Similar

Список абонентов сети абонентского телеграфа СССР

Вибрации в технике. Том 1. Колебания линейных систем

Динамика станков

Теоретические проблемы отечественного архивоведения

Text 
                    В. В . БОЛОТИЛ,
д-р техн. наук, проф.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
В РАСЧЕТАХ
СООРУЖЕНИЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — —
ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ


Книга посвящена систематическому изло жению статис­
тической динамики и те ории на де жно сти конст рукций. И зл а ­
гаются методы расчета конструкций на дейс твие с та т ич е с ­
ких и динамических нагрузок случайного характера. Изла­
гаетс я тео рия на де жн ости , осно ванная на интерпретации от­
каза как сл у ч айн ого выброса из допуст имой обла сти в про­
странстве качества. Д аются методы оценки на де жн ости для
многомер ных эвклидовы х и функционал ьных пространств ка ­
чества. И зл ож е н ие ил л юстр ируется на большом колич естве
пр имеров.
Книга рассчитана на инже нер ов-про екти ровщ иков и ин-
женеров-исследователей, работающих в строительстве, ма­
шиностроении, авиации и других областях техники, а также
на студентов старших курсов и аспирантов, которые специа­
л изи руются по рас чету и испытанию различных ко нс трук­
ций.
3-2 -5
П. п. D 71-43&


В последние годы наблюдается все более широкое внедрение мето­
дов теории вероятностей и математической статистики в строительную
механику. Публикуется много работ на эту тему, повышается их уро­
вень. Проводятся научные конференции по применению статистиче­
ских методов в строительной механике, организуются постоянные семи­
нары. Все большее число молодых научных работников избирают эту
область для своей творческой деятельности. Смещение интересов в сто­
рону вероятностных проблем вполне естественно. Оно отражает пони­
мание того факта, что только применение методов теории вероятностей
и математической статистики открывает путь для правильной оценки
надежности конструкций, для обоснованных методов проектирования
надежных, долговечных и рациональных сооружений и машин.
В криге дается изложение статистической динамики н теории на­
дежности применительно к расчету конструкций на действие статиче­
ских и динамических нагрузок. Книга является продолжением работы
автора, результаты которой вошли в книгу «Статистические методы в
строительной механике» (Стройиздат, 1965). Отличительная черта но­
вой книги состоит в широком применении теории случайных полей и бо­
лее последовательном проведении общей концепции надежности, ко­
торая в предыдущей книге предлагалась лишь как один из возможных
вариантов. Читателю, не знакомому с основами теории вероятностей и
ее приложениями к расчету сооружений, лучше начинать с книги «Ста­
тистические методы в строительной механике».
Книга состоит из трех глав. Глава I посвящена методам статистичес­
кой динамики и их применению к системам с конечным и бесконечным
числом степеней свободы. Глава II содержит примеры решения задач
статистической динамики. Излагаются методы расчета балок на сто­
хастическом упругом основании, многопролетных балок на упругих
опорах со случайными характеристиками, пластин и оболочек, средин­
ная поверхность которых имеет случайные начальные неправильности,
оболочек, находящихся в случайном температурном поле, и т. п. В III
главе излагается теория надежности, основанная на интерпретации от­
каза как случайного выброса из допустимой области в пространстве
качества. Излагаются методы оценки надежности для многомерных эв­
клидовых и дл я функциональных пространств качества. Приведены
примеры оценки надежности.
Книга написана по материалам лекций, которые автор читал в
1965—1968 гг. для студентов старших курсов и аспирантов Москов­
ского ордена Ленина энергетического института. Всем, кто принимал
участие в обсуждении этих материалов, и особенно Б. П . Макарову,
В. Н . Москаленко и Ю. Н . Новичкову автор выражает глубокую бл а­
годарность.


В настоящее время является общепризнанным, что поведение р еал ь­
ных конструкций обусловлено взаимодействием ряда факторов слу­
чайной (стохастической) природы. Поэтому обоснованный подход к оп­
ределению надежности и долговечности конструкций возможен только
с позиций вероятностных методов.
Обычный, детерминистический подход к расчету конструкций со­
стоит в сущности из двух этапов. Н а первом этапе вычисляются на­
пряжения, деформации и перемещения в1юнструкциях, подверженных
действию внешних нагрузок, или вычисляются некоторые предельные
значения этих нагрузок. Решению этой задачи служат методы строи­
тельной механики, теории упругости, теории пластичности и т. п.
Инженерный расчет на этом не заканчивается. Его конечной целью
является решение вопроса о том, сможет ли конструкция достаточно
надежно служить в течение установленного срока. Второй этап рас­
чета состоит в сопоставлении вычисленных напряжетйДцефбрмаций
и перемещений с некоторыми нормативно допустимыми значениями
(или в вычислении коэффициентов запаса и их сопоставлении с нор­
мативными значевиями). Будучи крайне элементарным, второй этап
расчета является в то же время весьма важным. Именно на этом этапе
косвенными и довольно примитивными методами решается вопрос о
выборе достаточно надежной, долговечной и экономичной конструк­
ции.
Схатцстическое ^иотолкование коэффициентов запаса и допуска­
емых напряжений открывает возможности для более обоснованного
и глубокого способа оценки надежности. Представляется целесообраз­
ным изложить его в терминах теории надежности — общетехнической
дисциплины, предметом которой является изучение надежности и до л­
говечности систем независимо от их х ар актера, назначения и т. п.
При этом становится необходимой перестройка первого этапа р ас­
чета. Д ля суждения о надежности нужно знать характеристики пове­
дения проектируемой конструкции в условиях эксплуатации. Это з а­
ставляет учитывать случайный характер внешних сил и других внеш­
них условий, а во многих случаях и случайную природу физических
и геометрических параметров конструкции. Возникают вероятностные
задачи, аналогичные задачам строительной механики, теории упругос­
ти, теории пластичности и других разделов механики твердого тела.
Это задачи о нахождении вероятностных характеристик поведения
конструкции по заданным вероятностным характеристикам внешних
условий и параметров конструкции.


Можно было бы говорить о вероятностных (или статистических) за­
дачах строительной механики, теории упругости, теории пластичности
и т. д . Однако во всех этих задачах на первый план выступает не способ
идеализации конструкции, а постановка вероятностной задачи и ме­
тод ее решения. Поэтому целесообразно объединить вероятностные за­
дачи различных ветвей механики твердого тела в одном ее разделе,
назвав его, например, «статистическая динамика твердого тела и кон­
струкций» или «статистическая механика твердого тела и конструк­
ций». Первое название обладает тем недостатком, что вызывает ассо­
циации лишь с динамическими задачами. Название же «статистичес­
кая механика» используется для обозначения раздела теоретической
физики, посвященного вероятностному описанию поведения термодина­
мических систем. Правда, в последнее время этот раздел физики все
чаще называется «статистическая физика». В этой книге, желая под­
черкнуть прикладной характер изложения, мы будем говорить о «ста­
тистической динамике конструкций».
В книге будет дано систематическое изложение статистической ди­
намики и теории надежности конструкций. Эти разделы строительной
механики весьма тесно связаны между собой. При решении каждой
конкретной задачи методы статистической динамики и теории надеж­
ности обычно излагаются последовательно (исключения составляют
некоторые оптимизационные подходы). Граница проходит примерно
там, где от определения напряжений, деформаций и т. д. мы переходим
к установлению опасных состояний и к вычислению вероятности их
возникновения. В одних случаях первый этап не содержит каких-либо
существенных трудностей, и решение задачи в сущности сводится к рас­
чету надежности. В других случаях, напротив, нахождение вероят­
ностных характеристик напряженно-деформированного состояния
требует тонких математических расчетов, в то время как собственно
расчет на надежность является элементарным. Тем не менее из методи­
ческих соображений представляется целесообразным излагать статис­
тическую динамику и теорию надежности конструкций раздельно. Е с­
тественно, что при такой структуре некоторые примеры будут обсуж­
даться дважды: один раз с точки зрения статистической динамики и
другой раз с точки зрения теории надежности.
Переходя к анализу современного состояния вопроса, мы ограни­
чимся указанием на наиболее крупные работы, а также на работы об­
зорного характера. Подробная библиография публиковалась неодно­
кратно; мы отсылаем за указаниями к книгам [14, 16] и статьям [17,
28, 37, 55] и др.
По ряду причин вопросами надежности конструкций начали^инте-
ресоваться ранее, чем вопросами статистической динамики. Как обще­
техническая дисциплина теория надежности сформировалась 10—15
лет назад в первую очередь под влиянием развития радиоэлектроники,
вычислительной техники и ракетной техники. Однако впервые вопро­
сы теории надежности были поставлены именно в строительной меха­
нике. Первыми по теории надежности были работы М. Майера и Н. Ф
Хоциалова, относящиеся к 1926—1929 гг. Здесь впервые под-


верглась критике концепция допускаемых напряжений и коэффициен­
тов запаса. В противовес этой концепции была выдвинута идея о при­
менении статистических методов к расчетам на прочность. В упомя­
нутых работах мы уже находим некоторые основные понятия теории
надежности. Первые публикации по надежности конструкций носили
дискуссионный хар актер и не получили в свое время широкого одобре­
ния. Выдающаяся роль в деле внедрения статистических методов в стро­
ительную механику принадлежит Н. С. Стрелецкому, который начи­
ная с 1935 г. опубликовал ряд работ на эту тему. В его книге [108] мы
находим систематическое изложение статистической концепции надеж­
ности сооружений; в неявной форме эта концепция нашла отражение
в методике расчета конструкций по предельному состоянию.
В послевоенные годы исследования были продолжены как в СССР,
так и в зарубежных странах. К этому периоду относятся работы
А. Р . Ржаницына, подытоженные в последней главе книги [102], рабо­
ты А. Фрейденталя [128], А. Ионсона [130] и др. Перечисленные работы
характеризуются стремлением к простейшим схемам расчета, не тр е­
бующим сложного аналитического аппарата. Эти схемы позволили
получить качественное описание явления, изучить влияние изменчи­
вости нагрузок и изменчивости прочности на надежность, поставить
задачу об оптимизации и т. д. В этот же период началось внедрение
вероятностных методов в машиностроение, судостроение и другие об­
ласти техники. В машиностроении вопросы надежности разрабатыва­
лись главным образом в связи с проблемой долговечности деталей ма­
шин, работающих в условиях переменных напряжений. Л итература,
относящаяся к этой области, весьма обширна; в СССР существенный
вклад в развитие методов расчета на долговечность был сделан С. В. Се-
ренсеном и его сотрудниками [104]. В применении к расчету судовых
конструкций идеи теории надежности р азвивались В. В. Екимовым
[49].
Последнее десятилетие характеризуется резким повышением объе­
ма и уровня исследований. Основной чертой этого периода является
более глубокое понимание принципов надежности и переход от эл е­
ментарных методов теории вероятностей к методам теории случайных
функций. Три тесно связанные идеи легли в основу теории. Первая
идея сводится к отчетливому пониманию того факта, что как внешние
условия эксплуатации конструкции, так и ее поведение в процессе
эксплуатации суть случайные процессы. Поэтому правильное ре­
шение проблемы надежности и долговечности конструкций возможно
лишь с привлечением теории случайных функций. Вторая идея состоит
в отождествлении надежности с вероятностью нахождения параметров
системы в некоторой допустимой области; нарушение надежности ин­
терпретируется при этом как выход из упомянутой области. Третья
идея состоит в признании того факта, что выход конструкции из строя,
как правило, является следствием постепенного накопления повреж­
дений: остаточных деформаций, износа и т. п. Эти повреждения, до­
стигнув определенной величины, начинают препятствовать н орм аль­
ной эксплуатации конструкции. Таким образом, свойственная ранним
в


работам элементарная трактовка надежности как вероятности выполне­
ния некоторого неравенства,’^связывающего случайные числа, уступает
место более углубленной и более адекватной трактовке на основе тео­
рии случайных функций.
Такой подход к надежности конструкций был предложен автором
в ряде статей и в книге [14J. Первое изложение было малоудачным
с методической точки зрения. Попытки улучшить его были сделаны в
докладе на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной ме­
ханике и в нескольких более поздних работах. Последняя глава этой
книги целиком посвящена теории надежности конструкций, излагае­
мой с единой точки зрения.
В пятидесятых годах вопросы статистической динамики конструк­
ций начали интенсивно разрабатываться; к настоящему времени опуб­
ликовано довольно большое количество работ. Многие исследования
были стимулированы развитием техники летательных аппаратов. К ним<
в первую очередь относятся исследования по колебаниям упругих
систем, находящихся под действием случайных сил: случайных поры­
вов в атмосфере, пульсаций давления в турбулентном пограничном1,
слое, пульсаций акустического давления вблизи работающего двига-1
теля и т. п. Аналогичные задачи возникают в связи с расчетом высот­
ных сооружений на действие ветра. Работы зарубежных авторов по
этой тематике представлены, в частности, в сборниках [56, 127]. Д р у ­
гая группа работ связана с расчетом судовых и ограждающих конст­
рукций на действие нерегулярного волнового давления. Некоторые из
этих работ отражены в книге В. В. Екимова [49]. Весьма важной для
строительной практики является разработка теории сейсмостойкости
и ударостойкости сооружений, учитывающей случайный характер на­
грузки [12, 42]. Обзор методов и результатов теории случайных коле­
баний (главным образом применительно к системам с конечным числом
степеней свободы) дан в статье [55].
Ряд работ посвящен изучению влияния случайных начальных не­
правильностей срединной поверхности на поведение пластин и оболо­
чек при статических и динамических нагрузках. Одна из целей этих
работ состояла в истолковании расхождений между результатами ис­
пытаний оболочек на устойчивость и теоретическими данными. Высо­
кая чувствительность критических усилий к начальным несовершенст­
вам, с одной стороны, и случайный характер этих несовершенств, с
другой, приводят к большому разбросу критических усилий, для опи­
сания которого необходимо привлекать методы теории вероятностей и
математической статистики. Общая характеристика этого направления
и библиографический обзор даны в книгах [14, 35] и статьях [17, 37].
Все эти вопросы принадлежат к широкому классу задач статисти­
ческой динамики, в которых случайный элемент вносится разбросом
геометрических и физических свойств самой конструкции (а не слу­
чайным характером внешних воздействий). В качестве дополнитель­
ных примеров можно у казать на задачу о влиянии случайного микро­
рельефа и случайных включений на концентрацию напряжений, на
задачу о деформировании конструкций, лежащих на упругом основа­


нии со случайными свойствами, и т. п. К тому же классу принадлежат
в сущности и задачи теории микоонеоднородных сред — поликристал­
лов, стохастически^армированных материалов и т. д. Назначение этой
теории — предсказание поведения микронеоднородных сред на осно­
вании известных свойств компонентов из известных законов их вер оят­
ностного распределения [64, 92]. Теория микронеоднородных сред
входит как составная часть в физические основы теории упругости и
пластичности, а к строительной механике имеет лишь косвенное отно­
шение. Однако в методологическом отношении она тесно связана со
статистической динамикой и поэтому может рассматриваться как один
из ее разделов.
Во многих публикациях упругие системы заменялись эквивалент­
ными в некотором смысле системами с конечным числом степеней сво­
боды, а нередко — системами с одной степенью свободы. Затем к этим
редуцированным системам применялся математический аппарат из
родственных областей — статистической теории автоматического уп­
равления, статистической теории связи и т. п. Подобные исследования
носили обычно лишь качественный, методический характер ^Р еа л ь н ы е
конструкции представляют собой системы с бесконечным числом "сте­
пеней свободы. Д л я описания их случайного поведения нужно ставить
и рецщ ъ хтохясхическда-кр аевые задачи. К настоящему времени тео­
рия стохастических краевых задач разработана мало, хотя имеются
\некоторые эффективные методы решения. Обзор этих методов с при­
зер ам и применения к стохастическим задачам теории пластин и обо-
)грчек был дан в статье [20]. В книге [14] при изложении вопросов ста­
ти сти ческо й динамики преобладал подход, основанный на приведении
/конструкций к системам с конечным числом степеней свободы. В этой
/книге конструкции рассматриваются как распределенные системы; при
/этом приведение к дискретным системам трактуется как один из пр и­
ближенных методов решения стохастических краевых задач.
В заключение кратко остановимся на возражениях, которые выдви­
гали в прошлом, да и сейчас продолжают выдвигать противники ве­
роятностных и статистических методов. Эти возражения, в сущности,
сводятся к двум основным. Первое из них — это сомнение в возмож­
ности получения опытных данных в количестве, достаточном для по­
следующей их обработки методами теории вероятностей. Такое сомне­
ние, обоснованное, может быть, в прошлом, в настоящее время уже
не должно приниматься во внимание. Развитие автоматики и измери­
тельной техники, обеспечивающей автоматическую регистрацию и д а ­
же планирование самого эксперимента, и широкое внедрение элект­
ронных вычислительных машин, позволяющих проводить весьма быст­
рую статистическую обработку больших объемов информации, —
все это снимает не только принципиальные, но и технические труднос­
ти. В качестве примера укажем на положение со статистикой началь­
ных неправильностей в тонких оболочках. В течение ряда лет против­
ники статистической теории указывали на невозможность получения
надлежащей информации. Недавно Б . П . Макаров [76, 77] показал, что
трудности вполне преодолимы, и получил при помощи специальной из­


мерительной установки и электронной цифровой машины надежные
статистические сведения о начальных неправильностях.
В вопросе о накоплении информации, необходимой для применения
вероятностных теорий к расчету инженерных конструкций, есть и д ру­
гая сторона. Нам нужна не любая информация, а информация, научно
организованная и приспособленная для ее последующей обработки ме­
тодами статистической динамики и теории надежности. Чтобы научить­
ся получать такую информацию, надо иметь достаточно хорошо р азр а­
ботанную теорию. На первый взгляд, получается замкнутый круг: без
информации нельзя развивать теорию, без теории невозможно на­
капливать информацию. Разрешение этого противоречия состоит в р аз­
работке теории, на основе которой в дальнейшем можно строить обо­
снованные эксперименты и наблюдения. Результаты, к которым при­
водит политика противоположного характера, можно проследить на
примере с проблемой усталости материалов. В течение ряда лет бес­
численное количество лабораторий во всем мире занимается этой проб­
лемой. Расходы на экспериментальное изучение усталости металлов и
других конструкционных материалов, возможно, превосходят затраты
на все механические испытания, вместе взятые. Между тем подавляю­
щее большинство опытных результатов остается без надлежащей об­
работки и интерпретации. Теории усталостного разрушения, пригод- •
ной дл я математического описания процесса накопления усталостных
повреждений и развития макроскопических трещин, до сих пор не су­
ществует. Своевременное создание такой теории, служащей организую­
щим началом для экспериментальных работ, позволило бы сэко­
номить немало времени и средств.
Второе соображение, выдвигаемое против вероятностных методов,
носит более отвлеченный хар актер. Часто утверждают, что выводы ве­
роятностного характера применимы лишь к массовым событиям и к
системам, которые создаются в большом числе экземпляров и эксплуа­
тируются в однородных условиях, т. е. лишь тогда, когда действует
статистическое истолкование вероятности и закон больших чисел.
Между тем вероятность есть некоторая объективная мера возмож­
ности наступления события: эта мера сохраняет свой смысл независи­
мо от того, является это событие многократно воспроизводимым или
нет. В жизненной практике мы повседневно (хотя и полуинтуитивно)
используем вероятностную меру для оценки возможности наступления
той или иной ситуации. Этот подход получил научное закрепление в тео­
рии операций — прикладной дисциплине, назначение которой состоит
в обоснованном планировании действий для достижения оптимального
(по вероятности) эффекта. Вероятность надежной работы проектируе­
мой конструкции в течение установленного срока эксплуатации оста­
ется объективной мерой надежности конструкции и в том случае, если
эта конструкция осуществляется в единственном экземпляре. Эта ве­
роятность может быть использована, например, для сопоставления с не­
которой нормативной вероятностью, полученной из анализа существую­
щей практики проектирования, а также для сопоставления различных
вариантов проектируемой конструкции.


Силы, действующие на конструкцию, как правило, допускают много­
кратное воспроизведение или развертывают свои вероятностные свой­
ства во времени. Конструкционные материалы изготавливаются в мас­
совом количестве, и их механические свойства в различных партиях
могут быть изучены исчерпывающим образом. Соединения, применяе­
мые в конструкциях, как правило, являются массовыми элементами
и, во всяком случае, могут быть осуществлены в количестве, достаточ­
ном для статистических выводов. Таким образом, поведение самого уни­
кального сооружения, в конечном счете, определяется случайными
факторами массового характер а, для каждого из которых допускается
статистическое толкование вероятности и закон больших чисел. Пред­
сказать на основе этого статистического материала поведение конструк­
ции — в этом, собственно, и состоит цель статистической динамики
и теории надежности.
В противовес вероятностным методам иногда выдвигают приемы,
использующие понятия о некоторых «редко встречающихся», «макси­
мальных», «минимальных» и тому подобных нагрузках и сопротивле­
ниях. Подобные приемы представляют собой по существу лишь сур­
рогат вероятностных методов, т. е. «вероятностные методы без приме­
нения теории вероятностей». При всей кажущейся простоте и очевид­
ности эти приемы содержат неустранимые логические противоречия.
Их практическая реализация невозможна без принятия волевых ре­
шений, в значительной степени лишающих эти приемы убедительности
и адекватности.
Итак, применение методов статистической динамики и теории на­
дежности требует резкого увеличения объема информации о внешних
силах (и вообще об окружающей среде), а также информации о мате­
риалах. Увеличение объема необходимой информации — естественная
пл ата за точное предсказание поведения конструкции и более досто­
верные выводы о ее надежности и долговечности.


ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
§ 1.1. Основные понятия*
Предметом статистической динамики является поведение механи­
ческих, электрических, радиотехнических, биологических и тому по­
добных систем при случайных внешних воздействиях и (или) случай­
ном изменении свойств системы. Представляется возможным развить
общую теорию поведения таких систем, не прибегая к конкретизации
их природы и свойств. При этом на первый план выходят такие вопро­
сы, как формулировка основных вероятностных задач и методы их ре­
шения. Этот путь позволяет придать более общую форму многим резуль­
татам, полученным в статистической теории связи, теории систем авто­
матического управления и других областях прикладной математики.
Эта книга посвящена исключительно механическим системам. Тем не
менее при изложении статистической динамики механических систем
все же предпочтительнее общая точка зрения. Дело в том, что механи­
ческие системы отличаются большим разнообразием как структуры,
так и вероятностных свойств. Например, мы встречаем здесь системы
с конечным числом степеней свободы, одномерные, двухмерные и трех­
мерные распределенные системы. В настоящей главе осуществлена
попытка изложить постановку задач статистической динамики и методы
их решения в возможно более общей форме. Однако общие соображения
проиллюстрированы исключительно на примерах из строительной ме­
ханики.
Рассмотрим некоторую систему, находящуюся во взаимодействии
с окружающей средой. Д л я простоты вначале предположим, что как
свойства системы, так и ее взаимодействие со средой являются чисто
детерминистическими. Пусть внешнее воздействие характеризуется
элементами q из пространства Q, а поведение системы — элементами и
из пространства (/. Математическая природа элементов обоих про­
странств, вообще говоря, произвольна. Это могут быть числа, векторы,
тензоры, функции одной или нескольких переменных и т. п. Структура
и свойства системы характеризуются оператором Я , посредством ко­
торого каждой реализации внешнего воздействия q 6 Q приводится в
соответствие реализация поведения и в U- Таким образом,
_________
и= ЯЧ.
(1)
* Параграфы имеют д войную нумерацию, причем первая (римская) цифра
о бо знач а ет номер главы. В пред ел ах каж дой главы для формул принята сп лош ­
ная ну мерация; номер главы указывается лишь в ссылках на формулы из других
глав.


Примером такой системы может служить любая упругая система,
нагруженная внешними силами. Рол ь воздействия играют внешние
силы, роль параметров поведения системы — перемещения, напр яже­
ния и деформации. Оператор Н задается уравнениями теории упругос­
ти, строительной механики и т. п ., а такж е соответствующими началь­
ными и граничными условиями. Помимо силовых воздействий могут
встретиться тепловые, химические, электри-
q
и=Н(1 ческие и тому подобные воздействия.
**
В статистической динамике радиотехниче­
ских систем и систем автоматики внешние
Рис* 1
воздействия часто называются входными па р а­
метрами (переменными, процессами), а пар а­
метры поведения системы — выходными параметрами (переменными,
процессами). Эту терминологию полезно сохранить и при более общем
изложении. Таким образом, операторное соотношение (1) устанавли­
вает связь между элементами q пространства входных параметров Q
и элементами и пространства выходных параметров U. У казанная
связь иллюстрируется простейшей блок-схемой (рис. 1).
Необходимо отметить, что выбор пространств Q и U и, следователь­
но, оператора Н не является единственным. Это порождается многи­
ми причинами. Одна из причин заключается в том, что понятия систе­
мы и окружающей среды являются в значительной
степени условными. Это вызвано не только неодно­
значностью при выборе схематизации системы. Д аже
при заданном уровне схематизации ^ одни и те же
факторы могут быть отнесены как к самой системе,
так и к окружающей среде. В зависимости от того,
где проходит граница между окружающей средой и
системой, будет меняться содержание операторного
соотношения (1).
Поясним сказанное на примере из строительной
механики (рис. 2). Рассмотрим упругий прямолиней­
ный призматический стержень длиной /, наг ружен­
ный осевой силой Р и распределенной поперечной
нагрузкой, интенсивность которой равна q. Эти силы,
вообще го воря, являются функциями времени. Поведение стержня
описывается функцией w(x, t) координаты л; и времени /, равной попе­
речным смещениям точек, которые лежат на оси стержня. При неко­
торых дополнительных предположениях функция w(x, f) удовлетво­
ряет уравнению
Рис. 2
EJ
д4w
~дх*~
fр
д2w
дх2
+т
д2w
~Ы2
(2)
Здесь EJ — жесткость стержня при изгибе; т — масса стержня
на единицу длины; к — коэффициент демпфирования.


Кроме того, должны быть поставлены начальные и граничные ус­
ловия. Например, это могут быть условия:
w=
(/=о, 0<*</);
(3)
d2w
4’
W=TT
= 0 (0<<<оо, Jf=r0,l).
дх2
Дифференциальное уравнение (2) и условия (3) представляю т собой
конкретную реализацию операторного соотношения (1). По физичес­
кому смыслу взаимодействие системы с окружающей средой хар акте­
ризуется силами P(t) и q(xyt)yкоторые играют роль входных процессов.
Выходным процессом является функция перемещений w(x, t). Итак,
w = H[P,q].
(4)
Если продольная сила Р постоянна, то целесообразно включить
ее в систему. Другими словами, целесообразно трактовать упругий
стержень, нагруженный постоянной силой Р , как систему, на которую
действует внешняя нагрузка q(xt t). При таком подходе сила Р стано­
вится параметром системы и входит в определение конкретной реа­
лизации оператора Я . Воздействие, которое может быть включено
в свойства системы, будем называть параметрическим (рис. 3).
Имеется еще одна важная причинЯТвызывающая неоднозначность
операторного соотношения (1). Дело в том, что выходные параметры
можно выбирать различными способами. В зависимости от этого вы­
бора будет меняться форма оператора Я . Пусть пространство U яв­
ляется исчерпывающим в том смысле, что при помощи его элементов
можно описать любое возможное поведение системы. Очевидно, что
для каждой системы, вообще говоря, существует бесконечное множест­
во исчерпывающих пространств. Все они эквивалентны, поскольку к а ж­
дое из них может нести полную информацию о поведении системы. Опе­
раторы Я , соответствующие различным исчерпывающим пространст­
вам, должны выражаться один через другой определенными соотноше­
ниями.
Пусть пространство — исчерпывающее, причем по каждому его
элементу и можно восстановить соответствующий элемент q 6 Q- При
этом условии существует обратный оператор L, такой, что
Lu=q.
(5)
Заметим, кстати, что задачи строительной механики, теории упругос­
ти, теории колебаний и т. п. обычно ставятся именно в виде (5), т. е
в форме, не разрешенной относительно элементов пространства U. Об­
ращение оператора L составляет одну из основных задач расчета ме­
ханических систем.
Далеко не всегда целью расчета или исследования служит получе
ние исчерпывающей информации о поведении системы. В прикладных
задачах часто бывает достаточно ограничиться сведениями о значениях


некоторых параметров в отдельных точках или звеньях системы. Н а­
пример, при статическом расчете конструкции часто ограничиваются
определением напряжений лишь в наиболее ответственных элементах,
перемещений лишь в тех точках, где ожидается, что они будут макси­
мальными, и т. д. Это вносит еще большее разнообразие в выбор про­
странства U и, следовательно, оператора Я . Д л я пространств {/, кото­
рые не являются исчерпывающими, операторы Я , вообще говоря, не бу­
дут выражаться друг через друга, хотя и могут быть выражены через
один из операторов, соответствующих исчерпывающему пространству.
Хотелось бы еще на одном примере проиллюстрировать условность
отделения системы от окружающей среды. Пусть тонкая упругая плас-
Рис. 3
( ^ 4a)dx, с1хг
£
Рис. 4
тинка, нагруженная нормальной нагрузкой интенсивностью q, совер-
шает колебания в потоке газа (рис. 4). При вполне определенных пред­
положениях уравнение колебаний этой пластинки можно представить
в виде
DAAw+m~ - +k-^ -=q+qa,
(6)
где w(xlt х2, /) — нормальное перемещение точек, лежащих на средин­
ной поверхности пластинки; т — ее масса, отнесенная к единице пло­
щади срединной поверхности; k — коэффициент демпфирования;
Д — оператор Лапласа на плоскости переменных xlf х2. Уравнение
(6) должно решаться при некоторых'начальных и граничных условиях,
например при условиях:
w= -^ =0 (t=0, xltx26Q);
dt
w___d^_= 0 (0^/^оо, xlfХ26Г).
дп
Здесь Q — область, занятая срединной поверхностью; Г — контур
пластинки, на котором она предполагается защемленной; dwldn —
производная от перемещения по нормали к контуру. Взаимодействие
пластинки с газом учитывается давлением последнего qjx^x ^t), кото­
рое входит в правую часть уравнения (6). Существенно, что это да вл е­
ние является функционалом от искомого перемещения w(xltx 2l t)> Так,
в одном из простейших случаев, когда обтекание пластинки происхо-


дит с большой сверхзвуковой скоростью К, а вносимые ею возмущения
достаточно малы, можно положить,
Здесь х — показатель политропы; ^ и С о о — соответственно давление
и скорость зву ка в невозмущенном потоке. Рассматриваемая система
является типичной системой с обратной связью (рис. 5). Поскольку
давление газа qa зависит от перемещения, то целесообразно трактовать
его не как входной параметр, а как оператор от поведения системы.
Таким образом, мы рассматриваем невоз­
мущенный поток газа как составную часть
%[
иг
системы. Операторное уравнение
Г|______
приводится к виду (5), если принять за
Рис- 5
оператор системы L — La.
До сих пор мы полагали, что как свойства системы, так и характер
внешних воздействий являются чисто детерминистическими. Пред­
метом статистической динамики, как уже было указано, является по­
ведение системы при случайных воздействиях и (или) при случайном
изменении свойств системы. Введенные выше понятия о пространст­
вах входных и выходных параметров и об операторном задании си­
стемы полностью сохраняют смысл и при рассмотрении вероятностных
задач. Однако изменяется способ описания указанных параметров, а в
случае стохастических систем — и способ описания системы.
Пусть входной параметр q является стохастическим, т. е. представ­
ляет собой случайное число, случайную функцию и т. п. Тогда каждо­
му элементу q 6 Q приводится в соответствие некоторая вероятност­
ная мера. Например, если входной параметр есть случайное число, то
оно характеризуется функцией распределения (плотностью вероят­
ности). Если входной параметр — случайный вектор, то он задается
многомерным совместным распределением для компонентов. Случай­
ная функция времени может быть задана, например, через полную
систему совместных функций распределения ее значений в произволь­
но выбираемые моменты времени. Вместо полного вероятностного опи­
сания путем задания меры в функциональных пространствах нередко
используется частичное описание. При этом широко применяются ин­
тегралы по вероятностной мере: математические ожидания, дисперсии
и другие моменты от случайных величин, моментные и корреляционные
функции от случайных процессов и т. д.
На вопросе об описании стохасттеску[Х^1ЖЗШ.меобхоА1то оста-
новитьс'я'подробногБ теорий "вероятностей и ее приложениях обычно
используется статистическое истолкование вероятности. При этом ве­
роятность случайного события интерпретируется как объективная ме­
Lw=q+Law


ра, эквивалентная эмпирической частоте. В соответствии с законом
больших чисел в форме Бернулли вероятность случайного события есть
предел, к которому стремится (по вероятности) эмпирическая частота,
когда число наблюдений неограниченно возрастает. В свою очередь,
применение понятия эмпирической частоты предполагает, что сл учай­
ное событие является массовым, т. е. что оно допускает многократное
воспроизведение в статистически однородных условиях. Отсюда следует,
что статистическое истолкование вероятности может быть распростра­
нено лишь на такие системы, которые осуществляются в большом ко­
личестве статистически однородных, сопоставимых экземпляров. То л ь­
ко имея достаточно представительный ансамбль систем, мы можем по­
лучить статистические оценки вероятностных свойств системы. С дру­
гой стороны, только при этих условиях можно дать статистическое
истолкование вероятностным выводам, которые следуют из решения
задач статистической динамики.
Такой подход чрезвычайно бы сузил область применения вероят­
ностных методов. Выпали бы из рассмотрения не только уникальные
(и часто наиболее дорогие и ответственные) системы, но и системы, из­
готовляемые в относительно небольшом количестве сопоставимых э к­
земпляров. Как уже говорилось, вероятность есть объективная мера
возможности наступления события независимо от того, является ли
оно массовым или нет. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и
полуинтуитивно) применяем вероятностные оценки к событиям, кото­
рые заведомо не являются массовыми, принимаем на основе этих оце­
нок решения и добиваемся успеха. При этом вероятность приобретает
смысл некоторой меры доверия к тем или иным утверждениям. Анализ
этого вопроса является не технической, а скорее философской, логи­
ческой и психологической проблемой. Чтобы избежать связанных с нею
затруднений, можно воспользоваться понятием мыслимого ансамбля,
т. е. наряду сдан ной системой рассматривать множество воображаемых
сопоставимых систем.
Однако при этом сохраняются существенные трудности, имеющие
практический характер. Для получения вероятностных характерис­
тик системы необходимо иметь соответствующую статистическую ин­
формацию, а ее, вообще говоря, можно получить только из рассмотре­
ния представительного ансамбля. Этот ансамбль, разумеется, должен
быть реальным, а не мыслимым. Аналогичное затруднение возникает
даже в том случае, когда система является массовой. В распоряжении
экспериментатора очень редко находится количество экземпляров, до­
статочное для того, чтобы делать надежные статистические выводы. К
счастью, многие вероятностные свойства систем обладают эргодич­
ностью. Эти свойства проявляются не только в ансамбле реализаций,
но и во времени и (или) в пространстве. Такие вероятностные свойства
можно изучать, наблюдая за поведением одного экзем пляра во време­
ни или изучая, как эти свойства меняются при переходе от одной точки
к другой. Примером реализации этого подхода служит предсказание
прочности крупного сооружения из бетона или железобетона на осно­
вании большого числа испытаний малых лабораторных образцов.


§ 1.2. Задачи статистической динамики.
Классификация систем
Соотношения (1) и (5) устанавливают связь между реализациями
входных и выходных параметров детерминистической систем^. Если
входные параметры и (или) параметры системы являются случайны­
ми, то возникает вопрос о связи между соответствующими вероят­
ностными мерами или некоторыми характеристиками последних. Уста­
новление этой связи при заданной связи между реализациями,
собственно, и является предметом статистической динамики. В зави­
симости от того, какие параметры являются заданными, а какие —
искомыми, будем различать четыре типа
задач статистической динамики.
Первая, основная задача состоит в
нахождении^вероятностных свойств выход­
ных параметров при известных вероятно­
стных свойствах входных параметров и
параметров системы. В строительной меха­
нике этой задаче соответствует прямой расчет конструкции на дейст­
вие заданных сил.
Вторая задача является обратной по отношению к первой. Она со-
стоитТПнахождении вероятностных свойств входных параметров поЛ
известным свойствам выходных параметров. Свойства системы прис
этом такж е предполагаются известными. Решение подобных задач тре- -
буется, например, при определении статистических характеристик
внешних сил по известным статистическим данным, относящимся к пе-^
ремещениям, напряжениям и другим параметрам поведения конструк-,
ции. С точки зрения операторных соотношений (1) и (5) решения п р я - 1
мой и обратной задач аналогичны. Однако решение обратной задачи
может существенно осложниться, если имеется несколько входных воз->
действий (рис. 6) и если требуется по поведению системы установить
статистические характеристики каждого воздействия в отдель­
ности.
Третья задача заключается в огщеделечши-вероятностных-свойств.
стохастической системы по известным характеристикам на ее входе и
выходе. В самом общем случае может оказаться неизвестной сама
структура системы. Изучение свойств неизвестной системы путем сопо­
ставления ее реакций с входными воздействиями составляет так назы­
ваемую «проблему черного ящика». Однако в столь общей форме з а ­
дачи ставится весьма редко. Обычно известна не только структура си­
стемы, но и информация о ее детерминистических ^свойствах. Тогда
целью исследования является получение информации о стохастичес­
ких свойствах системы. Один из простейших путей для решения тр е­
тьей задачи состоит в изучении реакций системы на соответствующим
образом выбираемые детерминистические воздействия. Задача ослож­
няется, если внешнее воздействие сопровождается случайными поме­
хами с неизвестными свойствами. Тогда мы имеем, по существу, объе­
динение второй и третьей задач.
2 Зак. 1481
(
17
9г
и
Рис. 6


Под четвертой задачей статистической динамики мы будем понимать
отыскание "системыь которая при заданных внешних воздействиях об­
ладает заданными свойствами. Примером может служить задача о син­
тезе оптимальной системы, тг ^ - системы, которая обладает наилучши­
ми в некотором смысле свойствами. Обычно критерий оптимальности
формулируется в виде условия максимума (или минимума)~нёкоторых
функционалов от свойств системы и ее реакций на внешние воздействия
при дополнительных ограничениях, накладываемых на другие функ­
ционалы или параметры системы. Так, при оптимальном проектиро­
вании конструкции ставится требование о том, чтобы стоимость конст­
рукции (или ее вес) была минимальна при ограничении снизу несущей
способности (или надежности) конструкции.
Задачи синтеза весьма трудны, хотя имеются примеры эффектив­
ного решения некоторых классов. У кажем на теорию оптимальных л и ­
нейных систем связи и управления, обеспечивающих отработку задан­
ного сигнала при минимальной средней квадратической ошибке [62,
97]. При расчете механических систем задачи синтеза в столь общей
форме возникают очень редко. Из чисто функциональных соображе­
ний часто бывает задана не только структура системы, но и ряд ее па­
раметров. В этих слу чаях задача сводится к отысканию оптимальных
значений остальных параметров системы.
Часто условие оптимальности заменяется более простыми требова­
ниями. Например, условие минимума веса конструкции заменяется
более простым условием равнопрочноеTM ее элементов. Поэтому в д ал ь ­
нейшем, говоря об оптимальных системах, критер иях оптимальности
и т . п ., мы будем трактовать эти понятия в широком смысле. А именно,
будем называть систему оптимальной, если она удовлетворяет заранее
сформулированным условиям, при которых, по мнению проектиров­
щика, система будет «наилучшей». Подчеркнем, что выбор кр итер ия
для оптимизации не входит в задачу статистической динамики. Этот
критерий выбирается на основе функциональных, экономических, тех­
нологических и тому подобных соображений и притом выбирается не
единственным образом. Один из путей для выбора критерия оптималь­
ности открывает теория надежности [65, 95].
Если основная задача статистической динамики решена, то, как
правило, результаты могут быть использованы для решения остальных
задач. В самом деле, решение основной задачи дает соотношения между
вероятностными характеристиками на входе и выходе системы, а также
вероятностными характеристиками системы. В зависимости от того,
какие характеристики по условиям задачи известны, мы найдем из
этих соотношений решения второй и третьей задач. Пусть далее постав­
лена четвертая задача, причем критерий оптимальности сформули­
рован в виде условия минимума некоторого функционала от поведе­
ния системы. Тогда решение основной задачи предоставляет необхо­
димую информацию и дл я решения четвертой задачи. Таким образом,
целесообразно сосредоточить внимание на решении основной задачи.
Выбор метода для решения задач статистической динамики в су­
щественной степени зависит от характера системы. Классификацию


систем можно провести по различным признакам. Остановимся на
некоторых из них.
В зависимости от того, как ведет себя система при одновременном
приложении двух или нескольких воздействий, будем различать ли­
н ейные,и нелинейные, системы. Система, описываемая операторным
уравнением (1), называется линейной, если оператор Я удовлетворяет
условиям
Н [aq] = aHq\
H[q1+ qi]=Hq1+ Hq2.
(7)
Здесь а — произвольное число; qt и q2 — внешние воздействия. Если
оператор Я условиям (7) не удовлетворяет, то система называется
нелинейной. К линейным системам применим принцип суперпозиции:
реакция системы на сумму внешних воздействий может быть най­
дена как сумма реакций, вычисленных от каждого воздействия в от­
дельности.
Необходимо указать, что из линейного хар актера дифференциаль­
ных уравнений относительно выходного параметра еще не следует ли­
нейность оператора Я . В качестве примера рассмотрим задачу, которая
описывается уравнением (2) при дополнительных условиях (3). Диф­
ференциальное уравнение (2), а также начальные и краевые условия
линейны относительно функции перемещений w(x, (). Соответствующий
оператор Я является линейным, если входным параметром служит ин­
тенсивность поперечной нагрузки q(xt /), а величина продольной силы
Р трактуется как параметр системы. Если же продольная сила Р от­
носится к числу внешних параметров, то соответствующий оператор
становится нелинейным: принцип суперпозиции к операторному урав­
нению (4) неприменим. Таким образом, система, линейная по отноше­
нию к одним воздействиям, может оказаться нелинейной по отношению
к другим воздействиям. В частности, по отношению к параметричес­
ким воздействиям любую систему следует трактовать как нелинейную.
Другой признак для классификации получим, рассматривая поведе­
ние свойств системы во времени. Система называется стационарной,
если ее свойства неизменны во времени. Оператор Я для стационарных
систем инвариантен относительно смещения начального момента в ре­
мени. Оператор Я нестационарной системы этим свойством не облада­
ет. Отметим, что одна и та же физическая система в зависимости от
уровня схематизации может рассматриваться как стационарная или
нестационарная. Как правило, расширяя систему за счет окружающей
среды, мы можем добиться того, что система станет стационарной. В
самом деле, самые общие уравнения механических, физических, х и­
мических и тому подобных явлений инвариантны относительно *сме­
щения начального момента времени. Н еинвар1рнтность возникает
лишь из-за того, что некоторые процессы рассматривают как внешние,
автономные по отношению к системе. В качестве примера рассмотрим
конструкцию из бетона, в котором еще не закончился процесс времен­
ного упрочнения. Пусть ползучесть конструкции происходит при по­


стоянных нагрузках. Поскольку свойства бетона меняются во времени,
то уравнения ползучести будут явно содержать время. Дополним урав­
нения ползучести кинетическими уравнениями, описывающими физи­
ко-химические процессы в бетоне. Если температура бетона постоянна,
то расширенная таким образом система уравнений уже не будет содер­
ж ать времени явно. В случае переменной температуры следует доба­
вить уравнение теплопроводности, учитывающее тепловыделение в бе­
тоне, и т. д.
Можно предложить несколько классификаций систем, основанных
на рассмотрении аналитических свойств оператора Н. Эти свойства
могут быть связаны со структурой пространств Q и U, а могут быть не
связаны. Весьма целесообразно различать вырожденные и невырож­
денные операторы. Оператор Н называется вырожденным, если пр о­
странства Q и U суть конечномерные эвклидовы пространства и если
соотношение между элементами этих пространств конечно.
С вырожденным оператором мы встречаемся каждый раз, когда и
внешнее воздействие, и поведение системы описываются конечным чис­
лом параметров, причем связь между этими параметрами дается фор­
мулами, не содержащими ни дифференциальных, ни интегральных опе­
раций. В инженерных расчетах вырожденные операторы встречаются
весьма часто, особенно если идет речь о неполном описании поведения
системы. В качестве простого примера рассмотрим балку, которая на­
гружена п случайными силами Qlt Q2, Qn, которые прикладывают­
ся квазистатически. Предположим, что задача состоит в нахождении
изгибающих моментов Mlf М 2, . .. , Мт в т сечениях балки. При из­
вестных ограничениях связь между моментами и силами дается фор­
мулой
Mj=2 ЛлЛл (/=Ь2. -
- т),
(8)
k=l
где г)jh — матрица коэффициентов вл ияния пор'ядка т Х п , элементы
которой определяются известными методами. Формуле (8) соответст­
вует операторное соотношение (1) с вырожденным оператором.
Очевидно, что вырожденным оператором будет обладать любая с и­
стема с конечным числом степеней свободы, если положить временные
эффекты пренебрежимо малыми. В самом деле, для этой системы мы по­
лучим конечную связь между входными и выходными параметрами. В
работах по статистической динамике систем автоматического у пр ав ле­
ния такие системы называют безынерционными. Этот термин неудобен
в общей статистической динамике, а также в статистической динамике
механических систем, где встречаются как системы с конечным числом
степеней свободы, так и распределенные системы. Если в дифферен­
циальных уравнениях движения распределенной системы опустить
все члены, содержащие производные по времени, то мы получим все
же невырожденную (хотя и безынерционную) систему.
Дополнительный аргумент против термина «безынерционная систе­
ма» вытекает из рассмотрения следующего примера. Пусть конструкция


находится под действием динамических сил, заданных с точностью до
нескольких случайных параметров. Наиболее естественный способ ре­
шения основной задачи для такой системы состоит в отыскании конеч­
ных соотношений между искомыми выходными параметрами и п ара­
метрами внешних сил, которые на этом этапе полагаются детерминиро­
ванными. Связь между указанными параметрами характеризует неко­
торую вырожденную систему. Однако по существу задача остается ди­
намической. Таким образом, понятие вырожденного оператора намного
шире, чем понятие оператора для безынерционной системы с конечным
числом степеней свободы.
Еще один признак для классификации дает число измерений систе­
мы. Будем различать системы с конечным числом степеней свободы
(дискретные системы) и распределенные системы. Последние подразде­
ляются на одномерные, двухмерные и т. п. системы. Поведение невы­
рожденных дискретных систем описывается обыкновенными дифферен­
циальными уравнениями относительно некоторых функций времени.
Поведение распределенных систем может описываться как обыкно­
венными дифференциальными уравнениями (в случае квазистатичес-
кого воздействия на одномерные системы), так и уравнениями в част­
ных производных. Существенным моментом в задачах, относящихся
к распределенным системам, является постановка краевых условий.
Говоря о задачах статистической динамики для распределенных си­
стем, мы будем употреблять термин «стохастическая краевая задача».
§ 1.3. Метод решения задач для вырожденных систем
Пусть число входных параметров qlf q2l .... , qn конечно и пусть
эти параметры являю тся случайными числами с известной совместной
плотностью вероятности pq (qlt
. . . , qn). Пусть далее поведение си­
стемы описывается конечным числом выходных параметров — слу­
чайных чисел иъ и2,
ит. Наконец, предположим, что известна одно­
значная детерминистическая зависимость между указанными группа­
м и параметров:
Щ= и!(qltЦг,..., qj (/= 1,2.......т).
(9)
Система, удовлетворяющая этим условиям, является вырожденной.
Нахождение распределений для выходных параметров сводится к при­
менению известных формул теории вероятностей, дающих распреде­
ление для случайных функций от случайных величин. В литературе
этот путь обычно называется методом безынерционных преобразова­
ний [111], или квазистатическим методом [17].
Формула для функции распределения выходных параметров ии
м2, ..., итимеет вид
Fu(uv u2, ...,ы т) =$ •••$ p4(q1,q2,...,qn)dqidq.1...dqn,
(10)


где интегрирование производится по области /г-мерного пространства
входных параметров, для которой справедливо неравенство
Uj(Яг,Яг>•••>Яп)< «} (/=1,2 ,..., т).
Дифференцируя функцию распределения по ее аргументам, получим
выражение дл я совместной плотности вероятности выходных парамет­
ров.
При некоторых дополнительных ограничениях нетрудно получить
формулы, непосредственно связывающие плотности вероятности для
входных и выходных параметров. Предположим, что т < п и что соот­
ношения (9) допускают обращение относительно т переменных qu q2,
Чтя
qj=QJ(u1,u2, ... ,ит\ qm+u...,qn) (/= 1 ,2 ,..., m). (11)
Если Qj — однозначные дифференцируемые функции переменных
uv ы2, ...» ит , то решение основной задачи статистической динамики
дается формулой
оо
оо
pu(ultи2, .... ыт)= 5
5 pq(Qx, Q2......Qm;................ qn) X
X d(Qi,Q2......Qm)
dq,m+1 dqn.
d {uy, u2,
, u,„)
Здесь использовано обозначение для якобиана преобразования:
d(QiIQ2,•••,Qm)
( 12)
д(ии «2, ... ,ит)
dQi dQi
дОх
дих ди2
дит
dQ2 dQ2
dQt
диг ди2
дит
dQm dQm
дОт
ди± ди2
дит
Пусть т = п и пусть соотношения (9) взаимно однозначны. Вместо (12)
получаем формулу
д (Qi, Qz> •••, Qn)
d(ttj,u 2, ,ы„)
В простейшем случае, когда т = п = 1, эта формула имеет вид
dQ(u)
ри(и1г иг, . . . , ип) = pq(Qv Q2.......Qn)
(13)
Ри (u) = Pg [Q(“)l du
(14)-
Наконец, рассмотрим случай, когда т~> п. Тогда, очевидно, среди
т параметров иъ и2, .. . , ит будут функционально зависимыми т — п
параметров. Если среди т соотношений (9) можно выбрать п таких,
что обратные функции
qi=Qj(di,u2, ... ,ип) (/= 1,2,..., п)


однозначны и дифференцируемы, то для плотности вероятности выход­
ных параметров вновь получим формулу (13).
Формулы (12) и (13) могут быть обобщены на случай, когда функции
Qi, Q2» •••» Qn не являются однозначными. В этом случае область изме­
нения аргументов следует разбить на подобласти, в пределах каждой
из которых функции Qb Qo, . . . , Qn остаются однозначными. Затем сле­
дует просуммировать вклад каждой из этих подобластей в искомое
распределение. Если же функции Qx, Q2, ...» Qn являются кусочно-не­
прерывными, то следует воспользоваться общей формулой (10). При
этом плотность вероятности ри(и19 и2,
ит) будет обобщенной функ­
цией, содержащей особенности типа дельта-функции.
Формулы типа (12), (13) и (14) широко применяются в теории связи
и теории автоматического управления. Примером может служить вы­
числение плотности вероятности сигнала на выходе квадратического
детектора [62]. В статистической механике конструкций аналогичные
приемы применяли начиная с 1958 г. В частности, они широко исполь­
зованы для решения квазистатических задач в нелинейной теории у п­
ругих оболочек [11]. Некоторые приложения к указанным задачам бу­
дут даны в главе И; здесь же ограничимся элементарным примером.
Допустим, что некоторый стержень нагружен изгибающим моментом
Мь и крутящим моментом M t. Опасное состояние стержня достигается
тогда, когда некоторая функция моментов М ъи M t превышает предель­
ное значение, зависящее от свойств материала и геометрии сечения
стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического
материала эта функция может быть взята в виде
Mrr--Y
+
(15)
Здесь М г — приведенный момент, определенный в соответствии с кри­
терием текучести, который основан на наибольших касательных на­
пряжениях. Пусть задана совместная плотность вероятности pq(Mb1Mt)
для изгибающего и крутящего моментов. Д ля расчета надежности
стержня необходимо знать плотность вероятности ри(Мг) приведенного
момента М г. Решение этой задачи сводится к применению формулы
(12)прит=1,п=2.
Выполним вычисления для случая, когда моменты М ь и M t сто­
хастически независимы и подчиняются центрированному нормально­
му распределению:
1
Р„(МЬ,М,) = —-
—
ехр
2KGb Of
(16)
Здесь вь и <jt — средние квадратические значения моментов М ь и
M t соответственно (квадратные корни из дисперсий). Д л я упрощения
выкладок перейдем к полярным координатам, положив
Mb= MrcosO; М, = М.sin0


где угол 0 меняется в пределах 0 ^ 0 ^ 2я. Совместная плотность
вероятности для случайных величин М ти Gдается формулой типа (13):
р„(Мт, 0) = pq(Mrcos О, М,. sin 0) д(Mrcos 8, Мтsin 8)
д(Мг, 0)
Используя формулу (16) и замечая, что якобиан ппеобпазовяния
найдем
д(Mrcos 8, Мтsin8) _
д(Мг>в)
~
‘
P„(Mr,0)=
Mr
2nOba*
exp
M2r(<J* sin20+ of cos20)
20*02
Плотность вероятности pu(Mr) определяется интегрированием по­
лученной формулы по углу 0:
2я
pu(Mr)=lP„(Mr,Q)dQ.
0
Использу я известную формулу анализа
2л
^ е~аcos vdy = 2л/0(а),
6
где / 0(а) — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка,
получим окончательно
Ри(Мг)= - ^ г ехР
GbGt
то формула (17) принимает вид
/ (М*
\
(\7\
ч®/ J°1
1• \1Ч
иMtодинаковы, т. е. аь==ot= а,
Mr
ри(Ю=— ехр
При этом приведенный момент подчиняется распределению Рел ея.
В некоторых случаях достаточно ограничиться вычислением тех
или иных числовых характеристик выходных параметров. Так, иногда
достаточно знать математические ожидания и дисперсии этих парамет­
ров. Вычисления этих и аналогичных числовых характеристик прово­
дятся осреднением соответствующих функциональных зависимостей.
Пусть, например, требуется вычислить математическое ожидание не­
случайной функции f(uu и2, . .. , ит) от выходных параметров. При из­


вестной совместной плотности вероятности для входных параметров
эти вычисления производятся по формуле
ОО 00
<,f{u1,u2,...,um))^ jj l f{^i>Ui,...,Um)pq{q1,qi,...,qn)x
—
ОО
—
ОО
Xdq1dq2...dqn.
(18)
В подынтегральном выражении выходные параметры выражаются че­
рез 9,, <72,
с учетом зависимостей (9). Здесь и в дальнейшем угло­
выми скобками обозначается операция вычисления математического
ожидания.
В качестве элементарного примера покажем, как вычисляются ма­
тематическое ожидание и моменты параметров Мъ М2, Мт, связан­
ные с параметрами Qlt Q2, Qn формулой (8). Применяя к обеим час­
тям этой формулы операцию математического ожидания, найдем
<м,> = 2 Tb-ft<Q/l> (/= 1,2,
(19)
А=1
Чтобы вычислить моменты второго порядка, составим произведение
MjMh и определимого математическое ожидание. С учетом формулы
(8) получим
<MjMhy= 2 2 1b>TlAS<QrQ»> (/,fe=l,2 ,...,m)
(20)
r=1 S=1
и т. д . В некоторых случаях найденных числовых характеристик доста-
точно для нахождения совместного распределения pu(Mlt М ъ ... , М т).
Так, если совместное распределение параметров Qly Q2, . . . , Qm— нор­
мальное, то в силу линейности связи (8) будет нормальным распреде­
ление параметров М1у М 2, ...» М т. Математические ожидания т
случайных величин и матрица тХ т их моментов второго порядка пол­
ностью характеризуют m-мерное нормальное распределение.
До сих пор предполагалось, что система является детерминисти­
ческой. Рассмотрим теперь стохастическую вырожденную систему.
Стохастическая вырожденная система — это ансамбль, состоящий из
большого количества статистически однородных, сопоставимых экзем­
пляров, которые отличаются друг от друга некоторыми параметрами
/*1 , г2, ... , rs. Д ля наугад взятого экземпляра эти параметры являются
случайными числами. Стохастическая система будет задана, если из­
вестна совместная плотность вероятности pT(rly г2, . . . , rs) указанных
параметров.
Естественный способ вычисления реакции стохастической системы
состоит в следующем. Вначале берется один из экземпляров системы
и изучается его поведение при внешнем воздействии. При этом н а­
ходится условное распределение вероятностей для выходных парамет­
ров при фиксированных параметрах системы. Затем применяется фор­


мула полной вероятности, которая Дает распределение выходных па-
раметров для наугад взятого экземпляра, т. е. для стохастической си­
стемы.
Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть входное воздей­
ствие характеризуется одним случайным числом q, реакция системы—
одним случайным числом и, а стохастические свойства системы—одним
случайным числом г. Пусть далее при фиксированном г связь между
входом и выходом дается формулой
«= и (як)
(данные, у казанные после вертикальной черты, обозначают условие,
при котором устанавливается зависимость). Если обратная функция
q= Q{и| г)
явл яется однозначной и дифференцируемой, то для условной плотнос­
ти вероятности ри(и\г) получаем формулу
Ра(U\r) = pq[Q(»U)]
dQ(UIг)
да
(21)
Эта формула аналогична зависимости (14) и дает распределение выход­
ного параметра системы при заданном значении г. Д л я наугад взятого
экземпляра параметр г является случайной величиной. Пусть рг(г) —
плотность вероятности этой величины. П рименяя формулу полной ве­
роятности, найдем безусловную плотность вероятности выходного п а ­
раметра
оо
Р«(“) = $ Р„(“ Ir)Pr(г)dr.
С учетом соотношения (21) окончательно получаем
Pu(U)= $ PqlQ(u\r)]pr(r)
dQ(u I г)
ди
dr.
(22)
Формула (22) допускает обобщение на случай, когда число парамет­
ров произвольно. Пусть выходные параметры ии и2, . .. , итзависят от
входных параметров qu q2, ... , qn и параметров системы ги г2) rs:
uJ==^j(lh<<h>•••. <7nIru r2>•••»rs) (/= 1 ,2 ,. .. ,m).
(23)
Пусть далее m < n и пусть соотношения (23) имеют обращение отно­
сительно т переменных qu q2, . .. , qm:
Я}~ Qj(Ul>U2 ' ••• >ит' Qm+l,
,Яп\Гц Гг,
,Г„) (/= 1,2, ... ,in),
(24)
которые являю тся однозначными и дифференцируемыми функциями
переменных ии и2, .. . , ит. Условная плотность вероятности при фикси­
рованных параметрах системы rlt г2, . . . , rs определяется по формуле


типа (12), в которую подставляются функции Qj согласно (24). Обозна­
чим условную плотность вероятности через ри(ии ы2,
ит\гх, г2,
...,rs). Плотность вероятности выходных параметров для стохастической
системы найдем по формуле полной вероятности:
оо
оо
Ри(«1 . «2. -
- “т)=5 5Ри(«1.«2. -
. «т Iг1>Г2,.... rs)X
—
ОО
—
оо
XрЛо, Г2, ..., /-8)drxdr2...drs.
(25)
§ 1.4. Метод функций Грина
Анализ стохастического поведения невырожденных систем пред­
ставляет более серьезные трудности. Исчерпывающее решение задачи,
состоящее в получении совместных распределений для выходных па­
раметров, может быть получено лишь в некоторых частных случаях.
Обычно приходится удовлетворяться более скромной информацией,
например сведениями о математических ожиданиях и младших момент-
ных функциях выходных параметров. В этом и следующих парагра­
фах мы рассмотрим вопрос о нахождении моментных функций невы­
рожденных систем. Вначале мы рассмотрим более простые — линей­
ные дискретные детерминистические системы. Однако многие методы
допускают распространение на более общие классы систем.
Цель состоит в том, чтобы при известной связи между входным и
выходным процессами, заданной в форме (1) или (5), и известных мо­
ментных функциях входного процесса вычислить моментные функции
выходного процесса. Соотношения между моментными функциями оп­
ределяются осреднением уравнений (1) или (5), а также уравнений, ко­
торые получаются из последних в результате простых операций. Метод
решения задач статистической динамики, основанный на использова­
нии соотношений между моментными функциями входного и выходного
процессов, будем называть методом моментных функций. Реализация
этого метода существенно зависит от того, в какой форме заданы исход­
ные соотношения: в форме (1), разрешенной относительно выходного
процесса, или в форме (5).
Рассмотрим линейную дискретную детерминистическую систему.
Движение такой системы обычно описывается одним обыкновенным л и­
нейным дифференциальным уравнением или системой таких уравнений.
Оператор L в уравнении (5) будет при этом линейным дифференциаль­
ным оператором, а оператор Н в уравнении (1) — линейным интеграль­
ным оператором типа Вольтерра. Исходя из уравнения (1), будем по­
лучать явные выражения для моментных функций, содержащие повтор­
ные интегральные операции. Используя уравнение (5), мы получим дл я
определения моментных функций выходного процесса линейные диф­
ференциальные уравнения. Отсюда видно, что целесообразно разл и­
чать две модификации метода моментных функций. Метод, основанный
на соотношениях типа (1), называется методом импульсных переход­
ных функций, методом весовых функций и т. п. [62, 97, 111].


Аналогичный метод для решения стохастических краевых задач
использует понятие функции Грина и называется поэтому методом
функций Грина [20]. Как импульсная переходная функция дл я задачи
Коши, так и функция Грина для краевой задачи представляют собой
реакцию системы на единичное воздействие. Ввиду этого первую моди­
фикацию метода момеитных функций можно назвать методом функций
Грина. Метод, основанный на соотношениях типа (5) (если последние
представляют собой дифференциальные уравнения), будем называть
методом стохастических дифференциальных уравнений.
В данном параграфе мы рассмотрим подробно метод единичных во з­
действий. Будем исходить из соотношения
u=tfq.
(26)
Пусть система явл яется линейной и детерминистической. Пр им еняя
к левой и правой частям соотношения (26) операцию осреднения по мно­
жеству реализаций входного процесса и замечая, что операция осред­
нения линейна и переставима с оператором Я , получим
<^u>= t f <q>.
(27)
Таким образом, математическое ожидание выходного процесса ли ней­
ной детерминистической системы связано с математическим ожиданием
входного процесса той же зависимостью, что и соответствующие р е а­
лизации.
Д ля вычисления моментной функции второго порядка запишем соот­
ношение (26) в форме, дающей выход и(/) в два различных момента вре­
мени ti и t2:
u(A)=Hhq(тх); u(А)= Нчq(т2).
(28)
Здесь Hth — оператор, преобразующий процесс q(rft) в процесс и(4).
Умножая первое соотношение (28) на и(Г2)> используя второе соотно­
шение и учитывая свойства операторов Я<, и Я<8, получим формулу,
связывающую моментные функции второго порядка для входного и
выходного процессов:
<u(A) и(А)) = Я ,1Я/2<Ч(т1) Ч(т,)>.
(29)
Аналогичные соотношения имеют и моментные функции сколь угод­
но высокого порядка. Пусть A. t2, . .. , tn — несовпадающие моменты
времени. Моментная функция «-го порядка дл я выходного процесса
линейной дискретной детерминистической системы определяется . по
формуле
<u (A) u (А) ...и (fn)> = Hh Я <2... Htn<q (Tl) q (т2) ... q (тп)>. (30)
Если некоторые моменты времени совпадают, например А = Г2, то
следует воспользоваться формулой (30), выполнив все вычисления при
А Ф А. и положить в окончательном результате А = А-
Для приложений значительный интерес представляют центральные
моментные функции второго порядка, т. е. моментные функции вто­


рого порядка от центрированных случайных процессов. Эти функции
будем называть корреляционными. По определению, корреляционная
функция случайного процесса q(/) вводится как
ffe (M «) = <4(<i)q&)>.
(31)
а корреляционные функции выходного процесса — как
<(*!.* .) = <
(32)
Здесь и в дальнейшем волнистой чертой сверху обозначены центриро­
ванные случайные процессы:
q=q— <q>; u= u— <u>.
(33)
Принимая во внимание формулы (29), (32) и (33), получим следую­
щую зависимость, связывающую корреляционные функции входного
и выходного процессов:
K u« i.U = HtlHtxK9{т1(т2).
(34)
Ряггмптрим ррялизяттию ппрраторных формул (27), (29), (30) и (34)
для случая, когда внешнее воздействие характеризуется одной функ­
цией времени q(t), а поведение системы — одной функцией времени
u(t). Соотношение (26) принимает для этого случая вид
t
и (i) = J h(i,x)q(x)dx.
(35)
—
оо
Здесь h(t, т) — решение соответствующего дифференциального урав­
нения при q{t) = b(t — т), где b(t) — дельта-функция, и при нулевых
начальных условиях. Это решение имеет смысл реакции системы на
единичный импульс, прикладываемый в момент времени / = т . В тео­
рии автоматического управления эта функция называется обычно им­
пульсной переходной функцией (иногда — весовой функцией). Мы
будем называть функцию h(t, т) функцией Грина.
Формула (35) записана в предположении, что воздействие q(t) з а­
дано при —оо
^ оо. Если система находилась в покое при t < 0
и если воздействие задано при 0 ^ t < оо, то нижний предел интегри­
рования следует положить равным нулю. Впрочем, можно сохранить
формулу в общем виде (35), если считать в этом случае, что q(t) = 0
приt< 0.
С учетом (35) формула (27) для математического ожидания выход­
ного процесса принимает вид
<»(/)>= (j h(t, т)(q(т)>dx.
(36)


Аналогично преобразуются формулы (29) и (30). Например,
it tt
<.u{k)u(t2)y = ^ ^ h(t1,x 1)h(t2,x2)<kq(x1)q{x2)ydx1dx2.
И вообще
<u(ti)u(tj ...«(**)> =
*П
$ h(к, Tj) h(t2,x2) ...h (tn, Tn) <q(Tj) q(x2) ...q (т„)> x
X dxrdx2 ... dxn.
Особый интерес представляют стационарные системы. Д л я таких
систем функция Грина h(t, т) зависит явно только от разности t — х.
Таким образом, h{t, т) = h(t— т), и формула (36) переписывается сл е­
дующим образом:
t
<ы (0>= ^ h(t— x)(q(x)ydx.
(38)
Вместо формулы (37) получаем
11 ^2
< ц (/1) ц ( ^ ) > = § ^ h(t1— x1)h(t2—x2)<,q(x1)q(x2)ydxl dx2 (39)
ит.д.
Рассмотрим более подробно реализацию операторной формулы (34),
связывающей корреляционные функции входного и выходного процес­
сов. С учетом (35) получаем
ТС„(к, t2)= j J h(к, тх)h(t2,x2)K„(xlt x2)dxxdx2.
(40)
—
oo—oo
Если система явл яется стационарной, то приходим к формуле, которая
аналогична (39):
ии
Ku(ti,t2)= § h(t1— xl)h(t2— xi) K 4(x1,x 2)dx1dx2.
(41)
—
оо—оо
Пусть, наконец, внешнее воздействие явл яется стационарным сл у­
чайным процессом. Тогда поведение стационарной системы такж е бу­
дет стационарным случайным процессом. Корреляционные функции
инвариантны относительно сдвига начального момента времени:
К„(к, t2)= Кч{t2- к)- Ки(к, к) =Ки(к-к)-
(42)


Подставляя выражение (42) в формулу (41) и производя замену пере­
менных
^2 ^1—
^1
—^1» ^2 ^2—®2»
получим окончательно
К„(Т)= 5 5h(Oj)h(02)к„(Т+ 0Х- 0 2)d0,do,.
(43)
Оо
U(t)
Проиллюстрируем применение формулы (43) на простом примере.
Рассмотрим линейную систему с одной степенью свободы, находящуюся
под действием случайной силы Q(t)
(рис. 7). Обозначая перемещение
через u(t), массу через Л4, жесткость
упругой связи через с, а коэффициент
вязкого трения через k, получим урав­
нение
М
aft)
Я77777777777777777777ГГ77777777777.
М— +k— +cu=Q(t).
dt'dt
w
Если в этом уравнении ввести обозначения
^Уж
’’ 2е=Ж
Рис. 7
то оно перепишется в виде
^
+2е-^ +<о2о«= <7(0.
(44)
aia
at
Для вычисления корреляционной функции перемещения по задан­
ной корреляционной функции усилия необходимо построить функцию
Грина h(t). Согласно (35), эта функция удовлетворяет уравнению
—
+2е—+ш20/1=б(/)
dfl
dt
w
при нулевых начальных условиях. Вместо того, чтобы решать неодно­
родное уравнение, можно рассмотреть соответствующее однородное
уравнение, принимая начальные условия в виде
h=0, 4
=1(*=°)-
at
Несложные вычисления дают
h(t)= — e-e'sina),/,
(45)
где через о)е обозначена частота собственных колебаний системы, вы­
численная с поправкой на силу трения,
(0,= |/(о2_ег .


При этом полагаем, что е < (о0, т. е. что трение меньше критического
значения. Подставляя выражение (45) в формулу (43), получим
оо оо
Ки(т) = JL J J е - (о,+о.) sin о,, ох•siп о>, 0а•К„(т -|- 0Х- 02)dOtd%.
£оо
(46)
Пусть корреляционная функция внешнего воздействия имеет вид
К0= К0&(т),
(47)
где К0— постоянная . При этом внешнее воздействие является дельта-
коррелированным, т. е. представляет собой «белый шум». Подстановка
выражения (47) в формулу (46) дает
оо
Ки(т)= -^°е 211Ге-2е0sin(0е0•sin(0е(IтI+0)dQ
со, J
или после вычисления интеграла
К и(т)= К"е^ \ (COStoeТ+ ^ sinСО,IтI)j.
(48)
До сих пор мы рассматривали реализации операторных соотноше­
ний (27), (29), (30) и т. д. для случая, когда внешнее воздействие (а так­
же и поведение системы) описывается единственной функцией време­
ни. Пусть теперь внешнее воздействие характеризу ется п функциями
времени q^t), q2{t)y. . . ,qn(t), а поведение системы—т функциями време­
ни u1{t)9u2(t), .. ., um(t). Пусть далее оператор Н является интеграль­
ным оператором с матрицей Грина
h'uitt't) ^i2(^» T)
^21 (^» т») ^22^»
Ami(*,x) hm2(t9x)
элементы которой hjk представляют собой реакцию /-й координаты си­
стемы на единичный импульс, соответствующий k-му воздействию (/ =
= 1, 2, ..., т\ k = 1 ,2 , ..., /г). Реализация операторного соотноше­
ния (26) имеет вид
п)t
МО = 2 § hjh(t,T)qkr(x)dx (/= 1,2, ...,m). (49)
/г=1-оо
Осредняя соотношение (49) по множеству реализаций, получим
формулу, которая является обобщением формулы (36):
п
t
<М0>=2 $ hjk{t,x){qh(x)ydx (/= 1 ,2 , . . . ,т). (50)
k=1 —оо


Д ля моментных функций второго порядка получаем формулу
п
пtt12
=S
S 5 jj hia{tu t 1)hk^(t2,x2){qa{xi)q^(x2))dx1dx2
a= 1(3=1—oo —со
(j,k= 1,2,... ,m),
(51)
аналогичную формуле (37), и т. д .
Введем взаимные корреляционные функции, равные моментным
функциям второго порядка от центрированных процессов:
=
—
=
— <«А>-
Обозначим эти функции следующим образом:
Kq.Qk</х, t2) = ~qj {k)~qh (t2)); K„. „k (tlt t2) = (hj (t,) Zh (t2)>.
(52)
Связь между корреляционными функциями входного и выходного про­
цессов дается формулой
п
п
iI tj
=
S 2 $ $ /i/a(/i,Ti)/t*p(/2,T.,) K qa4(t1,Tjdxl dx2
a=l fl=l —oo —oo
(/,£ = 1 ,2 ...... m).
(53)
Эта формула обобщает зависимость (40). Дальнейшие упрощения, свя­
занные со стационарностью системы и (или) стационарностью про­
цессов, проводятся аналогично тому, как это было сделано ранее для
одномерных процессов.
§ 1.5. Метод стохастических дифференциальных уравнений
Пусть связь между входным и выходным процессами задана в фор­
ме
Lu=q,
(54)
где L — дифференциальный оператор. Уравнение (54) связывает слу­
чайные функции и(/) н q(/) и называется поэтому стохастическим диф­
ференциальным уравнением. Осредняя уравнение (54), а такж е урав­
нения, которые получаются из него умножением на u(/j), u (/2) и т. д .,
будем получать дифференциальные уравнения относительно момент­
ных функций выходного процесса. Такой путь определения момент­
ных функций, как указывалось ранее, называется методом стохасти­
ческих дифференциальных уравнений.
Связь между математическими ожиданиями входного и выходного
процессов получим, осредняя уравнение (54) по множеству реализа­
ций. Если L — линейный детерминистический оператор, то он переста­


вим с оператором осреднения. В результате получаем уравнение отно­
сительно математического ожидания выходного процесса
L<u>= <q>.
(55)
Таким образом, математические ожидания связаны теми же дифферен­
циальными уравнениями, что и соответствующие реализации. Н ачаль­
ные условия для математического ожидания выходного процесса по­
лучим осреднением начальных условий для реализаций. Так, если на­
чальные условия для реализации нулевые, то для математического
ожидания также ставятся нулевые начальные условия.
Переходим к выводу дифференциальных уравнений относительно
моментных функций второго и более высокого порядков. Формальный
метод получения этих уравнений аналогичен выводу формул (27), (29)
и (30). Пусть L — оператор, переводящий процесс q(4) в процесс и(4).
Этот оператор действует только на функции переменной tk. Например,
если
г
dVI
dV~l I
.
d.
/cc.
L=a'>dF+av~l~d ^+
+ai^i+a°’
(56)
где a0, alt . .. , av — некоторые постоянные, то оператор L
записы­
вается в виде
‘к
г
FI
dv~ ‘
I
I
д,
L=avT7r+ av-l a.v-T
+ al 7T~^a0-
<k dt%
dtl
dth
Запишем уравнение (54) для двух моментов времени tx Ф /2:
Lu(/i) = q(/1), Lu (t2)= q (t2).
(57)
h
*2
Умножая первое уравнение на Lu (t2) и осредняя результат, получим
t,
L L<u(/1)u(^2)>= L<q(^)u(/2)>.
'l '2
'2
Но из второго уравнения (57) после умножения на q(/j) и осреднения
находим
L <q(/x) и0У> = <q(/2)q(L)>.
*2
Учитывая эти соотношения, получим окончательно уравнение относи­
тельно моментной функции второго порядка:
L L<u(/1)u(^)> = <q(^1)q(/2)>.
(58)
'1 '2
Вообще, если 1Ъ /2, . . . , tn — несовпадающие моменты времени, то
момеитная функция /г-го порядка удовлетворяет уравнению
L L ... L <u(/x)u(L,) . . .u (/n)>= <q(/1)q(/2)...q(/n)>.
(59)
1,L


Выпишем такж е операторное уравнение, связывающее корреляцион­
ные функции KJJi, t-ij и Kq{ti, t2) выходного и входного процессов:
LLtfu(M 2)= /C(/(/ltg.
(60)
Уравнения (58), (59) и (60) представляют собой уравнения в част­
ных производных. Они должны решаться при начальных условиях,
которые получаются осреднением начальных условий для функций
u(t) и дл я произведений этих функций, взятых в различные моменты
времени. Следует заметить, что задача определения моментных функций
из этих уравнений несколько отличается от классических задач мате­
матической физики. Здесь мы имеем по существу многомерную зада­
чу Коши. Дополнительное своеобразие вносят условия симметрии мо­
ментных функций относительно перестановок аргументов ty, t2, . . . , tn.
Строгим исследованием корректной постановки этих задач, насколько '
нам известно, никто не занимался. Поэтому при постановке этих за­
дач будем руководствоваться лишь здравым смыслом.
Поясним постановку задачи для сл учая, когда оператор L имеет
вид (56), а начальные условия дл я функции u(t)—нулевые:
du
dt
dv~'u
dlv~ ‘
о (/=0).
Используя для краткости обозначения:
(61)
Ф(^l> к> •••> ^п) — (t-y) ll (t2) ... u(tn)y\
Ф(h>к... in,)= <я(к) я(к) ■■■я(*»)>,
представим уравнение (59) для моментной функции п-то порядка в виде
,5,(°V'S “+ 'Iv“1!f!+
+“•
=
(62)
Начальные условия для функции ф(/х, i2, . . . , tn) выберем с учетом на­
чальных условий (61). Эти условия можно получить следующим об­
разом. Записав начальные условия для функции u(th) одного из аргу­
ментов tk, умножим каждое из них почленно на произведение функций
u(ty) и (t2) ... u(tk-i)u(tk+i)... u(tn). После осреднения находим
дф_
Ф“дк~
Оф
К~'
=0 (^й= 0; k= 1,2, ... ,п).
(63)
Можно использовать начальные условия и в другой, по-видимому,
эквивалентной форме. Например, записав начальные условия (61)
в виде
Р=0,1,2
v—1\
k=l,2
/’


умножим каждое из них на произведение
d*u(th)
К
и осредним по множеству реализаций. В результате получим началь
ные условия
Ф
дп ср
dtxdt2... dtn
дп
^ф
=0
(64)
(th=0; k=\,2 , ... ,n).
Их симметричная форма находится в соответствии с условиями сим-
метрии моментных функций по отношению к перестановке аргументов
tit t2t •••) tп,
г Фактическое решение задач классическими методами математи­
ческой физики (например, методом разделения переменных) показы­
вает, что при начальных условиях, поставленных в форме (63), реше­
ние уравнения (62) существует и определяется единственным образом.
,
В качестве простого примера рассмотрим определение кор р ел я­
ционной функции на выходе системы, движение которой описывается
уравнением (44). Уравнение (60) для этой системы записывается так:
(If+:2 ‘5 7 +•“»)(щ + :2‘ 1 г + )*■<'*'«=
<*»
Пусть начальные условия для центрированного выходного процесса
u(t) — нулевые. Начальные условия для корреляционной функции мо­
гут быть представлены как в форме (63):
=
(^i = 0);
uti
ки=
^ =0(f,=0),
ut2
так и в форме (64)
*•=175Г°Л-о »'.=»)•
По-видимому, можно ограничиться постановкой начальных условий
при tx = 0, дополнив его условием симметрии корреляционной функ­
ции:
Ки{1х,^) = КЛк^х).
(66)
Если u(t) — стационарный случайный процесс, то
Обозначая /2 — tx = т и замечая, что
д
__
d_
д_d
dh~ dx’
dta~dx’


перепишем уравнение (65) следующим образом:
(^■-2 es +fflS)(S+2 ' i +“!")'c“<,)='(«(,)- (67)
Дополнительные условия получим из рассмотрения свойств кор­
реляционных функций стационарного случайного процесса. Эта функ­
ция должна быть четной, т. е.
*»(-*)= *„(*)•
(68)
Кроме того, корреляционная функция и ее производные должны быть
ограничены на бесконечности, а для корреляционной функции эрго-
дического процесса выполняется более сильное условие
4'
lim-l f K,W*=0.
(69)
Т-*оо 1 J
Заметим, что в силу условия четности (68) достаточно определить
решение (67) при 0 ^ т < о о . При этом, если процесс u(t) — дифферен­
цируемый, то из условия (68) вытекает, что
dKu ^ d*Ku =Q
dx dx3
(t=0).
В противном случае при т = 0 должно быть задано условие скачка
нечетных производных, которое устанавливается из рассмотрения
поведения в нуле корреляционной функции К д(т).
Допустим, что внешнее воздействие является стационарным белым
шумом. Его корреляционная функция имеет вид (47). Из уравнения
(67) видно, что четвертая производная от /Сц(т) содержит сингулярную
составляющую /С06(т). Следовательно, третья производная имеет в
нуле скачок, равный -^/С0. Вместо неоднородного уравнения (67) с пр а­
вой частью (47) рассмотрим соответствующее однородное уравнение
4_2е-1+ш§
dx2
dx
=о
с неоднородными начальными условиями:
~г^=°; 4 ^ = 4 -*° (т=0)-
(70)
dx
dx3 2
На бесконечности должно выполняться условие (69).
Решение уравнения, как обычно, ищем в виде Ки=Сегх, где г — х а ­
рактеристический показатель. Уравнение для определения х а р ак­
теристических показателей имеет вид
(г2—2ег+ ©о)(г2+ 2ег+ ©о)= 0.


Отсюда находим, что
Г—Ч~£ ~f~U0е,
где сое — частота собственных колебаний системы, вычисленная с по­
правкой на демпфирование. Д альнейшие формулы выписываем для
случая, когда е < со0.
На основании условия (69) отбросим частные решения, которым
соответствуют показатели с положительной действительной частыо.
Таким образом,
Ки(т) = Сх
t + С2е-(е+/«е)
Постоянные Сх и С2 находим из условий (70):
п_
Ко
.
п_
01—
;,On—
8/есое (е —/сое)
_
___
Ко____ ^
8/еоое (e + tcOg) *
Подстановка найденных значений в решение дает
=
------
8iecoe \ е—iMg
e+ (tog
откуда после перехода к действительному выражению получаем окон
нательную формулу
Ки(т) = ~~~~п— (cos(0ет+ ~ siпсоет
4togе \
й)е
Эта формула выведена при т > 0. Заменяя в ней т на | т |, распро­
страним ее на всю действительную ось. Будучи переписана в таком ви­
де, полученная формула совпадает с формулой (48).
Метод стохастических дифференциальных уравнений легко обоб­
щается на случай, когда как внешнее воздействие, так и реакция си­
стемы являю тся многомерными процессами. Пусть внешнее воздейст­
вие описывается п функциями qi(t), q2(t) ...... 7П(/), а поведение системы—
т функциями u^t), u 2(t), . . . , um(t). Операторное уравнение (54) задает­
ся матрицей
~Ln
7* 12
Lm
^ 21 Ту22
L2n
Lmi Lm2
^тп
где Ljh — линейные операторы. В развернутом виде уравнение (54)
имеет вид
т
^Ljhuh=qj (/=1,2, ... ,П).
k=i
Уравнения относительно математических о жиданий -и моментных
функций для многомерного процесса u^t), и Ж), . . . . um(t) получим, как


и ранее, осреднением. Так, для математических ожиданий имеем си*
стему уравнений
2 £л<и*>=<^> (/=1,2,
*=i
для моментных функций второго порядка — систему уравнений
тт
2 2 Lia Lk&<ы“ (*i) “Р(**)> =
(h) Як(*»)> (У. * = 1,2,..., и)
а=1 0=1
^2
ИТ.Д.
§ 1.6. Метод спектральных представлений
Среди эффективных методов решения задач прикладной математи­
ки особое место занимает метод преобразований Фурье. Представляя
функции (оригиналы) в виде обобщенных рядов или интегралов Фурье,
мы заменяем операции над оригиналами соответствующими операция­
ми над коэффициентами ряда Фурье или трансформантами Фурье. При
надлежащем выборе преобразования операции над коэффициентами
или трансформантами Фурье могут оказаться значительно проще, чем
операции над оригиналами. На заключительном этапе мы вновь воз­
вращаемся к пространству оригиналов. Частными случаями этой ши­
роко известной методики являются методы преобразований Лапласа,
Фурье, Фурье — Бесселя и т. п.
Распространение метода преобразований Фурье на случайные
функции будем называть методом спектральных представлений. Суть
этого метода состоит в том, что случайная функция представляется в ви­
де обобщенного ряда Фурье со случайными коэффициентами или в
виде обобщенного интеграла Фурье, спектр которого есть случайная
функция. Действия над заданной случайной функцией заменяются
действиями над ее коэффициентами или трансформантой Фурье. Часто
такой подход дает весьма ощутимые преимущества [97]. Хорошо из­
вестным примером служит представление центрированного стацио­
нарного случайного процесса в виде стохастического интеграла Фурье.
При любом спектральном составе заданного процесса его трансфор­
манта Фурье оказывается стационарным «белым шумом».
Остановимся на методе спектральных представлений подробнее,
начав со случая представления функции в виде ряда Фурье. Пусть
случайная функция q(t) может быть представлена в виде конечного или
бесконечного ряда
<7(0 = 2Q*<p*(0,
(71)
k
где <Pi(/), ср2(0» • • • — некоторая система неслучайных функций; Qb
Q2,
—
случайные числа. Система функций ср^/), ср2(/),
и система
случайных чисел Qb Q2,
должны быть полными в том смысле, что
любая реализация процесса q(t) может быть удовлетворительно аппро­
ксимирована рядом (71). Случайный процесс q(t) будет задан, если из­


вестна совместная плотность вероятности p(Qx, Q2, •••) коэффициентов
ряда (71) или полная система моментов этих коэффициентов.
Рассмотрим прохождение процесса, заданного в форме (71), через
линейную детерминистическую систему. Пусть связь между входные
и выходным процессами задана в форме (54). Подставляя ряд (71) 0
уравнение (54) и учитывая линейность системы, получим представле­
ние дл я выходного процесса в виде
tt(0= 2Q*iM0-
(72)
к
Здесь Qu Q2, ...
—
коэффициенты ряда (71), фх(/), ф2(/), . . .
—
детер­
министические функции, определяемые из решения уравнения
7-Фл —Фа-
(73)
Моментные функции выходного процесса u(t) определяются осред­
нением ряда (72) и рядов, получаемых перемножением (мы предпола­
гаем, что перестановка оператора L и операции суммирования, пере­
множение рядов и т. п . допустимы). Д л я математического ожидания
выходного процесса получаем формулу
<«(0>=2<<2Л>Ы 0.
(74)
к
Моментная функция второго порядка выходного процесса вычисляется
по формуле
<и(УU(g>=2 2 <QjQk>Ь Vi)Ф*ih)
(75)
/k
и т. д . Таким образом, при заданных моментах коэффициентов ряда
(71) решение задачи о прохождении процесса через линейную систему
сводится к решению вспомогательного детерминистического уравне­
ния (73) и применению формул типа (74) и (75).
Рассмотрим простой пример применения только что выведенных
формул. Пусть линейная колебательная система, уравнение которой
имеет вид (44), при / < 0 находится в покое. В момент t = 0 к системе
прикладывается случайная нагрузка
<7(0=2
к
Здесь а1( а2,
—
некоторые неслучайнее положительные числа;
функцию распределения или моменты слуНДйных чисел Qx, Q2,
по­
лагаем известными. Очевидно, мы имеем здесь частный случай р а зл о­
жения (72). Уравнение (73) запишется дл я данного случая следующим
образом:
^
+ 2в^ + (В§фя=.е -в*/.
dt*
dt
Yh


Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным ус­
ловиям, будет
'I>л(*) = ■
,t
—
£//
•-е
( cos cogi-
« А—е
0)о sinWg/
“0+a*-2e0tA
Математическое ожидание и моменты выходного процесса u(t) мо­
гут быть теперь найдены по формулам (74), (75) и т. п. Например, сред­
ний квадрат процесса u(t) выражается через моменты второго поряд­
ка коэффициентов Qb Q2,
и функции ф,,(0:
/ц2(л\ _
_________
<QjQh>__________e- a j t _
(“o+ay—2eaj)(“o+ aA~2ea*) *-
— e~et(COS(08t-
a,- —e
Sin (0e
e
а Л—e
/j e~ah‘— e E‘(cosaet—
sin coe t
Часто бывает целесообразно выделить из ряда (71) математическое
ожидание процесса
?(0 = <<7(0>+2Qft«pk(0.
(76)
к
а функции ф^/), ф2(/),
выбрать таким образом,чтобы коэффициенты
Фурье Qlt Q2, были стохастически независимыми. Тогда все взаим­
ные моменты второго порядка этих коэффициентов будут равны нулю:
<QiQh>= 0
(/фк).
(77)
Спектральное представление в форме (76) с коэффициентами, удовлет­
воряющими условиям (77), будем называть стохастически ортогональ­
ным представлением или каноническим разложением (по В. С. Пуга­
чеву [97]). Если входной процесс q(t) задан в виде канонического р а з­
ложения (76), то корреляционная функция выходного процесса опре­
деляется по формуле
У =21 <Qb*k(*i)**('*)•
(7®
к
Для упрощения выкладок часто используются комплексные выра­
жения. В частности, функции ф ^) , ф2(0, ... . %(*). Фг(0.
в разло­
жениях (71), (72) и (76), а также случайные коэффициенты^, Q2,
могут быть комплексными. Оператор взятия действительной части от
комплексной функции обычно явно не выписывается. При этом целе­
сообразно ввести такое определение для моментов второго порядка и со­
ответствующих моментных функций, чтобы для дисперсий автомати­
чески получались действительные выражения. Этим свойством обла­
дает, например, следующее выражение:
K q (t1, t 2) = {q*{t1)~q(t2)y.
(79)


Здесь звездочка обозначает переход к комплексно-сопряженной величи­
не. Формула (78) для корреляционной функции, заданной в виде (79),
перепишется так:
к ч{h, ^ )=2<iQft|2>Ф; (tx)фа(/,).
(во)
До сих пор рассматривались дискретные спектральные представ­
ления. Д л я процессов, заданных при —оо ^ t < оо и, в частности,
для стационарных случайных процессов, часто используется спект­
ральное представление в виде обобщенного интеграла Фурье:
ОО
<7(0= §QИ <Р(71со) d(0.
—Эо
Здесь ср(/|со) — детерминистическая функция времени t и параметра
преобразования со, Q(со) — случайная функция параметра со. Без ог­
раничения общности можно считать, что параметр со принимает все
возможные действительные значения —оо < ; со < оо. Функцию Q(co)
будем называть спектром процесса q(t).
Рассмотрим непрерывный аналог канонического разложения (76):
оо
<7(0 = <<7(0>+
(81)
—оо
Условие стохастической ортогональности (77) в непрерывном случае
принимает вид
(Q* И Q(со')> - S,, (со) б (со— со').
(82)
Здесь S q(со) — детерминистическая функция параметра со; 6(со)
дельта-функция. Соотношение (82) означает, что спектр каноническо­
го разложения является дельта-коррелированной функцией парамет­
ра со. Функцию S q(со) будем называть спектральной плотностью про­
цесса q(t). Учитывая соотношение (82), легко получим формулу, связы­
вающую спектральную плотность S q{со) с корреляционной функцией
процесса:
оо
Kq t2) = S Sv((О)ф* (t, Iсо)ф(t21CO)dco.
(83)
—
оо
Наиболее важным примером стохастически ортогонального инте­
грального представления типа (81) является разложение центрирован,
ного стационарного случайного процесса в интеграл Фурье:
оо
q(t)= §Q(со)ешdux.
(84)
—оо
При этом, очевидно, ф ( / 1со) = еш *.
* При строгом изло же нии спе ктр аль ной теории стацио нарны х процессор
испол ьзуется понятие с то х аст ич ес кого интеграла Фурье—Стильтьеса.


Нетрудно показать, что спектр Q(to) является дельта-коррелиро­
ванной функцией. В самом деле, вычисляя по формуле (79) корреля­
ционную функцию процесса q(t)
оо
оо
—
оо—оо
замечаем, что она будет зависеть только от разности т = t2 — tx в
том случае, если спектр Q(со) удовлетворяет условию (82). Формула
оо
Кч(т)= J St/(со) еЫхda
(85)
—
оо
устанавливает связь между корреляционной функцией и спектральной
плотностью стационарного случайного процесса. Обратное соотношение
имеет вид
оо
Sq(<*>)= J К„(т)е- ‘«*di.
(86)
—
оо
Пусть процесс q(t), заданный в форме
оо
9(0 = $QH<p(/|co)d(o,
—
оо
проходит через линейную систему, уравнение которой задано в форме
(54). Д л я выходного процесса получим спектральное представление,
аналогичное дискретному представлению (72):
оо
u(t) = j Q(со)ф(/1со)da.
(87)
—
оо
Здесь ф(/|со) — детерминистическая функция t, зависящая от © как от
параметра; эта функция определяется как решение уравнения
7д|) = ф.
(88)
Используя решение в форме (87), легко вычислим математическое
ожидание выходного процесса
оо
<и(0> = $ <<2И>Ф(< |co)dw,
—
оо
моментную функцию второго порядка
60 оо
<u*(t1)u(t2)>= $ §<Q*(со)ф(©0>Ф*(^ИгММ
—
оо—оо
и т. д. Если входной процесс q(t) задан в форме (81) со спектром, удов­
летворяющим условию (82), то математическое ожидание выходного


процесса определяется из уравнения (55), а корреляционная функция—
по формуле типа (78):
оо
Ки Vi> *2) = \ И ф*(/, Iсо)ф(*»10))</со.
(89)
Поясним реализацию метода спектральных представлений в непре­
рывной форме на простом примере. Вновь рассмотрим линейную коле­
бательную систему, движение которой описывается уравнением (44).
Пусть система при / < 0 находится в покое, а при t = 0 на систему
начинает действовать случайная нагрузка, которая представляет со­
бой заданную при t > 0 реализацию стационарного случайного про­
цесса. Таким образом, спектральное представление имеет вид (87),
где
,,,
,
I 0 («0);
»('|Ю)=Ь'"'((>0).
Отметим, что нагрузка q(t) явл яется нестационарной; поведение си­
стемы такж е будет, разумеется, нестационарным.
В соответствии с общей методикой решение уравнения (44) ищется
в форме (87). Функция ф(/|со) определяется как решение дифферен­
циального уравнения
^ +2в^+<в§ф=е^ >
dt2
dt
удовлетворяющее нулевым начальным условиям. Легко находим, что
еш
Ф(*I®)= —
-e.tl
*,t“+e.
(cos a&t+—— sin ше <
-ccr -| -2iew
Вероятностные характер истики выходного процесса определяются
далее осреднением соответствующих выражений, получаемых» на ос­
нове выражения (87). В частности, корреляционная функция вычис­
ляется по формуле (89), где S q(со) — спектральная плотность процес­
са q(t), заданного при — оо ^
оо. Д л я среднего квадрата выход­
ного процесса имеем выражение
оо
<I“ (012) = |5 ?(о))|ф(/|со)|Ма).
При t
оо средний квадр ат стремится к постоянному значению:
<|«(оо)|*>= Гг-3 ^
J w0—
Sq(CD) dto
2 , о;_|2
со +2/есо
(90)
Это значение соответствует установившейся реакции системы на стацио­
нарное воздействие.


Метод спектральных представлений легко распространяется на
многомерные случайные процессы. Пусть, например, внешнее воздей­
ствие описывается п функциями qx{t), q ^t), . . . , qn(i), а поведение си­
стемы— т функциями u^t), u2(t), . . . . um(t). Предположим, что внешнее
воздействие допускает стохастически ортогональное представление
типа (81):
оо
9/(0 = <<7/(0>+ $QjИ ф;{tI«)da (/= 1, 2,
п). (91)
—
оо
Спектры Qj((d) удовлетворяют условию типа (82):
(Q* (со) Qh(со')> = S 4.gh(со) б (со— со'),
(92)
где S q 7^(со) — взаимные спектральные плотности процессов qj(t)
и qh{t). Решение уравнения (71) ищем в виде
Поо
Uj(/)= <Uj(t)>+ >3 5QaM ф/a(t|CO)dco
(93)
a=1—oo
(/=1,2,..., m).
Через ф/а(^|со) обозначены решения детерминистической системы урав­
нений
2
Л=1
LjkФба—®/aФа
/=1,2,... , /Г\
а—1,2,..., /г/
где б/а — символ Кронеккера. Эти решения имеют смысл детерминис­
тических реакций системы на воздействие qa = cpa(^ | со) при всех ос­
тальных qj = 0. Перемножая выражения (93) при различных / и в
различные моменты времени, придем после осреднения и учета условия
ортогональности (92) к следующей формуле для взаимных ко рреля­
ционных функций:
ППоо
Kuj uk{tX, tt)= 2 2 $ Sgagp (со)0|)*a (<!Iсо)ф*э (/, |CO)d(0.
a=1P=1 —oo
Эта формула обобщает формулу (89) применительно к многомерным
случайным процессам.
§ 1.7. Прохождение стационарного случайного процесса
через стационарную линейную систему
Одна из наиболее часто встречающихся задач статистической ди ­
намики состоит в изучении реакции стационарных линейных систем
на стационарное случайное воздействие. Методы, изложенные в преды­
дущих параграфах, полностью применимы к этой задаче. П редставля­
ет интерес получение простых соотношений, дающих решение зада­
чи в замкнутом виде.


Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую урав­
нением (54):
Lu=q.
(94)
Пусть входной процесс q(t) является стационарным случайным процес­
сом. П оскольку реакция линейной системы на математическое ожида­
ние входного процесса определяется отдельно из уравнения (55), то
без ограничения общности можно принять, что процесс q(t) является
центрированным, т. е. что <^(/)> = 0. Процесс q{t) представим в ви­
де стохастического интеграла Фурье (84) со спектром Q(co), удовлет­
воряющим условию (82) и спектральной плотностью S q{со), св язан­
ной с корреляционной функцией соотношениями (85) и (86).
Рассмотрим вначале случай, когда оператор L является линейным
дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами:
dv
dv~ l
d
L= a0-----M i------ +
... + av-i
—
+ av.
(95)
dtv
dtv~ l
dt
Здесь a0, alt ... , av — детерминированные числа. Уравнение (88) для
данного случая принимает вид
£ф=еш.
(96)
Поскольку на функцию ф(/) не накладывается никаких условий, кроме
ограниченности на ± оо, то решение уравнения (96) будет
Выражение L(uо) получается из выражения (95) для оператора L пу­
тем замены оператора дифференцирования dldt на ш:
L(ко)= а0(ico)v+ at(tco)v—1+... + av_i(too)av.
Подставляя найденные выражения в формулу (89), получим
оо
^.w= j
s 4(со) е ‘ит d<o
Сравнивая результат с формулой типа (85), выражающей корреля­
ционную функцию выходного процесса К и(т) через его спектральную
плотность
Ки(т) = j Su(о) е,шг dco,
—
оо
найдем связь между спектральными плотностями входного и выход­
ного процессов:


Формула (97) является основным соотношением, дающим решение
задачи о прохождении стационарного процесса через стационарную
линейную систему. После того как спектральная плотность выходного
процесса найдена, легко вычисляются его корреляционная и момен-
тная функции, корреляционные функции производных от выходного
процесса, дисперсии выходного процесса и его производных и т. д.
Нетрудно обобщить формулу (97) на более широкий класс опера­
торов L. Пусть, например, оператор L имеет вид
где
и L2 — линейные дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами. При этом порядок оператора L2должен быть по кр ай­
ней мере на единицу меньше порядка оператора Lx. Задание оператора
L в форме (98) эквивалентно тому, что уравнение системы предпола­
гается имеющим вид
Lxu = L%q.
Повторяя выкладки, аналогичные приведенным выше, получим для
спектральной плотности выходного процесса формулу (97). Функция
L(ico) будет в этом случае дробно-рациональной функцией.
Рассмотрим еще более широкий класс линейных операторов. Будем
трактовать метод спектральных представлений стационарных случай­
ных процессов как обобщение классического метода преобразований
Фурье на случайные функции. Будем искать решение операторного
уравнения (94) в виде интеграла Фурье:
оо
и(t)— j U(со)ешdco,
где U(со) — трансформанта Фурье для случайной функции u(t). Урав
нение (94) в пространстве Фурье будет иметь вид
L (/со) £/ (со) = Q (со),
где L(tco) — образ оператора L в этом пространстве (импеданс системы).
Составляя выражение для корреляционной функции трансформанты
f/(co) и используя формулу типа (82)
<^* (с°) U(со7)) = Su(со) б (со— со'),
вновь придем к формуле (97). При этом Цссо), вообще говоря, будет
трансцендентной функцией параметра со. Заметим, что выражение
Н (ico)
ЦШ)


называется в теории автоматического управления передаточной функ­
цией системы, а основная формула (97) записывается в виде
S,, (®) = | Я (i®) |2Sq(со).
Передаточная функция //(ico) св язана с импульсной переходной
функцией h(t) (функцией Грина) соотношением
100
Н(ico)= —
^h(t)e-‘«‘dt.
Проиллюстрируем применение формулы (97) на простейшем приме­
ре. Пусть входная функция q(t) в уравнении (44) является стационар­
ной случайной функцией со спектральной плотностью S ?(co). Импе­
данс системы имеет вид
L(ico)= «о —со2+ 2/ео).
Отсюда по формуле (97) находим
S,» =
S„ (to)
/,.2
,,2\2
(со0—(О ) + 4е2 ш2
(99)
Используя формулу (99), можно вычислить различные вероятност­
ные характеристики выходного процесса. Например, для среднего квад­
рата получаем формулу (90), которая ранее была получена из рассмот­
рения нестационарной реакции системы при t-* - оо. Д л я широкого
класса функций S q(a>) интеграл в формуле (90) может быть вычислен
в аналитической форме. Допустим, например, что внешнее воздействие
является белым шумом.
= S 0 = const. Интеграл
Тогда S (со) =
/=
I(“о-
dco
(o)g —ю2) 2+ 4е: СО
легко находится по теореме вычетов.
Окончательно получаем
jiS q
<М2
2есо^
( 100)
Если диссипация в системе достаточно мала, то для среднего квад­
рата выходного процесса может быть получена приближенная форму­
л а, справедливая при произвольной, хотя и медленно меняющейся
функции S q(со). В самом деле, при малом е спектральная плотность
(99) принимает большие значения лишь в достаточно малой окрестнос­
ти частот ±со0 (рис. 8). При этом в формуле (90) интеграл по множест­
ву значений — оо ^ со < оо можно приближенно заменить суммой
интегралов по двум достаточно малым интервалам Д о , накрывающим
частоты ± с о0. Если в этих интервалах функция S q(со) меняется доста-


точно медленно, то по теореме о среднем ее можно вынести за знак ин­
тегрирования. Таким образом,
0)0+
Л(0
<|a|«>*2S,K) j*
1А
й)0---j Д<0
(cdq— со2)2+ 4е~ со2
Но подынтегральное выражение в правой части принимает вне интер­
валов Асо пренебрежимо малые значения. Поэтому можно снова р ас­
пространить область интегрирования на полубесконечный интервал:
Дсо
Г
dm
_
i‘ _______ dm________ __ я
J
((Oq—со2)2+ 4е2 О)2 ~ \ (со2—со2)2+ 4е2 со2 4есо2
1А
0
©о—~
2Д*
В резуль тате приходим к формуле
<|u|2>*!^1L)
(101)
2есо5
Формула (101) отличается от формулы (100) тем, что в нее входит
значение спектральной плотности, соответствующее собственной час­
тоте системы со0. Механический смысл данного приближенного подхо­
да состоит в следующем. При малом демпфировании колебательная
система имеет весьма избирательный характер. Из спектра внешнего
воздействия она выбирает те компоненты, частоты которых весьма бл из­
ки к собственной частоте системы. Выходной процесс является у зко ­
полосным, т. е. основная часть энергии процесса сосредоточена в узкой
части спектра, лежащей вблизи частоты (о0. Поэтому реакция системы
с большой точностью выражается через значения спектральной плот­
ности входного процесса, соответствующие указанной частоте.
В статистической динамике весьма часто приходится вычислять
интегралы типа
/v=
I
S (/ (to) rf(o
IL (la)Г-
( 102)
При этом Ь(ш) обычно является рациональной или дробно-рациональ­
ной функцией, все корни которой s = iio лежат в левой полуплоскости
(в противном случае состояние равновесия системы и = 0 было бы не­
устойчивым). Спектральная плотность S g(co) является четной функцией
со, причем эта функция также обычно бывает дробно-рациональной.
Вместо интеграла типа (102) целесообразно рассматривать интеграл
/v=
1
mv (со) dm
М®)м-®г*
(103)
3 Зак. 1481
49


где /v(to) и mv(cо) — полиномы с комплексными коэффициентами.
При этом полином mv(co) содержит только четные степени со, а его сте­
пень по крайней мере на две единицы меньше, чем степень полинома
/v(o>)/v(—со). Таким образом,
1Ч(со) = а0cov—|— cov—1-) - . . . -1- otv—l ©"bflv>
mv (w) = b0©2v—2+ bx co2v—4+ ... -+- 6V—2 co2-f- 6V—i '»
где ao. flti. •••» <V> 60, &i, •••, &v-i
—
комплексные коэффициенты. Все
корни полинома /v(co) лежат в верхней полуплоскости. Например,
если /v(co) = L(iсо), то все корни /v(co) получаются из корней /.(/©) по­
воротом комплексной плоскости по часовой стрелке на угол - |я .
Интеграл (ЮЗ) вычисляется по теореме вычетов:
/v=2ш2
p=i
mv (со)
(®)(—“)’
Например, если все корни ©р полинома /v(co) простые, то
Iv—2m'
т,v(“p)
Чшр)Ч-“р)
Применение этой формулы требует вычисления явных выражений
для корней уравнения /v(co) = 0. Если v > 2, то вычисления могут
сильно осложниться. С другой стороны, поскольку все корни уравне­
ния /v(co) = 0 равноправны, то интеграл (103) должен зависеть от сим­
метрических функций этих корней и, следовательно, должен рацио­
нально выр ажаться через коэффициенты полинома lv(a>). Вывод фор­
мул, связывающих интеграл (103) с коэффициентами полиномов (104),
можно найти в специальной литературе. Приведем окончательный
результат. Интеграл (103) вычисляется по формуле
г _ m'(—l)v+l Dab
’~Z7~ .
аа
Da
где D a — определитель v-ro порядка;
ajflfl000
й3
а„...0
t
)
а
и
аь а4 а3 аг•..0
0000..
(Ю5)


а определитель D ab получается из определителя Da заменой первого
столбца на столбец, составленный из коэффициентов полинома mv(co),
т. е. на bQ, blt ..., bv~
bo
«00
0 ...0
bia2«1«0-
..0
Dab== b2
ai
fl2 •
..0
bv-10 0 0...CL\
Определитель D a совпадает с известным определителем Гурвица, ко­
торый используется для формулировки условия устойчивости дискрет­
ных стационарных систем. Кстати, так как система устойчива, то всег­
да D a >• 0. Развернем формулу (105) для случая, когда v = 1, 2, 3:
г _nibb
Ji—7>
во ai
/2=— (-ь0+—);
«0 а1\
а2I
I иI A OoOlJM
\ — a^bo-f -aobi
дJ
(106)
h=
do(а0а3—а 1
Проиллюстрируем применение формул (106) на примере интеграла
оо
-
J
_____ d<a
'cOq-J-2«8С0—(О212
входящего в формулу (90) при S J со) = const. Перепишем его в виде
(103). При этом
/2(со) = — со2+ 2ie(o 4- cool Щ (со) = 1.
Коэффициенты полиномов (104), очевидно, будут а0 = — 1; а х = 2г'е;
а 2 = ©о; Ь0 = 0; bx = 1. Подставляя значения этих коэффициентов
во вторую из формул (106), найдем, что
22—2•
2гщ
В резуль тате приходим к формуле (100).
Рассмотрим теперь многомерное стационарное случайное воздей­
ствие qx(t), q2(t), . . . , qn(t) на линейную систему. Спектральные пред­


ставления возьмем в виде стохастических интегралов Фурье со спект­
рами Qj(cо):
<7,(О= «7/(9>+ jQ,N е,шЛ
(107)
—
оо
(/=1 ,2 ,
п).
Нетрудно показать, что если все составляющие qj(t) стационарны
и стационарно связаны, то представление (107) является стохастически
ортогональным. В самом деле, вычисляя с учетом (107) взаимные ко р­
реляционные функции
9)= j‘ I <Qy(®)Qn(“')> е‘(<й'1г~е>‘1)dcodco',
—
оо—оо
замечаем, что правые части будут зависеть только от т = t2 — tly если
выполнено условие стохастической ортогональности (92). Отсюда, к ста­
ти, вытекает формула, связывающая взаимные корреляционные функ­
ции со взаимными спектральными плотностями
оо
Kqjч (т) - j Sq.ч (о) е*" Ло,
(108)
а такж е обратное соотношение
S4jякМ = ^
j K-q. gk (т) е~Шх dx.
—
оо
Решение системы уравнений (71) с правыми частями, представлен­
ными в форме (107), ищем в виде
uj(t)=(uj(7)>+ JUj(со)еш d<s)
—
оо
(/=1,2,..., m).
Спектры выходного процесса Uj(w) удовлетворяют системе линейных
алгебраических уравнений
т
S L]h(to>)Uk (e>) = Qj(a)
(109)
k=1
(/=1,2,..., л),


где Ljh{m) — образы операторов Ljh в пространстве Фурье. Пусть
т — « .Обозначим через Я , л(ссо) элементы матрицы Грина
Н(ш) =
Яи(ко) Я12(to)... Я1п(t'co)
Hn (io3) Я 22(/со). . . Н2п(/со)
^ т ( ‘®) Я п2(г'со)...Япп(10))
обратной по отношению к матрице с элементами Ljh(i<a). Будем назы­
вать Я ;Ь (/со) передаточными функциями системы. При помощи пере­
даточных функций решение системы (109) записывается в виде
Uj (со) = S ЯЛ (to) Qh((о) (/=1,2,..., п).
*=i
Отсюда с учетом соотношения
<Я* (со) (со')> = S„. ,,k (со) б (со— со'),
где S Ujuk(со) — взаимные спектральные плотности выходного процесса,
получим окончательную формулу
SUJ (©) = 2 ^2 Hja( /со)ЯАр(/со)5?адр(со).
(НО)
Эта формула связывает спектральные плотности входного и выходного
процессов.
Рассмотрим пример на применение формулы (ПО). Пусть линейная
система с п степенями свободы совершает стационарные случайные
колебания под действием внешних сил. Предположим, что допускает­
ся полное разделение обобщенных координат, т. е. что уравнения ко­
лебаний системы могут быть представлены в виде
d2U;
dlli о
~dt*
+ tlj =q}(t)
(111)
(/=1,2,..., n).
Здесь СО; — парциальные собственные частоты системы;
—
пар­
циальные коэффициенты демпфирования. Передаточные функции си­
стемы Hjh(со) образуют диагональную матрицу
Hjh(®) = L](i<a) ’
где обозначено
Lj (/со) = соу+ 2izj со— со2.
Используя формулу (110), находим
^qi qk^
/1ю\
•Su^uft(co) ((02—2iej(o —a>2) (c0j + 2*8aсо—со2)
^
^


По Известным спектральным плотностям далее вычисляются диспер­
сии, корреляционные моменты, корреляционные функции и другие
вероятностные характеристики второго порядка для выходного про­
цесса и его производных. Например, элементы матрицы корреляцион­
ных моментов определяются по формуле
°°‘
ч (со) dm
Lj(—ia)Lk (ia>)
Произведем вычисления по формуле (113) в предположении, что
внешние воздействия являются дельта-коррелированными, т. е. что
все S q.qk{<o) = const. Интеграл
/=Г—^— ,
J(/•(—
—
ОО
где
— по л ином второго порядка
/у(С0) = Ш;+2t8;(0 — О)2,
найдем по теореме вычетов:
I = 2 ш У -------- ----------- .
lk (<*ka)
Здесь (Oka — корни уравнения /й(со) = 0, лежащие в верхней по­
луплоскости. После элементарных вычислений получаем
^
,т __________ е»>У»
Л“У“^ и)-(о,;?-со1)Ч4(е,+еЛ)
‘
При / = k получаем дисперсии выходных процессов:
nSij <ij
(114)
Если демпфирование достаточно мало и если парциальные частоты це
слишком близки друг к другу, то побочные элементы корр ел яцио нно
матрицы (/ Ф k) малы по сравнению с главными элементами. Нанри.
мер, при
~
гк ~ е условие малости побочных элементов по сра в_
нению с главными имеет вид
в*
--%)*•
(115)


§ 1.8. Элементы статистической динамики нелинейных систем
Анализ поведения нелинейных систем при случайных воздейст­
виях представляет серьезные трудности по сравнению с соответствую­
щим анализом линейных систем. Эти трудности встречаются уже на
этапе составления уравнений относительно моментных функций вы­
ходного процесса.
Рассмотрим вначале особенности метода стохастических дифферен­
циальных уравнений в применении к нелинейным системам. Пусть
стохастическое уравнение системы задано в виде (54), где L —
нелинейный оператор. Д л я нелинейного оператора, вообще говоря,
несправедлив принцип суперпозиции. Кроме того, сам оператор
непереставим с операцией осреднения, т. е. <Lu> Ф L{и). Поэтому
уравнения относительно моментных функций выходного процесса в
общем случае образуют неразделяющуюся систему, каждое уравнение
которой содержит старшие моментные функции. Таким образом, в от­
личие от уравнений относительно моментных функций на выходе л и­
нейной системы уравнения для нелинейной системы неоднородны
относительно функций одного порядка.
Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть стохастическое
уравнение системы имеет вид
где \i — некоторая неслучайная постоянная. Уравнение (116) описы­
вает вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с ку­
бической нелинейностью под действием случайной силы и является,
таким образом, вероятностным аналогом уравнения Дуффинга.
Перепишем уравнение в более компактной форме:
Через L0 обозначена линейная часть оператора L, совпадающая с опе­
ратором линейной системы (44). Желая получить уравнение относи­
тельно математического ожидания выходного процесса, осредняем
уравнение (117) по множеству реализаций. В результате приходим к
уравнению
которое наряду с математическим ожиданием <и > содержит также сред­
ний куб выходного процесса. Уравнение относительно среднего куба
будет содержать, в свою очередь, моменты пятого порядка выходного
процесса, а также смешанные моменты третьего порядка относительно
входных и выходных процессов. Таким образом, попытка зам кнуть
систему уравнений приводит к бесконечной системе неразделяющихся
уравнений.
(не)
Ц и + \хи3= q(t).
(117)
£o<w>+ 1-1<ы3> = <</>>


Аналогичные трудности возникают при определении моментных
функций второго порядка. Перемножая уравнение (117) для двух
различных моментов времени и осредняя, придем к следующему урав­
нению:
LqL0( u (tj) и (t<i)) p<Lq( и (/*) и3(^2)) +
/1 t2
tx
+ pZ,0<ы3(t\) и (/2)> + H-2<"3(*i) u3(/2)> =- (q (h) q (/2)>.
(118)
<2
Здесь индексы под символом оператора указывают, на функции к а ко­
го аргумента оператор действует. Мы видим, что в это уравнение вхо­
дят также моментные функции четвертого и шестого порядков.
Выход из положения состоит в переходе к усеченной системе урав­
нений. Вместо того чтобы рассматривать бесконечную систему, даю ­
щую точное решение задачи, ограничиваются рассмотрением пр ибл и­
женной конечной системы. При этом старшие моментные функции ис­
ключают при помощи какой-либо подходящей гипотезы. Один из воз­
можных способов состоит в том, что все старшие моментные функции
полагаются равными нулю. Другой способ основан на использовании
приближенных соотношений, выражающих старшие моментные функ­
ции через младшие. Например, можно принять, что старшие момент­
ные функции связаны с младшими функциями соотношениями, сп р а­
ведливыми дл я нормальных процессов.
Напомним эти соотношения. Пусть Ulf U2, ...» Un — /i-мерный цен­
трированный нормальный случайный вектор. Известно [97], что все
моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного по ряд­
ка выражаются через корреляционные (бинарные) моменты. Д л я мо­
ментов порядка k = 2s имеем формулу
<U\'1ul* ... и'пп>= 2 <£/„, иа,><иа, иа,> ... <Ua2s_ , Ua2s>, (119)
где kx + /г2 + ...- \-kn =2s. Сумма, стоящая в правой части, содержит
все возможные разбиения 2 s индексов а и а 2, . .. , a 2s (включая повто­
ряющиеся индексы) на s пар axa2, a 3a4, ..., a2s-ia2s. Общее число
слагаемых в правой части формулы (119) равно (2s— 1)!!. При k — 4
в правой части стоит 3 слагаемых, при k = 6 стоит 15 слагаемых и т. д.
Воспользовавшись формулой (119), выразим моментные функции,
входящие в уравнение (118), через корреляционную функцию
*,(*1. '*) = <«&)«&)>
(входной и выходной процессы считаем центрированными). Легко най­
дем, что:
<«&) «•&)> = 3/С„(^, tt)Ka(t2, t2),
<ц3(^) и(/2)> = 3KU(tlt tJKJt,, t2),
<п3(/,) и3(f2)> - 9к и(/lf tt) к и (tt, t2) Ku(t2, t2)+ 6Я3 (tlt Q.


Подставим найденные выражения в уравнение (118). В результате по­
лучим замкнутое уравнение относительно корреляционной функции
Ки
/2):
LqL0Ки (^1»
Uit
^2) + 3|1/Св (*2.
и
ti)L0K u{tlt t2) +
+9NoЛ*1, tJKAtu ЦКиЦъЦ+фкЖ, U =
h)-
Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производ­
ных. Если процессы u(t) и q(t) — стационарные, то относительно кор­
реляционной функции К и ( т) получаем обыкновенное нелинейное диф­
ференциальное уравнение:
LiLo Ки(Т)+ Зрки(0)(Lo"+ Lo)Ка(Т)+
+ 9ц*К2и(0) Ка(т) + 9р2/(ц (т) = Кч(т).
При этом для краткости использовано обозначение
=j-j±2е
+ ©о-
dx2
dx
Выше для приближенного замыкания системы уравнений исполь­
зовалась гйпотеза о существовании некоторой связи между старшими
и младшими моментными функциями. Еще один способ дл я получения
замкнутых соотношений дает метод малого параметра. Рассмотрим не­
линейную систему:
L0u + \if(u) = q(t),
(120)
где L0 — линейный оператор; f(u) — однозначная аналитическая д е­
терминированная функция; |х — малый неслучайный параметр. По­
пробуем заменить систему (120) рекуррентной последовательностью
линейных систем. Д л я этого будем искать решение в виде ряда по сте­
пеням малого параметра:
и = и0(t)+ pux(t)+ р2«2(0+ •••
(121)
Разложим в ряд по степеням р также и нелинейную функцию /(и):
/(ы)=/(«(,)+Р/'Ы «1+-
При этом «о — некоторое порождающее решение. Подставляя ряды
в уравнение (120) и приравнивая члены, содержащие одинаковые
степени малого параметра, получим последовательность уравнений
относительно функций, входящих в разложение (121):
L0и0= q\
Lo“i= —/М;
L0u2= — f'(u0)u1,
Кстати, из первого уравнения видно, что порождающее решение сов­
падает с решением соответствующей линейной системы. Существенно,


что каждое из уравнений этой системы линейно и что правые Части урав­
нений зависят лишь от функций, найденных на предшествующем этапе
вычислений.
Пусть обратному оператору L~q= H 0 соответствует оператор Водь-
терра с функцией Грина (импульсной переходной функцией) h(t, т).
Тогда решение системы представляется в виде:
/
ио(0 ~ j/г{(, т)q(т)dx\
—
ОО
t
«1(0= — jhit, т)/[и0(г)]dx\
—оо
/
«г(0= — jл(г,т)/'[«„(т)] (т)dT,
Моментные функции выходного процесса определяются осредне­
нием р яда (121). Так, дл я математического ожидания выходного про­
цесса
(0>= <^о(0>+ ^<^1(0>+ М'2<^2(0>+ •
имеем формулу
/
<ы(0> = <“о(0> — И
-
j h(t, т)<П«о(т)]> dx+ ...
—
оо
Моментные функции второго порядка определяются как
<« (*i) и (/2)> = <ы0(/х) и0(/2)> + р. <w0(*l) «1 (**) + “ о(As) «1 (*i)> +
+ p,2<«X(/x) Ых (/2) + U0(ti) u2(t2)-\ -u0(t2) u2(/x)> + ...
После подстановки сюда выражений дл я функций ux{t), а 2(0 и т. Д- По­
лучаем
<и (tx) a (t2)> = <и0(tt) и0(t2)>—
t2
— р, j h(t2, т2)<м0(^)ПиоЮ]>Л2—
—
оо
и
— ц $ А(*1, T1)<ao(f2)/M'ti)]>dT1+ ...
(122)
—
оо
Применим формулу (122) для вычисления корреляционной функ­
ции на выходе системы Дуффинга (116). Пусть q(t) — центрированный
стационарный случайный процесс. Тогда u(t) такж е будет центрир0_
ванным стационарным процессом. Зам ечая, что для стационарной Сц_


стемыh(t, т) =h(t—т)ивводя обозначенияtt—tx= 0Х, /2—т2=
= 02.h
—
h = т, перепишем формулу (122) в виде
оо
^Л'г)= ^«.(т)—V
- \ /г (62) <и0(0) ио(т 0о)> d02—
о
оо
A(0i)<«o(x)US (-0 1)>d0i+...
(123)
о
Здесь Ku,(i) — корреляционная функция нулевого приближения, т. е.
оо оо
(*) = $$ h(0Х)h(02)к п(т+ 01—02)dQxd02.
оо
В правую часть формулы (123) входит моментная функция четвер­
того пор ядка от нулевого приближения u0(t). Чтобы найти эту функ­
цию, нужно иметь информацию о распределении процесса u0{t). Если
внешнее воздействие является нормальным, то будет нормальным так ­
же и процесс u0(t). Тогда для определения моментной функции четверо
того порядка можно воспользоваться соотношением (119):
<«„(0)ul(т—е2)>= ъКщ(0)Ки,(т-02),
<«о(t)ul(- 0Х)>= 3Ки,(0)Ки,(Т+ 0Х).
Подставляя найденное значение в формулу (123), получим оконча­
тельно
ки(Т)= Ки,(Т)- 3цКО0(0)5h(0)[Ки0(Т- 0)+ ки.(Г+ 0)1de+.. .
(124)
о
Заметим, что для случая нормального входного процесса все вы­
писанные члены найдены точно. Члены, содержащие квадраты и более
высокие степени малого параметра, будут зависеть от моментных функ­
ций процессов цх(/), u2(t) и т. д. При нормальном внешнем воздействии
процессы u^t), u 2{t) и т. д. свойством нормальности, вообще говоря,
обладать не будут. Поэтому вычисление следующих членов разложе­
ния вызывает затруднения, сходные с теми, которые встречались в
методе стохастических дифференциальных уравнений. Чтобы обойти
эти затруднения, придется, как и ранее, ввести дополнительные гипо­
тезы о моментных функциях.
Нетрудно_видеть аналогию между применением метода малого па­
раметра в статистической динамике и теории нелинейных колебаний.
Вообще, между методами^статистической динамики дискретных не-
линейных систем и методами теории нелинейных колебаний много
общего. Некоторые приемы по существу являются распространением
методов теории колебаний на стохастические системы. Н аряду с мето­
дом малого параметра в статистической динамике применяются ана-


логи методов Ван-дер-Поля, Крылова—Боголюбова и т. п. В следую­
щем параграфе мы остановимся несколько подробнее на методе статис­
тической линеаризации, идея которого берет свое начало от методов
гармонической и эквивалентной линеаризаций, широко применяемых
дл я расчета нелинейных колебательных систем.
§ 1.9. Метод статистической линеаризации
Метод статистической! линеаризации оснрван на- идее о замене не­
линейных функций в уравнениях системы подходящими линейными
функциями. При этом используется некоторый критерий наилучшего
приближения этих функций. Д л я реализации критерия необходимо
иметь сведения о распределении выходного процесса. Поскол ьку до
решения задачи эти сведения отсутствуют, то приходится вводить не­
которые вероятностные гипотезы (такой гипотезой может служить,
например, гипотеза о нормальности выходного процесса). Заменив
нелинейные функции соответствующим образом выбранными линей­
ными функциями, мы получим для выходного процесса линейное урав­
нение. Однако коэффициенты этого уравнения будут зависеть от не­
известных параметров распределения. После того как линеаризиро­
ванная задача решена, можно получить уравнения дл я определения
указанных параметров [96].
Метод статистической линеаризации аналогичен методу гармони­
ческой линеаризации в теории нелинейных колебаний. В основе метода
гармонической линеаризации тоже лежит идея о замене нелинейной
системы подходящей линеаризированной системой. Параметры линеа­
ризированной системы определяются из некоторого критерия эквива­
лентности, осуществляемого на множестве гармонических решений.
При этом коэффициенты линеаризированной системы оказываются
функциями неизвестной амплитуды (иногда фазы и частоты) колебаний.
Уравнение для нахождения амплитуды составляется после решения
линеаризированных уравнений. Это уравнение оказывается нелиней­
ным.
Поясним идею метода статистической линеаризации на простом
примере. Пусть уравнение нелинейной системы имеет вид (120), где
f(u) — детерминированная функция и. Д л я некоторого упрощения
выкладок будем считать, что входной процесс q(t) является центриро­
ванным и имеет симметричное распределение, а функция f(u) яв л яет­
ся нечетной, т. е. f{u) = —/(—и). Тогда выходной процесс u(t) так­
же будет центрированным.
Попробуем заменить функцию /(«) некоторой линейной функцией
f(u)mku,
(125)
где k — неслучайная постоянная. Эту постоянную следует выбрать
так, чтобы приближение (125) было в некотором смысле наилучшим.
Критерий для выбора не является единственным. Например, естест­
венно потребовать, чтобы дисперсии обеих частей соотношения (125)
были равны:
</2 (ы)> = k2(u2}.
во


Отсюда находим, что постоянную k надо выбрать следующим образом:
k=V<J«?r-
о 26)
В качестве другого критерия для выбора наилучшего приближения
возьмем критерий минимума среднего квадратического отклонения
двух функций:
<\f(u)— ku |2> = мин.
Дифференцируя левую часть по k и приравнивая производную нулю,
получим следующую формулу для k :
<Ци)и>
<ц*>
(127)
Вообще говоря, формулы (126) и (127) дают различные значения
постоянной k. Существенно, что эта постоянная зависит от параметров
распределения выходного процесса, которые, в свою очередь, являю т­
ся неизвестными. Если q(t) — нормальный случайный процесс и если
нелинейность достаточно мала, то можно предположить, что выходной
процесс u(t) мало отличается от нормального. Тогда для одномерной
плотности вероятности можно взять приближенное выражение
р(и)
1
/2лац
(128)
где ol — неизвестная дисперсия процесса u(t). Выражения, входящие
в формулы (126) и (127), определяются как:
оо
</*(“)> = §f2(и)Р(и) du\
оо
</(«)«> = $ f{u)up(u)du.
—
оо
Таким образом, коэффициент k в уравнении линеаризированной си­
стемы
Lqи+ 1xku= q(t)
(129)
зависитЪт неизвестной дисперсии а«. Рассматривая дисперсию как з а ­
данный параметр или заданную функцию, методами статистической ди­
намики линейных систем находим корреляционную функцию или
спектральную плотность на выходе линейной системы (129). Н а з а­
ключительном этапе вычислений составляем и решаем уравнение отно­
сительно дисперсии выходного процесса.
Рассмотрим, например, стационарное случайное воздействие на
стационарную нелинейную систему. Применяя к уравнению (129) фор-


мулу (97), найдем связь между спектральными плотностями на входе
и выходе:
В правую часть входит неизвестная дисперсия o f . Выразим эту диспер­
сию через спектральную плотность. Тогда дл я определения
получаем
соотношение
Для широкого класса функций S9((o) и L0(ia) интеграл в правой час­
ти уравнения (130) может быть вычислен в конечном виде. В р езу ль­
тате мы придем к трансцендентному или алгебраическому уравнению
относительно а и. Уравнение (130) может быть решено также по методу
последовательных приближений или графически.
Применим метод статистической линеаризации к уравнению Дуф-
финга (116), предполагая, что внешнее воздействие является «белым
шумом». Д л я уравнения Дуффинга f(u) = и3. Принимая, что выход,
ной процесс распределен нормально, найдем, что
Таким образом, коэффициент k в линеаризированном уравнении (129)
оказывается равным k = аа«. Числовой множитель а составляет
если линеаризацию проводить по критерию равенства дисперсий. Если
же использовать критерий минимума среднего квадратического откло.
нения, то получается, что а = 3. В литературе по теории автоматичес­
кого управления можно встретить рекомендации о том, что при опре­
делении дисперсии выходного процесса в качестве расчетного значе­
ния коэффициента линеаризированной системы надо принимать сред,
нее из двух значений. В основе этих рекомендаций неявно лежит пред,
положение о том, что два способа линеаризации берут точное значение
дисперсии «в вилку». У бедительные основания дл я такого вывода отсут­
ствуют. Более того, можно привести примеры, в которых точное зна­
чение дисперсии оказывается лежащим вне интервала, ограниченного
приближенными значениями. Один из таких примеров будет указд,,
ниже (§ 1.11).
Продолжим вычисления. П одставляя найденные значения коэффд.
циента k и оператора L0 в формулу (130), приведем ее к виду
оо
(130)
—
00
< /■(«)> = <ыв>=15а°;
</(ы)и> = <ы*> = За2.
ОО
I(Dq-f-
|о


Интеграл в правой части при S q((o) = const вычисляется элементар­
но. По аналогии с формулой (100) получим
а«=
2е (®^ + цаа2)
(131)
Мы получили относительно
квадратное уравнение. Его единствен­
ный положительный действительный корень дает искомое значение
дисперсии выходного процесса. Если нелинейность достаточно мала,
точнее, если р.ао^
©о, то можно применять приближенную форму­
лу
о5«
(1—
(132)
2<Uq8 ^
2а>оеJ
Формулы (131) и (132) можно использовать для приближенного
вычисления дисперсии и в следующем случае. Если демпфирование в
системе достаточно мало (е < со0), а спектральная плотность вход­
ного процесса S g(co) изменяется достаточно медленно, то система я в­
ляется фильтром для воздействий, частота которых близка к со0. Д ис­
персию выходного процесса найдем, подставляя в указанные формулы
значение спектральной плотности S q = S g(co0), соответствующее час­
тоте (О0.
Нетрудно обобщить метод статистической линеаризации на более
широкий класс нелинейных систем и внешних воздействий. Здесь мы
ограничимся системами типа*
L0u + \if{u, u)=q
(133)
При этом мы откажемся от предположения о том, что процесс q(t) я в ­
л яется центрированным. Кроме того, на функцию f(u, и) не будем н а ­
кладывать никаких ограничений, кроме условия однозначности. В рас­
сматриваемых процессах будем различать регулярную и флуктуацион-
ную составляющие:
Q=<Q>+Q; и={и)+ иу
а функцию f(u , и) будем линеаризировать в окрестности ее математи­
ческого ожидания:
f(u,и)« </(и,u))+ku'+k1u.
(134)
Д ля математического ожидания выходного процесса имеем уравнение
£о<'«>+К/(«. «)> = < </>•
(135)
* Здесь (а также, где это удобно, и в дальнейшем) дифференцирование по
времени об озн ач аетс я точкой.


Флуктуациоиная часть удовлетворяет стохастическому дифферен­
циальному уравнению, которое после линеаризации принимает вид
L0и+ [iku+ц^Ъ—~q.
(136)
Неслучайные постоянные k и /гх можно определить разными способами.
Применим критерий минимума среднего квадратического отклонения:
<|/(и, u)—(f{u,'u))—k и—k^m2)= мин.
Раскры вая выражение, стоящее в левой части, и дифференцируя его
по параметрам k и klt придем к формулам:
(и, й)и) .
<«2>
’
£ _ <f(u,U)u )
1
ч
(137)
Применение формул (137) требует задания совместной плотности
вероятности для процесса u(t) и его первой производной. Обычно ис­
пользуется гипотеза нормальности, т. е. полагается, что
Р(«, и)
1
2паи а-и
ехр
(и—а)2
К
Здесь и а-
—
дисперсии процесса u(t) и его производной соответст­
венно, а — математическое ожидание процесса u(t). После решения
линеаризированной задачи неизвестные параметры распределения л ег­
ко вычисляются.
Метод статистической линеаризации широко применяется не то ль­
ко к системам с малой и аналитической нелинейностью, чо и к сущест­
венно нелинейным системам. Рассмотрим, например, нелинейную функ­
цию
/(и,и)= сsignw+fisignи-
Первый член может быть интерпретирован как взятая с обратным зна­
ком сила упругости в пружине с большим предварительным натягом;
второй член соответствует силе сухого трения. Т ака я нелинейность
является аналитически нелинеаризируемой. Попытаемся, тем не менее,
заменить ее на множестве случайных движений линейной функцией
f(и, и)я?ku+kxи.


Предполагая, что выходной процесс является нормальным с матема­
тическим ожиданием, равным нулю, легко получим
Числовой коэффициент а в формулах (138) равен единице, если лине­
аризацию проводить из условия равенства дисперсий. Если же поль­
зоваться формулами (137), то получим
Несмотря на то, что линеаризация такого неаналитического вы­
ражения является довольно смелой операцией, она приводит к разум­
ным результатам при определении дисперсии. Объясняется это тем, что
при стохастических движениях неаналитичный характер нелинейнос­
тей проявляется не столь заметно, как, скажем, при гармонических
колебаниях.
Изложенные выше методы статистической динамики нелинейных
систем дают приближенное решение задачи, пригодное лишь при не­
которых ограничениях.,
накладываемых на систему и входные про­
цессы. К этим ограничениям относятся, например, требование малости
нелинейных членов, требование близости выходного процесса к нор­
мальному и т. п. Но даже при этих ограничениях мы не получаем при
помощи указанных методов достаточно полной информации о выход­
ном процессе. Обычно эта информация ограничивается оценкой мате­
матических ожиданий, корреляционных функций и спектральных плот­
ностей. Между тем существуют методы, которые для некоторого класса
нелинейных систем и внешних воздействий позволяют находить точ­
ные распределения выходных процессов, включая нестационарные и
многомерные распределения. Эти методы основаны на теории марков­
ских процессов.
Случайный процесс называется марковским, если его распределе­
ние в момент времени t2 может быть выражено через распределение в
предшествующий момент времени tx < t2 независимо от предшествую­
щей истории процесса. Таким образом, марковский процесс — это
процесс без последействия. Марковские процессы являются абстрак­
цией реальных процессов. Однако многие реальные процессы могут
приближенно трактоваться как марковские или во всяком случае мо­
гут рассматриваться как компоненты некоторых многомерных марков­
ских процессов.
Приведем некоторые сведения из теории марковских процессов,
причем ограничимся наиболее важным для статистической динамики
1__с<1и\>__ас
~
<и2> ~ ои
k —ci^1“I)__<*Ci
<а2> ~~
(138)
§ 1.10. Сведения из теории марковских процессов


случаем процессов с непрерывным временем и непрерывным множест­
вом состояний. Начнем с одномерного марковского процесса. Рассмот­
рим случайную функцию u(t), принимающую в последовательные мо­
менты времени t0 < tx <
< tn возможные значения и0, иг....... ип.
Введем условную плотность вероятности
р(ип, tn \un- i , tn- 1; ...; иъ tx; u0, t0), имеющую следующий смысл:
I
p(Un, t n \Un-l,tn-l-,
. . . ; ux,tx, u0,t0)dun=
u0< и {to) < u0+ du0;
p Un<u(.tnX u n+ dun
«i<«(^i)< u1+du1;
Un-l < и(tn-\) < un-i + dun~\
_
Если условная плотность вероятности удовлетворяет соотношению
Р(Рп> Itin—1>tп—11 . IU\, t\, U
-
o, to) ==p {tin, tn Itin—1>tn—1)> 0 ^^)
то процесс u(t) называется марковским. Из соотношения (139) следует,
что марковский процесс u(t) полностью определяется начальным рас­
пределением р(и0, t0) и условной плотностью вероятности
р(ип, tn | ип- 1, t„-i). В самом деле, по теореме умножения
Р{Но, ^0»^ 1 »^1 »••• I Ип, tп) ==Р(Мп* t„ IИп—11tn—1»
,Их,^1» to) X
X р (Цп—\, tп—1 |Чп—2 ,tn—2i ... Ux, ti, Uq, t0)... P (Ui, tx|Uq, to)P(Wot *o).
Отсюда, учитывая формулу (139), находим
Р(«о. ^о! «1. h ; ...; ип, tn)=p (ип, tn\un-i, tn- 1) р{ип- i,/„_ i|wn_ 2, tn- 2)... X
X P(«!, txI«0, /0) P(«0. to).
(140)
Функция p(un, tn \un- \ , tn~ 1), равная условной плотности вероят­
ности перехода из состояния ип—\, tn- 1 в состояние un,tn, называется
переходной вероятностью. Переходная вероятность обладает обычными
свойствами плотности вероятности и, в частности , удовлетворяет ус­
ловию нормировки
оо
оо
§ Р (ип>tnIUn—i>tn—\)dun—\ — \ P(un, tn \un- u tn-i)dun = 1.
—
00
—
00
Переходная вероятность полностью характеризует свойства маркоь-
ского'процесса.
Нетрудно получить интегральное уравнение, которому должна
удовлетворять переходная вероятность. Рассмотрим три последователь­
ных момента времени t0 < tx < t2- Составляя очевидное соотношение
оо
р(м„Л; ы2.t2)= $ р(“оЛ ; tii,h\ u2,t^'dux,
—
op


выразим входящие в него многомерные плотности через переходную
вероятность согласно (140). В результате получим интегральное урав­
нение Смолуховского:
оо
Р(«2. h I«о, to) = Jj Р(«2. h |uv tx)р(ult tyIы0, to)dUy. (141)
Это уравнение можно получить также и несколько иным путем, рас­
сматривая связь между состояниями в моменты времени /0 и t2 через
состояние в промежуточный момент времени t0 < ty < t2 и применяя
формулу полной вероятности.
Теперь выведем дифференциальное уравнение относительно пере­
ходной вероятности. Будем исходить из интегрального уравнения (141).
Запишем его для моментов времени tQ< t — At < t (в дальнейшем
перейдем к пределу при At 0):
оо
p(u,t\u0,t0)= 5 p{u,t\uy,t— At)p(uy,t—At\u0,t0)duy.
—
оо
Здесь Uy — значение функции u(t) в момент t — At. Умножим это урав­
нение на функцию Q(u), обращающуюся со всеми производными в нуль
на границе области изменения и (в нашем случае при ±<х>), и аналити­
ческую в окрестности значения иу. В остальном функция Q(u) является
произвольной. После умножения и интегрирования по и получим
оо
5 p(u,t\u0,t 0)Q(u)du =
= $ \p(uy,t— At\u0,t0) ^ p(u,t\Uy,t—At)Q(u)du\dUy.
Разложим функцию Q(u) в ряд Тейлора в окрестности значения иг:
ОО
Q(«)=2 ТГ^<А)^
А—0
Подставим этот ряд в уравнение, изменим порядок интегрирования и
суммирования и перенесем один из членов в левую часть. С учетом
условия нормировки переходной вероятности имеем
оо
$ lp(u,t\u0,t 0)—p(Uy, t —At\ «о, /о)1Q(“) du =
w
WOI
W
I
= 2 r r S |p ( “i.< —A*l"o.<o)Q(*)(“i) \p{u,t\Uy,t—At){u—Uy)kdu\dUy.
k>


Следующий шаг состоит в почленном делении уравнения на At и в
переходе к пределу при At 0, Ui -+■ и:
00
сю
оо
Г др(и,t\u0,/0)Q(u)du = 2 1 $
(142)
-со
Л-1 S1
-о
о
В правой части уравнения (142) введены обозначения
оо
x h(u,t) = Пгп^
^ p{u,t\ultt— At)(u — utfdu.
Выражения nh называются интенсивностями марковского процесса
порядка k. Замечая, что и — иг = Ди, можно переписать формулу для
интенсивности в виде
x h(u,t)= lim
(143)
Здесь угловые скобки обозначают операцию взятия условного мате­
матического ожидания. При осреднении выражений Аuk величина ux(t)
считается заданной.
Преобразуем правую часть уравнения (142), применяя интегриро­
вание по частям:
I
др (и, 11ц0, /0)
dt
Q(и) du =
оо
оо
=
S (—/ -)*[**(“ . ОР(u,t\u0,t0)]Q(u)du.
k^1 ^ —ОО'
'
Поскольку функция Q(u) явл яется произвольной, то для равенства
левой и правой частей необходимо выполнение соотношения
др_
dt
ёМ-ir^-
(144)
Итак, мы получили дифференциальное уравнение (144) относительно
переходной вероятности,'р = р(и, t\ u0, t0). Решение этого уравнения
должно удовлетворять условию неотрицательности, условию норми­
ровки и начальному условию
р=6(и—и0) (t=t0).
(I45)
Если функция u(t) явл яется непрерывной, то в течение малых цн.
тервалов времени At она будет получать малые приращения. Все цн_
тенсивности (143), начиная с третьей, будут равны нулю. Уравнецие
(144) принимает вид
др
д
1а2


Это уравнение, описывающее изменения переходной вероятности не­
прерывного марковского процесса, называется уравнением Фоккера—
Планка— Колмогорова. Функция х^и, t) характеризует среднюю эво­
люцию процесса u{t) при условии, что u(t) = и и называется коэффи
циентом сноса. Функция х 2(и, t) характеризует среднее квадратическое
отклонение процесса при условии, что u(t) = и, и называется, коэффи-
циентом диффузии. Заметим, что переходная вероятность р(и, /|а 0, /0)>
рассматриваемая как функция начального состояния u0i /0, удовлет­
воряет уравнению
др
др
1
д2р
—
—
—
- х ,---------х2——,
д(о
д“о
2
ди2
(147)
которое является сопряженным по отношению к (146). Строгий вывод
уравнений (146) и (147) можно найти в книге [40].
Заметим, что уравнению (146) удовлетворяет не только переходная
вероятность p(u, t\u0, t0), но и одномерная плотность вероятности
p(u, t). В самом деле, умножая уравнение (145) почленно на р(и0, /0)>
интегрируя по и0 и учитывая, что
\ p(u,t\ «о, /о) Р(«о. <о) du0= р (u, t),
придем к уравнению (146) относительно р(и, t). Начальное условие имеет
вид
p = p(u0,t0) (t = t0),
(148)
где р(и0, t0) — одномерное распределение в начальный момент време­
ни. Определение переходной вероятности можно рассматривать как
частный случай определения одномерной вероятности при начальном
условии, заданном в форме (145).
Изложенную теорию можно обобщить применительно к многомер­
ным марковским процессам. Пусть u(/) = [«i(/), u2(t), . . . , u m(/)]—
/л-мерный случайный процесс без последействия. Переходная вероят­
ность р(u, t \ u 0, t0) для этого процесса удовлетворяет интегральному
уравнению типа (141):
р(u2,/2|u0, t0)= Jр(u2, t21щ, tj p(ult tx| u0, *0)dulf
где u 0, ux и u 2 — реализации процесса u(/) в моменты времени
txи t2
соответственно; йиг — элемент объема в m-мерном пространстве. Обо­
значим приращение компонентов вектора и(/) через Аиъ Ды2, . . . , Аит.
Введем интенсивности многомерного марковского процесса
X;(u,/)-Iim
At-+Q А/
Д/-*0
А/


где угловыми скобками обозначена операция Взятия условного мате'
матического ожидания. Если любая из компонент процесса меняется
непрерывно, то интенсивности более высокого пор ядка, например
*;м(и, 0 =Нш
А/ ►О
<Auj AUkДи/ >
м
будут равны нулю. Выполняя выкладки, аналогичные тем, который
были сделаны ранее, придем к уравнению Колмогорова для многомер'
ного марковского процесса:
др_
dt
_
у_Ё
_
(хр)+1ууЛ—
pidui
2
(*Л р)-
(150)
Переходная вероятность р(u, t | и0, /„) должна удовлетворять урав'
нению (150), а также условиям положительности, нормировки и на'
чальному условию р = 6(и — и0) при i — t0. Как и в одномерном слу'
чае, уравнению (150) удовлетворяет такж е плотность вероятности р(и, /)•
При этом начальные условия берутся в виде
p = p(u0,t0) (/ = *„)•
(151)
§ 1.11. Применение теории марковских процессов
к решению задач статистической динамики
Для того чтобы применить аппарат теории марковских процессов
к задачам статистической динамики, необходимо прежде всего уста­
новить класс систем, поведение которых может рассматриваться как
непрерывный марковский процесс. Очевидно, что должны быть нало­
жены существенные ограничения на оператор в уравнении (5). Рассмот­
рим вначале случай, когда и(/) является одномерным процессом, a L —
дифференциальным оператором.
Нетрудно заметить, что поведение системы будет определяться ее
состоянием в какой-либо момент времени независимо от истории то ль­
ко в том случае, если оператор L имеет первый порядок. Другими сло­
вами, стохастическое дифференциальное уравнение относительно u(t)
должно иметь вид
«+/(«)=9(0-
(152)
Здесь f(u) — неслучайная функция. Далее, внешнее воздействие q(t)
должно быть дельта-коррелированным; в противном случае история
системы будет влиять на ее поведение через стохастическую связанность
воздействия. Итак, внешнее воздействие <?(/) должно быть белым шу­
мом, т. е. удовлетворять условиям
<?(/)> = 0, <<7&)<7(/,)> = s8(/,— /,).
( 153)
Вообще говоря, марковость процесса u{t) имеет место и в том случае,
когда интенсивность белого шума s зависит от функции и и времени t.
Мы все же в дальнейшем будем полагать белый шум стационарным,


t . ё. счй*гать, что s = const. Интенсивность s связана со спектральной
плотностью входного процесса Sq соотношением
s = 2nSq,
(154)
которое непосредственно следует из формул (82) и (153).
Приращение Дисфункции u(t) за интервал времени At согласно
уравнению (152) будет
i+д/
Аи= —/(и)At+ j) q(x)dx+ o(At).
t
Используя эту формулу, вычислим по формулам (143) интенсивности
марковского процесса. Легко найдем, что коэффициент сноса
хх= lim
Д/->0
<Аи >
М
- Пи).
Далее, средний квадрат приращения Аи составляет
Н-д/ <+д/
(Ди2>= Р (и)At2+ I I
t
t
< Q(Ti) q(t2)> dxt dx2+ 0 (At3).
Поскольку с учетом (153)
Н-д*
s <<7('ri)7('ca)>dT2= s,
то формула дл я среднего квадрата принимает вид
<Аи2>= /2(и)At2+ sAt + o(At3).
Отсюда найдем коэффициент диффузии
х2= lim
д/-о
<Аи2 >
М
=s,
который оказывается равным интенсивности входного белого шума.
С учетом вычисленных значений коэффициентов сноса и диффузии
запишем уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (146):
■J= -f(/Р)+7-
dt
ди
2
д2р
ди2
(155)
Рассмотрим несколько простейших примеров интегрирования урав­
нения (155). Пусть, например, f(u) = 0. При этом стохастическое диф­
ференциальное уравнение (152) описывает процесс случайных блуж­
даний точки на прямой —оо
оо. Уравнение (155) превращается
для этого случая в классическое уравнение диффузии
др_s
дгр
Ht~'2 ‘!кё’


решение которого, удовлетворяющее начальному условию (145), к 0к
известно, будет
Р(UJt|Hqу /fl)
1
/ 2ns (t-io)
(“ —“о)2
2s (/—/0)
(156)
Переходная вероятность (156) соответствует нестационарному гаус­
совскому процессу с дисперсией, которая увеличивается пропорцио­
нально времени. В силу марковости все многомерные распределения
процесса также будут гауссовскими. Заметим, что входной процесс не
обязательно должен быть гауссовским. Нормализацию процесса при
прохождении через данную систему можно рассматривать как следст­
вие центральной предельной теоремы теории вероятностей. В самом де­
ле, интегрируя уравнение системы, получим, что
t
u(t) = u0+ 5 q(т)dx.
to
Таким образом, выходной процесс получается в результате суммиро­
вания весьма большого количества некоррелирующих импульсов, что
и обусловливает его нормальное распределение.
В качестве второго, менее тривиального примера рассмотрим сис­
тему с существенной нелинейностью
f(и)= сsignи
(здесь с — неслучайная постоянная). Уравнение (155) принимает вид
др_
dt
др.s д2р
сsignи— Н
—
. ——.
5ди2да2
Ограничимся решением этого уравнения для стационарного слу­
чая (idpldt = 0). Переписав уравнение в виде
%+-•?=О(о0);
du2
s
du
££_*
. 4>_0 (а<0).
du2
s
du
легко найдем его общее решение:
ы=С1+С2ехр^— - 2^!).
Отсюда после удовлетворения условию нормировки получаем
р^ =7ехр(—^7^) •
(157)
Таким образом, одномерное стационарное распределение оказывается
экспоненциальным. Дисперсия этого распределения составляет
оо
<Ц2>= $ u2p(u)du = £ -
(158)


Используем найденное точное решение для того, чтобы оценить точ­
ность приближенного решения, найденного по методу статистической
линеаризации. Вопрос о линеаризации функции f(u) = sign и рассмат­
ривался в конце § 1.9. Уравнение системы после линеаризации с уче­
том формул (138) принимает вид
.
ас
/i\
и+—и=?(/),
где коэффициент а равен единице, если линеаризация проводится из
условия равенства дисперсий, и равен У 2/л , если проводить линеари­
зацию из условия минимума среднего квадратического отклонения.
Через ol обозначена дисперсия выходного процесса.
Спектральную плотность выходного процесса S u(co) найдем по фор­
муле (97):
SuИ
Sq С0*)
ас
2
---
+t*0)
<*и
Отсюда получим уравнение для определения дисперсии а«:
Зам ечая, что
оо
со
найдем, что ненулевой корень уравнения соответствует среднему квад­
ратическому отклонению
Сопоставляя найденный результат с точной формулой (158), видим,
что точные и приближенные значения отличаются лишь числовым мно­
жителем. Первый способ линеаризации дает в формуле для среднего
квадратического отклонения коэффициент, равный 0,50. По второму
способу получаем 0,63. Точное значение коэффициента, как следует
из формулы (158), составляет 1/|A2 = 0,71. Расхождения довольно
велики, хотя оба способа линеаризации предсказывают правильный
порядок коэффициента. Существенно, что точное значение лежит вне
вилки, образованной двумя способами линеаризации. Таким образом,
к распространенным рекомендациям о применении метода статисти­
ческой линеаризации надо отнестись с осторожностью. Добавим к это­
му, что метод линеаризации, дающий удовлетворительное приближе­
ние дл я дисперсии, вообще говоря, не пригоден для оценки законов


)эаспрёдёлёнйя выходного процёсса. В рассмешенном выше примёрё
плотность вероятности ведет себя как
11>, в то время как для нор­
мального распределения, положенного в основу линеаризации, имеем
е~ и*. Гипотеза нормальности может привести к грубым ошибкам при
оценке малых вероятностей.
Стохастические дифференциальные уравнения, описывающие мно­
гомерный марковский процесс, аналогичны по структуре уравнению
(152):.
Uj+fj(ultu2, . . . , ит) = qj(t)
(159)
(/= 1,2,... ,m).
Здесь /Дм,, « 2. •••. ит) — неслучайные функции; <7;(/) — стационарные
белые шумы:
<Qi(0 >= 0; <qj(t)qh(t+ т)) = sjhб(т).
(160)
Интенсивности sjh связаны со спектральными плотностями Sq.(/k
входного процесса q^t), q2(t)f qm(t) соотношениями
Sjk —2nSq.qkm
Определяя из уравнения (159) приращения компонентов выходного
процесса
Auj= —fj(ultи2, ... , ит)At+ J qj(т)dx
t
и применяя формулы (149), найдем интенсивности
*t = — fi(«1. “2.......«т)> *Jh= Sik
(161)
(/,6 = 1,2..... т).
Отсюда уравнение Фоккера—П лан ка— Колмогорова (150) принимает
вид
др_
dt
тп_
mтп
2
+2Sjb
/=1 J
/=1k=\
д*р
duj диъ
( 162)
Применим уравнение (162) к нелинейной колебательной системе
с одной степенью свободы:
и+2еи+/(«)=q(t).
(163)
Заметим прежде всего, что даж е в том случае, когда внешнее воздейст­
вие q(t) является белым шумом, выходной процесс u(t) будет обладать
последействием. В самом деле, чтобы определить u(t) при / 2 > (ъ не­
обходимо знать не только « (/,) , но и u(ii). Хотя выходной процесс и{()
и не является марковским, но он может рассматриваться как компонент
двухмерного марковского процесса u(t), u(t). Здесь мы впервые встре­
чаемся с ситуацией, когда увеличение числа измерений фазового про­
странства позволяет применить аппарат теории марковских процессор.


С формальной точки зрения дело сводится к замене уравнения (163)
эквивалентной системой двух уравнений первого порядка. Полагая
« 1 = u{t), и2 = u(t), получаем систему стохастических дифференциаль­
ных уравнений типа (159):
и1=«2;
«2 = — 2eu2—f(u) + q.
Интенсивности двухмерного марковского процесса вычислим по фор­
мулам (161):
х1 = «2; х2= —2е«2—/(Hi);
Хц— Kj2=
‘9»
К22= 5.
Уравнение (162) записывается в виде
=- и^ +2е1р+«^ 1+Ци)
+i•
.
ди
ди
ди
ди*
(164)
Уравнение (164) является дифференциальным уравнением в частных
производных относительно функций трех независимых переменных и,
и и t. Некоторые частные решения этого уравнения, имеющие важное
практическое значение, могут быть сравнительно легко получены. Б у­
дем искать стационарное распределение. Полагая в уравнении (164)
dpldt s= 0 , перепишем его в виде
_д_
ди П“)Р+-Г -у -
4е ди
+~+2е^
ди
ди
ир+ —
4е
др\
' дкJ
=0.
Это уравнение будет удовлетворено, если принять, что
p = Pi(u)p2(u),
(165)
где функции pi(u) и р2{и) удовлетворяют уравнениям
^ + —/(«)Pi=0;
du
s
^7+— «ps=0.
du
s
Формула (165) означает, что обобщенная координата и обобщенная
скорость в стационарном случае независимы. Плотность распределе­
ния обобщенной координаты имеет вид
р1(ы) = С1ехр|^—^ -П(ы)
(166)
где Ci — постоянная, определяемая из условия нормировки, а П(и) —
функция, аналогичная потенциальной энергии системы, т. е.
U
П(и)= 5)/(и)du.
(167)
«о


Для обобщенной скорости получаем нормальное распределение:
f)-
(|68)
Формула (165), пр авая часть которой, определяется согласно (166)
и (168), представляет собой распределение М аксвелла — Больцмана
для системы с одной степенью свободы. Формула (166) замечательна в
том отношении, что дает явную связь между распределением обобщен­
ной координаты и потенциальной энер­
гией системы. Положения равновесия
соответствуют экстремумам плотности
вероятности. Если положение равнове­
сия устойчиво, то потенциальная энер­
гия имеет минимум, а плотность вероят­
ности — максимум. Наоборот, неустой­
чивым положениям равновесия соответ­
ствуют минимумы плотности вероят­
ности (рис. 9).
До сих пор внешние воздействия
предполагались дельта-коррелированны­
ми, что сильно су жало область приме­
нения аппарата теории марковских про­
цессов. У величивая число компонентов
процесса, можно и в более общем случае
получить уравнения типа (159), где в
правых частях стоят белые шумы. Дело
в том, что обычно в прикладных расче­
тах входные процессы предполагаются
нормальными, а их спектральные плотности представляются в виде
дробно-рациональных функций. Т акие процессы можно интерпретиро­
вать как результат прохождения нормального белого шума через ли*
нейный фильтр. Д опо лняя уравнения системы уравнениями фильтра,
получим расширенную систему, которая будет обладать свойством
марковости. Если наибольшая степень знаменателя в выражении для
спектральной плотности входного процесса равна 2п, то число Компо­
нентов следует увеличить на п.
Поясним этот прием на примере системы (163), на входе которой
задан экспоненциально-коррелированный процесс с корреляционной
функцией:
Рис. 9
ff*(T)=/C0e-«m
(Ко и а — неслучайные положительные константы). Спектральная
плотность этого процесса имеет вид
Sq (®)= ~~
Л
а
(о2+ а*~ *


Отсюда видно, что экспоненциально-коррелированный процесс может
быть представлен как результат прохождения белого шума q0(t) через
систему с оператором 1 (ш) = /со + а . Уравнение этой системы будет
Интенсивность белого шума составляет s0 = 2/С0а . Дополняя уравне­
ния заданной системы уравнением фильтра и вводя обозначение и3 =
= q(t), получим систему
описывающую трехмерный марковский процесс. К этой системе пол­
ностью применимы методы, изложенные выше.
Требование о том, чтобы спектральная плотность входного процес­
са была дробно-рациональной функцией, не является безусловным.
Любую аналитическую функцию, представляющую спектральную плот­
ность, можно аппроксимировать при помощи дробно-рациональных
выражений со сколь угодно большой точностью. Рассмотрим, напри­
мер, процесс с гауссовской корреляцией:
видно, что этот процесс эшжнш рассматривать как результат прохож­
дения белого шума через дш гаш ую систему
с оператором L, который является трансцендентной функцией опера­
тора дифференцирования по времени dldt:
Разлагая экспоненту в ряд, получаем следующее представление для
оператора L:
q+aq=q0.
U\=U2\
и2= —2eu2—f {и\)-\-из\
н3=
—
анз+ qо»
Kq{т)= Коexp (—а2т2).
Из формулы для его спектральной плотности
При этом интенсивность белого шума q0(t) составляет
Ко/ я


Далее этот ряд усекаем с учетом требуемой точности вычислений. Та-
ким образом, размерность расширенного фазового пространства из­
меняется в зависимости от того, ка кая погрешность допускается при
расчете.
Представление о возможностях аппарата теории марковских про­
цессов будет неполным, если мы не упомянем еще об одном метоДе
статистической динамики. Речь идет о комбинации методов нелиней­
ной механики, таких как методы Ван-дер-Поля, Крылова—Боголюбо­
ва и Боголюбова—Митропольского, с методом уравнений Фоккера—
Планка— Колмогорова. Как известно, перечисленные методы нели­
нейной механики приспособлены для описания колебательных про­
цессов, амплитуды и фазы которых меняются достаточно медленно.
Аппаратом этих методов служат укороченные уравнения относительно
амплитуд и фаз. Нетрудно составить аналогичные уравнения для сто­
хастических систем. Эти уравнения описывают изменение амплитуд
и фаз выходного процесса. При некоторых ограничениях, наклады­
ваемых на систему и входные процессы, совместная эволюция ам­
плитуд и фаз может рассматриваться как марковский процесс даже
в том случае, когда выходной процесс заведомо не яв ляется марков­
ским.
В самом деле, чтобы двухмерный процесс u(t), u(t) на выходе системы
и+сооu+pf(и,и)=q
(169)
мог трактоваться как марковский, необходимо, чтобы время корреля­
ции входного процесса т было мало по сравнению с характерным вре­
менем системы т 0 = 2я/со0- Таким образом, требуется, чтобы со0т < ^ 1 .
Пусть амплитуда и фаза процесса u(t) меняются достаточно медленно,
так что характерное время их изменения составляет т0/fx, где р,
ма­
лый параметр. Обычно этот параметр имеет тот же порядок, что и ма­
лый параметр, характеризующий нелинейность и нестационарность
системы. По отношению к медленно меняющимся амплитуде и фазе
входной процесс можно трактовать как белый шум, если выполняется
менее жесткое условие т < ^ т 0/р. Это условие будем записывать в виде
Ц0)„т^1.
(170)
Оно будет выполняться при малом р и в том случае, когда время корре­
ляции входного процесса равно по порядку характерному времени
системы, т. е. ы0т ~ 1 . Таким образом, применение метода медленно
меняющихся амплитуд и фаз существенно расширяет область приме­
нения аппарата теории марковских процессов.
Проиллюстрируем применение метода на примере уравнения (169).
Если нелинейность и нестационарность системы достаточно Малы
го решение этого уравнения будет мало отличаться от гармонического
движения с частотой (о0. Поэтому решение ищем в виде
и = агг(т) sin оо01-f аг (т) cos со0/,
(171)


где aj(x) и а 2(т) — медленно меняющиеся функции времени. Чтобы
упростить формальную сторону вычислений, здесь введено «медлен­
ное время» т = pi. При дифференцировании производные по т будем
считать малыми по сравнению с производными по /. При интегриро­
вании по t в пределах периода будем рассматривать медленное время
т как параметр. Дифференцируя выражение (171), получим с учетом
сказанного выше приближенные выражения
Далее, разложим нелинейную функцию f(u, и) и внешнее воздействие
q(t, т) в р я д Фурье и отбросим все члены, содержащие высшие гармони­
ки:
Подставляя все эти выражения в уравнение (169), получим укорочен­
ные уравнения относительно функций медленного времени а^т) и а 2(т):
Уравнения (172) формально совпадают с уравнениями метода Ван-
дер-Поля или уравнениями первого приближения в методе Крылова —
Боголюбова. Однако здесь ^ (т) и q2{x) — случайные функции. Поэтому
уравнения (172) являются стохастическими. Если выполняется условие
(170), то внешние воздействия 9х(т) и q2(x) можно приближенно тракто­
вать ка к белые шумы и, таким образом, записать уравнение Фоккера —
Планка— Колмогорова для совместного распределения амплитуд ^ (т)
И а 2(т). Бл иж айш ая задача состоит в том, чтобы выразить интенсивно­
сти этих белых шумов через вероятностные характеристики процесса
q(t, т). Эту задачу можно решить разными путями, каждый из которых,
к сожалению, не является достаточно строгим даже с точки зрения
стандартов, принятых в инженерных и физических исследованиях.
Остановимся на одном из способов, который, на наш взгляд, является
наиболее прозрачным с физической точки зрения.
Вычислим корреляционные функции процессов, задаваемых фор­
мулами
f(и, и) жFi (ai,a2)cos(o<n+ F2(ai, a2)sin©01\
q(t, t) ss <7i(t) cos(£>Qt+ q2(x) sin co01.
(172)
2Я/(Do
<7i(t)= —
jj q (t,x) cos a>0tdt;
2я оо
2 л /(|)0
(173)
<72(t) = —
q(t,x)sm<a0tdt.
о


Начнем с функции
9 2я/м0 2Я/ш0
COq г*
f
< Яi(^i)'7i(t2)> = - г
-
i J <9 (*i. Tj) q(t%, т 2)>cos со0 cos co01, dttfL.
4,1
о
0
Так как выходной процесс, согласно предположению (171) явля^тся
узкополосным, то его свойства в основном определяются значением
спектральной плотности 5 g(to) входного процесса q{t), соответствую,
щим частоте (о0. Поэтому при вычислении интеграла реальный процесс
можно заменить белым шумом с интенсивностью
S= 2nSq (сй0).
Подставляя в правую часть формулы для корреляционной фунццин
выражение
Шъ "Ч)Я(*2.тг)>= 2я5,(со0)б(/х—/2)
и интегрируя, легко получим
<<7i(*i) Я1 Сч)> = - у
Эта формула пригодна, если моменты времени т х и т 2 принадлежат од­
ному периоду х0= 2тс/о)0. В противном случае правую часть слвдует
положить равной нулю. Аналогичное выражение получается для КОр_
реляционной функции процесса *72(т). Таким образом,
<ЯгЮ ЯгCb)>= <92(Ti)Яг(*а)> //<т1</ + х0\ (174)
V^Т2^+^0/
ДО в остальных случаях).
Взаимная корреляционная функция процессов ^(т) и q2(x), ка^ Не
трудно убедиться, тождественно равна нулю.
Итак, мы получили, что процессы (173) имеют корреляционные фуНк
ции, принимающие внутри одного периода колебаний постояннь
значения и равные нулю, если моменты времени принадлежат разны^
периодам. Но с точки зрения медленно меняющихся процессов а Д
и а2(х) характер корреляции процессов ^ (т) и q2(x) внутри од Д ^ '
периода не имеет существенного значения. Поэтому без большой п °
грешности можно заменить прямоугольную корреляцию дельта.Ко°
реляцией, полагая, что
Р'
<ЯгЫ)Яг(т2)>= <Яг(п)Я2Ы)>= (*i—*2)-
Интенсивность s подсчитаем из условия равновеликости плшцаде
ограниченных графиком корреляционной функции:
1
s—
(o)q).
(Щ


Итак, мы нашли, что при определении медленно меняющихся ам­
плитуд аг(т) и а2(т) процесса u(t) случайные функции (173) можно тр ак­
товать к ак некоррелирующие белые шумы с интенсивностью (175). По­
этому уравнение Фоккера—П ланка—Колмогорова для системы (172)
запишется в виде
др=И>
dt
со0
~д_
dai
(FiP)~(FtP)
да2
nSq(ш0) !дгр . д*р\
2ш° U? *»)•
§ 1.12. Понятие о стохастических краевых задачах.
Случайные поля и их описание
Для решения задач статистической динамики механических систем
широко используются методы, основанные на сведении этих систем
к системам с конечным числом степеней свободы. Функции, описываю­
щие поведение распределенной системы, представляются в виде разло­
жений по некоторому функциональному базису. Затем при помощи
одного из вариационных методов составляются обыкновенные диффе­
ренциальные (по времени) или алгебраические уравнения относительно
коэффициентов ряда. К полученным уравнениям применяются хорошо
разработанные методы статистической динамики дискретных систем.
Вычисления такого рода, особенно если они проводятся с удержа­
нием небольшого числа членов ряда, носят лишь модельный характер
и в лучшем случае дают качественное представление о поведении си­
стемы. В действительности анализ распределенных систем сводится к ре­
шению одномерных, двухмерных и трехмерных краевых задач опреде­
ленного типа. Если внешнее воздействие и (или) свойства системы яв ­
ляю тся случайными, то это будут стохастические краевые задачи, т. е.
задачи о нахождении вероятностных свойств некоторых стохастичес­
ких дифференциальных уравнений со стохастическими краевыми усло­
виями.
К настоящему времени разработано большое количество методов
решения стохастических краевых задач. Многие из них представляют
по существу соединение методов математической физики с идеей осред­
нения по множеству реализаций, пространству или времени. Ряд мето­
дов теории одномерных случайных процессов допускает обобщение
на задачи теории случайных полей. К этому следует добавить, что слу­
чайные поля являются объектом изучения некоторых других отделов
точных наук, например статистической физики, квантовой теории по­
л я и теории турбулентности. Правда, в этих дисциплинах краевых з а­
дач почти нет, а те немногие задачи, которые имеются, ставятся для
неограниченных областей или для простейших граничных условий.
Между тем для краевых задач статистической динамики деформируе­
мого твердого тела типичны.ограниченные области (подчас сложной кон­
фигурации), достаточно сложные граничные условия и повышенный
интере£лцю ведению решений вблизи границ.
Мы начнем- изложение статистической динамики распределенных
систем с того, что кратко изложим способы описания случайных полей


[84,93]* . Будем различать одномерные, двухмерные и трехмерные
поля. Примером одномерного поля служит поле перемещений, цзги.
бающих моментов, перерезывающих сил и т. п. в тонком стержне, рас­
сматриваемом с позиций сопротивления материалов. С формальной точ­
ки зрения нет необходимости проводить различие между функцией
времени u{t) и одномерным полем и(х). В качестве примера двухмер­
ных случайных полей можно привести распределение перемещений сре­
динной поверхности, распределение моментов и усилий и т. п. в плас­
тине или оболочке. Распределение напря­
жений, деформаций и перемещений в трех­
мерном теле образует трехмерное поле.
Функции, описывающие динамическое или
нестационарное поведение системы, зависят
не только от координат, но и от времени.
Такие функции будем -называть пространст-
венно-временнымщ„слунайными полями- или
пространственно-временными случайными
процессами.
При рассмотрении распределенных си­
стем мы будем использовать, как это де­
лается и в других статистических теориях, понятие ансамбля реализа­
ций. Применительно к задачам строительной механики под ансамблем
реализаций мы будем понимать совокупность большого числа конст­
рукций или изделий, выполненных по одному проекту и по единой
технологии и находящихся в статистически равноценных условиях
эксплуатации или эксперимента. Применение понятия об ансамбле
реализаций необязательно связано с предположением о том, что
изделие будет изготовлено в большом количестве образцов. К ак уже
указывалось в § 1. 1 , во многих случаях в силу стационарности и
(эргодичности удается перейти от рассмотрения ансамбля реализаций
(к анализу эволюции одной реализации во времени.
Величины, с которыми мы имеем дело в статистической динамике
распределенных систем, являются скалярами, векторами или тензо­
рами. Таковы векторы объемных и поверхностных сил Х } и q}, векто­
ры перемещений uj, тензоры напряжений и деформаций ojh и e7-/t и т. д.
Число изменений пространства может быть равно одному, двум или
трем. Мы будем полагать в дальнейшем, что величины зависят от вре­
мени t и радиус-вектора г, полагая, что г = х в одномерном случае,
г = х1г х2 в двухмерном случае и г = хи х2, х 3 в трехмерном случае.
Случайное поле может быть описано несколькими способами.
В качестве примера (рис. 10) рассмотрим векторное поле uj(г, t). Это по­
ле можно задать при помощи полной системы совместных функций рас­
пределения вероятности или при помощи соответствующих плотно­
стей вероятности (по индексам не суммировать):
Pj{u}| г, 1), pJh(itj, uh| г, t-У, t% pjhl(uj, u,„ it, | r, /; r ' ,
r", f), ...
* См. т ак ж е неда вно вышедшую раб оту : Ломакин В. А . Статистические
зад а чи мех аники твердых деформируемых тел . «Наука», 1970,


Произведение Pj(U}\г, ffduj равно вероятности события, состоящего
в том, что в точке г в момент времени t компонент u; (r, t) окажется л е­
жащ ие в интервале числовых значений Uj и и} duy.
р}(щ|r, i)duj= P[Uj< uj(r,t)< uj+ duj].
Аналогично вводится двухмерная плотность вероятности
Pjk(“;>uhIr>t>r'. О duJduh= p
Uj<Uj(r,t)<Uj -f duj
.uh< u h(r',/')<«„+ duh
и т. д. Здесь для упрощения записи возможные значения, которые при­
нимают компоненты вектора щ(г, t), обозначены теми же буквами.
По р яду причин, о которых будет сказано несколько ниже, в ста­
тистической динамике предпочтителен другой способ описания. Обра­
зуем моментные функции первого, второго, третьего и т. д. порядка:
<U;(Г, 0 ), <Uj(Г, t)Uh(Г', V)>, <Uj(г, t)uk(г', V)щ(г", t")),. ..
Здесь, как и ранее, угловыми скобками обозначено осреднение по мно­
жеству реализаций. Функции первого порядка представляют собой ма­
тематические ожидания компонентов вектора в произвольной точке поля
и в произвольный момент времени. Следующие моментные функции х а­
рактеризуют стохастическую связь между компонентами в двух точках
поля з различные моменты времени и т. д. Связь между моментными
функциями и совместными плотностями распределения вероятности
дается формулами
( Uj(г, /) >= I Ujpj(UjIг, /) dUj,
< Uj(r, t)uk(r\ t') >= § Ujuhpjh(Uj, uk|r, t\r', t')dujduh, ...
( 176)
Вместо поля uj(г, t) часто целесообразно рассматривать поле центри­
рованной величины
Uj(Г, t)= Uj(Г, t)—(Uj(г, t) >.
Соответствующие моментные функции
K,Jr,/;r\0 = <Mr, t)uk(г', О);
Kjhl(г, /; г', V;г", Г) = {Zj(г, tfuk(г', О щ(г", Г) >...
(177)
называются центральными. Центральные моментные функции второю
порядка называются корреляционными функциями. В дальнейшем
всюду, если это не оговорено, под моментными функциями будем пони­
мать центральные функции (177).
Нетрудно показать, что моментные функции обладают тензорными
свойствами. Например, совокупность корреляционных функций век­
торного поля образует тензор второго ранга (точнее, тензорное поле
удвоенного числа переменных г, /, г ' , / ') .


Описание случайных полей приобретает большую гибкость, если
использовать метод спектральных представлений (ср. § 1.6). Простей­
шим примером спектрального представления является разложение
поля перемещений uj(г, i) в ряд по формам собственных колебаний <р/а(г):
оо
Uj(T,t)= 2
(0Ф;а(г)•
(178)
а=1
Здесь а — номер формы колебаний. Коэффициенты ряда Ua(t) Пред­
ставляют собой случайные функции времени t. Применяя операцию
осреднения, получим, что
<Мг,/)>= 2 <£/а(0>ф/а(Г);
оо
(179)
<Uj(г, 0 Uh(г', О >= 2 Е < (0i/p(0>ф/а(г)ф*(3(г')
а=1 Р=1
и т. д. Таким образом, для статистического описания поля Uj(г, t) до­
статочно знать полную систему моментных функций дл я коэффициентов
Ua(t) ряда (178).
Другим примером спектрального представления может служить
обобщенное преобразование Фурье по координатам и времени случай­
ного поля Uj(г, /):
Щ(г>0 = й ^ (х, со)фу(г, / 1х, со)dx dec.
(180)
З д е с ь х — вектор параметров пространственного преобразования
Фуръе, со — параметр временного преобразования, ф/ (г, /|х ,с о )- _
производящая вектор-функция (детерминированная функция коор­
динат и времени, зависящая от х и со как от параметров), [/(х, оо)--
некоторое случайное поле в новом пространстве х , со, называемое спект­
ром поля Uj(г, t). Другой формой преобразования Фурье является
следующая:
Uj{г, t)= \\Uj{x, и) Ф(г, t|х, со)dxd(0.
(181)
Различие состоит в том, что в формуле (180) спектр является скаляров,
а в формуле (181) — вектором.
Интегрирование в этих формулах производится по всей облаС1.и
изменения вектора х; dx — элемент объема в этом пространстве (Нд.
пример, в трехмерном случае dx — dx1dx2dx3). Формулы (1$0) „
(181) являются обобщением формулы (81) на пространственно-вреМ^
ные случайные поля.
Важным примером полей, для которых преобразования типа
и (181) оказываются весьма удобными, слу ж ат стационарные случа^ '
ные поля. Поле, заданное при — оо ^
^ о о , называется стационар,
ным, если его вероятностные характеристики не меняются во времен,/


Плотности распределений вероятностей для стационарного поля при
произвольных tlt t2,
и произвольном т удовлетворяют соотношениям
Pj(“i|г, t)=pj(uj|г, /+ т);
Pik(uj, uh|r, t\r', t’)=pjh(uj, uk|r, *+ т; r', t'+ т)
ит. д ., а моментныефункции /С/а(г, t\ г '/),
г, г', г';г", Г)ит.д.
зависят от разностей t' — /, f —t, . . . и не зависят от выбора начального
момента наблюдения. Обычно гтянионярнпе. глуияйное поле является
вместе с тем и эргодическим во времени: его .временные свойства в каж­
дой точке поля могут быть получены обработкой одной достаточно про­
должительной реализации. Если так, то определение моментной функ­
ции может быть сведено к осреднению соответствующих произведений
по времени и последующему осреднению полученных пространствен­
ных полей по множеству реализаций.
Стационарные случайные поля uj(г, t) допускают спектральное пред­
ставление типа (84):
оо
Uj(г, t)= <Uj(г, t)) + 5 Uj(Г. м) еш da.
(182)
—
ОО
Случайное поле U,{г, а) в пространстве г, со обладает свойством
стохастической ортогональности по частоте со:
<U*(г, o No (r 't со’)>= Sjk(г, г', со)б(со—со').
(183)
Через Sjk(г, г ' , со) обозначены детерминированные функции. Эти функ­
ции связаны с соответствующими корреляционными функциями зави­
симостью
Sjh{г,г ',ш )= ^ - f Kjbir.tir'.t+xie-^dT,
(184)
2ко
—
оо
которые являю тся аналогом формулы (86). Функции Sjk(г, г ' , со) обра­
зуют двухточечный тензор второго ранга; они обладают свойствами
корреляционных функций по координатам и свойствами временной
спектральной плотности. В статье [17], где эти функции, по-видимому,
впервые были введены, они названы спектрами пространственной кор­
реляции.
Другим примером спектрального разложения типа (181) служит
разложение однородного поля в интеграл Фурье. Поле, заданное во
всем пространстве, называется однородным, если его вероятностные
характеристики инвариантны относительно сдвигов системы коорди­
нат. В частности, плотности вероятностей для однородного поля при
любых г, г ',
и любых р удовлетворяют соотношениям
Pj(UjIг, t) = Pj(Uj\r + p, t)\
Pih(Uj, uhIr, t\ r', i)=pjh(Uj, uhIr + p, t\ r' + p, t)


и т. д. МоменТные функции однородного поля зависят лишь от разно*
стей координат г ' —г, г " — г и т. д. Часто однородное поле является
вместе с тем и эргодическим, что допускает замену осреднения по мно­
жеству реализаций осреднением по всему пространству.
Ограничимся случаем, когда поле Uj (г, t) явл яется однородным
по г и стационарным по t. Тогда его можно представить в виде интегра­
ла Фурье:
оо оо
Uj(r,t) = <KUj(r,t)'>+ 5 \
0)) е‘ ^ r+ b>t)dx do\ (185)
где для трехмерного пространства хг = х ^ + х 2х2 + х 3х 3. Спектр
Uj(x, ю) обладает свойством стохастической ортогональности
<£/* (х, со) ии(х', со')> = Sjh(х, со)б(х — х ') б(со—со'), (186)
где Sjh{x, со)— тензор взаимных спектральных плотностей поля
Uj(г, /). Таким образом, представление (185) обладает свойствами кано­
нического разложения (§ 1.6). Корреляционные функции Kjk(f, /;
г' , t') однородного и стационарного случайного поля зависят лишь от
р=г'—гих
—
t' — t\ они выражаются через спектральные плот­
ности так:
ОО оо
/СЛ(р, т) = ^ 5 s* (х>®)ei(хрh“т)d*d(»-
( 187)
Обратное соотношение имеет вид
s jh(х, со) =
j j Kjh(Р, Т) е~1
dp dr,
(188)
'
'
-- ПСк
где v — число измерений пространства, в котором задан вектор и, ;
dp — элемент объема в этом пространстве.
Разложение (185), как и введенные ранее разложения (84), (182) и
т. п ., носит формальный характер. Более строгая интерпретация Этих
разложений требует рассмотрения предельных переходов или приме­
нения понятия стохастического интеграла Фурье—Стильтьеса. Однако
разложения типа (185) открывают наиболее короткий*и прозрачный
путь для получения различных соотношений. В качестве примера опре.
делим характеристики поля vj(г, t), которое получается дифференциро­
ванием центрированного поля иДг, t):
vj(г, t) =
dsu}(г, t)
(189)
Зле*1 dxs22dxs3*dts*


(v = 3, s = sx + s2 + s 3 + s4). Дифференцируя формально сбйтио-
шение (185) и принимая во внимание связь типа (186) между спектром
и тензором спектральных плотностей, найдем, что
S/* (*. ®)=
A*' A 53®2S‘ (*. ®).
(190)
Затем по формуле (187) можно вычислить корреляционный тензор
K /2V т):
со
оо
Х)= $ S x*s‘ x “, * x “s'© 2s‘ S;“)(x,a>)e'(*P + OT) rfxdco. (191)
—
оо—оо
Производная (189) от поля uj(г, /) будет существовать, если инте­
грал (191) сходится при всех р и т. Достаточным условием будет схо­
димость интеграла
оо
оо
§ ^ xiS*Ai*Ai' “2S4 (x>и)^xd(o< oo.
—
oo—oo
Дальнейш ая специализация случайных полей связана с понятием
изотропии. Случайное поле будем называть изотропным, если его ве­
роятностные свойства инвариантны относительно вращений и отражений
системы координат. Изотропия поля может быть локальной и общей.
Примером локальной изотропии служит поле напряжений в шаре, если
вероятностные характеристики в любой точке этого поля зависят толь­
ко от длины вектора, проведенного из центра, и не зависят от его на­
правл ения. В дальнейшем мы ограничимся однородными и изотропными
полями, свойства которых инвариантны относительно сдвигов, враще­
ний и отражений во всем пространстве.
Рассмотрим вначале скалярное поле ср(г). Корреляционная функ­
ция nj^npn^qrn и идптрорнпго СКаЛЯрНОГО ПОЛЯ
/С(р) = <ф(г)ф(г+р)>
зависит только от расстояний между точками поля р = | р |, а спект­
ральная плотность — только от модуля волнового вектора х = | х |.
Установим связь между К(р) и 5(х). В целях сокращения записи опус­
тим зависимость поля от времени. Формулы (187) и (188) для скаляр­
ного поля принимают вид
К(р)= $S(х)etxpdx\
s^=^fjKle)e"Sde-
(192)
Произведем в формулах (192) частичное интегрирование с учетом
свойства изотропии. Начнем со случая двухмерного поля (v = 2).


Перейдем от прямоугольных координат | lt | 2 к полярным координа­
там р, 0. На плоскости волновых чисел также введем полярные коор­
динаты х , ф. Подставляя во вторую формулу (192) выражения
£1= pcos0, |2= psin0,
x1 = xcosij3( x2= xsimj),
получим
2л оо
S(х)= —
\ I К(р)ехр[—/хр cos(0—ф)]рdpd0.
4я2J•'
О0
Но согласно интегральной формуле Пуассона—Бесселя
2я
^ ех р [—/хр cos (0—ф)] d0=- 2it J0(хр),
о
где / 0(>ф)— функция Бесселя нулевого порядка. Таким образом,
спектральная плотность двухмерного изотропного скалярного поля
является преобразованием Фурье—Бесселя от соответствующей кор­
реляционной функции. Аналогично выводится формула, разреш енная
относительно спектральных плотностей. При этом, к ак и следовало
ожидать, получается формула обратного преобразования Фурье—Бес­
селя. Окончательно получаем
К(р)=2я§S(х)J0(хр)хdx;
о
оо
5^ =~аГI* уо(*р)рdp•
Л0
(193)
Заметим, что вывод этих формул можно было несколько упростить.
В силу изотропии поля вектор х можно было направить вдоль поляр­
ной оси, положив сразу ф = 0 .
Примером спектральной плотности изотропного двухмерного ска­
лярного поля является выражение
5(х) =
(194)
где с, х 0, и п — положительные константы . В частности, величина 1/х0
характеризует масштаб корреляции поля. При п = 2 выражение (194)
описывает двухмерный аналог стационарного марковского (экспонен­
циально-коррелированного) процесса. Случайное поле при этом не бу­
дет дифференцируемым, т ак к ак интегралы
оо
оо
оо
оо
^ § х?5(х)dxxdx2= § § х|5(х)dxxdx2


расходятся. При п > 2 получаем дифференцируемое случайное поле.
По первой формуле (193) найдем корреляционную функцию поля, спек­
трал ьн ая плотность которого имеет вид (194):
К(р)=2пс
Jо(-/.р) х йк
i+4-Xrt
Интеграл в правой части вычисляется, например, по методу контур­
ного интегрирования. В результате находим, что [271
К (р)= 2псхо
п—1
Кр)
п—1
(«—1)|
(195)
где K /i-i(x0p) — цилиндрическая функ­
ция мнимого аргумента (функция Мак­
дональда). График безразмерной функ­
ции <р(т) в формуле
К (р) = 2ясхо ф(х0р)
ци
020
0,16
Ц1!
от
V
\ —Л«J
п«5
1
2
J
5Т
Рис. П
при различных значениях п представ­
леннарис.11.
Перейдем к случаю трехмерного т '
скалярного поля. Возьмем вторую фор­
мулу (192) и произведем в ней частичное
интегрирование,
используя свойство
изотропии. Д л я этой цели перейдем от
прямоугольных координат i lt 1 2. £з к
сферическим координатам р, ф, 6. Аналогичные координаты введем
такж е и в пространстве волновых чисел. Д л я сокращения выкладок
ср азу совместим вектор х с полярной осью. Тогда в сферических
координатах х = (х, 0, 0). Формула принимает вид
Я2Яоо
5М=^
Ш
к<|>)ех|>( — /хр cos 0) sin 0 р2dp d(pd0.
000
Учитывая известное соотношение из теории бесселевых функций
я
jjsin2n0 exp(—tpcos6)d0=V^n^ —
*
^
п
(Р
)>
где Г(*) — гамма-функция, и замечая, что
4В. Зак, 1481
J 1/2 (р)=
1/2 sin
89


найдем *
л
\ехр(—Ырcos0)sin0d0= 2 -~n-
о
*P
Таким образом, формула для S(x) существенно упрощается. Допол­
няя найденную формулу аналогичным обратным соотношением, полу­
чим окончательно
оо
К(р)=4яf5(х)^М И2^х;
М
«Р
S(x)= тМ ^((')— PP2dP-
2л* J
хр
(196)
эти формулы можно тр актовать как прямое и обратное преобразования
Фурье—Бесселя при помощи функций полуцелого порядка (сферичес­
ких функций Бесселя).
В качестве примера изотропного трехмерного поля приведем экспо­
ненциально-коррелированное случайное поле, корреляционная функ­
ция и спектральная плотность которого даются формулами
К(р) = К 0ег*Р;
S(x) =
АГ0а
я2(а2+ х2)2
Здесь Ко и а — положительные постоянные . Соответствующее поле не
является дифференцируемым. Примером дифференцируемого поля мо­
жет служить поле с гауссовским законом корреляции:
К(р)= /Соехр(—ар2);
Однородное изотропное скал яр но е поле в пространстве с любым чис­
лом измерений может быть охарактеризовано замшшм-хвойств одно-
мерного поля (случайной функции одной переменной). Эта функция
получается в результате сечения поля прямой произвольного направ­
ления; будем называть эту функцию сечением поля. Корреляционная
функция сечения поля, очевидно, совпадает с корреляционной функ­
цией поля, если рассматривать последнюю как функцию модуля радиус­
* Этот р езу л ьт ат ле гко пол уч ается так ж е и непосредственным интегрировав
нием.


вектора. Спектральная плотность сечения Т(к) связана с корреляЦион»
ной функцией К(р) зависимостью типа (86):
оо
r (K)= i I К^)е~ыЫ9.
—
оо
Таким образом, спектральная плотность сечения поля, вообще говоря,
не равна спектральной плотности поля. Нетрудно получить формулы,
связывающие спектральные плотности S(x) и Т(х). Например, при
v=3
5(к)= ----- dTM
2лх
dx
Любая функция, которая является спектральной плотностью одно­
мерного случайного процесса, может служить спектральной плотностью
изотропного скал ярного поля. Аналогичное утверждение в отношении
корреляционных функций, вообще говоря, несправедливо. В самом деле,
спектральная плотность S(x) всегда неотрицательная функция: S(x) >
> 0. Чтобы функция К(р) могла служить корреляционной функцией
изотропного скал ярного поля, необходимо, чтобы она была преобразо­
ванием Фурье—Бесселя типа (193) или (196) (в зависимости от числа
измерений) от неотрицательной функции. Это утверждение является
аналогом теоремы Винера—Хинчина из теории одномерных случайных
процессов.
Остановимся теперь на свойствах корреляционных тензоров от
изотропных однородных векторных и тензорных полей. Очевидно, что
требование изотропии будет выполнено, если корреляционные тензоры
выражаются через единичные тензоры соответствующего ранга и через
скаляр ные функции расстояний между точками поля. Примером может
служить корреляционный тензор векторного поля и; (г), представлен­
ный в виде
Kjh(Р)= (и, (г)uk(г+ р)>= /х(р)бд,
(197)
где fi(р) — скалярная функция расстояния между точками р = |р|.
В случае тензорного поля второго ранга s;h(r) с симметричным по ин­
дексам тензором Sjh = shj корреляционный тензор выражается через
две скалярные функции
Kihim (p)=<Sift (г) Slm (г + p ) ) = / i (р) bjh 8;m+ f2(p) (6ЙShm+ 6;mбы)(198)
ит.д.
Как нетрудно показать, формулы типа (197) и (198) не определяют
корреляционные тензоры изотропных полей в самом общем виде. Рас­
смотрим, например, векторное поле uj(г). Возьмем две точки поля с ра­
диус-векторами гх и г2. Чтобы упростить рассуждения, выберем обе
точки на одной из осей координат, например на оси Охг (рис. 12). Ком­
понент корреляционного тензора
K n (r2— Ti) = <Wi(r1)w1(r2)>


Характеризует стохастическую связь между Компонентами вектора
Uj(г), направленными вдоль вектора р. Повернем теперь поле на угол
я/2 вокруг оси, проходящей через точку гх параллельно оси 0х2.Точка
гг переместится при этом в положение г3, так что |г3—ПI = Iг2—
—
гх |. Д л я корреляционного тензора, заданного в форме (197), долж­
но выполняться соотношение
<«i(гх) (г2)>= <«!(г^)(г3)>.
Но выражение, стоящее в правой части, описывает стохастическую связь
между компонентами вектора Uj(г), направленными ортогонально век­
тору р. Из условия изотропии выпи­
санное выше равенство, вообще го­
воря, не вытекает.
Таким образом, выражения типа
(197) и (198) соответствуют некото­
рому подмножеству изотропных по­
лей. Б удем_н азыдать эти .п о л я сильно
изотропными. В общем случае изо­
тропии' "'корреляционные тензоры
должны зависеть не только от модуля
вектора р, но и от его компонентов
| lf 1г> £з (от направляющих косинусов
вектора р). Эта зависимость должна быть такова, чтобы при ортого­
нальных преобразованиях она оставалась инвариантной. Другими
словами, после ортогонального преобразования компоненты корр еля­
ционного тензора должны зависеть от компонентов преобразованного
вектора р так же, как непреобразованные компоненты корреляцион­
ного тензора зависели от первоначальных компонентов р. Общая за­
пись корреляционного тензора для изотропного однородного вектор­
ного поля имеет вид
Kik(?)= h (р)8Л+ U(р)1}lh.
При этом в случае сильной изотропии f2(р) = 0. Д л я изотропного Одно,
родного тензорного поля второго ранга с симметричным по индексам
тензором sjh(г) имеем
Kjhlm (?) —/1 (р) &Jh&1т+ fi (р) (бЛ Sftm+ &]т&hl)+
+ /3(Р)(«Л hlm+ SimЬу + U(Р)(8ЛIk1т+
+ «Л»U%+ h1т+Ьшhl)+/5(Р) IkhSra.
Формула (198) вытекает отсюда при / 3(р) = /4(р) = /«,(р) = 0.
Однородные, а также однородные и изотропные поля являются спе
циальными случаями, типичными для бесконечных областей. Прц По"
мощи таких полей можно описывать, например, распределение уПру
гих свойств в квазиоднородном и квазиизотропном поликристаллццее
ком материале, распределение пульсаций скорости в однородном хуг)
булентном потоке и т, п. Во многих задачах, однако, представляет^'


возможным использовать конечные реализации однородных или одно­
родных и изотропных полей. Например, турбулентные пульсации
давления на пластину конечных размеров можно аппроксимировать в
виде реализации однородного поля, заданного на площади срединной
поверхности пластины. Поля перемещений и напряжений в пластине
не будут однородными; однако для них легко построить спектральное
представление, параметрами которого будут служить компоненты вол­
нового вектора х в разложениях типа (185).
В зависимости от выбранного способа описания случайных полей
неизвестными функциями в стохастической краевой задаче будут либо
функции распределения вероятности для выходных параметров, либо их
моментные функции. Первый путь приводит к большим трудностям, ко­
торые до сих пор преодолевались лишь ценой перехода от распреде­
ленной системы к некоторой эквивалентной системе с конечным числом
степеней свободы. Краевые же задачи для моментных функций ставятся
довольно легко и некоторые из них поддаются разрешению. Особенно
просто определяются средние и моментные функции второго порядка,
несущие основную часть информации о свойствах случайного поля. Это
обстоятельство заставляет отдавать предпочтение аппарату момент­
ных функций (совместно с методом спектральных представлений).
§ 1.13. Методы решения линейных стохастических краевых задач
В настоящем параграфе мы дадим обзор постановок линейных сто­
хастических краевых задач и методов их решения, а также проиллюст­
рируем их на некоторых простейших примерах. Изложение будем
строить на примере системы уравнений
2 Likuh=qj (/= 1, 2, .... v)
(199)
k=\
относительно векторного поля Uj(г, /). Уравнения (199) можно интер­
претировать как уравнения в перемещениях линейной теории упругос­
ти или уравнения в перемещениях линейной теории оболочек. При этом
qj(г, /) — векторное поле нагрузок, Uj(г, t) — векторное поле переме­
щений, Ljh — линейные дифференциальные операторы теории у пру­
гости или теории оболочек. Общая запись (199) пригодна как для ста­
тических, так и для динамических задач; операторы Ljh могут включать
в себя так же силы вязкости. Если не требовать, чтобы числа измерений
у векторов qjt Uj и г были равны, то уравнения (199) можно истолко­
вать к ак уравнения сопротивления материалов, теории пластин и т. п.
Хотя в дальнейшем мы обсуждаем уравнения в перемещениях, однако
все методы применимы для решения краевых задач, сформулирован­
ных в напряжениях, а также в смешанной форме.
Д ля иллюстрации постановок задач и методов их решения исполь­
зуем следующий простой пример. Пусть тонкая круговая цилиндри­
ческая оболочка длиной а нагружена осесимметричной нагрузкой^ ин­
тенсивностью а(х. t). которая является центрированной случайной


функцией координаты х и времени t. При некоторых предположениях
осесимметрические колебания оболочки будут описываться уравнением
относительно нормального перемещения
_34ш,Eh,,d2w.пIдш
D ------ -----ш + рh ------- -2p/ie — = q.
дх*
R*
а/а
dt4
(200)
Здесь D — цилиндрическая жесткость; Е — модуль упругости; р _
плотность материала оболочки; Л — еетолщина; R — радиус кривизны
срединной поверхности. Принято, что имеются диссипативные силы,
пропорциональные нормальной скорости на срединной поверхности
с коэффициентом пропорциональности е.
Торцы оболочки х = 0 и х = а будем считать опертыми, а времен­
ные условия возьмем в двух вариантах. В первом из них при / = 0 на­
грузка прикладывается к покоящейся оболочке. Во втором варианте
рассматриваются установившиеся случайные колебания, вызываемые
стационарной случайной нагрузкой. Граничные и начальные условия
в этих двух случаях имеют вид
Ш=^
= 0(*=0,а): w=Yt=0
=
(201)
йУ=Т7=0 (*=0’а); М<С(/-±оо).
(202)
Относительно интенсивности внешней нагрузки q(x, t) будем Пред­
полагать, что она представляет собой пространственно-временно^ бе­
лый шум:
<</(*. 0)= 0;
1
<<7 (jc, t)q(x\ t')y = s8(x—
— t')J
(s — некоторая постоянная). В дальнейшем корреляционные фун^ади
полей q(x, /) и ф , t) обозначаем через Kq{x, t\ х\ t') и Kw(x, t\ x't
соответственно.
Методы решения линейных стохастических краевых задач ацаЛ(ь
гичны методам статистической динамики линейных дискретных си^те^
описанным в § 1 .5 — 1.8. Начнем с аналога метода функций
из § 1.Й. Тензор Грина Hjk(г, t\ р, т) для системы (199) с соответствуй
щими граничными условиями определяется как решение систему
2 LiuНм(Г, /; р, т) = блб(г—р)б(t—X) (/, 1=1, 2,
V)
к=1 г,t
’
удовлетворяющее граничным условиям для и}(г, t) и нулевым на^адь _
ным условиям при t = т. Индексы под знаками операторов указыВа1о^
функциональные аргументы, в пространстве которых оператор Дейст­
вует. При помощи тензора Грина решение системы (199) записывае1-Ся
в виде
uj(г, 0 = 2 $HJh(г, t\р,т)qh(р, т)dpdx (/=1,2,
v),


где интеграл берется по всей области изменения переменных г и /.
Используя эту формулу, получим следующее выражение для корре­
ляционного тензора поля uj(г, /):
г,t\г',0 =
= $$Я., (г, /;р, т)ЯАт(г',Г;р\t') ^(p, т;р', т')dpdxdp'dr'.
(204)
Формула (204) является обобщением формулы (41) на случай стохасти­
ческих краевых задач.
Применим этот метод к нашему примеру с дополнительными усло­
виями (201). Функция Грина уравнения (200) ищется как решение
уравнения
(DВ +§ +рЛ£ + 2рЛеf )н {х’ 1 т)=■
6{х~ 1)8{(~ т)>
удовлетворяющее условиям
я=?т=0(^=°*а); я=!?=0(*=*)•
ox*
at
Вычисления дают
( 0 (/<т);
Н(х,(-Л, т)= 2
^
1
I
2 7Ге~г(-1~ х) sin [Qa (/ — т)) sin
sin
\Рhaa1f, “а
о
а
(t> т).
Здесь Qa — частоты собственных колебаний оболочки, вычисленные
с поправкой на диссипацию;
coa — частоты собственных колебаний идеально упругой оболочки:
Подставляя выражение для функции Грина в формулу типа (204)
Kv (x,
t') =
aa
tt
= И S$я(*>*>S.т)Я(х',
S', T')/C?(S, т; t ’,V)dtdt‘dxdx',
0 0—с»—оо
после интегрирования получаем следующее стационарное решение:
Kw(x,l\х', 14т)—
оо
р—еIт|
see|t|
|/
е...\
.
алд: . алд-'
-----------
7.
----
(COSйц X"1------- SinlJa Т Sin----- Sill -------
2р* h*ae ^
ш2\
“
Ц,
I
а
а


Рассмотрим теперь аналог метода стохастических дифференциаль­
ных уравнений, изложенного в § 1.6. Уравнения, связывающие момент-
ные функции входных и выходных полей, получаются из уравнения
(199) умножением их на Uj(г, /), qj(г, t) или на их произведения и по­
следующего осреднения. Уравнения дл я математических ожиданий
совпадают с (199). Последующие уравнения имеют вид
"
VV
и т. п. Граничные и начальные условия для моментных функций по­
лучаются из соответствующих условий для перемещений путем осред­
нения. Можно показать, что краевые задачи для моментных функций
принадлежат к тому же типу, что и соответствующие детерминистиче­
ские задачи.
Составим уравнение для корреляционной функции второго поряд­
ка:
D—- -I-
—
+
—
Ч-2рЛе -L)(D— +
—
+
дх4R2ydt2
dt j\ дх'* R2
Л2
д\
+ Ph 72+2рЛв—JKw(X,t\х,Г)=к,,(х,t\х’,Г). (206)
Условиям (201) для функции w(x, t) соответствуют следующие условия
для корреляционной функции K w(x, t\ х', t'):
Кю=
^
= 0 (х--0,a); Kw=d
- ^ =0 (^==0);
ox2
dt
к«= ^
=0 (А',=0-а);
Заметим, что выписанные граничные условия могут быть заменены
эквивалентными им условиями, обладающими симметрией по отноше­
нию к перестановке штрихованных и нештрихованных переменных.
В случае (202) временные граничные условия для Kw(x, t\ х\ f)
сводятся к требованию ограниченности при ^-^±оои^'-^±оо>а
также к условиям сопряжения при t — t' Если процесс w(x9 t) ,
стационарный во времени, то, вводя новую переменную т = / ' __ ^
сократим число аргументов в уравнении (206) до трех. Тогда достаточно
поставить начальные условия при т = 0, вытекающие из условий со.


пряжения, а такж е условия ограниченности на бесконечности. Мы при­
ходим к краевой задаче для уравнения
U дх4~ R2
fa*
fa
D
+
дх,4 Я3
+ p h +2PfteT")(*•*'«T)= ^?(*•*'«T)
ОТ3
ОТ/
(207)
с граничными условиями
/С- ==^
=°
(*=0’а>: К,
а3^
п
з*'2 ~
(*'= 0,а);
=^
= 0 (т= 0); |KW\<C (т->±оо).
(Этт Зт3
Если пр авая часть уравнения (207) при т = 0 имеет особенность, то это
может быть учтено в граничных условиях. Поставленная краевая з а­
дача легко решается по методу разделения переменных. Если, как это
было принято ранее, нагрузка q(x, t) представляет собой пространст­
венно-временной белый шум, то после элементарных вычислений по­
лучаем решение в виде ряда, совпадающее с (204).
Обширная группа методов основана на использовании различных
спектральных представлений. При решении задач механики весьма
часто используется представление типа (178). Будем искать решение
краевой задачи (199) в виде ряда
«/(г, t)= JSUа(0Ф/в(г)>
(208)
где Ф,а(г) — неслучайные векторные функции координат, образую­
щие полную в некотором смысле систему; Ua(t) — искомые случайные
функции времени (в статических задачах — случайные числа). Исполь­
зу я представление (208), мы по существу заменяем рассмотрение
распределенной системы расчетом эквивалентной системы со счетным
числом степеней свободы. В практических расчетах ряд (208) обычно
усекается; при этом распределенная система по существу заменяется
системой с конечным числом степеней свободы. И в том, и в другом
случае функции Ua(t) можно интерпретировать как обобщенные коор­
динаты некоторой дискретной системы. Это позволяет называть
метод, основанный на представлении типа (208), методом обобщенных
координат.
Уравнения относительно обобщенных координат Ua(t) получим, под­
ставл яя р я д (208) в уравнения (199) и применяя, например, вариацион­
ный метод Бубнова—Галеркина. При некоторых ограничениях, на­
кладываемых на свойства операторов L]h, и надлежащем выборе базис­
ных функций (pjfa(r) приходим к уравнениям следующего стандартного
вида:
d*V
dU„
о
+2е.-
i+a>5£/«= <?« (о= 1,2, ...).
(209)
«►
of


Здесь (Da — частоты собственных колебаний системы, вычисленные
без учета диссипации; еа — коэффициенты диссипации; Qa(t) — обоб­
щенные силы. Д л я обобщенных сил получаем формулы
п - (ч>ф“)
Va—“
Г»
(Р?а- ЧРа)
(мо)
гдер(г) — некоторая массовая плотность; (u, v)— скалярное произведе­
ние в функциональном пространстве вектор-функций ы^г), и2(г),
wv (г), т. е.
(u, v) = ^(«1i>i+ «2и2+
+ «v Vv)dr.
Разделение обобщенных координат в уравнениях (209) достигается
в результате того, что в качестве базисных функций cp,a(r) используют­
ся формы собственных колебаний системы, вычисленные без учета
диссипации.
Моментные функции поля Uj(г, t) получаются осреднением соответ­
ствующих рядов. Т ак , для моментных функций второго порядка
с учетом (208) получаем формулу
<u (r,t)uk(r',t')y= 2 2 <f/a(0 f/p (Г)>фа(г)ф (г')- (211)
Стоящие в ее правой части моментные функции обобщенных коорди­
нат Ua(t) находятся из уравнений (209) с применением известных ме­
тодов статистической динамики дискретных систем. Эти функции вы­
ражаются через моментные функции обобщенных сил Qa(t) , которые,
в свою очередь, выражаются через характеристики поля ^ ( r , t). Н а­
пример, если v — 1 , то формула (210) принимает вид
и\
J ч(х> ф<*W dx
ЧаКЧ —
-
—
I РФаdx
Перемножая функции Qa(t) при разных значениях индексов и аргумен­
тов и осредняя, находим
«2а(9<2э(0>
J J <<?(*>
С)> <?a (x)<pp(x')dxdx'
IРФаdx^p ^dx
(212)
Таким образом, чтобы вычислить моментные функции обобщенных сил,
необходимо знать пространственно-временною корреляционную функ­
цию наг рузки q(x, t) и формы собственных колебаний сра(х).
Возвращаемся к иллюстративному примеру. Решение уравнения
(200) ищем в виде ряда
W(X,t)
V
«=1
Wа(0 sin
осях
a
(213)


Подставляя этот ряд в уравнение и разлагая правую часть в анало­
гичный ряд, приходим к уравнениям типа (209)
d2W
dW
~
~
+2*-^+<*lWa=Qa (а= 1,2, ...).
Моментные функции обобщенных сил определяются согласно формуле
(212):
<Qa(0 Qp(O>
аа
IJ (х,t\х', t’)sin~ sin
dx dx'.
Если пространственно-временная корреляционная функция нагруз­
ки задана в виде (203), то простые вычисления дают
<Qa(*)Qe(0 >
2sfiap
р2h2а
Взаимные корреляционные функции обобщенных координат для ста­
ционарного процесса определяются как
<и?„(0 Wfi(t+ т)>-
(cosQaТ+ - f sinQaITI).
2pAawae\
/
Отсюда окончательно получаем формулу для корреляционной функции
Кш(х, t; х', t + т), совпадающую с формулой (205).
Рассмотрим теперь метод>...йСЕОванньш_на_ применении временных
преобразований Фурье [22]. Этот метод эффективен, если внешние си­
лы и искомые перемещения представляют собой стационарный случай­
ный процесс. Поясним этот метод на частном примере. Введем по фор­
мулам типа (184) спектры пространственных корреляций для нагрузок
и перемещений:
оо
s4(х,х', со)= J Kq(X,Л-', т)е~ш dr,
—
оо
оо
S9{х,л-', со)= j Kw(х,х, т)
dx.
—
оо
Функции S q(x, х', со) и S w(x, х ', со) связаны между собой уравнением,
которое получается из уравнения (207), если применить к последнему
преобразование Фурье по времени:
(ЪIL + p — pftco2— 2ipfteco^D ^ + P-pftco2+ 2fp/tecojх
X Sw(*, х', <j))= Sq(x, х ’, со).
(214)


Граничные условия дл я спектра пространственных корреляций
Sw(x, х', со) остаются такими же, как и для Kw(x, х ', т). Решение
уравнения (214) имеет вид
оо оо
Sw(х,х',со)= 2 2
.
апх . Вл*'
sin ---- sin -----
0=1 Р=1 Fa
Ffi('“ )
а
где обозначено ,
аа
Sap(w) —
Jj*Sq(x>x >o))sin^^- s in ^ —dxdx';
оо
Fa(tco)= » a —(u + 2/eco.
Корреляционная функция находится далее по формуле
оо
Kw(х, х',т)= § Sw(х, х', со) еш don.
Если внешние силы образуют однородное случайное поле, то может
оказаться эффективным метод пространственных преобразований
Фурье. Покажем, как применяется этот метод в форме метода канони­
ческих разложений. Пусть нагрузка q(x, t) допускает представление
типа (185):
оо оо
q(х, t) = § Q(х, со) е1(ЧЛ Ь0)7>dx day
со спектром Q(x, со), удовлетворяющим соотношению
<Q*(x, co)Q(x', со')) =5<7(х, со)6(х —х ')8(со—со').
Здесь
(х, со) — пространственно-временная спектральная плот­
ность. Искомые перемещения могут быть представлены в виде
оо оо
w(x, t)= ^ ^ Q(х, со)ф (х, 11х, со) с/х с/со.
—
оо—оо
Функции ф(*, / 1х, со) определяются из решения детерминистичес­
кого дифференциального уравнения
+—ф+Рh^-+2рЛе
= е*<**+-“>'>.
дх*
R*r
w d(*
dt
Дополнительные условия, накладываемые на функцию ф(лг, t |х, со),
в случае (201) будут
ф=|£=о (х=°’аУ’
^=S =0
В случае (202) имеем дополнительные условия
ф=^1=°
(*= 0,а);
|ф|<С(*-» -±оо).


Корреляционная функция перемещений w(x, () затем определяется
по формуле
Kw(х, t; х', О = § $ Sq(*’ ®)Ф*(*, t\x, (о)гр(х', Г\к, a>)dxdo>.
В отличие от методов, разобранных ранее, этот метод дает решение
в форме кратных интегралов. Метод пространственных преобразова­
ний Фурье особенно эффективен в случае бесконечных и полубеско-
нечных областей.
§ 1.14. Методы решения нелинейных стохастических краевых задач
Решение нелинейных задач для распределенных систем сопряже­
но со значительными трудностями. Лишь очень немногие задачи имеют
точное решение в замкнутом виде. Поэтому в данной области преоб­
ладают приближенные методы. Большая часть приближенных методов
статистический динамики дискретных систем, которые были описаны
выше, может быть распространена на распределенные системы. Таков,
например, метод замыкания цепочки уравнений относительно момент-
ных функций при помощи статистических гипотез о связи между стар­
шими моментными функциями. Метод малого параметра, метод стати­
стической линеаризации и некоторые другие также легко обобщаются
на задачи, которые описываются стохастическими дифференциальными
уравнениями в частных производных.
Обсуждение нелинейных стохастических задач для распределен­
ных систем мы проведем на примере, допускающем решение в замкну-,
том виде (этот пример был впервые рассмотрен в статье [20]). Пусть
бесконечно длинная круговая цилиндрическая оболочка нагружена
осесимметричной случайной нагрузкой с интенсивностью q{x), кото­
рая является однородной случайной эргодической функцией осевой
координаты х. Допустим, что закрепление оболочки таково, что на
достаточно большой ее длине а взаимные осевые перемещения точек
срединной поверхности й среднем равны нулю. Решающим нелинейным
фактором будет осевая сила, препятствующая сближению сечений;
эта сила определяется Как
Вследствие эргодичности функции w(x) правая часть содержит ма­
тематическое ожидание от квадрата производной v = dw/dx:
оо
оо
—
оо—оо
(215)
а/2
(216)


Уравнение осесимметричной деформации оболочки с учетом осевой
силы имеет вид
D#u+§h Nd*w=
(217)
dx* R2
d:к2
На функцию w(x) не накладывается никаких дополнительных условий,
кроме требования ограниченности на ± оо.
Уравнение (217) с параметром N, определяемым согласно (215),
является нелинейным. Однако нелинейность носит здесь специальный
характер и не усложняет существенно решение задачи по сравнению
с линейной задачей. Введем спектральные плотности для функций q(x)
и w(x):
—
оо
оо
—
оо
Эти плотности связаны уравнением, вытекающим из (217). Решение
этого уравнения дает
«•(*) =
________ SgM________
(*4D+f+yx2Ека$2
(218)
Правая часть формулы (218) содержит параметр ov, который, со­
гласно (216), выражается через спектральную плотность:
оо
ol= $ *2S.(x)dx.
Подставляя сюда выражение (218), приходим к уравнению относитель­
но параметра av:
о
2
V
х2Sg(х) dy
(**D+f +Y x2Ehotf
(219)
В простых слу чаях интеграл, входящий в это уравнение, может быть
вычислен. Пусть, например, S g(x) = s = const. Уравнение (219) при­
нимает вид
а
2
V
С
(1 +Ха2)3/2’
(220)


где введены обозначений
с=
ns
25' 2D2y.50 ’
Bh \i/4
,R2Dj
Рассмотренная выше задача оказалась столь доступной для решения
не только вследствие того, что искомая функция зависит только от од­
ной переменной х. Нетрудно видеть, что исходное уравнение (217) по
существу является статистически линеаризированным. Нелинейность
входит в него через средний квадрат производной а?., а при заданном
среднем квадрате уравнение линейно относительно искомой функции
w(x).
Найденное решение может служить эталоном для сопоставления
различных приближенных методов. Возьмем, например, метод малого
параметра. Пусть интенсивность внешней нагрузки достаточно мала.
Полагая q = p<7i(x), где ц — малый параметр, ищем решение уравне­
ния (217) в виде ряда
W— (х) + |Л3КУ3(х) + psw&(х)+
(221)
Подстановка ряда в уравнение приводит к системе последовательно
разрешаемых уравнений:
r,d4wi , Eh
dx*R*32
dx4
dx4 R*
dx2
+ 2a13&Wi\
dx*)
и т. д . Здесь введено обозначение
«л=
/ dwi _dwk\
\dx dx/
Решение уравнений ищем по методу канонических разложений.
Полагая
00
ОО
qx(х) = J Q(x)e‘**dx; Wj{х) = J
dx,
после простых выкладок получим
W,(*) =
Wb=
<?(*)
d (xo+ x4)
2ali x2xgx
*o+*4
4x2 ..2
^ (k);
4x2 x^X (
aii x2x2X
«!+«'


Спектральную плотность Sw(x) вычислим с учетом формулы (2 2 1 ))
Sw(х)
ш, (х) + 2р45а,1а,, (х) +
+ Цв[25ш, (и) + Sw, w, (х)] + •••i
(222)
где S WjWk(%) — взаимные спектральные плотности функций, образую­
щих ряд (221). Эти спектральные плотности легко выражаются через
спектры Wj(x). Пусть S g(x) = s = const. Умножая ряд (222) на
х 2 и интегрируя, получим ряд для параметра а
°1=с— —%с2+—%с3+
Z
о
Выписанные члены ряда совпадают с приближенной формулой дл я ои%
которая получается, если решение точного уравнения (220) искать в
виде р яда по степеням с.
Одним из наиболее эффективных приближенных методов является
метод сведения к дискретным системам при помощи разложений типа
(208). Представляя решение нелинейной задачи в виде р яда типа (208)
и применяя один из вариационных методов, придем к системе обыкно­
венных дифференциальных или алгебраических уравнений относительно­
обобщенных координат Wa- Дальнейшее исследование проводится ме­
тодами статистической динамики дискретных систем.
Рис. 13
Д ля иллюстрации метода обобщенных координат в применении к
нелинейным задачам несколько изменим условия задачи, поставлен­
ной в начале параграфа. Пусть оболочка имеет конечную длину а
(рис. 13), а нагрузка q(x) является произвольной случайной функцией
координаты х. Торцы оболочки х = 0 и х = а будем считать опертыми
и несмещающимися. Осесимметричная деформация оболочки описы­
вается уравнением (217). Осевая сила N определяется в этом случае
не по формуле (215), а по формуле
а/2
—
а/2


Выражение, стоящее в правой части, уже не может быть истолковано
аналогично (216).
Будем искать решение уравнения (217) в виде ряда по функциям,
удовлетворяющим граничным условиям для опертой оболочки:
оо
w(x) = 2 U7asin —
.
(224)
а=1
а
Здесь Wa — случайные числа. Подставляя этот ряд в формулу (223),
легко найдем
TV-)2d*=— У a2Wl
J \dxj
2а Ad
—
а/2
a—1
Отсюда после подстановки в уравнение (217) приходим к системе ал­
гебраических уравнений относительно коэффициентов ряда (224):
(°
а4п* . EhN
а*
)Г„ +
a 2n2Eh
4a4
ГаV
Ал
(0=1,2,...) . (225)
Уравнения (225) можно использовать для определения моментов
случайных величин Wa, а по этим моментам можно вычислить корре­
ляционную функцию перемещения w(х). Ввиду нелинейности системы
(225) будем получать бесконечную цепочку уравнений относительно
моментов. Впрочем, можно найти и точное решение этой системы, ко­
торая явл яется дискретным аналогом соотношений из предыдущего
примера.
Еще один способ основан на трактовке полученной дискретной
системы к ак вырожденной системы (в смысле § 1.3). Заметим, что соот­
ношения (225) разрешены относительно входных параметров Qa. По­
этому мы можем сразу применить формулу (13), связывающую плот­
ности вероятностей входных и выходных параметров. Усечем ряд (224),
сохранив в нем первые п членов. Пусть p q(Qu Q2, •••, Qn) — известная
совместная плотность вероятности для обобщенных сил. Совместная
плотность вероятности для обобщенных координат pw(Wu Г 2, . . . , Г п)
определяется как
Pw(Wi,W2> Wn) = p9(Qi,
Qn)
д(Q1»Q2...... Qn)
d(Wlt W2...... Wn)
В правую часть подставляются выражения для Qa, рассматриваемые
согласно (225) как функции обобщенных координат
W2,
Г„.


Достаточно большой Длине было равно нулю. Основание, подготовлен­
ное д л я укладки балки, будем предполагать неровным. Уравнение кри­
вой, описывающей эту начальную неровность, пусть будет^н = ши(х).
Интенсивность внешних сил, действующих на балку (собственный^вес,
давление вышележащих слоев грунта и т. п.), обозначим через д(х).
Д ля отыскания полного прогиба v(x) стержня, загруженного силами
q{x) и реакций основания — c(v — u), имеем уравнение
EJ%+cv=q+w+EJd£.
(1)
Допустим, что функция начальных искривлений w(x), функция
неровностей и(х), внешняя нагрузка q(x) и коэффициент жесткости ос­
нования с(х) являются однородными случайными функциями коорди­
наты х. Среднее значение нагруз­
ки и коэффициента жесткости обоз­
начим соответственно через q0 и с0.
Среднее значение функции и(х)
примем чравным нулю. При этих
допущениях уравнение (1) вместе с
условиями ограниченности реше­
ния на бесконечности описывает
стохастическую краевую задачу
относительно функции v(x). Эта
задача будет линейной по отноше­
нию к входам q{x), и(х) и w(x); по
отношению к входу с(х) эта задача
будет стохастически нелинейной.
Заметим, что с точки зрения при­
ложений наибольший интерес пред­
ставляет случайная изменчивость коэффициента отпора. Трактуя за­
дачу к ак стохастически нелинейную, применим Для ее решения метод
малого параметра:
Будем полагать неоднородности статистически малыми в том смыс­
ле, что вероятность больших отклонений от среДня* значении доста­
точно мала. Тогда функции, входящие в уравнение (1), можно предста­
вить в виде
Я~ <7o+ MiДО;
с= с0+рс1(х);
ы= ры1 (х);
W= (х),
(2)
где р — малый параметр. Чтобы не вводить Д®п° НительНЬоСЛе вы-
начений, мы будем приписывать ему формальный с*1Ь1Сл> а п у читьр
полнения всех выкладок будем полагать его равным единице-


вая формулы (1), будем искать решение уравнения (1) в виде ряда по
степеням малого параметра р:
V—v0+ м^1 + No2v2+ •*•
(3)
Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим рекуррентную
последовательность линейных дифференциальных уравнений:
Г*,U^Uq,
EJ
""Ьсоvo— Яо’»
Р »d^Vi |
I
Iп*/^Ы)\
Vl==(fl~ ci v0+ coUl + EJ
n jd^V2 I
I
£*/ —T+ c0
t/i+ Ci
(4)
и т. д. Решение первого уравнения, ограниченное на бесконечности,
имеет вид
£>0=—•
(5)
с0
Это решение имеет смысл перемещения балки в однородных услови­
ях . Рассмотрим второе уравнение системы (4). Вводя обозначение для
функции неоднородности
r=q1—c1v0+c0u1-\ -EJ^±,
(6)
перепишем это уравнение в виде
EJ~jT + CoV1= r.
(7)
dxA
В правой части этого уравнения стоит однородная случайная функция
х с математическим ожиданием, равным нулю. Д л я решения этого
уравнения применим, например, метод спектральных представлений.
Представим правую часть уравнения (7) в виде интеграла Фурье*:
оо
r(x)= j R{k)eikxdk,
—
оо
где k — волновое число; R(k) — обобщенная случайная функция —
спектр функции г(х). Д л я искомой функции введем аналогичное пред­
ставление:
оо
v1{x)= j Vx (k) eikxdk.
* В отлич ие от первой главы, где волновые числа о бо зн ач ал ись через х,
к 1 , х 2, х 3 и т. д ., далее волновые числа обозначаются через /г, klt /?2>/?3 и т. д.


Связь между спектрами V^k) и R(k) дается формулой
Vi(k)
R(b)
h‘*EJ Cq
Отсюда приходим к следующему соотношению, связывающему спект­
ральную плотность SVt(k) от функции Vi{x) со спектральной плотностью
Sr(k), соответствующей функции неоднородности (6):
S Vi(k) =
SrW
(■k*EJ + c0)*
(8)
Формулу (8) можно трактовать как частный случай формулы
(1.97); роль импеданса системы играет выражение
L(ik) =kiEJ+ c0.
Если неоднородность основания достаточно мала, то полученного
приближения достаточно для приближенного описания деформаций
балки и основания. В самом деле, из формулы (5) видно, что матема­
тическое ожидание прогиба v(x) отличается от v0 членами, имеющими
порядок р.2 и выше. Поэтому флуктуационная часть функции v(x) будет
V(А-)= V(х)—(V>= pi/i(а)+ ...
где точками обозначены члены, содержащие р в квадрате и более вы­
сокой степени. Следовательно, с точностью до множителя р 2 (полагае­
мого после выполнения всех выкладок равным единице) спектральная
плотность функции v(x) совпадает со спектральной плотностью (8).
Соответствующая корреляционная функция вычисляется по формуле
типа (1.85):
г Sr(k)eikldk
J (k*EJ+c0f
(9)
Используя формулу (8), можно сделать несколько общих заключе­
ний о влиянии различных факторов на прогибы балки и возникающие
в ней изгибающие моменты. Характер влияния неоднородностей за­
висит от соотношения между волновыми числами и параметром
k0=
1/4
( 10)
который мы будем называть собственным волновым числом. Собствен­
ное волновое число характеризует соотношение между жесткостью ос­
нования и жесткостью балки. Его механический смысл виден из сле­
дующих соображений. Найдем выражение для прогиба балки, лежащей
на основании с детерминистическим коэффициентом жесткости с0, под
действием сосредоточенной силы. Этот прогиб определится как реше­
ние уравнения
EJ^- +c0v=8(x),
dx*


удовлетворяющее условию затух ания на бесконечности,
сложных вычислений получаем
v(x) =
1
—= --------е
/8 k%EJ
til«l
V2
feo*
ут
f sin
V2)
После не-
Таким образом, с точностью до множителя Y 2 собственное волновое
число (10) совпадает со множителем при х в выражениях, играющих
роль аргумента у тригонометрических функций. Величина, обратная
k0, имеет порядок характерной длины волны у осциллирующего (хотя
и очень быстро затухающего ) прогиба.
С учетом формулы (10) выражение для спектральной плотности про­
гиба (8) принимает вид
5с, {k)=
Sr (к)
1+-т
*о
(И)
Д ля расчета на прочность необходимо знать спектральную плотность
изгибающего момента т^х), возникающего в сечениях балки. Замечая,
что
m1= EJ d4vx
dx2
и используя правило дифференцирования случайных функций, за ­
данных при помощи спектрального представления Фурье, получим
5/п,(к)= -
Sr(к)
Ь4
Яо
&2
k2
( 12)
Предположим дл я простоты, что функции qi(x), сх(х), и±(х) и Щ(х)
стохастически независимы. Тогда с учетом формулы (6) спектральная
плотность Sr(k) может быть представлена в виде
2
Sr(k)= Sqi(k)+ Ц SCl{К)+ cl SUl(k)+ cl ( V8S,, (k). (13)
При этом каждый тип неоднородностей может быть изучен раздельно.
Из формул (1 1 ) и (13) видно, что неоднородности, обусловленные не­
равномерностью нагрузки, неравномерностью жесткости основания
и неровностью основания, вносят существенный вклад в неоднородность
прогиба только при малых волновых числах, т. е. при достаточно боль­
ших длинах волн. В то же время компоненты, которым соответствуют
достаточно большие волновые числа (k > /е0), не оказывают заметного
влияния. Иной характер имеет влияние начальных искривлений бал­
ки. Здесь невелико влияние компонентов с малыми волновыми числа­
ми (к /г0) и достаточно велико влияние компонентов с большими
по


волновыми числами. При этом с увеличением k lk0 отношение спект­
ральных плотностей SVl(k) и SWl(k) стремится к единице. Сделанные
выводы проиллюстрированы на рис. 15, где кривая 1 соответствует пер­
вым трем членам правой части формулы (13), а кривая 2 — последне­
му члену*.
Влияние неоднородностей на распределение изгибающих моментов
балки носит еще более своеобразный характер. Нетрудно видеть, что
выражение, стоящее в скобках в формуле (12), имеет точный минимум
при k = k0. Таким образом, отношение спектральных плотностей Smi(k)
и Sr(k) становится максимальным при k = k„. Это означает, что систе­
ма бал ка—упругое основание обладает избирательной способностью
по отношению к неоднородностям, волновые числа которых близки к
собственному волновому числу k0. Типичные зависимости спектраль­
ной плотности изгибающего момента от волнового числа представлены
на рис. 16. Ка к и на рис. 15, кривая 1 отражает влияние неравномер­
ности нагрузки, неравномерности жесткости основания и начальную
неровность основания; кривая 2 характеризует влияние начальных
искривлений балки.
Избирательные свойства системы балка — упругое основание про­
являются такж е и„в следующей задаче. Допустим, что балка нагре­
вается от начальной температуры Т0, при которой осевая сила в балке
равна нулю, до температуры Т0 + АТ. При этом возникает сжимаю­
щая сила
N = aEFAT.
(14j
Здесь EF — жесткость балки при сжатии; а — коэффициент линейного
температурного расширения. Температурными деформациями упру­
гого основания, тангенциальными силами сцепления и т. п. пренебре­
гаем. Уравнение изгиба балки с учетом осевой силы получается из
уравнения ( 1) добавлением в левую часть произведения осевой силы
* Графики на рис . 15— 16 носят качественный характер; при этом принято,
что в рассматривае мом д иа па зо не волновых чисел спектральные плотности S qt(k),
Sc (k), SUi(k) и S w (k) изменяются достаточно медленно.
Ш


числа которых близки к собственному волновому числу k0. Рассмотрим,
например, значение спектральной плотности 5 т , (&) при k = k0. При
увеличении АТ от нуля до 1\А Т^ это значение возрастает в 4 раза. При
АТ = 3/ 4 ДГ* значение спектральной плотности S OTl(£0) увеличивается
в 16 раз по сравнению с начальным значением.
Изложенная теория неоднократно подвергалась эксперименталь­
ной проверке как в лабораторных, так и в полевых условиях. Кратко
остановимся на результатах полевых испытаний, изложенных в статье
[59]. Испытания проводились на трубопроводах (волноводах) из стали
и стеклопластика, прокладываемых в грунте на глубине около 1,6 м.
На дне траншеи устраивалась песчаная подушка толщиной приблизи­
тельно 0,2 м. Н а нее укладывались железобетонные плиты, а на плиты
насыпался слой песка толщиной около 0,2 м, который служил основа­
нием дл я трубопровода. Сверху давался еще слой песка толщиной при­
близительно 0 ,2 м, после чего траншея засыпалась грунтом.
Как показали предварительные исследования, основной причиной
неоднородности деформаций трубопроводов является неоднородность
основания. Свойства основания изучались путем погружения в него
штампов с подошвами, форма которых повторяла форму трубопровода.
Штампы располагались вдоль прямой линии; расстояние между цент­
рами штампов составляло Я = 55 мм. Каждая серия испытаний содер­
жал а измерения в п — 90 точках. Вычисление статистических оценок
Для математического ожидания и дисперсии коэффициента жесткости
/=i
/=1
а также для корреляционной функции
j п—т
Ке(ml) = ~
-
^ (ci+m— <с» (Cj—(c))
6 Зак. 1481
113


где г)у(лг)— функция ошибок измерения. Замечая, что функции в р а з­
ных измерениях между собой не коррелируют, легко получим формулу
для спектральной плотности ошибок:
(A)= -J"Sx,-*,(*)•
Здесь S Kt-x,(k) — спектральная плотность разности х 2(х) — Xi(x). Пос­
ле того как спектральная плотность £,,(£) найдена, можно вычислить
исправленную спектральную плотность кривизны:
(k) = Sn.{k)—Sn(k).
Как показывают измерения, функция ошибок г\(х) в диапазоне вол­
новых чисел до Зк0близка к белому шуму. При этом интенсивность шума
может составлять до 25—30% измеряемой спектральной плотности.
Поэтому исключение ошибки датчика совершенно необходимо.
На рис. 20 представлены результаты вычислений спектральной
плотности кривизны после ее исправления с учетом начальной кривиз­
ны оси и случайных ошибок датчика (кривая /). Приведем дополни­
тельные сведения о трубопроводе: его изгибная жесткость EJ =
= 0,58 108кГсм2, а собственное волновое число k0= 0,0221 см-{.
Н агрузка от веса грунта на единицу длины трубопровода составляла
% = 8 ,9 кГсм-K На график нанесена также теоретическая зависи-
мость (кривая 2). Если принять во внимание большоечисло еделан-
“
допущений, ТО « о ж /о
ментом — удовлетворительное согласие, м
этом можно найти в статьях [57—59].
б*


Эта система состоит, по существу, из известных «уравнений пяти
моментов». Поскольку параметры lh bj и hj являются случайными, то
эта система будет стохастической. Представляется целесообразным
получить решение этой системы, пригодное для любого числа пролетов,
в том числе— дл я бесконечного числа пролетов. Заметим, что по отно­
шению к входным параметрам lj и bj система (2 1) является нелинейной;
по отношению к начальным смещениям опор А/ система будет линейной!
Чтобы получить достаточно простое решение, учитывающее все три груп­
пы случайных факторов, будем считать, что флуктуации длин проле­
тов и коэффициентов податливости достаточно малы. Это значит, что
длины пролетов lj и коэффициенты податливости bj мало отличаются
от средних значений. При этом условии можно положить
h ~ А)~Ьр//, bj~b0-\-\ibj,
где /0 и Ь0— средние значения, р/;- и pfy — флуктуационные состав­
ляющие, а р .
—
параметр малости, который после выполнения выкла­
док полагается равным единице. Кроме того, примем, что h} = рhj.
Решение системы (21) ищем в виде ряда по степеням р
\
=
+ ...
(22)
Д ля вычисления первого члена ряда М </ ) имеем обычные уравнения
строительной механики. В частности, при бесконечно большом числе
пролетов легко находим, что все моменты
равны и составляют
(23)
Уравнения относительно следующего члена получим, удерживая
члены, содержащие первые степени малого параметра. После введения
обозначений
6EJb0 .
(24)
Qj — — (b~^h+0
1—2А;+ hj+i)—
h
l0
— Tj—Ti+i+Ti+2) -
(V.
-
2 bj+bj+i) (25)
ll
l°
система переписывается в виде
а М \—2 + (1—4а) Л4}1\+ (4+ 6а)Ж<1)+ (l-4a)/MjVi +
+ aMi+2 = Qj-
(26)


Уравнения (26) представляют собой регулярные уравнения в ко­
нечных разностях. Вводя обозначения для вторых и четвертых р аз­
ностей
у2Mj= Af/+i—2Mj+ M/-i;
V4 Mj = Mi+2— 4УИ/+i + 6Mj— 4УИ;-_ i + УИ/_2,
а также обозначая
у _ //+Х'+1
можем записать уравнения (26) в виде
aV4^ / U+ V2М<-1)+6Л4)1)=
12М0Ху 6EJ ~ 6qb0EJ
6qEJ ~
= -------- 7
72 V2hj
~2 V2
77 V2 О;-
*«
‘о
‘о
0
(27)
Пусть число пролетов весьма велико, чтобы можно было отвлечься
от граничных условий на крайних опорах. Тогда задача сводится к ре­
шению стохастического разностного уравнения (27), на решение кото­
рого накладывается требование ограниченности при j - ^ ± o о. Искомое
решение построим при помощи разностного аналога функции Грина.
Обозначим через Gjk=M (jl) матрицу решений разностной системы
(26) с правой частью Qj = 8jh. Элементы этой матрицы определяются
из системы уравнений
aGj—2,k+ (1—4а)G/_i + (4+ 6а)Gjk+
+ (1—4а)
tk+ cbG/_|_2 ,k = 8y/i-
(28)
Рассмотрим частное решение соответствующей однородной системы,
которое как обычно ищем в виде
Gj=СН,
(29)
где С—некоторая постоянная, г — характеристический корень. По­
следний определяется из алгебраического уравнения четвертой степе­
ни
ar4-f(1—4a)r3+ (4+ 6a)г2+ (1—4a)r+ a = 0.
(30)
Уравнение (30) является возвратным. Если г — его корень, то Иг
тоже является корнем уравнения. Пусть уравнение (30) не имеет
кратных корней. Обозначим через
и г2пару корней, меньших по
модулю единицы. Вводя обозначения
гг-\
----- = х г\ г2-\
------ = *2
Г1
г2


и замечая, что на основании уравнения (30)
х1-{ -х2=4------; х1х2=4(1-I------) ,
а
[а)
легко найдем
Свойства параметров х1 и х2 и, следовательно, свойства корней х а­
рактеристического уравнения (30) зависят от величины а. Пусть а <
< 1/24. Тогда Х\ и х 2действительны, отрицательны и по модулю боль­
ше единицы и, следовательно,
'l =Y (*!+]/*1—4);
r2= -i -(x2+]/^A'2—4).
(32)
С учетом формул (31) и (32) вычислим корни характеристического
уравнения
+
24
а
Если а лежит в интервале V24 < а < V4, то лг4 и х2— комплексно­
сопряженные числа:
1./24
ReХл2^ ^------^ 0j ImXj2—zb— I/ ----------- .
1,2
2a
1,2
2|/aa2
Характеристические корни rx и r 2 определяются по формуле
~
+i
2a /2
IiIUJ____8
a2
a/2a2
a
±
4 i /z-±-wY~*]/»(±+-*r)-±+il
Наконец, если a > 1/4, то и x 2 имеют положительные действительные
части. Характеристические корни определяются по формуле, которая
получается из последней формулы, если знак перед первым радикалом
изменить на противоположный.
Возвращаемся к построению матрицы Грина Gjk. Эта матрица кон­
струируется из частных решений типа (29), удовлетворяющих усло­
вию ограниченности при | / — /г|
оо. Учитывая условия симметрии


Изгибающий момент в произвольном сечении пролета, лежащего между
опорами с номерами / и / + 1 , определяется как
ЛМЫ-Л1Г£;+ А?/<1)(1-Ы + М;|)1
(37)
где I / = Х)/10— безразмерная координата для соответствующего про­
лета. Корреляционная функция изгибающих моментов выражается
через элементы корреляционной матрицы (36)
К (h, h)= <MjMh)(1-У(1-У +(MiMk+I)(1- и lh+
+ <M/+I Affc) h (1 —5h) + <A[/+, Mk+i>hth.
(38)
В общем случае вычисления по формулам (33), (36) и (38) весьма гро­
моздки. Заметим, что обобщенные силы (25) учитывают влияние трех
групп случайных факторов: разброса длин пролетов, разброса коэффи­
циентов податливостей опор и рассогласование начальных уровней
опор. Обычно можно принять, что указанные три группы случайных
факторов стохастически независимы. Тогда их влияние может быть
изучено раздельно. Рассмотрим, например, влияние рассогласования
в начальном уровне опор. Д л я этого случая формула (25) принимает
вид
10
Если к тому же рассогласования hj на разных опорах имеют одинако­
вую дисперсию и стохастически независимы, то формула (36) приводит­
ся к виду
(MjM hy=
-
и
<ft2> 2 G;m(G,. m
_2-
\*0/
m=—оо
—4G*>m_ i + 6Gftni— 4G*,m^.i -f-Gft,m-j-2)-
(39)
Ряд, входящий в эту формулу, может быть просуммирован. Оконча­
тельно получаем
<Д / Mky = FJh<А2),
где элементы матрицы Fjk определяются по формуле
Fih=V4[c\lrk)+2c\l2-^ + cg-^ .
При этом
—
оператор четвертой разности; величины
нахо­
дятся как
г{к)~
6p,V--
[ 9г1*Н-2
И
-
^-+(1^+1)^'
в*,
Г'
еслиp=v,
1 Гцrv
rH~rv
a^av, если \ьфч.
5В. Зак. 1481
121


тим, что с увеличением пролета возрастает математическое ожидание
изгибающих моментов (штриховая линия на рис. 22). Поэтому можно
ожидать, что для балок со случайно смещающимися опорами сущест­
вуют некоторые оптимальные с точки зрения прочности длины пролетов.
§ Н.З . Расчет докритических деформаций
тонких упругих оболочек
Деформации тонких упругих оболочек под нагрузкой весьма чувст­
вительны к малым начальным отклонениям срединной поверхности от
идеальной формы. Это проявляется, в частности, в большом разбросе
опытных данных при испытаниях оболочек на устойчивость. Стохасти­
ческие задачи в теории оболочек обычно решают, применяя прямые
методы. П ри этом распределенная система заменяется эквивалентной
в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы.
Приближенные решения такого рода оставляют чувство неудовлетво­
ренности. Вместе с тем, если исходить из линеаризированных уравнений,
то при некоторых достаточно широких предположениях удается полу­
чить точные решения стохастической краевой задачи.
В работе В. В. Болотина и Б. П . Макарова [27] эта задача решается
на основе уравнений, получаемых линеаризацией уравнений теории
оболочек в окрестности начального напряженного состояния. Исполь­
зуется дополнительное предположение о малости масштаба начальных
отклонений и масштаба их корреляции по сравнению с характерными
размерами срединной поверхности, а также предположение об однород­
ности поля начальных отклонений. Выводятся общие формулы для кор­
реляционных функций, дисперсий и спектральных плотностей пар а­
метров напряженно-деформированного состояния оболочки. Д л я ши­
рокого класса изотропных начальных отклонений результаты выра­
жаю тся через табулированные функции. Это позволяет изучить зави­
симость корреляционных свойств перемещений, деформаций и напря­
жений от свойств начальных отклонений и от начальных напряжений
в срединной поверхности.
Пусть дана тонкая упругая оболочка с начальными отклонениями
от идеальной формы. Предположим, что внешняя нагрузка такова,
что в идеальной оболочке возникает чисто безмоментное напряженное
состояние, формы потери устойчивости являются быстро изменяющими­
ся функциями координат, а критические параметры пренебрежимо мало
зависят от размеров оболочки и граничных условий на ее контуре.
Пусть, далее, отклонения от идеальной формы достаточно малы и имеют
достаточно малые масштабы изменяемости и корреляции. При значе­
ниях нагрузки, не слишком близких к критическим, этими свойствами
будут обладать перемещения точек срединной поверхности нагружен­
ной оболочки. В основу положим уравнения нелинейной теории обо­
лочек
DAM>— эаЛsfr* (6аР-f- Vo Vfi w)Vk VmX= <7;
-
ЛДх +
«Рй(Ы +4 - VoVPw)V*Vmw=
(40)
Eh
l


Здесь ш(л:х, х2) — функция нормальных перемещений; %(к1, х2) — функ­
ция тангенциальных усилий; D — цилиндрическая жесткость; Е —
модуль упругости; h — толщина оболочки; q — интенсивность нор­
мальной нагрузки; Ьар — тензор начальной кривизны срединной по­
верхности, s “P — единичный антисимметричный тензор на срединной
поверхности. Если отклонения от идеальной формы малы, то дл я ре­
шения стохастической краевой задачи можно применить метод малого
параметра. Положим, что
ЬаР= Ь$ ~Ьpbafl,
(41)
где bad — тензор кривизны идеальной поверхности; р. — малый па­
раметр. Пренебрегая изменением метрики вследствие безмоментной
деформации, ищем решение уравнений (40) в виде
w= nwl+ n2w2+ ...; X= Xo+ PXi+ f*2X2+ -
(42)
Подстановка в уравнения (40) выражений (41) и (42) после сравнения
членов, содержащих р , дает
DAAwt —seXsPflb(ad VxVmXi—Na&VoVPwi = VaVPwo,
ДДХ1+ salstob{ad ЩVnwi = 0.
(43)
При этом учтено, что
-
5“V*iSWx.=?.
Кроме того, введено обозначение для тензора начальных безмоментных
усилий No», а поправка к тензору кривизны (41) выражена через функ­
цию начальных отклонений w0(x1, х2):
SaK SPft VxVnXo= Л/“Р; бар’ = Va VPwo-
Так как по предположению масштабы изменения и корреляции
функций w g, Wx и X i малы по сравнению с масштабами изменения мет­
рики и кривизны идеальной срединной поверхности, то уравнения (43)
можно упростить, переписав их в ортогональных координатах (ли­
ниях кривизны) г = Хх, х 2 с единичным метрическим тензором и заме­
нив тензорные производные соответствующими частными производными
DAAwx
-
а
da Xi
дх?
Eh
L 1 дг%1\
д2
Ri ' дх2)
дха дх$
,/_L д2Wx
дгwi\ _
(я. '
дх\+Ri'дх!Г
= Nad-
д2 w0
дха дхр
(44)
Здесь Rx, R 2 — главные радиусы кривизны идеальной срединной по­
верхности; сохранено правило суммирования по индексам а , |3.
Предположим теперь, что гг/0(г) — слу чайная функция координат
с математическим ожиданием, равным нулю. Рассмотрим область, до-


статочно удаленную от границ и других линий искажения. Можно
ожидать, что при сделанных выше предположениях о характере нагруз­
ки и при быстро изменяющемся поле начальных отклонений w0(г) влия­
ние границ на поведение оболочки во внутренней области будет доста­
точно мало. Тогда можно вообще отвлечься от эффекта границ, заменяя
граничные условия требованием ограниченности функции на беско­
нечности (краевые эффекты будут рассмотрены в следующем парагра­
фе). Если в достаточно большой области срединной поверхности па­
раметры оболочки и начальные безмоментные усилия можно принять
постоянными, а функцию начальных неправильностей да0(г) можно рас­
сматривать как однородное случайное поле, то стохастическая задача
решается известным методом из § 1.13.
Однородное центрированное случайное поле w0(г) допускает спек­
тральное представление в виде стохастического интеграла Фурье
a»0(r)=J ^0(k)^dk,
(45)
где к = (klt k2)— волновой вектор, dk = dkjdk2, lF0(k) — спектр поля
а/0(г). Последний связан со спектральной плотностью 5 Шо(к) соотно­
шением типа (1.186)
<Wo(к)W0(к')>= 5Шо(к)б(к-к ').
(46)
где 6(к) — двухмерная дельта-функция. Соответствующая корреля­
ционная функция Kw0(?)> где Р — г>— г> выражается через S w, (к)
согласно теореме Винера—Хинчина (1.192)
* ..(Р)= J S«,(k)e»Pdk.
(47)
Представим случайные поля да^г) и Xi(r) в форме интегралов типа
(45) и учтем, что пол я связаны между собой уравнениями (44). С ис­
пользованием формул типа (46) получим следующие формулы дл я
спектральных плотностей полей wx(t) и Xi(r ):
5., (к) = Я (к)Sw<l(к); 5Х,(к)= G2(к)S..(к).
Здесь введены обозначения
______ __________
.
^(к) =
*4я+тг1тг+тг) +*«
а (к)
Eh(^_
Ч
'k* \R2+R2
=
+
3.)
k*U,+Ri)
р(к).
(48)
(49)
Кроме того, k2= k\ -f- k\.


Спектральные плотности остальных параметров напряженно-де­
формированного состояния оболочки выражаются через 5 ш,(к) и S Xl(k),
а также через их взаимную спектральную плотность
S.,x,(k)= f(k)G(k)5.,(k).
Так, флуктуационные напряжения аи в точках г = ±/г/2 опреде­
ляются как
_
152xi,
Eh /а*»ц , 3*wi\
±i(T^(l4+v д4)■
Отсюда получаем спектральную плотность
So,, (k)= ^ SXi(к)± - ^ 1 (k!+ Vkl)SWlXi(к)+
+ '4о- v*)3 +V^)25®«(к)-
(50)
Формулы типа (48) и (50) позволяют сделать некоторые общие выводы
об изменении спектрального состава полей Wi(г), Xi(r) и т. д. в Зависи­
мости от характера и величины начальных безмоментных усилий. Рас­
смотрим выражение д л я /"(к). Функция / ’(к) есть по существу Переда­
точная функция системы, связывающая начальные отклонения средин­
ной поверхности от ее идеальной формы с дополнительными отклоне­
ниями ®i(r). Формулы (48) и (50) сохраняют смысл, пока функция
/•■(к) не имеет действительных полюсов. Уравнение для нахождения
полюсов
Eh(й? й«\2
kiD+fM +fj+
=°
(51)
совпадает с уравнением для нахождения критических усилий в л ^ йей-
ной теории устойчивости оболочек. Напомним, что растяжению соот­
ветствует случай Nn > 0, N22> 0. Таким образом, теория приме^иМа
пока начальные усилия меньше, чем их критические значения, опреде *
ляемые по линейной теории.
Волновые числа, которые соответствуют наиболее быстро растуЩИм
отклонениям, найдем из условий
df(k)= 6F(к) __0
dkx
dk2
Допустим, что нагрузка задана с точностью до параметра q. 3 ^ ^ -
няя в уравнении (51) Na$ на qNa$, получим, что критическое значсНИе
параметра нагрузки равно:
<7* (к) =
А«Н
+—I
<А_,й|
к*\;R2
(53)


С другой стороны, с учетом (53) формула (49) для /'(к) при q < ^ ( к )
записывается в виде
F(к) =
я
?*(к)-<7 ’
Отсюда видно, что функции <7*(к) и ^(к) принимают стационарные
значения при одинаковых волновых числах klt k2. Таким образом, пе­
редаточная функция /"(к) принимает максимальное значение для откло­
нений, совпадающих с формами потери устойчивости в линейной тео­
рии. Именно эти отклонения растут быстрее всего, пока остаются при­
менимыми линеаризированные уравнения (44).
Определение корреляционных функций по спектральным плотнос­
тям (48) и (50) сводится к двухмерному преобразованию Фурье типа
(47). В общем случае это преобразование может быть проведено только
численными методами. Вместе с тем имеется широкий класс задач, для
которых аналитические вычисления могут быть доведены до конца.
Рассмотрим, например, сферическую оболочку, нагруженную равно­
мерным давлением. Если начальные неправильности оболочки обра­
зуют изотропное поле, то интеграл в формулах типа (47) сводится к од­
нократному интегралу по «радиальному» волновому числу k. В самом
деле, с учетом соотношений (1.193) формулы для корреляционных функ­
ций полей wx(г) и %х(г) принимают вид
Kw, (Р) = 2л J F2(k) Sw>(k) Jо(kp) kdk:
0
KXl(p)= 2я J G2(ft)SWt(k) Jq(kp)kdk,
(54)
о
где S w£k), F(k) и G(k) зависят только от модуля k.
В § 1.12 был рассмотрен класс изотропных двухмерных случайных
полей, дл я которых спектральная плотность имеет вид (1.194):
swAk)=
с
(55)
Здесь с, k0 и п — константы; при этом параметр ka характеризует мас­
штаб корреляции. Случай п = 2 соответствует двухмерному марковс­
кому полю (аналогу экспоненциально-коррелированной функции од­
ной независимой переменной). При п > 2 формула описывает диффе­
ренцируемое случайное поле. В дальнейшем полагаем гг целым числом
(п = 3, 4, . . . ) . Корреляционная функция начальных отклонений опре­
деляется по формуле (1.195).
Вычисление корреляционных функций для аух(г) и Xi(r) в случае
изотропного поля отклонений со спектральной плотностью (55) произ­
ведем методом контурного интегрирования. Рассмотрим, например,


формулу (54) д ля корреляционной функции прогиба Wx(r). Запишем
ее в виде
и вычислим интеграл
sq) (т) =
Kwi (р) —2itck о cp(k0р)
С
dy
«8 (хо+ х2)', (х<+ Раха+ 1)2
В формулах (56) и (57) введены обозначения
k_
k,
h..
К'
р4э«0(“—и
,
iEhV/4
м
N
k* [ dr*]
V k2D’ x~k°P-
Рассмотрим функцию комплексного переменного
я р (■=•)*•
______ \Х01
/(*)=■
(хо+ г2)п(г4+ Рагг+ I)2
(56)
(57)
(58)
(59)
Здесь Но*(г) — функция Ганкеля нулевого порядка. Если начальное
усилие N больше критического^ значения, т. е. ра > —2, то функция
/(г) голоморфна всюду в верхней полуплоскости, в том числе и на дей­
ствительной оси, за исключением конечного числа полюсов и точки
ветвления 2 = 0. Подсчитаем сумму вычетов вокруг всех полюсов
функции /(г) в верхней полуплоскости. Выражение (57) примет вид
*о К0(т)
(*о—Рг *2+ 1)2 _
s<p(x)=-
(-1)"
2"—1(я—1)I
(-JL-) -<
\ Хоdxо1
1d
1d
2yi*dyxL(4'T?)n(v^-v?)2J 2у2 dy2Лхо-У 2)п(у2-?2)2
; (60)
В формуле (60) и до конца параграфа К„(т) — цилиндрическая фъ„,-
ция мнимого аргумента, т. е. функция Макдональда.


Частным случаем выражения (60) является формула для безразмер­
ной корреляционной функции перемещений пластины (формула при­
годна только при растягивающих усилиях в срединной поверхности)
scp (т) =
--------
(
2П—(я-1)1 Vx0dx0
+■
у-1
К„(т)
0/
(хо— Р2)
1-2ряК,
• (f)
+
2Р(х0* -Ра)»+1
(61)
В соотношении (61) сохранены обозначения (58). При этом параметр
R, который входит в коэффициент
заменяется некоторой характер­
ной длиной.
Остановимся подробнее на случае п = 3. Выражение для безразмер­
ной корреляционной функции (60) примет вид
SV(т)= aiУIх Kxf-biW
IХо/
V*0/
ч
+а3К „ ^ ) +а4Ко(^) +(а5+авт2)Ко(х)+а7т Кх(т). (62)
Коэффициенты aj выражаются через х0, ух и у 2 следующим образом:
а, =•
V?
Тг
2(*o-Y?)3(Yf-Yi)2x0
2 (хо Y2)3(Yi Y2) 2xo
а Yi(3Yi—Y?Yl—2xgy!) . a _ V2(3Y2—Y?Y2 —2xoY?)
3" (xo—Yi)4(y§ Y?)3 ’ 4 (xo—Y2)4(y?—Y2)3 ’
a 3xg—8x%у2y!+2xgy?y|(Yi+У2)+ ViY2.
6
~(xo— Y?)4(«о — Y2)4
:
„_
1________
.
54-xg(vi!+ Y2) - 3YiYi
8(xo2-Y?)2K -Y If
4(x02- Y?)3K2-Y22)3
Аналогичная формула для пластины будет
(63)
Рт /Рт\
_
15ГKl[*)
.
(5xg-P2)xK,(T)
2Р2 (хо—Р2)3
4xq (хо—Р2)3
т’ К. (т)
,
3[К,(,)- К,( ^)]
ЧК-рТ
(«1-иТ
(64)


Результаты вычислений по формулам (66) и (67) показаны на
рис. 24 . По оси абсцисс отложен параметр нагрузки
Р2= К 12(1— v*j
по оси ординат — безразмерная дисперсия перемещения а^(г) в сфе­
рической оболочке. Параметр х0 = k jk ^ принимался равным 0,5 , 1 ,
2 и 4. Кроме того, на рис. 24 нанесена кривая, соответствующая пре­
дельному случаю х0 ->- оо (дельта-коррелированному полю начальных
отклонений). Правые ветви кривых соответствуют растягивающим уси­
лиям. При р2 оо имеем ф(0) ср0 (0). Левые ветви соответствуют
сжимающим усилиям. При |32 - >
—2, т. е. при стремлении давления
к его критическому-значению , определяемому по линейной теории,
дисперсия перемещений ^i(r) стремится к бесконечности.
§ 1 1.4. Краевые эффекты при докритических
деформациях
В предыдущем параграфе был дан метод расчета статистических
характеристик перемещений, деформаций и напряжений в тонких
упругих оболочках, срединные поверхности ^которых имеют малые
начальные случайные отклонения от идеальной формы. Этот метод ос­
новывался на ряде допущений, среди которых одним из наиболее су­
щественных было допущение о том, что условия на контуре^ оболочки
пренебрежимо мало влияют на деформацию во внутренней области.
В настоящем параграфе будут рассмотрены краевые эффекты в тонких
упругих оболочках со случайными неправильностями при докрити-
цеских деформациях г


сечения будем обозначать через T Wo(k2)• Вычислим эффективное вол­
новое число, соответствующее спектральной плотности TWo(k2)i
J (^2) ^2
1/2
&2е —
О
J TwAkt ) dk2
(71)
Волновое число k2e характеризует скорость изменения поля w0(г) в на­
правлении касательной к контуру оболочки. Пусть а2 — характерный
размер срединной поверхности оболочки в этом направлении. Если
выполняется условие
&2е^2^ 1»
(72)
то при рассмотрении краевых эффектов в областях, достаточно удален­
ных от угловых точек, точек приложения сосредоточенных сил и т. п. ,
можно отвлечься от учета граничных условий в направлении xt — const.
Ищем решение уравнения (68) в виде канонического представления
типа (1.180):
Щ (х1г х2)= I 5 И70(kv k2) <р(лгхI klt k2) е1к‘ х>dki dk2;
(73)
ОО 00
Xi (xi>*2) = J J W0(kv k2)ф(xt Iklt k2)elk‘ x‘dkj dk2.
—CO
—00
Здесь роль базисных функций выполняют выражения
ф1= Ф(х1|й1, k2)е1к‘ Хг;
Фа = Фixi 1К k2)e‘k,x'.
Подставим разложения (73) в уравнения (68). В результате получим
систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
функций <p(xi | ku k 2) и Tjjfo Iklt k 2) (штрихами обозначено дифференци­
рование no *i):
D(ф1У—2k\<p' -f kiф)— Ф
"—~
ф^—()Vaф' —k\ Ntф)=
= - {k\Nl+klN2)eiklXl\
(74)
—
— (ф1У 2й|ф -Ь^2ф)+ф"—
=


Достаточные условия получим, используя метод из работы (151.
Полагая у = —г2, представим уравнение (78) так:
yi+ c1y3+ c2yi+ c3y+ ci=0.
(79)
Д ля коэффициентов уравнения (79) получаем следующие выраже­
ния:
Ci=4k\+
С2=
+
cs= 4kl+
ki+-rf^- kl;
D
URi A2
_
(.8 ,
t6IEhu4
C4= «2 T--- — «2 H------ —«2'
(80)
Решения типа краевого эффекта будут существовать, если среди
корней уравнения (79) нет положительных действительных корней.
Применяя к уравнению (79) известную теорему Декарта, приходим
к достаточным условиям существования краевого эффекта
сх>0; с2>0; с3>0; с4>0.
(81)
В качестве примера рассмотрим сферическую оболочку, нагружен­
ную равномерным внутренним или внешним давлением. Тогда R t =
= R 3 = R; Nx = N 2 = N. Достаточные условия принимают вид:
N> —4kiD;
,
/4
2k4
N>—klDU+^
(82)
Здесь k * — параметр оболочки, определяемый по одной из фюрмул (58).
С другой стороны, в данном случае нетрудно получить явные выраже­
ния дл я корней уравнения (78):


Из формул (83) вытекают необходимые и достаточные условия су­
ществования краевого эффекта:
N> —2k\D,
если | /г21^ kt\
,
/
Л4\
(84)
—
k2D\^\. - \ - -j\, если \k2\>k^.
Условия (82) и (84) проиллюстрированы на рис. 26. Граница, опре­
деляемая согласно (82), обозначена сплошной линией, а граница, оп­
ределяемая согласно (84), выделена штриховкой. При \k2\ = £* грани­
цы совпадают. Заметим, что соотно­
шение N = —2k^D соответствует до­
стижению критических напряжений,
определяемых согласно линейной тео­
рии упругой устойчивости. Таким
образом, краевой эффект существует
всюду в докритической области. З а­
метим также, что при |У|< 2k\D —
осциллирующий краевой эффект [15].
При N >» 2k2,D — краевой эффект
неосциллирующий.
Как видно из формул (83), в об­
ласти, достаточно удаленной от гра­
ницы вырождения краевого эффекта,
действительные части характеристи­
ческих корней имеют порядок волно­
вого числа k 2. Таким образом, в
этой области условие (77) принимает
вид /e2Oi 1. Это значит, что масштаб изменяемости начальных
искривлений в направлении контура должен быть мал по сравнению
с характерным размером оболочки в направлении по нормали к кон­
туру. Этот вывод находится в соответствии с принципом Сен-Венана.
После того как функции q>(jci | к) и ф (л^ | к) найдены, дисперсии,
корреляционные функции и т.п . характеристики вычисляются Извест­
ными методами (§ 1.12). В частности, дл я среднего квадрата перемеще­
ния аУх(г) имеем формулу
оо
<К(Г)|2>= $ S^IOlTfollOIMk.
(85)
—
оо
Как и следовало ожидать, в рамках сделанных допущений средний
квадрат не зависит от координаты х 2.
§ П.5. Растяжение пластины с начальными неправильностями
Пусть пластина с малыми начальными неправильностями испыты­
вает равномерное растяжение силами N (рис. 27). В этом частном слу­
чае в уравнениях (68) и (74) следует положить Ri~> оо; R 2 -*• оо; ц =-


= N 2 = N. Второе уравнение системы (74) дает ф = 0, а первое vDaB-
нение принимает вид
D (<pIV— 2k\ <р -J
-
^2ф) N(ф—^2<р)= —N
-\-k\) е‘к,х‘.
Выпишем общее решение этого уравнения
а=I
где га — корни характеристического
Neikl х*
~ i>No+ty+N
уравнения
D{r*-kir-N{r>-kl)=0.
Эти корни, очевидно, составляют
Г1,2= ^^2' Л3.4 =±V k\Jt-Xl,
где использовано обозначение
х2= "
D
(86)
(87)
Пока выполняется условие х2> — А:|,два характеристических кор­
ня — отрицательные действительные числа, т. е. концепция краево­
го эффекта применима в данной задаче. При положительных х2 (т е
при растягивающих усилиях) эти корни по модулю имеют порядок
k 2 и более. Таким образом, можно ожи­
дать выполнения условия (77) и быст­
рого затухания краевого эффекта. При
сжимающих усилиях краевой эффект
затух ает медленнее. Условие х2 = —k\,
как следует из (87), соответствует р а­
венству
N=N,(0,k2)=-k 2
2D.
Здесь N#(0, k 2) — критическое усилие
по линейной теории, соответствующее
волновому числу k 2 (при этом kx = 0).
Итак, при достижении критического
усилия краевой эффект вырождается.
Пусть х 2 > — k\. Тогда решение (86), ограниченное на бесконеч­
ности, примет вид
<р= С1е к,х'-\-С2е f4+ * 2'i
х 2 е‘к,х'
ft»+x2
(88)
Как и ранее, используется обозначение А2 = k]
Вычислим по­
стоянные Сх и С2 для случая жесткого защемления пластины на линии


хх — 0. Требуя, чтобы выполнялись условия ф(0) — ф'(0) = 0- ле1*ко
получим
х2(К*!+х2+/*,)
(*2+х2)(]Л2+х2-* 2) '
________
X2 (fe2+ tfei)_______
(*2+ х2)(]Ajj+ x2- * 2)
Выражение (88) после небольших преобразований записывается сле­
дующим образом:
Ф(*i | к) = ------------ ------------------- -- [[ V k \ W + ikJ
*•-
{k*w){Vkiw -h)
— (/:2+ ^ 1)Г ^ А2+х2 —(Vk\+v?—k^ elklXl\.
(89)
Применим формулы (85) и (89) для вычисления среднего Квадрата
(дисперсии) перемещения при условии, что поле начальных неправиль­
ностей ш0(г) представляет собой узкополосное поле со спектральной
плотностью, аппроксимируемой выражением:
CTq
S*(к)= ^ - б(|kx|-Л0)б(|k21-k 0).
(90)
Здесь ст„ и k0 — некоторые положительные постоянные. Подстановка
выражения (90) в формулы (85) и (89) дает
<|w(г)|2>= о\
)2[(«о-1)2+ (2+ л) в-2***1+ 2е~2п°к°*>-
— 2 (1 + п0)е~ (|+я<,) *•
2ё~к°Хг(п0— 1) (cos k0x1—sin£0Arx)-f
+ 2е~п°k°Xl (n0— 1) (cos k0x1+ sin k0xx) — 2ne~k‘Xt cos k0*x]( (gi)
где использованы обозначения
n=
; n0=]/rl+n.
(92)
k0TM
Заметим, что правая часть формулы (91) остается конечной при я >
>—2.
На рис. 28 представлены результаты вычисления дисперсии пере­
мещения в функции от koXi при различных значениях параметра п.
Как видно из диаграммы, дисперсия перемещения с ростом
до­
вольно быстро приближается к асимптотическому значению
<1^ (0°, х2)|2>=
2


(исключение составляет случай сжимающей силы, близкой к крити­
ческому значению). Вместе с тем, максимальные значения дисперсии
в зоне краевого эффекта могут существенно превышать асимптотичес­
кое значение.
Аналогично вычисляются дисперсии, корреляционные функции,
спектральные плотности и тому подобные характеристики различных
полей, которые получаются из полей ^ ( г ) и х(г) посредством линей­
ного преобразования. Рассмотрим вопрос о вычислении этих хар акте­
ристик в общей форме. Пусть т(г) — некоторое поле, связанное с по­
лями ^ ( г) и %(г) соотношением
m=l1
Здесь и / 2 — линейные операторы. Каноническое представление для
поля т(г) имеет вид
оо
/я(г) = $ No0(k)P(*ilk)e'*,Jr,A
(93)
—оо
где функция |х(хх | к) определяется следующим образом:
ц(х, | к) = {и [ф(*!|к)е1к' Хш] + /2 [ф(ХХIк)е‘кгх‘]Iе~1к' х\
Корреляционная функция поля ш(т) находится с учетом соотно­
шений (70) и (93):
<m*(r)m(r')>= $ ■Sa,0(к) (дсх| k) ^ (jci |к)
_
дг*) rfk.
—
оо
В частности, полагая г = г \ получим формулу для среднего квадрата
оо
( Im(г)|2>= $ •V ,(k)|p(*1|k)|2dk.
(94)


§ 11.6. Случайные термоупругие напряжения в оболочках
Если конструкция подвергается тепловым воздействиям со стоха­
стическими условиями теплообмена, то в конструкции возникают слу­
чайные температурные и термоупругие поля. Некоторые стохастичес­
кие задачи термоупругости для полупространства рассматривались
Г. Паркусом [132]. В работе В. В. Болотина и В. Н . Москаленко [21]
был предложен метод нахождения статистических характеристик на­
пряжений, деформаций и переме­
щений в тонких у пругих оболоч­
ках, находящихся в случайном
пространственно-временном темпе­
ратурном поле. В основу положены
уравнения классической теории
оболочек и гипотеза о линейном
распределении
температуры по
толщине, аналогичная гипотезе
Кирхгофа—Лява. Решение стоха­
стических уравнений строится при
.помощи метода канонических раз­
ложений. Д ля случая, когда мас­
штаб корреляции температурного
поля мал по сравнению с харак­
терными размерами срединной по­
верхности оболочек, определение
статистических характеристик сво­
дится к квадратурам. Ниже при­
менение этого метода будет проил­
люстрировано на примере оценки стохастического термоупругого
краевого эффекта в круговых цилиндрических оболочках.
Рассмотрим тонкую упругую оболочку, отнесенную к ортогональ­
ной криволинейной системе координат на срединной поверхности г =
= x lt х 2• Координату, отсчитываемую по нормали к поверхности, обо­
значим через z. Пусть оболочка находится в контакте с некоторой сре­
дой, температура которой является функцией координат и времени.
Температуру среды у поверхности оболочки г =
называемую в
дальнейшем наружной, обозначим через Г+ (г, t). Температуру среды
у поверхности z = — h , называемую в дальнейшем внутренней, обоз­
начим через T _( r , t). Допусхш^щхол£атфантще-со^)едой выполняются
условия теплообмена Ньютша_(^^коэффипиецтами теплообмена х+ и
^ " “ соответственно. Эти коэффициенты* будем считать постоянными.
Наконец, предположим, что по толщине оболочки температура Т
изменяется по линейному зако ну (рис. 31):
7’= 7’i(r,0+T-n(r,0 .
(ЮО)
ft


Функции 7 \ и Т2 удовлетворяют следующей систрмр
ных уравнений [13]:
У ЩеИ системе дифференциаль-
]_
Ъ
b
дТх
dt
дТ,
2е
2е
h2
h2
Л2
_
А_АГ2+-^8+2>т+-^-Г =-^1
dt
h22h21Л2
( 101)
Здесь 01(г, /) и 02(г, /) — входные параметры;
Р+Г++р_Г
_
Р+Т+-р
_
г_
■
м1Г—•е-~
-
р++р
( 102)
Кроме того, использованы следующие обозначения: А — оператор Лап­
ласа на срединной поверхности; b = Я/ср — коэффициент температуро­
проводности для оболочки (Я — коэффициент теплопроводности мате­
риала оболочки, с — его удельная теплоемкость, р — его плотность),
Р± = и ± Л/Я — коэффициенты Био для наружной и внутренней по^
верхностей,
Р++Р-
Р+—Р_
—
о—;Ч=~
~
При составлении уравнений теории тонких упругих оболочек при
наличии поля температур, заданного в форме (100), будем считать уп­
ругие характеристики не зависящими от температуры. Уравнения в пе­
ремещениях имеют вид:
.
aEh
2d LvkUh~~i _v
А=1
3
д]\_
дх.,
h дТ2\ш
6Ry'дх)’
,
а£Л
2d
иЬ~~i _v
k=l
(103)
(y=U 2).
Здесь Ljk — известные линейные операторы; ut и u2 — тангенциаль­
ные перемещения; u 3 = w — нормальное перемещение; а — коэффи­
циент линейного температурного расширения; Ну — коэффициенты Л а­
ме. Д л я состояний, быстро меняющихся на срединной поверхности,
имеем систему уравнений: типа уравнений В. 3 . Власова:
D ДДо>—
1дЧ
Rz’дх]
1
Eh
ддх+Д-
А2
д2W
дЧ\
дх] )
d2w ,
I4н
+ - 7 (l-fv)D ДГ8= 0;
п
-аД7\=0.
(104)
Уравнение краевого эффекта у кругового края круговой цилиндри­
ческой оболочки будет следующим:
v
рЛ” -fHLw—^
-
T 1+-2ail+v)D.* h =0. (105)
дх*
R
h
3*1


дх4
Eh
R2
aEh
2а/1I\п
Л
------ Фи Н-------- (1 + v) ° ------- -- = О
RYlfthV'дх2
и соответствующих ему граничных условий. Корреляционные функции
для прогиба w ji его производных находятся далее по формулам типа
(109).
Если в одном из координатных направлений оболочку можно рас­
сматривать как бесконечно длинную, то двухмерные дискретные разло­
жения (106), (108) и (ПО) заменяются на дискретные разложения по
одной из координат и интегральное разложение — по другой коорди­
нате. Если входные параметры описывают стационарный временной эр-
годический случайный процесс, то временной компонент еш может
быть выделен из канонических функций фр*(г, t) и т. д. В этом случае
каноническое разложение будет интегральным по времени t. Из-за не­
достатка места мы не входим здесь в детали; некоторые дополнитель­
ные соображения будут даны ниже — в связи с задачей о случайном
термоупругом поле в круговой цилиндрической оболочке.
В качестве простейшего примера рассмотрим круговую цилиндри­
ческую оболочку, находящуюся в среде, температурное поле в которой
является симметричным относительно оси оболочки. Пусть температур­
ное поле среды является стационарной случайной функцией времени.
Пусть, далее, масштаб корреляции по координате х настолько мал, что
оболочку можно рассматривать как бесконечно длинную, а температур­
ное поле как однородную случайную функцию координаты х. Дискрет­
ное разложение (106) заменяется при этом интегральным разложением
оо
оо
Ор(*,*)=$ I е (*. “ ) аР(к, и) е‘(b:+“')dk da.
(11 2)
Здесь @(k, со) — дельта-коррелированная случайная функция вол­
нового числа k и частоты со. Таким образом, базисные функции
Фр(х, 11k, со) имеют, вид
<рр(лг, t\k, со) = ар(6, со)е1
(ЦЗ)
где функции a$(k, со) определяются с учетом соотношений (102). Под­
ставл яя выражения (113) в уравнения (101), легко найдем базисные
функции в интегральных разложениях, соответствующих дискретным
разложениям (108):
Фх:
2е
Ah2
6е
cia,--^аг)е1
24
Л2
(Ьг + соО.
>
i(kx-f (о/)
Здесь использованы обозначения:
/со .
* 6(б“Ь2) .
/со .
.
2е
.
ci=T +A'+ ” V
•Ct=T+k'+v;л=6'1С2
(114)
12г)а
/I4
О Зак. 11cSj
145


Дискретному разложению (ПО) в данном случае соответствует ин­
тегральное разложение
w(х, t)— ^
§ 0(Л, w)X(jc, /1k, со) dco
(115)
-oo
—oo
Базисные функции находим из уравнения (111) с учетом формул (114)
X(*,
//£iA _
f
l
l
+
Г
-
in-1Л el
(116)
V'
ABh2 {[ R
l-v) 1 L2(1—v)
*Aj 2j
•V/
где
B=k*D+—
R2
Используя формулы (112), (113), (115) и (116), нетрудно вычислить
корреляционные функции, спектральные плотности и дисперсии раз­
личных параметров. В качестве примера вычислим характеристики из­
гибающего момента
m“=D[0+Jr<l+v>7'’]
(117)
Его корреляционную функцию найдем, подставляя выражение (115)
в формулу (117), перемножая значения момента при х, t и х', t ’ и осред-
няя результат:
<т*ц (х, t)mn (x', /')> =
оо
оо
—
5 $ So(k, со) Ц*(х, 11k, со) ц(х', V | к, со) dkd<a.
(Ц 3)
—
оо—оо
Здесь So(k, со) — спектральная плотность поля 0(лг, /). При этом
<0*(£, со)0(Л', сo'))=Se(k, со)6(k—k ’)8(со—со'). (Ц9)
Базисная функция р имеет вид
2aeED ,с _ , , „чл(kx+<&1)
р=
(/iat + /2а2)е
ABRh
Здесь использованы обозначения
/i=-kfe*+- -л
-
1; /2=бNo с2+л*1)
1 L /гг>(1—v) J
\Rh
h2I
Связь между спектральными плотностями температурного ПОля
в среде и спектральной плотностью момента тп дается формулой
£»„ {k'
= (щИт)2Г■1fl0112 + 2Re(/**2
)+ I I"1 (Л,со).
„
(12°)
Дисперсию момента тп находим по формуле
оо
оо
<lmul2>=" S S Smil{k,to)dkd(x>.
(121)


§ II.7 . Термоупругие краевые эффекты
Вычислим вероятностные характеристики выходных параметров
у защемленного края х = О круговой цилиндрической оболочки, счи­
тая последнюю полубесконечной (рис. 32). Д ля упрощения выкладок
примем, что температурное поле среды по-прежнему остается осесим­
метричным, а такж е стохастически стационарным и однородным. Тогда
функции 0(х, t) по-прежнему задаются
в форме (112). Базисные функции фь
ф2 определяются из уравнений (101).
Если торец оболочки в сечении х = 0
адиабатически изолирован, то урав­
нения решаются при условиях
iiL=iSl.= o ПрИ *=0(122)
дх
дх
1
"~"\D -------- -
Рис. 32
и условии ограниченности при *-* - оо. В случае изотермических усло­
вий вместо (122)
'Фх= =о при х=0.
(123)
Наконец, если в сечении х = 0 не накладывается никаких условий
на температурное поле, то достаточно потребовать ограниченности
функций при ± о о . При этом сохраняются формулы (114).
Переходя к определению функции х» рассмотрим подробнее по­
следний случай. Подставим в правую часть уравнения (111) выражения
(114):
д1X , Eh у _2&&EQ
дх■+ R*
Ah*
(124)
Здесь
с2к* h*
2(1— v)
Общее решение этого уравнения, ограниченное при х->-оо, имеет
вид
X-2“м [С,.-
ABh2 1
- P O -W)х+С2е-*(' - ‘)х+ е‘кх]еш,
(125)
где обозначено
p=i|/ Eh
у 4R2D
(126)
Подчиняя решение (125) граничным условиям
t=—=0прих=0,
дх
найдем
X=-
[я(х|А)-2Р] е1' <*' + ш,).
(127)


Для дисперсии момента тп в точке, достаточно удаленной от задел­
ки, формула (130) с учетом (120) принимает вид
<|тп(оо)|2>=
а2е2£2
Л2ft2
ОО
оо
J— оо
—
оо
36(1+ v)2
|Cj|2R4l2
k*
6(1+ v)ft2 / 1
|c2|2
Rh
ST(fe, со)dk d(a
~ (ь*+т2
(-Т
-
+Л-)
\c,c2
c,c2/
+
(131)
Далее, используя формулы (129) и (130), вычислим дисперсию момента
тпвсечениих—0
<|ти(0)I2>=
«2е2Е2
R2h2
ОО оо
JS
—
оо—оо
+
сг \2R 2h2
'
1н
, 3(1+v) /Р+1к .
Г-Н
r,c2 /
|с2|2
оо
МР3 ( с*с2
p2+fc2" ST(k, со)dfcdeD
(132)
р» J ft4+ 4p4
Нормальные напряжения ап от изгиба пропорциональны моменту
mn . Поэтому выражение
"-/■гг
Iи» (0)1а>
« и!30)!2)
(133)
имеет смысл коэффициента концентрации напряжений в заделке, вы­
численного по дисперсии.
Приведем результаты вычислений по формулам (131)—(133) при
некоторых частных предположениях относительно спектральной плот­
ности Sr{k, со). Пусть температурное поле в среде является простран­
ственно-временным белым шумом
St= const,
(134)
а параметр е удовлетворяет неравенству е hiR. Вычисления по
формулам (131) и (132) дают
я2bSTа2е2£2 , 1
<Iти(°°)|2)=
^Г^Гяз"
(
2у
<Imi\(0)I2>:
32R2Р3
n2bSTа2е2£2 / i
4-_£
_
V
е4-2/’
е
2е+ 3
е+
2?
8R2Р3
2е+ 3
8+ 2у
Параметр у зависит только от коэффициента Пуассона
'Т+^
У—


Отсюда по формуле (133)
*
e
1
2V
e
2e+ 3
e+2
2y
2e+ 3
e+2
(135)
Как видно из формулы (135),
коэффициент п зависит только от
е и v. График дл я коэффициента п
показан на рис. 33.
Теперь рассмотрим
случай,
когда масштаб пространственной
корреляции температурного поля
велик по сравнению с характерной длиной краевого эффекта (Л/?)1/2.
Пусть спектральная плотность S t (k, <о) может быть взята в виде
ST(к, <о)= Т(ю)6(Л).
Формулы (131) и (132) принимают вид:
а2е2Е2Ь2 Г V(со)da .
IWn (оо) |2>=
4(1
2Е2Ь2 Г ¥
-
^гJ«|+0)2
(136)
/I
/mii\ а2е2£262 (• Г
< Шц (0) 2>= --------------
I
11W
12(1—v2) J I 0)|+ со2
1
9
9
©2+О)
(v2+3v^i)]
7i+_2L_)+
l
2е+3/
¥ (со) da.
Здесь использованы обозначения
(0 2гЬ
6(е+ 2) ,
I= ----; со2= —-
—!
—
о.
1Л2
2
И2
(137)
Вычислим интегралы в формулах (137), предполагая, что спектраль­
ная плотность
(со) определяется выражением
со0
Чг(со) = —
.
Л
COq + О)2
Это соответствует корреляционной функции вида
<П(X,о7+(*', /+т)>=Кое-щ1т1


Вычисления Даю?
(|mu (oo)|2>
ос2е2£ 2Ь2АГр
4(1-v)2 (ш0+ “г)ш2
<|тп(0)|2>=
Г------- 1
------- Уj + _J£__)4.
,0 ,1—V*) L(o»» + ®i)®i I
2е+31
12(1
1
(^Й т)]
(со0+ (о2) о)2 \
2е+3
По формуле (133) находим коэффициент концентрации напряжений
в заделке
л-т|А1+
Yе
^(8+2)[о»+3(е+2)]1^2IЗуе+2
2е+ 3/
е((о* + е)
7^72е+3
Коэффициент л зависит только от е, v и безразмерного параметра
w0/i2
G)
26
X
График зависимости коэффициента п от е при различных со* и при v =
= 0 ,3 приведен на рис. 34.
Если случайное поле температур вызывается турбулентными пуль­
сациями в жидкости или газе, то естественно принять следующую ана­
литическую аппроксимацию
для корреляционной функ­
ции температуры Т+{х, t):
<Т+(х, t)T+(x+l, t+ т)> =
= К0ё~т1111х
^cos пг]+ — sin п |т)|j.
(138)
пII \
_
&W
£
1
Рис. 34
Здесь К0, т и п — некоторые
положительные константы, а
г)=£—f/т.
Константа U
может быть интерпретирована
как средняя скорость сноса вихрей. Корреляционной функции (138)
соответствует выражение для спектральной плотности
S (k со)= 2Ко • т('п2+ п2)&(<*+ ки)
тК’}
л
(т2+ п2+ А:2)2—АпЧ2
Дальнейшие вычисления производятся по формулам (131) и (132). Ин­
тегралы, входящие в правые части этих формул, определяются чис­
ленными методами. Ряд температурных и термоупругих задач рассмот­
рен в работах [85—89].


ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ И ДОЛГОВЕЧНОСТИ СООРУЖЕНИИ
§ II 1.1. Основные понятия
Современные сооружения, машины и устройства представляют со­
бой сложные системы, предназначенные дл я выполнения разнообраз­
ных функций. Несущие конструкции зданий и сооружений предназна­
чены для воспринятия внешних нагрузок; ограждающие конструкции—
для обеспечения тепловой, звуковой и тому подобной изоляции; транс­
портные средства — для перемещения грузов и пассажиров; вычисли­
тельные машины — для переработки цифровой и логической инфор­
мации и т. д. Помимо основных функций, составляющих главное назна­
чение систем, может ставиться еще целый р яд требований. К ним от­
носятся, например, эстетические требования, требования комфорта
и т. п. Совокупность свойств, характеризующих полезные функции
системы, будем называть ее качеством. Разрабо тка и создание систем,
обладающих все более высокими качествами, составляет основное со­
держание технического прогресса.
Система будет эффективной только в том случае, если качество, за­
ложенное в ее проект, будет сохраняться в течение всего времени, уста­
новленного для эксплуатации системы. В понятие эксплуатации мы
включаем не только полезное функционирование системы, но и всю
совокупность операций над нею, начиная от изготовления и кончая
демонтажом или сносом. Качество может быть утрачено не только во
время функционирования, но и, например, при возведении или транс­
портировании. Вопрос о сохранении качества имеет весьма большое
значение. Реаль ная система всегда в той или иной мере отличается от
идеализированной системы, составляющей содержание проекта. Это
отличие обусловлено многочисленными технологическими несовершен­
ствами, дефектами материала, некондиционностью комплектующих
элементов и т. п. Условия эксплуатации реальной системы также мо­
гут существенно отличаться от тех условий, которые рассматривались
на стадии проектирования. Поэтому параметры функционирования
реальной системы могут оказаться далекими от расчетных значений. Та­
ким образом, не будет обеспечен необходимый уровень качества систе­
мы. Система окажется недостаточно эффективной.
Утрата эффективности может быть не только частичной, но и пол­
ной. Могут встретиться нарушения качественного хар актер а вплоть
до необратимого выхода системы из строя. Примерами служат: потеря
несущей способности конструкции, отказ радиотехнического устрон-


ства поломка машины и т. д. Понятие утраты эффективности включает
в себя широкий круг явлений, начиная от умеренных отклонений па­
раметров от их расчетных значений до катастрофических разрушений
сопряженных с материальным ущербом и человеческими жертвами.
Чтобы система была эффективной, ей недостаточно обладать высо­
кими качествами. Необходимо, чтобы эти качества были устойчивыми
по отношению к малым случайным отклонениям при осуществлении
проекта, к малым нарушениям технологии, а также к возможным от­
клонениям условий эксплуатации от расчетных значений. Мы говорим
о малых отклонениях потому, что существуют технические условия
и нормы, которые в принципе регламентируют допуски при осущест­
влении проекта. В то же время отклонения в условиях эксплуатации
могут оказаться и немалыми. Эти условия включают в себя взаимодей­
ствие системы с окружающей средой, которая (во всяком случае —
частично) не подлежит нашему контролю.
Эти соображения естественно приводят нас к понятию надежности.
Надежностью системы называется ее свойство к сохранению качеству
в^процессе э ксплуатации Другими словами, надежность — это устой­
чивость качества системы по отношению ко всем возможным возмуще­
ниям, которые могут встретиться при изготовлении, возведении, по­
лезном функционировании, транспортировании, хранении и т. п.
Обеспечение надежности систем является одной из важнейших
проблем современной техники. Эта проблема встала во весь рост лишь
в последние десятилетия, что обусловлено двумя основными причина­
ми. Первая причина состоит в чрезвычайном увеличении сложности
систем. Количество элементов в современных технических системах
может быть весьма велико; характер взаимодействия между ними сло­
жен и многообразен; функции системы и характер ее взаимодействия
с окружающей средой весьма сложны. В этих условиях относительно
малые и локальные дефекты могут привести к нарушению или полному
прекращению функций системы. Другая причина заключается в том,
что многие системы имеют весьма ответственные функции; значение
некоторых из них имеет национальные и даже общечеловеческие мас­
штабы. Примерами могут служить уникальные сооружения, крупней­
шие тепловые и гидроэнергетические станции, сети крупнейших энер­
госистем, ракетно-космические и оборонные комплексы и т. п. Наруше­
ние функционирования таких систем может привести к большим мате­
риальным и моральным потерям, а также к потерям человеческих ж из­
ней.
Разр аботка методов оценки надежности систем и создания систем,
Обладающих заданной надежностью, составляет содержание теории
надежности. Хотя основы этой теории (в связи с расчетом сооружений)
были сформулированы впервые в двадцатых годах этого века, система­
тическая ее разработка началась лишь в пятидесятые годы. Современ­
ная теория надежности развивается главным образом в связи с потреб­
ностями техники управления и связи. Наиболее существенным дости­
жением теории является создание достаточно общей системы понятий
и терминов, применимых в различных областях техники. В дальней-
6В. Зак. 1481


шем мы рассмотрим некоторые из этих понятий в форме, приспособлен^
ной для механических систем.
Одним из основных понятий теории надежности является понятие
отказа. Отказом называется частичная или полная утрата качества си­
стемы. К отказам относятся недопустимые отклонения параметров сис­
темы от расчетных значений, временные нарушения нормальной эксп­
луатации системы, полный выход системы из строя. В строительной
механике этому понятию соответствует понятие предельного состоя­
ния. Поэтому ниже мы не будем делать различия между указанными
понятиями.
Значительная часть отказов имеет механическое происхождение.
Даже в радиотехнических устройствах мы весьма часто встречаемся
с отказами, вызванными разрушением или механическим поврежде­
нием элементов и связей между ними. Предельные состояния конструк­
ций и сооружений более разнообразны. Примерами предельных состоя­
ний, приводящих к выходу конструкции из строя или по крайней ме­
ре требующих прекращения ее эксплуатации, могут служить обру­
шение, опрокидывание, потеря устойчивости равновесия сжатых эле­
ментов, хрупкое разрушение и т. п. Многие отказы носят постепенный
х арактер: параметры системы по мере эксплуатации постепенно ухуд­
шаются и в некоторый момент времени достигают значений, при кото­
рых дальнейшая эксплуатация становится невозможной или нецеле­
сообразной. К явлениям этого типа принадлежат процессы накопле­
ния остаточных деформаций, механический и коррозионный износ, рас­
трескивание, выветривание и т. п.
Почти все отказы вызваны влиянием случайных факторов, которые
либо заложены в систему при ее изготовлении и возведении, либо дей­
ствуют на нее в процессе эксплуатации. Поэтому отказы, как правило,
носят случайный характер. Трактовка отказов как случайного собы­
тия является исходным пунктом при построении теории надежности.
За меру надежности системы принимается вероятность случайного
события, состоящего в том, что в течение всего установленного срока
эксплуатации Т * не произойдет ни одного отказа. Эта вероятность,
обозначаемая в дальнейшем через Р{Т*)> называется обычно просто на­
дежностью системы.
Надежность ответственных систем должна быть достаточно близка
к единице. Было предложено [22] измерять надежность в логарифма-
ческих единицах (беллах), определяя уровень надежности как
r= Ig-i-= -Ig(l-P),
где Q — вероятность наступления хотя бы одного отказа. Надежности
Р = 0,99 соответствует уровень г = 2 белла, надежности Р = 0,99д __
уровень г = 3 белла и т. д . В расчетах, основанных на гипотезе о НОр,
мальности всех параметров, естественно пользоваться гауссовским


уровнем надежности у, связанным с надежностью Р зависимостью
р“7§гIе2<‘и=фМ-
---
ОО
Здесь Ф(у) — интеграл Лапласа**. График для пересчета с одной меры
надежности на другую представлен на рис. 35. В интервале значений
0,9 ^ Р ^ 0,9999 уровни на­
дежности г и у имеют одина­
ковый порядок.
Наряду с надежностью
Р(Т*),
определяемой для
всего установленного срока
эксплуатации Т%, целесооб­
разно рассматривать надеж­
ность Р(1), достигающую к
данному моменту t (0 <
t ^ Т*). Поскольку внеш­
нее воздействие на систему
развертывается во времени, а
эксплуатация системы, как
правило, сопровождается по­
степенным ухудшением ее к а­
чества, то надежность P(t)
обычно является убывающей
функцией t. Обратные явления наблюдаются] в системах с упрочняю­
щимися элементами (например, в бетонных или железобетонных конст­
рукци ях на стадии твердения бетона), а также в системах, подвергае­
мых в процессе эксплуатации ремонту или усилению.
Изменение надежности во времени может быть охарактеризовано
частотой отказов, равной производной от функции надежности P(t),
взятой с обратным знаком:
р«—
0)
0.9339в 6420.9998 64?0,998 64Р
Произведение p(t)dt представляет собой вероятность отказа в течение
интервала времени t> t + d t. Другой характеристикой является интен­
сивность отказов
Я(/)= -
р' (0
P(t)
(2)
1?
* В литературе применяются выражения Фх(у) = т т = \ е 2 du = 2Ф(у) — 1
1
<
или Ф2( у) = - ^ - Ф] (у), которые так же называются интегралом (функцией) Ла п ­
л ас а . Это не обход имо учитывать при пользовании табл ицами.


Произведение %(t) dt представляет собой условную вероятность отказа
в течение интервала времени /, t + dt для системы, безотказно прора­
ботавшей время t. Надежность выражается через интенсивность отка­
зов следующим образом:
Р(/) = ехр
(3)
Если интенсивность отказов X постоянна во времени, то из формулы
(3) вытекает экспоненциальный закон распределения отказов (рис. 36)
P(t)=e~u .
(4)
Экспоненциальный закон широко применяется при расчете надежнос­
ти радиотехнических и электронных устройств. Заметим, что даже для
типовых элементов этих устройств изменение отказов во времени не
следует формуле (4). Обычно вначале интенсивность отказов относи­
тельно велика. Затем она снижается
и остается примерно постоянной в те­
чение длительного интервала эксплуа­
тации, увеличиваясь к концу его всл ед-
ствие старения и износа (рис. 37).
ч _______/
о
т,
t
Рис. 36
Рис. 37
Понятие надежности тесно связано с понятием долговечности. Под
долговечносШо пинимают "Свойство системы, обеспечивающее ее дли­
тельную эффективность при заданных условиях эксплуатации. За меру
долговечности обычно принимается либо время работы системы от на­
чала эксплуатации до выхода из строя, либо полная наработка (т. е.
суммарное время полезного функционирования, суммарный пробег,
суммарная производительность и т. п .) . В дальнейшем меру долговеч­
ности будем называть просто долговечностью и обозначать через Т
Долговечность системы Т является случайной величиной. Распре­
деление этой величины может быть выражено через функцию надеж­
ности. Пусть, например, эксплуатация системы прекращается после
первого отказа. Тогда функция распределения долговечности F(T)
определяется следующим образом:
F(7)=l-P(0|, =r.
(5)


Здесь Р(() — функция надежности системы. Плотность распределения
долговечности Р(Т) совпадает при этом с частотой отказов p(t) при t =
= Т Средняя долговечность вычисляется как
00
<7’> —5 tp(t)dt.
О
Отсюда после интегрирования по частям и использования формулы (1)
получаем
(T) = ]p(t)dt.
(6)
Из приведенных соображений видно, что между понятиями надеж­
ности и долговечности имеются соотношения взаимности. В связи с
этим нет смысла противопоставлять эти понятия или даже полагать,
что каждое из них, взятое в отдельности,
еще не характеризует устойчивость ка­
чества системы. Вместе с тем очевидна
необходимость рассматривать процесс
изменения надежности во времени на
протяжении всего установленного срока
службы системы. В качестве примера
сопоставим два случая изменения надеж­
ности во времени, показанные на
рис. 38 . Пусть кривые / и 2 относятся к
двум разным типам систем, предназна­
ченным дл я выполнения одинаковых
функций в одинаковых условиях. Пусть
начальные значения надежности Р(0) и
значения Р(7\.), соответствующие уста­
новленному ср оку службы, у обеих си­
стем одинаковы. Но у первой системы максимум частоты отказов сме­
щен в сторону больших значений /. Средний срок службы, вычисляе­
мый по формуле (6), у системы первого типа будет больше. Первая
система будет более эффективной, хотя вероятности отказа обеих си­
стем к моменту времени t = Т* равны. Заметим, что наш вывод отно­
сительно эффективности может измениться, если системы проходят
предварительную тренировку в течение времени 0 < t ^ Т0, после
чего производится отбраковка, ремонт или замена дефектных элемен­
тов. При этих условиях вторая система может оказаться более эффек­
тивной.
Заметим, что для экспоненциального закона надежности (4) формула
(6) дает


Таким образом, интенсивность отказов при экспоненциальном законе
надежности равна обратной величине от математического ожидания
долговечности. Формула (4) принимает вид
^(0=ехр(—^
-
)
(7)
Итак, функция надежности P(t) характеризует как надежность, так
и долговечность системы. Д л я систем с восстановлением, ремонтом,
профилактикой и т. п. описание надежности и долговечности несколь­
ко усложняется; однако и здесь могут быть введены некоторые сово­
купности функций времени, которые достаточно полно характеризуют
способность системы к сохранению качества.
§ II 1.2. Некоторые простейшие задачи теории надежности
Одной из основных задач теории надежности явл яется оценка на­
дежности и долговечности систем по известным законам распределения
надежности и долговечности ее элементов. Способ вычисления надеж­
ности и долговечности существенно за­
висит от того, как взаимодействуют
между собой элементы с точки зрения
обеспечения безотказности
системы.
Рассмотрим некоторые простейшие спо­
собы взаимодействия.
Пусть система состоит из т элемен­
тов, надежности которых Рг, Р 2,
Р т заданы. При этом элементы взаимо­
действуют между собой таким образом,
что их отказы — стохастически независи­
мые события, а отказ хотя бы одного из
элементов приводит к отказу системы
в целом. Такое соединение называется
последовательным (рис. 39, а). Приме­
ром этого соединения может служить
последовательное включение измери­
тельных приборов, аппаратов и т. п. в
электрическую цепь. Если хотя бы один
из элементов выйдет из строя, цепь бу.
дет разомкнута, и произойдет отказ си­
стемы в целом. В качестве примера из
строительной механики можно привести статически определимую
стержневую систему. Д л я того чтобы така я система разрушилась,
достаточно разрушиться хотя бы одному из ее элементов.
Безотказная эксплуатация системы из последовательно соединен­
ных элементов есть случайное событие, равное произведению незави­
симых случайных событий — безотказных эксплуатаций каждого 113
т
б)
в)
г).
т
Э--С=ЭЧ==>-С
i>Jt=}J4=zH4:
Рис. 39


ее элементов. Надежность системы определяется по теореме умноже­
ния вероятностей
т
Р=ПРк.
(8)
k=1
Если надежности всех элементов равны между собой, т. е. если Р г =
= Р 2 = = Рт = Л), то надежность системы вычисляется так:
Р=Р ”
(9)
Как видно из формул (8) и (9), надежность систем из последователь­
но соединенных элементов меньше надежности каждого из элементов,
взятых в отдельности. С увеличением числа элементов надежность си­
стемы быстро падает. Если число т достаточно велико, то практически
невозможно получить систему, обладающую удовлетворительной на­
дежностью. Пусть, например, т = 1000, Р0 = 0,99. Тогда по формуле
(9) получаем, что надежность системы Р — 10“ 4. Практически система
о казывается абсолютно ненадежной.
Покажем, как вычисляется долговечность системы из последова­
тельно соединенных элементов. Пусть функции надежности всех эл е­
ментов одинаковы и имеют вид (4). Тогда по формуле (9)
Р=е~ти.
Математическое ожидание долговечности системы вычислим по формуле
(6)
Выражая интенсивность отказов X через математическое ожидание
долговечности одного элемента <Т0у, получим окончательно
(Т) = — (Т0).
(10)
m
Таким образом, средняя долговечность системы уменьшается обратно
пропорционально числу ее элементов.
Остановимся теперь на способе взаимодействия элементов, кото­
рый в некотором смысле противоположен только что рассмотренному
(рис. 39, б). Пусть система состоит из п элементов с надежностями
Р2,
Р п. Пусть по-прежнему отказы элементов — независимые сл у­
чайные события; однако отказ системы происходит только в том сл у­
чае, если откажут все ее элементы. Такое соединение называется па­
раллельным. Примером может служить параллельная работа генера­
торов, мощность каждого из которых достаточна для обеспечения уста­
новленной потребности: система энергоснабжения откажет только тог­
да, когда выйдут из строя все генераторы. Другим примером служит
стрельба по одной цели несколькими снарядами, если для поражения
цели достаточно попадания одного из снарядов. Более затруднитель-


но привести пример из строительной механики. На первый взгляд,
с параллельным соединением мы встречаемся при рассмотрении ста­
тически неопределимых систем, выход из строя которых требует р аз­
рушения всех избыточных связей. Однако здесь дело обстоит сложнее.
Одна из причин заключается в том, что выход из строя одного из эле­
ментов системы приводит к перераспределению усилий в остальных
элементах. Таким образом, одно из условий, при которых мы трактуем
соединение как параллельное, — независимость отказов отдельных
элементов — здесь не выполняется.
В случае последовательного соединения вероятность безотказной
работы системы определялась как произведение вероятностей безотказ­
ной работы всех ее элементов. В случае параллельного соединения,
наоборот, теорема умножения применяется к вероятностям наступле­
ния отказов. Обозначая эти вероятности через Qlf Q2, Qn , получим
п
Q= ПО,,
k=1
Отсюда надежность системы из параллельно соединенных элементов
определяется как
п
р-Л
— П (i—ph).
(11)
!г= 1
Если надежности всех элементов одинаковы, то вместо формулы (Ц)
имеем
Р^1-(\-Р0)п.
(12)
Надежность системы оказывается здесь выше, чем надежность лю_
бого из ее элементов. Пусть, например, п = 2, Р0 = 0,99. Тогд^ на_
дежность системы составляет Р = 0,9999. Способ повышения н^деж.
ности путем параллельного подключения дублирующих элем^нтов
широко применяется повсюду. В теории надежности этот способ на_
зывается резервированием. В радиотехнике и электронике при Этом
говорят о «горячем резервировании» (в отличие от более экономичного
«холодного резервирования» , при котором резервные элементы
чаются в работу только в том случае, если происходит отказ рабо^аю_
щего элемента).
Принимая, что надежность каждого из элементов подчин ^тся
экспоненциальному закону (4), вычислим по формуле (6) среднюю Дол_
говечность системы. С учетом формул (4), (6) и (12) получим
оо
<г>=$[1-(1-е“х')1dt.
0
Интеграл в правой части вычисляется при помощи подстановки


В самом деле, интеграл приводится к виду
о
откуда после интегрирования находим
Пусть, например, п = 10. Тогда по формуле (13) <Г> = 2,929 <Г0>.
Аналогично вычисляются надежность и долговечность систем при
более сложном взаимодействии элементов. На рис. 39, в показана блок-
схема общего резервирования, в которой каждая из подсистем дубли­
руется п раз. Формула для надежности системы имеет вид
Способ образования системы, показанный на рис. 39, г, носит на­
звание раздельного резервирования. При этом каждый из элементов
дублируется п раз, после чего подсистемы соединяются последователь­
но. Надежность системы вычисляется как
Б литературе по теории надежности [41, 65, 95, 120] уделено боль­
шое место методам вычисления надежности систем при различных спо­
собах взаимодействия элементов, способах резервирования и т. д.
К другим задачам теории надежности относятся формулировка прин­
ципов синтеза систем, обладающих заданной надежностью, разработ­
ка методов повышения надежности и долговечности, определение эко­
номически обоснованных нормативных значений надежности и долго­
вечности, обоснование методов контроля качества и методов испытаний,
обеспечивающих заданный уровень надежности, обоснование методов
индикации и профилактики отказов и т. д.
В подавляющем большинстве работ по теории надежности почти
не затрагиваю тся те механические, физические и химические явления,
которые являю тся причиной отказов. Изменение надежности элемен­
тов системы во времени обычно постулируется в форме некоторых ста­
тистических гипотез; при этом предполагается, что в дальнейшем эти
гипотезы подвергаются надлежащей экспериментальной проверке.
Применительно к радиоэлектронным устройствам такой путь может
быть оправдан. В самом деле, эти устройства состоят из большого числа
т
р=п [1-(1-рА)"].
§ II 1.3. Основы общей теории надежности


элементов массового производства, типы которых ограничены, а усло­
вия работы относительно однородны. Однако даже при анализе надеж­
ности радиоэлектронных устройств было бы весьма целесообразным
более тщательное изучение тех факторов, которые вызывают сниже­
ние надежности и долговечности. Это направление только еще начи­
нает развиваться. Имея его в виду, говорят о технической, физичес­
кой и тому подобной теории надежности (в противовес математичес­
кой, или формальной теории). Однако это противопоставление лишено
смысла. Включение в теорию надежности физических аспектов озна­
чает расширение ее понятий, методов и области приложения. Сущест­
вующая теория является лишь одним из разделов общей теории, в ко­
торой наряду с формальным описанием отказов обсуждается также их
физическая природа*.
Следует отметить, что разработка вопросов надежности сооруже­
ний и конструкций с самого начала пошла по иному пути. Совершенно
очевидно, что надежность и долговечность конструкций целиком опре­
деляется взаимодействием между внешней средой, с одной стороны,
и свойствами конструкции — с другой. Весьма сложный Характер
этого взаимодействия, а также взаимодействия элементов между собой,
лишает возможности ограничиться понятиями и методами математи­
ческой теории надежности. С другой стороны, хорошо разработанный
аппарат строительной механики, теории упругости, теории пластич­
ности и теории колебаний, распространенный на стохастические зада­
чи, позволяет получать достаточно адекватное описание стохастичес­
кого поведения конструкции.
Уже в ранних работах [102, 108, 128], посвященных статцстичес.
кому истолкованию коэффициента запаса, мы находим способы оцен­
ки надежности, в которых явно присутствуют характеристики нагру­
зок и прочности конструкции. Эти работы по существу яцляются
хронологически первыми шагами по пути создания общей теории на.
дежности. Однако в указанных работах использовался аппарат элемен­
тарной теории вероятностей и полностью игнорировался факт0р Вре.
мени, который столь существенно входит в понятия надежности и дол.
говечности.
Разр аботка теории надежности конструкций, основанной Нц пред­
ставлении поведения конструкции в виде случайного процесса, а Пре„
дельного состояния — в виде случайного выброса из области Допусти­
мых состояний, началась около десяти лет тому назад. В 1959 ^ gb а
опубликована работа автора [12], посвященная расчету сооруженид
на действие сейсмических нагрузок. В этой работе впервые б ь ц0 UQr[_
ностью осуществлено комплексное описание задачи надежности, вк^ 0.
чая вероятностное задание внешних воздействий, схематизац^ю си.
стемы, решение задачи статистической динамики для этой сцстеМы
оценку вероятности безотказной работы системы и осредненц^ ЭТо«
вероятности по множеству воздействий и систем. У казанн ая Концеп-
* Сотсков Б. С ., Основы теории и расчета надежности элементов и уе-.
••
автоматики и вычислительной техники. «Высшая школа», 1970.
Р ств


ция нашла развитие в книге автора [14], первое издание которой вышло
в 1961 г. Остальное содержание данной главы будет посвящено систе­
матическому изложению теории с более общих позиций.
Рассмотрим поведение некоторой системы при внешних воздейст­
виях. Уравнение системы возьмем в общем виде
Lu=q,
(14)
где q — элемент из пространства входных параметров Q; и — элемент
из пространства выходных параметров U; L — оператор системы (см.
общие соображения из § 1.1). Пространство U выбирается таким обра­
зом, чтобы при помощи его элементов и 6 U можно было полностью
охарактеризо вать любое состояние системы. А именно, каждому состоя­
нию соответствует элемент и £ (/. При изменении параметра времени
t одно состояние переходит в другое. Эволюция состояний описывает­
ся функциями и ( /) ; их геометрическим образом служат траектории в
пространстве состояний U.
Введем теперь пространство V для описания качества системы.
Пусть каждому качеству системы соответствует элемент v ( V; при
этом время t играет роль параметра. Каждой траектории и(^) в про­
странстве U соответствует некоторая траектория \(t) в пространстве
качества V. Связь между элементами этих пространств и траектория­
ми в них дается операторным соотношением
v=/Ии.
(15)
Оператор М может быть, в частности, тождественным оператором. В
некоторых слу чаях пространство V оказывается подпространством от
U. Вообще говоря, переход от пространства состояний к пространству
качества является нетривиальной операцией.
Множество состояний системы, допустимых с точки зрения качест­
ва, образует в пространстве качества V область допустимых состояний
SV Граница области П0 соответствует предельным состояниям. Эту
границу будем называть предельной поверхностью и обозначать через
Г. Если v 6 П0»то это означает, что параметры качества системы сохра­
няются в установленных допусках. Пересечение траекторией v(/) пре­
дельной поверхности Г в направлении внешней нормали соответствует
отказу системы Введенные понятия приобретают особую наглядность,
если система является дискретной. Тогда пространства Q, U и V суть
эвклидовы пространства. На рис. 40 представлены траектории q(/),
u(/) и v(/) для случая, когда пространства Q, U и V являются эвкли­
довыми трехмерными пространствами. Некоторые более конкретные
примеры будут приведены ниже.
Пусть внешнее воздействие q(/) и (или) оператор системы L яв л я­
ются стохастическими. Тогда траектории \(t) в пространстве качества
V будут такж е стохастическими. Отказ интерпретируется как случай­
ное пересечение траекторией v(t) предельной поверхности Г (или как
случайный выброс элемента из области допустимых состояний). Функ


ция надежности определяется как вероятность пребывания элемента
v (t) в допустимой области Q0 в течение интервала 0 ^ т ^ /:
/>(/)= P[v(x) 6Й0; 0<т</].
(16)
Итак, сформулирована общая схема вычисления надежности с уче­
том физических, технических и эксплуатационных аспектов. Эта схе­
ма слагается из четырех этапов. Первый этап сводится к схематизации
системы и внешних воздействий на нее, т. е. к выбору пространств Q
и U. Тем самым вводится оператор L. Второй этап состоит в определе-
Рис. 40
нии стохастического поведения системы при случайных воздействиях.
При этом задача сводится к решению стохастического уравнения (14).
Согласно нашей терминологии — это задача статистической динамики
Третий этап заклю чается в выборе пространства качества V и области
допустимых состояний £20. Этот выбор делается на основании технико-
экономических соображений с учетом технологических, эксплуата­
ционных и тому подобных требований и существенно неоднозначен
Одним из важнейших факторов
влияющих на выбор пространСтВд
V, является стремление к разум­
ному компромиссу между степе11ью
подробности при описании cj,CTeMb[
И ОТНОСИТеЛЬНОЙ ПРОСТОТОЙ в Ыццс .
лений. Наконец, на посдедНем
этапе (если задача носит по|!ероч.
ный характер) определяется фуНк.
ция надежности P(t) как дополне­
ние до единицы вероятности случайного выброса за пределы допусти­
мой области й 0. Таким образом, функция надежности P{t) определяет.
ся как результат учета ряда факторов: внешней среды, свойств систе.
мы, технологических, эксплуатационных и т. п. требований.
Выбор пространства качества V и области допустимых сост0яН1[]»
Q0 поясним на нескольких простых примерах из строительной д1еХа.
ники. В качестве первого примера рассмотрим нагружение стер>КНя
т
QltI


осевой силой Q(t) (рис. 41). Если сила Q действует квазнстатически, то
внутренняя осевая сила N h=Q может быть принята за параметр состоя­
ния системы. Далее, пусть условие безотказной работы (условие проч­
ности) имеет вид
- R<N(t)<R,
где R — некоторое предельное значение осевой силы. Тогда силу N(t)
можно принять и за параметр качества системы. Пространство V будет
при этом одномерным эвклидовым пространством, т. е. прямой — оо ■-<
<N
оо , а область допустимых состояний Q0 — отрезком этой
прямой. Функция надежности определяется по формуле (16):
P(t)=P[-R<N(x)<R-,
0<х </].
(17)
Иначе можно написать
Р(/)= Р [sup|W(т)|< Я],
(18)
o<t<f
где sup | N(т) | — верхняя грань значений функции N(x) в интерва­
ле0
х ^ t. Если область допустимых значений несимметрична от­
носительно начала координат, например,
нижнюю границу образует критическое значение сжимающей силы
для консоли), то вместо (18) следует взять формулу
Р(/)=Р[supN(x)<R, infМ (т)>-^
-
|.
(19)
Lo<T<<
<Кт<<
4ia J
Здесь inf N(x) — нижняя грань значений функции N(x) в интервале
О<т<г.
Заметим, что предельное значение силы может быть функцией вре­
мени R(t). В самом деле, прочность некоторых конструкций изме­
няется во времени под действием физических, химических и тому по­
добных процессов. П ри этом может иметь место как упрочнение, так
и разупрочнение, причем прочность R(t) может быть случайным про­
цессом. Определения функции надежности в форме (17) и (18) остаются
при этом в силе. При желании можно выбрать параметры качества си­
стемы таким образом, чтобы граница Г области Q0 была стационарной
и детерминистической. Пусть, например, условие безотказной работы
задано в виде
vjt) <v(t)< v, (<),
где vtt(t) <. О и v4(t) > 0 — случайные функции времени (рис. 42, а).
Переходя к новым переменным
Vi = v,(t)— v(t); v2= v(t)— v„(t),
получим следующие условия: vx > 0, t>2 > 0. Мы видим (рис. 42, б),
что область допустимых состояний представляет собой первый квад-


рант на плоскости vu v2. Существенно, что сделанное преобразование
связано с переходом от одномерного пространства качества V к дву х­
мерному.
Рис. 42
В качестве второго примера рассмотрим вал круглого сечения, на­
груженный квазистатическими изгибающими моментами M x(t), M XJ(t)
и крутящим моментом M z{t) (рис. 43, а). Пусть условие качества со-
Рис. 43
стоит в том, чтобы ни в одной точке вала не появились пластические
деформации. Используем условие текучести Сен-Венана
j/cr2+ 4т2 <<г«,
где а — максимальное нормальное; т — максимальное касательное
напряжение в поперечных сечениях вала; а# — предельное напряже­
ние. Замечая, что
/ М2х+М2у' т= М,_
W
'
2W’


где W — момент сопротивления сечения при изгибе, получим следую­
щую область допустимых значений £20 в трехмерном пространстве Мх,
Му, Мг:
YMl-f-Му+ Мг < М*.
(20)
В правой части стоит предельное значение момента М* = о
До­
пустимая область представляет собой внутренность сферы с радиусом
М* (рис. 43, б). Функция надежности РЦ) определяется как
Р(0=--Р Г sup УМ\(т)+~Ml(т)+ М\(т)< мАJ (21)
Если принять за параметр качества приведенный момент
м г= У M'i+Ml+M'i,
то пространство качества V становится одномерным. Область возмож­
ных значений М Г— полупрямая (0 •< Мг < оо). Д л я определения
функции надежности вместо формулы (21) получаем
На этом примере мы видим, что можно выбирать по-разному простран­
ство V и область допустимых значений П0, сохраняя функцию надежно-
ти инвариантной.
Рассмотрим теперь балку, нагруженную т сосредоточенными си­
лами Qi(0> <3г(0» •••> Qmifl (Рис- 44, а)- Пусть балка является стати­
чески определимой, а силы прикладываются к балке квазистатически.
Будем считать состояние балки допустимым, если максимальное по
модулю значение изгибающего момента М(х, t) не превышает предель­
ного значения М *. Изгибающий момент М (х, t) является кусочно-ли­
нейной функцией координаты. Таким образом, его максимальное по
модулю значение достигается в одном сечении, которое находится под
силами (или, может быть, в одном из опорных сечений). Во всяком слу-


чае для расчета балки на прочность достаточно знать значения изги­
бающего момента М(х, /) в конечном числе сечений. Обозначим эти зн а­
чения через уИ1(/), Л42(/), . . . , М п{1). Связь между моментами и внешними
силами осуществляется при помощи линейного преобразования
т
Mj(t)= 'E i\JkQk(t)
(23)
k=1
(/= 1,2,
я),
которое можно рассматривать как реализацию операторных соотпо
шений (14) и (15). Д л я пространства качества V следует взять
я-мерное эвклидово пространство моментов Мъ М 2, .. ., М п. Область
допустимых состояний £20 задается неравенствами:
—
(24)
- М ,<Мп(0<М,,
т. е. представляет собой л-мерный куб в пространстве моментов
(рис. 44, б). Функция надежности вводится согласно формуле (16) как
^(0=р[—M ,<Mj(t)<M,; /=1,2,..., п; 0<т
/]. (25)
Приведем еще две эквивалентные записи формулы (25):
P(t) —Pf sup макс| Л4; (т) | < Л4„];
( 26)
Р(Л = РГмакс sup |Mj(x) \<.MJ .
L/
J
Согласно первой формуле, в каждый момент времени т выбирается мак­
симальное по модулю значение среди моментов М^т), УИ2(т),
М п(х).
Затем из найденных значений, соответствующих интервалу времени
О < т < /, образуется новое множество. Функция надежности опреде­
л яется как вероятность случайного события, состоящего в toivi, Что
верхняя грань этого множества не превышает предельного значения УИ
Иначе интерпретируется вторая формула (26). Здесь вначале для каж­
дого из сечений находятся верхние грани моментов при 0 < т < ^ за­
тем из найденных значений выбирается наибольшее, которое сравни­
вается с предельным значением. Оба способа, очевидно, эк вив ал енты .
Для аналитической обработки удобнее первоначальная форма (25).
Четвертый пример явл яется некоторым видоизменением предыду­
щего, третьего примера. Пусть внешняя нагрузка распределена не­
прерывно по длине балки и пусть ее интенсивность q(x, t) является слу­
чайной функцией координаты х и времени t (рис. 45). При квазист^ти-
ческом нагружении изгибающий момент М(х, t) связан с интенсив­
ностью нагрузки q{x, t) уравнением
dm
дх2


Это уравнение вместе с соответствующими граничными условиями мож­
но тр актовать как реализацию операторных уравнений (14) и (15).
Допустимые состояния находятся из условия, что
макс |М(л:, О|< М. ,
(28)
O^x^l
а формула для вычисления функции надежности принимает вид
Р(t)=РГ sup макс|М(х,т)I< ЛМ.
(29)
Для сохранения введенной выше геометрической интерпретации
мы должны выбрать соответствующее функциональное пространство.
В данном случае пространство качества V представляет собой множество
функций M(x,t), удовлетворяющих
уравнению (27) при произвольных непре­
рывных функциях q(x,t)\ время t рас­
сматривается при этом как параметр.
Иначе говоря, элементами пространства
V будут случайные функции M(xJ),
заданные на отрезке 0 ^ х ^ /, дважды
диффер енцир уемые и удовл етвор яющие
граничным условиям, которые соответ­
ствуют уравнению (27). Введем в про­
странстве V норму
||М (х, t)||= макс \М(х, t)|, (30)
которую можно интерпретировать как «длину» элемента M(x,t). Ус­
ловие (28) принимает вид
|| М(х,Щ<М..
Это условие может быть интерпретировано как требование того, чтобы
элементы М(х, t) находились внутри сферы радиусом М*. Таким об­
разом, допустимая область £20 представляет собой сферу в функцио­
нальном пространстве с нормой (30). Формула (29) переписывается
в виде
Р(/)=РГ sup \\М{х,т)||< МЛ.
J
Функционально-аналитическая трактовка позволяет описать в еди­
ных терминах постановку задач надежности как для дискретных, так
и дл я распределенных систем. Фактические вычисления функции на­
дежности для распределенных систем требуют развития теории случай­
ных выбросов пространственно-временных случайных процессов и
случайных полей1.
1 Заметим, что при решении многих практических задач надежности для рас­
преде ленны х систем мож но ограничиться рассмотрением конечномерных эвклидо­
вых пространств качества. Принимая за параметры качества значения напр яж е­
ний, перемещ ений и других факторов в конечном числе заранее выбираемых точек
п оля, мы приде м к конечномерному простр анству. Чем больше число взятых то­
чек, тем полнее описывается качество системы и тем точнее будет оценена ее на­
дежность.


Определение функций Надежности Согласно формуле (16) основано
на допущении, что отказы не различаются по степени их опасности,
по размеру связанного с ними ущерба и т. п. Обобщение формулы (16)
на случай, когда делать такие различия необходимо, требует рассмот­
рения экономического аспекта надежности и долговечности.
Как и ранее, выделим в пространстве качества V допустимую об­
ласть £20, а остальную часть пространства разобьем на области Qb
Q2, ...,
которые различаются характером отказов. Чтобы учесть
различие отказов по степени опасности, по ущербу и т. п ., припишем
каждой области Qa весовой коэффициент ha. Чем более опасен отказ,
тем должен быть больше сооответствующий весовой коэффициент. В
совокупности весовые коэффициенты должны быть соответствующим
образом нормированы. Вместо вероятности отказа
N
Q(t)=2 Р[V(т)б&аI0 т</]
а=1
введем взвешенную величину
N
Qh(0=2 haР[V(т)б ;о<т<*]•
а=1
Эта величина, вообще говоря, утрачивает смысл вероятности; ее можно
истолковать как некоторую меру суммарных потерь, связанных с ут­
ратой качества. Весовые коэффициенты ha пропорциональны ущербу,
вызванному отказом соответствующего типа. Обозначая этот ущерб
через Са , мы получим выражение для математического ожида­
ния суммарного ущерба к моменту времени t:
N
<С(/)>= 2 С„р [V(т)б ;0< Т< /].
а=1
Заметим, что р азбивка пространства V на области Q0, Qb
£2дг не обязательна. Более корректный подход состоит во введении в
каждой точке пространства V и для каждого момента времени t пла­
тежной функции c(v, /), равной ущербу в единицу времени при усло­
вии, что система находится в данной точке пространства V Математи­
ческое ожидание суммарного ущерба определяется при этом как
t
<C(t)y = ^dT^c(v, т)p(v, т)dv.
оv
Здесь р( \ , T)dv — вероятность обнаружить систему в момент времени
т в элементарном объеме d\.
Используя введенные выше понятия, можно сформулировать раз­
личные экономические подходы к проблеме надежности. Наряду с ма­
тематическим ожиданием ущерба от отказов в экономические расчеты
должны войти начальная стоимость системы, сумма эксплуатацион­
но


ных расходов, математическое ожидание прибыли за время Эксплуата­
ции системы в допустимой области и т. п. Некоторые соображения, ка­
сающиеся экономического аспекта надежности конструкций, были при­
ведены в нашей статье [22].
§ II 1.4. Метод условных функций надежности
Как уже указывалось выше, область допустимых значений может
быть стохастической. Наибольший интерес представляют случайные
изменения этой области при переходе от одного элемента ансамбля
систем к другому. Если стохастические свойства системы могут быть
охарактеризованы конечным числом случайных параметров, то задачу
определения функции надежности целесообразно решать в два этапа.
На первом этапе рассматривается система с фиксированными парамет­
рами, для которой строится функция надежности. Эта функция пред­
ставляет собой, по существу, вероятность пребывания системы в допу­
стимой области при условии, что параметры системы фиксированы.
По аналогии с условной вероятностью будем называть найденную функ­
цию условной функцией надежности. На втором этапе применяется
формула полной вероятности и вычисляется функция надежности для
наугад выбранной системы, принадлежащей данному ансамблю. Опи­
санный метод будем называть методом условных функций надежности.
Обозначим параметры системы через ги г2, . . . , га и будем считать,
что совместная плотность вероятности р(г) компонентов вектора г =
— (ги г2>■■■>га) задана. Рассмотрим один из элементов ансамбля с фик­
сированным вектором г. Реакция этого элемента u(/|r) на случайное
внешнее воздействие q(t) ищется как решение стохастического урав­
нения типа (14) с оператором L, зависящим от параметров системы.
Обращая оператор, найдем
u(/|r) = #(r)q(0.
(31)
Здесь Я = L-1
.
Далее согласно соотношению (15) перейдем к пара­
метрам качества системы. Оператор М при этом также зависит от ком­
понентов вектора г. После того как стохастические характеристики
параметров качества
v (/|г) = Л4(г)и(/|г)
(32)
вычислены, находим условную функцию надежности как вероятность
пребывания выбранного элемента ансамбля в соответствующей ему
допустимой области:
Л>(^Iг)= Р[v(т|г)бQ0(г); 0< т< /].
(33)
Функция надежности для ансамбля в целом определяется по форму­
ле полной вероятности:
= 1 $Po(t\r)p(r)dr.
(34)


Поскольку свойства системы, как правило, являются случайными,
то целесообразно объединить оба подхода. Вообще говоря, случайные
параметры rlf г2, ...» га и
s2,
sp стохастически зависимы. Обоз­
начим их совместную плотность вероятности через р(г, s). Выбрав один
из элементов системы, найдем его реакцию на одну из реализаций внеш­
него воздействия. После перехода к параметрам качества определяем
условную функцию надежности
Ро(*|Г, s)=P[V(тIг, s)6Qo(Г); 0< т< /].
Формула дл я полной надежности
Р(0 = $ lPo«\г>s)р(г, s)drds
(38)
является обобщением формул (34) и (37).
Рассмотрим один частный случай формулы (38). Пусть внешнее
воздействие представляет собой однократное квазистатическое нагру­
жение от нуля до некоторого случайного значения, характеризуемого
совокупностью параметров slt s2, . . . , sp. Будем считать, что система
находится в области допустимых состояний Q0, если выполняется
некоторое неравенство, связывающее параметры системы rlf г2, . . . , га и
параметры воздействия sv s2,
sp:
¥(г, s)>0.
(39)
Если указанные параметры фиксированы, то условная надежность
оказывается равной либо единице, либо нулю в зависимости от того,
выполняется или не выполняется неравенство (39). Таким образом,
условная надежность определяется как
Ро=
1,если¥(г,s)>0;
0,если¥(г,s)<0.
По дставляя это выражение в формулу (38), получаем полную надеж­
ность
Р=5
^р(г, s)drds.
а.
Смысл этой формулы состоит в том, что надежность вычисляется как
вероятность попадания в область Q0, заданную неравенством (39). Н а­
пример, если свойства системы характеризуются одним параметром
прочности R, а свойства нагрузки — одним параметром 5 , то формула
принимает вид
Р = §Р(Ъ S)dRdS.
(40)
а„
Формула (40) соответствует ранней трактовке понятия надежности
конструкций. Эту трактовку мы находим в работах Н. С. Стрелецкого
[108], А. Р . Ржаницына [102] и А. Фрейденталя [128].


Остановимся подробнее на одном частном случае формулы (40).
Следуя А. Р . Ржаницыну [102], будем считать, что R ^ 0, S ^ 0, а
условие безотказной работы (39) имеет вид
V=R-S>0.
Вероятность попадания в область, где это условие выполняется
(рис. 46), составляет
оо
R
P= \dR fp(R, S)dS.
Оо
Эта вероятность вычисляется особенно просто, если допустить, что
параметры R и S независимы и подчиняются нормальному распределе­
нию. Положим, что
p(R)= —±
—
exp---- —~
</?>)2 1 ;
V 2Л<Т
9fT2
R
L
Z(JR
р(5)= - > exp[_J5z^>)L],
Т 2яст5
2о|
(/?-</?>)* ~
Ч
(s-<s>)2 1
где а/? и as — квадратные корни из дисперсий параметров
иS
(рис. 47). Случайная величина ¥ = 7? — 5 также будет распределе­
на нормально, т. е.
p('F) =
1
У гястф.
(У—<\r» « -I
2a|r J’
причем параметры этого распределения будут
<Y> = </?>-<S>;
^ =о%+о
Замечая, что в данном случае
оо
P= POF>0)=$ p(¥)d¥,
о


получим окончательно следующую формулу для гауссовского уровня
надежности
_
<R> — <S>
У«я+°1
Исключительная простота расчета достигнута благодаря далеко
идущим допущениям. К ним относится, например, допущение о том, что
параметр R подчиняется нормальному распределению. Очевидно, что
это допущение противоречит природе параметра прочности R. Основ­
ной ж е недостаток элементарного подхода состоит в игнорировании
фактора времени. Эксплуатация конструкций развертывается во вре­
мени и поэтому их надежность является функцией времени. Именно
неучет этого обстоятельства послужил причиной того, что ранние пред­
ложения по расчету надежности конструкций оказались неудач­
ными.
Применим формулу полной надежности (38) для оценки надежнос­
ти и долговечности в случае, когда причиной отказа является накоп­
ление усталостных повреждений в конструкции. Стохастический х а­
рактер отказов при усталостном повреждении имеет три источника [14].
Во-первых, процесс накопления повреждений в каждой конкретной
конструкции является случайным процессом, если даже процесс изме­
нения напряжений является чисто детерминистическим. Во-вторых,
внешние воздействия носят случайный характер. В-третьих, сопро­
тивление конструкции усталостным повреждениям существенно изме­
няется при переходе от одного экземпляра конструкции к другому.
Как известно, разброс долговечности при усталостных испытаниях
весьма велик. Максимальная долговечность может превышать мини­
мальную на два-три порядка и даже больше. Этот разброс наблюдается
даже при испытаниях на детерминистические циклические нагрузки.
Его основная причина состоит в том, что усталостная долговечность
весьма чувствительна к малым изменениям параметров прочности кон­
струкции, а эти параметры изменяются случайным образом в ансамбле
конструкций.
Рассмотрим один из элементов ансамбля конструкций с параметра­
ми прочности ги г 2, ... га . Пусть этот элемент подвергнут действию цик­
лических нагрузок с параметрамиsu s2, ... . Sp. Долговечность конструк­
ции при этих условиях (условную долговечность) обозначим через
Т(г, s). Вообще говоря, условная долговечность является случайной
величиной. Но по сравнению с изменчивостью долговечности, обус­
ловленной переходом от одной конструкции к другой или от одного
типа нагрузок к другому, разброс условной долговечности можно счи­
тать пренебрежимо малым. Тогда дл я плотности вероятности условной
долговечности можно принять выражение
р(Т|г, s) —б[Т—ТДг, s)l.
Здесь Г (г, s) — характерное значение условной долговечности (на­
пример, ее математическое ожидание). Д л я условной функции надеж-


Рассмотрим вначале следующую простейшую задачу. Пусть v(t) —
непрерывный и дифференцируемый случайный процесс с заданной
совместной плотностью вероятности p(v, v; t) процесса v(t) и его про­
изводной v{t). Процесс v(t) может быть нестационарным; поэтому плот­
ность вероятности p(v, v; t), вообще говоря, зависит от t как от пара­
метра. Из области возможных значений v(t) возьмем некоторое детерми­
нированное постоянное значение
и подсчитаем среднее число пере­
сечений процессом v(t) уровня v0.
При этом необходимо различать пе­
ресечения, дл я которых производ­
ная v > 0 (рис. 48) и для которых
v <с 0. Первый тип пересечений
будем называть положительным,
второй
тип — отрицательным.
Среднее число положительных пе­
ресечений уровня v„ в единицу
времени будем обозначать через
v+
t)\ а среднее число отрицательных пересечений — через
v _ (рф; t). Среднее число пересечений за неперекрывающиеся проме­
жу тки времени обладает свойством аддитивности. Поэтому среднее
число N+(v^\ 0 ^ т < ; /) положительных пересечений уровня ифза
время0<т
t связано со средним числом положительных пересе­
чений в единицу времени v + (иф\ t) соотношением
t
iV+(y*; 0<т
t)=$v+(vt;т)dr.
о
Аналогично дл я отрицательных пересечений имеем
(43)
JV-(v^;0<т</)=5v_(v^yт)dx.
Если процесс v(t) стационарный, то
v+(0*)=v-Ю -
(44)
(45)
Для нестационарных процессов соотношение (45), вообще говоря, не
имеет места.
Нетрудно установить связь между средним числом положительных
пересечений в единицу времени и совместной плотностью вероятности
p(Vy v; t). Рассмотрим достаточно малый интервал времени А/. Обозна­
чим через
At) вероятность того, что за время At произойдет одно
положительное пересечение уровня иф, через P2(v/> А/) — вероятность
того, что за время At произойдет два положительных пересечения и
т. д. Среднее число положительных пересечений за промежуток вре­
мени At определим как
оо
N+(vt;г<т</+Л/)= S kPh(vt;А/)-
(46)
k=1
7 Зак. 1481
177


При достаточно малых Д /и ординарном потоке пересечений имеем:
Л/)-О(ДО;
(47)
ДО-о(ДО; (*>2).
Среднее число положительных пересечений за единицу времени нахо-
дчм согласно предельному соотношению
N+(о»: < т /+д/)
v+(y,; /)= Пт
Д(-*0
Д<
Учитывая формулы (46) и (47), можем
написать
v+(w,; 0 ---Пт —1 А/)
(48)
д(->о
At
Таким образом, задача сводится к
события, состоящего в том, что за ма­
лый промежуток времени Д/ произойдет
одно положительное пересечение уровня
уф. Эту вероятность выразим через совместную плотность вероятности
p(v, у; /). Пусть точка пересечения разбивает интервал At на два ин­
тервала Дti и Д/2 (рис. 49). Вычислим вероятность случайного события
/Меф; Д()-Р
— д <у(т)<у»+Ду2;
у> 0;
(<т<Н-Д(-
Нетрудно найти, что
о
At)- J
^
Р (у. /)йи + о(Д().
С
Далее, замечая, что
f
s-Avt
Д(,Н-Att= Д/;
ДУ|+ Даг= ^(()Д(+ о(ДО,
получим
Д()=Д(|)р(у*, у; ()udw+ o(Д/).
о
Подставим найденные выражения в формулу (48). Производя предель­
ный переход, придем к окончательной формуле
оо
v+(t>*;0=$Р(г>*. у;
о


Среднее число положительных пересечений за время 0 < т < t опре­
деляется согласно формуле (43)
Iоо
N+(vt\ 0< т <0-= $ dT p(vt, у; x)vdv.
(50)
о
о
Для стационарного случайного процесса
AM"*; 0<т<0 =v+(o,)/.
(51)
Аналогично выводятся формулы для среднего числа отрицательных
пересечений. Не останавливаясь на подробностях, выпишем формулу
для среднего числа отрицательных пересечений в единицу времени
0
V-(и,; 0= 5р(v*>
*)Нdv-
(52)
Как известно, совместная плотность вероятности для стационарного
случайного процесса и его первой производной обладает свойством
РН v)=p(у, —и).
Отсюда с учетом формул (49) и (52) приходим к соотношению (45).
В качестве простейшего примера вычислим среднее число пересе­
чений v+ (vj для стационарного гауссовского процесса. Д ля такого
процесса
p(v, у) = Pi(p)p2( у),
(53)
где
р,(у)= —7= — ехр
F1V' У2яа0
(v —a)2
2аi
=
(-S ’)
V
'
V
(54)
Здесь а — математическое ожидание процесса v{t)\ ol — его диспер­
сия; о\ — дисперсия производной v(t). Если задана спектральная
плотность процесса S y(co), то указанные дисперсии выражаются через
нее следующим образом:
o l = ^ Sv((o)d(ti] а 2 = 5„(со)со2^(о.
—
О
О
-
ОО
Подставим выражение (53) в формулу (49):
оо
v+(y,) = Pi(v*)$ Рг( у) vdv.
(55)


Sехр 2а?
vdv ~ о2,
получим
а.
V-|-(у*)^^г~ехр
2nav
(у*— а)2
Введем обозначение
ГS v (со) co2rfco
С S* (со) dco
о
1/2
(57)
Параметр со,,, имеющий размерность сек_1, будем называть эффектив­
ной частотой процесса v(t). Если процесс v(t) — узкополосный с не­
сущей частотой оз0, то по теореме о среднем
J Sv(со)со2с/со ж оз“ ^ Sv(оз) dco.
о
о
Таким образом, дл я узкополосного процесса эффективная частота оз()
практически совпадает с несущей частотой оз0. С учетом обозначений
(57) формула (56) принимает вид
/\(0р
V+(f*) = ^rreXP
(V*—д)2
(58)
Заметим, что среднее число положительных пересечений среднего
уровня
= а составляет
v+W-ff .
(59)
Отсюда видно, что эффективная частота со,, может быть интерпретиро­
вана как средняя частота положительных пересечений среднего уров­
ня процесса.
Рассмотрим теперь несколько более сложный пример. Пусть про­
цесс по-прежнему является гауссовским, однако не является стацио­
нарным. К необходимости рассматривать процессы этого типа мы при­
ходим, например, в статистической теории сейсмостойкости [12], в ко­
торой сейсмическое воздействие схематизируется в виде нестационар­
ного гауссовского процесса. Другим примером может служить задача
о пересечении стационарным гауссовским процессом нестационарного
(детерминированного или случайного) гауссовского уровня. Пример
такого рода был недавно рассмотрен А. С. Гусевым [45].


Пусть совместная плотность вероятности для процесса и его произ­
водной имеет вид
exP(-2irb-,
(V — <И>)2
2р(у—<ti>)(v — <й>)
(ti — <ti>)2|
а?
(60)
Здесь сги(/) и а-, (/) выражаются через средние квадраты центрированно­
го процесса
v(t) = v(t)-(v(t)}
и его производной, т. е.
<*2Л0=<о*(0>; а|(0=<о*(0>-
Далее, р(/) — коэффициент корреляции между процессом н его про­
изводной в совпадающие моменты времени
Р(7)=
=
-
—
(
6
1
)
V <»*(<)>< «2(<)>
Указанные функции легко выражаются через корреляционную функ­
цию процесса v(t) в несовпадающие моменты времени, т. е. через функ­
цию
K(t1,*2) = < °(Ф(*2)>-
Эти соотношения имеют вид
ol{t) = K(t, 0;
dt2
дКУиЬ)
dt2 tx=/,=t
(62)
Подсчитаем среднее число пересечений v+ (0; /) уровня
= 0(пе­
реход к другим уровням осуществляется простым преобразованием
исходного процесса). Подставим выражение (60) в формулу (49) и про­
изведем необходимые вычисления. С использованием тождества
1-Р2
<и>2 , 2р <и>( v—< v)) , (v—(v))2
9”
•
1.9
<a>2 ,
,
Р<”>
гг2
I1_Л2
-------- ^ ---------------Г
гг


резул ьтат подстановки принимает вид
1
v+(0; /):
2яOvG.У1—р2
ехр
<у>2\
К)
X
х (ехр--------!
----- —
-
J
2(1-р*Д
а-
О—<V>, Р<Ч>1.
yd о.
Для вычисления интеграла в правой части введем новую переменную
1 IV—\и>|р<v>
и-=
/1 -р*
В резуль тате формула дл я среднего числа Пересечений пепептиртга
следующим образом:
v+(0; t)
2лаГ1
ехр
т<>
>+
Р <V>
+ (Т.(/l-p2w.
Здесь обозначено
1((у/р<а>
da.
-
■j/l-p2
ст.,
Замечая, что
со
и2
1
Т"
^ие zdu=е
их
со
и2
§е 2du=Y2n [l—Ф(«х)]>
Hi
где Ф(и) — функция Л апласа, получаем окончательную формулу
v+;(0;t)=
ехр
2nav
<У>2
X
X| V 1—Р2ехр
1
/
<V>
р<0>\2
2(1-Р2) а.
+
а.
J___((v) р<ч>
кт^-р*
»•
(63)
Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (63). Пусть Heog.
ходимо найти среднее число положительных пересечений с та ь ионар.
ным процессом v(t) ненулевого детерминистического уровня
цс.


комоё число будет равно, очевидно, среднему числу положительных
пересечений нулевого уровня вспомогательным процессом
I*! —v vt.
(64)
Для этого процесса < а1> ^ р 0, откуда по формуле (63)
V+ (0)
2лаг
-ехр
<vo
Подставляя сюда значения
= (о)—v,, at,= av, a
= a-,
придем к выведенной ранее формуле (56).
Пусть v(t) — стационарный гауссовский процесс, а уровень о,(/)—
нестационарный гауссовский процесс. Если уровень и, (/) является
достаточно медленно меняющейся функцией времени, то вспомога­
тельный процесс (64) будет близок к стационарному процессу. Поло­
жим, что для этого процесса р ~ 0. Формула (63) принимает вид
v+(0; t)
a.
2лa.
exp
<Ul>2
2af,
exp —
(ti,)2
2a?
+
+\2n\Ul/>1—фI-
o.
(65)
При этом
2 2,2
o—a+о,
ГI-
Г*'
Г'.*<=+<
Приближенное выражение (65) было предложено А. С. Гусевым [45].
В качестве третьего примера рассмотрим пересечение центрирован­
ным нестационарным процессом v(t) постоянного уровня и*. Вводя
вспомогательный процесс (64) и полагая в формуле (63) (vl) = 0 t
—
= —и*, придем к выражению
V+ (о,;-О
У 1— р2ехр
+Y2л-^--ехр
О,и
2а,2
1-Ф
у 1-р2
( 66)
В работе А. Фрейденталя и М. Шинозука [129] была предложена
приближенная формула
V+(y*’
— р*еХр
.
,/к- IРIо.
(
+ у2л-------ехр -
2а,
1+
2а?
(67)


Эта формула может быть получена из точной формулы (66), если в по­
следней заменить квадратную скобку на единицу, а второе слагаемое
в фигурных скобках заменить его абсолютным значением. При этом
формула (67) дает для среднего числа пересечений (66) опенку сверху
§ II 1.6. Распределение экстремумов случайного процесса
Рассмотрим непрерывный дважды дифференцируемый случайный про­
цесс v(t) с заданной совместной плотностью вероятности p(v, у, у, t).
Зададимся вначале целью подсчитать среднее число экстремумов
процесса v(t) в единицу времени,
превышающих заданный уровень
и*. При этом будем различать сред­
нее число максимумов v MaKC(u+; /),
превышающих заданный уровень v.^
(рис. 50), и среднее число мини-
t мумов 'vMniI(y#; /), превышающих
этот уровень. Заметим, что общее
число максимумов vM4KC(— оо; /) и
общее число минимумов v MHII(— оо; /)
может быть найдено с применением формул из предыдущего параграфа.
В самом деле, суммарное среднее число максимумов можно най­
ти как среднее число отрицательных пересечений нулевого уровня про­
цессом v(t). По формуле (52) находим
о
vMaiiC(—
0= ЯР»(0, у;0Г»Uо,
(68)
—
оо
где p 3{v,v,t) — совместная плотность вероятности первой и второй про-
изводных процесса v(t). Аналогично, суммарное среднее число миниму­
мов процесса v(t) определяется как среднее число положительных пе­
ресечений нулевого уровня процессом v(t). Используя формулу (49),
получаем
00
vM1I1!(—00; 0 = $ Рз(о, у; t)vdv.
(69)
О
Если процесс v(t) — стационарный, то р 3(0, у) =з р 3(0, —у) и, следова­
тельно, vMaKC (— оо) = vMllII (— оо).
Переходим к выводу формулы для среднего числа максимумов, пре­
вышающих произвольный уровень у# из области возможных значений
процесса v(t). Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим достаточно
малый интервал времени At. Обозначим через Р х(у#; А/) вероятность
случайного события, состоящего в том, что в интервале At находится
один максимум процесса v(t), превышающий у*. Через Р 2(и*; А?) обо­
значим вероятность нахождения в интервале At двух максимумов и
т. д. Д ал ее выразим среднее число максимумов за промежуток ареме-


ни At через вероятности Ph(v^\ At). Учитывая, что вероятность обна­
ружить в достаточно малом интервале времени At два и большее число
максимумов является величиной более высокого порядка малости, по­
лучим формулу, аналогичную формуле (48):
\iaiu:
>0'
ИГЛ
д/-»о
р, (р«;
м
(70)
Теперь вычислим вероятность P^v*; At). Пусть момент времени,
соответствующий максимуму, разбивает интервал At на два интервала
Ati и Д/2 (рис. 51). Вычислим вероятность сложного события
Pi(v,; At) = P
п*—Ду^у(т)<;оо;
Av„^. у(т) ^Д ух;
у(т)<0;
/<т</+Д* _
Выражая эту вероятность через совместную плотность p(v, v, v; t),
находим с точностью до малых более высокого порядка:
0 Ду,
Рх(у*; Д/)= I dv I dvx
—СО Див
со
х §р(у, v, у;/)dv+ о(At).
V+—&V
Произведем в правой части пре­
образования с учетом соотно­
шений
Avx= —
+
Av2 = vaAt2-\~o(At)]
Аи = о(Дt)\ A tx~\- At2= Д/.
Тогда вероятность Р^и*; At) определится как
0
оо
Рх
Д0= —Д< j dv^р(у,0, v, t)vdv+o(At).
—
оо
Подставляя найденное значение вероятности в формулу (70), получим
окончательно
/
AV
///✓/
Т
— At-
\
\
Atf A
t
Рис. 51
V
умакс
(71)
Полное число максимумов в единицу времени найдем, полагая в
формуле (71) и* -э — оо. С учетом условия согласованности
оо
5 р(и, О, у; t)dv=p3(0, у; /)•
—
00


В правой части стоит совместная плотность вероятности p 3(v> v\ /)♦
при v == 0. Отсюда получаем ранее выведенную формулу (68). В силу
аддитивности среднее число максимумов за интервал 0 ^ т < / найдем,
умножая уМ11<с(ц*; т) на dx и интегрируя в пределах от 0 до /. Таким
образом,
t
NMam(v,i 0 < t< 0 = Sv«o.cc(V. T)dT-
(72)
О
Аналогично выводится формула для среднего числа минимумов,
превышающих уровень v#. Не останавливаясь на подробностях, выпи­
шем окончательные результаты:
t) =\dv\rp{v, 0, v)vd'v,
v0О
0 x</) = JvMII1I(t»,; т)dx.
(73)
(74)
Используя формулы (71) и (73), нетрудно получить распределение
экстремумов случайного процесса. Остановимся, например, на распре­
делении максимумов. Функция распределения максимумов Р М1ИС(и*; /)
представляет собой вероятность случайного события, состоящего в
том, что взятый наугад максимум окажется меньше, чем ц*. Эту ве­
роятность вычислим, относя среднее число максимумов, меньших, чем
у*, к полному числу максимумов в единицу времени:
Fмакс К; 0=
Умакс (—гс I 0—Умакс (v*
Умакс (
0
о
Плотность вероятности максимумов р макс(у*> t) определяется путем диф­
ференцирования функции распределения F M1KC(u#; /). Отсюда
Рмакс
0~
VMaKc (в*» О
Умакс (
0
(75)
(штрихом обозначается операция дифференцирования по v*). Анало­
гично плотность распределения минимумов находится как
Рмнн0
УмниК; 0
Умни( ^'*0
(76)
В случае узкополосного процесса дл я плотностей вероятности
Рмакс (y*i 0 и р мин (у#; /) могут быть получены приближенные фор­
мулы. Заметим прежде всего, что имеет место очевидное неравенство:
^макс(^*» 0 ^
0*
(77)


При этом превышение числа максимумов над числом положительных
пересечений происходит вследствие внутренних циклов, содержащих
минимумы, величина которых больше, чем v*.
Если процесс v(t) является узкополосным, то почти все его макси­
мумы л ежат выше математического ожидания <у), а вероятность об­
наружить внутренний цикл достаточно мала. Поэтому среднее число
максимумов узкополосного процесса, превышающих уровень и* > <v),
будет приближенно равно среднему числу положительных пересече­
ний этого уровня. Среднее число максимумов, меньших, чем матема­
тическое ожидание (v)t может быть приближенно положено равным
нулю. Отсюда приходим к соотношению
если
(v+«t»>, t), если
Подставляя это соотношение в формулу (75), получим следующую при­
ближенную формулу, применимую к узкополосным процессам:
Рмакс (^* ’ О
v+(yО
v+ (<t>>; t)
О,
, если
если
f.X »);
У* <<V).
(78)
Поскольку среднее число пересечений определяется проще, чем сред­
нее число максимумов, то приближенная формула (78) имеет неко­
торые преимущества.
Аналогичные упрощения можно ввести для плотности распреде­
ления минимумов. Вместо точной формулы (76) получаем формулу
Рмпп (^*> 0 ’
О,
если о, > (v);
vl(и;t)
(<t)>; t) ’ если
(79)
Применим полученные формулы для вычисления распределений
экстремумов стационарного гауссовского процесса. Без ограничения
общности можно положить, что а = <о> = 0 (переход к процессам,
дл я которых это условие не выполняется, сводится к замене уровня
v* на о* — а). Напомним прежде всего, что общее выражение для сов­
местной плотности вероятности п-мерного центрированного гауссовс­
кого вектора х1%х2, .... хп имеет вид
Р(X,, х2, ..., хп)
(2п)п/2у detК
ехр ---- 2
LJkXjxк
2 /Г,
Здесь К — корреляционная матрица с элементами
Kjk= (XjXh'),
LJk— элементы матрицы К- 1 . Чтобы составить выражение для трех­
мерной совместной плотности вероятности p(v, v, v), рассмотрим кор­


реляционную матрицу соответствующего трехмерного вектора V,
v, v:
К=
<М2>
<У*У>
<о*о> (v*v)
<М2> <V*V)
<v*v) <М2>.
Выразим элементы матрицы К через спектральную плотность S„((o)
процесса v(l). Замечая, что
• $) =('~ 1)мl‘,l+v s-И coM'v^°-
и используя обозначения предыдущего параграфа, включая обозна­
чение дл я эффективной частоты (57), получим
<у2>= сх2; <о2>= (о2 а2;
<у*у)= 0, <у*у>= — а>2а2.
Кроме того, введем обозначение
оо
<У2>= J
(й))СО4rf(0= р2СО*о».
Безразмерный параметр |3 является мерой широкополосности про­
цесса
\/ J*Sv(со)со4da JSv(a>)d<i>
Р=---°
со--------°--
-
-
-
-
-
-
-•
(80)
j S0 (со) со2dto
о
Для узкополосного процесса, энергия которого сосредоточена в части
спектра, лежащей около несущей частоты со0, параметр р близок к еди­
нице. С увеличением ширины спектра этот параметр возрастает. Как
мы увидим в дальнейшем, параметр р можно также истолковать как
отношение среднего числа экстремумов процесса к среднему числу
пересечений нулевого уровня.
С учетом сказанного выше корреляционная матрица К принимает
вид
ol
0
—
C02 (J2
к=
0
со2 а2
0
22
-
COgОи 0
р2со*а2.


Отсюда следует, что двумерный процесс v(t), v(t) стохастически не свя­
зан с процессом v(t). Таким образом:
р (v, v ,v)=p1{v, v)p2(v).
(81)
Совместную плотность вероятности pt(v, v) представим вначале в
виде
Pi(v, v) =
X exp
2ло
V
1
2(1 —Р2) 1«т;
------- X
-
Ра
2pvi> ,
0O''
Ь‘2
2
vv
av
(82)
Здесь р — коэффициент корреляции между функцией v(t) и ее второй
производной v(t) в совпадающие моменты времени. Нетрудно связать
этот коэффициент с параметром широкополосности (80):
Р=—
~
(83)
Для узкополосного процесса р
— 1. Этот вывод является естествен­
ным, если учесть, что узкополосный процесс мало отличается от си­
нусоидального процесса, для которого р = — 1. С увеличением ширины
спектра коэффициент корреляции р убывает по модулю. Выражая
ой- через 0 о и учитывая формулу (83), представим плотность веро­
ятности Pi(v, о) в следующей форме:
Pi (у.
______ 1
_______
2я/Г=Лй>е202„
ехр
P2d)ji»2-f2ш2 vo-\-i>2
2(р2—l)Wg ff„
•
(84)
Подставим выражения (71) и (81) в формулу (75). После несложных
преобразований получаем
о
J Pi(v*,v)\v\ do
РмаьсК;0= — о----—
—
•
(85)
| p(o)\v\dv
При этом
р (о)
У 2пNo%ov еХр [ 2р2ш*а2
Вычислим интеграл в числителе формулы (85)
v“
и
1
Pi
v)\v\dv =
2л j рг_1(о202 exp
2о;
(86)


где использовано обозначение
о
-
f
J(vJ= \ exp
.(»+“«О*
2 (Э2—l) col cr
2
e'-'v
Полагая
p+<P,
ft)2CT
£
Y p2-
перепишем интеграл в виде
=и;
гм do.
= «i,
/P2-la„
J=Y
\u>tov j (о, — j^p2— 1ovu) e 2 du.
Ho
«1 W2
Je 2d« = |А2яФ(hj);
u*
«*
f«e 2dw
откуда
J^=Yp2—1cogo^| P2—1exp •
2 (p2—l) o2
+
+
Фf-
<*v
\/P2-lOv
Далее, интеграл в знаменателе формулы (85) определяется к^к
[ р(о)|о|do= ^ e_^L.
J
Y2л
(87)
( 88)
Попутно можем найти полное среднее число максимумов в едцни.
цу времени. В самом деле, для стационарного процесса форц,уда (68)
принимает вид
у'
о
у макс (—00) = р2 (0) S p(o)|o|do,
—оо
где р 2(о)— плотность распределения производной, определ^^ад п0
второй из формул (54). Подставляя сюда формулу (88), находИ)у1
v
(— оо)=
vManc\
/2Л


Сравнивая эту формулу с формулой (59) для среднего числа положи­
тельных пересечений среднего уровня, получаем еще одну интерпре­
тацию параметра 0:
Умакс ( — <*>)
у+ (°)
(90)
Возвратимся к формуле (85). Подстановка сюда выражений (86),
87) и (88) после небольших преобразований дает:
РмакЛу»)^- = --- КР2
V2лра*
(кР2-1ехр[.
p'V
2(p2-lK J
, 2я—exp(— ^
) Ф ( -------— -------) J•
+
(91)
Формула (91) была впервые получена Райсом [99].
Пусть параметр (3 достаточно близок к единице. Тогда первое сл а­
гаемое в фигурных скобках формулы (91) будет достаточно мало по
сравнению со вторым. Во втором же слагаемом можно положить
Ф
если
если
н,>0;
tv-o .
(92)
Таким образом получаем простую формулу для плотности распреде­
ления максимумов узкополосного процесса:
Рынке (^*) ~
если
если
*.>0;
^0.
(93)
Из формулы (93) Ъидно, что распределение максимумов узкополосного
процесса приближенно следует распределению Релея. Кстати, форму­
л а (93) может быть получена из приближенной формулы (78), если под­
ставить в нее вместо v+ (n*) выражение (58).
Пусть теперь Р ,^> 1. Тогда в формуле (91) второе слагаемое будет
мало по сравнению с первым. Д л я плотности распределения максиму­
мов получаем формулу
Рынке (р*)
(94)
Следовательно, при р > 1 распределение максимумов гауссов­
ского процесса приближается к гауссовскому распределению.
Кривые распределения (91) для различных значений параметра Р
представлены на рис. 52. Заметим, что обычно величина параметра р


изменяется в небольших пределах. Рассмотрим, например, случайный
процесс, спектральная плотность которого принимает постоянное зйа-
чение в диапазоне частот со1<С со < со2 и равна нулю вне этого диапа­
зона (рис. 53, а). Среднее число
положительных пересечений нуле­
вого уровня в единицу времени
определяется по формулам (57) и
(59) и составляет
М°>="Ёг/-Т'ТР
1
где 0 — со3/а>1. Среднее число максимумов в единицу времени, опре­
деляемое по формуле (68), будет
,
,
(О, _/"з 0>—1
vMaitc( °°) ^ 2л V 5 О3—1‘
Отношение этих чисел равно коэффициенту |3 и составляет
6_ 3 /'(Qa-i)(9-l)
РV5
03- 1
График, построенный по этой формуле, приведен на рис. 54. g Пре­
дельном случае 0 ->■ оо (это соответствует переходу к «белому щуму»)
имеем
"
Р
3
|/5 '
В качестве другого примера рассмотрим процесс, представлЯ(е)щ||1-|
собой сумму стохастически независимых узкополосных процессор иил
и v2(t) (рис. 53 ,6). Типичная реализация такого процесса п о к а з а ,)а
рис. 55. Обозначим эффективные частоты процессов vt и v2 чер^3 6Jl „
со2. а их дисперсии через а? и а%■При этом (о2> сор Среднее чи^лС, По
ложительных пересечений нулевого уровня составляет
vЦ-Ц-3
-
Л/ v202+1
v+(0)— 2л У у2+1 ’


в то время как среднее число максимумов
VM.i.<c ( — <») =
<*i 1 f V2О4+1
2лV y202+1'
Здесь использованы обозначения
0=—;y=—•
Ml
<*1
Коэффициент р определяется как
о
V (уа04+ 1)(т2+ 1)
Р"
y2О2+1
По этой формуле построен график, приведенный на рис. 56. Макси­
мум коэффициента р достигается при уб = 1 и составляет
о
02+ 1
Рмакс
2Q
Таким образом, параметр р принимает значения, существенно превы­
шающие единицу, только при 0 > 1 .
До сих пор мы занимались распределением максимумов стационар­
ного гауссовского процесса. Ввиду симметрии распределений относи­
тельно нулевого уровня плотность распределения минимумов будет
совпадать с плотностью распределения максимумов, если в последней
v* заменить на —у*. Производя такую замену в формуле (91) и заме­
чая, что
<£(— «) = 1— ф(н),


придем к следующей формуле:
yp-\cv!\
Приближенная формула типа (93) имеет вид
О,
если v*> 0;
если
<0.
Рт\\\ (^*) ~
§ II 1.7. Оценки для вероятности редких выбросов и для функции
надежности
Переходим к основной задаче теории случайных выбросов, пред­
ставляющей интерес для расчета надежности. Как было указано в
§ II 1.3, определение функции надежности в простейшей постановке
сводится к нахождению вероятности случайного события, состоящего
в том, что за заданный промежуток времени 0 ^ т <; t не произойдет
ни одного положительного пересечения процессом v(t) уровня v
Выведем приближенные формулы, связывающие эту вероятность со
средним числом N+iv#; 0 ^ т ^
положительных пересечений уров­
ня v* за заданный промежуток времени.
Полагая, что Р(0) = 1, вычислим вначале вероятность того, что
за время 0 ^ т ^ t произойдет хотя бы один отказ:
где
0 ^ т < ; /) — вероятность случайного события, состояще­
го в том, что за время 0 < ; т ^ / произойдет ровно k положительных
пересечений уровня и*. С другой стороны, среднее число поло>китель.
ных пересечений этого уровня выражается через введенные вероятнос.
ти следующим образом:
P(t)~РГ sup u(t)C v
\О<т
(95)
С одной стороны, эта вероятность определяется как
оо
<2(0= 2 <2к(о*; о<т<о.
оо
N+(v.\0< т<*) = 2 kQk(om; 0< т</).


Составляя разность выписанных выражений, получим
N+(о,; 0< т< /)—Q(0= (k—\)Qh(к,; 0< т< t). (96)
k='2
Поскольку в правой части соотношения (96) стоит неотрицательная
величина, то приходим к соотношению:
С(0<ЛГ+К; 0<т<0-
(97)
Таким образом, среднее число пересечений
0<т<t)дает
для вероятности Q(t) строгую оценку сверху.
Сделанный вывод носит тривиальный характер, если среднее число
пересечений уровня v* превышает единицу. Однако в задачах теории
надежности среднее число выходов системы из области допустимых
состояний должно быть достаточно малым числом. Более того, для вы­
соконадежных систем выброс за пределы допустимой области в про­
странстве качества является весьма редким событием. При этом сред­
нее число пересечений будет весьма мало по сравнению с единицей и для
достаточно перемешанных процессов будет иметь тот же порядок, что
и вероятность Q(t).
Рассмотрим соотношение (96) при условии, что
#+(»*; 0<т<*)< !•
(98)
В правую часть соотношения (96) входят вероятности двукратного,
трехкратного и т. д. положительного пересечения процессом v(t) уров­
няv
Естественно предполо­
жить, что для широкого класса
случайных процессов вероят­
ности многократных выбросов
будут пренебрежимо малы по
сравнению с вероятностью одно­
кратного выброса, если выпол­
нено условие (98)i. Другими сло­
вами, вероятность обнаружить
реализации типа 2 , 3 и т. п.
(рис. 57) будет пренебрежимо
мала по сравнению с вероят­
ностью обнаружить реализацию
типа 1. Вводя несколько более сильное предположение о том, что пра­
вая часть соотношения (96) мала по сравнению с каждым из слагае­
мых, входящих в левую часть, получим приближенное равенство
Q(t)^N+(vt\ 0< т </)•
(99)
Отсюда с учетом соотношения (43) получаем для функции надежности
(95) приближенную формулу
t
Р(/)« 1—$v+(tv, т)Л,
(10°)
о


где (у*; т) — число положительных пересечений уровня у* в еди­
ницу времени.
Формулы (99) и (100) были предложены впервые в работах автора
[12 , 14, 123]. Кроме того, было введено приближенное распределение
для абсолютных максимумов процесса v(t) на интервале 0 < ; т ^
Обозначим возможные значения абсолютных максимумов через у*.
Функция распределения для у*
F(уф|0< т< t)=РГsupу(т)< yj
[о
J
совпадает, очевидно, с функцией надежности (95). Отсюда с учетом
приближенной формулы (100) можем принять, что для достаточно боль­
ших у* у0
F(у*|О^т ^ t)s»1—N+(v.M\0^т</).
Здесь у0(/) — корень уравнения
N+(vt;0<т<0=1-
(101)
Распространяя эту формулу на все значения у* > у0 и полагая, что
F(v*|0
т < /)st 0 приу* < у0(рис. 58), получим [14]:
РК10<т<0~
0,
<w+(g. ; °
т0
dv*
если у* < у0(0;
если у*> у0(0-
( 102)
В качестве примера рассмотрим стационарный гауссовский процесс.
Для этого процесса среднее число положительных пересечений уровня
у* в единицу времени дается формулой (58). Подстановка в формулу
102) дает
}
p(yJ0< r< /)^
0,
если у, < у0(/);
(v... —aV 1
2 ехр|
г,
еСЛ” V’>VM
V
Для корня v0(t) уравнения (101) получаем выражение
у„(0=а+аг,]/2,п^--
(103)
(104)
Формула (99) дает оценку сверху для вероятности редких С б р о ­
сов; формула ( 100) дает оценку снизу для функции надежности /95ч
Следует ожидать, что эти оценки будут достаточно близки к Точным
значениям, если система является высоконадежной, а процесс v(t)
т


будет достаточно сильно перемешанным. Примером сильно переме­
шанного случайного процесса может служить эргоднческий стационар­
ный гауссовский процесс. В качестве примера противоположного типа
укажем на синусоидальный процесс с амплитудой, которая изменяется
случайным образом от одной реализации к другой (рис. 59). Очевидно,
если у такого процесса произойдет однократное положительное пере­
сечение некоторого уровня о*,
(99) и (100) грубую одностороннюю оценку или они позволяют пайTM
достаточно точное приближение для вероятности редкого выброса QhH
и дл я функции надежности P(t).
Д ля узкополосных процессов лучше пользоваться приближенными
формулами (99) и (100), подставляя в них вместо N+ и v+ среднее чис­
ло выбросов огибающей. Например, для математического ожидания
числа положительных пересечений узкополосным центрированным
гауссовским процессом вместо (58) получаем формулу
_
о)е у*
/о*
(105)
Здесь а>е = (Ое — О2; 0 — несущая частота процесса, относительно
которой пик спектральной плотности S c,(a>) полагается симметричным.
Другой приближенный подход к задаче об определении вероятности
редких выбросов основан на использовании распределения Пуассона
[103]. Допустим, что в течение времени
регистрируется на­
ступление некоторых событий. Пусть k — число событий за время
наблюдения, а — математическое ожидание этого числа. Полагая, что


распределение событий следует закону Пуассона, получим, что вероят­
ность наступления k событий за время наблюдения 0
т ^ / состав­
ляет
Ри ■£■*-«(* = (), 1 , ...)•
1г\
Явления, которые описываются при помощи такой схемы, называются
пуассоновскими потоками событий.
Будем интерпретировать положительное пересечение процессом
v(t) уровня v* как событие в пуассоновском потоке. Тогда функция
надежности P(t) определяется как вероятность того, что за время 0 ^
^ т ^ t не произойдет ни одного события. Таким образом, функция
надежности определяется по формуле пуассоновского распределения
при k = 0. При этом вместо математического ожидания а следует под­
ставить среднее число положительных пересечений N+{p#\ 0 <
^т^
Приближенная формула для функции надежности приоб­
ретает вид
P(t) « exp
(106)
Сравнивая формулу (106) с формулой теории надежности (3), прихо­
дим к соотношению
=
0-
(107)
Таким образом, интенсивность отказов к отождествляется здесь со
средним числом положительных пересечений уровня а* в единицу вре­
мени. Если процесс v(t) стацио­
нарный, то лц-(у*) = const; отсюда
приходим к экспоненциальному
закону надежности
P(t)^ e~ v+(v*'>t. (108)
В последнее время был опуб­
ликован р яд математических ра­
бот [5, 125 и др .] , посвященных
установлению условий, при ко­
торых приближенное равенство
(108)
выполняется в асимптоти­
ческом смысле. Были доказаны
относящиеся к стационарным гауссовским
e-%Mt
Рис. 60
предельные
процессам.
теоремы,
Условия этих теорем содержат некоторые требования
регулярности и перемешанности; кроме того, требуется, чтобы уро­
вень v* и время наблюдения t увеличивались некоторым согласован­
ным образом. Применение этих теорем к практическим задачам затруд­
нительно. К тому же если даже установлено, что условия теорем вы­
полняются, то остается неясным вопрос об абсолютной величине и зна­
ке погрешности при определении функции надежности. В этом смысле


формула ( 100) имеет то преимущество, что она дает для функции на­
дежности строгую оценку снизу (рис. 60). Заметим, что правая часть
формулы ( 100) представляет собой первые два члена разложения экспо­
ненты (106) в степенной ряд. При выполнении условия (98) формулы
(100) и (106) дают весьма близкие результаты. В этом случае следует
отдавать предпочтение более простой и надежной формуле (100).
В недавно опубликованной статье В. Ф. Шукайло [122] системати­
чески сопоставлены результаты, которые дают различные приближен­
ные подходы, с опытными данными. При этом сравниваются средние
значения абсолютных максимумов стационарного гауссовского про­
цесса за интервал времени 0
т^
Приведем результаты вычисле­
ний, основанные на приближенном распределении (103). Среднее зна­
чение абсолютного максимума определяется как
00
<».)=j v*p(v*)dvt.
Подставляя сюда распределение (103) и интегрируя, получим
0*>
Л
~
2
prs3
vo~a\
а
1+^- Prs2
Vo— а
а
V
где vQ(t) определяется соотношением (104), a prsп(и)
^ -распределения Пирсона:
ОО
А'*
prs„(“) = —
----- ---------
I»•«-'«
' dx.
функция
(109)
При больших значениях аргумента могут быть использованы асим­
птотические представления для функции Пирсона. После упрощения
получаем приближенную формулу
(v,)^ra + ov
]A ln
(Ое t
2лJ
(ПО)
Аналогичные вычисления, основанные на предельной теореме Кра­
мера [125] для процесса с корреляционной функцией типа е~а*х\
дают:
I
2In
G)e t
2я
у
21п
2л,
( 111)
Здесь С = 0,57722 — постоянная Эйлера. При достаточно боль-
ших (oet второй член в скобках становится малым по сравнению с пер­
вым. Расхождения между результатами, которые дают формулы (НО)
и (111), при этом становятся несущественными. В приведенной ниже


таблице, взятой из статьи [ 122], приводятся средние значения абсо­
лютного максимума гауссовского процесса, нормированного при а =
=О,от-=1.
с
(ос t
с
Источник
Корреляц ио нная функция
2п
2
2,12 | 8,5 21,2
1
Опыты В . И . Тихонова
[ПО]
е—аггг
1,70 2,48 2,89
2
Оценка по методу В. В. Бо­
лотина [14]
Существует К(х)
1,81 2,48 2,83
3
Оценка по предельной те о­
реме Крамера [125]
е-и ‘г«
1,70 2 ,35 2,71
Рассмотрим некоторые обобщения формулы (100). При выводе этой
формулы предполагалось, что при t = 0 система находится в допусти­
мой области. Другими словами, полагалось, что при / = 0 функция
надежности Р = 1. Если это условие не выполнено, т . е. если воз мож­
ен терминах функций надежности ;
P(t)>P(0) — N+
ны реализации процесса v\t), по ка­
занные на рис. 61, то необходимо
внести изменения в формулу ( 100).
Трактуя отказы при t = 0 и при
t > 0 как несовместимые случайные
события и заменяя условную ве­
роятность отказа при t ;> 0 ее
оценкой сверху (97), получим для
безусловной вероятности отказа
соотношение
<2 (/)<<Э(0) +
+
0<т
011 —Q(0)].
ю соотношение принимает вид
у*;0<т<ОР(0).
Для высоконадежных систем при выполнении условий, для которых
справедлива формула (100), получаем приближенную формулу
P(t)^P(0)-N+(v^ 0< т < /)Я(0).
Если Р(0) = 1, то вновь приходим к формуле (100)*.
* Если v(t) — р еа ли заци я ст ационарного случ айно го проце сс а, то Р(0) =
= F(v*) Ф 1. Применение формул типа (100) к стационарным процессам оправ­
дано при 1—Р(0)<£1;1—P(t)< 1 и при таких t, что 1—P(t)> 1—Р(0). за.
метим также, что при Р(0) Ф 1, вообще говоря, АЦ-(у*; 0 < т < t) ф
;о
<т<0-


Обобщим формулу (100) на случай, когда допустимая область огра­
ничена с двух сторон: г»** < v (() < у*. Вместо (95) имеем следующее
выражение для функции надежности
sup i'( т)<Су*~
Я(/)=Р
тг'
,
inf v(x)>vtt
_0<т <t
Напомним теорему о сложении вероятностей, обобщенную на слу­
чай совместимых событий. Пусть А и В — совместимые события. Ве­
роятность того, что произойдет либо событие А, либо событие В, опре­
деляется как Р(А + В) = Р(А)+Р(В)— Р(АВ). Отсюда следует, что
Р(Л + В)< Р(Л)+ Р(В). Если Л и В —редкие и слабо связанные
события, то естественно предположить, что Р(ЛВ)< Р(Л) + Р(В).
Отсюда вытекает приближенная формула
Р(А+ В)^Р(А) + Р(В),
(112)
смысл которой сводится к тому, что при вычислении вероятности сум­
мы редких событий можно пренебречь вероятностью их совместного
осуществления.
Применим приведенные выше соотношения для вычисления вероят­
ности Q(t) того, что за время 0 ^ т ^ / произойдет хотя бы один выб­
рос из допустимой области. Поло­
жительному пересечению уровням*
соответствует событие Л, отрица­
тельному пересечению уровня у**—
событие В. Обозначая соответствую­
щие вероятности пересечений через
Q*(t) И <?**(/), получим
<2(*)<<?,(/)+ <?.*(')•
Далее, используя неравенство (97),
придем к соотношению
0<т
/)-
~
N-(о,*;0<т</)-
Таким образом, мы нашли для функции надежности P(t) оценку сни­
зу. Если средние числа пересечений уровней у* и у** малы по сравне­
нию с единицей, то можно пользоваться приближенной формулой
P(t)^l-N+(vt;0< т 0 <т
<
/)-
Использование в наших рассуждениях формулы типа (112) соответст-
вует тому, что мы пренебрегаем вероятностью появления реализаций
типа3и4нарис. 62.
2V
Рис. 62


и безразмерные параметры
Г0^S)у.
гсI о\Wа
Qs
Cfs\иJ
приведем формулу (114) к виду
у2 ОО
p(0=1- 5|fae 2]“а_1е-"аехр^—уги—
du. (117)
Интеграл, входящий в правую часть формулы (117), не выражается
непосредственно через табулированные функции. Применяя прием
из книги [14], можно выразить его через бесконечные ряды. Д ля этого
следует разложить один из экспоненциальных множителей в подын­
тегральном выражении в степенной ряд и произвести почленное ин­
тегрирование. Р азл аг ая в ряд первый экспоненциальный множитель,
придем к ряду, члены которого выражаются через функции парабо­
лического цилиндра. Разлагая второй экспоненциальный множитель
придем к двойному ряду. Воспользуемся вторым способом, более удоб­
ным для фактических вычислений. Произведем в подынтегральном вы­
ражении формулы (117) замену
ОО
ОО
Й-22н)
т~0п=О
Iт -j-n
уЩ £гп+ 2п
2пт\ п\
ит+ 2п
Под знаком интеграла стоит равномерно сходящийся ряд. Интегри­
руя его почленно и замечая, что
= — г(i±£V
о
«
'
“
>
где Г (х) — полная гамма-функция, получим окончательно
P(t)= \ —
2 2 (-1)т+пУ^ т+2ПГ(1
(118)
'
2я
т~о^о
2”mini
I.
а/'
’
Если дл я оценки условной надежности вместо формулы (100) при­
менить формулу (106), то придем к выражению
[t
Р0(/И= ехРj—^
ехР
(г— (S,
2а:
(119)
Таким образом, в этом приближении условная надежность подчиня­
ется экспоненциальному закону. Полная надежность (114) этому за­
кону, вообще говоря, не следует. Заметим, что если в формуле (119)
время t рассматривать как параметр, то выражение в правой части мо­
жет быть истолковано как функция распределения абсолютного мак-


Вообще говоря, мера повреждения D(t) является случайной функ­
цией, а условная долговечность Т — случайной величиной (рис. 63).
Однако чем больше число циклов до разрушения, тем меньше относи­
тельная изменчивость условной долговечности. Поэтому приближенно
можно принять, что
p{T)=6{T-TJ
(см. аналогичные соображения в конце § III.4).
Переходим к вычислениям. Выражение для кривой усталости возь­
мем в виде
N=
00> (^* ^ Г),
(124)
где N 0— число циклов, соответствующее перелому на кривой уста­
лости, m — положительный показатель степени, г — характерное зна­
чение параметра прочности (предел выносливости). Параметры N„ и
m будем считать детерминистиче­
скими, а параметр г — следующим
Плотность распределения максимумов узкополосного гауссовского
процесса s{t) с математическим ожиданием, равным нулю, определяет­
ся согласно формуле (93) как
Рмакс(s*)— ~ ~ Г ехР^— 2а^)I(S*>0)‘
(125)
Подставляя выражения (124) и (125) в формулу (123), получим
Т* (г)
2nN0
(0е
rmCTj
exp
- i—i
ds*


Интеграл в правой части выражается через функцию Х-распределе-
ния Пирсона [109). Окончательно получаем
Г*
—
Os^
т
22 гI~у + 1|Prsm+2
■ш
(126)
Формула (126) дает выражение для условной долговечности. Ус­
ловная надежность в рамках сделанных гипотез рпределяется по фор­
муле типа (41).
P0(t\r)=l U еСЛИ t< TM
I 0, если />Г*(г).
Полная надежность определяется по формуле (42), где F(r) — функ­
ция распределения параметра г, а г*(/) — корень уравнения Т# (г) ==
= /. При достаточно высоком уровне напряжений в формуле (126)
можно приближенно положить, что
prs"+!( i H -
Тогда для /**(/) получаем выражение
МО- 1^2 J2si_г(—+0
(127)
Г2jiN0 \2
/
Подставляя выражения (115) и (127) в формулу (42), приходим к
выражению для полной надежности
Р(t)=exp {——bVl\/*sLW -fL+O _l!L
\щI
J 2nNo \2
I
rc
При малых r0 (или больших crs) эта формула может быть упрощена:
а,
”'/шТГ
г<= У
Р(/)= ехр|——
щ
2nN0
Г(—+ 1
Таким образом, мы пришли к вейбулловскому' зако ну надежности
Р(0= ехр(—с/р)
с показателем степени (5 = aim. Этот результат согласуется с общей
теорией стохастической поверхности усталости [14].
§ II 1.9. Оценка функций надежности в случае многомерного
пространства качества
До сих пор предполагалось, что качество системы характеризуется
одним параметром v(t) и, следовательно, пространство V является од­
номерным эвклидовым пространством. Обобщим результаты предыду­
щих параграфов на случай многомерного эвклидова пространсхВа у


Общая схема вычислений остается прежней. Вначале мы выведем фор­
мулу для математического ожидания числа пересечений траекторией
v(t) границы Г допустимой области Q0; затем используем найденное
значение для приближенной оценки функции надежности.
Пусть й 0 — односвязная область в п-мерном эвклидовом простран­
стве V, ограниченная замкнутой гладкой поверхностью Г Пусть,
далее, в этом пространстве стохастически задана случайная траекто­
рия v(/) с совместной плотностью вероятности для вектора v(/) и его
первой производной по времени p(v, v; t).
Найдем математическое ожидание числа
пересечений траекторией v(/) поверх­
ности Г в направлении внешней нор­
мали к поверхности. В целях краткости
эти пересечения будем называть поло­
жительными. Математическое ожидание
числа пересечений в единицу времени
будем обозначать через лц_(Г; t). Про­
ведя рассуждения, аналогичные тем,
которые были сделаны при выводе фор­
мулы (48), получим следующую фор­
мулу для v+(r; /):
Pi (Г; Д/)
v+(г;О--=Пт
д/-*о
At
(128)
Здесь Л (Г; At) — вероятность случайного события, которое заклю­
чается в том, что за достаточно малый интервал А/ произойдет одно по­
ложительное пересечение поверхности Г процессом v(/). Эту вероят­
ность можно записать следующим образом:
РХ(Г\М) =Р
v (т) Ай;
Vn(т) > 0;
t^т^t+А/
где А й — некоторый тонкий слой, окружающий поверхность Г; ип—
нормальная составляющая первой производной от процесса v(/), т. е.
i)n = (v, n), п — орт внешней нормали (рис. 65). Выражая вероятность
Рх(Г; At) через совместную плотность вероятности p(v, v; /), получим
РХ(Г; А/)---■§ d\ ^ p(v ,\-,t)d\+ o(At).
(129)
vn>о^
Перейдем в формуле (129) к интегрированию по поверхности Г
Разобьем слой Ай на элементарные цилиндры, имеющие основание
и высоту, равную нормальной составляющей Avn приращения век­
тора v(/) за время А/:
Дуп= упД^+ о(А0.


Подстановка в формулу (129) дает
P1(T;At)=At^dT ^ p(vr ,v; t) vndv ±o(At)-
T
vn> 0
Отсюда, используя формулу (128), получаем
v+(Г;t)= JdT l p(vr,v;/)o„rfv,
(130)
Г
ln>0
где v r берутся на поверхности Г
Формула (130) является обобщением формулы (49) на случай много­
мерного пространства качества V Заметим, что некоторые ограничения,
наложенные ранее на свойства поверхности Г, могут быть устранены.
Например, если поверхность Г является кусочно-гладкой, то нор­
мальная составляющая vn будет определена всюду, кроме некоторых
линий — ребер поверхности. Можно ожидать, что для достаточно пе­
ремешанных многомерных случайных процессов вероятность пересе­
чения поверхности Г через ребра будет пренебрежимо малой. Поэтому
формулу (130) можно распространить и на кусочно-гладкие поверхнос­
ти. Формула (130) распространяется также на случай многосвязнои
области £20, а также на случай неограниченных областей (например,
полупространства).
Переходим к определению функции надежности
P(t) = Pfv(x)
0<т</].
(131)
Все рассуждения из § I I I .7, относящиеся к приближенным оценкам для
функции надежности P(t) и вероятности отказа Q(/), остаются приме­
нимыми и в случае многомерного пространства V Вместо формулы (100)
для функции надежности Р(/) полу­
чаем оценку снизу
t
P{t)> 1— jjv+ (r;-r)dT. (132)
Предполагая, что отказы образую*
пуассоновский поток, получим ф0р.
мулу типа (106)
Рис. 66
Р (() •=. ех р — \>v+(r;r)dr (1331
и т. д. К ак и в одномерном случае, формула (132) дает для функции иО'
дежности оценку снизу; формула (133) при некоторых o rp aHH4eilUJlSi
накладываемых на свойства процесса \(t), Дает асимптотическое np,i-
ближение. При этом принято, что Р(0) = 1 .
Рассмотрим примеры приложения выведенных формул. Пусть про­
странство качества V является двухмерным, а^ область « 0 представляв
собой прямоугольник со сторонами 2гц и 2t>2 (Рис- 66). Подсчитаем


среднее число положительных пересечений границы прямоугольника
1 двухмерным стационарным гауссовским процессом. Совместная
плотность вероятности p(v, v) имеет вид
p(v, v) = p1(y1>y2)p2(t)1,u 2).
(134)
Плотность вероятности Pi(vlt v2) записывается как
p(v1, t> ,) = -------- -— ------- exp j----------!
----
x
2ло1о2 ]' 1—p2 4
2(1 — p2)
X
(Vi-di)*
Qp(t>t— ai) (t>a— Да) | (v2— a .)2
]'
(135)
>1
al a2
°2
JI
где a? и 02 — дисперсии процессов vx{t) и v2(t) соответственно; al wa2—
математические ожидания; р — коэффициент корреляции этих процес­
сов в совпадающие моменты времени, т. е.
а? = <(01— 'ai)2>; 02 = <(t>2— a2)2):
<[t>t(Q— °i] [p»(0—Ог1>
P=
Плотность вероятности p2(vb v2) записывается аналогичным образом:
Рг(ov v2)= ,
1
- exp
_
_
i_r(4_2r_^
2(1—r2)\ Sj
Si s2
s
2nSis2V1—r2
Здесь использованы обозначения
2.-2,.
.2
,.-.2 , .
<Vi (t)v2(t)>
Si =--<Wl>. S2 = <^2>, Г -
----- — - ---- --
S1 s2
z)
(136)
Запишем формулу (130) для области й 0, показанной на рис. 66:
*
2
со
со
v+(r)= ^dv2(j dv2^p{v*i,v2,vuv2)vidvi +
V2
oo
0
^
+
dv2 dv2 ^ p( —v*,v2,vu i>2)|ui \dvi +
_
.
-CO
2
L'1
°o
00
+ ^ dyj ^ dv^ p(a,,U2. vi.v*)v2dv2+
*
—oo
0
“ L’l
V1
oo
О
ф
vI
I•
+ $ A * $ dVt J p(vu— V2,Vl,V2)\v2\dV2.
(137)
8 Зак. 1481


Подставляя сюда выражение (134) и используя условия согласован­
ности для многомерных распределений, правую часть этой формулы
можно несколько упростить. В самом деле:
оо
^ Рз(у1, v2)du2-p(v 1);
—
оо
оо
$ P2(vltv2)dvi --p{v2).
-оо
Здесь p (v y ) и p ( v 2) — одномерные плотности вероятности производных
г.гг(/) и v 2(t). Дальнейшие вычисления дают
оо
оо
(jр(о,) У)
=
jjр(о2)v2dv2-= - ^ r
b
'
л
о
’л
В результате формула (137) принимает вид
*
12
vr(О=у2^j[pi
V2)-\-p\(—Vi,V2)\d'2Ь
+-=
-
\ [pi{vl,v*2) + pi(vl — v,2)]dvi.
уZTl ,/
(138)
Покажем, как вычисляются интегралы, входящие в формулу (138).
Возьмем, например, интеграл*
•2
'2
Г p(v*vAdvr>= --------- 1
..... .
Г
JК
’
"
2лаха2]/1—р2 J “ Р — 5<T=W
(V, —а,)2
2р
(у, —ai)(v2 —a2) (t>2— а2)г
°1 °2
Оо
dvo.
Выделив в подынтегральном выражении полный квадрат линейной
функции от у2, введем новую переменную
|/1—Р2
v2— a*
v\—'а\
------- -
—
р ---------
(63).
Аналогичный интеграл рассматривал ся в § I I I . 5 при выводе формулы


Тогда интеграл примет вид
*
*2
jР
“ -^ехр
К —,Г
2а?
+2.+I
J
и2
2 du9
-2.+I
где обозначено
а±2.+1
Замечая, что
—
оо
где Ф(и) — интеграл Лапласа, получим
1
( ±v*2—a2
у*—а, ^
е 2 du~ Ф(ы),
-у2
После вычисления остальных интегралов приходим к формуле
МГ)= -£Мехр
2л
(v* ~ ai)
2а2
+ ехр
+£|е*Р
(»;+«|)8
2а?
(oj—а,)2
2а?
[О*
+
[Ф(«+,<+2) Ф(“—1.+г)]+
+ехрГ (р2~Ьа2
L 2°!
[«* («+,. _ а) —«»
Здесь использованы обозначения
1
U±j,±k 'уj—^2 Jizff—р±1*Г ^);aj=IL
°у
ff/t /
'
<v
(140)
(141)
Для определения функции надежности достаточно подставить выра­
жение (140) в формулы (132) или (133)*.
* О прил оже нии этих формул к стационарным процессам см. подстрочное
примечание на стр. 200 .


При некоторых дополнительных предположениях формула (140)
может быть заменена соотношениями, более удобными дл я расчетов.
Пусть, например, процессы v-^t) и v2(t) — центрированные и стохас­
тически независимые. Тогда аг = а2 — р = 0. Формула (140) прини­
мает вид
(Г)= — ехр[
1—]Фх
2®?
+ШО
—
ехр
JI
♦
<*1
■(142)
'
7
7
7
7
7
7
7
?
\
'//////,
1
W ////A
\\
я»XW
------- ^
*
0
^
t
$
1
777777?.
-—
2i
'//////‘Х<у’/ / / / /
Рис. 67
Здесь Фх(и) — интеграл Лапласа,
представленный в форме*
Фх(и) =
1
/2л
X2
2 dx.
Заметим, что имеет место нера­
венство
ф(«+2.+1)-ф («_2>+1)<1
и т. д. Отсюда вытекает следующее неравенство для среднего числа по­
ложительных пересечений границы Г:
Ч (Г)<-^ -
2л
ехр
-
-
-
-
-
-
1
с
;
>
-
»
1
3
о
г
о
_
_
_
_
1
К+'чН
+ ехр
2ат J
2о2
Iш2
^2я
ехр
(°2 ~ а2)2
2а22
+ ехр
(а2+ аг)
2а?
21
>+
(143)
Очевидно, что в правой части стоит сумма среднего числа пересе­
чений линий v x = ± v \ и v2= ±v*2, т. е. сумма среднего числа выбросов
процесса за пределы полос —v\ < vx < v\ и—v?< v2< V2 (рис. 67).
Если выбросы — редкие события, а корреляция между компонентами
Vi(/) и v2(t) — достаточно слабая, то правая часть неравенства (143)
может быть использована для приближенной оценки среднего числа
выбросов из области й 0- Таким образом, приходим к формуле
(144)
* См. примечание на стр . 155.
v+(D»|l ехр
(»;-«!)* ]
К+Д.)Ч
+ ехр
2а?
2о\
/*
\2
(°2 - д2)
2а|
+ ехр
(i»3+ g2)2
2а2


Формулы (140), (142) и (144) могут быть обобщены на случай про­
извольного числа измерений. Ограничимся тем, что вычислим среднее
число положительных пересечений поверхности /z-мерного паралле­
лепипеда стационарным гауссовским процессом v(/), полагая компо­
ненты этого процесса стохастически независимыми. Итак, пусть до­
пустимая область Q0 задана в виде
vV<vk<vk (к==1'2> л)«
а совместная плотность вероятности процесса v(/) и его первой произ­
водной — в виде
P(V’
Здесь использованы обозначения
Ph(vh)="т=— ехР
к/ Y2n<3, У
(\-°к)2
Ч
vl
K-55.,.,“ PV
где ah — математические ожидания компонентов vh(t)\ а\ — их диспер­
сии; щ — эффективные частоты. Подставляя эти выражения в форму­
л у (130), получим
М Г)= 2 М°1)+ М°Г)] $Pn-\-k(vk)vkdvkJllr
k=1
‘^^
Отсюда после вычисления интегралов найдем
м г>=2 -S
-iexp
k=1
К-»*)1
Ч
+ ехр
Ч
Пi*k
ф|vi~ai\_ф/ui~ui
V,
—
а,
(145)
Заметим, что для высоконадежных систем можно приближенно
принять, что
пk
ф
-
ф
V,
—
а,
1.


Тогда придем к приближенной формуле
К-«*)2
(1>
п
'
2я
*=I
exp
2аf
+ exp
н
дающей, как и формула (144), оценку сверху для среднего числа пере­
сечений. Каждый из членов суммы, стоящей в правой части формулы
(146), представляет собой среднее число выбросов в единицу времени
из слоя v*k <Vk<Vk. Будем в дальнейшем
называть формулы типа (144) и (146) фор­
мулами полосового приближения.
Аналогично могут быть получены фор­
мулы для случая, когда область Q0 яв­
ляется кругом и, вообще, n -мерным ша­
ром. Некоторые вычисления, основанные
на асимптотических формулах типа Кра­
мера, были проделаны А. М. Шепутисом
1119].
Для приближенного вычисления на­
дежности в случае областей сложной кон­
фигурации можно рекомендовать метод
мажорантных оценок. Допустим, что в пространстве качества взяты
такие две области Qx и й 2, что &i cz
cz й 2. Например, граница 1\
области Q1вписана в границу Г, а граница Г2 области Q2 описана
вокруг Г. Тогда для функции надежности имеем
где Px(t) и P2(t) — функции надежности для областей
и Q2 соответ­
ственно. В качестве областей
и й 2 целесообразно взять такие, для
которых функции надежности и средние числа выбросов легко вычис­
ляются (рис. 68).
§ ШЛО. Применение теории надежности к расчету оптимальной
виброзащиты оборудования
Вопросам защиты приборов и оборудования от вибрационных воз­
действий посвящена обширная литература (см. например, [54]). Если
внешнее воздействие является гармоническим, то задача о выборе па­
раметров виброзащитного устройства решается сравнительно элемен­
тарными средствами. Но в реальных условиях вибрационные воздей­
ствия обычно носят случайный х арактер. Решение задач об оптималь­
ной виброзащите при случайных внешних воздействиях встречает ряд
аналитических и принципиальных трудностей.
В теории оптимальной виброзащиты используются критерии, ана­
логичные критерию минимума среднеквадратической ошибки в теории
автоматического управления. Например, ставится условие, чтобы
средний квадрат перемещения защищаемого объекта относительно


основания, средний квадрат абсолютного ускорения объекта и т. п. при­
нимали минимальные значения. Оставляя пока в стороне вопрос о тех­
ническом истолковании подобных условий, заметим, что они являются
источниками некоторых далеко идущих затруднений. Одним из первых
встречается следующее затруднение. Если подбирать параметры вибро-
защитного устройства из условия минимума среднеквадратического
абсолютного ускорения, то придем к тривиальному решению: жест­
кость подвешивания и потери в демпфере должны быть минимальны.
Однако при этом получаются недопустимо большие относительные пе­
ремещения объекта. Если же минимизировать среднеквадратическое
относительное перемещение, то становятся недопустимо большими пе­
регрузки на объекте. Из этого затруднения выходят, дополняя усло­
вие минимума одного параметра ограничением, которое накладывается
на другой параметр. При этом в зависимости от того, что минимизирует­
ся — средний квадрат ускорения или средний квадрат относительного
перемещения, получаются различные решения.
Следующая трудность встречается, когда оказывается, что опти­
мальные параметры линейной виброзащитной системы зависят от ин­
тенсивности воздействия. В реальных конструкциях интенсивность
вибрационного воздействия редко остается постоянной в течение сро­
ка эксплуатации конструкции. Линейные системы, параметры кото­
рых подобраны применительно к некоторому уровню воздействия, пе­
рестают быть оптимальными при изменении этого уровня. Для выхода
из создавшегося затруднения приходится интерпретировать линейную
систему как результат статистической линеаризации некоторой не­
линейной системы.
Эти трудности усугубляются, если объект обладает несколькими
(тем более — бесконечным числом) степенями свободы и если внешнее
воздействие является нестационарным случайным процессом. Пред­
ставляется, что эти трудности не присущи внутренне теории вибро­
защиты, а скорее являются следствием неудачного выбора критерия
для оптимизации. Инженер требует от системы виброзащиты, чтобы
она обеспечивала^надежное функционирование объекта. Конечно, сред­
ние квадраты перемещений и ускорений на объекте в некоторой степе ­
ни характеризуют условия надежного функционирования. Но с тех­
нической точки зрения было бы правильнее минимизировать вероят­
ность того, что за время эксплуатации объекта его параметры хотя бы
раз выйдут из области допустимых значений. Это эквивалентно тре­
бованию, чтобы мера надежности системы принимала максимальное
значение. Оптимизация по надежности, будучи более естественной и
обоснованной, в то же время снимает трудности, возникающие при
применении более частных критериев. Этот метод оптимизации приме­
ним как к линейным, так и нелинейным системам с произвольным чис­
лом степеней свободы; не накладывается также ограничений на стохас­
тическую природу внешних воздействий.
Общая постановка задачи о проектировании виброзащиты форму­
лируется следующим образом. Пусть некоторая механическая систе­
ма с конечным или бесконечным числом степеней свободы прикрепля­


ется к основанию при помощи конечного числа опор. В общем случае
свойства этих опор неизвестны; тогда говорят о выборе структуры виб­
розащиты. Однако чаще система виброзащиты ищется в классе прос­
тых линейных связей, содержащих упругость и вязкое трение. В этом
случае неизвестными параметрами являются координаты опор, коэф­
фициенты их жесткости и вязкости. Под действием внешних сил или
ускорений, сообщаемых основанию, в системе возникает некоторое виб­
рационное поле. Из технических соображений выбирается система па­
раметров качества и допустимая область в пространстве параметров ка­
чества. Далее вычисляется надежность системы как функция неизвест­
ных параметров виброзащиты. Последние находятся из условия, что­
бы надежность, достигаемая к некоторому моменту времени, была м ак­
симальна. Как правило, надежность ка к функция параметров вибро­
защиты не имеет изолированного максимума. Кроме того, указанные
параметры обычно могут принимать значения лишь из некоторой о гр а­
ниченной области. Поэтому проектирование виброзащиты сводится
к неклассической задаче оптимизации, которая может быть разрешена
лишь численными методами.
Одним из центральных остается вопрос о выборе параметров ка­
чества и области их допустимых значений. Чаще всего требуется, что­
бы максимальные виброперегрузки оборудования не превышали не­
которых предельных значений. Пусть а(г, /) — поле абсолютных уско­
рений в системе; а* — предельно допустимое значение вибрационного
ускорения. При этих условиях функция надежности вводится как
P(0=P[ sup макс||а(г, т)||<а„1.
(147)
Если изолируемая система является абсолютно твердым телом, то
максимум абсолютного ускорения достигается в одной из точек, при­
надлежащих поверхности тела. Если тело — многогранник, то сле­
дует проверить каждую из его вершин. Во всяком случае соотношение
(147) точно или хотя бы приближенно может быть заменено следую­
щим:
P(t)=P\ sup макс||a(r;-, x )||<aj.
(U 8)
Таким образом, пространство параметров качества становится много­
мерным эвклидовым пространством, и метод, изложенный в предыду­
щем параграфе, может быть применен для вычисления функциц на_
дежности.
Наряду с ограничениями, накладываемыми на абсолютные уско­
рения, могут быть та кж е поставлены ограничения для относительных
перемещений различных точек системы. В соотношения типа (148) мо­
гут входить также проекции ускорений на некоторые направления
и т . п. В этих случаях число измерений пространства параметров ка­
чества должно быть увеличено.
Поясним постановку и метод решения задачи на простейшем при­
мере. Будем тр актовать объект как систему с одной степенью свободы.


Пусть объект массой М при помощи упругой связи с жесткостью с
и вязкой связи с коэффициентом трения k прикреплен к основанию,
которое совершает колебания с переносным ускорением а0(/) (рис. 69).
Перемещение и(() объекта относительно основания
удовлетворяет уравнению
и+ 2ги+ а1и= —а0(0.
(149)
где е = kl2My азо = с/М. Пусть, далее, для надеж­
ного функционирования объекта требуется, чтобы
относительное перемещение и и абсолютное уско­
рение а = а0 + и не превышали по модулю пре­
дельно допустимых значений и* и а* соответственно:
М<«,.
|а|<в..
(150)
Система виброзащиты будет оптимальной по надежности, если ве­
роятность пребывания системы в допустимой области (150) за время
0 < т < 7 будет максимальной. Таким образом, приходим к крите­
рию оптимизации в виде
РГ sup \и(т)\<и^
sup |а(т)|<аЛ =макс.
(151)
|_0< т< Г
J
В дальнейшем ограничимся случаем, когда ускорение основания
a0(t) представляет собой стационарный гауссовский процесс. Среднее
число v_|_(r) выбросов из допустимой области в единицу времени не
будет зависеть от времени. Тогда, как это следует из формул (132) и
(133), вместо критерия оптимизации (151) может быть принят крите­
рий
v+ (T) = mhh.
(152)
Поскольку допустимая область (150) представляет собой прямоуголь­
ник, то среднее число выбросов г+(Г) находится по формулам (140)
и (144).
Возьмем для процесса а0(0 спектральное представление
00
ао(0= <ао>+ $ А(а>)emld(0.
—
оо
Здесь Л (со) — обобщенная случайная функция (спектр процесса).
Представляя в аналогичной форме процесс u(t)
00
ы(*) = <«> + 5 и((й)еш йш
—
оо
и используя уравнение (149), получим
«■>=--^
о 53>
“о
м
oft)
»t(t)
*7777777777777777.
Рис. 69
8В. Зак . 1481


Далее стандартным методом (§ 1.7) найдем связь между спектральной
плотностью <Sa0(co) входного процесса a0(t) и моментами второго поряд­
ка выходных процессов:
12>
Г
J |(0ц+ 2('е(й—со2!2
—
гш'
'
* | й)%+ 2шо|2S0o(<o)
| cOq-f-2teco — со2 I2
oo
'“l,>= I
SGo(со) со2 day
| COq-J
- 2/80)—Cl)2 |2
„2
(154)
<M2>=
<u*n) ——
cog + 2/eco |2 5 flo (со) со2 rfco
| со2+ 2/eco—со2 |2
(со2 -f- 2/eco) Sa^ (со) day
Icog + 2/eco —со2 12
Чтобы провести вычисления далее, необходимо задаться спект­
ральной плотностью S (j0(cq) . Пусть, например, ускорение основания
a0(t) является узкополосным случайным процессом с несущей часто­
той 0. Его спектральную плотность аппроксимируем при помощи дель­
та-функции, т. е. примем, что
5ПоИ ^б(М-е),
(155)
где сто — дисперсия ускорения a0(t). Подставляя (155) в формулы (154),
получим
~
°о
1
—а,
У
а
ю
1+И'
е'
СОо >)!
j 02\2 1Уе\2
[—•
—
\0,0)\Wo/
(156)
При этом через у обозначен декремент затухания собственных коле­
баний, т. е.
2ле


На рис. 70 представлен график зависимости среднего квадратичес­
кого смещения ои от собственной частоты со0 при различных значениях
у. При этом принято, что 0 = 1000 секг1>сго= 1 0 0 м-сек . Здесь же
нанесена кривая для среднего смещения ( и), построенная по формуле
(153) (принято, что <я0>= 1° М’Секг2). На рис. 71 даны кривые для сред­
него квадратического ускорения оа. Эти кривые аналогичны зависи­
мостям динамического коэффициента для линейной системы с одной


степенью свободы при гармоническом возбуждении. Оптимальные ус­
ловия виброзащиты следует искать в области малых собственных час­
тот (о0, имеющих порядок
со0
I<Др>1
ы*
На рис. 72 приведены результаты вычислений среднего числа по­
ложительных выбросов v^_(F) из области (150) при и* = 10~3 л*, а* =
=-2 0 м-секг2. Сплошные линии соответствуют вычислениям по формуле
полосового приближения (144). При этом
= u(t)yv2 = a{t)yосц = о) =
= 0. Нисходящая кривая дает число выбросов из полосы —и* < ; и <
< а*; восходящие кривые — из полосы —а* <1 а < а*. Здесь же
показано суммарное число выбросов. Расчеты по точной формуле (140)
показывают, что ошибка формулы полосового приближения становит­
ся заметной лишь при достаточно больших числах v + (r).
Наилучшая виброзащита по \Ц-(Г) обеспечивается при исчезающе
малом демпфировании и при собственной частоте со0 ж 140 сек-1
.
Ошибка в выборе частоты со0 на ± 1 0 сект1 дает увеличение числа вы­
бросов примерно на порядок. Поэтому при расчете технических систем
необходимо учитывать разброс параметров виброзащитного устройст­
ва, тракту я функции надежности типа (147), (148) и (151) как условные
надежности.
Заметим, что ввиду узкополосности процесса надежность Р(^) ЛуЧ.
ше оценивать через среднее число выбросов огибающей, т. е. пользо­
ваться формулами типа (105).
Выше был рассмотрен узкополосный случайный процесс на входе
системы. Многие реальные воздействия представляют собой широкопо­


лосные случайные процессы. При выборе схематизации для спектраль­
ной плотности широкополосных процессов необходимо соблюдать ос­
торожность. Так, представление входного процесса в виде белого шума,
часто применяемое в работах по теории виброзащиты, здесь оказыва­
ется некорректным, поскольку приводит к расходимости некоторых
из интегралов (154)*.
§ 111.11. Надежность и долговечность систем марковского типа
В предыдущих разделах для оценки надежности механических
систем применялась спектральная теория случайных процессов. Д ру­
гой путь открывает теория марковских процессов, элементы которой
были изложены в § 1.10, 1.11. Напомним некоторые сведения.
Пусть эволюция системы в пространстве качества V представляет
собой m-мерный марковский процесс v(/) = [у ^) , v2(t), ...,vm(t)]. Пусть
в начальный момент времени t0 система находится в точке v0 = (у10,
уго, . . . , Ут0). Эволюция системы при t > t 0 описывается переходной ве­
роятностью p(v, 11v„, ta). Эта вероятность, трактуемая как функция
переменных ух, v2, . . . , vm, t, удовлетворяет уравнению Колмогорова
(1.150):
*~2^+т2
(157,
/=1 >
1=1k=1 1 я
Здесь X; и %jh — интенсивности процесса, определяемые из соотно­
шений (1.149). Если рассматривать p(v, t | v0, t0) как функцию пере­
менных Ую, у го» •••. vm0, t„, то вместо (157) получим сопряженное урав­
нение
- 3L-
dt0
/=‘
др
dvj0
22“-*
/=1k=\
д*р
dvio <Чо
(158)
где Ху и Xy/t также являются функциями переменных vi0i v20t ...» vmC,
t0.
В дальнейшем для простоты ограничимся системами, у которых
интенсивности Ху и xyft от времени явно не зависят**. Переходная ве­
роятность p(v, 11 v0, t0) будет зависеть при этом от разности моментов
времени t — /0. Поэтому
»
* Б ол е е общую формулировку теории виброзащиты см.: Болотин В. В . ,
«Теория оптимальной виброзащиты при случайных воздействиях». Труды МЭИ,
вып. 74 , И зд. МЭИ, 1970. Некоторые результаты расчета и моделирования на
электронны х аналоговых установках даны в статье: Комар Н. М. , Окоп­
ный Ю. А -, Изучение надежности виброзащнтных систем методом электронного
модел ирован ия. Там ж е .
** Это у сл о вие выполняется для стационарных систем, на входе которых
зада ны стационарные случайные процессы. Эволюция системы при этом, вообще
говоря, буде т нестационарным процессом.


и уравнение (158) принимает вид
т
т
т
д_Е=У
Уух
dt
1dv'о
J1
01 k=\
jo
z i=ik=l
d2p
dvJodvko
Это уравнение решается при начальных условиях р = S(v — v0)
при t = t0. В дальнейшем полагаем /0= 0 и записываем переходную
вероятность в виде p = p(v, t | v0).
Установим теперь связь между функцией надежности P(t) и пере­
ходной вероятностью p(v, t | v0). Пусть v0 £ Q0, где Q0— допустимая
область в пространстве V (рис. 73). Условная надежность P(t | v0
есть вероятность случайного события, состоящего в том, что си­
стема, находившаяся при£ = 0 в точке
v0, за время 0^т<[£ ни разу не
выйдет за границу Г области Q0.
Связь между условной надежностью
и переходной вероятностью p(v, <|v0)
дается формулой
Ivo) = j p(v, i |v0)dv.
Отсюда, интегрируя уравнение (159)
почленно, получим для условной на­
дежности аналогичное уравнение
+
1
£.=
у
*
,-1Чо
т
т
V
д*р
2 2л *jh ди■dv,
jo ho
* j=ik=l
Его решение должно удовлетворять начальному условию
Р(01v0)= 1 при v0бЙ0
(160)
(161)
и граничному условию
Р(^|уо)=0 при v0£ Г.
(162)
После того как уравнение (160) решено, вычисляется полная надеж­
ность
P(t)= \ P(t\v0)p(v0)dv0.
(163)
Q0
Здесь p(v0) — плотность вероятности вектора v(/) в начальный момент
времени.
Применение уравнения (160) встречает двоякие трудности. Во-
первых, эволюция параметров качества, вообще говоря, не является
марковским процессом. Эту трудность можно обойти, увеличивая число
измерений пространства V Во-вторых, отыскание решений уравнения
No


(160), особенно в случае большого числа измерений, сложных облас­
тей и переменных коэффициентов весьма затруднительно. Проще опре­
деляются моменты распределения времени достижения границы
<T*(v0)>= -jV^^d/.
(164)
о
В частности, для математического ожидания вместо (164) получаем
формулу
оо
<7’(V0)> = jp(f|v0)df.
(165)
0
Формулы (164) и (165) оценивают время достижения границы Г
при условии, что при t = 0 система находилась в точке v„. Таким об­
разом, T(v0) — условная долговечность. Д л я математического ожи­
дания полной долговечности имеем формулу типа (163):
<Г) = [ (T(v0))p(\Q)d\0.
По
В дальнейшем знак аргумента в выражении для условной долговеч­
ности T(v0) опускаем.
Интегрируя уравнение (160) почленно по t в пределах от нуля до
бесконечности, получим после преобразований уравнение относи­
тельно математического ожидания (165):
2
т
2/= 1
2
k=1
Kjk
д2<Т>
dv■dv,
jo ho
V*д<т> —1.
(166)
Это уравнение было получено впервые Л. С. Понтрягиным [21. Его
решение должно удовлетворять условиям ограниченности, непрерыв­
ности и двукратной дифференцируемости внутри й 0 и граничному ус­
ловию
<Г)=0 при v0£ Г.
(167)
Простота граничного условия (167) подсказывает следующий путь
построения приближенного решения поставленной краевой задачи [18].
Пусть фА(и10, v20 •••> vmo) — некоторая полная внутри Q0система функ­
ций, удовлетворяющая всем условиям для <Г>. Ищем приближенное
решение уравнения (166) в виде следующего усеченного ряда:
<Г>=27>а.
(168)
k=1
Согласно методу Галеркина коэффициенты Тк этого ряда должны опре­
дел яться из следующей системы линейных алгебраических уравнений:
2 ]alkT*= bf, (/=1. 2 . .. .П).
(169)


Здесь
а
ik
а= 1р=11>0
д2 Ф/,
dvaO dvfiQ
Ц).(1\ +
т
v
а=I
ГJ Ха Г— Фуб/v; (170)
о
dva0 '
bJ^—\Фjdv-
ь„
Во многих приложениях х ар — положительно определенная мат­
рица. Тогда мы имеем классическую краевую задачу для уравнения
эллиптического типа. Д л я некоторых задач такого типа сходимость
метода Галеркина может быть строго доказана. Нас, однако, больше
интересует скорость приближения к точному решению при сравнитель­
но небольшом числе п членов ряда (168). Д ля оценки характера при­
ближения рассмотрим несколько простейших задач, для которых по­
лучено точное решение.
Рассмотрим простейшее уравнение
v+yv^q (/),
для которого пространством V служит бесконечная прямая. При q ==
= 0 система имеет единственное положение равновесия v = 0 . Если
Y > 0, то это равновесие будет устойчиво, если у <С 0, — то неустой­
чиво. Предположим, что внешняя сила q(l) является дельта-коррели­
рованной стационарной случайной функцией с интенсивностью s.
Найдем среднее время достижения границы отрезка —v* < ь < ц .
Эта задача была рассмотрена в работе [2 ]. Она приводит к уравнению
типа (166):
s
~
2
d2<Г>
dv20
Vvo
d<T>
dvо
=—1
(171)
с граничным условием <Г> = 0 при v0= ±и*.
В безразмерных переменных уравнение (171) и соответствующие
граничные условия имеют вид
1
_j.de ____j .
2ц* dX2
dl ~~
0—0при1,=±1»
где 0 = у(Т) — безразмерное время достижения границы, £ ----- и0/и
безразмерная координата. Безразмерный параметр
уи2
(172)
очевидно, пропорционален отношению квадрата характерного Размера
допустимой области а* к средней длине «размыва» фазовой точки s (T) 3a


х ар актерное время системы т = 1/у. Решение задачи, удовлетворяю­
щее граничным условиям, будет
0(0= —2рf
| е-мгdi\j
(173)
Найдем теперь приближенное решение. Из соображений симмет­
рии следует, что 0(£) = 0(—£). Поэтому примем
Ф.Ш
-соз^-
(*=1,2,...) .
Эти функции удовлетворяют, очевидно, всем условиям для функции
0(Q. Используя формулы (170), найдем, что в первом приближении
0,= ??£.— —
(х=—
Я2 1—JJ
.X2\п)
(174)
На рис. 74 дано сопоставление решения по первому приближению
с точным решением, которое показано штриховой линией. При этом
Рис. 74
принято, что р = 1. С приближением р к (я/2)2 первое приближение
перестает быть удовлетворительным. Если взять два члена ряда, то
вместо формулы (174) получим
0 _32р
2 (18—ЗрА.2)
1_ я2 '36-40цА2+ 13(д.2Л
.4
При трех членах ряда соответственно находим
.
_
3 2 р _______9 (3 600 - 768рА2+ 253р2 V)_______
1 _ я2"■з2400-37 296цЯ2+16 065р2Я4-2 593р3Я» '
Результаты вычислений по этим формулам с учетом аналогичных вы­
ражений для 0Хи 02 приведены на рис. 75, где кривые /, 2 и 3 соответ­
ствуют одночленному, двучленному и трехчленному приближениям.
Здесь же штриховой линией нанесена кривая 4, соответствующая зна-


чению 0(0) согласно точному решению (173). К ак видно из графика,
чем ниже уровень внешних возмущений, тем большее число членов р я­
да должно быть взято для получения удовлетворительного приближе­
ния. Приближение с тремя членами ряда дает удовлетворительные ре­
зультаты вплоть до р, = 5. Заметим, что в случае, когда точка £ = 0
соответствует неустойчивому равновесию (р < 0), процесс сходимости
значительно быстрее.
В качестве второго примера для оценки погрешности приближен­
ного метода возьмем систему второго порядка [21:
Vi+У
^2+ У
.
v2i+vl
1—
„2,2
---------
IVo"I"V-y
R2J
1
= Qi(0;
= Q,(0.
(175)
для которой определим среднее время достижения границы v\ + v\ =
= R2. При Qi = Q2 — 0 иу>0 эта система имеет устойчивый фокус
V[= V2= 0инеустойчивый предельныйцикл v\ + v\ = R2.ПриQx=
= q2= 0 иу<0, наоборот, фокус v1 = v2 = 0будет неустойчивым,
а предельный цикл v \ + v \ = R2— устойчивым.
Переходя к полярным координатам г и ср, вместо системы (175) по­
лучим
r+yr(1—■£)=Qicosф-f-Q2sin яр;
'
*1
(176)
9= —Y+-( —QiSini|)+Q2cosф).
Рассмотрим случай, когда обобщенные силы могут быть представ­
лены в виде
Qi = Ягcos Ф— Ягsin ф;
Q2= Я1 sln Ф+ Ягcos Ф>
где ^ (/) и q2(t)— стационарные случайные функции типа «белого шума».
При этом выполняются условия
<Яг(0> = <<72(0> = 0;
<М0<7р(Н-т)>-5арб(т),
где sap — коэффициенты интенсивности. Д л я изотропных толч­
ков коэффициенты интенсивности равны s12 = s 21 = 0 и sn = s22 =
=s.
Составим соответствующее уравнение Понтрягина
s_/д2,1д,1д2
г*'д
<Т)-уг{ 1—
R2
д<Т>
д<Т>
дг
^ dip


Кроме граничного условия <Т> = 0 при г — R должно, очевидно,
выполняться условие ограниченности функции <7’> и ее первой про­
изводной при г = 0. Решение поставленной задачи не зависит от ф и
определяется при помощи квадратур. Введем безразмерное время 0 =
= у(Ту и безразмерную координату £ = r/R. Тогда решение будет
иметь вид
Здесь
0(£)= -2р_f{T ехр[(.**(
1- { ’•’’)]х
1
Xj*Лехр
0
l" j 1di|j dy.
(177)
и-ЯS2
(178)
—
безразмерный параметр, имеющий тот же смысл, что и параметр
(172) в предыдущей задаче.
Приближенное решение будем искать в виде ряда (168), полагая
(6= 1-2,...).
в
Если взять один член ряда, то после со­
ответствующих вычислений получим
7
_ 35ц__
(179) 5
1 70—8ц
Учет двух членов ряда дает
4
0-
_
_
_
63& ~!^Л----- (180)
,
4(1 386—213р + 8р2)
J
и так далее. Сопоставление результа-
тов, которые дают формулы (179) (кри­
вая 1) и (180) (кривая 2), с точным реше­
нием (177) (кривая 3), приведено на
рис.76дляр=5.
Из разобранных примеров
видно, о
что Применение метода Галерн'нна дает
надежные результаты при одном-двух
членах ряда только в том случае, если
уровень толчков, характеризуемый параметром р, достаточно высок.
Например, во второй задаче приближение с двумя членами ряда
остается удовлетворительным вплоть до р = 8, т. е. до (Ту ~
^ 25т. (Здесь т = Му — характерное время системы). Но с увели­
чением числа членов ряда область применения приближенного реше­
ния Довольно быстро расширяется. Этим рассматриваемая здесь зада­
ча отличается от общеизвестных задач прикладной теории упругости,
в которых учет последующих членов ряда, как правило, не вносит су­
ч
л!
/
2ЛL'
v\
\v\
v\
\\
V
0,2 «40,000?
Рис. 76


щественных изменений. Сходное явление обнаружено ранее в мате­
матически аналогичной задаче о флаттере мембраны в сверхзвуковом
потоке газа. По-видимому, в обеих задачах оказываются невыполнен­
ными условия известной теоремы, требующей полной непрерывности
некоторых операторов.
Применим метод к механической системе с п степенями свободы.
Движение этой системы описывается дифференциальными уравнениями
Paua+ 2Baua+ ha(ul,u2,...,un)= qa{t); (а = 1, 2, .... п). (181)
Здесь иа — обобщенные координаты; ра — инерционные кооэффи-
циенты; еа — коэффициенты демпфирования; ha — некоторые, вообще
говоря, нелинейные функции обобщенных координат; qa— обобщенные
силы. Пусть, далее, обобщенные силы являю тся стационарными сл у­
чайными функциями времени типа «белого шума». П ри этом должны
выполняться следующие условия:
<Яа(0)- 0; <<7„(0Яр(t+ т)> = sapб(г),
где sap — некоторые постоянные. При введенных ограничениях сов­
местная эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей
будет представлять собой многомерный непрерывный марковский про­
цесс, описываемый уравнением Колмогорова. А именно, полагая
Ua^Va,
Ua=Vn+a (a=1,2, ..., It)
и обозначая v = vu v2, . . . , v2nf получим, что переходная вероятность
p(v, 1 1v0, /0) должна удовлетворять уравнению (158) с интенсивностя­
ми:
$а—п,р—п
Xар Ра—п Рр—п
0 в остальных
/д<а<;2/г\ ^
\п< Р<!2/г/
случаях;
(182)
—
vn+о
(a </i);
_
^6а—nva —п~^^а—п
Ра —п
(п< а< 2л).
В качестве примера задачи, которая приводит к уравнениям типа
(181), можно указать на задачу о прощелкивании тонкой упругой кри­
волинейной панели, нагруженной случайными силами (рис. 77). Диф­
ференциальное уравнение, соответствующее простейшей модели такой
панели, имеет вид
ри 2е и рсоо(ы+ ам2-f-Рм3)= q(t).
(183)
Здесь u(t) — обобщенная координата, хар актеризую щая прогиб па­
нели; р — инерционный коэффициент; е — коэффициент Демпфиро­
вания; со0 — частота собственных колебаний; а и р — некоторые по­
стоянные. Если а > 0, Р > 0, то система имеет единственное поло-


жение равновесия v = 0, и оно устойчиво. Если а < О, р > 0, то си­
стема может иметь три положения равновесия (иъ и2, v3), одно из ко­
торых v = v 2 неустойчиво, а два других — устойчивы (рис. 78). При
этом ненулевое положение равновесия v = v 3 соответствует прощел-
кнутому состоянию панели. Относительно обобщенной силы q { t) , как
и ранее, будем предполагать, что она является стационарной случай­
ной функцией типа «белого шума» с интенсивностью s.
Рассмотрим задачу об определении среднего времени <Т> выхода
системы за пределы области, ограниченной петлей сепаратрисы, которая
охватывает устойчивое нулевое положение равновесия. Пространством
качества в этом случае будет служить фазовая плоскость
=и,v2—
=
и. Решение задачи сводится к интегрированию уравнения Понтря-
гина (166). Согласно формулам (182) найдем, что для уравнения (183)
^11 —^12 —^21
^22
„>
x1= v2, х2—
ayi+ Ру?).
г
Уравнение Понтрягина принимает вид
s
2р*
дг <Т>
до!
д<Т>
'' ди.
■-v2+u>o(v1+av2l+^)]^^ = -l . (184)
р
ди2
'
'
Математическое ожидание (Т) должно удовлетворять условию (167)
где Г — петля сепаратрисы (см. рис. 78).
Пусть 2 а — длина отрезка, отсеченного указанной петлей сепарат­
рисы на оси v l t а 2 а 0Ь — наибольшая ширина в направлении оси v 2.
Тогда петлю сепаратрисы можно приближенно заменить эллипсом,
центр которого находится в середине отрезка, отсеченного петлей на
оси v l t а полуоси эллипса равны а и щ Ь . Обозначим координату центра
эллипса через v 0- Вводя новые переменные
=
*=
0 = ®о<г>,
а
о)0и


Преобразуем уравнение (184) к виду
^:
+ УЧг
+fо+hCi'+hЙ+hЙ) =- V
-
(185)
2|i dll
°£>i
°ьг
Здесь и в дальнейшем введены следующие обозначения:
у-1
.--
/.-*(•+=<+*):
t_1,2au0,Зр^о^
/1— 1i
г-i
~
t
a2
a3
Р ОС1. зр^о .
*_Р
/2—
"г
о»/3~о•
a
a3
a3
В качестве параметра, аналогичного параметру |х, который был введен
по формулам (172) и (178), здесь взят параметр
о
о,
р CDqа°
пропорциональный отношению характерной площади области abco0
к средней площади размыва s/p2coo за характерное время т ^ 1/со0.
После выполненных преобразований эллипс, аппроксимирующий
соответствующую петлю сепаратрисы, превращается в окружность
единичного радиуса. Д л я удобства дальнейших вычислений перейдем
к полярным координатам г, ф, положив h = гсоэф,
/*sin яр.
Вместо (185) получаем уравнение
ж, .о,д20,sin2гЬ д20.cos2^ д20
--- ISin2ф ------ 1
------- i
---------1
------- -
------
2|х
дг2
длд\|)
дг|э2
(186)
Здесь
*(г’ =т ~^ - i (Яг+i) cos2ф4 °+ )si"ч>+
+2
r(fi—Y2)+
sin2г|)+ ^ sinЗг|)+^3sin4г|з;
V(r,г|))= -7faГ2+^(h+у2)+ (к+ -У sin2^+(-k+^') cosif+
+
(/3r2+ /x—y2)cos2я|)+ — cosЗф-f- —
cos 4iJ).
2
48


Решение уравнения (186) должно удовлетворять граниЧнбму условию
0(1, ^
= 0, а также условиям непрерывности и двукратной диффе­
ренцируемости внутри области. Этим условиям удовлетворяет разло­
жение
°(г>^)-2У0Л,1|)Л,,
(187)
/Л
где
Фл= \ 0- г*)г2(/-1'>([1+(-1)*]г*sin+ +
+ П—( —1)*_ |]г*-1 cos
-j-
Ограничимся при вычислениях первыми четырьмя членами ряда (187):
0= 0ц(1-Г2)+
+012(1-г2)г2+
+021 (1— г2) r2s1*пф +
+ 022 (! — г7) r 2cosiJ).
Коэффициенты разложения
определяются
из системы
уравнений типа (169). На
рис. 79 показаны изохроны —
геометрические места точек
на фазовой плоскости, соот­
ветствующие равному сред­
нему времени достижения
границы. Изохроны построе­
ны при следующих значениях
параметров: р, = 5,0; Я=0 ,05;
а = —1,1;Р=0,26;а=0,63;
v0= 0,37;b=0,ЦЗ.Из гра­
фиков видно, что изохроны смещены в направлении биссектрисы вто­
рого квадранта фазовой плоскости. Отсюда следует, что среднее время
достижения границы для изображаемой точки, находящейся при t = 0
во втором квадранте, превышает соответствующее время выхода на
границу из точек, расположенных симметрично в других квадрантах
фазовой плоскости.
§ II 1.12. Элементы теории надежности распределенных систем
Расчет надежности распределенных систем требует распростране­
ния теории случайных выбросов на случайные поля и случайные про­
странственно-временные процессы. Эта область теории случайных функ­
ций разработана весьма слабо. Обзор исследований, относящихся к
статистике морского волнения, содержится в статье Лонге-Хиггинса
[69]. Некоторые дополнительные результаты совсем недавно были по-


лучены Ю. К. Беляевым [6]. Ниже мы дадим вывод некоторых соотно­
шений теории выбросов случайных полей; этот вывод является обобще­
нием результатов, относящихся к одномерным случайным процессам.
Д ля определенности рассмотрим /г-мерное скалярное случайное
поле ц(г), заданное в области G. Примером может служить поле пере­
мещений в тонкой пластине, поле интенсивности напряжений (второго
инварианта девиатора напряжений) в трехмерном теле и т. п. Поле и(г)
будем считать дифференцируе­
мым по каждой из координат
хъ х2,
хп. Предположим,
что допустимые состояния удо­
влетворяют условию v(r) < v*,
где v* — некоторая
величина
из области возможных значений
поля. М ера1надежности оказы­
вается в этом случае функцией
области G и вводится следую­
щим образом:
P(G)=p[sup,(r)<^] (188)
Д ля получения оценок надеж-
ности P(G) применим способ,
аналогичный тому, который ис­
пользовался ранее в теории на­
дежности дискретных систем.
Выделим в объеме G множество
точек, дл я которых и(г) > и*.
Совокупности этих точек обра­
зуют подмножества Gi(u*), G2(u*),. .. множества G. Эти подмножества
будем называть выбросами поля и(г) за уровень и* (рис. 80). Матема­
тическое ожидание числа выбросов за уровень v* в единице объема
обозначим через v+(t;# ; г). Математическое ожидание числа выбросов
в объеме G вводится как
Рис. 80
W+(».; G) = J v+ (t>«; г)dr,
(189)
rpxedr = dx1 dx2 dxn. Вычислив значение ЛЛ|_(а*, G), далее можем
применить оценки типа (100), (106) и т. д. для функции надежности
P(G). В самом деле, строгая оценка снизу выражается через матема­
тическое ожидание числа выбросов в объеме G следующим образом:
P(G)>l-tf+(o,;G).
(190)
Если поле о(г) достаточно перемешанное, а уровень к* достаточно вы­
сок, то выполняется асимптотическое соотношение
P(G)«exp[—N+(vt\G)].
(191)


В случае / 1 = 1 среднее число выбросов определяется по формулам
(49) и (50). Обобщение этих формул на случай
1 встречает затруд­
нения. Если поле и(г) является дважды дифференцируемым по любой
из координат, то целесообразно заменить формулы (190) и (191) анало­
гичными формулами, содержащими математическое ожидание числа
максимумов. Действительно, в пределах одного выброса за уровень
v* содержится хотя бы один максимум. Отсюда математическое ожи­
дание Аммане (V- G) числа максимумов в объеме G, превышающих уро­
вень с1*, связано с числом выбросов Nл.(и*; G) соотношением
^максК; G)> (V.,. (У,; G).
(192)
Учитывая формулы (190) и (192), получим для надежности P(G) стро­
гую оценку снизу
P(G)>l-tfMaKC(0.;G).
(193)
Если уровень у* достаточно высок, то можно ожидать, что в преде­
л ах каждого выброса будет, как правило, не больше одного максиму­
ма. При этих условиях приближенное равенство имеет вид
Аммане (»,; G) л N+(iy, G).
(194)
Это соотношение может быть использовано для вычисления функции
надежности высоконадежных систем. Из формулы (194) получаем
P(G)^l-yMaifC(y,;G).
(195)
Формула (191) принимает вид
P{G) exp 1— WMaKC(iy, G)].
(196)
В оценках (192) и (193), а также в приближенных формулах (195)
и (196) в общее число максимумов включались максимумы, достигае­
мые на границе области G. Если поле однородно, а характерный
размер выбросов Цч*) мал по сравнению с характерным размером об­
ласти R (рис. 80), то доля максимумов, достигаемых на границе, бу­
дет достаточно мала. В самом деле, математическое ожидание числа
выбросов, расположенных в области G, имеет порядок отношения
объема области к объему, приходящемуся на один выброс. Отсюда
*+(«.;G)~(^)n
где г — характерное расстояние между выбросами; п — число измере­
ний пространства. В то же время математическое ожидание числа вы­
бросов, выходящих на поверхность S, имеет порядок отношения объе­
ма поверхностного слоя толщиной К к характерному объему одного вы­
броса;
£*+(*.; С).


При достаточно высоком уровне о* имеет Место соотношение h(v#) С Й,
откуда W+(iv, S) « N+ (u*; S)*
В дальнейшем под N MaKC(v#; G) будем подразумевать математичес­
кое ожидание числа внутренних (аналитических) максимумов поля
у(г) в объеме G. При таком истолковании строгие оценки (192) и (193),
вообще говоря, утрачивают смысл. Однако сохраняют смысл прибли­
женная формула (194) для числа редких выбросов, а также основан­
ные на ней приближенные формулы (195) и (196) для функции надеж­
ности высоконадежных систем**
Дальнейшее содержание настоящего параграфа посвящено вычис­
лению среднего числа v M?1KC(и#; г) аналитических максимумов поля в
единице объема. Это число связано с Л^М1Ь.С(и*; G) формулой
Лемане (».; G) = I vMaKC(t',; г) dr.
(197)
G
Вычислим среднее число vM1KC(w!)1, г) максимумов в единице объема.
Получаем соотношение
,(vt\г) = Пш
Дг-*•О
Р1(*у. Дг)
Дг
(198)
аналогичное соотношению (70). Здесь Px{v^\ Дг) — вероятность слу­
чайного события, состоящего в том, что внутри параллелепипеда объе­
момДг=
Д*2 ... Д*п о кажется один максимум, превышающий
уровень и*. Условие Д г - ^ 0 следует понимать в том смысле, что длины
сторон параллелепипеда Д*ь Дл:2, ...» Д*п имеют одинаковый порядок
Дг ->■ 0, т. е. равномерно стремятся к нулю.
Введем обозначение для п-мерного вектора ср = (срь <р2, •••, Фп), где
Фj^dvldx/. Далее введем /г2-мерный вектор х = (хп , х 12,
х пп), где
d2v
~
dXj dxk
(часть компонентов этого вектора будет равна между собой попарно
в силу симметрии матрицы xJh). Обозначим через К(+) множество
векторов х, которым соответствует положительно определенная мат­
рица Kjhi а через К(-)
—
множество векторов, которым соответствует
* П редп ол а га етс я, что характер ные размеры выбросов по всем направле­
ниям имеют одинаковый по рядок . Примером поля пр отиво пол ож но го типа может
служить совокупность плоских параллельных волн, т. е . поле с волновыми чис­
лами kxф 0, /е2= kn=
= kn = 0. Если G — ограниченная область, то лю­
бой выброс этого поля выходит на повер хнос ть S.
** В статье В. В . Болотина «О на деж ности распределенных систем» (Труды
МЭИ, вып. 74, И зд . МЭИ, 1970) даны улучшенные оценки, связывающие сред­
нее число выбросов со ср ед ним числом критических точек поля.


отрицательно определенная матрица Хд. Вероятность
Дг) за­
писывается следующим образом:
у*—Ду< у(р)< оо-
р1(у»;Дг)=р
ф(р) 6Дф
*(р)£К<-)
р6Дг
1..
Здесь Ду — О(Дл), Дф — параллелепипед в пространстве ф, включаю­
щий точку ф = 0 и имеющий стороны
П
Дф,- = 21 Д-гк+ о(Дг); (/= 1, 2,.... //).
Объем этого параллелепипеда, очевидно, будет
Дф = Idet [y.jh]IДг + о(Дгп).
(200)
Пусть задана совместная плотность вероятности для полей у(г), ф(г),
х(г):
р(у, ф, х; г)= р(у;ф1(ф2, .... ф„; хп, х1г, .... хпп;г).
Вероятность (199) выражается через эту плотность вероятности сле­
дующим образом:
оо
Pi(а*, Дг)= J dxjdtp j p(v,ф,x;г)da
»еК(_) Дф v*-Av
При достаточно малом объеме Дг и медленно меняющейся подынтег­
ральной функции правая часть этой формулы может быть упрощена.
В самом деле, с учетом формулы (200) можем написать что
J Ф(ф)dy= Ф(0)|det [x;h]|Дг+ о(Дгп).
Дф
Формула для вероятности обнаружения аналитического максимума
принимает вид
оо
Рг(у,; Дг) = Дг ^dv 5 Р(у>°> * 'г)ldet K'ftl1+0(Дг")-
<„
*еК(_)
Подставляя это выражение в формулу (198) и переходя к пределу при
Дг ->■ 0, получим окончательную формулуv
vMaKc(О.;г)=5dv 5 Р(у, О,х;г)|det[хл]|dx.
(201)
г* *ек(_)


Из формулы (201) легко выводятся другие формулы, относящиеся
к распределению максимумов случайного поля. Так, для полного числа
максимумов в единице объема имеем формулу
оо
vMaiiC(— °°; г)= § dv 5 р(v, О, х; г)|det[хЛ|]|dx.
(202)
—оо
^
Плотность распределения максимумов определяется как
РмаксК; Г)
VMilKC(v*\ r)
^макс ( 143i г)
(203)
Подставляя в (203) выражение (201), получим следующую формулу
Рмакс (»* ; г) = ---------- г ----------г
f РК . 0, х; г)|det[хЛ]|dx (204)
VMaifc(—^ г) J
*6К(_)
и т. д. Аналогично выводится соотношение для минимумов случайного
поля. Так, математическое ожидание числа минимумов в единице объе­
ма, превышающих уровень v%, дается выражением
оо
VM..HК ; г) = $dv $ Р(V, О, х; г)|det [xjk]|dx.
(205)
г* * ек(.|_)
Формулы (201), (203) и (205) аналогичны по структуре формулам (71),
(75) и (73) из теории одномерных случайных процессов.
Применим формулу (201) для вычисления среднего числа максиму­
мов двумерного случайного поля. Пусть п = 2. Тогда х£К(-~ ), если
выполняются условия
хи <0, х22< 0, det [xJh]= хп х22—Xi2
>0
.
Формула (201) принимает вид
000
0
]ЛсцХ22
*макс(0*) = 5
SdKU S dx22 J ___ (х1ХХ22—Х?2)X
V*
—°°
—УХцХ22
Xp(v, 0, 0, xn , х22, x12)dx12.
(206)
Рассмотрим в качестве примера однородное гауссовское поле v(Xi,x2)
с математическим ожиданием, равным нулю, и спектральной плот­
ностью S v(klt k2). Введем шестимерный вектор и = (у, ср1? ф^, х И,
х 2 2 , х 1 2) . Совместная плотность вероятности компонентов этого век­
тора записывается в виде
1
/166
\
р(и) = ------ —
ехР
И 2 l“Pu“up
(2я)3 У det К
V 2<z=ie=i
1
Здесь К — шестимерная квадратная матрица с элементами
ТСар —(^а ^р)>


a L = К- 1 . Принимая во внимание формулу
/- даv*
дРи
дх?‘ дх?,’
дл-Р- дх?,'-
/
ОО оо
:(— 1)аt'a+P J J Sv(kv
связывающую моменты второго порядка от производных поля ц(г)
через дисперсии функций v, Ф1
»Ф2
»Хц,X22иXj2.В
= а 1+ а 2, р = р1+ р2-Н результате получаем
-
2
Ov00—«4.■
2
~°Ч>! 0 -
0_2
°<Pi 0
0
00
к=
00_2
Оф, 0
00
^2
—аФх0
0
о
°Х„
<а0
2
—аФ*0
0
0
000
00<2_
(209)
Мы видим, что часть элементов матрицы К обращается в нуль. На­
пример,
оо
оо
<i^cpi) = t §
Sv (kx, k2)kt dkt dk2—0
-
00—00
вследствие соотношения S v{ku k2) = Sv(—klt k2). Далее,
СО
OO
(cp*iXi2) = / § $ Sv(kv k2) k\ k2dk1dk2= 0
—
OO—OO
вследствие соотношения S v(ki, k2) = SD(klt —k2) и т. д. В результате
совместная плотность вероятности (207) представляется в виде произ­
ведения трех плотностей вероятности
P(u) = Pi(y>xu. х2г)РаOPi>Фа)Рз(х1г)»
а основная формула (206) принимает вид
оо
О
О
vMai<c(о.) = р2(О, 0)J dv $ I f (xu , х22)Pi(v, xu , x22)dxndx.12
.
—
OO—OO
( 210)
При этом использовано обозначение
УKll^22
/(Хц , х22)= $ (ХцХ22 ^12)Рз(^12)^Х12*
—
YTin *32
(211)


Для плотности вероятности pv(p, х ш х 22) имеем выражение типа
(207)
Р(»)~
vS/al/TTT ехр ( --- r S
S 5ар«а«р)
(212)
det А
\ 2a=ip=l
/
Здесь u = (и, хш х 22); А — матрица, составленная из соответствую­
щих элементов матрицы К, т. е.
(213)
9
V~v
1
Q
9-
аФг
1
Q
н
е
2
ах
*и
9
(ТХ*12
2
2
2
а ф2 С7Х*12
(Jx
*22 J
В — соответствующая обратная матрица. Как видно из формулы (209),
компоненты срх и ср2 стохастически независимы. Отсюда для совмест­
ной плотности вероятности производных поля v(xXy х2) получаем фор­
мулу
■Рг(Ч>1
.
ф8) = 2яаф1афг
ехр
(214)
Наконец, для смешанной второй производной х 12 имеем распределе­
ние
Рз (Х12)
(215)
Вычислим функцию/(хп , х 22), входящую в правую часть формулы
(210). Согласно соотношению (211)
Yx.it X.22
YxltХпп
/(Хц, х22)г-Х ц х225 Рз(Х12)^Х12
5 Рз(Х12)Х12^Х12.
—УхцХ22
—Yx>\ \ х22
Подставляя сюда выражение для /?3(х12) согласно формуле (215) й за­
мечая, что
1г
——
1 е 2dx —ФДы);
/2л
U
1Г——
------
\ х2е 2dx = 1—prs3(«),
/2л L
где Фу(и) — интеграл Лапласа, а prs„u — функция х-распределения
Пирсона
prsnu
оо
■У2
е 2dXy


получаем
f (*11> Х2г) = Х11X22®1
V*n У-г-1
)
9
1—prs3
(
У*п *гг \
ax„ )
(216)
С учетом формулы (216) выражение для среднего числа максимумов
(210) принимает вид
100о°
vMa„c(y*) ^ 2ла о $ dv S $ f(хп- *ts)Pi(0. *1
1
.x2
2) dxn dxss. (217)
<Pi Фг
—
oo —oo
Таким образом, определение среднего числа максимумов поля v(xly х2)
сводится к вычислению кратных квадратур от произведения функ­
ции (211) на совместную плотность вероятности (212) поля и его вто­
рых производных. Эти вычисления уже не могут быть проделаны в об­
щем виде. Но при некоторых частных предположениях (например,
при предположении об узкополосности поля) аналитические труднос­
ти могут быть преодолены. В дальнейшем остановимся подробнее на
случае узкополосного поля.
Пусть спектральная плотность S v(ku k2) имеет вид
Sv(k1. *s)=T 6(l*i|-*i)e(l*,|-*2).
(218)
где k°\ и k2 — волновые числа, в окрестности которых сосредоточена
энергия поля. Непосредственные операции со спектральной плотностью
(218) приводят к матрице (213) с определителем, равным нулю. Поэтому
для построения совместной плотности вероятности р^и, хи , х 22)
используем следующие соображения. Если поле v(xu х2) — узкопо­
лосное, то его реализации будут мало отличаться от двоякопериоди­
ческого поля с длинами волн 2л/&? и 2ji/k%. Поэтому приближенно мож­
но принять, что
Хц
k1 V, Xoo
k.2 V.
Тогда совместную плотность вероятности рА(и, хп , х 22) можно пред­
ставить В виде
Pi(v, * 1
1
. x22)^p(v)b(xn + k°[2v)b(x,2+k°o2v),
(219)
где
',(1,)=, ^ к ехр(-й)'
<220)
Подставляя выражения (219) и (220) в формулу (217) и замечая, что
оо
^ I f(*п, *22)Pi(v>xn> x2
i) dx„ dx2
2
—
00—00
_
fp(v)f(—kfv , — kfv), если v^O;
1
0,
если y<0,


получим следующую формулу для среднего числа максимумов, превы­
шающих уровень v.M> 0:
:
111”®1
['■
“ prSi ШИехрЬ т ;)«'•
1 vг*
( 221)
Таким образом, вычисление среднего числа максимумов сводится к од­
нократным квадратурам.
В случае редких максимумов (и* > а„) могут быть получены более
простые формулы. Замечая, что при больших и выполняются асимпто­
тические соотношения
Фх(«)=! -)
2~y;1 1,з
—
е
2 \ --------------Ь
п
\и и3
иъ
prsЗи =
2
—
е
я
и*_
2
получим, что
U2Фх(и)— 1 -|- prSg и —U2JT0(1).
Таким образом, при v% ои формула (221) может быть представлена
в виде
5ю-
*? л0
я2
(2д)3/2 аЭ
ОО
1°'
v
г*
ехр|-^
dv.
( 222)
Из этой формулы, в частности, видно, что редкие максимумы асимпто­
тически следуют такому же закону, что и распределение Максвелла
__
и?_
р(и)=const-и2е 2
Интеграл в правой части формулы (222) выражается через исполь­
зованную ранее функцию ^ -распределения Пирсона:
|х2е ~dx = j/yprs3K.
U
Отсюда
fe? k°9
/\
prs, (— )•
Однако если согласовывать уровень точности со введенными Ранее
предположениями, то функция p r s3a должна быть заменена ее асцмп-


тотическим выражением. В результате приходим к окончательной
формуле для среднего числа максимумов, превышающих достаточно
высокий уровень v*
ои:
VMUKC(^*)~
(^ tuexp
(223)
Для определения полного числа максимумов формулы (222) и (223)
непригодны. Вместе с тем, как нетрудно заметить
^макс (
= Const •hi &2»
где константа имеет порядок единицы.
Формулы (222) и (223) могут быть обобщены на случай однородного
узкополосного поля в пространстве произвольного числа измерений.
На подробностях здесь не останавливаемся. Эти формулы могут быть
такж е использованы для оценки среднего числа выбросов (и, следо­
вательно, надежности), если качество системы описывается функцией
v(x, t) координаты х и времени t. В этом случае одно из волновых чисел
заменяется эффективной частотой процесса*.
§ III .13. Примеры оценки надежности распределенных систем
Рассмотрим тонкую упругую оболочку с малыми начальными не­
правильностями. Пусть свойства начальных неправильностей, нагруз­
ки и геометрии оболочки таковы, что применима корреляционная тео­
рия докритических деформаций, изложенная в §11.3 . Предположим,
что мерой качества системы является близость срединной поверхности
нагруженной оболочки к идеальной форме. Примем за параметр ка­
чества полное нормальное отклонение точек срединной поверхности
v = w0 + до, где w0(г) — начальное отклонение, ш(г) — дополнитель­
ное упругое перемещение по нормали к срединной поверхности. Пре­
дельное значение полного отклонения обозначим через v*. Условие
качества принимает при этом вид|и| <
а функция надежности оп­
ределяется по формуле (188). Здесь G — область, занятая срединной
поверхностью оболочки.
Отвлекаясь от краевых эффектов, можем использовать для оценки
надежности результаты из §11.3 . Пусть перемещения достаточно малы.
Тогда можно ограничиться первым членом ряда в формуле (11.42) для
оу(г). Полагая параметр малости |х равным единице, получим прибли­
женное соотношение
vxw0+wv
(224)
Обозначим спектральную плотность полных отклонений через S 0(k),
С учетом формул (224) и (11.48) получим
_________
5г,(к) = [1+ ^(к)]25а,.(к)>
(225)
* Подробности можно найти в статье: Болотин В .В . Теория надежности р ас­
преде ленны х механических систем. ^Механика твердого тела», 19G9, No 6.
9 Зак. 1481
241


f-де передаточная функция F(k) определяется по первой формуле (11.49).
Если случайное поле w0(г) является гауссовским, то в рассматривае­
мом приближении поле u(r) такж е будет гауссовским. Тогда для опре­
деления математического ожидания числа максимумов v MaKC (о*) на еди­
ницу площади срединной поверхности, превышающих уровень и*, мож­
но применить формулу (217). После этого надежность оценивается по
формулам (195) и (196).
Произведем вычисления для пластины, начальные неправильнос­
ти которой образуют узкополосное гауссовское случайное поле. Тогда
согласно формуле (11.90) аппроксимируем его спектральную плотность
как
SwAk)= --^ 8(|M-*o)6< \k2\-k0).
(226)
Передаточную функцию T^k) найдем по первой формуле (11.49), пола­
гая в ней Rx-*■оо; R2
—о
о;NX1= N22= М; Nn—0:
F(k)=
N
{k\+ kl)D + N
(227)
Используя формулы (226) и (227), вычислим по формуле (225) спект­
ральную плотность S„(k)
S„(k) = ^-6(| kx\— А’о)6 ( |k2\—kQ),
где o„ — дисперсия полного отклонения v, т. е.
2а„
v 2+п
В формуле (228) использовано обозначение (II.92), т. е.
N
я-т&-
(228)
(229)
Заметим, что дисперсия ol остается конечной, пока
— 2. Равенство
п = —2 соответствует достижению сжимающими усилиями N крити­
ческого значения М.,.(&„, k0), которое вычисляется по линейной теории
приkx= k2=k0.
Математическое ожидание числа максимумов поля и(г) на единицу
площади, превышающих достаточно высокий уровень v*, находится
по формуле (223):
^макс iv*) —
(2n?f2°v
exp
(230)


Функция надежности P(G) оценивается далее при помощи формул (195)
или (196). Первая формула дает для надежности оценки снизу*
P(G)^1
k20G
V2n3/2
Согласно второй формуле получаем
Р(G)^ ехр
ко0 1'*
/2я3/2Ч еХР
В этих формулах G — площадь, занимаемая срединной поверхностью
пластины. Напоминаем, что выбросы на границе области, а также крае­
вые эффекты в этом расчете не учитываются.
Оценка надежности из условий прочности встречает большие труд­
ности. Пусть, например, поставлено требование, которое базируется
на условии пластичности типа Мизеса:
Ш11-f-т\2— ШцШ%2-f-Зш12^ ^
2
Здесь Шц и т22 — изгибающие моменты в пластине; т12— крутящий
момент; т* — предельное значение момента. Дл я определения функ­
ции надежности
Р(G)= РJт\1
(г)+ Ш2
2
(г)—тп (г) т22(г) + Зт]2(г) <
(231)
надо уметь оценивать вероятность выбросов тензорного поля nijh(г).
Если ввести скалярное поле приведенного момента
mr==Vт\\ +ml2—гпцГПю+ Змм •
то вместо (231) получаем более простое выражение
P(G)=Р[supтг(г)< тЛ.
(232)
[гео
J
Однако приведенный момент тг(т) связан с компонентами mjk(г) и,
следовательно, с полем до0(г) нелинейными соотношениями. Поэтому
при гауссовском поле w0(r) поле mr(г) гауссовским не будет, и формулы
(217) и (223) для оценки надежности (232) непригодны. Еще одна труд­
ность связана с тем, что при расчете на пр°чность>во°бще говоря, не­
обходимо учитывать краевые эффекты. Как было показано в §11.4,
* При этом просуммировано число редких выбросов за уровни и* и
v,
(см. § II 1.7).


ha защемленном контуре пластины коэффициент концентрации по д и с ­
персии изгибающего момента может существенно превышать единицу.
Отсюда следует ожидать, что основной вкл ад в снижение надежности
будет внесен краевыми эффектами.
Пренебрегая вероятностью выброса приведенного момента шг(г)
во внутренней области, возьмем условие прочности в виде
mr(r)<m* (г6у)>
где у — контур пластины. Если контур у защемлен, то приведенный
момент на контуре равен взятому по модулю изгибающему моменту
т (г). Последний пропорционален второй производной от доа(г) по нор­
мали к контуру и представляет собой сечение гауссовского поля. Д л я
вычисления среднего числа положительных пересечений моментом
m(r) уровня т.л
.
на единицу длины контура применим формулу (58):
v+(m,)=texp(-^).
(233)
Здесь От — дисперсия изгибающего момента на контуре, ke — эффек­
тивное волновое число. Д л я границы, совпадающей с линией х1 =
= const, имеем
оо
Gт= 5
(^г) ^2»
где Tm(k2) — спектр альная плотность, определяемая по формуле
(11.89), а ке определяется по формуле (11.71).
Пусть спектральная плотность начальных неправильностей имеет
вид (226). Тогда ke = k0l а от определяется по формуле (11.91):
°т=
Doоп|/
(234)
Здесь по-прежнему п—параметр нагрузки (229). По формуле типа (100)
определим функцию надежности. Пусть контур пластины образован
линиями хх = const, х г = const. Среднее число выбросов на единицу
длины этих линий вычисляется по формуле (233). Обозначая длину
защемленного контура через Л , получим
Р(Л)^1—^ехр
л


Здесь просуммированы средние числа выбросов за уровни v и —и.
Заметим в заключение, что ввиду узкополосности поля полученные
оценки надежности могут оказаться сильно заниженными. Чтобы
получить лучшее приближение, необходимо использовать понятие о
выбросах огибающей поля (см. также § II I.7).*
* Некоторые другие примеры можно найти в статьях: Боло тин В . В. Тео­
рия надежности распределенных механических систем. «Механика твердого
тел а», 1969, No 6; Беляев Ю. К . , Распределение максимума случайного поля и
е го применение к задачам надежности, «Техническая кибернетика», 1970, N° 2


1.Андреев Г.А., ГицИ.Д.Усталостнаядеформацияприслучайных
н агр узках с различным спектром. Извес тия высш. у чеб н. за вед ен ий . «Машино­
строение», 1968, No 3.
2. АндроновА. А
., ПонтрягинЛ. С
., ВиттА. О ст атис тическо м
расс мотре нии д ина мичес ких систе м. « ЖуРнал экспер имен тал ьной и т ео рет ич ес­
кой физики», 1933, т. 3, N° 3.
3. А р с о н А. Д . , МалашенкоЛ. А . К статистическому анализу несу­
щей спо со бн ос ти тонкосте нных систем Сб. «Проблемы над еж ности в строительной
механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
4. Багдасарян Г. Е . , Г н у н и В . Ц . Применение статистического
метода д л я исс лед ования устойчивости цили ндрич еской оболоч ки п од действием
осевых усилий. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике», Изд.
РИНТИП, Вильнюс, 1968.
5. Б е л я е в Ю. К. О числе пересечений уровня гауссовским случайным
процессом. Теория вероятностей и ее применения, 1966, т. 11, No 1; 1967, т. 12,
No3.
6. Б е л я е в Ю. К. О всплесках и бликах случайных полей. Доклады АН
СССР, 1967, т. 176, No 3 .
7. Б е л я е в Ю. К. О числе выходов векторного случайного процесса за
границу области. Теория вероятностей и ее применения, 1968, т. 13, No 2.
8. Б и р г е р И. А. К математической теории технической диагностики. Сб.
«Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП , Вильнюс. 1968.
9. Благонадежин В. Л
., Кудрявцев Е . П . Статистическое ис сл е ­
до вание деформа ций песчаных оснований и трубоп ро во до в подземных волно-
водных линий свя зи . Док лад ы на уч но-т ехн. конф. МЭИ, «Динамика и прочность
машин». Изд. МЭИ, 1965.
10. Благонадежин В. Л
., Москале н ко В. Н. Изгиб многопро-
ле тны х ква зи р егу л яр ны х б ало к со статистическими хар актер истиками. «Строи­
тельная механика и расчет сооружений», 1969, N° 2.*
* Список лит ер атуры со д ерж ит работы, на которые сделаны ссылки и текст е,
а также некоторые публикации последних лет. Более полную библиографию
ранних работ можно найти в книге [14] ив обзорной статье [28]. Ссылки на
некоторые работы, вышедшие из печати в 1969— 1970 гг. даны в подсТр0 чныХ
примечаниях к основному тек ст у книги.


И . Болотин В. В. Статистические методы в нелинейной теории упругих
оболочек. Известия АН СССР, ОТН, 195 8 , N° 3.
12. Б о л о т и н В. В. Применение статистических методов для оценки проч­
ности конструкций при сейсмическом воздействии. Инженерный сборник, 1959,
т. 25.
13. Болотин В. В . Уравнения нестационарных температурных полей
в то нких упругих оболочках при наличии источников тепла. «Прикладная мате­
матика и механика», 1960, т. 24, No 2.
14. Болотин В. В . Статистические методы в строительной механике.
Стройизд ат , 1961 (и зд. 1), 1965 (изд. 2).
15. Б о л о т и н В. В. О влиянии безмоментного напряженного состояния
на спектры собственных колебаний тонких упругих сболочек. Известия АН СССР,
«Механика и машиностроение», 1962, No 4 .
16.БолотинВ.В., ГольденблатИ.И.,СмирновА.Ф.Совре­
менные проблемы строительной механики. Стройиздат, 1964.
17. Болотин В. В . Применение методов теории вероятностей в теории
пл астин и оболочек. Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и
пластин. Изд. АН Арм. ССР, Ереван, 1964.
18. Болотин В. В., Ма к ар о в Б. П. Оприближенном решении неко­
торы х задач статистической динамики. Известия АН СССР, «Механика», 1965, N° 3.
19. Б о л о т и н В. В . Об упругих деформациях подземных трубопроводов,
прокладываемых в статистически неоднородном грунте. «Строительная механика
и расчет сооружений», 1965, N° 1.
20 Болотин В. В . Стохастические краевые задачи в теории пластин и
об ол оч ек . Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.
«Наука», 1966.
21. Болотин В. В
., Москаленко В. Н. Случайные термоупругие
н а пряж ен ия в обо ло ч ках. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек
и пла сти н. «Наука», 1966.
22. Б о л о т и н В.. В. Механика твердого тела и теория надежности. Тру­
ды II Всесо юзно го съезда по теоретической и прикладной механике. Механика
твердого тел а. «Наука», 1966.
23. Б о л о т и н В. В. Теория армированной слоистой среды со случайными
начальными неправильностями. «Механика полимеров», 1966, N° 1.
24. Б о л о т и н В. В. Слоистые упругие и вязко-упругие среды с малыми
начальными неправильностями. «Механика твердого тела», 1966, N° 3.
25.Болотин В.В., МоскаленкоВ.Н.Макроскопические коэф­
фициенты теплопроводности и диффузии в микронеоднородных твердых телах.
«Журнал прикладной механики и технической физики», 1967, N° 6.
26. Б о л о т и н В. В. Поля давлений внутри оболочек, совершающих сл у­
чайные кол ебания. «Механика твердого тела», 1968, N° 1.
27. БолотинВ. В.,МакаровБ.П. Корреляционная теория докрити-
ческих деформаций тонких упругих оболочек. «Прикладная математика имехани-
ника», 1968, т. 32, N° 3.
28. Болотин В. В. Применение вероятностных методов в строительной
меха нике. Сб. «Строительная механика в СССР за 50 лет» (под ред. И. М. Раб и­
но вича). Стр ойиздат, 1969.
29.БолотинВ.В.,МоскаленкоВ.Н.Красчетумакроскопичес­


ких по ст оянных сил ьно изотропных ко мпозитных материалов. «Механика твер­
дого тела», 1969, No 4.
30.БолотинВ.В., ЕлишаковИ.Б., ЕфимцовБ.М
.
Мос­
каленко В. Н ., Ш а р ы й Н. В . Методика расчета акустических полей внут­
ри подкрепленных оболочек. Доклады научно-техн. конф. МЭИ, «Динамика и проч­
но сть машин». И зд . МЭИ, 1969.
31. Бруевич Н . Г. Вопросы н ад еж нос ти и точности эл ектронных
устройств в машиностроении и приборостроении. Известия АН СССР, ОТН
« Энергетика и автоматика» , 1961, No 1.
32. ВикторовЕ. Д
., КоловскийМ. 3 . Приближ енный син тез о п ­
тимальных амортизирующих устройств. Сб. «Проблемы надежности в строитель­
ной механике», Изд. РИНТИП . Вильнюс, 1968.
33.ВольмирА.С., КильдибековИ.Г.Нелинейныеакустические
колебания цилиндрической оболочки. Известия АН Арм. ССР, 1964, т. 17, No 3.
34.ВольмирА.С., КильдибековИ.Г.Вероятностныехаракте­
ристики по ве де ния цил индрическо й оболо чки при дейс твии акустичес кой на ­
грузки. «Прикладная механика», 1965, т. 1, No 3.
35. В о л ь м и р А. С. Устойчивость деформируемых систем. «Наука», 1967.
36.ВольмирА.С., КильдибековИ.Г.Вероятностныехаракте­
ристики поведения пологой оболочки в акустическом поле. Сб. «Проблемы надеж­
ности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
37. В о р о в и ч И. И ., Некоторые вопросы использования статисти­
ческих методов в теории устойчивости пластин и оболочек. Труды IV Всесоюзно’’:
конференции по теории оболочек и пластин. Изд. АН Арм. ССР, Ереван, 1964.
38. Гайнуллина С. X . Учет н ад еж но сти при проектиро вании ко н­
ст рукций наименьш его веса. Сб. «Проблемы над еж н ост и в строител ьной м ех а ­
нике». Изд. РИНТИП , Вильнюс, 1968.
39.ГицИ.Д., ТацийВ.Г.Квопросуоточностиуправленияпроцессом
устал ос тны х испытаний. Сб. «Проблемы на деж но сти в строител ьной механике».
Изд. РИНТИП . Вильнюс, 1968.
40. Г и е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. Физматгиз, 1961.
41. Гнеденко Б. В
., Беляев Ю. К
., Соловьев А. Д . Математи­
ческие методы в теории надежности. «Наука», 1965.
42. ГольденблатИ. И
., Николае нкр Н. А. Расчет конструк­
ций на дей ствие се йсми че ски х и импульсных сил . Стр ойизд ат, 1961.
43. Г о н ч а р е н к о В. М. Колебания пластин из нелинейного упругого ма­
териала в однородном поле случайных давлений. Сб. «Проблемы надежности
строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
44. Г у с е в А. С. К анализу выбросов случайных функций. Известия высш.
учебн. заведений. «Машиностроение», 1967, No 3.
45. Гусев А. С. К теории надежности стареющих элементов. Сб. «Проб­
лемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
46. Д и м е н т б е р г М. Ф. О нелинейных колебаниях упругих оболочек
при случайных нагрузках. Теория оболочек и пластин. Изд. АН Арм. ССР, 1964.
47. Димснтберг М. Ф. Оценка статистических ош иб ок в определ ении
некоторых хар актеристик на д еж но сти . Сб. «Проблемы на де жно сти в строительной
механике». Изд. РИНТИП . Вильнюс, 1968.
48. Д р и в и н г А. Я . К определению числовых характеристик надежнос­


ти конструкций сооружений с чисто экономической ответственностью. Сб. «Про­
блемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
49. Е к и м о в В. В. Вероятностные методы в строительной механике ко­
рабл я. «Судостроение», Л ., 1966.
50. Е ф и м ц о в Б. М., Москаленко В. Н . Возбуждение многопро­
летных пластин в случайном акустическом поле. Сб. «Проблемы надежности
в строител ьной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
51. И с а е в А. С. О применении игровых подходов в прочностных задачах
Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс,
1968.
52.КадашевичЮ.И., НовожиловВ.В.Обучетемикронапря­
жени й в теории пластичности. «Механика твердого тела», 1968, No 3.
53. К о з л я к о в В. В . Об оценке усталостной долговечности конструкций
при нестационар ном нагружении. Сб. «Проблемы надежности в строительной ме­
ханике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
54. К о л о в с к и й М. 3 . Нелинейная теория виброзащитных систем. «На­
ука», 1963.
55.КоловскийМ.3., ОсоринВ.И., ПервозванскийА.А.
Вероятностные методы в теории колебаний. Труды II Всесоюзного съезда по тео­
ретической и прикл адной механике. «Механика твердого тела». «Наука», 1966.
56. К р е н д е л л С. Случайные колебания. «Мир», 1967.
57. Кудрявцев Е. П
., Новожилова.В., Судакова Н.И.
Ста тистическое исследование деформационных свойств песчаных основании.
«О снования, фундаменты и механика грунтов», 1967, No 6.
58. Кудрявцев Е. П
., Кириков Б. А
., Новожилова. В
.,
Суда кова Н . И. О статистических характеристиках механических неодно­
родностей подземных трубопроводов. «Строительная механика и расчет со ору­
жений», 1967, No 6.
59. Кудрявцев Е. П
., Новожилова.В., Судакова Н. И.
Экспер име нтал ьное исследование случайных искривлений подземных трубопро­
во дов. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП,
Вильнюс , 1968.
60. Ларин В . Б . Выбор параметров системы виброизоляции приборов.
« Прикладная механика», 1966, т. 2, No 6.
61. Л а р и н В . Б . Некоторые вопросы конструирования систем виброизо­
ляции прибор ов. «Механика твердого тела», 1966, No 6.
62. Л е в и н Б. Р . Теория случайных процессов и ее применение в радио­
те хн ик е. «Советское радио», 1960.
63. Л е й з е р а х В. М. Статистический анализ случайных неправильнос­
тей в цилиндрических оболочках при помощи ЭВМ. Доклады научно-техн. конф.
МЭИ, «Динамика и прочность машин». Изд. МЭИ, 1969.
64.ЛифшицИ.М., РозенцвейгА.Н.Ктеорииупругихсвойств
пол икр ист ал лов. «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1946,
т. 16, No11.
65. Ллойд, Д. К
., Липов М. Надежность. Организация исследо­
ва ния, методы и математический аппарат. «Советское радио», 1964.
66. Ломак и и В. А . О деформировании микронсодиородных упругих
т ел. «Прикладная математика и механика», 1965, т. 29, No 5.


67. Л о м а к и н В. А . Расчет на прочность и жесткость балки, изгибаемой
случайной нагрузкой. «Механика твердого тела», 1966, No 4.
68. Л о м а к и н В. А. Влияние микронеоднородностей структуры материа­
лов на их мех ан ические свойства. Сб. «Проблемы на деж ности в строительной ме­
ханике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
69. Л о н г е -X и г г и н с М. С. Статистическая геометрия случайных по­
верх ностей. Сб. «Гидродинамическая неустойчивость». «Мир», 1964.
70. Л я м ш е в Л. М. Излучение звука упругими оболочками, возбуждае­
мыми турбулентны м аэродинамическим потоком. «Акустический журна л» , 1961.
т.7,No1.
71. М а к а р о в Б. П. Применение статистического метода для ан ализа не­
ли не йных задач устойч ивости об оло че к. Т еория пластин и об оло че к. Труды II
Всесоюзной конференции. Изд. АН УССР, 1962.
72. М а к а р о в Б. П. Анализ нелинейных задач устойчивости оболочек при
помощи статистического метода. «Инженерный журнал» , 1963, т. 3, No 1.
73. Макаров Б. П
.
НагорновЛ. Н . О мо делировании некоторых
уравнен ий статистической динамики. Докл ад ы нау ч но-те хн. конф. МЭИ, « Дина­
мика и прочнос ть машин». И зд. МЭИ, 1965.
74. М а к а р о в Б. П. О прощелкивании упругой оболочки, находящейся
под действием сл уча йных сил. До кла ды на уч но -тех н. конф. МЭИ, «Дина мика и
прочность машин», И зд . МЭИ, 1965.
75.МакаровБ.П., ЧиченевН.А.Опрощелкиваниитонкихупру­
гих панел ей при случ айных импульсных н а грузках . Сб. «Расчеты на прочность»,
No 11, «Машиностроение» 1965.
76.МакаровБ.П., ЛейзерахВ.М
., Судакова Н. И. Иссле­
дова ние начальных несоверше нств цилиндрич ес ких обо лоч ек. Сб. «Проблемы
надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
77. М а к а р о в Б. П. Статистический ан ал из нес овершенных цилиндрич ес­
ких о бол оч ек . Сб. «Расчеты на прочность», No 15. «Машиностроение», 1969.
78. М а к а р о в Б. П ., ЛейзерахВ.М. К вопросу об устойчивости ци­
л индрич ес ких о б оло ч ек со случайными начальными неправильностями. Д о к л а ­
ды н а уч н о -т ех н . конф. МЭИ, «Динамика и прочность машин». И зд. МЭИ, 1969.
79. М а к с и м о в Л. С. О расчете пассивной виброизоляции на воздейст­
вия в виде стационарного случайного процесса. Инженерный журнал, «Меха­
ника твердого тела», 1966, No 3.
80. М а н е в и ч Л. И ., Прокопало Е. Ф. О статистических свойствах
несущей способности гладких цилиндрических оболочек. Сб. «Проблемы над еж ­
ности в строительной механике». Изд. РИ НТ ИП , Вильнюс, 1968.
81. Маслов Н . Т . Об оптимал ьных свойс твах амортизационны х систем
при сл учайных возм уще н иях . Изве ст ия высш. уч ебн. за ве де ни й, «Маш инострое­
ние», 1967, N° 9 .
82. Мастаченко В . Н . О статистическом модел иро вании в ст ро ител ь­
ной меха ник е. Сб. «Проблемы над еж ности в стр оитель ной мех анике». И зд .
РИНТИП, Вильнюс, 1968.
83. МовсисянЛ. А . К устойчивости цилиндрической оболоч ки со с л у­
чайными начальными на пряж е ниями . Сб. «Проблемы надеж ности в строительной
механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.


84.
М о н и н А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика. «Наука»,
ч. 1 (1965), ч. 2 (1967).
85 Москаленко В. Н . Стохастические краевые эффекты в осесиммет­
ричных зада чах термо упругости для круговых цилиндрических оболочек. «Ме­
ха ник а твердого тела», 1967, No 3.
86. МоскаленкоВ.Н. Стохастические термоупругие краевые эффекты
в пл астина х. Известия АН Арм ССР, «Механика», 1967, No 5.
87. Москаленко В. Н . Задачи термоупругости для пластин и оболо­
ч ек, н ах одящ ихс я в случайном температурном поле. Сб. «Тепловые напряжения
в эл еме нтах конструкций», т. 8, Киев, 1968.
88. Москаленко В. Н . Термоупругие напряжения в среде со случай­
ными источниками тепла. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике».
Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
89. МоскаленкоВ.Н. Случайные поля температур в пластинах и обо­
ло ч к ах . «Прикладная механика», 1968, т. 4, No 9 .
90. Москаленко В. Н . Случайные колебания многопролетных плас­
тин. «Механика тве рдого тела», 1968, No 4.
91. Новичков Ю. Н
., Новожилова. В . О деформациях балок,
л е ж ащ и х на сплошном упругом основании со случайными коэффициентами упру­
гос ти. Док лад ы нау чно-тех н. конф. МЭИ, «Динамика и прочность машин». Изд.
МЭИ, 1969.
92 Новожилов В. В . О связи между напряжениями и упругими дефор­
мациями в поликр истал лах . Сб. «Проблемы гидродинамики и механики сплош­
ной среды». «Н аука», 1969.
93. О б у х о в А. М. Статистическое описание непрерывных полей. Труды
Геофизиче ск ого института АН СССР, No 24 (151). Изд. АН СССР, 1954.
94. П а л ь м о в В . А. Распространение случайной вибрации в вязко-упру­
гом ст е р ж н е. Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд.
РИНТИП, Вильнюс, 1968.
95 П о л о в к о. А . М. Основы теории надежности. «Наука», 1964.
96. ПоповЕ. П
., Пальтов И. П. Приближенные методы исследова­
ния нелин ей ных автоматических систем. Физматгиз, 1960.
97. П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматиче ск ого управления. Физматгиз, 1960.
98. П у п ы р е в В . А. О соотношениях вибрационных и акустических воз­
действий на у пругу ю пластину. «Механика твердого тела», 1968, No 1.
99. Р а й с С. О. Теория флуктуационных шумов. Сб. «Теория передачи
эл ект рич е ских сигналов при наличии помех», Изд. ИЛ, 1953.
100. Р а й х е р В. Л. Гипотеза спектрального суммирования и ее примене­
ние к оп редел ен ию усталостной долговечности при действии случайных нагрузок.
Сб. «Проблемы надежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс,
1968.
101. Р е й т м а н М. И. Оптимальное проектирование конструкций под дей­
ствием случ айных нагрузок Сб. «Проблемы надежности в строительной механи­
ке». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
102. Р ж а н и ц ы н А. Р . Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материал ов, Стройиздат, 1954.


103. С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных функций.
Судпр омгпз, 1961.
104.СерснсенС.В., КогаевВ.П., ШнейдеровичР.М.Не­
сущая спос обность и расчеты детале й машин на прочность. Машгиз, 1963.
105. Солодовников В. В . Статистическая динамика линейных систем
автоматического упра вл ен ия . Физма тгиз, 1960.
106. СтатулявичюсВ. А
., ШепутисА. М. О распределении слу­
чайных у си л ий. Сб. «Проблемы над еж но сти в строительной мех анике». Изд.
РИНТИП, Вильнюс, 1968.
107. СтратоновичР.Л. Избранные вопросы тео рии флу ктуаций в р а­
диотехнике. «Советское радио», 1961.
108. Стрелецкий Н . С. Основы статистич еского учета коэффициентов
запаса прочности сооружений. Стройиздат, 1947.
109. Т а т а р с к и й В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере.
«Наука», 1967.
ПО. Т и х о н о в В. И. Выбросы случайных процессов. «Успехи физических
наук», 1962, т. 77, N° 3.
111. Тихонов В . И . Статистическая р ад иоте хни ка. «Советское радио»,
1966.
112. Федоров Ю. А . К ол еба ния замкнут ой цилиндрич ес кой обо ло чки
в поле случайных акустических давлений. «Инженерный журнал», 1963, т. 3,
N° 3.
ИЗ. Ф е д о р о в Ю. А. О нелинейных колебаниях прямоугольной пластин­
ки под воздействием случайных сил. «Инженерный журнал» , 1964, т. 4, N° 3.
114. фокинА. Г
., ШермергорТ.Д. К вычислению упругих модулей
гетерогенных сред. «Журнал прикла дной механики и технич еско й физики», 1968,
N° 3.
115. X о р о ш у н Л. П. Термоупругие свойства стохастически армирован­
ных сред. «Прикладная механика», 1966, т. 11. No 9.
116. Ч е р я ч у к и н В. В . Применение метода Монте-Карло к некоторым
статистическим задач ам устойч ивости и над еж но сти. Сб. «Проблемы на деж но сти
в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
117. Ч и р а с А. А. К вопросу рационального проектирования упруГОх
пластических дискретных систем при случайных нагрузка х. Сб. «Проблемы на^
дежности в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
118. Ш е й н и н В. И. Статистический анализ и оценка случайной ошибки
резуль тато в меха ничес ких испытаний горных пород. Сб. «Проблемы наде жн°с*
ти в строительной механике». Изд. РИНТИП, Вильнюс, 1968.
119. ШепутисА. О рас пред ел ении максимума случ айных ус ил ий. Ли*
товский механический сборник N° 1. И зд . «Минтис», Вильнюс, 1967.
120. Ш о р Я. Б . Статистические методы анал иза и контроля качества и на­
дежности. «Советское радио», 1962.
121. Шукай л о В. Ф. Кл асс ификация модел ей « на грузка— прочность»
и обоснование типов функций распределения ресурса механических э л е м е н т .
Сб. «Проблемы н ад еж ности в строительной механике». Изд . РИ НТ ИП , ВильИюс
1968.
122. Ш у к а й л о В. Ф. О распределении абсолютного максимума стацио­
нарного случайного процесса. «Радиотехника и электроника», 1968, т. 13, ,Ks


123. В о 1 о t i n V. V. Statistical theory of aseismic design of structures. Proc.
of Second World Conference on E arthquake Engineering, Tokyo, 1961.
124. Bolotin V. V. Broadband random v ibrations of ela stic system s . In­
ternal Journ. Solids and Structures, 1966/v ol. 2, No 2.
125. С г a m e г H. On the maximum of a normal stationary stochastic pro­
cess. Bull. Amer. Math, 1962, vol. 68, No 5.
126. Cramer H. Leadbetter M. R ., Stationary and related st ochastic
processes. John Wiley, N. Y ., 1967.
127. Crandall S. H. (editor) , Random v ibration. Technol ogy Press, Cam­
bridge, vol. 1, 1958; vol. 2, 1963 (см. также [56]).
128. Freudenthal A. M. Safety and prob ability of structural failur e.
Proc. ASCE, 1954, No 408.
129. Freudenthal A. M
., Shinozuka M. Probability of structural
failu re under ea rthqu ak e accel er ation. Trans. J ap an Soc. Civ. Engrs, 1965, No 118.
130. J ohnsonA. I . Strength, safety and economical dimensions of struc­
tures. Bull. Div. Struct. Engng, Roy. Inst. Tech., Stockholm, 1953, No 12.
131. Kauif manS., Lapinski W. L. Me C a a R. C. Response of a
single - d eg re e- of -f re ed o m is olator to a random disturbance. Journ. Acoust. Soc.
America, vol. 33, 1961, No 8.
132. P a г k u s H . Warmespannungen bei zufallsabhangiger Oberflachentcm-
peratur. ZAMM, 1962, Bd. 42, No 10—11.
133. Shinozuka M. P robability of structural failure under random lo a­
ding. Pro c. ASCE, 1964, No EM—5.
134. Shinozuka M., Henry L. Random vib ration of a beam column.
Proc. ASCE, 1965 No EM—5.
135. W e i denh ammer F. Das Schwingungsfundament unter Zufalls-
erregnung. Ingenieur-Archiv, 1961, Bd. 31, No 6.


Стр.
Предисловие
3
Введ ение
4
Глава I. Задачи и методы статистической динамики
§1.1 . Основные понятия.
11
§ 1.2 . З ада чи статистической динамики. Кл асс ификация сис тем.
17
§ 1.3. Метод реш ения зада ч дл я вырожденных систе м'
21
§ 1.4 . Метод функций Грина
27
§ 1.5. Метод стохастических дифференциальных уравнений
33
§ 1.6 . Метод спе ктраль ных п редставлений
39
§ 1.7 . Прохождение стационарного случайного процесса через стационар­
ную ли ней ную систе му
45
§
Элементы статистич еской динамики нелинейных систем
55
г§ 1.9 Ме тод статистической л ин еа риз ации
60
$ 1.Т0 . Сведения из теор ии марковских проце сс ов
65
§ 1.11 . Применение теор ии марк овских процессов к реш ению за да ч с т а ­
тис тич еской динамики.
70
Понятие о стохастических краевых задачах. Случайные поля и их
описа ние
81
£1.13? Методы решения линейных стохастических краевых задач
93
(§ТП47 Методы реш ения нел инейных с то ха стич ес ких краевых зад а ч
101
Глава II. Применение методов теории вероятностей к расчету соору­
жений
§ II.1 . Расчет балок, лежащих на сплошном упругом основании со слу­
чайными ха рактеристик ами
106
§ И .2. Расчет балок на дискретных упругих опорах со случайными ха­
рактер истиками.
116
§ 11.3. Расчет докритических деформаций тонких упругих оболочек
123
§ II . 4. Краевые эффекты при до критич еских деформациях
131
§ U .5 . Р а ст яж е ни е пластины с начальными неправиль ностями
136
*§ П.& (Случайные термоупругие напряжения в оболочках
142
"§—Н
-г7^1 Тер мо у пруги е краевые эффекты
147


§ II 1.1. .Основные понятия
152
§ II 1.2 . Некоторые простейшие задачи теории надежности
158
§ II 1.3 . Основы общей теории наде жност и.
161
§ II 1.4. Метод условных функций надежности.
171
§ II 1.5. Среднее число выбросов случайного процесса за заданный уро­
вень.
176
§ 1 1 1 .6 . Распред еле ние экстремумов случайного процесса
184
§ II 1.7. Оценки для вероятности редких выбросов и для функции на де ж­
ности
194
§ II 1.8 . Примеры вычисления функции надежности
202
§ III . 9 . Оценка функций надежности в случае многомерного пространст­
ва качества.
206
§ ШЛО. Применение теории надежности к расчету оптимальной вибро­
защиты оборудован ия
214
§ 111.11 . Над е жност ь и долговечность систем марковского типа
221
§ II 1.12 . Элементы теории надежности распределенных систем
231
§ II 1.13 . Примеры оценки надежности распределенных систем
241
Л итература.
246