/
Text
Юдович В.И.
Метод линеаризации
в гидродинамической теории
устойчивости
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................. з
ГЛАВА I. ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ
УРАВНЕНИИ НАВЬЕ—СТОКСА ... 14
§ 1. Оценки интегральных операторов в Lp 14
§ 2. Некоторые оценки решений эволюци-
онных уравнений..................... 25
§ 3. Оценки «старших производных» ре-
шений эволюционных уравнений . . 39
§ 4. Приложения к параболическим урав-
нениям и теоремам вложения . . . 48
§ 5. Линеаризованные уравнения Навье—
Стокса ....................55
П р и л о ж е н и е к § 5 . . . . . 75
§ 6. Оценка резольвенты линеаризован-
ного оператора Навье—Стокса . . 79-
§ 7. Оценки старших производных реше-
ния линеаризованных нестационарных
уравнений Навье — Стокса . . . 106
ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 115
§ 1. Устойчивость движения бесконечно-
« мерных систем ..........................115
§ 2. Условия устойчивости . . . 119
§ 3. Условия неустойчивости. Условная
устойчивость . , ...... 134
ГЛАВА III. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИ-
ЖЕНИИ . .................................139
§ 1. Постановка задачи . ... 139
§ 2„ Задача с начальными данными . . 141
§ 3. Условие асимптотической устойчи-
вости ..............................-151
§ 4. Условие неустойчивости . . . 155-
§ 5. Условная устойчивость . . . 158
§ 6. Устойчивость автоколебательных ре-
жимов .................168
§ 7. Неустойчивость циклов . ... 176
§ 8. Затухание старших производных . 184
ЛИТЕРАТУРА . 18&
ГЛАВА I.
1
ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ
УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
§ *1. Оценки В этом параграфе дается обзор некото-
-----интегральных рых современных методов оценки в Lp
операторов в Lp линейных операторов, в особенности ин-
тегральных. Важную роль в дальнейшем
играют идеи интерполяции и экстраполяции операторов.
Через (Й, р) будем обозначать пространство с мерой, т. е.
множество й с выделенной в нем ц-алгеброй подмножеств 2».
на которой определена счетно-аддитивная неотрицательная
функция множества р (не исключено, что р(А) = -ф-оо для не-
которых множеств Ае2).
Ер(й,( р, X) при I р < оо означает пространство Лебега
р-измеримых функций *, определенных на й со значениями в
банаховом пространстве X. Норма в Ьр(й, р, X) определяется
равенством
. И II р = II f II Lp (й,рд) = [J II f (4 II PX dix (w)]V₽. (I. I >
_________ Й
Известно £16], что Ьр(й, p, X) — банахово пространство. Вся-
кое банахово пространство часто удобно бывает рассматривать
как замыкание множества его «лучших представителей». Суще-
ственно, что каждое из 'пространств LP(Q, р, X) является замы-
канием одного и того же множества Е°(й, р, X) всех р — про-
стых функций. Функция f(x) называется р-простой, если она
принимает конечное число значений: fb f2,..., fk, причем мно-
жества Fi={x:xeQ; f(x) = f\} (i=l, 2,...,k) p-измеримы я
p(Fi)< оо, если
В случае, когда й есть n-мерное евклидово пространство Rn,
р — мера Лебега, X=R1, тем же свойством обладает множе-
ство финитных гладких** функций.
* Строго говоря, классов р-эквивалептных функций (f~g, если p({x:f(x)=#=
=5^ё(х)}) =0). Хорошо известно, что допущенная вольность не приводит
к недоразумениям.
** Слово «гладкие» здесь и в дальнейшем употребляется в смысле «доста-
точно гладкие, если угодно, бесконечно-дифференцируемые».
Дальше мы будем рассматривать линейные операторы, пе-
реводящие одно пространство Лебега в другое, и интересовать-
ся условиями их ограниченности. Имея в виду, что ограничен-
ный оператор, заданный на плотном множестве банахова про-
странства, можно продолжить на все пространство по непре-
рывности, достаточно задавать операторы на L0. В частности,
это позволяет рассматривать линейный оператор А : LPo (й, р,
X)->Y (Y— банахово пространство) и как линейный оператор
из Тр(й, р, X) в Y (1 р < оо)—может быть, неограниченный
и определенный не всюду, а лишь на плотном множестве.
1. Интерполяционные теоремы. Родоначальницей всех из-
вестных ныне интерполяционных теорем является следующая
теорема М. Рисса [16, 20, 26].
Теорема 1.1. (Интерполяционная теорема М. РиСса.)
Пусть линейный оператор А ограниченно действует из LPl (йь
рь R1) в ЬЧ1(Й2, Рг, R1) и из LPa(Qi pi, R1) в L4a (Й2, рг, R1):
А : LP1 (Йь р1( R1)-*- Ц (Й2, р2, R»); (1.2)
А: LPa (2j, Pi, R1) -> Lq, (22, р2, R1)-
Тогда
A:Lp(S2b Pi, R1)-^Lq(fi2, р2, R1); (1.3)
1 о,1 — а 1 а . 1 — а
__ = , — -у- ,
р Pi Pa Q 41 Чз
и справедливо неравенство
II А || P,q<c Ц А || “ Ч1 || А || c = c(pi, р2, qb q2, а). (1.4)
Здесь введено обозначение
II А»1р,ч = sup .LAf В * * 11 Lq(a^-R1). (1.5)
feL»(21,H„R1) || f || Lp(21>H> Ri)
В случае комплексных Lp постоянную с в (1.4) можно опустить.
Теорема 1.2. (Интерполяционная теорема Я. Марцинке-
вича [17], [26].) Пусть А — линейный оператор, отображающий
Ь°(Йь pi, Xi) в множество р2-измеримых функций, заданных
на й2 со значениями в Х2. Пусть для всех а > 0 выполнены не-
равенства
[р2 (К: I (Af)(w2) I х.> а})]1^ II f II Ерк(211Н>Х1) (1.6)
с постоянными рь рг, не зависящими от f. Тогда
A:Lp(fit, p,i, Xi)—>-Lq(fi2> Р-2» X2);
’-L = —+ -Lzi; — = —+ 1=-!; 0<a< 1) (1.7)
p Pi P2 q 4i 42 1
и справедлива оценка
Теорема Марцинкевича существенно усиливает теорему Рис-
са (пра'вда, приходится наложить дополнительное условие
qk>Pk). В самом деле, очевидно, что условия (1.2) влекут за
собой (1.6), но не наоборот. Известны и дальнейшие улучше-
ния интерполяционных теорем. Так, Э. Стейн и Г. Уэйсс [26,
104] показали, что достаточно проверить условие (1.6) (при
Xi=X2=R1) для характеристических функций измеримых мно-
жеств.
В работе В. А. Дикарева и В. И. Мацаева [19] установле-
но, что в условиях (1.2) (а значит, и в условиях (1.6)) опера-
тор действует в функциональное пространство, существенно бо-
лее узкое, чем Lq.
Приведем некоторые приложения теоремы Марцинкевича.
Заметим, что непосредственное применение этой теоремы осо-
бенно просто, когда оператор А таков, что функция Af хороша
—нсюду, кроме некоторых известных особых точек. Например,
часто бывает удобно применять следующее простое утверж-
дение.
Теорема 1.3. Для того чтобы линейный оператор ограни-
ченно действовал из Lp(£2, u, X) в Lq(Rn, mn, Y) (—=--у;
4 Р
— 1; < р < — ; р, у от р не зависят, mni—п-мер-
7 7
ная мера Лебега) достаточно, чтобы выполнялось неравенство
п
| (Af) I Y<c 1 X I М f II LP(2,HX) (1-9)
для всех feL°(fi, X); xeRn —с одной и той же постоян-
ной с.
Доказательство. Из (1.9) следует, что
[щп({х: | (Af)(x) | Y> a})]V4<mn({x:c | х 1 -«М || f || Lp>
>а})Р'Ч = (oJ/4._2_ у f || l (1.1,0)
3 г
где On — объем n-мерного единичного шара. Остается приме-
нить теорему Марцинкевича, и теорема 1.3 доказана.
Теорема 1.4. Интегральный оператор Гильберта
ОО
(Af)(s)-f(1,11)
О
действует ограниченно в Lp((0, оо), mi, X).
Доказательство. Применяя неравенство Гельдера, из
(1-11) ВЫВОДИМ
оо
] (Af)(s) I х< f и f И L -CpS-VP;
v Ь “Г $
. О
Ср = (р — 1)-VP . (1.12)
Теперь ограниченность оператора А в Lp при любом р > 1 сле-
дует из теоремы 1.3, что и требовалось.
2. Экстраполяционная теорема и сингулярные интегралы.
А. П. Кальдерон и А. Зигмунд в работе [92] доказали ограни-
ченность в Lp сингулярных интегральных операторов с разност-
ными ядрами. Анализируя их доказательство, И. Б. Симоненко
заметил, что применяемый метод приводит к результату всякий
раз, когда известно, что оператор действует в Lp (при некото-
ром ро > 1) и выполняется некоторая (легко проверяемая)
оценка ядра. При этом, в частности, неважно, что ядро — раз-
ностное.
Соответствующая теорема, названная экстраполяционной,
была сформулирована в ,[53—55], где дается также ее обобще-
ние на пространстве Орлича. Ниже мы приведем экстраполя-
ционную теорему для векторного случая и выведем из нее 'ре-
зультат Кальдерона — Зигмунда. Метод доказательства следует
работе Дж. Шварца [69], где получен более частный результат.
Теорема 1.5. Пусть К(х, у)—функция, определенная на
RD X Rn со значениями в пространстве линейных ограниченных
операторов (X->Y), где X и Y — банаховы пространства. На
множестве функций feL°(Rn, mn, X) определим оператор А, по-
лагая
(Af)(x)= jK(x, y)f(y)dy, (1.13)
D
НАУЧНАЯ бЧяЛЧОТЕК®
L нм. Горыюгм J
МГУ
D — любое .измеримое множество. Пусть оператор А ограничен-
но действует из LP(D, mn, X) в Lr(Rn, mn, Y) и выполняется
оценка
| К(х, у)— К(х, у') 14dx Вя,
(1-14)
где q 1 и----------= 1-------; Sh, Sa — концентрические кубы
Р г Ч
<о сторонами h и 2h соответственно; у, y'eSh, а интегрирование
ведется по дополнению ТГбольшему кубу Sa. При этом постоян-
ная В, не должна зависеть ни от h, ни от у, у', ни от выбора
центра куба.
Тогда оператор А действует ограниченно из LP1 в Lr, , если
1 <pi ^ Р; —------ = 1— — • При этом выполняется оценка
Pi П q
(1-15)
с постоянной. Вь зависящей только от || А |]р, г и от В.
Доказательство. Достаточно получить для любого t>0
оценку
. [mn({x:xeRn; | (Af)(x) | >1})]^ ^ || f || Li ' (1.16)
и применить интерполяционную теорему Марцинкевича. Вос-
пользуемся следующей леммой Кальдерона—Зигмунда .в фор-
ме, которую ей придал Л. Хёрмавдер [67].
Лемма 1.1. Пусть s>0 и ueLi(Rn, mn, X). Тогда функ-
цию и(х) можно представить в виде
- U = v + J}w*’ (,1.17)
k=l
причем выполняются условия
|v|i + 2 |wk|i^3|u|b (1.18)
k=l
|v(x)|<2ns (1.19)
для почти всех xe Rn; функция Wk исчезает вне куба Ik со сто-
роной 2-nk (пк — натуральное число); эти кубы не пересекают-
ся: 1к1г = 0 (к ¥= /) и
V mn(Ik)^—Hub; (1.20)
S
к=1
J Wk(x)dx = 0. (1-21)
к
Доказательство этой леммы можно найти в [92, 67].
Далее будем использовать обозначение
(f)t = mn({x:|f(x)| >t}). (1.22)
Ясно, что
ОО
(Au)t (Av)t/2 + (Aw)t/2; w=^jwk. (1.23)
к=1
Оценим теперь (Av)t и (Aw)t. Согласно неравенству Чебыше-
ва, имеем
(Av)t t-'|| Av || [. (1.24)
Далее, из (1.24), пользуясь ограниченностью ||А||Р>Г и оцен-
ками (1.18, 19), получим
(Av)tct-r || А II ;r. II v II и U II [/Р; (1.25)
С^З^РЦ A||p,r.2nru-vp) .
В силу (1.21) имеем
(Awk)(x)= J[K(x, у)—К(х, y,)]wk(y)dy. (1.26)
Ik
Пусть Iki означает куб концентричный с Ik и с двойной сторо-
ной. Из (1.26), используя (1.14), выводим
II AWk II J I wk(y) I X- II К(х,у) —К(х,у ) II
q k, k,
^BllWkllp (1.27)
Пусть e = U Iki- Тогда в силу (1.20)
k-l
mn(Iki)^2n ^mn(Ik)^ ^-|| u || t. (1.28)
k=l k=l
Заметим теперь, что справедливо неравенство
(Aw)t = mn((x: I (Aw)(x) | >t}fie)+mn({x: | (Aw)(x) | >
>t}ne'Xmn(e)+t-4|AwHLq(eT (1.29)
Второе слагаемое в (1.29) оценим с помощью (1.27), (1.18)
II Atf || ц(еЭ || Awk И Ц(е')<В J} II w* И i^3B H u И i«
k^l k=l
(1.30)
Теперь из (1.29) с помощью (1.28) и (1.30) получаем
(Aw)t<— Ц и || t + (ЗВ)Ч-ч || и || ?. (1.31)
S
г
Далее, оценивая правую часть в (1-23) с помощью (1.25) и
(1.31), (находим
(Auhic, II и и г/Р + и u II, + (3B)’t-4 II u II ?.
s
______(1-32)
Теперь настало время воспользоваться произволом в выборе
параметра s. Для того, чтобы правая часть в (1.32) была ми-
нимальной, нужно положить
s = С2 f || и || {-я; С2 = [ 2"+г/С! р- - 1 (1.33)
L \ q /1
Здесь использовано условие —--— = 1-----—. Теперь из (1.32)
Р г q
получим.
. (АиГДС у-II u II
С = p~r С, C^-Vp) ++ (3B)4j1/q, (1.34)
что совпадает с (1.16). Оценка (1.15) следует из (1.8). Теорема
доказана.
Следствие 1. Пусть транспонированное ядро К (у, х)
удовлетворяет условию вида (1.14), т. е.
J | К(х',у)-К(х, у') | qdx^Bq. (1.35)
^2h
Тогда оператор А в условиях теоремы 1.5 действует ограничен-
во из LP1 в Lr, если
Pi>p;-------L=]__L. (1.36)
Pi n q
Доказательство. Известно [16], что сопряженный опе-
ратор А* есть
(A*f)(x) = j К*(у, x)f(y)dy. (1.37)
Rn
Применяя к оператору (1.37) только что доказанную теорему и
учитывая, что ||A|i|lp(q, g, х)-ьр(я, g, х>= IIА||ьр.(а, g, х‘) -> ьр,(о, g, х*>,
убеждаемся в справедливости следствия 1.
Следствие 2. Условие (1.14) теоремы 1.5 можнр заме-
нить требованием
hq J | VyK(x.y) | “dx<Bq, (1.38)
$2h
где h > 0 произвольно, у е Sh и В не зависит от h, у.
Доказательство. Покажем, что из (1.38) следует (1.14).
Имеем при у, у7 е Sh; z = у7 — у
| К(х,у) — К (х,у') |4 =
1 п
<Ж (х, у + tz)
dyk
Zk dt
1
^hq J 1 VyK(x,y + tz) | qdt
0
(1.39)
Учитывая, что у-[-(tzeSh, из (1.38), (1.39) выводим
1
К (х, у) —К (х, у') |q dx hq
$2h
J dt I
° s'h
Тем самым следствие 2 доказано.
Vy К (х, у + tz) | qdx^Bq.
(1-40)
Теорема 1.6. (А. П. Кальдерон и А. Зигмунд |[92]). Син-
гулярный интегральный оператор
(Af)(x)= [,МХ~У* f(y)dy, (1.41>
J I х —у | п
R"
где co(z)—однородная функция нулевой степени, гладкая и име-
ющая равный 0 интеграл по единичной сфере, действует огра-
ниченно в Lp(Rn) при любом р > 1. Выполняется оценка
где С не зависит от р.
Доказательство. При р = 2 доказательство без особо-
го труда получается с помощью преобразования Фурье и равен-
ства Парсеваля (см. [92, 46]). Чтобы применить теорему 1.5
и следствие 1, надо проверить выполнение условий (1.14)»
(1.35). Воспользуемся для этого 'следствием 2.
Для ядра К(х, у)=—---— справедлива оценка
Iх-уI"
|VyK(x,y)|^------(1.42>
• ' | х —у |
Расширяя область интегрирования и применяя (1.42), придем
к неравенству
h f НуК (х, у) | dx^Ch f ----------= 2Сап+1, (1.43)
4 , । Х~У ।
, е' | Х-у | <h/2
где Од—1 — «площадь» п—1-мерной единичной сферы. Такое же
неравенство справедливо и для транспонированного ядра
К(у, х). Теперь теорема 1.6 вытекает из следствия 2 и теоре-
мы 1.5 при q=l.
Эта теорема находит себе применение при оценке старших
производных решений эллиптических краевых задач. Приведем
некоторые простые примеры.
Лемма 1.1. Пусть u = u(x); х = (хь х2, х3) есть решение
краевой-задачи в полупространстве х3 > О
п
Au = V^; (1.44)1
dxk
k=l
и | x,-o=,O; u||X|^oo=0, (il-45)
где gk — гладкие финитные функции. Тогда справедлива оценка
3
l|Dxu||L ||gk||L (1-46)
р р — 1 р
к=1
где р > 1, а С — абсолютная константа.
Доказательство. Решение задачи (1.44).— (1.45) пред-
ставим в виде '
+ + (1.47)
dxi дх3 дх3
где функции ць u2, и3 определяются путем решения краевых
задач
Auk = gk; uk |хз-о= 0 (к =1,2); (1.48)
Au3 = g3; ^1 =0; (1.49)
dx3 lxa=o
Uk, u3->-0 (I х |->оо). (1.50)
Из (1.47) — (1.50) видно, что лемма 1.1 непосредственно выте-
кает из следующей леммы.
Лемма 1.2. Пусть гладкая, исчезающая на бесконечности
функция и (х) удовлетворяет в полупространстве х3 > 0 урав-
нению Пуассона
Au = g(x) (1.51)
с гладкой финитной правой частью g(x) и одному из краевых
условий ,
u 1 х3=0 = 0; (1.52)
— 1 = дх3 'ха=о 0. (1.53)
Тогда справедлива оценка
II g II Lp, (1-54)
где С — абсолютная константа.
Доказательство. Продолжим функции u(х), g(x) в по-
лупространство х3 < 0 нечетным образом <в случае условия
(1.52) и четным — в случае (1.53). Тогда окажется, что и(х)
удовлетворяет уравнению Пуассона (1.51) во всем простран-
стве. Как известно, решение имеет вид
u(x) = —------------g(y)dy. (1.55)
4л J | x-y |
R3
Дифференцируя (1.55) по известным правилам, получим
“ -r8‘kg(x)+ г f1 х ~ у 1 “31 3Й'7х)<»Г.1'к' _
dxj dxk 3 4л J LI х—у | 2
R3
- 8ik]g(y)dy. (1.56)
Легко видеть, что к сингулярному интегралу в (1.56) приме-
нима’теорема 1.6 и, значит, лемма 1.2, а вместе с нею и лем-
ма 1.1 доказана.
С помощью известной техники леммы 1.2 и 1.1 распростра-
няются на краевые задачи для произвольных областей *[72—75].
Теорема 1.7. Рассмотрим в ограниченной области £2 с гра-
ницей SeC2 краевую задачу для уравнения (1.44) с одним из
условий
u/s = 0 (1.57)
— 1=0; fV2f!Ldx=0. '(1.58)
dn |s J dxk
2 k=l
.Справедлива оценка
3
||Dxu||L II gk II Lp" (1-59)
p p —1 p
k=l
3. Мультипликаторы рядов и интегралов Фурье. При иссле-
довании дифференциальных свойств решений эллиптического и
параболического типа наряду с оценками сингулярных инте-
гральных операторов часто используется теорема И. Марцин-
кевича о мультипликаторах рядов Фурье (см. ([30]) и теорема
С. Г. Михлина о мультипликаторах интегралов Фурье [72]. Для
удобства ссылок приведем здесь последнюю теорему.
Теорема 1.8. Пусть функция Ф(х) непрерывна для всех
xeRm, кроме, быть может, точки 0. Пусть существует производ-
ит ф
ная----------, а все предшествующие производные непрерыв-
dXj,... dxm
яы. Пусть выполняются неравенства
акФ
^Xjj dXjg, ...
Тогда оператор P
(Pf)(x) = J eI(x'Ф (у) dy j* е_,<У’z] f (z) dz
Rm Rm
©пределен на множестве, плотном в Lp (Rm) и ограничен в этом
пространстве.
§ 2. Некоторые оценки 1. Задача Коши. Здесь устанавлива-
решений ется ряд оценок решения задачи Коши
эволюционных для эволюционного уравнения
уравнений
_H-Au=f(t); и (0) == а,
(2.1)
а также периодических (или ограниченных)’ решений. Предпо-
ложим, что А — линейный оператор, действующий в банаховом
пространстве X, возможно, неограниченный, но замкнутый, с
плотной в X областью определения.
Предположим, что резольвентное множество оператора А со-
держит при некотором <р(0 < <р <-^-) сектор
'^|arg(<r — по) | л (©о — вещественное число) и для оеХо.,ф
резольвента Ra=Ra(A) = (ст! — А)-1 удовлетворяет неравенству
II (al - А)-1 || х->х^ --- (2.2)
| а —Чи I +1
При выводе некоторых точных оценок будет использовано
более частное и сильное предположение. Именно, будем пред-
полагать, что (2.2) выполняется не для одного пространства X,
а для любого из пространств Lp(fi, р, Е) (р > 1); (Е— бана-
хово пространство)
С
(2.3)
При этом постоянная Ср и угол <р могут зависеть от >р.
Как известно [60, 68], условия (2.2) достаточно для того,
чтобы оператор —А порождал сильно непрерывную полугруп-
пу U (t) = e-tA, аналитическую по t в некотором секторе. Усло-
вие (2.3) выведено М. 3. Соломяком [60] в случае, когда А —
эллиптический оператор порядка 2m в условиях первой краевой,
задачи, а для общих краевых условий это проделано в работе-
c. Агмона и Л. Ниренберга [90]. Ниже, в § 6, показано, что-
этому условию удовлетворяет линеаризованный оператор-
Навье — Стокса. Этот результат был сформулирован в [76].
В [58] отмечено, что условие (2.3) является следствием оценок
старших производных решений нестационарных уравнений
Навье — Стокса, данных в [70, 64, 63]. В § 6 приводится непо-
средственное доказательство.
Введем следующее определение. Пусть замкнутый линейный
оператор L:X->Y (Y—“банахово пространство) определен на
образе оператора RCT при любом. o€SO(> ,ф и выполняется оценка
II LRa II (O^a^l).
I rr I 1—a
(2.4У
Будем говорить тогда, что оператор L имеет степень а относи-
тельно оператора А. Можно дать другое определение, пригод-
ное и для a>. 1. Именно, будем говорить, что L имеет степень
а > 0> относительно оператора А, если Le~tA есть ограниченный
оператор при любом t > 0 и справедлива оценка
II Le tA ||
где C(t)—непрерывная функция t.
В частности, как известно, справедливы оценки:
II e-tA || х.х^Се-^;
II Ae-tA || Ye-°ot-
Поэтому оператор А имеет относительно самого себя степень 1,.
а тождественный оператор 1:Х->Х — степень 0 относительно А.
Лемма 2.1. Пусть оператор L имеет,степень а относитель-
но оператора А. Тогда при t > 0 справедлива оценка
II Le-tA || x+y^— е-’о*.
(2.5)
Доказательство. Для полугруппы e-tA при условии:
(2.2) справедливо интегральное представление [68, 26]
(2.6У
I
26
где Т — граница сектора 2СТо,<₽. Применяя к (2.6) оператор L и
используя (2.4), найдем
II Le-tA || ~ f I е~« I • II LRx || I dX |
2л J
7
oo oo
f e~ (°°+r cos * ——_= Ce-’»f • — f e-r cos ?__—___ (2 7)
"" J r’-“ t° J r1-“ ’
О о
что по существу совпадает с (2.5). Лемма доказана.
Решение задачи Коши (2.1) может быть записано в виде
t
u (t) = e-tAa -}- J e~(t-t)Af (т) dr. (2.8)
0
Введем обозначения:
t
Uia = Ui (t) = e-tAa; u2(t) = J e-<t-i:)Af (r)dr = U2f. (2.9)
0
Дальше дается ряд оценок для операторов Ui, U2, которые по-
кажут, в каком смысле надо понимать (пока формальное) ре-
шение (2.9).
Лемма 2.2. Пусть оператор L:X->Y имеет степень а
:(0<а<1) относительно оператора А. Тогда справедлива
оценка
Здесь Т — любое положительное число (или Н~оо); С не зави-
сит от Т.
< Доказательство. Пользуясь леммой 2.1, получим
t
Le_(t-x)A f (т) d-c || у
II Lu2 (t) || Y == || J
t t
< f || Le-(‘-’)A || X^Y- I! f (x) || x d^ f-C—e-^t-x) j/f(x) || xd^
i h'-? (2.11)
Теперь (2.10) следует из (2.11) согласно теореме об интег-
ралах типа потенциала. Лемма доказана.
Лемма 2.3. Если р > —-— ; 0 а < 1, то Lu2(t) удовле-
1 — а
творяет условию Гельдера с показателем £=-----------а, точнее,
--------------------—------—-----. Р
sup
0<t<T
с0* |Luj (t + h) — Lu2(t)|Y
supe ° --------------------------sC
h>0 h₽
| f (т) I P eP^d?
i/p
(2.12)
Доказательство. Для простоты полагаем оо=0 (к это-
му случаю можно перейти заменой А->А — сг01). Будем исхо-
дить из соотношения
t-ph
Lu2 (t + h) — Lu2 (t) = f Le-(t+h-T>Af(r)dT —
0
t
— J Le~<t-T>A f (t) dt. (2.13)
o
Из (2.13) вытекает неравенство
t-h
I Lu2(t+h)-Lu2(t) 1 | J L(e-<*+h->A-
o
_ e-(t-t)A) f (T) dx
t+h
J Le_(t+h-T)A f (t) dx
t-h
(2.14)
Представим оператор, фигурирующий в (интегралах Ii и 12, в
виде произведения
(t—t)A - —(t-t)A /e~hA —1\
L(e-(t+h-T)A — e-(t-x)A) = (Le 2 )-(Ae 2 )(---—)
Ч2Л5)
Первые два множителя в (2.15) оценим с помощью неравенств
типа (2.5) с учетом того известного факта, что А имеет сте-
пень 1 относительно самого себя. Для оценки последнего мно-
жителя в (2.15) воспользуемся уравнением, которому удовле-
творяет полугруппа e-tA
Ae-tA = — Ae-tA. (2.16)
Интегрируя (2.16) от 0 до Ь, получим
1 Ь
А-Це-ЬА — 1) = — Je-tAdt. (2.17)
О
Отсюда следует, что
ИА-Че-ьл —HH^x^Gh. (2.18)
Таким образом, справедлива оценка
|| L (e-(t+h-0A _ e-(t-T)A) у £h— . |,219)
(t--0o+1
Далее имеем
t—h
P | f (t) | Y
It^Ch -xdx, (2.20)
J (t-t)°+1
0
откуда, применяя неравенство Гельдера, находим
/Т \i/p /t—h М/р'
it<Ch( [| f(t) I S-dO ( f —-с.УПИц;
\J / I J (t - т)(“+1)р'/ p
\0 / \—co /
(2.21)
C1 = C[(a + l)p'-l]VP'; -L+J-=l.
P P
Для интеграла 1г, применяя (2.5), получим
t+h
7 I f(*) I x .
I2<C f - —d-
tlhO + b-i)0
= c2h₽ iifiiLp; 1
Аналогично для I3 найдем
l8<c f
-----------
rt+Ь
1/р'
II f II L f --------------- =
P|_t-h (t+h-'c)<'P
C2 = C-^'P'-0 (1 — ap'J-VP'. (2.22)
t
p dt
1/р'
= C3h₽ ||f || Lp;
С3 = С(1-ар')-’/Р'_
(2.23)
Оценка (2.12) непосредственно следует из (2.14), (2.21—23).
Лемма доказана.
Рассмотрим еще предельный случай р =
1
1 — а
. В этом слу-
чае й (2.10) q можно считать любым, причем справедлива оценка
(Т ' \Мч
J IILu2(t) || че-^оМ!) =
о / ,
ГТ
о
1/p
,' (2.24)
где С не зависит от q; q > 1: < о. Из (2.24) вытекает огра-
ниченность при любом Т > 0 интеграла
Т
1
“ е~1
(2.25)
0
Лемма 2.4. Пусть оператор L имеет степень а (0<а<1)
относительно А. Тогда справедлива оценка
ОО
Uq
о
1
(2.26)
а
где 0 — любое число, а Се зависит от 8, но не от а, при q<qo
можно считать 8=0. .
Доказательство. Заметим, что если 6 > 0 столь мало,,
что спектр оператора А лежит все еще правее прямой Reo =
= По + 6, то в оценке (2.5) можно вместо оь взять Оо Д-'б. По-
этому справедливо неравенство
iLu^t) | Y= |Le-Aa |y^—е-|’о+г'Ч|аЦх. (2.27}
т“
Неравенство (2.26) сразу следует из (2.27). При этом
ОО
Ce = cJ е-гчхтЕ-»Ч(1т= С (8q)“9-'-1r(l — aq-f-e). (2.28}
О
Неизвестно, можно ли в общем случае взять е=0 в этой лемме.
Существенно, однако, что это можно сделать, когда выполняет-
ся условие (2.3).
Лемма 2.5. Пусть оператор A:Lp(fi, ц, E)-^LP(Q, ц, Е)
удовлетворяет условию (2.3) при любом р > 1. Пусть опера-
тор L:LP(Q, р, E)->Y при любом р > 1 .имеет относительно А
дробную степень ар= —-]-у (.£ и у не зависят от р и 0<раР^1
(три 1 pi <р < р2). Тогда при любом р е(рь р2). справедлива
оценка
( со \ Ич
J I Lib (-с) | ч еча°т d-c) С || а || ц (21(Л1е), (2.29}
О 1 /
где q = — ; с не зависит от а.
“р
Доказательство. Будем трактовать R = Le-tA как опе-
ратор из Lp(fi, р, Е) в Lq((0, со), ть Y). Покажем, что выпол-
няются условия интерполяционной теоремы Марцинкевича. При-
меняя лемму 2.1, получим
Cg—
| Lut (г) | Y = | Le-tA а | у — || а || ц^е) (2-30)
Остается применить теорему 1.3, и лемма доказана.
Лемма 2.6. Пусть оператор L:X->Y имеет степень a
(0<а<1) относительно А. Тогда справедлива оценка
(t
J его°’с || f (т) [| rx dt I, (2.31)
о /
1
’де г > ---.
- ] —а
Доказательство. Применяя лемму 2.1 и неравенство
Гельдера, получаем
(t-T)'
О
t
„ с)
(2.32)
что совпадает с (2.31). Лемма доказана.
И снова в случае, когда выполняется условие (2.3), можно
получить более точный результат.
Лемма 2.7. Пусть оператор A:Lp(fi, р, E)->LP(Q, р, Е)
удовлетворяет условию (2.3) при любом р > 1. Пусть оператор
L:Lp(fi, р, E)->Lmp(QI, pb Ej) имеет относительно А степень
«р (0 < ар < 1) при любом р из некоторого интервала (ро, pi),
причем аР = —+ y; ~ “ +Yi 1—аР; (Po<P<Pi)> а
, р ГПр р
постоянные, а, р, си, Pi от р не зависят. Тогда справедлива
оценка
(t
J егР°от II f (т) II [р dx)i/r;
о
(гр = 7-Ч- <2-33>
Доказательство. Чтобы упростить обозначения, будем
писать Lp, Lmp вместо Lp(fi, р, Е) и ЕШр(йь рь Е^. Как и рань-
ше, примем, ничего при этом не теряя, что оь = 0.
Рассмотрим оператор K:Lrp((0, t), mb Lp)->Lmp, определя-
емый при фиксированном t > 0 формулой
t
g = Kf = Lu2 = J >A f (t) dx. (2.34)
o
Задача заключается в доказательстве его ограниченности. Вме-
сто этого достаточно доказать ограниченность сопряженного
оператора К*. Как известно ,[69], всякий линейный ограничен-
ный функционал g* на Lmp(fii, pi, Ei) можно реализовать в
виде
(g*. g) = J(g°(wi), g(<oi))d|ii(<»i), (2.35)
где функция g°eLm’ (йь р,ь E*) определяется функционалом
однозначно и отображение g»->g° изометрично. В этом смысле
L* (йь Ць Ei)=Lm' (йь рь Е*). Точно так же и L?p((0, t),
nibLp)=Lr.p((0, t)?mb Ц).
Рассмотрим тождество
t
(g*. Kf)= J (e-(t-)A* L* g#> f (r)) dx. (2.36)
.. о
Здесь использован тот известный и легко выводимый из (2.6)
факт, что
(e-(t-T)Aj* — е-д^А*. (2.37)
Из (2.36) следует, что оператор К*: L > -> L • ((0, t), mb L*)
шр ГР ₽
имеет вид
(K*g*) (т) = e-<t-nA*L*g*. (2.38)
Применяя лемму 2.1, получаем при фиксированном т < t
I | Lm. _, = || Le-<->» ||(2.39)
p p P (t — т) p
Поэтому из (2.38) следует оценка
I (K*g*)(T) | Lp,C —II g* II L, . (2.40)
p (t-T)“p mP
Из (2.40) согласно интерполяционной теореме Марцинкевича
(см. теорему 1.3) вытекает ограниченность оператора К,*, а зна-
чит, и оператора К. Лемма доказана.
2. Ограниченные, периодические и почти-периодические ре-
шения. Теперь займемся оценками ограниченных решений’диф-
ференциального уравнения
^ + Au = f(t). (2.41)
Предположим дополнительно, что спектр оператора А не содер-
жит точек мнимдй-оси
Imo(A)=#_0. (2.42)
Пусть a+ = a+(A) и a_ = o_(A) — части спектра оператора А
соответственно в правой и в левой полуплоскости. Введем со-
ответствующие им проекторы
Р-=-Ь fRxdk; Р+= !-!>_, (2.43)
2я1 J
7—
где' у- — гладкий контур, целиком лежащий в ограниченной ча-
1—ста—левой столуп л ос-кости и окружающий множество о_. Опера-
тор А естественно представляется в виде суммы:
А = А+ + А_; А+ = Р+А; А_ == Р_А. (2.44>
Пространство X, таким образом, разбивается на прямую
сумму своих подпространств Х+ = Р+(Х) и Х_ = Р_(Х). При
этом подпространства Х+ и Х_ инвариантны относительно опе-
ратора А: они содержат плотные линейные многообразия
P+(Da) и P_(Da), на которых оператор А определен и которые
он переводит в Х+, Х_ соответственно.
Лемма 2.8. Проекторы Р+ и Р_ действуют в X ограничен-
но, оператор А_ допускает продолжение до ограниченного, опе-
ратор —А+ — производящий оператор аналитической полугруп-
пы на Х+ и на X. При этом
P+Au = АР+и; Р_Ап = AP^u (u е DA)(2.45)
U(t) = e-tA = U+(t) + U_(t); UT (t) = e~tAT PT. (2.46)
Доказательство. Ограниченность оператора P_ сразу
следует из (2.43), так как контур у_ лежит в ограниченной ча-
сти плоскости, а резольвента ГД на нем аналитична. Тогда в
силу (2.43) и Р+ — ограниченный оператор. То, что оператор А
коммутирует с проекторами Р+ и Р_ хорошо известно и сразу
следует из (2.43) и того факта, что А коммутирует с резоль-
вентой ГД.
Далее, для оператора А_ справедливо представление
А_ и = — С ХГД u dX,
Т-
которое для u е Da непосредственно выводится из (2.43) и тож-
дества
АГД = - 1-Ц1Д (2,48)
(2.47)
с использованием интегральной теоремы Коши. Ограниченность
оператора А_ сразу следует из (2.47).
Рассмотрим теперь оператор А+. Его спектр есть множество
о+(А) U {0}, а резольвента
(ДЛ — А+)-1 = Р+ (М — А)-1 + Р- (2.49)
Л
В силу (2.49) и (2.2) оператор А+ удовлетворяет условию (2.2)
и, значит, порождает аналитическую полугруппу на X, а следо-
вательно, и на инвариантном подпространстве Х+. Последнюю
можно записать в виде
e~tA+ р+ = р+ e-tA+. (2.50)
Представление (2.46) выводим непосредственно из (2.6), раз-
бивая интеграл по у на сумму интегралов по у_ и у+. Лемма до-
казана.
Теорема 2.1. Пусть спектр оператора А не содержит то-
чек мнимой оси, f(t)—измеримая функция, а величина 4|f(t)||x
ограничена при te(—оо, -f-oo). Тогда уравнение (2.41) имеет
единственное ограниченное решение
t оо
u0 (t) = f e-<t-T>A+P+f (х) dx — J e_<t-T)AP_f (x)dx. (2.51)
—oo t
Если L:X->Y— оператор степени а (0 а < 1) относитель-
но А, то справедлива оценка
sup || Lu0 (t) || С sup || f (t) И x- (2.52)
— oo<t<°o — oo<t< oo
Доказательство. Начнем с доказательства единствен-
ности. Для этого установим, что однородное, уравнение
+ Ди = о (2.53)
не имеет отличных от нулевого ограниченных решений. Любое
решение уравнения (2.53) может быть представлено в виде
и (t) — u+ (t) + u_ (t); u± (t) = P± u (t) = e~(t-x)A:F uT (x), (2.54)
где t > г. Согласно условию теоремы найдется такое oi > О,
нто в полосе | Re о | Oi нет точек спектра оператора А. По-
этому справедливы оценки:
fl 11+(t) II Се-^-х>||и+(т)||; (2.55)'
II u_(t)|| <Ce^)||u_(r)||.
Из (2.55) следует, что вектор-функция u+(t) ограничена при
t т. Тогда в силу (2.54) из ограниченности u (t) следует, что
и и_ (t) ограничена при 4 т. Аналогичное рассуждение пока-
зывает, что ограниченность имеет место и при t < т, и, следо-
вательно, u+(t), u_(t) ограничены. Но из (2.55) вытекают не-
равенства:
Ни+(т)|| ^~e^)||u+(t)||;
и_ (т) II > -i- е-®^) II U— (t) н.
(2.56
Если допустить, что, например, u+(t)=# 0, то из (2.56) следует
что lim || и+(т) II = + оо. Значит, u+(t)sO и аналогична
u_(t) = O, что и доказывает единственность. ,
Перейдем к выводу оценки (2.52). Пользуясь леммой 2.1
придем к неравенству
Г t
— oo
oo
X sup || f (t) || x
t
e-a,(t-T)
(t-T)“
oo
I ---------dt
ОО
_ aos
J s'
О
= Csup II f (t) || x.
(г - t)1
ds sup || f (t) || x =
(2.57)
0
t
Теорема доказана.
Заметим, что если спектр оператора А содержит точки мни
мой оси, то при некоторых ограниченных правых частях урав
нение (2.41) не будет иметь ограниченного решения. Доказы
вается это, по существу, так же, как в [32].
Можно доказать существование ограниченного решения npi 1
меньших требованиях к правой части f. Пусть R— некоторое
банахово пространство функций, определенных на отрезке [О, Т]
(Т > 0) и принимающих значения в X. Через SR обозначим
пространство функций f (4), определенных на вещественной оси
со значениями в X и таких, что f(t—{-а) = fa(t) при любом г
совпадает на [О, Т] с некоторой функцией из R. Норму в SR
определим равенством
l|f||SR= sup ||fa||R. (2.58)
— оо<а<+ со
в частности, если R = Lp((0, Т), mb X) (р 25s 1), имеем
(Т . \ 1/р
[ | f(t + a) | ₽dt] . (2.59)
0 /
.Замыкание множества тригонометрических квазиполиномов с
коэффициентами в X по норме (2.59) есть векторнозначное об-
общение почти-периодических функций Степанова.
Теорема 2.2. Пусть операторы А и L такие же, как в
теореме 2.1; feSLp((O, Т), mb X); 1—ар'>0. Тогда уравне-
ние (2.41) имеет единственное ограниченное решение (2.51) и
справедливы оценки:
sup | Lu0(t) | <C||f ||SLp;
гр• pWJ~<c 1 ‘1 si-; (2-6°>
Если же 1 — ар' < 0, то, вместо (2.60), выполняется неравен-
ство
|| Lu0 || SLr<C || f || SL ; г = —2—. -(2.61)
p 1 — (I — “) p
Доказательство. Ради краткости записей предполо-
жим, что спектр оператора А лежит в полуплоскости Recr^
2>ио > 0. Тогда в (2.51) останется только первое слагаемое, и
мы будем иметь
t оо t-kT
u0(t)= J e-<‘-^Af(T)dx=^ J e-(t-T)A f (т) dx. (2.62)
, —oo k=Ot—(k-f-l)T
Применяя лемму 2.1, из (2.62) выведем
оо t—kT
„ р — °o(t—т)
ILuJOIy^C,^ J — g-|ffr)lxdT<
k=Ot-(k+l)T(t
• 00 t—kT „
^C1Ve-°°kT f ! —-dr. (2.63)
k=0 t-(k+l)T (t —t)
В случае 1 — сер' > 0, оценивая .интегралы в (2.63) по неравен-
ству Гельдера, получим
оо г t—кТ ' пр
JLMth^CafllsL/ye-^ J <
- к=0 Lt-(M-l)T j .
1—ар' оо
^CJl-ap'H'P'T р' ||f||SLpJ]e-^T[(k + l),-np'-
f ’ к=0
-kt-“₽'p/P' = C||f||SLp. (2.64)
Это совпадает с первым неравенством (2.60). Второе неравен-
ство (2.60) доказывается так же, как лемма 2.3, поэтому дока-
зательство опустим. Наконец, применяя для оценки интегралов
в правой части (2.63) теорему о потенциалах, приходим к (2.61).
Теорема доказана.
Теорема 2.4. Пусть операторы А и L — такие же, как в
теореме 2.3. Если f(t) — периодическая по t с периодом Т, то
уравнение (2.41) имеет единственное периодическое решение
(2.51)—с тем же периодом Т. Если f(t) — почти-периодическая
в смысле Бора или в смысле Степанова, то тем же свойством
обладает и решение u0(t), а также Lu0(t).
Доказательство. Периодичность решения (2.51) > при
периодической правой части f очевидна. Далее, если f есть ква-
зиполином
fW-2
k=—п
eikkt fk; fkeX,
(2.65)
то соответствующее ограниченное решение уравнения (2.41)
есть тоже квазиполином
п
Uo (9 = J] eiXk‘ (iXk I + A)-’ fk. (2.66)
k=—n
Вспомним, что почти-периодические функции Степанова и
Бора получаются в результате замыкания множества квазипо-
линомов в метрике SLP и равномерной метрике соответственно.
Поэтому высказанные утверждения следуют из предыдущей
теоремы (даже с .некоторым усилением).
Если спектр оператора А разбивается на непересекающиеся
замкнутые компоненты о+(А), сг_(А), оо(А), лежащие соответ-
ственно в правой полуплоскости, в левой полуплоскости и на
мнимой оси, то существование и единственность Т-периодическо-
то решения будут иметь место, если о0(А) не содержит точек
2Ы/Т (k=0, 4=1,...).
В этом параграфе продолжается изу-
§ 3. Оценки чение задачи Коши
^старших производных»
решений эволюционных + Au=f(t); и (0) = а, (3.1)1
уравнений dt
а также соответствующей периодической задачи в случае, когда
feLp. Об элементе а предположим, что существует вектор-функ-
ция v(t), такая, что
v <°> = а: II £|!ц«0. Т).Х)+ 1 Av 1 МО.т>. X) < “• (3-2>
Т > о — некоторое число.
Такие векторы а имеют конечную полунорму (часто она ока-
зывается нормой)
II а ||| р - inf /|| ^- Ц)" + II Av || £)"’ <3-3>
v \|1 <п П/р /
• >
Нижняя грань здесь берется по всем V, удовлетворяющим тре-
бованиям (3.2). Мы будем интересоваться условиями, при ко-
торых справедлива оценка
гт
1(1^+'*“<*>>*)
.0
dt
' i/p
с ( 11 f II Lp((0,T),X) + 111 а III р)
(3.4)
или в случае Т-периодической правой части f аналогичная сцен
ка периодического решения и0
Т
[x+l Au0|p) dt
up
=^С II f И Lp((0,T),X)-
(3-5)
Во втором пункте этого параграфа рассмотрены также оцен-
du .
ки — и Au в гельдеровских нормах,
dt
1. Оценки в Lp. Заметим, что оценку (3.4) достаточно по-
.лучить при а—0. Действительно, к этому случаю можно пе-
рейти с помощью замены
ua^Mtj+va), (з.б)
где v — вектор-функция, удовлетворяющая условиям (3.2). То-
гда для Ui получится задача
^-+ Au, =t-£— Av; u,(0)-0. (3.7)
Если оценка (3.4) при а=0 уже доказана, то из (3.6)—(3.7)
долуним
II[£ll + II Au II pcll-^ll + II Av И р + С (II f II р+||^|| +
II Пр ' II Gl up \ Ji СП Пр
+ И Av II р).
(3.8)
Переходя в (3.8) к нижней грани по всем v, удовлетворяющим
условиям (3.2), придем к оценке (3.4).
Теорема 3.1. Пусть оператор А удовлетворяет условию
'(2.2) . и оценка (3.4) выполняется при некотором р0>1. Тогда
она выполняется для любого р > 1. При этом для решения за-
дачи (3.1) при а=0 справедлива оценка
dt
еро°‘ I f (t) | £ dt
Пр
(3.9)
где Ср = С —-— и постоянная С не зависит от f, Т, р.
р— 1
Доказательство. Как показано выше, можно считать,
что а=0. В этом случае решение задачи (3.1) имеет вид
t
u (t) = J e~(t~T)Af (т) dr.
о
Для плотного (в Lp(0, Т) множества М функций f(t) непрерыв-
ных вместе с Af(t) можно записать
t
Au (t) = j e-t^Af (r) dr (Qf) (t). . (3.10)
Для любого feLp по-прежнему будем записывать равенство
^(3.10), понимая интеграл как сингулярный. Здесь имеются раз-
личные возможности. Мы воспользуемся следующим определе-
нием. Положим при 8 > 0
t
(QEf) (t) = (e~eAQf) (t) =, J Ae-(t-t+s)Af (т) дт. (3.11)
o
Определим оператор Q для любой feLp(O, T), полагая
Qf = limQEf. (3.12)
е-*0
Для feM это определение, очевидно, совпадает с (3.10). По
условию теоремы, оператор Q ограниченно действует в LPo. Из
определения (3.11) следует, что тем же свойством обладает и
итератор QE, причем норма его в LPo ограничена равномерно
ЛО 8 > 0
II Qe II Lp-Lp < II е~бА || х^х- II Q II г <с II Q II L _^L .
F р0 Ро Ро Ро Ро
(3.13),
Воспользуемся теперь экстраполяционной теоремой (1.5). Как и
ранее, для краткости можно положить Оо=0. Определим яд-
ро Кв, полагая
Ke(t, т) =
A'e-(t-T+e)A
о
О < т < t С Т;
Т > т > t > 0.
(3.14)
Проверим, что для ядра Ks выполняется условие (1.14) при
q=l и оценка равномерна по 8. Пусть Sh означает отрезок
i[t0 — h, toH-ih]; 0 to Т; h > 0. Нужно получить оценку
I = J I Ks(t, т)— Ks(t, т') |dt < В,
San[0.T]
(3.15)
где т, т' е Sh, а постоянная В не зависит от t0, т, г', h, е. Пред-
положим сначала, что 0 to — 2h < to + 2h T. Тогда полу-
чаем
to-2h T
1= j II Ke (t, T) - Ke (t, V ) |1 dt + J ||Ke(t,T)-
0 to+2h
-Ke(t,V)||dt. . . (3.16)
Учитывая (3.14), приведем (3.16) к виду
Т
1= J |K.(t,t)-K.(t,^)|dt
t0+2h
(3.17)
Оценим подынтегральное выражение в (3.17). С учетом (2.2),
(2.6) и теоремы о конечных приращениях имеем
_LK4Li)^_Ku;t, ) I = IЛ f X [e-4t-+o - e-Mt-v+o J(xi -
------------------------- J
7
-•
oo
-A)~J dXlsS—-2 f г-ге-гс08в<‘+6-^- | t—s' | •—— dr, (3.18)
2>t J г cos 0
0
гдет*е5ь. Так как t — т* — (t— т), из (3.18) получим
3
ОО
fге
о
----— Г COS 6(t—-с)
3
dr==_£i2L.
(t—>1)“
(3.19)
Оценивая интеграл (3.17) с помощью
(3.19), найдем
т
p dt
J (t -
to*f-2h
ОО
dt
C2h
J (t—т)2 tB4-2h—c
t0+2h
2-
(3.20)
Здесь учтено, что при reSh знаменатель to + 2h— т h.
Теперь теорема 3.1 следует из экстраполяционной теоре-
мы 1.5.'
Те.орема 3.2. Пусть оператор А удовлетворяет условию
(2.2) и спектр его не содержит точек мнимой оси. Тогда оценки
решений задачи Коши и периодической задачи эквивалентны.
Точнее; если при данном р > 1 выполняется неравенство (3.4)
(хотя бы для одного отрезка времени [0, Т]), то для Т-периоди-
ческого решения при любом Т имеет место оценка (3.5) и С не
зависит от Т. Если хотя бы при одном периоде То справедлива
оценка периодического решения (3.5), то при любом Т > 0 вы-
полняется (3.4). х
Доказательство. При доказательстве этой теоремы
можно считать, что а = 0. Далее заметим, что из оценки (3.4)
- при одном каком-нибудь значении Т=Т0 вытекает его справед-
ливость для любого Т > 0. Действительно, при Т < То доста-
точно доопределить f(t), полагая ее равной 0 при t>To. Если
же Т> То, то разбиваем отрезок [0, Т] на -сумму отрезков дли-
ны не более То и для каждого из них записываем оценку (3.4)«
Для оценки слагаемых, возникающих в результате неоднород-
ности начального условия, используем неравенства вида
4u(t)IIIp-d^IL „Tl+IIAu||L(T,.T1) (0<t,<«;t2).
(3.21)
. Суммируя, придем к оценке (3.4) для любого Т.
Условимся еще, решая задачу Коши для отрезка -[0, Т], счи-
тать правую часть f(t) продолженной Т-периодически на всю
- ось t.
Сравнивая решение u(t) задачи Коши (3.9) и периодиче-
ское решение u0(t) (2.51), получаем
ц0 (t) = u (t) + Vi (t) — v2 (t);
0
V1(t)= J e-(t-t)A+p+f(T)dx; (3.22)
v —co
ri co
v2 (t) = je-(»-)A-P_f(T) dT.
o
Покажем, что выполняются оценки
II Avk II Lp(O, T)^ c II f II Lp(0,T) (k = 1,2). (3.23)
Предполагая, что Reo+(A)> щ > 0, и применяя лемму (2.1),
найдем
0
I Avjt) | х< [ -Ц---------|f(x) |xdx. (3.24)
J t — т
-оо
Пользуясь периодичностью 1(т), представим (3.24) в виде
«г-ч р g—»i(t+kT+s)
I Avt (t) | у [ ---. -T- I f (- s) I xds. (3.25)
I -j- Kt -j- о
k=l 0
Из (3.25), отбрасывая кТ в знаменателе и суммируя, получим
I Avt (t) | sC J 1 f(~S)-l-~ ds. (3.26)
o
Оценка (3.23) для к=1 сразу следует из (3.26) в силу теоремы
1.4 об ограниченности в Lp интегрального оператора Гильберта.
Аналогично можно вывести и оценку (3.23) при к=2 (на самом
деле-эта оценка еще проще, так как а- (А) — ограниченное мно-
жество).___________________
Теорема 3.2 непосредственно следует из равенства (3.22) и
оценок (3.23)*.
2. Некоторые уравнения в гильбертовом пространстве. Тео-
ремы предыдущего пункта не позволяют в общем случае прийти
к окончательным результатам. Очень'заманчиво было бы вос-
пользоваться представлением периодического решения уравне-
ния (3.1) в виде ряда Фурье.
4-00
Au0(t)= £
k==—оо
A (iwkl 4- A)-1 fk eik<ot;
(3.27)
<о = —
Т
Мультипликаторы Лк = Ak(i<ok!-J-А)-1 удовлетворяют «усло-
виям Михлина»
I Лк | ^С; . (3.28)
к ’ | dk 1 + | к | ' '
Увы, теорема Марцинкевича доказана только в случае гиль-
бертова пространства и неизвестна даже для X = LP(Q). Это .
досадное обстоятельство объясняет присутствие в главе I § 7, в
котором нужная оценка выводится для уравнения Навье —
Стокса.
В этом пункте неравенства коэрцитивности доказываются ;
для одного важного класса уравнений в гильбертовом простран- 1
стве Н. В частности, к этому классу относятся многие парабо- :
лическиё уравнения (см. § 4) и уравнения Навье —Стокса (§5), j
если рассматриваются решения, старшие производные которых {
квадратично суммируемы.
Лемма 3.1. Пусть оператор А:Х->Х порождает полу- j
* Независимость С от Т доказана в приложении к § 5. j
44 j
^группу, аналитическую в некотором секторе (т. е. удовлетво-
ряет условию (2.2)). Пусть замкнутый оператор R:X->X та-
ков, что Dr гэ Da, и выполняется условие
II R(XI —А)-11|->0, (3.29)
•л
•когда | X | ->оо, причем X пробегает точки сектора S0o,q>. Тогда
оператор A -f- R тоже порождает полугруппу, аналитическую в
' секторе (т. е. для него выполняется условие вида (2.2), быть
может, с иными о0, С, но с тем же <р).
л;. Доказательство. Имеем
(XI — A — R)-‘ = Rx(I-RRx)-1; Rx = (XI-A)-‘. (3.30)
В силу (3.29) при некотором г > 0 для любого ХеХао>ф и тако-
' го, что |Х| Э=г, будем иметь
Ж7 IIRRxir<4~- (3.31)
Для таких X из (3.30) получим
|| (XI - А - R)-1 || <2 || Rx || <. (3.32)
| Л—с0 । +1
Сместим теперь сектор 2а0,ф влево таким образом, чтобы круг
р\|Х| г остался вне его. Для этого достаточно поместить его
вершину в точку oi = Оо------— • Итак, если ХеХо„ ф , то вы-
Sin ф
Нполняется условие (3.32).
<- Покажем еще, что оператор А-RR замкнут. Пусть un(n =
i= 1, 2,...)—последовательность элементов из DA, сходящаяся
по норме X, и (A-|-R)un — тоже сходящаяся последователь-
ность: пп->-u; (A-RR)un = Нужно показать, что ueDA
ji (A-RR) и = f- Положим (XI —A) un = vn, 'где X удовлетворяет
условию (3.31). Тогда последовательность {vn}—сходящаяся,
так как
vn = (I- RRx)-1(Xun — fn).
Из замкнутости оператора XI — А теперь следует, что ueDA и
(XI — A) u = v = (I — RRx)-‘(Xu — f).
Но тогда получаем
(A4-R)u = Xu —(I —RRx)v = f,
что и требовалось. Лемма доказана.
Заметим, что для выполнения условия (3.29) достаточно,
чтобы оператор R имел дробную степень а(0< а < 1) относи-
тельно А.
Теорема 3.3. Пусть А — линейный оператор, действующий
в гильбертовом пространстве Н и представимый в виде А =
=Ao~]-R, где Ао — самосопряженный и положительно опреде-
ленный, R— удовлетворяет условию
|| R(XI — Ао)-11| 0, когда Х-> —оо. (3.33}
Тогда для решения u (t) задачи Коши
' ff--HAo-FR)u = f(t); u(0)=0 (3.34)
выполняется оценка (0 Т -{-оо; р > 1)
(3.35>
где постоянная С не зависит от р, f, Т, а о0 — любое число,,
удовлетворяющее условию о0 < Reo(A-j-R).
Доказательство. В силу теоремы 3.1 достаточно пока-
зать, что (3.35) выполняется при р = 2. Перебросим Ru в пра-
вую часть уравнения (3.34). Интегрируя по времени квадраты'
норм обеих частей полученного равенства, найдем (снова, не
теряя общности, полагаем о—0)
Т----------- т
J (|1 ||2н+ IIАои || 2) dt + || A’«u (t) || 2 2 J( || f II2 + II Ru ||2 )dt
о v о
(3.36>
Заметим, что справедливо неравенство
: . II RuHh^cIIAoU ||н + СЕ||и||н (3.37}
для u е Da при любом е > 0 с постоянной СЕ, не зависящей от и.
В самом деле, при любом к < 0 имеем
URull=HR (XI - А)-* (XI - А) и|| <
^||R(XI-A)-‘|l(||Au||+|X| ||и||). (3.38}
В силу условия (3.33) неравенство (3.38) превращается в (3.37),
если взять X достаточно большим по модулю. Пользуясь нера-
венством (3.37) с достаточно малым е, можно получить нера-
Гство типа (3.36), с заменой ||Ru||h на ||и||н. Но для ,||п||н из
етралъного {представления решения
t
u (t) = J e-<t-*)(A»+R> f (т) dT (3.39)
В 0
^непосредственно выводим
Ь.з- •
г t
К llu(t) ||н C C.f e-^Uf (?) ||.Hdr, (3.40)
йгде С не зависит от t, a ci — положительное число, лежащее
«левее спектра оператора A-J-R. Из (3.40), применяя неравен-
ство Буняковского, получаем
f т т t
I, J I! u(t) II frdt^C2 je-^dt- J e2a*x || f (t) || нёт. (3.41)
0 0 0
/Теперь, учитывая (3.41), вместо (3.36) будем иметь
:^Т Т
Й (II IL+11 A°u 11 А) dt+11 А°2 u (Т) 11 й<с f11 f 11 dt’ (3-42)
ffip о
ferro и требовалось. Таким образом, теорема 3.3 доказана.
Г Можно рассмотреть и задачу с неоднородным начальным
^условием и(0) —а. При этом, интересно выяснить, что собой
представляет пространство Wp — замыкание множества DA в
:норме (3.3). Можно показать, что D(A“)czWp при а> —, а в
Р
случае р—2 просто W2 = D(A01/2)-
Примем для простоты, что R=0. Решение однородного урав-
нения с начальным условием и (0) = а есть '
u0(t) = e~tAa. (3.43)
Поэтому имеем
Апо (t) = = Ae~tAa = A‘-°e-tAAaa, (0 < а < 1). (3.44)
Далее согласно спектральной теории
|| А1-“е_,А || = max s1-“e-ts^ max s1—Be—ts
Н-*Н ssa(A) s>0
(1—«а)1-8 |Г_Ч
(3.45)
Из (3.45) сразу следует, что ]|Au0|], || ||eLp(0, Т), если
dt
а > —, так что D (А^Р'+е) с Wp при е > 0.
р'
В случае р=2 высказанное утверждение сразу следует из
равенства
ОО
||А1/2а||2 = J (||5||2н+ II Ан0 || ft) dt. (3.46)
0 х
“Если а <71/р', то вложение' D(A°=)cz Wp, вообще говоря, уже
не выполняется. Действительно, пусть, например, оператор А
имеет последовательность собственных чисел Хк->°о; соответ-
ствующие нормированные собственные векторы суть <рк- Тогда
при а—<рк получим, что и0=е_хкгфк и при а < — , к->оо
ГТ
P dt
н
1/р
pXkT VP„ (3 47)
0
§4. Приложения
к параболическим
уравнениям
L Р J
Наиболее естественной областью при-
менения абстрактной теории, развитой в.
предыдущих параграфах, являются урав-
нения параболического типа. Здесь мы
и теоремам вложенияПрИведем рЯД оцен,ок решений параболи-
ческих уравнений. В частности, из этих оценок вытекают раз-
личные теоремы вложения для функций, определенных в ци-
линдре.
Пусть Q — ограниченная область ц-мерного пространства Rn.
Будем считать, что граница S области D принадлежит клас-
су С(2т).
Рассмотрим смешанную задачу для параболического урав-
нения:
^ + Au = f(x, t);
BjU|s = 0;
u|t=o = a(x).
(4.1>
(4-2)
(4.3)
Здесь u = u(x, t)—неизвестная функция, А — дифференциаль-
ный оператор
Au = £aa(x)Dau,
| а | <2m
(4.4)
Ж/ а = (аь аг, •.., ап — векторный индекс с натуральными
компонентами, | а | = щ 4~, аг + ... + ап. Через Da обозначен
сператор
аа= дап .. еч
V D“ и =-----, —. . .------и. (4.5)
'Н
jjj — граничный дифференциальный оператор порядка nij < 2m
Ш?' BjU = У, bj, a (x) D“iu; x e S. (4.6)
I a | <nij
i* Будем считать, что оператор А с краевыми условиями (4.2)
ейъ регулярный эллиптический в смысле С. Агмона и Л. Ни-
мберга [1]. Это означает, во-первых, что форма степени 2m
к'' (х, I) = 2 3a (X) ^. . . > О (4.7)
З^’ |a|«=2m
Ж;, — п
для всех хеD и любых вещественных S2 • • • §n!
Во-вторых, надо, чтобы полиномы от в ВДх, g -ф-sv) (xeS;
вектор, касательный к S в точке х), были линейно не зави-
з?..
симы по модулю полинома П (s — 6k (|)), где Sk — корни мно-
. k=I
fрчлёна А' (х, g sv) с положительной мнимой частью.
'•^Йз результатов работы [90] вытекает, в частности, следу-
ющее утверждение.
^Теорема 4.1. Пусть дифференциальный оператор А с крае-
выми условиями (4.2) есть регулярный эллиптический, SeC2m
Коэффициенты при старших производных в (4.1) непрерывны,
а остальные измеримы и ограничены; коэффициенты Операто-
ров Bj непрерывно дифференцируемы 2m — mj раз. Тогда опе-
ратор А в Lp(,Q) имеет дискретный спектр, его резольвентное
множество содержит сектор — {о : | arg (о — Оо)|^ф}
(оо — некоторое вещественное число; 0 < ф < л/2) и выполня-
ются оценки:
1 («I - А)-' || l^w<m(b) =S С; (4.8)
[Для любого oeSO0><(>; р > 1, Ср не независит от о.
i ‘ Итак, регулярный эллиптический оператор удовлетворяет
условию (2.3) из § 2.
Лемма 4.1. Пусть А — регулярный эллиптический опера-
тор порядка 2m в ограниченной области Q. Будем рассматри-
вать его как оператор в LP(Q) (р > 1). Тогда оператор обобщен-
ного дифференцирования L: Lp(Q)->Lr(Q); Lu =• D^u (O^k^
^2m—1; г^р) имеет степень
<z = — (-----— + k 'i (4.9)
2m \ p г J
относительно оператора А; г, k предполагаются такими, что
<х< 1.
Доказательство. Из результатов работ [99, 13, 21—23
вытекает неравенство
11 Lu II Lr(2)^C II u II “W(2m)(£2). II u II (4-10)
где С не зависит от ueWp<2m>. Полагая здесь u = (<rl— A)-1f j
используя (4.8), для любого ие2О0,ф найдем
с
||L(aI-A)-4|Lp^—4^, (4.11]
что и требовалось доказать.
Применяя эту лемму и используя результаты § 2, придем j
следующей теореме.
Теорема 4.2. Пусть aeLp(Q); функция f непрерывна п<
х, t (хей, t>0). Тогда задача (4.1) — (4.3) имеет единственно*
обобщенное решение u(x, t), для которого справедливы оценки
.... л '
llu(-,t)llLp(S)^Ce-^‘ || а || Lp(2) + ' "
(e^llf(-,^)llLD(S))r^l,/r} (4-12
Pl' '
— любые числа; — ------------1-
Pl пг' р
" t ivq
j (e°°r || D£ u (•, t) || Lp(e))4 dr С || a || Lp (Q) +
.0
(4.13
-2- = + к
р 2т-}-П \ pj
2m — к ( . _ 2m
------; ( к —
2 m п \ pi
P^Pi> 1; q>Pi> 1.
Отметим частный случай оценки (4.13): q = р, I = р2;
. _1____£
z р
Доли q Рь то выполняется оценка вида (4.13) с заменой
_> р, е (е > О — любое).
Представляет интерес получить для Dxu оценку типа (4.12).
Решение задачи (4.1) — (4.3) запишем в виде u==Ui-|-u2, где
—решение в случае f = 0, а и2 — при а = 0. Для слагаемо-
го и2 из леммы 2.7 выводим
t t 'll/г
4 ||D^u2(-,t)Lp(S)^Ce-^! J его^т || f (•, т) || [₽ (2)d-r ; (4.14)
S I о P1
! n n . . 2tn _ n , , 2m . \
— -------l-k-----;; 0<------Fk-----r<n; r<p; pl <P -
’ A p Pl г Pt г }
Дели r2>p, то выполняется более слабая оценка типа (4.14) с
I заменой г -> г -Д е.
Опишем коротко способ оценки слагаемого йь Обозначим
-через Са2111 подпространство в С2™, состоящее из функций, удов-
летворяющих краевым условиям (4.2), а через W<K^—замыка-
ние С2к по норме W<k). Из теорем вложения, между прочим,
«следует, что функции из удовлетворяют в классическом
смысле тем из краевых условий (4.2), для которых m, < к — п/р,
и в среднем — тем, для которых к — п/р^ш^п—1 к — п/р.
Оказывается, оператор А порождает аналитическую полу-
группу не только в Lp, но и в W£k)A. Это утверждение выводит-
ся из следующей леммы, которую приведем здесь без дока-
зательства.
Лемма 4.2. Рассмотрим краевую задачу
ou — Au = Af;
(4.15)
с граничными условиями (4.2). Пусть SeCk. Тогда для любо-
го к 0 справедлива равномерная относительно ое2О0,е оценка
II u II W^k)(2) || f II уу(к)(<2) • (4-16)
Эту лемму (и даже более общую — с заменой оператора А на
другой оператор Ai порядка 2m) можно доказать так же, как
доказывается ее аналог при о = 0 в 1[1].
Предположим, что точка сг=О не принадлежит спектру опе-
ратора А (иначе мы бы перешли к оператору А — р.1). Любую
функцию aeW<k> представим в виде суммы a=ai + a2, где ai—•
обобщенное решение краевой задачи (4.2) для уравнения
Aai = Аа. Проекционный оператор Рь определяемый равен-
—етвом Р^а = аг, согласно-приведенной лемме, ограничен в W(k).
при. этом он отображает W<k> в W^. Точно так же ограничен
в W<k) проектор Р2 = I — Р], который отображает W£k) в замы-
кание множества решений однородного .дифференциального
уравнения Au = 0.
Определим теперь оператор Ао в W® с областью определе-
ния W<^>, полагая Ао — PiA. Покажем, что Ао есть производя-
щий оператор аналитической полугруппы в W<k). Имея в виду
получить оценку резольвенты оператора Ао, рассмотрим урав-
нение
(ol — A0)u = f, (4-17)
где aeSO0>e, f.eWW; так как плотно в W<k{, можно счи-
тать, что feW(2®>. Уравнение (4.17) эквивалентно следующему:
----(al —A)u = f, (4.18)
потому что P2f = P2u = P2Au = О. Теперь, полагая Au = v,
убеждаемся в том, что v есть решение краевой задачи (4.2) для
уравнения
(оТ — A)v = Af. (4.19)
Применяя для оценки и через v результаты [1], а для оценки v
через f—лемму, получаем
II u II w(k+2m)^Ct || v || w(k)^C || f || w(k). (4.20)
После этого из (4.19) получаем, что
II u II W(k) ~ I! f II W(k) (4-21)
WP,A |с[ Wp,A
и высказанное утверждение доказано. В итоге проведенных
рассмотрений приходим к следующей теореме. .
Вд’еорема 4.3. Пусть SeCk. Тогда решение задачи (4.1) —
|з) подчиняется оценке
f II D*u (•» t) || Lp(2)^C {e-o* || a || w(k) +
Йли f=0, то можно взять k=2m.
Перейдем теперь к оценкам старших производных. Опреде-
«Цй пространство ..состоящее из функций а(х) (хей), та-
дх, что существует функция v(x, t), определенная в цилиндре
(Ж== й X [0, оо], удовлетворяющая при t > 0 краевым усло-
з^йм (4.2), причем v (х, 0) = а (х) и v имеет конечную норму
Ж’ ’
/V. I со 2/т со
•। ’«н«; - 2 J|| ||ц(2) dt+2 Jе””'114 v1
Ж5' к=0 0 к=00
LP(2)dt
(4.23)
Норма в пространстве определяется равенством
Й С*
Ж II а || V(Z) = inf || v || H(Z). (4.24)
*p,r v(x,0)=a p,r
•.К
. Теорема 4.4. Пусть SeC2m. Тогда справедлива оценка
. . V II u’ll H(i)^C ( || а || v(0)+|| f || н(0))- (4.25)
(Р>г>1)
Доказательство. Так как при г=р оценка (4.25) из-
зёстна, теорема 4.4 немедленно следует из теорем 3.1 и 4.1.
Из теоремы 4.4 выводятся также оценки производных лю-
ц j-
>ого порядка. Действительно, обозначим иь=—• , fk =
otK otK
''огда из (4.1) — (4.3) для Uk получаем условия:
^+Auk = fk; (4.26)
BjUk|s = 0; (4.27)
k-1
Uk11=0 = 2 (-71 )rArfk-r-i + (-1 )kAka ak. (4.28)
r^O
Из теоремы 4.4 следует тогда оценка
II Uk II H(i)^.C( || ак || v(0)+ II f II (4.29)
Предположим, что Re ст (А) < 0 (к этому случаю можно перейти
заменой uk = e^u'k). Тогда из (4.26) при любом t > 0 выте
кает оценка .
II uk || w(2m)^Q^C (|| f || Lp(Q) + II uk+i II lp(2))- (4.30)
Объединяя оценки (4.29) и (4.30), приходим к следующему ре-
"зультату.------------- - -
Теорема 4.5. Пусть Se СЯш, ai е V(pJ,..., ake V<£>. Тогд^
для решения задачи (4.1)—‘(4.3) выполняется оценка
(I
У II ak || v<k) + II f II H(k-i)
к=0
(4.31
Заметим, что условие принадлежности функции ак простраи
ству> V <0 включает в себя наряду с гладкостью и условия со
гласбвания-—алгебраические соотношения между производна
мп функций f, а при t=0; х е S.
Если требовать, только, чтобы а е Lp, можно получить оцен
ки производных решения u(x, t) в цилиндре Q'4=fiX [*]> °°]
т] 0. Действительно, пусть ф(1)—бесконечно дифференциру
емая функция — такая, что 4>(t)=l при t т); ф(1) = 0 пр!
t т). Тогда функция и = фи удовлетворяет уравнению
ди
"дГ
Au = <pf + <1/ (t) и.
(4.32
Применяя к нему предыдущую теорему, приходим к следуь
щему утверждению.
Теорема 4.6.-Пусть SeC2Zm; aeLPl(Q) (pi > 1). Тогд:
справедлива оценка (р > 1; к, г 1)
Г e^t/fcir + || D2kmu || I ?)dt^C( || а И L
J \ I <3tk ||lp(2) x Lp(2)/ L₽*
+ II f II rH(k-1)
P.r
(4.33|
Наконец, сформулируем результат, относящийся к ограничен
ным, в частности периодическим и почти-периодическим ре
шениям.
I Теорема 4.7. Пусть спектр оператора А не содержит то-
[ек мнимой оси; f(x, t) представляет собой измеримую огра-
ниченную при —оо < t < оо функцию со значениями в LP(Q)
00
(4.34)
«г
"К.
фэгда задача (4.1) — (4.2) имеет, и притом только одно, обоб-
щенное решение u(x, t), ограниченное по t (—oo<t<oo) в
Й5ом смысле, что выполняется оценка
э-
sup II D* u (•, t) 11 Lr(Q)^ C sup II f (., t) II Lp(£n; (4.35)
ЙЕсли f Т-периодична или почти-периодична no t, то тем же
Двойством обладает и u (х, t).
Эта теорема сразу следует из теоремы 2.1 и леммы 4.1; дру-
гие оценки ограниченных решений получаются из теорем 2.2
«К 3.2. В частности, из теорем 3.2 и 4.4 вытекает следующий ре-
зультат:
Теорема 4.8. Пусть f(x, t) — периодична по t, а спектр
Оператора А не содержит чисел 2kni/T (k=0, =F1,. ..). Тогда
Едя Т-периодического решения' задачи (4.1) — (4.2) справедли-
ва оценка
Л;
т
т
О
du Ik
dF |1lp(S)
Lp(2)
J || f || dt, (4.36)
О
Из результатов этого параграфа можно вывести локальные
теоремы существования для квазилинейных параболических
уравнений.
. Этим параграфом начинается исследова-
§ 5. Линеаризованные ние уравнений Навье—Стокса ib случае
* уравнения несжимаемой жидкости, заполняющей
Навье Стокса некоторую область Q с границей S, на
которой вектор скорости v=-v(x, t) (х — точка области Q, t —
.время) принимает предписанное значение. Математически дело
сводится к задаче:
' + V)v —vAv = —VP4-F; (5.1)
div v = 0; (5-2)
v|s = a; (5.3)
v|t=o = vo. (5.4)
Здесь P — давление в жидкости; v >0 — кинематический коэф-
фициент вязкости, который считается постоянным; плотность
жидкости принята равной 1; F = F(x, t) — заданный вектор
внешних массовых сил; a == a(x, t) и vo(x) — заданные векторы.
Предположим, что a, F не зависят от времени t и что задача
—(5Д|—(5.4) имеет стационарное решение (а(х), Р0(х)). Наша
ближайшая цель — изучить уравнения Навье — Стокса, линеа-
ризованные в окрестности этого решения:
— — уДй-|-(а, V)u + (u, V)a = — Vq + F^ (5.5)
divu = 0; (5.6)
u|s=0; (5.7)
' u|t=o = uo(x). (5.8)
Будем считать, что Й— ограниченная область трехмерного
пространства, граница которой S состоит из конечного числаJ
замкнутых поверхностей класса С2. На двумерную задачу ре-
зультаты переносятся совершенно автоматически (с некоторы-
ми упрощениями). Предположение ограниченности во многих
случаях тоже не существенно, но отказ от него сильно загро-
моздил бы дальнейшее изложение.
Начнем с некоторых определений. Введем множество М.
гладких соленоидальных (удовлетворяющих уравнению (5.6) в
области й) векторов, имеющих на S равную нулю нормальную
компоненту.
Через Sp(p^l) обозначим банахово пространство, полу-
ченное замыканием множества М по норме Lp •
II tT II sp = [ [ I й (x) I ₽ dx]’P = II M Lp-
Далее, пусть Gp— банахово пространство, полученное
нием множества градиентов гладких (однозначных)
по норме Lp
II V? II Gp = [ J I V? I ₽ dxj1/₽= || v® II lp-
(5.9)
замыка-
функций•
(5.10)
^Следующая лемма показывает, что Sp и Gp при р > 1 — не
столько, линейные многообразия, но и подпространства Lp, при-
дем Lp распадается в их прямую сумму
К Lp = Sp ® Gp. (5.11)
Заметим, что при р =- 1 (как и при р = оо) это не имеет места.
Лемма 5.1. Пусть П — ортогональный проектор в L2 на
32. Тогда П ограниченно действует в Lp—точнее, допускает
продолжение с (плотного в Lp) множества L гладких векторов
в исчезающей на S нормальной компонентой до ограниченного
Оператора в Lp. При этом выполняется оценка
п2
I (5-12)
уде постоянная С зависит от S, но не от р.
Доказательство. Пусть b — гладкий вектор, исчезаю-
•щий на S. Определим функцию <р как решение задачи Неймана
3
△<P = divb=V^; Al =о. (5.13)
dxk ,dn |s
k=l
Согласно теореме 1.7 справедлива оценка
I II V? II Lp^C-^-j-lib’ll Lp. (5.14)
Введем вектор а, полагая
b = a-|-gradq). (5.15)
Очевидно, V<peGp, aeSP. Определим оператор П, полагая
а —ПБ. Ясно, что П2 = П, т. е. П — проектор; тот факт, что он
реализует ортогональное в L2 проектирование, непосредственно
вытекает из следующего соотношения, проверяемого интегри-
рованием по частям
(grad ©, а)ь, = grad ©-a* dx = div (©a*) dx =
, Q Q
= ^©a^ds = 0 (5.16)
s
для любой гладкой функции <р, аеМ. Оценка (5.12) сразу сле-
дует из (5.14)— (5.15). Лемма доказана.
Оператор П, введенный в гидродинамику работами Г. С. Крей-
на [31] и Э. Хопфа [96], имеет ясный физический смысл. Если
рассматривать жидкость как 'систему материальных точек, под-
чиненную связи (5.2) — условию несжимаемости, то его можно
трактовать как ортогональное проектирование на «поверхность»,
высекаемую связью. При таком проектировании, разумеется»
исчезает реакция (идельной) связи (5.2). Можно не сомневать-
ся, что в дальнейшем оператор П станет появляться не только
в теоретических исследованиях, но и при решении конкретных
задач- и не только в промежуточных рассуждениях, но и в отве-
тах. Например, он уже появился (не будучи названным) в кри-
териях устойчивости стационарного течения, в формулах для
тензора кривизны группы диффеоморфизмов, сохраняющих объ-
ем и т. д. (см. работу В. И.} Арнольда [91]).
Лемма 5.2. Множество Mq гладких, соленоидальных, исче-
зающих на S векторов плотно в Sp(p^l).
Доказательство. Достаточно установить, что любой век-
тор а е М можно как угодно точно аппроксимировать по нор-
ме Lp векторами из Мо. Докажем, что вектор а е М представим
в виде
а = rot В; B/s = 0. (5.17)
В самом деле, известно, что гладкий соленоидальный в обла-
сти й вектор а с равным нулю потоком через границу S можно
представить в виде
________. а = rot Во; Bon/s = 0; (5.18)
$Bo-dx=O (k = 1,..., г), (5.19)
Tk
где yi, Y2, ...,Yr — полный набор независимых замкнутых кон-
туров в й. Касательное векторное поле Во =13o(x) jHa S потен-
циально, потому что для любого замкнутого контура у; лежа-
щего на S и ограничивающего* некоторую область i cS, имеем
ф B0-dx = J rot Во-п ds = ^ands = 0, (5.20)
Y L 2
так как an/s = 0. Более того, в силу (5.19), (5.20) вектор Во
имеет равную нулю циркуляцию по любому замкнутому конту-
ру ycS, а значит, его потенциал однозначен. Таким образом»
на границе S
(5.21)
Во = grad фо (s); seS,
£7
1 где фо — определенная на S (однозначная!) функция. Продол-
жим ее с сохранением гладкости внутрь области й. Это продол-
жение можно выполнить, например, так. Пусть р(х) означает
'расстояние точки х до S, йь— h-окрестность границы S; йь =
1=={хей; p(x)<h}i. Пусть h> столь мало, что нормали к S не
пересекаются в йь (достаточно взять h меньше минимального
«-.радиуса кривизны границы S). Тогда в йь можно ввести «кри-
^©олинейные координаты» (s, р), где s =б(х) — точка гамицы S,
-’•расстояние которой до х минимально, р = р(х) — расстояние
{;рт х до is. Искомое продолжение можно задать равенствами
й-
<р(х) =
[р (X) — h]2
h3
0
[2p(x) + h]<?0(s(x)) (xe2h);
(хе 2 = 2h).
(5.22)
I Ясно, что ф е С1, ф/s = ф0; — /s = 0. Теперь, чтобы выполни-
«лось (5.17), достаточно положить
k B = B0—-V7p. (5.23)
Из (5.17) следует неравенство
| | В(х) | < Ср(х). (5.24)
£ Пусть теперь ф(т)—бесконечно дифференцируемая монотон-
но убывающая на [0, оо] функция, такая, что
(5.25)
Функцию т]ь(х) (хей) определим равенством
(5.26)
Функция TjheC1 неотрицательна и не превосходит 1. Введем
сектор аь равенством
ah(x) = rot(T]hB) = T]ha-}-VTihXB. (5.27)
Вектору аь не хватает только гладкости (он лишь непрерывен)
для ’принадлежности множеству Мо. Этот недостаток исправим
<с помощью осреднения. Пусть
аьг (х) = J Кг (х — у) ah (у) dy = J Кг (х — у) ah (у) dy, (5.28) j
12 R3
где Кв—усредняющее ядро радиуса 6 < h; например, можно;
взять
Вектор аь вне области £2 полагаем равным 0. Вектор аьв беско-
нечнодифференцирует,угавен 0 в Нь-в и соленоидален, так как !
в силу ,(5.27) —(5.28)
аьв = rot J Кб (х — у) •Ыу) В (y)idy. , (5.30) ‘
R3 Г
Таким образом, амеМ0. Далее имеем '
На — ацб||ьр ||а — аьб II ьр + II аь — аьб||ьр. (5.31 )Ф
Оценивая первое слагаемое в правой части (5.31) с учетом I
(5.27), получим ’
II a —ah || Lp{2) С II Г|| Lp(Q2h) + II W X В || Lp(Q2hy (5-32> ?
Далее, используя (5.24) и оценку |Vr]h| C/h, где С не зави-j
сйтютЬ, найдем
II ™XB||Lp(Q2h)^ChVp. (5.33) j
Теперь ясно, что правая часть в (5.32) исчезает при h->0.
Пусть е > 0 — любое число. Фиксируем h так, чтобы выполни-
лось неравенство
||а —аь||ьр<-у . (5.34)
Из теории усредняющих ядер следует, что при достаточно ма-
лом б
||аь — аьб||г.р'< — - ' (5.35)
Из (5.31), (5.34), (5.35) вытекает неравенство
||а — аьб||Ьр < е. (5.36)
_; Лемма 5.2, таким образам, доказана.
у- Определим теперь в Sp(p > 1) операторы Ао, A, R, полагая
-для любого соленоидального, исчезающего на S вектора
Аой = —ПДй;
V Au=vA0ii4-Ru; > (5.37}
Ru = II[(a, V)u + (u, V)a].
' Области определения операторов А, Ао, R в Sp будем обозна-
чать Dp(A), Dp(Ao), Dp(R).
г Теперь задачу (5.5) — (5.7) можно трактовать как задачу
/Коши для обыкновенного дифференциального уравнения в ба-
'наховом пространстве Sp
+ АБ =7; 7 (0) =70. 1(5.38}
[ dt
fe-
/Здесь f = HF. При этом давление q находится из соотношения
vq = — IT ( _ оДн + (a, v)7 -R (u, у)7 —Т] , (5.39}
( ot I
‘.где П' - I — П — ортогональный в L2 проектор на G2. Функ-
' ция q необходимо оказывается однозначной, в силу определе-
ния пространств Gp; — в (5.39) можно, очевидно, опустить.
S dt
Лемма 5.3. Оператор Ао в Sp (р > 1) замкнут, а в S2 са-
мосопряжен и положительно определен.
Доказательство. Возьмем какую-нибудь сходящуюся в
Sp последоватёльность uneDp(A0), пусть й — ее предел. Пред-
положим, что последовательность Аойп сходится в Sp:Aoun-^-g.
Нужно показать, что iieDp(A0) и Aofi = g. Но из теоремы 6.1
вытекает, что йп-*й в W^2). Поэтому замкнутость оператора Ао
следует из замкнутости операторов о)бабщенного диффереициро-
' вания.
Симметричность оператора Ао в S2 вытекает из тождества
(Aou, v)s2= — J ?ПД u-v* dx = — vj Ди-V* dx =
е Q
3________
= v f rot и • rot v* dx = f V — dx = (u, Ao, v)<., (5.40)
J J dx^ 1
2 2 k=l
^-Tdx^fC | u | 2 dx = fl|ul| L (5.41)
M J
2
справедливость которого для любых й, veD2(A) проверяется
интегрированием по частям. Далее из (5.40) и неравенства
Фридрихса для любого й е Da выводим
3
(Aou, u)s3 =
где у > 0 зависит только от области й, но не от й.
Итак, Ао — положительно-определенный оператор в S2. Он
।—самосопряжен. так как его образ есть все пространство S2. (См.
|[45], § 5). Лемма доказана.
Л ем м а 5.4. Всякий линейный ограниченный функционал /,
определенный на Sp(p > 1), может быть реализован в виде
где veSp'(1/р4~ 1/рл = 1) и однозначно определяется функцией
налом I. При этом выполняется оценка
• II Z II II М s CC_EL_ ц / и. (5.43)
р — 1
Доказательство. По теореме Хана — Банаха, функцио-
нал L можно продолжить с сохранением нормы на все Lp =
i= Ьр'(й, m3, R3-(- iR3). По теореме Рисса, его можно тогда пред-
р ставить в виде
/и = f u-vodx, (5.44)
°
где voeLP' и ||v0||lp' = ||Z||. Теперь, полагая v — Пу0 и применяя
лемму 5.1, получаем (5.42), (5.43). Если бы существовало пред-
ставление функционала I в виде (5.42) с другим вектором vi е SP',
•вместо v, то (для v =-v— vi при всех ueSp имело бы место ра-
венство '
J u-v'*dx = 0. (5.45)
2
Но, полагая в (5.45) u = n(|v'|i>-2v'), получаем, что ||v'||sp' = 0;
v7 = 0. Лемма доказана.
Из этой леммы следует, что отображение /-»-v, реализуемое
равенством (5.42), есть изоморфизм сопряженного простран-
Ю^тва S* и пространства SPs в этом смысле можно считать, что*
В; = sp'-
& Применяя лемму 5.4, повторяя выкладку (5.40) и снова ис-
пользуя оценку в Lp старших производных решений системы
Й Навье — Стокса, заключаем, что сопряженный оператор
^•'к оператору Ао в Sp есть тот же оператор Ао, но рассматрива-
Й емый в SP'. Как показано ниже, оператор А тоже замкнут, R до-
, . пускает замыкание (достаточно, положить, по определению,.
|Ru = R**u), а сопряженные операторы R*, А* суть
t R*u = — + —Ю; A* = vA0 + R*. (5.46)
UI ; ( \ dxr OXS I J
КуОбласть определения оператора A* — та же, что у Ао в SP', т. е.
|Dp(A*) = Dp(А); р > 1. Оператор R* задается формулой (5.46)
Отолько для гладких векторов. Общее же определение состоит
следующем. Вектор й е SP' отнесем к области определения
rSDp'(R*) оператора R* в том (и только в том) случае, если ему
г^можно поставить в соответствие вектор g е SP', так, чтобы имело
место тождество
JRQ>-u* dx = J Ф-g* dx; ФеDp (A). (5.47)
p-При этом, по определению, R*u -= g.
Заметим, что операторы R, А в S2 несимметричны, каков бы
• ни был (соленоидальный) вектор а =#0 {85].
Теперь изучим спектр и резольвенту оператора А. Начнем
* с оператора Ао. Рассмотрим уравнение
(ol —Ао)й = Г, (5.48)
где о — комплексный параметр, a f е Sp. Введем энергетическое
* пространство Hi оператора Ао. Hi — гильбертово пространство,
полученное замыканием Г>2(А0) в метрике
(щ v)h, - (A. u, v)h = (А;« u, A>«v)„ = f Уdx'
J »хк
2 к=1
(5.49)
Пространство Hi состоит из векторов класса Wp, соленоидаль-
ных и исчезающих на S; согласно теореме вложения С. Л. Со-
болева Hi вкладывается в L6 непрерывно, а в Lp(p<6) впол-
не непрерывно, и имеет место неравенство
llv||Lp^Cp|lv||H? (5.50)
где Ср зависит только от области Q, а Сб можно вообще счи-
тать абсолютной константой.
Обобщенным решением уравнения (5.48) называется вектор
й е Hi и такой, что тождество
о (и, Ф) — (и, Ф)Н1 = (f, Ф) (5.51)
выполняется для всех ФеНь Чтобы правая часть (5.51) имела
смысл, достаточно согласно (5.50) предположить, что feLe/s.
Можно предположить также, что f есть обобщенная функция
* 3 сП" I
вида й(Е^ ); fkeL2. При этом, по определению, полагаем!
k=i дхк
для Фе Hi
3
т ЙФ* я
fk---dx.
(5.52)
Q k=l
оператор G:Le/5-^-Hi, требуя, чтобы выполнялось
(Gf, Ф)н, = (f, Ф); ’ФеНр
(5.53)
Определим
тождество
Так как правая часть (5.53)—непрерывный линейный функцио-
нал в Hi, существование и однозначная определенность Gf вы-
текают из теоремы Ф. Рисса об общем виде линейного функ-
ционала в гильбертовом пространстве. Ясно далее, что опреде-
ление обобщенного решения из (5.51) эквивалентно оператор-
ному уравнению в Нь
й = oGu -|- йо; йо = —Gf. (5.54)
Как известно {38], из положительной определенности опе-
ратора Ао следует строгая положительность оператора G. Отме-
ченная выше вполне-непрерывность вложения Hi в Lp(p<6)
влечет за собой вполне-непрерывность оператора G в Hi и в Н.
Поэтому спектр оператора G в Hi (и в Н) состоит из последо-
вательности положительных собственных чисел 1/uoi, I/002,... -
При этом 0 < Ooi пог ; оок-^+оо. Соответствующие соб-
ственные векторы фо1, фог,. . образуют полную систему в Н
и в Нь <
Из теоремы 6.1 (см. ниже, § 6) следует, что при р 6/5
обобщенное решение уравнения (5.54) йеОр(А0). Таким обра-
Вфм, G = Ao-1, и резольвента Ra(Ao) = (oI— Ao)-1 существует
j&pn всех cr^aoi, Oo2,.... To же самое верно и при 1 < р 6/5:
Ждя доказательства достаточно перейти к сопряженному опера-
тору и заметить, что
f IIR. (А.) II Sp-Sp - IIR- (А.) II Sp.-s„-
иногда р пробегает луч р 6/5, сопряженный показатель р' =
|==р/р—1 пробегает отрезок (1,6).
Ж Заметим еще, что гладкость собственных векторов {фок} опре-
Здёляется только гладкостью границы S. В самом деле, если,
Например, для начала предположить, что фок е Н, то из урав-
нения
Ж. фок — ОокОфок (5.55)
с.i силу результатов [10] (см. также теорему 6.1) и теоремы 'вло-
Юкения следует, что фокеВ2(Ао)с= W<2)<= C(Q). Теперь, снова при-
5г/еняя теорему 6.1, получим, что фоке Wp2>nPH любом р > 1. Если
KVC1, то фоке Wpl)при любом р > 1.
Ж Скажем еще несколько слов о характере полноты системы
‘{фок}- Пусть ueD2(A0). Тогда вектор АойеН, и его можно
^аппроксимировать линейной комбинацией ф=£акфок так, чтобы
К. к=1
№
г II А° U - V «к фк II н<е, (5.56)
к = 1
•где е > 0 — любое число. Но тогда, в силу теоремы 6.1,
Г N N
II u _~ Фок II w(2) =?= С |] Ао U — ак фок ]| н Се.
.. к=2 ° к=1
(5.57)
Таким образом, система {фОк} полна в D2(A0) в метрике W22).
Тогда, по теореме вложения, она полна в D2(A0) и в метри-
ке Sp при любом р > 1. Так как D2(A0) плотно лежит в SP, си-
стема {фок} полна в Sp. Заменяя в предыдущем рассуждении Н
на Sp, приходим к выводу, что она полна и в DP(AO) (р > 1) от-
носительно метрики W<2).
Сформулируем полученные выводы в виде леммы.
3. В. И. Юдович
65
Лемма 5.5. Оператор Ао в Sp (р> 1) имеет чисто точеч-
ный спектр, состоящий из бесконечной последовательности по.
ложительных собственных чисел 0 < <Toi^Oo2^ • • •; ook->+oo.
Соответствующие собственные векторы {ярок} образуют полную
систему в Sp, а также в Dp(Ao) с метрикой W<2). При этом, если
S е С', то ?ok е Wj>° при любом р > 1.
Замечание. Используя известную методику Карлемана
[57], можно изучить асимптотику собственных чисел оок пр^
больших к*. Она оказывается почти такой же, как для опера-
тора Лапласа (в последнем случае вместо 3 стоит коэффици-
ент 6)
/3^2 к \2/3 ? /к КОХ
---тг ; к-> СО. (5.58)
\ ГП3 * )
В двумерном случае ответ получается такой же, как для опера-
тора Лапласа: ;
«ок ~ ; к - со. (5.59
к ms2 ’ v
Переходя к изучению оператора А, рассмотрим в Sp (р > 1
уравнение
(ol— А)й = /. (5.601
Обобщенным решением этого уравнения назовем векто,
й е Н] и удовлетворяющий тождеству
" а (и, Ф) — v (и, Ф)Н1 - (Ru, Ф) = (Т, Ф); Ф е Hj (5-61
Эквивалентное, в силу (5.53), определение: вектор йеН(— ре-
шение уравнения
G _ I------L QrK ="00; 'u0 = — Gt (5.62
\ V 'V 7 V
Предполагая для начала, что I е S6/5, заключаем, что йо е Н1;
Далее, оператор GR действует вполне непрерывно в Нь Дей-
ствительно, из (5.37) явствует, что R непрерывно действует
из Hi в S2, a G переводит S2 в W^2), которое вполне непрерывно I
вкладывается в W<n.
Докажем последнее утверждение иным способом, который
годится для любой ограниченной области (к гладкости грани-
цы— никаких требований).
• Вариационным методом эту асимптотику получил Метивье (1978).
В Возьмем_ произвольную слабо сходящуюся в Hi последова-
тельность: un->u. По теореме вложения, она сходится по нор-
ые Sp (р < 6). В силу определения оператора G (5.53) спра-
ведливо тождество
В - (GRun, Ф)н, = (Run, Ф); Ф е Нр (5.63)
jfa (5.63) выводим для любого Фе Hi
й — (GRiinGRUm, Ф) Hj = (Run — Rum, Ф). (5.64)
ролагая в (5.64) Ф = GRun— GRum и применяя неравенства
Коши — Буняковского и (5.50), получаем
||GRun — GRum || = (un — um, R*GR (un — um))
C l|R*G||H_>H-||un — Um||H-llR(un — йт)11н->0, (5.65)
|ак как первый и третий множители ограничены, а второй стре-
мится к 0, когда гп, п->оо. Таким образом, доказано, что опе-
ратор GR усиленно непрерывен, а значит, и вполне непреры-
вен в Hi.
g Заметим еще, что оператор GR допускает продолжение до
зполне непрерывного в Н: достаточно положить, по определе-
нию, GRii = (R*G)*u для любого йеН.
...* Леума 5.6. Оператор А замкнут, спектр у него чисто то-
чечный—состоит из бесконечной последовательности собствен-
ных чисел oi, о2,При этом Re Ok-^-f-oo (к-> оо) (сле-
довательно, существует не более конечного числа собственных
^ЭД^л с. отрицательной действительной частью). Спектр опера-
4тора А заключен в области *
Reo^—т + ^оь I Imo I г^а ]/" Req + T _|_p; (5.66)
г ? ' v м
a — max | a (x) | ; f = max | rot a (x) | ;
xea xeS
7 = max
xeS
Обратим внимание на то, что Reo5= —у равномерно относительно V. В
А. случае идеальной жидкости (v=0; ‘ an/s—0) спектр лежит в полосе
- I Realty, но, конечно, уже не обязан быть чисто точечным.
Последовательность собственных и присоединенных векторов
оператора А образует полную систему в Н и в Нь а также в Sp
hDp(A) (р > 1) в смысле метрики W(p2)-
Доказательство. Пусть 5neDp(A), причем йп->й;
Айп-э-g по норме 5р._Покажем, что тогда ueDp(A) и Au = g..
Вводя обозначение Айп — gn, получим
6----LGR\un=_LGin. (5.67)]
I
Оператор GR можно продолжить по непрерывности на всё Sp,
полагая GRfi = (R7* G) * и дл я“ любого fieSp. Но из леммы 5.5 и!
теоремы нложения следует, что оператор R*G действует непре-
рывно из Sp в W^c: Lp при любом р >• 1. Значит, GR действует
непрерывно в Sp. Из теоремы 6.2 следует, что оператор GR огра-
ниченно действует из Sp в Переходя в (5.67) к пределу,
найдем
vfi = GRu + Gg. (5.68)
Правая часть в (5.68) принадлежит W<p’>, поэтому Тогда
Ru + geSp и. в силу (5.68) u = — G(Ru-f-g)eDp(A0). Теперь
V
можно применить к уравнению (5.68) оператор Ао и получить,
что Ай = g. Итак, оператор А в Sp (р > 1) замкнут. Замкну-
тость оператора А в Sp можно доказать, не обращаясь к теоре-
ме 6.2. Действительно, как доказано выше, оператор GR огра-
—ниченно действует из Sp (р^2) в Нь Так что, если ueSp — ре-
шение уравнения (5.68), то йеНь Далее в силу леммы 5.5
GR действует из Hi в W(22) с W£n. Следовательно, ueW^c W<n.
Наконец, из W<n оператор GR действует в DP.(A). Теперь из'
(5.68) вытекает, что Ай — g, и замкнутость оператора А дока-
зана при р 2^: 2; в случае р < 2 для доказательства достаточна
заметить, что А = А**.
Только что проведенные рассуждения показывают, что урав- -
нение в SP ' i
(al —А)й«=7 (5.69)Н
эквивалентно уравнению
(— G—I — — GRjT^ — GL
\ V V / V
(5.69')
Следовательно, резольвентные множества и спектры опера-
тора А и пучка (5.69) совпадают.
Оператор (GR)2 действует из HbW^'cC ограниченно, а сле-
|Вдовательно, [17] является оператором Гильберта — Шмидта
1К Н. Поэтому из результатов М. В. Келдыша [24] (см. так-
1|же [14]) выводим, что система собственных и присоединенных
КЙекторов пучка операторов (oG — I — GR) полна в Н, спектр
Внучка дискретен: состоит из собственных значений сп, о2, • ,
^’причем Re<Jk->+oo. Этот результат сформулирован в работе
Же. Г. Крейна [31] (см. также [76]).
Так же точно, как в лемме 5.5, доказывается, что спектр и
Некорневые векторы пучка oG— I — GR в Sp не зависят от р, при-
едем последние обладают гладкостью W<2) при любом р^1, а
внесли SeCz, то они принадлежат при всех р^1.
Sfc Докажем, что система собственных и присоединенных век-
ргоров полна в DP(A) в смысле метрики W^2*. Известно, что мож-
Е|но так выбрать систему собственных векторов фк = ф<°>, чтобы
^“Присоединенные векторы ф[’\ ф[2),__ фОМопределялись урав-
Пениями
(oR I — А) ф<т> = (ш=1,2,. . . гпк). (5.70)
ВЁсли iieD2(A), то возьмем о0ео(А) и найдем линейную комби-
N 1П к —Гт)
кЬацию х = 222^сктфк , которая хорошо аппроксимирует
Jk=l m=0
El(ool — А)й по норме Н. Тогда (о01 — A)-1% хорошо аппрокси-
Кмирует и по норме W|2). Но (о01—А)-1%, очевидно, есть конеч-
КЙая линейная комбинация векторов ф[т)- Итак, полнота в D2(A)
Доказана. Так как D2(A) плотно лежит в Sp, а норма Sp подчи-
нена норме W<2) при любом р 1, имеет место также и полно-
®та в любом Sp(p 1). Теперь полнота 'в DP(A) относительно
^метрики W<2) выводится из полноты в Sp так же точно, как это
Всделано выше при р = 2.
Докажем теперь оценку (5.66), Умножая уравнение
f (— G—1-— GR^’u=0 . (5.71)
; скалярно в Hi на й и учитывая (5.37), (5.53), найдем
> II U II н,—о II U II Н=—J l(a, v)u + (u,v)a] u* dx =
2
= J [а X rot и + и X rota] и* dx. (5.72)
2
Отделяя вещественную и мнимую части, получим
:---------------------------------------
v||T||h, — Rea ||u|| н = - Re J (u-vfaai* dx; (5.73)
a
Im a || u ]| н — Im J [aX rot u-u* + uXrota-u*] dx.
2
Из (5.73) .выводим оценки:
' -
! V II u II fe.<(Rea + т) II u || Й; (5.74)
: • I Im a l • II u II fiC a II U || н,- II U И н+₽ II fl II H. (5.75)
Из минимального свойства первого собственного числа опе-
ратора Ао вытекает, что
llullft^^llullfex. (5-76)
Если й=/=0, то из (5.74), (5.76) вытекает неравенство Reo-j-y^:
Далее из (5.74) получаем
II й|| н.С 1/-^-Чй||н. (5.77)
Г v
Теперь второе неравенство (5.66) следует из (5.75), (5.77).
Лемма 5.6 доказана.
_____Замечание. Из результатов работы [24] легко вывести
асимптотику собственных значений оператора А. Именно, ока
зывается, что——----->1 при к-»-оо. Если учесть замечание к
w0k
лемме 5,5, то получим в трехмерном случае
а в двумерном
Возьмем теперь какое-нибудь вещественное число <г0 < —у +-
Н-уооь В силу (5.66), резольвентное множество оператора А
содержит сектор = {о: 0 |arg(o— a0) | л}, где 0 при-
надлежит интервалу (0, л/2) и достаточно близко к л/2.
Лемма 5.6. Справедливы равномерные относительно;
oeSO0ie; ТеН.оценки:
|| (al - A)-1 f || - II f II H; (5.78)
I <3—°0 I
|| (al - АГ1 FII H.^-—- || f|| H. (5.79)
V I a — c0 I
Доказательство. Пусть u — решение уравнения в S2
(al — А)й = /. (5.80)
Далее будет использовано только то, что и — обобщенное реше-
ние уравнения (5.80), т. е. iieHi и выполняется уравнение
(oG — I — GR) й = Gf.
(5.81)
^Умножая (5.81) скалярно в Hi на й, отделяя вещественную и
[мнимую части и делая такие же оценки, как при выводе (5.74),
|(5.75), получим
» II u || ft,^(Rea +у) Ц и |[ н + 0 f II н- II и Н н; .(5.82)
Ima | • ||и||ЙС.а||и|| Н1II М н + Ml й|| Й + II Г|| н- II II н.
(5.83)
Проведем оценку отдельно в двух случаях: 15
а) ReaZSsOo; |Im a| 23s ]Re(o —g0) |tgG;
й б) Re о .оь.
В случае а) оценивая правую часть (5.83) с применением
^элементарного неравенства аЬ (е2а24-—В2) (а, Ь, е > 0)
и учитывая (5.82), найдем
-Г I Ima I _^l(Rea + Т)--^ - ₽ t|| и II н
(1 + tr) «Ин
(5.84).
Используем теперь неравенство а) и вытекающее из него не-
- равенство
|Ima| |о — ao|sin0.
Тогда из (5.84) выведем
(5.85)
II U II н<
(хе2 \ „ ае2 а
1 _ — ctg 0 51п 0. I а _ Оо I _ — + 7) _ — _ Р
Zv 1 Zv
II f II Н.
(5.86)
При этом е считается столь малым, что 1 — — ctg 0 > 0, а
| сг— сЕо| столь большим, что знаменатель в (5.86) положителен.
В случае б) неравенство (5.84) сохраняется; из него, при-
"меняя б), для достаточно ’болыших’ (| Jm сг| выводим
аг2
1 +V
II и И Н<------------—-----------------II f II Н. (5.87)
ае2 а
| Im а | - — (<% + 7) - — - р
.Из (5.82), применяя (5.76), получаем
и II ----—---II f II н<- - -—•
wM—Re °—7 I Re (с — c0) |
II f II h. (5.88)
Ясно, что оценку (5.78) достаточно доказать для больших
|<г — о0|.. В случае а) она непосредственно следует из (5.86).
В случае б) оценка (5.78) вытекает из (5.87) для любой вер-'
тикальной полосы Oi^Recr^Oo, а из (5.88) — для любой го-
ризонтальной полосы |Jmo| р. Остается показать, что она
^выполняется, когда о меняется внутри квадрантов Re (о—т)< 0;
| Im о | р.
При этом можно считать, что |т| и р — фиксированные до--
статочно большие числа, т < оо- Но в этом случае из (5.87),!
(5.88) вытекает неравенство
_ * ;
II u II н*С----------------------- II f II н; (5.89)
max { I Re (а—аО | , ( Im (а — at) I }
oi=T + ip, j
которое эквивалентно (5.78), так как
max { I Re (а — aj | , | Im (а — aj I } —-— I а — <31 I i
УТ 1
> I °—<=о I .
Этим заканчивается вывод неравенства (5.78). Неравенство
(5.79) сразу .следует из (5.78) и (5.82). Лемма доказана.
72 J
d
В. Лемма 5.7. Пусть сг0 — какое-нибудь вещественное чис-
мо — такое, что оь <—уД-тооь Тогда резольвента оператора А
h SP (р > 1) удовлетворяет неравенствам:
k
с
(5.90)
II (al А) 1 ]| Sp_^w<s
(5.91)
^равномерно относительно о е S „0, е = {о: 6 . arg (о — о0) | я}
1где 0е(О, л/2) и достаточно близко к л/2.
Доказательство. Из леммы 5.6 следует, что сектор SO0>в
целиком содержится в резольвентном множестве оператора А..
;Так как оценка (5.90) с очевидностью следует из (5.91), огра-
ничимся выводом последней. Применяя мультипликативное не-
равенство, получим для любого lieDp(А)
W(2)-
,(5.92)
Полагая в (5.92) и = (ст!—vAo)-1f; feSp и пользуясь теоре-
мой 6.1, придем к равномерной по сте2%,е оценке
II RRoa II Sp->Sj
-—; Roa = (ol - vAo)-1. (5.93)
Неравенство (5.91) достаточно доказать для больших |о|; бу-
«Дем, например, .считать | о | столь большим, чтобы выполнялось,
неравенство
II RRoa II s
2
2
(5.94)
Тогда остается записать резольвенту оператора А в виде
(о! — А)-* == ROa(I — RRoa)-1 (5.95)
й заметить, что в силу теоремы 6.1 и условия (5.94)
sp->w<2> 111
— RRoa)-’ II S S ^Z II KOa II (2) u.
г V ‘-’p ” p
Лемма доказана.
Эта лемма включает линеаризованные уравнения Навье—
Стокса в общую теорию, развитую выше. Теперь остается сфор-.
мулировать теоремы, относящиеся к уравнению (5.38), к кото-,
.мулировать теоремы, относящиеся к yj,
.грому была сведена задача (5.5) — (5.8).
Теорема 5.1. Оператор А в Sp при .любом р> 1 порож-
дает аналитическую полугруппу. Для решения задачи Коши
(5.38) справедливы оценки:
II ч (t) JI sp^.Ce-^
(e°°x || f (t) || sP1(2))r‘dx
l/r.
II uo II Sp +
(5.96)-
- /q
_L = _Lp-----1 _]_k); —= —(i- —+-Ц— i
q 2 \ p2 • p / Рз nV r2 Q 1 I
--Чк-Ч I
Здесь n — размерность области (n=2, 3); k=0, 1 и предпола- J
гается, что р, рь р2, р3, q > 1 и гь г2 > 1, р, q > р2. 1
Доказывается эта теорема так же, как теорема 4.2. 1
Далее введем пространство S(pZ) — замыкание множества глад- J
ких соленоидальных векторов, исчезающих на S, в метрике Wz/> I
Властности, S<0) = Sp; Hi. |
Теорема 5,2. Решение задачи (5.38) подчинено оценке 1
(5.97) j
i
n = 2,3; р, pt >1; r^l
Доказательство. В случае но=О теорема сразу следует j
из леммы 2.6 и аналога леммы 4.1. Поэтому разберем случай j
Т= о. j
- Рассмотрим оператор А на SJP. Областью его определения j
будем считать множество D^(A) векторов й eS^f) W^. таких, j
чТо. Ай е S<’1. Так определенный оператор замкнут и порождает j
^аналитическую полугруппу в Sp (Этот факт выводится из тео-
Жремы 6.3 точно так же, как лемма 5.7 из теоремы 6.1). Поэтому
(5.97) выполняется при f =0. Теорема доказана.
Л- Теорема 5.3. Для решения задачи (5.38) справедлива
‘ оценка
du ||г
Л” l|Lp(S)
+ II U II rw(2)(Q)]
dx sec
IK 111; +
(5.98)
S 0
[Доказательство. При г = p > 1 эта теорема известна
(см. [63], [64], а также § 7). При любых т, р > 1 она следует
из теоремы 3.1. (См. также приложение к § 5).
Конкретизируя теорему 3.2, в случае уравнений Навье —
..Стокса приходим к следующему утверждению.
Теорема 5.4. Пусть однородное уравнение
du . . „
----h Au = О
dt
(5.99)
fe'-
। не имеет периодических решений, за исключением нулевого,.
БТогда неоднородное уравнение
^+Au=f(t)
(5.100)
г при любой Т-периодической вектор-функции feLr((0, Т), SP)
г имеет единственное периодическое решение и справедлива
£ рценка
k i(ii^iu+iu"42,«)dt<ci|f"s-<it- (5ло1,:
о о
Приложение к § 5
В этом приложении показано, как .неравенства коэрцитив-
i ности для задачи Коши на бесконечном промежутке времени
выводятся из неравенств коэрцитивности на конечном проме-
"жутке.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения в банаховом про*
странстве X _
u + Au = f; u(0) = a. (1)/
, Предположим, что А — производящий оператор аналитиче-
ской полугруппы и что имеет место коэрцитивность на отрез-
ке [О, Т], т. е. для некоторого Т > 0 выполняется оценка
т ГТ
|| u II &р(01Т) = J( II и и ₽+ || Au II p)dt<C₽ J II f(t) || pdt-f-
o |_o
+ 111 a III PL
(2)
с постоянной С, не зависящей от t (0<т^ оо) для любого та-
кого о, ч,то Re о (А) > с. Ради краткости докажем (3) для т=оо. -
Пусть Wp —банахово пространство, получаемое пополне-
нием Da по норме
НаЦ wp = IIIаIIIР + II а || х. .(4)
• Заметим, что оператор А порождает аналитическую полу-
группу в Wp. Действительно, пусть ФеВр (0, т) и Ф(0) = g. То-
гда ИлФХО) = Rzg и для любого Лер (А) .
ill R* & III II Rx *Ф II вр(0, Т)^ II R* II х-*х II ф II ВР(О, Т)- (5)
Переходя к точной нижней границе по Ф, получим для любого
geWp оценку
|||Rxg|||p^HRx||x->x|||g|||p. (6) '
Теперь высказанное утверждение следует из теоремы
М. 3. Соломяка и предположения о том, что —А— производя- ;
щий оператор аналитической полугруппы операторов в X.
Таким образом, для решения задачи Коши (1) при f=0
имеем оценку
ll|u(t)|||P<C1e-«.4||a|||p,t>0 (7)j
для любого 'Ui < Re о (А). <
На отрезке [пТ, (п-)- 1) Т] = 1п, п = 0, 1, 2,... решение за- j
дали (1) представим в виде
Ш».
В' _n
|, u = wn4-vp; wn=. uk. (8)
Ц k=0
^Ректор-функции uk, vk определим для t kT как решения за-
I дач Коши
vk Avk = f; vk (kT) = 0;
t
йк + Auk = 0; uk (kT) — vk-i (kT).
(9)
J. Для удобства вводим обозначение v_i(0)= а.
t. Применяя неравенство (2) к уравнению (1) на отрезках 1п
и суммируя, получим неравенство
co
oo
j II U И Вр(0,оо;с
еР-т j|] Wn („у) III p ,
о
n=0
c2 = 2VP'CeoT.
(10)
Г/ Займемся оценкой последнего слагаемого в (10).
L _ Пусть оо удовлетворяет условию о < Оо < Re о (А) , а поло-
^жительное б столь мало, что oi = оо + 'б удовлетворяет тому же
^условию. Применяя (7), (8) и неравенство Гельдера для сумм,
^получим
n
(kT)|||₽x
k=0
(И)
Из (11) выводим
'' ri
III w„ (ПТ) III 2 III v„_, (kT) III P,
k=0
C3 = CieeT (eep'T — 1) -vp. (12)
Используя (12) для оценки суммы из (10), после перемены
порядка суммирования получим:
оо оо
e₽',nT HI wn (пТ) О) Р^С₽ £ еР^т ||| у^ (кТ) ||| рХ
к=0
.
оо оо
X^e₽(0-°o)nT=Cp2ePokT|l|vk_i(kT)|||P; (13)
п=к к=0
С4 = С3(1 — е-Р(р»-р)Т)-1/р.
----Из (13) следует оценка _________
оо
2e^|||Wn(nT)|||P^CP
п=0
ОО
2eP“‘T«v‘-'iU-,>+,l|aii|»
к=1
(14) :
Далее, пользуясь неравенством (2), примененным к задаче (9),
из (14) выводим ;
(15)
Из (10) и (15) получаем
что, по существу, совпадает с (3).
Покажем теперь, что в условиях теоремы 3.2 постоянную в;
неравенстве коэрцитивности (3.5) для Т-периодических реше-
ний можно выбрать, не зависящей от Т. Будем считать, что
Re а (А) > 0 (в общем случае надо проделать еще оценку для
части А_ оператора А, соответствующей подмножеству спектра,. ’
лежащему в левой полуплоскости; это делается аналогично и ;
даже проще, так как А_ — ограниченный оператор. Неравен-
ство (3) при о=0, т=пТ для периодического решения и0 дает =
Uo II p+ II Au0||P]dt^ Cp
l|f||₽dt + |||u(O)|||P
(17)
& с константой С, зависящей от p, но не от f, n, T. Перепишем
g (17) в виде
Из (18)
р + || Au || Р) dtCCp п
т
Jilt II' dt + HI и (0)111
о
• (18)
при и—>оо получаем окончательно
(19)
р
р
Г § 6. Оценка
резольвенты
I линеаризованного
В оператора
| Навье-Стокса
В ограниченной трехмерной области Q
с границей S рассмотрим краевую задачу
ой — Ай = —VP-|-f; (6.1)
divfi = 0; (6.2)
й/S = 0. ' (6.3)
8 Чтобы исключить неоднозначность в определении давления,
& предположим, например, что j* Pdx = 0.
?’ В этом параграфе даются оценки решения й, Р данной за-
; дачи и его производных в Lp. Основные результаты сформули-
рованы в теоремах 6.1—6.3.
У Теорема 6.1. Пусть SeC2; feLp(fi), (р > 1). Тогда крае-
вая задача (6.1) — (6.3) имеет единственное решение йе\У<2);
PeW£!) и справедливы оценки
l|u|| 2)<С II f IIL ;
(р р
II й п L —— Ilf II L;
LP 1 + | a | " Lp’
(6-4)
(6.5)
II VP llLp^C ||f || Lp
(6.6)
для всех о из сектора So, a= {о: л> | arg(—о) | >а}; 0<а<л/2,
причем постоянная С зависит только от £2, р, а, но не от f.
Докажем сначала несколько лемм; центр тяжести доказа-
тельства теоремы 6.1 приходится на лемму 6.3.
Начнем с одной задачи векторного анализа. Пусть й=й(х) —
гладкий вектор, соленоидальный в области £2 и имеющий рав-
- ный 0 поток сквозь границу S. Поставим задачу об определении
вектора В по условиям:
div В = 0; (6.7)
rot В = й; (6.8)
~~ “-------- Bn/S = 0. (6.9)
Хорошо известно, что если область £2 неодносвязна, скажем,
m-]-1-связна, то решение этой задачи определяется не одно-
значно, а лишь с точностью до гармонического слагаемого. Мно-
. жеств.о гармонических векторов образует конечномерное про-
странство; в качестве базиса можно взять, например, векто-
ры ipk, удовлетворяющие условиям
divipk = 0; rotipk = 0; фк-n/S = 0; Jфк-dx = 6ki
(k, /= 1, 2,...,m),
где Ть 72, • • •, Ym — полный набор независимых одномерных цик-
лов («базис одномерных гомологий»). Поэтому единственности
__решения можно добиться, ставя дополнительное условие
J B-dx = Ck; (к = 1,2,. . . ,_т), (6.10)
Тк
где Ск — известные постоянные.
Лемма 6.1. Пусть й е Sp (р 2> 1). Тогда существует вектор
BeWp0. удовлетворяющий условиям (6.7) — (6.9) и оценке
• > , l|B|Iw(0CC||ukp, (6.11)
где постоянная С зависит только от £2, р, но не от й.
Доказательство. Достаточно провести рассуждения в
случае гладкого, соленоидального, исчезающего в пограничной
полоске вектора й. (Множество таких векторов плотно в Sp, по-
этому, используя замкнутость обобщенного дифференцирования
и оценку (6.11), непосредственно переходим от указанного част-
ного случая к общему.) Продолжим вектор й(х) .на все R3, по-
слагая его равным 0 вне Q и определим вектор Во как решение
^задачи во всем пространстве
, div Во = 0; rotB0 = ii; В0/со = 0. (6.12)
Решение задачи (6.12) имеет вид
Во = rot Со,
.где вектор Со есть решение уравнения Пуассона:
АСо = —й; С0/оо = 0. (6.13}
; В силу теоремы А. И. Кошелева [30], из (6.13) вытекает оценка
Г 1 В. II С, 1 С. II W«(E)=SC 1 u II Lp. (6.14)
iflcHO,_4To все условия (6.7) — (6.9) выполняются, если положить
?В = Bq -|- grad <р, где <р — решение задачи Неймана
f д? = 0; I = - Воп. (6.15)
? СП Is
(Условие разрешимости этой задачи выполнено в силу первого
из уравнений (6.12). Заметим далее, что ВОп является гранич-
ным значением некоторой функции из Wj0. В самом деле, пусть
Fnk(x) — функция, определенная в области £2, а на границе S рав-
;ная k-й координате вектора внешней нормали п. Так как SeC2,
функция Цк(х) на S имеет гладкость С1, а потому, как известно
:[44, § 16], можно считать, что она имеет гладкость С1 и в Q.
Таким образом, имеем
Bon = Вок (х) пк (х) | sj I) вокпк || С || Во || Yy(i)‘ (6-16)
Используя известный результат [1] и неравенства (6.14), (6.16),
из (6.15) выводим оценку
II? II W(2> С II Вок nk II w<0, (6.17)
которая вместе с (6.14) приводит к (6.11). Лемма доказана.
Лемма 6.2. Если, в дополнение к условиям леммы 6.1, из-
вестно, что SeCz+1, ueW(p;) (р>1; /3^0), то справедлива
оценка
U В и Wa+I) =ss с и u I! W(Z). (6.18)
Доказательство. Доказательство проводится индукцией
по I. При 1=0 нужный результат уже установлен в лемме 6.1.
Пусть теперь лемма справедлива для некоторого Zz^O. Пока-
жем, что тогда она верна и для Z-J-1. Пусть х0 — внутренняя
точка области й, причем расстояние ее до границы S не мень-
hie чем 3h. Введем функцию х = Хь (х), полагая
) (619)
..' ,ГГ|" ------—-Х™ —~ 2-Н j
где ф—.функция, определенная в (5.25). Определим вектор
-» В' = %В. Ясно, что В' = Вв h — окрестности £2Хо,ь точки х0 и
что его можно считать заданным во всем пространстве R3, пола-
гая B'=0 вне Qx0,2h. Из (6.7) — (6.8) вытекает, что вектор В'
во всем R3 удовлетворяет уравнениям
divB' = Vx-B; rot В' = хй + Vx X В. (6.20)
Из (6.20) следует, что вектор В' допускает представление
В' = grad 6'+ rot С', ! (6.21)
, причем .0', С' определяются как исчезающие на бесконечности
решения' уравнений Пуассона
A0' = Vx-B; -ДС' = хй + ^хХВ. (6.22)
Из (6.21) — (6.22) выводим оценку
l|O'+'B|Lp(!!-)cC(||B|lu,<,)(^a) + ||;ilw,,)) (6.23)
Теперь нужно получить аналогичную оценку в случае х0 е S. Вы-
берем начало координат в точке х0, ось х3 направим по внут-
ренней нормали к S. Пусть уравнение границы S вблизи Хо=0
есть х3=у(Х1, х2); по условию yeCz+1 в некоторой окрестности
2x0,11 точки хр. Введем в этой окрестности Xq новые координаты:
ai=xt; ct2 = x2; а3 = х3 — у(хь х2). (6.24)
Преобразование (6.24) взаимно однозначно и превращает кусок
границы S в окрестности х0 в некоторую область на плоскости
а3 =. 0. Из уравнений (6.7) — (6.9) выводим
div«B = Txk^-;
Oa3
rota В = u + q;
В3 I а3=0 — Yxk Bk,
где вектор q = q(B) имеет координаты
(6.25)
(6.26)
(6.27)
дВ3 <№3
Ч1 = Тх2—; q2 = -Tx,—3;
Оа3 оа3
„ ЙВ2
Чз — Тх, “
Оа3
дВ,
Тх2— •
Оа3
(6.28)
Введем теперь вектор В, полагая
B = x(a)B; х(а) = Ф(-^Ь
\ 2h /
(6.29)
diva В = Тхк + (Хак - Тхк ^) вк;
Оа3 К К да3
rota в =q(B) + хй + qo + VaX X В;
В3 I а3=0 = 7хк Вк.
В силу (6.25) — (6.27) вектор В в полупространстве а3 О удов-
летворяет условиям:
(6.30)
(6.31)
(6.32)
При этом вне 2h — окрестности точки а=0 полагаем В=0. Век-
тор q0 определяется равенствами
4oi= Тх3 В3 ; q02 = ?Х1 В3 ; q03 = (Bj jx, В2 тх) .
Oct3 utig
(6.33)
Рассмотрим теперь в полупространстве а3 > О краевую
.задачу
div Е = р; rot Е = g; Ё3 | Оз=о = л (а) I а3=о, (6.34)
где р(а), g(a), л (а) заданы всюду в полупространстве а3 О,
финитны и имеют гладкость W*/*, р > 1. Покажем, что выпол-
няется оценка
|] DW Е || Lp^C ( || р И W(Z) -HI g || W(O +
+ II II WU))- (6.35)
С зависит только от р.
Действительно, вектор Е допускает представление
-
Е = grad 8 + Ео, (6.36)
где функция 6 и компоненты вектора Ео определяются путем ре-
шения задач Дирихле и Неймана в полупространстве аз > 0:
_______________. Аб^р; ^-|........= «(а) ; (6.37)
Оаз 7^3=0 а3»=0
ДЕ0 = —rotg; (6.38) ;
1 £.„ = 0; ffil_ga+&; ffis = _g1+^»; («,-0). (6.39)
VCI3 UCLi CfO-3 vC£2
Поэтому известные оценки в Lp решений этих задач [!, 30] сра-
зу приводят нас к (6.35); заметим только, что компоненты век-
тора Ео оцениваются последовательно начиная с Е03.
А
Теперь для вывода оценки вектора В из (6.30) — (6.32) при-
меним неравенство (6.35). Заметим, что ;
= ?
(6.40) j
у OCL3 / VG13
. ’ D^q(i) = f(D^) + ...,
где многоточия означают выражения, содержащие производные
вектора В не выше l-го порядка и производные функции у ве
. выше 1-\- 1-го порядка. Аналогично
D'(TXk.Bk) = TxkD/Bk + .., (6.41)
где опущены члены, содержащие производные вектора В поряд-
ка не выше I—1 и производные функции у порядка не выше
/-]-1. В результате будем иметь неравенство
|| D'+' В I ц<С (maM VT I - II О'+> В II Lp + II В II +
.. + ' (6-42>
КВыберем теперь h столь малым, чтобы выполнялось условие
р С max I VI I < — - (6.43)
“6$0,2Ь 2
аЭто возможно, так как Vy=0 при а=0. Тогда из (6.42), вспо-
—
уминая, что В = В при |a|^h, и возвращаясь от переменных a
Ек переменным х, получим оценку (возможно, с другой постоян-
рной h)
fc. (6.44)
КГ X
Й4з оценок (6.23) и (6.44) с помощью обычного рассуждения,
киспользующего лемму Бореля, выводим неравенство
К II В II \у(Ж)(2)^С ( II U II + II В II уу(0(2})- (6.45)
{Теперь (6.18) непосредственно следует из (6.45) и предполо-
икения индукции. Лемма 6.2 доказана.
В Лемма 6.3. Пусть ое20, е = {о: 6 I arg(—о)|^л};0<
| |< 6 < л/2, а вектор й = й(х, z) (х = (хь Хг); z = Хз) вместе с
функцией Р(х, z) образует решение краевой задачи в полупро-
странстве z > О
В ой — Ай = —VP 4-7; (6.46)
i 3
Ь div u = g = V ; (6.47)
, k=l
й/2=о = О, (6.48)
.где f, g, gt известны.
, Тогда справедлива оценка
Рпричем С зависит только от 6; р > 1.
Доказательство. Представим вектор и в виде
й = й0 + grad ф -[- w, (6.50)
где йо, ф, w определяются путем решения следующих краевых
задач в полупространстве z > 0:
ой0— Дйо = f; uo/z=o = 0; йо/oo = 0; (6.51)
3
Дер = g — div и0 = (gk~ uok); yN =0;?|оо = 0;
dxK k=o
k=l
---------------.---------------- (6.52)
w = rotG; G = (— фХа, фх,,0); (6.53)
Д2ф _ 0Дф = 0; ф | 2=о =0; — I =<р(х, 0).
OZ |z=0
Вектор йо, в силу результатов работы [60] (см. также тео- ?
рему 4.1), допускает оценку '
1?1 * И По || Lp + II й0 || w(2)CC|Jf”|| ц. (6.54) j
Для фуйкции ф, применяя теорему 1.6 и учитывая (6.54), полу- ]
ним оценки ч
II Dx ? II LP<C ( II g II WO) + 11 F|| Lp); (6.55) 1
‘3
I a I • II V? II Lp< I 0 I C II Sk — Uok II Lp=^
k=l
(3 \
I о I J]|| gkllLp + llfH Lp )• (6-56) '
k=l /
.Займемся теперь задачей (6.53). Применяя разделение пере- -
менных, решение ее запишем в виде :
Р p^iZ _ Л
Ф (X, Z) = ] е«(х.у> —--— ? (у, 0) dy, (6.57)
R2 А1~А2 ’
Л I
где ф — преобразование Фурье функции ф(х, 0) . j
I ? (У’ °) = J ? <x’ °) е-‘<х’У) dx, , (6 58)
Ы Ль Хг даются формулами
I, ________ _____________________
I xi = — I У I = — V У1 +y’; *2 = — К I У | 2 + <3. (6.59)
j;
|.При этом под У|у|2 + о понимается тот из двух корней, кото-
L рый имеет неотрицательную действительную часть; так как под-
з коренное выражение меняется в комплексной плоскости с раз-
резом вдоль отрицательной полуоси, этим условием определя-
ется однозначная функция Лг —Ы|у|> о)> yeR2, ое20,е.
I Начнем с вывода неравенства
Г _ _ з
I II Di U II L <С ( II f II L + II g II (1) + | О | У || gk II .). (6.60)
g г г * p *
L- k=l
г В силу теоремы А. И. Кошелева, это неравенство эквива-
лентно такому:
Б- _ з
Г ii^uLp<c(iifiiLp+ngiiW(1)+niyugkiiLp). (6.61)
| ₽
L Учитывая представление решения й в виде (6.50) и оценки
[(6.54)—(6.55), замечаем, что неравенство (6.61) вытекает из
следующего
[ - / 3 \
1 11^||Ер<С[ l|f|lLp+llgHw(i)+l‘’l J]llgkllLpl-(6.62)
. \ ₽ к=1 /
Введем обозначение
р Оф — Дф = q. (6.63)
Выражая функцию ф через q посредством решения задачи Ней-
мана для уравнения (6.63) (см. краевые условия (6.52)), найдем
<р (х, z) = J<р (у, z) dy; (6.64)
•; R2
co
?(y, zy=Y-chX2z
Л2
Л
ex3s q (у> s) (js_|_
ds;
О
л 1 С
Q (У> s) = J e-Wtf) q (₽, s) d₽.
R2
Из (6.64) получим
* oo
-------------------? (y,0)= ——q (y, s) ds. (6.65)
X2 J
0
Из (6.57) с учетом (6.65) выведем
OO
p P p4(z+s) л
Дф — a » ds I e1(y,x) -----q(y,s)dy. (6.66) >
J J X2 (A2—Aj)
0 R2
Установим предварительно оценку
lUw||Lp<C(||qXl||Lp+||qX3||Lp). (6.67) :
Для этого оценим нормы компонент вектора Aw. Например, :
для Awi согласно (6.53), (6.66) имеем j
ОО
---------«--- ,р р P^2(z+s) А
Awt (х, z) = — Дфх,г = О I ds I ei(x’y) ---— qX1 (у, s) dy. (6.68) ,
J J ^2 —
0 R2
Здесь использовано известное соотношение между преобразо-
Л
ваниями Фурье функции и ее производной: qx, (у, z) =
= —iyiq(y.,z).
Из (6.68) вытекает- следующее неравенство, справедливое
при любом z > О
р р QP^a(z+s) Л
II Awt (х, z)'|| Lp(R2) <J ds || J eK*.y) qX1 (y, s) dy || Lp (R2).
0 R2
(6.69)
Выражение, стоящее в (6.69) под знаком нормы при фиксиро-
ванных z, s > 0, будем рассматривать как оператор в LP(R2) над
>ункцией qX1(x, s). Для доказательства его ограниченности и
оценки нормы рассмотрим мультипликатор
opMz+s)
ф (у) = ----Г- = (Х2 + М (6.70)
Л2 — Aj
Легко проверяются следующие неравенства:
, л ч . ____ С I дФ I . . _ С I д2 Ф I . „ _ С
I Ф (у) ; — 1| у I : ------ у |I 2 *^——- ,
‘ z + s I dyi | z + s I <Эу1 dy21 z + s
(6.71)
где постоянная С зависит только от 0. Рассмотрим, для приме-
ра, второе из них. Имеем
. (z + s) | у | = ^4^2 У1 I У I (z + s)2 eMz+s) —
<?У1 ^2
—ydxj+..9 (Z _|_ s)e^z+s). (6.72)
Докажем ограниченность правой части (6.72) при у е R2; z, s 0;
бе20,е. Рассмотрим отдельно два случая: 1) Recrz^sO; 2) Reo<0;
|Jm о| |Reo|tg0. В первом случае имеем неравенства
Из (6.72) тогда следует
1
— —— и
7(z + s)y^2(u-f-u2)e 2 ^.8/е; и= | Х2 | (z-bs).
ОУ1
(6.74)
Во втором случае, вместо (6.73), получим
I *2 I = ^ ( I У I 2-'rReO)2 + (Im?)2>
>/( I У I 2 + Re а)2 + tg2 6 (Re а)2 =
I у I 4 + (—Ц-Ке 0 + 1 У 1 2cos sin 6 | \ | .
\ COS о /
(6.75)
Далее, используя тот факт, что написанная ниже дробь мо-
нотонно возрастает вместе с | у |, найдем
2 | Re | а
IM2
I у I * 2 * * + Re a
I у I 2 + Re g)2 + (Im g)2
Rea
6
l»l 2
Таким образом, имеем неравенство
-——-----------------| *2 | •
Из (6.72), (6.75), (6.76) выводим
i дФ / . v , . I _ 1 + P^sin 0 . 2
— (z + s) | у | kg- 7.......-max(и2
РУ1 1 V ctn3 п и>°
1+Vsin0 .
——--------max (ue-u
sin 0 u>0
1
(6.76)
е
—u sin —
е 2
sin
1
sin 0
2
(6.77)
2
-----------е
0 г_______
~2? sin0
просто. Те-
Остальные неравенства (6.71) выводятся столь же
перь из (6.69) с помощью теоремы С. Г. Михлина ’ (см. теоре-
му 1.8), учитывая (6.71), получим
II Aw, (* Ч I L,(R>)<C J ds. (6.78)
o z + s
Из (6.78) в силу ограниченности в Lp интегрального преобразо-
вания Гильберта (см. теорему 1.4) выводим
II Awt ,|| Lp
Т/р
Awt (х, z) (I [p(R2)dz I ^C.U qx, || Lp. (6.79)
, Точно так же получаются оценки:
II Aw2 II i^C fl qXa || L : II Aw3||L^,C(«qX1llLp+llqxJlLp) j
. (6.80) ;
ЕИтак, неравенство (6.67) можно считать доказанным. Остается
уценить его правую часть. Применяя лемму 1.1 и неравенство
К(6.54), из (6.52) получим
/ Э _ \ / 3
b II V? II Lp< с £ II й | ц+ 1 u, I Lp )с с У | gk | Ц.+
I \k=l / \k=I
l-. +тт111 "-₽)• <6-81>
-,Из (6.63), (6.55), (6.81) выводим
>•2 / 3 \
I II Яхк II Lp=^C I II f II Lp + II g II w(!) + I 0 I X? II gk II Lp ) •
t- k=l \ k=l /
(6.82)
^Теперь неравенство (6.62), а вместе с ним и (6.60)—(6.61) сра-
'зу следуют из (6.67) и (6.82).
L Покажем, наконец, что оценка (6.60) влечет за собой (6.49).
^Применяя к уравнению (6.46) проекторы П и .П'=1 — П, по-
ручим
VP = П' (f -}- Дй — <ju0) — oV<p; (6.83)
CW = П (fДй — ouo). (6.84)
^Учитывая ограниченность оператора П в Lp (см. лемму 5.1) и
^неравенства (6.54) и (6.81), из (6.83) и (6.84) выведем
: |o|||w||l + 1IvPHlp<c( llfj|Lp+llgllw(i) +
р PIP р
з \
+ Г° I ]£ II gk II Lp I • (6-85)
> к=1 J
^ Теперь оценка (6.49) непосредственно следует из (6.50), (6.54),
»,;(6.56), (6.60), (6.85). Лемма 6.3 доказана.
1 Заметим, что в лемме 6.3 исходные предположения о глад-
кости решения можно считать весьма малыми. Например, до-
статочно предположить, что й—слабое решение в том смысле,
что й е Lp и выполняются тождества
J u (а ф — ДФ) dx dz= J f^dxdz; (6.86)-
z>0 z>0
J • u dx dz — — J g G dx dz; (6.87}
z>0 z>0
при произвольных финитных бесконечно дифференцируемых
ф, 0, причем div®=0; Ф/2=о=О- Доказательство, которое прово-
дится lit) хорошо известным образцам (см., например, [1], [9],
464-] ),- здесь не будем .'приводить;.-в действительности дело, ко-
нечно, заключается в том, что при гладких f, g равенства, из.
которых'выводится оценка (6.49) (например, (6.57) и т. д.)
следуют непосредственно из (6.86)—(6.87) без использования
уравнений (6.46) — (6.48).
Доказательство теоремы 6.1. Начнем с вывода
априорной-оценки (6.49) в предположении, что. й е W^2), Р е W<1)l
удовлетворяют условиям (6.1)—(6.3).
Пусть xoeS—некоторая граничная точка. Предположим, что
в окрестности х0 поверхность S в местной системе координат
задается уравнением
x3 = y(xi, х2), (6.88).
где у с С2, а ось х3 направлена по внутренней нормали. Сделаем
замену переменных
’ cci = xj; a2 = x2; a3 = x3 —у(хь х2). (6.89)
Преобразование (6.89), очевидно, взаимно-однозначно и пере-
водит кусок поверхности S в окрестности х0 в некоторую об-
ласть на плоскости а3=0. Уравнения (6.1) — (6.2) в новых коор-
динатах примут вид
— Л - г> I дР Г О <32U .
au — Да u = — Va Р + — Txk Ik — 2 т-7- Txk+
’ 0<Хз OCI3
+ Мг - £ Ат+f; (6.90)
Va3 ™3
divau = ^yXk, (6.91)
оаз
где ik—k-й координатный орт.
El Теперь, используя определенную в (6.29) функцию %, вве-
|дем новые неизвестные
I' й°= хй; Р° = Хр- (6.92)
{(Величина h должна быть при этом столь малой, чтобы носитель
1йо,2Ь функции х содержался внутри области, где определено пре-
|образование (6.89). В силу (6.90) — (6.91) й°, Р° удовлетворяют
^уравнениям
п л . д2 vP , . дР° , по । и
I ей® - Да и0 = - 2 —— Ixk+ —- (VT)2 _|_ Ixk ik _ Va ро _|_ fo.
| (6.93)'
? - dug
t diva u° = —-Txk+g0=g- (6.94)
>•' _ Uo/s = 0, (6.95)
'где f°, g° содержат лишь младшие производные от решения
», \ Оа3 / Oak \Cak Oa3 /
[ + Г2 $LTx 2 £1 (VT)2 _ хДу 1 +Т.[2 Тхк-
da3 L dak‘Xk da3VVU * ‘ J L da3dakIXk
t — 77 (vt)2 - x ] + xf; (6-96)
^a3 J
g° = Uk 1^- — TXk ] . (6.97)
wctfc oa3 )
Вводя «векторную функцию тока» В согласно (6.7) — (6.9),пред-
оставим функцию g в виде
. 3
вМ-Уг*-: <М8>
®ak
k=l
gk = [В X Vxxlk (k= 1, 2); g3 =l[B X Vxx]3 +
+ VY.(u°-BXVxX).
(6.99)
Уравнения (6.93)'—>(6.94) можно считать выполненными во всем
полупространстве а3 > 0, если считать, что й°, Р°, f°, g° вне ша-
pa £2q, гь исчезают. Заметим, что |V“y| < е (е > 0 — любое за-
данное число) в Q0,2h, если h достаточно мало. Поэтому, при-
меняя к задаче (6.93) — (6.95) лемму 6.1, придем к оценке
' Ы ’ II й° II Lp + II й° II w(p2) + II Vp° II Lp^C ( II fj| Lp(20,2h) +
+ e II Uo || W(2) + || U || w(l)(2g 2h) + II P II Lp(2g, 2h) +
_^e_llvPollj.p + e|a| ||U°||lp+l °.I II В || Lp(28,2h)- (6-100)
Считая .e достаточно малым, скажем e< — /из (6.100) по-
2С
лучим . . •
I ° I - II || Lp + 11 й° II W(2) + II vP° II Lp^.C ( II f II Lp(S812h) +
4" II U 2h) + II P II Lp(2g,2h) + I ° I • II В II Lp(2g,2h))- (6-101) .
Теперь настало’время вспомнить, что .й° = й при ае£2о,ь. Воз- '
вращаясь к старым переменным, из (6.101) выведем оценку (с :
измененным h)
I °'l II « II LpC^h) + 11 U 11 W<2>(2 ) + ° vP I’ MS^h)
--— ---------------—— P Xo»ll
<C ( II f И MQ^2h) + И U И уу<0(2 Xm2h) + I* P И Lp(2Xoi2h) +
/ _
+ l°l IIBIlLpG^)) (6-Ю2) ,
Возьмем конечный набор точек xj , х§,..., х£ такой, чтобы гра-
ничная полоска йь ширины h оказалась покрытой множества-
ми £2 г u (г=1, 2,.... к). Записывая для каждой из этих точек
оценку (6.102), возводя эти неравенства в степень р и сумми-
руя, получим.
I ° I II u II Lp(Sh) + II Ц II W(p2)(2h) + 11 V₽ 11 Lp(2h)^C ( 11 f II Lp(a3h)+ x
+ II й II У(1)(ад + II P II Lp(22h) + I ° I II В II Lp(23h))- (6.103) j
? Значительно легче вывести аналогичную оценку для внутрен-
л ней подобласти Q — Qh. Действительно, пусть т) — бесконечно
^дифференцируемая функция, такая, что '
(6.104)
0; хе Qh/2.
- Введем вектор й' и функцию Р' равенствами
й' = т)й; Р' = т]Р.
'Тогда из (6.1) — (6.2) выведем
ой' — Дй' = —VP' + f'
: div й' — g',
где t', g' даются формулами
К ==^-|-V’J-P —2—•— — Atj-u;
dxk dxk
3
' = Vy.u = ; g' = [В x vxlk-
(6.105)
(6.106)
(6.107)
(6.108)
(6.109)
7 к=1
Уравнения (6.106) — (6.107) можно считать выполненными при
всех хе R3, если продолжить й', Р', f', g' нулем на дополнение
области Q—ifih/2. Теперь остается единственная «трудная про-
блема»— выбрать один из многих возможных способов вывода
оценки. Действительно, можно представить решение задачи
(6.106) — (6.107) в виде интеграла Фурье и применить теорему
Михлина о мультипликаторах; можно, продолжив неизвестные
функции периодически, получить решение в виде ряда Фурье
й воспользоваться теоремой Марцинкевича; можно представить
решение в виде интегрального оператора с известным ядром —
фундаментальным решением системы (6.106)—'(6.107) и приме-
нить теорему Кальдерона — Зигмунда о сингулярных интегра-
лах, наконец, чем мы сейчас и воспользуемся, можно свести
уравнения (6.106) — (6.107) к известным. Действительно, реше-
ние системы (6.106) — (6.107) допускает представление
й' = й'о + grad <р'; P' = g'—divfi'o — о<р', (6.110)
причем вектор u'o и функция <p' суть исчезающие на бесконеч-
ности решения уравнений
ou'o — Дй'о = f' (6.111)
Д<р' = g' — div й'о- (6.112)
Из (6.110)—(6.112), пользуясь известными результатами [60],
{30], получаем неравенство
I о I II й' || Lp + || || w<2) + II VP' II Lp^. С ( || Г || Lp +
‘ _ 3 ч * * *
-----------------и g' II Lp). (6.113)
к=1
Так как й' = й; Р' = Р при хей— йь, из (6.113) с учетом
. (6.108) *— (6.109) выводим
I ° III u II Lp(2—2h) + II U || W(2)(s2_2h) + II VP II Lp(2-2h)^
С C (, || f || Lp(2) + II И И w<D(£2) + II P И Lp(2) + I ° III В II Lp(2))*
P (6.114)
Из (6.103) и (6.114) следует оценка
I ° III u II Lp(2) + II u II W<,2)(S) + II vP 'I Lp(2)=^ C ( II ^11 Lp(2) + J
+ II u II W<,n(2) + И P II Lp(2) + I- ° III B II Lp(2))- (6-115)
Остается изгнать из правой части (6.115) лишние слагаемые.
Пусть сначала р 2. Тогда можно^ воспользоваться энергети-
ческой оценкой: умножая (6.1) скалярно на й* и интегрируя
по й, получим - |
о || и ]| н + II ЙЦ 2H1 = jF-iidx. (6.116)
. 2 "
ч
Отделяя в (6.116) вещественную и мнимую части, найдем |
Rea || и || н + II и || H, = Re Jf-u* dx (6.117) ]
2 ' i
j
Ima || a || H = Im Jf-u* dx. (6.118)|
Q • 1
1сли Reo^O, то из (6.117), (6Л18),
(оши — Буняковского, получим
применяя неравенство
II u II " Н ; II и II н <| ~//11н . (6.119)
Rec |Jmа|
Йз (6.119), так как |о| f2 • max {|Reo|, |Jmu|}, следует
уценка
( “ С||Г||н
f II U II h< ——- . (6.120)
; I » I
Если же Reo<0, то |Imo| |Reo| tgO; |Imo| sin0|o|, a
•потому из (6.118) снова получается оценка (6.120), которая,
Этаким образом, справедлива при всех <yeS0,e.
? Теперь оценим давление Р в L2. Пусть л(х) — решение за-
дачи Неймана
△тс = Р; — 1=0; [ж1х = 0. (6.121)
dn |s J
i й
i
Так как давление определяется с точностью до аддитивной по-
стоянной, последнюю можно считать выбранной так, чтобы вы-
полнялось условие
I Г Р dx = 0. (6.122)
? й
Тогда задача (6.121) однозначно разрешима и выполняются
оценка
ИМ W(2)SS С ||Р || L, (6.123)
и вытекающие из нее по теореме вложения
IIvMl.^C||P||L2; |Iv^IIl.(S)^C||P||l,. (6.124)
Умножая уравнение (6.1) скалярно на Vn* и интегрируя по об-
ласти Q, получим
J [ Р | adx = — f-v^dx-f-Jrotu X vtt*«nds. (6.125)
й й S
Оценивая правую часть равенства (6.125) с помощью неравенств
Гельдера и (6.124), найдем
А 4. В. И. Юдович 97
II Р II L,(2)^ С ( II f II Lc + II rot u II L<(S)). (6.126)J
3 ,
Теперь воспользуемся известными неравенствами
II rot u II L|(S)^e II u|| Wj(2)+ Се II йII L,; ( P > y); (6.127)j
И P II L0^e II P II W(i) + Ce || P || L1, (6.128) :
которые выполняются при любом е > 0. С ИХ ПОМОЩЬЮ из,
С6?126) вьГвоДйм^тозжжно; х“другой постоянной Се)
’ _ _
II Р II Ы2) <С II f II Lp + е II и || W(2) + Се || u II L1. (6.129)
Кроме (6.127)—(6.128), справедливы и такие неравенства того
же типа:
II Я II W(i)^e II й II W(2) +.Се || й || ц (6.130)
' l|B||LpCe||u||Lp + Cel|u||Lj. (6.131).
Выписывая неравенство (6.131), мы воспользовались тем об-:
стоятельством, что || й ||ьр,.по лемме 6.1, есть эквивалентная нор-
ма в вектора В. Теперь из (6.115), (6.120) и (6.129) —
(6.131),где е выбирается достаточно малым, сразу следует
справедливость оценок (6.4)—(6.6) при р^2. В случае р<2
нужный результат получается, по существу, с помощью пере-1
хода к сопряженной задаче. Именно, пусть v — решение задачи |
(6.1) — (6.3) с правой частью f0 = | й |P~2ueLP'. Так как р'>2; |
можно, применяя уже доказанную часть теоремы, получить |
оценку J
(6.132М
I
Умножим уравнение (6.1) скалярно на v* и проинтегрируем по |
области. После интегрирования по частям и применения нера-J
венства Гёльдера находим |
f | И | pdx = Jbv*dxC УН Lp- II v II lp,. (6.133) |
Я Я 1
Теперь оценка, (6.5) сразу следует из (6.132) — (6.133). , |
к Далее оценим давление в Lp. Для этого введем функцию л
Исак решение задачи Неймана
Дте== | Р | р-2Р4-К; —1=0; f ~dx = 0, (6.134)
г dn |s J
L й
&де постоянная К определена так, чтобы задача (6.134) была
разрешима
Р К =--------— f | Р | ₽-2Pdx. (6.135)
К m3 QJ
Г й
Йфункция л удовлетворяет неравенству
г ' 1И11 W(2)^CIIPU[;1. (6.136)
^Умножим (6.1) на Vn* и проинтегрируем по области £2. Интег-
рируя по частям и учитывая. (6.122), получим вместо (6.125)
Соотношение
| J | Р | р dx = — j* f •v1'* dx + J rot u X VTC*#n ds (6.137)
| й ' й s
Из (6.137), применяя неравенство Гельдера, неравенство
г 3
Г(6.136) и теорему вложения, при р > —, выводим
hp4p<lHHLp-II^Hlp,+ll rotu||L|p(S) • Hv^IIl 2p, (S)^
3-p'
' < с ( ||71| Lp + II гой II L| p(s)) И P II (6.138)
Даким образом, имеем
v 11 p II Lnc c ( II f в I + II rot Ulf l2 (S)). (6.139)
P P з P
После этого оценки (6.4)—(6.6) выводятся из (6.115) так же
точно, как это сделано выше в случае р^2, но используем вме-
сто (6.120) оценку (6.5), вместо (6.127) — неравенство
[| rotй II L, (S) =О II й II (2) + с. II U II Lp, (6.140)
зр ’ ”р v
а вместо неравенств (6.129)—(6.131)—аналогичные неравен- !
ства с заменой || й ||ь2 на || й ||L . 1
„ 3 2р' |
В случае р =— доказательство аналогичное; вместо —।
можно взять любое число q>l. Наконец, если р , то в |
предыдущем рассуждении достаточно заменить L 2pr (S) на ]
З-р’ 1
C(S), a L|p (S) —на Lj(S). 1
Итак, априорные оценки (6.4)—(6.6) доказаны. На доказа- j
тельств^^уЩё^вотазшя^ешения не станем останавливаться, f
так как, оно проводится по хорошо известным схемам — вначале |
устанавливается существование обобщенного решения (см. §5),
затем доказывается, что для последнего справедливы оценки'
(6.4)—(6.6); см. -по этому поводу [64], [1, 9, 10]. ’
Теорема 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.1, и
правая часть f в уравнении (6.1) имеет вид ]
«-is-
к=1 1
Тогда для решения (u, Р) краевой задачи (6.1) — (6.3) спра-1
ведливы оценки: 1
3 I
l|u||w<1>s;C (C.I42) i
₽ k=l
3
^rS,fk|L-; 2₽-f-f+i;o<₽<4-; \
k=l
n = 2, 3 (6.143)
3
llPllLp^C J]llfkULp. (6144>
где постоянная С — одна и та же для всех oeS0,<x-
Доказательство. Можно считать, что fk — гладкие век-
тор-функции, исчезающие вблизи границы S. Начнем с более
элементарной оценки (6.143). Решение системы (6.1)—(6.3) с
правой частью (6.141) имеет вид
ч 3
' U - V R° Dkf; R, = («I — ПД)-'; SX--2-. (6.145)
Пользуясь леммой 5.4, нетрудно установить, что оператор
R<rDk: Lp -> Sq имеет сопряженный оператор —DkRn*: Sq'-> L^,
где q', р'—сопряженные показатели. Поэтому оценка (6.143)
следует из совпадения норм линейного оператора и его сопря-
женного, леммы 5.7 и мультипликативного неравенства (см.
(4.10))
II u II w(i>Cc II u I ц,' НИЙ. (6.146)
Для вывода оценок (6.142) и (6.144) воспользуемся методом
гидродинамических потенциалов, развитым в [61, 62, 65], [37].
В этих работах система 6.1—6.3 рассматривается при ог=0, од-
• нако результаты,, по существу, без изменения переносятся ла
ненулевые <те20,а-
' Будем считать, что вектор-фуниции fk определены во всем
пространстве и равны нулю вне области £2. Решение w, Q си-
стемы (6.1)—(6.3), исчезающее ла бесконечности, представля-
ется в виде объемных потенциалов
Wi (х) = J п| (х, у) fs (у) dy; Q (х) = J qs (х, у) fs (у) dy; (6.147)
R3 R3
us = rot rot Vs; Vs (x, у) = ? (z) ls; z = 7 | x — у | ;
<p(z) = -J— (1 — e~x); (6.148)
qs(x,y)=(A-ia)divVs=~-^- —3—. (6.149)
Комплексное число у есть квадратный корень из о, причем
Rey>0 при oeSo.a, <т#=0; /2, /3 — координатные орты. Ко-
гда о изменяется в 2о,а» параметры у, z пробегают сектор
0 arg у -д~°, и в этом секторе функция <р ограничена вме-
сте со всеми своими производными, причем <p<k)(z) = 0(z-k-1)
при |z| ->оо.
Подставляя в (6.147)
(6.150)
к=1
.перебрасывая производные с на ядра u®, qs и применяя тео-
рему Кальдерона — Зигмунда о сингулярных интегралах, мож-
но получить оценку
з
II w || W(„ + || Q || || fk || Lp. (6.151)
- - e— ------------------------. k=i
Здесь и далее через С обозначаются постоянные, зависящие
. .только от а (и, возможно, от S). Оценка (6.151) следует также
из теоремы 6.1, так как операторы Djc коммутируют с Ra, если
£2 = R3..
Разыскивая решение системы (6.1)—(6.3) в виде
u=w-j-v; P=Q,4->q (6.152)
для определения v, q, получим задачу
ov — Av = —Vq; divv = 0; v/s =—w/s- (6.153)
Следуя [37], ищем решение 'в виде потенциалов двойного слоя:
Ч (х) = J Кц (х, у) ?J (у) dSy; q (х) == J Ks (X, у) ?j (у) dSy; (6.154)
s S
Кц(х,у) = -
_ . ди\ du-
8i<i + г2-
3 dyj dyk J
(6.155)
Kj (х, у) = 2 — q3 (х, у) nk (у).
dxk
Здесь Пк(у). есть к-я координата орта внешней нормали в точ-
ке yeS. При этом функции <рл- должны быть найдены путем ре-
шения системы интегральных уравнений
~Ф1(6)'+У (6.156)
S
Для. ядер Ку справедливы оценки;
|К„(5,’1)1 «тЛ-Т; 1К|,-(;,ч)-К„(Г,^)|^ ;
IS — '4 1 ' к*
R==min{|£ —Ti|, |g' — n|}. (6.157)
Их легко вывести из (6.148), (6.149) и (6.155), используя ука-
занные выше свойства функции <р и оценку
I(|k — Т]к)пк(т])| — т] I2, (6.158)
вытекающую из принадлежности границы S классу С2.
Из (6.151), по известным теоремам вложения [51], полу-
чаем оценку
iiwii^i/P'=с।w।pdS + се iw(x')-w(x)ip dSxdSx,^
p J J J I x' - x |₽+l
(6.159)
Далее, как и в [37], устанавливается, что система уравне-
ний (6.156) имеет решение днеLP(S), которое однозначно фик-
сируется дополнительным условием
J <PkBkdS == О
S
и подчинено оценке
II ?i II Lp(S) =^с П w II Lp(S)-
(6.160)
(6.161)
Докажем теперь, что qpieW^P'(S) и выполняется оценка
з
Н ?, II wyp-(S)=cc^ II f ] Lp.
k=l
(6.162)
Для этого, ввиду (6.159), достаточно установить принадлеж-
ность классу Wi'₽'(S) интегралов в (6.156). Рассмотрим один
из них, опуская для краткости индексы
t(5)=jK(g,Ti)<P(n)dS4. (6.163)
S
Применяя неравенство Гельдера и полагая а = 1
—, полу-
чаем
|ф(В)-ф(В') |₽ IP-1 Jl K(B, n)-K(B', П) |(1-в>₽|ф(п) l₽dSn;
s
(6.164)
1= JlK&flJ-Ktr.nJHdSn.
s
Для интеграла I из (6.157) непосредственно получаем оценку
I^C|£— g'|^P'. (6.165)
Теперь’“рассмотрим’ин'гегр ал------
J = f f •|К^-) l.(1~“)P dSc dRc». (6.167)
|6-g4-(2-eP')<P-1>+P+1
о о
Докажем, что он сходится. Действительно, используя (6.157),
получаем
[f dSedS£. <Qj
Н R3/2 I 5 — S'I 3/2
О о
(6.168)
. Далее из (6.164), интегрируя по g и с учетом (6.165) и
(6.168), выводим неравенство
f Г 1ФЮ-Ф(Е)|Р dSe dSe/< с Г | ? (^) | Р dS4;
. 1JS |£~ИР+ SJ
(6.169)
Теперь оценка (6.162) получается из (6.156), (6.159), (6.161)
и (6.169).
Перепишем выражение (6.154) для функции q с учетом
(6.155) и (6.149) в виде:
q (х) = -*> ; gkJ (X) _ - — f dSy. (6.170)
1 - dxkdxj 6 14 2я J | x-y |
Функции gkj — гармонические в области iQ. Пользуясь извест-
ной формулой для нормальной производной потенциала просто-
го слоя, найдем для £ е S.
dgkj (0 1 f nS(S)(£s Is) t \ / zC 1*71 \
—-------=nk (5) <?j (5) —— j —------------— nk (?0 <pj 0?) dSn. (6.171)
2n J I «— >) I 3
О
Интеграл в (6.171) оценивается так же точно, как интеграл
(6.163). Поэтому из (6.171) следует
dgkj
dn
W’/P'(S)
3
k=l
Применяя известную оценку гармонической функции в W|2)
[56], [1], получим
3
II q II (Lp)Q^Ct II gkj II W(2)^C2J^ II fk II Lp. (6.173),
Сопоставляя (6.151), (6.152) и (6.173), получаем оценку (6.144).
Рассмотрим теперь краевую задачу в области £2
av — Av = ; v | s = 0; а 6 Ео,«- (6.174)'
dxk
Для ее решения справедлива оценка
з
II v И w(^c£ II gk II Lp- (6.175)
Р k=l
Г Доказательство не отличается от данного в >[75] для частного
случая о — 0, а потому здесь его не приводим. Применяя эту
оценку к уравнению (6.1) с правой частый (6.141) и используя
(6.144), получаем (6.142), чем и завершается доказательство
теоремы 6.2.
Теорема 6.3. Пусть SeC3, feS^. Тогда для решения за-
дачи (6:1)—(6.3) выполняются равномерные относительно
aeS0(<x оценки
l°l||u|ls<I)^C||f||s(I); (6.176)
l|u|ls<3)^C||f || S(n. (6.177)
Доказательство. Эта теорема легко выводится из. тео-
ремы 6.2. Запишем систему (6.1)—(6.3) в вине
ои — ПДн= Ш = f. (6.178)
Положим ПДн = w. Из (6.178) следует, что w/s = 0. Поэтому,
-применяя к (6.178) оператор ПД, получим, что w есть обобщен-
ное решение краевой задачи
<гы— Aw =-Af— gradq; divw = O; w/s = 0. (6.179)
Отсюда по теореме 6.2 следует неравенство
Hw||s(pl)^C||f Цо,. (6.180)
Теперь (6.177) получаем, применяя известную оценку в W<3)
(см. [9], 37]), решения краевой задачи
( • Au = w— Vq; divu = 0; u/s = 0. (6.181)
Оценка~(6гЬ76)--следует не—(6.177), так как согласно (6.178)
<ти — w-J-.f. Теорема 6.3 доказана.
5
7. Оценки старших
производных
решения
линеаризованных
нестационарных
уравнений
Навье,— Стокса
Естественно было бы ожидать, что
оценки производных решения нестацио-
нарной задачи .следуют из полученных в
предыдущем параграфе оценок резоль-
венты линеаризованного стационарного
оператора Навье — Стокса. В случае L2
это, действительно, так (применима тео-
рема 3.3). В случае Lp соответствующий
вывод неизвестен; возможно, не для всех уравнений рассматри-
ваемого класса эти оценки справедливы. Все это вынуждает
проводить в случае уравнений Навье — Стокса непосредственное
доказательство (см. теоремы 7.1—7.3). Правда, как указал
П. Е. Соболевский [22], из неравенства коэрцитивности оценку
резольвенты вывести можно.
1 Итак, рассмотрим в ограниченной области £2 с границей
S е С2 линеаризованные уравнения Навье — Стокса
—Ди = —VP4-f; (7.1)
divu = 0 (7.2)
с краевым условием
( • u/s = 0. (7.3)
' Будем рассматривать далее либо Т-периодические решения
й (х, 14- Т) = u (х, t); Р (х, t -f- Т) s= Р (х, t), считая, что вектор
массовых сил f Т-периодичен, либо задачу с начальным усло-
вием
u/t=o = а. (7.4)
Ът произвола в определении давления избавимся, предпола-
гая, что
Pdx = 0.
Q
Теорема 7.1. Пусть f (x, t)—Т-периодическая вектор-функ-
ция класса Lp(Qt) (p > 1; Qt = £2 X [0» T]). Тогда задача
(7.1)—(7.3) имеет единственное Т-периодическое решение, об-
ладающее в QT обобщенными производными * —, ——— е
dt dxj dxk
eLp(QT), и справедлива оценка
| Mp«w + 1 М “ 11 M<w + 1 VP I Lp(Qt> I f | Wi). (7.5)
'По существу, доказательство этой теоремы — калька с до-
казательства теоремы 6.1. Аналогом основной леммы 6.3 явля-
ется следующее утверждение. i
Лемма 7.1. Пусть v(x, t), q(x, t) (x = (g, z); gi=xr, g2=X2;
z — x3; geR2; z <))—Т-периодическое по времени решение си-
стемы:
~Av = -Vq + f; (7.6)
3
divv = g = V^_; (7.7),
dxk
k=l
v/z=o = 0. (7.8),
Предположим, что v, q,f, gk, g достаточно быстро убывают
при |х|->оо (например, финитны по х). Справедлива оценка:
| К LP(Q+) + 11 D*v 11 Lp(q+) + 11 vq 11 Lp(Q+)
3 X
11 f 11 Lp(Q+) +.B VS 11 Lp(Q+) + S I |lp(q+) I; <7-9)
k=l J
Q+ = R+ X{0, T]; R+ = {x:xeR3; x3>0}.
Доказательство. Пусть 0(t)—финитная бесконечно
дифференцируемая на всей оси —оо <: t < оо функция, удовле-
* Возможно, нелишне будет подчеркнуть, что мы рассматриваем Qt как
тор, отождествляя моменты времени 0>, Т. Соответственно, определяя обоб-
щенные производные, надо подчинять пробные функции условию перио-
дичности по t.
творяющая условиям: 0(t) = 1 при te [О, Т]; 0(t) = О при t>2T
или t < —Т; 10 (t) | 1. Положим
u=0v; P=0q; fo=0f + 0'u; go=0g; gko=0gk. (7.10)
Тогда из (7.6)—(7.8) получим:
^-Au = -VP + f0 (7.11)
3.
~~~---------(7.12)
<™k
k=l
u/z=o = O. (7.13)
Как и в лемме 6.3, представим вектор й(£, z, t) в виде:
и = по + grad <р + w; (7.14)
$2-Au0 = f0; uo|z=o = O; П;| 1Х|^ =0; (7.15)
at
3
△? = Ио-<11Уи0 = У^-^(еко-иок); ^-1 =0; (7.16)
OZ |z=0
k=l
, ф/оо = 0; w = rot G; G = (—грх,, i]>X1, 0);
^1-Д* 2ф = 0; ф | z=0 =-= 0; -JU =?(E,O,t). (7.17)
dt dz |z=o
При этом uo, Я? (а значит, и ф) считаются ограниченными при
te(—oo, —|—oo), С помощью разделения переменных получаем: ,
u0(x,t)= f dt[ e«(’t+«) da; (7.18)
J J a2 — ix
-oo R3
3
a = (ab a2, аз)» ax = akXk’,
k=l
f (a, t) = —J— f dt f e~1<'rt+ex> f0 (x, t) dx.
_4!1, ' ' (2л)* J J
— oo R3
При этом векторы f0, По считаются продолженными в полупро-
странство z < 0 нечетным образом.
Продифференцируем (7.18) по сц, оск- Замечаем, что муль-
типликатор
a; аь
Г-19)
на решетке вида aj=i/jco 0=1, 2, 3; Zb Z2, Z3 — целые числа)
удовлетворяет условию теоремы И. Марцинкевича о мульти-
пликаторах рядов Фурье и притом равномерно относительно
<|>е(0, оо). Это позволяет утверждать, что соответствующий опе-
ратор ограничен в LP(R3X(—00, -j-оо)). Таким образом, спра-
ведлива оценка
"Ku"lMQi)^C|f»ll4.wi>- (7'20)
Оценивая аналогично производную — (или пользуясь тем,
dt
что она в силу (7.15) равна fo + Auo), получаем неравенство
||lp (Q+)<С 11 f° 11 Lp (Q+) * <7-21)
Для функции <р, применяя, теорему 1.6 и учитывая (7.20) —
(7.21), получаем
4-со
II Dx <? || J [ II go (•, t) II PW(1)(Rg+) + II f0 (-, t) II [р(Кз+) ] dt;
—00
(7.22)
г з
Перейдем теперь к задаче (7.17). Решение ее можно за-
писать в виде
4“ со
Ф(5, z,t)== f eixtdt f e1^’7!)
-сю R9
fiXjZ ___ fb\jZ A
—— <P Ь, 0, t) d^,
(7.24)
A
где ф — преобразование Фурье функции <p(g, 0, т)
-|- оо
Т <4. о, ’) - st f dt J 1 («. О, t) ®, (7.25)
—oo R2
a Xi, As даются формулами:
x, = - I ч I = K= -/hi’ + h., (7.2б>
Корень в- (7.26) однозначно определяется требованием ReA2=^0.
Введем новую функцию q (х, t) равенством
—Дф = q. (7.27) '
Учитывая ограниченность функции ф при te(—оо, -|-оо) и крае-
вые условия (7.16), найдем следующее выражение ф через q:
+°° Л
<р (5, z, t) = f eiTt dr | е*<5’ч> <р (tj, z, т) d^; (7.28}
-CO R2 •
OO
A 1 Л A
<p (tj, z, t) = — ch z I ex»s q (tj, s, t) ds +
x2 j
0
Z л
------------+ ^- f sh X2 (z — s) q (17, s, t) ds;
X2 J
0
+ °°
q (ч, s, t) - 8t f e-“ dt j e“"”6 > Q (b s. t) dg.
-co R»
Из (7.28) выводим
OO
ф (ч, о, т) = y- J e*’s q (ч. s, T) ds. (7.29)
2 0
Подставляя (7.29) в (7.24), получаем
00 +°° ,, , ,
Jn n „ jrpMZ+s) A \
ds dt eht+KE, 4) -----q s, t) dvj (7.30)
J J ^2 (^2—^l)
0 .’ —co R»
Из (7.30) и (7.17) вытекает следующее представление для Awi
ОО +
л с* с Л
AWi = —A<pX1Z=l ds I dt I ^h-kW-----------— (ч, s, t)d?].
J J J ^2 *1
0 —oo R3
(7.31)
Будем теперь рассматривать внутренний интеграл в (7.31)
при фиксированных z, s как оператор над функцией qg, (g, z, t).
Для доказательства его ограниченности в Lp(R^) рассмотрим
мультипликатор
1 т* ^а( Z"f" s }
ф (ч> т) = ™----= (Х2_|_ kJ eMz+s). еR2; теR1. ) (7.32)
k2 — kt
Согласно теореме И. Марцинкевича [46], достаточно проверить
выполнение следующих неравенств:
(z +s) |Ф(т], т) | М; (7.33)
(z + s) f( Г- d’li+l^-ld^ + ly-ldtWM; (7.34)
J \ Фк I ^2 J I dt | ]
Д1
(z + s) f f (|^v|d’hd% + |-^- dTjgdt+l-^-ldTjzdtj^M;
J J 1^2 dx | Z rt„%
Дх Д2 , (7.35)
<z + s) f Г f lr4Vld^d^dT^M’ (7-36)
J J J I дт^д^д-z |
Д1 Д2 Дз
где Лк — произвольный интервал вида (2“к, 2®к+1) или [—2“к+1,
—2“к) с целым неотрицательным Ок, а постоянная М не зависит
от т], т, z, s, сск, а.
Для этого заметим, что мультипликатор Ф подчинен оценкам
(z + s) | DkD'O | <-------7; k-LZ<3; O^Z^l (7.37)
. 1 ' ' 1 х I 1 I k I Т I г ' ’
с абсолютной константой Mo. Оценим для примера производ-
дф тл
ную —. Имеем
Т- = тг e^+s> [1 + (Х2 4- Xx)(z + s)]. (7.38)
от 2Л3
Из (7.38), учитывая неравенства
IReX. I —Т/ |>1171’"’ I I IX.KI4I,
r 2 у 2
ВЫВОДИМ
U= — ReX2(z + s)>0. (7.39)
Взяв максимум правой части (7.39) по и и замечая, что
| %2 |2 | т | / получаем-------
|^|(z + s)<~7~ ’ Мо=-J—maxе-и (и 2 +4и2). (7.40)
I от | I г | 2 и>о
Остальные неравенства (7.37) устанавливаются аналогично, хо-
тя и более громоздко. Из (7.37) оценки (7.33)—(7.36) выводятся
совсем легко. Например, для левой части (7.36),’ используя
(7.37) и переход к полярным координатам в плоскости т)Ь т]2>
получим
t
ь
<7-41>
Д1Д2 Д3 а
b = 2а; а = 2“к + 2%.
Теперьиз (7.31), пользуясь обобщенным неравенством Мин-
ковского («норма интеграла не превосходит интеграла от нор-
мы»), выводим
~ Чх. (R3)
II || (R3><C ---------------^-±ids; R’.-R’XtO, oo).
*-р US-p „I z + s
0
(7.42)
Из (7.42) в силу ограниченности интегрального преобразования
Гильберта в Lp(0, оо) (см. теорему 1.4) получаем
' - Я Aw‘ Я lp(Q+) И Ях, Я Lp(Q+) (7-43>
Точно так же получаются неравенства
11 AW2 Я Lp (Q+) И Ях, Я lp(q+) ; В д™з II Lp(0+) С
(7Л4>
k=l
|Из (7.43) — (7.44) следует оценка
2
Ь' 11 д w 11 lp(q+) <с S 11 4xk 11 Lp(Q+) ' (7-45^
. k=l
> Далее, оценивая правую часть (7.45) согласно (7.27) и (7.22) —
| (7.23), получим
I / 3 \
г 1 । ц wt> <с S 1М,+1 те»" l’+"114(М6>
? \k=l J
L Теперь оценка (7.9) выводится из (7.46) так же, как в лем-
|ме 6.3, если еще заметить, что для любой ^периодической по
11 функции h(g, z, t) выполняется неравенство
| "hllLp(Q^<l6h«Lp(oi)<rril.||Lp(Qi). (7.47)
'Лемма 7.1 доказана.
I Доказательство теоремы 7.1. Вывод- априорной
;оценки (7.5) из леммы 7.1 почти дословно повторяет доказа-
тельство теоремы 6.1, поэтому, опасаясь наскучить читателю,
опустим его.
Существование решения, удовлетворяющего оценке (7.5), до-
сказывается известными методами (см. [37] и работу В. А. Со-
•лонникова в трудах ЛОМИ, т: LXXIII). Поэтому здесь наметим
&лишб кратко один из возможных путей рассуждения. В случае
i р=2 существование решения вытекает из теорем 6.1 и 3.3. При
f1 < р < 2 тот же результат получаем, аппроксимируя f е Lp
; вектор-функциями из L2 и используя при переходе к пределу
[оценку (7.5).
Пусть теперь р > 2. Обозначим через S'p пространство Т-пе-
г риодических по t вектор-функций.сб значениями Sp. Определим
на плотном в S'p множестве D'p вектор-функций, исчезающих
iHa границе области Q и имеющих обобщенные производные
Lut, Dx иеВр(От), оператор L полагая
Lu = ut —ПДи. (7.48)
Оценка (7.5) показывает, что L — замкнутый оператор. Далее
определим на линеале D'P', р' = р/р — 1 оператор L*, полагая ;
L*v = —Vt — ПДу. (7.49)
Оператор L* сводится к L заменой t->—it. Так как р' < 2, по'
доказанному, существует L*-1. Обратимость оператора L будет
доказана, если установить, что его сопряженный оператор есть L*.
Последнее, конечно, и составляет здесь главную техническую
трудность. ’ В силу леммы (5.4), достаточно показать, что из
равенства
_____________т _______________ т
JJ Lu-vdxdt = Jу п• g dx dt
0Q Ой
для всех ueD'p и данного geS'P' следует, что veD'p' и L*v=g.^
Это утверждение нетрудно извлечь из рассмотрений цитирован-
ной выше работы В. А. Солонникова.
Пользуясь теоремой 7.1, нетрудно оценить старшие произвол-
ные решения системы (7.1) — (7.3), если вектор-функция f — до-
статочно .гладкая. Так, последовательно дифференцируя соотно- '
шения (7.1) — (7.3) по времени, а затем применяя теорему 7.1,
и известную оценку в решения стационарной задачи, дока-
жем следующую теорему. i
Теорема 7.2. Пусть S еС<га>; т=2, 4,... . Тогда для Т-шерио-.-
дического решения задачи (7.1) — (7.3) справедлива оценка
~------2-ТII о; D' u II Lp (От) + II DW V Р || МОт)1 < i
k+2Z<m
<с£ ИЧ-С'Цщо,) (7.50) ;
k-4-2/<tn-2
Оценку, решения задачи с начальными данными' получаем, ;
применяя теоремы 3.2 и 7.1.
Теорема 7.3. Для решения задачи (7.1) — (7.4) справедлива
оценка
' Ч U* II LP(QT) + П Dx U || Lp(QT)^C( II J II Lp (QT) + III a III p)» (7-51)\
где р>1, T>0, постоянная С зависит только от области Q
и от р; <
' III a III р = inf ( II vt II Lp(QT)+ II Dx v || Lp); v(x, 0) = a(x). (7.52) j
Оценка (7.51) (с конкретизацией пространства начальных }
данных) была получена В. А. Солонниковым [64]. j
ГЛАВА II
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ жидкости
Г § 1. Устойчивость Рассмотрим нелинейное дифференциаль-
движения ное уравнение в банаховом простран-
Г бесконечномерных стве X
L систем — = F(v, t) (1.1)
t dt
[и предположим, что известно некоторое его решение Vo (t), опре-
деленное при t 0; дальше v0 будет называться основным ре-
^пеиием. Если в (1.1) сделать замену v = Vo + u, то для возму-
.щения и получим
Г
Г ~= F(vo + u, t)-F(vo,t)=f(u, t).- (1.2)
“Уравнение (1.2) называется нелинейным уравнением возмуще-
ния. Будем считать возмущение заданным в начальный момент
[времени
J u(O) = uo. (1.3)
Предположим, что (по крайней мере для множества векто-
ров ио, плотного в некоторой окрестности нуля пространства X)
задача Коши (1.2) — (1.3) (по крайней мере для малых t:
•0 <С t <т(и0)) однозначно разрешима. Тем самым определено
.отображение
u(t) = Utu0. (1.4)
; В важном частном случае, когда правая часть уравнения (1.2)
не зависит от t явно, это отображение есть (нелинейная, частич-
ная) полугруппа
и4,+‘щ0=и1,и1ш0; (Os^t,, t2; t, + t2^T(u0)> 0). (1.5)
Известно много определений устойчивости решения (или, что
'.то же, устойчивости нулевого решения, уравнения (1.2)) по на-
чальным данным. Суть дела, однако, заключается в том, что тре-
буется, во-первых, чтобы задача Коши (1.2)—(1.3) при «ма-
лых» и0 имела решение, определенное для всех t>.0, и, во-вто-
рых, чтобы отображение С1 было непрерывно. Конечно, суще-
1
ствует много определений непрерывности — каждому освечает 1
понятие устойчивости. Можно вместо нормированных про- ’
<странств рассматривать линейные топологические; это позволя- ;
ет, в частности, включить в рассматриваемую схему понятие ?
«непрерывной зависимости от начальных данных» и определи-^
емую ниже т]-устойчивость. , |
Дальше устойчивость основного решения уравнения (1.1) 1
отождествляется с устойчивостью неподвижной точки по=О од-.1
нопараметрического семейства отображений U1. Для следую- 1
щих определений связь отображения с дифференциальным I
уравнением несущественна. Это позволяет пока не интересе- >
ваться.-в каком смысле вектор-функция (1.4) удовлетворяет |
уравнению (1.2), в частности, в рассмотрение включаются раз-j
личные, обобщенные решения. j
Определение 1.1. Пусть U — некоторое пространство!
функций u(t), определенных при te[O, оо), со значениями в j
пространстве X. Неподвижная точка по=О однопараметриче-1
с’кого семейства отображений (1.4) называется устойчивой |
(X, и),если U1 определяет непрерывное в цо=0 отображение не- |
которой' окрестности нуля пространства X <в пространство (J. 1
Определение 1.2. Пусть Сх = С([0, оо), X) — простран-1
ство вектор-функций u(t) со значениями в банаховом простран-1
стве X, непрерывных на [0, оо), с конечной нормой
-
II и(-) II сх= sup II u(t) 11 х. (1-6)1
* оо
Через Сх 'обозначим подпространство в Сх, состоящее из век- J
тор-функций u(t), таких, что ||u(t)||x->0 при t->oo. |
Устойчивость (X, Сх) называется устойчивостью по Ляпу-
нову в пространстве X, устойчивость (X, Сх)—асимптотической 1
устойчивостью. 4
Иногда бывает полезно рассматривать устойчивость (Хо, Сх,) ;
или (Хо, CxJ, где Хо, Xj — банаховы пространства, имеющие с X
общее плотное множество .Будем называть ее устойчивостью J
по Ляпунову (соответственно асимптотической) из Хо в X].
Определение 1.3. Экспоненциальной устойчивостью в-
пространстве X называется устойчивость (X, Сх.о), где Сх. а —
пространство непрерывных вектор-функций с нормой •
l|u(-)HcXo = sup(e’‘ ||u(t)||x); °>0 (1.7) |
ОО !
Определение 1.4. Пусть Lp, о, х, (р^1 о > 0) означает ;
пространство вектор-функций u(t) с конечной нормой J
1
116 3
II U(-) II LP)
(1.8)
Устойчивость (Xo, Lp.e.xJ будем называть экспоненциальной
остойчивостью в среднем (степени р, из Хо в XJ.
Г В бесконечномерном случае (скажем, для уравнений в част-
ных производных) понятие устойчивости по Ляпунову суще-
ственно богаче, чем в конечномерном. Это связано с возмож-
ной неэквивалентностью норм. В частности, может оказаться (а
изначит, и оказывается!), что решение уравнения при одном вы-
боре метрики устойчиво, а при другом — неустойчиво. Приве-
дем примеры. .
г Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в
астных производных первого порядка
~ х 4~=0; u|t=0 = <F(x). (1.9)
dt dx
^Решение имеет вид
| (иМ(х) = ф(егх). (1.10)
^Нулевое решение уравнения (1.9) устойчиво по Ляпунову в
jC(—°°, +°°), а в Lp(—oo, —|—oo) (p^l) экспоненциально устой-
чиво:
1|иЧ11с=||<р||с; || и‘<р || Lp = e-‘/P ||<?||ьр. (1.11)
^Вместе с тем в пространстве С1 устойчивости нет:
II U‘«Р II с« = II U1 <р || с+ II DxU‘<p И с= ||> II с +
| + е* || </|| сoo, (tсо) (1-12)
;если <р ф const.
[ Пример 2. Рассмотрим задачу с начальными данными в
яюлосе |у| 1 на плоскости (х, у)
V +УТ‘ = 0; Ф II t=o= ?(х, у); ф|У5=Т1=0. (1.13)
” dt dx
Эта задача получается в результате линеаризации около тече-
ния Куэтта (с линейным профилем скорости и функцией тока
фо — у2) двумерных уравнений движения идеальной жидко-
сти в плоской трубе. Обозначая Дф — —со; Д<р = —<оо, находим
для вихря выражение
(d(x, у, t) = (Oo(x — yt; у).
(114)
И снова имеет место устойчивость по Ляпунову в простран-1
стве С для вихря 1
тах|со(х, у, t) | =тах|ю0(х, у) |, (1.15)1
X, у X, у |
а в пространстве С1 — устойчивости нет , |
тах|<оу(х, у, t) | = max | —tcoox (х — yt, у)+а0(х —yt, у)|> |
X, у X, у
^tmax|«ox(x, у) |—max|coo(х, y)|->oo (t->oo), (1.16)1
--------X, у -----------------X, V------------- Я
если <dq.зависит от х.---------------------------------------|
Аналогичный результат получается в случае течения ПуазейН
ля vr = ve = 0; vz = 1 —>г2 в круглой трубе O^r^l (г, 6, z—
. цилиндрические координаты; роль вихря играет величина
а также в случае течения в кольце п < г < г2 с функцией то-;
ка фо = Аг2 + р 1п г.
Можно предположить, что отмеченное явление имеет место;
для всех, течений идеальной несжимаемой жидкости и не только
в линейной, но и в нелинейной задаче; в трехмерном случае,"
вероятно, сколь угодно мало возмущая произвольное стацио-;
парное решение уравнений Эйлера, можно попасть на неста-’
ционарное течение с растущим при t^>oo вихрем (не с этим ли]
связано то обстоятельство, что выведенное В. И. Арнольдом!
.[91] весьма эффективное для двумерных потоков условие устой-1
чивости стационарного течения не проверено до сих пор ни для)
одного трехмерного течения?). а
Из дальнейшего следует, что для течений вязкой жидкости 1
и решений параболических уравнений, напротив, в устойчивом э
случае возмущения затухают вместе с производными всех по-ri
рядков. Правда, как известно, производные от решения парабо- ’
лического уравнения при t=0 могут при сколь угодно гладких ;
данных иметь разрывы, на границе области в начальный момент 1
времени (в месте стыка начальных и граничных заданий); что-1
бы имела место гладкость, необходимо подчинять данные неЛ
которым условиям согласования. Интересуясь поведением pe-j
шений прй t->оо, естественно игнорировать эти разрывы. Удоб-«
но при этом ввести следующее определение. |
Определение 1.5. Неподвижная точка ио=О однопара-;
метрического семейства отображений U* (1.4) называется^
т]-устойчивой (Хо, Xi), если 1) при любом аеХ0 из некоторой!
окрестности iu0 :||a||xo < бо вектор ЬЛаеХ] для всякого t > 0;1
2) по любой паре чисел т] > 0, е > 0 найдется б > О такое, что|
6i3 || а|| Хо < б следует, что || и*а ||х, < е при t > т]. Если в до-
полнение к этому || и*а ||х, —>0 (t->оо), то будем говорить, что
имеет место асимптотическая ^-устойчивость (Хо, Xi).
g Пример. Рассмотрим задачу с начальными данными для
Одномерного уравнения теплопроводности
it — uxx=0; и | t=0 = a(x) = 2aksinkx; u | x=0, K=0. (1.17)
k=l
'ешение имеет вид
u(t, x) = 2 e-k2f ak sin kx.
k=l
(1-18)
ено, что нулевое решение асимптотически т]-устойчиво (Ьг(0, л),
^(2п)(0, л) при любом п^О: ~
II D“u(t, -)11ц(о,«) =
к=1
e-2k»t k2n а2
(1.19)
Устойчивость по Ляпунову имеет место только при п=0.
s 2 у В этом параграфе доказываются неко-
? $ /словия торые теоремы об устойчивости реше-
устоичивости ний дИффереНцИалБНЫХ уравнений в ба-
наховом пространстве. Эти теоремы вместе с оценками гл. I
‘приводят к условиям асимптотической устойчивости в Lp и в
pV<Z) для уравнений параболического типа и уравнений Навье—
^Стокса.
в Будем рассматривать нелинейное дифференциальное урав-
нение в банаховом пространстве X
| ~-+Au = KU (2.1)
‘при следующих предположениях.
I. Пусть Y — банахово пространство, имеющее с простран-
йством X общее плотное множество, и оператор А порождает
Аналитическую полугруппу в X и в Y, т. е. выполняются оценки:
? с
Г 11(<т1-А)-Ч|х->х^-^—; (2.2)
I О I
||(<у1-А)-Ч|у-.у^~-, (2.3) 1
равномерные относительно о е У^а„. е; сектор ।
Еад 8 = {(Т: 0 С arg (о — Оо) л — е}; 0 < 0 < л/2. |
II. Оператор вложения Jx:Y->X пространства Y в про-1
странство X имеет дробную степень а (0 < а < 1) относительно!
оператора А справа — в том смысле, что справедливо неравен-.!
ство. |
H e-tAJx||Y^x=l|e-tA || (*>-0)- (2.4)]
III. '.Нелинейный оператор К аналитичен и однороден, т. е.|
имеет вид
Ku = Ко (un u2> •••> Um) I u,=u2= ... =um=u 1 (2.5) ,
i
причем оператор Ко линеен по каждому своему аргументу;
mZjs2. «Дифференциальные свойства» оператора Ко охаракте<
ризуем, требуя, чтобы выполнялась оценка
|| Ko(.Ui, U2, ... Цт) II Y || Bj Ui II Y, ... II Bm um II Ym, (2.6) j
где Bj (j — 1,2,..., m) — линейный оператор, действующий из X
в банахово пространство Yj и имеющий дробную степень {3j
(0< ₽j< 1) относительно оператора А |
--------'------||Вге-»А у x^Y.^_C_e-act. (2.7) J
Пусть еще при этом выполняется условие
'Я
£в<1- а. (2.8) |
i=1 i
’ Заметим сразу же, что дальнейшее без труда переносится :
на тот случай, когда в правой части уравнения (2.1) стоит сум-J
ма (или хорошо сходящийся ряд) операторов, удовлетворяющих |
сформулированному условию; условие аналитичности можно 3
было бы4 заменить требованием достаточной гладкости; нетруд- |
но также рассмотреть оператор К, зависящий от времени.
Теорема 2.1. Пусть выполняются условия I—III, и спектр 1
оператора А лежит внутри правой полуплоскости: Re a(A)> 1
> ао > 0. Тогда нулевое решение уравнения (2.1) устойчиво !
по Ляпунову и, более того, экспоненциально устойчиво в про- |
странствё X.
| Кроме того, оно экспоненциально устойчиво в среднем сте-
пени го из X в Yo, если Yo — банахово пространство, имеющее
с X общее плотное множество, причем оператор ьлэжения
B0:X->Y0 имеет относительно А дробную степень ₽0: 0<р0<
—а; Го — любое число такое, что 1^г0 <-7-.
? ₽0
s Доказательство. Введем банахово пространство Z, со-
стоящее из непрерывных вектор-функций u(t), со значениями
В X, имеющих конечную норму
ГЛ
=u II z = sup е°°* II u(t) II х + 2 1 u I rk. ’О’
tX> k=0
(2.9)
полунорма |u|rk,o определяется равенством
ОО
о
II Bk и (т) II Yk]r d-tj1 /г.
(2.Ю)
[ела гк подчиним требованию: 1 rk < —Выберем rk (k=
Pk
1, 2,... m) при этом настолько близкими к —, чтобы выпол-
Рк
пось условие
1 m 1
— = £— <1-а. (2.Н)
Р kZl гк
Докажем теперь, что нулевое решение уравнения (2.1) устой-
ю (X, Z)—это утверждение, очевидно, эквивалентно теоре-
2.1.
Обращая левую часть уравнения (2.1), сведем задачу Ко-
для него к интегральному уравнению
t
- u(t) = u0(t) + Je-C-^Ku(T)dx ss (Nu) (t); (2.12)
0
Uo(t) = e~tAa; u(0) = a. (2.13)
Заметим сначала, что uoeZ. В самом деле, используя усло-
ие (2.7), придем к оценкам:
II uo(t)||x С Се-^|| а ||х; (2.14)
II Bk u0 (t) || YkC e-°‘* II a || x, (2.15)
где oi — любое число, удовлетворяющее условию Recr(A)> о^ -
>о0-Из (2.14) — (2.15) получаем
II Uo llz < С|| а ||х. (2.16X1
Теперь покажем, что оператор N, определенный в (2.12)„:
есть оператор сжатия в некотором шаре Sr пространства Z (с
центром в нуле, радиуса R), если || а ||х достаточно мала. С этой,’
целью проделаем ряд оценок.
Воспользуемся следующим представлением полугруппы e~tAj
-------= . -Lfe -Rx = (M - A)-1, (2.17) J
. 2d t J >
где у —граница сектора 2Ja0, в. Пользуясь этим представлением^
и полагая Л = оъ + ге*е, получаем •’
со !
II Bj e-tA Jx || y->y. Y e-’.‘ J e-rtcos 6 || Bj Rx II x->Yj •
0 J
• II Rx Jx II y-*x dr. (2.18),'
Из условий (2.4) и (2.7) следуют оценки:
IIBjRxH x-y^—рг; HRxJxFy-xC • - (219): j
___С помощью (2.19) из (2.18) выводим
|| Bj e~tA Jx II y->y, = + (2-20|J
Заметим, что 0 < <zj < 1 вследствие (2.8).
Введем оператор M:Z->Z равенством
t
(Mu).(t) = JeHWAKu(T)dT. (2.21)
Используя оценку (2.20), получаем
Се-o,(t—*
--------|| Ки(т) || Ydr. (2.22>J
(t—T)“k-;
Пусть сначала число р, определенное равенством (2.11), удов-^
летворяет условию
1—(1 —ak)p>0. (2.23)
Тогда, применяя теорему о потенциалах, из (2.22) получим
I Ми | Г-,О1<С { J [е°*х || Ки(с) || Y]pd-cjI/₽ . (2.24)
< о .
; К =-------е—.
1—(1—ак)р
Из (2.10), применяя неравенство Гальдера и замечая, что
fk> Гк; oi > 0о, выводим:
I Ми | Гк.О0<С0 | Ми | г" О1; (2.25)
Р --L)
С0 = [(01-0о)гкМ Ч
:, используя для оценки правой части (2.24) неравенство
, получаем
ОО
I Ми | г-, О1 С{j* [е°»х || B1U || Yx]₽ ... [е°°х || Bmu || Ym ]р d tV/p .
о
(2.26)
1ри этом мы используем имеющийся произвол в выборе oi и
читаем, что Oi < гпо0- Оценивая правую часть (2.26) с по-
мощью неравенства Гельдера с показателями Ai = —,... Am =
Р
= — и применяя неравенство (2.25), приходим к оценке
Р
I Ми I Гк,а0^С | и I Г1>О0 ... I и |гга.а0СС||и||-. (2.27)
Неравенство (2.27) справедливо и в том случае, когда усло-
вие (2.23) не выполнено. Действительно, обозначим правую часть
(2.22) через Ce_<Jltt|>(t) и положим eo,t|| Ки(т)||у =<р(т).
Имеем
<,«) _ [ W -------------------------------------"----.
J (I-*)-» J
(2.28)
неравенство Гельдера с показателями Ai=2p, Аг=2,
i
2р и сокращая на 2 , из (2.28) получаем
. I 1
-p — ak
II <p II Lp(o, oo) • t₽ ; ct = (1 -^p')-1'”'. (2.29)’
Так как —------аь = >• 0, из (2.29) вытекает нера-
р' Р
венство (2.26) с любым fk, а вместе с ним и (2.27).
Далее из (2.4), (2.21) выводим оценку
t
II Mu(t)Bx^J
- b
Ce-o0(t-T)
II Ku(t) II y(K.
(2.30)
Оценивая правую часть (2.30) с помощью неравенства Гель-;
дера, цолучаем
1/р
e°»4.Mu(t) || [e^ 111
0
t
z p £—aop T
I J (t — t)“P'
0
1/р'
d т]
(2.31)
Второй множитель в правой части (2.31) есть ограниченная;
функция от t, это следует из оценки j
t , л I
P e-°oP 1 dx r
|I max
J (t —t)“p' J t>o
о 0
1
fl—ар' g—aop'st
---------------- dx =
(1 — S)aP'
1—ctp'
аор' е
s“P,_ 1 ds.
(2.32)
о
Сходимость рассматриваемых интегралов обеспечивается усло-
вием 0< ар'<1, которое вытекает из (2.11). Оценивая пер-
вый множитель в правой части (2.31) так же точно, как при
выводе (2.27), приходим к неравенству
e’»4|Mu(t)||x^C||u||
(2.33)
Из (2.27) и (2.33) получаем оценку
II Mu||z<C||u||”
(2.34)
г Пусть теперь ub u2eZ. Займемся оценкой величины
j| Nui — Nu2 II . Имеем
t
Nui — Nu2= J* —Ku2(r)]dr =
L 0
Г t
H=J e-(t-T>A[K°(ui — Ц2, 111.Ui)+Ko(U2, Ui —U2, Ui,...,Ui) +
I 0
+ • • • + Ko(u2, u2,..., u2, Uj—u2)]dr. (2.35)
Повторив рассуждения, проведенные при выводе (2.34), полу-
чим оценку
II Ntl, -Nu2 И z С || 4-4 || z-( || 4 II ? +
+ II 4 II z • II 4 || “-i+ ... + || 4 II ?)• (2.36)
Если Ui, u2eSR, то из (2.36) следует неравенство
II Nm - Nu2 ||z q|| 4 - u2 ||z, (2.37)
q = CmRm.
(2.34) и (2.37) вытекает, что оператор N есть сжатие в SR,
I выполняются соотношения
q = CmRm <1; || u0 Ilz R — CRm.
(2.38)
Если выбрать R столь малым, чтобы первое из неравенств
2.38) выполнялось, а во втором правая’часть была положи-
ельна, то выполнения последнего можно добиться, если счи-
ать || а ||х достаточно малой и учесть (2.16).
Согласно принципу сжатых отображений уравнение (2.13)
меет решение, единственное в Sr. Впрочем, нетрудно показать,
то единственность имеет место во всем пространстве Z. Дей-
гвительно, пусть 4, и2 — решения уравнения (2.13), v(t) =
= 4—u2 — их разность. Если допустить, что v(t)^0, то най-
утся to^O иб>0 такие, что v(t)#=0 при te(t0, to+.6). Но
(t) при t^to удовлетворяет уравнению
t
v(t) = J е-<‘-т>А[К4(т)— Ku2(r)]dT. (2.39)
to
Введем обозначения:
Ifv И zT = sup |[ v(t) II X + 2 I V I Гк- (2-40) I
to<t<T k-0 |
|v|,k.T-{J|B,vWl£<fc}1''1. j
I
Прежний способ позволяет вывести из (2.39) оценку |
||v||zT^C(T-t0)T.||v||ZT; T = -L-a>0. (2.41) |
, Р 1
Из (2.41), вытекает, что у(1) = О при te [to, Т], если Т доста- ।
'точно близко к to. Полученное противоречие доказывает, что 3
•v(t) = 0 при t > 0, и единственность доказана. |
При выполнении условий (2.38) из принципа сжатых отобра-1
жений и неравенства (2.16) вытекает следующая оценка реше- |
ания уравнения (2.1: |
II U Hz II Uollz СИ а Их, (2.42) j
1—4 1
из которой и следует устойчивость. Теорема 2.1, таким обра-1
зом, доказана. ’ 1
Неизвестно, остается ли теорема 2.1 верной, если в основному
условии (2.8) допустить равенство (по всей видимости, нет),||
Но в одном важном частном случае операторов, действующих вЦ
Пространствах Lp, это так. . я
Будем рассматривать уравнение (2.1) при следующих пред-1
положениях, описывающих в абстрактной форме ситуацию, ха-1
фактерную для уравнений Навье — Стокса и нелинейных пара-1
болических уравнений. |
I. Оператор А порождает аналитическую полугруппу в 3
’Lp (£2, у,, Е) при любом р > 1. |
II. Оператор К—аналитический, однородный степени т^2.Я
Это означает, что он имеет вид |
Ku = DLu = DL0 (и1э u2, ... um) [ Ul=Uj= ... Um =u, (2.43) J
причем Lo — линеен по каждому из своих аргументов, D — ли- >
нейный оператор. Предположим, что при любом q > 1 справед-|
лива оценка 1
II Lo(Uj, U2, ..., Um) || Lq(2,n, Е)
|| BjU2 || LX, ••• II BmUm || Lqx (2, p, E) » (2.44) ;
4 n m
(где Ai, X2,..., Am > 1 — любые числа, такие, что 2 —=1. Пред-
к=1 ^к
(положим, чтб операторы Вк : Lp->Lqk (к=1, 2,... т) имеют от-
носительно А дробные степени
₽к,р, q=-Tk4-7jf--(2.45)
\ Р Чк }
(при любых qkOp > 1, таких, что 0 < ₽k,p,q <1; числа ук и ту
(не зависят от р, q.
; III. Пусть оператор D: Lp->Lq (qZ>p) имеет относитель-
£ но А дробную степень
6₽,q = * + 4— “—I ' (246>
К \ р ч /
?в Том смысле, что справедлива оценка
Б
; - I е-« D || (2.47>
й г т *•= Р’ ч
h
Число х: 0 < х < 1 не зависит от q, р.
( IV. Потребуем, чтобы выполнялось неравенство
11 m
0<Т=7ГЪ7(1-’,~2 ъ)<>- (2Л8>
г: Ро (т—1)т) к=1
i.
(Пусть существуют числа rk, qk, г, q > 1, удовлетворяющие усло-
виям:
i‘ - 1 I VI VI
тк > Ро; Чк > р0; —+—=—+ тк;
fc' гк Чк Ро
“ 1
1
к=1 гк
(2.49)
Ро ’
(2.50)
г 1 m 1 1 m 1
F 1 V 1 » 1 1
: Г Д гк ’ q i£j qk ‘
^Введем еще банахово пространство Z вектор-функций с конеч-
ной нормой '
t m
II U II z = max e<*‘ || u(t) II Lp + S II Bku || L r , (2.51}
t>0 P" JTi 4k‘ k
где использовано обозначение
II v I) Lq> r = {I [e’o* || v(t) || Lq]rdt}1/r, (2.52}
b
Ho — положительное число.
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия I—IV и спектра
•оператора А лежит внутри правой полуплоскости: Reo(A)>- ,
>Оо>0- Тогда нулевое'решение уравнения (2.L) асимптоти-
чески устойчиво в LPo = LPo (Q, р, Е). Более того, имеет место ;
устойчивость (LPo, Z).
Доказательство. Снова рассмотрим интегральное урав-
нение (2.12). Покажем сначала, что uoeZ и выполняется оценка
II uo ||z < С|| a ||L (2.53)
По-прежнему справедливо неравенство (2.14), которое в данном
—случае принимает вид---------------
> II u0(t) || Lpo Ce-ot || а || Lpo. (2.54)'
Пользуясь леммой 2.5 (гл. I) и учитывая условия (2.46), (2.49), 1
получаем оценку 1
II u0 II ч, Гк < С || а || (2.55);
Теперь (2.53) сразу следует из (2.54)—(2.55). «
Далее рассмотрим операторы Q, М, Мо, определяемые равен-'?
ствами '
t !
(Qf)(t)= fe-(t-x)ADf (T)dT; (Mu) (t) = (QLu) (t); (2.56)1
0J
i
Mo(ub U2, ...,Um)(t) = QLo(Ui, u2, ...,um)(t),
гдёБ, L — операторы, определенные в (2.43). Покажем, что опе-
ратор Q непрерывно переводит Lq,r в Z. Действительно, исполь-j
зуя условия (2.46), (2.49) и лемму 2.7 (гл. I)*, получаем оценку ,
l|(Qf)(t)||Lpo^Ce-^ llf||Lq,r. (2.57)
Лемма 2.2 (гл. I), примененная к оператору Q, с учетом усло-
вий (2.46) и (2.49), приводит к неравенству
' IIQ!I L,k.,kCClf«4r.
Из (2.57) — (2.58) и вытекает нужная оценка
II Qf II z С || f || Lq г.
(2.58)
(2.59) 1
Теперь из (2.59) и (2.44), полагая Лк =—, выводим
• Чк
Очевидно, она верна и в случае, когда полугруппа умножается на опера-
тор D справа.
1
J
3
I || Мо (ulf u2, ... um) || z С || Bi щ И Lqi. ... || Bmura ||.
r -_ 1 4 nr m
- (2.60)
Дальше рассуждаем, как при доказательстве теоремы 2.1: поль-
зуясь оценками (2.53) и (2.60), заключаем, что оператор N из
£(2.12) представляет собой сжатие в некотором шаре простран-
ства Z, если достаточно мала || a IIlPo.
Ертсюда уже утверждение теоремы 2.2 вытекает непосредственно.
R Подчеркнем, что теорема 2.2 справедлива и в случае pQ = oo.
РЕсли рй < оо, то в условиях теоремы имеет место устойчи-
вость (LPo, Z) и для
F (т—1) т;
5 1-*- 2 тк
j ' к=1
Это непосредственно следует из теоремы 2.1. При этом суще-
ственно, что отпадают довольно стеснительные ограничения
h>Po; г<ро (см. (2.49)).
г, Теперь применим теоремы 2.1 и 2.2 к уравнениям Навье —
«Стокса и параболическим уравнениям.
| Пусть вязкая несжимаемая жидкость заполняет ограничен-
ную трехмерную область Q с границей S е С2, а вектор скоро-
сти на S и массовые силы заданы и не зависят от времени.
• Пусть уравнения Навье — Стокса при этих условиях имеют ста-
ционарное решение (vo(x), Р0(х)). Нелинейное уравнение воз-
. мущений записывается в виде (§ 5, гл .1)
I ~ + Au = Ku, (2.61)
Г где А, К — операторы, определяемые равенствами
| Au = vAou -J- Ru; Aou = —ПАи; Ru = П [ (v0, V) и -f- (и, V)v0];
Ku = K0(u, uh K0(u, v) = — П(и, V)v (2.62)
для любых соленоидальных векторов и, v е W<2), исчезающих на
границе. S. П — проектор в Lp (ортогональный в Ь2) на подпро-
странство Sp — замыкание множества гладких соленоидальных
в области Q векторов, исчезающих вблизи границы S. При лю-
бом р > 1 операторы —А, —Ао порождают в Sp аналитическую
полугруппу.
Теорема 2.3. Пусть спектр оператора А расположен внутри
правой полуплоскости: Reo(A) 2> оо > 0. Тогда стационарное
течение Vo асимптотически устойчиво по Ляпунову в Sp при
р > 3.. Более того, если и (0) — а имеет достаточно малую нор-1
му в Sp (р>3), то решение u(t) уравнения (2.61) подчинено!
оценке
ев°‘ II u(t) И Sp + || u || Sqi Гм t + II Dxu || Lqj r>i t C || a || s₽, (2.63)|
где использовано обозначение
t
в
И U И Sq, r, t=
l/r
(2.64)|
q
0
Постоянная С не зависит от t. Числа рь
летворятЬ условиям *:
Г1, Р2, г2 должны удов-1
Д oik $з ат ел ьс т в о. Для оператора Ко справедлива оценка1
(2.66)1
II K'otUt, u2) || Sq С || Uj || Sqi- II ?u21| ьЧа;
q > 1; — 4-----------= —.
Qi Чг 4
Для вывода (2.66) достаточно заметить, что оператор П огра-
-ничен в-Sq (лемма -5.Т,гл. I) и воспользоваться неравенством |
Гельдера. Применим теперь теорему 2.1, в которой положим |
X=SP; Y=Sq; Yi —Sqi; Y2=Lq2; через В! обозначим оператор
вложения пространства Sp в Sqi, через В2’—.оператор V:v-> ’
-* | —- ) . Тогда, применяя лемму 5.7 (гл. I) и мультиплика- -
тивное неравенство (4.10), заключаем, что операторы Bi и В2 |
имеют относительно А дробные степени -•
₽2=4(—И- <2-б7> 1
2 \ р 41 / 2 \ р q2 / i
В силу (2.65) имеем: 0 < pi, ₽2 •< 1. Далее из этой же леммы вы-
водим, что оператор вложения пространства Y в пространство X |
имеет относительно А справа дробную степень а
* Все эти условия удовлетворяются, например, если р=4; q1=q2=6; п<8; |
8 3
(2.68)
Шри этом 0 < а , так как р > 3; а из (2.65) следует, что
&
kf-
Г Условие (2.8) тоже выполнено; это сразу следует из (2.67),
[так как р > 3. Остается сослаться на теорему 2.1, и теорема 2.3
^доказана.
К, Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.3. То-
Ггда стационарное течение v0 асимптотически устойчиво в Sp при
|р^3 и, если || и (0)|| достаточно мала, то для решения u(t) не-
Елинейного уравнения возмущений (2.61) выполняется оценка
в’»* Ц u(t) || Sp + II u || Spi< Pi, t C || a I) Sp, (2.69)
'где pi = — p, C — постоянная, не зависящая от t, а.
г Доказательство. Пользуясь свойством соленоидально-
сти вектора и, для оператора Ко (и, v) можно получить представ-
К0(и, v) = — П(и, v)v = — n[-^-(uIvk)Zkl, (2.70)
.тле Ik — координатные орты в R3. Воспользуемся теоремой 2.2.
Равенство (2.70) показывает, что оператору Ко можно придать
вид (2.43), если определить операторы* Lo :(SPX Sp)
->LP/2(Q, m3,.R3(x)R3) и D : LP(Q, m3, R3®R3)-*-Sq для любых
p, q > 1 равенствами:
L0(u, v) = (uiVk)i<i, ko ; (2.71)
D(alk)=-n[-^L-/kl. (2.72)
I dxk )
При этом выполняется неравенство
llL0(ub u2)llLq = [ J I Ui I ч- I u2 | qdx]1/4^
---------- s
* SpXSp — как обычно, означает декартов квадрат пространства Sp. R3X
XR3— тензорный квадрат пространства R3. Если базис в R3 фиксирован,
то элемент R3®R3 реализуется в виде матрицы т= (xik) 1<Jf к<3. Норму
Л з
определяем равенством ||т|| = 1/ а?к .
' i, k=l
II Ut II Sq/ II u2 II Sq>,
(2.73)
111 I
если qi, q2 >• 1 и-1-=—. Это совпадает с (2.44), если j
4i qa q '
положить m = 2, а через Вк обозначить оператор вложения про- i
странства Sp в Sqk. При этом оператор Вк имеет, в силу л ем- 5
мы 5.7 и мультипликативного неравенства 4.10 (гл. I) относи- :
тельно оператора А дробную степень
. 3/1 1 \
% р, q _z~( I»
2 Д р дк/
к = 1,2; qk>p>l; ₽Ь,Р, q<l. 1
(2.74) ’
Далее, б'ператор D, в силу теоремы 6.3 (гл. I), имеет относи- >
тельно А дробную степень
6,
L + JL
2 2
1_______
р q
Я
(2.75) 1
Таким образом,условия II и III выполняются, причем у1=уг=0; 1
13 .
; = —. Из (2.48) получаем р0 = 3. Наконец, полагая |
х = —•
2
qk = гк = pi = 5, убеждаемся в том, что условие IV выполнено. |
Поэтому при р = 3 утверждение теоремы 2.4 следует из теоре-1
мы 2.2. При р >• 3 оно является очевидным следствием теоре-1
мы 2.3. Таким образом, теорема 2.4 доказана. 1
Пользуясь оценками предыдущей главы, можно также ис-1
хледоватьустойчивость в и S <2> и доказать, что в условиях |
теоремы 2.3 основное решение уравнений Навье — Стокса устой-
чиво по Ляпунову в S w при р — и в S® при любом р’ > 1. .•?
Теоремы 2.1 ц 2.2 применимы также к исследованию устой-
чивости решений параболических уравнений. Рассмотрим для
примера уравнение
4-A2mu =f (x)uko(DjCu)lti ... (D2"1-1 u)k2m-i. (2.76)
Будем считать, что Агт — эллиптический дифференциальный ''
оператор порядка 2m в ограниченной области Q с Rn, причем '
выполняются условия § 4, гл. I; к0,... k2m-i — натуральные чис- J
ла, f—ограниченная измеримая функция. J
Теорема 2.5. Пусть спектр оператора А2т лежит в пра- i
вой полуплоскости. Пусть J
0<V~ n - ; s«“2kb Si-2Ik)- (2.77)
Po — 1 i
F; Тогда нулевое решение уравнения (2.76) асимптотически
t устойчиво в Lp(fi) при любом р >max(p0, 1).
Доказательство. Положим X = LP(Q), Y = Lq(R),
FYs = LPs (Q) (s пробегает те целые значения между 0 и 2m—1,
-.для которых ks > 0) и покажем, что при надлежащем выбо-
| Ре Ps выполняются условия теоремы 2.1. Из леммы 4.1 гл. I
к следует, что оператор Dx8:Lp->LPs имеет относительно Агт
! дробную степень
г = — + s\ - (2.78)
|/ 2m \ р ps )
J если р8^р и ₽s< 1. Оператор вложения Jx:X->Y имеет от-
; носительно А2т дробную степень
П / _1____
2пД q р /’
(2.79);
'если 0 а < 1.
F Оценка нелинейного члена типа (2.6) получается при помо-
' щи неравенства Гельдера с показателями Х8 > 1; при этом вво-
дим дополнительное требование р8 Xsk8q. Тогда из условия
р > ро и (2.77) вытекает неравенство
►. £ks₽s<l-a. (2.80)
S
Итак, все условия теоремы 2.1 будут выполнены, если уда*
’ ется подобрать числа q, 1S>1, Ps^P, такие, что 0^а<1, ₽8<1,
Р Ps === K$k8q. Первое из этих условий записывается в виде
г 1/р 1/q < l/p-j-2m/n. Второе условие в силу (2.80) является
следствием остальных, а последнее выполняется, если Soq р.
Оба требования к q приводятся к одному
1/р 1/q < s0/p, (2.81).
так как-50"1 < s°"1 = ( 1 — —) —. Итак, годятся лю-
р ро п \ 2ш/ п
бые q > 1, удовлетворяющие неравенствам (2.81), и любой на-
бор Х8, р8, такой, что
= Р ^Ps <\ksq.
S As
Теорема, таким образом, доказана.
Теорема 2.2 в ряде случаев позволяет доказать устойчи- j
вость и в LPo (например, при m=l, k0=ki = l для п=2, а если 1
f=const, то и для п=3).
Условие. (2.77) весьма ограничительно, но, по всей вероятно- >
сти, необходимо. Если оно не выполняется, следует изучать ’
устойчивость в W(pZ)A; для любого уравнения вида (2.76) мож-' ’
но найти подходящие р и I 2m—1. Выпишем соответствую-
щий предельный показатель pz ’
1/pz = 1/ро + Z/n. -
§ 3. Условия
неустойчивости.
Условная
Будем рассматривать уравнение (2.1), i
предполагая 'выполненными условия I— 1
III теоремы 2.1. Наложим еще дополни-1
устойчивость тельное условие. J
IV. Спектр оператора А представим ?
в виде объединения замкнутых множеств о+ и о_, причем J
Re о+ 0; Reo_ <0. , |
В приложениях к уравнениям Навье — Стокса и параболи- |
ческим уравнениям в ограниченных областях выполняется бо- j
. лее силь'ное условие: спектр оператора А дискретен — состоит 'I
из счетного числа конечнократных собственных значений с един- I
ственной предельной точкой—на бесконечности. |
Здесь остается в стороне лишь случай, когда у оператораЦ
имеется связное спектральное, множество, содержащее точки |
как левой, так и правой полуплоскости. Заметим, что и в этом |
случае неустойчивость легко доказать, применяя метод [32]. S
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия I—III теоремы2.1
и условие IV данного параграфа. Пусть множество о+ непусто. >
Тогда нулевое решение уравнения (2.1) неустойчиво в X.
Эта теорема вытекает из следующего, более сильного утвер- ?
ждения. Обозначим через Х+, Х_ инвариантные относительно
оператора А подпространства в X, соответствующие спектраль-
ным множествам о+ и о_. Пусть А+, А_ — сужения оператора А
на Х+ и Х_,’а Р+, Р_ — соответствующие проекторы.
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. То- ч
гда существует многообразие Y_, определенное в некоторой
окрестности нуля пространства X, которое касается подпро-J
странства Х_ в точке 0 и обладает следующими свойствами, "j
1. Для любой точки uoeY_ существует решение u(t), u(O)=Uo -
задачи Коши для уравнения (2.1), определенное для всех t < 0. »
2. Многообразие Y-— инвариантно относительно сдвига по тра-
екториям, уравнения (2.1): если iu(0)e Y_, то и u(t)eY_ для всех
t < 0. 3. || >u (t) ||х -*• 0 экспоненциально при t->—оо. .g
Доказательство. Введем банахово пространство Zi, со-
стоящее из непрерывных по t вектор-функций u(t) со значе-
ниями в X, определенных для всех t 0 и имеющих конечную
норму:
11 u 11 z. = sup e-’ot ]| u(t) || х + 2 И u И (ЗЛ-)
t=0 k_j
О
/ р ч I/rk
II u II rk, »0 = | J [e-’ot || Bku(t) I| yj rkdt j k.
—oo
Число o0 выберем так, чтобы выполнялось условие Re <у__ <
< —ст0 < 0, a rk подчиним неравенствам:
1 1 m 1
l<rk<—; — = V—<1 —a. (3.2>
₽о Р i“i rk
Для любого аеХ положим ат=Рта, тогда а = а+-|-а_,
Рассмотрим интегральное уравнение
t
u (t) — e-tA“ а_ J e~(t-T>A“ Ku (т)Фг -|-
0
t
+ J e-^A+KuW'dTsfNju)^).
—oo
(3.3)
Покажем, что мри любом а с достаточно малой нормой это
уравнение имеет, и притом единственное, решение в Zb Для
этого убедимся сначала в том, что оператор Nj непрерывно дей-
ствует в Z]. Рассмотрим оператор
(Мщ) (t) = J e-(t-T)A+ Ku
•—oo
(3.4)
Воспользуемся оценкой
Се1!8
|| Bke~sA+ Jx II y->Yk; «k—₽k + a> (3-5)
S°k
где s > 0, а т] — любое положительное число.
Выводится она так же, как (2.20) из интегрального пред-
ставления полугруппы (2.17), в котором контур у выбирается
так, чтобы он целиком лежал в полуплоскости ReX> —tj; при
этом считаем, что т] < По-
С помощью (3.5) получаем
t
fpl (t-т)
~-----— ||Ku(T)||ydt (3.6)
(t — t)“k
— оо
Из (3.6) выводим неравенство
« t
---e-^Hl-BHM^) (О II YkCC f -e--sg»T || К u(t) || у——Ц-------.
K J (t—t)“k
—00
' • ' (3.7)
Теперь, рассуждая как при выводе (2.34), (2.36) из (2.20),
приходим к оценкам
II М.и || С || и ||
|| M1U1 -Mtu21| z,^ С || u1-u2 || Z1 ( || ut || +
'. + II Щ || “"2- II u2 || z. + ... + II u21| -->). (3.8)
Первые два слагаемых в (3.3) исследуются так же, как
"(2.12) и (2.13) при доказательстве теоремы 2.1. Рассуждая и
далее, как при доказательстве теоремы 2.1, заключаем, что при
достаточно малом а_ оператор Ni реализует сжимающее отобра-
жение некоторой окрестности нуля пространства Zi в себя, от-
куда и следует (локально) однозначная разрешимость уравне-
ния (3.3).
Можно также прийти к этому выводу, применяя теорему о
неявной функции *. Действительно, перепишем уравнение (3.3)
в виде
F(a_, u) = u - N, (а_, и). (3.9)
Оператор F переводит окрестность нуля пространства Х_ X Zi ’
в Zj и непрерывно дифференцируем (даже аналитичен). Далее,
F(0, 0)=0, Fu(0, 0) = I и значит, условия теоремы о неявной
функции выполнены. Поэтому уравнение (3.9) имеет единствен-
ное (в окрестности нуля) решение u = R(a_), R(0) = 0, причем
оператор R определен и непрерывно дифференцируем (даже
аналитичен) в некоторой окрестности нуля пространства Х_ и
отображает ее в Zj.
• На возможность упростить доказательство гладкости инвариантного мно- ,
гообразия с помощью этой теоремы обратил наше внимание Д. В. Аносов. .
Всякое решение уравнения (3.3) удовлетворяет (по крайней
мере, в обобщенном смысле) уравнению (2.1). Действительно,
из (3.3) непосредственно следует при любых t0 t 0 соот-
ношение
t
u (t) = u(to)4-. J e-tt-1* Ku(t)dT. (3.10)
to
Полагая в (3.3) t — 0, получаем
0
a+= J e*A+Ku(r)dTs <p(a_). (3.11)
—oo
Ясно, что <p— непрерывно дифференцируемое (даже аналитиче-
ское) отображение некоторой окрестности нуля пространства Х_
в пространство Х+, причем ф(0) = 0, <р'(0) = 0. Уравнение (3.11)
и задает многообразие Y-. Оно представляет собой диффео-
морфный образ окрестности нуля в Х_ и касается этого подпро-
странства в нуле.
Применяя к уравнению (3.3) проектор Р+, получаем
t
u+(t)= J e-(t-T)A+Ku(T)dr = <p(u-(t)). (3.12)
—oo
Следовательно, многообразие Y_ инвариантно относительно
сдвига по траекториям уравнения (2.1). Теорема 3.2, таким об-
разом, доказана.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия I—IV теоремы 2.2
и условие IV данного параграфа. Тогда нулевое решение урав-
нения (2.1) неустойчиво в LPo. При этом существует подпро-
странство Y_ в LPo, обладающее свойствами, указанными в тео-
реме 3.2.
Применение этих теорем к уравнениям Навье — Стокса при-
водит к следующему результату.
Т еор е м а 3.4. Пусть оператор А в (2.61) имеет хотя бы одну
точку спектра в левой полуплоскости. Тогда стационарное те-
чение v0 неустойчиво в Sp (р 3).
Более того, нетрудно доказать, что оно не может быть даже
трустойчиво (Ck, Sp) при р 3.
Доказанные в этом параграфе теоремы допускают ряд уточ-
нений. В условиях теорем 3.1—3.3 можно показать, что из
окрестности нуля уходят все траектории, начинающиеся на не-
котором коническом множестве; в случае, когда оператор А не
имеет точек спектра на мнимой оси, поведение траекторий в
окрестности стационарного режима можно описать довольно
подробно (в частности, в этом случае существует инвариантное
многообразие Y+, устойчивое при t->+oo). Здесь мы на этом
не останавливаемся; такое исследование проведено (иным ме-
тодом) 'в более общем случае окрестности периодического дви-
жения в следующей главе
ГЛАВА III _________________________
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ДВИЖЕНИЙ
В этой главе доказывается законность линеаризации в за-
даче устойчивости периодических движений жидкости. Заодно
получается новый способ доказательства для случая стационар-
ных движений. Отдельно рассмотрены вынужденные колебания
и автоколебания.
§ 1. Постановка
задачи
ния Навье — Стокса
ние* с периодом Т.
Предположим, что данные (массовые, си-
лы и скорость на границе области Q,
занятой жидкостью) таковы, что уравне-
имеют периодическое по времени реше-
Соответствующий вектор скорости обозначим через vo(t) и
будем считать его достаточно гладким (точнее условия гладко-
сти оговорены ниже). Замена переменных v = vo-j-u приводит
к нелинейному уравнению возмущений
^- + Aou + B(t)u = Ku,
Gt
(1-1)
где использованы обозначения (см. § 5 главы I):
Аои = —ПДи; Ки = —Ко(и, и); Ко(и, у) = П(и, V)v; (1.2)'
К?(и, v)= Ко(и, v)+Ko(v, и); В(t)u = К£(и, v0(t)).
Будем далее считать, что Q — ограниченная область, и ее гра-
ница S е С2. Ради краткости здесь принято, что коэффициент
вязкости v = 1; этого можно добиться заменой ti->-vu, vo~>vvo,
vt—>t.
Метод линеаризации в задаче устойчивости периодического
решения состоит в следующем. Рассмотрим линеаризованное
уравнение возмущений
* Общие условия существования периодического режима даны в [70], где
сформулирована теорема существования в целом обобщенных решений в
трехмерном и двумерном случаях, а также гладких решений в двумерном
случае; обобщенные решения в двумерном случае рассматривались также
в [100, 103.].
^-+Aou + B(t)u = O. (1.3)
Будем разыскивать решения уравнения (Ч-З), имеющие вид
u(t) = ecrtw(t) (1.4)
с Т-периодической по t вектор-функцией w. Комплексные зна-
чения параметра о, для которых уравнение (1.3) имеет ненуле-
вые решения вида (1.4) можно найти, решая спектральную
Задачу
Aqw-J- B(t)w-j-crw = 0; w(t-|-T)s w(t) (1.5)
dt ”.
. Совокупность всех таких о называется спектром устойчивости
основного течения у0.
Если спектр устойчивости расположен внутри левой полу-
плоскости, то основное течение (асимптотически) устойчиво, j
Если хотя бы одна точка спектра устойчивости находится
внутри правой полуплоскости, то основное течение неустойчиво. ;
Если в праЬой полуплоскости нет точек спектра устойчивости,
нсгони имеются на- мнимой оси (критический случай), то нельзя
сделать заключение об устойчивости, ограничиваясь линейным ч
приближением. i
Критический случай, вообще говоря, встречается редко. Так, 1
если основное течение зависит от некоторого параметра, то •]
- обычно он имеет место лишь для дискретного множества зна-
чений этого параметра; критическая ситуация может быть раз-
рушена сколь угодно малым возмущением основного потока.
Однако при исследовании устойчивости автоколебаний всегда .
приходится иметь дело с критическим случаем. Эта ситуация
далее разбирается отдельно (§6), доказывается бесконечномер-
ный аналог теоремы Андронова — Витта.
Обоснование метода линеаризации содержится в теоремах
этой главы, которые охватывают широкий класс тараболиче- .
Ских систем, включая и систему Навье — Стокса.
Для определенности и замкнутости изложения будем гово-
рить дальше об устойчивости в энергетическом пространстве Нь
Как и в случае стационарных течений, те же результаты спра-
ведливы и в случае Sp (р > 3 в трехмерном, р 2 — в двумер- ‘
3
ном случае) и в S <*> (р в трехмерном и р > 1 в двумер-
ном случае); нетрудно также рассмотреть т)-устойчивость из Sp ,
в С*А
§ 2. Задача
с начальными
данными
Введем множество Мт вектор-функций
u(t) времени te [О, Т] со значениями в
Н = S2, таких, что u(t)eD(A0) при всех
te[O,T], и вектор-функции u(t), (Aou) (t)
• имеют сильные производные всех порядков по t в Н. Опреде-
г лим гильбертово пространство Щ как замыкание Мт в метри-
: ке, порожденной скалярным произведением
Т
: <u, v)Hj - J [(4г • _5г)н+ (a°u’a»v)h] dt+(u(T)’¥(Т))н--
о 1
: (2.1)
Элементы пространства Щ суть вектор-функции u(t) такие,
-что почти для всех t е [О, Т] существует сильная в Н производ-
ная — и u(t)eD(A0).
; > dt
Лемма 2.1. Вектор-функция ueH'J сильно непрерывна
; в Hi при t е.[0, Т], и справедлива оценка
II и || Ст(Н1) = max || u (t) || II u || (2.2)
0<t<T
L Доказательство. Воспользуемся тождеством
у ( II u(s) || aH - II u(t) II h.)= J Aou) d T, (2.3)
t
(O^t<s^T),
которое очевидно для u e Мт, а для любой u e Щ получается
посредством предельного перехода. Из (2.3) вытекает нера-
венство
Г S
:, и u(t) и ft. j’ (|| 4г || 2Н + и А°и и ft)dx +1| u<s) ii ft* <2-4)
г t
Полагая в «ем s=T, заключаем, что <u(t)eHi при всех tei[O, Т]
справедлива оценка (2.2). Из (2.4) следует, что Hu^JHh,—
? непрерывная функция времени при tei[O, Т].
Далее, пусть Ф е D (Ао). Тогда для ueHj справедливо тож-
дество
(u(s), ®)H,-(u(t),®)H=j[4r’
t
А0Ф) dt
/н
(2.5)
С помощью неравенства Буняковского выводим
| (u(t), Ф)Н1 —(u(s), Ф)н. I II и || нт II А0Ф || H/t~. (2.6)
Из (2.6) следует, что при s->t
(U(s), Ф)н. -* (U(t), Ф)Н1. (2.7)
Так как D(A0) плотно в Нь из (2.2) и (2.7), по теореме Бана-
ха— Штейнгауза, заключаем, что u(t) сильно непрерывна в Нь
Лемма доказана.
Лемма 2.2. Справедливы оценки:
II u(t) I| Se С И и И нТ; (O^t^T); (2.8)
т т
f II и [[£ dt^C II u II Р'т; f и Dxu II я. dt^ С II и 11 я-т; (2.9)
J Р н2 * J Ч " 2
О О
pi=4p/(p —6); qj = 4q/(3q — 6),
где С зависит только от области Q; 6 < р < 6о, 2 < q 6.
; Доказательство. Неравенство (2.8) следует из теоре-
мы вложения С. Л. Соболева и неравенства (2.2). Согласно
теореме 6.1 гл. 1 (см. также <[37], [10]), справедливо нера-
венство '
II u ||w(2) С|| Аон ||н (ueD(Ao)). (2.10)
Пользуясь теоремой вложения С. Л. Соболева, получаем нера-
венство—’---------------
llullwtn^CIIAtMH. (2.11)
! Ь
Пусть теперь неН]. По неравенству Гельдера,
3 -Д
И Dxu||Lp< ||Dxu||£ 2 и dxu II * ~ я; (2^q^6). (2.12)
Возводя (2,12) в степень 4q/(3q — 6), интегрируя по 1 от 0 до Т
и используя неравенства’ (2.2) и (2.11), придем ко второму не-
равенству (2.9).
. Для вывода первого неравенства (2.9) воспользуемся нера-
венством . <
l|u(t)||P- ^C||Vu(t)||4., q = 3р/(р + 3), (2.13)
р q
которое вытекает изтеоремы вложения, так как правая часть
в (2.13) для векторов и, исчезающих на границе области Q,
определяет норму, эквивалентную норме в W(q° Интегрируя
Г (2.13) по t и применяя второе неравенство (2.9), придем к нуж-
> ному соотношению. Лемма 2.2 доказана.
Перейдем теперь к рассмотрению задачи Коши для диффе-
ренциальных уравнений (1.1) и (1.3) с начальным условием
I и(0)=а; аеНь (2.14)
Под (обобщенным) решением этой задачи на отрезке вре-
[ мени /[О, Т] будем понимать вектор-функцию ueHj , удовле-
ртворяющую почти для всех te [О, Т] соответствующему диффе-
| ренциальному уравнению и удовлетворяющую начальному усло-
. вию (2.14) в том смысле, что
||u(t)-a||H1->0; (t-^0). (2.15)
Введем пространство Щ —замыкание множества гладких
। соленоидальных векторных полей v(x, t) (xefi, te [O, T]) по
iнорме
T T 1/2
+ [ f II v li 4С(2) dt]1'2 +[ J II v II4Wu>(2) dt]11 . (2.16)
L ° 0
Последние два члена при желании можно было бы опустить,
оценив их через первый.
Лемма 2.3. Пусть VoeHJ. Тогда при любом aeHi суще-
[ ствует и притом единственное обобщенное решение задачи Ко-
• ши (1.3), (2.14).
Доказательство. Рассмотрим сначала задачу Коши
+ Aou = f(t); й(0) = а. (2.17)
В dt
[ Для ее решения и е Щ справедливо равенство
F *
и u II 2Ht = II U(t) || ft, + J(Ц4; || 2H + II A«u II а )dT =
t о
r t
I = II a II ft, 4- J || f(x) II ft dr. (2.18)
f о
Из ‘(2.18) сразу следует единственность обобщенного решения. 1
С помощью этого соотношения нетрудно установить и суще- J
ствование чв случае аеНь || f (t) ||н е L2 (О, Т). Для этого доста- j
точно, например, аппроксимировать f гладкими вектор-функ-
циями или конечными отрезками ее разложения Фурье по соб-
ственным векторам оператора Ао- В этих случаях разрешимость
задачи (2.17) очевидна, а соотношение (2.18) позволяет совер-
шить предельный переход.
Решение задачи (2.17) можно записать в виде
t 1
l_______________:_и (t) = e~tA° а -}— -Г f (т) dt. (2.19)
I ~, о
Теперь можно свести задачу (1.3), (2.14) к эквивалентному
.интегральному уравнению
u(t) = Uo(t)-|-(LoU) (t)m(Lu) (t) ;
t
u0 (t) = e-tA“ a; (Lou) (t) — — j* е-<г-т)А» В (т) u (т) dr. (2.20)
0
Решение уравнения (2.20) построим с помощью последова-
тельных приближений, принимая и0 на начальное приближение
и полагая
Un+i = Lun. (2.21)
---Покажему-что последовательность нп сходится в метрике Н
Согласно (2.18) иоеН| и справедливо равенство
II Цо || нТ = || а || н,- (2.22)
Покажем теперь, что вектор-функция vn — ЬцНоеН^ и удов-
летворяет неравенствам
II vn(t) || || vn || 2Ht t"'2 || а || (п = 0, 1, ...).
2 ' у п!
(2.23)
При этом постоянная m не зависит от п и может быть при-
пята равной • 1
Т J
И -.1/2
q2(T) dr ; q(i) = шах | v0(-r) | 2 + |
J хе2 ’.Я
0 ' 1
( +с? ||rotv0||t, (2.24)1
де Ci — норма оператора вложения пространства Н! в L6. Так
как Vo е Щ , величина m конечна.
Воспользуемся методом индукции. Пусть оценка (2.23) уже
доказана для O^n^k (k^l). Тогда она справедлива и для
. n=k+ 1. В самом деле, из (1.2) получаем для любого иеСт(Н!)
' || В(т) ц(т) || й II v0Xrot u + uXrot v01| I, < q(t) || u |] (2.25)
где q — функция определенная равенством (2.24).
Далее, используя (2.18), (2.25), выводим
’ t
II vk+i(t) II 2н,^. II Vk+1 И н| J Ч(х) II vk(T) II н. <Ь- (2.26)
О
Если теперь оценить интеграл в (2.26) с помощью неравен-
ства (2.23) при n = к и неравенства Буняковского, придем к
(2.23) для п=-к 4-1- Но для п = 0 неравенство (2.23) совпа-
дает с уже доказанным равенством (2.22).
Итак, оценка (2.23) доказана. Она влечет за собой абсо-
лютную сходимость в Щ ряда
5 vk = 2i Lo uo = Ит un = u. (2.27)
k=0 k=0 n~* °°
Вектор-функция u, определенная в (2.27), удовлетворяет
уравнению (2.20) и, значит, является обобщенным решением
задачи Коши (1.3), (2.14). Лемма 2.3 доказана.
Лемма 2.4. Задача Коши для нелинейного уравнения (1.1)
с начальным условием (2.14) имеет и притом только одно об-
общенное решение и е при достаточно малых а, т. е. при
условии
||а||.Н1^г, (2.28)
где г — число, зависящее только * от Q, Vo-
Если условие (2.28) выполнено, то для решения задачи Ко-
ши (1.1). (2'14) справедлива оценка
II u II ст(н,)^ II u II нт^ С || я || н,- (2.29)
1 2
Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей
леммы, сведем задачу к интегральному уравнению.
u (t) = Uo (t) 4- (Lou) (t) + (Mu) (t), (2.30)
* Если перед оператором Ao в (1.1) поставить коэффициент вязкости v и
считать, что v0 от v не зависит, то г -> О, когда г-*- 0.
где u, Lo — те же, что и в (2.20), а оператор М определен ра-
венством
Mu = Мо(и, и);
t
Мо (и, v) = — J е-^А» Ко (и (т), v (т)) dr, (2.31)
0
Используя (1.2) н (2.18), получим для оператора Мо при
любых ц, veHJ оценку
- , t
-------------lhM0(u, v) || 2Ht =-J t Ко Нт), v(t)) ||2 d?^
о
t
УУ 1 и p | vv I 2 dxdx. (2.32)
o s
Здесь [Vv|2 = У1, (dv-1 -V. С помощью неравенства Гельде-
I, k=l\ ЙХк J
pa и теоремы, вложения из (2.32) выводим
t
И M0(u, v) II 2Н^ Ctу || Vv || £,(2) dt- || u И 2t(Hi) , (2.33)
0
где Ci — норма оператора вложения пространства Hj в L6. Если
-теперь применить лемму 2.2, то из (2.33) получим
II M0(u, v) || Ht С || и || Ht П v И Ht, (2.34)
где С зависит только от области £2. Далее, при любых и,
veH{ имеем
(Mu) (t) — (Mv) (t) = Мо (и, и — v) -|- Мо (и — v, v). (2.35)
Из (2.34) и (2.35) выводим оценки:
||Ми —Mv||Ht ^С(|| u||Ht + ll v || Ht) П и —v Ц Ht; (2.36)
П2 2 2 2
II Ми || Ht^ C|lu||2Ht. (2.37)
2 2
Используя предыдущую лемму, приведем уравнение (2.30)
к эквивалентному операторному уравнению в Щ
' u = ф + (I — Lo)-'Mu = Qu; (2.38)
<P = (I — Lo)-'uo.
Покажем, что если выполняется условие (2.28) с достаточно
^малым г, то оператор Q есть сжатие в шаре Sp радиуса р с
[центром в нуле пространства Щ при любом достаточно ма-
слом р > 0. Действительно, пусть u, v е Sp. Тогда, используя
5 (2.36), получаем
|| Qu — Qv || нт sC а|[ u — v || ht ;
•- 2 2
a = 2C2Cp; C2 = || (I — Lo)-11| ht ht. (2.39)
2 s
Пусть p столь мало, что a< 1, а г удовлетворяет неравен-
ству
г < °(2~~а) . (2.40)
4CCg
Тогда оператор Q переводит Sp в себя. В самом деле, при-
меняя (2.22), (2.37), получим
II Qu || нт < С2г + С2Ср2 р. (2.41)
2
Теперь из принципа сжатых отображений вытекает суще-
ствование решения иеЩ уравнения или задачи Коши (1.1),
(2.14). Это решение в Sp единственно. Покажем, что единствен-
ность имеет место и во всем Н£. Допустим, что существует
два решения ub и2еН| задачи (1.-1), (2.14) с одним и тем же а.
Умножая уравнения для их разности v = щ — и2, вытекаю-
щее из (1.1), скалярно в Н на v и интегрируя по времени, по-
лучаем для любого te [0, Т]
t
у II V(t) H + J llv(t) II
о
н, dx
J J v - (v, v) (vo+ui)dx dr. (2.42)
О 2
Так как veHT, ueH[, то, согласно лемме 2.2,
т
J II v0 + u, II ^(1) dr < оо.
о
(2-43)
Поэтому, применяя для оценки правой части (2.42) неравен-
ство Гельдера и теорему вложения пространства Hi в L6, по-
лучим, что она не превосходит величины
* t •’
c J II v(t) II H • II v(t) II Hj J II v(t) II 2H? dr 4-
o о
t
+ ~ J II V CO II H dt, (2.44)
0
где С — известная постоянная. Из (2.42) и (2.44) выводим не-
равенство
. . . _
Hv(t)A^J || v(t) [I й dx, (2.45)
. 0
которому, как известно, удовлетворяет только v(t) = 0.
Наконец, применяя (2.38), (2.22), (2.37), заключаем, что
условия (2.28), (2.40) влекут за собой оценку
II Ml НТ = II Qu II НТ<с2 II а II н,+ 4 а II U II нт, (2.46) ’
из которой и следует (2.29). Таким образом, лемма 2.4 дока- j
зана.
Введем оператор сдвига по траекториям уравнения (1.1), по-
лагая для aeHi
х Nta = u(t), (2.47)
где u(t)—решение задачи Коши (1.1) — (2.14) и, аналогично,
оператор сдвига по траекториям линейного уравнения (1.3)
Uta=±u(t), (2.48)
где и — решение задачи Коши (1.3) — (2.14).
Согласно 'лемме 2.3 линейный оператор Ut при фиксирован-
ном t > 0 непрерывен в Нь Из леммы 2.4 вытекает, что нели-
нейный оператор Nt определен при O^t^T в некоторой окрест-
ности нуля пространства Нь
Лемма 2.5. Оператор Nt (Os^t^T) в окрестности нуля,
пространства Ht определен, вполне непрерывен в Hi и непре-
рывно дифференцируем. Его дифференциал Фреше в точке 0
есть Ut. Оператор Ut также вполне непрерывен в Нь Опера-
тор Nt в окрестности нуля пространства Hi имеет производные
Фреше, любого порядка.
Доказательство. Пусть || а || н, столь мала, что вектор-
пункция Nta = u(t) определена для Os^ts^T. Рассмотрим урав-
нение
z — z0 + Mg (z, u -}- vo) s z0 + Liz; (2.49)
& z0 = e-tA»h; Mg (u, z) = Mo (u, z) + Mo (z, u),
|тде h — произвольный вектор из Hi. Это уравнение однозначно
^разрешимо в : в самом деле, оно получается из уравнения
Ц2.20) посредством замены a->h, Vo(t)-> v0(t)-j-u(t), и, значит,
Нужный результат вытекает из леммы 2.3. Положим
| - z(t) = Nt,(a)h. (2.50)
| Из рассмотрений леммы 2.3 вытекает ограниченность опе-
ратора N/(а) в Hi и, более того, равномерная оценка
Г II Nt'(а) II < С, (2.51)
; где постоянная С не зависит от t е [0, Т] и от а, если а меняет-
ся в малой окрестности нуля пространства Нр
Покажем, что N/(а) есть дифференциал Фреше операто-
ра Nt в точке а. Для этого достаточно доказать для малых Й е Hi
оценку
|| Nt (а + h) - Nt(a) - NJ(a) h || нТ С || h || ’Hl. (2.52)
2
Введем обозначения:
uh(t) = Nt(a-|-h); u(t) = Nta; Zh=tih — u; ф = Zh— z.
Из уравнения (2.30) и (2.49) получаем соотношения:
ф =1чф + Мо (zh, гь); (2.53)
Zh = z0 + Lizh + Mo (zh, zh). (2.54)
Для вектор-функции Zh при малых йеН1 справедлива оценка,
аналогичная (2.29),
. II zh II нт < с II h II н,. (2.55)
2
Из (2.53), используя ограниченность оператора (I — Li)-1 и
оценки (2.37) и (2.55), выводим
ПФЮИн,^ 11Ф11нт<С||ЫГН1, (2.56)
что совпадает с (2.51). Таким образом, Nt'(a)— дифференциал
Фреше оператора Nt в точке а. Так как Nt(0)=0, уравнение
(2.49) при а=0 совпадает с (2.20); поэтому Nt'(0) = Ut.
.Чтобы доказать непрерывность оператор-функции N/(a), за- -
метим, что вектор-функция 0(t) = [tNt'fa-J-h)— N/(a)]g при':
любом g е Hi и малом h е Hi удовлетворяет в силу (2.49) урав-
нению
e = Li0+M°(N’t(a + h)g, zh). (2.57)
Из (2.57), учитывая ограниченность оператора (I — Li)-1 и при-
меняя неравенства (2.34), (2.51), получаем
lie(t)llH1^ l|eilHT^C||g||H1-И h || н,. (2.58)
Из (2.58) следует неравенство \
~ i|N;(a + h)-N;(a)||H^Ht^. С || h || н,. (2.59)1
Итак, оператор-функция Nt'(а) при любом фиксированном ’3
te [О, Т] непрерывна по t в окрестности нуля пространства Нг,
аналогично Доказывается существование производной Фреше J
любого порядка; впрочем, здесь достаточно сослаться на тео-
рему о неявной функции.
' Непрерывность оператора Nt в Hi следует из (2.52). Дока- *
жем, что,он вполне непрерывен. Введем вектор-функцию w(t) =
= ip(t)u(t), где ф — бесконечно дифференцируемая функция,
равная б при 0^t^~б и 1 при t2>6; б — любое число из ин- ~
тервала (О, Т). Из уравнения (1.1) вытекают соотношения
—-|-Aow = tp(Bu + Ku) + .p,u = q; w(0) = 0. (2.60)
dt
Используя лемму 2.2 и тот факт, что VoeH|, для правой части q
уравнения (2.60) получаем оценку
г т 2/5
[И l^dxdtj || и || нт+ С21| и || 2р (2.61)
0 2
Согласно теореме 7.3 (гл. 1) из (2.60) следует неравенство
t т
J J(-l DtW I s'> + I DxW I s/’)dxdt< J J I q 1 Mxdt. (2.62)
0 2 0 2
Вспоминая, что w(t)=u(t) при t б и учитывая оценку
(2.29), из (2.61), (2.62) выводим неравенство
У j ( I Dtu I ’/»+ I Diu I */•) dx dt Cs( II a II + || a || 5H1). (2.63)
ko 2
I Из (2.63) следует, что оператор Nt отображает окрестность
.нуля пространства Hi в некоторое ограниченное множество про-
странства С. М. Никольского Hi/a-e-6/а-Е (Q X [6, Т], е 2> 0, ко-
р’торое вполне непрерывно вложено в W(2!> и, значит, в Hj (см.
t[51]). Поэтому оператор Nt вполне непрерывен. Вполне непре-
рывность оператора Ut доказывается аналогично. Лемма 2.5, та-
j ким образом, доказана.
р Заметим, что, как нетрудно показать, оператор Nt не только
^дифференцируем, но и аналитичен по а при любом te [О, Т].
Вполне-непрерывность его можно было бы доказать, не поль-
5 зуясь результатом С. М. Никольского, установив, что в усло-
виях лемм 2.3 и 2.4 последовательные приближения сходятся
Е в W<2,(Q) при любых t.
•" Отметим еще одно полезное следствие из леммы 2.5.
Следствие. Спектр оператора монодромии Ut содержит
не более конечного числа собственных значений, по модулю
, больших, чем 1. Спектр устойчивости содержит не более конеч-
; ного числа собственных значений с положительными и различ-
ат ными вещественными частями.
Доказательство. Первое утверждение является след-
ствием вполне непрерывности оператора Ut. Для доказатель-
ства второго достаточно заметить, что если о — собственное зна-
чение задачи (1.5), то р = еТо — собственное значение операто-
ра Ut, которому отвечает собственная функция w(0).
Рассмотрим сначала в произвольном ве-
щественном * банаховом пространстве X
уравнение
x = Nx, (3.1)
§ 3. Условие
асимптотической
устойчивости
где N — оператор, определенный в некоторой окрестности Do ну-
ля пространства X, непрерывный и непрерывно дифференциру-
емый в этой окрестности. Пусть, кроме того, N0=0, так что точ-
ка 0 — решение уравнения (3.1). Обозначим через N'(a) диффе-
* Линейный оператор А, действующий в X, будем дальше считать естест-
венным образом продолженным на комплексную оболочку пространства X.
При этом всякое инвариантное подпространство продолженного оператора,
содержащее вместе с любым элементом х его комплексно-сопряженный
х*, есть комплексная оболочка некоторого инвариантного подпространст-
ва оператора А в X. Только такие инвариантные подпространства рассмат-
риваются в дальнейшем.
ренциал Фреше оператора N в точке aeD0 и положим N'(0)=U, -
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 3.1. Пусть спектр оператора U содержится внутри
единичного круга
| o(U) | < р < 1. (3.2)
Тогда последовательные приближения, определяемые по фор-
муле
Xn+i = Nxn, (3.3) _
сходятся к 0 по норме при любом х0 из окрестности DcD0 ну-
-ля—нроетранива X. Если р0 > р? то найдется такая постоян-
ная С, зависящая только от р0 и оператора N, что выполняется
оценка •*
II №х0 Н < Сроп|| хо ||. (3.4)
Доказательство. Пусть р0 — любое число,’заключенное
между р и 1. Тогда для оператора Un(n=l, 2,...) справедли-
во представление
, Un= — f Xn(H —U)-1^, (3.5)
2я1 J
I х I =р0
из которого вытекает оценка
II Un IIХ->х Вроп; В = max || (XI - U)-11|. (3.6) ‘
I х | =Ро
_ Поэтому ||Un ||->0прип-> оо, и можно выбрать натуральное к
такое, что
J|U*H<Bp*<l. (3.7)
Тогда оператор Nk представляет собой сжатие в любом ша-
ре Dr.= {х : || х И sg; г} с Do достаточно малого радиуса г. В са-
мом деле, его дифференциал Фреше в точке xeD0 при условии,
что Nx, №х,..., Nkx е Do, есть
(Nk)'(x) = N'(Nk-1x) • N'(Nk-2x)... Nz(Nx) • N'(x), (3.8)
что при х = 0 совпадает с Uk. Так как оператор-функция (3.8)
непрерывна в. окрестности точки х= 0, при достаточно малом г
для всех х е Dr выполняется оценка
ll(NkHx)liM^Bpk<l. (3.9)
Если х, х h е Dr, то, используя (3.9), получаем
Г 1
|Nk(x-|-h) —Nkx ||x=ll J (№)'(x + th)hdt|I^q[|h||x; (3.10)
о
> i
1|NM= и J (№)z(tx)xdtH Cqllxl], (3.11)
• II0
q = Bpk< 1.
Итак, Nk— сжатие в шаре Dr. Поэтому 0 — единственное реше-
ние уравнения х — Nkx и тем более уравнения (3.1) в Dr. Оста-
ется показать, что выполняется оценка (3.4). Для этого, пола-
гая n = ak-|-p, где а, р— натуральные числа, Ог^р^к—1 и
применяя оценку (3.11), для любого xoeDr получим
|| №х0 || = || №k(N₽x0) || q“|| N₽x0 ||. (3.12)
Уменьшив, если нужно, г, можно считать, что функционал
k—1
|| Nx || ограничен на множестве (JN₽(Dr), скажем, постоян-
ен
ной Ср Тогда для любого х0 е Dr будем иметь
1
|| N₽xo ||= ||J N'(NP-« (txo)) ... N'(N(tx0) )Nz(txo)xodt ||
0
. CCjPlIxoll. (3.13)
Сопоставляя (3.12) c (3.13) и учитывая, что q = Bp£, приходим
к оценке (3.4). Лемма 3.1 доказана.
Теорема 3.1. Пусть спектр устойчивости периодического
течения v0(t) лежит внутри левой полуплоскости, то есть для
всех собственных значений ст задачи (1.5) справедливо нера-
венство
ДестС—стэ<0. (3.14)
Тогда течение Vo асимптотически устойчиво по Ляпунову в Нь
При этом для всякого решения задачи Коши (1.1), (2.14) при
достаточно малой || а ||н,, выполняются оценки:
||u(t) ЦН1^Се-’»‘ 1| а || н,; (3.15)
t
о
(3.16)
. Доказательство. Так как оператор монодромии Ut, по:
лемме 2.5, вполне непрерывен в Н„ его спектр состоит из точ-
ки 0 . и конечнократных собственных значений pi, р2,..., кото-
рые называются мультипликаторами. Существует простая связь'
между мультипликаторами и точками спектра устойчивости.
Именно, если а — собственное значение задачи (1.5), то
р=еТо — мультипликатор; если р — мультипликатор, то числа
Ок =— (1п р-f- 2kni); к = 0, 1,... (ветвь логарифма выбирает-
ся произвольно) принадлежат спектру устойчивости. В самом
деле, если weH£ — собственный вектор задачи (1.5), то
e^wft)—решение задавд-Кенж-ЕкЗ), (2.14) с начальным век-
тором a = w(0). Поэтому U?a = ра. Наоборот, если выполня-
ется последнее уравнение и u(t) — решение задачи Коши (1.3),
(2.14), то вектор-функция wk(t)= e_<Tktu(t) Т-периодична по tL
-и удовлетворяет уравнению (1.5) при о = вк-
Так как |р|=еТКео, из условия теоремы следует, что
спектр оператора монодромии заключен внутри единичного
круга •
|o(U)| <ро = е^Т<1. (3.17);
Из лемм 2.5 и 3.1 теперь следует, что в пространстве Hi су-
ществует окрестность нуля Dr = {a eHi : || а Ни, < г}, такая, что 4
нелинейная задача Коши (1.1), (2.14) при любом aeDr имеет ?
решение u (1), определенное для всех t > 0, причем || u(nT) Нн, =
= ||U^.a ||н,->0 при п->оо. Применяя оценку (2.29), получаем, $,
что || u (t) ||н, -> 0 при t->--|-oo. Таким образом, асимптотическая
.устойчивость течения v0(t) в Hl доказана.
Согласно лемме 3.1 из условия (3.17) вытекает оценка
II u(nT) || н1^С1е-п’"т || а || Н1; (n = 1, 2, ...). (3.18)
Если пТ гС t <(п+ 1)Т, из (2.29) и (3.18) выводим
|| u(t) Ц Н,^СО || u(nT) || н,СС2е—»т Ц а || Н1<Се-^ || а || Н1;
С = С2е°«‘; (3.19)
t
Н1117 Гн+ * 11 А°и(х) 11 fi) dx^C’e-2a,t 11 а 11 (3,20)
пт
где 01—любое число такое, что сц > сто. но Reo<—сц для
всех собственных значений а. Оценка (3.19) совпадает с (3.15). ,
(3.16) сразу следует из (3.20). В самом деле, вводя
Ф2(0 = I II2 + И АоЧ || н имеем
I at || н
t n+i кТ
J е2о°т ф2 (т) dt J е2о»тф2(т) dt^.
О (к—1) Т
С2е2о-Т2 е-2(о‘~°°,кТ II а Ц ft,.
к=1
(3.21)
pjaK как ряд в (3.21) сходится, из этого неравенства следует
Д3.16). Теорема 3.1 доказана.
Рассмотрим снова уравнение (3.1) и до-
§ 4. Условие кажем следующее вспомогательное утвер-
неустоичивости ждение.
г Лемма 4.1. Предположим, что спектр оператора U пред-
ставляет собой объединение непересекающихся замкнутых мно-
"жеств ci (U) и о2 (U), причем
|O1(U)| >fh>l; |o2(U)|^l. (4.1)
Тогда существует такое ео > 0, что по любому б > 0 можно
указать вектор аеХ; || а || < б, для которого выполняется нера-
венство
|| №«а || е0 (4.2)
при некотором натуральном п0.
Доказательство. Пусть лемма неверна. Тогда до лю-
бому е > 0 можно найти б > 0 такое, что
||№а || < е, (п = 0, 1, 2,...), (4.3)
если только || а || < б. Положим
Na = Ua-4-Ra. (4.4)
Так как U — дифференциал Фреше оператора N в точке 0, по
любому в > 0 можно выбрать е > 0 столь малым, что из усло-
вия || а || < е следует неравенство
II Ra || 0|| а ||. (4.5)
Далее обозначим через Pi, Р2 проекторы, соответствующие
спектральным множествам oj(U) и <r2(U):
Р, = JL J (k I - U)-1 dk; Р2 = J- j (к I - U)-1 dk, (4.6)
71 К
где гладкие контуры yj и у2 охватывают соответственно мно-|
жества Oi(U) и o2(U), причем контур yi лежит целиком вне» 1
а у2 — внутри замыкания единичного круга плоскости X. При
этом Pi Р2 = I; PiP2 = P2Pi — 0. Пространство X разбивает- .1
ся на прямую сумму подпространств Xi = Pj(X); Х2 = Р2(Х), 1
инвариантных относительно оператора U. Спектр сужения Ut I
оператора U на подпространство Хк есть Ok(U); k= 1, 2.
Заметим, что для любого a'eXi справедлива оценка
HUja'H^M^IIa'II (п=1, 2,...), (4.7) ।
—где-постоянная—Mi > 0 не зависит ни от п, ни от а', постоян-
ная Pi удовлетворяет неравенству (4.1). Эта оценка непосред-
ственно следует из соотношения |
я
• а'=——С X-(XI-UO-’Ufa'dX. ]
I X I =₽! . |
При этом для постоянной Mi получаем ’ |
, ’ -^-=₽rniaxl|(XI-U1)-‘|l.
Ml |Л|=₽. I
Пусть 1 < < 01. Тогда для оператора U” справедливо интег-
ральное представление
и;-77 f X"(KI-U,)->dX. 3
1__________.-------- I Ч f
Из него выводим оценку -il
II U; || ^М2 М2 = max || (XI - U2)-‘ || . (4.8) 1
I л । =₽„ J
Из неравенств (4.7) и (4.8) следует, что при достаточно боль- |
шом m 1
||U-||.<M1g-> 1. (4.9) j
Можно считать, что (4.9) выполняется уже при т=1, так |
как к этому случаю всегда можно перейти, заменяя во всех |
дальнейших рассмотрениях оператор N на Nm. Итак, будем счи- J
тать, что справедлива оценка
II U2 || < М10, > 1. (4.10) |
Пусть к>0 — любое число. Возьмем е в (4.3) столь малым, ;
чтобы постоянная 0 в неравенстве (4.5) удовлетворяла нера- i
венствам: 1
0 < (Mi °i l)k . 0 ____k(Mi Pi— И U2 II)
(k+l)||P2|| ’ (l+k)(knP2|| + ||Pill) ’
Рассмотрим в пространстве X множество Хк,е, состоящее из
; точек а е X, удовлетворяющих неравенствам
’ ||а||<е; || Pia |j > к И Р2а ||. (4.12)
Покажем, что из предположения (4.3) вытекает оценка
£.1|РЛпа||>/п||Р1а||; I = © || Pt || ( 1 + -М. (4.13)
' \ к }
При этом / > 1 в силу первого неравенства (4.11).
Пусть аеЕк,е- Тогда || Na || < е, согласно (4.3).
Далее из (4.4) и (4.7) при п=1 выводим:
II P,Na || = || U,Pia 4- PiRa || > Mtfdl Pta || - ВЦ Pt || • Ц а ||;
|| P2Na || = || U2P2a + P2Ra || < || U2 || • || Р2а || + ВЦ Р2 II • || а ||.
(4.14)
Из неравенств (4.14), применяя (4.12), (4.11) и элементарное
неравенство || а || sg || Pia || -|- || Р2а ||, выводим
II PiNa || > к|| P2Na ||. (4.15)
Итак, NaeXk,e- Тогда и NnaeSk,e (п=1, 2,...). Докажем,
что выполняется оценка (4.13). Воспользуемся методом индук-
ции. При п=1 неравенство (4.13) получим, оценивая правую
часть первого неравенства (4.14) с помощью (4.12):
HPrNall > М1р1||Р1а||-0||Р1||(||Р1а|| + ||Р2а||)>/||Р1а||. (4.16)
Если допустить, что (4.13) выполняется для некоторого значе-
ния и при любом аеЕк,е> то, учитывая, что NaeXk, е, и приме-
няя (4.16), найдем (подчеркнем, что при выводе (4.16) исполь-
зовано лишь второе неравенство (4.12)):
||Pi№+1a|| = ||P1№(Na)|| > Zn||PiNa|| > Z^IIPiall. (4.17)
Итак, неравенство (4.13) доказано для любого п=1, 2,... . Из
этого неравенства следует, что || Pi№a || со для любого
aeSk, в, если только а#=0. Но это противоречит предположению
(4.3), из которого следует оценка
II Pi№a || ^ е|| Pi ||. (4.18)
’ Лемма 4.1, таким образом, доказана.
Теорема 4.1. Пусть спектр устойчивости периодического
течения v0(t) содержит хотя бы одно собственное значение о0
о положительной действительной частью. Тогда течение v0 не-
устойчиво в Нь
Доказательство. Так как оператор монодромии впол-
не непрерывен, множество о, (Ut) его собственных значений, по
модулю больших, чем 1, не более, чем конечно. По условию
теоремы оно непусто, так как содержит собственное значение
,р0 = ео°Т. и | ро | >. 1. Поэтому утверждение теоремы 4.1 сразу
следует из лемм 4.1 и 2.5._______
_ „ Еще раз"обратимся к уравнению (3.1).
§ 5.,условная Лемма .5.1. Пусть спектр операто-
устоичивость pa U можно представить в виде объеди-
нения непересёкающихся замкнутых множеств oi(U) и o2(U),
причем
|oi(U)|>l; |u2(U)|<l. (5.1)
Тогда в некоторой окрестности Dr= {хеХ; ||х|| < г} нуля про-
странства X определены инвариантные относительно операто-
ра N многообразия Yb Y2, которые в нуле касаются соответ-
ственно подпространств Xj и Х2 (определенных .в лемме 4.1).
При этом !) если x0eY2, то последовательные приближения
№х0 при п—> оо сходятся к 0; 2) если х0 е Y2, то || №х0 II > г для
некоторых п; 3) для любого xoeYi определено обратное отобра-
жение Nr*XoeYi, причем N-nxo-*.O при п-»-оо; 4) если xoeYi,
то для некоторых п либо элементы N~nx0 не определены, либо
|| N-nXo || 2> г. '
Доказательство. Пространство X разбивается в пря-
мую сумму подпространств Хь Х2, как в лемме 4.1. Элемент хеХ
будем записывать в виде х = (хь х2), где xj = Р]Х; х2 = Р2х.
•Оператор N действует на точку х по закону:
Xi -> UiX! -j- fi (xi, х2);
x2->U2x2-f-f2(xb х2), (5.2)
‘ где fk(xb х2)'= PkNx — UfcXk; (k= 1, 2). Будем разыскивать мно-
гообразие Y2 в виде
Х1=<р(х2), (5.3)
эде <р:Х2->Х1 — непрерывный оператор, определенный в окрест-
ности D?= {х2 еХ2 : ||х2|| г > 0} нуля пространства Х2. Тре-
бование инвариантности многообразия (5.3) относительно пре-
образования (5.2) запишется в виде
ф (х2) = иг’ф (U2x2 + f2 (ф (х2), х2)) — U r’fi (ф (х2), х2)) =
^(Ьф)(х2), x2eD?. (5.4)
Введем банахово пространство C(D|->Xi)=C равномерно
непрерывных и ограниченных отображений Dr в Хь Норма в нем
определяется равенством
II ? I! = sup II <р(у) II х.. (5.5)
yeD?
Рассмотрим в нем множество <о(г, р, у) —о', состоящее из
тех феС(В?-*-Х1), для которых ф(0) = 0 и выполняются нера=
венства *:
II <? II < р; II ?(yJ — <р(у2) II х. т II yi — у2 II х,;
(У1, y2eD’). ' (5.6)
Легко видеть, что со (г, р, у)—‘замкнутое множество и, значит,
представляет собой полное метрическое пространство.
Покажем, что если положительные числа г, р, у достаточно-
малы, то оператор L, определенный в (5.4), действует в
со (г, р, у) и некоторая его степень является сжатием. Рассмот-
рим сначала оператор N(p:X2-»-X2, определенный при заданном
ф€<о(г, р, у) формулой
N<,x2 = U2x2 + f2 (ф (х2), х2). (5.7)
Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать, что
операторы U71 и U2 — сжатия. Действительно, выполнения это-
го требования можно добиться, вводя в пространстве X новук>
норму, эквивалентную прежней
II х II *= 2 II IVP1X II + 2 II U*P2x ||. (5.8)
к=0 к—О
Свойство эквивалентности норм вытекает из неравенств
2||х|| < 11x11^(2 || Ur* II • ЦРЛ +
\к=0
+ 2 II U* || • И Р2 II 'j II х ||. (5.9)
к-0 /
Сходимость рядов гарантируется условием (5.1).
* Условие <р(0)=0 можно отбросить и вывести его затем из уравнения (5.4) „
Тот факт, что нормы операторов U”1 и U2 меньше 1, следует
из (5.9) и вытекающих из (5.8) соотношений:
J|U2P2x|l* = ||.Р2х||* - ||Р2х||; ||UT*P1X|| = HPixll* - ||Р1Х||. (5.10)
Итак, будем считать выполненными условия:
. 11иГЧ| = Ч1 < 1; ||U2|| = q2<l. (5.11)
Теперь из (5.11) следует, что оператор N<p переводит D? в
себя, есди г, р достаточно малы. Действительно, из (5.7) вы-
водим для xe.D?
IIN<pX2||X1 q2r4-o(p + r)< г. (5.12)
Таким образом, вектор-функция L<p корректно определена для
всех <реф(г, р, у). Далее из (5.4) с использованием (5.11) для
любого ф.есо(г, р, у) при малых г, р, у получаем
l|L<p||c^qip + o(p + r)<p; (5.13)
II (Lqp) (yi) —(L<p) (у2) || Х1 < Y1II У1 — у2 II- (5.14)
При этом'для постоянной yi имеем:
' Yi = ФЧгу + qiY2m2i (г, р) + qiym22 (г, р) -|-
Н- qi Ym 11 (г> Р) -F qim 12 (г, р);
mlk(r, р)= sup II afi (X1’ I
II х, II <р и OXfc I
-----------.------------- ----||х,|<г
Так как оператор-функции аннулируются при xi =
йхк
=х2=0 и непрерывны, гпцДг, р)->0 при г, р->0. Поэтому при
достаточно малых г, р, у из (5.11) следует, что yi Су.
Далее для любых фЬ ф2есо(г, р, у) имеем:
|| L<pi — Lqp2 ||с all <Р1 — <р2 ||с;
a=qi + qiym21 (г, р)Н- qimu (г, р); a < 1 (5.15)
при достаточно малых г, р, у.
Неравенство (5.15) показывает, что оператор L в со (г, р, у)
является сжатием. Поэтому уравнение (5.4) имеет в со (г, р, у)
и притом единственное решение ср. Таким образом, в окрест-
ности точки ОеХ уравнением (5.3) определено инвариантное
относительно отображения (5.2) множество У2. Ясно, что это
многообразие (гомеоморфный образ шара D? пространства Х2).
Действительно, соображение (0, х2)->(ф(х2), х2) дает указан-
i-яый гомеоморфизм. Многообразие Y2 касается в точке ОеХ под-
пространства Х2, т. е. ||<р(х2) || = о(||х2||) при ||х2|| ->0. Докажем
дто. Из уравнения (5.4), полагая ф(х2) .== <р(х2) — U7I<p(U2x2),
f(x2eD?), используя (5.6) и тот факт, что <р(0) = 0, при лю-
,бом е > 0 получим
Иф(х2)Н=^ qty|| f2(qp(x2), х2) 1[ + qiH fi (<р(х2), х2||
I <e(l-qi)l|x2|| (5.16)
для всех достаточно малых х2: II х2 || ге. Для таких х2, выра-
жая <р через ф и оценивая с помощью (5.11) и (5.16), получим
Г II <?( х2) II х,= || f иГкф(и*х2) II q*.e(l-
к=0 к=0
Г' — Qi) II х2 || || х2 II , (5.17)
что и требовалось.
Пусть теперь D0={xeX: || х ||^е0}—шар с центром в 0 е X
достаточно малого радиуса ео- Покажем, что для любого
Хо е Dr — Y2 при достаточно больших п
II №х0 || > во- (5-18)
^Введем обозначения:
х0=(х$, х£); Nnx0 = (xj, х"); n = 0, 1, ...; x^eXt; x”eX2.
Пусть dn = || xj — <p(x5)||. Предположим, что выполняется
условие
||№хоН<ео. (5.19)
Оценим величину dn+1. Применяя уравнения (5.2), (5.4), по-
лучим
dn+1 > II Ui (х? — <р(х ") || — || fj(x”, xj) — fj(<р(х?), х2") И -
- 11 T(U2XS + f2(x", х;)) - <P(U2X” - f2 (? (х"), х;)) II. (5.20)
Далее, используя (5.11), (5.6), выводим
dn+i>pdn; р=—------гпц(ео) —ут21(во); (5.21)
41
/ ч И dfi ||
Ш1к (ео) = sup —.
x«D0 1| о Хк || '
Так как qi < 1, a mik(eo)->O для е0->0, при достаточно ма-
лом Е0 получим, что р > 1. Поэтому из (5.21) вытекает оценка
dn^pnd0; р>1. (5.22> :
Но если бы неравенство (5.19) выполнялось для всех п, то ве- '
личина dn была бы ограничена:
- dn^ sup ||Х1-<р(х2)Ц C(ll Pi II+yII P2ll)e0. (5.23)
MD0
Итак, если хеУ2, то найдется такое п, что NnxoeDo. Покажем,
наконец, что №х0->0, если хоеУ2. Согласно (5.2), (5.4), (5.6)
имеем при условии (5.19)
------:—Ц-Х2°+* || poll х? II; ' ро = q2 + Ym2i (®о) + m22(е0). (5.24)
Так как рй->Чг при е0->0, можно считать, при достаточно ма-
лом ео, что р0< 1. Тогда из (5.24) следует, что х“->0 при п->оо.
Значит, и х“= <р(х^)->0. Так как || хп || || х" || -|-|1 хп2Ц, полу--
чаем, что || xn || ->0 (п-> оо). ;
Итак, все утверждения леммы 5.1 о многообразии У2 дока- ;
заны. Если оператор П2 обратим, то рассуждения для много- \
образия Yi вполне аналогичны. Но как раз в самом интересном,
случае, когда оператор П2 вполне непрерывен, а пространство X.
бесконечномерно, это условие не выполняется. Поэтому доказа-
тельство придется’ проводить заново.
Итак, разыскиваем многообразие Уь заданное уравнением
х2 = 1р(Х1), (5.25) ’
где ф:Xi->Х2 — непрерывный оператор, определенный в шаре
^У={хгеХг: ||Х1|| г}. Условие инвариантности многообразия -
(5.25) относительно преобразования (5.2) эквивалентно равен-
ству
^(UiXj-j-fi(xb ф(Х1)) = и2ф(Х1)+f2(xn ф(Х1))., (5.26)
Будем разыскивать решение ф уравнения (5.26) в множестве
©1 (г,, р, у) = <01 пространства C(D‘r-»-X2), состоящем из тех век-
тор-функций ф, для которых ф(0) = 0 и выполняются неравен-
ства:
НФПс^р; Пф(х') — 4«)В ха<т11х; — хЦХ1, (5.27)
(Х;, x’eDj).
Сделаем, в уравнении (5.26) замену переменной
Jtl -*• Z = U1X1 + fl (Х1, ф (Xi) ) as NifXi. (5.28) :
Заметим, что есть гомеоморфное отображение шара D} на
некоторую окрестность нуля в Хь если г, р, у достаточно малы- ;
? Действительно, чтобы найти Xi при заданном z, нужно решить
уравнение
x1 = Uy1z — Ur’fi(Xb ф(Х1)), (5.29)
правая часть которого при малых z, г, р, у определяет, очевид-
но, оператор сжатия в D?. Значит, уравнение (5.29) однозначно
^разрешимо в DJ. При этом можно по любому заданному
^q(qi < q < 1) выбрать г, р, у так, чтобй выполнялась оценка
II Xj — х'|| ^ q||N^x'— N^x’|| ; х', x’eDk (5.30)
; В самом деле, из (5.29) вытекает неравенство
l|x;-x;|| ^qd|z'-Z"||+73l|x1'-x1'||; (5.31)
q = q1[m11(r, yr) + ym12(r, yr)]; z^N^x,'; z'^N^Xj".
Оценку (5.30) получаем из (5.31), полагая q = — и учиты-
1-7]
вая, что q ->0 при г—>-0; у < 1.
После замены (5.28) уравнение (5.26) примет вид:
Ф(г) = U2 ф (N^1 z) + f2 (N-’ г.ф (N"1 z)) =(Q ф) (z). (5.32)
Покажем, что оператор Q есть сжатие в <e>i(г, р, у), если
(да простит нам читатель!) г, р, у достаточно малы.
Если ipeco^r, р, у), то, учитывая (5.30), имеем:
IIQtllc q2p + m2i (г, yr) • г -ф- m22‘(r, уг)р^р; (5.33)
ll(Qt) (zj)-(Qt) (z2)|| ydiz! — z2||; (5.34)
yi = q2qy + m2i (г, yr) q -ф- qym22 (r, yr).
Фиксируем произвольно у(0<у<1). Выбираем г столь ма-
лым, чтобы q2q + qm22(.r, г)^т < 1; m21(r, г)<1 — т. Тогда
yi < у, и оператор Q действует в <&>ь
Далее для любых tb Фгедъ из (5.30), (5.32) выводим:
IIQti — Qtzllc qZlIti — t2||c + p2 max ||—N-*z|l; (5.35)
zsDj
q2=q2.+ m22(qr, yqr); p2=y[q2-j- m22(qr, yqr)] 4~m2i(qr, yqr).
Для оценки второго слагаемого в правой части (5.35) вновь
обратимся к уравнению (5.28). Полагая x' = N^1z, x" = N^Iz,
имеем
Цх'-х"|| || итЧМх", t2(x"))-fi(x', ti(х'))II- (5.36)
Й далее:
Их' —х"|| qimn(r, yr) ||х' —х"|| 4-q^^fr, уг) [Цф, — ф2||с4-
4-у||х' — х"||. (5.37)
Из (5.37) вытекает, что при фиксированном у < 1 и произволь-
ном 0 > 0 можно выбрать г столь малым, чтобы выполнялась
оценка
II х' — х" || ^ 01| ф, — ф2 ||с. (5.38)
Из '(5.35) и (5.37) следует, что по любому q3 — такому, что
1, у выбрать'так, чтобы выполнялось не-
равенство
II <ЭФ1 — <Эфг Нс =SS q3 II Ф1 — ф2 Нс. (5.39)
Таким образом, оператор Q — сжатие в c»i(ir, р, у), и урав-
нение (5.32) в (Oi (г, р, у) имеет, и притом единственное, ре-
шение.
Пусть теперь точка х0 = (х$, х$)еУ], т. е. х£=ф(х$). Пока-
жем, что тогда существует точка x_j = (хт'1, х;1), такая, что
Nx_i = х0.
Это уравнение согласно (5.2) можно переписать в виде:
Ui Х71 + ft (Х71, Х71) = х?; (5.40)
1Л-Х714- f2 (Х71, Х71) = х«.
Если система (5.40) имеет решение, то в силу инвари-
антности многообразия Yi должно иметь место соотношение
Х71=ф(х71). Тогда первое уравнение (5.40) принимает вид:
U1x71 + f1(x71, ф^1))^?. (5.41)
Обратно, если уравнение (5.41) разрешимо, то положим
Х71= ф(х71). Тогда справедливость первого уравнения (5.40)
очевидна, а справедливость второго докажем, используя урав-
нения (5.32) и (5.41)
й2ф (Х71) + f2(x71, ф (Х71)) = ф (I4X71 4- 14x7’, ф(Х71)) =
= ф(х?) = х§.
Итак, достаточно рассмотреть уравнение (5.41). Приведем его
к виду
хГ1 = U71 X? - U71 ft (Х71, Ф(Х7’)). (5.42)
Это уравнение, по существу, совпадает с (5.29) (в последнем
достаточно сделать замену xi-^xy1; z->x?). Как было доказа-
но ранее, оно однозначно разрешимо. Из (5.30) получаем оценку
||x71|i^qllx?||; (q, <q< 1). (5.43)
Учитывая, что Х71 = ф (Х71), причем фесоДг, р, у), получим
II х^1 II у || х^11| 7 q II х? || • - (5.44)
Определим теперь точки х~п — (х~п, хт*1); п — 1, 2,... как ре-
шения уравнений
Nx~n = х-1*1. (5.45)
Применяя неравенства типа (5.43), (5.44), получим
II хГ" || ^ qn || х? || ; ||х-"|| ^7nqn||x?|l. (5.46)
Таким образом, заключаем, что х~п = N~nx0-> 0 (п->оо).
Пусть теперь xoeDo — Yi. Предположим, что можно по-
строить соответствующую последовательность х-п (уравнения
(5.45) разрешимы). Пусть при этом еще выполняется условие
II х~п || «о,
где достаточно мало. Докажем, что тогда имеет место оценка
бп = II Х7П— ф (х7п) || > хпб0; % > 1. (547)
Действительно, применяя уравнения (5.45), (5.46), получаем
= II U2 (х-"-’ - ф (хГ"-’)) + f2 (хг"-1, X7n-i) -
-f2(xr"-i,<Hxr“-i))||. (5.48)
Далее имеем
бп [qs + ГП22 (®0, £о) ] бп-И-
(5.49)
Оценка (5.47) непосредственно следует из (5.49). При этом в
качестве х можно взять любое число, меньшее l/q2, и по нему
подобрать ®о так, чтобы оценка (5.47) выполнялась.
Итак, если х0 не принадлежит многообразию Y], то либо
точки N~nXo начиная с некоторого п не определены, либо вы-
ходят из некоторой Е0-окрестности нуля пространства X (ео пол-
ностью определяется оператором N и от х0 не зависит).
Лемма 5.1, таким образом, доказана полностью. Непосред-
ственным следствием этой леммы является следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть спектр устойчивости периодического
течения v0(t) представим в виде объединения непересекающих-
ся замкнутых множеств 2] и Х2, причем первое расположено
'Внутри левой, а второе внутри правой полуплоскости. Тогда в
окрестности пуля пространства Hj определены конечномерное
многообразие Yr и многообразие конечной коразмерности Y2,
обладающие следующими свойствами:
1) если aeY2, то №а->0 в Hi приЧ-*-}-00;
2) если начальный вектор aeHi имеет достаточно малую
норму и aeY2, то №а со временем выходит из некоторой фик-
сированной окрестности нуля;
3) если a'eYi, то задача Коши (1.1), (2.14) имеет решение,
определенное-для всех-t-< 0, причем Хча-»0в Ht, при t->—оо;
4) если а с Hi имеет малую норму и не лежит на многооб-
разии Yi, то N-ta покидает при достаточно больших t некото-
рую фиксированную окрестность нуля пространства Hi (в част-
ности, это может, означать, что решение задачи Коши не опре-
делено для t < t0 0 при некотором t0);
5) касательные многообразия к Yi и Y2 суть инвариантные
подпространства оператора монодромии, отвечающие компонен-
там его спектра, расположенным соответственно вне и внутри
единичного круга.
Сделаем несколько замечаний к доказанным теоремам 3.1,
4.1, 5.1.
> 1. Если имеются мультипликаторы на единичной окружно-
сти, прежний метод позволяет доказать существование инвари-
антного многообразия Y2(Yr), на котором сохраняется устойчи-
вость при t->4-oo (t—>—оо) и которое касается инвариантного
подпространства оператора монодромии, соответствующего ча-
сти спектра внутри (вне) единичного круга. Однако остается
неизвестным, как ведут себя траектории, не лежащие на Yu
Y2,— здесь требуется дополнительное исследование с учетом ха-
рактера нелинейных членов. Инвариантным многообразиям в
критическом случае посвящены работы Келли [97], Хирша,
Пью и Шуба ([95]; см. также [42].
2. Выбор метрики Hi обусловлен лишь нашим желанием
сделать вывод элементарным. Все результаты переносятся на
любое пространство начальных данных, для которого доказана
.(локальная) разрешимость задачи Коши для уравнений Навье—
.Стокса и непрерывная зависимость от начальных данных.
3. Нетрудно было бы исследовать гладкость многообразий
JYi, Y2 и доказать, что операторы <р, ф, определенные в (5.3),
.(5.25), имеют производные Фреше всех порядков.
4. Свойства устойчивости или неустойчивости периодическо-
го режима v0 в условиях теорем 5.1—5.3 не зависят от выбора
начального момента. .Пусть, например, возмущения вносятся в
момент t0. Соответствующий оператор сдвига по траектории
обозначим Utn.bUt,. tu(to) = u(to4-t). Новый оператор монодро-
мии есть U to. т - Будем считать, что 0 t0 < Т — этого всегда
можно добиться, переходя от to к to + kT, к — целое число, при
этом Uto+T,T=Ut0,T. Покажем, что спектр оператора монодро-
мии от t0 не зависит. Это следует из очевидных равенств
Ut0, т = Uto Ut0, т—10; Пт = Utb, T-t0 Uto (5.50)
»a основе следующей леммы (ее первое утверждение — извест»
ный факт теории нормированных колец; см., например, М. А. Най-
марк «Нормированные кольца». М., 1956).
Лемма 5.2. Пусть U, V:X->X — линейные ограниченные
операторы, действующие в банаховом пространстве X. Тогда
операторы UV и VU имеют один и тот же ненулевой спектр: *
cr(UV) — {0} = a(VU)— {0}. (5.51)
Более того, совпадают, если исключить 0, точечные, непрерыв-
ные и остаточные спектры соответственно:
о₽ (UV)- {0} = ap (VU) - {0}; Ос (UV)- {0} = ос (VU)- {0};
ar(UV)— {0} = or(VU)— {0}. (5.52)
При этом кратности ненулевых собственных значений совпа-
дают.
Доказательство. Пусть и Xecrp(UV). Это озна-
чает, что существует элемент хоеХ, такой, что (XI— UV)x0 = 0.
Тогда, очевидно, у0 = Vx0 ф 0 и (XI— VU)yo = O. Итак,
Op(UV) — {0}<=Op(VU) — {0}. Противоположное включение
получается аналогично, и первое соотношение (5.52) дока-
зано. Если X] — присоединенный вектор оператора UV: (XI —
— UVjxi=x0 (хо — собственный вектор, X— ненулевое собствен-
ное число), то для yi = Vxi имеем (XI— VU)yi = Vxo = у. По-
этому yi — присоединенный вектор оператора VU. Точно также
устанавливается взаимно однозначное соответствие высших при-
соединенных векторов. Итак, кратности собственного числа X
у операторов UV и VU совпадают.
Применяя известные соотношения между спектрами опера-
* Точка 0 может принадлежать a(UV) и не принадлежать a(VU). Примера
СО ОО ОО
X=Zj; Ux= У, ^2kek» Vx = ?keski X = У, ?k ®k> £i> eg,... орто-.
k=l k=l k=l
oo
нормированный базис. Тогда UV=I; VUx= 2 ^^k—необратим.
k=l
тора и его сопряженного [16, с. 621] и уже доказанную часть
леммы, получаем
MUV)— {0} <=op(V*U*)— {0} = Op(U*V*)—{0} с
c=ffr(VU)-{0}.
(5.53)
Отсюда вытекает третье соотношение (5.52).
Пусть, наконец, %eo'c(UV)—{0}. Отсюда следует существо-
вание последовательности хпеХ, такой, что ||хп||=1, ||(М —
— UV)xn|[-4-0 (п->оо). Ясно, что || Vxn || ^ а > 0 для всех п,
начиная с некоторого; а не зависит отп. Полагая уп =-—^2— ,
II Vxn И
получаем, что ||yn|| = l; II (XI—VU)yn||^-~||V|| ||XI -UV)xn|| -> 0.
.Таким образом, oc(UV)—{0}czoc(VU)—{0}. Применяя уже
доказанную часть леммы, приходим ко второму равенству
7(5.52). Лемма 5.2 доказана.
Так как 0 заведомо принадлежит спектру каждого опера-
тора монодромии Птд„ ввиду его вполне-непрерывности, из
леммы 5.2 и равенства (5.50), действительно следует, 4too(Ut, t0)
не зависит от t. Впрочем, можно это доказать и не используя
вполненепрерывности. Действительно, равенство
ил=и,и?2ит t т+.
показывает, что операторы монодромии Ut, t0 либо обратимы
при всех tn, дибо необратимы при всех t0.
Можно доказать, что многообразия Yi, Y2 гладко меняются
с изменением t0, если данные задачи достаточно гладкие.
Рассмотрим уравнения Навье — Стокса в
§ 6. Устойчивость ограниченной трехмерной области Q с
‘ автоколебательных границей S класса С2:
режимов ,
. — +(v, V)v — Av=— VP + F(x); (6.1)
. dt
divv = 0; (6.2)
v/S = a(x). (6.3)
Скорость a на границе области и массовые силы считаем не
зависящими от времени. Предположим, что существует Т-пе-
риодическое по времени решение системы (6.1) — (6.2) v0(x, t),
Р0(х, t) — автоколебание. Тогда v0(x, t-J-h), Ро(х, t-j-h) — то-
же Т-периодическое решение при любом h. Ясно, что асимпто-
тическая устойчивость здесь невозможна: например, взяв в на-
чальный момент вектор v равным Vo(x, h), мы попадаем на со-
седний периодический режим. Поэтому естественно интересо-
ваться устойчивостью автоколебательного решения как инвари-
антного мйожества — цикла l)Vo(t-|-h)= С.
h
Определение. Цикл С будем называть устойчивым в Нц
если по любому е > О можно указать такое 6 > 0, что для ре-
шения задачи Коши (1.1), (2.14) при всех t > 0 имеет место
оценка
p(v(t),C)=s inf ||vo(t) + u(t) — Vo(s)||H,<e, (6.4)
0<S<T
если только выполняется условие
p(v(0), С)= inf ||vo(0)+a—v0(s)1Ih1< 6-
0<S<T
(6.5).
Будем говорить, что цикл С асимптотически устойчив, хесли
дополнительно при t -> оо
p(v(t), С)->0. (6.6)
~ dvo
Предположим, что VceH^; Спектральная задача
(1.5) допускает тогда решение ио=О; w0(t)= —pQL . Соответ-
at
ственно оператор монодромии Ut имеет собственное число ро=1,
которому отвечает собственный вектор <p=wo(0).
Теорема 6.1. Пусть 1 — простое собственное число опера-
тора монодромии Ut, а все остальные точки спектра <j(Ut) рас-
положены внутри единичного круга. Тогда цикл С экспоненци-
ально асимптотически устойчив. Более того, если величина
p(v(0), С) достаточно мала, то существует число ho=ho(v(O))
(асимптотическая фаза), такое, что
l|v(t)-Vo(t + ho)||Hl->0, (t->+oo).
(6-7)
Доказательство этой теоремы вытекает из леммы, которая
изложена ниже.
Пусть задана динамическая система (Nt, X), т. е. нелиней-
ная частичная полугруппа операторов Nt: Х->Х(0 t < оо),
действующих в банаховом пространстве X. Это означает, что
для каждого хеХ определен элемент Ntx при 0<t<to(x),
причем No=I; Nt+tx = NtNTx; (t, т^О; t-|-T <Z to(x)). Пред-
положим, что оператор Nt при некотором Т > 0 имеет непо-
I движную точку q0
NtQo = Чо. (6.8)
Тогда qT = NTqo — тоже неподвижная точка оператора Nt для
всех т > 0. Действительно, из условия (6.8) следует, что точ-
ка qT определена для всех т е [0, оо]. Далее, имеем Nt (NTq0) =
L__g= NTNTqn — NTqn.____________________
Предположим, что для всех т^О выполняется условие
NT+rqo = NTq0. (6.9)
Если (J qT == С содержит более одной точки, будем говорить,
0<t<T
что С — цикл (или автоколебание) динамической системы
(Nt, Х). Если C = {q0}, то q0 называется неподвижной точкой
(или равновесием) динамической системы (Nt, X).
Будем называть цикл С — (J NTq0 динамической системы
' г~- о<т<т
(Nt, X) устойчивым, если по любому е>0 'Можно указать та-
koe S > 0,- что из р(хо, С) < б следует, что точка NtXo опреде-
—лена при-всех1_> О и р (NtXo, С) < е при t > 0. Будем говорить,
. •что цикл С' асимптотически устойчив, если дополнительно
p(Ntx0, С)->0 при t->oo. Если, кроме того, существует такое
т0=то(хо), что p(NtXo, NtH-Tpqo) при t->oo, то будем говорить,
что траектория NtXo имеет асимптотическую фазу.
Далее, назовем цикл С гладким, если в некоторой его окрест-
ности ов = {хеХ:р(х, С)'< 6} операторы Nt (0 t Т) не-
прерывно дифференцируемы по Фреше, существует производная
— qT = 4г (О^Зт^зТ) и, более того, по любым еъ ег > 0 найдут-
ся такие 61, 62 > 0, что из || а [|х < 61; | S | < 62 следуют равно-
мерные по т е 1[0, Т] оценки:
]|Aj(t, a)|| = ||NT(qT+a) — qT — N'T(q<)a|| Bill a . ; . (6.10)
* ' IIAzfr, S)|| = ||qT+s — Qt — 4tS|] C e2|S|. > (6.11),
Заметим, что qt#=O ни при каком L В самом деле, пусть
♦ . - ~ .
qto=0.' Покажем, что тогда Ntqt0 = qt0 для всех t > 0. Действи-
тельно, выберем по любому «2 > О число б2 > 0 так, чтобы име-
ло место (6.11). Пусть натуральное число п столь велико, что
t/n < 62. Имеем
II Qtb+t — qto II 2 Н Ч,а.« "А д. №-’)* II е2 — -п = е21,
откуда и вытекает, что qt0 +t = qt,,, так как е2—произвольно ма-
ло и не зависит от t.
Введем обозначение Ut, т = N't (qT) - Оператор Ut.t назовем
оператором монодромии (соответствующим начальному момен-
ту т). Легко видеть, что <рт = qT—собственный вектор операто-
ра Ut, т, отвечающий собственному числу 1:
ит,*фт = <Рт. (6.12)
Для доказательства (6.12) достаточно продифференцировать
по т равенство (6.9). Дифференцируя равенство qT = N Tq0 по т»
получим
= N'T(q0)<p0- (6.13)
Вообще, если <р0 — какой-нибудь собственный вектор опера-
тора Ut,o, то вектор <рх, определяемый формулой (6.13)—соб-
ственный вектор оператора Ut.-c. Этот факт непосредственно
следует из тождества
N;+T(q0) = Ns'(qx) N'(q0) = N'(qs) • ЫДЧо); (6.14)
(б, Т^:0),
которое получаем, дифференцируя по Фреше равенство Ns+Tx=.
==NsNTx — NTNsx в точке х = q0; в этом тождестве нужно по-
ложить s = 0 и учесть, что Nrqo — qo-
Далее, пусть <р0» фо— собственные векторы операторов Ut.o,
Ut, о, которым отвечают собственные числа pi, р2 соответствен-
но. Определим <рт равенством (6.13), а фт— равенством
<Ь = -4-Й£,(Ы,Чо)ф0; (О^т^Т). (6.15)
Р* '
Тогда' фт— собственный вектор оператора U*,причем (<рт, ipT)
не зависит от т. В самом деле, применяя тождество (6.14) при
s = Т — т, получим
UI,х фх = N/ (q,) (N, q0) =
P2
=~ ^T—x (4t) ^T* (Чо) =P* Фх. (6.16)
P*
При этом величина (<pT, фт) не зависит от т. Действительно,
снова применяя (6.14), получаем
= (Ъ, фх) =.— (Му/х (qT) N' (q0) ?о. Фо) =— (N^(q0) <р0, ф0) =
г2 рЗ
= —(?о, Фо). (647)
Рз
Если pi^p2, то правая часть (6.17) обращается в 0.
Изолированное собственное число Хо линейного оператора
U : Х—>Х называется простым, если соответствующее ему соб-
ственное подпространство одномерно и Хо — простой полюс ре-
зольвенты оператора U. В этом случае Хд—г простое собствен-
ное число сопряженного оператора, причем соответствующие
собственные векторы не ортогональны.
Заметим, что спектр оператора монодромии Ut, г не зави-
сит, от т (см. лемму 5.2 и замечания к ней). Кратность собствен-
ного числа 1 одна и та же для всех т.
Лемма 6.1. Пусть С= U NTq0— гладкий цикл динами-
~ 0<х<Т
ческой системы (Nt, X), и спектр оператора монодромии
.Ut.t(O^t^T) имеет вид o(Ut,t)=={1} IIgo(Ut,t), причем 1 —
простое изолированное собственное число и
|oo(Ut,t) | < а < 1. (6.18)
Тогда цикл С асимптотически устойчив, причем всякая траек-
тория {NtXo} (tgssO) имеет асимптотическую фазу, если только
величина’р (хо, С) достаточно мала.
Доказательство. Пусть <po=<jo, фо — неподвижные век-
торы соответственно операторов Ut,o и Uf, о, причем (фо, фо) =1-
Определим фт, фт формулами (6.13) и (6.15) при р=1. Тогда
<pt=qT> — собственные векторы операторов Ut,t, Ut, х с соб-
ственным числом 1. При этом, в силу (6.17), имеем (фт, фт) = 1,
(О^т^Т). Определим оператор Vi, полагая
(6.22)
(6.23)
VTx = Ut.tX — (x, фт)фт. (6.19)
Тогда o(VT) = oq(Ut,t) U {0} и, в силу (6.18), имеем
|cr(VT) | < a < 1. (6.20)
Покажем, что существует натуральное ш — такое/ что опера-
торы V® при всех О^т^Т— сжатия, и, более того, справед-
лива равномерная оценка
||V®||^0< 1. (6.21)
В самом деле, из условия гладкости цикла С следует, что опе-
ратор-функция VT непрерывна по т в равномерной операторной
топологии. Учитывая (6.20), заключаем отсюда, что резольвен-
та (II — Vr)-1 непрерывна . по совокупности (1, т) : | X | — а;
О^т^Т (см. [16, с. 625]. Следовательно, имеем
max max || (XI —VT)-1 II = h < оо.
| X | «=а 0<r<T
Теперь воспользуемся представлением V® в виде
V®= — f k®(M- VT)-ldX.
x 2ni J ' 7
I X I *=“
Из (6.22) — (6.23) выводим, что II V® || ^ ham->0 (m->oo). Та-
ким образом, если О<0<1, то можно подобрать такое т,
чтобы оценка (6.21) имела место. Не уменьшая общности рас-
смотрения, можно считать, что т=1: к этому случаю можно
перейти заменой Т->тТ, что не скажется на дальнейшем.
Итак, будем дальше считать, что
||VJ|<0<1; (О^т^Т). (6.24)
Пусть Хо — точка из б — окрестности цикла С: р(хо, С)< б. То-
гда при некотором т0 имеем
l|x0-qto||<6; (0^ То^Т). (6.25)
Положим теперь xn = N^.x0; (п = 0, 1.,...) и займемся оцен-
кой величины p(xn, С). Для этого рассмотрим последователь-
ность {тп} моментов времени и последовательность {ап} элемен-
тов пространства X, определяемые соотношениями
Tn+i == tnЧ~ sn; Sn==:(an> фгв); Эд — Хд — (6.26)
(п = 0, 1, 2,...).
Покажем, что если величина 6 достаточно мала, то выполня-
ются оценки:
р(хп, С)^||ап|1сепб; |тп+1 —тп|^/||ап|К/50п (6.27}
где I = max || Их*.
0<t<T
Пусть 61, 62 > О таковы, что имеют место оценки (6.10) и
(6.11). При этом еь ®2, б считаем столь малыми, чтобы выпол-
нялись неравенства
max Н Vt || 4- Ei + e2Z < 0; (6.28}
I 0<t<T .
_ 6<6r, Z6 < 62.
Применим индукцию по n. При n=0 первая оценка (6.27}
выполнена, а вторая—следует из первой:
1 ri —То | = | (а0, ipt0) | С /б. (6.29}
Докажем теперь (п-|-1)-ю оценку (6.27) в предположении, что
уже доказана n-я. Имеем
p(Xn+i, С)^ ||ап+1Н = l|NT(qTn4-ап)—Чтп+вп1|. (6.30}
Далее воспользуемся оценками (6.10) и (6.11). Условия их при-
менимости выполнены: в силу (6.29)
||ап|| < б < бг; ( | = | (an, ^n) | llan|l - II^JIC < б2. (6.31)
— -Таким-обраЗим, из (6.30), учитывая еще (6.28), выводим
р (хп+1, С) || ап+11| = II VTnan 4*Л1.(тп, ап)4- Л2 (tn, 6П) ||
< 011 ап||. (6.32}
Теперь, применяя оценку (6.32), получаем
| тп+1 - тп | = | (an,. i}a) | Л1 an II /60*. (6.33}
Из (6.32) — (6.33) следует (п4~1)-я оценка (6.27), чем и за-
Ht ершается ее доказательство для любого п.
В Из первого неравенства (6.27) следует, что точки хп сходят-
к циклу С, из второго — вытекает сходимость последова--
к ельности тп:
К ' h =T04' S (Wi —tn) — limtn- (6.34)
W а п==0. . . . П-»
Полагая тп = h -f- т]п, из (6.27) выводим
Тп = Ь + т]п; |т]п| < —(6.35)
1—“
Чтобы завершить доказательство асимптотической устойчи-
вости цикла С и существования асимптотической фазы, доста-
точно установить, что
IINtXo- qh+tH->0, (t-*4-oo). (6.36)
Пусть t = nT-f-s; O^s < Т. Тогда левая часть (6.36) в
обозначениях (6.10) — (6.11) принимает вид
|| Ntx0 — qh+t || = II Nsxn — qh+s II = IIAi (rn, an) -f-
H~ N' (q-tn) an -|- Д2 (h -|- s, T]n) -f- qh+sT]n II. (6.37)
Оценивая это выражение с помощью (6.10), (6.11), (6.33)
и (6.35), получаем
l|NtXo-qh+tll ^тбев, (6.38)
где т — постоянная, не зависящая от и и определяемая выра-
жением
„ 1 1 П12-|-е2
ш = Ш, + 61 + —
Ш1 = sup l|Ns'(qT)H; m2 = sup ||qT||. (6.39)
0<s, t<T 0<t<T
Величины mi, m2 конечны ввиду условия гладкости цикла С.
Чз (6.38) следует (6.36). Лемма 6.1, таким образом, доказана.
Отметим еще вытекающую из (6.38) оценку быстроты при-
ближения к предельному периодическому режиму
II Nt х0 — qh+t II < m 5 е-*>‘; о0 = 1п (6.40)
Теорема 6.1 легко выводится из леммы 6.1. Гладкость цик-
ла следует из лемм 2.4 и 2.5. Операторы Nt связаны с операто-
рами Nt равенством
Nta = Nt(vo(O)-f- а)—Voft); аеНь (6.41)
В случае, когда краевое условие (6.3) неоднородно^ полу-
группу Nt достаточно считать заданной только на векторах ви-
да vo(O)4~a; aeHi; в предыдущих рассмотрениях ничего не
изменится, если вместо банахова пространства X взять «гипер-
пространство» Хо — множество элементов некоторого банахова
пространства, определяемое условием Qx =• а, где Q — задан-
ный линейный оператор, а — заданный элемент. Конечно, еще
естественнее рассматривать полугруппу Nt на банаховом мно-
гообразии. Впрочем, в нашем случае достаточно с помощью
замены ¥ = ¥'*-)-а' (а' — гладкий вектор, удовлетворяющий
условию (6.3)) сделать ..условие на границе, однородным, чтобы
получить в точности ситуацию леммы 6.1.
1 Сформулируем еще условие теоремы 6.1 в терминах спектра
устойчивости периодического движения ¥0(t): уравнение (1.3) и
сопряженное уравнение
— — Аой —,B*(t)u = 0 (6.42)
dt
имеют ровно по одному (с точностью до постоянного множи-
теля) Т-периодич'ескому решению u0(t), fio(t), которые неортого-
нальны:
т
J (u0(t), uo(t)Hdt ¥=O. (6.43)
о
—Остальные л'очки-' спектра устойчивости (кроме о0=0) обязаны
находиться внутри левой полуплоскости.
_ ы ~ Теорема 4.1 содержит достаточные усло-
§ 7. Неустойчивость вия неуСТОйчивости индивидуального пе-
циклов риодического режима. Оказывается, при
тех же условиях в случае автоколебаний можно утверждать не-
что большее —неустойчивость цикла.
Теорема 7.1. Если спектр устойчивости автоколебатель-
ного Т-периодического режима ¥o(t) содержит хотя бы одно соб-
ственное значение -о с положительной действительной частью
(или, что то же, существует мультипликатор р: | р | > 1), то.
цикл С =‘ U Vo(t) неустойчив в Нр
' . 0<t<T
Выведем эту теорему из более общего утверждения.
Лемма 7.1. Пусть С= (J NTqo — гладкий цикл динами-
0<т<Т
ческой системы (Nt, X) и спектр оператора монодромии От, г.
представляется в виде объединения непересекающихся замкну-
тых множеств Oi(Ut.t) и o2(Ut, т), причем
|ffi(UT,t)| >₽>1; |<t2(Ut,x) | < 1.
(7-1)
Пусть отображение Nt дифференцируемо по t и производная Nt
непрерывна по (х, t): |t — Т| < 6i, р(х, С) < б2 при некоторых
61, б2 > 0.
Тогда цикл С неустойчив.
Доказательство. Разобьем его на несколько шагов.
I. Пусть Т — наименьший период, тогда отображение t->-qt
окружности (реализованной как сегмент [0, Т] с отождествлен-
ными концами) в X имеет равномерно непрерывное обратное:
по любому б>0 найдется такое е > 0, что из неравенства
II Qt — qrll < б (0=Ct^r^T) следует, что либо |t — т| < б, ли-
бо |t —т + Т| < б.
Если бы это было неверно, то, используя компактность
окружности, moJkho было бы указать такие сходящиеся после-
довательности tn—>t0; Tn->To(O^tn^Tn^T) и число е0 > 0, что
либо |tn —Тп| ео, либо |Т~Нп —Tn| 8о; qtn—qTn->0. Но
тогда qt0 = qTo и выполняется хотя бы одно из двух неравенств
| to — То | ^5 ео; |T-f-to — То| So. (7.2)
Так как либо t0 = то, либо to + Т = то, из (7.2) следует, что
Ео 0. Полученное противоречие и доказывает утверждение I.
II. Пусть феХ*— линейный ограниченный функционал, та-
кой, что
(qo, ф) = 1, (7.3)
Рассмотрим множество De точек хеХ, удовлетворяющих усло-
виям , ,
x = qo+a; || а || < е; (а, ф) = 0. (7.4)
Покажем, что существует такая постоянная а > 0, что
р(х, С)^а||а|| (7.5)
для всех х е De.
Рассуждая от противного, предположим, что существует по-
следовательность хпеХ, такая, что
Хп — qo ~Ь an; IIЗп II <С е; (ап, ф) — 0;
р(хп, С) — || хп qtn|| <С— II ап ||.
п
(7.6)
Существование точек qtn следует из компактности цикла. Пе-
рейдя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать,
что последовательность tn сходится: tn->t0. Из (7.6) следует,
что фП = qo + an — qtn-+ Поэтому an->qt0— qo и выполняют-
ся соотношения
llqt0—qo II < е; (qt0 — qo, $) = о. (7.7)
Из утверждения I следует, что при малом в число t0 близко к 0 '
или к Т. Пусть, например, to мало. Тогда qto — qo = goto + o(t0)
и из (7.7) выводим ''
to —о (to) = 0. (7.8)
Из (7.8) вытекает, что если в достаточно мало, то to = 0.
Таким образом, переходя, возможно, еш.е раз к подпоследо-
вательности, можно считать, что tn-»-0 (случай tn->T рассмат-
ривается точно, так же). Теперь, пользуясь гладкостью цикла
и последним соотношением (7.6), получаем
— II ап || • Ц || > | (фп, $) | — | (an —q0tn-|-o(tn), ^) | =
П !
=tn + o(tn). (7.9)
Из (7.9) следует существование такой постоянной у, что выпол-
няется неравенство , .
0 < tn <-^ || ап Ц. (7.10)
п
•Снова применяя (7.6), получаем
___________XjUo || > И фгьП >--ll an II - tnll qo 11+ О (tn). (7.11)
п
Противоречивость соотношений (7.10) — (7.11) и доказывает
справедливость утверждения II.
III. Рассуждая от противного, предположим, что цикл С
устойчив. Тогда по любому в >. 0 можно указать такое 6 > 0,
что из р(х0, С)< б следует
p(NtXo, С) < ае; (t > 0). (7.12)
Пусть х = q0 + а е De и в — достаточно мало. Тогда суще-
ствует t* = t* (х) >0 — такое, что Nt*x е De. При этом *
t*(x) = T-(N/(qo)a,ip)4-o(a). (7.13)
*-Есла.Ыт*(Чо)'ф==’|’, то t.=T+O(a), а->0.
Это утверждение означает, что траектория с начальной точкой
в De по истечении 'времени, близкого к периоду Т, возвращает-
ся в это множество *.
Рассмотрим функцию
f (s) — (NT+s(q0 + a) —q0, ф) (7.14)
числового аргумента s. Будем считать, что s подчинено условию
|е| к|| а || (к — фиксированная, достаточно большая постоян-
ная: к> IIN't (q0) II) - При достаточно малом а, используя глад-
кость цикла, получаем
f(s)=s + (N'T(qo)a, if)i+lx(s); | x(s) | < т] (а) || а ||;
т](а)^0, (||а||->0). (7.15).
Из (7.15) сразу следует, что функция f(s) на концах отрезка
[— (N't (Чо) а, ф)+ т] || а ||, — (N'T (q0) а, ф) — т] || а || ] принимает
значения разных знаков, и, следовательно, имеет корень. Далее,,
в силу (7.5) и (7.12), имеем
||Nt*x-q0|| ^^p(Nt*x, С)^е. (7.16>
Итак, Nt*xeDe, и утверждение III доказано.
IV. Пусть Хо — подпространство пространства X, определя-
емое условием (а, ф) = 0. De есть окрестность нуля в Хо. Опре-
делим оператор К:Е)е-»-Хо, полагая для любого aeD8
Ka = N t*(q„+a) (Qo —Н а)— qo- (7.17)
Оператор К непрерывно дифференцируем в De и
K'(O)a = N'T(qo)a —q0(N'T(q0)a, ф). (7.18)
Рассмотрим уравнение
F(t, a)EE=(Nt(qo + a)— q0, ф)=0. (7.19)
Отображение F: (RXXn)->X0 непрерывно дифференцируемо в.
окрестности точки (Т, O)eRXXo, и имеют место соотношения
F(T, 0) = 0; Ft(T, 0) = (q0, ф) = 1. (7.20)
• На самом деле траектория с началом в DE попадает, вообще говоря, а
(х> 1).
(7.22)
(7.23)
Поэтому согласно теореме о неявной функции уравнение (7.19)
можно разрешить относительно t: существует отображение
<p:X0-*R, однозначно определенное для aeDe условиями
' F(q>(a),.a) = 0; ф(0) = Т. (7.21)
Кроме того, отображение <р непрерывно дифференцируемо и
?z(a)b==.(Ny(a) (qo + a)b, ф)
• (NT(a) (q0 4- а), ф)
В частности, для а = 0 имеем---------
q>'(O)b = — (N'T(qo)b, ф).
Теперь непрерывная дифференцируемость оператора К оче-
видна, так как он представляет собой суперпозицию непрерыв-
но дифференцируемых отображений. Дифференцируя равенство
(7.17), используя (7.22) и полагая а = 0, получаем (7.18). Тем
самым утверждение IV доказано.
V. Пусть U —линейный ограниченный оператор,' действую-
щий в X, <р его собственный вектор, соответствующий собствен-
ному числу р
U<p = р<р. (7.24)
Пусть феХ* и (ф, ф)=1. Определим подпространство Хо =
= {хеХ:(х, ф) = 0} и оператор U0:X0->X0
.Цох = Ux — (Ux, ф)ф. (7.25)
Тогда спектр оператора Uo совпадает со спектром оператора U,
исключая, возможно, точку р.
Действительно, пусть X — регулярное значение оператора U.
Тогда для любого аеХ0 имеем
Roza ss (XI — Uo)-1a = R^a — (Rxa, ф)ф
RX=(M — U)-‘. (7.26)
Значит, X — регулярное значение оператора Uo.
Пусть теперь Х#= Р — регулярное значение оператора Uo. До-
кажем однозначную разрешимость уравнения
(XI —U)x = f; feX. (7.27)
Действительно, пусть х0 е Хо — решение уравнения
(XI — Uo)xo = fo; f0 = Pf^f— (f, ф)ф. (7.28)
’Тогда единственное решение уравнения (7.27) есть
х = RoJo + сер; с = —-— (f -j- Uxo, ф)<р. (7.29)
х—р
.Заметим, что резольвента Rz имеет вид
RJ = RozPf + —— (f + URoxPf, ф)<р. (7.30)
Л-р
VI. Теперь уже нетрудно закончить доказательство лем-
мы 7.1. Действительно, из утверждений IV и V следует, что опе-
ратор К удовлетворяет условиям леммы 4.1: он непрерывно
дифференцируем в окрестности нуля, и спектр его дифферен-
циала Фреше К'(0) содержит спектральное множество oi(UT т):
:|<r1(UT,t)|>p> 1.
Согласно лемме 4.1 существует ео > 0 такое, что по любому
•б > 0 можно найти точку а0 е Хо и натуральное число и — для
которых выполняется неравенство
1|аоИ<б; || Кпа0 || > - - е0. (7.31)
а
Но тогда для Хо = q0 Д- а0 имеем
р(хо, С)^||а0|| < б; (7.32)
р (Ntnxo, С) > а|| Ntnx0 — q0 || = а|| Кпа0 II > ео-
Здесь число tn определяется равенствами:
tk == ts.(Xk-i); xk = Nt*(Xk_1) xk (k = 1, 2, ..., n). (7.33)
Лемма 7.1, таким образом, доказана.
Скажем еще несколько слов об условной устойчивости цик-
ла. Пусть 1 — простое собственное число оператора U. Тогда
для оператора Со, определенного равенством (7.25), 1—регу-
лярная точка.
Действительно, в этом случае существует неподвижный век-
тор <р*еХ* сопряженного оператора U* такой, что (<р, <р*) = 1,
а уравнение
Ux — х = z (7.34)
разрешимо в том и только в том случае, если (z, <р*)=0 (см.
[16]). Пусть уеХо. Тогда уравнение
Uox — х = у
(7.35)
имеет, и притом только одно, решение хеХо:
х = Хо + ₽<₽; ₽ = — (хо, Ф) > (7.36)
где Хо — какое-нибудь решение уравнения (7.34) при z = y —
— (У, ф*)ф. Таким образом, оператор Uo — I обратим на Хо.
В дополнение к условиям леммы 7.1, предположим, что-
спектр оператора монодромии Ut, т представим в виде объеди-
нения спектральных множеств oi(Ut,t), O2(Ut,t), {1}, причем
1 — простое собственное число и
|oi(Ut,t) | > 1; |o2(UT,x) |< 1. (7.37)
Пусть Ф е X*— собственный—RgKTop оператора Ut, о , нормиро-
ванный условием (q0, ф)= 1. Подпространство Х0>тс:Х опре-
делим, полагая Хо,х = {аеХ :(а, фт) = 0), где 41t=N^_x (Qt)'$=
=и*т-г,л4> — неподвижный вектор оператора Uf, т. Оператор
Uo: Хо, х.-*- Хо.'т определим равенством
Uoa = ит,та — (UT>Ta, фт)ф; аеХ0,х. (7.38)
Из утверждения V Следует, что
o(Uo) = o1(UT,T)Uo2(UT,t)? (7.39)
Пусть Х],т, Х2, т — инвариантные подпространства оператора Uo,
соответствующие спектральным множествам сг[ и «2-
Применяя лемму 5.1 к оператору К, определенному равен-
ством (7.17), приходим к следующему предложению.
Лемма 7.2. Пусть в дополнение к условиям леммы 7.1 из-
—честно, что 1 —простое собственное число оператора монодро-
мии Ut.t и |o2(Ut,t) |< 1. Тогда в некоторой окрестности точ-
ки ОеХо, т определены инвариантные относительно оператора К
•многообразия Yi,x, Y2,T, которые в нуле касаются соответствен-
но подпространств Xi, х и Х2,х. При этом: 1) если a0eY2,x, то
Кпа0->0 и p(NtXo, С)—>-0 при t->4-oo; Xo = qx + ao; 2) суще-
ствует такое е0 > 0, что при a0eY2 и некоторых n0 = n0(a0);
to — to(ao) имеют место неравенства IIK^aol^eo; p(Nt0Xo, С) > е0;
3) для любого aoeYi определено обратное отображение N~*=
= N_8'(s>0) и p(NtX0, С)->0 при t->-—оо; 4) если aoeYi, то
найдется ti с 0 такое, что p(Nt, х0, С) > е0.
Таким образом, в условиях леммы 7.2 всякая траектория с
начальной точкой в множестве
^2— U (ЧтЧ-Хг, т)— (J NT(qo + Y2.0)
0<1<Т 0<т<Т
стремится к циклу при а всякая траектория с началь-
ной точкой в Zi= U (qT-f-Yi,T) стремится к циклу при
0<т<Т
t—s—оо. Если же начальная точка х0 близка к циклу, но не ле-
жит ни на Zi, ни на Z2, то существуют такие t0=t0(x0) и tj =
=ti(x0) < 0, что точки траектории Ntox0, Ntlx0 находятся вне не-
которой фиксированной окрестности цикла (возможно, эти точки
вообще не определены). Тем самым получается довольно полное
описание поведения траекторий в окрестности цикла. Заметим,
что Zi,Z2 — инвариантные множества динамической системы
(Nt, X).
Чтобы иметь возможность применить леммы 7.1 и 7.2 к урав-
нениям Навье — Стокса, достаточно показать, что вектор-функ-
ция v(t) = Nt(v(O)+ а), определенная равенством (6.41),сильно
непрерывно дифференцируема по t при любом t > 0 и любом а
из некоторой окрестности нуля пространства Нь
Пусть ф(1)—бесконечно дифференцируемая функция, рав-
,ная 0 при О t sC б и 1 при t 26; 6 — произвольно фиксиро-
ванное положительное число.
Введем вектор-функции т]ь, £ъ> полагая для любого h > О
T|h(t) = H)(t)&1(t); en(t) = -b [vn(t) —v(t)]; (7.40)
h
Vh = v(t + h).
rt „ dv , dv
.Ясно, что gh->-— ; — по норме пространства
dt dt
L2((0, T), H) при h->0; это очевидно для гладких v, а в об-
щем случае легко доказывается с помощью теоремы Банаха —
Штейнгауза. Из соотношений (6.1) — (6.3) выводим для т]ь сле-
дующее дифференциальное уравнение
'+ АоПь + К (v (t + h), rjh (t)) + К (Tin (t), v (t)) =
(7.41)
Рассуждая, как в лемме 2.4, убеждаемся в том, что справед-
лива равномерная по h и по т (т — фиксированное положитель-
ное число; 26 <т) оценка
II т]ь Инг С, (7.42)
где постоянная С зависит только от II v0 II „т и от т. Из оценки
(7.42) следует, что семейство {пь} слабо компактно. Покажем,
что т]ь слабо сходится при h—>0. В самом деле, пусть т]ьп—
слабо в Н* для некоторой последовательности hn-»-0. Переходя
к пределу в (7.4Г) с учетом вложений, указанных в леммах 2.4
и 2.5, получим уравнение
+ Aon + K°(V, =
Gl
(7.43}
Так же. как при показательстве.лемм 2.3, 2.4, убеждаемся в
том, что уравнение (7.43) вместе с начальным условием т] (0) = 0
однозначно определяет вектор-функцию ц е Н~г.
Теперь вспомним, что т] (t) = — -— при t 26. Применяя
лемму 2.1, заключаем, что вектор-функция v дифференцируема
по t в Hi при любом t > 0. Непрерывность зависимости произ-
„ 1 ‘ dv . г,
водной при t > 0 от начального вектора а устанавливает-
ся, как в лемме 2.5. Этим и завершается доказательство теоре-
мы 7.1.
§ 8. Затухание
старших
производных
Хорошо известно, что при гладких дан-
ных достаточно регулярные обобщенные
решения параболических уравнений и си-
стемы Навье — Стокса улучшают свои
дифференциальные свойства. Если в начальный момент поле
скорости имеет разрывы, то при t > 0 они исчезают. В условиях
доказанных 'выше теорем об устойчивости возмущения затухают
не только по норме Lp или W , но и в более сильном смысле.
Например, справедливо следующее утверждение.
Теорема 8.1. Пусть граница SeC°° и периодическое те-
чение Vo(t) бесконечно дифференцируемо. Тогда в условиях
теоремы 3.1 оно асимптотически ^-устойчиво (Hi, Ck) для лю-
бых k = 1, 2,... . При этом для возмущения u(t)
|| D'J U II Ck(2) -> о t-*-|-oo.
(8.1)
экспоненциально при любых натуральных п, к.
Доказательство. В силу теорем вложения, достаточно
доказать (8.1) с заменой Ск на W(,n)(Q). Обратимся к уравнению
(7.43). В применении к этому уравнению рассуждения, прове-
денные при доказательстве теоремы 3.1, приводят, с учетом
(3.15) и (3.16) к оценкам
,11 4(t) И н, С Се-°"‘ I] а || н,
(8.2)
co
J e2’°‘ (|| -^-1| 2н+ II Aotj II эн ) dx < С2 II a II (8.3)
0
которые выполняются для всех малых а е Ht.
Так как при t 26 вектор-функция q совпадает с , из
(8.2) получается нужная оценка последней. Применяя неравен-
ство коэрцитивности для стационарной задачи, оцениваем нор-
му Din в La(Q) и убеждаемся в том, что она экспоненциально
стремится к 0 при t->-|-oo, а при любом фиксированном 12> О
и а->0 в Hi исчезает.
Далее последовательно дифференцируем уравнение (7.43)
по t и аналогично оцениваем высшие производные, чем и за-
вершается доказательство теоремы 8.1.
Требования к начальным данным в этой теореме можно еще
понизить. Ограничимся для простоты случаем стационарных
течений.
Теорема 8.2. В условиях теоремы 8.1 стационарное тече-
ние Vo экспоненциально т] — устойчиво (Sp, Ch) при р > 3 и лю-
бом натуральном к, причем имеет место (8.1).
Доказательство. Достаточно для возмущения и дока-
зать при малых а е Sp оценку
l|u(t)l|Hl^C(t)||a||Sp, t>0. (8.4)
Но из теоремы 2.3 главы II следует, что ||u(t)||sqI ||Dxu||L(sX[8. <» )
при t > 0, 6 > 0 и любом q > 1 оцениваются через || а j|sp, если
р > 3. Тогда и II Ku II Lq(2xi8, «j) оценивается через ||a||sp и нера-
венство (8.4) следует, например, из теоремы 3.3 главы I. Теоре-
ма 8.2, таким образом, доказана.
Л ИТЕРАТОРА
1. А гм он С., Дуглис А„ Ниренберг Л. Оценки решений эллип-
тических уравнений вблизи границы. М., 1962, 205 с.
2. Андрейчиков И. П., Юдович В. И. Об автоколебаниях, ответв-
ляющихся от течения Пуазейля в плоском канале. — Докл. АН СССР 1972
202, 4, 791—794.
3. А н о с о в Д. В. Многомерный аналог одной. теоремы Адамара. —
Научи, докл. высшей школы. Физ.-мат. науки, 1959; 1, 3—42.
4. Айо со в Д. В. Геодезические потоки иа замкнутых римановых мно-
гообразиях отрицательной кривизны. — В кн.: Тр. мат. ин-та им. В. А. Стек-
лова. М., 1967, т. 90, 209 с.
5. Ариольд В. И. Математические методы классической. механики.
М7 1974г 413Га
6. Бабский В. Г. О «порогах неустойчивости» при возникиовеиии кон-
векции.—В кн.: Современные вопросы гидродинамики. Киев, 1967, с. 325—330.
7. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Асимптотика спектра дифферен-
циальных уравнений. — Итоги науки и техииики, математический анализ,
т. 14, 1977, с. 1—58..
8. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений не-
линейных уравнений. М., 1969, Э27 с.
9. В о р о в и ч И. И., Юдович В. И. Стационарное течение вязкой
жидкости.—ДокА АН СССР, 1959, 12'6, 3, 542—545.
10. Ворович И. И., Юдович В. И. Стационарное течение вязкой
несжимаемой жидкости.—'Мат. сб., 1961, 53(95), 4, 393—428. -
.11. ГаитмахерФ. Р. Теория матриц. М., 4966, 576 с.
42. Гаитмахер Ф. Р., К р е й и М. Г. Осцилляциоииые матрицы и
ядра и малые колебания механических систем. М. — Л., 11950, 359 с.
1Э. Глушко В. П., К р е й и С. Г. Дробные степени дифференциаль-
ных операторов и теоремы вложения.— Докл. АН СССР, 1958, 122, 6,
963—966.
44. Г о х б е р г И. Ц., К р е й и М. Г. Введение в теорию линейных не-
самосопряженных' операторов. |М., 1965, 448 с.
'16. Далецкий Ю. Л., Крейи М. Г. Устойчивость решений диффе-
ренциальных уравнений в банаховом пространстве. М., 4970, 534 с.
16. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория.
М., 1962', 895 с.
17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Спектральная
теория. М., 1966, 1063 с.
18. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М., 4981, 638 с.
19. Дикарев В. Д., Мацаев В. И. Точная интерполяционная теоре-
ма.—Докл. АН СССР, 1966, 168, 5, 986—988.
20. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М., 1965, 1146 с.
21. Ильин В. П. О теореме вложения для предельного показателя.—
Докл. АН СССР, 1954, 96, 5, 905—908.
22. Ильин В. П. Некоторые функциональные иеравеиства типа теорем
вложения. — Докл. АН СССР, 1958, 123, 6, 967—970.
23. Ильин В. П. К теоремам вложения. — Тр. мат. ин-та им. В. А. Стек-
лова. М., 4959 , т. 53, с. 64—127.
24. Келдыш IM. В. О собственных значениях и собственных функциях
некоторых классов несамосопряжениых уравнений. — Докл. АН СССР, 1951,
77, 1, 11—14.
25. К о л е с о в Ю. С. Исследование устойчивости решений параболиче-
ских уравнении второго порядка в критическом случае. -— Изв. АН СССР
-сер. мат.,' 1969, 33, ,1356—1372. ’
26. К р а с н о с е л ь с к и й М. А., 3 а б р е й к о П. П., П у с т ы л ь-
н и к Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в простраи-
«ствах суммируемых функций. М., 1966, 499 с.
27. Красносельский М. А. Оператор сдвига по-траекториям диф-
ференциальных уравнений. М., 1966, 031 с.
28. Красносельский М. А. Топологические методы в теории не-
линейных операторных уравнений. М., 1956, 390 с.
29. Красносельский М. А. Положительные решения операторных
уравнений. М., 1962', 394 с.
30. К о ш е л е в А. И. Априорные оценки в Lp и обобщенные решения
-эллиптических уравнений и систем.—У1МН, '1958, 13, <4(82), 29—88.
31. Крейн С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного
анализа и гидродинамики. — Докл. АН СССР, 1953, 93, 6 969—972.
32. Крейн М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифферен-
циальных уравнений в банаховом пространстве. -Киев, 1964, 186 с.
33. К р е й н С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. М., 1967, 463 с.
34. Крылов А. Л. Доказательство неустойчивости одного течения вяз-
Кой несжимаемой жидкости. — Докл. АН СССР, 1963, 153, 4, 787—790.
35. К р ы л о в А. Л. Об устойчивости течения Пуазейля в плоском ка-
нале,—Докл. АН СССР, 1964, Г59, 5, 9781—981.
36. Ладыженская О. А., Солонннков В. А., Уральцева Н. Н.
Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М„ 1967, 736 с.
37. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вяз-
кой несжимаемой жидкости. М., 1970 (1-е изд. вышло в 1961 г.), 288 с.
38. Лииь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.,
1958, 189 с.
39. Люстериик Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального
анализа. М., 1965, 519 с.
40. М а р к м ан Г. С., Юдович В. И. Численное исследование возник-
новения конвекции в слое жидкости под действием периодических по време-
ни внешних сил. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1972, 3', 81—86.
41. IM а р к м а н Г. С., Юдович В. И. Возникновение конвекционных
режимов двойного периода в периодическом поле внешних сил. — ПМТФ,
1972, 6, 65—70. .
42. М а р с д.е н Д ж., Мак-Кракеи М. Бифуркация рождения цик-
ла и ее приложения. М., 1980, 367 с.
43. Мешалкии Л. Д., С и и а й Я- Г- Исследование устойчивости ста-
ционарного решения одной системы уравнений плоского движения несжи-
маемой вязкой жидкости. — ГЕММ, 1961, 25, 6, 1)140—1143.
44. М и р а и д а К. Уравиеиия с частными производными эллиптического
типа. М., 1957, 256 с.
45. М и х л и и С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала.
М„ 1952, 217 с.
46. М и х л и и С. Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения.
М„ 1962, 254 с.
47. М о и и и А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика. Ч. 1.
М., 1965, 639 с.
48. Неймарк Ю. И. О существовании и грубости инвариантных мно-
гообразий точечных отображений. — Изв. вузов. Радиотехника, 1967, 10, 3,
'311—320.
49. Н е й м а р к Ю. И. Интегральные многообразия дифференциальных
уравнений. — Там же, 32’1—334.
50. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория диф-
ференциальных уравнений. М., 1949, 550 с. z
51. Ни к о л ьск и й С. М. Приближение функций многих переменных,
теоремы вложеиня. М., 1969, 480 с.
52. Р о м а и о в В. А. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэт-
та.— Ин-т проблем механики АН СССР, 1971, препринт № 1, с. 26.
53. Симоиеико И. Б. Ограниченность сингулярных интегралов в про-
странствах Орлича. — Докл. АН СССР, 1960, 130, 6, 984—987.
54. Симоненко И. Б. Исследование по теории сингулярных интегра-
лов, краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных,
уравнений: Дис. каид. физ.-мат. наук. Мат. Ии-т им. Размадзе, Тбилиси,
1961, 147 с.
_____55- Сим овеян о И,—Б.. Интерполяция.л экстраполяция линейных опе-
раторов в пространстве Орлича.—Мат. сб., 1964, 63(105), 4, 536—55В.
56. С л о б о д е .ц к и й Л. Н. Оценка в Lp решений эллиптических си-
стем.— Докл. АН СССР, 1958, 4(23, 4,’616—619.
57. С м и р и о в В. И. Курс высшей математики. Т. 4, М., 1957, 6Г2 с.
58. С о б о л е в с к и й П. Е. Неравенства коэрцитивности для абстракт-
ных параболических уравнений. — Докл. АН СССР, 1964, 157, 1, 62—65.
59. С о б о ле в с к и й П. Е. Исследование уравнений Навье—Стокса ме-
тодами теории параболических уравнений в баиаховых пространствах. —-
Докл. АН СССР, 1964, 1'56, 5, 745—748.
60. С о л о м я к М. 3. Применение теории полугрупп к исследованию-
дифференциальных уравнений в пространствах Банаха. — Докл. АН СССР,
1958, .122, 5, 766—769,
61. Солонииков В. А. Оценки тензоров Грина длц некоторых гра-
ничных задач.—Докл. АН СССР, 1960, 130, 5, 988—991.
62. С о л о н и и к о в В. А. Априорные оценки для некоторых граничных
задач. —Докл. АН СССР, 1961, 138, 4, 7S1—784.
63. Солонников В. А. Оценки решений нестационарной системы
Навье—Стокса..— Записки научных семинаров ЛОМИ, 1973, 7, 153—231.
. 64. С о л о н н- и к о в В. А. Оценки решений нестационарной линеаризо-
ванной системы Навье—Стокса. — Тр. мат. Ин-та им. Стеклова, т. 70. Крае-
вые задачи мат. физики. IM.—Л., 1964, с. 213.—3116.
65 . С о л о н и и к о в В. А. Об общих краевых задачах для систем эл-
липтических в смысле Дуглиса—Ниренберга, ч. 1. — Изв. АН СССР, сер.
мат., 1964, 28, 3, 665—706; Ч. 2. —Тр. МИАН СССР, М., 1966, т. 92,
с. 233—297.
66. X а л м о ш П. Гильбертово пространство в задачах. М., 1970, 352 с.
67. X е р м а н д е р Л. Оценки для операторов, инвариантных относи-
тельно сдвига. М., 1962, (1960), .1'29 с.
68. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы,
М., 1963, 829 с. ,
69. Шварц Дж. Замечание о иеравеиствах типа Кальдерона — Зигмун-
да для функций со значениями в векторном пространстве. — Математика,
1963', 7, 4, 57—79.
70. Ю д о в и ч В И. Периодические движения вязкой несжимаемой жид-
’ кости. —Докл. АН СССР, 1960, 130, 6, 1214—>1217.
.71 . Юдович В. И. О потере гладкости решений уравнений Эйлера со
временем. — Динамика сплошной среды/Ии-т гидродинамики СО АН СССР,
1974, вып. 16, с. 71—78.
72. Ю д о в и ч В. И. Математические вопросы теории устойчивости те-
чений жидкости. Докт. дис. ИПМ АН СССР, М., ,1972, с. 417.
73. Ю д о в и ч В. И. О некоторых оценках, связанных с интегральными
операторами и решениями эллиптических уравнений. — Докл. АН СССР
1961, 138, 4, 805—808.
74. Юдович В. И. Некоторые оценки решений эллиптических урав-
нений.— Мат. сб., 1962, т. 59(101), с. 229—244.
75. Ю д о в и ч В. И. Об одной оценке решения эллиптического уравне-
ния. — УМН, 1965, 20, 2(122), 213—210.
76. Ю д о в и ч В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой не-
сжимаемой жидкости. — Докл. АН СССР, 1965, 161, 5, 1037—1040.
77. Ю д о в и ч В. И. Пример рождения вторичного стационарного или
периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вяз-
кой несжимаемой жидкости. — ПММ, 1965, 29, 3, 453—467.
78. Ю д о в и ч В. И. Математические вопросы гидродинамической тео-
рии устойчивости. — В кн.: Тез. докл. Всесоюзной межвузовской конферен-
ции по применению методов функционального анализа к решению нелиней-
ных задач. Баку, 1965, с. 25.
79. Ю д о в и ч В. И.- Устойчивость коивекциоииых потоков. — ПММ,
1967, 31, 2, 272—281.
"80 . Юдович В. И. О неустойчивости параллельных течений вязкой не-
сжимаемой жидкости относительно пространственно-периодических возму-
щений.— В ки.: Числ. методы решения задач мат. физики. М., 1966,
с. 242—249. ' .
81. Юдович В. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости
между вращающимися цилиндрами. — ПММ, 1966, 30, 4, 688—698.
82. Юдович В. И О бифуркации вращательных течений жидкости. —
Докл. АН СССР, 1966, 30, 2, 306—309.
83. Ю д о в и ч В. И. Рождение вторичных стационарных и периодиче-
ских режимов при потере устойчивости стационарного течения жидкости. —
Тез. кратких научных сообщений. Секция 15, ICM. М., 1966, с. 63.
84. Ю д о в и ч В. И. Вопросы математической теории устойчивости те-
чений жидкости. — В ки.: Третий всесоюзный съезд по теоретической и при-
кладной механике: Аннотации докл. М., 1968, с. 330.
85. Ю д о в и ч В. И. Пример потери устойчивости и рождения вторич-
ного течения жидкости в замкнутом сосуде. — Мат. сб., 1967, с. 74 (116),
4, с. 565—579.
86. Ю д о в и ч В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидко-
сти. — Докл. АН СССР, 1970, 195, 2, 292—295.
87. Юдович В. И. Об устойчивости автоколебаний жидкости.—Докл.
АН СССР, 1970, 195, 3, с. 574—576.
88. Юдович В. И. Возиикновеиие автоколебаний в жидкости. — ПММ,
1971, 35, 4, 638—655.
89. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, воз-
никающих при потере устойчивости стационарного режима. — ПММ, 1972,
36, 3, 450—459.
90. A gm о п S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary dif-
ferential equations in Banach space. — Comm, on pure and appl. Math., 1963,
16, 2, 121—239.
9. 1. Arnold V. I. Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de
dimension infinie et ses applications a 1’hydrodynamique des fluides parfaits.—•
Ann. de 1’inst. Fourier, Grenoble, 1966, 16,1, 316—361.
92. С a 1 d e г о n A. P., Z у g m u n d A. On singular integrals. — Acta
Math.. 1952, 88, .1—2, 85.
93. C h-a n d г a s e k h a г S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability.
Oxford, Clarendon Press, 1961, 583 p.
94. D a v e у A. The growth of Taylor vortices between rotating cylinders.—
J. Fluid Meeh., ,1969, 14, 3, 336—368.
95. Hirsch M., Pugh C., S h u b M. Invariant manifolds. Springer
Lecture Notes, 1977, v. 583.
96. Hopf E. Statistical hydrodynamics and functional calculus. — J. Rat.
Meeh. Anal.. 1952, 1, 1, 87—123.
97. К e 11 e у A. The stable, center-stable, center, . center-unstable and
unstable manifolds. — J. of Diff, equat., 1967, 3, 4, 546—570.
98. Lions J. L. Sur la regularite et 1’unicite des solutions turbulentes des
equations de Navier— Stokes. — Rend. Sem. Math. Padova, 11960, 30, 16—-'23.
99. Nirenberg L. Remarks on strongly elliptic partial differential equa-
lions.— Comm, on pure and appl. Math., 1955. 8, 6, 649—675.
100. Prodi G. Qualche risultati riguardo alle equazioni di Navier—Sto-
kes nel caso bidimensionale. — Rend. Sem. Math. Padova, I960, 30, .1'—15.
401. Pfodi G. Teoremi di tipo locale per il sistema di Navier—Stokes e
stabilita delle soluzioni stazionare.— Rend. Sem. Math. Padova, 1962, 312,
374—397. •„
102. Sattinger D. H. The mathematical problem of hydrodynamic
stability. —J. Math. and. Meeh., 1970, 19, 9, 797—617.
1108. Ser ri n-J. A note on the existence of periodic solutions of the Na-
vier—Stokes equations. — Arch. Rat. Math. Anal., 1959, 3, 120—122.
104. Stein E. M-, M e i s s G. An extension of a theoreme of Marcinke-
wicz and some of its applications.—J. of Math, and Meeh., 1959, 8, 2,
263—284.
<1
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................. з
ГЛАВА I. ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ
УРАВНЕНИИ НАВЬЕ—СТОКСА ... 14
§ 1. Оценки интегральных операторов в Lp 14
§ 2. Некоторые оценки решений эволюци-
онных уравнений..................... 25
§ 3. Оценки «старших производных» ре-
шений эволюционных уравнений . . 39
§ 4. Приложения к параболическим урав-
нениям и теоремам вложения ... 48-
§ 5. Линеаризованные уравнения Навье—
Стокса ......................55
П р и л о ж е н и е к § 5 . . . . . 75
§ 6. Оценка резольвенты линеаризован-
ного оператора Навье—Стокса . . 79-
§ 7. Оценки старших производных реше-
ния линеаризованных нестационарных
уравнений Навье — Стокса . . . 106
ГЛАВА II. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 115
§ 1. Устойчивость движения бесконечио-
« мерных систем ..........................115
§ 2. Условия устойчивости . . . 119
§ 3. Условия неустойчивости. Условная
устойчивость . , ...... 134
ГЛАВА III. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИ-
ЖЕНИИ . .................................139
§ 1. Постановка задачи . ... 139
§ 2. . Задача с начальными данными . . 141
§ 3. Условие асимптотической устойчи-
вости ...............................451
§ 4. Условие неустойчивости . . . 155-
§ 5. Условная устойчивость . . . 158
§ 6. Устойчивость автоколебательных ре-
жимов ...................168
§ 7. Неустойчивость циклов . ... 176
§ 8. Затухание старших производных . 184
ЛИТЕРАТУРА . 18&