 23. Использование средних статистических характеристик
при решении различных задач..............................93
Урок 24. Обобщение материала по теме «Уравнение с одной пе-
ременной» ...............................................98
Урок 25. Контрольная работа № 2.........................103
427
Урок 26. Анализ контрольной работы. Обобщение материала
по теме «Уравнение с одной переменной».....................111
Урок 27. Формулы...........................................115
Функции
Урок 28. Понятие функции. Область определения. Таблицы.... 120
Урок 29. Аналитический способ задания функции..............124
Урок 30. Нахождение по формуле значения функции при задан-
ном аргументе и наоборот...................................127
Урок	31. Г рафик функции. Г рафики реальных процессов....131
Урок	32. Решение задач по теме «График функции»..........135
Урок	33. Понятие прямой пропорциональности...............137
Урок	34. Г рафик прямой пропорциональности...............141
Урок	35. Решение задач по теме «Прямая пропорциональность» ... 145
Урок	36. Понятие линейной функции и её график............149
Урок	37. Взаимное расположение графиков линейных функций.153
Урок 38. Решение задач по теме «Линейная функция и её гра-
фик».......................................................157
Урок 39. Обобщающий урок по теме «Линейная функция»....160
Урок	40.	Контрольная работа № 3..........................162
Урок 41. Анализ результатов контрольной работы. Обобщение
материала	по теме «Функции»................................169
Урок	42.	Задание функции несколькими формулами...........173
Степень с натуральным показателем
Урок 43. Определение степени с натуральным показателем.177
Урок 44. Решение задач по теме «Определение степени с нату-
ральным показателем».......................................180
Урок 45. Умножение и деление степеней с одинаковыми основа-
ниями......................................................183
Урок 46. Решение задач по теме «Умножение и деление степе-
ней».......................................................187
Урок 47. Решение практических задач по теме «Умножение
и деление степеней»........................................191
Урок 48. Возведение в степень произведения.................194
Урок 49. Возведение степени в степень......................197
Урок 50. Решение задач по теме «Возведение в степень произ-
ведения и степени».........................................201
428
Урок 51. Понятие одночлена и приведение его к стандартному
виду...................................................204
Урок	52. Умножение одночленов........................208
Урок	53. Возведение одночлена в степень..............213
Урок 54. Обобщение материала по теме «Умножение одночле-
нов. Возведение одночленов в степень»..................217
Урок 55. Функции у = х2 и у = х3 и их графики..........222
Урок 56. Графическое решение уравнений вида у = х2 и у = ?....225
Урок 57. Обобщающий урок по теме «Степень с натуральным
показателем». Подготовка к контрольной работе..........228
Урок 58. Контрольная работа № 4........................231
Урок 59. Анализ результатов контрольной работы.........237
Урок 60. О простых и составных числах..................238
Многочлены
Урок 61. Понятие многочлена............................241
Урок 62. Нахождение значений многочлена................244
Урок 63. Правило сложения и вычитания многочленов......246
Урок 64. Решение различных упражнений на сложение и вычи-
тание многочленов......................................248
Урок 65. Заключение многочлена в скобки................250
Урок 66. Правило умножения одночлена на многочлен......253
Урок 67. Решение уравнений.............................255
Урок 68. Решение задач с помощью уравнений.............258
Урок 69. Разложение многочлена на множители способом выне-
сения общего множителя за скобки.......................261
Урок 70. Вынесение общего множителя за скобки при решении
различных задач........................................264
Урок 71. Вынесение общего множителя за скобки при решении
различных задач........................................266
Урок 72. Контрольная работа № 5........................269
Урок 73. Изучение правила умножения многочлена на много-
член...................................................275
Урок 74. Применение правила умножения многочлена на много-
член...................................................277
Урок 75. Доказательство тождеств и утверждений.........280
Урок 76. Решение уравнений и задач на составление уравнений....282
Урок 77. Изучение способа группировки разложения многочле-
на на множители........................................286
429
Урок 78. Применение способа группировки разложения много-
члена на множители.....................................288
Урок 79. Контрольная работа № 6........................291
Урок 80. Анализ результатов контрольной работы..........296
Урок 81. Деление с остатком............................299
Формулы сокращенного умножения
Урок 82. Формулы квадрата суммы и разности двух выраже-
ний ...................................................302
Урок 83. Преобразование выражений с использованием формул
квадрата суммы и разности..............................305
Урок 84. Применение формул квадрата суммы и разности....307
Урок 85. Изучение способа разложения на множители с помо-
щью формул квадрата суммы и разности...................309
Урок 86. Применение способа разложения на множители с по-
мощью формул квадрата суммы и разности при решении различ-
ных задач..............................................312
Урок 87. Вывод формулы умножения разности двух выражений
на их сумму............................................315
Урок 88. Применение формулы умножения разности двух вы-
ражений на их сумму....................................317
Урок 89. Применение формул (а ± b)2 = а ± 2ah + b2
и (а - Ь) (а + Ь) = а2 - Ь2 к преобразованию выражений.320
Урок 90. Изучение формулы разности квадратов...........323
Урок 91. Применение формулы разности квадратов для разло-
жения многочлена на множители..........................326
Урок 92. Применение формулы разности квадратов при реше-
нии различных задач....................................329
Урок	93.	Контрольная работа № 7......................333
Урок 94. Разложение на множители суммы и разности квадра-
тов....................................................339
Урок	95.	Понятие целого выражения....................340
Урок	96.	Преобразование целых выражений..............343
Урок 97. Три способа разложения многочлена на множители.345
Урок 98. Разложение многочлена на множители разными спо-
собами ................................................347
Урок 99. Разложение многочлена на множители при решении
различных задач........................................349
430
Урок 100. Контрольная работа № 8........................352
Урок 101. Анализ результатов контрольной работы.........356
Урок 102. Возведение двучлена в степень.................358
Системы линейных уравнений
Урок 103. Понятие линейного уравнения с двумя переменными....361
Урок 104. Решение линейных уравнений с двумя переменными....364
Урок 105. Понятие графика линейного уравнения с двумя пере-
менными.................................................368
Урок 106. Построение графика линейного уравнения с двумя
переменными.............................................370
Урок 107. Понятие системы уравнений с двумя переменными ....372
Урок 108. Графическое решение систем линейных уравнений
с двумя переменными.....................................374
Урок 109. Алгоритм решения систем линейных уравнений спо-
собом подстановки.......................................378
Урок 110. Решение систем линейных уравнений способом под-
становки ...............................................381
Урок 111. Решение систем линейных уравнений способом под-
становки ...............................................384
Урок 112. Алгоритм решения систем линейных уравнений спо-
собом сложения..........................................388
Урок 113. Решение систем линейных уравнений способом сло-
жения...................................................391
Урок 114. Составление уравнений прямой, проходящей через
две заданные точки......................................394
Урок 115. Составление системы уравнений по условию задачи.... 398
Урок 116. Решение задач «на движение» с помощью систем
уравнений...............................................400
Урок 117. Решение задач.................................403
Урок 118. Контрольная работа № 9........................407
Урок 119. Линейные неравенства с двумя переменными и их
системы.................................................416
Уроки 120-125. Обобщающее повторение....................418
Урок 126. Итоговая контрольная работа...................419
Литература..............................................426
431
Охраняется законом об авторском праве. Воспроизведение всего пособия или
любой его части, а также реализация тиража запрещаются без письменного
разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться
в судебном порядке.
Приглашаем к сотрудничеству
учителей, методистов и других специалистов в области образования для
поиска и рекомендации к публикации интересных материалов, разработок,
проектов по учебной и воспитательной работе. Издательство «Учитель» вы-
плачивает вознаграждение за работу по поиску материала. Издательство
также приглашает к сотрудничеству авторов и 1арантирует им выплату го-
нораров за предоставленные работы.
E-mail: metod-uch(a bk.ru
Телефон: (8442) 42-23-48; 42-23-38
Подробности см. на сайте издательства «Учил ель»: www.uchitel-izd.ru
АЛГЕБРА
7 класс
Поурочные планы
по учебнику Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк,
К. И. Пешкова, С. Б. Суворовой
Авторы-составители
Татьяна Юрьевна Дюмина,
Анжела Анатольевна Махонина
Ответственные за выпуск
Л. Е. Гринин, А. В. Перепёлкина
Редактор А. В. Перепёлкина
Редакюры-методисты Л. В. Голубева, Г. П. Попова
Выпускающий редактор Н. Е. Волкова-Алексеева
Технический редактор Л. В. Иванова
Редактор-корректор С. В. Бакунина
Компьютерная верстка Е. II. Фёдоровой
Издатсльство «Учитель»
400067. ।. Волгоград, ул. Кирова, 122
Если Вы напишете по адресу: 400067, г. Волгоград, ул. Кирова, 122, издательство «Учитель»
или позвоните по телефону: код (8442) 42-24-79, 42-20-63, Вам будет выслан полный каталог
пособий и книг издательства «Учитель». Адрес электронной почты (E-mail): uchitel@avllg.ru
По вопросам оптовых поставок обращаться по тел.:
42-03-92, 42-40-12, 42-25-58
Подписано в печать 21.10.10. Формат 60 х 90' 16.
Бумага газетная. Гарнитура Тип Таймс. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 27,00. Тираж 9000 экз. (1-й з-д 1 -3000). Заказ 4563.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных
издательством материалов в ОАО «Тверской ордена Трудового Красною
Знамени политрафкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР».
170040. г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46.
£