УДК 512.64
ББК 22.143
Б90
Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная ал-
алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие/ Под ред. В. Ф. Бутузова. —
2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с. — ISBN 5-9221-0285-0.
Пособие охватывает все разделы курса линейной алгебры. По каждой
теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются
контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных
задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответа-
ответами и указаниями.
Первое издание — 2001 г.
Для студентов высших учебных заведений.
Рецензент: кафедра высшей математики Московского энергетичес-
энергетического института.
© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2002
© В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая,
ISBN 5-9221-0285-0	А.А. Шишкин, 2001, 2002

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие является результатом существенной пере-
переработки одноименного пособия, вышедшего в 1985 г. (Крутицкая Н.Ч.,
Шишкин А.А. "Линейная алгебра в вопросах и задачах." — М.: Выс-
Высшая школа). Оно отражает многолетний опыт авторов по чтению лек-
лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физи-
физическом факультете Московского государственного университета.
Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются пре-
прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается
недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки ре-
решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы дан-
данной книги ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать
этот пробел. Назначение пособия мы видим в том, чтобы активизи-
активизировать самостоятельную работу студентов при изучении линейной
алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого пред-
предмета.
Пособие охватывает основные разделы линейной алгебры. По от-
отношению к предыдущему изданию в нем наряду с существенной пе-
переработкой всех глав исключена глава "Численные методы решения
систем линейных уравнений", но добавлены две новые главы: "Тен-
"Тензоры" и "Группы", что особенно важно для подготовки специалистов
в области физики.
Структура пособия подчинена решению поставленных выше
учебно-методических задач. Материал каждого параграфа разбит, как
правило, на четыре пункта.
В пункте "Основные понятия и теоремы" приводятся без до-
доказательства основные теоретические сведения (определения, теоре-
теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Эти сведения иногда
сопровождаются поясняющими примерами или комментариями, на-
направленными на то, чтобы облегчить студентам восприятие новых
понятий.
В пункте "Контрольные вопросы и задания" содержатся вопросы
по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими
вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное тео-
теоретическое положение. Назначение пункта — помочь студенту в са-
самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему воз-

Предисловие
можность самому проконтролировать усвоение основных понятий.
Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим ма-
материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику
или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно
понять смысл теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы
направлены на раскрытие этого смысла. Из данного пункта препода-
преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к
семинару по той или иной теме.
В пункте "Примеры решения задач" представлены решения ти-
типичных задач по изучаемой теме. При этом уделяется внимание не
только "техническим приемам", но в ряде случаев и поиску наибо-
наиболее простого пути решения задачи, в частности с помощью геомет-
геометрической интерпретации алгебраических понятий. Количество раз-
разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности
темы. В конце книги даны ответы и указания к задачам и упражне-
упражнениям. Начало и конец решений задач отмечены соответственно зна-
знаками Л и А. Вместо слова "Указание" используется знак *.
Назначение пункта "Задачи и упражнения для самостоятельной
работы" отражено в его названии. Мы ограничились определенным
минимумом упражнений, достаточным, на наш взгляд, для усвоения
основных приемов решения задач по каждой теме. При подборе за-
задач и упражнений использовались различные источники, в том числе
известные задачники по линейной алгебре: Проскуряков И.В. "Сбор-
"Сборник задач по линейной алгебре" (М.: Наука, 1978), Икрамов Х.Д. "За-
"Задачник по линейной алгебре" (М.: Наука, 1975), Беклемишева Л.А.,
Петрович А.Ю., Чубаров И.А. "Сборник задач по аналитической гео-
геометрии и линейной алгебре" (М.: Наука, 1987).
Мы надеемся, что пособие будет полезным как для студентов, так
и для преподавателей, ведущих занятия по курсу линейной алгебры.
Авторы

ГЛАВА I
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Матрицы
Основные понятия
1. Понятие матрицы. Прямоугольная таблица чисел (вещест-
(вещественных или комплексных)
называется числовой матрицей (или просто матрицей). Числа ац на-
называются элементами матрицы; первый индекс г обозначает номер
строки, а второй индекс j — номер столбца, на пересечении кото-
которых стоит элемент ац. Например, элемент ai2 стоит на пересечении
первой строки и второго столбца.
Матрица А имеет т строк и п столбцов. Поэтому ее называют
т х n-матрицей или матрицей с размерами т х п.
Для т х n-матрицы А можно использовать краткое обозначение
(aij)mxn, а если размеры матрицы заранее оговорены, то, не указывая
их, будем писать (а^).
Если т — п (число строк матрицы равно числу столбцов), то мат-
матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.
Две т х n-матрицы А = (а^-) и В = (bij) называются равными
(А = В), если их элементы соответственно равны: ац — Ъц, г = 1, ...,m;
j = l,...,n.
2. Линейные операции над матрицами. Суммой (разностью)
т х n-матриц А = (aij) и В = (Ь^) называется т х n-матрица С =
= (cij), элементы которой равны суммам (разностям) соответствую-
соответствующих элементов матриц А и В: сц = ац + Ьц (сц = ац — Ьц).
Обозначение: С = А + В (С = А- В).
Подчеркнем, что сложение и вычитание вводятся для матриц толь-
только с одинаковыми размерами.
Произведением т х n-матрицы А = (а^) на число х называется
т х n-матрица В = (Ь^), элементы которой равны произведениям со-
соответствующих элементов матрицы А на число х: Ьц — хац.
Обозначение: В — хА.

Гл. I. Матрицы и определители
Введенные действия (сложение и вычитание матриц, умножение
матрицы на число) называются линейными операциями над мат-
матрицами. Они обладают следующими свойствами. Для любых
т х n-матриц А, В, С и любых чисел х и у справедливы равенст-
равенства 1°-5°.
1°. А + В = В + А (коммутативность сложения).
2°. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность сложения).
3°. х(А + В) = хА + жБ (распределительное свойство относитель-
относительно числового сомножителя).
4°. (х + 2/)А = жА + зМ (распределительное свойство относительно
матричного сомножителя).
5°. х(уА) = (ху)А.
3. Транспонированная матрица. Расположим строки т х п-
матрицы А = (dij) в виде столбцов, не меняя их порядка (т. е. первая
строка станет первым столбцом и т. д.). Получится п х т-матрица
которая называется транспонированной по отношению к матрице А
и обозначается АТ.
Обозначим элементы матрицы Ат через ajj (i = 1,..., n; j = 1,..., m).
Согласно определению транспонированной матрицы справедливы ра-
равенства
ajj^aji, i = l,...,n; j = l,...,m.	A)
Операция транспонирования (т. е. переход от матрицы А к мат-
матрице Ат) обладает следующими свойствами. Для любых m x п-мат-
риц А и В и любого числа х справедливы равенства 1°, 2°.
1°. (А + В)т = АТ + ВТ.
2°. (хА)т =хАт.
4. Умножение матриц. Произведением матрицы А = (а^)тхп
на матрицу В = (bij)nXk называется матрица С = (с^)тх^, элементы
которой определяются формулой
Обозначение: С — AB.
Подчеркнем, что произведение АВ определено только для таких
матриц, у которых число столбцов матрицы А (первого сомножите-
сомножителя) равно числу строк матрицы В (второго сомножителя). При этом

§ 1. Матрицы
число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число
столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.
Умножение матриц обладает следующими свойствами. Для лю-
любых матриц А, В, С и любого числа х справедливы равенства 1°-
4° (предполагается, что размеры матриц А, В, С таковы, что левые
части равенств определены, тогда будут определены и правые части
равенств).
1°. А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность умножения).
2°. А(В + С) = АВ + АС (распределительное свойство).
3°. (хА)В = А(хВ) =х(АВ).
4°. (АВ)Т = ВТАТ.
Отметим, что умножение матриц не обладает свойством коммута-
коммутативности. Более того, если А — m х n-матрица, а В — п х /^-матрица,
то произведение АВ определено, а произведение В А при к ф m не
определено. Если же к = т, то произведение В А также определено,
но при тпфп АВ и В А — квадратные матрицы разных порядков (со-
(соответственно порядка тип), так что вопрос об их равенстве некор-
некорректен. Если же т = п = к, то обе матрицы АВ и В А — квадратные
матрицы n-го порядка, но и в этом случае, вообще говоря, АВ ф В А.
5. Обратная матрица. Введем так называемый символ Кро-
некера:
при г = j,
О при г ф j,
где г и j — произвольные натуральные числа.
Матрица
'1 О
-	(я \	¦ ° 1
—	[Oijjnxn
_ Г 1
" \ 0
,0 0
называется единичной матрицей n-го порядка. Для нее используются
также следующие обозначения: Еп, /, 1п.
Квадратная матрица В называется обратной по отношению к мат-
матрице А с такими же размерами, если
АВ = В А = Е.
Обратная матрица обозначается символом А~1.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое числовая матрица? Могут ли все элементы матрицы равнять-
равняться нулю?
2.	Какие матрицы называются равными? Равны ли матрицы
I (Л	/О Г
0 1 и 1 0

Гл. I. Матрицы и определители
3.	Как сложить две матрицы? Можно ли сложить две матрицы с размера-
размерами 2 х 3 и 3x2?
4.	Как вычесть из одной матрицы другую? Можно ли из матрицы А вы-
вычесть эту же матрицу А? Что получится?
5.	Докажите, что: а) А + В = В + А; б) А- В = А+ (-l)-B.
6.	Какая матрица называется транспонированной по отношению к матри-
матрице А? Для любой ли матрицы А существует транспонированная?
7.	Может ли выполняться равенство Ат = А? Ответ обоснуйте.
8.	Для каких матриц А и В определено произведение АВ1 Как вычисля-
вычисляются элементы матрицы АВ?
9.	Известно, что A 2 3) • А = @ 1). Каковы размеры матрицы А?
10.	Можно ли умножить строку с п элементами A х n-матрицу) на столбец
с п элементами? Что получится?
11.	Всегда ли выполняется равенство:
а)	А(ВС) = (АВ)С; б) АВ = В А; в) (А + В)С = АС + ВС?
12.	Что такое единичная матрица? Является ли единичной матрица:
l\	ч /l 0
oj; в) [о 1
13.	Дайте определение обратной матрицы.
Примеры решения задач
-I тт	л ( 1 0 2\ „/0 1 -1\
1. Даны матрицы А = I 0 -, q I и ±> = I q i о )•
\-г 1 6)	\б 1 I)
Найти: а) А + В; б) 2В; в) Вт; г) АВТ; д) ВтА.
Л а) По определению суммы матриц
л , я- ( 1 + 0 0 + 1 2-1\ _ /1 1 1
+	1^-2 + 3 1 + 1 3 + 2^/ ~ ^1 2 5
б)	По определению произведения матрицы на число
2-0 2-1 2-(-1)\ _ /0 2 -2
23 21 2-2 у ~ \6 2 4
в)	По определению транспонированной матрицы
вт =
г)	По определению произведения матриц
АВТ =
1 - 0 + 0 -1 + 2 - (-1)	1-3 + 0-1 + 2-2 \ /-2 7
(-2). 0 + 1-1 + 3 •(-!) (-2).3 + Ы + 3-2У ~ V-2 1

§ 1. Матрицы
д) Аналогично пункту г) находим
1 0 2
2. Дана система m линейных уравнений с п неизвестными
а12х2 + ... + а1пхп = Ьь
••• + ^mnXn = Ьш.
Здесь:
а^-, 6f (г = 1,...,?тг; j = l,...,n) — известные числа;
xi (г = 1, ...,п) — неизвестные.
Записать эту систему в матричном виде.
Л Введем m x n-матрицу А с элементами ац и столбцы В с элемен-
элементами bi,...,bm и X с элементами жь...,жп. Тогда данную систему
можно записать в виде АХ — В. к
3. Доказать равенство (АВ)Т = ВТАТ.
Л Пусть А = (aij)mxnj В = (bij)nxk- Согласно определению произве-
произведения матриц элементы сц матрицы С = АВ вычисляются по фор-
формуле
п
Cij =^2aubij, г = 1,...,ш; j = l,...,n.	B)
1=1
Элементы матриц Ат, Вт, Ст и D = ВТАТ обозначим соответственно
через ajj, bj-, cj- и &ц. Тогда в соответствии с равенством A) имеем
aIj = a>ju bjj = bjU cjj = cjU	C)
а элементы &ц матрицы D = BTAT вычисляются по формуле
Отсюда, учитывая равенства C) и B), получаем
Таким образом, элементы матриц D и Ст соответственно равны, по-
поэтому Ст = D, т. е. (А5)т = ВТАТ, что и требовалось доказать. А

10	Гл. I. Матрицы и определители
4. Для матрицы А = ( 0 Q ) найти обратную.
yz 6J
Л Положим
По определению обратной матрицы А 1А — Е, т. е.
а Ь\ (I 1\ _ (I 0\
с d) \2 3) ~ \0 I)'
Перемножая матрицы в левой части равенства и приравнивая эле-
элементы полученной матрицы соответствующим элементам матрицы в
правой части равенства, приходим к системе уравнений
а + 26=1, а+ 36 = 0, с + 2d = 0, c + 3d=l,
откуда находим а = 3, Ъ = —1, с = —2, d = 1. Итак, матрица
-1 _ / 3 -1
А ~ \-2
удовлетворяет условию А~х А — Е.
Нетрудно проверить, что равенство АА~Х — Е также выполняется.
Таким образом, найденная матрица А~1 обратная по отношению к
матрице А. к
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
/-1 2\	/0 1 \
1.	Даны матрицы А = 0 1 и В = 1/2 -1/2 .
V-3 оУ	V-i 4 /
Найдите: а) ЗА + 2В; 6) А — 4В; в) числа х и у такие, что все
элементы матрицы хА + у В равны нулю.
2.	Докажите свойства 1°-5° линейных операций над матрицами.
3.	Даны матрицы А= [ -^ ^ ^ ) и В = I ^ _^
Найдите: а) АТ; б) 2АТ + Вт• в) ЗАТ - 2ВТ.
4.	Докажите справедливость равенств:
а) (хА)т = хАт (х — число); б) (А + В)т = Ат +
в) (Ат)т = А.

§1. Матрицы	11
5. Найдите АВ, В А, АТВТ и ВТАТ, если:
¦м=(!
в) А = (Sijaij)nxn, В = (Sijbij)nxn, Sij — символ Кронекера;
'О -5 1 0\	{ I °Q
д) А = I 3 0 -2 0 , В = L _i п
\1 1 0 0/	^01
6.	Докажите свойства 1°-3° умножения матриц.
7.	Докажите, что для любой т х n-матрицы А справедливо ра-
равенство:
а)	АЕп = А, где Еп — единичная матрица n-го порядка;
б)	ЕтА = А, где Ет — единичная матрица ттг-го порядка.
8.	Найдите матрицу X из уравнения:
9. Найдите обратную матрицу для матрицы:
2 1} «)("J 0,
ч /a b\	jL/n
в)	у при условии act — ос ^ 0;
Vе V

12	Гл. I. Матрицы и определители
е) (aijSij)nxn, где Sij — символ Кронекера, ап ф 0 при г = 1, ...,п.
10.	Дана матрица А(а) = ( .	111L* ). Докажите, что:
^	v J у sin a cos а у	'
а) А(а)А(/3) = А(а + /?); б) А (а) = А(-а); в) А (а) = Ат(а).
11.	Дана матрица А — ( ^ -, 1. Докажите, что Ап = ( q л ) при
п = ±1, ±2,..., где А~п = (АO1.
§ 2. Определители
Основные понятия и теоремы
1. Определитель n-го порядка. Квадратная матрица п-го
порядка
содержит п2 элементов. Выберем какие-нибудь п элементов так, что-
чтобы среди них было ровно по одному элементу из каждой строки и из
каждого столбца, и составим их произведение, расположив сомножи-
сомножители в порядке возрастания номера столбца:
(л \
П 1 П о П	II
^CKi 1 *^СК2¦? ''' СХ.П П	V /
Здесь ai,a2, ...,ап — не равные друг другу натуральные числа (но-
(номера строк), каждое из которых принимает какое-то значение от 1
до п, т. е. ai, «2,..., otn — перестановка чисел 1, 2,..., п.
Говорят, что числа а^ и aj образуют беспорядок в перестанов-
перестановке ai, «2,..., «п, если с^ > а^ и а^ расположено левее <х,-, т. е. г <
< j. Число всех беспорядков в перестановке ai,«2,...,an обозна-
обозначим N(alja2j...Jan). Например, NC,1,4,2) = 3, NA,2,3,4,5) = 0.
Составим всевозможные произведения вида A). Число таких про-
произведений равно числу всевозможных перестановок чисел 1,2,...,п,
т. е. равно п!. Умножим каждое из этих произведений на
и сложим. Полученная сумма
/ \

Определители	13
называется определителем матрицы А или определителем п-го по-
порядка и обозначается одним из следующих символов:
а12 ... а1п
D = det A =
Элементы, столбцы и строки матрицы А называются также эле-
элементами, столбцами и строками ее определителя. Говорят, что
элементы аи, а22, •••, апп расположены на главной диагонали опреде-
определителя, а элементы ain, а2,п-ъ •••? ani — на побочной диагонали.
2. Свойства определителей.
1°. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяет-
изменяется, т. е.
det A = detAT.
2°. При перестановке местами двух столбцов определитель меняет
знак, а его абсолютная величина не изменяется.
3°. Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.
4°. Если элементы j-ro столбца определителя D имеют вид
(т. е. если j-й столбец является линейной комбинацией столбцов
/h\	/ С1 \
I ; I и I i I с коэффициентами х и у), то D = xDj(bi) +
V 6п /	V Cn /
+ yDj(ci), где Dj{li) — определитель, получающийся из определите-
определителя D заменой j-ro столбца на столбец с элементами ^ (г = 1,2, ...,п).
5°. Общий множитель элементов какого-либо столбца определите-
определителя можно вынести за знак определителя. Другими словами, если для
элементов j-ro столбца определителя D выполняются равенства
Ъ1 — *^ ^ Ъ *)	— } *) • • • 1 ' v *)
то
D = xDj(bi).
6°. Если все элементы какого-либо столбца определителя равны
нулю, то определитель равен нулю.
7°. Если к элементам какого-либо столбца определителя прибавить
соответствующие элементы любого другого столбца, умноженные на
одно и то же число, то определитель не изменится.
Свойства 2°-7° имеют место и для строк определителя.
Теорема 1. Если А и В — квадратные матрицы одного порядка,
то det AB = det A • det В.

14	Гл. I. Матрицы и определители
3. Алгебраические дополнения и миноры. В сумме det A =
= /_^(~l)^ai'a2'''''an^aaii&a22---&ann выделим ту группу слагаемых,
которые содержат в качестве сомножителя определенный эле-
элемент ctij, и в этой группе слагаемых вынесем ац за скобки. Число,
получившееся в скобках, называется алгебраическим дополнением
элемента ац и обозначается Ац.
Если в матрице А — (а^)пхп вычеркнуть г-ю строку и j-й столбец,
то получим квадратную матрицу (п — 1)-го порядка. Определитель
этой матрицы называется минором элемента ац и обозначается Мц.
Справедливы следующие утверждения.
1.	Ац = (-ly+iMij.
2.	Определитель равен сумме произведений элементов какого-
либо столбца (строки) на алгебраические дополнения этих элемен-
элементов, т. е.
П	/	П
det А = У^ dijAij ( det A = Y^ а^А
г=1	^	j=l
Это равенство называется разложением определителя по элемен-
элементам j-го столбца (г-й строки).
3.	Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки)
на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого
столбца (строки) равна нулю, т. е.
^2kj =0
г=1	\
Квадратная матрица А называется невырожденной, если det А ф 0.
Теорема 2. Для того чтобы матрица А имела обратную матри-
матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожден-
невырожденной. Элементы Ьц обратной матрицы А~х вычисляются по формуле
где Aji — алгебраическое дополнение элемента a3i матрицы А.
4. Практическое вычисление определителей. Вычисление
определителя n-го порядка на основе определения, т. е. нахождение
суммы п\ слагаемых, не является эффективным способом при п ^ 4.
Более удобно сначала преобразовать определитель, не меняя его зна-
значения, к такому виду, чтобы все элементы какого-то столбца (на-
(например, j-ro) равнялись нулю, за исключением, быть может, одного
элемента. Это можно сделать путем прибавления к строкам опреде-
определителя какой-то одной из строк с соответствущими сомножителями.
При этом в силу свойства 7° определитель не изменится. Далее нуж-
нужно разложить определитель по элементам j-ro столбца. Так как лишь

2. Определители
15
один элемент j-ro столбца отличен от нуля (пусть это будет а^), то
в разложении останется лишь одно слагаемое: det A = ацАц.
В свою очередь Ац — (—1)г+:/М^, где Мц — определитель (п — 1)-
го порядка (минор элемента а^). Для его вычисления можно восполь-
воспользоваться тем же приемом — приведением к такому виду, в котором
все элементы какого-то столбца определителя Мц (за исключением
одного) равны нулю. Применение этого приема показано в примере 2
на с. 17.
Вычисление определителей второго и третьего порядков можно
проводить, опираясь непосредственно на определение. В соответствии
с определением det(aijJX2 = Q>\\Q>ti — о>по>ъ\, т. е. определитель вто-
второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной
диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диа-
диагонали.
Определитель третьего порядка равен сумме шести C! = 6) сла-
слагаемых. Для их составления удобно использовать правило треуголь-
треугольников. Произведение элементов, стоящих на главной диагонали, а
также произведения элементов, являющихся вершинами двух тре-
Рис. 1
угольников на рис. 1, а, берутся со множителем +1, а произведение
элементов, стоящих на побочной диагонали, а также произведения
элементов, являющихся вершинами двух треугольников на рис. 1, б,
берутся со множителем —1, т. е.
det A =
— B13^22^31 — ^12^21^33 ~
Для определителей с буквенными (не числовыми) элементами
иногда удается получить рекуррентное соотношение, что дает воз-
возможность найти определитель (см. пример 3 на с. 17).

16	Гл. I. Матрицы и определители
Контрольные вопросы и задания
1.	Объясните, что такое беспорядок в данной перестановке чисел 1, 2,..., п.
Чему равно число беспорядков в перестановке 3, 2, 5, 4,1?
2.	Объясните, что такое определитель n-го порядка. Из скольких слагае-
слагаемых он состоит?
3.	Назовите элементы, расположенные на главной диагонали, и элемен-
элементы, расположенные на побочной диагонали, в определителе матрицы
(o>ij) 4x4-
4.	Чему равен det(aij5ij)nXn, где Sij — символ Кренекера?
5.	Треугольной матрицей называется матрица, у которой все элементы,
стоящие по одну сторону от главной или побочной диагонали, равны
нулю. Чему равен определитель треугольной матрицы?
6.	Известно, что det А = 1. Чему равен det AT1
7.	Опираясь на свойство 2° определителей, докажите свойство 3°.
8.	Известно, что А — 5 х 5-матрица и det A = 3. Чему равен detBА)?
9.	Изменится ли определитель, если к элементам первого столбца приба-
прибавить соответствующие элементы всех остальных столбцов?
10.	Объясните, что такое алгебраическое дополнение данного элемента a%j
определителя. Чему равно алгебраическое дополнение элемента а\2 мат-
матрицы (а^JХ2?
11.	Объясните, что такое минор данного элемента ац матрицы. Чему равен
минор элемента а\2 матрицы @^Jx2?
12.	Как связаны между собой алгебраическое дополнение и минор данного
элемента?
13.	Что значит разложить определитель по элементам данного столбца
(строки)?
14.	Какая матрица называется невырожденной? Приведите пример невы-
невырожденной матрицы.
15.	Из трех матриц А, В и С п-го порядка одна вырожденная. Чему равен
det (ABC)?
16.	Как связаны невырожденность матрицы и существование у нее обрат-
обратной матрицы?
17.	Напишите формулу для вычисления элементов обратной матрицы. Со-
f 4
ставьте обратную матрицу для матрицы I ., .,
2 3
2 5
18. Вычислите устно определители - 0
2	1 3
3	2 1
Примеры решения задач
1. Вычислить определитель D =
1 2 -3
-2 5 4
0 7-1
Л I способ. По правилу треугольников D = 1 • 5 • (—1) + (—2) • 7 х
х(-3) + 2 • 4 • 0 - 0 • 5 • (-3) - (-2) • 2 • (-1) -1.4-7 = 5.

2. Определители
17
II способ. Разложим определитель D по элементам первого
столбца, а для нахождения алгебраических дополнений восполь-
воспользуемся формулой Aij = (—l)*+JMfj. Получим
4
-1
2 -3
7 -1
+ 0-
2 -3
5 4
= 5 • (-1) - 4 • 7 + 2B • (-1) - 7 • (-3)) = 5. А
2. Вычислить определитель
D =
Л Преобразуем определитель D, не меняя его значения, таким обра-
образом, чтобы все элементы первого столбца, кроме а2\ = 1, стали равны-
равными нулю. С этой целью из первой строки вычтем вторую, умножен-
умноженную на 2, к третьей строке прибавим вторую, а из четвертой строки
вычтем вторую, умноженную на 4 (при этом значение определителя
не изменится). Получим
2
1
1
4
3
0
6
8
-1
-7
-3
-6
4
5
2
1
D =
13
-7
-10
22
-6
5
7
-19
Разложим определитель D по элементам первого столбца:
D = !•(-!)
3 13 -6
б -10 7
8 22 -19
Чтобы вычислить полученный определитель третьего порядка, снова
воспользуемся разложением по элементам первого столбца:
D = -1- 3
-10 7
22 -19
13 -б
22 -19
13 -б
-10 7
= -1C • 36 - б • (-115) + 8 • 151) = -2006. А
3. Вывести формулу для вычисления определителя n-го порядка
Dn =
р
с
0
0
0
0
с
Р
с
0
0
0
0
с
Р
с
0
0
0
0
с
Р
0
0
... 0
... 0
... 0
... 0
... р
с
0
0
0
0
с
Р

18
Гл. I. Матрицы и определители
Л Разложим определитель Dn по элементам первого столбца:
n-! - с
с
с
0
0
0
0
Р
с
0
0
0
с
Р
0
0
... 0
... 0
... 0
... р
... с
0
0
0
с
Р
Определитель во втором слагаемом справа разложим по элементам
первой строки. В результате получим рекуррентную формулу
Dn =pDn-i -с Dn-2.
B)
Учитывая, что D\ = p, D2 =
муле можно последовательно найти
= р — с , по рекуррентной фор-
D^... Например,
D3 = pD2 - c2Di = р(р2 - с2) - с2р = р3 - 2с2р.
Выведем формулу для непосредственного вычисления Dn. С этой
целью разобьем число р на сумму двух слагаемых (пока неизвест-
неизвестных), р = а + Ь, и запишем рекуррентную формулу B) в двух видах:
Dn -
Dn -
n_! - -Dn-2
a
Выберем теперь числа а и Ъ так, что аЪ = с2 (для этого нужно взять
а и Ъ равными корням квадратного уравнения х2 — рх + с2 = 0, тогда
а + Ъ = р и аЪ = с2). Рекуррентные формулы перепишем в виде
А, - a?n_! = КАг-i - aDn_2), Dn - ЬВп_х = a(^n_! - ЫЗП_2).
Мы видим, что при указанном выборе чисел а и b величины Dn —
— aDn-i образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 6, а
величины Dn — bDn-i — геометрическую прогрессию со знаменате-
знаменателем а. По формуле общего члена геометрической прогрессии получаем
Dn - aDn_x = bn~2(D2 -
Dn -
n_x = an
(D2 -
Если а ф 6, то из этой системы уравнений находим формулу для вы-
вычисления Dn:
где
х =
D2 - bDi
a(a-b) '
У =
D2 -
Ъ(Ъ-а)

Определители
19
В случае а = b получите формулу для вычисления Dn самостоятель-
самостоятельно. А
4. Найти обратную матрицу для матрицы
/1 2 -3\
А=[0 1 2 .
\0 0 2/
Л Так как det A = 2 ^ 0, то матрица А невырожденная и, следова-
следовательно, имеет обратную. Элементы Ьц обратной матрицы находим по
Ац
формуле Ьц = ——г, где Ац — алгебраическое дополнение элемен-
j deti	J
та aji матрицы А. В свою очередь для вычисления Aji пользуемся
формулой Aji — (-iy+jMji. Имеем
*11 = J
1 2
О 2
= 1,
Ь21 = ^Н
1
31 - 2
Итак,
О
О
О 1
О О
= 0,
2 -3
О 2
1 -3
О 2
1 2
О О
= -2,
= 0,
2 -3
1 2
1 -3
0 2
= 3,5;
1 2
0 1
= 0,5.
Замечание. Удобный практический подход к вычислению мат-
матрицы А~х состоит в следующем. Сначала записываем транспониро-
транспонированную матрицу для данной матрицы А:
/ 1 0 0\
АТ = 2 1 0 .
V-3 2 2/
Затем составляем матрицу А*, элементами которой являются ал-
алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы Ат
(матрица А* называется присоединенной по отношению к матрице А):
/2 -4 7\
А* = 0 2 -2 .
\0 0 1/
И наконец, умножив матрицу А* на число	-, получаем искомую
det A
обратную матрицу А~х\
/1 -2 3,5\
А = 0 1 -1 .
\0 0 0,5/

20
Гл. I. Матрицы и определители
5. Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению
1 г
[1 2
Л Введем обозначения А = \ , ~
уравнение можно записать в виде
\\
-1 О
3 5
В =
-1 О
3 5
. Тогда данное
АХ = В.
Так как det A = 1, то матрица А имеет обратную. Умножим обе части
уравнения на матрицу А~х слева:
А'1 АХ = А~ХВ.
Так как А~хА — Е (единичная матрица) и ЕХ — X, то X = А~ХВ.
Итак, для нахождения матрицы X нужно найти матрицу А~х и ум-
( 2 — ]
ножить на матрицу В. Имеем А~х —
-1
1
X — А~ХВ —
2 -I
-I I
-I 0
3 5
-5 -5
4 5
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
12. Вычислите определитель:
(Г
а
а
Ъ
с
2
Ь
ъ
с
а
аЪ
Ъ2
с
а
Ъ
, б)
; д)
а + Ъ а — Ъ
а — Ъ а + Ъ
а + х	;
х
х
в)
2 13
5 3 2
1 4 3
х
X	С + X
ж	1	1	1
1	1-х	1	1
1	1	1+у	1
1	1	1	1-у
13. Не раскрывая определитель, докажите справедливость равенства:
1 a be
2-13 1
0-15-3
0 0 5-3
0 0 0 2
ж)
б)
са
аЪ
1 а а'
1 Ъ Ь2
= (а-Ъ)(Ъ-с)(с-а);
= (а - b)(b - с)(с - а);

2. Определители
21
sin2 a cos2 a cos 2a
sin2 /3 cos2 /3 cos 2/3
sin2 7 cos2 7 cos 2j
14. Решите уравнение:
3 ж -4
= 0.
2-13
ж+ 10 1 1
15. Решите неравенство:
= 0;
1 0
0 ж
ж 8
-1
= 0.
2 ж + 2
1	1
5 -3
-1
-2
ж
>0; б)
ж 1 1
-ж 0 2
О ж б
16. Найдите члены определителя
5ж 1 2
ж ж
1 2
1
ж
1 2 2ж
содержащие ж
и ж
17.	Найдите обратную матрицу для матрицы:
а) 1 J ; б) 0 1/2 3 ; в) 1 -1
V /	\о о 2/	\-2 4
18.	Найдите обратную матрицу для "блочной" матрицы
Ек
е
В
где Ек и Ei — единичные матрицы к-го и 1-го порядков, В — про-
произвольная к х /-матрица, 0 — I x /^-матрица, все элементы кото-
которой равны нулю.
19. Используя обратную матрицу, найдите матрицу X, удовлетво-
удовлетворяющую уравнению:

22
Гл. I. Матрицы и определители
20.	Докажите справедливость равенств:
а) (А'1)-1 = А; б) (АВ)~1 = В'1 А'1]
в) (А'1)? = {А?)-1- г) (А-1)п = {А71)'1.
21.	Как изменится обратная матрица А, если в матрице А:
а)	переставить местами &-ю и ?-ю строки;
б)	&-ю строку умножить на число х ф 0;
в)	к &-й строке прибавить 1-ю, умноженную на число х?
22.	Вычислите:
а) определитель n-го порядка
5
2
0
0
0
0
3
5
2
0
0
0
0
3
5
2
0
0
0
0
3
5
0
0
... 0
... 0
... 0
... 0
... 5
... 2
0
0
0
0
3
5
определитель Вандермонда
1	1
Х\	Х2
1
Хг.
у.п-1
Y.TI—1

ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение и свойства линейного пространства
Основные понятия и теоремы
1. Определение линейного пространства. Множество R эле-
элементов любой природы называется линейным пространством, если
выполнены следующие три условия:
1)	на множестве R определена операция сложения элементов, т. е.
каждой паре элементов ж и у из Л поставлен в соответствие опреде-
определенный элемент z из R. Элемент z называется суммой элементов ж
и у и обозначается ж + у: z = х + у;
2)	для элементов множества R определена операция умножения
на вещественные числа, т. е. каждому элементу х из R и каждому
вещественному числу а поставлен в соответствие определенный эле-
элемент у из R. Элемент у называется произведением элемента х на
число а и обозначается ах: у = ах;
3)	указанные операции удовлетворяют следующим требованиям
(они называются аксиомами линейного пространства).
Аксиомы сложения.
1°. \/х и у из R: х + у = у + х (переместительное свойство).
2°. Уж, у, z из R: (ж + у) + z = х + {у + z) (сочетательное свойст-
свойство).
3°. Существует элемент в е R такой, что \/х е R: х + в = х
(в называется нулевым элементом).
4°. Уж G R существует элемент х' G R такой, что х + х' = в (эле-
(элемент х' называется противоположным элементу х).
Аксиомы умножения.
5°. Уж G R: 1 -х = х.
6°. Уж G R и для любых вещественных чисел а и C: а{Cх) = {а • /3)х
(сочетательное свойство относительно числовых сомножителей).
Аксиомы, связывающие обе операции.
7°. Уж е R и для любых вещественных чисел а и /3: (а + /3)х =
= аж + /Зх (распределительное свойство относительно суммы чисел).
8°. Уж и у из R и для любого вещественного числа а: а(ж + у) =
= аж + од (распределительное свойство относительно суммы
элементов).

24	Гл. П. Линейные пространства
Определенное таким образом линейное пространство называют
вещественным, поскольку введена операция умножения элементов
на вещественные числа. Если для элементов множества R определе-
определены операции сложения элементов и умножения элементов на комп-
комплексные числа и справедливы восемь аксиом, причем аксиомы б°-8°
для любых комплексных чисел а и /3, то R называется комплексным
линейным пространством. Аналогично можно определить линейное
пространство, в котором введена операция умножения элементов
только на рациональные числа.
Замечание. Каждое из трех множеств чисел (вещественные,
комплексные, рациональные) обладает следующим свойством: на этом
множестве определены четыре арифметические операции (сложение,
вычитание, умножение, деление, кроме деления на нуль) так, что
каждая операция над любыми двумя числами из этого множества
дает число из этого же множества.
Числовое множество, обладающее этим свойством, называется
числовым полем. Вещественное линейное пространство называется
линейным пространством над полем вещественных чисел. То же са-
самое говорят о линейном пространстве над полем комплексных чисел
(над полем рациональных чисел).
2. Примеры линейных пространств. Следующие множества с
известными операциями сложения элементов и умножения элементов
на вещественные числа являются линейными пространствами над по-
полем вещественных чисел (в скобках указаны обозначения некоторых
пространств):
а)	множество вещественных чисел;
б)	множество геометрических векторов в трехмерном прост-
пространстве (линейное пространство Уз);
в)	множество векторов, параллельных некоторой плоскости (пря-
(прямой);
г)	множество столбцов с п элементами (линейное пространст-
пространство Тп);
д)	множество т х n-матриц с вещественными элементами (линей-
(линейное пространство Н™);
е)	множество многочленов степени, не превосходящей натураль-
натурального числа п (линейное пространство Рп)\
ж)	множество функций, непрерывных на сегменте [а, Ъ] (линейное
пространство С[а,Ь]).
Для каждого из указанных множеств выполняются восемь аксиом
линейного пространства, причем нулевым элементом являются: чис-
число нуль для пространства а); нулевой вектор для пространств б) ив);
столбец и т х n-матрица, все элементы которых равны нулю, соот-
соответственно для пространств г) ид); функция, тождественно равная
нулю, для пространств е) и ж).

§1. Определение и свойства линейного пространства	25
3. Свойства линейных пространств.
1°. В линейном пространстве R существует единственный нулевой
элемент.
2°. Уж Е R существует единственный противоположный элемент ж'.
3°. \/х Е R : 0 • х = 0 @ — нулевой элемент).
4°. Противоположный элемент х' для элемента х выражается фор-
формулой х' = (-1) • х.
Обозначение: х' = -х.
5°. Для любого числа а : а • 6 = 6.
Разностью элементов х и у называется элемент z такой, что
y + z = х.
Обозначение: z — х — у.
6°. Ух и у из R: х — у = х + (—у), где (—у) — элемент, противопо-
противоположный элементу у.
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение линейного пространства и приведите при-
примеры линейных пространств.
2.	Чем отличается вещественное линейное пространство от комплексного?
Приведите примеры этих пространств.
3.	Приведите пример линейного пространства над полем рациональных
чисел.
4.	Является ли линейным пространством множество всех вещественных
чисел с обычными операциями сложения и умножения элементов на:
а) вещественные числа; б) рациональные числа?
5.	Могут ли в линейном пространстве существовать:
а)	два нулевых элемента;
б)	два противоположных элемента для некоторого элемента ж?
6.	Как выражается через х элемент, противоположный ж?
7.	Справедливо ли равенство в = — 91
8.	Что такое разность элементов х и у?
Примеры решения задач
1. Доказать, что множество всех функций, непрерывных на сег-
сегменте [а, Ь] (обозначим его С[а, &]), с обычными операциями сложения
функций и умножения функций на вещественные числа является ве-
вещественным линейным пространством.
Л Прежде всего отметим, что если /(ж) и д(х) взяты из С[а,Ь],
а а — вещественное число, то (/(ж) + д(х)) G С [а, Ь] и (а • f{x)) G
G С[а,Ь], т. е. операции сложения функций и умножения функции на
вещественное число не выводят из множества С[а,Ь].
Проверим выполнение восьми аксиом линейного пространства.
Очевидно, что Vf(x),g(x),h(x) из С [а, Ь] имеют место равенства
/(ж) + д(х) = д(х) + /(ж), (/(ж) + д(х)) + h(x) = /(ж) + (д(х) + h(x)),

26	Гл. П. Линейные пространства
т. е. аксиомы 1° и 2° выполнены. Далее, нулевым элементом являет-
является функция 6(х) = 0. Она удовлетворяет аксиоме 3°: V/(x) Е С [а, Ъ]
справедливо равенство /(ж) + 6(х) = f(x).
Противоположным элементом для любой f(x) Е С [а, Ь] служит
функция [—/(ж)], также принадлежащая C[a,b]: f(x) + [—/(ж)] = 0(х)
(т. е. выполнена аксиома 4°). Очевидно, выполняются и остальные
аксиомы 5°-8°.
5°.Vf(x) € С[а,Ъ}: 1 ¦ f(x) = f(x).
6°. V/(x) € С[а, 6] и для любых вещественных чисел а и /3
a(pf(x)) = (ap)f(x).
7°. V/(x) G С [а, 6] и для любых вещественных чисел а и C\ (а +
8°. V/(x) и д(ж) из С [а, 6] и для любого вещественного числа а:
<*(f(x) + #0)) = af(x) + а#(ж).
Итак, С[а, Ь] — вещественное линейное пространство. А
2.	Доказать, что множество R* всех положительных чисел будет
линейным пространством, если сумму элементов х и у этого мно-
множества определить как произведение х • у, а произведение элемен-
элемента х на вещественное число а — как степень ха.
Л В результате каждой из операций (ж • у и ха) получается чис-
число из множества R*, поскольку произведение положительных чисел
и степень положительного числа суть числа положительные. Аксио-
Аксиомы 1° и 2°, очевидно, справедливы, так как ху = ух и (xy)z = x(yz).
Аксиомы 3° и 4° принимают вид: \/х е R* : х-6 = хих-х' = 6.
Из первого равенства следует, что в = 1, а из второго ж; = 1/ж.
Справедливость аксиом 5°-8° вытекает из свойств степени.
5°. х1 = х.
6°. (хаУ = хаC.
7°. жа+/3 = жа-ж^.
8°. (ху)а =ха -уа.
Таким образом, множество R* с введенными операциями сложе-
сложения и умножения на вещественное число является вещественным ли-
линейным пространством, причем нулевой элемент равен 1. А
3.	Показать, что не является линейным пространством:
а)	множество многочленов степени п (п > 0) с обычными опе-
операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число;
б)	множество векторов на координатной плоскости, отложенных
от начала координат и расположенных в первом квадранте с обычны-
обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число.
Л а) Данное множество не является линейным пространством, так
как сумма многочленов степени п может не быть многочленом той
же степени, например, при п ^ 2: (хп + х — 1) + (—хп + 2х) = Зх — 1.

§1. Определение и свойства линейного пространства	27
Таким образом, операция сложения может дать многочлен, не при-
принадлежащий данному множеству.
б) При умножении вектора, отложенного от начала координат и
расположенного в первом квадранте, на отрицательное число получа-
получается вектор, расположенный в третьем квадранте и, следовательно, не
принадлежащий данному множеству векторов. Поэтому данное мно-
множество не является линейным пространством. А
4. Доказать свойство 3° линейных пространств, т. е.
Л Рассмотрим сумму элементов 0 • х и х. Используя аксиомы 5° и
7°, получаем
0-х + х = 0-х + 1-х = @ + 1)-х = 1-х = х, т. е. О • х + х = х.
К обеим частям полученного равенства прибавим элемент х', про-
противоположный элементу х: @ • х + х) + х' = х + х'. Отсюда в силу
аксиом 2° и 4° имеем 0 • х + в = в.
Из аксиомы 3° следует 0 • х + в = 0 • х. Таким образом, мы полу-
получили, что 0 • х = в. к
5. Доказать, что для любого числа а: а • 0 = в.
Л Согласно свойству 3° элемент в можно представить в виде 0 • х.
Поэтому, используя аксиому 6°, получаем а • в = а • @ • х) = (а • 0)х =
= 0-х = 6. к
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Докажите, что вещественными линейными пространствами явля-
являются следующие множества с обычными операциями сложения их
элементов и умножения элементов на вещественные числа:
а)	множество векторов в трехмерном пространстве, параллельных
некоторой прямой (плоскости);
б)	множество функций, п раз дифференцируемых на сегменте [а, Ь];
в)	множество многочленов степени, не превосходящей п;
г)	множество функций вида a cos х + /3 sin ж, где а и /3 — произ-
произвольные вещественные числа;
д)	множество столбцов с п вещественными элементами;
е)	множество столбцов с п вещественными элементами, равными
друг другу;
ж)	множество столбцов с п элементами такими, что сумма эле-
элементов равна нулю;
з)	множество т х n-матриц с вещественными элементами;
и) множество симметричных квадратных матриц n-го порядка
с вещественными элементами (матрица А = (а^)пхп называется
симметричной, если А = АТ, т. е. ац — ctji, i,j = 1, ...,n).

28	Гл. П. Линейные пространства
2.	Докажите, что множества столбцов (матриц) из упр. 1, д)-и) ста-
станут комплексными линейными пространствами, если элементами
столбцов (матриц) будут комплексные числа и операция умноже-
умножения столбцов (матриц) на числа введена для комплексных чисел.
3.	Какой элемент является нулевым и какой — противоположным
к данному элементу в линейных пространствах из упр. 1 и 2?
4.	Докажите, что не является вещественным линейным пространст-
пространством:
а)	множество рациональных чисел с обычными операциями сложе-
сложения рациональных чисел и умножения на вещественные числа;
б)	множество векторов на координатной плоскости, каждый из ко-
которых параллелен либо оси ОХ, либо оси OY;
в)	множество многочленов степени, не превосходящей п, с неотри-
неотрицательными коэффициентами;
г)	множество т х n-матриц, элементы которых — рациональ-
рациональные числа;
д)	множество натуральных чисел, для которых сумма чисел т
и п определена как их произведение т • п, а произведение элемен-
элемента п на вещественное число а — как степень па;
е)	множество вещественных чисел, для которых сумма чисел х
и у равна tg (arctgx + arctg?/), а произведение элемента х на чис-
число а равно tg (a • arctgx);
5.	Докажите, что для любых элементов х и у линейного пространства
разность х — у существует и единственна.
§ 2. Подпространства линейного пространства
Основные понятия и теоремы
Определение. Подмножество М элементов линейного прост-
пространства R называется подпространством пространства R, если вы-
выполнены два условия:
1)	Уж и у из М сумма х + у есть элемент из М;
2)	\/х G М и \/а (а — число) произведение а • х есть элемент из М.
Теорема 1. Любое подпространство само является линейным
пространством.
Рассмотрим важный пример подпространства линейного прост-
пространства R. Пусть xi,X2,...,xn — элементы из R. Линейной комби-
комбинацией этих элементов с коэффициентами ci,...,cn называется сум-
п
ма 2_\срхр- Линейной оболочкой элементов xi,X2,...,xn называется
p=i
множество всевозможных линейных комбинаций этих элементов.
Обозначается линейная оболочка так: L(xi,X2, ...,жп). Совокуп-

§2. Подпространства линейного пространства	29
ность элементов х\,Х2, ...,хп называется порождающей системой ли-
линейной оболочки L(xi,X2, ...,жп).
Теорема 2. Линейная оболочка L(xi,X2, ...,хп) является под-
подпространством линейного пространства R.
Пусть М — подпространство линейного пространства R и эле-
элемент хо из R не принадлежит М. Рассмотрим множество Г всех
элементов у Е R, представимых в виде у = хо + ж, где х Е М.
Множество Г называется гиперплоскостью, полученной в результате
сдвига подпространства М вдоль элемента хо.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение подпространства линейного пространства.
2.	Является ли множество рациональных чисел подпространством линей-
линейного пространства вещественных чисел над полем вещественных чисел?
3.	Является ли множество рациональных чисел подпространством линей-
линейного пространства вещественных чисел над полем рациональных чисел?
4.	Прямая / параллельна плоскости Р, Vi и V2 — множества всех векторов,
параллельных соответственно прямой / и плоскости Р. Докажите, что
Vi — подпространство линейного пространства Уч.
5.	Является ли подпространством линейного пространства R само R1
6.	Докажите, что множество, содержащее только нулевой элемент #, яв-
является подпространством, причем наименьшим среди подпространств
линейного пространства R (т. е. подпространством, содержащимся в
любом другом подпространстве пространства R).
7.	Сформулируйте определение линейной оболочки.
8.	Какое линейное пространство образует линейная оболочка, порождае-
порождаемая системой функций /о(ж) = 1, fi(x) = ж, ..., fn(x) = хп1
9.	Подпространством какого линейного пространства является линейная
оболочка Ь(хг,хч), где:
а) х\ = cost, X2 = sint; б) х\ =
Х2= у _2
г) х\ = — i + j, X2 = i — j, где i, j — координатные векторы.
Какова геометрическая интерпретация последней линейной оболочки?
10. Докажите, что:
а)	линейная оболочка не изменится, если в порождающей системе по-
поменять местами какие-либо ее элементы;
б)	L(x,3x) = L{x).
Примеры решения задач
1. Доказать, что все векторы, параллельные данной прямой, обра-
образуют подпространство линейного пространства векторов Уз-
Л Если векторы х и у параллельны данной прямой, то их сумма

30	Гл. П. Линейные пространства
х + у и вектор ах (а — любое число) также параллельны этой пря-
прямой. Таким образом, для данного множества векторов выполнены оба
условия, входящие в определение подпространства, и поэтому векто-
векторы, параллельные данной прямой, образуют подпространство линей-
линейного пространства Vs. к
2. Дана однородная система т линейных уравнений с п неизвест-
неизвестными Ж1,Ж2, ...,Хп
ixi + ат2х2 + ... + атпхп = 0.
Решение системы будем записывать в виде столбца X с элемента-
элементами xi,X2,...,xn. Столбец X есть элемент линейного пространства Тп
столбцов с п элементами. Доказать, что множество всех решений дан-
данной системы является подпространством пространства Тп.
Л Запишем данную систему в матричном виде: АХ = 0, где А =
= (dij) — тп х n-матрица коэффициентов системы, 0 — нулевой стол-
столбец. Если Ii и I2 — решения системы, т. е. АХ{ = 0, г = 1,2,
то Х\ + Х2 и а • Х\ (а — число) — также ее решения, поскольку
А{Х1 + Х2) = АХХ + АХ2 = 0 + 0 = 0 и А(аХг) = аАХх = ав = 0.
Следовательно, для множества решений данной системы выполнены
оба условия, фигурирующих в определении подпространства, и поэ-
поэтому это множество решений является подпространством линейного
пространства Тп. к
3.	Доказать, что любое подпространство содержит нулевой эле-
элемент в.
Л По определению подпространства М, если х G М, то и ах G М,
где а — любое число. Положив а = 0, получим 0 • х = в G М. к
4.	Доказать, что множество М всех функций /(ж), удовлетво-
удовлетворяющих условию /(—2) = 0, является подпространством линейного
пространства функций, определенных на числовой прямой.
Л Проверим выполнение двух условий, определяющих подпрост-
подпространство. Если /(ж) и д(х) G М, то /(—2) = 0, #(—2) = 0, и поэтому
/(—2) + #(-2) = 0 и а • /(-2) = 0 (а — любое число). Следовательно,
f(x)+g(x) и a-f(x) принадлежат множеству М, и поэтому М —
подпространство. А
5.	Доказать, что гиперплоскость не является подпространством.
Л Пусть гиперплоскость Г получена в результате сдвига подпрост-
подпространства М вдоль элемента ж0. Согласно определению гиперплоскости
хо ^ М. Предположим, что Г — подпространство. Тогда в G Г (см. за-
задачу 3), а значит, в можно представить в виде в = хо + ж, где х G М.
Отсюда следует,что xq = —ж, и поэтому жо Е М. Таким образом, полу-

§2. Подпространства линейного пространства	31
чили противоречие с условием хо 0 М. Следовательно, в 0 Г, и пото-
потому Г не является подпространством (см. задачу 3). А
6. Доказать, что L(xljx2j ...,жт) = L(xi + ж2,ж2, ...,жт), т. е. при-
прибавление к элементу порождающей системы другого ее элемента не
изменяет линейной оболочки.
Л Чтобы доказать, что два множества совпадают, нужно показать,
что каждый элемент первого множества является элементом второго
и, обратно, каждый элемент второго множества является элементом
т
первого множества. Пусть х Е L(xi,x2, ...,жт), т. е. х = У^сржр. Эле-
Р=1
мент х можно представить в виде линейной комбинации элементов
порождающей системы второй оболочки:
х = ci(xi + х2) + (с2 - ci)x2 +
р=3
Итак, х G L(xi + ж2,ж2, ...,жт).
Обратно: каждый элемент второй оболочки есть линейная ком-
комбинация элементов жьж2, ...,жт, т. е. принадлежит первой оболочке.
Таким образом, 1/(жьж2, ...,жт) = L[x\ + ж2,ж2, ...,жт). А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
6.	Докажите, что любое подпространство само является линейным
пространством.
7.	Выясните, является ли подпространством линейного пространст-
пространства, указанного в скобках (обозначения те же, что и в § 1):
а)	множество векторов, параллельных данной плоскости (V3);
б)	множество столбцов с п элементами, сумма которых равна ну-
нулю (Гп);
в)	множество многочленов Р(х) степени, не превосходящей п,
удовлетворяющих условию Р@) = а, где а — данное число (Р(п));
г)	множество симметричных квадратных матриц n-го поряд-
ка (Я-);
д)	множество векторов х, для которых скалярное произведение
(х,х0) = а, где х0 — данный вектор, а — данное число (У3);
е)	множество векторов х, для которых векторное произведение
[x,xq] = а, где xq и а — данные векторы (V3);
ж)	множество матриц, удовлетворяющих условию АХ = ХА, где
А — данная п х n-матрица (Я^);
з)	множество многочленов Р(х) степени, не превосходящей п,
удовлетворяющих условию РA) = Р(—1) (Рп)-

32	Гл. П. Линейные пространства
8.	Какова геометрическая интерпретация подпространства векто-
векторов, удовлетворяющих условию (xq — данный ненулевой вектор):
а) (х,хо) = 0; б) [х,хо]=6>?
9.	Докажите, что линейная оболочка 1/(жьж2, ...,жт) не изменится
при следующих действиях с элементами порождающей системы:
а)	умножение элемента на число а ф 0;
б)	прибавление к элементу линейной комбинации других элемен-
элементов порождающей системы;
в)	вычеркивание из порождающей системы нулевого элемента
(если он там есть);
г)	вычеркивание элемента, являющегося линейной комбинацией
других элементов порождающей системы.
10. Докажите истинность равенств:
Ь(хих2) = L(x2,x1); L(x! - х2,х\ + х2) =
L(x, 2ж, Зж, в) = L(x); LCxi + 2ж2, х\
- е2ж, 2е2х + е3х - 2, -е3х + 5еж, 2ех + 3) = L(l, еж, е2ж, е3ж).
11.	Дайте геометрическую интерпретацию линейной оболочки в
пространстве Vs геометрических векторов, порождающая систе-
система которой состоит из:
а)	одного ненулевого вектора;
б)	двух коллинеарных векторов;
в)	двух неколлинеарных векторов;
г)	трех компланарных векторов;
д)	трех некомпланарных векторов.
12.	Докажите, что линейная оболочка столбцов матрицы А содержит
линейную оболочку столбцов матрицы А • В.
§ 3. Линейная зависимость и независимость
элементов линейного пространства
Основные понятия и теоремы
Определение. Элементы xi,x2, ...,жп линейного пространства R
называются линейно зависимыми, если существует их линейная ком-
т
бинация 2_,cpxpi равная нулевому элементу, в которой не все коэф-
Р=1
фициенты ср равны нулю. Элементы xi,x2, ...,жп называются линейно
т
независимыми, если равенство ^ срхр = в имеет место только тогда,
Р=1

§3. Линейная зависимость и независимость элементов	33
когда ср = 0, р = 1, 2,..., п.
Теорема 3. Для того чтобы элементы х\,Х2, ...,хп были линейно
зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих
элементов был линейной комбинацией остальных.
Совокупность элементов, каждый их которых есть элемент систе-
системы xi,X2,...,xn, называется подсистемой этой системы.
Теорема 4. а) Если элементы подсистемы линейно зависимы,
то элементы всей системы также линейно зависимы.
б) Если элементы системы линейно независимы, то элементы лю-
любой ее подсистемы также линейно независимы.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение линейной зависимости и линейной независимости
элементов линейного пространства.
2.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие линейной зависи-
зависимости элементов.
3.	Являются ли линейно зависимыми:
а)	два неколлинеарных вектора;
б)	три компланарных вектора;
в)	три некомпланарных вектора;
г)	функции sin ж и cos ж на сегменте [0, тг/2];
д)	функции /i = 2 sin2 ж, /2 = 1, /3 = 3 cos2 ж на сегменте [а, Ь]?
Ответы обоснуйте.
4.	Являются ли линейно зависимыми элементы линейного пространства R:
а) ж и 2ж; б) xi, Ж2,..., хп, 9;
в) (]) и
Ответы обоснуйте.
Примеры решения задач
1. Доказать теорему 4.
Л а) Пусть элементы некоторой подсистемы линейно зависимы. Рас-
Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов, равную нулевому
элементу в, в которой не все коэффициенты равны нулю. К этой ли-
линейной комбинации прибавим линейную комбинацию остальных эле-
элементов системы с нулевыми коэффициентами. Получим вновь ну-
нулевой элемент в. Таким образом, существует линейная комбинация
элементов системы, равная в, в которой не все коэффициенты равны
нулю. Это и означает, что элементы всей системы линейно зависимы.
б) Пусть элементы системы линейно независимы. Предположим,
что элементы какой-то подсистемы линейно зависимы. Но тогда со-
согласно доказанному в п. а) элементы всей системы также линейно
2 В.Ф. Бутузов и др.

34	Гл. П. Линейные пространства
зависимы, что противоречит условию. Следовательно, элементы лю-
любой подсистемы линейно независимы. А
2.	Доказать, что однородная система линейных уравнений АХ = 0
имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда столбцы мат-
матрицы А линейно зависимы.
Л Обозначим элементы столбца X (неизвестные) через х\,х2, ...,жп,
а столбцы матрицы А — через АЬ...,АП. Тогда систему уравнений
АХ — 0 можно записать в виде
X! Ах + х2А2 + ... + хпАп = 0.	A)
Отсюда следует, что если система A) имеет ненулевое решение xi,...
...,жп (хотя бы одно Xk не равно нулю), то это означает, что линейная
комбинация столбцов Ai,...,An с коэффициентами xi,...,xn являет-
является нулевым столбцом, т. е. столбцы Ai,...,An линейно зависимы. И
обратно: если столбцы Ai,...,An линейно зависимы, т. е. существу-
существуют числа xi, ...,жп, не все равные нулю и такие, что выполняется ра-
равенство A), то xi, ...,жп — ненулевое решение системы. А
3.	Доказать, что матрицы (элементы пространства Н^)
/10 0,
в1=1о 0 О1' в2=1п n nb ез =
/000,
являются линейно независимыми, а любой элемент пространства
есть линейная комбинация этих шести элементов.
Л Составим линейную комбинацию данных элементов:
6
)
)
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
С4 С5
р=1	v
п	п /0 0 0\
Она равна нулевому элементу 0=1^ ^ ^ I только в том случае,
когда все ср = 0, а это и означает, что элементы ei,...,e6 линейно
независимы.
Очевидно, любую матрицу С = ( г 2 3 ) (произвольный эле-
у С4 С5 Cq J
6
мент пространства Н^) можно представить в виде 2_. cvev> т- е-
p=i
матрица С является линейной комбинацией матриц ei,...,e6. A
4. Доказать, что в пространстве Р2 многочленов степени не выше
второй три многочлена, 1, ж, ж2, линейно независимы, а любой эле-
элемент пространства Р2 есть линейная комбинация этих элементов.

§3. Линейная зависимость и независимость элементов	35
Л Нулевым элементом в пространстве Р2 является многочлен, тож-
тождественно равный нулю. Составим линейную комбинацию трех дан-
данных многочленов и приравняем ее нулевому элементу:
а-1 + Ъ-х + с-х2 = 0.
Это равенство справедливо для всех х только в том случае, когда
а = 6 = с = 0. В самом деле, если хотя бы один из коэффициентов
а, Ъ и с не равен нулю, то в левой части равенства стоит многочлен
степени не выше второй, а он имеет не более двух корней, и потому
не равен нулю для всех х. Следовательно, многочлены 1,ж,ж2 линей-
линейно независимы. Очевидно, любой многочлен а + Ъх + сх2 из Р2 есть
линейная комбинация многочленов 1, ж и ж2 с коэффициентами а,
Ь и с. А
5.	Доказать, что три матрицы е\ = ( ~ ^ ), е2 =
V /
е3 = ( ^ 1 ) линейно независимы и любой элемент линейного про-
странства симметричных 2 х 2-матриц есть их линейная комбинация.
Л Составим линейную комбинацию данных матриц:
з
Ус е -
Она равна нулевой матрице 0 = ( ~ ^ ) только в том случае, ког-
да с\ — с2 = с3 = 0, а это и означает, что матрицы ei,e2,e3 линей-
линейно независимы. Любая симметричная матрица ( х 2 \ является,
очевидно, линейной комбинацией матриц в1,е2,ез с коэффициентами
Ci,c2,c3. A
6.	Доказать, что функции cos ж, С08 2ж, совЗж (—оо < ж < +оо) ли-
линейно независимы.
Л Допустим, что данные функции линейно зависимы. Тогда сущест-
существует их линейная комбинация, равная нулевому элементу, т. е. тож-
тождественно равная нулю:
a cos ж + Ъ cos 2ж + с cos Зж = 0,
причем хотя бы один из коэффициентов а, Ъ и с не равен нулю. Про-
Продифференцировав это тождество два раза, а затем четыре раза, при-
приходим к тождествам
a cos ж + 4b cos 2ж + 9с cos ж = 0, a cos ж + 166 cos 2ж + 81с cos ж = 0.

36	Гл. П. Линейные пространства
Положив во всех трех тождествах х = О, получим однородную систе-
систему линейных уравнений относительно коэффициентов а, Ъ и с
а+ Ь+ с = 0
а+ 46+ 9с = О
Эта система имеет только нулевое решение а = 6 = с = 0. Получили
противоречие с тем, что хотя бы один из коэффициентов а, Ъ и с отли-
отличен от нуля. Следовательно, данные функции линейно независимы. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
13.	Докажите теорему 3.
14.	Докажите, что если элементы xi,X2, ...,хп линейно независимы,
а элементы Ж1,Ж2, ...,жп,жп+1 линейно зависимы, то xn+i есть ли-
линейная комбинация элементов xi,X2, ...,хп.
15.	Докажите, что если максимальное число линейно независимых
элементов в системе, порождающей линейную оболочку L(xi,
Х2,---,хп), равно г (г < п) и элементы xi,X2, ...,хг линейно не-
независимы, ТО L(xi, X2, -.., Хг) = L(xi,X2, -.., Хг, Жг+1, ..., Хп).
16.	Докажите, что любые четыре геометрических вектора линейно
зависимы.
17.	Докажите, что следующие функции линейно независимы:
a) sinx, sin2x, sin3x; б) 1, еж, е2ж, е3ж.
18.	Докажите, что данные элементы линейно независимы и любой
элемент соответствующего линейного пространства есть их ли-
линейная комбинация:
a) ei =
в пространстве

3. Линейная зависимость и независимость элементов
37
еп =
/10 0 ... 0\
о о о ... о
о о о ... о
\о о	о	...	о/
/0	0	0	... 1\
о	о	о	... о
о	о	о	... о
\1 0 0 ... О/
/0 0 0 ... 0\
/0 1 0 ... 0\
1 0 0 ... 0
о о о ... о
\о о о ... о/
/0 0 0 ... 0\
О 0 1
О 1 О
\о о о
о/
0
0
Ко
/0
0
0
1
0
0
0
0
0
0 ..
0 ..
0 ..
0 .
0 .
0 .
. 0
. 0
. о/
.. 0\
.. 1
.. 0
\0 1 О
о/
/0 0 0
0 0 0
0 0 0
о
о
\о о о
1/
в пространстве симметричных
п-матриц;
/ 1
О
в) ei =
о
1
еп =
О
О
1
в пространстве
V о у	\ о
Гп столбцов с п элементами;
г)	в! = A 0 ... О - 1), е2 = (О 1 ... О - 1), ..., еп_! = @ 0 ... 1 - 1)
в пространстве строк с п элементами такими, что сумма элемен-
элементов равна нулю;
д)	р0 = 1? р1 = х, ..., рп = хп в пространстве Рп многочленов
степени не выше щ
е)	pi(x) = ж, Р2(х) = ж2, ..., Рп{х) = хп в пространстве многочле-
многочленов р(х), степень которых не превосходит п и которые удовлетво-
удовлетворяют условию р@) = 0;
ж)	fi(x) — sin ж, /2 (ж) = cos ж в пространстве L(sinx,cosx) (ли-
(линейная оболочка функций sin ж и cos ж).
19. Пусть R* — линейное пространство положительных чисел, в ко-
котором сумма элементов ж и у определена как произведение ж • у, а
произведение элемента ж на вещественное число а — как степень
ха (пример 2 на с. 26). Докажите, что в пространстве R* любые
два элемента х и у линейно зависимы.

38	Гл. П. Линейные пространства
20. Докажите, что если столбцы квадратной матрицы А линейно
зависимы (независимы), то столбцы транспонированной матри-
матрицы АТ также линейно зависимы (независимы).
§ 4. Базис и координаты.
Размерность линейного пространства
Основные понятия и теоремы
1. Базис и координаты.
Определение. Совокупность элементов ei,e2,...,en называется
базисом линейного пространства R, если:
1)	элементы ei,e2,...,en линейно независимы;
2)	каждый элемент пространства R можно представить в виде
линейной комбинации элементов ei, е2,..., еп, т. е. \/х Е R существуют
числа xi,...,xn такие, что справедливо равенство
п
рер.	A)
Р=1
Равенство A) называется разложением элемента х по базису ei,
е2,...,еп, а числа Ж1,ж2,...,жп называются координатами элемента х
в этом базисе.
Теорема 5. Разложение элемента х по данному базису единст-
единственно, т. е. существует единственный набор чисел х\,...,хп такой,
что элемент х можно представить в виде A).
Теорема 6. При сложении элементов линейного пространства
их координаты в данном базисе складываются. При умножении эле-
элемента на число его координаты умножаются на это число.
Таким образом, если введен базис, то действия над элементами
линейного пространства (сложение элементов и умножение элементов
на числа) сводятся к таким же действиям над числами — координа-
координатами элементов.
2. Примеры базисов.
1)	Любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов явля-
является базисом в пространстве V3; любая упорядоченная пара неколли-
неарных векторов из У2 является базисом в пространстве V^\ любой
ненулевой вектор из V\ является базисом в пространстве V\.
2)	Матрицы ei,e2,...,e6 с размерами 2x3 (см. пример 3 на с. 34)
образуют базис в пространстве Щ. В самом деле, эти матрицы ли-
линейно независимы, и любую 2 х 3-матрицу можно представить в виде
их линейной комбинации.

§4- Базис и координаты. Размерность линейного пространства 39
3)	Многочлены ро(х) = 1, pi(x) = ж, Р2(х) = х2 образуют базис в
пространстве Р^. Действительно, эти многочлены линейно независи-
независимы, и любой многочлен р(х) = а + Ъх + сх2 из Р<± можно представить
в виде линейной комбинации многочленов ро5 Р\-> Pi (CM- пример 4 на
с. 34). Отметим, что координатами элемента р[х) в базисе ро5 Р\-> Pi
являются числа а, 6, с.
4)	Симметричные матрицы е1,в2,ез (см. пример 5 на с. 35) об-
образуют базис в пространстве симметричных 2 х 2-матриц, так как
матрицы ei, в2, ез линейно независимы, и любой элемент данного про-
пространства можно представить в виде их линейной комбинации.
5)	Функции j\[x) = sin ж и /2 (ж) = cos ж образуют базис линейной
оболочки L(s'mx,co8x), поскольку они линейно независимы (докажи-
(докажите это) и любой элемент линейной оболочки есть линейная комбина-
комбинация этих функций.
3. Размерность линейного пространства.
Определение. Натуральное число п называется размерностью
линейного пространства R, если:
1)	в пространстве R существуют п линейно независимых эле-
элементов;
2)	любые (п + 1) элементов пространства R линейно зависимы.
Обозначение размерности: dim R = п. Размерность пространства,
состоящего из одного нулевого элемента, считается равной нулю.
Если dim R = п, то пространство R называется п-мерным и обо-
обозначается Rn. Если в пространстве R существует любое (сколь угод-
угодно большое) число линейно независимых элементов, то пространст-
пространство R называется бесконечномерным (пишут dim R = 00). Примером
бесконечномерного пространства является пространство С[а, Ь] не-
непрерывных на сегменте [а, Ь] функций: при любом п функции ро(х) =
= 1, pi{x) = ж, ..., Рп{х) = хп линейно независимы (упр. 18, д) § 3).
В курсе линейной алгебры изучаются в основном конечномерные
линейные пространства.
Теорема 7. Если dimR = п ^ 1, то в пространстве R сущест-
существует базис из п элементов. В качестве базиса можно взять любые п
линейно независимых элементов.
Теорема 8. Если в пространстве R существует базис из п эле-
элементов, то dim R = п.
Из теоремы 8 следует, что dim V3 = 3, dimV2 = 2, dimVi = 1,
dim H2 = б, dim^2 = 3. Размерность пространства симметричных
2 х 2-матриц равна 3.
Теорема 9. Размерность любого подпространства не превосхо-
превосходит размерности всего пространства. Базис подпространства линей-
линейного пространства Rn можно дополнить элементами из Rn до базиса
всего пространства.

40	Гл. П. Линейные пространства
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение базиса линейного пространства.
2.	Что такое координаты элемента линейного пространства в данном
базисе?
3.	Образуют ли функции ро(х) = 1, pi(x) = ж, рг(ж) = ж2 базис:
а) в пространстве Р2; б) в пространстве С[а,Ь\?
Ответы обоснуйте.
4.	Укажите базис в пространстве матриц iff такой, что элементами ба-
базисных матриц являются только числа 0 и 1. Каково число базисных
/1 2 3\
матриц? Найдите в этом базисе координаты матрицы 4 5 6 1.
\7 8 9/
5.	Может ли базис содержать нулевой элемент? Ответ обоснуйте.
6.	Известно, что некоторый элемент можно представить в виде двух раз-
различных линейных комбинаций одних и тех же элементов ei, ег, •••, еп.
Являются ли элементы ei, ег, •••, еп линейно независимыми?
7.	Элементы х\ и Х2 имеют в некотором базисе координаты —3,5, 7 и
10, 0,1. Чему равны координаты элементов х\ — жг, 7ж1 + Ж2, 2ж1 + Зж2
в том же базисе?
8.	Дайте определение размерности линейного пространства.
9.	Какое линейное пространство называется n-мерным и какое бесконеч-
бесконечномерным?
10.	Как связаны между собой размерность пространства и число элементов
базиса?
11.	Известно, что элементы ei, ег, •••, еп образуют базис линейного прост-
пространства. Является ли базисом совокупность элементов ciei, С2в2,...
..., Cnen, где ср — числа, не равные нулю? Ответ обоснуйте.
12.	Сколько базисов имеется в n-мерном линейном пространстве?
13.	Может ли размерность линейного пространства быть меньше (равна,
больше) размерности его подпространства?
Примеры решения задач
1. Доказать, что все координаты нулевого элемента в любом бази-
базисе равны нулю, и, обратно, если все координаты элемента в каком-то
базисе равны нулю, то этот элемент нулевой.
Л Пусть в базисе ei,..., еп разложение нулевого элемента в имеет вид
Тогда все ср = 0, так как элементы базиса ei,...,en линейно незави-
независимы, и поэтому их линейная комбинация равна нулевому элементу
только тогда, когда все коэффициенты ср равны нулю. Обратно: если
все координаты элемента х равны нулю: х = 0 • е\ + ... + 0 • еп, то х
является нулевым элементом, так как согласно свойству 3° линейных
пространств (см. § 1) имеем 0 • ер = в, и поэтому х = в. А

§4- Базис и координаты. Размерность линейного пространства 41
2. Доказать: для того чтобы элементы х\, ...,жш были линейно за-
зависимы (независимы), необходимо и достаточно, чтобы столбцы их
координат в каком-нибудь базисе были линейно зависимы (незави-
(независимы).
Л Возьмем какой-нибудь базис линейного пространства и запишем
координаты элемента хк в этом базисе в виде столбца Хк (к = 1,..., т).
Пусть элементы xi,...,xm линейно зависимы, т. е. существует их
т
линейная комбинация ^с^ж/., равная нулевому элементу 0, причем
к=1
не все коэффициенты ск равны нулю. В силу теоремы б линейная
т
комбинация 2_,ckXk столбцов Xl, ...,Xm дает столбец координат эле-
к=1
мента в. Но все координаты нулевого элемента в равны нулю (зада-
га
ча 1). Таким образом, линейная комбинация ^ CkXk равна нулевому
к=1
столбцу, т. е. столбцы Xi,...,Xm линейно зависимы.
Обратно: пусть столбцы Xi, ..., Хт линейно зависимы, т. е. сущест-
вует их линейная комбинация ^с^Х/,, равная нулевому столбцу,
к=1
причем не все коэффициенты ск равны нулю. Рассмотрим линейную
к=1
комбинацию 2_,скхк элементов xi,...,xm. В силу теоремы б столбец
т
координат этой линейной комбинации равен V^ скХк, т. е. все коорди-
к=1
т
наты линейной комбинации равны нулю. Следовательно, 2^скхк = О
к=1
(задача 1), а это и означает, что элементы xi,...,xm линейно зависи-
зависимы.
Итак, мы доказали, что необходимым и достаточным условием ли-
линейной зависимости элементов является линейная зависимость столб-
столбцов их координат. Отсюда следует аналогичное утверждение о линей-
линейной независимости элементов. А
3. Доказать, что размерность линейного пространства не меньше
размерности любого его подпространства.
Л Предположим, что размерность т подпространства М линейного
пространства Rn больше п. По определению размерности в М сущест-
существуют т линейно независимых элементов. Поскольку они являются
элементами пространства Rn, то тем самым в Rn существуют т ли-
линейно независимых элементов. Но в пространстве Rn любые п + 1

42	Гл. П. Линейные пространства
элементов линейно зависимы, и, следовательно, линейно зависимы
любые т элементов, если т > п. Получили противоречие. Следова-
Следовательно, dimM ^ п. А
4. Найти базис и размерность линейного пространства R много-
многочленов р(х), степень которых не выше двух и которые удовлетворяют
условию рA) = 0.
Л Любой многочлен р(х) = с\ + с2ж + с%х2 из R удовлетворяет усло-
условию рA) = с\ + с2 + с3 = 0. Отсюда с3 = —с\ — с2, и поэтому р(ж) =
= ci + с2ж + (—с\ — с2)ж2 = ci(l — ж2) + с2(ж — ж2), т. е. любой мно-
многочлен из R представим в виде линейной комбинации многочленов
pi[x) = 1 — х2 и р2(ж) = х — х2.
Покажем, что многочлены р\(х) и р2(ж) линейно независимы. Со-
Составим столбцы их координат в базисе 1,ж,ж2 пространства Р2:
F! = 0 , F2 =
Эти столбцы линейно независимы, так как их элементы не пропор-
пропорциональны, и, следовательно, многочлены р\ [х) и р2(ж) линейно неза-
независимы (задача 2). Итак, многочлены р\[х) и р2(ж) образуют базис в
пространстве Л, и, следовательно, по теореме 8 dim R = 2. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
21.	Используя результаты упр. 18 из § 3, найдите базис и размер-
размерность:
а)	пространства Н™ матриц с размерами т х п;
б)	пространства симметричных п х п-матриц;
в)	пространства Тп столбцов с п элементами;
г)	пространства столбцов с п элементами, сумма которых (эле-
(элементов) равна нулю;
д)	пространства Рп многочленов степени, не превосходящей п;
е)	пространства многочленов р(х) из Рп, удовлетворяющих усло-
условию р@) = 0.
22.	Докажите, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда,
когда столбцы из их координат в каком-либо базисе линейно за-
зависимы.
23.	Докажите, что три вектора некомпланарны тогда и только тогда,
когда столбцы из их координат в каком-либо базисе линейно не-
независимы.

§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре	43
§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
Основные понятия и теоремы
1. Определение ранга матрицы. Пусть А = (а^) — т х п-
матрица и пусть натуральное число г удовлетворяет условию
1 ^ г ^ min(m,n).
Рассмотрим какие-либо г строк и г столбцов матрицы А. Эле-
Элементы, находящиеся на их пересечении, образуют квадратную г х г-
матрицу. Ее определитель называется минором порядка г матрицы А.
Определение. Число г называется рангом матрицы А, если у
матрицы А имеется минор порядка г, отличный от нуля, а все ее
миноры более высокого порядка (если таковые имеются) равны нулю.
Обозначение: rang А = г.
При этом минор порядка г, не равный нулю, называется базис-
базисным минором матрицы А. Столбцы и строки матрицы А, содержащие
элементы базисного минора, называются базисными столбцами и ба-
базисными строками.
Отметим, что у матрицы может быть несколько базисных мино-
миноров. Например, ранг матрицы ( п ., 0 ), равен 2, базисными
Vu i ZJ
являются миноры
1 -1
О 1
= 1 и
1 -2
О 2
= 2. В первом случае
базисными будут первый и второй столбцы матрицы, во втором —
первый и третий.
Ранг матрицы не изменяется при ее транспонировании.
Если матрица А нулевая, т. е. все ее элементы равны нулю, то
и все миноры матрицы равны нулю. Ранг такой матрицы считается
равным нулю.
2. Теорема о базисном миноре.
Теорема 10 (о базисном миноре). Базисные столбцы (строки)
матрицы линейно независимы. Любой столбец (строка) матрицы яв-
является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).
Следствия (сформулируем их для столбцов, для строк имеют
место такие же утверждения).
1.	Для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимы (не-
(независимы), необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был меньше чис-
числа (равен числу) столбцов.
2.	Ранг матрицы равен размерности линейной оболочки ее
столбцов.
3.	Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независи-
независимых столбцов.
4.	Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы
равно максимальному числу ее линейно независимых строк.

44	Гл. П. Линейные пространства
3. Вычисление ранга матрицы. Перечислим операции над
столбцами матрицы, не изменяющие ее ранга:
а)	перестановка столбцов местами;
б)	умножение столбца на число, не равное нулю;
в)	прибавление к столбцу линейной комбинации других столбцов;
г)	вычеркивание нулевого столбца;
д)	вычеркивание столбца, равного линейной комбинации других
столбцов.
Аналогичные операции над строками матрицы также не изменяют
ее ранга.
С помощью указанных операций над строками и столбцами нену-
ненулевой матрицы А = (dij) ее можно привести к матрице В следующего
вида:
>п 0 0 ... О \
>2i ^22 0 ... О
В =
\bsi bS2 bss ... bsr /
где Ьц ф 0, i = l,...,r, а элементы bij, расположенные в г-й строке
(г = 1,...,г —1) правее элемента Ьц, равны нулю. Отсюда следует,
что минор матрицы В, образованный первыми г строками, равен
Ьц • &22 ••••• brr ф 0, и, значит, rang В = г. Следовательно, и
rang А — т.
Приведение матрицы А к виду В состоит из г шагов.
Первый шаг.
а)	Вычеркнем нулевые строки и столбцы матрицы А. Получив-
Получившуюся матрицу снова обозначим буквой А, а ее элементы через ац.
б)	Если аи = 0, то переставим строки и столбцы так, чтобы в
левом верхнем углу оказался элемент, отличный от нуля. Элементы
получившейся матрицы А обозначим Ъц. При этом йц ф 0. Если ац ф
Ф 0, то матрица А — это сама матрица А.
в)	Прибавим к к-му столбцу матрицы А (к = 2,3,...) первый стол-
столбец, умноженный на число -й^/йц. Получим матрицу С с элемен-
элементами Cij, у которой сц = йц ф 0, а все остальные элементы первой
строки равны нулю:
' .1 0 0 ... 0N
С = C2l C22 С23
Если при этом окажутся равными нулю также все элементы каждого
столбца, начиная со второго, то, вычеркнув нулевые столбцы, придем

§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре	45
к матрице В, у которой г = 1. В противном случае сделаем второй
шаг.
Второй шаг.
а)	Вычеркнем нулевые строки и столбцы матрицы С. Получив-
Получившуюся матрицу снова обозначим С, а ее элементы через сц.
б)	Если с22 = 0, то переставим строки и столбцы (причем первую
строку и первый столбец не переставляем) так, чтобы элемент с ин-
индексами 2, 2 стал отличен от нуля. Элементы получившейся матри-
матрицы С обозначим Cij. При этом сц = сц ф О, с?22 ф 0.
в)	Прибавим к fc-му столбцу матрицы С (к = 3,4,...) второй стол-
столбец, умноженный на число —C2k/c22- Получим матрицу D с элемента-
элементами dij, у которой dn = сц т^ 0, ^22 = ?2 2 7^ 0? а все элементы первой
и второй строк, расположенные правее d\\ и б?22, равны нулю:
u 0 0 ... (Г
21 <^22	0 ... 0
Если окажутся равными нулю также все элементы каждого столбца,
начиная с третьего, то, вычеркнув нулевые столбцы, придем к мат-
матрице В, у которой г = 2. В противном случае сделаем третий шаг,
полностью аналогичный первым двум шагам. Если ранг матрицы А
равен г, то после г шагов получим матрицу В.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определения ранга матрицы, базисного минора, базисных строк
и базисных столбцов.
2.	Найдите ранг, все базисные миноры и соответствующие им базисные
строки и столбцы матрицы
0 11-13
0 2 1-23
3.	Может ли ранг матрицы с размерами 5x6 быть равен: 3; 5; 6; 7?
4.	Чему равен ранг транспонированной матрицы АТ, если rang А = г?
5.	Сформулируйте теорему о базисном миноре.
6.	Пусть ранг m х n-матрицы А равен г. Являются ли столбцы матри-
матрицы А линейно зависимыми, если: а) г < щ б) г = п?
7.	Могут ли быть линейно независимыми строки с тремя элементами, если
число строк равно: 2; 3; 4; 5?
8.	Может ли ранг матрицы быть равен г, если:
а)	какие-то г ее столбцов линейно зависимы;
б)	любые г столбцов матрицы линейно зависимы;
в)	какие-то г + 1 столбцов матрицы линейно независимы?
Ответы обоснуйте.
9.	Чему равно максимальное число линейно независимых столбцов (строк)
матрицы, если ее ранг равен г?

46
Гл. П. Линейные пространства
10.	Линейные оболочки L(F) и L(G?i,G?2), где F, G\ и G2 — столбцы, сов-
совпадают. Являются ли столбцы G\ и G2 линейно независимыми? Ответ
обоснуйте.
11.	Матрица А имеет п столбцов А\, ...,Ап, а матрица В — т столбцов
Bi, ...,ВШ, причем L(Ai,..., Ап) = L(Bi,..., Вш). Равны ли ранги мат-
матриц А и В? Ответ обоснуйте.
12.	Перечислите операции над столбцами (строками) матрицы, которые не
изменяют ее ранга.
13.	Каким может быть ранг матрицы, полученной из матрицы ранга г вы-
вычеркиванием: а) одной строки; б) двух строк?
14.	Как связаны размерность линейной оболочки столбцов матрицы с ран-
рангом матрицы?
15.	Найдите размерность и базис линейной оболочки столбцов матрицы
/-1 1 -2\
11 2 .
VII 2/
Примеры решения задач
1. В пространстве Т± даны два столбца,
Доказать, что они линейно независимы и подобрать столбцы
такие, что столбцы е1,в2,ез,е4 также линейно независимы.
о 1 \
Л Составим матрицу из столбцов е\ и е^'.
о /
Ее ранг ра-
вен 2, так как выделенный минор второго порядка отличен от нуля
(он равен —1). По теореме о базисном миноре базисные столбцы е\ и
е2 линейно независимы.
Выберем столбцы е3 и е4 так, чтобы матрица из столбцов еь е2, е3,
е4 имела определитель, отличный от нуля. Тогда ранг матрицы будет
равен 4, и по теореме о базисном миноре столбцы ei,e2,e3,e4 будут
'(Г
линейно независимыми. Возьмем, например, е3 =
Тогда
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1 Г
0/
е4 =
1
0
\0
= 1 ф 0, и, следовательно, столбцы
линейно независимы. А

§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре	47
2.	Доказать следующее утверждение (следствие 1 из теоремы 10):
для того чтобы столбцы матрицы были линейно зависимыми, необ-
необходимо и достаточно, чтобы ранг г матрицы был меньше числа п ее
столбцов.
Л Необходимость. Пусть столбцы матрицы линейно зависимы.
Если бы г = п, то все столбцы были бы базисными, и тогда по теоре-
теореме 10 они были бы линейно независимыми, что противоречит усло-
условию. Следовательно, г < п.
Достаточность. Пусть г <п. Тогда матрица имеет г базисных
столбцов и хотя бы один (так как п — г ^ 1) не базисный столбец,
который по теореме 10 является линейной комбинацией базисных
столбцов, а значит, линейной комбинацией п — 1 столбцов матрицы
(в их число не входит сам этот столбец). По теореме 3 столбцы мат-
матрицы линейно зависимы. А
3.	Доказать следствие 2 из теоремы 10: ранг матрицы равен раз-
размерности линейной оболочки ее столбцов.
Л Пусть ранг матрицы равен г. По теореме 10 г базисных столбцов
матрицы линейно независимы, а любой столбец матрицы является ли-
линейной комбинацией ее базисных столбцов. Поэтому любая линейная
комбинация всех столбцов матрицы является линейной комбинацией
ее базисных столбцов, а значит, г базисных столбцов матрицы состав-
составляют базис линейной оболочки столбцов матрицы. В силу теоремы 8
размерность этой линейной оболочки равна г, т. е. равна рангу мат-
матрицы. А
4.	Найти ранг и базисный минор матрицы:
/ 0 -10 5\	/10 4 -5\
а)А= -2 8 -10 I; б) А = -1 -3 0 1 .
V 4 -12 18/	V-2 -9 4 -2/
Л а) Матрица А имеет минор 2-го порядка, отличный от нуля, на-
например, М =
0 -10
-2
= —20 ф 0, a detA = 0. Следовательно,
rang А — 2, минор М является базисным.
Отметим, что в качестве базисного можно взять любой минор вто-
второго порядка матрицы, так как все они отличны от нуля.
б) I способ. У матрицы А имеется минор второго порядка, не
1 0
-1 -3
а из размеров матрицы А следует, что г ^ 3. Обозначим строки мат-
матрицы через Ai,A2,As и предположим, что rang A = 2. Тогда строки
^1,^2, А^ линейно зависимы, и так как А\ и A<i линейно независимы,
то А^ = а • А\ + Ъ • ^2, где а и Ъ — некоторые числа. Это матричное
равный нулю, например, М =
= —3 ф 0. Поэтому г ^ 2,

48	Гл. П. Линейные пространства
равенство эквивалентно четырем числовым равенствам. Напишем их
для элементов первого и второго столбцов:
-2 = a- b, -9 = 0-a-3-b.
Отсюда а = 1, Ъ = 3.
Нетрудно проверить теперь, что действительно имеет место ра-
равенство As = A\ +3^2. Итак, строки A\^A^^As матрицы А линейно
зависимы, поэтому rang A = 2. Базисным минором является, напри-
например, указанный минор М.
II способ. Вычислим ранг матрицы А способом, описанным на
с. 44.
Умножим первый столбец матрицы на (-4), а в другой раз на 5
и прибавим соответственно к третьему и четвертому столбцу. Полу-
чим матрицу	/10 0 0\
С = -1 -3 4 -4 1.
V-2 -9 12 -12/
Умножим теперь второй столбец матрицы С на 4/3, а в другой раз на
—4/3 и прибавим соответственно к третьему и четвертому столбцу.
Это дает матрицу
У У	/ 1 0 0 0\
D= -1 -3 0 0 .
V-2 -9 0 0/
Вычеркивая нулевые столбцы матрицы D, получим матрицу
В =1-1 -3 ,
V-2 -9/
ранг которой равен 2. Следовательно, и rang A = 2. А
5. Найти базис и размерность линейной оболочки L(Ai, A^^As, A*),
-2 0N
3 2
Дополнить базис этой линейной оболочки до базиса пространства И\.
Л Рассмотрим в пространстве И\ базис, состоящий из матриц:
ei=(X °} е2=(° М = (° °} е4=(° °
Координаты произвольной матрицы ( , ) в этом базисе равны
ус a j
a,b,c,d. Запишем координаты данных матриц A^^A^^As^A^ в базисе
^1,е2,ез,е4 в виде столбцов и составим матрицу В из этих столбцов:
'-1 1 1	-:
1 1 3	(
2-10	3
3 15	2.

§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
49
Найдем ее ранг. С этой целью прибавим первый столбец ко второму
столбцу, затем к третьему столбцу и, наконец, умножив его на (—2),
прибавим к четвертому столбцу. Получим матрицу того же ранга
Третий и четвертый столбцы этой матрицы равны второму столбцу,
умноженному соответственно на 2 и на (-1). Поэтому третий и чет-
четвертый столбцы можно вычеркнуть, не изменив ранга матрицы. По-
Получим матрицу, ранг которой равен 2. Итак, ранг матрицы В равен 2,
а в качестве ее базисного минора можно взять минор второго поряд-
порядка, расположенный в левом верхнем углу. Следовательно, два первых
столбца матрицы В линейно независимы. Отсюда в силу результата
задачи 2 на с. 41 следует, что матрицы А\ и A<i линейно независимы,
и они являются базисом линейной оболочки L{A\, A2, A3, А*), размер-
размерность которой равна 2.
Базис пространства Н\ состоит из четырех элементов (четырех
матриц). Матрицы А\,А2,А§,А§ составляют базис, если они, а зна-
значит, и столбцы из их координат, будут линейно независимы. Поэто-
Поэтому задача сводится к тому, чтобы добавить к первым двум столбцам
матрицы В еще два столбца так, чтобы определитель полученной мат-
матрицы был отличен от нуля. Рассмотрим, например, матрицу
С =
Вычислим ее определитель. Прибавив первый столбец ко второму и
к четвертому столбцам, получим определитель
-10 0 0
12 13
2	112
3	4 5 13
1
1
2
3
1
1
-1
1
0
1
1
5
1
2
0
10
Разлагая его по элементам первой строки, находим
= -4^0.
Двум последним столбцам матрицы С соответствуют матрицы
detC = -
3
2
13
0	1
1	5
Ав =
1 2
0 10

50	Гл. П. Линейные пространства
которые дополняют базис А\^А^ линейной оболочки L{A\, А^, А%, А±)
до базиса пространства Н\. А
6. Даны базис ei,e2,...,en линейного пространства Rn и базис
/i>/2j---j/m подпространства М, причем т < п. Найти в базисе ei,
в2,...,еп координаты каких-нибудь элементов /m+i,...,/n прост-
пространства Rn, которые дополняют базис /i,/2,...,/m подпространст-
подпространства М до базиса пространства Rn.
Л Пусть разложение элементов /i,/2,...,/m по базису ei,...,en
имеет вид
Рассмотрим п х m-матрицу (apq), столбцы которой составлены из
координат элементов /i,...,/m. Выделим какой-нибудь ее базисный
минор. Он имеет порядок т, так как элементы Д, ...,/ш линейно не-
независимы.
Координаты apq (p = l,...,n; g = m + l,...,n) искомых элемен-
элементов /m+i,...,/n нужно выбрать так, чтобы матрица (apq) с размера-
размерами п х п оказалась невырожденной. С этой целью достроим п х ттг-
матрицу (apq) до матрицы с размерами п х п следующим образом:
если в п х m-матрице (ард) какая-то строка является базисной, то до
строки длины п (т. е. до строки с п элементами) дополним ее нуля-
нулями; если же строка не является базисной, то дополним ее до строки
длины п так, чтобы дополненные элементы небазисных п — т строк
образовывали единичную матрицу с размерами (п — т) х (п — т).
Нетрудно видеть, что абсолютная величина определителя получен-
полученной п х n-матрицы (apq) равна абсолютной величине базисного мино-
минора п х ш-матрицы (apq) и тем самым определитель полученной п х п-
матрицы отличен от нуля. В последних п - т столбцах матрицы сто-
стоят координаты искомых элементов /т+ь...,/п, таких, что совокуп-
совокупность /i, ...,/n образует базис в Rn. A
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
24.	Докажите, что ранг матрицы равен максимальному числу ее ли-
линейно независимых столбцов.
25.	Докажите, что операции над столбцами, не изменяющие линейной
оболочки столбцов, не изменяют и ранг матрицы.
26.	Докажите, что операции а)-д) над столбцами (см. с. 44) не изме-
изменяют ранга матрицы.
27.	Докажите, что однородная система линейных уравнений имеет
ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы ее
коэффициентов меньше числа неизвестных.

§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
51
28.	Докажите, что определитель равен нулю тогда и только тогда,
когда его столбцы (строки) линейно зависимы.
29.	Докажите, что однородная система линейных уравнений с квад-
квадратной матрицей коэффициентов имеет ненулевое (только нуле-
нулевое) решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы
коэффициентов равен (не равен) нулю.
30.	Докажите, что матрица ранга г представима в виде суммы г мат-
матриц ранга 1.
Выясните, являются ли следующие столбцы линейно зависимы-
зависимыми:
31
Хп-1 =
о\
о
о
1
д)
32.	Найдите максимальное число линейно независимых столбцов в
системах столбцов из упр. 31, а)-д).
33.	Докажите, что ранг матрицы (а« • (%) (г, j = 1, ...,n, Sij — символ
Кронекера) равен числу отличных от нуля чисел а^.
34.	Найдите ранг и базисный минор матрицы:
/О 0 0\
а) -1 0 0;
V 0 -1 0/
г)
4 3 9 4^
2 6 9 5
0 3 3 2,

52
Гл. П. Линейные пространства
д)
и)
л)
35. К данным столбцам добавьте еще один столбец так, чтобы все
столбцы были зависимыми (независимыми):
0\
1
а) '
0
-1
0
0
V оУ
( Л
-1
3
3
2
\-1/
О
о
о
-1
о
V о/
о
1
-1
V о/
36.	Используя результаты упр. 12 и следствие 2 из теоремы 10, до-
докажите, что rang(A • В) ^ rang A.
37.	Используя результаты задачи 36 и операцию транспонирования
матриц, докажите, что rang(A • В) ^ rang В.
38.	Докажите, что если один из сомножителей произведения А • В
есть невырожденная квадратная матрица, то ранг произведения
равен рангу другого сомножителя.
39.	В пространстве Rs даны базис е1,в2,ез и три элемента:
х\ = ei - е2 + е3, ж2 = ei + е2 + е3, ?i = е\ - 5е2 + е3.
Являются ли элементы Ж1,ж2,ж3 линейно зависимыми?

§ 5. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре	53
40. Найдите базис и размерность линейной оболочки элементов, за-
заданных столбцами своих координат в некотором базисе линейного
пространства:
в)Х'Л1г A't=lU- Хг=\\)- Xi~~
-)*! = 1} |, .Y2=| * |, Х,=
41.	Дополните базисы линейных оболочек из упр. 40 до базиса всего
пространства.
42.	Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного прост-
пространства:
а)	столбцов с п элементами (п > 3), у которых сумма первых трех
элементов равна нулю;
б)	симметричных 3 х 3-матриц;
в)	симметричных 3 х 3-матриц, диагональные элементы которых
равны нулю;
г)	многочленов р{х) степени не выше 4, которые удовлетворяют
условию р{2) = 0;
д)	многочленов р(х) степени не выше п, которые удовлетворяют
условию рA) + р(—1) = 0;
е)	матриц (а^) с размерами 2x3, элементы которых удовлетво-
удовлетворяют условиям аи = 0, a<ii — ^23;
ж)	матриц X, для которых выполняется равенство А • X • В = 0,
где
/ 1 П \
А=\ 0 1 |, В= | п § 1' 0 =
43.	Найдите базис и размерность линейной оболочки многочленов
Рх(х) = Зж2 + 2ж + 1, р2(х) = 4ж2 + Зж + 2,
р3(ж) = Зж2 + 2ж + 3, р±(х) = ж2 + ж + 1, ръ{х) = 4ж2 + Зж + 4.
44.	Укажите линейное пространство R, для которого данное в упр. 42,
а)-ж) пространство является подпространством, не совпадаю-
совпадающим с R. Дополните базис данного подпространства до базиса
линейного пространства R.

54	Гл. П. Линейные пространства
§ 6. Преобразование базиса и координат
Основные понятия и формулы
Рассмотрим в пространстве Rn два базиса: ei,...,en и /ь...,/п.
п
Разложим элементы второго базиса по первому базису: fq = V^ apqep,
P=i
q = 1, ...,n. Запишем эти п равенств в матричном виде:
f = e-A.	A)
Здесь ей/ — строки из базисных элементов, например, е =
= (ei в2 ...en), A = (apg) — n x n-матрица. Матрица А называется
матрицей перехода от базиса ei,...,en к базису /i,...,/n. Отметим,
что в q-м столбце матрицы А стоят координаты aiq, u2q,..., ang эле-
элемента /g в базисе ei,...,en.
Так как элементы /i, ...,/п линейно независимы, то столбцы мат-
матрицы А также линейно независимы, и, следовательно, rang A = n и
det Л т^ 0. Поэтому существует обратная матрица А, которая на-
называется матрицей обратного перехода от базиса /i,...,/n к бази-
базису ei,...,en. Справедливо равенство
Заметим, что это равенство можно получить из A), умножив обе
части A) на А~х справа. Разложим произвольный элемент х по бази-
базису еь...,еп и по базису Д,...,/п:
p=i	p=i
Составим столбцы из координат элемента х в этих базисах:
Имеют место следующие формулы преобразования координат эле-
элемента х при преобразовании базиса:
Xe=A-Xf,	B)
Xf = A~1-Xe.	C)

§6. Преобразование базиса и координат	55
Каждое из этих матричных равенств эквивалентно соответственно п
числовым равенствам
п
Ьр = ^2apqCqi P = 1>—>ГС>
q=l
q=l
где Aqp— алгебраическое дополнение элемента aqp матрицы А;
— элементы обратной матрицы А~х.
Контрольные вопросы и задания
1.	Как составить матрицу перехода от одного базиса к другому?
2.	Может ли матрица перехода от одного базиса к другому быть вырож-
вырожденной? Ответ обоснуйте.
3.	Составьте матрицу перехода от базиса е1,в2,ез к базису /1,/2,/з, ес-
если /i = ei + е2 + е3, fi = -е\ + е2 + е3, /з = 3ei - е2 + 4е3. Найдите
матрицу обратного перехода.
4.	Напишите формулы преобразования координат элемента при преобразо-
преобразовании базиса.
Примеры решения задач
1. Пусть i, j — координатные векторы прямоугольной системы
координат на плоскости. Найти разложение вектора х = i+j по ба-
базису еье2, если ei = 7i + 4j, e2 = 5i + 3j.
Л По определению матрица перехода от базиса i, j к базису ei, e2 есть
матрица
А-G 5
Вычислим обратную матрицу:
3 -5
Столбец X координат вектора х в базисе i, j имеет вид
-О
По формуле C) находим столбец Хе координат вектора х в бази-
базисе еье2:
3 Г

56	Гл. П. Линейные пространства
Итак, х = — 2ei + Зв2. А
2. В пространстве R^ даны три базиса: ei, е^\ /ъ /2 и Qi-,92-, причем
Л = ei - e2, /2 = ei + e2, #i = 3ei + e2, #2 = 5ei + 2e2. Найти матрицу
перехода от базиса Д,/2 к базису gi,#2-
Л По определению матрица перехода от базиса ei,e2 к базису Д,/2
есть матрица А = ( .. i )? а матрица перехода от базиса ei,e2 к
базису ^i,^2 есть матрица В = ( . ^ ) • По формуле A) имеем / =
= еД ^ = еВ. Из первого равенства находим е = / • А. Подставляя
во второе равенство, получаем д = f • А~ХВ.
Таким образом, матрицей перехода от базиса /ь/2 к базису #i,#2
является матрица А~ХВ. Вычисляем матрицу А~х\
АЧ
А ~2\1
а затем находим произведение А~1В:
! 1 А -А /3 5\_ А 3/2
Л	2 ^1 lj [l 2J ~ \2 7/2
3. Найти разложение элемента р(х) = х3 + ж + 1 пространства Рз
по базису ро = 1, pi = х + а, р2 = (х + аJ, р3 = (^ + аK.
Л Поскольку
(х + аJ = а2 + 2аж + ж2, (ж + аK = а3 + За2ж + Заж2 + ж3,
то матрица А перехода от базиса 1,ж,ж2,ж3 к базису Ро,рг,Р2,Рз име-
имеет вид
А =
/1
0
0
Vo
а
1
О
О
а2
2а
1
О
а3
За2
За
1
Находим обратную матрицу:
'1 —а а2 —а3
О 1 -2а За2
0 0 1 -За
,0001
и составляем столбец Х\ = | ^ из координат элемента р(х) =
.1
= ж3 + ж + 1 в базисе 1,ж,ж2,ж3. По формуле C) находим столбец

§6. Преобразование базиса и координат	57
координат элемента р(х) в базисе ро?Pi•>Pi•>Рз'-
Х2 =
Следовательно, искомое разложение имеет вид
р(х) = A - а - а3)р0(х) + (l + 3a2)pi(x) - Зар2(х) + 1-р3(х),
или
х3 + х + 1 = A - а - а3) + A + За2)(ж + а) - За(х + аJ + (ж + аK.
Отметим, что это представление для р{х) можно получить с помощью
формулы Тейлора, разложив функцию р{х) по степеням х + а. А
4. Пусть i, j — координатные векторы прямоугольной системы ко-
координат на плоскости. Найти матрицу перехода от базиса i, j к базису
i',j', повернутому на угол ср по отношению к базису i,j. Найти мат-
матрицу обратного перехода от базиса i;, j; к базису i, j.
Л Координаты векторов i', j' в базисе i, j имеют вид i; = {cos (p, sin if},
У = {- simp, cos (р} (объясните, почему). Пользуясь определением, со-
составляем матрицу А(ф) перехода от базиса i, j к базису i;, j;:
A(V>)=(c?a<fi -***).	D)
Вычисляем матрицу А~1((р) обратного перехода:
А-\ф)=( cos^	,.
V7^ у — svmp cos (pi
Отметим, что обратный переход от базиса i', j' к базису i, j есть пово-
поворот базиса на угол (—ф), и поэтому матрицу этого перехода мож-
можно найти по формуле D), заменив ip на (—ф): А-1{ф) = А(—ф) =
cos cp sin cp\
— sin ip cos ip J '
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
45. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому,
если:
а)	поменять местами два элемента первого базиса;
б)	поменять местами два элемента второго базиса;
в)	записать элементы обоих базисов в обратном порядке?

58
Гл. П. Линейные пространства
46. Даны координаты элементов /ь/2,/з?# в базисе е1,в2,ез про-
пространства R%. Докажите, что элементы /ь/2,/3 образуют базис
пространства R% и найдите координаты элемента ж в этом ба-
базисе, если столбцы F/, координат элементов //, {к = 1,2,3) и
столбец X координат элемента ж в базисе е1,в2,ез имеют вид:
а>*-(!)• *-(:)•*-©• 4J);
6)F1=
F2 =
(!)¦ 4i>x=
F2=
47. Найдите координаты элемента X =
линейного пространства
48. В линейном пространстве
в базисе
даны два базиса:
/2 =
/з =
Найдите:
а)	матрицу перехода от базиса /ь/2,/3 K базису gi,#2,#3;
б)	матрицу обратного перехода;
в)	координаты элементов Д и ^з в каждом из базисов;
г)	координаты элемента у = 2Д + 3/2 - /з в базисе дг,д2,дз-
49.	Найдите матрицу перехода от базиса 1,ж,ж2, ...,жп пространст-
пространства Рп к базису 1, ж — а, (ж — аJ,..., (ж — а)п.
50.	Разложите элемент ж4 - х + 2 пространства Р4 по базису
1, ж-3, (ж-3J, (ж-3K, (ж-3L.

§ 7. Изоморфизм линейных пространств	59
51.	Даны векторы
fi =i+j + k, f2 = i-j + k, f3 = 2i + 3k,
gi=i-j + k, g2 = 2i-j-k, g3=3i-2j + k, x = 5i-4k,
где i, j, k — координатные векторы прямоугольной системы коор-
координат в пространстве. Найдите координаты вектора х в базисах
f 1, f2, fз и gi,g2,g3, а также матрицы перехода от базиса fi, f2, fз
к базису gi,g2,g3 и обратного перехода.
52.	Элемент f(x) = 3 — ех + 4е2ж + 2е3х линейной оболочки LB, ех —
— е2ж, е3х + е2ж, ех — 1) разложите по базису
/1 | „х I J2x | „Зх f „х | J2x i „Зх f J2x i „3x f „3x
i = l + e +e +e ,/2=e +e +e ,/з = е +е ,/4 = e .
53.	Пусть i,j,k — координатные векторы прямоугольной системы
координат в пространстве. Найдите матрицу перехода от бази-
базиса i,j,k к базису i',j',k', если:
а)	i',j',k' — векторы, симметричные векторам i,j,k относитель-
„ ж- 1 у+ 2 z
но прямой —^— = ^—^- = -;
б)	i',j' — проекции векторов i, j на плоскость х + у + z — 5 = 0,
ak' = [i; x j7] — векторное произведение векторов i; и j; (проек-
(проекцией вектора An на плоскость тг называется вектор А1В'', где А'
и В' — проекции точек А и В на плоскость тг);
в)	i',j',k' — векторы, полученные поворотом векторов i,j,k
на 120° вокруг прямой х — у — z.
§ 7. Изоморфизм линейных пространств
Основные понятия и теоремы
Говорят, что между элементами множеств М и М' установлено
взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу х из мно-
множества М поставлен в соответствие определенный элемент х' из мно-
множества М', так что при этом каждый элемент х' из М' оказывается
сопоставленным одному элементу х из М. Сопоставление элементу х
элемента х' будем обозначать так: х <-> х'.
Элемент х' называется образом элемента ж, а элемент х — прооб-
прообразом элемента х'.
Определение. Два линейных пространства R и В! (над одним
и тем же числовым полем) называются изоморфными, если между
их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие,
удовлетворяющее следующим двум условиям.

60	Гл. П. Линейные пространства
1°. Сумме прообразов х и у соответствует сумма их образов
х' и у', т. е. если х «->¦ х' и у <-> у', то х + у <-> х' + у'.
2°. Произведению прообраза х на число а соответствует произве-
произведение образа х' элемента х на это число, т. е. если х *-> х'', то ах *-> ах'.
Взаимно однозначное соответствие элементов линейных прост-
пространств, удовлетворяющее условиям 1° и 2°, называется изоморфиз-
изоморфизмом линейных пространств.
Обозначение: R ~ R'.
Отметим, что если R ~ R', то в <-> в', где в и в' — нулевые элементы
пространств R и R''.
Теорема 11. Два линейных пространства [над одним и тем же
числовым полем) одинаковой размерности изоморфны, и, обратно, два
изоморфных линейных пространства имеют одинаковые размерности.
Например, пространство Н™ матриц с размерами т х п изоморф-
изоморфно пространству Pmn_i многочленов степени, не превосходящей
т х п — 1, так как размерность каждого из этих пространств рав-
равна т • п.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что означают слова "между элементами двух множеств установлено
взаимно однозначное соответствие"?
2.	Какие линейные пространства называются изоморфными?
3.	Может ли образом (прообразом) нулевого элемента быть ненулевой эле-
элемент?
4.	Могут ли линейное пространство и его подпространство, не совпадаю-
совпадающее со всем пространством, быть изоморфными?
5.	Изоморфны ли линейное пространство Тз столбцов с тремя элементами
и линейное пространство Рз многочленов степени не выше 3? Ответ
обоснуйте.
6.	Приведите примеры трех линейных пространств, изоморфных линей-
линейному пространству Тп столбцов с п элементами.
Примеры решения задач
1.	Доказать, что если R ~ R'\ то в *-> 0'', где в и в' — нулевые
элементы пространств R и R'.
Л Пусть R ~ R'? х *-> х'. В силу условия 2° изоморфизма линейных
пространств элементу 0 • х из пространства R сопоставляется элемент
0 • х1 из R'. Так как 0 • х = в и 0 • х' = в', то, следовательно, элемен-
элементу в сопоставляется элемент в'. А
2.	Доказать, что если линейные пространства R и R' изоморфны,
то линейно независимым элементам xi,...,xm пространства R соот-
соответствуют линейно независимые элементы х[,..., х'ш пространства R!'.

§ 7. Изоморфизм линейных пространств	61
Л Предположим, что элементы xi,...,xm линейно независимы, а их
образы х[, ...,х'т линейно зависимы. Тогда существует линейная ком-
комбинация элементов х[, ...,х'т, равная нулевому элементу в', не все ко-
коэффициенты которой равны нулю. В силу изоморфизма пространств
Rn R' эта линейная комбинация является образом линейной комбина-
комбинации элементов xi, ...,xm с теми же коэффициентами. С другой сторо-
стороны, элемент в' является образом нулевого элемента в пространства R.
Следовательно, указанная линейная комбинация элементов жь ...,жт,
не все коэффициенты которой равны нулю, равна нулевому элемен-
элементу #, и потому элементы xi,...,xm линейно зависимы, что противо-
противоречит условию. Полученное противоречие доказывает, что элементы
х[,...,х'т также линейно независимы. А
3.	Указать соответствие между элементами линейных прост-
пространств Тз и ?2, являющееся изоморфизмом.
{г\ (°\ f°\
Л Рассмотрим базис е± = 0 , е2 — 1 , ез = 0 в прост-
\о; \о/ Vi/
ранстве Тз и базис ро(х) = 1, pi(x) = ж, Р2(х) = х2 в прост-
ранстве Р<±. Элемент у = I с^ \ пространства Тз в базисе е1,в2,ез
\с3/
имеет координаты Ci,c2,c3, так как
У = ciei +c2e2 +с3е3.
Поставим элементу у пространства Т3 в соответствие элемент у'
пространства Р2, имеющий в базисе po,Pi,P2 те же координаты сь
с2, с3, т. е. у' есть многочлен с\ + с2х + с3ж2. Это соответствие вза-
взаимно однозначное, так как каждый элемент однозначно определяется
своими координатами в данном базисе. При этом соответствии сум-
сумме прообразов соответствует сумма их образов, так как при сложе-
сложении элементов их координаты складываются. Аналогично, для любого
числа а элементу а • у пространства Тз соответствует элемент а • у'
пространства Р2. Следовательно, указанное соответствие есть изо-
изоморфизм. А
4.	Какие пространства Н™ матриц с размерами т х п изоморфны
пространству Т$ столбцов с шестью элементами?
Л Размерности пространств Н™ и Т$ равны соответственно тип
и 6. Из теоремы 11 следует, что пространства Н™ и Т6 изоморф-
изоморфны тогда и только тогда, когда m • п = 6. Следовательно, пространст-
пространства Hl,Hl,Hl,Hl изоморфны пространству Т6.
Отметим, что пространство Hf — это пространство матриц с
размерами б х 1, т. е. это само пространство Tq. Разумеется, любое
линейное пространство изоморфно самому себе. А

62	Гл. П. Линейные пространства
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
54.	Докажите, что если R ~ R' и элементы х\, ...,жш пространства R
линейно зависимы, то их образы х[, ...,х'т также линейно зависи-
зависимы.
55.	Докажите теорему 11: если dim R = dim R', то R ~ R', и, обратно,
если R ~ R', то dim R = dimit^.
56.	Докажите, не опираясь на теорему 11, что линейные пространст-
пространства разных размерностей не являются изоморфными.
57.	Найдите п для указанных ниже пространств, если известно, что
эти пространства изоморфны пространству столбцов Т§:
а)	для пространства Я^;
б)	для пространства Н%;
в)	для пространства симметричных п х n-матриц с нулевыми
диагональными элементами;
г)	для пространства Рп;
д)	для подпространства многочленов р(х) из Рп, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию р@) = 0;
е)	для подпространства столбцов из Гп, сумма элементов которых
равна нулю.

ГЛАВА III
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Существование решения
системы линейных уравнений
Основные понятия и теоремы
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвестны-
неизвестными Х\,Х2, ---чХп
(
[
а12х2 + ... + alnxn = b1,
ат2х2 + ... + атпхп = Ьт
(dij и Ь{ — известные числа).
Если ввести т х n-матрицу А = (а^), столбец X, элементами ко-
которого являются неизвестные х\,х2, ...,жп, и столбец В, элементами
которого являются свободные члены Ь]_, Ь2,..., Ьш, то данную систему
можно записать в виде
АХ = Б.	A)
Если В = 0 — нулевой столбец, то система A) называется одно-
однородной, в противном случае — неоднородной. Матрица А называется
основной матрицей системы A), В — столбцом свободных членов.
Если к матрице А добавить столбец В, то получим матрицу А*, на-
называемую расширенной матрицей системы A).
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя
бы одно решение.
Теорема 1 (теорема Кронекера и Капелли). Для того чтобы
система A) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг
основной матрицы равнялся рангу расширенной матрицы системы:
rang A = rang A*.
Система уравнений A) называется квадратной, если п = т, т. е.
число неизвестных равно числу уравнений системы.
Теорема 2. Квадратная система линейных уравнений A) с невы-
невырожденной матрицей А имеет единственное решение. Это решение
можно записать в виде
хк = ^, к = 1,2,...,п,	B)

64	Гл. III. Системы линейных уравнений
где D — определитель матрицы A, a Dk(bi) — определитель мат-
матрицы, которая получается из матрицы А заменой к-го столбца на
столбец свободных членов.
Формулы B) называются формулами Крамера. То же самое реше-
решение можно записать в матричном виде:
X = А'1 В.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какая матрица называется основной и какая — расширенной матрицей
системы линейных уравнений?
2.	Составьте расширенную матрицу системы двух уравнений с тремя не-
неизвестными х,у, z: х = 1, у — z = 0.
3.	Какая система уравнений называется совместной?
4.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие совместности сис-
системы линейных уравнений.
5.	Является ли совместной система уравнений х + у = 1, 2х + 2у = 4?
6.	Какая система уравнений называется квадратной?
7.	При каком условии квадратная система линейных уравнений имеет
единственное решение?
8.	Напишите выражение для решения квадратной системы линейных урав-
уравнений с невырожденной матрицей:
а)	по формулам Крамера;
б)	через обратную матрицу по отношению к основной матрице системы.
Примеры решения задач
1. Является ли совместной система уравнений
Л Воспользуемся теоремой Кронекера и Капелли. С этой целью най-
найдем сначала ранг основной матрицы системы
Четвертый столбец матрицы А равен первому столбцу, а третий стол-
столбец равен первому, умноженному на —1. Поэтому третий и четвертый
столбцы можно вычеркнуть, не изменив при этом ранга матрицы. По-
Получится матрица
(-! I).
\ 1 -з/

§1. Существование решения системы линейных уравнений	65
ранг которой, очевидно, равен 2. Следовательно, и rang A = 2.
Составим теперь расширенную матрицу А*, добавив к матрице А
столбец свободных членов данной системы, и снова вычеркнем третий
и четвертый столбцы, что не изменяет ранга матрицы. Получится
матрица
/ 1 1 1\
-1 2 1.
V 1 -3 1/
Определитель этой матрицы отличен от нуля (он равен 8), поэтому
ранг этой матрицы равен 3 и, следовательно, rang А* = 3.
Таким образом, rang A — 2фЪ — rang А*, т. е. ранги основной и
расширенной матриц не равны. Поэтому данная система уравнений
несовместна. А
2. При каких значениях с совместна система уравнений
{Х\ + %2 - Ж3 +Ж4 = 2,
— Х\ + 2ж2 + Х3 - Х4 = 1,
Х\ - ЗХ2 - Ж3 + Ж4 = С?
Л Основная матрица А данной системы такая же, как в приме-
примере 1. Как было установлено, rang A = 2. Составив расширенную матри-
матрицу и вычеркнув в ней третий и четвертый столбцы (как и в примере 1,
это не изменяет ранга матрицы), получим матрицу
определитель которой равен Зс + 6. Если с ф —2, то этот определитель
отличен от нуля, поэтому rang А* — Ъф rang А, и, следовательно, дан-
данная система уравнений несовместна. Если же с = -2, то det В = 0, а
так как у матрицы В есть миноры второго порядка, отличные от ну-
нуля, то rang В = 2, и поэтому rang А* = 2. Итак, при с = — 2 rang A =
= rang А* и, следовательно, данная система совместна. А
3. Доказать, что система уравнений
{Х\ — Х2 + Х3 = О,
2ж1	- х3 = 5,
-хх + х2 + 2ж3 = -3
имеет единственное решение, и найти это решение.
Л Данная система уравнений является квадратной (п = т = 3). Вы-
Вычислим определитель D ее основной матрицы:
D =
1	-1 1
2	0-1
-1 1 2
= 6.
3 В.Ф. Бутузов и др.

66
Гл. III. Системы линейных уравнений
Так как D ф О, то по теореме 2 система уравнений имеет единствен-
единственное решение.
Найдем его по формулам Крамера. С этой целью вычислим опре-
определители Dk(bi), к = 1,2,3, входящие числителями в правые части
формул Крамера (см. B)). Определитель D\(bi) получается из опре-
определителя D, если заменить первый столбец определителя D столбцом
свободных членов данной системы
О -1 1
5 0-1
-3 1 2
= 12.
Аналогично находим определители D2(&i) и Ds(bi):
1	0 1
2	5 -1 =6, D3(bi) =
-1 -3 2
По формулам Крамера получаем
1	-1 0
2	0 5
1 1 -3
Р3(к)
= -6.
Итак, данная система имеет единственное решение xi = 2, Ж2 = 1,
ж3 = -1. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Исследуйте на совместность систему уравнений, у которой основ-
основная матрица А и столбец свободных членов В имеют вид:
/1 3 5	-1\	/
, . 2-1-3	4	_	1
а^Л= 5 1-1	7 >	В= 6
\7 7 9	1/	\14,
( 4о
б)	А — та же матрица, что и в пункте а), В = ^
\14
/3 -5 2 4\	/2\
в)	А= [7 -4 1 3, В = 5 .
\5 7 -4 -6/	\3/
2.	При каких значениях с совместна система уравнений:
{#1 — 2ж2 + жз + Х4 = с,	Bх\— ж2 + жз + ж4 = 1,
' I

§2. Однородные системы линейных уравнений	67
Г3ж1 - 5ж2+ 2ж3+4ж4 = 2,
г) < 7х\ — 4ж2 + ж3 + Зж4 = с,
[ 5xi + сж2 - 4ж3 - бж4 = 3?
3. Решите систему линейных уравнений АХ = В в случае, когда:
4ж2 + х3 Н
8ж2 + 2ж3 Н
12ж2 + Зж3 Н
и 9^, — ^
Ь 5ж4 = 7,
h сж4 = 13;
§ 2. Однородные системы линейных уравнений
Основные понятия и теоремы
Рассмотрим однородную систему т линейных уравнений с п не-
неизвестными, записанную в матричной форме
АХ = 0.	A)
Здесь А — т х п-матрица, X — искомый столбец с п элемента-
элементами я?1,ж2, ...,жп, 0 — нулевой столбец с т элементами. Система A)
совместна, так как имеет по крайней мере нулевое решение х\ — О,
х2 = 0, ..., хп = 0. Каждое решение X системы A) является элементом
линейного пространства Тп — пространства столбцов с п элемента-
элементами.
Теорема 3. Множество всех решений однородной системы ли-
линейных уравнений A) является подпространством линейного прост-
пространства Тп.
Определение. Базис линейного пространства решений одно-
однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной
совокупностью решений этой системы (краткое обозначение: ФСР).
Теорема 4. Размерность линейного пространства решений од-
однородной системы линейных уравнений равна п — г, где п — число
неизвестных, г — ранг матрицы системы.
Из теоремы 4 следует, что если г < п, то число решений, состав-
составляющих ФСР, равно п — г. Так как в линейном пространстве (нену-
(ненулевой размерности) бесконечно много базисов, то у системы A) при
г < п бесконечно много ФСР.

68	Гл. III. Системы линейных уравнений
Теорема 5. Общее решение однородной системы уравнений A)
описывается формулой
скХк,	B)
к=1
где ci,c2, ...,cn_r — произвольные числа, а ХЬХ2, ...,ХП_Г — ФСР
системы A).
Иными словами: при любых значениях ci, c2,..., сп_г формула B)
дает решение системы уравнений A), и обратно, для любого реше-
решения X однородной системы уравнений A) существуют числа ci,c2,...
...,cn_r такие, что решение X представимо в виде B).
Контрольные вопросы и задания
1.	Может ли однородная система уравнений быть несовместной?
2.	Элементом какого линейного пространства является решение X одно-
однородной системы линейных уравнении АХ = в с п неизвестными?
3.	Является ли линейным пространством множество всех решений X од-
однородной системы линейных уравнений АХ = в?
4.	Какова размерность линейного пространства решений однородной сис-
системы 8 линейных уравнений с 12 неизвестными, если ранг матрицы
системы равен 5?
5.	Что называется фундаментальной совокупностью решений однородной
системы линейных уравнений?
6.	Напишите формулу, описывающую общее решение однородной системы
линейных уравнений.
7.	Сколько ФСР имеет однородная система линейных уравнений?
Примеры решения задач
1. Найти ФСР и общее решение системы уравнений
+ Зжз
+ 5ж3
+ хз
-1
-2
-1
—
+
+
3
5
1
2
Ж4 + 1
8Ж4 + ^
-2
1
8
7хъ
<хъ
4
7
2
= 0,
= 0,
= 0.
\
/
Л Матрица системы
А =
была рассмотрена в упр. 34, д) из гл. II, ее ранг равен 2. Поэтому
размерность пространства решений данной системы равна п — г =
= 5 — 2 = 3 и ее ФСР состоит из трех решений. В матрице А
возьмем в качестве базисного минора выделенный рамкой минор

Однородные системы линейных уравнений
69
второго порядка. Третья строка матрицы А является линейной
комбинацией базисных строк, поэтому последнее уравнение системы
является следствием первых двух уравнений и его можно отбросить.
В первых двух уравнениях члены, соответствующие базисному ми-
минору, оставляем в левой части, а неизвестные xi,x±,xs считаем "сво-
"свободными" и переносим члены с этими неизвестными в правые части
уравнений. В результате приходим к системе уравнений
-х2
-2х2
2ж4 -
C)
равносильной исходной системе, т. е. множество решений систе-
системы C) совпадает с множеством решений исходной системы уравне-
уравнений.
Найдем первое базисное решение Х\. Для этого положим х\ — 1,
х4 = ж5 = 0. Система C) примет вид
-2х2
= -4.
Определителем матрицы полученной системы является базисный
минор, отличный от нуля. Следовательно, эта система имеет единст-
единственное решение, которое можно найти, например, по формулам Кра-
мера: х<2 = 2, х$ = 0. Таким образом, Х\ =
2
0
. Полагая в систе-
ме C) х\ — 0, ж4 = 1, хъ = 0, аналогично находим х2 = 13, ж3 = 5,
0 \
13
5
1
V о у
Наконец, полагая х\ = 0, ж4 = 0, ж5 = 1, находим х2 = 1, ж3 = —1.
0\
т. е. вторым базисным решением является столбец Х2 =
Следовательно, третье базисное решение есть
1
—1
0
V 1/
Итак,
ФСР, состоящая из решений Xi,X2,X3, построена. Отметим, что по-
построенная таким образом ФСР называется нормальной ФСР. Подчерк-
Подчеркнем, что столбцы Xi,X2,Xs, образующие нормальную ФСР, линей-
линейно независимы, поскольку "свободные" неизвестные Ж1,ж4,Ж5 были
выбраны так, что выделенный рамками минор третьего порядка в

70
Гл. III. Системы линейных уравнений
матрице из этих столбцов
f
l
2
0
V
0
0
0
13
5
1
0
0
1
-1
0
1
)
отличен от нуля, и поэтому ранг этой матрицы равен 3, т. е. равен
числу столбцов матрицы.
Напишем теперь общее решение исходной системы уравнений:
X =
с2Х2
или, в координатах,
Х\ = Ci, X2 = 2ci + 13c2 + С3, Жз = 5с2 — Сз, Ж4 = С2, Ж5 = Сз,
где сьс2,с3
2. Известно, что столбцы Х\ =
образуют
произвольные постоянные. А
Г
-1
О
О,
ФСР некоторой однородной системы линейных уравнений. Из сколь-
скольких уравнений может состоять эта система? Привести пример такой
системы, состоящей из трех уравнений.
Л Ответим вначале на первый вопрос задачи. Так как столбцы Х\
и Х2 имеют по четыре элемента, то число п неизвестных системы
равно 4. Число решений в ФСР по условию равно 2, т. е. п — г = 2.
Поэтому ранг матрицы системы уравнений равен 2. Следовательно,
однородная система линейных уравнений с данной ФСР может содер-
содержать любое число, но не менее двух уравнений.
Систем линейных уравнений, имеющих ФСР, состоящую из Х\ и
Х2, бесконечно много. Построим одну из таких систем, содержащую
три уравнения. Будем искать первые два уравнения в виде
Г
+ а12х2 + а13х3 + аых^ = 0,
+ а22ж2 + а23ж3 + а24ж4 = 0.
D)
Нужно так подобрать коэффициенты а^-, чтобы Х\ и Х2 были реше-
решениями системы D). Подставив Х\ и Х2 в эту систему, получим

§2. Однородные системы линейных уравнений	71
Одним из решений последней системы является следующий набор
аи = а12 = а21 = а22 = аы = 1, сцз = а24 = 0, а23 = ^-
При таких значениях ац система D) имеет вид
( xi +х2 + ж4 = О,
\xi +X2 + 0,5 х3 = 0.
Решения Х\ и Х2 образует ее ФСР. В качестве третьего уравнения
системы можно взять произвольную линейную комбинацию найден-
найденных двух уравнений, например их сумму. Итак, одним из возможных
ответов является система уравнений
Х\ + Х2	+ Х4 = 0,
х\ + х2 +0,5ж3	=0,
2xi + 2х2 + 0, 5 х3 + ж4 = 0. А
3. В линейном пространстве Р2 многочленов степени, не превос-
превосходящей 2, найти подпространство многочленов Р(х), удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям РA) = 0, РB) = 0, и определить его размерность.
Л Пусть М — искомое подпространство многочленов. Произволь-
Произвольный многочлен из Р2 запишем в виде Р(х) = по + а\х + а2х2. Тогда
условия, определяющие принадлежность Р(х) подпространству М,
примут вид
ГрA) = ао+ ai + а2=0,
\ РB) = а0 + 2ai + 4а2 = 0.
Получилась однородная система линейных уравнений с тремя неиз-
неизвестными а0, аь а2. Ранг матрицы
1 1 1
1 2 4
этой системы равен 2. Поэтому размерность п - г пространства ре-
решений равна 1. Нормальной ФСР этой системы является, например,
решение
©¦(-•)¦
а общее решение системы получается умножением найденного реше-
решения на произвольную постоянную с: а0 = 2с, а\ — -Зс, а2 = с.
Итак, любой многочлен из подпространства М имеет вид Р(х) =
= сB — Зж + ж2). В качестве базиса этого подпространства можно
взять многочлен 2 — Зх-\-х2. Так как базис состоит из одного эле-
элемента, то размерность подпространства М равна 1. А

72
Гл. III. Системы линейных уравнений
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
4. Найдите ФСР и запишите общее решение однородной системы
линейных уравнений:
х\ + Зж2 + 5ж3 -
а)
х2
= 0;
7ж2
= 0,
= 0,
= 0,
= 0;
=0,
= 0;
д)
2х2
г) 0 • Ж1 + 0 • х2 + 0 • х3 + 1 • ж4 = 0;
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
10ж5 = 0;
бж2 -
Зж2 -
14ж4
7ж4
= О,
= О,
= О,
= 0;
ж)
Xl
x2
-x2
-хз
+ x4
+ X3 — X
= 0,
= 0,
6 = 0,
= 0.
(Матрицы систем б), д), е), ж) взяты соответственно из упр. 34,
е), з) и), к) из гл. П.)
5. Найдите две различные ФСР для системы уравнений:
a) xi + х2 + хз + ж4 = 0;
х
^
+ 21ж2 - 15ж3 + 5ж4 = 0,
+ 28ж2 - 20ж3 + 7ж4 = 0;
5ж2 + 7ж3 + 2ж4 + хъ = 0,
ж2 + 5ж3 + 4ж4 = О,
ж2 - 7ж3 - бж4 = О,
4ж2 + 20ж3 + 1бж4 - ж5 = О,
Зж2 + 23ж3 + 20ж4 + ж5 = 0;
г) 0 • хх + 0 • х2 + 0 • хз + 1 • х4 = 0.
6. Докажите, что система уравнений
{xi - х2 + 2ж3 - ж5 = О,
xi - ж2 + 2ж3 + ж5 = О,
xi - х2 + 2ж3 - ж5 = О
имеет бесконечно много решений, причем в каждом ее реше-

2. Однородные системы линейных уравнений
73
НИИ
= 0.
7. Укажите все группы неизвестных, которые могут быть "свобод-
"свободными" неизвестными при решении системы уравнений
9х3 +
7х3 -
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
8.	В линейном пространстве Рп многочленов степени, не превосхо-
превосходящей п, найдите размерность подпространства многочле-
многочленов Р(х), удовлетворяющих условиям Р(а^) = 0, г = 1, 2,..., к {к ^
^ n), ai, a2,..., аи — различные числа.
9.	В линейном пространстве Р^ многочленов степени, не превосхо-
превосходящей 4, найдите какой-нибудь базис подпространства многочле-
многочленов Р(х), для которых Р@) = РA) = РB) = 0.
10.	Найдите однородную систему линейных уравнений, состоящую:
а) из двух уравнений; б) из трех уравнений;
в) из четырех уравнений;
для которой столбцы
' 1\
4
-2
2
V-1/	\
образуют ее ФСР.
11.	Существует ли однородная система линейных уравнений, для ко-
которой каждая из совокупностей трех столбцов
з\
13
-1
2
1/
х3 =
( 2\
7
-8
4
является ее ФСР?

74	Гл. III. Системы линейных уравнений
§ 3. Неоднородные системы линейных уравнений
Основные понятия и теоремы
Рассмотрим неоднородную систему т линейных уравнений с п
неизвестными
АХ = В	A)
(обозначения те же, что и в § 1, столбец В ненулевой). Будем считать,
что система A) совместна и ранг матрицы А равен г.
Теорема 6. Общее решение неоднородной системы уравнений A)
имеет вид
п—г
Х = Х0 + 5>Л,	B)
к=1
где Xq — какое-нибудь [частное) решение системы A), Xl,X2,...
...,Хп-г — ФСР соответствующей однородной системы линейных
уравнений, ci, с2,..., сп_г — произвольные числа.
Контрольные вопросы и задания
1.	Может ли неоднородная система линейных уравнений быть несов-
несовместной?
2.	Какой формулой описывается общее решение совместной неоднородной
системы линейных уравнений?
3.	Образует ли множество всех решений неоднородной системы линейных
уравнений линейное пространство?
Примеры решения задач
1. Доказать, что система линейных уравнений
( 2х1 - х2+ Зж3 - 2ж4 + 4ж5 = 1,
C)
совместна и найти ее общее решение.
Л I способ. Столбец свободных членов, умноженный на б, ра-
равен разности пятого и четвертого столбцов основной матрицы дан-
данной системы уравнений. Поэтому ранг расширенной матрицы равен
рангу основной матрицы, и, следовательно, система совместна.
Общее решение однородной системы уравнений, соответствую-
соответствующей C), было найдено в примере 1 (с. 68). Чтобы найти частное ре-
решение системы C), выделим в основной матрице А базисный минор,
стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим

3. Неоднородные системы линейных уравнений
75
столбцами (т. е. тот же минор, что и в упомянутом примере), отбро-
отбросив последнее уравнение системы C), а первые два запишем в виде
— Ж2
-2ж2
= 1 — 2Ж1 + 2X4 —
Эта система равносильна исходной системе C). Положим в ней
"свободные" неизвестные равными нулю, т. е. х\ — ж4 = ж5 = 0. В
результате придем к системе уравнений
- х2
Она имеет единственное решение ж2 = 2, жз = 1. Таким образом, най-
2
ж2
^3
ж4
=
/0\
2
1
0
W
/1\
2
0
0
\о/
+ с2
/ о\
13
5
1
\ о/
+ с3
/ о\
1
-1
0
\ 1/
дено частное решение системы C): Xq =
Общее решение системы C) запишем по формуле B):
Х =
или, в координатах,
х\ — ci, х2 = 2 + 2ci + 13с2 + с3,
ж3 = 1 + 5с2-с3, ж4=с2, ж5=с3. D)
II способ. Применяя к строкам расширенной матрицы элемен-
элементарные операции, не изменяющие ее ранга, преобразуем расширен-
расширенную матрицу А* к виду
/2 -13-2 4 1\
Аг = 0 0-1 5 -1 -1 .
\0 0 -2 10 -2 -2/
Чтобы получить матрицу Ai, ко второй строке матрицы А* была при-
прибавлена первая строка, умноженная на —2, а к третьей строке прибав-
прибавлена первая, умноженная на —1. В матрице А\ третья строка равна
второй, умноженной на 2. Теперь очевидно, что rang A = rang A* = 2
и п — г = 3.
Произведем такие же действия с уравнениями системы C). Полу-
Получим систему уравнений

76	Гл. III. Системы линейных уравнений
равносильную исходной. Второе уравнение запишем так:
х3 = 5ж4 - ж5 + 1,
и, подставляя жз в первое уравнение, выразим х2 через остальные
неизвестные: х2 = 2 + 1х\ + 13^4 + х§. Итак, имеем
х2 = 2 + 2x1 + 13ж4 + ж5,
ж3 = 1 +	5ж4 -ж5,
где х\,х±,х§ могут принимать любые значения. Положив х\ — ci,
х4 = С2, ж 5 = сз, получим решение задачи в виде D). А
2. В пространстве Р2 многочленов степени, не превосходящей 2,
найти все многочлены Р(х), удовлетворяющие условиям РA) = О,
РB) = 3. Образуют ли эти многочлены подпространство пространст-
пространства Р2?
Л Любой многочлен Р(х) из пространства Р2 можно представить в
виде Р{х) = ао + а\х + а2х2. Тогда условия РA) = О, РB) = 3 запи-
запишутся так:
( о+ а\ + а2 = О,
а0 + 2ai + 4а2 = 3.
Получилась неоднородная система двух уравнений с тремя неизвест-
неизвестными ao,ai,a2. Она совместна (ранг основной и расширенной матриц
равен 2) и ее общее решение можно записать в виде
ао = —3 + 2с, ai = 3 — Зс, а2 = с,
где с — произвольная постоянная. Поэтому множество многочленов,
удовлетворяющих заданным условиям, дается формулой
Р(х) = -3 + 2с + C - Зс)ж + сх2.
Это множество многочленов не является подпространством прост-
пространства Р2, так как сумма Р(х) двух многочленов Р\(х) и Р2(х) из
этого множества не принадлежит данному множеству. В самом деле,
РB) = Pi B) + Р2B) = 3 + 3 = б, т. е. сумма Р(х) не удовлетворяет
условию РB) = 3. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
12. Докажите совместность и найдите общее решение системы линей-
линейных уравнений, заданной своей расширенной матрицей, в которой
последний столбец есть столбец свободных членов:
A 3 5 -1
2-1-3 4 1
5 1-17 6
7 7 9 1 1

3. Неоднородные системы линейных уравнений
1 1 1
11-1
г) (О О О 1 10);
-2 7 4 Г
-14 2 0
-3564
-3 16 5,
9 21 -15 5 10
12 28 -20 7 13
( 1
2
-3
8
Vio
5
1
-1
4
3
7
5
-7
20
23
2
4
-6
16
20
1
0
0
-1
1
5\
1
-1
4
зУ
и)
(Основные матрицы систем уравнений пунктов а)-ж) этого
упражнения взяты из соответствующих пунктов упр. 4.)
13.	Докажите, что для совместности системы уравнений АХ = В не-
необходимо и достаточно, чтобы столбец В принадлежал линейной
оболочке столбцов матрицы А.
14.	Докажите совместность и найдите общее решение системы урав-
уравнений:
5x2 -
2x2 +
x2 -
+
x2 +
2x3 - 4x4
x3 + 2x4
X3 — 2X4
Хз + 2X4
Хз + 2X4
= 8,
= -з,
= 1,
= 1,
= 3;
б) <
xi -
xi -
x2 -
хз -
fx2
fx2 -
fx3 -
fx4 -
x4-
bx3
Ьх4
Ьх5
- X5
= 1,
= 4,
= -з,
= 2,
= -1.
15. Исследуйте на совместность систему уравнений и найдите ее
общее решение при тех значениях параметра с, при которых сис-
система совместна:
( 3xi + 2х2
{	х3 = —1,
7xi + 6х2 + 5х3 = с,
5xi + 4х2 + Зх3 = 2;
{2cxi + х2 + х3 = 0,
xi - х2 + сх3 = 1,
(с - 6)xi + 2х2 - 4х3 = -3;
{xi + х2 +сх3 = 1,
Х\ +СХ2 + Х3 = 1,
cxi + х2 + х3 = 1;
{Xi + СХ2 +Хз — СХ4 = 1,
2Xi — Х2	+ СХ4 = 0,
xi - Зх2 -х3 + 4х4 = 2.

78	Гл. III. Системы линейных уравнений
16. Докажите, что в каждом решении системы уравнений
2х±
Xi
-xi
2x\
+
+
+
—
3^2
2x2
x2
x2
+ i
+ :
+ 3:
+ с
^3
сз + 5:
^з — 8*
+
c4
Ж5
Ж5
2^5
= 6,
= 5,
= 8,
= -6
значения неизвестных ж3 и ж5 равны соответственно 1 и 0.
17. Докажите, что существует система уравнений, для которой каж-
каждая из формул
X =
описывают ее общее решение? Приведите пример такой системы
уравнений.
18. В пространстве Р$ многочленов степени, не превосходящей 5,
найдите три линейно независимых многочлена Pk(x), к = 1,2,3,
удовлетворяющих условиям
0, Р*B) = -5.

ГЛАВА IV
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение евклидова и унитарного пространства
Основные понятия, формулы и теоремы
1. Понятие евклидова пространства.
Определение. Вещественное линейное пространство R называ-
называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидо-
евклидовым пространством), если в нем введено скалярное умножение эле-
элементов, т. е. указано правило, ставящее в соответствие любым двум
элементам ж и у вещественное число (будем обозначать это число
(ж,у) и называть скалярным произведением элементов ж и у), при-
причем указанное правило удовлетворяет для любых ж, y,z из R и любо-
любого вещественного числа а следующим требованиям (они называются
аксиомами скалярного произведения).
1°. (ж, у) = (у, ж) (перестановочность или коммутативность сомно-
сомножителей).
2°. (ж + у, z) = (ж, z) + (у, z) (распределительное свойство).
3°. (ах,у) = а(х,у).
4°. (ж, ж) > 0, если ж ф в и (ж, ж) = 0, если ж = в.
Произвольное евклидово пространство часто обозначают буквой ?
или ?п; индекс п указывает размерность пространства.
Примеры евклидовых пространств:
а)	Vs — линейное пространство геометрических векторов со ска-
скалярным произведением
(х,у) = |х| • |y|cos(x7y);
б)	Тп — линейное пространство столбцов с п элементами, в ко-
(Х1\ (У1\
тором скалярное произведение столбцов ж = I : I и у = I : I
\ хп /	\ Уп /
определено формулой
п
(ж, у) — / Xj^ykj
k=l
в)	С[а, Ь] — линейное пространство непрерывных на [а, Ь] функ-
функций, в котором скалярное произведение элементов x(t) и y(t)

Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
определено формулой
ъ
(х,у)= fx{t)y{t)dt.
а
2. Понятие унитарного пространства.
Определение. Комплексное линейное пространство R называ-
называется комплексным евклидовым пространством или унитарным про-
пространством, если в нем введено скалярное умножение элементов, т. е.
указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам ж
и у комплексное число (будем обозначать его (х,у) и называть ска-
скалярным произведением элементов х и у), причем это правило удов-
удовлетворяет для любых ж, у, z из R и любого комплексного числа а
следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения):
1)	(ж, у) = (у,х)*) ;
2)	(x + y,z) = (x,z) + (y,z);
3)	(ах,у) =а(х,у)]
4)	(ж,х) > 0, если х/^и(ж,ж)=0, если х = в.
Отметим, что аксиома 1) отличается от соответствующей аксио-
аксиомы 1° для вещественного евклидова пространства (в связи с этим см.
пример 4 на с. 84). Из аксиом 1)-3) следует, что
(х,ау) =а(х,у)
и
(x,y + z) = (ж, у) + (x,z).
Произвольное унитарное пространство будем обозначать бук-
буквой Е или Еп; индекс п указывает размерность пространства.
Примеры унитарных пространств:
а) Т? — линейное пространство столбцов с п элементами, в ко-
(Х1\ (У1\
тором скалярное произведение столбцов ж = : и у = :
\ хп /	\ Уп /
(xkiVk — комплексные числа) определено формулой
(х,у) =
k=i
б) С* [а, Ь] — линейное пространство непрерывных на [а, Ь]
комплекснозначных функций, в котором скалярное произведение
элементов x(t) = a(t) + i/3(t) и y(t) = S(t) + ij(t) определено формулой
ь	ь	ь
(ж, у) = Jx(t)y(t) dt = J(a-S + f3-j)dt + ij(/3S - cry) dt.
*) Здесь символом Ъ обозначается число, комплексно сопряженное с числом Ъ.
Напомним, что если Ъ = а, + i/З, то b = а — i/3.

§1. Определение евклидова и унитарного пространства
81
3. Выражение скалярного произведения через координаты
элементов. Пусть ei, в2,..., еп — базис в евклидовом пространстве Еп
п	п
или унитарном пространстве Еп, и пусть х = ^жрер, у = У^?/двд.
p=l	gf=l
Скалярное произведение элементов х и у в евклидовом пространст-
пространстве ?п имеет вид
p,q=l
где apq = (ep,eq). Из аксиомы 1° следует, что apq = aqp.
Скалярное произведение элементов х и у в унитарном прост-
пространстве Еп имеет вид
п
p,q=l
где apq = (epjeq). Из аксиомы 1) следует, что apq = aqp.
4. Метрические понятия. Неравенство Коши-Буняковс-
кого. Скалярное произведение позволяет ввести в евклидовом
пространстве метрические понятия длины элемента и угла между
элементами. Нормой (длиной) элемента х евклидова пространства
(вещественного или комплексного) называется число ||ж|| = ^JJx~x).
В вещественном евклидовом пространстве углом между ненулевы-
ненулевыми элементами х и у называется угол ср, удовлетворяющий условиям
(X 1])
cos<р = .. ,. и 0 ^ if ^ тг. Корректность такого определения угла
IMI • \\y\\
вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1. В любом евклидовом пространстве (вещественном
или комплексном) справедливо неравенство Коши-Буняковского
\(х,у)\^\\х\
A)
Из неравенства A) следует, что | cos(p\ ^ 1. В унитарном простран-
пространстве понятие угла между элементами не вводится.
Неравенство Коши-Буняковского в конкретных евклидовых
пространствах:
а) в вещественном пространстве Тп
k=l
1/2
б) в комплексном пространстве Т*
1/2
1/2
1/2

82	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
в)	в вещественном пространстве С[а, Ь]
\fx(t)y(t)dt\ sC (fx2(t)dt) ¦ (уУ2(*)dt) ¦
а	а	а
г)	в комплексном пространстве С* [а, Ь]
1/2 ¦ (f\y(t)\2dt)
1/2
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение вещественного евклидова пространства и
приведите пример такого пространства.
2.	Каким образом можно ввести скалярное умножение элементов: в про-
пространстве Тп; в пространстве С[а,Ь]?
3.	Сформулируйте определение унитарного пространства и приведите
пример такого пространства.
4.	Каким образом можно ввести скалярное умножение элементов: в про-
пространстве Т^; в пространстве С* [а, Ъ]1
5.	Докажите следующие свойства скалярного произведения в унитарном
пространстве: а) (ж, ау) = а(ж, г/); б) (ж, у + z) = (ж, г/) + (ж, z).
6.	Как выражается скалярное произведение элементов евклидова (уни-
(унитарного) пространства через координаты элементов в произвольном
базисе?
7.	Как определяются норма (длина) элемента и угол между ненулевыми
элементами евклидова пространства?
8.	Какое неравенство называется неравенством Коши-Буняковского?
9.	Запишите выражение для нормы элемента и неравенство Коши-Буня-
Коши-Буняковского в пространствах Тп, Т?, С[а,Ь], С* [а, Ь].
Примеры решения задач
1.	Доказать, что для любого элемента х евклидова пространства
справедливо равенство @,х) = 0.
Л Для любого элемента х имеем 0 • х = в. Используя это ра-
равенство и аксиому 3° скалярного произведения, получаем @,х) =
= @-х,х) = 0- (ж, ж) = 0. А
2.	Доказать, что в пространстве Р<± многочленов степени, не пре-
превосходящей 2, скалярное умножение элементов f(x) и д(х) можно
ввести по формуле
(/,9) = /(-1) ' <?(-!) + /@) • 9@) + /A) • д{1).
Л Для доказательства данного утверждения нужно показать, что
для предложенного правила выполняются четыре аксиомы скалярного
произведения.

§1. Определение евклидова и унитарного пространства	83
1°- {ft 9) — (#?/) в СИЛУ коммутативности умножения чисел.
2°. Проверим, что (/ + h,g) = (/, g) + {h,g). В самом деле,
[/(-1) + М-1)] " <?(-!) + [/@) + НО)} ¦ д@) + [/A) + /i(l)] ¦ дA) =
= [/(-1) • д(-1) + ДО) • 5@) + /A) • дA)} +
3°. Проверим, что (af,g) = a(f,g), где а — произвольное число.
Действительно,
(af,g) = af(-l) ¦ д(-1) + а/@) • 5@) + а/A) • 5A) = a(f,g).
4°. Для любого многочлена /(ж), степень которого не выше двух,
справедливо неравенство (/, /) = /2(—1) + /2@) + /2A) > 0.
Остается показать, что если (/,/) = 0, то /(ж) = 0 для любого ж,
т. е. / = 0. Пусть (/, /) = 0, т. е. /2(-1) + /2@) + /2A) = 0. Отсюда
получаем /(-1) = /@) = /A) = 0. Но так как степень многочлена
/(ж) не превосходит 2, то число его корней не более двух, если хо-
хотя бы один коэффициент многочлена отличен от нуля. Следователь-
Следовательно, /(ж) = 0.
Таким образом, выполнены все аксиомы и, значит, по указанной
формуле можно ввести скалярное произведение. А
3. Пусть Р2 — евклидово пространство, рассмотренное в преды-
предыдущем примере.
а)	Вычислить нормы многочленов /(ж) = 1 — ж + ж2 и д(х) = 1 + ж
и угол между ними.
б)	Написать выражение скалярного произведения двух произволь-
произвольных элементов пространства Р2 через их координаты в базисе р0 = 1,
Pi = х, р2 = ж2.
Л а) Вычислим значения /(ж) и д{х) в точках ж = —1, ж = 0, ж = 1:
/(-1) = 3, /@) = 1, /A) = 1, 5(-1) = 0, 5@) = 1, 5A) =2.
По формуле скалярного произведения (/,5) = /(~1)" з(~1) +
+ /@) • 5@) + /A) • 5A) находим
(/, 5) = 3 • 0 + 1 • 1 + 1 • 2 = 3, (/, /) = З2 + I2 + I2 = И,
E,5) = О2+ 12 + 22= 5.
Вычислим теперь нормы элементов /иди угол между ними:
if, я) з
откуда if = arccos ——.
л/55

84	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
б) Найдем выражение скалярного произведения произвольных эле-
элементов /(ж) и д(х) через их координаты в базисе: ро — 1? Pi — х,
Р2 = х2.
Пусть /(ж) = С0 + С1Ж + С2Ж2, д(х) = do + dix + d2X2; тогда / =
2^,	и скалярное произведение элементов fug
г=1	j=l
2
можно записать в виде (/,#) = ^ aijCidj, где а^ = (pi,Pj). Haxo-
дим коэффициенты а^-:
«оо = (Ро,Ро) = 3, аи = Oi,pi) = 2, а22 = (Р2,Р2) = 2,
«01 = «ю = (po,Pi) = 0, а02 = «20 = (ро,Р2) = 2,
«12 = «21 = (РЬР2) = 0.
Таким образом, скалярное произведение элементов /(ж) и д(ж) через
координаты этих элементов в базисе р0 = l,pi =ж,р2 =^2 выражается
так:
(/,р) = 3codo + 2cidi + 2с2б?2 + 2cod2
4. Доказать, что для скалярного произведения в комплексном
евклидовом пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы
скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом
пространстве.
Л Предположим, что в комплексном линейном пространстве введе-
введено скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1°-4°. Тогда
из аксиом 1° и 3° следует, что для любого числа а и любого элемен-
элемента х имеет место равенство
(ах,ах) = а(х,ах) = а(ах,х) = а2(х,х).
Положив а = г, получим
(ix,ix) = —(ж,ж) < О,
если ж ф в.
Таким образом, пришли к противоречию с аксиомой 4°, в силу
которой скалярный квадрат любого элемента линейного пространст-
пространства должен быть неотрицательным. Следовательно, в комплексном
линейном пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы ска-
скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом прост-
пространстве. Как уже отмечалось, при переходе от вещественного к
комплексному евклидову пространству видоизменяется аксиома 1°. А

§1. Определение евклидова и унитарного пространства	85
5. Можно ли в комплексном линейном пространстве квадратных
матриц второго порядка ввести скалярное умножение по формуле:
а)	(А, В) = а{а2 — hb2 + с{с2 — d\d2,
б)	(А, В) = a{a2 + bjJ + с{с2 -\- d±d2,
c2 d2
Л а) Нельзя, так как не выполняется аксиома 4° скалярного произ-
произведения. Действительно, для матрицы А = ( ~ ^ ) имеем
(А, А) = а{а\ — bibi + с{с\ — d\d\ = 1 — 1 = 0,
хотя матрица А не является нулевым элементом пространства, так
как не все ее элементы равны нулю.
б) Можно, так как выполняются все четыре аксиомы скалярного
произведения в комплексном пространстве. Покажем это.
1) Вычислим (В, А):
(В, А) = а2а\ + Ь2Ь\ + с2с\ + d2d\ — а2а\ + Ь2Ь\ + с2с\ + d2d\.
Сравнивая, находим, что (А, В) = (В, А), т. е. аксиома 1) выпол-
выполняется.
2) Проверим, что (А + В, С) = (А, С) + (В, С). Пусть С =
. Тогда
(А + В,С) = (а,! + а2)
т. е. аксиома 2) выполняется.
3)	Аналогично проверяется, что (аА,В) = а(А,В).
4)	Для любой матрицы А справедливо неравенство
(А, А) = aioT + &1&Г + cicT + did^" = \аг|2 + |ЬХ|2 + |сх|2 + |dx|2 ^ 0,
причем (-4,-4) = 0 только в том случае, когда |ai| = |bi| = \c\\ =
= |di| = 0, т. е. когда А = f
Таким образом, скалярный квадрат матрицы неотрицателен и ра-
равен нулю лишь тогда, когда матрица нулевая, что доказывает выпол-
выполнимость аксиомы 4). А

Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Можно ли в линейном пространстве Щ матриц с вещественными
элементами ввести скалярное умножение матриц А = (apq) и В =
= (bpq) по формуле
(А, В) = пцЪц + B22^22 + ^ЗЗ^ЗЗ?
2.	В базисе ei,e2 вещественного линейного пространства R2 про-
произвольные элементы х и у имеют разложения ж = х\е\ + х2е2,
У =	+
а)	Можно ли в пространстве R2 ввести скалярное умножение эле-
элементов по формуле:
1°) (ж,у) =х1у1 -2х2у2;
2°) (х,у) = 2х1У1
3°) (Ж, у) = ЯШ -
б)	Вычислите скалярное произведение элементов х = е\ + в2 и у —
— —ei, их нормы и угол между ними, если скалярное умножение
введено по формуле 2°) (по формуле 3°) п. а).
3.	Скалярное умножение элементов в пространстве Р\ многочленов
степени, не превосходящей 1, введено по формуле 2°) (по формуле
3°)) из упр. 2, а) в базисе е\ — 1, е2 = 1 + х. Вычислите скалярное
произведение многочленов f(x) = 1 + х и д(х) = -Зж, их нормы
и угол между ними.
4.	Докажите, что в любом вещественном линейном пространст-
пространстве Rn можно ввести скалярное умножение элементов по формуле
где Xk и yk (к = 1,..., п) — координаты элементов жир заданном
базисе ei,...,en. Покажите, что при этом (ep,eq) = Spq, где Spq —
символ Кронекера.
5.	В линейном пространстве Р$ многочленов степени, не превосхо-
превосходящей 5, вычислите скалярное произведение многочленов /(ж) =
= 2 — Зж + 4ж3 — ж4 и д(х) = 1 — ж + ж2 + ж3 — 2 • ж5, если скаляр-
скалярное произведение определено по формуле упр. 4 в базисе е\ =
= 1, е2 = ж, ..., е6 = ж5.
6.	Докажите, что в вещественном евклидовом пространстве нера-
неравенство Коши-Буняковского переходит в равенство тогда и толь-
только тогда, когда элементы х и у линейно зависимы.

§1. Определение евклидова и унитарного пространства	87
7.	Докажите, что норма элементов евклидова пространства (вещест-
(вещественного или комплексного), введенная по формуле ||ж|| = л/(х~х),
удовлетворяет следующим условиям (они называются аксиомами
нормы):
1)	для любого элемента ж: \\x\\ ^ 0, причем ||ж|| = 0 только в том
случае, когда х = в;
2)	для любого элемента х и любого числа а:
\\ax\\ = \а\ • ||ж||;
3)	для любых элементов х и у справедливо неравенство
\\Т _|_ 7/м <• 11^11 _|_ ||7/||
IIх * У\\ ^ \\х\\ * Ns/lb
называемое неравенством треугольника.
8.	Пусть у — фиксированный ненулевой элемент евклидова
пространства, а — фиксированное число. Является ли множес-
множество всех элементов ж, для которых (х,у) = а, подпространством
данного евклидова пространства?
9.	Докажите, что:
а)	если (ж, у) = 0 для любого элемента ж, то у = в;
б)	если (ж, у) = (ж,2:) для любого элемента ж (у и z — фиксиро-
фиксированные элементы), то у = z.
10. В базисе ei,e2 комплексного линейного пространства произволь-
произвольные элементы х и у имеют разложения
ж = Ж1в1 + ж2е2, у = 2/i ei + ?/2е2.
а)	Можно ли в этом пространстве ввести скалярное умножение
элементов по формуле:
1°) (ж, у) = x{yi + ixiy2 + (г — 1)а
3°) (ж, у) = жi^i" + A + i)xiy2 -\- (i — 1)х2У1 — ¦
б)	Вычислите скалярное произведение столбцов А =
Зг Л
. _ • I и их нормы, если скалярное умножение столбцов
L г J
введено по формуле 2°) из а) в базисе е\ — ( _. ) , е2 =

Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
§ 2. Ортонормированный базис
Основные понятия и теоремы
1. Ортогональность элементов. Ортонормированный ба-
базис. Элементы х и у евклидова пространства (вещественного или
комплексного) называются ортогональными, если их скалярное про-
произведение равно нулю:
Определение. Базис ebe2, ...,en евклидова (унитарного) прост-
пространства называется ортогональным, если элементы базиса попарно
ортогональны: (е^е^) = 0 при г ф j.
Ортогональный базис еь ...,еп называется ортонормированным ба-
базисом, если норма каждого базисного элемента равна 1. Иначе гово-
говоря, базис еь...,еп называется ортонормированным, если (е^е^) = (%
(символ Кронекера).
Теорема 2. В любом п-мерном (п ^ 1) евклидовом (унитарном)
пространстве существует ортонормированный базис.
Примеры ортонормированных базисов:
1)	в пространстве Vs геометрических векторов любые три единич-
единичных попарно ортогональных вектора i,j,k образуют ортонормирован-
ортонормированный базис;
2)	в евклидовом пространстве Тп и в унитарном пространстве Т^
(см. примеры на с. 79 и 80) столбцы
1
о
о
\
0 \
1
0
еп =
0 \
о
о
V 1
\ о /	\ о /
образуют ортонормированный базис;
3) в линейной оболочке L(cos ж, sin х) функции \ / — cos х и \ / — sin x
у 7Г	У 7Г
образуют ортонормированный базис, если скалярное произведение
функций f(x) и д(х) определено формулой
7Г
(ЛяО = [f(x)g(x)dx.
о
2. Процедура ортогонализации. Ортонормированный базис
в n-мерном евклидовом (унитарном) пространстве можно построить
на основе произвольного базиса с помощью процедуры ортогонализа-
ортогонализации. Опишем эту процедуру.

Ортонормированный базис
Пусть даны к линейно независимых элементов Х\,Х2, ...,#& евкли-
евклидова пространства Еп (или унитарного пространства Еп). Построим
попарно ортогональные элементы ei,e2, ...,е^, представляющие собой
линейные комбинации элементов xi,...,Xk следующим образом.
Положим
е\ = Ж]_, в2 = Х2 — ^12^1,
где а\2 = (^2,ei) • (e^ei). Такой выбор коэффициента а\2 обеспе-
обеспечивает ортогональность е\ и в2'. (ei,e2) = 0. Далее, положим
2
ез = х3 - aisei - а23е2 = х3 - ^ ai3ei,
г=1
где ai3 = (>3,ei) • (ebei), a23 = Оз,е2) • (e2,e2)~1. Такой выбор
коэффициентов a±s и а2з обеспечивает ортогональность ез к элемен-
элементам ei и е2 (проверьте это). И так далее. На т-м шаге (т ^ fc) пола-
полагаем
га — 1
^-га — «^га / v ^im^ii	V-LJ
г=1
где
^ira = (Жт,бг) • (вЬ е^).	B)
Такой выбор коэффициентов aim обеспечивает ортогональность
ет к элементам ei,...,em_i. В результате к шагов описанная про-
процедура дает попарно ортогональные элементы ei,...,e^. Можно дока-
доказать, что эти элементы линейно независимы.
Применив процедуру ортогонализации к произвольному базису
/i,..., fn пространства Еп (или Еп), получим базис из п попарно орто-
ортогональных элементов ei, ...,en {ортогональный базис). Чтобы сделать
его ортонормированным, нужно каждый элемент е« умножить на чис-
число -—-. Полученные в результате элементы д\ — тт-^-гт, ..., дп = ,, пм
\Ы\	Ikill	\\en\\
образуют ортонормированный базис пространства ?п (или Еп).
3. Разложение элементов по ортонормированному бази-
базису. Пусть ei,...,en — ортонормированный базис в евклидовом или
унитарном пространстве, х = У^ж^ — разложение произвольного
элемента х по данному базису. Тогда координаты xi элемента х вы-
выражаются формулой
xi = (ж,е;), i = 1,...,п.
Скалярное произведение (ж,е^) называется проекцией элемента х на
элемент е^. Таким образом, координаты произвольного элемента

90
Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
евклидова (унитарного) пространства в ортонормированном базисе
равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные эле-
элементы.
4. Выражение скалярного произведения через координаты
элементов в ортонормированном базисе. Пусть еь ..., еп — орто-
нормированный базис в евклидовом пространстве ?п (или унитарном
произвольные элементы
пространстве Еп), х = V^ х\е\, у = V^
г=1	з=1
этого пространства. Тогда для скалярного произведения элементов х
и у имеют место следующие выражения:
в евклидовом пространстве ?п
г=1
в унитарном пространстве Еп
C)
D)
Из C) и D) следуют формулы, выражающие норму элемента через
его координаты в ортонормированном базисе:
в пространстве ?п
в пространстве Еп
\\Т\\ —
\\х\\ —
N1=
г=1
г=1
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие элементы евклидова пространства называются ортогональными?
2.	В пространстве С[0,1] скалярное произведение функций f(x) и д{х)
определено формулой
(f,g) = ff(x)g(x)dx.
О
Ортогональны ли функции fi(x) = 1 и /2 (ж) = х — -, fi(x) и /з(ж) =
= costtx, /2(ж) и /з(ж)?
3.	Докажите, что если элементы х\ и Х2 ортогональны, то элементы с\Х\
и С2Ж2 также ортогональны при любых числах с\ и С2.

§2. Ортонормированный базис	91
4.	Докажите, что если ненулевые элементы хну евклидова пространства
ортогональны, то они линейно независимы. Верно ли обратное утверж-
утверждение?
5.	Что такое ортогональный базис? Что такое ортонормированный базис?
Приведите примеры ортонормированных базисов.
6.	Опишите процедуру построения ортонормированного базиса на основе
произвольного базиса (процедуру ортогонализации).
7.	Сколько ортонормированных базисов существует в данном п-мерном
евклидовом пространстве?
8.	Напишите формулу для координат произвольного элемента в ортонор-
мированном базисе.
9.	Напишите формулу скалярного произведения элементов х и у через
их координаты в ортонормированном базисе евклидова (унитарного)
пространства?
10. Как выражается норма произвольного элемента через его координа-
координаты в ортонормированном базисе евклидова (унитарного) пространства?
Примеры решения задач
1. а) Доказать теорему Пифагора в евклидовом пространстве: если
(х,у)=0,то\\х + у\\2 = \\х\\2 + \\у\\2.
б) Доказать обратную теорему: если ||ж + ?/||2 = ||ж||2 + |М|2, то
(я,2/)=0.
Л Вычислим квадрат нормы элемента х + у:
\\х + у\\2 = (х + у, х + у) = (ж, х) + 2(ж, у) + (у, у) =
Отсюда следует:
а)	если (ж,у) = 0, то ||ж + у\\2 = ||ж||2 + \\y\\2]
б)	обратно, если ||ж + у\\2 = ||ж||2 + \\y\\2, то (ж,у) = 0. А
2. Пусть элементы ei, ...,e^ получены в результате процедуры ор-
ортогонализации из элементов xi, ...,Xk по формулам A), B). Доказать,
что линейная оболочка L\ — L(ei,..., е^) совпадает с линейной оболоч-
оболочкой L2 = 1/(жЬ...,Ж?;).
Л Докажем сначала, что L\ С Z/2- Для этого достаточно показать,
что Vm [m = l,...,fc) еш G Z/2- По формуле A) при m = 1 и m = 2
имеем ei = xi, e^ = х<± — ai2, ei = Ж2 — ai2#i, т- е- элементы ei и в2
являются линейными комбинациями элементов х\,хъ. Далее приме-
применим метод математической индукции. Пусть элементы еь ..., em_i яв-
являются линейными комбинациями элементов жь ...,xm_i, тогда сум-
тп-1
ма ^^ ^гт^г в формуле A) также является линейной комбинацией
г=1
элементов xi,...,xm-i и, следовательно, элемент еш — это линейная

92
Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
комбинация элементов xi,...,xm. Поэтому ет Е L2 (т = 1,...,&) и,
значит, Li С 1/2.
Докажем теперь, что Z/2 С 1/ь С этой целью формулу A) перепи-
перепишем в виде
га-1
„ = р	 -I- \ п-	i
= еь
г=1
т = 2,...,
Отсюда следует, что Vm (m = 1,...,&) жт является линейной комби-
комбинацией элементов ei, ...,em, т. е. жт С L\. Поэтому L2 С L\. Из соот-
соотношений L2 С Li и Li С 1/2 следует, что линейные оболочки L\ и Z/2
совпадают. А
3. Элементы х\,хъ,хъ,х± евклидова пространства ?$ имеют сле-
следующие разложения по ортонормированному базису ei,...,e^: x\ =
= ег + е3 - е4 + 2е5, ж2 = е\ + е3 - е4 - 2е5, ж3 = е\ + Зе3, ж4 = 2е3 +
+е4 + 6в5; I/ = 1/(ж1,Ж2,ж3,ж4) — линейная оболочка данных элемен-
элементов.
Требуется: а) построить ортонормированный базис линейной обо-
оболочки L; б) дополнить этот базис до ортонормированного базиса
пространства ?$.
Л а) Из координат элементов xi,...,x4 в данном базисе составим
столбцы
О
1
-1
V 2/
О
1
-1
V-2/
1\
О
3
о
о
2
1
и рассмотрим матрицу А из этих столбцов
А =
/ 1
1 0
1
-1
^ 2
1
0
1
-1
-2
1
0
3
0
0
о
2
1
б
Вычислим ее ранг. Нетрудно проверить, что Х4 = Х\ — 2^2+Х3.
Поэтому последний столбец можно удалить из матрицы А, не изменив
ее ранга. Выделенный рамкой минор третьего порядка отличен от
нуля, т. е. является базисным минором матрицы. Отсюда следует, что
столбцы Х\, Х2, Х% линейно независимы и, значит, элементы х\, х<±, ж3
образуют базис линейной оболочки L.
К этому базису применим процедуру ортогонализации. Используя
формулу A), получаем (новые базисные элементы обозначим у\,у2-,Уъ)
2/1 =
У2 = х2 - a12yi, уз = х3 -
- а2зУ2-

§2. Ортонормированный базис	93
Коэффициенты а^ определяем последовательно по формуле B). Сна-
Сначала находим а\2 (при вычислении скалярных произведений пользу-
пользуемся формулой C)):
1 1
1	4
Итак, ух = xi = ei + е3 - е4 + 2е5, 2/2 = ж2 + - 2/1 = у Bei + 2е3 -
— 2е4 — Звб). Далее, по формуле B) имеем
Поэтому
4	2	1
2/з = яз - - 2/1 - о 2/2 = о (-ei + 5е3 + 4е4).
i	О	О
Построенные элементы у\,у2-,Уъ образуют ортогональный базис в L.
Разделив каждый элемент на его норму, получим ортонормированный
базис в L:
= М =
б) Займемся теперь дополнением базиса gi,#2,#3 Д° ортонормиро-
ванного базиса пространства ?$. С этой целью найдем такие элемен-
5
ты х = ^^Xiei пространства ?ъ, которые ортогональны элементам
91)92,93, т- е- удовлетворяют условиям
(x,gi)=0, г = 1,2,3.
Эти условия дают однородную систему линейных уравнений относи-
относительно неизвестных координат xi,...,X5 элемента х
{xi + Х3 — Х4 + 2ж5 = О,
2ж1 + 2ж3 - 2ж4 - Зж5 = О,
-х\ + 5ж3 + 4ж4	= 0.
Так как ранг матрицы системы равен 3, то размерность прост-
пространства решений равна 5 — 3 = 2, т. е. фундаментальная совокупность
решений состоит из двух решений. Для нахождения фундаментальной
совокупности решений перепишем систему в виде
Г х3 - ж4 + 2ж5 = -хи
I

94
Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
Полагая сначала х\ — 3, х<± — О, получаем жз = —1, х± = 2, х$ = 0;
полагая затем х\ — 0, х<± — 1, находим жз = *4 = *5 = 0. Таким
образом, фундаментальная совокупность решений состоит из двух
линейно независимых решений Х4 =
-1
2
V о/
соответствуют линейно независимые элементы
3\
О
и Х5 =
1
о
о
= 3ei -
которым
+ 2е4 и
= в2, ортогональные к элементам 9\->92->9з- Более того, элементы
и х§ ортогональны, так как {x±,x§) = 0. Разделим х^ на его норму:
Ха	1
и положим ^5 = ^5 = в2- Элементы gi, ...,д$ образуют искомый орто-
нормированный базис в пространстве ?§. А
4. В пространстве Р<± многочленов степени, не превосходящей 2,
скалярное произведение определено формулой (см. пример 2 на с. 82):
(/,9) = /(-1) ' <?(-!) + /@) • 9@) + /A) • дA).
Построить ортонормированный базис в евклидовом пространстве Р2.
А Возьмем в пространстве Р2 какой-нибудь базис, например, р\ =
= 15 р2 = х, рз = %2, и построим ортогональный базис у1,у2,Уз, поль-
пользуясь формулами A), B). Положим
У1=Р1, У2 = Р2
По формулам B) имеем
УЗ = РЗ - «132/1 ~ «232/2-
«23 = (Рз,2/2) • B/2,2/2)-
Входящие сюда скалярные произведения находим с помощью задан-
заданной формулы скалярного произведения:
(P2,2/i) =
= (-1)
B/1,2/1) = Ы + Ы +Ы = 3.
2
Отсюда следует, что ai2 = 0 и поэтому у2=р2= х. Кроме того, ai3 = -.
о
Далее, имеем (р3,2/2) = (~1J * (—1) + О2 • 0 + I2 • 1 = 0 и, следователь-
но, а23 = 0 и 2/з =Рз - gPi = ж2 - -.
Таким образом, построен ортогональный базис:
2/1 = 1, 2/2 =

§2. Ортонормированный базис	95
Нормируя элементы 2/1,2/2,2/3 (т- е- деля каждый из них на свою нор-
норму), получаем ортонормированный базис е1,в2,ез. Так как B/1,2/1) =
2
= 3, B/2,2/2) = 2, B/з,2/з) = д, то
^	^ Д2 Я А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
11.	Ненулевые элементы xi,...,Xk евклидова (унитарного) прост-
пространства попарно ортогональны, т. е. (xi,Xj) = 0 при i ф j. До-
Докажите, что элементы жь...,Ж? линейно независимы.
12.	В линейном пространстве Pi многочленов степени, не превосхо-
превосходящей 2, скалярное произведение элементов f(x) и д(х) задано
формулой
(/,<?) = f f(x)g(x)dx.
-1
Постройте ортонормированный базис пространства Р<± с по-
помощью процедуры ортогонализации, исходя из базиса 1,ж,ж2.
13.	Многочлены, определенные формулами
Р0(х) = 1, Рк(х) = 2*V I? [{Х2 ~ 1)Ы]' к = 1^ -'
называются многочленами Лежандра (множитель —:	 выбран
так, что выполняется равенство Р^A) = 1J. Докажите, что много-
многочлены Лежандра Ро(х), Pi(x),..., Рп(х) образуют ортогональный
базис в евклидовом пространстве Рп многочленов степени, не пре-
превосходящей п, если скалярное произведение введено по формуле
из упр. 12.
14.	Докажите, что функции 1, sin ж, cos ж, sin 2ж, cos 2ж,..., sin пж, cos nx
образуют ортогональный базис линейной оболочки этих функций,
если скалярное произведение произвольных элементов f(x) и д(х)
линейной оболочки определено формулой
(f, 9)= ff(x).g(x)dx.
15. Пусть элементы ei, в2,..., е/. получены с помощью процедуры ор-
ортогонализации из элементов xi,...,x^, т. е. по формулам A), B).
Докажите, что:
а) если элементы xi,...,Xk линейно независимы, то элементы ei,
в2,...,е^ также линейно независимы;

96	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
б) если элементы xi, ...,Xk линейно зависимы, то в процессе орто-
гонализации какой-то из элементов ei, е2,..., е/. окажется нулевым
элементом.
16.	Примените процедуру ортогонализации к элементам xi, ж2, ж3
евклидова пространства, если:
а)	х\ — е\ - 2е2 + 2е3, х2 = —е\ - е3, х3 = 5ei - Зе2 - 7е3, где
ei, е2, е3 — ортонормированный базис евклидова пространства;
б)	xi = ei + е2 + е3 + е4, ж2 = 3ei + Зе2 - е3 - е4, х3 = -2ei +
+ бе3 + 8е4, где ei, e2, е3, е4 — ортонормированный базис евкли-
евклидова пространства.
17.	Разложения элементов х\ и ж2 евклидова пространства ?4 по ор-
тонормированному базису ei,e2,e3,e4 имеют вид:
а)	х\ = ei - 2е2 + е3 + Зе4, ж2 = 2ei + е2 - Зе3 + е4;
б)	х\ — е\ — е2 + е3 - Зе4, ж2 = -4ei + е2 + 5е3.
1°) Покажите, что элементы х\ и х2 ортогональны.
2°) Найдите все элементы пространства ?4, ортогональные эле-
элементам Х\ И Ж2.
3°) Дополните элементы х\ и ж2 до ортогонального базиса
пространства ?4.
18.	Дана система элементов в евклидовом пространстве:
а) из упр. 16, а); б) из упр. 16, б); в) из упр. 17, а); г) из упр. 17, б);
д) х\ = ei + е2 - е3 + 2е4 + Зе5, х2 = е\ + е2 + е3 + 2е4 + Зе5,
ж3 = ei +е4 - 2е5, ж4 = -е2 + Зе3 - е4 - 5е5, где еь...,е5 — ор-
ортонормированный базис евклидова пространства ?$.
1°) Найдите размерность и базис линейной оболочки L данной
системы элементов.
2°) Постройте ортонормированный базис линейной оболочки L.
3°) Дополните ортонормированный базис линейной оболочки L
до ортонормированного базиса всего евклидова пространства.
§ 3. Разложение евклидова пространства на прямую
сумму взаимно ортогональных подпространств.
Альтернатива Фредгольма для квадратной
системы линейных уравнений
Основные понятия и теоремы
1. Разложение евклидова пространства на прямую сум-
сумму взаимно ортогональных подпространств. Пусть М — под-
подпространство евклидова пространства ?п. Элемент z называется
ортогональным подпространству М (обозначение: z _L M), если z

§3. Разложение евклидова пространства	97
ортогонален каждому элементу из М.
Ортогональным дополнением к подпространству М называется
совокупность всех элементов евклидова пространства ?п, ортого-
ортогональных М. Ортогональное дополнение к подпространству М обоз-
обозначим М-1. Пусть L\ и L2 — два подпространства линейного прост-
пространства R.
Определение. Говорят, что пространство R представляет собой
прямую сумму подпространств L\ и L2, если для любого элемента х
из пространства R имеет место единственное представление в виде
суммы х = х\ + ж2, где х\ G Li, x2 G Ь2.
Тот факт, что пространство R является прямой суммой под-
подпространств L\ и L2, записывают так:
R = L1 0L2.
Теорема 3. Пусть М — подпространство евклидова прост-
пространства ?п, М1- — ортогональное дополнение к М. Тогда:
1)	ортогональное дополнение М1- является подпространством
пространства ?п;
2)	?п = М 0 М-1, га. е. для любого элемента х из ?п имеет мес-
место единственное представление в виде суммы х = у + z, где у G М,
3)	размерность всего пространства ?п равна сумме размерностей
подпространств М и М^, га. е. dimM + dimM^ = n;
4)	(М^-I- = М, га. е. ортогональным дополнением к ортогональ-
ортогональному дополнению М1- является само подпространство М.
Если х = у + 2, где 2/ G M, z G М^, то 2/ называется проекцией эле-
элемента ж на подпространство М, z — перпендикуляром, опущенным из
элемента х на подпространство М, а норма (длина) элемента г на-
называется расстоянием элемента х до подпространства М. Если при
этом z ф в, у ф в, то х называется наклонной к подпространству М.
2. Альтернатива Фредгольма для системы п линейных
уравнений с п неизвестными. Рассмотрим системы линейных
уравнений
АХ = В,	A)
АХ = 0,	B)
АТХ = 0,	C)
где А = (dij) — п х п-матрица, X — столбец неизвестных, В — стол-
столбец правых частей, 0 — нулевой столбец (X, В, 0 — элементы ев-
евклидова пространства Гп), Ат — матрица, транспонированная по от-
отношению к матрице А. Система C) называется союзной по отношению
к системе B).
Теорема 4 (альтернатива Фредгольма). Либо система линейных
уравнений B) имеет только нулевое решение, и тогда система A)
4 В.Ф. Бутузов и др.

98	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
имеет единственное решение при любом столбце В, либо система B)
имеет ненулевое решение, и тогда система A) разрешима в том и
только том случае, когда В _L М, где М — пространство решений
союзной системы C), и при каждом таком столбце В система A)
имеет бесконечно много решений.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какой элемент называется ортогональным данному подпространству
евклидова пространства?
2.	Что такое ортогональное дополнение к подпространству М евклидова
пространства?
3.	Докажите, что ортогональное дополнение М± к подпространству М
евклидова пространства само является подпространством этого про-
пространства.
4.	Что означает запись R = L\ © L2?
Докажите, что R = L\ © L2, если:
а)	R= V2, L\ и L2 —множества векторов, параллельных соответственно
данным пересекающимся прямым;
б)	R = Уз, L\ и L2 — множества векторов, параллельных соответствен-
соответственно данным прямой и плоскости, причем прямая и плоскость имеют
только одну общую точку;
в)	R = Уз, L\ — множество векторов, ортогональных данному ненуле-
ненулевому вектору a, L2 — множество векторов, параллельных вектору а.
5.	Верно ли символическое равенство ?п = М © М±?
6.	Как связаны между собой размерности подпространств М и М± евкли-
евклидова пространства ?п1
7.	Что представляет собой ортогональное дополнение к ортогональному
дополнению М±?
8.	Какой элемент евклидова пространства называется проекцией элемен-
элемента х на подпространство М и какой — перпендикуляром, опущенным
из х на Ml
9.	Дайте определение расстояния элемента х до подпространства М.
10. Сформулируйте альтернативу Фредгольма для неоднородной систе-
системы п линейных уравнений с п неизвестными.
Примеры решения задач
1. Элементы xi,X2,x%,x± евклидова пространства ?$ имеют
следующие разложения по ортонормированному базису ei,...,e$:
xi = ei + е3 - е4 + 2е5, х2 = е\ + е3 - е4 - 2е5, х3 = е\ + Зе3, ж4 =
= 2е3 + е4 + бе5.
Для элемента х = ei + в2 + е3 + е4 + е§ найти:
а)	элементы у и z в представлении ж = у + г, где 2/ eL = L(xi, ...,ж4),
zelA;
б)	расстояние элемента х до подпространства L.
Л а) Воспользуемся результатом примера 3 на с. 92, где был
построен ортонормированный базис #i,...,#5 пространства ?$ такой,

§3. Разложение евклидова пространства	99
что gi,#2,#3 — ортонормированный базис линейной оболочки L =
= L(xi, ...,#4). Ясно, что элементы #4,#5 образуют базис ортогональ-
ортогонального дополнения ZA.
Представим х в виде х = у + z, где
з	5
&k9k е L, z = ^2 ак9к ? L^.
к=1	к=4
Координаты ctk можно вычислить по формуле (см. § 2) аи = (ж, #&).
4
Воспользуемся этой формулой для нахождения сц и as: 04 = —=,
л/14
а5 = 1.
4	1
Таким образом, г = -1= д± + #5 = ¦= Fei + 7е2 - 2е3 + 4е4).
л/14	7
Элемент 2/ находим как разность х и z:
у = х - z = - (ei + 9е3 + Зе4 + 7е5).
б) Расстояние элемента ж до подпространства L равно ||;z||:
\\z\\ = 1 л/36 + 49 + 4 + 16 = W у. А
2. Дана однородная система линейных уравнений с п неизвест-
неизвестными
АХ = 0,
где А = (aij) — т х п-матрица, X — столбец неизвестных, 0 —
нулевой столбец.
Столбец X является элементом евклидова пространства Гп, а
множество всех решений системы (обозначим его М) образует под-
подпространство пространства Тп. Доказать, что ортогональным допол-
дополнением к подпространству М является линейная оболочка столбцов
транспонированной матрицы Ат.
Л Запишем строки матрицы А в виде столбцов и обозначим их
Ai,...,Am, т. е. Ai — это г-й столбец транспонированной матри-
матрицы Ат. Введем линейную оболочку L = L(Ai,..., Am). Она являет-
является подпространством пространства Тп. Левая часть г-го уравнения
исходной системы есть скалярное произведение (Ai,X). Перепишем
систему в виде m равенств:
(АиХ) = 0, г = 1,...,ш.
Очевидно, что любое решение X системы ортогонально к каждому
столбцу Ai и, значит, ортогонально к подпространству L; и обратно,

100	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
каждый столбец X, ортогональный подпространству L, является ре-
решением исходной системы. Поэтому множество М решений системы
является ортогональным дополнением к подпространству L: ZA = М.
Отсюда следует, что L = М^. Таким образом, ортогональным допол-
дополнением к подпространству М является линейная оболочка столбцов
транспонированной матрицы АТ. А
3. Дана система линейных уравнений
{х\— х2 + 2ж3 = Ьь
xi + х2- х3 = Ь2,	A)
4ж1+2ж2- х3 = Ь3,
или АХ = В, где
/1 -1 2\
4=11-1.	B)
\4 2 -1/
Найти все те столбцы В, при которых система разрешима.
Л Так как det A = 0 (убедитесь в этом), то соответствующая сис-
системе A) однородная система уравнений АХ = в имеет ненулевое ре-
решение, и поэтому, согласно теореме 4 система A) разрешима тогда
и только тогда, когда столбец В ортогонален пространству М реше-
решений союзной системы АтX = в. Иначе говоря, система A) разреши-
разрешима тогда и только тогда, когда В G М^. В свою очередь согласно
примеру 2 ортогональное дополнение М1- — это линейная оболочка
столбцов матрицы, транспонированной по отношению к матрице Ат,
т. е. М1- = Ь(у1,у2,уз), где у±,у2,Уз — столбцы матрицы А. Так как
det А = 0, то эти столбцы линейно зависимы. Первые два столбца у\
и ?/2, очевидно, линейно независимы. Поэтому они образуют базис
линейной оболочки Ь(у1,у2,уз)', следовательно, любой столбец В из
этой линейной оболочки представим в виде В = с\у\ + с2у2, где с\
и С2 — какие-то числа. Итак, система A) разрешима тогда и только
тогда, когда
/Л
В = cij/i + c2y2 = ci 1 + с2
\4/
где с\ и С2 — произвольные числа. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
19. а) Найдите размерность подпространства элементов из евклидова
пространства ?п, ортогональных к данному ненулевому элемен-
элементу у;
б) найдите размерность подпространства элементов из ?п,
каждый из которых ортогонален к данным элементам xi,...,xm
(m < п).

§4- Ортогональные и унитарные матрицы	101
20.	Докажите теорему 4, выражающую альтернативу Фредгольма для
системы п линейных уравнений с п неизвестными.
21.	Найдите базис ортогонального дополнения к пространству реше-
решений однородной системы линейных уравнений:
п	( Ъх\ + 2ж2 — ж3 = 0,
22.	Разложение элемента х по ортонормированному базису ei,...,en
п
имеет вид ж = У^е^. Найдите уи^в представлении х = у + z,
где у Е L, z E ZA, I/ = I/(xi, ...,жт) — линейная оболочка данных
элементов жь...,жт, если:
а)	п = 3, т = 3, #1 = ei — 2е2 + 2е3, ж2 = —е\ — е3, ж3 = Ъе\ —
—	Зе2 - 7е3;
б)	п = 4, ш = 3, xi = ei + е2 + е3 + е4, ж2 = 3ei + Зе2 - е3 -
—	е4, ж3 = — 2ei + бе3 + 8е4;
в)	п = 4, 771 = 2, xi = ei - 2е2 + е3 + Зе4, ж2 = 2ei + е2 - Зе3 + е4;
г)	п = 4; ш = 2, xi = ei - е2 + е3 - Зе4, ж2 = —4ei + е2 + 5е3;
д)	п = 5, ттг = 4, xi = ei + е2 — е3 + 2е4 + Зв5, ж2 = е\ + е2 +
+ е3 + 2е4 + Зв5, ж3 = е\ + е4 — 2в5, ж4 = —е2 + Зе3 — е4 — 5в5-
(Эти системы элементов взяты соответственно из упр. 16, 17,
18, д).)
23.	В пространстве Т4 столбцов с четырьмя элементами даны столб-
столбцы X и Xi,...,Xm. Найдите проекцию столбца X на линейную
оболочку L = L(xi, ...,жт), перпендикуляр, опущенный из X на L,
и расстояние X до L, если:
б) X = " , ш = 2, X, = " , Х2 =
§ 4. Ортогональные и унитарные матрицы
Основные понятия и формулы
1. Ортогональные матрицы. Пусть ei,...,en и /i,...,/n — два
ортонормированных базиса в евклидовом пространстве ?п, и пусть
Q = (gr^) — матрица перехода от первого базиса ко второму, т. е.

102	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
имеет место равенство
f = eQ,	A)
где е = (ei в2 ... еп) и / = (Д /2 ... /п) — строки, составленные из ба-
базисных элементов.
Матрица Q, т. е. матрица перехода от одного ортонормированного
базиса к другому, называется ортогональной матрицей. Если взять
произвольный ортонормированный базис и с помощью ортогональной
матрицы перейти по формуле A) к новому базису, то новый базис
будет также ортогональным, т. е. ортогональная матрица переводит
любой ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Свойства ортогональных матриц.
1°. ^^QkiQkj — Sij, где Sij — символ Кронекера.
k=i
Это свойство означает, что любые два столбца Qi и Qj ортогональ-
ортогональной матрицы, рассматриваемые как элементы евклидова пространст-
пространства Тп (скалярное произведение в Тп введено так, как указано в § 1),
ортогональны: (Qi,Qj) = 0 при i ф j, а скалярный квадрат любого
столбца ортогональной матрицы равен 1: (Qi,Qi) = 1.
Таким же свойством обладают строки ортогональной матрицы:
(QikQjk =dij.
k=i
2°. Q~l = QT, т. е. обратная матрица по отношению к ортогональ-
ортогональной матрице Q совпадает с транспонированной матрицей QT.
Обратная матрица Q также является ортогональной, посколь-
поскольку осуществляет переход от ортонормированного базиса /i,...,/n к
ортонормированному базису ei,..., еп: е = / • Q~l.
Свойство 2° можно записать в эквивалентных формах QQT = /
и QTQ = ^5 гДе I — единичная матрица.
3°. |detQ| = 1.
4°. Элемент q^ ортогональной матрицы равен косинусу угла меж-
между базисными элементами е\ и fj.
Свойства 1° и 2° являются характеристическими свойствами
ортогональных матриц. Это означает, что матрица, обладающая
свойством 1° (или свойством 2°), является ортогональной матрицей,
т. е. любой ортонормированный базис переводит в ортонормирован-
ортонормированный базис. Поэтому свойства 1° и 2° часто кладутся в основу опре-
определения ортогональных матриц: матрица Q = (qij)nxn называется
ортогональной, если выполнено условие 1° (или 2°).
2. Унитарные матрицы. При рассмотрении комплексных евкли-
евклидовых (т. е. унитарных) пространств аналогом ортогональных матриц

§4- Ортогональные и унитарные матрицы	103
выступают унитарные матрицы. Унитарная матрица U = (uij) —
это матрица перехода от одного ортонормированного базиса, скажем,
ei,...,en, к другому ортонормированному базису /i,...,/n в унитар-
унитарном пространстве Еп, т. е.
f = eU,
где / и е — строки, составленные из базисных элементов.
Свойства унитарных матриц.
п
1) \^UkiTtkj = Sij (символ Кронекера), т. е. скалярное произведе-
к=1
ние любых двух столбцов Щ и Uj унитарной матрицы, рассматрива-
рассматриваемых как элементы пространства Т* (см. § 1), равно нулю при г ф j
и равно 1 при г = j. Таким же свойством обладают строки унитарной
матрицы.
2)	и~г = UT, где UT — матрица, которая получается из матри-
матрицы U путем транспонирования и замены всех элементов на комп-
комплексно сопряженные (индекс Г означает транспонирование, а черта
— комплексное сопряжение). Матрица UT называется эрмитово со-
сопряженной по отношению к матрице U и обозначается U*. Таким
образом, свойство 2) можно записать так: U~x = U*, или, в эквива-
эквивалентных формах: UU* = / или U*U = /, где / — единичная матрица.
Матрица U~1, т. е. матрица U*, также является унитарной.
3)	\detU\ = 1.
Аналогично ортогональным матрицам свойства 1) и 2) являются
характеристическими свойствами унитарных матриц.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какая матрица называется ортогональной?
2.	Какими свойствами обладают ортогональные матрицы?
3.	Верно ли утверждение: квадратная матрица Q является ортогональной,
если обратная к ней матрица Q~x равна транспонированной матри-
т
4.	Докажите, что произведение ортогональных матриц является ортого-
ортогональной матрицей.
5.	Какая матрица называется унитарной?
6.	Какими свойствами обладают унитарные матрицы?
7.	Верно ли утверждение: квадратная матрица U является унитарной,
если обратная к ней матрица U~1 равна эрмитово сопряженной мат-
матрице UT?
8.	Докажите, что произведение унитарных матриц является унитарной
матрицей.

104	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
Примеры решения задач
1. Доказать, что если Q — ортогональная 2 х 2-матрица, то она
представима либо в виде
/
гл _ I COS ср — S1I1 ср
^ ~ у sincp coscp
либо в виде
Q=f coscp s'mcp \
4 у sin ср — cos ср J '	^ >
Дать геометрическую интерпретацию матрицы Q в каждом случае.
Л Запишем матрицу Q в виде
П _ ( 011 012
Согласно свойству 1° сумма квадратов элементов каждого столбца
равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов
первого и второго столбцов равна нулю. Это дает три равенства:
<7n+<?Il=l, 9?2+42 = 1> 011 ' 912 + 021 ' 922 = 0.	D)
Учитывая первые два равенства, положим qn = cos(p, ^21 = sin у?,
q12 = cos^, 6/22 = sin^, где ср и гр — пока произвольные числа. Тог-
Тогда первое и второе равенства D) выполняются, а третье равенст-
равенство можно записать в виде cosf^ — ср) =0. Это равенство позволяет
установить связь между (риф. Без ограничения общности можно
считать, что ср и ф принадлежат промежутку [0,2тг]. Поэтому из ра-
равенства cos('0 — ср) = 0 следует, что ф — ср = ±— или ф — ср = ± —.
Если ф — ср = — или ф — ср =	, то cos ф = — sin (p, sin ^ = cos ср,
и мы получаем представление матрицы Q в виде B). Если же ф — ср —
— — ^ или ф - ср — -^-, то cos -0 = sin (p, sin т/> = - cos ср, и матрица Q
имеет вид C).
Итак, любая ортогональная 2 х 2-матрица представима либо в ви-
виде B) (в этом случае det Q = 1), либо в виде C) (в этом случае
detg = -1).
Чтобы дать геометрическую интерпретацию ортогональной
2 х 2-матрицы, рассмотрим линейное пространство V2 геометричес-
геометрических векторов на плоскости. Пусть i, j — ортонормированный
базис в пространстве V2. Перейдем к другому ортонормированно-
му базису i;, У с помощью матрицы Q, имеющей вид B). По фор-
формуле A) выразим i;, У через i, j:
i; = cos ^i + sin<?J, j' = -smcpi + coscpj.	E)

§4- Ортогональные и унитарные матрицы	105
Мы пришли к равенствам, которые, как известно из курса ана-
аналитической геометрии, выражают векторы i' и j', получающиеся в
результате поворота векторов i и j на угол ip. Итак, ортогональная
матрица вида B), определитель которой равен 1, является матрицей
поворота на угол ср векторов на плоскости.
Если от базиса i, j перейти к базису i', j' с помощью матрицы Q,
имеющей вид C), то вместо E) получим равенства
i' = cos cpi + sin ip j, j' = sin (pi — cos cpj.
Сопоставляя их с равенством E), можно сделать вывод, что вектор j'
получается в результате поворота вектора i на угол ip, а вектор j' —
в результате поворота вектора j на угол ip и последующей замены
полученного вектора на противоположный.
Таким образом, ортогональная матрица вида C), определитель ко-
которой равен —1, является матрицей суперпозиции (последовательного
выполнения) двух преобразований — поворота на угол (р векторов на
плоскости и зеркального отражения векторов относительно оси, опре-
определяемой вектором i'. A
2. Дана матрица
/ cos ip • eicpi	sin ip • e^2
V sin 4>' e^3 -cosip- ei(<P*+<Ps-<P
где (^1,(^2,^3 — произвольные вещественные числа и ip e [0,тг/2].
Доказать, что U — унитарная матрица и вычислить обратную к
ней матрицу U~1.
Л Матрица U является унитарной, если она обладает характеристи-
характеристическим свойством 1), т. е.
2
/^Ukiukj = Sij.	F)
k=l
Проверим выполнение равенств F). При г = j = 1 получаем
2
J^	= cos ip • el(fl • cos ip • e~l(fl + sin ip • ег(рз • sin ip • е~г(рз =
= cos2 ip + sin2 ip = 1.
Аналогично, при i = j = 2 имеем
2
k=l

106	Гл. IV. Евклидовы и унитарные пространства
Наконец, при г = 1, j = 2 находим
2
- simp • cos^e"^^2"^^ = 0.
k=l
Итак, матрица U обладает свойством 1) и, следовательно, U — уни-
унитарная матрица. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся
формулой и~г = UT:
п-1 = ( ^osip- e-^1	simp • е-^3	,
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
24.	Найдите матрицу Q перехода от ортонормированного базиса i, j, k
в пространстве V% геометрических векторов к базису:
а)	i', j', -k;
б)	i'J',k;
где векторы i; и j; получаются соответственно из векторов i и j по-
поворотом их на угол (р в плоскости этих векторов. Докажите, что
Q — ортогональная матрица. Найдите обратную матрицу Q.
25.	Докажите, что матрица
/11/15 2/15 -2/3\
Q = 2/15 14/15 1/3
V 2/3 -1/3 2/3/
является ортогональной, и вычислите обратную матрицу Q-1.
26.	В трехмерном линейном пространстве В% радиус-векторов с об-
общим началом в точке О задана ось Oh, проходящая через точку О
и имеющая единичный направляющий вектор е. Определим ци-
цилиндрические координаты радиус-векторов следующим образом:
на плоскости Р, проходящей через точку О и перпендикулярной
оси Oh, введем полярную систему координат с полюсом в точ-
точке О и назовем цилиндрическими координатами радиус-вектора
ОМ тройку чисел (p,cp,h), где (р,ср) — полярные координаты
проекции точки М на плоскость Р, h — проекция вектора ОМ
на ось Oh. Поворотом на угол а пространства В% вокруг оси Oh
назовем преобразование, при котором каждый радиус-вектор г =

§4- Ортогональные и унитарные матрицы	107
= ОМ, имеющий цилиндрические координаты (p,ip,h), перехо-
переходит в радиус-вектор г' = ОМ' с цилиндрическими координатами
(p,ip + a,h).
Докажите, что:
а)	г' = г cos а + [е, г] sin а + е (е, г) A — cos a);
б)	ортонормированный базис i,j,k переходит при повороте векто-
векторов в пространстве В% в другой ортонормированный базис. Най-
Найдите матрицу перехода от первого базиса ко второму, если е =
= а\ + Ъ] + ск.
27.	Пусть Q — матрица перехода от ортонормированного базиса i, j, к
к ортонормированному базису i',j',k' и det Q = 1. Докажите, что
векторы i;, j', k; можно получить соответственно из векторов i, j, k
поворотом их в пространстве на некоторый угол а вокруг неко-
некоторой прямой.
28.	В квантовой механике используются так называемые матрицы
Паули
0	1\	( 0 -i\	( 1 0
1	0 ) ' а" = { г 0 ) ' аз = { 0 -1
Докажите, что:
а)	эти матрицы вместе с единичной матрицей образуют базис в
пространстве 2 х 2-матриц с комплексными элементами;
б)	имеют место равенства а\а2 = -o<io\ — ^з, сг2О"з = -а^а^ —
— гсгь cricr3 = -(Т3СГ1 = -i(J2, (у\—1,к — 1,2,3, где / — единичная
матрица;
в)	каждая матрица о^, к = 1,2,3, унитарная.

ГЛАВА V
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Линейные операторы в линейном пространстве
Основные понятия и теоремы
1.	Определение линейного оператора. Оператором, действую-
действующим в линейном пространстве R (или преобразованием линейного
пространства R) называется правило А, по которому каждому эле-
элементу х из R ставится в соответствие некоторый (единственный)
элемент у из R. Элемент у называется образом элемента х при дейст-
действии оператора А, а элемент х — прообразом элемента у. Тот факт,
что элемент у соответствует элементу х при действии оператора А,
записывается так:
у — Ах или у = А(х).	A)
Определение. Оператор А, действующий в линейном прост-
пространстве R, называется линейным, если для любых элементов х\ и х2
из R и любого числа а выполняются равенства:
1)	А(х\ + ж2) = Ах\ + Ах2] 2) A(axi) = aAx\.
2.	Примеры линейных операторов. 1) Нуль-оператор в ставит
в соответствие каждому элементу х из R нулевой элемент в: Ох = в.
2)	Тождественный или единичный оператор I каждому элемен-
элементу х из R сопоставляет этот же элемент: 1х = х.
3)	Оператор подобия с коэффициентом подобия \i задается ра-
равенством Ах — /IX (Vx e R).
4)	Оператор дифференцирования D, действующий в линейном
пространстве Рп многочленов степени, не превосходящей п, каждо-
п
му многочлену р(х) = V^a^x^ ставит в соответствие его производ-
п	к=0
нуюр'(х) = 2_\kak%k1'- Dp{x) =p'(x) (заметим, что р'(х) является
к=1
элементом того же пространства Рп).
5)	Оператор поворота на угол (р, действующий в пространст-
пространстве V2 векторов на плоскости, поворачивает каждый вектор на
угол (р, причем поворот происходит против часовой стрелки, ес-
если (р > 0, и по часовой стрелке, если ip < 0.

§1. Линейные операторы в линейном пространстве	109
3. Матрица линейного оператора. Пусть А — линейный опе-
оператор, действующий в линейном пространстве Rn, и пусть ei,e2,...
...,еп — базис в этом пространстве. Подействуем оператором А на ба-
базисные элементы и разложим образы базисных элементов Aei,Ae2,...
..., Аеп по тому же базису:
п
Аер = а\ех + а\е2 + ... + а™еп = J^ aqpeq, p=l,2,..., п. B)
q=l
Квадратная матрица n-го порядка Ае = (aqp) *) называется матри-
матрицей линейного оператора А в базисе ei, в2,..., еп. Отметим, что р-й
столбец матрицы Ае составлен из коэффициентов aqv разложения эле-
элемента Аер по базису еь е2,..., еп. Равенства B) можно записать в мат-
матричной форме:
Ае = еАе,	C)
где, как обычно, использованы обозначения: е = (ei e2 ... еп) — строка,
составленная из элементов базиса, Ае = (Aei Ае2 ... Аеп) — строка
из образов базисных элементов, а произведение еАе получается по
правилу умножения матриц: 1 х n-матрица е умножается на п х п-
матрицу Ае.
Пусть в базисе ei,e2,...,en элемент х и его образ у = Ах имеют
разложения х = ххе\ + х2е2 + ... + хпеп = еХе и у = 2/1ei + 2/2в2 + ...
... + 2/пеп = еУе, где 1е и Уе — столбцы из координат элементов х
и у в данном базисе. Тогда из равенства A) получаем формулу
Ye=AeXe.	D)
Формула D) позволяет определить координаты образа у через коор-
координаты прообраза х в данном базисе, если известна матрица Ае опе-
оператора А в этом базисе.
Матрица Ае оператора А в базисе ei,e2,...,en и матрица Af того
же оператора в базисе /i,/2, ...,/п связаны соотношением
Af = C~lAeC,	E)
где С — матрица перехода от базиса е\, е2,..., еп к базису Д, f2,..., fn:
*) В отличие от предыдущих глав мы будем в этой главе несколько иначе обозна-
обозначать номера элементов матриц, а именно номер строки будем обозначать верхним,
а номер столбца — нижним индексом (пр — элемент q-Pi строки и р-ro столбца) и
так же номер координаты элемента будем обозначать верхним индексом. Такие
обозначения играют важную роль при описании тензорных величин (см. гл. VII)
и широко используются в физике.

110	Гл. V. Линейные операторы
Определение. Операторы А и В, действующие в линейном
пространстве R, называются равными, если \/ х е R: Ах — Вх.
Если операторы А и В равны, то равны и их матрицы в любом
базисе. Обратно: если матрицы операторов А и В в каком-нибудь
базисе равны, то равны и сами операторы. Поэтому если в линей-
линейном пространстве фиксирован базис ei, в2,..., еп, то между оператора-
операторами, действующими в этом пространстве, и квадратными матрицами
n-го порядка имеет место взаимно однозначное соответствие: каждо-
каждому оператору А соответствует матрица Ае и, обратно, каждой матри-
матрице А соответствует (и притом только один) оператор А такой, что его
матрица Ае в базисе ei,e2,...,en равна матрице А.
4. Действия над линейными операторами.
Определение. Суммой А + В линейных операторов А и В,
действующих в линейном пространстве R, называется оператор G,
действие которого на любой элемент х из R задается равенством
бх = Ах + Вх.
Сумма двух линейных операторов является линейным оператором,
а матрица суммы линейных операторов (в любом базисе) равна сумме
матриц этих операторов.
Определение. Произведением а А линейного оператора А,
действующего в линейном пространстве R, на число а называется
оператор В, действие которого на любой элемент х из R задается
равенством Вх = а(Ах).
Произведение линейного оператора А на число а является линей-
линейным оператором, а матрица этого оператора (в любом базисе) равна
произведению матрицы оператора А на число а.
Теорема 1. Множество S всех линейных операторов, действую-
действующих в линейном пространстве Rnj с введенными операциями сложе-
сложения операторов и умножения оператора на число образует линейное
пространство.
Пространство S линейных операторов, действующих в линейном
пространстве Rn, изоморфно пространству Н™ п х п-матриц.
Поэтому размерности этих пространств совпадают, т. е. dim S =
= dimH% = n2.
Определение. Произведением АВ линейных операторов А и В,
действующих в линейном пространстве R, называется оператор С,
действие которого на любой элемент х из R задается равенством
Сх = А(Вх).
Произведение линейных операторов А и В является линейным
оператором, а матрица С произведения операторов (в любом базисе)
равна произведению матриц А и В этих операторов: С = АВ.

§1. Линейные операторы в линейном пространстве	111
Свойства операции умножения операторов (для любо-
любого числа а и для любых линейных операторов А, В и С).
1°. а(АВ) = (аА)В.
2°. А(ВС) = (АВ)С.
3°. (А + В)С = АС + ВС.
4°. А{В + С) = АВ + АС.
5°. Умножение операторов некоммутативно, т. е., вообще говоря,
АВ фВА.
Определение. Коммутатором линейных операторов А и В на-
называется оператор (А, В) = АВ - В А.
5. Обратный оператор.
Определение. Линейный оператор В называется обратным к
линейному оператору А, если выполняются равенства АВ = В А = /,
где / — тождественный оператор.
Оператор, обратный к А, обозначается символом А~х.
Теорема 2. Для того чтобы существовал обратный оператор к
линейному оператору А, необходимо и достаточно, чтобы матрица
оператора А в каком-нибудь базисе была невырожденной (при этом
она будет невырожденной в любом другом базисе).
Если Ае — матрица оператора А в базисе ei, в2,..., еп, то матрица
обратного оператора А~х в том же базисе равна А, т. е. является
обратной по отношению к матрице Ае.
Контрольные вопросы и задания
1.	Объясните, что такое оператор, действующий в линейном пространстве.
2.	Какой оператор называется линейным? Приведите примеры линейных
операторов.
3.	Докажите, что для любого линейного оператора А справедливо ра-
равенство Ав = 9, где 9 — нулевой элемент линейного пространства.
4.	Как определяется матрица линейного оператора в данном базисе?
5.	Как следует понимать матричную запись Ае = еАе?
6.	Какой вид имеет в любом базисе матрица:
а) нуль-оператора; б) тождественного оператора;
в) оператора подобия с коэффициентом подобия /х?
7.	Как выражаются координаты образа Ах через координаты прообраза х
в данном базисе?
8.	Выпишите матрицу линейного оператора А в данном базисе, если эле-
элемент х и его образ Ах имеют в этом базисе соответственно координа-
координаты ж1, ж2, ж3 и х1 -х2 + 2ж3, х2 - 7ж3, х1 +х2 +3ж3.
9.	Как преобразуется матрица оператора А при переходе от одного базиса
к другому?

112	Гл. V. Линейные операторы
10.	Какие операторы называются равными?
11.	Как определяется сумма двух линейных операторов?
12.	Какой оператор получится в результате сложения двух операторов по-
подобия с коэффициентами подобия /ц и //2?
13.	Чему равна в данном базисе матрица суммы А + В линейных операто-
операторов?
14.	Как определяется произведение линейного оператора на число?
15.	Пусть А — линейный оператор поворота на угол ср в пространстве Уч
векторов на плоскости. Что происходит с вектором при действии на
него оператора: а) 2А\ б) (—1)А?
16.	Чему равна в данном базисе матрица произведения линейного операто-
оператора А на число а?
17.	Какова размерность линейного пространства линейных операторов,
действующих в линейном пространстве размерности п?
18.	Как определяется произведение двух линейных операторов?
19.	Пусть Ак — оператор поворота на угол срк пространстве Уч. Что пред-
представляет собой оператор: а) А\А2\ б) АчА\\ в) АхАъА-р.
20.	Пусть А — оператор поворота на угол тг/2 в пространстве Уч. Докажите,
что А4 = /, где I — тождественный оператор.
21.	Пусть А — оператор подобия с коэффициентом подобия //. Докажите,
что Ап — также оператор подобия (п G N). Каков его коэффициент
подобия?
22.	Чему равна в данном базисе матрица произведения линейных операто-
операторов?
23.	Приведите пример линейных операторов А и В, для которых имеет
место равенство АВ = В А. Верно ли это равенство для любых А и В?
24.	Что называется коммутатором линейных операторов А и В? Как обо-
обозначается коммутатор?
25.	Является ли коммутатор двух линейных операторов линейным опера-
оператором? Как выражается матрица коммутатора линейных операторов А
и В через матрицы этих операторов?
26.	Какой оператор называется обратным к данному линейному оператору?
27.	Какой оператор является обратным:
а)	к оператору подобия с коэффициентом подобия /j, ф 0;
б)	к оператору поворота на угол ср в пространстве Уч?
28.	Для каких линейных операторов существует обратный оператор?
29.	Как связаны между собой матрицы линейных операторов А и А~х в
данном базисе?
Примеры решения задач
1. Доказать, что оператор А поворота на угол (р, действующий в
пространстве У^ векторов на плоскости, является линейным. Найти
матрицу этого оператора в произвольном ортонормированном бази-
базисе ei, в2.

§1. Линейные операторы в линейном пространстве
113
О
Л Докажем вначале, что А — линейный оператор. Согласно опреде-
определению линейного оператора нужно доказать, что для любых векто-
векторов b и с и любого числа а имеют место равенства:
1) А(Ъ + с) = АЪ + Ас; 2) А(аЪ) = аАЪ.
Пусть d = b + c и векторы b и с неколлинеарны (рис. 2). При
повороте на угол ip векторы b = ОЁ,
с = ОС и d = Ol) переходят со-
соответственно в векторы АЪ = ОЁ\,
Ас — ОС\ и Ad = Ol)\. При этом
параллелограмм OBDC переходит в
параллелограмм OB\D\C\. Поэтому
~оЬх = 0%! + O^i, т. е. Ad = АЪ +
+ Ас или А(Ъ + с) = АЪ + Ас. Если
векторы b и с коллинеарны, то это
равенство также выполнено. Таким
образом, первое условие линейности
оператора имеет место.
Проверим выполнение второго условия. Для любого числа а век-
векторы b и аЪ, отложенные от одной точки,
лежат на одной прямой. При повороте на а V ф Дв2	^
угол ip они переходят в векторы АЪ и А(аЪ),	V~~
также лежащие на одной прямой, и при этом	\
А{аЪ) = а(АЪ). Итак, оператор А поворота на
угол ip — линейный оператор.
Чтобы найти матрицу этого оператора в базисе ei, e2, нужно най-
найти координаты образов Аеь Ае2 в этом базисе. Как следует из рис. 3,
Aei = cos ip • ei + sin ip • e2,
Ae2 = cos I — + ip 1 • ei + sin I — +(pj-e2 = — smip • ei + cos(^ • e2.
Таким образом,
a _ ( cos ^ ~ sin ф \
e ~ \ sin (^ cos if )
— матрица оператора поворота на угол ip в ортонормированном базисе
еь е2. Заметим, что в любом ортонормированном базисе матрица
данного оператора имеет один и тот же вид. А
2. Элементы Д и /2 линейного пространства Л2 имеют в базисе
ei, е2 координаты 0,1 и 1, 0. Найти матрицы оператора А в базисах ei,
^2 и Д, /2, если элементы АД и А/2 имеют в базисе ei, e2 координа-
координаты 2,3 и 4,5.
Рис. 3

114	Гл. V. Линейные операторы
Л 1 способ. Так как в базисе ei, e<± координаты элемента Д рав-
равны 0,1, а координаты элемента Д равны 1,0, то Д = в2, /2 = ei.
Используя эти равенства, а также данные координаты элементов АД
и АД, приходим к равенствам
АД = 1е2 = 2ei + Зе2 = ЗД + 2/2,
-4Д = Аа = 4ei + 5е2 = 5Д + 4/2.
Отсюда по определению матрицы оператора получаем
3 5
2 4
2 способ. Используя столбцы координат элементов Д и АД в
базисе ei, в2, по формуле D) получаем ( о ) = Ае[ Л ), где Ае —
матрица оператора А в базисе еь е2. Аналогичное соотношение для
столбцов координат элементов /2 и А/2 имеет вид ( ~ ) = Ае ( п ).
„	f2 4\ л /0 1\
Эти два равенства можно записать так: Q к = Ае \ л п 1.
Отсюда^=(з s)(i 0) =(з s)(i o) = (^ з)'3ная
матрицу Ае и матрицу С = I , ~ ) перехода от базиса ei, в2 к базису
Д, /2, по формуле E) находим матрицу Af.
ч_1 л s-< /35
3. В трехмерном линейном пространстве В% радиус-векторов с
общим началом в точке О задан ортонормированный базис ei, в2, ез
и введена прямоугольная система координат Ох1х2х3 с координат-
координатными векторами ei, в2, ез. Прямая I задана каноническими уравне-
уравнениями х1 — х1 — х3. Оператор А ортогонально проектирует любой
радиус-вектор ОМ из В3 на прямую I : А(ОМ) = OL, где точка L —
ортогональная проекция точки М на прямую I. Доказать, что А —
линейный оператор, и найти его матрицу в базисе ei, в2, ез.
Л Любой радиус-вектор ОМ можно представить в виде ОМ =
= Ob + CW, где Ob = А(ОМ) — составляющая вектора Ом, ле-
лежащая на прямой I, О1\Г — составляющая вектора ОМ, лежащая в

§1. Линейные операторы в линейном пространстве	115
плоскости Р: х1 + х2 + х3 = 0, проходящей через точку О перпенди-
перпендикулярно прямой I.
Пусть оЙг = 0^1 + Ши OaJ2 = 0^2 + 0^2 • Тогда
= о1и A{pU2)=0t2,	F)
1 +(Й2) + (O^i + 0^2), причем вектор ot± +
+ 0Z2 лежит на прямой /, а вектор OiVi + O7V2 — в плоскости Р.
Поэтому
А(ОЙг + 0Л?2) = Oti + 0^2-	G)
Из F) и G) следует, что 1@Л?1 + 0Л?2) = l(Olli) + А{ОЙ2), т. е.
выполнено первое условие линейности оператора А.
Проверим выполнение второго условия. Если ОМ = Ob + 07V, то
аОМ = aOL + aON, откуда следует, что А@М) = OL, А(аОМ) =
= а • (JL и, значит, А(а • ОМ) = аА@м), т. е. второе условие линей-
линейности оператора А выполнено.
Итак, А — линейный оператор. Нахождение матрицы данного опе-
оператора в базисе еь е2, е3 проведем в два этапа.
1-й этап. Рассмотрим базис fb f2, f3, в котором особенно прос-
просто находятся координаты образов Af\, Af2, Af^. В качестве fi возь-
возьмем направляющий вектор прямой I, имеющий (как следует из ка-
канонических уравнений прямой I) координаты 1,1,1 в базисе ei, e2,
ез. В качестве f2 и f3 возьмем два любых неколлинеарных вектора
из В^, лежащих в плоскости Р, и потому ортогональных к вектору f\,
например, радиус-векторы, имеющие координаты -1,1,0 и 0,1,-1 в
том же базисе еь е2, е3. Тогда
lfi=fi, М2 = в, М3 = 0.	(8)
Согласно формуле B) матрица оператора А в базисе f\, f2, f3 имеет
вид
/1 0 0\
Af = ° 0 0 •
\о о о/
2-й этап. Так как матрица С перехода от базиса ei, e2, ез к
базису fi, f2, f3 известна (ее столбцы состоят из координат векто-
векторов fi, f2, f3 в базисе еь е2, е3):
/1
= 1
Vi
-1
1
0
0
l
-l

116	Гл. V. Линейные операторы
то по формуле E) находим искомую матрицу оператора А в бази-
базисе еь е2, е3:
Ае = CAfC-1 =±111.	(9)
3 VI 1 1/
Отметим, что в тех случаях, когда оператор А допускает простое
геометрическое толкование, матрицу такого оператора можно найти,
используя непосредственно определение матрицы оператора. Так, в
данной задаче оператор А ортогонально проектирует радиус-векторы
на прямую /, имеющую направляющий вектор с координатами 1,1,1
в базисе ei, в2, ез. Направляющие косинусы этого вектора в системе
координат Ох1х2х3 равны между собой: cosa/. = 1/л/З, к = 1,2,3,
т. е. единичным направляющим вектором прямой I является век-
вектор s = {1/л/3,1/л/3,1/л/З}- Поэтому для любого координатного век-
вектора ек его составляющей, лежащей на прямой I, будет вектор
cos а/. • s = {1/3,1/3,1/3}. А так как действие оператора А на базис-
базисный вектор е/, означает ортогональное проектирование е/, на прямую
I, то Аек = (l/3)ei + A/3)е2 + A/3)е3, к = 1,2,3. Отсюда получаем
матрицу (9) оператора А. А
4. Пусть Ак — оператор поворота на угол (рь в пространстве V^
векторов на плоскости. Найти матрицу (в произвольном ортонорми-
рованном базисе) оператора: а) А\А^\ б) А^1.
Л Матрица оператора Ak, как было показано в примере 1, в любом
ортонормированном базисе имеет вид
А _	pk - sin срк
к \ sin (рк cos (рк
а) По определению произведения операторов действие операто-
оператора Ai A<z на произвольный вектор а состоит в том, что сначала век-
вектор а поворачивается на угол <р2, а затем вектор А2а поворачивается
на угол <?]_. В результате получается вектор АхА^ъ. Ясно, что тот же
вектор получается в результате поворота вектора а на угол if 2 + <?ъ
т. е. произведение А1А2 есть оператор поворота на угол (^2+^ь
Поэтому матрица оператора А1А2 в любом ортонормированном ба-
базисе равна
' cos(<?i + if 2) — sin(<?i + if 2)
Тот же результат можно получить иначе, если воспользоваться тем,
что матрица произведения операторов равна произведению матриц

§1. Линейные операторы в линейном пространстве	117
операторов-сомножителей:
А А — ( C0S ^1 ~~ SH1 ^1 ^ ( C0S ^2 - Sin ip2 \ _
1 2 ~~ у sin ifi cos (^i у у sin if 2 cos <p2 ) ~
б) Оператор А\ поворачивает каждый вектор на угол cpi. Ясно, что
обратный оператор поворачивает каждый вектор на тот же
угол cpi, но в противоположную сторону, т. е. А^1 — оператор поворо-
поворота на угол —ifi. Поэтому матрица оператора А^1 является матрицей
оператора поворота на угол —cpi и, следовательно, в произвольном
ортонормированном базисе имеет вид
sin(—ifi) cos(—(fi) J y — sin(pi cospi J '
Тот же результат можно получить иначе, если воспользоваться тем,
что матрица обратного оператора А^1 есть матрица, обратная к мат-
матрице оператора А\\
д-1 _ fcoscpi — sin(^i\ _ / coscpi sincpi\
1 ~~ у sin cpi cos cpi J ~ у — sin cpi cos ipi J
5. Найти матрицу оператора дифференцирования (оператора D) в
пространстве Р2 многочленов степени, не превосходящей 2, в базисе:
а) 1,ж,ж2; б) 1,1 + ж, 1 + х + ж2.
Имеет ли оператор D обратный оператор?
Л а) Чтобы составить матрицу De оператора D в базисе е\ — 1, е2 = ж,
е3 = ж2, найдем образы элементов еь е2, е3:
Dei = A); = О,
5е2 = (ж)/ = 1 = е1,
5е3 = (х2у = 2ж = 2е2.
Отсюда следует, что
'О 1 (Г
0 0 2
,0 0 0,
De = 0 0 2
б) Аналогично, для базиса Д = 1, /2 = 1 + ж, /3 = 1 + ж + ж2 имеем
равенства
Dfi = 0,
Df3 = 1 + 2х = -1 + 2A + ж) = -Л + 2/2.

118	Гл. V. Линейные операторы
Отсюда следует, что
Определитель матрицы De (и также матрицы Df) равен нулю,
т. е. матрица De вырожденная. Следовательно, по теореме 2 опера-
оператор D не имеет обратного оператора. А
6. В пространстве B<i радиус-векторов на плоскости с общим на-
началом в точке О задан ортонормированный базис ei, е2. Пусть А —
линейный оператор, проектирующий векторы из В2 на подпрост-
подпространство В\ с базисом еь а Б — оператор поворота векторов прост-
пространства В2 на угол if. Найти матрицу коммутатора (А, В) в базисе ei,
в2, если:
a) if = тг/б; б) if = тг/2; в) ср = тг.
Доказать, что:
в случае а) оператор (А, В) является произведением трех преоб-
преобразований пространства В2, а именно (А,В) = С\С2Сз, где С\ —
симметрия относительно вектора ei + е2, С2 — центральная симмет-
симметрия относительно точки О, Сз — оператор подобия с коэффициентом
подобия 0,5;
в случае б) (А, В) = С1С2, где С\ и Ci — те же самые преобразо-
преобразования пространства В<±, что и в случае а);
в случае в) (А, В) = 0, где О — нуль-оператор.
Л Согласно определению оператора А имеем равенства
Aei = ei = 1 • ei + 0 • е2, Ае2 = 0 = 0 • ei + 0 • е2.
Из этих равенств следует, что
Ар ~ 1 0 0
Матрица оператора В в том же базисе имеет вид (см. пример 1)
D / cos if — sin if \
sm if cos if
J
Матрица Се коммутатора (A, B) = AB — В А выражается форму-
формулой Ce = AeBe — BeAe. Поэтому в нашем случае
r _ ( 1 0 \ / cos if - sin if \
f cos if — sin if\fl 0\ _ ( 0 — sin if \
I sin if cos if J I 0 0 J ~ I - sin <p 0 у

§1. Линейные операторы в линейном пространстве	119
а) Если ip = тг/б, то матрица коммутатора (А, В) имеет вид
Се =
О -0,5
-0,5	0
Матрицу Се можно представить в виде произведения матриц:
Матрица Cie = ( -i q ) является в базисе ei, е2 матрицей линейного
оператора Gi, переводящего любой вектор х координатами ж1, ж2 в
этом базисе в такой вектор у, координаты у1, у2 которого в том же
базисе выражаются через ж1, ж2 по формуле D):
o i
Полученное равенство показывает, что любой вектор х в результате
преобразования С\ переходит в вектор у, симметричный относитель-
относительно вектора ei + в2. Значит, оператор С\ — симметрия относительно
вектора ei + в2.
Матрица С^е = ( п 1 ) является в базисе ei, в2 матрицей опе-
оператора С2, который любой вектор х из В2 переводит в вектор -х,
т. е. С2 — симметрия относительно точки О.
„	п /0,5 0 \
Наконец, матрица 6зе — I A n к ) является матрицей оператора
\ и и,оу
подобия Сз с коэффициентом подобия 0,5.
Из равенства A0) следует, что коммутатор (А, В) является про-
произведением трех указанных операторов: (А, В) = СхС^С^-
б) Если ip = тг/2, то матрица Се коммутатора (А, В) имеет вид
0 -Г
и ее можно представить в виде произведения двух матриц:
0 -l
где матрицы С\е и С^е те же самые, что и в случае а). Поэтому
(А,В) = С1С2,
где С\ и Съ — линейные операторы, рассмотренные в п. а).

120	Гл. V. Линейные операторы
в) При ip = тг матрица Се коммутатора (А, В) становится нулевой:
Се = 0. Поэтому коммутатор (А, В) является в этом случае нуль-
оператором. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Произвольный элемент ж линейного пространства Rs, имеющий
в базисе ei, e2, ез координаты ж1, ж2, ж3, при действии операто-
оператора А переходит в элемент у = Ах, имеющий в этом же базисе
координаты ж2 + ж3, 2Ж1 + ж3, Зж1 — ж2 + ж3. Докажите, что А —
линейный оператор, и найдите его матрицу в базисе ei, е2, ез.
2.	Пусть L = L(cosx,smx) — линейная оболочка функций cos ж и
sin ж. Найдите матрицу оператора дифференцирования, дейст-
действующего в L, в базисе cos ж, sin ж.
3.	Пусть у — фиксированный вектор линейного пространства У3,
А — оператор, действие которого на любой вектор х из Vs зада-
задается равенством Ах = [х , у], где [х , у] — векторное произведение
вектора х на вектор у. Докажите, что А — линейный оператор, и
найдите матрицу этого оператора в правом ортонормированном
базисе ei, е2, ез, если у = ае± + Ье2 + сез (а, Ъ, с — заданные
числа).
4.	Матрица линейного оператора А в базисе ei,e2,e3,e4 имеет вид
12 0Г
3 0-12
2 5 3 1
1 2 13,
Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе:
a) ei, е3, е2, е4; б) еь е\ + е2, е\ + е2 + е3, е\ + е2 + е3 + е4.
5.	В двумерном линейном пространстве В2 радиус-векторов с об-
общим началом в точке О задан ортонормированный базис ei, e2
и введена прямоугольная система координат Ож:ж2 с координат-
координатными векторами ei, e2. Оператор А переводит любой радиус-
вектор а в радиус-вектор Ь, симметричный а относительно пря-
прямой ж2 = кх1. Докажите, что А — линейный оператор, и найдите
его матрицу в базисе ei, e2.
6.	В двумерном линейном пространстве В2 радиус-векторов с об-
общим началом в точке О задан ортонормированный базис ei, е2 и
введена прямоугольная система координат Ож:ж2 с координатны-
координатными векторами ei, e2. Оператор А переводит радиус-вектор ОМ

§1. Линейные операторы в линейном пространстве	121
в радиус-вектор О?, конец которого (точка Р) находится по сле-
следующему правилу: через точку М проводится прямая, перпенди-
перпендикулярная к прямой х2 = 2х1] если точка Т пересечения прямых
не совпадает с точкой М, то точка Р берется на луче ТМ так,
что ТР = ЗТМ; если же точки ГиМ совпадают, то в качест-
качестве Р берется точка М. Докажите, что А — линейный оператор,
и найдите его матрицу в базисе еь е2.
7.	В трехмерном линейном пространстве В3 радиус-векторов с об-
общим началом в точке О задан ортонормированный базис еь е2,
е3 и введена прямоугольная система координат Оххх2х3 с коор-
координатными векторами ei, е2, ез. Оператор А переводит радиус-
вектор ОМ в радиус-вектор ОР, конец которого (точка Р) на-
находится по следующему правилу: через точку М проводится
прямая, перпендикулярная к плоскости 2хх -\- х2 — х3 =0; если
точка Т пересечения прямой и плоскости не совпадает с точ-
точкой М, то точка Р берется на отрезке ТМ так, что ТР = - ТМ;
о
если же точки Т и М совпадают, то в качестве точки Р берется
точка М. Докажите, что А — линейный оператор, и найдите мат-
матрицу этого оператора в базисе ei, е2, ез.
8.	В трехмерном линейном пространстве В% радиус-векторов с об-
общим началом в точке О задан ортонормированный базис ei, e2,
ез и введена прямоугольная система координат Ох1х2х3 с ко-
координатными векторами еь е2, е3. Прямая I задана уравнения-
уравнениями х1 = х2 = х3. Определим цилиндрические координаты радиус-
векторов следующим образом: на плоскости Р (х1 + х2 + х3 = 0)
введем полярную систему координат с полюсом в точке О и, вы-
выбрав на прямой I направление, введем ось Oh, совпадающую с
прямой I (I _L P). Пусть число h равно проекции вектора ОМ
на ось Oh, а р и ip — полярные координаты проекции точки М
на плоскость Р. Тройку чисел р, ip, h назовем цилиндрическими
координатами радиус-вектора ОМ. Поворотом на угол а прост-
пространства В% вокруг оси Oh назовем преобразование, при котором
каждый радиус-вектор ОМ, имеющий цилиндрические координа-
координаты р, ср, h, переходит в радиус-вектор ОМ' с координатами р,
ip + a, h. Докажите, что поворот на угол а пространства В% вок-
вокруг оси Oh является линейным оператором. Найдите матрицу
этого оператора в базисе ei, e2, ез при:
\	2тг -	тг ч	ч	~
а) а = —; б) а = —; в) а = тг; г) а = 2тг.
о	2
9.	Пусть D — оператор дифференцирования в пространстве L, где
L = L(smx,cosx) — линейная оболочка функций sin ж и cos ж.

122	Гл. V. Линейные операторы
Докажите, что:
а)	D4 = /, где / — тождественный оператор;
б)	оператор D имеет обратный D~1;
в)	сумма D + D~x равна нуль-оператору.
10.	Пусть D — оператор дифференцирования, действующий в линей-
линейном пространстве Р$ многочленов степени не выше 5. Найдите
матрицу линейного оператора:
a) D3; б) D7;
Т т2	5
в базисе 1, -, —, ..., —.
11.	Пусть D — оператор дифференцирования в пространстве L,
где L = L(l, sin ж, cos ж, sin2x, cos2x) — линейная оболочка ука-
указанных функций. Докажите, что функции 1, sin ж, cos ж, вт2ж,
сов2ж составляют базис в L, и найдите в этом базисе матрицу
оператора:
a) D3; б) D6.
Существует ли обратный оператор для оператора D3?
12.	Докажите, что оператор дифференцирования D, действующий в
пространстве Рп многочленов степени не выше п (п ^ 1), явля-
является линейным оператором. Найдите матрицу этого оператора в
базисе:
1,ж,...,жп; б) 1,—,...,—;
в) 1,1 +ж, ...,1 + ж + ... + жп; г) 1,ж- 1,ж2 -ж, ...,жп - xn~x.
13.	Пусть Ak оператор поворота на угол ip^ в пространстве V^ векто-
векторов на плоскости. Найдите матрицу (в произвольном ортонорми-
рованном базисе) оператора:
a) AiA2...An; б) А^А2; в) ММА'1; г) А^А'1!'2.
14.	В некотором базисе линейного пространства R^ элементы Ж1, Ж2,
хз, У\-> У2, Уз имеют соответственно координаты 2,3,5; 0,1,2;
1,0,0; 1,1,1; 1,1,-1; 2,1,2. Докажите, что существует единст-
единственный линейный оператор А, переводящий элементы Ж1, Ж2, жз
соответственно в элементы з/ь 2/2, Уз- Найдите матрицу этого опе-
оператора в том же базисе.
15.	В базисе ei, в2, ез линейного пространства Яз элементы Ж1, Ж2, жз,
У\-> У2-, Уз-, %!•> %2, Z3 имеют соответственно координаты —2, —1, —2;
1,0,0; 2,2,3; 2,0,-1; -1, 2,-1; 0,-1,1; 2,-1,0; -1, 2,-1; 0,-1,1.
Линейный оператор А переводит элементы Ж1, Ж2, жз в элементы
У\-> 2/2, 2/з, а линейный оператор В переводит элементы yi, y<i, уз
в элементы z\, z<i, z^. Найдите матрицу оператора В А в базисе:
а) еь е2, е3; б) жь ж2, ж3; в) уъ у2, у3.

§2. Собственные векторы и собственные значения	123
16.	Пусть А и В — линейные операторы, действующие в линейном
пространстве R2. В базисе еь е2 оператор А имеет матрицу Ае =
(Ь -l\
— ( 4 1 )• В базисе Д, /2 оператор В имеет матрицу Bf =
= -, 0 , причем / = еС, где С = q о • Найдите мат-
V i ~ZJ	\6 ~ZJ
рицу:
а)	оператора A2 +6A + 9I в базисе ei, е2 (/ — тождественный
оператор);
б)	оператора В2 + 4В + 4/ в базисе Д, /2;
в)	оператора А2 - В2 в базисе еь е2;
г)	оператора АВ~1 в базисе Д, /2.
17.	Докажите, что для любых линейных операторов А, В, С справед-
справедливы равенства:
а)
б)	(А,
в)	A, (В, С)) + (В, (С, А)) + (С, A, В» = 0 (тождество Якоби).
18. Докажите, что коммутатор линейных операторов Аи В не может
быть тождественным оператором.
§ 2. Собственные векторы и собственные значения
линейных операторов
1. Собственные векторы и собственные значения. Пусть
линейный оператор А действует в линейном пространстве R.
Определение. Ненулевой элемент х из R называется собствен-
собственным вектором линейного оператора А, если существует число Л такое,
что Ах = Хх. Число Л называется при этом собственным значением
оператора А. Говорят также, что собственный вектор х отвечает (или
соответствует) собственному значению Л.
Свойства собственных векторов и собственных
значений линейного оператора.
1°. Если Ai, А2,..., А/. — различные собственные значения опера-
оператора А, то отвечающие им собственные векторы xi,x2, ...,ж^ линейно
независимы.
2°. Линейный оператор, действующий в линейном пространст-
пространстве R размерности п, не может иметь более п различных собствен-
собственных значений.

124	Гл. V. Линейные операторы
3°. Если линейный оператор А, действующий в линейном прост-
пространстве R размерности п, имеет п различных собственных значе-
значений Ai, Л2,..., Лп, то отвечающие им собственные векторы ei,e2,...
...,еп образуют базис пространства R. Матрица оператора А в этом
базисе имеет вид (XPS^), где 6^ — символ Кронекера.
4°. Множество М\, содержащее нулевой элемент и все собст-
собственные векторы линейного оператора А, отвечающие собственному
значению Л, является подпространством линейного пространства R.
Подпространство М\ называется собственным подпространством
оператора А, отвечающим собственному значению Л.
2. Характеристическое уравнение. Пусть Ае — матрица ли-
линейного оператора А в базисе ei, в2,..., еп, / — единичная матрица.
Составим определитель det(Ae — XI). Он является многочленом степе-
степени п относительно Л и называется характеристическим многочленом
оператора А.
Уравнение
det(Ae - XI) = 0	A)
называется характеристическим уравнением оператора А.
Характеристический многочлен, а значит, и характеристическое
уравнение данного оператора, не зависит от выбора базиса, т. е. в
любом базисе коэффициенты характеристического многочлена одни
и те же.
Теорема 3. Для того чтобы число X было собственным значени-
значением линейного оператора А, действующего в комплексном (веществен-
(вещественном) линейном пространстве Rnj необходимо и достаточно,
чтобы X было корнем (вещественным корнем) характеристического
уравнения A).
Теорема 3 дает следующий способ отыскания собственных векто-
векторов и собственных значений линейного оператора А.
1)	Находим собственные значения оператора, решая уравнение A).
Обозначим их Ai, Л2,..., A/., k ^ п.
2)	Для каждого собственного значения Хр находим все ненулевые
решения однородной системы уравнений
(Ае - \Р1)Х = 0.	B)
Каждое ненулевое решение X этой системы является столбцом коор-
координат в базисе ei,e2,...,en собственного вектора оператора А, соот-
соответствующего собственному значению Хр.
Замечание. Собственное значение Хр линейного оператора А
называется также собственным значением матрицы Ае, а ненулевое
решение системы B) (столбец X) называется собственным вектором

§2. Собственные векторы и собственные значения	125
матрицы Ае. Во многих разделах математики и ее приложений рас-
рассматриваются именно собственные значения и собственные векторы
матриц, вне связи их с линейными операторами.
3. Инвариантные подпространства линейных операто-
операторов.
Определение. Подпространство М линейного пространства R
называется инвариантным относительно линейного оператора А, если
для любого элемента х из М его образ Ах также принадлежит М.
Примеры.
1.	Подпространство, состоящее из одного нулевого элемента в,
является инвариантным подпространством относительно любого
линейного оператора.
2.	Само линейное пространство R является инвариантным отно-
относительно любого линейного оператора, действующего в этом прост-
пространстве.
Подпространства в и R называются тривиальными инвариантны-
инвариантными подпространствами линейного оператора.
3.	Собственное подпространство М\ линейного оператора А,
отвечающее собственному значению Л, является инвариантным от-
относительно оператора А.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какой элемент линейного пространства называется собственным век-
вектором линейного оператора А?
2.	Что такое собственное значение линейного оператора?
3.	Докажите справедливость равенства Ав = 50, где А — произвольный
линейный оператор, 0 — нулевой элемент. Следует ли из этого равенст-
равенства, что 0 — собственный вектор оператора А, а число 5 — собственное
значение этого оператора?
4.	Является ли подпространством множество всех собственных векторов
линейного оператора, отвечающих одному и тому же собственному зна-
значению?
5.	Имеет ли собственные значения и собственные векторы:
а) нуль-оператор 0; б) тождественный оператор /;
в) оператор подобия с коэффициентом подобия /х?
6.	Имеет ли оператор поворота на угол ср в линейном пространстве V2
векторов на плоскости собственные значения и собственные векторы,
если: а) (р = тг/4; б) if = тг?
7.	Каково наибольшее число различных собственных значений, которое
может иметь линейный оператор, действующий в линейном прост-
пространстве размерности п?
8.	Всякий ли линейный оператор, действующий в вещественном (комп-
(комплексном) линейном пространстве Яп, имеет собственные значения?

126	Гл. V. Линейные операторы
9. Пусть Ai, Л2,..., Хп — не равные друг другу собственные значения ли-
линейного оператора А, действующего в линейном пространстве Rn, a
ei,e2, -.., еп — соответствующие им собственные векторы. Докажите,
что элементы ei, ег,..., ете образуют базис линейного пространства Rn.
Какой вид имеет матрица оператора А в этом базисе?
10.	Какое уравнение называется характеристическим уравнением линей-
линейного оператора?
11.	Всегда ли корень характеристического уравнения является собствен-
собственным значением линейного оператора?
12.	Объясните, как найти собственные значения и собственные векторы
линейного оператора?
13.	Какое подпространство линейного пространства R называется инвари-
инвариантным относительно линейного оператора А, действующего в R?
14.	Какие подпространства являются инвариантными относительно:
а) нуль-оператора 0; б) тождественного оператора /;
в) оператора подобия с коэффициентом подобия //?
15.	Является ли линейная оболочка L(sin ж, cos x) инвариантной относитель-
относительно оператора дифференцирования?
16.	Справедливо ли утверждение: подпространство, состоящее из одного
нулевого элемента 0, является инвариантным относительно любого
линейного оператора?
17.	Является ли инвариантным подпространством относительно операто-
оператора А собственное подпространство этого оператора, отвечающее
некоторому собственному значению?
Примеры решения задач
1. Найти собственные векторы и собственные значения линейно-
линейного оператора А, действующего в линейном пространстве В% радиус-
векторов и имеющего в ортонормированном базисе ei, в2, ез матри-
(этот оператор был рассмотрен в примере 3
на с. 114).
Так как
det(Ae - XI) =
1/3-А 1/3	1/3
1/3 1/3-А 1/3
1/3	1/3 1/3-А
= А2 - А3
то характеристическое уравнение оператора А имеет вид А2 — А3 = 0.
Корни этого уравнения Ai = 1 и А2 = Аз = 0 — собственные значе-
значения оператора А. Собственное значение А = 0 называется двукратным
собственным значением.
Чтобы найти координаты собственных векторов, нужно решить
систему уравнений B) при А = 1 и А = 0.

§2. Собственные векторы и собственные значения	127
При Л = 1 система уравнений B) принимает вид
-2хг + х2 + ж3 =0,
х1 - 2х2 + х3 = 0,
х1 + ж2 - 2ж3 = 0.
Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы ра-
равен 2, то размерность пространства решений равна 1. Решая, находим
ФСР, состоящую из одного столбца Х\ = 1 . Столбец Х\ — это
\1/
столбец координат в базисе ei, е2, ез собственного вектора xi, от-
отвечающего собственному значению Л = 1. Множество всех собствен-
собственных векторов, соответствующих собственному значению Л = 1, имеет
вид х = cxi, где с — произвольное вещественное число, не равное
нулю.
Если Л = 0, то система уравнений B) запишется так:
1 +х2 +ж3 =0,
х1 +х2 +ж3 =0,
1 +х2 +х3 = 0.
В этой системе уравнений число неизвестных равно 3, а ранг матрицы
системы равен 1. Поэтому размерность пространства решений рав-
равна 2. Решая систему, находим ее ФСР:
Хо = 1 и X* =
Эти столбцы представляют собой координаты в базисе ei, е2, ез двух
линейно независимых собственных векторов Х2 и хз оператора А,
отвечающих собственному значению Л = 0. Все множество собствен-
собственных векторов, соответствующих собственному значению Л = 0, дает
линейная комбинация векторов х2 и ж3: х = Cix2+c2x3, где с\
и с2 — произвольные вещественные числа, одновременно не равные
нулю.
Замечание. Данную задачу можно решить проще, если восполь-
воспользоваться примером 3 на с. 114. В этом примере векторы базиса f\,
f2, f3, удовлетворяющие соотношениям (8), являются собственными
векторами оператора А. Из равенств (8) следует, что собственно-
собственному значению Л = 1 соответствует собственный вектор f\, а собствен-
собственному значению Л = 0 — два линейно независимых собственных век-
вектора, f2 и f3.
Найденные собственные значения и собственные векторы имеют
простую геометрическую интерпретацию. Оператор А есть оператор

128	Гл. V. Линейные операторы
ортогонального проектирования радиус-векторов на прямую I, про-
проходящую через начало координат. Ясно, что проекцией любого нену-
ненулевого радиус-вектора cfi, лежащего на прямой I, является сам этот
радиус-вектор, т. е. он является собственным вектором оператора А,
отвечающим собственному значению Л = 1. Проекцией на прямую I
любого радиус-вектора, лежащего в плоскости Р, перпендикулярной
прямой I, является нулевой вектор, т. е. любой ненулевой радиус-
вектор, лежащий в плоскости Р, является собственным вектором опе-
оператора А, отвечающим собственному значению Л = 0. Множество всех
таких векторов дает линейная комбинация cif2 +c2f3, где с\ и с2 —
произвольные числа, одновременно не равные нулю. А
2. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы
А =
Л Характеристический многочлен матрицы А имеет вид
det(A - XI) =
б-Л -3 0
0 3-А -3
0	3 9-Л
= (б-ЛK.
Его трехкратный корень Л = б является собственным значением мат-
матрицы А. Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему
уравнений (А - 61)Х = 0, т. е.
-Зж2 =0,
-Зж2 - Зж3 = 0,
63ж2 + Зж3 = 0.
В этой системе число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы
равен 2. Поэтому размерность пространства решений равна 1. Решая
систему, находим ее ФСР: X = 0 . Таким образом, множество всех
W
собственных векторов матрицы А есть множество столбцов сХ, где
с — произвольное число, не равное нулю. А
3. Три материальных точки Mi, M2, Ms единичной массы соеди-
соединены между собой и со стенкой тремя пружинами с коэффициентами
жесткости к\ — 8, к2 = 3, к3 = 11 (рис. 4). Найти собственные частоты
и формы малых собственных колебаний данной системы.
Л Прежде всего уточним постановку задачи. Положение равновесия
материальных точек Mi, M2, Мз, соответствующее нерастянутым
пружинам, отметим на оси ж точками Oi, O2, Оз. Если сжать или

§2. Собственные векторы и собственные значения	129
растянуть пружины каким-то образом, а затем отпустить их, то нач-
начнется колебательное движение системы. Будем пренебрегать силами
л
к2 м2 к3 м3
i	i	i
i	i	i
L,	I	I
Рис. 4
трения и массами пружин. В произвольный момент времени t точ-
точки Mi, М2, М3 занимают какие-то положения О[, 0'2, 0'3. Величины
направленных отрезков О±О'Ь 020'2 и 030'3 на оси ж, характеризую-
характеризующие отклонения точек Mi, M2 и Мз от положения равновесия, обо-
обозначим через xi, х2 и ж3. Если эти величины изменяются со временем
по закону
х\ — а\ sin(cjt + а), Ж2 = ^2 sin(cjt + а), жз = аз sinfW + а), C)
то и называется собственной частотой системы, а отношения а\ : а2 :
: аз будем называть формой собственных колебаний, совершаемых с
частотой и.
Для отыскания собственных частот и соответствующих им форм
колебаний составим уравнения движения материальных точек Mi,
М2, М3. На каждую из этих точек действуют силы, обусловленные
жесткостью пружин. Согласно закону Гука при малом растяжении
пружины упругая сила, стремящаяся вернуть пружину в первона-
первоначальное (нерастянутое) положение, пропорциональна величине рас-
растяжения. Величины растяжений первой, второй и третьей пружин в
момент t равны соответственно жь х2- жь хз~ х2 (см. рис. 4). Поэто-
Поэтому на точку Mi в момент t со стороны первой пружины действует си-
сила /i = — &1Ж1, а со стороны второй пружины — сила f2 = k2(x2 — х\).
Обратите внимание на знаки выражений для Д и /2. Если х\ > 0, то
первая пружина в момент t растянута по отношению к положению
равновесия, упругая сила стремится сжать пружину, и, следователь-
следовательно, на точку Mi со стороны первой пружины действует сила, направ-
направленная влево, т. е. Д = —к\Х\ < 0. Если х\ < 0, то первая пружина
сжата, упругая сила стремится растянуть ее, и поэтому на точку Mi
действует сила, направленная вправо, т. е. Д = —kiXi > 0. Аналогич-
Аналогично, если х2 — х\ > 0, то вторая пружина растянута, сила упругости
стремится сжать ее, и поэтому со стороны второй пружины на точ-
5 В.Ф. Бутузов и др.

130	Гл. V. Линейные операторы
ку Mi действует сила, направленная вправо: f2 = к^[х2 — ?i) > 0. То
же самое выражение для f2 получается в случае х2 — х\ ^ 0.
Итак, результирующая сила, действующая на точку Mi, есть сила
Fi = /1 + /2 = -(h + k2)xi + к2х2.
По второму закону Ньютона произведение массы точки Mi (она равна
единице) на ускорение точки (ускорение есть вторая производная х\
от смещения х\) равно результирующей силе i*\:
Xi = — (fci + &2)Ж1 + &2^2-	D)
Аналогично, на точки М2 и Мз действуют результирующие силы F2 =
= -/2 + /з = -h(x2 - xi) + к3(х3 - х2) = fe2ari - (к2 + fe)^2 + k3x3 и
F3 = —/з = — к3(х3 — х2). Поэтому уравнения движения этих точек
имеют вид
х2 = k2xi - (к2 + к3)х2 + к3х3,
х3 = к3х2 - к3х3.
Будем искать решение системы дифференциальных уравнений D),
E) в виде C). Подставляя C) в D) и E), приходим к системе линей-
линейных уравнений
С А = ХА,	F)
/-(fci+fc2)	k2	0 \
где С = I	к2	—(к2 + к3) к3 I — известная матрица, со-
V 0	fc3	-kj
ставленная из коэффициентов правых частей уравнений D), E),
fai\
А = I а2 I — искомый столбец "амплитуд", Л = — и2 — квадрат ис-
\а3/
комой собственной частоты, взятый со знаком минус.
Таким образом, для отыскания собственных частот uj нужно най-
найти собственные значения Л матрицы С, а для нахождения формы
собственных колебаний нужно найти соответствующие собственные
векторы.
Учитывая, что ki = 8, к2 = 3 и к3 = 11, получаем следующее ха-
характеристическое уравнение матрицы С:
det(C - XI) = -(Л3 + ЗбЛ2 + 299Л + 264) = 0.
Оно имеет корни Ai = —1, Л2 = —11, A3 = —24. Следовательно, и2 = 1,
uj\ — 11, uj\ = 24, т. е. собственными частотами колебательной систе-
системы будут uji = 1, uj2 = л/Й, ^з = л/24-
Решая для каждого собственного значения А/, систему F), нахо-
находим собственные векторы матрицы С — столбцы

§2. Собственные векторы и собственные значения	131
где с — произвольное число, не равное нулю. Отношения элементов
столбца Ak определяют форму собственных колебаний с частотой ий-
Так, форма собственных колебаний с частотой uj\ = 1 задается отно-
отношениями: 3 : 10 : 11. А
4. В линейном пространстве R% действует линейный оператор А,
переводящий ортонормированный базис ei, в2, ез в элементы Д, /2,
/з такие, что
/i = Ае\ — 1, 5ei + 0, 5е2 + 0, 5е3, /2 = Ае2 = 0, 5ei + e2,
/з = Ае3 = 0,5ei + е3.
Найти все подпространства пространства R%, инвариантные отно-
относительно оператора А.
Л Прежде всего укажем тривиальные инвариантные подпространст-
подпространства в и R3. Для нахождения остальных инвариантных подпространств
найдем собственные значения и собственные векторы оператора А.
Характеристический многочлен матрицы Ае имеет вид
1,5-Л 0,5 0,5
det(Ae - XI) =
0,5 1 - Л 0
= A-А)(А2-2,5А
0,5	0 1 - А
Его корни Ai = 0,5, А2 = 1, A3 = 2 являются собственными значениями
оператора А.
Чтобы найти собственные векторы, нужно решить систему линей-
линейных уравнений (Ае — Х1)Х = 0 при А, равных собственным значени-
значениям оператора А. При А = 0,5 система принимает вид
ж1+0,5ж2+0,5ж3=0,
0,5а:1 + 0,5ж2	=0,
5Ж1	+0,5ж3=0.
В этой системе уравнений три неизвестных, а ранг матрицы системы
равен 2. Поэтому размерность пространства решений равна 1. Решая
( г\
систему, находим ФСР: Х\ = —1 . Столбец Х\ — это столбец коор-
V-1/
динат в базисе ei, е2, е3 собственного вектора х\, отвечающего собст-
собственному значению Ai = 0,5. Одномерное инвариантное относительно
оператора А подпространство, соответствующее собственному значе-
значению Ai, есть линейная оболочка Р\ = {cxi}, где с — произвольное
вещественное число.
При А = 1 система запишется так:
'0,5ж1+0,5ж2+0,5ж3=0,
0,5^	=0,
0,5^	=0.

132	Гл. V. Линейные операторы
Как и в предыдущем случае, одномерное инвариантное относительно
оператора А подпространство, соответствующее собственному значе-
значению А2 = 1, есть линейная оболочка Р2 = {сж2}, где с — произвольное
вещественное число, а х2 — собственный вектор, отвечающий А2 и
имеющий в базисе ei, е2, ез координаты 0,1, —1.
Наконец, при Л = 2 система принимает вид
-0,5ж1+0,5ж2+0,5ж3=0,
х2	=0,
- ж3=0.
Ранг матрицы системы также равен 2. Поэтому инвариантное отно-
относительно оператора А подпространство, соответствующее собствен-
собственному значению Аз, имеет размерность 1 и представляет собой линей-
линейную оболочку Рз = {сжз}, где с — произвольное вещественное число,
ахз — собственный вектор, отвечающий собственному значению Аз
и имеющий в базисе ei, е2, ез координаты 2,1,1.
Далее, линейные оболочки L\ — \c\X\ + с2ж2}, L2 = \c\X\ + с2жз},
L3 = {с1Ж2+с2жз}, где ci, c2 — произвольные вещественные чис-
числа, являются двумерными инвариантными относительно оператора А
подпространствами. Действительно, например, для L\ имеем
с2ж2) = с\Ах\ + с2Ах2 = ciX\Xi + с2А2ж2 =
+ с2ж2 G Li.
Других инвариантных относительно оператора А подпространств
нет. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
19. Найдите собственные векторы и собственные значения линейно-
линейного оператора А, действующего в линейном пространстве R2 над
полем рациональных чисел и имеющего в базисе ei, e2 матрицу
3
20. Найдите собственные векторы и собственные значения линейно-
линейного оператора А, действующего в линейном пространстве R2 над
полем вещественных чисел и имеющего в базисе ei, e2 матрицу
А -(
Ле ~ у з 1
21. Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы:
/2 -1 -1\	/-1 -2 -2\	/2 -1 0\
а) 0 -1 0 ; б) 0 1 0 ; в) 0 1-1-
V0 2 1/	V 0 0 1/	\0 1 3/

§2. Собственные векторы и собственные значения	133
22. Найдите собственные векторы и собственные значения линейно-
линейного оператора А, действующего в линейном пространстве R4 и
имеющего в базисе еь е2, е3, е4 матрицу
Докажите, что линейная оболочка L(e\ + 2е2, е2 + ез + 2е4) яв-
является инвариантным относительно оператора А подпространст-
подпространством.
23.	Докажите, что линейный оператор А имеет обратный оператор
тогда и только тогда, когда число Л = 0 не является собственным
значением оператора А.
24.	Докажите, что любой линейный оператор и обратный к нему (ес-
(если он существует) имеют одни и те же собственные векторы.
Найдите связь между собственными значениями этих операто-
операторов.
25.	Докажите, что при умножении оператора на число а ф 0 его
собственные векторы не изменяются, а собственные значения
умножаются на число а.
26.	Докажите, что оператор А — al при любом вещественном чис-
числе а имеет те же собственные векторы, что и оператор А. Найдите
связь между собственными значениями этих операторов.
27.	Докажите, что собственный вектор оператора А является собст-
собственным вектором оператора Ак (к Е iV) и оператора р(А), где
p(t) — многочлен. Как выражаются собственные значения опера-
операторов Ак и р(А) через собственные значения оператора А?
28.	Докажите, что линейная оболочка каких-нибудь собственных
векторов оператора является инвариантным относительно этого
оператора подпространством.
29.	Найдите все подпространства, инвариантные относительно ли-
линейного оператора А, действующего в линейном пространстве В%
радиус-векторов и имеющего в ортонормированном базисе ei, e2,
1 A ! Л
е3 матрицу Ае = - 1 1 1 .
3 VI 1 1/
30.	Докажите, что оператор поворота на угол ip e @, тг), действующий
в пространстве У2 векторов на плоскости, не имеет собственных
векторов, а оператор поворота на угол тг имеет собственные век-
векторы. Найдите их.

134	Гл. V. Линейные операторы
31.	Пусть у — фиксированный ненулевой вектор из линейного
пространства Vs векторов в пространстве. Найдите собственные
векторы и собственные значения оператора А, действие которо-
которого на любой вектор х из Vs задается равенством Ах = [х,у], где
[х,у] — векторное произведение векторов х и у.
32.	Найдите собственные векторы и собственные значения оператора
дифференцирования в пространстве многочленов Рп.
33.	Имеет ли собственные векторы действующий в линейной оболоч-
оболочке L(cosx,sinx) оператор:
а) дифференцирования D; б) D2; в) D3.
Если ответ положительный, то укажите собственные векторы и
собственные значения оператора.
34.	Пусть Ai и Л2 — не равные друг другу собственные значения
линейного оператора А, а х\, х<± — соответствующие им собст-
собственные векторы. Докажите что элементы х\ и х<± линейно
независимы.
35.	Материальные точки Mi, M2, Мз имеют массы m, 2m, m соот-
соответственно. Эти точки соединены между собой пружинами,
а точки Mi и М3 еще двумя пружинами соединены со стенка-
стенками. Найдите собственные частоты данной системы (три матери-
материальных точки и четыре пружины), если коэффициент жесткости
каждой пружины равен к.
§ 3. Линейные операторы в евклидовом пространстве
Основные понятия и теоремы
В этом параграфе обсуждаются понятия сопряженного, симмет-
симметричного и ортогонального операторов. В определении каждого из этих
операторов фигурирует скалярное произведение (х,у) тех или иных
элементов ж, у евклидова пространства S.
1. Сопряженный оператор.
Определение. Оператор А*, действующий в евклидовом прост-
пространстве S, называется сопряженным к линейному оператору А,
если для любых элементов ж, у из S выполняется равенство (Ах, у) =
= (х,А*у).
Свойства сопряженного оператора.
1°. Для всякого линейного оператора, действующего в евклидовом
пространстве, существует единственный сопряженный оператор, ко-
который является также линейным оператором.

§3. Линейные операторы в евклидовом пространстве	135
2°. В ортонормированном базисе матрица А* сопряженного опе-
оператора А* является транспонированной по отношению к матрице А
оператора А : А* = АТ.
3°. Для любого оператора А справедливо равенство (А*)* = А.
4°. Для любых линейных операторов А и В справедливо равенст-
равенство (АВУ =В*А*.
5°. Если для оператора А существует обратный оператор А, то
верно равенство (А*)~1 = (А~1)*.
6°. Собственные значения операторов АиА* совпадают.
2.	Симметричный (самосопряженный) оператор.
Определение. Линейный оператор А, действующий в евклидо-
евклидовом пространстве ?, называется симметричным (самосопряженным),
если А* = А, т. е. для любых элементов ж, у из ? выполняется ра-
равенство (Ах, у) = (х,Ау).
Свойства симметричного оператора.
1°. В ортонормированном базисе матрица А симметричного опе-
оператора А является симметричной матрицей, т. е. А = АТ, и, обратно,
если в каком-нибудь ортонормированном базисе матрица оператора А
является симметричной матрицей, то А — симметричный оператор.
2°. Все корни характеристического уравнения симметричного опе-
оператора — вещественные числа и, следовательно, являются его собст-
собственными значениями.
3°. Собственные векторы симметричного оператора, соответст-
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
4°. Симметричный оператор, действующий в n-мерном евклидо-
евклидовом пространстве, имеет п линейно независимых попарно ортогональ-
ортогональных собственных векторов, и, обратно, если в n-мерном евклидовом
пространстве существует ортонормированный базис из собственных
векторов линейного оператора А, то А — симметричный оператор.
3.	Ортогональный оператор.
Определение. Линейный оператор Q, действующий в евклидо-
евклидовом пространстве, называется ортогональным, если для любых эле-
элементов ж, у из этого пространства выполняется равенство (Qx, Qy) =
= (х,у).
Иными словами, ортогональный оператор Q — это линейный опе-
оператор, сохраняющий скалярное произведение элементов: скалярное
произведение образов Qx и Qy равно скалярному произведению
их прообразов х и у.

136	Гл. V. Линейные операторы
Свойства ортогонального оператора.
1°. Ортогональный оператор Q не изменяет нормы элементов, т. е.
\\Qx\\ = ||ж||.
2°. Если Q — ортогональный оператор, то существует обратный к
нему оператор Q, который также является ортогональным, и спра-
справедливо равенство
Q~' = Q\	A)
т. е. обратный оператор к ортогональному оператору Q совпадает с
сопряженным оператором Q*. Равенство A) можно записать в экви-
эквивалентных формах:
QQ* = I или Q*Q = /,	B)
где / — тождественный оператор.
Свойства 1° и 2° являются характеристическими свойствами ор-
ортогонального оператора, т. е. линейный оператор, действующий в ев-
евклидовом пространстве и не изменяющий нормы элементов, является
ортогональным оператором, и точно так же линейный оператор, для
которого справедливо равенство A) или B), является ортогональным
оператором. Поэтому свойства 1° и 2° могут быть положены в основу
определения ортогонального оператора.
3°. Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис
в ортонормированный базис, и, обратно, если линейный оператор Q
переводит какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормиро-
ортонормированный базис, то Q — ортогональный оператор.
4°. В любом ортонормированном базисе матрица Q ортогонально-
ортогонального оператора является ортогональной матрицей, т. е. удовлетворяет
условию Q~l = QT (см. § 4 гл. IV). Это условие можно записать в
эквивалентных формах:
QQT = I или QTQ = L
Обратно: если в некотором ортонормированном базисе матрица
оператора Q ортогональная, то Q — ортогональный оператор.
5°. Если число Л — собственное значение ортогонального операто-
оператора, то Л равно 1 или —1.
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение сопряженного оператора.
2.	Для любого ли линейного оператора, действующего в евклидовом
пространстве, существует сопряженный оператор?
3.	Пусть А — оператор поворота на угол ср в пространстве V2 векторов на
плоскости. Какой оператор является сопряженным к А?

§3. Линейные операторы в евклидовом пространстве	137
4.	Как связаны между собой матрицы А и А* линейных операторов А
и А* в ортонормированном базисе?
5.	Докажите, что для любых линейных операторов А и В справедливо
равенство (А + В)* = А* + В*.
6.	Докажите, что для любого линейного оператора А и любого веществен-
вещественного числа а справедливо равенство (аА)* = аА*.
7.	Как связаны между собой собственные значения операторов А и А*?
8.	Сформулируйте определение симметричного оператора.
9.	Является ли симметричным:
а)	нуль-оператор;
б)	тождественный оператор;
в)	оператор подобия;
г)	оператор поворота на угол тг/4 в пространстве Vb?
10.	Верно ли утверждение: если в каком-нибудь ортонормированном базисе
матрица оператора А является симметричной матрицей, то А — сим-
симметричный оператор?
11.	Верны ли утверждения:
а)	любой симметричный оператор имеет собственные векторы;
б)	число 1 + г, где г — мнимая единица, является собственным значе-
значением какого-то симметричного оператора?
12.	Докажите, что если линейный оператор, действующий в евклидовом
пространстве, симметричен, то в этом пространстве существует орто-
нормированный базис из собственных векторов этого оператора. Верно
ли обратное утверждение?
13.	Сформулируйте определение ортогонального оператора.
14.	Является ли ортогональным:
а)	нуль-оператор;
б)	тождественный оператор;
в)	оператор подобия с коэффициентом подобия /и, ф 1;
г)	оператор поворота на угол ср в пространстве V2 векторов на плос-
плоскости?
15.	Сформулируйте характеристические свойства ортогонального операто-
оператора. Каков смысл слов "характеристическое свойство"?
16.	Известно, что линейный оператор Q переводит данный ортонормиро-
ванный базис ei, ег, •••, еп в ортонормированный базис /i, /2,..., fn- Сле-
Следует ли отсюда, что Q — ортогональный оператор?
17.	Докажите, что в ортонормированном базисе матрица ортогонального
оператора является ортогональной матрицей.
18.	Может ли собственное значение ортогонального оператора быть рав-
равным: 2; 0; 1; -1?
19.	Докажите, что если Q\ и Q2 — ортогональные операторы, то их произ-
произведение Q1Q2 — также ортогональный оператор.
Примеры решения задач
1. В линейной оболочке L = L(sinx,cosx) скалярное произведение
элементов Д = А\ sin х + В\ cos x и /2 = A<i sin x + B<i cos x введено
по формуле (Л,/2) = А±А2 + B±B2.

138	Гл. V. Линейные операторы
а)	Найти оператор, сопряженный к оператору дифференцирова-
дифференцирования I), действующему в пространстве L.
б)	Доказать, что оператор D, действующий в L, является ортого-
ортогональным.
Л а) Элементы е\ — sin ж, е2 = cos ж образуют ортонормированный
базис пространства L. Найдем матрицу D оператора D в этом бази-
базисе. Действуя оператором D на базисные элементы е\ и е2, получаем
Dei = (sin ж/ = cos ж = 0 • е\ + 1 • е2,
De2 = (cos ж/ = — sin ж = — 1 • е\ + 0 • е2.
Отсюда следует, что матрица D имеет вид
'О -Г
D=\l О
Матрица D* сопряженного оператора D* в базисе ei, e2 является
транспонированной по отношению к матрице D, т. е.
О Г
-1 0у
Очевидно, что D* = —D. Поэтому и сопряженный оператор D* равен
оператору D, умноженному на —1, т. е. D* = —D. Иными словами,
действие сопряженного оператора D* на произвольный элемент /(ж)
пространства L задается формулой
D*f = -Df = -/'(ж).
б) Если Д = Ai sin ж + ??i cos ж, /2 = А2 sin ж + В2 cos ж, то
Dfi = — ??i sin х + Ai cos ж, I)/2 = — В2 sin ж + А2 cos ж.
По определению скалярного произведения в пространстве L имеем
(DfuDf2) = (-В1)(-В2) + АХА2 = АХА2 + В^.
Итак, для любых элементов Д и /2 из L справедливо равенство
Это означает, что D — ортогональный оператор в пространстве L. А
2. В линейной оболочке L = L^s'mx^cosx) скалярное произведение
элементов Д = А\ sin ж + В\ cos ж и /2 = А2 sin ж + ??2 cos ж введено
по формуле
(Д,/2) = АгА2 + BiB2 + - (А1В2 + A2Bi).

§3. Линейные операторы в евклидовом пространстве	139
а)	Доказать, что элементы е\ — —= sin ж Н—- cosxHe2 = sin ж -
л/3	л/3
- cos ж образуют ортонормированный базис пространства L.
б)	Найти матрицу оператора дифференцирования D в базисе еь е2.
в)	Найти матрицу сопряженного оператора D* в базисе ei, е2.
г)	Справедливо ли равенство D* = —D (сравнить с примером 1)?
д)	Является ли оператор D симметричным в пространстве L?
Л а) Так как
= 5 + i + Ki + i) = 1' iwi2 = i + i + i(-i-D = i.
() + A) +
то ei, е2 — ортонормированный базис пространства L.
б) Для того чтобы составить матрицу D оператора D в бази-
базисе ei, е2, найдем образы элементов ei, e2:
^^	i	111
Dei = ^(sinx + cosxO =	—sin ж Н—— cos ж =	— e2,
v 3	v 3	v 3	v 3
1^)е2 = (sin ж — совжO = sin ж + cos ж = v3ei.
Отсюда следует, что D = (	/-	] — матрица оператора D
V —1/л/З 0 )
в базисе ei, e2.
в) Матрица D* сопряженного оператора D* в базисе ei, e2 является
транспонированной по отношению к матрице D, т. е.
г)	Сравнивая матрицы D* и D, приходим к выводу, что D* ф —D.
Следовательно, не равны и соответствующие операторы: D* ф -D.
Сопоставляя полученный результат с результатом примера 1, при-
приходим к выводу: выполнение равенства D* = —D зависит от способа
введения скалярного произведения в пространстве L.
д)	Так как матрица D оператора D в ортонормированном бази-
базисе ei, e2 не является симметричной, то и оператор D не является
симметричным. А
3. В линейном пространстве Рп многочленов степени не выше п
скалярное произведение элементов /(ж) и д(х) введено по формуле
1
= Jf(x)g(x) dx.
о

140	Гл. V. Линейные операторы
Доказать, что линейный оператор А, заданный формулой
1	п
A f — / ЪГ(rr> уЛ -f(i-\ A+ rrm Tf (>г УЛ — \ "V'tY-V
X±J 	 I I\. \Jb^ IJJ yiJ til/,	1 ДС	_iY ^X, LJ 	 7 \JblJ ,
0	i=0
является симметричным оператором.
Л Так как в выражении для скалярного произведения (Af,g) =
1 1
= / / K(x,t)f(t)dt\g(x)dx подынтегральная функция K(x,t)f(t)g(x)
о о
непрерывна в квадрате {0 ^ х ^ 1, 0 ^ t ^ 1}, то можно изменить по-
порядок интегрирования. Кроме того, K(x,t) = K(t,x). Поэтому
1	1
(Af, g) = Jf(t) [ jK(t, x)g(x) dx] dt = (/, Ад).
о	о
Таким образом, выполнено условие из определения симметричного
оператора, и, значит, А — симметричный оператор. А
4. Пусть с — фиксированный ненулевой вектор в евклидовом
пространстве У2 векторов на плоскости, А — линейный оператор,
действующий в этом пространстве и ортогонально проектирующий
векторы из У2 на линейную оболочку L(c). Доказать, что А — сим-
симметричный оператор.
Л Выберем ортонормированный базис еь е2 следующим образом:
ei — вектор, сонаправленный с вектором с, а е2 — вектор, перпен-
перпендикулярный вектору с. Тогда Aei = ei, Ae2 = в. Поэтому матрица
оператора А в базисе ei, е2 имеет вид Ае = ( ~ ~). Так как Ае —
симметричная матрица, то согласно свойству 1° А — симметричный
оператор. А
5. Найти собственные векторы и собственные значения симмет-
симметричного оператора А, действующего в евклидовом пространстве Е% и
имеющего в ортонормированном базисе еь е2, е3 матрицу
/1 3 0\
Ае=[3 1 4 .
V0 4 1/
Л Характеристический многочлен оператора А имеет вид
1-Л 3	0
det(Ae - XI) =
3 1-Л 4 = A-Л)(Л + 4)(Л-б),
0	4 1-Л
поэтому Л1 = —4, Л2 = 1, Лз = б — собственные значения этого опе-
оператора.

§3. Линейные операторы в евклидовом пространстве	141
Чтобы найти координаты собственных векторов, нужно решить
систему уравнений (Ае — Х1)Х = 0 при Ai = —4, Л2 = 1, A3 = 6.
При А = —4 эта система принимает вид
' Ъх1 + Зж2	= О,
Зж1 + Ъх2 + 4ж3 = О,
4ж2 + 5ж3 = 0.
Так как число неизвестных равно 3, а ранг матрицы системы равен 2,
то размерность пространства решений равна 1. Следовательно, ФСР
( 3\
состоит из одного решения: Х\ = —5 . Числа 3, —5, 4 являются ко-
V 4/
ординатами собственного вектора х\ в базисе ei, е2, ез, т. е. х\ =
= 3ei — 5е2 + 4ез — собственный вектор оператора А. Множество
всех собственных векторов оператора А, соответствующих собствен-
собственному значению А = -4, дается формулой cCei - 5е2 + 4е3), где с —
любое вещественное число, не равное нулю.
При А = 1 система запишется так:
Зж2	= 0,
Зх1 + 4ж3 = 0,
4ж2	= 0.
/-4Х
Столбец Х2 = 0 — ФСР этой системы, поэтому множество всех
V з/	7
собственных векторов оператора Л, соответствующих собственному
значению А = 1, дается формулой с(—4ei + Зез), где с — любое число,
не равное нулю.
Наконец, при А = б система уравнений относительно координат
собственного вектора имеет вид
б^+Зж2	=0,
Зж1 - 5ж2 + 4ж3 = 0,
4ж2 - 5ж3 = 0.
Столбец Х% = 5 — ФСР этой системы, поэтому множество всех
\4/
собственных векторов оператора А, соответствующих собственному
значению А = б, дается формулой с{3е\ + 5е2 + 4ез), где с — любое
число, не равное нулю. А
6. Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространст-
пространстве ?з, имеет в базисе Д, /2, /з матрицу
/2/3 1 0\
Af = -1 0 0 .
\2/3 0 1/

142
Гл. V. Линейные операторы
Является ли оператор А ортогональным, если разложение элемен-
элементов Д, /2, /3 по ортонормированному базису ei, е2, ез имеет вид
/i=e2+e3,
/3 =
е2?
Л Пусть С — матрица перехода от базиса ei, e2, ез к базису Д, /2,
/з. Как следует из разложения элементов Д, /2, /з по базису ei, e2,
ез, она имеет вид
/О 1 1\
С= 1 0 1 .
VI 1 о/
По формуле Ае = CAfC~1 находим матрицу Ае:
-1/2 1/2
1/2 -1/2
1/2
1/2\
1/2 =
1/2 -1/2/
/2/3 1/3
= 1/3 2/3
\2/3 -2/3
-2/3\
2/3 .
1/3/
Нетрудно проверить, что Ае — ортогональная матрица. Следова-
Следовательно, согласно свойству 4° А — ортогональный оператор.
Тот же результат можно получить иначе, убедившись в том, что
имеет место свойство, лежащее в основе определения ортогонального
оператора: \/х,у Е Ез- (Ах,Ау) = (х,у). С этой целью вычислим вна-
вначале скалярное произведение (ж, 2/), воспользовавшись формулой для
скалярного произведения элементов евклидова пространства в про-
з
извольном базисе /ь /2, /3: (х,у) =
хгу3
), где xi и yj
hj
координаты элементов х и у в базисе Д, /2, /з. Значения скалярных
произведений (Д, fj) поместим в следующую таблицу:
/l
/2
/3
/1
2
1
1
/2
1
2
1
/з
1
1
2
Таким образом, имеем
х3у2
По формулам D), § 1 находим столбцы из координат элементов Ах

§3. Линейные операторы в евклидовом пространстве	143
и Ау в базисе Д, /2, /3:
/2/Зх1+х2
{Ax)f =	-х1
V 2/3^+ж3
Подставляя найденные значения координат в формулу
з
(Ах,Ау)=
приходим к равенству (Ах,Ау) = (х,у). Следовательно, А — ортого-
ортогональный оператор.
Замечание. Хотя А — ортогональный оператор, однако его мат-
матрица Af в базисе Д, /2, /з не является ортогональной. Причина со-
состоит в том, что базис Д, /2, /з не ортонормированный. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
36.	Докажите равенство: а) (АВ)* = В*А*; б) (А*)* = А.
37.	Докажите, что если оператор А имеет обратный, то сопряжен-
сопряженный оператор А* также имеет обратный и справедливо равенство
(А*)-1 = (I-1)*.
/О 0 2\
38.	Пусть Af = I 1 О О I — матрица линейного оператора А,
\0 1 О/
действующего в евклидовом пространстве ?$, в базисе Д, /2, /з,
где Д = ei + e2 + е3, /2 = е2 + е3, /з = е2 - е3, а еь е2, е3 —
ортонормированный базис. Найдите матрицу сопряженного опе-
оператора А* в базисе Д, /2, /з.
39.	В евклидовом пространстве Рп[а,Ь] многочленов степени, не пре-
превосходящей п, заданных на отрезке [а, Ь], скалярное произведение
элементов р\(х) и р2(ж) введено по формуле
а оператор А определен формулой
ъ
Ар = fK(x,t)p(t)dt,
где K(x,t) = 2_.ki(x) 'h(t)j ki(x), Uii) — многочлены степени
г=0
не выше п. Найдите формулу, определяющую сопряженный опе-
оператор А*.

2
2
-1
2
-1
2
-1
2
2
144	Гл. V. Линейные операторы
40.	Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространст-
пространстве ?з, имеет в ортонормированном базисе ei, е2, ез матрицу Ае,
равную:
/ 17 -8 4\
б) -8 17 -4 ;
V 4 -4 11/
/11 2 -8\
в) 2 2 10 .
V-8 10 5/
Постройте в ?з ортонормированный базис из собственных векто-
векторов оператора А и составьте матрицу оператора А в этом базисе.
41.	Докажите, что собственные векторы симметричного оператора,
соответствующие различным собственным значениям, ортого-
ортогональны.
42.	Докажите, что если ж — собственный вектор симметричного опе-
оператора А, действующего в евклидовом пространстве ?п, а М —
множество всех элементов у из ?п, ортогональных ж, то М яв-
является подпространством ?п размерности п — 1, инвариантным
относительно оператора А.
43.	В линейной оболочке L = L(sinx,cosx) скалярное произведение
элементов Д = А\ sin ж + В\ cos ж и /2 = А2 sin ж + Б2 cos ж вве-
введено формулой (/ь/2) = ^4i^b + BiB2. Докажите, что оператор
IJ = -—-, действующий в L, является симметричным и ортого-
нальным. Найдите его матрицу в базисе sin ж, cos ж.
44.	Докажите утверждение: произведение АВ симметричных опера-
операторов Aw В является симметричным оператором тогда и только
тогда, когда коммутатор (А, В) равен нуль-оператору.
45.	Докажите, что если линейный оператор А, действующий в ев-
евклидовом пространстве, сохраняет нормы элементов этого прост-
пространства, т. е. Уж : \\Ax\\ = ||ж||, то А — ортогональный оператор.
46.	Докажите, что любой ортогональный оператор Q имеет обрат-
обратный Q, причем Q~l является ортогональным оператором и
справедливо равенство Q~x = Q*.
47.	Докажите,что если Л — собственное значение ортогонального опе-
оператора, то Л равно либо 1, либо —1.
48.	Дайте геометрическую интерпретацию линейного оператора А,
действующего в евклидовом пространстве V2 векторов на плос-
плоскости и имеющего в некотором ортонормированном базисе ei, e2
А (cos ю sin(zA тт	7
матрицу Ае = .	. Докажите, что оператор А
^ J е у Sin if - COS if J	'	^ ^
ляется симметричным и ортогональным.
яв-

§4- Линейные операторы в унитарном пространстве	145
§ 4. Линейные операторы в унитарном пространстве
Основные понятия и теоремы
В унитарном пространстве аналогами линейных операторов, рас-
рассмотренных в § 3, являются сопряженный, эрмитов (или самосопря-
самосопряженный) и унитарный операторы.
1.	Сопряженный оператор.
Определение. Оператор А*, действующий в унитарном прост-
пространстве Е, называется сопряженным к линейному оператору А, ес-
если для любых элементов ж, у из Е выполняется равенство (Ах, у) =
= (х,А*у).
Свойства сопряженного оператора.
1°. Для всякого линейного оператора существует единственный
сопряженный оператор, который также является линейным опера-
оператором.
2°. В ортонормированном базисе матрица А* оператора А* явля-
является эрмитово сопряженной по отношению к матрице А оператора А,
т. е. получается из матрицы А транспонированием и заменой всех
	т
элементов на комплексно сопряженные: А* = А (см. § 4 гл. IV).
3°. Для любого оператора А справедливо равенство (А*)* = А.
4°. Для любых линейных операторов А и В справедливо равенст-
равенство (АВ)* =В*А*.
5°. Если для оператора А существует обратный оператор А~х, то
верно равенство (А*)~1 = (А~1)*.
6°. Если число Л — собственное значение оператора А, то комп-
комплексно сопряженное число Л — собственное значение сопряженного
оператора А*.
2.	Эрмитов (самосопряженный) оператор.
Определение. Линейный оператор А, действующий в унитар-
унитарном пространстве Е, называется эрмитовым или самосопряженным,
если А* = А, т. е. для любых элементов ж, у из Е выполняется ра-
равенство (Ах, у) = (х,Ау).
Свойства эрмитова оператора.
1°. В ортонормированном базисе матрица А эрмитова операто-
оператора А является эрмитовой матрицей, т. е. матрица А удовлетворяет
условию
А = А*,	A)
где А* — эрмитово сопряженная матрица по отношению к матри-
матрице А. Обратно: если в каком-нибудь ортонормированном базисе мат-
матрица оператора А является эрмитовой, то А — эрмитов оператор.

146	Гл. V. Линейные операторы
2°. Если А — эрмитов оператор, действующий в унитарном про-
пространстве Е, то для любого элемента х из Е скалярное произведение
(Ах,х) — вещественное число.
3°. Собственные значения эрмитова оператора — вещественные
числа.
4°. Собственные векторы эрмитова оператора, соответствующие
различным собственным значениям, ортогональны.
5°. Эрмитов оператор, действующий в n-мерном унитарном
пространстве, имеет п линейно независимых попарно ортогональных
собственных векторов, и, обратно, если в n-мерном унитарном прост-
пространстве существует ортонормированный базис из собственных век-
векторов оператора А, то А — эрмитов оператор.
3. Унитарный оператор.
Определение. Линейный оператор U, действующий в унитар-
унитарном пространстве Е, называется унитарным, если для любых элемен-
элементов ж, у из Е выполняется равенство (Ux,Uy) = (х,у).
Иными словами, унитарный оператор — это линейный оператор,
сохраняющий скалярное произведение элементов унитарного прост-
пространства.
Свойства унитарного оператора.
1°. Унитарный оператор U не изменяет нормы элементов, т. е.
\\Ux\\ = ||ж||.
2°. Если U — унитарный оператор, то существует обратный к
нему оператор С/, который также является унитарным оператором,
и справедливо равенство
и-г=и*,	B)
т. е. обратный оператор к унитарному оператору U совпадает с со-
сопряженным оператором U*. Равенство B) можно записать в эквива-
эквивалентных формах:
UU* =Т или U*U = T,	C)
где / — тождественный оператор.
Свойства 1° и 2° являются характеристическими свойствами
унитарного оператора, т. е. линейный оператор, действующий в уни-
унитарном пространстве и не изменяющий нормы элементов, является
унитарным оператором, и точно так же линейный оператор U, для ко-
которого справедливо равенство B) или C), является унитарным опе-
оператором. Поэтому свойства 1° и 2° могут быть положены в основу
определения унитарного оператора.
3°. Унитарный оператор переводит ортонормированный базис в ор-
ортонормированный базис, и, обратно, если линейный оператор U пере-

§4- Линейные операторы в унитарном пространстве	147
водит какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированный
базис, то U — унитарный оператор.
4°. В любом ортонормированном базисе матрица U унитарного
оператора U является унитарной матрицей, т. е. удовлетворяет
условию
U~1=U\	D)
где U* — матрица, эрмитово сопряженная по отношению к матри-
матрице U. Это условие можно записать в эквивалентных формах:
UU* = / или U*U = /.	E)
Обратно: если в некотором ортонормированном базисе матрица ли-
линейного оператора U унитарна, то U — унитарный оператор.
5°. Если число Л — собственное значение унитарного оператора,
то |А| = 1.
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение сопряженного оператора к линейному опе-
оператору, действующему в унитарном пространстве.
2.	Для любого ли линейного оператора, действующего в унитарном
пространстве, существует сопряженный оператор?
3.	Как связаны между собой матрицы операторов А и А* в одном и том
же ортонормированном базисе унитарного пространства?
4.	Как связаны между собой собственные значения операторов А и А*,
действующих в унитарном пространстве?
5.	Докажите, что для любых линейных операторов А и В, действующих в
унитарном пространстве, справедливо равенству (А + В)* = А* + В*.
6.	Докажите, что для любого линейного оператора А, действующего в уни-
унитарном пространстве, и любого комплексного числа а справедливо ра-
равенство (а А)* = аА*.
7.	Сформулируйте определение эрмитова оператора.
8.	Является ли эрмитовым:
а)	нуль-оператор;
б)	тождественный оператор;
в)	оператор подобия с вещественным коэффициентом подобия;
г)	оператор подобия с комплексным коэффициентом подобия?
9.	Верно ли утверждение: если в каком-нибудь ортонормированном базисе
матрица оператора является эрмитовой, то и в любом другом ортонор-
ортонормированном базисе матрица этого оператора эрмитова?
10.	Может ли для какого-нибудь элемента х быть верным равенство
(Ах, х) = 1 + г, где А — эрмитов оператор?
11.	Может ли число 1 + г быть собственным значением эрмитова опера-
оператора?
12.	Докажите, что если линейный оператор, действующий в унитарном
пространстве Еп, эрмитов, то в Еп существует ортонормированный ба-
базис из собственных векторов этого оператора. Верно ли обратное ут-
утверждение?

148	Гл. V. Линейные операторы
13.	Сформулируйте определение унитарного оператора.
14.	Является ли унитарным:
а)	нуль-оператор;
б)	тождественный оператор;
в)	оператор подобия с коэффициентом подобия //, если /i — комплексное
число и |/х| = 1?
15.	Сформулируйте характеристические свойства унитарного оператора.
16.	Сформулируйте определение унитарного оператора на основе какого-то
из характеристических свойств.
17.	Докажите, что в ортонормированном базисе матрица унитарного опера-
оператора является унитарной матрицей.
18.	Верно ли утверждение: если в каком-нибудь ортонормированном базисе
матрица линейного оператора является унитарной, то и в любом другом
ортонормированном базисе матрица этого оператора унитарна?
19.	Может ли собственное значение унитарного оператора быть рав-
равным: 1 + г; 0; 2?
Примеры решения задач
1. Пусть ei, e2 — ортонормированный базис в унитарном
пространстве Е^, Д = e\ +в2, /2 = ei — ге^. Линейный оператор А,
действующий в этом пространстве, имеет в базисе Д, Д матрицу
2 1 + Л „ „	^
1	1 . ). Найти матрицу сопряженного оператора А
в базисе Д, Д.
Л Матрица А* оператора А* в ортонормированном базисе ei, в2 свя-
связана с матрицей Ае оператора А равенством А* = Ае (свойство 2°).
При переходе к базису Д, Д матрица оператора А* преобразуется по
формуле A*j = С~хА*еС = С~1Ае С, где С — матрица перехода от
базиса ei, е2 к базису Д, Д, т. е. С = ( -, _• ) • Аналогично, матри-
ца Л/ связана с матрицей Ае соотношением Af = С~1АеС. Отсюда
следует, что Ае = CAfC~l и, следовательно, Ае = (С )тА^С . Та-
Таким образом, получаем
- п-1 1 ( -г -l^ l/1 + i 1-М
Так как G = —¦	: -, , = - (, . л , . , то
l/l-i l + i\ ( 2 -1 + г
2 \^1 + г -I - г) \1 - г 1 + г
1 -г / ~ I 1-г

§4- Линейные операторы в унитарном пространстве	149
2.	Является ли эрмитовым оператор А, если в некотором орто-
нормированном базисе он имеет матрицу:
/ 1 2 - Зг -г \	/ 1 2-Зг г \
а)	А = 2 + Зг 3 2 + г ; б) А = 2 + Зг 3 2 + г ?
V г	2-г -1 /	V г	2-г -1 /
/ 1 2-Зг -г \
Л а) Так как А* = А = 2 + Зг 3 2 + г = А, то А — эрми-
V г	2-г -1 /
това матрица, и, следовательно, А — эрмитов оператор (свойство 1°).
/ 1 2-Зг -г \
б)	Так как А* = [ 2 + Зг 3 2 + г ] ф А, то матрица А не яв-
V -г 2-г -1 /
ляется эрмитовой. Поэтому А не является эрмитовым оператором. А
3.	Линейный оператор А, действующий в унитарном пространст-
пространстве Еп, задан формулой Ае^ — /i^e^, к = 1, 2,..., п, где ei, в2,..., еп —
ортонормированный базис в Еп, a /ii,/i2, ---^n — данные числа. Най-
Найти сопряженный оператор А*. Является ли он эрмитовым?
Л Так как Аеи = /i^e^, то в базисе ei,e2,...,en матрица Ае операто-
оператора А является диагональной: Ае = (/ль6гк). Сопряженный оператор А* в
том же базисе имеет матрицу А* = (~рк5гк). Следовательно, сопряжен-
сопряженный оператор А* можно задать формулой A*ek =~pkek, к = 1,2,...,п.
Если /ii,/i2, ...,/in — вещественные числа, то~рк = /Лк, к = 1,2, ...,п,
и, следовательно, А* = А. Это равенство показывает, что оператор А
и равный ему оператор А* являются эрмитовыми операторами.
Если же хотя бы одно из чисел /Л1,/Л2,---,Уп не является вещест-
вещественным, то А* (как и А) не является эрмитовым оператором. А
4.	Пусть А — линейный оператор, действующий в унитарном
пространстве. Доказать, что оператор В = i(A - А*) является эрми-
эрмитовым оператором.
Л Напомним, что оператор В является эрмитовым, если он равен
сопряженному оператору, т. е. В* = В. Используя свойства сопря-
сопряженного оператора, находим
Б* = [i(A - 1*)]* = -i{A - А*)* = -i[A* - (А*)*] =
= -i(A* -А)= г{А - А*) = В. А
5.	Найти собственные векторы и собственные значения эрмитова
оператора А, действующего в унитарном пространстве Е% и имеюще-

150	Гл. V. Линейные операторы
го в ортонормированном базисе ei, в2, ез матрицу
/ -1 0
Ае = 0 1 0
\1 — г 0 0 /
Л Характеристический многочлен оператора А имеет вид
-1-Л 0 1 + г
det(Ae - XI) =
О 1-Л О
= А3-ЗА + 2 = (А-1J(А
I-г О -А
Поэтому Ai = —2 и А2 = Аз = 1 — собственные значения этого опе-
оператора.
Чтобы найти координаты ж1, ж2, ж3 собственных векторов, нужно
решить систему уравнений
А)ж*	+A + г)ж3=0,
A-А)ж2	=0,
- г)ж*	-	Аж3 = 0
при А = —2 и А = 1.
При А = —2 эта система принимает вид
Зж2	= 0,
_ j\Tl	_|_	ОГ3 _ Г)
L )Ju	\^	ZjJu — U.
Так как неизвестных 3, а ранг матрицы системы равен 2, то раз-
размерность пространства решений равна 1. Следовательно, фундамен-
фундаментальная совокупность решений данной системы уравнений содержит
один столбец. Например, такой: Х\ = 0 . Столбец Х\ — это
V -1 /
столбец координат в базисе ei, в2, ез собственного вектора Ж1, отве-
отвечающего собственному значению А = —2.
Множество всех собственных векторов, соответствующих собст-
собственному значению А = —2, имеет вид ж = сх\ — с(A + г)е\ — ез),
где с — любое комплексное число, не равное нулю.
Если А = 1, то система уравнений для определения координат
собственных векторов запишется так:
( )
-i)x1-	ж3=0.
В этой системе неизвестных 3, а ранг матрицы системы равен 1.
Поэтому размерность пространства решений равна 2. Решая систе-
систему, находим ее ФСР:

§4- Линейные операторы в унитарном пространстве	151
Эти столбцы представляют собой координаты в базисе ei, е2, е3 двух
линейно независимых собственных векторов х2 и ж3 оператора А,
соответствующих собственному значению Л = 1. Множество всех
собственных векторов, отвечающих собственному значению Л = 1,
дает линейная комбинация элементов х2 и ж3:
х = с\х2 + с2ж3 = с2A + i)ei + с\е2 + 2с2е3,
где с\ и с2 — произвольные комплексные числа, одновременно не
равные нулю. А
6. Является ли унитарным оператор U, действующий в унитар-
унитарном пространстве Е2, если Ue\ = е\ + ie2 и Ue2 = iei, где ei, e2 —
ортонормированный базис этого пространства?
Л Матрица Ue оператора U в ортонормированном базисе ei, e2 име-
тт /1 г Л т^ тт
ет вид ие = • п . Ьсли (Уе — унитарная матрица, то согласно
\г иу
свойству 4° унитарного оператора U — унитарный оператор, в про-
противном случае оператор U не является унитарным. В свою очередь
матрица Ue унитарна, если она удовлетворяет условию E). Но
Поэтому матрица Ue не является унитарной, а значит, и оператор U
не является унитарным. А
7. Является ли унитарным оператор А, действующий в унитарном
пространстве Е%, если в некотором ортонормированном базисе его
матрица А имеет вид:
'4 + Зг 4г -б-2г\
-4г 4 + Зг -2 - бг ;
чб + 2г -2-бг 1 /
'4 + Зг 4г -6-2г\
4г 4 + Зг -2 - бг I.
+ 2г -2-бг 1 /
4г б - 2г \
4 — Зг —2 + бг I. Проделав вычис-
-2 + бг	1 /
ления, получаем АА* = /, т. е. выполнено условие E). Значит, А —
унитарная матрица, и поэтому в силу свойства 4° А — унитарный
оператор.
/ 4 - Зг -4г б - 2г \
б) А* = - I —4г 4 — Зг —2 + бг 1. Проделав вычисления,
9 V-6 + 2г -2 + бг	1 /
получаем АА* ф /, т. е. условие E) не выполнено. Следовательно,

152	Гл. V. Линейные операторы
А не является унитарной матрицей, а значит, в силу свойства 4° А
не является унитарным оператором. А
8. Линейные операторы <7i, <72, ^з, действующие в унитарном
пространстве размерности 2, имеют в ортонормированном бази-
базисе ei, в2 матрицы
'О Л	/О -А	(\ 0N
(эти матрицы в физике называются матрицами Паули). Установить,
являются ли операторы A—- (Ji,^) и В — - (<72, сгз) унитарными
операторами.
^ 1 ^ ^ 1 ^ ^
Л Так как А = -д\О2	З^ъ то матрица Ае этого оператора в
базисе ei, e<i имеет вид
О -А l/О -А /0 1
)	j(
Проделав вычисления, получаем Ае1 = А*е, т. е. условие D) выпол-
выполнено. Значит, Ае — унитарная матрица. Поэтому в силу свойства 4°
А — унитарный оператор.
- 1 ^ ^ 1 ^ ^
Аналогично находим матрицу оператора В — - а^оъ	сгзс в ба-
базисе ei, в2'.
l/O -A (\ 0\_l/l OWO -i
е~ 2 V г 0) \0 -1) 2 \0 -1) \i 0 /
г
О
Легко проверить, что и в этом случае выполняется условие D), и,
следовательно, матрица Ве — унитарная матрица. Но тогда в силу
свойства 4° В — унитарный оператор. А
9. Линейный оператор U, действующий в унитарном пространст-
пространстве Е3, имеет в ортонормированном базисе еь е2, е3 матрицу
-1 О
О 1
Доказать, что U — унитарный оператор, и найти его собственные
векторы и собственные значения.
Л Перемножив матрицы Ue и

§4- Линейные операторы в унитарном пространстве	153
получим Ue • U* = /, т. е. условие E) выполнено. Значит, Ue —
унитарная матрица, и поэтому в силу свойства 4° U — унитарный
оператор.
Характеристическое уравнение оператора U имеет вид
-1/л/2-А 0	г/л/2
О	1-Л	О
-г/л/2	0 1/л/2-А
= 0,
или (Л - 1J(Л + 1) = 0. Корни уравнения Ai = -1 и Л2 = Л3 = 1 —
собственные значения оператора U.
Чтобы найти координаты ж1, ж2, х3 собственных векторов данного
оператора, нужно решить систему уравнений
A-Л)ж2	=0,
/2 - Л)ж3 = 0
при Л = —1 и Л = 1.
При Л = — 1 эта система уравнений запишется так:
+ (г/л/2)ж3=0,
2х2	= 0,
= 0.
г/л/2
Отсюда находим: Х\ — \ 0	— ФСР данной системы урав-
нений, и, следовательно, г/л/2, 0, 1/л/2 — 1 — координаты в бази-
базисе ei, в2, ез собственного вектора xi, соответствующего собственному
значению Л = —1.
Множество всех собственных векторов, отвечающих собственно-
собственному значению Л = —1, имеет вид х = сх\ = c{ij\[2e\ + A/л/2 — 1)ез),
где с — произвольное комплексное число, не равное нулю.
Если Л = 1, то система уравнений для определения координат
собственных векторов принимает вид
* (г/л/2)х3=0,
+ (l/y/2-l)x3=0.
Ее ФСР состоит из двух столбцов:
Х2 = 11 ) и Х3 =

154	Гл. V. Линейные операторы
Элементы этих столбцов представляют собой координаты в бази-
базисе ei, е2, ез двух линейно независимых собственных векторов ж2 и
ж3 оператора U, отвечающих собственному значению Л = 1. Мно-
Множество всех собственных векторов, соответствующих собственному
значению Л = 1, дает линейная комбинация элементов ж2 и х3\ х —
= сгх2 +с2х3 =с2(г/л/2)е1 + cie2 +с2A + 1/у/2)е3, гдесь с2 — произ-
произвольные комплексные числа, одновременно не равные нулю. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
49.	Линейный оператор А, действующий в унитарном пространст-
пространстве Е2, имеет в ортонормированном базисе ei, е2 матрицу Ае =
2 1 + Л „ „
_i _ • 1 _ • )• Найдите матрицу сопряженного операто-
ра А* в базисе Д, /2, если Д = е\ + е2, /2 = е\ — ге2. Является
ли оператор А* эрмитовым?
50.	Пусть ei, е2, ез — ортонормированный базис в унитарном
пространстве Е3, /^ = еь /2 = iei + е2, /3 = -iei + е2 + е3.
Линейный оператор А, действующий в этом пространстве, имеет
/г -г 0\
в базисе Д, /2, /з матрицу А/ = I 0 0 1 I. Найдите матрицу
VI о 1/
сопряженного оператора А* в базисе Д, /2, /з.
51.	Докажите, что коэффициенты характеристического многочлена
оператора А, действующего в унитарном пространстве, являют-
являются комплексно сопряженными по отношению к соответствующим
коэффициентам характеристического многочлена сопряженного
оператора А*.
52.	Пусть х — собственный вектор линейного оператора А, дейст-
действующего в унитарном пространстве, отвечающий собственному
значению Л, у — собственный вектор сопряженного оператора А*,
отвечающий собственному значению //,иА//1. Докажите, что х
и у ортогональны.
53.	Является ли эрмитовым линейный оператор, если в некотором
ортонормированном базисе он имеет матрицу:
54. Докажите, что если у эрмитова оператора А есть обратный опе-
оператор А~г, то он также является эрмитовым оператором.

§4- Линейные операторы в унитарном пространстве	155
55.	Найдите собственные значения и ортонормированный базис из
собственных векторов эрмитова оператора, заданного в ортонор-
мированном базисе ei, е2 матрицей:
f О Л ^ ( 0 2 +
j; б) \2-г 4
56.	Найдите собственные значения и ортонормированный базис из
собственных векторов эрмитова оператора, заданного в ортонор-
/ 2 0 »\
мированном базисе ei, е2, ез матрицей 0 3 О ).
\-г 0 2/
57.	Докажите, что собственные векторы эрмитова оператора, соот-
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
58.	Является ли унитарным линейный оператор А, действующий в
унитарном пространстве Е2, если:
ч ^	2	1 + 2г	^	1 + 2г	2
а)	Аа = - ei + —^— е2, Ае2 = —— ех - - е2;
б)	lei = -7= ei + 4f е2' ^е2 = 4f ei + ^f e25
vo	л/о	л/о	л/о
где ei, e2 — ортонормированный базис.
59.	Является ли унитарным линейный оператор А, имеющий в орто-
нормированном базисе унитарного пространства матрицу:
60.	Может ли матрица унитарного оператора в некотором базисе быть
неунитарной? Ответ обоснуйте.
61.	Найдите собственные значения и ортонормированный базис из
собственных векторов унитарного оператора, имеющего в орто-
( \
1 (
нормированном базисе ei, е2 матрицу —= I л .
л/2 V ~г
62.	Найдите собственные значения и ортонормированный базис из
собственных векторов унитарного оператора, имеющего в орто-
нормированном базисе ei, e2, ез матрицу
/ 1	-г -l-i\
I	t	I -1 + t .
^ \-1-г 1-г 0 /
63.	Докажите, что если линейный оператор А, действующий в
унитарном пространстве, сохраняет нормы элементов, то i —
унитарный оператор.

156	Гл. V. Линейные операторы
64.	Найдите матрицу коммутатора (А, В), где А, В — эрмитовы опе-
операторы, действующие в унитарном пространстве Е% и имеющие
в некотором ортонормированном базисе матрицы
/10 -г \	/0 -г 1\
А= [0 0 -i) и В= I i 1 -г.
\i г 2/	\1 г -1/
Является ли оператор (А, Б) эрмитовым?
65.	Является ли коммутатор эрмитовых операторов эрмитовым опе-
оператором?
66.	Пусть <7i, <72, <?з, ?4 — линейные операторы, действующие в
унитарном пространстве размерности 2, причем <7i, <72, ^з —
операторы из примера 8 на с. 152, а д± = / — тождественный
оператор. Докажите, что операторы <7i, <72, ^з, ?4 образуют ба-
базис в пространстве S всех линейных операторов, действующих в
данном унитарном пространстве.
67.	Пусть А и В — два линейных оператора, действующих в унитар-
унитарном пространстве размерности 2 и имеющих следующие разло-
разложения по базису cTi, 52, 53, <74 из задачи 66:
+ 02^2 + а3дз + «4^4, 5 = Ь{Э\ + 62^2 + ^з^з
Найдите разложение по базису <7i, ?2, 5з, ?4 коммутатора (А, В).

ГЛАВА VI
КВАДРАТИЧНЫЕ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Определение квадратичной формы.
Канонический вид квадратичной формы
Основные понятия и теоремы
1. Определение квадратичной формы. Матрица квадра-
квадратичной формы.
Определение. Квадратичной формой называется функция чи-
числовых переменных ж1,...,^™ следующего вида:
где ctij — вещественные числа (коэффициенты квадратичной формы),
удовлетворяющие условию
Q>ij — Ojji.
Матрица А = (а^) с размерами п х п называется матрицей квад-
квадратичной формы. Из определения квадратичной формы следует, что
ее матрица является симметричной. Например, матрицей квадратич-
квадратичной формы
Q{x\x2,x3) = 2(х1J -Зхгх2 +4хгх3 + 5(ж2J - 8хV + (х3J
является симметричная матрица
/ 2	-1,5 2\
А= -1,5	5	-4 .
V 2	-4 \)
Чтобы составить матрицу А, нужно данную квадратичную фор-
форму записать в виде A), а для этого нужно смешанные члены — Зх1х2,
4хгх3, —8х2х3 представить в виде суммы двух равных слагаемых:
-\?ххх2 - l,5xV, 2хгх3 + 2х3х\ -4х2х3 - 4х3х2.
Квадратичную форму A) можно записать в матричном виде
Q(x\...,xn)=XTAX,
где X — столбец переменных ж1,...,^, ХТ — строка, полученная
транспонированием столбца X, А — матрица квадратичной формы.

158	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
2. Преобразование матрицы квадратичной формы при ли-
линейном преобразовании переменных. Рассмотрим линейное пре-
преобразование переменных у1,..., уп в переменные х1,...,хп:
х2 = ply1 + р\у2 + ... + pi уп,
здесь рг- — вещественные числа (коэффициенты линейного преобра-
преобразования).
Это преобразование переменных можно записать в матричном
виде
X = РУ,	B)
где X — столбец переменных ж1,...,^, Y — столбец перемен-
переменных у1, ...,уп, Р = (fij) — матрица линейного преобразования.
Если Р — невырожденная матрица, т. е. det P ф 0, то преобразо-
преобразование B) называется невырожденным. В этом случае существует об-
обратное преобразование переменных х1,...,хп в переменные у1,...,уп
У = Р~ХХ.
Если det Р — 0, то преобразование B) называется вырожденным.
При линейном преобразовании переменных B) квадратичная фор-
форма Q = ХТАХ переходит в квадратичную форму Q = YTBY с мат-
матрицей В = РТАР.
3. Канонический вид квадратичной формы.
Теорема 1. Любую квадратичную форму
Q =
невырожденным преобразованием X = PY можно привести к виду
Выражение C) называется каноническим видом квадратичной фор-
формы, а числа А« (г = 1,...,п) — ее каноническими коэффициентами.
Матрица квадратичной формы Q, имеющей канонический вид, явля-
является диагональной матрицей с элементами А« на главной диагонали.
Один из методов приведения квадратичной формы к каноническо-
каноническому виду — метод Лагранжа (его называют также методом выделе-
выделения полных квадратов). Этот метод рассмотрен в примере 1 на с. 160.

§1. Канонический вид квадратичной формы	159
Другой метод приведения квадратичной формы к каноническому
виду — метод ортогональных преобразований. Преобразование пере-
переменных X = PY называется ортогональным, если его матрица Р
ортогональная.
Теорема 2. Для любой квадратичной формы Q = ХТАХ сущест-
существует ортогональное преобразование X = PY, приводящее ее к канони-
каноническому виду:
При этом Xi (i = l,...,n) — собственные значения матрицы А, а
столбцы матрицы Р — попарно ортогональные нормированные соб-
собственные векторы матрицы А (норма каждого из них равна 1).
4. Закон инерции квадратичных форм. Этот закон состоит
в следующем: независимо от способа приведения квадратичной фор-
формы к каноническому виду число ее положительных (и также число
отрицательных) канонических коэффициентов постоянно.
Контрольные вопросы и задания
1.	Составьте матрицу квадратичной формы
Q(x\ ж2, ж3) = 6ж V - (ж2J + 4ж V - ж2ж3.
2.	Запишите квадратичную форму в виде
0
2
22
2
-1
3
22
3
2
если дана ее матрица
А=\
3.	Запишите в матричном виде ХтАХ квадратичную форму Q задания 1.
4.	Запишите линейное преобразование переменных в матричном виде. В
каком случае линейное преобразование переменных называется невы-
невырожденным?
5.	Как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном пре-
преобразовании переменных? Докажите, что новая матрица является сим-
симметричной.
6.	Докажите, что если квадратичная форма (^(ж1,..., хп) при линейном не-
невырожденном преобразовании X = PY переходит в квадратичную фор-
форму Q(y1,..., уп), то обратное преобразование У = Р~ХХ перево-
переводит Q(y1,..., уп) в квадратичную форму Q(xx,..., хп).
7.	Что такое канонический вид квадратичной формы?
8.	Какое преобразование переменных называется ортогональным?
9.	Сформулируйте теорему о приведении квадратичной формы к канони-
каноническому виду ортогональным преобразованием.
10. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.

160	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
Примеры решения задач
1. Привести квадратичную форму
Q(x\ х2, х3) = 3(ж2J + 3(ж3J + АхЧ2 + 4хгх3 - 2х2х3
к каноническому виду:
а)	методом Лагранжа;
б)	ортогональным преобразованием.
Л а) Коэффициент при (ж2J отличен от нуля (равен 3). Соберем в
одну группу все члены квадратичной формы, содержащие ж2:
3(х2J+4х1х2-2х2х3.
Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержа-
содержащими ж2, и, чтобы квадратичная форма Q(xx, ж2, ж3) не изменилась,
вычтем добавленные члены. Получим
Q(x\x2,x3) =
Положим
О	2 1	О	1 Q
Тогда в выражении квадратичной формы появляется переменная
у2 и исчезает переменная ж2. Приведя подобные члены, перепишем
квадратичную форму в виде
\У ) *^ о \ /	о V / ^^ о	\У ) *^ \ "> )'
О	О	О
К квадратичной форме И^ж^ж3) снова применим метод выделе-
выделения полного квадрата. С этой целью соберем в одну группу все члены,
содержащие ж1:
	(гр^-\^ _|_ 	 ^1 гр&
О	О
Дополним это выражение до полного квадрата слагаемым, не содер-
содержащим ж1, и, чтобы квадратичная форма И^ж^ж3) не изменилась,
вычтем добавленное слагаемое. Получим
W(x\x3) = -\ Or1 - 2*3J + Ц- (х3J + | (х3J.
О	О	О
Положим у1 = ж1 - 2ж3. Приведя подобные члены, перепишем ис-
исходную квадратичную форму в виде

§1. Канонический вид квадратичной формы	161
Вводя обозначение х3 = у3, получаем следующий канонический
вид исходной квадратичной формы:
3
где
о	1
у1=х1-2х3, у2 = - хх+х2	ж3, у3=х3.
о	о
Преобразование переменных, приводящее исходную квадратич-
квадратичную форму к каноническому виду, можно записать в матричном виде
/10-2
у2 I = 2/3 1 -1/3 ] ( х2
у3) V о о :
Замечание 1. В результате применения метода Лагранжа всег-
всегда получается невырожденное линейное преобразование, приводящее
квадратичную форму к каноническому виду.
б) Составим матрицу данной квадратичной формы:
/0 2 2\
А=[2 3 -1 .
V2 -1 3/
Найдем ее собственные значения. Характеристическое уравнение
имеет вид
-А 2	2
det(A - XI) =
2 3-А -1
2 -1 3-А
= А3 - 6А2 + 32 = 0.
Оно имеет корни Ai = -2, А2,з = 4. Это позволяет сразу написать
канонический вид квадратичной формы:
Построим теперь матрицу ортогонального преобразования, при-
приводящего квадратичную форму к этому каноническому виду. С этой
целью найдем собственные векторы матрицы А. Элементы ж1, ж2,
ж3 любого собственного вектора X, соответствующего собственно-
собственному значению А = —2, являются решением системы уравнений (А +
+21)X = 0, т. е. системы
х1 + 2ж2 + 2ж3 = 0,
2Ж1 + 5ж2 - ж3 = 0,
2Ж1 - ж2 + 5ж3 = 0,
у которой ранг г матрицы равен 2, а п — г = 1. Следовательно, фунда-
фундаментальная совокупность решений системы состоит из одного
6 1/4 В. Ф. Бутузов и др.

162	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
решения, например, такого
41)
Нормируя Xl, получаем собственный вектор
-2Д/б\
1/х/б .
1/V5/
Элементы ж1, ж2, х3 любого собственного вектора X, соответст-
соответствующего собственному значению Л = 4, являются решением системы
уравнений (А — 4/)Х = 0, т. е. системы
-4Ж1 + 2х2 + 2х3 = О,
2хг - х2 - х3 = О,
2Х1- х2- х3=0,
у которой ранг г матрицы равен 1, а п — г = 2. Поэтому фундамен-
фундаментальная совокупность решений этой системы состоит из двух реше-
решений. Чтобы их найти, оставим только первое уравнение системы (вто-
(второе и третье являются следствием первого). Положим вначале х2 = 1,
х3 = 0, тогда х1 = 0,5; затем положим х2 = 0, х3 = 1, тогда х1 = 0,5.
Таким образом, фундаментальная совокупность решений состоит из
решений
/0,5\	/0,5\
Это и есть два линейно независимых собственных вектора матри-
матрицы А, соответствующих собственному значению Л = 4.
Заметим, что собственные векторы X<i и Х% матрицы А ортого-
ортогональны к собственному вектору Fi, но не ортогональны между собой.
Применим к ним процедуру ортогонализации. С этой целью положим
Y2 = Х2, Ys = Xs — 0Y2. Коэффициент а определяется из условия ор-
ортогональности Y2 и Уз: а — 1/5.
Итак, мы построили два ортогональных собственных вектора мат-
матрицы А, соответствующих собственному значению Л = 4:
Нормируя их, получаем собственные векторы
F3 = -1/л/30

§1. Канонический вид квадратичной формы	163
Матрица искомого ортогонального преобразования состоит из столб-
столбцов Fi, i<2, Fs, т. е. искомое преобразование имеет вид
'-2/л/б 1/л/5 л/Щ$\ /V'
1/л/б 2/л/5 -1/л/30 ?/2
i/л/б о лАТб/ \^3
Оно приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду
Qiv1, у2,у3) = -Чу1J + 4(у2J + 4(У3J.	E)
Замечание 2. Отметим, что как канонический вид D) квадра-
квадратичной формы, полученный методом Лагранжа, так и канонический
вид E), полученный ортогональным преобразованием, содержит два
положительных канонических коэффициента и один отрицательный
канонический коэффициент, что соответствует закону инерции квад-
квадратичных форм. А
2. Методом Лагранжа привести квадратичную форму
Q(x\ ж2, ж3, ж4) = 2ж3ж4
к каноническому виду.
Л Положим
11	99ЯЯ4	4Ч4	/Л\
xl=y\ х2=у% х3=у3+у4, х4 = у3-у4.	F)
Тогда квадратичная форма приводится к каноническому виду
Проверьте самостоятельно, что преобразование F) невырожден-
невырожденное. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Приведите данную квадратичную форму к каноническому виду
методом Лагранжа и запишите соответствующее преобразование
переменных:
б)	(ж1J + 2ж:ж2 + 2(ж2J + 4ж2ж3 + 5(ж3J;
в)	(ж1J+ж1ж2+ж3ж4;
г)	(ж1J - 4ж:ж2 + 2хгх3 + 4(ж2J + (ж3J.
2.	Приведите данную квадратичную форму к каноническому виду
ортогональным преобразованием и запишите это преобразование:
а) - ^(ж1J + 4ж:ж2 - 2ж:ж3 - (ж2J + 4ж2ж3 + 2(ж3J];
о
6 1/4*

lQx1^
4ж*ж2
г3ж4;
О \ О
х2J -
1 + 8Х1
-16Ж1
4хгх2
х3 + 17(ж2J
xs+2(x2J-
-4х2х3:
— 8х2х3 Н
Ь 20ж2ж3 -
Ы1(ж3J;
Ь5(Ж3J;
164	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
б)	Щж1J
в)	Щх1J
г)	2ж2ж* +
д)	2(ж1J +
е)	(ж1J + 2(ж2J + 3(ж3J - 4ж*ж2 - 4ж2ж3;
ж)	—2ж2ж3.
3.	Докажите, что любую квадратичную форму можно привести к ка-
каноническому виду, в котором канонические коэффициенты имеют
значения 1, —1, 0.
4.	Докажите, что для квадратичных форм Q(xl,..., хп) и Q(y1,..., уп)
существует линейное невырожденное преобразование X = PY, пе-
переводящее одну квадратичную форму в другую, тогда и только
тогда, когда эти квадратичные формы имеют одинаковое число
положительных и одинаковое число отрицательных канонических
коэффициентов.
§ 2. Знакоопределенные квадратичные формы
Основные понятия и теоремы
1. Классификация квадратичных форм. Квадратичная форма
Q(xx, ...,жп) называется положительно определенной [отрицательно
определенной), если для всех значений ж1,...,^ выполняется
условие Q(x1,...,xn) ^ О (QO1, ...,жп) ^ 0), причем Q(x1,...,xn) = 0
только при х1 = х2 = ... = хп = 0.
Например, Q(x1,x2) = 2(ж1J + 3(ж2J — положительно определен-
определенная квадратичная форма; Q(x1,x2) = -(ж1J - 2(ж2J — отрицатель-
отрицательно определенная квадратичная форма. Положительно определенные и
отрицательно определенные квадратичные формы называются знако-
определенными.
Теорема 3. Квадратичная форма является положительно (от-
(отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все ее кано-
канонические коэффициенты положительны (отрицательны).
Квадратичная форма Q(xx, ...,жп) называется квазизнакоопреде-
ленной (либо неотрицательной, либо неположительной), если она
принимает либо только неотрицательные, либо только неположи-
неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только
при х1 = ... = хп = 0.
Например, Q(xx,х2) = (ж1J - 2ж1ж2 + (ж2J = (ж1 - ж2J — неот-
неотрицательная квадратичная форма, так как Q(xl,x2) ^ 0 при лю-
любых ж1, ж2, но Q(xl, ж2) = 0 не только при ж1 = ж2 = 0; так, Q(l, 1) = 0.

§2. Знакоопределенные квадратичные формы	165
Квадратичная форма называется знакопеременной, если она при-
принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Например, Q(x1,x2) = —(ж1J + 2(ж2J — знакопеременная квад-
квадратичная форма, так как она имеет как положительные, так и отри-
отрицательные значения: Q(l, 0) = -1 < 0, Q@,1) = 2 > 0.
2. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратич-
квадратичной формы. Определители
ац ... alk
с	с	а11 а12
01 = «11, 02 =
ац ... а1п
ani ... апп
называются угловыми минорами п х n-матрицы А = (а^).
Теорема 4 (критерий Сильвестра). 1°. Для того чтобы квадра-
квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и доста-
достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны.
2°. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых мино-
миноров ее матрицы чередовались следующим образом:
6г < 0, 62 > 0, 53 < 0, ...
Определение. Симметричная матрица А называется положи-
положительно определенной, если квадратичная форма ХТАХ положительно
определенная.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какая квадратичная форма называется положительно (отрицательно)
определенной? Приведите пример положительно определенной квадра-
квадратичной формы.
2.	Чем отличается неотрицательная квадратичная форма от положительно
определенной квадратичной формы?
3.	Приведите пример знакопеременной квадратичной формы.
4.	Может ли положительно определенная квадратичная форма иметь:
а)	отрицательные канонические коэффициенты;
б)	канонические коэффициенты, равные нулю?
5.	Сформулируйте критерий Сильвестра положительной (отрицательной)
определенности квадратичной формы.
6.	Какая матрица называется положительно определенной?
Примеры решения задач
1. Определить, является ли квадратичная форма
= (х2J -
знакоопределенной.
7 1/2 В. Ф. Бутузов и др.

166	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
Л Составим матрицу квадратичной формы
А =
и вычислим ее угловые миноры Si = 0, 82 = —4, Ss = 0. В силу крите-
критерия Сильвестра данная квадратичная форма не является ни положи-
положительно определенной, ни отрицательно определенной, т. е. не является
знакоопределенной. А
2. Найти все значения параметра а, при которых квадратичная
форма
Q(x\x2,x3) = (ж1J -2х1х2 -2ж1ж3+4(ж2J + 2ж2ж332
является положительно определенной.
Л Найдем угловые миноры матрицы квадратичной формы
Имеем Si = 1 > 0, 82 = 3 > 0, S3 = det A = 3 • (а - 1).
Пользуясь критерием Сильвестра, находим, что данная квадра-
квадратичная форма является положительно определенной тогда и только
тогда, когда Ss > 0, т. е. при а > 1. А
3. Доказать, что если А — положительно определенная матрица, а
Р — произвольная невырожденная матрица, то матрица В = РТАР
также является положительно определенной.
Л По условию квадратичная форма ХтАХ является положительно
определенной, т. е. ХтАХ > 0, если X — любой ненулевой столбец.
Линейное преобразование переменных X = PY переводит квадратич-
квадратичную форму X7 АХ в квадратичную форму YTBY, где В = РтАР.
Обратное преобразование Y = Р~ХХ (оно существует, если Р — невы-
невырожденная матрица) переводит квадратичную форму YTBY в квад-
квадратичную форму X7АХ.
Пусть Y — произвольный ненулевой столбец. Тогда X = PY —
также ненулевой столбец (объясните почему), и поэтому
YTBY = XtAX\x=py > 0.
Таким образом, для любого ненулевого столбца Y квадратичная
форма YTBY принимает положительное значение. Это означает, что
квадратичная форма YTBY, а значит, и матрица В является поло-
положительно определенной. А

3. Билинейные формы	167
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
5.	Докажите, что квадратичная форма является неотрицательной
тогда и только тогда, когда часть ее канонических коэффици-
коэффициентов больше нуля, а остальные равны нулю.
6.	Как связаны между собой угловые миноры матриц квадратичных
форм Q(x\...,xn) и -QOV..,xn)?
7.	Докажите, что матрица Ст • С является положительно определен-
определенной, если С — невырожденная матрица.
8.	Докажите, что если А = (а^) — положительно определенная мат-
матрица, то:
а)	матрица А~х существует и является положительно определен-
определенной;
б)	ajj >0, j = 1,...,п.
9.	Докажите, что если квадратичная форма ХтАХ неотрицательная
и элемент ац матрицы А равен нулю, то все элементы г-й строки
и г-го столбца матрицы А также равны нулю.
10.	Докажите, что матрица является положительно определенной
тогда и только тогда, когда все ее собственные значения поло-
положительны.
11.	Определите, является ли данная квадратичная форма знакоопре-
деленной:
а)	4(х1J + 2хгх2 - 2хгх3 - 2х2х3 + 2(х3J;
б)	4(х1J + 2х1х2 - 2хгх3 - 2х2х3 + (ж3J.
12.	Найдите все значения параметра 6, при которых квадратичная
форма -2(ж1J -бж1ж2+бж1ж3 - 5(ж2J + 10ж2ж3 + 6(ж3J явля-
является знакоопределенной.
§ 3. Билинейные формы
Основные понятия и теоремы
1. Определение билинейной формы. Матрица билинейной
формы. Если каждой упорядоченной паре (х,у) элементов вещест-
вещественного линейного пространства R поставлено в соответствие неко-
некоторое вещественное число, то говорят, что на линейном пространст-
пространстве R определена числовая функция двух аргументов х,у. Такую
функцию будем обозначать В(х,у).
Определение. Числовая функция В(х,у), определенная на
вещественном линейном пространстве R, называется билинейной
7 1/2*

168	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
формой, если для любых элементов ж, у, z из R и любого веществен-
вещественного числа а выполняются равенства
В(х + y,z) = B(x,z) + B(y,z),
В {ах, у) = а-В(х,у),
B(x,y + z) = B(x,y)+B(x,z),
В(х,ау) = а-В(х,у).
Первые два равенства показывают линейность функции В(х,у)
по первому аргументу, а вторые два — линейность по второму ар-
аргументу.	п
Пусть ei,...,en — базис в пространстве Rn, х = У^жге^, у =
= 2_^y3ej. Тогда
В(х,у)= f MV,	A)
где bij =B(ei,ej).
Равенство A) дает выражение билинейной формы через коорди-
координаты элементов х и у в данном базисе. Оно называется общим видом
билинейной формы в n-мерном линейном пространстве.
Матрица Ве = (Ь^) с размерами п х п называется матрицей
билинейной формы В(х,у) в базисе ei,...,en.
Например, если в некотором базисе билинейная форма имеет вид
В(х,у) =
= Зхгуг - 2хгу2 + ж1?/3 + Ах2у1 + Ъх2у2 - х2у3 - х3уг + х3у2 - 7х3у3,
то ее матрицей в этом базисе является матрица
В =
2. Преобразование матрицы билинейной формы при пере-
переходе к другому базису. Пусть ei,...,en и /i,...,/n — два базиса
в пространстве Rn, и пусть / = еР (здесь используются принятые
ранее обозначения: ей/ — строки из базисных элементов, Р — мат-
матрица перехода от первого базиса ко второму). Предположим, что били-
билинейная форма В(х,у) имеет в базисе ei,...,en матрицу Ве, а в бази-
базисе /i,...,/n — матрицу Bf. Тогда справедлива следующая формула
преобразования матрицы билинейной формы:
Bf = PT Ве- Р.	B)

3. Билинейные формы	169
3.	Симметричные билинейные формы.
Определение. Билинейная форма В(х,у) называется симмет-
симметричной, если для любых элементов ж, у справедливо равенство
В(х,у)=В(у,х).
Теорема 5. Билинейная форма, определенная на линейном про-
пространстве Rn, симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица
в любом базисе симметрична.
4.	Связь между билинейными и квадратичными форма-
формами. Рассмотрим билинейную форму В(х,у), выраженную через ко-
координаты элементов х и у в некотором базисе ei, ...,еп:
В(х,у) =
Положив у — х, получим функцию одного аргумента х
п
Q(x)=B(x,x)= Y, Ъцх*х*.
В этой сумме подобные члены
bijxixj + bjixjxi
запишем в виде
CLijXlXj + CLjiXjx\
где a,ij = dji = - (bij + bji).
Тогда функция Q(x) = B(x,x) примет вид
п
Q(x) =
где ctij =a,ji. Отсюда следует, что Q(x) =Q(x1, ...,жп) — квадратичная
форма п числовых переменных ж1,...,^, являющихся координатами
элемента х в базисе еь ...,еп. Эту квадратичную форму можно запи-
записать в виде
Q(x)=XjAeXe,
где Хе — столбец координат элемента х в базисе е\,..., еп, Ае — - (Ве +
+ Bj) — матрица квадратичной формы, Ве — матрица билинейной
формы В(х,у) в базисе ei, ...,еп.
Итак, при фиксированном базисе еь ..., еп каждой билинейной фор-
форме В(х,у) соответствует квадратичная форма XjAeXe, зависящая от
координат элемента х в этом базисе. При переходе к другому базису
по формуле f = е • Р происходит невырожденное линейное преобра-
преобразование координат элементов по формуле Хе = PXf, и квадратичная

170	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
форма XjAeXe переходит в квадратичную форму XjAfXf с матри-
матрицей Af = PTAeP.
Отметим, что одна и та же квадратичная форма получается из
различных билинейных форм, но среди них имеется ровно одна сим-
симметричная билинейная форма. Матрица квадратичной формы равна
матрице этой симметричной билинейной формы. Например, квадра-
квадратичная форма
Q{x) = (ж1J - 2ххх2 + АхЧ3 + 6х2х3 - 7(х2J + (х3J
с матрицей
/ 1	-1	2\
А= -1	-7	3
V 2	3	1/
получается из симметричной билинейной формы
В(х,у) =
= ххух - жУ - х2уг + 2хгу3 + 2xV + Зх2у3 + Зх3у2 - 7х2у2 + х3у3,
и эта же квадратичная форма Q(x) получается из несимметричной
билинейной формы
В(х,у) =
= х1у1 - 5жУ + Ъх2ух + хху3 + 3xV - х2у3 + 7х3у2 - 7х2у2 + х3у3.
Каждой квадратичной форме
при фиксированном базисе линейного пространства соответствует
симметричная билинейная форма В(х,у), выражение которой через
координаты ж1,...,^ и у1,...^71 элементов х иу в этом базисе имеет
вид
В(х,у) =
5. Канонический вид и канонический базис симметрич-
симметричной билинейной формы. Пусть в некотором базисе /i,...,/n сим-
симметричная билинейная форма имеет вид
г=1
п	п

3. Билинейные формы	171
Такой вид симметричной билинейной формы называется ее кано-
каноническим видом, числа Л^ — каноническими коэффициентами, а ба-
базис /i,...,/n — каноническим базисом симметричной билинейной
формы. Матрица билинейной формы в каноническом базисе является
диагональной с элементами Л^ на главной диагонали.
Теорема 6. Для любой симметричной билинейной формы сущест-
существует канонический базис.
6. Метод нахождения канонического базиса и каноничес-
канонического вида симметричной формы. Пусть симметричная билиней-
билинейная форма В(х,у) имеет в базисе ei,...,en матрицу В. Рассмотрим
квадратичную форму Q(x) = В(х,х) = XjBeXe, зависящую от коор-
координат элемента х в базисе ei,..., еп. Для этой квадратичной формы су-
существует невырожденное преобразование переменных Хе = PZ, кото-
п
рое приводит квадратичную форму к каноническому виду ^ Xi(z1J.
г=1
Матрица Р является матрицей перехода к каноническому бази-
базису билинейной формы, а именно в базисе /ь ...,/п, связанном с бази-
базисом ei,...,en формулой / = еР, билинейная форма В(х,у) имеет ка-
канонический вид
г=1
п	п
где х = }?Jit У — / ;V Ji-
г=1	г=1
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение билинейной формы.
2.	Напишите выражение билинейной формы В(х, у) через координаты эле-
элементов ж и у в некотором базисе.
3.	Что такое матрица билинейной формы в данном базисе?
4.	Напишите формулу преобразования матрицы билинейной формы при
переходе к другому базису.
5.	Какая билинейная форма называется симметричной?
6.	Известно, что матрица билинейной формы симметрична в некотором
базисе. Будет ли она симметричной в любом базисе?
7.	Дано выражение билинейной формы через координаты элементов в не-
некотором базисе
11	12	21	13	31	23	32	22	33
= Зж у — х у + 2ж у + 4ж у — 2х у -\- х у -\- х у — х у + 8х у .
Напишите соответствующую ей квадратичную форму Б(ж,ж).
8.	Укажите две различные билинейные формы, из которых получается
квадратичная форма
Q(x\ ж2, ж3) = -(ж1J + 5ж:ж2 - ж:ж3 + 2ж2ж3 + (ж2J.

172	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
9. Для каких билинейных форм вводится понятие канонического вида и
канонического базиса?
10. В чем состоит метод нахождения канонического базиса и канонического
вида симметричной билинейной формы?
Примеры решения задач
1. Билинейная форма В(х,у) в базисе ei, e2, е3 имеет вид
В(х, у) = -2х1у1 + Ъхху2 + хху3 + Ъх2ух + х2у3 - х3у2.
Найти выражение этой билинейной формы через координаты элемен-
элементов в базисе Д, /2, /3, если Д = е2, /2 = -еь /3 = е2 + е3.
Л Составим матрицу Р перехода от базиса ei, e2, е3 к базису Д, /2,
/3 (ее столбцы состоят из координат элементов Д, /2, /3 в базисе ei,
62, е3):
/О -1 0\
Р= 1 0 1,
\о о 1/
и воспользуемся формулой B) преобразования матрицы билинейной
формы
где Ве и Bf — матрицы билинейной формы в базисах ei, e2, е3 и Д,
/2, /з-
Составим матрицу 5е:
/-2 3 1\
-Ве = 5 0 1.
V 0 -1 0/
Далее вычисляем:
/010
Б/ = -1 0 0
V 0 1 1
Отсюда получаем следующий вид билинейной формы в базисе
/ь Л, /з:
з
где х = У"

3. Билинейные формы	173
2. Найти канонический базис и канонический вид симметричной
билинейной формы, заданной в базисе ei, е2, ез выражением
В(х, у) = Зж V + Зж V + 2жУ + 2жV + 2ж V + 2ж V - х2у3 - х3у2.
Л Рассмотрим соответствующую квадратичную форму
Q(x) =В(х,х) = 3(ж2J+3(ж3J+4ж1ж2+4ж1ж3 -2ж2ж3.
В примере 1 из § 1 было показано, что эта квадратичная форма ли-
линейным невырожденным преобразованием X = PZ, где
/10 -2 X / 1 0 2\
Р= 2/3 1 -1/3 = -2/3 1 -1 ,
\ о о 1 / \ о о 1/
приводится к каноническому виду
Отсюда следует, что билинейная форма В(х,у) имеет канонический
вид
в каноническом базисе Д, /2, /з, связанном с базисом еь е2, е3 соот-
соотношением
/ 1 0 2\
(Л,/г, /з) = (еье2, e3)P=(ei,e2, е3) -2/3 1 -1 ,
V о о 1/
2
откуда Д = ei - - е2, /2 = е2, /3 = 2ех - е2 + е3. А
3. Доказать, что скалярное произведение в вещественном евкли-
евклидовом пространстве представляет собой симметричную билинейную
форму, у которой соответствующая квадратичная форма является по-
положительно определенной.
Л Скалярное произведение (х,у) элементов х и у вещественного ли-
линейного пространства является числовой функцией аргументов х и у,
обладающей следующими четырьмя свойствами (аксиомы скалярно-
скалярного произведения).
1°.	(х,у) = (у,х).
2°.	(x + y,z) = (x,z) + (y,z).
3°.	(ах,у) = а(х,у).
4°.	(ж, ж) > 0, если х ф 0, и (ж, ж) = 0, если ж = 0.
Из свойств 2°, 3° следует, что скалярное произведение (х,у) есть
линейная функция по первому аргументу ж. Пользуясь свойства-

174	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
ми 1°-3°, нетрудно показать, что скалярное произведение является
линейной функцией и по второму аргументу. Действительно, в силу
свойств 1° и 2° имеем
(ж, y + z) = (y + z,x) = (у, ж) + (z, ж) = (ж, у) + (ж, z),
а используя свойства 1° и 3° устанавливаем, что справедливы ра-
равенства
(ж,ш/) = (ау,х) = а(у,х) = а(х,у).
Таким образом, из свойств 1°-3° следует, что скалярное произве-
произведение (ж, у) есть симметричная билинейная форма. Из свойства 4°
вытекает положительная определенность соответствующей квадра-
квадратичной формы (ж,ж): (ж,ж) ^ 0, причем (ж,ж) = 0 только если ж = в.
Замечание. Отметим, что в любом линейном вещественном
пространстве скалярное произведение элементов можно ввести бес-
бесконечным числом способов, задавая в некотором базисе различные
симметричные билинейные формы с положительно определенными
матрицами. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
В упр. 13, 14:
1)	напишите выражение (в произвольном фиксированном бази-
базисе) для симметричной билинейной формы, соответствующей данной
квадратичной форме;
2)	для полученной билинейной формы найдите канонический вид
и матрицу перехода от исходного базиса к каноническому базису
(для упр. 13 используйте результаты упр. 1, а для упр. 14 — резуль-
результаты упр. 2).
13.	а) 2ж1ж2 + 2ж3ж4;
б)	(ж1J + 2ж*ж2 + 2(ж2J + 4ж2ж3 + 5(ж3J;
в)	(ж1J+ж1ж2+ж3ж4;
г)	(ж1J - 4ж:ж2 + 2хгх3 + 4(ж2J + (ж3J.
14.	а) | ^(я;1J + 4ж:ж2 - 2хгх3 - (ж2J + 4ж2ж3 + 2(ж3J];
б)	Щж1J - 16ж!ж2 + 8хгх3 + 17(ж2J - 8ж2ж3 + 11(ж3J;
в)	Щж1J + 4ж:ж2 - IGx^x* + 2(ж2J + 20ж2ж3 + 5(ж3J;
г)	2ж1ж2 + 2ж3ж4;
д)	2(ж1J + (ж2J-4ж1ж2-4ж2ж3;
е)	(ж1J + 2(ж2J + 3(ж3J - 4ж:ж2 - 4ж2ж3;
ж)	-2ж2ж3.
15.	Докажите, что ранг и знак определителя матрицы билинейной
формы не изменяются при переходе к другому базису.

§4- Уравнения второго порядка	175
16. Пусть А — линейный оператор, действующий в евклидовом
пространстве Еп. Докажите, что:
а)	скалярное произведение (х,Ау) является билинейной формой
аргументов х и у;
б)	в любом ортонормированном базисе матрица этой билинейной
формы совпадает с матрицей оператора А, а если базис не явля-
является ортонормированным, то матрицы билинейной формы и опе-
оператора А, вообще говоря, не совпадают;
в)	если А — симметричный оператор, то билинейная форма (ж, Ау)
также симметрична.
§ 4. Применение теории квадратичных форм
в задачах о приведении к каноническому виду
уравнения кривой второго порядка
и уравнения поверхности второго порядка
Постановка задачи и описание метода
1. Приведение уравнения кривой второго порядка к кано-
каноническому виду. Дано уравнение кривой второго порядка в прямо-
прямоугольной системе координат Оху
ацх2 + 2а\2ху + а22у2 + 2b±x + 2b2y + с = 0.	A)
Требуется с помощью поворота и параллельного переноса осей ко-
координат перейти к такой прямоугольной системе координат, в кото-
которой уравнение кривой имеет канонический вид.
Рассмотрим квадратичную форму, связанную с уравнением A),
ацх2 + 2а\2ху + а22у2.
Ее матрица имеет вид
&12
&22
Приведем квадратичную форму к каноническому виду
^2(у'J ортогональным преобразованием переменных
)Р(,).	B)
У)	\У )	W
Напомним, что Ai, Л2 — собственные значения матрицы А, а
столбцами матрицы Р являются ортогональные нормированные
собственные векторы (столбцы) матрицы А. Их всегда можно вы-
выбрать так, что detP = 1. Матрица Р в силу свойства ортогональных
2 х 2-матриц имеет вид (см. пример 1 на с. 104)
р _ ( cos if — sin if \
~~ I sin if cos if ) '

176	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
т. е. Р — матрица оператора поворота на угол ip в пространстве V2
векторов на плоскости. При таком повороте прямоугольная система
координат Оху с координатными векторами i, j (базис в пространст-
пространстве V2) переходит в прямоугольную систему координат Ох'у' с коор-
координатными векторами i', j' (другой базис в пространстве V2), причем
Пользуясь формулами B), выразим линейные члены 2Ъ\х + 2Ъ2у
уравнения A) через координаты х', у'. В результате в системе Ох'у'
уравнение кривой примет вид
Ai(x'J + Ыу'J + V + 2Ъ'2у' + с = О,
т. е. в уравнении отсутствует смешанный член (с произведением х'у').
Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по
одной переменной, если одно из чисел Л^ равно нулю), с помощью
параллельного переноса осей координат системы Ох'у' переходим к
системе О'х"у", в которой уравнение кривой имеет канонический
вид.
Напомним, что уравнение кривой второго порядка может быть
приведено к одному из следующих канонических видов:
2	2	2	2	2	2
х и	х и	х и
-т + тт = 1 или -т + тт = -1 или -т + тт = 05 если кривая
а2 Ъ2	а2 Ъ2	а2 Ъ2
эллиптического типа;
2	2	2	2	2	2
^- - \- = 1 или ^— - У- = -1 или ^— - У- =0, если кривая
а2 Ъ2	а2 Ъ2	а2 Ъ2
гиперболического типа;
х2 = 2ру или у2 = 2рх (р ф 0) или у2 = а или х2 = а, если
кривая параболического типа.
2. Приведение уравнения поверхности второго порядка
к каноническому виду. Аналогичным методом можно привести
к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
+ а22У2 + CL33Z2 + 2ai2xy
Сначала ортогональным преобразованием переменных
приводим квадратичную форму
ацх2 + а22у2 + а3з^2 + 2а12ху + 2ai3xz + 2a23yz
к каноническому виду

§4- Уравнения второго порядка	177
При этом система координат Oxyz с координатными векторами i, j,
к перейдет в прямоугольную систему координат Ox'y'z' с координат-
координатными векторами i', j', к', которые связаны со старыми координатны-
координатными векторами формулой
Далее записываем уравнение поверхности в системе координат
Ox'y'z', а затем, произведя параллельный перенос осей координат
системы Ox'y'z', переходим к системе координат O'x"y"z", в которой
уравнение поверхности имеет канонический вид.
Напомним, что матрица Р = (pij) в силу свойства ортогональных
3 х 3-матриц, имеющих определитель, равный единице, является мат-
матрицей оператора поворота в пространстве вокруг некоторой прямой
(см. упр. 26 гл. IV). Направляющий вектор прямой — это собствен-
собственный вектор оператора поворота, соответствующий собственному зна-
значению Л = 1, а угол поворота определяется из равенства (докажите
это)
Контрольные вопросы и задания
1.	Напишите в общем виде уравнение кривой второго порядка.
2.	В чем состоит задача приведения уравнения кривой второго порядка к
каноническому виду?
3.	Изложите метод приведения кривой второго порядка к каноническому
виду с помощью ортогонального преобразования переменных, приводя-
приводящего к каноническому виду квадратичную форму, связанную с этим
уравнением. Каков геометрический смысл этого ортогонального преоб-
преобразования?
4.	Напишите в общем виде уравнение поверхности второго порядка.
5.	Изложите метод приведения поверхности второго порядка к каноничес-
каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных. Ка-
Каков геометрический смысл этого ортогонального преобразования?
Примеры решения задач
1. Привести уравнение кривой второго порядка
Их2 - 20ху - V - 20ж - 8у + 1 = 0	C)
к каноническому виду с помощью поворота осей координат систе-
системы Оху и последующего параллельного переноса.
Л Приведем квадратичную форму Их2 — 20ху — 4у2, связанную с

178	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
уравнением C), ортогональным преобразованием к каноническому
виду. С этой целью составим матрицу квадратичной формы:
10 -4
и запишем характеристическое уравнение:
11 — А	—10	Л2	>7Л	1/1/1	П
-10 -4-Л =Л -7А-144 = 0.
Оно имеет корни Ai = —9, А2 = 16. Далее находим взаимно
ортогональные нормированные собственные векторы (столбцы) i*\
и F<z матрицы А: если Ai = —9, то F\ = ( '. /- ); если А2 = 16,
Следовательно, искомое ортогональное преобразование имеет мат-
матрицу
/1/л/5 -2/VE\
\2/Vb l/VEJ'
у которой detP = 1. Матрица Р является матрицей оператора пово-
поворота на угол (р такой, что costp = —, simp = —=. Повернув оси коор-
л/5	л/5
динат системы О;п/ на Угол ^ = arccos —p (против часовой стрелки),
V5
получим прямоугольную систему Ох'у'. При этом координаты точек
преобразуются по формуле (см. B))
х)=р(х:
у) \у'
ИЛИ
х=±(х'-2у'), у = ±Bх' + у').	D)
При ортогональном преобразовании D) квадратичная форма пере-
переходит в форму
Запишем в новых координатах линейные члены уравнения C):
-20ж _ 8?у - -—х' + — у'
В системе координат Ох'у' уравнение кривой принимает вид
-9(х'J + 16(у'J -^х' + ^у' + 1 = 0.

§4- Уравнения второго порядка	179
Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем
-9 (V + ^Л2 + 16 (У + -^У + 5 = 0.
V л/5/	V л/5/
Полагая
*'W + A, ," = ,' + ±
т. е. производя параллельный перенос осей координат так, что начало
координат переходит в точку О'(	=,	= ), приходим к канони-
V v 5 л/5 /
ческому уравнению данной кривой
5/9 5/16
Это — каноническое уравнение гиперболы в системе коорди-
координат О'х"у". А
2. С помощью поворота осей координат системы Оху и после-
последующего параллельного переноса привести уравнение кривой второго
порядка
Ъх2 - 2ху + Ъу2 + уДх + у/2 у + | = 0	E)
к каноническому виду.
Л Составляем матрицу квадратичной формы, связанной с уравнени-
уравнением E):
5 -Г
А~\-1 5
и решаем характеристическое уравнение
Оно имеет корни Ai = 4, А2 = 6. Находим взаимно ортогональные
нормированные собственные векторы матрицы А:
Тем самым определена матрица
p_(l/V2 -
ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму,
связанную с уравнением E), к каноническому виду

180	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
Это преобразование является поворотом осей координат на угол ip
такой, что cosip = simp = —= , откуда ip = 45°. С помощью формул
л/2
преобразования координат
х = -j={x' - у'), у = -д(х' + у')
выразим в новых координатах линейные члены уравнения E):
= 2х'.
Итак, в системе координат Ох'у', полученной из системы Оху по-
поворотом осей на угол 45°, уравнение кривой имеет вид
Цх'J + 6(у'J + 2х' + | = 0.
Выделив полный квадрат по переменной х', получим уравнение
Положим х" = х' + -, у" = у', т. е. произведем параллельный перенос
осей координат системы Ох'у' так, что начало координат перейдет
в точку ОМ —-,0]. В новой системе координат О'х"у" уравнение
данной кривой имеет канонический вид:
*"J , (у"J =
= 1
1/4 ^ 1/6
Это — уравнение мнимого эллипса. А
3. С помощью поворота осей координат системы Оху и после-
последующего параллельного переноса привести уравнение кривой второго
порядка
4х2 - 4ху + у2 - 2л/5 х + Зл/б у + ^ = 0	F)
к каноническому виду.
Л Составляем матрицу квадратичной формы, связанной с уравнени-
уравнением F):
4 -2
и решаем характеристическое уравнение

§4- Уравнения второго порядка	181
Оно имеет корни Ai = О, Л2 = 5. Находим взаимно ортогональные
нормированные собственные векторы матрицы А:
Они являются столбцами матрицы Р ортогонального преобразования,
приводящего квадратичную форму к каноническому виду:
р= А/л/5 -2/л/5\
\2/VE 1/VEJ'
При этом преобразовании (как и в примере 1, это поворот на угол
if = агссо8A/л/5)) координаты точек преобразуются по формулам D).
Пользуясь этими формулами, запишем линейные члены уравнения F)
в координатах х', у':
-2л/5ж + Зл/% = 4ж' + 7у'.
Итак, уравнение данной кривой в системе координат Ох'у' получен-
полученной из системы Оху поворотом осей на угол ср = агссо8A/л/5), имеет
вид
В результате выделения полного квадрата по переменной у' полу-
получаем уравнение
5Q/ + 0,7J+4(x/ + l) = 0.
Положим х" = х' + 1, у" = у' + 0,7, т. е. произведем параллельный
перенос осей координат системы Ох'у' так, что начало координат пе-
перейдет в точку О'{—1; —0,7). В системе координат О'х"у" уравнение
кривой имеет канонический вид:
{у"J = -0,8а;".
Это — каноническое уравнение параболы. А
4. Перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой
уравнение поверхности
Зу2 + 3z2 + 4ху + 4xz - 2yz - 12л/30ж - 14л/30у + 2л/3(к + 506 = 0
G)
имеет канонический вид, и определить тип поверхности.
Л Квадратичная форма
Зу2 + 3z2 + 4ху + 4xz - 2yz,

182	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
связанная с уравнением G), имеет матрицу
Собственные значения этой матрицы суть Ai = —2, А2,з = 4, а столбцы
(векторы)
'-2Д/б\	/1/л/5\	/ 2/л/зб\
1/л/б , F2 = 2/л/5 , F3 = -1/л/30
1/л/б/	V 0 /	V 5/л/Зб/
являются попарно ортогональными нормированными ее собственны-
собственными векторами (см. пример 1 на с. 160). Определитель матрицы, со-
составленной из этих столбцов, равен -1. Поменяв местами первый и
второй столбцы в матрице (F1F2F3), получим ортогональную
матрицу
/1/л/5 -2/л/б 2/л/30\
P = (F1F2F3)=\2/y/E 1/л/б -1/л/30 ,
V 0	1/л/б 5/л/30/
определитель которой равен единице.
Ортогональное преобразование переменных
= р(у;)	(8)
приводит квадратичную форму к следующему каноническому виду:
С помощью формулы (8) вычислим в новых координатах линейные
члены уравнения G):
-12л/30ж - uVS0y + 2VS0z = -40л/бж'
Итак, в системе координат Ox'y'z' с координатными векторами i;, j;,
к' уравнение поверхности имеет вид
4(ж'J - 40Л/6Ж' - 2(у'J + 12у/Еу' + 4(zO2 + 506 = 0.
Выделив полные квадраты по переменным х' и у', получим урав-
уравнение
4(ж' - 5л/бJ - 2(у' - Зл/5J + 4(^J -4 = 0.

§4- Уравнения второго порядка	183
Положим х" = х' — 5л/б, у" — у' — Зл/5, z" — z'', т. е. произведем па-
параллельный перенос осей координат системы Ox'y'z' так, что нача-
начало координат перейдет в точку О'Eл/б, Зл/5, 0). В новой системе ко-
координат О'х"у"z" уравнение поверхности имеет канонический вид:
Это — уравнение однополостного гиперболоида.
Обсудим геометрический смысл ортогонального преобразова-
преобразования Р, имеющего своею матрицей матрицу Р. Это преобразование
является оператором поворота пространства У3 на угол ip вокруг не-
некоторой прямой L, и векторы i;, j;, k; получаются соответственно из
векторов i, j, k в результате такого поворота. Найдем направляющий
вектор b = {б1, б2, б3} прямой L и угол поворота ip.
Вектор b — это собственный вектор матрицы Р, соответствую-
соответствующий ее собственному значению, равному единице, поэтому координа-
координаты Ь1, b2, b3 вектора b удовлетворяют однородной системе линейных
уравнений
¦ -1 • /)
-2/л/б	2/\/30 \
-1 + 1/л/б -1/л/30
1/л/б -1 + 5/л/30/
Отсюда находим направляющий вектор:
i, t,
Угол поворота ср вычислим, пользуясь формулой
откуда следует, что
л/5 + л/б - л/30 + 5
ю — arccos	=	.
2л/30
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
17. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому
виду с помощью поворота осей координат системы Оху и после-
последующего параллельного переноса. Укажите угол поворота и ко-
координаты нового начала координат (точки О') в системе Ох'у',

184	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
полученной в результате поворота осей системы Оху. Укажите
тип кривой:
а)	9х2 + 12ху + 4у2 + ах + by + с = 0, где:
1°) а = бл/13, Ъ = 4л/13, с = 13; 2°) а = 8л/ТЗ, & = л/13, с = 13;
б)	Зж2 - 2ху + З?/2 - 8л/2ж + 16лДу + с = О, где:
1°) с = 42; 2°) с = 44;
в)	5ж2 + бху + 5?/2 - 1бж - 162/ - 16 = 0;
г)	бху + 8?/2 - 12ж - 26у + 11 = 0;
д)	7х2 + 16ху - 23у2 - Ых - 16у - 216 = 0;
е)	9х2 + 24ху + 16у2 - 40ж + ЗОу = 0.
18. Перейдите к такой прямоугольной системе координат, в которой
уравнение данной поверхности имеет канонический вид. Опре-
Определите тип поверхности и напишите формулы преобразования
координат:
а)	2ж2 + у2 - 4ху -4yz+ -х - — у + — z + 10 = 0;
о	о	о
б)	-2yz + ах - ЗуДу + y/2z -7 = 0, где:
1°)а = 5; 2°)а = 0;
в)	Ъх2 + б?/2 + 7z2 - Аху + 4^/z - Юж + 8у + 14z - б = 0;
г)	2ж2 + Ъу2 + llz2 - 20ху + 4xz + I62/2 - 24ж - 6?/ - 6z - 18 = 0;
д)	Зж2 - 2у2 - z2 + 4ху + Sxz - \2yz + 18ж - Yly - 6z = 0;
е)	4ж2 + 2у2 + 3z2 + 4xz - 4yz - Юж + 4у + б = 0;
ж)	2/2 - z2 + 4ж^/ - 4xz - 2х + б?/ + 2z + 8 = 0.
§ 5. Приведение двух квадратичных форм
к каноническому виду одним линейным
невырожденным преобразованием
Основные понятия и теоремы
1. Теорема о приведении двух квадратичных форм к ка-
каноническому виду. Пусть даны две квадратичные формы: поло-
положительно определенная квадратичная форма Q(x1,...,xn) с матри-
матрицей А и произвольная квадратичная форма G(xx,..., хп) с матрицей В.
Многочлен (относительно переменной Л) det(B — ХА) называется
Л-многочленом этой пары форм.
Теорема 7. Существует невырожденное линейное преобразова-
преобразование переменных, приводящее обе квадратичные формы: положитель-
положительно определенную квадратичную форму Q(xl, ...,xn) и квадратичную

§ 5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду 185
форму G(x1, ...,жп) — к каноническому виду, причем все коэффициен-
коэффициенты квадратичной формы Q равны 1, т. е. она приводится к сумме
квадратов переменных, а канонические коэффициенты квадратичной
формы G равны корням А-многочлена этой пары форм.
2. Алгоритм приведения двух квадратичных форм к ка-
каноническому виду одним невырожденным линейным пре-
преобразованием. 1°. Находим (описанными в § 1 методами) невырож-
невырожденное линейное преобразование переменных X = RY, приводящее
положительно определенную квадратичную форму Q(xl, ...,жп) к
сумме квадратов:
k = l
2°. При этом преобразовании квадратичная форма G(x1, ...,жп) с
матрицей В переходит в квадратичную форму
G(y\...,yn)=YT.C-Y
с матрицей С = RTBR.
3°. Квадратичную форму G(y1, ...,уп) ортогональным преобразо-
преобразованием Y = PZ приводим к каноническому виду:
4°. При ортогональном преобразовании Y = PZ квадратичная форма
k = l
переходит снова в сумму квадратов:
k=l
Таким образом, невырожденное линейное преобразование X =
= RPZ, являющееся произведением преобразований X = RY и Y =
= PZ, приводит обе данные квадратичные формы к каноническому
виду.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие две квадратичные формы можно привести одним невырожден-
невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду?
2.	Что такое Л-многочлен пары квадратичных форм?
3.	Докажите, что ортогональное преобразование переводит сумму квадра-
квадратов переменных снова в сумму квадратов переменных.
4.	Изложите метод одновременного приведения пары квадратичных форм,
одна из которых положительно определенная, к каноническому виду.
8 В.Ф. Бутузов и др.

186	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
Пример решения задачи
Даны квадратичные формы
Q(x\x2,x3) =
= ХТАХ = (х1J + 17(х2J + 3(х3J + 4х*х2 - 2xV - 14х2х3,
G(x\x2,x3) =ХТВХ = (ж1J -15(х2J+4х1х2 - 2ж1ж3 + 6х2х3.
Привести эту пару форм одним невырожденным линейным преобра-
преобразованием переменных к каноническому виду.
Л Составим матрицы А и В квадратичных форм Q и G:
/ 1 2 -1\	/ 1 2 -1\
А= 2 17 -7 , Б= 2-15 3 .
V-1 -7 3/	V-1 3 О/
Матрица А положительно определенная, так как все ее угловые
миноры положительные: Si = 1, S2 = 13, J3 = 1. Для решения задачи
применим метод, описанный в п. 1.
1°. Приведем невырожденным линейным преобразованием X =
з
= RY квадратичную форму Q(x1,x2,x3) к сумме квадратов /J(g/feJ.
k=i
С этой целью воспользуемся сначала методом Лагранжа. Выделим
полный квадрат по переменной х1:
Q(x\x2,x3) = [(х1J +4х:х2 - 2х1х3} + 17(х2J + 3(х3J - 14xV =
= (ж1 + 2ж2 - ж3J + 13(ж2J + 2(ж3J - 10ж2ж3.
Далее выделим полный квадрат по переменной х3:
Q{x\x\x3) = (х1 + 2х2 - х3J + 2(х3 - | х2J + \ (х2J =
где
Это преобразование переменных можно записать в матричном
виде:
/1 2 -IX
У = JD-X= 0 -1 0 ) 'X.
\0 -5/2 1/
Сделаем теперь преобразование переменных
y1=v1, у2--

§ 5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду 187
или
Y = UV= I 0 1/л/2 О I V.
\О О л/2/
Оно приводит квадратичную форму Q(vx ,v2 ,v3) к сумме квад-
квадратов:
Итак, преобразование X = RY, где R = D~x • U~x = (U • D)~x,
приводит квадратичную форму Q(xx,ж2,ж3) к сумме квадратов. Вы-
Вычисляя матрицы U • D и R, получаем
/1 2 -Г
?/•?>= О 1/л/2 О
\0 -5/л/2 л/2
1Д/2
= I 0 л/2 0
,0 5Д/2 1/л/2,
2°. Найдем матрицу С = RTBR квадратичной формы G(y1,y2,y3),
перемножив указанные матрицы. Имеем
/10	О \
С = 0 -1/2 5/2
\0 5/2 -1/2/
и G^1,?/2,?/3) = (у1J - iB/2J - iB/3J +52/V.
3°. Ортогональным преобразованием У = PZ приведем квадратич-
квадратичную форму G(yl,y2,у3) к каноническому виду. Характеристический
многочлен матрицы С
det(C - XI) =
1-Л
0
0
0
3)(А-2)
имеет корни Ai = -3, А2 = 1, А3 = 2.
Найдем попарно ортогональные нормированные собственные век-
векторы матрицы С. Для А = —3 матрица однородной системы уравнений
относительно координат собственных векторов имеет вид
/4 0 0 \
С - XI = 0 5/2 5/2 .
\0 5/2 5/2/

188	Гл. VI. Квадратичные и билинейные формы
Ее ранг равен 2, и фундаментальная совокупность решений
системы состоит из одного решения (сразу выберем нормированное
решение)
F, = ( 1Д/2 ).
\-1Л/2/
Аналогично, для Л = 1 получаем
/0 0	0 \
С - XI = 0 -3/2 5/2 ,
\0 5/2 -3/2/
и фундаментальная совокупность решений состоит из одного решения
Наконец, для Л = 2 имеем
/-10	0 \
С -XI = [ 0 -5/2	5/2 ,
V 0 5/2	-5/2/
и фундаментальная совокупность решений состоит из решения
Так как все три собственных значения матрицы С различны, то
собственные векторы Fi, F2, F3 попарно ортогональны. Они являются
столбцами искомой матрицы Р ортогонального преобразования. Итак,
ортогональное преобразование Y = PZ, где
/0 1 0
Р= 1/V2 0 1/л/2
\-1/л/2 0 1/v^
приводит квадратичную форму Gfy1 ,у2,у3) к каноническому виду
4°. При ортогональном преобразовании Y = PZ квадратичная
форма	3
к=1

§ 5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду 189
вновь переходит в сумму квадратов:
'k\2
k=l
Таким образом, невырожденное линейное преобразование
X = RPZ =
или
приводит обе квадратичные формы Q(x1,x2,x3) и G(x1,x2,x3) к ка-
каноническому виду. Проверим, что канонические коэффициенты фор-
формы G(^1,z2,z3) являются корнями А-многочлена det(B — ХА).
Вычислим определитель
1-А 2-2А -1 + А
det(B-XA)= 2-2А -15 - 17А 3 + 7А
-1 + А 3 + 7А -ЗА
1
= A - А)
2-2А
А-1
-15-17А
3 + 7А
-1
3 + 7А
-ЗА
Умножив последнюю строку на 2 и прибавив ко второй строке,
получим
12-1
A-А)
О
А - 1
-9-ЗА А + 3
3 + 7А -ЗА
1
¦3)
-1
1
-ЗА
3)(А-2).
О	-3
А-1 3 + 7А
Отсюда видно, что Ai = -3, А2 = 1, А3 = 2, т. е. корни А-многочлена
совпадают с каноническими коэффициентами формы G. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
19. Приведите две квадратичные формы Q и G одним невырожден-
невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду, если:
а)	Q(x\x2) = (ж1J - 2х1ж2 +4(х2J, G(x\x2) = -^х2;
б)	Q(x\x2) = (ж1J + 2б(х2J + Юх1^2,
G(x\x2) = (ж1J + 5б(х2J + 16xV;
в)	Q(x\х2,х3) = Цх1J + 3(х2J + (ж3J + 4хгх2 - 2х2х3,
G(x\x2,x3) = -4(х1J +3(ж2J + (ж3J -±ххх2 - 2х2х3.
Выпишите это преобразование.

ГЛАВА VII
ТЕНЗОРЫ
§ 1. Тензоры в n-мерном линейном пространстве
Основные понятия и теоремы
1. Примеры. Пусть ebe2, ...,еп и /ь/2, ...,/п — базисы в п-мер-
ном линейном пространстве Rn, и пусть переход от первого базиса
ко второму осуществляется с помощью матрицы С = (ср):
fq = cpqep, 9 = 1,2,..., п.	A)
Если е = (ei е2 ... еп) и / = (Д /2 ... /п) — строки из базисных элемен-
элементов, то равенство A) можно записать в матричной форме:
/ = еС.
Обратный переход от второго базиса к первому осуществляется с
помощью обратной матрицы С, элементы которой обозначим че-
через ср: e = /С, или
eg=c^/P, q = 1,2,..., п.	B)
В формулах A) и B) использована краткая запись суммирования:
если в каком-либо выражении встречаются два одинаковых индек-
индекса, причем один верхний, а другой нижний, то такая запись означа-
означает суммирование по этому индексу. Иначе говоря, запись срер есть
краткое обозначение суммы ^^срер. Отметим, что выбор буквы для
обозначения индекса, по которому ведется суммирование, несущест-
несуществен; так, например, cqei = cpep. Если же одинаковыми являются два
нижних (или два верхних) индекса, то по такому индексу суммирова-
п
ние не ведется. Например, cpeq означает одночлен, а не сумму V^ c^eg.
q=l
Базис в линейном пространстве позволяет описывать многие
объекты, связанные с этим пространством, в виде упорядоченной
совокупности чисел — координат этих объектов в заданном базисе.
Приведем примеры.
Пример 1. Пусть на вещественном линейном пространстве Rn
определена числовая функция F(x) (т. е. каждому элементу х из Rn

§1. Тензоры в п-мерном линейном пространстве	191
поставлено в соответствие некоторое число F(x)) и пусть для лю-
любых ж, у из Rn и любого вещественного числа а функция F(x) удов-
удовлетворяет условиям:
2) F(ax) =aF(x).
Тогда функция F{x) называется линейной формой (или линейным
функционалом), определенной на линейном пространстве Rn.
Раскладывая произвольный элемент х по базису ei, в2,..., еп: х =
= xqeq, приходим к равенству F(x) = bqxq, где bq = F(eq). Это ра-
равенство показывает, что линейная форма F(x) определяется в базисе
ei,e2,...,en n числами &i,&2, ...,6П: чтобы получить значение линей-
линейной формы на элементе х = xqeq, нужно вычислить сумму bqxq. При
переходе к базису /i,/2,...,/n элемент х будет иметь представление
х = х qfq, a F(x) = bqxq, где 6g = F(fq) = F(c?ep) = c\F{ev) = c^6p,
т. e.
bq=cpqbp, gf = l,2,...,n.	C)
Таким образом, в базисе /i,/2,...,/n линейная форма F(x) определя-
определяется п числами 6i, 62,..., bn, которые выражаются через числа 61,62,...
...,6П, определяющие форму F(x) в базисе ei, в2,..., еп, по форму-
формулам C). Заметим, что формулы C) имеют такой же вид, как A),
т. е. величины bq при переходе к другому базису преобразуются так
же, как базисные элементы.
Пример 2. Любой элемент х линейного пространства Rn в ба-
базисе ei,e2,...,en определяется п числами х1 ,ж2,...,жп — координа-
координатами элемента х в этом базисе: х = xqeq. При переходе к базису
/ъ/2,---,/п элемент х будет иметь представление х = жд/д, причем
столбец Хе = (xq) координат элемента х в базисе ei,e2, ...,еп связан
со столбцом Xf = (ж g) координат этого элемента в базисе Д, /2,..., /п
следующим образом: X/ = С^, или
х* = с^, gf = l,2,...,n.	D)
Формулы D) схожи с формулами B): новые координаты xq элемен-
элемента х выражаются через старые координаты хр аналогично тому, как
старые базисные элементы eq выражаются через новые базисные эле-
элементы fp (короче говоря, с помощью обратной матрицы С~1).
Вывод. В рассмотренных примерах есть нечто общее: и линейная
форма, и элемент линейного пространства в каждом базисе определя-
определяются п числами, причем при переходе от одного базиса к другому
эти числа преобразуются линейно. Но есть и важное различие: у ли-
линейной формы определяющие ее числа (координаты) преобразуют-
преобразуются с помощью матрицы С, т. е. так же, как базисные элементы. В
таком случае говорят, что они преобразуются ковариантно с базис-
базисными элементами, и индексы у координат пишут внизу. Координаты

192	Гл. VII. Тензоры
элементов линейного пространства преобразуются с помощью матри-
матрицы С, т. е., как говорят, контравариантно с базисными элемента-
элементами. В этом случае индексы у координат пишут вверху. Иными слова-
словами, положение индексов внизу или вверху у координат того или иного
объекта показывает, как именно (ковариантно или контравариант-
контравариантно) преобразуются эти координаты при переходе от одного базиса к
другому.
Рассмотрим еще два примера.
Пример 3. Пусть В(х,у) — билинейная форма, определенная
на линейном пространстве Rnj ei,e2,...,en — базис в этом прост-
пространстве, х = хрер, у = yqeq. Тогда
В{х,у) = B{^ep,yqeq) = bpqxpy\
где bpq = B(ep,eq). При переходе к базису /i,/2,...,/n по форму-
формулам A) приходим к равенствам
х = xpfp, у = y«fq, В{х, у) = B(xpfp,y«fq) = bpqxpy\
где bpq = B(fpJq) = B(cpeucPqej) = cpc?qbih т. е.
bpq = clcjjbij, p,q = l,2,...,n.	E)
Таким образом, билинейная форма В(х,у) в каждом базисе опре-
определяется п2 числами, занумерованными с помощью двух индексов,
причем при переходе от одного базиса к другому эти числа преобра-
преобразуются по правилу E), т. е. по каждому из двух индексов, так же,
как базисные элементы (ковариантно).
Пример 4. Линейный оператор А, действующий в линейном
пространстве Rn, в базисе ei,e2,...,en имеет матрицу Ае = (ар. При
переходе к базису /i,/2,...,/n по формулам A) эта матрица преоб-
преобразуется в матрицу Af = C~1AeC, элементы ар которой связаны с
элементами матрицы Ае соотношениями
а
p,q= 1,2,...,п.	F)
Таким образом, линейный оператор А в каждом базисе определяет-
определяется п2 числами, занумерованными с помощью двух индексов, причем
при переходе от одного базиса к другому эти числа преобразуются
по формулам F), т. е. по нижнему индексу, так же, как базисные
элементы (ковариантно), а по верхнему — с обратной матрицей, т. е.
контравариантно по отношению к базисным элементам.
2. Определение тензора. Итак, мы рассмотрели четыре различ-
различных объекта: линейную форму, элемент линейного пространства, би-
билинейную форму и линейный оператор. Каждый из этих объектов в

§1. Тензоры в п-мерном линейном пространстве	193
любом базисе линейного пространства описывается совокупностью п
или п2 чисел, занумерованных с помощью одного или двух индексов,
причем при переходе от одного базиса к другому эти числа преобра-
преобразуются по указанным правилам.
Существуют другие объекты, которые в каждом базисе линейно-
линейного пространства описываются упорядоченной совокупностью чисел
(координат), занумерованных с помощью трех и более индексов, и
при переходе от одного базиса к другому эти координаты преобразу-
преобразуются аналогично тому, как преобразовывались координаты объектов
в рассмотренных примерах. Такие объекты называются тензорами.
Дадим определение тензора.
Определение. Геометрический объект [А]^, который в каждом
базисе ei,e2,...,en линейного пространства Rn определяется np+g ко-
координатами (числами) CLlj*j2 "lj (индексы ii, ...,ig, ji,..., jp независимо
друг от друга пробегают значения 1,2,...,п), называется тензором
типа (p,q) (p раз ковариантным и q раз контравариантным), если
при переходе к базису /i,/2,...,/n по формулам A) его координаты
преобразуются следующим образом:
Здесь a^^'/^j — координаты тензора [A]qp в базисе Д, /2,..., /n, ~cpq —
элементы обратной матрицы (см. B)). Верхние индексы н, 22,..., iq на-
называются контравариантными индексами, а нижние индексы ji, J2, •••
...,jp — ковариантными индексами. Число г =p + q называется ран-
рангом тензора.
Как следует из определения, тензор ранга г в n-мерном прост-
пространстве имеет пТ координат в каждом базисе. Скаляр, т. е. величину,
имеющую во всех базисах одно и то же значение, можно рассматри-
рассматривать как тензор нулевого ранга.
Набор из п чисел (bq) в примере 1 — координаты ковариантного
тензора ранга 1; набор из п чисел (xq) в примере 2 — координаты
контравариантного тензора ранга 1; набор из п2 чисел (bpq) в приме-
примере 3 — координаты ковариантного тензора ранга 2; набор из п2 чи-
чисел (ар в примере 4 — координаты тензора ранга 2, один раз ковари-
ковариантного и один раз контравариантного. Последний тензор называется
также смешанным тензором ранга 2.
Если в каком-либо базисе координаты двух тензоров совпадают,
то они совпадают и во всех других базисах, так как при переходе к
другому базису координаты обоих тензоров преобразуются по одним
и тем же формулам G). Следовательно, чтобы задать тензор, доста-
достаточно задать его координаты в каком-нибудь базисе.
Определение. Тензор, координаты которого не меняют своего
значения при перестановке двух верхних или двух нижних индексов,
называется симметричным по этим индексам.

194	Гл. VII. Тензоры
Определение. Тензор, у которого при перестановке каких-либо
двух верхних или двух нижних индексов не меняются абсолютные
значения координат, но изменяется их знак, называется кососиммет-
ричным тензором по данным индексам.
3. Операции над тензорами.
1)	Сложение и вычитание тензоров. Пусть [А]^ и [В]^—
два тензора одного типа (р, q), и пусть их координаты в некотором
базисе ei,e2,...,en равны соответственно а11г?"л? и ^?? ? • Сум-
JlJ2---Jp	JlJ2---Jp
мой [А]^ + [В]^ (разностью [А]^ — [В]^) этих тензоров называется тен-
тензор [D]^ того же типа (р, д), координаты d1^? которого в бази-
базисе ei, e2,..., еп выражаются формулой
ii\ii...iq 	 i\i2...iq yi\ii---iq iii\ii...iq 	 i\i2...iq _ ii\ii...iq \
ajiJ2...jP — ajiJ2...jP """ °jiJ2...jP \ajiJ2...jP — ajiJ2...jP °jiJ2...jp)'
2)	Умножение тензоров. Пусть [A]qp — тензор типа (p,q) с
координатами а^'.'.'.*/ в базисе ei5 е2, •••, en, a [B]sr — тензор типа (г, s)
с координатами Ъ1^^8 тг в том же базисе. Составим всевозможные
произведения координат тензора [А]^ на координаты тензора [В]*:
hi2...iq иг12...13
jiJ2---jP urn1m2...rnr-
Индексы у координат тензора [B]sr заменим новыми индексами, по-
положив h = iq+1, ..., l8 = iq+s, mi = jp+1, ..., mr = jp+r. Получим про-
произведения вида
Произведением тензора [А]^ на тензор [B]sr называется тензор [-D]p+*
типа (р + г, q + s), координаты dl1^'^8 которого в базисе ei, e2,..., en
J1 J 2, * * * J p -\-v
равны величинам (8), т. е.
iiii2---iq+s _ iii2...iq Tiq+1iq+2...iq+s	/q\
ajlj2...jp + r — ajlj2...jp Ujp + ljp + 2...jp + r'	yV)
Например, произведением тензора [А]\ с координатами avq в бази-
базисе ei, e2,..., еп на тензор [B]q с координатами Ъг в том же базисе явля-
является тензор [D]\ с координатами dvql = avqbl в базисе ei,e2, ...,en.
Если [А]§ = а — тензор нулевого ранга, т. е. число, то при ум-
умножении его на тензор [B]qp получается тензор того же типа (р, q),
каждая координата которого равна произведению соответствующей
координаты тензора [В]^ на число а.
Умножение тензора не обладает свойством перестановочности,
т. е. равенство [у1Щ#]? = [#]?[А]^, вообще говоря, не имеет места.

§1. Тензоры в п-мерном линейном пространстве	195
Рассмотрим, например, произведение двух ковариантных тензо-
тензоров [А]® и [В]® ранга 1 в пространстве R2. Пусть в базисе ei, e2 пер-
первый тензор имеет координаты а\ — 1, а2 = 2, а второй тензор имеет
координаты Ъ\ = 3, Ъ2 = 5. Произведение [А]®[В]® = [С]2 есть дважды
ковариантный тензор, имеющий в том же базисе координаты
сц = а\Ъ\ = 3, с\2 = а\Ъ2 = 5, с2\ = а2Ъ\ = б, С22 — ^2^2 — Ю.
Произведение тех же тензоров в обратном порядке [-B]?[-4]i = [D]®
есть также дважды ковариантный тензор, имеющий в базисе ei, e2
координаты
= 3, di2 = &ia2 = 6, 6?2i = ^i = 5, <i22 = 62^2 = 10.
Так как с12 ф d12, то [С}°2 ф [D}°2.
3) Свертывание тензора. Пусть тензор [А]^ имеет коорди-
координаты а*-1*/"л? в базисе ei, в2,..., еп. Выделим какой-нибудь верхний
JIJ2• • • Jp
индекс, например, ia (т. е. индекс с номером а) и какой-нибудь ниж-
нижний индекс, например, jp, и рассмотрим только те координаты, у
которых эти индексы равны:
ii...ia-iiaia + i...iq
ji---jC-iiajC+i---jp'
Здесь индекс jp заменен на равный индекс га. Введем тензор [5]^!^,
координаты которого в базисе ei,e2, ...,еп выражаются формулой
iii...ia-iia + i...iq 	 ii...ia-iiaia + i...iq
°ji...jC-ijC+i---jP ~ ji---jC-iiajC+i---jP'
В соответствии с нашей договоренностью выражение в правой час-
части равенства представляет собой сумму п слагаемых, в которых га
пробегает значения от 1 до п. Операция перехода от тензора [A]qp к
тензору [B]pZi называется свертыванием тензора [А]^ по двум выде-
выделенным индексам ia и jp, а сам тензор [-B]^zj будем называть сверт-
сверткой тензора [А]^ по указанным индексам.
Пример. Пусть тензор [А]\ имеет в базисе еь е2 линейного про-
пространства R2 следующие координаты apqk\ а\х = -1, а\2 = 2, а^1 = 3,
af2 = 1, a^1 = 4, а^2 = —5, а?,1 = 1, а2? = б. Свертывание этого тензора
по индексам к и q дает тензор [B]q, имеющий в том же базисе ei, e2
координаты Ъ1 = а\к = а}1 + а^2 = —б и Ъ2 = а2^ = а21 + а2? = 9.
Операция свертывания часто применяется к произведению двух
тензоров по индексам, взятым в разных сомножителях. Так, напри-
например, при свертывании произведения тензора [В}\, определяющего ли-
линейную форму и имеющего координаты Ър в базисе ei, e2,..., еп, и тен-
тензора [X]q, определяющего элемент х линейного пространства

196	Гл. VII. Тензоры
и имеющего координаты хк в том же базисе, получаем тензор нулево-
нулевого ранга — скаляр bkXk — значение линейной формы на элементе х.
В случае тензоров ранга 1 и 2 их координаты в каком-либо базисе
удобно записывать в виде матрицы. Например, если [В]® — тензор
ранга 1, то его координаты bi,b2,...,bn в данном базисе линейного
пространства можно записать в виде строки В = (Ьд.); если [А\\ —
тензор ранга 2, то его координаты apq можно записать в виде квадрат-
квадратной матрицы А = (ар; если [С]® — тензор ранга 2, то его координа-
координаты cpq можно записать в виде квадратной матрицы С = (cpq). При
этом В, А и С называются матрицами тензоров [В]®, [А]{ и [С]®
в данном базисе. Если матрица тензора ранга 2 — симметричная
матрица, то такой тензор называется симметричным тензором.
Отметим следующее обстоятельство. Если в линейном прост-
пространстве Rn фиксирован базис, то смешанный тензор [А]\ описы-
описывается в этом базисе квадратной матрицей (ар n-го порядка. Но
матрицей (ар в том же базисе описывается и некоторый линейный
оператор А, действующий в пространстве Rn. Поэтому говорят, что
если задан тензор [А]\, то он определяет некоторый линейный опера-
оператор. Аналогично: если задан контравариантный тензор ранга 1, то он
определяет элемент линейного пространства; если задан ковариант-
ный тензор ранга 1, то он определяет линейную форму; если задан
ковариантный тензор ранга 2, то он определяет билинейную форму.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение тензора.
2.	Объясните смысл терминов "ковариантный" и "контравариантный".
3.	В евклидовом пространстве зафиксируем два элемента хну. Можно ли
назвать скалярное произведение (ж, г/) этих элементов тензором? Если
да, то каков его ранг?
4.	Используя определение тензора, покажите; что:
а)	матрица оператора, действующего в линейном пространстве Яп, в
некотором базисе является матрицей тензора ранга 2, один раз ковари-
антного и один раз контравариантного, в том же базисе;
б)	координаты элемента линейного пространства в некотором базисе
являются координатами контравариантного тензора ранга 1 в том же
базисе.
5.	В четырехмерном линейном пространстве дан тензор ранга 3. Сколь-
Сколько слагаемых содержит выражение координаты этого тензора в одном
базисе через координаты этого же тензора в другом базисе? Сколько
сомножителей содержится в каждом слагаемом этого выражения?
6.	Приведите пример тензоров, произведение которых:
а)	перестановочно, т. е. не зависит от порядка сомножителей;
б)	не перестановочно.

§1. Тензоры в п-мерном линейном пространстве	197
7.	Даны тензоры [А]\ и [В]\ с координатами aPq и Ц в некотором базисе
линейного пространства Rn. Какой тензор является сверткой произве-
произведения тензоров [А]}[Б]} по индексам д, г? Определяет ли эта свертка
линейный оператор, действующий в пространстве Rnl
8.	Дан тензор [А]{ с координатами avq в некотором базисе линейного
пространства Rn и тензор [X]q с координатами хг в том же базисе.
Какой тензор является сверткой произведения тензоров [A]J[X]J по ин-
индексам д, г? Что определяет эта свертка: линейную форму; элемент про-
странства?
Примеры решения задач
1.	Тензор [D]\ имеет в некотором базисе ei,e2,...,en линейного
пространства Rn координаты
1, если р = q,	— 1 9
О, если p^q, Р^ ~ ' '•••>п-
Изменятся ли его координаты при переходе к другому базису? Какой
геометрический смысл имеет этот тензор?
Л Если переход от базиса е\, e<i,..., еп к базису Д, /2,..., /п осуществ-
осуществляется с помощью матрицы С = (ср), то координаты Sp тензора [D]\
в базисе /i,/2,...,/n определяются формулами (см. G))
А /^ 	 /-*Ь ~р* № А «У	гул g^t 	 1 О	/VI
°q—CqCj°ii P-> Я. — *-? Ai •••5^5
где по индексам г и j ведется суммирование от 1 до п. Так как
Sj = 0 при г ф j, то из п2 слагаемых в правой части последнего
равенства можно оставить только те, для которых г = j. Поэтому
Sp = cqcP = (С~1С)Р = A)р = Sp. Таким образом, координаты тензо-
тензора [D]\ одинаковы во всех базисах линейного пространства Rn.
Тензор [D]\ определяет тождественный оператор /, т. е. оператор,
матрица которого является единичной в любом базисе. А
2.	Тензор [D]2 имеет в некотором базисе ei,e2,...,en линейного
пространства Rn координаты
г ( 1, если р = q,	Л о
pq у 0, если рф q,	•>•>•>
Как преобразуются координаты этого тензора при переходе к друго-
другому базису? Какой геометрический смысл имеет этот тензор?
Л При переходе от базиса ei,e2,...,en к базису /i,/2,...,/n c по-
помощью матрицы С — (ср) координаты тензора [D]® преобразуются
по формуле (см. G))

198	Гл. VII. Тензоры
Отсюда следует, что если СТС = / (в этом случае С — ортогональная
матрица), то Spq = Spq, p,q = l,2,...,n, т. е. если переход от данного
базиса ei,e2, ...,еп к новому базису осуществляется с помощью орто-
ортогональной матрицы, то координаты тензора [D]® не изменяются. Если
же СТС ф /, то координаты тензора [D]® (по крайней мере какие-то
из них) не сохраняют своих значений.
Тензор [D]® определяет билинейную форму, которая в базисе ei,
п
е2, ...,еп имеет канонический вид В{х,у) = ^^xkyk, где ж1,ж2, ...,жп
к=1
и у1, у2, ---,уп — координаты элементов ж, у линейного пространст-
пространства Rn. А
3. Каждому базису в линейном пространстве Rn сопоставлены
числа (одни и те же в каждом базисе) 8lJq = SpSJq — SqS^ где Sp —
символ Кронекера (т. е. 8lJq = 1, если г = р ф j = q, 8lJq = — 1, ес-
если г = q ф j' = р, и 8lJq = 0 в остальных случаях). Являются ли эти
числа координатами тензора?
Л Рассмотрим тензор [D]?,, имеющий своими координатами в не-
некотором базисе ei,e2,...,en заданные числа 8lJq. При переходе от
базиса ei, в2,..., еп к базису Д, /2,..., /п с помощью матрицы С =
координаты тензора [D]2, преобразуются по формуле (см. G))
С hC7
fiij — J rh-p;i-7;j xkm — rk rn—i—j _ rn <
u pq °p°g° k^ mulh	°p°g °fe°m ^i^rm'
где первая группа слагаемых в правой части получается при к — I ф
ф т = h, а вторая (со знаком минус) — при к — h ф т = I. Изменяя
порядок суммирования, получим
Таким образом, координаты тензора [D]% одинаковы во всех ба-
базисах. Следовательно, заданные числа являются координатами тензо-
тензора [D]?,, дважды ковариантного и дважды контравариантного. А
4. Пусть в базисе ei, в2, ез линейного пространства элементы х
и у имеют координаты 1,0,-1 и 0, 1, 0 соответственно. Тем самым
заданы тензор [X]q с координатами 1,0, —1 и тензор [Y]q с координа-
координатами 0, 1, 0 в том же базисе. Найти координаты произведения этих
тензоров [А\1 = [Х]Ъ • [У]? в базисе еь е2, е3 и в базисе Л, /2, /з, ес-
если /= еС, где
/ 1 2 0\
С = 2 5 -2 .
V 0 -2 5 /

§1. Тензоры в п-мерном линейном пространстве	199
Л Координаты тензора [A]q выражаются через координаты сомножи-
сомножителей формулой (см. (8)): apq = xpyq, p,q = 1,2,3. Поэтому матрица
тензора [A]q в базисе ei, е2, ез, составленная из координат тензора в
этом базисе, имеет вид
/О 1 0\
{ат) = 0 0 0.
V о -1 о /
При переходе к базису Д, /2, /з координаты тензора [A]q преобразу-
преобразуются по формуле (см. G)) apq = с^с^а1^, где ср — элементы матри-
матрицы С, а по индексам г и j ведется суммирование от 1 до 3. Под-
Подставляя в эту формулу значения координат au, получаем apq =
= с^Сз — С3С2 = (cf — Сз)с2- Далее находим обратную матрицу:
/ 21 -10 -4\
С'1 = -10 5 2 ,
V -4 2 1/
и вычисляем координаты apq. В результате получаем матрицу тен-
тензора [А]§ в базисе /ь /2, /3:
/-250 125 50 \
apg = 120 -60 -24 . А
V 50 -25 -10/
5. Даны дважды ковариантный тензор [В]® с координатами bpq
в некотором базисе ei,e2,...,en линейного пространства i?n и два
контравариантных тензора [X]J и [y]J с координатами жг и yi в
том же базисе. Что представляет собой свертка произведения тензо-
тензоров [i^MolXlo по индексам риги индексам q и р.
Л Произведение трех тензоров [В]®, [X]q и [Y]q есть тензор ранга 4
с координатами bpqxzyi, p,q,i,j = 1,2,...,п, в базисе ei, e2,..., еп. По
условию задачи производятся два свертывания: по индексам р и i
и индексам q и j. Результатом этих действий будет тензор нулево-
нулевого ранга, т. е. число, равное bpqxpyq. Отметим, что это число есть
значение билинейной формы В(х,у), определяемой тензором [В]®, на
элементах ж, у, определяемых тензорами [X]J и [F]J. A
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Пусть в базисе ei, е2, ез линейного пространства элементы х
и у имеют координаты 2, 1, 0 и —1,0,3. Тем самым заданы тензо-
тензоры [X]q и [Y]q с указанными координатами в том же базисе. Най-

200	Гл. VII. Тензоры
дите координаты тензора [A]q, представляющего собой произведе-
произведение тензоров [X]J[y]J, в базисах еь е2, е3 и /ь /2, /з, если / = еС,
где
G =
-1
0
-1
1
2
4
-1
1
1
2.	При условиях задачи 1 найдите координаты в обоих базисах тен-
тензора [B]q, представляющего собой произведение тензоров [F]J[X]J.
Сравните полученные результаты с результатами задачи 1.
3.	Пусть apq — координаты дважды ковариантного тензора в неко-
некотором базисе n-мерного линейного пространства. Докажите, что
если матрица А = (apq) невырождена, то матрица этого тензора в
любом другом базисе также невырождена.
4.	Пусть apq — координаты дважды ковариантного тензора [А]® в не-
некотором базисе n-мерного линейного пространства, причем det A =
= det(apq) ф 0, и пусть матрица А~х является матрицей дважды
контравариантного тензора [В]% в том же базисе. Докажите, что
и в любом другом базисе матрица тензора [В]% является обратной
для матрицы тензора [А]®.
5.	Дан смешанный тензор с координатами apq в некотором базисе ли-
линейного пространства Rn. Убедитесь в том, что сверткой этого
тензора по его двум индексам является число, равное следу мат-
матрицы А = (ар (т. е. сумме а\+ а\ + ... + а™ элементов главной
диагонали матрицы А). Докажите, что след матрицы данного тен-
тензора является инвариантом относительно преобразования базиса.
6.	В каждом базисе ei,e2,...,en линейного пространства Rn опреде-
определим п2 чисел bij как решение системы линейных уравнений
ak%j =?|, kj = 1,2,...,п,
где Sj — символ Кронекера, акг — координаты дважды контра-
контравариантного тензора [АЦ в этом же базисе, причем det(ab) ф 0.
Докажите, что числа Ьц являются координатами дважды ковари-
ковариантного тензора в базисе ei, e2,..., еп.
B —2 \
_. . J. Пред-
Представьте этот тензор в виде произведения ковариантных тензо-
тензоров [В]® и [C]i ранга 1 и найдите их координаты в том же
базисе. Для любого ли тензора типа B, 0) возможно такое пред-
представление?
8. Даны симметричный дважды ковариантный тензор [А]® и косо-
симметричный дважды контравариантный тензор [B]q, имеющие
в некотором базисе линейного пространства координаты apq и Ь1^

§2. Тензоры в евклидовом пространстве	201
соответственно. Найдите координаты тензора, полученного в ре-
результате двойного свертывания произведения [^^Ио по индек-
индексам риги индексам q и j, в произвольном базисе.
9. Тензоры [А]\, [B]q и [С]® заданы в некотором базисе линейного
пространства R^ матрицами
A0 14
2 13 0
3 0 2 0
0 0 12
С = (Cj) = @ -110).
Найдите координаты тензора, полученного в результате двойного
свертывания произведения [А]\ [B]q [С]? по индексам р и j и по
индексам q и г, в произвольном базисе.
§ 2. Тензоры в евклидовом пространстве.
Примеры тензорных физических величин
Основные понятия
1. Метрический тензор. Скалярное произведение в евклидовом
пространстве ?п является симметричной билинейной формой. В про-
произвольном базисе ei, в2,..., еп для любых элементов х = хрер и у = yqeq
имеем
(х,у) = gpqxpyq,
где gpq = (ep,eq) = gqp. Числа gpq, как следует из § 1, являются ко-
координатами дважды ковариантного тензора. Этот тензор (обозначим
его [G]®) называется ковариантным метрическим тензором евклидо-
евклидова пространства ?п.
Свертка произведения метрического тензора [G]® с контравари-
антным тензором [X]J, имеющим координаты xq в базисе ei,e2, ...,en
и определяющим элемент х евклидова пространства ?п, есть ковари-
антный тензор [X]J с координатами
xp = gpqxq, p=l,2,...,n,	A)
в том же базисе.
Посредством формул A) при заданном базисе ei, в2,..., еп каждому
элементу х = xqeq ставится в соответствие определенный набор чи-
чисел Ж1,ж2, ...,жп. Верно и обратное: с помощью формул A) каждому
набору чисел Ж1,ж2,...,жп можно поставить в соответствие опреде-
определенный элемент х = xqeq. Это следует из того, что det(gpq) ф 0 (объ-
(объясните почему), и поэтому для каждого набора чисел xi,X2, ...,хп
система уравнений A) имеет единственное решение относительно

202	Гл. VII. Тензоры
ж1,ж2, ...,жп. Таким образом, числа xi,?2, ...,хп можно рассматривать
как координаты (в каком-то смысле) элемента х. Назовем эти числа
ковариантными координатами элемента х в базисе ei,e2, ...,еп (в от-
отличие от контравариантных координат ж1, ж2, ...,жп).
Чем различаются ковариантные и контравариантные координаты
элемента х? Контравариантные координаты элемента х являются ко-
коэффициентами разложения этого элемента по базису ebe2, ...,en: x =
= xqeq. Ковариантные координаты этого же элемента запишем в виде
*^р — 9pq% — x^pi ^QJ*^ — x^pi ^ ^QJ — x^pi %)'
Отсюда следует, что хр — это проекция элемента х на базисный эле-
элемент ер, умноженная на норму элемента ер.
Если ei,e2,...,en — ортонормированный базис, то gpq = (ep,eq) =
= Spq. Поэтому хр = Spqxq = хр. Таким образом, в ортонормирован-
ном базисе ковариантные и контравариантные координаты элемента
совпадают.
Переход от контравариантных координат к ковариантным коорди-
координатам элемента по формуле A) часто называют опусканием индекса.
Матрица (gpq) метрического тензора [G]® в базисе ebe2, ...,en име-
имеет обратную матрицу (поскольку det(gpq) ф 0). Обозначим элементы
обратной матрицы через gpq. Тогда
gpigiq = spq, р,? = 1,2,-,"•	B)
Числа gpq p,q = l, 2, ...,п, являются координатами в базисе ei, e2,..., еп
дважды контравариантного тензора [G]2,, обладающего тем свойст-
свойством, что его матрица является обратной для матрицы тензора [G]® в
любом базисе.
Тензор [G]q называется контравариантным метрическим тензо-
тензором. Он используется для обратного перехода от ковариантных ко-
координат элемента х к его контравариантным координатам: чтобы
поднять индекс, надо умножить обе части равенства A) на дгр и про-
просуммировать по индексу р. Учитывая B), получаем
9ipxp=gipgpqx'l = 6^x9=xi.	C)
2. Физические примеры тензоров. При описании многих
физических явлений используются тензоры. На тензорном исчисле-
исчислении основан математический аппарат общей теории относительности.
Тензоры находят применение в механике, электродинамике, теории
упругости и других разделах физики. Рассмотрим некоторые при-
примеры.
Тензор инерции. Этот тензор вводится при изучении дви-
движения твердого тела. Рассмотрим движение твердого тела G отно-
относительно прямоугольной системы координат Ох1х1хъ с началом в
центре инерции тела. Пусть ei, в2, ез — координатные векторы. Они

§2. Тензоры в евклидовом пространстве	203
образуют ортонормированный базис в пространстве векторов. Ско-
Скорость v произвольной точки М тела представима в виде
v =
где V — скорость центра инерции тела (она называется также ско-
скоростью поступательного движения тела), 17 = {Qi, ^2,^3} — угловая
скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции
тела (направление вектора 17 совпадает с направлением оси враще-
вращения) , г = {х1, х2, х3} — радиус-вектор точки М, т. е. г = ОМ, [i7r] —
векторное произведение векторов 17 и г.
Кинетическая энергия Т тела G определяется формулой
где р(М) — плотность тела в точке М, dx = dx1dx2dx3. Используя
выражение для v, получаем
v2 = V2 + 2(V, [Яг]) + [Яг]2 = V2 + 2([УЯ],г) + Я2г2 - (Я,гJ.
Так как V и 17 одинаковы для всех точек тела, то
JJJp(M)([Vf2],r)dx = (\Vnifffp(M)Ydx).
G	G
Начало координат выбрано в центре инерции тела, поэтому
f[[p(M)rdx = e,
G
и для кинетической энергии Т получаем выражение:
Т = yjfp(M)V2dx + yjJp(M)(f22T2 - (Я, гJ) dx = Гп + Гвр.
G	G
Первое слагаемое Гп есть кинетическая энергия поступательного дви-
движения тела, а второе слагаемое ТВр — кинетическая энергия враща-
вращательного движения тела. Выразим i72r2 — A7, гJ через координаты
векторов 17 и г:
f?2r2 - (f?,rJ = (uiujSij)r2 - (uix^iujxi) = uiuj(r2Sij - xV),
где Sli — символ Кронекера. Формула для ТВр примет вид
Гвр = \ п^Щр(М)(г2^ - xV) dx = i Piuiuj.
G

204
Гл. VII. Тензоры
Числа pi = p(M)(r2Szi — хгх^)о1х, i,j = 1,2,3, являются коорди-
G
натами в базисе ei, в2, ез дважды контравариантного тензора. Этот
тензор называется тензором моментов инерции или, коротко, тензо-
тензором инерции тела. Координата Рг тензора инерции представляет собой
момент инерции тела относительно оси Охг. Выпишем, например, ко-
координату I11:
I11 =
xzJ
)dx.
G
Так как pi = Рг, то тензор инерции симметричен. Поэтому существу-
существует прямоугольная система координат Ох1х2х3 такая, что в соответ-
соответствующем ей ортонормированном базисе ei, в2, ёз матрица тензора
инерции имеет диагональный вид:
pi=l\ pi =Q при i^j.
Величины I1, /2, /3 называются главными моментами инерции тела,
а направления осей Ох1, Ох2, Ох3 — главными осями инерции. В
этой системе координат выражение для кинетической энергии вра-
вращательного движения имеет наиболее простой вид:
Тензор деформаций. Рассмотрим деформацию некоторого
тела. Положение каждой точки М тела до деформации определяется
X3
Рис. 5
в прямоугольной системе координат Ож1^2^3 радиус-вектором ОМ =
= г = {ж1, ж2, ж3} (рис. 5). В результате деформации точка М сместит-

§2. Тензоры в евклидовом пространстве	205
ся на некоторый вектор и = {щ,и2,из}, зависящий от координат точ-
точки (т. е. щ = Ui(x1 ,х2 ,х3)), и займет положение М'. Деформацию
тела в окрестности точки М можно характеризовать изменением
длин всевозможных отрезков M7V, где точка N берется из малой
окрестности точки М. Рассмотрим произвольную точку N, близ-
близкую к М. Пусть MN = dr = {dx1Jdx2Jdx3} и пусть в результате
деформации точка N переместится на вектор u + du = {щ + dui,
и2 + du2,us + du3} и займет положение N'. Тогда M'N' = dr + du (см.
рис. 5). Изменение длины отрезка MN будем характеризовать вели-
величиной
D = | {M'N1 - Ш$ ) = | [(dr + duJ - (drJ] = (du, dr) + i (duJ.
Выразим D через dx1, dx2, dx3. Воспользуемся соотношениями
з
^ (
г=1	г=1	г=1 ^ j=l	^ ^ jfe=l
о
j,jfe=l v г=1
(Ai, dr) = td^dxk = t(t^
k = l	k = l	j
Меняя в последней сумме индексы j и к местами (от этого сумма не
з
изменится), получаем (du, dr) = V^ —^ dx3dxk, и, следовательно,
j,k=l
выражение для скалярного произведения (du, dr) можно записать в
виде
)dx dx
(du dr) - V -(^i + duk\dxjdxk
(du,dr)- 2^ 2{дхк + dxj)dx dx .
j,k=l
В итоге для D получается формула
j,fe=l Ч	г=1	j,
причем 7j^ = jkj. Формула D) показывает, что D является квадра-
квадратичной формой от аргументов dx1, dx2, dx3 (производные, входящие

206	Гл. VII. Тензоры
в 7jjfej вычисляются в точке М). Отсюда следует, что коэффициенты
квадратичной формы
диЗ | дик ¦ У^ ^г <^Л
яж* <9^' ^ <9^' дхк)
г=1	7
представляют собой координаты дважды ковариантного тензора в ор-
тонормированном базисе ei, е2, ез, связанном с системой коорди-
координат Ох1х2х3. Этот тензор называется тензором деформаций. С его
помощью по формуле D) находится квадратичная форма D, харак
теризующая деформацию тела в окрестности точки М. Так как jjk =
= 7jfejj то тензор деформаций является симметричным тензором.
Тензор напряжений. Этот тензор вводится при исследова-
исследовании внутренних сил, возникающих в упругом теле в результате его
деформации. Рассмотрим произвольную точку М деформированного
упругого тела. Через эту точку проведем плоскость, пересекающую
тело, и рассмотрим в этой плоскости элементарную площадку 5, со-
содержащую точку М и имеющую площадь ds. Выберем одну из двух
возможных сторон площадки S (такой выбор определяется заданием
направления нормали п к S). Пусть на выбранную сторону площад-
площадки S действует упругая сила dP. Отношение рп = — называется
as
механическим напряжением в точке М на элементарной площадке S
с нормалью п. Проводя различные плоскости через точку М, т. е. по-
поворачивая площадку 5, будем получать различные значения векто-
вектора рп в одной и той же точке М. Следовательно, напряженное состо-
состояние упругого тела в данной точке М не может быть описано одним
вектором. Оказывается, чтобы описать напряженное состояние в точ-
точке М, достаточно знать механическое напряжение на трех взаимно
перпендикулярных площадках, проходящих через точку М. Введем
прямоугольную систему координат Мх1х2х3 с началом в точке М и
координатными векторами еь е2, е3. Пусть рь р2, рз — механичес-
механические напряжения в точке М на элементарных площадках 5Ь 52, 53,
нормали к которым имеют такие же направления, как векторы ei,
е2, ез. Тогда механическое напряжение рп в точке М на элементар-
элементарной площадке S с нормалью n = {cosai, cosa2, cosa^} выражается
формулой
Рп = Pi cos ai + р2 cos a2 + рз cos a3,	E)
где ai, a2, as — углы, которые единичный вектор нормали п состав-
составляет с векторами ei, e2, ез.
Разложим векторы pi, р2, рз по базисным векторам ei, e2, ез
Pi =
P2 =P2iei +p22e2 +p23e3,	F)
Рз =

§2. Тензоры в евклидовом пространстве	207
Если числа pij для данной точки М известны, то формула E) поз-
позволяет определить напряжение в точке М на любой элементарной
площадке с заданным вектором нормали п.
Вычислим проекцию механического напряжения рп на направле-
направление нормали п. Используя формулы E) и F) и учитывая, что (ej, n) =
= cos ctj, получаем
( , /Л	\ D^D^ \ \
(pn,n) = I 2^PiCOsai, n I = I 2^ I Z^PiJeJ ) cosab n I =
г-1	г-l j-1	3
Можно показать, что рц — Pji- Таким образом, проекция вектора рп
на направление нормали п является квадратичной формой от аргу-
аргументов cosai, cosa2, cosa3. Отсюда следует, что коэффициенты квад-
квадратичной формы — числа р^ — являются координатами дважды
ковариантного тензора в базисе ei, в2, ез. Этот тензор называется
тензором напряжений. Он полностью характеризует напряженное со-
состояние тела в данной точке М. В физике обычно используются сле-
следующие обозначения для координат тензора напряжений:
Pkk = °k, Pki = rki (i ф k).
Координата ak тензора напряжений (к = 1,2,3) представляет собой
нормальную составляющую механического напряжения р/, на эле-
элементарной площадке 5^, а координаты ты [г ф к) являются касатель-
касательными составляющими вектора р/,, т. е. лежат в плоскости Sk- Так
как Tik = Tki, то тензор напряжений — симметричный тензор.
В различных разделах физики находят применение тензоры и бо-
более высокого ранга, чем в рассмотренных примерах.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение ковариантного метрического тензора.
2.	Что такое ковариантные и контравариантные координаты элемента
евклидова пространства? Дайте их геометрическую интерпретацию.
3.	Как связаны между собой ковариантные и контравариантные коорди-
координаты элемента евклидова пространства в ортонормированном базисе?
4.	Что такое контравариантный метрический тензор?
5.	Как связаны между собой матрицы ковариантного и контравариантного
метрических тензоров?
6.	Какая физическая величина и каким образом выражается через тензор
инерции? Каков физический смысл координат этого тензора с двумя
одинаковыми индексами?
7.	Какое физическое явление характеризует тензор деформаций? Какая
величина и каким образом выражается через этот тензор?

208	Гл. VII. Тензоры
8. Какое физическое явление характеризует тензор напряжений? Каков
физический смысл координат этого тензора?
Примеры решения задач
1.	Доказать, что матрица метрического тензора в любом базисе
является невырожденной матрицей.
Л Пусть G — матрица метрического тензора, т. е. матрица симмет-
симметричной билинейной формы (х,у), в каком-то базисе ei, в2,..., еп. По-
Покажем вначале, что если G — невырожденная матрица, то и в любом
другом базисе матрица метрического тензора является невырожден-
невырожденной. При переходе от базиса ei,e2, ...,en к другому базису с помощью
матрицы перехода С матрица G билинейной формы переходит в мат-
матрицу CTGC. Воспользуемся равенством
det CTGC = det CT det G det С = (det СJ det G.
Так как матрица С преобразования базисов невырожденная, то
det С ф 0. Поэтому если матрица G невырожденная, т. е. det G ф 0,
то и det CTGC ф 0, т. е. матрица CTGC невырожденная.
Пусть ei,e2,...,en — ортонормированный базис. Тогда, как было
показано ранее, gpq = Spq, и поэтому det G = det(gpq) = 1. Отсюда
следует, что матрица метрического тензора в любом базисе является
невырожденной. А
2.	В линейном пространстве R% в базисе ei, в2, ез задана матрица
/1 1 0\
Ge = (gpq) =12 2
\0 2 5/
дважды ковариантного тензора [G]%. Доказать, что этот тензор можно
трактовать как метрический тензор пространства R3.
Л Тензор [G]® можно будет назвать метрическим тензором прост-
пространства Rsj если мы покажем, что скалярное произведение элементов
х = хрер и у = yqeq можно ввести по формуле
(ж, у) = gpqxpyq = ж V + ж V + xV + 2х2у2 + 2х2у3 + 2х3у2 + Бх3у3.
Чтобы это показать, нужно проверить выполнимость всех аксиом
скалярного произведения. Тот факт, что первые три аксиомы име-
имеют место, очевиден. Обратимся к последней аксиоме. С этой целью
квадратичную форму
(ж, х) = (ж1J + 2х1х2 + 2(ж2J + 4х2х3 + 5(ж3J
приведем методом Лагранжа к каноническому виду
(х, х) = (х1 + х2J + (х2 + 2х3J + (ж3J.

§2. Тензоры в евклидовом пространстве	209
Отсюда следует, что (ж, ж) > 0 для всех ж, кроме случая, когда
+ ж2=0,
ж2 + 2ж2 = 0,
ж3=0.
Эта система уравнений имеет единственное решение х1 = х2 = х3 = 0.
Таким образом, (ж, ж) ^ 0, причем (ж, ж) = 0 только в том случае,
когда ж — нулевой элемент, т. е. четвертая аксиома имеет место.
Итак, формула (х,у) = gpqxpyq задает скалярное произведение в
пространстве R3, и поэтому [G]2 — ковариантный метрический тен-
тензор в этом евклидовом пространстве. А
3.	В евклидовом пространстве, рассмотренном в примере 2, найти
матрицу контравариантного метрического тензора в базисе еь е2, е3.
Л По определению контравариантного метрического тензора его мат-
матрица G\ является обратной к матрице Ge ковариантного метричес-
метрического тензора [G]®- Вычисляя элементы обратной матрицы, находим
/6-5 2 \
d = G~l = -5 5 -2 . А
V 2 -2 1 /
4.	В евклидовом пространстве, рассмотренном в примере 2, найти
контравариантные координаты в базисе еь е2, е3 элемента ж, имею-
имеющего в том же базисе ковариантные координаты 3,2, -3.
Л По формуле C) х1 = дгр • хр, где дгр — элементы матрицы Gi, най-
найденной в примере 3. Поэтому
х1 =6-3 + (-5) -2 + 2- (-3) = 2,
х2 = (-5) • 3 + 5 • 2 + (-2) • (-3) = 1,
х3 = 2 • 3 + (-2) • 2 + 1 • (-3) = -1.
Итак, контравариантные координаты элемента ж в заданном базисе
равны 2,1, —1. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
10. В ортонормированном базисе ei, e2 евклидова пространства эле-
элемент /i имеет координаты 1 и 0, а элемент /2 — координаты
л/3/2 и 1/2:
а)	убедитесь в том, что элементы Д, /2 образуют базис;
б)	найдите координаты метрического тензора [G]° в базисе /i, /2;
в)	найдите координаты контравариантного метрического тензо-
тензора [G\l в базисе /ь /2;
г)	напишите выражение скалярного произведения (ж, у) через ко-
координаты элементов ж, у в базисе Д, /2.

210	Гл. VII. Тензоры
/ 1 3 1\
11.	Дана матрица 3 10 1 ковариантного метрического тензо-
VI 16/
ра в некотором базисе еь е2, е3 трехмерного евклидова прост-
пространства:
а)	найдите ковариантные координаты элемента х в базисе ei, e2,
ез, если известны его контравариантные координаты в том же
базисе х1 = —2, ж2 = 1, х3 = —1;
б)	найдите контравариантные координаты элемента у в базисе ei,
в2, ез, если даны его ковариантные координаты в том же базисе
У\ = 0, у2 = -3, 2/з = 4.
12.	Найдите двойную свертку произведения [G]® • [G]q метрических
тензоров n-мерного евклидова пространства.
13.	Трижды ковариантный тензор [А]® имеет координаты аць в ба-
базисе ei,e2,...,en n-мерного евклидова пространства, а контрава-
риантный метрический тензор [G]2, имеет в том же базисе коор-
координаты gpq. Определим координаты в том же базисе тензора [А\\
равенствами a^q = gplgqhaihk, Р,У,к = 1,2,...,п. Выразите коор-
координаты тензора [А]® через координаты тензора [А\\.
14.	Тензор, имеющий координаты а*- в базисе ei,e2,...,en п-мерного
евклидова пространства, определяет линейный оператор А. Най-
Найдите координаты тензора, определяющего сопряженный опера-
оператор А* в том же базисе.

ГЛАВА VIII
ГРУППЫ
§ 1. Определение группы. Примеры
Основные понятия и теоремы
1.	Понятие группы.
Определение. Множество G элементов любой природы назы-
называется группой, если на этом множестве задана операция (обычно
ее называют умножением), ставящая в соответствие каждой упоря-
упорядоченной паре элементов ж, у из G однозначно определенный эле-
элемент z Е G (обозначение: z = ху или z = ж о у) так, что при этом вы-
выполнены следующие условия (аксиомы группы).
1°. Vx,y,z из G : (xy)z = x(yz) (ассоциативность групповой опе-
операции).
2°. Существует элемент е Е G такой, что \/х ? G : хе = ех = х
(элемент е называется единицей группы).
3°. Уж Е G существует обратный ему элемент ж Е G такой,
что жж — х~хх — е.
Определение. Группа G называется коммутативной или абе-
левой, если групповая операция коммутативна, т. е. \/ х,у из G: ху =
= ух-
Групповую операцию в коммутативной группе часто называют не
умножением, а сложением (пишут z = х + у); в этом случае едини-
единицу группы называют нулевым элементом и обозначают 0, а элемент,
обратный элементу ж, называют противоположным по отношению к
элементу х и обозначают —х.
В соответствии с названием групповой операции (умножение или
сложение) будем называть группу группой по умножению (относи-
(относительно операции умножения) или группой по сложению (относитель-
(относительно операции сложения).
Теорема 1. В группе существует единственная единица.
Теорема 2. Для каждого элемента группы существует единст-
единственный обратный элемент.
2.	Примеры групп. 1) Если G — множество целых чисел, а
групповой операцией является сложение целых чисел, то G — абе-
лева группа по сложению. Нулевым элементом этой группы является
число 0, а противоположным по отношению к элементу п является
число —п.

212	Гл. VIII. Группы
Относительно операции умножения множество целых чисел не об-
образует группу, так как не выполнено условие 3°: обратным по отноше-
отношению к целому числу п является число 1/п, но оно не является целым
числом при п ф 1.
Множество всех рациональных, множество всех вещественных,
множество всех комплексных чисел также являются абелевыми груп-
группами по сложению.
2)	Пусть к — фиксированное целое число. Если G — множество
всех целых чисел, делящихся без остатка на число к, а групповая опе-
операция — сложение целых чисел, то G — абелева группа по сложению.
3)	Пусть G — множество всех вещественных чисел, отличных от
нуля, а групповая операция — умножение вещественных чисел. Тог-
Тогда G — абелева группа по умножению. Единицей группы является
число 1, а обратным элементу х является число 1/х.
Если добавить к данному множеству число нуль, то получим
множество всех вещественных чисел. Но оно не является группой
относительно операции умножения, поскольку число нуль не имеет
обратного.
Отметим, что множество всех вещественных чисел, отличных от
нуля, не является группой относительно операции сложения, так как
не выполнено условие 2° (отсутствует нулевой элемент).
4)	Пусть G — множество, состоящее из одного числа 1, а груп-
групповая операция — умножение чисел. Тогда G — абелева группа по
умножению.
Замечание. Группа, состоящая из конечного числа элементов,
называется конечной, а число элементов в конечной группе называет-
называется ее порядком.
Согласно этой терминологии данная группа является группой по-
порядка 1.
5)	Пусть G — множество всех элементов линейного пространст-
пространства R. В пространстве R определена операция сложения ее элементов,
которая в силу аксиом линейного пространства является коммута-
коммутативной и удовлетворяет условиям 1°-3° определения группы. Таким
образом, множество G с указанной операцией сложения является абе-
левой группой по сложению.
3. Понятие подгруппы.
Определение. Подмножество G\ группы G называется подгруп-
подгруппой группы G, если оно удовлетворяет двум условиям:
1)	если х G Gb у Е Gb то ху Е G\\
2)	если х Е Gi, то х~х Е G\
Очевидно, любая подгруппа группы G сама является группой
(с той же групповой операцией), причем единицы группы и ее под-
подгруппы совпадают.

§1. Определение группы. Примеры	213
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение группы.
2.	Какая группа называется абелевой?
3.	Что такое группа по умножению и группа по сложению?
4.	Пусть G — множество комплексных чисел, отличных от нуля, а груп-
групповая операция — умножение комплексных чисел. *) Образует ли мно-
множество G с указанной операцией группу? Если да, то является ли эта
группа абелевой?
5.	Приведите пример конечной группы. Что такое порядок конечной
группы?
6.	Пусть G — множество, состоящее из одного числа 0, а групповая опе-
операция — сложение чисел. Образует ли множество G с указанной опера-
операцией конечную группу? Если да, то каков ее порядок и является ли эта
группа абелевой?
7.	Пусть G — множество всех т х n-матриц, элементами которых явля-
являются целые числа, а групповая операция — сложение матриц. Образует
ли множество G с указанной операцией группу? Если да, то является
ли эта группа абелевой?
8.	Сформулируйте определение подгруппы.
9.	Справедливо ли утверждение: подгруппа группы G — является груп-
группой? Ответ обоснуйте.
Примеры решения задач
1. Пусть G — множество, состоящее из чисел 1 и —1, а групповая
операция — умножение чисел. Образует ли множество G с указанной
операцией группу? Если да, то каков порядок этой группы и является
ли эта группа абелевой?
Л Прежде всего заметим, что в результате умножения двух чи-
чисел из данного множества G получается число, также принадлежащее
этому множеству:
1x1 = 1, 1 х (-1) = -1, (-1) х 1 = -1, (-1) х (-1) = 1,
т. е. операция умножения не выводит за пределы данного множества.
Условие 1° определения группы выполнено, так как умножение чи-
чисел обладает свойством ассоциативности. Далее, число 1 удовлетворя-
удовлетворяет, очевидно, условию 2°, а обратными к элементам 1 и —1 являются
сами эти элементы: 1x1 = 1, (—1) х (—1) = 1.
Итак, все условия 1°-3° определения группы выполнены, и, сле-
следовательно, данное множество G образует группу по умножению. Ее
порядок равен числу элементов множества G, т. е. равен 2, а так как
умножение чисел коммутативно, то эта группа абелева. А
*)Для упрощения формулировки вопроса (задачи) мы часто уже в формули-
формулировке используем термин "групповая операция", хотя по постановке задачи еще
предстоит выяснить, удовлетворяет ли эта операция условиям 1°—3° определения
группы.

214	Гл. VIII. Группы
2.	Пусть G — множество всех невырожденных матриц n-го по-
порядка с вещественными элементами, а групповой операцией является
операция умножения матриц. Образует ли множество G с указанной
операцией группу? Если да, то является ли она абелевой?
Л Отметим прежде всего, что произведение двух невырожденных
матриц с вещественными элементами также является невырожден-
невырожденной матрицей с вещественными элементами, т. е. результат умно-
умножения двух таких матриц принадлежит множеству G. Умножение
матриц обладает свойством ассоциативности. Поэтому условие 1°
определения группы выполнено.
Единичная матрица / n-го порядка невырождена и удовлетворяет
условию 2° определения группы (для любой матрицы А из множест-
множества G : AI = IA = А).
Наконец, для каждой невырожденной матрицы А с вещественны-
вещественными элементами существует обратная матрица А, также невырож-
невырожденная и с вещественными элементами.
Таким образом, множество G с указанной операцией является
группой по умножению.
Умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т. е.
для произвольных матриц А и В, вообще говоря, АВ ф В А. Следова-
Следовательно, группа G не является абелевой. А
3.	Доказать, что множество матриц А(ср) вида
(	A)
у smcp cos if J '	v J
где (p — произвольное вещественное число, образует подгруппу груп-
группы невырожденных матриц второго порядка (относительно операции
умножения матриц).
Л Прежде всего заметим, что для любого значения ср матрица А(ср)
невырожденная, так как det А(ф) = 1^0.
Проверим теперь, выполнены ли условия 1) и 2) определения под-
подгруппы. Для любых ipi и (р2 имеем (убедитесь в этом сами, перемно-
перемножив матрицы A{ifi) и А((р2))
Тем самым произведение двух матриц из данного множества являет-
является матрицей также из данного множества.
Обратной для матрицы А(ф) является матрица (проверьте это)
^ = (
cos if) ysin(—<p) cos(-cp)

§1. Определение группы. Примеры	215
Итак, А~1((р) = A(—ip), т. е. обратная матрица также принадлежит
множеству матриц вида A).
Таким образом, выполнены условия 1) и 2) определения подгруп-
подгруппы, и, следовательно, множество матриц вида A) является подгруп-
подгруппой группы невырожденных матриц второго порядка. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Пусть G — множество всех комплексных чисел, по модулю рав-
равных 1, а групповая операция — умножение комплексных чисел.
Докажите, что множество G с указанной операцией образует абе-
леву группу.
2.	Пусть G — множество, состоящее из четырех комплексных чи-
чисел: 1, г, —1, —г, а групповая операция — умножение комплексных
чисел. Докажите, что множество G с указанной операцией обра-
образует абелеву группу. Чему равен ее порядок?
3.	Образует ли группу множество положительных вещественных
чисел с групповой операцией:
а) х о у = ху; б) х о у = х2у2?
4.	Образует ли группу множество всех корней n-й степени из еди-
единицы (как вещественных, так и комплексных) относительно опе-
операции умножения комплексных чисел?
5.	Образует ли группу множество всех матриц n-го порядка, эле-
элементами которых являются целые числа, а определитель равен:
а) 1; б) 1 или -1;
относительно операции умножения матриц?
6.	Образует ли группу множество вещественных многочленов сте-
степени, не превосходящей п, относительно операции сложения мно-
многочленов?
7.	Докажите теорему: в группе существует единственная единица.
8.	Докажите теорему: для каждого элемента группы существует
единственный обратный элемент.
9.	Докажите, что если для любого элемента х группы G выполнено
условие х о х = е, то G — абелева группа.
10.	Докажите, что в любой группе равенство ах = Ъ равносильно ра-
равенству х = оГ1 • Ъ.
11.	Докажите, что для любых элементов ж, у группы выполняется
равенство {ху)~х = у~1х~1.
12.	Докажите, что если х о у = ж, то у = е, где е — единица группы.
13.	Докажите, что если G — конечная группа, то для любого х G G
существует такое натуральное число п, что хп = е, где хп —
произведение п сомножителей, равных ж, е — единица группы.

216	Гл. VIII. Группы
14. Докажите, что если G\ — непустое конечное подмножество груп-
группы G, такое, что Vх,у Е G\\ х о у ? Gb то G\ — подгруппа груп-
группы G.
§ 2. Группы преобразований
Основные понятия
1.	Группа движений. В элементарной геометрии рассматрива-
рассматриваются преобразования плоскости (пространства), которые называются
движениями (их называют также перемещениями или наложениями).
Движение — это такое преобразование плоскости (пространства), при
котором сохраняются расстояния между точками, т. е. для любых то-
точек А и В плоскости (пространства) выполняется равенство
Л1 В1 = АВ,
где А' и В' — точки, в которые переходят точки А и В при данном
преобразовании, АВ — расстояние между точками А и В.
Примерами движений являются параллельный перенос плоскости
(пространства) на данный вектор, центральная симметрия плоскости
(пространства) относительно данной точки, осевая симметрия плос-
плоскости (пространства) относительно данной прямой, зеркальная сим-
симметрия пространства относительно данной плоскости, поворот плос-
плоскости на заданный угол вокруг данной точки.
Множество всех движений плоскости (пространства) образует
группу. Групповой операцией является композиция двух движений,
т. е. последовательное выполнение двух движений в заданном поряд-
порядке. Ясно, что композиция двух движений является движением. Ком-
Композиция движений обладает свойством ассоциативности. Единицей
группы движений является тождественное преобразование, при ко-
котором все точки плоскости (пространства) переходят сами в себя. И
наконец, обратное преобразование к данному движению также сохра-
сохраняет расстояние между точками, т. е. является движением.
Важную роль играют различные подгруппы группы движений,
например подгруппа поворотов плоскости вокруг данной точки (см.
пример 1 на с. 217).
2.	Группа преобразований линейного пространства. Каж-
Каждый линейный невырожденный оператор, действующий в линейном
пространстве, осуществляет взаимно однозначное отображение ли-
линейного пространства на себя.
Множество всех линейных невырожденных операторов, дейст-
действующих в данном n-мерном линейном пространстве, образует группу
относительно операции умножения операторов. Единицей группы яв-
является тождественный оператор, а обратным элементом для операто-

§2. Группы преобразований	217
pa А является обратный оператор А~х. Эта группа называется также
группой преобразований данного линейного пространства и обознача-
обозначается GL(n).
Множество всех ортогональных операторов, действующих в п-мер-
ном евклидовом пространстве, образует подгруппу группы GL(n).
Она обозначается О(п) и называется ортогональной группой (см. при-
пример 2 на с. 218).
3. Изоморфизм групп
Определение. Группы G и G' называются изоморфными, если
между их элементами существует такое взаимно однозначное соот-
соответствие, при котором для любых элементов ж, у из G и соответст-
соответствующих им элементов ж', у' из G' выполняется равенство
(х о у)' = х1 о у',	A)
где (х о у)' — элемент из G', соответствующий элементу х о у из G.
Указанное соответствие между изоморфными группами G и G'
называется изоморфизмом.
Группа преобразований данного n-мерного линейного пространст-
пространства GL(n) изоморфна группе (по умножению) всех невырожденных
квадратных матриц n-го порядка (см. пример 2 на с. 214), а груп-
группа О(п) ортогональных операторов изоморфна группе всех ортого-
ортогональных матриц n-го порядка.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что называется движением плоскости (пространства) в элементарной
геометрии?
2.	Приведите примеры движений.
3.	Является ли движением композиция любых двух движений?
4.	Какое преобразование является единицей группы движений?
5.	Образует ли множество всех параллельных переносов плоскости
(пространства) подгруппу группы движений?
6.	Что такое группа преобразований данного линейного пространства?
7.	Что такое ортогональная группа? Укажите какую-нибудь подгруппу ор-
ортогональной группы ОB).
8.	Дайте определение изоморфных групп.
9.	Приведите пример изоморфных групп.
Примеры решения задач
1. Доказать, что:
а) всевозможные повороты плоскости вокруг данной точки обра-
образуют абелеву группу относительно операции композиции двух пово-
поворотов;
9 В.Ф. Бутузов и др.

218	Гл. VIII. Группы
б) эта группа поворотов изоморфна группе, элементами которой
являются матрицы вида
(	)
)	B)
COS if J '	v J
а групповой операцией является умножение матриц.
Л а) При повороте плоскости на угол ip вокруг данной точки О
сама точка О остается на месте, а произвольная точка М плоскости,
отличная от О, переходит в точку М' такую, что ОМ' = ОМ и ра-
радиус ОМ окружности с центром О совмещается с радиусом ОМ' в
результате поворота на угол (р. При этом поворот производится по ча-
часовой стрелке, если ip < 0, и против часовой стрелки, если ip > 0. При
(р = 0 все точки плоскости остаются на месте, т. е. поворот на угол
ip = 0 является тождественным преобразованием. Ясно, что компози-
композиция (т. е. последовательное выполнение) двух поворотов на углы ipi
и ц>2 является поворотом на угол ipi Л- ч>2-> причем независимо от того,
в каком порядке выполняются повороты на углы cpi и ср2, т. е. ком-
композиция поворотов обладает свойством коммутативности. Очевидно
также, что эта операция ассоциативна и для поворота на угол ср об-
обратным преобразованием является поворот на угол —ip.
Итак, всевозможные повороты плоскости вокруг данной точки об-
образуют абелеву группу, которая является подгруппой группы движе-
движений плоскости.
б) Множество матриц А(ф) вида B) образует группу относительно
операции умножения матриц (см. пример 3 на с. 214).
Поставим в соответствие повороту плоскости на угол ip вокруг
данной точки (обозначим этот поворот Р^) матрицу А(ф). Тем самым
между элементами Р^ группы поворотов и элементами А(ф) группы
матриц вида B) установлено взаимно однозначное соответствие.
Убедимся в том, что это соответствие является изоморфизмом,
т. е. удовлетворяет условию A).
В самом деле, композицией поворотов Р^г и Р^2 является пово-
поворот P(fl+(f2, которому соответствует матрица A(ipi + (^2)- Но A(ipi +
+ Ф2) — A(ipi)A(ip2), т. е. композиции двух поворотов соответству-
соответствует матрица, являющаяся произведением матриц, соответствующих
этим поворотам. Это и означает, что в данном случае выполнено усло-
условие A). Итак, указанные группы изоморфны. А
2. Обозначим через 50B) множество всех операторов из ортого-
ортогональной группы 0B), у каждого из которых определитель матрицы
в ортонормированном базисе равен 1. Доказать, что:
а)	50B) является подгруппой группы 0B);
б)	группа 50B) изоморфна группе матриц А(ф) вида B).
Л а) Пусть Qi и Q2 — операторы из множества 50B), т. е. det Q\ — 1
и det Q2 = 1, где Q\ и Qi — матрицы операторов Qi и Qi в ор-

§2. Группы преобразований	219
тонормированном базисе. Матрицей оператора Q1Q2 в этом базисе
является матрица Q\Q^- Так как detQiQ2 = detQi -detC^ = 1, то
оператор Q1Q2 принадлежит множеству 50B). Матрицей операто-
оператора Q^1 в указанном базисе является матрица Qi\ и так как det Q^1 =
= 1/ det Q\ = 1, то оператор Q^1 также принадлежит множеству 50B).
Таким образом, для множества операторов 50B) выполнены усло-
условия 1) и 2) определения подгруппы, и поэтому 50B) является под-
подгруппой ортогональной группы 0B).
б) Зафиксируем какой-нибудь ортонормированный базис в дву-
двумерном евклидовом пространстве. В данном базисе каждому опера-
оператору Q из группы 50B) соответствует матрица Q этого операто-
оператора, которая является ортогональной с определителем, равным 1.
Пусть
' Р\
Согласно свойству ортогональной матрицы имеем
Поэтому существуют такие (риф, что р\ = cos ip, q\ — sin ip, P2 = cos ф,
#2 = sin ф. Так как, кроме того, р\Р2 + #1^2 = 0 и det Q —p\q2 — Q1P2 =
= 1, то cos ip • cos ф + sin ip • sin ф = 0 и sin ip • sin ф — sin ip • cos ф = 1,
т. e. cos^ — cp) = 0, Бт(ф — cp) = 1. Отсюда получаем
ф = ц> + — + 2тгп
и, следовательно,
рх — cos(^, q1 = simp, p2 = —simp, q2 = cos ср.
Итак, матрица Q произвольного оператора Q, из множества 50B)
в данном базисе имеет вид
гл _ ( cos cp — sin ср \
^ ~~ у sin ip cos (^ у '
т. е. Q = А((р), где А(у?) — матрица вида B).
Очевидно, верно обратное: каждой матрице А(ф) вида B) при фик-
фиксированном ортонормированном базисе соответствует ортогональный
оператор из множества 50B), матрицей которого в этом базисе яв-
является А(ф).
Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между
операторами из 50B) и матрицами А(ср). Поскольку матрицей про-
произведения операторов Qi и Q2 с матрицами A(ipi) и А((р2) в данном
базисе является произведение матриц A((pi)A((p2), то установленное
взаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, а значит,
группа 50B) изоморфна группе матриц А(ф). к

220	Гл. VIII. Группы
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
15.	Докажите, что композиция движений плоскости (пространства)
обладает свойством ассоциативности.
16.	Докажите, что множество движений, состоящее из поворотов
пространства вокруг оси Oz данной прямоугольной системы ко-
координат, зеркальной симметрии относительно плоскости Оху и
всевозможных композиций указанных движений, образует под-
подгруппу группы движений пространства. Укажите группу квад-
квадратных матриц третьего порядка, изоморфных этой подгруппе
движений.
17.	Докажите, что множество движений, состоящее из зеркальных
симметрии относительно координатных плоскостей данной пря-
прямоугольной системы координат и всевозможных композиций
этих симметрии, образует конечную подгруппу группы движе-
движений пространства. Найдите порядок этой подгруппы и укажите
изоморфную ей группу квадратных матриц третьего порядка.
18.	Докажите, что множество унитарных операторов, действующих
в n-мерном унитарном пространстве, образуют группу относи-
относительно операции умножения операторов (эта группа называется
унитарной и обозначается U(n)).
19.	Докажите, что множество всех операторов из группы U(n) (см.
задачу 18), у каждого из которых определитель матрицы в орто-
нормированном базисе равен 1 или -1, образует подгруппу груп-
группы U(n). Образуют ли подгруппу те операторы из U(n), у кото-
которых указанный определитель равен: а) 1; б) —1?
§ 3. Группа преобразований Лоренца
Основные понятия
1. Псевдоевклидово пространство. Пусть в n-мерном линей-
линейном пространстве R задана невырожденная симметричная билиней-
билинейная форма В(х,у), у которой соответствующая квадратичная фор-
форма В(х,х) является знакопеременной. Такая билинейная форма не
удовлетворяет четвертой аксиоме скалярного произведения, соглас-
согласно которой должно выполняться неравенство В(х,х) > 0 при х ф 0.
Откажемся от этой аксиомы и введем скалярное произведение в про-
пространстве R с помощью данной билинейной формы:
(х,у)=В(х,у).	A)
Определение. Линейное пространство R со скалярным произ-
произведением A) называется псевдоевклидовым пространством.

§3. Группа преобразований Лоренца	221
Если квадратичная форма В(х,х) имеет р положительных и q
отрицательных канонических коэффициентов (p + q = n), то псевдо-
псевдоевклидово пространство обозначается Е? у
2. Пространство Минковского. Преобразование Лоренца.
Псевдоевклидово пространство Et Зч называется пространством
Минковского. Оно играет важную роль в физике, поскольку явля-
является пространством событий в специальной теории относительнос-
относительности (СТО). Координаты элементов (точек) этого пространства обозна-
обозначают обычно через ж0, ж1, ж2, ж3. В СТО координата ж0 считается
временной, а координаты ж1, ж2, ж3 — пространственными. Времен-
Временную координату ж0 полагают равной с?, где t — время, с — скорость
света. При этом все четыре координаты измеряются в одних еди-
единицах.
Среди всевозможных систем координат особую роль играют такие
системы (они называются галилеевыми), в которых скалярное произ-
произведение A) имеет вид
з	г=1
Величину (ж,ж) = (ж0J — /МжгJ называют квадратом пространст-
пространствах
венно-временного интервала (или просто интервала) и обозна-
обозначают 52(ж).
Введем матрицу
, . -1 О
J ~ ' л 0-1
0 0 -1,
которая является матрицей билинейной формы B) в галилеевой
системе координат. Отметим, что элементы этой матрицы являются
координатами дважды ковариантного тензора, который называется
метрическим тензором пространства Efx Зч (см. § 2 гл. VII).
С помощью матрицы J квадрат интервала в галилеевой системе
координат можно записать в виде
52(ж) =XTJX,	C)
где X — столбец, элементами которого являются координаты ж0, ж1,
ж2, ж3 точки ж.
Перейдем к новой галилеевой системе координат. Пусть при этом
X = ВХ,
где X — столбец, составленный из новых координатат ж0, ж1, ж2,
ж3 точки ж, В = {Ъг-) — матрица преобразования координат. Будем
называть данное преобразование координат преобразованием с мат-
матрицей В.

222	Гл. VIII. Группы
Квадрат интервала в новых координатах имеет вид
S2(x) = XT(BTJB)X,
а так как новая система координат по условию является галилеевой,
то должно выполняться равенство вида C), т. е.
S2(x)=XTJX,
откуда следует, что
Вт JB = J.	D)
Определение. Преобразование координат с матрицей В, удов-
удовлетворяющей условию D), называется преобразованием Лоренца
пространства Минковского.
Множество всех преобразований Лоренца образует группу относи-
относительно композиции (т. е. последовательного выполнения) преобразо-
преобразований. Единицей группы является тождественное преобразование с
единичной матрицей, а обратным для преобразования с матрицей В
является преобразование с матрицей В~х.
Важную роль в специальной теории относительности играет под-
подгруппа преобразований Лоренца, при которых координаты ж2 и ж3 не
изменяются (ж2 = ж2, ж3 = ж3), а координаты ж0 и ж1 выражаются
через х° и х1 формулами
о =
где /3 — произвольное число из интервала (—1,1).
Полагая в формулах E) х° = ct, x° = ct, (I = v/c, получим
Соотношения F) представляют собой знаменитые формулы Лоренца
в том виде, как их обычно записывают в физике. При этом величина v
имеет смысл скорости, с которой новая система координат движется
относительно старой в направлении оси ж1.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какое линейное пространство называется псевдоевклидовым?
2.	Что такое пространство Минковского?
3.	Напишите выражение для скалярного произведения в галилеевой сис-
системе координат пространства Минковского.
4.	Напишите выражение для пространственно-временного интервала.
5.	Какое преобразование называется преобразованием Лоренца прост-
пространства Минковского?

§3. Группа преобразований Лоренца	223
6. Напишите формулы преобразования Лоренца, при которых две прост-
пространственные координаты не изменяются, а изменяются только одна
пространственная и временная координаты.
Примеры решения задач
1. Доказать, что преобразования Лоренца (т. е. преобразования,
удовлетворяющие условию D)) образуют группу относительно опе-
операции композиции преобразований.
Л Рассмотрим два преобразования Лоренца с матрицами В\ и Б2.
Согласно определению (см. равенство D)) имеем
BjjBi = J, г = 1,2.	G)
Композицией этих двух преобразований (X = В\Х и X = В2Х) явля-
является преобразование X = В\В2Х с матрицей В = В\В2. Убедимся в
том, что матрица В удовлетворяет условию D). В самом деле, исполь-
используя формулу (BiB2)T = BjBj', ассоциативность умножения матриц
и равенства G), получаем
BTJB = (B1B2)TJ(B1B2) = (BjB
= В2 \В\ JВ\)В2 = В2 JВ2 = J.
Итак, Вт JB = J, т. е. матрица В удовлетворяет условию D), и, сле-
следовательно, композиция двух преобразований Лоренца является пре-
преобразованием Лоренца. В силу ассоциативности умножения матриц
композиция преобразований Лоренца также обладает свойством ас-
ассоциативности. Далее, единичная матрица (матрица тождественного
преобразования), очевидно, удовлетворяет условию D), т. е. тождест-
тождественное преобразование является преобразованием Лоренца, а так как
композиция любого данного преобразования и тождественного есть
данное преобразование, то тождественное преобразование удовлетво-
удовлетворяет требованию, предъявляемому к единице группы.
Наконец, убедимся в том, что обратное преобразование по отно-
отношению к преобразованию Лоренца с матрицей В также является пре-
преобразованием Лоренца. Для этого нужно проверить, что матрица В~х
обратного преобразования удовлетворяет условию D), т. е.
(B~1)TJB-1 = J.	(8)
Для матрицы В равенство D) выполнено. Умножая это равенство на
матрицу (Вт)~1 слева и на матрицу В~х справа, получаем
(BT)-1BTJBB~1 = (Вт)-^В-\	(9)

224
Гл. VIII. Группы
Но (ВТ)~1ВТ = /, ВВ-1 = /,
ние (9) принимает вид
, и поэтому соотноше-
соотношеJ=(B-1)TJB~l,
т. е. имеет место равенство (8).
Таким образом, для композиции преобразований Лоренца выпол-
выполнены все аксиомы группы. Тем самым доказано, что преобразования
Лоренца образуют группу относительно операции композиции преоб-
преобразований. А
2. Доказать, что преобразования координат, при которых коорди-
координаты х2 и х3 не изменяются (ж2 = ж2, х3 = ж3), а координаты х°
и х1 преобразуются по формулам E), где /3 — произвольное число из
интервала (-1,1), образуют группу.
Л Данное преобразование координат можно записать в виде
X = В(/3)Х,
A0)
где X =
X =
х1
о о\
о о
A1)
В(/3) =
Композицией двух преобразований X = B(/3i)X и X =
является преобразование X = B{C2)B{Ci)X. Проделав соответст-
соответствующие вычисления, приходим к равенству
В(C2)В(C1)=В({3),
где
Р =	-^~о~-	A^)
Нетрудно доказать, что из неравенств — 1 < /3\ < 1 и —1</^2 < 1
следует, что -1 < /3 < 1. Таким образом, композицией двух преобра-
преобразований вида A0) является преобразование вида A0).
Ассоциативность композиции преобразований вида A0) следует из
ассоциативности умножения матриц. При /3 = 0 матрица A1) являет-
является единичной матрицей, соответствующей тождественному преобра-
преобразованию, которое играет роль единицы группы. Наконец, вычислив

§3. Группа преобразований Лоренца	225
обратную матрицу для матрицы В(Р), получим
В-1(р)=В(-C),
и поэтому обратное к A0) преобразование координат имеет вид
X = В(-0)Х,
т. е. также является преобразованием вида A0).
Таким образом, множество преобразований вида A0), где —1 <
< j3 < 1, образует группу. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
20.	Матрица В(Р) задана формулой A1). Докажите, что:
а)	B(Pi)B(P2) = В(Р), где C определено формулой A2);
б)	если рг Е (-1,1), /32 Е (-1,1), то C G (-1,1).
21.	Докажите, что композицией двух преобразований Лоренца ви-
вида F) с параметрами v\ и v^ является преобразование Лоренца
вида F) с параметром г?, связанным с v\ и г>2 формулой
Vi + V2
V = —
(формула сложения скоростей в специальной теории относитель-
относительности).
22. Докажите, что обратной для матрицы В(Р), определенной фор-
формулой A1), является матрица В{—C).

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
в) х = у = 0.
в) АВ = В А = А1 В1 = В1 А1 = (aijbij8ij)nxn]
/х /5 6 -5\ / 5	1
т)АВ=[-_л J), ВА=[1 О -1 , АТБТ= 6	О
\ l ZJ \Ь 3 -bj \-Ь	-1
dTjT _ ( -2 -1
^ А ~ { 1 2
/_4 -1 0\ Л3 :5 3 °N
«)^= j -; ; • ВА= -з is з S
\ z х и/	\ 1 -4 1 Оу
-3 0-3 1\	/ а 1 <г
к	к	к	л \	I ~4	1	2
лтпт _ I -5 -5 -5 -4	т т _ _ _ _
л д - I о	1	о	1 I '	I
/	V о о о
о о о о/	V и и и,
я v / 16 -32 \
8.а)(^_б 13j;
*\ ( а	Ъ \	г,
б) I ^ ~ .. ni I , где а и о — произвольные числа;

Глава II	227
в) X не существует;
О 1/6
О О
ч j- I d —Ъ
в)
ad — be V ~c a
e) [а-ЧгЛ
J V гг Ч ) nXn
12.	a) 0; 6) 4ab; в) 40; г) ЗаЪс - a3 - b3 - с3;
д) abc + x(ab + bc + ca); e) —20; ж) х2у2.
13.	* а), б) Воспользоваться тем, что определитель имеет две одинако-
одинаковые строки, если а = Ъ или b = с или с = а;
в) воспользоваться тем, что третий столбец равен разности второго и
первого столбцов.
14.	а) х = -10 и х = 2; б) х = 2.
15.	а) -6 < х < -4; б) ж < 0 и ж > 2.
16.	Юж4 - 5ж3.
17.	а) * ? ; б) 0 2 -3
V Ч	\0 0 1/2
18 (Ек ~В
1о.	д	^
19.	а) [_1 1у 6)(^_l I _ly B)f-2j; г) (^ ^ 2
20.	г)* Использовать метод математической индукции.
21.	а) Поменяются местами к-й и 1-й столбцы;
б)	к-й столбец умножится на число 1/ж;
в)	из /-го столбца вычтется к-й столбец, умноженный на число х.
22.	a) 3n+1 — 2n+1. * Сначала с помощью разложения данного опреде-
определителя (обозначим его Dn) по элементам первой строки получить рекур-
рекуррентную формулу Dn = 5Dn-i — 6Dn-2. Затем воспользоваться тем же
приемом, что и при вычислении определителя в примере 3 на с. 17.
б) (X2-Xi)(x3-Xi)(x3-X2)...(xn -Xi)(xn-X2)...(Xn -Xn-i). * ВоС-
пользоваться тем, что определитель имеет два одинаковых столбца, если
для каких-нибудь неравных индексов г и j выполняется равенство xi = Xj.
Глава II
4. е) Не выполняется аксиома 6°: а(/3х) ф (а/3)х, например, если х = 1,
а = 1/5, /3 = 5.
7.	а) да; б) да; в) да, если а = 0; нет, если а ф 0; г) да; д) да, если
а = 0; нет, если а ф 0; е) да, если а = 0; нет, если гиф 0; ж) да; з) да.
8.	а) Множество векторов, параллельных плоскости с нормальным век-
вектором хо;
б) множество векторов, коллинеарных вектору xq.

228
Ответы и указания
11.	а) Множество векторов, коллинеарных данному вектору;
б)	множество векторов, коллинеарных данным векторам;
в)	множество векторов, параллельных плоскости, которой параллельны
данные векторы;
г)	множество векторов, параллельных плоскости данных векторов, если
среди них есть неколлинеарные векторы, и множество векторов, коллине-
коллинеарных данным векторам, если они коллинеарные;
д)	множество всех векторов.
12.	* Сначала доказать, что столбцы матрицы АВ являются линейными
комбинациями столбцов матрицы А.
19. * Воспользоваться тем, что х и у линейно зависимы, если сущест-
существует число а такое, что у = жа, либо х = уа.
21. Размерность линейного пространства равна:
2 .
а) т • п; б) 	; в) п; г) п — 1; д) п + 1; е) п.
24.	* Воспользоваться теоремой о базисном миноре.
25.	* Воспользоваться тем, что ранг матрицы равен размерности ли-
линейной оболочки ее столбцов.
27.	* Сначала доказать, что однородная система линейных уравнений
имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда столбцы матрицы ее
коэффициентов линейно зависимы. Затем воспользоваться утверждением
из упр. 24.
28.	* Воспользоваться тем, что определитель матрицы равен нулю тог-
тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа столбцов. Затем вос-
воспользоваться утверждением из упр. 24.
29.	* Воспользоваться утверждениями из упр. 27, 24, 28.
30.	* Пусть Ai,...,Ar — базисные столбцы матрицы А. Представить
каждый из остальных столбцов матрицы А в виде линейной комбинации
базисных столбцов: А\ = сцА\ + ... + сг\Аг G = г + 1,...). Затем предста-
представить матрицу А в виде суммы А =
где матрица
получается из
матрицы А, если положить Aj = в при j ф г (в —нулевой столбец).
31.	а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да.
32.	а) 3; б) 3; в) 4; г) п - 1; д) 2.
34.	Ранг матрицы равен: а) 2; б) 2; в) 1; г) 2; д) 2; е) 3; ж) 2;
з) 3; и) 3; к) 4; л) 6.
35.	Ответы неоднозначные. Приводим один из вариантов ответа:
/ °\ /°\
1	О
б) 0,0
V 0/ \1/
38.	* Если С = А • В и det В ф 0, то А = С • 5. Далее воспользоваться
утверждением из упр. 36 и 37.
39.	Да.
40.	Размерность линейной оболочки равна: а) 2; б) 2; в) 2. Базис
определяется неоднозначно, например: а) х\,Х2\ б) х\,Х2\ в) х\,Х2-
41.	Ответы неоднозначные. Приводим один из вариантов столбцов ко-
координат базисных элементов:
; в)
/ 8\
-1
со to
2
V 1/
/ 0 \
0
1
0
0

Глава II
229
42. Размерность линейного пространства равна:
а) п - 1; б) 6; в) 3; г) 4; д) п; е) 4; ж) 2.
Базис определяется неоднозначно. В качестве базиса можно взять:
°\	/°\ / °\
О I	I О I	I О
\ о/	\ о/	V о/
/1 0	0\ /0	10
б) 0 0	0,1	0 О
\о о	о/ \о	о о
г) ж-2, ж2-4, ж3-8, ж4-16;
Д) ж, ж2-1,
0 1 О
о о о
О 1
о о
ж4-1;
О 0 1
0 0 0
О О
О 1
0	0 0
1	О О
0	о
1	1
43. Базис: pi,p3,P4.
45.	а) Поменяются местами две строки;
б)	поменяются местами два столбца;
в)	новая матрица получается из старой в результате симметрии отно-
относительно своего центра.
46.	Координаты элемента ж равны: а) 1, 4, —3; б) 1, 2, 3; в) 0, 8, —5.
47.	0,25; 0,25; 0,5; 0,5.
48.
в) Flf =

230
Ответы и указания
49. Матрица
ми (п+1)х(п+1).
1 —а а
0 1 -2а
(-а)п
За2
с размера-
vO О	О	О ...	1
В (& + 1)-м столбце матрицы стоят числа (—а)к,
= Ц*-!)¦¦¦(*-' + !)
с* • (-а)*, ..., с!(-а), 1, 0, 0,..., О, где <* =
50.	80 + 107(ж - 3) + 54(ж - ЗJ + 12(ж - ЗK + (ж - ЗL.
51.	Координаты вектора х в базисе fi5f2,f3 равны: 11, 5; 11, 5; —9. Ко-
Координаты вектора х в базисе gi, g2, g3 равны: —11, —1, 6. Матрица перехода
/О 3,5 2,5 \
от базиса fi,f2,f3 к базису gi,g2,g3:
/-9
перехода —4
V 6
52. / = ЗЛ
4,5 4,5
-3 -2
матрица обратного
53. а)
в)
-7/9 -4/9 -4/9х
-4/9 -1/9 -8/9
4/9 -8/9
/ 2/3 -1/3 1/3 \
б) -1/3 2/3 1/3 ;
V —1/3 -1/3 1/3/
в зависимости от направления пово-
поворота.
55.	* Выбрать базисы ei,...,en и ei,...,e'n в пространствах R и R! и
далее элементу х = х\е\ + ... + хпеп пространства R поставить в соответ-
соответствие элемент х = xie[ + ... + хпеп пространства R'. Для доказательства
обратного утверждения воспользоваться тем, что при изоморфизме линей-
линейно независимым элементам пространства R соответствуют линейно неза-
независимые элементы пространства R'.
56.	* Воспользоваться тем, что если R ~ R', то линейно независимым
элементам пространства R соответствуют линейно независимые элементы
пространства R''.
57.	а) 3; б) 2; в) 4; г) 5; д) 6; е) 7.
Глава III
1.	а) система совместна; б) система несовместна; в) система несов-
несовместна.
2.	а) 1; б) 5; в) 10; г) с — любое число, не равное 7.
15
; б ; ; в -3 ; г) -2 .
4. ФСР определяется неоднозначно. Приводим один из возможных ва-
вариантов ответа.

Глава III
231
а) ФСР: Xi =
; общее решение
системы: X = с\Х\ + С2Х2 + С3Х3, где С1,С2,сз — произвольные числа;
I —13 I
б)	ФСР: Х\ =	7 I ' °бщее решение системы: X = cXi, где с —
V	°/
произвольное число;
/ i\
в)	ФСР: Х\ = —1 ; общее решение системы: X = cXi, где с —
V	о/
произвольное число;
/Л	/о\	/о\
г)	ФСР: Xi = 0 , Х2 = q , 1з = L ; общее решение
W	\°/	\о/
системы: X = с\Х\ + С2Х2 + С3Х3, где ci, сг, сз — произвольные числа;
-8\	/-4\
11
д) ФСР: X! = | -2
5
О/
-2
4
О
1/
; общее решение системы:
X = ciXi +C2X2, где ci,C2 — произвольные числа;
/0
1	1-2
е) ФСР:
О
3 | , Х2 =
О
\о/	\ з
X = с\Х\ +С2Х2, где ci,C2— произвольные числа;
1\	/ 0\
общее решение системы:
ж) ФСР: Xi =
-1
О
1
О
общее решение системы:
-1
1
X = ciXi +C2X2, где ci,C2 — произвольные числа.
8.	п+ 1 - к.
9.	Например, 2ж - Зх2 + ж3, 6ж - 7х2 + ж4.
10.	Например:
ч Г ЮЖ1 + 12Ж3 - Ж4 - 16Ж5 = О,
| 10ж2 ~\~ 62жз — Ж4 — 86ж5 ^ 0;
{10Ж1	+ 12жз — Ж4 — 16Жб = О,
10ж2 + 62жз — Ж4 — 86ж5 = 0, (последнее уравнение полу-
10ж1 +10ж2 + 74ж3 - 2ж4 - Ю2ж5 = О
чено в результате сложения уравнений системы в п. а));

232	Ответы и указания
(
10ц	+ 12ж3- Х4- 16ж5 = 0,
ч I	10Ж2 + 62жз — Х4 — 86Ж5 = 0,	/
в) < 1П , 1П , _.	о 1ПО	'	(последнее уравнение — раз-
у | 10ж1 + 10ж2 + 74жз — 2ж4 — Ю2жб = О,	V	Ji^	^
[ 10 10 50	+ 70 О
[ 10ж1 - 10ж2 - 50ж3	+ 70ж5 = О
ность уравнений системы из п. а)).
11.	Нет.
12.	а) Ж1 = 1 — С\ — С2 — Сз, Ж2 = Ci, Жз = С2, Ж4 = Сз, ГДе Ci, C2, Сз
произвольные числа;
б)	х\ = 1 + 4с, Ж2 = 1 — 13с, жз = 7с, Ж4 = 0, где с — произвольное число;
в)	х\ = с, Ж2 = -(а + Ь) — с, жз = -(а — 6), где с — произвольное число;
г)	х\ = ci, Ж2 = С2, жз = сз, Ж4 = 10, где ci, C2, сз — произвольные числа;
23	6	23
д)	х\ =	8ci — 4с2, Ж2 =	Y llci — 2с2,	жз =	2ci + 4с2,
о	о	о
х4 = 5ci, Жб = С2, где ci,C2 — произвольные числа;
е)	система уравнений несовместна;
ж)	Ж1 = Ci, Ж2 = 1 + Ci — С2, Жз = Ci, Ж4 = 1 — Ci + С2, Жб = С\ , Жб = С2,
где ci,C2 — произвольные числа;
з)	х\ =	7ci +5с2, Ж2 = 3ci, жз = Зс2, Ж4 = —1, где ci,C2 — произ-
произвольные числа;
и) Х\ = —2С1 — 2С2, Ж2 = 1 — Ci, Жз = Ci, Ж4 = С2, Жб = 0, ГДв Ci, C2
произвольные числа.
14.	а) х\ = — 1 + с\ + 2с2, Ж2 = —3 + с\ + 2с2, жз = ci, Ж4 = С2, где ci, C2 —
произвольные числа;
б) xi = 6 — с, Ж2 = — 5 + с, жз = 3, Ж4 = —1 — с, Жб = с, где с — произ-
произвольное число.
15.	а) При сфЪ система несовместна; при с = 5 система совместна и ее
общее решение можно записать в виде х\ = —4 — 6а, Ж2 =	Ь 7а, жз = 2а,
где а — произвольное число;
б)	при с = —2 система несовместна; при с ф —2 ис/1 система имеет
единственное решение Ж1 = Ж2 = жз = B + с); при с = 1 система совместна
и ее общее решение можно записать в виде х\ = 1 — с\ — С2, Ж2 = ci, жз = С2,
где ci и С2 — произвольные числа;
в)	при с = 0 система несовместна; при с/0 и с/1 система имеет
единственное решение х\ = -, Ж2 =	2, жз = —; при с = 1 система
ее	с
совместна и ее общее решение можно записать в виде х\ = - — 2а, Ж2 =
о
2
= — - + а, жз = За, где а — произвольное число;
г)	при с = 2 система несовместна; при с ф 2 система совместна и ее общее
13	3
решение можно записать в виде х\ = -B — с)а +	, Ж2 = 2а +	,
2 2(с — 2)	с — 2
2 + с 4с + 7
жз = —	а +	, Ж4 = а, где а — произвольное число.
2 2B-с)'
-Ж4 =3,
Г Xi + ЗЖ2
Э' |ж1-2ж2+:
1- тт
17.	Например, <	о	.
|Ж1 - 2Ж2 +Ж3 +Ж4 =
18.	Например, 1+ж-2ж2, 1 + Зж-5ж2+ж3, 1 + 15ж - 17ж2 + ж5.

Глава IV	233
Глава IV
1.	Нет.
2.	а) 1°) Нет; 2°) да; 3°) да;
б) в случае 2°: (х,у) = -2, \\x\\ = л/б, \\y\\ = л/2, ср = arccos (-2/л/Ш);
в случае 3°: (ж,у) = О, ||г|| = л/2, ||у|| = 1, р = 90°.
3.	В случае 2°: (/,#) = -9, ||/|| = л/3, |Ы| = Зл/5, р = arccos ( - JL);
в случае 3°: (/,#) =-12, ||/|| = л/3, |Ы| = Зл/б, р = arccos (- -^j .
5.	9.
6.	* Воспользоваться тем, что если |(ж,г/)| = ||ж|| • ||г/||, то дискрими-
дискриминант квадратного относительно Л трехчлена (Хх — у, Хх — у) = Л2||ж||2—
— 2Л(ж, у) + \\y\\2 равен нулю и, следовательно, квадратный трехчлен имеет
вещественный корень.
8. Да, если а = 0; нет, если а ф 0.
10. а) 1° нет; 2° да; 3° нет; б) (А, В) = 2 + 8г, ||А|| = л/Тб, ||В|| = л/7.
15.	* Используйте результат примера 2 на с. 90.
16.	а) е\ — 2в2 + 2ез, 2ei + 2в2 + ез, 6ei — Зв2 — без;
б) ei + ег + ез + в4, 2ei + 2в2 — 2ез — 2в4, —ei + в2 —
17.	Ответы неоднозначны. Например:
а)	2°) ci(ei + ег + ез) + С2(—е\ + в2 + в4); 3°) ei + в2 + ез, — е\ + в2 + в4;
б)	2°) ciBei +3e2+e3)+c2(-ei -4e2+e4); 3°) 2ei+3e2+e3, ei -
—	в2 + ез + в4, где ci и С2 — произвольные числа.
18.	В приведенных ниже ответах использованы обозначения: т = dimL;
г/i,..., г/т — ортонормированный базис в L; г/т+1,..., г/п — элементы, допол-
дополняющие ортонормированный базис в L до ортонормированного базиса всего
евклидова пространства.
аI°)т = 3;ж1,Ж2,ж3; 2°) У1 = i (ei - 2е2 + 2е3), 2/2 = -^ Bei + 2е2 +
о	о
+ е3), 2/з = - Fei - Зе2 - 6е3);
бI°)ш = 3; Ж1,ж2,ж3; 2°) г/i = - (ei + е2 + е3 + е4), 2/2 = - (ei + е2 -
-	е3 - е4), 2/з = - (-ei + е2 - е3 + е4); 3°) у4 = - (ei - е2 - е3 + е4);
в)	1°) т = 2; Ж1, ж2; 2°) 2/1 = Ж1л/15, 2/2 = ж2л/15; 3°) 2/з = ^ (ei +
V3
+ е2 + е3), 2/4 = -р (-ei +е2 + е4);
V3
г)	1°)ш = 2; Ж1,Ж2; 2°) 2/1 = -^=, 2/2 = ^; 3°) у3 = ^= Bei +
+ Зе2 + е3), 2/4 = - (ei - е2 + е3 + е4);
д)	1°) т = 3; Ж1,ж2,ж3; 2°) г/i = - (ei + е2 - е3 + 2е4 + Зе5), 2/2 =
7 + + 15ез + 2е4 + 3es),	уз = 	Fei
4л/15Ч	z	°	°У'	У° л/135
3°) У4 = -д (~ei - е2 + е4), 2/5 = —^ (-3ei + 4е2 + е4 - е5).

234
Ответы и указания
19. а) п — 1; б) п — dimL(xi,..., х
22. а) у = х, z
в)	у = - (ei - е2 + 2е4), г = - Bei + 4е2 + Зе3 + е4);
о	о
г)	у = — (-5ei + Зе2 + е3 + 7е4), ? = —A9ei + 11е2
14	14
дJ/= J-B1ei+14e2+27e3+35e4+28e5), 2=^-(
4 - е5)
, л/Пб ;
23. а
/ cos cp — sin cp
24.	a) Q = I sin cp cos cp
V 0	0
/ cos cp — sin cp
6) Q = I sin cp cos 9? 0
V 0	0 1
/11/15 2/15
25.	Q = 2/15 14/15 -1/3 I .
\ -2/3 1/3 2/3/
26.
(a2 A — cos (p) + cos 9? afr(l — cos (p) — с sin 9? ac(l — cos 9?) + b sin 92 \
afr(l — cos (p) + с sin 9? 62A — cos (p) + cos 9? bc(l — cosip) — asimp \.
ac(l — cos tp) —b sin 9? 6c(l — cos (p) + a sin 9? c2 A — cos 9?) + cos (p )
* Наиболее просто находится матри-
ца оператора А в базисе fi = ei + &e2, f2 = — &ei + e2.
6. Ae = - I , _ 1 . * Наиболее просто находится матрица оператора
А в базисе fi = ei + 2e2, f2 = —2ei + е2.

Глава V
235
5 -2
-2 8 1 ) . * Наиболее просто находится матрица опе-
2 1 8
ратора А в базисе fi = 2ei
— ез, f2 = в2 + ез, f3 = ei + 2ез.
'О 1 0\	/	1 1 + л/З 1 - л/3>
8. а) | 0 0 1 ; б) - 1 - л/3	1 1 + л/3
1 0 О/	3\1 + л/3 1 -л/3	1
10. а)
11.
12. а)
г)
О 0\
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 1
/0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
\о о о о о о/
/0 0 0 0
в)
/о
о
о
0
0
0
Ко
@
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0 ..
2 ..
0 ..
0 ..
-1
0
0
0
8
(
0
-8
о)
°\
0
п
1
о/
-1
1 0 0\
0 10.
0 0 1/
/о о	о о о о\
0 0	0 0 0 0
0 0	0 0 0 0
0 0	0 0 0 0
0 0	0 0 0 0
\о о	о о о о/
о
б)
о
о
-1
О -64
О -64,
2 -1
О 3
-1
-1
о о
\о о
п
о/
13. а)
6)
О 0 0 0 ... п
\0 0 0 0 ... О/
+ (f2 + ••• + <?>те)
ч / COS if 2 — Sin if 2 \ m	ч
1 0
0 1
14. * Пусть A — матрица искомого оператора А в том же базисе,
в котором заданы координаты элементов xi, Х2, жз, 2/1, 2/2, 2/з- Тогда
L 1
L 1
L -1
15. а)
Отсюда находим А =
в)
2
2
2
2
4
3
-11
-7
-1
8
5
13
6
4
0
-5
-4
-8

236	Ответы и указания
л а л / 60 -12 Л лч/0 0\ . /25-10 \ Л/-6 0
16. а) (^48 12j; 6)(^ooj; b)^40_15J; г) - ^ _5 _g
19.	Собственных векторов нет.
20.	cBei + A + л/7)б2) — множество всех собственных векторов, соот-
соответствующих собственному значению Л = л/7; cBei — A + л/7)ег) — мно-
множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значе-
значению Л = —>/7, где с — любое вещественное число, не равное нулю.
21.	а) I 0 ) — множество всех собственных векторов, соответствую-
W	/л
щих собственному значению Л = 2; I 0 1 — множество всех собственных
W	/ о\
векторов, соответствующих собственному значению Л = 1; I —с I — мно-
V с/
жество всех собственных векторов, соответствующих собственному значе-
значению Л = —1, где с — любое вещественное число, не равное нулю;
fc\
б)	0 — множество всех собственных векторов, соответствующих
W
собственному значению Л = —1, где с — любое вещественное число, не
/ -С! - С2 \
равное нулю; I с\ I — множество всех собственных векторов, со-
\	С2	)
ответствующих двукратному собственному значению Л = 1, где с\ и С2 —
любые вещественные числа, не равные нулю одновременно;
/с\
в)	0 — множество всех собственных векторов, соответствующих
W
собственному значению Л = 2 кратности 3, где с — любое вещественное
число, не равное нулю.
22.	с\е\ + Bci + С2)в2 + С2вз + 2с2в4 — множество всех собственных
векторов, соответствующих собственному значению Л = 1 кратности 4,
где ci и ci — любые вещественные числа, одновременно не равные нулю.
24. Если Л ф 0 — собственное значение оператора А, то 1/Л — собст-
собственное значение оператора А'1.
26.	Если Л — собственное значение оператора А, то Л — а — собствен-
собственное значение оператора А — al.
27.	Если Л — собственное значение оператора Д то Хк — собственное
значение оператора Ак, а р(Л) — собственное значение оператора р(А).
29. Инвариантные подпространства:
1)	^-пространство;
2)	{cxi}, где xi — собственный вектор оператора А, соответствующий
собственному значению Л = 1, с — любое вещественное число;
3)	М = {ciX2 +С2Х3}, где Х2, хз — линейно независимые собственные
векторы оператора А, соответствующие двукратному собственному значе-
значению Л = 0, ci,C2 — любые вещественные числа;
4)	{са}, где а — фиксированный ненулевой вектор из М, с — любое
вещественное число;

Глава V	237
5)	{cia + C2Xi}, где a, xi — векторы, введенные выше, а с\ и С2 —
любые вещественные числа;
6)	пространство Б3.
30.	При ср = тг оператор поворота имеет двукратное собственное зна-
значение, равное —1. Любой ненулевой вектор из Vb является собственным
вектором, соответствующим этому собственному значению.
31.	Собственное значение Л = 0; соответсвующие собственные векто-
векторы — ненулевые векторы, коллинеарные вектору у.
32.	Собственное значение Л = 0; соответсвующие собственные векто-
векторы р(х) = const ф 0.
33.	а) Собственных векторов нет;
б)	собственное значение Л = —1, соответсвующие собственные векто-
вектора a cos ж + С2 sin ж, где ci,C2 — любые вещественные числа, не равные
одновременно нулю;
в)	собственных векторов нет.
35. у/к/т, у/2к/т.
/2 2 -2\
38.	-2-2 3 .
\ 3 2 0/
ъ
39.	А*р= fK(t,x)p(t)dt.
а
40.	a) h = -L(ei-2e2+e3), /2 = _L Bei + е2), /3 = -L (-ei +
+ 2в2 + 5ез)	— ортонормированный базис из собственных векторов;
/-1	0 0\
Af=[ 0	10;
V 0	0 1/
б)	/i = -7= (ei + е2), h = — (ei - е2 - 4е3), /з = - Bei - 2е2 + е3) —
\/2	о	о
/9 0 0\
ортонормированный базис из собственных векторов; Af = I 0 18 0 1;
\0 0 27/
в)	/i = iBei+2e2+e3), /2 = ^ Bei - е2 - 2е3), /з = \ (ei -
000
— 2в2 + 2ез) — ортонормированный базис из собственных векторов;
'9 0 0\
А* не является эрмитовым оператором.
/2-г 1 4-г\
50. 2г -1 1 + 2г
V -1 г	0 У
53. а) Да; б) нет; в) да.

238	Ответы и указания
55.	а) Собственные значения равны — 1 и 1; /i = — (ei+ze2), /2 =
V2
= —= (ei — гег) — ортонормированный базис из собственных векторов;
V2
б) собственные значения равны — 1 и 5; /i = —^= (B + г)е\ — ег), /г =
V6
= — (ei + B — г)ег) — ортонормированный базис из собственных век-
V6
торов.
56.	Собственные значения 1 и 3; /1 = —j= (ei + гез), /г = ег, /з =
= —= (ei — гез) — ортонормированный базис из собственных векторов.
58.	а) Нет; б) да.
59.	а) Да; б) нет.
61. Собственные значения г и —г; А = —	(A + ^/9)?>.1 + р-з),
V4 + 2/2
/2 =	- (ei + A + л/2)гег) — ортонормированный базис из собствен-
V4 + 2\/2
ных векторов.
62. Собственные значения равны 1, ——,	—; /i = —= (ei Ч-гег),
V2	V2	V2
/2 = - (ei — гег — л/2ез), /з = - (ei — гег + л/2ез) — ортонормированный
базис из собственных векторов.
/ -2г 1 — 2г	г \
64.	I —1 — 2г 0 —1 +4г ; нет.
\ г	1 + 4г	2г /
65.	Не всегда. * Воспользуйтесь задачей 64.
Глава VI
1. Канонический вид квадратичной формы и преобразование перемен-
переменных определяются неоднозначно. Приводим один из возможных вариантов
ответа:
'0,5 0,5 0 0
аJB/1J-2B/2J + 2B/3J-2B/4J; У= '
(
0 0,5 0
0 0 0,5
г) -(У1J + B/2J + (У3J; Y = ( 1 -2 0 ) X, где X = [ х2 |, У =

Глава VI	239
1 / л/5 2л/б -l
2.а)-УJ + УJ + УJ; Х = ^= -2л/5 л/б 2
^V ^ ° 5
A/\/2 1/3\/2 2/3
1/л/2 -1/Зл/2 -2/3 У;
О -4/3\/2 1/3 у
ж) (у2J - (г/3J; ^ = 4 I О -1 1 | У, где X = ( х2 } , Y =
-Ы-
6.	^^ = (—l)fcA/., где ?fc и А/. — угловые миноры порядка к матриц
квадратичных форм Q(xx,..., хп) и —Q(x1,..., жп).
7.	* Воспользоваться примером 3 на с. 166, взяв в качестве матрицы А
единичную матрицу, а в качестве Р матрицу С.
8.	* Воспользоваться примером 3 на с. 166, взяв в качестве А матри-
матрицу Ат, а в качестве Р матрицу А'1.
б) Для произвольного г найти значение квадратичной формы ХтАХ
при хг = 1, xj = 0 (j ф г).
11.	а) Нет; б) нет.
12.	Отрицательно определенная, если Ъ < —5.
13.	Канонический вид и матрица перехода определяются неоднознач-
неоднозначно. В качестве ответа к п. 2° можно взять матрицу, обратную матрице
преобразования из упр. 1 а)-г). Например:
а) 1°) В(х, у) = хху2 + жУ + х3у4 + жУ; 2°) 2?У - 2?2т/2 + 2?У -
A 1 о (Г
1-10 0
0 0 11
0 0 1-1

240	Ответы и указания
б) 1°) В(х,у) = хгуг +х1у2 +х2уг + 2х2у2 + 2х2у3 + 2х3у2 + 5ж3?/3;
/1 "I 2\
2)^ч +Zv +Цг,; ^о 1 -2j.
14. Канонический вид и матрица перехода определяются неоднознач-
неоднозначно. В качестве ответа к п. 2° можно взять матрицу, транспонированную
по отношению к матрице ортогонального преобразования из упр. 2, а)-ж).
A 0 1 (Г
о 1 ~1 1 | •
0 1 0-1
17. a) if = arcsin f — —= j, Or@, —1); 1°) (l/^J = 0 (две совпадающие
прямые); 2°) (у11J = — х" (парабола);
б) ip = -^ О'(-2, -3); 1°) {х"J + ^^ = 1 (эллипс); 2°) (ж"J + ^- =
= 0 (вырожденный эллипс — точка);
ъ)Ч>=\> О'(у/2,0), ^f- + Щ±- = 1 (эллипс);
г)	^ = arcsin JL, a [yj\, y/fj, (x"f - ^ = 1 (гипербола);
ч	• 4	,/ 13	4 \ х у
д)	<z? = arcsin —=, О —^, —^= ,	= 1 (гипербола);
У^	л/17	\3>/l7 5>/17/ 25	9	v ^ у'
е)	9? = arcsin-, О7@,0), ^/2 = 2х' (парабола).
о
z	1
18. а) х" + ?/"	= —1 (двуполостной гиперболоид), х" = - Bж —
- 2у + z) + 1, у" = i Bа; + у - 2г) - 1, г" = i (ж + 2у + 2г) - 1;
О	О
б) 1°) ж7/ = -—	—— (гиперболический параболоид), х" = х — 2,
•' = ^ (-, + «) + 2, ," t -L („ + ,) + 1; 2") iq- - Ю1 = 1 (гипер-
болический цилиндр), ж7/ = ж, г/" = ^^ (—г/ + z) + 2, ^7/ = ^^ (г/ + ^) + 1;
V2	V2
/т»\2 /VM2 Г^'М2	1
В) 6 + 3 + 2 = Х (ЭЛЛИПС0ИД)' ж" = 5 B^ + 2y - г) - 1, у" =
= ±Bх-у + 2z), z" = 1 (-х + 2j/ + 2г) + 1;
г)	(ж"J + -—^— — -—— = 1 (однополостный гиперболоид), ж7/ = - (—х +
Z	Z	о
2z), у" = \ Bх - у + 2г) - 1, г" = i Bа; + 2у - z) + 1;
О	О
д)	(x"f + 2(Л2 " 3(г"J = 0 (конус), х" = 1 (-2х - 2» + г) - 1, у" =
О
= 1 (-2а; + у - 2г) - 1, г" = I (ж - 2у - 2г) - 1;
е)	-—^— + (з/"J = ^7/ (эллиптический параболоид), х" = - (—2ж — 2г/ +
+ г) + |, у" = i (-2х + г/ - 2z) + \, z" =1-{x-2y-2z)- i;

Глава VII	241
(х"J (v"J	1
ж) -—— — -—— = z" (гиперболический параболоид), х" = - (—2х —
Z	Z	о
2y + z)-1-, y"=l-{-2x + y-2z)-1-, z" = \{x-2y-2z)-\.
19. a)Q = (,1J + (,2J, G = -2(,1J + |(,2J, ^ = ^ + ^, *2 =
zl z2 ¦
2 2>/з'
6)g = («1J + (^2J, G = 4(«1J-2(^2J, х^
1 _ 2
х/2 '
Глава VII
/-2 0 6\	/-99 -36 72 \
1.	Ае = (а^) = -1 0 3 и А/ = (а^) = -44 -16 32 .
V о о о у	V 77 28 ~56/
2.	1?е = А^1, Bf = Aj, где Ае и А/ — матрицы из задачи 1.
3.	* Сначала доказать, что матрица А дважды ковариантного тензора в
новом базисе выражается через данную матрицу А формулой А = СтАС,
где С — матрица перехода к новому базису.
4.	* Пусть А и В — матрицы тензоров [А]§ и [B]q в новом базисе, С —
матрица перехода от старого базиса к новому. Выразить матрицу А через А
и С, а матрицу В через А~х и С, и убедиться в том, что В = (А)~1.
6.	* Ввести матрицы А = (акг)пХп, В = (bij)nXn, доказать, что В = А'1
и воспользоваться задачей 4.
7.	6i = -, &2 = — и ci = с, С2 = —с, где с — любое вещественное число,
с	с
отличное от нуля. Представление тензора типа B, 0) в виде произведения
двух тензоров типа A,0) возможно тогда и только тогда, когда матрица
тензора [Л\% вырожденная.
8.	Получается тензор нулевого ранга — число, равное 0 в любом базисе.
9.	Получается тензор нулевого ранга — число, равное 2 в любом базисе.
/77
Ю. б) 011 = (/l,/l) = 1, 012=^21 = —, 022 = (/2,/2) = 1;
в)	0^=4, 012=021 = -2л/3, 022=4;
г)	если ж1, х2 — координаты элемента ж, a t/1, |/2 — координаты эле-
/77	/77
мента у в базисе /i, /2, то (ж, г/) = ххух + — хху2 + — х2ух + х2у2.
11.	а) Ж1 =0, х2 = 3, жз = -7; б) з/1 = 23, у2 = -7, ?/3 = -2.
12.	0pq0^ = *| = п.
13.	a^fc = giPgjqalq, где 0pq — координаты ковариантного метрического
тензора, т. е. элементы матрицы, обратной для матрицы (gpq).
14.	giqgPj(i]q, где дщ и gpj — координаты соответственно контравари-
антного и ковариантного метрических тензоров в данном базисе.

242	Ответы и указания
Глава VIII
2.	Порядок группы равен 4.
3.	а) Нет; б) нет.
4.	Да.
5.	а) Да; б) да.
6.	Да.
14. * Воспользоваться задачей 13.
16.	Указанная подгруппа движений изоморфна группе матриц вида
/ cos (f — sin if 0 \
I sin if cos if 0 I , где if — произвольное вещественное число, а рав-
V 0	0 а/
но 1 или —1, а групповой операцией является умножение матриц.
17.	Порядок подгруппы движений равен 8. Эта подгруппа изоморфна
группе квадратных матриц третьего порядка, у которых элементы главной
диагонали равны 1 или —1, а остальные элементы равны нулю, и групповой
операцией является умножение матриц.
19. а) Да; б) нет.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраические дополнения и ми-
миноры 14
Альтернатива Фредгольма 97
Базис 38
Базисный минор 43
Билинейные формы 167
Взаимно однозначное соответст-
соответствие 59
Гиперплоскость 29
Группа абелева 211
—	движений 216
—	коммутативная 211
—	конечная 212
—	Лоренца 220
—	ортогональная 217
—	по сложению 211
	умножению 211
—	преобразований 216
—	унитарная 220
Движение 216
Единица группы 211
Закон инерции квадратичных
форм 159
Изоморфизм групп 217
Изоморфизм линейных пространств
59
Инвариантные подпространства 125
Канонические коэффициенты 158
—	билинейной формы 171
Канонический базис симметрич-
симметричной билинейной формы 170
—	вид квадратичной формы 158
—	— симметричной билинейной
формы 170
Квадратичная форма 157
—	неотрицательная 164
—	неположительная 164
—	отрицательно определенная 164
—	положительно определенная
164
Ковариантные координаты эле-
элемента 202
Ковариантный метрический тен-
тензор 201
Коммутатор 111
Контравариантнй метрический
тензор 202
Контравариантные координаты
202
Координаты элемента 38
Критерий Сильвестра 165
Линейная комбинация элементов
28
—	оболочка 28
Линейное преобразование пере-
переменных 158
—	пространство 23
Матрица билинейной формы 168
—	вычисление ранга 44
—	единичная 7
—	квадратичной формы 157
—	линейного оператора 109
	 преобразования 158
—	невырожденная 14
—	обратная 7
—	Паули 107

244
Предметный указатель
Матрица перехода 54
—	положительно определенная 165
—	присоединенная 19
—	с размерами т х п 5
—	симметричная 27
—	транспонированная 6
—	треугольная 16
—	унитарная 101
—	эрмитова 145
—	эрмитово сопряженная 103
Матрицы равные 5
Метод Лагранжа 158
—	ортогональных преобразований
159
Минор порядка г 43
—	элемента 14
Многочлены Лежандра 95
Наклонная 97
Неравенство Коши-Буняковского
81
—	треугольника 87
Норма (длина) элемента 81
Нормальная ФСР 69
Нулевой элемент 23
Образ элемента 59
Оператор дифференцирования 108
—	единичный 108
—	линейный 108
—	обратный 111
—	ортогональный 135
—	поворота 108
—	подобия 108
—	самосопряженный 135
—	сопряженный 134, 145
—	унитарный 146
—	эрмитов (самосопряженный) 145
Операторы равные 110
Операция сложения элементов 23
—	умножения на вещественные чис-
числа 23
—	транспонирования 6
Определение линейного простран-
пространства 23
Определитель Вендермонда 22
—	n-го порядка 12
Ортогональное дополнение 97
Ортогональность элементов 88
Ортогональные матрицы 101
Ортонормированный базис 88
Основная матрица системы 63
Перпендикуляр 97
Подгруппа 212
Подпространство 28
Порождающая система линейной
оболочки 29
Порядок группы 212
Правило треугольников 15
Преобразование вырожденное 158
—	линейного пространства 108
—	Лоренца 221
—	невырожденное 158
—	ортогональное 159
Проекция элемента 89
Произведение линейного операто-
оператора на число 110
—	линейных операторов 110
—	матрицы на матрицу 6
	 число 5
—	тензоров 194
Прообраз элемента 59
Пространственно-временной ин-
интервал 221
Пространство 79
—	евклидово 79
—	Минковского 221
—	псевдоевклидово 220
—	унитарное 80
Противоположный элемент 23
Прямая сумма 97
Разложение элемента по базису 38
Размерность линейного прост-
пространства 39
Разность матриц 5
Ранг матрицы 43
—	тензора 193
Расстояние элемента до подпрост-
подпространства 97
Расширенная матрица системы 63
Свертка тензора 195
Символ Кронекера 7
Симметричные билинейные фор-
формы 169
Система уравнений совместная 63
Системы координат галилеевы
221
—	линейных уравнений 63

Предметный указатель
245
Собственное значение матрицы
124
—	подпространство оператора 124
Собственные векторы 123
—	значения 123
Собственный вектор матрицы 124
Сумма матриц 5
—	тензоров 194
—	линейных операторов 110
Тензор 193
—	деформаций 204
—	инерции 204
—	напряжений 207
Угловые миноры 165
Угол между элементами 81
Унитарные матрицы 102
Формулы Крамера 64
Фундаментальная совокупность
решений 67
Характеристический многочлен
124
Характеристическое уравнение
124
Числовое поле 24
Элементы линейно зависимымые
32
	независимые 32

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ГЛАВА I
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.	Матрицы	 5
2.	Определители	 12
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.	Определение и свойства линейного пространства		23
2.	Подпространства линейного пространства		28
3.	Линейная зависимость и независимость элементов линейного
пространства 		32
4.	Базис и координаты. Размерность линейного пространства ....	38
5.	Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре		43
6.	Преобразование базиса и координат		54
7.	Изоморфизм линейных пространств		59
ГЛАВА III
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.	Существование решения системы линейных уравнений	 63
2.	Однородные системы линейных уравнений	 67
3.	Неоднородные системы линейных уравнений	 74
ГЛАВА IV
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.	Определение евклидова и унитарного пространства		79
2.	Ортонормированный базис		88
3.	Разложение евклидова пространства на прямую сумму взаим-
взаимно ортогональных подпространств. Альтернатива Фредгольма для
квадратной системы лине иных уравнений		96
4.	Ортогональные и унитарные матрицы		101

Оглавление	247
ГЛАВА V
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Линейные операторы в линейном пространстве		108
§ 2. Собственные векторы и собственные значения линейных операто-
операторов 		123
§ 3. Линейные операторы в евклидовом пространстве		134
§ 4. Линейные операторы в унитарном пространстве		145
ГЛАВА VI
КВАДРАТИЧНЫЕ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Определение квадратичной формы. Канонический вид квадратич-
квадратичной формы	 157
§ 2. Знакоопределенные квадратичные формы	 164
§ 3. Билинейные формы	 167
§ 4. Применение теории квадратичных форм
в задачах о приведении к каноническому виду
уравнения кривой второго порядка
и уравнения повер хности второго порядка	 175
§ 5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду од-
одним линейным невырожденным преобразованием 	 184
ГЛАВА VII
ТЕНЗОРЫ
§ 1. Тензоры в n-мерном линейном пространстве	 190
§ 2. Тензоры в евклидовом пространстве. Примеры тензорных физи-
физических величин	 201
ГЛАВА VIII
ГРУППЫ
§ 1. Определение группы. Примеры	 211
§ 2. Группы преобразований	 216
§ 3. Группа преобразований Лоренца	 220
Ответы и указания	 226
Предметный указатель	 243

Учебное издание
БУТУЗОВ Валентин Федорович
КРУТИЦКАЯ Наталия Чары
ШИШКИН Александр Александрович
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
Редактор Е.Ю. Ходан
Оригинал-макет И.Л. Ивановой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 01.08.02.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,5. Уч.-изд. л. 17,6. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательская фирма "Физико-математическая литература"
МАИК "Наука/Интерпериодика"
117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП "Типография "Наука"
121099 Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0285-0
785922 102858