ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ
А Г. БУТКОВСКИИ
ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
УПРАВЛЯЕМЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
МОСКВА "НАУКА-
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ББК 32-81
Б 93
УДК 62-50
Бутковский А.Г. Фазовые портреты управляемых динамических
систем. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1985. — 136 с. - (Теоретические основы технической
кибернетики).
Излагается новый метод исследования систем управления, отличающийся
большой наглядностью. На основе выведенных уравнений границ
интегральных воронок для дифференциальных включений, описывающих
управляемые динамические системы, вводится и изучается понятие фазового
портрета этой системы, который дает полное качественное представление свойств
системы и позволяет конструктивно решать многие задачи, в том числе
управляемости, финитного и оптимального управления. Прослеживаются связи
теории дифференциальных включений и управляемых динамических систем
с аналитической механикой и теорией сплошных сред.
Для специалистов по управлению, математиков, физиков и инженеров,
занимающихся динамическими системами.
Табл. 1.Ил. 51. Библиогр. 133 назв.
Рецензент
академик В. П. Маслов
©Издательство "Ниука",
Главная редакции
1502000000- 130 A€t% фиэико мшгматчсской
053 (02)-85 литсри.урм. 1ЧН5

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
§ 1. Введение 7
§ 2. Управляемая динамическая система (УДС) 13
§ 3. Дифференциальные включения. Классы эквивалентности УДС 15
§ 4. Преобразование УДС к единичному вектору фазовой скорости 19
§ 5. Индикатриса УДС 20
§ 6. Степень свободы управления в УДС 23
§ 7. Гамильтониан УДС как опорная функция 25
§ 8. Типы конусов допустимых направлений УДС 29
§ 9. Область нестесненных (свободных) траекторий УДС 33
§ 10. Принцип включения в пространстве событий 34
§11. Граница интегральной воронки дифференциального включения 35
§ 12. Связь границы интегральной воронки с уравнением Гамильтона -
Якоби 37
§ 13. Принцип включения для автономных УДС в пространстве состояний.
Интегрирование УДС 40
§ 14. Граница траекторией воронки УДС 41
§ 15. Геометрическое построение границы траекторной воронки 44
§ 16. Уравнения Эйлера - Лагранжа для границы траекторной воронки .... 45
§ 17. Штрихованные границы траекторных воронок. Многообразие перемены
штриховок (МПШ) 48
§ 18. Особые многообразия УДС в пространстве состояний 50
§ 19. Инвариантные многообразия УДС 54
§ 20. Особые и инвариантные многообразия линейных УДС 60
§21. Область нестесненных траекторий на инвариантных многообразиях ... 65
§ 22. Траекторные воронки на инвариантных многообразиях 68
§ 23. Отделяющие гиперповерхности в пространстве состояний 72
§ 24. Допустимые многообразия УДС в пространстве состояний 74
§ 25. Фазовый портрет УДС 75
§ 26. Переносное и относительное движение УДС 77
§ 27. УДС с эллипсоидальной индикатрисой 78
§ 28. УДС и сплошные нелинейные среды. Принцип максимума потока
субстанции. Оператор Лапласа УДС 79
§ 29. УДС и финслерова метрика 87
§ 30. Оптическая аналогия УДС 88
§ 31. Соответствие между УДС и неуправляемыми механическими
системами 90
1*
3

§ 32. УДС с фазовыми ограничениями 99
§ 33. Особые множества двумерных УДС 100
§ 34. Фазовый портрет УДС на двумерных многообразиях 101
§ 35. Примеры построения фазового портрета двумерных УДС 105
§36. Фазовый портрет двухуровневой квантовомеханической УДС 112
§ 37. Пример декомпозируемой билинейной УДС в трехмерном
пространстве П5
§ 38. Управляемость билинейной УДС общего вида на плоскости 118
§ 39. Траекторная воронка в обратном времени 126
§ 40. Оптимальное управление 128
Список литературы 132

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга родилась из стремления дать наглядное геометрическое
представление управляемых динамических систем (УДС), встречающихся в
теории и практике многих научных и технических дисциплин. Основной
вопрос, который интересовал автора при решении этой задачи, состоял в том,
как использовать фазовое пространство (пространство состояний и, в
частности, фазовую плоскость УДС) для как можно более полного описания
таких систем.
В отличии от качественной теории неуправляемых динамических систем
(НДС), имеющей дело с дифференциальными уравнениями, при
рассмотрении УДС приходится рассматривать дифференциальные включения,
которые адекватным образом описывают управляемые системы. В связи с этим
у автора возник вопрос: что можно понимать под фазовым портретом
дифференциального включения, или, другими словами, что такое фазовый
портрет УДС? Как надеется автор, в случае двумерных УДС подход к
общему решению этого вопроса удалось найти с помощью построения границ
интегральных и траекторных воронок дифференциального включения.
В общем случае понятие границ интегральных и траекторных воронок
также играет существенную роль, однако общие фазовые портреты УДС здесь
намного сложнее и разнообразнее. В этом случае предлагается лишь схема
и общая программа исследования, хотя и устанавливаются некоторые
общие и частные понятия и факты.
Что касается стиля этой книги, то здесь нужно отметить, что автор
старался найти наименее формальный и по возможности наглядный способ
изложения, подчас не претендующий на абсолютную строгость. Автор
отдает себе отчет в том, что некоторые приведенные в книге понятия и
рассуждения, возможно, должны быть детализированы и строго уточнены;
в таких случаях автор вводил в формальный язык обороты типа "вообще
говоря", подчеркивая тем самым, что большая строгость или большая
конкретизация в этом случае, возможно, потребовали бы внесения
определенных корректив в сформулированное высказывание. Такой способ
изложения представлялся наиболее целесообразным на данном этапе
развития предлагаемой теории фазового портрета УДС.
Необходимо также отметить, что поскольку к настоящему времени
имеется очень большая литература по качественной теории динамических
систем с управлением, то приведенный в конце книги список литературы
ни в коей мере не носит исчерпывающий или даже достаточно полный
характер.
При работе над этой книгой положительную роль сыграли обсуждения
с моими коллегами в частных беседах и при публичных выступлениях.
5

Всем им я выражаю свою признательность. Особую благодарность я хочу
выразить М.А. Айзерману, М.А. Красносельскому, В.Ф.Кротову, В.П. Масло-
ву, А.Ф. Филиппову, Ф.Л. Черноусько, Ю.Н. Андрееву, Н.А. Бобылеву,
В.М. Хаметову за обсуждение и ценные советы, а также Е.А. Андреевой
и моим сотрудникам НЛ. Лепе, А.В. Бабичеву и В.И. Финягиной, которые
внесли вклад в решение ряда задач и оказали большую помощь в
подготовке рукописи. Конечно, все это не снимает с автора полной
ответственности за возможные недостатки книги.
Москва, апрель 1984 г.
AS. Бутковский

§ 1. ВВЕДЕНИЕ
С появлением знаменитого трактата Анри Пуанкаре "О кривых,
определяемых дифференциальными уравнениями" понятие фазового портрета
динамической системы стало мощным инструментом локального и
глобального исследования свойств динамических систем, основой качественной
теории. Трудами академика А.А. Андронова, и его коллег, учеников и
последователей фазовый портрет динамической системы превратился в
рабочий аппарат анализа и синтеза множества устройств и систем из самых
различных областей физики, техники и других наук. Это стало возможным
благодаря простоте и наглядности (геометричности) фазового портрета,
который содержит в себе не только локальные характерные особенности
системы, но и представляет ее глобально, давая наглядную картину
поведения динамической системы в целом.
Для неуправляемой динамической системы (НДС)
я-№. О)
где q - w-мерный вектор состояния НДС, ее фазовый портрет есть
совокупность (семейство) фазовых траекторий в ее фазовом пространстве или,
как теперь говорят, в ее пространстве состояний. Эта картина
действительно является картиной, на которой можно многое увидеть благодаря тому,
что через каждую точку фазового пространства (пространства состояний)
проходит (по условию теоремы единственности) одна и только одна кривая
(траектория), за исключением лишь отдельных точек и многообразий
размерности меньшей чем п, которые назьюаются соответственно "особыми
точками" и "особыми многообразиями". Особенно наглядна и проста эта
картина для двумерных систем (л = 2), которые можно изобразить на
плоскости или ее части, а также на двумерных многообразиях
(поверхностях) более сложной конструкции - таких, как сфера, тор и др.
В НДС важную роль играют особые точки и особые решения. В этих
особых множествах нарушаются условия теоремы существования и
единственности, в результате чего через особые точки может проходить целое
множество траекторий.
С этой точки зрения для рассматриваемых в этой книге УДС вида
Wfa.K), (2)
где q - /i-мерный вектор состояния УДС, и — управление, зависящее от
времени t\ как правило, каждая точка их фазового пространства является
особой. Так, если изображающая точка системы (2) в данный момент
времени находится в какой-то точке q фазового пространства, то в
последующие моменты времени она может уже двигаться по любой траектории
7

из целого пучка траекторий, выходящих из q. Фиксация конкретной
траектории из этого пучка определяется управлением и, которое мы выбираем
в данный и в последующие моменты времени.
Таким образом, на первый взгляд получается хаос многократно
переплетающихся траекторий, не образующий никакой систематической
картины. Дело в том, что в отличие от НДС, для которой в каждой точке q
фазового пространства, как правило, определено единственное направление
скорости (касательной к траектории), в УДС с каждой точкой q связан целый
конус, содержащий пучок допустимых направлений скоростей
(касательных к траекториям). Таким образом, в отличие от НДС, которая задается
полем направлений (изоклинами), УДС задается полем конусов
допустимых (возможных) направлений скоростей УДС. Такая ситуация
эквивалентна заданию УДС дифференциальным включением: скорость УДС в
данной точке пространства состояний принадлежит заданному в этой точке
конусу допустимых направлений скоростей. Более того, включение в
множество допустимых траекторий предельных траекторий, соответствующих
так называемым "скользящим режимам", дает возможность иметь дело
с полем выпуклых конусов.
Таким образом, необходимо прежде всего изучить и классифицировать
типы выпуклых конусов. Оказывается, что каждому выпуклому конусу
в w-мерном пространстве с вершиной в начале этого пространства можно
соотнести его тип а™, определяемый индексами т и г, где т -
размерность минимального линейного подпространства/,"1, целиком вмещающего
конус, а г - максимальное число линейно независимых опорных
плоскостей к вершине конуса в Lm. Тем самым, в общем случае для УДС с и-мер-
ным пространством состояний всего может быть (и + 1) (и + 2)/2
различных типов конусов. Разумеется, для конкретной УДС далеко не все типы
конусов могут иметь место.
Теперь пространство состояний УДС можно разбить на
непересекающиеся множества, в точках каждого из которых конус имеет один и тот же тип.
Это позволяет на каждом их этих множеств иметь дело с полем
однотипны^ конусов, что может существенно упростить задачу изучения характера
допустимых траекторий, лежащих в данном множестве или
пересекающих его.
Сложность задачи изучения характера допустимых траекторий и
множества однотипных конусов зависит от вида этого множества, его
размерности и самого типа конусов. Здесь в общем случае встречается большое
разнообразие различных вариантов, подчас требующих весьма
скрупулезных и нетривиальных рассмотрений. Некоторые ситуации, по крайней мере
в принципе, поддаются изучению довольно просто: здесь имеются в виду,
например, случаи областей нестесненньис (свободных) траекторий УДС,
множеств абсолютного равновесия УДС, множеств с полем телесных
заостренных конусов. Сложнее изучать случаи, когда имеются инвариантные
многообразия различных размерностей, поскольку это связано с изучением
линейных (дифференциальных) пфаффовых форм, определяемых
линейными подпространствами Lm и опорными плоскостями соответствующих
данному типу конусов. Здесь уместно заметить, что хотя изначально данная
УДС может задаваться в линейном w-мерном пространстве, однако
возможное наличие инвариантного многообразия, с которого изображающая точка
8

УДС не может сойти по допустимой траектории ни в прямом, ни в
обратном времени, приводит к необходимости изучения УДС на инвариантных
многообразиях.
Изучение УДС на множествах с постоянным типом конусов можно
назвать "локальным изучением". Однако затем возникает задача
"глобального изучения", включающая в себя изучение возможности и характера
переходов из одного множества постоянного типа в другое, соседнее с ним.
Картину глобальных связей в УДС можно представить в виде графа,
вершины которого представляют собой множества постоянного типа конусов
(или их подмножества), а ребра указывают на возможные переходы
изображающей точки УДС из одного множества в другое.
Описанную здесь картину представления локальных и глобальных
свойств УДС мы будем называть фазовым портретом УДС. В более
широком смысле под фазовым портретом УДС можно понимать всю
совокупность геометрических и аналитических средств и понятий, помогающих
наиболее полно и по возможности геометрично и наглядно представить
локальный и глобальный характер поведения допустимых траекторий УДС.
Отдельные понятия и средства фазового портрета мы будем назьюать
элементами фазового портрета УДС.
Помимо указанных выше элементов фазового портрета могут
оказаться весьма полезными и другие введенные в этой книге понятия, в частности,
понятия "отделяющая" и гиперповерхность "допустимая" поверхность
в пространстве состояний УДС. Весьма интересным и полезным элементом
фазового портрета является расемшренное в книге понятие "границ траек-
торной (интегральной) воронки" дифференциального включения,
эквивалентного уравнению (2). Граница траекторной воронки существует, по
крайней мере, для двумерных УДС (на плоскости и двумерных
многообразиях) в областях пространства, не совпадающих с областями
нестесненных (свободных) траекторий. В пространствах большего чем два, числа
измерений граница траекторной воронки может не существовать. Граница
траекторной воронки (если она существует) представляет собой боковую
поверхность коноида с вершиной (заострением) в некоторой точке q
пространства состояний УДС. Ни одна из допустимых траекторий, выходящих
из точки q, не может выйти наружу за пределы этого коноида. Чтобы
подчеркнуть невозможность покинуть данный коноид, мы будем наносить
штриховку снаружи коноида. Отметим, что граница траекторной воронки
является частью границы области достижимости из точки q, причем
боковой ее частью; "основанием" этой конической области служит
поверхность Беллмана в задаче быстродействия (для некоторого времени Г>0).
Замечательным, на наш взгляд, оказалось то, что граница траекторной
(интегральной) воронки дифференциального включения УДС (в случае
ее существования) является не чем иным, как характеристическим
коноидом нелинейного дифференциального уравнения с частными
производными первого порядка с неизвестной скалярной функцией z(q):
й(-|.,)-0. <3,
При этом конус допустимых направлений скоростей УДС оказался ко-
9

ну сом Монжа этого дифференциального уравнения. Оказалось также,
что функция Н(р, q) в (3), которую мы будем назьюать гамильтонианом
УДС, является опорной функцией множества допустимых скоростей УДС.
Поскольку уравнению (3) сортветствует каноническая система
обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2и, то
характеристический коноид уравнения (3), а следовательно, и граница траекторной
воронки УДС (2) могут быть построены как семейство решений задачи Коши (а
не краевой задачи!) для канонической системы с вполне определенными,
но специфическими начальными условиями.
Отметим, что вопрос о существовании границ траекторных
(интегральных) воронок тесно связан с вопросом об интегрируемости пфаффовых
дифференциальных уравнений, описывающих тип конусов допустимых
направлений скоростей.
Конечно, далеко не все вопросы, связанные с построением фазового
портрета УДС в целом и отдельных его элементов, решены в этой книге.
По сути дела, автором предлагается лишь некоторая программа
исследований широкого круга задач, связанных с развитием и активизацией
геометрических методов и средств представления УДС. Разумеется, здесь не
предлагается исключить аналитические и алгебраические методы, которые могут
и должны равноправно дополнять геометрический подход, что хорошо
отражает современную тенденцию развития математических методов.
Особенно просто, по крайней мере - принципиально просто, выглядит
фазовый портрет УДС на плоскости (или другом двумерном
многообразии). Действительно, в этом случае мы можем иметь дело лишь с парой
крайних траекторий, проходящих через данную точку плоскости. Грубо
говоря, фазовый портрет любой двумерной УДС можно рассматривать как
наложение друг на друга фазовых портретов соответственно двух НДС.
Таким образом, в отличие от обычной задачи качественной теории, где
изучается фазовый портрет одной НДС, при исследовании двумерной УДС
мы приходам к задаче изучения взаимодействия двух наложенных друг
на друга обычных семейств фазовых траекторий, полученных
соответственно от двух независимых НДС вида (1). Ясно, что эта более высокого
уровня задача должна опираться на результаты и методы исследования фазовых
портретов НДС.
Как и в обычной качественной теории НДС, исследование УДС
начинается с выделения особых точек и многообразий (на плоскости это - вообще
говоря особые линии). Помимо особых точек, присущих НДС, при
исследовании УДС возникают свои особые многообразия. Важную роль здесь
играют многообразия (линии) перемены штриховок. Особые множества
УДС, так же, как и особые множества, присущие фазовым портретам НДС,
играют определяющую роль для выяснения свойств УДС. Замечательно то,
что эти особые множества (так же, как и в случае НДС) не требуют для
своего выделения интегрирований и могут быть получены более простыми,
зачастую - алгебраическими операциями.
Фазовое пространство, и в частности фазовая плоскость, часто
использовалась и ранее для исследования локальных и глобальных свойств УДС.
В этой связи интересно отметить, что линии и поверхности переключения
в фазовом пространстве оптимальных по быстродействию систем, впервые
построенные Фельдбаумом и Бушау, с точки зрения введенного здесь поня-
10

тия фазового портрета УДС являются не чем иным, как границами траек-
тгорных воронок, построенных в обратном времени и с вершинами в особых
точках.
Хотя, как отмечалось выше, особые многообразия выявляются
относительно просто (фактически только на основании вида
дифференциального уравнения), картина возможных движений УДС в окрестности особых
многообразий может быть весьма разнообразной и сложной. При
"переходе" через эти особые многообразия картина штрихованных границ траек-
торных воронок может существенно меняться. Изучение всех типов этих
изменений и стыковка фазовых портретов различных областей
пространства состояний и должны составить одну из главных задач качественной
теории управляемых систем.
Ясно, что трудности исследования фазового портрета сильно возрастают
с ростом размерности системы, впрочем, так же, как и при исследовании
НДС. Однако можно надеяться на успех при изучении конкретных
классов УДС, например линейных, билинейных, аналитических, линейных по
управлению, линейных по координатам и т.д.
Фазовый портрет УДС, особенно в двумерном случае, может оказаться
весьма полезным, а подчас - дать исчерпывающий ответ при решении
многих основных задач управления: управляемости, финитного управления,
оптимального управления, устойчивости, синтеза при наличии
дополнительных ограничений (скажем, на фазовые координаты). Например, при
решении довольно сложной задачи оптимального управления, когда
минимизируется функция от конечной точки фазовой траектории ip(q(T))9 да еще
при наличии фазовых ограничений, очень полезным оказывается наложение
на фазовый портрет поверхностей уровня функции φ(ο) и контуров
фазовых ограничений. После такого наложения допустимая оптимальная
траектория определяется визуально.
Как отмечалось выше, задача сильно усложняется при переходе в
трехмерное пространство, где необходимо изучать уже взаимодействие
бесконечного (одномерного континуального) множества семейств траекторий
и полей скоростей. Для системы «-го порядка, вообще говоря, мы должны
изучить множество <*>п~2 семейств таких полей и их взаимодействие друг
с другом. В последние годы эту задачу изучения взаимодействия
множества полей между собой очень интенсивно изучают алгебраическими
методами в адекватных терминах множества однопараметрических групп и алгебр
Ли (или многопараметрических групп и алгебр), соответствующих
данной УДС.
Конечно, во всем объеме эта задача настолько же трудна, а с учетом
сделанных выше замечаний - значительно труднее соответствующей задачи
изучения фазового портрета НДС. Но, на наш взгляд, уже сейчас можно
приступить (и отчасти это уже сделано в этой книге и других работах) к
созданию общей теории фазового портрета двумерных УДС на плоскости
и двумерных многообразиях. Также можно надеяться на успех в решении
этой задачи для произвольных (по крайней мере, конечномерных)
линейных и билинейных УДС, а также нелинейных УДС, скажем, с линейным
управлением. Можно рассчитывать на относительно быстрый успех в
решении этой задачи для УДС, описываемых гладкими или аналитическими
функциями. Такой подход может дать четкую геометрическую интерпре-
11

тацию в концентрированном виде для многих результатов, полученных
ранее теоретико-групповыми и алгебраическими методами.
Понятие фазового портрета УДС кажется нам перспективным еще и по
той причине, что построение фазового портрета УДС по крайней мере
принципиально поддается автоматизации с помощью ЭВМ. Эта работа уже
идет, и в этом направлении получены некоторые результаты. Что касается
построения границ интегральных воронок, входящих в фазовый портрет
УДС размерности η > 2, то у нас нет другого способа наглядного их
изучения помимо способов сечения и проекций на подпространство низшей
размерности. Эти операции по построению сечений и проекций также
естественно поручить ЭВМ, и здесь открывается широкое поле деятельности.
Далее, интересно также то, что уравнение с частными производными (3)
интерпретируется как уравнение Гамильтона — Якоби для механической
(неуправляемой) системы, которая естественным образом порождается
исходной УДС. В этих терминах штрихованный коноид или штрихованную
границу траекторной воронки соответствующего дифференциального
включения можно интерпретировать как проекцию лагранжева многообразия
в конфигурационное пространство полученной таким путем механической
системы. При этом оказывается, что граница траекторной воронки, которая
по сути является границей (или ее частью) области достижимости из данной
точки, будет соткана из характеристик и характеристических полос
соответствующего уравнения Гамильтона - Якоби и канонической системы
Гамильтона.
Замечательным, на наш взгляд, является и то, что существует и обратная
связь. Например, каждой неуправляемой механической системе
размерности 2и с неоднородным гамильтонианом соответствует вполне
определенная управляемая система размерности η + 1, которая породила исходную
механическую систему. Такие связи, после того как они явно прослежены,
могут и не показаться столь удивительными, но дело в том, что, так
или иначе, они дают возможность применить развитый и мощный
аппарат исследования неуправляемых систем для исследования
управляемых систем. Конечно, весьма полезным оказьюается при этом и
обратное влияние. Возможно, что это один из путей, по которому мы
можем прийти к общей теории динамических систем, как неуправляемых,
так и управляемых.
Хочется сказать еще несколько слов о связи фазового портрета УДС
с понятием сплошной среды и процессов, в ней протекающих.
Оказывается, что каждой УДС вида (2) можно поставить в соответствие
некоторую сплошную среду, в которой распространяется некое
возбуждение, например оптическую среду. Обратно, каждой такой оптической
среде можно поставить в соответствие УДС вида (2). Такое
соответствие естественным образом следует из взаимно однозначного
соответствия между управляемыми и неуправляемыми механическими
системами, о котором было сказано выше.
Другая, может быть, менее очевидная аналогия с процессами в
сплошных средах и системах с распределенными параметрами вытекает
из возможности интерпретировать характеристики исходной
управляемой системы вида (2) как материальные соотношения в процессах
распространения субстанции (например, тепла, вещества, энергии). Тем
12

самым управляемой системе вида (2) можно поставить в соответствие
оператор, например оператор Лапласа, описывающий процессы
распространения субстанции в среде. Интересно то, что обычным классическим средам,
в которых, например, распространяется тепло, соответствуют довольно
простые управляемые системы вида (2), и обратно. Более сложным в
определенном смысле системам вида (2) соответствуют и более сложные
сплошные среды со сложными нелинейными свойствами и наличием
внутренней активности. Такие сплошные среды обычно создаются искусственно.
Они играют все возрастающую роль в самых различных областях, таких,
например, как создание композиционных материалов, синтез активных
распределенных регуляторов для стабилизации и управления сложными
объектами с распределенными параметрами [22-30, 64,72,99].
Отметим также связь теории УДС вида (2) с теорией УДС с
распределенными параметрами [22-30, 72], которые описываются уравнениями с
частными производными. Эта связь состоит в том, что уравнения УДС (2)
определяют уравнения характеристик (бихарактеристик) соответствующих
уравнений в частных производных. Одна из первых задач теории
управления распределенными системами *) решалась с использованием этой
простой идеи [22, 23,27]. Однако сейчас, спустя более 20 лет, этот подход, к
сожалению, не получил сколько-нибудь значительного теоретического
развития. Хочется надеяться, что предлагаемый в этой книге метод фазового
портрета послужит стимулом к новым исследованиям в этом направлении
и приведет к новым полезным результатам в области теории и практики
управлениям частности, распределенными объектами.
§ 2. УПРАВЛЯЕМАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА (УДС)
Под УДС в этой книге понимается система, которая описывается
уравнением
ί=Λ*Μθ. О)
где q - вектор-столбец (точка) с координатами ql qn в «-мерном
пространстве {q}, которое будем называть пространством состояний УДС,
или фазовым пространством УДС. Как правило, под {q} будем понимать
линейное пространство R". Когда пространством состояний УДС (1)
оказывается некоторое «-мерное многообразие, его будем обозначать Μп.
УДС (1), конечно, может быть задана априори на некотором многообразии,
например на сфере, торе и т.д. Однако, как мы увидим в дальнейшем
(§ 19), многообразие как пространство состояний УДС (1) может
возникнуть и апостериори, как результат наличия у УДС (1) некоторого
инвариантного многообразия Μm, погруженного в R \m <л). Далее, и - значение
управления, которое принимается из произвольно заданного непустого
множества £/, называемого множеством допустимых значений управления.
Иногда и называют параметром управления или управляющим параметром.
Скорость q УДС - вектор-столбец (точка) с координатами ql, ..., qn в
и-мерном аффинном пространстве {q}t называемом пространством ско-
*) Имеется в виду задача оптимального управления нагревом материалов в
проходных нагревательных устройствах, очень важная в современной практике.
13

ростей УДС или касательным пространством, обозначаемым также Tq{q).
Начало касательного пространства {q}9 Связанного с точкой q, будем
обозначать 0(q). Величина.г — скалярная независимая переменная,
отождествляемая с временем, принимающая св^и значения из некоторого
(возможно, неограниченного) отрезка [г0> м] числовой оси г. Вектор-функция
f(q, t, и) с координатами /*, ...,/" считается заданной и определенной
для любых значений своих аргументов из указанных выше множеств.
Заметим, что все дальнейшие утверждения в этой книге, если это не
оговорено особо, будут справедливы и тогда, когда £/= U(q, г), (q, t) €
Е{<7, t), т.е. когда множество U зависит от состояния q и времени г.
Кроме указанных здесь величин будем рассматривать импульс ρ УДС -
вектор-строку (точку) с координатами Р\, ..., рп из «-мерного
пространства импульсов УДС {р} = Л" (кокасательного пространства), а также
(п + 1)-мерное векторное пространство {q, t) вектор-столбцов (точек) с
координатами ql, ... ,qn, r, которое будем называть пространством
событий УДС. Состояние q будем также называть изображающей точкой УДС
в пространстве состояний {q}.
Для однозначного определения решения системы (1), т.е. функции q(t),
t0 < t, необходимо задать начальный момент времени г0 и начальное
состояние УДС - точку q0, которая является состоянием УДС в момент
времени t = г0, т.е.
q(t0)=q0- (2)
Кроме этого, необходимо также определить управление УДС, которое
представляет собой функцию, обозначаемую м(г), принимающую свои
значения из U и определенную на отрезке времени [r0, h ] · Предполагается,
что управление u(t), t0 < t < ίχ, принадлежит определенному классу
функций A(t09 fi), например, измеримых или кусочно-непрерывных,
определенных на том же отрезке времени [fo»?i]· Такое управление u(t) € A (r0, fi),
и € U, будем называть допустимым управлением.
Предполагается, что как только заданы некоторое допустимое
управление u(t) и начальное условие (2), уравнение (1) имеет единственное и, по
крайней мере, абсолютно непрерьюное решение q(t) на том же отрезке
времени r0 < t < tx, удовлетворяющее начальном/ условию (2), т.е. почти
всюду на [t0,11 ] существует единственное q{t) [88]. Для реализации этого
предположения достаточно, например, чтобы:
1) множество допустимых значений U было множеством в Д";
2) компоненты вектора f(q9t,u) в (1), т.е. функции /' (q9t9u)9 / =
= 1, ..., η, были непрерывными по совокупности переменных ql,. ..,qn,
t, и и непрерывно дифференцируемыми по ql,.. . , q n;
3) класс функций A(t0i ίχ) был классом кусочно-непрерывных вектор-
функций.
Далее, функцию q(t)9 t0 <t < гь которая является решением
уравнения (1) при некотором допустимом управлении u(t), t0 <t <tl9 назовем
допустимым движением УДС, соответствующим управлению u(t). Таким
образом, по определению, каждому допустимому движению q{t)9 t0<t <гь
соответствует по крайней мере одно допустимое управление u(t), t0 <t <
< гь под действием которого, собственно, и получено это движение q(t).
14

График допустимого движения q(t), t0 <t <гь в пространстве событий
{q, t) назовем допустимой интегральной кривой. Проекцию допустимой
кривой q(t), ίο < t <t\, на пространство состояний {q) назовем
допустимой траекторией, направленной от $е начала q(t0) = q0 к ее концу q(t ι) =
= #1,и будем обозначатьq(qo, q\). Направление вдоль траектории от начала
к ее концу будем назьюать положительным.
Движение УДС в ее пространстве состояний {q} задается движением ее
изображающей точки вдоль положительного направления траекторий. В свою
очередь, движение изображающей точки q однозначно определяется
величиной и направлением вектора скорости q, касательного к траектории в
точке q. Здесь важно сделать оговорку, что, вообще говоря, некоторые из
решений q(r) на отрезке [г0, ΐι] включения (2) могут соответствовать
управлениям u(t), не принадлежащим исходному рассматриваемому классу
Л('о» h ) допустимых управлений УДС (1). Что же касается вопроса о
единственности решения, то предполагается, что для соответствующих друг
другу Д#, м), и £ U и Φί#) два различных решения qi(t) и q2(t) включения
(2) с общей начальной точкой q0 порождают существенно различные
управления «! (О им2(0 для УДС (1).
§ Э. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ.
КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ УДС
Пусть УДС автономна, т.е. ее уравнение имеет вид
q=f(q,u)9 uEU(q)y <? €{<?>, t > О, q(0) = qo. (1)
Зафиксируем точку q € {q} и заставим и пробегать все множество U(q),
которое, возможно, зависит и от q. Тогда в силу (1) точка q Ε {q}
пробегает некоторое множество Ф(#) в пространстве (q). Это множество обозначим
f(qt U) и назовем множеством допустимых скоростей УДС.
Предполагается, что множество Φ(<?) не пусто и замкнуто. Таким образом, множество
f(q, U) = Ф(<?) получилось путем отображения множества U в
пространство скоростей [q) с помощью функции f(qf и) при фиксированном q € {q}.
Понятие множества допустимых скоростей УДС позволяет заменить
уравнение (1) в описании УДС эквивалентным ему описанием с помощью
дифференциального включения:
qef(qfU)t*jm qe<i>(q). (2)
Решением включения (2) с начальным условием q(0) =q0 назовем
абсолютно непрерывную вектор-функцию q(г), 0<г<7, такую, что почти всюду
на [О, Г] выполняется включение: точка q(t) принадлежит множеству
f(q(t),U)t т.е.
q(t)£f(q(tlUl или q(t)e<i>(q(t)) a Vf G [О, Т]. *). (3)
Решение q(t), 0<r<7, назовем допустимым движением УJXCy
описываемой включением (2). Зная решение q{t) дифференциального
включения (2), можно восстановить то управление u{t) для системы (1),
которое порождает это решение [14,111,112,120].
*) Символ а\ означает "почти для всех**
15

Эквивалентность двух форм описания УДС с помощью уравнения
УДС и дифференциального включения УДС состоит в том, что
множество всех допустимых движений У$С (1) и множество допустимых
движений УДС, описанной включением (2), с учетом оговорки совпадают.
Однако, с другой стороны, также очевидно и легко привести примеры
того, что одному и тому же включению (3) могут быть эквивалентны
разные по виду (1) УДС. Таким образом, все уравнения УДС, а вместе с ними
и сами УДС, разбиваются на классы эквивалентности. В один класс
попадают все УДС, которые имеют одно и то же включение (2), т.е. одно и то
же множество f(q, U). Другими словами, каждому множеству f(q, U)
Рис. 3.1
соответствует некоторое "укрупненное" множество УДС вида (1). Все
системы вида (1), попавшие в один класс, будем назьюать эквивалент-
ными УДС.
Следующий шаг укрупнения можно сделать в двух направлениях.
1) Перейти от включения (2) к включению
qeK(f(q,U)), (4)
где K(f(qt U)) - конус, состоящий из всех лучей, исходящих из точки
0(q\G {q} и имеющих непустое пересечение cf(q, U), не считая самой
точки 0(q), если 0(q) Ε f(qt U). Если f(qt U) состоит всего лишь из одной
точки 0(q), то считаем, что K(f(q, U)) совпадает с этой точкой. Конус
K(f(Q> U)) назовем конусом допустимых направлений скоростей УДС.
2) Перейти от вьючения (2) к включению
qecomf(q,U), (5)
где conv/fo, U) - выпуклая оболочка множества f(q, U).
Обсудим сначала шаг в направлении 1). Отметим, что какую бы мы ни
взяли допустимую траекторию включения (4), ей соответствует точно
такая же траектория включения (2) и наоборот. Это положение нагладно
иллюстрирует рис. 3.1. Из него видно, что какова бы ни была скорость
Яг G К(я), где \q2 I =£0, всегда найдется скорость q γ e<b(q)t \qx | .^0,
такая, что q2 и qx будут коллинеарны и однонаправлены. Таким образом,
замена включения (2) включением (4) не изменяет множество допустимых
траекторий включения (2). Здесь можно сказать, что при таком
преобразовании сохраняется геометрическая информация. Однако при таком
преобразовании от.. Х2) к (4) ^теряется информация о возможных абсолютных
величинах *ддодоедзд| движения изображающей точки вдоль допустимой
траектории* зд. ^Ьряетсавременная (кинематическая) информация.
16

Аналитически переход от (2) к (4) можно осуществить путем введения
дополнительного управления - скалярной функции a(q) > 0. Тогда (4)
будет эквивалентно включению
Q^ot{q)f{qtU). (6)
После этого в (6) можно избавиться от a(q) путем изменения масштаба
времени, т.е. введения вместо t нового параметра по формуле:
dT = a(q)dt.
Таким образом, конус K(f(q, U)) задает класс эквивалентных (в
указанном выше смысле) между собой УДС (1) и (2). В этот класс попадают
все УДС (1), (2), которые имеют один и тот же конус допустимых
направлений скоростей K{f{q, U)). Системы (1) и (2), эквивалентные в
указанном смысле, будем называть траекторно эквивалентными УДС.
Теперь перейдем к обсуждению шага укрупнения в направлении 2).
Этот шаг более принципиален, чем шаг 1). Исследованию этого шага
посвящено много работ (например, [14, 37, 111, 112, 120]). Дело в том, что
включение (5) может содержать такие допустимые траектории, которые
не являются "обычными" допустимыми траекториями включения (2) или
исходного уравнения (1). Однако можно показать (см., например, [120]),
что существует такая последовательность допустимых управлений м/(г)
уравнения (1) в классе Л(0, Т) кусочно-непрерывных функций, которая
сама не сходится ни к какой обычной функции, но для которой
соответствующая последовательность движений q{ (t) сходится к
абсолютно-непрерывной функции q(t), являющейся решением включения (5). Такие
решения q(t) включения (5) называются обобщенными допустимыми
движениями УДС в пространстве { q, г}, а соответствующие им траектории -
обобщенными допустимыми траекториями УДС в {q}.
Таким образом, с учетом обобщенных допустимых движений включения
(2) и (5) эквивалентны. Ясно, что могут существовать разные УДС вида
(2), входящие в один и тот же класс эквивалентности, определяемый
включением (5). УДС (2) и (5), эквивалентные в эгом смысле, будем
называть обобщенно эквивалентными.
Наконец, перейдем к еще более крупному классу эквивалентности - от
включений (4) и (5) к включению*)
qEcomK(f(q, U)) = K(comf(q, U)). (7)
Легко видеть [97], что
convK(f(q, U)) = K(comf(qt U)),
т.е. операции овыпукливания и взятия конуса являются перестановочными.
Таким образом, мы пришли к самому крупному (из рассмотренных)
классу эквивалентности, характеризуемому множеством K(conv f(q, £/)), или,
что то же самое, множеством conv K{f(q, U). Этот класс эквивалентности
мы назовем классом эквивалентности по обобщенным траекториям.
*) В самом общем случае для гарантии ηΉΙΐΐΤΒΑη/Κ™" ррщримй яц-птнппий (Л\
(5), (7) переход к ним надо выполнясь возможно более аккШЙЦД'я Для многих
случаев, однако, достаточно ограничиться простым овьшу^йв^арм.^!^^^гупяЛп
здесь. г»с5*мс
2. А.Г. Буковский

В дальнейшем, если это не оговорено особо, не уменьшая общности, всегда
можно считать множество /(#, U) непустым выпуклым, а
соответствующий этому множеству конус К (f(q9 U)) также считать выпуклым и
обозначать его K(q).
Наряду с конусом K(q) важную роль в наших рассмотрениях играет
сопряженный (дуальный) к нему конус K(q) (см. ниже pic. 14.1):
K(q)={PeR"\pq<0 \qeK(q)). (8)
Проведенное выше последовательное укрупнение классов эквивалентности
схематично показано на рис. 3.2.
Рис. 3.2
Заметим, что рассмотренное нами понятие класса эквивалентности
отвечает предъявляемым к этому понятию требованиям: транзитивности,
рефлексивности, симметричности (3). Заметим еще, что многие задачи,
формально не являющиеся задачами для дифференциального включения, могут быть
сведены [14] к ним (например, задачи для дифференциальных неравенств).
В силу возможности привести каждую неавтономную систему к
автономной (§ 3) за счет введения дополнительной (и + 1)-й координаты qn*1 =
= t + r0, все сказанное выше в этом параграфе переносится и на случай
неавтономных систем. Действительно, пусть УДС неавтономна:
W(<M,w). ueUiq.t). (9)
Тогда (§ 3) уравнение (9) может быть представлено в виде
q=f(q,u)4 ueU(q), (10)
а соответствующее включение будет иметь вид
*еФ(*). (И)
Пространство состояний для автономной УДС (10), (11) совпадает с
пространством событий для неавтономной УДС (9), т.е.
{q,t) = {q,q" + 1 }={?}, qn + 1=t + t0, $" + 1=Г=1.
Поэтому множество Ф(<?) в касательном пространстве T^{q) будет плос-
б)
ό(ς) ~φ
18

ким, оно целиком будет лежать в плоскости q n + 1 = i = 1. Отсюда следует,
что содержащий Ф(<?) конус /С (Ф(#)) = K(qt ΐ) никогда не будет
совпадать со всем пространством Тц {q} = {<?}·
Заметим, что, если система (9) все же автономна, то конус K(q, t) в
пространстве {q } = {<?,/} на самом деле не зависит от г. В этом случае
рассмотренный выше конус K(q) в пространстве {q} является проекцией
конуса К(q, t) на пространство { q}.
В заключение этого параграфа обратим внимание на тот факт, что,
несмотря на то, что множество Ф(#) может быть замкнутым,
соответствующий ему конус K(q) может оказаться незамкнутым. Этот факт
иллюстрируется на рис. 3.3. Такие случаи требуют особого рассмотрения. Далее
предполагается, что конус K(q) содержит все свои предельные точки
кроме, быть может, вершины 0(q).
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УДС
К ЕДИНИЧНОМУ ВЕКТОРУ ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ
В ряде задач исследования УДС нас интересуют только сами траектории
в пространстве {q}> а не закон движения изображающей точки q вдоль
них. Например, это имеет место, когда решаются задачи управляемости.
В этом случае надо только гарантировать существование траектории,
связывающей, скажем, две заданные точки; при этом сам закон движения
изображающей точки во времени вдоль траектории нас не всегда интересует.
Разумеется, при этом надо гарантировать конечность времени перехода из
начальной точки в конечную. В этом случае бывает удобно преобразовать
исходную УДС в новую УДС с единичным вектором скорости: \q\ = 1,
и тем самым осуществить "разделение переменных", характеризующих
форму траекторий в {q)t с одной стороны, и закон движения во времени
вдоль траекторий - с другой.
Исходную УДС
<? «/(<?. «О (О
преобразуем следующим образом. Разделим обе части (1) на \f(q, и)\>
предполагая, что для любой точки q € {q} и и € U существует число е > О
такое, что | f(q, и) \ > е. Тогда получим
Ч = JKH u (2)
\f{q.u)\dt \f(q,u)\
Вместо t введем новую независимую переменную
dr=\f(q9u)\dt9
т = ЛЛ<Кв).и(в))1<ю>
о
и переменные (зависимые) q и и будем рассматривать как функции от г:
(7 = к (г), u = v(t), (4)
2*
19

причем
q = q{t) = KU\q{e)MO))\de)t (5)
о
u = u(t) = u(J\f{q{0),u(0))\dO). (6)
о
В результате (2) примет вид:
к(г) = —-^—±£- =φ(κ(τ)9υ(τ))9 vGU, (7)
1/(к(т),ы(т))|
где|<р(к,и)| = 1.
Обратное к (3) преобразование задается формулами
dr r de
dt= , или Г = / . (8)
\f(K{r\v(j))\ ο I/(*(*), u(0)) I
Смысл преобразования (3) состоит в том, что в новой системе (7)
траектории { q ) совпадают с траекториями исходной системы (1) в том же
пространстве {q} с сохранением направлений движения вдоль траектории. При
этом вектор скорости имеет единичный модуль: \к(т)\ = 1. Это
преобразование системы (1) к системе (7) очевидно соответствует введению
(переменного) масштаба времени или, как говорят, введению нового
параметра г вместо г по формулам (3), причем с сохранением направления
движения вдоль траектории (без изменения ориентации траектории).
При рассмотрении временных характеристик исходного уравнения(1)
на основании преобразованной системы (7) необходимо
воспользоваться формулами (5), (6), т.е. перейти обратно от г к г по формулам (3),
где фигурирует только одна скалярная неотрицательная функция
| f(q, и) | и производится одно интегрирование.
Таким образом, произвольная УДС характеризуется уравнением (7),
где | к | = 1, которое описьюает формы траекторий в {q}> и одной
скалярной неотрицательной функцией, описывающей закон движения во
времени изображающей точки вдоль определенной уравнением (7)
траектории. Там, где 1/(^,^)1^0, можно считать, что в уравнении (1) | q | =
= !/(<?,") 1=1.
Приведенные рассуждения позволяют стандартизировать множество
допустимых скоростей произвольной УДС. Это множество задается
конусом в пространстве {q}, ограниченным единичной сферой в этом
пространстве. Таким образом, все допустимые скорости располагаются
в некотором определенном телесном угле, а концы этих векторов лежат на
единичной сфере. Фактически здесь осуществлена центральная проекция
выпуклого множества f(q, U) на единичную сферу в пространстве {q} .
§ 5. ИНДИКАТРИСА УДС
Мы уже отмечали (§3), что в дальнейшем везде в этой книге под
множеством допустимых скоростей УДС Ф(#) или, что то же самое, /(#, £/),
будем понимать выпуклое множество. Элементами этого множества
являются точки касательного пространства TQ {q} = {q). При исследовании
20

конкретных УДС важным являются свойства множества Ф(<?) и
соответствующего ему конуса K(q). В частности, важна размерность множеств Ф(#)
и K(q) и расположение множества Φ(q) по отношению к началу 0{q) Ε {q}.
Некоторые случаи расположения этих множеств проиллюстрированы
на рис. 5.1.
Пусть размерность множества Ф(<?) есть (ИтФ(<7) = т. Если т = и, то
граница ЭФ(#) - некоторая гиперповерхность в «-мерном пространстве{q}.
Рис. 5.1
Эту гиперповерхность назовем индикатрисой УДС. Пусть уравнение
индикатрисы имеет вид
*(*,*) = 0, (1)
|де <7 G {<?} играет роль параметра, так как, естественно, эта поверхность
может меняться в зависимости от точки q, около которой она построена.
Ьудем считать, что область допустимых скоростей Ф(#) определяется
неравенством o{q, q) < 0.
Далее, если m < и, то минимальная размерность линейного (аффинного)
многообразия, которое целиком содержит множество Ф(#), также имеет
размерность т. Такое линейное многообразие минимальной размерности
т будем назьюать минимальным линейным вмещающим многообразием
управлений УДС и обозначать Lm *).
В частности, если 0{q }€ Lm, то Lm есть линейное подпространство в
{q }, которое мы обозначим Lm .
Многообразие Lm можно задать различными способами. Зададим,
например, систему из т + 1 аффинно-независимых векторов Ь0, Ь\, . .., Ът.
Здесь Ъх - Ь0, ..., Ът -Ь0 - линейно-независимы. В этом случае все
точки, принадлежащие Lm и только Lm, представляются в виде
λι(*ι -*о)+ ... +Xw(bw -Ь0) + Ьо, (2)
или
λο*ο+λι*ι + ... +Xwbw, λ0+λ! +... + Xw = 1. (3)
Числа λ0, Xj,.. ., \т называются барицентрическими координатами в Lm.
Границу ЭФ(#), лежащую вместе с множеством <&(q) в Lm, можно описать
с помощью уравнения
*(λ,<7) = 0, (4)
*> В общей теории Lm назьшается аффинной оболочкой множества Ф(?) [95),
или несущей плоскостью.
а)
2\

где λ = (Κγ \т), и неравенство σ(λ, q) < 0 описывает в Lm
множество Ф(<7).
Такое описание дает возможность представить вектор q как прямую
сумму векторов q' и q" соответственно размерностей т и η - т, т.е.
q-{q',q"). При этом уравнения исходной УДС представляются в виде
системы
<Γ=/ι(<7), (5)
<7'=/ο(<7,λ), (6)
где управлением является вектор λ. Здесь замечательно то, что уравнение
(5) (т.е. (п - т) уравнений) не зависит от управления; уравнение (6)
зависит от вектора λ, размерности т, играющего роль управления; вектор
q имеет размерность также т. При этом новое управление λ стеснено лишь
условием σ(λ, q) <0.
Если путем еще одной замены переменных λ на μ можно добиться того,
чтобы уравнения УДС представлялись в виде
tfWifoWifoV). (7)
<7' = М, (8)
где управление μ имеет размерность т и стеснено одним условием
σι (μ, q') < 0, то представление УДС в виде (5), (6) или (7), (8) может
оказаться весьма полезным при исследовании сложной УДС, так как
оно в определенном смысле декомпозирует исходную УДС.
Более того, если оказалось, что функция f\(q',q") не зависит от q\ то
это означает, что УДС распалась на две независимые системы
fWifo"), (9)
?'=М, (Ю)
одна из которых, а именно система (9), является неуправляемой
динамической подсистемой в том смысле, что в нее вообще не входят
никакие управляющие воздействия. В то же время система (10) есть
независимая от (9) УДС со своим пространством состояний {q'}, которое
по отношению к исходной УДС с пространством состояний {q} = {q\q")
является независимым в том смысле, что, очевидно, никакое допустимое
управление μ не может вывести q из пространства {</}· К сожалению,
такая декомпозиция происходит, вообще говоря, лишь локально, так как
Lm{q) и, в том числе, размерность т зависят от q. В частном случае, когда
Lm и размерность постоянны и не зависят от q (это может оказаться не
таким уж редким случаем, например, для линейных систем), возникает
задача об исследовании управляемости УДС (10) в своем пространстве
состояний {#'}, размерность которого равна т.
Однако в общем случае, когда Lm и т зависят от q, возникает задача
о разбиении исходного пространства {q} на подмножества, на которых
размерность т постоянна.
Итак, в случае, когда dim Φ(q) = т < η, индикатриса УДС не является
гиперповерхностью, поскольку ее размерность меньше η - 1. Однако если
Lm — подпространство минимальной размерности, целиком вмещающее в
себя Ф(#), то можно говорить об индикатрисе как о гиперповерхности,
22

но уже по отношению к Lm. Поэтому уравнение этой "относительной"
жперповерхности снова можно записать в виде (1), т.е. o(q9q) = 0,однако
η этом случае точки q не свободны и должны принадлежатьLm. Уравнение
Lm можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений
относительно q, т.е.
π<7 = 0, (11)
ι де π - т X «-матрица, задающая Lm. Элементы матрицы π, вообще говоря,
швисят от q (см. также § 8).
Таким образом, в случае dim Φ(q) = и индикатриса задается одним
уравнением (1). В случае dim<D(<7) = т < η индикатриса задается системой
уравнений, состоящей из, вообще говоря, нелинейного уравнения (1) и
линейного уравнения (11) с матрицей размерности тХ п.
В § 7 мы рассмотрим альтернативный и очень важный способ описания
индикатрисы, который можно назвать "двойственным" по отношению к
рассмотренному здесь: он основан на построении опорной функции
множества f(q, U).
§ 6. СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ УПРАВЛЕНИЯ В УДС
Имеет смысл обсудить понятие "мощности" управляющих воздействий
данной УДС в зависимости от того, какие "степени свободы" приобретает
данная УДС под действием допустимых управлений. Этот вопрос имеет два
аспекта: локальный и глобальный. В Локальном смысле речь идет об
окрестности точки q того состояния УДС, в котором она находится в данньщ
момент времени X и может находиться в близкие к X моменты времени.
Глобальный аспект степени свободы (или мощности) управления данной
УДС связан с глобальной картиной управляемости во всем фазовом
пространстве {q} (или его заданной части) УДС и может быть охарактеризован
в терминах глобального фазового портрета УДС, о котором речь пойдет
впереди (§ 25).
Мы попытаемся ввести локальную характеристику мощности
управления УДС, зависящую от точки q € {q}. Интуитивно степень свободы
управления Связывается с понятием "гибкости управления", т.е. с возможностью
менять состояние УДС с разной скоростью и в разных направлениях,
включая, скажем, изменение направления движения изображающей точки на
обратное.
В принятом нами описании УДС уравнениями (3.1) и включением (3.2)
эта гибкость, очевидно, должна характеризоваться размерностью
множества/^, U), размерностью конуса K(q) и зависеть также от того,
принадлежит или не принадлежит точка 0(q) множеству f(q, U).
Естественно считать, что гибкость (степень свободы управления) при
данном f(q, U) будет максимальной, если точка 0(q) €Е r\f(q, (У), где
х\М - относительная внутренность множества Μ [97], т.е. конус K(q)
совпадает с некоторым m-мерным линейным подпространством Lm про т-
ранства скоростей {q) (т < и, η - размерность вектора {<?}). Тогда целое
число т по определению можно считать степенью свободы управления для
данной УДС и записать degf и = т. Это число дает некоторую
характеристику мощности управления или его гибкости.
23

q/ *)
Рис. 6.1
На рис. 6.1 при фиксированной размерности dim {q} = 3 показана
упорядоченная эволюция уменьшения степени свободы управления, начиная с
максимально возможной. Последние два случая на рис. 6.1 соответствуют
случаю полного вырождения управления и превращению УДС в полностью
неуправляемую (в данной точке q) систему); случай (к) на рис. 6.1
соответствует состоянию покоя (статического равновесия системы).
Каждому случаю такого эволюционного ряда можно приписать (пусть
неоднозначно) некоторую разумную величину степени свободы
управления. Эта характеристика может быть и числовой, и даже векторной. Если
остановиться на числовой характеристике, то для данного и множество
чисел {Р/}, описывающих степень свободы управления, должно
образовывать возрастающую (убьюающую) конечную последовательность р0,Pi,...
.. ., рг . Эта последовательность характеризует все возможные
качественно различные случаи возможных степеней свободы в УДС данного
порядка п. Например, для случаев рис. 6.1 можно ввести такие числовые
характеристики р:
(к) ро=0;
(w, j, ж) р! = Уг, р2 = 1, рз = 1 + Уг;
(е, д, г) р4=2-й, р5=2, р6=2 + й;
(в, б, а) р7 s 3 - й, р8 = 3, р9 = 3 + Уг
и т.д. Причем последний случай с ρ = η + х/г соответствует максимальной
гибкости или "суперсвободе" (см. ниже § 9 об области нестесненных
(свободных) движений).
В такой записи величины ρ не являются числами в обычном смысле;
их надо рассматривать как числовые символы, так как надо делать
различия, например, между р3 = 1 + й и р4 = 2 - Уг. Можно, конечно, ввести
24

векторное ρ; тогда, например, вектора р3 = (1, ^) ир4 = (2,-VI) будут
уже в обычном смысле различными и тем самым будут отражать наличие
разных степеней свободы управления и в двух данных УДС.
В более грубой классификации возможных степеней свободы
управления можно не делать различия между случаями (з) и (м), (е) и (д),
(в) и (б). Это следует из того, что означенные пары УДС будут иметь
одинаковый набор допустимых траекторий, по крайней мере, в
окрестности точки q. Тогда таблица значений ρ примет следующий вид:
(Ό
(и. г)
(ж)
(е,д)
(г)
(в, б)
(а)
Ро =0;
Pi -И;
fh-i;
р3 = 1 + '/2 = 3/2 ;
Р4=2;
ps = 2 + й = 2Й;
Рб =3.
Здесь уже величину ρ можно буквально понимать как число. При
лом целые ρ = т соответствуют тому, что K{q) совпадает с некоторым
линейным подпространством в { q} размерности т < п.
Такой подход к определению степени свободы управления и связан с
ι ем, что величина степени свободы управления должна отражать
свойство УДС быть управляемой: чем выше степень ^ободы управления, тем
"более управляема" УДС; обратно, чем ниже степень свободы управления,
1ем "менее управляема" УДС, хотя бы в локальном смысле, т.е. в
окрестности точки q. Например, в случае, когда dim f(q, U) =п и О £ ri f(q, U)\
мы имеем возможность выводить изображающую точку УДС во всех
направлениях, т.е. придавать вектору q любое направление в пространстве
{q} . Здесь правомерно сказать, что степень свободы управления
максимальна и равна п.
Интересно отметить, что степень свободы управления м, вообще говоря,
не связана непосредственно с его размерностью, если и — вектор. Ясно,
что, например, скалярное управление, т.е. одномерное, может иметь
различную степень свободы, зависящую от f(q,U).
§ 7. ГАМИЛЬТОНИАН УДС КАК ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ
Введем функцию Гамильтона УДС, или гамильтониан УДС, по формуле
H(p,q)= sup pqy (1)
4 6/(α, υ)
где pq - скалярное произведение векторов р и q в Rn, или, что то же
самое,
Н(р, q) = sup P(p, q, и) = sup pf(q, w), (2)
U El U U G U
где Р(р, q, и) = pf(q, и). Очевидно, что Н(р, q) есть не что иное, как
опорная функция выпуклого множества f(q, U) [97]. Если верхняя грань
25

в (1) и (2) достигается, то вместо нее берется максимум:
Н(р, q) = max pq = max pf(q, и). (З)
q ef(q, U) и G U
Естественно считать Я (0, q) = 0. Функция H(pt q) определена для всех
p€ {ρ} и<7€ {#}. В каждой фиксированной точке q € {q} для
данного ρ Φ 0 у множества f(q, U) существует одна ориентированная
опорная плоскость с нормалью р. Уравнение этой плоскости в {q} имеет
вид pq = Η (ρ, q). Расстояние d от этой плоскости до точки ОС { q) ,
очевидно, равно
—(ιϊγ->
(4)
Из определений (1) — (3) видно, что Н(р, q) - положительно
однородная первой степени функция от ρ при каждом фиксированном значении
параметра q€ { q } , т.е.
H(\p,q) = \H(p,q) VX>0. (5)
Дифференцируя тождество (5) по λ (ρ, q - фиксированы) и полагая λ= 1,
получим тождество Эйлера:
ЪН
p — (p,q) = H(p,q), (6)
dp
где ЭЯ/dp, как обычно, означает вектор градиента функции Н(р, q) по р.
Функция Н(р, q) по аргументу ρ при каждом фиксированном q
является выпуклой функцией, т.е. для любых двух векторов ρ =Ρι и ρ = р2
выполнено условие:
Η(μιΡχ + μ2ρ2,<7)<μ^(ρ,,<7) + μ^(ρ2,<7) (7)
при μι > 0, μ2 > 0, μι +μ2 =1. В силу положительной однородности (5)
условие выпуклости (7)" можно эквивалентным образом записать проще,
а именно:
Hip, +р2,<?)<#(Рь<7)+Я(р2,<7), (8)
что непосредственно следует из (1) - (3).
Опорная функция #(р, q) содержит полную информацию о классе
обобщенно эквивалентных УДС, описываемых множеством f(q, U) (§3).
В терминах функции Н(р, q) полностью описываются многие важные
особенности и признаки того или иного свойства соответствующей УДС.
Кроме перечисленных выше свойств Н(р, q), приведем еще некоторые
ее свойства, определяемые характером выпуклого множества f(q, U).
1) Для того, чтобы множество Н(р, q) целиком лежало в некоторой
гиперплоскости с нормалью р, необходимо и достаточно, чтобы [21]
Н(р, q) = - Я(- р, q\ или H(pf q) + Я(- ρ, q) = 0. (9)
Здесь Н{р, q) + Я(- ρ, q) - расстояние между опорными
гиперплоскостями к f(q, U) в направлении ρ Φ 0 и - р. Если (9) выполняется, то
аффинная размерность множества f(q, U) не превосходит η —1. Отсюда,
26

в частности, следует, что f(q, U) имеет аффинную размерность п, т.е.
является областью, содержащей (абсолютно) внутренние точки, тогда
и только тогда, когда не существует ρ Φ О такого, чтобы выполнялись
равенства (9). Это свойство нам понадобится в § 20 для выделения
"особых многообразий" УДС.
2) Если f(q, U) представляет собой областью {q}, то для того, чтобы
точка 0{q) лежала внутри этой области, т.е. О(q) € int f(q, U),
необходимо и достаточно, чтобы
H(p,q)>0 при У ре {р}, рФ0у (10)
или, что то же самое, с учетом однородности по ρ
min H(p,q)>0. (11)
\р 1= 1
Это свойство Н(р, q) будет нами в дальнейшем использовано для
выделения области нестесненных (свободных) движений УДС (§9).
3) Если равенство (9) в точке q выполняется для двух неколлинеар-
ных векторов рх и р2> то аффинная размерность /(#, U) не превосходит
η - 2 и т.д.
4) Если множество f{q, U) представляется как f(q, U) = fx (qt U) +
+ a(q)t где fx (qt U) - выпуклое множество и a (q) - постоянный
вектор (при фиксировании q), т.е. имеет место сдвиг, то
H(p,q) = Hl(p,q)+pa(q)i (12)
где Нх (р, q) - опорная функция множества fx (q, U).
5) Опорная функция точки a (q) есть
H(p,q)=pa(q). (13)
6) Опорная функция Н(р, q) единичной сферы или, точнее, шара | ρ \ <
</·(<?), г(<?)>0,
Н{р.я)=\р\г(я). (14)
7) Если f(q, U) не представляет собой области в {q}, то также
полезно иметь необходимые и достаточные условия того, что точка О
принадлежит относительной внутренности множества f(q, U), т.е. критерий
выполнения условия О(q) € ri/(#, U). Этот критерий имеет вид:
H(p9q)>0, Vpe{p), рФО, (15)
за исключением тех р, которые удовлетворяют (9).
Комбинируя приведенные выше свойства, можно высказать еще ряд
полезных условий, выраженных в терминах функции Н(р, q),
гарантирующих свойство соответствующего выпуклого множества.
Ю /Ob U) целиком лежит в линейном подпространстве пространства
{q} размерности и- ту полученном пересечением гиперплоскостей,
характеризуемых ненулевыми векторами рх,.. . , рт , если и только если
выполнены равенства
Н(-р., q) +Н(р.Я) = 0, /= 1,..., т.
Это свойство обобщает свойство 1), приведенное выше в этом параграфе.
27

9) Пусть f(q, U) целиком лежит в подпространстве, характеризуемом
векторами ρ ι,... ,^ рт . Тогда О € {q ) лежит в относительной
внутренности f(q, U)t т.е. О € r\f{qiU)i если и только если
H(p,q)>0
для всех ρ Φ О, за исключением тех р, которые являются линейными
комбинациями ρ ι,..., рт.
В заключение этого параграфа отметим следующее. В терминах
функции Н(р, q) уравнение УДС записывается в виде
7SH
<7= — (p9ql (16)
dp
где параметр ρ можно рассматривать как новое управление, которое
не стеснено никакими дополнительными к (16) ограничениями и прини-
ЪН
мает произвольные значения из {р}. Отметим, что — (р, q) как функ-
Ър
ция от ρ при любом фиксированном q € {q} является положительно
однородной функцией нулевой степени, т.е.
ЪН ЪН
— 0Ч>.Я)=—(Р.Я) VX>0. (17)
dp Ър
Таким образом, скорость q в новом уравнении УДС (16) не зависит
от величины | ρ | вектора р, а зависит лишь от его направления р/| ρ |.
Поэтому без ограничения общности можно рассматривать лишь такие
вектора (управления) р, конец которых лежит на сфере в пространстве
{р} некоторого фиксированного радиуса R, в частности на единичной
сфере.
Уравнение (16) можно записать в виде
. ЭЯ / ρ \
К сожалению, уравнение типа (16) или (18) не всегда разрешается
однозначно относительно ρ (или р/|р | ) при фиксированном q € { q) . В этом
состоит главная отличительная особенность многих часто встечающихся
на практике УДС. Такой случай и порождает, собственно, поверхность
интегральной воронки включения (3.2) и соответствует наиболее
сложным УДС.
Разрешимость уравнений (16) и (18) имеет место (т.е. существует
обратная функция ρ от q для всех q в довольно частном случае, хотя и весьма
распространенном и который даже можно назвать классическим с точки
зрения механических систем), когда точка О лежит внутри f(q, U) и
f(q> V) - область в { q } .
Заметим, что после преобразования исходной УДС к виду (16)
размерность degf ρ нового управления, в том смысле, как мы это обсудили в
предыдущем параграфе, остается прежней, так как множество допустимых
скоростей в пространстве {q} осталось прежним, рав*ным f(q, U), т.е.
degf ρ =degf и.
28

Последнее замечание. Как видно из (2) и (3), для вычисления функции
Н(Р> Я) фактически не нужно производить предварительное овыпукли-
вание множеств Ф(<7) или /(?, U), если они не выпуклы. Равенства (2),
(3) автоматически определяют функцию Н(р, q) как опорную функцию
выпуклой оболочки множеств Ф(<7) или f(q, U). В этом смысле можно
творить об опорной функции Н(р, q) произвольного множества Ф(#)
или f(q, U), определяемой (2), (3) (#(р, q) можно получить и как
опорную функцию выпуклой оболочки Φ(q) и f(q, U). Результат будет тем
же самым).
§8. ТИПЫ КОНУСОВ ДОПУСТИМЫХ НАПРАВЛЕНИЙ УДС
Все возможные типы конусов K(q) допустимых направлений УДС
изображены в таблице 8.1. Первая строка таблицы показывает, что в
нульмерном подпространстве!0 C{q) может быть только один тип K(q) -
)го одна точка, совпадающая с 0(q). Этот тип обозначим через а0. Вторая
строка таблицы показывает, что в одномерном подпространстве L1 С {q}
может быть уже два типа конусов K(q). Первый тип K(q) в Z,1 совпадает
Таблица 8.1.
Возможные типы а "г конусов K(q)
допустимых направлений скоростей УДС п-го порядка
т - 0
га = 1
L1
т = 2
т = 3
т = η
r=0 I
al
\
\
\
а"
0
г= 1
«/
'/
ц
X
■ .
а"
1
г= 2
L
<
4
\
<
г= 3
""
г - η
•
η
η
29

с Ζ,1 и обозначается я0. Второй тип К (q) в1] совпадает с
подпространством в!1 и обозначаетсяа\.
Далее, в третьей строке таблицы последовательно располагаются все
типы двумерных конусов К (q), т.е. все возможные конусы, для которых
L2 С {q } служит минимальным вмещающим их подпространством. В
первую клетку этой строки попадают конусы, совпадающие с L2. Этот
тип обозначен а0. Во второй клетке этой строки расположен K(q),
совпадающий с полупространством в L2. Он обозначен а]. Наконец, в третьей
(последней) клетке этой строки изображен тип конуса с острой
вершиной, целиком лежащий в L2. Этот тип обозначен а\. Этим
исчерпываются все типы телесных по отношению к L2 конусов. Таким образом, их
три типа: α20,α2λ,α22. Если первый тип а\ символически изобразить
пересечением двух координатных осей, то переход а2 -+а2 -*а\
соответствует последовательному удалению ("отламыванию"; отрицательных
полуосей.
Аналогично в четвертой строке таблицы последовательно показаны все
возможные типы телесных по отношению к L3 конусов. В первой
клетке этой строки изображен тип конуса, совпадающего с Z,3. Он обозначен
д0. Во второй клетке - тип конуса, совпадающий с полупространством
в Z,3. Он обозначен а\. Далее идет конус типа двугранного угла,
обозначенный а2. И, наконец, в последней клетке опять стоит заостренный
телесный по отношению к I3 конус, обозначенный а\. Здесь, как и в
предыдущей строке, переходы До ~*а] ~*а\ ~*а\ можно рассматривать как
последовательное удаление* ("отламывание") по одной полуоси при каждом
переходе.
В четвертой, пятой и т.д. строчках таблицы последовательно
расположены типы конусов, телесных по отношению к подпространствам Z,4,
Ls и т.д.
Последней строкой этой таблицы является (и+ 1)-я строка,
соответствующая пространству скоростей данной УДС «-го порядка, т.е. Ln = {q} =
= Tq {q }. В последней строке последовательно расположены конуса η + 1
типа: ап0, αν ..., ап* Тип а0 соответствует тому, что K(q) совпадает с L .
При этом конус типа а0 вмещает в себя η осей, т.е. 2и полуосей. Переход
к каждому следующему типу от предыдущего соответствует удалению
одной полуоси. Последний тип в (и+ 1)-й строке ап соответствует
заостренному конусу К (q). В символе этого конуса удалены η полуосей.
Таким образом, общий тип конуса K(q) для УДС п-го порядка имеет
обозначение аг , где m — размерность минимального вмещающего K(q)
γη ·
подпространства L С {q}, m = 0, 1,..., η, а г - число удаленных
("отломанных") полуосей в графическом символе этого типа K(q)t r =
= 0, 1,..., m, (r <m). Индекс (число) г, таким образом, можно назвать
"дефектом" полуосей. Общее число типов конусов K(q) в
рассматриваемой их классификации для УДС п-го порядка равно
(и+1)(л + 2)
1+2 + 3 + ... + л+(л + 1) = - — -.
2
30

Таким образом, в каждой строке таблицы, соответствующей Lm,
ныстраиваются последовательно все телесные по отношению к Lm типы
конусов: от первого ^совпадающего со всем Z,m, до последнего^
-заостренного. Каждый переход в цепочке переходов в данной строке от
данной клетки к следующей, а™ -* а™ -* а™ -*... -* ат, соответствует
удалению одной полуоси в исходном изображении а™ в виде системы осей
координат с центром в точке 0(q).
Интересно для УДС л-го порядка установить тип сопряженного
(дуального) конуса К (q), соответствующего конусу К (q) (см. формулу (3.8)),
имеющему данный тип а™ . Тип К (q) обозначим а™. Тогда легко видеть,
что справедливо равенство
a? =a?-m + r, т=0,1,...,л; r = 0,l,...,m. (Ι)
Система полуосей Έ™ дополняет систему полуосей а™, до
максимального числа полуосей 2 л.
Дейстьи1ельно, число 2т - г полуосей для типа а™, сложенное с
числом 2(л - m +г) -г полуосей для типа д™, дает в сумме 2т -г +
+- [2 (и - т + г ) -г] = 2 л, т.е. число полуосей для д£. Легко проверить
также, что!*" = arr . Вместо символов а™ и а™ можно непосредственно
пользоваться обозначениями К™ (q) и К™ (q) соответственно.
Сформулируем критерий того, что конус K{q) имеет в данной точке
q определенный тип а™.
Критерий определенности типа конуса. Для УДС
п-го порядка конус К (q) CTq{q} ={q) в фиксированной точке q €{<?}
имеет тип а™ тогда и только тогда, когда выполняются условия:
существует в точности η -m + r линейно независимых решений
р = яД(7), /=1,2,..., я-m+r, (2)
уравнения
H{p,q)=0, (3)
из которых в точности п-т решений ρ = π,- (q), / = 1, 2,... , л - /я,
являются также решениями системы уравнений
f#(p,<7)=0, (4)
|#(-р,<7)=0. (5)
Последние г векторов (2) обозначим ху (?), / = 1,2,..., г.
Заметим, что понятие типа а™ конуса К(q) было определено при
фиксированном q€ {q} , а поэтому при изменении q тип конуса может
изменяться. Следовательно, тип конуса а™, вообще говоря, зависит от точки q
и является ее функцией a™ -a{m (q), r(q)). Другими словами, числа таг
являются функциями qt т.е. m-m(q)tr = r(q).
В связи с этим одной из первых и основных задач теории фазового
портрета УДС является задача разбиения всего пространства состояний {q)
данной УДС (или заданной области этого пространства) на непересекающиеся
множества (в частности, это будут области или многообразия меньшего
31

числа измерений), на которых тип конусов поля K(q) не меняется и
остается равным фиксированному значению а™.
Индекс т имеет простой геометрический смысл: он означает
минимальную размерность подпространства Lm С Tq {q} , которое целиком вмещает
в себя конус K(q). Величину т будем называть размерностью конуса
К™ (q). Очевидно, при m = 0 конус вырождается в точку 0{q) пространства
Tq {q} = {q) . Такие точки q назавем точками абсолютного равновесия
УДС. Критерием того, что K(q) = 0(q)t очевидно, является условие Н(р,
q) = 0 для всех ρ и данного q.
Конус K(q) называется телесным, если m = и, т.е. так назьюаются все
конусы K(q)t имеющие тип а", где г - любое целое число, меньшее или
равное и.
Конус К(q) называется заостренным, если г =шу т.е. заостренными
называются конусы, имеющие тип д™ .
Из сформулированного выше утверждения (формулы (2)-(5))
вытекает, что вектора q, принадлежащие конусу К (q) данного типа a™(q),
описываются системой линейных однородных уравнений
*(<?)* = О, (6)
где π (q) — матрица, состоящая из η - m строк щ (q), / = 1, ... , η - mt
определяемых формулой (2), и, следовательно, имеющая dimn(q) = (и — т) X
X /2и rang7r(<7) = n-m\ и неравенств вида
X (<?)«< О, (7)
где x(q) — матрица, состоящая из г строк χ;·(</),/ = 1, ...,/', и,
следовательно, имеющая aimx(q) = г Хии rang χ (q) = г.
Систему уравнений (6) можно рассматривать как совокупность п — т
уравнений для п — т линейно независимых гиперплоскостей. Систему
неравенств (7), в свою очередь, можно рассматривать как совокупность г
неравенств, описывающих г линейно независимых полупространств
пространства Tq{q) = {q}> пересечение которых содержит конус K(q).
Гиперплоскости, определяющие эти г полупространств , являются г
линейно независимыми опорными гиперплоскостями конуса K(q). Уравнение
/-й опорной гиперплоскости (/ = 1,... , г), очевидно, имеет вид
X, Й) 4 = 0, или Xj(q)dq = 0. (8)
Как мы увидим, в дальнейшем (§ 19) система (4), (5) играет важную
роль в исследовании УДС. Эту систему нужно рассмотреть как систему
пфаффовых уравнений (уравнений в дифференциалах)
*(*)</? = 0, (9)
где n(q) dq — соответствующая система /-форм, или пфаффовых форм
[95]. Системой (9) определяются, в частности, инвариантные многообразия
данной УДС.
Заметим, что соотношения (7), (8) можно заменить эквивалентными
соотношениями точно такого же вида, но с тем свойством, что матрица
X (4) будет ортогональна матрице n(q), т.е.
*(<7)ХТ(<7)=0, (10)
32

г.е. каждая вектор-строка матрицы x(q) ортогональна каждой вектор-
строке матрицы n(q). Множество точек в {q}, для которых конус K(q)
имеет тип а™, будем обозначать Z)rw.
Пусть K(q) — непрерывное поле конусов, и пусть т^ — максимальное
значение индекса т для данной УДС {тх <и). Тогда множество D™* в
{q} является открытой областью dim .D™1 = и, так как в противном
случае существовала бы точка q € D™1, в любой окрестности которой
имелись бы точки q€D™, где т< т^. Но тогда скачком исчезала бы, по
крайней мере, одна из строк матрицы n(q), что невозможно в силу
предположенной непрерывности поля К (q).
Вообще, если между собой граничат два множества D™ и D™ с
разными индексами т и т\ причем т" > т\ то граничные точки принадлежат
D™ , т.е. множеству с меньшим т = т'.В частности, если т0 — минимальное
значение индекса т для данной УДС, то D™0 — замкнутое множество.
Например, (инвариантное) множество абсолютного равновесия УДС всегда
замкнуто.
Если поле конусов K(q) имеет "разрывы" (не непрерьюно), то следует
выделить множество разрывов. Движение УДС на этих множествах требует
специального изучения.
§ 9. ОБЛАСТЬ НЕСТЕСНЕННЫХ (СВОБОДНЫХ) ТРАЕКТОРИЙ УДС
Пусть в каждой точке q некоторой области DC {q } выпуклое
множество /((/, U) также представляет собой некоторую область в пространстве
{Q} =Tq{q} > содержащую точку 0€ {q} внутри себя. Тогда конус
K{q) совпадает со всем пространством {q} , т.е. имеет тип д". Для того,
чтобы при некотором q множество f(q, U) действительно представляло
собой область в [q] , содержащую О, необходимо и достаточно, чтобы
опорная функция Н(р, q) этого множества была строго положительна при
всех рФО (§7). Последнее утверждение в силу положительной
однородности H(pt q) по ρ эквивалентно тому, что
min H(Piq)>0. (1)
\Р\ = 1
Это неравенство выделяет в пространстве состояний {</} некоторую
область, которую обозначим D. Ясно также, что, если такая область D
существует, то любые две точки q0 и qx связной части этой области могут быть
соединены произвольной траекторией, целиком лежащей в D и
полученной под действием допустимого управления. Естественно такую область D
назвать областью нестесненных {свободных) траекторий УДС. Отметим
попутно, что каждая точка q такой области будет точкой локальной
управляемости.
Таким образом, координаты точек q области D нестесненных
(свободных) траекторий удовлетворяют неравенству
min #(а<7) =*(<?) >0. (2)
\Р\ = 1
Множество точек q границы области D будут удовлетворять уравнению
min #0>,<7) =</>(?) =0. (3)
\р\ = ι
3. А.Г. Б утков с кий
33

Вывести уравнения, которым удовлетворяют точки границы области
нестесненных траекторий, можно и непосредственно из условия O€df(q,
U), т.е. из условия того, что точка О принадлежит границе области
допустимых скоростей (индикатрисе). Пусть уравнение этой границы области
/(#> U) (т.е. индикатрисы) имеет вид
σ(<7,<?)=0, (4)
где q — параметр. Тогда искомое уравнение имеет вид
σ(0,*)=0. (5)
Рассмотрим простой пример. Пусть УДС описывается уравнениями
<7i = aq2 +Wi, q2 =bql +u2, £/= ί {ux,u2)\u\ +u2 < R) . (6)
Здесь
P(p,q)=aplq2+plul+bp2ql+p2u2; (7)
H(p,q) = max Ρ (ρ, q,u) =apxq2 +hp2qx +Ry/p\ +pl\ (8)
«e и
φ(4)= min H(py q) = - \la2q\ + b2q\ '+ R = 0. (9)
\p\ = ι
Следовательно, искомое уравнение границы области нестесненных
траекторий D имеет вид
a2q\ +b2q2=R\ (10)
т.е. описывает эллипс.
Этот же результат можно получить и непосредственно. Из (6) имеем
Μι =<?! -aq2, u2 =q2 -bqx. (11)
В силу ограничений, заданных видом множества Ut из (6) получим
o(q,q) » (ίι -aq2)2 + (<?2 -6?1)а -Я2 =0. (12)
Полагая в (12) q = 0, получим ответ, совпадающий с (10).
§ 10. ПРИНЦИП ВКЛЮЧЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБЫТИЙ
Рассмотрим простой и очевидный принцип, который бывает полезен
при рассуждениях в решениях различных задач управления. Пусть K(q(t),
t) - конус допустимых направлений, построенный в пространстве {q, t } с
вершиной в тЬчке {q, t} .
♦/•4;
Рис. 10.1
34

Принцип включения в пространстве событий. Для того, чтобы некоторая
кривая q=q(t), t0<t<tl9 расположенная в {q, Г}, была допустимой
интегральной кривой, необходимо и достаточно, чтобы положительный
луч касательной γ+ (<7(0) к #(0 принадлежал конусу допустимых
направлений K(q(t), t) почти во всех точках (q(t),t), (рис. 10.1), т.е.
Y{q{t))eK{q{t),t) aVte [t0ttx].
§ 11. ГРАНИЦА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ВОРОНКИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
В теории дифференциальных включений вида
?еф(?,0, (1)
где Φ (q, t) — заданное выпуклое и непустое при каждом q и г множество
в пространстве событий { q, t) , интегральной воронкой с вершиной в точке
(q\t') для дифференциального включения (1) называется совокупность
точек абсолютно непрерывных интегральных кривых q=q(t),t> t'
включения (1), исходящих из точки (q',t'). Если рассматривать интегральные
кривые на отрезке времени (t\ ίγ), то соответственно можно говорить об
отрезке интегральной воронки. Отрезок интегральной воронки с вершиной
(q\t) для дифференциального включения (1) обозначим V(q'ir\ ti).
Мы будем рассматривать тот случай, когда отрезок интегральной воронки
V(q',t\ ίγ) имеет "жесткую" боковую граничную поверхность в виде
коноида с вершиной в точке (q\ t').
Мы будем называть боковую границу Э V(q\ t\ tx) отрезка интегральной
воронки V(q\r\ rι) в окрестности (может быть достаточно малой) точки
(q', О жесткой, если она не зависитот г ι. В этом случае обозначение V{q\
/', г ι) можно заменить обозначением V(q\ t'), а Э V(q\ t\ ίγ)
соответственно обозначением bV(q\ г'). Достаточными условиями существования
жесткой интегральной воронки, вообще говоря, являются условие
гладкости поля конусов К(д\ t') в окрестности (q\t') и условие заостренности
конусов поля. Случай, когда точка (q\ r') лежит на инвариантном
многообразии, будет рассмотрен в § 22. Здесь же предполагается, что коноид
является телесным в пространстве (q, t), Этот коноид имеет плоское
основание, являющееся частью плоскости t = t\ (рис. 11.1). В этом
случае можно говорить о границе Э V как о боковой поверхности
жесткой интегральной воронки V(q\ t', ίχ) и высказать следующее
утверждение.
Граница Э Vинтегральной воронки V(q,t\ tx) с вершиной в точке
(q\t) для дифференциального включения (1) описывается
параметрическим уравнением
q = q(t>P,p'n+i>q,>t,)> t'<t<tl9 (2)
где (q',t') - фиксированная точка (вершина воронки)ta tup'-
параметры. Числовой параметр t меняется на отрезке г' <r <tl9 где г ι -
достаточно мало, а ненулевые векторный параметр ρ = (р[,..., р'п) и числовой
3*
35

Интегральная. .
крибояЩСв^Ь]
Рис. 11.1
параметр ρη+χ при фиксированных (q',t') пробегают множество решений
уравнения
H(p\q\r')+p'n + l=09 (3)
где функция Н(р, q, r) в (3) определяется "принципом верхней грани"
ff(p,q,t) = t sup pq, p= (pl9... ,pn). (4)
?G Ф(<7,0
В случае, когда верхняя грань в (4) достигается, Н(р, q, t) определяется
"принципом максимума"
H(p,q,t) = max pq. (5)
<?е Ф(<г,г)
В терминах дифференциального уравнения УДС функция Н(р, qt t)
определяется равенством
Н{р, q, r) =sup (max) pf (q, г, и). (6)
u<EU(q,t)
Далее, функция (2) определяется как решение задачи Коши для системы
канонических гамильтоновых уравнений с функцией Гамильтона (4) —(6)
. ЪН m ЪН . ЪН
q =
Ър
Э<7
Ρη + ι
bt
с начальными условиями
q(t') = q'o9 p(t)=p[, рл + 1(г')=р; + 1,
(7)
(8)
где ρ и ρη + χ пробегают множество решений уравнения (3).
С другой стороны, граница интегральной воронки в пространстве { q, t )
с вершиной в точке {q',t') является огибающей семейства интегральных
поверхностей, проходящих через точку { q\t'} уравнения Гамильтона -
Якоби
/дг \ дг
(9)
Эта огибающая является характеристическим коноидом для уравнения (9).
36

Таким образом, граница интегральной воронки с вершиной в точке
(q\ t') совпадает с характеристическим коноидом уравнения (9) с
вершиной в той же точке (q\t'). При этом уравнение границы интегральной
воронки (характеристического коноида) можно записать в виде
*й, О = о, (Ю)
где z(q,t) — решение уравнения (9).
Сформулированная теорема наглядно вытекает из геометрической
трактовки нелинейного дифференциального уравнения (11) с частными
производными 1-го порядка для одной неизвестной скалярной функции ζ (см.,
например, [104]).
В заключение этого параграфа заметим, что функция pq переменных ρ
и q и функцию pf(q, t, и) переменных p,q,ttu справедливо называть
функцией Понтрягина (понтрягианом)*) и обозначать
Р(Р>Я) =РЯ> P(p,q,t,u) = pf(qtttu).
Уравнения (7) есть не что иное, как уравнения экстремалей принципа
максимума Понтрягина в задаче на экстремум функционала времени для УДС
вида (1) и вида (2.1).
Отметим еще одно важное свойство интегральных воронок для
выпуклых включении, которое можно назвать "свойством вложимости"
интегральных воронок. Пусть V(q\ t\ ίΛ) - интегральная воронка в {q, t)
данного включения q€ Ф^,г). Возьмем точку (</', г") Ε Э V(q\ r\ гх), тогда
V(q\t'\ ti)C V(q\t\ tx). Воронка V(q\ t\tx), tx >t\ частично
ограничивает область достижимости из точки (q\ г') за время t < г < гх. Заметим,
что в пространстве событий {q, r] всегда отсутствует область
нестесненных движений (§9), так как в данной постановке задачи исключается
движение в обратном времени, т.е. нельзя попасть из точки (</, t') в точку
(</ , Г ), если г < t.
§ 12. СВЯЗЬ ГРАНИЦЫ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ВОРОНКИ
С УРАВНЕНИЕМ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
Пусть задано скалярное нелинейное дифференциальное уравнение с
частными производными 1-го порядка вида:
Я(р,(7,0+Рл+1 =0, (1)
где (#, г) — независимые переменные в пространстве [qt t) , гр-bzjbq,
ρη+ι =dz/drn z(q, t) — неизвестная скалярная функция. Рассмотрению
этого уравнения посвящено много замечательных работ (см., например,
[62, 63, 101, 104]). Геометрическая интерпретация этого уравнения
следующая. Зафиксируем в {q, ΐ) какую-нибудь точку (q\t') и отложим
от нее вектор (ρ, ρη+ι) = (bzjbq, dz/dt). Этот вектор является
нормальным вектором к плоскости, проходящей, через точку (<?',/'), которая
является касательной плоскостью к интегральной поверхности z(q, г) = 0,
*) Эта функция впервые рассматривалась при формулировке принципа
максимума Понтрягина [88 ]. Ранее это отмечалось в [ 110].
37

где z(q, t) — решение уравнения (1). Множество направлений векторов
(Р> Pw+i) = (dz/bq, Ъг/Ъг), удовлетворяющих уравнению (1) при
фиксированном (q'yt'), образуют, вообще гворя, поверхность (границу)
некоторого конуса с вершиной в (q\ /'). Этот конус мы обозначим через K(q\
t') и назовем его, как принято, нормальным (полярным) конусом.
Когда направление вектора (ρ, ρ„+1) пробегает границу ЪК(q\ t),
ведомая им касательная плоскость обкатывает поверхность (границу)
некоторого другого конуса K(q\ ί'), который в теории уравнений (1) назьюается
тангенциальным (касательным) конусом, или конусом Монжа.
Поверхность ЪК(q\ t') является огибающей поверхностью семейства касательных
плоскостей к поверхностям z(q, t) = О, проходящим через точку (q\ f'), т.е.
*(</', О=0.
При таком определении конуса K(q\t') он будет двуполостным. Но
так как мы хотим этот конус отождествить с конусом допустимых
направлений скоростей в пространстве скоростей {q, i} , то в соответствии с этим
от конуса К(q\ t') оставим лишь ту полость, которая направлена в
положительном направлении оси г. В дальнейшем nojxK(q ,/') будем понимать
именно этот однопол о стной конус.
В теории уравнений вида (1) решающую роль играют понятия
"характеристические кривые" и "характеристические полосы", в частности, понятие
"характеристический коноид"; этот коноид связан своей вершиной с
некоторой точкой (q у г').
Главная идея, устанавливающая взаимно однозначное соответствие
между уравнениями вида (1), с одной стороны, и УДС (4.1) и
дифференциальным включениями вида (4.2) — с другой, состоит в том, что одна
полость конуса Монжа К (q>t) отождествляется с конусом K(q\t')
допустимых направлений скоростей для дифференциального включения
(4.2) или соответствующей УДС. Таким образом, в теории уравнений (1)
встает задача: по данному уравнению (1), т.е. по функции Я(р, q, r),
построить соответствующий конус Монжа. Для установления связи уравнения
(1) с УДС возникает обратная задача: задан конус допустиых направлений
K(q, t) (конус Монжа), требуется построить дифференциальное уравнение
(1), т.е. восстановить функцию Η (ρ, q, t).
Будем решать эту задачу. Итак, пусть задана УДС
q=f(q,t9u)9ueU(q9t), (2)
или соответствующее дифференциальное включение
?€Φ(<7,0ΞΛ<7,',£/(<7,0), (3)
где Ф(<7, t) - непустое множество. Зафиксируем точку (q, f), построим
Ф(<7, t) и соответствующий конус K(q, t) = cqnv(ray<i>(<7, t)) *). По конусу
K(q9 t) построим сопряженный ему конус К (qt f).^озьмем вектор (р,
Ρη+ι) € ЪК (q, t). Тогда по построению конусов К и К будет выполняться
равенство
sup b/(<M.") +Ρ*+ι] =0, (4)
м€ U(q,t)
*) Символ ray Φ (φ,/) обозначает множество всех лучей, исходящих из 0(q, t) и
имеющих непустое пересечение с Ф(д, t) [97 ].
38

пли, что то же самое,
sup [р/(<М,м)] +ρ,ί+ι =0. (5)
Первое слагаемое левой части равенства (5) и представляет собой искомую
функцию
#(р,<7, Г) = sup р/(<7,Г,м) = # sup pq. (6)
mG C/(<j,f) ?G Ф(<М)
Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что конус
Монжа для дифференциального уравнения (I) с функцией Я в виде (6)
как раз и является конусом допустимых направлений K(qt t) систем
(2)и(3).
Для определения характеристического коноида с вершиной в точке
(q\ t')y определяемого начальным конусом К (q\ /'), или, другими
словами, для определения поверхности интегральной воронки bV{q\t\ t)
необходимо выписать характеристические канонические уравнения Гамильтона
. ън
<7 = — ip,q,t)% t>t, (7)
dp
ЬН
P = - — (p.f.O, t>t9 (8)
bq
9Я
Ρη+ι =- — (P.q.t), t>t9 (9)
ot
и решить для них задачу Коши с начальными условиями
</CW, _ (10)
(ρ«'),ρη+Λί')) = (ρ',Ρη+ι)£ϊΚ(ϊ,ΐ). (11)
Условие (11) эквивалентно условию
Я(р', <?'. О Ы + 1=0, (12)
что и высказано в утверждении теоремы предыдущего параграфа. Легко
видеть, что вектор (p(r), pn+i (О) будет нормальным к поверхности
воронки.
Отметим также, что на поверхности интегральной воронки выполняются
также условия
pd<7+p„ + 1Jr=0. (13)
В частности, если УДС автономна, т.е. правая часть уравнения движения
и дифференциального включения не зависит от времени t, имеем ЭЯ/ bt = 0
иРи+1 s 0. Отсюда в автономном случае получаем, что p„+i (r) = const.
В теории относительности [115] конус K(q, t) назьюается световым
конусом: он соответствует постоянной скорости света (с = 1). Поверхность
интегральной воронки можно назвать световым коноидом, который
соответствует переменной скорости света, распространяющегося в
неоднородной неизотропной среде (например, в поле тяготения; см. также § 30).
39

§ 13. ПРИНЦИП ВКЛЮЧЕНИЯ ДЛЯ АВТОНОМНЫХ УДС
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УДС
Для автономных УДС принцип включения в пространстве {q, t) можно
редуцировать в фазовое пространство {q} . Возьмем в {q ) точку q и для
нее определим в {q} конус K(q), который состоит из
всехдучей,исходящих из точки q по направлениям допустимых векторов q Ε Φ(#).
Принцип включения в фазовом пространстве для автономных систем.
Пусть q — некоторый отрезок кусочно-гладкой кривой без
самопересечений в фазовом пространстве {q} с началом в точке q0 и концом в точке q„
Тогда для того, чтобы данная кривая была допустимой траекторией,
необходимо, чтобы положительный луч касательной у* (q) к кривой q
принадлежал конусу допустимых направлений K{q) почти для всех точек кривой
q, т.е.
7+(<?)е K(q) a^qeq. (1)
Необходимость этого принципа очевидна. Кроме того, при достаточно
широком дополнительном предположении этот принцип становится и
достаточным. Действительно, пусть q - некоторая кривая без самопересечений
в [q] с началом в q0 и концом в qly причем γ+ (q) € K(q) aV q^q*
По построению конуса допустимых направлений K(q), луч 7+ (я) имеет
непустое пересечение с множеством Ф(#). Возьмем какую-нибудь точку
φ (q) этого пересечения. Эта точка выделяет определенную ветвь
дифференциального включения q E Ф^),а именно,
*=*(<?). (2)
Фактически *p(q) определяет некоторое управление мЕ ί/в этой точке q.
Предположим, что интеграл времени
.-Г ^ί- О)
имеет смысл и принимает конечное значение. Тогда очевидно, что
дополнительное предположение о конечности интеграла (3), введенное в принцип
включения, делает этот принцип также и достаточным для того, чтобы
кривая q являлась допустимой траекторией. Обычно условие (3) сводится
к тому, чтобы при движении вдоль выбранной кривой q не встретилась
точка равновесия дифференциального уравнения (2), из которой
невозможно выйти под действием какого-либо допустимого управления. Такая
точка называется точкой абсолютного равновесия. Например, точка (0, 0)
для билинейных систем вида q=Aq+uBq является точкой абсолютного
равновесия.
Высказанный здесь принцип включения, несмотря на всю свою
тривиальность, помогает просто проверять заданные траектории на их допустимость.
Здесь уместно провести следующую аналогию. Если нам задана НДС,
описываемая уравнением
Wfo), q£ (я), (4)
то это уравнение можно рассматривать как поле направлений в
пространстве {?}. Задача интегрирования этого уравнения состоит в том, чтобы
40

найти кривые (траектории) в {q} , направление касательных к которым
в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.
Если же нам задана УДС, описьюаемая уравнением
q=f{q,u\ ue U, qe {q) , (5)
или включением
qe Ф(<7), qe {q}t (6)
то условия (5), (6) можно рассматривать как условия, определяющие
поле конусов K(q) в пространстве {<?}. По аналогии с вышесказанным
можно определить задачу интегрирования УДС (5) или включения (6)
как задачу отыскания кривых (траекторий) в {q} , направление
касательных к которым в каждой точке q принадлежит конусу К{ q } поля конусов
в этой точке. Другими словами, задача интегрирования УДС (5) или
включения (6) состоит в определении кривых (траекторий) в {q} ,
удовлетворяющих принципу включения в пространстве состояний.
Геометрический метод интегрирования НДС (4) (он вытекает
непосредственно из самой задачи интегрирования) назьюается методом изоклин
(см. [119]).
Аналогично для интегрирования (5), (6) можно также предложить
соответствующий геометрический метод. Этот метод состоит в том, что
в (q) , скажем, в частном случае η = 2 на плоскости или на другом
двумерном многообразии, выбирается достаточно густая сеть
фиксированных точек #, около которых выстраиваются конуса K(q). На чертеже
этот конус K(q) должен быть, естественно, небольшого размера —
порядка размера элементарной ячейки, обусловленной густотой выбранной
сети фиксированных точек q. Внешняя сторона каждого такого конуса
может быть заштрихованной, чтобы ясно видеть полость конуса,
определяющую допустимые направления. При наличии такого чертежа не
составляет большого труда провести траекторию, удовлетворяющую принципу
включения.
§ 14. ГРАНИЦА ТРАЕКТОРНОЙ ВОРОНКИ УДС
Если УДС автономна, т.е. описывается уравнением
q=f(q,u)t ueU(q), t > О, (1)
или соответствующим включением
<уе *(<?), '>0, (2)
где/, Φ и Uне зависят явным образом от времени г, то имеет смысл
говорить о траекторной воронке данной УДС. Отрезком траекторной воронки
V(q\ Τ) УДС (1) или (2) назовем множество всех допустимых траекторий
УДС (1), выходящих из точки q', по которым изображающая точка УДС
движется в течение времени Т> 0. Точка #' называется вершиной воронки
V(q',T).
Однако.в отличие от интегральной воронки V(q\ t\ ίχ) в пространстве
событий {q, t) , которая никогда (в силу того, что всегда i = 1 >0)
целиком не заполняет окрестность своей вершины (q\t)t траекторная воронка
41

Рис. 14.1 Рис. 14.2
может эту окрестность заполнить. Иными словами, если выпуклый конус
K(q) допустимых направлений скоростей с вершиной в точке q совпадает
с. касательным пространством Tq{q] в этой точке q\ то траекторная
воронка V(q\ T) заполнит целиком окрестность точки q в пространстве
Ьостояний {q} . В этом случае окрестность точки q представляет собой
область нестесненных (свободных) траекторий, о которой шла речь
в § 9.
Интересным и часто встречающимся является тот более сложный случай,
когда выпуклый конус K(q) не совпадает с касательным пространством
Tq' {q) , в котором он построен. Тогда и отрезок траекторной воронки
V{q\ Г), по крайней мере, при достаточно малом Т> О, не будет, вообще
говоря, заполнять окрестность точки q'в пространстве состояний {q} *).
Предположим также, что траекторная воронка V(q\ T) телесна. Это
означает, что через q не проходит никакое инвариантное многообразие
(§§19,22).
Если траекторная воронка V(q\ Τ)— жесткая (т.е. ее боковая
поверхность не меняется при изменении Г в достаточно малом интервале [0, е],
б >0), то по крайней мере, локально воронка V(q\ T) будет иметь
жесткую боковую поверхность (границу), обозначаемую Э V(q). Понятие
жесткой траекторной воронки аналогично понятию жесткой интегральной
воронки, рассмотренному в § 11. Вообще говоря, если поле конусов K(q)
в окрестности q достаточно гладкое, а все конусы этого поля являются
заостренными, то Э V(q) существует.
Такая воронка будет иметь вид коноида с вершиной (точкой
заострения) в q\ у этого коноида можно выделить боковую граничную
поверхность (или боковую границу воронки) и его основание (рис. 14.1).
Боковая грацичная поверхность и основание этого коноида вместе
составляют в этом случае полную границу отрезка траекторной воронки V(q\ Г).
Основание коноида, очевидно, состоит из тех точек q€{q} , в которые
можно попасть из точки q за заданное время Т> 0 с помощью допустимых
управлений в оптимальном по быстродействию процессе.
Напомним (§ 11), что в пространстве {q, t}основание интегральной
воронки всегда было плоским: оно лежит в гиперплоскости t = ίχ (или
*) Пока что мы исключаем из рассмотрения особые точки и точки локальной
достижимости.
42

ί = Г при f' = 0). Основание траекторной воронки—это, вообще говоря,
не плоская гиперповерхность; ее можно назвать поверхностью Беллмана.
С точки зрения теории управления,траекторная воронка V(q\ T)
представляет собой область достижимости из начальной точки q за время Г.
Существенно то, что нас будет интересовать не основание жесткой
воронки, а ее боковая граница V(q'). Основная задача этого параграфа как раз
и состоит в том, чтобы вывести уравнения боковой границы жесткой
воронки V(q') .
Как и в случае интегральной воронки (§ 11), идея вывода
дифференциальных уравнений жесткой границы траекторной воронки может
базироваться на отождествлении конуса K(q) с конусом Монжа соответствующего
скалярного нелинейного уравнения с частными производными первого
порядка. Это уравнение можно вывести и непосредственно, что поясняется
рис. 14.2.
Действительно, пусть уравнение границы воронки имеет вид
z(<7) = 0. (3)
Возьмем на bV{q') произвольную точку q, в которой существует нормаль
p-bzjbq к Э V(q'). Тогда касательная плоскость Tq Э V(q') к поверхности
bV(q) в точке q будет опорной и касательной для конуса K(q) (рис. 14.2).
Отсюда получаем
#(Р> q) = sup (max)p<J = sup(max)p/((?, и) = 0, (4)
<?€Ф(<7) и € U{q)
где ρ = bzjbq в точке q.
Таким образом, мы получили искомое уравнение для функции z(q)
в равенстве (3):
*(£-.«)-о. е>
Отсюда уже следует и параметрическое уравнение границы траекторной
воронки. Действительно, пусть
ЪН . ЪН
4 = _ , р=-—- г>0, (6)
Ър bq
соответствующие (5) канонические уравнения Гамильтона и функции
Q = q{t,q\p'\ t>0, (7)
P=P(t,q',p'), t>0, (8)
представляют собой решение системы (6) с начальными условиями
q{09q',p') = q', (9)
•p((U\p')=p\ (Ю)
где точка q (вершина воронки) фиксирована, а вектор р' пробегает
сопряженный конус#(#'), т.е. р' пробегает множество решений уравнения
Я(р'.^') = 0. (11)
Тогда уравнение (7) представляет собой параметрическое уравнение
границы траекторной воронки с вершиной в точке q\ где tup'— параметры.
43

Решение (8) дает движение
нормального к Э V(q ) вектора вдоль
"образующей" траектории (7). По известной
терминологии [ 104], воронку V(q')
можно назвать "характеристическим
коноидом" уравнения (5)Ыпи системы (6).
С другой стороны, если известен
полный интеграл уравнения (5)
z=z(q,clf...t cn)y (12)
где сь. . . ., сп - произвольные
постоянные, то граница воронки bV(q\ T)
может быть определена как огибающая
поверхность семейства поверхностей в
пространстве {q}
z(<7,cb...,c„) = 0, (13)
проходящих через точку q.
Заметим еще, что каждой точке
q€dV(q')f где нет особенностей,
ставится в соответствие нормаль ρ к Э V(q'). Таким образом, мы получаем
отображение поверхности Э V(q') в фазовое пространство {р, q) гамильтоновой ~
(неуправляемой) системы (6), которое представляет собой «-мерную
поверхность, называемую "конической поверхностью". На этой
поверхности, как легко видеть, ограничение формы pdq тождественно равно нулю
[9, стр. 326-332]. На рис. 14.3 представлен отрезок траекторной воронки
в изометрии для УДС 3-го порядка: ql =q2\q2 =q3,q3 =м, \u |</ = 20,
<7' = (10,10,10),Г=10.
§ 15. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ
ГРАНИЦЫ ТРАЕКТОРНОЙ ВОРОНКИ
Пусть дана УДС, описываемая уравнением
q=f(q,u)9 и Ε U(q), (l)
или соответствующим дифференциальным включением
Я £f(q,U)t (2)
гдеf(q, U) — выпуклое множество в Tq {q) . Возьмем какую-нибудь точку
q' Ε {q } и построим с вершиной в ней конус K(q') допустимых направлений
скоростей данной УДС (1), (2). Тогда границу (поверхность) траекторной
воронки V(q, Τ) с вершиной в точке q для Т> О (предполагается
существование этой поверхности как некоторого телесного коноида) можно
построить, аппроксимируя ее некоторой "ломаной" поверхностью, зависящей
от малого параметра г = T/N, где N - достаточно большое число. В
пределе при г-^0 аппроксимирующие поверхности сходятся к истинной
поверхности V{q\ Г).
Без ограничения общности будем считать длины (модули) всех векторов
q равными единице, т.е. \q\-\ (§ 5). Выпустим из точки q всевозмож-
44

ные вектора rqy принадлежащие поверхности конуса K(q')y где г >0 -
малое число. Длины этих векторов будут одинаковыми и равными г.
Геометрическое место точек концов этих векторов образует некоторую
линию/ на поверхности dK(q'). С другой стороны, точки концов векторов
rq считаем точками пространства состояний {q } УДС (1), (2).
Во всех точках q"линии /, как линии в (q) , построим конусы K(q")
(рис. 15.1). Получим семейство конусов K{q"\ зависящее от параметра
q' £lC{q) . Построим внешнюю огибающую поверхность П' семейства
конусов K(q"). Поскольку П' — огибающая конусов, то П' будет
линейчатой поверхностью. Из каждой точки q" €/проведем вектор rq, \ q | = 1,
который одновременно принадлежит поверхности конуса bV(q") и
линейчатой огибающей поверхности П\ Геометрическое место концов векторов
rq снова образует некоторую линию /' в {q }.
В точках /' снова как в вершинах построим новое семейство конусов
К(#'"), зависящее отточки #'"е/' как параметра. Опять проведем
внешнюю огибающую (линейчатую) поверхность п' этого семейства конусов
K(q'"),q"'ei'C{q)HT.n.
В результате получим ломаную полосчатую поверхность. Каждая полоса
представляет собой линейчатую поверхность. Ширина каждой полосы
имеет порядок г. Полученная таким образом поверхность является
аппроксимирующей поверхностью искомой поверхности траекторной воронки
V(q\ Г). При г -* 0 аппроксимирующая поверхность, вообще говоря,
стремится к V{q', Г). Заметим, что построение полос аппроксимирующей
поверхности траекторной воронки вовсе не обязательно проводить при
нормированных векторах q, т.е. не обязательно считать | q \ = 1. Построение
можно проводить, считая длину вектора естественной, т.е. той, которую
определяет индикатриса УДС (1), (2). Ясно, что аналогичным образом
можно проводить построение границ интегральных воронок в пространстве
событий {q, t ).
§ 16. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА
ДЛЯ ГРАНИЦЫ ТРАЕКТОРНОЙ ВОРОНКИ
В § 11 для допустимых траекторий, лежащих на границе траекторной
воронки V(q)B{q), выведены канонические уравнения Гамильтона
. ън ън
q= — (p>q)> Р = - — (Р,Я)> (О
Эр bq
45

с начальными условиями
<7(0) = <?\ р(0) = р\ (2)
где q — фиксированная вершина воронки V(q'\ a p' - векторный
параметр, координаты которого пробегают множество решений уравнения
H(p',q')=0. (3)
Геометрически равенство (3) означает, что вектор ρ' пробегает
поверхность сопряженного конуса К(#), т.е.р' £ ЪК(#'). Уравнением этого конуса
служит уравнение (3). Для УДС, заданной уравнением
q=f(q,u)y и G U(q), (4)
или включением
Я е /(<?, U) (5)
функция Гамильтона #(р, q) определялась равенством:
#(Р» Q) = SUP(max)p/(<f, tt) = sup(max)p<J. (6)
Такой подход к описанию границ траекторных воронок можно назвать
"гамильтоновым формализмом". Однако можно применить другой,
двойственный по отношению к этому, подход, основанный на непосредственном
рассмотрении поля конусов K{q).
Идея вывода уравнений Лагранжа для допустимых траекторий,
образующих границу жесткой траекторной воронки, может быть основана на
геометрическом методе построения границ траекторных воронок,
описанном в § 15. Это, по сути дела, аналог метода ломаных Эйлера, с помощью
которого выводятся уравнения экстремалей в вариационном исчислении.
С другой стороны, к вьюоду искомых уравнений Эйлера можно подойти,
используя канонические уравнения (1) - (3). Пусть L(q, q) = 0 при
фиксированном q€{q) есть уравнение конуса K(q) допустимых направлений
скоростей для УДС (4), (5); для простоты предположим, что функция
L(q,q) достаточное число раз дифференцируема, а конус K(q) заострен
и имеет размерность и. При наличии соответствующей разрешимости и диф-
ференцируемости можно записать следующие соотношения:
Ы
Р=ТТ ■ (7)
bq
(8)
(9)
«■ϋτ·
Отсюда
. d ibL\
Далее, нетрудно видеть, что
ЪН Ы
bq bq
(10)
46

Подставляя (9) и (10) во второе уравнение системы (1), получим искомые
обыкновенные дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа для
границы траекторной воронки V(q'):
— {—) =0. (11)
A \bq I bq
В отличие от 2и уравнений 1-го порядка системы (1), уравнения (11)
представляют собой систему η уравнений, каждое из которых является
дифференциальным уравнением 2-го порядка. Начальные условия для q
в (11) остаются теми же, что ив (2), т.е.
Q(P) = q'. (12)
Второе начальное условие, для q в (11), необходимое для однозначности
решения системы (11), имеет вид
<7(0) = <Г, (13)
где координаты вектора q играют роль параметра, который пробегает
все решения уравнения конуса K{q')\
L(q'.q') = 0. (14)
Геометрически начальное условие (14) означает, что начальный вектор q
пробегает всю поверхность конуса K(q').
Таким образом, при переходе от гамильтонова формализма при
описании поверхности воронки V(q')K лагранжеву формализму вместо
уравнений (1) надо интегрировать уравнения (11).
Рассмотрим простейший пример применения уравнений Лагранжа для
определения вида траекторной воронки. Пусть УДС описывается
векторным уравнением
<7=* + м, qGR", uGU С {q) = Rn, |и|<г, г > О, (15)
где вектор а и число г , вообще говоря, зависят от q и | а \ > г. Таким
образом, множество концов допустимых скоростей УДС (15) в
пространстве {q} представляет собой шар радиуса г с центром в точке а
\q-a\<r9 (16)
и, следовательно, индикатриса УДС (15) описывается уравнением
σ(4.<?) = Ι<ί-*Ι-Γ = 0. (17)
Легко видеть, что в том же пространстве соответствующий конус К(q)
допустимых направлений скоростей представляет собой круговой конус,
который описывается уравнением
L(q,q) = aq-^a2 -r2'l4l = 0, (18)
где функция L(q, q) = aq - yja1 -r2 \ q \ является лагранжианом УДС (15).
Если а и г не зависят от q, то уравнение Лагранжа (1J) принимает вид
d ( Ы \ Ы d [ -. q \
~ — I ~- =- [а-у/а2-г2 А- 1 = 0. (19)
А \ bq) bq dt\ \q\
47

Отсюда следует
Я
а-у/а2-г2-?- = с, (20)
\Я I
где с - произвольный постоянный вектор. Из (20) получаем
q а - с
7^Т= /2 2'=C1» (21)
\q\ у/а2-г2
где с χ - произвольный постоянный вектор.
Равенство (21) показьюает, что вдоль характеристической линии вектор
q сохраняет постоянное направление. Следовательно, характеристическая
линия в пространстве состояний {q) УДС (15) является прямой. Используя
начальное условие L(q', q') = 0, получим, что характеристический коноид
данной УДС или, что то же самое, траекторная воронка с вершиной в
произвольной точке q пространства состояний представляют собой круговой
конус (частный случай коноида) с вершиной в точке q' G (q) ,
описываемый уравнением
a(q-q')-s/a2 -r2 \q-q 1=0. (22)
Уравнение (22) описывает семейство траекторных воронок УДС (15) в
ее пространстве состояний, причем параметром этого семейства служит
точка q.
Заметим, что в случае | а \<г конус K(q), в собственном смысле этого
слова, не существовал бы. В этом случае конус K(q) совпадал бы со всем
пространством {<?}, а все пространство состояний {q} предствляло бы
собой область нестесненных (свободных) траекторий (§9).
§ 17. ШТРИХОВАННЫЕ ГРАНИЦЫ ТРАЕКТОРНЫХ ВОРОНОК.
МНОГООБРАЗИЕ ПЕРЕМЕНЫ ШТРИХОВОК (МПШ)
В этом параграфе мы введем понятие "штриховка границ траекторных
воронок", смысл которого будет ясен из дальнейшего рассмотрения. Речь
будет идти о жестких воронках.
Предположим, что граница ЭV(q', Г), по крайней мере локально около
точки cj't является двусторонней гиперповерхностью в {q} , а конус
K(q)win q€dV(q', T) не лежит целиком в касательной плоскости к
bV{q\ Τ) в этой точке q. Ту сторону границы bV(g\ Τ), к которой
прилегает конус K(q) при q €Э V{q\ Г), будем называть внутренней стороной
границы bV{q\ Г), а противоположную сторону, естественно, назовем
ее внешней стороной.
На внешнюю сторону границы bV(q\ T) нанесем штриховку. Границу
bV{q\ Τ) вместе с нанесенной на ней штриховкой будемназьюать шгр^дсо-
ванной границей траекторной воронки.
Те точки q G Э V(q't Г), для которых конус K(q) целиком лежит в
касательной плоскости Tq bV{q\T)9 будем называть особыми точками
границы Э V(q\ Τ). Множество особых точек на данной границе Э V(q\ T)
будем называть особым многообразием границы данной траекторной
воронки.
Особое многообразие на Э V(q\ T) является некоторым
подмногообразием самой границы Э V(q\ Г). Оно может иметь различную размер-
48

ность: от нулевой (отдельная точка) до полной размерности. Как мы
увидим, особые многообразия границ траекторных воронок во многих случаях
играют существенную роль в построении фазового портрета УДС и
отражают существенные свойства самой УДС (например, ее управляемость), что
особенно хорошо видно для УДС 2-го порядка.
Смысл штриховки, нанесенной на границу Э V (q\ Τ), состоит в том, что
всякая траектория, которая пересекает Э V{q\ T) в некоторой точке q, где
штриховка определена, с незаштрихованной стороны в заштрихованную
(т.е. пересекает границу воронки изнутри наружу), заведомо является
недопустимой. Это очевидно и потому, что в этом случае не выполняется
принцип включения (§ 13). С другой стороны,всякая допустимая
траектория с необходимостью пересекает границу траекторной воронки только
согласно штриховке (т.е. с внешней стороны во внутреннюю), что также
согласуется с принципом включения.
Заметим, что на основании принципа включения совершенно аналогично
определяется понятие "штрихованной поверхности (границы) интегральной
воронки" в пространстве событий {qft}: движения УДС (допустимые
интегральные кривые) могут происходить только согласно штриховке, но
не наоборот.
Таким образом, в соответствии с только что описанным смыслом
штриховки, ее можно определить и на особых участках границ траекторных,.
(интегральных) воронок *).
Рассмотрим теперь еще один важный момент, связанный с понятием
штрихованной границы траекторной воронки. Может случиться так, что
граница (гиперповерхность) данной траекторной воронки непрерывно
продолжается за некоторые пределы, но после этого предела штриховка
непрерывно продолженной поверхности изменяется на обратную. Такое
непрерывное продолжение границы траекторной воронки можно
определить как непрерывное продолжение соответствующего решения ζ (q)
уравнения Гамильтона - Якоби или продолжение решений
характеристических уравнений Гамильтона (§ 14).
Здесь уместно заметить, что штриховку можно определить для всякого
участка поверхности, опысываемой уравнением ζ (q) = 0, где ζ (q)
удовлетворяет уравнению Гамильтона - Якоби для данной УДС, т.е.
удовлетворяет уравнению
Теперь дадим определение следующего важного для теории фазового
портрета УДС понятия. Многообразие размерности и-2 на
гиперповерхности траекторной воронки, которое разделяет (по крайней мере,
локально) участки этой поверхности с противоположно направленными
штриховками, будем называть многообразием перемены штриховки на данной
границе траекторной воронки. Аналогично такое же разделяющее
многообразие на поверхности z{q) = 0, где ζ (q) удовлетворяет уравнению (2),
*) Мы здесь не будем штриховать инвариантное многообразие УДС по отношению к
вмещающему его пространству.
4. А.Г. Бутковский
49

назовем многообразием перемены
штриховки на данной поверхности ζ (q) = 0.
Совокупность всех таких мноообразий
для всех траекториях воронок данной
УДС и всех поверхностей ζ (q) = 0, где
z(q) удовлетворяет (2), назовем
многообразием перемены штриховки УДС
или сокращенно МПШ. Это многообра-
9 зие, если оно существует и УДС не имеет
Рис. 17.1 инвариантных многообразий (§ 19),
имеет, вообще говоря, размерность η - 1,
т.е. является некоторой
гиперповерхностью в пространстве { q } состояний данной УДС. Понятие МПШ дает
еще возможность определить пределы продолжимости собственно
траекторий воронки V{q) и тем самым оправдать название "воронка"*). Можно
сказать, что граница bV{q) данной воронки V(q) с вершиной в точке
q простирается лишь до встречи с МПШ. Такое, уже не локальное,
определение границы траекторной воронки иллюстрируется следующей
механической или гидромеханической картиной (рис. 17.1). Если представить
себе, что вершина q воронки V(q') является источником жидкости,
втекающей внутрь этой воронки, то частицы жидкости, двигаясь по
допустимым траекториям, могут смочить внешнюю сторону этой воронки
(скажем, вновь в окрестности точки q')9 лишь перелившись через край
(кромку) этой воронки, которой как раз и принадлежит МПШ.
Понятие МПШ играет важную роль в изучении УДС, и поэтому
желательно иметь конструктивные условия его определения. Этот вопрос будет
рассмотрен ниже в § 18.
§ 18. ОСОБЫЕ МНОГООБРАЗИЯ УДС В ПТОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
В предыдущем параграфе были введены особые многообразия перемены
штриховки на границе жесткой траекторной воронки V (q). Ясно, что для
существования особого многообразия перемены штриховки необходимо,
чтобы существовали такие точки q € Э V(q), для которых dim K(q). < п.
Пусть УДС описывается уравнением
q=f(qfu\ ueU(q), </€{<?>, t > 0, (1)
или включением
</€Φ(<7), qe{q), r>0, (2)
где
ф(я)=Миш. (3)
Как мы знаем (§ 14), если ζ (q) =0 — уравнение границы d V{q)
траекторной воронки V(q')t то ζ (q) удовлетворяет уравнению Гамильтона —
*) Вместо обозначения жесткой воронки V {q , Τ) мы будем пользоваться как
ранее отмечалось, еще более коротким обозначением V {q).
50

Якоби
H(ii .,)=»· ,4,
С другой стороны, если qEd V(q) - особая точка, то K(q), а
следовательно, и Ф(#) целиком лежат в касательной плоскости к Э V(q) в точке
q. Пусть р= bzjbq - нормаль к Э V(q) в точке q. Тогда "толщина"
множества Ф(#) в направлении ρ = bzjbq равна нулю. Следовательно, по
формуле (7.9) имеем
н{т, Ή" i7·')"0'
Отсюда с учетом (4) получаем систему равенств для точек q G S:
"(-57 -"У"· i-w ■")'-" <5)
Интересно рассмотреть условие (5) как систему, вообще говоря,
нелинейных уравнений с частными производными во всем пространстве
состояний {q}:
#(А </) = (>, H(-Pfq) = 09 p=^~ . (6)
bq
Полученная система уравнения (6) играет важную роль в исследовании
УДС. В частности, как будет видно в § 19, эта система определяет
инвариантные многообразия УДС. Условия совместности системы (6)
определяют некоторые многообразия, которые мы будем называть особыми
многообразиями УДС и обозначать 5. Конечные уравнения S будем записывать в
виде
s(q)=0. (7)
Теория полученной системы (6) уравнений с частными производными
довольно хорошо разработана (см., например, [104]). Эта система может
быть сведена к линейной; условия ее совместности выявляются путем
пополнения этой системы до полной системы. Такое пополнение
осуществляется систематическим применением операции взятия скобок Пуассона.
Рассмотрим для примера линейную УДС
<7=Д<7+Ьм, qeR", mGjR1, In К/, />0. (8)
Для системы (8) имеем
H(p,q)= max p(Aq+bu) = pAq+l\pb ί (9)
ы</
Система (6) принимает вид
pAq+l\pb\ = 0f -pAq+l\pb\ = 0. (10)
Отсюда приходим к линейной системе уравнений с частными производными
Ьг Ъг
— Л<?=0, — 6 = 0. (11)
bq bq
4*
51

Полная, система, соответствующая (11), имеет вид
Ъг Ъг bz bz
— Aq = 0, — Ь = 0, — ЛЬ = 0,..., Ап~2Ь = 0. (12)
bq bq bq bq
Эта система содержит η уравнений. Для того, чтобы система (12) имела
нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы равнялся нулю
определитель:
s(q)=\Aq, b, Ab ... A"~2b\ = 0. (13)
Если определитель (13) оказывается равным нулю тождественно (а это
случается тогда и только тогда, когда вектора Ь,АЬ,... , Ап~2Ь линейно
зависимы), то все точки пространства состояний {q } является особыми, т.е.
S совпадает с { q } .
Если же вектора Ь, А Ь,..., А п~ 2Ь оказьюаются линейно независимыми,
то уравнение (13) выделяет многообразие в [q] размерности п— 1,
которое и будет искомым особым многообразием 5. В данном случае особое
многообразие является (и-1) -мерной плоскостью, проходящей через
начало координат О E{q) , т.е. 5—линейное подпространство пространства
состояний. Заметим также, что если МПШ (§17) дляУДС (8) существует, то
оно описывается уравнением (13). В дальнейшем (§ 19) мы увидим, что
если плоскость (13) оказывается в то же самое время и интегральной
поверхностью системы (1.1) (это случится, если A w~l b линейно зависит от
b, Ab,. .. ,Ап ~2Ь), то эта плоскость окажется изолированным
инвариантным многообразием УДС (8).
Заметим, что если параметры А и b системы (8) таковы, что
определитель (13) тождественно обращается в нуль, то это указывает на
существование инвариантного многообразия данной УДС (§ 19).
В качестве другого примера можно взять задачу отыскания МПШ для
билинейной УДС:
q=Aq+uBq, q'eR", uGRly lwl</, />0. (14)
Легко видеть, что система, эквивалентная системе (7), в этом случае имеет
вид
pAq=%0y pBq = 0y p [A, B]q = 0,..., (15)
rjxep-dz/dq и [А, В] - коммутатор матриц А и В, Соответствующее
условие нетривиальности решения системы (15) также имеет вид
равенства нулю определителя и-го порядка:
s(q)=\Aq, Bq, [A, B)q, .. . J =0. (16)
Аналогичные условия для особого многообразия S получаются и для
общей УДС, описываемой уравнениями вида
<7=/o(<7)+«/i(<7), q^Rn, ue UCR\ \u\<L (17)
Уравнения (7) для этой системы принимают вид
р/о(<7) = 0, (18)
ρ/ι(<7) = 0,
а особое многообразие S для этой УДС определяется равенством нулю
52

следующего определителя w-ro порядка:
s(q)=\fo(Ql m\ 1Л>(<7), /ι»)]....1 = 0, (19)
где |/о (?) ,/ι (^) ] - скобки Пуассона вектор-функций /о (я) и /ι (?).
Таким образом, если уравнения (16), (19) не выполняются
тождественно, то этим уравнениям удовлетворяют координаты точек S этих
УДС. Обращение равенства (16) или (19) в тождество говорит о наличии
нетривиального решения соответствующих систем уравнений (15) или
(18) и, следовательно, говорит о наличии инвариантных многообразий,
о которых пойдет речь ниже (§ 19).
В заключение этого параграфа сделаем следующее замечание. Дело в
том, что задача отыскания условий для особых многообразий в смысле
теории оптимального управления, рассмотренная в книге [34], близка
к задаче отыскания особого многообразия 5. Оптимальное управление
понимается в смысле минимизации терминального функционала *p(q(T))
на траекториях УДС (1). Напомним, что особым многообразием в смысле
оптимального управления называется многообразие в {</}, на котором
максимум функции P(ptqyu) = pf(q>u) по и достигается сразу для всех
точек мЕ со, где со - некоторое подмножество U, состоящее не менее чем
из двух различных элементов.
Однако надо отметить, что задача отыскания многообразия в нашем
смысле несколько уже аналогичной задачи в теории оптимального
управления (как последняя понимается, например, в [34]). Особое
многообразие в теории оптимального управления включает в себя особое
многообразие УДС S. Дело в том, что (в принятых в данной книге
терминах границы траекторной воронки V{q')) точка </€ V(q) будет особой
в смысле теории оптимального управления не только тогда, когда K(q)C
CTqbV{q), но и тогда, когда касательной плоскости TqbV(q)
принадлежит лишь некоторая плоская грань конуса K(q) (конус К (q)
целиком может при этом и не лежать в касательной плоскости Tqb V(q)).
При этом точка q не будет особой точкой границы воронки bV(q) в
указанном выше смысле: в этой точке штриховка однозначно
определена в силу того, что конус направлен внутрь воронки, и, тем самым, в
точке q имеются допустимые направления скорости q, выводящие
изображающую точку УДС внутрь воронки под ненулевым углом к плоскости
TqdV(q').
Ясно, что для отыскания особых многообразий в смысле теории оп-
гимального управления также можно воспользоваться условиями (7),
если в качестве конуса допустимых направлений рассматривать не весь
конус K(q), а лишь его плоскую грань (или грани, если эта грань не
единственная), которая тоже является конусом K^(q), соответствующим
множеством ωΕ(/, упомянутому выше в этом параграфе.
Наконец заметим, что условие типа (19) требует дальнейшего
обоснования и уточнения. Описание особого многообразия S важно для
исследования структуры фазового портрета в окрестности S и вопросов
управляемости УДС. Однако, именно с этой точки зрения смысл условий
"совместности" системы (6) на многообразиях меньшей размерности или в
отдельных точках пространства {q}, насколько известно автору, в матема-
жке недостаточно выяснен.
53

§ 19. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ УДС
Инвариантным многообразием Μ для УДС
q=f(q,u\ uGU{q\ или q ЕФ( q) = f(q, U\ (1)
назьюается многообразие в пространстве состояний{#}, которое обладает
следующим свойством: если в какой-то момент времени t = t'
изображающая точка q(t') УДС (1) находится внутри многообразия, т.е. q' = q(t') G
G riMC{q}, то q{t) GM для всех t из отрезка [t\ ί' + б], по крайней
мере, для некоторого числа е > 0. Поскольку речь идет о довольно общих
системах вида (1), то мы вынуждены говорить лишь о локальных
определениях, справедливых, вообще говоря, лишь в достаточно малых
окрестностях точки q (t') и времени t'.
Инвариантное многообразие Μ размерности m будем обозначать Мт.
Ясно, что инвариантное многообразие Μ УДС является в то же время и
особым многообразием S, т.е. MCS. Однако обратное верно не всегда,
хотя это и случается, как показывает пример линейной УДС,
рассмотренный в § 20.
Очевидно также, что для того, чтобы некоторое многообразие Л/,
описываемое уравнением F(q) = 0, было инвариантным для УДС (1), необхо-
bF
дамо и достаточно выполнение условия: f(q>u) =0 тождественно по
bq
qGMnuG U(q).
Ясно, что все пространство состояний {q} является инвариантным
многообразием УДС (1). И вообще, если УДС с самого начала была по
определению задана на некотором многообразии Μ (скажем, изучалось
управляемое движение точки на сфере, торе и т.д.), то многообразие Μ является
пространством состояний и инвариантным по определению.
Интересно найти конструктивные условия (уравнения), описывающие Л/.
Ясно также, что, вообще говоря, Μ может быть не единственным и могут
существовать целые семейства инвариантных многообразий М, зависящие
от некоторых числовых параметров. Так, например, если уравнение (1)
имеет интегралы, не зависящие от параметра управления и, вида
Fk(q) = ck = const, fc=l,...,m, 1<т<и, (2),
т.е.
_^L /fo,n)=0, k=l,...9m, (3)
bq
для любого uG U(q), то многообразие, описываемое системой
(конечных) уравнений (2), есть инвариантное многообразие Μ размерности п — ту
зависящее от т параметров С!,...,ст. Единственное многообразие из
семейства (2) выделяется начальным условием, т.е* заданием
изображающей точки в некоторый момент времени t':
Fk(q(t')) = 0, *=l,...,m. (4)
Очевидно, минимальная размерность инвариантного многообразия Л/,
проходящего через точку qGM, должна быть равна dim К (q). Таким
образом, возникает задача определения условий для нахождения инвариант-
54

ных многообразий УДС (1). Другими словами, возникает задача
определения функций Fk (q), удовлетворяющих условию (3).
Пользуясь такими же соображениями, как и при выводе (§18) условий
на особое многообразие S (инвариантное многообразие это частный
случай особого многообразия S), мы получаем, что искомые функции Fk (q)
должны быть не чем иным, как функционально независимыми
интегралами системы уравнений
Ьг Ъг
Я(_,*) = 0, #(-—-,<7) = 0. (4)
oq oq
Таким образом, отыскание инвариантных многообразий сводится к
нахождению всех интегралов системы уравнений (4), как регулярных,
так и особых. Естественно, рассмотрением вопросов интегрирования
системы (4) мы заниматься не будем, так как по этому поводу уже
существует обширная литература (см., например, [39,62,95,104]). Заметим
только, что интеграл, которому соответствует особое инвариантное
многообразие размерности п- 1, если он существует, получается
"алгебраическим" путем, как алгебраическое условие совместности системы (4)
относительно компонент вектора bFjbq. После того, как такое
многообразие выделено, остается проверить, является ли оно интегральным,
что делается без особого труда. Так, например, в § 18 такое многообразие
задавалось формулами (13), (16), (19) для УДС различных типов. Это
многообразие будет интегральным, если функция s(q), фигурирующая в
этих равенствах, удовлетворяет системе (18.7).
Итак, если для данной УДС существует инвариантное многообразие М,
то имеет смысл поставить вопрос об отыскании границ траекторных
воронок и области нестесненных (свободных) движений на М. В частности,
такая задача возникает сразу же и автоматически, когда УДС с самого начала,
по определению, задана на некотором многообразии (например, на сфере,
торе и т.д.). Вопрос об отыскании области нестесненных (свободных)
движений на Μ будет рассмотрен ниже, в § 20.
Конечно, если, скажем, инвариантное многообразие в {q}- Rn
описывается уравнениями (2), то, пользуясь этими уравнениями, можно исключить
т переменных из уравнений (1), понизив порядок УДС до п- т. Однако
этот путь может оказаться неприемлемым, поэтому желательно иметь
уравнения границ траекторных воронок на Μ непосредственно в терминах УДС
(1) и уравнений (2). Этот вопрос будет рассмотрен в § 21.
В качестве примера наличия у УДС инвариантных многообразий
рассмотрим билинейную УДС в {q } = R3 (уравнения Блоха):
ql=-aq2, q2=aql + uqz, q3 = -uq2, uGUCR, (5)
где а — постоянное число, и — скалярное управление. Эта система является
частным случаем системы вида
4=/ofo)+M/i(</). (6)
Для УДС вида (6) система уравнений (4) имеет вид
3F bF
—/ofo) = 0, — /ι(</) = 0. (7)
oq oq
55

Эта же система уравнений непосредственно вытекает и из условия (3).
Пополнение этой системы приводит к системе уравнений
bF bF
— /<>(</) = 0, — fxiqV
oq oq
7\ F
bq
О,
(8)
где [/ο(<7),/Ί (?)] - скобки Пуассона.
Если (6) - билинейная УДС
q=Aq+'uBq (9)
где А и В — квадратные постоянные матрицы, то система (8), как легко
видеть, примет вид
bF
— Aq =0,
bq
где [А, В] -АВ
имеем
'о
9F
Tq
-ΒΑ
Bq=0,
bF
[A,B)q = 0,
(10)
A =
a
0
0
0
0
коммутатор матриц А н В. Для заданной УДС (5)
В =
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
и, следовательно,
И,Я] =
0 0 -а
0 0 О
а О О
(П)
[AB)q = (-aq\0, aql)\ (12)
Условие совместности системы уравнений (10), или, что то же самое,
условие для МПШ, имеет вид
s(q) = \Aq Bq [A,B]q\ = 0. (13)
Вычисляя функцию s (q), получим
НяП
-aq2 0 -aq3
aq1 q* 0
О
Ξ0 VqER3 (14)
-47* aq1
т.е. уравнение (13). выполняется тождественно. Это говорит о том, что все
точки пространства состояний УДС (5) являются особыми (в смысле § 18)
и имеется инвариантное многообразие этой УДС как следствие наличия
нетривиальных интегралов системы уравнений (10) и, стало быть, наличия
нетривиальных интегралов вида (2), не зависящих от управления м, для
УДС (5).
Таким образом, тождество (14) показывает, что одно из уравнений
системы (10) "лишнее", поскольку оно является алгебраическим
следствием остальных двух уравнений этой системы: столбцы AqyBq, [A,B]q
оказались линейно зависимыми при любом q G R?. В то же время любая
пара этих столбцов линейно независима. Поэтому из системы трех
уравнений (10) можно оставить только систему двух любых уравнений, напри-
56

мер, систему
bF bF
— Aq = 0, — Bq = 0, (15)
bq bq
Это будет уже полная система.
В соответствии с общей теорией систем уравнений (15) [51, стр. 67],
поскольку число уравнений т- 2<и= 3, такая система имеет
интегральный базис размерности п — w = 3 — 2 = 1, т.е. имеет один фундаментальный
bF
интеграл (правда, тут надо еще апостериори проверить, что (q) не
bq
обращается в тождественный нуль ни в какой подобласти {q} = R3).
Действительно, пользуясь общими приемами интегрирования системы, найдем,
что фундаментальный интеграл имеет вид
т= уК?1)2^2)2-^3)2], (16)
и ЭF/ЭίJ' = ((/1,ί72»^3)τ^:Oдлялюбoйπoдθблacτи{(7}=:^3· Таким образом,
УДС (5) действительно имеет инвариантные многообразия, обусловленные
наличием интеграла (16). Очевидно, что инвариантное многообразие
представляет собой сферу
J 1(Я1)2+(Я2)2+(Я3)2]=^с\ (17)
произвольного радиуса с > О с центром в начале координат пространства
состояний { q } = R3.
♦ Интересно отметить, что в данном примере инвариантные
многообразия (концентрические и, следовательно, непересекающиеся сферы)
расслаивают пространство состояний {#}= R3.
В рассмотренном только что примере билинейной УДС в R* матрицы
А и В были кососимметрическими. Сейчас мы увидим, что описанные
здесь свойства билинейной УДС справедливы и для билинейной УДС в R" с
произвольными кососимметрическими матрицами.
Напомним, что в общем случае квадратная матрица Л = (д'у· ), /,/' =
= 1,...,л, с действительными числовыми элементами д'· , для которых
выполняется условие
Л+Лт=0 или а^ + а{ = 0, /,/ = 1,...,и,
называется кососимметрической. Отсюда с очевидностью следует, что
элементы afj , стоящие на главной диагонали кососимметрической
матрицы, равны нулю, а два элемента, симметричные относительно главной
диагонали, равны по модулю, но противоположны по знаку.
Теорема 1. Коммутатор [А,В] =АВ -ВА кососимметрических
матриц А,В - снова кососимметрическая матрица.
Доказательство. Имеем
[Α,Β]Ί =(ΑΒ)τ -{ΒΑ)τ =ΒτΑτ -ΑτΒτ =ΒΑ-ΑΒ = - [Α, Β],
что и требовалось доказать.
57

Теорема 2. Квадратичная форма qTAq,2de A - кососимметричес-
кая матрица, тождественно равна нулю, те. если А — кососимметрическая
матрица, то для любых значений переменной q € Rn имеем qTAq = 0.
Доказательство. Имеем
— tfAq) = (А +ЛТ )</=().
bq
Поэтому qTAq — постоянная, не зависящая от q. Но, очевидно, при q = 0
имеем qTAq=0. Следовательно, qrAq=0, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Определитель п-го порядка вида I Axq .. .Anq\ ,где-
все Л*,Л=1,...,л- кососимметрические матрицы, тождественно равен
нулю, те.
A(q) = \Axq...Anq\ = 0 V q.
Доказательство. Предположим противное, т.е. что существует
q*=£0, для которого Δ (q*) ФО.У этого вектора q* тогда существует
компонента q\ Ф0. Умножим на эту компоненту k-ю строку определителя
Δ (qm). Полученный определитель, в силу предположения, также неравен
нулю. Далее, этот новый определитель не изменится (и значит, останется
не нулевым), если к его к-и строке прибавить все остальные строки,
умноженные соответственно на q\,... ,q \~ l9q **!,..., q" .С другой стороны,
в результате получим новый определитель, в к4л строке которого стоят
соответственно элементы qTAx <?,... ,qTA^. Но по теореме 2 все эти
элементы, как значения квадратической формы с кососимметрическими
матрицами Ль... УАЮ равны нулю. Следовательно, полученный
определитель равен нулю, что противоречит предположению. Для q = 0 очевидно,
что Δ(0) =0. Таким образом, A(q) =0 для любого q, что и требовалось
доказать.
Комбинируя теоремы 1,2,3, теперь.уже очевидным образом получаем
следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть А и В - кососимметрические матрицы и Сх, . ..
..., ст - матрицы, полученные всевозможным, в том числе и
многократным, коммутированием матриц А, В. Тогда определитель, составленный
из любых столбцов вида AqtBqtcxq,.. .,cmq, равен нулю
тождественно по q.
Теорема 3 позволяет сделать полезные выводы относительно свойств
билинейной УДС вида
q =Aq + uxBxq +... +wm Bm q, ' (18)
где Ay Β ι,.. ., Bm — кососимметрические матрицы. Билинейные системы
такого вида встречаются в практических задачах. Например, такой вид
имеет УДС, описываемая уравнениями Блоха (19.5).
Система уравнений (19.4) для УДС (18) (т.е. система уравнений
особого многообразия S ) будет иметь вид
dF . bFl bF
— Aq=0, — В1Я = 09...9 — Bmq=0. (19)
oq oq oq
Применяя теорему З к системе уравнений (19), приходам к важному
выводу, что эта система всегда является полной. Это немедленно следует
58

из теоремы 3, так как скобки Пуассона любой пары векторов Aq, Bxq,...
. .., Bmq, как легко проверить, равны нулю тождественно по q. Поэтому
система (19) будет не только полной, но и инволютивной, хотя она и не
имеет априори якобиевой формы, к которой, впрочем, ее всегда можно
привести.
УДС вида (18) всегда имеет интеграл вида
Fi(a)=(q?=cl9 d>0. (20)
В этом легко убедиться, умножая обе части уравнения (1) на q и применяя
теорему 3. Таким образом, для этой УДС изображающая точка q всегда
движется по сфере определенного радиуса с центром в начале координат.
Легко убедиться, что и сопряженная к (18) система дифференциальных
уравнений, имеющая вид
p = -(pA+ulPB1 +... + usPBs)y (21)
также обладает интегралом
F2(p) = (p2) = c2y с2>0у (22)
откуда мы видим, что для УДС вида (18) сопряженный импульс ρ имеет
постоянную длину. Более того, гамильтонова система 2и уравнений (18),
(21) с гамильтонианом
Н(р, q) = pAq + uxpBxq + .. . + ит pBq
имеет еще один интеграл:
^з (p,q) = PQ~c, (23)
т.е. скалярное произведение радиус-вектора изображающий точки q и
импульса ρ есть величина постоянная. В этом легко убедиться
непосредственно. Действительно, умножая (18) на р, а (21) - на q, а затем складывая
полученные уравнения, найдем
w + w = -^-(w)-o, (24>
откуда и получается новый интеграл (23). Впрочем, к интегралу (23)
можно прийти, используя теорему Якоби, состоящую в том, что если
^ι (Р> Я) и F2 (p, q) - два интеграла гамильтоновой системы (18), (21), то
скобка Пуассона
dFj bF2 dFl bF2
^3=[FbF2] = ^.^-^.^·, (25)
oq op op oq
также является интегралом системы (18), (21). Надо только отметить,
что, к сожалению, этот новый интеграл может получиться или тривиальным,
или алгебраическим следствием интегралов Fx и F2. Однако в данном
случае системы (18), (21) это не так, и мы имеем новый нетривиальный
интеграл
/гз=[(^)2Др)2] = 2р(7=с,
который совпадает с (23).
Легко убедиться, что интеграл (23) имеет место для произвольной УДС,
имеющей гамильтониан H(p,q) однородный, первой степени по ρ и q.
59

Заметим также, что для УДС (18) новые скобки Пуассона [FlfF3] и
[^2»^з] уже не образуют дополнительных, независимых от FitF2,F3
интегралов. В этом легко убедиться, производя непосредственнее
вычисления.
В заключение этого параграфа отметим, что в зависимости от вида УДС
вопрос об определении ее инвариантных многообразий может быть изучен
"двойственным" образом к способу, описанному в этом параграфе
[39, стр. 125], а именно вместо рассмотрения систем уравнений в частных
производных можно исследовать соответствующие пфаффовы уравнения
(формы), определяемые формулами (8.9) [95].
§20. ОСОБЫЕ И ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ЛИНЕЙНЫХ УДС
Рассмотрим подробнее процедуру определения особых и инвариантных
многообразий для линейной УДС. Итак, пусть УДС линейна. Из уравнения
(19.7) получаем систему уравнений
3F 3F
^,-0, wb-0. (1)
В соответствии с общей теорией таких систем уравнений [104] дополним
ее до полной путем образования всевозможных скобок Пуассона Λ/;· =
= [L /, Lj ], начиная с
В результате придем к системе однородных линейных уравнений с
частными производными вида
|^ = 0, !^Ь = 0, |^4Ь = 0, ..., ψ-Α"-4 = 0 (3)
dq * dq dq bq v '
относительно неизвестной функции F{q).
Необходимое условие совместности этой системы (т.е. условие наличия
нетривиального решения F{q) ψ 0), очевидно, имеет чисто алгебраический
характер и состоит в том, чтобы система (3), как система линейных
однородных алгебраических уравнений относительно компонент вектора
dF/dq, имела нетривиальное решение. Это условие, как известно, имеет
вид равенства нулю определителя
s(q)=\Aq Ъ ЛЬ ... An~l2b |=0. (4)
Теперь задача сводится к исследованию функции s(q), т.е.
определителя (4) как функции от q € Rn. Здесь возможны по крайней мере три
основных случая, которые мы и разберем ниже подробнее.
1. Функция s(q) не равна нулю тождественно и не удовлетворяет
системе уравнений (2), если положить
m = s(q). (5)
В этом случае особое многообразие S, определяемое уравнением (4),
представляет собой (и - 1)-мерную гиперплоскость, проходящую через начало
60

координат пространства состояний {q} = Rn УДС (1). Другими словами,
S является (и - 1)-мерным линейным подпространством в {</}. Но так как
S не является интегральным многообразием системы уравнений (2), то S
является МПШ данной УДС (1).
Ниже в этом параграфе мы покажем, что для УДС (1) этот случай имеет
место тогда и только тогда, когда система векторов Ь, ЛЬ, ..., Ап~ Ь,
Ап~х Ъ линейно независима (т.е. когда система (1) управляема по
Калману [49]).
Таким образом, линейная УДС (1) не имеет никаких инвариантных
многообразий, и при этом МПШ определяется гиперплоскостью (4) тогда и
только тогда, когда линейная УДС (1) управляема по Калману.
2. Функция s(q) не равна тождественно нулю, но удовлетворяет системе
уравнений (2), если положить F(q) = s(q). В этом случае особое
многообразие 5, определяемое уравнением (4), также является (и - 1)-мерным
подпространством в {q} = Rn. Но при этом S уже становится инвариантным
многообразием УДС (1). При этом никаких других, кроме (4),
инвариантных многообразий УДС (1) не имеет.
Ниже в этом параграфе мы покажем, что этот случай имеет место тогда
и только тогда, когда система векторов b, Ab, ...уАп~2Ь линейно
независима, но вектор Ап~ ХЬ линейно зависит от этой системы.
Заметим, что, вообще говоря, особое многообразие 5, помимо того что
оно является инвариантным многообразием, может оказаться в то же
самое время и МПШ. Однако в силу того, что МПШ одновременно является
инвариантным, не существует допустимой траектории УДС (1), которая
пересекает МПШ. (С такой ситуацией мы имеем дело в примере 5 § 35. На
рис. 35.6 ось q2 является инвариантным многообразием S, ее не может
пересечь никакая допустимая траектория. Однако границы траекторных
воронок с одной стороны от оси q2 непрерывно продолжаются по другую
сторону от оси q2, и на самой оси q2 происходит смена штриховки.)
С другой стороны, легко привести пример УДС, соответствующий рас*
сматриваемому случаю 2, когда S, описываемая уравнением (4), является
инвариантным, но не является МПШ в указанном выше смысле. Такой
случай реализуется, например, для УДС вида
ql=-ql. Q2=u> \u\<l, />0. (6)
Действительно, как легко видеть, для УДС (6) инвариантное S совпадает
с осью q2. Однако границы траекторных воронок подходят к оси q2 слева
и справа от нее лишь асимптотически, уходя в бесконечность вниз и вверх
вдоль этой оси q2. Поэтому здесь не происходит непрерьюной состыковки
никаких двух границ траекторных воронок, расположенных по обе
стороны от оси q2, т.е. многообразия S. Этот факт и обусловливает то, что в
данном случае инвариантное 5 не является МПШ.
Наконец рассмотрим случай 3. Функция s(q), т.е. определитель в (4),
оказался равным нулю тождественно. Ясно, что это может случиться тогда
и только тогда, когда система векторов b, Ab, ...,Ап~2Ь линейно зависима.
В этом случае система уравнений (2) имеет линейные фундаментальные
интегралы и соответствующие инвариантные многообразия будут линейны-
61

ми многообразиями, расслаивающими все пространство состояний УДС (1).
Естественно, что этот случай соответствует неуправляемой по Калману
УДС (1). Однако в этом случае неуправляемость УДС (1), по сравнению
со случаем 2, оказывается более "глубокой", если так можно сказать:
пространство состояний будет расслоено на инвариантные линейные
многообразия размерности η - 2 или ниже.
Вернемся теперь к вопросам, поставленным нами в случае 1.
Теорема. Для того чтобы функция s(q), определенная равенством
в (4), не равнялась тождественно нулю и не удовлетворяла система
уравнений (2), необходимо и достаточно, чтобы система векторов Ь,АЬ, ...
..., An~2b, An~lb была линейно независима (т.е. УДС (1) управляема по
Калману).
Доказательство. Достаточность. Пусть b, Ab,..., ^п"1Ь линейно
независимы. Тогда, очевидно, справедливо условие
^~-An~2b = \An-lb Ъ АЬ...А"~2Ь\Ф0. (7)
bq
Это условие показывает, что функция F(q) = s(q) не удовлетворяет
последнему уравнению системы (3) для любых qt а тем более для точек
многообразия (4). Следовательно, данное F(q) не удовлетворяет всей системе
уравнений (3), - вместе с ней и системе (2). Отсюда также следует, что
s(q) не тождественно нулевая функция, ибо в противном случае она бы
удовлетворяла системе (2) и (3), что, как мы видели, не имеет места.
Докажем теперь необходимость. Пусть s(q) Φ О и s(q) ке удовлетворяет
системе уравнений (2), (3) в точках q, удовлетворяющих (4). Покажем, что
тогда Ь, АЬ,..., Ап ~ Ь линейно независимы. Предположим противное, т. е.
что Ь, АЬ,..., An~lb линейно зависимы. Если линейно зависимы первые η -1
векторов, Ь, АЬ,..., Ап~2Ь, то s(q) = 0 в силу (4), что противоречит
условию s(q) Φ 0. Следовательно,векторы Ь, Abt..., An~ 2Ь, действительно,
линейно независимы. Но может еще случиться, что Ап~1Ь является линейной
комбинацией векторов Ь, АЬУ..., Ап~2Ь.
Покажем, что и такого не может быть при данных предположениях.Опять
предположим противное, т.е. что Ап~1Ь все-таки является линейной
комбинацией Ь, АЬ,..., Ап~2Ь, т.е. существуют числа μ0, μχ, ...,μ„_2 такие,
что выполняется равенство
А"-1Ь=ц0Ь+цхАЬ + ... +μ„_2 Ап~2Ь. (8)
Но тогда легко показать, что s(q) удовлетворяет системе (2).
Действительно, имеем
д*^-Ь = \АЬ Ь АЬ...Ап~2Ь\ = 0,
так как в определителе 1-й и 3-й столбцы совпадают. Далее, вычислим.
\Aq Ъ АЬ ... Ап~2Ь\ \Aq =
Ыя) Л
-Aq =
Ъц
L bq
[A b Ab ... An~2b]Aq = \A2q b Ab ... A"~2b\, (9)
62

где [А Ъ ЛЬ ... Лп 2Ь] означает вектор, к-л компонента которого есть
определитель вида \с Ъ ЛЬ ... А"~2Ь\, у которого первый столбец с
есть к-и столбец матрицы Л. Покажем, что последний определить в (9)
равен нулю, если точка q лежит на многообразии 5, т.е. удовлетворяет
уравнению (4). Действительно, тогда из уравнения (4) поручаем, что
существует линейная зависимость
λAq + \>Ь + \ХАЪ + ... + λ„_2 Ап~2Ъ = 0, (10)
где по крайней мере одно из чисел λ , λ 0, ·, λ η_2 , вообще говоря,
зависящих от q € 5, не равно нулю. Умножая обе части равенства (10) слева
на матрицу А, получим
ХЛ2<7+ХоЛЬ + ... + Л„_2Л',--1Ь=0. (И)
Подставляя (8) в (11), получим, что вектора A2q9 b, Ab>..., Α n~2b
линейно зависимы (конечно, если q удовлетворяет (4)). Это и означает, что по-
bs
следний определитель в (9) равен нулю, а вместе с ним -—Aq = 0. Таким
oq
образом, предположение о том, что An~lb линейно зависит от b9 Ab, ...
..., An~lb, привело к тому, что S, описьюаемое уравнением (4), оказалось
инвариантным многообразием, что противоречит условию теоремы.
Теорема полностью доказана.
Нам осталось показать, как было оговорено в пункте 2, что особое
многообразие S, определяемое нетождественным равенством (4), является
инвариантным тогда и только тогда, когда система векторов
b, Abt ..., Ап~2Ь линейно независима, а вектор Ап~хЬ линейно зависит от
них. Но данное утверждение является просто несколько другой
формулировкой только что доказанной в этом параграфе теоремы.
Отметим теперь, что в случае 2 уравнение (4) инвариантного
многообразия S можно записать в белее простом виде
I(q) s \q b Ab ... An~2b\ = 0. (12)
Действительно, из (4) в силу линейной зависимости Ап~хЬ от b, Ab, ...
..., Ап~2Ь легко видеть, что подпространство S натянуто на эти вектора. Но
на эти же вектора, как опять же легко видеть, натянуто и подпространство,
описьюаемое уравнением (12). Таким образом, в случае 2 уравнения (4)
и (12) эквивалентны.
Таким образом, в случае 2 пространство {q) = Rn системы (1)
разбилось на линейное подпространство размерности (и — 1), определяемое
гиперплоскостью (4) или (2), и ортогональное дополнение — одномерное
пространство, определяемое нормалью и" к этой гиперплоскости. Как
известно из общей теории [49], система (1) в этом случае представляется как
прямая сумма (и - 1)-мерной линейной системы, полностью управляемой
в слоем подпространстве Sy определяемом уравнением (4) или (12), и
неуправляемой (вообще не зависящей от и) одномерной системы в
одномерном пространстве, определяемом вектором нормали η к плоскости (4)
или (12). Вектор и в символическом виде можно записать через определи-
63

тель следующим образом:
п = \е Ь ЛЬ ... А"~2Ь\,
где символ е - столбец из символов е, ..., еп, означающих координатные
векторы базиса в {</}· В этом случае можно сказать, что пространство {</}
"расслоилось". Слои представляют собой прямые, параллельные вектору я.
Подпространство S, т.е. гиперплоскость, представляет собой базу этого
расслоения, причем слои в данном случае перпендикулярны базе S (рис. 20.1).
Заметим, что при данных условиях имеем равенство
(13)
Ап~2Ь\
= η - 1.
t2iX\g\\Aq b Ab
Это равенство обусловило нетождественность равенст (4) и (12). Поэтому
равенства (4) и (12) являются уравнениями особого многообразия
размерности не ниже η - 1 и вместе с тем гарантируют его инвариантность.
В данном случае условие (13) послужило также причиной того, что
пополнение системы (2) будет идти до тех пор, пока не получится
максимально возможное число уравнений системы, равное п. Однако если бы
неуправляемость системы (1) была более "глубокой", т.е. скажем, линейно
независимыми были только вектора b, Ab, ..., А"~2Ь, а вектора Ап~2Ь,
Ап~хЬ линейно зависели бы от них, то ситуация изменилась бы: появилось
бы инвариантное многообразие S более низкой размерности, а именно -
размерности η - 2, которое уже должно быть описано двумя уравнениями:
рх (^) = о, F2 (я) = 0. В этом случае пополненная система (2) содержит
уже η - 1 уравнение вида (3) : последнее уравнение
bq
можно отбросить, так как оно является линейной комбинацией уравнений
(14)
|£*-0 |£/1"-3*=0.
bq oq
Условие (4) или (12) выполняется тождественно (для любой точки
q Ε {q} = jR"). Это означает, что особым многообразием S является все
пространство {q) = Rn.
Теперь надо непосредственно искать инвариантные многообразия
размерности меньшей, чем η - 1. В случае линейной системы (1) это сделать
Рис. 20.1
Слой
*&
Ортогональное
дополнение
Слой
\Слой
\>L
Рис. 20.2
64

нетрудно. Функции Fx(q) и F2 (я) определяются неоднозначно, хотя
инвариантное многообразие определяется, естественно, однозначно: оно
является подпространством, натянутым на линейно независимые вектора
Ь, АЬ, ...,Ап~3Ь. Его можно считать "базой расслоения". Проекция
изображающей точки на это подпространство будет полностью управляемой
в этом подпространстве. Ортогональное дополнение к этому
подпространству будет двумерным. Оно будет натянуто на два линейно независимых
вектора Щ и й"2 > которые можно определить как два линейно независимых
решения линейной однородной системы
ЙЬ = 0, пАЬ = 0,...упА"-3Ь = 0. (15)
Такие два решения этой системы существуют, поскольку ранг системы
векторов b, Ab, ...,An~3b и, следовательно, ранг составленной из них матрицы
равен η — 2. Слоями здесь будут плоскости, параллельные этому
ортогональному дополнению. Так, например, при η = 3, когда АЬ и А2Ь линейно
зависят от Ь, т.е. оба вектора АЬкА2Ь коллинеарны Ь, базой будет прямая,
коллинеарная Ь и проходящая через начало координат. Ортогональным
дополнением будет плоскость, перпендикулярная Ъ и проходящая через О.
Множество слоев будет множеством плоскостей, ортогональных Ъ
(рис. 20.2)..
§21. ОБЛАСТЬ НЕСТЕСНЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ
НА ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Пусть существует инвариантное многообразие Μ размерности к < и, из
которого изображающая точка q УДС не может выйти под действием
допустимого управления. Интересно установить критерий существования
открытого (во внутренней метрике М) и той же размерности к подмногообразия
D С ΛΓ, в котором две любые точки q0ED, qlGD могут быть соединены
допустимым образом произвольной траекторией, целиком лежащей в D.
Такое подмногообразие D С Μ по аналогии с соответствующим понятием
области нестесненных (свободных) траекторий, рассмотренных в § 9,
назовем областью нестесненных (свободных) траекторий на инвариантном
многообразии М.
Для существования такого многообразия D С Μ необходимо и
достаточно, чтобы конус К (q) совпадал с касательным пространством TqM для всех
точек q € Λί. В свою очередь, для выполнения этого условия необходимо и
достаточно, чтобы минимум функции H(p,q) по всем \р\ = 1 таким, что
ρ лежит в TqM, был строго больше нуля для всех q€DCM. Иными
словами, должно выполняться условие:
*p(q) = imn(H(p,q): \p\ = l,pefqM)>0 \qGDCM. (1)
Здесь TqM — пространство, сопряженное касательному пространству TqM.
Рассмотрим пример. Пусть УДС описывается уравнениями
Я --и Я , я =и Я +и2я , Я = -и Я\
|м1|</1, |и21</2, /!>0, /2>0. (2)
5. А.Г. Бутковский
65

Она имеет инвариантное многообразие - сферу радиуса с > О, так как
система (2) имеет первый интеграл
Если изображающая точка в какой-то момент времени (например,
начальный) оказалась на сфере с определенным радиусом с, то никакое
допустимое управление \и1\ < I1, |и2| < /2 при любых Z1 > 0 и /2 >0не может
увести изображающую точку q с этой сферы.
Покажем, что вся сфера представляет собой многообразие D
нестесненных (свободных) траекторий. Действительно, имеем
Ρ(Ρ^,η)=-Ρι"^2 + P2"V + P2"V -P*u2q2, (3)
и, следовательно,
H(p,q) = ll I-PK72 +Р2<711 + /2 \Р2<13-РгЯ21 (4)
Ортогональное kTqD2 направление определяется единственным вектором
нормали к сфере в точке q:
Щ-Ь1.Ч\Я*?-Я. (5)
Из (4) видно, что Η (ρ, q) - во всяком случае неотрицательная величина.
Она может оказаться равной нулю только тогда, когда I — р\ q2 + р2 q1 | =0
и I Рг q3 - Ръ q21 = 0 одновременно. Это может случиться, как легко видеть,
лишь тогда, когда ρ Φ 0 коллинеарно?· Но по условию (1) мы имеем pq = 0,
и, следовательно, ρ не коллинеарно q. Таким образом, φ (q) > 0 для любой
точки q сферы, что и требовалось доказать.
Таким образом, УДС (2) имеет в качестве инвариантного многообразия
сферу произвольного (но фиксированного) радиуса, которая в то же время
представляет собой многообразие нестесненных (свободных) траекторий»
В заключение этого параграфа уместно отметить, что поскольку боковая
граница траекторной воронки существует не всегда, то возникает задача
изучения характера допустимых траекторий, проходящих через некоторую
точку q в этом случае. Вообще говоря, это довольно трудная задача, если
иметь в виду произвольный тип а™ конусов К (q) в окрестности точки q .
Здесь мы рассмотрим лишь один, далеко не самый сложный случай такой
ситуации.
Рассмотрим УДС, описываемую уравнением
<7 = "7ι(<7) + "72(<7), (6)
qEDCR\ \и1>2\<19Г;еС°°,
где D — некоторая область и q — внутренняя точка D. В D все конусы
К (q) поля конусов имеют один и тот же тип а0, т.е. являются плоскими
дисками. С помощью кусочно-постоянного управления и (t) можно
осуществить последовательное движение вдоль векторов fx и /2. Если, в част-
66

ности, задать управление и (г) на промежутке времени [0,4 >/t] в виде
[и1 (т)=1 (и1 (т)=0
L2(r) = 0, rG[0,v7], U2(r)=l, те[у/792у/7),
( ( (У)
{и1 М--ι i^w-o '
U2(t) = 0, г€[2 7г:3^], lV(r) = ~l, те[Зу/Г.4у/Г\,
то система под действием данного управления перейдет за время 4 \/Гиз
начальной точки ?' в точку q (t) :
i(O-i' + '[A,/al+0(*V'). (8)
где О (t '*) — бесконечно малая величина порядка Г'2 [90 а].
Рассмотрим теперь движение системы (6) из заданной точки q на
промежутке времени [0, t\ -И2 + 4\ftl\ под действием следующего
управления и (г) :
pW-i их(г) = о
{м2(г) = 0, r€[0,fil, (и2(т)=1, r€[flf *!+*,], (9)
и для г € [fi + f2, t\ +t2 +4 V?7] управление u(t) Задано согласно (7),
где принято t = Гз · В результате такого движения начальная точка ?'
перейдет в зависящую от значений fb t2, h точку q (tlf t2,h). Таким образом,
получаем отображение q(tlyt2tt3) некоторого множества значений
параметров t\, t2, h в пространство состояний УДС.
Обозначая соответственно φ (τ, qf) и ψ(τ, (7') решения уравнений
Я ~ Л (я)»? = Л (?) с начальной точкой ?', для отображения q (ti , f2»*з)
полутам
Q{tut2.tt) = h\ftJ2] + 0{t¥2) + t{t2^{tuq% (10)
Производные решений φ (τ, q* ) и ψ (г, <?') по начальным данным при t = 0
имеют вид
^(o.rt-y. -^(ο,Ο-*/. U-1.2.3.
так как φ (0, ?') = </', ψ(0, q') = </'. Поэтому для матрицы Якоби
отображения q (ίι, ij, ij ) в точке (fi, t2, t3) = 0 с учетом q (0) = q' имеем
|f =σ.(ί')./2(ί').[/ΐ./2](9'))
при θ = (ij, f2, f3 ) и θ = 0. В силу теоремы о непрерывной дифференцируе-
мости решений дифференциальных уравнений по начальным данным
якобиан отображения является непрерывной функцией точки θ = (Гь Г2, ί3).
Таким образом, если
l/ii^/aftf^I/iJaK^I^Q. (11)
^ 67

то отображение q (tx ,t2,h) имеет максимальный ранг в некоторой
окрестности точки θ = 0. Согласно теореме о неявной функции [30 а] получаем,
что существует область А, содержащая точку θ = 0, такая, что отображение
q (0 ) является диффеоморфизмом области D\ на некоторую открытую
область D2, содержащую точку q . Это позволяет сформулировать следующее
утверждение.
Если в точке q справедливо условие (11), то существует е > 0 такое,
что для любого δ < б существует h > 0, при котором любая точка q такая,
что I q — q'\ < δ, достижима из q за время
Т< 2Л (δ) + Ah (δ) = 6Л (δ), где ton h (δ) = 0.
δ -* о
Здесь h (δ) можно принять за максимум времени движения вдоль
траекторий полей /i (q) и f2 (q) между точками пересечения этих кривых с
границей | q — q'\ = δ области I q —q\ < δ, т.е. h (δ) — максимально
возможное время движения вдоль хотя бы одной из интегральных кривых поля
/i (q) mnf2 (q), за которое мы не можем выйти за границу области I q -q\ <
< δ. Условие lim h (δ) = 0 является следствием диффеоморфности ото-
δ - о
бражения q(h, t2, h). Таким образом, в рассматриваемом случае точка
q* не может быть вершиной жесткой траекторной воронки (ее не
существует), и в зависимости от выполнения условия (11) имеем либо область
локальной управляемости около точки q , либо через точку q' проходит
двумерное инвариантное многообразие. В случае инвариантного
многообразия возле точки будем иметь область нестесненных движений на этом
многообразии.
§ 22. ТРАЕКТОРНЫЕ ВОРОНКИ НА ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Пусть УДС
q=f{qtu\ u(=Ut qG{q}=R\ (1)
имеет m-мерное инвариантное гладкое многообразие М, описывающееся
уравнениями
F*(<7) = 0, *=1,2,...,и-/я. (2)
Это многообразие Μ естественным образом находится в {q} или, как
говорят, оно вложено в {q} . В каждой точке q€Л/имеется касательная
плоскость к ЛГ, которая, как уже отмечалось, называется касательным
пространством к Μ в точке q и обозначается TqM. Другими словами, можно
сказать, что Tq M есть ортогональное дополнение к линейному
пространству, натянутому на вектора dFk/bq, Лг = 1,2,..., л - т. Таким образом,
в силу инвариантности Μ по отношению к УДС (1) имеем
bFk .
-—(7 = 0, * = l,2,...,w-m, (3)
bq
для любых допустимых управлений uGC/и q€M*\leM самым, все
*) Если Μ имеет край, то предполагается, что дне принадлежит краю.
68

допустимые вектора q лежат в TqM, т.е. q являются касательными
векторами к Μ в точке q. Заметим, что касательные векторы к Μ в точке q можно
определить и непосредственно во "внутренних" терминах многообразиям,
не предполагая вложимости Μ в {q} .
Будем предполагать, что точка q' € Λί и ее окрестность в Μ не
принадлежат подмногообразию нестесненных траекторий на Λί (§ 21) и находятся
в относительной внутренности Μ. Тогда конус K(q') допустимых
направлений скоростей УДС (1), целиком лежащий в Тд>М> не будет совпадать
с Tq'M. Предположим, что в Μ нет других инвариантных многообразий
УДС меньшей размерности, чем т. В этих условиях траекторная воронка
V(q'), целиком лежащая на ΛΓ, будет /w-мерной. Траекторная воронка
V(q'y, по крайней мере в окрестности точки q\ будет представлять
собой коноид размерности /и, принадлежащий инвариантному
многообразию Λί. Боковая граница этого коноида bV(q'), если она существует, так же,
как и в случае § 14, описывается параметрическими уравнениями
Q=Q(.t,q',p'), q(Ofq',p') = q', (4)
где при фиксированном q' € Μ параметрами являются t > О и ρ'.
Функция д(tfq\p') получается как составляющая решения системы
уравнений Гамильтона
ЪН . ЪН
<7=— . Р = - —, (5)
ар oq
а параметр ρ' пробегает не весь конус K(q'), сопряженный к конусу K(q')
(как в § 14), а лишь его подмножество, определяемое условием
7кьТ
т. (6)
/ 3F*\T
Условие (6) можно интерпретировать и по-другому .параметр ρ должен
пробегать конус Кх (у'), который является проекцией конуса K(qf) на
пространство, сопряженное к Т^М. Это пространство называется ко·
касательным пространством к Μ в точке q'GM и обозначается
%-М.
Аналогично тому, когда УДС (1) вовсе не имело инвариантных
многообразий, теперь можно определить штриховку внешней стороны границы
траекторной воронки V(q') CM, а также особые подмногообразия S СМ
(и, следовательно, подмногообразия перемены штриховки) и, возможно,
новые инвариантные подмногообразия Μ ι С Μ.
В заключение этого параграфа обсудим подробнее, каким образом
гамильтонова система (5) допускает сужение на инвариантное
многообразие Λί. При этом для Vq €ΛΓобластью допустимых значений ковектора ρ
является кокасательное пространство ТяМк многообразию Μ в точке q.
Суженный гамильтониан имеет вид:
H{(pt q) = sup(max) pf(qf м), qGM, pG TqM. (7)
нес/
Это следует из соотношений (3). Действительно, подставляя в (3) значение
*) Траекторная воронка предполагается жесткой (§ 14).
69

q = дН/bp, получаем
bFk ЪН
—- .-— = 0, *«1,...,я-т; Vp; VqGM. (8)
dg dp
Это означает, что гамильтониан Н(р, q) для q GM не зависит от
составляющей ковектора р, принадлежащей линейному подпространству, натянутому
на ковектора bFklbq, к = 1,..., и - т, т.е.
#(р + Рь<7)=#(р,<7) VqeM;VPt VPlGTqM. (9)
Поэтому для построения траекторной воронки К(?'), <7' Ξ Λί, существенна
лишь проекция имульсар(г) в точке ^(О^Д*в кокасательное пространство
Tq(t)M. Это обосновывает переход к гамильтоновой системе на Μ с
гамильтонианом, определенным согласно (7).
Проведем построение суженной на Μ гамильтоновой системы в
локальных координатах на М. Пусть в окрестности произвольной заданной точки
q Ε Μ определены координаты jc7, / = 1,..., m, на ΛΓ. Пусть, кроме того,
bFklbq Φ 0, fc = 1,..., η - m, и вектора bFklbq линейно независимы. Тогда
существует невырожденная в окрестности точки q замена координат:
{х* =x*(q)9 /= 1,2,... ,m,
yHh (10)
Fk=Fk(q)t * = 1,2,...,и-/я.
При такой замене векторы касательного к Rn пространства преобразуются
по закону
ч Ъх' . .к bFk
х> = — 1 Fk = —-<?, (11)
oq oq
а ковекторы — по закону
Ъх' bFk
Pt = "f-r- +вк -г—, (12)
bqt dqt
где η,·, вк — ковекторы из подпространств, сопряженных к
подпространствам, содержащим xf,Fk. В новых координатах уравнения исходной УДС
(1) принимают вид
* = f(*,F,u), F = v(x,F,u), (13)
где согласно (11)
Ъх
i(x,F,u) = —-f{q,u), (14)
bq
dF
n{x,F,u)=— f{q,u). (15)
oq
Условие инвариантности многообразия М означает, что
η(χ,0,») = 0. (16)
70

В координатах χ, F гамильтониан Н{ ρ, q) принимает согласно (11), (12) вид
H(pf q) = sup (max)p/fa, и) =
«el/
Г/ Ъх> bFk\ l
= sup {mx)[*itl{x9F9u) + 9kn\x9Ftu)] = #2(тг,0, *,F), (17)
uGi/
где происходит суммирование по парным индексам. Гамильтоновы
уравнения имеют вид
. ЪН2 . ЪН2 .
*'=--—, «Г/ = --гт» 7=1,...,/я,
7 (18)
Fk= , ЙА= г, * = 1 п-т.
Ъвк dFk
Решение этой системы, лежащее в координатном пространстве на
многообразии М, удовлетворяет условию F(t) = 0. Действительно, рассмотрим
решение с произвольной заданной начальной точкой на М: (р°, q0) =
=(тг°, в0,дс0,0),т.е./?о^Л/(р0е7'(гоЛ".ГамильтонианЯ2(я, Θ, х, F) при
F = 0 имеет согласно (16), (17) вид:
Нг (я, θ, χ, 0) = sup (max) [тг., ξ1 (χ, 0, и)] = Нъ (π, χ ). (19)
Поэтому
эя2
Ьвк
Ъ
=— {sup (тах)[я/|'(х.0,м)])=0,
F = 0 dS* " е ϋ
откуда согласно (18) имеем F(r) = 0. Таким образом, решение гамильтоно-
вой системы (18) с начальной точкой (p°,q0), т.е. q0 € Λ/, ρ° е Tq<)R"),
удовлетворяет следующей системе:
дН2
θ = -
bF
(20)
IF = 0
F=0, (21)
ЭЯ3
* = -—-, (22)
Ъх
ънг
*-~- · (23)
σπ
Уравнения (22) - (23) являются га мил ьто новыми уравнениями с
гамильтонианом, определенным в (19) для УДС
х = £(х,0,м), w€£/, x€/*w. (24)
Иными словами, уравнения (22), (23) являются суженной на многообразие
71

Μ гамильтоновой системой, а гамильтониан Η3(π, х) является сужением
на Μ гамильтониана Н(р, q)t записанным в локальных координатах на М.
Обозначим проекцию Rn на Μ как μ: Rn -*ΛΓ. В координатах (χ, F) эта
проекция имеет вид μ(χ, F) = x. Соотвественно μ^: TqRn -> ТЦ(Я) Μ.
Согласно уравнениям (20), (21), (22), (23) доказана следующая
теорема.
Теорема. Для любой заданной точки q0 ЕМ, р° ETQoRn и
соответствующей точки q0 = q0EM, p° = Ц*ЯоР°> решениеq(t),p(t) суженной на Μ
гамильтоновой системы является проекцией решения исходной
гамильтоновой системы локально на М, т.е.
Зе(<7о)>0: V?: \q - q0 |< e(q0), q(t) = q(t), p(t)= ц*я{0р(г).
Заметим, что согласно уравнению (20), вообще говоря, B{t) Ф0. Это
означает, что если в начальный момент времени ковектор импульса
р° Ε TQoRn, то в последующие^моменты времени ковекторp(t), вообще
говоря, не будет принадлежать Tq^M.
§ 23. ОТДЕЛЯЮЩИЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Пусть (см. § 6) УДС, описываемая включением
iefto.u), О)
однозначно характеризуется непрерывным полем конусов K(q). В
некоторой области GC{q) могут существовать двусторонние гиперповерхности
R, которые мы назовем отделяющими, обладающие тем свойством, что
если q ERt то конус K(q) целиком лежит по одну сторону от этой
поверхности R. Эту сторону назовем внутренней стороной R. Заштрихуем
внешнюю сторону R. Такие штрихованные отделяющие поверхности, если они
существуют, несут определенную информцию о допустимых траекториях
УДС в области GC {q} , что может оказаться весьма полезным при
исследовании данной УДС.
Из определения поверхности R следует, что если допустимая траектория
проходит сквозь R трансверсально, то она это может делать только со
стороны штриховки, но не наоборот. Такая штрихованная поверхность
аналогична штрихованной поверхности жесткой траекторной воронки,
которая сама является предельным случаем поверхности R.
Нетрудно найти условие, которому с необходимостью удовлетворяет
поверхность R. Пусть z(q) = 0 — уравнение гладкой отделяющей
поверхности R в области (7,и пусть bz/bq — внешняя нормаль к R. Тогда
очевидно, что должно выполняться неравенство
H{^t'q)<0 YqeRi (2)
где H(p,q) - гамильтониан УДС (1). Условие (2) можно преобразовать
в равенство. Действительно, из (2) видно, что если такая поверхность R
существует, то существует и некоторая положительная функция φ (q)
72

ι акая, что выполняется равенство
·£■')
+ Ш~0-
О)
Это и есть уравнение для функции z(q), определяющей уравнение искомой
поверхности /^.Заметим, что неравенство (2) эквивалентно включению
bz/dqeuKiq), (4)
|де K(q) - конус, сопряженный к K(q) (§4).
Уравнение (3) есть обычное, вообще говоря, нелинейное уравнение с
частными производными первого порядка относительно неизвестной
функции z(q)t и его решение можно искать известными методами, в частности
методом характеристик,, уравнения которых задаются каноническими
уравнениями с функцией Гамильтона
H'(p,q) = H(p,q) + t(q). (5)
Эти уравнения в данном случае имеют вид
. э#' ън
<7 =
р = -
з Эр
ЪН' ЪН
bq bq
Ъф
"~bq
(6)
Уравнения (6) отличаются от характеристических уравнений,
описывающих поверхность интегральной воронки, только вторым уравнением (для
импульсов),в которое входит новый член b^lbq =grad \p(q). Наличие в
(5) такого дополнительного члена, который, по существу, находится
в нашем распоряжении (ψ(<?) ~ некоторая положительная функция),
может существенно упростить поиск решений уравнений (3) или (6).
Решение уравнения (3) зависит от некоторой положительной
функции \l/(q), и из множества этих решений можно выделить семейство
штрихованных поверхностей R> которое будет нести информацию о допустимых
траекториях во всем пространстве
{q) или в какой-то его области G
(рис. 23.1). Так, например, если нам
удалось найти хотя бы одну
поверхность R такую, которая, во-первых,
вся заштрихована с одной только
стороны, а во-вторых, делит
пространство {q} на две
непересекающиеся части, то мы делаем вывод о
неуправляемости данной УДС ·
Пусть, например, УДС имеет вид
i=*fe) + ft(<Mi), ueU(q), (7)
причем
\a(q)\>max\b(q,u)\ + e,
(8)
Vq£{q) , e>0.
Рис. 23.1
73

Условие (8) означает, что конус K(q) при Yq€{q} не совпадает с {q} .
Кроме того, положим, что a (q) — потенциальный вектор, т.е. существует
скалярная функция w(q) такая, что
a(q) = —- (?) - grad w(q). (9)
bq
Из условия (8) вытекает, что K(q) при q, принадлежащем поверхности
W(Q) = c> лежит по одну сторону от этой поверхности. Если теперь
предположить, что поверхность w(q) = с делит пространство на две
непересекающиеся части (это совсем не редко имеет место на практике), то УДС (7)
является неуправляемой системой. Таким образом, условия (8) и (9)
являются достаточными условиями неуправляемости произвольной УДС.
Кроме отделяющих поверхностей R> рассмотренных выше в этом
параграфе, полезно рассмотреть поверхность, которую можно назвать
траекторным оврагом (или траекторным клином) дифференциального включения
(1) и соответствующей УДС. Поясним это понятие для случая η = 3.
Обобщение на случай η > 3 очевидно.
Траекторный овраг УДС (1) для случая η = 3 вводится следующим
образом. Возьмем в {q} произвольную несамопересекающуюся кривую /,
обладающую тем свойством, что если ?€/, то кривая / в окрестности
точки q не входит внутрь и не касается конуса K(q). Построим в
каждой точке q Ε / как в вершине характеристический коноид
(поверхность жесткой траекторной воронки V(q) с вершиной в q). В результате
получим семейство коноидов V(q), где параметр q G /. Проведем
огибающие поверхности этого семейства. Полученную таким образом поверхность
назовем траекторным оврагом (клином) данной УДС. Линия заострения /
при этом служит дном оврага или острием (кромкой) клина.
Ясно, что траекторный овраг является предельным случаем отделяющей
поверхности Я. Уравнение траекторного оврага z(q) = О (z(l) = 0) таково,
что z(q) удовлетворяет уравнению (3) при ψ(^) = 0, т.е. z(q) является
решением того же уравнения, которому удовлетворяет граница
траекторной воронки.
§ 24. ДОПУСТИМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ УДС
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Имеет смысл рассмотреть еще один вид многообразий в пространстве
состояний, которые могут также оказаться весьма полезными при изучении
данной УДС.
Многообразие Мт размерности т назовем допустимым многообразием,
если существует такое допустимое управление и(0, Ό < t < t + б, 6 > 0,
что изображают^ точка q(t), q(t0)€Mm, будет принадлежать Afm,r.e.
q(t)GMm при t0<t<t + е, €>0. Если такое допустимое многообразие
Мт существует, то можно рассматривать движение данной УДС только
на Мт и в этом смысле говорить о сужении или ограничении данной УДС
на многообразие Мт.
УДС, суженную на многообразие Мт9 можно рассматривать как новую
УДС со своим гамильтонианом H\pt q) = sup(max) pq9 где при каждом
74

r/ G Μт верхняя грань (максимум) берется по всем q, принадлежащим
пересечению Tq(M) и Ф(#) исходной УДС, описываемой включением
</ΞΦ(<7).
Другими словами, допустимое многообразие это такое многообразие, по
которому можно двигаться с помощью допустимых управлений. Понятие
допустимого многообразия является своего рода дополнительным
понятием к понятию отделяющих многообразий.
Очевидно, что инвариантное многообразие данной УДС будет в то же
время и допустимым многообразием. Однако обратное, разумеется, верно
далеко не всегда. Очевидно также, что допустимая траектория есть
допустимое многообразие размерности т = 1.
Для того, чтобы некоторое многообразие Мт было допустимым
многообразием, необходимо и достаточно, чтобы касательная гиперплоскость
TqMm имела непустое (отличное от точки 0{q)) пересечение с конусом
К(q) допустимых скоростей УДС для всех q GMm. Это условие есть
обобщение принципа включения в пространстве состояний (§ 13).
Пусть Мт описывается уравнениями:
F*(<7) = 0, *=1,...,и-т. (1)
Тогда для всех q €Мт существует и € U такое, что выполняются условия
dFK
— (q)f(q,") = 0, *=1,...,л-/я. (2)
dq
Условие (2) является также достаточным условием того, чтобы
многообразие, описываемое уравнениями (1), было допустимым многообразием.
Из (2) следует, что
dFk /dFk \
sup (max) — f(q, и) = #( —,q)> 0, (3)
и е и dq \ dq /
а также
7\Fk I /)F^ \
inf (min)— /(?, М) = #(--—,q)>0. (4)
и е и dq \ dq /
Из условий (З), (4), в свою очередь, вытекает, что для существования
допустимого многообразия необходимо, чтобы существовали такие
неотрицательные функции Ψι(?) и ф2(я)> которые обеспечивают существование
нетривиального (ненулевого) решения системы двух уравнений (вообще
говоря, уже неоднородных) с частными производными относительно
неизвестной функции F(q) :
§ 25. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ УДС
В настоящее время для УДС, рассматриваемых в этой книге,
по-видимому, трудно дать общее и исчерпывающее определение фазового портрета.
Достаточно полно на данном этапе развития теории это можно сделать
для УДС 2-го порядка, определенных на плоскости или двумерном много-
75

образии (§ 34). В общем случае под фазовым портретом УДС следует
понимать совокупность геометрических и аналитических средств
представления УДС, дающих по возможности наиболее полную, ясную и наглядную
картину описания допустимых траекторий, областей достижимости и
управляемости, а также других характерных особенностей данной УДС.
Средства и понятия геометрического характера мы будем называть
элементами фазового портрета УДС. В число этих средств, по-видимому,
целесообразно включить ряд понятий, предложенных в этой книге: гамильтониан
и лагранжиан УДС, типы конусов УДС, траекторные и интегральные
воронки и их штрихованные поверхности, отделяющие поверхности, допустимые
поверхности, особые поверхности перемены штриховок, инвариантные
поверхности и другое. Перечисленные понятия являются примерами
элементов фазового портрета УДС.
В зависимости от задачи, поставленной для данной УДС, конечно может
оказаться, что не все элементы фазового портрета необходимо
использовать; здесь возможна избыточность информации.
Один из путей построения фазового портрета УДС состоит в том, что
пространство состояний УДС разбивается на непересекающиеся множества
постоянного типа. Каждое такое множество характеризуется
фиксированным типом af конуса K{q). Аналитически или геометрически
выясняется форма и границы этих множеств. Множество постоянного типа ат
целесообразно разбить на подмножества в зависимости от характера
интегрируемости пфаффовых дифференциальных форм, определяемых
уравнениями (8.8), (8.9). Здесь бывает полезно перейти к двойственному
описанию в терминах уравнений с частными производными. Таким путем
выясняется наличие, скажем, инвариантных многообразий, коноидальных
поверхностей жестких траекторий воронок и т.д. Ясно, что в общем слу-
т
чае, даже при постоянном типе аг , задача выяснения характера
допустимых траекторий, областей достижимости и т.д. может оказаться весьма
нетривиальной. Правда, с другой стороны, например, для областей, в
которых тип конуса есть д£, т.е. для областей свободных (нестесненных)
траекторий (§ 9), задача выяснения характера допустимых траекторий очень
проста.
Изучение характера допустимых траекторий и движений УДС на множест-
т
вах постоянного типа af и их подмножествах можно назвать локальным
изучением УДС. Такое изучение соответствует "дифференцированию"
фазового пространства УДС на подмножества с довольно "однородной"
структурой.
После локального изучения характера фазового пространства УДС
естественно возникает задача глобального изучения, т.е. своего рода
"интегрирования" отдельных элементов фазового портрета в цельную
картину. Эту картину можно представить в виде графа. Здесь возникает
задача о выяснении существования и описания допустимых траекторий,
соединяющих точки, принадлежащие соседним множествам постоянного
типа и их подмножествам.
Возможные переходы изображающей точки по допустимым траекториям
между различными множествами и подмножествами можно представить
в виде графа, вершины которого изображают множества и подмножества
76

точек пространства состояний, а ребра изображают возможные переходы.
Граф подобного вида дает возможность представить свойства
управляемости и достижимости УДС во всем ее пространстве состояний, т.е.
представить фазовый портрет УДС в целом (в большом).
Предложенный здесь путь построения фазового портрета УДС наиболее
полно реализуется для двумерных УДС с пространством состояний в виде
двумерной плоскости или двумерного многообразия (§ § 34-40).
§ 26. ПЕРЕНОСНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ УДС
УДС характеризуется выпуклым множеством f(q, U) в пространстве
скоростей {q} . Выберем в относительной внутренности ri f(q, U)
множества f(qt U) какую-нибудь точку 0*{q). Тогда, очевидно, множество
f(q, U) можно представить как сумму (рис. 26.1)
f{q.U) = a{q) + b(qtU\ (1)
где a(q) — вектор, не зависящий от и € U, и b(q, U) - выпуклое
множество, содержащее начало координат 0{q) пространства {q}.
Множество b(q, U) получается как множество векторов b(q, и) = f(q, и) —a(q)>
когда и пробегает все множество U. Вектор a (q) назовем вектором
скорости переносного (неуправляемого) движения. Множество b (q, U)
назовем множеством допустимых скоростей относительного движения.
Термин "относительное" здесь условен, так как b(q, U) зависит от точки
q "абсолютного" пространства { q }.
Такое представление произвольного заданного множества f(q> U) может
оказаться весьма полезным при решении конкретных задач [117, 118].
В оптической аналогии УДС (§ 30) такое представление можно
интерпретировать как движущиеся со скоростью a(q) источники, которые,
в свою очередь, в относительном движении дают излучение во все стороны.
Пусть, например, b(q, U) представляет собой w-мерную сферу радиуса
c(q) > 0 с центром в точке 0(q). Если с интерпретировать как
максимальную возможную скорость распространения возмущения в данной среде
(скорость света или звука), то при \a{q)\ < c(q) мы имеем досветовое
(дозвуковое) движение источника и волновые фронты будут иметь вид
вложенных сфер (рис. 26.1, j); при \a(q)\ > c(q) имеем сверхсветовое
(сверхзвуковое) движение источника и огибающая волновых фронтов
Рис. 26.1
77

будет коноидом (поверхностью траекторной воронки) (рис. 26.1, б).
Изображенный на рис. 26.1, б характеристический коноид есть не что иное,
как световой коноид (в частности, световой конус) в теории
относительности, рассматриваемый в пространстве событий {q, t} [17, 115].
Наконец при \a(q)\ = c(q) будем иметь граничный случай (рис. 26.1, в).
В данном примере область нестесненных траекторий соответствующей
УДС определяется условием \a{q)\ < c(q), а точки границы этой области
удовлетворяют уравнению \a(q)\ =c(q).
Интересно рассмотреть нередко встречающийся частный случай такого
разделения движений, когда b(q, и) или соответственно b(qt U) не
зависят от #, т.е. допустимая скорость управляемого движения не зависит
от положения движущегося источника в пространстве {q). В этом
случае УДС имеет вид
q=a(q)+u, (2)
где и Ε Uи U - некоторое выпуклое множество, содержащее 0(q) Ε { q)
и не зависящее от q. Для УДС (2) соответствующий конус К (q)
допустимых направлений не меняет своей формы, а лишь меняет свое положение
в зависимости от q. В этом случае функция Н(р, q) имеет вид
Н(р, q) = max (sup)[pa(q) + ри] = pa(q) + h(p), (3)
где h (ρ) - не зависящая от q опорная функция множества U.
Канонические (характеристические) уравнения принимают вид:
, ЪН ЪИ
Я = — = a{q) + — (ρ).
Ър Ър
(4)
ЪН Ъа
oq oq
Уравнения (4) специфичны тем, что правая часть первого уравнения есть
сумма двух функций, каждая из которых зависит или только от q, или
только от р, а второе уравнение - линейно по р.
§ 27. УДС С ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ИНДИКАТРИСОЙ
Рассмотрим УДС
яеПя.и), (О
где выпуклое множество допустимых скоростей f(qt U) размерности
η в пространстве {q} = Rn является эллипсоидальным выпуклым
множеством. Другими словами, индикаторное множество УДС (1) описывается
неравенством
— qTAq+(a, <7) + α<0, (2)
2
где А - заданная положительно определенная симметричная матрица
размерности η Хп, вообще говоря, зависящая от q\ а и а - заданные вектор
78

и число соответственно, также, возможно, зависящие от q. Нетрудно
определить опорную функцию или гамильтониан, соотвествующий (2):
Я(р,(7) = (2^Л-1рт),/2+рЬ, (3)
где
b = -A'\a\ 0 = — arA~la* -a. (4)
Отсюда в силу формулы (9.2) можно определить область нестесненных
(свободных) движений, которая определяется неравенством
φ(η)= min H(p,q) = min [(ΙβρΑ'1 ρτ)* + pb] >0. (5)
\ρ\= 1 \ρ\ = Ι
С другой стороны, непосредственно из (2) видно, что эта область
определяется условием
а = ot(q) > 0. (6)
УДС с областью допустимых скоростей вида (2) интересны и сами по
себе, а также с той точки зрения, что произвольное выпуклое
ограниченное множество может быть с определенной степенью точности
аппроксимировано множеством вида (2). При этом, что интересно, размерность
аппроксимируемого множества может быть меньше п. Например, если
некоторое множество УДС размерности 2 представляет собой отрезок
(т.е. скалярное управление и1 ограничено по модулю: | w11 <2/), то оно
может быть аппроксиммировано эллипсом на плоскости (и1 ,и2):
При Ъ ->0 эллипс (7) будет "стремиться" к отрезку | и1 | <2/.
Такая аппроксимация может быть весьма полезна [117, 118]. Так,
например, если установлена управляемость УДС с ограничением (7) и
показано, что при Ъ -> 0 существуют допустимые управления, реализующие
зту управляемость с равномерно ограниченным сверху временем
переходного процесса, то и "предельная" УДС, которая совпадает с исходной УДС,
гакже будет, вообще говоря, управляемой.
§ 28. УДС И СПЛОШНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СРЕДЫ.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОТОКА СУБСТАНЦИИ.
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА УДС
В этом параграфе мы покажем, что каждой УДС, описываемой
включением q € f(g, U), q € {q}, можно поставить в соответствие
определенную сплошную среду, в которой происходит процесс распространения
некоторой субстанции, например тепла, массы, заряда и т.д. Для
определенности мы будем рассматривать теплопроводящую стационарную
среду, занимающую «-мерное пространство {q} = Rn. Состояние этой
среды будем задавать функцией распределения температуры ζ = z(q, r),
q G { q}, t - время. В дальнейшем для краткости будем опускать агру-
мент t в записи функций.
79

Как известно [52], свойства такой среды задаются некоторым
оператором A (gradz (q),q), который величине градиента температуры bzjbq =
= grad ζ (q) ставит в соответствие векторную величину потока, который
мы обозначим к (q):
K(q)=A(graaz(q), q\ q^{q). (la)
Соотношения типа (la) называются в теории поля материальными
соотношениями. В классической теории [52] оператор А обычно является
линейным алгебраическим оператором, связывающим к (q) и grad z (q).
Однако существуют сплошные среды, для которых материальные
соотношения не являются линейными. Такие сплошные среды называются
нелинейными. Нелинейные среды встречаются во многих природных и
и технических объектах. Примером могут служить слоистые среды,
активные среды с отрицательными проводимостями и запасенной энергией и
многие другие виды сплошных сред [30, 64, 72, 99].
Целью этого параграфа, в частности, является конкретизация
соотношения (1а), состоящая в том, что связь между величинами к и grad z
задается посредством "принципа максимума потока". Перед тем, как
сформулировать этот принцип окончательно, необходимо ввести некоторые
понятия.
Прежде всего введем в рассмотрение множество Ф(#) точек
касательного пространства Tq{q}. Множество <&(q) задается при каждом
фиксированном q е { q}. Для простоты будем предполагать, что Φ(q) -
непустое, ограниченное, замкнутое и строго выпуклое множество. Назовем
его множеством допустимых направлений потока.
Требование строгой выпуклости Ф(<7) накладывается здесь для того,
чтобы избежать возможной неоднозначности определения потока к (д)
из условия принципа максимума потока, формулируемого ниже. Можно
показать, что для наших целей зто требование не слишком принципиально
и его можно заменить требованием просто выпуклости Ф(<7). Однако
здесь мы этим заниматься не будем. Вектор потока к (q) будем считать
расположенным в пространстве Tq{q) и отложенным от точки 0(q).
Если конец ветора к (q) принадлежит Ф(<7), то будем писать к(д) £ф (q)
или к6Ф((/).
Принцип максимума потока. Пусть вектор кП1 (q) удовлетворяет'
следующему условию максимума:
max [gradzfa)·*] = grad ζ (?)· *,„(?) a\qe{q), (1)
к е Φ(ί/)
или, что тоже самое,
K,„(<7) = arg max [grad z (q) · κ] aVqE{q}. (2)
χ G Φ(ί/)
Тогда поток к(q) в точке qE. {q}, вызванный grad z (q), равен
*(?) =<*( I grad z(q) \ , q) Km(q), (3)
где a(x, q) — скалярная функция от скалярного неотрицательного
аргумента χ > 0 при каждой фиксированном q £ {q}, характеризующая
(наряду с множествами Ф(<?)) теплопроводящие свойства данной нелиней-
80

ной сплошной среды. Функцию а назовем модульной функцией данной
сплошной среды. Такова формулировка принципа.
Предложенный здесь способ описания материального соотношения
в нелинейных сплошных средах оправдан тем, что из него, в частности,
вытекают, как легко проверить, обычные материальные соотношения,
характерные для линейных сплошных сред. Например, положим, что Ф(<7)
есть множество, ограниченное гиперповерхностью (индикатрисой) в виде
эллипсоида
-у- +...+ -J— =1, (4)
αι ап
где длины полуосей а(, i = 1,..., η, возможно, зависят от q. Далее,
положим а(х, q) = | χ |. Тогда, как легко проверить прямыми вычислениями
на основе формул (1), (2), (3), мы придем к соотношению
K(Q)=[g™dz(q).B(q)]\ (5)
где B(q) - диагональная матрица размера η Χ η, на диагонали которой
стоят, вообще говоря, различные числа, зависящие от α ι,..., ап.
Соотношение (5) при неодинаковых хотя бы двух числах из л1э... ,д„,
как известно [52], описывает линейную неизотропную по
теплопроводности сплошную среду. Если вдобавок хотя бы одно из чисел αΪ9..., ап
зависит от q E {q} , то среда будет и неоднородной. Если же все числа
(или функции от q) ах,..., ап равны между собой, то среда будет
изотропной.
Обсудим подробнее общее соотношение (3). Из (3) видно, что поток
к(q) нелинейно зависит от grad ζ (q). Он состоит из двух сомножителей:
векторного кт (q) и скалярного а(| grad ζ (q)\ t q). Векторный
сомножитель к т (q) обусловливает, если так можно сказать, нелинейную
зависимость к (q) от grad z (q) по направлению.
Заметим еще, что из (2) с очевидностью следует положительная
однородность нулевой степени множителя кт (q) по переменной grad z (q).
Это означает, что умножение величины grad z (q) на число λ > 0 в
соотношении (2) не меняет значения к т (q). Поэтому, в частности, соотношение
(1) и соответственно (2) можно записать в виде (при (а =£()))
max
кеФ(<7)
к = ^(d (6)
La(|gradzfo),<7l) J а(| grad ζ {q\q | ) wW"
Km{q) = argmax | —t % r ^ ч к . (7)
grad ζ (q)
'ф(и) ί λ( I grad ζ((?)!, (7)
Формулы (6) и (7) позволяют интерпретировать вектор к т (q) как по-
гок, вызванный единичным (нормированным) градиентом температуры.
Скалярный множитель a(|grad z (q)\ , q) обусловливает нелинейную
зависимость к (q) от grad z (q) по модулям этих векторов. Это
выражается в том, что увеличение | grad z (q)\ в λ раз (λ > 0),вообще говоря,
не влечет за собой увеличения | к (q) \ в такое же число раз. Исключение
6. А.Г. Бутковский
81

составляет случай, когда <*(*, q) при χ > 0 изображает
пропорциональную зависимость.
Таким образом, можно сказать, что соотношение (3) представляет
собой "разделенную" нелинейную зависимость с двумя множителями,
один из которых ответственен за нелинейность по направлению, а
другой - за нелинейность по модулю.
Может показаться надуманным введение в соотношение (3) модульной
функции а. Однако это не так. Как показывает опыт и теория [30, 64,
99], существуют среды как естественные, так и искусственные, в
которых при неизменности направления grad ζ (q) увеличение его модуля в
λ раз (λ>0) не влечет за собой увеличение \ic(q)\ в такое же число раз.
Например, существуют среды, в которых электрический ток не
пропорционален напряженности электического поля, т.е. нарушается закон Ома -
линейное материальное соотношение. Наличие такого рода нелинейных
эффектов оправдывает введение в соотношение (3) модульной функции а.
Введем функцию Н(р, q) как опорную функцию множества Ф(?) (§ 8):
H{p,q)= max рк. (8)
к еф(<7)
Тогда формулы (1), (2), (3) соответственно перепишутся в виде
H(p,q) = PKm(q), (9)
ЪН
Km(q)= argmaxf/(p,(7)=7—(ρ, q), (10)
к е Ф(д) dp
ЪН
K(q) = tx(\plq)—-(p,q\ (И)
Эр
где ρ = bz{q)jbq = grad z(q). Формула· (11) описывает нелинейное
материальное соотношение в терминах функции H(pt q).
Легко понять физический смысл функции H(ptq). Действительно, в
силу положительной однородности первой степени функции //(/?, q) ( § 8)
имеем из (10)
ЪН
^(?) = P~(P^) = %?). (12)
Ър
Но pKm(q) показывает количество тепла, которое протекает в единицу
времени через площадку единичной площади, проходящей через точку q,
в направлении ρ = grad z(q) под действием единичного (нормированного)
градиента
_Р_ _ grad z ((у)
\р\ Igradzfa)!
Как показьюает формула (12), эта величина в точности равна Н(р, q) при·
ρ = gradz(<7). В этом и состоит смысл функции Н(р, q) (рис. 28.1).
Аналогично из формулы (11) имеем
ЪН
pK(q) = a(\plq)p— (p,q) = ct(\p I, q)H(p, q). (13)
Ър
82

Касательная K^p^^q^az-Нормаль к
к индикатрисеЛ
рфжтах
Линия тона
Vlq)
изотерме
(градиент)
б точке а
Касательная к изотерме
б точке q
'Индикатриса
* Нелинейная среда
Рис. 28.1
Изотерма z((j)=0
Формула (13) показьюает величину потока через площадку единичной
площади, проходящей через qt в направлении ρ = grad z(q) под действием
градиента grad ζ (q).
Теперь не составляет труда записать выражение для оператора Лапласа
Δζ(<7) в данной нелинейной сплошной среде, описываемой в терминах
функции Н(р, q) и модульной функции а(\р\9 q). Действительно, по
определению имеем:
Az(<7) = div*(<7). . (14)
Подставляя в (14) выражение для потока K(q) по формуле (11),получим
искомое соотношение для оператора Лапласа в данной нелинейной
сплошной среде:
ЪН bz(q)
Az(q) = div[a(\p \,q) — (p,q)] , p =
dp
bq
В координатной форме формула (15) имеет вид
Э Г ЪН
—Η <*(\Р\,Я) — (Ρ·?)|
= grad z (q).
Δζ(<7) =
η
Σ
k = 1
dq'l dp
а в символической операторной форме
Э
8?
р = dz/bq
]·
(15)
(16)
η
Δ= Σ
k = 1
ЪН
<*(\p\,q) —(p.q)\
Ър I
bq L
Р = Э(-)/Э</
]-
ЪН
. , <*(\p\,q) τ— (p>q)
Ъq L Ър
ρ = э( · )/э<7
(17)
В терминах оператора Лапласа записываются уравнения
теплопроводности относительно неизвестного распределения температуры ζ. Так,
уравнение установившегося (статического) распределения температуры
имеет вид
Δζ(<7) = -δ(<7-<7ο),
(18)
где дельта-функция b(q — q0) описывает точечный тепловой источник
единичной мощности, помещенный в точку q0 е {q}. Уравнение (18) можно
рассматривать как предельный случай при г -><*> уравнения нестационарной
6*
63

теплопроводности
γ-^-=Δζ+*(<7), (19)
ot
где γ - некоторый коэффициент, а функция g(q) описывает распределение
внешних стационарных (не зависящих от времени т) тепловых источников
в {q}. В частности, в случае точечного источникаg(q) =b(q - q0). Здесь
уже распределение температуры ζ = z(q, t) явно зависит от г, и лишь в
пределе при t -*°° распределение ζ = z(q), вообще говоря, делается
стационарным, не зависящим от времени.
Теперь также не составляет труда установить соответствие между УДС и
нелинейной сплошной средой описанного типа. Действительно, пусть дана
УДС, описываемая уравнением
<7 =/(<?, w), uGU(q\ qG{q), (20)
или включением
яе*(я)=Пя.и{я))9 (21)
и гамильтониан УДС имеет вид
H(pfq)= max pf(q,u). (22)
Отождествим множество Q>(q) данной УДС с множеством допустимых
направлений потока сплошной среды. Таким образом, скорость УДС (21)
q отождествляется с вектором кт (2). Соответственно гамильтониан УДС
Н(р, q) отождествляется с опорной функцией множества допустимых
направлений потока. Однако при этом у нас остается свобода выбора для
данной УДС (20), (21) модульной функции а. Выбрав для данной УДС
какую-нибудь модульную функцию а, мы тем самым данной УДС (20),
(21) поставим в соответствие оператор Лапласа сплошной среды,
определяемый формулами (16), (17). В этом и состоит соответствие, по
которому данной УДС сопоставляется сплошная среда и ее оператор Лапласа.
Отметим, что свобода выбора модульной функции α при установлении
такого соответствия может оказаться весьма полезной при решении
обратной задачи: данной сплошной среде, заданной некоторым
дифференциальным оператором с частными производными, требуется поставить в
соответствие УДС, описываемую соотношениями (20), (21). Рассмотрим
обратную задачу подробнее. Пусть задано дифференциальное выражение
(оператор) ψ(32ζ/3<72, dz/dq, q)t где φ - заданная функция от
переменных d2z/dq2t dz/dq, q. Такой оператор может входить в описание
процессов в некоторой сплошной среде. Требуется найти УДС, описываемую
соотношениями (20), (21), (22) (например, найти функцию Н(р, q)), которой
соответствует сплошная среда с оператором Лапласа в виде оператора ψ.
Очевидно, что решение обратной задачи сводится к решению
функционального уравнения
d2z dz
3<τ bq
84

где Az(q) определяется формулой (16) (или (17)). В уравнении (22)
неизвестными являются две функции: Н(р, q) и а(|р|,<7). При этом
Н(Р> Q) должна быть положительно однородной функцией первой степени
по р, а функция α - положительной. Если такие решения уравнения (22)
существуют и могут быть определены, то сплошной среде, описываемой
оператором ψ, соответствует УДС вида
q=^-(p,Q), (23)
Эр
где вектор ρ играет роль управления. Ясно, что большая свобода в выборе
модульной функции α при решении функционального уравнения (22)
помогает находить функцию Н(р, q\ удовлетворяющую наложенным на нее
требованиям однородности.
Рассмотрим простой пример решения обратной задачи. Пусть
*2~ *~ ν d2z
δ?? · <24)
В данном случае легко видеть, что φ тождественно представляется в виде
dz
Э / dz \ bz Г | dz I bq Л
ψ = Αζ =— ) =div— ^div — -—Ы
bz \bq I bq L \ bq I I 3z I J
/_ dz \ "
\bq2 ' dq ' / k = \
= div
IpI
\P\
bz
э7
bq
(25)
Из (25) легко производим отождествление искомых функций а(|р |, q),
Η (ρ, q), обладающих требуемыми свойствами. В результате получаем
решение:
ЪН ρ
<*(IPU)=IPI, — Ξ —. H(p,q)=\p\. (26)
Эр |р|
Таким образом, искомое уравнение УДС, которой соответствует сплошная
среда с оператором (24), имеет вид
. Э# ρ
q= Τ = Г7 ' (27)
Эр |р I
|де ρ играет роль управления.
Поскольку Η (pt q) — опорная функция выпуклого множества
f (q, U(q)) = Ф(<7), то легко восстановить и само множество: оно имеет
вид круга радиуса 1 с центром в точке 0(q). Поэтому уравнение УДС в
терминах управления и имеет вид
<7 = м, uGU = {u: |и|<1). (28)
УДС (28) - очень простая: для нее все пространство ее состояний {q} =R"
является областью нестесненных движений, так как в силу (9.2) имеем
min H(p,q)= min |p| = l>0 VqG{q). (29)
\р 1=1 \р I=1
85

В заключение данного параграфа обсудим значение полученных здесь
результатов. Надо отметить, что установление однозначного (взаимно
однозначного) соответствия между УДС и процессами в сплошных средах
может оказаться полезным при изучении одного объекта с помощью
другого. Скажем, задачи, сформулированные для сплошных сред, могут быть
сформулированы как сооветствующие задачи для УДС, и обратно. Так,
например, задача управляемости УДС может быть решена в терминах
теплопроводности. Действительно, пусть данной УДС соответствует сплошная
среда с оператором Лапласа Az(q) вида (16), (17). Пусть установлено, что
уравнение (18) установившегося процесса теплопроводности имеет
решение z(q), отличное от нуля при всех q G {q). Тогда можно сделать вывод,
что исходная УДС управляема в {q}. Если же в каких-то точках z(q) = О,
то можно сделать вывод, что исходная УДС неуправляема.
Перспективна и обратная задача изучения сплошных сред с помощью
соответствующих УДС. Дело в том, что в последнее время в различных
областях науки и техники приходится иметь дело с весьма сложными
сплошными средами. Сложными оказьюаются и уравнения (в частных
производных), описывающие процессы в этих средах. Поэтому весьма
обнадеживающей может оказаться возможность переформулировать задачи
для сплошных сред в терминах задачи для соответствующей УДС.
Так как реальные физические сплошные среды занимают пространство
{q} небольшого числа измерений η = 1, 2, 3, то соответствующая УДС
также будет иметь ту же самую небольшую размерность п. Но для УДС
небольшой размерности весьма эффективным методом исследования
может служить метод фазового портрета УДС, рассматриваемый в этой
книге.
Наконец, рассмотрим еще одну возможность сопоставить функции
Щр, q), которая не обязательно является однородной, некоторую
сплошную среду с оператором Лапласа Δζ(<?). Функция Щр, q) может быть
интерпретирована как гамильтониан некоторой механической системы. Для
этого поток к(q) отождествляется с bK{p,q)jbp при ρ = grad z:
ЪК
*(?)= — (gradz(<?),<7). (30)
Ър
Тогда
ЪК
Az(q) = fovK(q) = aivq -—(gradzfa),?). (31)
dp
Отсюда находим
—— (grad z(q), q)—r+ —— (grad z(q), q) , (32)
dp2 bq2 bpbq i
где tr[ · ] - след матрицы, стоящей в квадратных скобках. В частности
1 ,
например,при Ж(р, q)= — ρ получаем классический лапласиан:
» Ъ2г
Δζ= Σ
/=i (bq1)2
86

§ 29. УДС И ФИНСЛЕРОВА МЕТРИКА
Финслерова метрика является обобщением римановой метрики. Римано-
ву метрику можно рассматривать как частный случай финслеровой
метрики в том случае, когда ее индикатриса в каждой точке фазового
пространства является невырожденной центральной гиперповерхностью второго
порядка с уравнением [95]
Σ Σ gafiqaq'=l. (1)
0=1 α=1 Ρ
где коэффициенты gap, вообще говоря, зависят от q. В частности, (1)
является уравнением эллипсоида
VV + ··· + V- = 1> (2)
где длины полуосей а,- эллипсоида могут зависеть от q. Если квадратичная
форма в (1) является положительно определенной, то все векторы q имеют
определенную длину. Однако не всегда эта форма положительно
определена. Например, в теории относительности эта форма не является
положительно определенной, что соответствует тому, что конус допустимых
скоростей (световой конус) K(q) не совпадает со всем пространством Tq{q).
Поэтому в этом случае определенную длину имеют только те векторы,
которые принадлежат конусу K(q). В финслеровой геометрии, как правило,
конус K(q) имеет полную размерность, равную л. Для УДС, как мы видели,
размерность этого конуса может быть меньше л.
Финслерова метрика определяется следующим образом [95]. Задается
индикатриса - гиперповерхность в касательном пространстве Tq{q} такая,
что каждый луч, исходящий из точки 0(q), пересекает эту
гиперповерхность не более, чем в одной точке, и касательная плоскость к ней не
проходит через точку 0(д). Далее, пусть η - вектор, заданный в Tq {q). Проведем
из точки О = 0(q) в пространстве Tq{q) луч, коллинеарный вектору η,
до пересечения с индикатрисой. Этот луч пересекает индикатрису в одной
точке jR. Вектор OR, соединяющий точку О с индикатрисой, принимают за
единичный в данном направлении η. Таким образом, векторы η и OR колли-
неарны, а отношение их модулей \η\/\ OR \ называется длиной вектора в
финслеровой метрике. Теперь индикатриса приобретает смысл
геометрического места концов единичных векторов, отложенных от точки 0{q) E Tq{q).
Заметим, что в финслеровой геометрии индикатриса - это всегда
гиперповерхность в Tq{q). Векторы η, не пересекающие индикатрису, считаются
неизмеримыми. При рассмотрении УДС, однако, далеко не всегда
индикатриса УДС является гиперповерхностью (§ 6), и тем самым, ее далеко не
всегда можно отождествить с индикатрисой финслеровой метрики.
Индикатриса УДС часто лежит в некотором линейном подпространстве Lm
меньшего чем п числа измерений т. Таким образом, чтобы пользоваться
метрическими понятиями для УДС с произвольной индикатрисой (§6), необхо-.
лимо расширить понятия индикатрис финслеровой геометрии, допустив в
качестве таковых "относительные" гиперповерхности, лежащие в
подпространстве Lm С Tq{q) с т<п.
87

Более того, индикатриса УДС ограничивает выпуклое множество, часто
не содержащее точку 0(q) касательного пространства Tq{q). Поэтому луч,
скажем, коллинеарный данному вектору г/, может пересекать индикатрису
более чем в одной точке. В таком случае имеет смысл говорить о
максимальной \v\l\OR0\ и минимальной \v\l\ORi\ длине вектора η
(рис. 29.1). Участок ADиндикатрисы соответствует минимальной длине
вектора г/, а участок ВС - максимальной. Этим двум участкам
соответствуют два лагранжиана (или две ветви одного лагранжиана) L·0 и L1,
Рис. 29.1
которые можйо поставить в соответствие данной УДС с указанной
структурой ее индикатрисы [100]. При этом, если говорить об оптической
аналогии УДС (§ 30), то L·0 соответствует минимальной скорости
распространения фронта возбуждения, a Ll - максимально возможной в данной УДС
скорости распространения фронта возбуждения. С такой ситуацией мы
имеем дело, когда индикатриса задается, например, смещенной (и — 1
^мерной сферой (гиперповерхностью) с уравнением
°<Я.Я)=\Я-*(Я)\-г(я) = 0, \a(q)\>r(q)>09
где r(q) - радиус сферы, a(q) - вектор смещения центра сферы от начала
координат пространства Tq{q).
Таким образом, траектории УДС в ее пространстве состояний,
полученные из канонических уравнений, соответствующих данной УДС, можно
рассматривать как геодезические линии, т.е. такие линии, которые имеют
локально минимальную длину между любыми двумя своими точками в
соответствующей финслеровой (в частности, римановой) метрике. Такие
геодезические линии являются траекториями, оптимальными по
быстродействию.
§ 30. ОПТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ УДС
Естественно и просто проводится аналогия между УДС и процессом
распространения возбуждения, например, света в некоторой сплошной
среде. Здесь имеется в виду геометрическая теория возбуждения, в
частности, геометрическая оптика [9, 19]. Математическая сторона этой теории
очень четко и вместе с тем кратко изложена в приложении 1 к [35].
Поэтому для того, чтобы провести аналогию между процессами, описываемыми
геометрической оптикой, и УДС, нам достаточно сделать лишь следующее
отождествление: индикатрису скоростей возбуждения (света) отождествим
88

:индикатрисой допустимых скоростей данной УДС. Послеэтогооптическая
аналогия УДС становится очевидной и ее можно строить точно так же,
как это сделано в [35].
Здесь мы остановимся только rfa вьюоде соответствующего лагранжиана
L(q, q). Напомним, что в соответствии с принципом Ферма возбуждение
(свет) между двумя точками q0 и qx распространяется по траектории
(лучу) q{t), 4(0) = Qo,q{T) = qx, в пространстве состояний {q} так, что
интеграл действия (оптическая длина пути)
<Ь \dq\ τ
1= f * = fL(q,q)dt (1)
я9 v(n>q) о ·
достигает своего экстремального (минимального) значения. Здесь
1Мт?, q) - показатель преломления, ν(η, q) - абсолютная величина
скорости света в точке q в направлении η. Из сравнения двух интегралов в (1)
: учетом \dq\ = \q\dt получаем
— -dt = L{q,q)dt.
v(n,q)
Следовательно, искомый лагранжиан имеет вид
L(q,q)= -^Τ· &
v(V,q)
Если индикатриса УДС задается уравнением (§5)
*Й,«) = 0, (3)
то, представляя это уравнение в виде σ(| q \η, q) = 0, где 1? = ql\ q I -
единичный вектор в направлении ή, а затем разрешая его относительно
I q |, получим
\q\ =ϋ(4,ί)8ϋ ,4\ · *V W
Таким образом, искомый лагранжиан имеет вид положительной и
положительно однородной 1 -й степени по q функции:
L(q,q)= ^—-, (5)
•(,7Г«)
где v(ql\q\, q) определяется равенством (4) и играет роль функции
°o(q, θ) > а уравнение индикатрисы тогда принимает вид
Щ.я)г\. (6)
Как было отмечено в § 29, если луч, исходящий из 0(q) в
направлении η, имеет более чем одну точку пересечения с индикатрисой, то
уравнение (3) имеет более одного решения относительно \q\. Поэтому можно
говорить о максимальной скорости возбуждения Όι(η, q) в направлении η
и о минимальной скорости ν0(η, q) в том же направлении η. В этом случае
89

можно говорить о быстром и медленном фронтах возбуждения, которым
соответствуют два лагранжиана
\q\ \q\
Ldq.q)* -η— . Loiq.q)* ——. . (7)
Из (5) также видно, что если η (или q) принадлежит конусу К(q)
допустимых направлений, то L - определенная конечная величина. Если же η
(или q) не принадлежит К(q), то L следует считать неопределенной или
бесконечно большой положительной величиной. Источник света
(возбуждения), помещенный в точку q\ будет освещать лишь те точки
пространства {q)> которые достижимы из точки q под действием допустимых
управлений УДС.
§ 31. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ УДС
И НЕУПРАВЛЯЕМЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Поскольку существуют хорошо развитые методы исследования
неуправляемых гамильтоновых механических систем, то при изучении свойств
УДС может оказаться полезным факт их соответствия некоторым
механическим системам. В частности, весьма полезным при изучении УДС может
оказаться аппарат канонических преобразований, производящих функций
и многие другие мощные методы аналитической механики.
Пусть задана УДС
Wfo.ii), uGU(q). (1)
Тогда, как мы видели выше (§ 14), ей можно однозначно поставить в
соответствие неуправляемую гамильтонову механическую систему с
положительно однородным по ρ первой степени гамильтонианом вида
Н(р, q) = sup(max) pf(qf и). (2)
и G U(q)
Обратно, если имеется неуправляемая механическая система с выпуклым
положительно однородным первой степени по ρ гамильтонианом Н(р, q),
то ей можно поставить в соответствие УДС вида
<7= —iP-q)> (3)
Эр
где управлением служит параметр р, не стесненный никакими
дополнительными ограничениями. Так как ЪН/Ър в (3) является однородной функцией
по ρ нулевой степени, т.е. фактически оно зависит лишь от р/\ ρ \ , то
управление ρ можно считать меняющимся, например, лишь на сфере: \р\ = 1.
Отметим, что пространство состояний {q} УДС (1) и (3) теперь стало
конфигурационным (или координатным) пространством по отношению к
неуправляемой механической системе с гамильтонианом (2), и наоборот,
конфигурационное пространство неуправляемой механической системы
с гамильтонианом Н(р, q) является пространством состояний (фазовым
пространством) соответствующей УДС (3). Для УДС (3) пространство
90

управлений (множество допустимых управлений) совпадает с
пространством импульсов {р} той же механической системы. Если мы теперь
захотим УДС (3) поставить в соответствие неуправляемую гамильтонову
систему с положительно однородным первой степени гамильтонианом,
то снова придем к заданному гамильтониану Н(р, q). Действительно,
соответствующий УДС (3) положительно однородный первой степени
гамильтониан определяется равенством
ЪН
К{л, q) = sup (max) π (ρ, q). (4)
ρ Ьр
Ho q = ЪН/Ър как раз и дает то значение q, на котором
достигается верхняя грань (максимум) величины pq. Таким образом, верхняя
грань (или максимум) в (4) достигается при ρ = π, и следовательно,
ЪН
Κ{π, q) = π — (π, q) = #(π, q), что и требовалось показать.
Ър
В дальнейшем два положительно однородных первой степени
гамильтониана Hi(p,q) и H2(p,q) будем называть эквивалентными, если
множество точек в(р),описываемых уравнениями Hi(p,q) = 0 и H2(p,q)~0, при
любом q Ε {q} являются одновременно или пустыми множествами, или
описывают один и тот же конус K(q). Множество всех эквивалентных
между собой положительно однородных первой степени гамильтонианов Н(р, q)
образует класс-эквивалентности, задаваемый полем конусов K(q)· Здесь
считается, что конус может быть и пустым при некоторых q € {q}.
Таким образом, если считать, что пустому конусу K(q) сопряжено
пространство {q}, то между классами обобщенно траекторной
эквивалентности УДС, определяемыми полем конусов К(q) (допускается, что K(q)
совпадаете {q))> и классами эквивалентных между собой положительно
однородных первой степени гамильтонианов H(p,q), характеризуемых
полем конусов K(q) (среди которых могут быть и пустые конусы),
устанавливается взаимно однозначное соответствие:
qeK(q)*=>K{q) = {p: H(p,q)<0, V Я € {q} .
Указанное взаимно однозначное соответствие фактически является
следствием взаимно однозначного соответствия между конусами K(q) и
K{q), т.е. следствием из равенства K(q) = К(q),' означающего инволютив-
ность операции сопряжения выпуклых конусов.
Покажем теперь, как установить соответствие между механической
системой и УДС. Если механическая система с η степенями свободы задана
своим гамильтонианом H(pfq)t не являющимся положительно
однородной первой степени по ρ функцией, то проведем операцию "однородниза-
ции" по формуле
Я+1(Ро,Р,^)= \Ро\н(-£—, q), (5)
\ IРо I /
где ро - новая координата импульса, которой соответствует новая
координата состояния 4°. Функцию (5) примем за гамильтониан искомой УДС.
91

Тогда соответствующая УДС будет иметь порядок η + 1 и описываться
уравнениями
Эр0
-*п(-Ро)[я( JL- , q)-— ^-(.-^-г. «)1. (6)
L \ IPol / Ро Ьр \\ро\ /\
. ЭЯ+1 ЪИ Ι ρ \
Я = -г = — ( . - > Я l· (7)
Эр Эр \ | р01 /
В УДС (6), (7) управлением служит вектор (р0, ρ), не стесненный
никакими ограничениями. Сопряженная система имеет вид
Ро =
ЭЯ+1 =0, (8)
V
о
ЭЯ+1 ЪН Ι ρ \
Р = - -»— =-1Ро1 -г-1 -—г. <7 )· (9)
Э? дя \\Ро\ '
Чтобы система (7), (9) совпадала с каноническими уравнениями
исходной механической системы, потребуем, чтобы \р0 | =1. Тогда выражение
в квадратных скобках в точности совпадает с лагранжианом L (q, я)у
соответствующим Н(р, я) · Далее, чтобы придать координате q° смысл
механического действия, положим р0 = - 1. Тогда (6) превращается в равенство:
Q°=L(q,q). (10)
Из (10) имеем
о(я°,Я,я) = Я°-Ця,я) = 0. (11)
Уравнение (11) есть уравнение индикатрисы УДС (л + 1)-го порядка с
вектором состояния (q°, я)» которая и ставится в соответствие исходной
механической системе с гамильтонианом Н(р, я) и лагранжианом L(q, я)-
Из (10) следует возможность записать УДС в виде нормальной системы
дифференциальных уравнений
\q°=L(u,Q)9 (12)
1<г=и. (в)
где управление и = (μ1, ..., ип) не стеснено никакими ограничениями.
В этом параграфе, на наш взгляд, уместно рассмотреть еще один вопрос,
который ь определенном смысле примыкает к задачам о связях между
УДС и неуправляемыми механическими системами, на которые наложены
дополнительные интегрируемые или неинтегрируемые ограничения.
Известно [78], что в ряде случаев (например, когда внешние силы,
действующие на систему, являются потенциальными) уравнения движения
голономной системы с идеальными связями
/(ί. 0 = (/*(-?. О)"0, (14)
или со связями в эквивалентной (14) форме
. θ/
*(ί.0ί+ —-0, (15)
ot
bq \bqf)'
"(Я. t) = (Щ(Я. О) = — = — , (16)
92

имеют вид
d / dZ, \ Ы _
dt\bq) bq
ι де индекс / здесь и далее в этом параграфе принимает значения от 1 до т,
а индекс / - от 1 до л, т < w; q = (qj) обобщенные координаты; q -
обобщенная скорость; π = n(q, t) - матрица размерности т X л, имеющая
полный ранг; L = L(q, q, t) - лагранжиан системы при отсутствии связей;
λ - w-мерный вектор. Предполагается, что существуют и непрерывны все
нужные производные, а начальная точка q(t0) и начальная скорость q(t0)
удовлетворяют (14), (15).
Пусть гамильтониан H{pt q, t) взаимно однозначным образом
соответствует L(q, q, t) посредством преобразования Лежандра. Тогда уравнения
(15), (17) преобразуются к форме, близкой к канонической:
ЪН
Я = —(P.Q.t), (18)
Ър
ЪН
Р = --г-(Р.Я>*) + Ыя.*). 09)
bq
Уравнения (18), (19) не точно канонические из-за наличия члена λπ в (19).
Система уравнений (15), (17) или соответственно (18), (19), (15) обра-
)уют полную систему для определения неизвестных функций q(t), λ(ί) или
<l(t),p(t), λ(ί).
Покажем, что существует функция К = К{ £Р, q9 ί), где SP = ( 5^·) -
новый импульс, которая определяется равенством (условием
максимума по q)
Щ ff>, q, t) = max/- L(q,q,t) + &>q\nq+ — = 0 ) (20)
и такая, что уравнения движения данной го л о но мной системы
представляются в точном каноническом виде
ЪК
*=-^(^<М), (21)
ЪК
дь=- (^,0, (22)
Ъя
i.e. Щ SP, я* О есть точный гамильтониан голономной системы со связями
(14), (15). Покажем, что из справедливости равенств (21), (22) следует
ι нраведливость равенств (15), (18), (19), а следовательно, и равенств (15),
(17). Для этого сначала проведем требуемую максимизацию в формуле
(20). Из условия максимума (20) по q следует, что при фиксированных
.Я, q, t существует вектор μ = (μ,·) такой, что функция
-L(qfqft)+ 5><7 + μίπ<7+ —J (22a)
93

имеет экстремум по q, удовлетворяющий условию
- —+3>+μπ = 0
bq (23)
или
$> + μπ = -τ . (24)
bq
Если обозначить
ρ = 3F> + μπ, (25)
то (24) примет вид
Э£ .
P = — (q,q,t). (26)
Э?
В силу предположения об однозначном соответствии между Η и L
уравнение (26) можно разрешить относительно q:
. ЪН
q = — (p,q,t). (27)
Эр
В силу формулы (25) равенство (27) примет вид
4= (^ + μπ ^ г) (28)
Эр
Теперь определим параметр μ из условия удовлетворения связи (15),
как требует равенство (20) :
Щ(М) — ( 9 + μπ, q, t) + —^- = 0. (29)
dfy Эг
Здесь и далее предполагается суммирование по α от 1 до т и по β от 1 до
п. Очевидно, что искомое μ- функция от 3*, q, г, т.е. μ = μ( 3*, q, ί).
В дальнейшем будем считать, что уравнение (29) однозначно разрешимо
относительно μ.
Отметим, что если найденное μ = μ( 3*, q, 0 подставить в (29) и (28),
то уравнение (29) превратится в тождество, а уравнение (28) (в силу уже
тождества (29)) автоматически обеспечивает удовлетворение уравнениям
связей (14), (15) при любых 3^, q, r.
Далее, подставляя (28) в (22а) при μ = μ( 3й, q, t) получим явное
выражение искомого гамильтониана:
/ ЪН \ ЪН ^
Щ 3», q, t) = - L — ( £F> + μπ, q, r), q, t)+ &> — ( & + μπ, q, t).
\ Эр /Эр
Прибавим и вычтем в правой части (30) выражение
μπ _-(3δ+μπ,(?,0.
Эр
(30)
94

Тогда (30) примет вид
Щ &, Я, t) = - L { — ( & + μη, q, t), q, rj+
+ (3> + μπ) —-(^μπ^Ο-μ* —-( 34 μπ, <?, г) · (31)
dp Эр
В силу тождества
I ЪН \ ЪН
H(p,q,t)=-Ll— (ρ, q, t\q, rj+p —(ρ, q, t), (32)
в котором положим р = 5* + μπ, от (31) придем к следующему
выражению:
Щ 9» qft) = H(3i>+^(9:>tqtt)ir(qtt)iqft)-
-μ( 5>, ?, f) π(<7, Г) (5s + μ( $>, q, t)it(q, t),q, t). (33)
dp
Используя тождество (29), формулу (33) можно записать и в другом виде:
ЗС( &, q, t) = #( 3»+ μ( 9, q, t) 7i(q, t), q, t) + μ( &>, q, t) ^- (q, t). (34)
ot
Итак, решение задачи максимизации (20) дается формулами (28) и
(34), где μ = μ ($*, q, t) определяется из решения уравнения (29).
Заметим, что при отсутствии дополнительных связей (14)-(16), как
следует из (20) и (34), Ж и Я, естественно, совпадают.
Теперь непосредственным вычислением покажем, что из уравнения (21)
следует уравнение (18), а из уравнения (22) - уравнение (19). Имеем
эзс э г _ э/1
Я = —τζ = -г Я(5> + μπ, q, t) + μ — =
Э5° Э351 Эг J
ЭЯ Λ 3μ ЪН Л 3μ Э/
-•?(,+„,.f)_»L.!tt!».!i..
Эр Э^ Эг Э#> Ъг
ЪН ^ ЪН
= — (#+μΐΓ.*,ί)- — (р, (7,0. (35)
Эр Эр
В выкладке (35) использованы последовательно тождество (29) и форму-
па (25) обратного перехода от нового импульса 3* к исходному р. Таким
образом, из (21) следует (18).
Осталось показать, что из (22) следует (19). Действительно, в левой
части (22) в силу (25) имеем
4 d < * ч · I д1Т2> · д7Г<*> \-
*/«— (Ρ,·-μα^)=Ρ/-Μα^-μ^— .«„- — j-
= Р/ - Да**/ - μα —— —— Ι . (36)
' \ *4β δρβ ЪqίЪt Ι
95

Здесь последовательно использованы равенства (28) и (16). С другой
стороны, в правой части (22) получаем
ЪК
ЪК Ъ Г ^ Э/1
bqj bqf L bt J
ЭЯ Г θμα дтга* Ί
= ~~ ι— т~ π*0 + μ* τ-
ЭЯ _ 9μα ^ _ Э2/а
ЭЯ 9μα ЭЯ Этга/? ЭЯ djv Э/а Э2/а
παβ _— _ μα ^
Э<7/ Щ δρβ bq. bpf} ЪЯ. ЭГ btbq]
(37)
Учитывая, что в силу (29) ;
я^(ЭЯ/Эрд)=-Э/а/Эг,
мы видим, что в (37) второй и четвертый члены взаимно уничтожаются.
Поэтому (37) принимает вид
ЪК ЪН Ъпав ЪН Ъ2га
= μα μ^ . (38)
bqj dqf bqj Ърр btbqf
Приравнивая (в силу исходного уравнения (22)) друг к другу правые
части равенств (36) и (38), мы получим новое уравнение, в котором
видно, что последние слагаемые в левой и правой части равны между
собой (b2falbqjdt = b2falbtdqAt и, следовательно, их можно удалить из
обеих частей уравнения. Тогда уравнение (22) примет вид
ЪН /.3ire/ дтга/3 \ ЪН ч
bqj \ Ъqβ Ъqj ) Ър^
Для произвольных Я//07, г) "вихревые" величины в круглых скобках
(39) не равны нулю. Но в предположении голономности связей (14), (15),
т.е. в предположении справедливости условия (16), они обращаются в нуль
тождественно. Действительно в силу (16) имеем
ϊϊα _ ^? = э2/* _ э2/* =о. (40)
Ъqβ bqi ЪqjЪqβ ЪqβЪqj
Учитывая (40), мы видам, что (39) совпадает с (19), если λ в этом
уравнении отождествить с μ. Поскольку все приведенные выкладки обратимы
в рамках сделанных предположений и обозначений, то из уравнений (15),
(18), (19) следуют уравнения (21), (22). Таким образом установлена
эквивалентность систем уравнений (14) — (17) или (14), (15), (18), (19)
системе уравнений (21), (22), (20), (34), где λ (г) = μ(0·
К исследованию поставленной темы можно подойти и по-другому.
Нетрудно показать, что уравнения (14)—(17) являются уравнениями экстре-
96

малей задачи на условный экстремум функционала
fL(qtq,t)dt (41)
о
при наличии связей (14). Действительно, известно [63а], что существует
функция λ(ί) такая, что экстремаль q(t) удовлетворяет уравнению Эйлера
d I Ы \ Ы _
dt \'bq ) bq
и уравнению связей (14), где
Ш q9i) = Z = L(q, q. t) + v(f)f(qt t). (43)
Подставляя (43) в (42), получим
4- \ ^ (L(q, q, t) + v(t)f(q, f))l - 1- [L(q, q, t) + vf{q, t)] =
dt [ bq J bq
Ы bf
-—-КО — =0, (44)
oq oq
~ It \ъТ)
что в точности совпадает с (17).
Если в задаче на условный экстремум функционала (41) связь взять
в форме (15), (16) вместо формы (14), то так же, как известно,
существует функция v(t) такая, что экстремаль q(t) удовлетворяет уравнению
Эйлера
d / ЭА \ ЭА
dt \ bq I bq
и уравнению связей (15), (16), где Χι имеет уже другую форму, отличную
от (43):
£i(qtqt t) = L(q,q,t) + va
bt '
(46)
Однако и здесь, подставляя (46) в (45), мы, естественно, снова приходим
к уравнению (17). Действительно, имеем с учетом (16):
9 Г . . э4 1
- —\L(q,q,t) + va(t) ιταβςβ + va(t) — J -
d (bL\ Этга/3 .
d2f Ы
+ v —
bq bt bq
Э2/ d2f d I Ы\ Ы bf
-v—-q- ν =— I +p—=0, (47)
bq2 btbq dt \bq I bq bq
что совпадает с (14), если отождествить λ с v.
Vi 7. А.Г. Бутковский от

Из только что изложенного можно еще раз сделать известный вывод,
что принцип экстремального действия сохраняется при наличии голоном-
ных нелинейных связей или "неголономных", но интегрируемых [2].
С другой стороны, задачу на экстремум функционала (41) при условии
(15), (16) можно решить с помощью принщша максимума [4]. В
соответствии с ним экстремаль q(t) удовлетворяет следующей гамильтоновой
системе уравнений:
*β15>(3^·°· (48)
9>=- (9,q,t)9 (49)
bq
где Ж( &>, q, t) определяется равенством (7). Таким образом, мы снова
приходим к системе гамильтоновых уравнений (48), (49), в точности
совпадающих с (8), (9). Однако приведенный в начале вьюод этих уравнений
нельзя считать лишним, так как он показывает явную связь старых и новых
импульсов ρ и S5 (см. (85)), а также функций Н(р, qy t) и К( SP, q, t)
(см. (34)).
В заключение сделаем некоторые замечания.
1. Из текста, соответствующего формулам (41)-(49), следует
известный вьюод, что фундаментальный принцип экстремального действия
справедлив (сохраняется) и в случае наличия голономных нелинейных связей.
2. Можно попытаться перейти от гамильтониана Щ £F> t q, r),
определенного формулой (34), к соответствующему лагранжиану £(q> q, r) с
помощью преобразования Лежандра, например, для того, чтобы записать
уравнения движения системы со связями в виде точного уравнения Эйлера:
d ( д£ \ д£
_ _ =0. (50)
dt \bq } bq
Однако надо помнить, что такой лагранжиан (при фиксированных q и t)
будет определен только для таких q, которые удовлетворяют связи (15).
Это видно из уравнения (21), которое является "разрешающим"
уравнением преобразования Лежандра. Как было показано выше, это уравнение
при фиксированных q и г дает лишь такие q, которые автоматически
удовлетворяют связям (15) при любом SP . Поэтому при q, не
удовлетворяющем связи (15), не найдется соответствующего S5 . Следовательно,
невозможно разрешить это уравнение относительно & при произвольном'^.
Из этого уравнения как раз и вытекает соответствующая связь (15).
3. Из формулы (39) видно, что если бы второй член (с круглыми
скобками) в правой части этого уравнения обратился в нуль без условия (16),
то мы получили бы точные гамильтоновы уравнения с гамильтонианом
(20) или (34) для неголономной системы. Однако этот член в
(39),вообще говоря, в ноль не обращается даже для линейных неголономных связей,
не говоря уже о нелинейных неголономных связях.
Априори неочевидно, существуют или нет точные гамильтоновы
уравнения (и, тем самым, точный гамильтониан) для неголономных
механических систем. Было бы интересно получить ответ на этот вопрос.
98

§ 32. УДС С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
Метод фазового портрета позволяет конструктивно учитывать наличие
фазовых ограничений, т.е. ограничений, наложенных на состояние УДС.
Геометрически наличие ограничений на состояние означает, что
изображающей точке q данной УДС запрещено находиться в некотором
выделенном заданном множестве G пространства состояний {q}. Как правило,
(' С {q} задается априори и независимо от основного уравнения УДС:
q=f(q,u), uGU(q). (1)
При наличии ограничения q ё G исследование системы (1) также
проводится с помощью ее фазового портрета, а именно, на фазовый портрет УДС (1),
построенный без учета ограничения q ё. G, мы должны наложить еще
множество G. Относительно просто такое исследование проводится для УДС,
тданных на двумерных многообразиях и, в частности, на двумерной
плоскости. Не совсем тривиальным исследование УДС (1) при ограничении
q ё G будет тогда, когда множество G целиком или частично расположено
вне области нестесненных (свободных) движений данной УДС (1). На
рис. 32.1 изображен типичный случай, когда на фазовый портрет УДС (1),
построенный сначала без учета ограничения q ё G, нанесено множество G
(заштриховано). Для отыскания допустимой траектории (согласно с
штриховкой границ траекторных воронок и не пересекающей запрещенное
множество G) необходимо и достаточно отыскать обходной путь от начальной
точки q0 к конечной qy. Такими допустимыми путями на рис. 32.1
являются qoEqt или <7ο^<7ι· Однако, как хорошо видно из фазового портрета,
если изображающая точка УДС оказалась внутри криволинейного
треугольника ABC (т.е. внутри траекторной воронки с вершиной в точке А),
го она уже не сможет покинуть треугольник ABC ни по какой допустимой
траектории. Произойдет как бы "захват" изображающей точки областью
ABC. По аналогии с астрофизикой такую область ABC можно было бы
назвать "черной дырой", ибо в эту область изображающая точка может
только войти, но покинуть ее она не может.
С другой стороны, область BCD обладает противоположным свойством:
изображающая точка q УДС (1) не может войти в эту область, хотя может
ее покинуть. Такую область BCD теперь естественно назвать "белой дырой".
Таким образом, особенность УДС
при наличии ограничений на
координаты состояния состоит в
наличии областей типа черных и белых
дыр. При этом естественно
возникает задача о построении и
описании этих областей. Ясно, что на
двумерных многообразиях эта задача
легко решается геометрическими
(графическими) методами.
В общем случае,если G не
принадлежит области нестесненных
движений, для определения областей
тина белых и черных дыр нужно Рис. 32.1
\>7*
99

решить задачу Коши для уравнений с частными производными: H(bzlbqy q)=
= 0, #(- bzjbq, q) = 0 соответственно. При этом начальным множеством
должны служить определенные подмножества запрещенного множества G.
§ 33. ОСОБЫЕ МНОЖЕСТВА ДВУМЕРНЫХ УДС
Для двумерных УДС особым множеством будет, как правило, линия на
двумерном многообразии (в частности, на плоскости) в пространстве
состояний {q) данной УДС. Такая линия, как следует из общего
рассмотрения, характеризуется рядом эквивалентных условий:
1) P(p,q,u) = pf(q,u) не зависит от «G[/;
ЪР
2) (р, q,u) = 0 тождественно по «6 U;
Ъи
3) выполняется равенство
Я(р,<7)+Я(-Р,<7) = 0;
4) с учетом, что H(p,q) = О, из 3) следует эквивалентная система
равенств:
ltf(-p,<7) = 0;
5) для двумерной системы можно добавить еще одно условие,
эквивалентное вышеперечисленным: все вектора q = /(<7, и), когда и
пробегает U, коллинеарны. ,
Для общей двумерной системы наиболее "непосредственным", если так
можно сказать, условием для особой кривой является условие 4): оно
просто дает в этом случае определенную систему уравнений, которую с
учетом однородности можно использовать для исключения из нее вектора
Рис. 34.1
100

Ρ— (Р1»Рг) и получения непосредственной связи между координатами q1
и q2 точки q, лежащей на особой кривой.
Действительно, из (4) имеем систему
H(Pl,p2,ql,q2) = 0,
H(-Pl,-p2,ql,q2) = 0.
Так как Н(р, q) положительно однородна по р, то без ограничения
общности можно наложить еще одну связь на р. Например, положить \р\ = 1.
Исключая из этой системы ργ ир2, придем к искомому уравнению особой
линии:
s(ql,q2) = 0.
Наиболее просто особая кривая получается, если УДС имеет вид
<7=/ο(<7) + "/ι(<7),
uGU(q)CRl, q<=R\
Легко видеть, применяя одно из условий 1) — 5), что особая кривая
задается условием равенства нулю определителя
*(<?)= I/о (?) /,(<7)1 =0.
В частности, для линейной системы q = Aq + Ьм, имеем s(q) = \Aq b\ =0;
для билинейной системы q = Aq+uBq -соответственно s(q) = \Aq Bq\ = 0.
§34. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ УДС НА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Особенно просто фазовый портрет строится для УДС, изображающая
точка которых движется на двумерном многообразии М2: двумерной
плоскости, двумерной сфере, торе и т.д.
Для двумерной УДС существует всего 6 типов конусов K{q). На
рис. 34.1 а-е они изображены все. Эти 6 типов конусов соответствуют
фем первым строчкам таблицы рис. 8.1.
На рис. 34.1,ж изображен пример особой изолированной линии с
изображением всех возможных типов конусов на ней и пяти случаев их
расположения относительно особой линии. Уравнения движения такой УДС
представляют собой систему двух скалярных уравнений
\qx = f\ql,q\u\
W=f\q\q\u), (1)
|де значения управления и принадлежат заданному множеству U, которое,
иообще говоря, зависит от точки q = (ql, q2), т.е. U= U{q). Система (1)
жвивалентна дифференциальному включению
q Gf(qfu)= Ф(<7), (2)'
|де Ф(#) при каждом фиксированном qGM2 есть выпуклая оболочка
отображения {/-► ТдМ2 (когда и пробегает все множество U(q)). Всю
информацию об УДС (1), (2) содержит функция Гамильтона Η (р, q) этой систе-
101

мы или, что то же самое, опорная функция множества Ф(#) ·
Н(р, q) = sup(max)[p1/1 (ql, q2, и) + P2f2(ql,q2, и)] =
uG U(q)
= sup(max)p<7·
qG 4>(<j,)
Для построения фазового портрета УДС (ί) необходимо выделить его
элементы, включая особую линию.
Естественно, что порядок выделения элементов фазового портрета
может быть произвольным, так как в конечном счете вся полученная здесь
информация отображается на одном рисунке — фазовом портрете. Для
конкретной УДС какие-то элементы ее фазового портрета могут
отсутствовать: например, может не существовать область нестесненных (свободных)
траекторий или, скажем, отсутствуют точки абсолютного равновесия и т.д.
Заметим, что для некоторых видов УДС выделение элементов ее
фазового портрета может осуществляться непосредственно по виду правой
части ее дифференциального уравнения или включения.
Рассмотрим подробнее некоторые из элементов фазового портрета.
Множество точек q G М2 абсолютного равновесия (покоя) УДС (1)
определяется условием
'ф(<7) = {0}, или |/(<у,и)| = 0, (3)
независимо от и G U(q). Это определение множества точек абсолютного
равновесия пригодно для УДС произвольной размерности и. Очевидно, что
множество точек абсолютного равновесия УДС будет ее инвариантным
множеством в {q}.
Иногда полезно выделить множество точек qG Μ2, для которых
существуют uG U(q) такие, что
\Пя.н)\ = 0. (4)
Такое множество назовем множеством относительного равновесия (покоя)
УДС (1). Точки относительного равновесия могут отличаться от точек
абсолютного равновесия. Определение множества относительного
равновесия также пригодно для УДС произвольной размерности п. Очевидно, что
множество относительного равновесия УДС включает в себя множество
абсолютного равновесия УДС.
Область D нестесненных (свободных) траекторий УДС (1) (§ 9)
выделяется с помощью функций Η (ρ, q) посредством неравенства
min H(p,q) > 0. (5)
IP I = 1
Это условие равносильно тому, что точка О (q) G TqM2 лежит внутри Ф(#)
для любого q G D, или, что то же самое, конус К (q) совпадает с ТЯАР. Для
двумерных систем это геометрическое условие проще аналитического
условия (5), так как оно не'требует вычисления по формуле (5).
Особая линия S, и в частности линия перемены штриховки, определяется
системой уравнений (§ 17)
tf(p,<7) = 0, #(-p,<7) = 0. (6)
102

Исключение ρ из системы (6) с учетом однородности по ρ функции Н(р, q)
дает уравнение линии S:
s(Q) = 0. (7)
Существенно подчеркнуть, что (7) дает именно линию в том случае, если
(7) выполняется не тождественно в некоторой области G С {q}. Для
линейной системы
q = Aq+bu, uGU(q), (8)
где q = (ql,q2) и и - скаляр, особой линией, и в частности линией
перемены штриховки, является прямая
s(q) = \Aq Ъ\ = 0. (9)
Для билинейной системы
q = Aq+uBq, uGU(q), (10)
где также q = (</*,<72) и м - скаляр, особая линия (в частности, линия
перемены штриховки) задается уравнением
s(q)=\Aq Bq\ = 0. (11)
В силу однородности уравнения (11) по q легко видеть, что (11) или
распадается на два уравнения прямых, пересекающихся в точке О, или
описывает единственную точку О.
Для нелинейной системы вида:
4=/o(<7) + "/i(<7)> uGU(q)9 (12)
где q = (ql, q2) ни- скаляр, уравнение особой линии, в частности линии
перемены штриховки, имеет вид
s(Q) Ξ 1/о(<7)Л(<7)1 = 0. (13)
В равенствах (9), (11) и (13) прямые скобки означают определитель
второго порядка.
В точках q G Л/2, не принадлежащих множеству абсолютного равновесия
и области нестесненных движений Z), конус К (q) замыкается двумя
образующими: левой, которой соответствует управление их (q), и правой,
которой соответствует управление и2 (q). Этим образующим и управлениям
их (q) и и2 (q) соответствуют левая и правая ветви границ траекторной
норонки, исходящей из данной точки q. Уравнение для левой ветви
имеет вид
q=f(q,ui(q))> (8)
ι для правой ветви —
Q=fXq.u2(q)) (9)
Если конус K(q) оказался незамкнутым, т.е. левый или правый крайний
цуч (или оба вместе) оказались не принадлежащими K(q), то выбираются
«оответствующие ненулевые вектор φ х (q) и φ 2 (q), коллинеарные этим
образующим. Система уравнений для границ траекторных воронок тогда
103

приобретает вид: для левой ветви ]
Ч = *,fo) 0°) ί
и для правой ветви
<7=*2(<7). (Н)
Левую ветвь границы траекторной воронки, описьюаемую уравнением
(8), заштрихуем слева по ходу положительного времени при движении по
ней; правую ветвь заштрихуем соответственно справа.
Что касается инвариантных линий, то они бьюают двух видов:
"изолированные инвариантные линии", определяемые уравнением (7), или
"неизолированные инвариантные линии", заполняющие (расслаивающие) область
в{<7>.
Изолированная инвариантная линия является подмножеством особой
линии (7), на которой с необходимостью реализуются случаи 4,5,
изображенные на рис. 34.1,ж, т.е. К(q) имеет тип а} или а& и касается особой линии.
Проверку возможности для изображающей точки УДС покинуть особую
линию в более высоком порядке, по-видимому, проще всего сделать
непосредственно по уравнению УДС.
Области, заполненные инвариантными линиями (рис. 34.1,г, д)
выделяются как те области пространства состояний {q}, для которых
условие (7) выполняется тождественно, а конус K(q) имеет тип во
или а}.
Совокупность всех указанных выше построений наМ2 образует фазовый
портрет данной УДС.
Основное значение фазового портрета состоит в том, что он позволяет
проводить все возможные допустимые траектории данной УДС,
образуемые действием допустимых уравнений и Ε U(q). Траектория на фазовом
портрете будет допустимой, если она "протыкает" границу траекторной
воронки согласно со штриховкой, т.е. со стороны штриховки. Если конус
K(q) допустимых скоростей, замкнут вдоль границы воронки, т.е. две его
образующие также дают допустимое направление скорости, то возможно
движение строго вдоль границ воронок, т.е. сами границы воронок
образуют допустимые траектории.
Таким образом, мы видим, что фактически речь идет об исследовании
двух семейств траекторий: левой и правой, которые описываются
соответственно уравнениями (8), (9) или (10), (И). В принципе уравнения (8),
(9) или (10), (11) можно задать независимо друг от друга и от включения
(2), назвав одно из них уравнением левой границы, а другое - правой.
Таким образом, надо провести исследование двух независимых,
наложенных друг на друга семейств траекторий дифференциальных уравнений
При исследовании двух наложенных друг на друга фазовых портретов
дифференциальных уравнений (12) наряду с известными понятиями
особых точек этих уравнений возникают новые понятия "особые множества",
отражающие свойства соответствующей УДС, о которых говорилось
в § 33.
104

§ 35. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВОГО ПОРТРЕТА
ДВУМЕРНЫХ УДС
Для иллюстрации изложенного в предыдущем параграфе рассмотрим
примеры построения фазовых портретов УДС, когда их пространством
состояний (фазовым пространством) является обычная двумерная
плоскость.
1. Для линейной УДС на плоскости (q \ q2) с уравнениями
ql=q2, q2=u, \u\<mf m > О, (1)
точки абсолютного равновесия отсутствуют, точками относительного
равновесия при и = 0 являются точки оси qί. Также отсутствует область
нестесненных свободных движений. Линия перемены штриховок
описывается здесь уравнением
"' °·-,'·0 ' ,2)
S =
О 1
и, следовательно, представляет собой ось ql. Множество относительного
равновесия также совпадает с осью q1.
Границы траекторных воронок (правая и левая) описываются
уравнениями
ql-q\ <72=±m, (3)
где знак "плюс" во втором уравнении соответствует одной границе, а
"минус" - другой. Разделив первое из уравнений (3) на второе, приходим
к одному уравнению уже непосредственно для границ траекторных
воронок на фазовой плоскости (ql,q2):
dq1 _ q*_
dq2 m
(4)
^нтегрируя (4), получим на плоскости (ql,q2) семейство парабол;
З1 =±— (<?2)2+с, |с|<оо. (5)
2т
Это семейство границ траекторных воронок УДС (1) вместе со
штриховкой изображено на рис. 35.1. Граница отдельной воронки с вершиной в
точке А выдедрна жирной линией (правая ее ветвь продолжается лишь до
встречи с линией перемены штриховки, т.е. до оси q1).
Фазовый портрет этой системы наглядно показьюает, что УДС (1)
полностью управляема, т.е. любые две заданные на плоскости (ql, q2) точки
</0 и #1 могут быть соединены допустимой траекторией с конечным
временем движения по ней изображающей точки от q0 к qx.
2. Для билинейной УДС на плоскости (ql, q2) с уравнением
qi=q2+uq\ q2=ql-uq2, |u|<mv m > 0, (6)
множеством абсолютного равновесия является одна точка О. Заметим,что
нообще для произвольной билинейной системы q = Aq + uBq точка
н А.Г. Бутковский
105

жтшжшж
Рис. 35.1
Рис. 35.2
q = О является точкой абсолютного равновесия. Легко видеть, что точки
относительного равновесия УДС (6), отличные от точки абсолютного
равновесия, здесь отсутствуют, так как квадрат модуля вектора
\f(q,u)\2 = \Aq+uBq\2 = (q2 +uq1)2 + 0?1 -uq2)2 = 0 (7)
тогда и только тогда, когда <71 = Ои<7=0, что совпадает только с точкой
абсолютного равновесия. Если q Φ 0, то не найдется такого и = u(q), чтобы
выполнялось равенство (7).
Уравнение линии перемены штриховки для УДС (6) имеет вид
s(q)=\Aq Bq\ =
= -((72)2-((71)2=0.
(8)
Отсюда видно, что линия перемены штриховки здесь отсутствует: она
выродилась в одну точку - опять же в точку 0, что совпадает с множеством
абсолютного равновесия.
Поступая как и в предыдущем примере, т.е. полагая и = ± тн деля
первое из уравнений (6) на второе, получим уравнение граничных линий траек-
торных воронок для УДС (6) :
dql
dq2
q2 ±mql
ql +mq2
Уравнение (9) проинтегрируем в предельном случае при #!-►«>. Тогда
dq1 _ д2
dq2 " ql '
(9)
(Ю)
Интегрируя (10), полупим, что границами траекторных воронок УДС (6)
при неограниченном т являются гиперболы
«V -с.
ki < ·».
(И)
Семейство (11) вместе со штриховкой изображено на рис. 35.2. Фазовый
портрет УДС (6) на рис. 35.2 показывает, что данная УДС неуправляема.
106

Например, очевидно, что не существует ни одной допустимой траектории,
связывающей начальную точку q0, расположенную в квадранте I
плоскости (ql, q2), с конечной точкой qx, расположенной в квадранте II.
3. Рассмотрим УДС, отличающуюся от (6) лишь знаком при ql во
втором уравнении, т.е. пусть УДС описывается уравнениями
~uq2 (12)
• 1 2 · 1
q1 =q* +uql,
я2=-
и скалярное управление и — неограниченное. Как и в примере 2, точкой
абсолютного равновесия является единственная точка 0, а точки
относительного равновесия совпадают с точками линий перемены штриховки.
Уравнение линии перемены штриховки имеет вид
s(q) = \Aq Bq\ =
-я'
= -(<72)2+(<7,)2=0,
(13)
т.е. линиями перемены штриховки являются две пересекающиеся в нуле
прямые, представляющие собой биссектрисы координатных углов
плоскости (ql, q2).
Как и в предыдущем примере, границы траекторных воронок
представляют собой семейство гипербол (11). Фазовый портрет этой системы
изображен на рис. 35.3. В отличие от УДС (6), данная УДС (12) уже является
полностью управляемой (вне начала координат).
Управляемость УДС (12) можно было бы объяснить тем, что в отличие
от УДС неуправляемой (6), для УДС (12) появились невырождающиеся
в одну точку линии перемены штриховок (13). Однако, как мы увидим
в следующем примере, наличие невырожденных линий перемены
штриховок вовсе не необходимо для того, чтобы УДС была полностью управляема.
В примере 4 мы увидим, что там линия перемены штриховки также
вырождается» в одну точку О - начало координат, но это нисколько не
мешает УДС быть полностью управляемой.
Заметим, что билинейную систему, в которой точка О является точкой
абсолютного равновесия, естественно назвать полностью управляемой,
9
г
ч1
Рис. 35.3
Рис. 35.4
107

хотя, очевидно, из точки О нельзя выйти изображающей точке и в точку О
нельзя войти за конечное время под действием допустимого управления.
Поэтому управляемость таких систем естественно считать на
многообразии (ql,q2), но без точки q = О ("выколотая" точка начала координат).
4. Билинейная УДС описывается уравнениями
-ql=q2+uq\ q2=-ql+uq\ (14)
где и - неограниченное скалярное управление. Рассуждая, как в примерах
3 и 4, мы легко установим, что фазовый портрет данной УДС имеет вид,
изображенный на рис. 35.4. Границами траекторных воронок здесь
являются прямые ql = cq2, \с\ <°°, а линия перемены штриховки вырождается
в точку О. Но несмотря на такое вырождение линии перемены штриховки,
УДС будет полностью управляемой в плоскости (ql,q2) без точки О.
5. Рассмотрим теперь нелинейную УДС на плоскости, описываемую
уравнениями
ql=ulqlq2, q2=(ul)2ql. (IS)
Множеством абсолютного равновесия<»десь является; прямая q1 = 0, т.е.
ось q2. Множеством относительного равновесия является вся остальная
плоскость (q \ q2 ) при и = 0.
Выпуклое множество допустимых скоростей / (q, U) этой УДС
изображено штриховкой на рис. 35.5. Оно построено для точек (ql,q2), где
ql Φ 0, q2 Φ 0 (в частности, на рис. 35.5 ql> 0 и q2 > 0). Криволинейная
граница этого множества является параболой с верипдной в точке 0(ql,q2).
Отсюда видно, что точка О всегда лежит на границе области / (q, ί/), и,
следовательно, область нестесненных (свободных) движений здесь
отсутствует. Замыкание конуса K{q) для точек (ql, q2), где q1 Φ 0 и q2 Φ 0,
представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой, параллельной
оси ql. Эта прямая есть касательная к / (q, U), проведенная через точку
O(q\q2)- Совокупность прямых q2 = с, \с\ < «>, будет образовывать
семейство границ траекторных воронок. Фазовый портрет этой системы
изображен на рис. 35.6.
Необходимо отметить, что конус К (q) в соответствии с видом
выпуклого множества / (q, U) для точек q Φ 0, лежащих на оси q1, вырождается
в луч, который в правой полуплоскости направлен вертикально вверх, а
в левой полуплоскости - вертикально вниз. Это означает, что допустимая
траектория обязана пересекать ось ql только под прямым углом.
Ф<Ч>Щ
tn2
Рис. 35.5
Miiniiiiiiiiiiiiiiiiiiul У
,.,,■■,,,,,..,,.,..,,..,,■
11И1111ПН111111111И11Ц|
iiiiimiiimniiiiiiiin
Рис. 35.6
108

Далее, структура множества f(q, U) показывает, что движение
изображающей точки строго вдоль границ траекторных воронок (т.е. движение,
параллельное оси ql) невозможно, ибо скорость4 в этом направлении, как
видно из рис. 35.5, равна нулю. Однако движение под любым (даже сколь
угодно малым) углом к границе в разрешенном направлении уже
возможно.
Наконец из фазового портрета рис. 35.6 видно, что хотя ось<72 и
является линией перемены штриховки, однако эту линию изображающая точка не
может пересечь за конечное время, ибо, как было сказано выше, ось q2
является множеством абсолютного равновесия, т.е. инвариантным
многообразием.
Таким образом, на этом примере мы видим, что существуют траектории
данной УДС, ведущие, скажем, из правой полуплоскости (ql >0) в левую
полуплоскость (ql < 0) и удовлетворяющие принципу включения в
пространстве состояний (§ 13). Однако все же такая траектория не будет
допустимой, ибо не выполняется условие конечности интеграла времени -
условие (13.3).
Итак, УДС (15) является неуправляемой. Все допустимые движения ее
изображающей точки можно описать следующим образом. В правой
полуплоскости ql > 0 она может двигаться только снизу вверх и в стороны,
исключая движения сверху вниз и горизонтальные движения. При этом
изображающая точка не может попасть на ось q2, а ось q1 она может
пересекать только под прямым углом. В левой полуплоскости q1 < 0 картина
аналогичная. Изображающая точка может двигаться только сверху вниз
и в стороны, исключая горизонтальные смещения и движения снизу вверх.
При этом ось ql здесь также можно пересекать только под прямым углом,
•л ось q2 для изображающей точки недостижима.
6. Рассмотрим билинейную УДС, уравнения движения которой
имеют вид
ql =—aq2, q2 =aql +uq3, q3 =—uq2, \u\<m, (16)
где числа а >0,т>0им- скаляр. Хотя эта система формально и состоит
из трех уравнений, однако, в силу наличия первого интеграла
F{q) = (q1)2 +(Я2)2 +{Q*)2 =г\ (17)
«де г — произвольная постоянная, изображающая точка УДС (16) будет
двигаться только по двумерной сфере. Интеграл (17) легко вывести, если
умножить 1-е уравнение в (16) на ql, 2-е - на q2, 3-е - на q3 и затем
сложить почленно все три уравнения. В результате в правой части получится
нуль, а в левой части - полная производная функции F(q) в (17), что и
показывает справедливость (17). Уравнения (16) имеют непосредственный
физический смыл; они описывают движение спина в магнитном поле и
называются уравнения Блоха [30].
Таким образом, в силу (17) эта система имеет инвариантные
многообразия, и движение изображающей точки q УДС (16) происходит на
двумерной сфере с центром в точке О, которая описывается уравнением (17).
11остоянная г имеет смысл радиуса этой сферы и определяется начальной
ючкой q0.
109

l-nt,0,<#
Рис.35.7
Рис. 35 8
В такой ситуации, когда инвариантным многообразием является сфера
с центром в точке О, удобно перейти к сферическим координатам по
формулам
ql = г sin θ cos φ, q2 = r sin θ sin φ, q* = г cos θ,
0<</><2π, Ο<0<π. (18)
Подставляя (18) в (16), придем к двум уравнениям, описывающим
исходную УДС:
V? = j+wctg0, Θ-и sin φ. (19)
Видно, что точки абсолютного покоя у данной УДС отсутствуют. Очевидно
также, что отсутствует и область нестесненных траекторий. Линия перемены
штриховки на сфере определяется условием
\ a ctg ^ I
ζ(ψ> 0)= = я sin<£ = 0.
10 sin «^ I
Отсюда в силу а > 0 имеем sin<p = 0 и, следовательно, φ = 0 или φ = π,
что все равно определяет лишь одну линию, а именно, большую окружность
на сфере, лежащую в плоскости (ql,q3).
Границы траекторных воронок на инвариантной сфере определяются
уравнениями (19) при и= ±т:
φ-atm ctg 0, θ =±ιηύΐΐφ. (20)
Разделив 1-е уравнение в (20) на 2-е, получим дифференциальное
уравнение для семейства границ траекторных воронок:
άφ а ± т ctg 0
— = : . (21)
ад ±т sin φ
Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными,.получим
конечные уравнения семейства границ траекторных воронок в координатах
(φ, θ), г = const:
± cos φ = βθ + In I sin θ | + с, (22)
где постоянный параметр 0 = а/тис — произвольная постоянная.
110

Если фазовый портрет данной УДС представлять на плоскости (φ, 0),
а вернее — на отрезке прямого кругового цилиндра 0 <<р < 2π, Ο<0 <π,
с периметром основания 2η и высотой π, то границы траекторных воронок
системы (20) будут кривыми, описываемыми трансцендентными
уравнениями (22).
Однако сказывается проще описать границы траекторных воронок
непосредственно на самой инвариантной сфере, если заметить, что движение
изображающей точки под действием управления и = ±т есть движение в
плоскости, перпендикулярной вектору (±т, 0, а) по часовой стрелке
(если смотреть из конца этого вектора). Таким образом, границы
траекторных воронок УДС (16) представляют собой семейство концентрических
окружностей, расположенных на инвариантной сфере, получающихся
путем сечения этой сферы плоскостями, перпендикулярными векторам
(±т, 0, д). Фазовый портрет этой системы изображен на рис. 35.7, где
показан вид на сферу со стороны оси ql. Вид на сферу со стороны q2
аналогичен. Из рис. 35.7 легко видеть, что УДС (16) является полностью
управляемой на инвариантной сфере. При т -* <», т.е. при
неограниченном и, границы воронок "выпрямляются" и превращаются в одно
семейство окружностей, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси ql
(рис. 35.8).
7. Рассмотрим систему с двумя управлениями иу им2:
ql=q2+ul, q2=-ql+u2t \ul\<ml9 \u2\<m2.
Множество абсолютного равновесия здесь отсутствует, но имеется об-
Рис. 35.9
111

ласть D нестесненных (свободных) траекторий, которая совпадает с
множеством относительного равновесия и представляет собой прямоугольник
с центром в начале координат плоскости (q1, q2) и со сторонами,
ориентированными параллельно осям длины 2т1.и 2т2 соответственно. Этот
прямоугольник (область D) порождает крест (рис. 35.9), который
ограничивает кривые границ воронок. Границы траекторных воронок
представляют собой дуги окружностей соответствующего радиуса, изображенные на
рис. 35.9. Эти траектории действительно представляют собой окружности,
так как данная УДС представляет собой управляемый гармонический
осциллятор. На рисунке изображена одна траекторная воронка с вершиной
в точке А. Воронки с вершинами в других точках строятся аналогично.
§ 36. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
ДВУХУРОВНЕВОЙ КВАНТфВОМЕХАНИЧЕСКОЙ УДС*)
Ряд квантовомеханических объектов представляется как двухуровневая
система, описываемая уравнением [30]
ihq = Xq+u(t)Xxqt (l)
где q — двухмерный комплексный вектор, ЗСи Кх - эрмитовы матрицы,
u(t) - вещественная кусочно-непрерывная числовая функция, h -
постоянная Планка. Для этой системы выполняется условие нормировки: \q\ = 1,
соответствующее интерпретации комплексных величин ql и q2 как
амплитуд вероятности пребывания объекта в базисном состоянии 11 > и в
базисном состоянии 12 > соответственно. Существенной характеристикой
состояния объекта в данный момент времени является отношение амплитуд
ql(t)lQ2(О· Отношение амплитуд полностью характеризует отношение
вероятностей нахождения состояния квантовой системы в двух базисных
состояниях 11 > и 12 > и их разность фаз.
Сформулируем соответствующую задачу финитного управления [23,
24]. Найти кусочно-непрерывное управление u(t) такое, чтобы для
некоторого конечного Τ > 0 и заданных комплексных чисел к0 и К] решение
q = q(t) системы (1) удовлетворяло условиям
т^: = "о, (2)
<72(0)
я1 {ту
я\т)
s*i. (3)
В качестве начальной точки такого решения можно взять любую точку
(Яо> Яо\ ДДЯ которой справедливо q£ jq\ = к0. Унитарным
преобразованием с матрицей R = Ц/у1 || систему (1) можно привести к системе с
вещественной диагональной матрицей Жх в члене с управлением:
ihq = Kq+u{t)Kxqf (4)
*) Результаты этого параграфа получены А.В.Бабичевым.
112

где К = RXR~l, JCj = RK1R~1 -диагональная вещественная матрица,
<Г= Rq. При этом условия (2), (3) преобразуются в следующие условия:
?'(0) _~ ~ г\к0+г\
Я2Ф)~К°' К0"г?к0+гГ (5)
<72(П r?Kl+r2
= *1, К! = — J (6)
Для отношения комплексных амплитуд введем переменные ρ, φ:
«40
<72(0
Р(0*М,). (7)
Тогда из уравнений (4) — (6) легко получить для переменных ρ, φ
следующие уравнения:
ρ = (ρ2 + 1)(д cos <p + Ъ sin <р), (8)
φ=1 ρ — -τ 1(6 cos<p- д sin<p)+J+gw(r),
P(0) = Po =U0 I, <p(0) = </>o = argK0>
p{T) = px = |*i |, φ(Τ) = φχ = arg£ls (10)
где д, brdfg - некоторые вещественные числа. Можно показать, что
справедливы условия
а ф о, 6*0, g * 0, (11)
если для матриц КиКх исходной системы (1) справедливо условие
[ЗС,^] ξ ΚΚΧ -·ΚΧΚ Φ 0. (12)
Построим фазовый портрет УДС (8), (9). Положим | u(t) | </. Будем
строить линию границы траекторной воронки, описываемую уравнением
ζ(ρ,φ) =0 на многообразии {ρ, φ) . Согласно методу построения граЗйц
траекторных воронок, введем функцию Понтрягина для УДС (8), (9):
Р(Р\*Рг>Р> φ> u)=Pi(p2 + 1)(д cos <p + b sin φ) +
+ Рг\\Р 1 (Р cos φ + a sin φ) + d I + ugp2.
Для этой фуюацш
argmaxPi/?!, р2 ,р, </>, w) = / sign (gp2).
\и\<1
Тогда дифференциальное уравнение для функции ζ (ρ, φ) имеет вид
bz bz
— (ρ2 + 1)(д cos φ + b sin <p) + —
Эр d<p
X ( b cos ι - a sin <p)+ d + /g sign! g) = 0, (13)
113

или
9£
Эр
— (р2 + 1) (a cos φ + b sin φ) +
(K'->
cos </> - a sin ι^ι) + d
g
= o.
(14)
Переходя в (14) к пределу при / -*<», получаем уравнение
*dz
— g-0. (15)
В силу условия(12) ^0 и уравнение (15) имеет единственное
решение bzjb\p = 0.
Будем рассматривать ρ, φ как полярные координаты. Тогда границы
траекторных воронок ζ (ρ, </>) = 0 являются, согласно (15), окружностями
с центром в начале координат (рис. 36.1).
Особое множество системы определяется из уравнения:
(р2+1) (a cos φ + b sin </>) 0
(ρ \(b cos φ- a sin φ) + d
В силу (12) все решения уравнения (16) имеют вид:
(f)·
φ* =кж — arctgl
Jfc=0,±L...
(16)
(17)
Штриховку на окружности ζ (ρ, φ) = 0 легко определить из уравнения
(8). При этом видно, что особое множество системы (8), (9) является
также многообразием перемены штриховки.
Следует отметить, что в условиях (10) значения р0, Pi могут быть
равными 0 или °° При этом не определены соответствующие значения
φ0, φχ. Переход между такими начальной и конечной точками можно
осуществить за конечное время с ограниченным управлением u(t).
Например, такой переход получается, если
двигаться вдоль луча, направленного
под углом ат = тп + arctg(b/fl), m =
= 0, ± 1,..., с постоянным
управлением u(t) = const на [0, Г].
Системы вида (1) часто
рассматриваются в физике. При этом, как правило,
управлению u(t) (1) соответствует
напряженность быстро осциллирующих
электрического или магнитного полей.
Поэтому интересно рассмотреть
возможные сужения метода фазового
портрета на специальные классы до-
Рис. 36.1 пустимых управлений.
<Pt*fi)
114

§ 37. ПРИМЕР ДЕКОМПОЗИРУЕМОЙ БИЛИНЕЙНОЙ УДС
В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ *)
Для некоторых билинейных УДС в трехмерном прострастве иногда
оказывается возможным провести декомпозицию исходной системы
на систему с управлением для двух переменных и дифференциальное
уравнение, не содержащее управления для третьей переменной. При
определенных условиях исследование управляемости полученной системы
двух уравнений с управлением позволяет сделать вывод об управляемости
исходной билинейной УДС в трехмерном пространстве.Таким методом
удается исследовать управляемость, например, УДС, описываемой уравнением
χ =
к
0
0
0
к
0
0
0
г
x+u(t)
0
-1
-1
1
0
-1
1
1
0
χ, χеR3 , | и |<<»,
где м(Г) - кусочно-непрерывное управление, а к и г - действительные
числа.
Можно показать, что при выполнении условия —2< г /к <0 система
управляема в Я3. Производя замену переменных ql = xljxz,q2 =дг2/л3,
можно декомпозировать исходную систему. В результате получается
следующая система двух уравнений с управлением:
ql = aql + u(t)[(q1)2 + qlq2 + q2 + 1],
где а-к - r.
Построим фазовый портрет УДС ( 1). Обозначив
■til·
т.
~g(q), q&R2,
Г fo^+fV+f' + l
перепишем (1) в виде
<7 =/(<7) +"£(<?)·
Для любого ре R2 имеем:
arg maxp[/fa) + uq(q)] = / sign (pg(q)).
\u\<l
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Функция ζ (q) в уравнении границы траекторией воронки ζ (q) = 0, bz/bq =
= ρ определяется тогда из уравнения (§12):
dz
dq
или
\_bz_
I dq
m*i
dz
g(q)
= o,
/(<?) +
dz
— g(q)
dq
= 0.
(6)
(7)
*) Результаты этого параграфа получены A.B. Бабичевым.
115

Рис. 37.1
Построим фазовый портрет для неограниченного управления u(t).
Переходя в (7) к пределу при / -*°°, получим уравнение границ траекторных
воронок:
Ъг
Ъг
—-[(я1)2 + яхя2 + я2 + Π + — [(я2)2 +яхя2 -ях + Π =ο,
(8)
3<7ι *Я
или
^11to1+^2)^1-(-l-^2) + ^L2 [(я1+Я2)Я2-(-1+Я1)]=0. (9)
Это - уравнение Хессе. Метод его решения описан в [51, стр. 192]. Введем
однородные координаты
1L
1°
7. h
Тогда
d?1 * d*1' Э<72 Э|2
(10)
(Π)
, bz Λζ df
'ν1 u ϊ?-*·ϊ? (12)
116

И однородных координатах уравнение (9) принимает вид
(|1 +|2)Uf -(ξ0+ξ2)γ? "(|0_ξ,)·^ я°· (13)
Характеристическая система для этого уравнения
|i=_|0_ ξ2. ^,{1 _|0 (14)
Эта система имеет два независимых интеграла:
Ft=£0+|l_£2) (15)
F* =(??+(??+(??. (16)
Найдем такой интеграл F(Fl,F2), который при подстановке (10) был бы
функцией только q1 и q2. В качестве F можно взять функцию
F2
F= ——- +с. (17)
Тогда вследствие (10), (11) уравнение границ траекторных воронок
ζ (q) = 0 примет вид
(ql?{c- 1 ) + (q2)2(c- \)-2cqlq2 + 2cql -2cq2 + c- 1=0. (18)
Уравнение (ί8) имеет следующие вещественные решения: 1) точка
при с =1/3; 2) эллипс при 1/3 <с< 1/2; 3) парабола при с = 1/2; 4)
гипербола при 1/2 < с < °°; 5) прямая при с = °°. При значении с < 1/3
уравнение (18) вещественного решения не имеет.
Указанные многообразия являются границами траекторных воронок
системы (1). Они показаны на рис. 37.1, на котором изображен фазовый
портрет УДС, описываемой уравнениями (1).
Установим соответствие между бесконечно удаленными точками
фазового портрета системы (1). Это необходимо, поскольку существуют
такие управления u{t), что решения системы (1) уходят на бесконечность
за конечное время. Кривые, определяемые уравнением (18), являются
образцами кривых в пространстве (I0,?1,? ), которые определяются
уравнениями F1 = const, F2 = const при отображении (10). Поскольку
уравнения F1 = const, F2 = const определяют в трехмерном пространстве
замкнутые кривые (окружности), указанное соответствие между
бесконечно удаленными точками фазового портрета устанавливается, согласно
(10), следующим образом:
1) отождествляются бесконечно удаленные точки параболы,
получаемой из (18) (прис= 1/2);
2) отождествляются по две бесконечно удаленные точки, лежащие на
разных ветвях гиперболы (при с> 1/2) и соответствующие одной и той
же асимптоте этой гиперболы;
3) отождествляются бесконечно удаленные точки прямой (при с = «>).
Указанное соответствие на фазовом портрете для параболы, одной из
гипербол и прямой показано на рисунке пунктирными линиями за рамкой
фазового портрета (отождествляемые точки отмечены за рамкой
фазового портрета одинаковыми латинскими буквами).
117

Найдем особое множество системы (1). Принадлежащие ему точки
определяются из уравнения
detl/fo), g(q))=0. (19)
Подставляя f{q) и g (q) из (2), (3), получаем
'№? + (q2)2ql-(q1)2 *ql] -a[(ql)2q2 +ql(q2)2 + (q2)2 +q2] -0,
(«'-τ)42 + 7)2 = 7· (21)
Таким образом, особое множество - это окружность радиуса \j\fT с
центром (1/2,-1/2).
Штриховку на границах траекторных воронок легко определить
следующим образом. Для уравнения (8) характеристическая система имеет вид
Я = *(<?)· (22)
Кривые z(q) = 0 являются, как легко видеть, траекториями этой системы.
Поэтому штриховку на границах траекторных воронок ζ (q) = 0 для
системы (1) можно определить, совместив фазовый портрет системы (22) (т.е.
изображение кривых (18)) и фазовый портрет системы
Я =№- (23)
На фазовом портрете УДС (1), изображенном на рис. 37.1, показана
допустимая траектория, соединяющая точки q0 и qx и проходящая через
бесконечно удаленную точку плоскости (q1, q2).
§ 38. УПРАВЛЯЕМОСТЬ БИЛИНЕЙНОЙ УДС ОБЩЕГО ВИДА
НА ПЛОСКОСТИ *)
В этом параграфе на примере задачи об управляемости для
билинейной системы общего вида 2-го порядка мы покажем, как идеи
предложенного дифференциально-геометрческого метода (метода фазового
портрета) позволяют подчас получить исчерпывающие результаты.
Итак, пусть УДС представляет собой билинейную систему
Z=Aq+uBq, qe{q) = R2, (1)
где А и В — квадратные 2 X 2-матрицы с действительными элементами,
и — скалярное управление, которое будем назьюать допустимым, если
w = u(t)— кусочно-непрерьюная функция со значениями в R1.
Уравнениями типа (1) описьюаются многие физические, физиологические,
биологические процессы. Несмотря на то, что в последнее время появилось
большое число работ, посвященных управляемости как нелинейных, так
и билинейных систем (см., например, .[20,127, 132,133]), условия
управляемости УДС вида (1) в явном и компактном алгебраическом виде
ранее, наскольконам известно, получены не были.
В дальнейшем управляемость будет пониматься в обычном смысле.
Пусть Л/=Я2\ {0}. Систему (1) назовем управляемой, если из произволь-
*) Результаты этого параграфа получены Н.Л. Лепе.
118

Рис. 38.1 Рис. 38.2
ного начального состояния q0 ЕМ изображающая точка системы (1)
может за конечное время Т>0 перейти под действием допустимого
управления м = м(г), 0<г<Г, в произвольное (заданное) конечное
состояние qx.
Перед тем, как перейти непосредственно к изложению полученных
результатов, приведем одно свойство билинейных систем вида (1),
которое мы назовем "свойством симметрии штриховок" относительно начала
координат.
Свойство симметрии штриховок. Пусть q ЕМ, тогда вектор Bq задает
угол наклона касательной к траектории уравнения
Я=ВЧ, (2)
проходящей через данную точку q% Траектории уравнения (2) в Μ
являются границами траекторных воронок УДС (1). Заметим, что под действием
допустимого управления можно двигаться сколько угодно близко к этой
траектории, причем в обе ее стороны, а в пределе при и^°° можно считать,
что допустимое движение возможно в обоих направлениях вдоль
траектории уравнения (2), т.е. в обе стороны вдоль границы воронки УДС (1).
Направление вектора Aq определяет штриховку этой границы в точке q.
Возьмем теперь точку cq € Μ, где с Φ О - числовая константа. Вектор
cBq параллелен вектору Bq, и, следовательно, траектория уравнения(2),
проходящая через точку cq, имеет такой же угол наклона касательной в
точке*с<7» что и траектория, проходящая через точку q% Вектор cAq при
с >(J коллинеарен вектору Aq, а при с< О антиколлинеарен вектору Aq.
Это означает, что направление штриховки в точке cq при с>0
совпадает с направлением штриховки в точке q и изменяется на
противоположное при с <0. Такое свойство назовем свойством симметрии штриховок
относительно начала координат.
Поясним сказанное выше на примере. Пусть О - начало координат.
Точки F, О, С, D находятся на одной прямой (рис. 38.1). Пусть через точку
С проведена траектория уравнения (2), на которую нанесена штриховка.
На этом рисунке направление штриховки показано стрелкой. Не проводя
вычислений, а опираясь лишь на свойство симметрии штриховки, можно
определить касательные в точках D и F к траекториям уравнения (2):
они будут параллельны касательной к траектории в точке С. Так как точки
119

С и D находятся на отрезке FD по одну сторону от точки О, то
направление штриховок в этих точках совпадает. Точки С и F находятся по разные
стороны от точки О. Поэтому в них направление штриховок
противоположное.
Другое применение свойства симметрии штриховок заключается в том,
что все свойства управляемой билинейной системы можно качественно
исследовать в пространственной области ограниченных размеров,
распространив затем результаты на все пространство R2. Например, пусть известна
штриховка только на одной траектории уравнения (2) (рис. 38.2,д).
Использовав свойство симметрии штриховок, получаем полностью
заштрихованную картину траекторий уравнения (2) на всей фазовой плоскости
(рис. 38.2,0).
Перейдем теперь к исследованию свойств управляемости УДС (1).
Это исследование проводится отдельно для всех возможных случаев
комбинаций двух собственных значений матрицы В, а именно: матрица В
имеет 1) два равных между собой действительных собственных числа;
2) два различных действительных собственных числа; 3) два чисто
мнимых собственных числа и 4) два сопряженных комплексных собственных
чила с действительными частями, отличными от нуля. Исследуем
последовательно все эти случаи.
1. Матрица В имеет два равных действительных
собственных числа. Оставив временно в стороне случай, когда
В = ££, где к - скаляр, а Е - единичная матрица, предположим, что УДС
(1) приведена к виду
у=Аху+иВху, (3)
-к;]
где Βχ = I I - жорданова форма матрицы В и λ - ее кратное
действительное собственное число. Для исследования управляемости данной
УДС рассмотрим семейство траекторий уравнения
У=Вху. (4)
Эти траектории являются границами траекторных воронок УДС (3).
Особая точка у = 0 этого уравнения имеет вид узла. Можно показать, что
для билинейной УДС (1) множествами перемены штриховки (МПШ) в
Μ могут быть только прямые линии, если они существуют, и притом числом
не более двух.
Докажем, что УДС (3) может либо иметь две различные, либо не иметь
ни одной прямой линии перемены штриховки. Пусть УДС (3) имеет только
одну прямую перемены штриховки. Эта прямая описывается уравнением
\Агу Вгу\ = 0. (5)
Но, с другой стороны, на этой прямой определитель I [Ах,Вх]у Вху I
обращается в нуль. Это означает, что вектора [AiyBi]y иВху линейно
зависимы на прямой (5). Отсюда следует, что прямая (5) не может быть
прямой перемены штриховки [127]. Это противоречие и доказывает наше
утверждение.
Далее предположим, что УДС (3) имеет две прямые перемены
штриховки. Тогда ее фазовый портрет, если учесть свойство симметрии, будет
120

с точностью до направления штриховки иметь вид, изображенный на
рис. 38.3,д. Здесь важно то, что существует единственная прямая СД
принадлежащая семейству границ траекторных воронок, на которой
штриховка определена. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости:
верхнюю и нижнюю. Такая УДС, как видно из рисунка, является полностью
управляемой.
Действительно, с любой траектории уравнения (3), проходящей в
верхней полуплоскости, можно перейти на любую другую траекторию,
также проходящую в верхней полуплоскости, так как каждая траектория
имеет особую точку, в которой штриховка меняет направление. Это
утверждение справделиво и для двух произвольных траекторий (границ
воронок), лежащих в нижней полуплоскости. Поскольку на прямой CD,
принадлежащей семейству траекторий, штриховка определена, возможны
переходы как с верхней полуплоскости в нижнюю, так и наоборот.
Поэтому УДС (3) управляема. Заметим, что если на прямой CD штриховка
не определена, то УДС (3) неуправляема.
Пусть теперь система (3) не имеет ни одной линии (прямой) перемены
штриховки. Тогда ее фазовый портрет имеет, с точностью до
направления штриховки, вид, изображенный на рис. 38.3,5.
Здесь управляемость также зависит только от того, определена ли иггри-
ховка на прямой СД принадлежащей семейству траекторий уравнения (3),
или нет. Бели штриховка определена, то система управляема.
Действительно, несмотря на то, что с произвольной траектории в верхней
полуплоскости нельзя попасть непосредственно на произвольную траекторию также
в верхней полуплоскости, все же возможен управляемый переход через
нижнюю полуплоскость. Один из таких переходов#изображен на рис. 38.3,5.
Заметим, что если на прямой CD штриховка не определена, то УДС
неуправляема, так как переход, например, из верхней плоскости в нижнюю
невозможен.
Резюмируя сказанное выше, можно утвержать, что УДС (3) управляема
тогда и только тогда, когда на прямой СД принадлежащей семейству
траекторий уравнения (4), определена штриховка.
Выразим это условие управляемости в алгебраическом виде. Если мат*
рица В ι имеет жорданову форму, то прямая, принадлежащая семейству
9. А.Г. Бутковский
121

траекторий уравнения (4), есть прямая у2 = 0. Штриховка на ней не
определена в том и только в том случае, когда эта прямая принадлежит
семейству траекторий уравнения у = Аху. Но это возможно лишь при
условии, что а21 =0, где а21 — элемент матрицы Α γ во второй строке и
первом столбце. Это и есть необходимое и достаточное условие
управляемости УДС (3), если матрица В — жорданова.
Предположим теперь, что матрица В — произвольна. Существует
невырожденное линейное преобразование R такое, что матрица В γ = RBR ~l —
жорданова. Выразив В γ через элементы матриц А и В, получим
необходимое и достаточное условие управляемости в виде
det [А,В]<0. (6)
Пусть теперь матрица В имеет вид
-[УЛ
Тогда траектории уравнения (2) образуют "дикритический" узел" [87].
Следует сразу отметить, что если семейство траекторий уравнения q =
= Aq содержит хотя бы одну прямую, то система (1) неуправляема.
Действительно, тогда на этой прямой штриховка не определена. Так как прямая
разбивает фазовую плоскость на две непересекающиеся части, то
управляемый переход изображающей точки между этими частями плоскости
невозможен. Уравнение q-Aq имеет траекторию в виде прямой только
тогда, когда дискриминант δ характеристического уравнения данной
системы удовлетворяет условию δ = (tr А) 2 - 4 det A > 0.
Докажем, что необходимое и достаточное условие управляемости имеет
вид
δ =(tr Л2)- 4det Л <0. (7)
Пусть матрица А удовлетворяет условию (7). Тогда особая точка
уравнения q=Aq имеет вид центра или фокуса. В этом случае каждая
траектория уравнения q = Aq пересекает все траектории уравнения q=Bq.
Двигаясь из начальной точки q0 по траекториии уравнения q=Aq,
изображающая точка УДС обязательно пересечет траекторию уравнения
q-Bq, содеражащую конечную точку qx. Далее, перемещаясь по этой
траектории уравнения q=Bq, изображающая точка попадаете конечную
точку qx. Таким образом, если условие (7) выполнено, то УДС (1)
управляема. В противном случае, как это было показано выше, она неуправляема.
2) Матрица В имеет различные действительные
собственные числа. Заменой переменных у = Nqt где N —
некоторая невырожденная матрица второго порядка, от УДС (1) переходам к
УДС вида
У^АгУ+иВгУ, (8)
Г λι 0 1
где Α ι -NAN'1, В χ = — диагональная матрица, Хь λ2 - различ-
[0 Λ2 J
ные действительные собственные числа матрицы.
Управляемость УДС (8) в этом случае была исследована в [128], где
доказано, что УДС (8) управляема тогда и только тогда, когда элементы
122

матрицы Α ι удовлетворяют условию
а1га21<0. (9)
Схема доказательства заключалась в следующем. В УДС (8) была сделана
замена переменных
г
v(t) = f и(т)(1т9 ζ =exp[-ui?] у.
о
Тогда компоненты ζχ, z2 вектора ζ удовлетворяют системе уравнений
zx = αχχζχ + Λ12ζ2βχρ(Δυ), ^10^
ζ2 =021*1 βχρ(-Δυ) +fl22z2>
где *Δ = λ2 — \χ. Умножая обе части первого уравнения системы (10) на z2,
а второго — на Ζι и затем складывая эти уравнения почленно, получим
^(ζΧΖ2) Ύ ,
— = (ахх +д22) zxz2 +fli2z2exp(Au) + α2χζ\βχρ(-Δυ).
dt
Решая последнее уравнение, получим
*ι (О *2 (О = ехр(лг) [zx (0) z2 (0) +
г
+ Λΐ2 / ехр(-дг + Αν) ζ\ (τ) άτ +
ο
+ *2ΐ / ехр(-дг - Αν) ζ\ (r) dr],
ο
где α = trAi - след матрицы Л j. При этом
а) если а2х и ах2 неотрицательны, то zx (г) ζ2 (ί) > 0 для t > 0 и для всех
*ι (0) z2 (0) > 0, независимо от управления υ (ί);
б) если Ли и д21 неположительны, то zx (t) z2 (t) > 0 для t < 0 и для
всех Ζ! (0) ζ2 (0) > 0, независимо от управления ν (ί ).
Из а) и б) вытекает, в частности, что все множество точек, которое
достижимо из начальной точки, не лежащей на осях координат, совпадает
с квадрантом, содержащим эту начальную точку. Это означает
неуправляемость УДС (1). Несколько сложнее доказывается управляемость УДС (8)
в случаед12д21 < 0%[128].
Покажаем, что условие (9) можно получить с помощью метода фазового
портрета. Например, в случае \х \2 < 0 семейство траекторий уравнения
(2) имеет особую точку типа седла. Так как каждая траектория из этого
семейства делит R2 на две несвязанные области, то для управляемости
УДС (8) необходимо, чтобы на каждой такой траектории существовала
точка, в которой штриховка этой траектории меняет направление. Это
означает, что УДС (8) должна иметь две различные прямые линии перемены
штриховки:.)'2 =кху1 иу2 =к2ух такие, что
*ι*2<0. 00
Уравнение линий перемены штриховки УДС (8) имеет вид
МпСУ2)2 + (Мп -М22)/>>2 -\xa2i(yl)2=0.
9*
123

Рис. 38.4
Так как это уравнение не содержит
членов, линейных по у1, у2, то
линией перемены штриховки могут
быть либо две различные
прямые,проходящие через начало координат,
либо одна такая прямая. Для
выполнения условия (11) по теореме Вие-
та необходимо, чтобы а12а21 < 0.
С другой стороны.если УДС (8) имеет
две прямые линии перемены
штриховки, то она имеет вид, с точностью
до направления штриховки,
изображенный на рис. 38.4, откуда видно,
что УДС (8) полностью управляема.
Теперь зададимся вопросом: во
что перейдет неравенство (9), если
в УДС (8) матрица В -
недиагональная? Для ответа на этот вопрос выразим элементы матрицы Л} через
элементы матрицы Л и N. Напомним, что невырожденная матрица N такова,
что ΝΒΝ"1 = Bl9 где Вх — диагональная матрица. Как известно, матрица
Ν9 приводящая к жордановой форме матрицу В, не единственна, но знак
произведения αί2α2ι не зависит от выбора матрицы Af и совпадает со
знаком выражения
(я'п -a22)(b22 -b'n)(a'2lb\2 +a[2b2l)-
-(b'2la\2 -a2lb'l2)2 +a\2a2l(b'n - b'22)2 +
+ b\2b'2l(a'n -а22)2=аеХ[А9В],
где [А, В] -AB—BA ка'у9Ьу- элементы матриц А и В соответственно.
Таким образом, если матрица В имеет два не равных между собой
действительных собственных числа, то система (1) управляема тогда и только
тогда, когда
det[A,B] <0. (12)
3) Матрица В имеет два чисто мнимых
собственных числа. В этом случае особая точка системы (2) имеет вид центра.
Если у системы (1) нет линий перемены штриховки, то ее фазовый
портрет имеет вид рис. 38.5, д. Из этого рисунка видно, что УДС неуправляема,
так как, например, из окрестности особой точки мы не можем попасть
во все остальные точки пространства. Если же у системы (1) существует
хотя бы одна линия перемены штриховки, то с учетом свойства симметрии
штриховки портрет имеет вид (опять же с точностью до направления
штриховки), изображенный на рис. 38.5,6. Система, имеющая хотя бы одну
линию (прямую) перемены штриховки, полностью управляема, поскольку
из любой точки множества Μ возможны управляемые переходы как в
области, прилегающие к особой точке, так и в точки jR2, удаленные на
любое расстояние от начала координат. Поэтому для рассматриваемых
матриц В необходимым и достаточным условием управляемости является
существование хотя бы одной линии перемены штриховки.
124

Получим это условие в аналитическом виде. У билинейной системы
уравнение прямых перемены штриховки имеет вид
I Aq Bq\ = 0. (13)
1'аскрывая выражение (13) и используя тот факт, что матрица В имеет
чисто мнимые собственные числа, т.е. txB = 0, получим необходимые и
достаточные условия управляемости:
det [А, В] + [ХхА]2 detВ < 0. (14)
Гак как собственные числа матрицы В — чисто мнимые, то det/? > О, и
потому необходимым условием управляемости является соотношение
det [А, В] < 0. (15)
4) Матрица В имеет сопряженные комплексные
собственные числа с действительной частью,
отличной от нуля. В этом случае особая точка уравнения (2) имеет
мид фокуса. Докажем, что если хотя бы в одной точке пространства jR2
штриховка определена, то система (1) управляема.
Действительно, пусть штриховка определена в некоторой точке q Φ 0.
Из свойства симметрии штриховок следует, что тогда штриховка
определена и во всех точках прямой, проходящей через точки ?'и 0 (рис. 38.6).
Следовательно, выходя из произвольной точки q0 (она не изображена
на рис. 38.6), мы можем по траектории уравнения (2) добраться до
пересечения с прямой Oq0. Так как в этой точке пересечения штриховка
определена, то совершим, согласно штриховке, управляемый переход на
спираль, проходящую через конечную точку qx. Далее, двигаясь по этой
спирали, можно уже непосредственно попасть в конечную точку qx. Таким
обозом, для управляемости (1) в этом случае необходимо и достаточно, чтобы
хотя бы в одной точке пространства была определена штриховка. Это
условие управляемости эквивалентно условию
ВФкА (16)
для любого действительного числа к.
Заметим, что если ввести обозначения χ = (а22 - я'и ),У = (Ь22 - b'n),
то
det [А, В] =b'21b'l2x2 -(а'21 b'n + <t'l2b'2l)xy +
+ al2a2ly -(012*21 -021*13) ·
Рис. 38.5 Рис. 38.6
125

Рассмотрим выражение (17) как квадратный трехчлен относительно χ и
исследуем его знак. Дискриминант этого выражения преобразуется к
виду (Jb'i2^2i - Ъг\й\2)2(у2 +4£'12&2ΐ). Так как собственные числа
матрицы В являются комплексными, то у1 +4Ь'12Ь^ < 0 и b'nbii < 0.
Следовательно, выражение (17) неположительно. Если # = &Л для какого-то
числа к, то выполняется условие det [Л, В] =0, и УДС (J) неуправляема.
Однако здесь легко построить пример, в котором det [Л, В] =0 и ВФкА,
а такая система будет управляемой. Если же справедливо строгое
неравенство det [А, В] < 0, то УДС (1) управляема.
Итак, в пунктах 1) - 4) этого параграфа были рассмотрены условия
управляемости УДС (1) в зависимости от собственных чисел матрицы В.
Из соотношений (6), (7), (12), (14) —(16) вытекает
Необходимое и достаточное условие управляемости УДС (1).
1) det [Л, В] < 0, если матрица В имеет действительные собственные
числа и В ФкЕ при любом действительном числе к, где Ε — единичная
матрица;
2) [tr^4]2 -4det^4 < 0, если В = кЕ при некотором действительном
числе/:;
3) det [А, В] + [tr^4 ] 2det# < 0, если В имеет чисто мнимые собственные
числа;
4) ВФкА для любого действительного числа к, если В имеет
комплексные собственные числа, с действительной частью, не равной нулю.
Наконец из проведенного нами анализа вытекает еще одно полезное
следствие: если det [А, В] > 0, то УДС (1) неуправляема.
§ 39. ТРАЕКТОРНАЯ ВОРОНКА В ОБРАТНОМ ВРЕМЕНИ
Траекторной воронки в обратном времени VЛя') с вершиной в точке
q'e {q} для УДС
я=Пя,и), иеи(я), (О
назовем воронку V(я') с вершиной в той же точке q\ построенную для
уравнения
<? = -/(*, и), ueU{q). \2)
Идея построения поверхностей переключения в теории оптимального
управления с использованием "попятного" движения была предложена А.А. Фельд-
баумом [107,108,109].
Соответствующее включение для уравнения (2) имеет вид
qe-f{q,U). (3)
Конус К_ (q) допустимых направлений скоростей для включения (3)
соответственно описывается формулой К_ (q ) = -K(q), где K(q) -
конус допустимых направлений скоростей для УДС (1). Если
гамильтониан исходной УДС (1) имеет вид #(р, q), то гамильтониан УДС (2) будет,
очевидно, иметь вид Н(-р, q). Отметим, что траекторная воронка V(q')
описывает область достижимости из точки #'УДС (1), по крайней мере
при достаточно малом времени движения из q'. В сдою очередь, траекторная
126

воронка К. (q) в обратном времени
ограничивает область управляемости
для точки q исходной системы (1).
Понятие траекторной воронки
VJq) в обратном времени иногда
помогает конструктивно решить задачу
финитного управления. Пусть
требуется для УДС (1) найти допустимую
траекторию, ведущую от начальной
точки <7о в конечную точку qх. Для
решения этой задачи будем строить
границу траекторной воронки V(qo)
для УДС (1) в прямом времени, а
для точки qx будем строить
границу траекторной воронки V_{qx)
две гиперповерхности границ воронок
Рис. 39.1
в обратном времени. Если
V{qQ) и V_(q1)
пересекутся хотя бы в одной точке, то искомое финитное управление существует и
его можно конструктивно найти. Оно будет, разумеется, не единственным,
если общих точек V(q0) и V_ (qx) будет больше чем одна. Однако эти две
воронки могут и не встретиться непосредственно. Каждая из них при этом
может "упираться" в некоторые области, связь между которыми
осуществляется с помощью допустимых траекторий. Тогда искомое финитное
управление существует. В противном случае, когда заведомо нет связи
между этими областями с помощью допустимых траекторий, искомое
финитное управление отсутствует.
Заметим, что если фазовый портрет исходной УДС (1) уже построен, то,
очевидно, никаких дополнительных построений границ воронок в обратном
времени делать не надо: их надо только выделить, двигаясь по уже
имеющимся траекториям, проходящим через конечную точку qx, но уже в
отрицательном направлении течения времени f.
В качестве иллюстрации рассмотрим простейший пример УДС
и\<т, т>0.
•1 2
q =<г,
q2 = ",
Фазовый портрет этой УДС построен в § 35. На рис. 39.1
проиллюстрирована идея решения задачи финитного управления, основанная на факте
встречи прямой и обратной воронки. Для явного обнаружения этого факта в
квадранте I взяты две точки: начальная q0 и конечная qx. Ломаная кривая
Aq0B - граница воронки V{q0)y a AqxB - граница воронки V_(qx) в
обратном времени. Эти воронки встречаются в точках А к В. Поэтому
существуют по крайней мере две траектории: qoAqx и qoBqx,
соединяющие q0 и qx допустимым образом.
В другом случае, если точка q0 останется в квадранте I, а точку qx
мы берем в квадранте II, то воронки V(qQ) и V_(qx) непосредственно
не встречаются. Граница воронки V (q0) имеет конец в точке С, а Э V_ (q\)
в точке /Г, так как ось ql представляет собой особую линию перемены
штриховки.
Таким образом, в этом случае две воронки V(q0) и V_ (q\)
"упираются" в нижнюю полуплоскость q2 < 0. Но в нижней полуплоскости, как
127

легко видеть в данном случае, существуют допустимые траектории.
Например, траектория CFE, которая не только допустима, но и минимальна по
времени.
В*этом примере, основываясь на методе А.А. Фельдбаума [109, ПО]
построения линии переключения путем "попятного" движения, мы легко
находим линию переключения в задаче быстродействия, когда из
произвольной точки q£ {q} нужно попасть в фиксированную точку q\. Эта
линия переключения rta рис. 39.1 состоит из кусков двух парабол: Dq\
*q\EFG.
§ 40. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Пусть УДС описывается уравнением
<?=/(*, и). (1)
Кроме этого , на УДС (1) наложены ограничения: на значения
управления мЕ U(q) и на фазовые координаты (или состояние) q^G, где U(q)
и G — заданные множества. Задача оптимального управления
формулируется следующим образом. Задана функция J(q) и задана начальная точка
q(0) =<7ο· Требуется найти такую допустимую траекторию УДС (1),
исходящую из точки <7о> чтобы изображающая точка q в некоторый момент
времени Т> 0 доставила минимальное значение функции J(q (Τ)).
Особенно просто эта задача решается на плоскости (или двумерном
многообразии), т.е. когда размерность пространства (многообразие)
состояний УДС равна 2. В этом случае достаточно наложить на фазовый
портрет УДС еще и поверхности (линии) уровня функции J(q).
Поскольку фазовый портрет УДС сразу дает возможность провести допустимую
траекторию, то из всего множества допустимых траекторий надо выбрать
ту, вдоль которой изображающая точка q достигнет линии уровня с
наименьшим (возможным для этой траектории) значением функции J(q).
Фазовый портрет УДС, дополненный наложенными на него линиями
уровня функции J(q), дает полную качественную картину возможных
решений задачи оптимального управления и, кроме того, позволяет
получить и соответствующие количественные характеристики. Фазовый портрет
на плоском многообразии, как будет показано в примере 3 этого
параграфа, позволяет подчас решить задачи оптимального управления и более
высокой размерности, чем 2.
Приведем примеры реализации предложенного подхода к решению
задач оптимального управления*).
1. Задача оптимального управления состоит в том, чтобы для УДС
^=У+«, 0<м<1, (2)
найти такую допустимую траекторию, идущую от ql0 к q\t чтобы
функционал
1
J=fu(t)dt (3)
-О
*) Приведенные ниже примеры предложены и решены Е.А. Андреевой.
128

достиг минимального значения. Введем новую координату
<?2=м, 0<м<1. (4)
Тогда получим УДС
ql=-ql+u, q2=u, 0<м<1, " (5)
для которой надо найти траекторию с начальным условием
^(0) = ^, <72(0) = 0 (6)
и конечным условием при Τ = 1
ql{T) = qlil) = q\9 (7)
чтобы функция/ (q2) при?2 = q2(T) =q2{\) достигла минимума.
Границы траекторных воронок УДС (5), как легко видеть,
определяются соотношениями
<72=СЬ «fa=Ca-ln|l-?4 (8)
где С γ и С2 - параметры семейств. Линии уровня функции/(<72) = Q2
совпадают с первым семейством границ траекторных воронок в (8), т.е.
q2 = Сг. На рис. 40.1 построен фазовый портрет УДС (5) вместе с линиями
уровня минимизируемого функционала. Искомая оптимальная траектория,
соединяющая q0 и qx, выделена на рисунке.
2. Для УДС вида qх = и1, | и1 | < 1, с начальным условием ql (0) = 0 и
конечным условием*?1 (Т) =ql (1) = q\ > 0 найти оптимальную траекторию,
минимизирующую функционал
1
/= f[ul(t)fdt.
о
Введя новую переменную q2 = (и1) , q2 (0) = 0, надо добиться, чтобы
величина q2 (T) =q2(l) достигла минимума.
Границы траекторных воронок описываются уравнением dqlldq2 - ± 1.
Интегрируя, получаем два семейства границ: q2 = q1 + Cif q2 = -ql +
+ C2.
На рис. 40.2 изображен фазовый портрет полученной системы, откуда
видно, что искомый минимум равен ординате точки А, а соответствующая
оптимальная траектория есть отрезок ОА.
3. Построить выпуклую фигуру на плоскости, обладающую
минимальным (максимальным) периметром с заданными ограничениями на ширину.
Будем описывать фигуру с помощью понятия ширины выпуклой фигуры в
направлении φ. Периметр/ определяется соотношением
π.
о
Выпуклость фигуры характеризуется условием: ql + q1 = и (φ) > 0, где
и (φ) - радиус кривизны в направлении φ. Ограничения на ширину ql (φ)
задаются следующим образом: δ0 < ql (φ) < δ ι . Если периметр тела мини-
129

Рис. 40.1
9>
η2
Ъ
0
1
Ss
Ml'v
*f)
?/
£'
Рис. 40.2
Рис. 40.3
мизируется, то граничные условия имеют вид
(71(0) = (72(π) = Δ1, <72(0) = <72(π) = 0, q2 = ql.
Если периметр тела максимизируется, то задача решается при граничных
условиях q1 (0) = ql (π) = δ0 .
Итак, имеем две задачи оптимального управления:
a) J- f ql&)dip-+M;
о
ql =q2, q2=—ql+u, δ0 <<7* (s?) ^Δι > 0<φ<π,
u&)>0, (?1(0) = ^1(ίτ)=Δ1, <72(0) = <72(π) = 0;
130

6)J= fq1(ip)dip-+$up\ .
0
и(ф)>Ъу ql@) = ql(ir)=&0.
Построим семейство границ траекторных воронок. Уравнения семейства
границ воронок имеют вид:
dq2 ql dq2
Интегрируя эти уравнения, получим ql = Сх, (ql) + (q2) =*Сг,^где Сх и
С2 — параметры семейств границ траекторных воронок. Линией перемены
штриховки является ось ql, поскольку
s(q)=\Aqb\=q2=0.
Тогда для задачи а), учитывая равенство
/= fqld<p = f(-q2 + u)d<p = q2(0)-q2(ir) + ] udsp
0 0 О
и граничные условия, видим, что оптимальная фазовая траектория
начинается из точки В (рис. 40.3), далее идет по окружности радиуса sx с центром
в точке О до точки С, затем через точки D и А и снова по окружности
радиуса sx с центром в точке О возвращается в точку В.
Для задачи б) оптимальная фазовая траектория на фазовом портрете
рис. 40.3 обозначена А ВС.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айзерман М.А. Введение в динамику автоматического регулирования
двигателей. - М.: Машгиз, 1950.
2. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Лекции по аналитической механике. - М.:
Наука, 1981.
3. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. - М.:
Госте хтеориздат, 1948.
4. Андреев Ю.Η. Управление конечномерными линейными объективами. - М.:
Наука, 1976.
5. Андронов А.А., ВиттА.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз,
1959.
6. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон ИМ., Майер А.Г. Качественная теория
динамических систем второго порядка. - М.: Наука, 1966.
7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г Теория бифуркаций
динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1967.
8. Арнольд В.И. Дополнительные главы дифференциальных уравнений. - М.:
Наука, 1972.
9. Арнольд ВМ. Математические методы классической механики. - М.: Наука,
1974.
10. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений. - М.: Наука,
1982
11. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных
производных. - М.: Мир, 1975.
12. Белое В.В., Воробьев Е.М. Сборник задач по дополнительным главам
математической физики. - М.: Высшая школа, 1978.
13. Биркгоф Г. Динамические системы. - М.-Л.: Гостехтеориздат, 1941.
14. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. - М.: Изд-во МГУ,
1979,ч.1.
15. Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. - М.: Наука, 1982.
16. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974.
17. Болотовский Б.М., Столяров СИ. Поля источников излучения в движущихся
средах. Эйнштейновский сборник (1978-1979). - М.: Наука, 1983, с. 197-277.
18. Болтянский В.Г. Задача оптимизации. со сменой фазового пространства. -
Дифференциальные уравнения, март 1983, т. XIX, №3^ с. 518-520.
18а. Болтянский В.Г. Метод локальных сечений и опорный принцип. - В кн.:
Математика на службе инженера. - М.: Знание, 1973.
19. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970,
20. Брокетт Р.У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления. - В сб.
"Математические методы в теории систем*'. - М,: Мир, 1979.
21. Буземан Г. Выпуклые поверхности. - М.: Наука, 1964, с. 238.
22. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с
распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965.
23. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными
параметрами . - М.: Наука, 1975.
24. Бутковский А.Г Структурная теория распределенных систем. - М.: Наука, 1977.
25. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. -
М.: Наука, 1979.
132

26. БутковскийА.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного
решения задач управляемости и финитного управления. - Автоматика и
телемеханика, 1982, №1.
27. Бутковский А.Г., Андреев Ю.Н., Малый С.А. Оптимальное управление нагревом
металла. - М.: Металлургия, 1972.
28. Бутковский А.Г., Андреев Ю.Н., Малый С.А. Управление нагревом металла. -
М.: Металлургия, 1981.
29. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами
с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1980.
30. Бутковский А.Г, Самойленко Ю.И. Управление квантово механически ми
процессами. - М.: Наука, 1983.
30а. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. - М.: Мир,' 1982.
31. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. - М.-Л.: Энергия,
1966.
32. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. - М.: Наука,
1979.
33. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. -
М.: Наука, 1971.
34. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. - М.: Наука, 1973.
35. Гельфанд И.М., Фомин СВ. Вариационное исчисление.- М.: Наука, 1961.
36. Годунов С.К. Уравнения математической функции. - М.: Наука, 1974.
37. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. - М.: Наука,
1977.
38. ГурсаЭ. Курс математического анализа, т. I, II. - М.-Л.: Гостехтеориздат,
1936.
39. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных
производных. - М.-Л.: Гостехтеориздат, 1934.
40. Далецкий Ю.Л, Фомин СВ. Меры и дифференциальные уравнения в
бесконечномерных пространствах. - М.: Наука, 1983.
41. Дирак П. Обобщенная гамильтонова механика. - В сб. "Вариационные принципы
механики", под ред. Л.С. Полака. - М.: Физматиздат, М., 1959, стр. 705-722.
42. Дирак П. Принципы квантовой механики. - М.: Наука, 1979.
43. Дубровин Б.Α., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия. - М.:
Наука, 1979.
44. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980.
45. Емельянов СВ. Системы автоматического управления с переменной
структурой. -М.: Наука, 1967.
46. Ефимов И.В. Введение в теорию внешних форм. - М.: Наука, 1977.
47. Жевнин А.А., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез
алгоритмов управления. - Доклады АН СССР, 1981, т. 258, № 4.
48. Жуков В.П. Исследование устойчивости одного класса нелинейных систем. -
Автоматика и телемеханика, 1980, №11.
49. Заде Л, Дезоер Ч. Теория линейных систем. - М.: Наука, 1978.
50. Загаллер В.А. Теория огибающих. - М.: Наука, 1975.
51. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных
первого порядка. - М.: Наука, 1966.
52. Карслоу Г, Егер Д. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука, 1964.
53. Картан Э. Интегральные инварианты. - М.-Л.: Гостехтеориздат, 1940.
54. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории
динамических систем. - Киев: Наукова Думка, 1980.
55. Красносельский М.А, Векторные поля на плоскости. - М., Физматиздат, 1963.
56. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных
.уравнений. - М.: Гостехтеориздат, 1956.
57. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного
анализа. - М.: Наука, 1975.
5«. Красносельский М.А., Перов А.И., Поволоцкий А.И., Забрейко ИИ Векторные
поля на плоскости. - М.: Наука, 1961.
59. Красносельский М.А. Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства
Орлица. - М.: Физматгиз, 1958.
133

60. Красовский Н.Н. Теория управления движением. - М.: Наука, 1968.
61. Красовский Н.Н* Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.:
Наука, 1974.
62. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964.
63. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. I, II. - М.-Л.:
Гостехтеориздат, 1945.
63а. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. - М.:
Гостехтеориздат, 1950.
64. Ладиков Ю.И Стабилизация процессов в сплошных средах. - М.: Наука, 1978.
65. Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Наука, 1965.
66. Леви-Чивита Т., Амальди Ук Курс теоретической механики, т. II. - М.: ИЛ, 1951.
67. Левченков B.C., Пропой А.И. Об общей теории систем. - М.: Издательство
Всесоюзного научно-исследовательского института системных исследований
(ВНИИСИ),1978.
68. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. - М.: Наука, 1968.
69. Леонтович М.А. Статистическая физика. - М.: Гостехиздат, 1944.
70. ЛереЖ. Лагранжев анализ и квантовая механика. - Мл: Мир, 1981.
71. ЛичДж. У. Классическая механика. - М.: ИЛ, 1961.
72. Лурье ΚΛ. Оптимальное управление в задачах математической физики. - М.:
Наука, 1975.
73. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. - М.: Издательство АН СССР,
1955.
74. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1976.
75. Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод
канонического оператора. - М.: Наука, 1978.
76. Мищенко Е.Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем
дифференциальных уравнений. Известия АН СССР (серия математическая),
т. 21, 1957.
Τ Моисеев Н.Н. Асимптотические методы в нелинейной механике. - М.: Наука,
1981.
78. Неймарк Ю.И., Фуфаев НА. Динамика неголономных систем. - М.: Наука, 1967.
Нелинейные волны (самоорганизация). Сб. статей. - М.: Наука, 1983.
80. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных
уравнений. - М. - Л.: Гостехтеориздат, 1947.
81. Нетушил А.В. Теория автоматического управления. - М.: Высшая школа, 19J83.
82. Павловский Ю.П., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими
системами. - В сб.: "Методы оптимизации и их приложения". - Новосибирск: Наука,
1982.
83. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. - М. - Л.: Гостехтеориздат, 1952.
84. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. - М\: Физ-
матгиз, 1961.
85. Половинкин Е.С. Элементы теории многозначных отображений. - М.: Изд-во
Московского физико-технического ин-та, 1982.
86. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым. - ЖЭТФ,
т. 4,1934.
87. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука,
1982.
88. Понтрягин Л.С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1961.
89. Попов Е.П. Динамика системы автоматического регулирования. - М.: Гостехиз-
дат, 1954.
90. Портер У. Современные основания общей теории систем. - М.: Наука, 1971.
90а. Постников ММ. Лекции по геометрии' Группы и алгебры Ли. -^ М.: Наука, 1982.
91. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -
М.-Л.: Гостехтеориздат, 1947.
92. Пугачев B.C., Казаков НЕ., Евланов Л.Г. Основы статистической теории
автоматических систем. - М.: Машиностроение, 1974.
93. Разумихин Б.С. Физические модели и методы теории равновесия в
программировании и экономике. - М.: Наука, 1975.
134

94. Разу ми хин Б.С. Проблемы §η§»ιηιη^» *м*ц м^чаники и проблема оптимального
управления, ч. I и II. Аинмашиан ι*^η мшаника, 14 76, № 2,№3.
95. Рашевский П.К. Геомегвичеекм ншрив уращиншй ι- чистыми производными. -
М. - Л.: Гостехтеориздат, IM1
96. Розоноэр Л.И., Цирлнн 4 Μ пнжманьнмр управление термодинамическими
процессами, чч. I, II, III Атомажнён и^емеъаника, 1983, №1,2,3.
97. РокафелларР. Выпуклые мншмнва Μ Мир, 14 73.
98. Рунд X. Дифференциальна! 1шш1нрия фиш м*чн>пыч пространств. - М.: Наука,
1981.
99. Самойленко Ю.Н„ Шмкитцц £ // Принранпиенно распределенные приемные
и управляющие системы Кипе 1еянииа, PJftH.
100. СингДж. А. Юшссичес нал менами на Μ Фм ιμαπηι, 1963.
101. Смирнов В.И. Курс вьишей магемашни, ι IV Μ. Л.: Гостехтеориздат, 1951.
102. Степанов В.В, Курс дифференциальны* уравнений. М.: Гостехтеориздат, 1953.
103. Султанов М.А. Исследование прннднччш уирамиения, описываемых уравнениями
с неопределенными функциональными параметрами. - Автоматика и
телемеханика, 1980, Ν» 10.
104. Трикоми Φ. Лекции по уравнениям в чанных производных. - М.: ИЛ, 1957.
105. Уткин В.И. Скользящие режимы и им применение в системах с переменной
структурой. М.: Неуке, ШМ
106. ФаварЖ. Курс локальной цифферешдеалыюй геометрии. - М.: ИЛ, 1960.
107. Фельдбаум А.А. Электрические ги» i#mw ли тематического регулирования. -
М.: Оборонгиэ, 1957.
108. Фельдбаум. А. А. Вычишнпелыше у π рой пи а н автоматических системах. - М.:
Физматгиэ, 1959.
109. Фельдбаум А.А. Основы геории он «и мвльных автоматических систем. -Изд. 2-е
- М.: Наука, 1966
ПО. Фельдбаум А.А., Куиншгнии. 4 Г М>и>ды теории автоматического
управления. - М.: Наука, 19/1
111. Филиппов. А.Ф, О некоюрыч попонах теории оптимального регулирования. -
Вестник МГУ,№ 2 (серии м«№мйш*нмкпи) , 1959.
112. Филиппов А.Ф. Дифференциальные у pun пения с разрывной правой частью. -
Математический сборник, 1968, ι Ч . N4, с. 99 -108.
113. ФицнерЛМ. Управление координацией движения. - М.: Наука, 1971.
114. ФицнерЛМ. Биологические поисковые системы. - М.: Наука, 1977.
115. Фок В А. Теория пространетиа, времени и тяготения. - М.: Физматгиз, 1961.
116. ЦыпкинЯ.З. Основы теории unto маги чески χ систем. - М.: Наука, 1977.
117. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей
с помощью эллипсоидов. Техническая кибернетика, 1980, № 6.
118. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой
системы. - Прикладная математика и механика, 1981, т. 45, вып. 1.
\\9. Эльсгольц А.Э. Дифференциальные уравнения. - М.: Гостехтеориздат, 1957.
120. Янг О. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального
управления. - М.: Мир, 1974.
\2\.AshM. Nuclear Reactor Kinetics. New York: McGraw-Hill, 1965.
121a. Bresis H. Operations maximaux monotones et semi-groupes de contraction dans
les espaces de Hubert. - Amsterdam: North-Holland, 1973.
122. Butkovskiy A.G. Distributed Control Systems, - New-York: Elsevier, 1969.
123. Butkovskiy A.G. Green's Functions and Transfer Functions. - Chichester: Ellis Hor-
wood,1982.
124. Butkovskiy A.G. Some new results in Distributed Control Systems (survey). - 3rd
International Symposium on Distributed Parameter Systems, Toulouse (Frans.), 1982.
125. Butkovskiy A.G. Structural Theory of Distributed Systems. - Chichester: Ellis Hor-
wood,1983.
125a. Butkovskiy A.G., Pustylnikov L.M. The Mobile control of Distributed Parameter
Systems. - Chichester: Ellis Horwood, 198Я.
126. Curtain R.F., PritchardAJ. Infinite Dimensional Linear Systems Theory. - Berlin -
Heidelberg - New York: Springer-Verlag, 1578,298 pp.
127. Hunt L.R. Global Controllability of Nonlinear Systems in Two Dimensions. - Math.
Systems Theory, 1980,13, p. 361 -376.
135

128. Jurdjevic V., Quinn J.P. Controllability and Stability. - J. Differential Equations,
1978,28, p. 381-389.
129. Lions J.-L. Sur les systemes distributes singuliers. - Los Alamos, 1981.
130. Lions J.-L. Some aspects of the Optimal Control of distributed parameter systems. -
Philadelphia, USA, 1981.
131. Lions J. -L. Some methods in the mathematical analysis of systems and their control. -
INRIA, France, 1981.
132. Rink R.E., Mohler R.R. Completely Controllable Bilinear Systems. - SIAM J.
Control, 1968, vol. 6, No. 3.
133. Sussman H., Jurdjevic V. Controllability of nonlinear systems. - J. Differential
Equations, 1972,12, p. 95-116.
Анатолий Григорьевич Бутковский
ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
УПРАВЛЯЕМЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Серия 'Теоретические основы
технической кибернетики'*, № 84
Редактор Д. С. Фурманов
Технический редактор 0£, Черняк
Корректоры Т.В. Обод, Ε А. Янышева
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 12724
Сдано в набор 6.05.85. Подписано к печати 31.07.85
Т-16648. Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усллеч.л. 8,5
Усл. кр.-отт. 8,75. Уч.-изд.л. 8,95. Тираж 2850 экз.
Тип. зак.755. Цена 1 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
110771 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука**
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25