В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук

ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

3-е издание,
переработанное и дополненное

Под редакцией профессора В.П. Бакалова

Допущено Министерством информационных
технологий и связи РФ в качестве учебника для подготовки
бакалавров, дипломированных специалистов и магистров
по направлению «Телекоммуникации» (210400)

Москва

Горячая линия — Телеком
УДК 621.373(075)

ББК 32.88

Б 19

Федеральная программа поддержки книгоиздания России

Рецензенты: проф. Ю.Ф. Урядников, проф. А.Е. Дубинин

Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И.

Б 19 Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П. Бакалова. - 3-е изд., пере-
раб. и доп. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007. -	с.: ил.

I8В^ 5-256-01472-2.

Излагается теория электрических цепей, на основе которой дается представление
об анализе и синтезе схем усилителей, генераторов, фильтров, корректоров и других уст-
ройств. По сравнению с предыдущим изданием расширена глава, посвященная дискрет-
ным цепям и цифровым фильтрам, в конце глав приводятся тесты для самоконтроля.

Для студентов вузов, обучающихся по направлению «Телекоммуникации».

ББК 32.88

18ВК 5-256-01472-2

© Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф.,
Крук Б.И., 2007
ПРЕДИСЛОВИЕ к 3-му изданию

В основе 3 го издания учебника «Основы теории цепей» лежит
учебник, изданный авторами в издательстве «Радио и связь» в
2000 г. [1].

Принятие новой концепции высшего образования, в основу ко
торой положена 2 х уровневая система (бакалавриат, магистрату
ра), изменение номенклатуры специальностей, потребовало внесе
ние в учебник некоторых изменений, ориентированных на новые
специальности связи и направление «Телекоммуникации».

Учитывая все большее применение цифровых методов обработ
ки сигналов, расширена глава, посвященная дискретным цепям и
цифровым фильтрам. В частности добавлен раздел, посвященный
методу переменных состояния в дискретных цепях и эффектам
квантования в цифровых фильтрах.

В подготовке 3 го издания учебника большую помощь оказали
авторам сотрудники кафедры ТЭЦ Сибирского государственного
университета телекоммуникаций и информатики (СибГУТИ) и в
частности ст. пр. Гусельникова Н.М., которым авторы выражают
глубокую благодарность.

Отв. редактор, дтн., проф. В.П. Бакалов
ПРЕДИСЛОВИЕ ко 2-му изданию

Дисциплина «Основы теории цепей» (ОТЦ) является базовым
курсом при подготовке бакалавров, магистров по направлениям
«Телекоммуникации», «Радиотехника», а также инженеров по спе
циальностям связи.

Несмотря на то, что курс ОТЦ имеет сложившуюся структуру и
уже значительную историю, бурное развитие телекоммуникаций и
информатики потребовало внести в его содержание и методику из
ложения целый ряд изменений, которые нашли отражение во вто
ром издании настоящего учебника. Это касается в первую очередь
расширения разделов, посвященных теории активных цепей и це
пей с обратной связью. Дополнены и переработаны разделы, по
священные машинным методам анализа и синтеза электрических
цепей. Существенно переработаны и дополнены главы, в которых
изучаются нелинейные и автоколебательные цепи, в частности,
включен материал, посвященный анализу автогенераторов мето
дом медленно меняющихся амплитуд.

Учитывая все большее применение цифровых методов обработ
ки сигналов, полностью переработана и расширена глава, посвя
щенная дискретным цепям и цифровым фильтрам.

С целью лучшего усвоения материала большинство теоретиче
ских положений проиллюстрировано примерами. В отличие от пре
дыдущего издания каждая глава дополнена перечнем контрольных
вопросов и задач с ответами, позволяющих закрепить изученный
материал. Для удобства пользования учебник снабжен предметным
указателем.

В конце учебника приведен список основной и дополнительной
литературы, которая может быть использована при изучении курса
теории электрических цепей. Кроме того, по тексту изложения ма
териала сделаны дополнительные ссылки на литературу, где более
подробно освещены некоторые специальные вопросы.

В подготовке второго издания учебника большую помощь ока
залп авторам сотрудники кафедр ТЭЦ Сибирского государственно
го университета телекоммуникаций и информатики (СибГУТИ) и
Санкт Петербургского государственного университета телекомму
никаций им. М.А. Бонч Бруевича (СпГУТ), которым авторы вы
ражают глубокую благодарность.

Мы также признательны своим коллегам из Московского тех
нического университета связи и информатики (зав. кафедрой ТЭЦ
проф. Урядников Ю.Ф.), Поволжской академии телекоммуника
ций и информатики (зав. кафедрой ТЭЦ проф. Дубинин А.Е.) за
их замечания, способствующие улучшению содержания учебника.

Отв. редактор, дтн., проф. В.П. Бакалов
Введение

Одной из главных тенденций развития человеческого общества
в XXI веке явился стремительный рост потоков разнообразной ин
формации, обеспечивающей его жизнедеятельность. Мировое со
общество вступило в новую эру — эру информатизации, в котором
знания и информация становятся главным фактором его поступи
тельного развития.. Эффективное управление государством, эко
номикой, удовлетворение потребностей населения, развитие науки,
культуры, здравоохранения требует постоянного развития и со
вершенствования системы информационного обеспечения.

Техническую базу информатизации составляет связь и вычис
лительная техника, грань между которыми все больше стирается.
Сети связи являются транспортной средой для информационных
систем. В основе развития систем связи лежат современные до
стижения многих наук и в первую очередь электротехники, радио
техники и электроники. Общим для этих наук является изучение
электромагнитных процессов в пассивных и активных электричес
ких цепях с целью создания различных устройств для преобразо
вания, передачи, обработки и хранения информации. На основе
достижений в области радиотехники и электроники развиваются
средства связи, автоматика и вычислительная техника, телеметрия,
радиолокация и навигация, системы управления технологическими
процессами и др.

Основными задачами электротехники являются генерирование,
передача и преобразование электрической энергии в другие виды
энергии (механическую, тепловую, световую, химическую и т. д.).

Одна из главных задач радиотехники — передача, преобразова
ние информации и осуществление связи на расстоянии с исполь
зованием электромагнитных волн.

Зарождение науки об электричестве относится к XVI в., когда
английский ученый У. Гильберт (1544 — 1603) написал свой зна
менитый трактат «О магните, магнитных телах и большом маг
ните — «Земле». В XVII —XVIII вв. были проведены многочислен
ные опыты, позволившие установить существование электрических
зарядов двух типов — положительных и отрицательных, изобрести
первый конденсатор (Ж. Нолпе, 1745), разработать первую после
довательную теорию электрических явлений (Б. Франклин).

Во второй половине XVIII в. началось «количественное изуче
ние» электрических и магнитных явлений, появились первые из
мерительные приборы — электроскопы. В 1756 г. петербургский
физик Ф. Эпинус (1724 — 1802) изобрел воздушный конденсатор, с
помощью которого показал, что стекло в «лейденской» банке обла
дает свойством накапливать электричество, открыл явление элек
тризации некоторых тел (турмалин) при нагревании (пиро
электричество). В работе Ф. Эпинуса впервые предпринята си
стематическая попытка подойти к изучению электрических явлений
не только с качественной, но и с количественной стороны. В част
ности, им было установлено, что сила взаимодействия между за
рядами пропорциональна величине этих зарядов. И хотя он не ус
тановил, как эта сила зависит от расстояния, однако значение его
работы очень велико, так как она дала определенное направление
дальнейшим исследованиям. Наконец, в 1784 г. французский 48
летний военный инженер Ш. Кулон (1736—1806) открывает закон,
согласно которого сила взаимодействия между электрическими за
рядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ни
ми. С помощью созданных им крутильных весов, а также ряда
оригинальных методов (методы колебаний) этот человек, никогда
специально не занимавшийся электричеством и магнетизмом, про
водя в качестве побочного занятия свои исследования, заложил ос
новы количественной электростатики.

21 июля 1820 г. появилась небольшая заметка датского физика
Г. Эрстеда (1777 — 1851), в которой он доказал, что ток в пря
молинейном проводнике, идущем вдоль меридиана, отклоняет от
него магнитную иглу. Это сообщение произвело большое впечат
ление на ученый мир, так как из опыта Эрстеда явствовало, что
сила, действовавшая между элементом тока и магнитным полюсом,
направлена не по соединяющей их прямой, а по нормали к ней.
Эта работа вызвала первую трещину в ньютоновской модели мира.

Особое значение в развитии теории электрических явлений сыт
рали открытия законов Ома (1826) и Кирхгофа (1847), а также от
крытие М. Фарадеем (1831) явления электромагнитной индукции.
В 1833 г. русский ученый Э. Ленц (1804 — 1865) открыл закон, ус
танавливающий связь между направлением индукционных токов и
их электромагнитными взаимодействиями. Таким образом, к концу
XIX в. было установлено единство электромагнитных явлений, по
лучивших свое логическое завершение в работах Дж. Максвелла,
сформулировавшего в 1873 г. фундаментальные уравнения класси
ческой электродинамики.

В конце XIX — начале XX веков с открытий дискретного ха
рактера зарядов (Дж. Томсон, 1897 г.) начался новый этап в раз
витии науки об электричестве. В этот период были заложены осно
вы электронной теории строения вещества как совокупности элек
трически заряженных частиц, создана квантовая теория элек
тромагнитных процессов, что привело к рождению электроники
как науки о взаимодействии электронов с электромагнитными по
лями и о методах создания электронных приборов и устройств.
Со второй половины XIX в. началось широкое использование
электрических и магнитных явлений в технике: построены элект
родвигатели и генераторы тока, появились первые электромагниты,
массовое распространение получило электрическое освещение, на
чало которому положило изобретение электрической свечи русским
ученым П.П. Яблочковым. Начало применения электрической
энергии для технологических целей положили работы Б.С. Якоби
(1838 г.), предложившего использовать электрический ток для на
несения различных металлических покрытий. Электроэнергию ста
ли использовать при получении алюминия, меди, цинка, для резки
и сварки металлов, упрочения деталей и в других технологических
процессах; начинается применение электроэнергии на транспорте.
Большое значение для развития электротехники имели изобретения
русского инженера М.О. Доливо Добровольского, разработавшего
к концу 90 х гг. ряд промышленных конструкций трехфазных асин
хронных двигателей, трансформаторов и построившего трехфазную
линию электропередачи Лауфен —Франкфурт длиной 175 км, по
ложившей начало современному развитию электротехники.

Подлинную революцию в электросвязи произвел П.Л. Шиллинг
(1786—1837) в 1832 г. в России, который построил первый в мире
электромагнитный телеграф и осуществил связь между Зимним
дворцом и Министерством путей сообщений. Дальнейшее развитие
эта идея получила в 1835 г., когда американцем С. Морзе (1791 —
1872) был разработан специальный алфавит и создана модель теле
графа в Нью Йоркском университете. Это были первые практиче
ские применения науки об электричестве в электросвязи. А уже в
1866 г. вступило в строй первое величайшее сооружение того вре
мени — линия трансатлантической кабельной связи между Европой
и Америкой. К 1870 г. в России было создано свыше 700 теле
графных станций и введена в эксплуатацию 91 тыс. км телеграф
ных линий, в том числе линия Москва —Владивосток протя
женностью 12 тыс. км.

Качественно новый этап в развитии электросвязи возник после
изобретения в 1876 г. А. Беллом телефона. Существенный вклад в
развитие телефонной связи внес русский физик Л.М. Голубицкий,
в 1882 — 1883 г. были построены первые телефонные станции в
Москве и С. Петербурге.

Особенно важное значение имело изобретение А.С. Поповым
(1895) радио, открывшее новую страницу в развитии научно тех
нического прогресса. Значительную роль в практической реали
зации радио в телеграфии сыграл итальянский радиотехник и
предприниматель Г. Маркони (1874 — 1937).

Открытие радио привело к рождению радиотехники как области
науки и техники, занимающейся вопросами изучения и применения
электромагнитных колебаний и волн радиодиапазонов для переда
чи информации — в радиосвязи, радиовещании и телевидении в
радиолокации и радионавигации, в радиотелеметрии и радио
управлении, при контроле за различными технологическими про
цессами и механизмами, в научных исследованиях и др.

В XX в. начинается бурное развитие электроники — обширной
области науки, техники и производства, охватывающей исследо
вание и разработку электронных приборов и принципов их исполь
зования, в частности, в электросвязи. В истории развития электро
ники можно выделить четыре основных этапа: электронных ламп,
транзисторов, интегральных схем и функциональных устройств.

Первый этап начался в 1904 г., когда английским ученым
Д.А. Флемингом была изготовлена первая электронная лампа —
диод. Прототипом электронной лампы явилась лампа накаливания,
созданная русским электротехником А. Н. Лодыгиным в 1872 г. В
1907 г. была предложена электронная лампа с управляющим элек
тродом — триод, способная усиливать и генерировать электрические
сигналы. В последующие годы, наряду с совершенствованием элек
тронных ламп, разрабатывались и другие электронные приборы:
электронно лучевые, ионные, фотоэлектронные.

Начало второго этапа развития электроники связано с откры
тием в конце 1947 г. американскими учеными У. Браттейном,
Дж. Бардиным и У. Шотки транзисторного эффекта. В 1948 г.
были изготовлены первые промышленные образцы биполярных
транзисторов, а в 1952 г. — полевые транзисторы. В транзисторах
были реализованы идеи, которые впервые были сформулированы
русским ученым О.В. Лосевым в 1922 г.

Непрерывное расширение функций электронной аппаратуры и
ее усложнение привели в 1958 г. к началу третьего этапа — воз
никновению микроэлектроники. В настоящее время разработаны
сверхбольшие интегральные схемы (БИС), содержащие более 105
элементов. Однако сейчас уже становится ясным, что увеличение
степени интеграции не может быть беспредельным.

Научно техническое направление, связанное с отказом от ком
понентной структуры микроэлектронных изделий и основанное на
использовании объемных эффектов в твердом теле, является на
чалом четвертого этапа развития электроники, получившего на
звание функциональной микроэлектроники.

Крупный вклад в развитие электротехники, радиотехники и
электроники внесли русские ученые. Фундаментальные исследова
ния в области физики и технологии электронных и полупроводни
ковых приборов выполнили М.А. Бонч Бруевич, Л.И. Мандель
штам, А.Ф. Иоффе, С.И. Вавилов, А.А. Чернышев; по проблемам
возбуждения и преобразования электрических колебаний, распро
странения и приема радиоволн — Б.А. Введенский, В.О. Калмы
ков, М.В. Шулейкин, А.А. Расплетин и др.

Современные системы и сети связи являются сложнейшими тех
ническими сооружениями, сконцентрировавшими все самые по
8
следние достижения научно технической революции в области ра
диотехники, электроники и вычислительной техники. В последнее
время разработаны и эксплуатируются в ряде стран мира разнооб
разные федеральные и международные телекоммуникационные се
ти, оснащенные цифровыми автоматическими коммутационными
станциями, цифровыми системами передачи, волоконно оптичес
кими линиями связи, спутниковыми системами связи и др.

В России разработана государственная концепция в области свя
зи, предусматривающая построение подобной телекоммуникационной
сети общего пользования (ТСР). На базе ТСР будут созданы интел
лектуальные сети России (ИСР), которые должны предоставлять
абонентам широкий круг различных услуг; российская сеть передачи
данных (РСПД); цифровая сеть связи с интеграцией служб (ЦСИС)
(многофункциональный телефон, факс, телекс, видеотекс и др.); со
товые мобильные и персональные сети связи (СМПС), широкопо
лосные цифровые сети с интеграцией услуг и др.

Создание и эксплуатация подобных сетей потребует подготовки
качественно новых специалистов. Среди дисциплин, составляющих
основу базовой подготовки специалистов в области связи, важней
шее место отводится курсу «Основы теории цепей» (ОТЦ). Одним
из основоположников курса был доктор технических наук, профес
сор А.Ф. Белецкий, внесший большой вклад в ее становление как
самостоятельной дисциплины.

Содержание этой дисциплины составляют задачи анализа и сии
теза линейных и нелинейных электрических цепей, изучение как с
качественной, так и количественной стороны установившихся и пе
реходных процессов, протекающих в различных электронных при
борах и устройствах. ОТЦ базируется на курсах математики, фи
зики, технической электроники, вычислительной техники и являет
ся базовым для изучения последующих общетехнических и специ
альных дисциплин.

Данный учебник соответствует программе курса «Основы тео
рии цепей» по специальностям «Сети связи и системы коммутации»
(210406); «Многоканальные телекоммуникационные системы»
(210404); «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» (210405) и по
направлению бакалавриата и магистратуры по направлению «Те
лекоммуникации» (210400). Он может также использоваться для
специальностей «Средства связи с подвижными объектами» (210402);
«Аудиовизуальная техника» (210312); «Физика и техника оптиче
ской связи» (210401), а также других родственных специальностей.

Проф. В.П. Бакаловым написано введение, гл. 1—9, 14; проф.
В.Ф. Дмитриковым — гл. 10, 11; проф. Круком Б.И. — гл. 12 — 13,
16 — 18; гл. 15 — написана совместно В.Ф. Дмитриковым и
Б.И. Круком; гл. 19 — написана совместно Бакаловым В.П. и
Круком Б.И. Общее редактирование учебника выполнил проф.
В.П. Бакалов.
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1. Ток, напряжение, мощность

Понятия электрического тока и напряжения являются одними
из основных в теории электрических цепей. Электрический ток в
проводящей среде есть упорядоченное движение электрических за
рядов под воздействием электрического поля (ток проводимости в
металлах, электролитах, газах; ток переноса в электровакуумных
приборах и др.).

Количественно электрический ток в каждый момент времени
характеризуется скалярной величиной г = г (О — мгновенным зна-
чением тока, характеризующим скорость изменения заряда <7 во
времени:

г =	=	(1.1)

а^->о АС аС

где Д<7 — электрический заряд, прошедший за время АС через по
перечное сечение проводника. В системе СИ заряд измеряется в
кулонах (Кл), время — в секундах (с), ток — в амперах (А). В
дальнейшем для краткости электрические токи и напряжения бу
дем просто называть токами и напряжениями.

В соответствии с приведенным выше определением понятие
«ток» может использоваться в двух смыслах: ток как физический
процесс и ток как количественная характеристика (вместо «силы
тока»).

Как функция времени ток г (О может принимать положительные
и отрицательные значения. Принято считать значение тока г (О по
ложительным, если движение положительно заряженных частиц
совпадает с заранее выбранным направлением отсчета тока и отри
цательным — в противном случае. Выбор направления отсчета тока

а)	б)
произволен, положительное направление отсчета тока показывается
стрелкой (рис. 1.1).

Электрическое напряжение между двумя точками электричес
кой цепи определяется количеством энергии, затрачиваемой на не
ремегцение единичного заряда из одной точки в другую:

и =

АН7 бИ7

11 ГП -- = ------

а^—>о д<7	(1д

(1.2)

где И7 — энергия электрического поля. Единица измерения напря
жения в системе СИ — вольт (В), энергии — джоуль (Дж).

В потенциальном электрическом поле напряжение между двумя
точками совпадает по значению с разностью потенциалов между
ними. Например, напряжение между точками а и Ъ цепи, по
казанной на рис. 1.1, 6,

Щ,Ь=Уа-УЬ,	(1.3)

где Vа и Уь — потенциалы точек а и Ъ.

Значение напряжения в любой заданный момент I называется
мгновенным и обозначается и = и(У). Являясь скалярной величи
ной, и(У) может принимать как положительные, так и отрицатель
ные значения. Для однозначного определения знака напряжения
выбирают положительное направление его отсчета, которое пока
зывается стрелкой (рис. 1.1, б), направленной от одной точки
электрической цепи к другой. Для определенности будем считать,
что положительное направление отсчета совпадает с направлением
стрелки от более высокого потенциала, т. е. «+», к более низкому,
т. е. «—» (рис. 1.1, б). При этом положительные направления от
счета напряжения и тока будут между собой согласованы, так как
положительное направление отсчета напряжения иаъ соответствует
направлению перемещения положительно заряженных частиц от
более высокого потенциала Vа(+) к более низкому Уь(-)- Очевид
но, что иаъ = — иъа- Применительно к напряжению на участке цепи,
по которому протекает ток, часто используют термин «падение на-
пряжения».

Электрическая энергия, затраченная на перемещение единич
ного положительного заряда между двумя точками участка цепи с
напряжением и (разностью потенциалов) к моменту времени I оп
ределится согласно (1.1) и (1.2) уравнением

с	г

ТУ = | идд = | иик ,	(1.4)

О	-со

где принято ТУ= 0 при 1 = — оо.

Производная энергии по времени определяет мгновенную мощ-
ность, потребляемую элементами, входящими в участок цепи:

р = дТУ/сП = иг.	(1.5)
Мощность измеряется в ваттах (Вт). Знак мощности р определи
ется знаком напряжения и тока. Если /?>0, мощность потребляется
элементами участка цепи, а при р<0 — отдается.

По характеру изменения во времени различают постоянные,
гармонические, периодические несинусоидальные, непериодические
токи и напряжения. В ряде случаев (например, в цепях с распре
деленными параметрами) токи и напряжения могут быть не только
функциями времени, но и функциями пространственных коор
динат. В технике связи токи и напряжения как материальные но
сители сообщений называют сигналами.

1.2. Электрическая цепь, ее элементы и модели

Электрической цепью называют совокупность устройств, пред
назначенных для прохождения тока и описываемых с помощью
понятий тока и напряжения. Электрическая цепь состоит из ис
точников (генераторов) и приемников электрической энергии.

Источником называют устройство, создающее (генерирующее)
токи и напряжения. В качестве источников могут выступать как
первичные устройства, преобразующие различные виды энергии в
электрическую (аккумуляторы, электромашинные генераторы, тер
моэлементы, пьезодатчики и т. д.), так и устройства, преобразую
щие электрическую энергию первичных источников в энергию
электрических колебаний требуемой формы.

Приемником называют устройство, потребляющее (запасающее)
или преобразующее электрическую энергию в другие виды энергии
(тепловую, механическую, световую и т. д.). Физическими элемен
тами реальной электрической цепи являются резисторы, катушки
индуктивности, конденсаторы, трансформаторы, транзисторы,
электронные лампы и другие компоненты электроники. При этом
электрическая цепь может конструктивно выполняться либо из
указанных выше дискретных компонентов, либо изготовляться в
едином технологическом цикле (интегральные схемы). Электри
ческие цепи, содержащие как интегральные, так и дискретные
компоненты, получили наименование гибридных.

В основе теории электрических цепей лежит принцип модели-
рования. При этом реальные электрические цепи заменяются не
которой идеализированной моделью, состоящей из взаимосвязан
ных идеализированных элементов. Последние представляют собой
простые модели, используемые для аппроксимации (приближения)
свойств простых физических элементов или физических явлений.
В зависимости от точности приближения одна и та же физическая
электрическая цепь может быть представлена различными моде
лями, причем, чем точнее модель, тем она сложнее. На практике
обычно ограничиваются наиболее простыми моделями, обеспечи
Рис. 1.2

вающими решение задач анализа и синтеза реальной цепи с за
данной точностью. Важно иметь в виду, что если физические эле
менты и явления могут быть описаны лишь приближенно, то идеа
лизированные элементы определяются точно. К простейшим идеа
лизированным элементам модели электрической цепи относятся не
зависимые и зависимые источники (активные элементы) и эле
менты резистивного сопротивления, индуктивности и емкости (пас
сивные элементы).

Систему уравнений, описывающую модель электрической цепи,
называют математической моделью цепи. В теории электриче
ских цепей изучаются общие свойства моделей цепей, поэтому в
дальнейшем под электрической цепью будем понимать ее модель,
свойства которой близки к свойствам реальной физической цепи.

Пассивные элементы. Резистивным сопротивлением называют
идеализированный элемент, обладающий только свойством необра
тимого рассеивания энергии. Условное обозначение резистивного
сопротивления показано на рис. 1.2, а. Математическая модель,
описывающая свойства резистивного сопротивления, определяется
законом Ома:

и = В1 или I = Си.

(1.6)

Коэффициенты пропорциональности В и С в формулах (1.6) на
зываются соответственно сопротивлением и проводимостью эле
мента и являются его количественной характеристикой, причем при
согласованных направлениях тока и напряжения В и О по
ложительны и связаны обратной зависимостью В = 1 С. Измеряют
в системе СИ сопротивление В в омах (Ом), а проводимость О-в
сименсах (См).

Уравнение (1.6) определяет зависимость напряжения от тока и
носит название вольт-амперной характеристики (ВАХ) резне
тивного сопротивления. Если В постоянно, то ВАХ линейна
(рис. 1.3, а) и соответствует линейному резистивному элементу.
Если же В зависит от протекающего через него тока или прило
женного к нему напряжения, то ВАХ становится нелинейной
(рис. 1.3, б) и соответствует нелинейному резистивному сопротив
лению.

Мощность в резистивном сопротивлении можно определить со
гласно уравнению (1.5):
I

I

и

Рис. 1.3

р = ш = Кг2 = Си2.	(1.7)

Мощность в резистивном сопротивлении всегда больше нуля,
так как оно только потребляет энергию, преобразуя ее в тепло или
другие виды энергии.

Индуктивным элементом называют идеализированный элемент
электрической цепи, обладающий только свойством накопления им
энергии магнитного поля. Условное обозначение индуктивного
элемента изображено на рис. 1.2, 6.

Математическая модель, описывающая свойства индуктивного
элемента определяется соотношением

Т = Ег,	(1.8)

где Т — потокосцепление, характеризующее суммарный магнитный
поток, пронизывающий катушку:

/?=1

где да — число витков катушки; к — номер витка, с которым сцеп
лен поток Ф/?. В простейшем случае, когда каждый из потоков Ф/г
сцеплен со всеми витками катушки Т = Фда.

Коэффициент пропорциональности Ь в формуле (1.8) называ
ется индуктивностью. Он имеет положительное значение и явля
ется количественной характеристикой индуктивного элемента. Из
меряется индуктивность П в генри (Гн), а магнитный поток Ф — в
веберах (Вб). Если величина Е постоянна, то зависимость (1.8)
(вебер-амперная характеристика) линейна и соответствует ли
нейному индуктивному элементу. Если же Е зависит от электричес
кого режима (тока или напряжения), то зависимость (1.8) нели
нейна и соответствует нелинейному элементу индуктивности.

Связь между током и напряжением на индуктивном элементе
определяется согласно закону электромагнитной индукции выра
жением

сП сП'

т. е. напряжение на индуктивном элементе пропорционально ско
рости изменения протекающего через него тока. Следовательно,
при протекании через Е постоянного тока м = 0 и свойства индук
тивного элемента эквивалентны коротко замкнутому (КЗ) участку
(см. рис. 1.1, а).

Мгновенная мощность электрических колебаний в индуктивном
элементе

т . сП
р = итг = Ьг —,
/ Л сП

т. е. может быть как положительной (при совпадении направлений
и и г), так и отрицательной (при несовпадении направлений и и г).
Причем в первом случае (/?>0) магнитная энергия запасается ин
дуктивным элементом, а во втором (/?<0) — отдается во внешнюю
цепь.

Энергия, запасенная в индуктивном элементе к моменту I, он
ределится согласно (1.4)

*	*	<77	г;2

|	| Ы^-(Ц = ЕЕ_,	(1.10)

т. е. всегда положительна.

Емкостным элементом называют идеализированный элемент
электрической цепи, обладающий только свойством накапливать
энергию электрического поля. Условное обозначение емкостного
элемента показано на рис. 1.2, в.

Математическая модель, описывающая свойства емкостного
элемента, определяется вольт-кулонной характеристикой

д = Сис.

(1.11)

Коэффициент пропорциональности С в формуле (1.11) назы
вается емкостью и является количественной характеристикой ем
костного элемента. При согласованных направлениях тока и на
пряжения величина С всегда положительна. Измеряется С в фара
дах (Ф).

Если величина С постоянная, то вольт кулонная характеристика
(1.11) линейна и соответствует линейному емкостному элементу.
Если же параметр С зависит от электрического режима, то харак
теристика (1.11) нелинейна и соответствует нелинейному элементу.

Между током и напряжением на емкостном элементе существует
связь, определяемая согласно (1.1) и (1.11) равенством

.	(1д	(1ис

1	(11	(И ’

(1.12)

т. е. ток в емкостном элементе пропорционален скорости изменения
приложенного к нему напряжения. При постоянном напряжении
ц = соп§1:, 1 = 0 и емкостной элемент по своим свойствам эк
Бивалентен разрыву цепи.

Мощность электрических колебаний в емкостном элементе
р —	— СмС

т. е. может быть как положительной, так и отрицательной в зави
симости от направлений тока и напряжения. При р>0 энергия
электрического поля запасается емкостным элементом, а при
р<0 — отдается во внешнюю цепь.

Энергия, запасенная в емкостном элементе к моменту I,

1	1 гб/ Г?/2

1УС = | рд,1 = | Сис-^-(Н =	(1.13)

т. е. всегда положительна.

В инженерной практике резистивное сопротивление, индуктив
ный и емкостной элементы часто называют просто сопротивлением,
индуктивностью и емкостью, отождествляя, по существу, элемент с
его параметром. В дальнейшем для простоты, где это не приведет к
недоразумениям, также будем пользоваться этой терминологией.

Рассмотренные идеализированные резистивный, индуктивный и
емкостной элементы могут служить простейшими моделями резне
торов, высококачественных катушек индуктивностей с малыми по
терями и электрических конденсаторов с высокими диэлектричес
кими свойствами в области низких и средних частот. В области
высоких, а особенно сверхвысоких частот модели резисторов, ка
тушек индуктивности и конденсаторов становятся более сложными.
Так, на высоких частотах резисторы уже нельзя с достаточной точ
ностью описать идеальным резистивным элементом (1.6) из за
влияния различных «паразитных» емкостей. Более точной здесь
будет модель параллельного соединения К и Сп, изображенная на
рис. 1.4, а. В некоторых случаях возникает необходимость учета,
«паразитной» индуктивности учитывающей эффект накопления
энергии магнитного поля в элементах резистора (рис. 1.4, б).

На высоких и сверхвысоких частотах также начинает прояв
ляться поверхностный эффект, выражающийся в неравномерном
распределении тока по сечению проводника {скин-эффект). В ре
зультате этого сопротивление К проводника начинает расти с уве
личением частоты. Причем, чем толще проводник, тем при мень
ших частотах начинает проявляться скин эффект. На сверхвысо
ких частотах зависимость сопротивления круглого медного про
водника от частоты / можно выразить эмпирической формулой

К = Ко • 3,856-фф,

где Ко — сопротивление проводника постоянному току, Ом; с! —
диаметр сечения проводника, мм; / — частота, МГц.

Модель конденсатора, кроме емкостного элемента С, может со
держать параллельную проводимость Оп, учитывающую потери
энергии в диэлектрике, и последовательную индуктивность
учитывающую эффект запасения энергии магнитного поля в кон
структивных элементах конденсатора (рис. 1.4, в).

Модель катушки индуктивности может учитывать потери энер
гии в проводе и энергию электрического поля, запасаемую между
витками катушки путем дополнительного включения сопротивления
потери Ки и «паразитной» емкости Сп (рис. 1.4, г).

В зависимости от условий применения и конструктивных осо
бенностей, требований к точности анализа могут использоваться и
более сложные модели резисторов, катушек индуктивностей и кон
денсаторов.

В зависимости от соотношения между длинами цепи I и волны
тока и напряжения X различают цепи с сосредоточенными и рас-
пределенными параметрами. При /<Х можно считать, что пара
метры К, й, С сосредоточены в резисторах, катушках индуктив
ности и конденсаторах; при /»л необходимо пользоваться моде
лью цепи с распределенными параметрами (см. гл. 13).

Рассмотренные выше резистивные, индуктивные и емкостные
элементы относятся к двухполюсным, так как содержат только два
зажима (полюса, вывода). Однако кроме двухполюсных элементов
в теории цепей и электронике широко используются трех-
полюсные, четырехполюсные и многополюсные элементы. Напри
мер, свойства трансформатора как физического устройства, содер
жащего две индуктивно связанные катушки, не могут быть описа
ны моделью только двухполюсных элементов с индуктивностями
и 1.2 • Для его моделирования необходимо введение еще одного
параметра — взаимной индуктивности М; при этом моделью
трансформатора будет являться четырехполюсный элемент (см.
гл. 3).

Активные элементы. Активными элементами электрической це
пи являются зависимые и независимые источники электрической
энергии. К зависимым источникам относятся электронные лампы,
транзисторы, операционные усилители и другие, к независимым
источникам — аккумуляторы, электрогенераторы, термоэлементы,
пьезодатчики и другие преобразователи. Независимые источники
можно представить в виде двух моделей: источника напряжения и
источника тока.

Независимым источником напряжения называют идеализиро
ванный двухполюсный элемент, напряжение на зажимах которого
не зависит от протекающего через него тока. Условное обозначение
источника напряжения показано на рис. 1.5, а.

Источник напряжения полностью характеризуется своим задаю
щим напряжением иТ, или электродвижущей силой (ЭДС) еТ
(рис. 1.5, в). Внутреннее сопротивление источника напряжения
равно нулю и иногда при изображении источника напряжения обо
значают знаком «+» только один из зажимов и не показывают
стрелкой положительное направление иТ, имея в виду, что оно дей
ствует от «+» к «—» (рис. 1.5, б). Часто при анализе цепей ограни
чиваются изображением только зажимов источника напряжения,
как показано на рис. 1.1, б.

Вольт амперная характеристика идеального источника напря
жения представляет собой прямую, параллельную оси токов
(рис. 1.6, а). Такой идеализированный источник способен отдавать
во внешнюю цепь бесконечно большую мощность. Ясно, что фи
зически такой источник реализовать нельзя. Однако в определен
ных пределах изменения тока он достаточно близко отражает ре
альные свойства независимых источников.

Независимым источником тока называют идеализированный
двухполюсный элемент, ток которого не зависит от напряжения на
его зажимах. Условное обозначение источника тока показано на
рис. 1.5, г. Источник тока полностью характеризуется своим за
18
дающим током гг. Внутренняя
проводимость источника тока
равна нулю (внутреннее со
противление бесконечно вели
ко) и ВАХ представляет собой
прямую, параллельную оси на
пряжений (рис. 1.6, б). Такой
источник также способен отда
вать во внешнюю цепь беско

Рис. 1.6

нечно большую мощность и является идеализацией реальных неза

висимых источников.

Свойства реальных источников с конечным внутренним сопро
тивлением Кт можно моделировать с помощью независимых ис

точников напряжения и тока с дополнительно включенными рези
стивными сопротивлениями Кт или проводимостью От (см.
рис. 1.5, д, е). Напряжение и и отдаваемый ток г этих источников
зависят от параметров подключаемой к ним цепи, а их ВАХ имеет
тангенс угла наклона а, пропорциональный Кт и От соответственно
(штриховые линии на рис. 1.6).

Однако свойства целого ряда электронных устройств нельзя
описать моделью соединенных между собой указанных выше не
зависимых источников и пассивных двухполюсных элементов. К
числу таких устройств относятся электронные лампы, транзисторы,
операционные усилители и другие электронные приборы. Это так
называемые зависимые или управляемые источники.

Зависимый источник представляет собой четырехполюсный
элемент (рис. 1.7) с двумя парами зажимов — входных (/, /') и
выходных (2, 29. Входные ток ц и напряжение щ являются уп
равляющими. Различают следующие разновидности зависимых
источников: источник напряжения, управляемый напряжением
(ИНУН); источник тока, управляемый напряжением (ИТУН); не
точник напряжения, управляемый током (ИНУТ); источник тока
управляемый током (ИТУТ). На рис. 1.7 показаны условные обо
значения зависимых источников различного типа.

В ИНУН (рис. 1.7, а) входное сопротивление бесконечно ве
лико, входной ток /1 = 0, а выходное напряжение и? связано со
входным щ равенством 112 = НцЩ, где Ни — коэффициент, харак
теризуюгций усиление по напряжению зависимого источника. Ис
точник типа ИНУН является идеальным усилителем напряжения.

В ИТУН (см. рис. 1.7, б) выходной ток /2 управляется вход
ным напряжением щ, причем /1=0 и ток /2 связан с щ равенством
12=Нси\, где Нс — коэффициент, имеющий размерность прово
димости.

В ИНУТ (рис. 1.7, в) входным током /1 управляется выходное
напряжение 112, входная проводимость бесконечно велика: г/1=0,
112 = НеЙ, где Нр — коэффициент, имеющий размерность сопротив
ления.

В ИТУТ (рис. 1.7, г) управляющим током является /1, а уп
равляемым /2. Входная проводимость ИТУТ, как и ИНУТ, беско
нечно велика, щ = 0, 12 = Н[1\, где Н[ — коэффициент, характери
зующий усиление по току. Источник типа ИТУТ является идеалы
ным усилителем тока. Коэффициенты Ни, Но, Не, Н[, представ
ляют собой вещественные положительные или отрицательные числа
и полностью характеризуют соответствующий источник.

Примером зависимого источника является операционный уси
литель (ОУ). Выпускаемые в виде отдельной микросхемы
(рис. 1.8, а) ОУ широко применяются в качестве активных эле
ментов электрической цепи.

Операционный усилитель имеет два входа: / — неинвертирую
щий и 2 — инвертирующий. При подаче напряжения щ на вход
1 — выходное напряжение и2 имеет ту же полярность, что и щ, а

К

1 о			о  20	  Зо		о  б)	4	1 О	п.		1__|	0 4  , 2 О	1	1?вх / \ +  1/2 1/1	1 П Т	\ /	и2  „ р1Щвх	\/ни{и{-и^  3 о—1	1—1— 	о  в)  Рис. 1.8
при подаче щ на вход 2 напряжение меняет свою полярность на
противоположную.

Идеальный ОУ (рис. 1.8, б) представляет собой ИНУН с бес
конечно большим коэффициентом усиления (Ни оо), бесконечно
большими входным сопротивлением и выходной проводимостью
(выходное сопротивление равно нулю).

Реальный ОУ можно представить в виде ИНУНа с конечными
входным /?вх и выходным 1?вых сопротивлениями (рис. 1.8, в).

Кроме ОУ в качестве активных элементов электрических цепей
широко используются различные электронные и полупроводнике
вые приборы: электронные лампы, биполярные и полевые транзис
торы и др.

На рис. 1.9, а приведена электронная лампа (триод) и ее модели
{эквивалентные схемы замещения) в форме ИТУН (рис. 1.9, б) и
ИНУН (рис. 1.9, в), где обозначены О/ = 1/^Р — внутренняя про
водимость лампы, 5 = бщ/би — крутизна; ц =	— коэффициент

усиления лампы. Параметры Сц, У, ц обычно приводятся в сира
вочниках. Эти эквивалентные схемы являются линейными и могут
использоваться в области низких частот. В нелинейном режиме ра
боты активного элемента используются более сложные модели (см.
гл. 10, 11). В области высоких частот в моделях активных элемен
тов появляются кроме резисторов, реактивные элементы — обычно
емкость (см. табл. 1.1).
ю
ю

Таблица 1.1
Эквивалентная схема в
области Вч

Уравнение модели

^2

(1щ

Сас — емкость анод-
сетка

Сек — емкость сетка-
катод

Сдк — емкость анод-
катод

Ск — емкость коллек-

тора

ГЭ —-^и “-^12^ ГБ —-^12

ГК =^22-^12> гр =^21~^12

с1щ с/г/1

=	' ^12= ~ТГ~

6/^2

с1и •) с1и •)

Г> — ____• О — _______

^21“ с/ч ’ ^22“ с/г2
ю
со

Полевой транзистор с р каналом имеет модель аналогичную канала и-типа.

Транзисторы, как правило, имеют более сложную структуру,
чем лампы и описываются в зависимости от решаемых задач более
сложными моделями [2]. Наиболее распространенными для бипо
лярных транзисторов являются Г образные и П образные эк
Бивалентные схемы замещения, причем, последние можно получить
из первых методами преобразования «звезда — треугольник» (см.
§ 1.5). В табл. 1.1 приведены Г образные схемы замещения бипо
лярных транзисторов, включенных по схеме с общей базой (ОБ) и
общим эмиттером (ОЭ) в области низких и высоких частот и ос
новные соотношения, описывающие их модели.

Иногда для анализа цепей с биполярными транзисторами ис
пользуются модель ИТУН с конечным входным сопротивлением
(рис. 1.10). Для полевых транзисторов обычно используется мо
дель в форме ИТУН (табл. 1.1).

Кроме рассмотренных эквивалентных схем нередко (особенно в
справочной литературе) электронные лампы и транзисторы рас
сматриваются как бесструктурные четырехполюсники с той или
иной системой параметров (см. гл. 12).

Отличительной особенностью зависимых источников является
их необратимость, т. е. цепи с этими источниками имеют четко
выраженный вход и выход. Таким образом, для цепей с зависи
мыми источниками различают путь прямого прохождения сигнала
(от входа к выходу) и обратного прохождения (с выхода на
вход), реализуемого с помощью специальных цепей обратной свя
зи (ОС) (гл. 14). Необходимость введения в активные цепи ОС
объясняется рядом важных качеств, которыми эти цепи обладают:
возможностью моделирования различных функций (см. § 2.7)
(суммирование, интегрирование, дифференцирование и др.), те
нерированием и усилением колебаний, моделированием пассивных
элементов типа К, к, С и их преобразованием (например, С и С),
перемещение нулей и полюсов функции цепи (см. гл. 14, 15) и др.

1.3. Электрическая схема, топология электрической цепи

Кроме понятия электрической цепи в инженерной практике ши-
рокое распространение нашел термин «электрическая схема». В
теории цепей схемой называют графическое изображение элект
рической цепи. Элементам схемы соответствуют активные и пас
сивные элементы электрической цепи.

В микроэлектронике понятие электрической цепи и электронной
схемы часто отождествляют между собой. Так, микросхемой (инте
тральной схемой) называют интегральную электрическую цепь, со
держащую сотни и тысячи простейших активных и пассивных эле
ментов. Чтобы не ломать сложившуюся традицию, будем использо
вать термин «электрическая схема» или просто «схема» примени
Рис. 1.11

Простые узлы

а)

Ь

Узел (сложный)

=!= с

б

б)

Рис. 1.12

тельно к графическому изображению электрической цепи или элек
тронной схемы и термины «электрическая цепь» или «электронная
(микроэлектронная, интегральная) схема» применительно к моде
лям реальных физических электрических или электронных уст
ройств.

Для анализа электрических цепей в последнее время все боль
шее распространение находят матрично-топологические методы.
В их основе лежит представление электрической схемы с помощью
графа цепи. Графом цепи называют геометрическую систему линий
(ветвей), соединяющих заданные точки (узлы). Если ветви графа
ориентированы по направлению токов ветвей, то граф называется
ориентированным (направленным). На рис. 1.11, а изображена
электрическая схема и ее ориентированный (рис. 1.11, б) граф. Граф
содержит всю информацию о геометрической структуре схемы.

Простым узлом называют место соединения зажимов двух эле
ментов (рис. 1.12, а), а сложным — место соединения зажимов
трех и более элементов (рис. 1.12, б).

Ветвью называют часть цепи, включенной между двумя узла
ми, через которые она обменивается энергией с остальной цепью.
Ветви, подсоединенные к одной паре узлов, образуют параллель-
ное соединение (рис. 1.12, в).

Последовательно соединенные ветви, связывающие два задан
ных узла образуют простой путь, если в нем нет повторяющих
узлов. Например, между узлами 1 и 4 (рис. 1.11, б) простой путь
Рис. 1.13

образуется ветвями 3, 5 или 3, 4 и т. д. Замкнутый путь называет
ся контуром (рис. 1.12, в).

Подграфом называют часть графа. Подграф является связным,
если любые его два узла связаны, т. е. соединены ветвями.

Деревом графа называют связный подграф, содержащий все
узлы, но не содержащий ни одного контура (рис. 1.13). Ветви де
рева называют ребрами (на рис. 1.13 показаны сплошными ли
ниями).

В теории графов доказывается, что число ветвей дерева, со
держащего пу узлов, определяется уравнением

Пд = Пу -1.

(1.14)

Совокупность ветвей не входящих в состав дерева, образует его
дополнение (на рис. 1.13 помечено штриховыми линиями). Ветви
дополнения называют хордами. Можно показать, что число хорд

пх = пв -пу +1,

(1.15)

где ив — общее число ветвей исходного графа.

Сечением графа называют минимальное множество ветвей, уда
ление которых разбивает граф на две несвязанных части (под
графы). На рис. 1.11, б показан пример двух сечений, образован
ных ветвями 1, 2, 4, 5 (по линии А—А) и 3, 6 (по линии В В).
Добавление любой из ветвей сечения делает граф связным. Обычно
сечение изображают в виде замкнутой линии, рассекающей граф
цепи на несвязанные компоненты. Сечение, «рассекающее» только
одну ветвь дерева, называют главным сечением. Причем, каждому
дереву соответствует своя совокупность главных сечении
(рис. 1.13, сечения 81, 82, 83). Число главных сечений равно чис
лу ветвей дерева (1.14).

Аналитически граф можно описать с помощью структурной
матрицы Ас (матрицы соединений, инциденций), представляющей
собой прямоугольную таблицу с числом столбцов, равным числу
ветвей, и числом строк, равным числу узлов. Если положительное
направление тока в ветви I выбрать от узла к, то элементы струк
турной матрицы ам определяются из условия:

ак1 ~

1, если ветвь I выходит из узла к;

< -1, если ветвь I входит в узел к\

О, если ветвь I не связана с узлом к.

Например, для графа, изображенного на рис. 1.11, 6 матрица
Ас имеет вид

1

2

А„ = Узлы „
с	3

4

-1
О

1

О

Ветви
2	3	4	5	6

110 0 0
0-1	1	10

-1	0	0	0	-1

0	0-1-1	1

Анализ матрицы Ас показывает, что сумма элементов каждого
ее столбца равна нулю. Это является следствием зависимости од
ной из строк, поэтому ее можно исключить из Ас. Узел, строка ко
торого исключается, называют базисным, а матрица Ао, обра
зующаяся при этом, редуцированная.

Кроме матрицы Ас при анализе электрических цепей использу
ется матрица сечений С, представляющая собой таблицу со стро
ками, соответствующими сечениям графа и столбцами — его вет
вями. Если за положительное направление принять направление
ветви внутрь области, охваченной сечением, то элементы матрицы
сечений см определяются следующим образом:

1,	если ветвь I направлена внутрь области, охваченной
линией сечения;

-1, если ветвь / направлена наружу;

0, если ветвь I не принадлежит сечению.

Так, матрица главных сечений для графа, изображенного на
рис. 1.13, б, будет иметь вид

Ветви

С = Сечения 2 -1	1	0 0 0	1

3 0 0	0 -1 -1	1
Матрицей контуров В называют таблицу, с числом строк равным
числу независимых контуров, и числом столбцов равным числу вет
вей. Элементы матрицы контуров определяются по правилу

'к1 ~

1,	если направление ветви I совпадает с направлением
обхода контура к;

< -1, если направление ветви I противоположно направле
нию обхода контура к;

О, если ветвь I - не входит в состав контура.

Например, для графа, изображенного на рис. 1.11, б, матрица

Ветви
1 2 3	4 5 6

I	110 0 0	0
В = Контуры II	0-1110	1
III	0 0 0 -1 1	0

Число независимых контуров определяется числом хорд графа
(1.15).

1.4. Законы Кирхгофа

В теории цепей различают два типа задач: задачи анализа и
синтеза электрических цепей. К задаче анализа относятся все за
дачи, связанные с определением токов, напряжений или мощностей
в элементах цепи, конфигурация и параметры которой известны. В
задачах синтеза, напротив — известны токи и напряжения в от
дельных элементах и требуется определить вид цепи и ее па
раметры, т. е. синтез является обратной задачей по отношению к
анализу. Следует отметить, что задача синтеза существенно слож
нее задачи анализа и будет рассмотрена в гл. 16.

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы
Кирхгофа.

Первый закон — закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется
по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт,
что в узлах не могут накапливаться заряды. Он гласит: алгебраи-
ческая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электри-
ческой цепи, равна нулю. Формально это записывается так:

т

Е4=о,	(1.16)

к=1

где т — число ветвей, сходящихся в узле.

В уравнении (1.16) токи, одинаково ориентированные относи
тельно узла, имеют одинаковые знаки. Условимся знаки выходя
щих токов считать положительными, а входящих — отрицательны
ми. Тогда, например, для узла / схемы, изображенной на
рис. 1.11, а, согласно ЗТК — й + й + й = 0. Число независимых
уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу независимых узлов
электрической цепи и определяется уравнением (1.14).

Закон токов справедлив и по отношению к сечениям электри
ческой цепи. Покажем это на примере сечения 5з (рис. 1.13, а).
Запишем ЗТК для узлов 1 и 2:

для узла 1: — й + й + й = 0;

для узла 2: — й + й + й = 0.

Сложив между собой эти уравнения, получим ЗТК для сечения 5з:
— й + й + й + й = 0.

Второй закон — закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формули
руется по отношению к контурам и гласит: алгебраическая сумма
напряжений ветвей в любом контуре равна нулю:

п

Е^=0,	(1.17)

к=1

где п — число ветвей, входящих в контур.

В уравнении (1.17) напряжения, совпадающие с направлением
обхода контура, записываются со знаком «+», а не совпадающие —
со знаком «—».

Составим, например, уравнение по ЗНК для цепи, изображен
ной на рис. 1.11, а. В соответствии с направлением для контура I:
—ит + щ + из + из" = 0 для контура II: — из —из" + из + щ + ив =
= 0; для контура III: — и^ + из = 0.

Общее число линейно независимых уравнений, составляемых по
ЗНК, определяется числом независимых контуров, равных числу
хорд (см. (1.15)).

Уравнение ЗТК и ЗНК можно записать в матричной форме, ис
пользуя редуцированную структурную матрицу Ао и контурную
матрицу В.

Закон токов получается путем перемножения матрицы Ао на
матрицу столбец токов ветвей:

1В — || б’ Й • • -Ьп || ’

где Т — знак транспонирования;

А01в=0.	(1.18)

Закон токов можно записать и через матрицу главных сечений:

С1в=0.	(1.19)

Умножив контурную матрицу В на матрицу столбец напряже
ния ветвей 11в = II щиз ••• ип\\ получим ЗНК в матричной форме:

В11в=0.	(1.20)
1.5.	Принцип эквивалентности. Преобразования
электрических схем

В основе различных методов преобразования электрических
схем лежит принцип эквивалентности, согласно которому напря
жения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, ос
таются неизменными. Преобразования электрических схем при
меняются для упрощения расчетов. Рассмотрим наиболее типичные
преобразования, основанные на принципе эквивалентности.

Последовательное соединение элементов. Согласно ЗТК при
последовательном соединении элементов через них протекает один
и тот же ток (рис. 1.14). Согласно ЗНК напряжение, приложенное
ко всей цепи,

и = ик .	(1.21)

к=1

Тогда для последовательного соединения резистивных элементов
К2, ... , Кп (рис. 1.14, а) с учетом (1.6) будем иметь

и = Кк = гК,

/?=1

где

(1.22)

/?=1

Для последовательного соединения индуктивных элементов

1^2, ... , Ьп с учетом (1.9) получаем (рис. 1.14, б)

_ V г (И _ Т (И
и&ктгт’

где

Ь=^Ьк.	(1.23)

/?=1

Для последовательного соединения емкостных элементов Сц
С2, ... , Сп с учетом (1.12) находим (рис. 1.14, в)

п 1	1

и = — 51(11 = — | гсИ,
1г=1 1г	С

I	11 Ь2	Ьп I	^2 ?п

о-ОО—	НН1— 1Ь°

	► 	► 	►
и---------------------------------------и-и

а)	б)	в)
где

1 п 1

<1-24)

С к=1

Таким образом, цепь из п последовательно соединенных рези
стивных, индуктивных или емкостных элементов может быть заме
йена одним эквивалентным резистивным, индуктивным или ем
костным элементом с параметрами, определяемыми формулами
(1.22) —(1.24). Причем, при нахождении эквивалентного сопротив
ления или эквивалентной индуктивности необходимо суммировать
сопротивления и индуктивности отдельных резистивных и индук
тивных элементов, а для нахождения эквивалентной обратной ем
кости — суммировать величины, обратные емкости отдельных ем
костных элементов. В частности, при п = 2

С = С1С2/(С1+С2).	(1.25)

При последовательном соединении независимых источников на
пряжения они заменяются одним эквивалентным источником на
пряжения с задающим напряжением щ, равным алгебраической
сумме задающих напряжений отдельных источников. Причем со
знаком «+» берутся задающие напряжения, совпадающие с за
дающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком «—» —
несовпадающие (рис. 1.15).

Параллельное соединение элементов. При параллельном соеди
нении элементов согласно ЗНК к ним будет приложено одно и то
же напряжение (рис. 1.16). Согласно ЗТК для тока каждой из
схем, изображенных на рис. 1.16, можно записать

п

1=^4-	(1.26)

к=\
На основании этого, уравнения с учетом формул (1.6), (1.9) и
(1.12) получаем:

для параллельного соединения резистивных элементов

I =	С/, = иО,

к=1
где
п

(1.27)
к=1

для параллельного соединения емкостных элементов

. _ Д г с1и _ г<1и
г = Й* л = м’
где

п

С=ЕСд	(1.28)

к=1

для параллельного соединения индуктивных элементов

п 1

I = Е —| ис11 = — ^ис11,
к=1 ^к
где

1	п 1

у=Еу--	(1.29)

к=1 ^к

Следовательно, цепь из п параллельно соединенных резистив
ных, индуктивных или емкостных элементов можно заменить од
ним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным
элементом с параметрами, определяемыми формулами (1.27) —
(1.29).

Таким образом, при параллельном соединении резистивных, ем
костных и индуктивных элементов для нахождения эквивалентных
проводимостей и емкости цепи проводимости или емкости от
дельных элементов складываются. Эквивалентная обратная ин
дуктивность цепи находится суммированием обратных индуктивно
стей отдельных индуктивных элементов. В частности, при п = 2

К = ^2/(^1 + я2); ь = ь1ь2/(ь1 + ь2).	(1.30)

Параллельно соединенные независимые источники тока можно
заменить одним эквивалентным источником тока с задающим то
ком, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных ис
точников. Причем со знаком «+» берутся задающие токи, со
впадающие по направлению с задающим током эквивалентного ис
точника, а со знаком «—» — не совпадающие (рис. 1.17).

При расчете электрических цепей часто возникает необходи
мость преобразования источника напряжения с параметрами ит и
1

Рис. 1.17

Кт (см. рис. 1.5, д) в эквивалентный источник тока с параметрами
гг и Сгг (см. рис. 1.5, е), или наоборот — преобразование источника
тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобразования
осуществляются в соответствии с формулами

1т=ит1Кт] СТ=\1КТ,	(1.31)

которые могут быть получены из ЗНК и ЗТК для схемы на
рис. 1.5, д, е и принципа эквивалентности.

1.6.	Принцип наложения

Принцип наложения (суперпозиции) имеет важнейшее значение
в теории линейных электрических цепей. Подавляющее число ме
тодов анализа линейных цепей базируется на этом принципе. Если
рассматривать напряжения и токи источников как задающие воз-
действия, а напряжение и токи в отдельных ветвях цепи как ре-
акцию (отклик) цепи на эти воздействия, то принцип наложения
можно сформулировать следующим образом: реакция линейной
цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого
воздействия в отдельности.

Принцип наложения можно использовать для нахождения ре
акции в линейной цепи, находящейся как под воздействием не
скольких источников, так и при сложном произвольном воздейст
вии одного источника.

Рассмотрим вначале случай, когда в линейной цепи действует
несколько источников. В соответствии с принципом наложения для
нахождения тока I или напряжения и в заданной ветви осуществим
поочередное воздействие каждым источником и найдем соответст
вующие частные реакции г/? и щ> на эти воздействия. Тогда резуль
тирующая реакция в соответствии с принципом наложения опреде
лится как

п	п

— ^2 б?’ и — ^2 >

1г=1	1г=1

(1.32)

где п — общее число источников.

Если в линейной цепи приложено напряжение сложной формы,
применение принципа наложения позволяет после разложения это
Рис. 1.18

го воздействия на сумму простейших наи
ти реакцию цепи на каждое из них в
отдельности с последующим наложением
полученных результатов. Следует отме
тить, что принцип наложения является
следствием линейности уравнений, кото
рые описывают цепь, поэтому его можно

применить к любым физическим величинам, которые связаны меж
ду собой линейной зависимостью (например, ток и напряжение). В
то же время этот принцип нельзя использовать при вычислении

мощности, так как она связана с напряжением и током квадратич
ной зависимостью (1.7).

Принцип наложения лежит в основе большинства временных и
частотных методов расчета линейных цепей, которые рассмат
риваются в последующих главах. В отличие от линейных для не
линейных цепей принцип суперпозиции неприменим — и это об
стоятельство часто служит критерием оценки линейности или не
линейности электрической цепи.

Для оценки линейности электрической цепи подадим на ее вход
воздействие х(О в виде напряжения или тока (рис. 1.18) и будем
наблюдать реакцию у (I) на выходе. Если при воздействии кх(й)
(где к — вещественное число) реакция равна ку (Л), то данная цепь
будет линейной. Если такой пропорциональности нет, то цепь яв
ляется нелинейной.

Многие нелинейные цепи в режиме малых сигналов также могут
считаться линейными и к ним может быть применен принцип супер
позиции. Все это свидетельствует о чрезвычайно важном месте, кото
рый занимает принцип наложения в теории электрических цепей.

Большая часть радиотехнических устройств и систем относится
к классу линейных цепей: это усилители, фильтры, корректоры,
интеграторы, дифференциаторы, другие цепи, предназначенные
для линейной обработки сигналов. В то же время имеется значи
тельное количество устройств, которые нельзя отнести к классу
линейных цепей и для их анализа необходимо использовать специ
альные методы (см. гл. 10, 11, 15).

1.7.	Теорема замещения

При обосновании некоторых методов анализа электрических це
пей используется теорема замещения, которую можно сформу
лировать следующим образом: значение всех токов и напряжений
в цепи не изменится, если любую ветвь цепи с напряжением и и
током г (рис. 1.19, а) заменить источником напряжения с за-
дающим напряжением иТ= и (рис. 1.19, б) или источником тока с
задающим током гг (рис. 1.19, в).
б)

Электрическая
цепь

Рис. 1.19

Докажем эту теорему на примере источника напряжения
(рис. 1.19, б). Для этого включим в ветвь с К (рис. 1.19, а) два
источника напряжения с задающим напряжением щ = из = Кг и
направленные навстречу друг другу (рис. 1.19, г).

Приняв потенциал узла Уо = 0, найдем потенциалы узлов Уз,
У2, Уб-

Уз = Кг, У2 = У3 - и2 = Кг - Кг = 0; У{ =У2 + щ = Кг.

Таким образом, потенциал узла I в схеме рис. 1.19, а и в схеме
рис. 1.19, г оказывается одинаковым. А так как У2= 0 и Уо = 0,
то закорачивая их между собой, приходим к схеме рис. 1.19, б, что
и доказывает теорему. Аналогично доказывается и теорема заме
щения источником тока (рис. 1.19, в).

Теорема замещения справедлива как по отношению к линейным,
так и нелинейным цепям, так как при ее доказательстве не накла
дывается на выделенную ветвь никаких ограничений, кроме того,
что она обменивается энергией с остальной частью цепи только че
рез зажимы 1—0 с помощью тока г.

1.8.	Теорема об активном двухполюснике

Теорема об активном двухполюснике используется обычно в слу
чае, когда надо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной
ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой под
ключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника (на
рис. 1.20, а) показана резистивная ветвь). Двухполюсник называют
активным, если он содержит источники электрической энергии, и
пассивным — в противном случае. На рисунках активный двухпо
люсник будем обозначать буквой А, а пассивный — П. Более подроб
но определение и общая теория двухполюсников излагается в гл. 4.
Рис. 1.21

Различают две модификации теоремы об активном двухполюс
нике: теорема об эквивалентном источнике напряжения (теорема
Тевенина) и теорема об эквивалентном источнике тока (теорема
Нортона).

Теорема об эквивалентном источнике напряжения. Согласно
теореме Тевенина ток в любой ветви линейной электрической це-
пи не изменится, если активный двухполюсник, к которому под-
ключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником
{генератором) напряжения с задающим напряжением, равным
напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и
внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному
сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомк-
нутой ветви (рис. 1.20, б).

Для доказательства этой теоремы предположим, что цепь не со
держит зависимых источников. Тогда, разомкнув ветвь с элементом
К, определим расчетным или экспериментальным путем напряже
ние холостого хода ихх (рис. 1.21, а). Затем включим в эту ветвь
навстречу друг другу два источника напряжения с задающим на
пряжением иТ = ихх (рис. 1.21, б). Ток в ветви с К при этом
(рис. 1.21, б) не изменится по сравнению с током г в исходной
схеме (рис. 1.20, а). Результирующий ток в выделенной ветви най
дем в соответствии с принципом наложения: г = гд + й + й, где
г а — частичный ток, обусловленный активным двухполюсником;
й — ток, обусловленный действием источника г/н; й — ток, обу
словленный действием источника ггГ2- Однако напряжение ак
тивного двухполюсника и задающее г/Г2 действует навстречу друг
другу, поэтому + 12 = 0. Следовательно, ток в цепи г = й будет
обусловлен только действием источника с мг1 = ?Ах (см.
рис. 1.20, б). Частичный ток Д может быть найден, если положить
все задающие напряжения и токи активного двухполюсника рав
ными нулю. Получившийся при этом пассивный двухполюсник
полностью характеризуется своим эквивалентным сопротивлением
Кэ = Кт относительно выделенных зажимов. Таким образом, при
ходим к схеме, изображенной на рис. 1.20, б и теорема доказана.

Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона):
ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится,
если активный двухполюсник, к которому подключена данная
ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим
током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внут-
ренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводи-
мости со стороны разомкнутой ветви (см. рис. 1.20, в).

Доказательство этой теоремы проще всего осуществить путем
преобразования эквивалентного источника напряжения (см.
рис. 1.20, б) в эквивалентный источник тока (рис. 1.20, в) с пара
метрами

(Тр — 1/-/?г , 2	ХХ^г >	( 1 • 33)

где гкз — ток короткого замыкания рассматриваемой ветви.

Из (1.33) следует формула, которую можно положить в основу
экспериментального определения параметров пассивного двухпо
люсника:

Кэ =	= 1/Сг = г/хх/гкз.	(1.34)

Теорема об активном двухполюснике существенно упрощает
расчет сложной цепи, так как позволяет ее представить в виде про
стейшей схемы эквивалентного источника напряжения или тока с
конечным внутренним сопротивлением КТ или внутренней прово
димостью Сгг. В отличие от идеальных источников напряжения и
тока (см. § 1.2) напряжение и ток этих источников зависят от со
противления К ветви.

Теорема об активном двухполюснике справедлива и для случая,
когда последний содержит зависимые источники с ограниченными
задающими напряжениями и токами. При этом при нахождении
параметров эквивалентного генератора следует положить равными
нулю задающие напряжения и токи лишь независимых источников.

1.9.	Принцип дуальности

Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в пре
дыдущих разделах, позволяет сформулировать важный принцип
теории электрических цепей — принцип дуальности (двойственно
сти). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи
Таблица 1.2

Понятия

Исходные	Дуальные
Напряжение и  Сопротивление К  Индуктивность Е  Задающее напряжение мг	Ток г Проводимость С Емкость С Задающий ток гг
ЗТК:	Е 4 = 0  к  сП  ип =ТН; иТ = Т^- н	ь (11  1 Г -1,  ис = —] гол С  Теорема об эквивалентном генера- торе напряжения	ЗИК:	Е^ = 0  к  с1и  1п ~	ис - С —  1 Г 1, гь = — ] исИ  Теорема об эквивалентном генерато- ре тока
Последовательное соединение к = Т.кк Ак, к  1 1  - = Е—  с ТСД	Параллельное соединение  ° = Т°к к  с = Т.ск к  1 1  - = Е— ь кА

справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то
они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи.
Этот принцип проявляется, например, в сходстве законов измене
ния напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой
цепи (дуальной). Табл. 1.2 иллюстрирует двойственный характер
основных законов и соотношений в электрических цепях.

Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет
существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для
одной цепи, то используя дуальные соотношения можно сразу за
писать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

1.10.	Теорема Телледжена. Баланс мощности

Теорема Телледжена является одной из наиболее общих теорем
теории электрических цепей. Рассмотрим граф произвольной элек
трической цепи, содержащей пъ ветвей и пу узлов. Для со
гласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема
Телледжена гласит: сумма произведений напряжений и^ и токов
1/г всех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, рав-
на нулю.
/гв

^к^к ~ 0 •

к=1

(1.35)

Докажем эту теорему на примере цепи, изображенной на
рис. 1.22. Составим сумму произведений ищк для каждой из ветвей:

^2 ир1& — ( Мг1 1)^1 + ^2^2	3^3 + ^4^4	5^5 •

к

Согласно ЗНК должны выполняться условия: —ит + щ = — из\
из = из —и^; щ = из. Поэтому равенство (1.35) можно переписать в
форме

Ь Ь = — Ц2г1 + ^2^2 + ^2^3 — и^13 + ^4^4 + Ц4/5 =
к

= г/ 2 ( г2 + бз — ^1) + ^4^4 + бз — ^3 ) =

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю согласно ЗТК,
что и доказывает теорему. Необходимо подчеркнуть, что поскольку
теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирхго
фа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных
и нелинейных, активных и пассивных; цепей, параметры которых
изменяются во времени (.параметрических цепей). В общем случае
эта теорема справедлива и для случая попарных произведений и к и
II разных ветвей, если для них выполняются ЗНК и ЗТК.

Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из
которых является баланс мощности. Действительно, произведение
икйк согласно формуле (1.5) представляет собой мгновенную мощ
ность рк к ветви, поэтому в соответствии с (1.35) алгебраическая
сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если в (1.35)
выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности
можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма
мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется
алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными
ветвями электрической цепи.

Пример. Составить баланс мощности для цепи, изображенной на рис. 1.23.
Алгебраическая сумма мгновенных мощностей, развиваемых источниками на-
пряжения и тока рИст = г/г1 й + г/34 гг. Потребляемая мощность с учетом закона
Ома

йпот =	+ и2г2 + м3г3 + г/4г4 -	+ Т?2г22 + К3^ +	.

В соответствии с балансом мощностей

Рист — Рпот •

Следует отметить, что при определении /?ист произведение ит1
берется со знаком «+», если направления задающего напряжения иу
и тока г направлены навстречу друг другу, и со знаком «—» в про
тивном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока:
если напряжение на зажимах источника направлено навстречу за
дающему току гг, берется знак «+», а если напряжение совпадает с
током — знак «—». Баланс мощности выражает не что иное, как за
кон сохранения энергии в электрической цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Что называется электрическим током, напряжением, мощностью,
энергией?

2.	Дать определения активных и пассивных элементов электриче
ской цепи.

3.	Дать определения зависимых и независимых источников элек
трической энергии и привести примеры тех и других.

4.	В чем суть принципа суперпозиции? Для каких электрических
цепей он применим?

5.	В чем суть теоремы замещения? Для каких цепей она приме
нима?

6.	В чем суть теоремы об активном двухполюснике? Какие величи
ны являются параметрами эквивалентного источника напряже
ния, эквивалентного источника тока?

7.	Что отражает баланс мощностей в электрической цепи? Могут
ли не совпадать значения мощностей, отдаваемых источниками в
цепь и потребляемых элементами цепи?
Рис. 1.26

8.	Дать определения графа, узла, ветви, дерева, контура электри
ческой цепи.

9.	Дать определения I и II законов Кирхгофа для электрической
цепи. Как они записываются в матричной форме?

10.	Определить эквивалентное сопротивление цепи, изображенной
на рис. 1.24, относительно точек аЪ, сб, с1Ь, аск

11.	Составить баланс мощности для цепи, изображенной на
рис. 1.25.

Ответ. р11СТ =	‘	+ ^34 ' гг ’

Рпотр —	+ ^2^2 + Яз<3 + -^4^4 ’ Рист ~ /?потр •

12.	Определить параметры источника тока, изображенного на
рис. 1.26, б, эквивалентного заданному источнику напряжения,
если 6/г = 100 В, Кт = 2 Ом.

Ответ: гг = 50 А; Ог = 0,5 Ом’1.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В РЕЖИМЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1.	Метод законов Кирхгофа

В электрических цепях, содержащих активные элементы (элек
тронные лампы, транзисторы, операционные усилители и другие
зависимые источники) важным режимом работы является стати
ческий. В статическом режиме на электроды активного элемента
подаются постоянные токи и напряжения, обеспечивающие задан
ные условия работы того или иного устройства. Статический ре
жим характеризуется зависимостями между постоянными токами и
напряжениями в отдельных частях электрической цепи и является
одним из основных режимов работы любого электрического уст
ройства. Поэтому анализ цепей в режиме постоянного тока играет
важную роль в общей теории электрической связи.

Как отмечалось в § 1.2 при постоянном токе и напряжении ин
дуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку (рис. 1.1, а),
емкость — разрыву цепи. Таким образом, в режиме постоянного
тока в модели цепи будут отсутствовать реактивные элементы, и
она приобретет чисто резистивный характер. Линейные резистив
ные цепи полностью описываются системой линейных алгебраиче
ских уравнений, составляемых на основании закона Кирхгофа. В
этой главе рассмотрим основные методы анализа линейных рези
стивных цепей, находящихся под воздействием постоянных токов и
напряжений. Постоянные токи и напряжения в дальнейшем будем
обозначать прописными буквами I и 13 соответственно.

Метод расчета электрических цепей, основанный на законах
Кирхгофа, в которых независимыми переменными являются токи в
ветвях, называют методом токов ветвей. В соответствии с этим
методом для нахождения токов или напряжений ветвей составля
ются (иу — 1) уравнений (1.16) по ЗТК и (ив — пу + 1) уравнений
(1.17) по ЗНК. В результате получаем систему из (пу — 1) + (пв —
— пу + 1) = пв линейно независимых уравнений, число которых
равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы по
зволяет найти все токи.

При выборе независимых контуров необходимо руководство
ваться топологией электрической цепи (§ 1.3): составить граф це
пи, выбрать дерево, дополнить его хордой, при этом образуется
контур. Путем последовательного дополнения хордами дерева до
исходного графа получаем (пв — пу + 1) независимых контуров.

Пример. Рассчитать токи ветвей схемы резистивной цепи, изображенной
на рис. 2.1. «по методу уравнений Кирхгофа.

Построим граф цепи (рис. 2.1, б) и выберем дерево (рис. 2.1, в). Допол-
ним дерево хордами 2, 5, 6 (на рис. 2.1, в показано пунктиром). В результате
образуется три независимых контура I, II, III (рис. 2.1, а). Составим уравне-
ние по ЗТК и ЗНК.

Схема имеет пу = 4 узла, пъ = 6 ветвей. Выберем узел 4 в качестве базис-
ного и составим пу = 3 уравнения по ЗТК:

для узла	1	-Ц	+13	+ Ц - О,

для узла	2	-12	-13	+15 - 0,	>

для узла	3	12	-14	+ 76 = 0.

(2.0

По ЗНК составляем пв — пу + 1 = 3 уравнения для контуров, показанных
на рис. 2.1, а стрелками: для контура I —См + 111 + Сз + Сз = 0; для контура
II + Пг2 + 112 — Из + С4 = 0; для контура III —Сг2 — 1-3'2 + Сб — Кб = 0. Или
с учетом закона Ома (1.6):
Рис. 2.1

-Пг1 + КГ1Г + К313 + К515 = О,
ит2+К212-К313+К,Ц =0, >

-Пг2 - К212 + К616 - К515 =0.

Решая совместно системы уравнений (2.1) и (2.2), найдем искомые токи.

При использовании законов Кирхгофа в качестве независимых
переменных можно было взять напряжения ветвей {метод напря-
жения ветвей} или токи одних ветвей и напряжения других {гиб-
ридный метод).

В случае, если в цепи имеется ветвь с источником тока, то не
известным параметром в этой ветви является напряжение на зажимах
источника, которое можно найти методом напряжения ветвей.

2.2.	Преобразование резистивных электрических цепей

В случае, когда на цепь воздействует один источник постоян
ного напряжения или тока, наиболее эффективным является метод
преобразования электрических цепей. Суть этого метода за
ключается в нахождении эквивалентного сопротивления цепи отно
сительно зажимов (полюсов) источника.

В § 1.5 были рассмотрены простейшие методы преобразования
последовательного и параллельного соединенных пассивных эле
ментов (см. формулы (1.22) —(1.24) и (1.27) —(1.29)). Однако на
практике встречаются более сложные соединения элементов, ко
торые нельзя свести только к последовательному или параллель
ному. Примером подобного соединения являются соединения мио
голучевой звездой (рис. 2.2, а) и многоугольником (рис. 2.2, б).

Характерной особенностью этих соединений является наличие
внутреннего узла 0 в звезде и внутреннего контура в многоуголь
нике. Наиболее часто встречаются случаи трехлучевой звезды и
треугольника (рис. 2.3, а, б).

Найдем формулы преобразования соединения «треугольника» в
«звезду». Запишем для схемы «треугольник» уравнения по ЗТК и
ЗНК (рис. 2.3, б):
для узла 1	712 - 731 - 1\ =0,

для узла 2	723 _ Л2 - 72 = 0,

для контура I О12 + О23 + С/31 = 0.

(2.3)

Решая систему (2.3) относительно Сф с учетом равенств Сфз =
= /?23-^23 и С/31 = 7?3173ь получаем

=----------------/-------------------/	(2.4)

-^12 + -^23 + ^31	^12 + ^23 + #31

Для схемы «звезда» на основании ЗНК для С/щ можно записать
(см. рис. 2.3, а):

^12 -	“ Т?2/2.

(2.5)

Так как на основании принципа эквивалентности напряжение
[фи токи /1 и /2 из (2.4) и (2.5) равны друг другу, то попарно
равны и сомножители при токах Ц и 12'.

я, = —ад,--------.	= —УУУ--------	(2 6)

-^12 + -^23 + #31	^12 + ^23 + ^31

Уравнение для Кз получаем аналогично (круговой заменой ин
дексов):

(2.7)

Уравнения (2.6) и (2.7) позволяют осуществить переход от со

единения резистивных элементов «треугольник» к соединению
«звезда». Обратный переход можно получить по формулам

^12 - 7?! + /?2 + 7?17?2/7?3,
-^23 = Т^2 + 7?3 + 7?27?3/7?1, >

7?31 = 7?3 + 7?! + 7?37?1/7?2,

(2.8)

осуществляемые из (2.6) и (2.7).

Если выразить сопротивление сторон треугольника и лучей
звезды через проводимости Ощ = 1/7?12, О23 = 1/Т?23, О31 =
= 1/7?зь О1 = 1/7?1, С2 = 1/Т?2, Оз = 1/7?з, то формулы (2.8)
примут дуальный вид (2.6), (2.7):

(2.9)
Пример. Рассчитать токи ветвей схемы резистивной цепи, изображенной
на рис. 2.4, а. Данная схема может служить моделью измерительного моста,
который находит широкое применение в различных измерительных приборах,
в частности для измерения сопротивлений. Принцип работы моста основан на
выполнении условий баланса его плечей.

^31^24 = ^12^34 •

При этом потенциалы узлов 2 и 3 оказываются одинаковыми и в диагонали
моста 2?23 ток будет равен нулю. Таким образом, если включить в диагональ
моста вместо 7фз измерительный прибор — амперметр, то путем изменения од-
ного из сопротивлений плеча (например, 7?24 с помощью магазина сопротивле-
ний), можно найти сопротивление другого (например 7?31). Для случая, когда
К\2 = Я31 = условие баланса достигается при К34 = 7?24-

Преобразуем треугольник Т?12, Т?23> ^31 в звезду с лучами К\, Т?2> 7?з
(рис. 2.4, б), где Т?2> Я; определяются формулами (2.6) и (2.7). Тогда эк-
вивалентное сопротивление цепи относительно зажимов источника (узлы 1 и 4)

„	(К3 + КМ)(К2 + К2Л)

/V, — 1\ | 4----------------.

к3 + к3, + к2 + к2.

Ток источника определяем по закону Ома:

/ = 17Г/К,,

а токи ветвей /34 и /24 по «формуле разброса», которая может быть получена
на основании ЗТК и закона Ома для сопротивлений (К3 + ^34) и (К2 + 824)'-

2	______^2 + ^24_____. 2	2____+ 7? 34_______

К2 + К 24 + К3 + К 34	24 К2 + К 24 + К3 + В 34

Для нахождения токов Ц2 и /31 определим напряжение 13 \2 Для преобразо-
ванной схемы (рис. 2.4, б): 13\2 = К11 + 7?2^24- Учитывая, что 1312 в схеме
треугольника (рис. 2.4, а) и в схеме звезды (рис. 2.4, б) равны согласно
принципа эквивалентности, найдем ток Ц2 = ^12 ^12- Токи /23 и ^31 опреде-
ляем по ЗТК: 123 = 112 — /24; 1з1 = ^23 — ^34.
Аналогично формуле (2.9) можно получить формулы преобра
зования п лучевой звезды в полный многоугольник с числом ветвей
равным пв = п(п — 1) 2:

(2.10)

Следует отметить, что обратная задача преобразования много
угольника в эквивалентную п лучевую звезду при п>3 не имеет
решения, так как при этом оказывается число уравнений п(п — 1) 2
превышает число неизвестных.

2.3.	Метод наложения

В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции (на
ложения), линейных электрических цепей (§ 1.6). Этот метод при
меняется в случае, когда в цепи действует несколько источников
напряжения или тока. При этом в соответствии с этим принципом
находят частичные токи и напряжения, а результирующие реакции
определяются путем алгебраического суммирования частичных то
ков и напряжений.

Проиллюстрируем принцип наложения на примере резистивной
цепи, изображенной на рис. 2.5, а, содержащей идеальные источ
ники напряжения. Найдем ток в резистивном элементе Кз. Поло
жим вначале, что в цепи действует только один источник С/г1; вто
рой источник напряжения исключается и зажимы его закорачива
ются. При этом получаем частичную схему, изображенную на
рис. 2.5, б. Определим ток 1з от воздействия напряжения С/н:

13 = К , где // =----------------------.

#1+Я3	КГ+К2К3/(К2 + К3)

Рис. 2.5
Рис. 2.6

Теперь полагаем, что в цепи действует только источник С/Г2- Ис
ключив источник С/Гь получим вторую частичную схему
(рис. 2.5, в). Ток 1з" от воздействия С/Г2 определится как

Т " = Т "	ГЯр Т " = _______^Г2________

3	2 К{+К3	2 К2 + К1К3/(К1 + 7?3)'

Результирующий ток /з найдем как алгебраическую сумму час
тичных токов 13' и 13”: 13 = 13 + 13 . При определении результи
рующих токов знак «+» берут у частичных токов, совпадающих с
выбранным положительным направлением результирующего тока,
и знак «—» — у несовпадающих. Как следует из рассмотренного
примера, при составлении частичных электрических схем исклю
чаемые идеальные источники напряжения закорачиваются. В слу
чае, если в цепи действуют источники напряжения с внутренними
сопротивлениями Кт, при их исключении они заменяются своими
внутренними сопротивлениями Кт.

При наличии идеальных источников тока соответствующие вет
ви исключаемых источников размыкаются, а при наличии реаль
ных источников они заменяются своими внутренними проводимо
стями От.

Пример. Определить ток 13 в цепи, изображенной на рис. 2.6, а. Состав-
ляем две частные схемы (рис. 2.6, б, в), для которых находим частичные токи:

Результирующий ток 13 = 13" — 13'.

При наличии в цепи зависимых источников они остаются в час
тичных схемах неизменными.
2.4. Метод контурных токов

При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи
с Ив ветвями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо ре
шить систему из ив уравнений. Для снижения числа решаемых
уравнений и упрощения расчетов используют методы контурных
токов и узловых напряжений.

Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых
уравнений до числа независимых контуров, определяемых равен
ством (1.15). В его основе лежит введение в каждый контур ус
ловного контурного тока /&, направление которого обычно выби
рают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для
контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для
каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по
ЗНК. Поясним суть метода контурных токов на примере резистив
ной цепи, схема которой изображена на рис. 2.5, а. Для контурных
токов /К1 и /к2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде

-СД1 + (-^1+	+ К31к2 = О,

-С/Г2 + -^З-^к! + (К2+ -Кз)/к2 = 0.

Перенесем С7Г1 и 11т2 в правую часть системы и получим так на
зываемую каноническую форму записи уравнений по методу кон
турных токов:

-^11-^к! + -^12-^к2 = ^к1>

^21Д<1 + -^22-^к2 = ^к2>

где 7?ц =	К22 = К2 + Кз называют собственными или

контурными сопротивлениями I и II контуров: К2 = -^21 = Кз -
взаимными сопротивлениями I и II контуров; С7К1 = Сн; Ск2 =
= IIг2 — контурными задающими напряжениями. Истинные токи
в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов:
^2 = 1к2',	= 1к1 + 1к2-

В общем случае, если резистивная цепь содержит к независи
мых контуров, система уравнений имеет вид

-^и-^к! + ^12^к2 + ••• +	= кН

^21Д<1 + К221к2 + ••• + ^2к^кк = ^к2> >	(2 11)

^кФк! + ^к2^к2 + ••• + К-кк^кк = кк\

Слагаемые в уравнении (2.11) берутся со знаком «+», если
ток /к/ и 1КП обтекают Кщ в одном направлении и со знаком «—» в
противном случае. Контурное задающее напряжение Ск равно ал
гебраической сумме задающих напряжений источников, входящих
в каждый контур. Со знаком «+» суммируются источники, задаю
щее напряжение которых направлено навстречу контурному току,
и со знаком «—», если направление напряжения и контурного тока
совпадают.

Решая систему уравнений (2.11), найдем значения контурных
токов

Ди - А1/Ая ;	^к2	^2^ К ’ ••• кк	~ ^к/^В ’
где Ар — главный определитель системы (2.11):		
	Т?12 	
А/г -	К-21 -^22 •••	(2.12)
	^к2 ••• ^кк	

Определитель А/г находится путем замены к го столбца в (2.12)

правой частью системы (2.	11). Например, для А1 имеем:	
	^к1 ^12 ••• ^лк	
А1 =	^к1 -^22 ••• ^2к	(2.13)
	кк ^к2 ••• ^кк	

Разлагая определитель А1 по элементам первого столбца, можем
получить уравнение для 1К1 в другой форме:

- ТТ ЛИ + ТТ Л21
к1 - и к1 ~и к2 ~—

А/г А^

А/?1
к/г .

А/г

1 к

-—Е^к/Аи >

/=1

(2.14)

где Лц, Д12, А/г1 — алгебраические дополнения определителя
(2.12).

Аналогичные уравнения можно получить для остальных токов:

1«2 =	Д;2,...,/к/г =	Д;к .	(2.15)

А/г /=1	АК /=1

Как следует из уравнений (2.14) и (2.15), контурный ток может
быть получен алгебраическим суммированием частичных токов от
воздействия каждого контурного задающего напряжения в отделы
ности. Таким образом, полученный результат отражает рас
смотренный в § 1.6 принцип наложения.

Если в схеме кроме источ
ников напряжения содержится п-
ветвей с источниками тока, то не
зависимые контуры выбираются
так, чтобы источник тока входил
только в один контур. Это можно
сделать, если выбрать дерево гра
фа цепи таким, чтобы источник
тока входил в одну из хорд.
Число контурных уравнений при этом уменьшается до
пк = пк - п„ + 1 - пг.	(2.16)

Г\	X)	У	1

Напряжения от задающих токов этих источников учитываются в
левой части системы (2.11) на взаимных сопротивлениях, которые
эти токи обтекают. Например, для схемы, изображенной на
рис. 2.6, а, составляется только одно уравнение для II контура:

^22^к2 “ Л-1-^3 = ^г2 + -^2 + ^3^к2 “ ^зЛт = ^г2 •

Сформулированные выше правила составления уравнений по
методу контурных токов справедливы и в случае зависимых ис
точников напряжения ИНУН и ИНУТ.

Пример. Найдем токи в цепи содержащей ИНУТ с задающим нап-
ряжением Пг2 = (рис. 2.7) по методу контурных токов.

Учитывая, что цепь содержит ветвь с идеальным независимым источником
тока } согласно (2.15) составим всего одно уравнение для контурного тока 7К.
При этом задающий ток источника тока } замыкаем по ветви с и (7Г1, в ре-
зультате получим

1к(К1 + К2 + К3) -	=

= цт1+ит2=ит1+нЕ11,

или с учетом того, что Ц = 1к — /, окончательно получим

/К(Л, + К2 + К3 - Нк) = Ц, - (Як - Л,) 

Отсюда следует

= Щ-ОЦ-К,)

к 2 (.К^К.+Кз-Н^'

Запишем уравнение контурных токов в матричной форме. За
кон Ома в матричной форме имеет вид

1В =СВ(ПГВ+ПВ),	(2.17)

ИЛИ

КВ1В=ИГВ + ПВ	(2.18)

где (Зв = Кв-1, Ов, Кв — квадратная диагональная матрица прово
димостей и сопротивлений ветвей.

1в, Огв, Ов — матрицы столбцы токов, задающих напряжений
источников и напряжений ветвей. Умножив слева обе части равен
ства (2.17) на контурную матрицу В и учтя, что согласно ЗНК
(1.20) В11в = 0, получим

ВКв1в =В11гв.	(2.19)

Токи ветвей связаны с контурными токами соотношением:

1В = В1К	(2.20)
где 1К — матрица столбец контурных токов.
Подставляя (2.19) в (2.18), получаем:

ВКвВ1к = В11гв.

Если учесть, что

ВКвВт = Кк, В11гв = 11 к,

(2.21)

(2.22)

где Кк — квадратная матрица контурных сопротивлений; 11к — мат
рица столбец контурных задающих напряжений, то в соответствии
с (2.20) получим матричное уравнение контурных токов

(2.23)

Пример. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.8, а. В соответствии
с направлением токов строим направленный граф цепи (рис. 2.8, б) и дерево
графа (рис. 2.8, в). Подсоединяя к дереву хорды (на рис. 2.8, г обозначены
пунктиром), получаем три независимых контура. Выбрав направление обхода
контуров I, II и III, в соответствии с правилом, изложенным в § 1,3, строим
контурную матрицу

		1	-1	0	0	-1 0	
В	—	0	1	-1	1	0 0	
		0	0	0	-1	1 -1	
Матрица сопротивлений	ветвей Кв			будет иметь вид			
	К	1	0	0	0	0	0
	0			0	0	0	0
к -	0		0	к3	0	0	0
в	0		0	0	к,	0	0
	0		0	0	0	К5	0
	0		0	0	0	0	

Найдем матрицу контурных сопротивлений:

кк - ВКвВт

(К1 +К2 +К5)-К2 -К5

-К2СК2 + К3 + Я4)-Я4

-К5-КА(КА+К5+К6)

Матрицу контурных задающих напряжений найдем согласно (2.22)

	1	-1	0	0	-1	0		ПГ1		ПГ1+пг5
11 к = ВЪгв -	0	1	-1	1	0	0	X	-пгз	—	пгз
	0	0	0	-1	1	-1		-пг5		-пг5

Подставив 11к и Кк в уравнение (2.23), получим уравнение контурных токов
в матричной форме. После нахождения 1к токи ветвей определим согласно (2.20)

	1  -1	0  1	0  0	т	Дс!  ^к2 Дс!
I В1 -	0	-1	0	‘ к1  х I —	11'2
В	" хк	0	1	-1	-1 к2  Т	^к2	и'З
	-1	0	1	' кЗ	1и'З к1
	0	0	-1		-^кЗ
Рис. 2.8

Для линейных электрических цепей важную роль играет прин-
цип взаимности {теорема обратимости). Он гласит: если ис-
точник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь I пассив-
ной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви к
ток определенного значения, то этот же источник, будучи по-
мещенный в ветвь к, вызывает в ветви I ток с тем же значени-
ем. Справедливость этого принципа следует непосредственно из
уравнений (2.14) и (2.15) с учетом того, что Л//? = Л/?/.

2.5. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов (узловых напряжений) является
наиболее общим и широко применяется для расчета электрических
цепей, в частности, в различных программах автоматизированного
проектирования электронных схем.

Метод узловых потенциалов базируется на ЗТК и законе Ома.
Он позволяет снизить число решаемых уравнений до величины, он
ределяемой равенством (1.14). В основе этого метода лежит расчет
напряжений в (иу — 1) м узле цепи относительно базисного узла. По
еле этого на основании закона Ома находятся токи или напряжения в
соответствующих ветвях. Рассмотрим сущность метода узловых по
тенциалов на примере резистивной цепи, изображенной на рис. 2.9, а.
Примем потенциал Уз = 0 (базисный узел) и с помощью (1.31) пре
образуем источники напряжения в эквивалентные источники тока
Рис. 2.9

(рис. 2.9, б); где 1Г1 - Сг1Сп; Л-2 - 11т2&2', Лз - СдзСз; Си -
= 1 /?,: 62 = 1 /С Оз = I % С4 = ИС С5 = 1 П5.

Составим уравнения для узлов 1 и 2 по ЗТК:

-Ц+12-Ц+15 =0; /4+/3-/2=0.	(2.24)

Каждый из этих токов можно выразить через узловые потенции
лы и токи /гь /г2, /г3:

Подставив эти значения в уравнение (2.24), получим после
группировки членов при Уц У2 и переносе /г1, 1т2, 1тЗ в
часть:

правую

(2.25)

(2.26)

Введем следующие обозначения:

= С1 + 62 + С4 + (35; (322 = ^2 + &з +
^12 = ^21 = ^2 + &4’ ^у1=-^г1~-^г2’ ^у2 = ^г2-^г3-
Тогда система уравнений (2.25) примет вид
^11^1 “ ^12^2 = ^у1>
“^21^1 + 6^22^2 = ^у2-

Проводимости Сц и О22 представляют собой арифметическую
сумму проводимостей всех ветвей, подсоединенных соответственно
к узлам 1 и 2; они называются собственными проводимостями уз
лов 1 и 2. Проводимости Сщ = С21 равны арифметической сумме
проводимостей всех ветвей, включенных между узлами 1 и 2, и на
зываются взаимными проводимостями узлов 1 и 2. Алгебраиче
скую сумму задающих токов /у1 и /у2 источников тока подключен
них соответственно к узлам 1 и 2 называют задающими узловыми
токами узлов 1 и 2. Задающие токи источников в алгебраической
сумме берутся со знаком «+», если положительное направление за
дающего тока источника ориентировано к соответствующему узлу,
и «—», если от узла. Например, для узлового тока /у1 со знаком
«+» берется ток /гь так как ориентирован по направлению к узлу
1, и знак «—» берется для /Г2, так как он ориентирован от узла 1.

Решив систему (2.26) относительно У1 и У 2 определим узловые
потенциалы цепи. Искомые токи находим по закону Ома.

Полученный результат можно обобщить на произвольную рези
стивную схему с п узлами. Если принять п-й узел за базисный, то
система уравнений по методу узловых потенциалов приобретает вид

СцИ1 -С12У2 - ••• - ^Ки-р^Си-!) = 1уй

-С2М + С22^2 -•••- С2(.п-1)У(.п-1) = ^у2;	I /П 97\

^(м-1)1К	&(п-1)2^2	••• + О(И_1)(И_1)Е(И_1)	^у(п-1),

где /у1, /у2, ... , 1у(п -1), — задающие узловые токи в узлах 1, 2,...,
(п - 1).

Решение системы (2.27) можно получить с помощью определи
телей

Т7! - А1/Ао; У2 - А2/Ао; ...; У(п_р - Л(п_1)/Ло ,
где определитель системы (2.27)

А

Сц - О12 -...
-С21 + ^22 _ •

“ ^2(м-1)

(2.28)

С(п-1)1	^(п-1)2

+ ^(п-1)(п-1)

Определители Ац А2, ... , А(и _1), находятся путем замены соот
ветствующего столбца в (2.28) задающими узловыми токами 1у1,
1у2, ... , 1у(п -!)• Разлагая определители Ац А2, ... , А(и _1) по эле
ментам 1, 2, ... , (п — 1) го столбца, получаем по аналогии с (2.14)
уравнения узловых напряжений:

А п-1	А п-1

К = - Е 1у1^11’ К = - Е ^у/Л/2; •••

Л6 1-1	АО /=1	(2 29)

••• К-1 = -— Е Кл/о-1)-
1=1

Из уравнений (2.29) так же как из уравнений (2.14), следует,
что узловые потенциалы определяются алгебраической суммой
частичных узловых потенциалов,
обусловленных действием каждого
задающего узлового тока в отделы
ности, т. е. как и в методе контур
ных токов уравнения (2.29) от
ражают принцип наложения, ха
рактерный для линейных электри
ческих цепей.

Рассмотренный метод составле
ния узловых напряжений справедлив

и при наличии в цепи зависимых источников типа ИТУТ и ИТУН. В
цепи, изображенной на рис. 2.10, содержится кроме независимого ис

точника напряжения С/г1 зависимый ИТУН с задающим током ./з =
= Определим токи в цепи методом узловых потенциалов.

В соответствии с вышеизложенным методом примем за базис
ный узел У2 = 0. Тогда для узла 1 получим

У/бц + ^2 + Сцзд) -	.

Отсюда находим

У1 =	+ ^2 + ^з,4 + Ц = (С7г1 -

12=У{С2; 13=У^за,

где 6| = 1 С2 = 1 /Ук Сзл = 1 (В,3 + ВУ.

Запишем уравнение по метолу узловых потенциалов в матрич
ной форме. Умножим элементы редуцированной структурной
матрицы Ао на потенциалы V соответствующих узлов, в результа
те получим матрицу напряжения ветвей:

ув = а;уу.

(2.30)

Умножим левую и правую часть матричного уравнения (2.17)
на матрицу Ао и учитывая ЗТК в матричной форме (1.18) и ра
венство (2.30), получим

Учтя, что

А0ОвА$Уу = -А0Ств11гв.	(2.30а)

а0ова; = оу,	(2.31)

-А0СвЦв=1у,	(2.32)

получим матричную форму уравнений равновесия узловых потен
циалов:

ОуУу=1у,	(2.33)

где Сту — квадратная матрица узловых проводимостей, 1у — мат
рица столбец узловых токов.
Пример. Составим уравнение узловых потенциалов в матричной форме
для схемы, изображенной на рис. 2.8, а. Примем за базис нулевой узел По = 0.
Структурная матрица Ао в этой цепи в соответствии с правилом, изложенным
в § 1.3, имеет вид

Ао

11 10 0 0

-1 0 0 0 -1 -1

0 0-1-1 0 1

Матрицу узловых проводимостей найдем согласно

(2.31)

оу = а0овА5

1110 0

-1 0 0 0 -1
0 0-1-1 о

61
о
о
о
о
о

0	0	0	0	0

о2	о	о	о	о

о	о3	о	о	о

о	о	о4	о	о

о	о	о	с5	о

о	о	о	о	с6

1 -1 о

1 о о

1 0 -1

0 0-1
0-10

О -1 1

(С4 + С2 + (З3) -	-в3

-С^С.+С.+С^-Се
-О3-О6(О3+О4+О6)

где

^=1/7?,; С2=1/К2; С3 = 1/Я3; С4 = 1/Т?4; С5 = 1/Я5; С6 = 1/7?6.

Матрица узловых токов определяется из (2.32):

1у = - А0^в^гв

-игА + ъг3о3
игА-иг5с5
- ^гЗ^З

Подставив Сту и 1у в (2.33), получим уравнение узловых потен
циалов в матричной форме. После определения матрицы узловых
потенциалов Уу найдем матрицу напряжений ветвей согласно
(2.30) и токи ветвей по закону Ома (2.17).

Для решения матричных уравнений в (2.23) или (2.33) обычно
используют ЭВМ (см. § 2.7).

2.6.	Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора базируется на теореме об ак
тивном двухполюснике (см. § 1.8) и позволяет упростить решение
многих задач, связанных с передачей сигналов и электрической
энергии от источника к приемнику. При этом обычно источник
рассматривается как активный двухполюсник с известными задаю
гцими напряжениями С/г или током 1Т и внутренними сопро
тивлением Кт или проводимостью От, а приемник — как пассивный
б)	В)

Рис. 2.11

двухполюсник с внутренним сопротивлением нагрузки или про
водимостью Сн (рис. 2.11).

Таким образом, система передачи, изображенная на рис. 2.11, а
может быть представлена в виде двух эквивалентных схем: с ис
точником напряжения (рис. 2.11, б) и с источником тока (рис. 2.11, в).

В соответствии с теоремами Тевенина и Нортона (см. § 1.8) за
дающее напряжение генератора определяется как напряжение хо
лостого хода на разомкнутых зажимах активного двухполюсника
Пг = С/хх, а задающий ток — как ток короткого замыкания =
= /кз. Внутреннее сопротивление активного двухполюсника Кт или
его проводимость От находятся как эквивалентные входные сопро
тивления или проводимость относительно разомкнутых зажимов
пассивного двухполюсника, который получается после исключения
из схемы всех источников напряжения и тока. При этом идеальные
источники напряжения закорачиваются, а тока — размыкаются; ре
альные же источники заменяются своими внутренними сопротивле
ниями или проводимостями.

Параметры 17хх, /кз, Кт, можно найти как эксперименталь
ным, так и расчетным путем. После нахождения параметров экви
валентного генератора напряжения или тока, ток I и напряжение
17 в нагрузке можно найти для схемы, изображенной на рис. 2.9, б,
по формуле

и для схемы (рис. 2.9, в) по формуле

(2.34)

(2.35)
Пример. Найти ток в сопротивлении Кз (рис. 2.12, а) методом эквива-
лентного источника напряжения.

Разомкнем ветвь с Кз и определим 1}хх (рис. 2.12, б) по ЗНК для I контура:

Пхх + ^2^2х ~ ^г2 = 0 •

Отсюда

Ихх — ^г2 — ^2^2х'
где

/2х =(Пг2-Пг1)/(Я1+Я2).

Эквивалентное сопротивление Кэ = Ку пассивного двухполюсника опреде-
ляется из схемы на рис. 2.12, в;

КТ=КЭ = К1К2/СК1 + К2).

Подставив Стхх и К, в уравнение (2.34), найдем:

13 = Иа/(К3+Пг).

Решим эту же задачу методом эквивалентного источника тока. Замкнем
ветвь с Кз (рис. 2.12, г) и найдем ток 1зкз методом наложения:

^3 из — -^Зкз + -^Зкз —	+ ^г2/-^2 •

Эквивалентную проводимость определим согласно схеме на рис. 2.12, в:

СЭ=СТ =	+	= (К{ + К2)/К{К2 = 1/Кт.

Подставив значения (Зг и 1КЗ в (2.35), получим искомое значение тока 1з.

Очевидно, методы эквивалентного источника как напряжения
так и тока дают один и тот же результат. Применение того или
Рис. 2.13

Рис. 2.14

иного метода определяется удобством и простотой нахождения С/хх
или /кз.

Одной из важнейших практических задач является оптимальная
передача электрической энергии от активного к пассивному двух
полюснику. Оптимум обычно понимается в смысле получения мак
симальной мощности в нагрузке Рн- Мощность Рн определим как
гт 2

Рн = 12Кя = ---- г Ч,Д„,	(2.36)

н н (/?г + /гн)2 н

а напряжение на нагрузке = 1/г — 1КТ. Из формулы (2.36) нетруд-
но видеть, что максимум мощности будет достигаться при 7% = 7%. В
этом случае ток в цепи /о = О', (2/?,). а мощность — Рптах =
= <7Г2 (47?г).

Коэффициент полезного действия системы передачи

т| = рн/рист = (пг/ - /2яг)/«уг/) = 1 - 1кг/иг.

При I = 1о, /% = Рътах имеем ц = 0,5 (50%). На рис. 2.13 пред
ставлены зависимости Рн, 7%ст, Л от тока I.

Таким образом, в точке максимальной мощности только 50%
энергии источника отдается в нагрузку.

Если линия передачи имеет конечное сопротивление 7?л
(рис. 2.14), то условие максимальной передачи мощности в нагруз
ку принимает вид

ЙН=ЯГ+ЯЛ; Рятах = <7г2/[4( 7?л + 7?г)].	(2.37)

Из (2.37) видно, что сопротивление линии существенно снижает
мощность, отдаваемую в нагрузку, за счет потерь в линии.

2.7.	Примеры применения резистивных цепей

Аттенюатор. В технике связи широкое применение находят вы
сокоточные делители напряжения {аттенюаторы}, реализуемые с
помощью Г образных резистивных перекрытых схем (рис. 2.15).

Характерной особенностью этой схемы является то, что если
выбрать сопротивление Р\ и Т?2 из условия


^1^2 “ #0 ’

(2.38)

то при включении к точкам 2—2'
или 1—1' резистивного элемента с
сопротивлением 7?о, входное сопро
тивление цепи со стороны входа 1—
1' и выхода 2—2' будет одинаково и
равно В этом можно легко
убедиться, если свернуть схему к
точкам 1—1' или 2—2' соответствен

Рис. 2.15

но. Отношение выходного напряжения ко входному такого аттеню

атора

к =	= Я0/(Я0+ /?!>,

(2.39)

т. е. полностью определится отношением сопротивления делителя
и 7?1.

Для получения высокоточного деления аттенюатор обычно вы
полняют в виде нескольких звеньев, включенных каскадно друг за
другом (рис. 2.16).

При этом коэффициент деления

К = (72/(71 =Л"/(Л0+	(2.40)

т. е. много меньше единицы.

Масштабный усилитель. В тех случаях, когда надо получить
К >1, применяют обычно масштабные усилители, представляющие
собой резистивную цепь, содержащую активный элемент. На
рис. 2.17, а показана схема масштабного усилителя на операцией
ном усилителе (ОУ), включенном по инвертирующей схеме. За
меним ОУ эквивалентной моделью ИНУН с определенными вход
ным /?вх и выходным /?вых сопротивлениями (рис. 2.17, б). Соста
вим для нее уравнение равновесия по методу узловых потенциалов,
приняв потенциал Уз = 0:

У1(С1 + С2 +	_ ^2^2 -
где

“^1^2 + ^2^2 + ^вых +	“ -^Л1^вых>

вых = 1/^вых •

Отсюда получаем

ВЫХ

'^1 1	2 1 ^вх7 ' 2 1 '“'0 1 ^вых7 1 ^2'н^вых ^27

Принимая во внимание, что коэффициент усиления ОУ

(см. § 1.2), получаем

2 =

(-72

- 1Х2

'я?

Или окончательно

= Х2/<7, = -Я;,//?,,

(2.41)

т. е. коэффициент усиления масштабного усилителя полностью он
ределяется соотношением сопротивлений К2 и Знак «—» в ра
венстве (2.41) свидетельствует об инвертировании полярности
по отношению к О-

Входное сопротивление масштабного усилителя

К2

(2.42)


Усилитель, включенный по неинвертирующей схеме
(рис. 2.18, а), Используем идеальную модель ОУ, изображенного
на рис. 2.18, б. Приняв потенциал Уз = 0, запишем уравнение
равновесия по методу узловых потенциалов:

У

1

Учитывая, что

получаем потенциал У2:

У2 = Н„------—----—.

“1 + Я„+Я,/Я2

Откуда, учитывая, что Ни »(1 +	из уравнения равно

весия получаем выражение для потенциала У4:

Тогда коэффициент усиления

(2.43)

также не зависит от параметров ОУ.

Усилитель с неинвертирующим входом может использоваться
как повторитель напряжения, если положить К2 = О = оо (рис 2.19).
Коэффициент усиления такой схемы равен К = 1, входное сопро
тивление очень велико, а выходное очень мало (см. § 1.2), что ис
пользуется для согласования входных сопротивлений различных
устройств.

Сумматор. Это устройство используется для выполнения ариф
метической операции взвешенного суммирования различных на
пряжений. На рис. 2.20 изображена схема активного сумматора
двух напряжений Ц\ и 1/2, выполненного на базе ОУ, включение
го по инвертирующей схеме.

Рис. 2.19

Рис. 2.20
В соответствии с (2.41)
имеем

для коэффициентов усиления К\ и К2

о

о

1

Напряжение на выходе
жения

Л>, '	2 к2 

ОУ в соответствии с принципом пало

з = щ + щ = к^ + к2и2 = -^и,-^и2,
/<1 к2

т. е. равно взвешенной с коэффициентами К\ и арифметической
сумме входных напряжений. Аналогичным образом можно ностро
ить активный сумматор на произвольное число п входных на
пряжений:

У =	(2.44)

Отличительной чертой сумматора этого типа является хорошая
«развязка» входных цепей, что обусловило его широкое примене
ние в технике связи.

Конвертор отрицательного сопротивления (КОС). Конверто-
рами отрицательного сопротивления называют активную рези
стивную цепь, входное сопротивление которой равно сопротивле
нию нагрузки с отрицательным знаком. Одна из возможных схем
КОС изображена на рис. 2.21, а.

Составим для эквивалентной схемы КОС (рис. 2.21, б) урав
нение по методу узловых потенциалов для узла 1, приняв Уз = О
(базисный узел) и учтя, что С/1 = У1, 1/2 = У2, получим

Г 1	О	1

Ь ТУ/Г	= о.

' К1 к2 )	Л2

Отсюда находим потенциал V^:

У2Я
У = Ни-----, 2 1 ч—.

К2 + (1 + Я„)/?,

Ток в сопротивлении нагрузки Ян определим согласно закона
Ома:

]	[Д1(я„-1)Д2]Ч

[-^2 + (Ни + 1)/?1]

Тогда входное сопротивление КОС

_ Ц _ К2 + (Ни + 1)/?!

вх= /1 = я1-(ям-1)я2' н-

Учтя, что Ни »1, окончательно запишем:
Если сопротивление = К2, то получаем /?вх = — _КН, т. е.
КОС позволяет получать отрицательное сопротивление, что широ
ко используется на практике для компенсации потерь в различных
цепях.

2.8.	Алгоритмы анализа линейных резистивных
цепей на ЭВМ

В основе машинных методов анализа электрических цепей ле
жат математические модели, задаваемые с помощью системы урав
нений, которые описывают связь между токами и напряжениями на
ее отдельных элементах (компонентах). Эти уравнения имеют на
звание компонентных уравнений электрической цепи.

К числу подобных компонентных уравнений относятся уравне
ния (1.6), (1.9) и (1.12), связывающие токи и напряжения на рези
стивных, индуктивных и емкостных элементах. Сложные много
полюсные элементы (электронные лампы, транзисторы, операци
онные усилители и др.) описываются моделями из нескольких
компонентных уравнений.

Кроме компонентных уравнений математические модели цепей
включают в себя топологические уравнения, которые вытекают из
топологии цепи и записываются на основании законов Кирхгофа
(1.18) и (1.20).

Для формирования математической модели могут использо
ваться различные базисы, наиболее распространенным из которых
для резистивных цепей является метод узловых потенциалов. При
использовании метода узловых потенциалов исходным является со
ставление уравнения равновесия цепи в форме (2.33):

°уУУ = !У •

(2.45)
Последовательность формирования уравнения (2.45) на осно
вании ЗТК (1.18), уравнения связи (2.30) и компонентных урав
нений на базе закона Ома (2.17) рассмотрены в §§ 2.4, 2.5.

После формирования уравнения узловых потенциалов в форме
(2.45) осуществляется его решение тем или иным способом. Таким
образом, суть машинных методов анализа линейных резистивных
цепей заключается в формировании и решении матричного уравне
ния состояния цепи в форме узловых потенциалов (2.45). Рассмот
рим последовательность реализации обоих этих этапов на ЭВМ.

Формирование уравнения узловых потенциалов. В качестве
первого шага осуществляется ввод в ЭВМ данных о топологии и
параметрах цепи. Для этого выбираете базисный узел, потенциал
которого принимается равным нулю. Затем осуществляется нуме
рация остальных узлов от 1 до (иу — 1), а также нумерация ветвей
от 1 до ив- После этого на основании правила, изложенного в § 1.3,
формируется структурная матрица цепи Ао.

Учитывая, что в матрице Ао обычно содержится много нулевых
элементов (разряженная матрица), ее удобно вводить в память
ЭВМ не в виде двумерного массива, а с помощью одномерного
массива тройки целых чисел (/, к, т), характеризующих номер
ветви — I, номер узла — к, из которого ветвь выходит, и номер уз
ла — т, в который она входит.

После формирования таким образом ненулевых элементов мат
рицы Ао осуществляется ввод в ЭВМ параметров ветвей. При этом
каждая одноэлементная ветвь характеризуется номером ветви; но
мерами узлов, из которых она выходит и в который входит; типом
элемента (резистор, независимые источники напряжения и тока);
параметром элемента (сопротивлением резистора, задающим на
пряжением С/г источника напряжения, задающим током /г источ
ника тока).

Далее в соответствии с алгоритмом, изложенным в § 2.5, фор
мируется матрица узловых проводимостей Сту и матрица узловых
токов 1у. При этом используются стандартные подпрограммы не
ремножения матриц АоОв, Аот.

Методы решения уравнений узловых потенциалов. Уравнение
(2.45) относится к классу линейных уравнений типа

Ах = В,	(2.46)

где А = Су, X = V . В = 5у.

Решение уравнения типа (2.46) является самостоятельной за
дачей в методе узловых потенциалов. Кроме того, решение таких
уравнений составляет одну из наиболее распространенных проце
дур при решении других задач, например, при анализе нелинейных
цепей (см. гл. 11). Численным методам решения системы (2.46)
посвящена обширная литература; все их можно разделить на две
большие группы: прямые и итерационные. В большинстве машин
ных программ используются прямые методы, обеспечивающие по
лучение решения за конечное число шагов.

Основные проблемы, с которыми приходится сталкиваться при
использовании прямых методов — это большая разряженность мат
рицы Сту, приводящая к большим затратам машинного времени и
быстрое возрастание ошибок округления промежуточных ре
зультатов, приводящих к большим погрешностям.

Для решения этих проблем используют различные модификации
прямых методов, которые можно разбить на три группы: об
ращения матрицы Сту, разложения матрицы Сту на сомножители и
методы для матриц Сту специального вида. Основным методом пер
вой группы является метод Гаусса и его разновидности.

Число арифметических операций по методу Гаусса

АГ ® 2(щ3/3 + 2«2), где п - порядок матрицы Сту.

Таким образом, для сложной схемы число операций может ока
заться очень большим. Для повышения эффективности метода Га
усса используют метод разряженных матриц.

Методы обращения матрицы Сту применяются, как правило,
для сравнительно простых схем, так как для вычисления пара
метра Сту 1 требуется больше операций, чем для решения системы
(2.46) методами первой группы. Кроме того, при прямом обраще
пип матрицы быстро возрастает ее разряженность, что существенно
снижает эффективность этого метода.

Методы третьей группы применяются для матриц узловой про
водимости специального вида: ленточного, блочно диагонального и
др. Матрицу Сту ленточного типа имеют, например, электронные
схемы каскадной структуры без обратных связей (см. гл. 12).

Метод Гаусса. Алгоритм Гаусса состоит из прямого и обрат
ного ходов. Прямой ход включает последовательное исключение
неизвестных х из системы уравнений (2.46). При этом на первом
шаге получаем явное выражение для ху.

«12	«13	«1„

у ___________у ___ _____ у ___ ____ _____ у

•✓А	•✓А	•А'	• • •	•А'

«11 «11 «11

(2.47)

1

Подставив х\ во все оставшиеся уравнения, исключаем из них
переменную Х1, что приводит к изменению коэффициента «у в этих
уравнениях.

На втором шаге определяется в явной форме после чего оно
исключается из третьего и последующих уравнений и т. д. Причем,
исключение переменной приводит к пересчету коэффициентов по
формуле

«у = «у - а^а^/«^, г = (к + !),«.	(2.48)
Процедура исключения производится для всех токов г. В ре
зультате прямого хода матрица А преобразуется к треугольному
виду.

Обратный ход позволяет вычислить составляющие искомого
вектора х, начиная с последнего элемента. Действительно, в ре
зультате прямого хода в последнем п м уравнении осталась един
ственная переменная хп = Ьп/апп  После нахождения хп определи
ется из (п — 1) уравнения хп-\ и т. д. На рис. 2.22 изображена
схема алгоритма расчета по методу Гаусса.

Метод разряженных матриц. Идея этого метода состоит в
том, что если при прямом ходе Гаусса, хотя бы один коэффициент
<ХИк или акр} равен нулю, то коэффициент по формуле (2.48)
можно не пересчитывать, что при высокой степени разряженности
матрицы А может существенно сократить объем вычислений. При
этом также отпадает необходимость хранить в памяти ЭВМ ну
левые коэффициенты, что уменьшает затраты машинной памяти.

Для реализации этой идеи используются различные методы
упорядочения матриц, обеспечивающие минимальный объем вы
числений. Простейшим из них является следующий: строки с
меньшим числом ненулевых элементов должны располагаться выше
строк с большим числом ненулевых элементов.

Пусть строки и столбцы матрицы узловых проводимостей Сту
располагаются в порядке возрастания номеров соответствующих им
узлов. Тогда для минимизации объема вычислений нумерацию уз
лов необходимо производить в порядке возрастания количества не
нулевых элементов в строке. При этом объем вычислений будет ра
вен:

А' 13п,

т. е. является линейной функцией числа узлов п = пу в эквивалент
ной схеме цепи.

Методы обращения матрицы узловой проводимости. С по
мощью этих методов решение системы (2.46) ищется в виде

х = А1В.	(2.49)

На рис. 2.23 изображена схема алгоритма расчета электриче
ской цепи по методу обращения узловой проводимости.

Кроме моделей индуктивных и емкостных элементов в виде
(1.8) и (1.11) в последнее время в программах машинного анализа
электрических цепей нашли применение дискретные модели А- и
С элементов, основанные на неявных методах численного ин
тегрирования [1]. Так, значения производной Хп+\ в соответствии с
неявной формулой Эйлера можно зависать как

у ___ у

_ 'Л'П+1	-^п

X л _ --------
Обратный ход	I	Прямой ход
а так как согласно (1.12) гс = Сйис / сП, то для тока гс в момент
I = 1п + \ можно записать:

• -Л	__С	-С _с

гп+\ . 1 ип+\ . 1 Щг	^ип ’

Д7 Д7

где Л7 = ^? + 1 — 1п, что соответствует резистивной схеме замещения
емкостного элемента, изображенной на рис. 2.23, а, где С=С/Лб
г г Оип-

Аналогично можно получить дискретную модель для элемента
индуктивности:
г'п + 1

о—*—

ип + 1

а)

1г=С/А1 ип

г'п + 1

О—*—

ип + 1

С=М/Ь

О

о

Рис. 2.24

_ М М _ г г
^п+\ ~ т ^п+\ т ип ~ °’мп+1

где С = М

На рис. 2.24, 6 показана эквивалентная дискретная схема за
мегцения А элемента.

Использование дискретных моделей элементов позволяет свести
КРС цепь к соответствующей резистивной цепи, что существенно
упростит их машинный анализ.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Принцип составления уравнений методом законов Кирхгофа.

2.	Какие токи и напряжения остаются неизменными при переходе
от соединения «треугольника» в «звезду» и обратно?

3.	Чем определяется количество частичных схем при расчете токов
в цепи методом наложения?

4.	Какие законы Кирхгофа используются при составлении уравне
ний по методам контурных токов и узловых напряжений?

5.	Рассчитать токи ветвей в цепи рис. 2.26 методами наложения за
конов Кирхгофа, контурных токов, узловых напряжений, если
известно, что: С/г1 = 5 В; С/Гз = 10 В; ./ = 0,5 А; К\ = Кз = Кз =
= 10 Ом.

Ответ: Ц = 0,5 А; /2 = 0 А; /3 = 1 А.

6.	Какие теоремы используются при определении тока в отдельно
взятой ветви методом эквивалентного генератора?

7.	Методом эквивалентного генератора в цепи рис. 2.24 определить
сопротивление Кз, когда в нем выделяется максимальная
мощность, если Ц = 3 В; / = 0,5 А; К] = Кз = Кз = К^ =
= 2 Ом.

Ответ: Кз = 3,33 Ом; Р = 216 мВт.

8.	В согласованном или несогласованном режиме работают высоко
точные аттенюаторы и почему?
Рис. 2.25

Рис. 2.26

9.	Определить в аттенюаторе, изображенном на рис. 2.15, резисто
ры В] и если известно что Во = 50 Ом; К = 0,1.

Ответ: В\ = 450 Ом; /?2 = 5,55 Ом.

10.	Чем определяются коэффициенты передачи масштабных усили
телей, включенных по инвертирующей и неинвертирующей
схемам?

11.	Для конвертора отрицательного сопротивления, изображенного
на рис. 2.21, определить В{, если _КВХ = 1 кОм; _КН = 50 Ом;
В2 = 500 Ом.

Ответ: В{ = 25 Ом.

12.	В чем особенности алгоритмов анализа линейных резистивных
цепей на ЭВМ методом узловых потенциалов?

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В РЕЖИМЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ

3.1. Гармонические колебания. Основные понятия
и определения

Электрические цепи могут находиться под воздействием посто
явных или переменных напряжений и токов. Среди этих воздейст
вий важнейшую роль играют гармонические колебания. Последние
широко используются для передачи сигналов и электрической
энергии, а также могут применяться в качестве простейшего испы
тательного сигнала. Исследование режима гармонических колеба
ний важно и с методической точки зрения, поскольку анализ элек
трических цепей при негармонических воздействиях можно свести
к анализу цепи от совокупности гармонических воздействий. В
этом смысле методику анализа и расчета цепей при гармонических
воздействиях можно распространить и на цепи при периодических
несинусоидальных, а также непериодических воздействиях (см.
гл. 5, 9).
Гармоническое колебание г (О
(рис. 3.1) характеризуется следую
щими основными параметрами: амп
литудой 1т; угловой частотой со,
начальной фазой ср/. Амплитудой
называют максимальное абсолютное
значение тока г (О. Аналитически
гармоническое колебание можно за
писать в виде

Рис. 3.1

г (О = 1т 81П (сА + срг-) = 1т 81п Т/ (О

(3.1)

где Т/(О =	+ ср/ — называется текущей фазой (или просто фазой)

гармонического колебания, так как она растет линейно во времени с
угловой скоростью со = (1^1 (11. Вместо формулы (3.1) гармо
ническое колебание можно выразить и в косинусоидальной форме:

г(О = 1тсо8 (+ ср;),

(3.2)

где ср/' = ср/ +л 2.

Наименьший промежуток времени, по истечении которого значения
функции г (О повторяются, называется периодом Т. Между перио
дом Т и угловой частотой со существует простая связь:

Т = 1к1(п.	(3.3)

Величину, обратную периоду, называют циклической часто-
той: / = 1 Т. Из вышеизложенного следует, что со = 2л/. Единицей
измерения частоты / является герц (Гц), угловой частоты со — ради
ан в секунду (рад с). Так как радиан — величина безразмерная, то
[со] измеряется в 1с или с-1.

В радиотехнике и электросвязи используют гармонические сиг
налы от долей герц (инфранизкие частоты) до десятков и сотен ги
гагерц (сверхвысокие частоты).

Для питания различных электроэнергетических установок в
России и ряде других стран принята промышленная частота
/ = 50 Гц. В качестве источников гармонических колебаний про
мышленной частоты используются электромашинные генераторы
различного типа. Принцип работы простейшего электромашинке
го генератора иллюстрирует рис. 3.2. В состав генератора входят:
статор, создающий магнитное поле с магнитной индукцией В, и
ротор, вращающийся в этом магнитном поле с угловой частотой
со. При пересечении витками катушки ротора магнитного потока
Ф в них согласно закону электромагнитной индукции наводится
эдс

сИ

йФ

(3.4)
где Т = даФ — потокосцепление

Статор

Ы

Статор

Рис. 3.2

катушки с магнитными потоками; да —
число витков катушки. При пос
тоянной скорости вращения ротора
для получения ЭДС синусоидальной
формы применяются полюса специ
альной формы. Частота на выходе те
нератора

/ = А^/60,

где рп — число пар полюсов ротора;
V — частота вращения ротора, об мин.

Электромашинные генераторы ис
пользуются для получения гармони
ческих напряжений и токов не выше

5...8 кГц. Для получения гармонических сигналов более высоких
частот обычно используются ламповые и полупроводниковые гене
раторы (см. гл. 15).

Важными параметрами гармонических колебаний являются их
действующее и среднее значения. Действующее значение гармо

нического тока

(3.5)

Здесь I = г (О — мгновенное значение гармонического тока, ко
торое определяется из выражения

г = 1т 81п (в)С + ср,).

(3.6)

Подставив значение г из (3.6) в (3.5), после интегрирования для
действующего значения тока получим

I = 1т/Л ~ 0,707/ш.

(3.7)

Аналогично (3.1) —(3.5) определяется мгновенное и действую
щее значения напряжения. Так, для действующего значения на
пряжения можно записать:

У ® 0,707С7т.

Действующие значения токов и напряжений называют еще их
среднеквадратическими значениями.

Определим тепловую энергию, которая выделяется гармониче
ским колебанием г (О за период Т в резистивном элементе с со
противлением К:
т	т

Пф = \рдС = | КгйИ = ТК12.	(3.8)

о	о
Таким образом, действующее значение тока численно равно тако
му постоянному току, который за период Т на том же сопротивлении
выделяет то же количество тепла, что и гармонический ток.

Среднее значение гармонического тока

1 т

/с = — г гсИ.	(з.9)

СР ’т1 .!

1 о

Подставив значение I из (3.6) в (3.9), находим, что /Ср = 0.
Этот результат вполне понятен, если учесть, что уравнение (3.9)
определяет площадь, ограниченную кривой г (О за период Т (см.
рис. 3.1). Если значение тока определено за полпериода, то можно
записать:

? т/2	от

/ср(1)=| }	=	«0,637/и.	(3.10)

1	о	71

Аналогично определяем, что С7ср(1) ~ 0,637 Ст.

3.2.	Способы представления гармонических колебаний

Гармонические колебания можно представить различными спо
собами: функциями времени (временные диаграммы) (см.
рис. 3.1); вращающимися векторами (векторные диаграммы); ком
плексными числами; амплитудными и фазовыми спектрами. Тот
или иной способ представления применяется в зависимости от ха
рактера решаемых задач.

Временное представление гармонических колебаний наглядно,
однако его использование в задачах анализа цепей затруднительно,
так как требует проведения громоздких тригонометрических пре
образований. Более удобно векторное представление гармони
ческих колебаний, при котором каждому колебанию ставится в со
ответствие вращающийся вектор определенной длины с заданной
начальной фазой. В качестве примера на рис. 3.3 показано вектор
ное представление двух колебаний токов ц и 12'.

Ц = 1тХ 81П (	+ Ср! )

г2 = 7„!2 яп(ю( + Ч>2)

(3.11)

Их сумму ф легко можно найти по формулам суммирования
векторов:

/3 — ^1+^2 — ^тп3 81П	+ фз ,	(3.12)

где

/ 2	2	/	\

^тЗ ~	+ ^т2 + ^т\^т2 СО8(ф2 Ф1

/^ЗШф! +/и/2Эпф2
Фз = агст§----------------.

/т1СО8ф1 +/т2СО8ф2
Рис. 3.3

Величина ф = ф2 — Ф1 называется
фазовым сдвигом между колебаниями
Д и 12- Он определяется только началь
ными фазами ф1 и ф2 и не зависит от
начала отсчета времени. Нетрудно ви
деть, что суммирование (наложение)
любого числа гармонических колебаний
с частотой со приводит к гармоническому
колебанию той же частоты со.

Совокупность векторов, изобража
югцих гармонические колебания в электрической цепи, называют
векторной диаграммой. Векторные диаграммы можно строить как
для амплитудных, так и для действующих значений токов и на
пряжений.

Наиболее распространенными являются представления гармо
нических колебаний с помощью комплексных чисел. Эти представ

ления лежат в основе символического метода расчета электриче
ских цепей — метода комплексных амплитуд. Представим ток г,
определяемый формулой (3.6), на комплексной плоскости. Для
этого изобразим вектор 1т на комплексной плоскости с учетом на
чальной фазы фц (рис. 3.4, ад. Знаком «+» обозначено положи
тельное направление вещественной оси, а / = ^/-1 — положитель
ное направление мнимой оси. Будем вращать этот вектор в поло
жительном направлении (против часовой стрелки) с угловой час
тотой со. Тогда в любой момент времени положение вращающегося
вектора определится комплексной величиной (комплексным гармо
ническим колебанием):

г(О = 1те]^+^1) = 1т со§(со^ + ф2) + ]1т §т(со^ + ф2)	(3.13)

Первая часть слагаемого (3.13) отражает проекцию вращающего
ся вектора на вещественную ось, а вторая часть — на мнимую
ось. Сравнив второе слагаемое в (3.13) с (3.6), приходим к вы-
воду: синусоидальный ток I на комплексной плоскости представ

Рис. 3.4
ляется в форме проекции на мнимую ось вращающегося вектора
(3.13)



(3.14)

где 1т — сокращенное обозначение слова 1ша§тапп§ (мнимый);

]^г
пг-'

—т

(3.15)

Величина 1_т носит название комплексной амплитуды тока.

Важным свойством комплексной амплитуды является то, что
она полностью определяет гармоническое колебание заданной час
тоты со, так как содержит информацию об его амплитуде и на
чальной фазе.

Если гармоническое колебание задается в форме косинусоиды,
например

г = 1т со§(со^ + ср*),	(3.16)

то на комплексной плоскости этому току соответствует проекция
вектора (3.13) на вещественную ось:

г = Ке[4у<“'+<Р->] = Ке[/те^],

(3.17)

где Ке — сокращенное обозначение слова КеаНз (действительный,
вещественный).

Возможна и другая форма представления гармонических коле
баний на комплексной плоскости. Учтем, что согласно формулам
Эйлера

созфг = (е]<?г + е 7(Рг)/2; зтср, = (е]<?г -е ж)/2/.	(3.18)

Тогда уравнение для тока I из (3.6) можно записать в виде

I = щ’сГ /Ы+фР -/(юс+фР "I _ _ Ет ул _
2Ле ~е -1 }\_2

Аналогично для тока г из уравнения (3.16):

I = _^.^/(го^+<рг) + ^-/(гоС+<рг-) ] _

*

—т _|_ —т

_ 2	2

*

кт_е~ул ' (3.19)
2

,	(3.20)

где Гт = 1те~]^ — сопряженная комплексная амплитуда тока.

Таким образом, ток г из (3.6) согласно (3.19) можно предста
вить как геометрическую разность векторов 1_т/2 и 1_т*/2, вращаю
щихся в противоположных направлениях с угловой частотой со, а
ток из (3.16) — как геометрическую сумму этих векторов
(рис. 3.4, б). В первом случае I располагается на мнимой, а во
втором случае — на действительной осях. Комплексную амплитуду
синусоидальной функции заданной частоты можно рассматривать
как преобразование временной функции в частотную область.
Спектральное (частотное) представление гармонических коле
баний состоит в задании амплитудного и фазового спектров коле
бания (рис. 3.5). Более подробно спектральное представление и
методы анализа цепей, основанные на этом представлении, рас
смотрены в гл. 5, 9.

3.3.	Гармонические колебания в резистивных,
индуктивных и емкостных элементах

Резистивные цепи. Пусть к резистивному элементу К приложе
но гармоническое напряжение

и = 17т+ (р„ ).	(3.21)

Согласно закону Ома через элемент К будет протекать ток

г = ^ =	) = 1т 81п	+ Ф/),	(3.22)

где 1т = 17т К — амплитуда; ср/ = фм — начальная фаза тока. Та
ким образом, ток г и напряжение и в резистивном элементе совпа
дают по фазе друг с другом (рис. 3.6, а). Средняя за период Т
мощность, выделяемая в резисторе К,

] т 1 т

Рср = -\р71 = -\ии11 = 171 = 12К = 172С.	(3.23)

о	о

При последовательном или параллельном соединениях несколь
ких резистивных элементов ток в цепи определяется уравнением,
аналогичным (3.22), где К определяется согласно (1.22) для по
следовательного и (1.27) для параллельного соединений элементов.
При этом фазовый сдвиг между током и приложенным на
пряжением остается равным нулю.

Индуктивные цепи. Под действием напряжения (3.21) в индук
тивном элементе будет протекать ток согласно (1.9):

г = — [ исИ =--17т §т со^ +

7 •’ соС I

— = 1т§т(со^ + ср,), (3.24)

2
Рис.3.6

где 1т = 1}т (ок) = I 'ш Х/\ Хс = соВ — индуктивное сопротив-
ление', ср/ = Фм — к 2 — начальная фаза тока.

Величину, обратную Хд, называют индуктивной проводимостью
В/ = 1 (соВ). Как следует из полученных выражений, ток в индук
тивности отстает от приложенного напряжения на п /2, т. е. фазо
вый сдвиг между током г и напряжением и (рис. 3.6, б)

Ф = Фг/ -ф/= л/2-

(3.25)

На векторной диаграмме фазовый сдвиг ф откладывается от век
тора тока к вектору напряжения. Нетрудно видеть, что средняя за
период мощность в индуктивном элементе равна нулю.

При последовательном и параллельном соединениях индуктив
ных элементов ток в цепи определяется уравнением, аналогичным
(3.24), где В находится согласно (1.23) для последовательного и
(1.29) для параллельного соединений.

Емкостные цепи. Для емкостного элемента согласно уравнению
(1.12) имеем:

л

„ н---

и 2

I = С —— = ЮС 16 т 81П со^ + ф
(Н	I



(3.26)

где 1т = ыСВт = ВсУт', Вс = соС — емкостная проводимость; ф/ =
= фм + л 2 — начальная фаза тока. Величину, обратную Вс, назы
вают емкостным сопротивлением Хс = 1 (соС). Фазовый сдвиг
между током и напряжением на емкостном элементе

Ф = Фг/ -ф/= “Л/2-

(3.27)

Из приведенных уравнений следует, что ток в емкости опере
жает приложенное напряжение на угол л 2 (рис. 3.6, в), причем
знак «—» свидетельствует об отставании напряжения и от тока В
Средняя за период мощность в емкостной цепи также равна нулю.

При последовательном и параллельном соединениях емкостных
элементов ток в цепи определяется согласно (3.26), где С нахо
дится из (1.24) для последовательного и (1.28) для параллельного
соединений.
3.4.	Гармонические колебания в цепи при последовательном
соединении К, Ь, С-элементов

Допустим, что в цепи, содержащей последовательно соединен
ные элементы К, Ь, С (рис. 3.7), протекает ток

г = 1т §1п(со^ + ср/).

(3.28)

Согласно ЗНК напряжение на отдельных участках цепи опреде
ляется уравнением

и = ик + щ +	= КI + С ——।— / сД.

б/ С

Подставив в (3.29) значение тока из (3.28), получим
и = Шт 81п (+ фу) + &Ыт 81п (+ фу - л/2) +

+ —- 1т 81П (+ фу + л/2) ,
юС

или

и —	( 60^ + ф д» ) + 17тЬ 81П ( (0^ + фу ) +

+&тС 81П(«К + фс ),

где

тК	V тЬ	тС

Фя=Ф/; Фд=Ф/-^/2; Фс=ф/+тг/2.

(3.29)

(3.30)

(3.31)

На рис. 3.8 изображена векторная диаграмма напряжений, они
сываемых уравнений (3.30).

Напряжение 17тк на резистивном сопротивлении К называется
активной составляющей приложенного напряжения и обознача
ется 17 та = УтВ, разность напряжений 17тр = 17ть — 17тс называ
ется реактивной составляющей. Согласно этому определению и
формулам (3.31) имеем:

(3.32)

Рис. 3.7

Рис. 3.8




Рис. 3.9

Величина X = Хд — Хс = соЕ — 1 (соС) называется реактивным
сопротивлением, а величина

х = V/?2 + х2

(3.33)

— полным сопротивлением цепи.

Треугольник на векторной диаграмме, образованный напряже
ниями Ута, Vтр, Ут называют треугольником напряжений. Если
Ути > УтС (Хь > Хс), то цепь носит индуктивный характер (прило
женное напряжение опережает ток) и треугольник напряжений имеет
вид, изображенный на рис. 3.9, я; если Уть < УтС (Хь < Хс), то
цепь носит емкостный характер (приложенное напряжение отстает
от тока) и треугольник напряжений принимает вид, изображенный
на рис. 3.9, в. Треугольник со сторонами К, X, 2 подобный тре
угольнику напряжений, называется треугольником сопротивлений
(рис. 3.9, 6, г). Из треугольников сопротивлений и напряжений
следует:

(3.34)

ср = агс^(Утр/Ута) = агс1^(Х/Ю,
К = X соз ф; X = X 81п ф.

(3.35)

Треугольники напряжений и сопротивлений позволяют упрос
тить анализ электрической цепи.

3.5. Гармонические колебания в цепи при параллельном
соединении К, Ь, С-элементов

Приложим к цепи, содержащей параллельно соединенные эле
менты К, к, С (рис. 3.10), напряжение

и = Ут 81п(со^

+ Фг/ )•

Согласно ЗТК ток в неразветвленной части цепи

I —	+ ^с — Си +

(3.36)

(3.37)

Подставив значение напряжения и из (3.36) в (3.37), получим
Рис. 3.10

Рис. 3.11

г = —+ ф„ ) + —-С4§т(со^ + (рг/ -к/2\ +
К	(ьк

+аьС1кт §т (+ (р„ + л/2).

Перепишем уравнение (3.38) в виде

г = 1тК 81и (оК + ф/,) + 1тЬ 81и (а>1 + ф, ) +

+^тС	+ Фс )’

где

1тК ''у т /1гик	т’ 1тС

фк = ф«; фд=ф«-^/2; Фс = фы + тг/2.

т ’

(3.38)

(3.39)

(3.40)

На рис. 3.11 изображена векторная диаграмма токов, описываемых
уравнением (3.39).

Ток в резистивном сопротивлении 1тк называют активной со-
ставляющей тока 1та, а разность тока 1тр = 1тъ — 1тС — реак-
тивной составляющей тока. Для 1та и /тр справедливы соотно
шения

4,Р = Щ- вс) у,„ = вит.

(3.41)

Величина В = В/ — Вс = 1 (соВ) — соС называется реактивной
проводимостью цепи, а величина

У = л/с2 + В2

(3.42)

— полной проводимостью цепи.

По аналогии с треугольником напряжений и сопротивлений при
параллельном соединении элементов можно ввести треугольники
токов и проводимостей (рис. 3.12, а, 6). Как следует из этих ри

Рис. 3.12
сунков, при 1тс > 1тс (Вс > Вс) цепь носит индуктивный характер
(общий ток отстает от приложенного напряжения) и при 1тс < 1тс
(Вс < Вс) — емкостный характер (ток опережает приложенное на
пряжение). Из треугольников токов и проводимостей следует:

Ф = агс1^(1тр/1та) = агс^(В/С), >
С = У СО8 ф, В = У 81П ф.

(3.43)

Сравнение треугольников токов и проводимостей с треугольни
ками напряжений и сопротивлений показывает их дуальный ха
рактер. Дуальны также и все соотношения, описывающие цепи при
последовательном и параллельном соединении элементов, дуальны
и сами цепи.

3.6. Символический метод расчета разветвленных цепей

Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении эле
ментов в режиме гармонических колебаний обычно осуществляется
символическим методом. Это объясняется тем, что классический
метод расчета приводит к громоздким интегрально дифферен
циальным уравнениям и требует большого объема тригонометри
ческих преобразований. Символический метод позволяет тригоно
метрические операции над гармоническими колебаниями и геомет
рические операции над векторами свести к алгебраическим опера
циям над комплексными числами, что существенно упрощает рас
чет. При этом могут быть использованы все методы преобразова
ний и анализа, изложенные в гл. 1, 2. Допустимость использования
символического метода объясняется тем, что в линейных цепях в
режиме гармонических воздействий в цепи устанавливаются гармо
нические колебания той же частоты. Таким образом, неизвестными
параметрами токов и напряжений будут лишь амплитуды и фазы,
определяемые однозначно их комплексными амплитудами. Запишем
основные законы электрических цепей в символической форме.

Для резистивного элемента К связь между комплексными ам
плитудами тока 1т и напряжения Ц_т можно определить согласно
закону Ома (1.6) путем замены мгновенных значений токов г и на
пряжений и их комплексными амплитудами:

ит=Шт.	(3.44)

Для индуктивного элемента У связь между 1_т и Ц_т определи
ется согласно (1.9) с учетом (3.24):

Ьт ~ —т /(]^В), С_т —	— ]Хс]_т,	(3.45)

где ] =	2 — множитель, характеризующий фазовый сдвиг меж

ду векторами тока 1_т и напряжения С_т (см. рис. 3.6). Уравнение
83
(3.45)	отражает закон Ома для индуктивных элементов. Сравнение
(3.45) с (1.9) показывает, что операция дифференцирования с1/(И
соответствует в комплексной форме умножению на /со.

Для емкостного элемента С на основании (1.12) можно записать:

—т	ИЛИ Ц_т ] „ 1_т	(3.46)

соС

т. е. операция интегрирования соответствует в комплексной форме
делению на/со. Полученные уравнения (3.44) —(3.46) справедливы
и для комплексных действующих значений токов и напряжений:

дляЯ:7 = С//Я = №,
для А : / = Ц_ЦХЬ = -]ВЬЦ_,
для С : / = С/(-/Хс) = ]ВСЦ_,

(3.47)

где / — 1_т/> Ц — Цт!х/2 

Аналогично можно получить уравнения законов Кирхгофа в
комплексной форме. Так, для ЗТК (1.16) заменив мгновенные зна
чения токов их комплексными амплитудами 1_т&, получим

а для ЗНК (1.17)

Е 1_тк 0 ’
к=\

(3.48)

п

Е Ц_тк = 0 •
к=\

(3.49)

Полученные уравнения законов Ома и Кирхгофа в комплексной
форме лежат в основе символического метода расчета линейных
цепей при гармонических воздействиях. Причем, как показывает
анализ уравнений (3.24), (3.26), (3.45) и (3.46), при переходе к
комплексной записи операции дифференцирования заменяются ум
ножением на /со, операции интегрирования — делением на /со. В
результате вместо системы интегрально дифференциальных урав
нений получаем систему алгебраических уравнений, решение кото
рой определяет амплитуды и начальные фазы искомых токов и на
пряжений.

Применим символический метод к анализу гармонических ко
лебаний в цепи при последовательном (см. § 3.4) и параллельном
(см. § 3.5) соединениях элементов В, В, С. Для последовательного
соединения В, В, С согласно ЗНК (3.49) имеем Ц_т = Ц_тп +
+ Ц.ть + Ц.тС или с учетом (3.44), (3.45), (3.46):

—т [+ 7 (1/®С)]7ш (7? + ;Х)/т Х1_т.

(3.50)

Величина 2 в уравнении (3.50) есть комплексное сопротивле-
ние цепи:

2 = В + ]Х.

(3.51)
Рис. 3.14

Комплексное сопротивление 2 можно выразить в показательной
или тригонометрической форме:

2 = 2 е- = 2 со§ ср + /2 §т ср.	(3.52)

Таким образом, рассмотренное ранее полное сопротивление це
пи (3.33) представляет собой модуль комплексного сопротивления:

7 = |2| = Д?2 + X2,

а фазовый сдвиг ф — аргумент (агу) комплексного сопротивления:

Ф = агу 2 = агс!:§ (Х/К).

Аналогичным образом можно получить уравнения токов и на
пряжений в комплексной форме для параллельного соединения
элементов К, У, С (см. § 3.5). Так уравнение (3.39) в комплексной
форме примет вид

=[О-/(Вг-Вс)]1/т =(6-/ВЖ,„ = ТЦ_„,-	(3.53)

Величина У в (3.53) есть комплексная проводимость цепи:

У = С - ]В или У = Ус	= У со§ ф - /У 81п ф.

(3.54)

Следовательно, полная проводимость цепи У равна модулю
комплексной проводимости У = | У |, а фазовый сдвиг ф — аргумен
ту комплексной проводимости ф = агу У = агс1у(# 6).

При анализе различных электрических цепей часто возникает
необходимость преобразования схемы последовательно соединен
ных элементов в эквивалентное параллельное соединение и нао
борот (рис. 3.13). В основе подобных преобразований лежит прин
цип эквивалентности (см. § 1.5). Согласно этому принципу ток / и
напряжение Сд2 в исходной (рис. 3.13, а) и преобразованной
(рис. 3.13, б) схемах должны остаться неизменными. Для первой
схемы / = С/щ/2, для второй / = С/щУ. Из равенства токов / и
напряжений С/щ для обеих схем имеем:

2 = К + ]Х = — = —-— = °Э+]В = Д + у Д.	(3.55)

7	У С - ]В О2 + В2 У2 У2

Из равенства (3.55) следуют формулы преобразования парал
лельного участка (рис. 3.13, б) в эквивалентный последовательный
(рис. 3.13, а):

К = С/У2; Х=в/У2.	(3.56)

Аналогично из равенства У = 1/2 можно получить формулы
преобразования последовательного участка (рис. 3.13, а) в экви
валентный параллельный (рис. 3.13, б):

С = К/У2; В = Х/У2.	(3.57)

Преобразование (3.56) и (3.57) можно положить в основу раз
ложения тока в последовательном участке и напряжения в па
раллельном на активную и реактивную составляющие.

Пример. Преобразовать последовательный 7?С-участок (рис 3.14, а) в эк-
вивалентный параллельный (рис. 3.14, б). Определить активные и реактивные
составляющие токов и напряжений на обоих участках.

В соответствии с уравнением (3.57) получаем

с _ К _ В?(УС2 в _	\/(лС	_ соС

~ Я2 +(1/соС)2 ~ 1 + (соЯС)2 ’	~ Я2 +(1/соС)2 ~ Я2 +(1/соС)2 '

Из рис. 3.14 находим уравнения для активной и реактивной составляющих
напряжения и тока:

У, = Ш, IX = 1/(юСУ, Ц = си, 1Р=ВЦ.

Символический метод особенно эффективен при анализе слож
ных разветвленных цепей. Причем поскольку все методы расчета
подобных цепей (метод контурных токов, узловых потенциалов,
наложения и др.) базируются на законах Ома и Кирхгофа, то эти
методы могут использоваться и при комплексной форме с заменой
соответствующих величин (токов, напряжений, сопротивлений,
проводимостей) их комплексными значениями.

Пример. Проиллюстрируем это на примере расчета цепи, изображенной на
рис. 3.15 различными методами в комплексной форме. Заменим элементы вет-
вей в исходной схеме их комплексными сопротивлениями, а источники на-
пряжения и токи их комплексными значениями (рис. 3.16):

7^ = усоТ/ 22 = В-2 — ] (1/соС2); 23= К3 + у (3— 1/соС3).

Рассчитаем теперь эту цепь различными методами в символической форме,
используя комплексы действующих значений токов и напряжений.
1.	Метод наложения. Сравнение схем, изображенных на рис. 3.16 и
рис. 2.5. а показывает их одинаковую топологию. Таким образом, путем пере-
хода от К к И, от Цт к Цт и от I к I можно сразу получить соответствующие
уравнения для токов 1_\, 1^, /3 (см. § 2.3).

2.	Метод контурных токов. В соответствии с § 2.4 составляем систему из
двух уравнений для контуров I и II:

А|11к1
^21—к1

+ ^12—к2 “ ^к1’ I
+ ^22—к2 = (1к2’ )

(3.58)

где

7ц ~ И И3;

^.22	Т±_2 + Аз ’

^12 - —21 -	^к1 “	—к2 - —г2 •

Решая систему (3.58) согласно (2.14), (2.15), получаем

где Л7

т -тт Ап । тт
1к1 - к_к1 .	+ °1

А/

Д21

к2 .

А/

Т — ТТ А11 + тт Ан
Дк2 - к_к1 .	+ ик2 .	’

^11	—12

—21 —22

Дп, Д12, А21, А22 — алгебраические дополнения определи-

теля А7 .

Токи ветвей найдутся из равенств: Ц = 1к1; /2 = 1к2; 13 = 1к1 + 1к2 .

3.	Метод узловых потенциалов. В соответствии с этим методом (§ 2.5) для
заданной схемы, согласно (2.27) необходимо составить только одно уравнение
для узла 1:

где

Х„ = Х12 = X, + Х2 + Хз = 1/Х1 + 1/Х2 + 1/2з; 7у1 =ЦГ1У, + Уг2У2.

Тогда У|2 = У,-у2 =(Гг1У,+Уг2У,)/(У1+У,+Уз). Токи 7,, /2, 1_3 най-
дем по закону Ома для участка цепи в комплексной форме:

11 — (Шг1 (112)/—1’ —2 - (Кг2 И12)/—2’ 1з-(112/^3-

При этом должен выполняться ЗТК: -Ц - /2 + 13 = 0 .

4.	Метод эквивалентного генератора. Определим ток 1з методом эквива-
лентного генератора напряжения. Разомкнув ветвь с Из по аналогии с
рис. 2.12, б, получим уравнения (7ХХ = (7г2 - /2И2 и И, - И|И2/(И, + И?).

Ток 1з найдем из (2.34) записанного в комплексной форме: 13	+ИГ).

После определения комплексных значений токов I и напряжений Ц можно за-
писать уравнения для мгновенных значений гиг/. Так, если угловая частота
задающих источников синусоидальных колебаний г/г1 и г/Г2 равна со, то мгно-
венное значение тока г3 = 1т3 зт (со/ + ср3), где 1т3 = 73л/2; ф3=аг§73;
1з -	•

Аналогичным образом осуществляется преобразование элект
рических цепей, содержащих комплексные сопротивления.
Комплексные сопротивления, соединенные звездой преобразу
ются в треугольник путем замены в формулах (2.6)—(2.9) па
раметров К и О на соответствующие комплексы 2_ и У. Точно
также осуществляется обратное преобразование треугольник-
звезда.

Например, с учетом уравнений (1.9) и (1.12) можно получить
формулы преобразования «звезда—треугольник» индуктивных и
емкостных элементов. Так, для емкостных элементов при преоб
разовании «треугольник—звезда» имеем:

С1 = С12 + С31 + С 12^31/^23 >
С2 = ^23 + С12 + С 2зС 12/С31 ’ "
С3 = С31 + С23 + С 2з/С12
а при обратном преобразовании «звезда—треугольник»

(3.59)

(3.60)

для индук

Преобразование «треугольник—звезда» и обратно
тивных элементов осуществляется по формулам, аналогичным
(2.6) —(2.8).

Подобным же образом преобразуются матрично топологические
уравнения цепей в комплексную форму. Например, матричные
уравнения (1.18), (1.20), (2.17) в комплексной форме принимают
следующий вид:

ЗТК:	Ао1в=О,	(3.61)

ЗНК:	ВУв=0.	(3.62)

Закон Ома: (при наличии ветвей с источниками тока ув):

1в + 1гв =	тв (ыгв + щ) 	(3.63)

Уравнение равновесия узлов потенциалов (2.33) с учетом 2гВ:

Хууу = ( аоува; )Уу = Ао (1ГВ - У,ИГВ) = 1у.	(3.64)

Уравнение равновесия контурных токов (2.23)

2К1К=УК,	(3.65)
где Тв, ХУ — матрицы комплексной проводимости ветвей и комп
лексной узловой проводимости.

7в, 7к — матрица комплексного сопротивления ветви и матрица
комплексного контурного сопротивления.

Угв, Ув, Ув - матрицы столбцы комплексных задающих напря
жений и токов ветви и напряжений ветвей.

3.7. Электрические цепи с индуктивными связями

В предыдущих параграфах этой главы рассматривались цепи
без учета явления взаимной индукции. В то же время, при проте
кании тока Д в катушке индуктивности с параметром в окру
жающем пространстве согласно закону электромагнитной индукции
создается магнитный поток Фц (рис. 3.17, а). Если какая либо
часть этого потока Фц пронизывает витки другой катушки с 1.2, то
в последней наводится ЭДС взаимной индукции, определяемая за-
коном Максвелла — Фарадея'.

ем7=~М12^,	(3.66)

где коэффициент М\2 носит название взаимной индуктивности
катушек 1.1 и Единица измерения взаимной индуктивности —
М генри (Гн).

Знак «—» в уравнении (3.66) определяется согласно правилу
Ленца направлением индукционного тока, который имеет такую
ориентацию, чтобы создаваемый им магнитный поток препятство
вал тому изменению магнитного потока Фц, которое этот ток вы
зывает. Напряжение взаимоиндукции на зажимах катушки ин
дуктивности

Л

«м, =-еМ, =М12^--	(3.67)

2	2 ай

Рис. 3.17
Если напряжение и приложено к катушке индуктивности Ь2, то
под действием тока й в катушке Ь\ также будет наведена ЭД С вза
имной индукции:

е„,=-М21^.	(3.68)

В соответствии с принципом взаимности (см. § 1.7) для линей
них цепей М\2 = М2\.

Рассмотренная ниже индуктивная связь носит односторонний
характер: ток й вызывает ЭДС взаимоиндукции ед/2, или ток й —
ЭДС ем\. В случае замыкания катушки С 2 на конечное сопротив
ление К (рис. 3.17, б) в последней под воздействием г/м2, потечет
индукционный ток 12, который в свою очередь, вызовет в первой
катушке Ь\ ЭДС взаимоиндукции ем\ (3.68). Таким образом, уста
новится двухсторонняя индуктивная связь катушек С] и 1.2 • При
этом каждая из катушек 11 и 12 будет пронизываться двумя маг
нитными потоками: самоиндукции, вызванным собственным током,
и взаимоиндукции, вызванным током другой катушки. С ле
довательно, в катушке Ь\ индуцируется ЭДС

е\=ец+ем =	(3.69)

1	1 а1 а1

а в катушке 1.2 ЭДС

е2=е11+еМ1=-Ь2^--М12^-.	(3.70)

Сд- С	Сд- С

Взаимное направление потоков само и взаимоиндукции зависит
как от направления токов в катушках, так и от их взаимного рас
положения.

Если катушки включаются таким образом, что потоки само и
взаимоиндукции складываются, то такое включение называется со-
гласным. Если же потоки само и взаимоиндукции вычитаются, то
такое включение принято называть встречным. На рис. 3.17, 6
показан случай согласного включения.

Степень связи между Ь\ и Ь2 оценивается коэффициентом связи
к = 7^12^21 •	(3.71)

где коэффициенты

^12 = Ф12/Ф11 и ^21 = Ф21/Ф22	(3.72)

характеризуют одностороннюю связь между катушками и 1.2-
Магнитные потоки Фц, Ф21, Фи и Ф22 можно выразить через па
раметры катушек 1.2, М\2, М2\ и токи й, й с помощью формул

Фи = АЙ/дар Ф12 = ^12й/да2;	(3 73)

Ф21 = Л/21 й/Ш1 ’ Ф22 = ^22й/да2 ’

где сот, Ю2 — число витков катушек и /.2 соответственно.
После подстановки (3.73) в (3.71) с учетом (3.72) получим для
коэффициента связи

к = мЦЦЦ,	(3.74)

где М12 = М21 = М.

Значение к изменяется в пределах от 0 (отсутствие связи) до 1
{жесткая или полная связь). Индуктивная связь существенным
образом зависит от потоков рассеяния Фц и Ф2.9, поэтому степень
связи иногда характеризуют коэффициентом рассеяния о2 = 1 — к2.
Для компактности и удобства изображения схем электрических
цепей с взаимной индуктивностью вводят понятие одноименных
зажимов. Последними принято называть узлы, относительно ко
торых одинаково ориентированные токи создают складывающиеся
потоки само и взаимоиндукции. На рис. 3.18 схематично изобра
жены одноименные зажимы для случая согласного и встречного
включений катушек и 7.2- Следовательно, для определения ви
да включения и на схеме достаточно определить, как ори
ентированы токи Д и 12 относительно одноименных зажимов (на
рис. 3.18 обозначены точкой): при одинаковой ориентации имеем
согласное (рис. 3.18, а), а при разной — встречное включение
(рис. 3.18, б).

Учет взаимной индуктивности существенно влияет на резуль
таты анализа электрических цепей. Рассмотрим последовательное и
параллельное соединение индуктивно связанных катушек с индук
тивностями 11 и 1г и потерями и К2, находящихся под дей
ствием гармонического напряжения:

и = 1}т 81п (+ ср,,)	(3.75)

Последовательное соединение. Для согласного включения ка
тушек (см. рис. 3.19, ад в соответствии с ЗНК и уравнениями
(3.66) и (3.67) можно записать:
Рис. 3.20

и ~ ив{ + иц + им + иь2
= (К1 + 7?2 V + (7ц + -^2

+ им + иК2 -
+ ЪМ^сИ/сИ.

(3.76)

В комплексной форме уравнение (3.76) согласно § 3.6 запишется в
виде

Ц_ = (+ Т?2) 7 + ] о (7,^ + Т,2 + 2Л7) /.	(3.77)

Обозначим через 7, комплексное эквивалентное сопротивление
всей цепи при согласном включении катушек

2,~с = 77. +	,	(3.78)

где

Кэ = 7?! + К2; 7,эс = Ц+ Ь2 + 2М.	(3.79)

Тогда уравнение (3.77) можно записать в виде

П = 2ЭС7,	(3.80)

отражающем закон Ома для рассматриваемой цепи.

Фазовый сдвиг между током I и приложенным напряжением и

Фэе =ф«-ф/ = апТ§-(соТэс/7?э).	(3.81)

На рис. 3.20, а изображена векторно топографическая диаграм
ма напряжений на отдельных элементах цепи при согласном вклю
чении 7л и Т,2.

Комплексное напряжение на катушке 7л с потерями 7?1 равно

Ц_х = [7?1+/со(7,1+М)]/.	(3.82)

Аналогично определяется комплексное напряжение на второй ка
тушке 7,2 с потерями К2'.

Ц2 =[7?2 + /со(7,2 + М)]7.	(3.83)

При встречном включении катушек (см. рис. 3.19, б) уравнения
(3.76) и (3.77) принимают вид
и -	+ иЦ ~иМ + иК2 + иК2 ~иМ -	, х

= (Я1+Я2)г + (Ь1+Ь2-2М);

Ц_ = (+ Т?2) 7 +	+ -^2 — 2Л7) 7.	(3.85)

Комплексное эквивалентное сопротивление цепи при встреч
ном включении

2Э = Кэ + /со7,эв,	(3.86)

где

Рэв = ЬХ+Ь2-2М	(3.87)

— эквивалентная индуктивность цепи при встречном включении
катушек индуктивности.

Как следует из (3.78) и (3.87) эквивалентная индуктивность при
согласном включении больше на 2М, а при встречном меньше на
2М суммарной индуктивности Р\ + 7,2.

Уравнения для тока 7, фазового сдвига срЭв и напряжений СД,
Ц2 аналогичны (3.80) —(3.83):

(2^ — —эв— ’ Фэв — Фм — Фг — агН§(со7,эв/7?э),	. 38)

СД = [7?! + ;со(7,1 -Э7)]7; Ц2 = [К2 + /со(7,2 -М)]7./	?

На рис. 3.20, б изображена векторно топографическая диаграм
ма напряжений для случая встречного включения. При встречном
включении катушек может наблюдаться «емкостный эффект», ко
гда фазовый сдвиг между током и напряжением одной из катушек
будет отрицательный. Это может иметь место при выполнении ус
ловия Т,2 < М. В этом случае 1/ь2 < Ум и

Ф2эв = агН§[со(7,2 _У7)/7?2] < 0	(3.89)

и напряжение Ц_2 будет отставать от тока 7. Однако вся цепь все
гда будет носить индуктивный характер, так как при любых значе
ниях параметров 7,1, 7,2 и М справедливо условие

Фэв = агс1;§[со(7,1 + Т,2 - 2Э7)/7?э] > 0.	(3.90)

Это непосредственно следует из условия, что при к = М1^ЬХЬ2 > О,
7,1 + 7,2 — 2М > 0. Действительно, поскольку (л/17 ~	> 0, то

7,! +Т,2 > 2л/7,17,2 . Но из (3.74) находим, что М < ^/7,17,2 (так как
к < 1), следовательно, 7,1 +7,2 > 2М — отсюда и следует условие
(3.90).

Уравнения (3.79) и (3.87) можно положить в основу экспери
ментального определения взаимной индуктивности М. Для этого
достаточно определить ток 7, напряжение 1/, мощность Р в цепи
при согласном и встречном включениях катушек и найти

Кэ = Рс/=РВ/II; гэс = 1777; 2ЭВ = С///в ,
I

I

где индексы «с» и «в» относятся к согласному и встречному вклю
чениям.

Реактивные составляющие комплексных сопротивлений при со
гласном и встречном включениях можно определить как

у	_ /у 2	_ р2.	у	_ /у 2	_ р2

ЭС \^ЭС	>	ЛЭВ \^ЭВ	•

Отсюда, учитывая, что Хэс = ®(Д + Ь2 + 2М) и Хэв =	+ Ь2 - 2М),

находим взаимную индуктивность:

М = (Хэс - Хэв)/4со.

(3.91)

Параллельное соединение. Для случая согласного включения
катушек (рис. 3.21, а) в соответствии с ЗТК и ЗНК можно запи
сать:

к - 11 + к2’

1к = к^+к2^ >
кк = 11^21 + 2^2—22’.

(3.92)

где	+ усоТр /2 - -^2 +	^12 - ^21 -	.

Решая систему (3.92) относительно 7д и /2, получаем

(3.93)

Выражения, стоящие в знаменателях (3.93), имеют смысл экви
валентных комплексных сопротивлений индуктивно связанных
ветвей 2дэс и 22ЭС:

(3.94)

Эти сопротивления складываются из двух составляющих: собст
венных сопротивлений ветвей 21 и 22 и сопротивлений, вносимых
за счет индуктивных связей 2двнс и 2.2ВНс>

— 1эс	^1+^1внс’ —2эс —2 + — 2внс-

(3.95)
Комплексные вносимые сопротивления 2.1 вн с и
ределить, решив совместно (3.94) и (3.95):

г1внс = (г,г12

^2внс = ^^2—12

^12'>

Ток в неразветвленной части цепи 7 с учетом (3.93)

I =	,

где

2, = (г,г2 -212)/(22 + 22 -2212).

можно он

(3.96)

(3.97)

Нетрудно видеть, что в случае отсутствия индуктивной связи
(2д2 = 2.21 = 0) эквивалентное комплексное сопротивление цепи
2.эс = 2.12.2 (2.1 + 2.2), что соответствует известной формуле парал
лельного соединения 2.1 и 2.2.

На рис. 3.22, а изображена векторно топографическая диаг
рамма для случая согласного включения и 7.2- Аналогичным об
разом можно получить соответствующие уравнения для встречного
включения катушек (см. рис. 3.21, б). При этом необходимо
учесть, что в уравнениях перед слагаемыми с 2.12 и 2.21 необходимо
заменить знак на противоположный. Так, уравнения (3.94), (3.96),
(3.97) принимают вид

г,эв = (г122-г;!2)/(г2 + 212);

г2эв = (2122-г?2)/(г1 + 212);

—1 вн в = - (21212 + 2121/(22 + 21г)’
&внв = _(22212 + 2?21/(21 + И12);

2ЭВ = (2122-2121/(21+ 22+ 22121-

(3.98)

(3.99)

(3.100)

На рис. 3.22, б изображена векторно топографическая диаграм
ма для случая встречного включения.
Из уравнений (3.94), (3.98) нетрудно найти эквивалентные ин
дуктивности ветвей:

11э = а112-м2)/а2тм);
л2э =<ць2-м2)/(ц + м),

(3.101)

где знак «—» относится к согласному, а «+» — к встречному вклю
чению индуктивно связанных элементов.

3.8.	Особенности анализа индуктивно связанных цепей

При расчете индуктивно связанных цепей обычно используют
законы Кирхгофа и метод контурных токов. Другие методы либо
нецелесообразно использовать из за громоздкости решения, либо
нельзя применять вследствие наличия индуктивной связи (методы
узловых потенциалов, эквивалентного генератора). Для того чтобы
можно было использовать все рассмотренные ранее методы расче
та, применяют «развязку» индуктивных связей. Рассмотрим сугц
ность этих методов на примере цепи, схема которой изображена на
рис. 3.23.

Расчет по законам Кирхгофа. Составим уравнения по ЗТК и
ЗНК, в комплексной форме:

11 = ^2 + 1з’

(/?1 +	+ 7соМ13/3 - 7соЛ712/3 +

+ С&2 + 7С0-^2^2 “	= ^1 “ г2 ’ '

-(/^2 + 7СО^2^2 + 7СО^1211 + <^3 + 7СО-^3 +

+ 1/усоС3)/3 +усоМ13/1 = С/г2.

(3.102)

При составлении уравнений по ЗНК необходимо пользоваться
следующим правилом знаков: напряжение взаимоиндукции, созда
ваемое в к й ветви от тока, протекающего в I й ветви, берется со
знаком «+», если направление обхода к й ветви и положительное
направление тока в I й ветви одинаково ориентировано отно
сительно одноименных зажимов. В противном случае берется
знак «—».

Решая систему (3.102), получаем искомые токи 7д, 7.2 и /3.

Метод контурных токов. В соответствии с этим методом (см.
§ 2.4) и правилом знаков уравнения для контурных токов Тщ и 1^2
(см. рис. 3.23) принимают вид

(2ц - 2212)/к1 + (213 +712 - 2Г2)/к2 = (7к1,1	.„„х

(^13 + ^12 “ ^2^к1 + ^22^x2 = ^к2’	/

где 2|| — 771 + 772 + 7® (7^ + Т^2): ^22 = ^2 + -^з + 7® (Т^2 + 7^3) + 1/7®б*з >
22 = т?2 + 7®^2; ^12 = 7®^12; ^13 = 7®^1з; ^К1 =	_(^Г2^

(2ж2 = — г2’
Решая систему (3.103), находим
контурные токи 7^1 и 1^2, а затем
токи ветвей 7д = /щ; /2 = 7.к1 - 1к2;
1з = 1к2-

Рассмотренные методы можно
обобщить на схемы произвольной
конфигурации.

Развязка индуктивных связей.
Расчет индуктивно связанных це
пей существенно упрощается, если

Рис. 3.23
эквивалентных схем и со
индуктивных связей. При

использовать эквивалентные схемы,
не содержащие в явном виде индук
тивные связи. Составление подобных
ставляет сущность метода «развязки»

этом эквивалентные связи учитываются в эквивалентных индук
тивностях развязанных схем. Примером подобной развязки могут
служить эквивалентные индуктивности, определяемые уравнениями
(3.79), (3,87), (3.101).

В общем случае развязку любых двух индуктивно связанных
элементов и 1.2, соединенных в одном узле (рис. 3.24, а) можно
осуществить с помощью схемы, изображенной на рис. 3.24, б для
случая, когда элементы С и12 соединены в узле 0г одноименными
зажимами (•) и с помощью схемы на рис. 3.24, в для соединения
11 и 1,2 в узле О' разноименными зажимами (А). Для дока
зательства эквивалентности этих схем достаточно составить урав
нения по законам Кирхгофа для каждой из них и доказать их
идентичность. Действительно, для случая включения одноименны
ми зажимами для схемы на рис. 3.24, а имеем:

— а0 =	+

(ДбО =	+ 7О)^2^2-

(3.104)

Для развязной схемы на рис. 3.24, б имеем:

Рис. 3.24

71-1Ч12+-^13 7з +1Ч12+-^13

Рис. 3.25
Им = 7«>Щ ~М)Ц +]«МЪ 1	ГЧ 1(К->

С/60 =/<о(12-М)/2 + /®М/./

Учитывая, что 7д = / — /2 и /2 = к — 11 после подстановки 7д и
/2 в (3.104) получаем уравнения, аналогичные (3.105). Подобным
же образом доказывается эквивалентность и второй схемы при
включении 1] и 12 разноименными зажимами.

В качестве примера на рис. 3.25 изображена схема с развязан
ными индуктивными связями, эквивалентная изображенной на
рис. 3.23. После развязки индуктивных связей расчет полученной
эквивалентной схемы может быть осуществлен любым из извест
ных методов.

Наличие индуктивных связей приводит к изменению матрицы
сопротивления 7В и проводимости Ув. Из диагональных матриц
они превращены в квадратные матрицы, по диагонали которых за
писываются собственные комплексные сопротивления или про
водимости ветвей, а на пересечении к й строки и /-го столбца за
писываются сопротивления или проводимости взаимной связи ме
жду к й и I й ветвями со знаком «+» при согласном включении и со
знаком «—» при встречном.

Если цепь удовлетворяет условию взаимности (см. § 2.4), то

= 2/&, Х.М = Х/1 и матрица будет симметрична относительно
главной диагонали.

Например, матрица сопротивлений цепи, изображенной на
рис. 3.23, имеет вид

	2!	~%1 2	2кз
II я №1	_221	22	0
	2з1	0	23

где 2| —	+ у2 — -/^2 ]С0Е2, 2 3 — ./?3 ] (соЕ3 1/соС3),

212 = 221 =	213 = /31 = усоМ13.

3.9.	Трансформатор

Трансформатором называется статическое устройство, предка
значенное для преобразования значений переменных напряжений и
токов. Простейший трансформатор состоит из двух индуктивно
связанных катушек с индуктивностями Т\ и Т'2, расположенных на
общем сердечнике. Катушка, к которой подключается источник,
называют первичной, а к которой подключают нагрузку — вторич-
ной. Сердечник может быть выполнен из ферромагнитного или не
ферромагнитного материала. Примером трансформатора послед
него типа является воздушный трансформатор, находящий широ
кое применение в технике связи, измерительных приборах, раз
личных радиотехнических устройствах.
Воздушный трансформатор.

На рис. 3.26 изображена схема
простейшего воздушного транс
форматора с потерями в первич
ной и вторичной катушках
(обмотках), нагруженного на
комплексное сопротивление 2П =
= #н + у2Сн.

Рис. 3.26

Составим уравнение трансформатора по ЗНК для I и
туров:

Уд =	“^12X23

0 = “^12^1 + ^22—2’ 1

где

2И -	+ усоСр /12 -

12 22 = -^22 + 7^22 = (^2 +	+ 7 (к>С2 + 2СН).

II кон

(3.106)

(3.107)

Из системы уравнений (3.106) следуют уравнения для токов 1_\
и 7_2:

(3.108)

По аналогии с (3.93) введем понятие вносимых сопротивлений:
г,вн = -Й/222; г2вн = -г?2/г„. (з.юэ)
Тогда уравнения (3.108) можно переписать следующим образом:

/. =---------; / = -1-12/-11 .	(3.110)

+^|в„	222 + 22вн

Уравнениям (3.110) соответствуют одноконтурные схемы за
мещения воздушного трансформатора, изображенные на рис. 3.27.
Значения величин 7?1ВН и Х1ВН, Т?2вн и Х2вн определяются из (3.109)
с учетом (3.107):

^1вн

(3.111)

Рис. 3.27
Рис. 3.29

,72	ул 2

V _	^12 у . у _	^12 у (3 11?)

л1вн „2 лл2 ^22’ л2вн „2 лл2 ЛИ- \Э.11^7
^22 + ^22	^11 + ^11

Знак «—» в уравнениях (3.112) свидетельствует о размагни
чивающем действии вторичной обмотки на первичную.

С физической точки зрения 7?1ВН и /?2вн представляют собой эк
Бивалентные резистивные сопротивления, вносимые за счет вза
имной индуктивности соответственно в контуры I и II.

При этом на 1?1вн при протекании тока Ц рассеивается та же
мощность, что и на К2 при протекании тока /2 и соответственно на
-^2вн при протекании /2 рассеивается та же мощность, что и на
при протекании 1\.

Воздушный трансформатор может быть представлен двухкон
турной схемой замещения, изображенной на рис. 3.28. Эта схема
получается непосредственно из схемы, изображенной на рис. 3.26
после объединения в один узел одноименных зажимов и развязки
индуктивных связей согласно рис. 3.24. Таким, образом, для опре
деления токов в воздушном трансформаторе могут быть ис
пользованы одно либо двухконтурные эквивалентные схемы за
мещения.

Если в уравнениях (3.107) обозначить = /соМ = Нг, то воз
душный трансформатор можно представить схемой замещения с
зависимыми источниками (рис. 3.29).

Из общих уравнений для комплексных токов 7д и /2 с учетом
(3.106), (3.107) можно найти отношение комплексных токов и на
пряжений в воздушном трансформаторе:

11/^2 = ^2 + ^Н)/^12 5	(3 113)

С1/щ = [(г2 + 2н)211-2?2]/(гнг12),

где Ц_2 =

Из уравнения (3.113) следует, что отношение как комплексных
токов, так и напряжений в воздушном трансформаторе с потерями
зависит от сопротивления нагрузки

В случае отсутствия потерь (7?1 = К2 = 0) имеем:

11/12 = 2„/г12 + 1/йТ1>; и,/ц_2 = к^,	(3.114)
где &Тр = 1-\ У1 — коэффициент
трансформации. Как видно, в
данном случае отношение нап
ряжений не зависит от нагрузки,
а отношение токов зависит от
2н. Такой трансформатор назы
вают совершенным. Для него ко
эффициент связи к = 1, а коэф

фициент рассеяния о = 0.	рис 3 дд

Существует еще понятие

идеального трансформатора, у которого потери равны нулю,
индуктивности катушек бесконечно велики, а их отношение рав
но коэффициенту трансформации &тр = 1.\ 1.2 = он сод- где соц
Ю2 — число витков первичной и вторичной катушек. В идеальном

трансформаторе отношение как токов, так и напряжений не зави

сит от нагрузки и определяются только коэффициентом транс
формации &тр.

Трансформатор с ферромагнитным сердечником. Ферромагнит

ный сердечник применяется для увеличения магнитного потока и

связи между катушками, что приводит к росту мощности, отдавае
мой во вторичную цепь трансформатора. При этом по своим свой
ствам он приближается к идеальному трансформатору, но стано
вится в общем случае нелинейным устройством вследствие появ
ления дополнительных потерь на гистерезис и вихревые токи. Од
нако на практике трансформатор с ферромагнитным сердечни-
ком стараются конструировать таким образом, чтобы нелинейность
была мала и ею можно было пренебречь. Тогда расчет подобного
трансформатора можно осуществить на основе двухконтурной схе
мы замещения, изображенной на рис. 3.30 с параметрами, приве
денными к параметрам первичной обмотки. Данная схема может
быть получена по аналогии со схемой рис. 3.28 с учетом потерь в
стали Со и намагничивания Во. Приведенные значения Х'82, /'2 он
ределяются согласно равенствам:

' = к2 X 

з2	52’

- ^тРВ2; /2 -

7' = к2 7

— Н ^тр—Н-

^2 = КМ2’ ,
~2	р“2 (3.115)

где ХД, Х$2 — индуктивные сопротивления первичной и вторичной
катушек (индуктивности рассеяния). Величины тока потерь в стали
/п = СфС/ф и намагничивающего тока /ф = ВоС/ф определяют сум
марный ток потерь:

—0 ^ф + Дн	’

где аргумент 5 называется углом потерь.

(3.116)
3.10.	Баланс мощности

Представим пассивную электрическую цепь, находящуюся под
воздействием источника гармонического напряжения, в форме
двухполюсника (см. рис. 1.1). Под воздействием напряжения иаъ =
= С/т§1п ей в цепи протекает ток I = /т§т(со^ — ср). Отдаваемая не
точником в цепь за период Т средняя мощность

] т А/ /

Р = Рср = -\ш(Н = ^^СО8ф = С7сО8ф. (3.117)
Г о	2

Согласно закону Ома V = XI или с учетом (3.35) V = Р//со8ф.
Тогда уравнение (3.117) принимает вид

р = 12К = и2С.	(3.118)

Таким образом, средняя за период мощность Р равна мощности,
рассеиваемой на резистивном сопротивлении (проводимости) цепи.
В этой связи мощность Р носит название активной и измеряется в
ваттах (Вт).

Кроме активной мощности Р в цепях гармонического тока не
пользуют понятие реактивной мощности

(ф = VI 81п ф = 12Х = и2В	(3.119)

и комплексной мощности

8 = Р + ](ф.	(3.120)

Модуль комплексной мощности называется полной мощностью'.

8 = \8\ = 1рП<Р 	(3.121)

Единица измерения реактивной мощности — В Ар, а полной — вольт
ампер (В-А).

Мощности Р, (ф, 5 можно выразить и в другой форме. Пред
ставим 5 с учетом (3.117) и (3.119) в виде

5 = С//со8ф +/СЛ/Атф = Сг7е7Ф =С I. (3.122)

Тогда нетрудно видеть, что

Р = Ке[С7] = Ке[5]; О = 1т [С/7] = 1т [5]; 5 = VI = |5| (3.123)
т. е. активная мощность равна реальной части, а реактивная —
мнимой части комплексной мощности 5. Как следует из формул
(3.117) и (3.123):

соз ф = Р/5.	(3.124)

Это отношение в энергетике называется коэффициентом мощ-
ности {косинусом ф) и является важной характеристикой электри
ческих машин и линий электропередачи. Чем выше соз ф, тем
102
Рис. 3.31

меньше потери энергии в линии и выше степень использования
электрических машин и аппаратов. Максимальное значение
со§ ср = 1, при этом Р = $, (^) = 0, т. е. цепь носит чисто активный
характер и сдвиг фаз между током г и напряжением и равен нулю.

Условие передачи максимальной мощности от генератора в на
грузку можно найти из условия

2Г=2Н,	(3.125)

где 2г — комплексное внутреннее сопротивление источника; 2Н —
комплексно сопряженное сопротивление нагрузки. Это условие
следует непосредственно из рассмотрения эквивалентной схемы,
приведенной на рис. 3.31. Ток в данной цепи достигает максимума
при Хт = —Хн и выполнении условия Кт = (см. § 2.6), что и до
называет равенство (3.125). При этом мощность в нагрузке будет
определяться уравнением

₽„ = (7г2/4Лг .

(3.126)

По аналогии с треугольниками токов и напряжений, сопротив
лений и проводимостей (§§ 3.4 и 3.5) можно ввести треугольники
мощностей. Так согласно (3.121) и (3.122) треугольник мощностей
для цепи, носящий индуктивный характер будет иметь вид, изо
браженный на рис. 3.32, а, а для цепи с емкостным характером —
на рис. 3.32, б.

Рассмотрим условие баланса мощности в цепях при гармони
ческом воздействии. В силу справедливости первого и второго за
конов Кирхгофа для комплексных действующих значений тока / и
напряжений Ц в каждой из ветвей рассматриваемой цепи можно
записать теорему Телледжена (1.35) в комплексной форме:

«в

Е^Л = о.

/?=1

(3.127)

Однако поскольку ЗТК справедлив и по отношению к сопряжен
ным токам 1_к, то уравнение (3.127) можно записать в виде
ИВ * ив

2Ж = ^ = о.

1г=1	1г=1

(3.128)

Уравнение (3.128) отражает баланс комплексной мощности, со
гласно которому сумма комплексных мощностей, потребляемых
всеми ветвями цепи, равна нулю. Баланс комплексной мощности
можно сформулировать и в другой форме: сумма комплексных
мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме
комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями элек
трической цепи:

«В	ПВ

^/гист —	—/гпот •

к=1	к=1

(3.129)

Из условия баланса комплексной мощности следуют условия
баланса активных и реактивных мощностей:

«В  -^/гист	пв  ~ Р/г пот ’	(3.130)
к=1	к=1	
пв	пв	
О/гист к=1	~	О/гпот •  к=1	(3.131)

Условие баланса активных мощностей непосредственно вытекает из
закона сохранения энергии.

3.11.	Модели электрических цепей с зависимыми
источниками

Интегрирующие и дифференцирующие цепи. Интегрирующие
и дифференцирующие цепи находят широкое применение в раз
личных устройствах импульсной и вычислительной техники для
формирования линейно изменяющихся напряжений и токов, селек
ции сигналов, линейного преобразования различных импульсов и
т. д. Интегрирующая цепь описывается уравнением

/209 = к^ф(1)(И,	(3.132)

о

а дифференцирующая — уравнением

/2<Ф) =	,	(з.1зз)

где ^1, к-2 — коэффициенты пропорциональности.

Простейшая интегрирующая и дифференцирующая цепи могут
быть реализованы на базе К С цепочки (рис. 3.33, 3.34). Действи
тельно, если параметры интегрирующей цепочки (рис. 3.33) тако
^вх
и

О----

вы, что т = КС » ^и, где С длительность входного сигнала, то на
выходе такой цепи имеем

м2(0 ~

1

КС

I

о

Аналогично, если для дифференцирующей цепочки (рис. 3.34) вы
полнено условие т = КС 61, то

м2(О ® Кс^^-
(К

(3.134)

Однако точность интегрирования и дифференцирования такой пас
сивной цепи невысока. Поэтому на практике операции (3.132) и
(3.133) реализуют с помощью активных цепей с зависимыми ис
точниками, например на базе ОУ.

На рис. 3.35, а изображена схема интегратора, а на рис. 3.36, а —
дифференциатора на ОУ. Определим комплексное действующее
напряжение на выходе интегратора. Для этого воспользуемся эк
Бивалентной схемой замещения ОУ в виде ИНУНа (рис. 3.35, б).

Приняв потенциал базисного узла У4 = 0 составим уравнение
равновесия узловых потенциалов:

Vз (О + /соС) - У 2/соС - У<С = 0;
' Т2 = -Н.,У3, где О = 1/Я.

Откуда, после несложных преобразований получим

2-2 - “

_______Ни&_______у.

С + раСН^ + ЦН,,)-'-
к

к

Учитывая, что Ц_\ = Уд — Уд = Уд; Ц? — Цд = У.2 и для идеально
го ОУ Ни = оо, окончательно находим

С/2 = (-1//со)С/1/7?С.	(3.135)

А так как деление Ц_\ на /со соответствует операции интегрирования
входного сигнала (см. § 3.6), то схема, изображенная на
рис. 3.34 является моделью идеального интегратора.

Аналогично можно получить для идеального дифференциатора
(см. рис. 3.36):

С/2	(3.136)

т. е. г/1(0 и г/2(0 связаны между собой зависимостью, аналогичной
(3.134). Знак «—» в уравнении (3.135) и (3.136) обусловлен ново
ротом на угол л фазы входного сигнала поданного на инвер
тирующий вход ОУ.

АКС-цепь второго порядка. На рис. 3.37 изображена активная
К С цепь (АКС цепь) второго порядка, которая находит широкое
применение в качестве типового звена различных устройств:
фильтров, корректоров и др. (см.гл. 14, 17, 18).

Приняв потенциал узла Уд = 0 (базисный узел) составим для
узлов 3 и 4 уравнения по методу узловых потенциалов (рис. 3.37, б):

И3Ч1 + Ь + Ь + ь) -К1Т1 -ЬЬ - К4Г3 = 0,1 г, . о7)

Х4(Уз+Г5)-ХзЬ-К2Г5=0.	1
а

Рис. 3.38

=^С2

о

а)

^2 -|-С2

____72=С2/С2

Рис. 3.39

Учитывая, что У_2 = —НиУ^ и Ни = оо (идеальный ОУ) после
решения системы уравнений (3.137), получим напряжение на вы
ходе:

________________________ц

ИбО-1 + 1^2 + Г3 +	+

(3.138)

Гиратор. Гиратором называют необратимый четырехполюник
(рис. 3.38, а), описываемый уравнениями Тд = Сдбт и /д = —
где Сг проводимость гиратора.

Условное изображение гиратора показано на рис. 3.38, б. На
грузим гиратор сопротивлением нагрузки Тд. Входное сопротивле
ние гиратора

(3.139)

т. е. обратно сопротивлению нагрузки, поэтому гиратор часто на
зывают инвертором положительного сопротивления. Свойство
(3.139) является очень важным, поскольку позволяет имитировать
индуктивность с помощью емкости. Действительно, если /2 =
= 1 /соС, то 71 = /соСэ, где Гэ = С Ог2 — эквивалентная индук
тивность. Это свойство гираторов является очень ценным для мик
роэлектроники, поскольку изготовление индуктивностей по интег
ральной технологии представляет сложную задачу. Использование
же гираторов с малым значением Ог позволяет из небольших ем
костей С моделировать большие значения индуктивности Г.

Существуют и другие многочисленные применения гиратора:
преобразование напряжения и тока, моделирование Т и П образ
ных звеньев с катушками индуктивности, трансформаторов, резо
нансных контуров. В качестве примера на рис. 3.39 изображена
модель параллельного колебательного контура (рис. 3.39, б) на ба
зе гиратора (3.39, а).
Важным свойством гиратора является то, что он не вносит энер
гии в цепь и не потребляет ее из цепи, т. е. ведет себя как пассив
ный элемент без потерь. Это следует непосредственно из уравнений
гиратора.

Реализация гиратора осуществляется с использованием активных
элементов. Например, ОУ (на базе двух источников ИТУН: на базе
ИТУН и ООС; на основе двух ПОС и др.). На рис. 3.40 изображе
на схема гиратора с двумя ИТУН, выполненными на базе ОУ.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	В чем различие между мгновенным значением синусоидального
тока и его действующим значением?

2.	Какой формулой связаны между собой активная, реактивная со
ставляющие и комплексное напряжение?

3.	Как ориентированы между собой векторы тока и напряжения на
индуктивности (емкости)?

4.	Может ли напряжение на индуктивности (емкости) в цепочке из
последовательно соединенных КкС превышать уровень прило
женного напряжения?

5.	Две индуктивности Гц = 5 мГн и 1^ = 15 мГн включены после
довательно. Определить их эквивалентное сопротивление на
частоте /"= 1000 Гц.

Ответ: ХД = 125,6 Ом.

6.	В схеме, изображенной на рис. 3.7, 17 = 10 В, падение напря
жения на индуктивности = 5 В, на емкости ис = И В. Опре
делить падение напряжения на резисторе ир>-

Ответ:	= 8 В.

7.	Вычислить эквивалентное сопротивление двух конденсаторов
С1 = 5 мкФ и С2 = 15 мкФ, включенных параллельно на часто
те / = 5 кГц.

Ответ: Хс = 1,59 Ом.
8.	Амперметр, включенный в ветвь с резистором К на рис. 3.10,
показывает г# = 3 А, включенный в цепь с индуктивностью —
гд = 3 А, а включенный последовательно с емкостью — гс = 7 А.
Какую величину тока покажет амперметр, включенный на входе
схемы?

Ответ: г = 5 А.

9.	Вычислить входные сопротивления схемы рис. 3.10 на частоте
/=10 кГц, если К = 100 Ом, А = 1 мГн, С = 1 мкФ.

Ответ 2 = 4,4 — /20,5 Ом.

10.	Чему равны максимальное и минимальное значения коэффици
ента связи между катушками?

11.	В каких единицах измеряется взаимная индуктивность?

12.	Может ли суммарная индуктивность двух индуктивно связан
ных катушек быть равной 0?

13.	К схеме рис. 3.19 приложено напряжение С7 = 10 В. Сопротив
ление резисторов = К2 = 40 Ом. Индуктивные сопротивле
ния катушек Ха = 100 Ом, Х^2 = 50 Ом. Коэффициент связи
между ними К = 0,6. Определить разность потенциалов между
одноименными зажимами этих катушек.

Ответ Ц_ = 4 + /4,88 В.

14.	В схеме на рисунке 3.21 (б) сопротивление резисторов =
= 20 Ом, = 0 Ом, сопротивление индуктивностей Хщ =
= Ха = 30 Ом, коэффициент связи между катушками К = 0,5.
Определить эквивалентное входное сопротивление цепи.

Ответ: 2ВХ = 4,76 + /7,56 Ом.

15.	Каковы особенности расчета цепей с индуктивными связями?

16.	Какое устройство называется трансформатором? Какие виды
трансформаторов известны?

17.	Составить уравнения баланса мощности для схемы, изображен
ной на рис. 3.15.

18.	В схеме, изображенной на рис. 3.7, С/ = 10 В, г/д = 5 В, ис =
= 11 В, сопротивление резистора К = 40 Ом. Определить ком
плексную мощность, потребленную цепью.

Ответ: Аиотр = 1,6 - /1,2.

19.	Каким образом можно уменьшить реактивную составляющую
мощности потребляемую предприятием из сети?

20.	Каковы схемы интегрирующих и дифференцирующих цепей на
операционном усилителе?
ГЛАВА 4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

4.1.	Комплексные передаточные функции линейных
электрических цепей

Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи яв
ляется комплексная передаточная функция Н(ф(К). При этом
электрическую цепь удобно изображать в виде четырехполюсника
(рис. 4.1), на входные зажимы (1 — Г) которого подается сигнал в
виде напряжения с комплексной амплитудой Ц_т1, или тока с ком
плексной амплитудой /„д, а реакция снимается с выходных зажи
мов (2 — 2') также в виде напряжения или тока с комплексными
амплитудами Ц_т2, Ьп2- Комплексная передаточная функция
(КПФ) определяется как отношение комплексной амплитуды ре
акции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.

В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи
различают следующие виды КПФ:

1.	Комплексная передаточная функция по напряжению

НЛ^) = Чт2/ЧтЛ=Ч2/Ш,	(4.1)

где Ц_тл, Ц_т2, Ц? — комплексные амплитуды и комплексные
действующие значения напряжения воздействия на входе и напря
жения реакции на выходе.

2.	Комплексная передаточная функция по току

НI (7®) — —тд/— т\ ~ —2/—1 ’	(4.2)

где /„д, /тД, ^2 — комплексные амплитуды и действующие зна
чения тока воздействия и тока реакции.

3.	Комплексное передаточное сопротивление

НгО<») = Ся2/1тА=Ч2/С-	(4-3)

4.	Комплексная передаточная проводимость

НУи^ = К,2/Ут1=12/С1	(4-4)

Из данных определений следует, что Ни(](Ф) и Нффо) являются
безразмерными величинами, а Н%(ф(К) и Ну(](К) — имеют соот
ветственно размерности сопротивления и проводимости.

1

О---*—

| Ктг

О-----

Т

Рис. 4.1

Рис. 4.2


Комплексные передаточные функции определяются на частоте со
сигнала воздействия и зависят только от параметров цепи.

Как всякую комплексную величину Я(/со) можно представить в
показательной, тригонометрической и алгебраической форме:

Н(/а) = \Н (/со)| Л’’<“) = Н(а)Л’’<“);	(4.5)

Я (/со) = Н (со) со§ ср (со) + ]Н (со)§т ср (со);	(4.6)

Я(/со) = Я1(со) + /Я2(со),	(4.7)

где Я(со) = |Я(/со)| — модуль комплексной передаточной функции
называется амплитудно-частотной характеристикой цепи
(АЧХ), а ср(со) = аг§Я(/со) — аргумент комплексной передаточной
функции называют фазо-частотной характеристикой цепи
(ФЧХ). Величины

Нх (со) = Я (со) со§ ср(со) и!	(/ОД

Я2 (со) = Я(со)81пср(со)

есть вещественная и мнимая части комплексной передаточной
функции цепи.

Из (4.5) —(4.8) нетрудно получить соотношения, связывающие
АЧХ и ФЧХ с вещественными и мнимыми частями комплексной
передаточной функции Я^со) и Я2(ю)

Я(со) = 7^12(со) + Я22(со);	(4.9)

ср (со) = апА§ •	(4.10)

Я1 (со)

АЧХ и ФЧХ являются наиболее фундаментальными понятия
ми теории цепей и широко используются на практике. Важность
этих характеристик для систем электрической связи, радиовеща
ния и телевидения объясняется самой природой передачи сигна
лов определенного спектрального состава по каналам связи. Тре
бования к АЧХ и ФЧХ различных устройств являются опреде
ляющими при проектировании любой аппаратуры связи, так как
от степени их выполнения во многом зависит качество передачи
информации.

Пример. Определить КПФ по напряжению Ям(/со), АЧХ и ФЧХ цепи,
изображенной на рис. 4.2.

Согласно (4.1) запишем:

ни = ц_2/и. 

Найдем комплексное действующее значение напряжения на выходе цепи:

V	/ 1 С, 1 С,

—2 “(/со С) (7? + 1//соС) /соС 1 + ]аУ\С
Подставив Ц_2 в формулы для Ни(]ю), получим КПФ:

(Усо) = 1/(1 +/со7?С);	(4.11)

АЧХ цепи

ЯД со) - 1/71 + (соЯС)2;	(4.12)

ФЧХ цепи

ф(со) = -агс!§соЯС	(4.13)

(АЧХ и ФЧХ цепи изображены на рис. 4.3, а, б).

АЧХ и ФЧХ цепи можно представить единым графиком, если
построить зависимость КПФ Я (/со ) от частоты со на комплексной
плоскости. При этом конец вектора Я (/со) опишет некоторую кри
вую, которая называется годографом комплексной передаточной
функции (рис. 4.3, в).

В ряде случаев частотные характеристики цепи могут изме
пяться в очень широких пределах, поэтому более удобно их оцени
вать в логарифмическом масштабе. С этой целью для оценки АЧХ
вводят понятие логарифмической амплитудно-частотной ха-
рактеристики (ЛАХ):

Х = 201§Я(со)	(4.14)

Оценивается ЛАХ согласно (4.14) в децибелах (дБ). В активных
цепях К называют еще логарифмическим усилением. Для пассив
ных цепей вместо коэффициента усиления оперируют ослаблением
цепи\

А = 201§ [1/Я (со)],	(4.15)

которое также оценивается в децибелах.

Наряду с передаточными функциями (4.1) —(4.4) в ряде слу
чаев (см. гл. 16, 17,18) находят применение комплексные функции,
определяющиеся отношением комплексной реакции к комплекс
ному воздействию на входных зажимах электрической цепи
(рис. 4.4)

(/<>) = Чх/Ц-, Ц(»=1,/Ц	(4.16)

Функции вида (4.16) носят название комплексных входных функ-
ций цепей.
11
о—►
I-1
о--

Рис. 4.4

Рис. 4.5

4.2.	Частотные характеристики последовательного
колебательного контура

В радиотехнике и электросвязи большое значение имеет явление
резонанса. Резонансом называют такое состояние электрической
цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при
котором фазовый сдвиг между входным током и приложенным на
пряжением равен нулю. Цепи, в которых возникает явление резо
нанса, называют колебательными контурами, или резонансными
цепями.

Колебательные контуры и явления резонанса находят широкое
применение в радиотехнике и электросвязи. Резонансные цепи яв
ляются составной частью многих радиотехнических устройств: из
бирательные цепи в радиоприемниках и усилителях, частотно за
висимые элементы автогенераторов, фильтров, корректоров, дру
гих устройств. Для получения высоких технике экономических по
казателей (избирательности, полосы пропускания, коэффициента
прямоугольности, равномерности и т. д.) резонансные цепи долж
ны иметь достаточно сложную структуру (многоконтурные связан
ные цепи, активные резонансные системы и др.). Некоторые из
этих систем будут рассмотрены в гл. 15, 17. В настоящей главе
изучим основные особенности работы цепей в режиме резонанса на
примере простейших колебательных контуров.

Простейший колебательный контур содержит индуктивный и
емкостный элементы, соединенные последовательно {последова-
тельный контур} или параллельно {параллельный контур}. В
последнее время широкое распространение получили резонансные
цепи на базе операционных усилителей (ОУ). Различают два ти
па резонансов: напряжений и токов. В последовательном контуре
возникает резонанс напряжений, а в параллельном — резонанс
токов.

Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют
резонансной.

На рис. 4.5 изображена схема последовательного контура с ре
активными элементами Р и С и резистивным сопротивлением К, ха
рактеризующим потери в контуре. Приложим к контуру гармо
ническое напряжение с частотой со. Комплексное входное сопро
тивление контура на данной частоте определяется согласно урав
нению

2 = К + ]Х = 1? +/(соЬ - 1/соС),	(4.17)

а ток в контуре уравнением

I =	+ /х)-	(4.18)

Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением

ср = агс1;§[(соЬ - 1/соС)//?] = агс1;§(Х/1?).	(4.19)

При резонансе ф = 0, что возможно, если

X = «1 - 1/соС = 0.	(4.20)

Отсюда получаем уравнение резонансной частоты со0:

со = со0 =1Д/ГС.	(4.21)

На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто
активный характер, т. е. 2 = К, ток совпадает по фазе с прило
женным напряжением и достигает максимального значения /о =
= Ц_/К. Реактивные сопротивления контура на резонансной часто
те соо равны друг другу:

Хго=Хсо = ®о1 = 1/®оС = л/Т7С = р. (4.22)

Величина р носит название характеристического сопротивле-
ния контура.

Резонансные свойства контура характеризуются добротностью
контура, которая в общем случае определяется величиной

И7

0 = 271—(4.23)

где ТИр максимальные значения реактивной энергии, запасен
ной в контуре при резонансе; ИДт активная энергия, поглощае
мая в контуре за период Т. Величина, обратная добротности, на
зывается затуханием контура и обозначается с/:

б/= 1/0.	(4.24)

Величина (д безразмерна и обычно колеблется для реальных
контуров от 10 до 100 и выше. Для выяснения физического смысла
параметра (д исследуем энергетические соотношения в контуре при
резонансе. Положим, например, что при резонансе ток в цепи
I = 1тц 81п	. Определим согласно (1.10) и (1.13) сумму энергий

электрического и магнитного полей:

(~'1. 2 т -2	ГН ’ 2	т Т2

РИр = РИС+ИД =	+ ^=	С0§2 со + ^51п2 С0 •
Если учесть, что при резонансе 1/тсо = 1тоР = ^тОу/^/С, т. е.
= Е/дао, то получим, что сумма энергий электрического и
магнитного полей при резонансе остается постоянной

= СЩсо/2 = Ь/р,о/2 = сопз^,

так как уменьшение сопровождается увеличением 1Ус и нао
борот. Таким образом, происходит периодический обмен энергией
между элементами А и С без участия источника. Энергия источ
ника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе
активного сопротивления К; реактивная мощность при резонансе
не потребляется.

Активная энергия, рассеиваемая в контуре за период Т, равна

= 12КТ = 1"г°КТ .

аГ	2

Откуда принимая во внимание, что Т = 2лл/АС, с учетом (4.23),
получаем

= р/к.

(4.25)

Найдем отношение действующих значений напряжений на ре
активных элементах (А и С) к действующему значению приложен
ного напряжения при резонансе:

Ц ьо _ У со _ Л)с°о^ _ Л) _ _Р_
и и и	к

(4.26)

Таким образом, добротность О показывает, во сколько раз ре

зонансные напряжения на реактивных элементах превышают при
ложенное напряжение. Отсюда следует и термин «резонанс напря
жений». Это свойство контура «усиливать» приложенное напря
жение резонансной частоты широко используется на практике.

Величины р, соо, С), с/ яв

ляются вторичными парамет-
рами контура в отличие от ве
личин К, Ь, С называемых
первичными.

Анализируя характер урав
нений напряжений и токов в
/?АС-цепи, фазовых сдвигов
между ними при гармоничес
ком воздействии нетрудно ви
деть, что они являются час
тотно зависимыми. Эта зави
симость вытекает непосредст
венно из зависимости реактив
ных элементов Ас и Хс от

Рис. 4.6
частоты со. На рис. 4.6 и 4.7 изображены зависимости Х^(со),
Хс(со), 2(со), ср(со), определяемые формулами:

(4.27)

ср(со) = агсС§{(соА-1/(соС))/Я}.	(4.28)

Из представленных характеристик следует, что при со < соо цепь
имеет емкостный характер (X < 0; ср < 0) и ток опережает по фазе
приложенное напряжение при со > соо характер цепи индуктивный
(Х>0;ср>0)и ток отстает по фазе от приложенного напряжения;
при со = соо наступает резонанс напряжений (X = 0; ср = 0) и ток
совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротив
ление цепи принимает при этом минимальное значение X = К.

Зависимость действующего значения тока от частоты можно
найти из уравнения (4.18)*:

/(<») = иДк2 +(®Г-1/<оС)2 .	(4.29)

Действующие значения напряжений на реактивных элементах
можно найти согласно закону Ома:

С/ 1(<о) = 1(<о)Х1 (<о)=	(4.30)

7^+(со1-1/соС)2

С/с (со) =/(со)Хс (со) =-/ 9	у- (4.31)

соС7^+(со1-1/соС)

Зависимости /(со), С/Д со), С/Д®) называются резонансными
характеристиками тока и напряжений. Анализ зависимости
/(со) показывает, что она достигает максимума при резонансе
со = соо

Зависимость (4.29) носит название резонансной кривой тока (рис. 4.8).
Выходное напряжение обычно снимается с емкостного или ин
дуктивного элемента контура. В соответствии с этим представляет
наибольший практический интерес КПФ по напряжению относи
тельно элементов С и I:

Нс (/<») = Сс/С = гГр ? , ГА1.	(4.33)

усоС |_к + ] {ыЬ - 1/соС)]

Нь (» = (7/(7 = -—.	(4.34)

) -II- 7? + 7(й1-1/«>С)

Из уравнений (4.33) и (4.34) нетрудно получить уравнения
АЧХ и ФЧХ последовательного контура

Яс(<о) = |Яс(7в>)| =----,	1	;	(4.35)

соСу/? 2 + (со А - 1/соС)

ЯДа>) = |ЯД7а>)| =	=	;	(4.36)

у1к2 +(соА -1/соС)2

ФсО) = -7г/2-агс1;§[((оЬ- 1/соС)/Я],1	3?)

срд (со) = л/2 - агс1;§[(соА - 1/соС)//?]. ]

На рис. 4.9 изображены АЧХ и ФЧХ последовательного кон
тура, определяемые формулами (4.35) —(4.37).

Как следует из представленных зависимостей, АЧХ Нс(($),
Н/ (ы) носят экстремальный характер, причем при со = оо, А/д(оо) =
= 1; Нс(&) = 0; при со = соо согласно (4.25) имеем

Нс(<ао) = Нсо =Нс(Юо) = НСо =0.	(4.38)

Максимальные значения Нс(($) и А/д(со) достигаются на частотах
сое и сод, которые могут быть определены из условий
ссэ

= 0;

ссэ

= 0.

(4.39)

Подставив значения Нс(о) и Яд(со) из (4.35) и (4.36) в (4.39) и
решив полученные уравнения, получим

®с = ®о7(2<22 -1)/(2<22); <01 = <о0л/(2О2)/(2С>2-1)  (4.40)

При этом АЧХ НсС(я) и Нд(со) примут максимальные значения:
«С»г=Я1т=2О2/74ОГЛ = 2/((/ДТ^2).	(4.41)

Анализ полученных зависимостей показывает, что с увеличе
нием добротности (й (уменьшением затухания с/) частоты сое и сод
сближаются с резонансной частотой соо. При этом Нет и Н^т воз
растают.

Степень отклонения режима колебательного контура от резо
нанса принято оценивать абсолютной, относительной и обобщен-
ной расстройками. Отклонение от резонансного режима может
происходить в результате изменения частоты задающего генератора
или вариации параметров контура.

Расстройки определяются следующим образом:
абсолютная

Асо = со - со0 или А/' = /" - /о;	(4.42)

относительная

5 = Асо/со0 = А/'//'о ;	(4.43)

обобщенная

X _ ый - \/соС _ со()А ( со
К ч со0

О	СОд СО

(4.44)

Наиболее широко в теоретических исследованиях применяется
обобщенная расстройка так как ее использование существенно
упрощает расчет. Например, модуль входной проводимости можно
записать через обобщенную расстройку 2, в форме

У = У (^) = 1/щ/1 + У ,	(4.45)

а аргумент в форме

ср = -апЧ§^.	(4.46)

Важной характеристикой колебательного контура является по
лоса пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропус-
кания называют диапазон частот в пределах которого коэффициент
передачи уменьшается в л/2 раз по сравнению с максимальным*.
Абсолютная полоса пропускания равна

Существуют и другие определения полосы пропускания, соответствующие другому
значению ослабления тока или напряжения (см. гл. 17).


а относительная

8/о=^-.
/О

(4.48)

где /1 и /2 — нижняя и верхняя граничные частоты.

Для нахождения граничных частот Д и /2 полосы пропускания
решим уравнение У/С = 1/10 = 1/ д/1 +	= 1Д/2 = 0,707 (рис. 4.10).

В результате с учетом (4.47) получим ^1,2 = 0(®/юо _ юо/ю) = ±1,
откуда

/'1'2=1г=ад^1+4°2+1Ь	(4-49)

Из вышеизложенного следует, что на границе полосы пропускания
^1,2 = ±1 и ср = ±45°.

Абсолютную и относительную полосу пропускания Л/д можно
выразить через добротность С)

§/о = ЛЦ//о = ГО =

(4.50)

Уравнения (4.50) могут быть положены в основу эксперимен
тального определения добротности по резонансной кривой тока
/(со). Формула (4.50) показывает, что чем выше добротность (},
тем меньше полоса пропускания и наоборот. Причем, поскольку
с увеличением потерь К добротность контура падает, то подклю
чение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внут
ренним сопротивлением приводит к расширению полосы про
пускания.

Пример. Определить полосу пропускания контура, нагруженного на рези-
стивное сопротивление (рис. 4.11, а).

Преобразуем параллельный участок С и в эквивалентный последова-
тельный с помощью формул (3.56):
, 1/Хс

с 1/Кн2 + 1/Х| 

Важным для практики является случай, когда » Ху = 1 соС, при этом
для и Х'с можно записать

К^ХУК,; Х'С«ХС.

т. е. при подключении высокоомной нагрузки к контуру его резонансная час-
тота не изменяется, но увеличиваются потери в контуре (рис. 4.11, б). При
этом уменьшается добротность ф' = р (К + и увеличивается полоса про-
пускания контура (4.10).

В заключение следует отметить, что на практике обычно ис
пользуются высокодобротные контуры, причем низкоомные нагруз
ки подключаются к контурам через различные согласующие уст
ройства (трансформаторы, повторители и др.). Для получения вы
соких качественных характеристик (большого входного и низкого
выходного сопротивлений, высокой добротности, малой чувстви
тельности резонансной частоты и выходного сигнала от нагрузки)
применяют электронные аналоги колебательных контуров, реали
зуемых на базе зависимых источников. На рис. 4.12 изображена
схема колебательного контура, реализованного на базе АКС звена,
второго порядка (рис. 3.37, а), где принято У_1 = Од; У_2 =

Х.З = (Зз; Ду = 63; Х.5 = При этом комплексная передаточная
функция цепи с учетом (3.138)

где

<20 =-^(Зз; Ъ2 = С2С5;	= С5 (^ + (З3 + (34); б0 =(33(34.

Комплексная передаточная функция (4.33) пассивного КЬС-
контура можно также представить в следующем виде:

(4.52)

Рис. 4.13
где я'о = Ь'о = 1; Ь'2 = ЬС; Ъ\ = КС, т. е. (4.52) совпадает с (4.51)
с точностью до постоянных множителей.

Таким образом, с помощью рассмотренной активной цепи мож
но получить электронный аналог колебательного контура. На базе
активных элементов можно реализовать и другие схемы электрон
ных аналогов колебательных контуров, важным преимуществом
которых является отсутствие индуктивностей, высокое значение
добротности, слабо зависящей от нагрузки, легкость перестройки.

4.3.	Частотные характеристики параллельного
колебательного контура

Простейший параллельный колебательный контур с потерями в
ветвях К\ и К2 имеет вид, изображенный на рис. 4.13. Комплекс
пая входная проводимость такого контура

У = У, + У 2 = О, + С2 - Д В, - В2 ) = С - /В,	(4.53)

где Уд = Сд—/В1; Уд = С2— ]В2 комплексные проводимости
ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно. Проводимо
сти (31, (З2, В1, В2 можно найти из формул преобразования (3.57):

О, = «,/г,2; О2 = П21г1; В, = гоВ/7,2; В2 = 1/шС/г,2, (4.54)

где X, = у1к^ + (юЬ)2 ; 2, = ^22+(1/<оС)2.

Из условия резонанса токов имеем: ср = агс1:§(В/(3) = 0. Отсю
да следует:

в - - В2 -

соВ

К? + (со В)2

1/соС
Я22+(1/®С)2

(4.55)

Решив (4.55) относительно со, получим уравнение резонансной
частоты:

= 1	1р2-В2 =	1р2-В2

(4.56)

Из уравнения (4.56) следует, что резонанс в параллельном кон
туре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного вы
ражения (т. е. при К\ < р и К2 < р, или К\ > р и К2 > р).

Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны
ДРУГ другу:

1р,=ив1 = 1р2 = ив2.	(4.57)

При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из
уравнения

1„ = ио„3 = и/кОз,	(4.58)
где активное сопротивление Воэ, называют эквивалентным резо-
нансным сопротивлением параллельного контура. Как следует из
уравнения (4.58), входной ток контура совпадает по фазе с при
ложенным напряжением. Величину Воэ можно найти из условия
резонанса токов. Так как при резонансе токов В = 0, то согласно
(4.53) и (4.54) полная эквивалентная проводимость контура

Подставив значение сор из (4.56) в (4.59) получим:

О0э =(Л1 + /г2)/(р2 + 7?1/?2),	(4.60)

откуда

Лоэ=(р2+Л1Я2)/(Д1+Д2)-	(4.61)

Наибольший теоретический и практический интерес представ
ляют резонанс токов в контурах без потерь и с малыми потерями.

Контур без потерь. Для контура без потерь (В1 = В2 = 0) урав
пение резонансной частоты (4.56) принимает вид

сор = со0 = 1/а/ВС ,	(4.62)

т. е. совпадает с выражением (4.21) для последовательного кон
тура. Эквивалентное сопротивление контура без потерь Воэ = ® и
входной ток равен нулю, а добротность обращается в бесконеч
ность. Комплексы действующих значений токов в ветвях

=-^ = =е’/я/2; /2 =ШЧс = =^я/2,	(4.63)

Р	Р

т. е. ток в индуктивности отстает от приложенного напряжения на
л /2, а в емкости опережает на л 2. На рис. 4.14, а изображена
векторная диаграмма токов для этого случая при Ц = 17е]^ = V.

Сумма энергий электрического и магнитного полей для парал
лельного контура без потерь, как и для последовательного контура
остается неизменной, т. е. энергетические процессы протекают ана
логично процессам в последовательном контуре.

Частотные зависимости характеристик параллельного контура
от частоты имеют вид

Вг(ю) = !/(^); Вс(со) = соС;	(	.

В(со) = 1/(соЬ)-соС; Х(со) = 1/В(со).

На рис. 4.15 изображены графики зависимостей (4.64). Как
следует из рисунка, при со < соо входное сопротивление контура но
сит индуктивный, а при со > соо емкостный характер, причем вслед
ствие отсутствия потерь при переходе через со = соо ФЧХ контура
изменяется скачком от -л/2 до л/2, а входное реактивное сопро
тивление контура претерпевает разрыв (|Х| = оо). Частотная за
висимость входного тока определяется уравнением

/(со) = П|В(со)|,	(4.65)

т. е. является зеркальным отображением модуля реактивной про
водимости |В(со)| (на рис. 4.15 показано штриховой линией).

Контур с малыми потерями (1\\ р; /ф р). Резонансная
частота для этого случая будет приближенно совпадать с частотой
соо. Для контура с малыми потерями можно принять, что
р2 » В1В2, тогда

ВОэ ® р2/(В1 + В2) = Р2/^ = ^2К = ^р = Ь/КС,	(4.66)

где В = /?1 + /?2- Ток в неразветвленной части цепи

/0 = и/кОз =<7/(о2л),	(4.67)

а комплексные значения токов в ветвях

Ц = =е~^; /2 ® =е/ф2,	(4.68)

Р	Р

где

ср! = агс1:§ (р/^); ср2 = агс1:§ (р/В2),
т. е. действующие значения токов в ветвях

Ц =/2 =с//р = С//(9/?).	(4.69)

Из уравнений (4.67) и (4.69) следует, что отношение токов в
ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности
контура:

А//о=ЧДо = е.	<4.70)

т. е. ток в реактивных элементах Ь и С при резонансе в раз
больше тока на входе контура (отсюда термин «резонанс токов»).
На рис. 4.14, б изображена векторная диаграмма токов для этого
Рис. 4.15

случая. В контуре с потерями сумма энергий электрического и
магнитного полей не остается постоянной с течением времени.

Интересен случай	= р. Как следует из уравнения

(4.56), для сор получаем неопределенность, при этом входное со
противление контура имеет чисто резистивный характер на любой
частоте (случай безразличного резонанса).

Рассмотрим частотные характеристики контура с малыми поте
рями. Комплексное эквивалентное сопротивление контура можно
определить уравнением

(Я1+/ЮЬ)[Д2 + 1/(/<вС)]

+ К-2 + ] [соЬ - 1/(соС)]

(4.71)

В режиме малых расстроек в цепи с незначительными потерями
с учетом малости потерь	соЬ и К 2	1 со С) уравнение

(4.71) можно переписать в такой форме:

2, «

(4.72)

-э К + ]Х /?(1 + Л) 1 + Л'

Выделяя в (4.72) активную Кэ и реактивную Хэ составляющие,
получаем уравнения частотных характеристик:

А)э . у _ ~-^0э^ .

А)э

(4.73)

71 + ’

На рис. 4.16, а изображены нормированные относительно Коэ
частотные характеристики Кэ Коэ, Хэ Ко.,. и 2Э Ко., как функции
обобщенной расстройки ф Фазочастотная характеристика цепи оп
ределится уравнением (рис. 4.16, б):

ср = агс!:§ (Хэ/Кэ) = - агНд’ .

(4.74)
Рис. 4.16

Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему
виду частотные характеристики контура с потерями существенно
отличаются от характеристик контура без потерь. Это отличие ка
сается прежде всего зависимости реактивного сопротивления кон
тура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно ока
зывается равным нулю (см. рис. 4.16, а), а в контуре без потерь
терпит разрыв (см. рис. 4.15).

Зависимость комплексного входного тока от частоты определи
ется из уравнения

1 = -г = ^(1+л) = л>(1+/а	0.75)

Аэ К0э

т. е. при резонансе (2, = 0) ток принимает минимальное значение,
определяемое формулой (4.58) (рис. 4.16, в).

Частотная зависимость токов /фсо) и /2(0») в ветвях определи
етсн согласно закону Ома:

А (®)	Г~2	? ’ "^2 (®) I ~	2 ’

7-^1 + (соА)	+ (1/юС)

т. е. ток Ц с увеличением частоты со уменыпаетсн, а /2 растет, при
чем в пределе 11(°о) = 0; /2(°°) = С /О-

Комплекснан передаточнан функции по току в ветвнх с А и С
параллельного колебательного контура определлетси в соответствии
с (4.2):

^(7®) = у

Яс(/®) = у

/?2 + 1/(/о>С)	.

7? + у [ соА - 1/( соС) ]
+ ] соА

К + } [®7. -1/(<х>С)]

(4.76)

(4.77)
I



Рис. 4.17	Рис. 4.18

Отсюда получаем АЧХ и ФЧХ КПФ по току для контура с малы
ми потерями:

НЕ(а)= .	+1/(юС)2=а--------- 1		(4 78)

7^2 + (соС — 1/соС) соСуЯ2 + (соА — 1/соС)

Нс (со) =	+(соР2	. (4 79)

^Я2 +(соА-1/соС)2	^К2 + (соА-1/соС)2

срг (со) = -л/2 - апА§[(соА - 1/соС)/Я];	(4.80)

срс (со0 ) = к/2 - апА§[(соА - 1/соС)/Я].	(4.81)

В контуре с малыми потерями при резонансе АЧХ принимает
значения:

Яг(со0) = Яс(со0) = 1/со0С/Я = со0А/Я = р/Я = О. (4.82)

Сравнение формул (4.32) —(4.38) с формулами (4.78) —(4.81)
показывает, что КПФ по току параллельного контура дуально
соответствует КПФ по напряжению для последовательного кон
тура.

Рассмотрим, как влияет на резонансные свойства параллельного
контура подключение его к источнику с задающим напряжением
Ц_г и внутренним сопротивлением Яг. При этом выходное на
пряжение снимается с контура (рис. 4.17). Нетрудно видеть, что
комплексное напряжение на контуре

Як =12э =иг2э/(Кг+2э),	(4.83)

где 2_э определяется формулой (4.71). При резонансе токов

Щ =Щр =СЛэ/(Лг + /?0з)-	<4.84)

Определим отношение Ц_&/Ц_кР с учетом (4.72), (4.83), (4.84);

-=^ =-------- + ^Оэ----------	(4.85)

икр (1 + лМ + яОэ/(1 + Л)]
Введем понятие эквивалентной добротности контура

(?э =О/(1 + /?0э/Лг).	(4.86)

Тогда после несложных преобразований формулы (4.85) с учетом
(4.44) и (4.86) получаем

С«/С«р =1/(1 + /0,(<о/®о-®о/®))-	(4.87)

Из (4.87) нетрудно получить АЧХ и ФЧХ относительно напряже

ния на контуре, нормированного к напряжению СЛкр,

(4.88)

(4.89)

На рис. 4.18 показан характер этих зависимостей при различ
ных сопротивлениях Кт источника.

Полоса пропускания параллельного контура определяется как
полоса частот, на границе которой напряжение на контуре умень
шается в ^2 раз относительно С/кр (см. рис. 4.18):

и	1	1

* 0,707 .

^кр ^1 + (со/сО0 - Ю0/со)2	^2

Отсюда получаем уравнение граничных частот полосы пропуска
ния:

/1,2 = ^-(7ГТ4оЬ1)-	<4-9°)

При этом абсолютная А/а и относительная 5/о полосы пропускания
будут равны:

А/а = А 0,	= /о	Г1 + ^	(4.91)
8/о=  /0	= а	5 + АА	(4.92)

Сравнение уравнений (4.50) с уравнениями (4.91) и (4.92) показы
вает, что параллельный контур в общем случае имеет более широкую
полосу пропускания, чем последовательный с такой же добротностью.
И только при Кт = оо (см. рис. 4.18) их полосы пропускания равны.

Таким образом, для улучшения избирательных свойств парал
лельного контура его необходимо возбуждать источником тока. Из
уравнения (4.84) также следует, что параллельный контур нельзя
использовать для усиления напряжения, если использовать незави
симый источник, так как при этом С/кр < 17г.
Поэтому для усиления напряжения и получения высокой доб
ротности параллельного контура используют активные цепи с зави
симыми источниками тока. На рис. 4.19 приведен пример подобной
схемы на базе полевого транзистора и его эквивалентная схема за
мегцения.

4.4. Частотные характеристики связанных
колебательных контуров

В ряде радиотехнических устройств (входные цепи радиоприем
ников, усилители, фильтры сосредоточенной селекции, выходные
каскады радиопередатчиков и др.) применяются системы связан-
ных колебательных контуров. Отличительной особенностью свя
занных контуров является лучшая избирательность АЧХ по
сравнению с одиночными контурами. Это позволяет лучше от
фильтровать частоты за границами полосы пропускания, обеспе
чить большую равномерность, а, следовательно, меньшие частот
ные искажения сигнала в полосе пропускания. На рис. 4.20 приве
дена обобщенная схема двух связанных колебательных контуров: с
внутренней связью (рис. 4.20, а) и внешней связью (рис. 4.20, б),
где 2.1, 2.2 комплексное сопротивление первого и второго копту
ров, Хсв — комплексное сопротивление связи между контурами,
Хн — сопротивление нагрузки.

Переход от схемы, изображенной на рис. 4.20, а к схеме
рис. 4.20, б можно осуществить с помощью формул преобразова
ния «звезда —треугольник» (см. § 2.2).

Под избирательностью понимают способность контура усиливать сигналы (напряже-
ния, токи) различных частот в неодинаковое число раз.
В зависимости от вида связи различают контуры с трансформа
торной связью (рис. 4.21, а), автотрансформаторной связью
(рис. 4.21, б), емкостной связью (внутренней) (рис. 4.21, в), ком
бинированной связью (рис. 4.21, г) и др. Важнейшей характери
стикой связанных контуров является коэффициент связи. Для кон
тура с трансформаторной связью коэффициент связи определяется
известной формулой (3.74). Для других видов связи коэффициент
к можно найти с помощью формулы

й = Хсв/Д^,	(4.93)

где Хсв реактивная составляющая комплексного сопротивления
связи 2_св5 Х{, Х2 — реактивные сопротивления первого и второго
контуров того же знака, что и реактивное сопротивление связи Хсв.
Например, для контура с индуктивной автотрансформаторной свя
зью (рис. 4.21, б) коэффициент связи

к =	Ю^св	= ^св ,	(4.94)

у(ЮА + ю7,св )(сО_Л2 + ю-^св )	л/А 1-^22

где

Для контура с емкостной связью (рис. 4.21, в) аналогично полу
чаем:

____________________1/соСсв___________________ -\/СцС22 (д 95)

^/(оС,) + 1/(<оСсв)] [1/(<оС2) + 1/(<оСсв)] Ссв

где С,, = С{Сс,К С, + Ссв); С22 = С2Ссв/( С2 + Ссв),
и для контура с комбинированной связью
Рис. 4.22

о)Л7 - 1/соСсв
^/соТ^соТ^

(4.96)

Исследование частотных характеристик связанных колебатель
ных контуров удобно вести с помощью одноконтурных схем заме
щения (рис. 4.22), которые могут быть получены для обобщенной
схемы (рис. 4.20, а) аналогично уравнениям трансформатора
(3.106):

^1 = ^11^1 “ ^СВ —2’ I	(Д

0 = -7св/1 + 7 22 / 2,/	?

где 7ц - 71 + 7СВ; 7.22 - 7.2 + 7СВ.

Решая систему уравнений (4.97) относительно 7д и 7.2 и учиты
вая уравнение для вносимых сопротивлений (3.111), (3.112), полу
чаем для схемы (рис. 4.22, а) и (рис. 4.22, б)

2 _	^1	_ ^1^22/^11

г11 + г1вн г22 + г2вн'

Для схемы (рис, 4.22, в) и (рис. 4.22, г)

;	. С1^св/^11	С1^с./^22

—22 + —2вн ^11 + 4±1вн

(4.98)

(4.99)

Резонанс в системе связанных контуров достигается соответст
вующей их настройкой и подбором оптимальной связи между ни
ми. В зависимости от видов настройки различают:

1.	Первый частный резонанс, который обеспечивает максимум
тока 1_\тах = Цд (7?п + 7?1ВН) и достигается настройкой первого
контура до обеспечения условия: Хи = — Хдвн (см. рис. 4.22, а).
2.	Второй частный резонанс, обеспечивающий максимум тока
В1тах = (С/1Хсв/2ц)/(7?22 + ^2вн) и который достигается настрой
кой до обеспечения условия Х22 = — Х2Вн (см. рис. 4.22, в).

3.	Сложный резонанс — осуществляется путем настройки каж
дого контура на частный резонанс и подбором оптимального сопро
тивления связи

(4.100)

При этом /2 во втором контуре достигает максимального значе
ния (максимум максиморум):

2 тах тах

(4.101)

Нетрудно видеть, что настройка I контура в первый частный
резонанс и подбор связи (4.100) эквивалентен условию 2 = 21вн;
аналогично второй частный резонанс совместно с условием (4.100)
эквивалентен условию 2.22 = 22вн •

4.	Полный резонанс — достигается настройкой каждого конту
ра в индивидуальный резонанс (Хи = 0; Х22 = 0) и подбором оп
тимальной связи:

*св =7^11*22 •	(4.102)

При этом ток /2 определяется также формулой (4.101).

Уравнение сопротивления связи (4.100) может быть получено
из уравнения йИ/йХ^ = 0 при условиях 2ц = 21вн; 2.22 = 22вн,
где /2 определяется из (4.99). Аналогично уравнение (4.102) полу
чаем из решения уравнения сП 2/йХсъ = 0 при Хи = 0 и Х22 = 0.

Сравнение сложного и полного резонансов показывает, что в
последнем случае 12тахтах достигается при меньшем сопротивлении
связи.

Связанные контуры обычно используются в режиме передачи
максимальной мощности во вторичный контур: Р2 =/2 ^22, поэтому
среди частотных характеристик наибольший интерес представляет
зависимость /2(к>)-

Выразим сопротивление контуров 2ц и 2.22 (см. рис. 4.20, а)
через обобщенную расстройку

211 - Рц + ;Хц -	(1 +	),

4±22 = -^22 + 7*21 = *22 (1 + 7^2 )> >
— СВ — 7^СВ'

Подставив 211, 222 и 2СВ в (4.99), получим для тока 12'.

(4.103)

(4.104)
Рис. 4.23

Рис. 4.24

На частотах, близких к резонансу, можно считать, что
^с,/(ДИД22)«й2О1О2.	(4.105)

где (^)\ = р| /?ц:	= р2ЛК22 — добротность контуров; к — ко

эффициент связи между контурами.

Тогда с учетом (4.105) и (4.101) нормированная относительно
11 тахтах АЧХ тока /2 будет равна:

ь =.	.	(4.!об)

^тахтах + к2(^)2 -	)2 +(^ + У

Величина А = кфОф)^ носит название фактора связи.

Для идентичных контуров С?1 = С?2 = О, ^1 = ^2 = и уравне
ние АЧХ (4.106) принимает вид

---	=	2А =.	(4.107)
^2 тах тах--------------------------------у(1 + А2)2 + 2^ (Д _|_ ДД ) +

Анализ формулы (4.107) показывает, что в зависимости от со
отношения между коэффициентом связи к и затуханием контура
(1 = 1 О могут иметь место три основных случая:

1)	к < (I — слабая связь (А < 1);

2)	к > (I — сильная связь (А > 1);

3)	к = (I — критическая связь (А = 1).

В зависимости от характера связи существенно изменяется вид
АЧХ. Так, при слабой связи АЧХ имеет вид резонансной кривой
(рис. 4.23), аналогичной одиночному колебательному контуру с
максимумом при = 0, при этом 1\тах зависит от величины к: с
увеличением к (или фактора связи А) Цтах растет, достигая
12 тахтах при к = (1 (А = 1) (критический случай).

С увеличением к > б (А > 1) характер зависимости тока /2 от
частоты существенно изменяется: АЧХ приобретает двугорбый ха
рактер (рис. 4.24). На частоте 2, = 0 образуется минимум тока, а на
частотах

^1>п =

(4.108)
Рис. 4.26

максимум 12 тах тах-

С учетом (4.47) из (4.108) можно

найти уравнение частот сс>1 и

соц, на которых достигается максимум тока:

(О I — (ОдД/1 + лД:2 -(72 ; соп =со0/л/Г^Ж=Ж,	(4.109)

т. е. с увеличением связи частота сем — уменьшается, а соц увели
чивается (максимумы 12 тах тах раздвигаются). При сильной связи
(к »(7 (А » 1))

со! ~ соо/л/1 + ^ ; (Оц ~ (Оо/л/1 - .	(4.110)

Полоса пропускания связанных контуров определяется из ус
ловия 12/12тахтах = 1 а/2 . откуда с учетом (4.107) получаем
уравнение обобщенной расстройки, соответствующей полосе про
пускания:

=+л/А2-1±2А.	(4.111)

Из этого выражения видно, что при А > 1 полоса пропускания
распадается на две (рис. 4.25) с граничными частотами юд, юд,
со5з, юд. Чтобы полоса пропускания не распадалась на две, необ
ходимо выполнить условие

-^2рез /-^2 тах тах = 2 А/( 1 + А 2 ) = 1/>/2 ,	(4.112)

где /2рез — значение тока 12 на резонансной частоте (2, = 0). Отсю
да следует необходимое значение фактора связи А = 2,41. При
этом максимальная относительная полоса пропускания связанных
контуров Ъ^тах = 3,1(7, т. е. в 3 раза больше, чем одиночного кон
тура при той же добротности цепи (сравните с (4.50)).

При критической связи к = (7, 5/о = 1,41(7, т. е. относительная
полоса шире, чем для одиночного контура.

Для случая слабой связи необходимо нормировать величину 12
относительно /2рез:

/2рез ,/(1 + Л2)2+2г;2(1_Л2) + г;4 Л '
Далее находим обобщенную расстройку, соответствующую по
лосе пропускания с,Л. = ±^А2 -1 + 72 (1 + А4) и относительную по
лосу пропускания связанных контуров:

З/о = ы =	-1 + 72(1+ А4).	(4.114)

Если связь очень слабая (А—>0), то из (4.114) нетрудно видеть, что
5/о ~ 0,64с/, т. е. существенно ниже полосы пропускания оди
ночного контура. Поэтому на практике связанные контуры при
слабой связи обычно не используются. Фазочастотная характерно
тика связанных контуров может быть получена обычным способом
из уравнения (4.104).

4.5. Частотные характеристики реактивных двухполюсников

Общие свойства реактивных двухполюсников. Наряду с комп
лексными передаточными функциями цепей, АЧХ и ФЧХ в зада
чах анализа и синтеза важно знать частотные зависимости входных
функций цепи: входного сопротивления Х(/со) и входной про
водимости У(/со). При этом электрическая цепь рассматривается в
виде двухполюсника с двумя парами зажимов, через которые они
обмениваются энергией с внешними цепями (см. рис. 4.4). Сущест
вуют различные типы двухполюсников: активные и пассивные, ли
нейные и нелинейные, реактивные (А, С) и двухполюсники общего
вида (К, В, С). Из всего многообразия двухполюсников наиболь
ший интерес представляют пассивные реактивные двухполюсни-
ки, состоящие только из индуктивностей и емкостей. Важность
этих двухполюсников объясняется тем, что они широко при
меняются в различных радиотехнических устройствах (АС фильт
ры, корректоры, автогенераторы и др.). Кроме того свойства ре
активных двухполюсников лежат в основе синтеза линейных элек
трических цепей (см. гл. 16, 17).

Простейшим реактивным двухполюсником является элемент
индуктивности и емкости (одноэлементный двухполюсник). К
двухэлементному двухполюснику относятся последовательный
(4.26, а) и параллельный контуры без потерь (рис. 4.26, б).
Функции входного сопротивления и проводимости этих двухпо
люсников равны:

I А1 со 1 - со2 I
%а (/«) = ]Ха =	+ —— = —-----;----

1<йС , !?	,	(4.115)

] С (со ? - со2 I

Уб ( /ю) = ]Ва = /соС +	= —' ;-------

где СО1 = \/4ьс.
На рис. 4.27 изображена зависимость функций входных сопротив
лений двухполюсника (4.115) от частоты:

(/со) = ]Ха и 2б (/со) = 1/Уб (/со) = ]Хб.

Двухполюсники называются эквивалентными, если они обла-
дают одинаковыми входными функциями.

Двухполюсники называют обратными , если они удовлетво-
ряют условию'.

(/со)2Д/со) = КД	(4.116)

где К — некоторое постоянное сопротивление.

Рассматриваемые двухполюсники Уй(/со) и 2^(/со) являются по-
тенциально обратными, так как условие (4.116) для них выпол
няется при

2„(/<о)гй(/(о) = Г/С = р2.	(4.117)

Из трех реактивных элементов можно составить уже четыре
схемы двухполюсников. На рис. 4.28 приведены две возможные
схемы. Их функции входных сопротивлений будут:

2	7

СО-, - СО2

2Д/<о) = 7<оЛ2^------,	(4.118)

СО! — СО2

где	_____ ____________

«ГЦ = \/; со2 = 1/; Ь = У1У2/(-^1 +	) 5

2	7

1	сОл-со2

=	(4.119)

усоС ©2 — со2

где

с°1 = 1/7^2 (б/ + С2 ); со2 =	С = СДДфДД + С2 ).

Правило получения обратных двухполюсников базируется на принципе дуальности:
последовательные соединения в исходном двухполюснике заменяются параллельны-
ми соединениями дуальных элементов.
Рис. 4.29

На рис. 4.29 изображены частотные характеристики (4.118) и
(4.119).

Анализируя приведенные схемы и графики, можно сформули
ровать основные свойства реактивных двухполюсников:

1.	Входное сопротивление растет с ростом частоты (<7/(/о))
с/со > 0).

2.	Количество резонансных частот на единицу меньше числа
элементов.

3.	Резонансы токов (полюса 2//со)) и напряжений (нули 2//со))
чередуются, причем, если входное сопротивление двухполюсника
на нулевой частоте равна нулю, то первым наступает резонанс то
ков.

4.	В числителе функции входного сопротивления стоит множи
тель с частотами резонанса напряжения, а в знаменателе — резо
нанс токов.

5.	Множитель /со в уравнении /(/со) стоит либо в числителе, ес
ли первым наступает резонанс токов, либо в знаменателе, если
первый резонанс напряжений.

В зависимости от характера зависимой функции входного со
противления на частоте со = 0 и частоте со = оо различают четыре
класса реактивных двухполюсников: (0; оо), (0; 0), (оо; 0), (оо; оо).
В табл. 4.1 приведены частотные характеристики двухполюсников
различных классов и их функции входных сопротивлений. Внизу
частотных характеристик показана полюсно-нулевая диаграмма,
показывающая расположение полюсов — X и нулей — 0 по оси
частот.

Канонические схемы реактивных двухполюсников. Наиболее
распространенными в теории цепей являются канонические схемы,
построенные по правилу (канону) Фостера и Кауэра.
Рис. 4.31

В схемах Фостера двухполюсник представляется либо в виде
последовательного соединения параллельных колебательных кон
туров {первая схема Фостера) (рис. 4.30, а), либо в виде парал
лельно соединенных последовательных контуров {вторая схема
Фостера) (рис. 4.30, б).

Коэффициент Н в формулах (см. табл. 4.1) определяется как
Н = 1пп 2(7со). Например, для первой схемы Фостера класса (оо, оо)
Н = Ка, для второй схемы Фостера класса (0, 0) Н = I С.; и т. д.

В схемах Кауэра двухполюсники представлены в виде цепо
печных (лестничных) схем, в продольных ветвях которых нахо
дятся индуктивности, а в поперечных емкости {первая схема
Кауэра, рис. 4.31, а), либо наоборот — в продольных емкости, а
в поперечных — индуктивности {вторая схема Кауэра,
рис. 4.31, б).

В зависимости от класса канонические схемы Фостера и Кауэра
имеют частотные характеристики входных функций, изображенные
в табл. 4.1.

Положительной особенностью канонических схем Фостера и
Кауэра является то, что из всех эквивалентных двухполюсников
с заданной частотной характеристикой, они имеют минимальное
число элементов. При решении задач синтеза обычно входные
функции в схемах Фостера представляются в виде разложения
на простые дроби, а в схемах Кауэра — на цепные дроби (см.
гл. 16).

4.6. Машинные методы анализа частотных
характеристик электрических цепей

При расчете частотных характеристик цепи машинными мето
дами представляют КПФ в виде отношений двух полиномов:
Таблица 4.1

Класс

(О, оо)

Частотная характеристика

Функция входного сопротивления

В

со

6->е-о-х-д—
I ОД С02 со3 С04.

—О-^С-О-----

• • ®п-3 ®п-2®п-1

(со2 - со| )(со2 - со| ) •••
2 = }ЮН (т2-т2)(Ю2-т|) “ О
(<?-<,)

” (®2-®л-2)

п — нечетное

2 = ](йН

(со2 -со;

(со2-со2

(и2 -<»2-1)

п — четное

Н(/со) =

ап (усо) +	(]со) + ... + ф (]со) + с/д

Ьт{]^)т +Ът-1(1&уп~1 + ... + Ъ1 (/со) + б0

= Р1(со) + ;Р2(со)

О1(®) + /О2(®)’

(4.120)
где

Р\ (со) = «о - С/2СО2 + «4СО4 - ...,
Д» ( СО ) =	— Й3С0З +	— ...,

91 ( СО ) = бд “ ^2<Г>2 + 64СО4 -•,
92(ю) = Д “ 63СО3 + 65 СО5 - ....

(4.121)

Из уравнения (4.120) находим АЧХ цепи:

Я(со) = \Н (/со)| =

Щ2(со) + Р22(со)
О2 (со) + О2 (со)

(4.122)

и ФЧХ цепи

ср(со) = агс1:д[Р2 (Ю)/Д (ю)] _ агс^§[02 (Ю)/О1 (<»)] (4.123)

Для построения АЧХ и ФЧХ задаются равномерной либо ло
гарифмической шкалой частот от /т[п до /тах- Очередное значение
частоты определяется из соотношения Д+1 = С2Д + с\, где С2, с\ —
коэффициенты, определяющие шаг по логарифмической и ли
нейной шкале частот соответственно.

Затем на каждой из частот вычисляется АЧХ и ФЧХ цепи со
гласно формул (4.122) и (4.123). На рис. 4.32 приведена схема ал
горитма расчета АЧХ и ФЧХ.

Если диапазон частот /т[п и {тах, где расположены частотные
характеристики цепи, заранее неизвестен, то положив с\ = 0 и С2 =
= 0, можно в логарифмическом масштабе с большим шагом рас
считать значение АЧХ в широком частотном диапазоне. После это
го произвести более подробный расчет частотных характеристик
цепи в выбранном диапазоне уже с равномерной шкалой частот с
более мелким шагом.

Расчет частотных характеристик можно произвести и в базисе
узловых потенциалов. Для этого уравнение равновесия (3.64) за
писывается в частотной области:

Ту(»Уу(/<0) = 1у(7<в).	(4.124)

При этом компонентные уравнения для 1_с и принимают вид

1с=/®С(У1-Е2);	(4.125)

соц

где У.1 — Уд — разность потенциалов на реактивном элементе.

Для решения (4.124) может использоваться как и для (3.64) ли
бо стандартная программа обращения матрицы Уу(/со), либо реше
ние системы линейных уравнений с комплексными коэффи
циентами по методу Гаусса. Полагая спектр входного сигнала, рав
ный единице, с помощью решения для каждой из частот со уравне
ния (4.124) можно получить АЧХ и ФЧХ соответствующего узло
вого напряжения. Так, если, например, принять, что выходное на
пряжение снимается с к-го узла У/?, то после определения Уу(/со)
из решения системы (4.124) из вектора

Уу (7ю) = [у1 (/«Ра (/со)...ТД (/со)...Уп (/со)]т
выбирается комплексное значение потенциала

К/, = У/, (/со) = А/, (со) +/В/, (со)
и находится АЧХ

|И4 = 7А(®)+А(®)	(4.126)

и ФЧХ

ЯУ (со) = аг§У^ =	(со)/А* (со).	(4.127)

Пример. Рассчитать передаточную функцию, АЧХ и ФЧХ цепи, изобра-
женной на рис. 4.33

1.	Задание схемы в ЭВМ. Для расчета на ЭВМ характеристик цепи необходимо схе-

му цепи ввести в ЭВМ.

7?1

Рис. 4.33

Одним из наиболее простых и удобных
способов задания схемы в ЭВМ является таб-
личный способ ее описания в виде соединения
узел - ветвь. Для задания схемы в программах
анализа все ее ветви и узлы нумеруются (ис-
пользуются простые узлы). Каждый элемент цепи
характеризуется типом (В, 71, С); узлами, между
которыми он включен и численным значением.

К[ - 100 Ом; 71, - 0,1 мГн; К2 = 200 Ом.
Схема, изображенная на рис. 4.33 полностью описывается следующей таблицей со-
единений:

	1,2;	100
	2,3;	0.0001
к2-	3,0;	200

Первый символ указывает тип (К, Ь, С) и порядковый номер элемента ветви. Вто-
рая и третья цифры в спецификации указывают номера узлов, между которыми включен
элемент. Последняя цифра характеризует значение параметра.

2.	Расчет передаточной функции цепи. Приведем последовательность расчета пе-
редаточной функции цепи с использованием метода узловых напряжений:

-	По введенной в ЭВМ схеме определяется структурная матрица А о .

-	Формируются матрицы эдс источников напряжения Ев и проводимостей ветвей
Тв.

-	Формируется матрица узловых проводимостей Ту .

-	Формируется матрица узловых токов 1у .

-	Определяется матрица узловых напряжений: Уу - Ту1 • Ту •

-	Положив С[вх = 1 В, определяется матрица комплексной передаточной функции

н т

-	Рассчитываются и строятся графики АЧХ )) и ФЧХ (фн ( / ) ) .

Структурная матрица

Ао

-1 1 О

О -1 1

Матрица эдс источников напряжения

Ё

В

^вх
о
о

Матрица проводимостей ветвей.

Матрица узловых токов

1у =АО(-УВЁВ) =

-1
о

1 о

-1 1

1/К	о

о 1/(/соГ)

О	О

^ВХ/Я
о

Матрица узловых проводимостей

Ту = А0ТвАр

-1 1 О

О -1 1

1/К о о

О 1/(;соГ) О

О О 1/К

-1 О

1 -1

О 1
где

Обратная матрица Ту 1

А - присоединенная матрица,
А - определитель Ту .

^±11	—21

_2112 2122 _

1 1

----1-------

К ](аЬ

1

/со Г

1

/со Г

1 1

у со Г

V 1 -

*у “ Л ’

А

где

2110 2112, 2121, 2122 _ алгебраические дополнения.

А -

1 1 1

'- + —----

К ](аЬ)

1 А

/соГу

1_

э2

2
/со!. К

22? + /со!.
/соГ^2

2

7?(7? + /со/.)
2П + /со/.

о2

2К + /со!

Матрица узловых напряжений

2К + /со/.
7?(7? + /со/.)
2П + /со/.

У

V -1!

у у у

^вх

2К + /со Г

^вх

2К +

Принимаем Ц_вх

= 1 В и находим передаточную функцию по напряжению:

йи

Узлы

К + /со/.

йи

2К + /со/.

(2)

У
^вх

На рис. 4.33 С7ВЫХ

2К + /со/.

= Из, следовательно,

(3)

—и 2К + /со/. ’

; Фи(ю) = -агс1§^-.

2 ’

Рис. 4.34
Рис. 4.35

На рис. 4.34 приведены графики АЧХ - Ни (со) и ФЧХ - сри (со).

3.	Алгоритм расчета АЧХ и ФЧХ. На рис. 4.35 приведен алгоритм расчета АЧХ и
ФЧХ цепи на основе метода узловых напряжений.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Что такое АЧХ и ФЧХ цепи, если рассматривается ее комплекс
пая передаточная функция по напряжению?

2.	Почему резонанс в последовательном колебательном контуре на
зывается резонансом напряжений?

3.	Что такое добротность колебательного контура?

4.	Что такое полоса пропускания колебательного контура?
5.	Почему резонанс в параллельном колебательном контуре назы
вается резонансом токов?

6.	Каковы эквивалентные схемы последовательного и параллельно
го контуров на резонансной частоте?

7.	Почему последовательный контур должен работать с источником
сигнала, имеющим малое внутреннее сопротивление, а парал
лельный контур — с источником, имеющим большое внутреннее
сопротивление?

8.	В чем заключается достоинство связанных колебательных кон
туров по сравнению с одиночным?

9.	Каковы основные свойства реактивных двухполюсников?

10.	Качественно построить АЧХ цепей, получаемых на рисунке 4.36.

11.	Последовательный колебательный контур, имеющий А =
= 100 мкГн, С= 2,5 нФ, К = 6 Ом, работает с источником сиг
нала, у которого Кт = 2 Ом. Какова будет полоса пропускания
системы до и после подключения нагрузки к емкостному эле
менту с сопротивлением = 10 кОм?

Ответ: АД =12,7 кГц — ненагруженного и

А/а.н = 19,1 кГц — нагруженного контуров.

ГЛАВА 5. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ В
РЕЖИМЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ

5.1. Негармонические периодические сигналы.
Разложение в ряд Фурье

При передаче информации по каналам связи в процессе пре
образования сигналов в различных устройствах, как правило, ис
пользуют негармонические колебания, поскольку чисто гармони
ческие колебания не могут являться носителями информации. Для
передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического ко
лебания по амплитуде — амплитудная модуляция (АМ), частоте —
частотная модуляция (ЧМ) или фазе — фазовая модуляция (ФМ),
либо используют импульсные сигналы, модулируемые по ампли
туде — амплитудно импульсная модуляция (АИМ), ширине — ши
ротно импульсная модуляция (ШИМ), временному положению —
время импульсная модуляция (ВИМ). Существуют и другие, более
сложные сигналы, формируемые по специальным законам. Отли
чительной чертой указанных сигналов является сложный негармо
нический характер. Несинусоидальный вид имеют токи и напряже
ния, формируемые в различных импульсных и цифровых устрой
ствах (гл. 19), несинусоидальный характер приобретают гармони
ческие сигналы, проходящие через различные нелинейные устрой
ства (гл. 11) и т. д. Все это приводит к необходимости разработки
специальных методов анализа и синтеза электрических цепей, на
ходящихся под воздействием периодических несинусоидальных и
непериодических токов и напряжений. В основе этих методов ле
жат спектральные представления несинусоидальных воздействий,
базирующиеся на разложении в ряд или интеграл Фурье.

Из математического анализа известно, что периодическая не
гармоническая функция ДО удовлетворяющая условиям Дирихле*,
может быть разложена в ряд Фурье:

/(О =	+ созбсоф + зтбсоф); ац = 2п/Т,	(5.1)

2	к=1

где аъ, Ъ& — коэффициенты разложения, определяемые уравне
НИЯМИ

2 т	2Т

(ОсозбсофсД; бд, = — | / (у) 81п бсэД с/У (5.2)
о	о

1	т

Величина «0/2 =—представляет среднее за период значе
? о

ние функции ДО** и называется постоянной составляющей.

В теоретических исследованиях обычно вместо формулы (5.1)
используют другую, основанную на замене независимой перемен
ной а = соД:

/фа) =-^2-+(<^ соз&а + зт&а),	(5.3)

2	к=\

где

2л	2л

= — Г /’(а)со8бас/а; Ь/, = — Г /’(а)81пбас/а.	(5.4)

71 о	71 о

Эти условия требуют, чтобы на периоде Т функция /(О имела конечное число раз-
рывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, что для реальных
электрических сигналов обычно выполняется.

Функция /(О может иметь смысл как тока, так и напряжения.
Уравнение (5.3) есть тригонометрическая форма ряда Фурье.
При анализе цепей часто удобней пользоваться комплексной фор
мой ряда Фурье, которая может быть получена из (5.3) с помощью
формул Эйлера:

СО8 к(1 = (	+ (>-]ка )/2 ; 81П кв. = ( е]ка _	)/( 2] ) .	(5.5)

Подставив (5.5) в уравнение (5.3), после несложных преобра
зований получим комплексную форму ряда Фурье:

4 со

/(«) = ! Е 4Ж'»,	(5.6)

/? = -со

где Ак — комплексная амплитуда к й гармоники:

Ак = ак - ]Ък = Аке-А>ъ,	(5.7)

где Ак = ^а'^ + Ь'к — амплитуда; = агс\:§,(Ьк/ак ) — начальная фаза
к й гармоники. Подставив значения ак и Ъ/> из (5.4) в (5.7), получим:

Ак = — Г (а)е-^айа, (к = 0;± 1;±2;...).	(5.8)

л 0

Совокупность амплитуд 0,5Ак = 0,5А-к в разложении (5.6), от
ложенных против соответствующих положительных и отрицательных
частот*, образует симметричный относительно оси координат (вслед
ствие четности коэффициентов а к) линейчатый амплитудный спектр.

Совокупность ординат ф^ = —<р-к из (5.7), входящих в разложе
ние (5.6) и отложенных против соответствующих положительных и
отрицательных частот, образует симметричный относительно нача
ла оси координат (вследствие нечетности коэффициентов Ьк) ли-
нейчатый фазовый спектр.

Разложение (5.3) можно представить и в другой форме. Если
учесть, что ак = Л^созф^ и Ьк = А^зтср/г, то после подстановки в
(5.3) получим:

/’(а) = -^- +	Л^со8(^а-ср^).	(5.9)

2	к=1

Если рассматривать постоянную составляющую ао/2 как нуле
вую гармонику с начальной фазой фо = 0, то разложение (5.9)
примет вид

/(а) = Е А/г со§(&а - ф/? )•	(5.10)

11=0

В частном случае, когда функция Да) симметрична относи
тельно оси ординат (рис. 5.1, а), в разложении (5.3) окажутся
только четные (косинусоидальные) гармоники:

Понятие отрицательной частоты не имеет физического смысла, однако оно удобно в
теоретических исследованиях, поэтому широко используется в специальной литературе.
Рис. 5.1

/" (а) = — + ак со§ ка,
2 /?=1

(5.11)

а при симметричности Да) относительно начала координат
(рис. 5.1, б) нечетные гармоники

Да) = зт&а.	(5.12)

/?=1

При сдвиге начала отсчета функции Да) ее амплитудный
спектр не изменяется, а меняется только фазовый спектр. Действи
тельно, сдвинем функцию Да) по оси времени влево на (о и обо
значим а1 = ан Д + Д)).

Тогда разложение (5.9) примет вид

/'(«1) = ^ + ХЛсо8(&а! -фД = ^-+ Е^со8(^а-фд| (1-

2	/?=1	2	к=1	г

где ф/,=ф/,+соД.

Пример. Разложить в ряд Фурье прямоугольные колебания (рис. 5.1, б).
Учитывая, что /(а) симметрична относительно начала координат в разложе-
нии (5.3) останутся только синусоидальные гармоники (5.12), где Ьк опреде-
лится согласно (5.4):

,	2 г	,	4	,	. „ -

= — / (а)8шкааа = —, где к = 1,3,5,...

Л '	кп

Подставив Ьк в (5.12), получим разложение в ряд Фурье:

4 С зта зшЗа 8хп5а

(5.14)

1

3

5

Далее сдвинем /(а) на л 2 влево (см. рис. 5.1, а). Тогда согласно (5.13)

получим

ДД = -
л

8т(а + л/2) 8тЗ(а + л/2) 8ш5(а + л/2)

1	+	3	+	5

_4< соза созЗа соз5а )

(5.15)

т. е. получили разложение по косинусоидальным составляющим как и должно
быть для симметричного относительно оси ординат сигнала.
Да)| Дап)

Рис. 5.2

В ряде случаев, когда периодичная функция /(а) задана гра
фически и имеет сложную форму, ее разложение в ряд Фурье
можно осуществить графо аналитическим способом. Его суть за
ключается в том, что период сигнала Т (рис. 5.2) разбивают на т
интервалов, равных Да = 2л т, причем точки разрыва /Ха) не
должны попадать на середину участков разбиения; определяют
значение сигнала /Хап) в середине каждого участка разбиения.

Находят коэффициенты разложения а& и б/? путем замены ин
теграла в (5.2) конечной суммой

ак «-5/-(а„)со3й(Я-1/2) —,

~ — Е/'(ан)§тб(и-1/2) —.
т п=1	т

Уравнение (5.16) легко программируется и при вычислении
и б/?, может использоваться ЭВМ.

5.2.	Действующее, среднее значение и мощность
периодического негармонического сигнала

Для определенности положим, что /ХО имеет смысл тока г (О.
Тогда действующее значение периодического негармонического то
ка определяется согласно (3.5), где г(О определяется уравнением
(5.10):

КО = Е ^тк СО§(ба - ф/г ) = /о + Е 1тк СО§(бюф - ф^ ). (5.17)
к=0	к=\

Подставив это значение тока в (3.5), после интегрирования по
лучим

I	СО 2 2	I	да

1	=, Ио +	= Ло2 + 2 Д -	(5.18)

у к=\ 2 у 1>=\

т. е. действующее значение периодического негармонического тока
I полностью определяется действующими значениями его гармоник
1к и не зависит от их начальных фаз ф/?.
Аналогичным образом находим действующее значение перио
дического несинусоидального напряжения:

I	со ТТ 2	I	со

у = Ао2 + х-А = Ао + хс?' <5-19>

V к=1	V к=1

Среднее значение тока определяется согласно общему выра
жению (3.9). Причем обычно берут среднее значение г(О по аб
солютной величине

1 т

Тр(2) =^Лг(О|Л-	(5.20)

1 о

Аналогично определяется Сер (2).

С точки зрения теории цепей, большой интерес представляет
средняя активная мощность негармонического сигнала и распре
деление ее между отдельными гармониками.

Средняя активная мощность периодического несинусоидального
сигнала

1 1

т о

(5.21)

где

1(0 = Е /тк С08(/г<И,^ -ф/, ),
к=0

00

и(1) = Е со8(^со^-ф^+\|/^),

/?=0

(5.22)

\|//г — фазовый сдвиг между током и напряжением к й гармоники.
Подставляя значения г(О и г/(О из (5.22) в уравнение (5.21), по
еле интегрирования получаем:

00	00

Р = Е ^к СО8\|/^ = Е Рк,
к=0	к=0

(5.23)

т, е. средняя за период активная мощность периодического негар
монического сигнала равна сумме мощностей отдельных гармоник.
Формула (5.23) является одной из форм широко известного равен-
ства Парсеваля.

Аналогично находим реактивную мощность

00	00

О = Е	= Е Ок

к=0	к=0

и полную мощность

3 = Ш

(5.24)

(5.25)
Следует подчеркнуть, что в отличие от гармонических сигналов
(см. (3.121)) для негармонических сигналов

.5 -у/.Р2 + (Р 2 .

(5.26)

Величина Риск = у/32 -(Р2 + О2) носит название мощности
искажений и характеризует степень различия в формах тока КО и
напряжения и(ф).

Кроме мощности искажений периодические негармонические
сигналы характеризуются еще рядом коэффициентов', мощности,
1щ = Р 5; формы Кф = С/ С/ср(2); амплитуды Ка = Цт/ иска-

жений к[} = Р\ Р\ гармоник кТ =	и др. Для синусои

V к=2

дальнего сигнала кф = л 2 72 & 1,11; ка = Ф2 * 1,41; кИ = 1; кТ = 0.

5.3.	Спектры периодических негармонических сигналов

Рассмотрим последовательность прямоугольных импульсов,
изображенную на рис. 5.3, а. Сигналы подобной формы находят
очень широкое применение в радиотехнике и электросвязи: теле
графия, цифровые системы передачи, системы многоканальной свя
зи с временным разделением каналов, различные импульсные и
цифровые устройства и др. (см. гл. 19). Импульсная последова
тельность характеризуется следующими основными параметрами:
амплитудой импульса АИ , его длительностью и периодом еле
дования Т. Отношение периода Т к длительности называется
скважностью импульсов и обозначается через д = ТД. Обычно
значения скважности импульсов лежат в пределах от нескольких
единиц (в измерительной технике, устройствах дискретной пере
дачи и обработки информации), до нескольких сотен или тысяч (в
радиолокации).

Для нахождения спектра последовательности прямоугольных
импульсов воспользуемся рядом Фурье в комплексной форме (5.6).

а)	б)

Рис. 5.3

Величина АИ может иметь смысл как напряжения, так и тока.
Комплексная амплитуда к й гармоники равна согласно (5.8) после
возвращения к исходной переменной С

2 Т/1	2 Ц./2

Ак = — |	= - |	=

1	~т?2	1	(5.27)

_ 2АИ 810(^0)!^/2)

<7	/до^и/2

Подставив значение А& в уравнение (5.6), получим разложение в
ряд Фурье:

/(0 = | Е Аке^д = — Е 51П(^с°1^и/2)в^Ю1у	(5.28)

На рис. 5.4 изображен спектр комплексных амплитуд для <7 = 2
и <7 = 4. Как видно из рисунка, спектр последовательности прямо
угольных импульсов представляет собой дискретный спектр с оги
бающей (штриховая линия на рис. 5.4), которая описывается
функцией

/(х) = 81п(х)/х, тд$х = кп!д,	(5.29)

носящей название функции отсчетов (см. гл. 19). Число спектраль
ных линий между началом отсчета по оси частот и первым нулем
огибающей равно <7 — 1. Постоянная составляющая сигнала (сред
нее значение) «0/2 = Ли/<7, а действующее значение А = АИ/^С1,
т. е. чем больше скважность, тем меньше уровень постоянной со
ставляющей и действующее значение сигнала. С увеличением
скважности <7 число дискретных составляющих увеличивается —
спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б), и амплитуда гармоник
убывает медленнее. Следует подчеркнуть, что в соответствии с
(5.27) спектр рассматриваемой последовательности прямоугольных
импульсов вещественный.

Из спектра комплексных амплитуд (5.27) можно выделить ам
плитудный А& = \А&| и фазовый спектр ф& = агд’Л/?, изображенный
на рис. 5.5 для случая <7 = 4. Из рисунков видно, что амплитудный
спектр является четной, а фазовый — нечетной функцией частоты.
Причем, фазы отдельных гармоник принимают либо нулевое зна
чение между узлами, где синус положительный, либо ±л, где синус
отрицательный (рис. 5.5, б)

На основании формулы (5.28) получим тригонометрическую
форму разложения в ряд Фурье по четным гармоникам (сравни с
(5.15)):

/(О = ^ +

4АИ (созсо^ созЗсо^ созбсо^

(5.30)

5

л

При сдвиге импульсной последовательности по оси времени
(рис. 5.2, б) в соответствии с (5.13) ее амплитудный спектр оста
нется прежним, а фазовый спектр изменится:

/(0 = ^

4А11<§тсо1^ зтЗсо^ зтбсо^
+---- -------+--------+---------+ ...

л I 1	3	5

(5.31)

В случае, когда периодическая последовательность имеет разно
полярную форму (см. рис. 5.1), в спектре будет отсутствовать по
стоянная составляющая (сравните (5.30) и (5.31) с (5.14) и (5.15)).

Аналогичным образом можно исследовать спектральный состав
периодических негармонических сигналов другой формы. В
табл. 5.1 приведено разложение в ряд Фурье некоторых наиболее
распространенных сигналов.

5.4.	Расчет цепей при периодических негармонических
воздействиях

В основе расчета линейных электрических цепей, находящихся
под воздействием периодических негармонических сигналов, лежит
принцип наложения (см. § 1.6). Его суть применительно к негар
моническим воздействиям заключается в разложении негар
монического периодического сигнала в одну из форм ряда Фурье
(см. § 5.1) и определении реакции цепи от каждой гармоники в от
дельности. Результирующая реакция находится путем суперно
зиции (наложения) полученных частичных реакций. Таким обра
зом, расчет цепей при периодических негармонических воздейст
виях включает в себя задачу анализа спектрального состава сиг
нала (разложение его в ряд Фурье), расчет цепи от каждой тар
152
Таблица 5.1

Типы сигнала

Разложение в ряд Фурье

г 4Л Д 1 . Ь

/(О - -2-^-81П—!-С08^СО^

л м* 2

1 1 ” 1 . ,
-----) -япки ц

2 л *=1 к

(б +б>) 2Т 1

Т Л2(^-б) /г=1 к2

 г,л(б+^) • г,л(^—б) г,
X 81И к ——-— 81И к ——-— СО8 «со < I

Т	Т	1

монической составляющей и задачу синтеза, в результате которого
определяется результирующий выходной сигнал как функция вре
мени (частоты) или его действующее (амплитудное значение).

При решении задачи анализа обычно пользуются тригономет
рической (5.3) или комплексной (5.6) формой ряда Фурье с огра
ниченным числом членов разложения, что приводит к некоторой
погрешности аппроксимации истинного сигнала. Коэффициенты
разложения аъ и Ъ& в (5.3) или А/? и ср/? в (5.6) определяются с по
мощью уравнений (5.4), (5.7) и (5.8). При этом входной сигнал
/(а) должен быть задан аналитически. В случае, если сигнал зада
ется графически, например в виде осциллограммы, то для нахож
дения коэффициентов разложения и можно использовать
графоаналитический метод (см. (5.16)).

Расчет цепи от отдельных гармоник ведется обычно символи
ческим методом (см. гл. 3). При этом необходимо иметь в виду,
что на к й гармонике индуктивное сопротивление Хь(к) = кыЬ, а
емкостное сопротивление Хс(&) = 1/(&соС), т. е. на к й гармонике
индуктивное сопротивление в к раз больше, а емкостное в к раз
меньше, чем на первой гармонике. Этим в частности объясняется
то обстоятельство, что высокие гармоники в емкости выражены
сильнее, а в индуктивности слабее, чем в приложенном к ним на
пряжении. Активное сопротивление К на низких и средних часто
тах можно считать не зависящим от частоты.

После определения искомых токов и напряжений от отдельных
гармоник методом наложения находят результирующую реакцию
цепи на негармоническое периодическое воздействие. При этом ли
бо определяют мгновенное значение результирующего сигнала на ос
новании расчета амплитуд и фаз отдельных гармоник, либо его ам
плитудные или действующие значения согласно уравнениям (5.18),
(5.19). При определении результирующей реакции необходимо пом
нить, что в соответствии с представлением периодических негармо
нических колебаний на комплексной плоскости (см. § 3.2) векторы
различных гармоник вращаются с различной угловой частотой.

Пример. К цепи, изображенной на рис. 5.6, приложено напряжение г/О в
форме прямоугольных импульсов с периодом повторения Т = 2/У и амплиту-
дой Аи = 1В (см. рис. 5.3, б). Определить мгновенное и действующее значе-
ния напряжения на емкости.

Разложение данного напряжения в ряд Фурье определяется по формуле
(5.31). Ограничимся первыми тремя членами разложения (5.31):

1 Дзшсоф 481пЗсоф
г/(О =- +-------- +-------П.

2	71	071

Таким образом, приложенное напряжение содержит постоянную составляю-
щую По = 1/2, первую (71 = 4/л и третью (7з = 4/(Зл) гармоники с нулевы-
ми начальными фазами. Найдем напряжение на емкости от постоянной со-
ставляющей приложенного напряжения (7о:

^С(О) = ^2(оЛ = „	°„ К2.

/<1 + 1\2

Комплексное действующее напряжение от первой гармоники

—с(1)

3(1) Д

- —2(1) (К2 + ;с017).

Токи I?(1) или 1з(1) можно найти по формуле разброса (см.§ 2.2). Например,
для 1з(1) имеем:
где

О	*		=сг	——С2	
а(0				
о					

Рис. 5.7

т _ т В.2+ ](й{ь

-3(1) -^Ч + Дс^-Ус.ъС)’

Аналогичным образом находится напряжение на емкости от 3-й гармоники;

^с(з) - 1з(з)/(^со 1С),

где

К2 + /3 со! А

-3(3) = -1(3) К2 + ДЗсо^-1/Зс^С)’

П(3)

-1(3)	(К2 +/Зсо1А)/(/Зсо1С) ’

1 + К2 + /(Зю {Ь- 1/Зсо!<?)

После нахождения комплексных действующих значений напряжений на
емкости отдельных гармоник и выделения в них модулей 17с(1), Пс(з) и фаз
ФС1 = аг§ Ц_с (1), фсз = аг§ Дс(з) записывает мгновенное значение напряже-
ния на емкости в форме суммы (ряда):

г/с(/9 =&с(0) +^с(1)81п(соф + ФС1) + ^С(3)8т(Зсоф + фсз).

Действующее значение напряжения определяем согласно (5.19)



При анализе резонансных явлений в электрических цепях при
периодических несинусоидальных воздействиях следует иметь в
виду, что резонанс напряжений и токов может достигаться на раз
ных гармониках. При этом, как и ранее, резонансом на к й тар
монике называется такое состояние электрической цепи, состоящей
из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый
сдвиг между входным током и приложенным напряжением к х
гармоник равен нулю. Явление резонанса может быть использовано
для выделения отдельных гармоник из периодического несинусои
дальнего сигнала. Следует подчеркнуть, что в цепи может одно
временно быть достигнут резонанс токов на одной частоте и резо
нанс напряжений на другой.

Пример. Для цепи, изображенной на рис. 5.7, при заданной «ц, найти
значение С1 и С2, при которых одновременно возникает резонанс напряжений
на 1-й и резонанс токов на 5-й гармонике. Из условия резонанса напряжений
находим, что входное реактивное сопротивление цепи на первой гармонике
должно равняться нулю:



= 0,

(5.32)

а на пятой — бесконечности (входная реактивная проводимость на пятой гар-
монике должна быть равна нулю):

у/ •<-	\ (5со- 1/5со 1С1) • 1/5со 1С2

х О5®!) =	— 7	——-г = со.	(5.33)

х 7 у ( эс>) । Д| - 1/эс>) |С,| - 1/эс>) |С,2 )

Из условий (5.32) и (5.33) находим искомое значение емкостей:
С1 ^/(со2^); С2 =1/(24со2111).

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Какова математическая модель спектра периодического несину
соидального сигнала?

2.	Какой вид имеет спектр периодического негармонического сиг
нала?

3.	Как изменяется спектр периодического негармонического сигна
ла при сдвиге начала отсчета заданной функции?

4.	Как определить спектр периодической функции, заданной гра
фически?

5.	Как определяется средняя за период активная мощность перио
дического негармонического сигнала?

6.	Как определяется и что характеризует мощность искажений?

7.	Как рассчитывается спектр комплексных амплитуд последова
тельности прямоугольных импульсов?

8.	Как влияет скважность импульсов на спектр сигнала?

9.	Рассчитать и построить спектр амплитуд последовательности
прямоугольных импульсов с параметрами: 17т = ЗВ, / = 0,5 кГц
для двух случаев (<7 = 2, <7 = 5).

Ответ: 1) д = 2;

Ро = ЗВ; 1}тХ = 1,9 В; С/,„2 = 0; Цт3 = 0,64 В;

СФи = 0; Цт5 = 0,38 В; Ут6 = 0.
Рис. 5.8

2)	<7 = 5;

<7о = 1,2 В; С/,», = 1,1 В; (7,„2 = 0,91 В;

11,„3 = 0,6 В; <7,„4 = 0,28 В; <7„,5 = 0;

У,„6 = 0,19 В; <7„,7 = 0,25 В; СЛ„8 = 0,23 В;
= 0,12 В; <7„,ю = 0.

10.	Каков алгоритм расчета линейных электрических цепей, нахо
дягцихся под воздействием периодических негармонических си
гналов?

11.	На вход цепи, изображенной на
рис. 5.8, поступает периодический
негармонический сигнал и (О = 17о +
+	+ (7,„з8т(3<1>1^ + <рз);

С/о = 30 В; и,„1 = 100 В; С/,„з = 40 В;
Фз = 20°. Параметры элементов цепи
на основной частоте известны:	=

= 12 Ом; 1/(со1С) = 30 Ом; Кг = 6 Ом;
К2 = 5 Ом; Кз = 20 Ом. Рассчитать:
1) ток в неразветвленной части схемы

ное значение; 2) действующие значения всех токов; 3) актив
ную мощность, потребляемую цепью.

Ответ: 1) Д(О = 3 + 5,88§т(соД — 16°30') +
+ 2,6§т(ЗсоК + 55°), А.

2)	Ц = 5,45 А; 12 = 4,4 А; 13 = 2,64 А; Ц = 2,57 А.

3)	Р = 415 Вт.

12.	Резонансные явления в линейных электрических цепях при не
гармонических периодических воздействиях.

13.	Для цепи изображенной на рис. 5.7, найти значения С1 и С2,
при которых одновременно возникает резонанс напряжений на
Вой гармонике и резонанс токов на 5 ой гармонике, если заданы
= 10 мГн; сох = 5 103 рад/с.

Ответ: С\ = 4 мкФ; С2 = 0,167 мкФ.

и записать его мгновен

ГЛАВА 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. КЛАССИЧЕСКИЙ
МЕТОД АНАЛИЗА

6.1.	Переходный режим электрических цепей.
Законы коммутации

В предыдущих главах рассматривались процессы в электриче
ских цепях и методы их расчета в установившемся режиме, т. е. в
режиме, при котором напряжения и токи в цепях либо не зависят
от времени, либо являются периодическими функциями времени в
зависимости от вида приложенного воздействия. Установившийся
режим в цепи достигается обычно через определенный промежуток
времени после начала воздействия, поэтому рассмотренные ранее
методы анализа не охватывают так называемый переходный режим
от начала воздействия до установившегося состояния цепи. Пере
ходной режим работы цепи обусловлен наличием в ней реактивных
элементов (индуктивности, емкости), в которых накапливается
энергия магнитного и электрического полей. При различного рода
воздействиях (подключении к цепи или исключении источников
электрической энергии, изменении параметров цепи) изменяется
энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не мо
гут осуществляться мгновенно в силу непрерывности изменения
энергии электрического и магнитного полей (принцип непрерывно-
сти), что и приводит к возникновению переходных процессов.
Следует подчеркнуть, что переходные процессы во многих устрой
ствах и системах связи являются составной «нормальной» частью
режима их работы. В то же время в ряде случаев переходные про
цессы могут приводить к таким нежелательным явлениям, как воз
никновение сверхтоков и перенапряжений. Все это определяет
важность рассмотрения методов анализа переходных процессов в
электрических цепях.

В основе методов расчета переходных процессов лежат законы
коммутации. Коммутацией принято называть любое изменение
параметров цепи, ее конфигурации, подключение или отключение
источников, приводящее к возникновению переходных процессов.
Коммутацию будем считать мгновенной, однако переходный про
цесс, как было отмечено выше, будет протекать определенное вре
мя. Теоретически для завершения переходного процесса требуется
бесконечно большое время, но на практике его принимают конеч
ным, зависящим от параметров цепи. Будем считать, что комму
тация осуществляется с помощью идеального ключа К (рис. 6.1),
сопротивление которого в разомкнутом состоянии бесконечно ве
лико, а в замкнутом равно нулю. Направление замыкания или
размыкания ключа будем показывать стрелкой. Будем также счи
тать, если не оговорено иное, что коммутация осуществляется в
момент I = 0.

Различают первый и второй законы коммутации. Первый закон
коммутации связан с непрерывностью изменения магнитного поля
катушки индуктивности Ищ = И /2 и гласит: в начальный момент
1 = 0+ непосредственно после коммутации ток в индуктивности
имеет то же значение, что и в момент 1 = 0- до коммутации и
с этого момента плавно изменяется*

Здесь и далее под /Ч0_) понимается левосторонний предел функции /(О при I 0_,
а под /-(0+) —правосторонний предел /(О при I 0+.
й(О_) = й(О+).	(6.1)

Второй закон коммутации связан с непрерывностью измене
ния электрического поля емкости И7с = Си /2; в начальный мо-
мент 1 = 0+ непосредственно после коммутации напряжение на
емкости имеет то же значение, что и в момент'. 1 = 0- до ком-
мутации и с этого момента плавно изменяется'.

ис(0_) = ис(0+).

(6.2)

В отличие от тока в индуктивности гд и напряжения на емкости
ис напряжение на индуктивности ис и ток в емкости гс могут из
меняться скачком, так как согласно (1.9) и (1.12) они являются
производными от 1с и ис и с ними непосредственно не связана
энергия магнитного и электрического полей. Значения токов в ин
дуктивности гд(0+) и напряжений на емкостях г/с(0+) образуют на-
чальные условия задачи. В зависимости от начального энерге
тического состояния цепи различают два типа задач расчета пе
реходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями,
когда непосредственно после коммутации (при I = 0+) гд(0+) = 0;
г/с(0+) = 0 (т. е. №с(0+) + УУс(0+) = 0) и задачи с ненулевыми
начальными условиями, когда гд(0+) ф 0 и (или) г/с(0+) ф 0 (т. е.
В7д(0+) + \Ус(0+)ф 0). Нулевые и ненулевые значения начальных
условий для 1с и ис называются независимыми, а начальные ус-
ловия остальных токов и напряжений зависимыми. Независимые
начальные условия определяются с помощью законов коммутации
(6.1) и (6.2).

6.2.	Классический метод расчета переходных процессов

В основе классического метода расчета переходных процессов в
электрических цепях лежит составление интегрально дифферен
циальных уравнений для мгновенных значений токов и напряже
ний. Эти уравнения составляются на основе законов Кирхгофа,
методов контурных токов, узловых напряжений и могут содержать
как независимые, так и зависимые переменные. Для удобства ре
шения обычно принято составлять дифференциальные уравнения
относительно независимой переменной, в качестве которой может
служить 1с или ис  Решение полученных дифференциальных
уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущ
ность классического метода.

Учитывая, что в ряде случаев решение дифференциальных
уравнений проще интегрально дифференциальных, полученную си
стему сводят к одному дифференциальному уравнению соответст
вующего порядка относительно выбранной независимой перемен
ной 1с или ис- Порядок дифференциального уравнения определи
ется числом независимых накопителен энергии электрического и
магнитного полей.

Обозначим независимую переменную (Ц или г/с) через х = х(О.

Дифференциальное уравнение т-го порядка, описывающее пе
реходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздей
ствием источника ш(О, описывается уравнением:

, (1тХ , йт~хХ , (1х ,	х ч

+ От-1— - + ... + ЪХ — + Ъ{}Х = 1&(Л),	(6.3)

(Ит (Цт-1	(Ц

где бо, 61, ..., Ът-\, Ът — коэффициенты параметров цепи;
функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Цепь, параметры которой 6о, 6ц ..., Ът-\, Ът— неизменны, на
зывают цепью с постоянными параметрами. Если же какой либо
из коэффициентов 6о, 6ц ..., Ът-\, Ът — переменен, то цепь пазы
вают параметрической. В дальнейшем будем рассматривать цепи с
постоянными параметрами.

Дифференциальное уравнение (6.3) относится к линейным не
однородным уравнениям т-го порядка. Как известно, его решение
находится как сумма общего решения хсв однородного дифферен
циального уравнения т го порядка:

Нту	й т—1 у	й у

ът + ьт_.	+... + 6,	+ 60хсв = О (6.4)

(Ит	(Цт-\	(Ц

и частного решения хПр уравнения (6.3):

Л5" — ОС пр I ОС св у	(6.5)

где хСв и хПр — общее и частное решения. Общее решение хсв оп
ределяет свободные процессы, которые протекают в цепи без уча
стия источника да(О (отсюда индекс «св»). Частное решение хПр
определяет принудительный процесс (отсюда индекс «пр»), кото
рый протекает в цепи под влиянием да(О. В теории цепей хПр
обычно находят одним из ранее рассмотренных методов расчета
цепей в установившемся режиме.

Свободная составляющая переходного процесса хсв будет за
висеть от характера корней характеристического уравнения:

Ътрт + Ът_хрт~х +... + Ъхр + Ъо = 0.	(6.6)

В случае, когда корни р\, р2, ..., рт характеристического урав
нения (6.6) вещественные и различные, решение (6.4) имеет вид

хсв =	+ А2ер^ + ... + АтеРтС	(6.7)

где Лц А2, ..., Ат — постоянные интегрирования, которые нахо
дятся из начальных условий.

В случае, когда корни уравнения (6.6) вещественные и равные,
т. е. р1 = р2= ... = рт = р, свободная составляющая определяется
уравнением
хсв = (Ах + А2к + А3^2 + ... + Аткт~{ )ер1.	(6.8)

Представляет практический интерес и случай, когда корни по
парно комплексно сопряженные рк,к-\ = а ± /<®с- При этом в
формуле (6.7) соответствующая пара корней рк,к-^ заменяется ела
гаемыми вида

Ае~^ 8т(а>ск + 0),

(6.9)

где А, 0 — постоянные интегрирования, определяемые также из
начальных условий.

6.3.	Переходные процессы в цепях первого порядка

Рассмотрим применение классического метода к расчету пере
ходных процессов в цепях первого порядка. Это цепи, содержащие
только однотипные реактивные элементы (емкости или индук
тивности), процессы, в которых описываются дифференциальными
уравнениями первого порядка

^1-7- + ^ =^(О-
ак

(6.10)

Примером цепей первого порядка являются простейшие КЬ и
К С цепи.

Переходные процессы в .КЬ-цепях. Рассмотрим включение Кк-
цепи к источнику напряжения г/(О (рис. 6.1). Из рис. 6.1 следует,
что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток Д(0_) = 0 и
цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент к = 0
ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее
к источнику напряжения г/(О. После замыкания ключа К в цепи
начнется переходный процесс. Для его математического описания
выберем в качестве независимой переменной Д = г и составим от
носительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК:

+	= Кг +	= и(А) -

ак

(6.11)

Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным диффе
ренциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение ко
торого можно записать согласно (6.5) в форме

— йтр + ^св >

где гСв — свободная составляющая тока,
обусловленная свободными процессами,
протекающими в цепи без участия источ
ника г/(О; Щр — принужденная состав
ляющая тока, обусловленная действием ис
точника напряжения и(к).

(6.12)

Рис. 6.1
Свободная составляющая тока гсв есть общее решение одно
родного дифференциального уравнения

г/ 7

Ягсв+А^ = 0	(6.13)

сП

и согласно (6.7)

гсв = АеР*,	(6.14)

где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристиче
ского уравнения типа (6.6);

рк + К = 0.

(6.15)

Отсюда р = — В/Ъ. Величина 1/|/?| носит название постоянной
времени цепи. В неразветвленной В7 цепи т = к/В.

Принужденная составляющая гПр может быть определена как
частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано вы
ше, гПр можно найти более просто методами расчета установивше
гося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:

1) г/ О) = 17 = соп§С 2) и (О = 17 т §т (оЛ + сры ).

В первом случае принужденная составляющая может быть он
ределена из установившегося режима: гпр = 17/В. Для нахождения
постоянной интегрирования Л перепишем (6.12) в форме г = Ает +
+ 17/В и учтем начальные условия для г, а также первый закон
коммутации (6.1):

г(О_) = г(О+) = О = Л + С/Я.

Отсюда Л = — 17/В. Таким образом, закон изменения тока в В7
цепи определяется уравнением

г = ^-(1 _	).	(6.16)

В

Напряжение на индуктивности согласно (1.9)

иь =ь7± = ие-ф' (6Л7)
сП

На рис. 6.2 изображены графики
зависимости г(О и г/д(О. Анализ по
лученных уравнений (6.16) и (6.17)
показывает, что чем больше посто
янная времени цепи т, тем медлен
нее затухает переходной процесс.
На практике принято считать пере
ходной процесс законченным при

= (З...5)т, при I = Зт ток достига
ет 95% своего установившегося зна
чения, а при = 5т — более 99%. Графически постоянная времени
т может определиться как интервал времени на оси I от I = 0 до
точки пересечения касательной к иь (рис. 6.2), в указанный момент
напряжение на иь уменьшается в е раз по сравнению с начальным.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых
начальных условиях в момент I = 0+ индуктивность ведет себя как
бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при I = оо как
бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Для второго случая принужденная составляющая тока соглас
но § 3.6 /пр = 1т 81п(со^ + срм - ср), где Iт = Vт/^А?2 + (соА)2 , Ф =
= апА§(соА/.К). Постоянная интегрирования определяется из урав
нения

й(0_) = й(0+) = 0 = А + /т§т(фм - ф),
откуда А = -1т §т (фм - ф). Следовательно, закон изменения тока
в цепи в этом случае будет

I = 1т 81п(&А + фм - ф) - 1т §1п(фм - ф)е-Сц (6.18)

На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). На
пряжение на индуктивности

сП

иь =Ь— = 1}тЬ 8т(со^ + фм - ф + л/2) +

М к	(6.19)

+	~Г 81П ( фм — ф ) С //т,

соА

где 17тЬ юЬ1т-

Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения
цепи к источнику г/(О в момент, когда ф/7 = ф ± л/2 в последней
могут возникать сверхтоки. Если постоянная времени цепи т доста
точно велика, то скачок тока в начальный период может достигать
1тах ~ 2/т. Напротив, при включении цепи в момент, когда ф/7 = ф,
в ней сразу наступает установившийся режим. Аналогичная карти
на наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).

В качестве второго примера расчета рассмотрим случай иену
левых начальных условий в КЬ цепи (рис. 6.4). К моменту ком
мутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля,
равная ИД = Аг (0_)/2, где /(0_) =	+ К). После коммута

ции в КЬ цепи возникает переходный процесс, описываемый
уравнением:

г/ 7

А^ + 7?/ = 0,	(6.20)

сП

т. е. /Пр = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) —
(6.15):

/ = /св = АеР* = Ае~Ф.
Рис. 6.3

Рис. 6.4

Рис. 6.6

Постоянную А находим из начального условия г(0_) и закона ком
мутации (6.1):

г(О_) = г(О+) = С/(К + Ко) = А.

Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описы
вается уравнением

Напряжение ис определяется как

т сП
и с — Ь —— —
сП

— Ке-^Л.
'о

(6.21)

(6.22)

На рис. 6.5 изображены графики I и и/ь. Следует отметить, что
вся энергия И7/., запасенная в индуктивности с течением времени,
расходуется на тепловые потери в К. При ненулевых начальных
условиях С ведет себя как источник тока.

Переходные процессы в .КС-цепях. При расчете переходных
процессов в КС цепях в качестве независимой переменной выбирают
ис- Затем также составляют дифференциальное уравнение для за
данной КС цепи, решение которого с учетом начальных условий для
г/с(0) и определяет закон изменения напряжения на емкости.

Рассмотрим вначале КС-цепь при нулевых начальных условиях
(рис. 6.6), которая подключается в момент I = 0 к источнику по
стоянного г/(О = С или синусоидального г/(О = Ст§т(со^ + срм)
напряжения. Переходный процесс в данной цепи описывается диф
ференциальным уравнением
ис+К1 = КС^ + ис = и,	(6.23)

а1

решение которого ищем также в форме суммы общего и частного
решений, определяющих свободную и принужденную составляющие:

ис = иСсв +^СпР-	(6.24)

Свободная составляющая является решением однородного диф
ференциального уравнения

ЯС^^ + г/Ссв =0;	(6.25)

сП

иссв = АеР1,	(6.26)

где р определяется из характеристического уравнения

КСр + 1 = 0; р = -1/КС.

Величина КС носит название постоянной времени КС цепи и
обозначается через т.

Определим принужденную составляющую г/спр для случая, ко
гда г/(О = С = соп§С Из рис. 6.6 следует, что в установившемся
режиме г/спр = С Следовательно, с учетом (6.24) и (6.26) уравне
ние для ис примет вид ис = Ае т + V. Для нахождения постоян
ной интегрирования А учтем нулевые начальные условия для г/с(0-)
и второй закон коммутации (6.2): г/с(0-) = мс(0+) = 0 = А + Ц,
откуда А = — С. Таким образом, получаем окончательно:

ис = С/(1 -	)•	(6.27)

Ток в цепи определяется согласно (1.12):

г = С^ = —е-^Л.	(6.28)

(К К

На рис. 6.7 изображены графические зависимости ис(1) и г(О.

Анализ полученных результатов показывает, что в момент

I = 0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя

Рис. 6.7

Рис. 6.8
как короткозамкнутый участок. Напротив, при I = оо емкость пред
ставляет собой бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи
для постоянного тока).

Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно ви
деть что при этом

пр =	$1П ( СО^ + фм + ф — л/2 ) ,

где

ф = агс1:§ [1/(со/?С)],

(6.29)

(6.30)

г/с(0+) при

(6.31)

а напряжение

ис = Ае~Ф + 17тс 81п (со^ + фм + ф - л/2).

Постоянная А находится из начальных условий для
I = 0+:

А = -17 тС 81п(фм + ф - л/2).

Окончательно закон изменения напряжения

ис =УтС 81п(со^ + фм + ф - л/2) -
-ПтС §1п(фм + ф-л/2)е-^Л.

На рис. 6.8 изображен график зависимости г/с(О. Анализ урав
нения (6.31) показывает, что в случае неудачного включения при
фм = л - ф и большой т в цепи могут возникать перенапряжения,
достигающие на емкости величины истах ~ 2УтС- В случае удач
ного включения, когда ф/7 = л/2 — ф, в цепи сразу наступает уста
повившийся режим.

Ток в цепи

г = С^^ = /тС81п(с^ + Фм +ф) +

1	(6.32)

+ IтС	(фи + ф — л/2 ) в ^/т.

СОА С

Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий, когда
емкость С, заряженная до напряжения С/, разряжается на со
противление К (рис. 6.9). К моменту коммутации в емкости была
запасена энергия Же = С17 /2. После коммутации возникает пере
ходный процесс, определяемый уравнением

КС^ + Нс=0,	(6.33)

а1

т. е. имеет место свободный режим разряда (емкости):

ис = иссв = АеР*- =	(6.34)
Рис. 6.9

Постоянную интегрирования А находим из начального условия
для ис(0+) = 11 и закона коммутации (6.2):

г/с(0_) = г/с(0+) = У = А.

Таким образом, получаем закон изменения напряжения на ем
кости

ис = Ие-Ф	(6.35)

и тока в цепи

. = С&ис =	(б .36)

сП К

Знак «—» в уравнении (6.36) для тока свидетельствует о том,
что ток разряда направлен противоположно опорному направлению
напряжения ис в емкости (см. § 1.2). На рис. 6.10 приведены гра
фики изменения напряжения мс(О и тока г(О данной КС цепи.
Следует подчеркнуть, что вся запасенная энергия Же емкости с
течением времени преобразуется в элементе К в тепло. При иену
левых начальных условиях С ведет себя как источник напряжения.

6.4.	Переходные процессы в цепях второго порядка

Ранее рассматривались переходные процессы в КС- и КС це
пях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описы
ваются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11),
(6.23). При наличии в цепи двух независимых накопителей
энергии переходные процессы в них описываются уравнением
второго порядка. Простейшим примером такой цепи является
последовательный колебательный
контур (рис. 6.11). Для этого контура
можно по аналогии с КС- и КС
цепью составить дифференциальное
уравнение второго порядка, выбрав в
качестве независимой переменной на
пряжение на емкости

(11

и^ + ик + ис = С —ь Кт + ис = и.
сП
Учитывая, что г = Сд,ис/(И окончательно получаем

ЬС (Г2 и^ + кс(1ис	=и	( 37)

Решение дифференциального уравнения (6.37) ищется согласно
(6.5) в форме суммы свободной иссв и принужденной г/спр состав
ляющих:

ис = иСсв +г/Спр-	(6.38)

Вид г/спр зависит от характера приложенного напряжения, а
иссв определится решением однородного дифференциального урав
нения второго порядка:

дс^<Сс1	0	(6.39)

Л2	Л Ссв

Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характерно
тического уравнения

1ХфК+КСр+ 1 = 0.	(6.40)

Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи
независимо от выбранной переменной:

Величина а = К/2С носит название коэффициента затухания
контура, а со0 = 1/ФСС есть резонансная частота контура (см.
§ 4.2). Таким образом, уравнение (6.41) можно переписать в виде

Р\,2 = -а + д/а2 - со^.	(6.42)

Характер переходного процесса существенным образом зависит
от вида корней р\, р%, которые могут быть:

1)	вещественными и различными (при К > 2р);

2)	комплексно сопряженными (при К < 2р);

3)	вещественными и равными (при К = 2р).

Здесь р = фЬ/С — характеристическое сопротивление контура
(см. формулу (4.22)).

Разряд емкости на ЛЬ-цепь. Для исследования характера не
реходного процесса во всех этих случаях рассмотрим разряд ем
кости С на цепь КС (см. рис. 6.11). Так как до коммутации ем
кость С была заряжена до напряжения С/, то имеем ненулевые на
чальные условия:

г/с(0_) = С7; 1УС (0_) = СС/2/2.

После коммутации (переключение ключа К из положения 1 в
положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет сво
бодный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и на
пряжений на отдельных элементах цепи для случая /) —3).

В первом случае, когда К > 2р корни р\ и р2 в (6.41) будут ве
гцественными и различными, и решение уравнения определится со
гласно (6.7):

ис = иСсв = АхеР^ + А2еРА,

(6.43)

где А1 и А2 — постоянные интегрирования. Для определения А\ и
А2 запишем еще уравнение для тока в цепи:

1 = С

= С(р1А1еР1* + р2А2еР2*).

(6.44)

Постоянные А\ и А2 можно найти из начальных условий для
г/с(0-) = С/ и г(0_) = 0 (при I = 0_) и законов коммутации (6.1),
(6.2):

Л‘+Л2=У’ Д	(6.45)

Р1Л +7*2^2 = 0-1

Из решения системы уравнение (6.45)

А1 =-ир2/(р1-р2); А2 =Црх/(рх -р2).

В результате получаем уравнения для напряжения и с и тока г:

ис =———(р\вР2^ -р2еР1А,	(6.46)

Р1 ~Р2

1 = ———-----(.еР2<: - еР1<А-	(6.47)

Ь(Р1 ~Р2)

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется
при этом уравнением

иь=Ь^- = ———(р2еР21 - рхеР^).	(6.48)

си р\ - р2

Из уравнений (6.46) —(6.48) следует, что каждая из найденных
величин ис, г, ис состоит из двух слагаемых, затухающих по экс
попейте с коэффициентами р\ < 0 и р2 < 0. На рис. 6.12 показан
характер зависимостей (6.46) —(6.48). Момент времени И, соот
ветствующий точке перегиба ис, максимуму |г| и нулевому значе
нию ис определяется из решения уравнения сП/ (И = 0, а момент 12
из решения уравнения длсс/сИ = 0:

=------1п —; 12 = 2/ф	(6.49)

Р\ ~ Р2 Р\

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом
случае происходит апериодический разряд емкости С, причем в
интервале от 0 до Д энергия Же расходуется на покрытие теп
ного поля в индуктивности (рс = ис г < 0; рс = иь г > 0). В даль
нейшем (при I > как энергия электрического поля емкости ТИс,
так и запасенная к моменту I = магнитная энергия индуктивно
сти ТИд расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении
К. Отрицательное значение тока свидетельствует о противополож
ном направлении тока разряда относительно опорного направле
ния.

Во втором случае при К < 2р, когда корни р\ и р% носят комп
лексно сопряженный характер,

Р\,2 = -а ±	-а2 = -а ± /юс,

(6.50)

где сос = д/соо - а2 называют частотой собственных затухающих
колебаний. Решение уравнения (6.39) имеет вид (6.9)

ис = иссв = Ае~<и §т(сос( + 9),

(6.51)

где А и 9 — постоянные интегрирования. Закон изменения тока в
цепи

= -аАе-си §т(сос( + 9) + осАе~^ со§(сос( + 9). (6.52)

Постоянные А и 9 определяются из начальных условий для ис и г
и законов коммутации (6.1), (6.2):

г/с(0_) = Мс(0+) = С/ = А§т9,	1	(6 53)

г(9_ ) = г(9+ ) = -аАзт 9 + сосАсо§9.]

Отсюда

А = (/со0/сос; 9 = агс(§(сос/а).

Окончательно уравнения для ис, I и и принимают вид

г/с = (/ —§1п(сос( + 9);	(6.54)

сос
г = -17--е~^ 81п сос^;	(6.55)

иь =	е~^ §1п(сос^ - 0).	(6.56)

сос

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет
место колебательный разряд емкости с частотой сос, зависящей
только от параметров К, к, С цепи. Интервал времени Тс = 2л/сос
носит название квазипериода. На рис. 6.13 изображены графики
зависимостей г/с(О и г(О определяемых уравнениями (6.54) и
(6.55). Скорость затухания периодического процесса принято ха
рактеризовать декрементом затухания, который определяют как
отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного
знака (см. рис. 6.13):

Л = цс (О = е_аГс	(б 57)

ЦС(^ + ^с)

На практике чаще используется логарифмический декремент за-
тухания

ТГ Г?

5а =1пЛ = аГс = ,	..	(6.58)

7р2 -/?2/4

Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем боль
ше, чем больше К. При К = 2р колебания прекращаются и пере
ходной процесс становится апериодическим. При К = 0 оказыва
ются незатухающие гармонические колебания с частотой сос = соо =
= 1/л/СС . Очевидно, что этот случай представляет чисто теорети
ческий интерес, так как в любом реальном контуре имеются по
тери. В процессе колебательного разряда емкости (свободных ко
лебаний в КЬ С контуре) имеет место попеременное запасание энер
гии ТИс в электрическом поле емкости и магнитном поле ин
дуктивности И7// в начале энергия Же расходуется на создание
магнитного поля Жд индуктивности и покрытие тепловых потерь
сопротивления К, затем запасенная энергия Жд, расходуется на
перезаряд емкости и покрытие потерь в К и т. д. до полного не
рехода первоначальной энергии Жс(0) в тепловые потери в ре
зисторе К.

Третий случай К = 2р является пограничным между колеба
тельным и апериодическим и соответствует критическому разряду
емкости. Решение уравнения (6.39) при этом имеет вид (6.8)

ис = иСсв = АхеР* + А21еРй	(6.59)

Ток определяется уравнением

1 = С^- = С(А,р + А2+А2р1)ег{,	(6.60)
ис

Рис. 6.14

где р\ = р2 = р = —а — корни характе
ристического уравнения (6.40); А{,
постоянные интегрирования, определяе
мые из начальных условий для ис и г и
законов коммутации (6.1), (6.2):

С/ = А,

о = АР1 + А-

Отсюда А = а 17. Окончательные выражения для напряжения и
тока принимают вид

ис = 17(оД+ 1)е~^

(6.61)

г =----1е~а7

(6.62)

иь=17 (а/^ -1)е-<

(6.63)

По своей форме графики зависимостей (6.61) —(6.63) аналогия
ны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что
их скорость изменения больше, чем при К > 2р. Значение К = 2р
носит название критического сопротивления контура.

6.5.	Включение .КЬС-контура на постоянное и
гармоническое напряжение

Включение .КЬС-контура на постоянное напряжение. Рассмот
рим случай нулевых начальных условий г/с(0-) = 0, г(0_) = 0, кот
да КЬС контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14).
Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в
нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю
щей г/спр = 17- Свободная составляющая иссв определяется, как и
ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида
корней р\ и р2. Постоянные интегрирования А и А2 находятся при
этом из начальных условий г(0_) = 0, г/с(0-) = 0 и законов комму
тации для г и ис- Определим, например, закон изменения ис, г и
г/д в случае, когда корни р\ и р2 вещественные и различные.
При этом иссв определяются уравнением (6.43), а напряжение ис
и ток I имеют следующий вид:

— ^Ссв

+ ^Спр = А^еР7 + А2вР7 + С/,
= Ауэ\ер7 + А-2Р26Р7.

(6.64)

Для нахождения коэффициентов А\ и А2 используем начальные
условия г/с(0-) = 0 и г(0_) = 0, а также законы коммутации, опре
деляемые выражениями (6.1),(6.2):
о = а{ + а2 + и,)

О = А{р{ + А2р2.]

Тогда

Л =ир2КР\ -Р2^ А2=-Ур\1(Р\~Р2)-

Окончательные уравнения для ис, У ис имеют вид

ис =1/----——(р^ерз* -р2ергА;

Р\ ~Р2

V

г = - —-----Г{еР2± -еР^У,

Ь(Р\ ~Р2)

и с =-----(р\вР^ -р2еР2±).

Р\ ~Р2

(6.65)

(6.66)

(6.67)

(6.68)

(6.69)

На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67) —(6.69),
где моменты времени С и определяются уравнениями (6.49).
Сравнение формул (6.67) —(6.69) с (6.46) —(6.48) показывает, что
ток г и напряжение ис отличаются только знаком, а напряжение
ис — наличием постоянной составляющей 1У.

Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для
случая К < 2р:

ис = V 1- —8т(соф + 0) ;
сос

• . •

г =-е~^ 8ш соф;

и с = -V §1п(сос^ - 0).
сос

(6.70)

(6.71)

(6.72)

На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70),
которая свидетельствует о колебательном характере заряда ем
кости. Таким же образом можно получить уравнения для ис, I и

ис для случая критического заряда емкости С при К = 2р.

Включение КЬС-контура на гармоническое напряжение. При

включении КЬ С контура на гармони
ческое напряжение и = С/т8т(ай +
+ сры) принужденная составляющая
напряжения на емкости

мСпр - тС	+ фС ) >

(6.73)

где фс = фм + ф — л/2. Здесь фазо
вый сдвиг между током в контуре и
приложенным напряжением

Ф = агс1;§((оЬ - 1/соС)//?,	(6.74)
а амплитуда принужденного напряжения на емкости

УтС =	 1тС- (6.75)

+ (<в1-1/<вС)I 2 '"С

Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических уст
ройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выпол
няется условие К <зс 2р, то свободная составляющая иссв определи
ется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости
будет иметь вид

ис = ^тс Ап(со^ + срс ) + Ае~^ §т(сос/: + 0).	(6.76)

Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для задан
ного контура а со0 ~ со с» получим уравнение тока

1 = С

1тс со§(со^ + Фс ) + юоСАе-си со§(со0^ + 0). (6.77)

Постоянные интегрирования А и 0 находим из начальных ус
ловий и законов коммутации:

г/с(0-) = мс(0+) = 0 = ^тс Фс + А§т0,
7(О_) = 7(О+) = О = 1тс со8фС + сооСАсо8 0.

Откуда

С А2

I ю

А = итс< 8Ш2 ФС + -----

(6.78)

(6.79)

(6.80)

СО82 фС;

0 = агА§{соо ф/со}.

Подставив значения А и 0 из уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и
(6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на
емкости и тока в КЬС контуре:

ис = итС^п(^А + (^с) + итСф\п^ <^с +(со/со0)2со82фС •
 е~а1	+ Э);

(6.81)

I = 1тС СО8 ( СО^ + Фс ) +	81П2 фС + СО82 фС '	82)

 е-<и со8(со(/ + 0).

Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда
частота приложенного напряжения со существенно превышает резо
нансную частоту контура соо при фс ~ 0 в цепи могут возникнуть
сверхнапряжения, а в случае со соо и фс ~ л/2 — сверхтоки.

Если частота задающего напряжения со = соо, то ПРИ этом в
цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на ем
кости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с урав
нениями:
ис -Vтс (1 - е~^ )§1п(со(/ + фс );

(6.83)

г = /тс(1-е-^)со8(со0^ + Фс)-

(6.84)

При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и
сверхтоков (рис. 6.16, а).

В случае, когда частота заданного напряжения со и резонансная
частота контура соо близки между собой, то в контуре возникают
явления биений. Положим, что а = 0, тогда

ис =С/тс[§т(со^ + фс) + 81п(соо^ + Фс)] =

(6.85)

= С/шС(081п(соо^ + фс),

где 1бтс(б) = 217тсС08О.1; — амплитуда биений с угловой частотой
О = (со — соо)/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напря
жений биений (6.85).

6.6.	Переходные процессы в разветвленных цепях

При расчете переходных процессов в разветвленных цепях
классическим методом составляется система уравнений для мгно
венных значений токов и напряжений по ЗТК и ЗНК. Затем полу
ченная система сводится к дифференциальному уравнению соот
ветствуюгцего порядка относительно выбранной независимой пе

ременной (ис или ДД. После это
го полученное уравнение реша
ется по аналогии с уравнениями,
рассмотренными в § 6.2 —6.5.

В качестве примера рассмот
рим разветвленную цепь второго
порядка, изображенную на
рис. 6.17. Для данной цепи имеем
ненулевые начальные условия:

Рис. 6.17
ис(О-) = V', С,(0_) = 0. Составим для нее систему уравнений по
законам Кирхгофа:

ц = 1-2 + г3 = г2 + Сс1ис /сП,
17 = К\1\ + 11(2,	*

ис = Т?2г2 + Сс/г2/сС •

(6.86)

Выберем в качестве независимой
(6.86) относительно г2, получаем:

переменной г2 = С, и, решая

(6.87)

т. е. выражение (6.87) есть неоднородное дифференциальное урав
нение второго порядка, аналогичное (6.37). Его решение, как
обычно, находим в виде

С — Сев + Спр >

(6.88)

где г2пр = С7(/?1 + _К2), а г2св определим из решения однородного
дифференциального уравнения

(6.89)

Решение последнего имеет вид, аналогичный (6.43), (6.51) или
(6.59) в зависимости от вида корней характеристического урав
нения

(6.90)

Постоянные интегрирования определяются из начальных уело
вий и законов коммутации, причем для нахождения ис использу
ется система уравнений (6.86). Например, для случая веществен
ных и различных корней при = /?2 = К получим

С - Спр + Сев -	+ А\6Р7 + А2СР2С

тэ • т ^С т-> ( 7	.	.

ис = Кг2 + Е —= К — + Ахер7 + А2ер7
а1 < 2К

+Ь(р\АхеР7 + р2А2еР21),

где А1 и А2 определяются из начальных условий и законов ком
мутации:

С (0_) - с (0+) - 0 - —— + А1 + А2;

2.1\,

ис (0_) = ис (0+ ) = 17 = 17/2 +	+ р2А2) + 12 ( А^ + А2),
ц Ьр2 + 2К .

Р\- р2

Ц Ьрг + 2К
2КЬ р{ - р2

На рис. 6.18 изображены графики
мс(О и 12(0.

Как следует из вышеуказанно
го, для определения характера пе

реходного процесса и записи урав

нения свободной составляющей независимой переменной необхо
димо располагать характеристическим уравнением цепи. Это урав
нение может быть получено из соответствующего дифференциалы

ного уравнения цепи или из анализа ее операторного сопротивле
ния (см. § 7.3). Последнее может быть получено, если в уравнении
для комплексного сопротивления цепи X = Х(/со) заменить опера
тор /со на р и приравнять его к нулю:

2(р) = 2(/со)| .	= 0.

\Г 1	У\](^ = р

(6.91)

Например для цепи, изображенной на рис. 6.17, имеем:

г = г(/<о) = д1+(7?2 + /ю1)/юС.

-	7 К2 + /со/, + 1//соС

Отсюда

%(р) =	+

(К2+рЬ)!рС

К2+ рк + 1/рС

или после преобразований

что полностью совпадает с (6.90).

Таким образом, отпадает необходимость преобразовывать си
стему уравнений к одному уравнению для выбранной независимой
переменной.

В заключение следует отметить, что применение классического
метода расчета к цепям более высокого порядка встречает опре
деленные трудности. Главное из них резко возрастающий объем
необходимых вычислений, связанных с решением задач уравнений
высокого порядка. В этой связи в последнее время все большее
применение находят другие методы расчета переходных процессов:
метод переменных состояний, операторный и частотные методы,
которые будут рассмотрены ниже.
6.7.	Метод переменных состояния

В настоящее время для анализа переходных процессов в це
пях широкое применение находит метод переменных состояния,
позволяющий при расчетах эффективно использовать ЭВМ.
Суть метода заключается в том, что переходный процесс в цепи
рассматривается как траектория в т мерном пространстве (где
т — порядок цепи) с начальной точкой при I = 0 (начальное
состояние) и конечной при I = оо. Например, переходный про
цесс в последовательном КЬС контуре (см. § 6.4, апериодиче
ский разряд и рис. 6.12) можно в пространстве состояний пред
ставить кривой, изображенной на рис. 6.19, где гд(0) = 0 и
г/с(0) = V характеризуют начальное состояние цепи, а гд(О и
г/с(О определяют состояние цепи в любой заданный момент
времени. Достоинства этого метода — наглядность, простота,
удобство программирования на ЭВМ, возможность анализа как
линейных, так и нелинейных цепей, а также цепей с перемен
ными параметрами.

Поясним сущность данного метода на примере цепи, находя
щейся при ненулевых начальных условиях: гд(0) =	^с(О) = ио

(рис. 6.20). Для этой цепи при > 0 можно записать:

или

(6.92)

Уравнения (6.92) называются уравнениями состояния цепи, а ц и
ис — переменными состояния. Начальные условия гд(0) = щ и
г/с(0) = ио определяют с помощью (6.92) состояния цепи в любой
момент > 0. Величины 1с и ис можно считать компонентами век
тора состояния х:

Рис. 6.20
й

ис

Тогда (6.92) можно переписать в матричной форме:

где

— = х(О = Ах(О; ОО,

(6.93)

О 1/Т
-1/С -1/КС ,

х(0) =

й)

и0

В случае, если цепь находится после коммутации под воздейст
вием источников, уравнение состояния принимает вид

х(О = Ах(О + В\у(О,

(6.94)

где \у(О — вектор воздействий источников; В — матрица парамет
ров цепи.

Например, для случая включения КЬС контура на постоянное
напряжение уравнение состояния имеет вид (6.94), где

-К/Ь
\/С	0

XV () = 1} = соп§1;.

Зная состояние цепи х(О, реакцию цепи у(О (токи и напряже
ния в любой ветви) можно найти как линейную комбинацию век
торов состояния х(О и входных воздействий \у(О:

у(О = Сх(О + ЕЫ(О,	(6.95)

где у(О — вектор искомых реакций цепи; С, В — матрицы, зави
сягцие только от параметров цепи. Уравнение (6.95) называют
уравнением реакции цепи.

Так, если в качестве компонентов вектора у(О в предыдущем
примере КЬС контура взять ин и иг, то искомые реакции цепи (ин
и г/д) определяются согласно системе уравнений:

ик =	+ 0 • ис + 0 • С/,

и / = —	— 1 • ис +1 • С/,

которую можно переписать в форме (6.95), где

уШ =

К 0

-К -1 ’

ик .

Следует подчеркнуть, что уравнения (6.93) —(6.95) справедли
вы для линейных цепей с постоянными параметрами (матрицы А,
В, С, В не зависят от О. Для цепей с переменными параметрами
(параметрические цепи) матрицы А(О, В(О, С(О, В(О являются
функциями времени.

Уравнения (6.94), (6.95) — основные в методе переменных со
стояний. Для решения уравнений состояния могут использоваться
как аналитические, так и численные методы. Аналитически урав
нение (6.94) может быть решено в области как действительного
переменного I, так и комплексного переменного р (см. § 7.3).
Рассмотрим некоторые основные методы решения уравнения со
стояния.

Метод матричных экспонент. Решение этим методом ищут в
форме

I

х = х(^) = еАг;х(0) + | еА^-т)В\у(т)с/т,	(6.96)

о

где еМ — матричная экспонента (матрица перехода). Из (6.96)
следует, что решение уравнения состояния содержит два слагае
мых: первое — реакция цепи при нулевом входном сигнале; вто
рое —реакция цепи при нулевом начальном состоянии.

Для вычисления е 1 обычно используют разложение

I2	№

ем =1 + А^ + А2—- + АЗ — + ...	(6.97)

2!	3!

Пример. Найдем матрицу перехода для схемы, изображенной на рис. 6.21.
Матрицы А и В для данной схемы имеют следующий вид:

1/1 .

-1/С -1/^С ’

1/^С

Примем 2 = 0,55 Гн, С = 0,5 Ф, = 1 Ом, К2 = 3,5 Ом, = 1 В, А =
= 0, ис = 1 В. Тогда

-7 2

-2 -2 ’

о

2

В -

Согласно (6.97) матрица перехода примет вид

2

^2

о

1

1

0

1

0

-7 2

-2 -2

X -7 2

2! -2 -2

ем

-11 + 22,512-...0 + 21-912 +...

-2/;+ -912 -..Л-21 + 012 + ...

Таким образом, матрица перехода представляет собой квадратною матрицу
порядка п с элементами в форме рядов от I. Подставив значение е в уравне-
ние (6.96), можно определить после интегрирования искомое решение хО.

Следует, однако, отметить, что ряд
(6.97) сходится медленно и использова
ние уравнения (6.96) требует большого
объема вычислений, поэтому вместо
(6.96) обычно используют итерационную
процедуру для дискретных моментов
времени 1п = пАС = пк, где к = АС доста
точно малый шаг:
(м+1)^

х[(п + 1)^] = еАЛх(п/г) + | еА[(и+1)МтВ\у(т)с/т. (6.98)
пк

Интеграл в (6.98) вычисляется численными методами (методом
прямоугольников, трапеций, Симпсона и др.). Так, при использо
вании метода прямоугольников алгоритм (6.98) приобретает вид

х[(п + 1)Л] = еА/гх(?2/г) + еА/гЛВ\у(иЛ).	(6.99)

При нулевом входном сигнале = 0 (свободные колебания)

х[(п + 1)Л] = еА/гх(пЛ)-	(6.100)

Если ограничиться в разложении (6.97) только первыми двумя
членами е ~ I + АЛ, то получим

х[(п + 1)Л] ~ х(пЛ) +Ах(пЛ)Л.	(6.101)

Алгоритм (6.101) легко программируется на ЭВМ и имеет яс
ный физический смысл. Он определяет положение точки в про
странстве состояний на (и + 1) м шаге, исходя из ее состояния на
п м шаге при аппроксимации траектории на участке к прямоли
нейным отрезком с постоянной скоростью х(Л).

Пример. Рассчитать траекторию состояний, изображенную на рис. 6.19,
используя аппроксимацию ее на каждом из т участков величины к в форме
прямолинейных отрезков. Скорость изменения состояния х(Л) на каждом из
выделенных участков остается постоянной.

На основании уравнения состояния (6.93) имеем:

для момента I = 0; х(0) = Ах(0);

для момента I = к

х(Л)^х(0) + х(0)Л = х(0) + Ах(0)Л;

для момента I = 2к

х(2Л) ~ х(Л) + х(Л)Л = х(Л) + Ах(к)к\

для момента I = (п + 1)к

х[(ц + 1)Л] « *(пк)+ Ах(пк)к,

т. е. полученное уравнение полностью совпадает с (6.101).

Метод Рунге—Кутта — метод численного решения уравнения
состояния (6.94), при котором интервал 0..Л разбивается на т ма
лых участков = Л, на каждом из которых значение переменной
х определяется с помощью линейной комбинации некоторых вено
могательных функций ЛДЛ) с постоянными коэффициентами. В
зависимости от способа выбора коэффициентов и требуемой точ
ности решения существуют различные модификации алгоритмов
Рунге — Кутта.
Проиллюстрируем суть метода Рунге —Кутта на примере ска
лярного уравнения состояния

(6.102)

Наиболее распространенный алгоритм Рунге —Кутта имеет вид

где =/г/'(^0,х0 ); к2 = ///(б) + ^/2;	+ &1/2); Г

&з = V (+ ^/2; х0 + /2); ^4 = V (+ к; хо + &з) •

При этом порядок погрешности составляет /г5.

Пример. Решить скалярное уравнение состояния (6.102) на интервале
[0; I] методом Рунге —Кутта при условии А = 1; х(0) = 1.

Решение. Разобьем интервал [0; I] на 10 участков с шагом к = 0,1.
Тогда в соответствии с алгоритмами (6.103) можем получить для I = 0,
х(0) = 1 (первый шаг):

кх = //+(0) = 0,1;	= Л[х(0) + ^/2] = 0,105;

к3 = Л[х(0) + &2/2] - 0,10525; /г4 = Л[х(0) + &3] = 0,110525;

ЭС 1 ЭС (0) + 1/6 (+ 2к2 + 2к3 + /?4) =

- 1 + 1/6(0,1 + 0,21 + 0,2105 + 0,110525) - 1,105174.

Аналогично на втором шаге

х2 — х^ +1/6 (/^ + 2к2 + 2к3 + к*) —

- 1,105174+ 1/6(0,105+ 2 0,116+ 2 0,1163+ 0,122) - 1,121140 и т. д.

Как следует из (6.103), для определения х необходимо вычислить [(I, х) в
четырех точках.

Аналогично записывается алгоритм Рунге —Кутта для системы
уравнений типа (6.102). Например, для случая системы из двух
уравнений

х =

йх2/й1 С2^,хх,х2)

алгоритм (6.103) примет вид

•И (и+1) «	+1/6 (кг + 2к2 + 2к3 + &4),

Х2(я+1) ~ Х2и + 1/6(4 + 2/2 + 2/3 + /4 ),

(6.104)

где

^1	4	^/~2 (^0’ •Ио, -^20 ) ,

^2 = ^/1 (4) + ^/2,-По + &1/2, Х20 + 4/2);

4 = к/^2 (4) + /г/2,-По + &1/2,Х20 + 4/2);

&з = й/1 (^о + ^/2,-По + ^2/2^20 + ^2/2);

4з = ^/2 (^о + /г/2,-По + к2/2ух2о + /2/2);
- Л/1 (^о + ^-^10 + ^3»-^20 + <3 )’
/4 = Л/2 (^о + к,Хю + к3,Х20 + /3)•

Частным случаем метода Рунге —Кутта является прямой алго
ритм Эйлера (при к2 = кз = кд = 0). Однако он имеет малую точ
ность и не нашел широкого применения.

Разностные методы. Существенным недостатком метода Рун
ге —Кутта является то, что для получения каждого значения реше
ния х необходимо вычислять правую часть уравнения (6.94) в не
скольких точках (для алгоритма (6.103) — в четырех точках). Это
приводит к большому объему вычислений, особенно для сложной
правой части. Применение разностных методов позволяет сущест
венно сократить объем вычислений и затраты машинного времени,
так как на каждом шаге правая часть вычисляется только один раз.

В основе разностных методов лежит использование различных
интерполяционных алгебраических многочленов (многочлены Нью
тона, Стирлинга, Эрмита и др.). При этом решение х на (п + 1)
шаге определяется алгоритмом

Хп+1 ~ %к-] X И Р /	,	(6.105)

г=0

где к — шаг; р, — постоянные коэффициенты; Д значение ал
гебраического многочлена в точке к. Как следует из (6.105) для он
ределения решения х^+/; необходимо знать значения Х1, х2, ...,
X] — они находятся обычно либо аналитически, либо методом Рун
ге — Кутта.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Каковы причины возникновения переходных процессов?

2.	Сформулировать законы коммутации.

3.	Дать понятия переходного, установившегося и свободного режи
мов в электрических цепях.

4.	Что такое нулевые и ненулевые начальные условия?

5.	Какой вид имеет свободная составляющая переходных колеба
ний в цепях первого порядка?

6.	Что представляет собой принужденная составляющая?

7.	Как рассчитываются постоянные интегрирования в цепях перво
го порядка?

8.	Что такое постоянная времени цепи?

9.	Для схемы, изображенной на рис. 6.22, определить ток г(О и
напряжение на катушке индуктивности если С/ = 90 В;
Ь = 0,25 Гн; Кг = 20 Ом; К2 = К3 = 5 Ом.

Ответ: г (О = 3,6 — 1,6е-100^, А; г/д(О = 4Ое_7100^, В.
Рис. 6.22

Рис. 6.24

Рис. 6.25

10.	Для схемы, изображенной на рис. 6.23, найти ис(О, если 17 =
= 60 В; К\ =	= Кз = 5 кОм; С = 2,5 мкФ.

Ответ: ис(О = 60 — ЗОе-40^, В.

11.	Как зависит характер свободных колебаний в КЬ С контуре от
расположения на комплексной плоскости корней характеристи
ческого уравнения?

12.	Как определяются частота и период свободных колебаний?

13.	Что такое логарифмический декремент затухания?

14.	Какова последовательность анализа переходных процессов в
разветвленных цепях второго порядка?

15.	Для схемы, приведенной на рис. 6.24, найти гд(О и г/с(О, если

17 = 100 В; Ь = 50 мГн; С = 5 мкФ; К = 25 Ом.

Ответ: й(О = 0,29е“5Ж - 0,29е~746()/. А;

г/с(О = Ю0 + 8е“5Ж - 108е~7|60/, В.

16.	Для схемы, приведенной на рис. 6.25, найти г (О и г/с(О, если
17 = 60 В; Кг = 250 Ом; К2 = 50 Ом; Ь = 50 мГн; С = 0,5 мкФ.

Ответ: г(О = 0,22е“2500%т65800^ + 67°), А;

исСО = 60 + 69е“250 8т(5800^ - 46,5°), В.

17.	В чем заключается суть метода переменных состояния? Что
понимают под переменными состояния?

18.	Что такое уравнения состояния цепи? Какова его матричная
форма записи?

19.	В чем сущность метода матричных экспонент?

20.	Суть метода Рунге Кутта.

21.	Что лежит в основе методов решения уравнения состояния цепи?
ГЛАВА 7. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

7.1. Преобразование Лапласа и его свойства

Операторный метод берет начало со времени анализа беско
нечно малых величин, когда были обнаружены определенные ана
логин между дифференциально интегральными и алгебраическими
уравнениями. В XIX в. был опубликован ряд работ по опера
ционному исчислению М.Е. Ващенко Захарченко, О. Хэвисайда,
Д. Карсона и др. Однако строгое обоснование операторный метод
получил только в XX в. на базе общей теории функциональных
преобразований.

В основе операторного метода расчета переходных процессов
лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести ре
шение из области функций действительного переменного в об
ласть комплексного переменного р\

р = а + /со.	(7.1)

При этом операции дифференцирования и интегрирования функ
ций времени заменяются соответствующими операциями умноже
ния и деления функций комплексного переменного на оператор р,
что существенно упрощает расчет, так как сводит систему диффе
ренциальных уравнений к системе алгебраических. В операторном
методе отпадает необходимость определения постоянных интегри
рования. Этими обстоятельствами объясняется широкое примене
ние этого метода на практике.

Различают прямое и обратное преобразование Лапласа. Прямое
преобразование Лапласа определяется уравнением.

00

Р(р) =	(7.2)

О

где /(О — функция действительного переменного I, определенная
при I > 0 (при I < 0; /(О = 0) и удовлетворяющая условиям огра
ничейного роста:

\/'Ш\<Мес«‘,	(7.3)

где множитель М и показатель роста со — положительные дейст
вительные числа. На рис. 7.1 изображена область определения
функции комплексного переменного Р(.р).

Обратное преобразование Лапласа определяют из решения
(7.2):

л С+/со

Ци = Л I Р(.р)е’,Чр.	(7.4)

2л7 с-,«
(7.4)

Рис. 7.1

Функция Р(.р\ определяемая уравнением
(7.2), носит название изображения по Лапла-
су, а функция /(О в (7.4) — оригинала. Сле
довательно, оригинал и изображение пред
ставляют собой пару функций действитель
ного /ХУ) и комплексного Р(/?) переменного,
связанных преобразованием Лапласа. Для
сокращенной записи преобразований (7.2),

используют следующую символику:

/'(у)фЛ(р); /'(у)^Л(р); Р(р) = Л|/'(Д)|; /ДО = Л 1 \Р(р)|,

где Л оператор Лапласа. В дальнейшем для определенности бу
дем использовать знак соответствия =.

Рассмотрим основные свойства преобразований Лапласа.

Свойство линейности является следствием линейности преоб
разования Лапласа, его можно записать в форме

п	п

(О ~	(/?)>

/?=1	/?=1

(7.5)

где а& — постоянные коэффициенты разложения. Свойство (7.5)
легко доказать, если применить к левой части соотношения (7.5)
прямое преобразование Лапласа (7.2).

Дифференцирование оригинала. При ненулевых начальных ус
ловиях: /Х0_) ф 0 дифференцирование оригинала соответствует сле
дующему условию

Г(О^^(^)-/'(0_).

(7.6)

Для доказательства (7.6) подставим /ДО в преобразование (7.2)
в виде

р1(И = ]е РЧ{Л\
о	о

Отсюда после интегрирования по частям получаем:

со	со

| е~рЧ{ = е“/’7(о|о +Р\	= рР(р)-/'(0_).

о	о

В случае нулевых начальных условий

ГН)*рРМ;	(7.7)

Интегрирование оригинала

{/(ОЛфЛЛ;	= ЛД. (7.8)

о	Р о о	Р

п раз
Доказательство осуществляется путем использования свойства
дифференцирования оригинала (7.6), (7.7).

Изменение масштаба независимого переменного {теорема по-
добия)

1	( п А

,	(7.9)

а \а)

где а — постоянный вещественный коэффициент. Свойство (7.9)
легко доказывается путем замены независимой переменной т = а1 в
прямом преобразовании Лапласа (7.2).

Смещение в области действительного переменного {теорема
запаздывания)'.

(7.Ю)

Для доказательства (7.10) введем следующие обозначения:

00

о

Осуществим замену переменной т = ± О-

ч-(р) = |	= гД/ИеЛЛ =

О	о

= е±р{° Р (р),
что и требовалось доказать.

Из соотношения (7.10) следует, что сдвиг оригинала по оси
времени на б) соответствует умножению изображения на е±р*°.

Смещения в области комплексного переменного {теорема сме-
щения)'.

Р(р + Х) = е±и/-а).	(7.11)

Теорема (7.11) следует непосредственно из прямого преобразо
вания Лапласа, если в (7.2) вместо /(О подставить е±хУ(^). При
чем X может быть как действительной, так и комплексной вели
чиной.

Дифференцирование и интегрирование оригинала по парамет-
ру {свойство коммутативности):

±^а,х)Ф^-Р(р,ху,	(7.12)

дх	дх

| /{1,х)йх = | Р{р,х)дх.	(7.13)

XI

Для доказательства свойств (7.12), (7.13) достаточно продиф
ференцировать или проинтегрировать прямое преобразование Лап
ласа (7.2) по параметру х.
Произведение изображений:

I	I

- |Л(^-х)/'2(х)^х = |/'1(х)/'2(^_х)б/х. (7.14)
о	о

Интегралы в (7.14) носят название свертки функций /1(0 и /2(0.

Дифференцирование изображения:

</"/7(„Р)^(-ОяЛО.	(7.15)

ар

Свойство (7.15) легко доказывается путем дифференцирования
прямого преобразования Лапласа (7.2).

Интегрирование изображения:

]р(р)(1р = ^1,	(7.16)

О

Данное свойство доказывается аналогично (7.15).

В заключение приведем предельные соотношения для ориги
нала и изображения:

Нш/0) = Нт рЕ(р);	(7.17)

>0	р—>со

Нт/О) = Нт рЕ(р).	(7.18)

>со	р—>0

Действительно, согласно свойства дифференцирования ориги
нала можно записать:

со

\Г(.1'>е-',‘<И = рР(р)-НС).
О

Учитывая, что Нт = 0, получаем:

Нт\рЕ(р) -/(0)] = Нт рЕ(р) -Нт/(О = 0.

р—>со	р—>со	I—>0

Отсюда непосредственно следует соотношение (7.17). Аналогично
доказывается равенство (7.18).

В качестве примера найдем изображение по Лапласу типо
вых сигналов. Для теоретических и экспериментальных иссле
дований характеристик электрических цепей и передачи сооб

1 --------------------

о---------------------►

I

а)

I
щении по каналам связи используются различные типы сигна
лов: гармонические колебания, уровни постоянных напряже
ний, последовательность прямоугольных импульсов и так далее.
Особо важную роль в теоретических исследованиях электриче
ских цепей играют испытательные сигналы в форме единичной
функции 1(0 и единичной импульсной функции 5(0 (функция
Дирака).

Единичная функция. Единичная функция задается уравнением
(рис. 7.2, а)

1(0 =

(1 при I > О,
( 0 при I < 0.

(7.19)

Изображение функции (7.19) будет равно:

со	1	0	1	1

Р(р)\1е~рЧ1 = -е-^	=-, т. е., 1 =-.	(7.20)

о	Р о Р	Р

Единичная импульсная функция (функция Дирака). Эта функ
ция называется еще Ъ-функцией', она задается уравнением

О при I < О,
< оо при I = О,

О при > 0.

(7.21)

Функция Дирака является физически нереализуемой матема
тической абстракцией, однако обладает рядом интересных свойств
и играет очень важную роль в теоретических исследованиях. Фор
мально она может быть получена, например, предельным перехо
дом (при т -> 0) единичного импульса (см. рис. 7.2, б), площадь
которого равна единице:

5=| 5(0^ = 1.	(7.22)

Одним из интересных свойств функции 5(0 является ее фильт-
рующее свойство, определяемое равенством (рис. 7.3):

| /доФ-оИ = /'М-

(7.23)

Рис. 7.4
Таблица 7.1

№ п/п	Оригинал /(0	Изображение Р(р)
1	А = СОП81:	А  Р
2	еп‘	1  Р~Рк
3		Р~ 7®
4	1 - е~а*	а  р(р + а)
5	81П СО^	со  2	2  р + СО
6	С08СО^	Р  2	2  р + СО
7	81п(сО^ + ф)	/2 81Пф + СОС08ф  2	2  р + СО
8	СО8(ю^ + ф)	Р СО8 ф - С081Пф  2	2  р + СО
9	е~а* 81псо^	СО  (р + а)2 + со2
10	е~а* созсо^	р + а  (р + а)2 + со2
И	А1	А  Р2
12	А1;е~а1	А  (р + а)2

Найдем изображение единичной импульсной функции в форме
изображения разности двух единичных функций величины 1(0,
сдвинутых друг относительно друга на т (рис. 7.4). Для этих
функций с учетом теоремы запаздывания имеем:

Щр) = УЧР

РЛр) = ±е-”\
тр

Для результирующего изображения с учетом свойства линейности
получим
Р(р) = Р\(р)-Р2(р) = — (1-е“рт)-
гр

Устремив т —> 0, найдем изображение единичной импульсной
функции (5 функции): 5(0 = 1.

Экспоненциальный сигнал /(О = при I > 0:

Р(р) = Г	= —-—,

о	а + Р

т. е.

е~^ = 1/(а + р)-	(7.24)

Подобным же образом можно найти изображение по Лапласу
других функций, удовлетворяющих условию (7.3). В литературе
имеются специальные справочники, в которых приведены ориги
налы и изображения широкого класса функций. В табл. 7.1 при
ведены оригиналы и их изображения наиболее часто встречаю
щихся в теории электрических цепей функций.

7.2.	Теорема разложения

Для нахождения оригинала по изображению можно восполь
зоваться либо таблицами, либо использовать обратное преобразо
ванне Лапласа (7.4). Однако вычисление оригинала с помощью
(7.4) обычно оказывается весьма сложным. Поэтому, для упро
щения расчетов применяют теорему разложения, которая позволяет
при нахождении оригинала заменить операцию интегрирования в
(7.4) операцией суммирования, что значительно упрощает вы
числения. Наиболее строгий вывод этой теоремы можно осущест
вить на основании теоремы вычетов. Здесь мы ограничимся вы
водом формул разложения применительно к изображению, пред
ставляющему собой рациональную дробь:

= апРп + ап-\РпХ +  +а\Р +	(7 25)

рАр) Ьтрт + Ът_хрт~х + ... + Ъхр + Ьо ’

где ап,ап_\,...аьа0; Ът,Ът_х,...Ъх,Ъц — вещественные коэффициен

ты, причем Л1(/?) и Р2{р) не имеют общих корней.

Для нахождения оригинала ДО разложим Р(/?) на простые
дроби:

ДЫ = у

рЛр) к^\Р-Рк

(7.26)

где рк — простые корни характеристического уравнения

РЛр) = Ътрт +ът_}рт~' + .., + Ъ^ + Ъ^ =0.	(7.27)

Ак — коэффициенты разложения.
Для того, чтобы найти коэффициент А/, домножим обе части

(7.26) на (р — р&) и перейдем к пределу:

Пт (/? - рк = Нт (р - рк) Е Ак •	<7.28)

Р^Рк	Г2 (Р) Р~^Рк	к=Хр~рк

Раскрывая неопределенность в левой части равенства (7.28) по
правилу Лопиталя и учитывая, что согласно (7.27) правая часть
(7.28) равна Ак, получаем

Л =	где	=	.	(7.29)

Р'АРк)	<1р р.п

Подставив значения А& в формулу (7.26), найдем:

^1(Р) _ у р1(^) 1

Р2^Р) к^ЩР^Р-Рк

Если учесть, что изображение \1(р-рк} = ер^ (см. табл. 7.1), то
на основании свойства линейности преобразования Лапласа окон
чательно получим:

РЛр) к=\РАРк)

(7.30)

Формула (7.30) является математической формулировкой тео
ремы разложения и позволяет найти оригинал по изображению в
виде (7.25), в случае простых корней. Если среди корней р& име
ется один нулевой корень, т. е. р2(р) = рРз(р), то теорема разло
жения примет вид

=	=	Ррчк\еРк(

рРЛр) ^з(о) к=\РрРз{Рк)

(7.31)

Формулу (7.31) можно получить, если подставить в (7.30) вместо
Р1(р) значение рРз(р) и осуществить операцию дифференцирования.

Если среди корней уравнения (7.27) (полюсов функции Р(рУ)
имеются комплексно сопряженные корни ръ и рр+\, то в формуле
(7.30) достаточно взять ръ, а для рр+\ взять сопряженное значение,
при этом сумма соответствующая двум этим корням с учетом дей
ствительности /V) будет равна

2Ке

Ч(р»)
рА,Рк)

ерр.

(7.32)

При этом в уравнении для /(О появятся составляющие типа (6.9):
Ае~а* §т(соД + 0).

Теорему разложения можно обобщить и на более общие случаи.
В частности, если среди полюсов (7.25) имеются полюса кратности
I, то в оригинале /ХД) появятся слагаемые типа (6.8).
Пример. Задано изображение в виде

Г(р) -

р + 2
р (р2 + 5р + 4)

Обозначим Р\(р) = р + 2; р2(р) = р(.р2 + 5р + 4). При этом получим Р(р) в
виде (7.25). Найдем корни характеристического уравнения р2(р) = р(р +
+ 5р + 4) = 0.

Р1 = 0; Р2= -1; Рз = -4.

При этом Г1(р1) = 2; Р1(р2) = 1; Р1(рз) =

Определим производную

Р2 (р) = Зр2 + Юр + 4.

Отсюда р2'(р1) = 4; Р2{р2) = —3; КгХрз) = 12. Воспользовавшись форму-
лой (7.30), окончательно получим:

/• (*\	(Р1) р\1 Н (р2) р21 , Л (Рз)	_ X _ X _ X р-^

С(й)	Р2(Рз) ? 3	6

Учитывая, что среди корней характеристического уравнения р2(р) = 0
имеем один нулевой корень, при нахождении [(I) можно было воспользовать-
ся и формулой (7.31). Действительно, если обозначим

У3 (Р) = Р2 + 5р + 4,
то получим

р(р) =	

рГз(р)

Тогда корни уравнения Рз(р) = 0 будут равны р\ = —1, р2 = —4. С учетом
значений

РЦр) = 2р + 5; РИР1) = 3; Р;(р2) = -3;

Р3(0)-4; Р1(0)-2; РДрД-1; Р^р^-2
согласно (7.31) окончательно получим

{( + \ = Х1Х01 +	(Р1) ер\1 + Н (р2) еР2.1 = (X _ — р1 _ X р

Уз(0) Р1Уз(Р1) Р2УИР2) <2 3	6	)’

что полностью совпадает с ранее полученным решением.

7.3.	Расчет переходных процессов операторным методом

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа,
можно получить основные законы теории цепей в операторной
форме. Рассмотрим, например, последовательный КРС контур
(см. рис. 6.14), находящийся при ненулевых начальных условиях
г/с(0-) 0; гд(О-) ф 0. Для этого контура уравнение по ЗНК имеет
вид:

Н1	\	/У?

и = Кг + Ь — + — Г гс/7 = Кг + Ь — + ис(§ ) + — ГгсЛ. (7.33)
сП сД	сП	Ск сд
Применив к (7.33) прямое преобразование Лапласа и принимая во
внимание свойства линейности, дифференцирования и интегри
рования оригинала получим:

Щр) = К1 (р) + рЫ(р) -	+ ис(^ +Л_Цру

р рС

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для данной
цепи:

ц„\ = ^(р) + 1г(0)-ис(0)/р = ^оЦ)	(7 34)

К + рЬ + 1/рС г(р)’

где Сцфр) = 1Кр) + Тг(0) — ис($)/р носит название операторно-
го напряжения] 7,(р) = К + рк + \/рС — операторного сопро-
тивления цепи. Если в 2(/?) заменить р на /со, то получим ком
плексное сопротивление цепи. Величины /л(0) и ис($)/р называ
ют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию маг
нитного и электрического полей, запасенную в Л и С к моменту
коммутации. Величина, обратная называется операторной
проводимостью цепи:

2фр) К + рЬ + фрС

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид

Цр) = Л4 = ^(р)У(р)-	(7.35)

2(Р)

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в опе-
раторной форме'.

первый закон (ЗТК)

ЕК(р) = 0;	(7.36)

1г=1

второй закон (ЗНК)

Ё^(р) = О.	(7.37)

11=1

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной
форме аналогичным этим же законам в комплексной форме (см.
(3.48) —(3.50)) с той лишь разницей, что в (7.37) в каждой из п
ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют до
полнительные расчетные источники Т//Д0) и — иск(0)/р, положи
тельное направление которых совпадает с выбранным положи
тельным направлением тока в этой ветви.

Используя законы Ома и Кирхгофа в операторной форме, мож
но найти изображения искомых токов и напряжений в цепи. Для
определения оригиналов токов и напряжений можно воспользо
194
ваться либо таблицами оригиналов и изображений, либо применить
теорему разложения.

Для иллюстрации основных теоретических положений найдем
операторным методом закон изменения тока в последовательном
КР С контуре при включении его на источник постоянного напря
жения (см. § 6.5). Уравнение для изображения тока можно найти
по закону Ома для нулевых начальных условий (7.35) с учетом
изображения постоянного напряжения 1Р(р) = 1Лр:

кг») = тв! = ц/р = си = -С(р)

2(р) К + рЬ + 1/рС ЬСр2 + КСр + 1 Р2(р)'

Найдем корни характеристического уравнения

Р2(р) = ЬСр2 + КСр + 1 = 0;

к , к У Г

Р]7=-----+ 3----------•

Г1’2 2Р П2П^ РС

При К > 2р корни будут вещественны и различны. Для нахожде
ния оригинала тока г (О воспользуемся теоремой разложения
(7.30). Для этого найдем производные РрСрс) и р2'(р2У

Р2(Р1) = 2ЬСр1 + КС;

Р2(р2) = 2ЬСр2 + КС.

Подставив значения Р\(р) = Р\(.р2) = СП и Р2г(р1) и р2'(р2) в
(7.30) получим оригинал тока

СП р.< С1Р
г (Н =---------е+--------------е Р1

2РСрг+КС	2РСр2 + КС

= -77-------е^'Х

ЦР'-Р?)

что полностью совпадает с ранее полученным уравнением
(6.68).

Из рассмотренного примера хорошо видны преимущества опе
раторного метода: простота, отсутствие громоздких операций по
определению постоянных интегрирования. Следует подчеркнуть,
что базируясь на законах Ома и Кирхгофа в операторной форме,
можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмот
ренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др.
При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными
схемами. При составлении эквивалентных операторных схем ис
точники тока и напряжений г(О и г/(О заменяются соответст
вующими изображениями 1(р) и П(/?), индуктивность Р замени
ется на рР, а емкость С — на \/рС при нулевых начальных ус
ловиях. Если начальные условия ненулевые, то последовательно
с рР добавляется источник напряжения Пг(0), а с С — источник
о

о

!(0)

> о

о

рЬ М°) л/(о)

1/рС ис(0)/р

о

Ц(р) %г 12(р)

+ о—ГГН*—-----

4= 1/рС I

Щр	Ы

"	^“с(0)/р	?

-О------------------

ь

С

о

Рис. 7.5

Рис. 7.6

напряжения — ис(0)/р (рис. 7.5)*. Например, эквивалентная
операторная схема для цепи, изображенной на рис. 6.17, будет
иметь вид (рис. 7.6). Составив для этой схемы уравнения по за
конам Кирхгофа в операторной форме, получим систему алгеб
раических уравнений, решение которых существенно проще сис
темы (6.86).

Операторный метод можно использовать и для решения уравнения состоя-
ния цепи (см. § 6.7). При этом уравнение состояния (6.94) с учетом свойств
дифференцирования оригинала и линейности преобразования Лапласа примет
вид:

рХ(р)-х(0) = АХ(р) + В\У(р),

(7.38)

где Х(р), ДУ(р) — изображения векторов состояния х(1) и входных воздейст-
вий ДУ(О.

Из (7,38) получаем непосредственно решение

Х(р) - (/Л-А) ' В5У(р) + (/Л-А) ' х(()),	(7.39)

где I — единичная матрица. Применив к (7.39) теорему разложения, можно
получить искомый вектор состояния

х(О = Х(р).

7.4.	Операторные передаточные функции

Важную роль в методах анализа и синтеза электрических цепей
при нулевых начальных условиях играют операторные пере-
даточные функции, которые определяются как отношение изобра
жения выходной реакции цепи к изображению входного воздейст
вия. В соответствии с этим определением различают четыре вида
передаточных функций:

Возможны схемы замещения заряженной емкости г/с(О) и индуктивности с током
/1.(0) с помощью источников тока с задающими токами С7/с(0) и //.(())/>» со-
ответственно.
УДр)

Мр)’

О(р)
Л(р)’

Ыр)

Д(р)'.

(7.40)

УАр)

где Ни(.р\ Н^р) имеют смысл операторных передаточных функ
ций по напряжению и току;	Н?(р) —операторные переда

точные сопротивление и проводимость соответственно.

Если в (7.40) заменить оператор р на /со, то получим уравнение
комплексных передаточных функций Н(/со), которые были рас
смотрены в § 4.1 и широко используются при частотных методах
анализа электрических цепей (см. § 4.2 —4.4, 9.5).

Зная передаточную функцию цепи Н(р\ с помощью (7.40) не
трудно найти изображение реакции цепи, а следовательно, и саму
реакцию на заданное воздействие.

Операторную передаточную функцию Н(р) для пассивной цепи

можно представить как дробно рациональную функцию
венными коэффициентами:

я = ди/?и +	+... + д1/? +д0 = жфр)

ътрт + ът_хрт~х +... + Ь1р + Ь0 ъ(р) ’

вещест

(7.41)

или

в виде

(р-Ро)(р-РО2)---(Р~РоЯ)

(Р “Р1 )<Р-РгЩДР “Рт ) ’

(7.42)

где
ной

/?0Ь /?02, • ••, р$п ~ нули; /21, Р2, Рт — полюсы передаточ
функции; Н = ап/Ът.

Степени полиномов числителя п и знаменателя т зависят от
числа реактивных элементов пассивной цепи.

Заменив в (7.41) оператор р на /со, получим комплексную не
редаточную функцию цепи

/ф(го)

где АЧХ цепи

/	2	4	/	з	с:	\2

у С7д — С?2С0 + (14СО — • • • / + \ 67 СО — 67->СО + С7$С0 — • • • /

(7.43)

ФЧХ цепи

(	3	5	\

, ч	I СОСО — йчСО + б/ДО — ... )

<р(ю) = агс1у—!----------------------4-

( (7д — (7 2 СО + Й4СО — • • • /

(7.44)

-агс1;§ т--------—2--------------

( бд — 62СО + 64СО — ...

2 ’
Учитывая, что согласно (7.43) |Н(/со)| является иррациональ
ной, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом
АЧХ:

|Я(/Ю)|2

2я 2/7—2	2

с0со +	+ ... + сп_^ + сп

(1^ОУ2т + (1хю2т~2 + ... + (1т_хОУ2 + (1т

(7.45)

где коэффициенты с& и (!& получаются путем объединения коэф
фициентов при одинаковых степенях переменной со.

Перечислим основные свойства операторных передаточных
функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1.	Передаточная функция является дробно рациональной функ
цией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффи
циентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2.	Полюсы передаточной функции располагаются в левой по
луплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей
ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной
функции Ни(р) = С2(/Д/С1(/Д. Выберем входное воздействие
г/1(О = 5(0 или в операторной форме СЛф) = 1. Изображение вы
ходного напряжения йъ^р} = У\(р)Ни(р) в этом случае численно
равно Ни(р\ т. е.

(?) = ни (Р)=—- =

Р +Ът-'рт ' +... + Ъ\р + Ь0

=Ч?) = Д + А2 + + А,„ ,
(Р-Р\)(р-Р2)--(Р-Рт) Р~Р1 Р~Р2 " Р~Рт’

где ш(р) полином числителя передаточной функции; А\, А%, ...,
Ат, коэффициенты разложения дробно рациональной функции
на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения Ц^Ср) к оригиналу г/2(0:

и2 (О = Ахер^ + А2ер^ +... + АтеРт\	(7.46)

где в общем случае рг = а г + /со л

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках коле
бания на выходе четырехполюсника после прекращения воздей
ствия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в
(7.46) вещественные части полюсов р^ должны быть отрицатель
ными (а* < 0), т. е. полюсы должны находиться в левой полупло
скости переменной р.

3.	Степени полиномов числителей передаточной функции и
квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей,
т. е. п < т. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконеч
но больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое зна
чение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее
знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что
противоречит физическому смыслу.
Рис. 7.7

Рис. 7.8

Рис. 7.9

4.	Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией пере
менной со с вещественными коэффициентами. Это свойство с оче
видностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по пере
даточной функции.

5.	Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и беско
нечно больших значений при со > 0. Неотрицательность |Н(/со)|2
следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Ко
нечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же,
как и в свойстве 3.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	В чем заключается сущность операторного метода расчета цепи?

2.	Что такое операторное сопротивление цепи?

3.	Что такое операторные схемы замещения при составлении экви
валентной операторной схемы?

4.	Чем заменяются индуктивности и емкости в операторной схеме
замещения?

5.	Как учитываются независимые начальные условия?

6.	Записать закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме.

7.	Что такое единичная функция и 5 функция?

8.	Что понимается под операторной передаточной функцией? Ка
ковы ее свойства?

9.	Каким образом можно перейти от изображения к оригиналу?

10.	Для схемы, изображенной на рис. 7.7, операторным методом
определить напряжение на конденсаторе г/с(О. К = 20 В; =
= К2 = 100 Ом; С = 4 мкФ.

Ответ: ис(С) = 10 — 10е“51°3^, В.

11.	Для схемы, изображенной на рис. 7.8, найти изображение тока
ЬСр)-

т , .	1,675 ДО’3/?+ 5

Ответ: Ыр) = —т---------

р(р + 2-103)

12.	Зная изображение тока (рис. 7.8), определить оригинал 12(О.
Ответ: /2(0 = 2,5 — 0,825е“21°3^.
13.	Для схемы, изображенной на рис. 7.9, определить:

1)	операторную передаточную функцию Ни(р)\

2)	найти АЧХ цепи.

Ответ:

Н„ (р) =----------; Н (<о) = , к

Р’ 2К + РЬ 1 1	+ а2ь2

ГЛАВА 8. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

8.1.	Переходные и импульсные характеристики
электрических цепей

В основе временного метода лежит понятие переходной и им
пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи
называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функ
ции (7.19). Обозначается переходная характеристика цепи ^(0.
Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на
воздействие единичной импульсной функции (5 функции) (7.21).
Обозначается импульсная характеристика к (О. Причем, ^(0 и
к(I) определяются при нулевых начальных условиях в цепи*. В
зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напря
жение) переходные и импульсные характеристики могут быть без
размерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери
стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия йене
риодического сигнала произвольной формы к определению реакции
цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(0 или импульс
ной функции 5(0, с помощью которых аппроксимируется исход
ный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи на
ходится (с использованием принципа наложения) как сумма реак
ций цепи на элементарные воздействия 1(0 или 5(0.

Между переходной ^(0 и импульсной /г(О характеристиками
линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее мож
но установить, если представить единичную импульсную функцию
через предельный переход разности двух единичных функций ве
личины 1/т, сдвинутых друг относительно друга на время т (см.
рис. 7.4):

5(0 = Пт ~ т) = Ащ) = Г(О, (8.1)
т^О Т	(И

Импульсные и переходные характеристики цепей относятся к так называемым нор-
мированным временным характеристикам, поскольку они рассматриваются по от-
ношению к единичной площади импульсного воздействия или единичного скачка.
т. е. единичная импульсная функция рав
на производной единичной функции. Так
как рассматриваемая цепь предполагается
линейной, то соотношение (8.1) сохрани
ется и для импульсных и переходных
реакций цепи

К

о

= У =^=с

ас=^2

Рис. 8.1

о

о

Л(О = -^ф = г'(О,

а1

(8.2)

т. е. импульсная характеристика является производной от переход
ной характеристики цепи.

Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда ^(0) = 0 (нуле
вые начальные условия для цепи). Если же ^(0) ф 0, то представив
&(О в виде ^(0 = ^и) + ^(0)1и), где §1 (0) = 0, получим урав
нение связи для этого случая:

Ш) =	= ЙШ + гСОШ)-

(8.3)

Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи
можно использовать как классический, так и операторный методы.
Сущность классического метода состоит в определении временной
реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях
цепи) на воздействие единичной 1(0 или импульсной 5(0 функ
ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную
характеристику ^(О, а импульсную характеристику /ДО находить
с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным методом.

Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по
напряжению для цепи, изображенной на рис. 8.1. Численно §ц(1) для данной
цепи совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент 1 = 0
к источнику напряжения Ц\ = 1 В:

ёи (О - ис (I )|(71=1(Л 

Закон изменения напряжения мс(0 определяется уравнением (6.27), где
необходимо положить II = 1 В:

ёМ) = ^-еч/\

При нахождении характеристик §(/) и /?(/) операторным мето
дом пользуются изображениями функций 1(0, 5(0 и методикой
расчета переходных процессов, изложенных в гл. 7.

Пример. Определим операторным методом переходную характеристику
.КС-цепи (см. рис. 8.1). Для данной цепи в соответствии с законом Ома
в операторной форме (7.35) можем записать:


где

1(р) = Ч11Р1 =---1---= —2.	(8.4)

11	р(К + 1/рС) КСр + 1

Окончательно получаем

Цс^ ~ р(КСр + 1)'

Отсюда по теореме разложения (7.31) находим

Ус(р)Фг«(О = 1-е~1Л,

т. е. то же значение, что и полученное классическим методом.

Следует отметить, что величина 1(р) в уравнении (8.4) численно
равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо
бражение импульсной характеристики численно равно операторной
проводимости цепи

Лу(ОФ/(р)у(рН=7Ау = т(р).

Например, для КС цепи (см. рис. 8.1) имеем:

/д (О = У (р) =---=---------= —------.

У	К + 1/рС КСр + 1

Применив к У(р) теорему разложения (7.30), получим:

М() =—У>-'+	(8.5)

К2С

Следует отметить, что формула (8.5) определяет свободную со
ставляюгцую реакции цепи при единичном импульсном воздей
ствии. В общем случае в реакции цепи, кроме экспоненциальных
составляющих свободного режима при I > 0 присутствует импульс
ное слагаемое, отображающее воздействие при I = 0 единичного
импульса. Действительно, если учесть, что для К С контура (см.
рис. 8.1) переходная характеристика по току при 17 = 1(0 соглас
но (6.28) будет

§!(() = КО,	(8.6)

к

то после дифференцирования (8.6) согласно (8.2) получаем им
пульсную характеристику К С цепи /д(О в виде

=	(8.7)

ГУ	/У С	ГУ	IX С

т. е. реакция /д(О содержит два слагаемых — импульсное и экспо
ненциальное.

Физический смысл первого слагаемого в (8.7) означает, что при
I = 0 в результате воздействия на цепь импульсного напряжения
202
5(0 зарядный ток мгновенно достигает бесконечно большого зна
чения, при этом за время от 0_ до 0+ элементу емкости передается
конечный заряд и она скачком заряжается до напряжения ИКС.
Второе слагаемое определяет свободный процесс в цепи при I > 0 и
обусловлено разрядом конденсатора через короткозамкнутый вход
(так как при I > 0 5(0 = 0, что равносильно КЗ входа) с постоян
ной времени т = КС. Из этого следует, что при 5(0 импульсном
воздействии на КС цепь нарушается непрерывность заряда на ем
кости (второй закон коммутации). Аналогично нарушается и уело
вие непрерывности тока в индуктивности (первый закон коммута
ции), если к цепи, содержащей элемент индуктивности воздейство
вать напряжением в виде 5(0.

В табл. 8.1 сведены значения переходной и импульсных харак
теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и
второго порядка.

8.2.	Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать
приложенное воздействие /1(0 с помощью единичных функций,
сдвинутых относительно друг друга на время Ат (рис. 8.2).

Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится
как

/2(0) = Л(0)^(О,

/2 (Ат) = АД § (I - Ат),

/2 (&Ат) = АД § (I - />Ат) •

Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздей
ствий найдется, исходя из принципа наложения:

п	п

0(0 = 0(0) + X О (&Ат) = Л (0)^(0 + X АД,^(I - &Ат),

/?=1	/?=1

где п — число аппроксимирующих участков, на которые разбит
интервал 0 ... I. Домножив и разделив выражение, стоящее под
знаком суммы, на Ат и перейдя к пределу с учетом того, что при
Ат -> 0 &Ат -> т, получим одну из форм интеграла Дюамеля:

Рис. 8.2

Рис. 8.3
/г(0 = /1(0)§(О + 1пп Х^§(^-/гАт)Дт =

Т0^1 Ат	(8.8)

= /1(0)ё(О + |/1 ( т )ё- т ) ^•

о

Уравнение (8.8) отражает реакцию цепи на заданное воздейст
вие, поскольку при Ат —> 0 аппроксимирующая функция стремится
к исходной.

Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с по
мощью теоремы свертки (см. § 7.1):

/2 (О = Л (0)^(0 + |/№-тШт)^т.	(8.9)

о

Наконец, интегрируя по частям выражения, стоящие в уравне
ниях (8.8) и (8.9), получаем третью и четвертую формы интеграла
Дюамеля:

/2(О = /1(О<§'(0) + |/1(т)<§'Ч^-т)^т;	(8.10)

о

I

А 1 б) = А 1 б) Д10 ) + | А (/: - т ) ф( т Д/т.	(8.11)

о

Применение той или иной формы интеграла Дюамеля дикту
ется удобством и простотой вычисления подынтегральных вы-
ражений.

Пример. Запишем реакцию цепи (см. рис. 8.1) на напряжение, изобра-
женное на рис. 8.3 с помощью интеграла Дюамеля (8.8). Переходная характе-
ристика данной цепи имеет вид (Д) = 1 - е^кс .

После нахождения переходной функции определяем число участков
интегрирования, где функция непрерывна и дифференцируема. Опреде-
ляем значение гД(т) на этих участках. Для рассматриваемого воздействия
таких участков будет три: 0 < I < б, б < I < 1-2, б < 00 • Необходимость
включения третьего участка объясняется тем обстоятельством, что не-
смотря на прекращение входного воздействия в силу переходных процес-
сов (см. гл. 6) в цепи будет наблюдаться остаточная реакция. Для каждо-
го из выделенных участков запишем уравнение (8.8) с учетом реакций
предыдущих участков:

на участке 0 < I < б

I

и2 (I) = П) +-
о

(^20	^10 )

б

(Н2о Н10)	Г((720 (710)

-I-----------------Г + --------------------КС - С । о

б [_ б

„-1/КС.

о 1

на участке <1 <12
а

и2(Л) = П10^(П +/ «;(т)&Й-т)Л = Ц20 +
о

(1?20, Ц11)) КС (1 _ е -ч/Р-с ) _ (710
ч

е^кс-,

на участке 12 < I < °о

и2 Ш = и10§и Ш + | и{ (т)^„ П-т)</т-П20^ {1-12) =
о

_ (^20 ~ Н10 )

^С(1_е-^) + ^20е^с-^01

-^с

С-

б

В случае, когда воздействие прикладывается к активной цепи
(рис. 8.4, а), расчет переходных процессов можно вести методом
наложения. При этом вначале расчет ведется с помощью интеграла
Дюамеля для пассивной цепи (рис. 8.4, б), затем определяется
классическим или операторным методом реакция цепи при включе
нии рассматриваемой ветви к активному двухполюснику
(рис. 8.4, в). Результирующая реакция находится как сумма реак
ций: г = г\ + 1'2.

8.3.	Интеграл наложения

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения
используется импульсная характеристика цепи /ДО. Для получения
общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной
сигнал /ДО с помощью системы единичных импульсов длительно
сти с/т, амплитуды /1(т) и площади /1(т)с/т (рис. 8.5). Выходная
реакция цепи на каждый из единичных импульсов

<О) = /1(т)/г(/-т)Дт.

Используя принцип наложения, нетрудно получить суммарную
реакцию цепи на систему единичных импульсов:

/2(О = |/1(т)^(^-т)^ = |/1(^-т)^(т)^-	(8.12)

о	о

Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения*. Между
интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, оп
ределяемая связью (8.3) между импульсной /ДО и переходной ^(0
характеристиками цепи. Подставив, например, значение /ДО из
(8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свойства 5 функции
(7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).

Пример. На вход 7?С-цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения
Определить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения
(8.12) и Дюамеля (8.11).

Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): ки(1) =
= (1/В.СТогда, подставляя ки(1 — т) = (1/КС)е-(^т)/2?с в формулу
(8.12), получаем:

Т Т

[е-"-’)/ксйт = (7, (1 _ е-Чкс )•
ксо

Аналогично результат получаем при использовании переходной функции
данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):

М/9 =	= П1(1_е-^с).

Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета вре
мени, то интеграл (8.12) принимает вид

0(0 = | /1 (т)/Д/ - т)Д^ = | /1 (I - т)/г(т)б/т.	(8.13)

—00	—оо

Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляют собой
свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и
широко применяются в теории электрических цепей и теории пере
дачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход
ной сигнал /1(т) как бы взвешивается с помощью функции к(Л т):
чем медленнее убывает со временем /ДО, тем большее влияние на
выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблю
дения значение входного воздействия.

Уравнения (8.12) могут быть получены и непосредственно путем применения теоре-
мы свертки (см. § 7.1) к изображению /1(0 и МО-
Рис. 8.6

На рис. 8.6, а показан сигнал /1(т) и импульсная характери
стика к{1 — т), являющаяся зеркальным отображением /з(т), а на
рис. 8.6, б приведена свертка сигнала /1(т) с функцией к{1 т) (за
штрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент I.

Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть коро
че суммарной длительности сигнала Д и импульсной характеристики

Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался им
пульсная характеристика цепи должна стремиться к 5 функции.

Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не
может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что им
пульсная характеристика физически реализуемой цепи должна
удовлетворять условию

/Ду) = 0 при / < 0.

(8.14)

Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того долж
но выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной
характеристики:

со

{ |/г(ОИ <	(8.15)

—со

Если входное воздействие имеет сложную форму или задается
графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла
свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Дать определения переходной и импульсной характеристик цепи.

2.	Указать связь между импульсной и переходной характеристиками.

3.	Как определить переходную и импульсную характеристику цепи?

4.	В чем отличие переходных характеристик Д),	Д),	(О,

объяснить их физический смысл.

5.	Как определить, какую из четырех разновидностей переходных
или импульсных характеристик необходимо применить в каж
дом конкретном случае при расчете реакции цепи?
6.	В чем заключается сущность расчета переходных процессов с
использованием ^(0 и Л(0?

7.	Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную
форму?

8.	Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании
интеграла Дюамеля?

9.	Приведите другую форму интеграла наложения, отличную от (8.12).

10.	Расчет реакции цепи с использованием интегралов Дюамеля и
наложения приводит к одинаковым результатам или разным?

И. Определить переходную проводимость цепи, образованной сопро
тивлением и индуктивностью, включенными последовательно.

Ответ: §у (О = 1/7? (1 _ е-(ЖХ).

12.	Определить цепи, образованной сопротивлением и емко
стью, включенными последовательно.

Ответ:	(О =

13.	Получить третью форму интеграла Дюамеля (8.10) из уравне
ния свертки (8.10).

ГЛАВА 9. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

9.1. Интеграл Фурье

Для анализа переходных процессов при воздействии на цепь
сигналов произвольной формы наряду с временным и операторным
методом широко используется частотный метод анализа, бази
рующийся на спектральных представлениях сигнала.

Для непериодических сигналов используются спектральные
представления, основанные на паре преобразований Фурье. Преоб
разование Фурье может быть получено предельным переходом от
ряда Фурье (5.6). Для этого зададим непериодический сигнал ДО,
удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости в беско
нечных пределах (рис. 9.1): | |/’О)|6^ < оо. С физической точки
зрения, это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной
энергией; при этом

|Щ)| < Ме~с«‘,	(9.1)

где М, со положительные постоянные величины.

Условие (9.1) означает, что модуль |ДО| имеет ограниченный
показатель роста. Превратим мысленно этот сигнал в периодиче
ский повторением его через период Т
(см. рис. 9.1). К полученному таким
образом сигналу применимо разло
жение (5.6), которое после перехода к
переменной I можно записать в виде

4 со

/1(0 = 4 Е	(9.2)

тл м	к=-х>

Рис. 9.1	где

о Г/2

Ак=- |	Г = 2л/со1.	(9.3)

* -Т/2

После подстановки А), в уравнение (9.2) с учетом (9.3) получаем

1 со	1 М

/Щ) = 2- Е	|

2л />=-00	_?/}

(9.4)

Переходя в уравнении (9.4) к пределу при Т оо и учитывая,
что при этом сох -> с/со и /гои -> со, а сумма вырождается в пите
грал, получаем для исходного сигнала

Л СО	со

/(О = 11т Л (О = х- I е/ю^со |	(9.5)

1 —со	—со

Внутренний интеграл в уравнении (9.5) носит название спектра
сигнала Р(](п):

Г(7<о)= |(9.6)

—со

Тогда формула (9.5) принимает вид

л со

ДО = 2-р(/®)О“0О>.	(9.7)

2л ,

Уравнения (9.6) и (9.7) являются основными в теории спект
рального анализа, причем (9.6) называется прямым, а (9.7) об-
ратным преобразованием Фуръе. По аналогии с Ау спектр Р(/со)
является в общем случае комплексной функцией частоты и может
быть записан в алгебраической форме

Р(/со) = А(со)-/В(со)
и показательной форме

В(/со) = | Р (/со)| е’7ф(ю),
где
со	со

А(со) = | /"(1)со8(дС(И; В(оР)= | /’(^)§тсо^сВ.

(9.8)

(9.9)

(9.10)

—со

—со
Модуль

|^(/со)| = 7^2(®) + В2(со)
определяет амплитудный, а аргумент

ф(со) = агс!;§[В(со)/А(со)]

(9.11)

(9.12)

— фазовый спектр сигнала. Причем, как и для периодического
сигнала, амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечет
ной функцией частоты. Физический смысл преобразования Фурье
лучше всего проявляется при представлении обратного преоб
разования (9.7) в тригонометрической форме. Если подставить
вместо Му со) в (9.7) его значение из (9.9), то получим

Л сх?

2Л _

2л

00

/ | |Е(/со)|8т(со^ - ср)с/со.

—оо

Учитывая, что |Е(/со)| — четная, а синус — нечетная функция
частоты интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следова
тельно, принимая во внимание четность подынтегрального выраже
ния в первом слагаемом, обратное преобразование Фурье имеет вид

/Ш = — (|В(7со)|со8(со^ - ср)с/со.	(9.13)

л о

Из (9.13) следует важнейший вывод о том, что непериодиче-
ский сигнал может быть представлен пределом суммы (инте-
грал) бесконечно большого числа бесконечно малых гармониче-
ских колебаний с амплитудами (1/л)| Му со) | и начальными фаза-
ми ср = ф(со), причем, учитывая, что разность частот соседних тар
моник бесконечно мала Асо = с/со, то Мусо) в уравнении (9.13) пред
ставляет непрерывный сплошной спектр в отличии от спектра не
риодического сигнала, который является дискретным (линейчатым)
(см, гл. 5). Поэтому Мусо) называют комплексной спектральной
плотностью, а |Мусо)| — спектральной плотностью амплитуд
непериодического сигнала.

Смысл комплексного спектра Мусо) следует из связи между
спектрами периодических и непериодических сигналов. Сравнение
уравнений (9.3) с (9.6) позволяет установить эту связь между спек
трамп: при Т оо; со/? = /гои со

=	(9.14)

и спектр комплексных амплитуд Ау обращается в комплексную с
пектральную плотность Р(фо).
Из (9.14) следует и другой важный вывод: модуль спектральной
плотности непериодического сигнала и огибающая линейчатого
спектра периодического сигнала, полученного повторением с не
риодом Т непериодического сигнала, совпадают по форме и отли
чаются только масштабом. Это наглядно можно проиллюстриро
вать на примере периодической последовательности прямоугольных
импульсов (см. рис. 5.3, аУ с увеличением периода (скважности <?)
спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б) и в пределе при Т = оо пе
риодический сигнал превращается в непериодический (рис. 9.2), а
дискретный спектр обращается в сплошной (рис. 9.3). При этом
огибающая как линейчатого, так и сплошного спектра описывается
функцией отсчетов (5.29): зшх/х.

Рассмотрим некоторые основные свойства преобразования Фу
рье. Если сигнал /V) является четной функцией времени, то, его
спектр Р(/со) вещественный. Действительно, согласно (9.6) для
М/со) можно записать:

со	со	со

Р(/со) =	|	|	/’(^)со8со^сД -	/ | /’(^)§тсо^сД.

—со	—со	—со

Второй интеграл равен нулю в силу нечетности подынтеграль
ной функции, следовательно,

со

Р(/со) = | /’(^)С08СО^бД.

—со

(9.15)

Аналогично при нечетности сигнала /ХД) спектр Р(/со) является
чисто мнимым.

Важным свойством преобразования Фурье является взаимоза
меняемость переменных I и со. Для четного сигнала /V) и веще
ственного спектра Р(/со) можем заменить в преобразовании (9.6)
знаки перед /ссй:

со

Р(/®)=1	(9.16)

Тогда сравнивая (9.16) и (9.7) видим их подобие. Взаимозаме
няемость переменных в преобразовании Фурье позволяет устано
вить связь между частотными и временными характеристиками
сигнала (см. § 9.5).
В соответствии с (9.8) и (9.9) сигнал может быть задан либо с
помощью своего амплитудного |Р(/со)| и фазового спектра ф(со),
либо с помощью вещественной А(со) и мнимой частей В(со) спектра
сигнала. Причем, все они взаимосвязаны между собой согласно
(9.11) —(9.12), т. е. нельзя задавать независимо амплитудный
|В(/со)| и фазовый спектр ф(со), или вещественную А(со) и мнимую
часть спектра В(со).

Наиболее ясно эта связь проявляется для сигнала, заданного на
положительной полуоси времени Р.



при I > О,

при I < 0.

Перепишем (9.13) в форме

со	со

/(О = — | |В(/со)| СО8 ф СО8 (Ао + Г | Р ( /со ) | 81П ф 81П	(Ао

711 о	о

Или учитывая, что

А (со) =	^(7®)	СО8 ф,	(9.18)
В(со) =	^(7®)	8Шф,	

/" (О = — | А(ю)с08СО^с/сО + | В(со)81ПСО^с/сО
711 о

при I > 0 получим:

о

и при I < 0 с учетом (9.17)

0 = — | А(со)со8со^с/со - | В(со)81псо^с/со .

711 о

(9.17)

(9.19)

(9.20)

о

Суммируя и вычитая равенства (9.19) и (9.20), получаем:

2 00	2 00

/(О = — | А(со)со8со^с/со = — | В(со)81псо^с/со. (9.21)
71 о	71 о

Отсюда следует связь между вещественной А(со) и мнимой В(со)
частями спектра сигнала:

со	со

| А(со)со8со^с/со = | В(со)81псо^с/со,	(9.22)

о	о

т. е. в данном случае сигнал /ХУ) полностью определяется только
вещественной А(со) или мнимой В(со) частями комплексного спект
ра Р(/со).

В заключение отметим, что при со = 0 спектр (9.6) принимает
значение
00

^(0) = |

—оо

(9.23)

т. е. будет равен площади, ограниченной сигналом /(О. Формула
(9.23) позволяет в ряде случаев оценить спектр сигнала по виду
функции ДО.

Следует подчеркнуть, что временное и спектральное представ
ление является просто двумя формами (моделями) представления
реального физического процесса, и они лежат в основе временных
и частотных методов анализа электрических цепей.

В заключение установим связь между преобразованием Фу
рье и преобразованием Лапласа. Если положить, что ДО удов
летворяет условию (9.17), то прямое преобразование Фурье
принимает вид

00

Г(7<о) =	(9.24)

О

Соотношение (9.24) носит название одностороннего преобразо-
вания Фурье, так как оно определяется на положительной полуоси
С Если принять в качестве частного случая в формуле (7.1) а = О,
то р = /со, и прямое преобразование Лапласа (7.2)

00

МР)ЦШ = М» = I	(9.25)

о

т. е. полностью совпадает с односторонним преобразованием Фурье
(9.24).

Аналогично получим для обратного преобразования Лапласа
(7.4) с учетом того, что др = /с/со:

л С + ]со	л да

Щ) = Т- (	= — ] Р(.(9.26)

2л7	271 -»

что полностью совпадает с (9.7).

Таким образом, преобразование Фурье есть частный случай
преобразования Лапласа при а = 0. Следует подчеркнуть, что
преобразование Фурье имеет более узкую область применения,
чем преобразование Лапласа, так как условие (9.1), которым
должны удовлетворять функции, преобразуемые по Фурье бо
лее жесткое, чем условие (7.3). Всякая функция, для которой
применимо преобразование Фурье (9.6) всегда может быть пре
образована по Лапласу, но не наоборот. В этой связи изобра
жение Р(р) можно трактовать как своего рода обобщенный
спектр сигнала ДО.
9.2.	Основные теоремы спектрального анализа

Как было установлено выше, между сигналом и его спектром
существует однозначная связь, определяемая прямым преобразо
ванием Фурье. Поскольку в процессе передачи сигнала он под
вергается различным преобразованиям, очень важно установить
как при этом изменяется спектр сигнала. Это имеет большое значе
ние с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, прие
ма, требований к параметрам канала связи.

Рассмотрим основные теоремы о спектрах, имеющих практиче
ское применение в электросвязи. Учитывая связь между преобра
зованием Фурье и Лапласа и имея в виду доказательства основных
теорем, данных в § 7.1, остановимся только на физической интер
претации основных теорем спектрального анализа.

Спектр суммы сигналов {теорема линейности) равен сумме
спектров этих сигналов. Это свойство является следствием линей
ности преобразования Фурье. В более общем виде оно может быть
записано следующим образом:

п	п

Е	2>А(.Ло),	(9.27)

1г=1	1г=1

где а/> — коэффициенты разложения; = — знак соответствия меж
ду сигналом и его спектром, определяемого парой преобразований
Фурье.

Сдвиг сигнала во времени /ХУ —б)) соответствует умножению
его спектра на е~}Сд^:

(9.28)

Из (9.28) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала
во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый из
меняется пропорционально собь Эта теорема имеет большое значе
ние, так как в процессе обработки сигналов часто возникает необ
ходимость осуществлять задержку сигнала (см. гл. 18, 19).

Изменение масштаба независимого переменного {сжатие сиг-
нала) описывается выражением

НаО^-р{^-\	(9.29)

а \ а )

Из (9.29) следует, что сжатие сигнала во времени {а > 1) приводит
к расширению спектра сигнала и напротив — растяжение сигнала
{а < 1) — к сужению спектра.

Перемножение двух сигналов {теорема свертки). Спектр про
изведения двух функций /1(0 и 0(0 соответствует свертке их
спектров Р1(/со) и Р^аУ
л сх?

/ Щ/ЯЩО-уПИЯ. (9.30)
2л Д

Важное значение имеет обратная теорема о произведении спек
тров сигналов:
00	00

^1 (7Ю)^2 (7ю)	| /1 (т)/2 (^ - т)сй = | Д (7 - т)Л (т)сй. (9.31)

—00	—оо

Свертка функций широко использовалась ранее во временных
методах анализа электрических цепей (см. гл. 8).

Дифференцирование и интегрирование сигнала. При диффе
ренцировании сигнала его спектр умножается на оператор /со:

(9.32)

а при интегрировании делится на /со:
с	*

(	^(/ю)-	(9.33)

7ю

Доказательство (9.32) —(9.33) следует непосредственно из прямого
и обратного преобразований Фурье. Следует подчеркнуть, что
(9.33) справедливо для сигналов, удовлетворяющих условию
г(о) = о.

Смещение спектра сигнала на частоту +П соответствует умно
жению сигнала на оператор е±/Ш:

ТЦ/Соо + П)] Ф	(9.34)

Теорема смещения (9.34) позволяет определить спектр модули
рованного сигнала и имеет большое значение в теории электриче
ской связи.

9.3.	Распределение энергии в спектре
непериодического сигнала

Определим энергию сигнала /ХУ) по его спектральной характе
ристике М/со). Предположим, что /(О представляет собой напря
жение или ток, протекающий в единичном сопротивлении К = 1 Ом.
Тогда согласно (1.4) энергия выделяемая /(О будет равна

00

п' = / раин.

(9.35)

Представим подынтегральное выражение (9.35) в виде произве
дения /2(7) = /(О/(О и применим к /(О обратное преобразова
ние Фурье (9.7):
00	Л 00	00

|	|	1 Р(/со)е7“^со.

—оо	—оо	—оо

Учитывая независимость переменных I и со, перепишем последнюю
формулу в виде

00	4	00	00

I	| Р(/со)с/со| /’(1)е^с11.

—оо	—оо	—оо

Внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр
Р( /со). Если учесть, что Р(/со)Р(-/со) = |Р(/со)|2, то получим
следующее равенство Парсеваля {теорема Рэлея)'.

1У= 7 /2^)(Р = — 1 |Р(/со)|2с/со = 17|Р(/со)|2с/со. (9.36)
-00	71 О

Из уравнения (9.36) следует, что величина |Р(/со)|2 представ
ляет собой энергию сигнала, приходящуюся на 1 с-1 текущей ча
стоты со, поэтому квадрат модуля спектра |Р(/со)| называют спек-
тральной плотностью энергии сигнала. Вид модуля |Р(/со)| по
зволяет судить о распределении энергии в спектре непериодиче
ского сигнала. Равенство Парсеваля широко используется в теории
цепей и сигналов при выборе полосы пропускания канала связи,
обеспечивающей наилучшее использование энергии сигнала.

Следует отметить, что в отличие от формулы (5.23), где рас
сматривалась средняя за период Т мощность периодического неси
нусоидального сигнала, для непериодического сигнала такое усред
нение невозможно ( Нт Р = 0 ). Общим для обеих случаев является
Т —>00

то, что мощность и энергия сигналов не зависят от фаз спектраль
ных составляющих.

9.4.	Спектры типовых сигналов

Определим спектры наиболее распространенных типов электри
ческих сигналов.

Единичная функция задается уравнением (7.19) (см. рис. 7.2, а).
Строго говоря, функция (7.19) не удовлетворяет условию абсо
лютной интегрируемости (см. § 9.1), поэтому воспользуемся сле
дующим приемом: умножим 1(0 на «гасящий» множитель е с*
(с = соп§О. При этом можно использовать прямое преобразование
Фурье (9.6):

00	00	4

Р(/со,с) = ( 1(0е’с^’/о4и = [ \е~{с+^(11 = —-—. (9.37)
5	с + 7ю

Преобразование М/со, с) носит название обобщенного преобразо-
вания Фурье. Для получения спектра единичной функции иерей
дем к пределу:
Рис. 9.4

Р (» = ПтГ(/и,с) = — = -С'"'-.	(9.38)

с->0	усо СО

Из уравнения (9.38) получаем амплитудный |Р(/со)| = 1/со
(рис. 9.4, а) и фазовый спектр функции ср(со) (рис. 9.4, б): ср(со) =
= —л/2, т. е. амплитудный спектр при со = 0 обращается в беско
нечность, что свидетельствует о наличии в исходной функции 1(0
скачка при I = 0 (см. рис. 7.2, а). Для образования этого скачка в
соответствии с (9.38) при I = 0 осуществляется суммирование бес
конечно большого числа синусоидальных составляющих. Спектр
(9.38) может быть получен и с помощью изображения единичной
функции (7.20):

Р(/со) = С(р)| . = —.

Единичная импульсная функция. Функция 5(0 задается анали
тически условиями (7.21). Для нахождения спектра 5 функции
воспользуемся прямым преобразованием Фурье (9.6), которое с
учетом (9.8) —(9.10) можно записать в виде

Р(/со) = | 5(0^	5(Осо8сос/^-/| 5(^)§тсосД•

—со	—со	—со

Так как второе слагаемое равно нулю, а первое — единице вслед
ствие свойств (7.21) —(7.23), то окончательно получим

со

Р(7<о)= { 8Ш^=1-Л° =1.	(9.39)

—со

Таким образом, 5 функция имеет равномерный амплитудный и
нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах фазо
вого спектра означает, что все гармонические составляющие 5
функции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют
при I = 0 пик бесконечно большого значения.

Следует отметить, что сдвиг 5 функции на время т приводит со
гласно свойствам преобразования Фурье (см. § 9.2) к спектру
Р(/со) = 1 • е~](дт, т. е. амплитудный спектр функции 5(^ —т) оста
ется прежним, а фазовый изменяется пропорционально сот.
Из равенства (9.39) согласно обратному преобразованию Фурье
(9.7) следует, что

6(() = — 1 е,а{<1<л.	(9.40)

Учитывая условие взаимозаменяемости параметров I и со (см.
§ 9.1), последнее выражение можно переписать в следующем виде:

л со

<5(о/) = — Г г'/г"'<7г.	(9.41)

Уравнения (9.40) и (9.41) широко используются в теории сиг
налов и цепей.

Спектр постоянной составляющей функции «о/2 = 1/2 с уче
том (9.41) определяется уравнением

Р(/со) =	| е~^(И = л5(со).	(9.42)

-да

Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на
всех частотах, кроме со = 0, где Р(/со) обращается в бесконечность,
то есть имеем на частоте со = 0 дискретную составляющую частоты
в форме 5 функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику
использования прямого преобразования Фурье при определении
спектра гармонического колебания

= Ат со§сО(ф.	(9.43)

Преобразование (9.6) для функции (9.43) имеет вид

Р(/со)= | Ате~](й1 со§сО(фс/^.	(9.44)

Формально функция (9.43) не удовлетворяет условию абсолют
ной интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. По
этому для вычисления интеграла (9.44) воспользуемся формулой
Эйлера (3.18) и уравнением (9.41):

л оо	л оо

2 •’	2 •’	(9.45)

—00	—оо

= л Ат[5(со - со0 ) + 5(со + со0 )].

т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоящий
из двух спектральных линий на частотах ±соо.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2)
можно найти как непосредственно из прямого преобразования Фу
рье (9.6), так и путем предельного перехода при д оо (Т-> оо) в
разложении (5.27). В результате получим
ГЦа)

Рис. 9.8

§т(со^и/2)
со^и/2

^(/со) = 1 -1И

(9.46)

На рис. 9.3 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение
рис. 9.3 и рис. 5.4 показывает, что по своей форме спектр одиноч
кого импульса совпадает с огибающей дискретного спектра после
довательности периодических импульсов, однако спектр одиночно
го импульса является сплошным.

Из условия взаимосвязи между частотными и временными ха
рактеристиками сигнала следует, что сигнал с ограниченным по
частоте ±соо спектром прямоугольной формы (рис. 9.5, а) имеет
бесконечную протяженность и форму, аналогичную спектру прямо
угольного импульса (рис. 9.5, б).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно найти как произведе
ние видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 9.7) и гармониче
ского колебания (9.43). Тогда, воспользовавшись теоремой свертки
(9.30), получим:
РЬЧ = 4^М7(®~®о)]+ Ф(® + ®о)] }	(9.47)

На рис. 9.8 показан вид спектра радиоимпульса.

Аналогичным образом можно найти спектр сигналов и более
сложной формы.

Пример. Найти спектр экспоненциального импульса

/ (I) =

е

О

при
при

I > О,
I < 0.

В соответствии с прямым преобразованием (9.6) получаем

Г(/со) - [ Ф(“+у“ксА - —-— - , 1	е-^(а>,

I	а + усо -\/а2 +со2

где \Р (/ю)| = 1/л/а2 + со2 — амплитудный (рис. 9.9, а) и ср (со) = агс1§(со/а) —
фазовый (рис. 9.9, б) спектры сигнала.

Пример 2. Определить спектр затухающего колебания (рис. 9.10)
ЛО = Ш)С“( мп со А.

Согласно (9.6) находим

Р (/со) - [ Ф(“+У“х 8Ш со ,1(11 =	-.-Ц-----.

\ а / г	г	а а а •

р	сс_со+со^+у 2асо

Отсюда находим спектры:
СО !

а2 - со2 + со2 ) + (2асо)"

и фазовый (рис. 9.11, 6)

, ч , 2асо

ср (со) = агсг§ —-----т.

ал — со" + со1

В таблице 9.1 приведены спектры некоторых наиболее распро
страненных сигналов.

9.5.	Частотный анализ линейных электрических цепей
при непериодических воздействиях

Представление непериодических сигналов в форме интеграла
Фурье (9.6) и (9.7) позволяет применить к бесконечно малым тар
моникам, составляющим его спектр, частотные методы анализа
рассмотрены в гл. 3 и 4. В частности, если цепь находится при ну
левых начальных условиях (т. е. до начала входного воздействия в
реактивных элементах цепи не была накоплена энергия электриче
ского и магнитного полей), то по аналогии с (3.46), (3.48) и (3.49)
можно записать законы Ома и Кирхгофа для спектров'.

Л/<°) = (7ю)/2 (7ю) = (/®)у (7ю);	(9.48)

т

(9.49)

4-1

Ё1/Д/<о) = 0,	(9.50)

/?=1

где /(/со), С7(/со) спектры токов и напряжений ветвей соответ
ственно; 2/(/со) и У(/со) имеют смысл комплексных сопротивлений
и проводимостей ветвей . Законы Ома и Кирхгофа для спектров

Это следует из уравнения связи (9.14): /(/со) = Т1/2; С/(/®) = ТС//2; отсюда:
г(]О = с/(»/ К] ®) = ц/1_ = г = 1/ у.
Таблица 9.1

2а

2
а + со

81П соти/4 V

2 соти/4 )

5

к/СО и

при |ю| < сои
при |со| > сои
позволяют распространить рассмотренные ранее частотные методы
анализа цепей при гармонических и периодических несинусоидаль
ных воздействиях на непериодические сигналы.

В случае, если необходимо найти выходную реакцию цепи в ви
де четырехполюсника при воздействии на входе непериодического
сигнала, используют комплексную передаточную функцию цепи (см.
§ 4.1). При этом спектр выходной реакции согласно (4.1) и (4.2)

= М/Ю)я (/«)•

(9.51)

После определения спектра /^(До) выходная реакция /2(0 мо
жет быть найдена с помощью обратного преобразования Фурье
(9.7) или по таблицам.

Пример. Рассчитать спектральную плотность выходного сигнала в цепи
(рис. 9.12), если на вход действует единичный импульс (рис. 9.7) с амплиту-
дой 171 = 4 В.

Для заданного входного сигнала (3.15) преобразование Фурье дает выра-
жение

которое после преобразований принимает более удобную форму (см. (9.46)):

тт , • х 2Ц . соб,
^1(7®) = —-81П——2

СО 2

=

со б ,
81П---- .оИи

2	]

—+	е 

СО 61

2

Комплексная спектральная плотность выходного сигнала находится по
формуле (9.51)

П2 (/со) - Н (/со)(/со),

где Н (/со) — комплексная передаточная функция цепи по напряжению.
Функция Я (/со) находится как отношение комплексного значения гармониче-
ского напряжения Ц_2 на выходе цепи к комплексному значения гармониче-
ского напряжения Ц_г той же частоты, приложенному ко входу цепи:



1 + ] (лК-)С

1 + /со (+ К2) С

При этом спектральная плотность выходного сигнала:

Рис. 9.12

(/ю)

2Я1(1 + /соЯ9С) . СО б,
_____12______-___I__51П___и. 2

со[1 +/со(7< + Т?2) С] 2

Отсюда находим модули: спектральной плотно-
сти входного напряжения

(7|(Ю) = |<71(7“)|=^-5>п5ф-;

АЧХ цепи
О	10	20	30	40	50 ^МГц

1ШУЮ~9,В-с

Рис. 9.13

Я(со) - \Н (;со)| -

спектральной плотности выходного напряжения

На рис. 9.13 изображен спектр входного сигнала, АЧХ цепи и спектр вы-
ходного сигнала Я2 (/").

9.6.	Условия безыскаженной передачи сигналов
через линейную цепь

Частотный метод является достаточно эффективным и на
глядным при анализе передачи сигналов через линейную систе
му. Он позволяет оценить частотные искажения в канале связи,
требования к характеристикам электрической цепи. Особенно
важно определить требования к АЧХ и ФЧХ цепи с точки зре
ния искажения формы сигнала. Определим условия неискажае
мой передачи сигнала через линейную систему. Предположим,
что на входе линеинои цепи, как четырехполюсника действует
сигнал /1(0 определенной формы (рис. 9.12). На выходе в ре
зультате прохождения сигнала через четырехполюсник с ком
плексной передаточной функцией //(/со) амплитуда сигнала
может измениться (на рис. 9.12 уменьшилась), и сигнал вслед
ствие конечности скорости его распространения может запазды
вать относительно входного воздействия на /о- Однако важно,
чтобы при этом не изменилась форма сигнала. Таким образом,
условие безыскаженной передачи можно сформулировать с по
мощью равенства

=	(9.52)

где к — некоторая вещественная постоянная; 1$ — время задержки
(запаздывания) выходного сигнала относительно входного. При
менив к (9.52) прямое преобразование Фурье и учтя свойство ли
нейности и теорему запаздывания (см. § 9.2), перепишем условие
(9.52) в частотной области:

Р2 (/со) =	(	(9.53)

Так как комплексная передаточная функция цепи с учетом (4.5)
должна быть

Щ/<о) = | Н (/и)|

С0«>)

то отсюда получаем требование к АЧХ и ФЧХ неискажающей цепи

|//(/со)| = к = С0П81:;	(9.54)

ср (со) = -со/),

(9.55)

т. е. для того, чтобы линейная цепь не искажала форму сигнала ее
АЧХ должна быть равномерной (рис. 9.13, а), а ФЧХ — линейной
(рис. 9.13, б).

Условие безыскаженной передачи во всем частотном диапазоне

можно выполнить лишь для резистив
ных цепей*. В цепях с реактивными
элементами условия (9.54) и (9.55)
можно обеспечить лишь в ограниченном
частотном диапазоне соо (на рис. 9.13
показано пунктиром).

В этой связи представляет практичес
кий интерес вопрос о влиянии на форму
сигнала отклонения АЧХ и ФЧХ от

Если пренебречь зависимостью сопротивлений резистивных элементов от частоты
(см. гл. 1).
Рис. 9.13

Рис. 9.14

идеальной. Рассмотрим в качестве примера прохождение сигнала в
форме единичной функции, в форме единичного импульса и им
пульса прямоугольной формы через цепь с АЧХ, изображенной на
рис. 9.14. Эта цепь соответствует идеальному ФНЧ (см. гл. 17) и

задается условием

Н(/со) =

при — СО д < со < со 0,
при — СО д > со > со 0.

(9.56)

I . е“7®^0

О

Фильтр нижних частот пропускает без искажений все частотные
составляющие от 0 до соо и задерживает составляющие больше соо-

Единичный импульс. Рассмотрим вначале входной сигнал /1(0
в форме единичного импульса (рис. 7.2, б). Так как для единич
ного импульса Рф/со) = 1, то с учетом (9.56) и обратного преобра
зования Фурье (9.7), получим:

1	®0

/2(0 = / I	=

-|	®0	®0

= — | со§[со(Ф - О )]с/со + ] | 81п[со(^ - О )]^С0.

2л
-®0	-®0

Учитывая, что второй интеграл равен нулю, окончательно после
интегрирования получаем:

/2Ш = ^.51пЭффо)].	(9.57)

Л СОоО-0)

На рис. 9.15 изображена форма выходного сигнала /г(0, опре
деляемая функцией (9.57). Из рисунка видно, что форма выход
ного сигнала существенно отличается от входного импульса /1(0:
он искажается по форме и растягивается во времени (теоретически
на бесконечность), что отражает установленное ранее соотношение
между длительностью сигнала и шириной его спектра: сигнал огра
ниченный по частоте — бесконечен во времени и наоборот (см.
§ 9.4). Запаздывание выходного сигнала О определяется крутиз
ной ФЧХ: О = — с/ф/с/со). С увеличением соо (с расширением по
лосы пропускания фильтра) ширина главного лепестка импульса
227
Рис. 9.15

равная 2л/соо — сужается, задержка уменьшается, амплитуда
импульса увеличивается. Важно отметить, что теоретически со
гласно (9.57) сигнал /2(0 существует и при I < 0, т. е. до воздей
ствия входного сигнала, что конечно, противоречит условию физи
ческой реализуемости и является следствием идеализации АЧХ
ФНЧ.

Единичный сигнал. Рассмотрим теперь прохождение сигнала в
форме единичной функции (рис. 7.2, а) через ФНЧ с характери
стикой (9.56). Запишем уравнение единичной функции 1(0 в пите
тральной форме*:

1(0 = — + —( — • зтсо^с/со.	(9.58)

2	71 $ СО

Интеграл в (9.58) можно рассматривать как вещественную форму
обратного преобразования Фурье (9.7) для нечетной функции
/(О = 1(0 — 1/2, спектр которой равен 1/со. Тогда на основании
(9.58) и с учетом условий (9.52) и (9.56), для выходного сигнала
можно записать:

1 1 ю° 1	11

/’2(^) = —+ — | — • §1псо(^ - О = — + — 81[со(^ - О )]• (9.59)
2 71 0 СО	2 71

Интеграл в (9.59) табулирован и носит название интегрального си
нуса: 81[соО — О)]- На рис. 9.16 приведен график сигнала на вы
ходе идеального ФНЧ, определяемой функцией (9.59).

Как следует из представленного графика, чем уже полоса
пропускания ФНЧ (меньше соо), тем меньше крутизна фронта
нарастания импульса:	= соо/тг. Таким образом, как и в

случае единичного импульса для уменьшения искажений вы
ходного сигнала необходимо расширять полосу пропускания
ФНЧ. Выбросы в выходном сигнале обусловлены теми же при
чинами, что и в случае, изображенном на рис. 9.15 (идеализа
ция АЧХ ФНЧ).

Уравнение (9.58) может быть получено путем использования обобщенного преобра-
зования Фурье (9.37) для единичной функции 1(0 при с —> 0.
Прямоугольный импульс можно рассматривать как разность
двух единичных функций сдвинутых относительно друг друга на
^и/2 (рис. 9.17). Тогда учитывая линейность цепи и равенство
(9.59) получим уравнение выходного сигнала для этого случая:

МО = -
71

-81 со0 р - 7

(9.60)

81 со0 р - /;0 + —

О “ хг

На рис. 9.18 изображен вид выходного сигнала /2(О, т. е., как
и в предыдущих случаях, длительность фронта нарастания и спада
импульса обратно пропорциональна полосе пропускания цепи соо.
Чем уже полоса, тем более затянут фронт импульса; чем меньше
длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропуска
ния цепи. Обычно на практике полосу пропускания выбирают из
условия: 5д = 2/.

9.7. Связь между временными и частотными
характеристиками электрических цепей

Рассмотренные в гл. 8 и 9 временной и частотный методы ана
лиза переходных процессов базируются на двух взаимосвязанных
характеристиках электрических цепей: импульсной или переход
ной, с одной стороны, и комплексной передаточной функции, с
другой. Между этими характеристиками существует однозначное
соответствие. Определим эту связь. Допустим, что на вход пассив
ной электрической цепи с комплексной передаточной функцией
Я(/со) приложено воздействие в виде единичной импульсной функ
ции. Тогда с учетом того, что спектр единичного импульсного сиг
нала равен единице (см. (9.39)), спектр выходного сигнала соглас
но (9.51) будет:

^2 (/со) = 7ц (/со)Я(/со) = 1-Я(/со).

(9.61)

Обратное преобразование (9.7) определит выходной сигнал //(О,
который численно равен импульсной характеристике цепи:
л сх?

Ш) = — [ Я(/со)сЧю^со.	(9.62)

Аналогично с учетом условия физической реализуемости (8.14)
можно записать прямое преобразование Фурье:

00

Я(/ю) =	(9.63)

О

Таким образом, приходим к важному выводу: импульсная и
комплексная передаточные функции пассивной электрической
цепи связаны между собой парой преобразования Фурье (9.62)
и (9.63). А это, в свою очередь, означает, что импульсная харак
теристика однозначным образом определяет комплексную переда
точную функцию цепи и наоборот. Причем, для Л(0 и Я (/со )
справедливы все свойства и теоремы, рассмотренные в § 9.2. В
частности, из теоремы изменения масштаба независимого пере
менного следует, что чем более растянута во времени импульсная
характеристика цепи, тем уже ее АЧХ и наоборот. В § 9.6 было
показано, что для неискажаюгцей линейной цепи АЧХ должна
быть равномерна, а это соответствует согласно (9.40) импульсной
характеристике цепи в виде 5 функции, что полностью подтвер
ждает изложенное.

Связь комплексной передаточной функции с переходной харак
теристикой также определяется однозначно, поскольку последняя
связана соотношением (8.2) с импульсной характеристикой цепи.
Для установления этой связи можно воспользоваться интегральным
представлением единичной функции (9.58):

1<э = |+

— Г — §ш с/со
71 $ СО

(9.64)

с учетом формулы Эйлера (3.18) перепишем (9.64):

1<э = |+

-| со

71 2/сО

Iе0
с/ со = —I---Г------с/ со.

2 271 Д /со

(9.65)

Если ко входу электрической цепи с передаточной функцией
Я (/со ) = |Я(/со)|е‘7ф<'ю'> приложена единичная функция (9.65), то
сигнал на выходе цепи будет численно равен переходной характе
ристики спектр которой определяется согласно (9.51), где
Я/(/со) = 1//со. Тогда после применения обратного преобразования
Фурье с учетом (9.65) получим:

§<Л) =

Я(О)
2

1 сИЯ(/со)рф(ю)

2л: _да /со

е/ы1(1ы
или

ёш = ^— + -р------

2	71 $ СО

СОЗ со^ - + ср(со)

(9.66)

где

Я(0) = Я(»|а>_()

Таким образом, зная Я(/со), можно найти с помощью (9.66)
также и §-(0. Важно отметить предельное соотношение между ^(0
и Я(/со), вытекающее непосредственно из свойств (7.17) —(7.18) и
связи между преобразованием Фурье и Лапласа:

1пп^(0 =	= ПшЯ(/со) = Я(0),

11Ш^(О = &(о) = 11Ш Я(/со) = Я(оо).
I—>0	го—>да

(9.67)

Эти соотношения означают, что реакция на выходе цепи от еди
ничного воздействия в установившемся режиме будет отлична от
нуля, если передаточная функция на нулевой частоте не равна ну
лю (есть путь постоянной составляющей). И напротив, в началь
ный момент при I = 0 (момент коммутации) реакция на выходе бу
дет изменяться скачком, если Я(оо) не равна нулю, т. е. цепь
имеет бесконечно большую полосу пропускания. Рассмотренные
соотношения хорошо иллюстрируются условиями пропускания сиг
нала через линейную цепь (см. § 9.6).

В заключение рассмотрим связь между вещественной Яфсо) и
мнимой Я2(со) частями комплексной передаточной функции (4.7).
Перепишем (9.62) в форме

4	°°	. ,	.	4 со

/г(О = — | |Я(/со)|11Я(/со)|соз(со^ + ср)с/со. (9.68)
271 -оо	П О

Отсюда, учитывая (4.7) и (4.8), получаем

। со

/г(О = — 1[Я! (со)созсЯ + Я2 (со)§тсЯ]с/со. (9.69)
71 0

Согласно условия физической реализуемости (8.14) при I < О
/г(О = 0, поэтому (9.69) принимает вид

। со

О = — | \_Н1 (со)созсЯ + Я2 (со)§тсЯ]с/со. (9.70)
71 0

Отсюда, почленно складывая и вычитая (9.69) и (9.70), получаем
уравнения связи импульсной характеристики с вещественной и
мнимой частями комплексной передаточной функции Я(/со):

2 со	2 00

/г(О = — \ (со)со8сЯс/со = — | Я2 (со)8тсЯс/со. (9.71)
71 о	71 о
Таким образом, для нахождения импульсной характеристики
цепи достаточно воспользоваться частотной зависимостью только
вещественной или мнимой частей Н(/со). Из (9.71) следует также
важный вывод о том, что нельзя независимо выбирать веществен
ную и мнимую части передаточной функции или, что то же самое,
нельзя произвольно выбирать АЧХ и ФЧХ цепи, так как они свя
заны между собой определенной зависимостью (4.9), (4.10).

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Какие существуют методы определения сигнала по спектру?

2.	Каким образом можно определить постоянную составляющую
единичной функции, если известна спектральная плотность еди
ничной функции?

3.	Чем отличаются сигналы с дискретным и сплошным спектрами?

4.	В каких случаях используется теорема свертки?

5.	Каким образом и зачем определяют полюсы спектральной функ
ции?

6.	Что понимают под спектральной плотностью энергии сигнала?

7.	Зависит ли спектральная плотность энергии сигнала от формы
(вида) сигнала и фазы спектральных составляющих?

Как можно получить уравнение единичной функции в пите
, Г, 1 1 7	х х

гральнои форме 1(^) = —н—I---------а со , если известно обоб

I 2 ло ю

щенное преобразование Фурье единичной функции?

9.	Как связаны между собой импульсная, переходная и комплекс
пая передаточная функции пассивной электрической цепи?

10.	В чем сущность частотного анализа линейных электрических
цепей при негармонических воздействиях?

11.	Можно ли создать электрическую цепь для безыскаженной не
редачи сигнала во всем частотном диапазоне?

12.	Как связаны между собой комплексная амплитуда и комплекс
пая спектральная плотность?

13.	В каких случаях при анализе сигналов применяются интеграл
Фурье и ряд Фурье?

14.	Каким условиям должен удовлетворять сигнал, подвергаемый
преобразованию Фурье?

15.	Пояснить физический смысл основных теорем спектрального
анализа?

16.	Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

17.	Что представляет собой «обобщенный спектр сигнала»?
Глава 10. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
В РЕЖИМЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

10.1.	Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства

Нелинейные резистивные элементы. Напомним, что нелиней
ными называются электрические цепи, у которых реакции и воз
действие связаны нелинейными зависимостями. Подобные цепи со
держат один или несколько приборов, замена которых линейными
моделями приводит к недопустимому нарушению количественной и
качественной картины колебаний в цепи.

Резистивными нелинейными цепями будем называть цепи, кото
рые допустимо считать нелинейными безынерционными цепями. В
соответствии с этим модель нелинейной резистивной цепи не со
держит реактивных элементов. В нее входят хотя бы один нели
нейный безынерционный резистивный двухполюсник или многопо
люсник, хотя бы один источник напряжения или тока и то или
иное число резистивных сопротивлений.

Для построения многих функциональных узлов аппаратуры
связи используется большой класс нелинейных двухполюсных по
лупроводниковых и электронных приборов, называемых диодами.
Единственной электрической характеристикой диода является его
вольт амперная характеристика (ВАХ) - зависимость постоянного
тока в диоде от постоянного напряжения на его зажимах I = Р(и)
при согласном выборе положительных направлений напряжения и
тока. Отличительные особенности вольт амперных характеристик не
которых типов диодов различного назначения и их условные (схем
ные) обозначения приведены на рис. 10.1. Это характеристики полу
проводниковых приборов: выпрямительного диода (рис. 10.1, а),
стабилитрона (рис. 10.1, б), туннельного диода (рис. 10.1, в) и ди
нистора (рис. 10.1, г). Характеристики рис. 10.1, а, б получили
наименование однозначных, а рис. 10.1, в, г - многозначных, так
как у них одному и тому же значению тока (рис. 10.1, в) или на
пряжения (рис. 10.1, г) соответствуют разные напряжения и токи.
Рис. 10.2

Существуют и электронные приборы с подобными
характеристиками.

В последующем, простоты ради, нелинейные рези
стивные двухполюсники будем называть нелинейными
резисторами. Схемное изображение нелинейного рези
стора приведено на рис. 10.2.

Некоторые из нелинейных резисторов относятся к числу управ
ляемых нелинейных элементов. Управляющей величиной может
быть, например, внешняя температура, давление или освещенность.
Свойства таких резисторов определяются не одной, а семейством
ВАХ, каждая из которых соответствует различным значениям
управляющей величины.

Транзисторы, электронные лампы, тиристоры и некоторые дру
гие полупроводниковые и электронные приборы могут рассматри
ваться как нелинейные резистивные четырехполюсники. Например,
при включении транзистора рис. 10.3, а, являющегося трехполюс
ником, в электрическую цепь один из зажимов оказывается общим
для пары входных и пары выходных зажимов транзистора. Поэто

му транзистор принято рассматривать как четырехполюсник с дву
мя парами зажимов. На рис. 10.3, 6 показано такое включение
транзистора по схеме с общим эмиттером.

Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается
двумя уравнениями, которые связывают напряжения и токи на его
входе и выходе. При анализе транзисторов часто используется сле
дующая система уравнений:

щ = Рх (ц,и2),
12 = Р2(ц,и2).

(10.1)

(10.2)

Для включения транзистора по схеме с общим эмиттером
(рис. 10.3, б) щ = г/вэ — напряжение между базой и эмиттером,
Р =	— ток коллектора, й = гв — ток базы и и2 = г/кэ — напря

жение между коллектором и эмиттером.

Уравнения (10.1) и (10.2) изображаются в виде графиков. Так
щ зависит от двух переменных Д и и2 и, вообще говоря, его гра
фическое изображение представляет собой поверхность в трехмер
ном пространстве. Так как начертить такую поверхность трудно, то
функцию двух переменных изображают на плоскости в виде семей
ства характеристик: фиксируется одна переменная и непрерывно
изменяется другая.

Графическое изображение уравнений (10.1) и (10.2) для тран
зистора в схеме с общим эмиттером показано на рис. 10.3, виг.
Это так называемые входная и выходная вольт амперные характе
ристики. Принято говорить, что ВАХ транзистора управляются то
ком или напряжением. Так, выходная ВАХ транзистора в схеме с
общим эмиттером управляется током базы.

ВАХ нелинейных полупроводниковых и электронных приборов
находятся, как правило, в результате измерений и приводятся в
соответствующих справочниках в виде усредненных графических
зависимостей. Необходимость усреднения связана с большим (до
30 — 50%) технологическим разбросом характеристик различных
образцов прибора одного и того же типа. Эти характеристики яв-
ляются статическими, т. е. характеристиками режима постоянно
го тока.

Для резистивных нелинейных элементов (НЭ) важным пара
метром является их сопротивление, которое в отличие от линейных
резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой
точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений:
статическое и дифференциальное (динамическое). Статическое
сопротивление КСТ определяется как (рис. 10.4)

где По — приложенное к НЭ постоянное напряжение; /о — проте
кающий через НЭ постоянный ток. Это сопротивление постоянно

му току; оно характеризуется
проходящей через начало ко
ординат и рабочую току (По,
/о) на ВАХ НЭ.

В силу предположения о
резистивном характере цепи
статические характеристики
определяют одновременно и
соотношения между мгновен
ными значениями напряже
ний и токов на внешних за
жимах соответствующего не
линейного прибора.

Определим дифференци-
альное сопротивление КЛ как
отношение приращения на
пряжения Аг/ к приращению тока Аг при небольшом смещении ра
бочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения
малой амплитуды (рис. 10.4):

Это сопротивление представляет собой сопротивление НЭ пере
менному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих
приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде

с1и

Оно характеризуется тангенсом угла наклона касательной к ВАХ в
рабочей точке.

Иногда удобно пользоваться понятием дифференциальной кру-
тизны (имеющей смысл проводимости)

5Д = Од = 1//?д = сИ/йи.

Нелинейные индуктивные элементы. Типичными динамически
ми нелинейными элементами электрической цепи являются катуш
ки с сердечниками из ферромагнитных материалов — сплавов на
основе металлов группы железа или их оксидов — ферритов. Не
линейность таких элементов обусловлена характеристикой намаг
ничивания материала сердечника В(Н). Поскольку в приближении
теории магнитных цепей для замкнутого неразветвленного сердеч
ника с постоянным сечением 5 и длиной I средней магнитной линии
магнитный поток Ф пропорционален индукции В: Ф = Вз, а на
пряженность Н связана с током г в обмотке, имеющей ю витков,
соотношением Н = ш>/I, то вид зависимости В(Н) предопределяет
характер вебер амперной характеристики катушки Т(г) (Т = Ф® —
потокосцепление обмотки см. § 1.2). Типичная вебер амперная ха
рактеристика индуктивного элемента приведена на рис. 10.5, а. В
общем случае вид ВАХ индуктивного элемента определяется многи
ми факторами, и она часто является неоднозначной. Например, при
циклическом намагничивании сердечника зависимость Т(г) имеет
гистерезисный характер (рис. 10.5, б). В этом случае процесс пере
магничивания сопровождается необратимыми потерями в сердечнике.

а)	б)

Рис. 10.5

Нелинейный элемент индуктив
ности характеризуется согласно
(1.8) статической индуктивно-
стью А ст = Т 4 и дифференциаль-
ной индуктивностью ВЛ = с№ сП,
которые зависят от намагничиваю
щего тока г.

Нелинейные емкостные элемен-
ты. Нелинейные емкостные эле
Рис. 10.6

менты могут служить моделями конденсаторов, диэлектрическая
проницаемость е которых является функцией от напряженности
электрического поля Е в диэлектрике. Такие емкостные элементы
описываются нелинейной вольт кулоновой характеристикой — за
висимостью заряда <7 от приложенного напряжения и. Подобными
свойствами обладают, в частности, сегнетоэлектрики, вольт ампер
ные характеристики которых, аналогичны характеристикам ферро
магнетиков (рис. 10.6, а); обратно смещенные /?-и-переходы
(рис. 10.6, б) и др.

Нелинейный элемент емкости характеризуется согласно (1.11)
статической емкостью Сст = Ц ис и дифференциальной емко-
стью Сд = (1(] (1и{-. которые зависят от приложенного напряже
ния ис.

На рис. 10.6, в, г, показан характер изменения дифференци
альной емкости для вольт ку лонных характеристик, изображенных
на рис. 10.6, а и б, соответственно.

10.2.	Графические методы расчета цепей с нелинейными
резистивными двухполюсниками

Задача нахождения начальных постоянных напряжений и токов
на внешних зажимах нелинейных полупроводниковых или элек
тронных приборов, входящих в электрическую цепь, сводится к
задаче анализа режима постоянного тока в исследуемой цепи, т. е.,
к анализу нелинейной резистивной цепи с источниками постоянно
го напряжения или (и) тока. Решаются подобные задачи обычно с
использованием графических построений.

Ниже рассматривается задача анализа режима постоянного тока
в электрической цепи с одним нелинейным двухполюсником, — не
линейным резистивным элементом (НЭ). Его
ВАХ считается известной и заданной графи
чески.

Рассмотрим простейшую электрическую
цепь, изображенную на рис. 10.7. В нее входят
источник постоянного напряжения с задаю
щим напряжением 1бТ, линейный резистивный
Рис. 10.8

элемент К и нелинейный резистивный элемент, в котором подлежат
определению постоянные напряжение Р = Ро и ток I = /о- Рас
смотрим два случая НЭ: с однозначной и многозначной ВАХ.

Нелинейный резистивный элемент с однозначной характери-
стикой. Пусть однозначная ВАХ нелинейного резистивного эле
мента имеет вид, показанный на рис. 10.8, а.

Согласно ЗНК (рис. 10.7) напряжение С/ = С/г К1, и ток в
элементе К связан с напряжением 17 на зажимах НЭ зависимостью
1= (17т — 17) К, представляющей собой прямую, проходящую че
рез точки 17т на оси абсцисс и 17г К — на оси ординат. Поскольку
нелинейный и линейный элементы соединены последовательно, то
ВАХ НЭ и прямая I = (17т 17)/К, определяющие один и тот же
ток, удовлетворяются одновременно, чему на графиках рис. 10.8, в
соответствует точка их пересечения. Она и определяет искомые
значения постоянных напряжения 17о и тока /о в нелинейном рези
сторе, или, как принято говорить, его рабочую точку.

Графические построения, связанные с решением задачи, всегда
выполнимы, а найденное ее решение — единственное.

Рабочая точка нелинейного резистора изменяется как с измене
нием сопротивления К, так и с изменением задающего напряжения
источника 17т. Изменение сопротивления К приводит к изменению
наклона зависимости I = (17т 17)/К и смещению рабочей точки
на вольт амперной характеристике нелинейного резистора (см.
рис. 10.9, а). Изменение задающего напряжения на величину ЛС/Г
вызывает перемещение той же зависимости параллельно самой себе
и изменение тока и напряжения в нелинейном резисторе соответст
венно на величины Л/ и АС/ (см. рис. 10.9, б).
Рис. 10.10

Напомним, что отноше
ние бесконечно малого
приращения тока к беско
нечно малому прираще
нию напряжения на нели
нейном элементе, обуслов
ленных смещением рабо
чей точки, называется

дифференциальной проводимостью (крутизной), а обратное отно
шение — дифференциальным сопротивлением нелинейного рези
стора в его рабочей точке.

Отношение постоянных тока и напряжения в рабочей точке не
линейного резистора определяет его статистическую проводимость,
а обратное отношение — статическое сопротивление резистора в его
рабочей точке.

Статическая проводимость пассивного нелинейного резистора
всегда положительна. Положительна и дифференциальная прово
димость нелинейного резистора с однозначной вольт амперной ха
рактеристикой в силу возрастающего характера последней. Заме
тим также, что статическая и дифференциальная проводимости ли
нейного резистора не отличаются одна от другой.

Нелинейный резистивный элемент с многозначной характери-
стикой. Пусть многозначная ВАХ нелинейного резистивного эле
мента в схеме рис. 10.7 имеет вид, показанный на рис. 10.10, а.
Это характеристика туннельного диода. Для нахождения рабочей
точки на ВАХ резистивного НЭ применим те же, что и выше, гра
фические построения.

На рис. 10.10, 6 совмещены графики вольт амперной характе
ристики нелинейного резистора и зависимостей I = ( С7Г — С/) К для
трех различных значений сопротивления линейного резистора К и
одного и того же значения напряжения задающего источника С/г.

Анализ рис. 10.10, б показывает, что рабочими точками могут
быть точки 1 и 5, соответствующие единственному решению урав
нений I = Р(13) и I = (С'ГС) /?. Рабочими точками могут быть
также точка 2 или точка 4. Точка 3, расположенная па ниспадаю
щем участке ВАХ, является точкой неустойчивого равновесия.
Можно показать, что если зафиксировать сопротивление К, при
котором могут существовать три точки пересечения указанных за
висимостей, и увеличивать задающее напряжение источника от ну
ля до величины 13т, то рабочей будет точка 4. Если же задающее
напряжение источника от очень большого значения уменьшать до
значения С7Г, то рабочей будет точка 2.

Итак, в цепи с нелинейным двухполюсником, имеющим много
значную ВАХ задачи нахождения рабочей точки не всегда имеет
единственное решение.
Рис. 10.11

Рабочая точка может быть расположена и
на ниспадающем участке вольт амперной ха
рактеристики, если выбрать сопротивление
К и задающее напряжение С/г так, как пока
зано на рис. 10.11. Заметим, что в рабочей
точке, расположенной на ниспадающем уча
стке вольт амперной характеристики, диф

ференциальная проводимость и дифференциальное сопротивление
нелинейного резистора отрицательны, поскольку малым положи
тельным значениям приращения напряжения (тока) на зажимах
нелинейного резистора соответствуют отрицательные значения
приращения тока (напряжения).

Метод эквивалентного генератора. Изложенная методика опре
деления рабочей точки в цепи с одним линейным и одним нелиней
ным резистивными элементами распространяется на резистивные
цепи с одним резистивным НЭ и произвольным числом линейных
резистивных элементов и источников постоянного напряжения или
(и) тока, если воспользоваться теоремой об эквивалентном генера
торе. Для этого следует внешнюю по отношению к нелинейному
двухполюснику линейную активную цепь (см. рис. 10.12, а) заме
нить эквивалентным генератором с задающим напряжением 1]эт и
внутренним линейным резистивным эквивалентным сопротивлени
ем Кэ (рис. 10.12, б). Тогда схема анализируемой цепи не будет
отличаться от схемы рис. 10.7, и задача нахождения рабочей точки
сводится к рассмотренной выше.

Напряжения и токи в элементах цепи, внешней по отношению к
НЭ, можно найти, воспользовавшись теоремой замещения (см. § 1.7).
Для этого нелинейный резистивный элемент следует заменить ис
точником напряжения (источником тока), напряжение (ток) кото
рого равно (равен) найденному значению напряжения (тока) в ра
бочей точке. Напряжения и токи в линейной части электрической
цепи находят любым методом анализа режима постоянного тока.

Метод, с использованием эквивалентного генератора, является
графоаналитическим, поскольку в нем аналитические методы опре
деления параметров эквивалентного генератора и расчета линейной
цепи после замены НЭ источником напряжения или тока сочетают
ся с графическим методом нахождения рабочей точки.

Активная
линейная
резистивная
цепь
Рис. 10.13

Пример. Применим метод эквивалентного генератора к схеме рис. 10.13, а,
где (7о1 = 14 В, /02 = 10 мА, = 1 кОм, /н = 10“5(7Н2- Из рисунка следует,
что напряжение (7ЭГ при отключении НЭ равно

Пэг = }02К. + П01 = 24 В,

а эквивалентное сопротивление Кэ =	= 1 кОм. В соответствии с ЗНК

(рис. 10.13, б) имеем

1„	(7„ )/К, = -10~3Ь7н + 24  10~3.

Построение графиков прямой линии и ВАХ нелинейного элемента показа-
но на рис. 10.13, в. Пересечение этих кривых дает координаты рабочей точки:
1Н = 4 мА и Пн = 20 В.

10.3.	Графические методы расчета цепей с нелинейными
резистивными четырехполюсниками

Рассмотрим задачу анализа режима постоянного тока в рези
стивной электрической цепи с нелинейным четырехполюсником
(рис. 10.14).

Пусть входная ВАХ и семейство выходных ВАХ будут иметь
вид показанный на рис. 10.15, а и б; управляющим параметром
для семейства выходных характеристик четырехполюсника являет
ся его входной ток 1\.

Задача нахождения входных напряжения (71 = (71 о и тока 1\ =
= /ю сводится к задаче нахождения рабочей точки на входной
вольт амперной характеристике й =	Она решается с помо

щью графических построений, которые полностью аналогичны рас
смотренным в § 10.2 (рис. 10.16, а).

й /2 ^2

+ Нелинейный +
резистивный 72

_ 4-полюсник _

г2
Рис. 10.16

Найденному входному току 1\ = /ю соответствует определенная
выходная вольт амперная характеристика /2 = /^2(^2)- Она может
быть измерена или, как это обычно делается, определена по семей
ству выходных вольт амперных характеристик четырехполюсника
из справочника. Для этого необходимо провести линейное интер
полирование двух характеристик семейства с ближайшими значе
ниями параметров Ц < /щ и Ц > /щ. На рис. 10.16, б эта характе
ристика изображена штриховой линией.

Выходной ток /2 и выходное напряжение С2 (см. рис. 10.14)
связаны между собой линейной зависимостью /2 = (Сщ 1/2) К2,
которая на рис. 10.16, б представляет собой прямую, проходящую
через точки С 2 = С/Г2 на оси абсцисс и /2 = С/Г2 &2 на оси ординат.

Точка пересечения зависимостей /2 = (С'12 С 2) Л?2 и 12 =
/^2(^2) при Ц = /ю и определяет рабочую точку (С20, /20) на вы
ходных характеристиках четырехполюсника.

Дальнейший анализ рассматриваемой цепи может быть связан с
нахождением напряжений и токов в ветвях входной и выходной
цепей, если до анализа эти цепи были заменены эквивалентными
генераторами.

10.4.	Эквивалентные преобразования схем
с нелинейными элементами

Суть эквивалентных преобразований состоит в замене участков
цепи с параллельным или последовательным соединением ветвей
242
Рис. 10.19

одной эквивалентной ветвью путем суммирования их токов или на
пряжений. Речь здесь идет о суммировании ординат или абсцисс
заданных характеристик ветвей цепи. Этот метод особенно эффек
тивен в случае цепи с одним источником: цепь представляется ис
точником и одним эквивалентным нелинейным элементом.

Пусть два НЭ с уравнениями (ВАХ) ц = и 12 = ^2(^2)
включены параллельно (рис. 10.17)*.

Необходимо найти уравнение НЭ, эквивалентного данному со
единению элементов. Так как элементы соединены параллельно, то
щ = 112 = и, а по первому закону Кирхгофа г =	+ 12. Выполним

сложение токов графически, как показано на рис. 10.18. Задаемся
значением напряжения. При этом значении напряжения находим
токи НЭ и суммируем их. Задаемся новым значением напряжения
и опять суммируем токи. Таким образом, находим серию точек, со
единяя которые, получаем ВАХ эквивалентного НЭ.

Рассмотрим последовательное соединение НЭ (рис. 10.19). В
данном случае = 12 = г, а и = щ + 112. Процесс определения ВАХ
НЭ показан на рис. 10.20. Заметим, что рассмотренные преобразо
вания применимы и в случае, когда последовательно или парал
лельно соединены несколько нелинейных, а также линейных эле
ментов.

Поскольку приводимые ниже рассуждения справедливы не только для режима по-
стоянного, но и для режима переменного тока, в дальнейшем будем использовать
для обозначений напряжений и токов малые (строчные) буквы.
«)	б)

Рис. 10.24

Пример. На рис. 10.21, а показана подключенная к источнику напряжения
цепь из трех резистивных НЭ (рис. 10.21, 6). Суммирование ординат харак-
теристик элементов 2 и 3, соединенных параллельно, дает эквивалентную ха-
рактеристику 2 3. Суммируя абсциссы последней с абсциссами кривой 1, по-
лучаем эквивалентную характеристику нелинейной цепи Рэ. Из графиков рис.
10.21, б можно, задаваясь напряжением на входе, получить токи и напряже-
ния ветвей.

Пример. Рассчитаем напряжения и токи в цепи, схема которой изображена
на рис. 10.22, где 13 = 5 В, К = 500 Ом, а ВАХ НЭ заданы графиками на
рис. 10.23.
Поскольку ВАХ заданы графиками, то при решении воспользуемся графи-
ческими построениями. Найдем ВАХ г = РЭ2(и) двухполюсника, эквивалент-
ного параллельному соединению линейного сопротивления К и НЭ2. Для этого
перенесен ВАХ НЭ2 на новый рисунок и построим ВАХ линейного элемента
(рис. 10.24, а). На этом же рисунке показана эквивалентная ВАХ г = РЭ2(и).
Перенесем эту эквивалентную ВАХ и ВАХ НЭ1 на рис. 10.24, б и найдем
ВАХ эквивалентного двухполюсника г = Рэ\би), который присоединяется к
зажимам источника.

По рис. 10.24, б по кривой г = Рэ\би) находим, что напряжению и = 5 В
соответствует ток г = 16 мА, по кривой г = Р\би) — напряжение на НЭ1 щ =
= 2,8 В и по-кривой г = РЭ2^и) — напряжение на параллельном соединении К
и НЭ2 г/2 = 2,2 В. Зная это напряжение, по графикам рис. 10.24, а находим
= И мА и 12 = 5 мА.

10.5.	Аналитическое представление вольт-амперных
характеристик

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт
амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения
могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физиче
ские закономерности, которым подчиняются зависимости между
напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых при
борах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции,
заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах
изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает,
во первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с
помощью которой приближенно представляется заданная зависи
мость, и, во вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зави
симости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще
всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональ
ные и трансцендентные функции или совокупность отрезков пря
мых линий.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента г = Р(и) задана
графически, т. е. определена в каждой точке интервала 1}тгп < и <
< Утах, и представляет собой однозначную непрерывную функцию
переменной и. Тогда задача аналитического представления вольт
амперной характеристики может рассматриваться как задача ап
проксимации заданной функции Дх) выбранной аппроксимирую
щей функцией Дх).

О близости аппроксимирующей Дх) и аппроксимируемой Дх)
функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации,
обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности
между этими функциями в интервале аппроксимации а < х < Ъ,
т. е. по величине
Л = тах |/Чх) - Д х)|.	(10.3)

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое
значение разности между указанными функциями в интервале ап
проксимации, т. е. величина

1 ь	?

Л = ----ГГ/Чх) - Дх)1 с1х.	(10.4)

Ъ - а а

Иногда под близостью двух функций Дх) и Дх) понимают сов
падение в заданной точке х = Хо самих функций и п + 1 их произ
водных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитиче
ской функции к заданной является интерполяция (метод выбран
ных точек), когда добиваются совпадения функций Дх) и Дх) в
выбранных точках {узлах интерполяции) х/?, к = 0, 1, 2, ..., п.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем мень
шей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппрок
симируюгцую функцию, т. е., например, чем выше степень аппрок
симируюгцего полинома или чем больше число отрезков прямых
содержит аппроксимирующая линейно ломаная функция. Одно
временно с этим, естественно, растет объем вычислений как при
решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе
нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями
аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации
служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппрок
симирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт амперных характеристик элек
тронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой
точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости
ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца
к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих
факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах.
В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести об
щий усредненный характер зависимости I = Р(и) в пределах ее ра
бочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация. В качестве аппроксимирую
щей функции в задачах аналитического представления вольт
амперных характеристик очень часто используются алгебраические
полиномы

/ (х) = а0 + аук + а2х2 + ... + апхп	(10.5)

той или иной степени.

Постоянные <20, а\, а2, ..., ап представляют собой варьируемые
параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интер
вале аппроксимации а < х < Ъ свести к минимуму погрешность
аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.
246
В простейшем случае критерием близости может служить совпа
дение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций
в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в
интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного
воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название
интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точ
ное совпадение функций Дх) и Дх), называются узлами интерпо
лирования. Их число на единицу превышает степень интерполи
рующего полинома. Действительно, записывая равенство функций
ДхД = ДхД в каждом из узлов интерполирования х/?, к = 0, 1,
2, ..., п, получим систему из п + 1 линейных уравнений

<20 + «1Х0 + а2х^ + ••• + апх$ = Д-^о)

<20 + ахХ\ + а2х^ + ... + апх[г = Д х{)

(10.6)

йд + И]Хп + а2х1 + ... + апхЦ

„

с таким же числом неизвестных коэффициентов «о, О-ъ • ••, ап
интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система
уравнений (10.6) имеет единственное решение. Единственным, сле
довательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполи
рования вольт амперной характеристики полиномом выбранной
степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале
0 < х < 1,5 полиномом первой степени /Чх) = а0 + сцх функции
Дх) = 1-е~х, заданной аналитически. Расположим узлы интерпо
лирования, а их должно быть п + 1 = 2, при хо = 0,1 и Х1 = 1,0.
Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов «о
и а\ будет такой: + а\  0,1 = 1 - е-0-1 и + а\ = 1 - е~х  Из ее ре
шения следует «о = 0,036, а\ = 0,597 и Дх) = 0,036 + 0,597х. Гра
фики функций Дх) и Дх) приведены на рис. 10.25. Они показы
вают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В
заданном интервале 0 < х < 1,5 на
ибольшая погрешность |Дх) —Дх)|,
т. е. шах|Дх) —Дх)| находится на
одной из границ интервала при х =
= 1,5 и составляет 0,158. Ее можно
уменьшить, выбрав другие узлы
интерполирования и, тем более,
повысив степень интерполирующе
го полинома. Так, графики той же
функции Дх) = 1-е--г и интерпо
лирующего полинома второй сте
пени с узлами интерполирования
хо = 0,15, X} = 0,6 и Х2 = 1,2 Ирак
Рис. 10.26

тически совпадают. На рис. 10.26 приведен график разности этих
функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном
интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с
линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных методов аппроксимации функций, в ко
тором погрешность аппроксимации контролируется во всем интер
вале приближения а < х < Ь, а не в его дискретных точках, явля
ется метод наилучшего равномерного приближения (аппроксима
ции) функций (приближения по П.Л. Чебышеву). В этом методе
параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, что
бы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине
отклонение функции Дх) от непрерывной функции Дх) было бы
минимально возможным, или, используя обозначения (10.3), чтобы
в интервале а < х < Ъ

А = шах |/(х) - Д х)| = тт .	(10.7)

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет
полином Дх) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от
функции Дх) = 1 - е~х в интервале 0 < х < 1,5 расположены при
х = 0, х =хт= 0,658 и х = 1,5 (см. рис. 10.27), причем, что очень
важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что
любое изменение наклона («1) или уровня (<2о) полинома Дх), ко
торое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из
трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке.
Таким образом, полином Дх) = 0,071 + 0,518х из всех полиномов
первой степени действительно минимизирует абсолютную величину
отклонения от функции 1— е ' в интервале 0 < х < 1,5.

В теории аппроксимации функций доказывается, что наиболь
шее по абсолютной величине отклонение полинома Дх) степени п
от непрерывной функции Дх) будет минимально возможным, если
в интервале приближения а < х < Ъ разность Дх) —Дх) не мень
ше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся
-Ь



Рис. 10.28



0

предельные наибольшие Дх) —Дх) =
= 1>0 и наименьшие Дх) —Дх) =
= —Ь значения (критерий Чебышева).

Характер графика разности

Дх) —Дх) для полинома Дх) пятой
степени, удовлетворяющего этому
критерию, приведен на рис. 10.28.
Этому же критерию удовлетворяет

полином Дх) в рассмотренном выше примере (см. рис. 10.27).

Во многих прикладных задачах находит применение полиноми
альная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близо
сти, когда параметры аппроксимирующей функции Дх) выбирают
ся из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации
а < х < Ъ квадрата отклонения функции Дх) от заданной непре
рывной функции Дх), т. е., из условия:

-----[I/(х) - Д х) 12 с/х = ГПШ .

Ь - а 11	1

(10.8)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение
задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая
образуется в результате приравнивания к нулю первых частных
производных функции А по каждому из искомых коэффициентов
а& аппроксимирующего полинома Дх), т. е. уравнений

ал _ р. _ д. _ 0 ал
дао ’ да\ ’	’ дап

(10.9)

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное ре
шение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в
общем случае — численно. Так, в рассматриваемом примере систе
ма уравнений при аппроксимации в интервале 0 < х < 1,5 функции
1- е ' полиномом первой степени такова:

ал
дао
ал
а«1

1,5

| 2 (а0 + с^х - 1 + е~х) с/х = 0,
о

1,5

| 2 (с70 + а\Х - 1 + е~х) хс/х = 0,
о

или после преобразований:

Зс/0 + 2,25с?! = 1 + 2 • е-Т5; 2,25с/0 + 2,25с?1 = 0,25 - 5 • е-Т5.

Поэтому Дх) = 0,108 + 0,500х.

Заметим, что, как правило, средняя квадратическая погреш
ность наилучшего равномерного приближения функций Дх) и Дх)
лишь не намного отличается от минимально возможной. Обратное
утверждение обычно ошибочно, т. е. при квадратической аппрок
симации в некоторых участках интервала аппроксимации возмож
249
Рис. 10.29

ны существенные превышения по
грешности аппроксимации (выбросы)
по сравнению с теми, которые соот
ветствуют критерию (10.7).

Вернемся к вольт амперным ха
рактеристикам. Общий вид записи
степенного полинома, аппроксими
рующего ВАХ:

г = а0 + сци + а^и2 + ... + апип. (10.10)

Иногда бывает удобно решать за
дачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности рабо
чей точки С/о. Тогда используют степенной полином другого вида:

г = а0 + а{(и -V0) + а-^и -Vо)2

+ ... + ап(и-и0)п. (10.11)

Пример. Используя метод интерполяции, аппроксимировать ВАХ нели-
нейного резистивного элемента (рис. 10.29) степенным полиномом. Аппрокси-
мированная ВАХ должна совпадать с заданной в выбранных точках Цо, Ц\ и
П2.

Составим систему уравнений:

7о = + А (Ц. _ бо) + а2(ио - 6%)
< Ц - а0 + 671(СГ1 -1}0) + <?2 (17! - !70)"

/2 = С) + 671(бГ2 “17о) + <72(172 -171)

из которой найдём искомые коэффициенты

67О = 70;

_ 70 [(и, - и„ )2 - (и2 - и„ )2 ] + /, (и2 - и„ )2 - /2 (с/, - и„ )2

-и,(п0-и,).

а2~	5	’

о = -(и2-и1>)(и2-и1)(и1)-и1).

Пример. ВАХ нелинейного резистивного элемента г = Р(и) задана табли-
цей:

ик	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
1к	0	0.06	0.23	0.5	0.85	1.18	1.65	2.3	2.9

Используя квадратический критерий, аппроксимировать характеристику
выражением г = а2и2 

Сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданной:

8	?

Л=Д<%2Ч] минимальна при значении коэффициента <?2, удовлетво-
к=0

ряющего уравнению
— 2^ (а2и2к - ц ) и2к = 0 , откуда а2 = Е икгк / Е = 4.63 .
дй2 к=0	\к=0 Л к=0

Пример. На рис. 10.30 кружочками показаны полученные эксперимен-
тально пять точек характеристики гБ = Р транзистора КТ301. Осущест-
вим степенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне г/БЭ от 0,4 до
0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки По = 0,7 В.

Коэффициенты а0, а{,...,аы полинома гБ = а0 + (г/БЭ -Со) + а2 (г/БЭ -По)2
найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполя-
ции точки, соответствующие напряжениям 0,5; 0,7 и 0,9 В и составим систему
уравнений:

а0 - 0,2а{ + 0,04б?2 = 0,05;

а0 = 0,15;

а0 + 0,2а { + 0,04б?2 = 0,5.

Решение этой системы дает а о = 0,15 мА, а\ = 1,125 мА/В, а 2 =
= 3,125 мА/В2. Кривая тока

гБ - 0,15 +1,125(г/БЭ -0,7) + 3,125(г/БЭ -0,7)2

проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам ин-
терполяции (см. рис. 10.30, кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые
экспериментальные точки (например, при Пбэ = 0,4 В) плохо «ложатся»
на эту кривую. Кроме того, появляется загиб в нижней части характери-
стики.

Лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином чет-
вертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5;
0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока пройдет через все пять экспери-
ментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улуч-
шить аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для
определения коэффициентов а5. Найдем эти коэффициенты, используя
среднеквадратическое приближение тока по всем пяти экспериментальным
значениям.

Составим уравнения (10.9):

5б?0 - 0,2а{ + 0,18б?9 = 0,98;

- О,2б?о + 0,18б?! - 6,026б?9 = 0,106;

0,18б?0 - 0,0266?! + 0,0123я2 = 0,0272.

Решение этой системы уравнений дает:
ао = 0,164 мА, = 1,07 мА/В и б?2 =
= 2,069 мА/В2.

График тока при этом определяется
полиномом

гБ = 0,164 +1,07(г/БЭ -0,7) +
+ 2,069 (г/БЭ -0,7)2

и показан на рис. 10.30, кривая 2. Эта ха-
рактеристика является более приемлемой
для аналитического описания эксперимен-
тальных результатов.
висимость

Кусочно-линейная аппрокси-
мация. Наряду с полиномиаль
ной аппроксимацией ВАХ в ра
диотехнике и связи широко ис
пользуется их аппроксимация ли
нейно ломаной зависимостью —
совокупностью отрезков прямых,
образующих в интервале ап
проксимации непрерывную функ
цию Дх). Так, на рис. 10.31
приведена линейно ломаная за

/Чх)

(0,020+ 0,764х
(0,232 + 0,379х

при 0 < х < 0,55,

при 0,55 < х < 1,5,

составленная из двух отрезков прямых и аппроксимирующая в ин
тервале 0 < х < 1,5 функцию \ е~х с абсолютной погрешностью,
не превышающей 0,024.

Параметры аппроксимирующих прямых могут быть выбраны
так, чтобы в интервале аппроксимации выполнялся критерий (10.7)
или (10.8).

В пределах каждого из линеаризированных участков вольт
амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний
в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число
линеаризированных участков разбивается заданная вольт амперная
характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем
больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелиней
ных резистивных цепях аппроксимируемая вольт амперная харак
теристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью пред
ставляется двумя или тремя отрезками прямых. Графики типичных
аппроксимирующих функций приведены на рис. 10.32, а — в, где
Уотс — так называемое напряжение отсечки, Гн и 1н - напряжение
и ток насыщения в НЭ.

Подобная аппроксимация вольт амперных характеристик дает в
большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности ре

Рис. 10.32
зультаты анализа колебаний в нели
нейной резистивной цепи при
«больших» по величине воздействи
ях на нелинейный элемент, т. е. ко
гда мгновенные значения токов в
нелинейном элементе изменяются в
предельно допустимых границах от
I = 0 до I = /н (см. рис. 10.32, в).

Пример. На рис. 10.33 (кривая /)
приведен график экспериментальной зави-
симости ф = Р (иъэ ) транзистора КТ306.
Выполним кусочно-линейную аппроксима-
цию этой зависимости.

где Потс ~ напряжение отсечки.

Используя полином первой степени

Рис. 10.33

Ф -	+ ( МБЭ Ц) ) ,

осуществим аппроксимацию заданной зависимости в окрестности точки Сф =
= 0,8 В и определим коэффициенты по методу Тейлора:

гБ-Р(По)-| 11 ° \ г/БЭ бф) - 10 + 5(Сф )(г/БЭ По).

Ток в рабочей точке в соответствии с экспериментальными данными 1о =
= 1,2 мА. Крутизну 5(По) в рабочей точке можно найти приближенно мето-
дом приращений:

^Б
^иБЭ

иБЭ =и0

Аф
АмБэ

«БЭ ,;0

0,8	. л/тэ

=----= 4 мА/В.

0,2	7



В результате аппроксимации получим

ф = 1,2 + 4 (г/БЭ — 0,8) = —2 + 4г/БЭ = 4 (г/БЭ - 0,5) мА.

Видно, что при г/вэ < 0,5 В ток /б принимает отрицательные значения, что не
согласуется с экспериментальной зависимостью. Таким образом, полученным
полиномом будем аппроксимировать заданную зависимость на участке
г/вэ >0,5. На участке же 0 < г/вэ <0,5 можно выбрать полином первой сте-
пени с нулевыми коэффициентами, т. е. /б = 0. Итак, аппроксимирующая
функция запишется в виде (рис. 10.33, кривая 2)

Ф ~	(г/БЭ ) ~

0, г/БЭ <0,5 В,
4 (мБэ - 0,5), г/БЭ > 0,5 В.

Представим эту зависимость в более общей форме:

г = Р (и)

0,	г/^Сфтс,

^(м-Потс), и >ПОТс,

Другие виды аппроксимации вольт-амперных характеристик.

Вольт амперная характеристика идеализированного полупроводни
кового диода совпадает с характеристикой идеализированного р-п
перехода

г =	-1),	(10.12)

где /о ~ обратный (тепловой) ток, срт - тепловой потенциал (срт =
= 0,026 В при Т = 300К).

Функция (10.12) иногда используется для аппроксимации
вольт амперных характеристик. Ее единственным варьируемым па
раметром является обратный ток /о, значение которого можно най
ти, интерполируя заданную характеристику функцией (10.12) в
одной из точек. График функции (10.12) подобен приведенному на
рис. 10.1, а.

Заметим, что вольт амперные характеристики реальных полу
проводниковых диодов в силу ряда причин отличаются от идеали
зированных и чаще всего аппроксимируются отрезками прямых.

В ряде случаев вольт амперные характеристики, подобные при
веденной на рис. 10.32, в, аппроксимируются функцией

г = Е[1 + (Ьг(м - <70)]	(10.13)

с тремя варьируемыми параметрами /о, Го.

Можно считать, что I = /н, С7о - соответствует значению на
пряжения 1/, при котором г = 0,51тах, а постоянная § находится
по известной крутизне 5 = (II/(1V аппроксимируемой вольт ампер
ной характеристики в точке С/о из условия 5(С/о) = О,5/о-

10.6.	Аналитические методы расчета нелинейных
резистивных цепей

Составление уравнений состояния цепи на основании законов
Кирхгофа. Из предыдущих разделов известно, что в общем случае,
когда цепь содержит пв ветвей (в том числе ит источников тока) и
Пу узлов, число неизвестных токов (напряжений) равно (см. § 1.4)
пв — Пу + 1 — ит- Для отыскания такого числа неизвестных состав
ляется система уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК) записывается пу — 1 урав
нений вида (1.16):

т
Е4 =о>
к=1

где т — число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) записывается пв — пу + 1
уравнений вида (1.17):

п
где п число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также и НЭ, то в системе
уравнений, описывающей состояние цепи, появятся уравнения вида

= Вк(иъ\ Методика составления уравнений состояния цепи на
основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линей
ных резистивных цепей (см. гл. 2, 3).

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи,
схема которой изображена на рис. 10.13. Пусть ВАХ нелинейного
элемента аппроксимируется выражением

(10.14)

Зададимся положительными направлениями напряжений и то
ков. Цепь содержит один независимый контур (I) и один незави
симый узел (1). Уравнения, записанные по ЗТК и ЗНК, имеют
следующий вид:

Л+/02-4 = 0;	(10.15)

+С/Н -С/01 = 0.	(10.16)

К этим уравнениям дописываем уравнение (10.14). Неизвест
ными в данной системе уравнений являются напряжение С/н и токи
/1 и /н- Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три
уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений та
кой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения
полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение,
может существенно затрудниться. Для большинства относительно
сложных цепей аналитического решения системы уравнений может
и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным мето
дам решения.

В рассматриваемом примере достаточно просто получить аналитическое ре-
шение. Предположим вначале, что решение системы уравнений существует
при Цц > 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

/,,-аКу	(10.17)

Выразим из уравнения (10.15) ток 1\ = 1Н — /02 и подставим его в уравнение
(10.16). В результате этой операции получим

-Л2«1 + Гн -Г01 =0.	(10.18)

Подставив в (10.18) выражение (10.17), получим уравнение относительно
неизвестного напряжения на нелинейном двухполюснике

Щ+ —С1н-7|)2К1+17|)1 =0.	(10.19)

н аК, " аК,

Отсюда имеем
Сн=-^— +

н 2аК{

+ /	1	! /02-^1 + ^01

А/4а22?1 аК^

(10.20)

Допустим теперь существование

Пусть = 1 кОм, СУот = 14 В,
}07 = Ю мА, а = 10“5 А/В. Тогда
1У„ = 20 В.

Второе решение уравнения (10.19)
даст С7ц < 0. Это решение не подхо-
дит, так как применялось уравнение
НЭ, справедливое при 13 ц > 0.

решения системы уравнений (10.15) —

(10.16) при Г.УН < 0. Согласно уравнению НЭ (10.14) 1Н = 0. Тогда из уравне-

ния (10.18) имеем

Ц, +Со = 24В>0,

а это противоречит условию, что СУН < 0.

Таким образом, остается первое решение (10.20). Найдем остальные неиз-
вестные. Из (10.17) имеем 1Н = аГ.У2 = 10 5 х 102 = 4 мА, а из (10.15) Ц = 1Н —
— /02 = — 6 мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных
уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалась более сложной
функцией, то этого достичь не удалось бы.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых на-
пряжений (потенциалов). Как известно, переменными в методе уз
ловых напряжений являются напряжения пу — 1 узлов по отноше
нию к базисному узлу.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на
рис. 10.34. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются вы-
ражениями I = а (У3 для элемента НЭ1 и I = 0(У2 для элемента
НЭ2. В схеме имеется зависимый источник (ИТУТ) с током
/5 = НгЦ.

Приняв узел 4 за базисный, имеем три независимых узла: /, 2 и
3. Токи ветвей выражаются через узловые напряжения 131, СД и
13з следующим образом:

I, = (О,-О2)О,; /2 = аО23;
13=ЩО3; /4 = р(О, - О3 )2; ’
/5 =ЩЛ =ЩО,(О1-О2).

(10.21)

Составим уравнения для узлов 1, 2 и 3 по ЗТК:
Подставив в эти уравнения значения токов из (10.21), получим

((71-С/2)О1+Р(С71-(7з)2=/0;

-Щ -<У2)С1(1 + Я,) + аС/| =0;

-Щ -[ЩО.Н,- + <73О3	-<73)2 = 0.

(10.22)

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы трех
нелинейных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряже
ниями. Можно уменьшить число уравнений, если из первого урав
нения выразить через 131 и 1/з и исключить его из двух осталь
ных уравнений. В результате получим систему двух нелинейных
уравнений с двумя неизвестными напряжениями узлов 1 и 3.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных
методов (например, известным из математики методом Ньютона —
Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи
и напряжения ветвей.

Аналитические методы нахождения рабочей точки. Задача о
нахождении рабочей точки может решаться и аналитическими ме
тодами, если зависимость 1(13) нелинейного резистивного элемента
задана аналитически. Она сводится к решению нелинейного урав
нения

=	(10.23)

К

относительно напряжения 13 =13о в рабочей точке резистора. Так
например, в цепи с идеализированным выпрямительным диодом, у
которого I =	где /о и срт — некоторые постоянные, за

дача нахождения рабочей точки приводит к решению трансцен
дентного уравнения I = 10(еи/^т - 1) = (Е -13)/К относительно не
известного напряжения Р = Ро с последующим нахождением тока
/о = (Е— 13о)/К в рабочей точке диода.

Если вольт амперная характеристика нелинейного резистора ап
проксимирована полиномом I = а\13 + а^ХЗ + ... + ап13 , то урав
нение (10.23) будет представлять собой алгебраическое уравнение
степени п относительно искомого напряжения в рабочей точке и,
как известно, в общем случае может быть решено лишь численно,
если п > 4.

В заключение следует подчеркнуть, что нелинейный характер
взаимозависимостей между реакциями и воздействием в анализи
руемых цепях обусловливает неприменимость к ним в общем слу
чае принципа наложения, лежащего в основе высокоэффективных
методов анализа и синтеза линейных электрических цепей. По этой
же причине только в редких случаях удается найти решение задач
анализа колебаний в аналитической форме, даже в таких простей
ших нелинейных цепях, как нелинейные резистивные цепи.
10.7.	Стабилизация постоянного напряжения нелинейными
резистивными цепями

Для поддержания постоянства (стабилизации) напряжения пи
тания активных электрических цепей при возможных колебаниях
первичного питающего напряжения и изменениях сопротивления
нагрузки используются устройства, получившие название стабили-
заторов постоянного напряжения.

Схема простейшего стабилизатора приведена на рис. 10.35, а. В
него входят генератор первичного питающего напряжения, задаю
щее напряжение Сг которого под воздействием дестабилизирую
щих факторов может меняться относительно его среднего значения,
и стабилитрон, подсоединенный параллельно нагрузке. Его вольт
амперная характеристика была приведена на рис. 10.1, б. Внут
реннее сопротивление генератора КТ и сопротивление нагрузки
считаются чисто резистивными.

При анализе работы стабилизатора цепь, внешнюю по отноше
нию к стабилитрону, заменим эквивалентным генератором с за
дающим напряжением Со и внутренним сопротивлением После
этой замены схема анализируемой цепи преобразуется в схему
рис. 10.35, б. На этой схеме через Сн обозначено напряжение на
зажимах нагрузки, которое совпадает с напряжением в рабочей
точке стабилитрона (рис. 10.35, а). Зная последнюю, можно найти
токи в ветвях исходной цепи: /г = (Сг — С'ц) /?, . /н = 6'ц /д =
= /г-/н.

Рис. 10.36, а и б показывает, что рабочая точка стабилитрона
изменяется вдоль прямой, практически параллельной оси ординат,
с изменением как задающего напряжения эквивалентного генератора
(рис. 10.36, а), так и его внутреннего сопротивления (рис. 10.36, б).

Рис. 10.36
Тем самым решается задача стабилизации напряжения на зажимах
нагрузки, поскольку оно незначительно меняется при изменении в
широких пределах первичного питающего напряжения С/г и сопро
тивления нагрузки Ки.

Естественно, что эффект стабилизации достигается ценой рас
сеяния энергии в стабилитроне и резисторе Кт.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Какими уравнениями описываются нелинейные резистивные це
пи, какими — нелинейные цепи, содержащие реактивные эле
менты?

2.	Какие значения может принимать дифференциальное сопротив
ление нелинейного элемента?

3.	Какой элемент цепи обладает одинаковыми статическим и диф
ференциальным сопротивлением?

4.	Что называется рабочей точкой вольт амперной характеристики
нелинейного элемента?

5.	Приведите пример многозначной вольт амперной характеристи
ки нелинейного элемента?

6.	Объясните на примерах трехзначных характеристик ТА типа и 5
типа возможность получения неоднозначного решения задачи
нахождения рабочей точки вольт амперной характеристики ре
зистивных нелинейных элементов?

7.	В каком режиме (постоянного или переменного тока) могут быть
сняты статические вольт амперные характеристики резистивных
нелинейных элементов?

8.	Нарисуйте схему измерительной установки для снятия статиче
ской вольт амперной характеристики резистивного двухполюс
ника.

9.	Применим ли метод эквивалентного генератора к нелинейной
цепи? К ее линейной части? Как определяются характеристики
этого генератора?

10.	Какие из указанных ниже законов справедливы для нелиней
ной цепи (нелинейного элемента): закон Ома, закон Кирхгофа,
закон Джоуля Ленца?

11.	В чем отличие метода эквивалентных преобразований для ли
нейной и нелинейной цепей?

12.	Найдите ток 12 и напряжение 112 на нелинейном элементе
(рис. 10.37), если С?о = 6 В, То = 3 А, = 8 Ом, К2 = 6 Ом,
Кз = 3 Ом, г = 0,1г/2 А.

Ответ: 12 = 1,6 А, и2 = 4 В.
Рис. 10.37

Рис. 10.38

13.	Найдите токи и напряжения в ветвях цепи (рис. 10.38), если
Ро = 6 В, /д= 6 мА, К = 1 кОм, г = 0,001г/2 А. Найдите ал
гебраические суммы частичных токов и напряжений, вызван
ных действием каждого источника в отдельности и убедитесь,
что метод наложения дает неверные результаты.

Ответ: I = 9 мА, Р = 3 В.

Ток и напряжение, вызванные генератором тока I1 = 4 мА,
17 = 2 В; ток и напряжение^вызванные генератором напряже
ния, имеют те же значения I = 4 мА, 17 = 2 В. В результате
получаем

I = I1 + Iй = 8 мА,
Р = Р1 + Рп = 4 В.

Следовательно, принцип наложения для нелинейной цепи не
справедлив.

14.	Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.39), если /о = 0,2 А,
= 100 Ом, г = 0,01г/ А и определите соответствующие зна
чения статических и дифференциальных сопротивлений нели
нейного элемента и параллельного соединения сопротивления
и нелинейного элемента.

Ответ: I = 0,16 А, Ц = 0,04 А, _КСТ = 25 Ом,
Ястэкв= 20 Ом, Кл = 12,5 Ом, Ядэкв= 11,1 Ом.

15.	Найдите ток и напряжение в цепи (рис. 10.40), если и = г2 В,
17о = 11 В, = 10 Ом. Определите новое значение при
котором дифференциальное сопротивление в новой рабочей
точке вольт амперной характеристики нелинейного элемента
будет равно 1 Ом.

Ответ: I = 1 А, 17х = 10 В, = 21,5 Ом.

I

Рис. 10.39

Рис. 10.40
16.	На рис. 10.41 изображена вольт амперная характеристика ста
билитрона — нелинейного полупроводникового прибора, ис
пользуемого для стабилизации постоянного напряжения на
входе питаемой цепи. Найдите, в каких пределах может изме
пяться сопротивление нагрузки Кн при неизменном напряже
нии Пн = 6 В, если По = 12 В, К = 100 Ом, И = 6 В, 1тах =
= 50 мА, 1пйп =10 мА.

Ответ: 120 Ом <	< 600 Ом.

17.	Найдите величину сопротивления (рис. 10.42), при которой
I = 3 мА, если По = 16 В, К1 = К2 = 2 кОм, I = (2- 1)• 10’5 А.
Определите в рабочей точке дифференциальное и статическое
сопротивление нелинейного элемента.

Ответ: Кз = 1 кОм, КСТ = 666,7 Ом, Кл = 364 Ом.

18.	Найдите вольт амперную характеристику параллельного соеди
нения НЭ (рис. 10.43), если й = 0,02г/2 А, г2 = 0,08г/2 А. Опре
делите величину К, при которой г = 0,4А, если ио = 6В.

Ответ: К = 10 Ом.

19.	Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.44), если По = 30 В,
/о = 3 А, Ц1 = 10-Тй В, 12 = 0,01ц22 В.

Ответ: й = 1 А, и\ = 10 В, г2 = 4 А, ц2 = 20 В.

20.	Найдите токи и напряжения в цепи (рис. 10.45), если По1 =
= По2 = 6 В, Ц| = 2у]ц В, ц2 = 10л/?7 В, К = 0,8 Ом.

Ответ: Ц = 1 А, /2 = 4 А, 13 = 5 А, П1 = П2 = 2В, Цк= 4 В.

21.	Применив интерполяционный метод, аппроксимируйте ВАХ
нелинейного резистивного элемента (рис. 10.45) полиномом ви
Да I = Цд + а(Н + ц2^2.

Рис. 10.42

Рис. 10.43

Рис. 10.44
Рис. 10.45

Ответ: ао = го; «4 = [-/0 Щ ) + Л^2 “ 1'2^\ ] В 5
«2=[/о(^2-С/1)-/1С/2-^1]П;

П = [(71С/2((72-С/1)]-1.

22.	Заданную в виде таблицы (СД, 10 ВАХ нелинейного резистив
ного элемента аппроксимируйте линейной функцией г = а^.

64	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
1к	0	0.26	0.54	0.72	0.93	1.1	1.18	1.28	1.36

Коэффициент а\ определить методом наименьших квадратов.

Ответ: г = 1,94г/.

23.	Падающий участок ВАХ нелинейного резистивного элемента
г = Р(г/) задан таблицей:

64	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4
1к	9.0	6.75	4.6	3.0	2.0

Аппроксимируйте характеристику на отрезке [0.2; 0.4] линей
ной функцией г = «о + а\и методом наименьших квадратов.

Ответ: г = -35,3 + 15,7г/.

ГЛАВА 11. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

11.1.	Нахождение реакции нелинейной резистивной
цепи на заданное воздействие

Для нахождения реакции нелинейной электрической цепи с не
линейным двухполюсником или четырехполюсником на заданное
воздействие можно использовать графические построения. Стати
ческие характеристики нелинейного прибора, т. е. зависимость ме
жду воздействием и реакцией на его внешних зажимах для режима
262
постоянного тока, считаются известными. Ими могут быть, напри
мер, вольт амперная характеристика нелинейного резистора, или
зависимость между постоянными напряжениями на входе и выходе
нелинейного четырехполюсника и др. Эти характеристики нахо
дятся, как правило, в результате измерений и представляются в
виде графических зависимостей, что и оправдывает использование
графических методов решения рассматриваемой задачи.

В основе метода лежит предположение о том, что в любой мо
мент времени реакция нелинейного прибора на подведенное к нему
воздействие будет такой же, как и его реакция на постоянное воз
действие той же величины. Иными словами, предполагается, что
модель анализируемой цепи является моделью резистивной элек
трической цепи. Ниже на примере рассматривается методика гра
фического нахождения реакции нелинейного прибора с одиозная
ной характеристикой нелинейности.

Рассмотрим зависимость постоянного напряжения Н2 на выходе
нелинейного четырехполюсника от постоянного напряжения Ц\,
подведенного к его входу. Ее график Н2 = ЕгСЕЧ) показан па
рис. 11.1. На этом же рисунке, приведен график воздействия г/фО.
Он повернут на угол п 2 по часовой стрелке по сравнению с обще
принятым графическим изображением функции времени. Воздей
ствие в примере тождественно равно нулю вне интервала 0 < I < Т,
внутри которого оно описывается функцией го(0 = Е^зт^лЕ Г).

В момент времени I = Е ко входу нелинейного прибора, как это
следует из рис. 11.1, подводится напряжение г/1(О, т. е. при I =

= го(Е). Напряжение на его выходе, которое находится по
графику ЕЭСЕ^), т. е. напряжение ЕЭ при = го(Е) и будет на
пряжением реакции г/2(Н) нелинейного прибора в момент времени

Рис. 11.1
1\. Значение реакции отложено на графике
г/2(О, приведенном на том же рисунке. Отсчет
ные значения	и г/2(^1) соединены на

рис. 11.1 штриховой линией. Аналогичные по
строения приведены на рисунке и для трех дру
гих моментов времени = ^2,	= ^з,	= О- В

результате подобных построений и находится

Рис. 11.2 график реакции г/2(О.

Сопоставление графиков воздействия г/1(О и
реакции г/2(О, приведенных на рис. 11.1, показывает, что они от
личаются друг от друга формой. Следовательно, в рассматривав
мой нелинейной электрической цепи произошло искажение формы
реакции по сравнению с формой воздействия, обусловленное нели
нейностью характеристики используемого нелинейного прибора. Из
тех же графиков следует, что указанные искажения уменьшаются с
уменьшением амплитуды воздействия и для любого I при условии
|г/1(О| < зависимость реакции от воздействия будет близка к
линейной. Итак, анализируемую цепь в ряде случаев можно рас
сматривать как линейную электрическую цепь и с тем большим ос
нованием, чем меньше амплитуда воздействия. Наоборот, с увели
чением амплитуды воздействия заметнее отличия формы реакции
от формы воздействия. В частности, значение реакции г/2(О по аб
солютной величине практически не зависит от воздействия, если
(см. рис. 11.1) |г/1(О| > а при |г/1(О| » г/1(^2) реакция при
нимает вид двух трапецеидальных импульсов различной полярно
сти. Ее график показан на рис. 11.2.

Искажение формы реакции относительно формы воздействия
свойственно электрическим цепям и с другими характеристиками
нелинейности, отличающимися от рассмотренных в примере, в том
числе и многозначными. Вместе с тем в рассматриваемых рези
стивных нелинейных цепях не искажается форма воздействия в
виде импульса прямоугольной формы, график которого приведен
на рис. 11.3. Здесь нелинейность проявляется в отсутствии прямой
пропорциональности между амплитудами реакции и воздействия, а
при больших амплитудах воздействия — в независимости их друг

от друга.

Рис. 11.3

Естественно, что если характеристика нелинейно
сти задана аналитически, то реакция нелинейного
прибора на заданное воздействие может быть найде
на и в результате численного решения нелинейного
уравнения, связывающего мгновенные значения ре
акции и воздействия в выбранной совокупности дне
кретных моментов времени.
11.2.	Режим малых колебаний в нелинейных
электрических цепях

Линейные функциональные узлы современной радиоэлектрон
ной аппаратуры, в частности, усилители самого разнообразного на
значения, содержат то или иное число, часто весьма значительное,
транзисторов, операционных усилителей и других полупроводни
ковых или электронных приборов. Между тем характеристики не
речисленных приборов в широком интервале изменения воздейст
вий относятся к числу нелинейных.

Убедимся в принципиальной возможности построения цепей
(двухполюсников, четырехполюсников, многополюсников) с ли
нейными (близкими к линейным) характеристиками, хотя в их со
ставе имеются приборы с нелинейными характеристиками.

Рассматриваемые активные цепи с полупроводниковыми или
электронными приборами содержат источники постоянного напря
жения, необходимые для «питания» этих приборов. При отсутст
вии других воздействий в цепи устанавливается режим постоянного
тока. В рассматриваемых цепях рабочие точки (см. § 10.2 и § 10.3)
располагаются на тех участках характеристик, в пределах которых
последние могут считаться линейными. На рис. 11.4 это точка с
координатами 17о, 1о. Такие участки всегда можно выделить на ха
рактеристиках приборов.

Выбор рабочей точки в каждом из используемых нелинейных
приборов определяет и рабочие участки характеристик этих прибо
ров, Здесь под рабочим участком нелинейной характеристики по
нимается тот ее участок, включающий рабочую точку, в пределах
которого характеристика может быть аппроксимирована одной
прямой. Обычно рабочая точка располагается в середине рабочего
участка характеристики.

Пусть, далее, к цепи подведено воздействие гщ(О, изменяющее
ся по любому закону, такое, при котором напряжения (токи) в не
линейных устройствах цепи не выходят за пределы их рабочих
участков. Реакция цепи на рассматриваемое воздействие выража
ется в изменениях (приращения х) напряжений и токов в устрой
ствах цепи по сравнению с их значениями
тока.

Приращения напряжений Дг//?(О и то
ков Дг/?(О в к-й ветви цепи (к=1, 2, ...,
п) связаны между собой линейными со
отношениями в силу линейности исполь
зуемых рабочих участков характеристик
нелинейных приборов и, следовательно,
по отношению к указанным приращениям
цепь может рассматриваться как линей

в режиме постоянного

0 По+Аи 1/о 1/о-Аи и

Рис. 11.4
ная. Постоянные же напряже
ния и токи обуславливают не
обходимый режим работы не
линейных приборов, их ра
бочие точки. В связи с этим на
схемах замещения нелинейных
цепей, используемых как ли
нейные, цепи постоянного то

Рис. 11.5	ка не изображаются, а прира

щения напряжений и токов
относительно их начальных значений, обусловленные приложенным
к цепи внешним напряжением (током), называются просто напря
жениями и токами и обозначают их соответствующими строчными
буквами ггДД), г/?(О.

Рассмотрим простейший пример. На рис. 11.5, а приведена схе
ма цепи, содержащей нелинейный резистивный элемент, источник
постоянного напряжения Е, линейный резистор с сопротивлением
К и источник с задающим напряжением г/о(0. Рабочая точка нели
нейного резистора находится так, как это изложено в § 10.2. При
ращения напряжения Ли и тока Аг на внешних зажимах нелиней
ного резистора связаны соотношением Аг = ОлЛи, если вольт
амперная характеристика нелинейного резистора может считаться
линейной в окрестности его рабочей точки. Действительно, при
этом условии отношение Аг Ли не отличается от его предела при
Ли => 0, т. е. от дифференциальной проводимости нелинейного ре
зистора в его рабочей точке. Поэтому последний можно заменить в
схеме замещения анализируемой цепи линейным резистором с про
водимостью Од. В соответствии с этим на рис. 11.57, б изображена
схема линейной электрической цепи, пригодная для нахождения
реакции исходной цепи на воздействие гго(0.

Линейность характеристик цепей с нелинейными полупровод
пиковыми и электронными приборами может быть существенно
повышена за счет применения ряда схемных решений (отрица
тельная обратная связь, двухтактное включение нелинейных при
боров и др.).

Нелинейные электрические цепи, у которых при ограниченных
по величине воздействиях реакции являются линейными функция
ми воздействия, часто называют нелинейными электрическими
цепями в режиме малых колебаний. Малыми они называются по
тому, что по абсолютной величине не могут выходить за пределы
линейных участков вольт амперных характеристик используемых
нелинейных приборов. Термин этот условен, поскольку для реше
ния задач техники радиосвязи используются нелинейные цепи в
режиме малых колебаний с мощностями сигналов в десятки и сот

ни киловатт.
Хорошим примером использования
прибора с нелинейной вольт ампер
ной характеристикой для линейного
усиления сигналов в режиме малых
колебаний может служить усилитель
на туннельном диоде. ВАХ послед
него была приведена на рис. 10.1.

Идеализированная схема замещения усилителя, рассматриваемого
как резистивная электрическая цепь, изображена на рис. 11.6. На
ней показаны источник усиливаемого сигнала с задающим током
го(0 и внутренней проводимостью О, проводимость нагрузки Сн и
туннельный диод. Рабочая точка диода выбирается на ниспадаю
щем участке его вольт амперной характеристики (см. рис. 10.1, в),
для чего в усилителе имеются цепи питания диода от источника по
стоянного напряжения, не показанные на схеме.

Пусть напряжение сигнала на зажимах диода не будет выходить
за пределы линейного участка его вольт амперной характеристики
в окрестности рабочей точки. Дифференциальная проводимость Сд
диода в его рабочей точке отрицательна и при сделанных допуще
ниях может считаться постоянной, т. е. 6Д < 0 и 6Д = сопзП При
этом напряжение сигнала, развиваемое на зажимах нагрузки

г/(О =

г0 (О

О + Он + Од

будет, во первых, линейно связано с задающим током ф(О источ
ника сигналов, и, во вторых, при Од < 0 превышать то, которое
было бы в отсутствии диода, т. е. при Од = 0.

Возрастает и мгновенная мощность сигнала в нагрузке
/ДО =/о О)ОН/(О + Он + Од )2 .Оба последних соотношения и
свидетельствуют о линейном усилении сигнала в рассматривав
мой цепи. Естественно, что эффект усиления обусловлен введе
нием в цепь энергии от источника питания туннельного диода.
Последний лишь управляет расходом энергии источника питания
в точном соответствии с изменением сигнала во времени. Усили
тели на туннельных диодах применяются в технике сверхвысо
ких частот.

11.3.	Воздействие гармонического колебания на
нелинейный резистивный элемент

Постановка задачи анализа. Пусть к нелинейному резистивному
элементу подведено гармоническое колебание 17 т со§(«й + ср) и посто
янное напряжение смещения 17о, т. е. пусть и = 17о + 17т со§(со^ + ср).
Ток в элементе может быть найден по вольт амперной характери
стике элемента г = Р(и) и является функцией времени г(О.
График тока г(ф) может быть найден с помощью простейших
построений, которые иллюстрируются на рис. 11.7. Данные этого
рисунка показывают, что реакция г(О и воздействие г/(О могут
существенно отличаться по форме.

Искажения формы сигнала, обусловленные нелинейностью ха
рактеристик электрической цепи, называются нелинейными иска-
жениями.

При воздействии и = 17 о + 17 т соз(ой + ср), подведенном к нели
нейному элементу, ток г (О в элементе будет периодической функ
цией времени, которая может быть представлена рядом Фурье в
форме (5.9)*:

г(0 = А/0 + X ^тк соз(&со^ + &ср).	(11.1)

/г=1

Следовательно, ток в нелинейном элементе содержит постоян
ную составляющую АТо, гармоническое колебание с частотой со и
начальной фазой ср воздействия и гармонические колебания с
частотами, кратными частоте воздействия (гармоники колеба
ния). Начальные фазы гармоник кратны начальной фазе воздей
ствия.

Появление гармоник в составе тока в элементе обусловлено не
линейностью его вольт амперной характеристики, в связи с чем их
часто называют продуктами нелинейности.

В соответствии с изложенным спектр амплитуд тока в нелиней
ном элементе при гармоническом воздействии на элемент является

Рис. 11.7

Поскольку исходное напряжение ц(Д — четная функция, в выражении (11.1) ряд
синусов будет отсутствовать.
дискретным. Такими же будут спектры напряжений и токов в тех
ветвях цепи, которые не подсоединены непосредственно к источни
ку гармонического воздействия.

В устройствах, используемых в режиме малого сигнала, нели
нейные искажения носят паразитный характер и строго нормиру
ются. Для их оценки обычно используется коэффициент нелиней-
ности

к =	+Ц	(ц 2)

где 17 т\ — амплитуда колебания основной частоты (частоты воз
действия), а 17т2, УтЗ,  — амплитуды гармоник напряжения на
выходных зажимах устройства. Так, в высококачественных систе
мах звуковоспроизведения коэффициент нелинейности не превы
шает долей одного процента.

Ниже рассматриваются аналитические методы вычисления спек
тров амплитуд колебаний в нелинейных резистивных электриче
ских цепях для различных функций, аппроксимирующих вольт ам
перную характеристику нелинейного элемента.

Спектр реакции при полиномиальной характеристике нелиней-
ного элемента. Пусть в окрестности рабочей точки (Сф, /о) вольт
амперная характеристика нелинейного элемента описывается поли
номом степени п:

г = 10 + (Ц (и - 17+ а2 (и -17+ ... + ап (и - 170)п . (11.3)

При гармоническом воздействии, когда и = 17о + 17т созбкй + <рД

№) = сц17т соз(ей + ср) + а217т соз2 + ср) + ... +
+ ап17т СО8И (со^ + ср).

Для нахождения спектра амплитуд реакции тока ДО в нелиней
ном элементе удобно вместо общего метода разложения периодиче
ской функции ДО в ряд Фурье воспользоваться выражениями сте
пеней функции соз а через функции кратных дуг, согласно кото
рым:

соз2 а = — (соз 2а + 1);

1

соз3 а = — (соз За + Зсоза);

4

1

соз4 а = — (соз 4а + 4 соз 2а + 3);

8

1

соз5 а = —(соз5а + 5созЗа + 10соза);

16
Тогда, полагая а = оА + ср и осуществляя группировку коэффи
циентов при функциях одинаковых аргументов, преобразуем вы
ражение для ф) к виду

2	(Ф ) = А/у + I т] соз (оА + ср) + I т2 соз 2 (ой + ср) + ... +
+ I тп СОЗ П ( оА + (р ) ,

где:

А^() — 2 ^2 т + 8 ^4 т

I т!

I э

-1 т2

I ч

-1 тЗ

I т4

3	ч 5 ч

— (1\ 17т + — йз С/т + — 6/5 С/т + ..

4	8

1 тт2 1 г т4

—	— Й2 т +	^4 т + • • •,

—	— б?з Ц^т + ——-	17т + ...,

4	16

—	I!

~ 4 С7 т 4~ • • • >

1т5

—	^5 т + • • • •

Анализ полученных выражений показывает, что при полиноми
альной вольт амперной характеристике нелинейного элемента и
гармоническом воздействии на НЭ:

1.	Число гармонических составляющих реакции (гармоник) конеч
но и равно степени полинома, поскольку при п > 2:

соз^ а =

—Г соз ка + к соз (к - 2) а + ...
2^-1

2.	Амплитуда 1т\ первой гармоники колебания при п > 2 в общем
случае нелинейно зависит от амплитуды 17т приложенного воз
действия.

3.	Амплитуды четных (нечетных) гармоник определяются только
коэффициентами при четных (нечетных) степенях слагаемых
полинома.

4.	Изменяется на величину А/о постоянная составляющая тока.

Спектр реакции при линейно-ломаной характеристике нели-
нейного элемента. Пусть на одном из участков ВАХ нелинейного
элемента монотонно возрастает по закону, близкому к линейному, а
на другом, когда элемент «заперт», может считаться равной нулю.
Пусть, далее, между ними расположен небольшой по сравнению с
первым участок, в котором одна из указанных характеристик пере
ходит в другую. Примером может служить усредненная анодно
сеточная характеристика мощного пентода, приведенная на рис. 11.8,
где гд — анодный ток; г/ск — напряжение между сеткой и катодом.
Пусть, наконец, мгновенные значения напряжения на выходе нели
неиного элемента изменяются
в пределах всех трех участ
ков его характеристики.

При сформулированных
условиях рассматриваемую
нелинейную характеристику
можно и целесообразно ап
проксимировать линейно ло
маной зависимостью, изобра
женной на рис. 10.32, б. На
пряжение «излома» этой за
ВИСИМОСТИ Потс

находится обычно как точка пересечения обоих ли

нейных участков характеристики. Так, на рис. 11.8 ПОТс = -120 В.

Решим задачу спектрального анализа колебаний в нелинейном
элементе с рассматриваемой линейно ломаной вольт амперной ха

рактеристикой, если ко входу элемента подведено напряжение
По +Птсо8соН Закон изменения тока в элементе может быть, как
и ранее, найден с помощью графических построений. Они приве
дены на рис. 11.9 и показывают, что искомый ток представляет со
бой периодическую последовательность импульсов, отличающихся
от нуля в интервалах 2/?л - 0 < со^ < 2/?л + 0(& = 0, ±1; ±2; ...).
Форма одиночного импульса в интервале -п <	< тг описывается

в обозначениях рис. 11.9, как легко убедиться, функцией

КО =

тах

при

и при

СОЗ со^ - СОЗ 0

1 - СОЗ 0

0 При - 71 < «Й <

-0

— 0 У5 0,

0 < «Й < 71.


Действительно, при ой = О ток г(0) = 1тах, при ой = ±0 г(О =
= 0, а в интервале -0 < ой < О функция г(О изменяется как огра
ниченная снизу (отсеченная) косинусоида.

Угол 0 называется углом отсечки. При гармоническом воздей
ствии [} = [}$ + 17 т соз ой угол отсечки определяет в интервале
-л < ой < л нижнюю (ой = -0) и верхнюю (со^ = 0) границы вре
менного интервала, в котором ток в элементе отличен от нуля.
Поскольку на границах интервала 17о + 17 т соз 0 = 17 тс (см.
рис. 11.9), то

и _ ^ОТС С/о

СОЗ У — ---------.

т

(11.4)

Пределы изменения угла отсечки заключены между 0 = 0, когда
нелинейный элемент заперт, и 0 = п (0 = 180°), когда ограничение
снизу отсутствует, т. е. когда элемент используется в линейном
режиме.

Для нахождения спектра амплитуд рассматриваемой периодиче
ской последовательности разложим ее в ряд Фурье. Тогда, опуская
промежуточные выкладки, находим следующие выражения:

для постоянной составляющей тока

_ /0 Р СОЗ 0)1 - СОЗ 0 , ( х _	81П0-0 СОЗ 0	,.. г X

о - ТГ I 1 тах ---------и{(0() - 1 тах ——-----—-; (д 1. э, а)

2 2е	1 - СОЗ 0	71 ( 1 - СОЗ 0 )

для амплитуды первой (основной) гармоники

г 1 Г + )	+ Л( /А т 0 —81П0СО80

~ I Й ) СОЗ ОЙ б/( ОЙ ) — Iтах

71 _0	71 (1 - СОЗ 0 )

(11.5, б)

для второй гармоники

т 1 ? Т(х\ п	т (1 ~ СОЗ 20) 81П 0 у . . с х

1т2 =— 1 {с)СО8 2(01 а {(01) = 1пшх  -------------—. (11.5, в)

Л _ $	Зл (1 - соз 0)

Эти выражения можно было бы получить как частные случаи
существующей общей формулы для амплитуды к-й гармоники

Рис. 11.10
тк

21

тах

81п &0 соз 0 - к соз кд зт 0
пк (к2 — 1) (1 — соз0)

(11.6)

На рис. 11.10 приведены графики тока и спектра амплитуд то
ка, соответствующие углу отсечки 0 = п 3.

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока в эле
менте являются функциями угла отсечки. Обычно они выражаются
в относительных единицах

ак =а,(0) = ф1

* тах

(11.7)

и называются коэффициентами А.И. Берга. Их графики приведе
ны на рис. 11.11 для к < 3.

Анализ установленных соотношений показывает, что при ли
нейно ломаной характеристике нелинейного элемента и гармониче
ском воздействии на него:

1.	Число гармонических составляющих реакции бесконечно велико,
хотя амплитуды некоторых из них при определенных значениях
угла отсечки могут быть равны нулю.

2.	В общем случае амплитуды гармоник нелинейно зависят от ам
плитуды гармонического воздействия в силу нелинейного харак
тера зависимости угла отсечки от 17 т.

3.	В частном случае, когда рабочая точка С7о совмещена с точкой
излома характеристики С/ОТс, т. е. когда угол отсечки равен л/2,
амплитуды гармоник оказываются прямо пропорциональными
амплитуде 17 т гармонического воздействия, поскольку при этом
условии величина 1тах прямо пропорциональна 17 т, а угол от
сечки согласно (11.4) не изменяется с изменением 17 т.

Выражение (11.6) является достаточно громоздким для выпол
нения вычислений. Из (11.7) следует, что

7тк = к-тах ' к-
Выражая величину 1тах через амплитуду 1}т напряжения на
НЭ, крутизну 5 вольт амперной характеристики и угол отсечки 0

I тах =	т (1 — СОЗ 0) ,

получим более компактную формулу для расчета амплитуд гармо
ник тока:

1тъ = 8Цт(1 _ с°80)а& (0) = 5С/ту^ (0), & = 0,1,2,..., (11.8)

где у & (0) = а&(0)(1- со§ 0) — функции Берга.

Графики нескольких таких функций представлены на рис. 11.12.

Пример. Считая, что диод обладает идеализированной характеристикой,
определить С^о, при котором в спектре напряжения 1/^(1) отсутствует 3-я гар-
моника, если г/0 (/9 = 2 со8 (рис. 11.13, а).

Напряжение на сопротивлении К создают гармоники тока. Выражение для
амплитуды /?-той гармоники тока при кусочно-линейной аппроксимации НЭ
имеет вид (11.6):

Т -’)т	8Ш &0 СО8 0 - & СО8 &0 8Ш 0

^Ц2-1)(1-СО30) '

Приравнивая в этом выражении амплитуду 3-й гармоники нулю 1тз = 0, полу-
чим

81П 30 СО8 0 - 3 81П 30 81П 0 = 0.

Учитывая, что

(11.9)

г

К ик(1)

а)

1

8Ш 30 СО8 0 = — [ 8Ш 20 + 8Ш 40 ],

1

8Ш 0 СО8 30 = — [ - 8Ш 20 + 8Ш 40 ],

перепишем (11.9) в виде
8Ш 20 + 8Ш 40 = -3 8Ш 20 + 3 8Ш 40

2зш 20 = 8ш 40.

Учитывая, что зш40 = 2 зш 20 соз 20, получим

2 зш 20 = 2 81п 20 соз 20 ;

соз 20 = 1; 20 = 2л; 0 = л ,
что выполняется при 1/0 - Vт - 2 В (рис. 11.13, б).

11.4.	Резонансное усиление и умножение частоты колебаний

Резонансное усиление в режиме малого сигнала. В радиопере
дающих и радиоприемных устройствах широко используются для
усиления узкополосных сигналов* так называемые резонансные
усилители, ламповые и транзисторные. У таких усилителей в каче
стве нагрузки анода (коллектора, стока) используется параллель
ный колебательный контур.

Упрощенная схема лампового резонансного усилителя приведе
на на рис. 11.14, а, а его схема замещения для режима малого сиг
нала — на рис. 11.14, б. На этих рисунках Ес и Еа — постоянные
напряжения сеточного и анодного источников питания.

Частотная зависимость комплексного коэффициента усиления уси
лителя //(/со) = Ц_ВЪ1Х/Ц_ВХ прямо пропорциональна характеристике
контура Х(/со), поскольку в обозначениях рис. 11.14 / = -5С/ВХ,
(2вых = /2^ (/со) = -52(/со)С/вх и, следовательно,

усо0 СО У

(11.10)

где со0 = \/у]ЕС — резонансная частота контура и ^ = со0С/С его
добротность.

График типовой амплитудно частотной характеристики усилите
ля приведен на рис. 11.15.

Рис. 11.14

Узкополосным называется сигнал, спектр которого можно считать ограниченным
ПОЛОСОЙ СО-! С СО С «Ц при условии (со !~ СО-! ) / ( СО !+ СО х )«1.
Резонансная частота колеба
тельного контура принимается
равной средней частоте усили
ваемого узкополосного сигнала,
чем достигается его избиратель
ное усиление и подавление по
мех, если их спектры по частоте
достаточно удалены от резонанс
ной частоты контура. Ширина же

Рис И 15	полосы пропускания контура

сс>1 - со_1 = соо/0 выбирается в ре
зультате компромисса между требованиями к селективности ампли
тудно частотной характеристики контура и допустимыми искаже

ниями спектра усиливаемого сигнала.

Резонансные усилители в режиме малого сигнала находят ши-
рокое применение в радиоприемных устройствах, где мощности
усиливаемых узкополосных сигналов невелики, поэтому малы, как
мощности, потребляемые усилителем от источников питания, так и
их роль в формировании общей мощности, расходуемой радиопри
емным устройством.

Резонансное усиление в режиме большого сигнала. Для увели
чения амплитуды и мощности усиленного сигнала в качестве рабо
чего используется также и нелинейный участок характеристики
усилительного прибора резонансного усилителя, что достигается
увеличением амплитуды входного воздействия и выбором соответ
ствующей рабочей точки. Иными словами, усилитель используется
в режиме большого сигнала.

В силу нелинейности рабочего участка вольт амперной харак
теристики используемого электронного прибора в составе его то
ка появляются помимо колебания с частотой воздействия, т. е.
первой (основной) гармоники, высшие гармоники колебания:
вторая и последующие. Если частота воздействия совпадает с ре
зонансной частотой колебательного контура (близка к ней), то
амплитуды напряжений, создаваемых на зажимах контура выс
шими гармониками колебания, могут считаться пренебрежимо
малыми по сравнению с амплитудой напряжения первой гармо
ники, поскольку модуль сопротивления контура на частоте к-й
гармоники меньше резонансного сопротивления контура Сс)1) в
число раз, равное

1

Соэ |2(/^со0)|

= ^/1 + О2 (&- 1/&)2 = <Э(к-1/к).

Так, при (^) = 100 и к = 2: |2(/2соо)| = |2(/юо)| 150. К тому же ам
плитуды высших гармоник тока обычно меньше амплитуды его
первой гармоники.
Итак, можно считать, что в установившемся режиме гармониче
скому напряжению на входе резонансного усилителя, работающего
в режиме большого сигнала, соответствует гармоническое же вы
ходное напряжение. Естественно, что это заключение справедливо
для гармонических воздействий, частоты которых находятся в пре
делах рабочей полосы частот усилителя, т. е. близки к резонансной
частоте контура.

При анализе процессов в резонансном усилителе, например,
ламповом, пренебрежем влиянием анодного напряжения на анод
ный ток лампы и будем считать, что анодно сеточная характери
стика лампы является линейно ломаной (см. рис. 11.8).

Крутизну этой характеристики в ее линейно возрастающей час
ти обозначим через 5. При гармоническом воздействии максимумы
импульсов анодного тока лампы 1тах связаны с амплитудой воз
действия Кшвх соотношением

тах — ^(1 СО8 0)Ктвх

(11.11)

поскольку 1тах = 5[Ктвх - (Котс _ Ко)]’ а согласно (11.4) К1 —
— Ку — Ктвх СО8 0 .

Используя соотношения (11.11) и (11.5, б), находим следующие
выражения для амплитуды 1т\ первой гармоники тока в анодной
цепи лампы и амплитуды ЕтвЫх с частотой воздействия на зажи
мах колебательного контура усилителя

1т\ = щ1тах =5 твх (0-8Ш0СО8 0),
л

К вых =	| ^(/ю) I =	( 0 - 81П 0 СО8 0) 12(/со) | .

л

Для того чтобы амплитуды гармонической реакции 17т вых и
гармонического воздействия Сэ»Вх линейно зависели одна от дру
гой, в последнем выражении угол отсечки 0 не должен изменяться
с изменением амплитуды воздействия, что согласно (11.4) возмож
но при Кф = Котс, когда 0 = л/2. Итак, при 0 = л/2

иных

= — 5 |2(/со)| Ктвх

2	।	'*/ х ।	-О-Л-

и, следовательно, резонансный усилитель, работающий в режиме
большого сигнала, т. е. в существенно нелинейном режиме, по от
ношению к его двум парам внешних зажимов может рассматри
ваться как линейный активный четырехполюсник — усилитель с
коэффициентом усиления Я(/со) = 0,55|Х(/со)|.

В технике радиопередающих устройств резонансные усилители,
работающие в режиме большого сигнала, используются как для
усиления узкополосных сигналов, так и для усиления гармониче
ских колебаний большей мощности. Оценим коэффициент полезно
го действия усилителя (КПД) — отношение средней мощности Р\ =
= 0,5 С/ШВых-/тЬ развиваемой усилителем в его колебательном кон
туре при со = соо, к мощности Ра = Еа\1(} потребляемой усилителем
от источника анодного питания

_ 1 1щ1 Е т вых

" 2 Л/о Еа

В этом выражении отношение С/твых / Еа может быть доведено до
значения, близкого к единице, а отношение 1т\ / Л10 является
функцией угла отсечки. Обращаясь к формулам (11.5), имеем при
Етвых Еа

1 0 - 8Ш 0 СО8 0

и =--------------.	(11.12)

2 81П 0 - 0СО8 0

Если усилитель используется для усиления узкополосных сиг
налов, угол отсечки, как было показано, должен быть равен л/2,
чему, согласно (11.12), соответствует ц = л/4, а практически
ц < л/4. Следует учитывать также, что при 0 < л/2 усилитель не
расходует энергии в паузах сигнала.

Заметим, что при работе усилителя в режиме малого сигнала,
т. е. когда мгновенные значения воздействия не выходят за преде
лы возрастающего участка линейно ломаной характеристики лампы
(транзистора), коэффициент полезного действия ц < 0,5.

При использовании резонансного усилителя в режиме большого
сигнала для усиления гармонического колебания неизменной ам
плитуды, когда важно лишь сохранение формы воздействия, угол
отсечки может отличаться от л/2. Исследование функции (11.12)
показывает, что ее значения монотонно возрастают от значения
ц = 0,5 при 0 = л до единицы при 0^0. Практически малые зна
чения угла отсечки и значения КПД усилителя, близкие к единице,
не могут быть достигнуты по ряду причин. Обычно в резонансных
усилителях указанного назначения ц = 0,85...0,9.

Резонансное умножение частоты колебаний. Резонансный уси
литель в режиме большого сигнала используется и для генерации
гармонического колебания, частота которого кратна частоте гармо
нического воздействия. Резонансная частота колебательного конту
ра соо подобного резонансного умножителя частоты совпадает с час
тотой выделяемой гармоники анодного (коллекторного, стокового)
тока. Она создает на зажимах контура с резонансным сопротивле
нием гармоническое напряжение с частотой соо = &со и ампли
тудой 1ткСг~э. По сравнению с ней амплитуды напряжения осталь
ных гармоник, включая и первую, должны быть пренебрежительно
малы. Для этого используются контуры высокой добротности и
выбирается такой угол отсечки, при котором амплитуда выделяе
мой гармоники тока принимает максимальное значение. Так, ам
плитуда второй гармоники тока максимальна (см. рис. 11.10) при
0 = 60°, третьей — при 0 = 40° и т. д. Максимальные значения ам
плитуд гармоник тока убывают с ростом порядкового номера тар
моники, что ограничивает возможные области практического при
менения резонансных умножителей частоты. Обычно кратность
умножения не выше трех.

11.5.	Выпрямление гармонических колебаний

Для питания полупроводниковых и электронных приборов ак
тивных электрических цепей необходимо постоянное питающее на
пряжение. С этой целью используются преобразователи химиче
ской энергии в энергию электрическую (гальванические элементы,
аккумуляторы), термоэлектрические преобразователи (термоэле
менты, солнечные батареи), а также выпрямители — устройства,
преобразующие гармоническое напряжение в напряжение знакопо
стоянное с теми или иными допустимыми флюктуациями относи
тельно его среднего значения.

Схема простейшего выпрямителя приведена на рис. 11.16. Если
к этой нелинейной цепи подвести гармоническое воздействие, то
спустя определенное время в ней установятся периодические коле
бания, которые, естественно, не будут гармоническими. Постоян
ная составляющая напряжения на зажимах резистивной нагрузки
выпрямителя этих периодических колебаний и представляет собой
выпрямленное постоянное напряжение. Гармоники же колебания
оказывают мешающее действие на работу питаемых устройств. Для
снижения их уровня в рассматриваемый простейший выпрямитель
введен конденсатор. Емкость конденсатора выбирается такой, что
бы его сопротивление на частотах гармоник, начиная с первой, бы
ло бы значительно меньше сопротивления нагрузки выпрямителя,
т. е. чтобы (1 соС) /\ц или соС_Кн » 1. Ясно, что чем сильнее
неравенство, т. е. чем больше постоянная времени т = КИС превы
шает период Т = 2л со гармонического воздействия, тем меньше
амплитуды гармоник напряжения на зажимах нагрузки, обуслов
ленных гармониками тока.

При выбранных на рис. 11.16 положительных направлениях на
пряжений в силу однонаправленного
да напряжение мс(О на зажимах на
грузки будет создаваться лишь по
ложительными полуволнами вы
прямляемого напряжения. Следова
тельно, и напряжение на конденса
торе всегда будет положительным.

Пусть в установившемся режиме
колебаний в момент времени /д (см.

характера проводимости дио



“н(0 = “с(0

н
Рис. 11.18

рис. 11.17) периодически изменяющееся воздействие г/(О =
= 1}т со8 (+ ср) достигает, возрастая, напряжения заряженного
конденсатора мс(С), т. е. пусть = мс(С). С этого момента
времени ил > 0, диод открывается и начинается заряд (подзаряд)
конденсатора. Он длится до тех пор, пока напряжение на зажимах
конденсатора не сравняется в момент времени 12 (см. рис. 11.17) с
убывающим после максимума напряжением воздействия. После
этого, пока 12 <	<	+ Т, диод оказывается закрытым (г/д < 0) и

конденсатор разряжается на сопротивление К. Следовательно, в
указанном интервале времени напряжение на зажимах конденсате
ра (нагрузки) убывает по закону

ис (О = ис (^2 )с /2^т.

Затем процесс периодически повторяется с периодом воздейст
вия Т. График мс(О приведен на рис. 11.18. Среднее значение вы
прямленного напряжения Со равно среднему значению функции
мс(О, т. е.

о

1 ц+г

= — | ис(Л)сН.

Т й

Разность же мс(О—Со определяет закон изменения во времени

суммы гармоник напряжения на зажимах нагрузки выпрямителя —
«пульсацию» выпрямленного напряжения. О ней можно судить по
отношению наибольшего и наименьшего значений напряжения,

равного

мс(^2) СНС1

---7-----Г = С Т

г/с(^ + Г)

Г-(^2~Ц)
= е т

г

е т.

Так, при т = ЮГ и С = 0,25Г это отношение не превышает
1,08, а значит наибольшие и наименьшие значения напряжения на
выходе выпрямителя отличаются не более, чем на 8 °<>.

Величина выпрямленного напряжения существенно зависит от
соотношения между параметрами генератора, диода и нагрузки.
Для приближенной оценки постоянной составляющей выпрямлен
ного напряжения положим, что вольт амперная характеристика
280
диода имеет вид, показанный на рис. 11.19. Сопротивление диода
при мд > 0 с учетом резистивного внутреннего сопротивления гене
ратора, обозначим через Положим, далее, что флюктуации на
пряжения относительно его постоянной составляющей Со пренеб
режиме малы, т.е. будем считать, что мс(О = Со = сопзС О допус
тимости этого предположения, которое потребуется выполнять на
практике, можно судить по приведенному выше примеру.

При указанных допущениях ток через диод в цепи, схема кото
рой для мс(О = Со приведена на рис. 11.20, представляет собой
периодическую последовательность импульсов, подобную показан
ной на рис. 11.10, а.

Графические построения, иллюстрирующие процессы в авали
зируемой цепи, показаны на рис. 11.21. Из них следует, что

Со = Ст соз 0 и

I =	= С _	= (1 _ е)

пшх	тт О	О

СУ т у IVд	IVд

Этому значению максимума тока соответствует согласно (11.10, а)
постоянная составляющая тока

— М-О^тах

81П 0 - 0СО8 0
пКа

протекающего через диод и нагрузку.

Заменяя в этом выражении Л/о на СоЛКн и учитывая, что
Со = Ст соз 0, находим зависимость между углом отсечки и сопро
тивлением диода и нагрузки:

Ка/Къ =	0 - О)/тг.
Рис. 11.22

Рис. 11.23

Решив это трансцендентное уравнение, определяем неизвестный
пока угол отсечки 0, как функцию отношения сопротивлений
7?д 7?н, а затем и величину выпрямленного постоянного напряже
НИЯ С/о = СО8 0 •

На рис. 11.22 приведен в относительных единицах график зави
симости выпрямленного постоянного напряжения 17о 1,'н/ от сопро
тивления диода	Данные рисунки показывают, что при

(/?д 7?н)	1 величина постоянного напряжения близка к ампли

туде выпрямляемого гармонического напряжения и убывает при
прочих равных условиях с увеличением сопротивления диода. Ча
гце всего (7?д 7?н) < 0,1, когда Со > 0,65С7т, иначе КПД выпрями
теля становится недопустимо малым. На том же рисунке показан
график зависимости угла отсечки в радианах от того же отношения

7?н- При (/?д 7?н) <0,1 угол отсечки не превышает 0,87 рад,
т. е. 50°, и убывает с уменьшением отношения (/?д /?ц).

Рассмотренные простейшие выпрямители называются однополу
периодными, поскольку у них при формировании выпрямленного
напряжения используется энергия только одного из каждой пары
полупериодов выпрямляемого гармонического напряжения, а, точ
нее, его части.

Схема двухполупериодного выпрямителя мостового типа изо
бражена на рис. 11.23. Здесь за счет поочередного открытия дно
дов, помеченных на рисунке четными и нечетными индексами, дос
тигается постоянство знака тока в нагрузке выпрямителя для обоих
полупериодов выпрямляемого напряжения. Именно двухполупери
одные выпрямители нашли преимущественное применение для вы
прямления однофазного гармонического напряжения. Качествен
ные и количественные оценки процессов в двухполупериодных вы
прямителях можно получить прямым обобщением таковых в вы
прямителях однополупериодных.

Для более полного подавления гармоник, если в этом возникает
необходимость, в выпрямитель вводятся в дополнение к конденса
тору один или два реактивных элемента, образующие фильтр ниж
них частот с необходимым ослаблением на частотах гармоник. За
282
дача фильтрации гармоник двухполупериодного выпрямителя об
легчается тем, что у него амплитуда пульсаций выпрямленного на
пряжения вдвое меньше, а их частота вдвое выше, чем у выпрями
теля однополупериодного при прочих разных условиях. В бытовой
радиоэлектронной аппаратуре вместо фильтра в дополнение к кон
денсатору существенное подавление гармоник осуществляет вклю
ченный на выходе выпрямителя стабилизатор напряжения — уст
ройство для поддержания постоянства напряжения на его выходе
при изменении сопротивления его нагрузки.

11.6.	Ограничение мгновенных значений
гармонических колебаний

Нелинейный четырехполюсник, предназначенный для ограниче
ния мгновенных напряжений сигнала, называется ограничителем.

Схема простейшего ограничителя с ограничением сверху приве
дена на рис. 11.24, а. В ограничитель входят линейный резистор с
сопротивлением К, выпрямительный диод и генератор постоянного
напряжения с задающим пороговым напряжением С/п. На первом
этапе анализа процессов в рассматриваемом ограничителе будем
считать, во первых, что диод идеален, т. е. его сопротивление или
бесконечно велико, если иЛ < 0, или равно нулю, если иЛ > 0, и во
вторых, что внутреннее сопротивление генератора постоянного на
пряжения равно нулю.

Если при указанных предположениях напряжение на зажимах
диода будет отрицательным, т. е. когда мвх(О < Цп, диод будет
«закрыт» и напряжение на выходе ограничителя будет равно на
пряжению на его входе, т. е. мВых(О = мвх(О. Если же мвх(О > С/п,
диод «открывается», его сопротивление становится равным нулю.
Тем самым источник постоянного напряжения подключается к вы
ходу ограничителя и напряжение на выходе ограничителя будет
равно задающему напряжению источника С/п на протяжении всего
времени пока ивх > С/п. Итак:

г у. ч _ (мвх (Ф) при ивх () < С' п,
вых К при Цвх(О>Пп.

—о

Ивых(0

—О

^выхн


к

о—□□—-------о

ид2к

^вх(0 тт О ивых(0
‘-'п

?+

О	1---о

а)

Рис. 11.25

а)	б)

Рис. 11.26

Соответствующая графическая иллюстрация приведена на
рис. 10.24, б для воздействия в виде гармонического колебания
г/вх (О = Vт соз (ой + ф). Штриховой линией на рисунке показаны
«отсеченные» ограничителем участки входного колебания.

На рис. 10.25, а изображена схема ограничителя с ограничени
ем снизу. Аналогичные рассуждения показывают, что у такого от
раничителя при тех же, что и выше, допущениях:

^вых ( ^ ) —

МВХ(О При ЦВХ(О>-С/П,
-6/п при г/вх (О < -С/п.

11	X	11

График напряжения на выходе ограничителя с ограничением
снизу для того же, гармонического, воздействия изображен на
рис. 10.25, б.

Наконец, на рис. 10.26, а приведена схема ограничителя с двух
сторонним ограничением, у которого для принятых допущений

^вых

(О

^ВХ (	)

при Цвх Ш > С/п1,

при -С/п2 < Цвх (О < С/п1,
при г/вх Ш <-С/п2.

Обычно ограничители с двухсторонним ограничением имеют
как симметричные, так и асимметричные пределы ограничений.

Напряжение на выходе ограничителя с симметричными преде
лами ограничения, если к его входу подается гармоническое напря
жение г/вх (О = со§(со^ + ср), по форме близко к периодической
последовательности импульсов трапециедальной формы и чередую
щейся полярности (см. рис. 11.2). Форма импульсов приближается
к прямоугольной по мере усиления неравенства 17т > 6/п1 = С/П2-
Если рассматриваемую периодическую последовательность им
пульсов подвести к устройству, моделирующему операцию диффе
ренцирования, то напряжение на его выходе будет представлять
собой периодическую последовательность коротких импульсов че
редующейся полярности. Форма каждого отдельного импульса
близка к прямоугольной; его длительность тем меньше, а высота
тем больше, чем больше амплитуда гармонического колебания пре
вышает порог ограничения.

В заключение заметим, что задачу анализа колебаний в ограни
чителе можно решать с учетом реальных характеристик диодов и
конечного внутреннего сопротивления генераторов. При этом каче
ственно картина процессов в ограничителе практически сохранится
без изменений по сравнению с рассмотренной выше.

11.7.	Воздействие суммы гармонических колебаний на
нелинейный резистивный элемент

Спектральный состав тока при бигармоническом воздействии.
Пусть к нелинейному резистивному элементу подведено бигармо
ническое воздействие, т. е. колебание в виде суммы двух гармони
ческих колебаний разных частот и постоянное напряжение смеще
ния 17 о

1} = I/о + Vт\ со§ ( 0)Ф + Ф1 ) + V т2 С08 ( 0)2^ + ф2 ) •

Предположим, что ВАХ нелинейного элемента описывается по
линомом

№) = <20 + а\(п - С/о) + а2(п - С/о )2 + ... + ап(п -170)п .

Тогда ток в цепи НЭ равен:

п	1г

С1], \1}т\ СОЗ (соф + Ср! ) + 17 т2 СО§(соф + ф2 )] • (11-13)
1г=1

Для анализа спектра тока аппарат рядов Фурье здесь не приме
ним, так как в общем случае функция (11.13) не является перио
дической. Следует, как и при гармоническом воздействии на НЭ,
воспользоваться формулами преобразования тригонометрических
функций. При этом

для квадратичного члена суммы (11.13)

г2(О = я2[С/ш1 со§(соф + ср1) + С/т2 со§(соф + ср2)]2 =

= а217^ со§2 (соф + Ф1) + а217^2 со§2 (соф + ф2) +

+ 2а217тХ17т2 со§(соф + ср1)со§(соф + ср2) = а217^/2 +
^"2^я22	0'2^(о 4- о \	®2^ т2 (о + о \

+---+-------со§ ( 2соф + 2ф! ) +--СО8 ( 2соф + 2ср2) +
т!^т2 СО8 [(<Щ + <Т>2 ) ^ + Ф1 + ф2 ] +

+а^7 т2 СО§[(С01 -02)^ + Ф1 “ ф2 ] \
для кубичного члена

г3(0 = (I з С т\ СОЗ ( (0^ + ф1 ) + С/т2 СОЗ ( (О 2^ + ф 2 ) ]' =

— Й3

т! 2 т2

СОЗ ( (0^ + Ф1 ) +

+<23

т2+~^^т^т2 СОЗ ( «^ + ф2 ) +

2	/

+а3	соз (Зсо^ + 3ф1) + а3 ™2 соз (Зсо2^ + Зф2) +

+а3 -17^рт2 СОЗ [ ( 2с01 + СО2 )

з

+а3-17^17т2 соз[(2со1 -со2)^

Ф2] +

+Й3 —17 т\^т2 С0$ [ ( С)| + 2(02 )^ + ф1 + 2ф2] +

3

+а3-17тХ172п2 соз[(со1 - 2со2)^ + Ф1 - 2ф2] и т. д.

Допустим, что п = 3, т. е., что вольт амперная характеристика
нелинейного элемента описывается полиномом третьей степени. То
гда полученные выше выражения для 12(Л) и гз(О показывают, что
ток в элементе кроме линейной составляющей реакции Д(О =
= б/|Сгп/| соз(сэу + ф|) + б/|Сгп/2 соз(о)2^ + ф2) содержит также посто
янную составляющую, гармонические колебания с частотам воздей
ствия С01 и С02 и гармоники колебаний с частотами 2со1, 2<Ю2,Зсо1 и
ЗСО2-

Перечисленные составляющие спектра характерны и для воз
действия на тот же элемент двух гармонических колебаний с часто
тами со1 и Ю2 порознь. При совместном же их воздействии в спек
тре реакции появляются колебания с частотами

| (01 + (02 I, I 2(01 ± (02 | И I (01 ± 2(02 I •

Соответствующие колебания называются комбинационными, а
их частоты - комбинационными частотами. Амплитуды комбина
ционных колебаний зависят от амплитуд обеих составляющих би
гармонического воздействия и в рассматриваемом примере для ко
лебаний с частотами

| (01 ± (02 |, | 2(01 ± (02 I И I (01 ± 2(02 I

Знак модуля в общем случае необходим, так как частота колебания не может быть отрица-
тельной.
пропорциональны соответственно произведениям	Ут1^т2

И Ут!^т2 •

Аналогичные выкладки для остальных членов суммы (11.13)
приводят к заключению, что при бигармоническом воздействии на
нелинейный элемент с полиномиальной вольт амперной характери
стикой спектр реакции содержит гармонические колебания с часто
тами

со = |/с01 ± та>21,	(11.14)

где I = 0, 1, 2, ..., и; т = 0, 1, 2, ..., п, I + т < п.

Сумма I + т определяет порядок комбинационного колебания с
частотой (11.14). Так, комбинационные колебания 4 го порядка —
это колебание с частотами 4со1, |3со1 ± Ю2|, 12со1 ± 2<»21, | «ц ± Зсо21 и
4СО2.

Комбинационные частоты при воздействии суммы гармониче-
ских колебаний. В общем случае входное воздействие можно пред
ставить бесконечной суммой

Ц ( ^ ) — Со + &тк СО8 ( СО^ + ([)/,).

к=1

В зависимости от степени п аппроксимирующего полинома в
спектре тока, протекающего через нелинейный элемент, появляют
ся комбинационные частоты вида:

|/со! ± тсэ2 ± 5(о3 ± кор, ± ...|; I + т + 8 + ... + к + п;

I, т, 5, к — целые положительные числа. Например, при воздейст
вии на НЭ с ВАХ в виде полинома второй степени суммы трех
гармонических колебаний в спектре тока, помимо постоянной со
ставляющей и первых двух гармоник каждой частоты, присутству
ют комбинационные частоты | сот ± Ю2|; |®1 ± ®з|; |<®2 ± ®з|- При ап
проксимации полиномом третьей степени дополнительно появляют
ся третьи гармоники с частотами Зор, Зсо2, Зсоз и колебания с ком
бинационными частотами типа | сот ± Ю2 ± соз|, 12со1 ± соз|, |сот ± 2соз|
и т. д.

11.8. Преобразование частоты гармонического колебания

При передаче электрических сигналов на расстояние часто требу
ется переносить спектр сигнала вверх или вниз по шкале частот. Та
кой перенос спектра называется преобразованием частоты. Необ
ходимость в преобразовании частот возникает, например, в случаях
если спектр сигнала, который нужно передать, расположен на шкале
частот значительно ниже полосы пропускания системы передачи.

В качестве преобразователя частоты может быть использован
усилительный каскад на транзисторе с колебательным контуром
Рис. 11.27

(рис. 11.27). Предположим, что нужно
перенести вверх по шкале частот на зна
чение со гармоническое низкочастотное
колебание с частотой Г2:

= итП созОй

Подадим на вход нелинейного резо
нансного усилителя, кроме этого колеба
ния, также высокочастотное колебание с
частотой со:

(О ^та С08 СОЙ

Амплитуды напряжений смещения
1}о, низкочастотного 1}то. и высокочас
тотного 17тсо колебаний выберем так,
чтобы работать на участке ВАХ, кото
рый достаточно точно аппроксимируется

полиномом второй степени

ЙС - Р (иБЭ ) - ао + (1\ (МБЭ “ ^0 ) + а2 (МБЭ “ ^'() ) • (И-15)

Напряжение на участке база —эмиттер

^БЭ = ^0 +	С08 & + СОЗ СОЙ

После подстановки этого выражения в зависимость (11.15) в
формуле для тока появляются гармонические колебания с частота
ми О, со, 2С1, 2со и с суммарной и разностной комбинационными
частотами со + О и со — О.

Колебательный контур резонансного усилителя настроен на ча
стоту со + П и выделяет из спектрального состава тока колебание

й> I О ( ^ ) — ^2^тО&пио	( СО + О ) Й
Выделенное колебание тока создает на резонансном сопротивлении
контура Коэ падение напряжения

^ВЫХ (О - й2-^0э^тсо СО8(Ю +	= т+О. С08(со + ^К,

которое и является выходным сигналом преобразователя частоты.

В реальных системах связи передаваемый низкочастотный сиг
нал не является гармоническим, а имеет сложный спектр С/о(со)
(рис. 11.28, а), т. е. состоит из суммы гармонических колебаний с
частотами Оц Оз, Оз,  

Если этот сигнал вместе с высокочастотным колебанием мю(О
подать на нелинейный элемент, то в спектре тока /ц(со)
(рис. 11.28, б), протекающего через НЭ, будут присутствовать по
лезные продукты преобразования — комбинационные частоты со +
+ О1, со + Оз, со + Оз, ... . Чтобы отфильтровать токи с этими час
тотами, недостаточно воспользоваться одиночным колебательным
контуром, поскольку он не сможет обеспечить хорошую фильтра
цию полезных продуктов преобразования. Его можно заменить в

схеме рис. 11.27 обычной резне
тивной нагрузкой, а на выходе
схемы включить электрический
фильтр с характеристикой ослаб
ления (на рис. 11.28, б она
показана штриховой линией),
обеспечивающей необходимую
степень подавления несущего
колебания с частотой со.

Приведем еще несколько
практических схем преобразо
вателей частоты. На рис. 11.29
представлены диодные преобра
зователи: однотактный (а),
двухтактный или балансный
(б) и кольцевой (в), работа
ющие в режиме больших амп
литуд колебания частоты со,
т. е. в режиме аппроксимации
ВАХ диодов линейно ломаными
функциями.

В балансных и кольцевых
преобразователях гораздо мень
ше побочных продуктов преобра
зования; тем самым значительно
облегчаются требования к филь
тру, выделяющему полезные ко
лебания.
Вопросы и задания для самопроверки

1.	Каково число гармонических составляющих реакции при поли
номиальной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента и тар
моническом воздействии?

2.	В чем принципиальное отличие спектров при полиномиальной
аппроксимации ВАХ нелинейного элемента при воздействии по
рознь двух гармонических колебаний с частотами ом и со2 и при
совместном их воздействии?

3.	Что называется углом отсечки и как он зависит от напряжения
смещения и амплитуды гармонического воздействия?

4.	При каком угле отсечки амплитуды гармонических составляю
щих реакции прямо пропорциональны амплитуде гармоническо
го воздействия и почему?

5.	Какими коэффициентами при полиномиальной аппроксимации
ВАХ определяются амплитуды четных (нечетных) гармоник реак
ции при гармоническом воздействии? Покажите это на примере.

6.	При каких условиях в резонансном усилителе, работающем в режи
ме «большого» сигнала, т. е. в нелинейном режиме, амплитуда ре
акции и гармонического воздействия имеют линейную зависимость?

7.	Напишите возможные частоты гармонических составляющих ре
акции в электрической цепи при аппроксимации ВАХ нелиней
ного элемента полиномом четвертого порядка при бигармониче
ском воздействии.

8.	Как изменяется КПД и выходная мощность резонансного усили
теля от угла отсечки?

9.	На какую частоту настраивают параллельный колебательный
контур и каким выбирают угол отсечки в умножителях частоты?
Чем ограничена кратность умножения частоты на практике?

10.	Как изменяется выпрямленное постоянное напряжение 17о/17т
от отношения сопротивления диода к сопротивлению нагрузки

11.	В чем преимущество двухполупериодного выпрямителя по
сравнению с однополупериодным и почему?

12.	ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимирована
полиномом г = «о + Я\и + а^иЗ. Найдите частоты всех состав
ляющих тока, если к элементу приложено напряжение:
а) и = 17т соз со(ф, 6) и = 17$ + 17т соз со(ф •

Ответ: а) 0, соо, Зсоо; б) 0, соо, 2соо, Зсоо.

13.	ВАХ нелинейного резистивного элемента аппроксимирована
полиномом г = 50 + 4ц + 1,5и2 шА. К элементу приложено на
пряжение и = 4 + 17т созЮЧВ. Найдите зависимость амплиту
ды первой гармоники от амплитуды переменной составляющей
напряжения 17 т.

Ответ: 1т\ = 16Сг;„(тЛ, В).

14.	На нелинейный резистивный элемент с ВАХ г = 30 + 5и + 2и2 шА
действует напряжение и = 17 о + 17 т со§105^ В. Определите за
висимость амплитуды первой гармоники тока 1т\ от напряже
ния смещения 17о при фиксированной амплитуде переменной
составляющей напряжения 17 т = ЗВ.

Ответ: 1т± = 15 + 1267о(тА, В).

15.	К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого аппрок
симирована полиномом г =	+ ауг + а-улТ2, приложено напряже

2

ние и =	17соз со. Найдите амплитуды гармонических со

к=1

ставляющих тока.

Ответ: /0 = «о + 0,5^^ + 0,5б/2С7^2; Лп1|ю1 =

= 0, 5й26/^р I т\ |ю2 = С1]От2, ^п/2|0)2 = 0, 5й26/^2>
^п/1о)1-о>2 =	о>1 ю>2 = а2^т^т2-

16.	Найдите аналитическое выражение для ВАХ нелинейного эле
мента, который обеспечивает преобразование синусоидального
воздействия х(О в бесконечную последовательность треуголь
ных импульсов.

Ответ: у = |2/л агсзт х|; -1 < х < 1.

17.	К нелинейному резистивному элементу, ВАХ которого описы
вается полиномом I = «о + а^и + а^и2 + а^и3, приложено напря
жение и = 17т соз ой . При каком условии постоянная состав
ляющая тока через элемент не зависит от амплитуды прило
женного к нему напряжения?

Ответ: <72 = 0.

ГЛАВА 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

12.1.	Общие положения

В технике связи под четырехполюсником понимают электричес
кую цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары за
жимов для подключения к источнику и приемнику электрической
энергии. Зажимы, к которым подключается источник, называются
входными, а зажимы, к которым присоединяется приемник (на
грузка), — выходными зажимами (полюсами).

В качестве примеров четырехполюсников можно привести
трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются элек
Четырех-
полюсник

7
^вх



Рис. 12.1

трические фильтры, усилительные устройства радиопередатчиков
или радиоприемников, линия междугородной телефонной связи и
т. д. Все эти устройства, имеющие совершенно «непохожие» схе
мы, обладают рядом общих свойств.

В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на
рис. 12.1. Ко входу четырехполюсника 1 — 1' подключен источник
электрической энергии с задающим напряжением Ц_? и внутренним
сопротивлением 2р. К выходным зажимам 2 2' присоединена на
грузка с сопротивлением 2д. На входных зажимах действует на
пряжение Цу, на выходных — Ц_2- Через входные зажимы протека
ет ток 11, через выходные зажимы — Тд. Заметим, что в роли источ
ника и приемника электрической энергии могут выступать другие
четырехполюсники.

На рис. 12.1 использованы символические обозначения напря
жений и токов, что справедливо при анализе четырехполюсника в
режиме гармонических колебаний. Если же используется источник
периодических негармонических или непериодических колебаний,
то можно воспользоваться спектральным представлением на
пряжений и токов (гл. 5, 9)

Пг(/со), С71(/со), П2(/со), Л(/со) и/2(/ю).

Подобное представление будем широко использовать при ана
лизе частотных характеристик четырехполюсников. В необходимых
случаях обращаться к операторным изображениям 12Т(р),
Ц^Ср), 11(р) и 12(р), которые легко получить, заменяя оператор /со
на оператор р (см. § 7.4).

Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линей
ные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что не со
держат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому характеризуются
линейной зависимостью напряжения и тока на выходных зажимах
от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных
четырехполюсников являются электрический фильтр, линия связи,
трансформатор без сердечника; примерами нелинейных — преобра
зователь частоты (содержащий диоды) в радиоприемнике, выпря
митель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником
(при работе с насыщением стали). Усилитель, содержащий НЭ
(например, триоды), может являться как линейным, так и нелиней
^3

ным четырехполюсником в зависимости от режима его работы (на
линейном или нелинейном участке характеристик триодов).

Четырехполюсники бывают пассивными и активными. Пассив
ные схемы не содержат источников электрической энергии, актив
ные — содержат. Последние могут содержать зависимые и незави
симые источники. Примером активного четырехполюсника с зави
симыми источниками может служить любой усилитель; примером
пассивного — ЬС фильтр.

В зависимости от структуры различают четырехполюсники мо
стовые (рис. 12.2, а) и лестничные: Г образные (рис. 12.2, б), Т
образные (рис. 12.2, в), П образные (рис. 12.2, г). Промежуточное
положение занимают Т образно мостовые (Т перекрытые) схемы
четырехполюсников (рис. 12.2, д).

Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметрич-
ные. В симметричном четырехполюснике перемена местами вход
ных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи,
с которой он соединен. Четырехполюсники, кроме электрической
симметрии, могут иметь структурную симметрию, определяемую
относительно вертикальной оси симметрии. Так, Т образный, П об
разный и Т перекрытый четырехполюсники (рис. 12.2) имеют вер
тикальную ось симметрии при 7_\ = 7$. Мостовая схема структурно
симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в
структурном отношении, обладают электрической симметрией.

Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравно-
вешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизон
тальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 12.2, а)
и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными
относительно какой либо точки (например, земли). Можно сделать
уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.
Четырехполюсники также делятся на обратимые и необрати-
мые. Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию
в обоих направлениях; для них справедлива теорема обратимости
или взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения
на входе к току на выходе не меняется при перемене местами за
жимов (см. § 2.4).

12.2.	Уравнения передачи четырехполюсника

Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей тео
рии четырехполюсников является установление соотношений меж
ду четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а
также токами, протекающими через входные и выходные зажимы.
Уравнения, дающие зависимость между Ц_\, Ц_2, 11 и Тд, называют
ся уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных че
тырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины,
связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называ
ются параметрами четырехполюсников.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая
входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокуп
ность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.
Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить пара
метры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависи
мость между напряжениями и токами на зажимах результирующего
сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напря
жений и токов внутри заданной схемы.

Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить об
ратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти пара
метры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать
элементы, т. е. решить задачу синтеза.

Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров.
Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (Тщ = 7д),
второй контур — к его выходу = 1у). Будем считать, что во
внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые
источники энергии.

При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о
положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем
будем придерживаться положительных направлений, показанных
стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.

Составим систему уравнений для контурных токов (см. § 2.4):

+ —12—к2 + ••• + ^.1п—кп	—Р

— 21—к1 + —22—к2 + ••• + ^_2п—кп ~	— 2’

(12.1)

—	+ —п2—к2 +•••* ^_пп—кп О*
Определим из этой системы токи 1_[ и /2-

—2 “ —к2

= 2111Г, +

= -^12.(7,

А 2

А21 ц

л -2’

дЛ2’

(12.2а)

Щ “ —к1

где Аг — определитель системы уравнений (12.1); Ли, Л22, Л12 и
Л21 — алгебраические дополнения определителя Л^.

Введем обозначения

_ Ап .	_ Л21 . у Л12 . у А22

-11 Л2 ’ -12 Л2 ’ -21 Л2 ’ -22 Л2

Тогда

(12.26)

Коэффициенты _Уц, Ущ, У21 и У22 в уравнениях (12.2) называ
ются V параметрами, или параметрами проводимостей четырех
полюсника, так как по размерности они являются именно таковы
ми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырех
полюсника в V параметрах. Эти уравнения представляют собой од
ну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют нахо
дить любую пару из значений 7д, 1^, Ц_1 и Ц^, если заданы значе
ния другой пары.

Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм
уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения Ц_\, Ц_2
и токи 11, /2

- А1И1 ^12^2’

(12.3)

^2 ~ ±±21=Л	—221 2 1

содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений че
тырехполюсника, или 7 параметры, и называются уравнениями пе
редачи в 7 параметрах. Параметры 2ц, 212, 7,21 и У>2 имеют раз
мерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными
величинами по отношению к параметрам проводимости, таким обра
зом, например, 2П ф 1/Уц или 2д2 ф 1/У12 • Не следует также пу
тать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями
контуров 211, 2щ и т. д. в уравнениях (12.1) для контурных токов.

Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую
входные Ц_[ и /1 и выходные Ц_2 и /2 напряжения и токи

Уд - ипс/2 + л12/2

(12.4)

А1 -	— 22 — 2

называются А-параметрами, или обобщенными параметрами.
Уравнения (12.4) называются уравнениями передачи в А парамет
рах. Параметры Аи и А22 являются безразмерными, параметр А12
имеет размерность сопротивления; параметр А21 — размерность
проводимости.

Приведем еще две формы уравнений передачи:

Коэффициенты Яц, Н12, Н21 и Н22 называются ^.-параметрами и
применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры
Н12 и Н21 являются безразмерными, а параметры Иц и Н22 имеют
размерности сопротивления и проводимости.

Коэффициенты Кц, ^12, ^21 и Д22 называются ^-параметрами
и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами.
Параметры Р12 и Р21 безразмерные, а параметры Рц и Р22 имеют
размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) на
зываются соответственно уравнениями передачи в ^-параметрах и
Р-параметрах.

Все формы уравнений передачи принципиально равноправны.
Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, ко
торая в данном случае решается.

Полная совокупность параметров любой системы уравнений пе
редачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, сис
тему V параметров четырехполюсника образует совокупность его
параметров Уц, У12, У21, У22-

Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы пара
метров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов
и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями
передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентны-
ми, и при включении любого из них между одними и теми же
внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые
режимы.

Свойства параметров-коэффициентов. Системы V , 7 , А , Н и
Г параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи,
и поэтому часто их объединяют одним названием параметры-коэф-
фициенты. Рассмотрим основные свойства параметров коэффи
циентов.

1.	Параметры коэффициенты определяются только схемой че
тырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей,
между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они
характеризуют собственно четырехполюсник.

Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), под-
ключенного к внешним цепям, действует напряжение Ц_\ и ток 1_\, а на выходе
напряжение Ц? и ток [3. Определим А-параметры четырехполюсника.

В соответствии с ЗНК и ЗТК Ц_\ = Ц? + 11^1 и 1_\ =	+ [3.

Подставляя выражение для тока Уд в первое равенство, получаем
С, =(1 + 2,/2,)У,+2172; I, = (1/72)17, + 1_2.

Сравнивая эти уравнения с уравнениями передачи в А-параметрах (12.4),
находим А11 - ^ + 2^/22, А12 - 2.1', А2\ - 1/Х2 и А22 - 1. Как видим, А-пара-
метры определяются только элементами Г-образного четырехполюсника и не
зависят от внешних воздействий.

2.	Все системы параметров коэффициентов описывают один и
тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами
параметров коэффициентов существует однозначная взаимосвязь.

Пример. Установим связь между А-параметрами и /-параметрами. Решая
систему уравнений в /-параметрах (12.3) относительно неизвестных Ц_\ и 1_\,
находим:

-1	^7	-л гу —х, ’

—21	—21

1 -^—ТТ	~22 I

11 “ у И 2 у 2-2’
—21	—21

где Дх = /и/22 — /12/21 — определитель системы уравнений (12.3).

Сравнивая эту систему уравнений с системой (12.4), устанавливаем, что
Ан = /11 //22; 412 = —Д7//.21; 4.21 = 1//21 и А22 = —/22//21  Решая систему
(12.4) относительно неизвестных Ц_[ и Ц_2, можно найти выражение /-парамет-
ров через А-параметры:

7	— —11	.	7	— — Ад	-7	_	1 •	7	_ ——22

-11	’	-12	’	-22“^	’

2221	22.21	2221	22.21

где Ад = 411422 — 4124.21 — определитель системы уравнений (12.4).

Аналогичным образом можно установить связь между другими системами
параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными система-
ми параметров —коэффициентов.

3.	Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не
более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в
многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные со
противления 2^т и 2^ к го и т го контуров равны между собой.
Следовательно, Ущ = —Удь Зная связь между V параметрами и 7
параметрами, можно установить, что /щ = —2.21. Далее можно по
казать, что для А параметров справедливо соотношение

Это легко доказать, если выразить в данном определителе А
параметры, например, через 7 параметры.

Наконец, аналогичным образом можно найти, что Нц = Н21 и
Р12 = ^21-

Таким образом, независимыми параметрами четырехполюсника
могут быть: Уи, У12 = — У21, У22; 2ц, 2щ = —221, 222; Яи, Нц =
Таблица 12.1

	У	2	А	/у	р
У	—	—22	412  А^	А2  4.21	411  Аг А у	<  । । см см  см  М1 М1	^1 ^1 <  1	см см  1 ^1 ^1  1т  <
			412	412	Яп	^22	^22
2	1-22	И12  Ау	Ау  —21 Х11  Ау Ау	—	< М1М1  1	1  ч—1  см  М1 М1	Ая Р[12  Л22	Л22  я21	1	СМ  <  1  ч—1  1	см  ^1^1
			421	421	^22	^22	^11 ^11
А	—22	1	|!М н—- >	—	Ая Яп	1	^22
	1^21	—21  Ау Уп	^21	^21  1	—22		^21	^21  ^22	1	^1 < *—1 -ч—1 см ^1^1
	—21	—21	^21	^21		^21	^21	^21	^21
	1 _Х12  Ти Хи  —21 АУ  Хи Хи	Аг 412  —22	422  421  —22	—22	412 Ал  422	422  1	421  422	422	—	^22	^12  Ар	Ар  ^21 ^11  Ар	Ар
Р	Ау —12  Х22 Х22  _Х21.	1  —22	—22	СМ  М1 <1 [4^1	СМ  < М|  1  М1 М1 М1	^22	^12  Ая	Ая  ^21 Н-11	—

= Я21, Я22; Р_и, Р.12 = Р.21 и Ру.2 или любые три из параметров Ац,
412, А21 и Д22.

4.	При изменении направления передачи энергии через четы
рехполюсник во всех выражениях, включающих А параметры, ко
эффициенты Аи и 422 меняются местами.

Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в об
ратном направлении, т. е. от зажимов 2—2' к зажимам 1 — 1'
(рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напря
жение Ц_1 и ток 7д на зажимах 1 — 1' на напряжение Ц_2 и ток —Р}
в соответствии с рис. 12.3, а напряжение Ц_2 и ток /2 на зажимах
2 2' на величины — Цу и —/.Г, то (12.4) можно переписать в виде
1 л

о---

|ш

о----

Г

-1 2

Четырех-
полюсник

7
1вх

Рис. 12.3

о

2'



—2 - ±111^1	±11211 ’

I ±2 “ И21Ы1	±12211 •

Решая эту систему относительно нового входа четырехполюс
ника, т. е. относительно переменных Цу и Уд', получаем

Ы1 — _22_2 ^±11212’

(12.6)

1И - ±121—2 ±П112 •

Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное
наблюдение: в уравнениях передачи параметры Ац и А22 поменя
лись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для
уравнений передачи, но и для любых других выражений, в кото
рые входят А параметры.

5.	Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только
два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного
пассивного четырехполюсника не имеет значения направление пе
редачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изме
няются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения пере
дачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что Ац = А22. Из табл. 12.1
находим также, что в симметричных четырехполюсниках _Уц =
= — У22; 7д1 = — У22 И А// = —1.

Любой симметричный пассивный четырехполюсник полностью
описывается двумя независимыми параметрами: Ац = А22 и любым
из параметров А12 и А21 (так как они связаны уравнением АцА?2 —
— А12Д21 = 1); У и = — У22 и У12 = — У21;	= —^22 и 712 = —^21;

/Уд 2 = Н_2\ и любым из параметров УУ_ц и Нуу (так как для симмет
ричных четырехполюсников Н_цН_22 — ТУщУУд! = —1); Р.У2 = ^21 и
любым из параметров Р_ц и Р_22-

6.	Параметры коэффициенты имеют определенный физический
смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырех
полюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения
передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подоб
ное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX —
размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ — замы
кания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2—2'
(см. рис. 12.1) ток /2 = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие
ток 1_2, например уравнения (12.3) в 2 параметрах, имеют вид:

^1 = ^1111 и У_2 = 1^211г

Коэффициент 211 = при 7.2 = 0 есть входное сопротивле
ние четырехполюсника, измеренное со стороны зажимов 1 — 1' при
разомкнутых зажимах 2 — 2' или входное сопротивление XX.

Коэффициент Х21 =	|/2=о — отношение комплексного дей

ствующего напряжения на разомкнутых зажимах 2 — 2' четырех
полюсника к комплексному действующему току, протекающему че
рез зажимы 1 — 1', или взаимное (передаточное) сопротивление XX.

Рассматривая режим XX на зажимах 1 — 1' (7.1 = 0), убеждаемся
из уравнений (12.3), что Х.22 — выходное сопротивление четырехпо
люсника при разомкнутых входных зажимах, а — взаимное
(передаточное) сопротивление при XX на зажимах 1 — 1'.

Предлагаем читателю самостоятельно установить физический
смысл остальных параметров, «устраивая» поочередно XX на за
жимах 2 — 2' (7.2 = 0) и зажимах 1 — 1’ (7д = 0) и КЗ на этих же
зажимах (С/д = 0 и Ц_\ = 0) и используя соответствующие уравне
ния передачи (12.2), (12.4) и (12.5).

7.	Из предыдущего свойства следует, что параметры коэффи
циенты являются комплексными величинами, так как они опреде
ляются отношением комплексных амплитуд (действующих значе
ний) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в
режиме негармонических колебаний используют спектральные
представления электрических величин. Можно показать, что пара
метры коэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной
частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными
функциями оператора /со. При переходе от оператора /со к опера
тору р параметры коэффициенты представляют собой рациональ
ные функции оператора р.

Пр	имер. Для четырехполюсника на рис. 12.2, б определим параметр 2ц.
Исходя из физического смысла параметра 2ц (он является входным сопро-
тивлением Г-образной схемы при разомкнутых зажимах на выходе), определя-
ем из рис. 12.2, б\ 2ц = 2д + 2?.

Этот же результат можно получить следующим образом:

7 _	_ Л11С[2 + Л1272	_ А11 _ 7	7

-11 ’ 11	’ 421П2 + А221_2	~ Л21 --1 -2’

где значения параметров Иц и Л21 взяты из первого примера этой главы.

Пусть далее двухполюсник 21 состоит только из индуктивности Т, а двух-
полюсник 2? — только из емкости С. Тогда, используя операторную форму
записи, получаем

21(р) = рГ; 22(р) = 1/(рС) и 211(р) = рГ + 1/(рС) = ЛЛЦС),
т. е. Иц является дробно-рациональной функцией оператора р с положительны-
ми вещественными коэффициентами. Нули этой функции /?01,02 - ±Д/1/(-^С) —
мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости, полюс р\ = 0. При
замене оператора р оператором /со переходим к частотной характеристике

Иц (/со) - 1//со[(1/ГС)-со2].

Полученные выражения Иц(р) и Иц(/со) напоминают выражение входно-
го сопротивления последовательного 2.С-контура. Это объясняется тем, что
входное сопротивление Г-образной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых
зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Иц и
И? (индуктивности и емкости), т. е. Иц является сопротивлением двухполюс-
ника (ср. с (4.115)).

12.3.	Применение матриц к расчету четырехполюсников

Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем
уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матрич
ной форме. В частности, для системы уравнений в V параметрах
(12.2)

(12.7)

где слева и справа записаны матрицы столбцы.

Действительно, выполняя операцию умножения в правой части
(12.7), имеем

Из равенства этих матриц следует система уравнений (12.2).
Система уравнений в 7 параметрах в матричной форме записи име
ет вид:

С2

^11

—21

^12

—22

Для уравнений передачи в А параметрах

Наконец, запишем в матричной форме системы уравнений пере
дачи в Н параметрах и Г параметрах:

Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехпо
люсники можно представить в виде различных соединений простых
четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюс
ника могут быть найдены по параметрам образующих его простых
четырехполюсников.

На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четы
рехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при
каскадном соединении Ц_'2 = Ц_[ и Г2 =	. Для каждого из четы

рехполюсников можно составить матричные равенства:

Так как матрицы

равны между собой, получаем

для результирующего четырехполюсника

Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника
при каскадном соединении равна произведению одноименных мат
риц соединенных четырехполюсников: А = А'А". Это правило рас
пространяется на любое число каскадно соединенных четырех
полюсников, причем матрицы должны записываться в порядке сле
дования четырехполюсников, так как умножение матриц не под
чиняется переместительному закону.

При последовательном соединении двух (или большего числа)
четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами
7. Для этого вида соединения	+Ц_'( и Ц_2 = Ц_2 + ^2>

т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюс
ников в результирующем четырехполюснике складываются. За
писывая уравнения передачи в X форме для каждого четырехпо
люсника

2,',

—21

—12

—22

7 "
—12

7 "

—22

—2

и складывая эти матричные равенства, получаем

Рис. 12.4

Рис. 12.5
Рис. 12.6

При последовательном соединении четырехполюсников матрица
7 результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных
матриц соединенных четырехполюсников: 7 = 7" + 7".

Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном
соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где /1 =+1_\ и
/2 = 1_2 + 1.2 , матрица V результирующего четырехполюсника рав
на сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников:
V = V" + V".

Матрицы Н удобно применять при смешанном — последова-
тельно-параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, ад.
При этом Н = Н" + Н ".

Матрицы Р удобно применять при параллельно-последователь-
ном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом Р =
= Р" + Р"".

Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассив
ным четырехполюсникам относят Г , Т , П образные схемы (см.
рис. 12.2, б —г), мостовые (см. рис. 12.2, а) и Т перекрытые схемы
(см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных ме
тодах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рас
сматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из со
единений простейших четырехполюсников.

Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изобра
женные на рис. 12.8, а и б. Для первого из них (рис. 12.8, а),
пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: Ц_\ = Ц_2 + 7.2 и
7_1 = Т_2- Сравнивая эти уравнения с уравнениями в А парамет
рах (12.4), можно записать матрицу А для такого четырехпо
люсника:

1

О 1

Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) име
ем Ц_[ = Ц_2 и 7д = Ц_2 /	+ 7.2 и поэтому

Другие матрицы - 2, V и Н - могут быть легко получены из
табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюс
ника не существует 7 параметров, так как все они обращаются в
бесконечность. По этой же причине для второго простейшего че
тырехполюсника не существует V параметров.

На рис. 12.9, а, 6 показаны соответственно прямое и скрещен
ное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению со
ответствует матрица

а скрещенному соединению — матрица

Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсни
ков, изображенных на рис. 12.2. Г образный четырехполюсник
(рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших
четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица
Рис. 12.10

А может быть получена перемножением вышеприведенных матриц
простейших четырехполюсников:

1 2(

1 + 2д/22 21

1/г2	1

(12.8)

Для Т образного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу А
можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение Г
образной схемы с элементами 21 и 22 и простейшей схемы с эле
ментом 2.з в продольном плече (рис. 12.8, а):

(12.9)

Для П образной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде
каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изобра
женного на рис. 12.8, б и Г образного четырехполюсника с элемен
тами 2.2 в продольном плече и 2.з в поперечном плече, матрица

Зная А параметры Г , Т и П образных четырехполюсников,
можно найти по табл. 12.1 другие системы параметров коэффи
циентов.

Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно предста
вить как параллельное соединение двух простейших четырехпо
люсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует
пользоваться матрицами V. Используя данные табл. 12.1, найдем
по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй
из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы V и,
просуммировав последние, получим результирующую матрицу V
мостового четырехполюсника. Матрицы V простейших четырехпо
люсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором
равны

1 1		и У2 -		1 1
221  1 - 1 !				222	222  1 1
221	2^1				222	222

Отсюда матрица V мостовой схемы

		21 +22	|К| 1 |К|	
1 -	^1+^2 -	22.2,	2212?  21 +22	(12.10)
		22122	22122	

С помощью табл. 12.1 можно получить матрицы Аи 2 мосто
вого четырехполюсника:

А =	22+21	22122  22 -21 22-21  2	22 + 21	; 2 =	22 +21 22-21
			2	2  21-22	22+21
	|К| 1 |К| |К|  1  |К|		2	2

Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры Т-пе-
рекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, д), рассматривая его
как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с со
противлением 2д в продольном плече и Т образного четырехпо
люсника.

Параметры зависимых источников. Системе уравнений в V па
раметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему
с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если
положить _Уц = У12 = У22 = 0 и У21 = Ну, то получим идеальный
источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким об
разом, V матрица идеального ИТУНа равна

Воспользовавшись таблицей 12.1, можно записать его А матрицу:

Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в Н парамет
рах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми
источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая Яц =
= Яц = Н_22 = 0 и Н.21 = Н.1 переходим к идеальному источнику
тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид

а переход с помощью таблицы 12.1 к А матрице дает

Если использовать систему уравнений (12.3) в 7 параметрах, то
получаем схему с двумя источниками типа ИНУТ (рис. 12.11, в).
Полагая 7ц = 7.12 = 7.22 = 0 и 7.21 = Н/, приходим к идеальному
источнику напряжения, управляемому током (рис. 1.7, в). Значит
7 матрица идеального ИНУТ записывается в виде

О О

Нг о

Соответствующая ей А матрица равна

Система уравнений четырехполюсника в Г параметрах (12.5)
связывает входной ток 7д и выходное напряжение Ц_2 с остальными
двумя величинами Ц_\ и 1_2'.

— 1 = —11—1 + Р 12^ 2,
ц2 = Р21и1+р2212- ’
г,   Ли 1 — Г — Ли Ли — Ли

Рис. 12.11
Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г.
При Ри = Р12 = Р22 = 0 и Р21 = Н_и данная схема превращается в
идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно, Г матрица ИНУН

записывается в виде:

р ° °

Ни 0 ’

и соответствующая ей А матрица:

К числу простейших активных линейных четырехполюсников с
зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, рабо
тающие в линейном режиме.

Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в
Н или V параметрах. Иногда используются также 7 параметры.
Усредненные значения V-, 7- и Н параметров транзисторов при
водятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни
и те же параметры имеют различные значения в зависимости от то
го, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, кол
лектор) является общим для входной и выходной пар зажимов
транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому V-, 7- и
Н параметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с
общим коллектором.

Пример. Определим параметры биполярного транзистора п-р-п типа,
включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, а). Его схема замеще-
ния в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему
со схемой рис. 12.11, а, видим, что при _Уц = 1/7?бэ, У12 = О, У?1 = Ну и
У?? = 0 обе схемы становятся идентичными. Следовательно, У-матрица бипо-
лярного транзистора с общим эмиттером имеет вид

^1>Э

Ну О

По формулам табл. 9.1 находим матрицы А и Н транзистора:

О

О

1

Ну
1

НуКъэ

Нбэ
НуКъэ

О
о

Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характе
ризуется V или А параметрами. Для электронной лампы с общим
катодом, если считать, что сеточные токи отсутствуют, и не учи
тывать паразитные емкости, имеем:
308
Ги=У12=0; У21=5; У22 = 1//?,;

А„ = -1/5/?, = -1/ц; Л12 =-1/5; Л21=Л22=О,
где 5 — крутизна электронной лампы (скорость изменения анод
ного тока с изменением сеточного напряжения); — внутреннее
сопротивление лампы; ц — коэффициент усиления лампы (см.
§ 1.2).

При перечисленных выше условиях 7 и Н параметров для
электронной лампы не существует. В общем случае, когда с влия
нием между электродами лампы через паразитные элементы при
ходится считаться, ни один из параметров лампы с учетом ее пара
зитных элементов не равен нулю и лампа как четырехполюсник
может характеризоваться любой системой параметров.

Параметры сложных четырехполюсников. При анализе слож
ного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые
четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с
помощью матричных методов расчета можно определить соответ
ствующие матрицы сложного четырехполюсника.

Пример. Рассмотрим методику определения Н-параметров каскада усили-
теля на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя
образуется в результате параллельного соединения транзистора и П-образного
пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать
матрицами Т соединяемых четырехполюсников. Ранее для П-образной схемы
была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к мат-
рице V П-образного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по
схеме с общим эмиттером, Т-параметры определяем из выбранной модели
(рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким
образом матрицы V П-образного четырехполюсника и транзистора, получим
матрицу V усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой
матрице Н усилительного каскада.

12.4.	Параметры холостого хода и короткого
замыкания четырехполюсника

Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре
зажимов четырехполюсника, например 2 2', подключить произ
вольное сопротивление 2П (рис. 12.14, а), то со стороны другой
пары зажимов, т. е. 1 — /', четырехполюсник можно рассматривать
как двухполюсник с входным сопротивлением 2вХ1, которое назы
вают входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно,
^ВХ1= С1//1.

Входное сопротивление можно выразить через параметры че
тырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись вы
ражениями для и из уравнений передачи в А параметрах
(12.4). В этом случае

_21—и	±122

ЩЩн —12

(12.11)

так как

С/2 = 22/2.

На рис. 12.14, 6 показан тот же четырехполюсник, нагружен
ный со стороны зажимов 1 — 1 на сопротивление 2г. Его входное
сопротивление со стороны зажимов 2—2 равно 2вХ2 = Ц_{ /[_{.

Рис. 12.14
В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии,
следует воспользоваться уравнениями передачи (12.6). Тогда

7	_ ^22^-2	+ 412^2	КН  ^1  1	+ 412	(12.12)
-ВХ2 И21С/2	+ 4ц^2	1  1^  нм	+ Аи	

так как Ц_{ =

Заметим, что при изменении направления передачи энергии че
рез четырехполюсник в выражениях (12.11) и (12.12) параметры
Ли и А22 поменялись местами (см. свойство 4, § 12.2).

Входное сопротивление четырехполюсника не является его
внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств
четырехполюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на
которую замкнута пара зажимов четырехполюсника.

Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы
(12.11) и (12.12) описывают входные сопротивления четырехпо
люсника при произвольных сопротивлениях нагрузки 2н и 2Г. Из
них легко получить значения 2ВХ1 и 2ВХ? при разомкнутых и замк
нутых накоротко зажимах четырехполюсника.

В режиме холостого хода на зажимах 2 — 2' (выходные зажимы
разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со стороны
зажимов 1 — 1' обозначается 2хХ1 и определяется из формулы
(12.11) при 2н = оо;

4хх1 “ 411/421 “ 411-

(12.13)

Аналогично входное сопротивление со стороны зажимов 2 — 2'
при разомкнутых зажимах 1 — 1' определяется из (12.12) при 2г = оо:

^хх2 — —22/—21 — —22'	(12.14)

При коротком замыкании зажимов 2 — 2' и 1 — 1' в формулах
(12.11) и (12.12) нужно положить 2н = 0и2г = 0. В этом случае

4К31 = 4щ/422 = 1/Х11 и 4Кз2 = 412/411 = 1/-^22 •	(12.15)

Величины 2ххЬ 2^x2, 2^з1 и 2к32 называются параметрами хо-
лостого хода и короткого замыкания. Значения этих параметров
для любой данной частоты могут быть измерены с помощью специ
ального прибора для измерения комплексных сопротивлений —
моста переменного тока. Это особенно удобно, когда четырехпо
люсник представляется в виде «черного ящика» и нет возможности
узнать его содержимое или рассчитать какие либо другие системы
параметров, либо когда влияние паразитных элементов четырехпо
люсника трудно учесть аналитически. Измерение же других систем
параметров часто представляет значительную сложность.

Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ
легко получить, что 2хХ1/Ххх2 = Хкз1/^кз2, т. е. только три пара
метра из четырех являются независимыми. Этих параметров доста
точно для составления уравнений передачи пассивного четырехпо
люсника, причем из параметров XX и КЗ может быть получена
любая система параметров коэффициентов.

У активного четырехполюсника все четыре параметра незави
симы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.

В случае симметричного пассивного четырехполюсника пара
метры Ди = Д22 и, следовательно, Д<х1 = ДхХ2 и Дк31 = Дкз2, т. е.
симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя
параметрами XX и КЗ.

12.5.	Характеристические параметры четырехполюсника

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче
сигналов на расстояние может участвовать большое число каскад
но соединенных четырехполюсников. На практике используется
такое включение четырехполюсников, которое получило название
согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включен
ный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться
два условия: ДВХ1 = 7^ и Двх? = Дн, т. е. входное сопротивление че
тырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением гене
ратора, а выходное — с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников
обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благо
приятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют
отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на сты
ках «генератор —четырехполюсник» и «четырехполюсник — на
грузка» и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Оста
ется не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согла
сованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Д и
Дн, при которых

Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует
такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие
(12.16). Эти сопротивления называются характеристическими
(собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обознача
ются Дс1 и Дс2. Индекс «1» указывает на то, что характеристиче
ское сопротивление определяется со стороны зажимов 1 — 1', а ин
деке «2» — со стороны зажимов 2 — 2'.
Четырех-
полюсник

^вх1 - ^с1 ^вх2 - ^с2

Рис. 12.15

Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления те
нератора выбрать X, = /с1> а в качестве сопротивления нагрузки
2н = 7С2, то 2вх1 будет равно 7сь а Хвх2 = ХС2- Рисунок 12.15 ил
люстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного
включения. Режимом согласованного включения четырехполюс-
ника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопро
тивление генератора выбрано равным характеристическому сопро
тивлению четырехполюсника /с1> а сопротивление нагрузки рав
ным характеристическому сопротивлению ХС2-

Положив В (12.16) 2вх1 = X, = ХС1 И 2^x2 = Хд = Хс2, получим

Совместное решение этих уравнений относительно величин ХС1
и ХС2 дает выражение характеристических сопротивлений через А
параметры:

^с1

— с2

- V—и—12/^21^22;

(12.17)

Характеристическое сопротивление можно выразить через па
раметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если вое
пользоваться формулами (12.13) —(12.15), где параметры XX и КЗ
выражены через А параметры:

(12.18)

Последние формулы удобны для экспериментального определения
характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный Г-образный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б)
с элементами = 1600 Ом, X? =900 Ом. Включим его согласованно с генера-
тором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно
выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопро-
2г= 2000 0м 7	2^ = 1600 Ом

Г
2вх1 = 2000 Ом

2'

2Вх2= 72° Ом

7Н= 7200 Ом

Рис. 12.16

тивлению четырехполюсника со стороны зажимов 1 — Г, т. е. Хг = Хс1. Чтобы
согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам
2 — 2' сопротивление нагрузки 2_ц = 2_С2.

Матрица А четырехполюсника имеет вид

1 + 7/72 2{

V—2	1

2,77	1600

0,00111	1

Зная А-параметры, по формулам (12.17) определяем характеристические со-
противления четырехполюсника: Хс1 = -фЗд! А12/А21А22 = 2000 Ом и ХС2 -
= ^А22А12/А21 Ап = 720 Ом. Их можно найти также по параметрам XX и КЗ
из формулы (12.18). Последние можно определить непосредственно из схемы:
Ххх1 = 2_\ + X? = 2500 Ом, Хкз1 = 2_\ = 1600 Ом и, следовательно, ХС1 =
= V—хх1_кз1 = 2000 Ом. Аналогично 2^2 = 2_1 = 900 Ом, 7^2 =	+

+ X?) = 580 Ом и Хс2 = у]2хх22кз2 = 720 Ом.

Итак, внутреннее сопротивление генератора следует взять равным 2Т =
= 2000 Ом, а сопротивление нагрузки 2_и = 720 Ом.

Схема согласованного включения четырехполюсника показана на
рис. 12.16. Входное сопротивление четырехполюсника

2ВХ1 =(ЛИ2Н + Л,,)/(Л2|7н + Л22) = 2000 Ом

или из схемы

^ВХ1 -	+ ^2—н/(^2 +	) - 2000 Ом

—вх2 - (АПХГ + А12)/(А21ХГ + Ап) = 720 0м,

или из схемы

—вх2 - г2 (2, + 2Г )/(22 +2{+2г) = 720Ом.

Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника.
При согласованном включении на стыках «генератор —четырехпо
люсник» и «четырехполюсник —нагрузка» рассеяние электрической
энергии будет происходить только в четырехполюснике (например,
она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных эле
ментах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии — ха-
рактеристическую {собственную) постоянную передачи четы-
рехполюсника, определяемую через отношение произведения на
пряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению на
пряжения и тока на его выходе, взятое в логарифмическом масштабе
Гс =|1п[^1/1/(^2/2)],	(12.19)

причем все токи и напряжения измеряются или вычисляются в ре
жиме согласованного включения четырехполюсника, т. е. при X, =
= 2с1 и 2н = 2с2.

Так как = ТдХвх! = /.12.С1 и Ц_2 = [2X^2 = Т.1^.с2, характерно
тическую (собственную) постоянную передачи можно представить в
иных формах записи

Г = 1п^- /2^ = 1п^-	(12.20)

/ЛХ^ и^х^

Если четырехполюсник симметричный, то из (12.17) следует,
что 2С1 = 2С2 = 2С, а из (12.20)

Гс =1п(11/12) = 1п(У1/С/2).	(12.21)

Так же, как и характеристические сопротивления, характери
стическую постоянную передачи можно выразить через параметры
коэффициенты. Чтобы выразить Гс через А параметры, представим
ток из (12.4) в виде 7д = А21 Ц_2 + А.221.2- Так как при согласован
НОМ включении Ц_2 = 1_2^п = 7.2 Хс2, то 11 = (А212С2 + А? 2)1.2  Под
ставляя выражение для 7д в (12.20) и учитывая из (12.17), что

—с2 “ 7—22^12/^21^111 И V—с1/^с2 “ 7—11/— 22’

получаем:

1с = 1П (^21л/—22^12/^21^11 + И-22 ) V—11/— 22 =	619 991

Приведем без вывода связь собственной постоянной передачи с
параметрами XX и КЗ:

1ЬГС = 7гкз1/2хх1 = 7ги2/2хх2.	(12.23)

С собственной постоянной передачи Гс связаны конкретные фи
зические представления. Воспользуемся выражением (12.19)

+ 11П е Л (—Фи2 )+(фг! -Фг2 )]
2

Окончательно имеем

Гс=11пВ44 + у(^-^) + (^-<Р.2) = А -в (12 24)

з |^2Ы	2

Величина
Ас = 11п(|О,/1|/|О2/2|) = |1п(51/52),	(12.25)

где 51 и 52 — полные мощности на входе и выходе четырехполюс
ника при согласованном его включении, называется характери-
стическим (собственным) ослаблением четырехполюсника. Она
показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась
мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью
на его входе при передаче энергии через четырехполюсник в режи
ме согласованного включения.

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем

Ас = 111(1^1/1^21) = 1п(|/1|/|/2|).	(12.26)

В этом случае величина Ас показывает ослабление абсолютных
значений напряжения и тока.

Единица измерения отношений величин в масштабе натураль
ных логарифмов называется непером (сокращенно Нп).

Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение мощности в е2 =
= 7,39 раза (так как при (1/2) 1п(51/52) = 1 имеем 51/52 = е2), а в
симметричном четырехполюснике — уменьшение напряжения и то
ка в е = 2,718 раз (так как при 1п(С/1/С/2) = 1п(11/12) = 1, имеем
Ц_1/(Ь =11/12 =е).

На практике принято вычислять и измерять ослабление в дру
гих единицах — белах (сокращенно Б). Ослаблению в 1 Б соот
ветствует уменьшение мощности в 10 раз, ослаблению 2 Б — в
100 раз и т. д. Вместо формулы (12.25) в этом случае использу
ют формулу

Ас =18(|СД1|/|С212|) = 1§(51Л2)-

Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно
применяют в 10 раз меньшую единицу — децибел (сокращенно дБ).
Поскольку 1 Б = 10 дБ, то

Ас =101§(|11111|/|112/2|) = 101§(51/52).

Для симметричных четырехполюсников вместо (12.26) удобно
пользоваться формулой

Ас =2018(1^,1/1^2 1) = 2018(11,1/1121).

Между неперами и децибелами существует связь: 1 Нп = 8,7 дБ;
1 дБ = 0,115 Нп.

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены
согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению
с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его вхо-
дом — в 10 000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления
четырехполюсников.
Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четы-
рехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10	1000 = 30 дБ, а

для симметричного — Ас = 10	10 000 = 40 дБ. Кроме того, для симметрич-

ного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по на-
пряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20	10 000 = 80 дБ.

Второе слагаемое в формуле (12.24)

Вс = ^-[(фг/1 -фМ2) + (фг1 - Фг2 )]
учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при пе
редаче энергии через согласованно включенный четырехполюсник
и носит название характеристической (собственной) фазы или
фазовой постоянной четырехполюсника.

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника
приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной,
равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:

Вс — Фм1 — Фм2 — ФИ ~ Фг2-

Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или
градусах (сокращенно град).

Величины 2С1, 2С2 и Гс образуют систему характеристических
(собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью
описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характе
ристических параметров по А параметрам осуществляется с по
мощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ — с по
мощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соот
ношения, т. е. выразим А параметры и параметры XX и КЗ через
характеристическое.

Из (12.22) следует:

Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем

г -Г

<,2.27>

г -Г

<12.28)

Далее из (12.17) получаем

7АЖ7 = 7А1/322;	(12.29)

7—с1 —с2 =	•	(12.30)

Параметр Ац определяется из произведения (12.27) и (12.29)
А„ =сЬГсЛ/1^;.	(12.31)

Чтобы найти параметр А\2, необходимо перемножить (12.28) и
(12.30)

412 = 8ЬГс^7^.	(12.32)

Остальные два параметра получаются из отношений (12.28) к
(12.30) и (12.27) к (12.29):

421 =8ЬГСЖ^;	(12.33)

422 = сьгс/7г^7ту.	(12.34)

Уравнения передачи (12.4) в А параметрах после подстановки в
них величин из (12.31) —(12.34) превратятся в уравнения передачи
в характеристических параметрах:

^1 = V—с1/^с2 С^Ис—2 + V—С1^с2 8ЬГс12;

11=	5ЬГсС/2+>/1^72УсЬГс12. '

—с2

Для симметричного четырехполюсника, где /С1 = ХС2 = Хс эти
уравнения примут вид

С1 =С2еЬГс + 12:гс3ЬГс; 1

11 =(С2/4с)зЬГс+/2сЬГс./

Запись уравнений передачи в форме (12.35) широко приме
няется для описания цепей с распределенными параметрами (см.
гл. 13).

Формулы (12.13) —(12.15) и (12.31) —(12.34) позволяют выра
зить параметры XX и КЗ через характеристические параметры.
Действительно,

^ХХ1

—хх2

^411/^21	^с1С^—с’

= ^22/^21 = —с2 С^ГС;

^К31 “ ^12/^22
^кз2 = ^112/^111

= 2с1 Н1ГС;

=	^с2^Гс.

Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23),
приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюс-
ников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников
ранее был использован матричный метод, в котором матрица А ре
зультируюгцего четырехполюсника определялась произведением
матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюс
ники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характери
стическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение
трех четырехполюсников с характеристическими постоянными пе
редачи Гсь Гс2 и Гс3.
Рис. 12.17

Согласование четырехполюсников состоит в том, что харак
теристические сопротивления со стороны их соединения выбра
ны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генерато
ра и сопротивление нагрузки — равными характеристическим
сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно,
крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление,
равное его характеристическому /С4> значит, входное сопротив
ление этого крайнего четырехполюсника будет равно характе
ристическому сопротивлению 2_сз предшествующего четырехпо
люсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего че
тырехполюсника оказывается равным характеристическому со
противлению 2_С2 крайнего левого четырехполюсника. Следова
тельно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюс
ника равно 2_с1 и согласовано с внутренним сопротивлением те
нератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с
левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления
четырехполюсников со стороны зажимов 2 — 2' названы выходны
ми сопротивлениями четырехполюсников. Определим характери
стическую постоянную передачи результирующего четырехполюс
ника. Согласно (12.20)

Таким образом, результирующий четырехполюсник, составлен
ный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырех
полюсников, имеет характеристические сопротивления, равные ха
рактеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и
оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой.
Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характе
ристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсни
ков. Учитывая, что Гс = Ас + /Вс, можно записать:
3

А = У"1 А,.;

С	Сг

1 = 1

3

В.. = V В...

С	С1

1 = 1

12.6.	Внешние характеристики четырехполюсника

Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного
включения четырехполюсника является наиболее благоприятным
для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование
четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе
частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопро
тивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристиче
ские сопротивления четырехполюсника являются резистивными.
Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех часто
тах рабочего диапазона, как правило, не удается. Возникающая
вследствие этого несогласованность приводит к дополнительным
потерям энергии.

Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях
(см. рис. 12.1), когда 2г 2С1 и 2П ф 2С2- В этом случае 2ВХ1 2, и
2дзх2 2л- Несогласованность на входе приводит к тому, что часть
энергии отражается от входных зажимов четырехполюсника и воз
вращается к генератору. Из за несогласованности на выходе не вся
энергия из четырехполюсника передается нагрузке: часть ее отра
жается от нагрузки и возвращается обратно в четырехполюсник.
Очевидно, какая то часть энергии будет теряться за счет много
кратного ее отражения на входных и выходных зажимах четырех
полюсника.

Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях
потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи, которые
являются внешними характеристиками четырехполюсника.

К внешним характеристикам относится рабочее ослабление че-
тырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифмических
единицах полную мощность 52, выделяемую в нагрузке 2н на выходе
четырехполюсника, с полной мощностью 5о, которую генератор от
дает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением.

Мощность, выделяемая в нагрузке 2Н (см. рис. 12.1)

Полная мощность 5о выделяется на сопротивлении, равном внут
реннему сопротивлению генератора, т. е. на 2г, и подключенном
непосредственно к его зажимам:

Рабочее ослабление четырехполюсника, выраженное в неперах
(Нп), подсчитывается по формуле
А = ^1п — = 1п

р 2 32

Ц22
А_ГАН

4С/^г

= 1п

2^2

+ —1п
2

А

гг

или в децибелах (дБ),

Ар =201§|С/г/2С/2| + 101§|2н/2г|.

(12.36)

(12.37)

В (12.36) и (12.37) входят действующие значения Ц_? и Цу, ко
торые могут быть измерены экспериментально, поэтому эти фор
мулы лежат в основе большинства методов измерения рабочего ос
лабления четырехполюсника.

При теоретических расчетах пользуются другой формулой

Ар = Ас + ДА! + АА2 + АА3,

где Ас — характеристическое ослабление четырехполюсника; ААц
АА2 — дополнительные ослабления из за несогласованностей на
входе и выходе четырехполюсника:

2сХ +2Г

АА! = 201§

ДА2 = 201§

Ц +

ААз — дополнительное ослабление за счет многократного отра
жения энергии от входных и выходных зажимов четырехполюс
ника:

АА3 = 201§

!	2с2-г„с_2Ег

2С1+2Г 2с2 + 2н

При согласовании четырехполюсника с генератором 2, = 2С1 и
АА1 = ААз = 0- При согласовании четырехполюсника с нагрузкой
2П = 2с2 и АА2 = ААз = 0.

Если согласование полное, т. е. 2р = 2С1 и 2П = 2С2, то Ар = Ас,
т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его характери
стическому (собственному) ослаблению. Для пассивного четырех
полюсника рабочее ослабление больше собственного ослабления
вследствие рассогласования на входе и выходе.

Рабочее ослабление является вещественной частью комплексной
величины Гр — рабочей постоянной передачи четырехполюсника'.

Гр = Ар+/Вр.

где Вр — рабочая фазовая постоянная.

Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной
функцией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 12.1) пазы
вается отношение выходной электрической величины к входной
электрической величине, т. е. отношение реакции к воздействию
(см. §7.4).

Если входным воздействием считать напряжение генератора с
комплексным действующим значением СД, а реакцией четырехпо
люсника на это воздействие — напряжение с комплексным деи
ствующим значением Ц_2 или ток с комплексным действующим зна
чением 1^, то получаются комплексные передаточные функции
общего вида'.

Н„=У_2/У_гн Ну =1_2/У_г.	(12.38)

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются на
пряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, про
текающий через эти зажимы, получают следующие четыре разно
видности передаточных функций (см. § 7.4):

= Цу./Ц_\ — комплексный коэффициент передачи по напря
жению (для активных четырехполюсников, например усилителей,
он носит название коэффициента усиления по напряжению);

Ну = 1у/1_[ — комплексный коэффициент передачи по току (для
активных цепей — коэффициент усиления по току);

Н_/ = Кд//] ~ комплексное передаточное сопротивление;

Ну = Ту,/ Ц_\ — комплексная передаточная проводимость.

Передаточные функции четырехполюсника выражаются через
любую систему параметров и сопротивления нагрузки. Например,

Ни = с2/с, = Щ/(411С2 +41212) = 4„/(4н4„ + 4Щ <12.39)

Л, = ЩС = 12/(л2,ц_2 + а2212 ) = 1/(л21гн + л22). (12.40)

Можно вычислять передаточные функции в различных режимах
работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание, со
гласованное включение). Например, при холостом ходе на выходе
(разомкнутые зажимы 2—2') комплексный коэффициент передачи
по напряжению находится из (12.39) при 2П = оо

Щхх =1/411-	(12.41)

Коэффициент передачи по току в режиме короткого замыкания
на выходе (замкнутые накоротко зажимы 2 — 2') получим из
(12.40) при 2л = 0:

Л,и=1/422-	(12.42)

При согласованном включении симметричного четырехполюс
ника из (12.39) следует

ц _	—с2 _	7—22—12/(—21—И )	_

—11—с2 + 1112	11117—22—12/(—21—И ) + —12	(12.43)

Формула (12.43) устанавливает связь между передаточной
функцией по напряжению согласованно включенного симмет
ричного четырехполюсника с его характеристической (собственной)
постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить ос
тальные передаточные функции в различных режимах работы и
выражения их через интересующие нас параметры.

Часто используют так называемую рабочую передаточную
функцию четырехполюсника:

(12.44)

Рабочая передаточная функция непосредственно связана с ра
бочей постоянной передачи четырехполюсника. Действительно, из
(12.44) и (12.36) вытекает, что

(12.45)

или |Яр | = е“Ар.

Справедливы также более общие соотношения: -1пЯр = Гр или
Н р = е“-р.

Если на входе четырехполюсника действует негармоническое
(периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от
мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по
Лапласу 11г(р), Ц\(р), ^(/Д, Ц(р) и 7Д(р), получают операторные
передаточные функции Н(р), которые представляются в общем ви
де (7.41):

ц (п \ — ^пР + ап-\Р +... + ауэ + с/0	(12 46)

Ьтрт + Ьт_^рт-1 + ... + Ь^р + Ь0,

или

Н(р\ = н (Р-Ро^Р-Р^-Ар-Роп) ,
(Р-Р1)(Р-Р2)---(Р-РМ)

где роь Р02, роп~ нули передаточной функции; р\, р2, ..., рт -
полюса передаточной функции; Н = ап/Ът.

Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ
четырехполюсника, изображенного на рис. 12.18, а, в режиме XX на выход-
ных зажимах.

Коэффициент передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника
согласно (12.39)

=^1(А^+Апу

В режиме XX Хн = оо и согласно (12.41) и (12.8)

Н = 1 =	1	=	—2

-“хх	1 + ^/7,	Х1+Х2-

Используя операторную форму записи, имеем
Рис. 12.18

р! + 1/(рС) = р2 + 1/(ЬС)	= н Р2 +д0

К + рЬ + 1/(рС) р2 + рК/Ь+ 1/(ЬС) р2+Ь]р + Ь0’

где Н = 1; а0 = Ьо = 1р = К/Ь.

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной
функции,

. 1

Р01,02 “ ~гу

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

К , . П Я2”
Р1’2 “ 2А“7\АС 41? ’

На рис. 12.18, б показано расположение нулей и полюсов функции при
шо >«7(410.

По теореме Виета

Нихх (/?) =

<с <\ <\ \ /	/

(Р~Р01)(Р~Р02)
(Р-Р1)(Р-Р2)

Амплитудно-частотная характеристика в данном режиме работы определя-
ется из Нихх(р) путем замены р на /со и вычисления модуля полученной
функции

(/<о)| = Нихх (Ю) = ----Ио ~,Ю^------

ЦЬо-О-у +(Ь,о>)2

Квадрат АЧХ запишется в виде

\Нихх (/со)|2 - Я2ХХ (о)

СО — 2б70«Г + (Уд
со4 + (Ь2 - 2Ь0) со2 + Ъ1

4	2

со + с^со + с2
со4 + с/1 со + с/9

где

с, = 2л„ = 2/(1С); <2 = "а = 1/(12О);

<7, = Ь2 -2Ь0=( К/С)2 - 2/1С; <7, = Ь2 = 1/( ^с2).

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Используя метод узловых напряжений, найти V параметры Т
образного четырехполюсника, изображенного на рис. 12.19.
Рис. 12.19

Рис. 12.21

Рис. 12.23

Рис. 12.22

2.	Определить V параметры Т образного четырехполюсника, пока
занного на рис. 12.20, при В, = 100 Ом, Ь = 0,1 Гн, С = 10’5 Ф,
со = 1000 с .

Ответ: Уи = У22 = 0,01/;

У12 = Х21 = —1,26- 10-2ехр(/1,25).

3.	Объяснить, в каких случаях следует включать цепи согласо
ванно?

4.	Рассчитать характеристическое сопротивление четырехполюсни
ка на рис. 12.21, если 21 = 1000 Ом, 2.2 = /500 Ом.

Ответ: 2С =1189 е у22’30' = 1098 -/455 Ом.

5.	Чем отличается рабочее ослабление четырехполюсника от собст
венного (характеристического)?

6.	Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды
комплексных передаточных функций четырехполюсника из
вестны?

7.	Определить коэффициент передачи по напряжению

АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.22, если выходным
напряжением является напряжение на резисторе В. Построить
графики АЧХ и ФЧХ.

Ответ:

Ни (/со) =

](лКС

1 + /соЯС ’

В и ( СО )

аВС

71 + (соЯС)2

ф(со) = 90° — агс!:§ со/?С.

8.	Рассчитать передаточную функцию каскадного соединения це
пей, изображенных на рис. 1.22 и 1.23. Построить график АЧХ
полученной цепи.
9.	Определить коэффициент передачи по напряжению при холо
стом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замы
кании для П образного четырехполюсника в продольную ветвь
которого включена индуктивность й, а в поперечные ветви —
емкость С.

Ответ: Н (/ю) =--.

и 7 1-со2ТС

10.	Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.22, при К =
= 31,8 кОм и Хс = 10 кОм.

Ответ: 12 дБ.

11.	Что такое операторная передаточная функция? Как она связа
на с комплексной передаточной функцией? Как определить
нули и полюсы операторной передаточной функции?

12.	Определить операторную передаточную функцию, комплекс
ный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат
АЧХ последовательного колебательного контура, изображение
го на рис. 12.18, а, если выходным напряжением Ц_2 является
напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.

1

Ответ: Н(р} = —-------------;

7 р2ЬС + рКС + 1

н2.М =----------------------------— •

со4 (АС)2 + со2 (Я2С2 -2АС) + 1

13.	Перечислить основные свойства операторных передаточных
функций пассивных цепей.

ГЛАВА 13. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

13.1.	Общие положения

До сих пор рассматривались К, й, С электрические цепи в
предположении, что параметры сосредоточены в определенных
элементах цепи: индуктивность сосредоточена в катушке (энергия
магнитного поля катушки локализована в ее магнитопроводе), ем
кость сосредоточена в конденсаторе (энергия электрического поля
локализована между обкладками конденсатора); резистивное со
противление сосредоточено в резисторе (преобразование электриче
ской энергии в резисторе в тепловую осуществляется в токопрово
дящем слое резистора). Такие цепи получили название цепей с со-
средоточенными параметрами.
Однако представление электрических цепей в виде цепей с со
средоточенными параметрами не всегда возможно. Например, рас
сматривал передачу электромагнитной энергии в линии связи, фи
дере, антенне, волноводе и т. д., следует учитывать, что магнитное
и электрическое поля распределены по всей длине этих устройств и
превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит
по всей длине устройств. В таких цепях приходится сталкиваться с
распределенными по длине индуктивностями, емкостями, рези
стивными сопротивлениями, поэтому они называются цепями с
распределенными параметрами.

Ток и напряжение на выходе сколь угодно малого участка (от-
резка) цепи с распределенными параметрами не равны соответ
ственно току и напряжению на его входе и отличаются как по вели
чине, так и по фазе. Таким образом, ток и напряжение в любой точ
ке цепи являются функциями не только времени I, но и пространст
венных координат (например, расстояния от одного из концов цепи).

Заметим, что деление цепей на два класса — с сосредоточенными и распре-
деленными параметрами, достаточно условно. Одну и ту же цепь следует рас-
сматривать как систему с сосредоточенными или распределенными параметра-
ми в зависимости от частоты, на которой она работает. Действительно, если на
входе цепи действует гармонический сигнал, то в силу конечной скорости рас-
пространения электромагнитных колебаний (близкой к скорости света) воз-
мущение от источника за время, равное периоду колебания Т, пройдет рас-
стояние, равное длине волны электромагнитного колебания: X = сТ= с/[, где
с — скорость света; / — частота колебания.

При длине цепи, совпадающей с длиной волны колебания, изменение
мгновенного значения напряжения в конце цепи запаздывает на целый период
по сравнению с изменением мгновенного значения напряжения источника. В
цепях, длина которых I > X, запаздывание может составлять большое число
периодов. Следовательно, если длина цепи соизмерима или значительно пре-
вышает длину волны распространяющегося в ней электромагнитного колеба-
ния, то напряжение (ток) является функцией времени и расстояния от начала
цепи. Цепь является системой с распределенными параметрами.

Если длина цепи намного меньше длины волны, то изменения напряжения
в любой точке и в конце цепи происходят одновременно с изменением мгно-
венного значения напряжения источника. Никакого запаздывания в такой це-
пи нет: напряжение (ток) является только функцией времени. Эту цепь можно
считать системой с сосредоточенными параметрами. Например, отрезок коак-
сиального кабеля длиной 30 см при передаче по нему телевизионных сигналов
(с наивысшей частотой 8,5 мГц) может считаться цепью с сосредоточенными
параметрами, поскольку X = с//тах = 3 • 108/(8,5 • 106) = 35 м » 0,3 м. На-
оборот, в области дециметровых волн (X десятки сантиметров) этот же от-
резок кабеля должен рассматриваться как цепь с распределенными парамет-
рами. Отрезок же коаксиального кабеля длиной, например, в 1 км является
цепью с распределенными параметрами и для телевизионного сигнала.

В дальнейшем из обширного класса цепей с распределенными
параметрами будем изучать так называемые длинные линии, пред
назначенные для передачи электромагнитной энергии на расстоя
ние и имеющие длину, превышающую длину волны электромагнит
ных колебаний. К ним относятся двухпроводные воздушные линии
связи, симметричные и коаксиальные кабельные линии проводных
систем связи, фидеры, связывающие радиопередатчики с антенна
ми и т. д. При этом будем полагать, что конструктивные данные
длинной линии (материал и диаметр ее проводов, их взаимное рас
положение) и ее параметры сохраняются неизменными по длине
линии. Такие длинные линии называются однородными.

Целью изучения однородных длинных линий является анализ
распределений напряжений и токов вдоль линии. В основе анализа
лежит представление о длинной линии как о цепи с бесконечно
большим числом бесконечно малых по величине пассивных элемен
тов, распределенных равномерно по ее длине.

13.2.	Уравнения передачи однородной линии

Первичные параметры. Длинные линии могут иметь самую раз
личную конструкцию. Так, двухпроводная воздушная линия
(рис. 13.1, а) состоит из параллельных неизолированных проводов,
укрепленных с помощью изоляторов на специальных опорах. Сим
метричная кабельная цепь представляет собой два изолированных
скрученных друг с другом провода, образующих так называемую
пару (рис. 13.1, б). Скрученные между собой пары (или четверки),
заключенные в металлическую или пластмассовую защитную обо
лочку, образуют симметричный кабель.

Коаксиальная пара является основой коаксиального кабеля и
состоит из внутреннего цилиндра — провода сплошного сечения,
помещенного в полый цилиндр (рис. 13.1, в).

Электрические свойства длинной линии характеризуются пер-
вичными параметрами, т. е. параметрами, отнесенными к единице
длины линии (1 км в линиях проводной связи и 1 м в линиях ра
диосвязи). Первичными параметрами являются: резистивное со
противление единицы длины линии К, индуктивность единицы
длины линии Ь, емкость единицы длины линии С и проводимость
изоляции единицы длины линии О.

Сопротивление К — это сопротивление проводов линии единич
ной длины. Например, для двухпроводной линии сопротивление
(Ом/км)

21

2000

где р — удельное сопротивление материала проводов при темпера
туре 20° С, Ом-мм /м; I — длина линии, м; 5 — площадь попереч
ного сечения провода, мм ; г — радиус провода, мм.

При температурах, отличных от 20° С, сопротивление проводов
вычисляется по формуле

Кт = Я[1 + суг(Г-20°)],

где <зт — температурный коэффициент, 1/град; Т — температура,
° С. Так, сопротивление двухпроводной медной линии длиной 1 км
(километрическое сопротивление) из проводов диаметром 4 мм при
температуре Т = 20° С для частоты / = 0 составляет 2,84 Ом/км.

Наличие поверхностного эффекта (вытеснение тока из внутрен
них слоев проводника на его поверхность при увеличении частоты)
приводит к увеличению сопротивления К с ростом частоты (см.
§ 1.2).

Индуктивность С определяется отношением магнитного потока,
сцепляющегося с контуром единичной длины, к току, вызываю
щему этот поток. Индуктивность линии складывается из внешней и
внутренней индуктивностей. Первая определяется геометрическими
размерами линии и не зависит от частоты; вторая зависит от мате
риала проводов, их диаметра и частоты.

Поверхностный эффект уменьшает внутреннюю индуктивность
при возрастании частоты. Например, километрическая индуктив
ность двухпроводной медной цепи (Гн/км)

Ь = 4[(41п(/пр/г) + кцэ )ц] • ПТ4,

с диаметром проводов 2г = 4 мм и расстоянием между проводами
/пр = 200 мм составляет на частоте / = 10 кГц (с учетом магнитной
проводимости ц = 1 и коэффициента действия поверхностного эф
фекта ^пэ = 1,8) 1,89 мГн/км.

Емкость С определяется отношением заряда, приходящегося на
единицу длины линии, к напряжению между проводами линии.

е • 10“6

Для двухпроводной линии емкость (Ф/км) С =---------——гл-, где

361п(/пр/г)
е — диэлектрическая проницаемость вещества в пространстве меж
ду проводами. Например, километрическая емкость воздушной
двухпроводной медной цепи (для воздуха е = 1) из проводов диа
метром 2г = 4 мм и расстоянием между проводами /Пр = 200мм со
ставляет 7,4 нФ км.

Проводимость О обусловлена несовершенством изоляции и
представляет собой активную составляющую проводимости изоля
ции между проводами, отнесенную к единице длины линии. Для
воздушной линии проводимость изоляции зависит от климатиче
ских условий (влажности, температуры и др.), чистоты поверхно
стей изоляторов и т. д.

Проводимость изоляции возрастает с ростом частоты (особенно
для кабельных цепей) за счет увеличения потерь в диэлектрике.
Для воздушных цепей проводимость (См км) О = Оо + где
Со — проводимость изоляции на постоянном токе; — коэффици
ент, учитывающий потери в диэлектрике при переменном токе; / —
частота.

Для кабельных цепей С = Со + соСТ§5, где — тангенс угла
диэлектрических потерь.

После введения первичных параметров можно уточнить понятие
однородной длинной линии. Однородной называется такая линия,
первичные параметры которой неизменны на всей ее длине.

Уравнения передачи однородной линии. Найдем распределения
напряжения и тока в линии по ее длине и во времени.

Выделим элементарный участок линии длиной Ах, находя
щийся на расстоянии х от начала линии (рис. 13.2). Его эквива
лентную схему можно приближенно представить в виде последо
вательно включенных сопротивления /?Ах и индуктивности ТАх и
параллельно включенных активной проводимости САх и емкости
САх.

Таким образом, линия рассматривается как цепь с бесконечно
большим числом звеньев, электрические параметры которых беско
нечно малы. При стремлении Ах к нулю точность такого представ
ления возрастает.

Напряжения и токи, их изменения на участке линии показаны
на рис. 13.2. Уменьшение напряжения в конце участка линии Ах
по сравнению с его началом вызвано падением напряжения на ин
дуктивности САх и сопротивлении /?Ах. Поэтому
-Аи = Ькх----ь КАхг.	(13.1 а)

д1

Здесь и далее используются частные производные, так как на
пряжение и ток являются функциями переменных I и х.

Уменьшение тока на участке Ах происходит за счет ответвления
тока через емкость С Ах и проводимость изоляции С Ах. Пренебре
гая изменением напряжения как величиной второго порядка мало
сти, можно написать

Л 77

-Аг = САх— + САхгг.	(13.16)

д1

Разделив обе части уравнений (13.1 а и б) на Ах и перейдя к
пределу при Ах -> 0, получим дифференциальные уравнения ли
нии:

ди т дг
----= Ь— + Кг;

У	(13.2)

дг „ди „
----= О----Ь СхИ.

дх дС

Эти уравнения называются телеграфными, так как впервые
были получены для линии телеграфной связи.

Будем считать, что в линии имеет место режим установившихся
гармонических колебаний. Поскольку закон изменения напряже
ний и токов во времени известен, то из дифференциальных урав
нений (13.2) остается найти лишь законы изменения амплитуд и
фаз напряжений и токов с расстоянием х.

Используя символический метод анализа гармонических коле
баний, в котором

т т . т с1 и . т т г * т
и = Ц; г = Г, — = ]®Ц; — = ;со/,
ас	ас

преобразуем уравнения (13.2) к виду

-^ = (7?+ /«,1)7;	
ах	(13.3)
__==(С+/ЙС)^	

Так как комплексные действующие значения Ц_ и / являются
функциями только х, уравнения записываются не в частных, а в
полных производных.

Продифференцировав первое уравнение из (13.3) по х и под
ставив в него второе уравнение, получим

б/2И/б/х2 = (К + /соТ)(С + /соС)С/.

Введя обозначение
у = л/(Л + /й>Л)(0 + 7<оС),

(13.4)

перепишем это уравнение в виде

,/2г т

^-=_у2С/ = 0.	(13.5)

с/х2

Корни характеристического уравнения р — У2 =0 равны р\р =
= ±У. поэтому общее решение дифференциального уравнения
(13.5) для напряжения в точке х ищем в виде

Цх = Ахе~-Х + А2е-Х.

(13.6 а)

Из первого уравнения системы (13.3) имеем

1 (Я/х

К + /сэЬ дх

(13.6 б)

Введя еще одно обозначение



К + /сэЬ _ К + /сэЬ

У уС + фэС’

(13.7 а)

запишем решение для тока в точке х в форме

Ц	(13.7 6)

/	\-1	-2	/

~в

Постоянные интегрирования А\ и А^ можно найти из начальных
условий: при х = 0 С/х = Ц_\ и 1_х = Уд, где Ц_\ и Уд — напряжение и
ток в начале линии. Тогда из (13.6 а и б) для х = 0:

С/1 = И| + А 2;

= А,~АР

Откуда

41 =(С1+Сгв)/2; А2=(и{-Ц2ъ)/2.

Подстановка полученных значений постоянных интегрирования
в (13.6) дает следующие уравнения для определения напряжения

Ц^с и тока фх	в произвольной точке X длинной линии  Ц _	+ 11^В е~УХ +	- 11^в еух.  у +1 2	Ц -I 2	(13.8)  Т _ ^1 + 11^В „-У_х _	„У_х  -‘ г-	•  22^	22к  	X)		X)

Это есть уравнения передачи однородной длинной линии * Па
раметры У и получили название коэффициента распростра-

ним анализе работы длинной линии под Ц_ и I в дальнейшем будем понимать их
комплексные амплитуды (без введения индекса: Ц_т и 1_т).
нения и волнового сопротивления линии. Их физический смысл
будет рассмотрен позже.

Если учесть, что

~1Х )/2 = ей ух и

_ е~1х )/2 = зйух,

то уравнения передачи
ной форме:

(13.8) можно переписать в более компакт

= ей ух - §йух;

= - =±- 8Й ух + Ц ей ух.

—в -	”

(13.9 а)

В конце линии х =
примут вид

I и = Ц?, 1д = 12- Уравнения (13.9 а)

8X2

±2

= ей у/ -	§й у/;

= -=^-8Йу/ + /1 ей у/.

—в -	”

(13.9 б)

Разрешая эту систему уравнений относительно напряжения Ц_[
и тока /1 в начале линии, получаем

^11 =	+ 12^в §11 у/;

Ц = =^-8Йу/ + /2 СЙ у/.

^в ”	“

(13.9 в)

Эти уравнения совпадают с известными нам уравнениями пе
редачи (12.35) для симметричного четырехполюсника при У / = Гс и
что вполне понятно, так как линия связи представляет со
бой симметричный четырехполюсник.

13.3.	Падающие и отраженные волны

Обозначим в уравнениях передачи (13.8)	= (Ц_\ + 11^в)/2 и

Ц_о = (Ц_\ — /12з)/2. С учетом этих обозначений запись уравнений
передачи однородной длинной линии упростится и будет иметь вид

СЛ-'+Со'
Хп -V Со
2В ” X

уХ Т Т	Т Т

~ _хпад + — хотр’

еу-х = I + I

—хлад 2_хотр’

(13.10)

где

ц =ц е у-х-

—хлад —пс ’

Т =^кр~1х-

—хлад у	’

XI в

—хотр	—0	’

Т =

—хотр 7

XI в
Напряжение и ток состоят из сумм двух слагаемых. Первые
слагаемые уменьшаются с увеличением расстояния от начала линии
х, вторые — возрастают. Создается впечатление о существовании в
линии двух типов волн: падающей и отраженной. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим мгновенные значения напряжения и тока.

Помня, что в (13.10) все величины в общем случае комплексные

С„=|Щрп; Со=|СоРФ»;

у = 7(Я + /<01)(О + /соС) = а + /Р;

г, = ^(7? + /<>!)/( С + /<оС) = |2В | е»-,
можно по известным правилам (см. § 3.2) перейти от (13.10) для
комплексных значений к уравнениям передачи для мгновенных
значений напряжений и токов. Для простоты положим фп = фо = 0.
Тогда

ихШ = |^п|е ах81п(со/:-рх) + |С0|еах8т(со/: + рх),

е ах §т (оА - рх - фв) -

еах 8ш(со^ + рх - фв).

(13.11)

Проанализируем сначала первые слагаемые этих уравнений, ко
торые обозначим

^хпад(О |^п|е	81п((О^ РХ),

Ч пад (О

е ах 8т(оЧ - рх - фв ).

(13.12)

В каждом сечении линии (т. е. в каждой точке х) колебания
напряжения и тока являются гармоническими. Амплитуда этих
колебаний уменьшается по мере удаления от начала линии по за
кону е-оа. В каждой последующей точке линии колебания отстают
по фазе от колебаний в предыдущей точке (на это указывает знак
«минус» перед рх).

Если в момент времени С сделать фотографию распределения,
например, напряжения г/ХПад вдоль линии, то она будет иметь вид
кривой 1 (рис. 13.3). В следующий момент б? фаза напряжения в
каждой точке линии изменится на величину со (^2 — й), и вся кар
тина как бы сместится вдоль оси х вправо (кривая 2 на рис. 13.3).
Аналогичная ситуация будет наблюдаться и в момент времени
й > й (кривая 3 на рис. 13.3).

Если сделать последовательно ряд мгновенных фотографий и
затем их проецировать на экран, то создается впечатление движу
щейся волны напряжения вдоль цепи. Фактически же вдоль цепи
распространяется состояние равной фазы. Например, можно взять
точку цепи Х1, соответствующую максимуму напряжения в момент
времени (точка А на рис. 13.3) и определить скорость ее пере
мещения. Скорость распространения вдоль цепи состояния равной
фазы называется фазовой скоростью распространения.

В момент времени С в точке Х1 имеется определенное фазовое
состояние соС — рхц Это же фазовое состояние будет наблюдаться
в точке Х2, но уже в момент времени ей2 — Р-^2- Приравнивая их
получаем соС — рад = «Й2 — Р-^2-

Фазовую скорость распространения (км с) найдем как отноше
ние расстояния Х2 — х\, пройденного точкой А, ко времени ^2 — С:

?’ф = (*2 -*1)/(^2 “М = Ю/Р-

Таким образом, уравнения (13.12) описывают волны напряже
ния и тока, распространяющиеся от начала к концу линии. Такие
волны называются падающими.

Обратимся ко вторым слагаемым выражений (13.11), которые
обозначим

гСотР(О = |^о|еах8т(аН + рх),

еах §т(аН + рх - срв).



отр (О

Эти слагаемые описывают волны точно такого же характера,
как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении,
т. е. от конца линии к началу. Эти волны называются отражен-
ными волнами напряжения и тока. Амплитуды отраженных волн
убывают от конца линии к началу, наибольшая амплитуда наблю
дается в конце линии.

В соответствии с рассмотренной картиной можно сказать, что в
установившемся режиме гармонических колебаний напряжение и
ток в любой точке линии складываются из падающих и отражен
ных волн напряжения и тока, т. е. их = иХТ1ад + цГотР; 1х = *хпад +
+ ^готр- Отраженные волны возникают в конце линии.

Определим соотношения между падающими и отраженными
волнами в конце линии. Полагая в (13.10) х = I и обозначая на
пряжение и ток в конце линии Ц_2 и 1_2, получаем Ц_2 = С/р Пад +
+ Ц.2 отР; /2 = ^_2пад + 2.2 отр- Эти равенства в соответствии с обозна
чениями, принятыми в (13.10), и с учетом того, что Ц_2 = /гХн
(Хн ~ сопротивление нагрузки линии), можно переписать следую
гцим образом:

—2—н — — 2пад +—2отр’ —2—в — —2пад —2отр'

Складывая эти равенства и вычитая из первого второе, имеем:

тт	т ^н+^в

— 2пад - — 2	2 И

7 - 7

тт _ т ±±н —в

— 2отр	—2 о

Отношение комплексной амплитуды отраженной волны к ком
плексной амплитуде падающей волны называется коэффициентом
отражения по напряжению'.

Отсюда

Ч2ОТР 2„-2в

—2отр — —м— 2пад'

(13.13)

Коэффициент отражения по напряжению показывает, какую
часть амплитуды падающей волны в конце линии составляет
амплитуда отраженной волны. Амплитуда отраженной волны
тока

Т	—2 отр	—2 пад	т

1=----------— = —СУ ------= —СУ 1 •>

— 2отр	у	— и у	— и — 2пад

2-В	2-В

В то же время /2 отр = о/2.2 над, где су — коэффициент отраже-
ния по току. Отсюда видно, что су = — су,, т. е. коэффициент от
ражения по току равен по значению и противоположен по знаку
коэффициенту отражения по напряжению.

Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии. Если
линия замкнута накоротко на конце (короткое замыкание (КЗ)),
т. е. 2н = 0, то коэффициент су7 = — 1, а коэффициент п; = 1. Па
дающая и отраженная волны напряжения в конце линии имеют
равные амплитуды и сдвинуты по отношению друг к другу на 180°.
Амплитуда результирующей волны напряжения в конце линии бу
дет равна нулю. В то же время падающая и отраженная волны то
ка будут иметь равные амплитуды, что приведет к увеличению тока
в конце короткозамкнутой линии.

При холостом ходе (XX) в конце линии 7П = оо коэффициент
ои = 1 и су[ = —1, т. е. картина изменится на противоположную:
ток в нагрузке будет равен нулю, а напряжение увеличится вдвое.
Случай, когда Хн = Хв, рассмотрен ниже.
13.4. Вторичные параметры однородной линии

Волновое сопротивление. Одним из вторичных параметров од
нородной линии является волновое сопротивление линии, опреде
ляемое через первичные параметры формулой (13.7)

2В =	+ /соС)/(С + /соС).

При со = 0 2в=рв = у/К/С и фв = 0, т. е. волновое сопротивле
ние чисто активное. Точно такой же характер имеет при со —> оо:
4в = рв =	, фв = 0 .

Для всех реально существующих цепей К /О > к/С, поэтому
модуль волнового сопротивления с увеличением частоты уменыпа
ется, стремясь к величине фЬ/С . Угол фв изменяется от нулевого
значения при со = 0 до нулевого значения при со —> оо. Следователь
но, на какой то частоте он будет иметь максимум. Можно показать,
что угол фв на всех частотах является отрицательным. На рис. 13.4
показаны графики частотных зависимостей модуля и угла волново
го сопротивления однородной линии.

Чтобы выяснить физический смысл волнового сопротивления,
воспользуемся выражениями для комплексных амплитуд падающих
волн напряжения и тока из (13.10):

Щпад =	\~В~‘	<13.14)

и

Т _	+ е~Ух

—хпад	2^

Из этих отношений следует, что 2В = У_хнац,/над, т. е. волновое
сопротивление линии выражает соотношение между амплиту-
дами и фазами напряжения и тока падающей волны в любой
точке линии. При этом
\Ц	I УФихпад \Ц I

у   | х пад |	__ | х пад | ] ( Ф//.Г пад Ф/.г пад )   I у I 7фв

|Цпад|е"™ =	=1“в1

откуда

\ 7 I _ I— хпаД |	_

| _в | — Т7 Г	Фв — Фмхпад — Фгхпад*

| —х пад |

Аналогичным образом можно сказать, что 2В =-С/Х0Тр//Х0Тр.
Волновое сопротивление не зависит от длины линии — оно по
стоянно в любой точке линии.

Пример. Определим волновое сопротивление воздушной медной линии из
проводов диаметром 2г = 4 мм и расстоянием между проводами /пр = 20 см и
кабельной линии с бумажной изоляцией жил диаметром 2г =0,5 мм на часто-
тах / = 0; 0,8 и 10 кГц для воздушной цепи и / = 0 и 0,8 кГц для кабельной
цепи.

Для воздушной линии первичные параметры, взятые из справочника: К =
= 2,84 Ом/км; С = 6,3 нФ/км; / = 1,93 мГн/км; С = 0,57 • 10 См/км.

При / = 0 2В = у[К/С =2,38 кОм. При / = 800 Гц (со = 2л 800 рад/с)

2В = /ТОТ = I 2,84 +/2л-800-1,93 ЛО-3 =

-в ус + ^с ^о,57-ю 6+/2д-8оо-б,з-ю9

На частоте / = ЮкГц со/ » К и соС » С, поэтому - ^/С = 548 Ом.

Для кабельной линии: В = 190 Ом/км, С = 50 нФ/км, / = 0,7 мГн/км,
0 = 5-10-4 мкСм/км. На частоте / = 0 2В = у/В/С = 615 кОм. Для частоты
/ = 800 Гц справедливо соотношение В » со/ и соС » С. Следовательно,

2 = 1-^— = Р-е -/ ‘3' - 870сГ/45°Ом.

Согласованное включение линии. Рассмотрим режим работы
линии, когда 2н = 2в- В этом случае коэффициенты отражения
щ = 0 и отраженные волны напряжения и тока будут отсут
ствовать (С/готр = 0 И /готр = 0).

Напряжение и ток в любой точке линии, в том числе и на вхо
де (х = 0), будут определяться только падающими волнами. Со
гласно (13.14) 2В = С/1пад//1пад =	= 2ВХ, т. е. входное со

противление такой линии равно ее волновому сопротивлению. Та
ким образом, волновое сопротивление линии является аналогом
характеристического сопротивления симметричного четырех-
полюсника.

Указанный режим работы линии является режимом согласо
ванного включения. При этом вся энергия поглощается в конце
линии нагрузочным сопротивлением. Этот режим работы наиболее
выгоден для передачи сигналов связи, так как отражение энергии
от нагрузки приводит помимо увеличения рабочего ослабления ли
нии к появлению так называемых эхо сигналов, накладывающихся
на основной сигнал и искажающих его.

Уравнения передачи однородной линии в режиме согласован
ного включения могут быть легко получены из (13.9 б и в), если
учесть, что при согласованном включении Ц_2 =	Ц_\ = а

также что ей У/ + §11У/ = е±у1:

Для любой точки линии

Ц =и е~у-х и I = 1.е~-х.
Л-	1	— Л, — 1

(13.15 а)

(13.15 б)

Коэффициент распространения. Ко вторичным параметрам ли
нии относится также коэффициент распространения, введенный в
рассмотрение формулой (13.4):

У =	+ /юЬ)((3 + /соС) = а + / р.

В режиме согласованного включения линии из (13.15) имеем:
= 11/1х = еу-х или

Отсюда

е/(фи-фа ) _ еах .

^у(фи1 Ф//.г )

И Рх Фг/1 Фмх Ф И Фгх-

Для отрезка линии единичной длины (1 км, 1 м и т. д.) можно

записать:

Р Фм1 Фмх Фг1 Фиг*

Вещественная часть коэффициента распространения а характе
ризует изменение напряжения и тока по абсолютной величине при
распространении энергии на расстояние, равное единице длины
линии. Она называется коэффициентом ослабления линии и изме
ряется в неперах, отнесенных к единице длины линии (в провод
ной связи — Нп/км, в радиосвязи — Нп/м). При использовании
десятичного логарифма вместо натурального

а = 20181^/^1 = 201811,/Щ

измеряется в дБ/км или дБ/м.

Мнимая часть коэффициента распространения р характери
зуется изменением напряжения и тока по фазе. Она называется ко-
эффициентом фазы линии и измеряется в рад/км или рад/м.
Вместо радиан могут использоваться градусы.
Рис. 13.5

Таким образом, коэффициент распространения линии У харак
теризует изменение напряжения и тока по абсолютной величине и
по фазе при распространении энергии на расстояние, равное еди
нице длины линии (1 км или 1 м) в условиях согласованного вклю
чения линии.

Процесс изменения напряжения (тока) вдоль согласованно на
груженной линии можно проиллюстрировать векторной диаграм
мой, показанной на рис. 13.5, а или так называемой спиральной
диаграммой, приведенной на рис. 13.5, 6.

Численные значения коэффициентов аир можно найти по первичным па-
раметрам из общей формулы (13.4). Однако в ряде случаев можно получить
более простые выражения. Так, на высоких частотах (для электрической цепи
из меди, например, это частоты 10 кГц), где выполняются условия соД > К и
соС > С, пользуются упрощенными формулами:

Вывод этих формул дан в специальной литературе и здесь не приводится.
Для кабельных цепей в области низких частот (например, от 0 до 800 Гц) вы-
полняются соотношения К » соД и соС » С. В этом случае можно показать,
что а = р = у/(аСК/2 . Вторичные параметры аир зависят от частоты слож-
ным образом. На рис. 13.6, а и б даны графики, качественно отражающие эту
зависимость.

Пример. Определим коэффициент распространения воздушной медной ли-
нии с параметрами 2г = 4 мм и /пр = 20 см на частоте / = 800 Гц.

Значение коэффициента Т найдем по полной формуле (13.4), взяв пер-
вичные параметры из предыдущего примера:

у =	+ /со Д) (О + /со С) =
Рис. 13.6

- 7(2,87 + /2я  800  1,93  10 3 )(0,57  10 6 + >2я • 800 • 6,3 • 10’9 ) -
- 17,9 • 10"3еу81,3° - (2,86 + >17,6)10 3.

Отсюда коэффициент ослабления а = 2,86-10 3 Ни км = 2,86 мНи км.
Перевод непер в децибелы дает а (дБ) = а (Нп) х 8,7 = 24,9 10—3 дБ км. Ко-
эффициент фазы р = 17,6 Ю-3 рад км.

Постоянная передачи длинной линии. При распространении энергии по
линии на расстояние / напряжение и ток уменьшаются в еа1 раз, а фазы на-
пряжения и тока изменятся на величину р/.

Величина а/ описывает ослабление напряжения и тока при распростране-
нии энергии по всей длине линии и называется характеристической (собст-
венной) постоянной ослабления линии-. Ас = а/.

Из формул (13.15 а) следует, что

в
п2

п2 ь

^2

= е2Ас,

где 51 и 52 — полные мощности на входе и выходе линии. Поэтому

Величина Вс = а/ = фщ — ф/72 = фи — ф/2 называется характеристической
(собственной) постоянной фазы линии.

По аналогии с теорией четырехполюсников величина Гс = Ас + /Вс являет-
ся характеристической (собственной) постоянной передачи линии.

Заметим, что при отсутствии согласования, т. е. при 7^ ф условия пере-
дачи энергии по линии следует оценивать величиной рабочей постоянной пе-
редачи Гр = Ар + /Вр по формулам, полученным в общей теории четырехпо-
люсников (см. гл. 12).

13.5.	Входное сопротивление линии

Входное сопротивление линии определяется отношением напря
жения и тока в начале линии. Найдем выражение для 7^, исполь
зуя уравнения передачи линии в форме (13.9 в):

С1 = +2сЬ1г + Д^в + + = 2	(13 16)

]_{	/2 ей у/ + (С/2/^в	— в 2В ей у/ + 2Н §йу/
Рассмотрим некоторые частные режимы работы линии.

При согласованном включении линии (2Н = Хв) из (13.16) по
лучим, что 2вХ = 2щ как и было установлено ранее.

Если выходные зажимы линии замкнуты накоротко (2н = 0),
формула (13.16) упрощается и принимает вид

2	= 2В ЕЬу/.	(13.17 а)

В случае разомкнутых выходных зажимов (2д = 00)

2	= 2 сЕЬ у/.

--х>А АА ----Х>	•

(13.17 б)

Когда линия нагружена на произвольное сопротивление, не рав
ное волновому (2н ф 2в), можно пользоваться для расчетов общей
формулой (13.16). Однако иногда удобно выразить 2ВХ через пара
метры XX и КЗ. Для этого разделим числитель и знаменатель
(13.16) на 2В ей V/:

+ —	_ Хн+2 вхкз	^Н+—вхкз

-вх “ 1 + (2н/2в)1йу/ “ 1 + 2 /2	“ ~вххх 2Н+2ВХХХ '

Данная формула позволяет по измеренным значениям сопро
тивлений XX и КЗ рассчитать входное сопротивление линии.

Существует еще одна форма представления входного сопротивления. Для
получения ее перепишем выражение (13.16) после деления на 2В ей У/ в дру-
гом виде:

7	=7	2н/2в+1Ьу/

-ВХ ’-в1 + (2н/2в)^у/-

Обозначим СК X = 2Н/2В . Тогда

2

1й / + 1й у/
1 + 111x111 у/

- 2В1й (у/ + х).

(13.18)

Эта формула дает возможность по заданным параметрам 2Н и 2н определить

X = Аг1й =^~ = — 1п

-	2,. 2

2В + 2Н

2В - 2Н

и затем найти входное сопротивление линии.

Во всех случаях, когда нагрузка на конце линии не равна ее
волновому сопротивлению, входное сопротивление определяется
гиперболическим тангенсом комплексного аргумента. Чтобы дать
представление о характере изменения входного сопротивления ли
нии, на рис. 13.7, а показаны зависимости модулей сопротивлений
XX и КЗ от длины линии, построенные в соответствии с фор
мулами (13.17), а на рис. 13.7, 6 изображена зависимость модуля
2ВХ от частоты из (13.18) при несогласованной нагрузке линии.
Колебательный характер входного сопротивления при несогла
сованной нагрузке объясняется наличием в линии падающих и от
раженных волн. Фаза отраженной волны в начале цепи зависит от
величины р/, т. е. от частоты и длины линии. При изменении час
тоты или длины линии фаза отраженной волны напряжения то бу
дет совпадать с фазой падающей волны напряжения, то будет про
тивоположна фазе падающей волны. В то же время для тока все
будет происходить наоборот: при совпадении фаз падающей и от
раженной волн напряжения фазы падающей и отраженной волн
тока будут противоположны, т. е. если результирующая волна на
пряжения максимальна по амплитуде, то результирующая волна
тока имеет минимальную амплитуду. Таким образом,

—1 тт

—вх тт

—1 тах

13.6.	Линия без потерь

Вторичные параметры и уравнения передачи. Реальная линия
всегда обладает потерями. Однако в ряде случаев удобно считать
линию идеальной, т. е. не имеющей потерь. Линия без потерь —
это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, что имеет ме
сто при значениях первичных параметров К = 0 и О =0.

Такая идеализация оправдана для коротких по длине линий,
работающих на сверхвысоких частотах (фидеров, элементов ра
диотехнических устройств, полосковых линий, измерительных ли
ний, согласующих СВЧ устройств и др.), где выполняются уело
вия К соТ и С « соС, и поэтому резистивными сопротивлением
проводов и проводимостью изоляции можно пренебречь по срав
нению с индуктивным сопротивлением и емкостной проводимо
стью линии.

Коэффициент распространения линии без потерь
у = а + /р =	+	) (С + /соС) = л/-со2СС = /сщ/СС.

Отсюда коэффициент ослабления а = 0, а коэффициент фазы
Р = сол/ГС линейно зависит от частоты.

Волновое сопротивление линии без потерь

_ IК + /сэЬ _ 07 _

-в =	= А| С = Рв

является чисто активным (резистивным).

Коэффициент фазы р связан с длиной волны электромагнитного
колебания. Длиной волны \ называется расстояние между двумя
точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы в
которых отличаются на 2л. Следовательно, рл = 2л и л = 2л р.

Уравнения передачи линии без потерь получаются из (13.9 в),
если учесть, что ей у/ = ей /рI = со§р/ и §йу/ = §й /рI = /§тр/:

01 = С2 С08Р^ + /ОвО §1ПРО

11 =	С08Р^ + /=^-81пр/.

При анализе процессов, происходящих в линии без потерь, об
щепринято расположение той или иной точки на линии характе
ризовать ее удалением не от начала линии, как это делали прежде,
а от конца линии (рис. 13.8). В этом случае уравнения передачи
линии без потерь, выражающие комплексные действующие значе
ния напряжения и тока в произвольной точке линии х, отсчитан
ной от ее конца, записываются в виде:

Сг = С2 со§рх +/2в/2 §тр.х,
/ х = / 2 С08	81П Р-Т.

(13.19)

Рассмотрим различные режимы работы линии без потерь.

Согласованное включение линии. При нагрузке линии без по

терь на резистивное сопротивление 2.,, = -Кн, равное волновому

= рв, ток = С.2	= С.2 Рв и уравнения передачи (13.19)

К	О
преобразуются следующим образом:

Их =С/2(со8рх + /8трх) = С/2е7(3х = Схпад;

Ь =12(со8рх + /8трх) = /2е7(3х = /хпад.

Заменяя комплексные амплитуды их модулями и фазами, т. е.
(У2 = |У2 е}<?и2 и /2 = |/2|еж'2 , и полагая для упрощения фм2 =
= ф/2 = 0, перейдем к уравнениям передачи для мгновенных значе
ний напряжений и токов. Тогда

ихШ = |У21 зш (со^ + рх) = г/хпад,
У (О = |/2|§ш(сО^ + Рх) = Упад-

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяю
щиеся в линии слева направо, т. е. от начала к концу линии
(рис. 13.9, а). На направление распространения волн указывает
знак «плюс» перед рх (напомним, что расстояние х отсчитывается
от конца линии).

Таким образом, при согласованном включении линии без потерь
в ней существуют только падающие, или бегущие, волны напряже
ния и тока. При этом амплитуды колебаний постоянны по всей
длине линии (рис. 13.9, б). Данный режим работы линии называют
также режимом бегущей волны. Сдвиг фаз между напряжением их
и током 1Х равен нулю, поэтому энергия бегущей волны носит ак
тивный характер.

Короткое замыкание линии. При /Д = 0 напряжение в конце
линии Сд = 0. Уравнения передачи (13.19) для данного режима
работы линии принимают вид:

1}... = /2 1? 81прх; / = /2 созрх.	(13.20)

--X	--Х5-X	'	-X ---Д	'

Если положить для простоты начальную фазу ф/2 тока в конце
линии равной нулю, то мгновенные значения напряжения и тока в
любой точке линии описываются выражениями:

(13.21)

их (О = |12|рв §трх8т(со^ + л/2);
У (О = 1121С08	ю
Амплитуды напряжения /2|рвзтрх и тока |/21 созрх являются
функциями координаты х. В линии есть точки, в которых ампли
туда напряжения (тока) в любой момент времени равна нулю. Это
так называемые узлы напряжения (тока). Имеются также точки, в
которых амплитуда напряжения (тока) приобретает максимальное
значение — пучности напряжения (тока).

Узлы напряжения и пучности тока образуются в точках, в ко
торых рх = 0, л, 2л, ..., так как при этом зт рх = 0 и их = 0, а соз
Рх = ±1 и ток гх имеет максимальную амплитуду. Пучности напря
жения и узлы тока возникают в тех точках линии, где

При этих значениях рхзтрх = ±1, в этом случае амплитуда на
пряжения их оказывается максимальной, а соз рх = 0 и амплитуда
тока гх равной нулю. Рассмотрим причины появления узлов и пуч
ностей напряжения и тока.

При КЗ линии коэффициенты отражения имеют значения
сум = (2Н - 2 )/(2н + 2В ) = -1, су  = —су = 1,

т. е. происходит полное отражение энергии, в результате чего в
любой точке цепи результирующее напряжение (ток) оказывается
равным сумме падающих и отраженных волн. Действительно, из
уравнений в комплексной форме (13.20) следует:

И =72в/28трх = ^^-е/рх-^^-е’/(3х =

—х	—в—л	•	2	2

= ^в—2 /рх ^В —2 ~/(Р*-л) тт ,тт

2 с	2 С	— хлад ' — .готр’

I = 12 созрх =	+ 1=2-е~]^х = /	+ /хото.

Поскольку потерь в линии нет, амплитуды падающих и отра
женных волн во всех точках линии одинаковы.

Сдвиг фаз между падающей и отраженной волнами напряжения
в точке х

(ри = рх - [-(рх - л)] = 2рх - л = — х - л,

X
а между падающей и отраженной волнами тока
4 л
ср г = рх - (-рх) = 2рх = — х.

Удобно рассматривать в линии без потерь точки х, отстоящие от
конца линии на расстояния, кратные четверти длины волны, т. е.
кратные Х/4. В конце линии (х = 0) срм = — л и ср^ = 0. Следова
тельно, падающая и отраженная волны напряжения находятся в
346
Рис. 13.10

противофазе, а падающая и отраженная волны тока — в фазе. По
этому в конце линии наблюдается узел напряжения и пучность тока.

На расстоянии л 4 от конца линии фм = 0 и ф, = л, т. е. фазы
падающей и отраженной волн напряжения совпадают, а волн то
ка — противоположны. В этой точке образуется пучность напряже
ния и узел тока. В точке х = л 2 (фм = л, ф/ = 2л) возникают пуч
ность тока и узел напряжения и т. д.

В промежуточных точках между узлами и пучностями фазовые
соотношения отличны от 0, л, 2л и т. д. В них амплитуды напря
жения и тока принимают промежуточные значения между нулем и
максимальным значением.

Векторная диаграмма, приведенная на рис. 13.10, иллюстрирует
соотношение фаз между падающей и отраженной волнами тока в
различных точках КЗ линии.

Распределение модулей комплексных амплитуд напряжения
|С/Г| и тока |/г| по длине линии представлено на рис. 13.11. Рас
стояние между соседними узлами (пучностями) равно /.2.

Вернемся к рассмотрению мгновенных значений напряжения и
тока, описываемых формулами (13.21). Делая моментальные фото
графин распределения мгновенных значений, например напряже
ния вдоль линии в моменты времени й, ^2, О, ^4, О и т. д., и про
ецируя их затем на экран, получаем картину «пульсирующего» на
пряжения, в которой узлы напряжения остаются, на месте, а на
пряжение между узлами пульсирует, достигая положительного и
отрицательного амплитудных значений (рис. 13.12). Та же кар
тина, но смещенная по оси х на значение л 4. наблюдается и для

тока гх.

Таким образом, в КЗ линии
возникают волны напряжения и
тока, которые не распространи
ются вдоль линии, находятся на
одном месте. Такие волны называ
ются стоячими, а уравнения пере
дачи (13.20) и (13.21) — уравнени
ями стоячих волн. Описываемый

Рис. 13.11
режим работы линии получил также название режима стоячих
волн.

Напряжение их и ток 1Х в КЗ линии согласно (13.21) сдвинуты
по фазе на 90°. Это свидетельствует о том, что энергия стоячей
волны имеет реактивный характер.

Определим входное сопротивление КЗ линии в произвольной
точке х. Из (13.20) следует, что

7

— ВХ КЗ

72 созрх

При х = О, Х/2, X, ЗХ/2, ... величина рх = (2л/Х)х = 0, л,2л,3л,...
и входное сопротивление Хвхкз = 0. При х = Х/4, ЗХ/4, 5Х/4, ... ве
личина рх = 2л/л х = 0, л/2,... и входное сопротивление Хвхкз =
= +уоо.

На рис. 13.13 приведена зависимость /вхкз// от длины линии
(расстояния х от конца линии).

Меняя длину КЗ линии без потерь, можем получить входное
сопротивление, имеющее индуктивный характер (в диапазоне х =
= 0 ... Х/4), емкостный характер (х = Х/4 ... Х/2), затем опять ин
дуктивный (х = Х/2 ... ЗХ/4) и т. д.

При длинах, кратных Х/4, входное сопротивление короткозамкну
той линии без потерь эквивалентно входному сопротивлению парал
лельного колебательного контура, а при длинах, кратных Х/2 —
входному сопротивлению последовательного колебательного контура.

Учитывая, что в линиях, без потерь р = и, следователь
но, частота со и длина линии I (или расстояние от конца линии х)
входят в выражение Хвхкз симметричным образом, приходим к вы
воду, что частотная зависимость Хвхкз аналогична зависимости от
длины линии (рис. 13.14). На тех частотах, где р/ кратно л/2,
2ВХКЗ = ±/оо, а где р/ кратно л, Хвхкз = 0. При фиксированной
длине КЗ линия представляет собой двухполюсник с бесконечным
числом резонансов.

Размыкание линии. В режиме XX /4 ц = оо и /2 = 0. Уравнения
передачи получим из (13.19):
V... = СК созВх; I =/=^-8тВх.	(13.22)

Кв

Для мгновенных значений имеем (при начальной фазе напря
жения фЫ2 = 0):

их (I) = | Ц_21 соз рх 81п со I;

81П РХ 81П

(13.23)

ча) =

Сравнивая уравнения передачи (13.22) и (13.23) с уравнениями
КЗ линии (13.20) и (13.21), видим, что полученные уравнения так
же являются уравнениями стоячих волн. Разница состоит в том,
что узлы и пучности напряжения при XX совпадают с узлами и
пучностями тока при коротком замыкании, а узлы и пучности тока
разомкнутой линии — с узлами и пучностями напряжения КЗ ли
нии. В конце разомкнутой линии образуется пучность напряжения
и узел тока.

Данный режим работы линии по аналогии с предыдущим пазы
вается режимом стоячих волн. Входное сопротивление разомкну
той линии без потерь определяется из (13.22):

— ВХХХ Т

— X

Его график, отражающий зависимость от х, дан на рис. 13.15.

Включение линии на реактивное сопротивление. Пусть линия нагружена
на индуктивность Сн (рис. 13.16, а). При заданной частоте со сопротивление
нагрузки = /соЕн-

Из рис. 13.13 видно, что отрезок закороченной линии длиной меньше X/4
имеет входное сопротивление индуктивного характера. Поэтому всегда можно
подобрать такую длину отрезка Г, при которой его входное сопротивление
равнялось бы заданному сопротивлению 2^. Заменим индуктивность Сн отрез-
ком КЗ линии (рис. 13,16, б). Эта замена позволяет применить теорию КЗ
линии и сразу же построить кривые распределения напряжения и тока в ли-
Рис. 13.16

Рис. 13.17

нии, нагруженной на индуктивность (рис. 13.16, в). В рассматриваемой линии
возникают стоячие волны. Этот режим отличается от режима КЗ замыкания
тем, что ближайший узел и пучность сдвинуты от конца линии на некоторое
расстояние.

На рис. 13.16, г приведен график входного сопротивления линии, вклю-
ченной на индуктивность в зависимости от ее длины. Оно имеет реактивный
характер в любом сечении линии.

В случае, когда линия нагружена на емкость Сн с сопротивлением 7^ =
= 1/(/соСн), можно заменить эту емкость отрезком разомкнутой линии длиной
I < Х/4 (см. рис. 13.15), входное сопротивление которого равняется заданному
1/(/соСн). Очевидно, и в этом случае в линии возникают стоячие волны. Пре-
доставляем читателю возможность проанализировать данный режим работы
линии самостоятельно.

Включение линии на резистивное сопротивление, не равное
волновому. Положим для определенности, что сопротивление на
грузки > 2в = рв, и рассмотрим распространение по линии вол

ны напряжения.

Падающая волна не вся поглощается нагрузкой, часть ее отра
жается обратно в линию. Амплитуда отраженной волны меньше
амплитуды падающей волны, поэтому падающую волну можно
представить в виде суммы двух волн. Одна из них, равная по ам
плитуде отраженной волне, взаимодействуя с ней, образует стоя
чую волну. Отставшаяся падающая волна является бегущей. Таким
образом, в линии возникает смешанная волна, состоящая из бегу
щей и падающей волн. Данный режим работы называется режимом
смешанных волн.

На рис. 13.17 показано распределение по длине линии модуля
комплексной амплитуды напряжения. В линии будут отсутствовать
узлы и пучности, а будут наблюдаться минимумы и максимумы
амплитуды волн.

Чтобы оценить близость данного режима к режиму бегущей
волны, вводят коэффициент бегущей волны'.

^бв — | —х тт |/| —х тах | •

Величина &бв изменяется в пределах от 0 < &бв < 1 • При
&бв = 0 в линии имеет место стоячая волна, при кбв = 1 — бегущая
волна.

Коэффициент бегущей волны можно выразить через отношение
волнового сопротивления и сопротивления нагрузки. Действитель
но, минимальное значение амплитуды смешанной волны |Кгп/г/;|
представляет собой амплитуду бегущей волны |С/бв |, т- е- той вол
ны, которая поглощается частью сопротивления нагрузки, равной
волновому сопротивлению. Поэтому

\—хтт\ = |^бв| = |—2 | Рв-

Максимальное значение амплитуды смешанной волны

|щм| = |Сбв| + |Ссв| = |ЬК

где |С/св| — максимальная амплитуда стоячей волны. Отсюда на
ходим

^бв — Рв/-^Н •

Часто используют обратную величину ксв = 1/^бв, которую на
зывают коэффициентом стоячей волны.

Из общих уравнений передачи линии без потерь (13.19) рассмотрим сна-
чала уравнение для напряжения:

= Ц_2 С08 + 7^в 12	= И2 (соз рх + ]'к6в зш рх).

Воспользуемся подстановкой в виде тождества

соз рх = к6в соз рх + (1 - кбв) соз рх.

Тогда после несложных преобразований получим

- П2/гбвеу₽х + Ц2 (1 - к6в) соз рх.

Уравнение передачи для мгновенных значений напряжения находим как
обычно (полагая при этом срм2 = 0):

их (1} - |П21 к6в зш (со I + рх) + |П21 (1 - кбв) соз рх зш со I.

Первое слагаемое этого уравнения является бегущей волной, второе слагае-
мое — стоячей волной. При /?бв = 0 первое слагаемое обращается в нуль и в
уравнении присутствует только стоячая волна. При /?бв = 1 обращается в нуль
второе слагаемое и уравнение содержит только бегущую волну.

Рассматривая аналогичным образом уравнение для тока гх(О, имеем:
1Х {I) = -—— ^бв $1п ( СО С + Рх ) + -I Ч ( 1 - к6в ) 8Ш Рх СО I + — .

Рв	Рв	V 27

Можно сделать некоторые выводы:

если переносимая вдоль линии энергия полностью рассеивается
на ее конце (линия нагружена на резистивное сопротивление, рав
ное волновому), то отражение энергии отсутствует и в линии суще
ствуют только бегущие волны;

если энергия в конце линии не рассеивается (короткое замы
кание, холостой ход, реактивная нагрузка), то происходит полное
отражение волн, и, как следствие этого, в линии образуются толь
ко стоячие волны;

когда переносимая вдоль линии энергия лишь частично рассей
вается на ее конце (линия замкнута на резистивное сопротивление,
не равное волновому), в линии одновременно присутствуют как бе
гущие, так и стоячие волны.

13.7. Применение отрезков линий с пренебрежимо
малыми потерями

Колебательный контур. В технике сверхвысоких частот вместо
колебательных контуров на сосредоточенных реактивных элемен
тах используют отрезки короткозамкнутых или разомкнутых линий
с малыми потерями. Частотные характеристики входных сопротив
лений таких отрезков (см. рис. 13.14) в области частот, при
летающих к резонансной, достаточно хорошо воспроизводят харак
теристики колебательных контуров. Значения добротностей отрез
ков линий достаточно велики и могут достигать, например, для ко
роткозамкнутых четвертьволновых отрезков нескольких тысяч
единиц. Это позволяет успешно использовать их для селекции ко
лебаний весьма высоких частот.

Металлический изолятор. При х = Х/4 входное сопротивление
короткозамкнутого отрезка линии обращается в бесконечность (см.
рис. 13.13). Это дает возможность использовать четвертьволновой
КЗ отрезок в качестве изолятора, например для подвески двухпро
водных воздушных фидерных линий (рис. 13.18). Отрезок линии
выполняется в виде жестких металлических прутьев или труб. Их

Х/4

Рис. 13.18

Рис. 13.19
нижние концы заземляются, в результате чего осуществляется КЗ.
Верхние концы присоединяются непосредственно к линии. Такие
изоляторы по своим электрическим и конструктивным данным пре
восходят изоляторы из диэлектрика.

Линейный вольтметр. Непосредственное включение в цепь
обычного измерительного прибора при очень высокой частоте на
рушает режим работы цепи, так как вносит в нее добавочное реак
тивное и резистивное сопротивления. Измерительный прибор с ма
лым входным сопротивлением, включенный через четвертьволно
вый отрезок линии, называют линейным вольтметром
(рис. 13.19). Подключение измерительного прибора к отрезку ли
нии практически создает КЗ. Входное сопротивление линейного
вольтметра оказывается очень большим, и он не оказывает замет
ного влияния на цепь, в которой измеряется напряжение. Изме
ряемое действующее значение напряжения связано с действующим
значением тока, протекающего через измерительный прибор, зави
симостью 17 = рв/, что следует из уравнения (13.20) при х = Х/4.

Полосовой фильтр. На сверхвысоких частотах, где потери в ли
нии пренебрежимо малы, КЗ отрезки линии могут быть использо
ваны для построения фильтров. В качестве примера на рис. 13.20, а
показана схема полосового фильтра, построенного на двух КЗ от
резках линии. В продольное плечо схемы включен полуволновый
отрезок, в поперечное плечо — четвертьволновый. Первый отрезок
имеет входное сопротивление, аналогичное входному сопротивле
нию последовательного колебательного контура. Второй, четверть
волновый, отрезок играет роль параллельного колебательного кон
тура. Эквивалентная электрическая схема фильтра дана на
рис. 13.20, 6.

Четвертьволновой трансформатор сопротивлений. При длине
отрезка х = Х/4 уравнения передачи (13.19) упрощаются и прини
мают вид:

Входное сопротивление четвертьволнового отрезка линии с пре
небрежимо малыми потерями
к/4

13.21

Рис.

Такой отрезок можно использовать в качестве согласующего
трансформатора сопротивлений. Если включаемые каскадно линии
имеют разные волновые сопротивления 2в1 и 2В2, то у четвертьвол
нового согласующего трансформатора в качестве сопротивления на
грузки выступает волновое сопротивление 2В2. Входное сопротив
ление согласующего трансформатора должно быть равно Тщ. Для
выполнения этого условия достаточно выбрать 2В трансформатора
равным 7^в1^в2 •

Тогда

^в1—в2 _ у

71	— в1 •

21в2

Такой согласующий трансформатор приведен на рис. 13.21.

Пример. На входе отрезка линии без потерь длиной Х/2, нагруженного на
резистивное сопротивление 7?,, = 37,5 Ом, включен источник с = 10 В.
Волновое сопротивление отрезка 2В = рв = 75 Ом. На расстоянии X/4 от кон-
ца отрезка к нему подключен короткозамкнутый шлейф длиной 1Ш = X 8 и
волновым сопротивлением 2В = рв = 75 Ом. Определим входное сопротивле-
ние отрезка и ток на его входе.

Отрезок линии с короткозамкнутым шлейфом изображен на рис. 13.22.
Найдем сначала входное сопротивление части отрезка длиной Х/4 от сопро-
тивления Ки, до точек а —б, рассматривая эту часть как трансформатор сопро-
тивления: 7'х =2|/т?н = 150 Ом.

Входное сопротивление КЗ шлейфа длиной X 8, определяется по формуле

2вхш = /2В 1§ р/ш - /75 Ом,

где

р/

111 X 8

л

4

Таким образом, левая часть отрезка длиной X 4 оказалась нагруженной на

7 = 7' 7

±±вх вх пт

параллельное соединение сопротивлений 2ВХ
'7;Х+7ВХШ) = 67еу63°30' Ом.

и 7ВХШ, т. е. на сопротивление
Входное сопротивление всего отрезка определим, рассматривая первую по-
ловину отрезка как трансформатор сопротивления. Поэтому 2ВХ = 23>/^аб -
= 84е у63’30' Ом . Ток на входе отрезка линии 1_г =	= 0,119е^63°30' А .

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Привести примеры применения длинных линий.

2.	Как рассчитывается длина волны, излучаемой радиовещательной
станцией?

3.	Рассчитать и построить графики первичных параметров коакси
ального кабеля 2,6/9,4 мм в диапазоне частот 812 ... 17569 кГц.
При расчетах принять е = 1,1;	5 = 0,6-10-4, длина кабеля

I = 1 км.

Ответ: Ь = 2,57 -10—4 Гн/км, С = 47,5 нФ/км,
К = 4,1-10“277 Ом/км, С = 1,8 -10—14 См/км.

4.	Используя данные задачи 3, рассчитать волновое сопротивление
кабеля 2В = |2В |е7Фв, длину волны X.

Ответ: 2В = 73,5 Ом, X = 0,286- Ю9//.

5.	Первичные параметры линии на частоте со = 104 с-1 имеют зна
чения: К = 10 Ом/км, Ь = 0,5 мГн/км, С = 4-10-8 Ф/км, О =
= 10-6 См/км. Рассчитать волновое сопротивление, коэффици
ент распространения и длину волны.

Ответ: 2В = 167,2 Ом, срв = —0,552 рад, а = 0,0157,
Р = —0,065 (для I = 1 км).

6.	Почему кабельные линии связи работают в режиме согласован
ной нагрузки? Что произойдет, если волновое сопротивление ан
тенного фидера не будет согласовано с входным сопротивлением
телевизионного приемника?

7.	Запишите уравнения передачи линии без потерь. Чем они отли
чаются от уравнений передачи линии с потерями?

8.	Чем отличаются напряжения и токи в различных сечениях со
гласованно нагруженной линии без потерь?

9.	Укажите различия между следующими понятиями: падающие и
отраженные волны; бегущие, стоячие и смешанные волны.

10.	Линия без потерь с волновым сопротивлением р = 90 Ом на
гружена на сопротивление Коэффициент бегущей волны
равен 0,6. Определить сопротивление нагрузки А/.

Ответ: 5,4 Ом.

11.	Какой минимальной длины необходимо взять отрезок линии без
потерь с параметрами Л = 0,49 мкГн, С = 25 мФ/м, чтобы на
частоте / = 108 Гц получить из него индуктивность 0,223 мкГн.

Ответ: короткозамкнутый отрезок длиной 0,347 м.
ГЛАВА 14. ЦЕПИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

14.1.	Определение и классификация обратных связей

В большинстве цепей с зависимыми источниками имеется по
крайней мере два пути прохождения сигнала: прямой (от входа к
выходу) и обратный (с выхода на вход). Обратный путь прохож
дения сигнала реализуется с помощью специальной цепи обратной
связи (ОС). Таких путей, а значит, и цепей ОС может быть не
сколько. Наличие в цепях с зависимыми источниками ОС придает
им новые ценные качества, которыми не обладают цепи без ОС.
Например, с помощью цепей ОС можно осуществить температур
ную стабилизацию режима работы цепи, уменьшить нелинейные
искажения, возникающие в цепях с нелинейными элементами,
улучшить технические параметры усилителей и т. д.

Введение ОС позволяет создавать цепи, генерирующие колебания
различной формы (гл. 15), моделирующие различные функции (сум
мирование, интегрирование, дифференцирование и др. (гл. 2, 3)).

Кроме положительных, ОС могут оказывать и отрицательные
последствия на цепь. Так, ОС могут образовываться за счет раз
личных «паразитных» связей, возникающих в результате неудачно
го монтажа элементов цепи или при нерациональном формирова
нии элементов в подложке микросхемы и др. Подобные ОС могут
возникать на высоких частотах за счет различных «паразитных»
емкостей создающих цепи обратной связи с выхода на вход. «Па
разитные» ОС могут оказывать неконтролируемые воздействия на
работу цепи и поэтому должны учитываться в необходимых случа
ях при расчетах. Все вышеизложенное свидетельствует о важности
изучения цепей с ОС.

Обратные связи могут быть классифицированы по различных
признакам: по характеру связи — положительной (ПОС), отрица
тельной (ООС) и комплексной; по структуре — внешней и внут
ренней; по характеру реализующих ее элементов — активной и пас
сивной, линейной и нелинейной, частотно зависимой и частотно не
зависимой и т. д.

С точки зрения анализа важным являются способы соединения
четырехполюсников прямой передачи и цепи ОС. На рис. 14.1
представлены основные схемы соединения четырехполюсника ка
налов прямого усиления с передаточной функцией Ну(р) и четы
рехполюсника цепи ОС с передаточной функцией Нос(р). Причем,
в качестве четырехполюсника с Ну(р) обычно используют актив
ные цепи (усилитель), а в качестве цепи ОС с передаточной функ
цией Нос(р) пассивный четырехполюсник. В дальнейшем ограни
чимся случаем, когда усилитель и цепь ОС являются линейными
четырехполюсниками.
Рис. 14.1

Данные схемы соответствуют последовательно параллельному
(«), параллельному (б), последовательному (в) и параллельно
последовательному (г) соединению четырехполюсников (см. § 12.3).
В соответствии с этим для анализа подобных сложных четырехпо
люсников могут использоваться Н, V, 7, Г параметры соответст
венно, поэтому в литературе иногда эти структуры называют ОС
Н, У, 2 и Р типа соответственно.

В соответствии со структурными схемами (рис. 14.1) разли
чают следующие виды ОС: последовательной по напряжению
(рис. 14.1, а), т. к. Сое зависит от СВыХ; параллельной по напря-
жению (рис. 14.1, б), поскольку ток /ос является функцией выход
ного напряжения С2; последовательной по току (рис. 14.1, в),
т. к. Сое в этой схеме зависит от выходного тока С; параллельной
по току (рис. 14.1, г), потому что 1ОС будет зависеть от выходного
тока С-

Для определения типа ОС (по току или напряжению) необхо
димо помнить, что ОС по напряжению будет максимальной при
XX на выходе и минимальной при КЗ на выходе, а ОС по току
будет максимальной при КЗ на выходе и минимальной (равной ну
лю) при XX на выходе.

14.2.	Передаточная функция цепи с обратной связью

1.	Передаточная функция цепи по напряжению.

Определим передаточную функцию по напряжению цепи с об
ратной связью на примере схемы, изображенной на рис. 14.1 а, и
им

ВЫл \.Г^ /

Рис. 14.2

проанализируем влияние ОС на ос
новные параметры усилителя с ОС
цепи как сложного четырехполюс
ника.

Для этого типа ОС можно за
писать следующее равенство со
гласно ЗНК в операторной форме
(рис. 14.1, а):

Увх(р) = ^1(р)-^ос(р)-

Тогда для изображения выходного напряжения можно согласно
рис. 14.2 записать:

^вых(р) = [У1(р)-иос(р)]н(р),

где Н (р) — операторная передаточная функция по напряжению.

Операторное изображение	можно записать через пере

даточную функцию Нос(р) цепи обратной связи

ОС ( Р ) ^ВЫХ ( Р ) ОС ( Р ) ’

(14.1)

а напряжение С/Д/?) через передаточную функцию усилителя Ну(р)'.



(14.2)

Отсюда с учетом (14.1) и (14.2) операторная передаточная функ
ция по напряжению цепи с ОС (см. рис. 14.2) будет равна

_^вь,х(р)_	Яу(р)

<ЛхЦ) 1-Яу(р) Яос(р)'

(14.3)

Переходя в (14.3) от оператора р к оператору /со, получаем ком
плексную передаточную функцию

Я(/со) =

^вых ( 7 )
вх ( 7® )

Яу(/^)

1 - Яу (/со) • Яос (/со)

(14.4)

Таким образом, частотные свойства цепи в равной мере зависят
как от Яу(/со) канала прямого усиления, так и от Яос(/со) цепи об
ратной связи. Поэтому можно, оставляя неизменным основной эле
мент системы, в широких пределах изменять частотную характе
ристику всей цепи, изменяя лишь параметры цепи обратной связи.

Произведение Яу(/со)-Яос(/со) = Яр(/со) представляет собой
комплексную передаточную функцию усилителя и цепи обратной
связи при условии, что обратная связь разорвана (рис. 14.3, а).
Функцию Яр(/со) называют передаточной функцией по петле ОС
или петлевым усилением. Введем понятия положительной и отри
цательной обратной связи. Эти понятия играют заметную роль в
теории цепей с обратной связью.
а)

Рис. 14.3

Предположим вначале, что передаточные функции Ну, Нос,
Нр не зависят от частоты и являются вещественными числами.
Такая ситуация возможна, когда в цепи отсутствуют ЕС
элементы. При этом Нр может быть как положительным, так и
отрицательным числом. В первом случае сдвиг фаз между вход
ным и выходным напряжениями, или другими словами, сдвиг
фаз по петле обратной связи равен нулю или 2кп, к = 0, 1, 2, ...
Во втором случае, когда Нр < 0, сдвиг фаз по этой петле равен
±л или +(2к — 1)л. (Заметим, что сдвиг фаз на ±тг можно легко
получить путем перекрещивания проводов, например так, как
показано на рис. 14.3, б).

Если в цепи с обратной связью сдвиг фаз по петле равен нулю,
то обратная связь называется положительной, если же сдвиг фаз
равен ±л, то такая обратная связь называется отрицательной.

Передаточную функцию ±/р(/со) можно изобразить в виде век
торов и показать их на комплексной плоскости. При положитель
ной обратной связи вектор ±/р(/со) находится на положительной
вещественной полуоси, а при отрицательной обратной связи — на
отрицательной вещественной полуоси.

В § 4.1 было введено понятие годографа передаточной функ
ции. Напомним, что годографом называется кривая, которую они
сывает конец вектора Нр(/со) при изменении частоты со (рис. 4.3, в
и 14.4).
Представление Нр(/со) в виде годографа позволяет определить
вид обратной связи в случае частотнозависимой обратной связи.
Обратная связь называется положительной, если годограф Нр(/со)
лежит в правой, и отрицательной — если в левой полуплоскости
комплексной плоскости. Отрицательная ОС применяется для стаби
лизации коэффициента усиления, подавления паразитных сигналов,
коррекции частотных характеристик; положительная ОС может
являться причиной неустойчивости цепи. Поясним это. Пусть Нос и
Ну — положительные вещественные числа. Тогда при НуНос = 1,
т. е. когда Нос = \/Ну, значение передаточной функции (14.4)
стремится к бесконечности. Это означает, что даже при бесконечно
малых значениях амплитуды входного напряжения мвх(О амплиту
да выходного напряжения мВых(О будет неограниченно возрастать.
Говорят, что в этом случае наступает самовозбуждение цепи с ОС.
Поэтому при проектировании цепей с обратной связью одной из
основных задач является исследование их устойчивости. Таким об
разом, термины неустойчивость и самовозбуждение являются сино
нимами.

2.	Влияние ОС на параметры усилителя.

Обратная связь существенно влияет на результирующие пара
метры цепи с ОС; в частности ее входное и выходное сопротивле
ния и коэффициенты передачи. Рассмотрим влияние ОС на пара

б)
метры усилителя на примере схемы, изображенной на рис. 14.2.
На рис. 14.5 изображена эквивалентная схема с зависимым источ
ником напряжения с Н параметрами при отсутствии внутренней
ОС (Я12 = 0);

Четырехполюсник ОС представлен в виде четырехполюсника с
матрицей Нос параметров

Н

±2_Цос ±2_12ос

^21ос	^22ос

Запишем согласно (12.5) уравнения активного и пассивного че
тырехполюсников в Н параметрах:

Ц.1 = я11/1 + о-свых |	5)

/2=Я21/1+Я22Свых]

— ос — ^Иос—1 + —12ос—вых	(14 6)

I 2 = ^21ос11 + ^^22ос—вых .

Матрица Н параметров сложного четырехполюсника определяется
с учетом § 12.3 как

Яц+Яцос 0 + Я12ос
&1 + ^21ос	—22 + ^22ос

(14.7)

Поскольку в данной схеме (рис. 14.5) ОС предназначена для
получения на выходе четырехполюсника определенного напряже
ния Сос, то основное значение на свойство усилителя должен иг
рать коэффициент Ящос- Учитывая, что цепь ОС отбирает часть
полезной энергии из нагрузки необходимо стремиться, чтобы
Я220С	Н.22- Кроме того, для уменьшения потерь входного сигна

ла на входном сопротивлении цепи с ОС, необходимо выполнение
условия Яи » Яцос- Если при этом учесть, что обычно Я21 » Я_21ос
и для пассивной цепи Я12ос < 1, то окончательно матрица Н
параметров сложного четырехполюсника с цепью ОС примет вид

(14.8)

При этом уравнения передачи Н параметров примут вид (рис. 14.5, б)

(2Вх “ Я1111 +^12ос^вых
— 2 = #2111 + #22—вых

(14.9)

С помощью системы уравнений (14.9) можно определить искомые
зависимости токов и напряжений от параметров цепи ОС. Можно,
в частности показать, что отрицательная ОС (ООС) уменьшает ко
эффициент передачи по напряжению усилителя в к раз, а входное
сопротивление увеличивает в к раз, где

^ = 1-Л12осЛ21/(Ли + гг)(я22 + Ун).	(14.10)

Так как рассмотренный тип ОС (последовательной по напря
жению) ведет к увеличению входного и уменьшению выходного
сопротивлений усилителя, то это позволяет осуществить транс
формацию сопротивлений, что используется для согласования от
дельных каскадов усилителя.

Следует также отметить, что коэффициент передачи ОУ с после
довательной ОС по напряжению при бесконечно большом коэффи
циенте усиления является функцией только параметров элементов
цепи ОС.

В заключении рассмотрим влияние ОС на стабильность коэф
фициента усиления, как основного показателя усилителя.

Для отрицательной и вещественной ОС согласно уравнению
(14.4) для коэффициента усиления усилителя можно записать

(14.11)

Продифференцируем (14.11) по Ну и Нос

ан _	1 ан _ Н?

ан у (1 + НуН0С)	ан ос (1 + НуН0С)

(14.12)

Отсюда относительная нестабильность коэффициента усиления с
учетом (14.11) будет равна

ан _  ан _'	1	ану ну ’  ан ос
	(1 + НуНос)_  1	
	(1 + 1/НуНос)_	Нос

(14.13)

(14.14)

Анализ (14.13) показывает, что нестабильность коэффициента уси
ления усилителя с ОС в 1/(1 + Ну  Нос) раз меньше чем без ОС.

Равенство (14.14) показывает, что при Ну » 1/Н0С ан ®
~ аН0С/Н0С, т. е. пропорционально нестабильности коэффициента
передачи цепи ОС, поэтому стараются цепь ОС сделать достаточно
стабильной.

Аналогичным образом можно найти коэффициент передачи и
исследовать влияние ОС на параметры других схем с ОС (см.
рис. 14.1 б) —г)). При этом надо иметь ввиду, что в соответствую
щих выражениях будут фигурировать не только комплексные ко
эффициенты передачи по напряжению, но и по току, а также пере
даточные комплексные сопротивления и проводимости. Кроме того
уравнения передачи соответствующих четырехполюсников в зави
симости от типа соединения должны быть записаны в 7 или Г
параметрах (см. § 12.2).

14.3.	Примеры цепей с обратной связью

Масштабный усилитель с неинвертирующим входом. На рис. 14.6,
а изображена цепь на ОУ, предназначенная для масштабирования
напряжения, а на рис. 14.6, 6 — ее схема замещения с зависимым
источником типа ИНУН. В гл. 2 данная схема анализировалась
методом узловых потенциалов. Получим передаточную функцию
этой цепи как цепи с обратной связью, используя формулу (14.4).

Цепью обратной связи на схеме рис. 14.6 служит Г образный де
литель напряжения, составленный из резистивных сопротивлений
и Выходное напряжение усилителя Ц_2 поступает на вход цепи
ОС (узлы 2 — 4); напряжение ОС С.з снимается с резистора
(узлы 3 4). Передаточная функция по напряжению цепи ОС

Л„с=Сз/С2=Л1/(Я0+Л1).

Воспользуемся формулой (14.4) и учтем, что входное напря
жение Ц_[ и напряжение обратной связи Цз не суммируются, а вы
читаются. Тогда получим передаточную функцию масштабного
усилителя:

Учитывая, что в реальных ОУ значение Ни » 1, окончательно
имеем:

что, естественно, совпадает с результатом, полученным в гл. 2 ме
тодом узловых напряжений.
Звено на ОУ с частотно-зависимой ОС. Звено такого вида пред
ставлено на рис. 14.7, а, а его схема замещения — на рис. 14.7, 6.
Чтобы проанализировать прямой путь прохождения сигнала и путь
прохождения сигнала ОС, необходимо воспользоваться методом
наложения (см. § 2.3). Для этого следует поочередно исключать
источники входного напряжения и напряжения обратной связи, за
меняя их внутренним сопротивлением. В случае идеальных источ
ников напряжения (рис. 14.17, б) их внутреннее сопротивление
равно нулю. Из схемы замещения следует, что напряжение Цу,
приложенное к звену, ослабляется входной цепью, представляю
щей собой Г образный делитель напряжения с сопротивлениями
и 2о в плечах (рис. 14.7, в). Передаточная функция по напряже
нию такого делителя равна

Лвх = М, =го/(го + 21).

Цепь обратной связи (рис. 14.7, г) также является Г образным
четырехполюсником с передаточной функцией

Ясс =С2/Щ= 27(20 + 2,).

Коэффициент усиления ОУ Ну = —Ни.

В соответствии с формулой (14.4) получаем, передаточную
функцию звена:

а)

ю-----□

Цл

40-------

03

Из

04

Цепь ОС

Входная цепь
Рис. 14.8

Учитывая, что Ни » 1, получаем:

Н =	.

(14.15)

Данное звено может выполнять различные функции в зависимо
сти от вида сопротивлений 2о и 21. При 2о = и 21 = звено
превращается в инвертирующий масштабный усилитель (см. гл. 2);
при 2.о = 1//соС и 2.1 = К — в интегратор; при 2.о = К и 2.1 =
= 1//соС — в дифференциатор (см. гл. 3).

Звено второго порядка с регулируемым коэффициентом усиле-
ния. Схема звена показана на рис. 14.8, а. Усилитель с регулируе
мым коэффициентом усиления К может быть выполнен либо на
транзисторных каскадах, либо на ОУ по схеме рис. 14.6, а, либо
на других активных элементах. В схеме замещения на рис. 14.8, 6
он представлен идеальным ИНУН.

Анализ прохождения входного сигнала и сигнала в цепи ОС
показывает, что звено имеет входную цепь, изображенную на
рис. 14.8, в и цепь ОС, показанную на рис. 14.8, г. Передаточные
функции этих цепей можно получить матричным методом (см.
гл. 12), например, рассматривая каждую цепь как каскадное соеди
нение соответствующих Г образных четырехполюсников.

Для входной цепи (см. § 3.11)

«вх(р) = 1/(р2Я2С2 + ЗрЯС + 1).

Для цепи ОС

(14.16)

(14.17)

Яос(^) =

рКС

р2К2С2 + ЗрКС + 1'

С учетом (14.3) получим передаточную функцию звена
Рис. 14.9

Н(р) = ивх(р)- ф(р) 7 Г (1418)
1-Яу(р)Яос(р)

Коэффициент передачи усилителя Ну(р) = К. Тогда, подстав
ляя (14.6) и (14,7) в (14.8), после преобразований имеем

Н(р) = к/(р2К2С2 +рКС(3-К) + 1).

Моделирование передаточных функций общего вида. Переда
точная функция линейной цепи представляется согласно (7.41) в
виде рациональной дроби:

и (	— ^2 (/? ) _ апР + ЯП-\Р +  •. + (1\Р + Др (\ Л 101

ЛР)~1МР)~ рт+Ът_1Рт-Ч... + Ъ1Р + Ъ0 •

Приведя (14.9) к общему знаменателю, получим:

4>(р)(р”' +ЬМ-1Р”!-1 +... + Ь1Р + Ь0) =

= <71(р)(«„р" +ап_1р,‘-' + ... + а{р + а0}.

Это равенство можно переписать в виде

1 1

^2(Р) = ^1(р)«»-=- + --- + ^1(р)«0-^-

-^2(р)^14-...-<72(р)Ь1-47-(72(р)Ьо-К
р	рт 1	рт

Так как операции I /рт соответствует т кратное интегрирование,
то последнему уравнению соответствует структурная схема, изо
браженная на рис. 14.9.

Таким образом, с помощью интеграторов, сумматоров, масштаб
ных усилителей, умножителей может быть реализована передаточ
ная функция Н(.р) достаточно общего вида.
14.4.	Устойчивость цепи с обратной связью

Введем понятия устойчивой и неустойчивой цепи. Цепь пазы
вается устойчивой, если свободные колебания с течением времени
стремятся к нулю. В противном случае цепь называется неустой-
чивой. Из теории переходных процессов (гл. 6, 7) следует, что
цепь является устойчивой, если корни характеристического урав
нения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р.
Если корни такого уравнения лежат в правой полуплоскости, то
цепь является неустойчивой, т. е. она находится в режиме само
возбуждения. Таким образом, для определения условий устойчи
вости цепи достаточно найти характеристическое уравнение и его
корни. Как видим, условия устойчивости можно определить и не
вводя понятие обратной связи. Однако здесь возникает ряд про
блем. Дело в том, что вывод характеристического уравнения и он
ределение его корней являются громоздкой процедурой особенно
для цепей высокого порядка. Введение понятия обратной связи об
легчает получение характеристического уравнения или даже дает
возможность обойтись без него. Крайне важно и то, что понятие
обратной связи адекватно физическим процессам, возникающим в
цепи, поэтому они становятся более наглядными. Глубокое пони
мание физических процессов облегчает работу по созданию авто
генераторов, усилителей и т. д.

Рассмотрим цепь (см. рис. 14.2) и выведем ее характеристиче
ское уравнение. Пусть мвх(О = 0 и, значит, С/вх(р) = 0. Тогда из
(14.2) следует:

<Ль,х (р)[1 - Л, (р)  Яу (р)] = 0.	(14.20)

Здесь С/Вых(р) 0 (в противном случае цепь нельзя считать возбу
жденной) и поэтому равенство (14.20) выполняется при условии

1-Яос(р)Яу(р) = 0.	(14.21)

Если записать передаточную функцию основной цепи в виде (7.41):
Яу (р) = да1(р)/г)1(р), а цепи ОС - Яос (р) =	(р)Д)2 (р), то

уравнение (14.11) перепишется следующим образом:

О(Р)^2(Р)-^1(Р)^2(Р) = о

МрНЫ

Это равенство выполняется при

^1 (р)Т)2 (р) “ (р)да2 (р) = 0.	(14.22)

Выражение в левой части этого равенства является полиномом,
поэтому (14.22) можно записать в общем виде:

Ътрт + ^т-1Рт1 + ••• + &1Р + б0 = 0.	(14.23)
Это и есть характеристическое уравнение цепи.

Заметим еще раз, что точно такое же уравнение мы бы получи
ли, составляя дифференциальное уравнение по законам Кирхгофа,
как мы это делали при изучении переходных процессов.

Корни уравнения (14.23) в общем случае являются комплекс
ными величинами

Р1, р2,..., рк,..., рт,
где ръ = су? + Зная корни характеристического уравнения,
можно записать выходное напряжение (см. § 6.2):

г/Вых	+ А2ер^ + ... + АтеРт1.	(14.24)

Чтобы напряжение мВых(О не возрастало безгранично, всем
корням р\, р2, ... , рт характеристического уравнения необходимо
иметь отрицательные вещественные части, т. е. корни должны рас
полагаться в левой полуплоскости комплексной переменной р =
= а + /со. Цепь с ОС, обладающая такими свойствами, называется
абсолютно устойчивой.

При исследовании цепей с обратной связью могут возникать две
проблемы. Если проектируемая цепь должна быть устойчивой, то
необходимо располагать критерием, который по виду функций
Ну(р) и Нос(р) позволял бы судить об отсутствии корней ха
рактеристического уравнения в правой полуплоскости р. Если об
ратная связь используется для создания неустойчивой автоко
лебательной цепи, то следует убедиться, что корни уравнения
(14.23) расположены, наоборот, в правой полуплоскости. При этом
необходимо иметь такое расположение корней, при котором само
возбуждение происходило бы на требуемой частоте.

Рассмотрим критерии устойчивости цепи с обратной связью.

Критерий устойчивости Рауса — Гурвица. Он относится к ал
гебраическим критериям устойчивости и позволяет по значениям
коэффициентов Ьт, Ът-\, ..., бо характеристического уравнения
(14.23), без определения его корней, узнать является ли исследуе
мая цепь устойчивой.

Критерий формулируется следующим образом: цепь с об-
ратной связью является устойчивой, если полином характе-
ристического уравнения, является полиномом Гурвица. При
этом используется основное свойство полинома Гурвица: все его
корни находятся в левой полуплоскости комплексной перемен
ной р.

Для того, чтобы многочлен Ътрт +Ът_хрт~х + ... + Ъхр + Ъ0 яв
лялся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были
положительными определитель Рауса —Гурвица:
®т-1	П -э ^т-З  Ь э  ^т-2	•  -'т-З  Л	•• 0  •• 0
0	Л ит-1	Ъ ч  ит-3	•• 0
0	ъ  'т	Ъ э  'т-2	•• 0

о о о ь()

и все главные миноры этого определителя.

При составлении определителя Гурвица можно руководство
ваться следующим правилом. В первой строке записываются ко
эффициенты полинома Гурвица через один, начиная со второго. Во
второй строке записываются коэффициенты полинома через один,
начиная с первого. Вторая пара строк формируется путем смеще
ния первой пары строк на одну позицию. Третья пара — смещени
ем второй пары строк еще на одну вправо и т. д.

Пример. Проверим с помощью критерия Рауса—Гурвица устойчивость це-
пи с обратной связью, характеристическое уравнение которой имеет вид

р4 + Зр3 + 4р2 + 6р + 2 = 0.

1. Составляем определитель Рауса —Гурвица

3 6 0 0

14 2 0

0 3 6 0

0 14 2

Главные миноры получаем вычеркиванием правого столбца и нижней строки
из определителя или предыдущего минора:

2. Вычисляем определитель Рауса—Гурвица и его главные миноры. Расчет
удобно проводить в следующем порядке:

2

3

1

0

6

4

3

о

0

2

6

3

3

1

6

4

-131-3,

= 3-4-64 = 6,

= 6(-1)3+3	+2(-1)

3+2 3 6

0 3

= 6-6-29 = 18,

3
1
о
о

6

4

3

1

0

2

6

4

0
0

о

2

= 2(—1)4+4 О2 = 2-18 = 36.

Определитель Рауса—Гурвица
образом, цепь с ОС устойчива.

и его главные миноры положительны. Таким
Критерий устойчивости Найквиста. Критерий Найквиста по
зволяет судить об устойчивости цепи с обратной связью по свойст
вам разомкнутой цепи (рис. 14.3, а).

Передаточная функция разомкнутой цепи, или петлевое усиле
ние, Яр (/со) = Яу (/со) • ЯС)С(/со) входит в характеристическое
уравнение (14.21):

1-Яр(/со) = 0.	(14.25)

Если найдется такая частота со, для которой конец вектора
Яр(/со) попадает в точку с координатами (1,/0), то это будет оз
начать, что выполняется условие (14.25), т. е. на этой частоте в
цепи произойдет самовозбуждение. Значит, по годографу можно
определить, устойчива цепь или нет. Для этого используется кри
терий Найквиста, который формулируется следующим образом:
если годограф передаточной функции разомкнутой цепи не ох-
ватывает точку с координатами (1, /0), то при замкнутой
цепи обратной связи цепь является устойчивой. В том случае,
когда годограф Яр(со) охватывает точку (1, /0), цепь неустойчи
ва. На рис. 14.4 показаны годографы трех цепей с положитель
ной обратной связью (цифра 1 соответствует годографу устойчи
вой цепи).

Пользуясь критерием Найквиста, легко получить условия само
возбуждения цепи с ОС. Запишем выражение для Яр(/со) в виде

нук>) = |//у (»• лос (/<>) |

где 1Яу(/со)|, |Яос(/со)| — модули передаточных функций; сру (со),
ср0С (со) — фазовые сдвиги соответственно в основном элементе и в
цепи ОС.

Условия пересечения годографом оси абсцисс Ке[Яр(/со)] при
|Яр(/со)| > 1 можно записать в виде двух условий:

1)	условие (уравнение) баланса фаз сру (со) + ср0С (со) = 2тт, где
п = 0, 1, 2,...;

2)	амплитудное условие

|Яу (/со)||Яос (/со)| > 1, или Яу (со)Яос (со) > 1.

Выполнение неравенства соответствует режиму возникновения
колебаний с нарастающей амплитудой, что характерно для на
чального этапа самовозбуждения. Выполнение равенства Яу(со)х
хЯос(со) = 1 соответствует режиму генерации гармонического на
пряжения на частоте со с постоянной амплитудой и носит название
баланса амплитуд.

Как будет показано ниже, уравнение баланса фаз позволяет оп
ределить частоту, на которой происходит самовозбуждение цепи с
ОС, а уравнение баланса амплитуд дает возможность определить
370
величину амплитуды мВых(О генерируемого колебания в стацио
парном режиме.

Пример. Исследуем устойчивость цепи, изображенной на рис. 14.8, а, В
ней можно выделить усилительный элемент с передаточной функцией Ну = К
и цепь обратной связи (рис. 14.8, г) с передаточной функцией (14.17)

Яос (Р) = ? 7	,

р2т2+Зрт + 1

где т = КС.

Кроме того, напомним, что на усилитель сигнал поступает через входную
цепь (рис. 14.8, в), передаточная функция которой (см. (14.16))

явх(?) = 1/(р2т2 +3/П + 1).

Получим характеристическое уравнение цепи:

1-Яу(/>)Яос(/>) = 0

или

1-К ? ?	------0.

р т + Зрт + 1

Откуда окончательно получаем

р2т2 + (3 - Юрт + 1 = 0.	(14.26)

Корни характеристического уравнения (14.16)

-(3-Я)т±л/(3-Я)2т2 -4т2	, .

^1,2 =-----------—2---------------- -а ± ;сос

2т

зависят от коэффициента усиления усилителя К. Расположение корней р\ и р2
на плоскости комплексного переменного р для разных коэффициентов усиле-
ния и соответствующие этому графики свободных колебаний в цепи показаны
на рис. 14.10.

Устойчивость данной цепи можно исследовать и с помощью критерия
Найквиста. Комплексная передаточная функция разомкнутой цепи равна

Яр О®) = ЯУ (/®)яос (У®) = К]ы1(-<Ю2 + /Зит + 1) -

.( Л , Зсот

Ясот	8ПЛ2

__ ________________у	1-ю т у

7(1-<л2)2+9Ю2г

На рис. 14.4 приведены годографы Нр(/со) устойчивой (К = 2, кривая /) и
неустойчивой (К = 3, кривая 2; К = 4, кривая 3) цепи.

Критерий устойчивости Михайлова. Этот простой и эффектив
ный критерий был предложен в 1938 г. А.В. Михайловым и бази
руется он на характере поведения аргументов полинома Гурвица
^(/со) при изменении частоты со от нуля до бесконечности.

Положим, что полином Гурвица степени т

ъ(р) = рт + Ът_\рт~х + ... + Ъ\р + б0

(14.27)
н/со	ц2с(0 =Л51п(сос^+9)

Рис. 14.10

имеет I пар комплексно сопряженных корней с отрицательной ве
щественной частью =-ад> +/сод>. Остальные т — 21 корней —
вещественные отрицательные числа: р3 = -а5. Если учесть при
этом, что произведение линейных множителей двух комплексно
сопряженных корней равно

(Р ~	~	= [р-(-ак + У^)][/?-(-с^ - ]ак )] =

= (р + ак )2 + со^ = р2 + 2акр + а2 + со2 = р2 + сгр + (Ц,

где с1 = 2ак;	+ со^,

то полином Гурвица (14.27) можно разложить на следующие ли
нейные множители

&(р) = (Р + <ч)(Р + а2)---(р + ат-21)(р2 + с1р + (11)-

(р2 + С2р + (12)...(р2 +С1р + (11)

или далее полагая, что р = /со, получим

?’(/«) = (/« + а1)(/со + а2)...(/со + ат_2/)(-со2 +/сощ + ^ ) •
• (-со2 + /сос2 + с/2)... (-со2 + /сос/ + с//).

(14.28)
Как комплексную величину (14.28) можно представить в показа
тельной форме

тф/го) =	(14.29)

где

т-21	I

Фу (со) = аг§ тф/со) = ф/Л со ) + фЛ. (со ),
/?=1	5=1

Ф/е Vсо) = агс1;§—,
Сф?

(14.30)

(14.31)

(14.32)

Как следует из (14.29), (14.30), (14.31) с увеличением со от 0 до
оо фу (со) монотонно возрастает от 0 до тп/2. Это свойство аргу
мента полинома Гурвица и лежит в основе критерия Михайлова,
который формулируется следующим образом: если при изменении
частоты со от 0 до оо аргумент полинома Гурвица фу (со) воз-
растает на угол тп/2 (где т — степень полинома), то цепь бу-
дет устойчивой.

Действительно, если среди корней с(р) есть хотя бы один вещест
венный положительный корень, то в слагаемом типа (14.30) появится
слагаемое фд, (со) < 0 и поэтому согласно (14.30) фу (со) < тп/2.

Критерий Михайлова имеет простой геометрический смысл: го
дограф г’(усо) устойчивой цепи при изменении ю от 0 до и будет
последовательно обходить в положительном направлении (против
часовой стрелки) т квадрантов комплексной плоскости. На
рис. 14.11 получены годографы устойчивой — а и неустойчивой —
б цепи 4 го порядка:
В первом случае годограф ?Д/сэ) обходит 4 квадранта монотонно
(последовательно) против часовой стрелки, при этом аргумент воз
растает до величины сру (со) = 4л/2 = 2л.

Во втором случае неустойчивой цепи сру (со) изменяется скачком
от 2 го квадранта в 4 й, при этом ср^ (со) < 2л.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Как рассчитывается передаточная функция цепи с обратной свя
зью?

2.	Записать уравнение передачи для цепи,
рис. 14.1, в.

Отврт. Сг =(г11 + гг)/1 + 212ос/2 1

 Свмх =г2111+(222 + гн)12р

3.	Доказать, что операторная передаточная
функция дифференциатора на операцией
ном усилителе равна (—рКО. Построить
график АЧХ такого дифференциатора.

4.	Определить передаточную функцию цепи,
изображенной на рис. 14.9.

изображенной на

Рис. 14.9

Ответ: Я(р)^г-
[р

_____________К(1 + рК2С2______________

+ р (К,С, + К,С, + К,С, - КК,С,) +1 ]'

5.	Что такое годограф петлевого усиления? Как по годографу оп
ределить тип обратной связи?

6.	Как формулируется критерий устойчивости Найквиста? Для ка
ких цепей он используется?

7.	Сформулируйте критерий устойчивости Рауса Гурвица. Как со
ставить определитель Гурвица? Приведите примеры.

8.	Определить комплексную передаточную функцию Яр (/со) цепи
на рис. 14.9 разомкнутой обратной связью. Исследуйте зависи
мость устойчивости цепи от величины коэффициента усиления К.

Ответ: Н (/со) - —5---------К]&П]С2-----------—

р	-со2Я1Я2С1С2 + /со (КуСу + К2С2 + К{С2) + 1

9.	В чем геометрический смысл критерия устойчивости Михайлова?

10.	Определить относительные изменения коэффициентов усиления
трех усилителей, охваченных ООС с коэффициентом передачи
Яос = 0,01^ если их коэффициенты усиления без ОС равны
Я1У = 5 10, Н-2У = 5 10, Язу = 5-104, а относительная ста
бильность коэффициента усиления составляет 1%.

Ответ:	= 1,66%; с/Я2/Я2 = 0,0196%;

= 0,002%.
ГЛАВА 15. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ

15.1.	Физические процессы в автоколебательных цепях

Автоколебательными называются активные электрические це
пи, в которых без посторонних воздействий самостоятельно возни
кают электрические колебания. Такие колебания называются ав-
токолебаниями, а сами электрические цепи, в которых возникают
автоколебания, — автогенераторами (или, чаще, генераторами).

Автогенераторы используются в радиотехнике и связи для по
лучения электромагнитных колебаний. В зависимости от формы
вырабатываемых колебаний различают генераторы гармониче
ских и негармонических колебаний. По принципу работы генера
торы делятся на генераторы с внешней обратной связью и с
внутренней обратной связью, т. е. с отрицательным сопротивле
нием. Наконец, различие в элементной базе пассивной части схе
мы генератора позволяет вести речь об СС генераторах или о
КС генераторах. В качестве активных элементов в генераторах
применяются электронные лампы, биполярные и полевые транзи
сторы, туннельные диоды и др.

В данной главе наибольшее внимание будет уделено СС гене
раторам гармонических колебаний с внешней ОС, использующим в
качестве активного элемента биполярные транзисторы. Однако
следует указать, что, хотя изучение свойств автогенераторов про
изводится на примере конкретных схем, результаты исследования
носят достаточно общий характер.

Затем будут рассмотрены особенности построения К С генера
торов и генераторов с внутренней ОС.

Физические процессы в автоколебательных цепях. На рис. 15.1, а
показан параллельный колебательный контур, состоящий из эле
ментов С, С и О. Если контуру сообщить некоторое количество
энергии, то в нем возникнут свободные колебания.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК):

К + + К = О-



ь

а)

Рис. 15.1



=рс с


Каждое из слагаемых этого уравнения можно выразить через на
пряжение ик на элементах контура. Тогда

с1(^ + о	1г Л = о

Л	I-1

Дифференцируя данное уравнение по времени и деля обе его части
на С, получаем

б/2щ.

Г\
(112

(11

и, = 0.

Г\

(15.1)

Напомним, что при сопротивлении контура К = 1/0 > 2р или
О < 1/(2р) переходный процесс имеет колебательный характер.

Величина а = 0/(2 С) является коэффициентом затухания кон
тура, а величина со0 = 1/л/ТС — резонансной частотой контура. В
этих обозначениях (15.1) перепишется в виде

(1 'И' т.	(1 'И' т.

-----Д + 2а —— + соД/,;. = 0.

сД2 (11

(15.2)

Дифференциальное уравнение (15.2) имеет следующее решение:

ик({)= Отке а* 81п(со Д + 0),

(15.3)

где 17тк — начальная амплитуда напряжения на контуре, завися
щая от введенной в контур энергии; ®с = .фД - а2 — частота сво
бодных собственных колебаний; 0 — начальная фаза.

Так как а = С/(2С) > 0, то колебание (15.3) имеют затухающий
характер (см. рис. 15.1, б, при 0 = 0), что объясняется потерями в
контуре из за наличия резистивной проводимости О. Чтобы пре
вратить такой генератор в генератор незатухающих колебаний,
нужно возмещать в нем потери, т. е. пополнять контур энергией.

Причем, если энергии в контур вводится ровно столько, сколько
необходимо для компенсации потерь, то это эквивалентно внесению
в контур отрицательной проводимости Сгвн, при этом результирую
щая проводимость контура обращается в нуль. Тогда а = 0 и в
контуре возникают незатухающие колебания.

В случае же, когда энергии в контур вводится больше, чем это
необходимо для компенсации потерь (т. е. отрицательная прово
димость Свн больше С и, следовательно, Овн + С < 0), в контуре
возникают нарастающие по амплитуде колебания, так как коэф
фициент затухания становится отрицательным.

Энергию в контуре можно пополнять, например, за счет соб
ственных колебаний, снятых с контура и усиленных усилителем.
Работающая на таком принципе схема автогенератора показана на
рис. 15.2.

Рассмотрим процесс возникновения колебаний в автогенераторе,
или механизм самовозбуждения генератора, и установление
376
колебаний определенной амплитуды,
т. е. стационарный режим работы
генератора.

Причиной возникновения колеба
ний в автогенераторе являются флук
туации (случайные возмущения) тока
в элементах реальной схемы (за счет
теплового движения электронов в
активных элементах и резисторах,
дробового эффекта и т. д.), а также
за счет внешних помех. Флуктуации
тока гк, протекающего через контур,
вызывают флуктуации напряжения
на контуре г/к. Спектр этих слу

чайных возмущений весьма широк и содержит составляющие всех
частот.

Составляющие напряжения ик с частотами, близкими к резо
нансной частоте контура соо, имеют наибольшую амплитуду, так
как модуль комплексного эквивалентного сопротивления контура
является наибольшим и равным 7?оэ именно на резонансной частоте
соо. Выделенное на контуре гармоническое с частотой соо напряже
ние через цепь ОС, образованную вторичной обмоткой трансфор
матора, передается на вход транзистора, создавая напряжение ик.
Это напряжение вызовет увеличение коллекторного тока гк, что, в
свою очередь, приведет к увеличению напряжения на контуре ик.
Как следствие этого увеличатся напряжение обратной связи иос и
напряжение ик и, значит, вновь увеличатся коллекторный ток и
напряжение на контуре ик и т. д. Таким образом, в замкнутой сис
теме автогенератора самовозбуждаются колебания частоты, близкой
к резонансной частоте контура соо-

Очевидно, важным условием возникновения колебаний является
то, что фаза напряжения г/вэ должна быть такой, при которой уве
личение напряжения ик вызывает увеличение коллекторного тока
гк и, тем самым, порождает новое увеличение ггк- Данное условие и
есть условие баланса фаз. Баланс фаз достигается правильным
включением вторичной обмотки трансформатора. При другом ее
включении возрастание напряжения на контуре ик приведет к
уменьшению коллекторного тока, т. е. баланс фаз нарушится и са
мовозбуждения не произойдет.

Обратная связь, при которой выполняется баланс фаз, является
положительной ОС. В противном случае ОС отрицательная.
Самовозбуждение автогенератора возможно только при наличии
положительной ОС.

Процесс самовозбуждения колебаний в контуре с энергетиче
ской точки зрения объясняется тем, что от источника питания с
помощью транзистора в контур за один период колебания посту
пает энергии больше, чем расходуется ее в резистивном сопротив
лении контура. Это эквивалентно, как уже отмечалось ранее, вне
сению в контур отрицательной проводимости Свн, превышающей
по величине эквивалентную проводимость контура О, что приводит
к отрицательному значению коэффициента затухания контура а и,
следовательно, к возникновению в контуре нарастающих колеба
ний.

Пока амплитуда напряжения г/цэ была мала, работа происхо
дила на линейном участке ВАХ транзистора. С увеличением ампли
туды колебаний в контуре возрастает напряжение ОС иос и, еле
довательно, входное напряжение транзистора г/цэ- При этом все
сильнее сказывается нелинейность ВАХ транзистора. Наконец, при
достаточно больших амплитудах колебаний ток коллектора гк пе
рестает увеличиваться, значения напряжения на контуре ик, об
ратной связи иос и входное г/вэ стабилизируются, в автогенераторе
установится стационарный динамический режим с постоянной ам
плитудой колебаний и частотой генерации, близкой к резонансной
частоте колебательного контура соо- Таким образом, стационарные
колебания в автогенераторе устанавливаются только благодаря на
личию нелинейности ВАХ транзистора.

В стационарном режиме энергия, поступающая в контур, вся
рассеивается в эквивалентной резистивной проводимости контура,
т. е. вносимая в контур отрицательная проводимость Свн оказы
вается равной эквивалентной проводимости О и полностью компен
сируют ее; коэффициент затухания контура а обращается в нуль.
В контуре существуют незатухающие гармонические колебания.

15.2.	Обобщенная схема автогенератора

Из предыдущего рассмотрения следует, что схема автогенера
тора должна содержать активный элемент с нелинейной вольт
амперной характеристикой, колебательную систему (в данном слу
чае контур), внешнюю цепь положительной ОС, по которой коле
бание с выхода колебательной системы подается на вход активного
элемента. Такие автогенераторы являются генераторами с внешней
ОС', структурная схема построения таких генераторов приведена
на рис. 15.3.

Заметим, что нелинейный активный элемент с колебательной
системой образуют нелинейный резонансный усилитель. Поэтому
можно представить обобщенную структурную схему автогенератора
с разомкнутой цепью обратной связи (рис. 14.17, а). Комплексная
передаточная функция всей цепи

Яр (/со) = Сос (/со)/С7вх (/со) = Яу (/со)Яос (/со).
Рис. 15.3

Для того, чтобы в генераторе происходило самовозбуждение ко
лебаний, необходимо, чтобы модуль комплексного напряжения
|Егос(/со)| на выходе схемы был больше модуля комплексного на
пряжения |Явх(/со)| на входе схемы, откуда

|ЯР (/®)| = |Яу(/со)НЯ0с(/со)| > 1.

При приближении к стационарному режиму модуль комплекс
кого коэффициента передачи усилителя |Яу(/со)| за счет влияния
нелинейности начинает уменьшаться до тех пор, пока не наступит
динамическое равновесие (см. § 14.3):

|Яр (/®)| = |Яу (/<»)| • |Яос (/<»)| = 1-

Это условие соответствует стационарному режиму и известно под
названием баланса амплитуд. Учитывая, что

Яр О) = |ЯР (/®)|е7Ф',<“);

Ну(/<о) = |Яу(/(о)|?ф>'(т);

Яос(/<о) = |Нос(;'<о)|еУф“(т)

получаем фазовый сдвиг в разомкнутой цепи автогенератора

Фр(со) = фу (ю) + фос(со).

Баланс фаз, т. е. совпадение фаз напряжений на входе и выхо
де схемы рис. 14.17, а, наступает при фр(со) = 2л. Таким образом,
сдвиг фаз в цепи обратной связи зависит от сдвига фаз в усилителе
и дополняет его до 2л. Если на частоте генерируемых колебаний
усилитель вносит сдвиг фаз фу = л (как, например, в схеме
рис. 15.2), то цепь обратной связи должна на этой же частоте вно
сить сдвиг фаз фос(<®) = л. В схеме автогенератора рис. 15.2 ново
рот фазы напряжения мОс(О на 180° достигается, как ранее отме
чалось, соответствующим включением обмоток катушки индуктив
ности ЕОс
15.3.	ЬСгенератор с трансформаторной обратной связью.
Классический метод анализа

Дифференциальное уравнение генератора. Обратимся вновь к
схеме рис. 15.2. По первому закону Кирхгофа

кз + кз + Ч = Ф-

или

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений одиноч
ного колебательного контура, полученных в § 15.1, тем, что в пра
вой части записан коллекторный ток гк-

Вольт амперная характеристика транзистора гк = Р(ивэ — Со) в
окрестности рабочей точки Со является, вообще говоря, нелиней
ной, так как ток коллектора гк нелинейно зависит от напряжения
ггвэ — Со. Из рис. 15.2 следует, что напряжение ОС, снимаемое с
катушки индуктивности обратной связи Ьос, равно ггос = ггвэ — Со,
поэтому в дальнейшем удобно рассматривать ВАХ гк = Р(ггос) =
^к(^ос)-

Заметим далее, что напряжение ОС ггос вычисляется через коэф
фициент взаимной индуктивности М и ток в катушке С (см. §3.7)
ггос = -МсИк/(11.

В свою очередь, ток в катушке гд и напряжение на ней
заны соотношением ггк = Ьс/г^/с/С поэтому напряжение
можно выразить через напряжение на контуре ггк:

ггпг = -Ми„/Ь.

Вернемся к уравнению (15.4). Продифференцируем его
мени и разделим обе части на С:

ггк свя
ОС ггос

(15.5)

по вре

(15.6)

В отличие от уравнения (15.1) для одиночного колебательного кон
тура в правой части уравнения (15.6) присутствует вынуждающая
составляющая <7гк(ггос)/^С Производную функции гк(ггос) будем
искать как производную сложной функции:

г/гц (ггос) _ о^к (^ос) .	(^ос) М . (1и^	(15 7)

(11 (1иос (11 С (11 ’

где 5(ггос) = (Ик(иос)/(1иос — дифференциальная крутизна ВАХ
транзистора, нелинейно зависящая от напряжения ггос-

При дифференцировании напряжения ггос по времени учтено соот
ношение (15.5).
Подставив (15.7) в (15.6), получим дифференциальное уравне
ние автогенератора

2

+ со0г/к

= 0,

(15.8)

где со о = 1/л/ЬС — резонансная частота контура.

Это дифференциальное уравнение является нелинейным, так
как коэффициент при первой производной напряжения г/к, в кото
рый входит крутизна $(иос), нелинейно зависит от напряжения об
ратной связи иос (или, что то же, от искомой переменной — на
пряжения на контуре). Уравнение (15.8) определяет все свойства
автогенератора и позволяет установить условия самовозбуждения
колебаний, особенности стационарного режима и характер пере
ходных процессов в автогенераторе.

Условие возникновения колебаний. При определении условий
самовозбуждения следует учесть, что амплитуда нарастающих ко
лебаний в автогенераторе достаточно мала и работа автогенератора
происходит на линейном участке ВАХ транзистора гк = Р(иос).
Иными словами, для малых амплитуд колебаний ВАХ можно ап
проксимировать линейно ломаной функцией, крутизна которой в
рабочем диапазоне амплитуд напряжения является постоянной, не
зависящей от напряжения иос, т. е. $(иос) = 5. В этом случае диф
ференциальное уравнение автогенератора (15.8) становится ли
нейным:

ЗМЛ
~ьс >

(А тт'	2	г\

—— +	= 0.

(И	0 к

Перепишем его в виде

(1 'И' т/'	(1 'И' т/'	2

----+ 2а ч —— + со о ик = 0,

(И2	3 (И ° к

(15.9)

где аэ

ЗМЛ

— эквивалентный коэффициент затухания

колебательного контура, включенного в цепь коллектора транзи

стора.

Сопоставление уравнения (15.9) с уравнением (15.2) для оди
ночного колебательного контура показывает, что при включении
колебательного контура в коллекторную цепь транзистора коэф
фициент затухания контура аэ уменьшится на величину 8М12кС,
зависящую от взаимоиндукции М, т. е. от ОС:

аэ

$М

2ЬС’

где а = 0/2 С — коэффициент затухания свободных колебаний кон
тура.
Чтобы в контуре возникли нарастающие по амплитуде колеба
ния, необходимо сделать коэффициент аэ < 0. Это возможно при
условии ЗМ/ЬС > С/С. Отсюда получаем значение коэффициента
взаимной индукции М при котором в колебательном контуре воз
никнут нарастающие по амплитуде колебания:

М > ЬС/3.

(15.10)

Условие (15.10) называется условием самовозбуждения ЬС-ав-
тогенератора. Величина МКр = ЬС/3 называется критическим
коэффициентом взаимной индукции. Колебания в автогенераторе
могут возникнуть только при обратной связи с М > Мкр. При
М < МКр коэффициент затухания контура аэ > 0 и колебание в
контуре становится затухающим. Коэффициент аэ в (15.9) можно
представить в следующем виде:

аэ =(С + СВН)/2С,	(15.11)

где Овн = — (ЗМ/Ь) — проводимость, вносимая в контур за счет
действия обратной связи. Знак коэффициента М может меняться в
зависимости от направления включения (согласно или встречно)
вторичной обмотки трансформатора. При М > 0 вносимая прово
димость оказывается отрицательной и если ее величина | Овн I > С,
что имеет место при М > МКр, то аэ < 0 и в контуре возникнут на
растающие по амплитуде колебания. Положительные значения М со
ответствуют положительной ОС, отрицательные — отрицательной ОС.

Эквивалентная схема колебательного контура, соответствующая
уравнению (15.9) с аэ из (15.11), приведена на рис. 15.4. Отри
цательная общая проводимость контура О + Овн < 0 при М > МКр
свидетельствует о том, что в контур поступает энергии больше, чем
расходуется ее на активной проводимости контура О.

Стационарный режим работы. При больших амплитудах сиг
нала нелинейностью ВАХ транзистора гк = Р(иос) пренебречь уже
нельзя: в общем случае она должна аппроксимироваться степенным
полиномом высокого порядка.

Ток в цепи коллектора в стационарном режиме будет из за не
линейности ВАХ несинусоидальной периодической функцией вре
мени и может быть представлен рядом Фурье

Рис. 15.4

Рис. 15.5
— 1у + Iт\ соз со о + Iт2 соз 2(0 оЬ + ...

Падение напряжения ик на колебательном контуре, настроенном
на частоту соо, определяется в основном первой гармоникой коллек
торного тока, так как сопротивление контура для тока этой гармо
ники является наибольшим (равным Коэ = 1/0), а для остальных
гармоник — достаточно малым. Напряжение ОС иос, определяемое
(15.5), вследствие этого также будет гармоническим; его можно за
писать в виде

ипс — Ц^тпс соз со л Е
С/С/	III' О(_	О

Введем понятие средней крутизны ВАХ

ср \ т ос )	т1 / т ос •

Она определяется отношением амплитуды 1т\ первой гармоники
тока гк> протекающего через нелинейный элемент, к амплитуде
1}тОс, действующего на нелинейный элемент напряжения иос.
Среднюю крутизну часто поэтому называют крутизной ВАХ по
первой гармонике. Средняя крутизна 5Ср( Сотое) зависит от ампли
туды напряжения обратной связи Сотое и от положения рабочей
точки Со. На рис. 15.5 показана типичная ВАХ транзистора /к =
= Р(иос). Пусть рабочая точка выбрана на середине линейного уча
стка характеристики (Со = Со'). При увеличении амплитуды на
пряжения Стос средняя крутизна, пока мы находимся в пределах
линейного участка характеристики, остается неизменной. Затем
средняя крутизна ВАХ падает (рис. 15.6, а). Если выбрать рабо
чую точку (Со = Со”) на нижнем загибе характеристики г к =
= Р(иос), где средняя крутизна мала, то по мере увеличения ампли
туды Сотое будут охватываться участки характеристики с большей
крутизной и, следовательно, 5Ср(Сотое) станет расти. После про
хождения участка с наибольшей крутизной дальнейшее увеличение
Сотое приводит к уменьшению средней крутизны (рис. 15.6, б).

Дифференциальное уравнение (15.8) при работе генератора в
режиме больших амплитуд является, вообще говоря, нелинейным,
поскольку в коэффициент при диРсИ входит средняя крутизна
5ср(Сотос), зависящая от амплитуды итос напряжения ОС. Однако

5Ср(У
в стационарном режиме, когда гармоническое напряжение на кон
туре характеризуется установившейся (стационарной) амплиту
дой С/тк, гармоническое напряжение обратной связи иос также
описывается установившейся (стационарной) амплитудой С/тОс-
При этом средняя крутизна 5Ср(С/тОс) является постоянной вели
чиной и дифференциальное уравнение (15.8) можно считать ли
нейным:

б/2 г/,,
К

(И2

—^ + сопМк=0.	(15.12)

(11

В стационарном режиме генерируются незатухающие гармони
ческие колебания. Это имеет место, когда

аэ

2ЬС\_ М

Отсюда установившееся (стационарное) значение средней кру
тизны равно

5ср(С/тОс) = (^С/М) = 5с*р.

С учетом этого обозначения коэффициент затухания контура
перепишем в виде

аэ

____ О'»

21С^ср

(15.13)

Из формулы (15.13) при аэ = 0 можно определить стационар
ную амплитуду 17*гос, которая соответствует точке пересечения
кривой 5Ср(С/тОс) и прямой линии 5*р. Рис. 15.7 иллюстрирует
процесс нахождения стационарной амплитуды для двух зависимо
стей средней крутизны, соответствующих различным положениям
рабочей точки на ВАХ (см. рис. 15.5).

Частота генерируемых колебаний, определяемая как сог =
=	-а2 , в стационарном режиме при аэ = 0 совпадает с резо

нансной частотой колебательного контура соо-

5ср(^тос)

О

<?

эср
Устойчивость стационарного режима. Стационарный режим на
зывается устойчивым, если отклонение ЛС/тОс от стационарной
амплитуды У*пос с течением времени будет уменьшаться.

Рассмотрим стационарный режим в точке А на рис. 15.7, а. От
клонение — ЛС/тОс от амплитуды У*гос приведет к 5Ср(С/тОс) > 5сР
и, в соответствии с (15.13), к аэ < 0, т. е. амплитуда колебаний
будет увеличиваться и приближаться к стационарному значению.
При отклонении +ЛРтОс средняя крутизна 5Ср(С/тОс) < 5сР, т. е.
коэффициент затухания аэ, станет положительным и амплитуда
уменьшится, вновь приближаясь к стационарной. Таким образом,
точка А соответствует устойчивому стационарному режиму.

Точка В на рис. 15.7, б соответствует неустойчивому режиму,
так как отклонение амплитуды Утос от стационарного значения
С/*ос в сторону уменьшения ведет к 5Ср(С/тОс) < 5сР и аэ > 0, т. е.
к дальнейшему уменьшению амплитуды Утос, а отклонение ампли
туды СЛиос от стационарной в сторону увеличения вызовет даль
нейший ее рост и переход в следующее стационарное состояние,
отмеченное точкой С.

Стационарное состояние в точке С является устойчивым, в чем
легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных приведен
ным выше.

Можно заметить, что справедливо следующее утверждение: не
ресечение прямой линии 5*р с кривой средней крутизны 5Ср(С/тОс)
дает устойчивые значения стационарной амплитуды У*пос, если на
этом участке ^5ср(С/тОс)/сШтОс < 0 и неустойчивые значения —
если (75ср( Ст ос) /йУт ос > 0. ПоЭТОМу условие (75ср( Ут ос)/ (IУт ос <
< 0 можно считать условием устойчивости стационарного ре
жима.

Режим самовозбуждения. Будем менять коэффициент взаимной
индукции М и наблюдать за процессом возникновения колебаний.
Этот процесс зависит также от выбора рабочей точки на ВАХ (на
пряжения смещения Сф).

Выбору рабочей точки в области наибольшей крутизны (напря
жение смещения 17о' на рис. 15.5) соответствует график средней
крутизны 5Ср(С/тОс), показанной на рис. 15.8, а.

При изменении параметра М меняется значение средней кру
тизны 5*р = ЬСт/М. На рис. 15.8, а изображены несколько прямых
5*р, соответствующих различным М.

При М = М{ колебания в автогенераторе возникнуть не могут,
поскольку 5*р1 > 5ср(С/тОс) и коэффициент затухания контура
аэ > 0, значит, любые случайные флуктуации напряжения 17тОс
будут быстро затухать.

Увеличение М до значения М2 приводит к 5*Р2 = 5ср(С/тОс) и
аэ = 0. Дальнейший рост М снижает значение 5*р; при этом коэф
фициент аэ становится отрицательным, т. е. аэ < 0. Таким обра
зом, начиная с М > М2, в автогенераторе возникают незатухаю
щие колебания с соответствующими стационарными амплитудами
17 *п ос. С увеличением М стационарная амплитуда колебаний 17*ос
плавно нарастает. Уменьшение М вызовет плавное уменьшение
значений стационарной амплитуды 17*пос. График зависимости ста
ционарной амплитуды 17*пос генерируемых в автогенераторе коле
баний от коэффициента взаимной индукции М приведен на
рис. 15.8, б. Такой режим самовозбуждения генератора, при кото
ром амплитуда колебаний плавно нарастает с увеличением М, на
зывается мягким режимом самовозбуждения.

Если рабочую точку выбрать на нижнем загибе ВАХ, как это
показано на рис. 15.5 при С'о = Цб", то график средней крутизны
5ср(С/тОс) имеет вид, показанный на рисунке 15.9, а.

При М, равном М\, М2 и М3, наличие малых флуктуаций на
пряжения 17т ос не приведет к установлению стационарной ампли
туды, поскольку при значениях 5*р, равных 5*р1, 5*Р2 и 5*рз, ко
эффициент затухания контура аэ будет положительным.

Только начиная с М = М^, когда 5Ср(С/тОс) = ХсР4 и аэ = О,
малые флуктуации амплитуды напряжения обратной связи начи
нают быстро расти, пока не установится устойчивое стационарное
значение амплитуды 17*пос. Дальнейшее увеличение М ведет к
плавному росту стационарной амплитуды.

При плавном уменьшении обратной связи (коэффициента М)
стационарная амплитуда СД*ос будет также плавно уменьшаться.
Колебания сорвутся при значении М = М2, меньшем М4, когда не
рестанет выполняться условие стационарности 5Ср(С/тОс) = 5сР.
На рис. 15.9, б дан график изменения амплитуды 1/*пос в зависи
мости от М. Такой режим, когда колебания возбуждаются при
большем значении М, а срываются при меньшем значении М, на
зывается жестким режимом самовозбуждения.

Достоинством мягкого режима самовозбуждения является плав
ное изменение амплитуды 1}*пос при изменении коэффициента М\
достоинством жесткого режима является высокий КПД за счет ра
боты с отсечкой коллекторного тока.

Можно объединить достоинства мягкого и жесткого режимов
самовозбуждения, если ввести в автогенератор цепь автоматиче
ского смещения Кв Сб (рис. 15.10, ад. Исходное смещение Ко вы
бирают таким, при котором рабочая точка находится на участке
наибольшей крутизны ВАХ, что соответствует мягкому режиму.
При нарастании амплитуды колебаний г/Ос в цепи базы за счет не
линейности ВАХ 1в = Р(ивэ) произойдет детектирование коле
баний. Возрастание постоянной составляющей тока базы 1во, ко
торая на резистивном сопротивлении Кв создает напряжение
1во-Кб, приводит к уменьшению результирующего напряжения
смещения Со — /во-Кб и, как результат, к сдвигу рабочей точки
влево (рис. 15.10, б) к нижнему загибу ВАХ гк = РСивэ)- Пе
реходный процесс заканчивается (при соответствующем значении
Кв) установлением жесткого стационарного режима с более высо
ким КПД.

15.4.	ЬС-генератор с трансформаторной обратной связью.
Операторный и частотный методы анализа

Характеристическое уравнение. Операторный метод анализа
автогенератора состоит в исследовании характеристического урав
нения (14.11) цепи с ОС и выявлении из этого уравнения условий
самовозбуждения. Записать характеристическое уравнение генера
тора можно было бы непосредственно по дифференциальному
уравнению (15.9), однако это можно сделать и не прибегая к со
ставлению дифференциального уравнения. Генератор как цепь с
ОС описывается характеристическим уравнением (см. гл. 14):

1-Ну(р)Яос(р) = 0.	(15.14)

Схема замещения усилителя на транзисторе дана на рис. 15.11
(см. § 3.11). Здесь _КВХ и ^вых — входное и выходное сопротивле
ния транзистора; — комплексное сопротивление параллельного
контура.

Операторная передаточная функция такого усилителя равна:

яу(^) = -

^к(р)
^вх(р)'

В свою очередь, из рис. 15.11 следует, что



/?вых^к (.Р)

х51)1А К \ Г /

'вьтх + X (р)

Х> 1)1 А	IV \ 1 /

Поэтому

Ну(р) = -

5Кт^2к (р)

Х>Г>1А Та \ Г /

1?вьтх +	(р)

151)1 А	XV \ Г /

На практике в качестве усилительного элемента используют та
кой транзистор, у которого /?Вых достаточно велико. В этом случае
Ну (р) = -^к(р)-

(15.15)

Учитывая, что сопротивление параллельного контура

2к(?)=

Р(1/С)

получаем окончательное выражение передаточной функции усили
теля

Яу(р) = -

5р(1/С)

Передаточную функцию цепи ОС легко найти, если вспомнить
(см. § 15.5), что

М
^ОС ( ^ ) —	( ^ ) ’

1 -/

или для изображений по Лапласу

^ос(р) =

1 -/

Отсюда

Нос(р) =

^(/0

^ос(р)

м

~Т'

После того, как получены выражения для Ну(р) и Нос(р), ха
рактеристическое уравнение (15.14) можно записать в следующем
виде:

После простейших преобразований получим:

5М5	1

~ЬС) + ЬС

(15.16)

или

р2 + 2сьэр + со20 = 0.

В режиме самовозбуждения рабочая точка располагается на ли
нейном участке ВАХ и, следовательно, крутизна 5 является по
стоянной величиной.

Корни характеристического уравнения (15.16)

Р\,2 = “«а ±7®С,
Рис. 15.12

где сос = -усод - а| — частота свободных колебаний в контуре.

Чтобы в генераторе возникли незатухающие колебания корни
должны лежать в правой полуплоскости комплексной переменной р
(рис. 15.12, случай 1), т. е. аэ < 0. Таким образом, условие само
возбуждения примет вид М > Ы8/8, что совпадает с выражением
(15.10).

В стационарном режиме работы генератора корни перемещаются
на мнимую ось комплексной плоскости р (рис. 15.12, случай 2). Из
условия аэ = 0 можно найти стационарное значение средней кру
тизны:

5с*р =ГС/М.

Анализ в частотной области. Заменяя в выражениях для опе
раторных передаточных функций оператор р на оператор /со, за
пишем передаточную функцию цепи с разомкнутой ОС:

Из условия баланса фаз на частоте генерации

тг	со ГС С

~-агс1:§	7	= 0

2	со0 - сог

убеждаемся, что генератор возбуждается на частоте сог = соо-

Из условия баланса амплитуд, которое должно выполняться на
частоте генерации
390
Рис. 15.13

Яу (сог )ЯОС (сог) = 5М/СЬ > 1.

находим, что самовозбуждение происходит при М > БО/8, что со
впадает с полученными ранее результатами.

Баланс амплитуд на частоте генерации Яу (сог )Я0С (сог) = 1 по
зволяет определить стационарное значение средней крутизны

5*р = ЬС/М.

Можно построить зависимость Яу на частоте генерации от ста
ционарной амплитуды колебаний С/твх (рис. 15.13). Функцию
легко получить из формулы (15.15), зная среднюю кру
тизну 5Ср(С/тВх) и сопротивление контура на частоте генерации
гк(<ог) = 1 О:

В стационарном режиме выполняется условие

(<ог) = 1/я‘(«>Г) = 1/М.

Воспользовавшись этим условием, можно найти стационарную
амплитуду колебаний на входе усилителя, как это сделано на
рис. 15.13. Стационарная амплитуда колебаний на выходе генера
тора определяется по формуле

15.5.	Трехточечные схемы генераторов

Индуктивная трехточка. Недостатком схем С С генераторов с
трансформаторной обратной связью является наличие двух индук
тивно связанных катушек. Поэтому на практике чаще используют
схемы С С генераторов с автотрансформаторной ОС, в которых на
пряжение ОС снимается с части колебательного контура. Такая
схема изображена на рис. 15.14, а. Она известна также под назва
нием схемы индуктивной трехточки. Элементы С, Я и 12 обра
зуют колебательный контур; резистор Кв является элементом цепи
Рис. 15.14

автоматического смещения, через который протекает постоянная
составляющая тока базы; конденсатор Сб предотвращает попадание
напряжения питания С/Пит на базу и влияет на постоянную времени
цепи автосмещения. На рис. 15.14, 6 приведена эквивалентная
схема индуктивной трехточки по переменному току, т. е. цепи пи
тания и смещения на рисунке не показаны.

Обычно полагают, что входное сопротивление транзистора на
столько велико, что током базы можно пренебречь. В этом случае,
как видно из рис. 15.14, б, элементы С, и Ь2, образуют трех
элементный реактивный двухполюсник, в котором сначала проис
ходит резонанс токов, а затем резонанс напряжений в контуре
С/,2- Частотные характеристики реактивного и полного сопротив
лений колебательного контура показаны на рис. 15.15, а и б.

Генерация колебаний происходит на частоте резонанса токов
юг = к>1 =	+ ^2 )С •

Сопротивление контура на

этой частоте является чисто рези
стивным и принимает максималь
ное значение, равное 1/0.

Цепью ОС в этой схеме служит
делитель напряжения, образован
ный емкостью С и индуктивностью
^2- Действительно, напряжение,
снимаемое с выхода усилительного
элемента (транзистора), приложе
но к колебательному контуру или,
что то же, к ветви СС2- Напряже
ние ОС снимается с индуктивности
2.2 и подается на вход усили
тельного элемента. Усилительный
каскад на одном транзисторе ново
рачивает фазу сигнала на 180°. Для соблюдения баланса фаз цепь
обратной связи также должна вносить фазовый сдвиг 180°. Это и
происходит в действительности. Ток в ветви СЬ-2 из-за емкостного
характера ее сопротивления опережает напряжение на контуре
г/к(О на 90°. В свою очередь, напряжение мОс(0 на индуктивности
Ь-2 опережает этот ток еще на 90°. Таким образом, сдвиг фаз между
напряжениями мк(О и мОс(0 составляет 180°.

Перейдем к анализу работы генератора. Для определения уело
вий самовозбуждения составим характеристическое урав
нение генератора:

1-Ну(р)Нос(р) = 0.	(15.17)

Передаточная функция усилителя, как и в случае ТС генера
тора с трансформаторной обратной связью, равна

Яу(р) = -57к(р),	(15.18)

где 2к(р) — операторное сопротивление контура:

^(р) = -[--------1------•

Р^2 + ф

рС

После несложных преобразований выражения для 2К(/?) и под
становки его в (15.18) получим

н <р\ =_________-ЗрЦ (р2Ь2С + 1)/О________

у р3ЦЬ2С + р2 (Ц + Ь2)С/в + рЦ+1/в'

Передаточная функция цепи ОС имеет вид

нос(р) =

Р^2
т 1
РЬ2+~^
рС

Запишем передаточную функцию цепи с разомкнутой ОС

-р3ЦЬ2С8/С

Нц(р}НоЛр) =

р3Ь1Ь2С + р2(Ь[+Ь2)С/С + рЬ1 +\/с'

Теперь легко получить характеристическое уравнение. С учетом
(15.17) имеем

/?3Т1Т2С(1-5/С) + /?2(Т1 +Ь2)С/С + рЦ +\/С = 0. (15.19)

Заметим попутно, что данному характеристическому уравнению
соответствует дифференциальное уравнение генератора — индук
тивной трехточки
ь ь сГ1 - —	+	+Ь2)С/С^^- + 1.^- +—и. = 0.

I с) <н3 ' 1 2! 1 <и2 <и с

Для анализа устойчивости воспользуемся критерием Рауса —
Гурвица и составим определитель Гурвица (см. гл. 14):

^2

(Ц+Ь^С/С 1/0 о

ЦЬ2С (1-3/6) Ц О

О (Ц+Ь2)С/6 1/0

Цепь будет неустойчивой и в генераторе произойдет самовоз
буждение, если хотя бы один минор этого определителя является
отрицательным, например,

1

(Ц+Ь2)С/6
ЦЬ2С (1-3/6)

1/0
А

< 0.

Раскрывая определитель, получаем

Ц(Ц + Ь2)6/6-ЦЬ26(1-3/6)6 < О
или

А + -^2 < -^2 + -^2^/^ •

Отсюда условие самовозбуждения имеет вид

Щк2 < 3/6.

(15.20)

Для анализа работы генератора в частотной области не
обходимо использовать соотношения баланса амплитуд и баланса
фаз

Яу (сог )Я0С (сог ) > 1 и фу (сог) + фос(сог) = 2л.

Поскольку на частоте генерации сог сопротивления контура
2к(со) = 1/0, комплексная передаточная функция усилителя прини
мает в соответствии с (15.18) простой вид

Ну(аг) = -8/С = (8/С)е>*.

Комплексная передаточная функция цепи ОС

после подстановки значения частоты генерации сог = 1/ у/(кх + Ь2) 6
она будет иметь вид

“и г) 1-Ь2С/(Ц+Ь2)С ц ц

В режиме самовозбуждения, т. е. когда
Яу(<ог)Яос(<ог)>1,

имеем:

что совпадает с выражением (15.20).

Для стационарного режима, когда выполняется баланс ам
плитуд

можно определить стационарное значение средней крутизны:

Из анализа выражений Яу(/сог) и ЯОс(/<®г) видно, что фу(сог) +
+ фос(<»г) = 2л, т. е. баланс фаз выполняется.

Емкостная трехточка. Если в предыдущей схеме использовать
реактивный двухполюсник с обратной частотной зависимостью со
противления, то полученная схема будет называться емкостной
трехточкой (рис. 15.16). Генерация колебаний в этой схеме будет
происходить на частоте резонанса токов

Юг = СО2 =

01 + С2

ьс.с2 ’

когда сопротивление колебательного контура будет активным
2к(со)= 1/0 и максимальным по величине.

Анализ данной схемы практически ничем не отличается от ана
лиза индуктивной трехточки. Для иллюстрации проведем анализ в
частотной области. Исследование характеристического урав
нения генератора предлагаем провести самостоятельно.

Комплексная передаточная функция усилителя на частоте ге
нерации была получена ранее:

Яу(сог) = (5/О)е^.
Цепь обратной связи представляет собой делитель напряжения,
образованный индуктивностью С и емкостью С2. Комплексная не
редаточная функция цепи обратной связи

//ос (» =-----41^2-----=------1----

/<»1 - 1//<»С2	1 <лг/.С2

на частоте генерации сог принимает вид

яос(/“г) = -—= —е7".

ос \	1 /	С' С'

^2 ь2

Из неравенства Ну (сог )Я0С (сог) > 1 определим условия само
возбуждения емкостной трехточки

Из баланса амплитуд определяется стационарное значение сред
ней крутизны

с * _ ^2^

ср Сх

15.6.	НС-генераторы

НС-генератор с мостом Вина. На сравнительно низких часто
тах, где реализация СС контуров становится затруднительной из за
больших габаритов и массы, низкой добротности и невозможности
перестройки, используют НС автогенераторы. Они представляют
собой комбинацию активных четырехполюсников (усилителей) и
пассивных НС цепей для создания ОС.

На рис. 15.17, а показана одна из таких схем (НС генератор с
мостом Вина), которая представляет собой усилитель с коэффи
циентом передачи К, между входом и выходом которого включена
НС цепь. Усилитель с заданным коэффициентом передачи можно
реализовать на ОУ (см. рис. 2.17) по схеме неинвертирующего
масштабного усилителя.

Для составления характеристического уравнения
(15.14) достаточно найти Нос(р), так как Ну(р) = К. Схема гене
ратора с разомкнутой ОС приведена на рис. 15.17, б. Передаточ
ную функцию цепи ОС, являющейся Г образным четырехполюсни
ком, будем искать в виде

Я°с(?)= 7 Л_!7\ V	(15.21)

^1(Р) + ^2(Р)

где 21(/?) — операторное сопротивление последовательно соединен
ных емкости С{ и сопротивления Нр
Рис. 15.17

21(?)=

рК{С{ +1
рС{

%2(р) — операторное сопротивление соединенных параллельно ем
кости С2 и сопротивления К2

г2(р) = ——.

рК2С2 + 1

После подстановки в формулу (15.21) выражений и ^2(р)
получим

нк (р) = —2------------;---------------------- (15.22)

р2ПхК2СхС2 + р(КхСх + К2С2 + К2СХ) + 1

Характеристическое уравнение (15.14) примет вид:

р2Р1С1Р2С2+р[Р1С1 + Я2С2 + (1-К)Я2С1] + 1 = 0, (15.23)
или

р + 2а эр + со у = 0,

р п	+ К2С2 + (1 - К)/?2^1 .	- 1/ Ц? Р ГС

где аэ ----------по о л- л--------’ юо - Ул/-^-1-^-21^2 •

Режиму самовозбуждения соответствует расположение корней
характеристического уравнения (15.14) в правой полуплоскости,
что имеет место при аэ < 0, т. е. при

К1С1 + К2С2 + (1 - К) К2СХ < 0.

Из данного условия следует, что самовозбуждение генератора
наступает при коэффициенте передачи усилителя

-г гу2У/2 -г л2м
ад

#2 С{
Если выбрать К\ = К2 и С\ = С2, то колебания на выходе гене
ратора появятся при К > 3.

В стационарном режиме аэ = 0. Характеристическое уравнение
(15.14) в этом случае принимает вид

р2К1К2С1С2 + 1 = 0.

Его корни лежат на мнимой оси плоскости р и равны

1

Р< 2 = ±7 I	=

= ±7® о

Таким образом, генерация происходит на частоте сог = соо.

Анализ работы К С генератора с мостом Вина можно провести
также в частотной области. Про усилитель известно, что
Ну (со) = К и сру(со)= 0 на всех частотах. Комплексную передаточ
ную функцию цепи ОС /7()С(/со) получим из (15.22) заменой опера
тора р на/со, преобразовав предварительно (15.22) к виду

Нос(р) =

рК1С2+^- + ^ + 1 + ^^-
1 1 2 К2 С1 рК2Сх

Откуда после замены р на /со, имеем

Поскольку усилитель не вносит фазового сдвига, для выполне
ния баланса фаз требуется обеспечить условие срос(<»г) = 0. Оно
выполняется тогда, когда передаточная функция цепи ОС является
вещественной, т. е. ее мнимая часть обращается в нуль. Таким об
разом, на частоте генерации

согС2Т?1

1
согС17?2

= 0.

Из этого условия определяется частота генерации

со г = 1/	.

Значение передаточной функции на этой частоте

я0С(®г) = 1/(1 + /?1//?2 + с2/с1).

Из условия самовозбуждения 7/у(сог)7/0с(<®г) > 1 находим коэф
фициент усиления К, при котором на выходе генератора возникают
незатухающие гармонические колебания:

.	7?1 С2

К > 1 + —+ —.

Т?2 С.
Стационарное значение коэффициента усиления усилителя оп
ределяется балансом амплитуд:

= 1 + +
с{'

1?С-генератор с лестничной схемой обратной связи. На
рис 15.18, а показана схема такого генератора, представляющая
собой однокаскадный транзисторный усилитель, между входом и
выходом которого включен лестничный пассивный КС четырехпо
люсник (для упрощения рисунка цепь смещения на нем не приве
дена).

Для возникновения генерации колебаний необходимо, чтобы
напряжение обратной связи, подаваемое на вход генератора, непре
рывно возрастало. Это возможно только тогда, когда усиление
усилительного каскада больше ослабления, вносимого цепью об
ратной связи. Кроме того, должно выполняться условие баланса
фаз. Последнее означает, что поскольку один каскад транзистор
ного усилителя вносит сдвиг фаз, равный 180°, то цепь обратной
связи также должна вносить сдвиг фаз 180°, чтобы общий сдвиг
фаз равнялся 0° (или 360°).

Однако простейшее К С звено вносит сдвиг фаз, не превышаю
щий 90°. Поэтому необходимо взять число звеньев не меньше трех.
Зависимость сдвига фаз от частоты КС цепи из трех звеньев по
казана на рис. 15.18, 6. Элементы КС цепи рассчитывают так, что
бы на частоте генерации получить сдвиг фаз 180°.

В стационарном режиме, кроме баланса фаз, выполняется
также и баланс амплитуд. При этом усиление усилительного
каскада становится равным ослаблению цепи ОС, амплитуда
напряжения цепи обратной связи, а значит и выходного, оста
ется постоянной.

Если выбрать сопротивление коллекторной цепи транзистора
К, чтобы избежать влияния на работу транзистора цепи ОС,
то операторная передаточная функция усилительного каскада он
ределится, как и в ЬС генераторах, следующей формулой:

Ну(р} = -8ПК.

Операторную передаточную функцию лестничной цепи обрат
ной связи, нагруженной на транзистор с большим входным сопро
тивлением, т. е. работающей практически на холостом ходу, полу
чим из условия Н(р) = 1/Ац. Параметр Ац лестничной схемы
найдем, воспользовавшись матричным методом расчета четырехпо
люсников (гл. 12). Представим лестничную схему как каскадное
соединение Т образного и П образного четырехполюсников.

Тогда матрица А лестничной схемы запишется в виде

А = ||А||т х||А||ц •

Предлагаем читателям самостоятельно получить элементы А
матриц четырехполюсников. Они имеют вид:

А =

\ + рПС
рС

2К + рК2С
\ + рКС

\ + рКС
2рС + р2КС2

При этом нет необходимости осуществлять полностью перемно
жение матриц. Для получения коэффициента Ац результирующей
А матрицы лестничной цепи ОС достаточно перемножить первую
строку и первый столбец данных матриц. В итоге будем иметь

Ап(р) = (1 + рКС)2 +рКС(2 + рКС)2
и

Яос (р) = \/Ап = 1/(р3К3С3 + Зр2К2С2 + брКС + 1)- (15.24)

Для нахождения условий возникновения генерации исследуем
характеристическое уравнение генератора

1-Яу(р)Яос(р) = 0.

После подстановки в него Ну(р) и Нос(р) получим следующее
уравнение:

р3К3С3 + 5р2К2С2 + брКС + 1 + 5ЯК = 0.

Цепь является неустойчивой, если

Г>2

5Я2С2	1 + 5ЯК	0	
К3 С3	6ЯС	0	<0,
0	5Я2С2	1 + 5ЯК	

ИЛИ

5Я2С2
К3 С3

1 + 5ЯК
6ЯС
Раскрывая определитель придем к неравенству
ЗОК3С3 - К3С3 - 5КкК3С3 < О,
или 5Нк > 29. Поскольку произведение 5Нк есть ни что иное как
усиление транзисторного усилительного каскада, то это условие
означает, что для самовозбуждения генератора усиление транзи
сторного каскада должно превышать 29 единиц.

Переход из комплексной плоскости р в частотную область
осуществляется заменой р на /со.

Усилитель имеет комплексную передаточную функцию
Ну(/со) = -5НК = 5Нке/я.

Цепь обратной связи описывается комплексной передаточной
функцией Нос(/<»), полученной из (15.24):

(» = 1/(1 - 5<о27?2С2 + 7<о/?С(6 - <о2.К2С2))-

Из баланса фаз сру(сог) + срос(сог) = 2л следует, что ср0с(сог) = л.
Это будет иметь место при

6-согН2С2 = О,
откуда находится частота генерации сог = л/б/НС.

Передаточная функция Нос(/сог) равна

Н (;®г) =--------*	= — е’\

У ’ 1-5<о2/?2С2	29 29

ИЛИ

Яос ( ® г ) = 1/29 , ср0С (со г) = Л.

Подстановка полученных значений Ну(сог) и Н0с(сог) в условие
амплитуд

Ну(сог)Нос(сог) > 1

даст 5Нк > 29, что совпадает с полученным ранее результатом.

В стационарном режиме можно рассчитать значение средней
крутизны

5С* = 29/Нк •

Недостатком НС генераторов является то, что в стационарном
режиме за счет нелинейности ВАХ (благодаря которой и устанав
ливается амплитуда колебаний) происходит искажение формы тока
г к в цепи коллектора. Выходное напряжение в НС автогенераторе
снимается с резистора Нк и имеет ту же форму, что и ток гк, т. е.
является несинусоидальным.

Для получения формы колебаний, близкой к синусоидальной,
нужно, чтобы колебания не выходили за пределы линейного участ
ка ВАХ. Поэтому на практике рост колебаний ограничивается не
нелинейностью транзистора, а специальным нелинейным элементом
(НЭ), в качестве которого используются полупроводниковые или
металлические терморезисторы.

15.7.	Автогенераторы с внутренней обратной связью

Ранее была получена одна из форм дифференциального урав
нения автогенератора с внешней ОС (15.9)

+2п ^к+т27/ -о

—77Г + 2аэ 1+ + со о“к - и
с/г (И

с коэффициентом аэ, определяемым формулой (15.11):

Здесь СВн — проводимость, вносимая в колебательный контур за
счет действия внешней ОС. Стационарному режиму соответствует
равенство Свн = —С. Условие возникновения колебаний удовле
творяется при Свн < 0 и |СВН| > С.

Сравнение данного дифференциального уравнения с дифферен
циальным уравнением одиночного колебательного контура (15.2)
позволяет составить эквивалентную схему генератора. Она дана на
рис. 15.4 и отличается от схемы обычного контура наличием в ней
отрицательной проводимости.

Отрицательную проводимость можно получать не только за счет
действия внешней ОС, но и с помощью НЭ с ВАХ, имеющей па
дающий участок. Электронные приборы, являющиеся резистив
ными нелинейными элементами с падающими участками ВАХ
I = Н(ц), называются приборами с отрицательным сопротивлением.
В частности, таким прибором является туннельный диод.

Генераторы, построенные на приборах с отрицательным сопро
тивлением, не содержат внешней цепи ОС и называются поэтому
генераторами с внутренней ОС.

На рис. 15.19, а приведена ВАХ туннельного диода. На участке

4 А  /  0	х	и  а)	Сд  —11—  6(а) < 0  Ф
а —б дифференциальная проводимость С(ц) = сИ/би < 0.

Эквивалентная схема туннельного диода, соответствующая па
дающему участку характеристики, представляет собой параллель
ное соединение нелинейной отрицательной проводимости диода
Сг(ц), зависящей от приложенного к нему напряжения и, и емкости
Сд р-п перехода (рис. 15.19, б).

Схема генератора с внутренней ОС, выполненного на туннель
ном диоде, изображена на рис. 15.20, а. При помощи напряжения
смещения С/о рабочая точка устанавливается примерно в середине
падающего участка ВАХ диода. Блокировочная емкость Сбл обра
зует путь для переменного тока генерируемой частоты. Заменив
туннельный диод параллельным соединением отрицательной про
водимости С(ц) и емкости Сд перейдем к эквивалентной схеме ге
нератора по переменному току. Она дана на рис. 15.20, б. Емкость
эквивалентной схемы С = Ск + Сд. Данная эквивалентная схема
полностью удовлетворяет приведенному в начале раздела диффе
ренциальному уравнению.

Генератор на туннельном диоде является генератором почти
гармонических колебаний, и анализ его работы можно провести так
же, как и анализ работы генератора с внешней ОС.

Введем понятие средней проводимости НЭ Сср(Сто1) < 0 по
первой гармонике с амплитудой 1}т\- Графики зависимостей,
|Сср(С/т1)| от амплитуды 1}т\ при различных напряжениях сме
щения Со приведены на рис. 15.21. На нем же показаны различ
ные значения эквивалентной проводимости контура С.

Возбуждаются колебания при |Сср(Ст1)| > С. Стационарные
амплитуды колебаний С*ц устанавливаются при | Сср( Стэ)| = С.

Проводя анализ зависимостей рис. 15.21 (подобный анализ за
висимостей выполнен с помощью рис. 15.8 и 15.9 для генераторов
с внешней ОС), можно убедиться, что в генераторах с внутренней
ОС возможны мягкий и жесткий режимы самовозбуждения
(рис. 15.22).

Мягкий режим самовозбуждения происходит при напряжениях
смещения 0,15 В < Со < 0,3 В, жесткий режим — при Со > 0,3 В.
На рис. 15.21 на кривой средней проводимости | Сср(Сто1)|, полу
ченной при Со = 0,4 В показаны стационарные точки А', А" и А'".
Колебания возникают при значении эквивалентной проводимости
контура О' (точка А'). Амплитуда колебаний равна При уве
личении проводимости О стационарная амплитуда С/*д умень
шается, срыв колебаний происходит при О'" (точка А'"). Поэтому
жесткому режиму самовозбуждения соответствует сплошная кривая
на рис. 15.22. Мягкому режиму возбуждения соответствует пунк
тирная кривая, полученная для средней проводимости при
С/о= 0,3 В.

15.8.	Анализ переходных процессов в автогенераторе методом
медленно меняющихся амплитуд

При исследовании условий самовозбуждения и стационарного
режима работы автогенератора принимались во внимание следую
щие обстоятельства. При самовозбуждении амплитуда нарастаю
щих колебаний в автогенераторе мала и работа генератора проис
ходит на линейном участке ВАХ транзистора гк = Р(и^), на кото
ром крутизна транзистора 5(г/ос) = с/гк(мос)/Ниос является постоян
ной величиной, не зависящей от напряжения иос, т. е. 5(г/ос) = 5.
В этом случае дифференциальное уравнение автогенератора (15.8)
становится линейным.

В стационарном режиме, когда амплитуды гармонического ко
лебания на контуре автогенератора С/тк и гармонического колеба
ния обратной связи 1}тОс являются установившимися, средняя кру
тизна 5Ср(ц0С)в уравнении (15.8) является также постоянной вели
чиной и дифференциальное уравнение автогенератора снова можно
считать линейным:

К
сП2

М31 с1ик

Тс ТГ

+ (ОдЦк

Из решения этого уравнения определялись условия самовозбу
ждения, амплитуда и частота генерируемых колебаний.
При анализе переходного режима автогенератора, когда ампли
туды колебаний напряжения на контуре и напряжения обратной
связи изменяюется от очень малых величин Пшк(0) и ПШОс(0), вы
званных флуктуационными процессами в автогенераторе, до уста
новившихся значений, считать крутизну $(иос) постоянной уже
невозможно; дифференциальное уравнение автогенератора (15.8)
является нелинейным. Поскольку способов точного аналитического
решения нелинейного дифференциального уравнения второго по
рядка не существует воспользуемся для его решения приближен
ным методом медленно меняющихся амплитуд (ММА).

Метод ММА применяется для решения нелинейных дифферен
циальных уравнений с малым параметром. Этот метод введен в ра
диотехнику впервые Ван дер Полем, который рассмотрел ряд за
дач, связанных с установлением колебаний в ламповых генерато
рах и других колебательных системах. В дальнейшем этот метод
получил обоснование в работах академиков Л.И. Мандельштама,
Н.Д. Папалекси, А.А. Андронова и их учеников. Особо следует
отметить работы академиков Н.Н. Боголюбова, Н.М. Крылова, а
ТИКтКС Ю.А. Митропольского, посвященные развитию и метода
ММА (или, как он часто называется, метода укороченных урав-
нений}.

Поскольку в автогенераторах для повышения стабильности час
тоты генерируемых колебаний и подавления высших гармоник тока
коллектора, являющихся продуктом нелинейности ВАХ транзисто
ра, используется высокодобротный контур (9 » 1), то амплитуда
напряжения на контуре, а также амплитуда напряжения обратной
связи, изменяются так медленно, что их приращение АП„/ за время
периода колебаний Т много меньше самой амплитуды колебаний
АПп/ 1дт. Это условие «малости» изменения амплитуды колеба
ний и будет использовано для анализа переходных процессов в ав
тогенераторе.

Покажем, что указанное условие «малости» изменения амплиту
ды колебаний в автогенераторе, АП„/ 1дт, действительно выпол
няется при больших добротностях контура (д. Напряжение на ко
лебательном контуре автогенератора изменяется по закону

ик(1) = §т со0^,

где а = С/2С — коэффициент затухания контура; По — начальное
значение амплитуды колебаний, вызванное флуктуациями тока в
транзисторе; соо — частота свободных колебаний в контуре.

Введем обозначение

Пшк(0 = Пое-^	(15.25)

и перепишем выражение для и(1):

Мк(0 = С' П/К(^)81П СОоб
где 17т<Л) — описывает закон изменения амплитуды автоколебаний
во времени.

Продифференцировав (15.25), найдем скорость изменения ам
плитуды

= -аС/шк(О.	(15.26)

а1

Перепишем (15.26) в приращениях

АС/тк(б) = -аС'п/|;(^)ДА

(15.27)

Пусть отрезок времени А^ = Т, тогда АС/ШК (О =-аТС/тк(О.
Если аТ 1, то условие АСД/ 17 т выполняется. Чтобы убедить
ся в этом, выразим декремент затухания аГ параллельного контура
через добротность (}:

аТ = —. — = Сп'^ = ЛО Е = лОр = —,	(15.28)

2С со0 С	V С	О

где () = 1/(С5р) — добротность контура; р — характеристическое со
противление контура.

Для контура высокой добротности ( С^)	1) декремент затуха

ния аТ 1, поэтому

АС/тк ^тк>	(15.29)

в чем и требовалось убедиться.

Воспользуется условием (15.29) для перехода от полного диф
ференциального уравнения автогенератора (15.8) к укороченному.

Перепишем (15.29), разделив правую и левую части неравенства
на период колебаний

тк	Vтк _

Т <<: ~Т~ ~ 2л

Перейдем снова к бесконечно малым приращениям амплитуды
колебаний, полагая, что период колебаний достаточно мал по срав
нению со временем изменения амплитуды

(IVтк «
сП 2л

(15.30)

Неравенство (15.30) еще более усилится, если правую часть ум
ножим на 2л:

(IVтк
сП

Продифференцировав (15.31),
производной

тк •

(15.31)

получим неравенство для 2 ой

тк
сП2

(IVтк

(15.32)
Воспользуемся (15.31) и (15.32) для перехода от дифференци
ального уравнения автогенератора (15.8), составленного относи
тельно напряжения на контуре мк(О, к дифференциальному урав
нению, составленному относительно огибающей амплитуды этого
напряжения С/тк(О. Тем самым удастся понизить порядок диффе

ренциального уравнения.

Вычислим первую и вторую производные выражения мк(О =
= С/тк(^)§1п со0^ и учтем неравенства (15.31) и (15.32):

с/г/к(^)	(IVтк(О .	, ТТ	.

—	31П 0)д^ + С п/к(О(Эд СОЗ 0)д^ ~	(15 33)

Сд-	кА, I/	4

~ Vтк(^)(0д СОЗ СОд^

(Г2ик(0	(1Ютк(1) . (Штк(д)

------- = ---------81П СОдб Н------СОд СОЗ СОдС +

(И2	(V2	(V

+	со§ _ ^к(^)ю2 §|п Ю()^ ~

~ 2--------(Од СОЗ (Од^ — Vтк(^)(0д §1П (ОдТ

(15.34)

Подставим (15.33) и (15.34) в уравнение автогенератора (15.8):

2 (IV

(И

Г М5(г/ос)5

+ 2а-----------

(Од СОЗ (Од^ — Vтк (^)(0д ЗШ (Од^ +

С/тк(^)(Од СОЗ (Од^ + V тк (^)(0д ЗШ (Од^ — 0.

После преобразования этого выражения имеем окончательно:

(1 V772к (^)
сП

М5(иос)}
а---------

21С

<7,„К(О = 0.

(15.35)

Получили так называемое «укороченное» нелинейное диффе
ренциальное уравнение 1 го порядка для медленно меняющейся
амплитуды колебаний, или уравнение Ван-дер-Поля.

Таким образом, использование условий медленности изменения
амплитуды позволило перейти от мгновенных значений напряже
ния на контуре к амплитудным V и понизить порядок урав
нения. Заметим, что уравнение (15.35) по прежнему остается нели
нейным, так как в него входят мгновенная крутизна ВАХ, завися
щая от мгновенного напряжения иос. Однако, от мгновенной кру
тизны можно перейти к средней крутизне в силу того, что в высо
кодобротном контуре можно пренебречь высшими гармониками.
Тогда уравнения (15.35) можно переписать в виде

(15.36)
Это уравнение, строго говоря, также является нелинейным (так
как средняя крутизна зависит от амплитуды); однако в таком
уравнении первого порядка можно разделить переменные и полу
чить его решение.

Для решения уравнения (15.36) прежде всего нужно выбрать
выражение для средней крутизны. Если аппроксимировать ВАХ
транзистора полиномом

гк = а$ + а\ (иос - Со) + <22 (мос _ Со) +•••

и считать, что иос = Со + Стос созой, то можно найти амплитуду
первой гармоники тока

тос +	^5^тос + •••

4	8

1щ1 ( Стос

и среднюю крутизну по первой гармонике

^ср ( ^тос ) — ТТ —	+ ~7 ^З^тос + 7Г ^5^тос +

С/ тос	4	о

Это общее выражение для средней крутизны пригодно для расчета
переходных процессов в автогенераторе как в мягком, так и в же
стком режимах, но сложность расчетов при этом резко возрастает.
Поэтому для практических расчетов используют не полиномиальную
аппроксимацию, а аппроксимацию гиперболическим тангенсом.

Среднюю крутизну транзистора для мягкого режима самовоз
буждения с достаточной для практических расчетов степенью точ
ности можно аппроксимировать функцией

5	(15.37)

/7( /
итк

где 5о — начальное значение крутизны 5(0); а =	, 5 — значе

ние крутизны в рабочей точке, /н — ток насыщения транзистора.

Подставив выражение для крутизны (15.37) в укороченное
уравнение для огибающей амплитуды колебаний автогенератора
(15.36) и вынося коэффициент затухания а за скобки, получим:

^СП/К(1) л Н1йСтк(^) , .	,	.

—-	ь сс 1 — т — ——	СткО — 0,	(15.38)

б/ С	222К

где т = М/М^ ; Мкр = СО/50 .

Получим решение уравнения (15.38) для двух отрезков времени:

0 < I <	— режим малых амплитуд, когда аргумент а1}т^ <0,5.

В это случае НшСу/к « а1}т^ и уравнение (15.38) будет линейным
однородным дифференциальным уравнением 1 го порядка:

+ а(1-т)Стек(0 = 0; 0<^<С-	(15.39)
< 1уСт — режим больших амплитуд а1}т^ >1,5, тогда
ЪЬ а1}т^ ~ 1 и (15.38) будет линейным неоднородным дифференци
альным уравнением 1 го порядка

(1 И тк (^)
(11

+ а	=0;

Решение уравнения (15.39) имеет вид:

ТТ (Г) = ТТ (0)е-аа~т)Т.
ткУ1''	?

(15.40)

(15.41)

0 < I <

где С/тк(0) — начальное значение амплитуды колебаний в момент
1 = 0 (на первом интервале времени 0 < I < 1\), обусловленное
флуктуациями в транзисторе. Из (15.41) видно, что амплитуда ко
лебаний будет увеличиваться, если т > 1, т. е. М > Мкр или
Мкр/1>С/5.

Для решения (15.40) проведем разделение переменных и проин
тегрируем

(1 (итка) - —

«(1> умка)--
а

т

а (11;

й

С/М«(О--

1п--------—

тт (1 } т

° тк \<Д7
а

1 ^уст.

отк(^)—



1 < 1ус^ (15.42)

-а{1 -1\);

а

где С/тк(Н) — начальное значение амплитуды колебаний на втором
интервале 1\ < 1 < ^уст, равное конечному значению амплитуды на
первом интервале С/тк(^) = С/тк(О)е-а(1“т)й .

При I ->оо получим установившееся решение для амплитуды ко
лебаний

С/тк^УСТ)

т

а

(15.43)

Из (15.43) видно, что установившееся колебание С/тк(^уст) не
зависит от начальных условий, а зависит от величины обратной
связи М/Ь, проводимости контура С и характеристик транзис
тора.

Время установления колебаний в автогенераторе находится из
условия, что амплитуда колебаний изменяется от С/тк(0) до 0,95
от установившегося решения, т. е. С/тк(^уст) = 0,95 т/а. Откуда
имеем
т

-а(2уст-Ц ) _|_ 777
а

€\^т	\ ТТ (+ \	772

0,95—= о т^\1\)---е

(15.44)

а

Начальное значение амплитуды колебаний Сфик(^1) найдем из
выражения средней крутизны на первом интервале 5ср = 5 и на
втором интервале 5ср = 5/(уС/тк0д)). Отсюда:

УтМ =	=1.	(15.45)

а

Из (15.45) находим

_ 1п«С/тк(0)

1	а(1 - т)

Подставив (15.46) в (15.44), получим

0,95—=--------е аиУст й7+ —;

а \а а)	а

(15.46)

1пОЛу»
1-722	У

Откуда находим

,	+ _ 1 1	90 777 “ 1 •

Густ — И — — 1П 20-,

ат

^уст =-1п20^—-1—-1пШтк(0).	(15.47)

а	722	а(? 22 -1)

Из (15.47) видно, что длительность установления колебаний /уст
зависит от начальной амплитуды С/тк(0), коэффициента затухания
а, величины обратной связи т и параметра транзистора а. С уве
личением начальной амплитуды колебаний С/тк(0) время у станов
ления уменьшается.

Пример. Рассчитать время установления колебаний в автогенераторе для
следующих условий: величина взаимной индукции в два раза больше критиче-
ской т = Л7/Л7кр = 2; начальное значение амплитуды колебаний в 100 раз
меньше амплитуды колебаний в середине переходного процесса 1ЛиК(0) =
= 0,01/(2, добротность контура (^) = 100.

Выразим в (15.47) коэффициент затухания а контура через добротность
С>: а = со0/(2С), тогда из (15.47) получим

, 2рф .	0,01) 2ОП . пп.ч

7	- 1п 10 - 1п«----- = ——(1п 10 - 1п 0,01) =

у со0 у	а ) со0

2д.	10	2ф	. 2фт	„ „ „„„ /уст	_

-—Мп------- —— ,31п10 = ——6,9-2(27 или ——® 20.

со0	0,01	со0	2л	Т

При <2 = 100 установление колебаний происходит за 200 периодов.
Вопросы и задания для самопроверки

1.	Каким образом в автогенераторе (рис. 15.2) возникают стацио
парные гармонические колебания?

2.	Пояснить принцип работы автогенератора по рис. 15.3.

3.	Какие типы автогенераторов существуют? Как работают эти те
нераторы?

4.	Сформулировать условия самовозбуждения автогенераторов:
а) с трансформаторной обратной связью; б) индуктивной трех
точки; в) К С генератора с лестничной цепью обратной связи;
г) К С генератора с мостом Вина.

5.	Проверить, произойдет ли самовозбуждение автогенератора
(рис. 15.2), если Ь = 200 мкГн, М = 50 мкГн, К? = 10 кОм,
5'ср = 1 мА В.

Ответ: да.

6.	Является ли цепь на рис. 15.4, б автогенератором, если
Ну = 2,5;	= 30 мкГн; А 2 = Ю мкГн?

Ответ: нет.

7.	Рассчитать значение крутизны характеристики транзистора, при
котором произойдет самовозбуждение К С автогенератора с лест
ничной цепью обратной связи, если 7?к = 0,5 кОм.

Ответ: 5ср > 58 мА В.

8.	Как рассчитывается частота генерируемых колебаний в автоге
нераторах разных типов?

9.	Рассчитать частоту генерации колебаний в К С генераторе с мос
том Вина, если Сд = С2 = 7 нФ, = К2 = 10 кОм.

Ответ: /*г = 2,27 кГц.

10.	Какими будут графики зависимости средней крутизны (или
коэффициента передачи усилителя) от амплитуды напряже
ния на входе усилителя при разных положениях рабочей
точки на ВАХ (в середине линейного участка и на нижнем
загибе)?

Рис. 15.23
11.	Сформулировать условия баланса амплитуд и баланса фаз в
установившемся режиме.

12.	Каким образом по колебательной характеристике (рис. 15.13)
определяется амплитуда стационарных колебаний?

13.	Определить амплитуду стационарного колебания на выходе
К С генератора с лестничной цепью обратной связи, если
5ср =14,5 мА В, = 2 кОм, колебательная характеристика
изображена на рис. 15.23.

Ответ. 1)т вых 11,6 В.

14.	При каких условиях режим самовозбуждения автогенератора
является мягким (жестким)?

15.	В чем отличие мягкого режима самовозбуждения автогенерато
ра от жесткого режима? Пояснить по графикам рис. 15.8 и
рис. 15.9.

16.	Каким образом объединить достоинства мягкого и жесткого
режимов самовозбуждения?

ГЛАВА 16. ПРОБЛЕМА СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

16.1.	Постановка задачи синтеза

Линейные устройства систем передачи информации. Предыду
гцие главы посвящены в основном проблеме анализа электрических
цепей. В них рассматривались методы анализа и на их основе изу
чались свойства электрических цепей. Другой проблемой является
создание устройств и систем, обладающих заданными свойствами,
что составляет содержание задачи синтеза электрических цепей.
В последующих главах речь пойдет о синтезе конкретных линей
ных устройств, являющихся составной частью систем передачи ин
формации.

Электрические фильтры это четырехполюсники, которые с
пренебрежимо малым ослаблением пропускают колебания в оп
ределенном диапазоне (диапазонах) частот и практически не
пропускают колебаний в других диапазонах. На рис. 16.1 при
ведена типичная характеристика рабочего ослабления ФНЧ. Для
данного примера ослабление в полосе частот 0 ... соп не превы
шает 1 дБ, а в полосе частот со3 ... оо ослабление превышает 40
дБ. Полоса частот, в которой ослабление относительно мало, на
зывается полосой пропускания', полоса частот, в которой ослаб
ление относительно велико, называется полосой задерживания.
Между полосами пропускания и задерживания находится полоса
расфильтровки (переходная полоса). В этой полосе требования
на ослабление не задаются. Электрические фильтры служат для
выделения колебаний в необходимой полосе частот. Например, в
антенне существуют колебания, вызванные работой многих ра
диостанций. Каждая радиостанция работает в своей полосе час
тот. Радиоприемник с помощью фильтров выделяет колебания в
желаемом диапазоне частот. Для того, чтобы была возможность
последовательно принимать различные радиостанции, фильтр
необходимо перестраивать. Вращение ручки настройки радио
приемника приводит к смещению полос пропускания и задержи
вания. Та же идея положена в основу разделения телефонных
каналов в аналоговых многоканальных системах передачи.
Фильтрами можно формировать сигналы сложной формы,
уменьшать пульсации напряжения или тока в источниках пита
ния.

Корректоры линейных искажений или просто корректоры —
это четырехполюсники, служащие для компенсации линейных
искажений. В § 9.6 приведены условия безыскаженной передачи.
На практике эти условия выполняются далеко не всегда, вследст
вне чего возникают амплитудно частотные и фазо частотные ис
кажения. Для того чтобы обеспечить условия безыскаженной не
редачи и применяются корректоры. Линейные искажения часто
корректируются раздельно. Амплитудными корректорами ком
пенсируются амплитудно частотные искажения, а фазовыми —
фазо частотные. Корректоры могут быть постоянными, когда их
характеристики не меняются в процессе работы или автоматиче
скими (адаптивными), когда при изменении параметров среды
передачи (например линий) характеристики корректора автома
тически также изменяются.

Линии задержки — это четырехполюсники, которые в некого
ром диапазоне частот имеют с заданной степенью точности линей
ную фазо частотную характеристику или постоянное групповое
время пробега. Линии задержки применяются как элемент уст
ройств, например, гармонических корректоров.

Требования к цепи, этапы синтеза. Требования к электриче
ской цепи можно разделить на основные и дополнительные. Основ
ные требования определяют целевое назначение синтезируемой це
пи. Электрические свойства линейной цепи полностью описыва
ются во временной области переходной ^(0 или импульсной /г(0
характеристиками, а в частотной области — амплитудно и фазо
частотными характеристиками. Поэтому основные требования
предъявляются либо к частотным, либо к временным характери
стикам будущей цепи.

Дополнительные требования зависят от условий работы созда
ваемых устройств. К ним относятся ограничения на массу и габа
риты, чувствительность характеристик к изменению элементов,
температурную нестабильность, элементный базис (например, в ря
де случаев нежелательно применение катушек индуктивности), а
также требования простоты процесса настройки в условиях произ
водства и т. д. Часть дополнительных требований носит обязатель
ный характер, а часть подлежат оптимизации (минимизации или
максимизации) при прочих равных условиях. Так, возможен слу
чай, когда требования по чувствительности должны выполняться
безусловно, а габариты и масса минимизируются.

В классической постановке задача синтеза разбивается на два
этапа: задачу аппроксимации и задачу реализации.

Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении та
кой функции, которая, с одной стороны, удовлетворяет поставлен
ным требованиям, а с другой — удовлетворяет условиям физиче
ской реализуемости характеристик (временных или частотных)
электрических цепей.

Решение задачи реализации заключается в нахождении элек
трической цепи, временная или частотная характеристика которой
совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи ап
проксимации.

16.2.	Условия физической реализуемости

Синтез электрических цепей можно выполнить во временной
области, когда требования задаются к переходной или импульсной
характеристике, и в частотной области, когда требования задаются
к амплитудно частотной характеристике (АЧХ) и ФЧХ цепи. При
этом требования часто задаются только к АЧХ цепи, а ФЧХ не
контролируется. Очевидно, не любая вещественная функция может
быть реализована в виде временной характеристики цепи и не лю
бая комплексная функция может быть реализована в виде входной
или передаточной функции.
Условия, при выполнении которых заданная функция может
быть реализована как характеристика цепи, называются условиями
физической реализуемости (УФР). Данные условия зависят от
того, из каких элементов предполагается синтезировать цепь, т. е.
УФР зависят от элементного базиса. Ниже будут рассматриваться
линейные активные и пассивные КЕС цепи с сосредоточенными и
независящими от времени параметрами. Рассмотрим УФР данных
цепей.

Условия физической реализуемости передаточных функций. В
гл. 7 показано, что входные или передаточные функции являются
дробно рациональными функциями с вещественными коэффициен
тами (7.41):

н ( } = а„Рп +а„-\Рп~' + ... + а,Р + а0

Р Ьтр”‘+Ьт_1Р”‘~'+ ... + Ъ,р + Ь0’

Для того, чтобы дробно рациональная функция с веществен
ными коэффициентами являлась с точностью до постоянного
множителя передаточной функцией четырехполюсника, необхо
димо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям, описан
ным в § 7.4:

1)	полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица;

2)	степень полинома числителя не должна превышать степени
полинома знаменателя.

В терминах нулей и полюсов эти два условия могут быть сфор
мулированы следующим образом:

1)	полюсы передаточной функции должны находиться в левой
полуплоскости;

2)	отсутствуют полюсы в нуле и бесконечности.

На положение нулей никаких ограничений не накладывается.
Эти два условия определяют условия устойчивой цепи.

Если некоторая дробно-рациональная функция удовлетворя-
ет приведенным условиям, то говорят, что она удовлетворяет
условиям физической реализуемости.

Структура четырехполюсника может накладывать дополнитель
ные ограничения. Так часто представляют интерес четырехполюс
ники, не содержащие взаимных индуктивностей и имеющие общий
провод между входным и выходным зажимами, т. е. трехполюсни
ки или неуравновешенные четырехолюсники. Такие цепи должны
дополнительно удовлетворять условиям Фиалкова Герста, фор
мулируемым следующим образом: для трехполюсных цепей без
взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточ-
ной функции не отрицательны и не превышают соответствую-
щих коэффициентов знаменателя. Это означает, что отсутствуют
нули на положительной вещественной полуоси.
Дальнейшие ограничения, накладываемые на структуру четы
рехполюсника, приводят к дополнительным ограничениям на поло
жение нулей. Так, нули лестничных схем могут находиться только
в левой полуплоскости комплексной переменной р. Ограничения на
свойства передаточных функций вызываются также видом эле
ментов. Так, в К С цепях полюсы могут располагаться только на
отрицательной вещественной полуоси. В лестничных К С цепях на
отрицательной вещественной полуоси располагаются как полюсы
так и нули.

Условия физической реализуемости модуля и аргумента ком-
плексной передаточной функции. Если переменная р принимает
только мнимые значения р = /со, то операторные функции превра
щаются в комплексные функции вида:

2^/ • \ _	+<2м-1(7ю)	+--- + Д1(;со) + <20

М/®)м + V, О)'"’1 +... + ь, (/со)1 + Ьо ’

Учитывая, что /2 = — 1, /3 = — /, /4 = 1 и т, д., комплексную
передаточную функцию можно записать следующим образом (см.
§ 7.4):

Я(» = А1<») + ЛМо>)	(16.1)

01 (ю) +	(ю)

где

(со) =	— ^2со +Й4С0 —...;	(16.2)

7Д(со) = й|Со — йдсо + <25со — ...;	(16.3)

СД (со) = б0 - б2со2 + б4со4 - ...;	(16.4)

ф2 (со) = бщ/- Д3со3 + Д-уо'"’-	(16.5)

Любая комплексная функция может быть представлена в виде
(см. § 7.4)

где |Н(/со)| — АЧХ, а ср(со) — ФЧХ цепи.

Модуль передаточной функции //(/со) согласно (7.43)

(16.6)

В синтезе цепей часто пользуются понятием квадрата модуля
передаточной функции |Н(/со)|2. Это позволяет избавиться от ир
рациональных функций. На основании формул (16.1) —(16.4) лег
ко показать, что квадрат модуля передаточной функции в общем
виде может быть представлен следующим образом (7.45):
|Н(/со)|2

Р12(со) + Р22(со)

С12(со) + О22(ю)

2	4	2п

Сп + Си|(0 + СИ 2Ю + ... + СдСО

т +	+ б/^_2(О + ... + б/дО)

Из У ФР операторных функций следует У ФР квадрата модуля
передаточной функции'.

1)	|Ж/со)|2 — четная, дробно рациональная функция;

2)	п < т;

3)	полиномы числителя и знаменателя неотрицательны на ве
щественной полуоси.

Найдем аргумент комплексной передаточной функции. Из
(16.1) следует, что

(ЛО1+Л<?2)-ь/(Л<?1-ЛО2)

Л2 + С>22

тогда

ср (со) = агс!:§Я(со),

Я (/со) =

Функция Я (со) называется функцией угла или тангенс функ
цией. УФР тангенс-функции следует из УФР операторных функ
ций. Тангенс функция должна удовлетворять следующим условиям:

1)	Я(со) — нечетная дробно рациональная функция;

2)	коэффициенты Я (со) должны быть вещественными.

Условия физической реализуемости временных функций цепи.
Как уже отмечалось, в зависимости от конкретно решаемой задачи,
электрические цепи удобно описывать либо частотными характе
ристиками, либо временными. Так, при построении многоканаль
ных систем передачи с частотным разделением каналов удобно
пользоваться частотными характеристиками, а в цифровых систе
мах связи, где применяется временное разделение каналов, удобно
описывать электрические цепи временными характеристиками. К
временным характеристикам относятся (см. § 8.1) переходная
и импульсная /г(О характеристики. Напомним, что переходная ха
рактеристика численно равна отклику (реакции) цепи на единичное
воздействие 1(0, в качестве которого может быть либо ток, либо
напряжение. Отклик также может быть либо током, либо напря
жением, поэтому, как и в случае передаточных функций существу
ет четыре типа переходных характеристик (гл. 8) ^м(0, ^(0,
§т(0, ^г(0. Первые две характеристики являются безразмерны
ми, третья имеет размерность проводимости, а четвертая — со
противления.

Импульсная характеристика численно равна отклику цепи на
5 функцию. Существует также четыре типа импульсных харак
теристик (гл. 8): ки(1\ кг(1\ ку(1), кг(Ф). Как показано в гл. 8.
импульсная и переходная характеристики выражаются одна че
рез другую, поэтому они не являются независимыми (см.
§ 8.1). Для описания цепи достаточно знать одну из них. При
менение того или другого описания цепи зависит от конкретной
задачи.

Условия физической реализуемости данных характеристик еле
дует из свойств операторных передаточных функций. Действи
тельно, так как изображение по Лапласу переходной и импульсной
характеристик имеет соответственно вид

ё^) = -Н(рф к(1;) = Н(р),

Р

то ^(0 и к(ф) легко найти с помощью теоремы разложения (§ 7.2).
Из этой теоремы следует, что ^(0 состоит из слагаемых вида

Ае~а1-,
соз со	зтсоД

(	. п -щ	(16.7)

(В! +В2^ + ... + В5^-1)е	,

((Д соз со + (Д'зтоЛ + ... + (Д75-1 соз со + С^5-1 зт со/:)<Уы/ .

Функция к(I), кроме перечисленных слагаемых, может содер
жать слагаемое 5(0 (см. (8.3)).

Слагаемое, приведенное в первой строке (16.7) соответствует
простым вещественным, во второй строке — простым комплексно
сопряженным, в третьей кратным вещественным, а в четвертой —
кратным комплексно сопряженным полюсам передаточной функ
ции Н(р).

На основании изложенного легко сформулировать УФР пере
ходных и импульсных характеристик: если к(ф) и ^(0 могут
быть представлены в виде суммы перечисленных выше слагае-
мых и при этом все коэффициенты являются вещественными, а
а > 0, то к(1) и §(1) будут удовлетворять УФР.

Условия физической реализуемости входных функций (вход
ных сопротивлений У(/?) и проводимостей У(/?)).

Возникает вопрос: всякому ли выражению У(/?) можно со
поставить реальный, т. е. физически осуществимый двухполюс
ник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник,
то функция У(/?) должна отвечать свойствам входного сопро
тивления реактивных двухполюсников: быть дробно рациональ
ной с вещественными коэффициентами и степенями числителя и
знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и
полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси
плоскости р (см. § 4.5).
При синтезе КСС двухполюсников функция 2(/?) должна обла
дать свойствами входного сопротивления этих двухполюсников.
Входные функции таких четырехполюсников относятся к классу
так называемых положительных вещественных функций (ПБФ),
которые удовлетворяют следующему дополнительному условию:
Ке[2(/?)] > 0 или Ке[У(/?)] > 0 при а > 0.

Можно показать, что положительные вещественные функции
всегда представляют собой отношение двух полиномов Гурвица,
степени которых отличаются не более, чем на единицу, т. е. нули и
полюсы расположены в левой полуплоскости. Кроме того, если
ПВФ имеет полюсы или нули на мнимой оси (включая р = 0 и
р = оо), то эти полюсы и нули являются вещественными и положи
тельными.

Часто рассматриваются цепи, содержащие элементы только двух
видов: УС-, КС- и КС цепи. Ограничения на вид используемых
элементов накладывают дополнительные ограничения на входные
функции. Так, нули и полюсы входных функций ТС цепей нахо
дятся на мнимой оси и чередуются. Аналогичным свойством обла
дают входные функции КС- и КС цепей с той лишь разницей, что
их нули и полюсы находятся на отрицательной вещественной по
луоси.

16.3. Нормирование элементов и частоты

В синтезе электрических цепей часто прибегают к нормирова
нию элементов и частоты. Нормирование частоты уже встречалось
ранее, когда рассматривались частотные характеристики колеба
тельных контуров (гл. 4). Целесообразность применения нормиро
вания ясна из следующего примера. Пусть необходимо рассчитать
частотную характеристику сопротивления последовательного КСС-
контура с параметрами элементов С = 10-5 Гн, С = 10-9 Ф, К =
= 5 Ом. Данный контур имеет добротность (й = 20, характеристи
ческое сопротивление р = 100 Ом и резонансную частоту сор =
= 107 с-1. При расчете сопротивления данного контура приходится
оперировать с величинами от 10-9 до 107, что не всегда удобно.
Выполним нормирование сопротивлений и частоты. Для этого за
пишем выражение сопротивления данного контура:

2 = К + /(соА-1/соС).

Разделим левую и правую часть равенства на некоторое норми
рующее значение сопротивления КИ, а второе и третье слагаемое
умножим и разделим на некоторое нормирующее значение часто
ТЫ СОд.

2	К	. сосщА	. со..

= — + 7----2---7-----2--•

К,,	К,,	(ь„К„	(Ь(п„СК„

XI	XI	XI XI	XI	XI
Введем следующие названия и обозначения:

= 2 — нормированное комплексное сопротивление,
со/сон = О — нормированная частота;

сонЬ/Т?н=1	(16.8)

—	нормированная индуктивность;

сонСЯн=С	(16.9)

—	нормированная емкость;

К/КН=К	(16.10)

—	нормированное резистивное сопротивление.

Величины сон и вообще говоря, можно выбирать произвольно.
В данном случае удобно положить соп = сор и = р. Тогда пара
метры нормированных элементов принимают следующие значения:

к = 1, ор = 1, 1 = 1, с = 1.

Выполнение расчетов с такими числовыми значениями удобней,
чем с ненормированными величинами.

Существует вторая, более важная причина, по которой приме
няют нормирование. Она проявляется в синтезе цепей. Допустим,
что в результате сложных процедур получена некоторая цепь с
нормированными значениями элементов. Истинные значения элемен
тов определяются из формул (16.8) —(16.10) следующим образом:

Ь = СЯн/сон;	(16.11)

С = С/сонЯн;	(16.12)

К = ККН.	(16.13)

Изменяя сон и можно без выполнения сложных процедур по
лучить схемы устройств, работающих в различных диапазонах ча
стот и при различных нагрузках. Введение нормирования позволи
ло создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит слож
ную проблему синтеза фильтра к элементарным действиям.

16.4.	Чувствительность характеристик электрических цепей

Предположим, что каким-то образом синтезирован четырехполюсник. Его
характеристики (частотные, или временные) выражаются через его элементы.
Например, на рис. 16.2 показана простейшая схема фильтра. Его операторная
передаточная функция имеет вид

Н(р) = ^(ЬСр2 +КСр + 1).	(16.14)

Квадрат модуля передаточной функции

Iя ()®)|2 = 1/((1ЛСсо2 )2 + ( ^Ссо)2) 
Рис. 16.2

;сон

Р1Т-------/соо

I

р21--------усоо

Рис. 16.3

Как видно, характеристики цепи зависят от параметров ее элементов. В
процессе производства и эксплуатации радиоэлектронных устройств значения
параметров элементов неизбежно отличаются от расчетных значений, что при-
водит к изменению их характеристик. Изменения характеристик должны быть
такими, при которых работа устройства не нарушается. Поэтому, чем меньше
изменения характеристик при одном и том же отклонении величин параметров
элементов, тем лучше это устройство. Для оценки влияния изменений харак-
теристик устройств к изменению параметров элементов вводится понятие чув-
ствительности. Пусть х/ 1-й элемент (параметр) цепи, а Р(хг) — характеристи-
ка, зависящая от этого элемента. Чувствительностью некоторой характери-
стики Р(хг) к изменению некоторого параметра х/ называется предел отноше-
ния относительного изменения функции к относительному изменению пара-
метра:

5,Р(х.) = Ит АР(хг.)/Р(хг.) _ ЭР(хг.) хг-

Ллг->0 АХг-/х,	ЭХ, Р’(Хг)

Например, чувствительность АЧХ цепи | Н(/со) | к изменению какого-либо
параметра цепи х/ имеет вид

5 = д\Н\/\Н\ = д\Н\

Лг дхДх{ дх{ \Н\

Кроме чувствительности временных и частотных характеристик в теории
цепей рассматриваются также чувствительность полюса и добротности полюса
к изменению (параметров) элементов. Для операторной передаточной функции
(16.14) полюсы определяются выражением

к , . П к2
Р{'2~ 21~~Д1С 41?

- -а0 ±/со0.

Здесь предполагается, что полюсы являются комплексно-сопряженными
числами. На рис. 16.3 показано положение этих полюсов на комплексной
плоскости.

Добротностью полюса называют отношение его модуля (расстояние от
полюса до начала координат) к удвоенной вещественной части:

•\/аб + юо _ дМ/С
2о^	" К

Интересно, что добротность полюса совпадает с добротностью контура на
резонансной частоте (см. (4.25)). В предельных случаях, когда полюс нахо-
дится на мнимой оси, то (2 = оо, а когда на вещественной оси — (^ = 0,5.

Чувствительность к-то полюса определяется как
$Рк _ дРк
^Хг

где рк — полюс передаточной функции цепи. Эта чувствительность показывает
приращение полюса при изменении параметров элементов цепи. В данном
случае 5 — это не функция, а комплексное число.

Чувствительность добротности полюса вычисляется по формуле
_ ас>/с> _ ас>
'' дх^х{ сХ;

Исследование чувствительности при синтезе цепей помогает создать цепь,
характеристики которой наименее подвержены воздействию различных деста-
билизирующих факторов (например, температуры, влажности, старения эле-
ментов и др.).

16.5.	Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей

Аппроксимация функций является одним из разделов мате
матики и широко используется в различных областях знаний. В
§ 10.2 мы сталкивались с аппроксимацией ВАХ нелинейных эле
ментов. И в данном случае подход к решению задачи остается
прежним. Прежде всего это касается критериев близости функций.
Напомним, что наиболее распространенными являются два Крите
рия. Во первых, это среднеквадратический критерий, когда мини
мизируется интеграл от квадрата модуля разности функций. Дру
гим критерием является минимаксный критерий, когда минимизи
руется максимум модуля разности двух функций. Если достигается
такой минимум, то говорят, что аппроксимация выполнена по Че
бышеву или оптимально равномерно. Однако в решении задачи
аппроксимации при синтезе цепей имеются и отличия. Во первых,
существуют ограничения на вид аппроксимирующих функций и,
во вторых, должны контролироваться УФР.

Действительно, если выполняется аппроксимация квадрата мо
дуля передаточной функции, то в качестве аппроксимирующей не
обходимо выбрать дробно рациональную функцию, которая пред
ставляет собой отношение двух четных полиномов с веществен
ными коэффициентами. При этом степень полинома числителя не
должна превышать степени полинома знаменателя и свободный
член полинома знаменателя не может равняться нулю. Таким вы
бором аппроксимирующей функции удовлетворяются первые два
УФР квадрата модуля передаточной функции. Третье условие
должно контролироваться в процессе решения аппроксимационной
задачи.

Когда рассматриваются временные характеристики, то выбор
аппроксимирующей функции осуществляется в соответствии с вы
ражениями (16.7).
Методы аппроксимации. Обозначим заданную функцию ^(х).
Как уже говорилось, это может быть: АЧХ |Н(/со)| или ее квадрат
|Н(/со)|2; ФЧХ ср(со) или ее тангенс О = ср(со); характеристика
группового времени прохождения (ГВП) Ар(<») = с/ср(со)/с/со; им
пульсная характеристика /г(0; переходная характеристика ^(0 и
т. д.

В качестве аппроксимирующей функции выбирают соответст
вующую частотную или временную функцию цепи Н(х). Например,
если задан квадрат АЧХ, т. е. ^(х) = |Н(/со)|2, то функция цепи,
аппроксимирующая заданную, ищется в общем случае в виде

2	4	2

, сою +сх(п	+с2(п	+... + сп_х(п +сп

“ ” <Цо2м +	+ </2<и2т-4 + ... +	+ </м ’

где подлежат определению значения коэффициентов со, ..., сп,
($о, .(1т.

Для заданной переходной функции ^(х) = ^(0 аппроксимирую
щая функция может описываться выражением Р(^) = АкеРк^
к=\

где в результате аппроксимации определяются значения коэффици
ентов Ак и корней характеристического уравнения рк = о-к ± ]®к и
т. д.

Из рассмотренных примеров видно, что аппроксимирующая
функция Р(х) зависит от некоторых параметров цепи (в первом
случае от со, ..., сп, (1о,	(1т, во втором — от Ак и рк и др.). Обо

значим параметры цепи в общем виде буквами оц, аг, ..., осдд т. е.
Мх) = Р(х, ац аг, ..., осдг). Решением задачи аппроксимации счи
тается нахождение наилучших значений коэффициентов оц, ос2, ...,
осдд при которых функция Р(х) будет наиболее «близка» к функ
ции ^(х).

Различные аппроксимации (приближения одной функции к дру
гой) отличаются, прежде всего, понятиями «близости» двух функ
ций. Наиболее широкое распространение в радиотехнике и связи
получили такие методы аппроксимации, как интерполяция, при
ближение по Тейлору, приближение по Чебышеву, среднеквадра
тическое приближение.

При приближении функции Р(х) и ^(х) методом интерполяции
наилучшей «близостью» этих функций считается совпадение их
значений в выбранных точках — узлах интерполяции — хц Х2, ...,
хдг, т. е.

Р(х^ оц, а2,..., осдг) = ^(х^), г = 1, 2,..., Ы.

Решение этой системы уравнений позволяет найти искомые зна
чения коэффициентов оц, ос2, ..., осдг.

Решение задачи аппроксимации данным методом (см. § 10.2)
имеет следующие недостатки:
1.	Отсутствует процедура выбора точек интерполяции и перво
начального порядка функции и поэтому время, необходимое для
отыскания оптимального решения, зависит от квалификации и ин
туиции разработчика.

2.	В процессе решения не контролируются УФР.

Несмотря на отмеченные недостатки, метод интерполяции при
меняется довольно широко на практике, например, при синтезе ам
плитудных корректоров.

Данный метод аппроксимации применяется довольно часто вви
ду его простоты, однако он не гарантирует получения физически
реализуемой функции Н(х).

Приближение функций по Тейлору предполагает, что наилуч
шая «близость» Р(х) и ^(х) достигается при совпадении в выбран
ной точке хо значений самих функций и их (.У— 1) производных.
Таким образом,

Р(х0, аъ а2,..., адг) = ^(х0),

Р'(х0, СЦ, а2,..., адг) = ^'(х0),

Н(л^_1)(х0, аъ а2,..., адф = ^(л^-1)(х0).

В основе этой системы уравнений лежит разложение функций
Р(х) и %(х) в ряды Тейлора и приравнивание первых IV коэффици
ентов соответствующих рядов. Приближение по Тейлору нашло
применение, в частности, при синтезе электрических фильтров. По
имени автора, впервые предложившего такой вид аппроксимации в
теории фильтров, она называется аппроксимацией по Баттерворту
(см. § 7.2).

Наилучшее приближение функции Р(х) к ^(х) при аппрокси
мации по Чебышеву определяется из условия

Л = шах|Г(х)-^(х)|	, шш

X	{ ОЦ , 0-2 ,..СХдг }

Этот критерий «близости» функций следует понимать так: ко
эффициенты ац а2, ..., адг функции Н(х) должны быть выбраны
такими, чтобы самое наибольшее отклонение Н(х) от ^(х) в любой
точке х рассматриваемого диапазона сделать минимально возмож
ным.

Задача чебышевских приближений решена аналитически для
электрических фильтров (см. § 17.2).

При использовании Чебышевского критерия близости полезной
является теорема Чебышева, которая формулируется следующим
образом.

Теорема Чебышева. Если рациональная функция Р(х, ац а2, ...,
а .у) с п коэффициентами аппроксимирует вещественную функ-
цию на данном интервале по Чебышеву, то все максимумы от-
клонения равны между собой, а также равны величинам откло-
нений на границах интервала и достигаются не менее, чем в
М + 1 точках, причем знаки отклонений чередуются.

Эта теорема отвечает на вопрос: данная аппроксимация выпол
иена оптимально или нет.

При среднеквадратическом приближении наилучшая «бли
зость» двух функций достигается при выполнении условия

м	?

л = Ё1-ММ-ЦМ1 м т‘п ,>

1=1	{а1,а2,...,алг}

т.е. при таких значениях коэффициентов ац аг, ..., адг, при кото
рых сумма квадратов отклонений Р(х) от ^(х) в точках х\, хг, ...,
хм (М > АО является минимально возможной.

Минимизация достигается путем составления и решения систе
мы алгебраических уравнений:

ЗА/За^ = 0; (к =

Отметим, что заданная и аппроксимирующие функции могут
быть не только вещественными, но и комплексными, что позволяет
одновременно аппроксимировать как АЧХ, так и ФЧХ.

При решении задач среднеквадратических приближений разра
ботано большое количество численных методов, предназначенных
для использования их на ЭВМ.

Заметим, что не существует четких рекомендаций по примене
нию того или иного метода аппроксимации. Зачастую выбор метода
зависит от сложности решения задачи аппроксимации (аналитиче
ского или численного), от конкретного применения синтезирован
ной цепи и т. и.

16.6. Задача реализации в синтезе электрических цепей.
Синтез реактивных двухполюсников

Идея любого метода синтеза двухполюсников заключается в
том, что находится способ разложения заданной операторной
функции на более простые функции, по которым уже легко вое
становить схему. Например, пусть входное сопротивление выража
ется формулой

2(р) =

+ а0

^1Р

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
Из этой записи очевидно, что соответствующая схема состоит из
последовательного соединения резистора а\!Ъ\ в емкости Ъ\! а§.

Напомним общие свойства реактивных двухполюсников (см.
§ 4.5). Эти свойства вытекают из того факта, что ЕС двухполюс
ники не могут рассеивать энергию, поэтому при р = /со веществен
ная часть функции сопротивления и проводимости равна нулю

Ке[7(/со)] = 0; Ке[У(/со)] = 0.

Таким образом, сопротивление (проводимость) двухполюсника
является мнимой функцией частоты, а нули и полюсы соответ
ствующей операторной функции лежат на мнимой оси, чередуются
и являются простыми, а вычеты в полюсах — положительными.
Так как коэффициенты операторной входной функции являются
вещественными, то нули и полюсы составляют комплексно сопря
женные пары. Учитывая сказанное, операторное сопротивление ре
активного двухполюсника можно записать в виде

= /йЦ )(р + /Ю1 )(р - /со3 )(р + /<о3 )...(/? - /«2/2-1 )(Р + /«2/2-1 )
Р^Р - /«2 )(Р + /«2 )(? - /®4 )(Р + /®4 )•••(? - /®2п-2 )(Р + /«2/2-2 ) '

Объединяя попарно комплексно сопряженные нули и полюсы
получаем (см. табл. 4.1):

2(р) =

(16.15)

Напомним, что чередование нулей и полюсов отображается не
равенством

Ю1 <ю2 <со3 <•••< 0) 2п-2 < со 2п-1*

(16.16)

Если заданная функция /(/?) обладает свойствами входного со
противления реактивных двухполюсников, то говорят, что она
удовлетворяет условиям физической реализуемости. Это означа
ет, что существуют схемы двухполюсников с реальными значения
ми элементов, входное сопротивление которых описывается задан
ной функцией 2(/Д.

В результате синтеза часто получают двухполюсники в виде ка
ионических схем Фостера или Кауэра (подобные схемы сущест
вуют и для КЬС двухполюсников).

Для иллюстрации идеи синтеза ограничимся рассмотрением
только реактивных двухполюсников.

Метод Фостера. Рассмотрим метод синтеза ЕС двухполюс
ников, предложенный Фостером. Согласно этому методу функцию
сопротивления либо функцию проводимости, как любую дробно
рациональную функцию, можно представить в виде суммы дробей
(вспомним, например, теорему разложения).
Рис. 16.4

Для двухполюсников, построенных по первой форме Фостера,
наиболее общей является схема, изображенная на рис. 16.4. Ос
тальные схемы могут быть получены из нее путем «удаления» со
ответствующих элементов Ра и Са.

Можно составить выражение для входного сопротивления 2(р),
отражающее структуру рис. 16.4:

г(р) = РЦ+~^
рс.

Р_____

(16.17)

Первые два слагаемые соответствуют последовательному соеди
нению элементов Ра и Са, остальные — последовательному соедине
нию параллельных контуров с элементами 1.2 и С2, /.4 и С4 и т. и.
Существуют формулы для расчета элементов этой схемы. При
ведем их без доказательства:

Ц =	-^- = Нт2(р)-р; -!-= Нт +	(16.18)

Р Са	С 2к р-^Зк	р

Процедура синтеза двухполюсников по первой форме Фостера
сводится, таким образом, к представлению заданной рациональной
дроби 2(/?) в виде (16.17) и расчету элементов по формулам
(16.18). Заметим, что первое слагаемое будет существовать в вы
ражении (16.17) тогда, когда заданная дробь 2(/?) неправильная,
т. е. степень числителя будет на единицу превышать степень зна
менателя. Число элементов двухполюсника соответствует наи
высшей из степеней числителя и знаменателя заданной дроби 2Г(/?).
При четных степенях знаменателя из (16.17) исчезает второе ела
гаемое 1/(/?Са).

Пример. Дано выражение
,	106-р3 +1,5-1014р

~ р4 + 2 • 108р2 + 0,51 • 1016

Осуществим синтез двухполюсника по первой форме Фостера. Можно по-
казать, что заданная функция 2(р) является физически реализуемой. Пред-
ставим 7(р) в виде (16.17):
Рис. 16.5

Рис. 16.6

(/9-+с^г)С1	(/г+со|)С3

(16.17 а)

Расчет элементов произведем по формулам (16.18): С1 = 1,165 мкФ; С3 =
= 7,0 мкФ; 11 = 1/(со22С1) = 28,6 мГн; А3 = 1/(со42С3) = 0,84 мГн.

Схема двухполюсника состоит из четырех элементов (наивысшая степень
дроби — 4): последовательно соединенных двух параллельных колебательных
контуров с элементами С1 и А3, С3. Отсутствие в схеме катушки индук-
тивности Аа обусловлено тем фактом, что дробь И(р) правильная. Вследствие
четности степени знаменателя в схеме отсутствует конденсатор Са.

Аналогичным образом осуществляется синтез двухполюсников
по второй форме Фостера. В этом случае наиболее общей является
схема на рис. 16.5. Входная проводимость У(р) такого двухпо
люсника представляется суммой слагаемых, описывающих прово
димости последовательных контуров и элементов Аб и Сб. При
синтезе двухполюсников заданная проводимость У(р) раскладыва
ется на сумму указанных слагаемых.

Метод Кауэра. В теории электрических фильтров (см. гл. 17)
находит применение синтез реактивных двухполюсников по схемам
Кауэра. Наиболее общими являются схемы на рис. 16.6. Из них
получаются остальные разновидности двухполюсников. Выражения
входных сопротивлений для этих схем можно записать в виде так
называемых лестничных дробей. Так, в первой схеме Кауэра (ле-
вая схема на рис. 16.7, а) катушка индуктивности соединена
последовательно с остальной частью схемы, поэтому 2Г(/?) = рЬ\ +
+ У-Ар)- Оставшаяся справа от катушки часть схемы представляет
собой параллельное соединение конденсатора и части схемы правее
точек а —Ь. Поэтому У2(р) = 1//2(р) = рС2 + Уз(р)- Рассуждая
подобным образом, можно прийти в итоге к следующей записи:

У(р) = рЦ +-------------—:----------.	(16.18)

рС2 +------------;----

рЬ> +----------—

/?С4 +1/...

Дробь вида (8.19) называется лестничной. Синтез двухполюс
ников по первой схеме Кауэра состоит в разложении заданной
функции 2(/?) в лестничную дробь (16.18). Коэффициенты при р
являются значениями элементов схемы.
В виде лестничной дроби можно представить и входное со
противление второй схемы Кауэра (правая схема на рис. 16.7, б).
В этой дроби первый и остальные элементы будут следующего вн
да: 1/( рСг), 1/( рЬ1\ 1/( /2С3) и т. д.

Пример. Осуществим синтез двухполюсника по выражению И(р) из пре-
дыдущего примера в виде первой схемы Кауэра. Заданная дробь имеет чет-
вертый порядок (наивысшая из степеней числителя и знаменателя равна 4).
Разложение ее в цепную дробь осуществляется последовательным делением
полинома знаменателя на полином числителя , последнего — на остаток от
первого деления, остатка от первого деления — на остаток от второго деления
и т.д.:

1)	р4 + 2 • 108 *р2 + 0,51 • 1016	106р3 +1,5-1014р
	р4 +1,5  108р2	10 6р
	0,5 • 108р2 + 0,51 • 1016	
2)	106р3 +1,5-1014р	0,5 • 108р2 + 0,51 • 1018
	106р3 + 1,02 - 1014р	2-10 2р
	0,48-1014р	
3)	0,5 • 108р2 + 0,51 • 1016	0,48-1014р
	0,5-108/?2	1,04 -10 6р
	0,51 -1016	

4) 0,48-1014р	0,51-1016
—	0,94-10 2р
0,48-1014р	
0	

В результате находится цепная дробь:

2 (Р) =-------------------------<------------------

10 6р +------------------------------------

2 • 10 2р +-------.--------------—

1,04-10 (’р + 1/0,94-10 2р

В случае неправильной дроби начинают с деления полинома числителя на полином

знаменателя, в результате чего выделяется первый член разложения
Рис. 16.8

Этой дроби соответствует реактивный двухполюс-
ник, схема которого приведена на рис. 16.8; она со-
держит четыре элемента СД = 1,0 мкФ; 1.2 = 20 мГн;
Сз = 1,04 мкф; 14 =9,4 мГн.

Пример. Найти лестничную схему, рассчитать зна-
чения параметров элементов, если ее нормированное

сопротивление равно

7(р) -

4/95 + 9/93 + 4/?
4/94 + 5р2 +1

Так как степень полинома числителя больше степени знаменателя, то воз-
можно выполнить деление данных полиномов:

4/95 + Эр3 + 4/9 4/94 + 5р2 +1

4/95 + 5р3 + р р

^р3 + Зр

В результате такого деления получаем формулу

Р 4р‘+5р7-+1'

Дальнейшее деление невозможно, так как степень полинома остатка мень-
ше степени полинома знаменателя. Для продолжения деления преобразуем по-
следнее выражение:

= Р + Л 4 I 9 , •
4/9 + 5р~ +1

4/93 + Зр

(16.19)

Числитель полученной в остатке дроби имеет степень числителя больше
степени знаменателя и деление возможно:

4/94 + 5р2 + 1

4/94 + Зр2

2р2 +1

4/93 + Зр
Р

С учетом данного шага формула (16.19) принимает вид

7 (р) = р +----------.

’ к 2р2+\
р+ ,-------------

4/93 + Зр

Преобразуем полученное выражение так, чтобы имелась возможность
дальнейшего деления:

7(р) =р +------Ц----

р + —б----

4/9 + 3/9
2/92 +1

Продолжая данную процедуру, в конечном итоге получаем следующее вы-
ражение:
С1 = 5	С3 = 3

1,1 = 1	1,3 = 2	1,5=1

Рис. 16.9

Рис. 16.10

г(р) = Р +--------1----•

Р +------1—

2Р +----р

р + —
Р

Первое слагаемое представляет собой сопротивление индуктивности с =
= 1, второе — проводимость емкости с С2 = 1, третье — сопротивление индук-
тивности с Из = 2, четвертое — сопротивление емкости с Сд = 2 и пятое — со-
противление индуктивности с /,5 = 1. Подстановка данных элементов в схему
рис. 16.6 дает окончательный результат синтеза двухполюсника (рис. 16.9).

Пример. По функции нормированного сопротивления

7(р) -

45р4 + 27р2 + 1

60р3 + 5р

синтезировать схему двухполюсника в виде лестничной структуры. Будем
осуществлять деление относительно р-1, т. е. на каждом шаге исключать сла-
гаемое минимальной степени. Процесс деления покажем в компактном виде:

45р4 + 27р2 + 1 60р3 + 5р

12/Г+1 г

60р3+5р 45р4 + 15р2 5р 1

15р3+5р 1

——------ о- ~ 2

45р	Зр

Соответствующая данному разложению схема показана на рис. 16.10.

Таким образом, согласно методу Кауэра можно синтезировать
два вида лестничных схем:

1)	с индуктивностями в продольных и с емкостями в попереч
ных ветвях (первая схема Кауэра);

2)	с емкостями в продольных и с индуктивностями в попереч
ных ветвях (вторая схема Кауэра).

Представляют определенный интерес двухполюсники, состоя
гцие из элементов К и С, а также из элементов К и С. Подход к
синтезу таких двухполюсников остается такой же, как и в случае
431
Рис. 16.11

реактивных двухполюсников.
Конечно, имеются свои особен
ности, но вид канонических схем
остается прежним. Так КЬ двух

полюсники получаются из реак
тивных канонических схем пу

тем замены емкостей на резисторы, а К С двухполюсники — путем
замены индуктивностей на резисторы. Одна из возможных кано
нических схем К С двухполюсников показана на рис. 16.11.

16.7. Задача реализации в синтезе электрических цепей.
Синтез четырехполюсников

Полученная в результате аппроксимации функция цепи Р(х)
подлежит в дальнейшем реализации в виде конкретной схемы. Су
ществует большое число методов реализации цепи по функции
квадрата АЧХ |Н(/со)|2, ФЧХ ср(со) или характеристике ГВП
Ср(<л), по переходной ^(0 и импульсной /ДО характеристикам.
Даже краткое упоминание обо всех методах привело бы к чрезмер
ному увеличению объема книги. В § 17.4 приведены примеры реа
лизации электрических фильтров по функции квадрата АЧХ в ви
де пассивных лестничных АС схем и активных К С схем.

Существуют общие методы синтеза операторных передаточных
функций. Остановимся лишь на методах, имеющих в настоящее
время практическое значение:

1)	синтез скрещенных (мостовых) схем с постоянным входным
сопротивлением;

2)	синтез симметричных Т перекрытых схем с постоянным ха
рактеристическим сопротивлением;

3)	синтез реактивных лестничных четырехполюсников, натру
женных резистивным сопротивлением;

4)	синтез АТ?С цепей.

Нахождение операторной передаточной функции по квадрату
модуля комплексной передаточной функции. Предположим, что в
результате решения задачи аппроксимации найден квадрат модуля
комплексной передаточной функции (квадрат АЧХ). Далее необхо
димо знать операторную передаточную функцию. Определение
квадрата модуля комплексной передаточной функции по соответст
вующей операторной функции осуществляется при помощи замены
переменной р на /со, и решается однозначно, т. е. операторной не
редаточной функции соответствует только один квадрат модуля
комплексной передаточной функции.

Обратная задача решается несколько сложнее и неоднозначно.
Вначале сформулируем теорему о квадрате модуля передаточной
функции.
Теорема. Квадрат модуля комплексной передаточной функции
не изменится, если изменить знак у всех или у некоторой части
нулей и полюсов соответствующей операторной передаточной
функции, а также если у комплексных нулей и полюсов знак из-
меняется одновременно у каждой комплексно сопряженной пары.

Докажем утверждение, что если в формуле для квадрата модуля
выполнить обратную подстановку со = —]р, то полученная функ
ция обладает следующими свойствами:

1)	функция |Я(/?)|2 содержит в 2 раза больше нулей и полюсов,
чем функция Н(рУ,

2)	если функция Я(р) имеет нуль, равный /дщ то |Я(/?)|2, кроме
имеет нуль — /ди- Это означает, что при наличии нуля Н(р) в
левой полуплоскости, в |Я(/?)|2 появляется дополнительный нуль в
правой полуплоскости и наоборот. Сказанное полностью относится
к полюсам. Действительно, квадрат модуля передаточной функции
представим в виде

\Н (/со)|2 = |Я(/со)рфН|Я(/со)|е’7фН = Я (/со)Я (-/со). (16.20)

Выполним замену /со = р или со = —]р. Из формулы (16.7) вид
но, что

|я(р)|2 = Я(р)Я(-р).

Пусть функция Н(р) имеет п нулей и т полюсов, тогда ее мож
но представить в виде (7.42):

Н(р) = Н (.Р-РоО(.Р-РоЗ-(Р-РоЛ
(Р-Р3(р-Р3---(Р-Рт)

т. е. Я( —р) содержит все нули и полюсы, что и Н(р), но с проти
воположными знаками. Это и требовалось доказать.

Проведенный анализ позволяет сформулировать порядок опре
деления операторной передаточной функции по квадрату ее мо
Дуля:	_	2

1.	В выражении для |Я(/со)|2 выполняем замену со = —]р.

2.	Находим все нули и полюсы функции |Я(/?)|2, половина из
которых принадлежит функции Н(р). Полюсы, лежащие в левой
полуплоскости относим к Н(р). Они составляют как раз половину
всех полюсов. Остальные полюсы относятся к Н(—р). Такое рас
пределение полюсов вызвано необходимостью получения устойчи
вых цепей (см. гл. 14). Таким образом, выбор полюсов передаточ
ной функции осуществляется однозначно.

3.	Распределение нулей функции |Я(/?)|2 между Н(р} и Н(—р}
не может быть выполнено однозначно. Согласно теореме о квадра
те модуля передаточной функции здесь имеется определенная сво
бода в выборе числителя передаточной функции. Если на ФЧХ
никаких ограничений не накладывается, то обычно и нули выби
рают в левой полуплоскости.

4.	Постоянный множитель функции Н(р) равен квадратному
корню из постоянного множителя функции |Н(/>)|2 .

Пример. Определить операторную передаточную функцию, если квадрат
ее модуля имеет вид

|г,/ . ч|2	25	со4 + 25со2 +144

1 к 71	4	СО4+61СО2+900

1.	Записываем |//(р)|2 путем замены со = — ]р в выражении для |//(/со) |2

Ч|2	25	»4-25»2+144

=Т' +-61++900'

2.	Находим нули и полюсы |//(р)|2:

Р01 = 3, р02 = -3, Роз = 4, Роа = -4 -нули,
р5 =5, Ро = -5, р1 =6, р8 = -6 -полюсы.

Функция Н(р)\ будет иметь полюсы р§ и р$, так как они находятся в ле-
вой полуплоскости.

3.	Что касается нулей, то возможны следующие сочетания:

Рос и Роз> Рос и Р04, Р02 и Роз, Р02 и Роа-

4.	Постоянный множитель Н = 5/2.

Запишем передаточную функцию для второго возможного сочетания нулей
н( а 5 (р-Ро1)(р~Роа) = 5 (р-3)(р + 4)

2 (р-р6)(р-р8)	2 (р + 5)(р + 6)’

Рассмотрим перечисленные выше методы синтеза передаточных
функций.

Синтез скрещенных (мостовых) схем с постоянным входным
сопротивлением. Этот метод является общим, т. е. любую опера
торную функцию, удовлетворяющую У ФР, можно с точностью до
постоянного множителя реализовать мостовой схемой с постоян
ным входным сопротивлением. Метод имеет важное теоретическое
значение, так как доказывает достаточность УФР. В практическом
плане этот метод применяется при синтезе фазовых корректоров и
линий задержки. Мостовая схема четырехполюсника, нагруженная
с обеих сторон на сопротивление Ко показана на рис. 16.12. Если
двухполюсники Ха и являются обратными, т. е. = Ко , то
передаточная функция имеет вид

Н(р) =	= Ц =	7+ +	(16.21 а)

Пусть задана передаточная функция Н(р\ удовлетворяющая
УФР. Тогда для ее реализации мостовой схемой необходимо сии
тезировать двухполюсники с входными функциями:
434
Рис. 16.12

2"(р) = /г°тт5(й И 2ь(р) =	(1621б’в)

Синтез таких двухполюсников возможен, если доказать, что
функции (16.21 б, в) являются ПВФ (на самом деле достаточно
доказать, что ПВФ является Ха, тогда функция сопротивления об
ратного двухполюсника также является ПВФ). Чтобы это дока
зать, вспомним, что ПВФ — это дробно рациональная функция,
вещественная часть которой неотрицательная в правой полуплоско
сти. То что 2а является дробно рациональной, вытекает из того,
что Н(р) — дробно рациональная функция. Для определения уело
вий, при которых Не[2ГД(/?)]> О, представим операторную переда
точную функцию в виде суммы вещественной и мнимой частей:

Н (а + ]<х>) = х (а, со) + ]у (а, со).

Тогда

7д(а + ;со) = Яо

1 - х - ]у _ 1 + х2 - г/2 - ]2у

1 + х +	(1 + х)2 + у2

Вещественная часть 2а будет неотрицательной, если х2 + у2 =
= |Я(/э)|2 < 1. Данное неравенство и является условием того, что
— ПВФ, а значит и условием физической реализуемости опе
раторных передаточных функций в виде мостовой схемы с посто
янным входным сопротивлением. Так как Н(р) удовлетворяет
УФР, то она аналитическая (отсутствуют полюсы) в правой полу
плоскости комплексной переменной р, а значит и ограничена по
модулю |Я(/?)| < М. Выбрав постоянный множитель Н = 1/М,
получим функцию, реализуемую с точностью до постоянного мио
жителя в виде мостовой схемы. Таким образом, реализация переда
точной функции сводится к синтезу двухполюсников Ха и 2ъ- От
метим, что на практике заданную передаточную функцию реали
зуют не в виде одной сложной мостовой схемы, а в виде каскад
ного соединения более простых мостовых схем. Для этого задан
ную функцию представляют в виде произведения более простых
функций:

Я(р) = Я1(р)Я2(р)...Ян(р).
Рис. 16.13

Каждая функция реализуется в виде мостовой схемы. Если со
противление выбрано для всех схем одинаковым, то получается
каскадное соединение согласованных четырехполюсников, и пере
данная функция каскадного соединения как раз и является произ
ведением передаточных функций четырехполюсников, составляю
гцих это каскадное соединение.

Синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным ха-
рактеристическим сопротивлением. Для симметричного Т перекры
того четырехполюсника, показанного на рис. 16.13, а, характери
стические сопротивления

при взаимно обратных двухполюсниках 2.12.2 = 7?2 равны К, т. е.
четырехполюсник включен согласованно. Следовательно, его соб
ственная постоянная передачи непосредственно связана с рабочей
передаточной функцией е~-с = Нр или

Гс = 1п(4и +л/412А21 ) = 1п(1 +	= 1п

Нр(7®)

Яр(;<о) = 1/(1 + 41/Я) или Нр(р) = 1/(1 + 21(р)/С?).

Из последнего равенства и условия 2.1(/2)2.2(/?) = 7?2 находим

2,(р) = я

1-Яр(р).
яР(р) ’

22(р) = Л

#р(?)
1-Яр(р)'

Двухполюсники 21(р) и 22(7?) в плечах схемы рис. 16.13, а мо
гут быть реализованы известными способами.

Примеров результате аппроксимации получена функция |Нр(/со)|2 =
= (со- + 101О)/(со- + 9-101 °). Осуществим ее реализацию в виде симметричного
Т-перекрытого четырехполюсника (см. рис. 16.13, а) при нагрузке на сопро-
тивление К = 1 кОм.

Заменим оператор /со на р\
1л, (Л

10'°-р2

9 • 1О10 -р2

(105 -р)(105 + р}

(3  105 -р)(3-105 +/?)’

Очевидно, что Яр(р) = (р + 105)/(р + ЗЮ5). Сопротивление 2\(р) в схеме
на рис. 16.13, а определяется по формуле:



1-яр(р)
ЯрЫ

2 • 108

р +105

Разложение в цепную дробь:

21 рС + 1/К1	5  10 9р + 1/2  103

приводит к схеме параллельного КС-контура с элементами С = 5 нФ и К\ =
= 2 кОм.

Двухполюсник ^2(р) является обратным, т. е. последовательным КС-кон-
туром с элементами К = 5 мГн и К2 = 0,5 кОм.

Схема реализованного четырехполюсника приведена на рис. 16.13, б.

Синтез реактивных лестничных четырехполюсников, нагру-
женных резистивными сопротивлениями (рис. 16.14) основан на
том очевидном факте, что активная мощность, отдаваемая генерато
ром Д2 Ке[2вх(/со)], равна мощности, потребляемой нагрузкой
цЦк2, т. е.

Л2Ке[2вх(/<о)] = 022/Л2.

Ток Ц выразим через задающее напряжение генератора Со

Л = ^о/|гвх + /г, I

и подставим в предыдущее равенство. После алгебраических пре
образований, получим:

4С22^ = 4Я1 Ке[2вх(/со)]
|Я1+2вх(/со)|2

(16.22)

Левая часть данного уравнения представляет собой квадрат мо
дуля рабочей передаточной функции (12.44), а числитель правой
части можно представить следующим образом:
Ке[Хвх ] = |7?) + 2ВХ |2 - |Л, - 2ВХ |2.	(16.23)

Убедиться в справедливости уравнения (16.23) можно путем эле
ментарных преобразований его правой части. С учетом сказанного
уравнения (16,23) преобразуется к виду:

2

= 1-|Н(ло)|2.

(16.24)

Из последней формулы можно найти операторное входное сопро
тивление 2вх(р). Реализуя 2вх(р) в виде лестничной структуры,
получаем цепь с заданной передаточной функцией Н(р). При этом,
конечно, нужно следить, чтобы реализовывались нули передаточ
ной функции.

Обозначая

су(/со) =

^1 — ВХ ( 7^*)

^1 +^вх(/ю)’

(16.25)

где су — коэффициент отражения мощности на входе четырехпо
люсника, получим из (16.24) связь между квадратом частотной ха
рактеристики коэффициента отражения и квадратом АЧХ четы
рехполюсника:

|а(/®)|2 =1-|Н(/а)|2.	(16.26)

Практические аспекты применения данного метода будут рас
смотрены при синтезе фильтров.

Синтез АИС-цепей. Активные НС цепи возникли как альтерна
тива НАС цепям. Дело в том, что катушки индуктивности, а значит
и в целом НАС цепи плохо поддаются микроминиатюризации и об
ладают значительной массой и габаритами. Активные НС цепи в
принципе допускают микроминиатюризацию, что является их яв
ным достоинством. Существенным же недостатком АНС цепей яв
ляется их относительно низкая стабильность, относительно вы
сокий уровень собственных шумов и нелинейных искажений. По
этому АНС цепи применяются в основном в области низких частот
приблизительно до 100 кГц. На более высоких частотах приме
няются АНС цепи невысоких порядков. Ниже кратко описаны ме
тоды синтеза АНС цепей, которые нашли применение на практике.

Имитация в КЬС-цепях индуктивностей их электронными
эквивалентами. Существуют активные многополюсники, называе
мые обобщенными преобразователями сопротивлений, которые, бу
дучи нагруженными на емкости или резисторы, реализуют на сво
их входных зажимах некоторую цепь, состоящую из индуктивно
стей. В простейшем случае индуктивность можно реализовать на
груженным на емкость гиратором (см. § 3.11). Данный метод син
теза АК С цепи сводится к синтезу пассивной КЬС-цепи с после
дующей заменой всех индуктивностей их электронными эквивален
тами.

Синтез АКС-цепей по моделям. Этот метод заключается в том,
что рассматривается АКС схема, состоящая из одного или несколь
ких активных элементов и некоторого К С многополюсника. Мето
дами анализа электрических цепей находится операторная переда
точная функция, выраженная через параметры КС многополюс
ника и активного элемента. Сравнивая заданную передаточную
функцию с полученной, определяют параметры синтезируемой схе
мы {метод выравнивания коэффициентов}. Чаще всего в качестве
активного элемента выбирают ОУ с бесконечным коэффициентом
усиления и задаются структурой многополюсника.

Анализ цепей с ОУ рассмотрен ранее (п. 14.1) и основывается
на замене ОУ зависимым источником. Согласно этому методу
сформулируем алгоритм нахождения операторных передаточных
функций цепей с ОУ. Он состоит из следующих шагов:

1.	Ко входу цепи подключить какой либо источник.

2.	Заменить все ОУ их схемами замещения (зависимыми источ
никами) с конечным коэффициентом усиления Ну.

3.	Любым методом анализа цепей определить изображение по
Лапласу входных (Яфр) или 1фр)) и выходных (Ц^Ср) или 1з(р))
напряжений и токов.

4.	Взять отношение найденных изображений и в этом отноше
нии сделать предельный переход при Ну оо.

Пр	имер. Зададимся моделью, показанной на рис. 16.15. При коэффициен-
те усиления ОУ, стремящемся к бесконечности, операторная передаточная
функция примет вид (см. § 3.11 и гл. 14):

н (р) =	=-----------------------

У3(У|+У3+У2+У4) + У2У4

Пусть У, = О,, Уг = 62, У4 = С4, У5 = рС-. У3 = рС3, тогда

Н(р) = —----------;-----------------	(16.27)

У ’ рЪ3С,+рС3(С2+С>+С{) + С2С,

Таким образом, данной схемой можно реализовать передаточную функцию
вида

Я (р) = яДр2 + ар + р).	(16.28)

Из сравнения выражений (16.27) и (16.28) следует, что

Н = С2О,/С3С3, « = (О, + С4 + О, )/С3 , ₽ = О2С4/С4С3 .

Полученная система из трех уравнений содержит шесть неизвестных. Она
имеет множество решений. Наложим дополнительные ограничения на неиз-
вестные. Пусть (31 = С?2 = С3 = (З4 = С, тогда система уравнений преобразует-
ся к виду
Н = С2/С3С3, а = ЗС/С-, ^ = С/САС5.

Отсюда следует, что С5 = 3(3/а, С3 = а/Зр, Н = р. Задавшись конкретным
значением С, найдем Сз и С5.

Если проводимостям исходной схемы приписать другие значения, то мож-
но реализовать множество различных функций.

Каскадная реализация заключается в представлении заданной
передаточной функции в виде произведения множителей обычно
второго, а иногда первого порядков. Такие функции в силу их про
стоты несложно реализовать в виде активной схемы, которую на
зывают звеном. Затем полученные четырехполюсники включают
каскадно, причем так, чтобы взаимное влияние звеньев было пре
небрежимо мало. Это достигается двумя способами: либо вклю
чением между звеньями специальных буферных (развязывающих)
активных четырехполюсников (например, повторителей напряже
ний), или таким выбором звеньев, при котором отношение выход
ного и входного сопротивлений звеньев в месте соединения стре
милось либо к нулю, либо к бесконечности. Другими словами, дан
ные сопротивления должны резко отличаться друг от друга. На
пример, если выходное сопротивление предыдущего звена стре
мится к нулю, то входное сопротивление последующего звена
должно стремиться к бесконечности и наоборот.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Из каких этапов состоит синтез электрических цепей?

2.	Сформулируйте условия физической реализуемости передаточ
ных функций, АЧХ и ФЧХ, временных функций и входных
функций электрических цепей.

3.	В чем состоит отличие методов аппроксимации по различным
критериям близости: интерполяции, по Тейлору, по Чебышеву и
среднеквадратической аппроксимации?

4.	Аппроксимировать методом интерполяции зависимость ^(х) =
= е°'5;’ на интервале 0,5 < х < 2 полиномом второй степени
ч(х)-ад

Ч(х)-ВД

^(х)-Пх)



б)

а)

в)

ч(х)-ад

&(х)-ад

Рис. 16.16





Е(х) = х2 + ар' + а.2. Оценить точность аппроксимации для раз
личных узлов интерполяции.

5.	Какой из вариантов аппроксимации (рис. 16.16, а е) заданной
на интервале (х\, х^) функции ^(х) полиномом пятой степени
Р(х) соответствует наилучшему приближению по критерию Че
бышева?

Ответ: д).

6.	Какие из перечисленных функций удовлетворяют условиям фи
зической реализуемости операторных передаточных функций и
почему:

	2)^—!	,	з)^—!—
р + 0,5р + 1	р + Зр + 1	р - р + 1
4)^2^.	.5)-—^	,	6)
р + р + 1	р + ]3р + 1	р2 + р + 1
7)Р/ЗР + 1.		
р2 + р -1		

Ответ: 1), 2), 6) и 7).

7.	По заданным квадратам модуля передаточных функций цепей
найти их операторные передаточные функции:

IV “Г	\ тс	V/у	“Г	“Г

со4 + 25со2 + 144 ’ со4 + 20со2 + 64

Ответ: 1) Р2 + 3Р + 2,	2) р' + 4Р + 3.

/?2+7/? + 12	р2+6р + 8
8.	Найти схему и величины элементов мостового четырехполюсни
ка постоянного характеристического сопротивления, реализую
гцего передаточную функцию (при К = 1)

9.	В результате синтеза цепи получены нормированные значения
элементов = 0,25, К2 = 0,75,	= 1, Ь2 = 0,5, С{ = 2, С2 =

= 0,5. Определить истинные параметры элементов, если сопро
тивление нормирования = Ю3 Ом, а частота нормирования
сон = Ю6 с-1.

Ответ:	= 250 Ом, К2 = 750 Ом, Ь\ = 1 мГн,

Ь2 = 0,5 мГн, С1 = 2-10“9 Ф, С2 = 0,5 Ю-9 Ф.

10.	Операторная передаточная функция цепи имеет вид:

1012

Н(р) =	------д-у------я-----ту.

р3 + 2 - 104р1 2 + 2  108р + 1012

Выполнить нормирование данной функции, если частота нор
мирования сон = 104 с-1.

1
Ответ: Н(р} = —--------------.

р3 + 2р2 + 2р + 1

11.	Что такое положительно вещественные функции (ПВФ)?

12.	Какие из приведенных дробно рациональных функций являют
ся ПФВ:

1)	2)	3) 4^4-.

р +р+\	р+\	р +р+\

Ответ: 2) и 3).

13. Какими свойствами обладают входные функции реактивных
двухполюсников?

14. Опишите процедуры синтеза реактивных двухполюсников по
методам Фостера и Кауэра.
ГЛАВА 17. ФИЛЬТРУЮЩИЕ ЦЕПИ И ИХ СИНТЕЗ

17.1.	Классификация фильтров

Электрический фильтр — это устройство, которое практически
не ослабляет спектральные составляющие сигнала в заданной поло
се частот и значительно ослабляет (подавляет) все спектральные
составляющие вне этой полосы.

Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой
пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, пазы
вается полосой непропускания (задерживания). Между этими по
лосами находится переходная область.

По расположению полосы пропускания на шкале частот разли
чают следующие фильтры:

нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания распола
гается на шкале частот от со = 0 до некоторой граничной частоты
со = соп, а полоса непропускания (задерживания) — от частоты
со = со3 до бесконечно больших частот (рис. 17.1, я);

верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты
со = соп до бесконечно больших частот и полосой непропускания от
частоты со = 0 до со = со3 (рис. 17.1, б);

полосовые (ПФ), в которых полоса пропускания соп1... соп2 рас
полагается между полосами непропускания О...соз1 и соз2...оо
(рис. 17.1, в);

заграждающие (режекторные) (ЗФ или РФ), в которых между
полосами пропускания О...соп1 и соп2...оо находится полоса непро
пускания соз1...соз2 (рис. 17.1, г);

многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

На рис. 17.1, а —г показаны также условные обозначения
фильтров каждого типа в соответствии с ГОСТ.

В соответствии с используемой элементной базой к настоящему
моменту выделились несколько классов фильтров. Исторически
первыми (и все еще широко применяемыми) являются пассивные
фильтры, содержащие элементы Г и С. Они носят название АС
фильтров.

Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая из
бирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и не
пропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению
фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнитост
рикционных, электромеханических.

По видимому, самые значительные достижения в области тео
рии и проектирования фильтров связаны с успехами микроэлек
тропики. Требования микроминиатюризации радиоэлектронной

аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивно
стей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на

низких частотах, и не поддаются исполнению в микроминиатюр
ном виде. Появились активные К С фильтры, состоящие из рези
сторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзи
сторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде микромо
дульной конструкции или интегральной схемы. Применение ак
тивных К С фильтров ограничивается пока сравнительно неболь
шим диапазоном частот до десятков (иногда сотен) килогерц.

Разработка цифровых систем связи и достижения в области
цифровых вычислительных машин стимулировали создание
фильтров на базе элементов цифровой и вычислительной тех
ники — цифровых фильтров. В силу специфики элементной ба
зы цифровых фильтров не будем далее упоминать о них, хотя
расчет таких фильтров производится методами теории электри
ческих цепей. Заинтересованные читатели могут обратиться к
специальной литературе по цифровым фильтрам.

В идеальном случае (идеальный фильтр) характеристика рабо
чего ослабления, например для ФНЧ, имеет вид, показанный на
рис. 17.2, а. С рабочим ослаблением связана рабочая амплитуд



|ад®)|

ф	б)

Рис. 17.2

но частотная характеристика
(АЧХ): |НР(/со) = гМ“). На
рис. 17.2, б изображена АЧХ
идеального фильтра нижних
частот.

Реальные фильтры (т. е.
фильтры, состоящие из реаль
ных элементов) имеют харак
Рис. 17.3

теристики рабочего ослабления и амплитудно частотную, отличные

от идеальных.

Требования к электрическим характеристикам фильтров задают

ся в виде допустимых пределов изменения этих характеристик.
Так, рабочее ослабление в полосе пропускания не должно превы
шать некоторого максимального допустимого значения Ар тах, а в
полосе непропускания не должно быть ниже некоторого минималь
но допустимого значения Аргтп. Нетрудно изобразить эти требова
ния графически, как это сделано на рис. 17.3, а для ФНЧ. На

этом рисунке соп и со3 — граничные частоты полос пропускания и

непропускания.

Зная требования к Ар, можно пересчитать их в требования к
АЧХ или, как это принято в теории фильтров, в требования к
квадрату АЧХ (рис. 17.3, б):

|#р(/®)|

2

-7 4

О

-7 4

О

О < со < соп,
со > со3.

Характеристики проектируемых фильтров должны «уклады
ваться» в эти требования (рис. 17.3, а и б).

Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослабле
ния (а значит, и к АЧХ) могут задаваться также требования к фа
зочастотной характеристике фильтра (скажем, допустимые откло
нения от линейного закона) и величине нелинейных искажений
(обусловленных, например, наличием железа в катушках индук
тивности). Могут предъявляться требования и к другим характери
стикам и параметрам фильтра. Ниже будем учитывать только тре
бования к рабочему ослаблению и АЧХ.

Идеальные частотные характеристики фильтра (см. рис. 17.2, а)
заведомо нереализуемы. Частотные характеристики реальных
фильтров могут лишь приближаться к ним с той или иной степе
пью точности в зависимости от сложности схемы фильтра.
17.2.	Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот

Функция фильтрации. В общем виде электрические фильтры
описываются передаточной функцией вида:

Н	апРП +(1п-\РП~Х	+	+	/17 п

П]АР) 1 т 1	т-1	1	1 '	Ч1/.17

+ Ът_]р + ... + фр + Ь0

Квадрат амплитудно частотной характеристики таких фильтров

К (И2

2/?	2/2—2	2

с0со +	+ ... + сп х® + сп

а0а2т + а^2"’-2

т-1®> + Фп

(17.2)

и, следовательно, рабочее ослабление

Ар =101§

Л б/00)2п/ + с^со2”7 2 + ... +	+ (1т

2/2	2/2-2	2

с0со +	+ ... + си_[Со + сп

(17.3)

могут при надлежащем выборе степени полинома (порядка фильт
ра) и коэффициентов с//? удовлетворить заданным требования (см.
рис. 17.3).

В теории фильтров принято иметь дело не с обычной угло
вой частотой со, а с нормированной частотой О. = со/сон , где
сон — нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей
частоты выбирают граничную частоту полосы пропускания соп,
так что С2П = соп/сон = соп/соп = 1.

В теории электрических фильтров вместо формул (17.2) и
(17.3) используют другие, также универсальные для любого типа
фильтра:

К (И2

(17.4)

Ар (О) = 101§[1 + е2у2(^)] •	(17.5)

Функция \|/2(О) называется функцией фильтрации, а е — коэф
фициентом неравномерности ослабления. В общем случае \|/(О) — это
дробно рациональная функция с вещественными коэффициентами (в
частности полином), удовлетворяющая условиям: —1 < |у(О)| < 1 в
полосе пропускания и | у (О) » 1 в полосе непропускания фильтра.

В зависимости от вида функции фильтрации получают различ
ные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации исполь
зуют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди
полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильт-
ры Баттерворта и Чебышева. Если у (О) — дробно рациональная
функция, например, дробь Золотарева, то получают фильтр Зо-
лотарева. Все эти три типа фильтров будут рассмотрены в этой
главе.
Следует отметить, что имеет смысл подробно изучать только
фильтры нижних частот, т. к. другие типы фильтров (верхних час
тот, полосовые и заграждающие) могут быть легко получены из
ФНЧ с помощью замены переменной (частоты). Для этого во всех
выражениях, содержащих переменную О, нужно произвести заме
ну переменной таким образом, чтобы характеристики ФНЧ Ар(О)
и |Нр(Д1)|2 преобразовались в характеристики соответствующего
фильтра. Подобная замена переменной О называется преобразова-
нием частоты, а исходный ФНЧ — фильтром НЧ-прототипа.

Преобразование частоты позволяет установить соответствие меж
ду частотами полос пропускания и непропускания НЧ прототипа и
частотами фильтров верхних частот, полосового или заграждающего,
а также преобразовать схему ФНЧ в схемы ФВЧ, ПФ или ЗФ. Бо
лее подробно вопросы, связанные с преобразованием частоты, будут
рассматриваться в § 17.5.

Фильтры Баттерворта. Если в выражениях, описывающих
квадрат АЧХ фильтра (17.4) и его рабочее ослабление (17.5), в ка
честве функции фильтрации используются полиномы Баттервор-
та \|/(О) = В/»(О) = О."1 (по имени автора, предложившего ис
пользовать их для «конструирования» частотных характеристик
фильтра), то такие фильтры называются фильтрами Баттер-
ворта.

Из формул (17.4) и (17.5) следует, что для фильтров Баттер
ворта на частоте О = 0 значение квадрата АЧХ равно единице, а
рабочего ослабления — нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ
фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно
большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно
большого значения. Таким образом, выражения (17.4) и (17.5)
приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к
фильтру требования (см. рис. 17.3), необходимо иметь рабочее ос
лабление (17.5) в полосе пропускания меньшее Ар тах, а в полосе
непропускания большее Артгп. Первому условию можно удовле
творить, если потребовать на граничной частоте полосы пропуска
ния (О = 1) выполнения равенства Ар(О)о = 1 = Ар тах или
|Нр(/О)|о=1 = е~2Артах. Отсюда с учетом (17.5) или (17.4) имеем
1 + е2 = е2Лр“вх и е2 = е2Лр“вх — 1. Вычисленный таким способом
коэффициент е:

е = у1е2Артах -1	(17.6)

называется коэффициентом неравномерности ослабления в поло
се пропускания фильтра.

В формуле (17.6) величина Артах имеет размерность непер. Ес
ли воспользоваться значениями Ар тах в децибелах, то
Рис. 17.4

0 тах

С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттер
ворта запишется в виде

|Лр(/Я)|2 =1/(1 + е2Я2т).	(17.8)

Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных че
тырехполюсников, и поэтому ей можно сопоставить физически
осуществимый электрический фильтр.

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:

Ар - 11п(1 + 82О2'") [Нп]; Ар - 101§(1 + 82О2'") [дБ].	(17.9)

Крутизна частотных характеристик (17.8) и (17.9) зависит от
степени т (порядка фильтра). Чем больше степень т, тем выше
крутизна характеристик. На рис. 17.4, а, и б показаны графики
рабочего ослабления и квадрата АЧХ фильтра Баттерворта для
различных т. Таким образом, для удовлетворения требований в
полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий
порядок фильтра т. Его легко определить из условия: на гра
ничной частоте полосы непропускания: Л3 Ар(П3) > Артт или
| Нр (/О) | о=о3 < е2Лр/"г" с учетом этого условия получим 1 +
+ 82Л2и/ > е2АртЬ1, откуда Л2и/ > \1&1{е2А?,тп -1). Логарифмируя
обе части неравенства, придем к выражению

2т 1п СЕ > 1п-----------------

/.

Из него находим окончательно

2Ар/н/?г _

21п П3.

(17.10)
Величина Артгп входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в
децибелах, то:

(17.11)

Передаточную функцию фильтра Баттерворта можно получить
из (17.8), если положить /О = р\

|Яр(р)|2 = Яр(р)Яр(-р) =------Ц—.	(17.12)

1 + е \~р )

и разложить знаменатель полученной функции на произведение
сомножителей.

Вычислим корни знаменателя, т. е. полюсы функции
Нр(р)хН?(—/?), отдельно для четных и нечетных значений т. Для
четных значений т:

1 - г2р2т =0 и рк = —2и(ДТ, к = 1, 2, ..., 2т.
'	т Г

Так как:

-1 = е]{-2к 1)я = соз(2^ - 1)л + /зт(2& - 1)л,

имеем:

Для нечетных значений тл

Рк =

17 к . . к }

--- СОЗ — И + ] ЗШ — 71

\ т т )

к = 1,2, ...,2т.

Выражение (17.12) примет вид:

Яр(р)Яр(-р) =

____________1____________

е2 (р - Р1)(Р - Рг)-(Р -РъА

Половина полюсов функции Нр(р)Нр(— р) лежит в левой полу
плоскости комплексной переменной р и может быть отнесена к не
редаточной функции реализуемого фильтра Нр(р). Другая поло
вина полюсов, являясь зеркальным отражением первой, располага
ется в правой полуплоскости и относится к Нр (—/?).

Построенная из полюсов, лежащих в левой полуплоскости, пе
редаточная функция фильтра Баттерворта является полиномиаль
ной передаточной функцией типа (17.1):
ЯР(/7) = Я

1

рт + Ът_хрт~х + ... + Ь1р + Ь0 ’

где Я = 1/е.

Пример. Найти выражения для частотной характеристики и передаточной
функции фильтра нижних частот Баттерворта, удовлетворяющего следующим
требованиям: Ар тах = 3 дБ; Артт = 12,2 дБ; /п = 159 кГц; Д = 318 кГц.

Определим нормированную частоту О3 = /3//п = 2 и по формуле (17.7)
коэффициент неравномерности ослабления 82 = 1О0’1 3 — 1 = 1. Порядок
фильтра найдем согласно (17.11):

т > 1§(1О0,1’12’2 - 1)/(21§2) = 2 .

Выберем т = 2. Тогда в соответствии с (17.8) и (17.9):

|яр(уя)|2=т-^г; лр=Ю18(1 + а4).

Найдем передаточную функцию фильтра Нр(р). Значения полюсов функ-
ции Яр(р)|2 = Нр(р)Нр(—р) = 1/(1 + р4) вычислим из формулы (17.13):
= 0,707 + /0,707; р2 = - 0,707 + /0,707; р3 = - 0,707 - /0,707; р± = 0,707 -
— /0,707. Расположение полюсов в комплексной плоскости показано на
рис. 17.5, а.

По теореме Виета из полюсов в левой полуплоскости р2 и р3 формируем
передаточную функцию:

Нр(р)=

_______1______

в(р-р2)(р-Рз)

1

р2 + 1,41р + 1

Используя введенное ранее обозначение Вт(П) = полинома
Баттерворта, можно представить частотные характеристики (17.8)
и (17.9) фильтра Баттерворта в следующей форме:

|нр(Щ)|2 = 1/[1 + е2в2(я)];

Лр(Я) = |1п[1 + Е2В2(Я)] [Нп], 
Ар (Я) = 101§[1 + Е2В2 (Я)] [дБ].

(17.14)

Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максималь
но плоским ослаблением в полосе пропускания (см. рис. 17.4, а).

Полиномиальные фильтры Чебышева. Если в качестве функ
ции фильтрации в (17.4) и (17.5) использовать полином Чебышева,
обозначаемый \р(О) = 7/»(О), то формулы (17.14) примут вид:

|/7р(/Я)|2 = 1/[1 + г2^(Я)];

Лр(Я) = |1п[1 + 827’„2(Я)] [Нп]; •
Лр(Я) = 101§[1 + Е2Г2(Я)] [дБ],

(17.15)
где Тт(С1) — полином Чебышева степени (порядка) т; е — коэффи
циент неравномерности, определяемый (17.6) или (17.7).

Фильтры с частотными характеристиками (17.15) называются
фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристи
ки фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства по
линомов ТТО(Л). Ниже приведены шесть первых полиномов Чебы
шева:

То (О) = 1;	Т3(Л) = 4Л3-30;

ГДЛ) = Л;	Г4(Л) = 8Л4-8Л2+1;	(17.16 а)

Г2(Л) = 2Л2-1; Г5 (Л) = 16Л5 - 20Л3 + 5Л.

Любой полином Чебышева при т > 2 может быть вычислен по
рекуррентной формуле ТТО(О) = 2ОГт_1(О) — Гт_2(О). Таким об
разом, выражения (17.15) удовлетворяют общим выражениям
(17.1) — (17.3) характеристик полиномиальных фильтров.

Существует единая тригонометрическая форма записи полино
мов Чебышева в интервале —1 < О < 1:

Тт (О) = соз т агссоз О.

(17.16 б)

Действительно, Го(Л) = соз 0 агссоз Л = 1; ТДл) = соз 1 агссоз Л =
= О; Гг(О) = соз2 агссоз Л = 2соз2агссозЛ — 1 = 2О2 — 1. Вне ин
тервала —1 < О < 1 полиномы Гт(О) также представляются в три
гонометрической форме:

Тт (О) = ей т Агсй О.

(17.16 в)

Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интер
вале —1 < Л < 1 угол 0 = агссозЛ изменяется от —л (при Л = — 1)
до 0 (при Л = 1), поэтому полином Гт(Л) = создав ровно да раз
принимает значения, равные нулю, и да + 1 раз достигает значе
ний, равных +1 или —1 и чередующихся друг с другом. Вне интер
вала —1 < Л < 1 полином Гт(Л) согласно формуле (17.16 в) моно
Рис. 17.6

тонко возрастает. В качестве
примера на рис. 17.6, а изображен
график полинома Чебышева
Г4(П), т. е. полинома четвертого
порядка.

В соответствии с (17.15)
рабочее ослабление АР(О) фильтра
Чебышева на тех частотах О, где
полином ТТО(О) обращается в нуль,
также обращается в нуль. На
частотах, на которых ТТО(О) равен
±1, рабочее ослабление достигает
величины:

Ар = 101§(1 + е2) =

= 101§(1 + 1Оо’1лР'"“ -1) = Л.)т„.

С ростом значений полинома
ТТО(О) на частотах О > 1 рабочее
ослабление АР(О) также монотон
но растет. На рис. 17.6, б приве
ден график рабочего ослабления

фильтра Чебышева четвертого порядка.

Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволно
вой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

На рис. 17.7 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ
фильтра Чебышева для различных значений т, полученные для
|Нр(Д1)|2 из (17.15). Подобные зависимости могут быть построены
для рабочего ослабления фильтра.

Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе

непропускания, необходимо выбрать порядок фильтра т из условия
|Яр(/О)|о=о3 <	для полосы непропускания Тт(О) опре

деляется формулой (17.16 в), следовательно, 1 + е2 ей2 т х Агсй О3 >
> е~2Лр/от". Отсюда сйтАгсйО3 > ^(е2Артт -1)Д2. Далее тАгсйО3>

>	2/1-1)/е2 и т > Агсй е ~2А р тт _ 1 )/е 2 /агсй О 3 •

В этой формуле величина Артт измеряется в неперах. При ис
пользовании единицы децибел порядок фильтра вычисляется из

выражения:

1дО,1Лр/н/??

т > Агсй

с2

Агсй О3.

(17.17 а)

Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и
Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются по
линомами наилучшего прибли
женил. Это означает, что при
одинаковом значении т из
всех полиномиальных фильт
ров, ослабления которых в по
лосе пропускания не превыша
ют Ар тах, наибольшие зна
чения ослабления в полосе
непропускания имеет фильтр
Чебышева. В частности, рабо
чее ослабление фильтра Чебы

шева в полосе непропускания может превышать (и весьма значи
тельно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных зна
чениях т и Артах. Однако характеристика рабочего ослабления
фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный ха

рактер и легче поддается корректированию для устранения иска
жений передаваемых сигналов.

Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкрет
ными условиями их применения в аппаратуре связи и радиотехни
ческих устройствах.

Для получения передаточной функции фильтра Чебышева по
ступим аналогично тому, как делали это для фильтров Баттервор
та. Заменим оператор /О на оператор р и перейдем от функции
|Яр(/О)|2 к функции:

|йр (р)| 2 = Нр (Р)Нр (-Р) = Ч1 + &2тт (Р//)] 

Представим полином Тт(С1) в виде (17.16 б) и найдем полюсы
функции |Нр(/?)|2, решив уравнение:

е2 со§2 тагссоз(/?//) +1 = 0.	(17.17 6)

Поскольку согласно (17.16 а) коэффициент при старшем члене
полинома Чебышева Тт(А1) равен 2/н-1, то коэффициент при стар
шем члене полинома в левой части приведенного выше уравнения
„	2 о 2(ш — 1)

равен е 2

Корни уравнения (17.17 б), как можно доказать, определяются
аналитически следующим выражением:

- 1	- 1

= 8Й у 81П---71 + ] СЙ у СО8---71, к = 1,2,..., 2т, (17.18)

2т	2т

где у = (\/т) Агзй (1/е).

Из корней в левой полуплоскости составляются сомножители (р —
— рд, и по теореме Виета строится передаточная функция фильтра:

Яп (р) = Н----------------------------,
где Н = 1/(е-2т’1).

Пример. Построить передаточную функцию фильтра Чебышева второго
порядка (т = 2), рабочее ослабление в полосе пропускания (от 0 до 159 кГц)
которого не превышает величину Ар тах = 3 дБ. Граничная частота полосы
непропускания 318 кГц.

Коэффициент неравномерности в такого фильтра согласно (17.7) равен 1.
Рабочее ослабление на частоте О3 =318/159 = 2 составляет ЛР(О)П = 2 =
= 101§(1 + сЬ22АгсЬ2) = 17 дБ, что почти на 5 дБ превышает рабочее ослаб-
ление на этой же частоте фильтра Баттерворта второго порядка (см. преды-
дущий пример).

Расчет полюсов функции Нр(р)Нр(— р) по формулам (17.18) дает величи-
ны:	= 0,322 + /0,777; р2 = 0,322 - /0,777; р3 = -0,322 - /0,777; /?4 =

= —0,322 + /0,777. Расположение полюсов в комплексной плоскости показано
на рис. 17.5, б.

Передаточная функция фильтра:

\Н („)| =_______1________=_______2221______.

1 р 1 8л/2 (р - р4 )(р - р3) /С + 0,645/? + 0,707

В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в
справочниках составлены весьма полные таблицы полюсов и ко
эффициентов передаточных функций для различных величин
Ар тах и т. Порядок же фильтров т определяется по специальным
графикам, исходя из заданных величин Ар тах, Артт и С13.

Фильтры со всплесками ослабления (на основе дробей Чебы-
шева и Золотарева). Частотные характеристики полиномиальных
фильтров, описываемые выражениями (17.1) —(17.3), имеют моно
тонный характер в полосе непропускания. В частности, рабочее ос
лабление таких фильтров монотонно возрастает по мере удаления
от полосы пропускания (рис. 17.4, а и 17.6, б).

При «жестких» требованиях к частотным характеристикам (ма
лая переходная область между полосами пропускания и непропус
кания и большая величина рабочего ослабления в полосе нейро
пускания) порядок фильтра т может получиться очень большим
даже в случае применения полинома Чебышева. Это приведет к
существенному усложнению фильтра и к излишнему «расходу»
элементов.

В таких случаях целесообразно применять фильтры со вспле-
сками рабочего ослабления в полосе непропускания (рис. 17.8, а).
На частотах всплеска Ооо1, ^<2 и т. д. рабочее ослабление фильтра
стремится к бесконечности; за счет этого возрастает крутизна ха
рактеристики ослабления в переходной области. Соответственно
АЧХ фильтра на частотах 0^1, Пда2 и т. д. будет обращаться в нуль
(рис. 17.8, б).

Для выполнения указанных условий в выражениях (17.2) —
(17.3) используют рациональные дроби вида:
Рис. 17.8

К (И

(17.19)

Ар (О) = -1п
р 2

(17.20)

Действительно, когда принимает значения Ощ, О «2, , ®хп,
|Нр(/О)|2 = 0 и Ар(П) -> оо.

Передаточная функция таких фильтров является дробно раци
опальной:

/ ч _ (/?2	+ О22)...(/?2 + О2„)

Ътрт + ът_{рт~{ + ... + Ъ{р + Ър

(17.21)

и кроме полюсов р\, р2, рт имеет нули:

Р()1 — —7^оо1> Р§2 ~ —7^оо2’ •••’ Р$п ~ —У^ООН •

Фильтры со всплесками рабочего ослабления называют еще
фильтрами с нулями передачи.

Среди фильтров со всплесками ослабления наиболее широкое
распространение получили фильтры, построенные на основе дробей
Чебышева и Золотарева. Чтобы получить частотные характеристи
ки фильтра на основе дробей Чебышева, нужно в формулах
(17.14) или (17.15) использовать в качестве функции фильтрации
дробь Чебышева. Обозначая ее ФТО(О), получим:

К(>п)|2 = 1/[1 + г2ф^(п)];

Ар (П) = Сп[1 + е2Ф2, (□)] [Нп], 
Лр(П) = 101§[1 + е2Ф2 (Я)] [дБ].

(17.22)
В качестве примера укажем дробь Чебышева пятого порядка,
для которой построены графики Ар(П) и |Яр(/О)|2 на рис. 17.8, а
и б:

Ф5(О) =

ССдП + СС|П + сс 2^1

(я*,-я2)(я22-я2)’

где ао, «1 и а2 - коэффициенты, связанные с частотами всплеска
^со! И

Очевидно, что подстановка этой дроби в (17.22) приведет после
некоторых преобразований к выражениям общего вида (17.19) и
(17.20).

В полосе пропускания дробь Чебышева ведет себя так же, как и
полином Чебышева, т. е. рабочее ослабление фильтра носит равновол
новый характер. На частотах всплеска Ооо1 и Ода2 дробь Чебышева об
ращается в бесконечность, что приводит к бесконечно большому ра
бочему ослаблению.

Следует отметить, что дробь Чебышева является дробью паи
лучшего приближения. Это означает, что фильтр на основе дроби
Чебышева на любой частоте полосы непропускания имеет большее
значение рабочего ослабления по сравнению с фильтрами на основе
других дробей (и полиномов, как частных случаев дробей) при
прочих равных условиях (при одинаковых порядках т, при таком
же количестве и расположении частот всплеска и тех же величинах
Ар тах).

Частным случаем дробей Чебышева являются дроби Золотарева:

Л„!(п) = «1я5п[(пог-п2)/(я2г-я2)] ,	(17.23)

V

где ах = П[(^у -1)/(Оон “О]’ У = ^2,...,(т - 5)/2, значение 5
V

равно 0 для четных т и равно 1 для нечетных т\ т — порядок
дроби; Пон, — нули и полюсы дроби, связанные соотношением
ПдаУ = О3/ПоУ-

Используя в качестве функции фильтрации в (17.14) и (17.15)
дроби Золотарева, получим:

|Нр(/Я)|2=1/[1 + г27?2(Я)];

Ар(Я) = |1п[1 + е2Л2 (Я)] [Нп], •
Ар(Я) = 101§[1 + е2Л2 (Я)] [дБ].

(17.24)

Из формул (17.23) и (17.24) следует, что нули функции Ар(П)
совпадают с нулями дроби Золотарева, а всплески функции
Ар(П) — с полюсами этой же дроби. Нули и полюсы дроби Золо
тарева можно рассчитывать, однако обычно их определяют по ка
талогам для операторных не
редаточных функций ФНЧ.
На рис. 17.9 показан график
Лр(П) для фильтра Золота
рева пятого порядка.

Дроби Золотарева так же,
как и полиномы Чебышева,
дают равноволновую характе
ристику рабочего ослабления
фильтра в полосе пропуска
ния. Однако в полосе нейро
пускания у фильтров Золота
рева значения всех минимумов

рабочего ослабления оказываются

одинаковыми и равными значению рабочего ослабления на частоте
О>. Такие фильтры называются также фильтрами с изоэкстре-
малъными характеристиками рабочего ослабления.

Фильтры с характеристиками Золотарева можно рассматривать
как частный случай фильтров с характеристиками Чебышева, когда
значения минимумов ослабления фильтра в полосе непропускания

выравнены, а число всплесков — максимально возможное при вы
бранном значении т.

17.3.	Реализация фильтров нижних частот

Лестничные полиномиальные ЬС-фильтры. Любые из рас
смотренных выше фильтров, как полиномиальные, так и со
всплесками ослабления могут быть реализованы в виде пассив
ных ЛС цепей.

Пассивные Л С фильтры обычно представляют собой реактив
ный лестничный четырехполюсник, включенный между генерато
ром с активным внутренним сопротивление КТ и нагрузкой с актив
ным сопротивлением (рис. 17.10). Входное сопротивление реак
тивного четырехполюсника, нагруженного на сопротивление
обозначено на рисунке 2ВХ1(^)-

Если фильтр со стороны зажимов 1 — 1' рассматривать как
двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и

нагрузкой то, зная выражение
2Вх1(р), можно реализовать данный
двухполюсник одним из известных
в теории цепей методов синтеза
двухполюсников. Таким образом,
задача реализации фильтра сводит
ся к реализации двухполюсника по
его заданному входному сопротив
лению. Идея данного подхода при

Рис. 17.10
надлежит С. Дарлингтону и метод реализации фильтров называет
ся методом Дарлингтона.

На входе фильтра имеет место несогласованность, которую можно
оценить, введя в рассмотрение коэффициент отражения (16.25)

ст(р)=Дг г.х1(р)  /?г+2вх1(р)  Решая (17.25) относительно /Вх1(/О, получаем:	(17.25)
1 + су(р)	(17.26)

В (17.26) неизвестным является коэффициент отражения о(/?).
В свою очередь, коэффициент отражения <з(/?) связан с передаточ
ной функцией НДр) = иДрДгДр) соотношением (16.26):

а(р)а(-р) = 1-Нр(р)Нр(-р) =

_ о(р)о(-р) -те(р)те(-р)	(17.27)

о(р)о(-р)

Из (17.27) следует, что знаменатель у <з(/?) такой же, как и у
НДрУ. им является полином 1)(р). Остается найти нули правой час
ти выражения (17.7) и половину из них «приписать» полиному чис
лителя о(/?). Последний формируется из нулей по теореме Виета.

Пример. Реализовать фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка
из примера (стр. 450) в виде пассивной 2.С-схемы. Внутреннее сопротивление
генератора 1 кОм.

В примере была получена передаточная функция Баттерворта второго по-
рядка Нр(р) = 1/(р2 + 1,41 р + 1) для нормированных значений частоты О =
= со/сон = со/(2л-159-103) = со/106, где сон = соп = 2л/’п- Реализация нормирован-
ной передаточной функции приведет к схеме с нормированными значениями
реактивных элементов (обозначим их Ц С), которые затем необходимо де-
нормировать для получения реальных значений.

В соответствии с (17.27)

р2 + 1,41/2 + 1 р2 - 1,41/2 + 1

_______________/________________

(р2 + 1, 41/2 + 1) (/22 - 1, 41/2 + 1)

1 к 1,41 мГн

^ВХ1(р)

Рис. 17.11
Нули ЭТОЙ функции Роу 02, 03, 04 = 0- Полином числителя о(р) в соответствии с
теоремой Виета равен (р — рот) • (р — Р02) = р2 • Отсюда о(р) = р2/бр2 + 1,41р +
+ 1).

Согласно (17.26)

^ВХ1(Р) = Ю3

1 - р2/(р2 + 1,41р + 1) _ 1,41 • 103р + 103

1 + р2/(р2 + 1,41р + 1)	2р2+1,41р + 1

Реализацию двухполюсника со входным сопротивлением Ивх1(р) осуществим
разложением в цепную (лестничную) дробь по методу Кауэра. Представим
2вх1(р) = 1/КВх1(р) И проведем разложение проводимости:

1-й этап 2р2+1,41р + 1
2р2 + 1,41р

Г

2-й этап 1,41 • 103р + 103

1,41-103р

103

1,41-103р + 103

1,41 -10’3р

1__________

1,41 -10’3р

3-й этап

1

1

103

10’3

о

Процесс разложения закончен. Входное сопротивление 2вх1(р), представлен-
ное цепной дробью, имеет вид:

^вх1 (Р) —

1______________________

----- 1,41-10’3п +

+ 1/6н

1

1

1,41 - 103р + 1/10"3

Схема двухполюсника, входное сопротивление которого соответствует
данной цепной (лестничной) дроби, приведена на рис. 17.11. Нормированные
значения элементов С = 1,41 10-3, Ь = 1^41 -103. Активная проводимость на-
грузки не нормируется и равна Сн = 10- См, т. е. сопротивление нагрузки
7?н = 1 кОм. Денормировать значения элементов можно следующим образом.
Комплексная проводимость нормированной емкости /ОС = /(ю/юн)С = /ОС,
откуда ненормированное значение емкости С = с/®ъ= 1,41-10-3/106 =
= 1,41 Ю-9 Ф = 1,41 нФ.

Подобным образом комплексное сопротивление нормированной индуктив-
ности /ОС = /(со/сон)С = или С - с/сон = 1,41 -103/106 = 1,41 -10-3 Гн =
= 1,41 мГн.

Аналогично рассмотренному примеру решается задача реализа
ции фильтра любого порядка. Например, полиномиальный ФНЧ
пятого порядка (т = 5) реализуется в виде одной из двух схем,
показанных на рис. 17.12, а и б. Количество реактивных элементов
определяется порядком фильтра т. Отличие фильтра Баттерворта
от фильтра Чебышева будет заключаться в этом случае только в
разных значениях реактивных элементов, получаемых в процессе
реализации соответствующих передаточных функций.
Рис. 17.12

Лестничные фильтры со всплесками ослабления. По подобной
схеме осуществляется и реализация передаточных функций фильт
ров со всплесками ослабления (Чебышева или Золотарева). Разло
жение входного сопротивления таких фильтров в цепную дробь
приведет к схемам, содержащим резонансные контуры, в которых
резонансы происходят на частотах Ооо1, Г2да2,  Наличие этих кон
туров и обеспечивает бесконечно большое затухание на частотах
всплеска.

Так, ФНЧ пятого порядка со всплесками ослабления на часто
тах Ооо1 и Пда2 реализуется в виде одной из схем, приведенных на
рис. 17.13, а и 6. И в первой и во второй схемах контуры рассчи
таны на резонансные частоты Ооо1 и В первой схеме в парал
лельных контурах происходят резонансы токов; сопротивления
контуров принимают бесконечно большие значения. В результате
на частотах резонансов Ооо1 и наблюдается «обрыв» продоль
ных ветвей фильтра и сигнал от генератора в нагрузку не поступи
ет, т. е. фильтр вносит бесконечно большое ослабление. Во второй
схеме в последовательных контурах происходят резонансы напря
жений; сопротивления контуров обращаются в нуль. Таким обра
зом, здесь на частотах Ооо1 и Олд поперечные ветви «закорачивают»
нагрузку и сигнал на выход фильтра не поступает. Таким образом,
имеет место бесконечно большое ослабление.

Реализация лестничных фильтров по каталогам. Из изложен
ного следует, что синтез фильтров представляет собой сложную
процедуру, поэтому разработчики фильтров пытались облегчить ее.
В результате были созданы обширные каталоги фильтров, приме
пение которых значительно облегчает процедуру синтеза ФНЧ.
Табл. 17.1 представляет собой страницу из такого каталога, где

Рис. 17.13
Таблица 17.1

Параметры элементов фильтров Золотарева четвертого порядка

ГЦ	А5, дБ	С1	с2	1-2	^”^оо 2	С3	е4
		при ДА 5 =		0,028 дБ			
3,98	56	0,7020	0,04232	1,241	4,364244	1,282	0,7429
3,39	50	0,6871	0,05952	1,215	3,718173	1,272	0,7440
2,96	45	0,6697	0,08025	1,186	3,241901	1,261	0,7451
2,63	41	0,6497	0,1049	1,152	2,876673	1,248	0,7465
		при ДА 5 =		0,044 дБ			
3,76	56	0,7575	0,044585	1,282	4,124781	1,326	0,8018
3,23	50	0,7422	0,06339	1,256	3,544141	1,316	0,8027
2,84	45	0,7245	0,08436	1,226	3,109875	1,305	0,8037
2,45	40	0,6968	0,1183	1,287	2,677264	1,287	0,8052
		при ДА 5 =		0,099 дБ			
3,39	56	0,8775	0,05363	1,349	3,718173	1,400	0,9292
2,96	51	0,8612	0,07202	1,321	3,241901	0,390	0,9297
2,53	45	0,8357	0,1017	1,278	2,773213	1,373	0,9304
2,22	40	0,8057	0,1382	1,229	2,427221	1,354	0,9311
		при ДА 5 =		0,177 дБ			
3,09	55	0,9807	0,063309	1,382	3,386078	1,443	1,041
2,73	50	0,9630	0,08273	1,353	2,988543	1,432	1,041
2,37	45	0,9356	0,1141	1,308	2,588050	1,414	1,041
2,09	40	0,9040	0,1522	1,257	2,286311	1,394	1,041

7-2

а)	б)

ГЦ	л8, дБ		1-2	с2	^оо2	1-з	

приведены нормированные элементы фильтра Золотарева четверто
го порядка. В этой таблице ГЦ, А$, ЛА5 — нормированная гранич
ная частота полосы задерживания, минимальное ослабление в по
лосе задерживания, максимальное ослабление в полосе пропуска
ния соответственно. Аналогичные каталоги существуют и для
фильтров Баттерворта и Чебышева.

Процедура синтеза ФНЧ с помощью каталогов может выглядеть
следующим образом:

1.	По формуле (17.17 а) определяем порядок фильтра т. Если
число т четное, то в числитель данной формулы добавляем ела
гаемое в соответствии с выражением (17.40) и уточняем порядок
фильтра.
2.	Из каталога фильтров выбираем таблицы, соответствующие
данному порядку.

3.	Из данных таблиц выбираем строку, для которой с мини
мально возможным отклонением выполняются неравенства

П3 П§, А]гтт и Артах ДА5.

Нормированные элементы данной строки и будут нормированными
элементами фильтра, схема которого приведена на рисунке к дан
ной таблице. При этом, обозначения элементов вверху таблицы от
носятся к схеме а, а внизу — к схеме б. Истинные значения эле
ментов получаются путем денормирования.

Активные КС-фильтры. Фильтры, представляющие собой ком
бинацию пассивной КС цепи и активного элемента, называются ак
тивными К С фильтрами. В качестве активного элемента чаще всего
используются операционные усилители с двумя входами: инверти
рующим и неинвертирующим.

Реализация передаточных функций фильтров на активных КС
цепях осуществляется следующим образом. Заданную функцию
Нр(р) порядка т разбивают на произведение передаточных функ
ций не выше второго порядка, т. е. Н?(р) = Нр\(р)Нр2(р) ... Н?к(р).
Каждую передаточную функцию Нрг(р) реализуют в виде АКС
звена первого или второго порядка. Схему АКС фильтра получают
путем каскадного соединения звеньев.

Пример. Пусть задана передаточная функция полиномиального фильтра
Чебышева пятого порядка.

н (	_____________________0,0628___________________

р5 + 0,397р4 + 1,415р3 + 0,543р2 + 0,408р + 0,0628 '

Полюсы этой функции (корни знаменателя): = —0,177; р2,з = —0,143 ±
±/0,597; /?4,5 = —0,0547 +/0,966. Вещественный полюс р\ дает по теореме Ви-
ета сомножитель первого порядка (р — рА = р + 0,177; первая пара комплекс-
но-сопряженных полюсов р2 и рз — сомножитель второго порядка (р — рА 
(р — рз) = р2 + 0,286р + 0,377; вторая пара полюсов р^ и р$ — сомножитель
(р — рАбр — рА = р2 + 0,1 Юр + 0,936. Тогда

ТТ ( а	0,0628

Яр (р) =-----------------------------------------------=

(р + 0,177)(р2 + 0,286р + 0,377 )(р2 + 0,110р + 0,936)
0,177__________0,377_____________0,936

“ р + 0,177 ’ р2 + 0,286р + 0,377 ' р2 + 0,1 Юр + 0,936 ~

= Яр1(р)Яр2(р)яРз(р)-

Таким образом, фильтр Чебышева пятого порядка может быть реализован
двумя звеньями с передаточными функциями второго порядка и одним звеном
с передаточной функцией первого порядка.

В практике проектирования активных К С фильтров использует
ся большое число схем, реализующих передаточные функции пер
462
вого и второго порядка. Один из способов построения таких схем
показан на рис. 17.14, а. Пассивная часть схемы представлена в
виде цепи из элементов К и С. Между зажимами 2 и 3 включен
операционный усилитель, в котором использован инвертирующий
вход. Примером пассивной К С цепи является схема, приведенная
на рис. 17.14, б. Передаточная функция изображенной на
рис. 17.14, б активной К С цепи была получена ранее (см. § 3.11) и
имеет вид:

яр(р)=

П2(р)____________-ЦУз__________

(Д (р) Уз (У) + У2 + Уз + Уд) + У3У4

(17.28)

Для реализации в виде такой цепи полиномиального фильтрово
го звена второго порядка с передаточной функцией

ЯР(/7) = Я

1

б2/?2 + Ъхр + б0

(17.29)

нужно выбрать проводимости У1, Уз и У4 активными:	Сз и

(З4, а проводимости У2 и У5 - емкостными: рСз и рС$. Тогда
(17.28) запишется в следующей форме:

Н. („) =	.	(17.30)

Р С5С2 + рС5(О1+О3+О4) + О3О4

Сопоставление коэффициентов при р в соответствующих степе
нях и свободных членов из (17.30), выраженных через элементы

фильтра, с заданными числовыми
значениями коэффициентов при р
и свободных членов из (17.29)
позволяет определить значения
элементов фильтра.

Пример. Реализовать фильтр ниж-
них частот Баттерворта второго порядка
из примера в виде активной .КС-цепи.

Передаточная функция НЧ фильтра
Баттерворта второго порядка была полу-
чена ранее (см. пример на стр. 450) Нр(р) = 1/(р2 + 1,41р +1). Для сопос-
тавления с ней передаточной функции (17.30) представим последнюю в виде,
когда коэффициент при р2 равен 1:

р(р)~с,с/ 2 , О,+Оз + О4 , О3О4 •

С, с,с5

Приравнивая коэффициенты при р и свободные члены этих передаточных
функций, получаем три уравнения с шестью неизвестными (71, О2,	С74, С1 и

С2: С1С3/С2С5=1; (61 + 6з+С4)/с2=1,41; С3С^С2С3=\.

Следует учесть, что в уравнения входят нормированные значения емкостей
С2 и С5, так как коэффициенты передаточной функции фильтра Баттерворта
получены для нормированной частоты О = со/сон (где сон = соп = 2я/п =
= 2л 159 Ю3 = 106рад/с).

Поскольку искомых величин больше, чем уравнений, зададимся частью из
них. Выберем приемлемые значения проводимостей (71, С7; и С74, например
01=03=04 = 10-3 См, т. е. К\ = Кз = К3 = 1 кОм. Далее из второго
уравнения легко получить С2 = ((71 + Оз + О4 )/1,41 = 2,128 • 10 3, а из перво-
го и третьего уравнений — С5 = ОзОд/Сз = 0,47 -10 3. Денормированные зна-
чения емкостей О2 = С2/а>п =2,13 нФ, С3 = С3 /юн = 0,47 нФ.

Схема фильтра приведена на рис. 17.15.

Реализация фильтров со всплесками ослабления, передаточные
функции которых описываются выражением (17.21), осуществля
ется так же, как и реализация полиномиальных фильтров. Переда
точная функция (17.21) разбивается на произведение простейших
(первого и второго порядков) передаточных функций; последние реа
лизуются в виде фильтровых К С звеньев первого и второго порядков,
соединяемых каскадно в общую схему фильтра.

Для реализации передаточных функций второго порядка с ну
лем передачи Т/рф/э) = (р2 + ао)/(/г + Ъ\р + ао) используются спе
циальные фильтровые АКС звенья.

Более подробно методику синтеза активных К С фильтров со
всплесками ослабления можно изучить, обратившись к специаль
ной литературе.

17.4.	Переход от фильтров нижних частот к другим
типам фильтров

Преобразование шкалы частот ФНЧ. Для синтеза фильтров
верхних частот (полосовых или заграждающих) и, в частности, для
нахождения их передаточных функций, можно было бы заново по
вторить все преобразования, примененные к фильтрам нижних
частот. Однако такой подход нерационален. Обычно для расчета
ФВЧ, ПФ или ЗФ используют преобразование шкалы частот
ФНЧ прототипа.

На рис. 17.16 приведены характеристики ослабления фильтров:
нижних частот («), верхних частот (б) полосового (в) и заграж
464
Рис. 17.16

дающего (г). Для ФНЧ эта характеристика построена как для по
ложительных, так и для отрицательных частот. Шкала частот для
каждого фильтра помечена для удобства буквенными обозначения
ми: «нч», «вч», «пф», «зф».

Из рис. 17.16, а и 6 видно, что характеристика ослабления
ФНЧ в отрицательной области частот повторяет характеристику
ФВЧ. Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ
можно с помощью замены переменной:

сонч = -0)2/со

(17.31)

где соп — граничная частота полосы пропускания ФНЧ и ФВЧ.

График зависимости (17.31) представляет собой нижнюю
ветвь гиперболы. На рис. 17.17 приведены характеристика ос
лабления ФНЧ, график преобразующей функции (17.31) и ха
рактеристика ослабления ФВЧ. Действительно, такое преобра
зование частоты приводит к соответствию: частоты сон.ч = —00
частоте сод д 0, частоты сод д сод частоте сод д сод, частоты
(Од д 0 частоте содд оо.

Чтобы из характеристики ФНЧ получить характеристику ПФ
(рис. 17.16, в), необходима замена переменной:

® н.ч

—	2 /	_ / 2	2 \ /	_

~ ®п.ф — ®0/®п.ф — (®п.ф —	)/®п.ф —

—	СО 0 ( ®п.ф/® О — ® о/®п.ф ) ’

(17.32)
ГДе (Од — ^(ОП1СОП2 — дуСОз|(Оз2 С0п1 И С0п2 — ГраНИЧНЫС ЧИСТОТЫ ПОЛО
сы пропускания ПФ; со31 и со32 — граничные частоты полосы пер
попускания ПФ.

График функции (17.32) описывается более сложной кривой,
чем у ФВЧ. На рис. 17.18 показано как происходит преобразова
ние шкалы частот ФНЧ в шкалу частот ПФ с помощью преобразо
вания частоты (17.32). Данное преобразование приводит к соответ
ствию частоты сон.ч = — оо частоте соп.ф = 0, частоты сон.ч = 0 часто
те о)р ф частоты сон.ч частоте соп.ф

Характеристику (рис. 17.16, г) заграждающего фильтра можно
получить из характеристики ФНЧ, применяя преобразование час
тоты:

2

_	’ ®з.ф

®н.ч —	2	2

со о — со 3 ф

(17.33)
Преобразование схем пассивных ЬС-фильтров. Замена пере
менных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ |Нр(/со)|2
фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к
преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное
сопротивление ФНЧ /сон.ч^н.ч переходит при преобразовании час
тот (17.31) в сопротивление:

т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где Св.ч = 1/соп2Ен.ч
Емкостная проводимость:

7® Н.ч'-' н.ч
переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивно
СТЬЮ ч 1/(0п Сн.ч-

Преобразование частоты (17.32) приводит к замене индуктивно
го сопротивления ФНЧ:

со о	.	1

уС0н.ч-^н.ч — 7®п.ф-^н.ч ”1	-^н.ч — 7юп.ф^п.ф1	А

7®п.ф	7®п.ф^п.ф1

сопротивлением последовательного контура в ПФ с элементами
Еп.ф1 = -Ен.ч И Сп.ф1 = 1/(соо -^н.ч)-

Емкостная проводимость ФНЧ:

2	л

.	.	СО о	.	1

7СО ц.1|С И1| — 7СОпфСнч Н	С н.ч — 7® п.ф^-'п.ф2 ”1  т

7юп.ф	7®п.ф^п.ф2

заменяется в ПФ проводимостью параллельного контура с элемен
тами Сп.ф2 Сн.ч и Еп.ф2 1/(соо Сн.ч)-

Нетрудно убедиться также, что индуктивный элемент ФНЧ
преобразуется в ЗФ в параллельный колебательный контур с резо
нансной частотой соо, а емкость ФНЧ — в последовательный коле
бательный контур с той же резонансной частотой.

Пример. Рассчитать полосовой фильтр с характеристиками Баттерворта,
удовлетворяющий требованиям: Артах = 3 дБ; Арппп = 12,2 дБ; /ф = 1241 кГц;
/п2 = 1400 кГц; /31 = 1168,5 кГц; /з2 = 1486 кГц.

Для решения поставленной задачи нужно сначала построить фильтр НЧ-
прототипа, а затем с помощью преобразования частоты перейти к Пер.

Пересчитаем требования Пер (рис. 17.16, в) в требования к НЧ-прототипу
(см. рис. 17.16, а). Воспользуемся формулой (17.32): /о = З/ТТТС = З/Е/С =
= 1734,4 кГц;	= 159 к1ц; /= /й ~ Ш =

= /Д — /з1 = 318 кГц. В качестве нормирующей частоты выберем /н = /п- То-
гда нормированные частоты О,, = 1 и О3 = /3//п = 2. Итак, требования к НЧ-
прототипу имеют вид: Ар>и«.г = 3 дБ; Арппп = 12,2 дБ; /п = 159 кГц (Оп = 1);
/з = 318 кГц (О3 = 2).

В примере для такого НЧ-фильтра были получены квадрат АЧХ
|НР(/О)|“ = 1/(1 + О4), рабочее ослабление Ар = 101§(1 + О4) и передаточ-
ная функция Нр(р) = 1/(р2 + 1,41р + 1).

В другом примере этот фильтр был реализован в виде схемы, изображен-
ной на рис. 17.11 с элементами Дн.ч = 1,41 мГн и Сн.ч = 1,41 нФ.

При переходе к требуемому полосовому фильтру необходимо индуктив-
ность продольного плеча Дн.ч фильтра НЧ-прототипа заменить последователь-
ным контуром с элементами Ип ф1 = ^-нч = 1,41 мГн и Сп ф1 = 1Д(2л/о Д-ич ) =
= 610“12 Ф = 6,0 пФ.

Вместо емкости Сн.ч в поперечном плече полосового фильтра будет вклю-
чен параллельный контур с элементами Спф2 = Снч = 1,41 нФ и Гпф2 =
= 1/((271/о)2Сн.ч) = 6-10“6 Гн = 6 мкГн.

Схема искомого полосового фильтра приведена на рис. 17.19.

Преобразование передаточных функций активных КС-фильт-
ров. В активных К С фильтрах для того, чтобы перейти от переда
точной функции ФНЧ прототипа к передаточным функциям ФВЧ
и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из
(17.31) получаем для ФВЧ

/сонч = со2п//совч или ;ОНЧ=1/;ОВЧ, (17.34)

ГДе Пн ч СОн.ч/и Пв ч СОВ,ч/®п-

Заменяя в (17.34) оператор /О на оператор р, запишем преобра
зование переменной р в выражении нормированной по частоте пе
редаточной функции ФНЧ прототипа:

Рн.ч=1/Рвл-	(17.35)

Передаточная функция полиномиального звена второго порядка
ФНЧ имеет вид:

я (р„ч) = я—--------2------	(17.36)

Ь2Рн.ч +&1РН.Ч +&0

Замена переменной (17.35) в этом выражении приводит к пере
даточной функции полиномиального звена второго порядка ФВЧ:

Др(Рв.ч) = Я 2 Рр----------(17.37)

^0Рв.ч +^1Рв.ч +^2

Для реализации звена с передаточной функцией (17.37) может
быть использована схема рис. 17.14, б, в которой следует выбрать
проводимости У2 и У5 - активными, т. е. У2 = О2 и У5 = (З5, а
проводимости У1, Уз и У4 — емкостными, т. е. У1 = рС\; Уз = рСз
и У4 = рС^. Подставляя эти значения проводимостей в выражение
(17.28), получаем передаточную функцию

(17.38)

АКС звена ФВЧ второго порядка, схема которого дана на
рис. 17.20. Значения элементов схемы будут найдены, если при
равнять коэффициенты из (17.37) и (17.38) при соответствующих
степенях р.

Для перехода от НЧ прототипа к полосовому фильтру восполь
зуемся (17.32):
] ® н.ч (®0	® п.ф )/./®п.ф ИЛИ уПнч ( О р п.ф )/у ^п.ф X 17.39)

где Он.ч ®н.ч/<лп; Оп.ф ®п.ф/<лп; Оо соо/®п-

Вводя переменную р = /О и учитывая, что р = —От, находим
из (17.39):

Р н.ч ( Р н.ч +	0 )//?п.ф •

(17.40)

Такая замена переменной /?н.ч в (17.36) приводит к передаточ
ной функции полосового фильтра:

-77 р (р п.ф )	7/

2
г п.ф

^Рп.ф + ^зРп.ф + ^Рп.ф + ^1Рп.ф + % ’

(17.41)

где Ъу = Ьз; Ьз' = Ь\; Ъу = 2Ь2О02 + Ьо’, Ьб = Ь\&о2; Ьо' = Ъз&$.

Видим, что при переходе к ПФ порядок передаточной функции
удваивается. Передаточную функцию (17.41) можно разбить на
произведение передаточных функций второго порядка и каждую из
них реализовать отдельной А/?С-схемой.

Запишем передаточную функцию ПФ второго порядка:

Яр(рпф) = Я---------~2--.	(17.42)

^2п.ф/2п.ф + ^1п.ф/2п.ф + ^Оп.ф

Подобную передаточную функцию имеет АТ?С схема, изображен
ная на рис. 17.14, б при У± = Сд, Уз = О2, Уз = Оз и Уз = = рСз,
У4 = рС^. Действительно, из (17.28) находим:

77р (р п.ф )

Р п.ф^-71^з

/^п.фСзСд + Р п.ф^з (С3 + С4) + О5 (С\ + О2)

(17.43)

Элементы схемы фильтра (рис. 17.21) определяются сопостав
лением (17.42) и (17.43).

Порядок синтеза ФВЧ, ПФ и ЗФ. С помощью преобразования
частоты был осуществлен переход от ФНЧ к другим типам фильт
ра. Однако для их синтеза этого недостаточно, так как исходными
при синтезе ФВЧ, ПФ и ЗФ являются требования не к ФНЧ, а к
данным фильтрам. Поэтому вначале требуется выполнять обратный
переход. Сформулируем порядок синтеза ФВЧ, ПФ, ЗФ:

1)	по заданным требованиям к ФВЧ, ПФ и ЗФ необходимо оп
ределить требования к ФНЧ;

2)	решить задачу аппроксимации для ФНЧ (получить квадрат
АЧХ или операторную передаточную функцию);

3)	реализовать квадрат АЧХ в виде лестничного ФНЧ и перей
ти с помощью преобразования частоты к схеме требуемого типа
фильтра (если выбрана пассивная схема фильтра);

4)	используя соответствующее преобразование частоты, перейти
от операторной передаточной функции ФНЧ к операторной пере
даточной функции искомого фильтра и реализовать его в виде
АКС схемы (если выбран активный КСфильтр).

Рассмотрим более подробно первый пункт.

Пусть заданы требования к ФВЧ, т. е. заданы соПв.ч, созв.ч,
Артах и Артт (см. рис. 17.17). Определим требования к ФНЧ. Ес
ли в выражение (17.31) вместо сов.ч подставить соПв.ч, то согласно
рис. 17.17 получим

-	- - 2 /
®зн.ч — ®пв.ч/®зв.ч •

Откуда:

-	• - 2 /
®11И.Ч — ®ив,ч’ н.ч — ^ив.ч/^зв.ч •

Величины Артах и Артт остаются для ФНЧ такими же как и
для ФВЧ. Таким образом получены требования к ФНЧ. По пай
денным требованиям к ФНЧ решаем задачу аппроксимации одним
из методов, изложенных выше.

Пусть заданы требования к ПФ, т. е. известны со31, соп1, соП2,
со32, а также ослабление в полосе пропускания Ар тах и в полосе за
держивания Артт (см. рис. 17.18). Подставим в выражение (17.32)
последовательно граничные частоты полос пропускания и задержи
вания полосового фильтра. Как видно из рис. 17.18, в результате
такой подстановки получим:

®зн.ч — ®з2 — ®о/®з2 ’ н.ч — ®п2 — ®о/®п2 ’
Учитывая, что

2
— ®п1 ’ ®п2 — ®з1 ’ ®з2 ’

получим окончательно:

®зн.ч — ®з2 — ®з1’ ®пн.ч — ®п2 — ®п1-

Требования по ослаблению к ФНЧ прототипу остаются такими
же, как и к ПФ. Следовательно, имеются все исходные данные для
решения задачи аппроксимации ФНЧ.

Аналогично решается задача для ЗФ. Граничные частоты для
ПП и ПЗ фильтров рассчитываются по формулам
®пн.ч ®о/( ®п2	®п1 ) ’

®зн.ч ®0 /(®з2	юз1)-

17.5. Резонаторные фильтры

В многоканальных системах передачи разделение каналов по
частоте осуществляется с помощью полосовых фильтров. Чтобы
сигналы одного канала не попадали в другой, ПФ должны иметь
высокую избирательность. Добротность резонансных контуров та
ких фильтров О > 20 ... 25/о/(/п2 — /п1)- Так, для фильтра с /о =
= 62 кГц и полосой пропускания /П2 — /п1 = 4 кГц С) > 300, в то
же время для фильтра с /о = 106 кГц и /п2 — /п1 = 4 кГц () > 1500.

В радиосвязи используются еще более высокие частоты (десятки
и сотни мегагерц) и для построения избирательных фильтров нуж
ны резонаторы с добротностью в тысячи и десятки тысяч единиц.
Такие значения добротности никогда не обеспечиваются в ЕС резо
наторах (их добротность не превышает сотен единиц), поэтому в
фильтрах применяют высокодобротные механические резонаторы,
пьезоэлектрические, магнитострикционные и электромеханические.

В пьезоэлектрических фильтрах роль резонатора выполняет
пластинка, вырезанная специальным образом из материала, обла
дающего пьезоэлектрическим эффектом (например, из кристалла
кварца). Пьезоэффект кварцевой пластинки заключается в появле
нии на ее поверхностях электрических зарядов при механическом
воздействии на пластинку. Существует и обратный пьезоэффект —
возникновение механических колебаний пьезопластинки при поме
щении ее в переменное электрическое поле.

Если пьезопластинку поместить между металлическими об
кладками и подать на обкладки переменное напряжение, то пла
стинка начнет совершать механические колебания. На поверхно
стях пластинки возникнут электрические заряды и во внешней
цепи потечет ток. При совпадении частоты переменного напряже
ния и частоты собственных колебаний пластинки возникает меха
нический резонанс; амплитуда колебаний достигнет максимума и
ток во внешней цепи будет максимальным. Таким образом, меха
нический резонанс в кварцевой пластине подобен резонансу на
пряжений в последовательном колебательном контуре.

Эквивалентная схема пьезоэлектрического (в частности, кварце
вого) резонатора (рис. 17.22) помимо эквивалентных индуктивно

о

Рис. 17.22

Рис. 17.23
сти Ь и емкости С резонатора содержит емкость кварцедержателя
Ск, т. е. обкладок, между которыми помещена кварцевая пластинка.

Пьезоэлектрические фильтры с кварцевыми резонаторами назы
вают кварцевыми. Добротность кварцевых резонаторов достигает
10 ... 20 тыс. ед. Кварцевые фильтры могут быть построены по
мостовой схеме (рис. 17.23).

Магнитострикционные фильтры строятся на основе резонато
ров из ферромагнитного материала, обладающего магнитострикцион
ным эффектом (например, из сплава никеля с кобальтом). Магнито
стрикционный эффект состоит в том, что стержень из ферромагнети
ка, помещенный в переменное магнитное поле, изменяет свои геомет
рические размеры. Обратный эффект — изменение магнитной прони
цаемости стержня при механическом воздействии на него. Если, на
пример, никель кобальтовый стержень поместить внутрь катушки
индуктивности, создающей переменное магнитное поле, его геомет
рические размеры начнут меняться. При этом будет меняться и его
магнитная проницаемость. В катушке индуктивности наведется ЭДС,
направленная против ЭДС генератора и уменьшающая ток во внеш
ней цепи. При механическом резонансе амплитуда колебаний стерж
ня будет максимальной, а ток во внешней цепи — минимальный. Та
ким образом, механический резонанс магнитострикционного стержня
подобен резонансу токов параллельного колебательного контура.

Эквивалентная схема резонатора приведена на рис. 17.24 и
включает в себя элементы См и См эквивалентного резонатору кон
тура, а также индуктивность Со, учитывающую рассеяние магнит
ного потока при замыкании его через воздух.

Добротность магнитострикционных резонаторов ниже, чем
кварцевых, и составляет 5 ... 10 тыс. ед. Магнитострикционные
фильтры строятся по мостовой схеме (рис. 17.25).

В электромеханических фильтрах резонаторами являются ме
таллические тела (диски, шарики, стержни, пластинки), соединен
ные металлическими связками. На рис. 17.26 изображен трехрезо
наторный стержневой электромеханический фильтр. Возбуждаются

Рис. 17.25

Стержни

Рис. 17.25

Вход Связки Выход

Рис. 17.26
колебания в фильтре с помощью входного магнитострикционного
преобразователя (МСП); снимаются колебания с выхода фильтра с
помощью выходного МСП. Электромеханические фильтры явля
ются также высокодобротными.

Кроме рассмотренных существуют и другие типы фильтров:
фильтры с переключаемыми конденсаторами, кварцевые фильтры
на поверхностных акустических волнах (ПАВ) и др. С некоторыми
из них можно ознакомиться в [2] и специальной литературе.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Что такое электрический фильтр? Какие типы фильтров сущест
вуют?

2.	Характеристика рабочего ослабления фильтра изображена на
рис. 17.3. Определить тип фильтра.

Ответ: ФНЧ Чебышева 5 порядка.

3.	Какой вид имеют функции фильтрации фильтров Баттерворта,
Чебышева, Золотарева?

4.	Привести графики Ар(О) ФНЧ третьего порядка Баттерворта,
Чебышева и Золотарева.

5.	Рассчитать коэффициент неравномерности ослабления в полосе
пропускания и порядок фильтра Баттерворта, удовлетворяю
щего требованиям: Ар тах = 2 дБ; Артт = 25 дБ; /п = 15 кГц;
Д = 26 кГц.

Ответ: е = 0,765; т = 6.

6.	Найти выражение для передаточной функции ФНЧ Баттервор
та, удовлетворяющего требованиям, приведенным в задаче 5.

гл	гг / а	1,3076

Ответ: Яр (р) =------------------------------------.

[(/?2 +0,5413/?+ 1,094)(/?2 +1,479/?+ 1,094) •

(р2 + 2,02/?+ 1,094)]

7.	Рассчитать порядок и найти операторную передаточную функ
цию ФНЧ Чебышева, удовлетворяющего требованиям: Ар тах =
= 1,25 дБ; Арпйп = 30 дБ; /п = 10’ кГц; Д = 2,5-Ю5 кГц.

ГЛ	О 7_Г / \	0,433

Ответ: т = 3; Н.Ар) = —------------------------------.

р р3 + 0,9064/?2 + 1,1608/9 + 0,433

8.	Привести АС схемы фильтров, имеющих характеристики, изо
браженные на рис. 17.4.

9.	Привести ЬС схему фильтра, характеристика которого изобра
жена на рис. 17.3.

10.	Привести ЬС схему фильтра НЧ Золотарева, а также график
зависимости его рабочего ослабления от частоты.
11.	Каков алгоритм расчета фильтров методом Дарлингтона?

12.	Реализовать ФНЧ Баттерворта третьего порядка, имеющего
передаточную функцию Нр (/у) = 1/(р3 + 2/Д + 2/9 + 1), в виде
пассивной ЬС схемы. Внутреннее сопротивление генератора
Д =1.

Ответ: Д = 1, С = 2, Ь3 = 1.

13.	Какие фильтры называются активными К С фильтрами?

14.	Какие передаточные функции имеют К С фильтровые звенья
первого и второго порядков? Как получить передаточную
функцию фильтра более высокого порядка?

15.	Реализовать активный К С фильтр, имеющий передаточную
функцию, приведенную в задаче 12.

16.	Как осуществить переход от ФНЧ к ФВЧ, ПФ, ЗФ?

17.	Доказать, что при переходе от ФНЧ к ЗФ индуктивность
фильтра прототипа преобразуется в параллельный контур в
ЗФ, а емкость — в последовательный контур?

18.	Привести схемы ЬС фильтров, имеющих характеристики, изо
браженные на рис. 17.16, б, в, г.

19.	Рассчитать ФВЧ с максимально плоской характеристикой ос
лабления, удовлетворяющий требованиям: Ар тах =1,5 дБ; Др
тгп = 20 дБ; со 3 = 106 с 1; со п = 2 • 106 с 1.

20.	Как осуществляется переход от схемы НЧ прототипа к схемам
ФВЧ и ПФ в активных К С фильтрах?

21.	Какие высокодобротные механические резонаторы используют
ся для построения фильтров?

ГЛАВА 18. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ЦЕПИ
И ИХ СИНТЕЗ

18.1.	Принцип корректирования искажений

Корректирование амплитудно-частотных искажений. Рассмот
рим некоторую электрическую цепь — четырехполюсник (рис. 18.1),
имеющую амплитудно частотную характеристику (АЧХ), изобра
женную на рис. 18.2, а, а ослабление — на рис. 18.2, 6. Пусть для
упрощения входной сигнал мВх(О состоит из суммы всего двух
гармоник с частотами со1 и 2со1 (рис. 18.3, а). Форма входного сиг
нала показана на этом рисунке жирной линией.

Из анализа графиков АЧХ и ослабления цепи следует, что ам
плитуда первой гармоники при прохождении сигнала через цепь
останется практически неизменной, а амплитуда второй гармоники
уменьшится в несколько раз.
Результат сложения гармоник на выходе цепи дает форму сиг
нала, отличающуюся от входной (рис. 18.3, б).

Изменение формы сигнала на выходе цепи по сравнению с
формой сигнала на ее входе называется искажением сигнала. Ко
гда искажения формы сигнала связаны с непостоянством ампли
тудно частотной характеристики цепи, они носят название ам-
плитудно-частотных искажений.

Таким образом, условием отсутствия амплитудно частотных ис
кажений в цепи следует считать постоянство ее АЧХ (ослабления)
на всех частотах (см. § 9.9):

Я(со) = Х;

А(со) = 201§-[1/Я(со)] = Ао.

(18.1)

На практике условие (18.1) часто не выполняется, т. е. АЧХ и
ослабление цепей аппаратуры и линий связи не являются постоян
ными. Эти цепи практически всегда вносят амплитудно частотные
искажения в передаваемый сигнал. Устранить подобные искажения
полностью не удается, но их можно уменьшить до величин, допус
тимых соответствующими нормами. Для этих цепей применяются
амплитудные корректоры.

Амплитудный корректор — это четырехполюсник, который
включается каскадно с цепью. Его задача заключается в том, чтобы
Рис. 18.4

Рис. 18.5

дополнить АЧХ цепи или ее рабочее ослабление до постоянной ве
личины на всех частотах рабочего диапазона. Вне рабочего диапа
зона АЧХ цепи может иметь любую форму.

На рис. 18.4 изображена цепь, работающая между генератором
с внутренним сопротивлением Кт и нагрузкой Рабочий коэф
фициент передачи этой цепи в соответствии с (12.44) равен:

Нц(со) =

Для достижения условий безискаженной передачи между цепью
и нагрузкой включен корректор (рис. 18.5). Чтобы режим работы
цепи не нарушался, входное сопротивление корректора должно
равняться сопротивлению нагрузки. Очевидно, только при этом
условии напряжение на выходе цепи будет равно Ц_2, как и в схеме
рис. 18.4 до включения корректора.

Если обозначить напряжение на выходе каскадного соединения
цепи и корректора Ц?', то рабочий коэффициент передачи такого
соединения запишется в виде

Разделим и умножим это выражение на 1}^ и представим его в виде
произведения двух сомножителей

Яц ( ® Я К ( ® ) 

Первый сомножитель представляет рабочий коэффициент передачи
цепи (см. рис. 18.4), а второй — коэффициент передачи по напря
жению корректора.

Ослабление, вносимое каскадным соединением цепи и коррек
тора,

-4|!01в «У  2“1е «У *!01в «У  -1- • *4-1->

вычисляется путем сложения ослаблений цепи и корректора.
Из рис. 18.6 видно, что коррек
тор должен вносить ослабление,
дополняющее ослабление цепи в
рабочей полосе частот сон + юв до
постоянной величины Ао.

Корректирование фазочастот-
ных искажений. Рассмотрим элек
трическую цепь — четырехполюс
ник (рис. 18.7), имеющую рабочую
фазовую постоянную В(со), изобра

женную на рис. 18.8, а, и характеристику группового времени про-
хождения (ГВП) Ар(со), являющуюся производной от рабочей фа
зовой постоянной, — на рис. 18.8, 6. Входной сигнал мВх(О состоит
из суммы двух гармоник с частотами со 1 и 2со1 (рис. 18.9, а). Фор
ма входного сигнала изображена на этом рисунке жирной линией.

Анализ графиков В(со) и Ар(со) цепи показывает, что фаза пер

вой гармоники почти не меняется при прохождении сигнала через
цепь, а фаза второй гармоники существенно увеличивается.

В результате сложения гармоник на выходе цепи получается
сигнал, форма которого отличается от входной (рис. 18.9, б).

Искажения формы сигнала при прохождении его по цепи, обу
словленные нелинейностью фазо частотной характеристики цепи

или непостоянством группового времени прохождения, называются
фазо-частотными искажениями.

Условием отсутствия фазо частотных искажений в цепи следует
считать линейность рабочей фазовой постоянной В(со) и ФЧХ цепи
(рис. 18.10, аУ.
В (со) = -ср(со) = со^0.	(18.2)

Производная от фазо частотной характеристики — это групповое
время прохождения, которое для неискажающей цепи:

^гр(ю) = —(18-3)
1	«со

должна быть постоянной на всех частотах (рис. 18.10, б).

В реальных цепях условия (18.2) и (18.3) обычно не выполни
ются, т. е. ФЧХ не является линейной, а ГВП — не постоянно. Та
кие цепи вносят фазо частотные искажения в передаваемый сигнал.
Для уменьшения подобных искажений до допустимых значений
применяют фазовые корректоры.

Фазовый корректор — это четырехполюсник, включаемый кас
кадно с цепью и дополняющий фазовую характеристику цепи до
линейной. Вместо корректирования частотной характеристики
фазы можно выравнивать характеристику группового времени
прохождения так, чтобы она была постоянной на всех частотах
рабочего диапазона. Фазовый корректор не должен искажать
АЧХ цепи.

На рис. 18.11 для достижения условий безискаженной передачи
между генератором и нагрузкой включено каскадное соединение
цепи с ФЧХ, подлежащей коррекции, и корректора. Входное со
противление фазового корректора должно равняться сопротивле
нию нагрузки, чтобы условия работы цепи не изменялись по срав
нению с теми, в которых находится цепь, включенная между те
нератором и нагрузкой в отсутствие корректора.

Передаточная функция цепи, изображенной на рис. 18.11:


Умножим и разделим это выражение на и представим его в
виде произведения передаточных функций цепи Нц(/со) и коррек
тора Нк(/со):

нО’<в) = (уГ2э0А ТГ =

I —г V Д _2 7

Фазо частотная характеристика каскадного соединения цепи и
корректора:

ср(со) = (рц (со) + срк (со)	(18.4)

вычисляется как сумма ФЧХ цепи и корректора.

Из рис. 18.12 видно, что фазовый корректор должен дополнять
ФЧХ цепи в рабочей полосе частот сон + сов до линейной зависимо
сти (рис. 18.12, а) либо дополнять групповое время прохождения
цепи до постоянной величины б) в том же рабочем диапазоне час
тот (рис. 18.12, б). За пределами рабочего диапазона ФЧХ и ГВП
могут иметь любую форму.

Корректоры бывают постоянными и непостоянными (регули
руемыми). Характеристики постоянных корректоров не меняются
при изменении характеристик цепи. Существуют корректоры, ха
рактеристики которых можно изменить в зависимости от изменения
параметров цепи. Изменение параметров цепи возможно, во
первых, при изменении показателей окружающей среды, прежде
всего температуры. Во вторых, в технике связи распространены
коммутируемые сети, когда канал связи между двумя пользовате
лями устанавливается случайным образом на время сеанса связи и
заранее неизвестно, из каких участков он будет составлен. По
грешности в АЧХ и ФЧХ, вносимые каждым участком могут скла
дываться неудачно, так что общая погрешность будет больше до
пустимых величин. В этом случае включают так называемые «под
чисточные» корректоры. Настройку регулируемых корректоров
производят либо вручную, либо автоматически.
480
18.2.	Амплитудные корректоры

Пассивные корректоры. Пассивные амплитудные корректоры
строят, как правило, в виде симметричной Т перекрытой схемы.

Симметричный Т перекрытый четырехполюсник приведен на
рис. 18.13. Сопротивления 2.1 и 2.2 выбираются обратными, т. е.
2.1 -22 = Ко2. Если такой четырехполюсник нагрузить на сопротив
ление Ко, то его входное сопротивление окажется равным также Ко-

Комплексная передаточная функция по напряжению схемы
рис. 18.13 может быть вычислена по формуле:

Операторная передаточная функция по напряжению имеет вид:

нЛр) =

^1(р) + я0'

Вычислим ослабление, вносимое корректором:

Ак(<о) = 201§—ф- = 2018
К к ( К)

(18.5)

(18.6)

Данная формула показывает, что зная поведение 2.1 на разных
частотах, можно определить частотную зависимость ослабления Ак.

Рис. 18.13

! , 21
Пример. Схема двухполюсника 2_\ в продольном плече корректора изо-
бражена на рис. 18.14, а. Построить график частотной зависимости ослабле-
ния корректора Ак(со).

Построим вначале график частотной зависимости сопротивления реактив-
ного двухполюсника ХДсо), образованного элементами к\, С1, 1.3 и Сф На
нулевой частоте индуктивное сопротивление равно нулю, а емкостное — бес-
конечности, поэтому ХфО) —со. Двухполюсник имеет три резонанса, при-
чем первый — резонанс напряжений, на частоте соз, второй — резонанс токов
на частоте С02, третий — снова резонанс напряжений на частоте соз. Это значит,
что Хфсо!) = Хфсоз) = 0, Хфсог) со. При со —> оо сопротивление Хфсо) также
бесконечно большое (рис. 18.14, б).

Сопротивление 7д, стоящее в продольном плече корректора, содержит по-
мимо реактивных элементов активное сопротивление (рис. 18.14, а). По-
этому на частотах, равных 0, С02 и оо, на которых реактивное сопротивление
Х1(со) стремится к оо, полное сопротивление |/д| двухплюсника ограничено ве-
личиной К1 (рис. 18.14, в).

Ослабление корректора Ак(со) рассчитывается по формуле (18.6) и зависит
от значений |2д(со)|. График Ак(со) повторяет по форме график |2д(со)|. На
частоте резонанса токов «>2, а также на частотах со = 0 и со -> оо ослабление
корректора Ак(со) достигает своего максимального значения:

Ак тах 20
На частотах резонанса напряжений со1 и соз значение Ак(со) равно О
(рис. 18.14, г).

Пример. Задано ослабление Ац(со) цепи, подлежащей коррекции
(рис. 18.15, а). Привести схему корректора, выравнивающего характеристику
этой цепи до значения Ао.

Находим требуемую характеристику ослабления Ак(со) корректора из ус-
ловия Ак(со) = Ао — Ац(со). График Ак(со) приведен на этом же рис. 18.15, а.

По характеристике Ак(со) строим графики частотной зависимости полного
сопротивления \7,\ (со) | и реактивного сопротивления Хфсо) продольного плеча
корректора (рис. 18.15, б и 18.15, в).

Из графиков рис. 18.15, в и 18.15, б следует, что двухполюсник 2_\ имеет
три реактивных элемента и одно активное сопротивление. В схеме два резо-
нанса: первым наступает резонанс напряжений на частоте соц вторым — резо-
нанс токов на частоте Ю2. Таким условиям удовлетворяет двухполюсник Х_\,
изображенный на рис. 18.15, г. Двухполюсник 2? в поперечном плече коррек-
тора является обратным двухполюснику .

Схема корректора приведена на рис. 18.15, д.

На практике широко используются типовые звенья пассивных
корректоров 1 го и 2 го порядков. Звенья 1 го порядка содержат
по одному реактивному элементу в двухполюсниках 2д и 2.2. На
рис. 18.16, а изображено такое звено с двухполюсником 2.1, со
стоящим из параллельного соединения элементов и СД.

Операторное сопротивление двухполюсника 2.1:

г.(р) = —-—Г-------.	(18.7)

Л 7 с, (Р + 1/ад)

Если подставить выражение (18.7) в формулу (18.5), то полу
чим операторную передаточную функцию звена:

н / ч =	+	= Р + 1/^1С1 = /? + а1

1 + Я0СД (р + 1/)	7у() + Р + ОС 2
1	1\П "Г 1\,<

где а, =------- и а9 = —-------

1 К1С1 2 С^ВД

Частотная характеристика ослабления данного звена:

2	2

Л /	\ Л Г\ 1 СО + СС Э

Ак(со) = 101§ —-------

(О + сс ।

(18.8)

А = ?О1п- ^0 +
Лктах	о

/<о

показана на рис. 18.16, б.

На рис. 18.17, а изображено звено 1 го порядка с двухполюс
ником /1, состоящим из параллельного соединения и Опе
раторная передаточная функция этого звена:

гг (Г) \ _	^0 Р + ^1/А	_ и Р +

ЛР)~ адад, ад р + а2’

А (-^0 + -^1 )

где а( = — и а2 = — ~^о^1- ц _ ——

1 Ц 2 Ц(к^+к{у к^+к{

Частотная характеристика ослабления звена

Лк(со) = 101§

2	2

со + а2

( 2	2 \

(со + 04)

показана на рис. 18.17, б.

Максимальное значение ослабления корректора:

к тах

= 201§

(18.9)

Звенья 2 го порядка содержат по два реактивных элемента в
двухполюсниках 2_1 и 2,2- На рис. 18.18, а изображено звено, со
держащее последовательный колебательный контур и сопротив
Операторная переда

ление в продольной ветви корректора,
точная функция такого звена:

2-^1	1

+ — V +---

ц к цс{

о +

2

_ иР2 + СС1Р + СО0

1	"^2	2 ’

р + а2/? + со0

1С1

/VI 2	1

где а! =—, со() =~ГГ

о

-—, а2 = а(

Частотная характеристика ослабления звена:

Лк(ш) = 101§

2 \2	2 2

со ) + а2со

2 \2	2 2

- со ) +афо

показана на рис. 18.18, б.

Максимальное значение
формуле (18.9).

Актах по-прежнему рассчитывается по
На рис. 13.19, а изображено еще одно звено 2 го порядка с
двухполюсником /1, представляющим собой параллельный колеба
тельный контур. Операторная передаточная функция звена и час
тотная характеристика ослабления (рис. 3.19, б) имеют вид:

2	2

+ (Од

2	2" ’

р +а2р + аа

Лк(<о) = 101§

/ 2	2 А 2	2 2

(сОд - СО ) + ОС2СО

/ 2	2 \ 2	2 2

(сод - со ) + а^со

где а! =

ОС? = ----У-------к, СОд =

2 Е> Е> ’



Значение Актах на графике рис. 18.20, б рассчитывается по
формуле (18.9).

Пример. Определить элементы в поперечном плече корректора (рис. 18.16, а),
имеющего элементы 7? о = 600 Ом, = 2400 Ом, С1 = 60 нФ. Рассчитать и
построить частотную зависимость ослабления корректора Ак(/б в диапазоне
частот 0 4- 8 кГц.

Элементы сопротивления 7? в поперечной ветви должны быть обратны со-
противлению 71.

Из теории двухполюсников известно, что для обратных двухполюсников
71-72 = ^о2- Отсюда

6002

2400

-150

Ом,

Ь2=С\-	= 60 • 10’9 • 6002 = 21,6 мГн.

Значения Лк(со) рассчитываем по формуле (18.8) или по общей формуле
(18.6), применимой для корректора любого типа. Например, на частоте / = 0
получаем

= Л (0) = 101«4 = 2018-4^- =

07
Рис. 18.22

Остальные значения Ак(/) рассчитываются аналогично. По результатам
расчета простроен график Лк(/), изображенный на рис. 18.20.

Помимо Т перекрытой схемы корректора (рис. 18.19) примени
ются также другие схемы, изображенные на рис. 18.21.

Передаточные функции, которые реализуются Т перекрытым
корректором, можно реализовать и элементарными четырехпо
люсниками, схемы которых приведены на рис. 18.22. Например,
для четырехполюсника на рис. 18.22, а операторная передаточная
функция

Н (р) =	----

О1(р) к0 + г,(р)
рассчитывается также, как и для корректора, построенного по Т
перекрытой схеме (см. формулу (18.5)). Цепи с элементарными че
тырехполюсниками применяются в случаях, когда не требуется со
гласование между генератором, корректором и нагрузкой.

В табл. 18.1 приведены характеристики и расчетные формулы
звеньев пассивных амплитудных корректоров.

Активные корректоры. Кроме пассивных схем амплитудных
корректоров применяют активные схемы. Активные амплитудные
корректоры строятся в общем случае с применением КС и КСС
элементов, которые называют АКХ цепями. Существует большое
количество разновидностей активных звеньев эквивалентных по
передаточной функции пассивным амплитудным корректорам. Две
схемы таких активных звеньев на операционных усилителях изо
бражены на рис. 18.23. Их передаточные функции выражаются со
ответствующими формулами:

^(Р) = ~7? Г» И(7Р? >Г	(1810)

-^1 [-^2 + ^(Р)]

и (р) =	+	(18.11)

П2 + 2(р)

Если в схеме рис. 18.23, а в качестве двухполюсника X выбрать
последовательное соединение резистора К и емкости С, то переда
точная функция (18.10) звена принимает вид:
Характеристика и расчетные формулы звеньев пассивных амплитудных корректоров
489

Продолжение табл. 18.1
	Лк(го)		Коэффициент
А(ю)'	/ 1 \  / 1 \		а! = \/П]Сх  2	1  ®о =  7?0 + К<
0	©0	со	р2 +а1р + о^	Сл ' > —  С^оТ?!  Н = 1
А(ю)'		Л 2	2  р +а2р + юъ	сс 1 = К	।  2 -  ю°" цсх  СХ-2 =
0	©о	®		н = —!^— к0 + к{
Частотная характеристика ослабления данного звена, также как
и у пассивного звена 1 го порядка, вычисляется по формуле:

л	2,2

. /	\ л 1	1 СО + СС э

Ак(со) = 101§ —у—------1

Н со + сс 1

Данная функция при увеличении частоты имеет монотонно воз
растаюгций характер от величины Ак(0) = 201§(/?1//?2) до величи
ны Ак(оо) = 20,[К\(К + К2)/КК2]. Если выбрать К\<К2 и К =
= К\К2/{К2 — -К1), то ослабление будет изменяться от Ак(0) до
нуля, оставаясь отрицательным (рис. 18.24, кривая /).

Выберем в схеме 18.23, 6 в качестве двухполюсника 2 емкость
С. Тогда передаточная функция (18.11) этого звена принимает вид:

К{+ К-2 +	= ц р +

^2+ЩрС)	р + ос 2

нЛр)

Частотная характеристика ослабления:

а 2 !	2

Ак(а) = 1018-17-^У^-.

Н со + сс ।
Лк(со)

Рис. 18.24

Лк(со)

При увеличении частоты данная функция имеет монотонно убы
вающий характер от Ак(0) = 0 до Ак(оо) =	+ ^2)]

(рис. 18.24, кривая 2).

Если в качестве двухполюсника 2 выбрать последовательный
ЕС контур, то частотная характеристика ослабления будет иметь
вид, показанный на рис. 18.25, кривая 1. При выборе в качестве
двухполюсника 2 параллельного ЕС контура частотная характери
стика ослабления будет иметь обратный характер, как показано на
рис. 18.25, кривая 2.

Несмотря на то, что рассмотренные схемы могут содержать индук
тивности, они имеют ряд преимуществ по сравнению с пассивными ам
плитудными корректорами. Так, число реактивных элементов вдвое
меньше, а ослабление, вносимое каскадным соединением цепи и кор
ректора, близко к нулю. Последнее важно также потому, что дополни
тельное ослабление за счет применения пассивного корректора, как
правило, приходится компенсировать с помощью усилителя, т. е.
общая схема все равно оказывается активной.

Пример. Определить передаточную функцию амплитудного корректора,
построенного по схеме рис. 18.23, б, в которой в качестве двухполюсника 2
выбран последовательный колебательный ЕС-контур. Рассчитать и построить
частотную характеристику ослабления /1К(/) корректора в диапазоне частот от
О до /в = 100 кГц для элементов контура = 10 кОм, К2 = 20 кОм, Е =
= 200 мГн, С = 1,268 нФ.

Операционный усилитель в схеме рис. 18.23, б включен по неинверти-
рующей схеме, поэтому передаточная функция корректора определяется по
формуле (18.11), в которой 7(р) = рЕ + 1/(рС):

нЛр) =

Е1 + К2 + 2 (р)

Е2 + 2(р)

Е1 + К2 + рЬ + — р~ + р + 2 +
рС к I ЬС

г, т 1	9^1

/Е + рЬ + — р~ +—-р +-

рС	Ь ЬС

Частотная характеристика ослабления:

ЛК(Ю) = 2О18—1
Рис. 18.26

В формулах Нк(р) и Лк(со) величина 1/(ДС) — это квадрат резонансной
частоты соо2 Г^С-контура. Для заданных значений Г и С имеем:

®о

___________1__________

200-10 13 -1,268-10 9

- 0,394-1010 (рад с)2.

Резонансная частота Д =1/(2я->/ГС) = Ю кГц. Рассчитаем значения Лк(/) на
частотах, равных нулю, /о = 10 кГц и Д = 100 кГц.

А (0) = 1018 а/гс) = 10181 = 0 дБ,

(1/ГС)2

Лк (/о)	2018 ККА2 - 201810 + 20 = -9’54 ДБ’  р А т — со в + со в
Лк(/У	1 - 101	9 - -4,1 дБ.  ( 1 ,у А К. +К7 У 	со: + со: —	 ) У г )

Аналогичным образом можно рассчитать ослабление Лк(/') на любой часто-
те в рабочем диапазоне. График Лк(/’) изображен на рис. 18.26.

Синтез амплитудных корректоров. При синтезе пассивного ам
плитудного корректора исходными данными являются: частотная
характеристика ослабления цепи Лц(со), подлежащая коррекции в
диапазоне частот сон ••• <®в5 точность коррекции ЛА в этом же дна
пазоне частот; сопротивление нагрузки Ко-

Вначале определяют частотную характеристику амплитудного
корректора Лк(со). Для этого необходимо задать характеристику
ослабления Ло каскадного соединения цепи и корректора. Эта ха
рактеристика должна быть постоянной, не зависящей от частоты,
причем ее величину принимают несколько большей, чем макси
мальное ослабление цепи:

Л0=шахЛц+Л1,	(18.12)

где Л1 = 1 ... 2 дБ.

Частотная характеристика ослабления амплитудного корректора
вычисляется по формуле:

-^к ( ® ) — ^0 —	® ) •

(18.13)
На рис. 18.6 в качестве примера показаны характеристики ос
лабления цепи Ац(со), ослабления Ао каскадного соединения цепи
и корректора, а также ослабления Ак(со) корректора.

Следующим этапом расчета амплитудного корректора является
выбор схемы корректора. Выбирают такую схему, которая в дна
пазоне частот сон ... сов имеет нужный характер частотной зависи
мости ослабления. Например, для реализации частотной зависимо
сти Ак(со), приведенной на рис. 18.6, можно использовать ампли
тудный корректор, в котором двухполюсник 2_1 состоит из парал
лельного соединения емкости С\ и резистора К\ (рис. 18.16).

Выбрав схему корректора, приступают к ее расчету. При этом
часто используется метод интерполирования. Согласно этому ме
тоду задаемся числом точек интерполирования, равным числу
элементов в двухполюснике /д. С учетом формулы (18.6) состав
ляется система уравнений вида:

Ак(со1) = 201§

Ак(со2) = 201§

1+[21(/сО1,Х1,х2---^ )/^о] 5
1+\_Т1(]а>2,х1,х2...хп )/Я0]|;

Ак (соп) 201§ 11 + ^21 (усо и, лу, х2... хп )/-^о >

где х\ ... хп значения параметров элементов двухполюсника Т_\.
Решение данной системы и дает значения х\ ... хп, которые явля
ются параметрами индуктивностей, емкостей и резисторов.

Особенностями расчета является то, что, во первых, параметры
элементов могут быть отрицательными, а во вторых — точность
коррекции может не удовлетворять заданным требованиям. Обыч
но приходится данный расчет повторять. Если параметры элемен
тов получились отрицательными, то следует либо изменить величи
ну А1 в формуле (18.12), либо положение точек интерполяции. Ес
ли параметры элементов получились в конце концов положитель
ными, то проверяется точность аппроксимации (коррекции). Для
этого по формуле (18.6) рассчитывается ослабление корректора
Акр (со) и проверяется выполнение неравенства:

|лкр(ю)-лк(ю)| < АА.

При выполнении неравенства расчет на этом заканчивается. В про
тивном случае необходимо снова повторить расчет, меняя точки
интерполяции, до получения равноволновой характеристики по
грешности. Если при равноволновом характере погрешности требо
вания к точности не выполняются, то необходимо либо увеличить
число элементов в двухполюснике, либо поделить Ак(со) пополам и
построить корректор в виде каскадного соединения двух четырех
полюсников.

Методика синтеза активных АКТ корректоров такая же, как и
описанная выше методика расчета пассивных амплитудных коррек
493
/, кГц	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Ац, дБ	11,9	11,0	10,0	8,5	7,2	5,8	4,3	3,4	2,5	1,8	1,1

Таблица 18.3

/, кГц	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Ак, дБ	0,1	1,0	2,0	3,5	4,8	6,2	7,7	8,6	9,5	10,2	10,9

торов. Отличие заключается в том, что характеристика ослабления
Ао каскадного соединения цепи и корректора выбирается близкой к
нулю.

Пример. В таблице 18.2 задана частотная характеристика ослабления цепи
/1ц(/). Рассчитать элементы амплитудного корректора, если Ао = 12 дБ и 7? о =
= 200 Ом.

Воспользуемся формулой (18.13) и рассчитаем ослабление корректора
ААГ) =	— в диапазоне частот от 0 до 50 кГц.

Результаты расчета АК(П приведены в таблице 18.3, а на рисунке 18.27
изображены графики ослаблений Лц(/'), Ао и АК(Г>-

Частотная характеристика ослабления Ак(/') на рис. 18.27 может быть
получена с помощью корректора, реализованного по схеме рис. 18.19, в кото-
рой двухполюсник /1 состоит из параллельного соединения элементов 2ц и К\.

Найдем 7?1 из формулы (18.9):

=я0(10°’05Л™' -1).

Значение Актах = 10,9 дБ на частоте 1 = 50 кГц берем из таблицы 18.3.
Получаем:

= 200 (1О0’05’10’9 - 1) = 500 Ом.

Для расчета выбираем узел интерполяции: Д = 25 кГц, АкД/Д = 6,2 дБ.

Подставляем эти данные в формулу (18.6) или

АК1(сО1) = 101§

2	2

С0| + (X 2

+а|)
о

со । — 2л б.

VI
где а! - —-,
И

Получаем значение = 2 мГн.

Значения параметров элементов Т\.>
люсник 2.2, рассчитываем по формулам:

р2

К, =^- и

и С2, образующих обратный двухпо-

*

- р2

/<0



Получаем К2 = 80 Ом и С2 = 0,05 мкФ. Расчетная характеристика ослаб-
ления корректора, вычисляемая по формуле (3.3), точно совпадает с требуе-
мой только на частотах /1 = 25 кГц и /тах = 50 кГц.

Используя каскадное соединение различных типовых звеньев
корректоров, можно получить частотные зависимости ослабления
Ак(со) любой сложности. На рис. 18.28 изображена схема сложного
корректора, построенного на основе типовых схем (рис. 18.19), и
его рабочее ослабление. Изменением характеристик типовых схем
добиваются получения требуемой характеристики амплитудного
корректора.
18.3. Фазовые корректоры

Пассивные корректоры. Фазовые корректоры должны иметь
постоянное входное сопротивление и постоянное ослабление, кото
рые не зависят от частоты. Таким условиям удовлетворяют сим
метричные мостовые четырехполюсники (рис. 18.29), у которых
сопротивления 2.1 и 2.2 реактивные и взаимообратные, т. е.:

г,г2 = л02 И г, = ±/х,, г2 = +/х2.

Такие четырехполюсники имеют с обеих сторон одинаковые харак
теристические сопротивления:

гс = 7^, • /2 = я0,

поэтому их легко согласовывать с внутренним сопротивлением ге
нератора и сопротивлением нагрузки.

Рабочее ослабление мостового симметричного согласованно
включенного четырехполюсника с взаимно обратными сопротивле
ниями 2.1 и 2.2 равно нулю на всех частотах: А(со) = 0, т. е. эта
схема не вносит никакого дополнительного ослабления сигнала.

Операторная передаточная функция по напряжению схемы
рис. 18.29 имеет вид:

Як(?)=

До-г,(р)
л0 + г, (р)

(18.14)

Комплексная передаточная функция по напряжению схемы
рис. 18.29, в которой 2.1 и 2.2 — реактивные двухполюсники, может
быть вычислена по формуле:

Нк(/ю)=

+ 7^1

(18.15)

Нетрудно видеть, что модуль передаточной функции (18.15) ра
вен 1, а аргумент и ГВП вычисляются по формулам:

(18.16)

срк (со) = -2агс1:§
Формулы (18.16), (18.17) и (18.18) показывают, что фазо
частотная характеристика, фазовая постоянная и характеристика
группового времени запаздывания корректора зависят только от
вида двухполюсника Х{.

На практике используются типовые звенья пассивных фазовых
корректоров первого и второго порядков.

На рис. 18.30, а изображена схема фазового корректора 1 го
порядка, в котором двухполюсником /1 является индуктивность
/1(/?) = рР, а двухполюсником — емкость 2,1(р) = 1/(/?С).

Операторная передаточная функция этого корректора в соответ
ствии с (18.14) имеет вид:

Як (р\ = Къ~Рь = _Р~Р^1Ь = _Р~^\	(18.19)

В() + рР р + 7?0 / Р	+ СС |

где оц = Во/Р.

Рабочая фазовая постоянная В(со) и ГВП в соответствии с фор
мулами (18.17) и (18.18)

Вк (со) = 2агНдфсо/оц ),	(18.20)

1гр(а) = ,2а1,.	(18.21)

СО + ОС ।

Графическое изображение данных характеристик показано на
рис. 18.30, бив.

На рис. 18.31, а изображена схема фазового корректора 2 го
порядка, с двухполюсником /д, состоящим из последовательного
соединения элементов Р\ и Сб, т. е. 24(/?) = рР\ + 1 /(рСд).

Операторная передаточная функция такого корректора в соот
ветствии с (18.14) имеет вид:
Рис. 18.31

н / ч _ К0-рЦ-1/(рС1) _ В2 ~ (Юо/Сп )В + юо
Ко+рЦ+1/^рС^ /?2+(со0/Сп)/? + соо ’

где соо2 = 1/(^1С1), (2^ = 1/(сооВоС1) —добротность полюса переда
точной функции.

Комплексная передаточная функция корректора получается при
р = ](о:

, ч СОп ~ СО2 -/(соп/р.. )со

=	----2 ДУ 	(18.22)

со о — со + 7(соо/С^п)со

Модуль функции равен 1, а рабочая фазовая постоянная В(со) и
ГВП ^гр(со) вычисляются в соответствии с (18.17) и (18.18) по фор
мулам:

Вк (со) = я + 2 агс!;§ [	(со2 — со р )/сорСо ;	(18.23)

2сО д(Рп ( СО + СО д )	Г 1 й Э Л Ч

(2	2

С?п \ СО СО 0

Графики зависимостей В(со) и ^гр(со) фазового корректора 2 го
порядка приведены на рис. 18.31, б и в.

Если известны коэффициенты передаточной функции соо, Оп и на
грузка Во, то параметры элементов корректора рассчитываются по
формулам

^гр (® )

2 2
+ СО рСО

С1 - ^/С^п-^О^О ’

А = Оп-^о/^о •

(18.25)

(18.26)

Пример. Фазовый корректор (рис. 18.30, а) имеет элементы = 100 мГн,
Во = 500 Ом. Рассчитать и построить графики частотных зависимостей фазо-
вой постоянной Вк(/) и группового времени прохождения Кр(/) в диапазоне
частот от 0 до 10 кГц.

Фазовая характеристика В(со) рассчитывается по формуле (18.20), по-
этому:
Л кГц	0	1	2	4	6	8	10
Вк, рад	0	1,8	2,38	2,75	2,88	2,94	2,98
Нр, мкс	400	155	96	55	38	29	24

В, (/) = гагсСв^-.

/<0

ГВП Нр(со) рассчитывается по формуле (18.21), поэтому:

/	( { \ —	^^0^1

гр и “ 4л2/’2/,2 + к1'

Подставляя в выражения для Вк(/) и Нр(/) значения = 10 10-3 Гн и
7?о = 500 Ом, получаем:

о о . 2п[Ц „	, 2 - 3,14 • 100 -10 3 с о . 4 4Л-ЗГ

Вк (/) = 2 агс1§ '	= 2 агс!§-----—--------/ = 2 агс!§ 1,256 • 10 /,

3 V V

(п_ 2К0Ц _	2-500 100 10 3	_	100

гр О 1 -	+ Я02 “ 4 • 3,142 • 1002 • 10 6/'2 + 5002 “ 0,394/2 + 25 • 104 ’

Результаты расчета Вк(/') и Нр(/) в диапазоне частот /'=0 4-10 кГц при-
ведены в таблице 18.4, а графики — на рис. 18.32, а и б.

Пример. Схема фазового корректора приведена на рис. 18.31, а. Рассчи-
тать и построить графики частотных зависимостей фазовой постоянной Вк(/)
и ГВП Ср(/) в диапазоне частот от 0 до 10 кГц для двух случаев:

1)	= 600 Ом; 11 = 36 мГн, С1 = 0,025 мкФ;

2)	7?0 = 600 Ом; = 36 мГн, С1 = 0,05 мкФ.

Фазовая характеристика Вк(со) корректора рассчитывается по формуле
(18.23), а ГВП Ср(со) по формуле (18.24), поэтому:

Вк(/) = л+ 2агс1§[Оп(4л2/'2 - со 5 )/со02л/] ,
. /п 2со0(9п (4л2/2 + со^)
6гр (/ )	г>2 / , 2<2	2 \ 2 ,	2 / 2 г 2 ’

Оп (4л / - со 0) +со04л /
где соо2 = 1М1С1), ф„ = 1/(со07?0С1).

Рассчитаем значения соо2 и Фи для двух случаев задания параметров эле-
ментов корректора:

щ 2  1)	«0 = Т г  2-/1^1  о„=— со	=		г- - 0,11 • Ю10 (рад/с)2;  36 -10 3 -0,025 -10 6  	=		-	= 2  70,11 Ю5 -600 0,025 10 6

2)	со2 -----г - 0,056 • Ю10 (рад/с)2;

36 -10 3 -0,05-10 6

О - .	--------------------- 1 41

70056 • 105 • 600 • 0,05 • 10 6

Подставляя значения сод2 и фп в выражения для расчета ВК(Г) и Ср(/), рас-
считываем эти характеристики в диапазоне частот от 0 до 10 кГц и заносим ре-
зультаты расчета в таблицу 18.5 для случая 1) и в таблицу 18.6 для случая 2).

Поскольку график Ср(со) имеет максимум (рис. 18.31, в), то для опреде-
ления частоты этого максимума берем производную с/Ср(со) и, приравняв ее к
нулю, находим:

^тах = ®0774-О2”-1	(18.27)

или Апах -	“ С»п2 -1 = 0 для первого случая (фп = 2) и [тах = 2,42 кГц

2л

для второго случая (фп =1,41).

В общем случае анализ выражения (18.27) показывает, что при фп > /З
ГВП имеет максимум на частоте / = 0, а при фп < л/З = 1,73 максимум
ГВП - на частоте /тах.

Значение 1гр тах рассчитывается по формуле:

, 1-----------2/	.	(18.28)

Ю|П/4СУ“Г

Для второго случая, когда () = 1,41, имеем Ьртах = 144 мкС. Следует также
отметить, что при ф,,	1 формулы (18.27) и (18.28) существенно упрощаются:

_	/	_ 4(2пшо

®тех — ®0> ‘'гр тех —

С00

(18.29)

Таблица 18.5

А кГц	0	2	4	5,3	8	10
вк, рад	0	1,44	2,59	3,14	4,11	4,35
Ср, мкс	120	106	73,5	60	34,8	26,2

Таблица 18.6

А кГц	0	1	2,42	3,76	6	8	10
Вк, рад	0	0,77	2,0	3,14	4,35	4,87	5,19
Ср, мкс	120	117	144	120	57,6	30,8	18,9
Графики зависимостей Вк(со) и ^гр(со) для двух случаев приведены на
рис. 18.33 (обозначены цифрами 1 и 2).

Мостовая схема не всегда удобна в реализации, так как являет
ся уравновешенной. Существует ряд эквивалентных схем в виде
неуравновешенной схемы, как показано на рис. 18.34. Заметим,
что на практике добротность полюса больше единицы и поэтому
чаще используется схема рис. 18.34, а, что удобно, так как она не
содержит связанных индуктивностей с заданным коэффициентом
связи. Неуравновешенные схемы по сравнению с мостовыми со
держат вдвое меньше элементов.

Активные корректоры. Помимо пассивных фазовых корректо
ров применяют активные фазовые корректоры. Кроме пассивных
КС или КС С элементов схемы активных корректоров содержат опе
рационные усилители. Существуют активные фазовые звенья 1 го
и 2 го порядков. На рис. 18.35 приведена схема фильтрового звена
на операционном усилителе. Передаточная функция этого звена
вычисляется по формуле:

Р~^\
р +
Рис. 18.35

где а! = \/В{С.

Выражение (18.30) аналогично формуле для расчета переда
точной функции пассивного фазового корректора (18.19), т. е.
схема, приведенная на рис. 18.35, — это активный корректор 1 го
порядка.

Фазовые характеристики В(со) и ГВП данного звена, также как
у пассивного корректора 1 го порядка, вычисляются по формулам

Вк (со) = 2агс!;§(со/а1),

Кр (® )

2а!

2	2 '

СО + СС1

График Вк(со) монотонно нарастает от Вк(0) = 0 до Вк(оо) = л, а
график ^гр(со) монотонно убывает от Ер(0) = 2/а1 до Ер(°о) = 0.
На рис. 18.36 показаны графики Вк(со) и Ер(со), построенные для
разных значений а1 активного корректора 1 го порядка.

На рис. 18.37 приведена еще одна схема активного фазового
корректора, также построенная на основе активного фильтрового
звена. Если в схеме рис. 18.37 задать Вз = иВз, В4 = пК^Кп —1),
п > 1, то передаточная функция, рассчитанная, например, с помо
щью метода узловых напряжений, будет иметь вид:

Н(р) = -



(18.31)

Это передаточная функция фазового корректора (сравни с фор
мулой (18.14)).

Если в качестве двухполюсника 2 выбрать емкость, то переда
точная функция (18.31) принимает вид (18.30):

К{-\/рС _ р-\1К{С _ р-с^

К1+1/рС р + 1/К1С р + а1’

т. е. схема на рис. 18.37 — это схема фазового корректора 1 го по
рядка.

Когда в качестве двухполюсника 2 используется последователь
ный ЕС контур, то получается передаточная функция фазового
корректора 2 го порядка:
2 К\С 1

н /ч_ Р Р ЬС+ЕС _	/^2-(Юо/Оп)^ + С0о

ЛР)~~Р 2 + Д + ±”р2 + Ыдп)Р + а?’

н н ьс ьс

где соо2 = 1/(ХО,	= 1/(соо-К1С) — добротность полюса переда

точной функции.

Графики частотных зависимостей Вк(со) и Нр(со) данного кор
ректора, полученные для разных значений приведены на
рис. 18.38.

Хотя активные АВХ-фазовые корректоры имеют индуктивность,
но преимуществом их по сравнению с пассивными корректорами
является меньшее количество элементов при том же порядке пе
редаточных функций.

Пример. Определить передаточную функцию фазового корректора, по-
строенного по схеме рис. 18.35, в которой в качестве двухполюсника 7 ис-
пользуется параллельный ГС-контур. Рассчитать и построить качественно час-
тотную характеристику ГВП Ср(/) корректора в диапазоне частот от 0 до
5 кГц для элементов цепи = 37,5 Ом, Г = 36 мГн, С = 1,6 мкФ.

Найдем сопротивление 2(р) параллельного ГС-контура:

г(„\ = рЬ'ррС = рк

рЬ + 1/рС р2ЬС + 1

Подставив 7(р) в формулу (18.31), получим передаточную функцию фа-
зового корректора:

Н(р\ = -	-рГ/(р2ГС + 1) = _ р2 -(со0/рп)р + соо

В1+^(р)	+ рЬ/(р2ЬС + 1) Р2 +(юо/с>п)р + ®о ’

где сор2 = 1/(СС),	= соо7?1С.

ГВП рассчитывается по формуле (18.24), в которой со = 2п/:,

М/) =

2со0рп(4л2/'2 + со б)
Ф2(4я2/'2 -со2) + со2-4я2/'2

2

Находим значения соо“ и (А:
Рис. 18.39

и (18.28):

ГС 36 -10 3 1,6 -10 6
- 17,36 Ю6 (рад/с)2,
со0 = 0,416 • 104 рад с,

Д - 0,662 кГц,

Фп = СОо^С =

= 0,416 Ю4 • 37,5 • 1,6 • 10 6 -0,25.

Поскольку < \/3 , то находим зна-
чения со/НДЛ и Ср/мл.г по формулам (18.27)

со,„ол. - Юод/лД - О;” -1 - 0,416 • 1047л/4 - 0,253 - 1 - 4,16 • 103 (рад с) ,

Ц1аг =	= 0,662 кГц, = 3,7 мС.

2л

Рассчитываем значения Ср(/) на частотах Д = 0 и Д> = 5 кГц по формуле
(18.24). Получаем 1тр(Щ = 1,92 мС и ^(Д) = 0,12 мС.

График зависимости й-р(/) приведен на рис. 18.39.

Синтез фазовых корректоров. При синтезе фазовых корректо
ров задаются характеристика ГВП корректируемой цепи, сопро
тивление нагрузки Ко, точность коррекции и диапазон частот
сон ••• сов, в котором осуществляется коррекция. Вначале определи
ют требуемую характеристику фазового корректора. Для этого за
дают постоянное значение ГВП которое должно быть несколько
больше максимального значения ГВП цепи (рис. 18.12, б):

б) — ^цепи тах + А •

Затем любым способом определяют площадь 5К под характеристи
кой требуемого ГВП корректора, например, площадь можно рас
считать по формуле:

со	со

Г (со )с/со = Г (1В. (со) = В, (оо) - В, (0).

3	1 р	3	к к	к

о	о

После этого приближенно можно определить число фазовых звень
ев второго порядка, необходимых для коррекции, так как площадь
под кривой группового времени фазового звена второго порядка
равна 2л:

п = 1,15к/2л.

В данной формуле коэффициентом 1.1 учитывается то, что не вся
площадь под характеристикой фазового звена попадает в диапазон
коррекции.

Зная число звеньев, задаемся в первом приближении их пара
метрами соо/? и & = 1 ... п. Для начала частоты распределяют
ся равномерно, добротность определи
ют из условия требуемой величины
группового времени звена на частоте
^тахк- Эта величина выбирается на
10 ... 20% меньше, чем требуемое
групповое время корректора на этой
частоте. Из сказанного и формулы
(18.27) следует:

Рис. 18.40





где т = 0,8 ... 0,9.

На рис. 18.40 показаны характеристики ГВП четырех фазовых
звеньев, требуемая и реальная характеристики ГВП корректора.

Далее с применением компьютерных программ решается опти
мизационная задача в общей постановке:

шах I %т (со) - % (со, , со0^ ) I = ппп со е [ со н, со в ].

Если полученный минимум меньше или равен требуемой точно
сти коррекции, то по заданным соо/? и Ко рассчитывают эле
менты Е1/? и Си? мостовой схемы фазового звена (рис. 18.31, а).
Остальные элементы находят из условия, что двухполюсники 2_а и
обратные:

=	^Чк =	•

Если полученная точность коррекции не удовлетворяет требова
ниям, то увеличивают число звеньев и повторяют расчет также с
помощью компьютера.

С синтезом активных фазовых корректоров можно познако
миться в специальной литературе.

18.4. Гармонические корректоры

Линии задержки. Одним из элементов гармонических коррек
торов являются так называемые линии задержки (ЛЗ). Идеальная
линия задержки осуществляет задержку колебания на постоянную
величину А^, не изменяя энергии этого колебания. Очевидно, мо
дуль передаточной функции (АЧХ) ЛЗ равен 1, а угол (ФЧХ)
ср(со) = —со-ДЕ Таким образом, передаточная функция линии за
держки

Я(/со) = е-^.

(18.32)

Однако данная функция не удовлетворяет УФР, так как ср (со)
не является тангенс функцией. В реальной линии задержки ГВП
является постоянным только с определенной степенью точности в
заданном диапазоне частот. Будем рассматривать низкочастотные
ЛЗ, рабочий частотный диапазон которых простирается от нуля до
частоты со. Совершенно очевидно, что ЛЗ являются частным слу
чаем фазового корректора (ФК). Отличие состоит в том, что от
ФК требуется воспроизвести частотную характеристику ГВП, во
обще говоря, произвольной формы, в то время как ЛЗ обладает
только постоянным, с заданной степенью точности, групповым
временем. В связи с этим есть возможность заранее рассчитать на
бор ЛЗ для различных значений ГВП и различной точности его
воспроизведения и оформить результаты в виде каталогов. Как и в
случае аппроксимации характеристик фильтров, применяется как
равноволновая аппроксимация, так и аппроксимация монотонными
характеристиками.

Определим далее общий вид операторной передаточной функ
ции ЛЗ. Во первых, знаменатель любой передаточной функции
должен быть полином Гурвица г(р). Во вторых, непосредственной
подстановкой легко убедиться, что модуль комплексной передаточ
ной функции равен единице, если в числителе находится полином,
сопряженный полиному знаменателя. Поэтому в самом общем виде
комплексная передаточная функция ФК или ЛЗ имеет вид

Н(/со) =

Заменив /со на р, получим операторную передаточную функцию

Н (р) = 1)(^—р^/1)(^р^.	(18.33)

Как видим, вся информация о передаточной функции содер
жится в полиноме Гурвица. Так, фазовая характеристика четырех
полюсника равна удвоенному аргументу полинома при р = /со

В (со) = 2ср(со) = 2аг§^(/со),

где ср (со) = аг§ тф/со).

Продифференцировав аргумент, получим
ср" (со) = с/(аг§^(/со))/с/со,

а ГВП линии задержки равно

Фр (®) _	(®)'

Мы уже убедились, что при построении каталогов удобно при
менять нормированные величины. В данном случае это нормиро
ванная частота П = со/сон и нормированное ГВП фр =сонКр- При
синтезе ЛЗ частота нормирования сон находится из условия, что на
нулевой частоте нормированная функция ср'(О) = 1, а ГВП равно 2,
т. е.

Фр(0) = Фр(0>н = 2.

Отсюда
506
сон (0) •

(18.34)

Аппроксимация ГВП гладкими функциями осуществляется на
основе полиномов Бесселя, которые имеют следующий вид:

^б(^) = ^ + ^

= Р1 + 3/? + 3,
сБ (р) = Р3 + 6р2 + 15/? + 15,
?’15 (р) = Р^ + Ю/?3 + 45/?2 + 105/? + 105 и т. д.

Графики нормированной функции ф'(П) показаны на рис. 18.41.

Задача аппроксимации максимально гладкими функциями ре
шена аналитически с помощью рядов Тейлора. Задаваясь погреш
ностью аппроксимации Л, легко получить нормированные гранич
ные частоты рабочей полосы линии задержки. На рис. 18.41 про
ведена линия на уровне 0,9, что отвечает 10% погрешности. Суще
ствуют справочники, в которых приведены таблицы, содержащие
граничные нормированные частоты при различных порядках поли
нома Бесселя п и различных погрешностях.

Зная полином Бесселя нетрудно численно найти координаты его
корней, которые являются полюсами передаточной функции. На
помним, что в соответствии с (18.33) каждому полюсу в левой по
луплоскости соответствует нуль в правой, т. е. /?оАг = —ръ- Коор
динаты корней полиномов Бесселя приведены в справочниках.

Рассмотрим порядок синтеза ЛЗ с максимально плоской харак
теристикой группового времени. При синтезе заданными величина
ми являются групповое время %, рабочий диапазон частот 0 ... «ц,
погрешность аппроксимации А. Согласно (18.34) находим частоту
нормирования сон при условии, что Ар(0) = 1Э. Зная сон рассчиты
ваем нормированную граничную частоту со1/сон = Пользуясь
графиками или таблицами, находим минимальный порядок переда
точной функции ЛЗ, при которой граничная частота рабочей поло
сы частот равна или превышает Пц Найденному порядку соответ
ствует полином Бесселя ов(р\ Таким образом, получена переда
точная функция в виде

Я(Р) = М~Р)/Мр)-

Ф'(О)“

0,2
Зная координаты корней полинома Бесселя, передаточную
функцию можно представить в виде произведений функций второ
го порядка и каждую функцию реализовать фазовым звеном, как
это было рассмотрено ранее. Напомним, что при нечетном порядке
т одна из функций будет первого порядка.

Решить задачу равноволновой аппроксимации аналитически
трудно, поэтому она решается численными методами и в справоч
никах приведены такие же таблицы, как и в случае аппроксимации
максимально гладкими функциями. Поэтому порядок синтеза ЛЗ с
равноволновыми характеристиками группового времени остается
прежним, как и в случае монотонных характеристик.

Гармонические корректоры. Как уже отмечалось, параметры тракта пере-
дачи нуждаются в окончательной коррекции. Для этой цели применяются ре-
гулируемые корректоры, которые, как правило, настраиваются автоматически.
Теория таких корректоров заключается в том, что передаточную функцию
корректора, которая является с точностью до постоянной обратно пропорцио-
нальной по отношению к линии передачи, раскладывают в ряд по системе ор-
тогональных функций:

Як(/®) - ффД/со).

/=—оо

Если в качестве базисной функции ф/(/со) выбрать передаточную функцию
ЛЗ, то получится ряд Фурье в комплексной форме:

Як(/»)= X А,е^"м.	(18.35)

/ = —ОО
коэффициенты которого

сос	Лпа

| Як(;со)е “с</со.	(18.36)

с (,|с

Сделаем важные замечания: 1. Ряд Фурье применяется для разложения
периодических функций. Поэтому АЧХ и ФЧХ такого корректора также бу-
дут периодическими. Интервал [ — сос, сос] является рабочим. 2. Так как АЧХ
линии передачи является четной функцией, а ФЧХ — нечетной, то коэффици-
енты (18.36) в разложении ряда Фурье (18.35) являются вещественными чис-
лами. 3. Для ускорения сходимости ряда из фазочастотной характеристики
линии вычитают линейную составляющую, что устраняет разрывы ФЧХ на
границах интервала.

Попытаемся реализовать передаточную функцию (18.35). Из данного ряда
следует, что передаточная функция корректора получается путем умножения
передаточных функций линий задержки на вещественные числа с последую-
щим суммированием. Однако, точная реализация функции (18.35) невозмож-
на, так как требует бесконечного числа ЛЗ, поэтому ее реализуют приближен-
но, ограничиваясь конечными числами слагаемых с отрицательными (т) и по-
ложительными (ц) индексами

п

Нхи<о)= X	(18.37)

1=-т
Рис. 18.42

Даже после усечения ряда, передаточная функция остается нереализуемой.
Во-первых, передаточная функция ЛЗ не удовлетворяет УФР. Во-вторых, при
отрицательных значениях I ФЧХ линии задержки равна 111Д^со, а ее группо-
вое время I = — с/ф(со)/с/со — 11\л.1 является отрицательным. В данном случае
это означает, что нарушается причинно-следственная связь и колебание на вы-
ходе появляется раньше, чем на входе. Данная трудность легко преодолевает-
ся, если допустить что корректор вносит постоянную задержку Лр = (т+1)Д.1.
С учетом сказанного, функциональную схему корректора представляют в ви-
де, показанном на рис. 18.42.

Колебание х, поступающее на вход корректора, задерживается первой ЛЗ
на время Л.1 и поступает на входы умножителя и следующей ЛЗ. Колебание,
поступившее на вход второй ЛЗ, задерживается дополнительно на время Л.1
так, что общая задержка составляет 2А/3 Задержанное на эту величину коле-
бание поступает на вход третьей ЛЗ и вход второго умножителя и т. д. За-
держанные на величины АД 2ДД ЗМ ... колебания суммируются, образуя ко-
лебание у. Таким образом, получается с точностью до множителя е' пе-
редаточная функция (18.37). Умножитель в простейшем случае представляет
собой делитель напряжения. Регулировка (настройка) корректора осуществля-
ется с помощью изменения коэффициентов А/. На практике изменяется коэф-
фициент деления делителя. Для упрощения изображения схемы гармоническо-
го корректора каскадное соединение линии задержки заменяют одной ЛЗ с
отводами, а умножители —переменным сопротивлением (кроме этого не пока-
зывают заземленных проводов). Соответствующая данным упрощениям схема
гармонического корректора показана на рис. 18.43. Частным случаем гармони-
ческого корректора является косинусный корректор. Он получается когда
число отводов слева и справа от нулевого одинаково и соответствующие ко-
эффициенты с положительными и отрицательными индексами равны между
собой, т. е. А_/ = А/. Тогда попарные суммы дают косинусоидальную функ-
цию

+ = 2Л/ С08/юД^

а выражение (18.37) примет вид

Н (/со) = Ао + 2^ А; соз I со АI.

/=1

Полученная функция является вещественной, а значит может применяться
только для коррекции АЧХ.

В данном параграфе изложены только основы построения гармонических
корректоров в диапазоне частот 0 ... оу. Здесь не рассмотрены полосовые кор-
ректоры, алгоритмы автоматической настройки корректоров, а также коррек-
торы с обратными связями и ряд других вопросов, которые изучаются в спе-
циальных курсах.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Почему происходят искажения сигнала на выходе цепи?

2.	Сформулировать условие отсутствия амплитудно частотных ис
кажений в цепи.

3.	Каким образом корректируются частотные характеристики цепей?

4.	По какой схеме можно построить пассивный амплитудный
корректор?

5.	Как рассчитывается передаточная функция Т перекрытого кор
ректора и вносимое им ослабление?

6.	Схема двухполюсника 7^ в корректоре приведена на рис. 18.14, а.
Получить схему двухполюсника 7_\. Построить график частотной
зависимости ослабления Ак(со) корректора.

7.	Какие схемы типовых звеньев пассивных корректоров из
вестны? Какой вид имеют частотные характеристики вноси
мого ими ослабления?

8.	Доказать, что частотная характеристика ослабления Ак(со) звена,
изображенного на рис. 18.16, имеет вид (18.8), а максимальное
значение ослабления рассчитывается по формуле АКтаг =
= 201§ 11 +Я1/Я0|.

9.	Доказать, что операторная передаточная функция элементарного
четырехполюсника, изображенного на рис. 18.22, б, соответст
вует передаточной функции корректора (формула (18.5)).

10.	Какие амплитудные корректоры называются активными?

11.	Получить передаточную функцию и частотную характеристику
ослабления активного звена корректора, изображенного на
рис. 18.23, б, в котором в качестве двухполюсника 7 выбран
параллельный ЬС контур. Подтвердить, что график рабочего
ослабления Ак(со) такого корректора — это кривая 2 на
рис. 18.25.
2	1	1

Ответ: Як (р) - ^1+^2 • -----Р^+^С ПС = н р2 +	+ со2о

К2 р2 1	□_	р + а2р + со0

р ' К2С ИС

12.	Каков порядок расчета пассивного амплитудного корректора?

13.	Рассчитать элементы, образующие двухполюсник 2д амплитуд
ного корректора, частотная зависимость ослабления Ак(/) кото
рого приведена в таблице, а значение Яо = 200 Ом.

Таблица

/, кГц	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Ак, дБ	15,6	10,5	6,3	4,0	2,7	1,9	1,4	1,1	0,9	0,7	0,6

Ответ:	= 1 кОм, С\ = 51 нФ.

14.	Зачем применяют каскадное соединение типовых звеньев кор
ректоров?

15.	Сформулировать условия безискаженной передачи сигнала.

16.	Почему происходят фазо частотные искажения?

17.	Что такое групповое время прохождения?

18.	По рис. 18.12 пояснить, как работает фазовый корректор.

19.	Каким образом строятся пассивные фазовые корректоры?

20.	Как рассчитываются передаточные функции Нк(р), фазовые
характеристики Вк(со)и ГВП Ср(со) мостовых фазовых коррек
торов 1 го и 2 го порядков?

21.	Как изменится график Яр(/) на рис. 18.32, б, если индуктив
ность уменьшить в 2 раза.

22.	Определить параметры элементов фазового корректора 2 го по
рядка (рис. 18.32) по заданным коэффициентам передаточной
функции соо = 0,416 • 104 с 1, 9П = 0,25 и Яо = 600 Ом.

Ответ:	= 36 мГн; С1 = 1,6 мкФ;

С2 = 0,58 Гн; С2 = 0,1 мкФ.

23.	Каким образом строятся активные фазовые корректоры?

24.	Доказать, что операторная передаточная функция Нк(р) кор
ректора, изображенного на рис. 18.35, имеет вид (18.30).

25.	Каким образом на основе схемы рис. 18.37 получить фазовые
корректоры 1 го и 2 го порядков?

26.	Как изменится график Яр(/) на рис. 18.39, если сопротивление
Яр 1) увеличить в 4 раза; 2) увеличить в 10 раз; 3) уменьшить
в 2 раза?

27.	Каков алгоритм расчета фазовых корректоров?
ГЛАВА 19. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И ЦЕПИ

19.1.	Дискретные сигналы

Дискретизация аналоговых сигналов. Сигнал — это физический
процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряже
ния), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал
можно описать математической функцией.

Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Ана-
логовые сигналы описываются непрерывной во времени функцией
х(О, которая может принимать любые значения в определенном
интервале (на рис. 19.1 в качестве х(О взят ток г(О микрофона М);
дискретные сигналы хг(О представляют собой последовательности
или отсчеты функции х(О, взятые в определенные дискретные мо
менты времени кТ (рис. 19.1, б); цифровыми являются сигналы,
которые в дискретные моменты времени кТ принимают конечные
дискретные значения — уровни квантования (рис. 19.1, в), кото
рые затем кодируются цифровыми кодами. (На рис. 19.1, в, А —
шаг квантования).

Если в цепь микрофона (рис. 19.1), где ток г(О является не
прерывной функцией времени, встроить ключ и периодически на
короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид
узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерыв

а)

Ф
ного сигнала. Последовательность этих импульсов, которые назы
вают отсчетами непрерывного сигнала, и представляет собой, не
что иное, как дискретный сигнал. Причем, во всех этих записях
к — целое число, принимающее как положительные, так и отрица
тельные значения.

В отличие от непрерывного сигнала х(О дискретный сигнал
можно обозначить хт(Л). Так, на рис. 19.1 при к < 0 дискретный
сигнал 1т(Л) = 0. При к = 0 значение ДСОГ) равно значению сиг
нала г(О в момент времени I = 0. При к > 0 отсчеты г(кТ) повто
ряют форму сигнала г(О, т.к. их амплитуды равны значениям не
прерывного сигнала в моменты времени кТ.

Дискретные сигналы можно задавать графиками, как это пока
зано на рис. 19.1, формулами, например, гг (Д) = зтрл/^Т), в ви
де таблиц дискретных значений или другими способами.

Цифровые сигналы и фильтры будут рассмотрены в § 19.8.

При рассмотрении дискретных сигналов часто время норми
руют к периоду дискретизации:

При этом дискретный сигнал рассматривается как функция цело
численной переменной к:

х(кТ) = х(к).

Математическая модель дискретного сигнала. Аналитически
дискретный сигнал хт(О удобно представлять с помощью дискре-
тизирующей последовательности 5 функций:

со

Щ)= X	(19.1)

/?=—со

Тогда хт(О можно представить в виде

хт&) = х&)-/'&) = х&)	Ъ&-кТ) = х(кТ)Ъ&-кТ), (19.2)

к=-ж	к=-<я

Рис. 19.2

О

Рис. 19.3
Рис. 19.4

т.е. дискретный сигнал хт(О с помощью (19.2) представляется в
виде последовательности 5 функций с весовыми коэффициентами,
равными отсчетам х(кТ) аналогового сигнала х(О в точках кТ. На
рис. 19.2 изображена схема, иллюстрирующая процедуру форми
рования дискретного сигнала согласно формулы (19.2).

Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, получен
ных из типовых аналоговых сигналов.

Пример. Единичный ступенчатый аналоговый сигнал 1(0 приведен на
рис. 19.3.

Соответствующий ему дискретный сигнал Хт(1) называется ступенчатой
последовательностью. Он определяется следующим образом:

Такая последовательность приведена на рис. 19.3.

Пример. Импульс Дирака или 5-функция в аналоговой области приведена
на рис. 19.4, а.

Дельта-последовательность или дискретная 5-функция определяется выра-
жением

5Г(О

(1, 6 = 0;

(О, к*0.

Последовательность 5 г (О, приведенная на рис. 19.4, б принимает единст-
венное значение, равное 1, при к = 0. Этот сигнал можно сдвинуть на т ин-
тервалов (рис. 19.4, в при т = 2):

8Т<Л - тТ) = Щ

к = т;
к ф т.

Пример. Цифровой единичный скачок (рис. 19.5, а), описываемый отно-
шением

щ (к)

(1, к>0;

(0, к<0,

из которого следует, что данный сигнал равен единице при к > 0 и равен ну-
лю при остальных значения к.

Задержанный цифровой единичный скачок (рис. 19.5, б), описываемый

соотношением
а)	б)

Рис. 19.5

из которого следует, что данный сигнал, в отличие от незадержанного, равен
единице при к > к0 и равен нулю при остальных значения к.

Пример. Дискретная экспонента, описываемая соотношением

х(к) =

ак, к>0;

О, к<0,

Если \а\ < 1, дискретная экспонента называется убывающей (рис. 19.6, а\
а если \а\ > 1, — возрастающей (рис. 19.6, 6). При а < 0 последовательность
будет знакопеременной (рис. 19.6, в), а при а > 0 — знакопостоянной. При
а = 1 все значения отсчетов при к > 0 одинаковы и равны единице.
Пример. Дискретная косинусоида (синусоида) (рис. 19.7), описываемая
соотношением

х (к) = А соз (2п/Тк) = А соз (озТк),
где Т — период дискретизации; /, со — линейная и циклическая частоты, свя-
занные соотношение со = 2л/.

Дискретная косинусоида связана с аналоговым гармоническим сигналом
следующим образом:

х<Л) = Дсо8(со^)к=^г = Асоз(а)Тк).

Пример. Дискретная комплексная экспонента, описываемая соотношением
х(к) = Ле]ыТк,
или, с учетом формулы Эйлера

х(&) = Асо8(соТ&) + ]А8т(со77?).

Интервал времени Т, через который отсчитываются значения
непрерывного сигнала х(О, называется интервалом дискретиза-
ции. Обратная величина 1/Г (обозначим ее /д) называется частотой
взятия отсчетов или частотой дискретизации.

Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой
(или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все,
даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе, при восстановле
нии этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет
потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от
формы исходного (рис. 19.8). Если обратиться к схеме рис. 19.1,
то это означает, что звук на приеме будет восприниматься с иска
жениями.

Для сигналов с ограниченным спектром, т.е. сигналов, у кото
рых спектр ограничен некоторой верхней частотой сов = 2лРв суще
ствует теорема Котельникова, определяющая выбор интервала
дискретизации Т (или, что то же, частоты дискретизации /д). Эта
теорема впервые была доказана В.А. Котельниковым в 1933 г. в
работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в элек
тросвязи» ставшей основополагающей в теории и технике цифро
вой связи.

Теорема Котельникова. Если функция х(1) имеет спектр, ог-
раниченный верхней частотой Ев, то х(1) полностью определя-
ется последовательностью своих значений (отсчетов) в момен-
ты времени, отстоящие друг от друга на период Т < 1/2Рв.

Математически теорема Котельникова записывается следующим
образом

х(1) = 2. х(кТ)-----————,	(19.3)

к=-оо	СОви-/?/)

где сов = 2лРв; Т = 1/2Ев; х(кТ) — значения (отсчеты) функции
х(О в моменты кТ.

Доказательство теоремы Котельникова дается в общей теории свя
зи. Здесь же отметим, что функция вида §т (пв1'/(пв1' (V = I — кТ)
известна нам как функция отсчетов (см. § 5.3), поэтому теорему
Котельникова иногда называют еще теоремой отсчетов.

Физический смысл теоремы Котельникова (19.3) заключается в
том, что непрерывная функция х(1) с ограниченным спектром Ев
полностью может быть восстановлена, если известны ее отсчеты,
взятые через интервал Т < 1/2Рв. Эта теорема играет очень боль
шую роль в теории связи, т. к. позволяет передачу аналоговых
сигналов заменить передачей дискретных или цифровых сигна
лов, что позволяет существенно повысить эффективность систем
связи.

Учитывая, что согласно теоремы Котельникова частота дискре
тизации /д = 1/Г > 2РВ, т.е. должна быть не менее, чем вдвое пре
вышать верхнюю частоту Ев в спектре аналогового сигнала, то при
анализе дискретных сигналов и цепей в частотной области часто
вводят понятие нормированной частоты'.

=/Т или со = соГ.	(19.4)

19.2.	Спектр дискретного сигнала

Преобразование Фурье для дискретного сигнала. Определим
связь между спектром У (/со) аналогового сигнала х(О и спектром
Хт(]ы) дискретного сигнала Хт(й), определенного моделью (19.2).
Учитывая, что хт(й) = х(1)/(1) согласно теоремы свертки (9.30)
получим спектральную плотность дискретного сигнала
Рис. 19.9

(19.5)

где ХД/со) — спектральная плотность дискретизирующей последо
вательности (19.1).

Для нахождения ХД/со) разложим ДО в комплексный ряд Фу
рье (5.6):

(19.6)

где Юд = 2л/Г — частота дискретизации,

9 Г/2	.	? Г/2	.	?

Ак = — Г {(йАе~]кт^  сП = — [ д(1)е~]ка>а1 • сИ = —.

Отсюда согласно (9.42) получаем

2тт ж

= А х 8

1 П=-со

(со - ПСОд ).

(19.7)

Подставив (19.7) в формулу (19.5) после изменения порядка
интегрирования и суммирования и с учетом фильтрующего свойст
ва 5 функции окончательно получим

п=-со

(19.8)

Из (19.8) следует важный вывод: спектр дискретного сигнала
Хт<Л) (рис. 19.9 б) представляет собой сумму бесконечно боль-
шого числа «копий» спектра аналогового сигнала (рис. 19.9, а),
расположенных на оси частот через одинаковые интервалы.

Следует отметить, что согласно (19.8) и рис. 19.9, б энергия
спектра дискретного сигнала оказывается бесконечно велика, что
518
является следствием идеализации реального сигнала моделью
(19.2). Если же использовать вместо дискретизирующей последова
тельности (19.1) последовательность импульсов конечной энергии
(например, прямоугольных импульсов), то получим спектр Хг(/со),
энергия которого убывает с ростом со («копии» Х(/со) с ростом со
уменьшаются). В то же время следует еще раз подчеркнуть, что
представление дискретного сигнала в форме (19.2) существенно
упрощает анализ дискретных сигналов и цепей и широко использу
ется в расчетах.

Спектр дискретного сигнала Аф (/со) можно найти и непосредст
венно из прямого преобразования Фурье (9.6) для дискретного
сигнала (действует в момент I > 0).

Хт (/со) = | (Ос ^(Н = I е х(кТ)8(? - кТ)Л =
о	о &=о

= х{кТ} | е~^8(Л. - кТ}(Н.
к=0	0

Отсюда с учетом фильтрующего свойства 5 функции получим
прямое преобразование Фурье для дискретных сигналов.

Хт (/со) = х(кТ)е~^кт	(19.9)

и обратное преобразование Фурье:

х(кТ) = — ( Хт ( ](!Т)е /ыктс1(!х	(19.10)

ЮД -0,5 год

На практике в формулах (19.9), (19.10) часто вместо зависимо
сти Аф (/со) рассматривают зависимости Аф(//), которые легко
можно получить путем замены со = 2л/.

Пример. Рассчитаем спектр дискретного сигнала, состоящего из одного от-
счета хт<Л) = [а; 0; 0; 0; ...].

Воспользуемся формулой (19.9), в которую подставим значения лу(О за-
данного сигнала

Хг(//) - ^х(кТ)е -^/кт ^ае-р}'т = а.

к=0

Пример. Рассчитаем спектр экспоненциальной дискретной функции хт(Т) =
= 0,5 , к > 0.

График дискретной функции хт(Т) приведен на рис. 19.10, а ее отсчеты
можно записать в виде последовательности х{/?} = {1; 0,5; 0,25; 0,125;
0,0625; ...}.

Спектр дискретной экспоненты рассчитаем по формуле (19.9)
х[кТ]е ]2'/ к1 = ^0,5ке }2^кт =
к=0

1

1-0,5е~/2я/т ’

где для суммирования ряда использована формула

со	Л

^/ук =1 + у + у2 + у3 + ... = --.

к=0	1 У

Используя формулу Эйлера (еч = СО8Х + /зшх), получим выражение для
расчета спектра амплитуд Х(/).

X (/) = 1/1 - 0,5 соз (-2 л/Т) ]2 + [ 0,5 зш (-2 л/Т) ]2 .

Для построения графика будем задавать значения / от 0 до 1/Т с шагом
0,1/7" и рассчитывать Х(/).

График спектра амплитуд Х(/) экспоненциальной дискретной функции
= 0,5к приведен на рисунке 19.11.

Как видно из графика, спектр дискретного сигнала сплошной и периодиче-
ский с периодом /д = 1/Т.

Следует отметить, что если не выполняется условие теоремы
Котельникова: /д > 2/в, то спектры в (19.8) частично перекрывают
ся. На рис. 19.12, рис. 19.13 показан характер изменения спектра
дискретного сигнала Хт(/) при изменении частоты дискретизации
сигнала хт(О, ограниченного во времени интервалом Тс (рис.
Рис. 19.13

Как следует из представленных графиков увеличение периода
дискретизации Т > 1/2Рв; Рд < 2РВ приводит к наложению смеж
ных спектров в (19.8), что приводит к наложению спектра Хг(/).
Эти искажения называются ошибками наложения. Чтобы их уст
ранить необходимо частоту дискретизации увеличить до РЛ > 2РВ.

Пример. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую
частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю
при значениях частоты выше 100 кГц.

Из условия задачи следует, что граничная частота спектра Рв равна
100 кГц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дис-
кретизации

1 1

1 =-----=-----------5- = 5 мкс .

2ГВ 2 • 100 • 103

Минимально допустимая частота дискретизации /д = 2Рв = 2-100 = 200 кГц.

Пример. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью = 3 мс,
приведенного на рис. 19.14, а, если в качестве граничной частоты спектра Рв
принять значение 3/^и, выше которого все значения спектральной плотности
уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.
Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, од-
нако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким обра-
зом, чтобы отсекание частот превышающих Ев, привело к пренебрежимо ма-
лым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.

Граничная частота спектра Ев = ЗЛИ = 3/(3-103) = 1 кГц.

Интервал дискретизации Т = 1/(2Рв) = 1/(2 -1 - 103) = 0,5 мс.

Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 19.14, а, через интервал вре-
мени Т = 0,5 мс и получаем последовательность х{к} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0},
изображенную графически на рис. 19.14, б.

Отметим, что аналоговый сигнал х(О можно полностью восста
новить по его дискретным отсчетам х(кТ) с помощью ФНЧ, часто
та среза которого сос = 0,5сод = сов- Этот вывод хорошо иллюстри
рует рис. 19.13, а из которого видно, что спектр сигнала на выходе
ФНЧ совпадает со спектром аналогового сигнала х(О.

Дискретное преобразования Фурье. Как следует из формулы
(19.8) Хг(/со) имеет периодическую структуру с сод = 2л/Г. При
чем, как и спектр аналогового сигнала Х(/со) спектр дискретного
сигнала Ху/фо) является сплошным (см. рис. 19.9, б). Вместе с
тем при цифровой обработке сигналов используется не только
дискретизация во времени, но и дискретизация в частотной об
ласти.

Рис. 19.15
Для сигнала х(0 ограниченного во времени интервалом Тс
(рис. 19.15, а) справедлива обратная теорема Котельникова, которая
может быть получена из (19.3) путем замены I со; сов —> Тс/2; ТАсо:

Т

Тсрв	81п^(со - пЛсо)

Х(/со) = Е 2^(72 Асо)	,	(19.11)

п=~ТТ,	(со - пАсо)

2

где Асо = 2л/Тс; Тс — длительность сигнала; Х(пАсо) — отсчеты
спектра сигнала в частотной области.

Переходя к дискретному сигналу л?т(О (рис. 19.15, б) отметим,
что общее количество отсчетов сигнала будет равно

ы = тс/т,

где Т = 2л/сод = л/сов.

Дискретный спектр (рис. 19.15, е) может быть получен путем
периодического повторения последовательности {х(кТ)} с периодом
Тс = КТ (рис. 19.15, в). При этом частотный интервал между дне
кретными отсчетами спектра (рис. 19.15, е) составляет

Асо = 2л/Гс = 2^1 КТ.	(19.12)

С учетом вышеизложенного дискретное преобразование Фурье
(ДПФ) можно получить, если в преобразовании (19.9) сделать за
мену со = пАсо. Тогда получим

лг-1

Хг(/пАсо)= х(кТКг]пЛ('}кт

к=0

или с учетом (19.12)

Хг(/пАсо)= х(кТ)е }пк\	(19.13)

к=0

где п = 0; ±1; ±2; ± ... К/2.

Для упрощения записи аргумент пАсо и кТ обычно заменяют ин
дексом п и к соответственно и опускают индекс Т, при этом (19.13)
примет вид

ЛМ	-1—кп

Х(/п) = X х(к)е м ,	(19.14)

к=0

которое определяет прямое ДПФ.

С помощью (19.14) можно определить отсчеты спектра Х(уп) по
временным отсчетам сигнала х(к).

Обратное ДПФ можно получить из (19.14) воспользовавшись
дуальностью прямого и обратного преобразований Фурье:
1 х-1

.2л ,
у—1г п

(19.15)

При к < 0 обратное преобразование Фурье определит х(к),
расположенную слева от 0 (рис. 19.15, в).

Для ДПФ по аналогии с непрерывными преобразованиями Фу
рье справедливы основные теоремы и свойства (см. § 9.2).

В частности, свойство линейности

^арх^к) =	(19.16)

1=1	1=1

сдвиг дискретного сигнала'.

.2п

/Г	\	\	-П1П

х{к - т) = Х\]п)е м

(19.17)

т.е. сдвиг последовательности отсчетов сигнала на т интерва
лов приводит лишь к изменению фазового спектра дискретного
сигнала.

Теорема свертки'.

лг-1

Х1(п)Х2(п) = Х\ (т - к)х2 (к),
1г=0

(19.18)

где = АД + АД; АД, АД — число отсчетов х\ и х2 соответственно.

Аналогично можно записать и другие теоремы для ДПФ. Заме
тим, что ДПФ можно использовать для определения не только
спектра дискретных сигналов, но и спектра аналоговых сигналов,
для чего их необходимо дискретизировать согласно теоремы Ко
тельникова (19.3).

Пример. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного
тремя отсчетами хШ = {0; 1; 2}.

Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (19.14).

/2-00-1	/2-10-'	/2--2О-1

X (/ 0) = х (0) е	3 + х (1) е 3 + х (2) е	3 = 0 + 1 + 2 = 3;

-/2л-0-1—	-/2л-Ы—	-/2л-2-1-—	чтпо	-т/по

Х(/1) = х(0)е	3 + х (1) е 3+х(2)е	3 = 0 + 1 е+ 2е-'	;

Х(72)^Ое^о° +1е^240° +2е^480°.

Поскольку

«-/120° _ -/480° _	->/3	-/240°

С/	— С/	—	/	«С/

2 7 2

МЛ) = |(-3 + уМ) = 1,74е-'150° ,
Рис. 19.16

х(/с)н
0,5

0,25 ~

О

-0,5

-0,25

---•--------•-------9-------•--►

2 3 4 5 б 7 8 9 к

Рис. 19.17

Х(]2) = |(-3 -/Л) = 1.74 е'2|0° .

Графики заданного дискретного периодического сигнала х(/г) и рассчитан-
ного дискретного периодического спектра амплитуд Х(п) приведены на
рис. 19.16.

Пример. Рассчитаем значения дискретного сигнала х(к), ДПФ которого
имеет вид Х[и] = {0; 1; 0; 1}.

Значения дискретного сигнала х(к) будем рассчитывать по формуле
(19.15)

х(0) = —{х(0)еу0° +Х(1)еу0° +Х(2)еу0°
4

х(1) = —
4

.71	. 6ТГ

Х(О)е/о° +Х(1)еУ1 +Х(2)еуя +Х(3)еУт

= |(0 + у1 + 0-у1} = 0;

х( 2) = 1{ Х(0)е'°° +Х(1)еу” + Х(2)е'2’ + X (3) е-13’} =
4

= —{0 -1 + 0 -1} = -0,5;

4

х (3) = —

4

“ 4

.Зтг	.9тг

Х(О)е/о° + X (1) с' 2 +Х(2)е/Зя +Х(3)еУт

График последовательности х{&} = {0,5; 0; —0,5; 0} приведен на
рис. 19.17. Сигнал х(/г) дискретный и периодический.

Пример. Определить с помощью ДПФ спектр аналогового сигнала, изо-
браженного на рис. 19.18, а.
Рис. 19.18

Ограничим длительность сигнала Тс, где е “гс 1 (рис. 9.18, а). Напри-
мер, при Тс = 3/а, е “гс = е 3 -0,05. Выберем число отсчетов /V = 10, опре-
делим частоту дискретизации

. 2л 2л 2л

Асо = — =------=------.

Тс МТ ЮТ

Согласно (19.14) находим отсчеты спектра сигнала

Х(/0) = 1-С° + 0,716 с -/0 + 0,531 с -/0 + 0,37 с -/0 + 0,263 с -/0 + 0,189 с -/0 +
+ 0,135 с /0 + 0,0934 с /0 + 0,07 е~/0 + 0,05 е = 3,41;

_ .4	.8	.12	.16

Х(/4) = 1 • е"у0 + 0,716с	+ 0,531с^Г + 0,37с^уЯ + 0,263сУу +

.20	.24	.28	.32	.36

+0,189 е 7 5 " + 0,135 е''^ +0,0934 с У 7У +0,07 е '	+0,05 е '	-0,6

и т.д.

В таблице приведены результаты расчета спектра,

п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Х(]п)	3,4	3,3	2,8	1,6	0,6	0,4	0,6	1,6	2,8	3,3

а на рис. 19.18, б спектр сигнала Х(]'п). Следует отметить, что с увеличением
Т (уменьшение числа отсчетов ЛО погрешность аппроксимации х(1) увеличи-
вается (см. рис. 19.8, а).

Как следует из вышеприведенных примеров и формул (19.14),
(19.15), для вычисления ДПФ содержащих отсчетов необходимо
осуществить в общем случае М2 операций с комплексными числа
ми. Если длина обрабатываемых массивов достаточно велика, то
вычисление ДПФ даже на современных быстродействующих ЭВМ
занимает достаточно много времени. Для сокращения вычислений
используют обычно алгоритм быстрого преобразования Фурье
(БПФ). Существует много разновидностей БПФ. Здесь мы рас
смотрим один алгоритм, основанный на прореживании по времени.

Быстрое преобразование Фурье. Положим, что число отсчетов

= 2^, где «у — целое число. Разобьем дискретную последователь
ность отсчетов {х(к)} не две части:

четную {х(&)}чт = {х(2к)}
и нечетную {х(&)}нч = {х(2к + 1)}, где к = О, 1, 2, ... 1Х/2 — 1.

Представим спектр (19.14) в виде

—-1	— -1

Х(]п) = х(2к)е 3ы2кп +	х(2& + 1)е 3д/2/г+1)и =

/?=()	/г=0	По 4сп

X,	дг

2 1	-1—кп ;2пп 2 1	-1—кп

= X х(Ме ’хР + е~’^Г х(2к + \)е ’ХР .
к=0	к=0

Из (19.19) следует, что

Х(]п) = Хчт(]'п) + е 1 н Хт(]'п),	(19.20)

где п = 0, 1, 2, .... (Ш2) - 1).

Из (19.20) следует, что первая половина Х(]'п) (п = 0, 1, 2, ...,
(Л72) — 1) выражается через ДПФ двух частных последовательно
стей: Хчт(/и) и Хт(]'п). Вторую половину (п Л72) Х(]п) можно
найти, если учесть периодичность его четной и нечетной части с
периодом Л72:

2СЧТ (7^) = 2СЧТ [ ] (п + X/2)], 2СНЧ (]п) = 2СНЧ [ ] (п + X/2)]

и соотношение (при п > Л72):

.2п((Ы/2)+п)	,2тт	.2тш

е3 X = е~Х  е~3ХГ = -е~3ХГ,
при этом получим

Х\_]((Х/2) + п)2 = Хчт(]п)-е 3	-Хт(]п).	(19.21)

Формула (19.20) и (19.21) лежит в основе БПФ. Как следует из
этих формул для вычисления Хчт(/и) и Хнч(/^) требуется (Х/2)
операций и для выполнения операции умножения на ехр {•} —
операций:

Л'бпф =(Л,/2)2 + №	(19.22)

Для ДПФ (19.14) требуется ЛДщф = Л^2/2 + Л^2/2 = Л^2 опера
ций, что существенно выше, чем Л^бпф- Например, при = 10°,
получаем ЛДщф = 10°, а Л^бпф ~ 250-10 , т.е. для БПФ требуется
в четыре раза меньше операций, чем при ДПФ.

В общем случае число операций, необходимое в БПФ равно

XБПФ - X 1о§2 X

и выигрыш по сравнению с ДПФ равно

ЛИо§2 X

(19.23)

(19.24)
и может достигать сотен и тысяч раз при достаточно больших
входных массивах Лк

В заключении отметим, что сам процесс вычисления по форму
лам (19.19), (19.20) производят по итерационному принципу: по
следовательность отсчетов с четными и нечетными номерами снова
разбивают на две части и т.д. Процесс разбиения продолжается до
тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из од
ного элемента (исходного ДПФ). Более подробно с алгоритмами
БПФ можно ознакомиться в специальной литературе (см. напри
мер, Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая
обработка сигналов. М.: Радио и связь. 1990).

19.3.	/-преобразование и его свойства

При анализе и синтезе дискретных и цифровых цепей широко
применяют так называемое г-преобразование. Это преобразование
играет такую же основополагающую роль по отношению к дне
кретным сигналам, как преобразование Лапласа по отношению к
аналоговым сигналам.

/-преобразование дискретного сигнала. Заменим в уравнении
(19.9) /со на комплексную переменную р\

Хт(р)=	(19.25)

таким образом, мы получим изображение по Лапласу дискретного
сигнала. Оригинал, т.е. сам дискретный сигнал можно определить
с помощью обратного преобразования Лапласа (7.4):

] Л

хт(Л) =---- Г Хт(р)е?тс1р.	(19.26)

2л/

Уравнение (19.26) определяет всю дискретную последователь
ность хт (О = {х(кТ)}. Для определения одного, к го отсчета
формула (19.26) примет вид

1 Л/т
х(кТ) = Т — Г Хт(р)еРкт(1р.	(19.27)

2^7 -/п/г

Следует однако отметить, что Хтбр) является трансцендентной
функцией переменной р вследствие наличия в (19.25) и (19.27)
множителя е±р^т.

Для перехода к рациональным функциям осуществим замену
переменных:

еРт=г = х + ]у.	(19.28)

Тогда формула (19.25) примет вид:
Х^г) = х(к)2~к.	(19.29)

к=0

Равенство (19.29) называют прямым односторонним г-преоб-
разованием.

Обратное г преобразование определяется формулой:

х(&) = —$ Х(г)(19.30)
2 ку 12-1=1

где интегрирование осуществляется по окружности с радиусом |г| = 1.

Доказать справедливость (19.30) можно следующим образом. Пусть Х(г) —
функция комплексной переменной г, аналитическая в области |г| > го- Рас-
кроем ряд (19.29):

Х(г) = х(0) + х(1)г1 + х(2)г2 + ... + х(к)г к.	(19.31)

Домножим левую и правую часть (19.31) на г^-1:

'А"(г) = ,т(0)г/г 1 + .к(1)г/? 2 + .к(2)г/г 3 + ... + х(к)г~1.	(19.32)

Возьмем контурный интеграл от левой и правой части (19.32) вдоль кривой,
лежащей целиком в области аналитичности и охватывающей все полюсы Х(г)
и учтем равенство Коши:

Тогда все слагаемые, кроме к го обратятся в нуль:

ф Х(г)12 = ф х(к)г ' 12 = х(к) ф г112 = 2тух(.к).

|г| = 1	|г|=1	|г| = 1

Отсюда непосредственно следует (19.30), что и требовалось доказать.

Установим связь между точками на комплексной плоскости р =
= а + /со и г плоскости 2 = х + ]у (рис. 19.19).

Если положить а = 0, то мы будем перемещаться по оси /со в
плоскости р. При переходе в г плоскость точки мнимой оси /со бу
дут располагаться на единичной окружности г = е]<йТ. Причем,
точка /0 на р плоскости переходит в точку г = +1 на вещественной
оси г плоскости, а точки ±/0,5сод — в точку 2 = — 1. Это означает,
что точки отрезка (-/0,5сод ч/О,5сод) р плоскости проектируются в
точки на единичной окружности г плоскости. Так как функция
е±]<йТ периодическая, то последующие отрезки оси /со на р плос
кости такой же длины будут вновь проектироваться на единичную
окружность.

Точкам левой р полуплоскости соответствуют точки внутри еди
ничной окружности г плоскости, а точкам правой р полуплос
кости — точки вне этой окружности.

Пример. Рассчитаем г-преобразование дискретного сигнала х(к), имеюще-

го вид

О, к<0

х(к)= 1, к = Х, 2, 3

О, к>3.

Воспользовавшись формулой (19.29), получим

Х(г) = 2 1 + г 2 + 2 3

22 + 2 + 1

Пример. Найдем ^-преобразование Х(г) дискретного экспоненциального
сигнала х(к) = е~акт.

Подставим значение х(&) в формулу (19.29), получим

оо	со	со	1

Х(г) = ^х(к)  2~к = е~акт хк=^(е,1Тх'} .
/; ()	/; О	/; О

Из теории рядов следует, что при выполнении условия |е аТ-2 < 1 сум-
ма ряда Х(г) равна 1/(1 — е-аГ-г-1) или

2 преобразование Х(г) дискретного сигнала х(к) определено
только для области г, в которой степенной ряд (19.29) сходится.
Эта область сходимости включает в себя все значения г, находя
щиеся вне некоторого круга на комплексной г плоскости, радиус

которого г0 называется радиусом сходи
мости (рис. 19.20), т.е. при го < |г| < оо
ряд сходится. В области сходимости
существует взаимно однозначное соот
ветствие между Х(г) и х(к), т.е. каждо
му х(к) соответствует одно и только
одно Х(г), определенное для |г| > го и
наоборот.

Пример. Определим радиус сходимости для
^-преобразования сигнала, заданного в преды-
дущем примере.
Как уже было установлено, ^-преобразование сигнала х(/г) = е акг
вид

имеет

Нуль функции Х(г) будет в точке го = 0, полюс — в точке 2^ = е аТ. Сле-
довательно, радиус сходимости го = е аТ, а функция Х(г) сходится при

_т

Окружность, имеющая радиус сходимости го = е “ , приведена на
рис. 19.19. Область сходимости находится за пределами этой окружности.

Пример. Найдем г-преобразование сигнала х(к) = Аа\ к > 0. Этот дис-
кретный сигнал показан на рис. 19.21 для трех различных значений а: а = 0,8;
а = 1; а = —0,8.

В соответствии с (19.29) ^-преобразование такого дискретного сигнала

а)

б)
Из математики известно, что этот ряд сходится к функции

Х(г) = А	(19.34)

1 - аг г - а

если |«/-1| < 1 или |/| > а.

Функция Х(/) имеет нуль при г = 0, а ее полюс гп = а лежит на окружно-
сти радиусом До = а, ограничивающей область сходимости.

На рис. 19.21 показано расположение нуля и полюса функции Х(/) в г-
плоскости при различных а.

Нахождение дискретного сигнала по его г-изображению. Для
этого можно воспользоваться обратным г преобразованием (19.30).

Другой способ заключается в том, чтобы разложить функцию
Х(г) в степенной ряд по степеням г-1. Тогда коэффициенты при
степенях г-1 будут, в соответствии с формулой (19.29), отсчетами
дискретного сигнала х(к).

Пример. Найдем дискретный сигнал х(к), которому соответствует /-преоб-
разование Х(г) = 1/(1 — 0,5/-1).

Воспользуемся разложением функции (1 — д)-1 в ряд:

1 + <7 +	+ ... .

Для заданного /-преобразования д = 0,5/-1, поэтому запишем /-преобразо-
вание в виде

Х(/) - 1 + 0,5/ ' + 0,25/ 2 + 0,125/ 3 + ....

Сравнивая полученное выражение с общей формулой /-преобразования

X (/) = х(к)г~к,
к=0

получим последовательность

х{к} = {1; 0,5; 0,25; 0,125; ...}.

Общий член этой последовательности х(к) = 0,5^, к > 0.

Пример. Найдем отсчеты дискретного сигнала по его /-преобразованию

X (/) = 230/2—  ----------——:-----.

6/2 — / — 1 л 1	1	1	2

О/ /	--1-----А

6	6

Для разложения функции Х(/) в степенной ряд по степеням /-1 выполним
С	Г 4	1 -1	1 -2) тэ

деление числа 5 на многочлен 1----/-----/ .В результате получим част-

V 6	6	)

ное 5 +	1 + "Ц"7 2-1"	’ Отсчеты дискретного сигнала равны

5	35

х(0) = 5; дс(1) = —; х(2) =—; и т.д.
6	36

Процедура деления здесь не приведена из-за ее громоздкости, хотя выраже-
ния полиномов, стоящих в числителе и знаменателе Х(г), не слишком сложные.
532
Более эффективным способом нахождения х(/г) по известному Х(/) явля-
ется способ подобный методу разложения на простейшие дроби в преобразо-
ваниях Лапласа.

Пример. Найдем общий член хъ дискретного сигнала х(&), которому соот-
ветствует /-изображение, заданное в предыдущем примере

х (/) = 230/2 =----- 5 --------.

6/2-/-1

6	6

Функция Х(/) имеет полюсы в точках 2\ = 1/2 и /2 = —1/3, или, что то
же, в точках г\ = 2 и /2 = —3.

Разложим Х(/) на сумму простых дробей:

Х(/) =	т	.	(19.35)

/,	1	_1У,	1	Л	4 1-1	4 1-1

1--/1	1+~/Ч 1"-/	1+й2

I	2 Л	3	)	2	3

Коэффициенты в числителях каждой дроби вычисляются так же, как при раз-
ложении входного сопротивления /(р) реактивных двухполюсников при син-
тезе их по схеме Фостера:

Г1 - ИГ1+-/ и

I 2 Л 3 )

5^1 +

1 - 1/ 1 К1 + V/ '

I 2 А 3 )

= 3;

г 1 2

- 2.

г 1	3

Подобно тому, как формула (19.34) представляет сумму ряда (19.33), про-
стые дроби в (19.17) являются суммами рядов

и

Поскольку /-преобразование — это линейная операция, то последователь-
ность х(к) состоит из суммы двух последовательностей:

7 1 Л

х(.к) = 3 — +2 — , к>0.

ш I з^

После выполнения операции возведения в степень к получим отсчеты дис-
кретного сигнала

5	35

лг(О) = 5; х(1) =	х(2) = |^;

6	36

И т.д.

Свойства г-преобразования. Так же как и для преобразований
Лапласа и Фурье, существуют теоремы для / преобразования. При
ведем наиболее важные теоремы одностороннего / преобразования.
Теорема линейности (суперпозиции). Сумме дискретных сиг
налов соответствует сумма их г изображений. Если дискретным
сигналам х(к) и у(к) соответствуют г изображения Х(г) и У(г), то

ах(к) + Ъу(к) = аХ(г) + ЪУ (г),

где а и Ъ — некоторые числа.

Доказательство теоремы выполните самостоятельно, используя
выражение (19.29) для расчета г изображения дискретного сигнала.

Теорема опережающего сдвига. Если дискретному сигналу х(к)
соответствует одностороннее г преобразование Х(г), то сигналу,
сдвинутому на один интервал дискретизации, х(к + 1) соответст
вует г преобразование г(Х(г) — х(0)).

Математическая запись теоремы имеет вид

х(к + 1) = г(Х(г)-х(0)),

Чтобы доказать теорему, воспользуемся основным выражением
(19.29) для расчета г преобразования дискретных сигналов х(к) и
х(к + 1), а также графиками, приведенными на рис. 19.22.

Х(г) = х(к)г~к = х(0) + х(1)г-1 + х(2)г~2 + ...;
/?=о

Х'(г) = х(к + 1)= х(1) + х(2)г-1+ х(3)г“2 + ....

Сравнивая Х(г) и Х'(г), получаем Х'(г) = г(Х(г) —х(0)), что и
требовалось доказать.

Очевидно, что теорема опережающего сдвига выполняет ту же
самую роль, что и теорема дифференцирования для преобразова
ний Лапласа.

Теорема задержки. Математическая запись теоремы имеет вид

х(к - Х)и(к - X) =	 Х(?) , X >0.

В теореме задержки и(к) — это дискретные отсчеты функции
единичного скачка (рис. 19.23)
и(к)^

1

—•—•—

-2 -1 О

2	3	4	5 к

Рис. 19.23

Рис. 19.24

а и(к — X) — это дискретные отсчет функции и(к), задержанной
на интервалов дискретизации (рис. 19.24).

ыО-ЛГ)=Р’
(1, к> X.

Доказательство вытекает из основного выражения (19.29) для х-
преобразования.

=х(0)г-Л/ +х(1)г“(ЛМ) +х(2)г“(Л/+2) + ...=
/г=о

= г-Л/(х(0) + х(1)г_1 +х(2)г“2 + ...) =

= х~м-Х(г).

При доказательстве учтено, что единичная ступенчатая функция
обращается в нуль при отрицательных значениях ее аргумента, т.е.
при п < X. Из теоремы задержки в частности следует, что сдвиг
дискретного сигнала на один интервал дискретизации Т соответст
вует умножению г преобразования на оператор х~ , поэтому часто
2 называют оператором единичной задержки в г области.

Теорема умножения на ак. Математическая запись теоремы
имеет вид

акх(к) = х(<2-1г).

Теорема умножения на к

кх(к)=

дХ (г)

2 дх

Теоремы умножения дискретного сигнала х(&) на ак и на к
можно также доказать, используя формулу (19.29). Предлагаем
проделать это самостоятельно.

Теорема свертки. Свертке дискретных сигналов х(к) и к(к)
соответствует произведение их г преобразований

со	со

х(к)*к(к)= х(к) • к(т - к) = к(к)  х(т - к) = Х(х)  Н(х).

к=0	к=0

Эту теорему мы приводим здесь без доказательства. При необ
ходимости с ним можно познакомиться в специальной литературе.
Пример. Найдем ^-преобразование функции единичного отсчета, задер-
жанной на X интервалов дискретизации.

Найдем ^-преобразование дискретного 5-импульса д(к) (рис. 19.4), исполь-
зуя выражение (19.29)

Х5(г)= ^5Шг~* =1.

к=0

Используя теорему задержки, найдем г-изображение сигнала д(к — ЛО

Х(г)-г^ -Х5(г) = 2-Ы.

На рисунке 19.4 приведен также график задержанной функции единично-
го отсчета для частного случая Д/" = 2.

Пример. Найдем ^-преобразование функции

х(к) = ак^и(к - Л^).

В одном из примеров мы уже находили, что ^-преобразование сигнала а
имеет вид (19.34) Х(г) = 1/(1 — яг-1).

Используя теорему задержки, получаем

я^г/^-ЛО =

1 - аг 1

При а = 1 имеем:

2^

и (к - ЛО =-----г.

1 - г

Графики дискретных сигналов и(к — кТ) и ак~ыи(к — Ы) приведены на
рис. 19.24 и 19.25.

Пример. Найдем ^-преобразование дискретной последовательности х(&) =
= ка®, к > 0.

Поскольку г-изображение последовательности а известно (19.16), то, ис-
пользуя теорему умножения на к, получим

Пример. Найдем г преобразование дискретной последовательности из
отсчетов единичной амплитуды (рис. 19.26)

х(к) = I

О < к < М
к>Ы.

Х(^)н

ак~ыи(к-Ы)

1

—•—•—

-2 -1 О

ад =

1-аг

-I--1—н—1-------•--• ►

1	2	#-1 # #+1 к

1 1У-1 # #+1

Рис. 19.25

Рис. 19.26
Сигнал х(к) можно представить как разность двух сигналов
лг(&) = м(й)-м(й-ЛО.

Из теорем линейности и задержки легко получить /-преобразование

что совпадает с формулой для частичной суммы геометрической прогрессии

со	ДГ-1

Х(г) =	х(к)г'! = г~к .

к=0	к=0

Пример. Вычислим /-преобразование свертки дискретных сигналов х{к} =
= {1; 1; 1; 0; 0; 0; ...} и у{к} = {0; 0; 1; 1; 0; 0; ...}.

Найдем /-преобразование сигнала х(к), используя формулу (19.29)

Х(г) = ^х(к) г к =
к=0
= 1 + г' + 22.

Найдем /-преобразование сигнала у(к)

У (/) =	у(к)2 = /2 + / 3 .

к=й

Вычислим /-преобразование свертки сигналов х(к) и у(к\ используя тео-
рему свертки

X (п) * у (п) = X (/) • У (/) = (1 + /' + /2) (/2 + / 3 ) =

= /2 + 2/ 3 + 2/1 + г \

В табл. 19.1 дана сводка / преобразований наиболее часто ветре
чающихся дискретных последовательностей. Эти табличные сведения
также могут быть использованы для расчета / преобразований сигна
лов и перехода от / преобразований к дискретным сигналам.

Пример. Найдем общий член дискретного сигнала х(к), которому соответ-
ствует /-изображение

Разложение функции Х(/) на простые дроби приводит к выражению

V/ А С	3	2

X ( 2 ) — 6 -I---- -I---.

1-Н-.	1+12->

2	3

Используя теорему линейности и находя в таблице 19.1 дискретные сигна-
лы, соответствующие каждому из слагаемых в выражении Х(/), получаем

а» = б8(» + з(1/2)‘ + 2(-1/з)‘ = {1з1’1/2Г + 2(_1/зГ^«’
Табл. 19.1 — Краткая таблица односторонних /-преобразований

Дискретный сигнал х(к), к > 0	/-преобразование Х(г) = ^хЛк)г к к=0
(0, к ф 0	Х(г)-1
х(к) = и(к - Ы) = №’  (0, к< X	м I  II X—\
х(к) = ак	*(/) =	  1 - аг
х(к)=А	X ( 2 ) = —  1 - г 1
х(к) = к	к, !  II  X—\
х(к) = как	Х(г) =	аг 1  (1 - аг )
х(к) = ак СО8&0	х	1-6/СО8 021  X ( 2 ) = 	:	5	у  1 - 2«со8 0г + а г
х(к) = ак 8Ш&0	( ч	6/81П 0 г1  X ( 2 ) = 	:	5 у  1 - 2«со8 0/ + а г
гМ-А*1’ к>0  Х(к>~]0,	к<0	~	_ ]2^Т . -1

По этой формуле легко подсчитать значение х(/?)для любого к. Аналогичным
образом, разложение

приводит к последовательности

х(&) =-5(&- 1) - 25(&) + 3 =

1,

< 2,

3,

к = 0,
к = 1,
к >1.

19.4. Дискретные цепи

Дискретная свертка. В предыдущих разделах этой главы бала
установлена определенная аналогия между соотношениями, сущест
вующими для аналоговых и дискретных сигналов. Подобная анало
гия существует и между методами анализа и синтеза аналоговых и
дискретных цепей.
538
хШ --------\у{к}

ъ{к} >

Рис. 19.27

Под дискретной цепью понимают любое
устройство, которое преобразует одну по-
следовательность х{к} в другую у {к} (рис.

19.27).

Линейной дискретной цепью называют цепь,
подчиняющуюся принципу суперпозиции.

Связь между входным дискретным сигналом х{к} (воздействи
ем) и выходным сигналом у{к} (отсчетом) определяется дискрет-
ной сверткой (сравни с (8.12)):

г/(тг) = х(к)/г(п-к) = к(к)х(п-к\ (19.36)
к=-ж	к=-ж

где к(кд — импульсная характеристика дискретной цепи. Она он
ределяется как отклик дискретной цепи на воздействие в виде еди
ничного импульса (5 функция, рис. 19.4).

Иногда свертку (19.36) записывают символически: у(кд = х(&)*

*/?(&) (см. теорему свертки, § 19.3).

Линейная дискретная цепь, будет устойчива, если выполняется
условие

СО	су

Е |Ш)|2 <оо.	(19.37)

/?=—со

Пример. Рассчитаем значения выходной последовательности у {к} цепи,
имеющей дискретную импульсную характеристику к {к} = {—1; 1; 2}, если
входная последовательность имеет вид х{/?} = {—2; 1; 2: —1}. Графики х(к) и
к (к) приведены на рис. 19.28.

Пользуясь формулой (19.36), рассчитаем значения выходной последова-
тельности у (кд

г/(0) = /г(0) • лг(О) = (-1) - (-2) = 2,

г/(1) -/ЛО) • х(1) +/Л 1) • х(0) = (-1)1 + 1 -(-2) = -3,

у (4) = /ИО) • х (4) + /г(1) • х (3) + /И 2) • х (2) + /ИЗ) • х (1) + /И 4) • х (0) =
= (-1)-0 + 1(-1) + 2-2 + 01 + 0(-2) = 3,

График дискретного сигнала у(к) приведен на рис. 19.29.
Вычисления по формуле (19.36) можно выполнить также с помощью про-
стого устройства. Запишем последовательности чисел х(/г) и /г(—к) на отдель-
ных полосках бумаги, как показано на рис. 19.30. На обеих полосках пометим
маленькими стрелочками точки к = 0. Обратим внимание на то, что к (—к) яв-
ляется обратной последовательностью относительно к(к), так что она строится
в обратном направлении от к = 0. Будем сдвигать нижнюю полоску относи-
тельно верхней в направлении стрелки. Вычисление суммы произведений стоя-
щих друг против друга чисел при каждом сдвиге дает последовательность у (к).

Проведя дискретизацию импульсной характеристики аналоговой
цепи можно описать ее дискретной математической моделью. Если,
например, для КС цепи, изображенной на рис. 19.31 взять дне
кретные значения импульсной характеристики:

к = 0

__________I___________________

х(к) ( 0 0 0 -2 1 2 ~1 0 0 0^

к (-к)	( 0 0 0 2 1 -1 0 0 —

Произведение

Сумма произведений =

0 0 0 4-Д 0 0 0

3	= У(4)

к = 0

_________I__________________

х(к)	( 0 0 0 -2 1 2 -1 0 0 о)

к (-к) ( 0 0 0 2 1 -1 0 0 ) —

I

к = 0

Произведение 000200

Сумма произведений =	2 = у(0)
Рис. 19.31

КС

то получим дискретную математическую модель КС цепи, выход
ную реакцию которой можно найти с помощью (19.36). При этом,
естественно входной сигнал также должен быть дискретизирован
(рис. 19.31). Точно также можно получить дискретные модели дру
тих аналоговых цепей. Таким образом формула дискретной свертки
(19.36) является достаточно универсальной, пригодной для описа
ния как аналоговых, так и дискретных цепей.

Пример. На вход цепи поступает сигнал в виде дискретной 5-функции.
Рассчитаем выходные последовательности у(к) цепей, имеющих дискретные
импульсные характеристики

а)	к{к} = {1; 1; 0; 0; ...};

б)	к{к} = {1; -1; 0; 0; ...};

в)	к[к] = 2е к'2.

Графики импульсных характеристик а), б), в) приведены на рис. 19.32.

Рассчитываем значения у(п), используя формулу (19.36)

у(п) = ^к (к)х (п - к), в которой х(к) = д{к}.

к=0

Для цепи, имеющей дискретную импульсную характеристику

а) к {к} = {1; 1; 0; 0; ...}, получаем

г/(0) = /г(0) • 5(0) = 1 • 1 = 1,

у (Л) = /г(0)-5(1) + /г(1)-5(0) = 1-0 + 11 = 1,

г/(2) -/ДО) -5(2) + /г(1) -5(1) + /Д2) -5(0) = 10 + 1 - 0 + 0-1 -0,

гДЗ) -/ДО) • 5(3) +/Д1) • 5(2) +/Д2) • 5(1) +/Д3) • 5(0) - 0.

Все остальные значения у(п) будут также нулевыми.
Для цепи с импульсной характеристикой
б) к{к} = {1; —1; 0; 0; ...} получаем

г/(0) = /г(0) • 5(0) = 1 -1 = 1,

г/(1) = /г(0)-8(1) + /г(1)-8(0) = 10 + (-1)-1 = -1,

г/(2) = /г(0)-8(2) + /г(1)-5(1) + /г(2)-5(0) = 0.

Остальные значения у(п) равны нулю.

Для цепи с импульсной характеристикой

в) к{к} = 2е~к'2 = {2; 1,22; 0, 74; 0,45; 0,27; ...} получаем

г/(0) = /г(0) • 5(0) = 2,

г/(1) =/ДО)-5(1)+ /?(!)• 5(0) = 1,22,

г/(2) =/ДО) • 5(2) +/Д1) • 5(1) +/Д2) • 5(0) = 0,74.

Все остальные отсчеты выходной последовательности у {к} повторяют со-
ответствующие отсчеты дискретной импульсной характеристики /Д/г), также
как и в двух предыдущих случаях а) и б). Этот вывод очевиден, т. к. им-
пульсная характеристика — это реакция цепи на 5-импульс.

Графики у(к) будут такими же, как графики к(к) на рис. 19.32, что явля-
ется очевидным, т.к. к(к) по определению есть реакция цепи на 5-функцию.

Элементы дискретных цепей. Как следует из уравнения (19.36)
при вычислении реакции дискретной цепи на заданное воздействие
выполняется всего три операции: умножение, задержка и сложение.

На рис. 19.33 эти действия представлены в виде элементов
структурной схемы. Операцию умножения дискретного сигнала
х(к) на число а можно представить в виде усилителя с коэффици
ентом усиления а. На его выходе получаем сигнал у {к} = ах(к).
Сложение чисел естественно отобразить на схеме в виде сумматора.
Получение отсчета х(к — 1) = х(кТ — Т) из х(к) = х(кТ) можно свя
зать с задержкой последнего на время Т, т.е. на один «такт». Дей
ствие элемента задержки поясняется на рис. 19.33.

Таким образом, алгоритм вычислений дискретного сигнала
у(к\ описываемый выражением (19.36), можно представить в
виде структурной схемы.
х(/с)

У<М= ах(к)

у(к) = х(к-1)

х(/с)

у(^) = х(^) + ах(^-1)

ах(к-Г)

Рис. 19.33

у(/с) = х(/с-1)

х(/с)

1

—•---•---

-2 -1 О

х(/с)

1

—•—•—

-2 -1 О

1 2 3 4 5 к

□--------------------------

1 2 3 4 5 к

У(к)=х(к-1)

1

—•—•—

-2 -1 О

х(^Ы у^) = х^~3)

у(к) = х(к-3)

1

—•—•—

-2 -1 О

4---•------------------►

1 2 3 4 5 6 к

1 2 3 4 5

Рис. 19.34

Пример. Составим структурную схему цепи, дискретная импульсная ха-
рактеристика которой дана в предыдущей задаче, т.е. к{к} = {—1; 1; 2}
(рис. 19.28).

В соответствии с алгоритмом (19.36) и с учетом заданных значений харак-
теристики к(к) структурная схема цепи приведена на рис. 19.35. По этой схе-
ме несложно определить выражение для выходной последовательности у (к) =
—х(к) + х(к — 1) + 2х(к — 2).

Как следует из рис. 19.33 и рис. 19.34 общим свойством элемен
тов дискретных цепей является их однонаправленное действие, по
казанное на рисунках стрелками. С точки зрения топологии, эле
менты дискретных цепей представляют собой двухполюсные (эле
мент задержки, умножитель) или многополюсные элементы (сум
матор).

Общее уравнение дискретных цепей. Из уравнения (19.36),
рассмотренных примеров и рис. 19.35 отклик дискретной цепи
на воздействие х(к) можно записать в виде следующего уравнения

у{к} = а0х(к) + а1х(к-1) + а2х(к-2) + ... + аых(к-1\[), (19.38)
Рис. 19.35

где «о, <И, «2, •••, йдг — некоторые числа (веса) представляющие со
бой по сути отсчеты импульсной характеристики цепи.

Уравнению (19.38) соответствует дискретная цепь, изображен
ная на рис. 19.36. В литературе эту цепь называют иногда транс-
версальным фильтром.

Как следует из (19.38) для получения к го отсчета выходного
сигнала подвергаются обработке (к — ЛО отсчетов входного сигна
ла с соответствующими весовыми коэффициентами.

Следует однако отметить, что уравнением (19.38) не исчерпы
ваются все возможные алгоритмы работы дискретных цепей. В ча
стности, этот алгоритм может включать обработку не только отсче
тов входного, но и отсчетов выходного сигнала, сдвинутого на он
ределенное число тактов. Поэтому наиболее общее уравнение дне
кретной цепи имеет следующий вид

м

у(п) = а/рс (п — к) + Ь/у (п-1),

/?=о	/=1

(19.39)

где — весовые коэффициенты.

На рис. 19.37 изображена схема дискретной цепи, соответст
вующей алгоритму (19.39).

Рис. 19.37

Рис. 19.36
Принципиальным отличием схемы, изображенной на рис. 19.37
от схемы на рис. 19.36 является наличие цепи обратной связи, по
этому схемы, описываемые уравнением (19.39), получили название
рекурсивных, а цепи, описываемые (19.38), — нерекурсивных.

Для нахождения реакции дискретной цепи необходимо решить
разностные уравнения (19.38) и (19.39). Если решение (19.38)
обычно не представляет особого труда, то для решения (19.39) не
обходимо использовать специальные методы. По аналогии с реше
нием дифференциальных уравнений, описывающих аналоговую
цепь, решение разностных уравнений можно осуществить как клас
сическим, так и операторным методом. Обычно для решения раз
ностных уравнений в теории дискретных цепей используется опе
раторный метод, причем вместо преобразования Лапласа исполь
зуют г преобразование.

Передаточные функции. При анализе и синтезе дискретных
систем важнейшую роль играют передаточные или системные
функции цепей.

Применим к уравнению (19.39) прямое г преобразование и учтя
основные свойства г преобразования (см. § 19.3), получим

м

У (г) = Х(г) Е ак2~ъ + У (г) Е фг-1.

1г=0	1=1

Отсюда следует

У(г)

м

1 -

1=1

= Х(г) Е акх-ъ.

/г=0

(19.40)

Определим передаточную функцию дискретной цепи как от
ношение г преобразований выходного ко входному дискретному
сигналу:

Я(г) =

Е а^~к

/г=0_______

М

1=1

(19.41)

Из (19.41) следует, что коэффициенты ак числителя определяют
нерекурсивную часть дискретной цепи, а коэффициенты б/ знаме
нателя — рекурсивную часть.

Для нерекурсивной цепи (М = 0) передаточная функция опре
делится как

Н(Д = ак2~К	(19.42)

/?=0

Передаточную функцию (19.42) можно определить как г преоб
разование от импульсной характеристики цепи:
НО = Шгк	(19.43)

к=0

Сравнение (19.42) и (19.43) показывает, что роль коэффициен
тов а& играют отсчеты импульсной характеристики /?(&). Нетрудно
также видеть, что импульсная характеристика нерекурсивной цепи
согласно (19.38) является конечной, а рекурсивной согласно
(19.39) бесконечной, поэтому иногда нерекурсивные дискретные
цепи называют цепями с конечной импульсной характеристикой
(КИХ), а рекурсивные — с бесконечной импульсной характери-
стикой (БИХ).

Пример. Положим, что передаточная функция дискретной цепи имеет вид

При а = 1; Ь = 0 получаем идеальный интегратор с импульсной характери-
стикой к{к} = {1, 1,	1, ...}. По нерекурсивной схеме такую импульсную ха-

рактеристику реализовать нельзя.

Анализ (19.41) показывает, что передаточная функция рекур
сивной цепи имеет структуру, аналогичную типичной передаточной
функции цепи с ОС (см. гл. 14). Я(г) является дробно рациональ
ной функцией относительно :

.. < А «О +	1 + ^-2^ 2 + ... + а^[2~^

Н \2 ) = -----------------------------.

1 - Ъуг~х - Ь-}?-2 -... - Ьмг~м

Из (19.41) и (19.42) также следует, что Я(г) из (19.41) имеет
полюса (нули полинома знаменателя), которые могут располагаться
в любой точке г плоскости, а Я(г) из (19.42) только полюс кратно
сти в начале координат.

Пример. Найдем передаточную функцию элемента задержки. Сигнал на
его выходе описывается уравнением

у (к) = х (к - 1).

Применив к нему ^-преобразование, получим

У(г) = Х(г) А1.

Отсюда получаем

Я(г) = У(г)/Х(г) = А1,

71

-------* 2 1 —

Н (г) = г’1

У (г) =ВД-Я(г) =ВД - г’1
у (к) = 4х(/с) -1,5х(к-1)

Рис. 19.39

поэтому на структурных операторных схемах дискретных цепей элемент за-
держки обычно обозначают г-1 (рис. 19.38).

Пример. Найдем импульсную характеристику и передаточную функцию
дискретной цепи (рис. 19.39), выходная последовательность которой задана
выражением у (к) = 4х(к) — 1,5х(к — 1).

Отсчеты дискретной импульсной характеристики к(к) — это отсчеты у(к\
рассчитанные при условии, что на вход цепи подается дискретная 5-функция,
т. е. х{к} = д{к} = {1; 0; 0; ...}.

/г(0) = 45(0)-1,55(-1) = 4,1-1,50 = 4,

/г (1) = 45(0-1,55(0) = -1,5,

к (к) = 0 при к > 1.

Таким образом, отсчеты дискретной импульсной характеристики к{к} =
= {4; —1,5} соответствуют коэффициентам усиления усилителей в схеме
(рис. 19.39).

Для нахождения передаточной функции Н(г) воспользуемся формулой (19.42):

Ж г) =	/Д/0	= /г(О)г° + /Д1)Ж = 4 - 1,5г '.

к=0

Другой способ нахождения передаточной функции Н(г) заключается в
том, чтобы определить г-изображение выходной последовательности, а затем
найти Н(г) как отношение У(г) и Х(г):

У(г) = 4Х(г)-1,5Х(г)Ж
или

У (г) = ХЫ(4-1,5Ж) = Х(Д-Я(Д.

Очевидно, что Н(г) = 4 — 1,5г-1. На рис. 19.40 приведено г-изображение этой
дискретной цепи.

У (г) = 4Х(г)-1,5Х(г)г-1
--------►

Н (г) = 4 - 1,5 г 1
Пример. Найдем передаточную функцию дискретной цепи, входная и вы-
ходная последовательности которой имеют вид

х{к} = {1; 0; 1; 2}, у{к} = {0; 1; 2; 1}.

^-изображения последовательностей

Х(г) = х(к) -г 1: = 1 + /2 + 2/ 3;

к=0

У (г) = у (к) -2 к = г~х + 2Х2 + / 3 .

к=И

Следовательно, передаточная функция

ч У(/)	/'+2/2+/3

Н (/) =	. . =-----35---зз—.

Х(/)	1 + / 2 + 2/ 3

Зная передаточную функцию дискретной цепи Н(г) с помощью
формулы

У(г) = Х(г)Жг)	(19.44)

можно найти г изображение выходного сигнала У(г) по г изобра
жению входного Х(г).

Для нахождения отсчетов выходного сигнала у(к) по его /-изображению
У(/) можно точно также как и для аналоговых цепей использовать теорему
разложения (см. § 7.2), которая применительно к дискретным цепям для пра-
вильной дробно-рациональной функции У(/) = Р(/)/ф(/) (где Р(/),	—

полиномы) имеет вид

м	м

у(п) = ^у[(п) = ^А^,	(19.45)

1=1	1=1

где А/ — коэффициенты разложения У(/):

У (./) = —-—- = у -// — простые полюса У(/).

()(/) 1 - /;/ 1

Коэффициент А/ может быть найден



г=г1

вычет функции У(/) в полюсе / = //.

Следует отметить, что отсчеты //(&) для нерекурсивной цепи мо
гут быть найдены как коэффициенты при отрицательных степенях
г в уравнении для У(г).

Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала у(к) дискретной цепи, /-изоб-
ражение которой приведено на рис. 19.41, а входной сигнал х{к} = {—2; 1; 2; — 1}.

Найдем /-изображение входного сигнала х(к):

Х(г) = ^х(к) • 2 к = х (0) + х (1)/ 1 + ж (2)/2 + .г (З)/3 =

к=0

= -2 + / ' + 2/ 2 - / 3.
Х(7)

г 1

г 1

Н(Х) = -1+ е 1 + 2 2 2

с-1

-Х(7)

Х^Е^

2/

Т 2Х(У)Ж

Г(г) =Х(г) ’Н(е) =-Х(е)+Х(е)е~1 +

2Х(7)7“2

Рис. 19.41

Передаточная функция цепи (рис. 19.41) Н(г) =-1 + г"1 + 2г"2 . Она на-
ходится непосредственно по схеме либо как г-изображение дискретной им-
пульсной характеристики к{к} = {—1; 1; 2}.

Найдем г изображение выходного сигнала

У (г) = Х(г) • Н(г) = (2 + е 1+2г2-г3)(-1 + г 1 + 2г 2) =
= 2 - Зг 1 - 5г 2 + 5г 3 + Згч 5 - 2г5.

Коэффициенты при г в отрицательных степенях в этом выражении являются
отсчетами выходного сигнала //(&) (рис. 19.29):

у{к} = {2; -3; -5; 5; 3; -2}.

Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала нерекурсивной дискретной
цепи, имеющей дискретную импульсную реакцию к{к} = {1; —0,6; —1,5; 1},
при воздействии на нее дискретного сигнала х{ к} = {1; 0; 1; 0}.

Отсчеты дискретной импульсной характеристики — это коэффициенты
усиления ао = 1; а\ = —0,6; <72 = —1,5; аз = 1. Структурная схема нерекур-
сивной дискретной цепи с заданной импульсной реакцией приведена на
рис. 19.42.

Выходной дискретный сигнал у(к) найдем, используя выражение (19.38)

уМг) = аох(к) + а ух(к -1) + а2х(к - 2) + а3х(к - 3) =

= х(&)-0,6х(/г-1)-1,5х(/?-2) + х(/г-3).



|ч-1,5х(и-2)

-13>——

ч-0,6х(и-1)

-оЪ—------

у(и) =х(п) -
- 0,6х(и-1) -
- 1,5х(п-2) +
+х(п-3)

ч х(и-З)

1>-2_----
Отсчеты сигнала г/(/е) найдем, подставляя значения х(/г) в полученное
разностное уравнение.

у (0) = х (0) = 1;

г/(1) = х(1) - 0,6х(0) = 0 - 0,6 • 1 =-0,6;

г/(2) = х(2)-0,6х(1)-1,5х(0) = 1-0,6-0-1,5-1 = -0,5;

г/(3) = х(3)-0,6х(2)-1,5х(1) + х(0) = 0-0,6-1-1,5-0 + 1 = 0,4.

Аналогичным образом рассчитываем у (4) = —1,5; г/(5) = 1; г/(6) = 0. Все
остальные отсчеты также равны нулю.

Таким образом, выходная последовательность //{&} = {1; —0,6; —0,5; 0,4;
— 1,5; 1}. Графики х(&) и у(к) приведены на рис. 19.43.

Из рис. 19.37 следует, что для реализации алгоритмов рекур
сивной обработки сигнала дискретная цепь должна иметь большое
количество ячеек памяти, что существенно усложняет схему. Для
упрощения дискретной цепи используют, так называемую канони-
ческую схему. Каноническая схема может быть получена из
(19.43), если представить У(г) в виде:

У(г) = ТИ(г) X	(19.46)

/?=о
Рис. 19.45

где 1У(г) — г преобразование промежуточной последовательности

РИ(г)=

Х(г)
м

1 -

/=1

(19.47)

Тогда согласно (19.46) алгоритм дискретной обработки сигнала
заключается в том, что вначале реализуется рекурсивное преобра
зование (19.47), а затем нерекурсивное (рис. 19.44).

Пример. Найдем реакцию дискретной цепи на воздействие х{к} = {1; -1;
1; —1}, если передаточная функция цепи имеет вид

ны= 1-ф+^2

1-0,5 г + 0,5г 2

Составим структурную каноническую схему дискретной цепи с заданной
передаточной функцией (рис. 19.45). Коэффициенты усиления известны:
ао = 1; а\ = —1; а2 = 1; Ъ\ = 0,5; 62 = —0,5.

Найдем выходной сигнал у(к) цепи, используя уравнение (19.38) или не-
посредственно по схеме:

у (к) = б70х (к) + а{х (к - 1) + а2х (к-2) хЬ^к-Г) + Ь2у (к-2) =
= х(к) - х(к -1) + х(к - 2) + 0,5у(к -1) -0,5у(к - 2).

Рассчитаем отсчеты у(к)\

г/(0) = х(0) = 1;

г/(1) = х(1)-х(0) + 0,5г/(0) = -1-1+ 0,5-1 = -1,5;

у (2) = х(2) - х(1) + х(0) + 0,5у (1) - 0,5у (0) =
= 1 + 1 + 1 + 0,5(—1,5) = 2,25.

Аналогичным образом рассчитываем у(3) = —1,125, г/(4) = 1,3125 и т.д.

Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретная цепь считается
неустойчивой, если ограниченное по амплитуде входное воздейст
вие вызывает на ее выходе бесконечно нарастающий отклик. На
оборот, дискретная цепь устойчива, когда отклик на ограниченное
воздействие также ограничен.

Известно, что у устойчивой аналоговой цепи полюсы передаточ
ной функции располагаются в левой полуплоскости переменной р.
При переходе от аналоговой цепи к дискретной и замене преобра
зования Лапласа г преобразованием точки левой полуплоскости р
плоскости переходят в точки, лежащие внутри единичной окруж
ности г плоскости (рис. 19.19). Таким образом, полюсы передаточ
ной функции устойчивой дискретной цепи располагаются внутри
единичной окружности г плоскости.

Нерекурсивные цепи всегда устойчивы.

б)

Пример. Определим устойчивость цепей, имеющих передаточные функции:

1 - г 1

Я4(г) =	.,

1-0, Зг1

Я2(г) =

1 - 2г1

1 - г’2

Я3 (г) =-------т,

1 - 1,8г’1 + 0,97г’2

1 - г’2

Я4 (г) --------7.

1 - 2,4г’1 + 1,69г’2

Полюс передаточной функции

1 - г-1
_НЛ—
^ОЛг"1

найдем, приравняв знаменатель Яфг) к нулю, 1 — 0,3г-1 = 0.

Получаем полюс г1/1 = 0,3, который находится внутри единичной окруж-
ности г-плоскости. Это означает, что цепь устойчива.

Передаточная функция

1 - 2 1

1 - 2г’1

(2)__ •л

имеет полюс в точке = 2; такая цепь неустойчива.
Полюсы передаточной функции

1-г’2

Я3 (г) =------у

1 - 1,8 г’1 + 0,97г’2

являются комплексно-сопряженными г^3^ 0,9 +/0,4 и г23)-0,9 -/0,4 . По-
скольку эти полюсы лежат внутри единичной окружности (их модули
|г1(3)| - |г,23)| < 1), то данная дискретная цепь устойчива.

Примером неустойчивой цепи служит цепь с передаточной функцией

1-г’2

Я4 (г) =----------------у,

1-2,4г’1 + 1,69г’2

у которой 2^= 1,2 + /0,5 и г24)= 1,2 - /0,5 и |г^4) | = |г24) | > 1 •
Частотные характеристики. Для перехода от передаточной
функции Я(г) к частотной характеристике необходимо про
извести замену

7 _	_ р]ЩТ

& о	о

Обычно вводят в рассмотрение нормированную частоту О =
= /Т = /7/д. С учетом этого формула (19.41) примет вид:

Я(/О) = я(е/2яа) =

_ <20 +<21е“72яа +<22е“7471а +... +

1-Ь^'2^ -Ъ2е~]^ -...-Ьме~^м^

(<20 + «4 соз2лС2 + а2 соз4лС2 + ... + аы соз2лЖ1)-	(19.48)

(1-&! С08 2лО-б2 С0з4лО-...-бд/ С0з2лЛ7Х1) +

-/(а{ 81п2лС2 + а2 зт4лО + ... + а1^! зт2лЯС2)

+/ (зт 2пО. + Ь2 зт 4лО +... + Ъм зт 2лМО)

Из (19.48) легко получить амплитудно частотную и фазо частот
ную характеристики дискретной цепи. В частности, амплитудно
частотная характеристика будет представлена выражением

, ч \ тт / • \1	1(	+ ^-1 соз 2лО + а2 соз 4лО + ...) +

Я(О) = |Я (;О)| =	-------------------2---------------\— X

у (1 - соз 2лО - Ь2 соз 4лО - ...) +

+ (а{ зт 2лС2 + а2 зт 4лС2 + ...)2

+ (зт 2лС2 + Ъ2 зт 4лС2 + ... )2

(19.49)

Пример. Дискретная цепь 3-го порядка описывается передаточной функ-
цией

= 0,731 е+7’0'544

= 0,731 е-7’0'544
_____________0,1317_____________

1 - 1,785 г1 + 1,202г 2 - 0,2853г 3

(19.50)

с полюсами г^6^ 0,544 и г 26з-0,731 е±у 0,544. Расположение полюсов в плос-
кости г показано на рис. 19.46, а. Здесь же приведена структурная схема дис-
кретной цепи (рис. 19.46, 6). Определить АЧХ цепи.

Подставим в (19.50)

Н(О) -

_______________________0,1317_______________________

>/(1 — 1,785 соз 2лО + 1,202 соз 4лО - 0,2853 соз 6лО )2 +

X

X

+ (1,785з1п2лО -1,202з1п4лО + 0,2853з1пблО)2

На рис. 19.47 изображен график АЧХ 7/(0) цепи. Из рисунка видно, что
АЧХ с передаточной функцией (19.50) соответствует ФНЧ Баттерворта. Как и
следовало ожидать, амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи яв-
ляется периодической функцией (так как Н(/О) есть преобразование Фурье от
дискретной импульсной реакции). Ее период равен /д = 1/Т или Г2 = /д-Т = 1.
Поэтому она используется в диапазоне частот от 0 до 0,5/д (или до О = 0,5).
Цепь устойчива.

Пример. Найдем частотную характеристику дискретной цепи с импульсной
характеристикой к {к} = {1,5; 1; 0,5}.

Запишем передаточную функцию Н(г) цифрового фильтра, воспользо-
вавшись формулой

Н (г) = к (к) г к .
к=0

Получим Н(г) = 1,5 + г 1 + 0,5г 2 передаточную функцию нерекурсивной цепи.
Найдем АЧХ этой цепи, подставляя в формулу (19.48) значения коэффи-
циентов усиления а о = 1,5; а\ = 1; а-у. = 0,5,

Н( а0 + а{ соз 2яО + а2 соз 4лО)2 + (^ зш 2яО + а2 зш 4лО)2 =
=	1,5 + соз 2лО + 0,5 соз 4лО )2 + (зш 2яО + 0,5 зш 4лО )2.

График АЧХ изображен на рис. 19.48.

Пример. Изменим коэффициенты усиления в предыдущем примере. Выбе-
рем б?о =	= 1,	= —2. Вновь найдем выражение Я(О) и построим график

его амплитудно-частотной характеристики.

Заменим в формуле для Г/(П), полученной в предыдущем примере, значе-
ния коэффициентов б?о, а\ и бЪ- Получим

Н (О) = ^(1-2 соз + соз 4лХ1 )2 + (-2 зш	+ зш 4лХ1 )2 .

График АЧХ изображен на рис. 19.49. Из графика видно, что нерекурсив-
ная цепь с такими значениями коэффициентов усиления — это режекторный
фильтр.

19.5.	Типовые звенья дискретных цепей

Звенья 1-го и 2-го порядков. В литературе типовыми звеньями
дискретных цепей считаются звенья 1 го и 2 го порядков. Они по
лучаются из общей структуры рис. 19.44, если оставить в ней
только один либо два элемента задержки.

На рис. 19.50, а показано звено 1 го порядка с передаточной
функцией

и АЧХ

(<20 + а{ соз 2лО)2 + (а{ зт 2лО)2
(1 - соз 2пО.)2 + (зт 2пО.)2

Типовое звено 2 го порядка изображено на рис. 19.50, б. Его

передаточная функция
Рис. 19.50

и АЧХ

Н(П)

-1	-2

тт ( \ йп +^1^	Л-(122

Н (г) = -У——:--------—т

1 - Ьхг * 1 - Ъ22 2

2	2

(<70 +ах соз 2л:П +а2 соз 4л:П) + (щ зт 2л:П + а2 зт 4л:П)

2	2

(1 - соз 2пО. - Ъ2 соз 4лС2) + (зт 2пО. + Ь2 зт 4тсО)

Пример. Построим график АЧХ звена первого порядка, у которого ао = 1,
671 = 0.

Передаточная функция такого звена первого порядка

н(г) = а^+а^ 1 =----1—

1 - Ь}2 1	1 - Ь}2 1

Амплитудно-частотная характеристика

•^(1 - соз 2лО)2 + (Ь{ зш 2лО)2	7^ +	“ 2^ соз2яО

Поскольку полюс 2п передаточной функции Н(г) равен Ь\, то для того,
чтобы цепь была устойчивой необходимо выбирать значения Ъ\ такими, чтобы
выполнялось условие | Ь11 < 1.

На рис. 19.51 приведены графики АЧХ, построенные для значений Ь\ = 0,5
и Ъ\ = —0,5.
АЧХ рассматриваемого фильтра зависит от знака коэффициента Ъ\. При
Ъ\ > 0 получаем режекторный фильтр, при Ь\ < 0 — полосовой.

Пример. Найдем передаточную функцию и построим график АЧХ звена 2-
го порядка (рис. 19.50, 6) при = <72 = 1, а\ = 2, Ь\ = 0,2 и Ь2 = —0,4.

Передаточная функция такого звена

. а0 + <7|г' + а-,2х	1 + г'-2г2

Н ( 2 ) — --; ———5— — --------;------5“ .

1 - Ъ{2 1 - Ъ2г ~	1 - 0,2г 1 + 0,4г "

Как указывалось ранее, рекурсивную цепь с прямыми и обратными связя-
ми можно представить как каскадное соединение рекурсивного фильтра с пе-
редаточной функцией //фг) и нерекурсивного фильтра с передаточной функ-
цией Н3{2}. В нашем случае, для звена второго порядка,

НЛг) =---------------у, Н> (г) = 1 - г 1 - 2г2,

1 - 0,2г1 + 0,4г2

Ж г) = Н{ (г) • Н2 (г).

График АЧХ для Ж(^) уже был построен и приведен на рис. 19.49. АЧХ
Я1(О) рекурсивного фильтра рассчитывается по формуле

Ж (О) = .	\	.

у(1 - 0,2со8 2лХ1 + 0,4со84лХ1)2 + (-0,28ш2лО + 0,48ш4лХ1)2

Графики Н1(С1), и Н(С1) = Н1(О)Ж(^) изображены на рис. 19.52.

Соединение типовых звеньев. Типовые звенья могут соединять
ся каскадно (рис. 19.53, а); при этом их передаточные функции
перемножаются:

Ж г) = Н{ (г) • Н2 (г) • Н3 (г),
где Н\, Н2, Нз — передаточные функции звеньев.

ВД =Х(2)Н1(2)Н2(2)Н3(Л
---►

>Г(г)	+	+

б)


При параллельном соединении звеньев (рис. 19.53, б) общая
передаточная функция определяется как

Ж г) = Н{ (г) + Н2 (г) + Н3 (2).

Соединение, показанное на рис. 19.53, в, называют включением
цепи Ж в обратную связь цепи Н\, причем

Н(г) =------фф

Следует иметь в виду, что все соединения, изображенные на
рис. 19.53, справедливы не только для типовых звеньев, но и для
любых других структур.

Пример. Найдем передаточные функции при различных способах соедине-
ния рекурсивной и нерекурсивной цепей, имеющих (г) = 1/(1 - 0,Зг 1) и
Н2 (г) = 0,2 + г 1 + г 2.

При каскадном соединении этих цепей

0,2 + 2 + 2~

1-0,Зг-1

при параллельном соединении

Я (г) = Я| (г) + Я2 (г) =

1,2 4 0,4г"1 + 0,7г 2 -0,3г 3 .

1-0,Зг-1

при включении цепи Н2 в обратную связь цепи Н\

Н^г) ____________1,25_____

1- Я1(г)Я2(г) “ 1 - 1,625г 1 - 1,25г 2 ’

Пример. Найдем передаточную функцию дискретной цепи, изображенной
на рис. 19.54.

Цепь, приведенная на рис. 19.54, представляет собой каскадное соедине-
ние типовых звеньев 1-го и 2-го порядков. Передаточная функция соединения
имеет вид

а'о + а\ г"1 + а'2г~2

-Ъ'22~2

70 +а{ 2 1

1 -	• г 1
Подставляя в выражение для Н(г) заданные значения коэффициентов уси-
ления яо = 1, а\ = 0,5, Ъ\ = —1 и а'о = 0,5, а\ = 1,5, а'2 = —1,2, Ъ\ = —0,2,
Ъ'2 = 0,4, получаем

0,5 + 1,75г 1 -0,45г 2 -6г 3
1 + 1,2г 1 -0,2г2 -0,4г3

19.6.	Метод переменных состояния дискретных цепей

В п. 6.7 был рассмотрен метод переменных состояния примени
тельно к аналоговым цепям. При этом метод переменных состояния
позволяет вместо системы дифференциальных уравнений т го по
рядка (6.3) линейную цепь описать системой из т дифференциалы
ных уравнений 1 го порядка, называемых уравнениями состояния
цепи

Аналогичным образом для описания дискретных цепей в про
странстве состояния вместо разностного уравнения (19.39) ДЕго
порядка рассмотрим систему из линейных разностных уравне
ний 1 го порядка.

В качестве примера рассмотрим рекурсивную цепь 2 го порядка,
описываемую уравнением

Уп ~ а0Хп + а\Хп-\ + а1Хп-1 + О\Уп-\ + ^2^н-2-

Каноническая схема этой цепи изображена на рис. 19.55.

Введем переменные состояний дискретной цепи как сигналы <71(72)
и <72(22) на выходе элементов задержки (рис. 19.55).

Из рис. 19.55 следует, что

д2 (?2 +1) = б/1 (и),	(19.51)

<7! (и +1) = <70 (и),	(19.52)

Если учтем, что

б70(и) = х(и) +	(22) + б2д2 (п),	(19.53)
то после подстановки (19.53) в уравнение (19.52) получим систему
2-х дискретных разностных уравнений, описывающих дискретную
цепь в пространстве состояния

д2(.п + 1) = 0-д2(.п) + 1-д1(.п) + 0- х(.п),
д1(п + 1) = Ь2 • д2(п) +	• д1(п) + 1 • х (и).

(19.54)

Или обозначив

д(п) =

72(^) .

(*)

получим уравнение состояния дискретной цепи в матричной форме:

д(ц + 1) = А • д(и) + В • х(и).	(19.55)

Уравнение реакции цепи у(п) можно получить по аналогии с
(6.95) как линейную комбинацию вектора состояния и вектора воз
действия:

г/(и) = С • д(и) + В • х(и),	(19.56)

где С, В — матрицы параметров дискретной цепи. Например, для
цепи, изображенной на рис. 19.55 матрицы С и В можно найти из
уравнения

у (п) = <2070 (п) + ахдх (п) + а2д2 (и).

Или с учетом (19.53)

г/(и) = <20[х(и) + Ъхдх (и) + Ъ2д2 (и)] + ахдх (и) + а2д2 (и) =
= (а0Ь1 + ах)дх(п) + (а0Ь2 + а2)д2(п) + а()х (и).

Откуда следует, что

С = 11(6/0^ +ах) (а0Ь2 + а2 )||; В = <20.	(**)

Методы решения уравнений состояния дискретных систем.

Решение во временной области. Решение уравнений состояния
может осуществляться как во временной области, так и в г облас
ти. При решении уравнений состояния во временной области ис
пользуется рекуррентная процедура решения разностного уравне
ния (19.55) при заданном начальном состоянии д(0) и известной
последовательности входного сигнала х(&):

д(1) = А-Ч(0) + В-х(0),

д(2) = А-Ч(1) + В-х(1) = А2-Ч(0) + А-В-х(0) + В-х(1),

.......	(19.57)

д(п) = Аи-Ч(0) + ^Ай-мВ-х(Ю,

/г=о
где А0 = I — единичная матрица.

Таким образом, зная начальное состояние дискретной цепи
д(0), можно вычислить компоненты вектора состояния д(и) на
любом шаге п (любой момент времени). Причем, как и в случае
аналоговой цепи (6.98) решение (19.57) содержит две составляю
гцих: первая — реакция цепи при нулевом входном сигнале; вто
рая — реакция цепи при нулевом начальном состоянии.

Уравнение реакции цепи (19.56) при этом примет вид:

м-1	. ,

^(п) = С-Аи-д(0) + С]Г А^^В-хШ + В-хЫ	(19.58)

/?=о

На основании (19.58) можно найти отсчеты импульсной и пере
ходной характеристик дискретной цепи.

Пример. Определить импульсную характеристику цепи, изображенной на
рис. 19.55.

Решение. Учтя, что импульсная характеристика цепи — это ее реакция на
единичный импульс Хо(п) = {1, 0, 0, ...} и приняв д(0), получим из (19.58)
уравнение импульсной характеристики цепи

Л(ц) - А" 1 /?В-х0(/г) + В-х0(и).

к=0

Отсюда можно получить с учетом (*), (**) отсчеты импульсной характери-
стики

к(0) = В х0(п) = «0  х0(п) = «0,

Л(1) = С • А0 • В = С • I • В = ||(а0Ь1 + а1) (а0Ь2 + а2 )|| х

0

1

- а0Ь2 + а2,

Л (2) = С • А • В = ||(«051 + а1) (а0Ь2 + а2 )|| х

0 1

52

0

1

= а2 + Ъхах + Ь?а0 + Ь2а0
И т.д.

Для ц-го отсчета имеем (п > 0)

11<п) С А В

(19.59)

Как следует из (19.59) для вычисления выходной реакции дискретной це-
пи требуется вычисление больших степеней матрицы А. В литературе описа-
ны процедуры, упрощающие эти операции (см. например, [1] «Основы циф-
ровой обработки сигналов — Спб: БХВ — Петербург —2003, 608 с.»).

Решение в г-области. По аналогии с решением уравнения со
стояния аналоговой цепи операторным методом (7.38), (7.39) мож
но решить уравнение состояния для дискретной цепи в г области.

Применим прямое г преобразование к уравнениям (19.55) и
(19.56) и учтем свойства г преобразования:

г[О(г)-д(0)] = А-д(г) + В-Х(г),

(19.60)
У(г) = С-О(г) + В-Х(г),

(19.61)

где (^(г),Т(г),Х(г) — г изображения последовательности векто
ров состояния д(и), выходного у(п) и входного х(п) сигналов со
ответственно.

Из (19.60) получаем непосредственное решение

д(г) = (г1-А)-1(В-Х(г) + гд(0)).	(19.62)

Или при нулевых начальных условиях (д(0) = 0):

д(г) = (г1-А)-1В-Х(г).	(19.63)

Отсюда можно найти искомый вектор состояния дискретной цепи

19.7.	Дискретные фильтры и их синтез

Постановка задачи и этапы синтеза. Дискретная цепь может
осуществлять любые операции: фильтрацию сигнала, корректиро
вание характеристик и т.п., т.е. выполнять функции любой анало
говой цепи.

В частности, при синтезе дискретных частотных фильтров нуж
но найти такие коэффициенты передаточной функции (19.41), или
(19.42), частотная характеристика которой удовлетворяла бы нор
мам ослабления фильтра в полосах пропускания и непропускания
(рис. 19.56, а). Определение коэффициентов — это задача аппрок
симации. Известен целый ряд методов ее решения. Наиболее рас
пространенным является следующий метод. Сначала рассчитывают
аналоговый НЧ прототип и получают его передаточную функцию
Н(р), затем путем замены комплексной переменной р = Ф{г} пере
ходят от Н(р) к передаточной функции дискретной цепи //(г).

Использование стандартного преобразования 2 = ерТ или р =
= (1/Г)1пг не приведет к дробно рациональной функции. Поэтому
для ФНЧ применяют билинейное преобразование

Р = У

1 - 2 1

1 + г-1

2 - 1

= У----7

(19.64)

(у — некоторый постоянный множитель), которое является первым
приближением стандартного преобразования при разложении его в
ряд Тейлора:

1 ,	2

р = — Ш 2 = —

г-1	1 (г-1)3	1 (г-1)5

г + 1 3(2 + 1 )3 5(2 + 1 )5

(19.65)

Из разложения (19.65) следует, что необходимо выбирать
у = 2/7. Однако, далее мы покажем, что удобнее брать другие зна
чения коэффициента у.

Билинейное преобразование (19.64) переводит все точки из ле
вой полуплоскости переменной р в точки на единичной окружности
плоскости г. Так что, если была устойчива аналоговая цепь, будет
устойчивой и дискретная. Подтвердим эти утверждения на примере.

Пример. Найдем положения точек на г-плоскости, соответствующих сле-
дующим значениям переменной р\ р\ = — 2; р2 = — 2 + /2; рз = /2.

Из формулы (19.64) найдем выражение для расчета г:

у-р

Подставляя в эту формулу значение полюса р = р\ = — 2, лежащего в ле-
вой полуплоскости плоскости р, получаем

Поскольку у — число вещественное и положительное, то числитель (у — 2)
меньше знаменателя (у + 2), и значит г < 1, т. е. точка г лежит внутри еди-
ничной окружности, что говорит об устойчивости цепи.

При р = р2 = — 2 + /2 получаем

г,Т-2 + /2

- У + 2-/2’

Найдем модуль г
_^у-2)2+Г-

7(у + 2) + 22

Он меньше единицы, поскольку модуль числителя меньше модуля знаме-
нателя, т. е. точка г также лежит внутри единичной окружности.

При р = рз= /2 получаем

_ у + ;2 _ 7у2 + 4 /2агсЬ82
“ Т - /2	^у2 +4 в

Модуль г равен 1, т.е. точка р = /2, лежащая на мнимой оси плоскости р,
переходит в точку на единичной окружности плоскости г при использовании
билинейного преобразования.

Переход к аналоговому прототипу применяется обычно для
дискретных фильтров, имеющих бесконечную импульсную харак
теристику /г(&), принимающую ненулевые значения на бесконечном
множестве значений к = 0, 1, ... .

Дискретные цепи с конечной импульсной характеристикой,
принимающей ненулевые значения лишь при к = 0, 1, ..., X — 1,
не имеют аналогов среди пассивных электрических фильтров, по
этому для их расчета применяются другие методы.

Нерекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.43) все
гда имеют конечные импульсные характеристики. Рекурсивные
фильтры с передаточной функцией (19.41) могут иметь как конеч
ные, так и бесконечные импульсные характеристики.

Пример. Найдем дискретные импульсные характеристики фильтров, имею-
щих передаточные функции

Нг (г) - 2 + 0,5 г 1 - Зг 2, Я2 (г) = 1/(1 - 0,5г’1),

Я3(г)=ЬЯ

1 - г 1

Дискретная импульсная характеристика Л(/г) связана с передаточной
функцией обратным г-преобразованием (см. формулу (19.30)):

Ш) = — Я(г)/ЛЯ,	(19.66)

Ы=1

т.е. /г(/г) = г 1 {Я(г)}. Нерекурсивной цепи с передаточной функцией Яфг)
соответствует к {к} = {2; 0,5; —3}, т.е. это фильтр с конечной импульсной ха-
рактеристикой.

Импульсная характеристика цепи с передаточной функцией Яг(г) рассчи-
тывается по формуле Л(/г) = 0,5 , т.е. это рекурсивный фильтр с бесконечной
импульсной характеристикой.

Отсчеты импульсной характеристики рекурсивной цепи с передаточной
функцией Яз(г) будут конечными и равными 1 только для к = 0, 1, 2, 3, 4, а
для к > 5 к(к) = 0. Значит этот рекурсивный фильтр имеет конечную им-
пульсную характеристику.
Требования к аналоговому фильтру-прототипу. Следует иметь
в виду, что частотная характеристика аналогового фильтра опреде
лена на всей положительной полуоси частот, в то время как у дне
кретного фильтра она имеет тот же смысл только до частоты 0,5/д,
затем она периодически повторяется (рис. 19.47). Ясно, что шкала
частот дискретного фильтра оказывается деформированной относи
тельно шкалы частот аналогового фильтра. Соответствие этих шкал
легко установить из билинейного преобразования (19.64). Перепи
шем его в виде:

2 = (у + р)/(у-р).

(19.67)

Обозначим, во избежание путаницы, нормированную частоту
для аналогового фильтра прототипа Па, обычную (т.е. ненормиро
ванную) частоту для дискретного фильтра будем, как и ранее, обо
значить буквой /, а нормированную — буквой О. Теперь заменим в
(19.67) комплексную переменную р на /Па, а комплексную пере
менную г на ^72я/г = е-/271° и установим соответствие между часто
тами / (или П) и Па:

е/2п/Т _ е/2пО _ У + У^а _ ^/2агс1'§ у

У -

Отсюда легко получить, что

л/Т = лО = агсГ§ —
У

или

Оа = У п/Т = у л у- = у лО.

/ д

(19.68)

При изменении частоты 1 от 0 до 0,51д, или нормированной частоты
О от 0 до 0,5, нормированная частота Оа в шкале аналогового про
тотипа будет пробегать значения от 0 до бесконечности (рис. 19.56).

Во многих справочниках по расчету фильтров граничная часто
та полосы пропускания принимается равной Оаи = 1. Чтобы часто
та /п (или Пп) дискретного фильтра пересчитывалась в Оаи = 1
(рис. 19.56, б), из (19.68) ясно, что коэффициент у нужно взять
равным:

1 1

(19.69)

Пример. Рассчитаем дискретный ФНЧ с параметрами: /д = 8 кГц; /п =
= 1 кГц; /з = 3 кГц; ДА = 1,4 дБ; = 40 дБ.

По формуле (19.69) находим у = 1/1§ л • 0,125 = 2,414214 и по формуле
(19.68) определяем нормированную граничную частоту полосы непропускания
Оаз аналогового НЧ-прототипа:
О;|3 = 2,414214 л • 0,375 « 5,82.

Тем самым, произведен пересчет требований, предъявленных к диск-
ретному фильтру (рис. 19.56, а) в требования к аналоговому НЧ-прототипу
(рис. 19.56, б).

Расчет аналогового НЧ-прототипа. Исходными данными для
расчета являются требования к НЧ пототипу (рис. 19.56, б). По
ним, пользуясь любым справочником, рассчитывают передаточную
функцию фильтра прототипа.

Пример. Для Оаз = 5,82, Лтт = 40 дБ и ЛА = 1,4 дБ, (параметры ФНЧ,
взятые из примера), пользуясь справочником Христиана Э., Эйзенмана Е.
«Таблицы и графики по расчету фильтров» М.: Связь, 1975, находим, что

Н(р) = ----------- 1,732052--------------- (19.70)

(р + 1,200937Х/?2 + 1,200937/? + 1,442249)

Реализация рекурсивного фильтра. Для перехода от аналогово
го фильтра к дискретному воспользуемся заменой переменных
(19.64)

В результате получаем Н(г) в виде дробно рациональной функ
ции, которая может быть реализована.

Я(/) = 1,732052 —

Пример. От передаточной функции (19.70) аналогового фильтра-прото-
типа перейдем к передаточной функции Ж/) дискретного фильтра.

Подставим в выражение (19.70) значение

1 — 2 1

р = 2,414214

Р	1+/

Получим

1 + / 1 х
615151 -1,213278/ 1 Х

(1 + г-1)2_________

" 10,1699 - 8,77236/ 1 + 4,371362/ 2 ’

Дискретный фильтр можно реализовать в виде каскадного соединения типо-
вых звеньев Его и 2-го порядка. Для этого функцию Н(г) перепишем в виде:

тт, ч	0,2766 + 0,2766/ 1 0,09833 + 0,19666/ 1+0,09833/2

к ’	1- 0,33561/ 1	1 - 0,86258/ 1 +0,42983/ 2

Схема фильтра, имеющего такую передаточную функцию, приведена на
рис. 19.57. Амплитудно-частотная характеристика А (О) = 201§Я(О), рассчи-
танная на основании формул для АЧХ типовых звеньев, показана на
рис. 19.58 (кривая 1).
Рис. 19.57

Аналогичным образом производится расчет фильтров со всплесками ослаб-
ления (нулями передачи).

Пример. Найдем передаточную функцию дискретного фильтра НЧ с АЧХ,
равноволновой в полосе пропускания и со всплеском ослабления в полосе за-
держивания. Параметры фильтра: /д = 32 кГц; /п = 6 кГц; Д = 8,8 кГц; ДА =
= 1,5 дБ; Ат1П = 30 дБ.

Определяем: Пп = 6 • 103/(32 • 103 ) = 0,1875 и

О3 - 8,8 •103/(32 Л03) = 0,275. Далее находим

У = с1§ я 0,1875 = 1,496606 и

Оаз = 1,496606 • л • 0,275 = 1,7523 .

По справочнику рассчитываем

Я (р) = 0 129302____________+ 3,865161_______________

(р + 0,510162)(р2 + 0,38086р + 0,980233)

и с помощью подстановки

1 — 2 1
р = 1,496606	,

Л	1 + 2-1

переходим к Жг)
тт( ч Л 1ЛО7ЙЙ 1 + г 1	1 + 0,53246г 1 + г 2

Ж г) = 0,103788-------------г х------------;------------5-.

1-0,491558г 1 1 - 0,664682г 1 + 0,699215г 2

Амплитудно-частотная характеристика А (О) = 20Ж О) такого фильтра
показана на рис. 19.58 (кривая 2).

Синтез фильтров с конечной импульсной характеристикой. Ес
ли известна передаточная функция Н(г) дискретного фильтра, то
для реализации фильтра с конечной импульсной характеристикой
к(к), равной нулю везде кроме	поступают следую

щим образом. Амплитудно частотную характеристику Н(П) фильт
ра дискретизируют, разбивая частотный интервал О = 0 т I на А
равных интервалов. В результате получают последовательность от
счетов АЧХ на А частотах О = п/М , т. е. Н (п/М), 0 < я < А-1.
Поскольку Н (п/М) = М  Н (п), то, подставляя эту последователь
ность в формулу обратного дискретного преобразования Фурье
(19.15), получаем выражение для дискретной импульсной характе
ристики к(к) фильтра

] А-1	]2пкп—

к(к) =—Н_[п/М}е

м п=0

0<иА-1

(19.71)

Как известно, конечную импульсную характеристику имеют не
рекурсивные фильтры. Это значит, что полученные отсчеты дне
кретной импульсной характеристики к(к) являются коэффициен
тами усиления а®,	..., ах-\ в схеме нерекурсивного фильтра,

приведенной на рис. 19.36.

Пример. Найдем импульсную характеристику /?(/?) фильтра нижних час-
тот, имеющего граничную частоту полосы пропускания Г2 = 0,1, и АЧХ, при-
веденную на рис. 19.59. Импульсную характеристику будем рассчитывать для
значения А = 30.

В формуле (19.57) для расчета /?(/?) используются комплексные значения
передаточной функции. Если выбрать значения Н[п/Ы], показанные на
рис. 19.59 (Я[ц/А] = 1 в полосе пропускания и Н[п/М] = 0 в полосе непро-
пускания) и фазу передаточной функции аг§\Н[ц/А], равную нулю, то пере-
даточная функция будет иметь заданные значения в точках Г2 = ц/А, но
очень сильно отличаться от требуемой формы на частотах Г2 между этими точ-
ками.

Требуемая Д'(О)

1/А

Я(О)

1
Гораздо лучшие результаты получаются, если выбрать аг§\Н[ц/Х7| =
= -2лО(Л72)|п. Выбор такой фазы эквивалентен тому, что	=

= (-1)" вместо 1 в полосе пропускания. Такой передаточной функции соответ-
ствует АЧХ, изображенная на рис. 19.60. Подстановка значений Н_[ц/ЛД в
формулу (19.35) позволяет получить выражение для расчета /г(&):

= 1 ( с-]2пЗк/ЗО + е-]2п2к/30 _ ^-уДл/г/ЗО + | _ еХр/2я/г/30+ е/2л2/г/30 _ ^-/ЗлЗ/г/ЗО )

График конечной импульсной характеристики Л(&) изображен на рис. 19.61.

Для реализации фильтра с такой импульсной характеристикой по схеме
рис. 19.36 потребуется 30 усилителей и 29 элементов задержки, т.е. схема до-
вольно громоздкая. Схема с обратными связями, реализующая АЧХ, изобра-
женную на рис. 19.59, будет иметь гораздо меньше элементов. Однако дос-
тоинством нерекурсивных фильтров с конечной импульсной характеристикой
является то, что они всегда устойчивы и, кроме того, обеспечивают линейные
фазовые характеристики.

Синтез дискретных фильтров верхних частот, полосовых и
режекторных. Требования к любому типу фильтра преобразуются
в требования к аналоговому ФНЧ прототипу. Затем рассчитывает
ся аналоговый прототип, как это показано выше, и с помощью за
мены переменных переходят от Н(р) к Н(г).

Конечно, формулы замены переменных уже не такие, как для
ФНЧ. Они приведены для разных типов фильтров в табл. 19.2.
Требования к дискретным фильтрам графически изображены на
рис. 19.62.
570

Таблица 19.2 — Формулы замены переменных для различных типов фильтров

Дискр. фильтр	Граничные частоты	Формула замены	Параметр	Связь между частотами	Граничные частоты ана- логового фильтра		
НЧ	ч2 II II а а	1 - г-1  Р = У .	-1  1 + г	у - с!§лОп	О а = у 71 О	^аз= У^§ ЛП3		
ВЧ	ч^ II II  к  а а	1 + г-1  Р = т1-Г*	у - с!§лОп	Оа = усГ§ 710	^аз^ УС1§ ЛО3		
ПФ	Г^п1 — /п1 / /д  Сц2 — /п2 / /д  Г^з1 — /з1 //д  Сз2 — /з2 / /д	1 - 2аг-1 + г-2	У - С1§Л (Оп2-Оп1)  С08л(Оп2+ап1)	а-соз 2л О	Оя = тлф 0.0	\  где	М«аз 1),  - соз 2лОз1	
					аз 1 зт 2лОз1  а - соз 2лОч9		
		р - У .	_?  1 - 2 ’		а	81п2лО			
			С08л(ап2-Оп1)				
					2 а3 У	О гл  зт 2л12 з2		
ЗФ	Г^п1 — /п1 / /д  Сц2 — /п2 / /д  Г^з1 — /з1 //д  Сз2 — /з2 / /д	1 - г-2	У - С1§Л (Оп2-Оп1)  С08л(Оп2+Оп1)	„	81п2лГ2	Оя = тт(- 0.0	\  где с  ОР = V —	п;3|.  >т 2л^	ПЦ),  Т1
		1 Эл,	,-2  1 — 2 (X 2 Л- 2		/	о гл  а - соз 2я12	а - соз 2лОз1 зт2лОя? ^аз = У	  а - соз 2лОз2		
			СОЗ 71 ( О п2 - О П1 )				
Пример. Определить передаточную функцию дискретного полосового
фильтра с параметрами: /д = 140 Гц; /п1 = 15,5 Гц; /д2 = 30 Гц; = 7,75 Гц;
/з2 = 60 Гц; ДА = 0,5 дБ; Атш = 40 дБ.

Определяем:

ОП1 = 15,5 140 = 0,110714; Пп2 = 30 140 = 0,214286;

О31 = 7,75 140 = 0,055357; Пз2 = 60 140 = 0,428571;
у = с1§[л- (0,214286 -0,110714)] = 2,964087;

соз [ л (0,214286 + 0,110714)] п

___к___'__________'______сА. — о 551433
соз[л(0,214286 - 0,110714)]

аз - 2,964087

аз - 2,964087

0,551433-соз2л 0,055357
зт 2л -0,055357

0,551433 — соз2л • 0,428571
зт 2л-0,428571

-3,38;

9,92;

Паз =тт(3,38; 9,92)® 3,38.

По данным Паз = 3,38, ДА = 0,5 дБ и Атщ = 40 дБ из справочника находим

Н (р) - 0,484123 -----------------------х —----------------------.

р2 +0,412569/9 + 1,144123 р2 + 0,996024/? + 0,437016

Передаточную функцию Жг) найдем, используя подстановку

э ос/по7 1-2 0,551433г 1 + 2 2

р - 2,964087------------5--------

Л	1-г 2

и разлагая каждый из двух полиномов четвертой степени (в знаменателе Жг))
на множители (полиномы второй степени):

1 _ у	1 — 7

Я (г) = 0,0035652----------—?-----------х---------------------------х

к 7	1-0,703705г’1 + 0,684397г 2 1-1,155395г’1 + 0,741638г’2

х_________1-г’2____________х__________1-г’2___________

Х1-0,378998г’1 + 0,860199г’2 Х 1 - 1,479492г’1 + 0,907562г’2 '
19.8	. Цифровые фильтры

Функциональная схема цифрового фильтра. В отличие от дис
кретных фильтров в цифровом фильтре (ЦФ) осуществляется обра
ботка цифровых сигналов (рис. 19.1, в). На рис. 19.63 изображена
функциональная схема цифровой обработки аналоговых сигналов.
Аналоговый сигнал х<ф) подается на аналоге цифровой преобразова
тель (АЦП), где осуществляется дискретизация, квантование непре
рывного сигнала и его кодирование. В результате на выходе АЦП
формируется цифровой сигнал, представляющий собой последова
тельность двоичных чисел с фиксированным количеством разрядов.

Например, если отсчет имеет величину 30 В, то запись числа в
двоичном 8 разрядном коде будет такой: 00011110. Закодирован
ные в двоичном коде отсчеты на выходе кодера АЦП на рисунке
обозначены х (к). Далее двоичная последовательность поступает на
вычислительное устройство (ВУ), которое представляет собой уни
версальную или специализированную микро ЭВМ, микропроцес
сорное или любое другое вычислительное устройство. Главное со
стоит в том, что в памяти ВУ должна быть записана программа
вычисления, например, выражение (19.36), и отсчеты импульсной
реакции, заданной цепи. Следовательно, в результате работы про
граммы ВУ будет выдавать закодированные в двоичном коде от
счеты у (к). Далее двоичная выходная последовательность посту
пает на вход цифро аналогового преобразователя (ЦАП), содер
жащий декодер и интерполятор. В ЦАП осуществляется декодиро
ванне сигнала, в результате формируется дискретный выходной
сигнал у(кТ) и после интерполяции на выходе ЦАП получаем вы
ходной аналоговый сигнал г/(О.

Как видим, ВУ может сыграть роль реальной цепи. И хотя са
мой физической цепи в наличии может и не быть, а задана она бу
дет лишь в виде отсчетов импульсной реакции и программы вычис
лений, мы будет наблюдать на выходе описанной системы такое же
выходное напряжение г/(О, как и на выходе реальной цепи.
Следует отметить, что при цифровой обработке ЦАП может и от
сутствовать, если выходной сигнал надо получить в цифровой форме.

Аналогово-цифровое преобразование сигналов. Как следует из
рис. 19.64 АЦП осуществляет дискретизацию аналогового сигнала,
его квантование по уровню с шагом Л (рис. 19.1, в) и кодирование.
Обычно процесс квантования осуществляется одновременно с его
кодированием, в результате на выходе АЦП получаем сигнал,
представленный в некотором цифровом коде.

Одним из основных параметров кода является его основание,
соответствующее выбранной системе счисления. Близко к опти
мальным реализуются двоичные или бинарные коды, которые на
шли наибольшее распространение в связи.

Известно большое количество различных устройств преобразо
вания непрерывного сообщения в бинарный код. Все их можно
разбить на три основные группы: преобразователи последователь
ного счета, поразрядного кодирования и преобразователи считыва
ния. Наибольшее применение в связи нашли преобразователи пер
вых двух типов.

Принцип действия преобразователя последовательного счета с
временным преобразованием иллюстрируется схемой изображенной
на рис. 19.64 и временными диаграммами на рис. 19.65.

Кодирование в данной схеме осуществляется следующим обра
зом. Аналоговый сигнал после дискретизации и квантования хц(О
поступает на вход широтно импульсного модулятора (ШИМ), на
выходе которого формируются прямоугольные импульсы ширина
которых пропорциональна отсчету сигнала хц(О в моменты кТ
(рис. 19.65). Далее этот ШИМ сигнал подается на схему* «И», на

Рис. 19.64

Особенностью схемы «И» является то, что сигнал на ее выходе появляется при на-
личии на ее входах одновременно двух сигналов.
второй вход которой поступают импульсы с генератора тактовой
частоты (ГТИ). На выходе схемы «И» формируются импульсы,
число которых в «пачке» пропорционально ширине импульса. Эти
импульсы поступают в двоичный счетчик, где число их фиксирует
ся в двоичной системе счисления. Задним фронтом ШИМ импуль
са запускается устройство считывания результата, с выхода кото
рого кодовая комбинация поступает в ВУ. Считывание может осу
гцествляться последовательно или параллельно (последовательный
или параллельный код).

На рис. 19.65 приведен вид кодовой группы на выходе при по
следовательном считывании. Для возвращения двоичного счетчика
в исходное состояние на него через линию задержки ЛЗ с т3 = тСЧит
подается сигнал сброса, формируемый задним фронтом ШИМ им
пульса. С приходом следующего измерительного импульса работа
кодера повторяется.

Аналогичным образом можно кодировать и амплитудно модули
рованную импульсную последовательность (кодер последовательно
го счета с частотным преобразованием). Для этого АНМ сигнал
подается на ЧМ генератор (мультивибратор), и осуществляется
счет импульсов этого генератора за фиксированные промежутки
времени по рассмотренной выше схеме.

В преобразователях поразрядного кодирования производится
последовательное сравнение выходного сигнала с набором эталон
ных напряжений, каждое из которых соответствует определенному
разряду кода. В качестве эталонных напряжений используется гео
метрическая прогрессия вида

Е . Е . Е .	Е

20 ’ 21 ’ 22 ’	2Л/-1 ’

где — число разрядов в бинарном коде. Причем Е > итах, где
г/тах — максимально возможное значение кодирующего сигнала.

При поразрядном кодировании вначале формируется старший
разряд кода путем сравнения м(О с Е/2 (например, если
иХЕ)^Е12, то формируется символ «1», в противном случае —
«0»), Одновременно на выходе схемы сравнения образуется на
пряжение ибб)-Е/2 при и(.Е)'^Е/2 или г/(О при ибб)<Е/2. За
тем указанная процедура повторяется с полученным напряжением
для эталонного напряжения Е/4 и т.д. В результате сравнений
получается символ самого младшего разряда.

Цифро-аналоговое преобразование. Преобразование цифровых
сигналов в аналоговый осуществляется с помощью различных
цифро аналоговых преобразователей (ЦАП). В основе простейшего
ЦАП лежит принцип двоично взвешенного суммирования напря
жений или токов. На рис. 19.66 изображены схемы простейших
ЦАП на базе резистивных цепей.

В ЦАП с двоично весовыми резисторами (рис. 19.66, а) требу
ется меньшее число резисторов, однако при этом необходим целый
ряд номиналов прецизионных сопротивлений. Аналоговое выход
ное напряжение С/ан ЦАП определяется как функция двухуровне
вых входных напряжений:

^ан = (^д + 2С/ в + 4С/с + ...)/(1 + 2 + 4 + ...).

На цифровых входах С/д, С/щ С/с ... напряжение может при
нимать лишь два фиксированных значения, например, либо 0,
либо 1.

Для ЦАП, в котором используются резисторы К и К/2, требу
ется больше резисторов (рис. 19.66, б), но только с двумя номина
лами. Аналоговое напряжение на выходе такого ЦАП определяется
по формуле

44

“в

“С

Рис. 19.66

»в иА
= (<7Л + IVв + 4С', + ... + тУп )/2" ,
где п — число разрядов ЦАП; т — коэффициент, зависящий от
числа разрядов ЦАП.

Для обеспечения высокой точности работы резистивные цепи
ЦАП должны работать на высокоомную нагрузку. Чтобы согласо
вать резистивные цепи с низкоомной нагрузкой, используют бу
ферные усилители на основе операционных усилителей, показан
ные на рис. 19.66, а, б.

Интерполяторы. На выходе ЦАП сигнал обычно имеет форму
последовательности импульсов модулированных по амплитуде
(АИМ сигнал). Для восстановления (демодуляции) из АИМ после
довательности аналогового сигнала достаточно использовать ФНЧ
с частотой среза сос = 2п/Т, где Т — частота дискретизации АИМ
сигнала. Существуют и более сложные интерполирующие устрой
ства, которые описаны в специальной литературе.

В заключение следует отметить, что в связи с бурным развитием
вычислительной, микропроцессорной техники цифровые методы
обработки сигналов получают все большее распространение. Они
имеют более широкие возможности реализации сложных и эффек
тивных алгоритмов обработки сигналов, которые в большинстве
своем недоступны для реализации аналоговыми цепями.

Математически работа цифрового фильтра может быть описана
уравнением, аналогичным уравнению (19.39), описывающему рабо
ту дискретного фильтра. Однако из за квантования сигнала и весо
вых коэффициентов ак и Ък алгоритм (19.39) лишь приближенно
описывает работу цифрового фильтра. Следует также учитывать,
что операция квантования сигнала является нелинейной, в связи с
чем цифровой фильтр, реализующий алгоритм (19.39) является,
строго говоря, нелинейной цепью, к которой неприменимы методы
анализа и синтеза линейных цепей. Однако учитывая, что число
разрядов цифровых кодов выбирается достаточно большим, то по
лученный квантованный сигнал можно считать приближенно дне
кретным, а цифровые фильтры, реализующие алгоритм (19.39)
приближенно дискретными линейными устройствами. Это позволя
ет существенно упростить задачу анализа и синтеза цифровых
фильтров, сведя их фактически к дискретным линейным фильтрам.
Эффект же квантования и округления в цифровых фильтрах
обычно учитывается отдельно.

19.9	Эффект квантования в цифровых фильтрах

При проектировании цифровых фильтров важным является ас
пект учета эффекта квантования, приводящий к определенным по
грешностям при обработке сигналов.
Различают три основных источника погрешности сигнала в
цифровых фильтрах [Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение
цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1978, — 848 с.]:

1)	погрешности, обусловленные квантованием коэффициентов
фильтра;

2)	шумы АЦП;

3)	шумы квантования результатов арифметических операций ВУ.

Погрешность первого типа возникает из за представления ко
эффициентов ак и Ък алгоритма цифрового фильтра конечным чис
лом разрядов, что приводит к искажению частотных характеристик
цифрового фильтра. Это обстоятельство обычно учитывается на
этапе проектирования фильтра.

Второй вид погрешности, обусловленный погрешностью пред
ставления аналогового сигнала в АЦП при его квантовании, назы
вают шумом квантования.

Наконец, третий тип погрешности вызван тем, что арифметиче
ские операции, осуществляемые согласно алгоритма (19.39), вы
полняются с определенной точностью, зависящей от числа разря
дов ВУ.

Погрешности квантования коэффициентов ЦФ.

Значения коэффициентов ак и б/ цифрового фильтра квантуют
ся в ВУ, при этом точные значения коэффициентов ак и б/ замени
ют их приближенными значениями ак и Ъг.

а к — а к +5 ак, к — 1,

Ь1 = Ь[ + 5^, I = 1, М,

где 8ак,8Ь[ — погрешность квантования коэффициентов цифрового
фильтра.

При этом передаточная функция фильтра (19.41) принимает
вид:

X Як2~к

Н(г) = -^--------.	(19.73)

1 - !

1=1

Следует отметить, что изменение коэффициентов ак и Ъ1 в
(19.73) приводит к изменению положения нулей и полюсов переда
точной функции ЦФ, а, следовательно, к искажению АЧХ и ФЧХ
и даже потере устойчивости ЦФ.

Пример. Рассмотрим передаточную функцию дискретной цепи

Н(г) -

1-г 2

1 - 1,8г1 + 0,97г2 ’
Полюсы этой передаточной функции комплексно-сопряженные гцг = 0,9 ±
± ] 0,4, т.е. лежат внутри единичной окружности:	= |г2| < 1, поэтому дис-

кретная цепь — устойчива.

Осуществим квантование коэффициентов Ь\ и Ь?, округлив их значения до
величин: Ь1=2, &2=1. При этом полюса будут вещественными: 2^=1,5,
= -3,5, т.е. лежат за пределами единичной окружности, поэтому цепь будет
неустойчивой.

Следует подчеркнуть, что, несмотря на то, что сама операция
квантования является нелинейной цифровой фильтр остается ли
нейной цепью, но с характеристиками, определяемыми функцией
(19.73). Очевидно, что при проектировании ЦФ коэффициенты ак
и Ък должны быть выбраны таким образом, чтобы характеристики
цифрового фильтра с квантованными коэффициентами ак и Ък
удовлетворяли заданным требованиям. Для оценки влияния эф
фекта квантования коэффициентов ЦФ может быть использована
функция чувствительности (см. и. 16.4).

Шумы квантования. При квантовании сигнала минимальный
шаг квантования Л (расстояние между смежными разрешенными
уровнями) соответствует единице младшего двоичного разряда.
Причем, поскольку при квантовании происходит округление значе
ний сигнала до ближайшего дискретного уровня, то появляются
ошибки округления |е| < Л/2. Если х(О известен неточно, то е —
является случайной величиной и при малом Л распределено по
равномерному закону. Последовательность значений ошибки е,
возникающей при квантовании дискретного сигнала х(кТ) образует
дискретный случайный процесс &(кТ) называемый шумом кванто-
вания (рис. 19.67).

Дисперсия шума квантования определяется для равномерного
закона распределения /?(е) формулой
л/2	л 2

а! = | е2/?(е)б/е = —.

-Д/2	12

(19.74)

Если шаг квантования Л мал, то соседние значения &(кТ) можно
считать некоррелированными.

Шум квантования является одним из главных источников по
грешности цифровой обработки сигнала. Шум на выходе цифрово
го фильтра ^(кТ) при условии некоррелированности отсчетов г(кТ)
можно определить согласно (19.36)

^(иГ) = $(кТ)к(пТ-кТ).	(19.75)

Откуда с учетом (19.75) получим для дисперсии шума на выходе
цифрового фильтра:

СУ2 = — к2 (пТ - кТ) = — ^к2(кТ).	(19.76)

12 /г=о	12 /,=о

Поскольку для ЦФ обычно выполняется условие (19.37), то дне
Персия шума квантования на выходе всегда конечна.

Ошибки округления. При обработке цифрового сигнала в ВУ
возникают дополнительные ошибки округления (усечения). Дейст
вительно, если при использовании в ВУ чисел с фиксированной
запятой сложение чисел не приводит к увеличению разрядов, то
при умножении число разрядов возрастает и возникает необходи
мость округления результата, что естественно приводит к ошибкам
называемым ошибками округления. По своему характеру эти
ошибки аналогичны шуму квантования. Для их учета обычно в
схему ЦФ дополнительно вводят источники шума еД&Г), число ко
торых равно числу умножителей. На рис. 19.68 изображена схема
рекурсивного ЦФ звена 1 го порядка с учетом источников шума
округления.

Источники шума е(кТ) имеют одинаковую дисперсию о =
= Л2/12, где Л определяется числом используемых разрядов. Если
принять, что источники е$(кТ), е\(кТ) и в2(кТ) независимы, то
дисперсия суммарного шума округления будет равна

= За2 = Л2/4.

Для другой схемы реализации ЦФ результирующая о2 вычис
ляется в зависимости от того, куда будет подключен источник шу
ма е(кТ) и в общем случае может быть найден по формуле (19.76)
или с учетом равенства Парсеваля

^/?2(^г) =	<|> Я(г)Я(1/г) —	(19.77)

к=0	271/ |2|=1	2
из уравнения

Л 2	1 р	г! у

$ НО)Н(\/г)—-	(19.78)

12 2л; |2|=1	г

Пример. Определить дисперсию шума на выходе ЦФ 1-го порядка с
передаточной функцией

Для нахождения <з2 воспользуемся формулой (19.78):

а2 -А!. _1_ <€ а2 - А2 1

5 12 2ту |/=1(1-Ы(г-6)	12 1 - Ь2 ’

Кроме ошибок квантования и округления при синтезе ЦФ воз
никают ошибки, вызванные неточными значениями параметров
фильтра. Эти ошибки особенно опасны в рекурсивных фильтрах
высокого порядка, т.к. могут привести к потере устойчивости ЦФ,
поэтому обычно используют звенья 1 го и 2 го порядков (см.
§ 19.5). Кроме рассмотренных выше при синтезе ЦФ возникают
еще ряд дополнительных явлений, приводящих к погрешности
цифровой фильтрации. К ним, например, относятся так называе
мые предельные циклы низкого уровня, представляющие собой пе
риодические колебания, возникающие на выходе ЦФ при низком
входном сигнале и обусловленные округлением результатов вычис
ления. Все эти явления и ошибки подробно исследуются в специ
альной литературе.

Вопросы и задания для самопроверки

1.	Почему нельзя произвольно выбирать интервал дискретизации?
2.	Найдите спектр дискретного сигнала, состоящего из одного от
счета х{&} = {2}.

3.	Каким должно быть соотношение между интервалом дискрети
зации спектра по частоте Л/7 и периодом повторения Тс сигнала?

4.	Найдите частоту дискретизации и интервал дискретизации сиг
нала, имеющего спектр, ограниченный частотой Рв = 10 кГц.

5.	Найти дискретную свертку сигналов Х1{к} = {1; 1} и Х2{к} = {0,5;
0,5; 0,5}.

Ответ: Х1{к} *Х2{к} = {0,5; 1; 1; 0,5}.

6.	Вычислить реакцию дискретной цепи с импульсной характери
стикой к(к) на входной дискретный сигнал х(к):
а) к{к} = {2; 1; 0,5}, х{к} = {0,5; 0,5}
б) к{к} = {2; 2; 2}, х{к} = {1; 1; 1}.

Ответ: а) у{к} = {1; 1,5; 0,75; 0,25}

6) у{к} = {2;	6; 4; 2}.

7.	Найти г преобразование дискретных сигналов

а)	х{к} = {3; 2; 1}

И, четное

б)	х{к\ = ’ ,

(О, к- нечетное

в)	х{к} = (1/2)^ , к > 0.

Ответ: а) X(г) = 3 + 2г-1 + г-3

б)	Х(г) = 1/(1-г-2)

в)	X(г) = 1/(1 - 0,5г“2).

8.	Найти г преобразование дискретного сигнала хз(к), равного
сумме сигналов х^{к} = {1; 0; 1; —1} и Х2{к} = {2; 1; 0; 1}

Ответ: Х(г) = 3 + г-1 + г-2.

9.	Найти дискретные сигналы х(к), имеющие г преобразования

а)	Х(г) = 1 + 2г-1 + 4г“3

б)	X (г) = г/(г - 2).

Ответ: а) х{к} = {1; 2; 0; 4}

б)	х{к} = 2п, п > 0.

10.	Найти ДПФ дискретного сигнала х{к} = {0,5; 0,25; 0,0625}.
Построить спектр амплитуд и спектр фаз дискретного сиг
нала.

Ответ: Х{п] = {1,875; 0,838; 0,625; 0,838}
аг§ХИ = {0; -0,464; 0,0464}.

11.	Найти отсчеты дискретных сигналов х(&), имеющих спектры
а) Х{п} = {4; 0; 0; 0}

б)	Х{п} = {0; 4; 0; 0}.
Рис. 19.69

Ответ: а) х{к} = {1; 1; 1; 1}

б)	| х {к}\ = {1; 1; 1; 1}, аг§х{^} = {0; тт/2; тт; — тт/2}.

12.	Записать разностные уравнения для дискретных цепей, струк
турные схемы которых приведены на рис. 19.66.

Ответ: а) у(к) = х(к) -0,5х(к-1) + 2х(к-2)

б)	у(к) = х(к) + 0,5у (к -1) - у (к -2)

в)	у(к) = 2х(к) + 1,5х(к -1) + х(к -2) -

-0,5у (к -1) + 0,5 г/ (к - 2).

13.	Записать передаточные функции цепей, приведенных на
рис. 19.66, и определить их импульсные характеристики.

Ответ: а) Жг) = 1 - 0,5г-1 + 2г~2, к{к} = {1; — 0,5; 2}

б)	Жг) = 1/(1-0,5Ж +Ж),
к{к} = {1; 0,5; -0,75; -0,875; ...}

в)	Жг) = (2 + 1,5Ж +2Ж)/(1 + 0,5Ж -0,5г’2),
к{к} = {2; 0,5; 1,75; -0,625; ...}.

14.	Рассчитать отсчеты г/(0), г/(1) и г/(2) выходных сигналов це
пей, приведенных на рис. 19.66, если входной сигнал — сту
пенчатая последовательность х{к} = и{к} = {1; 1; 1; 1; ...}.

Ответ: а) у{к} = {1; 0,5; 2,5}

б)	у{к} = {1; 1,5; 0,75}

в)	у{к} = {2; 2,5; 4,25}.

15.	Определить импульсные характеристики цепей, описываемых
разностными уравнениями:

а)	у(к) = 0,5х(к) - 2х(к -+ х(к - 2)

б)	у (к) = х (к) - Зу (к -1) + 2у (к - 2)

в)	у {к} = х(&)-0,5х (&-!) -2г/(&-1)+г/(&-2).

Ответ: а) к{к} = {0,5; —2; 1}

б)	к{к} = {1; -3; 11; -39; ...}
в)	к{к} = {1; —2,5; 6; -14,5;

16.	Определить передаточные функции цепей, описываемых разно
стными уравнениями, приведенными в задаче 15.

Ответ: а) Жг) = 0,5 - 2г’1 + г’2

б)	Жг) = 1/(1+ 3г’1 -2г’2)

в)	Жг) = (1-0,5г-1)/(1 + 2г’1 - г’2).

17.	Составить структурные схемы, записать разностные уравнения
и определить импульсные характеристики цепей, передаточные
функции которых имеют вид

а)	Жг) = 5 - г’1 + Зг“2

б)	Жг) = 2/(1-2г’1)

в)	Жг) = г/ОжО + з/О + г’1).

Ответ: а) г/(^) = 5х(^)-х(^-1) + Зх(^-2),
к{к} = {5; -1; 3}

б)	г/(^) = 2х(^) + 2г/(^-1),
кШ = 2 Ж = {2; 4; 8; 16; ...}

в)	у {к} = 5х(к) - 4х(к -1) + у (к -1) + 2у(к - 2),
к{к} = {5; 1; 11; 13; ...}.

18.	Определить устойчивость цепей, имеющих передаточные функ
ции, приведенные в задаче 17.

Ответ: а) устойчивая

б)	неустойчивая

в)	неустойчивая.

19.	Определить передаточную функцию цепи, если на ее входе и
выходе действуют дискретные сигналы х{к} = {1; 0; 0; 0; 1; 0;
0; 0; 1; ...}, у{к} = {1; 0; 1; 0; 1; 0; ...}.

Ответ: Жг) = 1 + г“2.

20.	Найти импульсные характеристики дискретных цепей, имею
щих передаточные функции

а)	Жг) = |/<1г ' )

б)	Н( г) = < I+ г 1 )/(I г '/г)

Составить структурную схему каскадного соединения этих це
пей, определить для нее передаточную функцию и записать
разностное уравнение.

Ответ: а) к( к) = 1,к>0

б)Йа) = Гз/2‘ Ь0

Н(г) = (1 + г’1 )/(1 - 1,5г’1 + 0,5г’2)

у {к} = х(к) + х(к - 1) + 1,5 г/ (Ж1) - 0,5у(к-2).
21.	Найти передаточную функцию дискретной цепи с импульсной
характеристикой

а)	к{к} = {1; -1}

б)	к{к} = 0,2к, 0<б<7Х-1.

Ответ: а)Жг) = 1-г-1

б)	Жг) = 1/(1 - 0,2г"1).

22.	Определить сигнал на выходе дискретной цепи с импульсной
характеристикой к{к} = {1; 0,5}, если на вход подается сигнал
х{к} = {1; 1; 1}.

Ответ: у{к} = {1; 1,5; 1,5; 0,5}.

23.	Определить передаточные функции и АЧХ дискретных цепей,
имеющих разностные уравнения:
а) у(к) = х(к)-0,5х (б - 1)

б)	у(к) = х(к) + 0,Зу(к-1).

Ответ: а) Ж г) = 1 - 0,5г"1____

Н (О) = у11,25 - соз 2лО

б)	//(г) = 1/(1-0,3г’1)

Н(.П) = 1/71,09 - 0,6 соз 2лО.

24.	Вычислить дисперсию шума на выходе ЦФ первого порядка с
передаточной функцией Н(г) = «/(1 - бг-1); (б < 1) с исполь
зованием формулы (19.60).

А2 1

Ответ: су? =--------—.

12 1-б2
предметный указатель

Автогенератор 375

Автоколебания 375

Активная составляющая

—	приложенного напряжения 80

—	тока 82

Амплитуда 73

—	тока комплексная 77

Аппроксимация

—	кусочно-линейная 252

—	полиномиальная 246

Аттенюаторы 60

Баланс

—	амплитуд 370, 379

—	мощности 39

-	фаз 370, 379

Бел 316

Биения 175

Ветвь 25

Включение

—	встречное 90

—	согласное 90

—	согласованное 312

Волны

—	бегущие 345

—	отраженные 335

—	падающие 335

—	смешанные 350

—	стоячие 347

Вольтметр линейный 353

Гиратор 107, 438

Годограф 112, 359

Граф

—	цепи 25

	-ориентированный 25

Групповое время прохождения 479

Двухполюсник

—	активный 35

—	пассивный 35

Двухполюсники

—	обратные 135

—	пассивные реактивные 134

—	потенциально обратные 135

—	эквивалентные 135

Декремент

— затухания 171

----логарифмический 171

Дерево графа 26

Децибел 316

Диаграмма

—	векторная 76

—	полюсно-нулевая 136

—	спиральная 340

Дискретное преобразование Фурье

—	обратное 523

—	прямое 523

Длина волны 344

Добротность

—	контура 114

—	полюса 421

Дополнение 26

Емкость 15

—	дифференциальная 237

—	статическая 237

Задача

—	анализа 28

—	аппроксимации 414

—	реализации 414

—	синтеза 28

-- электрических цепей 412

Задачи с нулевыми

—	начальными условиями 159

Зажим одноименный 91

Зажимы

—	входные 291

—	выходные 291

Закон

—	второй коммутации 159

—	Максвелла—Фарадея 89

—	напряжений Кирхгофа 29, 194, 222

—	Ома в операторной форме 194

—	первый коммутации 158

—	токов Кирхгофа 28, 194

Затухание контура 114

Значение

—	действующее 74

—	напряжения мгновенное 11

—	среднее 75

—	среднеквадратическое 74

—	тока мгновенное 10

Избирательность

—	связанных контуров 128

Изображение

—	по Лапласу 186, 528

Изохронизм 174

Инвертор сопротивления

—	положительный 107
Индуктивность 14

—	взаимная 17, 89

—	дифференциальная 236

—	статическая 236

Интеграл

—	наложения 207

Интервал

—	дискретизации 516

Интерполяция 246, 423

Искажение сигнала 476

Искажения

—	амплитудно-частотные 476

—	нелинейные 268

—	фазо-частотные 478

Источник 12

—	зависимый 19

—	напряжения независимый 18

—	тока независимый 18

Катушка

—	вторичная 98

—	первичная 98

Квадрат модуля

—	передаточной функции 417

Квазипериод 171

Коды двоичные 568

Коммутация 158

Компоненты гибридные 12

Конвертор 64

Контур 26

—	колебательный ИЗ

--связанный 128

—	параллельный ИЗ

—	последовательный ИЗ

Корректоры

—	амплитудные 453

—	линейных искажений 413

—	фазовые 479

Коэффициент

—	амплитуды 150

—	бегущей волны 351

—	взаимной индукции 382

—	гармоник 150

—	затухания контура 168

—	искажений 150

—	мощности 102, 150

—	нелинейности 269

—	неравномерности ослабления 447

—	ослабления 339

—	отражения по напряжению 336

--по току 336

—	распространения 332

—	рассеяния 91

—	связи 90

—	стоячей волны 351

—	трансформации 101

—	фазы 339

—	формы 150

Коэффициенты А.И. Берга 273

Крутизна

—	дифференциальная 236

—	средняя ВАХ 383

Линии

—	длинные 327

—	задержки 413, 505

—	однородные 328, 330

Матрица

—	редуцированная 27

—	сечений 27

—	структурная 27

	-редуцированная 56

Метод

—	выравнивания коэффициентов 439

—	Гаусса 67

—	Дарлингтона 458

—	комплексных амплитуд 76

—	контурных токов 49

—	матричных экспонент 180

—	медленно меняющихся амплитуд 405

—	переменных состояния 178

—	разряженных матриц 68

—	Рунге-Кутта 181

—	символический 83

—	токов ветвей 42

—	узловых потенциалов 53

Методы

—	матрично-топологические 25

—	обращения 67

----матрицы узловой проводимости 68

—	разностные 183

Микросхема 24

Модели дискретные 68

Мощность

—	активная 102

—	комплексная 102

—	мгновенная 11

—	полная 102

—	реактивная 102

Напряжение

—	контурное задающее 49

—	операторное 194

—	расчетное 194

—	электрическое 11

Непер 316

Обратная связь
—	внешняя 378

—	отрицательная 359, 360, 377

—	параллельная по напряжению 357

----- току 357

—	положительная 359, 360, 377

—	последовательная по напряжению 357

----- току 357

Ограничитель 283

Оператор единичной задержки 535

Ослабление

—	цепи 112

—	четырехполюсника рабочее 320

-- характеристическое 316

Отсчеты непрерывного сигнала 513
Ошибки

—	наложения 521

—	округления 579

Падение напряжения 11

Параметры

—	вторичные 115

—	короткого замыкания 311

—	обобщенные 295

—	первичные 115, 328

—	проводимостей 295

—	сопротивлений 295

—	холостого хода 311

—	четырехполюсника 294

-- характеристические 317

Параметры-коэффициенты 296

Передаточная функция

—	комплексная 322

—	рабочая 323

—	четырехполюсника 321

Переменные состояния 178

Период 73

Плотность спектральная

—	амплитуд сигнала 211

—	комплексная 211

—	энергии сигнала 217

Подграф 26

—	связный 26

Полиномы

—	Баттерворта 447

—	Бесселя 507

—	Гурвица 368

Полоса

—	задерживания 413

—	непропускания 443

—	пропускания 413, 443

--абсолютная 118

Последовательность
— дискретизирующая 513

Постоянная характеристическая

—	передачи линии 341

--четырехполюсника 321

—	фазы линии 341

Поток рассеяния 91

Правило Ленца 89

Преобразование

—	билинейное 563

—	Лапласа обратное 185

--прямое 185

— Фурье быстрое 526

-- дискретное 522

--обобщенное 217

-- обратное 210

--одностороннее 214

--прямое 210

— частоты 287, 447

Приближение

—	среднеквадратическое 425

—	функций по Тейлору 424

--по Чебышеву 424

Приемник 12

Принцип

—	взаимности 53

—	дуальности 37

—	моделирования 12

—	непрерывности 158

—	эквивалентности 30

Проводимость 13

—	взаимная 54

—	комплексная 85

—	операторная 194

—	передаточная комплексная 110

—	полная 82

—	реактивная 82

—	собственная 54

Путь простой 25

Пучность напряжения 346

Равенство

—	Парсеваля 149, 217, 579

Радиан 317

Расстройка

—	абсолютная 118

—	обобщенная 118

—	относительная 118

Реакция линейной цепи 33

Реализация каскадная 440

Ребро графа 26

Режим

—	бегущей волны 345

—	работы основной 42

—	самовозбуждения жесткий 387
--мягкий 386

—	смешанных волн 350

—	согласованного включения

-----четырехполюсника 313

—	статический 41

—	стационарный 377

--устойчивый 385

—	стоячих волн 348, 349

Резонанс ИЗ

—	безразличный 124

—	второй частный 131

—	напряжений ИЗ

—	первый частный 130

—	полный 131

—	сложный 131

—	токов ИЗ

Самовозбуждение 360, 376, 377

Свертка

—	дискретная 539

—	функций 188

Свойство

—	коммутативности 187

—	линейности 524

—	фильтрующее 189

Связь

—	жесткая 91

—	критическая 132

—	обратная 356

—	сильная 132

—	слабая 132

Сдвиг дискретного сигнала 524

Сечение

—	главное 26

—	графа 26

Сжатие сигнала 215

Сигнал 12

—	непериодический 211

Сигналы

—	аналоговые 512

—	дискретные 512

—	узкополосные 275

—	цифровые 512

Сила электродвижущая 18

Синтез АКС-цепей по моделям 439

Скважность импульсов 150

Скин-эффект 17

Скорость

—	распространения фазовая 335

Соединение

—	каскадное 302

—	параллельное 25, 303

—	параллельно-последовательное 303

—	последовательное 302

—	последовательно-параллельное 303

Соотношения предельные 188

Сопротивление 13

—	дифференциальное 235

—	емкостное 79

—	индуктивное 79

—	комплексное 84

—	контура критическое 172

—	контурное 49

—	линии волновое 333, 337, 338

—	передаточное комплексное 110

—	полное 81

—	реактивное 81

—	резистивное 13

—	резонансное эквивалентное 122

—	собственное 49

—	статическое 235

—	характеристическое 114, 312

—	цепи операторное 194

Составляющая

—	напряжения реактивная 80

—	тока реактивная 82

Спектр

—	дискретного сигнала 518

—	линейчатый фазовый 146

— сигнала амплитудный 211

--обобщенный 214

--фазовый 211

Стабилизатор

—	постоянного напряжения 258
Схема

—	вторая Кауэра137

--Фостера 137

—	емкостной трехточки 395

—	индуктивной трехточки 391

—	каноническая 548

—	Кауэра 137

—	первая Кауэра 137

--Фостера 137

—	Фостера 137

Схемы

—	замещения эквивалентные 21

—	нерекурсивные 545

—	рекурсивные 545

—	эквивалентные операторные 195

Тангенс угла

—	диэлектрических потерь 330

Тангенс-функция 417

Теорема

—	задержки 534

—	замещения 34
—	запаздывания 187

—	Котельникова 516

--обратная 523

—	линейности 215

--(суперпозиции) 531

—	обратимости 53

—	опережающего сдвига 534

—	отсчетов 517

—	подобия 187

—	Рэлея 217

—	свертки 215, 524, 535

—	смещения 187

—	Телледжена 38

—	умножения 535

Ток электрический 10

Токи задающие узловые 54

Трансформатор 98

—	идеальный 101

—	совершенный 101

Треугольник

—	напряжений 81

—	сопротивлений 81

—	с ферромагнитным сердечником 101

Треугольники

—	мощностей 103

—	токов и проводимостей 82

Угол

—	отсечки 272

—	потерь 101

Узел

—	базисный 27

—	интерполяции 246

—	простой 25

Узлы напряжения (тока) 346

Уравнение

—	Ван-дер-Поля 407

—	реакции цепи 179

—	состояния цепи 178

Уравнения

—	компонентные 65

—	передачи длинной линии 332

--четырехполюсника 294

—	разностные 545

—	телеграфные 331

—	топологические 65

Уровни квантования 512

Усиление

—	логарифмическое 112

—	петлевое 358

Условие

—	безыскаженной передачи 226

—	самовозбуждения

--ТС-автогенератора 382

Условия

—	задачи начальные 159

--зависимые 159

--независимые 159

—	Фиалкова —Герста 415

—	физической реализуемости 415, 426
Фаза

—	текущая 73

—	характеристическая 317

Фазовая постоянная

—	четырехполюсника 317

Фактор связи 132

Фильтр

—	Баттерворта 447

—	Золотарева 446

—	НЧ-прототипа 447

—	трансверсальный 544

—	Чебышева 451

Фильтры

—	Баттерворта и Чебышева 446

—	кварцевые 473

—	магнитострикционные 473

—	пьезоэлектрические 472

—	с изоэкстремальными

--характеристиками 457

—	со всплесками

--рабочего ослабления 454

—	электрические 413

—	электромеханические 473

Форма каноническая 49

Функции

—	вещественные положительные 419

—	передаточные операторные 196

—	цепей передаточные 545

Функция

—	Дирака 189

— передаточная комплексная 110, 230

--по напряжению 110

--по току комплексная 110

—	цепи входная комплексная 112

Характеристика

—	вебер-амперная 14

—	вольт-амперная 13

—	вольт-кулонная 15

—	группового времени прохождения 478

—	импульсная бесконечная 546

--конечная 546

—	логарифмическая

--амплитудно-частотная 112

—	цепи амплитудно-частотная 111

--импульсная 200
--переходная 200

--фазо-частотная 111

Характеристики

—	напряжения резонансные 116

—	статические 235

—	тока резонансные 116
Характеристическая постоянная

—	передачи четырехполюсника 314

Хорды 26

Цепи

—	автоколебательные 375

—	дифференцирующие 104

—	интегрирующие 104

—	с параметрами

--распределенными 17, 327

--сосредоточенными 17, 326

—	электрические нелинейные 266

Цепь

—	дискретная 539

—	неустойчивая 367

—	параметрическая 160

—	резонансная ИЗ

—	с постоянными параметрами 160

-	устойчивая 367, 368, 370, 373

—	электрическая 12

Циклы

—	низкого уровня предельные 580
Частота

—	дискретизации 516

—	колебаний

--собственных затухающих 170

—	комбинационная 286

—	нормированная 446

—	резонансная ИЗ

—	циклическая 73

Четырехполюсники 291

—	активные 293

—	линейные 292

—	нелинейные 292

—	необратимые 294

—	несимметричные 293

—	неуравновешенные 293

—	обратимые 294

—	пассивные 293

—	симметричные 293

—	уравновешенные 293

—	эквивалентные 296

Чувствительность

—	характеристики 421

Шум квантования 578

Элемент

—	емкостной 15

—	индуктивный 14
Элементы

—	двухполюсные 17

—	многополюсные 17

—	трехполюсные 17

—	четырехполюсные 17
Энергия электрическая И
2-преобразование 528
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1.	Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей,—
М.: Радио и связь, 2000,—592 с.

2.	Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей,—М.: Радио и
связь 1986, —544 с.

3.	Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и
упражнений. — М.: Радио и связь, 1989,—328 с.

4.	Шебес М,Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных элек-
трических цепей: Учеб, пособие для вузов,—4-е изд., перераб. и
доп, —М.: Высшая школа, 1990, —544 с.

Дополнительная

5.	Андреев Б.С. Теория нелинейных электрических цепей, —М.: Радио
и связь 1982, —280 с.

6.	Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических
цепей, —М.: Радио и связь, 1998,—444 с.

7.	Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основа теории электрических
цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989,—528 с.

8.	Гоноровский И.С., Демин М.П. Радиотехнические цепи и сигналы:
[Учеб, пособие для вузов по направлению «Радиотехника»].-5-е изд.,
перераб. и доп. —М.: Радио и связь, 1994,—481 с.

9.	Добротворский И.Н. Теория электрических цепей, —М.: Радио и
связь, 1989, —472 с.

10.	Карташкин А.С. Линейные цифровые фильтры. Вопросы и задачи:
Учеб, пособие, —М.: Радио и связь, 1995, —133 с.

11.	Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб, по-
собие /Под. ред. Л.А. Бессонова. — М.: Высшая школа, 2000.

12.	Яцкевич В.В. Теория линейных электрических цепей: Справ, посо-
бие,—М.: Высшая школа, 1990, —264 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к 3-му изданию ........................................ 3

Предисловие ко 2-му изданию ....................................... 4

Введение .......................................................... 5

Глава 1. Основные понятия и законы теории электрических цепей .... 10

1.1.	Ток, напряжение, мощность ................................... 10

1.2.	Электрическая цепь, ее элементы и модели	............ 12

1.3.	Электрическая схема, топология электрической цепи ........... 24

1.4.	Законы Кирхгофа.............................................. 28

1.5.	Принцип эквивалентности. Преобразования	электрических схем .. 30

1.6.	Принцип наложения ........................................... 33

1.7.	Теорема замещения ........................................... 34

1.8.	Теорема об активном двухполюснике ........................... 35

1.9.	Принцип дуальности .......................................... 37

1.10.	Теорема Телледжена. Баланс мощности ........................ 38

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 40

Глава 2. Линейные электрические цепи в режиме постоянного тока ....	41

2.1.	Метод законов Кирхгофа ...................................... 41

2.2.	Преобразование резистивных электрических цепей .............. 43

2.3.	Метод наложения ............................................. 47

2.4.	Метод контурных токов ....................................... 49

2.5.	Метод узловых потенциалов ................................... 53

2.6.	Метод эквивалентного генератора ............................. 57

2.7.	Примеры применения резистивных цепей ........................ 60

2.8.	Алгоритмы анализа линейных резистивных цепей на ЭВМ ......... 65

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 71

Глава 3. Линейные электрические цепи в режиме гармонических
колебаний ........................................................ 72

3.1.	Гармонические колебания. Основные понятия и определения ..... 72

3.2.	Способы представления гармонических колебаний ............... 75

3.3.	Гармонические колебания в резистивных, индуктивных и емкостных
элементах ........................................................ 78

3.4.	Гармонические колебания в цепи при последовательном соединении
К, А, С-элементов ................................................ 80

3.5.	Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении
К, А, С-элементов ................................................ 81

3.6.	Символический метод расчета разветвленных цепей ............. 83

3.7.	Электрические цепи с индуктивными связями ................... 89

3.8.	Особенности анализа индуктивно связанных цепей .............. 96

3.9.	Трансформатор ............................................... 98

3.10.	Баланс мощности ............................................. 102

3.11.	Модели электрических цепей с зависимыми источниками ....... 104

Вопросы и задания для самопроверки ................................ 108

Глава 4. Частотные характеристики электрической цепи ............ 110

4.1.	Комплексные передаточные функции линейных электрических цепей 110

4.2.	Частотные характеристики последовательного колебательного контура ИЗ

4.3.	Частотные характеристики параллельного колебательного контура ... 121
592
4.4.	Частотные характеристики связанных колебательных контуров ... 128

4.5.	Частотные характеристики реактивных двухполюсников .......... 134

4.6.	Машинные методы анализа частотных характеристик электрических
цепей ........................................................... 137

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 143

Глава 5. Линейные электрические цепи в режиме периодических
негармонических воздействий ..................................... 144

5.1.	Негармонические периодические сигналы. Разложение в ряд Фурье . 144

5.2.	Действующее, среднее значение и мощность периодического
негармонического сигнала ........................................ 148

5.3.	Спектры периодических негармонических сигналов .............. 150

5.4.	Расчет цепей при периодических негармонических воздействиях . 152

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 156

Глава 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях.
Классический метод анализа ...................................... 157

6.1.	Переходный режим электрических цепей. Законы коммутации ..... 157

6.2.	Классический метод расчета переходных процессов ............. 159

6.3.	Переходные процессы в цепях первого порядка ................. 161

6.4.	Переходные процессы в цепях второго порядка ................. 167

6.5.	Включение 7?ДС-контура на постоянное и гармоническое напряжение 172

6.6.	Переходные процессы в разветвленных цепях ................... 175

6.7.	Метод переменных состояния .................................. 178

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 183

Глава 7. Операторный метод анализа переходных процессов в
линейных цепях .................................................. 185

7.1.	Преобразование Лапласа и его свойства ....................... 185

7.2.	Теорема разложения .......................................... 191

7.3.	Расчет переходных процессов операторным методом ............. 193

7.4.	Операторные передаточные функции ............................ 196

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 199

Глава 8. Временной метод анализа переходных процессов в линейных
электрических цепях ............................................. 200

8.1.	Переходные и импульсные характеристики электрических цепей .. 200

8.2.	Интеграл Дюамеля ............................................ 204

8.3.	Интеграл наложения .......................................... 206

Вопросы и задания для самопроверки ............................... 208

Глава 9. Частотный метод анализа переходных процессов в линейных
цепях ........................................................... 209

9.1.	Интеграл Фурье .............................................. 209

9.2.	Основные теоремы спектрального анализа ...................... 215

9.3.	Распределение энергии в спектре непериодического сигнала .... 216

9.4.	Спектры типовых сигналов .................................... 217

9.5.	Частотный анализ линейных электрических цепей при
непериодических воздействиях .................................... 222

9.6.	Условия безыскаженной передачи сигналов через линейную цепь . 225

9.7.	Связь между временными и частотными характеристиками
электрических цепей ............................................. 229
Вопросы и задания для самопроверки .............................. 232

Глава 10. Нелинейные электрические цепи в режиме постоянного тока 233

10.1.	Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства ......... 233

10.2.	Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными
двухполюсниками ................................................ 237

10.3.	Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными
четырехполюсниками ............................................. 241

10.4.	Эквивалентные преобразования схем с нелинейными элементами .... 242

10.5.	Аналитическое представление вольт-амперных характеристик .. 245

10.6.	Аналитические методы расчета нелинейных резистивных цепей . 254

10.7.	Стабилизация постоянного напряжения нелинейными резистивными
цепями ......................................................... 258

Вопросы и задания для самопроверки .............................. 259

Глава 11. Нелинейные электрические цепи при гармонических
воздействиях ................................................... 262

11.1.	Нахождение реакции нелинейной резистивной цепи на заданное
воздействие .................................................... 262

11.2.	Режим малых колебаний в нелинейных электрических цепях .... 265

11.3.	Воздействие гармонического колебания на нелинейный резистивный
элемент ........................................................ 267

11.4.	Резонансное усиление и умножение частоты колебаний ........ 275

11.5.	Выпрямление гармонических колебаний........................ 279

11.6.	Ограничение мгновенных значений гармонических колебаний ... 283

11.7.	Воздействие суммы гармонических колебаний на нелинейный
резистивный элемент ............................................ 285

11.8.	Преобразование частоты гармонического колебания ........... 287

Вопросы и задания для самопроверки .............................. 290

Глава 12. Основы теории четырехполюсников ....................... 291

12.1.	Общие положения ........................................... 291

12.2.	Уравнения передачи четырехполюсника ....................... 294

12.3.	Применение матриц к расчету четырехполюсников ............. 301

12.4.	Параметры холостого хода и короткого замыкания
четырехполюсника ............................................... 310

12.5.	Характеристические параметры четырехполюсника ............. 312

12.6.	Внешние характеристики четырехполюсника ................... 320

Вопросы и задания для самопроверки .............................. 324

Глава 13. Цепи с распределенными параметрами .................... 326

13.1.	Общие положения ........................................... 326

13.2.	Уравнения передачи однородной линии ....................... 328

13.3.	Падающие и отраженные волны ............................... 333

13.4.	Вторичные параметры однородной линии ...................... 337

13.5.	Входное сопротивление линии ............................... 341

13.6.	Линия без потерь .......................................... 343

13.7.	Применение отрезков линий с пренебрежимо малыми потерями .. 352

Вопросы и задания для самопроверки .............................. 355

Глава 14. Цепи с обратной связью ................................ 356

14.1.	Определение и классификация обратных связей ............... 356
14.2.	Передаточная функция цепи с обратной связью .............. 357

14.3.	Примеры цепей с обратной связью .......................... 363

14.4.	Устойчивость цепи с обратной связью ...................... 367

Вопросы и задания для самопроверки ............................. 374

Глава 15. Автоколебательные цепи ............................... 375

15.1.	Физические процессы в автоколебательных цепях ............ 375

15.2.	Обобщенная схема автогенератора .......................... 378

15.3.	ДС-генератор с трансформаторной обратной связью. Классический
метод анализа .................................................. 380

15.4.	ДС-генератор с трансформаторной обратной связью. Операторный и
частотный методы анализа ....................................... 388

15.5.	Трехточечные схемы генераторов ........................... 391

15.6.	7?С-генераторы ........................................... 396

15.7.	Автогенераторы с внутренней	обратной связью .............. 402

15.8.	Анализ переходных процессов в автогенераторе методом медленно
меняющихся амплитуд ............................................ 404

Вопросы и задания для самопроверки ............................. 411

Глава 16. Проблема синтеза линейных электрических цепей ........ 412

16.1.	Постановка задачи синтеза ................................ 412

16.2.	Условия физической реализуемости ......................... 414

16.3.	Нормирование элементов и частоты ......................... 419

16.4.	Чувствительность характеристик электрических цепей ....... 420

16.5.	Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей ....... 422

16.6.	Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез
реактивных двухполюсников ...................................... 425

16.7.	Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез
четырехполюсников .............................................. 432

Вопросы и задания для самопроверки ............................. 440

Глава 17. Фильтрующие цепи и их синтез ......................... 443

17.1.	Классификация фильтров ................................... 443

17.2.	Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот ....... 446

17.3.	Реализация фильтров нижних частот ........................ 457

17.4.	Переход от фильтров нижних частот к другим
типам фильтров ................................................. 464

17.5.	Резонаторные фильтры ..................................... 472

Вопросы и задания для самопроверки ............................. 474

Глава 18. Корректирующие цепи и их синтез ...................... 475

18.1.	Принцип корректирования искажений ........................ 475

18.2.	Амплитудные корректоры ................................... 481

18.3.	Фазовые корректоры ....................................... 496

18.4.	Гармонические корректоры ................................. 505

Вопросы и задания для самопроверки ............................. 510

Глава 19. Дискретные сигналы и цепи............................. 512

19.1.	Дискретные сигналы ....................................... 512

19.2.	Спектр дискретного сигнала ............................... 517

19.3.	2-преобразование и его	свойства .......................... 528

19.4.	Дискретные цепи .......................................... 538
19.5.	Типовые звенья дискретных цепей ......................... 555

19.6.	Метод переменных состояния дискретных цепей ............. 559

19.7.	Дискретные фильтры и их синтез .......................... 562

19.8.	Цифровые фильтры ........................................ 572

19.9.	Эффект квантования в цифровых фильтрах .................. 576

Вопросы и задания для самопроверки ............................ 580

Предметный указатель .......................................... 585

Список литературы ............................................. 591
Учебное издание

Бакалов Валерий Пантелеевич
Дмитриков Владимир Федорович
Крук Борис Иванович

Основы теории цепей

Учебник

Редактор

Технический редактор

Корректор

Обложка художника

ИБ№

ЛР№

Подписано в печать с оригинал-макета

Формат	Г арнитура

Усл. печ. л. 37,0	Усл. кр.-отт.	37,5

Тираж 5000 экз.	Изд. №

Печать

Уч.-изд. л. 32,48

Зак. тип. №

Издательство «Горячая линия - Телеком», Москва,
Типография