/
Author: Лурье К.А.
Tags: регулирование и управление машинами, процессами физика математика математическая физика
Year: 1975
Text
; A'W
v e
ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
В ЗАДАЧАХ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ТЕХНИЧЕСКОЙ
КИБЕРНЕТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1975
К. А, ЛУРЬЕ
ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
В ЗАДАЧАХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1978
6Ф6.5
Л 86
УДК 62-50
Оптимальное управление в задачах математической
физики. К. А. Лурье. Издательство «Наука», Главная
редакция физико-математической литературы, М., 1975,
480 стр.
Монография посвящена задачам оптимального упра-
вления системами, поведение которых описывается
уравнениями математической физики. Такие задачи
возникают в многочисленных приложениях и обладают
рядом специфических черт, отличающих их от оптималь-
ных задач с одной независимой переменной.
В книге дается общая постановка задач оптимизации
для систем с частными производными и указываются
особенности вывода необходимых условий оптималь-
ности типа принципа максимума Понтрягина Рассмат-
риваются вопросы существования решений и способы
регуляризации оптимальных задач. Дается подробное ис-
следование примеров из магнитной гидродинамики, тео-
рии упругости, газовой динамики. Исследуется вопрос
о применимости принципа Веллмана к задачам с част-
ными производными различных типов.
Илл. 60. Библ. 396 назв.
оП=п1_л^ © Главная редакция
тт _yU0Ul i on физико-математической литературы
053 (02)-75 издательства «Наука», 1975
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................... 8
Введение .................................................. Н
Глава I. Задача Майера — Больца для многих независимых
переменных. Необходимые условия минимума ... 30
1. Нормальная форма основных уравнений...............30
2. Общая схема получения необходимых условий стацио-
нарности и ее реализация для ряда конкретных случаев 46
3. Необходимое условие Вейерштрасса (пример) ... 61
4. Необходимое условие Вейерштрасса (пример). Про-
должение ........................................... 72
5. Об одном экстремальном свойстве эллипса .... 80
6. Случай измеримых ограниченных управлений .... 86
7. Формула для приращения функционала. Необходимое
условие Вейерштрасса (общий случай)..................91
8. Необходимое условие Клебша........................99
9. Необходимое условие Якоби........................102
Глава II. Оптимальные распределения удельного сопротивле-
ния рабочего вещества в канале магнитогидродина-
мического генератора.......................................105
1. Продольные концевые эффекты в мгд-каналах . . .106
2. Постановка задачи (случай скалярного удельного со-
противления) ...................................... 118
3. Оптимальные распределения скалярного удельного со-
противления ........................................120
4. Основные уравнения в случае тензорного удельного со-
противления ..................................... 135
5. Необходимые условия стационарности (тензорный
случай) .................................... 136
6. Необходимое условие Вейерштрасса (тензорный слу-
чай) ...............................................137
7. Неособые режимы.................................140
8. Особые режимы....................................144
9. Условие Вейерштрасса — Эрдманна и условие Вейер-
штрасса в тензорном случае..........................146
10. Асимптотический случай ртах->оо..................150
И. Асимптотическая форма уравнений оптимального
режима ..........................................152
12. Асимптотическое решение в области (j, grades) <0 154
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
13. Дальнейшее исследование асимптотического случая:
вопросы существования решения ........ 171
14. Необходимое условие Якоби..........................191
15. Некоторые качественные и численные результаты . .212
16. Об одном классе задач оптимального управления фор-
мой области. Применение симметризации ..... 225
Глава III. Некоторые оптимальные задачи теории упругости 240
1. Оптимальное распределение модуля сдвига материала
призматического стержня, находящегося в условиях
кручения. Постановка задачи и доказательство суще-
ствования оптимальных решений........................240
2. Необходимые условия оптимальности (задача 1а) . . 249
3. Необходимые условия оптимальности (задача 16) . . 255
4. Необходимые условия оптимальности (задача Па) . . 257
5. Необходимые условия оптимальности (задача Нб) . . 258
6. Алгоритмы построения решений оптимальных задач
упругого кручения. Задача Пб.........................261
7. Алгоритмы построения решений оптимальных задач уп-
ругого кручения. Задача 1а...........................269
8. Об оптимальном распределении упругих модулей в не-
однородном теле. Смешанная задача теории упругости 273
Глава IV. Задачи оптимального управления системами, опи-
сываемыми уравнениями гиперболического типа . . 284
1. Квазилинейное уравнение первого порядка .... 284
2. Пример: новый вывод уравнения Веллмана..............294
3. Оптимальная задача пластического кручения стержня . 298
4. Оптимальные гиперболические задачи для областей, гра-
ницы которых содержат отрезки характеристик . ? . 309
5. Задача об оптимальной форме контура, обтекаемого
сверхзвуковым потоком газа...........................319
6. Необходимые условия оптимальности для квазилиней-
ных систем гиперболического типа с фиксированной
главной частью........................................ 333
Глава V. Параболические и другие эволюционные оптималь-
ные задачи ...............................................346
1. Оптимальный нагрев тел; управление в граничных и на-
чальных условиях.....................................346
2. Случай, когда решение в конечный момент задано . . 354
3. О релейных оптимальных управлениях.........359
4. Необходимые условия оптимальности для квазилиней-
ных систем параболического типа......................363
5. Метод штрафов.......................................374
6. Об оптимальных задачах с движущимися границами 381
Глава VI. Метод Веллмана в вариационных задачах с част-
ными производными..........................................386
1. Канонические уравнения для простейших вариационных
задач со многими независимыми переменными. Форма
Вольтерра и форма Адамара — Леви................... 387
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
2. Уравнение Гамильтона — Якоби для простейшей вариа-
ционной задачи с частными производными..............392
3. Метод Гамильтона — Якоби для простейшей вариацион-
ной задачи с частными производными..................400
4. Принцип оптимальности...........................403
5. Уравнение Веллмана для эволюционной задачи управ-
ления ..................................... ........ 404
6. Уравнение Веллмана для эллиптической оптимальной
задачи.....................-........................410
7. Линейная система; квадратичный критерий качества . . 417
Приложение...............................................427
Примечания и литературные указания.......................445
Литература.............................. . .............453
Предметный указатель.....................................476
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена задачам оптимального
управления системами, поведение которых описывается
уравнениями математической физики. Такие задачи по-
стоянно выдвигаются практикой и уже более десяти лет
служат объектом активного внимания математиков и
специалистов по автоматическому управлению. Круг
идей теории оптимального управления охватывает также
и некоторые другие, более традиционные проблемы, на-
пример, проблему изопериметрических неравенств, дав-
но считающуюся в математической физике классической.
Десять лет — слишком малый срок для того, чтобы
подводить итоги, и предлагаемая книга ни в малейшей
степени не претендует на это. Более того, она не пред-
ставляет собой и сколько-нибудь полного собрания уже
известных фактов; вряд ли целесообразно стремиться
к этому в условиях, когда теория оптимального управ-
ления распределенными системами переживает период
бурного развития. Многие вопросы уже получили под-
робное освещение в монографиях А. Г. Бутковского и
Ж.-Л. Лионса, хорошо известных читателям. Поэтому
при написании книги автор ставил перед собой ограни-
ченные задачи. Важнейшей из них было исследование
вопроса о необходимых условиях типа принципа мак-
симума Л. С. Понтрягина в оптимальных задачах с част-
ными производными. Этот фундаментальный принцип
играет важную роль в теории оптимальных систем во-
обще, и поэтому представляется естественным стремле-
ние распространить его на возможно более широкий
круг задач. В применении к задачам с частными про-
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
изводными такое обобщение оказалось нетривиальным
и потребовало введения некоторых новых понятий. Эти
вопросы обсуждаются на протяжении почти всей книги,
хотя основное место они занимают в первых двух ее
главах. Изложение ведется в основном с помощью ме-
тодов классического вариационного исчисления в рам-
ках схемы задачи Майера — Больца. По мнению автора,
формального применения одних только общих матема-
тических методов недостаточно для проникновения в
существо дела, и поэтому изложение ведется с привле-
чением нетривиальных примеров из механики и физики,
имеющих самостоятельное значение. Одному из таких
примеров — задаче об оптимальном распределении
удельного сопротивления в канале магнитогидродина-
мического генератора — целиком посвящена вторая
глава. В третьей главе на основе полученных результа-
тов дается вывод необходимых условий оптимальности
для ряда задач упругого кручения и для одной опти-
мальной задачи равновесия упругих тел. Четвертая и
пятая главы книги посвящены избранным вопросам
оптимизации систем, описываемых эволюционными урав-
нениями. Для гиперболических систем обсуждаются осо-
бенности постановки задач оптимизации в случае, когда
управлением является фазовая скорость распростране-
ния возмущений, а также приводится вывод необходи-
мых условий для задач, в которых основная область
невыпукла и границы ее содержат характеристические
отрезки. Теория упругости представлена здесь примером
решения оптимальной задачи пластического кручения.
Параболические оптимальные задачи обсуждаются в пя-
той главе, где основное внимание вновь обращено на
вопросы применимости принципа максимума, а также
на проблему существования и единственности оптималь-
ных управлений. Шестая глава книги содержит изло-
жение некоторых результатов по применению метода
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
динамического программирования к задачам с частными
производными.
Изложение дополнено примечаниями и библиографи-
ческими указаниями к каждой главе; в этих добавле-
ниях дается краткий обзор сведений по отдельным воп-
росам, связанным с основным текстом. Книга снабжена
довольно подробным, ^отя и далеко не полным библио-
графическим указателем.
Для удобства читателя некоторые выкладки, имею-
щие вспомогательный характер, приведены в Прило-
жении.
Выбор материала в значительной степени обуслов-
лен научными интересами автора и поэтому ограничен
упомянутыми выше вопросами. Тем не менее, автор
надеется, что книга окажется полезной для лиц, рабо-
тающих в области оптимального управления и его при-
ложений в математической физике.
Многим в этой работе автор обязан своему учителю
Георгию Абрамовичу Гринбергу, чьи советы и постоян-
ное участие способствовали пониманию затронутых
здесь проблем.
К. Лурье
ВВЕДЕНИЕ
Многие классические задачи математической физики
могут быть сформулированы как задачи об экстремуме
функционалов. Такая формулировка позволяет дать
естественное определение решений соответствующих
краевых задач (обобщенные решения); другое важное
преимущество заключается в возможности применения
прямых методов.
Традиционные экстремальные задачи являются про-
стейшими либо изопериметрическими задачами вариа-
ционного исчисления. С другой стороны, в вариа-
ционном исчислении известны задачи минимизации
функционалов со связями более сложных типов, выра-
жаемыми, например, неравенствами, дифференциаль-
ными, интегральными и иными функциональными урав-
нениями. Несмотря на то, чго многие подобные задачи
формулировались уже давно (Лагранж, Майер, Больца),
их интенсивное исследование началось лишь в последние
годы в связи с нарастающими потребностями практи-
ческих приложений.
Эти задачи получили название задач оптимального
управления. Всякая задача оптимального управления
характеризуется тремя основными заданиями. 1) Прежде
всего, даны уравнения состояния и предельные условия,
описывающие поведение объекта. Характер этих урав-
нений и условий определяется принятой математической
моделью. Во всех случаях, однако, в уравнениях задачи
можно выделить группу зависимых переменных (фазо-
вых координат), описывающих параметры объекта, и
группу управляющих функций (управлений), которые
доступны непосредственному изменению извне и имеют
значения, принадлежащие определенным множествам
соответствующих функциональных пространств. 2) За-
дание этих множеств — множеств допустимых управле-
ний — второй необходимый элемент всякой оптимальной
12
Введение
задачи. 3) Наконец, в-третьих, задан функционал от
фазовьГх координат и управлений. Оптимальная задача
состоит в том, что требуется-из множества допустимых
управлений выбрать такие, которые придают функцио-
налу наименьшее возможное значение. Управления, об-
ладающие этим свойством, называются оптимальными
управлениями.
Таким образом, задача оптимального управления —
это задача о предельных возможностях управляемых
систем.
Большинство исследований посвящено случаю, когда
поведение управляемого объекта изображается моделью
с сосредоточенными параметрами; математически такая
модель описывается системой обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. Этой схемой охватываются
многие проблемы оптимизации, возникающие в различ-
ных областях. Математические вопросы оптимального
управления системами с сосредоточенными параметрами
разработаны очень подробно. В этом направлении полу-
чено множество важных результатов1)’ одним из важ-
нейших является принцип максимума Л. С. Понтрягина
[133], представляющий основное необходимое условие
сильного относительного минимума. Формулировка
принципа максимума отличается особенной простотой,
если дифференциальные уравнения состояния записаны
в нормальной форме Коши; такая запись возможна
практически всегда и является общепринятой в исследо-
ваниях по оптимальным задачам с одной независимой
переменной.
Во многих приложениях модели с сосредоточенными
параметрами описывают явления недостаточно подроб-
но. Часто обнаруживается, что система, оптимальная в
смысле этой упрощенной модели, оказывается неопти-
мальной при более точном описании развивающихся в
ней процессов, и, таким образом, остаются неиспользо-
ванными заложенные в системе дополнительные возмож-
ности управления. Лучшее, более адэкватное описание
*) Обзоры Н. Н. Красовского [82], Р. Габасова и Ф. М. Кирил-
ловой [41] дают подробное представление об исследованиях в этой
области, выполненных в СССР; мировая литература вопроса прак-
тически необозрима.
введение
13
достигается в рамках моделей с распределенными пара-
метрами, которые математически задаются дифферен-
циальными уравнениями в частных производных. Для
этих уравнений, в свою очередь, ставятся соответствую-
щие оптимальные задачи.
Систематическое исследование оптимальных задач
математической физики началось немногим более 10 лет
назад. В большинстве опубликованных работ рассмат-
риваются такие уравнения состояния и предельные усло-
вия, в которые управление входит достаточно простым
образом (в правые части линейных и квазилинейных
уравнений высшего порядка, коэффициентами при млад-
ших производных линейных дифференциальных опера-
торов, слагаемыми в линейных краевых условиях
и т. д.). Независимо от типа уравнений, получающиеся
для таких задач необходимые условия оптимальности
типа принципа максимума Понтрягина выступают как
прямое обобщение соответствующих условий для опти-
мальных задач с одной независимой переменной. Успе-
хи, достигнутые на этом пути, неоспоримы; одновре-
менно нужно отметить, что они обусловлены сравни-
тельной простотой зависимости операторов, входящих
в уравнения состояния, от управляющих функций. При
этом не проявляются многие важные особенности,
вообще говоря, свойственные задачам оптимизации
для распределенных систем и не имеющие аналогов
в одномерных оптимальных проблемах. Изучение ря-
да таких особенностей предпринято в предлагаемой
книге.
Пожалуй, в наиболее резкой форме отмеченные но-
вые обстоятельства проявляют себя в задачах, содер-
жащих управление в главной части основного диффе-
ренциального оператора, входящего в уравнение
состояния. Если говорить о физических приложениях,
то имеются в виду задачи оптимального управления
свойствами сплошных сред. Вопрос о необходимых усло-
виях типа принципа максимума Понтрягина оказывается
для таких задач гораздо более сложным. Дело заклю-
чается в следующем.
Принцип максимума Понтрягина представляет не-
обходимое условие минимума по отношению к сильным
локальным вариациям управления. Иными словами, при
14
ВВЕДЕНИЕ
выводе принципа максимума оптимальное управление
сравнивается с такими допустимыми управлениями,
которые отличаются от оптимального на множествах
малой лебеговой меры. В пределах этих множеств
приращение управления вовсе не мало и связано одними
лишь ограничениями. Для задач с одной независимой
переменной (обыкновенные дифференциальные уравне-
ния) таким множеством может служить малый интер-
вал изменения независимой переменной (или конечное
число таких интервалов). По существу, принцип макси-
мума представляет собой условие того, чтобы главная
часть приращения функционала, обусловленного силь-
ной локальной вариацией управления, была неотрица-
тельна.
Пытаясь распространить принцип максимума на за-
дачи с частными производными, мы неизбежно сталки-
ваемся с вопросом: что служит для таких задач анало-
гом малого интервала? В случае двух независимых
переменных, например, существует бесчисленное множе-
ство малых односвязных областей, отличающихся по
форме. Поэтому возникает вопрос о том, зависят ли не-
обходимые условия типа принципа максимума от формы
малой области, в которой производится варьирование
управления. Ответ на этот вопрос определяется тем,
каким образом управляющие функции входят в урав-
нение состояния. Оказывается, что для указанных выше
сравнительно простых случаев (управление типа источ-
ника в правых частях уравнений, управление — коэффи-
циент при младших производных и т. д.)—необходимые
условия не зависят от формы области варьирования.
В других, более сложных, случаях такая зависимость
имеет место. К числу таких случаев относятся задачи,
содержащие управление в главной части линейных диф-
ференциальных операторов, входящих в уравнение со-
стояния. Различные по форме области варьирования
могут приводить в этих задачах к различным по степени
общности необходимым условиям минимума.
Во всякой конкретной задаче бывает важно знать,
зависят ли необходимые условия сильного относитель-
ного минимума от формы области локального варьиро-
вания. Можно указать один весьма общий прием, по-
зволяющий ответить на этот вопрос. Этот прием состоит
ВВЕДЕНИЕ
15
в том, что основные уравнения задачи записываются в
определенной стандартной форме, аналогичной нормаль-
ной форме Коши. Любая система уравнений в частных
производных может быть записана в форме
^- = Xi(x, г, с, и) (i=l, .... т, /=1, п). (1)
Здесь г1, zn — зависимые, а Xi, .. , хт—независи-
мые переменные; через и обозначены управляющие
функции. Система (1) разрешена относительно произ-
водных всех зависимых переменных по всем независи-
мым. Весьма существенно, что наряду с х, z, и система
(1) при т > 1 содержит еще так называемые парамет-
рические переменные £; благодаря этим переменным
удается удовлетворить условиям интегрируемости си-
стемы. Переменные в отличие от и, не задаются, а
определяются в результате решения оптимальной за-
дачи. Зависимые переменные z непрерывны, тогда как
параметрические переменные и управления и — в об-
щем случае разрывные функции независимых пере-
менных.
Структура правых частей уравнений в стандартной
форме показывает, имеется ли в данной задаче зависи-
мость необходимых условий минимума от формы обла-
сти варьирования, или такая зависимость отсутствует.
Одновременно стандартная форма уравнений позволяет
дать единообразный вывод необходимых условий опти-
мальности для задач различных типов; при этом локаль-
ное варьирование в общем случае производится так, что
получается наиболее точное выражение для главной
части приращения функционала, приводящее к наибо-
лее сильным необходимым условиям, порождаемым ло-
кальными вариациями.
Смысл этого утверждения поясним на примере за-
дачи о наименьшем электрическом сопротивлении одно-
связной плоской области G, заполненной веществом
с удельным сопротивлением р(х, у), при наличии рас-
пределенных электродвижущих сил. Граница области
предполагается изолирующей везде, за исключением
двух участков — электродов, соединенных через на-
грузку R (рис. 1). Распределение тока / = — rot(/3z2) ц
16
ВВЕДЕНИЕ
потенциала электрического поля г1 описывается урав-
нениями
div/ = 0, р/’ = — grad г1 — Ео (2)
или, в стандартной форме,
4 = -£р г‘ = -р£2 — Ev ]
г!,=е. —?' ( <3)
Здесь Eq(E^E2)—заданная векторная функция точки
(стороннее поле). Ставится задача о выборе среди огра-
ниченных измеримых функций р(х, у), удовлетворяю-
щих неравенствам
О < PminCII Р U> Z/)IIloo(0)<
(4)
Ртах 00 >
оптимального управления р(х, у),
доставляющего максимум функ-
ционалу (мощность, выделяю-
щаяся на нагрузке)
ДГ=Г J (/, п) Л Г R = P-R,
-Г,
(5)
где интегрирование совершается по электроду Г1 с нор-
малью п.
Легко убедиться, что в этой задаче управление р
входит в главную часть основного дифференциального
оператора. Приращение ДМ функционала N по сравне-
нию с его оптимальным значением, вызванное допусти-,
мым приращением Др управления, определяется фор-
мулой (см. п. 3 гл. 1)
ДУ=-J J Др(/, k)dxdy, (6)
G
где /(Z1, Z2) = (^ + Д£!, H- Д£2)—вектор допустимой
плотности тока, отвечающий управлению Р = р + Др,
a k(—cojg/, coix)—вектор, определяемый из «сопряжен-
ной» краевой задачи
р®1 У — СО2Х = 0, рои + (02^ = О,
°21гР г? на электродах Гр Г2?
ВВЕДЕНИЕ
17
о)! = coI4 на правой изолирующей стенке Г4 (см. рис. 1),
coj = о)1- на левой изолирующей стенке Г3; со2+ — (о2-4-
-|- 2/R = ((014- — (01-)/?.
Можно считать, что сопряженная краевая задача
определяет для оптимальной функции р(л, у) потен-
циал о)2 фиктивного электрического поля и фиктивную
плотность тока k. Источником этих фиктивных потен-
циала и тока служит электродвижущая сила 2//?, вклю-
ченная во внешнюю цепь.
Формула (6) содержит., наряду с приращением
управления Др, еще приращения Д^1, Д£2 параметриче-
ских переменных. Именно это обстоятельство отличает
задачи рассматриваемого типа от более простых проб-
лем, упоминавшихся выше: в этих более простых слу-
чаях приращение функционала зависит только от при-
ращения управления и не зависит от приращений
параметрических переменных. Приращение Д^1, Д£2 в
отличие от Др, не задаются непосредственно извне;
поэтому, чтобы получить из (6) суждение о знаке прира-
щения AN, нужно исключить Д£], Д£2, выразив их через
Др и через величины, определенные для оптимального
режима. Приращениями Д^1, Д£2 нельзя пренебречь,
если иметь дело с сильными (не малыми) вариациями
Др: там, где Др #= 0, приращения Д^1, Д£2 имеют по-
рядок Др и поэтому существенно влияют на знак вы-
ражения (6).
Если Др #= 0 повсюду в G, то такое исключение в
общем случае невыполнимо. Поэтому переходим к ло-
кальным вариациям, совершаемым в области малой
площади 8, и попытаемся вычислить главную по 8 часть
вектора /. Приращения параметрических переменных,
определяющие этот вектор, зависят от формы области
локального варьирования; естественно возникает вопрос
о наилучшей в этом смысле малой области, т. е. такой,
варьирование в которой приводит к наиболее сильным
локальным необходимым условиям.
Оказывается, что такой наилучшей малой областью
является узкая полоска, которая стягивается с сохра-
нением подобия к своему центру. Вектор J внутри по-
лоски легко вычисляется с точностью до величин, исче-
зающих вместе с 8; он зависит явно от наклона по-
лоски по отношению к векторам j и k в ее центре.
18
ВВЕДЕНИЕ
Приращение AAZ, определяемое формулой (6), должно
быть неположительно для всех ориентаций полоски; это
требование дает наиболее общий критерий сильного от-
носительного максимума в классе локальных вариаций
управления с постоянным значением допустимого управ-
ления в пределах области варьирования:
Р Pmin,
Р Ртах,
если (/, Л)^0, O^x^arccosp,
если (/, й)<0, лarccos р.
Здесь % — угол между векторами / и fe, а
г) = Pmax Pmin
Ртах + Pmin
Как видим, условие Вейерштрасса накладывает ограни-
чение на взаимную ориентацию истинного и фиктивного
векторов плотности тока.
Более слабые результаты получаются, если варьиро-
вание производить в эллипсе, самые слабые —при
варьировании в круге.
Описанное явление естественно назвать анизотро-
пией варьирования. Физически оно связано с тем, что
дипольный момент поляризационных зарядов, возникаю-
щих на границе области варьирования, зависит от
формы этой границы и от ее ориентации относительно
внешнего поля, роль которого в данном случае играет
поле оптимального вектора /. Наиболее резко эта зави-
симость проявляется для включений, имеющих форму
тонких полосок.
В аналогичной задаче в трех измерениях роль по-
лоски играл бы сплюснутый сфероид (близкий к диску)
И т. д.
Полученный результат представляет обобщение од-
ной теоремы геометрической теории функций, известной
под названием принципа Г рётша (Grotzsch) [51, 264],
хотя основная идея ее восходит еще к Рэлею и Макс-
веллу. Именно, положим, что в кольце
г =# 0, имеется конечное число не налегающих друг на
друга односвязных областей Sk, k = 1, 2, ..., и, огра-
ниченных кривыми Жордана, имеющими на |г| = г и
на |г| = R по дуге, которые не вырождаются в точки
(рис. 2; рассматриваются как полосы, идущие от
ВВЕДЕНИЕ
19
|z| = г к |z| = /?). Если эти области конформно ото-
бразить на прямоугольники плоскости w со сторонами,
равными соответственно ah и bki так, что упомянутые
дуги переходят в стороны длины ak, то
причем равенство имеет место только в случае, когда Sk
суть секториальные области вида r< |z| </?, фь <
< arg z < ф/<+1, целиком запол-
няющие кольцо.
Эта теорема допускает следую- / | /п\
щее физическое истолкование. Пред- /
положим, что окружность |г|= R I________Л |
находится под потенциалом нуль, Г Л ЛуГрггт<)
а окружность |z| =г — под потен- \
циалом 1. Пусть, далее, области S/t \1|х
заполнены однородным изотропньпм
проводником с удельной проводи-
мостью о=1, а дополнительные Рис. 2.
к ним части кругового кольца
г < |г| < R заполнены изолирующим веществом
(а = 0). Ток, проходящий через область Sft, численно
равен ak/4nbk] эту величину естественно называть про-
водимостью области S*. Если бы все кольцо г < |г| < R
было заполнено проводником с о= 1, то проходящий
через него ток был бы равен (1/2)In (R/r) (проводи-
мость кольца).
Упомянутая теорема Грётша гласит, что введение
изолирующих слоев не увеличивает проводимости об-
ласти. Это утверждение допускает обобщение в несколь-
ких направлениях. Прежде всего, оно справедливо при
замене проводящих участков изоляторами любой формы;
кроме того, можно не требовать, чтобы изоляторы были
идеальными: достаточно лишь уменьшить проводимость
участка по сравнению с ее исходной величиной. Нако-
нец, не обязательно предполагать, что проводник одно-
родный и изотропный.
Эти обобщения представляются физически очевид-
ными; соответствующие математические доказательства
20
ВВЕДЕНИЕ
могут быть даны методами теории оптимального управ-
ления. Высказанный общий принцип не ограничивается
двумерными распределениями токов: он верен и в слу-
чае произвольного конечного числа измерений области.
Этот результат также без труда получается, если вос-
пользоваться общей методикой.
Теорема Грётша перестает быть справедливой, если
допустить в области неоднородное распределение сто-
ронних электродвижущих сил. Плотность тока / и по-
тенциал г1 при этом удовлетворяют уравнениям (3), где
£*0 = Eq (х, у) — стороннее неоднородное поле. Оказы-
вается, что при таких условиях введение изолирующих
включений в определенных частях основной области
может увеличить полный ток, проходящий через элек-
троды. Это утверждение и представляет упомянутое
выше обобщение теоремы Грётша. Его вывод суще-
ственно основан на понятии варьирования в полоске,
которое в задачах этого рода играет основную роль
благодаря анизотропии варьирования. С другой стороны,
имеются задачи (притом разных типов), в которых
«анизотропия» варьирования не проявляется (в задаче,
описанной выше, «анизотропия» отсутствует, если варьи-
рование производится в пределах малого круга, что со-
вершенно очевидно физически).
Таковы упомянутые выше «сравнительно простые» -
задачи оптимизации, содержащие управление в правых
частях уравнений, в коэффициентах при младших про-
изводных линейных операторов и т. д.
Простой пример дается задачей для уравнения Пуас-
сона
Дг = и(х, у),
правая часть которого трактуется как управление. Если
управление получает приращение Ди(х\у) в области Ge
достаточно малого диаметра и малой меры 8, то глав-
ная часть приращения функционала от решения этого
уравнения будет, очевидно, зависеть от приращения
«полного заряда» j (* Ди(х, yjdxdy области варьирова-
ния и совершенно не будет зависеть от других харак-
теристик этой области, в частности, от ее предельной
ВВЕДЕНИЙ
21
(при 8->0) формы и ориентации на плоскости. Анало-
гичное заключение справедливо для пространства про-
извольного конечного числа измерений.
Введение вариаций в полоске для учета анизотропии
варьирования позволяет дать естественное обобщение
принципа максимума Понтрягина на широкий класс
оптимальных задач с частными производными. Основные
черты этой более общей формулировки принципа макси-
мума— необходимость исключения приращений пара-
метрических переменных из выражения для приращения
функционала и требование сохранения знака этого при-
ращения при всех допускаемых ориентациях полоски
(сплюснутого сфероида).
Процедуры исключения можно избежать, если пред-
ставить исходные уравнения в локальных декартовых
координатах (я, /), где п — нормаль, a t—касательная
к полоске. Правые части записанных таким образом
уравнений содержат комбинации параметрических пере-
менных, непрерывные на границе полоски, и процесс
исключения становится ненужным. Остается, однако, не-
обходимость рассмотрения различных ориентаций век-
торов (я,/), т. е. вращения полоски.
В эллиптических и параболических задачах к срав-
нению допускаются, вообще говоря, полоски любой
ориентации. Гиперболические задачи представляют в
этом отношении особенность: если управляющая функ-
ция представляет собой фазовую скорость распростра-
нения возмущений, то допустимый наклон полоски
варьирования ограничен некоторыми пределами, опре-
деляемыми фазовыми скоростями внутри и вне полоски.
Соответствующие решения (зависимые переменные)
оказываются при этом ограничении непрерывными функ-
циями с кусочно-непрерывными производными. Варьиро-
вание управления в полосках с запрещенными накло-
нами сразу выводит решение за рамки этого класса:
в решении появляются сильные разрывы (разрывы
первого рода). Это явление порождает новые возмож-
ности оптимизации, экранируя в ряде случаев целые
области пространства независимых переменных от про-
никновения туда возмущений, созданных начальным со-
стоянием. Образование разрывов в решении обусловлено
«столкновением характеристик», приходящих на линию
22
ВВЕДЕНИЕ
разрыва с разных сторон от нее, и в этом смысле ана-
логично возникновению разрывов в решениях нелиней-
ных гиперболических уравнений. Причины столкновения
характеристик в обоих случаях различны: в нелинейном
случае оно происходит благодаря зависимости фазовой
скорости от решения, а в задаче оптимизации — благо-
даря влиянию управления.
Анизотропия варьирования отражает физические
особенности оптимальных задач. В тех случаях, когда
оптимальное управление существует, учет этого явления
приводит к наиболее сильным локальным необходимым
условиям сильного относительного минимума.
Во многих задачах, однако, существование оптималь-
ного управления доказать не удается или удается дока-
зать отсутствие такого управления среди допустимых;
весьма примечательно, что и в этих случаях анизотропия
варьирования указывает естественный путь регуляриза-
ции задачи, т. е. такого расширения ее условий, при
котором существование оптимального решения может
быть гарантировано. Для этой цели часто бывает до-
статочно перейти от скалярных управлений к тензорным.
Такой переход представляется естественным, если
учесть, что вариации в полоске можно рассматривать
как промежуточный этап между обычными сильными
вариациями скалярного управления в малом круге и
собственно анизотропными вариациями, когда прираще-
нием управления служит тензорная функция координат.
Примечательно, что при анизотропных вариациях по-
лоска теряет свою роль наилучшей малой области варьи-
рования: весь эффект анизотропии, вносимый ею преж-
де, переходит теперь к анизотропной вариации управ-
ления. Подобный способ регуляризации специфичен для
задач с частными производными: он не имеет аналога
в оптимальных задачах с одной независимой пере-
менной.
Анизотропию варьирования не следует рассматри-
вать как какое-то особое явление, проявляющееся лишь
в исключительных случаях. Оно постоянно возникает в
многочисленных и разнообразных прикладных задачах,
относящихся к оптимальному выбору распределений ха-
рактеристик материальных сред (электропроводность,
диэлектрическая проницаемость, упругие модули, коэф-
ВВЕДЕНИЕ
23
фициенты фильтрации и т. д._). В тех случаях, когда
появляется необходимость регуляризации, оказывается,
что оптимальная среда должна быть анизотропной.
Этот вывод качественного характера имеет важное зна-
чение для приложений.
Явление анизотропии варьирования естественным об-
разом связано с задачами об оптимальной форме тел
в неоднородных внешних полях. Как известно, задачи
о телах оптимальной формы принадлежат к числу клас-
сических вопросов математической физики. Требование
оптимальности формы тела приводит к дополнительному
граничному условию на его поверхности, которое вме-
сте с другими данными задачи служит для определения
наивыгоднейшей формы тела1).
Доказательство существования тела, удовлетворяю-
щего всем поставленным условиям, как правило, пред-
ставляет трудности и не всегда осуществимо. В особен-
ности это относится к задачам об оптимальной форме
области при наличии дифференциальных связей. Подоб-
ные задачи возникают, в частности, тогда, когда опти-
мизируемое тело находится в заданном неоднородном
поле. Понятие вариации в полоске и здесь нередко ука-
зывает естественный выход из создавшегося положения.
Дело в том, что во многих случаях на неизвестной
поверхности тела задаются граничные условия, выра-
жающие идеальные свойства поверхности или, что то же,
окружающей тело среды (идеальный проводник, изоля-
тор, абсолютно твердое тело, пустота и т. д.); при этом
материал (изотропный) самого тела не является иде-
альным. Изменение формы тела можно трактовать тогда
как создание в его объеме изотропных включений из
материала окружающей тело среды, а в окружающей
среде — включений из материала тела. Поэтому задача
о влиянии деформации границы тела на минимизи-
руемый функционал равносильна задаче о влиянии на
этот функционал включений из идеального материала.
4) Речь идет' о простейших либо изопериметрических задачах
вариационного исчисления. Почти исчерпывающее изложение этих
вопросов дано у Г. Полна и Г. Сеге [132], а также в последующих
работах разных авторов, в основном отраженных в обзоре Л. Пэй-
на [334].
24
ВВЕДЕНИЕ
Для включений произвольной формы и размеров ре-
шение этой задачи неизвестно; если же диаметр вклю-
чения мал по сравнению с некоторым характерным раз-
мером (в качестве которого естественно взять радиус
кривизны линии исходного векторного поля в данной
точке), то можно ужазать такую форму включения и та-
кую его ориентацию, которые гарантируют экстремум
функционала 6//V, где 6/— приращение функционала /,
созданное включением объема V. Для случая двух не-
зависимых переменных оптимальное включение имеет
форму эллипса бесконечно малого диаметра с единич-
ным эксцентриситетом; ничто не мешает говорить в
этом случае о бесконечно тонкой полоске («игла»)
Сказанное справедливо и для включений из мате-
риала с неидеальными свойствами; более того (и это
существенно), иглообразное включение оказывается наи-
лучшим локальным включением независимо от инди-
видуальных особенностей функционала /. Различным
функционалам / соответствуют различные ориентации
полоски в каждой точке, доставляющие экстремум отно-
шению 6//V. Такие ориентации определяются направле-
ниями основного векторного поля и вспомогательного
поля (поля лагранжевых множителей), которое содер-
жит информацию о минимизируемом функционале.
Как видим, вопрос об оптимальных включениях во
внутренних точках области решается уже известным из
предыдущего способом. Но легко убедиться, что схема
рассуждения сохраняется и тогда, когда включение при-
мыкает к границе области. Здесь следует вспомнить о
естественном граничном условии, которое должно быть
удовлетворено на оптимальной неизвестной границе. Это
условие выведено в предположении достаточной глад-
кости границы; ему, однако, нередко не удается удовле-
творить гладкими границами, которых в этих случаях
попросту не существует. Такое положение типично для
задач с неоднородными внешними полями, когда улуч-
шение свойств границы тела достигается введением на
ней тонких шипов —игл1), направленных внутрь тела,
причем с увеличением числа этих шипов уменьшается
!) Или плоских «языков» в трехмерном случае.
ВВЕДЕНИЕ
25
минимизируемый функционал. Такое поведение управле-
ния можно рассматривать как аналог скользящего ре-
жима — явления, хорошо известного в одномерных опти-
мальных задачах и встречающегося в тех случаях, когда
оптимального управления не существует.
Прилегающую к границе зону, занятую шипами,
можно считать по существу анизотропной, так как эф-
фективные удельные характеристики материала этой
зоны различны в направлениях вдоль и поперек шипов.
Обобщая эту мысль, естественно пытаться искать наи-
лучшую форму тела, считая его материал анизотропным.
Описывая свойства такого материала симметричным
тензором, нужно выбрать одно из главных значений
этого тензора равным значению соответствующей мате-
риальной характеристики окружающей среды (для иде-
альной среды этими значениями могут быть нуль или
бесконечность). Исходная задача об оптимальной форме
изотропного тела после такой регуляризации заменяется
новой задачей об одновременном определении оптималь-
ного тела и оптимального распределения анизотропного
материала по объему этого тела. Как показывают при-
меры, в так поставленной задаче удается избавиться от
дифференциальных связей: проблема становится про-
стейшей или изопериметрической и часто имеет реше-
нием оптимальное тело, ограниченное гладкой поверх-
ностью. Таким образом, и в этом классе задач регуляри-
зация устраняет неприятности, связанные с влиянием
неоднородных внешних полей.
Круг приложений, охватываемых моделью задач оп-
тимизации с управлением в главной части линейных
операторов, не ограничивается проблемами выбора рас-
пределений характеристик сплошных сред. Сюда отно-
сятся и важные для практики задачи об оптимальном
выборе геометрических характеристик тонкостенных
упругих конструкций (толщины мембран или пластинок,
кривизны и толщины оболочек). Обычно требуется ми-
нимизировать объем (вес) конструкции при дополни^
тельных ограничениях изопериметрического или иного
типа. И теперь, наряду с достаточно гладкими оптималь-
ными управлениями, возможно появление скользящих
режимов, т. е. бесконечно частой гофрировки поверх-
ностей. Впрочем, вопрос о правильной постановке
26
ВВЕДЕНИЕ
подобных задач для пластин и оболочек еще не нашел
своего решения ввиду отсутствия уравнений, удовлетво-
рительно описывающих поведение этих объектов при не-
гладких поверхностях (ребра, острые выступы и т. д.).
Поэтому существующие исследования ограничиваются
изучением условий слабого экстремума соответствующих
функционалов, основанных на введении гладких вариа-
ций поверхности. Следует ожидать, что оптимальные за-
дачи этого типа станут объектом повышенного внимания
ввиду их большой практической важности *).
Механика сплошных сред выдвигает множество раз-
нообразных задач оптимального управления. В этой
книге почти не затрагиваются проблемы, сводящиеся к
определению оптимальных интенсивностей источников и
стоков в различных задачах, независимо от их механиче-
ского содержания. По-видимому, одной из самых инте-
ресных задач этого рода является проблема наилучшей
разработки нефтяных месторождений, освещенная
М. В. Мееровым и Б. Л. Литваком в недавно появив-
шейся монографии [105]. Возможности управления в этой
проблеме по необходимости ограничены регулированием
источников и стоков (скважин). В гидродинамике тра-
диционными стали задачи об оптимальном выборе фор-
мы обтекаемых профилей (крыльев, сопел и т. д.). Этот
класс проблем характеризуется сложившимися мето-
дами исследования и большим количеством разнооб-
разных решенных задач. Нужно отметить, что многие
работы, выполненные в этой области, содержат резуль-
таты, имеющие значение и для общей теории оптималь-
ного управления распределенными системами* 2). Неко-
торые из этих результатов нашли отражение в данной
книге.
Магнитная гидродинамика также представляет собой
источник задач оптимизации, связанных главным обра-
зом с рациональным проектированием магнитогидроди-
намических генераторов — установок по преобразованию
9 Вопросы оптимизации строительных конструкций изучались
многими авторами и нашли отражение в большом числе работ. Пр
этому поводу см. обзоры М. И. Рейтмана и Г. С. Шапиро [142],
В. Прагера [339], А. Дзавелани-Росси [63].
2) См. Приложение к книге [160], написанное А. Л. Гонором и
А. Н. Крайко,
ВВЕДЕНИЕ
27
тепловой энергии в электрическую, а также мгд-двигате-
лей. Речь идет о способах устранения внутренних потерь
тока и полезной мощности в таких устройствах. По су-
ществу требуется, чтобы линии тока в канале мгд-гене-
ратора (двигателя) обладали определенной формой, за-
даваемой требованием оптимальности работы системы
в целом. Уравнения (2) вместе с соответствующими гра-
ничными условиями представляют математическое опи-
сание этой задачи, которая подробно разобрана в основ-
ном тексте книги.
В последнее время методы теории оптимального
управления нашли применение в задаче об удержании
плазмы магнитным полем.
В различных практических вопросах возникают за-
дачи о регулировании температурных полей в твердых
телах; эти проблемы уже продолжительное время при-
влекают внимание специалистов по оптимальному упра-
влению. Обычно требуется определить нестационарные
управляющие воздействия, входящие в краевые условия,
либо в правую часть уравнения теплопроводности (плот-
ность распределенных тепловых источников). Аналогич-
ные задачи изучались и применительно к другим эволю-
ционным уравнениям.
Эти вопросы разрабатывались многими авторами; не-
которые из полученных результатов нашли отражение
в монографии А. Г. Бутковского [18]. Выяснилось, что
эффективное решение задач этого класса требует при-
влечения ряда специальных методов. Так, исследования
А. Г. Бутковского подтвердили плодотворность примене-
ния метода моментов для решения широкого класса за-
дач оптимизации нестационарных распределенных си-
стем. В упомянутой монографии [18] метод моментов
применен к задаче о быстрейшем нагреве массивного
тела и к задаче успокоения распределенной колебатель-
ной системы за кратчайшее время. Позднее А. Г. Бут-
ковским была развита концепция финитного управления,
оказавшаяся весьма полезной для решения проблемы
управляемости линейных нестационарных систем.
В предлагаемой книге затрагиваются лишь избран-
ные вопросы оптимального управления системами, опи-
сываемыми уравнениями гиперболического и параболи-
ческого типа. Частично об этих задачах уже говорилось
28
ВВЕДЕНИЕ
ранее. В гл. V дано изложение ряда общих фактов,
относящихся к существованию и единственности опти-
мальных управлений и применимости принципа макси-
мума Понтрягина. Там же освещаются некоторые новые
результаты, полученные в задаче об оптимальном на-
греве тел и в оптимальных задачах с движущимися гра-
ницами.
Последняя глава книги посвящена применению ме-
тода динамического программирования Веллмана к оп-
тимальным задачам для уравнений с частными произ-
водными. Этот метод пока еще не получил широкого
распространения. Причина в том, что функциональные
уравнения динамического программирования в случае
задач с частными производными достаточно сложны да-
же для численного решения. Кроме того, принцип опти-
мальности Веллмана в общем случае справедлив только
для эволюционных систем. Тем не менее, возможности
применения динамического программирования к зада-
чам с частными производными далеко не исчерпаны, и в
этой области следует ожидать новых результатов.
Вообще, наряду с большим количеством добытых
фактов и решенных задач, в теории оптимального упра-
вления распределенными системами остается множество
открытых вопросов, среди которых немало серьезных
проблем большого практического значения. О некоторых
из них уже говорилось выше. Можно еще упомянуть
задачу об оптимальной форме обтекаемых тел в аэроди-
намике, исследование которой пока основывается почти
исключительно на изучении первой вариации. Очень не-
много можно сказать об оптимальной форме сопел в
условиях течения с переходом через скорость звука.
Весьма мало разработаны вопросы оптимизации кон-
струкций в условиях упруго-пластического поведения.
Многочисленные примеры постановок задач оптималь-
ного управления возникают в теории металлургических
и химико-технологических процессов и в теории ядерных
реакторов. Среди математических вопросов, ожидающих
своего решения, отметим проблему оптимизации при
ограничениях на фазовые координаты. Такие ограниче-
ния весьма часто встречаются в вопросах проектирова-
ния, и их учет отвечает насущной практической потреб-
ности. Очень большое значение имеет разработка эффек-
ВВЕДЕНИЕ
29
тивных методов численного и приближенного решения
задач оптимального управления распределенными систе-
мами, а также моделирования таких задач.
Иногда приходится слышать, что оптимальные реше-
ния редко сопровождаются большим выигрышем в вели-
чине функционала по сравнению с тем его значением,
которое часто можно указать с помощью наводящих рас-
суждений «на пальцах». Это утверждение не звучит
упреком теории, ибо плох тот инженер, которому интуи-
ция и опыт не подсказывают решения, близкого к опти-
мальному. С другой стороны, ясно, что исследование
теоретических вопросов оптимального управления рас-
пределенными системами также не может быть плодо-
творным без необходимой интуиции и опыта. Математи-
ческие трудности, связанные с отсутствием оптималь-
ного решения, его неединственностью и т. п., часто
являются следствием плохой постановки задачи, обусло-
вленной недостаточным пониманием ее физических осо-
бенностей. Преимущество оптимального решения состоит
именно в том, что оно дает качественную характеристику
наивыгоднейших условий поведения системы, выясняет
зависимость этого поведения от параметров и внешних
факторов и тем самым расширяет наши первоначальные
интуитивные представления. Автор выражает надежду,
что ему удалось хотя бы в небольшой степени выразить
эту мысль на страницах предлагаемой книги.
ГЛАВА I
ЗАДАЧА МАЙЕРА-БОЛЬЦА
ДЛЯ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА
1. Нормальная форма основных уравнений
Уравнения в частных производных, описывающие по-
ведение распределенных систем, могут быть представле-
ны в различных формах. Для задач оптимального упра-
вления особенно удобна специальная форма записи
уравнений, которую по аналогии со случаем одной не-
зависимой переменной будем называть нормальной
формой 9-
Пусть (xi, ..., хт) — независимые, а (г1, ..., гп) —
зависимые переменные; в открытой ограниченной обла-
сти G пространства (хь ..., хт) рассмотрим определен-
ную систему
fa(xb •••> -W, 21, 2 ; ир^ = 0 (1.1)
(a= 1, ..п).
Левые части уравнений (1.1)—непрерывно диффе-
ренцируемые функции своих аргументов; среди них, в
частности, имеются р функций (щ, ..., ир) переменных
(хь ..., хт), которые назовем объемными управлениями.
Предположим, что система (1.1) не приводит к конеч-
ным зависимостям между х, z, и\ пусть, далее, уравне-
ния (1.1) можно разрешить относительно п производных
dzijdXi от функций (/ = 1, ..., п) по каким-либо из
независимых переменных х$. Сделав это, примем осталь-
ные n(tn— 1) производных за новые (параметрические)
переменные Z8 (s = 1, ..., n(m — 1)); в результате
будем иметь2)
z, I, и)=° (1.2)
(Z= 1, ...» т\ j= 1, ..и).
*) Эта форма записи известна как специальный случай системы
Пфаффа ([141], стр. 324).
*) Возможны и другие способы введения параметрических пере-
менных; некоторые из них поясняются ниже на примерах.
1]
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
31
В этих формулах — непрерывно дифференцируемые
функции своих аргументов, из них п(т—1) функций
равны соответствующим переменным (s=l, ...
..., n(m — 1)).
Разыскивая интегралы г(х) системы (1.2), потре-
буем выполнения условий интегрируемости
dxl дХ'к
dxk ' dxi
(/= 1, ..п, i, k= 1, ..m).
(1.3)
Дифференцирование в этих уравнениях совершается по
всем аргументам функций Х{, так что, например,
дх{ _ дХ{ dzr дХ{ dt,s дх[ dut _
дхк дхк "Г dzr дхк dt,s дхк duf дхк
д'х{ дх{ . , dxi dt,s дХ', ди,
+ ~^t ~^k '
Здесь штрих обозначает дифференцирование по явно
входящей переменной и принято обычное условие сум-
мирования по повторяющимся индексам !).
Особенностью уравнений (1.2) является то, что они
разрешены относительно производных всех зависимых
переменных z по всем независимым переменным х; при
т > 1 это достигается ценой введения параметрических
переменных £. Полученная форма записи представляет
собой упомянутую выше нормальную форму. К такому
виду может быть приведена (и притом многими спосо-
бами) любая система дифференциальных уравнений в
частных производных.
Параметрические переменные представляют основ-
ную особенность уравнений в нормальной форме. В об-
щей записи (1.2) эти переменные и управления и фигу-
рируют формально одинаковым образом, но во всякой
конкретной оптимальной задаче необходимо проводить
четкое различие между ними, поскольку эти перемен-
ные играют принципиально разную роль: если упра-
вления и могут, по определению, более или менее
*) Это условие будет считаться выполненным повсюду в даль-
нейшем, если не будет оговорено противное.
32
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
произвольно задаваться извне, то значения перемен-
ных £ не задаются, а находятся по известным и в резуль-
тате решения задачи. Это обстоятельство имеет важное
значение; было бы ошибкой, например, формулировать
оптимальную задачу для уравнений !)
гх = щ(х, у), Zy = u2(x, у), (1.4)
поскольку одновременное задание управлений щ(х,у),
и2(х,у), вообще говоря, невозможно без нарушения
условия интегрируемости. Иными словами, система (1.4)
сама по себе является переопределенной; мы сделаем ее
определенной, если уменьшим число управлений до од-
ного, положив, например,
zx = u(x, у), Zy = t,
либо
zx = Zy = и (х, у)
и т. д. Заметим, что последним двум системам соответ-
ствуют, вообще говоря, различные оптимальные задачи.
Последний пример показывает, между прочим, что после
того, как введены параметрические переменные, нет не-
обходимости явно учитывать уравнения (1.3), так как
если решение системы (1.2) существует, то уравнения
(1.3) наверное удовлетворяются. Это утверждение во
всяком случае справедливо, если рассматриваются клас-
сические решения; для обобщенных решений оно, вообще
говоря, не имеет места. Можно, однако, избежать при-
соединения уравнений (1.3) к системе (1.2) и тогда,
когда функции Х{ кусочно-непрерывны, а функции z> не-
прерывны. Нетрудно показать, что требование непрерыв-
ности zi представляет при этом естественное обобще-
ние условия интегрируемости (1.3).
Проиллюстрируем сказанное на примере т — 2,
п = 1, р = 1. Предположим, что функции Х\9 Х2 быстро
изменяются в направлении поперек слоя толщины 8
(рис. 3); в пределах этого слоя, а также в окрестности
его будем считать функции Х2 непрерывно дифферен-
!) Здесь и в дальнейшем нижний индекс, обозначающий неза-
висимую переменную, будет указывать на дифференцирование по
этой переменной.
и
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
33
цируемыми, так что повсюду в рассматриваемой области
выполнено условие интегрируемости
дХ^ _ дХ2
дх2 dxi
Составим линейный интеграл вектора (Xi,%2) по
контуру abcdefgha и применим формулу Стокса; поль-
зуясь условием интегрируемости и стягивая слой 8 к ли-
нии Г (см. рис. 3), а длины
отрезков be, de, fg, ha — к
нулю, получим
-г~ = 0, (1.5)
где индекс t обозначает диф-~
ференцирование в касатель-
ном направлении к Г, а сим-
волы zf и z~ обозначают
предельные значения zt по
разные стороны от Г. После
предельного перехода линия Г представляет линию раз-
рыва функций Х2.
При выводе этого условия предполагается, что пове-
дение функций Х\ и Х2 в слое 8 таково, что линейные
интегралы по отрезкам cd и gh стремятся к нулю вместе
с 8 (физически это равносильно отсутствию в пределе
на линии Г особенности типа двойного слоя). Отсюда
вытекает, что функция z непрерывна в точках 1 и 2 ли-
нии Г (предельных для с, d и g, h соответственно); вме-
сте с (1.5) это показывает, что z непрерывна и вдоль
всей линии Г.
В дальнейшем, если не будет оговорено противное,
будем разыскивать непрерывные решения системы
(1.2) !). Параметрические переменные £, а также упра-
вления и могут быть разрывными функциями от х.
Приведем несколько примеров записи уравнений в
нормальной форме.
Уравнение первого порядка
4 + 4 = °
*) Если даже функции Х\ не являются кусочно-непрерывными.
2 К. А. Лурье
34
Задача майера - больца
[гл. I
равносильно системе
Уравнение Лапласа
gl -4- 21 == О
^хх ' ^уу 4
эквивалентно системе (Коши — Римана)
*Н'. 2’=-^, 2*=;2, 22^.
Уравнению Гельмгольца
2L + 2k + U2'=°
соответствует система
z^ — z2, zly = z3, z2 = — ^ — uz', z2—^, 4^^
Волновому уравнению
4"H=0
отвечает система
2j.= —£7н, z'y = t,2, z2=t,2, z2y = — £l.
Последний пример показывает, что решения системы
в нормальной форме можно считать обобщенными ре-
шениями соответствующих уравнений высшего порядка.
Аналогичный пример дается системой
4 = + 4=^ 4=^
которая равносильна уравнениям Дг1 = иу, \z2 = их
только для непрерывно дифференцируемой функции
w(x, у).
Задачи математической физики часто формулируют-
ся для уравнений (систем) высшего порядка; как ука-
зывалось, можно многими способами привести такие
уравнения (системы) к нормальной форме.
Условие непрерывности вводимых при этом новых
зависимых переменных z накладывает некоторые огра-
ничения на выбор способов приведения к нормальной
форме. Для пояснения сказанного рассмотрим пример.
Пусть система описывается уравнением Пуассона
2ix + 2w=«> (1-6)
!] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ 35
где и (%, у) —ограниченное по модулю управление, мо-
гущее терпеть разрывы первого рода. На таких разры-
вах непрерывны первые производные функции г1 и, во-
обще говоря, разрывны ее вторые производные; поэтому
естественно положить
z\ = г2, = г3
(напоминаем, что обозначение z относится к непрерыв-
ным зависимым переменным!). Уравнение Пуассона
оказывается равносильным системе
ZX — .
.4=?2, 4=s2. 4=«-?’. u }
Другой способ, эквивалентный изложенному, заклю-
чается во введении вспомогательной непрерывной зави-
симой переменной z2 с помощью формул
4 = «> Z2=^;
при этом уравнение (1.6) оказывается равносильным си-
стеме
Z^ — Z2 = 23 Z^ = — Z3
которая уже без труда приводится к нормальной форме.
Рассмотрим теперь управляемую систему, описывае-
мую уравнением
(“*!), + (“< = °. (1-8)
где и(х, у) —ограниченное по модулю управление, могу-
щее иметь разрывы первого рода. Одновременно терпят
разрывы первые производные функции г1, но непрерыв-
но выражение вида
uz\yt-uz\xt, (1.9)
где xt, yt — направляющие косинусы касательной к ли-
нии разрыва. Переходя к системе первого порядка, есте-
ственно определить зависимую переменную z2 так, чтобы
выражение (1.9) совпадало с производной от z2 в на-
правлении вдоль линии разрыва. Для этого достаточно
положить
«4=4 «4 = -4
2*
36
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Теперь, полагая z2x = ^2, z2 = — t)i (переменные £
по отдельности разрывны!), получаем систему в нор-
мальной форме
4=-£7а, 4 = -£2/u, z2=?, 4 = -^. (1.Ю)
Как видим, производные от и сюда уже не входят, и
решения системы (1.10) можно считать обобщенными
решениями уравнения (1.8).
Рассмотренные до сих пор примеры относились к слу-
чаю двух независимых переменных. Ясно, что высказан-
ные утверждения полностью сохраняют силу и для боль-
шего числа независимых переменных. При т = 3 урав-
нение
div и grad г1 = 0
удовлетворяется подстановкой
и grad zx = rot А = rot (А* + grad qp).
Пусть хз = 0 будет уравнением плоскости разрыва
функции и\ на этой плоскости непрерывны производные
zlXi, z1^ и выражение uz1^, равное
дА2 dAi
дх! дх2
Выбором функции ф(Х1,%2, х3) можно добиться не-
прерывности всех трех компонент вектора А на плоско-
сти разрыва. Пусть [А?— величина разрыва t-й ком-
поненты А*; положим div gradqp = —div А*. Тогда усло-
вия
=- ы:.
гарантируют непрерывность разности (Л2)Х|— (Л) й
одновременно выражают непрерывность вектора А на
плоскости разрыва. С другой стороны, этих условий как
раз достаточно для того, чтобы связать значения функ-
ции <р по разные стороны плоскости разрыва и.
Положим А = z2, Ач = z3, А3 = z4; в этих обозна-
чениях исходные уравнения приобретают вид:
«4 = z4 —Z3 uzl — z2 — z4,
Х\ X? Л37 Л2 л-3 Л|
иг' = z\ — z2, г1 4- z\ + z4 — 0.
Aj Л| Л2 - Xi %2 Ag
1]
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
37
Полученную систему уже нетрудно привести к нор-
мальной форме. В приведенных примерах имелось не
более одного объемного управления. Легко видеть, что
и случай нескольких управлений охватывается изложен-
ной схемой. Так, уравнение
div щ grad г1 — и2
ПрИ т == 2 приводится к нормальной форме, если поло-
жить
4=«2> 4 = ^’ «14-22=4 «14 = -2х
и т. д.
Приведем еще одну полезную для дальнейшего фор-
му записи основных уравнений. Считая хь ..., хт декар-
товыми координатами, построим в точке (xi, ..., хт)
местную прямоугольную систему координат ..., qm)
определяемую единичными векторами е\, ..., ет и коэф-
фициентами Ламе /71, ..., Нт. Ориентация новых осей
координат относительно осей хь ..., хт задается (сим-
метрической) матрицей косинусов {сар = (еа, 1$)}; на
эту ориентацию в общем случае не накладывается ни-
каких ограничений. С помощью матрицы. {сар} и урав-
нений (1.2) составим выражения (по i не суммировать!)
Hi дсн dxk ik к1к
(/=1, ..т; /= 1, .. .♦ п).
Из полученной системы уравнений исключим пара-
метрические переменные; это всегда можно сделать, из-
менив при необходимости матрицу {сар}. В результате
получим систему п уравнений вида (по i не суммиро-
вать!)
г / 1 dz' \ л
?s ( Ht dqt ’ X> C4) — 0
($= 1, . . ., n),
которая, по предположению, совместна. Выделим те-
перь одну из координат, например, qm, и разрешим по-
следнюю систему относительно производных dz^dq^
38
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
(/ = 1, ..., п). Будем иметь
1 dzi ___Qj / 1 dz 1 dz
Htn dqm \H\ dqi ’ ’ *
(/ = 1, .... n).
Z, U, X, CaJ (1.11)
Полученная система разрешена относительно произ-
водных зависимых переменных z по одной из выделен-
ных координат (gm); подчеркнем, что правые части
уравнений (1.11) зависят от элементов матрицы {сар},
т. е. от взаимной ориентации старых (фиксированных)
и новых (переменных) осей в каждой точке области G;
эта зависимость осуществляется как через производные
dz/dqi (i = 1, ..., т — 1), так и непосредственно.
По существу это обстоятельство и определяет особое
значение системы (1.11): оказывается, что совокупность
управлений и и элементов са$ удобно трактовать в из-
вестном смысле как единую систему управляющих пара-
метров. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен на при-
мере в п. 3 этой главы.
Если ввести дифференциал дуги dtk = Hkdqh коор-
динатной линии qh> то уравнения (1.11) можно записать
в следующей окончательной форме:
dz' t dz dz \ /1 in\
5/7= Q ( dtt......dtm^ ’ 2’ X> M
(/=1, ..n).
Система (1.11), (1.12), будучи записана в криволи-
нейных координатах, неудобна для практического ис-
пользования; поэтому в дальнейшем будем иметь дело
с уравнениями в форме (1.2), используя уравнения
(1.11), (1.12) для иллюстрации некоторых вопросов,
возникающих при составлении необходимых условий
оптимальности для уравнений различных типов.
В задачах, содержащих время, иногда бывает удоб-
но выделить эту переменную. Исходные уравнения запи-
сываются тогда в виде системы в банаховом простран-
стве:
-^ = f(z, и, t), (1.13)
где символом f обозначен некоторый оператор.
Возвращаясь к уравнениям (1.2), (1.3), зафиксируем
управляющие функции и и определим для этих уравне-
I] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ 39
ний понятие обобщенного решения. Возьмем множество
D(G) бесконечно дифференцируемых векторов ф(х) =
— (фь .... фп) и скаляров ф(х) с носителем в обла-
сти G (supp (ф, ф) с: G) евклидова пространства Rm и
определим обобщенное решение системы (1.2), (1.3)
как совокупность обобщенных функций z = (z1, ..., zn),
£ = (£', ..., £п<то-1)), удовлетворяющих при любых
(ф, ф) eO(G) системе интегральных тождеств
/ (z'V-ф-Нф, X‘)]dx — 0 (/=1, ..., п), (1.14)
G
J [?ф, r’]dx = 0 (/=1.......«). (1.15)
G
В этих формулах через Xi обозначен вектор (х(, ..X™);
знаки (,), [,] обозначают, соответственно, скалярное и
векторное произведения.
Если функции X, £, г, и непрерывно дифференцируе-
мы по всем своИхМ аргументам, то определенное таким
образом обобщенное решение совпадает с классическим,
т. е. уравнения (1.2), (1.3) удовлетворяются в обычном
смысле; очевидно, верно и обратное. Таким образом,
понятие обобщенного решения связано с отказом от
требования непрерывной дифференцируемости функ-
ций X, £, г, и.
Тождества (1.15) соответствуют уравнениям (1.3);
мы видим, что эти тождества, вообще говоря, не выте-
кают из (1.14), поэтому, как указывалось ранее, при
рассмотрении обобщенных решений одних только соот-
ношений (1.14) недостаточно: следует определять эти
решения совокупностью тождеств (1.13), (1.14) !).
В дальнейшем определение обобщенного решения бу-
дет видоизменяться в соответствии с особенностями кон-
кретных задач.
Относительно границы dG = Г области G будем
предполагать, что она составляется из конечного числа
*) Ранее уравнения (1.2) были получены в предположении не-
прерывной дифференцируемости функций X; теперь, допуская обоб-
щенные решения, мы кладем в основу уравнения (1.2), (1.3), рас-
сматриваемые в обобщенном смысле (1.14), (1.15); для таких урав-
нений требование непрерывной дифференцируемости, вообще говоря,
не выполняется.
40
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
(п—1)-мерных поверхностей, каждая из которых до-
пускает отображение на (п— 1)-мерную гиперплоскость,
непрерывное вместе с производными до некоторого по-
рядка.
Что касается граничных условий, то особый интерес
представляют те из них, которые задают значения функ-
ций zi на определенных частях границы Г (условия
1-го типа). Пусть для каждого / (j = 1, ..., п) указана
связная открытая часть у,- границы Г, в частности, воз-
можны случаи, когда множество Tj = cl у, совпадает
с Г, а также случаи, когда Г; — пустое множество; мно-
жества Tj, Г* при / У= & могут иметь непустое пересече-
ние. Положим
zi(х) = з((х), хеу/ (/=!,..., п), (1.16)
где z{ (х) — заданные функции, принадлежащие извест-
ному функциональному пространству (своему для каж-
дой конкретной задачи). Если для некоторого / множе-
ство у; пусто, то соответствующее условие (1.16) сле-
дует исключить.
Существуют задачи, для которых некоторые из функ-
ций z{ (х) не задаются, а трактуются как граничные
управления: для таких управлений примем обозначение
t^’(x) (условия 2-го типа).
Итак, пусть z'(x) = u'(x) для / = Д, ...» jni
В ряде случаев граничные управления вводятся еще
более сложным образом. Именно, вместо условий типа
(1.16) рассматриваются дифференциальные уравнения
на (т— I)-мерных граничных многообразиях; эти урав-
нения и содержат граничные управления. Подобные
условия назовем условиями 3-го типа.
Пусть = int A; cz Г — такое граничное многообра-
зие, причем пересечение SjAyj будем для простоты пред-
полагать пустым; введем на систему (вообще криво-
линейных) координат i = 1, ..., т—1. Значения
функций г(х) при xe6j связаны системой дифферен-
циальных уравнений !)
(1.17)
(г — 1, ...» т — 1),
*) Если — пустое множество, то условия (1.17) не задаются
ц НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ 41
правые части которых — непрерывно дифференцируемые
функции, содержащие граничные управления .
.и параметрические переменные и1' = (х{, ...,
функции Т1 удовлетворяют условиям интегрируемости
дт1 дт!ь
= —A (Z, k= 1, m- 1), (1.18)
dqk dqt v ’
аналогичным (1.3). Для некоторой системы индексов
j = {/s} на границах d6j областей 6,- функции г* считают-
ся заданными:
z/(x)==z/(x), х<=д6., j = {]s}. (1.19)
Можно было бы, подобно предыдущему, и здесь счи-
тать некоторые из функций ^’(х), х^д6}. управления-
ми, ’ либо вводить дифференциальные уравнения на
(т — 2)-мерных многообразиях d6j и т. д.; при этом
в задачу вошли бы управления все более высоких ран-
гов. Поскольку на практике такие задачи встречаются
редко, ограничимся случаем, когда граничные управле-
ния либо заменяют какие-нибудь из функций z{(x),
в формулах (1.16), либо входят в граничные
уравнения (1.17).
Обобщенные решения zi(q) уравнений (1.17), (1.18)
определяются по аналогии с такими решениями уравне-
ний (1.2), (1.3); при этом функции zft(#), k = 1, ...
..., (/ — 1), (/ + 1),..., и, и управления v фиксируют-
ся, а роль уравнений (1.3) играют соотношения (1.18).
Наконец, в ряде случаев область G заранее не фик-
сируется; предположим для определенности, что (от-
крытая) часть о ее границы Г заранее не известна и
подлежит определению наряду с управляющими функ-
циями. Множество о может иметь непустое пересечение
с множествами yj(6j), на которых заданы условия ука-
занных выше типов; граница до множества а считается
известной.
Прежде чем перейти к описанию множеств значений
управляющих функций и, и, а также возможных поло-
жений поверхности о, зафиксируем управления ц, v и
поверхность о и определим для полученной такигл обра-
зом краевой задачи (1.2), (1.3), (1.16) —(1.19) понятие
42
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
обобщенного решения. С этой целью возьмем множество
D(Rm) финитных бесконечно дифференцируемых векто-
ров ф(х) = (фь фт) и скаляров ф(х); очевидно,
введенное ранее множество D(G) с; D(Rm). Кроме того,
в (т— 1)-мерном пространстве Rm-i введем множество
D(Rm_i) финитных бесконечно диффеернцируемых век-
торов х(<?) = (xi....Xm-i) и скаляров со(<?); сделанное
ранее предположение о характере границы Г позволяет
утверждать, что б, cz supp(%, со), где dj— любая откры-
тая компонента Г. Обобщенное решение задачи (1.2), (1.3),
(1.16) — (1.19) определяется теперь как совокупность об-
общенных функций г — (z1, ..., z”), ? = (?', ...,
х = (х{, ..., %^_2), ! = 1, ...» п, удовлетворяющих для
любых (ф, ф) cz D(Rm), (х, co)<=£>(/?m-i) системе инте-
гральных тождеств *) (по / не суммировать!)
( z( (ф, N!)dx — J {z'V • ф + (ф, JO) dx +
Y/s G
+ J Zjs (x, «0 J dq — f { z; 1V. • /х + (X, T1) } J dq = 0
(1.20)
(/=1......n),
|[?ф, X']</x = 0, j [V,/©, TJ]dq = Q (1.21)
a dy
(/=1, ..., n).
Здесь N1 = (Ni, ..., — единичный вектор внешней
нормали к поверхности у,, а п}' = (п{, //^^ — еди-
ничный вектор внешней нормали к границе d6j области
dj, лежащий в многообразии 6j; вектор % обращается в
нуль в точках (36/, j =/= {/s}.
Тождества (1.21) (из которых первое совпадает с
(1.15)) соответствуют уравнениям (1.3) и (1.18); отно-
сительно их роли можно повторить замечания, сделан-
ные ранее по поводу тождества (1.15)*
*) Символ Jdq = Hi ... Hm_idqi ... dqm-i обозначает элемент
площади поверхности 6 в ортогональных криволинейных координа-
тах 71, ..., 7m-i.
и
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
43
Оптимальная задача заключается в следующем: тре-
буется определить управления и, v, поверхность о и со-
ответствующие им решения задачи (1.20), (1.21) таким
образом, чтобы функционал
1[и, о]= J j dq+ J c’{q) dq (1.22)
r/UTy dd
достигал минимального возможного значения.
В формуле (1.22) принято обозначение (36= U(36j.
Записью (1.22) в соединении с уравнениями связи охва-
тываются, в частности, интегральные функционалы вида
/[«, и]= j f0(z, и, x)dx+ J fi (2, х, v, q)J dq. (1.23)
а г
Для доказательства достаточно ввести дополнитель-
ные зависимые переменные — вектор zQ = (zn+1, ...
.,., zn+m) и вектор Zi — (zn+m+\ zn+2m~{)— при по-
мощи формул 9
V-z0 = f0, —z"+* = 0 (Z, А=1, ..., m), (1.24)
V-Z^fp + m + f — zn+m+k = Q у, A=l, m—1).
(1.25)
Эти соотношения можно включить в системы (1.2) и
(1.16), если ввести дополнительные параметрические
переменные
£п(т~1)+/ m(m+l) i),
gn(/n—2)+fc ^k— 1 . m (m — I)
Рассмотрим, например, случай m = 2; тогда Zo =
= (гп+1,2п+2) и равенства (1.24) принимают вид
—I— gn-^2 __ ₽ Zn^~^ ' -—
Х[ 1 Хг * О’ %2 Х{
Координаты Хг для простоты считаем декартовыми, а Г —
ПЛОСКОСТЯМИ Хт = COHSt.
44
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Нужно ввести две параметрические переменные £n+1,
£n+2J сделаем эт0 по формулам
Z"+1 = — Cn+2 + fo>
2?г+2 — + 1 2п + 2 — Гп+2
Xi ® ®
Полученная система имеет форму (1.2). Функционал
J J fо dxx dx2
а
оказывается равным
J zn+1 dx2 — zn+2dxl9
г
т. е. приведен к виду (1.22). Преобразование уравне-
ний (1.25) к форме (1.17) выполняется аналогично.
Что касается граничных условий для новых перемен-
ных го, гь то их можно, по желанию, присоединить или
не присоединять к системам (1.24), (1.25) (во втором
из этих случаев недостающие соотношения получатся из
необходимых условий минимума).
Относительно допустимых управлений u, v будем
предполагать, что они принадлежат (открытым или за-
мкнутым) множествам Д, В некоторых функциональных
пространств. Специально будут рассмотрены ограниче-
ния, имеющие форму равенств
ak(u; х) = 0, x^G (6=1, ..., (1.27)
и неравенств
аДи; х)>0, x^G (k = + 1, ..., r<p), (1.28)
а также (для хеу,- или д;)
bk(v\ ?) = 0 (fe=l, ..., Р1) (1.29)
и
bk(v\ ?)>0 * (fe = P1+l, ..., р<л). (1.30)
Левые части этих соотношений при любом фик-.
сированном х представляют однозначные функции
от и, V.
и
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
45
Ограничения (1.28), (1.30) бывает удобно записы-
вать в форме эквивалентных равенств. С этой целью
вводят систему (вещественных) дополнительных упра-
вляющих функций uft*(x), uft*(x) при помощи формул
ctk х) — ul* = 0
bk(v\ <?) —vL = 0
r^p), (1.28),
(fe = Pi + l,
р<л). (1.30),
k = {rx + \.
Дополнительные управления u**, vk* не связаны ни-
какими ограничениями, кроме (1.28)*, (1.30)*. Соотно-
шения (1.28)*, (1.30)* имеют форму (1.27), (1.29); для
совокупности управлений и = (ukl,uk*), v = (yk,vk*)
ограничения можно считать заданными формулами
(1.27), (1.29), что и будет сделано в дальнейшем. Есте-
ственно потребовать, чтобы множества Д, В удовлетво-
ряли следующим условиям:
а) для каждого выбора управления и е Д, v е В су-
ществует (не обязательно единственное) обобщенное ре-
шение задачи (1.2), (1.3), (1.16) — (1.19);
б) решение г(х) задачи непрерывно зависит от упра-
вления в следующем смысле: если последовательность
ит, vm управлений сходится по норме (пространства
управлений) к управлению и, и, то соответствующая по-
следовательность zm решений сходится (хотя бы слабо)
в пространстве решений к решению г;
в) в множествах Д, В существуют оптимальные
управления u, и, т. е. такие управления, что
I[и, v]^I[U, V], VC/еД,
Проверка этих условий, особенно последнего, пред-
ставляет наибольшую трудность во всякой оптималь-
ной задаче. Множество Д, В управлений, удовлетво-
ряющих первым двум условиям, назовем множеством
допустимых управлений. Что касается неизвестной ча-
сти о границы Г, то специально на эту часть границы
могут быть наложены определенные требования глад-
кости.
Такова совокупность условий, составляющих форму-
лировку типичной оптимальной задачи для уравнений в
частных производных; возможные модификации этих
условий легко могут быть приняты во внимание.
46
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
2. Общая схема получения необходимых условий
стационарности и ее реализация для ряда
конкретных случаев
В этом пункте будет приведен формальный вывод со-
отношений, определяющих краевую задачу, сопряжен-
ную задаче (1.2), (1.3), (1.16) — (1.19). Нормальной
форме (1.2), (1.3) основных уравнений отвечает стан-
дартная запись уравнений сопряженной задачи. Эти по-
следние сразу составляются по известным функциям
Т{ и краевым условиям (1.16), (1.19). Предполагаем^
что все нужные производные существуют и непрерывны;
случаи разрывов рассматриваются особо.
Ограничения на управления возьмем в форме (1.27),
(1.29). Кроме того, предположим, что на границе Г вы-
делены п не пересекающихся между собой замкнутых
множеств Г1, ..., Гп и замкнутое множество S; при
этом в точках каждого из множеств = int Г, заданы
значения соответствующей функции г* (формулы (1.16)),
а в точках о — int 2 — уравнения (1.17) для некоторой
системы индексов / = {Д}; кроме того, на границе да
заданы значения zi для системы индексов {Д}, являю-
щейся частью системы {Д} (формулы (1.19)). Множе-
ство о будем считать известным.
Формальная процедура связана с применением обыч-
ного метода множителей Лагранжа. Возьмем функции !)
n),
a-к W (k= 1,.. • > n),
(/={/*); z=l, .... m -1).
М<?) (k= 1,.. Pi).
соответствующие ограничениям (1.2), (1.27), (1.17),
(1.30), и составим функционал
П = / + J + Ш 3 dq. (2.1)
G G
f) Элементы 0/, можно считать равными нулю для тех /, кото-
рые не входят в систему индексов {/\}. Интегральные ограничения
также могут быть учтены с помощью соответствующих множителей
(см. ниже примеры 1,3).
2]
ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
47
Обозначим через g, S, 0, 0 прямоугольные матрицы
{6U» a через a, a, 0, &, С, с —векторы
(aft), (аь), (₽fe), (6fe), (O), (c^)r и введем функции
Лагранжа
L = Sp (£3) + (a, a), I = Sp (00) + (0, b) + (C, z). (2.2)
Выражение для первой вариации П составляется из
интегралов по области G, интегралов по границе Г и по
границе до. Слагаемые первого типа в выражении для
первой вариации дают в сумме
г / dL д£ц \ Г dL Г dL
—Г------— — ttfdx + \ -^—dusdx. (2.3)
J \ dz’ dxi / J dtf J dus v 7
Q G G
Чтобы написать слагаемые, представляемые интегра-
лом по Г, рассмотрим вариацию функционала j fJdq,
г
где f — значение на Г функции, определенной в области,
ограниченной замкнутой поверхностью Г, и непрерывно
дифференцируемой в этой области вплоть до Г. Вариа-
ция функционала составляется согласно правилу
б/fJdq — / (>fJdq + ^kf+-^WJdq. (2.4)
Г Г Г
Здесь k — средняя кривизна поверхности Г, через 6N
обозначена вариация внешней нормали к Г, а d/dN обо-
значает полную производную по нормали, т. е.
— И? £ и \ df dz \ df । df ди
ON I И, ь, *) — dN т dz dN т дм ~ ди dN *
где d'/dN — производная по явно входящим в f незави-
симым переменным. Формула (2.4) справедлива, разу-
меется, если только функция f непрерывно дифференци-
руема, а поверхность Г допускает непрерывные вторые
производные. Интегралы по многообразию Г в выраже-
нии для первой вариации дают в сумме
J (В/, N)dz!Jdq+ [ (-?]- — y-^~}dz!/dq +
j! J \dz' J dqt j
+ f (тт И + -г- M 3d4 + f <e/> ")bzl dx- (2-5)
48
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Здесь = gw/), 0Z = (01M .0(m-1) у), J =
Предположим еще, что область G разделена на две
части G+ и G_ гладким (т— 1)-мерным многообразием
Го разрыва управлений и\ поверхность Го подлежит оп-
ределению вместе с управляющими функциями.
Полная вариация А/ функции f на поверхности Го
складывается из вариации 6f собственно функции f и
вариации (df/dN)bN, связанной с перемещением поверх-
ности. Вклад соответствующих слагаемых в выражение
для первой вариации функционала П равен
/ {[(£„ N) bz1]^ + [£ - (gz, N) ^-] W } dx. (2.6)
Го
Символом [ ]t обозначена разность предельных зна-
чений величины в скобках, взятых на поверхности Го по
разные ее стороны. В частности, если функции
остаются непрерывными при переходе через Го, то
[Аг7]* — 0 и вместо (2.6) получим
J {[(g/, ЛГ)Ц + [L - (|/, N) 62V } dx. (2.7)
Го
Заметим, что параметрические переменные £ раз-
рывны на Го наряду с управлениями и.
Наконец, предположим, что область о разделена на
две части о+ и о_ гладким (т — 2)-мерным многообра-
зием дв0 разрыва управлений и, причем поверхность дао
подлежит определению вместе с управляющими функ-
циями.
Полная вариация А/ функции f на поверхности дао
складывается из вариации df собственно функции f и
вариации (grad f, 6г), связанной с перемещением по-
верхности дао, которая, вообще говоря, является поверх-
ностью излома многообразия о.
Соответствующее слагаемое в выражении для первой
вариации равно
[ ([(6/, п)М1-([(е./> n)grad?]t, br)}Jdq. (2.8)
^ae
2]
ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
49.
Обозначение [ ]* имеет смысл разности предельных
на дао значений величины в скобках, взятых на поверх-
ности о по обе стороны от многообразия до0-
Теперь мы в состоянии, пользуясь обычной аргумен-
тацией вариационного исчисления, написать необходи-
мые условия стационарности функционала I. Эти усло-
вия имеют вид:
в области G
дх[ dL 7 = 0 dz1 4=0 dt,k 4=0 du.s (/= 1, ra), (k = 1 ra (tn — 1)), (s= 1, .... p); (2.9)
на границе (Ъ, Л0=0 Г (/=1, • ... k—1, k+ 1 n\ '
С! + &, N) £' + (£/, N) = 0 (/ = 1, dl 1 dz1 J .... ra), xer/fljrjUa, dJQii (/={/*}), xea, d4t (2.10)
4 = 0 -1L-0 dvk .... (6=1 m — 2-, /=(/*)), x^a, л), x e a; । 1
k )
на многообразии до
+ п) = 0 для всех !k^js- (2.11)
На многообразии Го разрыва управлений и (условия
Вейерштрасса — Эрдманна)
(1) [(£/, Л0]* = 0, если [Аг'Г = 0,
(2) (g/, N)_ = 0, если вариации
(Дг/)+ и (Аг')_ — произвольны; 12)
(3) [L-&, N)^-]_ = 0
(в этих формулах /=1, га).
50
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА [ГЛ. I
На многообразии <3ао разрыва управлений v
(1) [(9/, л)Ц = 0, если [Д2/]* = 0,
(2) (0/, п)+ = (0/, и)_ = 0, если вариации
и (AzQ_ — произвольны;
(3) [(0/, n)gradz/]l = 0
(в этих формулах j={jk]).
(2.13)
Соотношения (2.9) —(2.13) вместе с формулами
(1.16) и (1.19) показывают, что первая вариация функ-
ционала П — сумма выражений (2.3), (2.5), (2.6) и
(2.8) — обращается в нуль.
Уравнения (2.9) — (2.13) могут быть записаны в иной
форме. С этой целью рассмотрим «импульсы» dLldz^,
dlldz'q и убедимся, что они совпадают с лагранжевыми
множителями 9«- Введем «функции Гамильтона»
Н(х, 2, и, £) =
= — =^/Xi ”(a’ a)>
\ xi IJ _xi
zx,~ i
и, (Л (2.14)
h(q, z, %, u, 0) =
Справедливы очевидные равенства
Л, = Н^ = Н1и-Х{ (2.15)
и h. = —- la , hj — — Ij, h i = Qi Qi z z xj = —йе(/=Г{. ~l i> (2.16)
Пользуясь формулами (2.15), заменим уравнения
(1.2) и первые/г уравнений (2.9) соотношениями
dz' дН дЬ, дН
---= —, -^- =--------------г. (2.17)
дх^ дх^ dz1
21
ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
51
Эти уравнения имеют форму канонических уравне-
ний Вольтерра [377]. Такое совпадение, однако, имеет
формальный характер, поскольку функцию Н нельзя
считать истинной функцией Гамильтона до тех пор, пока
переменные £ и и не будут исключены из нее с помощью
остальных уравнений (2.9). Эти последние уравнения
могут быть записаны в форме
—h- = 0 (k= 1, ..., п(т — 1)),
= ° .....р^
(2.18)
Аналогично, уравнения (1.16) и последние три группы
уравнений (2.10) могут быть представлены в эквива-
лентной форме:
dzi dh 1 д/дц dh
dqt dd.j ’ --4- = - — + Af), (2.19) J dqt dz1
(«=1......tn —2-, /={/*}), хе ст,
4=о
4=о
dvk
(k — 1, ..., л), х е ст.
(2.20)
Предположим, что вариации Аз’ непрерывны на мно-
гообразиях Го, да0 разрыва управлений и, V. Тогда, поль-
зуясь теоремой Адамара — Гюгонио [55] и уравнения-
ми1) (2.12)ь (2.13)1, можно записать уравнения (2.12)з
и (2.13) з в следующей форме:
О+кП1 = 0, (2.12)3
(6.-/)+[4^]- = 0- (2.13)3
При выводе соотношений этого пункта предполага-
лось, что все необходимые производные существуют и
непрерывны, и соответствующие решения являются клас-
сическими. Переходя к обобщенным решениям, нужно,
9 Здесь и далее цифрой в нижнем индексе при номере фор-
мулы обозначается порядковый номер уравнения в группе уравне-
ний, соотнесенных с данным номером формулы. (Прим, ped,)
52
ЗАДАЧА МАЙЕРА - ВОЛЬЦА
[ГЛ. I
как указывалось выше, принять во внимание уравнения
(1.3), (1.18) или, точнее, соответствующие им инте-
гральные тождества (1.21). Нетрудно видеть, однако,
что принимая во внимание (1.3) и (1.18) путем введения
лагранжевых множителей
Ф^ = Фк (/=1, •••, i, 6=1, т),
= (/=!,..., п, i, 6=1, т — 1)
и считая функции непрерывными, a L и I непрерывно
дифференцируемыми по г, £, и, х, у, мы придем к тем же
условиям стационарности (2.9) — (2.13), в которых толь-
ко следует заменить величины 0^- на соответствующие
комбинации lij(Qij) и производных дФЦдхДдср^/У dqp}
(например, при т = 2 заменяется на gi/ — дф^дху
hi на hi + дф{21дх2 и т. д.). Без ущерба для резуль-
татов можно считать Ф = ср = О,
Приведем несколько примеров.
Пример 1. В односвязной плоской ограниченной
области G с границей Г ставится оптимальная задача
Дг1 = и(х, у), =f(0, /== j z1 dt = min,
г г
«min < vrai max и (x, у) < «raax,
^mln "J." J* f (0 di ^щах*
Г
(2.21)
Здесь t — длина дуги границы Г области G, отсчиты-
ваемая от некоторого начала; S — площадь области G.
Положим Xi = х, х2 — у; уравнение Пуассона экви-
валентно системе (ср. (1.7))
^ = 23, Z| = £’, 4=£2,
з ?*2 з и (2-22)
4 = £2, z* = u —
Положим = £2/ = п/; будем иметь ?
Я = ?1г2 + т]1г3 + и1 + ^2 + и2 + Пз(«-$1)-У« |
(у — множитель Лагранжа, отвечающий условию разре- ’
шимости задачи Неймана),
2]
ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
53
zxN = z1yt — 23хр где xt, yt — направляющие косинусы
касательной к Г; можно положить
= ——f),
где р = р(/) — множитель Лагранжа. Сопряженная си-
стема
Six + = 0, \<ix + ъ2у — — gj, £3х + Пзг/ = — Ль 1 9 .
^2-Пз = О, Л2 + ёз = о 3)
интегрируется при краевых условиях
ZxVt — ЛЛ + 1 =0, l2yt — ад + р^ = 0, 1
> (2.24)
£зУг — ПЛ — pxt = 0. J
Функции считаем непрерывными; на линии Го воз-
можного разрыва управления и должны быть выпол-
нены условия
[&yt — ПлЕ = 0 (/ = 1,2, 3),
[яЦ=и)_1^ + (4)_[п/С- (2>25)
Пример 2 (задача о минимуме электрического со-
противления плоской области). Ограниченная плоская
область G и граница Г — те же, что в примере 1; на
границе Г (см. рис. 1) выделены две дуги Г] и Гз без
общих точек (электроды); оставшиеся две дуги, Гз и Г<,
являются изоляторами. Электроды соединены друг с
другом через нагрузку R.
Распределение тока / и потенциала г1 описывается
уравнениями
div/ = 0, и] — — grad а'—Ео, (2.26)
где Ео = (fj, Е2) — заданная векторная функция точки
(стороннее поле), а и(х,у)—удельное сопротивление
среды. Граничные условия таковы (/ = (—z2, ztyy.
г1 |г = const,
а1 |Гг = const, z1 |Гз = 0, а2|Г4 = /,
(2.27)
(2.27)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
54 ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА [ГЛ. I
Требуется максимизировать функционал (У — внеш-
няя нормаль к Г1)
1= J (/, N)dt
г,
выбором ограниченной измеримой функции и(х, у), под-
чиненной неравенствам
«min< vrai max«(x, y)<umax. (2.28)
Эквивалентная запись условий (2.26), (2.27) такова:
z\= — u^—Ex, zly~ — i£2 — Е2,
z'\Fl = z'+, г'\Г2 — г1_\ z2|r ==0, z2 |г< = I,
z'+ — z'_ = IR.
Введем множители £(, Цр g2, Лг! будем иметь
Н = - («?’ + Е!) - т)1 («С2 + Е2) + U2 ~ П2&1.
Сопряженная система
Л1(/ == б, “Ь Л2(/ == о, 1
«£1 + Т)2 = 0. «П1 — £2 = ° /
интегрируется при краевых условиях
hyt — ПЛ = 0 на Г3, Г4,
— ПЛ = 0 на Г,, Г2,
/ G2J/t — Wt) dt — 1 + R J — r)!^) dt = 0
r< r,
(t длина дуги Г). Функции г’ непрерывны; на линии Го
разрыва управления выполняются условия
[^-ПЛЛ = О (7=1,2),
[яД = (^)_и/Д + (г0_[п/Ц.
Пример 3 (задача об экстремуме жесткости кру-
чения неоднородной плоской области). Напряженное
(2.32)
21
ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
55
состояние при кручении односвязной, изотропной, неод-
нородной плоской области G с границей Г описывается
уравнениями
4=- + у> г'У=- - х>
при краевом условии
г2 —О на Г.
(2.33)
(2.34)
Здесь и = и (х, у) = ц-1 (х, у)—величина, обратная
модулю сдвига (податливость); ограниченная измери-
мая функция и(х, у) подчинена ограничениям
«min < vraimax и (х, у) < umax, ' JJ udxdy = и, < izmax,
о
(2.35)
где «* — заданная постоянная, a S — площадь обла-
сти G. Через z1 (х, у) обозначена депланация сечения
стержня, а через z2(x,у} —функция Прандтля. Требует-
ся выбором функции и(х, у) максимизировать (миними-
зировать) функционал
/
= J J z^dxdy,
(2.36)
а
отличающийся множителем 2 от функционала жесткости
кручения. Введем множители g)( r)i, g2> т)2, Y1 имеем
Я = ± z2 -Hi (—«?' + У) — П1 («£2 + х) + g2g2 — n2V — у«
(2.37)
(верхний знак в первом слагаемом соответствует мак-
симуму, а нижний — минимуму функционала I). Сопря-
женная система
+ —О, %2х + Л2У — 4- 1,
?1« + П2 = 0, П1« —^2 = 0
(2.38)
интегрируется при краевом условии
byt — ПЛ = 0 на Г, (2.39)
На линии Го разрыва управления выполняются ра-
венства (2.32),
66
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Пример 4 (экстремум первого собственного числа
эллиптического оператора). В области G = GUr рас-
смотрим оператор
т
jz\____У JL Iи dz1 \
Lz — 21 дх. [Uik dxj’
i,k=i 1 v k'
(2.40)
коэффициенты которого и^(х) удовлетворяют в G усло-
вию
т т т
Hl S > Л “М > Иг 2 tf, р1 > ц2 > 0, (2.41)
k=\ it fc=l k=\
при любых вещественных t\, ... ,tm (равномерная эллип-
тичность). Пусть на границе Г
z1 —0, (2.42)
тогда оператор L положительно определен [110].
Требуется определить управления Ujft(x) (i, k =
= 1, ..., т) при ограничениях (2.41), (2.42) таким об-
разом, чтобы решение краевой задачи
Lz^Az1, А = const,
j (z‘)2dx= I, z1 (х) > 0,
а
Vx<^G
(2.43)
(существующее, очевидно, лишь при некотором А — Ai)
минимизировало (максимизировало) функционал
/ = ЛР (2.44)
Нетрудно написать систему нормального вида, заме-
няющую уравнение (2.43) ь Проиллюстрируем соответ-
ствующую процедуру на примере т = 4. Положим
4.=£*. 4,=^ 4=?3- 4=?Л
4. = 4 Z2=^, Z2=^, Z2( = ^
(2.45)'
уравнению (2.43) i можно удовлетворить, если ввести
функции г3, г4, г5, г6, г7, z8 соотношениями
4 + гх + Zx = и\к^к + Л2;2>
Xg Xj Х4 LK'-> • '
— 4, + 4, + С =
-4,-42 + 44 = «з^»
~ 4, — 2к — 4 = u4i&k>
Щ Л? Xi
2]
ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ
57
в правых частях этих формул производится суммирова-
ние по k от 1 до 4. Эти равенства уже легко приводятся
к нормальной форме, после чего выписываются необхо-
димые условия стационарности.
Пример 5 (внешние задачи для гармонических
функций; управление формой поверхности). Рассмотрим
замкнутую поверхность S, ограничивающую тело В\ до-
полнение множества В U2 до всего пространства обозна-
чим через О. В точках О рассмотрим гармоническую
функцию
Дг! = 0, (2.46)
исчезающую на бесконечности: г1^ = 0.
Будем рассматривать три типа граничных условий
на 2 и три варианта поведения на бесконечности, при-
чем тут же укажем соответствующую физическую интер-
претацию функции г1:
1) 2Ч2=1, г1|00 = -^ + о(1) (2.47)
(г1 — электрический потенциал, создаваемый в О иде-
ально проводящей поверхностью 2, заряженной до по-
тенциала 1 относительно бесконечно удаленной точки);
2)
z1 ls = (*. Го) + const,
h — const,
(2.48)
|ft| = 1, a r0 —радиус-вектор точки на S (z1 —электри-
ческий потенциал, создаваемый в О идеально проводя-
щей поверхностью S, помещенной в однородное элек-
трическое поле ft);
3> -wL = (A’">•
(2.49)
ft = const, I ft 1= 1,
a N—внешняя нормаль к S (z1— потенциал скорости
несжимаемой идеальной жидкости, созданный препят-
58
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. 1
ствием в виде твердого тела В, помещенного в равно-
мерный поток, движущийся со скоростью h).
Во всех трех случаях ставится задача об экстремуме
функционала
I = j J J | grad г1 I2 dx{ dx2 dx3 (2.50)
о
при различных ограничениях на выбор S.
С помощью формулы Грина нетрудно показать, что
в случае 1)
/ = 4тсС, (2.51)
где С — постоянная, входящая во второе условие (2.47)
(емкость тела В).
Подобным же образом, в случае 2)
з
I = P = ^.pikhthk (2.52)
i, £=1
есть поляризация в направлении ft, а в случае 3)
з
l=w= 5 Wikhihk (2.53)
i, k=\
— присоединенная масса в том же направлении.
Обычно рассматриваются следующие ограничения
на выбор S: а) задана площадь S поверхности S; б) за-
дан объем V тела В\ в) задан диаметр D тела В.
Величины С, W, Р, подобно S и V, представляют со-
бой геометрические характеристики тела В; поэтому
ограничение может быть сформулировано путем задания
каких-нибудь из этих величин.
В частности, могут быть поставлены следующие за-
дачи оптимизации: г) найти экстремум С, если задано W
(и (или) Р); д) найти экстремум W, если задано Р (и
(или) С); е) найти экстремум Р, если задано С (и
(или) Г).
Ограничения а) — в) являются классическими; соот-
ветствующие результаты собраны в книге Полна и Сеге
[132]. Органичения г) — е) не являются классическими.
Граница S тела В может быть частично известна.
Рассмотрим для простоты случай двух независимых пе-
ременных (х,у), причем будем считать, что граница S
2J ПОЛУЧЕНИЕ УСЛОВИЙ СТАЦИОНАРНОСТИ 59
имеет прямолинейную часть у известной длины /, и тре-
буется найти оставшуюся часть 2 — у так, чтобы при
ограничении а) (задана площадь
V = j§ydx-xdy (2.54)
плоской фигуры В) присоединенная масса тела В была
минимальна. Имеем
»’ = f1 г1 = г2 z2 = — С2 z- = г1 1
х & ’ х Zy (2 55)
я = -(?,)2-(С2)2 + и, + П1?-и2 + ^1» J
+ Л!!/ = 0, 4" Лгу = 1
I, + Л2 - 2:1 = О, Л| - Ъ - 2С2 = о, J
У/-’1Л=0> хеЕ,
С1)2 + О = | = const, xeS-y. (2,57)
Последнее условие является добавочным соотноше-
нием, служащим для определения неизвестной части
2 — у границы 2; неизвестная постоянная р опреде-
ляется по условию (2.54). По существу этот результат
был получен Рябушинским [349].
Если часть контура состоит из прямолинейных отрез-
ков, то задача решается до конца, поскольку мы нахо-
димся в условиях применимости схемы обтекания поли-
гональной дуги с образованием кавитационной каверны
заданной площади V.
Аналогичным образом ставится плоская задача о ми-
нимуме емкости системы двух фигур В и В' таких, что
В' с В и фигура В известна полностью, а о фигуре В
известна только ее площадь.
Пример 6 (оптимальные задачи для гиперболиче-
ских уравнений; управление фазовой скоростью распро-
странения возмущений). В полосе (0 t Г, —оо <
<х<оо) плоскости tx дано квазилинейное уравнение
первого порядка
= /о г; u) + (/, х, z; и) zx, (2.58)
содержащее управляющую функцию х) в коэффи-
циенте fi и свободном члене fo. К этому уравнению
60
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
присоединяются начальные условия
г(0, х) = 20(х); (2.59)
граничные условия не ставятся.
Кусочно-непрерывная функция u(t, х) заранее не из-
вестна; требуется подобрать ее так, чтобы минимизиро-
вать функционал
I = J р (х) г (Т, х) dx, (2.6б)
—•00
где р(х) —финитная функция. Функции /о, fi, 20 непре-
рывно дифференцируемы по всем своим аргументам.
Уравнение (2.58) эквивалентно системе
zt = fo + М» zx =
Функция H имеет вид
# = l(fo + M) + <;
сопряженная система
& + Лх — — Kfoz + fizO> Vi + rl==0
равносильна одному уравнению
(2.61)
это уравнение решается при краевом условии
|(Г,х) = -р(х). (2.62)
Рассмотрим оптимальную задачу для одномерного
волнового уравнения
4-(«Ч)х=о> (2.63)
где фазовая скорость и~'/з зависит от двух переменных
t, х. На части Г] границы Г основной области G заданы
некоторые начальные и граничные условия; требуется
выбором функции и(/, х), подчиненной ограничениям
*)<«.пах <00> (2.64)
минимизировать функционал
/ = Jf(21, x)dx (т — длина дуги границы). (2.65)
г/г
31
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
61
Функция F непрерывно дифференцируема по всем
аргументам; никакая часть границы Г не является от-
резком характеристики. Уравнение (2.62) равносильно
системе
4 = С2, Z2t=uZ2,
Функция Гамильтона
^ = U1 + ni?2 + « + ^1-
приводит к сопряженной системе
lit + = °, %2t + П2х = 0, 1 •
h + п2=о, + = J
3. Необходимое условие Вейерштрасса (пример)
Вывод этого условия связан со специальным пред-
ставлением приращения А/ функционала /, обусловлен-
ного тем, что вместо оптимального управления и бе-
рется допустимое управление U = и + Ди. Существует
несколько вариантов такого представления, впервые
описанного в известной работе Л. И. Розоноэра [144].
Соответствующее построение проведем сначала на част-
ном примере, а затем рассмотрим общий случай.
Возьмем задачу о минимуме электрического сопро-
тивления плоской области (пример 2 п. 2). Обозначая
малыми буквами величины, относящиеся к оптималь-
ному режиму, а соответствующими большими буква-
ми — величины, отвечающие допустимому режиму, на-
пишем уравнения
= - + z‘-Z‘=-WC2 + t/Z2,
z2 —Z2 = £2 —Z2, z2-Z2 = -^ + Z1, (>)
вытекающие из уравнений (2.26).
С помощью множителей gi, т)Ь g2, л2 составим инте-
гральное тождество, отвечающее системе (3.1) (Azi =
= zl — Zx ИТ. д.):
J J fe, (AzL - «?' + C7Z’) + n, (AzL - «с2 + £/z2) 4-
Q
+ £2 (Az2 + £2 — Z2) + Ц2 (Az2 — £l + Z1)] dx dy = 0.
62
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Интегрируя по частям первые слагаемые в круглых
скобках и пользуясь первой парой уравнений (2.30),
найдем
J dif/i — ПЛ) Az1 dt + J — TfeXt) Az2 dt +
г г
+ / J & (t/Zf -«:’) + П1 (tfZ2 - ug) +
G
+ Ъ (C2 - Z2) +T]2 (Z1 - ?')] dx dy = 0.
Для преобразования суммы криволинейных интегра-
лов воспользуемся условиями (2.27) и (2.31); эта сумма
оказывается равной Д/. Интеграл по области G преоб-
разуем с помощью второй пары уравнений (2.30); соби-
рая результаты, получим (см. (2.29))
Д7 = — 11 [Д(£, т), 1,и, х, у) — Я(|, т], Z, U, х, y)]dxdy —
а
= / J 4г(- + TfeZ'MW (3.2)
G
Первые два уравнения (2.30) удовлетворяются подста-
новкой
== Л»== О'== 1, 2); (3.3)
вторая пара уравнений (2.30) дает тогда
иа>1у — ®2х = 0, «®1х + ®2у = 0> (3.4)
а граничные условия (2.31) записываются в форме
®2 1Г = «>2+ = const, ®2 |Гг — ®2_ = const,
®1 |г = ®,_ — const, ®! |Г) = ®1+ — const,
®2+ --------®2- + 1 = R (®1+------®1-).
(3.5)
Обозначим через/(Z1, Z2) допустимый вектор плот-
ности тока (т. е. вектор, отвечающий допустимому упра-
влению 17); выражение для Д/ записывается так:
Д7 = J J* -^- (/, grad ®2) dx dy. (3.6)
Ja
31
необходимое условие вейерштрасса (пример)
63
Полученная формула является точной; как видим,
приращение Д/ функционала I зависит не только от Ди
и характеристик оптимального режима (и и grad со2), но
также от допустимого вектора плотности тока /(Z^Z2),
определяемого допустимыми значениями Z1, Z2 пара-
метрических переменных. Если приращение управления
Ди может быть задано непосредственно извне, то век-
тор / определяется в результате решения краевой за-
дачи (2.26), (2.27), где вместо и следует взять допусти-
мое управление U. Эффективное решение этой задачи
для произвольного допустимого управления невозмож-
но, поэтому приходится вводить дополнительные част-
ные предположения относительно способа варьирования
управления и; каждое такое предположение порождает
определенное необходимое условие экстремума. Прежде
чем перейти к описанию подобных специальных вариа-
ций, рассмотрим одну вспомогательную задачу, суще-
ственную для дальнейшего. Возьмем эллипс D с цент-
ром в точке Р области G
и полуосями а, &, ориенти-
рованными по единичным
векторам а, 0 соответ-
ственно; эллипс изготов-
лен из однородного про-
водника с удельным со-
противлением U. Предпо-
ложим, что эллипс D по-
мещен в однородное по-
ле токов /, образующих
угол <р с осью 0 (рис. 4)
и текущих в бесконечной проводящей среде с постоян-
ным удельным сопротивлением и. Составляющие плот-
ности тока J внутри эллипса определяются формула-
ми [155]
/«e“l/lwTTTU7sin(P’ 7₽ = i/lw77+4rcos<f- <3-7>
Поле J однородно внутри эллипса; его ориентация
относительно поля / зависит от отношения т = b/а по-
луосей эллипса и от ориентации последнего относи-
тельно j (т. е. от угла ф). Если т = b/а = 1 (случай
64
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
круга), то J = ц-ц_~Ь т. е- векторы / и/ параллельны
при любом ф, а зависимость взаимной ориентации от ф
отсутствует (это совершенно очевидно из физических со-
ображений). Если b/а ~ 0 (узкая полоска вдоль оси а),
то с точностью до членов О (bld) справедливы равенства
4 = — I/I-Jfsin(₽ = -£-/„, = | / |cos<p = /p; (3.8)
аналогичные формулы имеют место для b/а ~ оо (узкая
полоска вдоль оси 0). Очевидно, узкие полоски отве-
чают наиболее резкой зависимости взаимной ориентации
векторов J и j от угла ф, т. е. от ориентации эллипса D
относительно поля /.
Заметив это, вернемся к вопросу о вариации управ-
ляющей функции в задаче о минимуме сопротивления.
Будем считать функцию U кусочно-гладкой, т. е. непре-
рывно дифференцируемой повсюду, за исключением ко-
нечного числа гладких линий Го, вдоль которых она мо-
жет терпеть разрывы 1-го рода; функции Е\ и Е2 (см.
(2.26)) пусть обладают производными, непрерывными
по Гельдеру. Известно [91], что при этих условиях ре-
шение задачи (2.26), (2.27) является классическим, если
оно удовлетворяет на линиях Го естественным условиям
сопряжения
[z‘]t = O, [z2]t = 0, (3.9)
Эти условия будем предполагать выполненными.
Определим допустимое управление U формулой
{и + Ди, х (= Dp
и, X
(3.10)
где Dq — эллипс с центром в точке Р области G и полу-
осями аг, Ьг, ориентированными по единичным векто-
рам а, ₽; при этом ось (3 составляет угол ф с оптималь-
ным вектором j плотности тока в точке Р. Будем счи-
тать г малым параметром (е< 1); пусть точка Р не
является особенной точкой поля /; тогда вектор J вну-
три эллипса отличается величиной порядка о(1) от век-
тора (3.7), если в этих последних формулах считать /
оптимальным вектором плотности тока в точке Р, а при-
ращение Ди постоянным в Dq и равным значению Ди в
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
65
той же точке1). Сказанное позволяет представить ра-
венство (3.6) в форме
д/=- f [ Дц_1±^х
J J ти + U
[ttl — 1 "I
Au ~u~+'mU /₽®2Р — (/> grad <b2)J dx dy + о (e), (3.11)
где /р и ®2p обозначают составляющие векторов / и
grad «г по оси 0.
Точка Р, будучи точкой непрерывности подынте-
гральной функции в (3.11), является точкой Лебега
этой функции. Обозначая через %8 характеристическую
функцию множества De, получим 2 3)
е’*° J j Xedxdy
Dz
“ — Au [Ам —(/> grad ®2)]. (3.12)
Чтобы функционал I достигал максимума, необходимо
выполнение неравенства Д/ 0; этому же неравенству
должна, очевидно, удовлетворять левая часть соотноше-
ния (3.12), а следовательно, и его правая часть. Таким
путем приходим к неравенству
А« Ж [Ан ДД - (/’ ad ®2)] > 0, (3.13)
выражающему необходимое условие Вейерштрасса силь-
ного относительного минимума. Неравенство (3.13) дол-
жно быть выполнено во всех точках непрерывности оп-
тимального управления и; соображения непрерывности
показывают, что оно должно выполняться и вплоть до
(гладких) линий разрыва этой функции. Левая часть
*) Это утверждение будет доказано в п. 4 настоящей главы;
здесь будем предполагать, что точка Р не является точкой разрыва
оптимального управления и, ибо в противном случае она была бы
особенной точкой поля /.
2) Предельное равенство (3.12) справедливо, если предельный
переход совершается относительно системы множеств, 'регулярно
сжимаемых ([114], стр. 397—398) в точку Р. Множества D& при
0 < т < оо регулярно сжимаемы в точку Р при е->0.
3 К. А. Лурье
66
ЗАДАЧА МАЙЕРА - ВОЛЬЦА
[ГЛ. 1
неравенства (3.13) содержит три параметра, характери-
зующих вариацию управляющей функции: Ди, т и ср
(см. рис. 4). Без ущерба для общности можно считать
О < m 1 (случай оо > т 1 сведется к этому, если
поменять ролями координатные оси аир). Неравен-
ство (3.13) должно быть выполнено для всех возмож-
ных значений параметров. Прежде всего заметим, что
могут представиться только следующие два случая:
1) Ли < О, Д'” = Ли /р®2,5 — (/> grad <о2) < О,
(3.14)
2) Ли > О, Д'2’ = Ли — (j, grad ®2) > 0.
(3.15)
В первом из этих случаев и = итах (см. (2.28)) и
(/, grad 02) ^0 (последнее вытекает из второго неравен-
ства (3.14), если ось р выбрать так, чтобы было уф — 0);
Рис. 5.
во втором случае и = umin
и (у, grad сог) 0. Случай
(у, grad со2) = 0 следует отбро-
сить (если отвлечься от триви-
альной возможности / = 0 или
grad (о2 = 0 в точке Р), по-
скольку при этом векторы у и
grad со2 составляют прямой
угол, и ось р можно выбрать
так, чтобы выражение
^U’ (mu +U)(u + mU)
имело любой знак.
Исследуем более подробно случай 1). Пусть / —
угол, составляемый векторами у и grad со2 в точке Р
(очевидно, п/2 в случае 1). Если направление
Р располагается в заштрихованных секторах (рис. 5),
ограниченных прямыми аа и bb, перпендикулярными со-
ответственно к векторам у и grad со2, то /фсогр < 0 и не-
равенство (3.14) выполняется; если вектор р располо-
жен вне этих секторов, то необходимо найти максимум
3J
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
67
функции
f (Ф, t) = (1 - m) ymaxr^in / ₽®2р =
«max -г '/zwmin н
= (1 — ui)-—-цТг»1? ' I / II grad ®21 COS ф COS Ф
при добавочных условиях ф = % + ср, % = const, и по-
требовать, чтобы соответствующее значение Л6) было
неположительно. Легко проверить, что функция /(ф, % +
+ ф) достигает максимума при ф — —%/2, т. е. для на-
правления р, делящего пополам острый угол % (соот-
ветствующее положение эллипса будем называть крити-
ческим). Для критического положения
f = f max = (1 - m) K“mVm“Mmin 11II grad ®2 |cos4x/2).
«max '««mm
Соответствующее значение A<’> равно
Anax = 1/11 grad ®21 [(1 — tn) ~и“”а~г"!:1п cos2(x/2)— cos x ].
L «шах "r '««min J
Требование Лтах^О приводит теперь к неравенству
О < X < arccos -5—, (3 д6)
2«max («max «min)
где
1 4- «/«min/«max
С ростом X (т. е. с убыванием т) правая часть нера-
венства (3.16) монотонно убывает; при т = 1 (случай
круга) Л = 0, и неравенство (3.16) дает
О <Х < л/2. (3.17)
Если т = 0 (узкая полоска), то X = 1 и, следовательно,
W = Umax, если (/, grad ®2) > О и
. o<x<arccosP, Р= . o.is)
«max «min
Очевидно, последнее неравенство представляет самое
сильное условие: если оно выполнено, то выполнены не-
равенство (3.17) и неравенство (3.16) для всех проме-
жуточных значений X (или /п); обратное неверно,
3*
68
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
(ГЛ. I
Во втором случае (см. (3.15)) аналогом неравенства
(3.17) служит условие
л^Х^л/2, (3.19)
а неравенству (3.18) отвечает условие
и = Иппп, если (/, grado2)^0 и — arccosр,
(3.20)
вывод которого совершенно аналогичен'предыдущему.
Проведенное рассуждение показывает, во-первых,
что самые сильные условия при выбранном способе
варьирования (в пределах эллипса) получаются при
варьировании управляющей функции в узкой полоске;
во-вторых, критическими положениями полоски будут
такие ее положения, когда нормаль к ней (направление
Р) является биссектрисой угла %, составляемого векто-
рами / и grad юг в данной точке (очевидно, вектор нор-
мали определен здесь с точностью до знака).
Переход к полоске можно было бы совершить с са-
мого начала, положив т = 0 в неравенстве (3.13). По-
лучающееся при этом неравенство
7Г [4 />₽ + (A Srad М < О (3.21)
можно вывести из условия
~(J, grad®2)<0, (3.22)
которое, в свою очередь, выводится из (3.6) с помощью
рассуждений, исходных с теми, которые приводят
к (3.13).
Чтобы перейти от (3.22) к (3.21), предположим, что
Ди #= 0 в пределах узкой полоски (шириной е) с нор-
малью п; предельные значения на границе полоски со-
ставляющих плотности тока / извне полоски при 8 —> 0
таковы, как если бы полоска отсутствовала совсем, т. е.
совпадают с соответствующими значениями составляю-
щих оптимального вектора / в данном месте1). С другой
стороны, если t—единичный вектор, направленный
9 Это утверждение несправедливо лишь в окрестности концов
полоски, но тем не менее окончательный результат (3.23) оказы-
вается правильным.
3J НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР) 69
вдоль полоски, то с точностью до величин о(1) спра-
ведливы следующие соотношения между предельными
значениями векторов / и J на прямолинейной границе
полоски *) [53]:
/« = /«, ujt = UJt. (3.23)
Формулы (3.23) позволяют исключить составляющие
вектора J из неравенства (3.22); результат будет верен
с точностью до величин порядка о(1), ибо такими вели-
чинами отличаются значения составляющих вектора J
внутри полоски от соответствующих значений на ее гра-
нице. Получаем
О,
т. е. неравенство (3.21). Формулы (3.23) выражают не
что иное, как непрерывность на границе полоски пре-
дельных значений производных от функций г1 и г2 в на-
правлении вдоль полоски. Эти условия следуют из соот-
ношений (3.9), выражающих непрерывность самих
функций г1, z2 на границе полоски.
Сделанные замечания позволяют дать новую иллю-
страцию условий Вейерштрасса, отвечающую записи ос-
новных уравнений задачи в форме (1.12).
Пусть = п, s2 = t, dsx — dn — H{dq\, ds2 = dt =
= H2dq2 — локальные ортогональные криволинейные
координаты; в этих координатах основные уравнения
(2.26) принимают вид
<=“?—<3-24)
Функция Гамильтона равна
" = И - + »>, г) + тМ • <3-25)
а функции cot, cos удовлетворяют сопряженной системе
u(olf — (о2п = 0, i/(oln + (o2f = 0, (3.26)
не отличающейся от системы (3.4), если п = (yti —Xt),
t = (xt, yt), а также граничным условиям (3.5).
*) См. предыдущую сноску.
70
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Неравенство (3.21) получается теперь весьма просто.
Предположим, что Ди =/= 0 в полоске с нормалью п и ка-
сательной /, и составим разность
ДЯ = Н ((ор <о2, г', г2, U, х, у) — Н (со t, со2, z\, г2, и, х, у) —
= - (и - и) - <д>2, (У - -^) (г> + £w). (3.27)
Требование Д/7 0 приведет теперь к неравенству
(3.21), если еще исключить производную сои с помощью
первого уравнения (3.26), а производную z\ — при по-
мощи второго уравнения (3.24).
Различие между функцией 7/, определяемой по
(2.29), и функцией (3.25) заключается в том, что первая
из них зависит от параметрических переменных £*, £2,
которые, вообще говоря, разрывны на границах полоски
(непрерывны их комбинации Qyt — £2х, = /n = —
и(£xt + t?yt} — u]t = — z\ — £*of); это обстоятельство отра-
жено в формуле (3.2). Функция же (3.25) построена
таким образом, что параметрические переменные £2
входят в нее через непрерывные комбинации г}, так
что разрыв на границе полоски испытывает лишь управ-
ление и. Это достигнуто благодаря тому, что п и t свя-
заны с ориентацией полоски указанным выше специаль-
ным образом; изменение ориентации полоски сопрово-
ждается новым выбором координат. Окончательные не-
равенства (3.18) и (3.20) получаются после сравнения
всевозможных ориентаций пар векторов (л, /), как это
сделано выше.
Можно отметить, что именно неравенство Д# 0,
записанное в форме (3.27), представляет полный фор-
мальный аналог принципа максимума Понтрягина; не-
равенство же Д/7 0, в котором функция Н определена
формулой (2.29), не представляет такого аналога, по-
скольку в это неравенство входят допустимые значения
параметрических переменных.
Сказанное разъясняет замечание, сделанное в п. 1
относительно роли уравнений (1.11), (1.12). Элементы
матрицы {Cki} = {(еь ii)}, k, I = 1, 2, и управляющая
функция и образуют единую систему управляющих па-
раметров в том смысле, что соответствующее неравен-
ство Вейерштрасса (3.21) должно быть выполнено при
3)
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
71
всевозможных допустимых значениях переменных Cki
и U. Использование вариаций в полоске позволяет с из-
вестным основанием говорить об «анизотропии» варьи-
рования управляющей функции и (см. введение).
Полученные результаты позволяют дать простое до-
казательство теоремы Грётша (см. введение). Предполо-
жим, что распределение тока / и потенциала г1 в обла-
сти G описывается уравнениями (2.26), где и = umin,
£0 = 0, и граничными условиями
21 |г^ |Г2 -|- 1 = IR, jN |Гз = jN = 0, (3.28)
где I по-прежнему обозначает функционал (N—внеш-
няя нормаль к Г)
(329j
Первое условие (3.28) выражает присутствие во
внешней цепи единичной электродвижущей силы. Тео-
рема Грётша утверждает, что при поставленных усло-
виях введение в область G участков, на которых
и(х, у) > umin, уменьшает значение функционала I.
Будем предполагать, что функция и(х, у) выби-
рается среди кусочно-непрерывных функций1), удовлет-
воряющих условию (2.28). Нетрудно показать, что при
поставленных условиях для любой функции и(х, у) спра-
ведливо равенство
/ — — ~ grad ®2 (3.30)
(чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить уравне-
ния (2.26) и условия (3.28) с сопряженной системой
(3.4) и краевыми условиями (3.5)).
Из формулы (3.30) следует, в частности, что % = л,
а неравенство Вейерштрасса (3.19) показывает, что
функционал. максимизируется управлением и = umin во
всей области. То обстоятельство, что % = л, показы-
4) В дальнейшем будет показано, что результат настоящего
рассуждения сохраняет силу и для более широкого класса измери-
мых функций, норма которых в пространстве LOO(G) удовлетворяет
условию (2.28).
72
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. 1
вает, что неравенство (3.19) не нарушается ни при ка-
ком возможном значении р (см. (3.18)), а это, в свою
очередь, означает, что режим и = umin оптимален при
любом значении «тах, в том числе и при umax = оо
(когда допускаются идеальные изоляторы). Иными сло-
вами, ограничение Umin^w(x, у) «max МОЖНО Заме-
нить ограничением и(х,у) umin, не нарушая справед-
ливости теоремы Грётша *).
Одновременно мы видим, что для доказательства тео-
ремы достаточно воспользоваться неравенствами Вейер-
штрасса в ослабленной форме (3.17), (3.19); истинное
значение усиленных неравенств (3.18), (3.20) прояв-
ляется при доказательстве более общих предложений,
относящихся к случаю Eq 0, когда утверждение
теоремы Грётша, вообще говоря, оказывается невер-
ным. Подробное изложение этого вопроса будет дано
в гл. II.
Наконец, можно показать (см. приложение), что ут-
верждение теоремы Грётша справедливо и по отноше-
нию к сильным глобальным вариациям удельного сопро-
тивления, как об этом упоминалось во введении.
4. Необходимое условие Вейерштрасса (пример).
Продолжение
Рассуждения предыдущего пункта нуждаются в не-
которых дополнениях. Прежде всего, оставаясь в рамках
сделанных выше предположений о кусочной гйадкости
допустимых управлений, нужно доказать, что формулы
(3.7) представляют главную часть вектора / внутри эл-
липса £)е, когда е->0, или равносильное утверждение о
том, что формула
Дг-(х.!,) = -|/|Ло(^гх + -“5=Лг!,). (4.1)
(х, у) «= £>е,
выражает главную часть приращения Аг2 для (х, у) е
е £>е при е —* 0.
*) Самим Грётшем теорема была сформулирована и доказана
для случая, когда вносимые в область участки обладают бесконеч-
ным сопротивлением (U = «щах = <*>).
4]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
73
Нам будет удобно провести это доказательство
сначала для кусочно-постоянных управлений и впо-
следствии, в п. 6 этой главы, распространить резуль-
тат на общий случай измеримых ограниченных управ-
лений.
Итак, пусть управление и(х, у) кусочно-постоянно,
т. е. постоянно повсюду, за исключением конечного чис-
ла гладких линий Го, вдоль которых оно может иметь
разрывы 1-го рода. При достаточно широких предполо-
жениях о границе Г области G существует обобщенная
функция Грина краевой задачи (2.26), (2.27). Иначе го-
воря, существует фундаментальное решение уравнения
Mugdiv u grad g = S (Q), (4.2)
удовлетворяющее краевым условиям (см. рис. 1; N —
внешняя нормаль к Г)
8 1г8 О’ #8 b4 / и &N О’
г4
dg I _ dg 1 _п
dN )Г1 diM \Г2~ и
(4.3)
и условиям сопряжения
[§11 = 0,
(4.4)
на линиях Го разрыва управления и(х, у).
Если f е LP(G), 1 < р < оо, то формула
z(P)=jf(Q)g(P,Q)dSQ,
° (4.5)
dSq - dXq dl/q
определяет обобщенное решение неоднородного уравне-
ния Muz = f, удовлетворяющее условиям (4.3), (4.4).
Пусть щ(х, у), и2(х,у)—два различных кусочно-по-
стоянных управления; возьмем в области G две произ-
вольные точки Qi и Q2, и пусть gl(P,Qi), g2(P,Q2) —
функции Грина операторов A44i и А4 с полюсами Qi,
74
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Q2 соответственно. В интегральном тождестве
J q)V • AdS = J срДд, dt — [ (A, Vqp)dS g^
а г g
положим сначала ср = g2, А = u^g\ а потом ср = g1,
А = u2\/g2\ вычитая почленно результаты и пользуясь
уравнением (4.2) и условиями (4.3), (4.4), получим
g2(QI,Q2)-g1(Q2, Qi) =
= J («2 - «.)0W1 (А <?.). g2 (P, Q2)) dSP. (4.7)
G
В частности, если ui = u2, то из (4.7) следует равенство
g(Qi,Q2)-£(Q2,Qi), (4.8)
выражающее свойство симметрии функции Грина.
Равенство (4.7) можно почленно дифференцировать,
например, по координатам точки Qj; результат такого
дифференцирования следует понимать в смысле обоб-
щенных функций. Имеем:
(Qi> Q2) — J (и2 ^i) X
G
/сЯлЧР'О,) \ )
X V <4, " ’ {Р’ Q2}) dSp V°‘ (Q2’ Q,)- |
(4.9)
dV g' (P, Qt)
Чтобы выразить составляющие тензора—!—z---------,
arQi
заметим, что функция Грина g'(P,Q\) допускает пред-
ставление
(р. ад (f.Q.). (410)
где g\(P, Qj)дважды непрерывно дифференцируема по
координатам точек Р и Qi повсюду, за исключением точ-
ки Р — Qi, где lim g\ (P, Q.) = О (1), а также линий
4]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
75
Го; ПРИ этом ввеДено обозначение
rQiP = ^(XQi хрУ + (#Q. УрУ •
Составляющие вектора (Qi) Vpg1 (Р, Qi) равны
(4.11)
в этих формулах ф обозначает полярный угол радиуса-
вектора точки Р относительно начала Qi.
‘ rfVpg1 (Я Qi)
Формулы для составляющих тензора —------------ со-
drQi
держат обобщенные функции [46]; имеем, например,
2л
“1 (<21)^5 = cos2<pd<p +
Qi о
, ч d2gl,(P, Q,)
+ «1(Q1) dxQidxp
I C0S<P 1 __ 1 [ 1 2(xp —Xq)’ 1 cos2cp
2sT rQ.P LQi 2лг^р 2л r^p 2л r2QiP
Выражения для других составляющих записываются
аналогичным образом. Получаем:
j_p(P, <Э.) О I
И О
г^рСозгф r-zp sin 2ф
__2 —2 '
rqiP sin 2ф rqiP cos 2ф
+ (4.12)
“ (Q.)(^:(P’Q1). Vpg (P, <22)) = /,Л, 4- isA,. (4.13)
\ drQl )
76
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. 1
где
A’~^ 2»
* V
1 соз2ф __l_d(p, Qi)l +
Q,P 2 J
9 1 sin 2cp . /Г\ \ л
—2-x + «> (QiMi*
P n •q.P
- 9 1 sin 2qp
Л2 = Я2------------о--------
p 2л r2QiP
1 cos 2qp
.2
QiP
A2, = g2Xp
^yp 2л r;
_2kL
3xQi dxp
dxQi дур T dyQi dyp ’
+|«(P, <?,)] + «.№) A.
(4.14)
Предположим теперь, что функция g'(Q2, Qi) из-
вестна; тогда равенство (4.9) эквивалентно системе двух
сингулярных интегральных уравнений относительно не-
известных функций (Qp Q2), g^ (Qp Q2); совмест-
ность этой системы следует непосредственно из ее по-
строения.
Система имеет вид (считаем, что Q1eG):
“2 (Qi) + Mi (Qi) „о (п п \___
_ 1 f »2 (Р) - их (Р) 1^2 COS^2<p J
Хр rQiP
2л J «i(Qi)
+g’,p(P. <Ут^
p rQiP
“2 (Qi) + ui (Qi) „2 tn п \
2Ul (Q,) SyQS^’ ^)
_ 1 f «2 (P) ~ И, (P)
211 J « (<?.)
9 / П ГЧ \ COS 2ф
~g2yJP> Q2) —
Ц(ф,. ^p=g'Q(QpQ2),
л sin 2qp
+ u, (QJ A2t dSp Q2),
(4.15)
-4- g^ _------------_—
SyP <tyQ| дУр
4]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
77
причем для записи выражений в правых частях мы вос-
пользовались симметрией функции Грина ^(QnQg)-
Предположим теперь, что
U2(P) —«1(Р)¥=0, P^Ge, |
«2(P)-W1(P) = 0, PeGe; f
(4.16)
множество Gs будем считать принадлежащим системе
множеств, регулярно сжимаемых в точку О, общую всем
этим множествам1)- Разыскивая непрерывно дифферен-
цируемое в Ge решение системы (4.15) и принимая во
внимание вышесказанное, запишем уравнения (4.15) в
следующей форме (О = Qi Се):
ui (Qi) и2 (Qi) (о г\ \________
(Qi) ^2)
- “,(^F-Rq. + S^’ ад] =
=riQi (<?,.%) + о о),
(Qi) + u2 (Qi) -2 tn
- "a(Q22.7o,,)(C?') |^,(ад ад - (ад ад] -
=«%, (ад ад+°(|)'
где
С = — | S = _L Г ^-dSP, (4.18)
” GJ rQlP я gJ rQiP
8 8
9 Если среди множеств Gg имеются множества сколь угодно
малого диаметра и для каждого множества Ge этой системы най-
дется такой содержащий его квадрат с центром в точке О и со
стороной А, что
№ < ае, е = mes Gg,
где а —число, не зависящее от выбора множества Gg, то система
Gg называется регулярно сжимаемой в точку О.
В частности, система концентрических кругов и система подоб-
ных эллипсов регулярно сжимаемы к общему центру. Подробнее
о свойствах регулярно сжимаемых множеств см. [114].
78
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
а о(1) обозначает величину, стремящуюся к нулю
вместе с 8. Решение системы (4.17) дается формулами
Я2 (<?р Q2) = ^- + °(D,
д (4.19)
q2)=4+o<1)’
где
д «i (Qi) (1 — С) + и2 (Qi) (1 + С) 1 Г) \ 4-
. и2 (Qi) — и\ (Qi) « j /Q 0 4
+ 2MQi)
Д «2 (Ql) — «£ (Ql), g„l (Q Л'1-L.
2«1 (Qi) ^QJWpy2)-+- 20)
, «i(Qi)(1+C) + h2(Qi)(1-C) M nJ
SmJQj) =^,1^1’<*2/’
A==T2br4«i(Qi) + «2(Q1)]2-
4“i(Qi)
- (C2 + S2)[u, (Q,) - m2(Q,)]2}.
Пусть Ge есть внутренность эллипса De с центром
Qi; полярное уравнение эллипса имеет вид г2 =
= в2 (a2 cos2 <р + b2 sin2 <р). Справедливы формулы:
2л
С = J In (a2 cos2 ф+Ъ2 sin2 ф) cos 2ф йф = ,
о
2л
S = 4- f 1п (а2 cos2 ф + & sin2 ф) sin 2ф t/ф == О,
О
(^1’ Зг) = (QJ + />it(Qi)
gyQ1(3i> Q2)= а«2 (Q?) + (Qi) £1q,(3i> Q2) + °(1)-
Аргумент Q2 в этих формулах указывает на то, что
потенциалы gl, g2 создаются точечным источником, рас-
положенным в Q2. Ясно, однако, это этими же форму-
лами будут описываться и потенциалы, созданные лю-
4]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ПРИМЕР)
79
бым распределением источников внутри области1)- По-
ложим теперь и\ = u, и2 = U, g2 * * * *(Qi, Q2) = Z2(Qi, Q2),
гч<?,.<м =г!№.<м.й0=л,, Slo=~>.- 4^=1,
g] — в результате приходим к формулам
+ /. = Т7ТЭТ''. + »<1). (4-22)
совпадающим с (3.7) (с точностью до слагаемых о(1)).
Пользуясь формулами (4.18) — (4.20), можно получить
аналоги равенств (3.7) для малых областей произволь-
ной формы. При этом следует, однако, иметь в виду, что
формулы (4.22) без слагаемых о(1) представляют точ-
ное решение системы (4.15), где
f U = const, х е £)е,
щ — и = const, и2~\ . (4.23)
1 2 ( и = const, х D? ' 7
(область Z)8 — эллипс), а вместо функции g!(Qi,Q2)
взята функция тока однородного поля токов /. Точный
характер этого решения (однородность поля J внутри
эллипса) обусловлен тем, что первые две формулы
(4.21) остаются верными, если в качестве полюса Qi вы-
брать любую точку внутри эллипса2). Если форма обла-
сти Ge отличается от эллиптической, а остальные усло-
вия сохраняются прежними, то поле J внутри области
Ge уже не будет строго однородным (оно будет тем
ближе к однородному, чем ближе Ge к эллйпсу).
С другой стороны, если внешнее поле / создано то-
чечным источником, расположенным в Q2 (т. е. на конеч-
ном расстоянии от £)е), то поле J в эллиптической об-
*) Располагая точку Qi вне области 6е, из (4.9) получим
формулы
g2XQl (Ql- Q2) = SxQi (Qp Q2) + 0 (mes Ge)’
. (qi- q2)=(Qp Q2)+°(mes Ge>
2) Достаточно заметить, что стоящим в левых частях (4.21)
интегралам пропорциональны производные по х и у от проекций
силы притяжения однородным эллипсом материальной точки, нахо-
дящейся внутри него. Проекции этой силы на оси х, у эллипса про-
порциональны соответствующим координатам (аналогичные фор-
мулы для однородного эллипсоида см. в [156], стр. 102).
80
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
ласти Z)8 лишь приближенно будет однородным (откло-
нения от однородности уменьшаются с удаление^м источ-
ника, либо, что то же, с уменьшением размеров эллипса
по сравнению с радиусом кривизны R линии тока исход-
ного поля в точке Qi, к которой стягивается эллипс).
Если, наконец, в неоднородное внешнее поле / (с ис-
точником в Q2) помещена область Ge, отличная от эл-
липтической, то неоднородность поля J в этой области
будет обусловлена обоими факторами — неоднород-
ностью внешнего поля и неэллиптичностью области.
Влияние первого из этих факторов ослабевает при стя-
гивании области Ge к полюсу Qi независимо от формы
этой области. При достаточно малых (по сравнению с 7?)
размерах области Ge эту последнюю можно считать на-
ходящейся в однородном поле токов, равном/(Qi). Поле
J внутри Ge определяется теперь из токовой задачи для
области Ge в однородном внешнем поле j(Qi) = const;
хотя размеры области при этом уже не имеют значения,
форма этой области все еще остается существенной. По-
этому возникает задача определения такой формы об-
ласти варьирования, которая привела бы к наиболее
сильным необходимым условиям экстремума. В следую-
щем пункте мы покажем, что и в этом отношении эллип-
тические (эллипсоидальные) области играют особую
роль.
5. Об одном экстремальном свойстве эллипса
Основной интерес представляет знак выражения
(3.6) для А/; при сделанных предположениях можно
считать Ди = const, и = const, grad 02 = const = а в
области Ge; требуется, чтобы для всех допустимых Ge
выполнялось неравенство А/ 0. Удобно задать пло-
щадь S области Cg и рассматривать функционал
Т Д/ = Т JJ a^dx dy-
Ge
Таким образом, приходим к следующей вспомога-
тельной задаче. В бесконечной однородной среде с
удельным сопротивлением и = const создано однород-
ное поле токов /. В среду внесено цилиндрическое тело
5]
ОБ ОДНОМ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ЭЛЛИПСА
81
с удельным сопротивлением U = const > и; площадь
поперечного сечения Ge тела задана и равна S. Пусть
a=i\ai + i2a2— постоянный вектор, такой, что (/, а)^0.
Требуется определить форму сечения Gs, сообщающую
максимум функционалу
= (J, a)dxdy. (5.1)
С8
Сравнение с (3.6) показывает, что Wa — и; по-
скольку и > 0, Ди > 0, отсюда следует, что max Wa =
= с max ДД с > 0; чтобы приращение Д/ было неполо-
жительно, необходимо должно быть max Д/ 0, а зна-
чит, и max Wa 0. Поэтому основной интерес предста-
вляют условия, при которых функционал (5.1) дости-
гает максимума.
Аналогично, если U = const < и, то выбирается по-
стоянный вектор 6 такой, что (/, Ь) 0, и разыскивается
форма сечения Ge площади S, сообщающая минимум
функционалу
1Ft==4-/J(J,5)dx<ty. (5.2)
Рассмотрим случай = max, U > и (случай 1^6=
= min, U.<. и трактуется совершенно аналогично). Из
условий стационарности, соответствующих этой задаче,
выделим требование
(J, а) —К — const вдоль Se,
(5.3)
вытекающее из последнего уравнения (2.12); постоян-
ный лагранжев множитель "К связан с ограничением
j j dxdy = S
(5.4)
и определяется из этого равенства.
Функция тока Z2(x, у) гармонична в области G8; это
же относится к функции (/, а) = — Z2a\ + Z2xa2. По-
следняя функция в силу (5.3) принимает постоянное
значение на границе области, значит, она постоянна
повсюду в G8. Отсюда следует, что функция Z2(x, у)
82
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. 1
линейна по обеим переменным, а вектор J постоянен
в G8. При поставленных условиях это возможно только
в том случае, когда границей области служит эллипс.
Действительно, желая написать соответствующую
этой задаче систему сингулярных интегральных уравне-
ний (4.9), в качестве g](AQi) возьмем функцию
2S7ln r^p-
Умножим (векторное) уравнение (4.9) на const
после чего положим Q2-+oo. Правая часть результи- >
рующего равенства будет постоянным вектором (не за-
висящим от Qi); вектор lim Q2) Для Qi е
Q,->oo
е Ge не зависит от Qi, согласно доказанному выше.
Упомянутое предельное равенство показывает тогда, что g
для Qi е Ge выражение ।
/ ^pgl (Р> Qi) dSP . |
I
является линейной векторной функцией координат хп , i
z/Qi. Но ' г
j W (Р, Q,) dSP == — VQl J g1 (Р, Q.) dSP,
Gg‘ G&
откуда следует, что в точках области Ge выражение
/ g1 (Р, QJdSP (5.5)
°е
представляет многочлен второй степени от xQi, . Под* А
ходящим ортогональным преобразованием координа!
этот многочлен можно привести к форме, не содержа-
щей первых степеней и произведений координат; будем
считать, что это сведение уже выполнено. Коэффи-
циенты полученного многочлена необходимо положи-
тельны, так как согласно (5.5) этот многочлен предста-
вляет внутренний потенциал однородного тела Ge поло-
жительной плотности. При этих условиях, как показы-
вает теорема Дива [227, 156] (точнее, ее двумерный ана-
51
ОБ ОДНОМ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ЭЛЛИПСА
83
лог, установленный Гольдером [268]), граница тела мо-
жет быть только эллипсом, что и требовалось доказать.
Отметим, что задание площади S эллипса G8 (см.
(5.4)) еще не определяет этот эллипс однозначно. Объ-
ем доказанного заключается только в том, что область
Ge, максимизирующую функционал (5.1), следует ис-
кать среди эллипсов заданной площади. Но эта задача
решается уже элементарно. Пользуясь формулами (3.7),
справедливыми для любого эллипса, составляем функ-
ционал (5.1); величина этого функционала зависит толь-
ко от отношения b/а полуосей эллипса. Экстремальными
значениями этого отношения будут 0 или сю (смотря по
тому, как ориентированы оси а, 0 (см. рис. 5) относи-
тельно векторов j и а); поэтому, фиксируя S #= 0, полу-
чаем «бесконечно тонкую полоску бесконечной длины»
в качестве предельного эллипса. Чтобы избавиться от
неприятностей, связанных с бесконечной длиной поло-
ски, нужно отбросить требование задания S; в этом слу-
чае экстремальное значение функционалу (5.1) достав-
ляет «эллипс бесконечно малого диаметра с единичным
эксцентриситетом»; ничто не изменится, однако, если бу-
дем говорить о бесконечно тонкой полоске конечной
длины («игла» [132]).
Аналогичные результаты справедливы и в случае
трех независимых переменных; остановимся кратко на
этом случае. Пусть хь х2, Хз— система декартовых ко-
ординат с началом в центре Qi эллипсоида De с полу-
осями <7, Ь, с (а b с), ориентированными вдоль хь
х2, х3; удельное сопротивление вещества эллипсоида
равно G = const, а удельное сопротивление окружающей
среды и = const. Формула (3.6) для приращения функ-
ционала остается в силе; если / — однородная плотность
тока в среде с удельным сопротивлением и, то плот-
ность тока J внутри эллипсоида также однородна и оп-
ределяется формулой
/Ji
1 "i" и) д*
____________7*2^2______________|
1 . abc , гт\ л '
1 ~1“ (^ ^2
________/з^з ______
1 + 'Йг (“ “ и) Аз
84
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. 1
где
ds
ds
J (s + as) Rs ’
о
Г ds
J (s + WRs ’ J (s + c2) Rs’
о о
Rs = ]^s + a2)(s+b2)(s + c2).
Рассмотрим два частных случая.
1. а^Ь = с (вытянутый сфероид). При этом
Al = aV 2е +1п Т=Т) ’
Д2 = Д3 = -^з-(у-=-^- + -2 In 1 + в),
е
а2 '
Если Ь = с-* О, то ab2A{-»(), ab2A2 = ab2A3~* 1, a J опре-
деляется предельной формулой
1 = 7Г [/1*1 + ТТсГ (/2‘2 + ;'3^] •
Для подынтегрального выражения (3.6) получаем
1Г [тти- (У> grad “2) + >> J “
= Т¥й [(/> grad ®2) + А®2J •
Последнее выражение ^0, если
Дм < 0, (/, grad со2) + j.
либо если
Дм > 0, (/, grad ®2) 4- />2jC|
Пусть <р будет углом между векторами / и gradco2,
тогда в первом из отмеченных случаев
.. .. wmax wm!n 2 Ф \ п
U — ^max> COS ф 2ttmin $ П 2
или
^inax
^шах + ЗИпНп
(5.6)
О
5]
ОБ ОДНОМ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ ЭЛЛИПСА
85
а во втором
и = umia, cos ф — “max sin2 -у < О,
^“max
ИЛИ
я — arccos -----(5.7)
Иглах “Г ^wmin
2. а = b с (сплюснутый сфероид). При этом
Л ___ А __ Л С 1 С
1 2 2a3g3 a4g2 a3g3 агс § ag ’
Если c->0, то a^cAi — a2cA2 -> 0, а2сЛ3->2, a J опреде-
ляется предельной формулой
~~U (ЛА + /2*2 4* /з^з) •
Подынтегральное выражение (3.6) равно
ПГ [(/, grad ®2) + /3®2 J;
последнее выражение ^0, если
Ди < 0, (/. grad ®2) 4- /3®2ж> > 0,
либо если
Ди > о, (/, grad ®2) + /3®2xs С о.
В первом случае имеем (ф —угол между / и grad<o2):
и = «шах, 0 < Ф С arccos “mav ~ “mln , (5.8)
wmax “г «min
а во втором
u == Umin, л — arccos “max “mln ф л. (5.9)
“max "Т “mln
Непосредственное сравнение показывает, что условия
(5.8), (5.9) сильнее условий (5.6), (5.7), т. е. варьиро-
вание в сплюснутом сфероиде эффективнее, чем варьи-
рование в вытянутом сфероиде. Критическим положе-
нием сплюснутого сфероида является такое его положе-
86
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
ние, когда ось симметрии (ось х3) и векторы /, grad (02
лежат в одной (меридиональной) плоскости, причем ось
х3 является биссектрисой угла между векторами / и
grad о)2.
6. Случай измеримых ограниченных управлений
В этом пункте мы освободимся от предположения о
кусочно-постоянном характере управлений, заменив это
условие требованием принадлежности управлений мно-
жеству пространства Loo(G), определенному условием
< vrai max и (х, у) < wmax.
(6.1)
С этой целью определим обобщенное решение Z2(x, у)
краевой задачи (2.26) — (2.27) как функцию Z2 W^fG),
равную нулю на Г3, равную I = const на Г4 и удовлетво-
ряющую интегральному тождеству
j j U (VZ2, Vcp) dx dy + ф+//? = J J (£}фу — £2фх) dx dy
G
Q
(6.2)
при любой ф e Wz(G), равной ф+ = const на Г4 и нулю
на Г3. Подчеркнем, что в этом определении Z2 есть допу-
стимая функция, отвечающая любому допустимому уп-
равлению £/; в частности, Z2 и U могут быть и опти-
мальными функциями г2 и и.
Функция (01 (х, у) определяется как обобщенное ре-
шение сопряженной краевой задачи (3.4) — (3.5), т. е.
как элемент пространства W\(G), равный coi+ = const на
Г4, нулю на Г3 и удовлетворяющий интегральному то-
ждеству
J | «(VcOp V-ф) dxdy — ф+ (1 — /?<о1+) = 0 (6.3)
G
при любой ф е 11^2 (О), равной нулю на Г3 и ф+ = const
на Г4. В этом определении функция и имеет смысл опти-
мального управления.
Если фУНК1Хия V (х> У) обладает достаточной глад-
костью, то первое из этих определений эквивалентно
61
СЛУЧАЙ ИЗМЕРИМЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ УПРАВЛЕНИЙ
87
условиям
div (7VZ2 = ЕХу — Е2х,
/21Гз = 0, Z2|n = /,
t'wlr = “£“^ и^\г = -Е^>
11 1 2
IR = — J U dt — f Eot dt, Eot = E'Xt + E2yt,
r< r4
определяющим Z2(x, у) согласно (2.26), (2.27).
Точно так же, при достаточно гладкой и(х, у) опре-
деление (6.3) эквивалентно соотношениям
div uVo), = 0,
I ___ Л I <?Cl)| I d(0| I л
®ilra = 0, «>, |r< = ®1+, ==-^- =0,
1 I *1 z
[u^~dt=z 1
r4
определяющим coi(x, у) согласно (3.4) — (3.5).
Формула (3.6) для гладких u(x, у) эквивалентна ра-
венству (см. (3.4))
AZ = — J J Au (VZ2, V(Oj) dx dy. (6.4)
G
Последнее сохраняет силу и при более общем опре-
делении функций Z2, сон даваемом тождествами (6.2),
(6.3). Для доказательства положим в (6.2) ср = coi и на-
пишем это тождество сначала для допустимого управ-
ления U = и + Ди и соответствующей ему функции
Z2 = г2 + Дг2, а затем для оптимального управления и
и соответствующей функции г2, и вычтем почленно ре-
зультаты; будем иметь
J J iz(V(Az2), Vt^dxdy +
+ J J A«(VZ2, V^dxdy — —
G
88
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Сходным образом положим в (6.3) сначала гр =
= /2 _ г2 дг2, а затем гр = г2, и вычтем результаты;
получим
j J u(V®h V(Аг2))dxdy = (\ -/?®,+) А/.
а
Сравнение последних двух равенств приводит к (6.4),
что и требовалось доказать.
С другой стороны, так как Z2, «и е №2 (G), справед-
ливо включение VZ2, Vo)|<=£2(G), откуда следует, что
(VZ2, Vcoi) е Lj(G). Функция Ди ограничена и измерима,
следовательно, Au(VZ2, Van) е £i(G).
Возьмем теперь произвольную внутреннюю точку
Q(x, у) области G и область Gs малой меры mes Ge =
= е > 0, лежащую целиком внутри G и содержащую Q
в качестве внутренней точки. Зададим допустимое уп-
равление U (х, у) формулой
( и + Au, (х, у) е GB,
U(x, f/)= ' (6.5)
I и, (x,y)^Ge
(допустимое управление и + Au в точках области Ge
считается постоянным).
Покажем, что главная по параметру е часть вектора
VZ2 может быть найдена в результате решения некото-
рой вспомогательной задачи. Пусть u(Q) будет значе-
нием оптимального управления в точке Q; определим
кусочно-постоянное управление Uo условием
х (uH-Au, (х, r/)e=G8,
Управления U и Uo отличаются лишь в точках, не
принадлежащих области Ge.
Введем функцию z2(x, у) <= Wl2(G), равную z2+ = const
на Г4, равную нулю на Г3 и удовлетворяющую инте-
гральному тождеству
и (Q) J J (Vz2, V<p) dx dy + <p+z2+7? = j J (£>0—dx dy
9 <?
61
СЛУЧАЙ ИЗМЕРИМЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ УПРАВЛЕНИЙ
89
для всех <р <= F^(G), равных <р+ на Г4 и нулю на Г3.
Функции £ь будем считать непрерывными и подчи-
ненными требованию
Vz2(Q) = Vz2(Q), (6.6)
накладываемому в единственной точке Q.
Аналогичным образом определим функцию w с по-
мощью тождества
/ J Uо [(Vz2, V<p) + (Vay, Vqp)J dx dy + <p+ (z20+ + ay+) R =
G
= / / (E^y-E^dxdy,
a
которое вместе с предыдущим показывает, что
j | [и + Д« — и (Q)] (Vz2, V<p) dx dy +
Ge
+ J J U0(yw, 4q>)dxdy -f- <p+u>+/? = 0. (6.7)
G
Положим
Z2==z2 + w + ^. (68)
нашей целью будет доказать, что функция w представ-
ляет главную часть разности Z2 — z2 по параметру 8.
Пользуясь (6.2), нетрудно проверить, что 6г2 удовлетво-
ряет тождеству
/ I и (V 6z2, Vqp) dx dy + ф+ dz2+7? =
G
= — | J U (Vw, Vqijdxdy — J J Au(Vz2, V<p)dxdy—<p+w+R.
° a° (6.9)
Правую часть можно, в силу (6.7), представить в виде
- j J {U - Uo) yw, V<p) dxdy +
а
+ J j [u +Д« —a(Q)](Vz2, Vqydxdy —
Ge
- J J Au(Vz2, ^(f)dxdy. (6.10)
90
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
Положим теперь в (6.9) ср = dz2 и оценим различные
слагаемые в этом тождестве. Левая часть оценивается
снизу выражением
«Ш1п II^Sz2 |£,
где символ || ||G обозначает норму в пространстве L2(G).
Слагаемые, входящие в (6.10), допускают верхние оцен-
ки вида
/ J (U-U0)(yW, V6z2)dxdy
G
< Umax || VdZ2||ol| Vw ||0/0 ,
J J [и — и (Q)] (Vzg, V dz2) dx dy +
°e
+ J J Дм (V (z2 — z2), V Sz2) dx dy
<||(m-m(Q))Vz2||g l|V6z2||o + umax||V(z2-z2)||o ||V6z2||0.
8 8
Собирая результаты, приходим к следующей оценке
нормы ||V6z2||g:
|| V 6z2 ||с < с11| Vsy ||0/0 +с2||(м —u(Q))Vz2||o +
8 8
+ Ч',(2!-2Я- (6-Ч)
8
Согласно доказанному ранее, функция \w имеет в точ-
ках G/Ge порядок е; этот же порядок имеет первое сла-
гаемое справа в (6.11). Чтобы оценить второе слагае-
мое, предположим, что множество Се принадлежит к си-
стеме множеств, регулярно сжимаемых') в точку Q; для
таких множеств, как известно,
II«- «(Q)llo
lim--------i75------ — 0
8->0 8
и, следовательно,
II u — u(Q) ||Og = o(e|/2)
почти для всех точек Q.
Третье слагаемое справа в (6.11) оценивается ана-
логично: нужно написать Vz2 — Vz2 = Vz2 — Vz2 (Q) +
9 См. сноску на стр. 77.
7]
ФОРМУЛА ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛА
91
+ Vz2 (Q) — Vz2 и заметить, что по доказанному в п. 4,
значения Vz2 в точках Gg отличаются слагаемыми о(1)
от Vz2(Q) = Vz2(Q). Итак,
|| V Sz2 ||G = о (е1/2). (6.12)
Если Ge — эллипс с полуосями аг12, Ьг'/2У ориентирован-
ными, соответственно, по направлениям осей а и (3, то,
как показано в п. 4, производные z2 4~ wa, z2$ + от-
личаются в точках Ge слагаемыми о(1) от величин /р,
—/а. Это замечание вместе с (6.12) показывает, что в
формуле (6.4) или, что то же, в формуле (3.6), можно
считать, что вектор / имеет составляющие, определен-
ные равенствами (3.7), а это и требовалось доказать.
Заметим, что конкретная система множеств С8 (по-
добные эллипсы) была введена нами лишь на заключи-
тельном этапе рассуждений. Доказательство останется
в силе, если вместо этой системы взять любую другую
систему регулярно сжимаемых множеств и определить
составляющие вектора J формулами, аналогичными
(4.22) (как об этом говорилось в п. 4).
Но по доказанному в п. 5 система эллипсов приводит
к наиболее сильным необходимым условиям при кусоч-
но-постоянных управлениях; мы видим, что этот вывод
справедлив почти для всех точек области G и тогда,
когда управления ограничены и измеримы.
Формулы (3.7) появились как следствие рассужде-
ния, основанного на предпосылках физического харак-
тера, интуитивно ясных в случае кусочно-постоянных
управлений. Как видим, эти формулы сохраняют свое
значение и тогда, когда управления принадлежат го-
раздо более общему классу измеримых ограниченных
функций; на этот класс управлений первоначальные ин-
туитивные соображения уже не распространяются.
7. Формула для приращения функционала. Необходимое
условие Вейерштрасса (общий случай)
В общем случае вывод условия Вейерштрасса связан
с составлением формулы, определяющей приращение А/
минимизируемого функционала при переходе от опти-
мального управления и к допустимому управлению
92
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
U — и + Au. Мера е множества Се, на котором произ-
водится варьирование (G8: Au =# 0), служит основным
малым параметром в выражении для А/. Задача состоит
в том, чтобы выделить в этом выражении главную по е
часть; требование неотрицательности этой главной части
представляет необходимое условие Вейерштрасса силь-
ного относительного минимума.
Основные уравнения и граничные условия оптималь-
ной задачи возьмем в форме (1.2), (1.27), (1.17), (1.19),
(1.29); напишем эти уравнения сначала для допустимых
управлений U, V, а затем для оптимальных управлений
и, v, и почленно вычтем результаты. Соответствующие
разности (ASji, Auft, A0ji, Д&ь) по определению равны
нулю. Если минимизируемый функционал задается фор-
мулой (1.22), то функционал (ср. (2.1))
А/ + J (^/ AS/f + \ak) dx + J (0f/ A0/t- + P& A6ft) dx
G U6y
отличается от А/ нулевыми слагаемыми.
Будем предполагать, что граница Г области G фик-
сирована, а функции Х{ 1,2, ..., m; /= 1, 2,..., n),
(i = 1, 2, ..., m— 1; / = 1, 2, ..., n) обладают не-
прерывными частными производными до второго по-
рядка включительно по аргументам г, £, х.
Пользуясь обозначениями (2.14) и принимая во вни-
мание условия стационарности (2.9) — (2.13), нетрудно
установить справедливость равенства
Ы = - J [Н(х, г +Аг, £ + А£, u + Au, £)-
G
— Н (х, z, I, и, g)]dx+ f г’ £> S) kz!dx —
J
G
— j* [h(x,z + Дг,х + Дх, v + Ди, 0) — h(x, z, х, v, 0)]dx +
и'ву
+ \ d^x’z.’^JL^dx. (7.1)
J, dz
В правой части этого равенства объединим первые
два и последние два интеграла, преобразуя подынте-
7]
ФОРМУЛА ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛА
93
тральные функции по формулам
Н (х, z + Аг, £ + А£, и + Au, £) —
- Н (х, z, $, и, I) - дН и' Агу =
= Н (х, г, С + Ag, u + Au, g) - Я (х, г, g, u, g) +
. Г дН (х, z, I + Д?, и + Ди, g) дН (х, z, и, g) 1 Л j ,
Л dz* 1' dz< Ч-
+ 1 d*H(x,z + bibz,t + ^,u + bu,1-) ^2j
2 dz1 dzk ’
и аналогично для h. В результате будем иметь:
А/ = — J [Я (х, z, С 4- А£, и + Au, Ю — Н (х, z, £, и, £)]</х —
а
— j [Л (х, z, и + Ах, v + Av, 0) — Л (х, г, и, V, 0)] clx + т)3,
(7.2)
+ ДС,и + ДМ) dH(x,z,t,u,W dx_
dz1 dz1 J
_ 1 f +ад, . + *<.,» Дг> dx _
2 J dzj dz*
G
ndh (x, z, x + Ax, a + kv, 6)_ dh (x, zt x, vt 6) 1 __
&zi dz! J
1 f dih г + Az’.* + Ax’ ° + Ao’ e) Д? Agft dx, (7.3)
2 J dz'dzk v '
UOy
fp/f(x,z,£
Лэ-----J ----------
G L
Говорят, что функции 27(x), j = 1, 2, n, удовлет-
воряют необходимым условиям Вейерштрасса, если не-
равенство
Н (х, г, и, ю - Н (х, г, Z, и, I) > 0 (7.4)
выполняется почти для всех хе G и всех допустимых
94
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ I
U\ Z и если, кроме того, выполнено неравенство
h(x, z, х, v, 0) —ft(x, 2, К, V, 0)>О (7.5)
почти для всех х е 6 = U 6, и всех допустимых V, К.
Вывод необходимых условий, как правило, связы-
вается с применением вариаций Au = U — и (Ди =
= V — о) управляющих функций, сосредоточенных на
множествах малой m-мерной (т — 1-мерной) меры.
Пусть Ge,, Ге2 — такие множества меры еь 82; имеем1):
( u + Au, X <= Ge„ ( V + Av, X e Ге2,
U=={ U, X^G/G,- K=={ V, хеб/Ге,. (7-6)
Выражение (7.2) для А/ можно представить в виде
А/ = — J [Я(х, 2, £ + A£,u + Au,g) — Н(х, z, Z, и, £)] dx—
°е,
— J [ft (х, 2, х + Ах, v 4- Av, |) — ft (х, 2, х, V, £)] dx +
Ге2
+ ni + П2 + Пз, (7.7 J
д^к
Hi = — J [H(x, z, t + A?, u, g) — H(x, z, Z, u, l)]dx =
G/Ge,
= _1 r + &ri^d
2 J a;'at*
G/Gg,
t)2 = — J [ft (x, z, и + Ax, v, 0) — ft (x, 2, %, v, 0)] dx =
«/re,
(7.8)
«/Г*
дк1 dKk
(7.9)
0<'&4< 1,
а т)з определено формулой (7.3).
’) В ряде случаев наложенным ограничениям удается удовлегво
рить путем варьирования управлений в конечном числе множеств
ЭТ0МУ п°воду см. [128, 129], а также п. 2 гл. III.
71
ФОРМУЛА ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛА
95
Во многих случаях удается доказать, что при 8Ь
е2->0 слагаемые тр, rj2, Лз представляют собой малые
более высокого порядка по вь 82, чем интегралы, входя-
щие в правую часть (7.7); эти интегралы являются
малыми первого порядка по еь е2. При этом обычно
оказывается, что неположительность упомянутых инте-
гралов влечет за собой выполнение условий Вейер-
штрасса (7.4), (7.5), которые, таким образом, необхо-
димы для достижения минимума.
Будем считать управления u, v измеримыми функ-
циями и предположим, что оптимальному решению
z^Wxp(G\ z^Wxp*(V) соответствует решение % е Wlq(G),
Q^Wq*(6) сопряженной системы, причем +
+ 1.
Доказательство справедливости (7.4), (7.5) как не-
обходимых условий минимума удается провести при
различных частных предположениях. Рассмотрим не-
сколько таких случаев.
1) Если функции Xi, Т{ имеют структуру
Xi = Air (х) Z + + C!i (х, и),
Ti — air (х) z + bis%s + ci (x, v),
причем Д, В, C, a, b, c—непрерывные функции, а мно-
жества допустимых значений и и v компактны1), то
условия Вейерштрасса оказываются необходимыми и
достаточными условиями минимума. Доказательство
основано на том, что слагаемое ц3 в (7.2) равно нулю
в силу (7.10), а подынтегральные выражения в (7.2)
не зависят от £, Д£, х, Дх, благодаря (7.10) и условиям
стационарности (2.18), (2.20). Если условия Вейер-
штрасса (7.4), (7.5) выполнены, то формула (7.2) по-
казывает, что Д/ 0, и достаточность доказана.
Чтобы доказать необходимость, воспользуемся тем,
что в силу (7.10) т]j = г)2 = 0; после этого остается при-
менить рассуждение, сходное с проведенным в п. 3 этой
главы (см. формулу (3.13)).
!) Если функции с\ линейны относительно управлений, то
Достаточно предположить слабую компактность множеств допусти-
мых значений w, v.
(7.Ю)
96
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. t
Иллюстрацией разобранного случая может служить
пример 1 п. 2.
2) Предположим, что измеримые управления U, V,
а также сопряженные переменные g, 0 суть ограничен- |
ные функции, т. е. | U(x) | < щ, |V(x)|<[i2, ||(х)|<цз, ]
|0(х)|< [Х4, и кроме того, 1
II Az 11^ (с, Рб II Aw ||£
II Иьр (g/g8i) ^6II Aw ||л (0), || АС ||Доо < |*7II Aw ||Доо j।
II ILp» (в» ^Hell Av ||£(в), || Ax Пдр. (в/геа) Av lljrjep j
IIAx HL» (г^) < ИюIIА» llLoo (rej)-
Пусть далее p = p* = 2; задавая управления U и V •
с помощью (7.6), получим оценки |
hJCK, f |ACfdx<K)g|||Aw|£(G),
G/Gei
К|<К2 f I ДхМх<ВД|| Av||£(6),
e/Te,
1ТзККз( fl AC || Az|dx + f| Aw || Az|dx4- f | Az Pdx'j 4- |
4- /C4f f | Ax || Az |rfx 4- f I Av || Az |dx4- f I Az |МлА^
\б 6 d /
С^зМбНбИ Aw|^(0,4-И7 f I Aw II Az|dx4- ;
4- f | Aw|| Az|dx4-M Aw|£(O^4-^4fн8MAv|£(в) +
oв| ' '
4-p,10 f | Av || Az|dx4- f | Av || Az |dx4-p8|| Av|£(A
Ге, re, /
Оценивая еще интегралы
f I Aw || Az \dx, f | Av || Az\dx ;
0«i re.
7] ФОРМУЛА ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЯ ФУЙКЦИОЙАЛА
по неравенству Буняковского — Шварца и принимая во
внимание (7.6), найдем:
| Пз | < + Y2ef + Y3e’/’ + у4е|,
где Yi > 0, ..., yQ > 0 — постоянные.
Теперь, пользуясь обычным в таких случаях рассуж-
дением (см., например, [144]), легко доказываем необ-
ходимость условий (7.4), (7.5).
Рассмотренный случай иллюстрируется примерами 2,
3 п. 2 этой главы. В этих примерах оказывается, что
^1 = ^2=т]з=0, благодаря специальной структуре урав-
нений связи (2.26), (2.33); по доказанному, условия (7.4)
и (7.5) необходимы для достижения минимума. Доказа-
тельство необходимости существенно опиралось на ва-
риации типа (7.6); условия (7.4), (7.5) в этом выводе
сохраняют смысл лишь для таких вариаций. С другой
стороны, для примеров 2, 3 п. 2 условия (7.4), (7.5)
можно рассматривать и для произвольных вариаций Ди
и связанных с ними вариаций Д£; в таком понимании
упомянутые условия будут для этих примеров и до-
статочными!). В общем случае, однако, условия (7.4),
(7.5) приобретают конструктивный характер только как
необходимые, т. е. составленные для вариаций типа
(7.6). Действительно, чтобы иметь возможность полу-
чить из этих условий информацию о характере опти-
мальных управлений, необходимо исключить из (7.4),
(7.5) приращения Д£, Дх параметрических перемен-
ных2), выразив эти приращения через оптимальные
функции г, £, х, u, v и приращения Ди, Ди управлений.
Такое исключение удается провести методами пп. 3—6
лишь для вариаций типа (7.6), т. е. для таких вариаций,
Условия* (7.4), (7.5), составленные для вариаций (7.6), вооб-
ще говоря, не являются достаточными, так как из-за нелинейного
характера задачи выполнение этих условий для вариаций (7.6) еще
не гарантирует их выполнения для вариаций общего вида. Для ли-
нейных уравнений (7.10) необходимые и достаточные условия сов-
падают.
2) Это обстоятельство характерно для задач с частными произ-
водными при задании уравнений связи в нормальной форме (1.2),
(117) (ср. п. 3).
4 К. А. Лурье
Й8 ЗАДАЧА МАЙЕРА - ВОЛЬЦА [ГЛ. I
которые приводят к необходимым условиям Вейерштрас-
са. В задачах более общих, нежели примеры 2, 3 п. 2,
условия (7.4), (7.5), написанные для произвольных ва-
риаций Au, перестают быть достаточными условия-
ми, хотя для вариаций (7.6) сохраняются как необхо-
димые.
Существует обширный класс задач оптимизации, для
которых выражения (7.4), (7.5) не зависят от допусти-
мых значений Z, К параметрических переменных; при
таких условиях, естественно, отпадает необходимость в
исключении этих величин. К этому классу относятся, в
частности, задачи, в которых управление входит в пра-
вые части исходных уравнений и имеет смысл плотности
источника, а также задачи, содержащие управление
коэффициентом при младших производных в линейных
и квазилинейных дифференциальных уравнениях связи.
Сказанное справедливо и для уравнений вида
LzJ = fJ(x, z, zx, и) (J=l, .... п),
где L — эллиптический (гиперболический) оператор, за-
висящий только от вторых производных; первые произ-
водные zx при этом считаются непрерывными на линиях
возможных разрывов управления и(х). То же самое от-
носится к случаю, когда Lx*— параболический оператор
вида
а функции не зависят от zt. Б гиперболическом случае
возникают некоторые особенности, если варьирование
управляющей функции осуществляется в полосках (сфе-
роидах), ориентированных вдоль характеристических
направлений хт, tx, а в параболическом случае — в по-
лосках, перпендикулярных к оси t [68, 69].
В последующих главах некоторые из этих частных
задач будут детально разобраны; здесь отметим только,
что всех их объединяет одна характерная особенность:
отсутствие зависимости необходимых условий от формы
области локального варьирования.
Наконец, могут иметь место случаи, когда заранее
указывается форма зависимости допустимых управле-
8] НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ КЛЕБША 99
ний (или только разностей = U — и) от независи-
мых переменных.
В этих случаях задача составления необходимых
условий упрощается благодаря тому, что локальные ва-
риации оказываются сосредоточенными на множествах
определенной неизменной структуры (например, в уз-
ких полосах, перпендикулярных к оси t [68]).
В заключение этого пункта отметим, что для систем
весьма общего вида метод вывода необходимых условий
Вейерштрасса был предложен В. И. Плотниковым
[128, 129].
8. Необходимое условие Клебша
Это условие может быть получено из условия Вейер-
штрасса в предположении о малости вариаций Ди, Ду,
а стало быть, и Д£, Дх по сравнению с оптимальными
значениями соответствующих величин. Вывод условия
Клебша проведем сначала на примере, а затем рассмот-
рим общий случай.
Возьмем пример 2 п. 2.
Приращение функционала Д(—/) при изменении
управления Ди определяется формулой (3.2)
Д(—/)= J j [Н(I, т],с, и,х,у) — H(l,n,Z,U,x,y)]dxdy,
G
где функция Н имеет вид (см. (2.29), а также (2.28),
(1.28),)
Н (I, т). и, и„ х, у) = - (и?1 + £,) - тц («£2 + Е2) +
+ У2 - - a*[(«max - и) (и - мт(п) - и2].
В этом соотношении а*(х, у) — множитель Лагран-
жа, соответствующий ограничению
(«гаах — «)(« —«min) —«2 = 0 (8.1)
(см. (1.28)»). Принимая во внимание условия стацио-
нарности (2.30) и условия
— В1&1 'Hit2 4" ° (2и Winax Umln) = 0, )
«•». = «. 1 ( ' }
4*
100
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ. I
вытекающие из (2.18) (вторая строка), запишем следую-
щее выражение для приращения ДЯ=Я(£, т), Z, (7, х, у) —
— Н^х\у^и,х, у) функции Я, удерживая лишь квад-
ратичные члены относительно малых вариаций Ди, Д£:
ДН = - Ди Д^1 - Г)1 aU Ь? + а* (Ди)2 + а* (Ди,)2. (8.3)
(Отметим, что в данном примере функция Н зависит
от u, u*, g1, £2 как многочлен второй степени, поэтому
написанное выражение для ДЯ является точным. В об-
щем случае выражение типа (8.3) справедливо с точ-
ностью до членов третьего порядка малости по Ди, Д£.)
Вариации Ди, Ди* связаны уравнением, получаю-
щимся варьированием (8.1); это дает
А Ди*
Ди =-----------2------
Umax wmin
(8.4)
Пользуясь (8.2)1 и (8.4) для исключения а* и Ди, при-
дадим неравенству ДЯ 0 (см/ (8.3)) следующую
форму:
ЬН = Чи-и ( 2 & + 41 Д£2) «. Лы* +
wmax Mmin I
*2 1 \
+(ы'+па /2ц-и4а,-ц .v + 1 (8.5)
_ wmax Mmin) J J
Это неравенство и выражает условие Клебша — необ-
ходимое условие слабого относительного минимума.
Отметим некоторые следствия (8.5). Из уравнения
(8.2)а заключаем, что возможны три случая: 1) а* =Н= 0,
и* — 0; 2) а* = 0, ы* =И= 0; 3) а* = 0, и* = 0. В первом
из этих случаев, согласно (8.1), либо и — ишах, либо
и — Umin- Условие (8.5) тогда показывает (см. также
(2.30) и (3.4)), что
« — «max, если (/, grad w2) > 0,
M = «min, если (/, gradco2XO.
(8.6)
Сравнивая эти условия с (3.18) и (3.20), видим, что
последние являются более жесткими; это естественно,
8J
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ КЛЕБША
101
если принять во внимание, что условие Клебша опери-
рует только с малыми вариациями1).
Во втором из отмеченных случаев иШш < и < umax,
но (/, grad со2) = 0 (см. (8.2) i и (2.30), (3.4)) получаем
AZZ = -(gAg1 + rllA^)Au. (8.7)
Введем «вариацию в полоске». Пользуясь формулами
(3.23), найдем (/ — вектор, касательный к границе по-
лоски)
д$*=z> - =- 4 jtXf, jtyt.
подставляя полученные выражения в (8.7) и пользуясь
(2.30) и (3.4), получим
ДЯ=-/<Й2,^.. (8.8)
Если (/, grad <о2) = 0 и |/|=И=0, | grad со2| =/= 0, то вы-
ражению (8.8) можно сообщить любой знак выбором t
(аналогичный результат был получен ранее в п. 3); по-
этому рассматриваемый случай должен быть отброшен.
Третий случай а* = 0, ц# = 0 означает одновремен-
ное выполнение условий (/, grad со2) = 0, и — umax (либо
u — wmln), что противоречиво.
Теперь нетрудно записать условие Клебша в общем
случае. Обозначая знаком 6 малые вариации, напишем
4) По существу, в данном примере малость вариаций Ди, Ди#
была использована лишь при замене ограничения (8.1) равенством
(8.4); представление ДЯ в форме (8.3), как указывалось, не связано
с малостью вариаций. Легко видеть, что, сохраняя (8.1) вместо
(8.4), можно привести выражение для \Н к форме
A/fz=_Al(/,grad<D2), /=/ + Д/
(см. (3 6)), откуда непосредственно получаем (3.18), (3.20) Можно
добавить, что в задачах для уравнений типа (7.10) линейных относи-
тельно управлений (см. пример 1 п. 2) исчезает различие между
критериями минимума, доставляемыми условиями Вейерштрасса
И Клебша.
102
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
&ГЛЛ
уравнения дЪг1 dxt dX’i . = —+ dx{ dur (8.9)
даь dur r o, (8.10)
дбг1 dq{ дТ! . ~ , t b* + ди dTl{ dvr dyr, (8.П)
dbb bvr — dvr r o, (8.12)
получающиеся варьированием уравнений (1.2), (1.27)>
(1.17) и (1.29) по zfq, £, х, u, и, и разложим левые
части неравенств (7.4), (7.5) в ряды по степеням б£,
бх, би, 6у, удерживая лишь квадратичные члены; будем
иметь:
д2Н
дгН
д? диг
6^ б«г
2
+ 6иг ЬиГ' < 0, (8.13)
диг диг>
—з---77 бх бх + 2---:---бх OVr Н--------OVr OVr' 0.
ди ди ди dvr dvr dvr,
(8.14)
Эти неравенства вместе с (8.9) — (8.12) и соответствую-
щими граничными условиями1) представляют условия
Клебша. Роль уравнений (8.9), (8.11) заключается в
задании вариаций б£, бх; в случае одной независимой
переменной, когда параметрические переменные исче-
зают, уравнения (8.9) и (8.11) исключаются из системы
соотношений, образующих условия Клебша.
Неравенства (8.13) и (8.14) представляют необходи-
мые' условия максимума функций Я(х, г, и, £),
h(x, z, х, V, 0) по переменным £, и и х, V.
9. Необходимое условие Якоби
Это условие связано с исследованием второй вариа-
ции функционала I. Пусть би, б^ — малые, но в осталь-
ном произвольные вариации управлений, а бг, б£, бх —
*) Которые получаются варьированием граничных условий (1.16)
И (1.19).
6)
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
103
соответствующие вариации основных-и параметрических
переменных. Введем уравнения в вариациях
дХ1, и дХ1, . дх! (9.1) (9.2)
dxt dzk 6z“ + —г6Г + — Ъиг, д^1 диг dah ^6u.==0,
дбг1 _ дТ{ dTl dTl (9.3) (ЭЛ)
дгк 62 +ТТ 6xE+-^6i>r, ди dvr db & п ^6ог = °
условия
хе у/,
х е 56/.
G фиксирована,
и соответствующие граничные
6zy(x) = 0,
6z'(x) = 0,
Предполагая, что область
зуясь формулой (7.1), легко получим следующее
жение для второй вариации функционала /;
б2/ = j 2© dx | 2ф dx-,
a 6
здесь обозначено
-2“-^6z'te''+^r 6t'5t"+
A ) d'H It i о .„t .
т * т-r-— 6z &ir + 2 —?-6g 6«f,.
dzldur dtf dur b r
~ 2<p = ^zi ^zr _|----- 6x' 6xz' 4-
dz* dz dv.1 dvt
+ 4^s“'”'+2-57^7te6x +
+ 2-25-5? to,+ 2-25-to'to,.
dz1 dvr дк dor
(9.5) ,
(9.6)
и поль-
выра-
(9.7)
(9.8)
Требование неотрицательности второй вариации пред-
ставляет необходимое условие Якоби. Рассматривается
104
ЗАДАЧА МАЙЕРА - БОЛЬЦА
[ГЛ.1
присоединенная задача о минимуме функционала (9.7)
при связях (9.1) — (9.6). Эта задача принадлежит к типу
проблем Мейера — Больца с квадратичным функциона-
лом (9.7) и линейными уравнениями связей. Для реше-
ния ее используются все приведенные ранее необходи-
мые условия. Совокупности вариаций
dz = б£ = бх = ди == dv = 0 (9.9)
отвечает нулевое значение функционала б2/; если усло-
вия стационарности второй вариации (т. е. присоединен-
ной задачи) удовлетворяются только этой совокупно-
стью, то нуль является экстремальным значением функ-
ционала (9.7). Если при этом для исходной задачи вы-
полнено еще необходимое условие Вейерштрасса (Клеб-
ша), то упомянутый экстремум б2/ есть минимум, и
условие Якоби тем самым выполнено.
Если существует совокупность вариаций, отличная
от (9.9) и удовлетворяющая условиям стационарности
присоединенной задачи, то необходимо дополнительное
исследование знака второй вариации. Условие стацио-
нарности функционала (9.7) при связях — уравнениях
в вариациях — совпадают с уравнениями, получающи-
мися при варьировании условий стационарности исход-
ной задачи. Совокупность этих условий стационарности
и уравнений (9.1) — (9.6) составляет однородную крае-
вую задачу, из которой надлежит определить вариации
бг, б£, бх, би, би и соответствующие сопряженные пере-
менные. Нулевое решение этой задачи может оказаться
не единственным; тогда существует и другое, ненулевое
решение. Этому последнему решению отвечает также
нулевое значение функционала б2/, и обычно удается
доказать, что при таких условиях нулевое значение б2/
не является минимумом.
Таким образом, минимальное значение б2/ отрица-
тельно, и условие Якоби оказывается нарушенным. Де-
тальное рассмотрение возникающих здесь возможностей
будет дано на примере в гл. II.
ГЛАВА II
ОПТИМАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ РАБОЧЕГО ВЕЩЕСТВА
В КАНАЛЕ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА
В этой главе мы применим полученные ранее резуль-
таты к задаче об оптимальном распределении удельного
сопротивления проводящей среды в канале мгд-генера-
тора. Эта задача имеет самостоятельное прикладное
значение и одновременно позволяет дать подробную ил-
люстрацию действия необходимых условий оптимально-
сти. Именно на примере удается выяснить многие важ-
ные факты, позволяющие в широком классе случаев
сделать заключения о классическом или обобщенном
характере оптимального решения, если оно существует.
Может оказаться, что первоначально выбранный класс
допустимых управлений не содержит оптимального
управления; в этих случаях необходимые условия ука-
зывают естественный путь регуляризации задачи, т. е.
такого расширения класса допустимых управлений, ко-
торое гарантирует существование в нем оптимального
управления.
С точки зрения практических приложений не всегда
требуется, чтобы оптимальное управление существова-
ло: для практики часто оказывается достаточным суще-
ствование лишь минимизирующей последовательности.
Тем не менее, исследование регуляризованных задач
представляет большой интерес, так как оно проливает
свет на самую природу оптимизации, выясняя харак-
тер причин, препятствующих оптимальному поведению
системы. Крбме того, оптимальное управление в регу-
ляризованной задаче часто обладает физической на-
глядностью, которой лишены минимизирующие после-
довательности, отвечающие первоначальной постановке
проблемы.
Изложению основного материала главы предше-
ствует краткое описание продольных концевых эффек-
тов в мгд-каналах и методов их подавления,
106
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
1. Продольные концевые эффекты в мгд-каналах
Технические задачи, возникающие при создании маг-
нитогидродинамических установок (генераторов, уско-
рителей, насосов), выдвигают большое число проблем
как теоретического, так и прикладного характера. Труд-
ности создания сильных магнитных полей в достаточно
больших объемах, поддержания высокой электропровод-
ности газа, уменьшения потерь тепла на стенках — эти
и прочие обстоятельства требуют максимального исполь-
зования имеющихся технических возможностей. Поэтому
проблема оптимального выбора факторов, определяю-
щих характеристики различных магнитогидродинамиче-
ских устройств, представляется важной задачей совре-
менной магнитной гидродинамики.
Основу теоретического исследования режимов работы
мгд-устройств составляет задача о течении проводящей
жидкости в каналах. Соответствующие расчеты часто
производятся с помощью так называемого одномерного
приближения и позволяют с известной степенью точно-
сти определить основные параметры системы, поведение
которой описывается при этом обыкновенными диффе-
ренциальными уравнениями. Несмотря на то, что одно-
мерное приближение не учитывает эффектов, связанных
с искривлением линий электрического тока в канале, и
других пространственных явлений, оно объясняет целый
ряд обстоятельств, препятствующих эффективной работе
системы.
Например, уменьшение проводимости при достаточно
сильном охлаждении рабочего вещества в канале мгд-
генератора требует для своего устранения вмешатель-
ства извне либо в форме введения легко ионизирую-
щихся присадок, либо в форме дополнительного нагрева.
Распределение интенсивности введения присадок или
плотности источников тепла вдоль канала при наличии,
некоторого экстремального требования может быть най-
дено в результате решения соответствующей оптималь-
ной -задачи.
Важным вопросом, поддающимся анализу уже в рам-
ках одномерного приближения, является задача об опти-
мальном выборе (в определенных пределах) напряжен-
ности магнитного поля вдоль канала., поперечных разме-
1] ПРОДОЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МГД-КАНАЛАХ 107
ров и длины канала, а также начальных данных. При
этом могут быть указаны различные критерии оптими-
зации. Некоторые задачи подобного типа рассматри-
вались в работах [101, 367].
Более детальное изучение наивыгоднейших режимов
работы мгд-устройств связано с постановкой и решением
оптимальных задач для систем, описываемых диффе-
ренциальными уравнениями в частных производных.
Уже простейшая «двумерная» модель мгд-генератора
с конечными электродами [29, 97] обнаруживает серьез-
ный источник потерь тока и полезной мощности в таком
устройстве: речь идет о концевых эффектах, связанных
с обратными перетеканиями токов в областях, где внеш-
нее магнитное поле изменяется достаточно резко. Устра-
нение потерь такого рода является важной технической
задачей, для . решения которой следует использовать все
имеющиеся возможности управления. Важнейшими из
этих факторов следует считать распределение внешнего
магнитного поля и распределение проводимости рабо-
чего тела. Надлежащим подбором соответствующих
функций следует уменьшить концевые потери до мини-
мальных возможных величин.
Равным образом может быть поставлена задача о
минимизации джоулевых потерь в канале мгд-генерато-
ра; могут быть поставлены более сложные оптимальные
задачи: максимизация эффективности генератора1),
оптимальные задачи с учетом эффекта Холла и т. д.
Вопрос о двумерных эффектах в канале мгд-генера-
тора с конечными электродами был предметом исследо-
вания ряда авторов [28—34, 193, 368]. Исследование
велось в рамках известного в магнитной гидродинамике
приближения малых значений магнитного числа Рей-
нольдса и параметра взаимодействия, когда можно пре-
небречь индуцированными полями и считать известными
гидродинамические параметры течения (скорость, дав-
ление, температуру газа). Основные дифференциальные
уравнения задачи получаются в этом приближении2)
*) Под эффективностью понимается отношение полезной мощ-
ности к сумме полезной мощности и величины джоулевых потерь.
2) Предполагается также, что эффект Холла пренебрежимо
мал.
108
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
и при условии прямолинейности течения из уравнений
магнитной гидродинамики [30] и образуют эллиптиче-
скую систему относительно двух неизвестных функций —
потенциала электрического поля г1 и функции тока г2,
соответствующей вектору плотности тока / = —rot /Зг2:
= z\^ — pz^ + c-WB. (1.1)
Здесь р —р(х, у) — удельное сопротивление рабочего
тела (газа), v = V(y)ii — скорость газа, В = ——
внешнее магнитное поле1). Распределение скорости жид-
кости считается известным и берется из решений соот-
ветствующих гидродинамических задач2).
В работах [28—34, 193, 368] были получены и иссле-
дованы решения системы (1.1) при различных краевых
условиях на стенках канала для нескольких типов функ-
ций р(х), V(y), В(х). Эти последние функции во всех
случаях считались заданными, и основное внимание уде-
лялось изучению соответствующих решений и интеграль-
ных характеристик устройства.
Для оптимальных задач, соответствующих системе
(1.1), характерно то, что функциям р(х, у), V(r/), В(х)
придается смысл управлений, которые подлежат опре-
делению вместе с функциями г1, г2. На практике управ-
ление скоростью может быть осуществлено путем
различных гидравлических воздействий: изменения пло-
щади сечения канала, создания искусственных препят-
ствий и т. д. Управление магнитным полем осуществ-
ляется соответствующим подбором токов в целях элек-
тромагнитов возбуждения, а также надлежащим выбо-
ром геометрии магнитопроводов. Что касается управле-
ния проводимостью, то его можно реализовать путем
воздействия на рабочее вещество различного рода из-
лучениями, путем нагревания или ионизации электриче-
скими полями. Наибольшее практическое значение имеет
метод введения в поток небольших количеств повышаю-
щих проводимость присадок (обычно соединений щелоч-
ных металлов), либо водяного пара, снижающего про-
!) В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать
В(х) неотрицательной четной функцией.
2) Подробный вывод уравнений (1.1) и обсуждение смысла
входящих в это уравнение величин можно найти в [33], стр. 362—368.
1] ПРОДОЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МГД-КАНАЛАХ 109
водимость; важными управляющими факторами могут
служить непроводящие перегородки, устанавливаемые
в канале параллельно потоку [34, 319, 367], модуляция
температуры по длине канала [249] и т. д.
В конечном счете существенной оказывается возмож-
ность реализации не любого распределения проводимо-
сти, а лишь оптимального. Поэтому при теоретических
рассмотрениях нецелесообразно ограничивать класс до-
пустимых управлений лишь физически реализуемыми
распределениями проводимости: последние могут разы-
скиваться в классе кусочно-непрерывно дифференцируе-
мых функций двух независимых переменных и даже в
классе измеримых ограниченных функций. Получаю-
щиеся при этом оптимальные распределения проводимо-
сти оказывается возможным с достаточной точностью
аппроксимировать практически доступными средствами
управления.
Важно подчеркнуть, что управляющие функции р,
V, В практически всегда оказываются подчиненными из-
вестным ограничениям, которые характеризуют реально
имеющиеся возможности управления. Эти ограничения
часто задаются неравенствами обычного или изопери-
метрического типа; в результате область изменения
управления может оказаться замкнутой. Замкнутость
области изменения управления имеет особое значение
в тех оптимальных задачах, уравнения связи которых
включают управляющую функцию линейно: в этих слу-
чаях отсутствие ограничений на управление может ока-
заться равносильным отсутствию оптимального управ-
ления, а следовательно, и решений оптимальной за-
дачи.
Следует остановиться на важном различии, суще-
ствующем между оптимальными задачами для системы
(1.1), в которых удельное сопротивление р(х, у) фикси-
ровано, а управлениями являются функции V(y) или
В(х), и задачами, где управлением является удельное
сопротивление, а функции V (у) и В(х) заданы.
Задачи первого типа содержат управления в свобод-
ном члене основных уравнений (1.1) и поэтому в прин-
ципе могут быть сведены к простейшим вариационным
задачам (например, с помощью функции Грина). Лишь
в тех случаях, когда построение соответствующей функ-
110
РАСЙРЕДЕЛЁНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
ции Грина наталкивается на трудности, сведение задачи
к простейшей может оказаться практически невыпол-
нимым.
Напротив, задачи второго типа с самого начала прин-
ципиально не могут быть сведены к простейшим, так
как управление р(х, у) входит в этом случае в главную
часть основного дифференциального оператора системы
(1.1), и функция Грина не может быть построена, пока
не известно оптимальное управление.
Более сложной оказывается задача оптимизации,
когда в качестве управлений выбираются все три функ-
ции р(х, у), V(у) и В(х).
К настоящему времени выполнен ряд работ, где в той
или иной форме исследуется вопрос о наивыгоднейших
условиях работы мгд-генераторов при учете двумерных
концевых эффектов. Определенное представление об
этих условиях дают уже решения, полученные в работах
Г. Гурвитца, Р. Килба и Г. Саттона [269], Г. Саттона и
А. Карлсона [368], А. Б. Ватажина [29, 32, 34] и др.
авторов для некоторых частных видов функций р(х, у),
V(y) и В(х).
Приведем основные результаты этих работ, следуя
в основном статьям [29, 32].
Если р(х, у) = р — const, В = Bq — const, V = const,
то полный ток /оо на нагрузке R и джоулевы потери
в бесконечно длинном канале определяются формулами
* о *
I = еО” Q = еа”р (12)
~ ₽ + /?<’ (р+Я<)2-
Здесь 6=2дс-ТВ0> %-> = ch(W26);
+ 2^ — длина электродов, 26 — ширина ка-
нала, с — скорость света, a K(k) обозначает полный эл-
липтический интеграл первого рода.
Если р(х, у) = р = const, V = const, а функция В(х)
равна нулю при |х | > X и произвольна в электродной
зоне |х|<Х, то аналогичные формулы имеют вид
г
Р +Я«0О
2У26
2~
рс
J?(2p+/?<!„,) 2
Gd- (L3)
II ПРОДОЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МГД-КАНАЛАХ 111
Здесь обозначено
к
Gj= j B(x)dx.
-х
A,
G2= J B2(x)dx.
~k
Функция aM (k/6) монотонно возрастает от нуля до бес-
конечности при возрастании аргумента от нуля до бес-
конечности. График этой функции изображен на рис. 6,
заимствованном
формула
из [29]. При малых V6 справедлива
<=Tln-’
86
лХ
при больших %/б имеем
2 1п2 . X 1 /
«00=— +6-4JreXP(-
93
2пЛ \ । л Г / ЗлЛ VI
—) + О|ехр(-----г)|.
Формулы (1.2) выражают интегральные характери-
стики генератора при отсутствии концевого эффекта,
связанного с вихревыми токами в зоне спадания маг-
нитного поля В(х) до нуля; формулами (1.3) даются
характеристики генератора при наличии концевого эф-
фекта.
Чтобы сравнить эти результаты, положим в форму-
лах (1.3) В (х) = Во = const при |х| < %. При любых
значениях отношения К/д справедливо неравенство
¥
112 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
г
I
i
I
i
i
/оо > Л,; что касается джоулевых потерь, то при Ш~>0
величины Qoo и Qx обе стремятся к нулю; при Х/б-*сю,
Qoo ->0, а
~ 8 In 2 V2B2d2
Различие в предельных значениях Q объясняется тем,
что величина вычисляется из решения задачи для
магнитного поля, бесконечно далеко выходящего за об-
ласть электродов при условии разделения зарядов на
бесконечности, т. е. без учета концевого эффекта, a Qx
можно рассчитать по распределению тока в бесконечном
канале, стенки которого при х < 0 — электроды, к кото-
рым приложена разность потенциалов 8, а при х > 0 —
изоляторы; соответствующее значение диссипации рав-
но 0,5Qx-
В работе [31] показано, что аналогичное влияние
концевого эффекта на величину джоулевых потерь со-
храняется и при выносе зоны спадания магнитного поля
В(х) за пределы электродов, т. е. при рассмотрении по-
лей вида
( Во = const
в«=( о,
0<|хКхь х, > Л,
I X |> Хь
Вынос магнитного поля за электродную зону уже на
величину порядка X при Х/6 > 1 приводит к установле-
нию предельной схемы распределения токов в канале,
которой соответствуют характеристики 1 = 1^, Q =
— Qoo + 2QC, где
1662V2B^ V 1
Qc =—г-т2--. 2-=У -----------пз-= 1,052.
х<? згрс2 ’ 44 (2v — I)3 ’ •
V—1
Диссипацию Qc можно вычислить, рассматривая токи
в канале с диэлектрическими стенками и с магнитным
полем, равным Во = const в одной половине канала и
нулю —в другой. Нетрудно проверить, что 2QC/QX —
= 0,616; эта величина характеризует предельное отно-
сительное уменьшение джоулевых потерь, реализую-
щееся уже при выносе поля на длину порядка X с каж-
дой стороны электродной зоны. Соответствующее пре-
n
ПРОДОЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МГД КАНАЛАХ
113
дельное значение тока равно Ло. Приведенные резуль-
таты основаны на допущении, что в распоряжении кон-
структора имеется магнитная система, способная соз-
дать однородное поле значительной напряженности в
достаточно большом объеме. Реальные магнитные си-
стемы характеризуются прежде всего создаваемым ими
оо
магнитным потоком, т. е. величиной 2Ф = 2| B(x)dx.
о
Максимальное значение индукции также обычно бывает
задано; таким образом, можно считать, что функция
В(х) подчинена условиям вида
j В (х) dx — Ф, 0 < В (х) < Втах.
о
(1.4)
Если удельное сопротивление среды р(х, у)~р =
= const и, кроме того, V = const, то снимаемый с ге-
нератора ток оказывается равным [29]
2УЛ 1 I
с р + Rat J
(1.5)
где функция Т(хД) непрерывна и определяется форму-
лой
. 1, 0<хД<1,
Здесь введены обозначения
(1-6)
1 лх
г==хооСЬ-2у
я/2
Г_________________м_______________
J (1 + h sin2 /) У J — A2 sin2/
114
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
— полный эллиптический интеграл третьего рода. Функ-
ция Т(х/\) имеет график типа рис. 7; при больших зна-
чениях аргумента Т(х/Х) ж const «ехр(—лх/26).
Рассмотрим вопрос о максимизации функционала /
(см. (1.5)) путем выбора функции В(х) при ограниче-
ниях (1.4) [101]. Необходимыми
дг_\ условиями максимума являются
уравнения Эйлера
, -r(^ +А + и(Втах-2В) = 0,
'----------\ ,.6 = 0, (1.7)
I \ где А = const и ц = ц(х) — мно-
| 'Ч жители Лагранжа, соответствую-
__________। х— щие первому ограничению (1.4)
/ -£ и второму ограничению, записан-
л ному в форме эквивалентного ра-
Рис. 7. венства
(Втах~В)В-&2 = 0 (1.8)
с помощью вспомогательного вещественного управления
Ь(х). Условие Лежандра ц 0 вместе с уравнениями
Эйлера (1.7) приводит к следующей классификации воз-
можных режимов управления:
1) 5 = 0, если — 7’(-^) + А>0,
2) В = 5тах, если S^j<0,
3) В не определено, если s(-^ = 0.
В этом режиме 5(х)—произвольная функция, удов-
летворяющая ограничениям (1.4); в частности, она мо-
жет принимать значения 5тах и 0. Условие S(x/X)=0
должно выполняться и в точках переключения режимов
управления.
Положительная функция Г(х/А.) не возрастает, по-
этому по мере роста х могут осуществиться лишь сле-
дующие последовательности переключений:
а) переключение 2 -> 3,
б) переключение 3->1,
в) переключение 2->3 с последующим переключе-
нием 3-> 1,
г) переключение ?->lf
11
ПРОДОЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МГД-КАНАЛАХ
115
Случай а) исключается, так как при достаточно
больших х/Х функция Г(х/Х) не остается постоянной во-
преки условию осуществимости режима 3).
В случае б) режим 3) может осуществиться лишь
в электродной зоне х/Х 1; необходимым условием для
этого является неравенство Вшах Ф(Х). При выполне-
нии этого условия оптимально любое распределение
В(х) такое, что 0^В(х)^Втах, |в(х)б/х==Ф и Д
А
обозначает множество точек отрезка [О, X], для которых
В(х)=0=О.
Случай в) возможен лишь при условии Втах Ф(Х);
оптимальное управление таково, что В = Втах при
хДСР, О р < 1, J В(х)</(х/А) + Втах0 = ФД, ₽<
у 1, и В(х)=0 при хД > у. Здесь (3, у — любые
числа, удовлетворяющие неравенствам O^p^y^l.
Случай г) возможен как при условии Втах^ ФД,
так и при условии Втах < Ф/А. Если Втах ФА, то
В = Втах при хД б, где б = ФДВтах 1, и В = О
при х/К > б. Если Втах < Ф/А, то В = Вшах при х/А е,
е = ФДВтах > 1, и В = 0 при х/А > е.
Таким образом, при Втах >.ФД возможны вариан-
ты б), в), г), а при Втах < Ф/А только вариант г).
Если Втах Ф/А, то максимальное значение функ-
ционала (1.5) равно
_ 2УФ 1
max — “П
с p + Ra,
(1.9)
Если Втах < Ф/Х, то максимальное значение того же
функционала дается формулой
г _ 2V 1 R
1 max--------- _ * £>max-
с р+Ла^
ф/АДтах
(1.10)
Зафиксируем Втах и Ф и рассмотрим изменение мак-
симального тока /тах при уменьшении параметра А.
Если значение А достаточно велико (длинные элек-
троды), то максимум тока определяется формулой (1.9).
116
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
Поскольку функция (Х/б) убывает с уменьшением
выгодно уменьшить величину этого параметра; функ-
ционал /max (1.9) примет наибольшее значение по X при
X = Ф/5Шах; будем иметь
т 2VФ 1 /1 1 1 \
max /тах ~ « ~~. * (1.11)
л с р+/?ато(Ф/Втах6)
При еще меньших X значения функционала /тах опре-
деляются формулой (1.10). Эти значения монотонно
убывают ОТ (1.Н) при X = Ф/Вщах до нуля при X = 0
(последнее легко следует из свойств функции F(x/X)
(см. [29])).
Итак, при ограничениях (1.4), наложенных на функ-
цию В(х), существует критическая длина электродов
2Х — отвечающая максимальному снимаемому
с электродов току. Величина этого тока определяется
формулой (1.11), а соответствующее распределение поля
таково: В — Втах при |х| X, В — 0 при |х| > X.
При выводе этого результата удельное сопротивле-
ние рабочего тела в канале считалось постоянным. При
таких условиях имеют место потери тока в областях,
где магнитное поле резко изменяется; этот эффект воз-
растает с уменьшением длины электродов. Вынос поля
за электродную зону в случае Втах < Ф/Х частично ком-
пенсирует потери тока. Однако, механизм такой компен-
сации (вынос поля) начинает действовать лишь при до-
статочно малых X (Х<Ф/Втах), тогда как потери из-за
краевого эффекта существенны и при больших X (таких,
что Х^Ф/Втах), когда оптимальное поле В(х) сосре-
доточено только в электродной зоне.
Отсюда следует вывод о целесообразности введения
нового внешнего управляющего фактора, способного
изменить распределение токов в канале таким образом,
чтобы потери из-за краевого эффекта были возможно
меньшими. В качестве такого фактора естественно взять
распределение удельного сопротивления рабочего тела.
Рядом авторов [34, 88, 89, 113, 319] была изучена воз-
можность подавления краевого эффекта путем введения
в поток бесконечно тонких изолирующих перегородок.
Перегородки во всех работах считались прямолиней-
ными и расположенными параллельно вектору скорости
1]
ПРОДОЛЬНЫЕ КОНЦЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МГД-КАНАЛАХ
117
рабочего тела (изменение распределения скоростей, свя-
занное с влиянием вязкости, не учитывалось). Подоб-
ный способ расположения перегородок отличается про-
стотой; с другой стороны, только при таком способе
удается определить характеристики системы с помощью
аналитических средств.
Было показано, что введение перегородок в канал,
заполненный однородным проводником, уменьшает сни-
маемый ток, если внешнее поле однородно; если же
поле отлично от нуля лишь в пределах электродной зо-
ны, то можно увеличить ток, располагая перегородки
вне электродной зоны и препятствуя, таким образом,
образованию замкнутых концевых токов. Если перего-
родки располагаются параллельно стенкам канала и
распространяются от |х| = К до |х| = оо, то можно
с произвольной точностью аппроксимировать характери-
стики канала с р = оо при | х | > X, если число перего-
родок выбрать достаточно большим.
Конечной целью упомянутых выше исследований
было выяснение наиболее благоприятного (в смысле
снижения потерь тока) расположения перегородок в ка-
нале. Для достижения этой цели пытались получить ре-
шения для допустимых расположений перегородок. Из-
за больших аналитических трудностей такие решения
удается построить в очень ограниченном числе случаев
(задача для среды, электропроводность которой изме-
няется по двум координатам х и г/, совершенно безна-
дежна в этом отношении). Между тем, если иметь в
виду построение оптимальных решений, то в получении
допустимых решений нет никакой необходимости. Ме-
тоды гл. I дают возможность указать правила непо-
средственного построения оптимальных решений без ис-
пользования допустимых решений, которые, таким об-
разом, оказываются ненужными.
Это обстоятельство существенно расширяет класс
возможных зависимостей удельного сопротивления от
координат; в качестве такого класса мы выберем огра-
ниченные измеримые скалярные функции двух независи-
мых переменных (х, у). Требование органиченности и
измеримости носит математический характер: при неко-
торых дополнительных условиях оно гарантирует суще-
ствование оптимального управления в заданном классе;
118
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
одновременно этот класс содержит достаточно обшир-
ный запас функций, допускающих практическую реали-
зацию. С другой стороны, в класс допустимых управле-
ний входят и такие функции, реализация которых на
практике сопряжена с трудностями; если оптимальная
функция оказывается именно такой, то необходимо воз-
можно точнее приблизиться к ней с помощью просто
реализуемых функций. Подобное положение вообще ха-
рактерно для задач оптимизации как задач о предель-
ных возможностях систем; после того как получено оп-
тимальное решение, выясняется, в какой степени можно
приблизиться к нему с помощью более простых средств
управления (например, горизонтальных перегородок).
В последующих пунктах этой главы содержится ре-
шение общей задачи максимизации тока, снимаемого с
электродов мгд-генератора, путем оптимального выбора
удельного сопротивления среды в классе ограниченных
измеримых функций двух независимых переменных
(О < pmin С vrai max р(х, у) < ртах
2. Постановка задачи (случай скалярного удельного
сопротивления)
Рассматривается плоский канал (рис. 8) шириной 2S,
стенки которого — диэлектрические повсюду, за исклю-
чением двух участков ВВ' одинаковой длины 2Л, распо-
ложенных на сторонах канала один против Другого и
изготовленных из идеально проводящего материала.
Проводящие участки соединены друг с другом через на-
грузку R.
2]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
119
В канале со скоростью v(V(y),0) движется рабо-
чее вещество, удельное сопротивление которого описы-
вается скалярной функцией р(х, у), меняющейся от
точки к точке. При наложении магнитного поля
В (0, 0,—В(х)), В(х)==В(—х)^0, в канале протекает
электрический ток /(С1,^2), а через внешнее сопротивле-
ние R течет ток /, равный
к
1= j>(x, ±6)dx. (2.1)
—X
Распределение потенциала электрического поля г1 и
плотности тока в канале описывается уравнениями (см.
(1Л))
div ; = 0, р/ = — grad zl + — [v, В]. (2.2)
В продольном направлении канал можно считать бес-
конечно длинным; составляющие £2 вектора / обра-
щаются на бесконечности в нуль.
Вместо этого можно предположить, что на расстоя-
ниях х = ±хс, *с > Л, от начала координат канал огра-
ничен парой вертикальных изолирующих стенок СС и
С'С' (рис. 8), проницаемых для жидкости; на этих стен-
ках
?'1|х|=Хс = 0. (2.3)
Если ввести функцию тока z2(x,y) соотношением
j = —rot i3z2, то систему (2.2) можно записать в экви-
валентной форме
4—е-
К этим уравнениям присоединяются граничные условия
zl (х, ± б) = z'± = const, | х | < Л,
22 (х, ± б) |Л > К = г2. = const,
2?(х, ±б) lx<_x=2t== const, . (2’5)
z\ — z'_ = (z2+ — z2_) R = //?;
120
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
последнее условие выражает закон Ома для внешней
цепи генератора.
Значения функции р(х, у) в любой точке канала
определяются возможностями управления удельным со-
противлением среды, имеющимися в распоряжении кон-
структора. Как правило, эти возможности ограничены,
и в лучшем случае удается добиться некоторого (отлич-
ного от нуля) минимального значения удельного сопро-
тивления pmin = const; максимальное возможное значе-
ние ртах = const может быть и бесконечно большим.
Таким образом, можно считать, что функция р(х, у) во
всех случаях удовлетворяет неравенствам
0 < Pmin р(х, у)=^ртах<°°. (2.6)
Ставится задача о выборе среди кусочно-непрерыв-
ных функций р(х, у), удовлетворяющих (2.6), оптималь-
ного управления р(х, у), доставляющего максимум
функционалу I.
Целесообразно с самого начала расширить класс до-
пустимых управлений р(х,у) до множества измеримых
функций р(х,у), удовлетворяющих ограничениям
о < Pmin < Vtai max р (х, у) < ртах < оо. (2.7)
С этим уточнением поставленная задача отличается
лишь некоторыми обозначениями от задачи примера 2
п. 2 гл. I (в частности, следует писать р вместо и и
положить Ei = 0, Е2 — —с~х VB) \ если оптимальное
решение существует, то для фактического его опре-
деления можно воспользоваться полученными ранее
результатами.
3. Оптимальные распределения скалярного удельного
сопротивления
Необходимое условие Вейерштрасса (см. (3.18),
(3.20) гл. I) показывает, что оптимальная функция
р(х, у) может принимать лишь два значения, а именно
Р = Ртах. если 0 < х(х, z/)< arccos р,
P = Pmin. если л ~ arccos р ^х(х, у) л,
и = P,Tiax Pmin
Р тдх + Pmin
(3.1)
3]
СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
121
Символом %(х, у) обозначен угол между векторами /
и grad (о2 в точке (х, */); функция со2(х, у) определяется
решением сопряженной краевой задачи (3.4) — (3.5)
гл. I (где следует вместо и писать р).
Область G изменения независимых переменных пред-
ставляет собой объединение множества G\r где р = pmin,
множества G2, где р = ртах, и множества точек, не при-
надлежащих объединению Gi U G2, причем, согласно
условию Вейерштрасса, mes G = mes Gi U G2. Струк-
тура множеств Ci и G2 диктуется фиксированными пара-
метрами задачи, из которых основная роль принадле-
жит функциям В(х), V(y) И ПОСТОЯННЫМ pmin/-/?, pmax/^?,
Z/S, xc/S.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть В(х) = Во = const >* 0 (однородное поле),
V = V(y) 0. Положим
и
w = zlV (y)dy, (3.2)
о
уравнения (2.4) запишутся в форме
шх = — pg1, Wu— — Р?2, )
2 ,2 2 Я (3-3)
z2=g2, = J '
а вектор / будет равен
/ = — -i-gradw. (3.4)
Граничные условия (2.5) сохранят свою форму (см.
рис. 8), если г1 заменить на w\ что касается условия
(2.5), то оно примет вид
в
+ s — /?(z2+ — s = ~ ^Vdy^O. (3,5)
-6
Сравнивая теперь краевую задачу (3.3), (2.5) i_3,
(3.5) с задачей (3.4), (3.5) гл. I, находим, что при лю-
бой р(х, у)
22 = 8(0!, ^ = 8С02‘ (3.6)
Отсюда, учитывая (3.4), получаем равенство
/ = — |grad(o2, (3.7)
122
РАСПЁЁДЕЛЁНЙЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
которое показывает, что в оптимальном режиме век-
торы / и grad ®2 повсюду антипараллельны, т. е. х = л.
Условие Вейерштрасса (3.1) теперь приводит к выводу,
что оптимальное управление равно ртш во всей обла-
сти G.
Полученный результат показывает, что однородное
внешнее поле эквивалентно электродвижущей силе в,
включенной во внешнюю цепь. При р = ртщ = const
нетрудно вычислить оптимальное значение функциона-
ла Г, при V = const это значение оказывается равным
(см. приложение А1)
, г П 1 8«’ 27В0б
а‘—КМ/КМ, х— К1 к'),
& + kri = 1, К (k')/K (k) = xc/t>.
(3.8)
При xc -> oo величина 1X(, [Во] монотонно возрастает и
стремится к значению /<», определяемому первой форму-
лой (1.2).
На рис. 9 представлены векторные линии grad ад ли-
нии / при В = Во > О, V 0 отличаются от этих линий
только обратным направлением стрелок (см. (3.7)).
2. Предположим, что В(х0) ф const, V(i/) = const
0. Докажем, что режим р = const в этих условиях,
вообще говоря, не является оптимальным. Рассмотрим,
например, случай, когда непрерывная функция В(х) =
= В(—х) положительна при |х|<х2, х2 < хс, и обра-
щается в нуль при |х|> х2 (возможный график такой
функции изображен на рис. 10’)). Для такого поля рас-
$ *) Предполагается, что хс достаточно велико (ср. п. 7 этой
главы).
3J
СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
123
пределение токов / в случае р = const характеризуется
векторными линиями, изображенными на рис. 11, а при
х2 < К и на рис. 11,6 при х2 > X (соответствующие
Рис. 11.
решения для хс = оо построены А. Б. Ватажиным в [28,
29]; нетрудно построить решения и для случая хс < оо;
эти решения не дают ничего качественно нового).
Сравнивая рис. 11, а, б с рис. 9, обнаруживаем, что
условие Вейерштрасса необходимо нарушается в какой-
то части области, поскольку линии / и grad а>2 пере-
124
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
секаются как под тупым, так и под острым углами, а
удельное сопротивление р(х, #) считается повсюду оди-
наковым1)- Это же сравнение подсказывает, как сле-
дует изменить распределение сопротивления, чтобы удо-
влетворить условию Вейерштрасса. Именно, в средней
области канала (правее линий 111 и левее линий 222,
9 Рассматриваемый пример дает возможность ясно представить
себе физический смысл критических положений полоски варьирова-
ния, определенных в п. 3 гл. I. Предположим, что в хорошо прово-
дящей средней области канала, где р = ршш и токи протекают в
благоприятном направлении (от нижнего электрода к верхнему,
рис. 11,а,б), помещена плохо проводящая (р = ртах) малая по-
лоска. Влияние полоски варьирования на функционал определяется
ее ориентацией относительно векторов / и grades в данной точке
(центре полоски). Если полоска имеет критическое положение, то
она в минимальной степени уменьшает функционал / по сравнению
с его значением в отсутствие полоски (при этом, если л/2 х
л — arccos р (неоптимальный режим), то функционал даже воз-
растает при критическом положении полоски). Если полоска ориен-
тирована перпендикулярно к критическому направлению, то функ-
ционал / уменьшается в максимальной степени. Особенно отчетливо
это проявляется при достаточно больших значениях рШах. В этом
случае arccos р ~ 0 и критическое положение полоски таково, что
она направлена почти параллельно линиям тока /; при этом полоска
в минимальной степени уменьшает функционал. Наоборот, если по-
лоска ориентирована перпендикулярно к критическому направлению
(поперек линий тока), то она в максимальной степени уменьшает
функционал
Для боковых областей канала (см. рис. 11, а, б), где р = ртах
и токи протекают в неблагоприятном направлении (они образуют
токовые вихри и не попадают на электроды), положение совершен-
но аналогично. Помещая сюда хорошо проводящую полоску (р »
= pmtn), мы обнаруживаем (п. 3 гл I), что в критическом поло-
жении (перпендикулярном к линиям / при ртш ~ 0) полоска в ми-
нимальной степени уменьшает функционал. Наоборот, если полоска
с р = Ртш ~ 0 располагается здесь вдоль линий /, то она умень-
шает функционал в наибольшей возможной степени.
Различие между критическими положениями полоски относи-
тельно линий / в обоих отмеченных случаях объясняется тем, что
в первом случае мы имеем дело с плохо проводящей полоской
(р = рП)аХ ~ оо), а во втором случае— с хорошо проводящей по-
лоской (р = ртш ~ 0). Для плохо проводящей полоски направле-
ние наименьшего влияния на функционал (критическое направле-
ние) совпадает с направлением вектора / в данной точке, а для
хорошо проводящей полоски критическое направление перпендику-
лярно к направлению j. При этом существенно, что речь идет о жид-
ких полосках, т. е. о полоскообразных зонах измененного удельного
сопротивления жидкой среды. Скорость V(y) и магнитная индук-
ция В(х) считаются при этом непрерывными функциями в полосках
вплоть до их границ.
31
СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
125
рис. 11, л), где векторные линии / и grad со2 составляют
тупой угол, следует положить р = ртш, а в боковых об-
ластях (левее линий 111 и правее линий 222), где эти
линии составляют острый угол, взять р = ртах- Есте-
ственно попытаться определить истинную форму и место-
положение линий 111 и 222, вдоль которых управление
терпит разрыв непрерывности.
В предыдущем рассуждении нужно учитывать, что
функция %(х, у) также терпит разрыв непрерывности на
линиях 111 и 222 скачка удельного сопротивления.
Вдоль линий 111 и 222 векторные линии / и grad <о2 пре-
ломляются: первые в соответствии с условиями
[/«£ = 0, [рЛЦ = О, (3.9)
а вторые согласно равенствам
[®Л = 0, [1®2J+ = O, (3.10)
где t, п обозначают единичные векторы касательной и
нормали к линии скачка. Последние соотношения пред-
ставляют собой условия Вейерштрасса — Эрдманна
(2.12)1 гл. I, записанные с учетом формул (3.3), (3.4)
той же главы. Преломление линий / и grad <о2 должно
быть отражено на рисунках типа рис. 9, рис. 11, а, б,
построенных для кусочно-постоянного управления
р(х, t/).
Условие Вейерштрасса исключает интервал (arccos р,
л — arccos р) из области значений функции %(х, у) в
оптимальном режиме. Докажем, что если существует не-
прерывно дифференцируемая кривая Го (/// или 222),
разделяющая области Gi (где р = pmin) и G2 (где
Р = ртах), то в оптимальном режиме Нш%(х, у) —
= п — arccos р, если точка (х, у) стремится к Го со сто-
роны области Gi, и lim%(x, у) = arccos р, если точка
(х, у) стремится к Го со стороны области G2. Одновре-
менно будет доказано, что в оптимальном режиме век-
торные линии j и grad со2 располагаются на линии Го
таким образом, что нормаль п к этой последней является
общей биссектрисой углов %, составляемых векторами /
и grad со2 в их предельных положениях по разные сто-
роны Го (рис. 12).
126
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
В самом деле, условие
(2.12)3 гл. I, записанное с
той же главы, показывает,
Х=агссозр
Рис. 12.
ске!), то из проведенных там
вать, что при (/, grad ш2) > О
Ртах Pmin : д(02
Ртах
Вейерштрасса — Эрдманна
учетом формул (3.3), (3.4)
что, например, предельные
значения векторов / и
grad (о2 в точке линии Го
со стороны области О2
(р = ртах) удовлетворяют
условию
Ртах Pmin : д(02 _
Ртах П дп
— (/, grad ®2) = 0. (3.11)
С другой стороны, если
положить т — 0 в рас-
суждении п. 3 гл. I, пред-
шествующем выводу фор-
мулы (3.16) (т. е. перейти
к варьированию в поло-
рассмотрений будет следо-
выражение
— (/, grad®2) (3.12)
как функция направления 0 достигает максимума для
направления 0, делящего пополам угол х между векто-
рами / и grad ®2 (рис. 13). Соответ-
ствующий максимум равен
Рис. 13.
| / | grad СО2 |(-£!S2S-^2-cos2 Л—cos %)
\ Ртах z /
и при 0 х < arccosp (т. е. в точ-
ках области G2) отрицателен, а при
^ = arccosp равен нулю. Сообра-
жения непрерывности теперь пока-
зывают, что если к границе Го при-
легает область G2, в точках которой выполнено усло-
вие Вейерштрасса, то предельное (со стороны G2) зна-
чение угла % на кривой Го равно arccos р и_это значе-
ние является максимальным значением х в G2. Отсюда,
в частности, следует, что нормаль п к Го является бис-
сектрисой упомянутого предельного угла, что и требова-
лось доказать. Утверждение, относящееся к предельным
12?
СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
*1
положениям векторов / и grad <02 по другую сторону ли-
нии разрыва Го, доказывается точно так же. Таким об-
разом, предположив существование непрерывно диффе-
ренцируемой кривой Го, разделяющей области G\ и G2,
приходим к выводу о необходимости известного согласо-
вания условий Вейерштрасса — Эрдманна и условия
Вейерштрасса в оптимальном режиме управления.
Смысл этого согласования заключается в том, что линии
скачка осуществляют такое разбиение основной обла-
сти, что во всех получающихся областях постоянства
управления эти последние используются «до отказа»,
т. е. до тех пор, пока функция % не достигнет соответ-
ствующего предельного критического значения на линии
разрыва управления.
Нужно отметить, что заключение о согласовании
условий Вейерштрасса — Эрдманна и Вейерштрасса
существенно опирается на понятие вариации в полоске:
вариаций в круге (т = 1) было бы недостаточно для
установления такого согласования, а вариации в эллипсе
(О < т < 1) привели бы к ослабленным условиям со-
гласования; в частности, предельное значение угла х со
стороны области G2 оказалось бы равным (см. (3.16)
гл. I)
я г с о п q (Ртах ~ Pmin)
2ртах (Ртах — Pmin)
Вернемся теперь к задаче об оптимальном распреде-
лении скалярного удельного сопротивления в канале
мгд<енератора для функции В(х), заданной графиком
типа рис. 10, при V(y) =±= const > 0. Если (ртах-*
ртш), то оптимальная функция р(х,у) стремится к по-
стоянной, равной pmin повсюду в канале. Линии разрыва
управления исчезают как таковые, но точки этих линий
стремятся к некоторым предельным положениям. Эти
предельные положения нетрудно указать: достаточно
наложить рис. 11, а (или рис. 11,6) на рис. 9 (построив
векторные линии на этих фигурах для случая р(х, у) —
= const) и соединить плавными кривыми точки, в кото-
рых (/, grad (02) = 0; эти кривые и будут искомыми пре-
дельными кривыми. Если теперь построить нормали к
этим кривым в каждой точке, то окажется, что эти нор-
мали не - будут, вообще говоря, биссектрисами угла
128
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД |ГЛ. И
= л/2, составляемого векторами / и grades в точках
упомянутых кривых. Непосредственную проверку этого
утверждения в случае хс = оо можно произвести, поль-
зуясь имеющимся для данного случая точным решением
[28, 29]. Для хс < оо также можно получить точное ре-
шение и убедиться в справедливости сказанного.
Проведенное рассуждение основано на молчаливом
предположении, что предельные (при р -> 0) положения
нормалей к линиям скачка управления совпадают с нор-
малями к предельному положению (исчезающих!) линий
скачка в соответствующих точках. Иными словами, пред-
полагается, что линии скачка стремятся к своим пре-
дельным положениям непрерывно дифференцируемым
образом (т. е. вместе с направлениями нормалей). Для
подобного утверждения заранее нет оснований; более
того, докажем, что вообще при р#=0 задача определения
непрерывно дифференцируемых кривых, вдоль которых
удовлетворяются условия Вейерштрасса — Эрдманна, а
в ограничиваемых ими областях выполняются условия
Вейерштрасса, — является пе-
Рис. 14.
реопределенной, если требо-
вать, чтобы эти условия были
согласованы между собой в
указанном выше смысле. Тем
самым будет доказано, что
только что проведенное для
случая р -> 0 рассуждение дей-
ствительно ведет к противоре-
чию.
Приписывая индекс (+)
предельным на Го значениям
векторов /, grad (о2 со стороны
области G2, а индекс (—) пре-
дельным значениям со стороны запишем условия
(3.9), (3.10) в форме (рис. 14)
| /+ | cos 0+ =|/’_| cos 0_,
Ртах! /+ I SID 0+ = pmin| Д | Sin 6_,
(3.13)
| grad <о2+ I sin if>+ — | grad <o2- I sin if>_,
Ртах I gfad w2+ I C0S = Pjnin | gfad ®2- I C0S
3] СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 123
Условие (3.11) принимает вид
—^^-cosQ, cos-ф. — cos(0+ + ф.) = 0. (3.15)
Ртах
Из (3.13) и (3.14) следуют равенства
tgO £min. tg0_, tg^+=-£sMg4|)_, (3.16)
Ртах Ртах
выражающие закон преломления векторных линий / и
grad иг на Го- Отсюда, в частности, следует, что
tge_tgi|)+ = fg0+tgi|)_. (3.17)
Соотношение (3.15) можно преобразовать с учетом
(3.16) к другой форме. Имеем:
...Ртах - Pmin = I _ fg 0 tg ф .
Ртах
отсюда, пользуясь (3.16), находим
2
Pmin uni, i
~2--tgO_ tg'l’. — 1
J _ Ртах _ tg 6+ tg — 1 _ Ртах________________
Pmin tg6+tg^+ . Pmin, „ t ,
~2----------------------------tg0_tg'>l’_
Ртах
И
1 - tg 0_ tg ф_ = Pmin -Ртах
Pmin
Окончательно получаем:
-^2—^^-cos0_ cosi|)_ — cos(0_ + ib_) = 0. (3.18)
Pmin
Последнее равенство можно было бы написать сразу,
формулируя условие Вейерштрасса — Эрдманна через
предельные значения на Го. Мы получили это равенство
как следствие (3.13) — (3.15). Из (3.15), (3.18) теперь
находим
Ртах Pmin
Pmin — Ртах COS (0_ + 1|з_) Ртах
Pmin COS 0_ cos Ртах Pmin __ j
Ртах
cos (e+ + ф+)
______cos 64- cos ф+ _ cos (6+ + t|>+) । qx
sin 0-l sin sin 0-f. sin “Ф+ * \ • /
cos 0-f- cos “ф +
б К. А. Лурье
1зо
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ б КАНАЛЕ МГД [ГЛ4 II
Точно так же
Pmin — Ртах
Ртах ;— Pmin __ cos (®+ Н~ Ф + ) __Pmim____=
Ртах cos cos Ф + Pmin Ртах ।
л Pmin
cos (®_ + Ф_)
_ _ cos 0_ cos -ф_ _ _ cos (6_ + Ф_) 2 .
sin 0__ sin ф__ sin 0_ sin ф_ ’ ' ’ '
cos 0_ cos ф__
Формулы (3.19) и (3.20) приводят к соотношениям
cos (0_ + ф__) cos0_cos^_ sinB-Sinil)-
cos (0+ + Ф+) sin 9+ sin *Ф+ cos 9+ cos “Ф+ *
откуда
tg e+tg e_ tg ip+tg'Ф-= i-
Теперь, принимая во внимание (3.17), получаем равенства
tg 0_.tg ф+= tg 0+tgi|>_ = ± 1. (3.21)
Очевидно, нижний знак следует отбросить, в резуль-
тате приходим к формулам
0_ + ф+ = 0+Н-ф_ = А, (3.22)
откуда, в частности,
0+4-ф+ = л-(0_ + ф_). (3.23)
Приведенный вывод показывает, что условие (3.23)
можно считать эквивалентным условию Вейерштрасса —
Эрдманна (3.15) (или (2.18)).
Напомним теперь о необходимости согласования
условий Вейерштрасса — Эрдманна и условия Вейер-
штрасса1); требование такого согласования наклады-
*) Условия такого согласования можно получить и непосред-
ственно. Имеем (см. (3.16), (3.22))
tg ctg ф+ = tg tge_ = pmax/pmln,
откуда
/л \ „ tge_ + tgi|J_
tg (т + °) < tg (6_ + Ф_) = i-tge'.tFiC “
+ tgt 2i^S—7oT
Pgjin-----------c у Pm^Pgln- e tg (я _ arccos p);
1 Pmax * Ртах/Pmin
Pmin
3]
СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
131
вает еще одно условие на углы 9±, ф+, а именно, на-
пример,
0_==ф_, (3.24)
откуда с учетом (3.22) сразу следует 0+ = 'фч-.
Всего для определения векторов /, grad <о2 в полной
области G имеем уравнения (2.4), уравнения (3.4) гл. I
с соответствующими условиями на границе области
(условия (2.5) и условия (3.5) гл. I), условиями согла-
сования (3.9), (3.10) на линиях разрыва управления и
двумя условиями (3.23) и (3.24) для определения этих
линий !). Последнее обстоятельство (два условия в каж-
дой точке линий разрыва!) делает задачу переопреде-
ленной, если функцию В(х) взять сколько-нибудь об-
щего вида, что и требовалось доказать.
таким образом, мы приходим к неравенству л/2 0- + др-
я— arccosр, которое вместе с неравенством (3.1 )2 (условие Вейер-
штрасса!) показывает, что 0_ + ф_ = л — arccos р. Отсюда, поль-
зуясь условием tglp-tg0- = pmax/pmln, нахОДИМ
0__ = ф_ (л arccos р),
что и требовалось доказать.
*) Дополнительные условия на линиях разрыва управления
можно брать в разных формах, эквивалентных (3.23), (3.24); при
этом существенно, что число этих условий всегда равно двум. На-
пример, можно потребовать, чтобы было
0__ + Ф_ == л — arccos р (а)
и
0+ + ф+ = arccos р. (б)
Необходимо, чтобы вдоль линии разрыва выполнялись оба эти
условия одновременно; выполнения одного из них недостаточно.
Если, например, удовлетворено только условие (б), то левая часть
(3.11) будет, вообще говоря, отрицательна (см. рассуждение, сле-
дующее после формулы (3.12)), т. е. (+) предельные значения
будут удовлетворять условию Вейерштрасса в сильном смысле (как
неравенству). Пользуясь формулами (3.16) (см. вывод формулы
(3.18)), можно доказать, что для (—) предельных значений усло-
вие Вейерштрасса будет при этом нарушено (соответствующее не-
равенство будет выполняться в обратном смысле). Одновременно
будет нарушено и условие Вейерштрасса — Эрдманна (3.11). Вы-
полнение всех условий гарантируется, если к требованию (б) при-
соединить условие (а), либо условие (3.24), либо условие 0+ = ф+
и т. д.
5*
132
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД (ГЛ. II
Итак, если поставленная задача имеет решение, то
это решение необходимо оказывается обобщенным, так
как не существует достаточно гладкой кривой, разде-
ляющей области с различными значениями управления.
С помощью варьирования в полосках можно построить
последовательность управлений, которой отвечает воз-
растающая последовательность значений функционала /
(см. приложение А2). В силу ограниченности функцио-
нала эта последовательность его значений стремится к
пределу, который представляет собой, вообще говоря,
локальный максимум полного тока. Что касается пре-
дельной управляющей функции, реализующей этот мак-
симум, то существование ее доказать не удается.
В задачах оптимального управления известны ситуа-
ции, когда в допустимом классе функций не существует
оптимального управления !). Однако практически всегда
существует такая последовательность допустимых упра-
влений, что соответствующая ей последовательность
значений функционала стремится к его нижней (верх-
ней) грани. Управляющие функции, составляющие ми-
нимизирующую последовательность, отличаются значи-
тельной нерегулярностью. Эти функции не имеют пре-
дела, но колеблются между несколькими определенными
значениями (скользящие режимы). При этом, чем чаще
колебания, тем ближе значения функционала к своей
грани.
Сходная ситуация возникает и в рассматриваемой
задаче. Чтобы показать это, вспомним рассуждение, от-
носящееся К предельному случаю р~>0 (ртах pmin),
когда было отмечено, что условие Вейерштрасса не вы-
полняется вследствие того, что нормаль к предельному
положению (исчезающей) линии разрыва не является
биссектрисой угла л/2, составляемого на этой линии век-
торами / и grad <о2. Можно было бы избежать противо-
речия, предположив, что при стремлении линии к ее пре-
дельному (р — 0) положению нормали к этой линии не
стремятся к нормалям к предельной кривой в соответ-
ствующих точках. При достаточно малых р линия раз-
рыва представляла бы собой тогда кривую, совершаю-
щую частые (в пределе р = 0 бесконечно частые) коле-
*) По этому поводу см. п. 1 гл. III.
3]
СКАЛЯРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
133
Ялах
Anin
Рис. 15.
бания около своего предельного положения (рис. 15),
причем при р -> 0 частота этих колебаний возрастала бы
до бесконечности быстрее, чем амплитуда убывала бы
до нуля. Рассмотрение рис. 15 показывает, что в окрест-
ности кривой Го (р = 8 < 1) чередуются слои веще-
ства с удельным сопротивлением ртах и pmin. Если чере-
дующиеся слои расположены достаточно часто, то
можно считать, что эф-
фективное удельное со-
противление в точках этой
слоистой структуры раз-
лично в различных на-
правлениях: в направле-
нии р (см. рис. 15) эф-
фективное сопротивление
отличается от сопротивле-
ния в направлении а. Ана-
логичная картина полу-
чается и в том случае,
когда ртах/pmm > 1 (р1). Условия Вейерштрасса
(3.17) — (3.20) гл. I показывают, что векторы /
и grad (о2 в оптимальном режиме почти парал-
лельны там, где р = ртах, и почти антипараллельны там,
где p = prnin- Положим ДЛЯ определенности, ЧТО ртах-> °О
при фиксированном ртт. В пределе ртах = 00 токи со-
средоточены лишь в области Gi (где p = pmin), а на
границе Го раздела областей (по предположению, глад*
кой) выполняется предельное равенство jn- = 0- Усло-
вие Вейерштрасса и Вейерштрасса Эрдманна показы-
вают, что на Го одновременно обращается в нуль и ( —)
предельное значение касательной составляющей плот-
ности тока: /\-=0; при этом на Го (о2п-=0, но (o2f-¥=0.
Кроме того, в области Gi (р = pmin) должно быть
выполнено равенство
j = F(x, z/)grad®2>
(3.25)
где F(x,y) 0 всюду в Gi.
Ясно, что поставленным условиям нельзя удовлетво-
рить при сколько-нибудь общей функции В(х), если счи-
тать Го гладкой кривой, а удельное сопротивление одно-
родным И равным р = ртш В облаСТН G1.
134
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
С другой стороны, если ввести в эту область беско-
нечно тонкие изолирующие перегородки (р — оо), раз-
деленные тонкими полосками вещества с р = pmin, то
в этих полосках образуются токовые каналы, в пределах
которых равенство (3.25) будет выполнено тем точнее,
чем меньше толщина каналов (очевидно, никаким ко-
нечным числом перегородок нельзя будет добиться вы-
полнения этого равенства во всей области Gj). Можно
надеяться, что надлежащим расположением таких сло-
ев удается добиться выполнения всех поставленных
условий.
В этом рассуждении вновь приходим к представле-
нию о бесконечно часто чередующихся бесконечно тон-
ких зонах вещества с различными значениями удельного
сопротивления. Как и ранее, остается в силе заключе-
ние о том, что в точках этих слоев эффективное удель-
ное сопротивление зависит от направления; в частности,
вдоль слоя сопротивление отличается от сопротивления
поперек слоя.
Высказанные соображения являются наводящими:
они показывают, как следует видоизменить постановку
задачи с тем, чтобы гарантировать существование опти-
мального управления. Именно, будем предполагать, что
удельное сопротивление среды описывается симметрич-
ным тензором р (х, у), меняющимся от точки к точке.
Пусть pi(x, z/), р2(х, у) будут главными значениями
этого тензора, а а, 0 — соответствующими главными
осями1).
Если обозначить через у(х, у) угол между положи-
тельным направлением оси х и осью а, то декартовы со-
ставляющие тензора р найдутся по формулам
Рхх = у fP1 +р2 + (р1 ~ р^cos 2VL
Pw = 4 [р1 + р2 — (Pl “ Р2) cos 2у],
9ху = Рух = у (Pl - Р2) sin 2у.
(3.26)
Тензор р(х, у) определяется тремя величинами: |
pi(x,у), р2(х,у) и у(х,у}. Первые две из них будем счи- ’
*) Предполагается, что оси а и Р составляют правую систему.
4]
ТЕНЗОРНОЕ УДЕЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
135
тать независимыми измеримыми управляющими функ-
циями, подчиненными ограничениям
о < Pmin < vrai max рг (х, у) < pmax < оо (i = 1, 2); (3.27)
на управляющую функцию у(х, у) никаких ограничений
не накладываем. Теперь вместо одной управляющей
функции (р(х, у)) имеем три независимых управления:
pi, р2 и у (если, в частности, pi = р2, то тензор р стано*
вится шаровым, что равносильно скалярному характеру
управления).
Среди тензорных функций1) Р(х, у), удовлетворяю-
щих сформулированным ограничениям, требуется оты-
скать оптимальный тензор р (х, у), доставляющий мак-
симум функционалу (2.1).
В п. 16 этой главы будет показано, что в принятой
постановке оптимальная задача имеет классическое ре-
шение внутри области для любых полей В(х) с произ-
водной, удовлетворяющей условию Липшица.
4. Основные уравнения в случае тензорного
удельного сопротивления
Распределение тока / и потенциала z1 электрического
поля в канале описывается уравнениями
div/==0, (р,/) = —gradz‘ + -y[v, В], (4.1)
отличающимися от уравнений (2.2) лишь тензорным
множителем р(х, у) вместо скалярного р(х, у). Эквива-
лентная система двух уравнений первого порядка, по-
строенная с помощью функции z2 (/ = —roti3z2), имеет
вид (ср. (2.4))
4=Ч2, 4 = (4>2)
*) Здесь и ниже будем обозначать через р (х, у) оптимальный
тензор удельного сопротивления, а через Р(х, у) — допустимый тен-
зор; в остальных случаях будем, как и ранее, обозначать большими
буквами допустимые величины, а малыми — соответствующие опти*
мальные.
136
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. It
Граничные условия сохраняют форму (2.3), (2.5), а мак-
симизируемый функционал по-прежнему задается фор-
мулой (2.1).
Ставится задача об определении пары измеримых
функций pi(x, //), р2(х, у), подчиненных неравенствам
(3.27), и измеримой функции у(х,у) таким образом,
чтобы при связях (4.2), (3.26), (3.27), (2.3), (2.5) функ-
ционал (2.1) принимал наибольшее возможное значение.
Если pi — р2 (шаровой тензор), то поставленная за-
дача переходит в задачу для скалярного удельного со-
противления, рассмотренную выше.
5. Необходимые условия стационарности
(тензорный случай)
Введем множители Лагранжа gi, Вг, г|2, соответ-
ствующие четырем уравнениям (4.2), и составим функ-
цию //, выразив предварительно декартовы составляю-
щие тензора р через управляющие функции рь р2, у по
формулам (3.26). Будем иметь
я = — у g] {[pi + р2 + (Pl — p2)cos2y] 4-
+ (Pi — p2)sin2y • c2j — у П1 «Р1 — p2) sin2y •£’ +
+ [Pi + P2 —(Pi — P2).cos2yK2 —c-'VB} +
2
+ U2 - - S Hz [(pmax - Pf) (Pi - Pmin) - P|.|- (5-1)
Z=1
Множители pi (t = 1, 2) соответствуют ограниче-
ниям (3.27), записанным в форме эквивалентных ра-
венств (см. (1.28)* гл. I)
(Ртах ~ Pf) (Р/ “ Pmin) ~ Р?. = °> Z = 1 > 2-
‘ Условия стационарности даются формулами
hx + = о, ^2х + я2!/— О, (5.2)
дЩдф — 0, дЯ/<5£2 = 0, (5.3)
dH/dPl = 0, дН/дР2 == 0, дН/ду = 0,
дЩдР^ = 0, дН!дР^ = 0.
} (5.4)
6j УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА (ТЕНЗОРНЫЙ СЛУЧАЙ) 137
Введем функции coi (х, у), со2(х, у) соотношениями
(3.3) гл. I. Уравнения (5.2) при этом удовлетворяются
тождественно; что касается уравнений (5.3), (5.4), то
они могут быть представлены в форме (опускаем легко
воспроизводимые выкладки)
р2^1а + (О2р = 0, (5.5)
Р1<01в — со2а = О, (5.6)
РГ'/а®2а + h (2р, - Pmax — Pmin) = О,
р2"%®2₽ + Р2 (2р2 - Pmax - Pmin) = °>
(Р1 — Р2) (Р1®23/а + Р2®2а/р) = 0> (5.8)
Р1Р1. = 0> Н2Р2. = 0. (5-9)
Здесь
®га — ®/х cos V + sin V,
, у (/=1,2), (5.10)
®i3 = —sin y +COCCOS Y,
/а = £'cos y + C2siny, /p = —sin y + £2COSY- (5.11)
Функции <oia, co?|3 и /а, /з представляют физические со-
ставляющие векторов grad со?- и / по осям аир.
Граничные условия для функций со2 (х, у) (i = 1, 2)
сохраняют форму (3.5) гл. I.
Соотношения (5.5), (5.6) вместе с формулами (3.5)
гл. I можно интерпретировать как уравнения и гранич-
ные условия, описывающие распределения в канале
фиктивных токов с плотностью —(р-1, grad(o2), обуслов-
ленных «разностью потенциалов» со2+— со2_ + 1 на
электродах при отсутствии других внешних электродви-
жущих сил. Функция col при этом играет роль соответ-
ствующей «функции тока».
.6. Необходимое условие Вейерштрасса
(тензорный случай)
Чтобы составить это условие, проще всего воспользо-
ваться следующим выражением для приращения Д/
функционала /, обусловленного произвольной вариацией
Др тензора р:
Д/=- П [BiGW + Др./2) +
'g
-(-^(Ap^Z1 + \pyyZ2)]dxdy. (6.1)
138
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Здесь Z1, Z2 обозначают декартовы составляющие
вектора плотности тока /, отвечающего допустимому
тензору удельного сопротивления Р = р + Др (см.
сноску на стр. 135).
Формула (6.1) является точной; она легко выводится
из исходных уравнений с учетом условий стационарности
(ср. вывод формулы (3.2) гл. I).
Выражение под знаком интеграла в (6.1) можно
с учетом формул (3.3) гл. I и (5.5), (5.6) преобразовать
к виду
— ((₽"'. grad а>2), (Др, /)).
Если теперь ввести диаду
Цр~\ grad«2),
то для приращения Д/ функционала получим следую-
щую формулу:
Д7= j* J Sp (Др, J (р-1, grad <>i2))dxdy. (6.2)
о
Если р = р£, Д.р = ДрЁ, где ё — единичный тензор,
то (6.2) сводится к формуле (3.6) гл. I. Чтобы функцио-
нал I достигал на управлении р максимума, необходимо
и достаточно величину Д/ сделать неположительной для
всех допустимых Д£ и /.
Как и ранее, введем вариацию в полоске, именно,
предположим, что приращение Др отлично от нуля толь-
ко в пределах узкой полоски шириной е2а и длиной еа
(е—малый параметр задачи). Допустимый тензор в
пределах полоски удовлетворяет ограничениям (3.27), .
в остальном он произволен.
Формула (6.2) показывает, что вектор / для такой
специальной вариации нужно вычислить лишь в преде-
лах полоски, причем достаточно найти не зависящую
от е часть этого вектора. Если полоска достаточно узка i
и если поле вектора / внутри полоски не имеет особен- [
ностей, то не зависящую от е часть вектора J можно
вычислить, предполагая, что полоска находится во внеш-
нем однородном поле токов / (ср. гл. I). При этом при-
ращение Др можно считать постоянным тензором в пре-
делах полоски.
6)
условие вейерштрасса (Тензорный случай)
139
Решение этой последней задачи хорошо известно.
Предположим, что полоска ориентирована вдоль оси t и
имеет внешнюю нормаль п (рис. 16), а ее сопротивление
характеризуется тензором Р = р + Др. Если полоска
помещена в однородное поле
среде с сопротивлением р, то
составляющие плотности тока
внутри полоски найдутся по
формулам
/п== !п + О (е),
/,=/,+^2/,+
(6.3)
токов /, протекающих в
Рис. 16.
Эти формулы следует использовать для исключения
вектора J из левой части неравенства
Sp(Ap, /(р"1, grad(d2))^0, (6.4)
вытекающего теперь из неравенства А/ 0 с учетом
(6.2) и выполняющегося почти всюду как необходимое
условие сильного относительного минимума *).
Если перейти к главным осям а и (3 тензора р, то
это неравенство можно записать в следующей эквива-
лентной форме (Е обозначает функцию Вейерштрасса):
£=-№«.-₽,) >. + р.Л1ргЧ.-
— [Ррс/а “I” (Ррр Рг) РГ*®2Р 0- (6.5)
Составляющие Ja, вектора J следует выразить че-
рез /а> /р- а составляющие Раа, Рар, Ррр тензора Р — че-
рез величины, характеризующие этот тензор в его соб-
ственных главных осях. В результате функция Е ока-
жется зависящей от главных значений Pi, Р2 тензора Р,
от угла Ду между главными осями Айа тензоров Р и р,
а также от угла 0 между направлением п нормали к по-
лоске и осью а (рис. 16). Остальные величины, входя-
щие в выражение для Е, характеризуют оптимальный
режим и считаются фиксированными.
*) Речь идет о минимуме функционала — I.
140
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
Выполнив необходимые вычисления (см. приложе-
ние АЗ), придем к следующей эквивалентной записи не-
равенства (6.5):
м 33 ^77^ Ка<*2а + ~
— (Р1 — р2) (/а®2а — /р®23) (1 — COS 2 Ду) +
+ (Р1 — Р2)-^^ (Р1/а®2Р + Р2/р®2а) SIH 2 Ду < 0. (6.6)
Здесь
Ка = ja [р2 + Р1 + (P2-P1) cos 20] + Jp (p2-p2).sin 20, |
/Ср = /₽ [pi + Р2 ~ (Р1-Рг) cos 20] + ja(Pi-р,) sin 20 J
Исследуем неравенство (6.6). В соответствии с усло-
виями (5.9) приходится различать:
(1) неособые режимы: рц =/= 0, ц2 ¥= 0, pi* = Р2* = 0;
(2) особые режимы по одной из управляющих функ-
ций pi или р2, щ #= 0, ц2 = 0 (и тогда pi* = 0), либо
р-2 ¥= 0, pi = 0 (и тогда р2* = 0);
(3) особые режимы по обеим управляющим функ-
циям Р1 И Р2‘, При ЭТОМ Ц1 = [12 = 0.
Последний класс случаев сразу же исключается, по-
скольку уравнения (5.5) — (5.7) показывают, что при
этом (01 — const, «г = const — вариант, не представляю-
щий интереса.
7. Неособые режимы
Управляющие функции рь р2 могут принимать только
предельные значения ртах или pmin. Предположим, что
режим управления — существенно анизотропный, т. е.
pi #= р2-
Тогда, положив в (6.6) сначала Ду = 0, Pi = рь
Р2 =# р2, а затем Ду — 0, Р2 = рг, Pi =И= pi и принимая
во внимание (5.8), придем к следующим неравенствам,
характеризующим возможные режимы:
Pj Ртах, Р2 Pmin,
Pl === Pmin, Р2 Ртах,
если /асо2а>О, /рИгцСО. (7.1)
если /а®га<0, /Rco2ft>O. (7.2)
Условие (7.2) можно было бы получить из (7.1), ме-
няя ролями оси аир.
НЕОСОБЫЕ РЕЖИМЫ
141
Л
Неравенства (7.1), (7.2) необходимы для выполне-
ния неравенства (6.6); покажем, что они и достаточны.
Рассматривая условия (7.1), вычислим левую часть
неравенства (6.6) при pi = pmax, р2 = pmin. Пользуясь
(6.7) и (5.8), найдем
-т-* /а(02а 1^2 + Pmax + (₽2 ~ Pmax) C0S 26] +
Pmax
+ />2р [Pi + Pmin - (P, - Prain) cos 20] -
Pmin 1 1
- (P1 - ?2) (/а®2а - /Р®2Р) (1 — COS 2 Ay).
Неравенство M 0 должно быть выполнено для лю-
бых допустимых Pi, Р2, 0 и Ду. Имеем (см. (7.1))
max М =
д?
Г М (Ду = 0), если ?! Р2,
~ I М (Ду = 0) — 2 (Р] — Р2) (/а<о2а — /р<о2р), если ?! < Р2.
Нетрудно убедиться непосредственным вычислением, что
неравенство maxAl^O выполнено в обоих отмеченных
Ду
случаях, каковы бы ни были допустимые значения Pi,
Р2, 0. Аналогичное заключение справедливо и относи-
тельно режима (7.2).
Приведенное рассуждение показывает, между про-
чим, что в рассматриваемом случае ориентация полоски
варьирования не влияет на форму условий максимума.
Этот факт (имеющий место и в других анализируемых
ниже случаях) связан с анизотропным характером ва-
риаций управления. Внутри полоски оптимальный тен-
зор р заменяется допустимым тензором Р с новыми
главными направлениями, которые могут быть произ-
вольными; после этого вращение самой полоски не вно-
сит ничего нового в результат. Положение изменяется,
когда переходим к задаче со скалярным управлением
(см. п. 3 гл. I): здесь оптимальная скалярная функция р
заменяется в полоске варьирования допустимым скаляр-
ным управлением Р; при этом наклон полоски явно вхо-
дит в формулу для приращения функционала (см. (3.11)
гл. I) как единственный фактор, характеризующий
известную анизотропию варьирования. В п. 3 гл. I
142
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
показано, как это обстоятельство влияет на окончатель-
ную форму условий минимума в задаче со скалярным
управлением.
Возвращаясь к неособым анизотропным режимам, за-
ключаем, что их можно характеризовать способами вза-
имного расположения векторов /, grad со2 и осей а, 0,
изображенными на рис. 17. При этом векторы / и grad со2
располагаются в соседних квадрантах, разделенных либо
осью а (режим (7.1)), либо осью 0 (режим (7.2)) (в
обоих случаях осью, которой соответствует главное зна-
чение ртах тензора р).
Рассмотрим возможность неособых изотропных режи-
мов. Пусть для определенности pi — р2 — ргаах- Тогда,
очевидно,
7а® 2а 7р®2р О* (7»3)
Эти неравенства легко следуют из (6.6), если в по-
следней формуле положить сначала Ду = 0, а затем по-
следовательно Р2 = р2, Pi =/= pi и Pi = pi, Р2 =/= р2.
С другой стороны, уравнение (5.8) при pi = р2 удо-
влетворяется тождественно, ибо в изотропном режиме
любую пару направлений можно считать главными на-
правлениями. Отсюда следует, что неравенства (7.3)
должны соблюдаться для любой пары взаимно перпен-
дикулярных направлений а и 0. Последнее возможно
лишь при условии, если векторы / и grad со2 связаны
равенством
/ = Fgrad (о2,
(7.4)
71
НЕОСОБЫЕ РЕЖИМЫ
143
где F = F(x, у)—неотрицательная функция. Нетрудно
проверить, что неравенство (6.6) при этом выпол-
няется !).
Случай pi = р2 = pmin исчерпывается аналогично;
функция F при этом неположительна.
Интересно сравнить условие (7.4) с условием реали-
зации режима р = ртах в задаче со скалярным управле-
нием. Ранее (см. (3.18) гл. I) было показано, что это
условие выражается неравенствами
0C%^arccosp, р = —а2Н~in- > (7.5)
г, г Pmax + Pmin V 7
где % означает угол между векторами / и grad 02. Срав-
нение показывает, что (7.4) эквивалентно требованию
X = 0. Если это требование выполнено, то неравенства
(7.5) выполнены; обратное неверно. В скалярном случае
угол х равен нулю, только если р = 1; в тензорном слу-
чае этот угол должен быть равен нулю независимо от р.
Результат вполне естествен: рассматривая анизотропные
вариации в окрестности изотропного управления, с не-
обходимостью приходим к более жесткому условию ми-
нимума. Это обстоятельство отчетливо проявляет себя в
том случае, когда функция В(х) мало отличается от по-
стоянной; например, если В(х) постоянна повсюду, за
исключением узких зон хс— е < |х| < хс, прилегающих
к торцам канала; в этих зонах пусть будет В(х)=Ве(х),
где В8(х) непрерывна и монотонно убывает по х и моно-
тонно убывает с ростом 8. Если 8 = 0 (В(х) = const
повсюду в канале), тох = л и изотропный режим р =
= pminS — const является оптимальным. Зафиксируем
это распределение удельного сопротивления и станем
увеличивать в; угол х будет изменяться непрерывно, и
при 8 во будет выполнено неравенство (3.20) гл. I.
Иными словами, функция р(х, у) = pmin = const остает-
ся оптимальной в классе скалярных функций и тогда,
когда внешнее поле В(х) не слишком сильно отличается
*) Заметим, что последнее слагаемое в скобках в левой части
(6.6) не обращается в нуль только в изотропном режиме управле-
ния; в остальных случаях оно равно нулю в силу (5.8).
144
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
от постоянного1). В то же время функция р(х, у) —
= pmin-S = const не является оптимальной в классе тен-
зорных функций, если поле В(х) сколь угодно мало от-
личается от постоянного. В самом деле, в противном
случае почти всюду в области должно было бы соблю-
даться равенство % = л, но это не имеет места, если
В(х) =#const. Оптимальное управление при В(х) =#const,
ртах < 00 существенно анизотропно повсюду в области.
§ 8. Особые режимы
Предположим, что рц 0, ц2 = 0, Тогда из (5.7) вы-
текает, что /р(О2[3 = 0- Пусть 0)23 == 0; исключая триви-
альную возможность со2а — 0, выводим из уравнения
(5.8), что /и — 0. Обратно, если /р = 0, то, исключая
тривиальный случай /а = 0, выводим из (5.8), что
<023 = 0-
Таким образом, особый случай со2з = 0 характери-
зуется тем, что одновременно /з = 0, т. е. векторы
grad (о2 и j имеют общее направление с главной осью а
тензора р. Знак скалярного произведения (/, grad (о2)
легко устанавливается при помощи неравенства (6.6);
получаем pi = рЮах, если /а(о2а 0 (векторы / и grad (о2
параллельны); pi = pmin, если /а(о2а 0 (векторы / и
grad (о2 антипараллельны).
Что касается управления р2, то для рассматриваемого
особого режима оно безразлично. Это обстоятельство
имеет общий характер и связано с тем, что если век-
тор j направлен вдоль одной из главных осей тензора р,
то уравнения (4.2) не зависят от главного значения, со-
ответствующего другой главной оси (для доказатель-
ства достаточно записать эти уравнения в главных осях
тензора р (см. формулы (20) Приложения). Особый ре-
4) Диапазон таких полей станет еще шире, если пользоваться
условием л % л/2, отвечающим сильному варьированию ска-
лярной функции в малом кружке, либо слабому варьированию этой
функции. к
Разумеется, сказанное справедливо лишь в случае, если опти-
мальная скалярная функция удельного сопротивления существует
при B(x)=#const. Для случая В (х) — const существование опти-
мального управления доказано в п. 16 этой главы (стр. 227).
8]
ОСОБЫЕ РЕЖИМЫ
145
жим pii = 0, |л2 =/= 0 исчерпывается аналогичными рас-
суждениями.
Результаты последних двух пунктов суммируем в
следующем предложении.
Оптимальные управления в задаче п. 4 характери-
зуются следующими возможными режимами.
/. Неособые управления.
1а. Анизотропные:
Р1 Ртах, Р2 — Pmin» ССЛИ /*а®2а ®» ^0®20 О,
Pl = Pmin, Рг = Ртах» 6СЛИ /а(02а 0» /р®2р О*
16. Изотропные:
Pi=p2 = Pmax, если j = F grad (d2, F>0,
Pi==p2 = pmin, если / = Fgrad(d2, F<0.
2. Особые управления.
2a. <o2p — 0, /p — 0,
_ | Ртах, еСЛИ
P1 ~ I Pmin, если
/а®2а>0,
/а®2а 0,
p2 безразлично.
26. <о2а = О, /о = 0,
Pj безразлично;
J Ртах» еСЛИ /(5®2р 0,
1 Pmin, еСЛИ /р®2($ 0 •
В обоих последних случаях можно, в частности, считать
р2 = рГ, тогда приходим к изотропному режиму упра-
вления.
Нужно подчеркнуть, что перечисленные варианты
дают описание оптимальных управлений в.предположе-
нии, что последние существуют. Тем не менее, получен-
ная информация несколько облегчает доказательство
существования: можно, очевидно, рассматривать только
неособый анизотропный режим и считать, что одно из
главных значений тензора р равно ртах, а другое pmta.
По существу роль управления сохраняется теперь только
за функцией у(х, у).
Вопрос о существовании оптимальной функции р рас-
сматривается в пп. 13, 16 этой главы,
146
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
9. Условие Вейерштрасса — Эрдманна
и условие Вейерштрасса в тензорном случае
Рассмотрим условие Вейерштрасса — Эрдманна
(В. — Э.), выполняющееся на линии Го раздела областей
с различными режимами управления по переменным pi,
р2, у. Считая эту линию достаточно гладкой, напишем
условие В. — Э. в форме (см. формулы (2.12)3 и (3.3)
гл. I)
ИЕ + «»,[< “О- Р-D
Производные ©к и ®2<, согласно (2.12)1 гл. I, непре-
рывны на линии Го, поэтому безразлично, с какой сто-
роны от Го берутся предельные значения этих произ-
водных.
Преобразуем (9.1), перейдя при помощи формул
типа (5.10), (5.11) к локальным декартовым координа-
там а, р, своим на каждой стороне Го; функцию VB бу-
дем считать непрерывной. Принимая во внимание непре-
рывность производных Иц, и пользуясь уравнениями
(5.5), (5.6), запишем условие (9.1) в форме
®2а/а COS2 0 + (О2р/р Sin2 0 + (р(/р2) Сд2р/а sin 0 COS 0 +
+ (P2/P1) ®2а/р Sin 0 cos 011 — [<£>2а/а sin2 0 + ©2р/р COS2 0 —
— ®2р/а sin 0 cos 0 — <B2a/g sin 0 cos 0]+ = 0. (9.2)
При дальнейших преобразованиях этого равенства
следует иметь в виду возможные различия между режи-
мами управления по разные стороны скачка. Рассмотрим
несколько возникающих здесь случаев, (la), (1а)—оба
режима неособые анизотропные; при этом
Р1+== Ртах» Р2+ == Pmin» Pl— == Prnlti» Р2—== Ртах» (9.3)
Пользуясь условием стационарности (4.8) для (+)
и (—) предельных значений, приведем (9.2) к форме
[cos20(/a©2e —/рш2э)]+ = 0. (9.4)
(1а), (16)—анизотропный и изотропный режимы; при
этом
Р14- === Ргпах» P2+ = Pniin, Р|— = Рз— = Ртах* (9*5)
9]
УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА - ЭРДМАННА
14?
Условие стационарности (5.8) эффективно только для
анизотропного режима, т. е. для (+) предельных зна-
чений; получаем
[cos 20 (fad)2a — /р®2₽)11 — sin 20_ (ja(o2|} + />2о)_ = 0- (9-6)
(16), (16) —оба режима изотропны. При этом
Р1 + == Р2+ = Ртах» Pl—= Р2—= Pmin* (9.7)
Условие (9.1) записывается в форме
[cos 20 (/аш2а — + [sin 20 (/а®2р + /₽®2а)]* = 0- (9-8)
Аналогичные формулы характеризуют линии раздела
неособых и особых режимов и т. д.
Соотношения (9.2), (9.4), (9.6) и т. д. должны быть
согласованы с условиями стационарности (5.5) — (5.9) и
с неравенствами Вейерштрасса (п. 8), которым удовле-
творяют предельные значения векторов / и grad со2. Тре-
бование, чтобы такое согласование имело место, вы-
деляет определенные сочетания предельных значений,
удовлетворяющие всем необходимым условиям мини-
мума.
Чтобы получить нужные соотношения, воспользуемся
формулами приложения, связывающими предельные зна-
чения составляющих векторов /+, /-, а также векторов
(grad (о2)+ и (grad со2)_.
Рассмотрим переход (la), (1а), определяемый (9.3).
Пользуясь упомянутыми формулами, составим равенство
(5.8) для (—) предельных значений; после преобразова-
ний, в ходе которых учитывается условие (5.8) для (+)
предельных значений, получим равенство
PmlnPmax # COS (0+ 6_) (/а(02а = 9,
а = Pmin sin 0_ cos 0+ — pmax cos 0_ sin 0+.
Из (9.9) следует, что возможны два случая: а = О
и (/aw2a — /р(02р)+ = 0 (случай cos (0+— 0_) — 0 три-
виален, так как отвечает отсутствию скачка). С другой
стороны, согласно условиям Вейерштрасса (п. 8), дол-
жны быть выполнены неравенства
(/a(d2a)+ 0» (/9> (/a^ha)- 9, (/^гр)— О*
(9.10)
(9.9)
148
Распределения сопротивления в канале мгд [Гл. Н
Вторую пару этих неравенств можно с учетом фор-
мул (21) приложения и условия (5.8) для (+) предель-
ных значений /, grad w2 преобразовать к виду
(/a®2a)+PmaxPniin COS^ (64. 0_) G2 (/g®2g)+ О,
(/fj®2p)+PmaxPniln COS^ (64. ““ 0_) 4~ О? (/'а®2а)—
Если а = 0, то эти неравенства совместны с первой
парой неравенств (9.10) лишь в случае, если (/ао)2а) + =
— (/3®2|з)+ = 0- Этот же результат получается и тогда,
когда (/а©2а — /₽®2р)+ — 0. Принимая во внимание фор-
мулу (5.8) для (+) предельных значений, заключаем,
что на линии раздела между неособыми анизотропными
режимами выполняются следующие условия:
либо / = /_ = 0, либо (grad со2)+ = (grad' <в2)_ = 0.
Рассмотрим переход (1а), (16) согласно (9.5). Дол-
жны иметь (п. 7)
(/а®2а)+>0. (/р®2₽)+<0, |
(/«)_ = Л«>2оЬ (/3)_ = F(<o2p)_, F>0. j (9Л2)
Если F > 0, то поступая, как при выводе соотношения
(9.9), получим равенство
Ртах Pmhi (/3^20)4. в
Сравнивая его с условием (5.8) для (+) предельных
значений, находим
(/а^2(з) -j. = (/^20)4. “ 0»
Отсюда следует, что либо (/|з)+ = 0, (<о20)+== 0,
либо (/а)+ = 0, (о)2а)+ = 0. Вторая возможность в со-
четании с условием (/з(о2р)+ 0 приводит к неравен-
ству (/роо2р)- < 0 (это нетрудно показать с помощью
формул (21) приложения). Последнее неравенство про-
тиворечит условию F 0 (если оставить в стороне три-
виальную возможность одновременного выполнения
условий (/з)+ = (со20)+ = 0).
Остается исследовать случай (/р) + = (со2|з)+ = 0-
Нетрудно видеть1), что соотношения (9.12) для (—)
9 См. формулы (21) приложения.
6]
УСЛОВИЕ ВЕЙЕРШТРАССА — ЭРДМАНЙА
14$
предельных значений при этом соблюдаются; по анало-
гии с предыдущим устанавливаем, что
(/а®2а)_ > (/fl) — :=:= (^2fl)_ === 0.
В результате оказывается, что векторы / и grad сог
при переходе из области изотропного режима управле-
ния в область неособого анизотропного режима не изме-
няются ни по величине, ни по направлению. Это осуще-
ствляется благодаря тому, что со стороны области
анизотропного режима упомянутые векторы имеют на
линии раздела общее направление с той главной осью,
вдоль которой удельное сопротивление остается таким
же, как в зоне изотропного режима (в данном случае
ртах) •
Рассмотрим переход (16), (16), согласно (9.7). Для
этого случая, принимая во внимание формулы (21)
приложения и условия Вейерштрасса, заключаем, что на
линии скачка должны соблюдаться равенства /+ = /_ =
= 0, либо равенства (grad со2)+ = (grad со2)_ = 0. Эти
условия не отличаются от соответствующих условий на
линии, разделяющей два неособых анизотропных ре-
жима !).
Аналогично получаются условия на линии раздела
неособых и особых режимов и т. д. Полученные резуль-
таты показывают, что во всех случаях наличия скачка
(например, в случаях (la), (1а); (16), (16)) согласован-
ные условия В. — Э. приводят к двум дополнительным
условиям на линии разрыва управления, так что задача
определения этой линии, как и ранее, остается переопре-
деленной. Случай (1а), (16) представляет известное
исключение: векторные линии /, grad со2 при этом непре-
рывны, и можно считать, что скачка тензора р не про-
исходит.
Тем не менее класс тензорных управлений примеча-
телен тем, что создает возможность изменения конфигу-
рации векторных линий / и grad со2 изменением угла у,
характеризующего, ориентацию главных осей симметрии-
*) Интересно сравнить эти условия с (согласованными между
собой) условиями Вейерштрасса и В. — Э. в задаче со скалярным
управлением (п. 4 этой главы). Как видим, условия согласования
в тензорном случае гораздо стеснительнее; это неудивительно, если
учесть тензорный характер вариаций.
150
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
ного тензора р. При этом можно допустить, что если
функция V(y)B(x) непрерывна, то оптимальное реше-
ние вовсе лишено каких-либо разрывов управления: не-
прерывное изменение у может привести к непрерывному
распределению векторных линий /, grad (о2, удовлетво-
ряющему почти всюду условиям Вейерштрасса. При
этом не возникнет необходимости прибегать к весьма
жестким, переопределяющим задачу условиям Вейер-
штрасса — Эрдманна.
Рассмотрим условие стационарности (5.8) по упра-
влению у. Считая режим управления анизотропным
(pi =/= рг), будем иметь
Pl/Ap + р2/з°>2а = °-
Переходя от главных осей а, 0 к декартовым координа-
там х, у (для этого нужно обратить формулы (5.10),
(5.11)), преобразуем это уравнение к виду
(Р1С2®2Х + Рг£‘®2») tg2 Y — (Pl + р2) (®2</$2 — ®2хС) tg Y —
— (Р1£‘ ®2у + Р2С2®2х) = 0. (9.13)
Условия Вейерштрасса (п. 8) позволяют дать пра-
вило выбора корней этого уравнения. Непосредственное
вычисление (см. приложение) показывает, что корню
(tg у) 1 (верхний знак в формуле для корней) соответ-
ствуют неравенства /асо2а 0, /0(о2р 0, а корню (tgу)2
(нижний знак в формуле для корней) — неравенства
/асо2а 0, /рсо2р 0. Согласно условиям Вейерштрасса
(П. 8), В ПерВОМ Случае ДОЛЖНЫ ВЗЯТЬ pi = ртах, р2 —
= pmin, И ВО ВТОрОМ Случае pi'— pmin, р2 = ртах-
Непосредственно проверяется, что при этих условиях
оба корня уравнения (9.13) определяют одну и ту же
пару главных осей. Это согласуется с тем, что уравне-
ние (9.13) инвариантно относительно замены tgy->
—ctg у, Pl -> р2, Р2 рь
10. Асимптотический случай Ртах—*00
В этом и нескольких последующих пунктах рассма-
тривается случай, когда верхний предел ртах в неравен-
ствах (3.27) равен бесконечности. Будут построены
асимптотические уравнения, описывающие оптимальный
режим, и будет дана характеристика некоторых основ-
ных свойств оптимального управдения.
10]
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ pmax-»oe
151
Предположим, что ргпах -»оо при фиксированном
Ртш>0- Корень (tg у) i уравнения (9.13) при этом
стремится к *)
,, . ( (®2г,/<о2х)о> если (/, grad®2)0> о, 1/1п
g Y)o — | _ gi/g2jo> если grad O2)o < o. P
Отсюда видно, что главные оси тензора р в пределе
ориентируются так, что либо вектор grad со2 оказывается
параллельным тому главному направлению, которому
отвечает главное значение ртах = оо, либо вектор / ока-
зывается параллельным главному направлению рт1п.
Естественно ожидать, что для первого из этих случаев
в пределе будет (/, grad со2) = 0, так как вектор / не
может иметь составляющей в том главном направлении,
которому соответствует бесконечно большое сопротив-
ление (в дальнейшем это утверждение будет доказано).
Поэтому вместо первого из неравенств (10.1) следует
взять (/, grad (о2) = 0.
Вторая возможность характеризуется тем, что ска-
лярное произведение (/, gradco2), вообще говоря, отлич-
но от нуля и отрицательно. В этом нетрудно убедиться,
если вспомнить интерпретацию — grad со2 как вектора
напряженности фиктивного электрического поля в за-
даче для сопряженных переменных (п. 5). Если вектор /
(плотность тока) в пределе имеет только составляющую
вдоль главного направления pmin, то вектор — grad со2
(напряженность электрического поля) имеет, вообще го-
воря, составляющие по обоим главным направлениям * 2).
Поэтому во второй строке (10.1) в общем случае фигу-
рирует неравенство.
4) Подчеркнем, что речь идет о предельном переходе по пара-
метру ц = pmin/pmax, входящему явно в уравнение (9.13); вели-
чины £*, £2, со2х, (о2!/, входящие в это уравнение (и в (10.1)), зави-
сят от ц. Это обстоятельство отражено в обозначении (*)0.
2) Может показаться, что это утверждение находится в проти-
воречии с формулой (3.25), согласно которой векторы / и grad юг
антипараллельны в оптимальном режиме ртах = Противоречие,
однако, только кажущееся, так как формула (3.25) несправедлива
в тензорном оптимальном режиме. Можно избежать различия в фор-
мулах, если ввести вектор k = (—coiy, coix)—вектор фиктивной плот-
ности тока в задаче о сопряженных переменных. В оптимальном
режиме ртах = оо векторы j и k оказываются параллельными; для
скалярного случая это следует из формул (3.4) гл. I и (3.25) гл. II,
а для тензорного — из формул (12.1) и (12.19) гл. II (см. ниже).
152
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
11. Асимптотическая форма уравнений
оптимального режима
Особенность этих уравнений заключается в том, что
они имеют разный вид в тех частях области G, где зна-
ки скалярного произведения (/, gradco2) различны. Про-
цессы в канале описываются системой (4.2) или, что то
же, системой
4=р^-РхЛ ^=pj,x4“pw4 + c'1FB’ <lL1)
к которой присоединяются уравнения для сопряженных
переменных (см. (5.5), (5.6), (3.26))
Р1Р2®1Х = Рхх®2у> Р1Р2®1у = Руу®2х, Рух®2у (1 1 *2)
Разыскивая асимптотическое решение, будем предпо-
лагать, что при ртах—► °° величины 2^, .<02?/ стре-
мятся к конечным ненулевым предельным значениям.
Положим
tg Y = (tg Y)o + + О (ц2). (11.3)
Это соотношение представляет собой разложение по
степеням параметра ц корня уравнения (9.13); разложе-
ние ведется по параметру ц = pmin/pmax, входящему
явно1) в коэффициенты (9.13).
Поэтому, например,
(tg у)о ¥= tg уо, но (tg Уо) —» tg уо при ц-*0.
Для cos2y, sin2y получаются разложения
cos 2у =
= (cos 2у)0 — m (sin 2у)0 [ 1 4- (cos 2у)0] ц 4- О (ц2), (11.4)
sin 2у =
= (sin 2у)0 4- т (cos 2у)0 [ 1 4- (cos 2у)0] ц 4- О (ц2). (11.5)
Необходимость удержания слагаемых порядка р в
этих формулах диктуется структурой уравнений (11.1),
(11.2). В связи с этим нужно отметить, что, согласно
сделанному выше замечанию, величины (cos2y)0,
(sin 2у)о тоже разлагаются в ряды вида
(cos 2у)0 = cos 2уо+ О (р), (sin 2у)0 = sin 2у0+ О (р). (11.6)
1) См. сноску на стр. 151,
Н]
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
153
При вычислении значений (tg у)0 и т нужно поль-
зоваться первой формулой (10.1) для тех точек, где
(/, grad(o2)o>0, и второй формулой для тех точек,
где (/, grad 0)2)0 <0. После несложных выкладок по-
лучаем:
для области, где (/, grad ю2)о < 0,
4 __ (srad z^2 (srad ю2» Srad z2)
4’ m Ь4-«>2х4)(4)2
(H.7)
для области, где (/, grad ®2)о > 0,
<О2!/ (grad о2)2 (grad <о2, grad z2)
(tg Y)o =----. т = ——-2--------------2s 2 -. (11.8)
®2х \®2yZx - ®2xzy) (®2х)
Теперь не составляет труда написать искомые асим-
птотические уравнения. Рассмотрим случай (/,
grado)2)o<0. Подставим разложения (11.4), (11.5) в
уравнения (11.1), не переходя при этом к рядам типа
(11.6) для (cos2y)o, (sin2y)o и к соответствующим раз-
ложениям для 4, ..., o)2z/. Учитывая формулы (11.7),
обнаружим, что коэффициенты при ртах в правых ча-
стях уравнений (11.1) тождественно обращаются в нуль.
В оставшихся слагаемых можно перейти к пределу
ц = 0; при этом величины zlx, ..., а)2у примут соответ-
ствующие предельные значения, которые по-прежнему
обозначим через zx, со2^. Что касается уравнений
(11.2), то коэффициенты при pi = pmax в их правых ча-
стях не равны нулю; разделив обе части каждого из
этих уравнений на рШах, перейдем к пределу р = 0. В ре-
зультате получим уравнения, описывающие оптималь-
ный процесс в области (/, grad со2) < 0:
Zx = Pmin2* + PmiXK» 4 = - Pmfnz2 + Pmlng2/< + C~'VB,
(H.9)
pmin®lx = - Z‘.
,2 ®2yzx ®2xzy
'x (grad г2)2
_ 2 <»2yzx ~ ®2xz<y
*y (gradz2)2
(11.10)
154
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
Для области, где (/, grad ®2)о > 0» получаются уравнен-ия
2 2
%х == (grad СО2)2 (Pmax®2% 2pmin(O2^/’C 4" Pmln®2x^2)»
(H.ll)
2 2
С02uzx 02x2v
Zy = (grad co2)2 (Pmax®2# 2pmln(02x/< 4~ Pmln&^K ) 4“
+ c^VBt ’
Pmax^lx === ®2y 4“ ^®2%> Pmax®l# == 4“ K^2y
(П.12)
В этих формулах введено обозначение
(IL13)
®2Угх - a2xzy
Из уравнений (11.11), (11.12) следует, в частности, что
(/, grad (о2) -* 0 при ртах -* оо (см. замечание после
формулы (10.1)).
12. Асимптотическое решение в области (/, grad w2) <0
Рассмотрим подробнее уравнения (11.9), (11.10).
Последняя пара уравнений показывает, что
z2-=hM, (12.1)
где /г(а>1)—произвольная функция. Уравнения (11.10)
эквивалентны системе
®2х == Pmin (®\у ®1хА), ®2# =г Pmin (®lx “1“ ®1^А). (12.2)
Совокупность уравнений (11.9), (12.2) и (11.13) мо-
жно получить более простым путем. Предположим с са-
мого начала, что pi — pmax = оо, р2 = pmta. Основные
уравнения задачи запишутся тогда в форме
0 — z2 cos у — z2x sin у,
z'y cos у — z[x sin у —
e — Pmin (4 sin Y + z2x cos y) + c-1 VB cos y.
(12.3)
Первое из этих уравнений выражает равенство нулю
составляющей вектора / по оси a(pi = оо), а второе —
12]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ (/. grad ®2) < О
156
дифференциальный закон Ома в направлении оси
р (р2 = pmin) •
Эквивалентная запись системы (12.3) получится,
если к уравнению
£
tgY----f- (12.4)
zx
присоединить систему
zl = РтЛ + Pining < = ~ Pmin4 + Pmin2^ + C~'VB'
(12.5)
в которой К означает пока произвольную функцию.
Будем трактовать эту функцию формально как уп-
равление и поставим для системы (12.5) первоначаль-
ную оптимальную задачу (см. п. 4). Сопряженная си-
стема имеет вид
®2х = Рт1п(®1г, — &1ХК), (i>2y = — Pmln(®lx + ®цД), (12.6)
а условие стационарности по управлению К приводит к
равенству
г2 = /г(Ф1). (12.7)
Уравнения (12.5), (12.6), (12.7) совпадают с уравне-
ниями (11.9), (12.2) и (11.13), что и требовалось дока-
зать *)•
Систему (11.9), (12.2) и (11.13) можно представить
в более удобной форме. Для этого исключим функцию
z2 из (11.9) при помощи (12.1); будем иметь
4 “РпвЛ'(«!,)(«>,, +“.Л).
4=р„,Л (»,) («, ,к - J + o-'vb. <12'8)
Исключение функции г1 из этой системы приводит к ра-
венству
/г'(®1)1Д®1 + ®иЛу —®цДх] + h" (о,) (grad ®j)2 =
= (cpmIn)"'lzBxW. (12.9)
9 Изложенный вывод приводит к уравнениям (11.9), (12.2) и
(11.13), а не к уравнениям (11.11), (11.12), (11.13), поскольку из
последней тройки уравнений вытекает, что при ртах->оо
®2х">0> 2х"*0> 2»“>0-
156
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
С другой стороны, система (12.2) порождает уравне-
ние
Д(0|=== (о^Д^ aiyKx. (12.10)
Это уравнение вместе с (12.9) приводит к соотношению
2ft'(®1)A«>I + ft"(®1)(grad®1)2 = (cpniln)-1 VBx(x). (12.11)
Если функция h(gji) известна, то уравнения (12.10)
и (12.11) вместе с соответствующими граничными усло-
виями определяют функции ац и К.
Рассмотрим граничные условия на электродах. Тре-
бования
ZX = Zl±, (O2 = (O2± при I X I < Л, у— ±6
приводят к формулам (см. (12.2) и (12.8))
h! («1) (о) 1 у + <о1х/() = 0, со1г/ — Л = 0,
справедливым вдоль электродов. Отбрасывая тривиаль-
ную, возможность Az(cc>i) = 0 (это означало бы, в част-
ности, что на электродах /^ = 0), заключаем отсюда,
что вдоль электродов
О1^=:0, 7< = 0. (12.12)
Таким образом, линии, тока / (а вместе с ними и
главные направления Р) должны быть нормальны к
электродам. Соображения симметрии показывают, что
формулы (12.12) справедливы и вдоль оси х.
Изолирующие стенки канала суть линии тока /; это
обстоятельство выражается равенствами (3.5) гл. I.
Симметрия задачи показывает, что отрезок АА (см.
рис. 8) также есть линия тока; если
©1 = ©I- вдоль В'С'С'В'ь
= вдоль ВССВ,
то
©1 =у(о1++ ©!-) вдоль АА. (12.14)
Остается написать условия, связывающие значения
функций (01 и /г(со1) с параметрами внешней цепи. Эти
(12.13)
12)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ (/, grad (»,) < О
157
условия имеют вид (см. формулы (3.5) гл. I и (2.5))
zl+ — z'_ = R (z2+ — zl),
®2+ ~ ®2- + 1 ~ R (®1+ —
(12.15)
Для преобразования последних двух равенств вое
пользуемся формулами (12.2), (12.8) и (12.14). Рассмо
трим линию тока L(®i = const), соединяющую элек-
троды (рис. 18), и вычислим
линейный интеграл *)
J a2xdx + &2ydy,
L (0U
взятый вдоль этой линии
тока. Принимая во внимание
(12.2), найдем
/ ®2х dx + <&2у dy =
= Pmin J ®{у dx —» dy.
L(tth)
Подставляя этот результат во второе равенство
(12.15), получим
Pmin / G>iydx— fi>udl/=»7?(©1+ — ©!-) — 1.
LM
(12.16)
Совершенно так же, пользуясь уравнениями (12.8),
придем к формуле
PminA'(®i) / olydx — <alxdy =
= 7? [h (©1+)- h (©!_)] J VBdy. (12.17)
4) Предполагается, что существуют непрерывные линии уровня
функции 01 (х,у). В п. 16 этой главы существование таких линий
будет доказано.
158
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Сравнение (12.16) и (12.17) приводит к формуле
= Л-) - ! М I*
I L (®[)
^(01 + ,
(12.18)
определяющей функцию A(o>i) неявным образом. Если
к условию (12.18) присоединить равенство (12.16), взя-
тое для значения параметра1) coi = */2(0)1+ + coi—), то
в совокупности с остальными граничными условиями
будем иметь полную систему соотношений, которые вме-
сте с уравнениями (12.11) и (12.10) определяют функ-
ции (01 и К-
Исходное требование (/, grad 0)2)0 0 в пределе пе-
реходит в неравенство (/, grad со2) 0; из формул
(12.1) и (12.2) следует эквивалентное неравенство
^(<01)^0, (Oj е[<0!_, со1+]. (12.19)
4) Если условие (12.18) выполнено, то равенство (12.16) доста-
точно взять лишь при одном значении параметра coi (например,
coi = (1/2) (соц- + (di-)), поскольку справедливость его для других
значений параметра вытекает тогда автоматически.
Для доказательства проинтегрируем обе части уравнения
(12.11) по области S, ограниченной двумя линиями тока (см.
рис. 18)
Lo (®i = (1/2) (<о1+ + м,_)), £] (<о1 = <о?),
(1/2) (ш1+ 4- «•,_)< «? < <01+,
и двумя отрезками электродов; пользуясь (12.18) и условием (12.16),
взятым при значении параметра (0j = (1/2) (соц. 4-(0j_), представим
результат в виде
и [*’«)+ h' (©j)] Aco^x dy,
s
Это равенство справедливо для любой области S указанного выше
типа; отсюда следует, что подынтегральная функция последнего
интеграла допускает представление
причем функции и обращается в нуль на электродах. Отсюда уже
легко получается желаемый результат.
121
асимптотическое рёшение при </, grad mj < о
150
Нужно отметить, что при поставленных условиях
функция g>i не принимает в области G значений, лежа-
щих вне промежутка [он—, ®1+].
В самом деле, предположим, что среди линий уровня
имеются замкнутые линии (рис. 19). Тогда линиям abef
и bedc соответствует одно и то же значение ®i = соц..
Для линии abef справедливо равенство (12.17); поль-
зуясь однозначностью потенциала z1 (х, у) и рассуждая, /
как при выводе (12.17), получаем равенство
Рт1пЛ'(<»1+) у ®и,dx — dy + у c~iVBdy = 0.
bcdeb bcdeb
С другой стороны, формула, аналогичная (12.16), а
именно
Pmin $ <i>\ydx — alxdy = (B2x dx + <л2у dy,
bcdeb bcdeb
показывает, что интеграл (j) <aiydx— <Aixdy может от-
bcdeb
личаться от нуля только тогда, когда сог (х, у) —много-
значная функция. Но это невозможно, так как интегра-
лы | d(o2 и J d<n2 равны каждый одной и той же ве-
abef abcdef
личине W2+— ©2— Поэтому интеграл (&lydx — <i)lxdy
bcdeb
160
Распределения сопротивления в канале мгд [гл. н
равен нулю, а вместе с ним равен нулю и интеграл
(j) VBdy, что противоречиво при сделанных предполо-
bcdeb
жениях о функциях V (у) и В(х).
Если рассматриваются линии тока, расположенные
целиком в зоне постоянства функции В(х), то доказа-
тельство несколько изменяется. Проще всего перейти
к новой зависимой переменной f по формуле (12.25)
(см. ниже); эта переменная удовлетворяет уравнению
(12.27), которое в области В(х)= const переходит в
уравнение Лапласа. Отсюда следует, что линии уровня
функции <В1, а, значит, и функции z2 не имеют замкну-
тых петель внутри области, т. е. соединяют электроды,
что и требовалось доказать.
Для других вариантов расположения замкнутых ли-
ний уровня доказательство проводится аналогично. Та-
ким образом, все линии уровня coi соединяют электроды.
Это важное заключение понадобится нам впоследствии.
Суммируя сказанное, приходим к следующей задаче.
Задача А. Определить функцию ан (х, у), удовле-
творяющую уравнению (12.12) при граничных условиях
(12.12), (12.13), условии
в
— Pmin J ®lx(0, y)dy — R(<i>i+ — fi>i_)— 1 (12.20)
-6
и дополнительном требовании (12.18), которое вместе
с неравенством (12.19) задает функцию й(а>1). Интеграл
в правой части (12.18) берется вдоль линии тока L(a>i),
соответствующей тому значению параметра coi = const,
который служит аргументом функции й'(®1) в левой ча-
сти этого равенства. Линии тока он = ац+, он — ан- яв-
ляются критическими: вдоль этих линий функция 4'(©i)
принимает значение нуль.
После того как найдена функция ан (х, у), уравнение
(12.10) вместе с условием Коши К(х, ±д)||А.|<х = 0
(см. (12.12)) определит функцию К.
Если функция В(х) на некотором интервале значе-
ний аргумента сохраняет постоянное значение Во, то за-
дача допускает известное упрощение.
121
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ (/, grad со,) < О
161
Рассмотрим линии тока L, целиком лежащие в той
части области, где выполнено условие В(х) = Во =
== const. Формула (12.18) показывает, что на этих ли-
ниях тока функция Л'(<л>1) принимает одно и то же по-
стоянное значение1)» уравнение (12.11) в соответствую-
щей области сводится к уравнению Лапласа. Но тогда
уравнение (12.10) допускает интеграл
K = (12.21)
где В(со1)—произвольная функция. Так как область
В(х) = BQ = const захватывает электроды (рис. 20),
вдоль которых К = 0, то в (12.21) следует положить
F ~ 0, т. е. К = 0.
Этот результат показывает, что в области, занятой
линиями тока, целиком расположенными в зоне В(х) =
= BQ — const, оптимальное управление изотропно и
равно pmin = const. Анизотропия управления характе-
ризуется ненулевыми значениями функции К\ управле-
ние анизотропно там, где проходят линии тока, хотя бы
некоторой (сколь угодной малой) своей частью лежа-
щие в зоне В(х) #= const. На рис. 20 выделена линия
тока, разделяющая области изотропного и анизотроп-
ного режима управления. Линии тока ВССВ и В'С'С'В'
являются критическими.
*) Формула (12.18) применима к таким линиям тока, поскольку
эти линии соединяют электроды.
6 К. А. Лхрье
162
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Предположение о существовании критических линий
тока подтверждается исследованием формулы (12.18).
Первый множитель, стоящий в правой части этого ра-
венства, всегда отрицателен (доказательство: умножим
обе части уравнения (12.10) на <x>i и проинтегрируем, по
области ССС'С' (рис. 20); интеграл от правой части ра-
вен нулю в силу краевых условий (12.12) и того обстоя-
тельства, что вдоль СС и С'С' ©! = со1± = const; при-
равнивая нулю интеграл от левой части, получаем (см.
(12.16))
(СО|+— ®!_)[1— Я(со|+— <0l_)] = pmln j j (grad atfdxdy.
G
Отсюда следует, что — coi- > 0 и одновременно
1 —— g)j_) >0, что и требовалось доказать)1).
Применяя только что приведенное рассуждение к об-
ласти, заключенной между двумя линиями Л, (со, = со®) и
= со}) (см. рис. 18), и пользуясь замечанием на
стр. 158 (сноска) и неравенством 1—/?(coi+ — coi—) > 0,
обнаружим, что всегда coj > со^, т. е. функция <x>i возра-
стает с перемещением от линии тока к линии тока слева
направо.
Знак второго множителя в правой части (12.18) за-
висит от выбора линии тока L. Пусть функция В(х) за-
дается графиком рис. 20, а V = V(y). Если линия тока
расположена целиком в зоне, где В(х) — BQ — const, то
выражение в фигурных скобках в (12.18) отрицательно
(ясно, что слагаемое /?[/i(coi+)—/i(coi-)] не превосхо-
6
дит (T'Bq j V (y)dy> если график В(х) задается рис. 20,
-6
так как это слагаемое не превышает упомянутого выра-
жения даже тогда, когда В(х) = Во повсюду в канале).
Если же допустить, что линия тока, соединяющая со-
гласно предположению электроды, лежит значительной
своей частью в области В(х) = 0, то выражение в фи-
гурной скобке в (12.18) положительно. Этот последний
!) Другой способ доказательства основан на использовании
уравнения (12.11) с учетом (12.18) и (12.16).
12] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ (/, grad со>) < О 163
вариант должен быть отброшен как противоречащий не-
равенству (12.19). Отсюда следует, что в пределах при-
нятой схемы линии тока не проникают достаточно да-
леко в зону спадания поля В(х), и возможен случай,
когда вся занятая токами область ограничена критиче-
скими линиями тока ВССВ и В'С'С'В' (вдоль которых
ftz(<oi) = 0) и электродами. Примечательно, что распре-
деление удельного сопротивления за пределами этой об-
ласти для нас несущественно, так как условие h'(<x>i) —
= 0 на критической линии тока достаточно для опреде-
ления этой линии независимо от того, что происходит
по другую ее сторону. Ничто не мешает, например, счи-
тать, что канал вне области ССС'С' заполнен однород-
ным изотропным изолятором р = оо, так что токи вне
области ССС'С' вообще отсутствуют.
Уравнение (12.11) имеет коэффициент при главной
части, обращающийся в нуль на критических линиях
тока. В достаточной близости от этих линий управление
всегда анизотропно, так как критические линии необхо-
димо выходят за пределы зоны В(х) — Во = const. По-
добные малые окрестности не являются, однако, обла-
стями быстрого изменения coi. Производные coix, coiy при-
нимают вдоль критических линий конечные значения
(это следует из (12.16) и сноски на стр. 158, либо из
(12.17) с учетом того, что на критических линиях обра-
щаются в нуль множитель h'(<x>i) и выражение в правой
части).
Приведенные рассуждения нельзя, разумеется, счи-
тать доказательством существования решения задачи А.
Такое доказательство будет дано ниже; предварительно
укажем другую, более удобную формулировку этой за-
дачи.
Поскольку В(х)—четная функция, функцию Л(со1)
можно (см. (12.18)) считать нечетной функцией от х;
первая производная ЛЛ(<х>1) тогда будет четна по х, а
вторая производная //'(ап)—нечетна. При этом coi —
нечетная функция от х, и вместо области ССС'С' (см.
рис. 8) можно рассматривать ее правую половину
СВААВС\ границу АА этой новой области можно счи-
тать изолятором, вдоль которого (ср. 12.14))
= 0.
(12.22)
6*
164
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Интегрируя теперь (12.18) по ан от нуля до соц., по-
лучим (L(оси) обозначает линию тока с параметром oi)
/ = 2с-‘ J dco, j VBdy, (12.23)
О L (»!)
A'(®1)
1
с (1 — 27?й>1+)
“1+
J VBdy—2R,[ d®{ J VBdy .
L 0 L (0),)
(12.24)
Пользуясь условием .Вейерштрасса h' (coi) 0, введем
функцию f(coi) уравнением1)
/'(«,)=/F(<0,).
(12.25)
Будем рассматривать функцию f как новую зависи-
мую переменную; можно считать, что (см. рис. 8)
f = 0 вдоль АА, 1
. . (12.26)
/~/ + вдоль ВССВ. J
Принимая во внимание равенство
А/ = Vh'ifdj) Acd( + —(grad «J2,
ЧУ h (со,)
представим уравнение (12.11) в форме
Af- («>,) И-|Д|М' <|2-27>
где Г(®1) следует исключить с помощью (12.25), (12.24)
(связь между постоянными ©i+ и f+ найдется из соответ-
ствия между граничными условиями (12.13)2, (12.22) и
(12.26) при интегрировании (12.25)). Граничное усло-
вие для f на электродах имеет вид
fy = 0-, (12.28)
условия на изоляторах даются равенствами (12.26), где
*) Штрих по-прежнему обозначает производную по он.
12]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ (/, grad со2) < О
165
постоянная f+ определяется из условия (12.20), которое
теперь имеет вид
Pmin j fn(x, у) dt = f' (®1+)(1 — 2/?®1+), (12.29)
4“i+)
причем необходимо учесть (12.24) и (12.25) и сделан-
ное выше замечание о связи между f+ и coi+.
На критической линии f — f+t как это следует из
(12.25),
Г(01+) = О. (12,30)
При исследовании поставленной задачи можно без по-
тери общности считать R — 0. Действительно, вводя
функцию
°>i +
2/? j dco, j VB dy
B(x) = B(x)------°-------------- (12.31)
J Vdy
L <CD1>
и полагая
f=/l-27?®1+f, (12.32)
получим для определения f(x9y) краевую задачу, сов-
падающую с задачей (12.24) — (12.30), если в этой по-
следней заменить В(х) на В(х) и считать R = 0. Разу-
меется, сказанное справедливо лишь при условии, что
В(х) 0 повсюду'в канале.
При сделанных выше предположениях о функциях
В(х), V (у) ио характере линий тока L функции В(х) и
В(х) отличаются на постоянное слагаемое (обозначим
его — Ь). Если, вычисляя это слагаемое по формуле
(12.31), заменить В(л) на Во = const, а линии тока L
оставить неизменными, то упомянутое слагаемое не уве-
личится; будем иметь (рис. 21)
В(х < r2)>B0(l — 2R(0i+) > 0,
так как выражение в квадратных скобках по доказан-
ному ранее положительно и не i ревышает единицы.
С другой стороны, при достаточно больших х функция
166
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
В(х) сохраняет отрицательное постоянное значение—&,
так что в целом В(х) задается графиком типа рис. 21.
Переход R->0 оставляет инвариантными как
линии тока /, так и оптимальное значение функцио-
нала /. Докажем последнее утверждение. Полагая
В^В + Ь (12.33)
и принимая во внимание (12.31), после несложного вы-
числения найдем
<о1 +
2/? j d®} J VB dy
£ __ 0______L (toi)___
(1-2£ш1+) J V dy
L («>|)
С другой стороны, согласно (12.24), (12.25), (12.31),
(12.32)
. df Kl-2J?®I+rf) (1-2/?®1+)df
I L (Л J . L C L (f,
(12.34)
Интегрируя это равенство, получаем
1?]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ (/, grad й2) < 0
167
Отсюда следует
1 — 2/?<й1+ = 1+2от7?
и (см. (12.34), (12.35))
В дальнейшем для упрощения выкладок будем счи-
тать V = const. Введем безразмерные переменные (по-
стоянную В° пока не фиксируем)
х = Лх, у = Ху, f= -—-F=-
Pmin У с
в = в°в, в=в°ё, ь^в°ь,
УВ°Х -J
cPmin
7? == Pmln^>
(12.35)
и пусть 7 (В,/?)_—оптимальное значение 7, соответ-
ствующее полю В к нагрузке R,
Формула для b приобретает вид
и _ г_____________________
& = Щ dfi/ / Bdy = |7(B, 0)^4-
0 ' nb
где приняты во внимание формулы (12.23) — (12.25), в
которых следует считать В — В, В =0.
С другой стороны, непосредственно из (12.31),
(12.33) и (12.23) следует равенство
b = ±T(B,R)R±.
Сравнивая эту формулу с предыдущей, получаем
Т(В, 0) = Т(В, R),
что и требовалось доказать.
При заданной функции В(х) и фиксированных раз-
мерах канала условие В(х) 0 ограничивает сверху
значения R, для которых переход (В, R) —► (В, 0) обла-
168
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ в КАНАЛЕ МЁД [ГЛ. И
дает указанным свойством инвариантности. Проиллю-
стрируем сказанное на примере канала, не имеющего
горизонтальных участков изолирующих стенок (на
рис. 22 канал ограничен сле-
ва и справа соответственно
изоляторами АА и СС, а
сверху и снизу — электро-
дами ЛС).
Нетрудно проверить, что
функция
(х) = 2 (/? 4- pmin6A) Т =
X
=®1+т
удовлетворяет уравнению (12.11) при
А'(®1) =
__ 2У6 7? Pmin^M
с Pmin^M
А,
B(x)-2R^- j В (x) dx
о
(12.36)
а также краевым условиям (12.12) i и (12.20) при
oj (0) = 0, cpi+ = —<oi—. Единственная «/-составляющая
вектора j равна
а функционал I дается формулой
л
к ®1+ Y J B(x)dx
I - 2 f I, dx = 2 / h'(«,,)<«»,=- • (12,37)
о о
Если теперь принять во внимание равенство
1 — 27?<о1+
Pmin^A
7? + Pmin^A
то нетрудно заметить, что выражение (12.37) не изме-
нится, если положить в знаменателе R = 0, а вместо
12]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ {/, grad (В2) < О
169
5(х) взять функцию (см. 12.31))
л
В(х) = В(х)-2/?-^Ц±- [ В (x)dx.
Л J
о
Таким образом, имеет место инвариантность функ-
ционала I при замене (В, R) -» (В, 0).
С другой стороны, выражение (12.37) представляет
оптимальное значение функционала /, если h'fai) :> 0
повсюду в канале, т. е. если jy 0 или
В (г)
ртг-- 4- f5 (*)dx > °;
А + PminOM Л J
0
выше указывалось, что инвариантность (В, R) (В, 0)
имеет место только при соблюдении этого условия.
При заданной (отличной от постоянной) функции
В(х) (типа рис. 10) и при известных X, 6, pmin последнее
неравенство ограничивает сверху параметр R: R Во,
где Во определяется из условия
л
В W - Р Л/1 4- ( В wdx = °-
АО + PminO/X Л J
0
Если R > Во, то значение (12.37) функционала не
является оптимальным, так как условие h'(coi) 0 на-
рушается для значений соц достаточно близких к соц.
(или для значений х, достаточно близких к X). Чтобы
это условие было выполнено повсюду в канале, нужно,
очевидно, уменьшить X; для всякого заданного Bi > Во
можно указать такое Xi, что канал с X < Xi будет опти-
мальным и соответствующее значение / будет даваться
формулой (12.37); это значение Xi найдется из условия
о
или, что то же самое, из условия Б (Xi) = 0.
Это рассуждение показывает, что канал заданной
Длины Хс может оказаться неоптимальным для пары
170
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
В(х), R, если параметр R достаточно велик. Непосред-
ственная проверка оптимальности (т. е. неравенства
0 для пары В(х), R) затруднительна, гак как
она требует вычисления правой части (12.24) (это легко
выполняется только в разобранном выше одномерном
случае). Гораздо проще, имея функцию В(х), задать по-
стоянное значение b > 0 (см. (12.33)), такое, что нера-
венство В = В — b 0 не нарушается нигде в канале,
и пользуясь упомянутой выше инвариантностью опти-
мального значения тока при переходе (В, R) -* (б, 0),
вычислить это значение для пары (В, 0). Соответствую-
щее сопротивление R найдется тогда по формуле
с! (В, 0) ’
легко следующей из (12.23), (12.31) и (12.33).
Задавая различные Ь, получим (инвариантность!) по-
следовательность оптимальных значений /, соответст-
вующих значениям R, найденным по последней формуле.
Если брать возрастающую последовательность постоян-
ных Ь, то для некоторого b = bQ=B(xc) разность В~—Ь
обратится в нуль на конце канала х = хс (напоминаем,
что функция В(х) задается графиком типа рис. 20, при-
чем возможен случай, когда х2 > хс); соответствующее
значение R, равное /?о, ограничивает сверху множество
значений R таких, что для пары В(х), R канал длины
хс может быть оптимальным, т. е. условие (coi) 0
выполняется повсюду в канале. Для R > RQ нужно
взять канал меньшей длины и повторить для него опи-
санную процедуру, и т. д. Пример такого расчета будет
приведен в п. 15 этой главы.
Учитывая сделанные замечания и изменяя при необ-
ходимости длину канала, в дальнейшем будем рассма-
тривать задачу (12.24) —(12.30) при R = 0, В(х) > 0.
Уравнение (12.27) записывается тогда в форме (вместо
В пишем f, В)
VB, is)
VB dy
= 0,
(12.38)
13] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 171
а граничное условие (12.2-9) принимает вид
pmln j* fn(x, y)dt = 1/ У J VBdy. (12.39)
ЧЧ) * ЧЧ)
В этих формулах введена новая парметризация L(f)
семейства линий тока.
Уравнение (12.38) интегрируется в области СВААВС
(см. рис. 8) при краевых условиях (12.26), (12.28),
(12.39) и условии (см. (12.30))
j VBdy — 0, (12.40)
ЧМ
служащем для определения критической линии тока. Так
поставленную задачу назовем задачей Б.
Функционал / при R = 0 оказывается равным (см.
(12.23) —(12.25))
. • ’+
/ = 2с~1/2| df( jVBdy}'12. (12.41)
0 (tl /
13. Дальнейшее исследование асимптотического случая:
вопросы существования решения
Прежде чем перейти к вопросу о существовании ре-
шения задачи Б для прямоугольной области КВААВК
(рис. 23), заметим, что оператор М, определяемый фор-
мулой (12.38), является потенциальным оператором на
множестве дважды непрерывно дифференцируемых
функций, удовлетворяющих краевым условиям (12.26),
(12.28) и (12.39). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
уравнение в вариациях, соответствующее (12.38). Это
уравнение выведено в приложении А6 (формулы (27),
(29)); оно имеет вид
~^fp-
4£2Pmin
v(yP)BAxP)
3/2
С-' [ VBdy
L (fl
X / V (yM) Bx (xM) ~M dtM = 0. (13.1)
IU) n M
172
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
Здесь 8fP обозначает вариацию в точке Р; инте-
грирования совершаются по линии тока L(f), проходя-
щей через точку Р; М обозначает точку интегрирования,
а. (1п)м — значение производной от f по нормали к ли-
нии тока в точке М (см. рис. 61 приложения). Условию
(12.39) соответствует условие для вариации (формулы
(31), (32) приложения)
J Щм)пМм = 0. . (13.2)
L ф
В приложении показано, что в этом равенстве инте-
грирование можно производить вдоль любой линии тока
семейства L(f). Левая часть (13.1) определяет линей-
ный оператор (обозначим его через DM/), который бу-
дем рассматривать на функциях, удовлетворяющих ус-
ловию (13.2) на ВССВ и краевым условиям
6/ = О вдоль • Л4, 1
Sf — Sf+ = const вдоль ВССВ, J (13.3)
dfy — O вдоль электродов АВ. (13.4)
Заметим, что линия ВССВ, ограничивающая область
справа (см. рис. 23), пока не предполагается критиче-
ской (х2 > хс); это предположение будет сохранено до
конца настоящего пункта !).
*) Рис. 23 иллюстрирует случай хг < хс.
|3] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: существование решения 173
Условия (13.3), (13.4) получены путем варьирования
условий (12.26), (12.28).
Определенный таким образом оператор DMf симме-
тричен для всякого /, т. е. удовлетворяет условию
j J v DMfU dxdy — | j и DMfV dx dy. (13.5)
G G
Для доказательства вычислим левую часть
р
G
I J "O
G
G
G
Bx (xp) up dxp dyp
4c2Pmin c-1 VB dy L (f) 3/2
L (Г)
л/ I
T
vpV (Up) Bx (xp) dxp dyp f
3/2 J
L(f)
4£2Pmin
J
L(f)
uM dtM>
M
(13.6)
Второе слагаемое правой части (13.6) симметрично
относительно и, и; преобразуем первое и третье слагае-
мые. Имеем
vpkup dxPdyP= § vP-^-dt —
G^ Г
— J J (grad vPi grad uP) dxP dyP =
g
= — J J (grad Up, grad uP) dxP dyP (13.7)
G
(последнее — в силу краевых условий (13.2) — (13.4),
которым удовлетворяют функции w, и). В третьем сла-
гаемом правой части (13.6) перейдем во внешнем инте-
грировании к криволинейным координатам f, q\ элемент
площади в этих координатах равен {dt = Hqdq)
и и .г . df dt df dt
H= ТСГ
174
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД (ГЛ. II
(последнее — в силу монотонного роста f по п (См. вы-
ше)). Будем иметь
'+
v (Ур) ВХ (хр) dxp аУр
Г г Т
4c2Pmin \ VBdy
L(f)
3/2
V (.Ум) Вх (хм) ц
<JnTM U^dt» =
df
4£2Pmin
13/2
VBdy
V (Ур) Bx (*/>) vp_ fit у
(fn}p Р
L (f)
v (Ум) Bx (Хм) UM
-------тт-т aiM.
\tn)M
(13.8)
Формулы (13.7) и (13.8) показывают, что выражение
(13.6) симметрично относительно u, v, и симметрия опе-
ратора DMf доказана.
Условие (13.5) необходимо и достаточно для потен-
циальности оператора М. Потенциал Ф(/) этого опера-
тора определяется формулой
1
ф (f) - Ф (fo) - / dt / / (f - fo) M (f0 4- t(f - f0)) dx dy,
0 G
(13.9)
где fo(x, y)—любая функция из области определения
d(M) оператора М, т. е. дважды непрерывно дифферен-
цируемая функция, удовлетворяющая краевым условиям
(12.26), (12.28), (12.39).
Заметим, что лийии уровня L(f) функций f, принад-
лежащих d(M), не могут иметь замкнутых ветвей в той
части области G, где Вх(х) =И= 0. Это утверждение сле-
дует из самого вида оператора М, который не определен
в общем центре всех замкнутых ветвей. Поэтому можно
считать, что функции из d(M) не имеют экстремумов
в области G; экстремум достигается только на границе
этой области.
Функционалы Ф(/) и 1(f) (см. (12.41)) имеют об-
щую область определения1); докажем, что они прини-
J) За эту область можно принять множество с/(Ф)= d([) инте-
грируемых с квадратом функций, монотонных в открытой области
О, обладающих интегрируемыми с квадратом первыми производны-
ми и удовлетворяющих краевым условиям (12.26).
!3] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 175
мают стационарные значения на одном и том же эле-
менте f. Условием стационарности функционала Ф(/)
на множестве d(7W) служит уравнение (12.38) (это до-
казывается непосредственной проверкой). Чтобы полу-
чить условие стационарности /(f), представим этот
функционал в эквивалентной форме, положив
f = f+u, (13.10)
где и — дважды непрерывно дифференцируемая функ-
ция, удовлетворяющая условиям
и —0 вдоль АА,
и=1 вдоль ВССВ,
tiy = O на электродах АВ,
Pminf+ f ип(х, y)dt = y/ у j* VBdy,
ЧМ ' ЧЧ)
(13.11)
аналогичным условиям (12.26), (12.28), (12.34).
Будем иметь
1
/(/+м) = 2с-'/7+ f du f j VB dyV.
0 \L (u) /
Функционал /(f) будет полностью определен, если
будет известна связь между и и f+. Эта связь опреде-
ляется требованием стационарности функционала Ф(/).
Вводя в этом функционале замену (13.10), напишем
условие-стационарности O(f) = O(f+w) по f+.
Будем иметь !)
дФИи) , Г С
—^ = 1+ J J Wdxdy-
+ G
!) См. ниже, стр. 18Q
176
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
откуда 1 ,----------
J du 7 \ VBdy
f = _J_.»-----Д------, (13.12)
Pmin / I (Vu)2 dx dy
G
(1___________________x2
J du 1/ 7 J VB dy)
1 U+u) = 77-----2---Гс----—---------- = Z'(u)- (13-13)
P"1 n J J (Vu)2 dx dy
a
Будем теперь рассматривать функционал Zju) на функ-
циях и(х, у), удовлетворяющих первым трем условиям
(13.11). Имеем
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ:’ СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 177
Согласно формулам (26), (32) приложения *)
L (ш
2
-------- би
VВ dy L L («)
x \"MJ Ji
M
L (U)
м
Ни)
1
Ни)
L (и)
2
du V c J
f Hu)
Пользуясь этими формулами, находим
j | (Vu)2 dx dy
*) Обозначения см. после формулы (13.1).
&u6udxdy
(13.14)
M
178
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Отсюда, с учетом обозначения (13.12) и краевых ус-
ловий (13.11)1-3, получается уравнение (12.38) как не-
обходимое условие стационарности 1[(и). Третье усло-
вие (13.11) является естественным для функционала
Л (и); что касается четвертого условия (13.11), то оно
фактически содержится в равенстве (13.12). Действи-
тельно, из (12.38) следует, что разность
Pmin f + Т \УВ(1У
Ни} F L (u)
не зависит от u\ формула (13.12) показывает, что упо-
мянутая разность равна нулю (чтобы убедиться в этом,
заметим, что
1
J J (V«)2 dx dy = [ du J dt.
G 0 L (U)
Сказанное здесь соответствует определению обла-
стей задания б/(Ф) — d(I) функционалов Фи/, приве-
денному ранее в сноске на стр. 174.
В этом определении не требовалось, чтобы функции,
принадлежащие 6?(Ф) = d(/), удовлетворяли естествен-
ным краевым условиям (12.28), (12.39).
Одновременно полезно привести развернутую запись
функционала Ф(/), определяемого формулой (13.9). По-
ложим Ф(/)=Ф1(/)—Ф2(/); принимая во внимание
условие (12.26) (следует считать, что функции f и f0 при-
нимают на ВССВ одно и то же значение f+), а также
условие (12.28), найдем
Ф1 (f) - Ф1 (fo) = - / at / J (f - f0) A (fo + t(f - f0)) dxdy =
= — J*J*(f — fo)kfodxdy — у Jj (f — f0)^(f — f0)dxdy =
= - #(f-fo) 17^-4 ^f-h)^^-dt +
г r
H- / f (V (f - fo), Vfo) dx dy + 4 J J (V (f - fo))2 dx dy
Q G
Q
Q
13]
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 179
Рт1п/с[Ф2(/)-Ф2О =
= - ---r--^B.x(x) = dxdy =
о о 2 1/ I VB dy
• L (fo+f (f-fo))
d(fo + /(f-fo))
dtia +
(f ^о)м (УА1) BX (Xm)
(fo + 4/-fo))nM
f A>)p (Ум) Bx (xm) ji ________
J (fo + t(f-fO))nM M
L (b+f (f—f0H m
dtfo + Hf-hY)
о о
2 1/ j VBdy
V L(t,+Hf-M
V (Ум) Bx (*,m) j/ _
(fo + t (f - f0))nM aiM
Hh+t(f-W M
i f+ r-----------------
= [dt[ d(f0 + t(f-f0))-li 1/ J VBdy-
o o Ft (ь+f (f-w>
J VB dy,
L (fo+< (f-fo»
указанное преобразование уже было использовано ра-
нее при выводе формулы (13.14). Заметим, что в послед-
нем интеграле можно отбросить значок «Р» у функции
180
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД (ГЛ. И
(/ — /о). Имеем
1 f+ _____________________________
p/J d(fo + /(Z-W)41/ J VBdy —
0 0 F
1 f+ _____________
= d(/o + ^(f-/o))l/ J VBdy —
0 0 F L (f. + Mf-fo))
1 ?+________________
— p/J 1/ / VBdyd(f — f0) =
0 0* Hh+tit-M)
f+ _________ '+_______________
= J 1/ jVBdydf-f 1/ [vBdydfo +
0 f L(f) Of UM
1 t+ ._______
(f-fo)rfl/ J VBdy,
0 0 F Kf.+Hf-n»
подставляя это в предыдущую формулу и пользуясь по-
лученным ранее выражением для Ф1(Л, найдем
f+ _________
ф(П = И|*(Ж^^-—1/ \VBdydf.
2 JGJ Pmin/С J У
(13.15)
Приведенное ранее (перед формулой (13.12)) выра-
жение для дФ/д{+ вытекает из соотношения (13.15). Вве-
дем в (13.15) замену (13.10); исключая f+ из (13.15)
с помощью (13.12), найдем
Ф(/+И) = Ф1(И) = __1—/,(„). (13.16)
4Pmin У С
Эта формула показывает, что максимуму функционала
Л (и) отвечает минимум Ф1 (и).
Вернемся теперь к вопросу о существовании решения
задачи Б, сохраняя сделанное ранее предположение о
том, что ломаная линия ВССВ (см. рис. 23) не является
критической (т. е. абсцисса хс вертикального отрезка СС
• 13] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 181
меньше, чем х2). Оператор DMf, определяемый левой
частью (13.1), является производной оператора По
доказанному, оператор DMf симметричен; рассмотрим
вопрос о его положительности. Имеем
J У uDMfU dx dy = У У (grad и)2 dx dy —
g g
1
4c2Pmin
IM lM
u<m X
В силу неравенства Шварца, для знакопостоянной функ-
ции F(t) имеем
J Fu! dt X J Fdt - [ J Fu dtf > 0;
выражение в фигурных скобках в (13.17), неотрицатель-
но; правая часть (13.17) является разностью двух неот-
рицательных чисел. Поэтому оператор DMf, вообще го-
воря, не является положительным: при фиксированной
области G он обладает этим свойством, если функции
V(y), В(х) удовлетворяют некоторым дополнительным
условиям. Пусть V(y) >0; сделанное ранее предполо-
жение о том, что Х2 > хс (см. рис. 23), показывает, что
условие Вейерштрасса выполнено. Знак выражения
(13.17) зависит, очевидно, от характера спадания функ-
ции В(х) в интервале (0, хс). Если х0 > хс, то второе
слагаемое справа в (13.17) равно нулю для любых /,
откуда следует, что оператор DMf положителен. Более
того, на множестве d(DMf) функций, удовлетворяющих
краевым условиям (13.2) — (13.4), этот оператор оказы-
вается и равномерно положительно определенным (это
утверждение доказывается по образцу рассуждений в
[НО], стр. 340—342).
Если х2 > хс > х0, то для получения условий на
В(х), достаточных для равномерной положительности
182
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
оператора DMf на множестве нужно построить
равномерную относительно f верхнюю оценку коэффи-
циента при —(4c2pmin)’1 в правой части (13.17). Чтобы
получить такую оценку, предположим, что
I fn 1>1 fn Imln > 0. (13.18)
Пусть |Bx|max будет максимумом модуля производной
функции В (х) в промежутке [0, хс], а V (у) = V = const.
Коэффициент при — (4c2pmln)-‘ в (13.17) оценивается
сверху величиной
где Атах f f G _ 2>|Вх|^ах(хс-Х+д)
Пусть теперь Xi — первое собственное число опера-
тора— Д при краевых условиях (13.2) вдоль ВССВ,
(13.3) —вдоль АА и ВССВ и (13.4) —вдоль электродов
(см. рис. 23). Согласно определению,
J J. (grad ufdx dy J J u2 dxdy. (13.20)
g a
Пусть
имеем
f f (grad w)2 dx dy — [ f u2 dx dy > ц f f «2 dx dy,
J J Pmin J J J J
G G G
где
.. __ a ^Cmax
> о.
Оператор DMt при поставленных условиях оказы-
вается положительно определенным, что и требовалось
доказать.
Теперь, пользуясь известными теоремами ([109],
стр. 307, 308), можем утверждать, что при выполнении
неравенства (13.20) задача Б равносильна задаче о ми-
13] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 183
нимуме функционала Ф(/) (см. (13.15)) на множестве
б/(Л4) или, что то же, задаче о максимуме функционала
1(f) (см. (12.36)) на том же множестве.
В формулировке этого результата можно заменить
множество d(M) множеством б/(Ф) = d(I), если удаст-
ся доказать, что функционал б/(Ф) полунепрерывен
сверху ([109], стр. 308) в банаховом пространстве
Wz (G), по отношению к которому d(M) и й(Ф) = d(I)
являются всюду плотными множествами.
В качестве пространства (G) возьмем замыкание
в норме
(0)+пл£ (G)+iif( ,n
ми2 ь2 u z 17 "2 А
множества достаточно гладких функций, монотонных в
открытой области G и удовлетворяющих краевым усло-
виям (12.26). Докажем, что если функция В(х) >0 не-
прерывно дифференцируема и не возрастает (см.
рис. 23), то функционал Ф(/) непрерывен в простран-
стве W2 (G), причем непрерывность имеет 'место неза-
висимо от того, выполнено или нет неравенство (13.21).
Имеем
Ф (fk) - Ф (f) = | J J Ш dxdy-^ff (Vf)2 dx dy 4-
G G
-|------------
2pmin Vc
..- dxdy.
S 0 J VBdy
(13.22)
Первые два слагаемых справа оцениваем по неравен
ству Коши — Буняковского
П [(VW2-(Vf)2Uxd//<
G
< (J f [V (h - f)]2 dx dy J J [V (fft 4- f )]2 dx dy
I <? a
184
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД (ГЛ. II
правая часть последнего неравенства исчезает при
II / 11^1 (G) ТаК КаК Н°РМа + П₽И ЭТ0М
ограничена.
Рассмотрим внутренний интеграл в последнем сла-
гаемом правой части (13.22). Функция
V (У) Вх (х)
VB dy
принадлежит L2(G), так как семейство L(f -]- t(fk — f))
не содержит замкнутых линий уровня. Поэтому послед-
нее слагаемое в правой части (13.22) есть непрерывный
в L2(G) функционал, откуда в соединении с предыду-
щим следует непрерывность Ф(/) в IF^G).
Итак, при выполнении неравенства (13.22) (или дру-
гого условия, гарантирующего равномерную относи-
тельно f^d(M) положительность оператора DMf) за-
дача Б равносильна задаче о максимуме функционала
1(f) на множестве d(I); Докажем, что если выполнено
условие (13.21), то функционал Ф(^) —существенно вы-
пуклый в пространстве W2(G).
Рассмотрим градиент М функционала Ф. Имеем
(М, <p) = (grad®(f), ф) = -^Ф(/+ М[_0 =
= f f (W, V(p)dxdy--------1/ f VBdy —
Pmin V C IbccbI /
U
1 Г df
........................ X
PminKT $ 2 1 f | VBdy
' L(f)
x J (1323)
v \1П/лл
L(f) M
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, пока-
зцмют, что правая часть (13.23) есть функционал над
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 185
ф, ограниченный в F2 (G) при любом f из (G). Про-
изводная
-^-grad<D=£>Mf
по доказанному ранее является линейным оператором
в ^(G).
С помощью рассуждений, аналогичных приведенным
выше применительно к этому оператору, докажем, что
выражение
(ДЛ1/<р) ф1) = 4<Л1^ + /<₽)- п
ui |г = 0
представляет собой билинейный функционал над ф, epi,
ограниченный в W2 (G) для любого f е W2(G). Если вы-
полнено неравенство (13.21), то производная DMf рав-
номерно положительно ограничена снизу; на основании
известной теоремы ([109], стр. 310) заключаем, что функ-
ционал Ф(/)—существенно выпуклый на множестве
й(Ф). При тех же условиях функционал Ф(/) возра-
стает в пространстве W2(G).
Доказательство вытекает из следующей системы со-
отношений (см. (13.17), (13.19)):
1 1
Ф (D - Ф (fo) = f f t dt dr J J (f - f0) DM I (f - f0) dx dy >
0 0 G
> v - f»> it № - cfe I f ~ It“ • f - it m]
(a>Oa = fo + Hfi-fo)).
Учитывая (13.20) и (13.21), находим, что Ф(/) —> оо,
когда || f ||^1 (0 -> о°. С другой стороны, в силу непре-
рывности
Ф(П-Ф(/оХ₽11/-Го1^(0), ₽ > 0,
откуда следует, что функционал Ф(/) ограничен, если
ограничена норма функции f. Полученные результаты
позволяют утверждать, что при условиях (13.19), (13.21)
функционал Ф(/) достигает в пространстве (G) ниж-
186
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. I!
ней грани в единственной точке f, к которой слабо схо-
дится любая минимизирующая последовательность
([109], стр. 312). Условия (13.19), (13.21) при учете
(13.18) сводятся к неравенству (см. рис. 23)
(хс - Л + d) V1/2 I Вх |2тах
2c2Pmin (хс) [ fn |mfn
(13.24)
При фиксированной области АССА это неравенство
ограничивает снизу минимум модуля градиента f, выде-
ляя в множестве d(M) некоторое подмножество Sf:
С . I f | (хс-Л + д)У1/2|Вх|2тах
f 1Гп1т1п> 2с2рт1п[С-'В(хс)^Ч1 '
(13.25)
Неравенство (13.24) (или (13.25)) выражает условие,
достаточное для того, чтобы функционал 1(f) достигал
верхней грани на соответствующем множестве единст-
венности Sf. Чтобы получить более точные границы мно-
жества единственности, рассмотрим операторы Р и
Q(f), определенные формулами
ри = —
Г) / f \ V (у) вх (х) \/
Ч \1) и 3/2 А
4tf2pmin с-> j VB dy L (f)
чх Г v(Ум)вх (хм) dt _
J \Тп)м
L L{f) М
— f и (хм, ум) dtM
J \1п) м
L(f) ™
(13.26)
Очевидно, DMfU = Ри — Q(f)u- Оператор Р будем
рассматривать на гладких функциях, удовлетворяющих
краевым условиям (13.2) вдоль ВССВ, (13.3)—вдоль
АА и ВССВ и (13.4) —вдоль электродов (см. рис. 23),
а оператор Q(f)— на функциях из L2(G), удовлетво-
ряющих условиям (13.3) вдоль АА.
Если fn > 0 повсюду в G, а функция В(х) монотон-
но убывает и положительна в G, то оба оператора Р и
Q(f) — положительно определенные и d(P) ед d(Q(f));
кроме того, всякое множество функций, ограниченное в
13] АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ; СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 187
норме энергии оператора Р, компактно в £2(6), а сле-
довательно, и в норме энергии оператора Q(f). Поэтому
[108] существует бесконечное множество собственных чи-
сел
0 < JX1 < ц2 < ... < Нп < • • •
уравнения
Ри — (13.27)
Наименьшее собственное число pi определяется ра-
венством
Л = 03.28)
Неравенство (13.24) заменяется теперь условием
Lit)
О
х х \^М/ J1 _
I UM CUM I f 1 aLM } —
Im 1'п,м j
M’dxdy]{J jЦ<"«)x
/С-* JFBdH
\ L (fl /
. (13.30)
(88
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ II
Чтобы неравенство (13.29) удовлетворялось, доста-
точно выполнения условия
minp1+ > 1.
и
(13.31)
Это условие и необходимо, так как всегда можно огра-
ничить множество допустимых функций и(х, у) такими
функциями, для которых
f V (Ум) Вх (Хм) А
ТТЛ им а1м — и
L (f> 1 fn
для всех f е (0, f+). Пользуясь сделанными выше пред-
положениями о характере функций В(х), V(y), из не-
равенства (13.31) получим условие, определяющее мно-
жество единственности Sf. Это условие имеет вид
J J (Vu)2 dx dy
X min -г-— ------------------> 1
“ J J V (y)\Bx(x)\u2dxdy
G
ИЛИ
f V (Ум)! Вх(хм) I ..
J I fn lM M
max rtf) < Я|, Ttf) = ----, (13.32)
f I у VBdy]
\ L(f) '
где ГЦ — наименьшее собственное число уравнения
Г(г/)|ВДх)|« = 0 (13.33)
при краевых условиях (13.2) — (13.4),
13J
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ: СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ 189
функционал T допускает оценки
17 (^м) 1^х(Хм) I dt Г
Г7ГГ7 М . I
1 dtM
м
'm
. \3/2
'M
\3/2
L(f)
(13.34)
откуда, обозначив через m(f) максимум функционала
f Ffaf)l Вх(хм) I ,, находим
I I с । С14 VI Нс* ХОДИЛ!
J I /п
Ш
Г
ILL. М
L(f)
M
\3/2
m(f)
f
I Bx |max 2 (xc Л Ц- d)
Mf) __________________________________
1 VBmin2s)3/2 I M Imin (c-’Bmin26)3/2 FIZ2 ’
Неравенство (13.32) будет выполнено, если
I Вх Imax 2 (хс Z 4~ 1 n Qf-\
1^1/2 I fn Imfn (c-IBmin26)3^2 < (U-35)
неравенство (13.32) необходимо нарушится, если среди
множества допустимых функций f найдется такая, что
для любой линии уровня L(f) этой функции
([зз6)
J > In ]М \ ь /
Неравенство (13.35) аналогично (13.24); оно выражает
условие, достаточное для существования единственного
минимума функционала Ф(Л- Это неравенство запи-
шем в следующей окончательной форме:
IZnlmln> Г1/2(^1Вт.п26)3/2Л1 * (13.37)
Неравенство (13.36) выражает ограничение на мно-
жество d(M) функций f, достаточное для того, чтобы
производная оператора DMf не была положительно ог-
раничена снизу равномерно относительно f. Напишем
190
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
неравенство (13.36) для линии уровня L(f = т); инте-
грируя по т от 0 до f+, получим
Jf VG/)I Вх(х)\dxdy> (-J- VSmax26)3/2
G
или окончательно
/+<
J j V («/) I Вх (х) I dx dy
а________________________
л, (c-'V5max2d)3'2
(13.38)
Пусть подмножество Sf функций f из d(M) таково, что
при данных параметрах канала, |Sx|max и V = const
выполнено неравенство (13.37); тогда, по доказанному,
в этом подмножестве существует единственная функция
f(°), минимизирующая функционал Ф(/). Для функций,
входящих в множество Sfi справедливо неравенство
2xfi — г f Г Г d]dt J J 1 fn 1 J J 1 fn Imin 1 1 Bx Imax * G G
или f >> |max /1 о qq\ П,(с-'Вт1п2Ъ)™У^ (I3,39)
Зафиксируем множество Sf и будем увеличивать дли-
ну канала 2хс (см. рис. 23). Параметр ni при этом не-
прерывно уменьшается1), а правые части неравенств
(13.37) и (13.39) увеличиваются. Начиная с некоторого
значения хс, оба неравенства (13.37) и (13.39) окажутся
нарушенными для некоторых элементов S/; при еще
больших хс будет выполнено неравенство (13.38). Чтобы
оказаться теперь в условиях, гарантирующих существо-
вание единственного минимума функционала Ф(/), нуж-
но изменить множество St. Мы сделаем это, увеличив
нижний предел значений | fn | min (или f+) функций f
е Sj до величины, соответствующей новому '(большему)
значению хс. Неравенства (13.37), (13.39) показывают,
что допустимые величины | fn | min, /+ увеличиваются для
9 Это следует из общих теорем [86] о непрерывной зависимо-
сти собственных чисел от формы области.
141
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
191
функций нового множества S/, которое, таким образом,
является частью исходного множества Sf. Минимальный
элемент непрерывно изменяется *) при этом процессе
сужения множеств до тех пор, пока не дойдем до мно-
жества Sf(0). При соответствующем значении хс дости-
гается первое собственное число уравнения (13.27),
где следует положить f = f<0). При еще больших значе-
ниях хс существует новый минимальный элемент
очевидно, Sf(i)CzSf(0) и, кроме того, Отсюда,
учитывая сделанное выше замечание (сноска) заклю-
чаем, что /(/(l)) Z (/<°>), так что функционал 1 не убы-
вает при увеличении хс.
При дальнейшем увеличении хс может быть достиг-
нуто первое собственное число p(fl) уравнения (13.27),
где следует положить f — и т. д.
Процесс смены минимальных элементов при увеличе-
нии параметра хс может быть ограничен двумя обстоя-
тельствами. Если график функции В(х) имеет форму,
указанную на рис. 23, то условие Вейерштрасса требует,
чтобы было хс < х2. При хс = х2 приходим к особому
случаю, который будет исследован отдельно. Если убы-
вающая функция В (х) при х~> оо асимптотически стре-
мится к нулю или к некоторой положительной постоян-
ной, то скорость убывания параметра m может ока-
заться недостаточной* 2) для того, чтобы были нарушены
неравенства (13.37), (13.39), соответствующие некото-
рому минимальному решению в последнем случае
процесс смены минимальных решений не идет дальше
f-го шага. В частности, если i = 0, то задача имеет един-
ственное минимальное решение для всех хс > 0.
14. Необходимое условие Якоби
Применение этого условия (см. п. 9 гл. I) к рассма-
триваемой задаче дает возможность проиллюстрировать
процесс смены минимальных решений, описанный в пре-
*) Можно доказать, что максимум функционала 1(f) при этом
не убывает; одновременно не убывает и так как максимум
/(f) монотонно растет вместе с
2) Эта скорость определяется быстротой убывания В(х) при
X -> OQ,
192
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МгД [ГЛ. И
дыдущем пункте. С этой целью рассмотрим уравнения
(12.3), описывающие распределение тока и потенциала
в канале в асимптотическом случае ртах = 00 (см.
п. 10). Принимая функцию и == tgy за управление, за-
пишем уравнения (12.3) в нормальной форме (п. 1 гл. I):
4 = ^‘>
4 = ?, (МЛ)
(Обозначения £!, £2 не следует путать с такими же сим-
волами, обозначавшими ранее декартовы составляющие
вектора /; здесь они имеют иной смысл.) Обычным пу-
тем можно показать, что приращение би управления по
сравнению с его оптимальным значением изменяет функ-
ционал —/ (см. (2.1) этой главы) на величину
б(- /) = - j J bHdxdy, (14.2)
G
где
6Я = - ~ Til [Prnm (S2)2 д« - £2 б^1 + с б^-рпнгА (ди)’ 6С2,
(14.3)
Функция coi есть решение задачи (12.11) — (12.14), а
б£\ б£2 обозначают вариации величин £2, обусловлен-
ные вариацией би управления.
Формулы (14.2), (14.3) являются точными; к сожале-
нию, в общем случае знак приращения б(—/) опреде-
лить нельзя, так как для сколько-нибудь<общей вариа-
ции би почти ничего нельзя сказать о вариациях б£\ б£2.
Сведения об этих вариациях можно получить, специа-
лизируя вариацию би различными способами, приво-
дящими каждый к некоторому необходимому условию
минимума. Так, считая би сильной вариацией, сосредото-
ченной в пределах узкой полоски на плоскости ху (ло-
кальная вариация), приходим к неравенству (12.19) как
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
193
необходимому условию минимума ‘) (—/) (условие Вей-
ерштрасса).
Другой способ специализации 6w состоит в том, что
эта вариация предполагается слабой, т. е. малой по аб-
солютной величине; при этом в общем случае бы от-
лична от нуля во всей основной области. Вариации б?1,
б£2 являются величинами того же порядка малости, что
и би; они удовлетворяют уравнениям в вариациях (см.
(9.1) гл. I)
Ч = и б£> - Pmln (Ы2 + 1) б?2 + (g1 - 2pmiX) 6».
dz2 = d?2,
бг2 = мб;2 + ?2бц, j
получающимся варьированием уравнений (14.1).
С другой стороны, точное выражение б(—/) для при-
ращения функционала отличается слагаемым высшего
порядка от второй вариации
|б2(-/)== J J ^6u[Prn,na2)'6«-?26:l+?'6«]dxrfz/(14.5)
9 Действительно, при сделанном предположении интеграл
(14.2) берется только по площади полоски, в пределах которой ва-
риации 6£4, б£2 связаны с ди соотношениями
»,([«,+(«+»») «а+
+ PtninS2 - 2 (u + би) х, - и (и + би) z/J],
^---<+(-Д-м^ ,,V.
выражающими непрерывность переменных z1, z2 на границе по-
лоски.
Исключая с помощью этих формул вариации б£\ 6g2 из выра-
жения (14.3) для б//, получаем после простых выкладок
_ PmlXfolHxM2
\xt + (и 4-би) у Д'-
Требование б// 0 влечет за собой /;'(wi)^: 0.
7 К. А. Лурье
194
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
этого функционала. Чтобы функционал — / достигал ми-
нимума, необходима неотрицательность его второй ва-
риации; в этом заключается необходимое условие
Якоби.
Приходим к присоединенной задаче о минимуме вто-
рой вариации (см. п. 9 гл. I): найти минимум функцио-
нала (14.5) при связях (14.4) и граничных условиях (см.
рис. 23):
на электродах
бз1 (х, ± 6)— ± бг^,
на изоляторах
бг2|лл = 0, 6г2 |вссв = бг2.;
бг'+ = бг2.,
(14.6)
получающихся варьированием граничных условий (2.5)
с учетом симметрии задачи относительно оси у.
Уравнения Эйлера этой задачи строятся обычным пу-
тем при помощи множителей Лагранжа 6gb бт)ь б|г, 6rj2,
соответствующих уравнениям (14.4); получаем
Hi + 6£1 + м бт)1 = О,
— С1 бЫ — pmin (Н2 + 1) 61Ц + 6^2 + «бц2 = 0>
2Pmrf б«+it а1 - W)-
- (?’ - 2pmin«H бП1 - £2 бП2 = 0;
6*1 = — бсоiy, бг); = ба>1 х (г = 1, 2).
(14.7)
Если положить
6z2 = hx («(J + h' (и J б®1(
где функция A'(coi) определена формулой (12.18), а
Л1(®1) == б/г(®1)—вариация функции Л(®1) является
малой функцией своего аргумента (производная Л((®,)
равна вариации правой части (12.18)), то нетрудно по-
казать, что уравнения (14.4) и (14.7) сводятся к соот-
ношению
2 (Л; + h" б®,) А®! + 2Л'А б®, + 2Л" (V®,, V б®,) +
+ (/[(' +Л" ба1)(У®1)2== 0. (14.8)
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
195
Как и следовало ожидать, это уравнение представ-
ляет уравнение в вариациях по отношению к (12.11); то
же самое справедливо и в отношении соответствующих
граничных условий. Получающаяся краевая задача рав-
носильна, как нетрудно видеть, краевой задаче (13.2) —
(13.4) для уравнения (13.1), которое представляет урав-
нение в вариациях по отношению к (12.33), т. е. урав-
нение Якоби.
Исследование краевой задачи (13.1) — (13.4) прове-
дем для частного случая, когда горизонтальные участки
изоляторов ВС на рис. 23 отсутствуют, и область пред-
ставляет собой прямоугольник, ограниченный электро-
дами АС и изоляторами А А и СС (см. рис. 22). Если
В (х) >0 для всех х е [0, Ц а V = const, то функция
_____ х
(14.9)
о
удовлетворяет уравнению (12.33), а также условиям
(12.26), (12.28) и (12.34); постоянная /+ при этом имеет
значение
___ х
i J
о
а линии f = const представляют вертикальные прямые,
соединяющие электроды. Условие Вейерштрасса
[fox(*)]2 0, очевидно, также выполняется.
Уравнение Якоби (13.5) принимает вид
(6 X
-б /
а граничное условие (13.6) записывается так:
б
j (df)xdz/ = O;
-б
(14.11)
интегралы в последних двух формулах берутся при фик-
сированном х, т. е. по линиям уровня /о, причем в (14.11)
7*
196
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
можно взять любую из этих линий уровня. Решение б/₽
ищем в виде ряда
00
= 2 йп (хр> cos (14.12)
п=0
это выражение удовлетворяет условиям (13.8) на элек-
тродах. Подстановка в (14.10) приводит к следующим
уравнениям для коэффициентов (значок «Р» отбрасы-
ваем) :
-gr = O. (14.14)
Из (13.3) и (14.11) вытекают граничные условия
а„(0)=0 (« = 0,1,...), 1
a0(A,) = df+, ал(Л) = О (п=1, 2, ...), [ (14.15)
«i(0)=0. J
Поставленным условиям удовлетворяет лишь три-
виальное решение уравнения (14.14) (при этом 6f+=0);
что касается уравнений (14.13), то некоторые из них мо-
гут в общем случае иметь нетривиальные решения. Су-
ществование таких решений зависит от функции В(х) и
от номера п.
Операторы pn, q, заданные равенствами
= + (п=1. 2, ...),
каждый в отдельности положительно определенные на
функциях <р, удовлетворяющих условиям (14.15). Допу-
стим, что положительная функция В(х) такова, что вся-
кое множество функции с ограниченной нормой энергии
оператора рп компактно в смысле нормы энергии опе-
ратора q, т. е. в смысле нормы
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
19?
Тогда, как известно, уравнение рпф — р<7ф = 0 имеет
бесконечное множество собственных чисел
О < ц'"» < pW < ...
При этом, очевидно,
так что Hi” — наименьшее собственное число.
Если ^'*>1, то задача (14.13), (14.15) имеет
для всех п лишь тривиальные решения, а соответствую-
щее значение функционала (14.5) равно нулю. При
ц,|,,='1 первое уравнение (14.13) имеет нетривиальное
решение, удовлетворяющее (14.15); если ц*1* < 1, то
можно указать такую функцию 6f, что соответствующее
значение функционала (14.5) будет отрицательно. В са-
мом деле, при условии р.*!1* < 1 существует ненулевая
функция Д1*(х), удовлетворяющая уравнению (14.13)
(п = 1) в интервале (О, Ц), Zj < X, и условиям ai»(0) =
= fli*(Zi) = 0 на концах этого интервала.
Положим
а((х) =
Функция
df = Я) (x)cos-y- (14.16)
( ai,(x), O^x^Z,,
I 0, Z^x^X.
при хе (0, lj) и х е (Zi, %) удовлетворяет уравнению
(14.13); соответствующее значение функционала (14.5).
равно нулю. Последнее утверждение следует из равен-
ства
1 (_/)__ £ б(В1/ 62i dt _ § ба)2/ в22 dt>
г г
в котором интегрирование производится по границе пря-
моугольника Ас'с'А (см. рис. 22); при этом следует.при-
нять во внимание формулы (12.7), (12.25), (12.18),
(14.7), (13.3), (13.4), (14.11).
Если p*11 < 1, то нулевое значение функционала
(14.5) не является минимумом. В самом деле, функция
(14.16) имеет разрывную производную по х; если эта
198
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
функция минимальна, то на линии разрыва х = /»
должны удовлетворяться условия Вейерштрасса — Эрд-
манна, которые в данной задаче имеют вид
[Kt=o, [д®2;К = о,
{> [Pmin W+£' б;2] +б®и 64+ 4 }1= °-
Справа от линии разрыва (при х = 1\ + 0) выраже-
ния, стоящие в скобках, равны нулю; их значения слева
вычисляются с помощью формул
г' = 0’ SS = +7SW’ “ = »•
2pmin6
/ \ Л . пу
01* (X)-у sin
—
-----[ai.x(x) 2В(х) ai.(x)]cos ,
б®]г/ =
z \ Л •
01. (х) у Sin
которые легко следуют из предыдущего.
Условие Вейерштрасса — Эрдманна приводит теперь
к требованию (B(Zi) =/= 0)
аьх (Zi) = О,
которое не может быть выполнено без тождественного
обращения в нуль функции ai*(x) в интервале (0, Zi).
Поэтому существует функция б/, которая сообщает
функционалу (14.5) отрицательное значение. Этим до-
казано, что для неотрицательности (14.5) необходимо,
чтобы первое собственное значение краевой задачи
(14.13), (14.15) (или, что то же, задачи (13.1) —(13.4))
было не меньше единицы.
Отметим, что соответствующее значение би отлично
от нуля во всей области, так что вариация 8и не яв-
ляется локальной (в отличие от вариации в полоске).
Кроме того, эта вариация существенно двумерна, так
как нетривиальное решение имеют уравнения (14.13);
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
199
уравнение (14.14) имеет только нулевое решение. Иными
словами, одномерное решение (14.9) удовлетворяет
условию Якоби по отношению к одномерным вариациям
и может не удовлетворять ему по отношению к двумер-
ным вариациям.
При заданных X, S значение р*0 зависит от В(х).
Для приложений интересен случай, когда В(х) задана
графиком типа рис. 23, причем х0 < < х2. При этом
условие Вейерштрасса В(х) О выполнено; что ка-
сается условия Якоби, то выполнение его зависит от /,
Ми характера убывания функции В(х) при х > х0.
Так, условие Якоби выполняется, если xQ = 0 и В(х)
убывает по линейному закону; если же х0 = 0 и В =
= BQe~yxy у > 0, то условие Якоби будет нарушено при
. 2л _ / - . V
Y>Yo = — у 1 +-5Г.
В первом из этих случаев скорость убывания В(х)
при х > х0 = 0 ограничивается условием Вейерштрасса:
В 0 при х е [0, X]. Во втором случае условие Вейер-
штрасса всегда выполнено (е~^х > 0 для любых х), и
наибольшее возможное у(==у0) определяется условием
Якоби. Требуется указать оптимальные решения в усло-
виях, когда функция В(х) убывает быстрее, чем это до-
пустимо по условиям Вейерштрасса и Якоби.
Если функция В(х) нигде не возрастает и меняет
знак с плюса на минус в точке х2 X, то решение (14.9)
оптимально лишь при условии х2 = L Иными словами,
там, где невозрастающая функция В[х) обращается
в нуль, должна располагаться изолирующая стенка (это
заключение справедливо и для канала типа рис. 23
с горизонтальными участками ВС изолирующих стенок).
Если при выполнении условия Вейерштрасса наи-
меньшее (n = 1) собственное число краевой задачи
(14.13), (14.15) меньше единицы, то условие Якоби не
выполнено. В описанном выше случае В (х) = BQe^x это
имеет место при условии у > у0. Для у < у0 уравнение
Эйлера (12.38) имеет единственное решение (14.9), удо-
влетворяющее условиям (12.26), (12.28), (12.39). При
у = у0 происходит разветвление этого решения, и для
у >> уо существует, вообще говоря, несколько решений
200
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
уравнения (12.33). Поэтому возникает задача продолже-
ния решения (14.9), оптимального при у < уо, по пара-
метру у через значение у = у0 таким образом, чтобы
продолженное решение оставалось оптимальным, т. е.
во всяком случае удовлетворяло необходимым условиям
Вейерштрасса и Якоби.
Будем разыскивать малые решения этой задачи, т. е.
локальные продолжения решения (14.9) по параметру у,
считая функцию В(х) равной BQe~yx, х > 0, а разность
(у/уо) — 1 достаточно малой.
Положим
f = fo + q>, Y = Yo + 6 (14.17)
и будем рассматривать задачу (12.38), (12.26), (12.28),
(12.39), считая fo = foW заданной формулой (14.9),
ф(х, у) —неизвестной функцией, a k — малым (по срав-
нению с уо) положительным параметром.
В новых переменных задачу можно записать так (см.
рис. 22):
А(<р, fe)sL(f0 + <p, Yo + &) = O, (14.18)
Чл = °> <PlcC = fP+’ Мс = 0’ )
г6 ! (14.19)
J Фх(0. y)dy = Q. I
-в )
Оператор (производная Гато оператора —Л)
С = Лф (0, 0) = Лф (f0, Yo)
есть оператор Фредгольма. Запишем уравнение (14.18)
в форме
Сф = /?(ф, k), Я(ф, &) = Л(ф, £) —Аф(0, 0)ф. (14.20)
Однородная краевая задача (14.19) для уравнения
Сф = -Лф(0, 0)ф = 0 (14.21)
имеет нетривиальное решение
z = a(x)cos~, (14.22)
где функция а(х) удовлетворяет уравнению (14.13),
п = 1, и соответствующим условиям (14.15). Решение
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
201
(14.22) будем считать нормированным:
к б
J J z2(x, y)dxdy — 1.
О -б
Для разрешимости неоднородной краевой задачи
Аф(0, 0)ф = §(х, у)
при условиях (14.19) необходимо и достаточно, чтобы
к о
J j gz dx dy = 0,
о -в
поскольку задача (14.21), (14.19) совпадает со своей
сопряженной.
Малые решения уравнения (14.20) будем искать по
методу Ляпунова — Шмидта (см. [25]). Представим
(14.20) в форме
Сф = С<р + ^z = Fmk + 2 FijfpW + lz,
i+i>2
к в
g = j J Ф2 dx dy,
о -6
где
р 1 dl+lR (0, 0)
11 iljl dfldk!
(14.23)
— степенной оператор порядка i + /, a g — коэффициент,
подлежащий определению [25]. При этом учтено, что
функция z = а(х) cos (лу/b) является простым нулем
оператора С (см. (14.21)).
Будем искать малое решение ф(х, у) уравнения
(14.23) в виде ряда
ОО ОО ОО
+ 2 V 2фо^> (14.24)
i=i t=o i=i 1
сходящегося [25] при достаточно малых |g| и А. Под-
становка этого ряда в (14.23) приводит к соотношению
(уравнение разветвления)
+ 2V 2м'=о,
4=й 1=0 {=1
(14.25)
202
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
коэффициенты которого определяются формулами
к 6
£//=]* J qqzdxdy. (14.26)
о -6
Функции фг-?- определяются из рекуррентной системы
£фо1 == F0I,
£ф()2 ~ Л)2 4“ 2^*11Ф()1 "Ь ЛюФоР
^ФоЗ = Л)3 “1" ^^12Фо1 4" ^^21Фб1 “1" 4“
4” 1Ф02 + 2^20ф01ф02,
Сфю=2,
£ф20 ~ ^20Ф?0»
^Фзо “ 2^20ф10ф20 4“ ^зоФ1О»
Сфн = 2Гпф10 + 2Г20ф10ф01,
Сф21 = 2/711ф20 + 2Г20ф01ф02 + ЗГ21ф*0 + ЗГ30ф01ф*0
(14.27)
при граничных условиях типа (14.19). Найдя эти функ-
ции и подставив их в (14.26), придем к формулам, опре-
деляющим Lij, Будем иметь:
£oi = (Ли, ^),
^02 = (Л)2 + 2ГИ (ГГ01) 4- F2o (ГГ01)2, г),
£оз = (Лв + 3F12 (FFoi) 4- 3F21 (ГЛи)2 +
4-^зо(Гад ^) + ([2F1I4-2F20(rF0I)]X
X Г [F02 4" 2FH (TFoi) + Г20 (ГГ01)2], 2), ’ J
^20 = z),
L3o = (2F2o2(rF2o22) + F3o^3, 4
£11 = (2Г11г + 2Г20г(ГГ01), z).
Здесь введены обозначения:
к 6
(u,z)= f j uzdxdy, Г = С~1,
14]
ЙЁОБкОДИМОЕ УСЛОВЙЕ ЯКОБЙ
209
Как показано в приложении А7, справедливы фор-
мулы
УВ0 е~^ (. уох \
^Pmin \ 2 /
e~Y°*/2 у (1 I YoM
2сб 8pmIn f 2 /’
б п
ф—2? yM)dyM ,
_ -б
с
______— eW/2 У
8/2VB0d
б
X J [(« — «л) (vM)x + (v — ил) («^)J dyM +
> -б
б
+ “4_ j*um)(v — vM)dyM-
-б
б б ч
- 4-у- /(и - им)dyM f (v — vM)dyM },
-б
4^-e-W30«3 =
YoPmin*
б б
= J(m-uM)[{uM)x\2dyM—у J(w—им^{им)ххйум+
-б
б
+ 4- J(« — uM)2(uM)xdyM--
-б
б б
Ф У dyм J* {и Um) {um)x dyм
-б -б
2 6 6
3 Уо Г ( ч у Ь Ч9 у .
— Тб J (« - uM)dyM ](u — uMydyM +
-б
5 Y?
8 4д2
и = и(х, у),
Л)2 — — J
F.20uv = Y°2p"lin
-б
(14.29)
-б
3 уо
4 д
-5
г- 6
J(« — uM)dyM
--б
u„ = u(x, ум).
3
204
ЁАСПРЁДЁЛЁНЙЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
Отсюда, учитывая (14.28) и (14.22), заключаем, что
LOi = 0, i = 1, 2, ... Кроме того, можно проверить, что
^20 = 0.
Поэтому уравнение разветвления (14.25) приводит к
следующему определяющему уравнению [25]:
L3og2 + £n^=.O.
Это уравнение имеет два корня^ ,= ±1/— (Ln/L30)£;
оба корня оказываются действительными, так как можно
показать, что
f -I 2V ( (1/2)лК1+<+2 ]|/2 / =
ё1’2 “л | (Ц-/)($(/) +Г (/)) cp?,,|n f ’ б2’
= (2 + /)'(5 + / ) л2 { [У л2 U + ~ 1 +^+б4(1—^2) +
+ |л2(5 + /)2 + 8л2д^-(24 _ !)_
-72л2(2-Н)(еяИТ7-1)},
1 г / ( P2jl — 1 / 1 1 \ 9
Т ~ 16(1 - О I — " 2+7 ( 5 + t 1 -t ) Т+7 X
х (5/ +1 - з vf(i -зо(1 +о) х
\ sin л у I — 3/ /
х (ел cos л VT^3i- 1) + (з /(1 -3/)(1+0 +
+ (5( + J) gJl Kl+< ~ c°sj1LL~ - I sin л у 1 — 3/1.
sin л у 1 — 3/ / J
График функции S(0+ Т(t) представлен на рис. 24;
как видим, S(/)+ Т(/) >0 для всех t 0. Малыё ре-
шения уравнения (12.38) имеют вид
f t । Л 2 . лх ли
f1(2 = fo + g1.2y Id sin—cos-f- =
_ 2 /ЛГ 1 - е~УхК +
Pmin г 2с6 у
4Л /• ТвГ / (1/2) л /Т+7 + 2 У/2 лх Лу
± V 2сЬ 1(1+0 [S (/) + Т (/)] / S‘" ЛС03б~
= fo±/^®- (14.30)
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
205
Непосредственная проверка выполнения условия Яко-
би представляется затруднительной; значительно проще
вычислить приращение полного тока, обусловленное пе-
реходом к малому реше-
нию (14.30).
Одномерному решению
(14.9) соответствует сле-
дующее значение полного
тока:
к
т 2VBq С 1
£pmin J
0
=тууЧ1-е-П(14.з1)
YcPmin
Составляющая /и вектора / дается формулой (У =
= const)
/у=1/т{ВйУ^ (К-32)
Г
где интегрирование производится вдоль линии тока L(/).
Как видно из приложения (см. (32) и далее А7),
1/т Р^ = 1/т J В(1у +—/Щ- -..............X
Г Llf) f КМ 2 l/ с I В dy
' им
____ в
± Pmin у^- J вх (х) е^х12(<в — ои) dyM +
-6
____ б
4- Ртш ]/"у^- k j Вх (х) е^х12 (х — Хм) dyM —
—б
б
— Pmin k f В* W еУ°Х (® — ®м) (®Af)* dUM +
-б
б
+ Pmin VS7 j Вх W (° “ +
-б
206
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
б
7 Pmin k J Вхх (х) е^х (со — ®M)2 dyM
° -б
2сб
VBQ
/ 7- J Bdy ± Vkp + kq + o(k).
ИМ
Здесь принято В (х) = B0e“YoX; в этой формуле можно,
очевидно, отбросить приращение k показателя у, если
интересоваться величиной приращения полного тока,
обусловленного двумерным характером решения (14.30).
Приращение 6/ запишем в виде
б/ = ± Vk(d + &х, Х = & sin—у cos уу. (14.34)
Первое слагаемое справа определяется формулой
(14.30); коэффициент b = 0(1) неизвестен, но должен
быть сохранен для необходимой точности вычислений;
в дальнейшем будет показано, что в знании его нет не-
обходимости. Теперь можно написать:
fx = (fo)x± Ук®х + кхх. (14.35)
Приращение // — составляющей плотности тока оказы-
вается равным
(14.36)
t 2 , / VBo 1 — e-v»x/2
Pmin V 2сд уо
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
207
Имеем
----Pm.n]/4Й- (-Yo)BWX
2 1/ с J Bdy
У ИМ
в
X е^2 J (со — ®M) dyM = — YoPmtn®6,
-6
откуда следует выражение для коэффициента при ± У k
в (14.36):
(14.37)
Интегрируя это выражение (взятое при у = 6) по х
от нуля до К, получаем нуль; приращение полного тока
определяется поэтому линейным по k слагаемым
в (14.36).
В выражении для q (см. (14.33)) выделим слагаемое
_____________ _ а
<71 = Рты’]/---------XV- JВх (х) e*»*/2(x — xM)dyM;
° 1/ с f & du
' L (fo)
складываясь с i/^ J В(1у^х (см. (14.36)), это сла-
F L(fo)
гаемое даст в сумме выражение, отличающееся от
(14.37) постоянным множителем, поэтому соответствую-
щий вклад в величину полного тока будет равен нулю.
Остается вычислить интеграл
х
_[ (у — qj (fm)x dx.
о
Имеем
а - а, = (1/2)л/1+г+2 Г
л /1+7 [S (О + Т(/)] У 2с
ч, (уо Уо 2лх л . 2лх \
Х(1-1с°8-ь---Tsin—)•
X __
2*jй-?,)(w.*>W2Xt-a 2•
v Pmin*7 ° И/ ч 2
208
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Приращение тока оказывается равным
6/ = 4 Vfe
ГВ0 (1/2)л/1+ +2
Pmin^ •$ (/)-}- Г (/)
График функции 81/Ikk представлен на рис. 25, откуда
видно, что переход к малому решению связан с увеличе-
нием снимаемого тока (если kk = 2, то это увеличение
достигает 5% при t = 0,2).
Приращение тока оказывается в главной части (в
слагаемом порядка k) не зависящим от выбора малого
решения (т. е. от выбора знака в (14.30)). Различие
между этими решениями может сказаться в слагаемых
более высокого порядка по k в выражении для плот-
ности тока.
Физическая причина роста тока при переходе к дву-
мерному решению очевидна; при достаточно быстром
убывании внешнего поля В(х) оказывается выгодным
не использовать область малых значений В(х) с целью
снизить эффективное сопротивление токам, генерируе-
мым в центральной зоне канала, где В(х) велико. Сни-
жение сопротивления достигается тем, что на большую
часть площади электродов приходят токовые линии,
исходящие из центральной зоны канала. Решение (14.30)
создает именно такие условия перетекания токов; соот-
ветствующие линии / изображены на рис. 26, а, б, при-
чем рис. 26, а соответствует верхнему знаку в (14.30), а
рис. 26, б — нижнему знаку.
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
209
В заключение этого пункта рассмотрим случай,
когда функция В(х), положительная при 0 < х < X, об-
ращается в нуль в точке х = К. Положим, например,
В(х) = (1 — х/Х)т, 0 х X, т 0; графики В(х)
при различных значениях параметра приведены на
рис. 27, а — в.
Решение (14.9) удовлетворяет условию Вейерштрас-
са; проверим выполнение условия Якоби. Уравнение
(14.13) для п = 1 имеет вид
d2ai , г т2 л21 л ... „о.
dx2 ^L4(A — х)2 62 J «1 — 0- (14.38)
Общий интеграл этого уравнения выражается через
модифицированные бесселевы функции
Oj = Л — х
(тU-*)) + (у(Л-х))
2 2
(14.39)
Введем оператор dnMf, определяемый левой частью
(14.13), взятой со знаком минус; оператор DMfi опре-
деляемый левой частью (13.1), на функциях (14.12)
210
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
оказывается равным
оо
DMf df = - cos "Г- У-
Положительная определенность оператора DMf на
функциях, удовлетворяющих краевым условиям (13.4),
(14.11), (14.15), будет установлена, если операторы
—cP/dx2, dnMf окажутся положительно определенными
на функциях, удовлетворяющих соответствующим крае-
вым условиям (14.15). Для оператора —d2ldx2 положи-
тельная определенность очевидна; что касается осталь-
ных операторов, то достаточно установить положитель-
ную определенность dxMf.
Естественно потребовать, чтобы приращение у со-
ставляющей плотности тока (см. (14.36)) было интегри-
руемо по промежутку [0, ЭД *).
Принимая во внимание формулы (14.36), (14.9) этого
пункта и формулы приложения (см. А6, А7), определяю-
щие 6/у, найдем, что при 0 т < 1 (см. рис. 27, а)
решение (14.39) порождает в выражении для 6jy осо-
бенность порядка (Л — х)“’в точке х = X. Эта
особенность обусловлена вторым слагаемым в (14.39);
она неинтегрируема, и соответствующее слагаемое дол-
жно быть отброшено (Z) = 0). Остающееся слагаемое
—ПРИ х = 0 не обращается
в нуль ни при каких 0 т < 1, причем при х = X это
слагаемое представляет интегрируемую особенность; та-
ким образом, для значений параметра 0 т < 1 опе-
ратор dxMf оказывается положительно определенным.
Положим tn = 1 (см. рис. 27, б) и рассмотрим интер-
вал [ОД —е), 8 > 0. Функция а\ (см. (14.39)) не обра-
щается в нуль на концах этого интервала, если С и D
не равны нулю; при 8 = 0 эта функция порождает на
конце х = к интегрируемую особенность, так что во
всех случаях С = D = 0 и оператор d'Mf положительно
определен.
*) Можно доказать, что это требование эквивалентно сходимо-
сти интеграла (14.5), определяющего вторую вариацию функцио-
нала /.
14]
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЯКОБИ
211
Положим tn > 1 (см. рис. 27, в) и рассмотрим интер-
вал [ОД — в), е > 0. Краевые условия (14.15) приводят
к уравнению
и»/. (4К пДд) -
2 2
Д) = °-
2 2
При фиксированном е > 0 существует бесконечное
множество чисел т > 1, удовлетворяющих этому урав-
нению1); пусть Шо(е) —наименьшее из этих чисел. Вы-
ясним характер функции т0(е)- Имеем
dvm I de . dv I n л
^L..^+7S-U.=O' (14'40)
Справедливо равенство2)
8
f 7)2 (r\ d* _ _ 2e (n &vm дУт дУщ \
J m' ' x m \ m dtndx dm dx
Полагая m = т0(е), найдем
8
f v2 dVm I dv™ I
J «Л ; X /П„ dm lm=mo(e) dt, L=mo(e/
Л
Вместе c (14.40) это дает
[dvm I \2
de _ 2e \ dm lm=tnJ
drn0 mQ e
R w —
J V ' X
к '
Знаменатель правой части последнего равенства от-
рицателен (е<?4; функция т0(е) оказывается возра-
стающей (рис. 28). Пусть параметры т > 1 и е < К вы-
браны так, что т<т0(е). Зафиксируем т и устремим
е к нулю (длина канала 2(2i —е) при* этом стремится
4) Грей Э., Мэтьюз Г. Б., Функции Бесселя и их приложе-
ния к физике и механике, ИЛ, 1949.
2) См. предыдущую сноску.
212
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
к 2Z). Если при некотором 8 = 80 (рис. 28) будет
т0(е0) = т, то при 8 < 8о окажется, что m0(e) < т; для
8 8о условие Якоби нарушается, и следует перейти
к другому, отличному от (14.9) решению исходного
уравнения (12.38) подобно тому, как это сделано
выше1). Если при заданном т>1
т° равенство т0(е) = т не удовлетво-
ряется при уменьшении е вплоть до
8 = 0, то следует обратиться к ис-
следованию предельного при х->Х
поведения функции (14.39) при пг >
> 1. Эта функция порождает на
конце х = К неинтегрируемую осо-
______।____ бенность, и следует положить С =
е = D = 0, подобно рассмотренному
выше случаю т = 1.
Рис. 28. Выбор между указанными двумя
случаями диктуется, очевидно, пре-
дельным при 8->0 поведением функции т0(е): если
то(О) = 1, то имеет место первый случай; если то(О) >
> 1, то возможен второй случай. Не проводя де-
тального исследования поведения функции /и0(е), ог-
раничимся сделанными выше замечаниями, которые
показывают, что оператор DMf остается положительно
определенным и тогда, когда функция В(х) обращается
в нуль на границе канала и одновременно выполняется
условие Якоби. Отсюда, по аналогии с п. 13, вытекают
заключения о существовании решения краевой задачи Б,
хотя неравенства типа (13.21) (см. также (13.19)) дол-
жны быть заменены другими.
15. Некоторые качественные и численные результаты
С целью иллюстрации изложенной выше теории в
этом пункте приводятся результаты некоторых расчетов
оптимальных и неоптимальных распределений линий
тока в канале мгд-генератора конечной длины 2хс (см.
рис. 23). Во всех случаях предполагается, что функция
В(х) = В(—х) ^0— постоянная при х е [0, х0], а при
’) Это явление представляется физически совершенно есте-
ственным.
15] НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 213
х > xQ монотонно спадает до нулевого значения, прини-
маемого в точке х = х2 и при х > х2, причем х2 может
быть больше, равно или меньше хс (рис. 23 иллюстри-
рует случай, когда х2 < хс).
Основываясь на результатах п. 12 и пользуясь
введенными там безразмерными переменными (см.
(12.35)) !), дадим сначала описание общего хода кри-
вой Т (R), выражающей зависимость оптимального сни-
маемого тока от_сопротивления внешней нагрузки R при
заданном поле В(х). Условие Якоби будем предполагать
выполненным. Выберем канал определенной длины 2xCl,
причем хС1 х2; кривая_ I = l\(R) начинается в точке
Л11 (рис. 29). С ростом R функция I = Ii(R) монотонно
^2 Кп #
Рис. 29.
убывает; значение T(R) для не слишком больших R
можно вычислять, пользуясь инвариантностью I относи-
тельно замены пары (В, Я) парой (В, 0) (см. п. 12).
При этом, как указывалось в п. 12, удобно задавать
не R, а эффективное поле В(х), отличаюхцееся от задан-
ного поля В(х) на постоянную: В(х) = В(х)_+5; если
I — соответствующий ток, то сопротивление R найдется
по формуле (см. п. 12)
* = (15.1)
/ л
4) Постоянную В° в формулах (12.35) выберем равной макси-
мальному значению Во функции. В (х), определяемой рис. 10-
214
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
Критическое значение R = R{ (Ь — &i), после кото-
рого нельзя пользоваться упомянутой инвариантностью,
соответствует обращению эффективного поля В(х) в
нуль в точке xCl: В(хС1) = 0 (точка jVi на рис. 29). Для
R > £1 (Ь > Ь\) оптимизация требует уменьшения дли-
ны канала (т. е. заполнения изолирующим веществом
определенных участков, прилегающих к торцам канала
|х| = |хС1|, что равносильно передвижению торцов к
центру канала). Задавая b 51, следует всякий раз вы-
бирать такую длину канала 2хс (назовем эту длину
критической длиной), чтобы при данном b сохранялось
равенство _ Ё(хс) = В(хс) —5 = 0; соответствующие
значения R находятся по формуле (15.1) !). Точки, для
которых R > /?ь заполняют часть N\P кривой I[(R)
(рис. 29), расположенную правее Afj.
Проведем теперь предшествующее рассуждение за-
ново, увеличив первоначальную длину канала до значе-
ния 2хС2 > 2xCl, а исходное поле В(х) оставив прежним
(как и ранее, пусть хСг < х2). Кривая I = I2{R) начи-
нается в точке М2 (рис. 29); очевидно 72(0) > Zi(0).
Далее, наименьшее критическое значение 5 = 52 мень-
ше,_чем 5ь соответствующее значение 72 не меньше, чем
71(Я1); формула (15.1) показывает, что R2 < Яь Точ-
ка N2 на кривой T2(R) соответствует обращению эффек-
тивного поля S(x) в нуль при х = хс,. При 5 > 52
(R > R2) длина оптимального_ канала (критическая
длина) уменьшается, и ток /2(/?) монотонно убывает;
при R > Ri находимся в тех же условиях, что в преды-
дущем случае,_когда исходная_длина кана_ла была 2xCl.
Поэтому при R > /?1 кривые 72(£) и 7i(£) совпадают.
Таким образом, общая часть N\P кривых Ti(R) и
72(Я) универсальна в том смысле, что она принадлежит
всем кривым, соответствующим каналам длины боль-
шей, чем 2xCi, при одном и том же исходном поле В(х).
Продолжая это рассуждение, обнаружим, что уча-
сток N2P кривой 72(Т?) универсален как принадлежа-
щий всем кривым, построенным для каналов длины
большей, чем 2хс„ и т. д. В результате получаем пре-
дельную универсальную кривую MN2N^P (рис. 29);
9 Очевидно, xCi > хс и R> R{.
15] НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 215
точке М соответствует, очевидно, ток 7, снимаемый при
R — 0 с генератора длины 2х2. Координаты (7n, Rn)
всякой точки п этой кривой таковы, что ток 7П сни-
мается с короткозамкнутого канала соответствующей
критической длины 2хс такой, что
J(x,j = B(xj-A.rX = o.
При перемещении точки п вдоль универсальной кривой
от положения М до бесконечности (положение Р) теку-
щая критическая длина 2хСп монотонно убывает от 2х2
до 2хо- Рассматривая канал длины 2%^, можно по-
строить кривую 7(B) для значений R < Rn. Эта часть
кривой отходит от точки п налево (рис. 29) и заканчи-
вается точкой Мп, соответствующей короткозамкнутому
каналу длины 2хСп. Точкам, лежащим на Мпп, отвечают
оптимальные значения тока, снимаемого с канала длины
2хСп при значениях R, заключенных в промежутке [0, Rn].
Таким образом, универсальная кривая МпР порождает
однопараметрическое семейство кривых типа МппР, со-
стоящих из участка Мпп, лежащего под универсальной
кривой, и участка пР универсальной кривой. Никакие
две кривые Мпп этого семейства не имеют общих точек:
допустив противное, имели бы каналы разной длины, на-
груженные на одинаковые сопротивления и порождаю-
щие один и тот же оптимальный ток, что невозможно,
если функция В(х) задана графиком типа рис. 23 1).
При R -> оо универсальная кривая асимптотически
стремится к оси R; если точка п уходит в бесконечность
(Rn -> оо), двигаясь вдоль универсальной кривой, то
yd TnRn-*B(x0)=l,
а кривая Мпп стремится к предельному положению
МооР, соответствующему каналу длины 2х0.
Располагая семейством оптим_альных кривых, по-
строенных для заданного поля В (%), можно указать
оптимальный ток, снимаемый с канала фиксированной
исходной длины 2хс < 2х2 при различных значениях на-
4) Касание кривых семейства также следует исключить как про-
тиворечащее УСЛОВИЮ Якоби.
216
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
грузки R. Прежде всего нужно найти точку универсаль-
ной кривой, соответствующую случаю, когда длина 2гс
является критической. Эта точка лежит на пересечении
— 26 —
универсальной кривой и гиперболы IR — В (хг); пусть
п — такая точка, a 7n, Rn — соответствующие критиче-
ские параметры (см. рис. 29). Кривой оптимального тока
будет кривая семейства, проходящая через точку п, т. е.
кривая МппР\ длина канала равна 2хс Для точек ветви
Мпп (R < Rn) и меньше 2хс для точек ветви пР; при
R-+oo оптимальная длина канала стремится к 2XQ1).
Нетрудно убедиться в том, что может существовать
— 2d -
только одна точка пересечения гиперболы IR = — В (хе)
и универсальной кривой. При достаточно больших R
гипербола проходит не выше универсальной кривой,
так как при R -> оо для точек этой кривой выполняется
предельное равенство
--2d — 2d -
При достаточно малых R гипербола проходйт над уни-
версальной кривой. Этим доказана возможность суще-
ствования, по крайней мере, одной точки пересечения;
если х0 < х2 < хс, то такая точка единственна, так как
в противном случае, следуя по отрезку Mi 1, соответ-
ствующему каналу длины 2xCl (рис. 30), и далее по
участку 12 универсальной кривой, пришли бы в точку 2,
отвечающую каналу длины 2хС1 < 2хС1, вопреки предпо-
ложению.
Ограничение 2хс < 2х2, принятое в предшествующих
рассуждениях, не может быть отброшено без нарушения
условий оптимальности; поэтому кривым семейства, по-
рождаемого универсальной кривой, соответствует изме-
нение параметра хс от х0 до х2-
Интересно выяснить характер зависимости формы
универсальной кривой и кривых семейства от изменения
9 Из этих рассуждений следует, что если функции Bi(x) и
В2(х) обе принадлежат к типу рис. 23 и отличаются лишь для
х > х*, то соответствующие-универсальные кривые _и семейства бу-
дут различаться лишь_для где нагрузка соответствует
случаю» когда длина 2х* является критической.
15] НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 217
параметров х0, *2 функции Л (%) (см. рис. 23). Пусть х0
фиксировано и х2->%о; интервал значений (х0, *2) пара-
метра хс стягивается к х0. Универсальная кривая вместе
с кривыми семейства опускается вниз (рис. 29), стяги-
ваясь к предельной кривой М^Р, которая при таком
предельном переходе остается неизменной. Если х0 1,
то уравнение предельной кривой получается из формул
(3.8), где следует положить хс = х0; в безразмерных
переменных (12.35) имеем
а*
1 +№* ’
(15.2)
Нетрудно показать (см. приложение А1), что пара-
метр а* с ростом х0 от 1 до оо монотонно возрастает от
k/б до = Д’(х^0)/А(хоо), =ch(nA/26). В частности,
при х0 = оо (В(х) — const — 1) предельная кривая
(15.2) занимает наивысшее возможное положение на
плоскости определяемое уравнением
21____аг
Л 1 + Ra\
(15.3)
а при хо — 1 — наинизшее возможное положение
1 + 7? (Л/д)
(15.4)
1 = 2
Л
218
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. П
в классе кривых, соответствующих функциям В(х) с об-
ластью постоянства, захватывающей электродную зону
|х|< 1. Если х0 < 1, то уравнение предельной кривой
МоаР получается из формулы (12.37), если заменить в
ней \ на х0 и считать В(х) = So = const1). В безраз-
мерных переменных имеем
х0
2------=----------.
1 + R (Х/6) х0
(15.5)
Эти рассуждения показывают, что универсальные
кривые 7(/?) вместе с определяемыми ими семействами
располагаются в части плоскости (7, Я), ограниченной
верхней предельной универсальной кривой (15.3) и ниж-
ней предельной универсальной кривой (15.4) или (15.5)
(рис. 31). Предельные универсальные кривые отвечают
Рис. 31.
R
функциям В(х), лишенным падающих участков, поэтому
кривые соответствующих семейств совпадают с самими
предельными кривыми. Это подтверждается тем, что
— 2d — _
гипербола 1R — —В(хс), хс < х2 в предельных случаях
х2 = хо и Хо = оо имеет уравнение TR = 26Д; послед-
нее определяет гиперболу, лежащую при любом конеч-
ном R выше верхней предельной универсальной кривой
(15.3) и совпадающую с ней лишь асимптотически при
-> оо.
*) См. рассуждения, следующие после формулы (12.37).
15] НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 219
Изложенное иллюстрируется рядом количественных
результатов, относящихся к каналам различной длины
при разных значениях нагрузки. Функция В(х) задава-
лась формулой
В(х) =
1,
1*1-1
е “
(15.6)
Параметр а был принят равным 1,5; значения парамет-
ров Х/6, 2хс варьировались. Были получены численные
решения уравнения (12.38) при краевых условиях
Рис. 32.
(12.26), (12.28), (12.39) с учетом описанного в п. 12
свойства инвариантности; функционал I вычислялся по
формуле (12.41). Расчеты производились на ЭЦВМ
БЭСМ-4.
На рис. 32, а представлены оптимальные кривые
тока Т(Р), соответствующие значениям параметров
Х/б = 1, хс = 2,5; данные расчетов приведены в табл. 1.
Кривая Р представляет собой участок универсальной
кривой семейства; МЖР есть предельная кривая
220
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Таблица 1
Хс и 1.2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2* 1,4* 1,5
ь 0 о,1 0,15 0,2 0,25 0,776 0,872* 0,766* 0
R 0 0,093 0,149 0,210 0,281 2,958 5,910* 2,634* 0
1/2? 1,189 1,070 1,010 0,951 0,891 0,262 0,148* 0,290* 1,353
хс 1,5 1,5 1,5 1,5* 1,7* 1,8 1,8 1,8 1,8
Г 0,2 0,4 0,617 0,715* 0,627* 0 0,2 0,35 0,485
R 0,186 0,502 1,243 1,983* 1,282* 0 0,179 0,390 0,695
1/27 1,075 0,797 0,496 0,361* 0,489* 1,416 1,119 0,897 0,698
1,8* 2,0 2,0 2,0* 2,5 2,5 2,5 2,5*
b 0,584* 0 0,25 0,512* 0 0,1 0,2 0,368
R_ 1,059* 0 0,237 0,777* 0 0,078 0,177 0,410
\/2i 0,552* 1,431 1,053 0,659* 1,490 1,286 1,132 0,902
Таблица 2
2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0* 2,2
- b 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,512* 0
R 0 0,136 0,310 0,539 0,857 1,417* 0
1/27 1,650 1,471 1,292 1,113 0,934 0,723* 1,699
Iе 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2* 2,6 2,6*
ь 0,1 0,2 0,3 0,4 0,449* 0 0,344*
R_ 0,132 0,302 0,531 .0,848 1,052* 0 0,647*
1/27 1,511 1,323 1,130 0,943 0,852* 1,749 1,063*
Хс 3,0 3,0* 4,0 4,0 4,0* 3,0
Ъ 0 0,263* 0 0,06 0,135* 0,13
R 0 0,429 0 0,072 0,180* 0,173
\/21 1,776 1,225 1,785 1,660 1,492* 1,506
151 НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 221
семейства, соответствующая хс = 1 или, что то же, ниж-
няя предельная кривая, соответствующая значению
а = оо; эта кривая описывается уравнением (15.4).
Критические значения 2хс (параметры семейства)
указаны около тех точек универсальной кривой, от ко-
торых отходят участки Afjl, ..., А455 кривых семейства.
На рис. 32, б и в табл. 2 представлены аналогичные
кривые и расчетные данные для Х/6 = 1/2, хс = 4.
Основной интерес представляет сравнение построен-
ных оптимальных кривых с кривыми ЦК), соответ-
ствующими неоптимальным режимам управления. На
рис. 33, а построены зависимости 7 (К), полученные в ре-
зультате численного решения ^адачи (2.4), (2.5) этой
главы при р = pmin = const, а = 1,5, К/8 = 1; парамет-
ром кривых является длина канала 2xc’). Каждая из
построенных кривых лежит левее соответствующей кри-
вой семейства, изображенного на рис. 32, а; в частности,
кривая MiP на рис. 32, а характеризует выигрыш в вели-
*) Эти кривые описываются уравнением (3.8) гл. II при соот-
ветствующем выборе параметров.
I
222 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
чине тока по сравнению с кривой рис. 33, а, соответ-
ствующей 2хс = 5;_ величина этого выигрыша макси-
мальна (5%) при Я = 0, равна 3,5% при R = 1 и моно- |
тонно стремится к нулю при /?->оо !). |
Если построить огибающую кривых рис. 33, а (эта |
огибающая не изображена на рис. 33, а), то получится ;
зависимость 7(Я) для канала исходной длины 2хс = 5,
подвергнутого частичной оптимизации путем выбора оп-
тимальной длины 2хс для каждого значения нагрузки R.
Сравнивая огибающую с кривой MiP рис. 32, а, обнару-
живаем влияние частичной оптимизации: относительное |
приращение тока уменьшается (в частности, при R = 1 >
оно составляет теперь 3,2%). I
_На рис. 33, б построены неоптимальные зависимости f
7(R) при р = pmin = const, а = 1,5, к/8 = 1/2; парамет-
ром кривых вновь служит длина канала 2хс. Сравнение
кривых рис. 33, б и рис. 32, б, соответствующих 2хс = 8,
показывает, что выигрыш по величине тока максимален
(5,5%) при R = 0, равен 4,7% при R = 1 и монотонно
стремится к нулю при R -> оо; вспоминая предыдущее,
находим, что при уменьшении К/8 выигрыш возрастает.
При учете частичной оптимизации выигрыш оказывается
равным 5,5% для Я = 0 и 1,8% для R = 1.
Частичную оптимизацию можно осуществить на прак-
тике, если в канал, заполненный однородно проводящей ;
средой (р = pmin), ввести ряд непроводящих перегоро-
док (п. 1), расположенных вдоль потока от торцов ка-
нала х = ±хс до уровня х = ±хсп (рис. 34, а, б), соот-
ветствующего оптимальной длине канала для каждого
значения R (см. рис. 32, а, б). Можно еще больше при-
близиться к точному оптимальному решению, если вве-
сти в канал дополнительные горизонтальные перего- |
родки. 1
Рассмотрим случай, когда в канал оптимальной дли- *
ны 2хс = 5, соответствующей сопротивлению R = 0,410
(табл. 1), введены две горизонтальные перегородки по ,
оси х до уровня ±Z (рис. 34,6). На рис. 35 изображена" '
зависимость 7(7) = 7 (/Д). Как видно, максимум тока
достигается при 7 = 0,34; относительное приращение
*) Относительный выигрыш по мощности вдвое превышает от-
носительный выигрыш по току.
15] НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 223
тока, даваемое точным оптимальным решением, умень-
шается при введении двух перегородок до 3%. Увеличе-
ние числа перегородок еще более улучшит результат.
В предшествующих рассуждениях предполагалось,
что условие Якоби выполнено; если это условие нару-
шено, то его не удастся восстановить локальными изме-
нениями удельного сопротивления (в том числе и гори-
зонтальными перегородками). Иллюстрацией этого мо-
жет служить пример п. 14 этой главы. Если канал
224
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ сопротивления в канале МГД [ГЛ. И
ограничен (замкнутыми накоротко) горизонтальными
электродами и вертикальными изоляторами, то при
В(х)^0 решение (14.9) удовлетворяет условию Вейер-
штрасса независимо от длины такого канала.
При этом, если В = то при
уХ > 2л[1 + (Х/б)2]!/2
решение (14.9) не удовлетворяет условию Якоби; этому
условию удовлетворяет решение (14.30), переход к ко-
торому сопровождается увеличением снимаемого тока.
С другой стороны, введение в такой канал одной или
нескольких непроводящих перегородок, либо уменьше-
ние скалярной электропроводности в какой-либо части
канала только уменьшает снимаемый с электродов ток.
Рост тока, связанный с решением (14.30), обусловлен
действием всей зоны тензорного удельного сопротивле-
ния. Если заменить эту зону последовательностью пере-
городок (форма которых определяется рис. 26), то
можно утверждать, что увеличение тока обусловлено
совокупным действием выделившихся на перегородках
зарядов.
161
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ
225
В заключение этого пункта приведем графики, изо-
бражающие линии тока в канале при оптимальном ре-
жиме управления (рис. 36) и неоптимальном (рис. 37)
режиме
р == Pmin Const
без перегородок. В обоих случаях выбран канал длиной
2хс = 5, нагруженный на сопротивление R = 0,237 и на-
ходящийся в поле (15.6) при а= 1,5 (на обоих рисун-
ках показана лишь четверть канала).
Как видно из графиков, неоптимальный режим ха-
рактеризуется четко выраженными вихрями тока, тогда
как в оптимальном режиме вихри полностью отсут-
ствуют.
16. Об одном классе задач
оптимального управления формой области.
Применение симметризации
Результаты предшествующих параграфов открывают
возможность нового подхода к разнообразным задачам
оптимизации формы тел. Традиционные примеры подоб-
ных задач представляют изопериметрические проблемы
математической физики [132].
Изопериметрические задачи получают естественное
обобщение, если вводится дифференциальная связь, от-
личающаяся от уравнения Эйлера изопериметрической
задачи.
В этом параграфе мы изучим задачу максимизации
тока I, снимаемого с мгд-канала, причем, в отличие от
п. 2, удельное сопротивление р(х, у) предположим за-
данным и постоянным, а форму боковых изолирующих
стенок канала СС и С'С' возьмем в качестве управле-
ния; площадь канала будем считать фиксированной:
^dxdy — S. (16.1)
G
Прежде чем перейти к рассмотрению этой задачи, воз-
вратимся к задаче п. 2 и представим ее в форме, кото-
рая окажется полезной для дальнейшего. Нетрудно про-
верить, что краевая задача (2.4), (2,5) равносильна
8 К. А. Лурье
226
распределения сопротивления в Канале мГд [Гл. п
вариационной проблеме
min Ф = min
Z2 Z2
J J р (grad z2)2 dx dy + 2R (z2.)2 — 2z2+et +
*- g
+ -| J J z2VB'(x)dxdy
g
e1 = ± j VBdy, (16.2)
cc
при дополнительных условиях z2(0, r/)=0, Z2 |BCCB = Z2+;
интегрирование в (16.2) распространяется на область
g — правую половину СВААВС канала (см. рис. 23),
а интеграл в формуле для 81 берется вдоль границы СС
в направлении снизу вверх. Условие г2(х, ±б) = 0 при
О х 6 и последнее условие (2.5) оказываются есте-
ственными для задачи (16.2).
Если ввести безразмерную переменную w формулой
z2=wz2+, то вместо (16.2) получим задачу
min |(z2+)2 J J Р (grad w)2 dx dy + 2/? —
— 2z2+8j + У Z2+ J J w VB' (x) dx dy\.
g '
Исключая z\ с помощью условия стационарности
Ci —- wVB' (x) dx dy
Z2+== , (16.3)
I J p (grad ay)2 dx dy + 2R
g
приходим к вариационной задаче
max
w
81 —c J ’ (x) dx dy
__________g___________________:
J J p (grad w)2 dx dy + 2R
при дополнительных условиях
u>(0, i/) = 0, w |BCCB= 1.
(16.4)
(16.5)
161 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ 227
Оптимальную задачу, поставленную в п. 2, можно
теперь сформулировать так: определить функцию р(х, у)
при ограничениях (2.7) по следующему экстремальному
требованию:
Si —- J J \х) dx dy
max z2+ = max -т—--------------------------------------;
P p J J P (§racJ w)2 dx dy + 2R
(16.6)
s
функционал z2+ зависит от p не только непосредственно,
но и через функцию ш, которая удовлетворяет условиям
(16.5) и экстремальному требованию (16.4).
Рассмотрим частный случай В(х) = Во = const.
В этом случае задачи (16.4) — (16.6) объединяются од-
ним экстремальным требованием
max z2 = max -т-:------------------ (16.7)
Р’ w Р’ w J I p (grad w)2 dx dy + 2R
s
при ограничениях (2.7) и (16.5). Задача п. 2 при В(х) —
= const сводится к простейшей проблеме (16.7): диф-
ференциальные связи (2.4) и последнее условие (2.5)
представляют уравнения Эйлера (по переменной w)
функционала т. е. того самого функционала, кото-
рый максимизируется и по переменной р.
Нетрудно видеть, в частности, что если управление р
удовлетворяет ограничениям (2.7), то максимум (16.7)
достигается, если р = pmin повсюду в канале. Иными
словами, при однородном поле В условие р = ртщ
достаточно для максимизации полного тока. Одновре-
менно приведенное рассуждение устанавливает и су-
ществование оптимального управления р в случае
В(х) = const.
Положение изменяется, если В(х) =# const. В этом
случае уравнения (2.4) и последнее условие (2.5) по-
рождаются задачей (16.4), т. е. задачей о максимуме
по w функционала, отличающегося от z2+. Максимум
функционала z2+ по р следует отыскивать при связях
(2.4), (2.5), (2.7); эта задача не является простейшей.
8*
228
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Возвратимся теперь к вопросу о наилучшей форме
боковых изолирующих стенок канала при заданно?! (по-
стоянной) функции удельного сопротивления среды:
р(х, у) = pmin = const. Очевидно, что эта задача равно-
сильна проблеме максимизации функционала (16.3) от-
носительно выбора формы стенки СС при функции ш,
заданной условием (16.4); при этом следует считать
р(х, у) = pmin = const. Если В (х) = const, то приходим
к вариационной задаче
max = max-------—------------------ (16.8)
cc,w CC.W pmIn J J (grad W)2dxdy + 2R
ё
при условиях (16.5). Заметим, что условие jn = 0 вы- 4
ражает изоляционное свойство неизвестной границы
СС(С,С/); это свойство можно приписать материальной ]
среде, примыкающей к каналу по границам СС и С'С'. j
Изменение формы канала можно трактовать как созда-
ние в его объеме включений из изолирующего (р = оо)
материала окружающей среды, а в окружающей среде —
включений из материала с р(х, у) = pmin.
Исследуем влияние на функционал I изолирующего
включения, имеющего форму бесконечно тонкой полоски
малой длины а. Выражение для приращения А/, созда-
ваемого таким включением, легко получить с помощью j
формул (3.6) и (3.7) гл. I, в которых следует заменить и
на р, a U на Р. Переходя к пределу Р -> оо, интегрируя
по эллипсу с полуосями а и b (ориентированными, соот- ,
ветственно, по направлениям а и (3) и полагая в окон- 1
чательном результате b = 0, получим (см. (3.4) гл. I) J
А/ = Ш12/р(02р ==: Рш1п^^2/р^р
(* = ( — (0^, со1х)).
Поскольку р — любое направление в данной точке,
для максимизации I необходимо, чтобы почти всюду в I
области было |
7tU- (16.9) I
Бесконечно тонкое включение не нарушает изоперимет-
161
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ
229
рического равенства (16.1); поэтому условие (16.9) не-
обходимо для оптимальности. С другой стороны, на
неизвестных границах СС и C'C' должны быть выпол-
нены равенства *)
jtkt = у — const, (16.10)
где t — орт касательной к неизвестной границе, а у —
постоянный множитель Лагранжа, соответствующий
ограничению. (16.1). Будем считать, что параметр S в
(16.1) выбран так, что постоянная у равна нулю.
Вектор / определяется из краевой задачи (2.4), (2.5)
этой главы, а вектор fe-т-из краевой задачи (3.4), (3.5)
гл. I. Эти задачи отличаются типом неоднородности, ко-
торая в первом случае входит в уравнения, а во вто-
ром — в граничное условие. Можно убедиться, что век-
тор k имеет смысл (фиктивной) плотности тока в сопря-
женной задаче (3.4), (3.5) гл. I. Если В(х) = const,
то условие (16.9) выполняется (см. (3.7)). Если же
В(х) Ф const, то это условие не может быть выполнено
почти всюду в канале при непрерывно дифференцируе-
мой свободной границе СбДС'С'). Чтобы убедиться в
этом, достаточно сравнить рис. 9, где показаны вектор-
ные линии — k, с рис. 38, б —> д, изображающими век=-
торные линии / для поля В(х), заданного графиком
рис. 38, а, при различных положениях свободных границ
СС и С'С'.
Как видим, по мере увеличения длины канала в нем
появляются и развиваются вихри тока, которые препят-
ствуют выполнению условия (16.9) внутри области и
условия (16.10) на свободной границе. Особенно отчет-
ливо это проявляется в случае у = 0: плотность тока j
обращается в нуль только в критических точках (на
рис. 38, в — д в центре вихрей), и условие jtkt = 0 не
может быть выполнено вдоль всей свободной границы
СС (C'C7).
9 Эти соотношения могут быть получены по аналогии с по-
следним условием Вейерштрасса — Эрдманна (2.12) гл. I в предпо-
ложении о достаточной гладкости границ СС и С'С'; нужно принять
во внимание, что на этих границах функция coi сохраняет постоян-
ное значение (см. (3.5) гл. I).
230
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
Если свободная граница обладает достаточно глубо-
кими извивами (рис. 38,(9), то крупный вихрь разби-
вается на ряд более мелких, число критических точек
увеличивается, но условия (16.9) и (16.10) по-прежнему
не удовлетворяются.
Этим условиям можно удовлетворить при надлежа-
щем видоизменении постановки задачи, именно, путем
введения тензорного удельного сопротивления, как это
сделано в п. 10 настоящей гла-
вы. Можно считать, что описа-
ние удельного сопротивления
с помощью симметричного тен-
зора получается как предель-
ный случай распределения, при
котором в канал с р(х, у) =
= pmin = const введено боль-
шое количество параллельных
бесконечно тонких изоли-
рующих перегородок, ориенти-
рованных надлежащим обра-
зом (очевидно, эти перегород-
ки задают направления одной
из главных осей тензора р).
Перегородки можно трактовать
как изолированные ветви гра-
ницы области.
Основное преимущество но-
вой формулировки состоит в
том, что она в общем случае
В(х) =# const по существу ис-
ключает дифференциальные ог-
раничения, и задача вновь ста-
новится изопериметрической.
этой главы было показано, что
так поставленная задача сводится к проблеме максими-
зации (13.13) при ограничениях (13.11)1, (13.11)2, или,
что то же, при ограничениях (16.5); разумеется, сюда
следует присоединить и требование (16.1). Эта проблема,
сформулированная в общем случае В (х) =# const при
тензорной функции р (х, у), имеет точно такую же струк-
туру, что и аналогичная задача (16.8), (16.5), (16.1),
поставленная в случае В(х) = const при скалярной
161
ОПТИМАЛЬНОЕ управление формой области
231
функции ') р(х, у) = pmin = const; при В(х) = const
проблема (13.13), (16.5) сводится к (16.8), (16.5). Мы
видели, что для В{х) — const условие (16.9) выпол-
няется при скалярном удельном сопротивлении; для
В(х) const этому условию удается удовлетворить
только при тензорном удельном сопротивлении. По сути
дела, основной причиной этого является то обстоятель-
ство, что введение тензорного сопротивления превращает
оптимальную задачу с дифференциальными связями в
изопериметрическую задачу.
Обращаясь к задаче (13.13), (16.5) отметим, что, со-
гласно результатам предшествующих параграфов, для
достижения максимума необходимо выполнение условия
/ VBdy
L (w)
почти всюду в g. Это условие равносильно (16.9); оно
явилось следствием рассмотрения локальных вариа-
ций — полоскообразных включений, описанных в п. 14
(сноска на стр. 193). Подобные вариации совместимы с
ограничением (16.1). Там же, в п. 14, были рассмотрены
слабые глобальные вариации линии тока, удовлетворяю-
щие (16.1); они привели к необходимому условию Якоби.
Вариации каждого из этих видов характеризуют
определенные свойства оптимального решения, но они
мало приспособлены для доказательства его существо-
вания. Изопериметрический характер задачи (13.13)
(16.5), (16.1) позволяет применить для этой цели вариа-
ции существенно иного типа: речь идет о геометрической
операции, известной под названием симметризации
Штейнера. Подробное описание этой операции можно
найти в книге Полна и Сеге [132]; ссылаясь на нее, да-
дим здесь определение симметризации и перечислим ее
основные свойства.
!) Чтобы правильно провести сравнение, нужно положить R = 0
в (16.8) Сказанное сохраняет силу и при =И= 0; в этом случае,
следуя п. 12, мы должны заменить В(х) в (13.13) на
R(x} ClR
В 2V6
(считаем V — const); к аналогичной форме нетрудно привести и
вариационную задачу (16.8).
232
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
Пусть В — некоторое тело в трехмерном простран-
стве, а Р— плоскость, называемая далее плоскостью
симметризации. Симметризация тела В относительно
плоскости Р заключается в том, что строится другое
тело В*, характеризуемое следующим образом:
(I) В* симметрично относительно Р.
(II) Любая прямая, перпендикулярная к Р и пере-
секающая одно из тел В или В*, пересекает также и
другое; хорды, высекамые на этой прямой обеими те-
лами, имеют одинаковую длину.
(III) Пересечение рассматриваемой прямой с В* со-
стоит только из одного отрезка, который может сво-
диться к точке (пересечение с В может состоять из не-
скольких отрезков). Этот отрезок делится плоскостью Р
пополам.
Рассмотрим плоскость Q, перпендикулярную к В и
пересекающую ее по прямой /. Плоские фигуры, полу-
чающиеся при пересечении Q с телами В и В*, назовем
соответственно b и Ь*. Мы говорим, что фигура b (кото-
рая может быть многосвязной или представлять собой
объединение нескольких фигур различной связности)
переходит в фигуру Ь* путем симметризации относи-
тельно прямой I. Эта прямая называется осью симметри-
зации.
• Фигура симметрична относительно оси /; всякая
прямая, перпендикулярная к /, пересекает границу 6* не
более чем в двух симметрично расположенных точках.
Рис. 39.
Пример симметризации указан на рис. 39: фигура Б
получается симметризацией А относительно оси у, а фи-
гура В — симметризацией Б относительно оси х. Резуль-
тат последовательных симметризаций относительно
двух различных осей зависит от порядка выполнения
161
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ
233
симметризаций. В результате симметризации относи-
тельно двух взаимно перпендикулярных осей получается
односвязная фигура, симметричная относительно этих
осей и ограниченная монотонными относительно них
кривыми.
Значение симметризации для задач математической
физики определяется тем, что при ее осуществлении
остаются неизменными некоторые важные функционалы;
ряд других функционалов изменяется при симметриза-
ции во вполне определенных направлениях. Детальное
изложение этих свойств симметризации можно найти
в [132]; для наших целей достаточно указать лишь не-
сколько таких свойств.
1) Симметризация тела относительно любой плоско-
сти оставляет неизменным его объем и не увеличивает
площадь поверхности. Симметризация плоской фигуры
относительно любой прямой, лежащей в ее плоскости,
оставляет неизменной площадь и не увеличивает пери-
метр этой фигуры.
2) Симметризация не увеличивает интеграл Дирихле
положительной функции, обращающейся в нуль1) на
границе. Поясним этот результат. Пусть D — область
плоскости (х, у), а /(х, у) — функция, положительная
в D и обращающаяся в нуль на ее границе. Рассмотрим
точки (х, z/, z); (х, у) принадлежит D и 0<г<7(х, у).
Множество таких точек образует некоторое тело В;
это тело ограничено основанием D и «верхней поверх-
ностью» Z = f(x, у).
При симметризации тела В относительно плоскости
(у, z) площадь его поверхности не увеличивается; фак-
тически это относится лишь к площади верхней поверх-
ности, так как площадь основания остается неизменной.
Итак,
П [1 + П + W2 dx > п [1 + (fy + (f ;)2]1/2 dx dy.
D D*
Здесь D* — симметризованное основание, a z—f*(xty) —
симметризованная верхняя поверхность. Заменим в по-
f) Результат не изменится, если определить эту функцию с точ-
ностью до постоянного слагаемого.
234
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
следнем неравенстве f на в/, где 8 — малая положитель-
ная постоянная, и разложим обе части в ряд по степе-
ням 8. Принимая во внимание, что D и D* имеют одина-
ковую площадь, и переходя к пределу г -> 0, получим
j J (П + П) dx dy > j + (ВД dx dy,
D D*
что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к задаче (13.13), (16.5), (16.1) и
проследим за действием симметризации на функционал,
входящий в (13.13), а именно
( j dw |J В (х) dy |
J J (?ш)2 dx dy
G
(без ущерба для результата можно считать, что V=const)A
Функция w нечетна по х; она определена во всей ра-
бочей области G канала ССС'С' (см. рис. 20). Как и
ранее, предполагаем, что линии уровня функции w не-
прерывны и соединяют электроды.
Возьмем полосу шириной 26 и построим в ней две
одинаковые области G и Gb не налегающие одна на
Рис. 40.
другую (рис. 40). Обозначим через Е область, состоя-
щую из G, Gi и части D полосы, расположенной между <
ними; область Е ограничена кривыми В'С'С'В', В\С\С\В\
и двумя отрезками прямых у = ±6. Кривые В'С'С'В',
ВССВ, В\С\С\В\ и В\С'\С'\В'\ будем считать варьируемы-
161
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ
235
ми кривыми, расположенными вне прямоугольников
В'ВВВ' и В\В\В'\В\> но внутри полосы. В частности, не
обязательно требовать, чтобы эти кривые содержали
горизонтальные участки В'С', ВС, В\С\, В\С\\ допусти-
мыми являются конфигурации, отмеченные на рис. 40
пунктиром. Площадь каждой из областей C(Gi) будем
считать заданной равенством (16.1).
Определим функцию w в Е следующим образом:
w = —1 на В'С'С'В' и В'{С\С\В\, w — 1 на ВССВ и
В\С\С\ВХ и в области D между ними, т. е. в тех точках
области Е, которые не лежат ни в G, ни в G\, В откры-
той области G функция w дважды непрерывно диффе-
ренцируема по совокупности переменных х, у, и произ-
водные wx, wy одновременно не обращаются в нуль; ли-
нии уровня w = const соединяют верхний и нижний
электроды В'В друг с другом, причем параметр w на
этих линиях монотонно возрастает от —1 на В'С'С'В'
до 1 на ВССВ. В области Gj функция w строится по
четности. В целом w непрерывна в Е, и функционал
(7ш)2 dx dy
( 1 -------г----------\2
2\ J \/ "бГ J # W j
J J (?ш)2 dx dy
G
(Vo?)2 dx dy
(16.11)
равен 2pminA Обозначим через W (£) множество функ-
ций w, определенных на £ и обладающих указанными
свойствами.
Введем прямоугольные координаты х, у, z так, чтобы
область Е лежала в плокости z == —1. Обозначим че-
рез В тело, ограниченное снизу Е, сверху — поверх-
ностью z = w (х, у), а с боков — двумя плоскостями
У = ±6. Согласно сказанному выше, сечения гела В
плоскостями z — const являются односвязными пло-
скими областями.
236
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. И
Симметризуем тело В относительно плоскости yz\
при этом В, Е, G, Gi, D, w, 1 переходят в В*, Е*, G*, GJ,
£)*, /*. Область £* получается в результате симме-
тризации Е относительно оси у\ при этом mes E = mes Е*.
Область D является проекцией на плоскость z = —1
горизонтальной (лежащей в плоскости z = 1) части по-
верхности тела В; при симметризации В эта часть по-
верхности симметризуется относительно оси, параллель-
ной оси у и лежащей в плоскости z = 1, а ее проекция
D — относительно оси, параллельной оси у и лежащей
в плоскости z = —1. В результате оказывается, что
mes D = mes D*, следовательно, mes С = mes G* и
mes Gi = mes Gi, т. e. симметризация не нарушает усло-
вия (16.1). Поверхность тела В при симметризации не
увеличивается; уменьшиться
выполнения условия
могут лишь те части В, ко-
торые имеют горизонталь-
ными проекциями области
G и Gi. Переходя, как это
сделано выше, от пло-
щади поверхности к ин-
тегралу Дирихле, заклю-
чаем, что знаменатель
правой части (16.11) при
симметризации относи-
тельно плоскости yz не
возрастает.
Поведение числителя
(16.11) при симметриза-
ции этого типа зависит
от характера функции В(х). Рассмотрим рис. 41, где
изображена четверть канала; пусть линия тока
w = имевшая до симметризации форму tabcde, пере-
ходит после симметризации в линию fade. Для того, что-
бы числитель (16.11) при этом не убывал, достаточно
j B(x)dz/> J B(x)dy,
ad abed
или
J В (x3—x2+ %1) dy^ J В (x3) dy + J В (x2) dy + j В (xj dy,
ad ab be cd
161
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ
237
а для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы для лю-
бых Xi х2 х3 соблюдалось неравенство
В (х3 — х2 + хх) > В (х3) — В (х2) + В (х,).
Полагая в последнем неравенстве x2 = ^Xi + (1— Х)хз,
О X 1, получим эквивалентное условие
В [(1 - X) + Хх3] + В [Хх, + (1 - Л) х3] > В (хО + В (х3).
Это условие показывает, что функция В(х) выпукла
сверху. Итак, если В(х) выпукла сверху, т. е. изобража-
ется графиком типа рис. 42, то /* I. Иными словами,
симметризация относительно плоскости yz не умень-
шает ток, снимаемый с электродов.
Рассмотрим теперь влияние симметризации относи-
тельно плоскости xz. Аналогично предыдущему дока-
жем, что знаменатель (16.11) не возрастает (при дока-
зательстве используется требование, чтобы криволиней-
ные участки С'С', СС, CiCi, С\С\ границ областей G,
Gi были расположены вне прямоугольников ВВ'В'В,
В\В\В\В\ на рис. 40, так как благодаря этому требова-
нию удается сохранить электроды на расстоянии 26 друг
от друга после симметризации). Что касается числителя,
то он не изменяется при симметризации относительно xz.
Для доказательства предположим, что участки линий
тока, расположенные в электродной зоне |х| X, мо-
нотонны в соответствующих квадрантах, и извивы линий
тока могут располагаться только при |х| > X.
238
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ В КАНАЛЕ МГД [ГЛ. II
Интеграл (рис. 43)
а Ь с
J B(x)dy = J B(x)dy + J B(x)dy -b J B(x)dy
fabc fab
после симметризации заменяется равным ему интегра-
лом
J B(x)dy = j B(x)d(yl — y2 + y3) =
fc fc
c a a
= j B(x)dy — j B(x)dy + j B(x)dy\
ь b f
интегралы j B(x)dy, взятые по линиям тока (или их
частям), расположенным в электродной зоне |х| X,
^/), если В(х) выпукла
не меняются вследствие
дополнительного условия,
наложенного на кривые
сравнения.
В результате симмет-
ризации относительно
двух плоскостей симмет-
рии (yz и xz) линии тока
в канале оказываются мо-
нотонными в соответст-
вующих квадрантах. Сим-
метризация сохраняет ра-
венство (16.1) и не умень-
шает функционал / (/*
сверху; при этом усло-
вии естественно искать область, максимизирующую /,
в классе областей, симметричных относительно осей х и
у и ограниченных монотонными кривыми. Как видим, при-
менение симметризации позволило исключить из рассмот-
рения области, границы которых обладают извивами при
условии, если эти извивы расположены за пределами
электродной зоны.
Функции w из W(G) принадлежат классу C2(G) и
поэтому образуют множество, компактное в Ci(G). Из
любой последовательности wn^W(G) можно извлечь
подпоследовательность, равномерно сходящуюся вместе
16]
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ФОРМОЙ ОБЛАСТИ
239
с первыми производными к непрерывно дифференцируе-
мой функции w\ при этом в силу непрерывности
7 [шД —► / [z^] = max I. Функция w монотонна по х при
фиксированном у и, обратно, монотонна по у при фик-
сированном х, так как функции wn обладают этим свой-
ством.
Далее, функция w как предел последовательности
элементов wn е Сг(С) обладает обобщенными произ-
водными второго порядка, принадлежащими L2 (G). По-
этому она удовлетворяет уравнению Эйлера
« а (х)
/ + ,
2cpmln 1/ у / V&dy
г L (w)
где постоянная f+ определяется формулой (13.12). Если
производная Вх(х) удовлетворяет условию Липшица, то
w обладает непрерывными производными второго по-
рядка, т. е. является классическим решением уравнения
Эйлера. Этот результат можно получить методами, близ-
кими к использованным в монографии [91], гл. IV.
ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В теории упругости возникает множество задач, ко-
торые естественно формулируются как проблемы опти-
мального управления. Роль управляющих факторов в
этих задачах могут выполнять функции, описывающие
распределение внешних сил (нагрузок), а также функ-
ции или параметры, задающие форму конструкций или
их внутреннюю структуру, т. е. описывающие распреде-
ление упругих характеристик материала.
Имеющиеся в литературе примеры задач оптимиза-
ции в теории упругости отличаются большим разно-
образием постановок и методов решения. Известные
обзорные статьи [142, 63, 325, 339] дают достаточно под-
робное представление о современном состоянии во-
проса.
В настоящей главе будет рассмотрено несколько
оптимальных задач теории упругости. Несмотря на раз-
личное механическое содержание, эти задачи обнаружи-
вают сходство между собой и с задачей гл. II в отноше-
нии способа зависимости уравнений связи от управляю-
щих функций: во всех случаях эти функции входят в
главную часть основного дифференциального оператора.
Тем не менее, индивидуальные особенности отдельных
задач порождают заметные различия в структуре опти-
мальных решений.
1. Оптимальное распределение модуля сдвига
материала призматического стержня, находящегося
в условиях кручения. Постановка задачи
и доказательство существования оптимальных решений
Пусть имеется призматический стержень заданного
односвязного поперечного сечения G, ограниченного
гладкой кривой Г. Материал стержня предполагается
линейно упругим и неоднородным; упругую податли-
п
ПРИЗМАТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
241
вость1) этого материала и(х, у) будем считать принад-
лежащей некоторым подмножествам множества А про-
странства Loo (О) измеримых функций, заданного усло-
вием
Л: 0 < vraimaxu(x, y)<wmax < оо. (1.1)
Именно, присоединяя к (1.1) ограничение (а—целое
число)
Hdxdy mes О 1 /< л \
—(1.2а)
G U
получим определение подмножества Д_а, а добавляя к
(1.1) требование
| J uadxdy = u%mesG, а>1, (1.26)
G
получим определение подмножества Аа. Равенства
(1.2а), (1.26) можно трактовать как условные оценки
стоимости применяемого материала. (Символами umin,
Umax, ^1, и2 обозначены постоянные.) Если угол закру-
чивания на единицу длины стержня (степень кручения)
Рис. 44.
принять равным единице, то составляющие вектора пе-
ремещения и будут определяться формулами (рис. 44)
И| = — Х3Х2, U2 — X3Xl, U3 = Z1 (хь х2). (1.3)
Функция г1 (Хь х2) — депланация точек стержня —
подлежит определению из уравнения равновесия
дЛз I dt23 «
dxt дх2 ’
*) Податливостью называем величину, обратную модулю сдвц-
(1.4)
242
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
в котором составляющие напряжения /13, /2з связаны
с составляющими деформации
_______\ ( ди3 t дщ \ а/.2\ , .
13 2 \ дх\ ‘ дх3 J ’ 23 2 \ дх2 дх3 ) \ • /
формулами
е13 = ум^13, 823 = -2 «/2з> (1.6)
выражающими закон Гука.
Уравнению равновесия удовлетворим, введя функцию
Прандтля z2(xi,x2) с помощью формул
принимая во внимание соотношения (1.3), (1.5) и (1.6),
получим систему уравнений относительно двух функций
г1, z2 (для независимых переменных xt, х2 примем обо-
значения х, у):
z[x = uz2+y, z'y = — uz-x — x. (1.8)
Если положить
= 4 = (1-9)
то система (1.8) примет нормальную форму
4= — «£' + У’ 4 = — «£2 — х’ '
z2__f> z2__ __fl (1-Ю)
Граничное условие
z2 = const на Г (1.11)
выражает отсутствие внешних сил на боковой поверхно-
сти стержня. Постоянную в (1.11) можно без ущерба
для общности считать равной нулю.
Жесткость кручения, т. е. крутящий момент, соот-
ветствующий единичной степени кручения, выражается
интегралом
/= 2 j j z2dxdy. (1.12)
G
Величина этого интеграла зависит от распределения
податливости и(х, у) по сечению стержня: / = / [и]. На-
]] ПРИЗМАТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ ПРИ КРУЧЕНИИ 243
шей целью будет отыскание такого распределения
и(х, у) е Аа(А_а), чтобы жесткость стержня I дости-
гала максимума (задача I), либо минимума (за-
дача II).
Прежде чем перейти к доказательству существова-
ния решений поставленных оптимальных задач, сформу-
лируем краевую проблему (1.10), (1.11) в виде инте-
грального тождества. Функцию z2(x, у) е W'2(G) опреде-
лим тождеством
j J «(grads2, grad<р)dxdy = 2 J j qdxdy, (1.13)
G G
О I О I
справедливым для всех qp e W2 (G)> где IF2(G) — про-
странство функций, исчезающих на Г и обладающих в G
интегрируемыми с квадратом обобщенными производ-
ными первого порядка. Для достаточно гладких функ-
ций и тождество (1.13) равносильно краевой задаче
div и grad z2 = —2, г2|г = 0, (1.14)
совпадающей с (1.10), (1.11). Иными словами, речь
идеФ об определении обобщенного решения этой крае-
вой задачи; если функция и<=А задана, то такое реше-
ние существует и единственно [91].
Рассмотрим сначала случай минимума /, считая
и е Л. Итак, пусть vn е А —допустимые управления, а
zn е IF2 (G) — соответствующие решения задачи (1.13).
Последовательность vn ограничена в Loo (С); можно счи-
тать, что она слабо сходится кив этом пространстве.
Предельный элемент v А в силу того, что множество
А слабо компактно в себе.
Обозначим через z2 решение задачи (1.13), соответ-
ствующее управлению и; имеем:
Z[v]= 2 j j z2 dxdy =
G
— (* j v(gradz2)2dxdy = J j vn(gradz2, grad z2)dx dy —
G G
= 2 j j vn(gradz2n, grad z2)dxdy — j J v (gradz2)2dx dy\
G G
244
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
здесь мы воспользовались тождеством (1.13) для ср =
= г2. Далее,
Z[vn] —/[f] =
= J J vjgradz'ffdxdy — 2 j j vn(gradz2, grad z*)dxdy+
G Q
+ j j v (grad г2)2 dx dy + j j vn (grad г2)2 dx dy —
G G
— / j vn(grad z )2 dxdy = J J иДgrad (г2 ““ z2))2 dx dy--
G *G
— | j (vn — u)(gradz2)2dxdr/. (1.15)
G
Отсюда в силу слабой сходимости vn —* v заключаем,
что
Z[u]< lim Z[vrt], (1.16)
П->оо
т. e. функционал / [о] слабо полунепрерывен снизу.
Пусть ип — минимизирующая последовательность
для I [и]:
lim I [м„] = /,
где j — inf 7[v]. Согласно определению, для любого
А
и А имеем I [и] /. С другой стороны, в силу (1.16)
I [w] /, и следовательно,
/[«] = /,
т. е. функционал (1.12) достигает минимума. Полагая в
(1.15) vn — ип, v = и и пользуясь ограничивающим не-
равенством 0 < Umin и, находим, что
lim f f (grad(^ — z-Xf dx dy = 0,
или, в силу краевого условия,
lim IIz2 — z2K\ — О,
11
ПРИЗМАТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ ПРИ КРУЧЕНИЙ
245
т. е. приближенные решения z2n оптимальной задачи
сильно сходятся к минимизирующей функции z.
Приведенное доказательство сохранит силу, если су-
зить класс допустимых управлений до множества Ль
Действительно, если последовательность vn слабо схо-
дится к v в Loo (G), то она слабо сходится к тому же
пределу и в LJG). Предельный элемент v e4j: это вы-
текает из определения слабой сходимости вместе с огра-
ничением (1.26). Тем самым существование решения за-
дачи Пб при а = 1 доказано.
Отметим, что доказательство не проходит в случае
а > 1 вследствие того, что слабый предел v (в норме
La(G)) последовательности может не принад-
лежать Аа в силу того, что сфера (1.26) в пространстве
La(G), a > 1, не обладает свойством слабой компакт-
ности в себе. Таким свойством обладает шар ]) [104]
f f «mIn < и0 < «тах, (1.17)
G
поэтому существование решения задачи II при a > 1
можно гарантировать при более слабом ограничении
(1.17), заменяющем (1.26).
Доказательство существования решения задачи I на-
талкивается на дополнительные трудности. Здесь тре-
буется, строго говоря, только полунепрерывность 1[и]
сверху, однако ее не удается установить, основываясь на
одной лишь слабой компактности множества управле-
ний. Если поменять местами vn и v, а также z2n и z2 в
формуле (1.15), то получим
/[»] — / [vn] = j | V (grad (z2 — z2))2 dx dy —
G
_ J | (v _ у J (grad ^2 dx dy .
G
Полунепрерывность сверху вытекала бы отсюда, если
бы второй интеграл в правой части стремился к нулю
4) По-видимому, более естественно в ограничениях (1.2а),
(1.26) перейти от знаков равенства к знакам мы, однако, не
будем этого делать, так как связанные с таким переходом видоиз-
менения необходимых условий совершенно очевидны.
246
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
при и —* оо. Но это не следует из слабой сходимости vn
к v\ поэтому, чтобы гарантировать существование реше-
ния, приходится характеризовать множества допустимых
управлений так, чтобы они были компактны в нормах
соответствующих пространств.
Мы воспользуемся общей теоремой, доказанной
У. Е. Райтумом в [135] для задачи
L z = ^7 [ао z +
4- at (х, и (х)) г (х) +а (х, и (х), z (х)) =
= /0(х, и(х)) 4- ^-fl(x, u(x))^g(u) ....n),
xsG, u^R, 2(x) = 0 на Г при минимизируемом функ-
ционале
/• " п
/[«]= J ]►>(*, й(х), z(x))~z(x) +
Q L /=1 {
4- Fo (х, и (х), z (х)) dx.
Множество R предполагается ограниченным.
Пусть выполнены условия:
1) ац(х, и) = ац(х, и), и для всех (х, и) е G X R и
для любого вектора (£ь ..., £п) выполняется соотноше-
ние
а,/ (х, и) hlj С v&t,, v > 0;
2) функции atj(x,u), а{(х,и), а(х,и), fi(x,u), fo(x,
и), Fi(x,u,z), F0(x, и, z) (i, j = 1, n) на множестве
G X co R X (—°0, 00) имеют первые и вторые производ-
ные по (и, г), которые вместе с самими функциями не-
прерывны по (и, z)<= со R Х(—°°> оо),^кусочно-непре-
рывны по xeG и ограничены на GXcoT? при любом
конечном z (если п 5, то функции F{ (i = 1, ..., п)
линейны по z);
3) при любом и е R функции f, (x, и) (i = 1, ..., п)
имеют кусочно-непрерывные производные по х,-, которые
ограничены на G;
1]
ПРИЗМАТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
247
4) для всех и е R операторы L(u) имеют ограничен-
ные обратные операторы [L(i/)]-1, норма которых огра-
ничена сверху числом, не зависящим от и R,
Эти условия гарантируют принадлежность всех z =
= z(u), u^R ограниченным множествам в простран-
ствах w2 (G) и Со, a(G) с некоторым а>0 [91].
Теорема (У. Е. Райтум [135]). Если выполнены по-
ставленные условия, то функционал / ограничен на R
и непрерывен по и е /? е Lx (G), т. е. для любого uQ е R
и е > 0 существует такое б > 0, что из и е /?, || и —
— < 6 следует | Z [w] — /[u0] I < е.
Доказательство. Так как все z = z(u), и е R
° 1
принадлежат ограниченным множествам в Wi(G) и
COa(G) и выполнено условие 2), то достаточно показать,
что из ||м —м0Н, ,О(-*0 следует ||z(h) —z(n0)||oi ->0.
Положим Аи — и—и0, Az = z (и) — z (и0), AL=L(u) —
— L(u0), Ag = g(u) — g(u0), zo = z(u0). Тогда, в силу
линейности L(u),
L (w) Az — — ALz0 + Ag.
Поскольку выполнено условие 4), достаточно показать,
что
1Л“-'2ч-Л/‘1и^°........
I + Aaz0 — (0) -* 0.
Здесь
Да,, — ач (х, и) — аи (х, м0)
и т. д.
С помощью неравенства Коши можно оценку суммы
свести к оценке отдельных слагаемых. Возьмем одно
из них, например, АапгОл. . Из ограниченности У? и из
II Ди II, (G( < е получаем, что mesG' < G' =
= {х: | Ди|> |/е). Так как выполнено условие 2), то
в множестве G/G' । Дап | < с е и
( (А«игоГ|)2 [ (Даигох,)2^4-cei|z0l|2OI .
248 ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
Величина | Лац равномерно ограничена при и е /?;
так как mesG'< Iх е, из абсолютной непрерывности ин-
теграла заключаем, что Aan^Oxi стремится к нулю в
L2(G), если Ди->0 в пространстве Li(G), что и требо-
валось доказать. Для остальных слагаемых оценка по-
лучается аналогично.
Доказанная теорема устанавливает непрерывность
функционала 1[и] в пространстве Li(G), и ее примене-
ние связано с введением последовательностей, сходя-
щихся в норме этого пространства; отсюда, по доказан-
ной теореме, будет вытекать непрерывность функцио-
нала и достижение им своих граней. Мы видели, что для
задачи Иб при а=1 существование оптимального
решения доказывается и без введения сильно сходя-
щихся последовательностей; при а > 1 достаточно уже
заменить (1.26) более слабым ограничением (1.17).
Приведенная теорема в полной мере проявляет себя в
применении к задаче I, для которой доказательство су-
ществования удается провести ценой дополнительных
предположений о допустимых управлениях. Пусть, на-
пример, множество допустимых управлений таково, что
его элементы отличаются от заданной ограниченной из-
меримой функции в пределах конечного числа заданных
непересекающихся областей, где допустимые управления
отличаются от оптимальных постоянными слагаемыми.
Такое множество управлений, будучи конечномерным,
компактно, и в нем существует оптимальный элемент.
Напомним, что варьирование в малой области (полоске,
кружке), введенное в предыдущих главах, приводит
к допустимым управлениям описанного здесь типа.
При этом, однако, существование оптимального огра-
ниченного измеримого управления предполагается, а не
доказывается. В общем случае подобная процедура
варьирования приводит к способу построения максими-
зирующей (минимизирующей) последовательности
управлений1); необходимые условия получаются тогда,
когда удается гарантировать существование оптималь-
ного управления.
В последующих трех пунктах будут построены необ-
ходимые условия, которым должны удовлетворять опти-
4) Для задачи гл. II такой способ указан в приложении Д2.
2] НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ (ЗАДАЧА ta) 249
мальные управления в задачах 1а, 16, Па, если эти уп-
равления существуют.
В п. 5 мы выведем необходимые условия для задачи
Пб с ограничением (1.26) при а = 1 и с ограничением
(1.17) при а > 1.
2. Необходимые условия оптимальности (задача 1а)
Рассматривается задача о максимуме функционала /
при связях (1.10), (1.11) и ограничениях на управление
(1.1), (1.2а). В соответствии с общей теорией вводим
множители Лагранжа -щ, £2, т]2, Y> отвечающие урав-
нениям (1.10) и ограничению (1.2а), а также множитель
Г*, относящийся к ограничению (1.1), записанному в
эквивалентной форме (ср. (1.28)# гл. I)
(^тах и) (и ^mln) U* = 0. (2.1)
С помощью введенных множителей строим функ-
цию Н
Н = Т]1Н:2 + ^у - Л1х + и2 - + 2г2 -
— Y-^r + r*[(«niax — и) (и — «т1п)~ и2] (2.2)
и составляем необходимые условия стационарности
= “ 2, (2.3)
11« + П2 = 0, щи —£2 = 0, (2.4)
- t.t1 - nit2 + У -£г - Г (2« - «тах - umI„) = 0, (2.5)
гч=о.
Уравнениям (2.3) удовлетворим, введя функции coj,
«2 при помощи формул
£1 == ®Ц/> ?2 + х ~ ®2у> 1 -g g.
П1 = ®1Х, П2 + £/ = ®2х! J ' ' ’
равенства (2.4) приводятся к виду (ср. (1.8))
®2х ~~“ I У, <>>2 у «®1х
откуда вытекает уравнение
div u grad со; = —2. (2.7)
250
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ill
Вдоль границы Г выполнено естественное граничное ус-
ловие (см. (2.10) гл. I)
+®1Л = °>
ИЛИ
О] |г = const. (2.8)
Функция (01 определяется уравнением (2.7) с точ-
ностью до постоянной; пользуясь этим, можно считать
постоянную в краевом условии (2.8) равной нулю.
Сравнивая краевые задачи (1.14) и (2.7), (2.8) и
пользуясь единственностью, заключаем, что
z2 = coj. (2.9)
Этот результат служит источником ряда отличительных
особенностей рассматриваемых задач оптимизации.
Перейдем к составлению необходимого условия Вей-
ерштрасса. Как и ранее, формальные выкладки будем
вести, предполагая классический характер оптималь-
ного решения; справедливость результатов для обоб-
щенных решений доказывается по аналогии с рассужде-
ниями п. 6 гл. I.
Обозначая, как и прежде, малыми буквами опти-
мальные величины, а большими — соответствующие до-
пустимые, напишем следующее выражение для прира-
щения функционала — /:
А (-— /)= j J Е dx dy,
а
где функция Вейерштрасса Е задается формулой
Е = Н (I, т], у, £, и) - Н (I, П, у, Z, U) =
= - Si № -UV) + g2 - Z2) - П1 (и? - U&) -
—Z')—v(-^- —-^н-). (2.10)
Чтобы функционал I достигал максимума, необхо-
димо и достаточно величину Д(—/) сделать неотрица-
тельной для всех допустимых U, Z1 и Z2. Нужно заме-
тить, что варьирование в малой области (полоске, круж-
ке) по формуле (7.6) гл. I теперь недопустимо, так как
оно нарушает ограничения типа (1.2а), (1.26).
2] НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ (ЗАДАЧА 1а) 251
= J J
Чтобы’ обойти это затруднение, возьмем внутри об-
ласти две правильные *) точки Р и Q измеримого управ-
ления и(х, у) и окружим эти точки малыми областями
dp и dQ соответственно. Управлению и придадим прира-
щение только в пределах областей dP и dQ, причем так,
чтобы выполнялось равенство
dx dy Г f dx dy
Ua J J ua
G G dp\jdQ
Такой способ варьирования возможен, очевидно, при
условии, что постоянная щ в (1.2а) удовлетворяет стро-
гому неравенству
^mln < < ^max*
Неравенство Д(—I) 0 записывается теперь в форме
|| Е dx dy + J j E dx dy 0
dp dQ
Разделим обе части на mes(dpUdQ) и будем стягивать
области dP и dq соответственно к точкам Р и Q, застав-
ляя каждую из этих областей пробегать последователь-
ность регулярно сжимаемых2) множеств; в результате
получим
ЛЕ(Р) + (1 -Z)E(Q)>0,
Отсюда следует, что по крайней мере одно из чисел
Е(Р), E(Q) неотрицательно; так как точки Р и Q со-
вершенно равноправны, неотрицательными оказываются
оба эти числа. Итак, для того, чтобы функционал I до-
9 Точка (х, г/)еб называется правильной точкой измеримой
функции и(х, у)^А, если для любой окрестности О точки и(х,у)
выполнено соотношение
ljm mes (и-1 (О) П<0 = ।
mes d-> 0 mes d
Здесь d — любое множество, содержащее точку (х,у), а символом
и~1(О) обозначено множество всех точек (х, y)^G, для которых
и(х, у) еО.
Если измеримая функция определена в области (7, то почти
всякая точка G является правильной точкой этой функции [114].
2) См. сноску на стр. 77.
252 ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . {ГЛ. III
стигал максимума, необходимо выполнение неравенства
Е 0 почти в каждой точке области.
Дальнейшие операции по составлению и преобразо-
ванию функции Е проводятся по обычной схеме.
Введем вариацию в полоске; исключение переменных
Z1, Z2 произведем с помощью условий непрерывности
касательных производных
Z' (х, у) == г\ (х, у), Z} (х, у) = Z2 (х, у),
имеющих место на -границе полоски. Из этих формул
следует, что
s'-z'^x^+m
здесь Ди = U — и, a xti yt обозначают направляющие
косинусы касательной к границе полоски. Исключая пе-
ременные Z1, Z2 из условия Вейерштрасса Е 0 и при-
нимая во внимание (1.10) и (2.6), запишем это условие
в следующей форме:
Au (grad г2, gradco^
или, согласно (2.9),
Д« (grad Z2)2 — -- (4)г — Y
(2.12)
Второе слагаемое в квадратных скобках зависит от
ориентации полоски варьирования.
Обратимся к анализу полученных условий. Второе
равенство (2.5) показывает, что существуют две воз-
можности: либо Г* =/= 0, и* = 0, либо Г* = 0, и* #= 0.
В первом случае оптимальное управление может при-
нимать лишь предельные значения umax или иш\п; во вто-
ром случае возможен промежуточный режим управле-
ния. Необходимое условие Вейерштрасса указывает пра-
вило, согласно которому реализуется тот или иной из
J
2]
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ (ЗАДАЧА 1а) 253
этих режимов. Рассмотрим случай, когда оптимальное
управление равно Umax- Условие Вейерштрасса для этого
случая дает
Переходя к малым вариациям umax — V < Umax, обна-
руживаем, что для выполнения последнего неравенства
необходимо, чтобы
(grad г2)2 — v-£i-<0;
я у
(2.14)
с другой стороны, неравенство (2.14) влечет за собой
(2.13), так как нетрудно проверить, что при выполнении
(2.14) максимум левой части (2.13) достигается при
U := Umax-
Аналогично доказывается, что
u = umIn, если (grad г2)2 — у-^->0. (2.15)
^ITlIn
Рассмотрим промежуточный режим управления
(Г*==0). Принимая во внимание (2.6) и (2.9), для этого
режима получаем условие
(grad г2)2
(2.16)
Определяемое этой формулой управление удовлетво-
ряет условию Вейерштрасса (2.12). В самом деле, исклю-
чая из этого условия параметр у с помощью (2.16), при-
дем к неравенству
aUa
а
( 2\2 т rd пI т ri 1
\Zt) aU —и U
+
+ U)2U аиа-'-^ип-‘и1-'
>0. (2.17)
Выражения в квадратных скобках отрицательны для
и > U и положительны для и < U,
254
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ill
Подставляя в (1.14) управление и, определяемое фор-
мулой (2.16), получим уравнение, определяющее опти-
мальную функцию в промежуточном режиме:
д
дх
г ? Я
.к
2
- (grad г2) a+I -
,4 4 1______L_
ду _1_
- (grad z2) a+1 J (ay) a+I
(2.18)
Это уравнение имеет единственное решение, если a > 1
(см. [109]). Для a= 1 уравнение принимает вид
1
div I =
/у
где I — ~21' • Если ввести новую зависимую пере-
менную 0 соотношением
z2 Z2
l = ix cos В + ^sin0 = fx । grad^2। + 4 |gra’d^2| ’ (2^9)
то это уравнение запишется в форме
— sin 00х + cos 00 п =-.
х У Vn
Интеграл последнего уравнения неявно определяется
соотношением
f (у + Kv sin 0, z + ]/у cos 0) = 0,
где f — произвольная функция своих аргументов. Опре-
делив отсюда 0 и выразив эту переменную через произ-
водные от z2 (см. (2.19)), получим для этой последней
функции дифференциальное уравнение первого порядка;
окончательное решение будет зависеть от двух произ-
вольных функций, которые следует определить из усло-
вий на линиях, разделяющих области предельных и про-
межуточных значений управления1).
1) Как показано в работе [276] Б. Клосович, в случае цилиндри-
ческой симметрии задачи оптимальное управление не принимает
промежуточных значений.
3j НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ (ЗАДАЧА 16) 255
3. Необходимые условия оптимальности (задача 16)
Задача настоящего пункта отличается от предыдущей
только интегральным ограничением на управление, кото-
рое на этот раз возьмем в форме (1.26). Необходимые
условия стационарности остаются без изменения, за ис-
ключением первого условия (2.5), которое теперь при-
нимает вид
£1?' + П1С2 + уаи~' + Г* (2н — «тах — ит1п) = 0.
Это же соотношение получится, если в первой формуле
(2.5) заменить а на —а.
Условие Вейерштрасса выражается неравенством
Ди (grad г2)2
ки
17
(3.1)
откуда получаем для предельных режимов управления
а
« = «тах. если (grad 22)2 + Y 2 “mix “mln < °!
i=I
а
M = если -^-(gradz2)2 +Y^u«7nzu^>0.
Промежуточный режим управления в этой задаче не-
возможен. В самом деле, такой режим определяется фор-
мулой
=- -^-(gradz2)2;
если исключить параметр у из (3.1) с помощью этого
равенства, то нетрудно убедиться, что условие (3.1) бу-
дет нарушено.
Полезно отметить, что слагаемое —• (ки)2 (z2n)2 U"1 в
неравенствах Вейерштрасса (2.12) и (3.1), зависящее от
наклона полоски варьирования, пропорционально (Ди)2.
Отсюда следует, что необходимые условия слабого мак-
симума могут быть получены с помощью функции Вей-
ерштрасса без учета членов, зависящих от наклона
256
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ГЛ. Ш
полоски1). Для задачи 16 эти условия имеют вид
« = «max, если (grad z2)2 + уаи* *;' < О,
« = «min, если (grad z2)2 + уаи“7п' > 0.
Возвращаясь к случаю сильного максимума, предпо-
ложим, что оптимальная функция и принимает два зна-
чения: umax и umin. Предположим, что области различных
значений управления разделяются гладкой кривой So;
вдоль этой кривой должно быть выполнено условие
Вейерштрасса — Эрдманна (см. последнюю строку в фор-
мулах (2.12) гл. I)
Y [«“]_ Л;хт) [2м]_ (^Г Лг-'т) [2лг]_ = 0’ (3’4)
где N, Т обозначают нормаль и касательную к So, а сим-
волы «+», «—» относятся к предельным значениям соот-
ветствующих величин на кривой So с различных ее сто-
рон2).
Пользуясь (1.10), (2.4), (2.6) и принимая во внима-
ние непрерывность на So производных от z1, z2 в направ-
лении Т, представим (3.4) в двух эквивалентных формах:
а
V 2 «Vм- ' + ®ir2r +
Z=1
(3.5)
Пусть символ «—» соответствует области, где и =
= «тш: второе неравенство (3.2) должно быть выпол-
нено в точках этой области, как угодно близких к So.
В силу непрерывности это неравенство должно быть вы-
полнено и для (—) предельных значений входящих в
него величин на кривой So, т. е. мы должны иметь
а
V S + ^-(4)!L + S(2»!> °'
i) Аналогичное положение имело место и в задаче гл. II.
*) Комбинации gif/т — П1*т, &Ут — ч]2хт непрерывны на So в
силу первой группы условий Вейерштрасса — Эрдманна, поэтому без-
различно, с какой стороны кривой So вычисляются эти комбинации.
4]
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ (ЗАДАЧА 11а) 257
Сравнивая это неравенство со вторым условием (3.5)
и учитывая (2.9), находим, что оба соотношения совме-
стны, если только г|. = 0, т. е. если функция г2 по-
стоянна вдоль So. Вдоль этой линии условие Вейерштрас-
са выполняется в слабом смысле (как равенство) и, сле-
довательно, | grad г2|+ =
и_
Т7
I grad г2|_ = const.
Обоим
условиям (постоянства г2 и | grad г2| вдоль So) удается
удовлетворить в случае одной независимой переменной
и, вообще говоря, не удается удовлетворить для боль-
шего числа независимых переменных. Поэтому для за-
дачи 16 в.случае нескольких переменных, как правило.
не существует гладкой линии, разделяющей области, где
оптимальное управление принимает различные предель-
ные значения. Решение этой задачи, если оно существует
является обобщенным.
Приведенное рассуждение не проходит в применении
к задаче 1а: здесь области различных предельных зна-
чений оптимального управления могут быть разделены
зоной, где эта функция принимает промежуточные зна-
чения. Поэтому для такой задачи не исключена возмож-
ность классического решения.
4. Необходимые условия оптимальности (задача Па)
Отличие этой задачи от проблемы 1а заключается в
том, что, как легко видеть, вместо уравнения (2.7) теперь
имеем уравнение
div и grad (Oj = 2,
а краевое условие (2.8) сохраняется. Поэтому вместо
(2.9) выполняется равенство
22=»-(0ь (4.1)
и условие Вейерштрасса приобретает вид
(Д«) — (grad г2)2 4- -у- (z2)2 — Y
(4.2)
9 К. А. Лурье
258
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. П1
Отсюда нетрудно заключить о возможности лишь пре-
дельных режимов оптимального управления:
а
S “ma.\°mln
« = «max, если (grad Z2)2 + Y ----------a----> °’
ft 11 .
"maximin /j q\
a j ' '
у „«-'г?-'
“min“max
и = «min> если (grad z2)2 + Y-----------5----<0.
11 11 .
Mmaxinin
Промежуточный режим управления противоречит
условию Вейерштрасса и поэтому невозможен. Если
оптимальное решение существует, то оно является об-
общенным.
5. Необходимые условия оптимальности (задача Нб) I
Для этой задачи' справедлива формула (4.1). При j
а > 1 ограничение (1.17) заменим эквивалентным ра-
венством
j [ uadxdy + u2*mesG==u*mesG9 (5.1) с
содержащим дополнительное управление — параметр ।
и* 0. Ему соответствует условие стационарности |
= 0 '
и условие Клебша
Y^O.
Условие Вейерштрасса имеет вид
ки — (grad Z2)2 + -^
а
Положим «* = 0, y ¥* 0; тогда неравенство (5.2) приво-
дит к следующим предельным режимам управления:
и = Итах> если (grad z2)2 — yau™;' > °;
и = «min> если (grad z2)2 — уаы“7п' 0.
(5.3)
5]
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ (ЗАДАЧА Нб) 259
Промежуточный режим, определяемый равенством
Ma-I = iterad22)2’ (5.4)
удовлетворяет, как легко проверить, условию Вейершт-
расса. В этом режиме при а > 1 функция г2 находится
из уравнения
-77 [(grad 22)~ г2] +^_[(grad z2)^^] = ~ (Ya)»37.
Случай у = 0 приводит к неравенству
Ди [— (grad z2)2 + (г*)2] >0,
(5.5)
откуда следует, ЧТО и = Umax.
Условия (5.3) сохраняют силу и при а= 1; проме-
жуточный режим для этого случая определяется си-
стемой
(grad г2)2 = у, div u grad г2 = —2.
Определив z2 из первого уравнения и подставив резуль-
тат во второе, получим уравнение первого порядка отно-
сительно управления и,
В заключение этого пункта отметим, что необходимые
условия (5.3) — (5.5) задачи Пб одновременно являются
и достаточными условиями минимума. Что же касается
условий (4.3) задачи Па, а также условий (2.14) — (2.16)
задачи 1а и (3.2) задачи 16, то они имеют смысл только
необходимых условий.
Проведем доказательство для задачи Пб. Процедура,
аналогичная указанной в п. 3 гл. I (см. вывод формулы
(3.2)), приводит к следующему выражению для прира-
щения функционала (—/):
\ (—/)== j j Ди (grad г2, grad Z2) dxdz/—
а
(а \
иа“ lUl~x \dxdy — у Ди* mes G (и* 4- [/*),
i=*l <
9*
260
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
Первый интеграл справа преобразуем по формуле
J j Au (grad z2, grad Z2) dx dy —
G
= Aw (grad z2)2dxdy+ j j Au(grad г2, (grad \z2}dxdy=
Q G
— j J Au (grad z2)2 dx dy — j J (u + Au) (grad Аг2)2 dxdyy
G G
составленной с учетом равенства
J j Au (grad г2, grad kz2)dxdy + j j и (grad Az2)2 dx dy 4-
G G
.+ j j* Au (grad Аг2)2 dx dy = 0, (5.6)
G
вытекающего из интегрального тождества (1.13) (чтобы
получить (5.6), нужно написать (1.13) для допустимого
режима U, Z2 при ср = Аг2, и для оптимального режима
u, z2 при ф = Аг2 и вычесть одно тождество из другого).
В результате приращение А(—/) оказывается равным
А (—I) = j | Au (grad г2)2 dx dy —
G
— j j (u + Au) (grad Аг2)2 dx dy —
G
““ Y / f Au 2 Y^ mes + ^*)-
G 4=1 /
(5.7)
В задаче Пб должно быть А(—/) 0; условия
(5.3) — (5.5) вместе с (5.1) влекут неположительность
суммы первого, третьего и четвертого слагаемых в (5.7),
а это гарантирует неположительность всего выражения
для А(—/), так как второе слагаемое в (5.7) отрица-
тельно или равно нулю. Отметим, что в приведенном
только что рассуждении мы не делали никаких дополни-
тельных предположений о характере приращений управ-
ления Ди. Несмотря на то, что условия (5.3) — (5.5) полу-
6J
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ КРУЧЕНИЯ
261
чены путем введения локальных вариаций управления,
они гарантируют минимум функционала по отношению
к произвольным допустимым управлениям, как и должно
быть по смыслу достаточных условий.
6. Алгоритмы построения решений оптимальных задач
упругого кручения. Задача 116
Выше было показано, что необходимые условия в раз-
личных задачах оптимизации для закрученного стержня
могут порождать как предельные, так и промежуточные
режимы оптимального управления. С возникновением
промежуточных режимов в задачах 1а и Пб связаны не-
которые особенности соответствующих вычислительных
алгоритмов. Здесь мы приведем вывод расчетной схемы
для задачи Пб; более сложный пример 1а будет рас-
смотрен в следующем пункте. .
Для случая а — I алгоритм задачи Пб построен
Ж. Сеа и К. Малановским в [202]; наше изложение для
общего случая отличается от данного там незначитель-
ными деталями.
Ограничение на управления возьмем в форме (1.1),
(5.1). Формула (5.7) дает (у 0)
А/ «=/[£/]-/[«] =
«= — J J Au (grad z2)2 dx dy 4- j j U (grad Дг2)2 dx dy 4-
a g
(0 \
и^1и1~х I dx dy 4- у Ди. mes G (u. + Ut),
/
(6.1)
или
Д/==/[[/] — Z[«]J | Ди [(grad z2)2 — you’* '\dxdy -f-
G
4- J J J7(grad kz^dxdy +
о
“ a
4-у || Ди
> о —i-l
— au'"’1 dxdy 4*
4- уДи, mes G (u, 4- Ut). (6.2)
262
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ill
Пусть и = uki U = Wfe+i, и* = и^9 U* = — из-
меримые управления и параметры, удовлетворяющие
(1.1) и (5.1), а 22 = г|, Z2 = zl+i = z2k + &Zk — соответ-
ствующие решения краевой задачи (1.13).
В задаче Пб нужно минимизировать функционал /.
Допустим, что заданы элементы Uk*> удовлетво-
ряющие (1.1) и (5.1), и соответствующее им решение
требуется указать правило выбора элементов Uk + i>
«(£ + !)*, Zk + 1-
Положим Uk+1 = Uk + pk(vk — Uk), UftG=[«mln, umax],
U(k+\)»~Uk* + — Vk* e p’ (U0 -.W?nin)'/2J>
будем иметь
M = I [ufe + p* (vk — uft)] — I [uk] =
= ~ P J / “ “*) Kgrad 4)2 — W']dx dy +
G
+ J J [Uk + Pk(vk~ Uk)](^d dxdy+
G
( a ]
+YpJ ий) Swr'K+Pfc^-M^'-'-awr1 Idxdy-i
G I i—1 J
+ 2YPaO*. — мь)mesG + YP*(v*. - uky mesG. (6.3)
Для построения минимизирующей последователь-
ности естественно выбрать элементы vk s [«min, wmaxL
(Wg — wmin)1/2] согласно правилам
/ / (va —у)[(?га<1^)2 “ VkCLUt'ldxdy >0,
G
w i (6.4)
* [^min> ^maxL
YfeK-^)^<0> Vu.e[0, (u“ — «’in)’'2]- .
Множитель у = yft > 0 нужно взять достаточно боль-
шим для того, чтобы выполнялось неравенство!! у* ||L (0)С
^«о; при этом элемент Uk+i будет удовлетворять ограни-
чению (5.1). Второе неравенство (6.4) показывает, что
ии = 0.
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ КРУЧЕНИЯ
263
Полагая в первом неравенстве (6.4) v = uk, получим
/ / - uk) [(grad 4)2 — Y*««F ’ Jdx dy > °-
*g
Если выбранный по условию (6.4) элемент Vh совпадает
с Uk, то элементы uk, z2k образуют допустимую пару,
удовлетворяющую условию (см. (6.4))
J / - о)[(grad 4)2 — Yfeaur’]dx dy W
G
Это неравенство равносильно условиям Вейерштрасса
(5.3), (5.4) для пары uk, z2, которая в таком случае яв-
ляется решением задачи. Очевидно, пара uk, z2k оста-
нется оптимальной и тогда, когда выбранный согласно
(6.4) элемент Vk совпадает с uh только для тех точек О,
где (grad zffl — ф 0 (формула (6.3) показывает,
что при этом А/ 0).
Остается исследовать случай, когда выбранный по
условию (6.4) элемент v* не совпадает с даже для тех
точек, где (grad z2)2— =/= 0. Чтобы построить для
этого случая минимизирующую последовательность, оце-
ним второй и третий интегралы в (6.3).
Из (5.6) вытекает неравенство
Wmin || ||^(Щ II ^Uk IL00(Щ |1 I|f|(G> || Zk |1§И (G)’
откуда
II Д4 11^1(0) < 7^17 IIЛы* 1кте(G> IIЦ(G)'
С другой стороны,
П ufe+1(grad bztfdxdy
G
IIМЦ |0, <
II «1.0,||<!т-
264
ОПТИМАЛЬНЫЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
Далее,
~ а
(U — и) ^иа~1и*~' — аиа“
= (U - и)2 ип-2+иа~^ (U+u) -т-н*"4 (U2 + uU+u2) + • • •
Иа-'~1[7«-1 <({/— ц)2а(а2-1.1
а-
'max*
Разность /[«*] — /[«л + р*(ул~«*)] оценивается теперь
снизу величиной
р* J / “ “*) Kgrad 4)2 “ dx dy “
Q
- rt К - t. «, I Л 6;,0, -
Mmin 00 4
- Y*P* I°* - Uk I (G) Ct(Ct2~1- «mix meS G +
00
+ 2yftpX« mesG - Yftp^|. mesG.
Положим
PA =
7 Jfp*-«*)[(srad4)2
Q
~ dy + G ><
X ([5^14l*{ia + T> «1P.-Ilz (0, +
(L Mmin г. J 00
— 1
. (6.6)
Выбор параметра pft произведем по правилу
pft = min(p*, 1).
(6.7)
Предлагаемая расчетная схема состоит в следующем:
1) выбираем элементы in, и„ах|, е
е[0, удовлетворяющие (6.4) и ограниче-
61
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ КРУЧЕНИЯ
265
нию || vk ||L lGi < н0 (это достигается выбором достаточно
большого значения у;, > О1);
2) определяем pt с помощью (6.6) и рл согласно (6.7);
3) вычисляем uk+i = uk + pfe (ук - ик), = uk, +
+ pft(»fe,— «*.)_и находим г|+1 из краевой задачи (1.13).
Докажем сходимость этой схемы.
Случай pk >1 (pfe= 1).
Имеем оценку
/ [и* ] — 1[ик + Pt (Vk — U*)l >
Q
+v* °
oo ~ m i n w
- YA«L mes G > ||oA - «J^g,
J_ Vb «(<*-» „a-2
« Yfc 2 niax
2
. “'min 2
mes G] + mesG,
последнее в силу (6.6) и неравенства pft> 1.
Случай pt < 1 (рй = Рл).
Справедлива оценка
IМ — / («Й + Рй (ой — «й)1 >
(°й “ “й) [(grad 4)2 “ Уйа«“-’]dx ЛУ + 2yt«t* me® °
X Ь || vk - uk |p£ fe || 22 ||2o । (G) + yk a«-2 mes G 1 +
I 00 • L“mln л *
}—>1
Последовательность /[«tl — убывающая; поскольку
/[«й1>0 для всех kt приходим к предельному равен-
ству
lim |/[«й1-Лий+11)=0.
’) Можно не определять новое значение у* на каждом шаге
процесса. Выбрав некоторое у и доведя вычисление до конца, можно
определить постоянную ио в (5.1). При гаком способе расчета за-
ранее не известно значение у, соответствующее заданному uOt и при-
ходится находить это значение путем перебора вариантов.
266
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ill
Вместе с приведенными оценками это дает в случае
Ра= 1
lim||^-MJ =0, limy^.^O; (6.8)
£-»оо Loo'U' £->оо
в случае Pk — Pk (см. (6.4))
~ “*) l(grad ~ Yfta“A-1]dx аУ = °>
lim у. и2. =0.
fe-»oo Л
(6.9)
Если исключить тривиальную возможность lim yfe=0,
#-> оо
то справедливо равенство lim и^*==0.Это означает, что в
&-> оо
оптимальном режиме ограничение (1.17) выполняется
как равенство и совпадает с (1.26), хотя доказательство
существования оптимального управления потребовало
введения ослабленного ограничения в форме (1.17).
Переходя к исследованию случая (6.9), воспользуемся
следующим неравенством, вытекающим из (6.4):
/ / Uk [(gfad 4У - Yfea«r‘] dx dy +
G
+ f J (vk - «*) [(§rad 2l)2 “ Yfea«r‘] dx dy >
a
> J J V [(grad 4)2 - Yfea«r‘l dx dy, Vu e [«min, umax],
G
или, с учетом (1.13),
2 J j z2k dxdy — j j Yfea«£ dx dy +
G G
+ / J (^-Mfe)[(grad4)2-Yfea«r']^^>
G
>// U[(grad4)2-Yfta«r']^^> Vyeknin> «max]- (6.Ю;
G
Поскольку последовательность Uk ограничена в Loo(G).
из нее можно извлечь слабо сходящуюся подпоследова-
тельность. Будем считать, что последовательность иь уже
6] АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ КРУЧЕНИЯ 267
обладает этим свойством; разумеется, и и в
La(G). Считая v<=La(G), uk Lrj(G), напишем оценку
/ | vuk 1 dx dy ^ || v 1^(G) || uk 11^ (0).
о
Принимая во внимание это неравенство и (6.9), пе-
рейдем к пределу в (6.10); будем иметь (z|->z2 слабо
в ih(G))
Г f v (grad z2)2 dx dy +
[б!!11 И Uk "La,G* " V "La ,G| feiT1 Uk <°>]
i /?—>oo а а й —> oo u J
= | [ v (grad z2)2 dx dy +
a
+ V«(lim l|a,It i0y' | llm II u„ II - ||0 II ]. (6.11)
\£->OO и / Lft->0O u U J
Полагая v = и и пользуясь тем, что
lim || Uk II, (в) || и ||t (G), (6.12
ОО и и
придем к неравенству
2 J J z2 dx dy J J и (grad г2)2 dx dy. (6.13)
о о
С другой стороны,
/ / uk (grad (z2k — z2))2 dx dy = J J uk (grad z2)2 dx dy +
О G*
+ J J uk (grad z2)2 dx dy — 2 J J uk (grad z2, grad z2) dx dy=
Q a
= 2 J J z2 dx dy — 4 j J z2 dx dy + j J uk (grad z2)2 dx dy
a go
268
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ, 111
и в пределе
lim J j ик (grad (z2fc — z2)) dx dy =
e — 2 J J z2dxdy + | f «(grad z2)2dxdy.
Q G
Отсюда с учетом (6.13) следует, что
lim f [ uk (grad (z| — z2))2 dx dy = 0.
fe->0O
Учитывая неравенство > «min, получаем
,im Il4-*2||.i “0. (6.14)
Пара «, z2 является допустимой. В самом деле,
J J uk (grad z|, grad q>) dx dy = 2 J| <pdxdy, Vq> <= IF1(G),
G G
или
j j «ft (grad (z2 — z2), grad <p) dxdy +
G
4- J J uk(grad z2, grad<p)dxdy = 2 j J ydxdy.
G a
Ссылаясь на (6.14) и пользуясь слабой сходимостью ик
к и, в пределе А-*°о получаем
J J «(gradz2, gradcp)dxdz/ = 2 J | qdxdy, (6.15)
а g
что и требовалось доказать.
Можно добавить, что неравенство (6.11) вместе с (6.15)
показывает, что
lim II ы* Ik ig> = ||«||l «л (6.16)
и в (6.12) достигается равенство. Но и — слабый предел
последовательности ик; равенство (6.16) означает, что эта
последовательность сильно сходится в La(G).
71
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ КРУЧЕНЙЯ
269
7. Алгоритмы построения решений оптимальных задач
упругого кручения. Задача 1а
Отличие этой задачи от проблемы Пб, рассмотренной
в предыдущем пункте, связано с тем, что теперь мы не
располагаем необходимым и достаточным условием
экстремума (максимума): условия (2.14) — (2.16) порож-
дены локальными вариациями и являются только необ-
ходимыми. Поэтому допустимые управления иь, обра-
зующие максимизирующую последовательность, прихо-
дится строить при помощи локальных вариаций.
Исходным является выражение для приращения
функционала (ср. (2.10), (2.12)),
M = I[U] — /[а] =
= — J j Aw (grad z2)2 dx dy + J J U (grad Аг2)2 dx dy +
G G^
+ yJJ ^—u^~dxdy, (7.1)
G
ИЛИ
Д/ = — J j Ди ^(grad z2)2 — j dx dy +
4* / J t/(grad ts.z2)2dxdy +
G
+ ------TOT dxdy. (7.2)
G \ U V /
В задаче la нужно максимизировать функционал /. Как
и ранее, положим и = ик, U — uk+i = uk + pk(vk— ик),
Vk е I Mniln’ И.пах|> 0^РА 1, Z2 = ZJr, Z2 = z|+1 — Z2 + Дг|,
Пусть задана пара ик е Л_а, z2k; управление u*+i опре-
делим так, чтобы оно отличалось от ик лишь локально,
в пределах малых областей. В качестве таких областей
возьмем непересекающиеся полоски dP и dQ, лежащие
целиком в G и содержащие Р и Q в качестве внутренних
точек.
270
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ГЛ, III
Желая построить максимизирующую последователь-
ность, выберем элементы vh е [wmin, ^max] так, чтобы
(х, у) g= dp,
(х, у) S dQt
(х, y)^dpUdQt
И
В
vk = vk^uk,
vk==vkQ}^uk,
vk=uk,
J ferad 4);
dp
ya
«fe+1
dx dy^O,
ya
,.a+l
uk
Vv [^inin> Mmax]’
частности,
j I WP)-«fe)[(grad4)2—
dp L
(7.3)
dQ
ya
ua+\
uk
и аналогично для dQ.
Параметр у для простоты фиксируем (см. п. 6).
Допустим, что выбранный согласно (7.3) элемент о*
совпадает с Uk в пределах полосок dP, dQ-, тогда Uk, zl
образуют допустимую пару, удовлетворяющую условию
(erad4)2—ттт
oU^Q L k
У/V €= [umin, Wmax]}
dx dy ^0,
или, что то же, необходимому условию Вейерштрасса
(2.14) — (2.16) в точках Р, Q. Если этот результат спра-
ведлив почти всюду внутри G, то ukt z2k образуют допу-
стимую пару, удовлетворяющую необходимым условиям
Вейерштрасса. Сказанное сохранит силу, если считать,
что элемент определяемый условием (7.3), совпадает
с Uh только для тех точек Р, Q, где (grad ^)2— =/= 0
(формула (2.17) показывает, что при этом Д/^0).
Остается рассмотреть случай, когда выбранный по
условию (7.3) элемент не совпадает с Uh даже для тех
точек Р, Q, где (grad zff--=^= 0. Чтобы построить
71
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ КРУЧЕНИЯ
271
максимизирующую последовательность, воспользуемся
неравенством
а
/=1
_ у (Ди)2
ua+'Ua
а
У(А«)2 «(«+') „а-1
2а+1 2 max*
Mmin
Разность AZ = I \uk + Ри (Vk — и*)] —•/[«&] оценив ается
теперь снизу величиной (d = dP (j c?q)
d
-ыА) (grad z2)2
ya
dxdy —
- wl I, - ". mes d.
6 “min
Дальнейшая процедура аналогична описанной в преди-
душем пункте. Пусть _
J / ~ иь) [(grad 4)2 ~ ~Йг]аУ
d «• uk ]
+ (7'5)
(эта величина неотрицательна в силу (7.4)).
Выбор параметра рл произведем по правилу
p^ = min(p^, 1). (7.6)
272
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ill
Расчетная схема составляется из следующих опе-
раций:
1) выбираем элемент Vk е [«mm, wmax], удовлетворяю-
щий (7.3);
2) определяем р/г с помощью (7.5) и согласно (7.6);
3) вычисляем ик+\ = Uk + pk(vk — uk) и находим г|+1
из краевой задачи (1.13).
Доказательство сходимости не представляет труда,
если разности vk — uk постоянны в пределах полоски
варьирования. В конце п. 1 было отмечено, что в таком
классе допустимых управлений существует оптимальное
управление. Нужно еще раз подчеркнуть, что, в отличие
от предыдущего, в рассуждениях настоящего пункта
каждый элемент последовательности uk отличается от
предшествующего лишь локально, в пределах конечного
числа малых полосок варьирования.
Сходным образом могут быть получены вычислитель-
ные алгоритмы для задач 16, Па. Эти задачи, так же
как и проблема 1а, нуждаются в регуляризации, если
мы желаем получить оптимальное решение в классе из-
меримых ограниченных управлений. Аналогия с гл. II
показывает, что естественным способом такой регуляри-
зации явился бы переход к анизотропным средам.
Заканчивая на этом рассмотрение оптимальных задач
упругого кручения, отметим, что для них характерно сов
падение (быть может, с точностью до знака) сопряжен-
ных переменных с основными (см. (2.9) и (4.1)). Это об-
стоятельство существенно отличает упомянутые задачи oi
проблемы гл. II, где векторы j и grad(o2 не были парал-
лельны (или антипараллельны) из-за различия межцу
задачами для основных и сопряженных переменных. При-
чиной этого различия было непостоянное слагаемое
c-'VB(x) в уравнениях (2.4) гл. II. Отмеченное свойство
задач о кручении приводит к тому, что в отсутствие ин-
тегральных ограничений (1.2) оптимальная функция и
оказывается равной цтщ, либо цтах повсюду в области.
Сходный результат был получен в п. 3 гл. II для случая
В(х) = const. Задачи о кручении становятся нетривиаль-
ными благодаря интегральным ограничениям, тогда как
задаче гл. II придает содержательный характер перемен-
ное слагаемое c^VB(x) в основных уравнениях.
8] ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ 273
8. Об оптимальном распределении упругих модулей
в неоднородном теле. Смешанная задача теории
упругости
Рассматривается неоднородное линейно-упругое тело
В заданного объема V, ограниченное кусочно-гладкой по-
верхностью S. Часть SF этой поверхности нагружена си-
лами F, а остальная часть Su = S/SF закреплена. Упру-
гие свойства тела характеризуются модулями Ламе Л, и,
которые будем считать измеримыми функциями незави-
симых переменных х, у, г. ограниченными неравенствами
О %mtn || Z (X, У> 2) ||^^ (у) ^тах, ]
О < Hmln II И (^, У> %) llj^ । j/) Ртах j
и равенствами
j AdK = AcpV, J ц (Л/ = цсрГ; (8.2)
V V
последние задают средние значения ?iCp, Цср модулей,
удовлетворяющие (8.1).
Вектор перемещения обозначим через и; для тензора
напряжений введем обозначение о, а для тензора дефор-
маций 8. Как и ранее, малые буквы будем употреблять
для величин в оптимальном режиме, а соответствующие
большие буквы для тех же величин в допустимом ре-
жиме управления.
Задача оптимизации состоит в том, что требуется по-
добрать функции X, ц, подчиненные ограничениям (8.1),
(8.2), таким образом, чтобы функционал
/== J(jF, u)dS, (8.3)
sF
выражающий работу поверхностных сил на перемеще-
ниях точек поверхности S, принимал минимальное (мак-
симальное) возможное значение1).
Не останавливаясь на вопросе о существовании реше-
ния, перейдем к выводу необходимых условий оптималь-
ности. С этой целью составим формулу для приращения
функционала I. Чтобы получить такую формулу для рас-
>) Близкая задача рассматривалась 3. Мрузом в [319J.
274
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
сматриваемой задачи, можно не прибегать к составлению
сопряженной системы, а воспользоваться принципом вир-
туальной работы.
Согласно этому принципу,
J (Г, u)dS — Jd- -edV= Js- -edV,
Sf v v
Г f - A f - (8-4)
J (F, U)dS = j S- -£dl/= J d- -EdV.
Sf v v
Здесь символом • • обозначена свертка двух тензоров.
Тензоры б, ё, а также S, Ё связаны знаком Гука (Ё
обозначает единичный тензор):
CT = %Ediva + 2ps, S = AEdivC7+2МЁ. (8.5)
Вводя обозначения Ди = U — и, Дё = Ё — ё и т. д. и
пользуясь (8 4), напишем следующее выражение для при-
ращения функционала I:
Ы = J (F, Ди) dS = j б • • Дё dV. (8.6)
з v
Формулы (8.5) после вычитания дают
Дб = ДЛЁ div и + 2Дцё 4" ЛЁ div Ди 4"
4- 2цДё4- ДА.Ё div Ди + 2ДрДё. (8.7)
Теперь, принимая во внимание (8.4) и (8.7), напишем
тождества
0=| (S — б). . ё</Г = J (ДЛЁ div и 4- 2Дцё) • -edV +
V V
4- J (ДЛЁ div Ди 4- 2Дц Дё) • . ё dV 4-
V
4- / (ЛЁ div Ди 4- 2цДё) • • ё dV, (8.8)
V
O=J(S-d). • ДёйГ== |(ДЛЁбкн4-2Днё)- -MdV +
V V
4- j (AXEdivДи 4-2Дц Дё) • • Дё dV 4-
V
4- j (ЛЁ div Ди 4- 2р Дё) • • Дё dV. (8.9)
V
8]
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ
275
Приращение (8.6) функционала / выразим через состав-
ляющие тензора деформаций ё и приращение этого тен-
зора Дё. С этой целью заметим, что последний интеграл
в (8.8) не отличается от
(* (КЁ div и + 2|лё) • • Дё dV = J о • • Дё dV.
Г V
Формула (8.6) преобразуется теперь к виду
Д/ = — | (Д^£ div и + 2Дрё) • • ё dV —
v
- J (ДХ£ div Дм + 2Дц Дё) • -edV. (8.10)
V
Второе слагаемое в правой части этого равенства неот-
рицательно, так как, согласно (8.9),
| (ДЛ£ div Ди + 2Др Дё) • • ё dV —
v
= j (ДХ£ div и + 2Дцё) • • Дё dV =
V
= -]’ (Л£ div Ди + 2М Дё) • -ДёйУ<0.
V
Равенство (8.10) образует основу вывода необходимого
условия Вейерштрасса.
1) Задача о минимуме I.
В формуле (8.10) допустимые управления считаются
измеримыми функциями, подчиненными ограничениям
(8.1), (8.2). Желая избавиться от интегральных связей
(8.2), введем соответствующие этим ограничениям мно-
жители Лагранжа 2у2- Для минимума функционала /
теперь необходимо выполнение неравенства
Д/+ Y1 ] ДWV + 2у2 J Дц diz > 0, (8.11)
V V
где допустимые управления Л, М считаются измери-
мыми функциями, удовлетворяющими лишь ограниче-
ниям (8.1).
276
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ГЛ. 111
Рассмотрим сначала случай малых вариаций ДХ, Др.
Второе слагаемое справа в (8.10) имеет, очевидно, второй
порядок по малым вариациям; поэтому для выполнения
(8.11) необходимо, чтобы
— (ДХ£ div и + 2Дре) • • 8 + у1 ДХ + 2у2 Др, 0. (8.12)
Это условие оказывается и достаточным в силу неотрица-
тельности второго слагаемого справа в (8.10). Обычным
рассуждением устанавливаем, что оптимальные функции
X, р могут принимать как предельные, так и промежуточ-
ные значения.
В первом случае имеем
л = Чпах> если Z|-Y,> 0,
если /? —У|<0»
Н = Ншах« если /f-2/2-Y2>0,
н = н,„1п> если - 212 - у2 < 0.
(8.13)
(8.14)
В этих формулах через /ь /2 обозначены первый и вто-
рой инварианты тензора ё.
Промежуточные значения оптимальных управлений
определяются из уравнений
/f=y. для %,
п о, (8-15)
1] — 212 — у2 для ц, ’
решаемых совместно с основными уравнениями теории
упругости; при этом, конечно, требуется, чтобы значения
к и ц удовлетворяли неравенствам (8.1).
Условия (8.13), (8.14) были получены 3. Мрузом
в [319]. В этой работе предполагалось, что имеются лишь
два материала — жесткий («арматура») (X = Хтах, Ц =
= Ртах) И податливый («матрица») (X == ХЮ1П, р. = цт1п);
необходимо было найти такое размещение этих материа-
лов по объему тела, чтобы функционал / достигал мини-
мума при ограничениях (8.2).
Рассмотрение примеров показывает, что так постав-
ленная задача в общем случае не имеет классического
решения внутри области вследствие того, что не суще-
ствует гладкой кривой, разделяющей зоны жесткого и
податливого материалов. Возможность классического
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ
277
8]
решения возникает тогда, когда формулировка задачи
видоизменяется так, что в множество допустимых управ-
лений включаются измеримые функции, удовлетворяю-
щие (8.1), (8.2). При этом среди оптимальных оказы-
ваются и промежуточные режимы управления (8.15);
участки таких управлений могут располагаться между
зонами предельных режимов, и оптимальная функция
в целом может оказаться непрерывной, а решение за-
дачи— классическим внутри области.
2) Задача о максимуме /.
Исходным является неравенство
Д/4-Yi / AXdV + 2Y2 J ApdV<0 (8.16)
v v
для всех А, М, удовлетворяющих (8.1).
Рассматривая малые вариации АХ, Ац, отбросим
квадратичное слагаемое слева в (8.16); в результате по-
лучим неравенство, обратное (8.12). Соответствующие не-
обходимые условия показывают, что оптимальные функ-
ции X, ц могут принимать предельные значения согласно
правилам
* = \пах» если I
если Л-У|>о, |
Н = Птах» если — 212 “ Y2 < °> ]
12 0 7 Л I (8.18)
Н = H,nin. если I] — 272 — у, > 0. J
Промежуточные режимы управлений в этой задаче не-
возможны, так как для таких режимов линейные по ДА,,
Дц слагаемые слева в (8.16) обращаются тождественно
в нуль, а оставшееся слагаемое, по доказанному ранее,
неотрицательно, так что неравенство (8.16) не выпол-
няется. По этой же причине необходимые условия (8.17),
(8.18) не являются одновременно достаточными. Более
того, выведенные для слабых вариаций, эти условия мо-
гут привести к режимам, которые окажутся неоптималь-
ными по отношению к сильным вариациям.
Чтобы получить более сильные необходимые условия,
перейдем к сильным локальным вариациям управлений,
причем для упрощения выкладок рассмотрим случай
278
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
плоской деформации без продольного смещения. Введем
полоску варьирования d и определим допустимые управ-
ления А(х, у), М(х, у) формулами1)
[ Цх, у), если (х, у) е d,
Л (х, у) = | [ Л. (х, у) -|- Д%, если (х, у) е= d,
' Ц (х, у), если (х, у) d,
М (х, у) = j . р. (х, у) + Др, если (х, у) <= d.
Пусть и, t — единичные векторы нормали и касатель-
ной к полоске; если полоска стягивается с сохранением
подобия к своему центру, то вдоль ее границы выпол-
няются равенства
(n, KE div и + 2це) = (п, ХЁ div U+ 2МЁ) + о (1), 1 .. )Q.
«=1/ + о(1), 1(8Л9)
выражающие непрерывность напряжений по соответ-
ствующим площадкам и непрерывность перемещений
(через о(1) обозначена величина, стремящаяся к нулю
вместе с mesd). Формулы (8.19) дают возможность вы-
числить приращения составляющих тензора ё. Пренебре-
гая слагаемыми о(1), получим
А АЛ + 2Ар, АЛ )
Лелп— д + 2М &пп Л4-2М j
Д е/г = 0, Де„, = — . j
(8.20)
Составляющие тензора ё в осях п, t выражаются че-
рез главные значения по формулам
= у [81 + е2 + (в] — в2) cos 20],
8» =-^ [8, + е2 — (в! — е2) cos 20], . (8.21)
8га/ = у(81 — 82) sin 20;
здесь 0 обозначает угол между п и главной осью еь
’) По поводу интегральных ограничений на управления см.
стр. 251.
8]
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ
279
Воспользуемся (8.10) и исключим составляющие Дё
из (8.16) с помощью (8.20). Переходя к главным значе-
ниям 81, £2 И углу 0 и освобождаясь от интеграла путем
обычного рассуждения, вместо неравенства (8.16) по-
лучим
Е - ДХ + е2)? - 2Др (в2 + 822) +
+ А + 2М"[^ + (81 — ег) cos +
+ (е) - е2)2-Ц^- sin2 29 + у, М + 2у2 Дц < 0; (8.22)
здесь символом Е обозначена функция Вейерштрасса.
Квадратичные по ДХ, Др слагаемые в левой части этого
неравенства порождены вторым интегралом справа
в (8.10); как и следовало ожидать, эти слагаемые неот-
рицательны.
Мы исследуем поведение левой части (8.22) в предпо-
ложении, что одно из приращений ДХ, Др равно нулю.
а) ДХ #= 0, Др = 0,
Е « ДМ Y1 - (8, + е2)2] + (8, + е2)2 < 0.
Отсюда легко
в оптимальном
правилу
X = Хгпах,
X = Xmin>
находим, что управление X принимает
режиме предельные значения согласно
если
г2 Хтах + 2р __
Хщ1п +
r2 Xmjn + 2р
если /1 -5------г-х—
Хтах + 2М'
Yi<0,
Yi >0.
(8.23)
Эти необходимые условия сильнее, чем (8.17).
б) ДХ = 0, Др у=о.
Неравенство
Е - - 2Ли К + «Э + [е, + е, + (», - е2) cos 20]" +
+ (е, - s2)2 sin2 29 + 2у2 Дц < 0 (8.24)
ДОЛЖНО быть выполнено ДЛЯ всех М е ^Imax] и для
всех значений 9,
280
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. III
Положим
____ в] 4- е2 М __ т + 1 М 8j j
Х° — е, _ е2 Х + М “ т— 1 Х+М ’_________________?
Допустим, что | х01, т. е.
.1 X Х + 2М\ /о п_.
W^(x + 2M’ X )• (8-25) .
Тогда I
max Е = Е (cos 20 = х0) == — 2Ар (ef 4- ei) + j
в I
+ (Ар)2 [ (е; + ^- + -(---‘ ме2)г] + 2у2Ан = АцА(М). (8.26) 1
Если х0 > 1, т. е.
1 < т < —, (8.27)
то
maxE' = E(cos20 = 1) =
е
48?
= -2Дц (82+82)+(Ag)2rFLif 4- 2у2 Ap=Ap.f8(M). (8.28)
Пусть, наконец, х0<—1 или
<».<!; (8.29)
тогда
max Е — Е (cos 20 = — 1) =
о
= - 2Ац (82 + 8|) + (Ац)2 4- 2у2 Ар, = Др. • f3 (М).
(8.30)
Теперь уже легко получить условия неположитель-
ности выражений (8.26), (8.28), (8.30) при всех допу-
стимых М. Управление р принимает в оптимальном ре-
жиме предельные значения согласно следующему пра-
вилу:
Ц = НтиХ, если ф(рт1п, т)>0, |
И == Hmini если Ф (рт^х> 0* /
81
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ 281
Символом Ф(М, т)
ция вида
А(М),
здесь обозначена непрерывная функ-
Ф(М, т)=
ММ),
/з(М),
= / Л Л + 2М \
если т-(т+2М~’ ——
1 “F 2М /О aq\
если 1 т —-ч—. (8.32)
Л
если , , о.. < т =С 1.
Л + 2М
Нетрудно видеть, что необходимые условия (8.31) силь-
нее условий (8.18).
Вопрос о том, как изменяются необходимые условия
при одновременном варьировании К и р, сводится к ис-
следованию неравенства (8.22) при #= 0 и Др =Д 0; на
этом здесь останавливаться не будем.
Исследование необходимых условий этого пункта уда-
лось провести, не вводя сопряженной системы. Это об-
стоятельство связано со спецификой поставленной за-
дачи: небольшое видоизменение постановки потребует
введения сопряженной системы. По существу, дело за-
ключается в том, что для рассмотренного случая решение
исходной задачи совпадает (быть может, с точностью до
знака) с решением сопряженной, и поэтому нет необхо-
димости специально вводить сопряженную систему *). По-
кажем это на примере плоской деформации в отсутствие
продольного смещения.
Пусть u — ixzx-\-iyz1 2— вектор перемещения; уравне-
ниям статики
д^их Л ^хи
—^+—-^- = 0, = 0
дх ду * дх ' ду
удовлетворим с помощью потенциалов г3, z4:
\х=='ху = ^х==-^ °y~zx- (8.33)
Присоединяя сюда соотношения
°,= 44 + 4) + 21*4. = 44 + 4) + 2»‘4
т«,”44 + 4).
1) Ясно, что при исследовании задач оптимизации для упругого
кручения (пп. 1—7 этой главы) можно было бы также обойтись без
введения сопряженной системы.
282
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. Ill
выражающие закон Гука, получим систему уравнений
< = 4< + ^) + Wv. ( ’34)
“4 = !*(*;+ 4).
или, после введения параметрических переменных
2>=$2, 2*=?, 22=?,
2Н2-
22 = ?\
(8,35)
2^ = А($Ч-С4) + 2р^,
2; = -p(^ + g3).
Граничные условия задачи имеют вид
23 = —F, г.1 = —F на Sp, 1
1 х ‘ f 1 (8.36)
2i = 22 = 0 на Sa = S/Sp.l
С помощью множителей Лагранжа |г, Tjf (I — 1, 2, 3, 4)
составим функцию И:
Н -+ П1С2 + U3 + П254 + 1зН (С2 + £3) -
- Пз [MS' + С4) + 2^1 + [X (е1 + £4) + 2р^] -
— П|Ц (£2 + £3) — УА — 2 YxM-
и построим сопряженную систему
^+т|(,“0 (/=1,2, 3,4),
^~Пз(Х + 2и) + а4Л = 0,
’ll + £зН — W = 0,
+ 1зН ~ П1Ц =» 0,
Т)2 — Т]зЛ -f- ^4 (Л 4- 2ц) — 0.
8]
ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГИХ МОДУЛЕЙ
283
Первым четырем уравнениям этой системы удовле-
творим при помощи потенциалов
Zi = — ®iy, 1Ъ = <’>/* (i = l, 2, 3, 4). (8.37)
Подставляя это в остальные уравнения, преобразуем
их к виду
®1х + = О,
— ®1» = М®3х + ®4у) + 2|Х®3х>
®2х = к (®3х + ®4(/) +.2р.(04!/)
— ®2</= Н (®W + ®3у)-
Граничные условия для переменных ан в задаче о ми-
нимуме / даются формулами (см. (2.10) гл. I)
®it = Fx, ®2( = ^ на SF, ]
Юз = О4 = о на SU = S/SP. j ( '
Сравнивая теперь задачи (8.34), (8.36) и (8.38),
(8.39) и пользуясь единственностью, получим
<о1 = —г3, <02==="“Д (о3 = —-г1, (о4 = — г2. (8.40)
Необходимое условие Вейерштрасса дается неравенством
# (В, Yi> Y2, и) ~ Н (g, т), Yi, у.г, z, Z, А, М) > 0.
Принимая во внимание (8.35) — (8.37), приведем это
неравенство к виду (8.11), что и требовалось доказать.
Если бы вдоль части границы Su мы имели условие
u = Ui(t) #= const, то между решениями прямой и соп-
ряженной задач, вообще говоря, не существовало бы
простой связи типа (8.40), и необходимые условия опти-
мальности можно было бы получить только с помощью
сопряженной системы.
ГЛАВА IV
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
СИСТЕМАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Общий метод гл. I до сих пор иллюстрировался при-
мерами эллиптических оптимальных задач. Метод со-
храняет свою работоспособность и в гиперболических за-
дачах оптимизации; исследование проблем этого класса
представляет некоторые особенности, которые рассмат-
риваются в настоящей главе.
1. Квазилинейное уравнение первого порядка
Рассмотрим оптимальную задачу (2.58) — (2.60) при-
мера 6 п. 2 гл. I и вычислим приращение функционала
(2.60) при изменении управления на величину Ди по
сравнению с его оптимальным значением и. Предполо-
жим, что вариация Ди отлична от нуля в полоске abed
плоскости (/, х) ширины h и длины I (рис. 45). Функцию
z{t, х) считаем непрерывной; нетрудно показать, что при
(j КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА >85
h-+0 искомое приращение записывается в виде
Д/==- ^Wzx + bzM+dMdtdx+oth). (1.1)
abed
Здесь £(/, х) — функция, определяемая задачей (2.61),
(2.62) гл. 1, а символ 6 имеет следующий смысл:
bfo, i = fo,i (t> х, г, u + Ди) — /=0. । (Л х, z, и). (1.2)
Преобразуем функцию
-Н(г,4-Дгх)дА+д/0],
стоящую под знаком интеграла в (1.1). Для этой пели
воспользуемся требованием непрерывности касательной
производной функции z на границе ad (или Ьс, при
й-> 0 это одно и то же) полоски варьирования. При
этом будем пренебрегать различием в значениях z в со-
ответствующих точках границ ad и Ьс, так как при й-*0
учет этого различия связан со слагаемыми более высо-
ких порядков малости по й.
Условие непрерывности касательных производных ')
f0(t, х, г, и) + ft(t, х, z, u)zr]tx + zxxx=*
х, z, и + Ди) + fi (/, х, г, и -4- Дм)(гх 4- \zx)]tx 4-
+ {zx-\- bzx)xx (1.3)
дает возможность исключить Дгх из подынтегрального
выражения (1.1). В результате это выражение примет
вид
<1л)
Обычным рассуждением устанавливаем, что для ми-
нимальности функционала / необходимо, чтобы выраже-
ние (1.4) было неотрицательно.
Рассмотрим отдельные сомножители в (1.4). Функ-
ция £(/, х) определяется из задачи (2.61), (2.62) гл I;
решение этой задачи связано с построением характери-
стической системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Для наших целей достаточно заметить, чго
9 (^т> *т) обозначают направляющие косинусы направления г.
286
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. IV
вдоль характеристики х — x(t) выполняется соотношение
= (1.5)
Эта формула показывает, что знак g вдоль характери-
стики совпадает со знаком начального значения
£>(Т,х) =—р(х) (см. (2.62) гл. I). Интегральная поверх-
ность £ = £(/, х) уравнения (2.61) гл. I разбивается на
полосы, в которых £(/, х) положительна или отрица-
тельна, смотря по тому, положительно или отрицательно
значение —р(х) вдоль соответствующего отрезка прямой
t = Т.
Разберем вопрос о знаке отношения
fi (t, x, zf и) tx + хх n
fl (t, X, Z,u + l\u) tx + xx • ' • ’
Эта величина равна единице при Au — 0; при Au #= 0
найдутся такие направления (/т, хт), которым соответ-
ствуют отрицательные значения отношения (1.6). Подоб-
ные направления следует исключить из рассмотрения.
Причина заключается в том, что варьирование в полос-
ках с запрещенными направлениями сразу выводит за
рамки принятого класса функций сравнения — непрерыв-
ных функций с кусочно-непрерывными производными —
и влечет за собой появление разрывов первого рода в ре-
шении <?(/,%) основного уравнения (2.58) гл. I. Важно
отметить, что разрывы эти не связаны с квазилиней-
ностью уравнения, а обусловлены исключительно ориен-
тацией полоски варьирования; поэтому сказанное сохра-
няет силу и в случае линейного уравнения.
Если к сравнению допускаются разрывные функции
2, то теряют силу рассуждения, приведшие к формуле
(1.4); к квазилинейном случае несостоятельна уже фор-
мула (1.1). Таким образом, тот прием получения условий
оптимальности, который использовался до сих пор, ко-
ренным образом основан на предполокениио положитель-
ности отношения (1.6).
Разберем вопрос о возникновении разрывов в реше-
нии. Положение здесь во многом аналогично тому, какое
имеет место при возникновении сильных разрывов в ре-
шениях квазилинейных уравнений. Известно, например,
11
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
287
что решение квазилинейного уравнения
zt + f{z)zx = 0, (1.7)
порождаемое гладкими начальными данными, может
оказаться разрывным вдоль некоторой линии на плос-
кости (/, х); если наклон этой линии (7, то условие на
разрыве дается неравенствами
f(z_)>C/>f(z+), (1.8)
где Z- и z+ — значения решения соответственно слева и
справа от разрыва. Эти неравенства показывают, что от-
ношение (1.6), в котором dx/dt отождествлено с t7, отри-
цательно. Единственное различие заключается в том, что
в квазилинейном случае разрыв образуется благодаря
зависимости фазовой скорости от 2, а в задаче с управ-
лением выполнение неравенств (1.8) гарантируется соот-
ветствующим внешним влиянием. Эти неравенства по-
рождают неоднозначность решения на той линии, где
они выполняются1). Характеристики, подходящие к этой
линии с разных сторон, приносят на линию различные
данные Коши, и в решении образуется разрыв. «Столкно-
вения» характеристик не происходит, если отношение
(1.6) положительно; при этом характеристики на разных
сторонах линии разрыва управления «продолжают» друг
друга, и условие (1.3) гарантирует непрерывное продол-
жение решения через эту линию — одну из границ по-
лоски варьирования.
Отметим, что если отношение (1.6) отрицательно, то
«столкновение» характеристик происходит только на од-
ной границе полоски варьирования {ad на рис. 45); на
другой границе полоски {Ьс на рис. 45) характеристики
«расходятся» от нее в разные стороны. Разрыв в решении
возникает только вдоль ad.
Итак, если к сравнению допускаются лишь непрерыв-
ные функции z{t, х), то следует производить варьирова-
ние так, чтобы не нарушить условия положительности
выражения (1.6). Иными словами, полоска варьирования
может располагаться лишь в некотором угле, величина
которого зависит от допустимого изменения управ-
9 В данном случае —на границе ad полоски варьирования (см.
ниже).
288
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. IV
ляющей функции и, конечно, от вида функции fi. Может
случиться, в частности, что единственным возможным
в этом смысле способом варьирования окажется такой,
когда полоска располагается перпендикулярно к оси t
(tx — 0) *)• При этих условиях получается, что для мини-
мизации функционала / необходимо, чтобы выражение
—В(б/о + ?x6fi) было неотрицательно для всех допусти-
мых значений Дн. Последний результат представляет не-
обходимое условие Вейерштрасса для оптимальной за-
дачи (2.58) — (2.60) гл. I в классе непрерывных функций
z(t, х).
Возможность возникновения запрещенных направле-
ний полоски варьирования отличает гиперболические
задачи оптимизации от рассмотренных ранее задач эл-
липтического типа.
Рассмотрим простой пример, на котором проиллю-
стрируем новые возможности оптимизации, возникаю-
щие при отказе от требования непрерывности функции
z(i,x) при допустимом варьировании.
Положим, дано уравнение
z/-|-mzx = 0, (1.9)
в котором и = «о — const при —оо <х < оо, 0 Zo-
Данные Коши
z(0, х) = х (1.10)
порождают решение
Z«“X — urf, (1.11)
справедливое при —оо < х < оо, 0 t < /0- В момент
б=/о характеристическая скорость и скачком меняется
•от «о до значения «1 на отрезке s(x0 х х0 +/г); для
значений х вне этого промежутка скорость и остается
равной «о.
Отрезок s, на котором поддерживается значение
и — И), передвигается как целое со скоростью U в на-
*) Именно таким способом фактически производят варьирование
авторы работ [75, 149], хотя в рассматриваемых ими задачах этот
способ не является единственно возможным. Общий случай варьиро-
вания рассмотрен в работах [68, 96, 300, 301].
11
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
289
правлении возрастания х; величины «о, U и щ связаны
неравенствами
uQ > U > uf,
отношение (1.6) при этом отрицательно.
По истечении времени t\ — to возмущение щ сни-
мается так же внезапно, как оно возникло; отрезок s
в момент t] занимает положение (х', х'+/г), хо~хо +
-f-1/—/0), а вся возмущенная область занимает на
плоскости (/, х) параллелограмм abed (см. рис. 45).
В дальнейшем характеристическая скорость остается по-
стоянной и равной uq для любого х.
Начиная с момента to, решение получается из за-
дачи Коши с начальными данными (см. (1.11))
z(t0> х) = х — uoto; (1.12)
теперь, однако, в области abed и = и\, а в остальной
части полуплоскости t > to, и = uQ. В области, располо-
женной левее ломаной madd' (см. рис. 45), а также
внутри угла b'bm' решение по-прежнему дается фор-
мулой (1.11), т. е. остается невозмущенным. Возмуще-
ние решения сосредоточено в области abed, а также в
полуполосах d'dcc' и e'ebb'. На отрезке ab решение не-
прерывно, данные Коши (1.12) порождают решение
z = x — ux(t — to) — Uoto (1.13)
в треугольнике abf; на линии af это решение принимает
значение
z I* = U (t — to) + хо — их (t — to) — uQto.
С другой стороны, решение (1.11) вдоль af оказы-
вается равным
Z \af.= U (Z Zo) + *0 ~ “of-
Функция z претерпевает вдоль af скачок величиной
2 |а^ — 2 (Uq U\} (t to).
Эта величина растет линейно с ростом /. Разрыв, таким
образом, «накапливается» на левой границе отрезка s:
равный нулю в момент to, он к моменту /у достигает зна-
чения (и0 — их) (tf — to).
10 К. А. Лурье
290
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ._ IV
В область справа от ломаной в b'bfdd' не проникают
возмущения, созданные начальным состоянием; эту об-
ласть можно назвать «зоной тени». С математической
точки зрения можно произвольным образом задать зна-
чения функции z(t, х) вдоль отрезка Ьс\ это определит
решение во всей зоне тени. Чтобы задать функцию z
вдоль Ьс, нужно привлечь дополнительные физические
или иные соображения.
Предположим, что г|Ьс = 0 (отсюда следует, что
2 = 0 в зоне тени), и оценим приращение Аг решения
в различных частях полуплоскости t > 0, вызванное
возмущением характеристической скорости.
Будем иметь:
Аг = 0 в полосе а также левее ломаной
madd' и внутри угла b'bm'\
\z = (u0 — (t — /0) в треугольнике abf;
Аг = — г = — х + uQt внутри полосы d'dfbb'.
В пределах треугольника abf справедлива оценка
t — — М > 0,
поэтому
| Аг | Л11 Au | А, (/, х) е Аа^.
Сходное неравенство справедливо и для скачка ре-
шения вдоль линии af.
Приращение г в полуполосе d'dfbb' не оценивается
подобным образом: мы видим, что оно вообще не зави-
сит от А.
При А->0 параллелограмм abed вырождается в от-
резок ad\ область, ограниченная этим отрезком и лу-
чами проходящих через его концы характеристик, пред-
ставляет собой область тени, где сосредоточено основ-
ное возмущение решения.
Область тени открывает новые возможности опти-
мизации. Пусть, например, требуется минимизировать
функционал
XL
/= / (г (Г, x))2dx
при связях (1.9), (1.10) выбором управления u(t, х),
0 < umin С u(t, х) С «шах, причем допускаются разрыв-
1]
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
291
ные решения. Ясно, что если Т достаточно велико, то
надлежащим выбором длины полоски, в пределах ко-
торой и = Umin (а вне ее и = Umax) и которая образует
с осью t угол arctg <7, umin < t? < umin, удастся обра-
тить функцию z(T, х) в нуль на отрезке (xi,x2), так что
функционал / достигает абсолютного минимума. Суще-
ствует бесчисленное множество управлений, обладаю-
щих этим свойством. Ничто не изменится, например,
если изменить ширину полоски, можно также функ-
цию и внутри полоски взять равной не umin, а какой-
нибудь Другой величине V < Umax» лишь бы выполнялось
неравенство V U < umax-
Интересно отметить, что представление о разрывной
в плоскости (£, х) вариации управления Ди не является
устойчивым относительно малых возмущений управле-
ния1). Если перейти от разрывного управления
и(х—Ut) к мало отличающемуся от него непрерывному
управлению (пунктирная кривая на рис. 46), то гра-
ницы ad и Ьс параллелограмма abed заменятся узкими
слоями ширины 8 (рис. 47). В пределах этих слоев
наклон характеристик непрерывно изменяется между
пределами щ и и<>. Непрерывные начальные данные по-
рождают при этих условиях всюду непрерывное реше-
ние. В пределе е->0 семейство характеристик стре-
мится к предельной картине, представленной на рис. 47.
Предельное решение оказывается разрывным на ха-
рактеристике dd', но вдоль пучка характеристик, про-
никающих в область тени, теперь распространяется
!) На это обстоятельство обратил внимание автора д-р К. Г. Гу-
дерлей.
10е
292
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ.. IV
постоянное1) возмущение, созданное начальным состоя-
нием г(х0 + й,/о) в точке Ь. Вместо зоны тени теперь
получаем область, занятую указанным постоянным воз-
мущением, и все сделанные ранее заключения относи-
тельно приращения решения в этой зоне должны быть
соответственным образом изменены.
Предельное решение и в этом случае является од-
ним из возможных решений в зоне тени; с другой сто-
роны, существуют задачи, в которых следует с самого
Рис. 47.
начала считать вариации разрывными, и рассмотрение
этих вариаций как пределов непрерывных вариаций не
допускается, по крайней мере, на обеих границах по-
лоски варьирования2). Простейшим примером может
служить колонна автомобилей, останавливающихся пе-
ред красным сигналом светофора, тогда как автомобили,
миновавшие перекресток к моменту сигнала, продол-
жают движение с той же скоростью; между двумя груп-
пами автомобилей образуется зона тени.
Непрерывные вариации фазовой скорости соответ-
ствуют иной физической ситуации, и поэтому оба типа
9 Этот вывод справедлив в предположении непрерывности на-
чальной функции z(x, /о) в точке х = х0 + h.
2) Тем самым в этих задачах делается однозначный выбор ре-
шения в зоне тени.
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
293
1J
вариаций должны рассматриваться как существенно
различные.
В случае уравнения (2.63) гл. I положение во мно-
гом аналогично; условие возникновения разрыва имеет
вид
при этом, однако, возникает усложнение, связанное
с тем, что уравнение (2.63) гл. I описывает возмуще-
ния, распространяющиеся в обе стороны по оси х. На
этом вопросе здесь останавливаться не будем.
Случай, когда число независимых переменных пре-
вышает два, связан лишь с формальными изменениями
в рассуждениях. Рассмотрим ту же задачу, что и ра-
нее, для уравнения
Zf = fo(t, X, Z, X, 2, u)zXl
при граничном условии
г(0, xlt ...» xm) = z0(xi, ..., хт).
Минимизируемый функционал имеет вид
оо
/ = J р , хт) z (Г, Хр ..., dx{ ... dx^
—оо
Уравнение (2.61) гл. I имеет аналогом
т / т
It - 2 <ШХ1 — в [fo, + 2 hzzXi
граничное условие (2.62) гл. I остается в силе.
Варьирование управления u(t, Xi, .... хт) произво-
дится теперь в пределах тонкого (шириной /г->0) слоя
пространства (/, Xi....xm), ограниченного двумя па-
раллельными. m-мерными гиперплоскостями. Вводя на
этих гиперплоскостях т независимых параметров
<7ь ..., qm в качестве координат, обозначим соответст-
вующие направляющие косинусы черезЦ, x1<7j,.. .,хот,г
294
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Аналогом выражения (1.4) теперь будет
т
где обозначения 6fo, 6[, имеют прежний смысл (см.
(1.2)), d — характеристический определитель:
1 — fi (t, х, z, и) — f2 (t, x, z, и) ... — fm (t, x, z, u)
_ ^<7i Xl<7t X2?| • • • Xm<7,
X^m X%qm ’ ‘ ’ Х"гЧт
a D — определитель, отличающийся от d лишь тем, что
вместо функций fi(t, х, г, и) фигурируют fi(t, х, z,
Точно так же, как и ранее, доказывается, что отно-
шение d/D должно быть положительным, если оптималь-
ное решение z разыскивается в классе непрерывных
функций.
2. Пример: новый вывод уравнения Веллмана
Полученные результаты допускают приложение к воп-
росу о выводе дифференциального уравнения в частных
производных, которому, при известных условиях, удов-
летворяет оптимальный функционал в задаче минимиза-
ции при связях, заданных системой обыкновенных диф-
ференциальных уравнений.
Будем рассматривать следующую задачу: дана си-
стема обыкновенных дифференциальных уравнений и на-
чальных условий
TF-fV.x, и), (1-1....n); (2.1)
u(t) = ,..., up(t))—управляющая вектор-функ-
ция. Кроме того, задана система связей, выражаемых
конечными равенствами1)
R}(t, х, и) = 0 (1=1, ..., г<р). (2.2)
9 Случай связей, заданных конечными неравенствами, приво-
дится к рассматриваемому путем введения «вспомогательных упраД-
дений». "
21
ПРИМЕР: НОВЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВЕЛЛМАНА
295
Предполагается, что матрица || д^/ди11| имеет макси-
мальный ранг.
Требуется определить управляющую функцию u(t),
доставляющую минимум функционалу / — St(x(T), Г),
имеющему смысл функции конечной точки (х(Т),Т) фа-
зовой траектории в пространстве (х, /):
Sr(x(T), T) = F(x\T\ ..., хп(Т), Г). (2.3)
Предполагается, что функция F непрерывно дифференци-
руема по всем своим аргументам.
Как известно, поставленная задача может быть реше-
на с помощью дифференциального уравнения Веллмана
[144] (принято обычное соглашение о суммировании)
dST
-т~- = max
ueA(t, х) .
dST .
--f X, и)
дх1
(2.4)
при условии дифференцируемости функции ST. В фор-
муле (2.4) Д(/,х) обозначает множество допустимых
управлений, т. е. управлений, удовлетворяющих усло-
вию (2.2).
Решая уравнение (2.4) при граничном условии (2.3),
находим функцию ST(x, /); подстановка ее в выражение
и = у
х,
дх1 /
(2.5)
получающееся из условия максимума [144]
—f‘ (t, х, и) + Г,/?7 (t, х, и) = 0, (2.6)
приводит к соотношению
и = ф(х,/), (2.7)
определяющему синтез оптимального управления.
Решения системы уравнений
= х, Ф(Х, 0) (2.8)
минимизируют функционал (2.3) при произвольных на*
чальных данных х‘ (/0) = Xq.
296
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Рассуждение, приводящее к уравнению Веллмана
(2.4), хорошо известно. По существу, это уравнение есть
не что иное, как дифференциальная формулировка прин-
ципа оптимальности.
Решение уравнения (2.4) при данных граничных
условиях дает синтезирующую функцию (2.7); подстав-
ляя эту функцию вместо и в правую часть (2.4), по-
лучим:
dST dST
= (2.9)
di дх1
Вернемся теперь к поставленной в самом, начале за-
даче и возьмем какое-нибудь допустимое управление
(7(х, /). Заметим, что функция U выбрана зависящей от
двух переменных х, /, которые рассматриваются как
независимые.
Подставляя t7(x, t) вместо и в систему (2.1), придем
к дифференциальным уравнениям допустимых траекто-
рий; при заданном начальном состоянии (х0, /о) допусти-
мая траектория определена единственным образом.
Рассмотрим функционал Sr(x0,/о) на допустимой
траектории; поскольку его значение определяется лишь
конечным (в момент t = Т) положением фазовой точки,
постольку это значение не зависит от того, какую точку
на допустимой траектории мы выбираем в качестве на-
чальной; это обстоятельство выражается равенством
^^- = 0, (2.10)
справедливым вдоль допустимой траектории.
Выполняя дифференцирование в (2.10) и учитывая
(2.1), получим.
's) f‘ (I., ХО, 1/(XO,
OlQ OXq
или, отбрасывая нули,
dST (х, t) dST (x, t) .
-----r—rv. 1».
(2.11)
Заметим теперь, что в качестве допустимой траекто-
рии может быть выбрана любая траектория системы
(2.1) (где вместо и подставлено t7(x, f)), так что
St(x0, tQ), согласно (2.10), сохраняется вдоль всякой
2]
ПРИМЕР: НОВЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ВЕЛЛМАНА
297
траектории системы (2.1). Но это означает [86], что
ST(x, 0 как функция двух переменных удовлетворяет
уравнению (2.11), рассматриваемому как уравнение в ча-
стных производных первого порядка.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что аргументом
функции St(x, t) являются координаты начальной точки
допустимой траектории, а сама функция St определяется
как некоторая комбинация координат конечной точки
траектории. При выбранном управлении значения
St(x, t) сохраняются при движении вдоль траектории,
так что, в частности, минимум значения 5т(х(Г), Т) сов-
падает с минимумом значения 5т(х0, /о). Но величины
х(Т) нам не известны, а х0, t0 известны. Поэтому можно
вместо 5т(х(Т),Г) минимизировать значение St(xq, to)
в данной точке (х0, to) границы допустимой области плос-
кости (х, /).
Приходим к следующей оптимальной задаче для урав-
нения (2.11), рассматриваемого как уравнение в частных
производных 1-го порядка: определить управляющую
функцию t7(x, t) двух независимых переменных при огра-
ничениях (2.2) так, чтобы решение ST(x, t), удовлетво-
ряющее при t = T условию (2.3), принимало в точке
(х0, to) минимальное возможное значение. Управление ра-
зыскивается в классе кусочно-непрерывных функций, а
решение ST(xy i)—в классе непрерывных функций двух
независимых переменных.
Решение этой задачи получается сразу по описанной
выше методике. Необходимое условие минимума имеет
вид
d dS-.
(2.12)
D дх1
где d, D — характеристические определители (см. конец
предыдущего пункта); обозначение 6р’ аналогично (1.2),
а 5 (tfx) удовлетворяет уравнению (для ясности здесь
пишем знак суммирования)
п
(2.13)
/=0
и граничному условию
|(х, О) = б(х —х0) (6 — дельта-функция). (2.14)
298
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ.IV
Условия (2.13) — (2.14) по существу выделяют лишь
одну характеристику, начинающуюся в точке (х0,0);
вдоль этой характеристики £ > 0. Поэтому требование —
g(d/D) (dST/dxi)'X х, и) 0 фактически наклады-
вается и выполняется только вдоль этой характеристики,
и вдоль нее оно эквивалентно, как видно из предыдущего,
неравенству
dSr
(2.15)
дх1
т. е. обычному условию максимума. В соответствии с
предыдущим пунктом, отношение d/D считается поло-
жительным.
С учетом (2.15) уравнение (2.11) переписывается в
форме
dSr 3ST . t f 1
__L==— max —p (t, x, U(x, t)) ,
dt и <= A (t, x) dx1 J
справедливой вдоль оптимальной траектории. Хорошо из-
вестное рассуждение ([144]) приводит теперь к уравне-
нию Веллмана.
3. Оптимальная задача пластического кручения стержня
Рассмотрим неоднородный стержень, находящийся
в состоянии пластического кручения. В плоскости попе-
речного сечения G стержня введем декартовы коорди-
наты Хь х2\ ось х3 направим вдоль образующей стержня
(см. рис. 44). Составляющие напряжения /1з(Х1,х2),
^з(Х1,х2), возникающие в стержне, закрученном около
оси х3 парами с моментом Л4, удовлетворяют условию
текучести
^з + & = *2- (3-1)
Здесь k = fe(xbx2)—предел текучести; для неоднород-
ного стержня этот предел может быть функцией точки
в поперечном сечении.
К условию (3.1) присоединяется уравнение равнове-
сия (см. (1.4) гл. III)
= ° (3-2)
3]
ЗАДАЧА ПЛАСТИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
299
и граничное условие
/23dx —/13dz/ = O вдоль Г, (3.3)
выражающее отсутствие нагрузок на боковой поверх-
ности стержня.
В дальнейшем будем писать х, у вместо хь х2. Удов-
летворим (3.2) с помощью функции напряжений z(x, у),
введя ее по формулам (ср. (1.7) гл. III)
= ^23= %Х*
Уравнение (3.1) примет вид
г2+22=^2, (3.4)
а условие (3.3) окажется равносильным следующему:
2 = 0 вдоль Г. (3.5)
Имея в виду постановку задачи оптимизации, будем
трактовать предел текучести k(x, у) как управляющую
функцию. Предположим, что fe(x, у) принадлежит множе-
ству измеримых функций, ограниченных неравенствами
О < femin < vrai max k (k, у) < femax < oo, (3.6)
где femin, femax — постоянные. Кроме того, будем считать,
что среднее значение предела текучести не превосходит
некоторой постоянной:
mes q У У fe (^, f/) dX dy fecp> femln < fecp < femax’» (3*7)
последнее ограничение выражает оценку имеющихся ре-
сурсов управления (ср. стр. 241).
Функцию z(x, у) считаем непрерывной всюду, за ис-
ключением линий, на которых сталкиваются характери-
стики уравнения (3.4), несущие различные начальные
данные. Эти же линии могут быть линиями разрыва нор-
мальных производных zn при непрерывности самой функ-
ции z и управления fe; нормальные производные zn на
разных сторонах линии разрыва отличаются только
знаком.
Оптимальная задача заключается в следующем: тре-
буется определить управление fe(x, у) в рамках принятых
JOO СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
ограничений так, чтобы максимизировать функционал
I— j J г(х, y)dxdy, (3.8)
G
отличающийся положительным множителем от величины
предельного момента М.
В такой форме задача оптимального пластического
кручения была поставлена авторами работы [303]!).
Перейдем к выводу необходимых условий оптималь-
ности. Следуя общей схеме гл. I, представим уравнение
(3.4) в нормальной форме:
2Х = Ъ zy = Vl^2 (3.9)
и составим функцию И:
Н = ^ + n + z-------^k.
. ’ 1 г ъ 1 mes G
Здесь т), у—множители Лагранжа. Условия стацио-
нарности
-|-Т)ц == — 1, g — п ... £.. = 0
равносильны соотношениям
g = (02х, т] = сог^, div со grad z = — 1. (3.10)
Если ввести полоску варьирования с нормалью п и каса-
тельной t, то условие Вейерштрасса запишется в виде
ДЯ = Я (Z, Z, К) -Н (z, g, k) = <02n \zn - \k =
== azn (I V K2 — z2 | sign zn — | У k2 —z21 sign zn) —
-----
mes G
При этом мы воспользовались непрерывностью zt на ли-
нии разрыва предела текучести (границе полоски).
9 Материал этой работы составляет основу изложения настоя-
щего раздела.
3]
ЗАДАЧА ПЛАСТИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
301
Потребуем, что при K = k было AJ7 = 0; это условие
будет удовлетворено, если sign Zn = sign zn и, следова-
тельно,
ДЯ = a>zn (| V К2 — z2t | — | Vk2 — z2t |) sign zn —
V
mes G
(3.11)
Чтобы удовлетворить последнему неравенству для любых
л, /, необходимо выполнение условия
(®|Vz|------^А&<0. (3.12)
\ 1 1 mes G ) '
Оптимальная функция k может принимать предельные
значения, либо промежуточные значения согласно усло-
виям
fc = femin, если <в| Vz| — -”£-<0,
&min < k < femax, если © | Vz | — me^G = 0,
k = kmax, если co | Vz | — -^-Q- > 0.
(3.13)
Нетрудно убедиться, что, обратно, неравенство (3.12)
влечет за собой (3.11) при любой ориентации полоски
(п, /): в самом деле, (3.12) есть неравенство (3.11), со-
ставленное для критического положения полоски, когда
вектор grad z направлен вдоль нормали п.
Условия (3.13) можно преобразовать к другой форме.
С этой целью введем ортогональные криволинейные ко-
ординаты qi = s,, q2 = z\ линии z = const будут линиями
уровня функции напряжений, а линии s = const (0 s <;
So)—их ортогональными траекториями. Уравнение
(3.10) в этих координатах принимает вид
= (3.14)
где Hz = |r2|, Hs — |г,|—коэффициенты Ламе. Заме-
тим, что Нг — |г2| = | grad z|-1 = \/k.
Предположим, что в области имеется линия 2, на ко-
торой z непрерывна, а нормальные производные zn
302
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
разрывны; пусть z=zQ(s)—уравнение этой линии. Будем
считать, что при фиксированном s параметр z меняется
от 0 на Г до 20(s) на S (рис. 48) и что в любую точку
(г, s) области G можно прийти,
следуя вдоль линии s — const
(т. е. вдоль векторной линии
grade), выходящей с контура
Г и приходящей на линию раз-
рыва S. Вдоль S выпол-
няется естественное граничное
условие lyt — = соеп = О,
откуда
со = О вдоль S.
Пользуясь сделанными предположен дями, проинтег-
рируем (3.14) по z при s = const от e0(s) до г; будем
иметь:
г
(О = -Ф- / /(S, p)dp, J(s, z) = HsHz>0,
Zo(S)
откуда
z
о| Vz|==©//7’ = -4- ( /(s, p)dp =
л s J
z
= “ k(s, z)J(s, z) J 7<S’ p)rfp-
*о($)
Введем функцию
z.(s)
C(s, z) = f J(s, p)dp — k(s, z)J(s, z) =
Z
ZQ(S)
= f 4^4 dp-------------KrH, (s, z) (3.15)
J k (s, p) r mes G s v ’ 7 v 7
z
и запишем с ее помощью условия (3.13):
k ($> /”) — ^mtn>
&min < k(s, г) <
^max>
A (s, r) =
если
если
если
C(s, z)<0,
C(s, z) = 0,
C(s, z)>0.
(3.16)
3)
ЗАДАЧА ПЛАСТИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
303
Если условие С (s, z) = 0 выполнено во всех точках не-
которой области, то в этой области
= ----J^. = o. (3.17)
dz \ / mes Q dz ' '
Последнее условие имеет простой геометрический смысл.
Именно, в тех точках, где оно выполнено, линии уровня
z — const имеют постоянную кривизну х2, т. е. являются
отрезками окружностей постоянного радиуса. Чтобы убе-
диться в этом, докажем предварительно, что
Введем единичные векторы is, iz осей qi9 q2'
's |rs| Hs ’ |Vz| Нг Rr*-
Предполагая, что эти векторы образуют правую систему,
можем написать:
Здесь учтено, что производная единичного вектора iz по
z есть вектор, ориентированный вдоль is, т. е. вдоль га.
Принимая во внимание формулу Френе
ds ~ KzHsis,
получим
дН s ___
dz
HS _ 7
-----KZJ,
что и требовалось доказать.
Исключая теперь dHJdz из (3.17), запишем это ра-
венство в виде
4^ = 7 (—11 = 0, (3.18)
dz \ mes Q г / 9 > f
304
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
в этой области являются
откуда следует, что
= 1 (3.19)
г
где радиус р = y/mes G. Очевидно, С растет как функ-
ция г, если > р”1, и убывает в противном случае.
Аналогично предыдуще-
му докажем, что
дНг _ д / 1 \
ds ds U/ KsJt
где и3— кривизна линии
s = const, т. e. векторной
линии grade. Отсюда сле-
дует, что в точках областей,
где k = const = femin (или
&max), линии S = COHSt ЯВ-
ЛЯЮТСЯ прямыми.
Вернемся к рассмотре-
нию области промежуточно-
го режима управления, где
С($, е)= 0. Линии e=const
отрезками окружностей по-
стоянного радиуса р. Пусть центры этих окружностей,
отвечающих различным значениям е, расположены на
кривой
/?==#(z)=(x0(z),z/0(z)). (3.20)
Имеем (рис. 49)
R = г + pi2,
где г обозначает радиус-вектор точки (s, г). Дифферен-
цируя по z, найдем
г» I di? ,-1. . diz
Rz — fz + Р — k 1г + P дг
И
(grad г, Я2) = Ж> Я2)= 1,
так как вектор dijdz направлен вдоль is.
Обозначив через а угол между iz и вектором касатель-
ной к кривой R(z) (рис. 49), перепишем полученный ре-
зультат в форме
k | Rg | cos a = I.
(3.21)
31
ЗАДАЧА ПЛАСТИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
305
С другой стороны, согласно предыдущему:
JRs = rs + р = iiHi — pKzHsis = 0,
так что вектор Я не зависит от s; это, впрочем, очевидно
по его геометрическому смыслу. Отсюда вытекает, что
от s не зависит и |/?z|. Теперь формула (3.21) показы-
вает, что
k (s, z) cos a’(s, z) = k (s', z) cos a (s', г). (3.22)
Полученные результаты позволяют сделать ряд вы-
водов о взаимном расположении областей с различными
значениями оптимального управления. Будем следовать
по линии s = s0 = const, начинающейся в точке zo($o)
линии S. В этой точке С<0 и, следовательно, k = femin
в ней самой и в некоторой ее окрестности в направлении
убывания z (предполагается, что z возрастает от нуля на
Г до некоторого положительного z0(s) на S). В области
k = femin линии s = const являются прямыми. Функция
C(s, г) может возрастать по мере убывания z\ предполо-
жим, что при z = г2 эта функция обращается в нуль.
Если по мере дальнейшего убывания z функция C(s, г)
сохраняет нулевое значение, то в соответствующей об-
ласти реализуется режим промежуточного управления.
Нетрудно видеть, что зона промежуточного управления
не может примыкать к границе Г основной области, если
эта граница не является окружностью.
Дальнейшее убывание z при s = s0 может привести
К ПОЯВЛеНИЮ ЗОНЫ С k = femax* Так будет, если граница Г
области G составляется из конечного числа прямолиней-
ных отрезков. Согласно (3.18), в точках границы dC)dz<Z
< 0, т. е. с приближением к границе изнутри области по
линии s = s0 = const функция С возрастает в непосред-
ственной близости от границы; поэтому на линии s = s0
существует такая точка (s0, Zi), что C(s0, z) > 0 при
z <; 21 и С(s0, z) 0 при z Z\. Для z < zx имеем
fe = femax-
Возможный вариант взаимного расположения обла-
стей с различными режимами оптимального управления
представлен на рис. 50.
При помощи формул (3.15), (3.19), (3.22) можно по
заданной кривой /?(z) (см. (3.20)) или какой-либо из
306
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
кривых ^2(s), zx (s), ограничивающих область промежу-
точных значений управления, построить систему линий
$ = const и z = const во всей области G. Проведем это
построение для квадратной области, предполагая извест-
ным отношение femax/^min и величину y/mes G (размеры
самого квадрата не считаются фиксированными).
Построим систему прямых, параллельных сторонам
квадрата (очевидно, это будет система линий s = const
и z = const для однородного стержня квадратного сече-
ния). Линия разрыва S совпадет с диагональю квадрата.
Выберем произвольную точку на S и предположим, что
через эту точку проходит кривая /?(г), ориентированная,
как указано на рис. 50. Линии S и z2(s) ограничивают
область, где k = &mln; в этой области линии s = const
являются прямыми.
По определению кривой 32(s) имеем
-1_ Г HAs,p)dp--^Hs(s,z2(s)) = 0. (3.23)
«mln v П1еь u
21 (S)
Интегрирование здесь совершается по прямой s =
— = const; вдоль этой прямой dp = femin|dr|. Пара-
31
ЗАДАЧА ПЛАСТИЧЕСКОГО КРУЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ
307
метр 77s (<$, z) есть абсолютное значение производной дли-
ны дуги линии z — const по s; вводя среднее значение
Hs(s') этого параметра по отрезку (22(sz), z0(s')) прямой
s = s' = const, запишем последнее равенство в форме
Я (s') Р («')== Hs(s', z2(s')).
Здесь p(s') обозначает длину отрезка (z2(sz), Zo(s')) пря-
мой s — s' = const, лежащей в области k = &min; эта
длина оказывается равной
/5/ч = Hs (£, z2 (s')) у
Hs (s') mes G
Если бы мы располагали семейством прямых s —
= const в области k = femin, то могли бы приближенно
вычислить Hs(s, z) и построить точку на расстоянии
р = y/mes G от р\. Проведя дугу окружности радиуса
y/mes G с центром в р\ и угловым раствором a (s', z) —
— a(s, z) (см. рис. 50), получили бы точку t\(s, z) на ли-
нии Zi(s), разделяющей области промежуточного управ-
ления и управления k = Amax (угол a(s, z) нашелся бы
из условия (3.22), принимающего в данном случае вид
(рис. 50)
йтах cos a (s, z) = femIn cos a (s', z)).
Линия (s) разделяет область промежуточных зна-
чений управления k и область, где k — £max. Предполо-
жим, что зона k = femax примыкает к границе области.
Поскольку эта граница прямолинейна, линии s = const
являются прямыми, перпендикулярными к границе. Рас-
смотрим ту из этих прямых (s = Si, отрезок u^i), кото-
рая приходит в точку t\. Вектор gradz в точке t\ имеет
направление этой прямой и непрерывен; этот вектор ор-
тогонален дуге q\t\ в точке t\. Но этой же дуге в точке t\
ортогонален и радиус p\t\, следовательно, точка р\ лежит
на продолжении отрезка U\t\. Это обстоятельство дает
возможность, обращая предшествующее рассуждение,
восстановить отрезок q\p\ по отрезку U\ti9 который легко
построить по точке р\ и известному параметру y/mes G.
Аналогичным образом строится и все семейство линий
s = const в области k = femin. При этом линия Z\ (s) по-
лучается из линии /?(z) переносом ее вниз на расстояние
308
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
y/mes G (см. рис. 50), а линия z2(s) восстанавливается
по 2] (s) путем очевидного геометрического построения.
Форма линии #(<?), указанная на рис. 50, гарантирует
смыкание линий Zi(s) и 22(s) в точках /п и /6- Можно
считать, что сторона квадрата I — I проходит через точку
/ц: в самом деле, если бы она проходила ниже этой
точки, то пришлось бы ввести дополнительную линию
Рис. 51.
Рис. 52.
раздела областей с различными значениями k (femin и
femax); вдоль этой линии либо мы имели бы разрыв функ-
ции z (что невозможно), либо не было бы выполнено
(3.23).
Аналогично доказывается, что прямую II — II можно
взять в качестве второй стороны квадрата.
Полученное решение описывает оптимальное распре-
деление предела текучести для четверти квадрата. Реше-
ние для всего квадрата строится по симметрии. Постоян-
ная р выбирается так, чтобы удовлетворить условию
(3.7).
Можно показать (см. [303]), что форма линии Я (г),
выбранная для построения решения на рис. 50, не яв-
ляется случайной. Если бы эта линия целиком распола-
галась по одну сторону S, то мы пришли бы к противо-
речию с (3.23).
4)
ОПТИМАЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
309
Подчеркнем, что в описанном построении размеры ос-
новной области не были даны заранее: они определялись
по известным параметрам femax/^min и y/mes G. Можно ут-
верждать, что контур области выбирался в соответствии
с полученным решением. Для областей, ограниченных
криволинейными контурами, такой подход представляет
большие трудности. Единственным (и тривиальным) ис-
ключением является круговая область.
Уже для эллипса решение проще получается численно
непосредственным применением метода последователь-
ных приближений. Таким путем были получены решения
для значений y/mes G — 10 (рис. 51) и y/mes G == 5
(рис. 52),. Как видно из фигур, с уменьшением параметра
y/mes G увеличивается область, занятая материалом
с наибольшим значением предела текучести.
4. Оптимальные гиперболические задачи для областей,
границы которых содержат отрезки характеристик
Рассмотрим функции г1 (%, у), г2(х,у), удовлетворяю-
щие системе уравнений
4 = X(z\ Z2, и), Z2=£2,
= г2 = У (г1, 22, и), (4‘1)
содержащей управление и(х,у). Характеристики этой
системы имеют проекциями на плоскость (х, у) прямые
линии, параллельные осям координат.
Более общая система
4 +а (г1, и),
2* + ₽(2;1» z2)z2y — g(z‘, z2, и) ^-2)
имеет проекциями характеристик кривые с наклонами
а, р; если эти параметры постоянны, то (4.2) легко сво-
дится к виду (4.1) путем замены независимых пере-
менных.
В ряде задач требуется определить решение системы
(4.1) в области, граница которой содержит отрезки, па-
раллельные координатным осям, т. е. характеристические
участки. Пример такой области дан на рис. 53. Как из-
вестно, на характеристических участках не всегда воз-
310
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
можно произвольное задание начальных значений соот-
ветствующих функций: чтобы гарантировать существова-
ние решения, необходимо подчинить заданные начальные
значения соотношениям совместности, возникающим не-
посредственно из урав-
нений.
Так, на горизонталь-
ных отрезках у = const
границы Г области G
(рис. 53) начальные зна-
чения должны удовлетво-
рять условию
= (4.3)
а на вертикальных (х =
= const)— условию
< = W z\ и). (4.4)
Эти соотношения представляют собой обыкновенные диф-
ференциальные уравнения, связывающие начальные зна-
чения зависимых переменных на характеристических
участках границы. При исследовании задач оптимизации
соотношения (4.2) и (4.3) должны быть приняты во вни-
мание в процессе составления необходимых условий, как
это диктуется общей схемой гл. I.
Другим важным свойством характеристик является
то, что во многих важных случаях вдоль них распростра-
няются разрывы решений гиперболических уравнений
или их производных. Этим свойством обладают уравне-
ния (4.2), если они являются слабо нелинейными, т. е.
если da/dz2 = dp/dz1 = 0 ([143] (стр. 440)). Примером
слабо нелинейной системы может служить система (4.1).
В дальнейшем будет показано, какое влияние оказы-
вают отмеченные особенности гиперболических уравнений
на постановку и решение соответствующих задач оптими-
зации.
Нижеследующий пример принадлежит Р. Джексону
[270]. Мы будем следовать его работе, несколько видоиз-
меняя рассуждения.
Пусть требуется найти непрерывное решение системы
(4.1) в области G (см. рис. 53), если значения г1 известны
4]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
311
во всех точках дуги DAB границы Г, за исключением
открытых слева горизонтальных (характеристических)
участков этой дуги; множество точек Г, в которых за-
даны значения г1, назовем Г21. Аналогично, значения z2
будем считать известными на части Г2з дуги АВС, не со-
держащей открытых снизу вертикальных (характеристи-
ческих) участков. Этих условий и уравнений (4.1) доста-
точно для определения г1 и г2 в замкнутой области GUT;
задача оптимизации заключается в том, чтобы опреде-
лить управление и(х, у), минимизирующее функционал
I = j) (/г1 + mz2) dt.
r
Здесь t обозначает длину дуги границы Г, а /, m — за-
данные функции от t.
Переходя к составлению необходимых условий макси-
мума, введем множители Лагранжа ., т]2 и обра-
зуем функцию Н:
Я = ^ + т1^ + ^2 + т12У. (4.5)
Для определения множителей имеем систему урав-
нений
^2х + = ~J
и граничных условий
1^ = --/ в точках множества Г/Г21, (4.7)
r]2xz = m в точках множества Г/Гг2. (4.8)
Нетрудно видеть, однако, что условию (4.7) нельзя
удовлетворить на горизонтальных участках дуги Г/Г2’,
где yt = 0, если только на этих участках I не равно нулю
тождественно. Точно так же, если т У= 0 на вертикаль-
ных участках дуги Г/Г2г, то условию (4.8) на этих участ-
ках удовлетворить не удается.
Возникшее затруднение легко объяснимо. Дело в том,
что при составлении необходимых условий оптимально-
сти нужно, как уже упоминалось, учесть соотношения
(4.3), (4.4) на характеристических участках границы.
Если область невыпукла и характеристические участки
312
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. IV
границы допускают продолжения внутрь области (как,
например, на рис. 53), то следует явным образом учесть
соотношения (4.3), (4.4) и на продолжениях характери-
стических участков *).
Для области, изображенной на рис. 53, связь (4.3)
должна быть принята во внимание на горизонтальных
отрезках типа b (т. е. b0bib2, и т. д.) и Ь' (т. е. b'obib?
и т. д.), а связь (4.4) — на вертикальных отрезках типа р
(т. е. Р0Р1Р2 и т. д.) и р' (т. е. р'р^р' и т. д.) Предпола-
гается, что никакие два отрезка b и Ь' не имеют общей
ординаты и никакие два отрезка р и р7 — общей абс-
циссы.
Построив всевозможные отрезки обоих типов, полу-
чим разбиение основной области G на ряд частичных об-
ластей Gi с границами Г;. В каждой из них определим
множители Лагранжа £1, ..., т|2, а на отрезках Ь, b'f р,
Р' — множители 0Ь, 0р, соответственно. С по-
мощью введенных множителей составим функционал
п-' +W[W2«-%) + 4'(2l-?,) + M4-!;!) +
Ь2
+ п2 (4 - У)] dxdy + 2 / 0& & -X)dx +
b0
b0 ^2
+ 2 / Qb'(z\-X)dx+% J 03(4-y)dy +
62 «0
₽0
+ 2/ 03'(4-У)^ (4-8)
и вычислим его первую вариацию. Та часть выражения
для вариации, которая порождается интегралами по G2
!) В дальнейшем будет показано, что достаточно учесть эти со-
отношения на продолжениях лишь некоторых характеристических
участков границы.
4]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
313
с учетом уравнений (4.6), оказывается равной
f ^ytbz'dt +
i ri
+ jEj f(~— J} JJ £i budxdy —
1 Yi i °i
-1Ш ^budxdy,
i Gi
или, что то же,
f tyt bz dt 4-
r/r2.
Pl
+ S / ^dy + S f ' dx -
₽ ₽0 f>' g'
bi
— £ i^xt bz2dt — ^ J 012+ — nr) 622 dy —
Г/Гг! b *»
b0
~Sj (n2+ — ^D^dy — J} f J g, — budxdy —
»' ь[ 1 ‘°i
— Sjj ik^-budxdy. (4.9)
i Ot
В интегралах по отрезкам b и b' через г|+ обозначено
предельное значение т)2 из частичной области над отрез-
ком, а через пГ — предельное значение п? из частичной
области под отрезком.
Аналогично, в интегралах по отрезкам р и 0' через
обозначено предельное значение из частичной об-
ласти слева от отрезка, а через — предельное значе-
ние gi из частичной области справа от отрезка.
314
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИП4
[ГЛ. IV
Преобразование вариаций последних четырех инте-
гралов (4.8) приводит к следующим слагаемым:
J [(0*+06#W +
bo
+ О6 U 6? + е6 ~ б«] dx + [06, б г ’]*? -
- 2 J* F+0б'#)бг'+0б' -S-6*2+0б'4гбы]dx+
ь’2
+Si0M:-s f [(0*+0p-g>2+
00
+ 0₽ -^г 6г’ + 0е -g б«] dy + 2 [0₽'бг2]*? -
-SI IK+0Э’5-)дг2+0Р'^-д21+0Э'47дм]^-
₽2
(4.10)
Обозначим через Г часть границы Г, не содержащую
горизонтальных и вертикальных отрезков. Варьируя
функционал I и принимая во внимание^ (4.9), получим
следующие естественные условия вдоль Г:
Bi*/, -Н = о на г/гг„ Г/Гг,. (4.П)
— т = 0 на
Функции 0Ь удовлетворяют уравнениям
А& 1 ЭХ ( 0* + 0 dz1 ~~ ( 1 (х) 0 на btb на bQb 21 1J (4.12)
и начальным условиям
0” (б2) = 0.
(4.13)
4]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
315
Функции 0₽ определяются из уравнений } (4.14)
др । dY _ fт (у) на (0 на ₽1₽2 PoPi
и начальных условий
0₽(Р2) = О. (4.15)
Множители 0* и 0Р определяются соответственно уравне-
ниями и условиями
0х+бь'44-= л ‘ dz1 11(х) на | 0 на &1&2 ’ b'ob'i , (4.16)
06'(бо) = О, (4.17)
дР' | дР' _ 0" +0 ~д^~ т (у) на РХ (4.18)
0 на PqP| .
О₽'(₽о) = О. (4.19)
Формулы (4.16) — (4.19) показывают, О6 =0 на b'ob'i 0pz = 0 на РХ», что (4.20)
т. е. множители 0Ь' и 0₽' тождественно исчезают на про-
должениях характеристических участков границы внутрь
области. С другой стороны, множители 0Ь и 0₽, как видно
из (4.12) — (4.15), не равны нулю на продолжениях со-
ответствующих характеристических участков.
Приравнивая нулю коэффициенты при бз* в остав-
шихся слагаемых (4.8) (см. (4.9) и (4.10)), получим
-ее-§- + ^-Г = 0 вдоль рорр (4.21)
— 1(у)~ 110/) = 0 вдоль PjP2 на дуге BCD, (4.22)
-0е'^- + ^-С = О вдоль 'РХ (4.23)
0е — 1(у)~ (//) = 0 вдоль Р^Р' на дуге BAD. (4.24)
316
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. IV
Аналогично, сравнивая коэффициенты при б?2, придем
к условиям
“ 06 — + Пг" = 0 вдоль bobit (4.25)
9Ь — т (х) + т]2 (х) = 0 вдоль Ь{Ь2 на дуге ADC,
(4.26)
“ ~ ’Ъ* + ПГ = 0 вдоль b{b', (4.27)
06 — m W + 'П2 W ~ ° вдоль b'b' на дуге ADC.
(4.28)
Равенства (4.23) и (4.27) вместе с (4.20) показывают,
что множители и г|2 непрерывны соответственно на
характеристиках р'р', из формул (4.12) — (4.15),
(4.21), (4.25) вытекает, что эти же множители, вообще
говоря, разрывны на характеристиках Ь0Ь1г рор£. Теперь
становится ясно, что можно вообще не учитывать
равенств (4.2) и (4.3) на продолжениях Ь'Ь', р'р^ харак-
теристических отрезков Р£Р[ и не вводить самих
этих продолжений, распространяя соответствующие
интегралы в (4.8) только на отрезки границы Ь2Ь'{ и Р2Р{.
Это обстоятельство очевидным образом связано с ра-
венствами (4.20), а последние обусловлены тем, что на
концах b'o, Р' отрезков b'b'o и PJP£ вариации dz1 и Sz2
являются свободными (точки b't) принадлежат дуге BCD,
а Р' —дуге ADC).
Итак, следует продолжать только такие характе-
ристические участки границы, которые при продол-
жении пересекают границу в точках, где заданы соот-
ветствующие функции (например, в точках Ьо, где
известны значения z1, и в точках р0, где даны значе-
ния z2).
4]
ОПТИМАЛЬНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
317
Полученные результаты позволяют написать следую-
щую формулу для первой вариации функционала I:
hl = — J J (Bi + Па Ъи dx dy — J} J eh du dx —
а ьа
₽,
-2/ 0b'#Su^-S j03<-d«^-
b2
₽f
0Р'-£6ы^- (4.29)
₽2
Двойной интеграл в этой формуле выражает вариа-
цию функционала для случая, когда граница области не
имеет характеристических участков. В общем случае
формула для б/ содержит слагаемые, обусловленные ма-
лыми (слабыми) вариациями управления би, сосредото-
ченными на характеристических отрезках границы или
на продолжениях некоторых из них внутрь области (от-
резки типа PQ на рис. 53). Вариации управления этого
типа являются по существу одномерными; двумерные ва-
риации участвуют в первом интегральном слагаемом
в (4.29).
Любая вариация би, знак которой совпадает со зна-
ком №дХ]ди на отрезках Ь0Ь2, со знаком QVdX/du на
b2b'i со знаком Q^dY/du на Ро02> со знаком Q^dY/du на
Р2Р1 и со знаком ^дХ]ди -f- x\2dY!du почти во всех осталь-
ных точках области, — уменьшает функционал /. Это
свойство формулы (4 29) может послужить основанием
для построения минимизирующей последовательности
управлений. Полученные таким образом функции и
будут, вообще говоря, разрывными там, где терпят
разрывы множители П2> т. е., в частности, на про-
должениях b^bx, ₽o₽i характеристических отрезков
границы. Кроме того, разрывы и могут, как обычно,
появиться из-за дополнительных ограничений на управ-
ления.
318
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
В отсутствие таких ограничений формула (4.29) при-
водит к следующим условиям стационарности:
е^ = о ди ВДОЛЬ ь0ь2, (4.30)
е6'^=о ди вдоль ь'2ь', (4.31)
0^ = 0 ди вдоль Р0Р2» (4.32)
03' = 0 ди вдоль (4.33)
Решение этих уравнений будет в общем случае раз-
рывно там, где терпят разрыв непрерывности множи-
тели Т]2.
Формулы (4.6), (4.12), (4.14), (4.16), (4.18), (4.30) —
(4.33) образуют систему уравнений Эйлера, а равенства
(4.11), (4.13), (4.15), (4.17), (4.19), (4.21) —(4.28) пред-
ставляют естественные граничные условия поставленной
оптимальной задачи.
Хотя предшествующее рассуждение относится к сла-
бым вариациям управлений, оно показывает, что отрезки
типа PQ (см. рис. 53) играют особую роль и при силь-
ном варьировании. Чтобы получить необходимые усло-
вия Вейерштрасса (Клебша) для этого случая, прихо-
дится рассматривать различные типы сильных (слабых)
вариаций управления. Во-первых, вводится двумерная
сильная (слабая) вариация Дм(х,у), сосредоточенная в
малой окрестности внутренней точки Ми не принадле-
жащей ни одному из отрезков bobi или popi (см. рис. 53).
Форма малой области варьирования в окрестности точ-
ки Afi при этом не имеет значения. Кроме того, вводятся
вариации Ди(х), сосредоточенные в малой окрестности
(х — h, х -|- Л) точки М2, принадлежащей отрезкам bob2
или b2b\, а также вариации Ди (г/), сосредоточенные в
малой окрестности точки Mz принадлежащей отрезкам
РоРг или РгРг Обычным путем (см. [270]) можно пока-
зать, что главная часть приращения Д/ функционала,
обусловленного слабыми вариациями этих типов, дается
равенством (4.29), в котором только нужно заменить
слабые вариации би соответствующими вариациями Ди,
5]
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
319
Если теперь в дополнение к (4.5) ввести функции
hh = QbX, hh, = Bb'X, = /гй, = 6₽'У,
то необходимые условия Вейерштрасса примут вид
Я (и) = max #(£/),
и
hb^maxhbtU), hy = max hy (U),
и и
= max A3 (t/), hy = max (t/).
и и
Эти соотношения представляют аналог принципа макси-
мума Понтрягина для рассматриваемой задачи.
5. Задача об оптимальной форме контура, 1
обтекаемого сверхзвуковым потоком газа
Методы оптимального управления нашли широкое
применение в теории оптимальных аэродинамических
форм, играющей важную роль в современной приклад-
ной аэродинамике. Вариационным задачам газовой ди-
намики посвящено значительное количество работ *); эта
область характеризуется многими важными результата-
ми и рядом специфических методов исследования экстре-
мальных задач. Здесь нет возможности сколько-нибудь
подробно изложить хотя бы основные факты, составляю-
щие в целом уже довольно хорошо разработанную тео-
рию; интересующийся читатель отсылается к цитирован-
ным выше литературным источникам.
Мы остановимся только на одном направлении иссле-
дования вариационных задач газовой динамики, начало
которому было положено К. Г. Гудерлеем и Дж. Арми-
тейджем [53] и Т. К. Сиразетдиновым [148]. Речь идет об
оптимальных задачах для функционалов достаточно об-
щего вида при связях, задаваемых дифференциальными
уравнениями газовой динамики. Роль управлений играют
функции, определяющие форму контура обтекаемого
тела или сопла; на эти функции могут быть наложены
*) См. [13—15, 79—81, 166—170] и монографии [171, 160], содер-
жащие обширную библиографию.
320 СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
более или менее произвольные ограничения изопериме-
трического или иного типа.
Авторы цитированных выше работ [53, 148] предло-
жили учитывать связи с помощью надлежащим образом
введенных множителей Лагранжа. „Пользуясь обычной
процедурой вариационного исчисления, можно получить
уравнения Эйлера и естественные граничные условия;
при этом существенно, что в ряде интересных для прак-
тики случаев множители Лагранжа оказываются разрыв-
ными. Последнее обстоятельство применительно к опти-
мальным задачам газовой динамики было обнаружено
А. Н. Крайко в работе [79]; оно, в известном смысле,
представляет аналогию с описанным в предыдущем
пункте сходным явлением.
Можно отметить, что как в первоначальных работах
[53, 148], так и в последующих публикациях различных
авторов *) развитие методики ограничилось лишь состав-
лением необходимых условий стационарности и изуче-
нием следствий из этих условий. На этом пути удалось
получить много важных сведений об оптимальных грани-
цах при различных условиях течения; некоторые из них
будут указаны ниже. Что же касается необходимых ус-
ловий Вейерштрасса, то в силу чрезвычайной сложности
нелинейных уравнений газовой динамики вопрос об этих
условиях остается пока не решенным. Некоторые сооб-
ражения, позволяющие для ряда задач выявить харак-
тер экстремума, приведены в работах Ю. Д. Шмыглев-
ского [166, 171] и Р. Фанселау [240].
В развитии исследований по оптимальным аэродина-
мическим формам важную роль сыграла работа А. А. Ни-
кольского [117]. Основная идея этой работы заключается
в сведении вариационной задачи в области сверхзвуко-
вого течения к задаче на границе этой области, состав-
ленной из характеристик уравнений газовой динамики.
Иными словами, речь идет об уменьшении числа незави-
симых переменных на единицу: для плоских и осесимме-
тричных течений метод А. А. Никольского позволяет све-
сти дело к оптимальным задачам для обыкновенных
дифференциальных уравнений. К. Г. Гудерлеем и
Э. Хантшем [265] было получено первое точное решение
9 См., например, [160].
5]
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
321
вариационной задачи газовой динамики с использова-
нием контрольного контура. Весьма обстоятельные ис-
следования в этом направлении, приведшие к глубо-
ким результатам, принадлежат Ю. Д. Шмыглевскому
[166—171].*
К сожалению, метод контрольного контура применим
лишь в тех случаях, когда ограничены размеры тела и
в потоке отсутствуют необратимые процессы (ударные
волны). Если изопериметрические условия имеют более
общий характер (например, задается площадь поверхно-
сти тела или его объем), а также имеются сильные раз-
рывы, то приходится использовать приемы, описанные
в цитированных выше работах [53, 148].
В настоящем пункте мы, следуя [53], приведем вывод
необходимых условий стационарности для общего слу-
чая и разберем упрощения, позволяющие в частных за-
дачах применить методику А. А. Никольского.
Рассмотрим установившееся безвихревое изэнтропи-
ческое течение совершенного газа. Будем предполагать
течение осесимметричным; тогда составляющие скорости
v = и(х9 y)ix + v(x, y)iy, давление р(х,у) и плотность
р(х, у) удовлетворяют уравнениям [87]
и^~ + -Л--^ = const
2 ' у — 1 р
(интеграл Бернулли),
(р«у)х + (pvy)y = 0 (неразрывность),
иу — vx = 0 (отсутствие вихрей),
= const
Pv
(изэнтропа).
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
Здесь у — показатель адиабаты; течение считается сверх-
звуковым (| v| > а).
Скорость звука а определяется формулой
,.2_ dP — VP
rfp р
(5.5)
Предположим, что газ движется через сопло круго-
вого поперечного сечения с образующей у — f(x)
(рис. 54). Тяга сопла определяется формулой
Т= J (p~Po)ff'dx,
(5.6)
11 к. А. Лурье-
322
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
где ро — внешнее давление. На контуре сопла нормаль-
ная составляющая скорости обращается в нуль:
Г (х)«(х, f (х)) — v (х, f (х)) = 0, хА < х < хс. (5.7)
Некоторые геометрические характеристики сопла за-
даются техническими требованиями. Возьмем ограниче-
ние в форме
хс
s = j F(f, f', х) dx, (5.8)
ХА
где s — заданная постоянная. Случай F = f(1 + f'2Y!i
соответствует заданию площади поверхности сопла.
Сформулируем оптимальную задачу. Требуется опре-
делить функцию f(x), подчиненную ограничению (5.8) и
неравенствам
а </'(*)<*>, (5.9)
так, чтобы функционал Т при связях (5.1) — (5.4), (5.7)
достигал наибольшего возможного значения. Неравен-
ства (5.9) выражают дополнительные требования к
форме канала; можно считать, что эти требования га-
рантируют невозникновение ударных волн и тем самым
оправдывают применение уравнений (5.1) — (5.4) для
описания движения газа.
Прежде чем перейти к выводу необходимых условий
максимума, приведем уравнения задачи к стандартной
форме. Будем считать функции u, v непрерывными в от-
крытой области, заполненной линиями тока. Положим
5]
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
323
г1 = u, г2 = v; уравнения (5.2), (5.3) равносильны си-
стеме
< = £*>
4 =
^(г/рг') + ^(//р22) = о.
(5.10)
Последнее уравнение удобно сохранить в форме (5.2).
Граничное условие (5.7) запишем в форме системы
^=». (5.11)
wz' — z2 = 0 на АС, (5.12)
а неравенства (5.9) заменим эквивалентным равенством
(b — w)(w — а) — wl = 0,
содержащим дополнительное управление w*.
Чтобы составить необходимые условия, введем мно-
жители Лагранжа £i (х, у), ..., т]2 (*, У) > ®(x,z/), ц(х),
v(x), cit с2(х) и образуем функционал
хс
П= J [(р — Po)fw + р(х) (/' —а>) +
ХА
+ (f, W, х) + С2 (х) (WZ1 — Z2) +
+ v (х) [(& — w)[(w — а) — а^]] dx +
+ JJk « - S’)+ч, и,-г!)+ъ й-s’)+ч>« - ;) +
+ <0[’&’^pz^+'^’^p22)]}rfxdy- (5ЛЗ)
Двойной интеграл берется здесь по треугольной обла-
сти S (рис. 54), ограниченной участком АС границы и
характеристиками АВ и СВ различных семейств, прохо-
дящими через точки А и С. Область является областью
зависимости отрезка АС: распределение давления вдоль
АС, а следовательно, и тяга зависят только от гидроди-
намических величин в области S.
11*
324 СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ IV
На характеристических участках границы области S
выполнены условия:
Ht ~ (<* + 6) = 0 на ВС, (5.14)
Ht 4-x<tg(a — 0) = О на АС. (5.15)
В этих формулах
0 = arctg-^-, а = arcsin —:— -------п? . (5.16)
& z [(Z1)2 + (Z2)2]1/2
Характеристика АВ и значения составляющих скорости
г1, z2 вдоль нее считаются известными1). При составле-
нии необходимых условий следует учесть, что давление р
и плотность р связаны с г1, z2 уравнениями (5.1), (5.4).
Для вариаций 8р, бр отсюда следуют формулы
6р = — р (z1 бг* 4- z2 6z2), 1
е о * I (5.17)
бр = а 26p. J v '
Вариация функционала (5.13) должна быть равна нулю.
Выражение для 6П составляется из слагаемых, обус-
ловленных вариациями Sz1, 6z2, б£', б£2, б£3, а также ва-
риациями 6/, бш и бхс.
Вариации бг1 и 6z2 порождают слагаемые
хс
j [— р (z1dz1 + z2 6z2) fw + c2 (te> 6z’ — бг2)] dx 4-
XA
4- $ (lifZi — ni*f) dt 4- (l2yt — пл) &г2 dt 4-
4- ay [6 (pz1) yt — 6 (pz2) x,] dt —
-J/[?i + th ft:2 + U ft?2 4- W 4- axy 6 (pz1) +
s
+ ®j,z/ft(pz2)]dxdi/—J J [(lix+^^'+tUx+n^^dxdy,
s
Принимая во внимание (5.12) и (5.17), преобразуем это
1) Точнее, считается известной характеристика второго семей-
ства, выходящая из точки А: положение точки В на этой характери-
стике не фиксируется.
б]
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
325
выражение к виду
хс
+ П1 ~
— (О ----------®pfw (1 — бз1 + [— рг2/да — с2 — g2® +
+ п2 + о^
w + ®pf (1 — ~г")] бз21 dx +
dy—t]i Jx+®z/p 1
^)^ + ^г<*х]}бг,+
- (i - ^jdx] }бг2 - J J {g, s:1 + m б:2+g26:2 +
+ T)26£3 + yp [®x(1 — — <йу^г\ бг1 +
+ #P [®?(1 — bz^dxdy —
— J / Klix + П1») 6z‘ + (g2x + n2y) 6z2] dx dy.
’s
Интеграл вдоль AB, входящий в это выражение, ра-
вен нулю, так как функции 21, z2 фиксированы на этом
участке границы1)- Приравнивая нулю коэффициенты
при б^1, 6^2, б£3 в двойном интеграле, приходим к урав-
нениям Эйлера
^ = 0, &2 + т = 0, Т]2 = О. (5.18)
Учитывая эти соотношения, обратим в нуль коэффи-
циенты при 6г1, 6г2 в двойном интеграле; будем иметь
') Это безусловно верно, если 6{‘(хл + 0)=0. По поводу общей?
случая см. [160], стр. 178,
326
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Условия на границе АС, записанные с учетом (5.12) и
(5.18), имеют вид
— pz-f + С2 уг + тц — тг = о,
— Р^г-f — c2 + ili7r + ®pf = 0.
Умножая первое из этих уравнений на z'/z2 и складывая
со вторым, приходим к равенству
Л! = Pfz2 на АС. (5.20)
Исключение тр из первого уравнения дает
® = -^- на АС. (5.21)
Формулы (5.20), (5.21) входят в систему естествен-
ных граничных условий на границе сопла. Остальные ус-
ловия на А С будут получены ниже.
Желая написать условия вдоль характеристики ВС,
примем во внимание связь (5.14). Приравнивая нулю ко-
эффициент при бг1, получим:
Лг— ®Ур[-^г + (1------^-)tg(a + 0)]=0
или, учитывая (5.16),
f|i 4- аур ctg a = 0 на ВС. (5.22)
Обращая в нуль коэффициент при 6z2, придем к такому
же соотношению.
В статье [53] показано, что уравнения (5.19) при
сверхзвуковом течении образуют гиперболическую си-
стему; ее характеристики совпадают с характеристиками
основной системы (5.1) — (5.4). На характеристиках пер-
вого семейства
кинематическое условие совместности имеет вид
~~ УР c^g a da = 0;
на характеристиках второго семейства
5]
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
327
и условие совместности
+ УР ctg a dco = 0.
Перейдем к условиям, порождаемым вариациями
dw, dw*. Варьированию подлежит только первый инте-
грал в (5.13). Нужно учесть, что переменные р, z\ г2,
взятые на границе АС, зависят от f:
р\лс = р(г', z2)\AC = p[z'(x, f(x)), z2(x, f(x))].
Имея это в виду, напишем соответствующую вариацию
(см. (5.17)):
хс
( [— fw (pz'z’ + pz2?2) &f + (p — p0) w bf +
XA
+ (p — Po)M® — 6f—p, S® + c^Ff 6f+ciFw bw + c2z' 6® +
+ c2 (wzly — z2) bf — v (2® — a — 6) 6® — 2v®, d®,] dx +
+ H \XC. + kF + (p - po) fw]x=. Sxc. (5.23)
л c
Приравнивая нулю коэффициенты при bf, 6®; 6®» в
подынтегральном выражении, придем к системе
+ fw (pz'< + pz2?2) - (р - р0) ® - cff -
-c2(wz'y-z2) = Q,
(p — Po)f — p + C{FW + c2z' = V (2® — a — b),
2vwt = 0.
(5.24)
Пользуясь (5.10) и (5.12), легко показать, что на АС
Pz'z'y + pz2?2 = p2'-^-,
с2 (®z> - z2) = (wz'y - z2y) pf =
= k (pfz')e + (pfz')J = (pfz1).
328
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. tv
Здесь введено обозначение полной производной по х
вдоль АС:
dx дх ' W ду *
Разрешая второе уравнение (5.24) относительно р, и под-
ставляя результат в первое уравнение, получим
77 + f ^7 - 77I’“ - «1 +
или, пользуясь уравнением (5.1),
- Pf*1 Т7-C’FI + тг -<21»-“ - +
Отсюда интегрированием находим
хс
Со । I 1 Г г» ।
-4 = z'— —— £1-7^ +
pf J p/z* ( 1 ' 1 dx
+ ^[v(2u>—a—b)]|dx+c3. (5.25)
Для определения постоянной c3 и параметра хс восполь-
зуемся остальными естественными условиями, которые
вытекают из (5.23). Положение точки А фиксировано,
поэтому 6f|а= 0. С учетом (5.24) получаем в неизвест-
ной точке С:
Н = (р — pa) f + C\FW + с2г‘ — v (2ш — а — Ь) = 0, (5.26)
(P-Po)^ + c,F = O. (5.27)
Учитывая (5.25), запишем (5.26) в форме
(р — Ро) f + Cj/7® + pfc1 (г1 + c3) = v(2w — a — b) (5.28)
в точке С.
5]
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
329
Можно отметить, что равенство (5.21) с учетом (5.25)
приводится к виду
лс
“=г'-.Г -дагМ-с.т+
X
+ -~-[v(2ay— а —• &)] + с3 на АС.
(5.29)
Параметры Ci и с3 могут быть исключены с помощью
(5.27) и (5.28).
В результате получили полную систему необходимых
условий стационарности. Она состоит из уравнений
(5.19), условий (5.20) и (5.29) на контуре сопла АС, ус-
ловия (5.22) на замыкающей характеристике ВС и ус-
ловий (5.27), (5.28) в точке С.
Возьмем произвольный контур АС, удовлетворяющий
ограничениям, и проверим выполнение необходимых ус-
ловий. С этой целью/зная характеристику АВ первого
семейства и параметры потока на ней, найдем течение
в области S по методу характеристик [87].
Если v =s 0 вдоль АС (промежуточный экстремум),
то полученные данные позволят вычислить значения тр
и со на АС по формулам (5.20)(5.29). По этим началь-
ным данным методом характеристик вычисляем значе-
ния т|1 и со внутри области и, следовательно, вдоль ВС.
Критерием оптимальности выбранного контура будет
тождественное равенство нулю выражения r]i+ ctg а
вдоль ВС, как это диктуется условием (5.22). В статье
[53] дано описание соответствующего процесса последо-
вательных приближений.
Этот процесс становится ненужным, если ограниче-
ние (5.8) удовлетворяется прямолинейным контуром АС
с наклоном, равным а или Ь. В этом случае w* = 0,
v у= 0 (краевой экстремум). Функция v(x) всегда может
быть выбрана так, чтобы равенство (5.22) вдоль ВС
имело место. Такой выбор должен, однако, производить-
ся с учетом дополнительного требования максимально-
сти Т по w. Мы не будем останавливаться на выводе со-
ответствующего условия для v(x). Отметим только, что
в общем случае оптимальный контур составляется из дуг
краевого и промежуточного экстремумов.
330
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Определение множителей Лагранжа rji, со, как пра-
вило, производится численно. При определенных усло-
виях удается, однако, написать решение для множителей
в явном виде. В. М. Борисовым и А. В. Шипилиным [15]
было указано частное решение уравнений (5.19). Оно
имеет вид
T]i = р yz2, со — zl + с3. (5.30)
Весьма примечательно, что при отсутствии ограничений
на форму контура АС (т. е. при Cj = v = 0) решение
(5.30) удовлетворяет и краевым условиям (5.20), (5.29).
Более того, выражения (5.30) переходят в соответствую-
щие выражения (5.20), (5.29), какова бы ни была функ-
ция z/ = f(x). Иными словами, решение системы (5.19),
удовлетворяющее на кривой у == f{(x) граничным усло-
виям
’ll = pfi^2, ® = г1 + с3,
удовлетворяет на любой другой кривой у = /2(*) усло-
виям
’ll = pf2^2, со = z1 + с3.
Граничные условия, обладающие этим свойством, на-
зываются согласованными [45], [94], а совокупность со-
гласованных граничных условий образует поле, отвечаю-
щее данной системе уравнений. Итак, функции (5.30) за-
дают поле для системы (5.19).
Система необходимых условий свелась теперь к ра-
венству (5.22) на замыкающей характеристике ВС и ус-
ловиям (5.27), (5.28) в точке С. Принимая во внимание
(5.30), можно уравнение (5.22) и условие совместности
— z/pctgad(o = O на ВС
заменить эквивалентными равенствами [15]
i/p (г2)2 tg a = const, zl + z2tga = — c3 на ВС.
Эти соотношения были получены Ю. Д. Шмыглевским
[166], исследовавшим задачу с фиксированными хс и
f(*c), когда условия (5.27), (5.28) отбрасываются.
Ю. Д. Шмыглевский пользовался методом контрольного
контура; мы видим, что успех этого метода обусловлен
тем, что при указанных условиях существует поле для
51
ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЕ КОНТУРА
331
уравнений (5.19), определяемое равенствами (5.30). Су-
ществование поля позволяет исключить множители т]1, со
из выражения для первой вариации функционала Г,
после чего эта вариация представляется суммой интегра-
лов по образующей сопла АС и по неизвестной харак-
теристике ВС, в полном соответствии с основной идеей
метода контрольного контура.
Функции (5.30) образуют поле всякий раз, когда то-
ждественно исчезает интеграл в правой части (5.29).
При v ss 0 это условие сводится к тождественному об-
ращению в нуль дифференциального выражения Эйлера
г?
~dT~F!
для функции F. Общий вид такой функции, как известно,
дается формулой
p dG (х, /)
dx *
и соответствующее ограничение имеет вид
s — G (хс, f (хс)) — G (хА, f (хл)),
т. е. при заданных хА, К*а) связь накладывается на кон-
цевую точку образующей сопла.
Для ограничений этого типа применим метод кон-
трольного контура; очевидно, ничто не изменится, если
подобных ограничений будет несколько. В работе
Ю. Д. Шмыглевского накладывалось два ограничения:
в одном из них G — х, в другом G = f.
Для пространственной задачи в отсутствие симметрий
вращения поле множителей Лагранжа было построено
В. М. Борисовым [14].
Выше говорилось о том, что в общем случае опти-
мальный контур содержит участки промежуточного и
краевого экстремумов и поэтому имеет, вообще говоря,
угловые точки. К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитейдж по-
строили в [160] необходимые условия Вейерштрасса —
Эрдманна для этих точек. В угловых точках имеет место
обтекание угла, большего л (течение Прандтля — Майе-
ра [87]); мы не рассматриваем случаев, когда угол
меньше л и возникает течение сжатия.
332
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Если обтекаемый контур имеет угловые точки, то
в потоке возникают линии разрыва множителей Ла-
гранжа, причем газодинамические параметры (скорость,
давление, плотность) на таких линиях остаются непре-
рывными. Этот важный факт был установлен А. Н. Край-
ко в работе [79]. В самом деле, значения множителей на
характеристике de (рис. 55) определяются условиями на
de и cf-f эти значения в точке d
>wc в общем случае не будут удовле-
лу1 творять естественным граничным
\у/ условиям на ad. Поэтому следует
w / предположить существование ли-
.W / нии разрыва непрерывности мно-
/ жителей, исходящей из точки d.
На такой линии’ как нетРУДно ви-
/ \/\\ деть, должны быть выполнены
/ Х\\ условия Вейерштрасса — Эрдман-
/ /\ \ на, которые в силу предположен-
/ ной непрерывности основных га-
lef зодинамических параметров за-
пишутся в виде системы линей-
Рис- 55- ных однородных уравнений от-
носительно скачков множителей.
Особенностью гиперболических задач является то, что
определитель этой системы может нетривиальным об-
разом обратиться в нуль: это имеет место на характе-
ристиках, общих для исходной системы и системы для
множителей; в число этих характеристик входят и ли-
нии тока. В эллиптическом случае подобная ситуация
невозможна: на примере задачи гл. II мы видели, что
разрыв множителей обусловлен разрывом управляющей
функции; если управление непрерывно, то непрерывны и
множители !).
В силу линейности и однородности уравнений для'
скачков множителей, последние отличны от нуля или
равны нулю на всей характеристике одновременно.
На рис. 55 линией разрыва множителей является ха-
рактеристика de.
!) Для уравнения колебаний струны вывод однородной системы
для разрывов множителей фактически содержится в книге Н. М. Гюн-
тера [55], стр. 300.
6]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 333
Разумеется, если в потоке имеются линии разрыва
газодинамических параметров z’ (ударные волны), то
на этих линиях терпят разрыв и множители. Чтобы по-
лучить соотношения между предельными значениями
множителей на разных сторонах скачка, нужно учесть
зависимости между вариациями предельных значений ос-
новных газодинамических параметров. Введение разры-
вов множителей позволило А. Н. Крайко и А. В. Шипи-
лину решить ряд интересных задач об оптимальных
сверхзвуковых профилях с угловыми точками [79,80, 165].
6. Необходимые условия оптимальности
для квазилинейных систем гиперболического типа
с фиксированной главной частью
Во многих приложениях возникают оптимальные за-
дачи для гиперболических систем вида
z‘Xy = fi(zi> •••> •••> 2х'> Ч...гу’ и(х> уУ> х> у)
(г=1, .... п). (6.1)
К форме (6.1) может быть приведена всякая система
дифференциальных уравнений с одинаковой главной ча-
стью
azxx + bzxy + czyy = fi(zl..Zy> и(Х> УУ Х> У)
(i — 1, ..., п),
где для всех уравнений коэффициенты а, Ь, с — одни и
те же функции точки, удовлетворяющие условию
4ас — Ь2<0.
Исследованию задач оптимизации для систем вида
(6.1) посвящены работы А. И. Егорова [65, 67—69]. Здесь
мы изложим некоторые полученные им результаты, ак-
центируя внимание на оценках остаточного члена в фор-
муле для приращения функционала. Развиваемый под-
ход является реализацией общей схемы вывода необхо-
димых условий, описанной в гл. I.
Функцию u(x, r/) = (ui, ир), входящую в правые
части уравнений (6.1), будем считать управлением. Мно-
жеством допустимых управлений А назовем класс ку-
сочно-непрерывных функций, ограниченных и принимаю-
334 СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
щих значения в некоторой выпуклой области г-мерного
евклидова пространства.
Решения 2г’(х, у) будем разыскивать в выпуклой об-
ласти — прямоугольнике G (О х а, О У Ь), сто-
роны которого являются характеристиками.
Начальные данные зададим на двух смежных сторо-
нах прямоугольника:
z' (о, у) = <рг (у), г1 (х, 0) = 1|)г (х) (г = 1, ..., п)
(условия Гурса). Здесь фг и ф;— непрерывно дифферен-
цируемые функции, удовлетворяющие условиям сопря-
жения фД0)=фг(0). Правые части /г- уравнений (6.1)
предполагаются непрерывно дифференцируемыми один
раз по х, у и два раза по всем остальным аргументам.
Для дальнейшего необходимо уточнить характер
гладкости решений г, соответствующих различным до-
пустимым управлениям и. Во всех случаях решения z
считаются непрерывными функциями.
Если управление и(х, у) непрерывно, то решение
z(x, у) непрерывно вместе с производными zx, zy, zxy.
Если управление u(x, у) имеет разрыв вдоль непрерывно
дифференцируемой кривой Г, то характер гладкости ре-
шения зависит от типа этой кривой. Именно, если кри-
вая Г — характеристика, то производная решения z по
нормали к Г будет терпеть разрыв непрерывности на Г,
поскольку при этом задача Гурса (6.1) распадается на
две такие задачи в смежных областях. Если кривая Г не
является характеристикой, то для однозначного продол-
жения решения через Г нужно дополнительно задать ус-
ловия сопряжения. Как и прежде в сходных случаях
(гл. И), мы будем считать, что решение обладает непре-
рывными производными первого порядка.
Для уравнений (6.1) при условиях Гурса ставится
следующая оптимальная задача: определить и s А так,
чтобы достигал минимума функционал
/ = 2 CiZ* (а, 6). (6.2)
i=l
Здесь Ci — заданные постоянные, а числа а, b задают
размеры основного прямоугольника G.
6]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 335
К описанной схеме сводятся многие задачи, возни-
кающие в разнообразных приложениях, например, при
изучении явлений в химических реакторах [18], про-
цессов сорбции газов [18] и т. д. Вопросы разрешимости
задачи Гурса в указанной постановке изучались многими
авторами (см., например, [289]).
Методами, изложенными в гл. I, можно свести к виду
(6.2) многие другие функционалы, связанные с реше-
ниями задачи (6.1), (6.2). Примеры такого сведения см.
в статье А. И. Егорова [68].
Вывод необходимых условий оптимальности основан
на построении формулы для приращения функционала.
В данной задаче удобно сохранить исходные уравнения
в форме (6.1). Пользуясь введенными ранее (гл. I) обо-
значениями различных величин в оптимальном и допу-
стимом режимах управления и вводя множители Ла-
гранжа <0г (х, z/), напишем тождество
п
J J S 1(4, - 4„) -1, (Z, z„ и, х, у) +
G Z=1
+ fi (z, zx, Zy, u, x, I/)] dx dy = 0. (6.3)
Дальнейшие выкладки производятся по обычной схеме и
не требуют пояснений.
Имеем:
П {zxy - гху) dxdy^W Дг'у dx dy =
G G
a
= J AzC dx - JJ &iy dx dy ==
0 G
a b
==/ MFZo — I dy + J J* ®iXybzidxdy=
0^0 0
— (a, b) Az' (a, b) — co, (0, b) Az' (0, b) —
- an (a, 0) Az' (a, 0) + co, (0, 0) Az' (0, 0) -
a b
J о dx — J [<o^ A^]x=o dy + J j* (&iXy dxdyf
Q Q G
336
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. IV
i=l G
=^^i\fi^Zx,Zy,U > X, У)—fi (z, zx, Zy, u, x, y)] dx dy—
/=i a ,
= j* J H (p, и 4- Ди, x, у) — H (р, и, х, у) 4-
G
+ и+ &*,*, у) Lpt +
Зп
4-1 У ^(р + еДр.и + Д«.х,у) ,д >
\fcii др'дР
0< 9 < 1.
dxdy,
Здесь введены обозначения
Р = (р'....p3a) = (z', .... г", z'x, .... znx, z'y, .... z"),
H (p, и, x, у) = 2 e>ifi (г, zx, zy, и, x, у).
i=l
Интегрируя по частям, найдем
Зп л л
/=п4-1 О
П i П “
« f dHzi п г г dfizi
“SJ J -^r^dxdy-1^} J -^bz'dxdy.
Q t=»l Q
6]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 337
Собирая результаты, приведем тождество (6.3) к виду
[о, (а, Ь) № (a, b) - at (0, b) кг1 (О, Ь) -
- (Hi (а, 0) kzl (а, 0) + ®, (0, 0) Дг' (0, 0)] =
п а п b
=S J к* Лг1'йdx+2 J к? Дг<св +
1=1 0 <=1 о
4- j j* [Н(р, и + Ди, х, у) — Н (р, и, х, y)]dxdy —
G
V Г 9Н l <> дН ,д дН] . , . . I
f«l x v у j
" r n г
+ 2 J \Нг1 Дг'Г6 dx 4- 2 I ГЯ , kzl Г=а dy +
о l V i=l 0 x
V f f Г (p> « + Д». x, y)
dH (p, u, xt у) 1 A f i .
—y др' dx dy 4-
J
+ 4 5 f J ^(р+ел^д.,>,8) x
2i,kiIJ0J dp dp
Если определить функции ®<(x, у) с помощью урав-
нений
_ дН_____________д дН
^ixy dz1 дх dz*x ду dzly
и граничных условий
<0<х(х,6) = --^’ц’-х’6)
(6.4)
dz'
^(^>у)=-—(рГ/а,у)
(6.5)
(О/ (a, b) = — ch
то, принимая во внимание равенства
338
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
получим следующую формулу для приращения функ-
ционала /:
А/ = — J / [Н (р, и + Ди, х, у) —
G
— Н (р, и, X, I/)] dx dy — y\i — Г)2,
где
др' J
Зп _ _
(6.6)
(6.7)
Формула (6.6) является точной. Нашей целью теперь
будет доказать, что при определенных условиях, накла-
дываемых на допустимое приращение управления Ди,
первое интегральное слагаемое справа в (6.6) будет
представлять главную часть приращения функционала,
так что знак Д/ будет определяться знаком этого сла-
гаемого. Чтобы сформулировать точное утверждение,
введем вместе с А. И. Егоровым [67—69] следующее оп-
ределение.
Будем говорить, что допустимое управление’ и (х, у)
удовлетворяет условию максимума, если почти всюду
в области G выполнено соотношение
Н (со, р, и, х, у) = max Н (со, р, £7, х, у). (6.8)
U А
Справедлива
Теорема (А. И. Егоров [67—69]). Для того чтобы до-
пустимое управление и(х, у) минимизировало функцио-
нал /, необходимо, чтобы оно удовлетворяло условию
максимума.
Прежде чем переходить к доказательству, сделаем не-
сколько замечаний по поводу сформулированной тео-
ремы.
Для того чтобы практически ее использовать, нужно
знать 2n + 1 функций z\ и. Эти неизвестные нахр-
6]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 330
дятся из 2п + 1 уравнений (6.1), (6.4) и (6.8). Уравне-
ния (6.1) и (6.4) вводят при интегрировании 4п произ-
вольных функций, для определения которых имеем 4п
условий (6.2) и (6.5). Тем самым выделяются, вообще
говоря, изолированные решения задачи (6.1), (6.2). Если
оптимальное решение существует, то оно будет содер-
жаться среди выделенных решений.
Отметим, что выражение под знаком интеграла в (6.6)
выполняет ту же роль, что и выражение, входящее в пер-
вое интегральное слагаемое в общей формуле (7.2) гл. I.
Существенным моментом является то, что функция
Н (р, и + А^, х, у) содержит приращения одних лишь уп-
равляющих функций и не содержит приращений ника-
ких других величин, которые при записи исходных урав-
нений в нормальной форме сыграли бы роль параметри-
ческих переменных. Если производные первого порядка
от z* непрерывны, то в качестве параметрических пере-
менных можно было бы взять, вообще говоря, разрыв-
ные вторые производные^, положив 21хх — &, 2'уу=
_ н0 тогда переменные £ вошли бы линейно в
функцию Гамильтона, и коэффициенты при них в силу
условий стационарности обратились бы в нуль. В резуль-
тате разность Я(г, £ + А£, w + А«, х, у)—//(z, £, w, х, у),
составленная для уравнений в нормальной форме по пра-
вилам гл. I, совпала бы с выражением под знаком ин-
теграла в (6.6), что и требовалось доказать.
Приведенное рассуждение основано на предположе-
нии о непрерывности первых производных. от г1’;
оно не проходит, если отказаться от этого предполо-
жения 9- Тем не менее, формула (6.6) для прираще-
ния функционала и теперь сохраняет свое значение.
Дело в том, что при варьировании управляющих функ-
ций в областях малого диаметра слагаемые гц, т|2
оказываются малыми более высокого порядка, чем ин-
теграл в формуле (6.6), так что этот интеграл во
всех случаях представляет собой главную часть при-
ращения А/, и представление этого приращения в
форме (6.6) соответствует особенностям изучаемой
задачи.
!) Разрыв производных возможен, как указывалось выше, вдоль
характеристик.
340
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Переходя к доказательству теоремы, введем вспомо-
гательные функции а. = Д^, р. = Дг^ и положим
a=Slaf|, ₽=Sl₽il, Az=3|Az'|, Au=2|Ahz|.
Z=1 Z=I Z=1 i=l
(6.9)
Интегрируя очевидные равенства
д2<
ху дан
при дополнительных условиях
Az'(0, у) = \21(х, 0) = 0
и пользуясь тем, что функции f, удовлетворяют условию
Липшица, получим оценки
у п
J £(1^ 1 + 1 Р/ 1 + 1а»1)^ +
0 Z=1
х п
IPzKtf J^(|Az'| + |ail + IP/|)dx +
0 1=1
х г у
+ Nt J J]|A«z|dx, | \zl |< j 1 p,\dy.
0 i=l 0
(6.10)
Здесь N и Nt — постоянные. С учетом обозначений (6.9)
отсюда следует, что
у
а (х, у) ’С Nn j а (х, т|) dr\ +
о
у ь
+ Nn J [Az (х, т]) + Р (х, т])1 dri + Nyi j Am (x, я) dr\,
о о
X
Az < J a (g, y) dl,
0
б]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 341
х
Р(х, y)<Nn J₽(g, t/)dg +
О
X а
+ Nn J [Az (£, у) + a (£, у)] dl + Nxn J Au (g, y) dl,
о 0
У
Аг < | p (x, r|) dx\,
о
где 0 x X, 0 у Y; (X, У)— фиксированная точ-
ка области G.
Пользуясь известной леммой ([115], стр. 19), прихо-
дим к оценкам
у ь
а(х, У)<М J [Az(x, т]) + р(х, + j Au(x, rj)dr],
о о
X а
&(х, у) ^Р ( [Ага, У) + а(В, y)]dl+Pt J Aufe y)dl,
6 о
где М, Р, Mi, Pi — положительные постоянные.
Принимая во внимание неравенства для Аг, полу-
чаем
У ь
а(х, У)СМ2/ Р(х, TOdTj + Mj J А«(х, т])б/т],
о о
X а
,0 (X, у) < Р2 / а а, у) dl + Pt$ Au а, у) dl.
о о
Отсюда вытекают неравенства
у х
а(Х, Г)<М9 j J а(х, y)dxdy +
О о
ъ
+ Af4 J J Au(x, у) dx dy + Mx^ Au(X, у) dy,
а о
У X
0(X, У)<Р3 f J p(x, y)dxdy +
0 0
a
+ Pi J J Au (,r, y) dx dy + Pi J Au (x, У) dx.
a" о
342
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[гл. iv
Интегрируя первое неравенство по X от 0 до X и снова
применяя лемму, получим
X
J а (X, У) dX М5 J J Ди (х, у) dx dy.
О G
Вместе с предшествующими неравенствами это дает
ь
а (X, У) < Qi j | Ди (х, у) dx dy + Sj J Ди (X, у) dy
g о
и аналогично
Р(Х, y)<Q2 // Ди(х, y)dxdy + S21 Ди(х, Y)dx.
g о
Приведенные выше оценки для Дг теперь показы-
вают, что
Дг(Х, y)<Q J j Ди(х, у)dxdy.
G
Вспоминая обозначения (6.9), получаем окончательно
г
I Az'(х, у) |<Q j J | A«< (х, у) | dx dy,
G i=l
Г
|Az' (x, у) | < Q, J J y)\dxdy +
G 1=1
b r
+ s! / Jjl A«<(x, y) \dy,
0 /=1
r
| Az' (x, y)\<Q2 J J JJl AH/(x, y)\dxdy +
G Z=1
a r
+ S2 f ]£|Аиг(х, y)\dx.
0
Теперь уже нетрудно оценить слагаемые t]i, т]2 в фор-
муле (6.6). Пользуясь тем, что дН/др1 удовлетворяет
6]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 343
условию Липшица, найдем
г *12
J j у) [dxdy +
- G i==l
a
Г ь
0 Lq /=1
b
"12
*12
а
О
L0 Z:
откуда, с учетом неравенства Коши,
2
|t|i |<(Taft + T,ft+T2a) J j ^\\щ(х,у)\ dxdy.
a Lz=i J
Функции d2Hldpjdph ограничены в G, поэтому
з«
12
G I, /=1
^(Tab + Txb + T2d) j j* ^|Azzz(x, z/) | dxdy.
G Lf—! J
Собирая результаты, приходим к оценке
I п к (Aab + Bb + Ca)j j
G
" 2
I &Ut (*, У) I dxdy,
(6.11)
где X, В, С — положительные постоянные.
Если приращение ДиДх, у) отлично от нуля
re Ge радиуса е, то
в кру-
(6Л2)
т2
Доказательство теоремы теперь не представляет
труда. В самом деле, предположим, что утверждение тео-
ремы неверно» Тогда существует точка (|, т]), в которой
344
СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
(ГЛ. IV
не выполнено условие максимума (6.8), т. е. для неко-
торого управления U1 е А в точке (|, т]) выполняется
обратное неравенство
#(®(i, t])> л), Zy(l, л); и1; т])>
>#(«(£, т]), z(i, n)» n)> 2у(&, л); «(М); 1>п)- (блз)
Так как z(x, у) и со(х, у) непрерывны, a zx, zy и u(x, у)
кусочно-непрерывны, существует замкнутая область G1,
содержащая точку (В, л), в которой обе части неравен-
ства (6.13) непрерывны, а, значит, и равномерно непре-
рывны. Если (|, rj)—точка разрыва управления и(х,у),
то положим u(g, т))=н(^ + 0, т] + 0), z*(B, n)= z*(£ +
+ 0, п + 0). М£,т])= + 0, Л + 0), а точку Q,r|)
возьмем в качестве граничной точки области G1.
Из сказанного следует, что существует такое 6 > 0,
что
Я(со(х, у), z(x, у), гх(х, у), zu(x, у)-, £/'; х, у)—
— Н(о(х, у), г(х, у), zx(x, у), zy(x, у); и(х, у)\ х, у) >д
(6.14)
для всех GecG', где Ge — круг радиуса е, со-
держащийся в области G1. Рассмотрим допустимое уп-
равление
1 и(х, у),
U(x,y)={
(х, у) es Gg,
(•£» У)
Формулы'(6.6), (6.12) и (6.14) показывают, что
Д/ = — j j [Я(р; £/‘; х, у) — Н(р; и; х, у)]dxdy —
(г ч 2-
A«i(x, у) I I
i=i J .
dxdy.
Приращения Auj ограничены, поэтому число 8 можно
взять настолько малым, чтобы выражение в квадрат-
ных скобках было положительным. Но тогда Д/ 0 во-
6] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 345
преки оптимальности управления и(х, у). Нетрудно за-
метить, что решающим моментом доказательства яв-
ляется оценка (6.12), показывающая, что слагаемое
Л = Л1 + Л2 в (6.6) представляет собой величину выс-
шего порядка по 8 при варьировании в круге Ge, тогда
как интеграл в (6.6) при таком варьировании является
величиной первого порядка.
Если функции fi имеют вид
п
fi = 2 [Си (X, у) zlx + dik (х, у) zly + eik (х, у) z‘] + g.(u),
(6.15)
то условие максимума (6.8) является и достаточным для
оптимальности управления и. Доказательство следует не-
посредственно, если заметить, что для функций (6.15)
слагаемые т)ь т]2 в (6.7) тождественно обращаются
в нуль.
В работах [68, 69] А. И. Егоровым были получены не-
обходимые условия оптимальности для управляемых си-
стем, процессы в которых описываются уравнениями
(6.1) при дополнительных условиях, отличных от (6.2).
В частности, в [69] изучались случаи, когда на границах
основного прямоугольника G заданы уравнения, связы-
вающие значения z2 и производные от z2 по направле-
нию вдоль границы; эти уравнения содержали и гранич-
ные управления. Соответствующая система необходимых
условий при некоторых добавочных предположениях по-
лучена в [69]; для более общего случая вопрос рассмо-
трен А. Л. Кузьминой в работе [85].
Детальное рассмотрение ряда задач оптимизации для
гиперболического уравнения второго порядка с учетом
возможных разрывов множителей Лагранжа дано
Л. В. Петуховым и В. А. Троицким в [122]. Эти же ав-
торы в работе [123] применили общую методику к задаче
об оптимальном нагружении стержня, совершающего
продольные колебания.
ГЛАВА V
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ДРУГИЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Необходимость оптимального управления процессами,
описываемыми уравнениями параболического типа, воз-
никает во многих приложениях. Прежде всего сюда от-
носятся разнообразные задачи о распространении полей
температуры или концентрации. Важные для практики
проблемы плавления (затвердевания) тел, вытягивания
кристаллов непосредственно из расплава (метод
А. В. Степанова [159]) и другие задачи с движущимися
границами дают нетривиальные примеры управляемых
распределенных систем.
Особенности постановки этого класса оптимальных
задач иллюстрируются в первых разделах главы на
ряде примеров; более общие результаты по распростра-
нению принципа максимума приводятся в последующих
пунктах.
1. Оптимальный нагрев тел; управление
в граничных и начальных условиях
Рассмотрим задачу о нагревании слоя толщины 1 пу-
тем изменения температуры окружающей среды. Рас-
пределение температуры в слое описывается уравнением
теплопроводности
Zt — zxx = 0 (1.1)
с граничными условиями
zx(t, 0) = 0, zx(t, 1) = h[u(t) - z(t, 1)] (1.2)
и начальным условием 7
г (0, х) = 0. (1.3)
Постоянная h > 0 представляет собой коэффициент
теплообмена. Функцию u(t), имеющую смысл темпера-
туры среды, граничащей со слоем по линии х — 1, будем
п
ОПТИМАЛЬНЫЙ НАГРЕВ ТЕЛ
347
считать измеримым управлением, по модулю не превы-
шающим единицы.
Требуется эту функцию подобрать так, чтобы мини-
мизировать функционал
1
1[и] = J [z (h х) — zQ(x)]2 dx, (1.4)
о
выражающий среднее квадратичное отклонение темпе-
ратуры в момент времени t = Т от заданной функции
zo(x)e= L2(0, 1).
Сформулированная задача изучалась многими авто-
рами; наиболее важные результаты принадлежат
А. Г. Бутковскому [18] и Ю. В. Егорову [74], работы ко-
торых составляют основу материала настоящего пункта.
Очевидно, нижней гранью значений функционала /[w]
служит нуль. Если для заданной функции Zo(x) суще-
ствует такое допустимое управление что порож-
даемое им решение z(t, х) совпадает в момент t=T
с функцией г0(х), то упомянутая нижняя грань дости-
гается: / [«о] — 0. Конечно, не все функции z0(x)e
е L2 (0, 1) обладают таким свойством. Ю. В. Егоровым
доказано, что с помощью допустимых управлений можно
точно «попасть» в нуль и в малую окрестность нуля;
позднее Л. И. Гальчук показал, что достижимой являет-
ся любая постоянная, по модулю меньшая единицы [42].
Этот результат предельно точен в том смысле, что по-
стоянная, абсолютная величина которой равна единице,
не является достижимой с помощью допустимых управ-
лений ни при каком конечном Т.
Результат Ю. В. Егорова получается путем следую-
щего рассуждения. Существует бесконечно дифференци-
руемая функция f(t), равная тождественно нулю при
t 0 и t 1 и такая, что
f(0>0, f(0^0, |Г(01<ЛлГ(Зп/2). (1.5)
Легко проверить, что функция
z,{t, X) = У / f ® 4- v S х2п' М
0
348
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
является решением задачи (1.1) — (1.4), если
выбором ПОСТОЯННОЙ V можно добиться того, чтобы было
\u(t) | < 1. Очевидно,
т
z,(T, х) = у J* f (|-)^ = const = w(T) (1.8)
о
и, следовательно, х) | < 1.
Пусть задана (достижимая или нет) функция z0(x).
Существование оптимального управления u(t) доказы-
вается сравнительно просто [74] путем рассмотрения по-
следовательности бесконечно дифференцируемых допу-
стимых управлений un(t), обращающихся в нуль каждое
в своей окрестности точки t = 0 и таких, что I [ип] -*•
->inf/[u], где нижняя грань берется по всем допусти-
мым управлениям. Из последовательности un(i), п =
= 1,2,... выбирается подпоследовательность ип% (/), ко-
торая слабо сходится в £2(0, Л к u(t), |«(/) | sg: 1. Соот-
ветствующие решения znk(t,x) сходятся к функции
z(t,x), которая, как можно показать, удовлетворяет ра-
венствам (1.1) — (1.3) если в качестве управления взять
функцию м(/).
Единственность оптимального управления доказы-
вается значительно сложнее. Прежде всего ясно, что если
существует такое управление «о(О, что в момент Т тем-
пература во всех точках слоя оказывается равной нулю
(г(Т, х) = 0), то управление
«!(/) = и (/) +у«о (0 (1-9)
будет приводить к тем же самым значениям функцио-
нала, что и и(1). Пусть u(t)—оптимальное управление;
предположим, что при t е [6, /2], 0 6 < t2 гС Т
|«(/) | < 1 — б, б > 0. Тогда любое управление (1.9), со-
ответствующее столь малому у, что |«i(0 | 1, будет
п
ОПТИМАЛЬНЫЙ НАГРЕВ ТЕЛ
349
оптимальным. Иными словами, для того, чтобы опти-
мальное управление u(t) было единственно, необходимо
выполнение равенства |u(f)| = 1 почти всюду на [О, Г].
Управление и0(/), обладающее перечисленными выше
свойствами, действительно существует. Оно дается фор-
мулой
“° = Sj ‘dF f - t\ ) [ й (2n - 1)! Тадг] ’ ,I0)
где f(t)—определенная выше функция (см. (1.5)). Соот-
ветствующее решение
,, . dn е /1 — \ х2п
2о (t, х) — dtn f[ t2 _ ti ) (2n)!
rz=O
(1.11)
обращается в нуль при t = Т.
Если управление u(t) таково, что соответствующее
ему решение z(t, х) обращается в нуль при t = Г, то
функция u(t) имеет счетное число перемен знака на
[О, Т], причем точка t — Т является точкой сгущения мо-
ментов переключений1). Этого следовало ожидать, так
как достижение нулевой температуры возможно только
путем чередования интервалов охлаждения и нагрева.
Доказательство весьма просто. Если Х*. — положи-
тельные корни уравнения Л tg % = Л, то, как легко ви-
деть, условие z(T, х)=0 равносильно бесконечной си-
стеме равенств (проблема моментов)
т
уЫо(ОеАл<'"Г’Л = О (6=1,2,...) (1.12)
• о
неполна ни на каком интервале,
/ х2
(система (е к
так как = пп + h/пл 4- о j и ряд сходится;
п=1 п
в силу этого проблема (1.12) может иметь нетривиаль-
ное решение).
’) Предполагается, что к точке t = Т не примыкает интервал,
где u(t) ss= 0. В противном случае все сказанное о точке t ~Т бу-
дет относиться к левому концу упомянутого интервала.
350
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Если бы существовало такое р > 0, что при t е
е(Т — р, Т] функция Uo(t) не меняла бы знака, то для
всех k мы имели бы равенство
г-р 2 т «12
- j uMe^‘-r'dl= f «„(()/«dt.
0 T-р
Модуль левой части оценивается сверху выражением
(l/Л*) е~р к, а модуль правой части не меньше, чем
2 т
e~pKk fl «(01 Л,
г-р
и равенство не может осуществляться при достаточно
больших k. Этот результат относится, в частности, к уп-
равлению ио(О-
Если данное оптимальное управление u(t) удовлетво-
ряет условию |ц(/)|=1, то, кроме него, существуют
еще другие оптимальные управления, которые, однако,
уже не удовлетворяют этому условию.
В самом деле, если положить
[ sign МО,
« (0 = ) j
«о (0 Ф 0,
н0 (0 = 0,
а функцию Zo(x) в (1.4) взять равной г(Т, х), где
z(t, х)—решение задачи (1.1) —(1.3) с управлением
й(0, то управление «(f)—у«о(О, 0 < у < 1, будет оп-
тимальным вместе с управлением й(Г). Это новое опти-
мальное управление по абсолютной величине не равно
единице.
Вообще, если оптимальное управление u(t) таково,
что |w(/)ls 1, то оно будет неединственным тогда и
только тогда, когда существует управление н(/)^ 0 та-
кое, что н(/)н(/)>0 и решение z(t,x), отвечающее н(0,
обращается в нуль при t = Т. При этом, очевидно,
вместе с u(t) будет оптимальным и управление
u(t)— у«(0 при у > 0.
Обратно, пусть u\(t) и u2(t)—оптимальные управле-
ния, т. е. / [uj = I [w2]; тогда соответствующие решения
Zi(t,x), z2(t,x) равны в момент Т: Zi(T, х) = гг(Т, х).
ОПТИМАЛЬНЫЙ НАГРЕВ ТЕЛ
351
Допустив противное, из равенства
1
/ = [ [Ui] + | /[Ц2]_ 11 [2[ (Г> х)_г2 (Г> х)]2 dx
О
заключили бы, что
вопреки оптимальности управлений щ и и2. Поэтому уп-
равление п3 (0 = [их (/) — и2 (0] порождает решение
z(t, х), равное нулю при t = 1\ Если |ui(0|= 1, то уп-
равление u3(t) можно взять в качестве й(7), так как
Ui(/)u3(0 > 0.
Теперь становится ясно, что если оптимальное управ-
ление \u(t) |= 1 и кусочно-постоянно, то оно единствен-
но. В самом деле, в противном случае существовала бы
функция u(t) с перечисленными выше свойствами. В силу
неравенства и(/)й(/)^0 эта функция имела бы лишь
конечное число перемен знака и поэтому не могла бы
удовлетворять равенствам (1.12) при достаточно боль-
ших k.
А. Г. Бутковский показал в [18], что для zQ(x) const,
inf I [и] > 0 оптимальное управление u(t) по абсолютной
величине равно единице1). Это управление единственно.
!) Следует воспользоваться интегральным представлением реше-
ния с помощью функции Грина (х, т):
t
z(t, х) ~ J К (х, tt т) и (т) dx.
о
Приращение функционала (1.4), составленное с учетом этого инте-
грального представления, выразится формулой
1
Д/ = J (и — U) | z (Г, х)—Zq (х) 1 К (х, Г, т) sign [z (Т, x)—zQ (х)] dx\
о
для минимума I [и] необходимо, чтобы подынтегральное выражение
было неотрицательно.
Если inf 1 [w] > 0, то равенство г (Г, х) s= г0(х) невозможно ни
при каком допустимом управлении; отсюда, с учетом того, что
К (х, Г,т) 0, получаем нужный результат.
352 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V
В самом деле, если u2(t) — два таких оптимальных
управления, то оптимальным будет и управление
у [и, (0 + и2 (0]. Но если | Ы](0 | = | «2(0 1 = у1 «1(0+
+ «2 (0 1= 1, то «1(0 = ui(t). Сказанное справедливо
всякий раз, когда условие |«(£)|= 1 оказывается необ-
ходимым для оптимальности управления u(t). Иными
словами, единственность оптимального управления мо-
жет нарушиться только в тех случаях, когда это управ-
ление принимает значения, лежащие внутри промежутка
[—1, 1] (т. е. является особым по определению Л. И. Ро-
зоноэра [144]). Как показано А. Фридманом в [162] (см.
также [252]), последнее может иметь место только при
условии inf I [ы] = 0.
Если вместо функционала (1.4) минимизируется
функционал
1 т -
/v[«]= / [z(T, x)-z^x)Y-dx +v / u4t)dt, (1.13)
0 0
у > 0,
то оптимальное управление единственно. Допустив про-
тивное, имели бы равенства
/« [«J = Ц [«2] = inf Д-1«]
|«|<|
для двух управлений «1(0¥=«2(0- При этом из фор-
мулы
А[«11 + /у[«21 = 2/у(-Ц^-] +
1 т
+ 7 / [zi (Т, х) — z2 (Т, х)]2 dx + % J [щ (0 — u2(0]2 di
о о
вытекало бы
вопреки оптимальности
Предположим теперь, что управление входит в на-
чальное условие задачи. Именно, рассмотрим уравнение
ОПТИМАЛЬНЫЙ НАГРЕВ ТЕЛ
353
(1.1) в области 0<х^1, 0 t Т при граничных
условиях
zx(t, 0) = ₽[z(/, O)-fo(Ob zx(t, 1) = а [Л (/)-£(;, 1)];
а, Р > О
и начальном условии 2(0, х)=и(х). Требуется подобрать
измеримую функцию и(х), не превышающую по абсо-
лютной величине единицы и такую, чтобы функционал
(1.4) достигал минимума. В отличие от случая, когда уп-
равление входит в граничное условие, решение этой за-
дачи всегда единственно [74]. В самом деле, подобно
предыдущему находим, что если ui(x), u2(x)—два раз-
личных управления, a 2i(f, х), z2(t, х)—соответствующие
решения, то функция z(ty х) == zx (t, х) — z2(t,x) удовлет-
воряет уравнению (1.1) и краевым условиям
zx(t, 0) = ₽2(/, 0), zx(t, 1) = -а2(/, 1), z(T, х) = 0.
Согласно [294], при этих условиях z(t, х)= 0 при t Т
и, значит, г(0, х) — и\ (х)— и2(х) = 0.
Для практики большой интерес представляют задачи
быстродействия, когда нужно за кратчайшее время реа-
лизовать заданное распределение температуры слоя
с некоторой указанной точностью.
Пусть, например, требуется определить такое управ-
ление |u(/)|^ 1, чтобы при заданной функции 20(х) и
постоянной S неравенство
1
J [z(T, x)-z0(x)]2dx<d2 (1.14)
о
было выполнено за кратчайшее время Т. Существование
оптимального управления доказывается почти так же,
как и выше.
Заметим, что условие (1.14) в момент t=T должно
выполняться как равенство: в противном случае этот мо-
мент не был бы оптимальным в силу непрерывности
функции
f (0 = J [z (t, x) — z0 (x)]2 dx.
0
12 К. А. Лурье
354
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ V
Множество (1.14) является шаром в £2(0, 1). С другой
стороны, множество функций z(T, х), реализуемых на до-
пустимых управлениях ц(/), очевидно, выпукло; по до-
казанному, оно имеет общую точку с шаром (1.14). Та-
кая точка может быть только одна: допустив противное,
имели бы равенства
II2, (А х) - z0(x)||£i(0, ,) = 6, II г2 (A x)-z0WIIL2(0>u = 6
и, следовательно,
Ц[г1(Т, х)4-г2(Г, x)]-z0(x)| <6,
так что с помощью управления ~ [щ (/) + u2(ty] нера-
венству (1.13) удалось бы удовлетворить за время, мень-
шее Т.
В силу выпуклости множества реализуемых г(Т, х)
существует плоскость, разделяющая это множество и
шар (1.14) в пространстве £2(0, 1) и проходящая через
единственную общую для них точку [17]. Это требование,
как легко показать, равносильно неравенству
т
J (u-C7)G(g)^>0,
О
где GQ)— некоторая аналитическая функция, а и и U —
соответственно оптимальное и допустимое управления.
Оптимальное управление дается формулой
и (0 = sign G (/),
т. е. \u(t) | ss 1 почти всюду. Это свойство оптимального
управления гарантирует и его единственность (доказа-
тельство аналогично приведенному на стр. 351).
2. Случай, когда решение в конечный момент задано
Выше было отмечено, что в задаче (1.1) — (1.4) опти-
мальное управление может быть особым только в том
случае, когда inf / [и] = 0. Последнее равносильно точ-
ному «попаданию» решенф г(/, %) в момент Т в задан-
ную функцию z0(x). При этом оптимальное управление
определялось, вообще говоря, не однозначно. Последнее
РЕШЕНИЕ В КОНЕЧНЫЙ МОМЕНТ ЗАДАНО
355
2]
обстоятельство показывает, что для тех функций г0(х),
для которых при \u(t) 1 возможно точное попадание,
задача (1.1) — (1.4) не вполне корректна в том смысле,
что допускает известную свободу управления. Ясно, что
это связано с тем, что для функций z0(x) указанного
класса задача по существу перестала быть оптимальной
и превратилась в задачу определения любого допусти-
мого управления, реализующего точное попадание1).
В то же время очевидно, что можно вновь сделать за-
дачу оптимальной, если наряду с условием точного по-
падания выдвинуть какое-либо оптимальное требование.
В этом отношении наибольший практический интерес
представляет требование минимума времени Т.
Приходим к следующей задаче оптимального быстро-
действия. Требуется определить измеримое управление
u(t), не превышающее по абсолютной величине единицы,
и такое, что решение задачи (1.1) — (1.3) удовлетворяет
условию
z(T, х) = 20(х)
в наименьший момент времени Т. Конечно, предпола-
гается, что функция zQ(x) принадлежит к числу дости-
жимых при Т < оо.
Для случая г0(х) ss const = v, |v|< 1, Л. И. Гальчук
доказал в [42], что решение поставленной задачи суще-
ствует. Приведем это доказательство. Пусть {Т} и {uT(t)}
будут множествами моментов времени и соответствую-
щих им управлений, при которых задача разрешима. По-
ложим Г* = inf {Т}. Если Т* е {Т}, то соответствующее
управление иг* (/) оптимально. Допустим, что Т* {Т}.
Управление uT(t) удовлетворяет системе равенств (ср.
(1.12))
[ = 2. •••).
о к
или
т
(fe=I, 2, ...).
? Ль
9 Л. И. Розоноэр называет подобные задачи вырожденными
([144], ч. II, стр. 1443).
12*
356
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Здесь %т(0— характеристическая функция отрезка [О, Т].
Поскольку Т* = inf {Т}, существует последовательность
Тп -> Г*; ей соответствует последовательность управле-
ний такая, что
f Хг„(П«г„(оЗ(<’л^=-р-.
У Ль
о я
Множество |и(0|< 1 слабо компактно в L2(0,T),
поэтому существует слабый предел последовательности
функций %Гп(/)мг„(^) т. е.
lim
П->оо
т
о
т
иТп V-T^dt=^ ъ* (О «г. (/) Л {‘~т }dt=
О
о •
Управление uT*(t) и есть оптимальное управление.
Случай, когда достижимая функция г0(х) У= const,
значительно сложнее. Имеет место
Теорема (Ю. В. Егоров [74]). Пусть г0(х)—функция,
достижимая в момент t = t\ при управлении при-
чем
1
J 20(х) cosXnxdx
о
< Се
О tt
при некоторых положительных С, са, 8о < 1, п = 1, 2, ...
Тогда существует управление u(t), для которого реше-
ние задачи совпадает с z0(x) в момент Т и время Т ми-
нимально. Это управление единственно и |и(/)|^1
почти всюду в [О, Г].
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы,
а отметим лишь наиболее существенные моменты. Как и
в задаче быстродействия при ограничении (1.14), един-
ственность обеспечивается условием |и(/)|=1 почти
всюду. В упомянутой задаче вывод этого условия был ос-
нован на построении плоскости, опорной по отношению
21
РЕШЕНИЕ В КОНЕЧНЫЙ МОМЕНТ ЗАДАНО
357
к выпуклому' множеству в функциональном простран-
стве. Существование такой плоскости можно гарантиро-
вать, если выпуклое множество, о котором идет речь,
имеет внутреннюю точку [17].
В задаче с ограничением (1.14) разделяющая пло-
скость существует: шар (1.14) имеет внутренние точки.
Если же ставится условие точного попадания, то для
того, чтобы пользоваться описанным приемом, нужно
доказать наличие внутренних точек у множества функ-
ций г (Г, х), реализуемых в момент t = Т на допустимых
управлениях. Иными словами, требуется доказать, что
множество таких г(Г, х) содержит некоторый шар.
Требование наличия внутренней точки у множества
достижимых функций существенно: если оно не выпол-
нено, то могут оказаться неверными утверждения, осно-
ванные на построении разделяющих плоскостей, и в част-
ности — аналог принципа максимума Понтрягина.
Ю. В. Егорову [75] принадлежит пример, иллюстрирую-
щий такую возможность.
Рассмотрим в пространстве Z2 последовательностей
/ ОО X 1/2
х = (хь ..., хп,...) с нормой || х || — 2 х2п I уравне-
\п=1 /
ние —ц- — и (/). Решение этого уравнения подчиним ус-
ловиям х(а) = (0, ..., 0, .. .),х(&)=ф, у , ..
а допустимые управления возьмем из множества А =
= {и: и = («ь ..., ип, ...), | ип К у 4--^-|. Поставим
задачу минимизации времени b — а перехода из состоя-
ния х(а) в состояние х(Ь).
Оптимальным управлением будет й(0 = (1, у , ...
...). В самом деле, при таком управлении требуе-
мое для перехода время равно единице. С другой сто-
роны, минимальное время перехода координаты хп из
хп (а) = 0 в хп (&) = у равно п £ j ; поэтому невозможно
перевести х(а) в х(Ь) за время, меньшее единицы. Если
бы принцип максимума Понтрягина был справедлив, то
существовал бы такой ненулевой постоянный вектор
ф = (4>0, фь ..., фп, ...) е что функция Н(ф, х, и) =?
358 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V
о°
®== фо + S tynun достигала бы максимума при ип = йп =
Па=1
= Между тем, если #= 0, то максимум Н по и А
достигается, очевидно, при
/ 1 , 1 \ .
В пространстве /2 множество достижимых х(Ь) не
имеет внутренней точки, но оно может иметь ее в других *
пространствах, например, в пространстве с нормой|| х || =
= supI пхп |.Если у множества допустимых х(Ь) в про-
странстве В существует внутренняя точка, то принцип
максимума имеет место.
Доказательство весьма просто. Сославшись на' тео-
рему об отделимости выпуклых множеств [17], можно га-
рантировать существование нетривиального линейного
функционала такого, что (£,х (£)):> (£, х), где
х — любой элемент из достижимого множества. Но от-
/ ь \
сюда следует, что | J [й (/) — и (/)] dt 0 для любого
u(t)<=A, а следовательно, (g, u\t)—почти
всюду на интервале [а, &], что и требовалось доказать.
Вернемся к сформулированной выше теореме. Рас-
смотрим множество А последовательностей а = (аь ...
..., ап, ...), где
ап = j и(|)е‘п,5~ndl, |«(OKI, a^B.
о
В качестве пространства В возьмем банахово простран-
ен
ство векторов b = (6Ь ..., Ьп, ...) таких, что Ьпе 0 п ->0.
Норму в В введем равенством
I С
|| b ||в = sup I bne ° п
п
Множество А изоморфно множеству достижимых состоя-
ний г(Т,х). Как показано в [74], множество А содержит
3]
О РЕЛЕЙНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЯХ
359
шар р, т. е. для всякого элемента b из этого шара
можно указать такое допустимое управление u(t), что
Т 2
о
Далее, в [74] доказывается, что элемент а*, отвечающий
оптимальному управлению u*(Z), принадлежит границе
множества А. Теперь по теореме об отделимости выпук-
лых множеств заключаем о существовании нетривиаль-
ного линейного функционала f В*, такого, что
(Л а*) > (Л u), Va е А,
или, что то же,
т
/ [и*® - U(-;)]F(Ю
О
Функция F(£)— аналитическая на интервале 0 t < Т\
отсюда следует, что u*(t) = sign F(t) почти всюду, т. е.
|и*(ОГ= 1.
3. О релейных оптимальных управлениях
Как указывалось в пп. 1.2, при решении задач опи-
санного там типа оптимальные управления часто при-
надлежат границе дА множества А допустимых управле-
ний. Если, например, это множество задается неравен-
ством Umin u(/) umax, то оптимальное управление
может принимать лишь предельные значения umin и
Umax- Такое двухпозиционное управление известно под
названием релейного.
В этом разделе будут указаны условия принадлеж-
ности оптимальных управлений границе дА множества А
для некоторого класса линейных задач оптимизации
в банаховом пространстве1). Эти результаты принадле-
жат А. Фридману [251—253].
Рассмотрим параболическую оптимальную задачу
с управлением в правой части линейного уравнения.
*) В английской литературе включение и дЛ известно как
«bang-bang principle».
360
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V
Положим, что в области ST = G X [0, Л задан парабо-
лический оператор
Lz = -^-A(x, t, D)z = -^- 2 aa(x,t)Daz,
I a I < 2r
где r > 0, Dn= ... Cm> Dj = , I a l==ai + -..+aw.
Коэффициенты aa(x,t) и границу Г области G считаем
достаточно гладкими.
Рассматривается задача
Lz = //(х, /), (х, 0G^o,
2(0, х) = ^(х), хег, .(31)
(/, х, D) z = Wj (х, 0, (х, /) g Г X [0, /0),
Операторы Bj предполагаются такими, что задача (3.1)
имеет единственное достаточно гладкое решение. Отно- |
сительно оператора L предполагается, что он обладает ।
следующим свойством единственности: если L* — сопря-
женный оператор, то для любого Т > 0 и для каждой
достаточно гладкой функции v(x,Z), удовлетворяющей I
уравнению L*v = 0 в 8Т, условиям BjV = 0 в Г X [0, Л
и при v(/, х) = 0 на Г X А, где А — некоторое множество
положительной меры на (0,/), выполняется v(T, х) = 0.
Это свойство единственности «в обратном направлении»
уже использовалось нами ранее в п. 1 со ссылкой на (
[294]. В [252] доказано, что если L и Bj — аналитические
операторы, а Г—аналитическая граница, то описанное
свойство имеет место. Функции u, v, w считаются управ-
лениями, значения которых принадлежат замкнутым вы-
пуклым множествам Аи, Av, Aw соответствующих про- г
странств. Задано множество Р конечных состояний z(x, t)
системы, причем Р содержит внутренние точки. Можно
считать Р выпуклым телом с достаточно гладкой грани- *
цей в соответствующем функциональном пространстве.
Требуется перевести точку z(x, /) на множество Р за ми-
нимальное время Т.
Рассмотрим случай, когда функции v, w фиксиро-
ваны, а управление u(x,t) подлежит определению. При
поставленных условиях существует функция Грина
31
О РЕЛЕЙНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЯХ
361
К(х, /, g, т) задачи (3.1); пользуясь ею, можно предста-
вить решение z(x, /) в форме
t
z (х, /) = Ро (х, /) + J j К (х, t, £, т) и (£, т) d% dr, (3.2)
О G
где Ро — известная функция.
Существование оптимального управления доказывает-
ся легко; не останавливаясь на этом, рассмотрим вопрос
о единственности. Предположим, что допустимые управ-
ления и таковы, что норма || w (•, т) ||£ (G) ограничена как
функция т для некоторого 1 < q оо. Неравенство
Юнга показывает, что интеграл (3.2) принадлежит LS(C),
где 1 s q. Можно также показать, что для q > m/2r
этот интеграл принадлежит Loo(G).
Имея это в виду, рассмотрим множество
йг: | v g= Ls (G); v (х) = р0 (х, Т) +
г )
+ f / КМ L т)«Й, T)dUT
О G f
элементов v(x) = z(x, Т), достижимых в момент t—T
с помощью допустимых управлений. Это множество вы-
пукло в LS(G). Пусть ы*(х, /)— оптимальное управление,
a z*(x, /)— соответствующее решение. Ясно, что z*(x, Г)<=
е Йт А Р. Элемент z*(x, Г) должен принадлежать гра-
нице множества Р\ в противном случае, в силу непрерыв-
ности, элемент z*(x, Т — е) принадлежал бы int Р во-
преки оптимальности времени Т,
Множество Р содержит внутренние точки, поэтому
существует опорная гиперплоскость П(г). Полупростран-
ства, разделяемые этой гиперплоскостью, обозначим че-
рез П_(г) и П+(г); пусть РеП+(2). Докажем, что
ЙтеП_(2). В самом деле, в противном случае суще-
ствовала бы точка v е Йг, лежащая внутри П+. Вслед-
ствие условий, наложенных на Р, можно было бы тогда
указать точку геР, принадлежащую интервалу (z, и).
Но одновременно гейт (выпуклость), поэтому прихо-
дим к противоречию с минимальностью Т.
362 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. V
Пусть у(х)—функция из LS'(G) (у + Д- = 0’ к0т0‘
рая определяет гиперплоскость П(г). Тогда, очевидно,
j v (х) у (х) dx J z* (х, Т) у (х) dx, Vt> е Qr.
о о
Пользуясь представлением (3.2), перепишем это нера-
венство так:
f f k0(l, r)u(g,
0 о
т
С / J k0 (£, т) и* & т) dl dx, Vu е Аи, (3.3)
о о
где
&о U> и) = / К (х, Т, I, г) у (х) dx.
о
Предположим, что существует такое множество Д поло-
жительной меры, что и*(х, t) при / еАне принадлежит
границе множества Аи. Из (3.3) легко заключить, что это
возможно только при условии, что &o(L т)= 0 на G X А
Но тогда в силу свойства «единственности в обратном
направлении» для оператора L заключаем, что у(х) = О
почти всюду на [О, Г), что невозможно.
Аналогичные теоремы справедливы и по отношению
к более общим уравнениям в банаховых пространствах.
Вот пример такой теоремы.
Рассмотрим уравнение
^- + Az = u(t), (3.4)
в котором зависимая переменная z(t) и управление
u(t)—элементы банахова пространства В, а А — не за-
висящий от t линейный (неограниченный) оператор, удо-
влетворяющий условиям:
а) область D(A) определения А плотна в В и опера-
тор А замкнут;
б) (V — Л)-1 существует при Re X 0 и
|| (Л/— Л)~'||<-1 ReA>0, с = const.
4]
КВАЗЙЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 363
Нас интересуют решения уравнения (3.4), удовлетво-
ряющие начальному условию
z(x, O) = zo(x) (3.5)
и условию в момент t = Т
z(x, T) — zx{x). (3.6)
Конечно, точное «попадание» (3.6) возможно не при вся-
ком выборе управления «(/). Задача состоит в том,
чтобы выбрать и е Аи, где Аи — выпуклое множество,
таким образом, чтобы время попадания было минималь-
ным. Предполагается, конечно, что множество достаточ-
но «просторно» для того, чтобы попадание в задан-
ную функцию Zi (х) можно было осуществить за время
Т < оо.
Теорема (А. Фридман [252]). Предположим, что при
сформулированных условиях оператор А порождает
сильно непрерывную полугруппу, а Аи — выпуклая ок-
рестность нуля. Если оптимальное управление суще-
ствует, то оно принадлежит границе дАи множества Аи
почти для всех t.
Другие теоремы этого типа даны в работах А. Фрид-
мана [253], А. В. Балакришнана [182—186], Г. Фатторини
[242—247].
4. Необходимые условия оптимальности
для’квазилинейных систем параболического типа
В области G m-мерного евклидова пространства
(xi, ..., хт) с достаточно гладкой границей Г определим
эллиптический оператор
п т
^=2 S
Р=1 /, fe=l / к
коэффициенты которого цгД(х, /) непрерывно зависят от
параметра t и дважды непрерывно дифференцируемы по
х = (xi, ..., хт). С помощью оператора образуем си-
стему
Litz — z\ — Liz = fi(t, х, z, zx, u), 0xeG; (4.1)
364
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. V
здесь z = (г1, ..., 2П), а функции f = (fi, ..., fn) непре-
рывны по t и дважды непрерывно дифференцируемы по
остальным аргументам. Функция u(t, х)1 = (t, х),...
.up(t, х)), которой в последующем придается смысл
объемного управления, принимает значения из выпуклой
области Аи р-мерного евклидова пространства.
Непрерывные функции z(t, х) подчиним еще началь-
ным и граничным условиям вида
2(0, х) = а{х), хеб,
= х, 2, и), хеГ,
} (4'2)
Функции а(х) = (ai(x), , ап(х)) непрерывны; функции-
фг удовлетворяют тем же условиям, что и f,-; v(t, х) =
= (»](/,х), ..., vp(/,%))—граничное управление, значе-
ния которого принадлежат выпуклой области Av р-мер-
ного евклидова пространства. Операторы действуют
по формулам
m
(4’3)
p=i 1р
Здесь а\р, btp — непрерывные функции переменных (/, х),
a lip — произвольные направления, составляющие ост-
рый угол с внешней нормалью к Г.
Управления u(Z, х), v(t, х) будем считать кусочно-не-
прерывными, возможные поверхности разрыва — глад-
кими. Предполагается, что, помимо указанных свойств,
все входящие в формулировку задачи функции удовле-
творяют дополнительным условиям, гарантирующим су-
ществование и единственность решения задачи (4.1) —
(4.2) для любых допустимых управлений (см., например,
[Н8]).
Поставим оптимальную задачу. Введем функционал
п ~ Т
I | at(x)zl{T, x)dx + [ | pz (t, x) zl (t, x) dt dx -f-
i=l Lq q 0
T
+ j j Yi (/, x) zl (t, x) dt dx
о г
(4.4)
41
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 365
Здесь аь Рь У* — заданные непрерывные функции. Тре-
буется определить такие управления и^Аи, v<=Av, что
функционал (4.4) принимает минимальное возможное
значение.
Функционал (4.4) не является достаточно общим и
выбран лишь для простоты рассуждений. Используемая
методика допускает распространение на более сложные
случаи, когда функционал оказывается нелинейным.
Сформулированная задача была поставлена и изу-
чена А. И. Егоровым [68—69]. В этом пункте мы изло-
жим некоторые из полученных им результатов.
Имея в виду получить формулу для приращения
функционала, введем множители Лагранжа соД/, х)
(i = 1, и) и образуем функции
п
Н (/, X, Z, Zx, СО, и)= 2 ®/fi G> X, z, zx, и),
i=l
п
h(t, х, г, со, и)= 2 -г, ^).
(4.5)
Будем исходить из тождества
т
О G
n
2 aiLitz — H (t, x, z, zx, co, u) dt dx -f-
п
т
+ П 2 &iPiZ — h (t, х, z, co, v) dt dx
о г LI=|
оптимального состояния (г, и, v) и аналогичного то-
и т.
т
для оптимального состояния (г, и, v) и аналогичного то-
ждества для допустимого состояния (Z, [/, V). Пользуясь
этими тождествами и вводя обозначения &z — Z — z
д., можем написать:
п
®Лн Аг - H{t, х, Z, Zx, со, U) +
о а
+ H(t, х, z, zx, co, и)] dt dx +
т
п
О Г
+ h(t, X, 2, V
366
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Интегрируя по частям, найдем
т т
j j <ofLit \zdtdx = J J coz (&zlt — Lit txz) dt dx =
о g о G
т
= [ cot- kz1 dx — j* (* \zlMit<&dt dx —
G 6 G
T
— [ [ (®iPi &z — kzlQi(d) dt dx. (4.7)
d г
Здесь Мц, Qi — операторы, действующие по формулам
Мц(й = (Лц + Mjd) = <0(/ + V V -д— I Ojk ~д~) —
Р=1 /, Й=1 / е '
XI д (Wk
- 1 Ж7 ЫМ <‘'=1........») <4'8’
/л=1 ' 4 й 1
П г -I
Q,<0 = j;[4'^. + <ZJp(0p]. (4.9)
Р=1
Функции а%{, dtp и направления %iP очевидным образом
связываются с af, biP и lip. Преобразуя тождество (4.6)
с помощью (4.7), найдем
т т
J — | j \zlMit(ddtdx + j [ \ziQi®dtdx =
g do or
т
— J J [H (f, x, Z, Zx, co, U) — H (t, x, z, zx, co, u)]dfdx +
0 G
T
+ f [ [h(t, x, Z, co, V) — h(t, x, z9 co, v)]dtdx. (4.10)
q г
4]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 367
Определим функции (/, х) как реления сопряженной
краевой задачи
т
дН (t, х, z, zXi to, и) . уч д /дН (t, х, z, zx> to, и) \ .
dz1 дгх. /
fe=I « \ xk /
+ Pi(/, х), хеб,
®i(T, х) = — аг(х), xgG,
дh (/, х, z,. со, v)
д?
дН (ty х, z, zx, to, u)
Q/® =
Xk(x)~
— Yz (t, x), x e Г, 0 < f < T.
(4.П)
Здесь Xfe(x)— направляющие косинусы внешней нормали
к Г. Исключая Mita и Qjto из тождества (4.10) с по-
мощью этих формул и принимая во внимание (4.4), по-
лучим следующее выражение для приращения функцио-
нала Г.
т
&1 = — j" [ [Н(t, х, Z, Zx, и, х, z, zx, co, ii)}dtdx -f-
d g
dH (t, x, z, zx, co, »)
dz1
\zl +
m
. V x’ ZX> °’ A J
+ 2j----------------------^Zxk
k=\ u^xk
dt dx —
— | j* [h(t, xt Z, ш, V) — h(t, x, zf co, v)}dtdx-\-
о f
+ SJ [ ^dtdx.
i=^\ d г
368
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Пользуясь формулой Тейлора, приведем равенство к виду
т
Д/ = — J j [Н (t, х, z, zxt со, t7) —/7 (/, х, г, гх, со, и)] dt dx —
о G
т
— [ f [h (t, х, z, со, V) — h (/, х, г, со, у)] dt dx — гц т]2,
о г (4.12)
п Т
J j Г дН (/, х, z, zx, со, U)
=1 о G I-
- дН<1’ х’ м’ ы) 1 Аг' dt dx +
dz1 J
дН (t, x, z, zx, co, U)
\zxk dt dx +
txz1 dt dx,
n+mn J
1 Г J d2H (t, x, g + 0! kg, co, U) A i A .
4i = 7 1 J J — L J -----------’-bg Дг'л* +
i, k=\ 0 G
T
n 1
+4 S П
i,fe=16 G X
0<01>2< 1.
(4.13)
(Обозначение g = (gl, ...» g’l+nm) = (z\ zn,
..., г?т) введено для краткости записи.) Формула (4.12)
представляет собой точное выражение для приращения
функционала I. Покажем, что при локальных сильных
вариациях управлений Ди, Ду интегральные слагаемые в
этой формуле образуют главную часть Д/. Тем самым бу-
дет доказана
41
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 339
Теорема (А. И. Егоров [69]). Для того чтобы допусти-
мые управления ц(^,х), v(t,x) доставляли минимум
функционалу /, необходимо, чтобы почти всюду в обла-
сти G X [О, Т) и на границе Г X [О, Т) удовлетворялись
условия максимума
/7(/, х, г, со, и) = шах Н (/, х, 2, zK, со, С/),
(4 14)
h(t, х, г, со, и)= max h(t, х, г, со, V).
Желая получить оценки остаточных членов т)Ь ti2, за-
метим, что приращения Агг’ образуют решение краевой
задачи
г А^ — A дН^> Х> Z> Z*>
Lit LXZ — А
Azf (О, X) = О,
р А ~ _ A dh^' Х’ г< Ю’
гг az — а д
XG G,
хеГ,
(4.15)
х е G,
О < t С Г,
где
д дН _____ дН (t, х, Z, Zx> со, U) ___ дН (/, х, 2, zx, со, и)
да. да. да^
д dh _____ dh (t, х, Z, co, V) ___ dh (/, x, zt a, v)
da. da i da.
Задача (4.15) равносильна следующей системе ин-
тегро-дифференциальных уравнений:
t
hz(t, х) = J J ^11(Л X, т, g)\-^dxdl +
о G
t
+ J J К12(/, X, X, g)l|)(T, Ddxdl,
xeG,
(4.16)
О г
t
B) = -A^-+ J7 K2I(^ t T, +
0 G
t
4-J I, X, g)i|)(T, 0 dx dl
Ф Г
(4Л7)
370
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
А дН (кдН л дН \ А dh (А dh А dh \ I
где Д-ч— = Д-5—, Д -ч— , Д-ч—= Дч—, ...» Дт- . I
да> \ dcoi дап / да \ dcOj * дапг I
Kij — матрицы, известным образом связанные с матри- |
цей Грина. Взяв итерации уравнения (4.17), придем |
к формуле I
f I
О G
+ J j* Кп (t, т, т|) ф (т, г|) dr cfr] — |
or I
Г /* n~ i 1
-J J n)A-g-dTdn. (4.18)
О Г i-0 1
Здесь |
Kn (/, £, r, T]) = t, n) + • I
t
+ J / Kn-i (t> I» a> P) Ko (a, p, т, ц) da dp,
t г
Kn(t, t, n)= J / Kn~'(t, t, a, P)K°(a, p, r, n)<Wp, I
% f ?
Ko = tf2P K° = K22, /1=1,2,...
Выбирая n достаточно большим и пользуясь извест-
ными оценками для матрицы Грина и ее производных,
можно добиться того, что ядро Кп будет ограниченным.
Зафиксировав такое п, из (4.18) получим неравенство
t t
sy(/)<P j w(T)dr+ J J Qn(t, Г, Г]) | A 1 dr drj +
0 0 Q
t
+ / [ Rn(t, T, rj) | A1dr dt] + У | A1dr|, (4.19)
or г
41
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 371
где Р — положительная постоянная,
ш(/) = / 1(t, g) |dg, Q„ = j | Kn(t, T, n)
Г г
n—1
R»= f УI K‘{t, g, t, Ш
Г f=0
Введем обозначения
i
Wk (0 = J wk-i (r) dr, ' te>0 (0 = W (/),
0
t
Qnk= I Qn (k—i) (t» л) dx, Qno=== Qn> .
x (
t
Rnk = J Rn(k-l) (t, T,T))rfT, Rn\ =Rn(t, r, T|) + 1,
0
k = 2, 3, ....
и проинтегрируем неравенство (4.19) последовательно k
раз; будем иметь
t t
Wk (t) < p J wk (r) dr + J J Qnk (t, т, T]) | Л 4^-1 dr dr] 4-
0 0 G
t
+ J § Rnk(t, t, T])|A^-ldTdn. (4.21)
о г
Зафиксируем настолько большое k, чтобы функции
Qnk и Rnk были ограниченными при 0 т t 7,
х (= G, и положим
Q (/) = П Iл 10<еа4/ Qnk (0, Т’ n) dX
t
R (0 = | [ IA I max Rnk (6, т, t]) dx dr\.
J J I <3(0 |o<0<4
372
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Hepai действо (4.21) при этих условиях запишется в виде 0 wfc(0)<P J^(0)d0 + Q(O + R(t). 0
Тепер (0) и, в ч; ь, применяя лемму из [115], стр. 19, найдем < Л[(?(0 + /?(/)], О^0</<Г, 4 = const>0, зстности, Wk (0 < A [Q (/) + /?(/)].
Фс •рмулы (4.19)—(4.21) теперь показывают, что
Wk (0 t <JdT |л/,а, т, + о Lg + /ма, г, t])|A-g-|dn]. (4.22) г
где М стато1 венет! 1 и Ni — функции типа Qn и Rn. Поскольку п — ло- то большое число, формула (4.18) вместе с нера- зом (4.22) показывает, что
нал Т )|<J*dT j*Af2a, т, g, 0 L G + JЛШ Т, L т])|д-^-Ы. Г
где М Ди В СИЛ} по ан: 2 и /V2 — функции типа функции Грина. [фференцируя (4.16) по xiy ..., хт (что законно / сделанных предположений о функциях f и ср), мы злогии с предыдущим получим неравенства
। Agi а jT р , х) К J j м3 (1, х, т, Т]) ЛиДт, л) Idrdi] + 0 G s=l Т р + j j Л^3а, х, т, ц) \Vj (т, Г]) |й?тdt\, 0 Г /=1
где (7С1 II ы м >< й 5^
4]
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 373
Этого уже достаточно для того, чтобы оценить слагае-
мые т|1, т]2 в формуле (4.12). Получаем
т р
I т)1КМ f j х)|Х
О G /=1
УР
| Мц(/, х, т, т))£| АмДт, n)|drdn +
g j=i
T P j
+ J J N\X{t, x, x, t]) Idxdi] t dtdx-j-
o г k=l ‘
т p г p
+ B2 J j \Vj (t, x) | J j Mn (t, x, x, n) | A Uj | dx dr\+
О Г i—1 ’о г /=!
T
+ J J Nn (t, x, x,
О г
p
П) Nvk Id-rdr)
fe=l
dt dx
где
Bi = const > 0, Mn = M3 + M4, ^=^3 + ^4.
d2H d-h
Согласно условию, производные и 0ГРа‘
ничены, поэтому
т
। *12 КЯЗ J /
0 G
' Т р
J j M\x(t, х, х, A«fe|drdT] +
-0 G k=l
УI А»; I dx dx\ dtdx +
т p v
+ / J Mi (<» x> T> n)
0 г /=1 J
T Г T p
+ B4JJ f J Afn(/, x, X, n)Sl Nuk[dxdr] +
T
+ f J Mi (^» x> x>
о г
т]) Atiy Idxdt) dtdx.
2
374
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Остаточный член 'П==111 + т12 оценивается теперь по
формуле
т т р
I П К J j J j Pit, х, т, n) IdrdT] +
О G ’о G 6=1
Т
+ j J Q (/, х, т
о г
р
л) До/1 Jr dt]
/=i
dt dx -j-
Т { т р
+ j J И J Р (t, х, т, t]) | Дий |dr dt] +
о г 'о а й=1
т Р
+и<№ * ’ ц) Auz |dr dy\
О Г /=1
2
dt dx,
(4.23)
где функции Р и Q — того же типа, что Ми и Мц.
Дальнейшие рассуждения носят стандартный харак-
тер; они почти дословно совпадают с приведенными
в конце доказательства аналогичной теоремы в п. 6
гл. IV.
5. Метод штрафов
Во всем предшествующем изложении учет связей
в задачах оптимизации производился с помощью множи-
телей Лагранжа. Р. Курантом был предложен другой
метод учета , связей — так называемый метод штрафов.
Применительно к задачам оптимального управления
идеи Р. Куранта развивались в работах А. В. Балакриш-
нана [182—186], С. де Юлио [221—222], А. Джонса и
Дж. Маккормика [271], X. Сасаи [361]. Преимущество
этого подхода в том, что он позволяет дать доказатель-
ство существования решений широкого класса оптималь-
ных задач, причем это доказательство, будучи конструк-
тивным, дает одновременно и метод получения прибли-
женного решения.
При составлении настоящего раздела автор пользо-
вался работой С. де Юлио [221], относящейся к линейным
эволюционным задачам, содержащим управляющие
функции как в уравнении, так и в граничном условии. Ре-
5]
МЕТОД ШТРАФОВ
375
зультаты примыкают к исследованиям пп. 1—3 этой
главы.
Рассматривается управляемая система, описываемая
уравнениями вида
^ = Az(t) + Bu(t\ 2(0) = 0. (5.1)
Здесь А — неограниченный линейный оператор, отобра-
жающий область D(A), плотную в гильбертовом про-
странстве на это пространство. Символом обо-
значено управление, которое почти для каждого t при-
надлежит гильбертову пространству Н2; это пространство
отображается на Н\ линейным ограниченным операто-
ром В.
Решение задачи (5.1) будем считать элементом про-
странства L2(T;//i) функций f(^), измеримых по t и
имеющих значения в Н\\ норму в Ь2(Т\ Н\) введем фор-
мулой
/ т у/2
llfll(= / II/(011^1 •
'0 /
Здесь ||НОНЯ — обычное обозначение нормы в Н\.
Совершенно аналогично определяется пространство
Ь2(Т\ Н2) и норма в этом пространстве.
В конце раздела будет рассмотрена система, описы-
ваемая уравнениями
-g- = X2(O, z(0) = 0, cz(t) = u(t). (5.2)
Относительно оператора А сохраняется все сказанное
выше; через с обозначен линейный оператор, отображаю-
щий область D(c)tdD(A) в пространство Н2. Решение
задачи (5.2) по-прежнему рассматривается как элемент
£2(Г;Я1). В обеих задачах предполагается, что и^Аи,
где Аи — замкнутое выпуклое множество в L2(T; Н2).
Перейдем к задаче (5.1). Определим оператор
5 = ^--Л;
01
областью D(S) его определения будет множество всех
непрерывно дифференцируемых функций f(t) со значе-
376
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
ниями в D(A) почти для всякого t ее [О, Г], причем
f(0) — 0; элементы Sf е Ь2(Т; составляют плотное
множество в этом пространстве. Предположим, что опе-
ратор 3 допускает замыкание, и обозначим через 3 ми-
нимальное замкнутое расширение этого оператора.
Обобщенное решение задачи (5.1) определим как эле-
мент z е D(S), удовлетворяющий тождеству
(г, S*<p) = (Ви, ф) (5.3)
для всех (ре D(S*). Здесь S*— сопряженный оператор;
принято обычное обозначение для скалярного произведе-
ния. Область D(S) плотна в £2(Г;/Л), и оператор S*
всегда существует; кроме того, согласно известному свой-
ству операторов в гильбертовых пространствах, 3** = 3
и D(S*) плотна в L2(7; Н2). По этой причине (5.3) рав-
носильно равенству
Sz = Ви. (5.4)
Определим вещественный функционал I [z; и] на про-
изведении пространств L2(T; L2(T\ Н2); предполо-
жим, что этот функционал обладает следующими свой-
ствами:
a) I[z\ и]^0 для всех /, х;
б) I слабо полунепрерывная снизу;
в) I[zn-, ы„]->оо, если lim (|| zn ||j +1| ип ||2) -> оо.
П->оо
Оптимальная задача состоит в следующем: требуется
найти такой элемент uq<=Au и соответствующий ему
в смысле задачи (5.4) элемент z0 s D(S), что
/[г0; wo] = /o= inf I[z\ и\
и^Аи
z^D
при связях (5.4).
Метод штрафов, используемый ниже для доказатель-
ства-существования решения поставленной задачи, осно-
ван на том, что формулируется вспомогательная вариа-
ционная проблема без связей (так называемая е-про-
блема). В применении к задаче (5.1) 8-проблема состоит
в следующем. Выбираем 8 > 0 и строим функционал
[z; и] —I [z-, м] + у Ц-Sz — Ви ||р
V *
5]
МЕТОД ШТРАФОВ
377
Требуется определить элементы ие е Аи и гг е D(S) та-
кие, что
^е] /*8 /е [zf Z/].
и^Аи
Z(=D(S)
В этой задаче выбор элементов и и z уже не стеснен ус-
ловием (5.4).
Докажем, что при поставленных условиях 8-проблема
имеет решение.
Пусть последовательность элементов ип <= Аи, zn^ D
такова, что соответствующая числовая последователь-
ность {/8 [zn; ин]} стремится к /е:
lim /e[zrt; u„] = je.
П~>оо
Будучи убывающей, последовательность {/ebn;wn]}
необходимо ограничена. В силу свойства а) ограничена
и последовательность {/ [zn\ ип]}, а это вследствие в) озна-
чает, что равномерно ограничены нормы элементов|| zn ||h
II Пг:
ЦгЛ1<С1, II ип ||2 С2.
Поскольку В — ограниченный оператор, а нормы
||ttrtr2 ограничены, из сказанного вытекает ограничен-
ность норм элементов Szn\
В силу слабой компактности ограниченных множеств
в гильбертовом пространстве существуют элементы zze,
г8, z/g, являющиеся слабыми пределами последовательно-
стей {ип}, {гп}, {Szn} соответственно, при этом вследствие
замкнутости и выпуклости Аи это множество слабо замк-
нуто и содержит элемент ие.
Пусть ф —любая функция из D(S*). Пользуясь опре-
делением слабой сходимости, находим
(Уг, <₽) = Ит (Szn, <р) = lim (zn, S*<₽) = (ze, S*<p).
П-><х> П->со
Поскольку множество D(S*) плотно в L2(T;Hi) и
S**= S, отсюда следует, что
ze е D (S) и Sze = уг.
378
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Наконец, пользуясь слабой полунепрерывностью
функционала I снизу и этим же свойством нормы, полу-
чаем
/е = lim /е [zn; и„] =
П~>оо
= lim Z(z„; ип] + lim -J-Ц Szn — Вип ||* >
/2->оо П->оо °
> 7 [гЕ; ие] + || Sze — Вие ||* == 1г [ze; uj.
Вместе с предыдущим это означает, что /8 = /8 [г8; иг].
Теорема доказана.
Выбирая достаточно малое 8/можно решение 8-про-
блемы сделать как угодно близким к решению исходной.
Точнее, справедлива следующая
Теорема существования. Пусть {еп} — последователь-
ность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Тогда
существует подпоследовательность (обозначим ее по-
прежнему {8П}) такая, что слабые пределы z0, uQ после-
довательностей {^8п}, {uSn} принадлежат, соответственно,
множествам D(S) и Аи и удовлетворяют предельным ра-
венствам
lim Ze„[ze„; uSn] = I[z0, ua] = j0= inf I[z\ ы], (5.5)
П-»оо US?L
гей
причем элементы и и z связаны соотношением
Sz == Ви. (5.6)
Переходя к доказательству, заметим, что величина /0 мо-
жет рассматриваться как нижняя грань функционала 1е
при дополнительном условии (5.4). От’добавления связи
нижняя грань может только возрасти, поэтому
/0> /е = Z. [z, ; ие 1.
/и L enj
Как и ранее, устанавливаем существование слабых
пределов и0, z0, z/0 последовательностей {«е„}> {геп}, {Уъп}\
при этом
«о е 4 z0 е= D (S), Sz0 = уй.
5]
МЕТОД ШТРАФОВ
379
Можно также утверждать, что существует не завися-
щая от п постоянная К, такая, что
или __ __
II 5геп — •fiU8n 111 % •
Отсюда следует, что
lim ||Szgn —Вие Ц =0. (5.7)
п~> ОО
Элементы z0 и и0 связаны уравнением (5.4). Для до-
казательства рассмотрим неравенство
о < I (S2.n - Bu,J - (&, - В«„) If = I - Во,„ [ +
+ II Sz0 — Вив If — 2 (Sz,4 — Sz0 — Ви,).
Переходя к пределу п = оо и принимая во внимание
(5.7) и определение слабой сходимости, получим
O<||Szo-B«oll?,
откуда
Sz0==BU(,. (5.8)
Чтобы доказать (5.5) и (5.6), нужно воспользоваться
слабой полунепрерывностью снизу функционала /; имеем
/°> Пт Zen[ze.; ueJ =
= Нт «е„]> ИтJ[zen; «е„] +
n->OO rt->oo
•+ lim у-1| Szen - Butn P > I [z0; «0J- (5.9)
rt->oo n
Знак >• противоречит определению точной нижней
грани, поэтому в (5.9) имеет место равенство, и (5.5)
доказано. Утверждение (5.6) вытекает отсюда при уче-
те (5.8).
Перейдем теперь к задаче (5.2), содержащей управ-
ление в граничном условии. Определение оператора S
380
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
сохраним прежним. В множестве элементов D(S) вве-
дем норму
/г т \>/2
\Q 0 /
Замыкание V множества D(S) в этой норме будет гиль-
бертовым пространством, алгебраически эквивалентным
£>(S). Определим оператор С формулой
(C£)(0 = cg(0;
при этом
D(C)={g<=L2(T-, Нг): g(t)f=D(c)
почти для всех t е [0; Т]; Cg^L2(T\ Н2)}.
Предполагается, что £>(C)zdD(S); на множестве
D(S) оператор С непрерывен как оператор из V
в L2(T; Н2).
Обобщенное решение задачи (5.2) определим как эле-
мент z<=D(S), который при заданном и е Аи удовле-
творяет условиям
Sz = 0, Cz = u. (5.10)
Введем функционал / [г; и] на произведении про-
странств L2(T-, Hi)X ^2(7'; Н2) и по-прежнему будем ха-
рактеризовать его свойствами а) и б), но вместо свой-
ства в) потребуем, чтобы для всех ип е Аи:
г) lim I[zn\ ип]= оо, если lim || zn ||] = оо.
П->оо П->оо
Оптимальная задача состоит в следующем: требуется
найти такой элемент «о из замкнутого выпуклого мно-
жества Аи е L2(Т; Hi) и соответствующий ему (в смысле
задачи (5.10)) элемент z0 е D (5), что
/[z0, Uo] = io— inf Z[z; и]
zsD
при связях (5.10). Соответствующая е-проблема такова:
требуется определить такие элементы ue е Аи, ze е D(S),
что
ие] = /е= inf /e[z; и]
и^Аи
z&D
61
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ 381
при условии Cz = и. Здесь введено обозначение
4 [ге; ие] = I [г; и] + ± || Sz ||,.
(5.П)
Доказательства теорем существования близки к по-
строенным выше доказательствам аналогичных теорем
для задачи (5.4). Поэтому коротко остановимся на имею-
щихся отличиях. В 8-проблеме элементы zn е Z), ип Аи
слабо сходящихся минимизирующих последовательно-
стей связаны линейным соотношением Czn = ип, кото-
рое в силу непрерывности С как оператора из V в
£2(Г;#2) выдерживает слабый предельный переход.
С учетом этого обстоятельства доказательство заканчи-
вается, как и выше. Аналогичные замечания относятся и
к доказательству существования решения основной за-
дачи.
Метод штрафов выгодно отличается от других мето-
дов благодаря тому, что он избавляет от необходимости
явно учитывать связи. Это преимущество весьма ценно
при практических вычислениях, которые, в соответствии
с основной идеей метода, ведутся для 8-проблемы. Только
что приведенные теоремы показывают, что для достаточ-
но малых 8 этот процесс позволяет с известной точностью
определить решение основной оптимальной задачи.
Конкретная реализация этой идеи в вычислительных
алгоритмах изучалась А. В. Балакришнаном [186] и С. де
Юлио [222].
6. Об оптимальных задачах с движущимися границами
Во многих задачах теории теплопроводности форма
основной области изменения независимых переменных
не бывает задана заранее, а определяется из дополни-
тельных условий, участвующих в формулировке задачи.
Классический пример — задача Стефана, описывающая
процесс распространения фронта плавления (затверде-
вания), движение которого обусловлено фазовым пере-
ходом. Ряд задач диффузии, механики грунтов и т. п.
описывается следующей схемой (Г. Л. Дегтярев [61]).
Процесс развивается в области /J/) х /2(0,
О t Г, и описывается системой параболических
382
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
уравнений
zt~zxx = Fi&> t> 2) (/=1> п). (6.1)
Здесь z = (zl(x,t), ..., zn(x,t))— зависимые перемен-
ные, характеризующие состояние системы, Т — время
процесса, Fi(x,t,z)—заданные функции своих аргумен-
тов, непрерывные по х и t и дважды непрерывно диффе-
ренцируемые по остальным аргументам.
Начальные условия возьмем в виде
?(x, 0) = az(x) (Z = 1....я), (6.2)
где а,(х)—заданные непрерывные функции.
Граничные условия могут быть выбраны в форме
z*(W, t) = b(i(t) (1=1,.... п; /=1,2), (6.3)
либо в виде
дг‘дХх’() I + Nit W (// (О, 0 = Ь1{ (6.4)
X—lI (I)
(i=l, ..., п; /=1, 2).
Здесь yn(t) и bn(t)—заданные непрерывные функции.
Функции lj(t), характеризующие движение границ,
удовлетворяют системе уравнений
dh (t)
-JT- = fi «(0. V U =1,2) (6.5)
с начальными условиями
/,(()) = с/ (/=1,2). (6.6)
Здесь u(t) = (ui(t), ..., up(t)) — вектор управляющих
функций, Cj — заданные положительные постоянные, fj —
функции, непрерывные по t и дважды непрерывно диф-
ференцируемые по остальным аргументам.
Допустимыми управлениями u(t) будем считать ку-
сочно-непрерывные функции, принимающие значения в
некоторой области А р-мерного евклидова пространства.
Предполагается, что заданному допустимому управ-
лению соответствует единственное решение задачи
(6.1) — (6.6), это решение мало изменяется при малых от-
клонениях от закона движения границ.
61
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ 383
Оптимальная задача состоит в следующем: среди до-
пустимых управлений Аи требуется определить та-
кое управление, которое сообщает минимум (максимум)
функционалу
Т l2(t) /2(П
/==j j Gj (/, х, г) dt dx + j G,[x, г(х, T)]dx +
o /1(0 h(T)
T
•r J G3 [/, <p (/ (0, o, l (t), и (/)] dt + G4[I (DJ. (6.7)
0
Здесь Gj (j = 1, ..., 4)— заданные функции, непрерыв-
ные по /, x и дважды непрерывно дифференцируемые по
остальным аргументам.
Следуя общей схеме гл. I, введем лагранжевы мно-
жители ф (/, х) = (ф1 (Z, х), ..., фп (t, х)) и (/), (0 как
решения краевой задачи
dl/
dt.
dh
д2ф* dH
dt dx2 dz1
n
dh VI - dz^
- G‘ + +
L i—I
dlzl
dx2 dx dx
дф. dqt '
. x=/y(f)
*'(x'n = “ <i=1.......................">
(/=1, 2),
(/=1,2).
Граничные условия для ф/(х, t) задаются в форме
фД/М 0 = 0,
либо
/ дф. (х, t)
-----
°Х Х=1/ (/)
= (-!>'^(7;%.,) <‘-=1....";/=i,2).
384
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. V
Здесь введены обозначения
t, qp(x, /)) — Gb
i=\
2
u(t), t)-G3.
/==1
Г. Л. Дегтяревым в цитированной работе [61] дока-
зана следующая
Теорема. Для того чтобы управление и (/) доставляло
минимум (максимум) функционалу /, необходимо, чтобы
оно почти всюду сообщало максимум (минимум) функ-
ции h:
h(t, 1Ц), 0, и it)) = sup hit, lit), zilit), t), u).
u^Au
Доказательство основано на формуле приращения
т
AI = - j [h (/, I (0, z (I (t), t), и (t) + Аи (/)) —
О
— h it, I it), z il it), t), и (/))] dt + о (8), (6.8)
справедливой в случае, если Ди(/) отлично от нуля на
множестве меры 8. Формулу (6.8) нетрудно получить ме-
тодами, неоднократно испытанными в предшествующих
разделах.
Иногда в задачах с движущимися границами управ-
ление входит по-иному. Б. М. Будак и Н. Л. Гольдман
([16]) изучали задачу для одного уравнения типа (6.1)
при F = 0 с дополнительными условиями
y(t)<x<l,
z(t, y(t)) = f(t)u(t),
z(t, l) = C,
z(0, x) — a(x), lQ^.x^.l,
t)y'{t)=-zx(y{t\ 0 + <P(f/(/), t), Q<t^T,
У(0) = 10,
причем y(x> 0 Ymin > 0, а ф(х, t), a(x), <p(x, t) — из-
вестные гладкие функции. Роль управления в этой за-
6) ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ДВИЖУЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ 385
даче игра’ет функция u(t)—непрерывная возрастающая
функция, удовлетворяющая на [0,7] условиям ы(0) =
/-г\ г\ т и (?") ~ “ (О___г
= Umln 0, и(Т)— Umax> 0 7-2 L\ ДЛЯ
любых t', t" е [0, Т]; L\, L2 — постоянные. Требуется вы-
брать такое и из указанного множества, чтобы функцио-
нал
т
/[«]= / z(y(t), t)y(t)dy(t)
о
принимал наименьшее возможное значение.
В цитированной работе [16] Б. М. Будак и Н. Л. Гольд-
ман доказали существование оптимального управления.
Доказательство основано на компактности множества
{uk} допустимых управлений и на оценках для производ-
ных позволяющих установить сходимость соответ-
ствующих последовательностей {^(х)}.
13 К. А. Лурье
ГЛАВА VI
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Хорошо известна роль, которую в теории оптималь-
ного управления играет принадлежащий Р. Веллману
метод динамического программирования. Наряду с прин-
ципом максимума Понтрягина этот метод представляет
важное средство решения задач об оптимальном управ-
лении, особенно хорошо приспособленное для широкого
использования ЭВМ.
С точки зрения вариационного исчисления, метод
Веллмана находится в таком же соответствии с принци-
пом максимума, в каком метод Гамильтона — Якоби со-
стоит по отношению к методу Эйлера. Можно сказать,
что метод Веллмана — это метод Гамильтона — Якоби
для вариационных задач с дифференциальными связями
при наличии ограничений на управления.
Метод Веллмана получил широкое развитие в рабо-
тах многих авторов, начиная с самого Р. Веллмана; он
существует как в дискретных, так и в непрерывных ва-
риантах, причем последние относятся, главным образом,
к системам, описываемым обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями]). Вывод уравнения Велл-
мана для типичной задачи такого рода приведен в п. 2
гл. IV.
Схема рассуждений, положенных в основу этого вы-
вода, сохраняет силу и в задачах с частными производ-
ными. При этом, однако, возникает существенное разли-
чие между статическими задачами и задачами, содержа-
щими время. Если принцип оптимальности Веллмана
почти дословнр переносится на многие динамические за-
дачи с частными производными, то для проблем эллип-
тического типа дело обстоит сложнее ввиду их неэволю-
ционного характера. Тем не менее, при известных усло-
9 По поводу метода Веллмана см. монографии Р. Веллмана
[11], Р. Веллмана, И. Гликсберга, О. Гросса [12], С. Дрейфуса [229],
а также статью Л. И. Розоноэра [144].
1]
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ 387
виях метод Гамильтона — Якоби допускает распростра-
нение и на этот класс вариационных задач.
Исследования различных обобщений метода Гамиль-
тона — Якоби на задачи с частными производными вос-
ходят к основополагающим работам В. Вольтерра [377,
378], М. Фреше [250] и П. Леви [92]; многие сведения
можно найти в диссертации Г. Пранге [340].
В настоящем изложении мы начнем с описания
основных рассуждений применительно к простейшим ва-
риационным задачам, и впоследствии укажем пути рас-
пространения методики на проблемы со связями, кото-
рые задаются дифференциальными уравнениями в част-
ных производных.
1. Канонические уравнения для простейших
вариационных задач со многими независимыми
переменными. Форма Вольтерра и форма
Адамара — Леви
Рассмотрим проблему экстремума функционала
I— j j L(x, у, z, zx, zy)dxdy, (1.1)
о
функции сравнения г(х, у) подчиним требованию
z — f(t) на границе Г области G. (1.2)
Введем условия
и будем трактовать (1.1) — (1.3) как задачу с тремя не-
известными функциями z, zx, гу. При помощи множите-
лей Лагранжа р, q, р составим функционал этой задачи
f J + Р (# - г‘) + * (w - г*)]dx dy -
а
-(1-4)
г
18*
388
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. VI
Уравнения Эйлера и естественное граничное условие
имеют вид
Ч-Р = О, L.,-, = 0, = (1.5)
pyt — q*t — P = 0 на Г. (1.6)
Присоединяя те или иные из соотношений (1.3), (1.5),
(1.6) в качестве добавочных условий, будем получать
различные преобразования поставленной вариационной
задачи [86]. Если взять в качестве добавочных условий
первые два уравнения (1.5), то функционал (1.4) можно
преобразовать к форме
(1.7)
G Г
где
Н = Н(х, у, z, р, q} = pzx-\-qzy — L{x. у, z, zx, zy), (1.8)
а функции zx, zv выражаются через p, q с помощью урав-
нений
L*x = P’ L*y =
Рассматривая теперь (1.7) как функционал от г, р, q,
составим для него уравнения Эйлера:
дх др ду dq ’ дх ' ду ' dz * \ • J
последнее из них совпадает с последним уравнением
(1.5) вследствие очевидного равенства (см. (1.8))
4 dL — дн
dz dz 9
Уравнения (1.9) представляют систему канонических
уравнений вариационной задачи (1.1), (1.2) в форме
Вольтерра. Входящие в них функции р, q (множители
Лагранжа) аналогичны каноническим импульсам в урав-
нениях аналитической механики *).
Другая форма записи канонических уравнений свя-
зана с именами Ж. Адамара и П. Леви. Простейший ва-
1) Очевидно,> эту же роль играют множители Лагранжа в
уравнениях (2.17) гл. I, которые также имеют форму Вольтерра.
и
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ 389
риант этой записи получим, выбирая добавочными усло-
виями второе уравнение (1.5) и первое уравнение (1.3).
Таким путем приходим к соотношениям [340]
— = Д’ _—К । д
ду ду~ Лг "Т" дх дгх ’
или, пользуясь обозначением функциональной производ-
ной,
dz _ дЛГ d? _ 6Х м ini
ду ’ ду Ъг • Ц,1и'
Чтобы получить эти уравнения, введем обозначение
qzy — L(x, у, z, гх, Zj,)==/((x, у, z, zx, q), (1.11)
т. е. совершим преобразование Лежандра по аргументу
zy. Двойной интеграл (1.4) примет вид
J J [<7 — К (х, у, z, zx, <?)] dx dy. (1.12)
G
Уравнения (1.10) представляют уравнения Эйлера для
функционала (1.12) от двух функций г, q, или, что то же,
уравнения Гамильтона для функционала (1.1). Функцио-
налы S? и Ж определяются формулами
xt
S[у, z, zv}= j L(x, у, z, zx, Zy)dx, (1.13)
Хц
Xi
W[y, Z, J K(X, y, z, zx, q)dx. (1.14)
Xf,
Очевидно, справедливо равенство
jqZydx — £. (1.15)
В уравнениях (1.10) переменная у играет особую роль,
обычно роль времени. В тех случаях, когда не существует
такой выделенной переменной, более удобна иная форма
канонических уравнений. Чтобы получить ее, введем в
замкнутой области G систему ортогональных криволи-
нейных координат (а,Р), притом так, чтобы граница Г
была координатной линией а = 0.
390
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. VI
Функционал (1.1) в новых координатах примет вид
/== J J F (za> Zp, z, a. p) HaH^da dp,
G
где Ha, Н$ — коэффициенты Ламе. Уравнение Эйлера
1 д . 1 д ~ т 1 дН& ,
777 да ар (Fzp^p) + ~НаН$ ~да~^а^а +
|___’__дН 9 г г __ ? _ л
т нанй ар Че Гг
преобразуем, перейдя к параметрам п, t, дифференциалы
которых
dn — На da, dt = Н& d$
представляют, соответственно, дифференциалы дуг коор-
динатных линий а, р.
Введем радиусы кривизны рп, pt линий a = const,
Р = const:
1 1 аяр _ д in
Рл ИаН р да дп ’
1 _ 1 дНа _ д In На
' р/ ар ~ а/ •
Уравнение Эйлера записывается теперь в форме
д^гп dJzt 1 । г _п
дп + dt + pn U+ р( Ч 1г — °
или
6fz =----дп — fz —дп — (— fzn — fz\ ^>п-
1 гп dt ’ zt р< \ Рд * " 1 /
Но легко видеть, что
dt Р/
учитывая это, перепишем уравнение Эйлера в форме '
6U=-4(f»s'')-(-s-L-M6'*’ (‘-'в)
1]
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ 391
Введем теперь новую зависимую переменную
1 = 4- (1.17)
и построим функцию (гамильтониан)
К(а, ₽, *, *U) = £zn-f. (1.18)
Справедливы формулы
дк _ dj
dg 2"’ dz dz ’ dzt dzf *
Уравнение Эйлера (1.16) равносильно системе
= 4г бп’
d /1 \ I <1Л9)
б|==4(^6п)-(^^ + Кг)бп.|
Мы пришли к каноническим уравнениям в форме
Адамара — Леви. Эти уравнения определяют прираще-
ния канонических переменных г и £ при переходе от кри-
вой С с кривой С', отстоящей от С на расстояние 6п по
нормали. Формально уравнения (1.19) можно получить,
составляя уравнения Эйлера для функционала
/== / dn J (а, 0, z, zt, £)] dt,
рассматриваемого в зависимости от двух функциональ-
ных аргументов z и g:
2»“ дГв°’
4(Кг<6n)dt-± (?dt) t>n—^bndt~0.
Учитывая, что
ddt dt
бп рл ’
придем к системе (1.19).
392
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. VI
2. Уравнение Гамильтона — Якоби для простейшей
вариационной задачи с частными производными
Будем вести рассуждения для функционала (1.1).
Возьмем прямоугольную систему координат х, у, z и
представим себе экстремальную поверхность z = z(x, у).
Пусть 2 — контур этой поверхности — пространствен-
ная кривая, заданная проекцией Г(х(0, ?/(0) на пло-
скость х, у и аппликатой z(t).
Рассмотрим экстремальное значение функционала I
как функцию от 2; иными словами, будем изучать зави-
симость от 2 (Г; z(t)) значений /*, принимаемых функ-
ционалом I на решениях уравнения Эйлера
dLzx dLzy dL „
дх + ду dz — U"
Вариацию элемента кривой 2 можно характеризовать
составляющими 6п(/) и Az(i) по нормали п к плоской
кривой Г и по аппликате z; обозначая соответствующие
функциональные производные через Iz, напишем:
дГ= J {Гп Ъп + Гг Az) dt.
г
(2.1)
С другой стороны, в силу (2.1)
6/* = j L Ъп dt Ц- j (LZxyt — LZyx^ dz dt,
г г
или, учитывая формулу для полной вариации Az на по-
движной границе (см. п. 2 гл. I) Az — &z + zn6n,
d/* = J {[L — (LZxyt — LZyxt) zn] dn + Az] dt=
Г
= J [(L - LZnzn) dn + LZn Az] dt. (2.2)
Г
Сравнение с (2.2) приводит к равенствам
—/*—£______£ 2
Ьп — Ь LZfiZn,
Ы* <2-3)
dz 1г~ Lzn>
справедливым вдоль Г.
2]
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
393
Воспользуемся введенными в п. 1 ортогональными
криволинейными координатами а, р и соответствующими
параметрами n, t {dn — H^da, dt = H$d$)\ линии Г
пусть соответствует постоянное значение а = ао.
С помощью формулы
5 = 4 (2.4)
определяющей «канонический импульс» исключим zn
из выражения
42« —4о, ₽> 2> 2ь 2«)‘> (2.5)
результатом исключения будет гамильтониан К (ср.
(1.18)):
Я («о, Р, z, zt, L. (2.6)
Теперь уравнения (2.3) запишутся в форме
^п~ Р» £)> | ^2 7)
Аг = £. 1
Исключая отсюда £, получим уравнение
= Zt, z, а0, р);
поскольку значение ао произвольно, можно считать, что
функционал /*[Г; z(/)j удовлетворяет уравнению в част-
ных функциональных производных
/„ = №, zt, z, а, Р). (2.8)
Это — уравнение Гамильтона — Якоби рассматриваемой
вариационной задачи.
Приведем пример. Рассмотрим интеграл Дирихле, оп-
ределяемый (1.1) при
L = (grad z)2 = ^2 4-г|.
Очевидно,
£ ==: ^Zn9
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
';-4ст-4.
394
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. VI
Для приложений важен случай, когда одна из неза-
висимых переменных имеет смысл времени. Пусть у —
такая переменная. В координатах х, у основная область
имеет форму прямоугольника (х0^ х хь у у{)\
нас будет интересовать зависимость экстремального зна-
чения функционала I от координаты ух. При этом, вы-
числяя приращение по формуле (2.2), должны считать
вариацию би = бг/i, не зависящей от х. В результате
получим
дГ
dyi
Хх
Гу, = — J к. (I, Zx, z, yb x) dx,
Хъ
(2.9)
$2* — 1Z~
или, заменяя y\ на у,
Хх
W + 1 У» z' Zx> ^)dx==0-
ха
Пользуясь обозначением (1.12), приведем это уравнение
к форме
+ (2.10)
Здесь символом 8I/6z обозначена функциональная про-
изводная
67 lim ;h/> z + 6z]-Z[ff, z].
бг II^OLl(G)->0 II6г Hix (О)
по отношению к у функционал I представляет собой
обычную функцию. Уравнение Гамильтона — Якоби
(2.10) порождается вариационной задачей
Ух х{
£(х, у, z, zx, 2y}dxdy = min; (2.11)
Уо Хо
его значение для исследования этой задачи можно пояс-
нить с помощью понятия о самосопряженных и согласо-
ванных граничных условиях [45], [94].
2]
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
395
С этой целью введем функционал S [г; у] и рассмо-
трим вариационную задачу
Ух *Х
j j L(x, у9 z9 zX9 zy}dxdy — S[z\ z/i] = min.
У> Xq
Предположим, что функция г(х, yQ) известна; естествен-
ное граничное условие при у = у\ имеет вид
б^ 6S _ п
&Zy 6z ’
или, согласно второму уравнению (1.5),
q{x, уи z, zx, г) = -|^-| . (2.12)
Это условие задает в каждой точке х прямой у = у\
величину 2у(х, yi), пропорциональную соответствующему
направляющему косинусу нормали к интегральной по-
верхности z — z(x,y). Удобно записать (2.12) так:
2У {х, yv) = *F [z; t/J, (2.13)
где T — функционал от г и функция от х, у\.
Определение 1. Граничные условия (2.13), присоеди-
няемые к функционалу (2.11), называются самосопря-
женными при у=ух, если существует функционал S [z; у],
зависящий от у как от параметра и такой, что
dg[y, z, У[г;у,]] 6S
dzy dz
при y = y,.
(2.14)
Чтобы граничные условия (2.12) были самосопряжен-
ными на прямой у — yi, необходимо и достаточно выпол-
нение условия
6 q (х, ух, z (х, ух), zx (х, ух), У [z; yt]) I __
Ъ? (*2. У1) lx=x,
dq (x, yx, z (x, yt), zx (x, ух), У [z; yt])
Ъ* (xx, Ух)
(2.15)
Докажем необходимость. Самосопряженные гранич-
ные условия определяются равенством (2.12). Взяв его
396
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. VI
при х = Х[ и варьируя по г(х2>У1) и, наоборот, зафикси-
ровав х = х2 и варьируя по z(xb 1/1), получим (2.15), так
как оба выражения будут равны
• ______62S
дг(Х1, i/i)6z(x2> у,) '
Достаточность вытекает из того, что если условия
(2.13) влекут за собой (2.15), то существует функционал
S[z; у}, функциональная производная которого при y=yi
совпадает с q. Вариация функционала
У1 х,
J j Ldxdy — S[z; t/J,
приравненная нулю, даст тогда условие (2.14), а это и
доказывает самосопряженность.
Определение 2. Граничное условие
Zy(x) = wl[z], (2.16)
заданное при у = у\, и граничное условие
2,(Х) = Ф2[2], (2.17)
заданное при у = у2, называются согласованными между
собой, если каждое решение системы (1.5), удовлетво-
ряющее при у = у 1 условию (2.16), удовлетворяет при
у = у2 условию (2.17) и обратно.
Определение 3. Пусть при всех у (а у Ь) заданы
граничные условия
Zy (х, у) = ф [г; у].
Эти граничные условия образуют поле функционала
(2.11), если: а) при каждом значении у условия самосо-
пряжены; б) при любых двух у\, у2 из [а, Ь] условия со-
гласованы между собой.
Пусть самосопряженность граничных условий устано-
влена; каким дополнительным требованиям нужно под-
чинить эти условия для того, чтобы сделать их согласо-
ванными? Другими словами, в каком случае самосопря-
женные граничные условия образуют поле функционала
(2.11)? Ответ на этот вопрос дает следующая
397
(2.18)
чтобы
21 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
Теорема. Для того чтобы граничные условия
bzy bz
были согласованы, необходимо и достаточно,
функционал S [г; у] удовлетворял уравнению Гамильто-
на — Якоби
dS । Г 1г I 6S \ п
—F л х, у, г, гх, -j— dx = 0,
ду 1 J \ dz / ’
Ха
ИЛИ
<+^[9,г.<] = 0. (2.19)
Покажем, что в условиях теоремы любое многообра-
зие в пространстве (х, у, г), вдоль которого выполняется
(2.18), представляет собой интегральную поверхность
уравнений Эйлера (1.5). Из равенства (2.18) следует
q(x, у, г, zx, t/]) = -^-;
поэтому уравнение (2.19) переписывается так:
^ = -Х[у, z, <?].
Варьируя это равенство по г, найдем
д 6S _ 6Ж [у, z, У [г-, у]]
ду dz dz ’
ИЛИ
dq_ __ _ 6Х [у, z, У [z; у]1 20)
ду dz ’ ' " ’
Отсюда вытекает утверждение теоремы. Действитель-
но, заменим q величиной
6g [у, Z, Zy] I
бгу ‘г^=“т >г-
а функционал Ж — его выражением (1.15); выполняя
указанные в (2.20) действия и учитывая при этом
398
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. VI
равенство bS’!bzy = dL!dzy> в результате получим
_д_ , [ б^ [у, г, Т [Z; у] ] [z (I, у); у] .. _
ду dzy ”Г J dzu (х, у) Ьгу ($, у) ду 6
х0
_ 6g Г V [г; у]] 6Т [г (I, у); у] ?
дг dzyft.y) dz(x,y) U*
Хо
_ f &¥[z(i,y)',y] Ъ<?[у,^^у]] . _
. J 6ф, у) bzy(l,y)
Xq
Xi
f пгг zt \ i [y> z, Ф [z; у]] /л ni\
J 44z(£, y)‘> y] y)f>z(x,y)d^ (2-21)
Условие самосопряженности (2.18) дает
Ъ2&_______62g_____
6zy (L у) dz (х, у) dzy (х, у) 6z (g, у) ’
Поэтому (2.21) переписываем так:
5£ = 2_«^+ f Tr2(t ll} б^[2,У[г;у]]
dz ду dzy J Т 12 У’> dz (I, у) dz„ (х, у) “S +
X*
Г yg[2, У[г; у]] ^[z(g, у); у]
&Zy (х, у) dzy (g, у) ду “S’ ^-22>
Хо
Так как
_______________________ъ _ I d^
dz (i, у) dzy (х, у) dz (I, у) |T=const dzy (x, у) +
4- f 68g 6У [z (£, y); y]
J dzy (x, y) dzy (£, y) dz (g, y)
2]
УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
зэа
то (2.22) можно представить в следующем виде:
dz
= ~д£ ~d^ + J 1)2(1, У) Leo. ЬгУ У) V [г +
*0
, f ____ Г дЧ[2(ЪуУ,у]
“* J dzy (х, у) dzy (I, у) L ду "г
+ ( ч'Н?, у), ^/1—<
(2.23)
Принимая во внимание условие Zy = lV[z(x, у); у} н
вытекающее из него соотношение
^=ЗУ[г(//):у1 + J <F[2(C, у); у] бУЙ((^;,У1<
придадим равенству (2.23) следующую форму:
X)
d&______<? 6g , Г & I dg ,f . ,р ,
дг ду б2у J dz (£, у) |T==const dzy (х, у) Z«ё
*«
Xl
С
+ J dzy (х, у) dzy (I. у) г«У У)
X,
ИЛИ
d& d dS^
dz dy dzy
Мы получили уравнение Эйлера исходной вариацион-
ной задачи, равносильное каноническим уравнениям
(1.5). Это доказывает достаточность условия (2.19); не-
обходимость его подтверждается обратным ходом вычис-
лений.
400‘ МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ ’[ГЛ. VI
3. Метод Гамильтона — Якоби для простейшей
вариационной задачи с частными производными
Глубокая аналогия, существующая между одномер-
ной и многомерной вариационными задачами, прояв-
ляется и в том, что теорема Якоби, а вместе с ней и ме-
тод Гамильтона — Якоби интегрирования канонической
системы допускают естественное распространение на ва-
риационные проблемы для кратных интегралов ([378],
[92], [340], [94]).
Как известно, теорема Якоби в ее классической фор-
мулировке устанавливает способ получения общего ре-
шения канонической системы по известному полному ин-
тегралу уравнения Гамильтона — Якоби.
Трактуя систему с бесконечным числом степеней сво-
боды, поведение которой описывается функционалом
(2.11), как предельный случай голономной системы с ко-
нечным числом (п) степеней свободы (для которой спра-
ведлива классическая теорема Якоби), естественно за-
даться вопросом: что представляет собой в пределе п =
= оо полный интеграл классического уравнения Гамиль-
тона — Якоби?
Предельная форма этого уравнения уже получена:
это уравнение (2.19). П. Леви [92] принадлежит обобще-
ние понятия полного интеграла на широкий класс урав-
нений в функциональных производных первого порядка;
к этому классу относится и уравнение Гамильтона —
Якоби.
Согласно П. Леви, полный интеграл S уравнения
(2.19) имеет два функциональных аргумента: неизвест-
ную функцию z(x, у) и параметрическую функцию а(х);
кроме того, он зависит от переменной у как от пара-
метра. Если параметрическая функция совпадает с на-
чальной функцией z(x, r/о), то полный интеграл назы-
вается главным функционалом !). Следует отметить, что
уравнение (2.19) имеет подобно классическому множе-
ство полных интегралов; мы не будем останавливаться
на вопросе об их взаимном выражении. В частности,
полный интеграл не всегда имеет функциональным аргу-
ментом явно входящую в его запись параметрическую
По аналогии с «главной функцией» Гамильтона.
3]
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
401
функцию а(х); эта функция может быть представлена
в нем, например, бесконечным множеством постоянных.
Параметрическая функция появилась в полном интеграле
в результате предельного перехода от системы постоян-
ных, входивших в полный интеграл уравнения Гамиль-
тона — Якоби конечномерной аппроксимирующей за-
дачи. Может случиться, что некоторые из этих по-
стоянных и в пределе останутся «изолированными»
постоянными; возникающие здесь возможности лучше
всего рассмотреть на примерах.
Метод Гамильтона — Якоби интегрирования канони-
ческой системы ([92], [94]) основан на том, что справед-
ливо следующее обобщение теоремы Якоби.
Теорема. Пусть S [г, а; у] — полный интеграл уравне-
ния Гамильтона — Якоби (2.19) и р(х)—произвольная
функция. Тогда функционал z = z[x,y\ а, р], определяе-
мый из равенства *)
и функционал
ч—£ <3-2>
образуют общее решение канонической системы ([92],
[94]).
Доказательство следует из того, что на каждой ин-
тегральной поверхности
А._*1=о
dy да
В самом деле, имеем:
d d$ __ d dS . f d*S ,
dy да ду да J dz (g, у) да
Хо
Подставим S = S[2, а; у] в уравнение (2.19) и про-
варьируем результат по а; будем иметь
xt
d dS f дЖ &S
ду да J bq (g, у) dz (g, у) да
х0
9 К этой формуле относится замечание, сделанное выше о па-
раметрической функции,
402
МЕТОД ВЕЛЛМАНА В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. VI
Подстановка в предыдущее равенство дает
Х1
d bS __ Г 62S . ЪЖ 1
dy 6а J 6z (I, у) 6а \.2У У) 6? (I, у) J
х0
На интегральной поверхности zy — ЬЖ/bq, откуда
d 6S = а
dy 6а ’
что и требовалось.
Если S [г, а; у]— полный интеграл, то уравнение (3.1)
можно разрешить относительно г, получив общее реше-
ние задачи, зависящее от двух произвольных функций а,
р. Уравнение (3.2) определит тогда канонически сопря-
женный импульс q. Функции а, р определяются началь-
ными условиями. Для функций К определенного типа
удается указать приемы построения полного интеграла
(2.19) (разделение переменных); в частности, существуют
обобщения известных теорем Лиувилля и Штеккеля [95].
Теорема Якоби, доказанная для уравнения (2 19),
распространяется и на уравнение типа (2.8), удобное
для использования в тех случаях, когда переменные х, у
совершенно равноправны (например, в задачах эллипти-
ческого типа).
Рассмотрим замкнутую кривую So в пространстве
(х, У, заданную проекцией Го(хо(/), ^о(^) на пло-
скость (х, у) и аппликатой го(О; пусть, далее, S (Г; z(t))—
другая замкнутая пространственная кривая, такая, что
проекции Го и Гле имеют общих точек.
Экстремальное значение, которое принимает функцио-
нал (1.1) на допустимых поверхностях z = z(x, у), про-
ходящих через кривые So и S, является функционалом
от этих кривых; этот функционал удовлетворяет уравне-
нию (2.8) по координатам (х(/), y(t), z(t)) и (x0(Z),
z/o(O, МО) (точнее, по координатам а, р, z (а0, Ро, М)-
Поэтому названный функционал удовлетворяет опреде-
лению П. Леви [92] полного интеграла (это — главный
функционал); знание его позволяет немедленно полу-
чить интеграл уравнений Эйлера ([340]). Для этого до-
статочно положить
МО
4i
ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ
403
и разрешить полученные уравнения относительно 2,
z (a, p) = f(20(0, go(O, а),
£(а, 0) = g(zo(O, МО» а).
Функции 20(/), £о(/) найдутся из условия прохож-
дения интегральной поверхности z(а, р) через кривые
So и S.
4. Принцип оптимальности
В основе метода Веллмана решения задач оптималь-
ного управления лежит принцип оптимальности — фун-
даментальное утверждение, характеризующее оптималь-
ное поведение систем. Представим себе управляемую
распределенную систему; пусть ее состояние описывается
вектором z (z1, .zn), определенным и непрерывным
в замкнутой области GUT пространства (%ь ..., хт).
Вектор z удовлетворяет системе уравнений типа п. 1 гл. I
с соответствующими граничными условиями; в уравне-
ния. входят управляющие функции и.
Предположим, что целью управления является мини-
мизация некоторого аддитивного функционала I [г; и], и
пус