-й семестр / учебного года
	ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ			КУРС 1	
К	Наименование дисциплин	Кол. час.	Фамилия профессора или доцента	Экзаменац. отметки	
					ДЗ
					
					
В. А. Светлов
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ОТВЕТЫ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ
С^ППТЕР
Москва * Санкт-Петербург • Нижний Новгород • Воронеж Ростов-на-Дону • Екатеринбург - Самара • Новосибирск Киев - Харьков • Минск
2007
ББК 87.4я7
УДК 16(075)
С24
Светлов В. А.
С24 Логика: экзаменационные ответы для студентов вузов. — СПб.: Питер» 2007. —160£.: ил. — (Серия «Завтра экзамен»), ISBN 5-469-00910-6
Данное издание подготовлено на основе авторских курсов по логике для специалистов самого разного профиля. Написанная в форме ответов на вопросы, эта книга позволяет быстро повторить все основные темы годового курса по логике.
Пособие соответствует требованиям Госстандарта. Адресовано студентом, аспирантам, преподавателям, ученым, а также всем, кто самостоятельно изучает логику.
ББК 87.4я7
УДК 16(075)
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 5-469-00910-6
© ООО «Питер Пресс», 2007
Содержание
Введение. Предмет и значение логики....................5
Часть I. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА..........................13
Определение традиционной логики.....................13
Понятие.............................................14
Определение понятий.................................23
Виды понятий........................................26
Деление объема понятия (классификация)..............33
Суждение............................................35
Простые суждения....................................36
Классификация простых суждений......................38
Логические преобразования суждений..................43
Совместимые и несовместимые суждения................49
Простые суждения и пустые классы....................54
Коммуникативная природа суждений....................55
Дедуктивные умозаключения...........................58
Структура умозаключения.............................60
Отношение логического следования....................61
Простые суждения и деревья......................... 63
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы)..............................66
Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложные силлогизмы)..............................73
Восстановление посылок в энтимемах..................75
Дедуктивное доказательство и опровержение...........78
Виды дедуктивной демонстрации.......................80
Главные логические ошибки...........................87
Часть II. КЛАССИЧЕСКАЯ СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА...........93
Определение символической логики....................93
Логика высказываний.................................95
Формализация высказываний...........................101
Семантика логики высказываний.......................102
Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы..............................110
Основные законы логики высказываний.................115
4	Содержание
Деревья в логике высказываний................  .	. . 118
Поиск нетривиальных следствий и допущений...........122
Логика высказываний как исчисление..................124
Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний.....................................126.
Логика предикатов...................................131
Правила построения формул логики предикатов........137
Семантика логики предикатов.........................143
Деревья в логике предикатов.........................150
Логика предикатов как исчисление....................153
Основные законы логики предикатов.................. 157
Введение. Предмет и значение логики
Определение логики и ее предмета
В учебной и научной литературе на протяжении многих лет доминируют два представления о том, что такое логика (от греч. logos — «речь, закон, основание, смысл» и т. п.) и в чем состоит ее предназначение.
Согласно первой точке зрения, восходящей к учению Аристотеля , и господствующей поныне в учебных пособиях и популярной литературе, логика — это наука о формах и законах правильного мышления. Среди же специалистов распространено другое понимание логики — как теории построения исчислений (под ними подразумеваются формальные алгоритмы решения научных, технических и иных проблем).
Однако есть все основания считать, что ни одно из указанных определений не отражает существенных признаков логики и ее задач. В обыденной и научной практике реальное значение имеет не правильное мышление, а то, которое приводит к истине. Правильность не относится к необходимым или достаточным условиям достижения истины, как и формализация не выражает основного предназначения логики. В сущности, формалисты продолжают отстаивать (только с большей мерой абстрактности) ту же идею о возможности построения идеального алгоритма, решающего все проблемы, как и традиционалисты. Впрочем, в первой трети XX в. было доказано, что сделать это не удастся. Не в нашей власти освободить человечество от мук творчества, заблуждений и ошибок, какие подстерегают его на пути поиска истинного знания.
Более точным определением логики представляется ее толкование как науки о законах открытия, обоснования и сохранения истины. Таков подлинный предмет рассматриваемой научной области. Проблема истины, закономерности ее открытия, обоснования и сохранения всегда были центральной темой логических исследований.
Интерес к истинному знанию, его важность для методологии науки объясняются тем, что без постижения истины невозможен не тоько научный, но и вообще технический и социальный прогресс. В то же время не существует правил, которые бы гарантировали такое постижение. Открытие новой истины требует величайшего напряжения ума и умения исправлять ранее допущенные ошибки, кор
6
Введение
ректировать неточные решения, придумывать и испытывать рождающиеся гипотезы. Это обусловлено двумя принципиальными свойствами истины, какой бы она ни была: ее полная независимость от своих предпосылок (она может следовать из любых, даже ложных, допущений) и ее безусловная зависимость от собственных следствий (ложность любого следствия опровергает всю истину).
Эти свойства объясняют асимметричность бытия истины: ее трудно открыть, но легко опровергнуть. Их детальнее излагает гипо-тетико-дедуктивный метод научного познания (ГДМ), согласно которому научное, постижение истины имеет циклический характер и включает следующие стадии.
1.	Возникновение проблемы, не объясняемой существующими истинами.
2.	Выдвижение гипотезы, объясняющей возникшую проблему.
3.	Проверка гипотезы.
4.	По результатам проверки — либо отклонение гипотезы и возврат ко второй стадии исследования, либо ее принятие, возможно, после некоторой модификации с последующей интеграцией в существующее научное знание.
5.	Возникновение новой проблемы, не объясняемой интегрированным научным знанием.
Первая стадия ГДМ обозначает причину появления новых истин — неспособность имеющегося знания помочь в решении возникшей проблемы. Вторая стадия, называемая абдукцией, характеризует процесс изобретения новых истин. Третья и четвертая стадии — индукция — стадии проверки и принятия гипотезы. Дедукция как гарант сохранения истины есть необходимое условие функционирования всех стадий ГДМ.
Таким образом, все логическое знание в соответствии со структурой ГДМ можно разделить на три исчерпывающие теории:
♦ логику открытия истины (абдукцию)', ♦ логику обоснования истины (индукцию)', ♦ логику сохранения истины (дедукцию).
Значение логики
Человек обладает врожденной способностью мыслить логически. Но она, как и способность говорить и писать, требует систематического развития и упражнения. Опыт может содействовать развитию навы
Предмет и значение логики
7
ков логического мышления. Но он, как правило, сродни случайности. Лишь изучение логики позволяет применять интеллект сполна. Мы долго учимся писать и говорить правильно. Но, научившись, делаем это уже бессознательно на протяжении всей своей жизни. Аналогичным образом происходит и с логикой. Тот, кто не пожалеет времени на ее изучение, также будет пользоваться ее плодами всю жизнь. Логические операции составляют суть человеческого интеллекта. Изучение логики позволяет ему завершить свое формирование как автономной, саморазвивающейся и самокорректирующейся целостности^ достигнуть максимальной свободы от случайностей внешнего мира и диктата внутренних авторитетов, свободно и творчески ставить и решать любые проблемы.
Изучение логики помогает интеллекту сначала овладеть операциями с классами, что в традиционной логике примерно соответствует умению преобразовывать понятия. Затем приобрести способность к операциям с отношениями, что эквивалентно умению формировать и преобразовывать суждения. Наконец, изучение логики позволяет достигнуть синтеза операций с классами и отношениями и обрести состояние интеллектуальной целостности, свободы и творчества. В традиционной логике это равнозначно способности к умозаключениям, т. е. получению новых истин на основании известного знания.
Логические законы как принципы открытия, обоснования и сохранения истины
Теоретическую основу любой науки составляют принципы (законы) сохранения, которым подчиняются ее объекты. Самые известные примеры — законы сохранения количества, вещества, движения, энергии в физике или веса в химии. Существуют законы сохранения и в логике. Все они касаются* истины. Если бы интеллектуальные операции не подчинялись определенным принципам ее сохранения, они никогда не приводили бы к нужной цели.
Но истину нужно не только сохранять, но также открывать и обосновывать. По этой причине методологически неверны все решения, которые базируются на обособлении логик сохранения (дедукции), обоснования (индукции и аналогии) и открытия истины. Соответственно, возникает вопрос: как же совместить все эти логики в одной теории? Да и осуществимо ли это в принципе? Традиционная логика так отвечает на эти сомнения.
8
Введение
Традиционно принято выделять законы тождества, противоречия, исключенного третьего и достаточного основания в качестве основных законов логики.
► Закон тождества обычно определяют как требование определенности и неизменности содержания высказывания относительно контекста, в котором оно используется.
Полагают, что наши рассуждения должны выполнять данный закон, потому что в противном случае их предмет перестает быть определенным и устойчивым, может быть произвольно или непроизвольно искажен или подменен. Распространенное в развитых языках явление омонимии (наличие у одного слова нескольких, часто несовместимых, значений) данным законом решительно исключается.
Несмотря на всю кажущуюся убедительность указанного толкования закона тождества, все-таки есть ряд аспектов, которые не позволяют принять его без определенных оговорок. Целью многих повседневных рассуждений, учебных занятий, научных дискуссий как раз и выступает уточнение и тем самым изменение первоначального содержания определенных терминов. Юмор в принципе невозможен, не будь смешения и толкования мыслей с разным содержанием в одном и том же значении. Если же потребовать безусловного выполнения закона тождества, как на том настаивают некоторые авторы, придется признать, что мышление перестает быть творческим.
Одно и то же содержание мыслей не следует полагать необходимым и достаточным условием их тождества в пределах даже одного рассуждения. Таким условием оказывается сохранение ими в процессе всего рассуждения одного и того же значения истинности. Если из истинной (ложной) мысли необходимо следует истинная (ложная) мысль, то независимо от того, обладают ли данные мысли одним и тем же содержанием, они тождественны, а все рассуждение в целом необходимо истинно.
► Закон противоречия определяется в учебной литературе большей частью как невозможность одновременной истинности высказывания и его отрицания.
Подобные определения не совсем корректны с формальной точки зрения, потому что противоречащие мысли не могут быть вместе не только истинны, но и ложны. Если не требовать выполнения последнего условия — запрета на одновременную ложность, то противоречие совпадает с противоположностью или соподчинением, что неверно, так как все они представляют разные виды несовместимости.
Предмет и значение логики
9
Противоречие возникает, когда из истинности (ложности) одной мысли следует ложность (истинность) другой. Несовместимы не только сами противоречащие мысли, но и все их следствия. Стало быть, класс объектов, удовлетворяющих противоречащим друг другу мыслям, всегда пуст (логически невозможен).
Запрет на противоречия в наших рассуждениях обычно обосновывается тем, что из противоречащих друг другу посылок можно вывести любое заключение, что противоречие — признак путаного, непоследовательного мышления. Противоречивое мышление часто называют нелогичным, ошибочным и приписывают низшим илиран-ним стадиям интеллектуального развития человека. Однако это не совсем так. С точки зрения европейцев мышление аборигенов противоречиво, но оно, тем не менее, по-своему очень последовательно и эффективно.
Для умственной деятельности противоречивость функционально не менее необходима, чем непротиворечивость. Выражаемые нами мысли связаны с реальностью настолько опосредованно, что их прямое толкование часто заводит в тупик из-за неизбежно возникающих противоречий. Таково, например, буквальное понимание сказок, мифов, басен, притч, анекдотов, риторических тропов (скажем, оксюморона — соединения в одном стилистическом обороте слов с противоположным значением). Однако мы с удовольствием читаем и слушаем их, без труда постигаем суть. Причина — в интегральной непротиворечивости подобных текстов, в доказательстве такой очевидной истины, как необходимость противодействия всему, что нарушает порядок в природе (наказания порока).
Абсолютная непротиворечивость мышления была бы несовместима с его творческой природой, способностью учиться на совершаемых ошибках. Некоторые математики более не считают формальную непротиворечивость теории абсолютным достоинством, а ее доказательство — своей приоритетной задачей.
Противоречие — единственный достоверный симптом ошибочного мышления и потому сигнал о необходимости осуществить ревизию всех шагов рассуждения, приведших к противоречивому итогу, выявить его причины, найти и исправить ошибки. Следовательно, можно говорить о позитивной роли противоречия. Только когда из допущения следует противоречие, у нас есть все основания отказаться от него как от необходимо ложного. В противном случае мы вынуждены считать его истинным, даже при отсутствии прямых доказательств.
10
Введение
Без допущения противоречия немыслимы доказательства косвенные — обоснования того, что если тезис истинен, несовместимый с ним антитезис должен противоречить исходным допущениям. Например, доказать тезис «сегодня понедельник» можно прямым (спросив кого-либо, какой сегодня день недели) и косвенным образом (опровергнув сначала антитезис, что сегодня не понедельник).
► Закон исключенного третьего определяется большинством авторов как требование истинности либо высказывания, либо его отрицания.
Неточность подобных определений обнажает то обстоятельство, что закон исключенного третьего справедлив только для противоречащих друг другу высказываний.
Если одно из них обязательно истинно, как того требует закон исключенного третьего, то поиск истины осуществляется двумя путями: либо ее прямым доказательством из ранее доказанных или самоочевидных истин (определений, аксиом), либо опровержением всех несовместимых с истинным высказыванием утверждений. В том случае, когда доказать истину напрямую из ранее доказанных положений не удается, единственный способ добраться до нее — начать опровергать несовместимые с ней положения, т. е. отыскать и исправить ошибочные решения. Это означает, что рано или поздно корректировка ошибочных действий, основанная на обратимости всех операций мышления, гарантирует достижение поставленной цели.
Важнейшее методологическое значение закона исключенного третьего состоит в том, что его правильное применение всегда порождает множество взаимоисключающих и совместно исчерпывающих альтернатив, одна и только одна из которых будет истинной. Подобное множество альтернатив принято называть полным, так как оно всегда содержит среди них истинное решение.
Исчерпывающие списки стремятся составить специалисты разных профессиональных областей: подозреваемых — следователь; гипотез исследуемого явления — ученый; причин заболевания — врач. Ведь только в случае полного перечня любой из них может надеяться на решение своей специфической проблемы. Подвергая альтернативные гипотезы проверке, отбрасывая или исправляя ложные, рано или поздно истинное допущение будет обязательно обнаружено.
Формулировка законов тождества, противоречия и исключенного третьего как принципов сохранения истины позволяет сделать два вывода. Во-первых, они эквивалентны друг другу. Во-вторых, эквивалентны одному общему принципу сохранения истины, который можно назвать законом дедукции.
Предмет и значение логики
11
► Закон дедукции. Истина рассуждения сохраняется тогда и только тогда, когда его развитие исключает возможность своего опровержения, т. е. появления лжи в качестве одного из необходимых следствий.
Сохранение истины (и, стало быть, дедукция) — важнейшее, но не единственное условие ее функционирования. Как уже было сказано, для начала истину надо открыть и обосновать. В традиционной логике это описывает закон достаточного обоснования.
► Закон достаточного обоснования требует, чтобы каждая истинная мысль обосновывалась другими независимо обоснованными мыслями.
Основная загвоздка с этим законом заключается в следующем: поскольку истина не зависима от своих предпосылок, то она может следовать из них в любом случае, будть они истинными или ложными. Поэтому дело не р том, существуют ли доводы, достаточные для обоснования истины, ибо ложь также достаточна для ее обоснования, а необходима ли сама истина.
Будучи автономной от предпосылок, каждая истина полностью зависит от тех следствий, которые с необходимостью из нее вытекают. Если хотя бы одно из них ложное, опровергается вся истина целиком. Зависимость истин от следствий объясняет особенности их открытия и обоснования.
Стадия обнаружения новой истины не преследует целью сформулировать достоверное объяснение. Главное — создать новую истину Н, т. е. выдвинуть новое объяснение причины исследуемого факта Е. Необходимые требования к открытию новой истины указывает закон абдукции.
► Закон абдукции. Гипотеза Н представляет новое объяснение факта Е, если и только если:
1)	без гипотезы Н факт Е не объясняется наличным базисным знанием В;
2)	гипотеза Н логически совместима с фактом Е;
3)	факт Е более правдоподобен относительно базисного знания В в случае принятия Я, чем в случае принятия любой из ее альтернатив.
Закон абдукции объясняет творческий (интуитивный) характер большинства научных открытий. Истина открывается не в результате постепенного накопления знаний или механической дедукции из принятых аксиом, а в результате неожиданного «прозрения», наступающего при попытке выявить для рассматриваемого факта лучшую объясняющую гипотезу.
12
Введение
Абдукция не обладает свойством открывать необходимые истины. Посылки абдуктивного рассуждения могут быть истинными, а заключение, однако, ложными. Плодотворность здесь заключается в том, чтобы создать новую истину. Но насколько та обоснованна, решается в специальном акте, называемом индукцией.
Хотя объясняемый факт Е и подтверждает гипотезу Я, этого подтверждения, как правило, недостаточно для уверенности в эмпирической надежности гипотезы. Исследователь может оказаться, как это нередко бывает, предвзятым в отношении своей гипотезы. Чтобы повысить меру объективности оценки открытия, из проверяемой гипотезы дедуцируют одно или несколько предсказаний и проводят наблюдения или эксперименты. Если все сделанные предсказания подтвердились в опытном порядке, гипотеза считается подтвержденной в достаточной степени. Но если хотя бы одно из предсказаний опровергнуто, гипотеза или отбрасывается, или модифицируется для проведения дальнейших испытаний.
Пусть F обозначает дополнительное решающее предсказание, дедуцируемое из проверяемой гипотезы Я. Тогда справедливо следующее определение.
► Закон индукции. Гипотеза Н принимается в качестве новой истины, а все ее альтернативы получают опровержение, если и только если: 1) решающее предсказание F представляет необходимое совместное следствие базисного знания В, гипотезы Я и факта В;
2)	независимо от результата предсказания F факт Е подтверждает гипотезу Н относительно В;
3)	факт Е вместе с предсказанием В вместе подтверждают гипотезу Н относительно В.
Таким образом, не поиск достаточных аргументов, ибо оправдать можно все что угодно, а изобретение гипотез, вывод и проверка следствий — вот принципиальное решение проблемы открытия и обоснования любой истины. Это обеспечивает гипотетико-дедуктивный метод (ГДМ), который, как объяснялось, объединяет открытие, дедуктивное развитие и обоснование истины в одну общую модель познания.
Часть I
Традиционная логика
Определение традиционной логики
Традиционной логикой принято называть теорию силлогизмов, созданную Аристотелем (384-322 до н. э.). В Средние века она была систематизирована схоластами и примерно в таком виде дошла до наших дней. В большей части отечественных учебников традиционная логика до сих пор излагается именно в той форме, которую ей придали средневековые логики.
Силлогистика — исторически первая теория дедуктивного вывода. Кроме силлогизмов в предмет традиционной логики принято также включать суждения, из которых строятся силлогизмы, понятия, из которых образуются суждения, доказательство и опровержение как важнейшие функции силлогистических рассуждений.
Силлогистика не исчерпывает всех видов дедуктивных умозаключений. У нее есть и другие ограничения. Вместе с тем она остается одной из самых точных и совершенных логических теорий. Последние исследования в области развития интеллекта доказывают, что, кроме логических, силлогистика имёет также определенные когнитивные основания. Доказано, что между темами традиционной логики, формами и целями мышления, основными ступенями и целями развития интеллекта существует необходимая связь (табл. 1).
Таблица 1
№	Темы традиционной логики	Формы и цели мышления	Основные ступени и цели развития интеллекта
1	Понятие	Логические атомы умозаключений	Умение оперировать классами
2	Суждение	Логические молекулы умозаключений	Умение оперировать отношениями
14
Часть I. Традиционная логика
Окончание табл. 1
№	Темы традиционной логики	Формы и цели мышления	Основные ступени и цели развития интеллекта
3	Умозаключение	Логическая форма получения нового знания	Умение синтезировать операции с классами и отношениями
4	Доказательство и опровержение	Открытие, обоснование и сохранение истины	Преодоление эгоцентризма и зависимости в получении нового знания от внешней среды
С учетом сказанного, традиционная логика по-прежнему остается современной логической теорией, а ее знание — важным элементом общей культуры.
Понятие
Определение понятия
Мы понимаем какую-либо вещь исчерпывающим образом, если и толь-ко если можем определить ее понятие. Понятия — логические атомы нашей интеллектуальной деятельности, опорные пункты здравого и научного смысла. Они придают нашим словам адекватное значение, а речь превращают в осмысленное рассуждение.
►	Понятие — мысль, обозначающая свойства вещи, каждое из которых необходимо, а все вместе они достаточны для ее однозначного определения (обозначения, указания) в рассматриваемом отношении (качестве).
Из приведенного определения следует: чтобы сформировать понятие о некотором объекте, нужно знать его свойства, но не всякие, а только необходимые и вместе с тем достаточные.
►	Необходимое свойство — такое свойство объекта, без которого его существование в рассматриваемом отношении (качестве) невозможно.
Свойство «быть сладкой вещью» необходимо для того, чтобы известное кондитерское изделие могло называться конфетой. Несладкая конфета оценивается как брак и исключается из класса конфет. Свойство «быть шоколадной конфетой» нельзя считать необходимым, чтобы продукт был признан конфетой. Каждый знает, что существуют и нешоколадные конфеты. Необходимое условие нельзя
Понятие
15
не только исключить, но и ослабить, усилить или модифицировать каким-то иным образом без образования противоречия в существовании рассматриваемого объекта. Необходимо то, что иначе быть не может (Аристотель).
Свойства могут быть не только необходимыми или не необходимыми, но и достаточными и недостаточными.
► Достаточное свойство — такое свойство, из наличия которого всегда следует существование объекта в рассматриваемом отношении (качестве).
Свойство «быть конфетой» достаточно, чтобы считаться сладкой вещью. Отрицание достаточного условия, в отличие от отрицания необходимого, может быть совместимо с существованием определенного объекта. Например, свойство «быть пирожным», несовместимое со свойством «быть конфетой», достаточно для того, чтобы объект полагался «сладкой вещью».
Не каждое необходимое условие оказывается достаточным, и не каждое достаточное условие — необходимым. Дождь в городе — достаточное, но не выступающее необходимым условие мокрых улиц (возможны и другие причины, кроме дождя). Быть сладкой вещью есть необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы принадлежать к классу шоколадных конфет. В то же время делимость на 2 необходима и одновременно достаточна для существования четных чисел.
Для определения понятий особое значение имеет случай, когда достаточность представляет функцию нескольких необходимых свойств. Тогда все вместе они выражают сущность исследуемого объекта.
► Сущность вещи — ее свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе они достаточны для ее существования в определенном отношении (качестве).
Так как каждое понятие выражает сумму каких-либо необходимых признаков, все они нормативны. Это означает, что в той реальности, в которой живет и действует человек, не только понятия должны соответствовать объектам, но и последние — своим понятиям. Любая вещь, изготовленная человеком, несет отпечаток того понятия, которым он руководствовался в процессе ее создания. Подобная относительность оценок, особенно заметная при сравнении различных культур или разных форм, периодов одной культуры, показывает: понятия нельзя считать простыми слепками предметов. В них человек не только отражает мир, но и выражает свое отношение к нему.
16
Часть I. Традиционная логика
Нормативный характер понятий означает также, что могут существовать и те, для которых еще не открыты или искусственно не созданы соответствующие им предметы. Такая ситуация часто имеет место в науке, когда сначала выдвигаются гипотезы и только затем совершаются открытия.
Благодаря свойству обозначать классы вещей, а не отдельные вещи, понятия не относятся к наглядным конструктам. Их существование в определенной степени не зависит от существования внешней реальности. Данное свойство отличает их от чувственных образов и представлений, которые к тому же не могут не зависеть от реальных вещей как своих внешних причин.
Существуют ли единичные понятий?
Нет, не существуют. Ни одно понятие не бывает независимым, не включаясь в какое-либо более общее понятие и не противостоя в нем своему дополнению (противоречащему понятию). Например, класс конфет включен в класс сладких объектов и противостоит всем сладким предметам, не относящимся к конфетам. В свою очередь, класс сладких объектов противостоит классу несладких, образуя еще более общий класс продуктов питания. Следовательно, каждое понятие включено в определенную иерархию. Движение по ней «вверх» приводит к обобщению рассматриваемого понятия, а движение «вниз» — к его ограничению. Так, ближайшим обобщением понятия «четное число» будет понятие «целое число», а одним из его возможных ограничений — понятие «четное число, делящееся на 5».
Чтобы определять понятия, необходимо умение их обобщать и ограничивать, складывать и вычитать классы, т. е. строить классификации.
Содержание, объем и универсум понятия
Традиционно под логическими элементами понятия как мыслительной структуры подразумевают его содержание и объем.
Содержанием понятия обычно называют множество существенных свойств мыслимого объекта, разделенных на родовые и видовые признаки. К родовым относятся все свойства, отвечающие на вопрос «Что это за вещь?», к видовым — все те, которые отвечают на вопрос «Какая это вещь?».
Под объемом понятия понимается класс объектов, удовлетворяющих всем признакам содержания. Вернемся к понятию «квадрат». Пусть признак «четырехугольник, изображенный на плоскости» от
Понятие
17
носится к родовым свойствам, а «геометрическая фигура с равными сторонами и равными углами» — к видовым. Тогда содержание понятия «квадрат» представляет пересечение множеств признаков:
♦	{«четырехугольник, изображенный на плоскости»};
♦	п {«геометрическая фигура с равными сторонами, геометрическая фигура с равными углами»}.
Объем же этого понятия — класс всех четырехугольников, удовлетворяющих требованиям содержания и потому признающихся квадратами.
Хотя традиционный подход достаточно последователен и ясен, он был подвергнут критике. Во-первых, его сторонники определяют содержание понятия как «совокупность существенных признаков» и упускают из виду возможность различной логической связи этих признаков друг с другом. Это означает, что бывают понятия с одним и тем же числом признаков, но с разными логическими свойствами.
Сравним для примера следующие два понятия: А = «вкусное и спелое яблоко», В = «вкусное или спелое яблоко». Хотя их содержание выражается с помощью одних и тех же признаков — «вкусный» и «спелый», по своей логической структуре и свойствам понятия А и В существенно отличаются друг от друга. Например, А исключает все ситуации, когда яблоко может быть вкусным и неспелым, или невкусным и спелым, или невкусным и неспелым. Понятие В не распространяется только на те случаи, когда яблоко невкусное и неспелое одновременно. Следовательно, с логической точки зрения:
♦	понятие А сообщает больше информации, т. е. более определенно, чем В;
♦	объем А полностью включен в объем В, но ему не равен;
♦	из истинности А следует истинность В, но обратное в целом не-. верно.
Во-вторых, приверженцы традиционной точки зрения придерживаются некритически заимствованного из аристотелевской онтологии и наивной теории множеств положения о том, что элементами объема понятия выступают единичные объекты. Да, действительно понятия определяют именно их. Однако это определение всегда осуществляется как указание на (необходимые и достаточные) свойства. И поскольку логический аналог последних — классы обладающих ими объектов, то подлинными элементами объема оказываются именно классы.
2-2724
18
Часть I. Традиционная логика
►	Классом называется любое множество объектов, включая и пустое, по отношению к которым субъект познания реагирует идентичным образом, т. е. для него они все в заданном отношении — качественно эквивалентные элементы.
С этой точки зрения не существует никаких итоговых сущностей (родов) объектов, которые были бы конечными «носителями» свойств. Любая из них может быть определена как свойство более общей сущности.
Стоит также отметить еще один важный момент. Если помимо допущения, что элементами объема выступают единичные вещи, придерживаться требования реальности их существования, нужно будет исключить из понятийного анализа все мифологические, сказочные и тому подобные существа, а также все объекты, строгое доказательство существования которых на момент обсуждения отсутствует или представляется неубедительным. Нельзя тогда выдвигать гипотезы, ставить и решать научные проблемы, под сомнением оказывается наличие науки в целом. Ведь получение знания о новых, еще неизвестных объектах и есть ее главная цель.
Развитие интеллекта начинается с формирования системы, в которую входят понятие, его дополнение и объединяющее их родовое (включающее, обобщающее) понятие.
Фундаментальная роль родового понятия состоит в том, что оно обозначает универсум — ближайший обобщающий класс объектов, согласно которому определяется то или иное понятие. При правильно построенной классификации универсум представляет полное множество альтернативных решений рассматриваемой проблемы. Следовательно, определение и разбиение универсума есть необходимое условие решения любых логических задач.
►	Универсум (объем родового понятия) — ближайший обобщающий класс, образованный в результате сложения объемов рассматриваемого понятия и его дополнения.
Универсум любого понятия состоит как минимум ив двух взаимоисключающих и совместно исчерпывающих его классов. Число последних может быть сколь угодно большим. Как мы увидим, оно зависит только от оснований, разделяющих универсум на такие классы. Если существует п оснований, то общее число классов, из которых состоит универсум, равно 2”.
Подобно какой бы то ни было мысли, понятие нечто утверждает в качестве истинного и нечто исключает как ложное. В качестве утверждаемых и исключаемых понятием положений выступают опре-
Понятие
19
деленные (возможно пустые) классы его универсума, называемые соответственно объемом и содержанием понятия.
►	Объем понятия — все классы универсума, с которыми оно совместимо (в которых оно истинно).
►	Содержание понятия — все классы универсума, с которыми оно несовместимо (в которых оно ложно).
Содержание и объем понятия принято считать его самыми главными логическими характеристиками. Так, определить или преобразовать понятие — задать или преобразовать его содержание и объем соответственно.
Закон обратного отношения объема и содержания понятий
Содержание понятия характеризует меру логической ложности последнего. Чем больше классов универсума как несовместимых с ним понятие исключаем тем в большей мере оно ложно и тем богаче его содержание. Понятое обладает нулевым содержанием, если оно не исключает ни одного класса универсума, и бесконечным, когда исключает все классы. Понятие «вкусное или невкусное яблоко» имеет нулевое содержание, так как совместимо со всеми классами универсума «яблоки». Наоборот, понятие «вкусное и невкусное яблоко» несовместимо ни с одним классом универсума «яблоки» и, следовательно, обладает бесконечным логическим содержанием. Действительно, во втором случае исключаются все классы, в которых имеются вкусные или невкусные яблоки, а значит — все классы универсума «яблоки».
Содержание понятия выражает его логическую (семантическую) информацию. Чем больше классов универсума исключает понятие, тем более оно информативно, тем более оно устраняет_неопределен-ность. Но с увеличением информативности понятий уменьшается степень их истинности. Каждый знает: чем информативнее сообщение, тем оно интереснее, но и менее достоверно.
Объем понятия представляет противоположную содержанию характеристику, так как касается меры логической истинности понятия. Чем с большим количеством классов универсума совместимо последнее, тем более оно истинно, тем больше его объем. Если понятие не исключает ни одного класса универсума, оно обладает максимальным относительно данного универсума объемом и максимальной степенью истинности. Наоборот, если понятие исключает все классы
2*
20
Часть I. Традиционная логика
универсума, оно отличается нулевым объемом относительно данного универсума и минимальной степенью истинности.
Из сказанного ясно, что изменение объема и содержания одного понятия носит обратно пропорциональный характер: увеличение объема приводит к сужению содержания, а расширение содержания — к уменьшению объема данного понятия. Относительно некоего универсума понятие с максимальным содержанием имеет нулевой объем и представляет логическую ложь. Например, таково понятие «вкусные и невкусные яблоки». Понятие же с максимальным объемом имеет касательно данного универсума нулевое содержание и представляет логическую истину («вкусные или невкусные яблоки»).
Из приведенных определений содержания и объема понятия следует, что изменение этих характеристик носит обратно пропорциональный характер. Закон, фиксирующий этот факт, получил название закона обратного отношения между содержанием и объемом понятия. Он соблюдается только для тех понятий, которые имеют общий универсум.
►	Закон обратного отношения между содержанием и объемом понятия. Относительно одного и того же универсума:
1) увеличение содержания понятия уменьшает его объем, уменьшение объема понятия увеличивает его содержание;
2) уменьшение содержание понятия увеличивает его объем, увеличение объема понятия уменьшает его содержание.
Из закона обратного отношения объема и содержания следует один важный вывод. Допустим, даны два понятия, объем одного из которых включен в объем другого. При этом эти объемы могут совпадать или не совпадать. Если объемы обоих понятий совпадают, каждое из них есть необходимое следствие другого; если объемы понятий не совпадают, то понятие с большим объемом выступает необходимым следствием понятия с меньшим объемом, но не наоборот. Понятия «мужчина» и «сын» соответствуют первому случаю, понятия «мужчина» и «высокий мужчина» — второму. Всякий мужчина — чей-то сын, и каждый сын — мужчина, Поэтому если истинно одно, истинно и другое. Обратное также верно. Всякий высокий мужчина есть просто мужчина, но не каждый мужчина обладает высоким ростом. Из истинности понятия «высокий мужчина» следует истинность понятия «мужчина», но обратное в целом неверно.
Сказанное означает, что закон обратного отношения объема и содержания представляет одну из частных формулировок отношения логического следования — базиса всей дедуктивной логики.
Понятие
21
Формула аналитической связи содержания и объема понятия
Для аналитического выражения отношения между содержанием и объемом произвольного понятия П в универсуме U можно использовать следующее уравнение:
Понятие П = Содержание Я/Объем П.	(*)
Члены уравнения (*) вычисляются согласно следующим равенствам (знаки «+» и «е» обозначают соответственно операции сложения и вычитания классов):
U = Содержание Л + Объем П;
Содержание П-Ue Объем П;
Объем 77 = U е Содержание 77.
Пусть даны три понятия А, В и С: U = «яблоки», А = «спелые и вкусные яблоки»; В = «спелые яблоки»; С = «спелые или вкусные яблоки». Разделим универсум (создадим классификацию), чтобы вычислить содержание и объемы сравниваемых понятий (рис. 1).
U = «яблоки»
«спелые»	«неспелые»
«вкусные» «невкусные» «вкусные» «невкусные» (П	(2)	(3)	(4)
Рис. 1. Пример вычисления объема и содержания понятий
В первый класс попали спелые и вкусные яблоки; во второй — спелые и невкусные; в третий —^респелые и вкусные; в четвертый — неспелые и невкусные яблоки. Следует обратить внимание на то, что предложенная классификация исчерпывающая, а все классы попарно несовместимы. Значит, она правильная, т. е. универсум представляет полное множество.
Универсум задачи равен сумме всех четырех классов: 77= (1 + 2 + + 3 + 4). Понятие А несовместимо со всеми классами универсума, предполагающими наличие неспелых и/или невкусных яблок. Следовательно, А несовместимо со вторым, третьим и четвертым классами и совместимо только с первым: А = (2 + 3 + 4)/( 1). Понятие В несовместимо со всеми классами универсума, которым соответству
22
Часть I. Традиционная логика
ют неспелые яблоки, и совместимо со всеми остальными: В = (3 + 4)/ (1 + 2). Понятие С несовместимо только с тем классом, в котором существуют как неспелые, так и невкусные яблоки, т. е. с четвертым, и совместимо со всеми остальными: С = (4)/(1 + 2 + 3).
Обобщение и ограничение понятий
Обобщать и ограничивать понятия означает изменять их объем и содержание в соответствии со следующими определениями.
►	Обобщением понятия называется конструирование нового понятия с большим объемом (меньшим содержанием), чем исходное.
►	Ограничением понятия называется конструирование нового понятия с меньшим объемом (большим содержанием), чем исходное.
Сравнивая содержания и объемы понятий Л, В и С из предшествующего ответа, убеждаемся, что их изменение носит обратно пропорциональный характер: уменьшение (увеличение) содержания понятия увеличивает (уменьшает) его объем. Аналогичный эффект демонстрирует и изменение объема. Понятие А имеет наибольшее содержание, равное сумме классов (2 + 3 + 4), и наименьший объем — (1). Содержание понятия В, составляющее сумму классов (3 + 4), есть часть содержания понятия А. Поэтому объем А, равный классу (1), оказывается частью объема понятия В, представляющего сумму классов (1 + 2). Наконец, содержание понятия С, тождественное классу (4), служит частью содержания как А, так и В. Соответственно С имеет наибольший объем, равный сумме классов (1 + 2 + 3), и включает объемы понятий А и В. При этом сумма классов, образующих содержание и объем одного и того же понятия, всегда постоянна и равняется числу классов универсума в целом.
Будем изображать содержания, объемы и универсумы понятий замкнутыми прямоугольными фигурами. Тогда обратно пропорциональные включения содержаний и дбъемов понятий А, В и С из анализируемого примера можно представить следующим образом (рис. 2).
Включения	Включения
Рис. 2. Пример обратного включения содержания и объема понятия
Определение понятий
23
Из рассмотренного выше примера следует, что понятие В обобщает Л, а С обобщает и Л, и В. В то же время понятие В ограничивает С, а А ограничивает В, а потому и С.
Существуют ли пределы обобщения и ограничения понятий?
Относительно какого-либо универсума и заданного числа оснований его деления существует предел как обобщения, так и ограничения рассматриваемых понятий. Пределом обобщения выступает родовое понятие, а ограничения — любой отдельный класс, представляющий конечный результат разделения универсума.
При снятии указанного условия никаких логических границ обобщения и ограничения понятий, по всей видимости, нет. С информационной точки зрения обобщить какое-либо понятие означает найти его логическое следствие, потому что только содержание следствий выступает частью содержания посылок. Поскольку процесс познания протекает как обобщение существующих знаний, вряд ли следует ожидать, что когда-нибудь мы получим далее уже не обобщаемые пределы естественного и гуманитарного знания.
Также нет никаких логических препятствий и для ограничения, т. е. конкретизации понятий. Для этого достаточно присоединить к существующему содержанию понятия какое-либо новое условие. Например, присовокупив к содержанию понятия «Льюис Кэрролл» последовательно условия «человек с псевдонимом», «преподаватель математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде», «автор всемирно известных сказок об Алисе», «автор оригинальной логической теории», «застенчивый и заикающийся человек», мы получим понятия, все более ограничивающие объем исходного понятия. При этом следует учитывать, что ничто не мешает увеличивать число условий, а вместе с этим и степень конкретизации — до любого желаемого предела.
Определение понятий
Понятия нельзя считать ни врожденными, ни автоматически приобретаемыми в опыте. Они — продукт специальной умственной деятельности, которую мы будем называть определением (конструированием).
► Определить понятие означает задать (выяснить) его универсум, содержание и объем.
24
Часть I. Традиционная логика
В таком случае мы, с одной стороны, приписываем словам нужное значение (указываем класс вещей, к которым они относятся), а с другой — познаем суть вещей (разъясняем их сущность). «Определение, — отмечал Аристотель, — имеет целью назвать сущность каждого предмета и говорит, что предмет хорош, плох или еще какой-нибудь.»
Формула правильного определения понятий
Понятие, которое требуется определить, часто называют дефиниен-думом (от лат. definiendum), сокращенно dfd. Понятия, с помощью которых конструируется дефиниендум, соответственно — дефиниен-сами (от лат. definiens), сокращенно dfn. Дефиниенс состоит из родового понятия и ограничивающих его видовых понятий.
► Формула определения. Определяемое понятие = родовое понятие + + видовые признаки (ограничивающие родовое понятие до требуемого объема).
Процесс определения понятий удобно представить в виде следующего алгоритма.
1.	Сравниваем объект, понятие о котором необходимо сконструировать, с другими объектами подобного рода и определяем родовое понятие, а также множество необходимых признаков, ограничивающих его.
2.	Находим соответствующий родовому понятию универсум.
3.	Строим дерево определения по следующим правилам:
каждый видовой признак разделяет универсум на два класса — выполняющий его свойства и выполняющий свойства его дополнения;
4-	новый шаг разбиения всегда начинается с класса, удовлетворяющего предыдущему видовому признаку. Классы, выступающие дополнениями, в разделении универсума более не участвуют. Число шагов должно быть равно числу видовых признаков. Общее количество результатов равно 2”, где п — число видовых признаков. Фактически полученных классов будет п + 1.
4.	Устанавливаем достаточность видовых признаков. Критерием служит равенство dfd = dfn, согласно которому dfd и dfn необходимы и достаточны друг для друга.
Достаточность проверяется перестановкой местами dfd и dfn. Если при этом не возникает искажений смысла, дефиниендум и дефиниенс считаются эквивалентными, а определение — корректным. В противном случае имеет место либо dfd > dfn, либо dfd < dfn. Если истинно
Определение понятий
25
dfd > dfn, отмечается слишком узкое определение. Это означает, что dfn содержит только достаточные признакихкак, например, в определении «сладости — это конфеты», ибо ясно, что объект может быть сладким, но не относиться к конфетам. Если истинно dfd < dfn, будет слишком широкое определение. То есть dfn содержит лишь необходимые признаки как, например, в определении «конфеты — это сладости», так как очевидно, что кроме конфет имеются и другие сладости.
Допустим, необходимо определить понятие «себялюбец». Если обратиться к авторитету Аристотеля, то необходимыми признаками здесь служат: «быть человеком», «делать все ради самого себя», «иметь выгоду». Первый из них родовой, поэтому в качестве универсума выбираем класс людей. Дерево определения понятия «себялюбец» приведено ниже:
U = «люди, делающие»
все ради	не все ради
самих себя	самих себя
с выгодой без (себялюбцы) выгоды
Реальные и номинальные, явные и неявные определения
В логической литературе определения принято классифицировать по разным основаниям. Особенно важным представляется выделение, с одной стороны, реальных и номинальных, с другой — явных и неявных определений.
Реальные и номинальные различаются тем, что первые определяют объект, а вторые — его имя. Учитывая, что между объектом и его именем нет необходимой связи, такое различие в принципе правомерно. Однако стоит отметить, что вычленение среди определений реальных и номинальных достаточно условно и зависит только от того, в каком направлении мы движемся по периметру треугольника, указанного на рис. 3.
Определяя имя, т. е. устанавливая то значение, в котором мы будем его использовать, мы так или иначе определяем и объект, который оно обозначает. И наоборот: определяя объект, мы определяем обозначающее его имя. Взаимосвязь реальных и номинальных определений объясняется тем, что их дефиниенсы совпадают. Утверждение Конфуция «когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить ошибку» следует считать номинальным определе-
26
Часть I. Традиционная логика
Имя как дефиниендум
Номинальное /	\
определение /	\
Вещь как	Реальное Дефиниенс
дефиниендум определение
Рис. 3. Связь реального и номинального определения понятия
нием (определением имени «совершенная ошибка»). Утверждение же «совершенная ошибка — это неисправленная ошибка» есть реальное определение (определение такого феномена (поступка), как «совершенная ошибка»). У обоих определений один и тот же дефиниенс: «неисправленная ошибка».
Неявные определения противопоставляются явным либо на том основании, что дефиниенс и дефиниендум вообще не выделены в качестве самостоятельных частей, либо на том, что в качестве дефини-енса выбран или список аксиом, или описание алгоритма построения дефиниендума, или просто некоторый контекст.
Говорить о первом условии не представляется возможным, поскольку оно самопротиворечиво: если нет дефиниендума, или дефи-ниенса, или того и другого, то вряд ли имеет смысл говорить об определении.
Второе условие неявных определений предполагает, что дефиниенс не определяет однозначно дефиниендум. Именно в этом состоит смысл определений с помощью аксиом, контекстов или алгоритмов построения дефиниендума. Но это означает, что неявные определе-х ния — это слишком широкие. Любое неявное определение можно, следовательно, превратить в явное, добавив соответствующее число необходимых понятий.
Виды понятий
Понятия принято разделять на виды по трем основаниям — количеству, типу и признакам обобщаемых объектов. По количеству вычленяются пустые и непустые понятия, непустые подразделяются, в свою очередь, на общие и единичные; по типу обобщаемых объектов выделяются собирательные и несобирательные, конкретные и аб
J
Виды понятий	27
страктные понятия, по характеру признаков— положительные и отрицательные, относительные и безотносительные. Однако эта классификация небезупречна. Учитывая, что анализ объема и содержания любого понятия можно свести к выявлению отношений между определенными классами универсума, указанная классификация, за исключением поправки на пустые и непустые понятия, теряет всякий смысл.
Во-первых, как уже объяснялось, понятие можно считать пустым только тогда, когда его содержание логически противоречиво, но вовсе не в том случае, если оно обозначает вещи, отсутствующие в реальности. Например, понятие «Баба-яга» нельзя считать пустым, хотя в действительности подобных существ нет, так как определение этого сказочного персонажа логически непротиворечиво и многие русские сказки без него теряют свой смысл.
Во-вторых, следует отметить, что нет и так называемых единичных понятий, ибо все они общие, потому что содержание каждого всегда затрагивает все элементы (классы) объема независимо от того, пустое ли данное понятие или непустое.
В-третьих, бессмысленно делить понятия на регистрирующие и нерегистрирующие, абстрактные и конкретные, положительные и отрицательные, собирательные и несобирательные, безотносительные и соотносительные. Понятия обозначают объекты, но элементы их объемов — это классы. Соответственно, всякое понятие — нерегистрирующее (имеет неопределенное число элементов объема), абстрактное (обозначает свойства определенного класса вещей); положительное и отрицательное («красное» есть «не синее», «синее» есть «не красное»); несобирательное (относится к каждому элементу объема) и соотносительное (имеет смысл только по отношению к своему дополнению).
Учитывая сказанное, понятия лучше классифицировать по следующим двум основаниям:
♦	абсолютному (вне зависимости от отношения понятий друг к другу);
♦	относительному (в зависимости от отношения понятий друг к другу).
В абсолютном смысле среди понятий Выделяется три вида — логически истинные, логически ложные (пустые понятия) и логически нейтральные (логически не истинные и не ложные).
28
Часть I. Традиционная логика
Логически истинные понятия
►	Понятие логически истинно, если его объем равен сумме всех классов универсума, а содержание — пустому классу.
Такие понятия совместимы со всеми классами универсума и потому истинны во всех его альтернативах, что и оправдывает их название. Разрешающая сила таких понятий максимальна, потому что их объемы совпадают с универсумом; исключающая сила — минимальна, поскольку они ничего не исключают и их содержание равно пустому классу. Логически истинные понятия удовлетворяют требованию полноты, т. е. содержат все альтернативы решения исходной задачи. Например, понятия «сладкий или несладкий продукт», «солнечный или несолнечный день», «сегодня вторник или не вторник» выполняются во всех универсумах.
Логически ложные понятия
►	Понятие логически ложно, если и только если его объем равен пустому классу, а содержание — сумме всех классов универсума.
Такие понятия самопротиворечивы, несовместимы со всеми классами универсума и потому ложны во всех его альтернативах, что и оправдывает их название. Их разрешающая сила равна нулю, так как объем данных понятий равен пустому классу, а исключающая — максимальна, потому что они исключают все классы универсума. Соответственно, их содержание равно сумме всех классов универсума. Например, понятия «сладкий и несладкий продукт», «солнечный и несолнечный день», «сегодня вторник и не вторник» не выполняются ни в одном универсуме.
Логически нейтральные понятия
►	Понятие логически нейтрально, если и только если оно не истинно и не ложно логически.
Такие понятия истинны в одних альтернативах универсума и ложны во всех остальных. Понятие «понедельник или вторник» истинно только по понедельникам и вторникам и ложно во все остальные дни недели. Значит, оно логически нейтральное понятие. В отличие от логически истинных и логически ложных понятий, которые оказываются константами, у которых содержание и объем не меняются, у логически нейтральных понятий содержание и объем могут изменяться.
Виды понятий
29
Совместимость понятий по истине и по лжи
Понятия совместимы по истине, если и только если пересечение их объемов не пусто или, равным образом, существует хотя бы один класс универсума, в котором они вместе истинны. Понятия «вкусные продукты» и «полезные продукты» совместимы по истине, так как существуют вкусные и полезные продукты одновременно.
Понятия совместимы по лжи, если и только если пересечение их содержаний не пусто, или, аналогично, существует хотя бы один класс универсума, в которых они вместе ложны. Понятия «вкусные продукты» и «полезные продукты» совместимы по лжи, так как существуют объекты как невкусные, так и неполезные.
Понятия полностью совместимы, если и только если они совместимы как по истине, так и по лжи, как, например, понятия «вкусные продукты» и «полезные продукты».
Совместимые понятия разделяются на эквивалентные, независимые и находящиеся в отношении родо-видового подчинения.
Эквивалентные понятия
►	Понятия эквивалентны друг другу, если их объемы (и содержания) одинаковы.
Из-за равенства объемов эквивалентные понятия часто называют также равнообъемными, равнозначными, тождественными, равносильными. Они либо вместе истинны, либо ложны (либо все неопределенные, когда хотя бы одно из них неопределенное). Из истинности (ложности, неопределенности) одного эквивалентного понятия следует с необходимостью истинность (ложность, неопределенность) всех других. Эквивалентны, например, понятия «четное число» и «число, делящееся на 2».
Независимые понятия
►	Понятия независимы друг от друга, если и только если их объемы и содержания частично пересекаются.
Их часто называют частично пересекающимися. Однако более правильно такие понятия именовать независимыми, потому что из истинности (ложности) одного из них не следует с необходимостью ни истинность, ни ложность всех остальных. Понятия «богатый» и «плачущий» — частично пересекающиеся, или независимые. Из того, что некто богат, не следует с необходимостью, что он плачущий человек, как не следует и то, что он обязательно неплачущий чело
30
Часть I. Традиционная логика
век. Есть богатые, которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное также верно. Среди плачущих есть и богатые, и небогатые люди.
Независимые понятия могут быть вместе как истинны, так и ложны, поэтому они полностью совместимы. Независимые понятия играют чрезвычайно важную роль во всех разделах научного знания, и особенно в теории вероятностей. Требование независимости понятий обязательно при классификации, а также при определении понятия.
Понятия, находящиеся в отношении родовидового подчинения
► Два понятия находятся в отношении родовидового (однонаправленного) подчинения, если объем одного полностью включен в объем другого, но ему не равен.
Включения содержаний имеют обратный характер. Содержание видового понятия включает содержание родового, но ему не равно.
В отличие от эквивалентных понятий (в этом случае отношение подчинения двунаправленное) существуют и такие, только одно из которых подчиняет другое(-ие). То понятие, объем которого включает объем другого, принято называть родовым (подчиняющим). Понятие же, объем которого полностью включен в объем родового понятия, называется видовым (подчиняемым). Каждое видовое понятие представляет разновидность родового. Например, «австриец», «англичанин», «испанец», «итальянец», «немец», «француз», «швейцарец» — неполный перечень видовых понятий по отношению к родовому понятию «западный европеец».
Асимметрия включений объемов и содержаний порождает асимметрию зависимости рассматриваемых понятий по их соответствию истине. Истина переносится от видового понятия к родовому, но не наоборот. Напротив, ложь переносится от родового понятия к видовому, обратный порядок неверен. Если истинно, что некий человек англичанин, истинно и то, что он западный европеец, но не наоборот. Если же ложно, что некто западный европеец, тогда ложно и то, что он англичанин; обратный порядок неверен. Подобная асимметрия объясняется следующим: только родовое понятие, согласно закону обратного отношения объема и содержания, служит необходимым следствием видового.
Понятия, связанные родовидовым подчинением, могут быть вместе истинны и ложны, поэтому они полностью совместимы.
Виды понятий
31
Чем отличается родовидовое подчинение от отношения целого и части?
Родовидовое подчинение необходимо отличать от отношения между целым и его частями. Каждый вид обладает всеми свойствами рбда, но ни одна часть не обладает свойствами всего целого. Например, каждому автомобилю присущи все необходимые свойства механического средства передвижения, однако ни одно автомобильное колесо не обладает свойствами всего автомобиля.
Несовместимость понятий по истине и по лжи
Понятия несовместимы по истине, если и только если их объемы не пересекаются (не существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе истинны). Понятия «белый» и «не белый» несовместимы по истине, поскольку нет ни одного объекта, одновременно обладающего указанными свойствами.
Понятия несовместимы по лжи, если и только если их содержания не пересекаются (не существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе ложны). Понятия «белый» и «не белый» несовместимы по лжи, потому что нет ни одного объекта, который не был бы либо белым, либо не белым.
Понятия несовместимы полностью, если и только если они несовместимы как по истине, так и по лжи. Понятия «белый» и «не белый» полностью несовместимы, поскольку они несовместимы ни по истине, ни по лжи.
Несовместимые понятия подразделяются на противоречащие, противоположные и соподчиненные.
Противоречащие понятия
► Два (и только два) понятия противоречат друг другу (образуют противоречие), если и только если их объемы и содержания не пересекаются друг с другом, но вместе они исчерпывают универсум.
Каждое из противоречащих понятий представляет собой дополнение (логическое отрицание) другого до ближайшего универсума. То, что выступает объемом для одного противоречащего понятия, для другого служит содержанием, и наоборот. По этой причине противоречащие понятия не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одно из них истинно (ложно), то другое непременно ложно (истинно). Значит, противоречащие понятия полностью несовместимы, т. е. несовместимы ни по истине, ни по лжи.
32
Часть I. Традиционная логика
В русском языке противоречащие понятия образуются, как правило, посредством частицы «не», присоединяемой к данному понятию: «высокий человек» и «невысокий человек» — применительно к понятию «человек»; «синий» и «не синий» — относительно «цвета»; «радость» и «не радость» — по отношению к «чувству»; «деньги» и «не деньги» — применительно к понятию «средство платежа».
Противоположные понятия
► Два (и только два) понятия противоположны друг другу, если и только если их объемы, но не содержания, не пересекаются друг с другом и их признаки обозначают максимальные степени различия анализируемого свойства.
Противоположность — это наибольшее различие {Аристотель), Объемы противоположных понятий, в отличие от их содержаний, не пересекаются и вместе не исчерпывают объем ближайшего родового понятия, а выражаемые ими свойства одинаково удалены в противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств.
В русском языке противоположные понятия, наряду с противоречащими, обычно объединяются в общий класс антонимов. С логической точки зрения это не совсем верно, потому что противоречащие и противоположные понятия обладают разными свойствами и, кроме того, не исчерпывают весь класс несовместимых понятий.
Признаки, выражаемые противоположными понятиями, часто называют полярными, подразумевая под этим, что они одинаково удалены в противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств. Так, понятия «консерватор» и «радикал» противоположны относительно нейтральной точки — «центрист», а «северный полюс» и «южный полюс» — по отношению к понятию «экватор». Не всегда можно словесно выразить подобную нейтральную точку, но она обязательно есть.
Так как объемы противоположных понятий не пересекаются, они не бывают вместе истинны. Однако поскольку пересекаются их содержания, они могут быть вместе ложны. Последнее условие отличает противоположные понятия от противоречащих. Из истинности одного противоположного понятия всегда следует ложности другого, но обратное неверно. Из ложности одного из противоположных понятий следует только неопределенность значения истинности другого. Значит, противоположные понятия несовместимы только по истине. Например, если некий человек высокий, он не может быть
Деление объема понятия (классификация)
33
среднего или низкого роста. Но если неверно, что данный индивидуум высокий, отсюда вовсе не следует, будто он низкого роста. Он может оказаться и человеком среднего роста.
Для противоположных понятий всегда существует какая-то альтернатива, из истинности которой проистекает совместная ложность противоположных понятий. Например, человек может быть и не высокого, и не низкого, а среднего роста.
Соподчиненные понятия
► Два (и более) понятия называются соподчиненными, если и только если они несовместимы, но при этом не являются противоречащими или противоположными друг другу.
Например, соподчиненными будут понятия «стол» и «стул» относительно понятия «мебель»; «лейтенант» и «капитан» — по отношению к «офицеру»; «фиолетовый» и «синий» — применительно к понятию «цвет».
Как и противоположные, соподчиненные понятия не бывают вместе истинными, но могут быть одновременно ложными, так как их содержания пересекаются. Из истинности одного соподчиненного понятия всегда следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из соподчиненных понятий проистекает только неопределенность в значении истинности другого. Стало быть, соподчиненные понятия также несовместимы только по истине. Если данная вещь синего цвета, она не может быть красной; но если неверно, что она синего цвета, то отсюда не следует, будто ее цвет непременно будет красным. Соподчиненные понятия, только если они вместе не исчерпывают универсум, бывают вместе ложны. Например, какой-то объект может быть и не синего, и не красного, а желтого цвета.
Деление объема понятия (классификация)
► Делением объема понятия, или классификацией, называется определение всех его разновидностей согласно какому-либо множеству оснований.
Цель всякой классификации — выявление всех видовых понятий какого-либо одного понятия, выполняющего функцию родового, согласно ряду оснований (условий деления). Врачи разделяют людей
3-2724
34
Часть I. Традиционная логика
на здоровых и больных, а последних — на определенные классы по характеру и тяжести заболевания. Психологи разделяют людей по типу психологической реакции, состояния, конституции. Социологи — по доходам, расходам, профессии, отношению к какому-либо общественно значимому событию.
Классификацию нельзя путать с делением чего-либо на части, так как видовые понятия обладают всеми признаками родового, а части, напротив, никогда не отмечены признаками целого. Лист — часть дерева, но лист не обладает свойствами всего дерева.
Можно сформулировать три основных требования к классификации.
1.	Члены классификации должны представлять несовместимые по истине (непересекающиеся) классы, и их логическая сумма на каждом шаге разбиения должна быть равна объему классифицируемого понятия (универсуму).
В противном случае какое-нибудь видовое понятие либо окажется упущенным, либо станет избыточным. Это будут соответственно неполная классификация и классификация с лишними членами. Примером первой служит разделение всех людей только на добрых и жестоких (пропущен класс тех, кто ни тот ни другой). Классификация с лишними членами деления имеет два варианта. Во-первых, некоторые члены могут поглощать другие («нежестокие», например, поглощают «добрых»). Во-вторых, некоторые члены классификации могут не соответствовать единому основанию деления (как это происходит при разделении дней на «солнечные», «пасмурные» и «счастливые»).
2.	Каждый шаг классификации должен проводиться только по одному основанию. В противном случае члены классификации не будут исключать друг друга, а их сумма не будет равна универсуму.
Например, деление людей на богатых и плачущих проведено по двум основаниям сразу. Члены такой классификации, будучи независимыми понятиями, не исключают друг друга, так как могут существовать богатые, которые плачут. Правильным оказывается разбиение людей на богатых и небогатых, а затем каждый из полученных классов — на плачущих и неплачущих.
3.	Классификация считается законченной, если и только если при ее построении использованы все основания, и все ветви, которые оказались противоречивыми, вычеркнуты.
Если все условия классификации необходимы, тогда данная операция тождественна конструированию (определению) понятий. Пределом классификации в этом случае выступает требование достаточности оснований (условий) классификации.
Суждение
35
Суждение
Определение суждения
Если понятия — атомы интеллектуальной деятельности, то, продолжая эту аналогию, можно сказать, что суждения — ее молекулы. С помощью понятий мы раскрываем значение естественных или искусственных знаков, указываем классы, к которым принадлежат или не принадлежат мыслимые нами объекты, а в суждениях выражаем разнообразные отношения между этими объектами.
Как предметы и явления не существуют вне отношений между собой, так и понятий не бывает вне выражающих такие отношения суждений.
► Суждение — мысль, обозначающая отношение вещи к какой-либо другой вещи и к самой себе.
Задать некоторое отношение из множества элементов некоего класса — значит упорядочить их согласно условию, выражаемому этим отношением. Этому утверждению не противоречит существование разнообразных отношений тождества (равенства). Последние определяются как результат композиции (умножения) обратно упорядоченных отношений. Например, сказать, что А равно В, — то же самое, если утверждать, что А больше (меньше) В и В больше (меньше) А одновременно.
Из всего этого следуют два принципиальных отличия суждений от понятий. Для последних исходным будет допущение тождества, неразличимости объектов, которые признаются элементами их объемов. Порядок, в котором рассматриваются данные элементы, не имеет никакого значения. Для суждений же исходным служит допущение различия и определенного порядка вещей, рассматриваемых в качестве их субъектов. И соответственно, изменение такого порядка приводит к изменению смысла суждения. В этом заключается первое отличие суждений от понятий. Второе отличие связано с первым.
Для понятий логическое отрицание равносильно образованию дополнения. Для суждений мы имеем два вида логического отрицания — дополнение и уничтожение различия, которое достигается построением симметричного исходному отношения. Дополнение дает суждение, противоречащее исходному. Уничтожение различия приводит к образованию суждения эквивалентности. Суждение «Л умнее В» в первом смысле отрицается суждением «Неверно, что А ум-
з*
36
Часть I. Традиционная логика
нее В» или суждением «Л не умнее В». Во втором смысле суждение «А умнее В» отрицается суждением «В умнее А», и оба вместе делают истинным суждение «А и В оба умны в одинаковой степени».
Отличие суждений от понятий обусловлено, таким образом, различием уровней отражения реальности. Понятия касаются включения и исключения классов, а благодаря суждениям мы отражаем не только эти, но и все другие отношения между мыслимыми объектами.
Основная языковая форма выражения суждений — повествовательное предложение. Однако, как и понятия, они не совпадают с выражающими их грамматическими конструкциями.
В зависимости от того, существует ли выражаемое суждением отношение, говорят о его истинности, ложности или неопределенности. Суждение «А любит В» истинно, если и только если между А и В отмечается упомянутое отношение, ложно в противном случае и неопределенно, если нет ни первого, ни второго.
Каждое суждение выражает, кроме того, определенное коммуникативное отношение между старым, известным (предикат суждения), и новым, неизвестным (субъект суждения), знанием. Известное служит своеобразным фильтром, через который происходит оценка нового знания. Предикат определяет логические границы субъекта суждения, отвечает на вопросы (что, где, как и почему оно обозначает), служит аргументом за и против включения в состав старого знания. Связывая или разъединяя новое и старое знание, суждения, таким образом, обеспечивают преемственность в развитии представлений и наше понимание всякого вновь возникшего сообщения. Поэтому можно сказать, что суждения отражают упорядоченность не только реально существующих объектов, но и наших знаний о них.
Простые суждения
В традиционной логике принято разделять суждения на простые и сложные.
► Суждение называется простым, если ни одна его правильная часть сама не выступает суждением. В противном случае оно сложное.
Сложные суждения состоят из нескольких простых, соединенных различными логическими союзами — «и», «или», «если... то», «если и только если», «или... или». «Сегодня тихо и пасмурно» — это сложное суждение, состоящее из двух простых: «Сегодня тихо», «Сегодня пасмурно», соединенных союзом «и». Сложным суждением считает
Простые суждения
37
ся также отрицание любого простого суждения, вводимого оборотом «неверно, что» и его различными эквивалентами.
Простые суждения бывают истинными, ложными или неопределенными.
Логическая структура простых суждений
Любое простое суждение составляют четыре функционально различающиеся части:
1)	субъект суждения — класс вещей, о котором нечто утверждается или отрицается;
2)	предикат суждения — класс вещей, принадлежность субъекта к которому утверждается или отрицается;
3)	утвердительная или отрицательная связка — «есть» или «не есть», соединяющая или разъединяющая субъект и предикат суждения согласно определенному отношению;
4)	знак количества — слова «все», «некоторые», «ни один», стоящие* как правило, перед субъектом суждения и указывающие на то, какая часть его объема принадлежит или не принадлежит объему предиката.
Субъект и предикат суждения называются его терминами и служат его логическим подлежащим и логическим сказуемым соответственно. Их нельзя путать с грамматическими подлежащим и сказуемым. В суждении «Люди же, воздающие равным за равное, не оскорбляют, а мстят» {Аристотель) субъектом будет понятие «люди, воздающие равным за равное», а его предикатом — понятие «люди, не оскорбляющие, а мстящие». Грамматическое же подлежащее здесь — «люди», а сказуемое — «не оскорбляют, мстят».
Связки «есть» или «не есть» выражают качественный аспект суждения — его утвердительную или отрицательную фррму. Синонимы к ним — слова «суть» и «не суть», «присуще» и «не присуще», «обладает» и «не обладает», «является» и «не является».
Слова «все», «некоторые», «ни один» характеризуют количественный аспект суждения — соотношение объемов субъекта и предиката. Синонимы к слову «все» — «всякий», «каждый». Слово «некоторые», как будет показано, не имеет однозначной интерпретации и его синонимами могут быть следующие обороты: «по крайней мере один или все», «существует», «по крайней мере один, но не все», «только некоторые». Синонимичны выражению «ни один (одна, одно)» такие слова: «никто», «ничто», «ни за что», «нигде», «никогда».
38
Часть I. Традиционная логика
Суждение считается общим, если оно начинается со слов «все» или «ни один». Суждение частное, если в начале стоит «некоторые». В общих суждениях, по крайней мере, субъект рассматривается во всем объеме. В частных объем субъекта может определяться и полностью, и частично.
Классификация простых суждений
Классификация простых суждений строится обычно по двум основаниям — качеству и количеству суждения.
Пусть S обозначает субъект суждения, -i5 — его дополнение (логическое отрицание), Р — предикат, -Р — его дополнение. Комбинация качественных и количественных возможностей порождает следующую классификацию простых суждений (рис. 4).
Качество суждения
Простые суждения
Утвердительные (S есть Р)
Количество суждения
Общие Частные (все S есть Р) (некоторые S есть Р)
Отрицательные (S не есть Р)
Общие	Частные
(ни одно	(некоторые
S не есть Р) S не есть Р)
Рис. 4. Классификация простых суждений
Если суждение общее и утвердительное, его называют общеутвердительным. Формула его: «Все 5 есть Р». Если суждение общее и отрицательное, оно называется общеотрицательным. Формула его: «Ни одно S не есть Р».
Если суждение частное и утвердительное, его называют частно -утвердительным. Формула такого суждения: «Некоторые S есть Р». Если суждение частное и отрицательное, то оно называется частно -отрицательным. Формула такого суждения: «Некоторые S не есть Р».
Общеутвердительные суждения
► Суждение называется общеутвердительным, если и только если утверждается, что его предикат совместим с каждым элементом объема субъекта, независимо от того, состоит ли этот объем из бесконечного числа элементов, одного-единственного элемента или вообще пуст.
Примерами общеутвердительного суждения «Все S есть Р» будут высказывания «Все люди хотят быть счастливыми», «Каждое время
Классификация простых суждений
39
года хорошо по-своему», «Все треугольники — квадраты». Высказывание «Я люблю читать детективы» также следует считать общеутвердительным, так как его субъект рассматривается во всем объеме. Все так называемые единичные суждения, субъект которых грамматически выражается единственным числом, с логической точки зрения общеутвердительные. Это свидетельствует об отсутствии однозначного соответствия категорий грамматики и логики.
Соотношение между объемами субъекта и предиката в общеутвердительном суждении «Все S есть Р» бывает двояким (рис. 5).
Рис. 5. Отношение объемов субъекта и предиката в общеутвердительном суждении
В одном варианте (левая диаграмма на рис. 5) объемы субъекта и предиката полностью совпадают. Это происходит в следующих случаях:
1) когда суждение «Все S есть Р» представляет корректное определение субъекта 5;
2) объемы субъекта и предиката могут совпадать полностью, если предикат общеутвердительного суждения относится только к его субъекту. Тогда подразумевается или присутствует явно частица «только» либо ее грамматические эквиваленты?
Например, если мы хотим приписать предикат «быть способным отличать добро от зла» человеку и только ему, то должны выразить эту мысль следующим образом: «Только человек способен отличать добро от зла». Структура подобных суждений, относящихся к сложным и которые принято называть утвердительными общевыделительными, такова: «Только (все) S есть Р». Рассматриваемое выделительное суждение эквивалентно следующий двум простым: «Все S есть Р» и «Все Р есть 5» и истинно только тогда, когда они оба вместе истинны (соответственно ложно, если ложно хотя бы одно из них). Добавим, что суждение «Только S есть Р» эквивалентно также суждению «Только -»5 есть -пР», которое эквивалентно, в свою очередь, суждениям «Все есть -Р» и «Все -Р есть -.5» одновременно.
Согласно второму варианту (правая диаграмма на рис. 5), объем субъекта полностью включен в объем предиката, но неравен ему. Это
40
Часть I. Традиционная логика
бывает предпочтительным, когда нет специального доказательства равнообъемности субъекта и предиката или когда очевидно, что объем субъекта составляет лишь часть объема предиката. Например суждение «Дети любят мороженое». Оно не будет определением, в нем не утверждается и не подразумевается, что только дети любят мороженое. Следовательно, объем предиката «люди, любящие мороженое» включает объем субъекта «люди, являющиеся детьми», но не равен ему. Это означает, что, кроме детей, существуют люди других возрастных категорий, также любящие мороженое.
Общеотрицательные суждения
► Суждение называется общеотрицательным, если и только если утверждается, что его предикат не совместим ни с одним элементом объема субъекта.
Примерами общеотрицательного суждения «Ни одно S не есть Р» служат высказывания «Никто по своей воле не хочет быть несчастливым», «Никогда не поздно начать все сначала», «Ни один треугольник не квадрат». Высказывание «Я не люблю читать детективы» следует считать общеотрицательным, так как его предикат несовместим со всеми элементами объема субъекта.
В таких суждениях термины несовместимы друг с другом, поэтому их объемы не пересекаются. Однако общеотрицательные суждения можно различать по характеру несовместимости. Так, когда мы говорим «Ни одно S не есть Р», это может означать или то, что S и Р — противоречащие понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является недобрым», или что S и Р — противоположные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является злым», или что 5 и Р — соподчиненные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является равнодушным».
Случай, когда S и Р — противоречащие понятия, соответствует отрицательному общевыделительному суждению «Только S не есть Р» или, равнозначно, суждению «Только -»5 не есть -пР». Все эти случаи отражены на рис. 6.
Ни одно S не есть Р
Рис. 6. Отношение объемов субъекта и предиката в общеотрицательном суждении
Классификация простых суждений
41
Мастноутвердительные суждения
В отличие от общих суждений интерпретация частных более неопределенна и требует разбора большего числа случаев.
► Суждение называется частноутвердительным, если и только если утверждается, что его предикат совместим по крайней мере с одним из элементов объема субъекта.
Из приведенного определения следует, что «некоторые» в утвердительных суждениях может пониматься либо как «некоторые или все», либо как «некоторые, но не все», либо как «только некоторые». Все эти альтернативы отражены на рис. 7. ,
Некоторые (или все) S есть Р
Некоторые, но не все S есть Р
Все S есть Р
Рис. 7. Отношение объемов субъекта и предиката в частноутвердительном суждении
Не только Только S есть Р Sесть Р
Подразумевая под «некоторыми» «некоторых или всех», мы признаем равную допустимость всех четырех случаев, указанных на рис. 7. Интерпретируя «некоторые» как «некоторые, но не все», мы мыслим равную допустимость только случаев (в) или (г). Лишь случай (г) имеет однозначное представление: частновыделительное суждение «Только некоторые S есть Р» эквивалентно суждению «Все Р есть 5».
Суждение «Некоторые из вас могут решить эту задачу» понимается или как «некоторые или все», если задачи подобного типа уже решались и техника их выполнения усвоена, или как «некоторые, но не все», если задачи подобного типа еще не решались и техника их решения неизвестна, или как «только некоторые», если все, способные решить данную задачу, находятся среди тех, кому предстоит это сделать.
Частноотрицательные суждения
► Суждение называется частноотрицательным, если и только если утверждается, что его предикат не совместим по крайней мере с одним из элементов объема субъекта.
42
Часть I. Традиционная логика
Из данного определения следует, что в отрицательных суждениях слово «некоторые» также может пониматься трояко: либо как «некоторые или ни один», либо как «некоторые, но не ни один», либо как «только некоторые». Эти варианты приведены на рис. 8.
Некоторые (или ни одно) S не есть Р
Ни одно S не есть Р
некоторые некоторые S есть Р Sесть Р
Некоторые, но не ни один S не есть Р
Не только Только
Рис. 8. Отношение объемов субъекта и предиката в частноотрицательном суждении
Только случай (г) имеет однозначное представление: суждение «Только некоторые S не есть Р» эквивалентно суждению «Все есть 5». Выбор среди этих вариантов диктуется контекстом или специальным анализом, как и для утвердительных суждений.
Суждение «Некоторым из вас не решить эту задачу» может пониматься либо как «некоторым или ни одному», если задача новая и трудная, либо как «некоторым, но не ни одному», если задача простая или известная, либо как «только некоторые», если все, кто не способен решить эту задачу, находятся среди тех, кому она адресуется.
Нормальная форма простых суждений
Как и понятия, суждения часто не совпадают со своим языковым выражением, и требуется дополнительный анализ для их формулировки. Чтобы сформулировать суждение, его следует, по выражению Л. Кэрролла, привести к нормальной форме, т. е. указать в явном виде все его основные характеристики. Привести суждение к нормальной форме означает:
1)	установить, какое понятие есть субъект суждения;
2)	установить, какое понятие — предикат суждения;
3)	определить универсум суждения — класс вещей, разновидностями которого служат субъект и предикат;
4)	заменить глагол, управляемый субъектом суждения, там, где это необходимо, сочетанием слов, начинающихся со связок «есть» или «не есть»;
Логические преобразования суждений
43
5)	определить знак количества суждений, т. е. установить, с какого из слов «все», «ни один», «некоторые» должно начинаться суждение;
6)	расположить полученные сведения в порядке, в котором формулируются все простые суждения: знак количества — субъект — связка — предикат.
Например, нужно привести к нормальной форме утверждение: «Только там, где в составе населения средние [слои] имеют перевес либо над обеими крайностями, либо над одной из них, государственный строй может рассчитывать на устойчивость» (Аристотель).
Действуем согласно указанному алгоритму
1.	Субъект — «государственный строй, при котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них».
2.	Предикат — «государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость».
3.	Универсум — «государственный строй».
4.	Связка — «не есть».
5.	Знак количества — «ни один».
6.	Нормальная форма: «Ни один государственный строй, при котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них, не есть государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость».
Логические преобразования суждений
Логические преобразования суждения позволяют понять его как целостную мысль, порождаемую определенным множеством обратимых трансформаций субъекта и предиката (терминов суждения). Подобные преобразования основаны на умении находить дополнение (отрицание) субъекта и предиката, прямом и обратном отношении между ними.
Различают три преобразования простых суждений, позволяющие понять сполна их логическое содержание: превращение, обращение и противопоставление.
Превращение суждений
Всякое отношение субъекта суждения к предикату уравновешивается определенным отношением субъекта к дополнению этого же предиката. Если некоторый предикат совместим с субъектом, должно
44
Часть i. Традиционная логика
быть истинно, что дополнение данного предиката несовместимо с этим субъектом полностью или частично.
► Превращение — логическое преобразование, позволяющее:
1) по данному отношению субъекта к предикату находить отношение субъекта к дополнению предиката;
2) по данному отношению предиката к субъекту находить отношение предиката к дополнению субъекта.
Превращение — это преобразование, позволяющее по известному отношению субъекта к предикату определять отношение субъекта к дополнению этого предиката (и наоборот). Подобная трансформация позволяет выразить одну и ту же мысль как в утвердительной, так и в отрицательной форме.
Чтобы осуществить превращение, необходимо и достаточно заменить связку и предикат данного суждения на противоречащие им, оставив его количественную характеристику без изменения.
Все общеутвердительные (частноутвердительные) суждения превращаются в общеотрицательные (частноотрицательные), и наоборот. Приведем основные формулы и примеры (горизонтальная черта отделяет суждения, находящиеся в отношении превращения).
Все S есть Р.	Все конфеты сладкие.
Ни одно S не есть -Р.	Ни одна конфета не есть несладкая.
Только 5 есть Р.	Только четные числа делятся на 2.
Только 5 не есть -Р.	Только четные числа не являются числами, не делящимися на 2.
Некоторые 5 есть Р.	Некоторые птицы летают.
Некоторые S не есть -Р.	Некоторые птицы не являются нелетающими.
Только некоторые 5 есть Р.	Только некоторые счастливы.
Только некоторые S не есть —Р. Только некоторые не являются несчастливыми.
Как явствует из приведенных примеров, превращение — это симметричное преобразование. Обусловлена такая симетрия тем, что замена связки на противоречащую ей равносильна замене предиката на несовместимый (противоречащий, противоположный или соподчиненный) с ним. Следовательно, если осуществить обе замены, то мы снова получим исходное суждение по принципу «отрицание отрицания дает утверждение». Превращение позволяет любое утвер
Логические преобразования суждений
45
дительное суждение выразить в отрицательной форме, и наоборот. Знание данного преобразования усиливает выразительные возможности нашего языка и стирает, как отмечалось, жесткое различие между утверждением и отрицанием.
Обращение суждений
Каждое отношение имеет не всегда совпадающее с ним и не всегда следующее из него с необходимостью обратное отношение. Из того, что 3 больше 2, следует, что 2 меньше 3. Но из того факта, что я люблю кого-то, не следует с непреложностью, будто этот человек также любит меня. В первом примере прямое и обратное отношения не совпадают, но обусловливают значение истинности друг друга. Если одно из них истинно (ложно), то и другое обязательно истинно (ложно). Во втором примере прямое отношение никак не определяет значение истинности обратного отношения (последнее может быть как истинным, так и ложным). Анализ логического содержания суждения нельзя потому считать полным, если неизвестно прямое отношение субъекта к предикату и обратное отношение предиката к субъекту. В общем смысле только синтез прямых и обратных отношений обеспечивает устойчивость существования каждого феномена, включая и человека.
► Обращение — логическое преобразование, позволяющее:
1)	по данному отношению субъекта к предикату находить обратное отношение предиката к субъекту,
2)	по данному отношению предиката к субъекту находить обратное х отношение субъекта к предикату.
Обращение представляет преобразование, позволяющее по известному отношению субъекта к предикату находить ему обратное.
Чтобы совершить обращение, необходимо и достаточно поменять субъект и предикат местами и там, где это необходимо, изменить знак количества суждения.
Обращение общеутвердительных суждений имеет два варианта. При полном совпадении объемов терминов суждения обратное отношение предиката к субъекту совпадает с исходным отношением субъекта к предикату. Если же объем предиката больше объема субъекта, то обратное отношение предиката к субъекту формулируется в виде частноутвердительного суждения.
Только S есть Р.	Только лягушки квакают.
Только Р есть S. Только квакающие — лягушки.
46
Часть I. Традиционная логика
Все 5 есть Р.	Все ножи острые.
Некоторые Р есть S, Некоторые 5 есть Р.	Некоторые острые вещи — ножи. Некоторые дети — вундеркинды.
Некоторые Р есть 5. Ни один S не есть Р.	Некоторые вундеркинды — дети. Ни один рак — не рыба.
Некоторые Р не есть S. Ни одна рыба — не рак.
Обращение частноутвердитель^ых суждений разделяется на три случая в соответствии с интерпретацией слова «некоторые»:
1)	некоторые или все;
2)	некоторые, но не все;
3)	только некоторые.
В первом обратное отношение совпадает с исходным, во втором и третьем — нет. Приведем примеры.
Некоторые (или все) S есть Р.	Некоторые молодые люди любят веселиться.
Некоторые или все Р есть 5.	Некоторые из любящих веселиться — молодые люди.
Некоторые (но не все) S есть Р.	Некоторые молодые люди любят органную музыку.
Некоторые (или все) Р есть 5.	Некоторые любители органной музыки — молодые люди.
Только некоторые S есть Р. •*	Только некоторым из нас везет.
Все Р есть S.	Все, кому везет, — люди.
Частноотрицательные суждения не принято подвергать обращению, поскольку обычная перестановка местами субъекта и предиката искажает смысл исходного суждения. Например, ложным будет следующее обращение:
Некоторые разумные существа — не мошенники.
Некоторые мошенники — не разумные существа.
Преодолеть данное затруднение удается, если частноотрицательное суждение сначала превратить в частноутвердительное, перенеся отрицание со связки на предикат, и только затем совершить обращение и новое превращение для приведения к соответствию результата обращения исходному суждению.
Логические преобразования суждений
47
1.	Некоторые разумные существа — не мошенники (допущение).
2.	Некоторые разумные существа есть немошенники (1, превращение).
3.	Некоторые немошенники есть разумные существа (2, обращение).
4.	Некоторые немошенники не есть неразумные существа (3, превращение = обращение первого суждения).
Первое и четвертое суждения находятся в отношении обращения, и, добавим, противопоставления также.
Таким образом, полное понимание смысла простого суждения требует его обязательного обращения. Причина этого в асимметричной природе большинства простых суждений, требующих как прямого, так и обратного «прочтения» их содержания.
Противопоставление (контрапозиция) суждений
Каждое отношение субъекта к предикату порождает определенное отношение дополнения предиката к субъекту. Данное преобразование служит основной логической схемой рассуждения ученых, медиков и сыщиков: если истинно предположение Н, то должны быть истинны следствия (симптомы, улики, факты) £; но, если оказалось или было доказано, что следствия Е ложны, значит — сделанное предположение Я также ложно. Однако и обычные люди также рассуждают аналогичным образом: например, если вчера был вторник, стало быть, сегодня должна быть среда; но сегодня не среда. Следовательно, вчера был не вторник.
► Противопоставление (контрапозиция) — логическое преобразование, позволяющее:
1) по данному отношению субъекта к предикату находить отношение дополнение предиката к дополнению субъекта;
2) по данному отношению предиката к субъекту находить отношение дополнение субъекта к дополнению предиката.
Чтобы противопоставить суждение, необходимо сначала совершить его превращение и лишь затем провести обращение результата превращения. К этой последовательности необходимо добавить еще одно превращение, чтобы получить суждение, противостоящее исходному, но совпадающее с ним по своему качеству.
Полная формула противопоставления такова:
Противопоставление = превращение исходного суждения +
+ обращение результата превращения +
+ превращение результата обращения.
48
Часть I. Традиционная логика
Порядок, в котором должны совершаться преобразования справа от знака равенства, весьма существенен. Все другие комбинации не ведут к противопоставлению. Сравним следующие две последовательности преобразований.
1.	Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2.	Ни один храбрый человек не есть человек, не пользующийся уважением (1, превращение).
3.	Ни один человек, не пользующийся уважением, не является храбрым (2, обращение). '
4.	Все, не пользующиеся уважением, — нехрабрые люди (превращение 3 = противопоставление 1).
В приведенной последовательности первый и четвертый члены (суждения) противопоставлены. Но этого нельзя сказать о следующей последовательности преобразований.
1.	Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2.	Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди (1, обращение).
3.	Некоторые из пользующихся уважением не являются нехрабрыми людьми (2, превращение).
4.	Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди (3, превращение, не совпадающее с противопоставлением первого суждения).
Причиной отсутствия противопоставления во второй последовательности оказывается некоммутативность в общем случае превращения и обращения, т. е. их чувствительность к порядку выполнения действий.
Противопоставление общеутвердительных суждений совершается по следующим формулам.
Только S есть Р. Только лягушки квакают.
Только -iP есть ->5. Только те, кто не квакает, — не лягушки.
Все S есть Р.____уВсе кошки грациозны.________,_______
Все есть ->5. Все, кто не грациозен, — не кошка.
Противопоставление общеутвердительных суждений выявляет следующую закономерность. Если истинно, что субъект обладает некоторым признаком, обозначаемым предикатом, тогда должно быть истинно, что противоречащий ему признак присущ только дополнению субъекта.
Частноутвердительные суждения противопоставлению не подвергаются. Но использование общей формулы противопоставления, ко
Совместимые и несовместимые суждения
49
торая приводилась выше, позволяет применять данное преобразование и к ним. Результат противопоставления в этом случае совпадает с итогом обращения. Например, из суждения «Некоторые S есть Р» мы можем получить только суждение «Некоторые Р есть 5». Для выделительных частноутвердительных суждений сказанное также верно.
Следовательно, для частных суждений любого вида обращение и противопоставление представляют тождественные преобразования.
Противопоставление общеотрицательных суждений совершается по следующей схеме.
1.	Ни одно 5 не есть Р (допущение).
2.	Все S есть -Р (1, превращение).
3.	Некоторые -Р есть 5 (2, обращение).
4.	Некоторые -Р не есть (3, превращение = противопоставление с ограничением первого суждения).
Противопоставление, совершаемое по данной схеме, называется противопоставлением с ограничением, так как в этом преобразовании посылка (допущение) общая, а заключение частное.
Ни одно S не есть Р. Ни один стул не есть стол.
Некоторые -Р не есть -п5. Некоторые не столы не есть не стулья.
Противопоставление частноотрицательных суждений не имеет исключений. -
Некоторые S не есть Р. Некоторые мудрые счастливы.
Некоторые -Р не есть ->5. Некоторые несчастливые не есть немудрые люди.
Совместимые и несовместимые суждения
Как и понятия, суждения могут быть совместимыми и несовместимыми. Допустим, сравниваемые суждения имеют общий универсум и состоят из одинаковых терминов 5 и Р. Какие из них можно считать совместимыми, а какие — несовместимыми?
► Суждения совместимы полностью, если они могут быть вместе как истинны, так и ложны; совместимы частично, если они могут быть вместе только истинны.
► Суждения несовместимы полностью, если они не могут быть вместе истинны или ложны; несовместимы частично, если они не могут быть вместе истинны.
4-2724	I
50
Часть I. Традиционная логика
Требованию полной совместимости удовлетворяет несколько видов отношений между простыми суждениями.
► Любые два суждения совместимы полностью, если они:
1)	эквивалентны; или
2)	находятся в отношении одностороннего подчинения; или
3)	независимы друг от друга.
Объемы и содержания эквивалентных суждений полностью совпадают. Поэтому все эквивалентные суждения вместе либо истинны, либо ложны, либо неопределенны. Они порождаются с помощью превращения, обращения и противопоставления без ограничения.
Существуют суждения, между которыми устанавливается отношение одностороннего подчинения. Объем подчиняющего суждения полностью включен в объем подчиненного; содержание подчиняющего, наоборот, полностью включает содержание подчиненного суждения. По этой причине истинность всегда переносится от подчиняющего к подчиненному, но не наоборот, а ложность от подчиненного к подчиняющему — и только так. Все общие суждения подчиняют частные. Например, суждение «Все Sесть Р» подчиняет «Некоторые S есть Р», а «Ни одно 5 не есть Р» — суждение «Некоторые S не есть Р». Из истинности общего суждения всегда следует истинность подчиненного ему частного, но не в обратном порядке. Из ложности частного суждения всегда следует ложность подчиняющего его общего суждения, и не наоборот.
Объемы и содержания независимых понятий частично пересекаются. По этой причине независимые суждения могут быть истинны и ложны в любой комбинации. Из истинности или ложности какого-либо одного из независимых суждений не следует с необходимостью ни истинность, ни ложность всех остальных. Частичное пересечение содержаний независимых суждений свидетельствует, что они могут быть вместе ложны, а частичное пересечение их объемов — о том, что они могут быть вместе истинны.
Независимыми будут все суждения одинакового качества и количества с противоречащими или только субъектами, или субъектами и предикатами одновременно. Например, следующие пары суждений независимы: «Некоторые S есть Р» и «Некоторые -iS есть Р»; «Некоторые S есть Р» и «Некоторые -п5 есть -Р»; «Все S есть Р» и «Все -i5 есть Р»; «Все 5 есть Р» и «Все -i5 есть -Р».
Требованию частичной совместимости удовлетворяет одно отношение между простыми суждениями.
Совместимые и несовместимые суждения
51
►	Любые два суждения совместимы частично, если они могут быть вместе истинны, но не могут быть вместе ложны (т. е. они совместимы только по истине).
Объемы частично совместимых суждений частично пересекаются, а содержания — нет. Данный вид совместимости характерен для частных суждений, отличающихся друг от друга лишь качеством: «Некоторые 5 есть Р» и «Некоторые 5 не есть Р».
Требованию полной несовместимости удовлетворяет только один вид отношений между простыми суждениями.
►	Любые два суждения несовместимы полностью, если они находятся в отношении противоречия друг с другом.
Объемы и содержания противоречащих суждений не пересекаются, а вместе они исчерпывают универсум. По этой причине объем каждого из таких суждений образует содержание противоречащего ему суждения, а содержание каждого их них — объем противоречащего ему суждения соответственно. Противоречащие суждения должны состоять из одинаковых терминов, иметь противоположные связки и знаки количества. Например, противоречивы следующие пары суждений: «Все S есть Р» и «Некоторые 5 не есть Р». «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые^ есть Р».
Требованию полной несовместимости удовлетворяет также только один вид отношений между простыми суждениями.
►	Любые два суждения несовместимы частично, если они находятся в отношении противоположности друг с другом.
Объемы противоположных суждений не пересекаются, а содержания пересекаются, что и объясняет их свойства. Противоположные суждения не бывают вместе истинны, но могут быть вместе ложны. Противоположными способны оказаться только общие суждения с одинаковыми терминами и противоречащими связками. Например, в отношении противоположности находится следующая пара суждений: «Все 5 есть Р» и «Ни одно 5 не есть Р».
Допустим, сравниваемые суждения состоят из одинаковых терминов и имеют общий универсум. Существует простая методическая схема, позволяющая определять совместимые (кроме независимых) и несовместимые суждения, названная логическим квадратом (рис. 9).
Каждый угол логического квадрата соответствует определенному виду простого суждения. Поскольку есть только четыре вида простого суждения, то для символизации отношений между ними и был
4*
52
Часть I. Традиционная логика
Рис. 9. Логический квадрат
выбран квадрат. Если бы этих видов существовало больше или меньше, то потребовалась бы иная фигура.
Левая и правая диагонали логического квадрата соединяют противоречащие, т. е. полностью несовместимые, суждения.
Верхняя горизонтальная линия соединяет противоположные, т. е. частично несовместимые, суждения.
Левая и правая вертикальные линии соединяют суждения, находящиеся в отношении одностороннего подчинения (верхнее суждение подчиняет нижнее). Такие отношения полностью совместимы.
Нижняя горизонтальная линия соединяет частично совместимые суждения.
Независимые суждения, как следует из их определения, с помощью логического квадрата не сравниваются.
Логический квадрат вместе с превращением, обращением и противопоставлением позволяет решить и более общую задачу — определить истинность или ложность произвольного множества суждений, если известна истинность или ложность одного из них, которое участвует в сравнении.
Для этого с помощью указанных преобразований все сравниваемые суждения сначала приводятся к исходному виду, чтобы использовать логический квадрат (субъекты и предикаты суждений стоят на одинаковых местах). Затем методом попарного сравнения определяется, какие суждения эквивалентны, частично совместимы, противоречат, противоположны или соподчинены и независимы друг от друга.
Наконец, на основании установленных отношений между суждениями вычисляются значения истинности самих суждений (по правилам логического квадрата). В том случае, когда суждение нельзя квалифицировать ни как истинное, ни как ложное, оно считается неопределенным.
Рассмотрим пример.
Совместимые и несовместимые суждения
53
Допустим, необходимо установить значение истинности второго, третьего, четвертого и пятого суждения, если по условию задано, что первое суждение из следующего списка истинно (ложно).
1.	«Честность — лучшая политика» (Л. Кэрролл).
2.	Не всякая честность — лучшая политика.
3.	Не существует лучшей и честной политики.
4.	Никакая нечестная политика не является нелучшей.
5.	Единственная худшая политика — нечестная.
Сначала приводим первое суждение к нормальной форме: Все S есть Р, где S = «честная», Р = «лучшая» и U = «политика». Формализуем остальные суждения из списка, используя обозначения терминов первого суждения. Создадим таблицу значений истинности всех суждений в зависимости от значений истинности первого суждения, которые выделены полужирным шрифтом (табл. 2, Т обозначает истину, F — ложь).
Таблица 2
1	Все S есть Р	Т	F
2	Некоторые S есть -Р	F	Т
3	Ни один Р не есть S	F	?
4	Ни одно -15 не есть -Р	F	?
5	Только -пР есть -15	?	F
Объяснение: суждения 1 и 2 противоречат друг другу и совместно , исчерпывают универсум U = «политика». Следовательно, если одно из них истинно (ложно), другое будет ложно (истинно). Суждения 1 и 3 (что становится очевидным после обращения последнего) противоположны друг другу. Значит, если одно из них истинно, другое ложно, но обратное неверно. Кроме того, они оба могут быть одновременно ложны. Следовательно, если одно из них ложно, значение истинности другого неопределенное. Суждения 1 и 4 независимые: ни одно из них не определяет значение истинности другого. Но суждение 4 подчиняет суждение 2 (что очевидно после обращения обоих и последующего превращения суждения 4), значение истинности которого известно. Из ложности суждения 2 однозначно следует ложность суждения 4, а из истинности суждения 2 следует только неопределенность суждения 4. Суждение 1 подчиняется суждению 5
54
Часть I. Традиционная логика
(выявляется после противопоставления суждения 5). Значит, если суждение 1 истинно, суждение 5 неопределенно; а если оно ложно, то ложно и суждение 5.
Простые суждения и пустые классы
Выражая некоторое отношение между субъектом и предикатом, простое суждение негласно связано с допущением, что объемы субъекта и предиката не являются пустыми классами. Напомним, что объем какого-либо термина эквивалентен пустому классу, если и только если этот термин самопротиворечив или противоречит каким-то истинным положениям. Что изменится в истинностных свойствах простых суждений, если отказаться от требования непустоты объемов их терминов?
Для истинности общеутвердительного суждения достаточно выполнения любой одной из следующих возможностей:
♦	субъект и предикат истинные;
♦	только предикат истинный;
♦	субъект и предикат оба ложные.
Значит, суждение «На всех этих стульях можно сидеть» будет истинно не только тогда, когда нет одного из «этих стульев», но и тогда, когда вообще нет ни одного вида мебели, годного для сидения.
Для истинности общеотрицательного суждения достаточно выполнения одной из следующих возможностей:
♦	только субъект истинный;
♦	только предикат истинный;
♦	субъект и предикат оба ложные.
Значит, суждение «Ни на одном из этих стульев нельзя сидеть» будет истинным не только тогда, когда нет ни одного из «этих стульев», но и тогда, когда имеются какие-то виды мебели, пригодные для сидения.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение ложно, потому что для его истинности необходимо, чтобы субъект и предикат были оба истинны хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». Данное суждение ложно в том случае, когда только предикат ложный или когда субъект и предикат оба ложные.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суж
Коммуникативная природа суждений
55
дение ложно, так как для его истинности требуется одновременная истинность субъекта и дополнения предиката хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». При всех остальных комбинациях это суждение также ложно.
Сопоставив полученные результаты, получаем следующие выводы.
1.	Общеутвердительные и общеотрицательные суждения при допущении пустых классов более не будут противоположными, потому что могут быть вместе истинны.
2.	Частноутвердительные и частноотрицательные суждения при допущении пустых классов не являются более частично совместимыми, так как могут быть вместе ложными.
3.	Общеутвердительные суждения при допущении пустых классов более не подчиняют частноутвердительные, а общеотрицательные суждения более не подчиняют частноотрицательные, поскольку общие суждения могут быть истинны, а частные ложны одновременно. Становится незаконным обращение с ограничением общеутвердительных суждений и контрапозиция с ограничением общеотрицательных суждений.
4.	Отношение противоречия между соответствующими параметрами общих и частных суждений сохраняет свою силу. Законными остаются и все логические преобразования, не ведущие к ограничению своих результатов.
5.	Логический квадрат редуцируется к следующей системе отношений, на которой отсутствие линии между какими-либо точками означает отсутствие логических отношений между ними (рис. 10).
Все S есть Р Ни одно S не есть Р противоречие
Некоторые S есть Р	Некоторые S не есть Р
Рис. 10. Логический квадрат с пустыми терминами
Коммуникативная природа суждений
Суждения выражают отношения не только между мыслимыми предметами и явлениями, но и между индивидами, адресующими эти суж
56
Часть I. Традиционная логика
дения друг другу. В отношениях последнего вида проявляется коммуникативная природа суждений — их использование для сообщения и получения новой информации.
Характерной чертой всякой коммуникации представляется начальное познавательное неравенство тех, кто сообщает информацию, и тех, кто ее получает. Именно оно создает стимул для объединения источника информации и ее потребителя в одно коммуникативное целое.
Книга прочитывается до конца только в том случае, если она сообщает нечто новое как для ума, так и для сердца. В противном случае никакого диалога писателя с читателем быть не может.
В процессе коммуникации, т. е. передачи информации, происходит выравнивание информационного потенциала участвующих сторон. И как только это случается, коммуникация лишается своего основного стимула и информационного смысла. Ее особенности от^ ражаются и в структуре суждений — в особом коммуникативном статусе субъекта и предиката, в их информационном различии.
Коммуникативное назначение субъекта суждения состоит в том, чтобы обозначать новое знание, истинность которого еще требует своего доказательства, а предиката, наоборот, — обозначать старое, известное знание, истинность которого уже доказана. Коммуникативный смысл суждения в целом выражается в связи со старым, в синтезе того, что известно, исследовано, с тем, что еще не известно, не исследовано. Стало быть, высказывать суждение означает определять, доказывать, объяснять, истолковывать нечто новое, проблематичное на основании известного, непроблематичного, разделяемого всеми участниками коммуникативного процесса.
Чтобы суждение выполнило свою коммуникативную задачу, оно должно удовлетворять следующим требованиям.
Во-первых, субъект суждения должен обозначать либо новое, ранее неизвестное знание, либо известное, но по каким-то причинам требующее нового истолкования, объяснения, доказательства. В любом случае субъект суждения должен представлять познавательную или эмоциональную проблему, трудность, загадку, а его предикат соответственно — решение проблемы, преодоление затруднений, отгадку. В противном случае нет причины коммуникации и ее главного результата — получения новой информации. В утверждении «Любовь есть сон» (Ф. И. Тютчев) субъект «любовь» обозначает именно загадку, тогда как предикат «сон» — ее (очередную) отгадку. Ученый, десятки раз ставивший какой-либо опыт и получавший одинаковые
Коммуникативная природа суждений
57
результаты, не может не заинтересоваться исходом, ранее не имевшим места. В этом случае именно новый результат становится предметом дальнейшего анализа ученого, целью продолжения его коммуникации с природой.
Во-вторых, чтобы объяснение, понимание, истолкование и другие формы коммуникации состоялись, необходимо, чтобы предикат суждения был более известен, нежели его субъект. Мать, объясняющая маленькому сыну, что «Тигр — это большая полосатая кошка», предполагает: малышу известно, что такое кошка, что такое полосы, что такое большое животное (большой предмет). В противном случае коммуникация невозможна, как, например, в рассказе А. П. Чехова «Экзамен на чин», когда на вопрос экзаменатора: «Какое правление в Турции?» был дан ответ: «Известно какое... турецкое».
В-третьих, предикат суждения должен быть менее проблематичным, чем субъект, т. е. должен иметь больше оснований считаться истинным знанием. В противном случае предикат не может выполнить функцию аргумента, обосновывающего истинность субъекта суждения. Так, по мнению героя рассказа А. П. Чехова «Письмо к ученому соседу», жизнь людей на Луне невозможна, в частности, потому, что последняя «существует только ночью, а днем исчезает». Этот аргумент соответствует показаниям наших органов чувств, но он ложный с позиции нашего разума.
В-четвертых, предикат суждения должен признаваться истинным всеми участниками коммуникации. Иначе одни и те же факты, положения могут оцениваться одновременно как истинные и как ложные. На вопрос Джульетты, как Ромео попал в ее сад, последний отвечает:
Я перенесся на крыльях любви:
Ей не преграда — каменные стены, Любовь на все дерзает, что возможно, И не помеха мне твои родные.
Любовь выступает в глазах Ромео и Джульетты тем единственным аргументом, которым только и можно объяснить их неожиданную и опасную встречу. Любое наказание достигает своей цели только тогДа, когда его справедливость признается не только теми, кто наказывает, но и тем, кого наказывают.
Выполнение указанных требований гарантирует эффективность коммуникации: новое знание, сообщаемое субъектом, будет принято или не принято в старое, обозначаемое предикатом.
58
Часть I. Традиционная логика
Дедуктивные умозаключения
Определение умозаключения
Если понятия — атомы, а суждения — молекулы нашей умственной деятельности, то, завершая предложенную аналогию, нужно сказать, что умозаключения — основная форма нашей умственной деятельности. Рассуждать, задавать вопросы, искать ответы, объяснять, предсказывать, доказывать, опровергать, убеждать, подвергать сомнению, просить, требовать, разрешать, запрещать — все эти и другие формы мыслительной деятельности имеют вид определенных умозаключений. Мы вправе поэтому утверждать, что мыслить и делать умозаключения — одно и то же.
► Умозаключение — способность мышления получать новое знание на основании знания известного.
Возможность в процессе умозаключения выявлять новое знание обусловлена синтезом логики классов, или понятий, и логики отношений, или суждений. Сохраняя до известной степени свои особенности, обе логики так доплняют друг друга, что создается в большей мере универсальная логика умозаключений. Синтез здесь, в частности, означает, что достигается равновесие между отрицанием как дополнением, характерным для логики классов, и отрицанием как снятием различия, присущим логике отношений. Оба вида отрицания образуют единую систему обратимых преобразований, обладающую свойством самодостаточности. Наше мышление на уровне умозаключений оказывается способным осуществлять без каких-либо принципиальных ограничений все преобразования с классами и отношениями и тем самым строить максимально общие модели исследуемой реальности.
Мышление, достигнув способности конструировать умозаключения, становится формальным, или символическим, в полном смысле этого слова. Непосредственный анализ действительности, свойственный, например, детям в раннем возрасте, заменяется анализом понятий и суждений о реальности. Мы не проверяем лично, да и большей частью не способны сделать это физически, все, что нам сообщается. Но мы можем установить истинность или ложность требуемых суждений в процессе умозаключений. Вряд ли когда-либо удастся измерить температуру внутри Солнца непосредственно. Однако с определенной погрешностью это можно сделать с помощью соответствующих умозаключений, не покидая поверхности Земли,
Дедуктивные умозаключения
59
Благодаря умению делать умозаключения человек преодолевает свою привязанность к наблюдению как к самому достоверному источнику знания. Формальный характер умозаключений открывает перспективы познания ненаблюдаемой, но не менее реальной сферы нашего бытия, какой предстают законы природы и общества. Процесс познания, насколько свидетельствует история, возможен лишь при совершенствовании формальной стороны нашего мышления.
Благодаря способности и умозаключениям мышление человека, и это связано с развитием его формальной способности, приобретает гипотетический характер. Каждый объект мыслится не только каким он «есть», но и каким бы он «мог быть» и каким «может быть». Другими словами, каждый объект мыслится в единстве со всеми возможностями своего прошлого, настоящего и будущего бытия. Возможное, гипотетическое играет в мышлении не меньшую роль, чем действительное, достоверное. Реальность всегда открывается мыслящему уму в виде комбинаций каких-то вероятностей, которые он формулирует в гипотезах, предположениях и из которых он стремится выбрать наиболее правдоподобную.
Умение мыслить реальность как принципиально гипотетическую систему событий связано с комбинаторной природой человеческого мышления, с его способностью строить классификации классификаций и тем самым учитывать все возможные альтернативы развития.
Пусть А обозначает суждение «Подул сильный ветер», В — суждение «Тучи заволокли небо». Обычная дихотомическая классификация этих суждений приводит к следующему:
1)	А и В оба истинны;
2)	А истинно и В ложно;
3)	А ложно и В истинно;
4)	Л и В оба ложны.
Если полученные результаты подвергнуть новой классификации по основанию «существует», то получим 24 = 16 возможностей рёа-лизации событий, обозначаемых суждениями Л и В. В это множество попадает как та альтернатива, согласно которой оба события имеют место, так и та, согласно котдрой ни одно из них не существует. Таким образом, мы получаем не только 16 гипотез о возможности развития событий, но и, что самое главное, исчерпывающий перечень логических взаимосвязей суждений Л и В. Это означает, что сформулировать какое-либо суждение о связи Л и В — значит выбрать из множества всех альтернатив некоторое подмножество. Иными ело-
60
Часть I. Традиционная логика
вами, умозаключать — это выбирать, решать определенную комбинаторную задачу.
Структура умозаключения
В каждом умозаключении можно выделить:
1)	суждения, обозначающие исходное знание и называемые посылками]
2)	суждения (суждение), обозначающие новое знание и называемые заключениями;
3)	подразумеваемые или явно сформулированные правила получения нового знания из данного (заключения из посылок).
В повседневных рассуждениях такие правила обычно только подразумеваются. При логическом анализе они тщательно обсуждаются и формулируются.
Исходное знание может касаться либо причин, законов, либо их следствий. Соответственно новое знание также может быть двояким. Если нам известны причины, то новым будет знание их следствий, а если известны следствия, то — их причин.
Виды умозаключений
В зависимости от того, ищем ли мы по известным причинам их следствия или, наоборот, по известным следствиям их возможные причины, принято различать два вида умозаключений — дедуктивные и недедуктивные.
►	Дедуктивное умозаключение — вывод необходимых следствий из известных причин.
Умозаключать дедуктивно (от лат. deductio — «выведение») означает не что иное, как умение находить (выводить) необходимые следствия из данных суждений. Поэтому дедукцию иногда определяют как обоснование необходимых условий истинности данного знания.
Недедуктивные умозаключения имеют обратный характер: с их помощью на основании известных следствий ищут вероятные причины.
►	Недедуктивное умозаключение — вывод возможной причины на основании известных следствий.
Среди недедуктивных умозаключений важнейшими считаются индуктивное умозаключение и умозаключение по аналогии. Типичным примером первого, или индукции (от лат. inductio — «наведе
Отношение логического следования
61
ние»), служит поиск для наблюдаемых фактов объясняющих их причин и законов. Поскольку никакого однозначного пути от фактов к их причинам или законам нет, то процесс индукции, в сущности, есть выдвижение догадок, гипотез, их последующей проверки и выбора наиболее правдоподобной.
Если некоторое событие объясняется или предсказывается на основании структурного, функционального или какого-то другого сходства с другиЫ и уже изученным событием, то в этом случае имеет место умозаключение по аналогии, или просто аналогия (от греч. analogia — «соответствие, сходство, подобие»). Делать недедуктивные умозаключения означает или искать возможные причины, или предсказывать что-либо на основании возможных причин. В любом случае отличительным признаком недедуктивных умозаключений будет поиск достаточных условий истинности исходного или предсказываемого знания.
Итак, выделяют две разнонаправленные стратегии познания. Одна из них сводится к обоснованию необходимых условий нашего знания и осуществляется посредством дедуктивных умозаключений. С помощью дедукции из принятых аксиом мы выводим теоремы, из установленных законов или причин — их необходимые следствия. Если посылки истинны, правила вывода также истинны, то и дедуктивные заключения необходимо истинны. Обратная стратегия состоит в открытии по крайней мере достаточных условий нашего знания. Двигаться в этом направлении означает делать догадки, выдвигать гипотезы, испытывать их и отбирать наиболее правдоподобные. Здесь не может быть, как правило, достоверных заключений, но только вероятные. С помощью индукции и аналогии мы открываем новые законы и причины, качественно расширяя сферу нашего знания.
Указанные стратегии исчерпывающие. Относительно любого события они проясняют ответы на такие вопросы, как: «Почему оно произошло?», «Что следует ожидать от его осуществления?». Эти вопросы, как и ответы на них, характеризуют самые существенные элементы нашего понимания любой вещи. Ибо понимать — это знать причины и их следствия.
Отношение логического следования
Сущность всех дедуктивных умозаключений составляет отношение логического следования, выражаемое в простейшем случае утверждением «Суждение р есть необходимое следствие суждения а». Именно
62
Часть I. Традиционная логика
это отношение обусловливает то положение, что какое-либо суждение становится необходимым следствием других суждений, а также и себя самого. Только благодаря отношению логического следования дедуктивные умозаключения в случае истинности своих посылок способны сохранять истину. Если нет логического следования одних суждений из других, то нет и дедуктивного умозаключения. Когда умозаключение дедуктивное, наличествует и отношение логического следования, есть посылки и заключения.
Логическое следование упорядочивает все суждения таким образом, что некоторые из них выполняют функцию посылок, а остальные — функцию их дедуктивных заключений.
► Заключение называется дедуктивным, если и только если оно необходимое следствие всех посылок.
► Следствие называется необходимым, если и только если его дополнение (Логическое отрицание) несовместимо с посылками.
Пусть аир — это произвольные множества суждений (в простейшем случае аир обозначают суждения). Справедливо следующее определение, в котором все три условия взаимозаменяемы:
► р логически следует из а (Р — дедуктивное заключение посылок а), если и только если:
1)	р — необходимое следствие а;
2)	если а истинно, то Р также истинно;
3)	объем а полностью включен в объем р (содержание р полностью включено в содержание а).
Данное определение распространяется как на понятия, так и на суждения и умозаключения. Отношение логического следования образует фундамент всей логики (классической и неклассической). Различными могут только способы вывода заключений, удовлетворяющие этому отношению, но само оно остается незыблемым основанием логики как науки об открытии, обосновании и сохранении истины.
Достаточно ли одной дедукции для познания природы?
Нет, недостаточно. Отношение логического следования в случае истинности посылок гарантирует истинность заключения. На этом основании многие рационалисты считали, что при выборе надлежащих посылок одних только дедуктивных рассуждений достаточно для познания всей природы. Но оправданны ли эти надежды?
Простые суждения и деревья	63
Дедуктивные умозаключения действительно обеспечивают перенос истинности с посылок на заключение, но при этом теряется логическая информация. При последовательном выведении следствий каждое новое из таковых не может исключать больше, нежели ему предшествующее. Поэтому чем длиннее цепь дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее из них.
Своеобразным пределов^ дедуктивного рассуждения выступает логически истинное суждение. Информативность таких суждений равна нулю. Следовательно, все попытки получить знание о мире с помощью одной только дедукции обречены — по крайней мере информационно бесплодны.
Простые суждения и деревья
Существует большое число методов вывода необходимых следствий из посылок. Среди них наиболее известны следующие.
1.	Традиционный метод сведения дедуктивных умозаключений к правильным фигурам и модусам, восходящий к Аристотелю, позже усовершенствованный средневековыми логиками и до сих пор доминирующий в учебной литературе.
2.	Метод кругов Л. Эйлера.
3.	Метод диаграмм Дж. Венна.
4.	Метод диаграмм и метод индексов Л. Кэрролла.
5.	Метод семантических таблиц.
Традиционный метод требует механического запоминания большого числа правил, фигур и модусов. Кроме того, он применим к суждениям с терминами без знаков отрицания. Методы кругов Л. Эйлера, диаграмм Дж. Венна и Л. Кэрролла более эффективны, но требуют при решении задач использования большого числа рисунков. Метод индексов Л. Кэрролла представляет аналитический вариант его же метода диаграмм и при большом числе посылок плохо поддается контролю. Использование метода семантических таблиц невозможно без предварительного знания определенных разделов символической логики, что в значительной степени лишает традиционную логику самодостаточности.
Учитывая отмеченные ограничения, ниже предлагается простой, но чрезвычайно эффективный метод поиска дедуктивных следствий. Он представляет усовершенствование метода диаграмм Л. Кэрролла
64
Часть I. Традиционная логика
и основан на следующем фундаментальном свойстве логического квадрата:
► Истинность любого общего суждения эквивалентна истинности подчиненного ему частного суждения и ложности противоречащего ему частного суждения.
Из истинности общеутвердительного суждения «Все S есть Р» следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые S есть Р» (это доказывает существование хотя бы одного объекта, обладающего свойствами S и Р) и ложность противоречащего ему частного суждения «Некоторые S не есть Р» (доказывает невозможность существования ни одной вещи, обладающей свойствами S и -Р).
Из истинности общеотрицательного суждения «Ни один 5 не есть Р» следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые 5 не есть Р», что доказывает существование по крайней мере одной вещи, обладающей свойствами S и -Р, и ложность противоречащего ему суждения «Некоторые S есть Р», что доказывает невозможность существования ни одной вещи, обладающей свойствами 5 и Р.
Из истинности частного суждения «Некоторые S есть Р» следует существование хотя бы одного объекта со свойствами S и Р, но не следует никакой информации относительно существования объектов со свойствами S и -Р.
Из истинности частного суждения «Некоторые S не есть Р» следует существование по меньшей мере одной вещи со свойствами S и -Р, но не следует никакой информации относительно существования вещей со свойствами 5 и Р.
Указанное свойство логического квадрата фактически означает редукцию истинности общих суждений к определенному распределению значений истинности частных суждений. Это также значит, что частные суждения служат элементами объемов и содержаний простых суждений. Соответственно, каждое простое суждение можно символизировать в качестве определенной структуры, которую мы будем называть деревом означенных частных суждений.
В качестве основы символизации изберем частные суждения «Некоторые S есть Р» и «Некоторые S не есть Р». Они отличаются друг от друга только типом связки. Если суждение «Некоторые S не есть Р» подвергнуть превращению, отрицание со связки перейдет на предикат и мы получим эквивалентное ему суждение «Некоторые S есть —Р».
Суждения «Некоторые S есть Р» и «Некоторые S есть -Р» имеют общий субъект S и противоречащие предикаты Р и -Р. Их объединение в общую структуру называется деревом (рис. И).
Простые суждения и деревья
65
5
Р
Рис. 11. Пример дерева
Термин S выступает общим субъектом для обоих суждений, поэтому он поставлен на вершину дерева. Предикаты Р и -iP несовместимы друг с другом, но оба связаны с термином 5. Эта часть информации символизируется как расхождение ветвей дерева из общей вершины 5.
Однако изображение на рис. 11 еще ничего не проясняет в логических свойствах самих суждений и дерева в целом. Для этого ветви дерева должны быть обозначены определенными знаками истинности.
Пусть знак «+» обозначает истинность частного суждения, «о» — его ложность, «?» — его неопределенность. Существует четыре вида простых суждений. Каждый из них может быть представлен посредством определенной комбинации знаков «+», «о» и «?».
Результаты символизации простых суждений (с итогами их превращения) с учетом существования и несуществования субъекта S и предиката Р представлены ниже.
Все Sесть Р Ни одно 5 не есть -Р
Р -Р
•	Существует хотя бы одна вещь со свойствами 5 и Р (левая ветвь).
•	Не существует ни одной вещи со свойствами S и -Р (правая ветвь).
Ни одно 5 не есть Р Все 5 есть —Р р -р
•	Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и -тР (правая ветвь).
•	Не существует ни одной вещи со свойствами S и Р (левая ветвь).
Некоторые S есть Р Некоторые S не есть -Р
Р -*Р
Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и Р (левая ветвь). Информация о существовании вещей со свойствами 5 и -Р отсутствует (правая ветвь).
5-2724
66
Часть I. Традиционная логика
Некоторые 5 не есть Р Некоторые S есть -чР
?Л+
Р -.Р
•	Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и -тР (правая ветвь).
•	Информация о существовании вещей со свойствами 5 и Р отсутствует (левая ветвь).
Одно из преимуществ изображения простых суждений в форме деревьев — возможность их одновременного прочтения как утвердительных, так и отрицательных.
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы)
Дедуктивные умозаключения, в которых ровно две посылки, принято называть простыми силлогизмами (от греч. syllogismos — «сосчитывай ие», «выведение»):
Эта водоплавающая птица не крякает.
Все утки крякают.
Эта водоплавающая птица — не утка.	’
Посылки отделяются от заключения, как правило, горизонталь- , ной чертой — графическим символом отношения логического следования. Силлогизм в целом читается следующим образом: если истинны посылки «Эта водоплавающая птица не крякает» и «Все утки 1 крякают», то необходимо истинно заключение «Эта водоплавающая । птица — не утка».
Теорию силлогизмов создал Аристотель. Позже средневековые ' схоласты придали ей совершенный по тем временам вид учебной ! дисциплины, и с тех пор решение силлогизмов стало важнейшей ча-; стью любого пособия по традиционной логике.	*
Формальное определение простого силлогизма таково:
i
►	Три суждения образуют простой силлогизм, если:	i
1)	три различных термина силлогизма (А, В и С), возможно со знака-1 ми отрицания, представляют собой независимые понятия с одним i общим универсумом 17;
2)	одна из посылок содержит субъект заключения (А) и исключаемый термин (В), другая — предикат заключения (С) и исключаемый термин (В);
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы)
67
3)	исключаемый термин (В) отсутствует в заключении;
4)	все суждения связаны отношением логического следования таким образом, что одно из них (заключение) есть необходимое условие истинности двух других (посылок).
При решении силлогизмов существенное значение имеет выполнение пункта 1 приведенного определения, т. е. нахождение ближайшего общего универсума для всех трех терминов.
Аксиома силлогизма
А обозначает субъект заключения, В — исключаемый (средний) термин, С — предикат заключения. Функция исключаемого термина в том, чтобы связать субъект и предикат заключения в одно смысловое целое согласно следующей аксиоме силлогизма:
Из А следует В, и из В следует С.
Из А следует С.
Аксиома силлогизма утверждает, что если термины А и С связаны термином В, последний может быть исключен из дальнейшего анализа.
Порядок посылок в силлогизме несущественен, впрочем, нёсуще-ственно и то, каким термином — А или С — обозначается субъект заключения. Однако для любого силлогизма важно правильное определение исключаемого термина В. Чтобы корректно определить последний, нужно найти понятие, входящее в обе посылки, возможно со знаком отрицания, или без него. Других таких понятий в силлогизме не должно быть.
В примере с птицами: А = «птицы, принадлежащие к классу “этих водоплавающих”», В = «птицы, которые крякают», С = «птицы, являющиеся утками», U = «птицы». В символической записи силлогизм выглядит следующим образом:
Ни одно А не есть В.
Все С есть В.
Ни одно А не есть С.
Виды заключений
Все заключения подразделяются на несколько видов согласно следующему определению.
► Заключение называется прямым, если оно начинается с буквы А; противоположным, если оно начинается с отрицания буквы А, т. е. с -А',
5*
68
Часть I. Традиционная логика
обратным, если начинается с буквы С; обратно противоположным, если оно начинается с отрицания буквы С, т. е. с -»С.
Обратное заключение представляет результат обращения, противоположное — результат отрицания субъекта прямого заключения, обратно противоположное — результат противопоставления прямого заключения.
Прямое, обратное, обратно противоположное (или противоположное) заключения вместе исчерпывают все возможные виды решений силлогизма.
Правила решения простых силлогизмов
В правилах решения простых силлогизмов удобно выделить правила построения силлогистического дерева (табл. 3) и правила вывода заключения (табл. 4).
Таблица 3
Правила построения силлогистического дерева
1.	Если опыт или интуиция сразу не подсказывают решение силлогизма, последовательно создаются его деревья для вывода заключения произвольного вида и в любом порядке.
2.	Дерево силлогизма считается законченным, если и только если при его создании использованы все посылки.
3.	Дерево силлогизма строится из деревьев посылок согласно приведенным шаблонам с использованием формул превращения, обращения и противопоставления. Дерево частной посылки всегда выбирается в качестве вершины дерева силлогизма.
4.	Продолжается только та ветвь, которая отмечена знаком «+». Ни одна из ветвей, отмеченных знаками «о» или «?», далее не используется.
5.	Вершиной и конечными узлами силлогистического дерева могут быть только А, —А, С или -.С (и никогда буквы В или -J3).
Таблица 4
Правила вывода заключения
1.	Если в верхней и нижней частях силлогистического дерева — только знаки «+» и «о», то заключение может быть как общим, так и частным.
2.	Если в верхней части дерева — знаки «+» и «?», а в нижней — «+» и «о», то заключение может быть только частным.
3.	Ничего не следует из данной формы дерева силлогизма в качестве необходимого заключения, если:
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы)
69
а)	оно не может быть закончено из-за появления в верхней части двух знаков «?»;
б)	в его нижней части имеется хотя бы один знак «?».
4.	Силлогизм в целом не имеет решения, если и только если нет прямого, обратного и обратно противоположного (или противоположного) заключения.
Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов, посылки которых не интерпретированы в естественном языке.
1.	Доказать выводимость прямого заключения из следующих посылок:
Ни одно А не есть -В.
Ни одно В не есть С.
Ни одно А не есть С.
Доказательство:
А
В о/\+
С
2.	Доказать выводимость противоположного заключения из следующих посылок:
Все В есть -Л.
Все С есть -В.
Некоторые -А не есть С.
Доказательство (после обращения первой и противопоставления второй посылок):
3.	Доказать выводимость обратного заключения из следующих посылок:
Все В есть -Л.
Некоторые С не есть -В.
Некоторые С не есть А.
70
Часть I. Традиционная логика
Доказательство (после превращения второй посылки):
с
в -в о/\+
А -А
Решение простых силлогизмов, чьи посылки сформулированы в естественном языке
Для решения силлогизма, чьи посылки сформулированы в естественном языке, их сначала необходимо привести к нормальной форме. Кроме того, требуется определить универсум силлогизма и найти исключаемый термин. Следующий алгоритм позволяет быстро и надежно привести любой силлогизм к виду, удобному для формального решения.
Таблица 5 Алгоритм решения простого силлогизма
1.	Формулируем посылки силлогизма.
2.	Приводим обе посылки к нормальной форме. Если невозможно определить ближайший общий универсум силлогизма, значит данный силлогизм решения не имеет.
3.	Формализуем посылки. Ищем понятие, которое входит в обе посылки в утвердительной и/или отрицательной форме. Если такое понятие есть и оно единственное, то это исключаемый термин. Обозначаем его буквой В. Если такого понятия нет или оно не единственное, то данный силлогизм решения не имеет.
Рассматриваем первую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как субъект заключения и обозначаем буквой А.
Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как предикат заключения и обозначаем буквой С.
4.	Создаем дерево силлогизма и решаем силлогизм.
5.	Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с символического языка на естественный.
Рассмотрим несколько примеров.
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы)
71
Пример 1
Посылки	Боль подтачивает силы человека. Никакая боль не желательна.
Нормальная форма посылок	Все ощущения, называемые болью, есть ощущения, подтачивающие силы человека. Ни одно ощущение, называемое болью, не есть ощущение, которое желательно.
Формализация посылок	U = «ощущения», В - «болезненные», А = «подтачивающие силы человека», С = «желательные». Все В есть А. Ни одно В не есть С.
Дерево силлогизма	А В	-,В с \с
Решение силлогизма	Все В есть А. Ни одно В не есть С. Некоторые А не есть С.
Интерпретация силлогизма	Боль подтачивает силы человека. Никакая боль не желательна.
	Некоторые ощущения, которые подтачивают силы человека, нежелательны.
V
Пример 2
Посылки	Все невнимательные люди совершают оплошности. Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний.
Нормальная4 форма посылок	Все невнимательные люди есть люди, совершающие оплошности. Ни один внимательный человек не есть человек, забывающий свои обещания.
Формализация посылок	U = «люди», В = «внимательные», А = «совершающие оплошности», С = «забывающие свои обещания».
72
Часть I. Традиционная логика
Окончание примера 2
	Все -хВ есть А. Ни одно В не есть С.
Дерево силлогизма	В	-В С	-,С
Решение силлогизма	Все -1В есть А. Ни одно В не есть С. Все -А есть ->С.
Интерпретация силлогизма /	Все невнимательные люди совершают оплошности. Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний. Тот, кто не совершает оплошностей, не забывает свои обещания.
Пример 3
Посылки	Некоторые сорта герани красного цвета. Все эти цветы красные.
Нормальная форма посылок	Некоторые сорта герани — цветы красного цвета. Все эти цветы красного цвета.
Формализация посылок	U = «цветы», В = «красного цвета», А = «сорта герани», С = «эти». Некоторые А есть В. Все С есть В,
Дерево вывода прямого заключения	А В X С	1 -.С
Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложные силлогизмы)
73
Дерево вывода обратного заключения Дерево вывода противоположного заключения	С В	-тВ A	-Л ?/Z\? В	-лВ
Нет решения	Некоторые А есть В. Все С есть В.
	?
Интерпретация силлогизма	Некоторые сорта герани есть цветы красного цвета. Все эти цветы красного цвета. ?
Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложные силлогизмы)
Силлогизм называется сложным, если в нем более двух посылок. Посылки сложных силлогизмов формулируются, как правило, в виде общих суждений. Возможен также вывод и с одной частной посылкой, если она образует вершину дерева силлогизма. Среди сложных силлогизмов принято выделять разные виды. Но, как будет показано, подобное излишне, поскольку существует единый способ решения сложных силлогизмов любого вида.
Правила решения сложных силлогизмов
Рассмотренный пример позволяет сформулировать следующий алгоритм решения сложных силлогизмов (табл. 6).
Поскольку сложный силлогизм — это умноженный простой, то правила вывода заключения не имеют принципиальных отличий от соответствующих правил для простых силлогизмов. Можно указать на две особенности. Во-первых, для них обратная и обратно противоположная форма силлогистического дерева совпадают. Во-вторых,
74
Часть I. Традиционная логика
частные посылки в таких силлогизмах, как правило, отсутствуют. В противном случае силлогизм не имеет решения.
Таблица 6
Алгоритм решения сложного силлогизма
1.	Формулируем посылки сложного силлогизма.
2.	Приводим посылки к нормальной форме.
3.	Определяем универсум силлогизма и обозначаем термины в алфавитном порядке латинскими буквами.
4.	Записываем все посылки в символической форме и решаем силлогизм.
5.	Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с символического языка на естественный.
Рассмотрим пример.
Посылки	1.	Мои кастрюли — единственные из принадлежащих мне вещей, которые сделаны из олова. 2.	Все ваши подарки чрезвычайно полезны. 3.	Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы.
Нормальная форма посылок	1.	Только некоторые из моих вещей, именно кастрюли, есть вещи, которые сделаны из олова. 2.	Все мои вещи, являющиеся вашими подарками, есть чрезвычайно полезные вещи. 3.	Ни одна моя вещь, являющаяся кастрюлей, не есть вещь, которая полезна.
Формализация посылок	U = «мои вещи», А = «кастрюли», В = «сделанные из олова», С - «ваши подарки», D = «чрезвычайно полезные». 1.	Все В есть А. 2.	Все С есть D. 3.	Ни одно А не есть D.
Дерево силлогизма	С D	-J9 o///\s+ А	-А В	—В
Восстановление посылок в энтимемах
75
Решение силлогизма	1.	Все В есть А. 2.	Все С есть D. 3.	Ни одно А не есть В. Все С есть -чВ.
Интерпретация силлогизма •	1.	Мои кастрюли — единственные из принадлежащих мне вещей, которые сделаны из олова. 2.	Все ваши подарки чрезвычайно полезны. 3.	Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы.
	Ваши подарки сделаны не из олова.
Восстановление посылок в энтимемах
Выведение заключений или необходимых следствий из данных посылок составляет прямую и основную задачу дедуктивного умозаключения, но не единственную. Обратной задачей будет нахождение всех или некоторых посылок, из которых следует данное заключение. Необходимость подобного решения продиктована тем, что большинство наших рассуждений имеет сокращенный характер. Многие посылки не отмечаются из-за их очевидности. Подобные рассуждения принято называть энтимемами.
► Энтимема — умозаключение с пропущенными посылками.
Если требуется найти все посылки для данного заключения, то мы сталкиваемся с задачей его доказательства. Если только некоторые, речь идет о восстановлении посылок как таковом.
Допустим, дано умозаключение: «Раб есть человек, а потому не следует держать его в неволе». Приведем его к нормальной форме: U = «существа», В = «люди», А = «р^бы», С = «которых следует держать в неволе»;
Все рабы есть люди.	Все А есть В.
Ни один раб не есть существо, которое	Ни одно А не есть С.
следует держать в неволе.
Очевидно, что из указанной посылки «Все А есть В» заключение «Ни одно А не есть С» не может следовать с необходимостью и требуется по крайней мере еще одна посылка для его вывода.
76
Часть I. Традиционная логика
Как восстановить недостающую(-ие) посылку(-и)? Сначала исследуем заключение «Ни одно А не есть С». Оно представляет общее суждение. Следовательно, все посылки также должны быть общими суждениями. Посылка «Все А есть В» удовлетворяет этому условию.
Обращаем также внимание, что субъекты посылки и заключения совпадают. Стало быть, дерево посылки должно стать верхней частью, а дерево заключения после замены субъекта Л на В (так как истинно, что все А есть В) — нижней частью объединенного дерева:
Дерево заключения
Дерево посылки
Чтение нижней части объединенного дерева дает нам требуемую посылку — «Ни одно В не есть С», или «Ни одного человека не следует держать в неволе». Восстановленный силлогизм выглядит следующим образом:
Все рабы есть люди.	Все А есть В.
Ни одного человека не следует держать Ни одно В не есть С. в неволе.
Ни один раб не есть существо, которое Ни одно А не есть . С. следует держать в неволе.
Таким образом, восстановление пропущенной посылки и, следовательно, силлогизма было сведено к построению объединенного дерева на основании информации, содержащейся в заключении и посылке.
Двух посылок оказалось достаточно, чтобы получить заключение «Ни одно А не есть С». Но ничто не мешает получить это же заключение из большего числа посылок, построив соответствующий сложный силлогизм.
Допустим, нас не удовлетворяет выявленная посылка «Ни одного человека не следует держать в неволе» отсутствием основания такого суждения. Рассуждаем следующим образом. Необходимый признак каждого раба — «быть человеком». Сйязь обоих признаков зафиксирована первой посылкой. Задаем вопрос: какой признак человека несовместим с его жизнью в неволе? Возможным ответом мо
Восстановление посылок в энтимемах
77
жет быть следующий: право на свободу, если оно не создает угрозы для общества. Поскольку все посылки должны быть общими, получаем сложный силлогизм (термин D обозначает указанный выше признак):
Все рабы есть люди.	Все А есть В,
Ни одного человека не следует держать	Ни одно В не есть С.
в неволе.
Ни одно существо, обладающее правом Ни одно D не есть С. на свободу, если оно не создает угрозы для общества, не есть существо, которое
следует держать в неволе. ___________________________________
Ни один раб не есть существо, которое Ни одно А не есть С. следует держать в неволе.
Создав соответствующее дерево, нетрудно убедиться в правильности полученного силлогизма.
Кроме формальных требований к поиску посылок, начиная с Аристотеля, предъявляется и одно содержательное: исключаемый термин (исключаемые термины) должен обозначать истинную причину связи субъекта и предиката заключения.
В противном случае заключение, будучи правильным формально, остается недоказанным по существу. Сравним следующие два простых силлогизма.
Каждый брошенный вверх камень испытывает воздействие силы тяжести Земли.
Каждое тело, испытывающее воздействие силы тяжести Земли, стремится упасть на ее поверхность.
Каждый брошенный вверх камень отклоняется от своего естественного места (поверхности Земли).
Каждое тело, отклоняющееся от своего естественного места, стремится вернуться к нему.
Каждый брошенный вверх	Каждый брошенный вверх
камень стремится упасть	камень стремится упасть
на ее поверхность.	на ее поверхность.
Оба силлогизма имеют одинаковое заключение, но только левый ныне считается истинным объяснением. Причина в том, что в физической картине мира Галилея-^-Ньютона, пришедшей на смену физике Аристотеля и его последователей, истинной причиной падения тел на Землю признается не их стремление вернуться к естественному месту, а сила земного притяжения.
78
Часть I. Традиционная логика
Дедуктивное доказательство и опровержение
Определение дедуктивного доказательства и опровержения
По типу используемого умозаключения доказательства и опровержения делятся на дедуктивные и недедуктивные. Недедуктивные подробно анализируются ниже. Здесь будут рассмотрены дедуктивные доказательства и опровержения силлогистического типа (о других видах дедуктивных доказательств см. далее).
Если умозаключение — основная форма умственной деятельности, то доказательство и опровержение — ее важнейшие цели. Доказывая, мы ищем истину; опровергая — разоблачаем ложь. ^Именно поиски истины и разоблачение лжи превращают умозаключение в доказательство или опровержение соответственно.
► Дедуктивное доказательство — умозаключение, из истинных посылок которого с необходимостью следует истинность обосновываемого суждения.
► Дедуктивное опровержение — умозаключение, из истинных посылок которого с необходимостью следует ложность обосновываемого суждения.
Между доказательством и опровержением существует определенная симметрия. Если мы доказываем истину, то одновременно опровергаем все несовместимые с ней ложные суждения. Наоборот, опровергая какую-нибудь ложь, мы тем самым доказываем противоречащую ей истину. Эта симметрия показывает, что между доказательством и опровержением нет жесткой границы. Различие между ними чисто функциональное.
Структура дедуктивного доказательства и опровержения
Существуют три канонических вопроса, на которые необходимо дать ответ прежде, чем начинать доказательство или опровержение.
1.	Что именно следует доказывать или опровергать?
2.	На основании чего следует доказывать или опровергать?
3.	Как именно следует доказывать или опровергать?
Дедуктивное доказательство и опровержение
79
Отвечая на первый вопрос, мы определяем тезис (от греч. thesis — «утверждение») доказательства или опровержения, т. е. суждение, истинность или ложность которого должна обосновываться.
Отвечая на второй вопрос, мы находим аргументы (от лат. argumentum — «довод, основание») доказательства или опровержения, т. е. суждения, с помощью которых обосновывается истинность или ложность тезиса.
Отвечая на третий вопрос, мы выбираем демонстрацию (от лат. demonstratio — «показывание») доказательства или опровержения, т. е. такое умозаключение, с помощью которого логически связываются тезис и аргументы.
Доказательство и опровержение невозможны, когда нет хотя бы одной из указанных частей. Так, если нет тезиса, неизвестно, что доказывать или опровергать; если нет аргументов, то мы не понимаем, с помощью каких суждений доказывать или опровергать тезис; если нет демонстрации, то не знаем, как построить процесс доказательства или опровержения тезиса, чтобы он был логически убедительным.
В качестве тезиса может быть выставлено любое суждение, истинность или ложность которого требуется обосновать. Тезисом может быть теорема, гипотеза, судебная версия, предсказание, истинность или ложность которых предстоит установить. Суждение, противоречащее тезису, называется антитезисом. Из истинности тезиса следует ложность антитезиса, а из ложности первого — истинность второго. Следовательно, доказательство истинности тезиса можно заменить в некоторых случаях опровержением ложности антитезиса, а опровержение ложности тезиса — доказательством истинности антитезиса.
В качестве аргументов могут выступать любые суждения, если они, во-первых, истинны и, во-вторых, имеют отношение к обосновываемому тезису. Например, при доказательстве какого-либо морального суждения вряд ли будет уместным приведение в качестве аргумента истинного закона всемирного тяготения Ньютона. Истинность аргументов доказывается всегда независимо от тезиса. Подбор же их требует в большинстве случаев проникновения в суть решаемой проблемы, богатого воображения и тонкой интуиции.
Следует помнить: всякая демонстрация — это нечто большее, чем используемое умозаключение. Она утверждает не только следование тезиса из аргументов, но и то, что последние истинны. Доказательства или опровержения не будет, если тезис следует из аргументов, а некоторые аргументы ложные, или аргументы истинные, а тезис формально не следует из них.
80
Часть I. Традиционная логика
Виды дедуктивной демонстрации
Дедуктивная демонстрация подразделяется на дедуктивное доказательство и дедуктивное опровержение.
Дедуктивное доказательство
Пусть р обозначает тезис, -пР — антитезис, а — множество аргументов. Тезис и антитезис противоречат друг другу. Значит, при обосновании истинности тезиса возможны две стратегии.
Во-первых, можно доказать, что тезис необходимо следует из общепризнанных аргументов. Это называется прямым доказательством.
Во-вторых, можно доказать, что из общепризнанных аргументов необходимо следует ложность антитезиса. На основании этого, согласно закону исключенного третьего, делают вывод об истинности тезиса. Это называется косвенным доказательством.
Рассмотрим оба вида доказательства.
► Прямое доказательство — демонстрация, целью которой служит обоснование необходимого следования тезиса из ранее и независимо доказанных аргументов.
Прямое доказательство имеет вид следующего умозаключения:
Из множества аргументов а выводим тезис р.
Множество аргументов а истинно.	(1)
Тезис р истинный.
Простейший пример прямого доказательства — силлогизм, посылки которого необходимо истинны. В этом случае они выступают в качестве аргументов, заключение силлогизма — в качестве тезиса. Например,
ОЦ = Все А есть В (доказано ранее).
а2 = Все В есть С (доказано ранее).
Р = Все А есть С (доказывается сейчас).
Демонстрация строится с помощью силлогистического дерева или каким-нибудь иным образом. В тех случаях, когда прямое доказательство невозможно или затруднительно, используют косвенное.
► Косвенное доказательство — умозаключение, целью которого служит доказательство ложности антитезиса.
Ложность антитезиса может быть обоснована двумя способами. Согласно первому, из антитезиса -«р с помощью истинных аргумен
Виды дедуктивной демонстрации
81
тов а выводится противоречие. Если это происходит, тогда появляются основания сделать вывод о ложности антитезиса -»р и истинности тезиса 0. Такое косвенное доказательство можно представить в виде следующего умозаключения:
Из антитезиса -пр и а выводимо противоречие.
Множество аргументов а истинно.	(2)
Тезис Р истинный.
В силлогистике косвенное доказательство первым способом строится следующим образом. Допустим, дан силлогизм:
cq = Все А есть В.
а2 = Все В есть С.
р = Все А есть С.
Сформулируем антитезис -пр = «Некоторые А не есть С». Построим следующий сложный силлогизм:
а! = Все А есть В (доказано ранее).
а2 = Все В есть С (доказано ранее).
-ip = Некоторые А не есть С (временное допущение).
Противоречие
Из антитезиса = «Некоторые А не есть С», принятого в качестве временного допущения, и аргумента а2 = «Все В есть С» выводим следствие «Некоторые А не есть В». Но это следствие противоречит первому аргументу at = «Все А есть В». Значит, рассматриваемые аргументы несовместимы с отрицанием тезиса. Так как аргументы cq и а2 истинны, то антитезис -пР = «Некоторые А не есть С» ложен. Из ложности антитезиса заключаем, что тезис р = «Все А есть С» истинный.
Для косвенного доказательства вторым способом антитезис ~«Р делится на множество альтернатив (частных случаев антитезиса -пр) -.pi, —1Р2, ..., —»Р„, обладающее следующими свойствами. Во-первых, логическая сумма всех альтернатив -nph —»р2,..., ->РП должна исчерпывать объем антитезиса -пр. Во-вторых, они должны взаимно исключать друг друга. В-третьих, тезис р и все его альтернативы —«Р^ -пР2,..., -iP„ должны вместе обозначать все возможные решения обсуждаемой проблемы (выполнять требование полноты).
Косвенное доказательство строится как последовательный процесс исключения с помощью истинных аргументов всех альтернатив тезиса р. Рассматриваемое доказательство имеет вид следующего умозаключения:
6-2724
82
Часть I. Традиционная логика
Истинно одно и только одно из следующих предположений:
р или -ipp или -iP2,...» или
Множество а несовместимо ни с —«Pt,... ни с	(3)
Множество аргументов а истинно.
Тезис р истинный.
Допустим, неизвестно, какой сегодня день недели. Выдвигаем семь альтернативных гипртез, одна и только одна из которых истинна, — «Сегодня понедельник» или «Сегодня вторник»... или «Сегодня воскресенье». Если с помощью различных аргументов удастся опровергнуть первые шесть альтернатив, тогда доказывается, что сегодня воскресенье.
Считается, что прямое доказательство убедительнее косвенного. С этим необходимо согласиться. При прямом доказательстве мы конструируем тезис из данных посылок, а при косвенном лишь доказываем невозможность существования антитезиса. Из прямого доказательства всегда следует косвенное, но обратное в общем неверно.
Дедуктивное опровержение
Дедуктивное опровержение различают в зависимости от того, что опровергается — тезис, аргументы или демонстрация.
►	При опровержении тезиса доказывается его ложность.
►	При опровержении аргументов или демонстрации обосновывается только недоказанность тезиса, которую нельзя путать с его ложностью.
Тезис может быть истинным, даже если аргументы ложные. Опровержение имеет вид следующего умозаключения:
Из тезиса £ выводимо следствие, несовместимое с а, или противоречие.
Множество аргументов а истинно.
Тезис р ложный.
Опровержение аргументов и демонстрации обосновывает не ложность тезиса, а только его недоказанность. Опровержение аргументов имеет вид следующего умозаключения:
Из аргументов а выводим тезис £.
Множество а ложно (противоречиво).	(5)
Тезис £ не доказан.
Недоказанность тезиса означает, что мы не можем приписать ему ни значение «истинно», ни значение «ложно». Доказывая ложность
Виды дедуктивной демонстрации
83
аргументов нашего оппонента, мы лишаем его возможности категорически утверждать истинность обсуждаемого тезиса.
Умозаключение (5) показывает, что отношения «следовать с необходимостью» и «доказывать» не будут в целом эквивалентными: не все, что следует с необходимостью, доказывается; но обратное всегда верно.
Опровержение демонстрации строится в виде следующего умозаключения:
Из аргументов а не выводим ни тезис р, ни антитезис ->р.
Множество аргументов а истинно.	(6)
Тезис Р не доказан.
Эффект опровержения демонстрации тот же, что и опровержения аргументов: обосновывается лищь недоказанность тезиса.
Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное значение имеет истинность аргументов. Она необходима как для доказательства, так и для опровержения. Кроме того, требуется, чтобы или тезис, или антитезис был логическим следствием аргументов. Эти две особенности определяют специфику дедуктивного доказательства и опровержений.
При построении доказательств и опровержений необходимо также учитывать следующие особенности.
1.	Для доказательства общего тезиса необходимо и достаточно опровержение частного антитезиса.
2.	Для опровержения общего тезиса необходимо и достаточно доказательство частного антитезиса.
3.	Для доказательства общего тезиса необходимы только общие аргументы (относящиеся ко всем вещам универсума).
4.	Для доказательства частного тезиса необходимо и достаточно установить существование хотя бы одной вещи универсума, обладающей свойствами субъекта и предиката (для частноутвердительных суждений), и обладающей свойствами субъекта и отрицания предиката (для частноотрицательных суждений).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Допустим, требуется доказать прямым способом тезис Р = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе» {Франсуа де Ларошфуко), Приводим тезис к нормальной форме: U = «люди», А = «люди, которые хотят услышать похвалу себе», С = «люди, которые хвалят других», р = «Все А есть С».
6*
84
Часть I. Традиционная логика
Построить прямое доказательство указанного тезиса, представляющего общеутвердительное суждение, означает обосновать, что каждая вещь, обладающая признаком Л, также обладает и признаком С. Но поскольку связь Аи С неочевидна, требуется доказательство. С чего же «его начинать? С» поиска аргументов, проясняющих эту связь признаков А и С.
Если логический переход от субъекта тезиса А к его предикату С не очевиден, его разбивают на несколько коротких, но зато явных переходов от А к X, от X к У,..., от Z к С (где X... Z — признаки, отличающиеся как друг от друга, так и от Л и С), каждый из которых формулируется в виде отдельного аргумента. Иными словами, каждый аргумент — это некоторый ранее доказанный или очевидный в силу каких-то других причин переход от одного признака к другому. Минимальное доказательство требует всего двух аргументов — для обоснования переходов от А к X и от X к С. Обычно число аргументов прямо пропорционально требованию очевидности, т. е. чем более явным хотят сделать доказательство, тем больше приводят аргументов, очевидных для аудитории.
Общее направление их поиска задается следующим вопросом: «Какое свойство X связывает Л и С, чтобы:
♦	свойство X было необходимо для Л;
♦	свойство С было необходимо для X?».
Если признака X оказалось недостаточно для построения очевидного доказательства, отыскивается новый признак У: «Какое свойство У связывает X и С так образом, что 1) свойство У необходимо для X; 2) свойство С необходимо для У?». Поиск аргументов продолжается до тех пор, пока переход от А к С не будет представлен в виде цепочки более коротких и очевидных переходов согласно известной аксиоме силлогизма (*):
Л-»Х->У->... -+Z-+C.
Л->С.
В анализируемом примере признаком, промежуточным между Л и С и удовлетворяющим указанным требованиям, служит X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Так как промежуточный признак один, то имеем следующие два аргумента: at = «Все люди, которые хотят услышать похвалу себе, есть люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»; а2 = «Все люди, которые отлича
Виды дедуктивной демонстрации
85
ются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств, есть люди, которые хвалят других».
Строим и проверяем силлогизм:
cq = «Все А есть X».
а2 = «Все X есть С».
р = «Все А есть С».
Так как аргументы истинны (очевидны) и тезис следует из них с необходимостью, то его, согласно умозаключению (1), следует считать доказанным прямым способом.
Пример 2. Доказать первым косвенным способом тезис р = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе». Чтобы доказать таким способом тезис, необходимо опровергнуть антитезис -пр = «Существует человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей». Приведенный к нормальной форме (см. предыдущий пример), антитезис символизируется следующим образом: «Некоторые А не есть С».
Для опровержения антитезиса необходимо доказать, что подобных людей существовать не может, т. е. что ни одному А не присуще свойство ~iC = «Люди, которые не хвалят других». Это равносильно доказательству, что А и несовместимы. Несовместимость в косвенных доказательствах становится критерием их успешности.
Для проверки несовместимости А и -iC временно допускаем, что антитезис истинный, т. е. существует по крайней мере один человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей, и присоединяем его к уже известным аргументам (см. первый пример) oq и а2.
Строим сложный силлогизм, где X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»:
-Р = «Некоторые А не есть С».
oq = «Все А есть X».
а2 = «Все X есть С».
Противоречие. Так как антитезис -»р ложен, тезис р истинный.
Из аргументов cq и а2 следует суждение «Все А есть С», которое противоречит временно принятому антитезису «Некоторые А не есть С». Так как аргументы истинны, то ложным считается антитезис. Из ложности антитезиса, согласно умозаключению (2), следует косвенное доказательство тезиса р = «Все А есть С».
86
Часть I. Традиционная логика
Пример 3. Доказать вторым косвенным способом тезис р = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе».
При косвенном доказательстве вторым способом антитезис формулируется в виде множества взаимно исключающих альтернатив, которые вместе с тезисом исчерпывают все решения поставленной проблемы.
Если тезис гласит, что все люди, которые хотят услышать похвалу себе, хвалят других людей, то его альтернативами будут следующие два антитезиса: —эр! = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, порицают других людей»; -ip2 = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят и не порицают других людей». Логическая сумма -»pt и -iP2 исчерпывает все возможные случаи общего антитезиса -,р = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят других людей».
Таким образом, при косвенном доказательстве вторым способом задача сводится к опровержению не общего антитезиса, как при косвенном доказательстве первым способом, а всех его частных случаев.
Приводим -iPj и -пР2 к нормальной форме: -iCt = «Люди, которые порицают других»; -iC2 = «Люди, которые не хвалят и не порицают других»; -iPt = «Некоторые А есть -пС]»; -эр2 = «Некоторые А есть -1С2». Для опровержения -iPt и -пр2 необходимо доказать, что А несовместимо как с -Д так и с -»С2, а потому и с -пС. Напомним, что промежуточным признаком выступает X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Имеем следующие аргументы: at = «Все А есть X», и а2 = «Все X есть С».
Строим и проверяем два силлогизма (для —ipt и -iP2 последовательно):
-ip! = «Некоторые А есть -iQ».
cq = «Все А есть X».
а2 - «Все X есть С».
Противоречие. Антитезис опровергается.
-»Р2 = «Некоторые А есть -iC2».
a! = «Все А есть X».
а2 = «Все X есть С».
Противоречие. Антитезис -,р2 опровергается.
Из трех взаимно исключающих и совместно исчерпывающих альтернатив — р, ~iPt и ~1Р2 — последние две оказались опровергнуты
Главные логические ошибки
87
ми (исключенными). Следовательно, тезис р, согласно умозаключению (3), можно считать косвенно доказанным.
Пример 4. «Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезьянских племен мартышек, орангуташек и т. п. Простите меня, старичка, но я с Вами касательно этого пункта не согласен и могу Вам запятую поставить. Ибо, если человек, властитель мира, умнейшее из дыхательных существ, произошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него был бы хвост и дикий голос.» (А. П. Чехов. «Письмо к ученому соседу»).
Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в котором U = «живые существа», А = «люди», В = «произошедшие от обезьян», С = «имеющие хвост и дикий голос». Опровергаемым тезисом будет суждение «Все люди произошли от обезьян», т. е. р = «Все А есть В». Первым аргументом является суждение «Все живые существа, произошедшие от обезьян, обязаны иметь хвост и дикий голос», т. е. eq = «Все В есть С». Вторым аргументом следует считать суждение «Люди не имеют хвоста и дикого голоса», т. е. а2 = «Ни одно А не есть С». Второй аргумент явно не присутствует в рассуждении, но подразумевается как самоочевидный факт.
Опровержение строится в качестве доказательства несовместимости тезиса с аргументами cq и а2, т. е. по схеме (4).
Для проверки создадим следующее сложное умозаключение:
р = «Все А есть В».
oq = «Все В есть С».
а2 = «Ни одно А не есть С».
Противоречие. Тезис Р опровергается.
Из аргументов at и а2 следует истинность общего суждения «Ни одно А не есть В» и тем самым истинность частного суждения «Некоторые А не есть В». Из истинности последнего следует опровержение тезиса р.
В отличие от чеховского героя мы посчитали бы первый аргумент ложным. В этом случае опровержение теряет свою силу, т. е. ложность тезиса остается недоказанной.
Главные логические ошибки
Логические ошибки принято разделять на умышленные и неумышленные. Умышленные называются софизмами (от греч. sophisma — «уловка, хитрость»). Их цель — обеспечить победу, любым способом
88
Часть I. Традиционная логика
заставить оппонента признать свое поражение в споре, дискуссии, суде. Неумышленные ошибки совершаются, как правило, из-за незнания логики, вследствие продолжительного обсуждения, сильного эмоционального напряжения, усталости и т. д.
Логических ошибок насчитывают несколько сотен, и нет смысла перечислять их все. Чтобы классифицировать их как-то, укажем для начала основные требования к корректному (общезначимому) дедуктивному доказательству (опровержению).
В таком, по сути дела, идеальном доказательстве:
(I)	Тезис остается неизменным на протяжении всего доказательства или опровержения.
(II)	Тезис понимается всеми участниками однозначно.
(III)	Каждый аргумент доказывается независимо от других аргументов и тезиса доказательства.
(IV)	Все аргументы совместимы, уместны, относятся к обсуждаемой проблеме. Тезис необходимо следует из аргументов.
Умышленное или неумышленное нарушение какого бы то ни было из перечисленных требований приводит к определенной ошибке.
Примером нарушения требования (I) служит потеря или подмена тезиса, т. е. введение в доказательство нового тезиса. Потеря тезиса происходит большей частью бессознательно. Подмена тезиса совершается обычно умышленно, т. е. представляет уловку, с помощью которой ее автор стремится увести обсуждение по тем или иным мотивам от насущной проблемы к другой, часто с ней совсем не связанной.
Таблица 7
Ошибка «Потеря или подмена тезиса»
1.	Доказывается тезис рР
2.	Вводится новый тезис р2.	?
3.	Начинается обсуждение р2.
4.	Тезис pt остается без доказательства.
Подмена тезиса часто происходит в политических дискуссиях, когда вместо обсуждения достоинств и недостатков выдвигаемых программ переключаются на обсуждение достоинств и недостатков их авторов. Этой уловке способствует многозначность слов, явление омонимии.
Другим примером нарушения требования (I) оказывается такое усиление тезиса, в результате чего он превращается в ложное утверждение (табл. 8).
Главные логические ошибки
89
Таблица 8
Ошибка «Кто много доказывает, тот ничего не доказывает»
1.	Требуется доказать тезис
2.	Вместо формулируется логически более сильная версия — тезис р2.
3.	Доказывается ложность тезиса р2.
4.	Ложность тезиса р2 переносится на тезис рР
Если тезис «Некоторые четные числа делятся на 3» усилить до утверждения «Все четные числа делятся на 3», это и будет указанная ошибка. Для последнего утверждения легко привести опровержение (например, число 4 не делится на 3). Значит, усиленный тезис доказывает излишне многое и потому ложен. Из его ложности, однако, не следует ложность тезиса «Некоторые четные числа делятся на 3».
Пример нарушения требования (II) — умышленное или неумышленное введение тезиса, относительно которого участники доказательства не могут достигнуть однозначной интерпретации (табл. 9).
Таблица 9
Ошибка «Неоднозначный тезис»
1.	Доказывается тезис р. .
2.	Тезис р может интерпретироваться как pt, или как р2,..., или как р„.
3.	Участники доказательства не могут добиться однозначного толкования тезиса р.
4.	Тезис р остается недоказанным.
Тезис «Культура есть благо» может доказываться только после того, как будет установлен смысл, в котором употребляется термин «культура»: идет ли речь о культуре в целом или о какой-нибудь ее разновидности (табл. 10).
Типичным примером нарушения требования (III) служит так называемый круг в доказательстве. То, что предполагается доказать, уже явно или неявно содержится в приведенных аргументах. Это означает, что тезис не получает независимого обоснования.
Рассуждение «Душа существует вечно, потому что она не может умереть» содержит указанную ошибку. Аргумент «Душа не может умереть» эквивалентен тезису «Душа существует вечно». Следовательно, в содержании аргумента предполагается то, что должно быть доказано. Если это так, тезис данным аргументом не доказывается.
90
Часть I. Традиционная логика
Таблица 10 Ошибка «Круг в доказательстве»
1.	Обсуждается тезис £.
2.	Сначала доказывается, что тезис р истинный, потому что аргумент а истинный.
3.	Затем доказывается, что аргумент а истинный, потому что тезис р истинный.
4.	Тезис р не получает независимого обоснования.
Причиной нарушения требования (IV) оказывается отсутствие необходимой связи аргументов и заключения. Аргументы должны быть совместимыми друг с другом, уместными, необходимо связанными с доказываемым тезисом. Стало быть, в корректном дедуктивном доказательстве не принимаются во внимание аргументы, несовместимые друг с другом или с тезисом, содержащие ссылки на эмоции, угрозы, выгоду, мнение большинства или популярных артистов, спортсменов и т. п. Также не учитываются аргументы, основанные на незнании оппонентами каких-либо фактов или на пренебрежении их точкой зрения, потому что они придерживаются противоположного мнения.
В следующем рассуждении один из аргументов несовместим с тезисом и по этой причине доказательство некорректно: «Ни одно моральное обязательство не является универсальным, так как условна всякая мораль, основанная на определенном историческом типе культуры. Что признается в одной культуре, то отвергается в другой. Универсальные моральные обязательства — миф. Мы должны быть терпимы друг к другу, мы не можем утверждать, что мы правы, а они нет. Каждый должен уважать ценности других». Несовместимы друг с другом аргумент «Ни одно моральное обязательство не является универсальным» и тезис «Каждый должен уважать ценности других». Если истинно любое одно из них, то ложно другое.
Более многочисленны причины, по которым аргументы совместимы с тезисом, однако его не доказывают. Рассмотрим в этой связи ряд типичных ошибок (табл. И).
Если для доказательства тезиса «В этом году ожидается увеличение военных столкновений» приводится аргумент «Планета Марс заняла такое-то положение по отношению к Земле», то совершается указанная ошибка.
В рекламном призыве «Покупайте кофе марки X, потому что по утрам его пьет звезда мирового футбола У» тезис «Покупайте ко
Главные логические ошибки
91
фе марки X» не становится необходимым следствием приведенного аргумента «По утрам кофе этой марки пьет звезда мирового футбола У».
Таблица 11
Ошибка «Тезис не следует из аргументов»
1.	Доказывается тезис р.
2.	Приводится аргумент а.
3.	Архумент а иррелевантен для доказательства тезиса р.
4.	Аргумент а не доказывает тезис р.
В умозаключении «Никто не доказал, что Бог не существует, следовательно, он существует» тезис «Бог существует» также не следует с необходимостью из аргумента «Никто не доказал, что Бог не существует».
В утверждении «Мой оппонент верит, что на Марсе имеется жизнь. Значит, ее там нет» тезис «На Марсе жизни нет» также не следует с необходимостью из аргумента «Мой оппонент верит, что на Марсе жизнь существует».	v
Важную разновидность рассматриваемой ошибки образуют рассуждения, построенные по принципу «После того — значит по причине того». В таких умозаключениях не учитывается необходимая связь причины и следствия (табл. 12).
Таблица 12
Ошибка «После того — значит по причине того»
1.	Исследуется причина события р.
2.	Другое событие а предшествовало событию р.
3.	Событие а — причина события р.
Примерами служат умозаключения «Люди появились после динозавров. Следовательно, люди произошли от динозавров», «Я споткнулся о камень после того, как черная кошка перебежала мне дорогу».
Другую важную разновидность анализируемой ошибки образуют ложные дилеммы (табл. 13).
Например, из следующих двух альтернатив ничего не следует с необходимостью. Допустим, предполагается следующая дилемма: истинно либо 2 + 2 = 3, либо 2 + 2 = 5. Но альтернатива 2 + 2 = 3 ложная. Значит, истинна альтернатива 2 + 2 = 5.
92
Часть I. Традиционная логика
Таблица 13 Ошибка «Ложная дилемма»
1.	По предположению, истинно либо а, либо р.
2.	На самом деле альтернативы аир могут быть ложны.
3.	Событие а ложно.
4.	Заключение, что событие р истинно, неправомерно.
Еще одной разновидностью отсутствия следования тезиса из аргументов оказывается ошибка, возникающая в результате неправомерного переноса свойств одной части или нескольких частей вещи на саму вещь, и наоборот (табл. 14.1).
Таблица 14.1
Ошибка «Если каждая часть вещи обладает некоторым свойством значит — и вещь в целом обладает этим же свойством»
1. Каждая часть вещи а обладает свойством р.
2. Вещь а обладает свойством р.
Пример — умозаключения: «Если каждая деталь этого автомобиля совершенна — значит совершенен и весь автомобиль в целом»; «Если знаешь все английские слова из словаря В. К. Мюллера, мо^ жешь свободно говорить по-английски» (табл. 14.2).
Таблица 14.2
Ошибка «Если вещь обладает некоторым свойством — значит и каждая ее часть также обладает этим свойством»
1. Вещь а обладает свойством р.
2. Каждая часть вещи а обладает свойством р.
Примером рассматриваемой ошибки служат обратные приведенным выше умозаключения: «Если данный автомобиль совершенен, значит — совершенна и каждая его деталь»; «Если можешь говорить свободно по-английски значит знаешь все английские слова из словаря В. К. Мюллера».
Часть II Классическая символическая логика
Определение символической логики
Классическая (стандартная) символическая логика (логика высказываний и предикатов) возникла на рубеже XIX-XX вв. как результат реализации Готтлобом Фреге (1848-1925), Бертраном Расселом (1872-1970), Альфредом Уайтхедом (1861-1947) программы сведения математики к логике и Давидом Гильбертом (1862-1943) и его последователями программы формализации всей математики. В новой логике ее создатели видели главное средство изгнания парадоксов из теории множеств, доказательство непротиворечивости всей классической математики и ее полной независимости от психологических и опытных допущений. Ни одна из поставленных программных задач не была решена и, как позже было доказано, и не могла быть решена. Но новая логика получила право на существование и стала развиваться уже по своим законам.
В основе всей современной логики лежит идея создания универсального логического языка, позволяющего избавить человечество от мук творчества. Заменить операции с мыслями чисто формальными действиями со знаками некоторого базисного языка, сформулировать надежные правила открытия и доказательства новых истин, которые можно было бы применять чисто механически, вывести из небольшого числа достоверных аксиом законы всех остальных наук — эти цели вдохновляли не одно поколение логиков, философов и математиков. Лишь в первой трети нашего столетия К. Геделем была доказана неосуществимость такой идеи в полном объеме. Но как часто бывает в истории, именно попытки воплотить в жизнь недостижимое — заменить творческий поиск рутинными преобразованиями
94
Часть II. Классическая символическая логика
символов — привели к созданию современной логики, которая по своей сути символическая. Ее назначение выражает следующее определение.
> Символическая логика — это теория исчислений.
Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных. Знаки и правила оперирования с ними в каждом исчислении тщательно определяются. Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно. Благодаря такой определенности удается точно выражать логическую структуру рассуждений, логические связй между ними, эффективно преобразовывать одни рассуждения в другие. Именно эти особенности обеспечили широкое использование символической логики в исследованиях по основаниям математики, искусственному интеллекту, информатике, лингвистике и многим другим областям научного знания.
В настоящее время символическая логика представляет достаточно обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований,. Однако можно выделить логику высказываний и ее расширение — логику предикатов — в качестве базиса. В этой главе анализируется логика высказываний (ЛВ).
Долгое время логика высказываний и предикатов считалась теорией настолько универсальной и совершенной, что никакие другие логики не принимались во внимание или их рассматривали как курьез. Но в последней трети прошлого столетия в связи с потребностями конструирования искусственного интеллекта и программирования процесс создания новых логик стал настолько мощным, что игнорировать данное явление было уже невозможно. Стало ясно: наступил новый, «плюралистический» этап в развитии символической логики. Все новые логические теории объединили под общим названием «неклассическая логика».
В состав классической символической логики входят:
1)	синтаксис: правила построения формализованного языка;
2)	семантика: правила интерпретации выражений построенного языка как осмысленных;
3)	правила вывода: правила, позволяющие из посылок умозаключений выводить необходимые следствия.
Отметим, что эти части канонические не только для классической, но и для всех неклассических логик. Отличают два вида логик друг от друга следующие два допущения.
Логика высказываний
95
♦	Значение истинности неквантифицированных высказываний однозначно определяется значением истинности образующих их простых (атомарных) высказываний.
♦	Высказывания, имеющие одно и то же расширение (один и тот же объем или одно и то же значение истинности), считаются эквивалентными.
Если логика выполняет оба допущения, значит она классическая. В противном случае, т. е. когда не выполняется хотя бы одно из указанных допущений, ее следует отнести к разряду неклассических.
Логика высказываний
Основные определения и допущения логики высказываний
Логика высказываний основана на определенных базисных понята-ях и допущениях. Исходным в ЛВ служит понятие высказывания.
► Высказывание ЛВ — предложение, выражающее простое или сложное суждение.
Утверждение «Бессмертная любовь, рождаясь вновь, нам неизбежно кажется другою» (В. Шекспир) обладает субъектом, предикатом, связкой и знаком количества и тем самым выражает (простое) суждение. Следовательно, оно представляет собой высказывание ЛВ. Выражение «Бессмертная любовь» не обладает атрибутами суждения и поэтому не будет высказыванием ЛВ.
В отличие от традиционной логики и логики предикатов, субъектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не принимается во внимание как не имеющая никакого значения для формализации доказательств. Единственное свойство высказываний ЛВ, которое учитывается, — это их способность быть истинными или ложными суждениями. Истину и ложь принято называть логическими значениями, или значениями истинности высказываний ЛВ.
► Высказывание Л В истинно, если и только если истинно выражаемое им суждение. В противном случае высказывание ЛВ считается ложным.
Предложение «5 больше 3» — истинное высказывание, потому что выражаемое им суждение истинно. Предложение «3 больше 5», наоборот, — ложное высказывание, потому что выражаемое им суждение ложно.
96
Часть II. Классическая символическая логика
Второе по значимости в ЛВ — понятие логического союза (связки). В естественном языке это выражается словами «не», «если... то», «или», «либо... либо», «если и только если», «ни... ни» и их многочисленными синонимами. С помощью логических союзов из простых высказываний образуются сложные.
►	Высказывание Л В считается сложным, если и только если оно содержит вхождение хотя бы одного логического союза. В противном случае высказывание простое. ’
Высказывание «Сегодня среда» — простое, а «Сегодня среда или четверг» — сложное, так как состоит из двух простых высказываний «Сегодня среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или». Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», поскольку оно представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда» с помощью логического союза «неверно, что».
В ЛВ по соглашению допускается, что каждое простое высказывание либо истинно, либо ложно. При этом некоторые сложные (противоречивые) высказывания могут быть одновременно истинными и ложными. Ниже объясняется, почему такие высказывания называют логически ложными.
►	Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание Л В либо истинно, либо ложно.
В ЛВ также допускается, что логическое значение любого сложного высказывания однозначно определяется значениями истинности образующих его простых высказываний. Следовательно, значение истинности сложного высказывания есть некая функция истинности значений истинности простых высказываний, которые его составляют.
►	Значение истинности сложного высказывания ЛВ представляет функцию истинности значений истинности составляющих его простых высказываний.
Функции истинности представляют разновидность функций в обычном понимании — правила, связывающие переменные, которые называются аргументами функции, с другими — ее значениями. Аргументами и значениями функций истинности служат логические значения — истина и ложь. Например, логическое отрицание представляет одноаргументную функцию истинности в следующем смысле: если высказывание «Сегодня среда» (аргумент функции отрицания) истинно (ложно), то ложно (истинно) высказывание «Неверно, что сегодня среда» (значение функции отрицания).
Логика высказываний
97
Кроме одноаргументных функций в ЛВ встречаются двух-, трех-, ..., n-аргументные функции истинности. Логику высказываний часто определяют как теорию подобных функций истинности.
Синтаксис логики высказываний
Как и любой другой, язык ЛВ имеет определенный алфавит и прави-ла построения с его помощью последовательностей знаков, называемых (правильно построенными) формулами.
► Синтаксис ЛВ — алфавит и правила, определяющие:
1)	какие знаки входят в множество символов алфавита логики высказываний;
2)	какие последовательности знаков выступают (правильно построенными) формулами ЛВ.
Правильно построенная формула ЛВ — последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания. Для краткости далее термин «формула» везде употребляется в смысле «правильно построенная формула».
Алфавит логики высказываний
Полный алфавит ЛВ, необходимый для построения формул логики высказываний, задается следующим определением (табл. 15).
Таблица 15
Алфавит логики высказываний
1	Знаки для обозначения простых высказываний (атомарных формул)—прописные начальные буквы латинского алфавита	А, В, С...
2	Знаки для обозначения логических союзов	
	2.1. Знак логического отрицания: «неверно, что»	—1
	2.2. Знак конъюнкции: «и»	&
	2.3. Знак слабой дизъюнкции: «или»	V
	2.4. Знак импликации: «если... то...»	Z)
	2.5. Знак эквивалентности: «если и только если»	s
	2.6. Знак сильной дизъюнкции: «либо... либо...»	£
3	Левая и правая скобки (для указания области действия логических союзов)	(,)
7—2724
98
Часть II. Классическая символическая логика
Окончание табл. 15
4	Запятая (для разделения формул в посылках)	
5	Знак для обозначения отношения логического следования: «выводимо, следует»	I-
6	Знак для обозначения логической лжи и замкнутой ветви дерева формулы	
7	Иных знаков, кроме указанных в п. 1-6, в логике высказываний нет.	
Пусть ф, ф, у... обозначают (мета)переменные, пробегающие по всему множеству высказываний ЛВ1. Это означает, что вместо каждой из букв греческого алфавита можно подставлять любое простое или сложное высказывание. Например, на место переменной ф возможно подставить высказывание А, или высказывание -А, или высказывание (Я э В) и т. д. Аналогично для ф, у... Если в выражении ->ф переменную ф заменить на высказывание А, то получится -А, а если на -iA, то возникнет высказывание с двойным отрицанием -.-nA (которое эквивалентно А). Заменяя в -»ф переменную ф на (А = В), получаем высказывание -.(А В).
Правила образования формул логики высказываний
В терминах заданного алфавита ЛВ конструируются формулы — символические эквиваленты простых и сложных высказываний, согласно следующему определению (табл. 16).
Таблица 16
Правила построения формул логики высказываний
1	Простые высказывания А, В, С... — формулы ЛВ.
2	Если ф — (не обязательно атомарная) формула, то -пф — тоже формула ЛВ.
3	Если ф и ф — (не обязательно атомарные) формулы, то высказывания (ф & ф), (ф v ф), (ф z> ф), (ф s ф), (ф ф ф) — тоже формулы ЛВ.
4	4.1. Атомарные формулы Л В со знаком отрицания или без него в скобки не заключаются.
1 ф читается как «фи», <р — как «пси», у — как «гамма».
Логика высказываний
99
	4.2. В каждой формуле ЛВ со скобками число левых и правых скобок должно быть одинаковым.
5	Иных формул, кроме указанных в п. 1-4, в логике высказываний нет.
Понятие подформулы
Для определения того, какие последовательности знаков есть формулы ЛВ, введем понятие подформулы. О ней говорят, когда некоторые части формулы сами являются формулами. Например, в формуле ((Л & В) □ (A v В)) — подформулы (А & В) и (A v В), А и В, а также вся данная формула, поскольку считается, что она представляет часть самой себя.
►	Подформула — формула ЛВ, входящая в состав другой формулы ЛВ.
Как следует из определения, последовательность символов ((А & (А о В)) zd В) считается формулой, а последовательности (A v & В), (А) и (= В) нет.
В выражении ((А & (А з В)) d В) к числу формул принадлежат, во-первых, все ее атомарные подформулы — А и В, во-вторых, все ее неатомарные подформулы — (А о В), (А & (А => В)), включая и саму формулу ((А & (А э В)) => В), так как она также выступает подформулой самой себя. Число левых скобок соответствует числу правых скобок.
В выражении (A v & В) переменные А и В соединены подряд логическими союзами v и &, что нарушает пункт 3 определения формулы Л В, согласно которому все указанные там логические союзы бинарные. В выражении (А) атомарная формула А взята в скобки, что нарушает пункт 4.1 определения формулы Л В. Выражение (= В) нарушает сразу два пункта определения формулы Л В — 3 и 4.1.
Главный логический союз
В каждой неатомарной формуле есть логический союз, который считается главным. Выявить его не составляет труда, если в формуле он один. Например, в -тА единственным и потому главным логическим союзом оказывается знак «-1». Соответственно, формула А служит подформулой -А. В формуле (А э (A v В)) главным логическим союзом будет знак импликации, так как именно он при построении этой формулы вводится последним.
►	Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ — союз, который при ее построении вводится последним.	9
7*
100
Часть II. Классическая символическая логика
Допустим, следует проверить, представляет ли последовательность знаков ((Л & В & —.С) ((В & -»С) v А)) формулу JIB и какой логический союз в ней главный.
Для этого лучше всего создать дерево данной формулы. Оно формируется сверху вниз при помощи последовательного выписывания всех подформул, начиная с простых высказываний. Подчеркнутая формула означает, что она есть подформула формулы, написанной строчкой ниже. Количество «этажей» дерева формулы зависит от числа содержащихся в ней логических союзов. Если все подформулы исследуемой последовательности знаков удовлетворяют правилам табл. 16, она считается формулой Л В.
Дерево исследуемой формулы имеет следующий вид.
С	С
в -.с в А(В& —>С)	(В&	->С)А
(А&В& ^С)	((В & ->С) v Л)
((Л&В&-П0 => ((В&-|С)уЛ))
Главным логическим союзом в рассматриваемой формуле служит знак импликации.
В формуле ((Л & (-А v В)) о (А s В)) главным логическим союзом также оказывается знак импликации:
о л
-.л в
А (-Av В)	АВ
(Л&(-тЛуВ)) (Л = В) ((Л&(-ЛуВ)) о (Л = В)) ((Л&(-пЛуВ)) э (Л а В))
Область действия логического союза
Каждый логический союз имеет определенную область действия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы. Например, область действия знака отрицания в формуле -А составляет подформула А, в формуле -.(А & В) — подформула (А & В). В формуле (A z> (A v В)) область действия знака нестрогой дизъюнкции образуют формулы А и В, область действия знака импликации — формулы А и (A v В).
Очевидно, что область действия главного логического союза составляют все подформулы данной формулы ЛВ.
Формализация высказываний
101
‘ ► Область действия логического союза образуют все подформулы данной формулы Л В, которые он связывает.
Если высказывание простое, или содержит только знаки конъюнкции, или только слабой дизъюнкции, проблемы определения области действия логических союзов, как правило, не возникает. Во всех иных случаях она возникает. Выражение типа (А & В v С) неопределенно, так как не указано, какие подформулы составляют область действия знака конъюнкции, а какие — знака слабой дизъюнкции. Для устранения указанной неопределенности вводятся скобки, разграничивающие «полномочия» логических союзов: должно быть либо (А & (В v 0), либо ((Л & В) v 0.
Скобки можно также рассматривать в качестве указания на то, какое действие, обозначаемое тем или иным логическим союзом, следует выполнять первым, какое вторым и т. д.
Формализация высказываний
Типичная синтаксическая задача — формализация высказываний. Алгоритм ее следующий. Сначала в анализируемом высказывании находят все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных. Затем определяют логические союзы, связывающие эти простые высказывания. Наконец конструируют формулу, в которой каждая атомарная формула обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказывания. Чтобы сделать процесс более понятным, рассмотрим несколько примеров.
Пример формализации
«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми, потому что для счастья им нужно несметное множество благ» {Франсуа де Ларошфуко).
Простые высказывания: А = «Всех счастливее в этом мире тот, кто умеет довольствоваться малым», В = «Власть имущих надо считать самыми несчастными людьми», С = «Честолюбцев нйдо считать самыми несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное множество благ».
Логические союзы: о, &.
Формула: (А о (D о (В & 0)).
102
Часть II. Классическая символическая логика
Семантика логики высказываний
Любая формула остается не более чем последовательностью абстрактных знаков, если нельзя установить, каков ее логический смысл. В ЛВ формула считается осмысленной, если ей можно приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь». Процедуру задания значений истинности атомарных формул и вычисления значения истинности всей формулы принято называть интерпретацией.
► Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание значений истинности всем ее атомарным подформулам, при котором каждая из них получает значение «истина» или значение «ложь» (но не оба вместе).
Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл», обоснование правил интерпретации формул — основные задачи семантики как общего раздела логики. В настоящей работе этот анализ ограничен формулировкой и обоснованием правил интерпретации формул.
► Семантика ЛВ — правила интерпретации формул ЛВ как осмысленных (истинных или ложных) высказываний.
Правила интерпретации формул ЛВ
Интерпретация произвольной формулы ЛВ совершается в два этапа. На первом определяются значения истинности всех ее атомарных подформул. Для этого с каждой атомарной подформулой сопоставляется определенное простое высказывание. На втором этапе вычисляется значение истинности всей формулы по определенным правилам (таблицам истинности).
Таблица 17
Правила интерпретации формул ЛВ
1.	Каждой атомарной формуле интерпретируемой формулы находится соответствующее простое высказывание из универсума (области) интерпретации.
2.	Каждой атомарной формуле приписывается значение «истина» или «ложь» согласно тому, истинны или ложны выражаемые ими простые высказывания.
3.	Значение истинности всей интерпретируемой формулы Л В вычисляется как функция значений истинности всех ее атомарных формул (всех ее аргументов).
Семантика логики высказываний
103
Логические союзы как функции истинности.
Таблицы истинности
Допустим, даны две формулы (ф z> <р) и (ф Ф ф). Чтобы вычислить значение их истинности, согласно п. 1 правил интерпретации сначала необходимо сопоставить их с простыми высказываниями. Пусть универсумом интерпретации служит множество натуральных чисел и ф = = «5 больше 2», ф = «3 больше 4». Теперь согласно п. 2 правил интерпретации можно вычислить значение истинности атомарных формул ф и ф. Известные правила арифметики недвусмысленно вынуждают приписать формуле ф значение «истина», формуле ф — значение «ложь».
Так как формулы (ф о ф) и (ф ^ф) обозначают сложные высказывания, то для вычисления окончательного значения их истинности требуется применение п. 3 правил интерпретации. Для этого необходимо знать смысл соединяющих их логических союзов. Этот смысл задается следующими определениями (Гобозначает истину, F— ложь).
► Логическим отрицанием формулы ф называется противоречащая ей формула -пф, которая истинна, если ф — ложна, и ложна, если ф — истинна.
Назовем таблицей истинности формулы ф функцию истинности ф от всех ее атомарных подформул. При этом формула ф может быть как простым, так и сложным высказыванием.
Таблица истинности логического отрицания произвольной формулы ф имеет следующий вид (для наглядности указаны аргументы и значение каждой определяемой функции):
Аргумент ф	Значение ->ф
Т	F
F	Т
Первый столбец таблицы (аргумент функции логического отрицания) указывает все возможные логические значения формулы ф. Второй столбец содержит соответствующие логические значения формулы -пф. Из таблицы следует, что логически отрицающие друг друга формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом формула ф может обозначать как простое, так и сложное высказывание.
Пусть ф = «Я читаю книгу». Тогда -»ф = «Неверно, что я читаю книгу». Одно их этих высказываний необходимо истинно, а другое необходимо ложно.
104
Часть II. Классическая символическая логика
Следующие логические союзы определяются для двух произвольных фррмул — ф и <р, так как все они представляют двухаргументные функции истинности.
► Конъюнкцией формул ф и ф называется формула (ф & ф), которая истинна, если истинна как ф, так и ф, и которая ложна во всех остальных случаях.
Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул ф и ф имеет следующий вид.
Первый аргумент ф	Второй аргумент Ф	Значение функции (Ф & ф)
Т	Т	Т
т	F	F
F	Т	F
F	F	F
Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной. Следовательно, для двух формул мы имеем четыре возможности:
♦	ф и ф обе истинны;
♦	ф истинна, но ф ложна;
♦	ф ложна, но ф истинна;
♦	ф и ф обе ложны.
В общем, если имеется п формул, то существует 2” возможностей их истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (ф & ф) получает значение «истина» только в случае совместной истинности ф и ф. Во всех остальных случаях она наделяется значением «ложь».
Формулы, соединяемые знаком конъюнкции, принято называть конъюнктами.
Пусть ф = «Я читаю книгу», ф = «Я слушаю музыку». Тогда высказывание «Я читаю книгу и слушаю музыку» представляет конъюнкцию указанных двух простых высказываний и истинно тогда и только тогда, когда они оба истинны одновременно. В противном случае — когда ложен хотя бы один конъюнкт, ложным будет и образованное из них сложное высказывание.
Конъюнкция считается самым сильным логическим союзом, поскольку для ее истинности требуется, чтобы были истинны все ее конъюнкты. В естественном языке кроме союза «и» она выражается
Семантика логики высказываний
105
также следующими оборотами: «а», «но», «вместе с», «как... так и», «не только... но и», «...хотя и», «а также...», «ни... ни» (в отрицательных суждениях), а также некоторыми другими.
В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не ведет к изменению логического значения формулы. Иными словами, формулы (ф & ф) и (<р & ф) эквивалентны (имеют одно и то же логическое значение). В естественном языке конъюнкция часто выражает упорядоченную последовательность событий, и перестановка местами ее членов искажает смысл всего высказывания. Высказывания «Я почистил зубы и лег спать» и «Я лег спать и почистил зубы» вряд ли кто-нибудь посчитает эквивалентными.
► Слабой дизъюнкцией формул ф и ф называется формула (ф v ф), которая истинна, если истинна хотя бы одна из них, и которая ложна, когда ложны как ф, так и ф.
Таблица истинности слабой дизъюнкции двух произвольных формул ф и ф имеет следующий вид.
Первый аргумент Ф	Второй аргумент Ф	Значение функции (Ф v<₽)
Т	Т	т
Т	F	т
F	Т	т
F	F	F
Формулы, соединяемые знаком (слабой и сильной) дизъюнкции, принято называть дизъюнктами.
Формула (ф v ф) ложна, если и только если ложны все ее дизъюнкты. Во всех остальных случаях она истинна. Пусть ф = «Я читаю книгу», ф = «Я слушаю музыку». Высказывание «Я читаю книгу или слушаю музыку» ложно, если я одновременно не читаю книгу и не слушаю музыку. Во всех остальных случаях оно истинно. Определенная таким образом дизъюнкция носит нестрогий характер: могут быть одновременно истинны все ее дизъюнкты. В естественном языке, кроме союза «или», слабая дизъюнкция выражается словами «и/или» «или... или оба» «хотя бы один», «по крайней мере». В отличие от конъюнкции дизъюнкты могут переставляться в любом порядке без потери смысла как в формализованном, так и в естественном языке.
106
Часть II. Классическая символическая логика
► Импликацией формул ф и ф называется формула (ф <р), которая ложна тогда, когда истинна ф и ложна ф, и которая истинна во всех остальных случаях.
Таблица истинности импликации двух произвольных формул ф и ф имеет следующий вид.
Первый аргумент ф	Второй аргумент Ф	Значение функции (Ф=>ф)
Т	Т	т
т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т
В формуле (ф zd ф) подформулу ф принято называть антецедентом (лат. antecedens — «предшествующий»), а подформулу ф — консек-вентом (лат. consequens — «следствие»).
Из таблицы следует, что импликация однозначно истинна в двух случаях: или ее антецедент (формула ф) ложен, или ее консеквент (формула ф) истинен. Допустим, ф обозначает причину (я нажал выключатель), а ф — ее следствие (лампочка зажглась). Первая строка таблицы показывает, что если есть причина и ее следствие, тогда их необходимая связь истинна. Вторая строка таблицы утверждает, что только если причина наступила, а ее следствия нет, между ними нет необходимой связи (если есть причина, всегда должно быть ее следствие). Третья строка указывает, что если следствие наступило несмотря на отсутствие причины^ то, значит, существует иная, альтернативная причина (лампочка может загореться, будучи подключенной к другой электрической цепи). Таким образом, данная строка не опровергает необходимую связь следствия со своей причиной и получает соответственно значение «истина». Четвертая строка означает, что отсутствие причины и ее следствия также не опровергает их необходимой связи. Ведь если нет следствия, то не должно быть и ее причины. Поэтому и четвертая строка получает значение «истина».
В естественном языке союз «если... то» выражает условные отношения различной природы. В логике высказываний ему придается лишь то значение, которое зафиксировано таблицей: антецедент есть только достаточное условие истинности консеквентна, консеквент есть только необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой асимметрии перестановка местами членов импликации в общем
Семантика логики высказываний
107
случае неправомерна. Достаточно сравнить следующие два высказывания: «Если пойдет дождь, то я раскрою зонт» и «Если я раскрою зонт, то пойдет дождь».
В естественном языке высказывание «если ф, то <р» может выражаться такими синонимами, как «ф достаточно для ф», «ф необходимо для ф», «ф, только если ф», «ф, если ф», «ф, потому что ф», «ф, так как ф», «когда ф, тогда ф», «ф, значит (следовательно), ф».
Из сказанного ясно, что формула (ф о ф), где антецедент ф = «5 больше 2» — истинное высказывание и консеквент ф = «3 больше 4» — ложное высказывание, обозначает ложное высказывание.
► Эквивалентностью формул ф и ф называется формула (ф s ф), которая истинна тогда, когда формулы ф и ф обе истинны или ложны одновременно, и которая ложна во всех остальных случаях.
Таблица истинности эквивалентности двух произвольных формул ф и ф имеет следующий вид.
Первый аргумент Ф	Второй аргумент Ф	Значение функции (фзф)
Т	Т	т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	Т
Из таблицы следует, что формулы ф и ф эквивалентны, если и только если каждая из них необходима и достаточна для истинности другой. Или, что одинаково, если истинна как прямая импликация (ф о ф), так и ей обратная (ф z> ф). Значит, эквивалентные формулы ЛВ одновременно либо все истинны, либо все ложны. Если истинно (ложно), что сегодня понедельник, значит, истинно (ложно), что завтра будет вторник, послезавтра среда, вчера было воскресенье, позавчера была суббота и т. п.
В естественном языке эквивалентность формул ф и ф может выражаться оборотами «ф равносильно ф», «ф необходимо и достаточно для ф», «ф необходимо и достаточно для ф», «ф равносильно ф», «ф, если и только если ф», «ф тогда и только тогда, когда ф», «из ф следует ф и из ф следует ф».
Эквивалентные формулы могут переставляться местами без потери смысла высказывания, которое они образуют.
108
Часть II. Классическая символическая логика
► Сильной дизъюнкцией формул ф и ср называется формула (ф £ ср), которая истинна тогда, когда либо формула ф истинна и формула ср ложна, либо формула ф ложна и формула (р истинна, и которая ложна во всех остальных случаях.
Таблица истинности сильной дизъюнкции двух произвольных формул ф и <р имеет следующий вид.
Первый аргумент ф	Второй аргумент <Р	Значение функции (ф * ф)
т	Т	F
т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F
Дизъюнкты формулы (ф Ф <р) часто называют альтернативами, имея в виду, что один и только один дизъюнкт истинный или что логическая сумма альтернатив образует полное множество.
Сильная дизъюнкция представляет собой логическое отрицание эквивалентности. В отличие от слабой сильная дизъюнкция запрещает одновременную истинность всех или некоторых дизъюнктов, кроме одного, а также не допускает их одновременную ложность. В естественном языке чаще всего выражается словами «либо... либо». Из всех возможных альтернатив «Либо сегодня понедельник, либо вторник... либо воскресенье» истинна только одна, а все остальные ложны. При этом не могут быть истинными все вместе указанные альтернативы или только некоторые из них, за исключением одной. Также невозможно, чтобы перечисленные альтернативы все были ложными, одна из них обязательно непременно истинна.
Из сказанного ясно, что формула (ф $ (р), где ф = «5 больше 2» — истинное простое высказывание и <р = «3 больше 4» — ложное простое высказывание, обозначает истинное сложное высказывание.
С помощью таблиц истинности логических союзов можно вычислять значение истинности сложных высказываний. Допустим, дана формула -«(Л & -«(В z> С)), значения истинности атомарных формул которой неизвестны. Предположим, А = «Ничего не зависит от нас», В = «Все, кто много работает», С = «Никто ничего не добивается». Перевод формулы на естественный язык порождает сложное высказывание: «Неверно, что ничего не зависит от нас, и, что ложно, что все, кто много работает, ничего не добиваются».
Семантика логики высказываний
109
По предположению, нам не известны значения истинности простых высказываний. В этом случае строят таблицу истинности исследуемой формулы, ничем не отличающуюся от таблиц истинности логических союзов. Она представляет функцию истинности всех своих атомарных подформул.
Таблица истинности формулы -|(Л & -i(B z> Q) имеет следующий вид.
А	В	С	i(A & -.(В z> 0)
Т	т	т	Т F F Т
Т	т	F	F Т Т F
т	F	Т	Т F F Т
т	F	F	Т F F Т
F	Т	Т	Т F F Т
F	Т	F	Т F Т F
F	F ,	Т	Т F F Т
F	F	F	Т F F Т
1	2	3	7	6 5 4
Объяснение, В исследуемой формуле имеется три простых высказывания — А, В и С. Значит, существует 23 = 8 возможных интерпретаций (строк) их значений истинности. Первые три столбца (три аргумента функции) символизируют эти возможности. Например, первая строка таблицы показывает, что все три высказывания вместе истинны; восьмая строка — что они все вместе ложны.
Столбцы с четвертого по пятый указывают порядок и результат вычисления значения истинности подформулы, управляемой определенным логическим союзом. Каждый столбец размещается под тем логическим союзом, в область действия которого входит анализируемая подформула. Например, столбец (4) содержит значение истинности подформулы (В о С); столбец (5) — значение истинности подформулы -.(В о 0; столбец (6) — значение истинности подформулы (А & -п(В 0); заключительный столбец (7) — значение истинности всей формулы -.(Л & -i(B z> С)). Интерпретация данной формулы завершена. Каковы ее итоги?
110
Часть II. Классическая символическая логика
Правильно построенная таблица истинности должна содержать все возможные интерпретации истинности и ложности рассматриваемой формулы. Последняя ложна только в той интерпретации, которую указывает вторая строка, — атомарные формулы А, В истинны, атомарная формула С ложна. Во всех остальных интерпретациях указанная сложная формула истинна. Самую интересную интерпретацию представляет восьмая строка: все три атомарные формулы ложны, но формула в целом, тем не менее, истинна. Поскольку других интерпретаций нет и быть не может, мы получаем исчерпывающую информацию о логических свойствах исследуемой формулы.
Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы
Все формулы Л В разделяются на два взаимно исключающих и совместно исчерпывающих класса — выполнимые и невыполнимые. Выполнимые формулы далее подразделяются на логически истинные и логически нейтральные.
Таблица 18
Формулы логики высказываний
Выполнимые		Невыполнимые
Логически истинные (тавтологии)	Логически нейтральные (правдоподобные)	Логически ложные (противоречивые)
Формула Л В считается выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация (набор значений истинности атомарных формул), в которой она истинна, и невыполнимой в противном случае.
Формула называется логически истинной, если она истинна во всех своих интерпретациях, т. е. при любых наборах значений истинности своих атомарных формул. Такие формулы также часто называют тавтологиями (от греч. tauto — «то же самое» и logos — «высказывание»), законами логики, логическими истинами, общезначимыми, тождественно истинными.
Вероятность логической истины всегда равна единице, т. е. представляет собой константу. Логические истины максимально достоверны, но сообщают нулевую величину семантической информации. Истины типа «сегодня понедельник или не понедельник» максималь
Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы
111
но достоверны, но обладают нулевой информативностью: из анализа такого сообщения нельзя узнать, какой сегодня на самом деле день недели. Все тавтологии сводимы к виду (ф v -пф), где на место ф может подставляться любая формула ЛВ.
Тавтологией является формула (-i(-A v -J3) z> (А & В)). Ее таблица истинности имеет следующий вид.
А	В	(-.(-A v -В) z> (А & В))
Т	т	ТF FF Т Т
Т	F	F F ТТ Т F
F	Т	F Т TF Т F
F	F	F Т ТТ Т F
1	2	63548	7
Восьмой, заключительный, столбец формулы содержит только значение «истина». Значит, какими бы ни были интерпретации, или значения истинности атомарных формул А и В, формула (-i(-iA v -В) z> о (А & В)) всегда истинна.
Формула называется логически ложной (невыполнимой, противоречивой, тождественно ложной), если не существует ни одной интерпретации, т. е. набора значений истинности ее атомарных формул, в которой она была бы истинна. Такие формулы выражают логические противоречия. Вероятность логической лжи всегда равна нулю, т. е., как и логическая истина, она константа. Логически противоречивые высказывания сообщают бесконечную величину семантической информации, но обладают нулевой степенью вероятности. Истории барона Мюнхгаузена читать интересно, но ни одна из них не достоверна. Все логически ложные формулы сводимы к виду (ф & -пф), где на место ф может подставляться любая формула Л В.
Логически ложной является формула ((А о В) & -i(A о В)). Ее таблица истинности имеет следующий вид.
А	В	((-A v В) & -,(А z> В))
Т	т	F Т FF Т
Т	F	F F F Т F
F	т	Т Т F F Т
112
Часть II. Классическая символическая логика
Окончание табл.
А	В	((-A v В) & -п(А z> В))
F	F	ГТ F F Т
1	2	3 4	7 6 5
Седьмой, заключительный, столбец формулы содержит только значение «ложь». То есть, какими бы ни были интерпретации, или значения истинности атомарных формул Л и В, формула ((-Л v В) & -•(Л z> В)) всегда ложна.
Формула называется логически нейтральной, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой она истинна, и хотя бы одна интерпретация, в которой она ложна. Это означает, что такие формулы не могут быть логически истинными и логически ложными. Они лишь относительно истинны и относительно ложны. Значение их вероятности — величина переменная, колеблющаяся между нулем и единицей, никогда не достигающая указанных пределов. Так как логически нейтральные формулы способны изменять свою вероятность, то их правильнее называть правдоподобными.
Логически нейтральна формула ((А = В) (В $ С)). Ее таблица истинности такова.
А	В	С			
Т	т	т	т	F	F
Т	т	F	т	Т	Т
т	F	Т	F	Т	Т
т	F	F	F	Т	F
F	Т	Т	F	Т	F
F	Т	F	F	Т	Т
F	F	Т	Т	Т	Т
F	F	F	Т	F	F
1	2	3	4	6	5
Шестой, заключительный, столбец формулы содержит как значение «истина», так и значение «ложь». Значит, формула ((Л = В) □
Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы
113
о (В Ф С)) не является логически истинной и логически ложной. Следовательно, она логически нейтральна.
Отношение логического следования в логике высказываний
Отношение логического следования — фундамент всей дедуктивной логики. Сказанное относится и к логике высказываний.
Пусть аир обозначают соответственно множества формул, образующих посылки и заключение доказательства в ЛВ. Тогда справедливо следующее определение.
► Заключение р логически следует из посылок а, если и только если в каждой интерпретации (в каждой строке таблицы истинности формулы (a z> Р)), в которой истинно а, также истинно заключение р.
Рассмотрим следующее рассуждение, содержащее доказательство: «Сегодня понедельник или вторник. Значит, завтра не четверг». В этом доказательстве имеются пропущенные посылки. Восстановим их и формализуем доказательство. А = «Сегодня понедельник», В = «Сегодня вторник», С = «Завтра не четверг». Формализованное рассуждение будет таким:
((Л v В) & (А о С) & (В о 0) г» С).
Формулы а = {(Л v В), (А о С), (В zd 0} символизируют посылки доказательства, формула р = С — его заключение.
Дабы удостовериться в корректности приведенного доказательства, необходимо убедиться, что заключение логически следует из посылок. Это можно сделать тремя разными способами.
Во-первых, следуя определению логического следования, проверить, во всех ли строках таблицы истинности, в которых истинны посылки а, также истинно и заключение р. С этой целью необходимо построить таблицу истинности для формул аир.
А	В	С	((4 v В) & (А о С)) & (В о С)					с
Т	т	т	Т	т	Т	Т	Т	т
Т	т	F	т	F	F	F	F	F
т	F	Т	т	Т	Т	Т	т	Т
т	F	F	т	F	•F	F	т	F
F	Т	Т	т	Т	Т	Т	т	Т
8-2724
114
Часть II. Классическая символическая логика
Окончание табл.
А	в	С	((A v В) & (А => 0) & (В => 0					С
F	т	F	т	Т	Т	F	F	F
F	F	Т	F	F	Т	F	Т	Т
F	F	F	F	F	т	F	Т	F
1	2	3	4	7	5	8	6	3
В заключительном, восьмом, столбце посылки а истинны в первой, третьей и пятой строках. Заключение р истинно в этих же строках и дополнительно истинно в седьмой строке. Значит, в данной таблице истинности не существует ни одной строки, где посылки а были бы истинны, а заключение р ложно. Следовательно, если доказательство корректно, невозможно, чтобы посылки были истинны, а заключение ложно. Но именно в этом и состоит смысл отношения логического следования.
Во-вторых, можно проверить, будет ли логической истиной импликация (а о р). Для проверки этого предположения построим таблицу истинности для данной формулы.
А	В	С	(((A v В) & (А => 0) & (В => 0) =>						С
Т	Т	т	Т	Т	Т	т	Т	т	т
т	т	F	т	F	F	F	F	т	F
т	F	Т	т	Т	т	Т	Т	т	т
т	F	F	т	F	F	F	Т	т	F
F	Т	Т	т	Т	т	Т	Т	т	т
F	т	F	т	Т	т	F	F	т	F
F	F	Т	F	F	т	F	т	т	Т
F	F	F	F	F	т	F	т	т	F
1	2	3	4	7	5	8	6	9	3
Из таблицы следует, что заключительный, девятый, столбец содержит только значение «истина». Это означает, что импликация (a z> Р) представляет тавтологию, или логическую истину.
Основные законы логики высказываний
115
В-третьих, можно проверить, совместимы ли посылки с отрицанием заключения, т. е. будет ли формула (а & -$) логической ложью. Для проверки этого предположения следует построить таблицу истинности для конъюнкции посылок с отрицанием их заключения.
А	в	С	(((A v В) & (А э 0) & (В э 0) &						
т	т	т	Т	Т	Т	Т	т	F	F
т	т	F	т	F	F	F	F	F	Т
т	F	Т	т	Т	Т	Т	Т	F	F
т	F	F	т	F	F	F	Т	F	Т
F	Т	Т	т	Т	Т	Т	Т	F	F
F	Т	F	т	Т	Т	F	F	F	Т
F	F	Т	F	F	Т	F	Т	F	F
F	F	F	F	F	Т	F	Т	F	Т
1	2	3	4	7	5	8	6	10	9
Если заключение необходимо следует из посылок, то последние не могут быть совместимы с его отрицанием. Это подтверждает приведенная таблица. Ее заключительный, десятый, столбец содержит только значение «ложь», что доказывает справедливость сделанного предположения.
Таким образом, проверка показала, что заключение логически следует из посылок, если и только если импликация (a z> (3) логически истинна.
Основные законы логики высказываний
Одно из важных свойств логических истин заключается в том, что они выражают законы логики — принципы сохранения истины. Хотя логических истин и, следовательно, логических законов существует бесконечное число, обычно выделяют некоторое конечное подмножество в качестве правил, позволяющих преобразовывать формулы.
Ниже приводятся и иллюстрируются те законы логики, которые будут использоваться в дальнейшем. Истинность любого из них лег-
8*
116
Часть II. Классическая символическая логика
ко проверить с помощью таблиц истинности. Напомним, что вместо символов ф, ф и у, выполняющих функцию метапеременных, могут подставляться любые формулы логики высказываний.
Закон снятия двойного отрицания:
-тлф s ф.
Согласно этому закону высказывание «Неверно, что неверно, что сегодня понедельник» эквивалентно утверждению «Сегодня понедельник». Двойное отрицание не изменяет начального значения истинности высказывания: если оно было истинным (ложным), то в результате двойного отрицания и остается истинным (ложным). Поэтому двойное отрицание всегда может быть снято и заменено обычным утверждением.
Законы коммутативности (перестановочности) & и v:
(ф & ф) н (ф & ф);
(ф v ф) = (ф v ф).
Данные законы разрешают переставлять местами конъюнкты и дизъюнкты, так как это не изменяет значения истинности исходной формулы. Согласно этим законам высказывание «Это яблоко вкусное и (или) спелое» эквивалентно высказыванию «Это яблоко спелое и (или) вкусное».
Законы ассоциативности (соединения) & и v:
((Ф & ф) & у) = (ф & (Ф & у));
((Ф V ф) V у) == (ф V (ф V у)).
Данные законы разрешают вычислять значение истинности формул, состоящих только из конъюнктов или только из дизъюнктов, в любом порядке, поскольку это не изменяет значения истинности исходной формулы. Например, безразлично, вычисляется ли сначала значение истинности высказывания (Л & В), а затем ((Л & В) & С), или сначала высказывания (В & 0, а потом (А & (В & 0). Аналогично для дизъюнктивной формулы.
Законы дистрибутивности (распределения) & относительно v, и наоборот:
(ф & (Ф v у)) = ((ф & ф) v (ф & у));
(ф v (ф & у)) н ((ф v ф) & (ф v у)).
Например, согласно данным законам высказывание «Стоял октябрь, но было еще тепло или солнечно» эквивалентно высказыванию «Стоял октябрь, но было еще тепло, или стоял октябрь, но было еще солнечно». Законы дистрибутивности позволяют «выносить за скобки» формулы, входящие во все конъюнкты или во все дизъюнкты, а также совершать обратную операцию.
Основные законы логики высказываний
117
Законы идемпотентности (сохранения степени):
(I & Ф) * Ф;
(фуф)еф.
Согласно данным законам значение истинности сложных высказываний с многократным вхождением одного и того же конъюнкта (дизъюнкта) полностью определяется значением истинности одного конъюнкта (дизъюнкта).
Законы удаления о, = и
(ф о <р) = (-.ф V Ф);
(Ф = ф) = ((Ф о ф) & (ф э ф))
S ((->Ф V ф) & (Ф V -.ф))
= ((ф & ф) V (-.ф & -,ф)):
(Ф * Ф) s ((’Ф => -*P> & (~>Ф => Ф))
= ((--ф V -.ф) & (Ф V ф))
= ((ф & -.ф) V (-,ф & ф)).
Согласно приведенным законам формулы, содержащие логические союзы z>, s и могут равным образом заменяться на формулы, содержащие только логические союзы , & и v. Например, высказывание «Сегодня либо победим, либо проиграем» эквивалентно высказываниям «Если сегодня победим, то не проиграем, а если проиграем, то не победим», «Сегодня либо не победим или не проиграем, либо победим или проиграем», «Сегодня либо победим и не выиграем, либо не победим, но выиграем».
Законы де Моргана (отрицания конъюнкции и дизъюнкции):
ЧФ & ср) = (-.ф v —.ср);
-ЧФ & ф) = (-.ф V -пф).
Согласно законам де Моргана высказывание «Неверно, что сегодня ясно и (или) тепло» эквивалентно высказыванию «Сегодня не ясно или (и) не тепло».
Законы поглощения:
(ф & (ф V ф)) = ф;
(ф v (ф & ф)) = ф.
Согласно первому закону поглощения, конъюнктивная формула, в которой один конъюнкт — ф — логически сильнее другого: (ф v ф), эквивалентна логически более сильному конъюнкту — ф. По второму закону поглощения, дизъюнктивная формула, в которой один дизъюнкт — ф — логически слабее другого: (ф & ф), эквивалентна логически более слабому дизъюнкту — ф. Значит, всякая формула эквива
118
Часть II. Классическая символическая логика
лентна дизъюнкции своих самых слабых допущений и одновременно эквивалентна конъюнкции своих самых сильных следствий.
Законы исключения (противоречащих конъюнктов и дизъюнктов):
((Ф & Ф) V (ф & -пф» s ф;
((ф v ф ) & (ф V “1ф» = ф.
Согласно законам исключения, формула, чьи дизъюнкты (конъюнкты) имеют общий член — фи отличаются друг от друга только одной парой противоречащих подформул — ф и ->ф, эквивалентна общей для них подформуле — ф.
Перечисленные законы логики создают базис для развития более эффективного, чем таблицы истинности, метода решения логических задач логики высказываний. Он развивает технику анализа, применявшуюся при решении силлогизмов традиционной логики.
Деревья в логике высказываний
Таблиц истинности достаточно для решения всех задач ЛВ. Но их практическое применение затрудняется быстрым ростом числа строк в зависимости от увеличения числа атомарных формул. Напомним, что эта зависимость описывается функцией 2”, где п — число атомарных формул. Например, если некоторая формула состоит из семи атомарных формул, ее таблица истинности должна содержать 27 = = 128 строк, что делает анализ такой формулы неэффективным. Было создано множество методов, преодолевающих указанный недостаток таблиц истинности (аксиоматические, натуральные, секвенциальные исчисления). Ниже объясняется новый способ анализа и преобразования формул ЛВ, названный методом деревьев. Его отличает универсальность, простота и эффективность.
Правила построения деревьев в логике высказываний
Каждая формула логики высказываний может быть представлена не только аналитически, но и графически — в виде дерева, воспроизводящего ее логическую структуру. Каждая ветвь такого дерева указывает условие истинности рассматриваемой формулы, а все вместе они составляют ее объем в традиционном смысле.
Графически изобразить структуру какой-либо формулы означает построить ее дерево по некоторым общим правилам. Все они, за исключением правила П12, служащим частным случаем правила ПИ, были указаны выше как основные законы логики.
Деревья в логике высказываний
119
х	Таблица 19
Правила построения деревьев в логике высказываний
Ш. Если формула имеет вид -.ф, тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулой ф:
—гпф
I ф
П2. Если формула имеет вид (ф & <р), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулами ф и <р (коммутативность и идемпотентность формул ф и ср подразумевается): (Ф&Ф)
I Ф Ф
ПЗ. Если формула имеет вид (ф v ф), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулами ф и ср (коммутативность и идемпотентность формул ф и ф подразумевается): (фуф)
Ф^ 
П4. Если формула имеет вид (ф о <р), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается разветвлением каждой ветви на формулу -пф и формулу <р:
(Ф=>ф)
Ф
П5. Если формула имеет вид (ф = <р), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается ветвлением на формулу (ф & (р) и формулу (-пф &-i(p):
(Фдф)
Ф	-4.
ф 2?
П6. Если формула имеет вид (ф $ ср), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается ответвлением каждой ветви на формулу (ф & -»ф) и формулу (Цф & ф):
^Ф£ф)^ Ф -Ф
2??
П7. Если формула имеет вид -п(ф & ф), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается ответвлением каждой ветви на формулу -пф и формулу -пф:
ЧФ&Ф)
—|ф	-пф
120
Часть II. Классическая символическая логика
Продолжение табл. 19
П8. Если формула имеет вид -i (ф v ф), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулами -пф и -пф:
I
-.ф
-пФ
П9. Если формула имеет вид (ф ф), тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулами ->ф и -|ф:
-1(ф=>Ф)
I Ф -»Ф
П10. Если из общей вершины, содержащей формулу ф, исходят две ветви с формулами ф и ф, тогда обе эти ветви удаляются и дерево продолжается формулой ф:
Ф ф-^ г—Ф ф
ПИ. Если имеется пара ветвей вида ф и (ф & ф), тогда для продолжения дерева остается только ветвь с формулой ф:
ф-^'^'^Ф Ф I Ф
П12. Если имеется пара ветвей вида (ф & ф) и (ф & -пф), исходящих из общей вершины ф, тогда для продолжения дерева остается только формула ф:
Ф "Г" Ф Ф ф -’ф
П13. Если имеется пара ветвей вида ф и (-»ф & ф), тогда для продолжения дерева остаются ветви с формулами ф и ф:
Ф Г" ->Ф ф Ф
П14. Ветвь, содержащая по крайней мере одну пару противоречащих друг другу формул (не обязательно атомарных), называется замкнутой, отмечается знаком  и не подлежит дальнейшему продолжению. После своей идентификации замкнутая ветвь может быть удалена.
Деревья в логике высказываний
121
П15. Процесс конструирования дерева формулы начинается с представления подформул, соединяемых главным логическим союзом формулы, и продолжается до тех пор, пока все ее подформулы не будут представлены в виде ветвей дерева, содержащих только атомарные формулы или их отрицания.
Каждая ветвь правильно сконструированного дерева эквивалентна конъюнкции всех атомарных формул и/или их отрицаний, содержащихся в ней. Назовем такую ветвь полной. Каждое дерево эквивалентно дизъюнкции всех своих полных ветвей.
Процесс конструирования дерева формулы завершается одним из следующих возможных результатов.
1.	Если дерево формулы включает хотя бы две ветви с нулевой вершиной (без формул), одна из которых содержит атомарную формулу, а другая — ее отрицание, значит исходная формула — логическая истина.
2.	Если все ветви дерева формулы замкнуты, значит, исходная формула — логическая ложь.
3.	Если по меньшей мере одна ветвь дерева формулы незамкнута и нет ни одной пары ветвей с нулевой вершиной, одна из которых содержит атомарную формулу, а другая ее отрицание, значит исходная формула — логически нейтральная.
Пример 1. Создадим дерево формулы
(((А о В) & (С v -Л)) о (А о (В & С))).
Для большей ясности процесс в этом и следующих двух примерах разделен на отдельные этапы с указанием справа в скобках правил, на основании которых совершены преобразования.
1.	(((A z> В) & (С v -A)) z> (А => (В & 0))
2.	-п((А э В) & (С v -A))	(A z> (В & 0)
3.	—|(-тА v В) v ~i(C v -A)	(“A v (В & 0
А -.С	-А В
4.
5.	-нВ -nC	-А В
(П4)
(П7, П4)
(ПЗ, П4, П8)
(П13)
Дерево анализируемой формулы содержит две ветви с нулевой вершиной и с формулами В и -»В, логически отрицающими друг друга. Значит эта формула — логическая истина.
122
Часть II. Классическая символическая логика
Пример 2. Построим дерево формулы
((A (В v С)) & -п (С v -1А) & -нВ).
1.	((А э (В v 0) & -п(С V -А) & -iB) тВ
-п(С V “А)
2.	(Ao(BvQ)	(П2)
—J3
(-.С ЛА)
3.	(-AvBvC)	(П4,П8)
—JB
-»с А
4.	-А В С (П2, ПЗ, П14)
Все ветви дерева анализируемой формулы замкнуты. Значит она — логическая ложь.
Пример 3. Построим дерево формулы
((-nA v В) & (—iB v С v —м4)).
1.	((-А V В) & (^В V С v -А))
(~А vB)
2.	(-iBvCv-A)	(П2)
-А	В
3.	-J3 С -А	-пВ С -А (ПЗ, Ш4)

-л-----------'В
4.	С	(П10, П13)
Дерево анализируемой формулы содержит две незамкнутые ветви. Хотя обе они имеют нулевую вершину, но не состоят из формул, логически отрицающих друг друга. Значит данная формула — логически нейтральная.
Поиск нетривиальных следствий и допущений
Относительно любой нейтральной в логическом отношении формулы каноническими будут два вопроса: что из нее следует с необходимостью и какие допущения достаточны для ее истинности? Ответ на
Поиск нетривиальных следствий и допущений
123
первый вопрос дает приведение формулы к конъюнктивной форме, на второй — приведение формулы к дизъюнктивной форме. В этом параграфе будет показано, что для ответа на поставленные вопросы можно использовать метод деревьев.
Среди всех логических следствий особый интерес представляют сильные, а среди всех допущений — слабые. Те и другие можно назвать нетривиальными. Сильные следствия поглощают все слабые. Значит, зная первые, мы всегда знаем вторые, но не наоборот. Слабые допущения интересны тем, что указывают минимальные условия, при которых рассматриваемая формула истинна. Поиск сильных допущений неизбежно приводит к парадоксу. Так как из лжи следует все, что угодно, она должна быть признана единственным допущением любого знания.
Формулы Л и (Л v В) обе выступают необходимыми следствиями формулы (Л & В), Но А сильнее (A v В): из А следует (Л v В), но из (A v В) не следует А. Значит А — нетривиальное следствие; зная его, мы с необходимостью знаем (A v В), но обратный порядок неверен. К сказанному следует добавить также требование, чтобы сильное следствие не совпадало с посылкой исходной формулы.
►	Логическое следствие формулы нетривиально, если оно не поглощается никаким другим ее следствием и не эквивалентно какой-нибудь ее посылке.
Формула (A v В) следует как из допущения Л, так и из допущения (Л & В). Но из этих допущений А — более слабое: из (А & В) следует Л, но обратное неверно. Следовательно, А — нетривиальное допущение. Очевидно, формулу всегда легче доказать на основании более сильного допущения, чем более слабого. Надо также добавить, чтобы нетривиальная посылка не совпадала с заключением исходной формулы.
►	Допущение формулы нетривиально, если оно не поглощает никакие другие се допущения и не эквивалентно самой формуле.
Частным случаем задачи поиска нетривиальных допущений служит восстановление пропущенных посылок.
Дерево формулы, построенное согласно правилам П1-П14, позволяет эффективно находить нетривиальные следствия и допущения логически нейтральной формулы.
Допустим, создано дерево исследуемой формулы. Ее необходимым следствием будет дизъюнкция любых ее конъюнктов, по одному из каждой ветви. Из них нетривиальны те, которые не поглощаются никакими другими, и те, которые не совпадают с посылками. Допу
124
Часть II. Классическая символическая логика
щением формулы будет конъюнкция формул, эквивалентная любой ее полной (от вершины до основания) ветви. Из них нетривиальны те, которые не поглощают никакие другие, и те, которые не совпадают со всей формулой.
Дана формула ((A z> -пВ) & (A v С) & -п (В & С)). Необходимо найти все ее нетривиальные следствия и допущения.
Дерево формулы:
Просматривая дерево сверху вниз, по горизонтали обнаруживаем все необходимые следствия формулы: -В и (A v С). Ни одно из них не поглощает другое. Значит, они оба нетривиальны.
Осматривая ветви дерева слева направо, по вертикали находим все допущения формулы, в случае истинности которых она необходимо истинна: (Лв & А) или (->В & 0. Ни одно их них не поглощает другое. Следовательно, они оба нетривиальны.
Дана формула ((А э В) & (В э 0).
Дерево формулы:
-v4 -л в
-тВ с с
Прочтение дерева формулы по горизонтали (все комбинации по одному конъюнкту из каждой ветви) выявляет одно-единственное нетривиальное следствие: (-А v 0. Такие следствия, как (-тА v В), (-в v С), тривиальны, поскольку эквивалентны посылкам. Такие следствия, как (-тА v -A v С), (-Л v С v С), (-Л v -В v С), (-J3 v В), тривиальны, потому что поглощаются нетривиальным следствием (-Л v С).
Прочтение дерева формулы по вертикали позволяет найти все допущения рассматриваемой формулы: (-Л & -чВ), (-Л & С), (В & С). Все они нетривиальны, так как ни одно из них не поглощает другие.
Логика высказываний как исчисление
Представить логику высказываний в виде исчисления означает сформулировать ее как полностью формализованную теорию, допускающую Только синтаксические преобразования. Большая часть этой работы уже выполнена. Неформализованными остались только понятия логического следования и логически истинной формулы. В ЛВ как исчислении они заменяются своими синтаксическими двойниками — понятием вывода и доказуемой формулы (теоремы исчисления) соответственно.
Логика высказываний как исчисление
125
Для Л В были построены исчисления разного типа — аксиоматические, натуральные, генценовские. Ниже конструируется исчисление нового вида, основанное на методе деревьев, техника которого объяснялась в предшествующих ответах.
Сформулируем правила прямого и косвенного вывода.
1. Если каждая ветвь дерева формулы <р — конъюнкт какой-либо ветви дерева формул ф1# ф2,..., ф„ (включая случай полного совпадения ветвей), тогда формула ф прямо выводима из последовательности формул ф1# ф2,..., фл.
2. Если каждая ветвь дерева формулы (фь ф2,..., ф„ & -»ф) замкнута, тогда формула ф косвенно выводима из последовательности формул фр ф2,..., ф„.
Вывод произвольной формулы ф из последовательности формул ф1# ф2,..., фп принято обозначать посредством специальной символизации:
Фр Фг, • ••> Фл F Ф
Она читается: «из допущений фр ф2, ..., ф„ выводима формула ф».
Если формула ф представляет логическую истину, то это символизируется посредством:
рф
Это читается: «ф — теорема (доказуемая формула)».
Пусть аир, как и прежде, обозначают посылки и заключение доказательства.
► Доказательством заключения р в исчислении Л В называется вывод р из множества посылок а.
Доказательство заключения р считается прямым, если сделан прямой вывод р из множества посылок а; и косвенным (от противного), если сделан косвенный вывод р из множества посылок а.
Пример. Доказать прямым и косвенным способом выводимость (Л zdB),(C=>D) I- (->В v -,D) (-Л v -.Q.
Прямое доказательство
Дерево посылок: -Л	В
-хС D -хС D
Дерево заключения:
В —»А —\С D
Ветвь BD дерева заключения полностью совпадает с четвертой (рлева ветвью дерева посылок, а ветви с формулами -Л и -1С дерева заключения служат конъюнктами ветвей дерева посылок. Следова
126
Часть II. Классическая символическая логика
тельно, прямое доказательство данной формулы общезначимо. Проанализируем это заключение более подробно.
Посылки общезначимого доказательства истинны. Это означает, что хотя бы одна из ветвей дерева посылок должна быть истинна. Предположим, истинна первая ветвь дерева посылок (~Л & ->0. Тогда истинны вторая -Л и третья ветви -пС дерева заключения и потому заключение в целом.
Допустим, истинна вторая ветвь дерева посылок (-Л & D). Тогда истинным будет конъюнкт -Л и, значит, заключение в целом. Скажем, истинна третья ветвь дерева посылок (В & -.0. Тогда конъюнкт -.Си потому заключение в целом также истинные. Теперь предположим, что истинна четвертая ветвь (В & D). Тогда антецедент заключения ложен, а доказательство истинно. Значит, каждая ветвь дерева посылок в случае своей истинности гарантирует истинность заключения, и нет ни одного случая, чтобы посылки были истинны, а заключение ложно.
Косвенное доказательство
Проверяем, совместимы ли посылки рассматриваемого доказательства с отрицанием заключения. Для этого необходимо создать дерево формулы, представляющей конъюнкцию посылок с отрицанием заключения.
((Л Z) В) & (С о D) & v-nD) d(-u4 V -nC)))
-Л	В
-.CD -.CD A	A	A	A
.	.	C
В	D
	
Все ветви дерева замкнуты. Следовательно, посылки несовместимы с отрицанием заключения. Значит, косвенное доказательство данной формулы корректно.
Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний
Все умозаключения ЛВ принято классифицировать на условные и разделительные. Каждый из указанных классов имеет свои разновидности, или модусы. Если модус умозаключения правильный, со
Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний
127
ответствующая ему формула представляет логическую истину (закон логики, тавтологию). Ниже приводятся и иллюстрируются простейшие и наиболее распространенные в практической аргументации модусы правильных умозаключений ЛВ. Проверка каждого из них с помощью таблиц истинности или метода деревьев предоставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.
Условные умозаключения
Условно-категорическим умозаключением называют умозаключение, одна из посылок которого представляет категорическое, а другая — условное (импликативное) высказывание. Условно-категорические умозаключения подразделяются на две разновидности: modus ponens (утверждающий способ рассуждения) и modus fattens (отрицающий способ рассуждения).
В утверждающем модусе доказывается истинность первого антецедента условной связи, чтобы доказать истинность ее последнего консеквента (следствия). В отрицающем модусе, наоборот, доказывается ложность последнего консеквента условной связи, чтобы доказать ложность ее первого антецедента.
Формула утверждающего модуса условно-категорического умозаключения:
(4 о В), А
В
Пример: «Если сегодня понедельник, будет лекция по логике. Но сегодня действительно понедельник. Значит, сегодня будет лекция по логике».
Формула отрицающего модуса условно-категорического умозаключения:
(А =>В),-тВ
—v4
Пример: «Если число три четное, оно должно делиться на два без остатка. Но число три не делится на два без остатка. Значит, число три нечетное».
Разделительные умозаключения
Разделительно-категорическим умозаключением называют умозаключение, одна из посылок которого представляет категорическое, а другая — разделительное высказывание. Среди разделительно-категорических умозаключений принято вычленять две разновидности:
128
Часть II. Классическая символическая логика
modus ponendo tollens (утверждающе-отрицающий способ рассуждения) и modus tollendo ponens (отрицающе-утверждающий способ рассуждения).
В утверждающе, отрицающем модусе доказывается истинность одной из альтернатив, чтобы опровергнуть все остальные. В отрицающе, утверждающем модусе, наоборот, доказывается ложность некоторых альтернатив, чтобы доказать истинность всех остальных.
Формула утверждающе-отрицающего модуса разделительно-категорического умозаключения:
(А * В), В
Пример: «Подброшенная монета выпадет либо гербом, либо цифрой. Она выпала гербом. Значит, она не выпала цифрой».
Формула отрицающе-утверждающего модуса разделительно-категорического умозаключения:
(А * В), -В
А
Пример: «Отсюда можно выйти либо через дверь, либо через окно. Но дверь заперта снаружи. Значит, отсюда можно выйти только через окно».
Условно-разделительные умозаключения
Условно-разделительным умозаключением называют умозаключение, посылки которого состоят из нескольких условных и одного разделительного высказывания. Подобные умозаключения используют, когда предстоит сделать выбор из нескольких вариантов действий, способов решения задач и т. п. В зависимости от числа дизъюнктов (альтернатив) разделительной посылки различают дилеммы (две альтернативы), полилеммы (число альтернатив более двух). Для простоты изложения ограничимся здесь дилеммами. Последние принято делить на простые и сложные, конструктивные и деструктивные.
Формула простой конструктивной дилеммы:
(A эС),(Вз О, (A v В)	х
С
Пример: «Если изучать логику, требуется время и терпение. Если изучать английский язык, также требуется время и терпение. Необходимо изучать логику или английский язык. Значит, требуется время и терпение».
Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний ,
129
Формула сложной конструктивной дилеммы:
(А Q, (В z> D), (Л v В)
(CvD)
Пример: «Если плыть по реке, нужны лодки. Если ехать по шоссе, требуются велосипеды. Необходимо плыть по реке или ехать по шоссе. Значит, требуются лодки или велосипеды».
Формула простой деструктивной дилеммы:
(А =5 В), (Л о С), (-J3 v -пС)
Пример: «Если сегодня понедельник, то будет лекция по логике. Если сегодня понедельник, то будут занятия по английскому языку. Но сегодня не будет логики или не будет занятий по английскому языку. Значит, сегодня не понедельник».
Формула сложной деструктивной дилеммы:
(А^С), (BzdD),
(—1/4 v —iB)
Пример: «Если книга интересна, то она читается быстро. Если книга полезна, то она читается постоянно. Но книга не читается быстро или не читается постоянно. Значит, книга не интересна или не полезна».
Правило дедукции (введение импликации)
Если тезис имеет импликативную форму вида (А В), для его обое-нования достаточно доказать, что его консеквент (высказывание В) выводим из конъюнкции множества аргументов а и его антецедента (высказывания А). Умозаключение, позволяющее это сделать, называется правилом дедукции.
Формула правила дедукции:
а,Д [В
а |- (Л о В)
Пример: «Если из того, что это число кратно 2 и 15 (а) и делится на 10 (Д), доказуемо, что это число делится на 6 (В), тогда утверждение, что если это число делится на 10, то оно делится на 6 (Д о В), доказуемо только из того, что это число кратно 2 и 15 (а)».
Рассуждение от противного
Для обоснования выводимости типа а |- р часто допускают ложность тезиса р, т. е. истинность формулы -«р, и проверяют, совместимо ли -ip
9—2724
130
Часть II. Классическая символическая логика
с множеством аргументов а. Если оказывается, что формула -пР несовместима с аргументами а (конъюнкция а и противоречива), тогда делают вывод об истинности указанной выводимости. Такое рассуждение лежит в основе косвенного вывода (косвенного доказательства).
Формула рассуждения от противного:
а. -пР F • а I-P
Пример: «Чтобы доказать, что если сегодня понедельник, то завтра вторник, можно рассуждать так. Допустим, завтра не вторник. Но это допущение несовместимо с истинным утверждением, что сегодня понедельник. Значит, завтра действительно вторник (если сегодня понедельник)».	'
Приведение к абсурду
Если требуется опровергнуть тезис р, подбираются такие истинные аргументы а, с помощью которых можно вывести из конъюнкции (а & Р) противоречие. Если это удается сделать, тезис р считается опровергнутым (относительно приведенных аргументов а).
Формула приведения к абсурду:
а. Р h  , а HP
Пример: «Если необходимо доказать, что сегодня не вторник, допускаем временно, что на самом деле сегодня вторник. Из этого допущения и множества аргументов, из которых следует, что вчера было воскресенье, выводим противоречие (сегодня понедельник и сегодня вторник). Значит, принятое допущение неверно, а верно его отрицание (сегодня не вторник)»'
Разбор случаев
Если из допущения А выводимо следствие С, из допущения (случая) В выводимо следствие С, тогда истинно, что следствие С выводимо из дизъюнкции допущений (A v В). Сказанное означает, что доказательство выводимости тезиса С из сложного аргумента (A v В) можно свести к доказательству его выводимости из отдельных дизъюнктов — А и В, что и называется доказательством посредством разбора случаев.
Формула разбора случаев:
Логика предикатов
131
A I-C В I-C
(A v В) I- С
Пример: «Если сегодня понедельник, то завтра не четверг. Если сегодня вторник, завтра не четверг. Значит, если сегодня понедельник или вторник, то завтра не четверг».
Логика предикатов
Основные понятия и допущения логики предикатов
Если попытаться с помощью логики высказываний доказать корректное умозаключение «Каждый человек любит самого себя (А). Я — человек (В). Следовательно, я люблю самого себя (С)», то общезначимого вывода (А & В) |- С не получится. С посылками (А & В) совместимо не только заключение С, но и его отрицание. Значит, высказывание С не служит необходимым следствием высказывания (А & В). Причина этого не в ущербности логики высказываний, а в ее ограниченности. Согласно одному из ее допущений внутренняя структура простых высказываний не учитывается. Поэтому неудивительно, что расширение возможностей формализации было связано прежде всего с отказом от указанного допущения. Это привело к созданию важного обобщения ЛВ, названного логикой предикатов.
►	Логика предикатов (ЛП) — логика, созданная для анализа умозаключений, в которых истинность заключения зависит не только от истинности посылок, но также и от их внутренней логической структуры.
Для анализа внутренней структуры высказываний в логике предикатов дополнительно к основным понятиям ЛВ были введены следующие понятия: универсум, имя собственное, предметная константа, предметная переменная, предикат, терм, предметная функция, квантор. Кроме того, использование ЛП требует принятия особых допущений.
Как и в традиционной логике, в логике предикатов все вычисления привязаны к понятию универсума.
►	Универсум U логики предикатов — класс вещей с заданными свойствами и отношениями.
Универсум задает предметную область интерпретации анализируемого рассуждения, позволяет вычислить его логическое значение.
9*
132
Часть II. Классическая символическая логика
Одним из мотивов возврата к универсуму стала необходимость ограничения предмета рассуждения определенными смысловыми границами. Если их не установить, то кванторные выражения (знаки количества в традиционной логике) — «для всех», «ни для одного» и «для некоторых» — не получают однозначной интерпретации и могут приводить к двусмысленностям.
Чтобы обсуждать элементы универсума, необходимо для каждого из них получить имя собственное, которое обозначает только данный элемент.
►	Имя собственное в логике предикатов — термин, обозначающий отдельную вещь универсума.
Логика предикатов, как и традиционная логика, связана с допущением невозможности существования пустых имен, т. е. таких терминов, которым в рассматриваемом универсуме ничего не соответствует (которые не обозначают ни одной вещи универсума).
►	Допущение непустоты универсума — каждому имени собственному должен соответствовать некоторый объект универсума.
В логике предикатов неважно, каким именем обозначается некий объект, важно, какой объект назван. Поэтому если два и более различных имени обозначают одно и то же, независимо от различия своих интенсионалов (смыслов), они считаются экстенсионально взаимозаменяемыми. Например, «автор “Евгения Онегина”» и «А. С. Пушкин» — экстенсионально взаимозаменяемые имена, так как обозначают одного и того же человека. В противном случае значение истинности высказывания будет зависеть от малейшего изменения смысла контекста, в котором оно употребляется.
►	Допущение экстенсиональности — если два различных имени обозначают одну и ту же вещь, они считаются взаимозаменяемыми и обладают одним и тем же значением истинности/
Как и в логике высказываний, в логике предикатов сохраняется допущение бивалентности.
►	Допущение бивалентности — каждое простое высказывание ЛП либо истинно, либо ложно.
Из-за необходимости учитывать внутреннюю структуру высказываний атомарные формулы ЛП значительно отличаются по своей структуре от аналогичных формул ЛВ. Напомним, что в ЛВ атомарной формулой считается знак (прописная буква латинского алфавита), обозначающий простое высказывание.
Логика предикатов
133
Допустим, задан некоторый универсум U. Относительно каждого его элемента его имя собственное может быть известно или неизвестно. Если оно известно, элемент обозначается одной из строчных начальных букв латинского алфавита а, Ь, с... и называется предметной константой. Значение, т. е. обозначаемый объект, каждой предметной константы фиксировано и не может быть произвольно изменено. Если же имя собственное неизвестно, элемент обозначается одной из строчных конечных букв латинского алфавита х, у, z... и называется предметной переменной. Предметные переменные не имеют фиксированного значения. Их главная функция состоит в том, чтобы обозначать все вхождения одного и того же имени. Иными словами, на место каждой предметной переменной одно и то же имя должно подставляться столько раз, сколько имеется ее вхождений.
Различие между предметными константами и переменными поясняет следующий пример. Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторый объект из универсума U обладает свойством Р. Это можно осуществить двумя способами: либо как Ра, если а — известное имя собственное вещи, либо как Рх, если имя собственное вещи неизвестно. Выражение Ра читается: «Данная вещь а из универсума U обладает свойством Р». Выражение Рх читается «Произвольная вещь х из универсума U обладает свойством Р». Фундаментальное различие между обоими случаями состоит в том, что выражения Ра, РЬ... можно оценивать как истинные или ложные, а выражения Рх, Ру... так оценить нельзя.
Пусть U = «пищевые продукты», Р = «сладкий», а = «сахар», Ь = = «соль». Тогда выражение Ра = «Сахар сладкий» истинно, а выражение РЬ = «Соль сладкая» ложно. Сказать же, что Рх = «Произвольный пищевой продукт сладкий» истинно или ложно, бессмысленно, потому что неизвестно, о каком именно пищевом продукте идет речь. Знак х обозначает любую съедобную вещь, или, как говорят, «пробегает» по всем элементам рассматриваемого универсума. Значит, чтобы выражение ЛП, содержащее вхождения предметных переменных, можно было интерпретировать как истинное или ложное высказывание, их необходимо заменить соответствующими им предметными константами.
Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторый объект находится в определенном отношении к другому объекту. Здесь также различаются два указанных выше случая. Выражение типа Rxy означает «Произвольные вещи х и у из универсума U находятся в отношении R друг к другу». Сказать об отношении Rxy,
134
Часть II. Классическая символическая логика
истинно оно или ложно, нельзя до тех пор, пока не станет известно, какие именно элементы обозначают переменные х и у. Пусть U = «числа», а = 3, b = 4, R = «больше». Тогда неопределенное с истинностной точки зрения выражение Rxy превращается в ложное высказывание Rab = «3 больше 4».
Традиционно предикатом называется мысль, обозначающая либо свойство, которым обладает или не обладает данный объект, либо отношение, в котором он находится или не находится к другим объектам. В ЛП предикаты интерпретируются как логические функции, отображающие имена собственные как свои аргументы в множество значений истинности. Если в высказывании «Сахар сладкий» заменить константу «сахар» предметной переменной, то результатом замены станет функция «х — сладкий». Подстановка в данную функцию вместо х различных имен собственных будет порождать истинные или ложные высказывания в качестве ее значений. Если исключить случай, когда предикат имеет нулевое множество аргументов, предикатом в собственном смысле слова можно назвать любое высказывание, содержащее по крайней мере одно вхождение предметной переменной. Пусть, как и прежде, Т и F обозначают значения истинности.
► Предикат — логическая функция, отображающая собственные имена вещей (предметные константы) в множество логических значений {Т, F}.
Выражения вида Р[х принято называть одноместными {одноаргументными) предикатами. Их отличительная особенность в том, что они обозначают свойства вещей. Выражения вида Р2ху называют двухместными (двухаргументными) предикатами. Они обозначают бинарные отношения. В целом выражения Рп принято называть п-местными предикатами, обозначающими n-местные отношения, п > 0. В случае Р° предикатная буква указывает на простое высказывание ЛВ, которое по допущению бивалентности либо истинно, либо ложно. Так как атомарные формулы ЛВ сводимы к виду PQ, то они все представляют собой атомарные формулы ЛП.
Верхними индексами для обозначения местности предиката можно и не пользоваться, так как число таких мест легко определяется по количеству предметных переменных, которыми предикат управляет. Например, Р3 означает, что после предикатной буквы Р должно стоять три предметных переменных — Pxyz. В дальнейшем используется именно данный вариант символизации предикатов.
Если необходимо формализовать операцию, отображающую множество предметных констант в это же множество по определенному закону, используют соответствующую данной операции предметную
Логика предикатов
135
(т. е. нелогическую) п-местную функцию. Известные арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление — служат частными случаями таких функций. Двухместная функция сложения /(а, &), заданная на множестве натуральных чисел, ставит в соответствие паре определенных натуральных чисел а и b новое число с из этого же множества — в качестве результата их суммы: а + b = с. Например,/(1, 2) = 3; f(f(\, 2),/(1,2)) = 3 + 3 = 6. Другие примеры предметных функций: g(b) = «мать 6», g(g(b)) = «мать матери 6» = «бабушка Z»>, g(g(g(6))) = «мать бабушки 6» = «прабабушка 6». Функция fn при п = 0 обозначает предметную константу.
Предметные константы и предметные переменные принято называть общим понятием — простой терм (от англ. term). Оно обобщает понятия субъекта в традиционной логике. К числу сложных термов относятся и-местные функциональные знаки, п > 0 сопровождаемые n-предметными константами или переменными в качестве простых термов.
Объединение термов с предикатной буквой порождает атомарную формулу ЛП. Основное правило здесь таково: п-местной предикатной букве должно соответствовать п термов. Таким образом, выражение Р3 не будет атомарной формулой ЛП, так как предикатный символ не сопровождается тремя термами, а выражение типа Pabx — ею становится. Если tb ..., tn — произвольные термы, Рп — произвольный n-местный предикат, то атомарная формула ЛП имеет следующий канонический вид: Pfl f„, п > 0.
Только атомарным построенным из них сложным формулам ЛП можно приписывать то или иное значение истинности.
Некоторые формулы ЛП с вхождениями предметных переменных могут быть квантифицированы. Кванторы в ЛП играют такую же роль, как и знаки количества — «все», «ни один», «некоторые» — в традиционной логике. Они определяют количественные границы свойств и отношений, обозначаемых предикатами.
Пусть универсум состоит из трех элементов, каждый из которых имеет свое собственное имя: U = {а, Ь, с}. Сказать, что все элементы данного универсума обладают свойством Р, можно двумя способами. Во-первых, построив конъюнкцию: (Ра &РЬ & Рс), которая истинна, если и только если истинны все ее конъюнкты. Во-вторых, использовав специальное сокращение, называемое квантором общности и ставящееся перед той формулой, в данном случае Рх, количественную характеристику которой оно определяет: (х)Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор общности, (х)Рх, читается: «Каждый х
136
Часть II. Классическая символическая логика
обладает свойством Р», «Для всех х имеет место свойство Р». Формула -п(х)Рх читается «Неверно, что каждый х обладает свойством Р». Формула (х)-уРх означает «Ни один х не обладает свойством Р».
Также двумя способами можно сказать, что некоторые вещи рассматриваемого универсума обладают свойством Р. Во-первых, создав дизъюнкцию {Ра v Pbv Рс), которая истинна, если и только если истинен по крайней мере один ее дизъюнкт. Во-вторых, использовав специальное сокращение, называемое квантором существования и ставящееся перед тем выражением, количественную характеристику которого оно определяет: (Ех)Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор существования, (Ех)Рх, читается: «Существует такой х, который обладает свойством Р», «По крайней мере для одного х имеет место Р». Формула -i(£r)Px читается «Неверно, что существует такой х, который обладает свойством Р». Формула (£х)-,Рх означает: «Некоторые х не обладают свойством Р».
Синтаксис логики предикатов
Синтаксис ЛП представляет расширение синтаксиса ЛВ и включает перечень определяемых знаков алфавита ЛП (табл. 20) и правил построения из них термов и формул ЛП (табл. 21).
Таблица 20
Алфавит логики предикатов
1	Знаки для обозначения предметных констант	а, Ь, с...
2	Знаки для обозначения предметных переменных	х, у, Z...
3	Знаки для обозначения «-местных предикатов, п > 0	Рп, Q, №...
4	Знаки для обозначения «-местных функциональных символов, п > 0	fn, g, hn...
5	Знаки для обозначения произвольных термов	tn
6	Знаки для обозначения кванторов общности и существования	(r), (Er)
7	Знаки для обозначения логических союзов	
	7.1. Знак логического отрицания: «неверно, что»	—1
\	7.2. Знак конъюнкции: «и»	&
	7.3. Знак слабой дизъюнкции: «или»	V
Правила построения формул логики предикатов
137
	7.4. Знак импликации: «если... то...»	
	7.5. Знак эквивалентности: «если и только если»	
	7.6. Знак сильной дизъюнкции: «либо... либо...»	*
8	Левая и правая скобки (для указания области действия логических союзов)	(.)
9	Запятая (для разделения формул в посылках)	
10	Знак для обозначения отношения логического следования: «выводимо, следует»	1-
И	Знак для обозначения логической лжи и замкнутой ветви дерева формулы	
12	Знак для обозначения равенства термов	=
13	Иных знаков, кроме указанных в п. 1-12, в логике предикатов нет.	
Правила построения формул логики предикатов
Пусть буквы греческого алфавита ф, ф, у... обозначают произвольные формулы ЛП. Это означает, что на место каждой из них следует подставлять формулу ЛП столько раз, сколько имеется вхождений данной буквы.
В терминах заданного табл. 20 алфавита ЛП можно конструировать термы и формулы — символические эквиваленты простых и сложных высказываний согласно следующим правилам.
Таблица 21
Правила построения фррмул логики предикатов
1	Предметная константа и предметная переменная — термы ЛП.
	«-аргументная функциональная буква /» п > 0, сопровождаемая п термами,	— (сложный) терм ЛП.
	Ничто другое не является термом ЛП.
2	Для всех п > 0 «-местный предикат Р”, сопровождаемый п термами, Pd служит атомарной формулой ЛП.
138
Часть II. Классическая символическая логика
Окончание табл. 21
	Терм tif соединенный знаком «=» с другим термом есть атомарная формула ЛП.
	Ничто другое не является атомарной формулой ЛП.
3	Любая атомарная формула ЛП — формула ЛП.
4	Если ф — формула ЛП, то -пф — также формула ЛП.
5	Если ф и (р — формулы ЛП, то (ф & ф), (ф v ф), (ф d ф), (ф = ф), (ф ф) — также формулы ЛП.
6	Если ф — формула ЛП и предметная переменная £ входит в ф, но ни квантор общности (£), ни квантор существования (Е£) не входят в ф, тогда (£Ж — также формула ЛП1.
7	Если ф — формула ЛП и предметная переменная % входит в ф, но ни квантор общности (£), ни квантор существования (Е%) не входят в ф, тогда (ДЖ ~ также формула ЛП.
8	Иных формул, кроме указанных в п. 2-7, в логике предикатов нет.
Для определения того, какие последовательности знаков из табл. 20 будут формулами ЛП, введем понятие подформулы (которое повторяет определение, приведенное для формул ЛВ).
►	Подформула — формула ЛП, входящая в состав другой формулы ЛП.
Назовем логическим оператором формулы логический союз или квантор, которые в нее входят. Тогда очевидно следующее определение.
►	Главный логический оператор неатомарной формулы ЛП — союз или квантор, который при ее построении вводится последним.
Как и в ЛВ, узнать, окажется ли данная последовательность знаков формулой ЛП, легче всего, создав дерево этой формулы. Правилами при этом будет тот порядок шагов, который упоминался при образовании формул ЛП (см. табл. 21).
Допустим, необходимо проверить, будет ли формулой ЛП следующая последовательность знаков: (x)(((Qr & (Ez)Pxz) & (у)(Рху о id Rxay)) id Sax).
Напомним, что формула подчеркивается в том случае, если она выступает подформулой нижестоящей формулы.
1 Метапеременная вместо которой могут подставляться предметные переменные х, у, z,..., читается как «кси».
Правила построения формул логики предикатов
139
Pxz Рху Rxay
Qx (Ez)Pxz (Рху z> Rxay)
(Qr & (Ez)Pxz) (y)(Pxy zd Rxay)
((Q* & (Ez)Pxz) & (y)(Pxy zd Rxay)) Sax
(((Q* & (Ez)Pxz) & (y)(Pxy zd Rxay)) zd Sax) (*)((( Qx & (Ez)Pxz) & (y)(Pxy id Rxay)) о Sax)
Дерево доказывает, что приведенное выражение — формула ЛП. В самом деле, следующие последовательности представляют собой формулы ЛП согласно определенным правилам: Qx, Pxz, Rxay, Sax — по правилам 2 и 3, (Ez)Pxz) — правилу 7, (Рху zd Rxay), (Qx & (Ez)Pxz) — правилу 5, (y)(Pxy^ Rxay) — согласно правилу 6, ((Qx & (Ez)Pxz) & & (y)(Pxy zd Rxay)) — правилу 5, а вся формула в целом — это формула ЛП в рамках правила 6.
Главным логическим оператором в ней выступает квантор общности (х), так как при создании дерева формулы он вводится последним. Если бы не было этого квантора, главным логическим оператором был бы знак конъюнкции &.
Следующее выражение не является формулой ЛП: (х)(Рх zd (Ех) (Qx&. Rxb)). Это обусловлено тем, что хотя выражения Рх, (Ex)(Qx & & Rxb) и (Рх zd (Ex)(Qx & Rxb)) — формулы ЛП, но все выражение в целом не относится к последним: к формуле (Рх zd (Ex)(Qx & Rxb)) нельзя применить правило 6, чтобы присоединить к ней квантор общности (х), так как она уже содержит квантор существования (Ех).
В то же время выражение (х)((Еу)Рху zd (Еу)(-Рху v Qxy)) — формула ЛП. Несмотря на наличие двух кванторов существования (Еу), их области действия не пересекаются и правило 7 образования формул ЛП не нарушается. Дерево формулы имеет следующий вид.
—Рху v Qxy
Рху (—Рху у Qxy)
(Еу)Рху (Еу)(-Рху у Qxy))
((Еу)Рху zd (Еу)(-Рху у Qxy))
(х)((Еу) Рху zd (Еу)(-Рху v Qxy))
Область действия логического союза и квантора
Введем точные определения области действия логического союза (повторяет определение для формул ЛВ) и квантора.
140
Часть II. Классическая символическая логика
► Область действия логического союза образуют все подформулы, которые он связывает.
► Область действия квантора составляет подформула, которая начинается сразу после квантора.
В формуле (х)((Еу)Рху id (Еу)(-^Рху v Qxy)), которая рассматривалась выше, областью действия первого квантора существования (Еу) служит подформула (Еу)Рху; областью действия второго квантора существования (Еу) — подформула (Еу)(-Рху v Qxy)\ областью действия квантора общности (х) — вся формула в целом.
Связанные и свободные переменные
Некоторые предметные переменные, совпадающие 6 переменной квантора общности или существования, могут находиться в области его действия. Тогда вхождение этой переменной называется связанным. В противном случае оно свободное.
► Вхождение предметной переменной £ называется связанным, если и только если она переменная квантора общности (£) или квантора существования (£%) либо находится в области действия по крайней мере одного из них. Всяко? иное вхождение переменной £ называется свободным.
В формуле (х)Рху предметная переменная х связана, а предметная переменная у свободна. Одна и та же предметная переменная может входить в формулу одновременно и свободно, и связанно. Например, в формуле (х)Рху & (y)Qy предметная переменная у входит свободно в конъюнкт (х)Рху и связанно в конъюнкт (y)Qy.
Допустим, дана формула ((Рх & (Ey)Qxy) v (z)(Qxz id Rxbz)). В подформулу (Qxz z> Rxbz) переменныеx и z входят свободно; в подформулу (z)(Qxz id Rxbz) переменная z входит связанно, а переменная x — свободно; в формулу в целом переменные у и z входят связанно, а переменная х —. свободно.
Формализация в логике предикатов
Чтобы формализовать высказывания в ЛВ, необходимо иметь знаки атомарных формул, и такое множество логических союзов, которое позволило бы отобразить все виды совместимости и несовместимости между высказываниями. Формализация высказываний в ЛП сложнее. Для ее осуществления необходимы:
♦	предикатные знаки для обозначения свойств объектов или их отношений друг к другу;
Правила построения формул логики предикатов
141
♦	предметные константы для обозначения имен собственных объектов;
♦	предметные переменные для обозначения области действия квантора общности или существования;
♦	функциональные знаки для обозначения операций над константами.
Рассмотрим несколько примеров формализации высказываний в ЛП. Примем соглашение не ставить внешних скобок в формулах ЛП, начинающихся с кванторов.
Пример 1. Пусть U = «люди»; х, у — предметные переменные; а,Ь — предметные константы; Рху = «х — учитель г/».
1.	«Если а — учитель Ь, то а чей-то учитель»:
(РаЬ (Еу)Рау).
2.	«Если а — учитель Ь, то Ь чей-то ученик»:
(РаЬ о (Ех)РхЬ).
3.	«Каждый — чей-то учитель и чей-то ученик»: (х)(Еу)Рху & (Ех)(у)Рху.
4.	«6 — ученик а, или Ь — ученик самого себя»:
(РаЬ у РЬЬ),
5.	«Если все учителя самих себя, то а — учитель самого себя и Ь — учитель самого себя»:
(х)Рхх о (Раа & РЬЬ).
6.	«Каждый — учитель кого-нибудь тогда и только тогда, когда кто-нибудь — ученик каждого»:
(х)(Еу)Рху = (Еу)(х)Рху.
7.	«Неверно, что если а — не учитель Ь, то Ь — не чей-то ученик»: (-(-.РаЬ о -,(Ех)РхЬ)).
Пример 2
1.	«Существует по крайней мере одна вещь со свойством Р»: (Ех)Рх,
где U = «вещи»; Рх = «х обладает свойством Р». Формула означает, что исключается ситуация, когда ни один объект из универсума U не обладает свойством Р.
2.	«Некоторые студенты выполняют все учебные задания»: (Ex)(Pxt & (y)(Qy о Rxy)),
где U = «объекты»; Рх = «х — студент», Qy - «у — учебное задание», Rxy = «х выполняет у». Формула означает, что существует по крайней мере один студент, выполняющий все учебные задания.
142
Часть II. Классическая символическая логика
3.	«Только Гегель понимал “Науку логики5’»:
Rab & (х)((-х = а) о -iRxb)),
где U = «объекты»; а = «Гегель», b = «Наука логики», Rxy = х понимал у, (~тх = у) = «х не равен г/». Формула означает, что всякий иной человек, не Гегель, не понимает его главный труд «Наука логики».
4.	«Все, кроме равнодушных, любят кого-нибудь»:
(х)(Еу)((Рх & -iQy) z> Rxy),
где U = «существа»; Рх = «х — человек», Qy = «у — равнодушное существо», Rxy = «х любит г/». Формула означает, что условие любить кого-нибудь необходимо для того, чтобы быть неравнодушным человеком.
5.	«Существует самое большее одна вещь со свойством Р»: (х)(Рх о (у)(Ру zd (х = у))),
где U = «вещи»; Рх = «х обладает свойством Р». Формула означает, что если каждая вещь х обладает свойством Р, то всякая вещь у, обладающая этим же свойством, равна вещи х.
6.	«Существует точно одна вещь со свойством Р»:
(£х)(Рх & (у)(Ру zd (х = у)),
где U = «вещи»; Рх= «х обладает свойством Р». Формула означает, что существует по крайней мере одна вещь со свойством Р и что таких вещей самое большее — одна.
7.	«Существует не более двух вещей со свойством Р»:
& Tty) & (-* = У)) & (z)(Pz zd ((х = z) v (y = z))), где U= «вещи»; Px= «х обладает свойством Р». Формула означает, что если две произвольные вещи х и у обладают свойством Р и при этом не равны друг другу, то каждая вещь z со свойством Р равна либо х, либо у.
Пример 3. Пусть U = «натуральные числа», Рх = «х — нечетное число»,/(х) = х3, Eq(x, у) = «х равно у», g(x) = «число, непосредственно следующее за х».
1.	«Если число нечетное, то возведение его в куб не изменяет его нечетности»:
(х)(Рх zd (Pf(x) zd Рх)).
2.	«Для каждого натурального числа существует одно и только одно число, которое ему предшествует»:
(x)(Ey)(Eq(y, g(x)) & (z)(Eq(z, g(x)) z> Eq(y, z))).
Семантика логики предикатов
143
3.	«Не существует натурального числа, за которым непосредственно следует О»:
-,((Er)(E?(0,g(x»).
Семантика логики предикатов
Семантика ЛП, как и ее синтаксис, обобщает семантику ЛВ. Как и в логике высказываний, главная проблема здесь — интерпретация формул как осмысленных выражений.
► Семантика ЛП — соглашения и правила, позволяющие интерпретировать формулы логики предикатов как осмысленные, т. е. истинные или ложные высказывания.
В логике высказываний для интерпретации формулы достаточно найти соответствие ее «атомам» в качестве простых высказываний и создать таблицу истинности. В логике предикатов подобное невозможно. Во-первых, потому что ее формулы кроме знаков, обозначающих логические союзы, содержат знаки, символизирующие нелогические термины — предикатные символы, предметные переменные и константы, функциональные символы и кванторы общности и существования, интерпретация которых подчиняется особым правилам. Во-вторых, потому что логически истинные формулы ЛП должны быть общезначимы в любом универсуме, включая универсум с бесконечным числом вещей.
► Интерпретацией формулы ЛП называется:
1) определение значений всех ее нелогических терминов;
2) вычисление значения ее истинности в данном универсуме.
Понятие интерпретации формул ЛП основано на понятии расширения нелогических терминов произвольной формулы ЛП.
► Расширением (значением)
•	предметной константы в универсуме U называется та вещь, чьим именем собственным она выступает;
•	(свободной и связанной) предметной переменной в универсуме U называется произвольный объект U;
•	предиката Р", п > 0, в универсуме U называется множество элементов U, выполняющих данный предикат;
•	функционального символа Д п > 0, в универсуме U называется множество элементов [/, удовлетворяющих аргументам и значению обозначаемой им операции.
144
Часть II. Классическая символическая логика
Расширение предметной константы и предметной переменной не вызывает особых вопросов. Если в словарь формулы ЛП входит константа а и переменная х, то расширением а в универсуме U = «герои пушкинских произведений» должно быть некоторое имя собственное, например «Татьяна Ларина», расширением х — любой элемент универсума, который может быть подставлен на место х, включая и указанное имя собственное.
Расширение предиката соотносимо с определением его объема в традиционной логике.
Выяснить расширение предиката ЛП означает вычислить его объем в заданном универсуме интерпретации. Если объем предиката не пуст, он получает значение «истина», в противном случае — «ложь».
Результат расширения произвольного предиката Рп, п>0, зависит от того, обозначает ли он простое высказывание ЛВ (п = 0), свойство (п = 1) или отношение (п > 1).
Если п = 0, предикат Рп обозначает простое высказывание ЛВ, которое либо истинно, либо ложно. В этом случае расширение предиката Рп сводится к доказательству Рп = Т или Рп = F,
Если п = 1, предикат Рп обозначает свойство. В этом случае расширением этого предиката становится (возможно пустое) множество всех элементов универсума, выполняющих его. Расширением предиката Рх = «х — круглый» в произвольном универсуме будет множество всех круглых вещей. Если оно не пусто, предикат Рх получает значение «истина», Рх= Г; если же в заданном универсуме нет ни одной круглой вещи, то предикат Рх наделяется значением «ложь», Рх = F. В рассматриваемом случае процедура расширения предиката, обозначающего свойство, сводится к отображению элементов U, образующих его расширение, во множество {Т, F}.
Если п = 2, предикат Рп обозначает бинарное отношение. В этом случае расширением данного предиката оказывается (возможно, пустое) множество всех упорядоченных пар элементов универсума, выполняющих данное отношение. Расширением предиката Рху = «х меньше у на единицу» в универсуме U= {1, 2, 3, 4, 5} будет подмножество упорядоченных пар чисел {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 5>} — таких, что каждое левое из них меньше правого на единицу. Чтобы образовать множество упорядоченных пар, необходимо построить произведение U n U = U2. Если расширение предиката, обозначающего бинарное отношение, не пусто, он получает значение «истина», в противном случае — «ложь». Здесь процедура расширения предиката, обозна
Семантика логики предикатов
145
чающего бинарное отношение, сводится к отображению элементов 172, образующих его расширение, во множество {Т, F}.
Если п > 2, предикат Рп обозначает n-местное отношение с числом термов, большим двух. В этом случае расширение предиката Рп образует (возможно пустое) множество всех п элементов универсума, выполняющих обозначаемое им отношение. И в этом случае процедура расширения предиката сводится к отображению последовательностей упорядоченных элементов из множества, образованного n-й степенью U: U n U п ... n U = Un,n> 2, и образующих его расширение, во множество {Т, F}. Например, в универсуме U = {1, 2, 3, 4, 5} расширением предиката Pxyz = «у больше х и меньше z на единицу» будет множество упорядоченных троек чисел {<1, 2, 3>, <2, 3, 4>, <3, 4, 5>}, которое есть подмножество множества всех троек: U n U n U = t/3.
В общем случае построить расширение предиката Рп, п> 0, означает установить его соответствие с отображением произведения Un во множество {Т, F}.
Результат расширения произвольной функции /л, п > 0, зависит от того, обозначает ли она предметную константу (п = 0) или п-местную операцию (п £ 1) в заданном универсуме интерпретации.
Если п = 0, функция fn обозначает предметную константу. Это возвращает нас к проблеме расширения данной константы.
Если п = 1, функция fn обозначает одноместную операцию. В универсуме U = «натуральные числа» функции fl может соответствовать, например, операция возведения в квадрат: У1 = х2. Расширением такой функции будет следующая бесконечная последовательность результатов возведения в квадрат:1, /*(2) = 4,/1(3) = 9... Чтобы вычислить расширение одноместной функции, надо создать отображение (обозначается далее символом «->») множества элементов универсума в это же множество элементов, U -> U.
Если п = 2, функция fn обозначает двухместную операцию. В универсуме U = «натуральные числа» функции f2 может соответствовать, например, операция сложения: f2 - (х + у). Расширением этой функции служит следующая бесконечная последовательность результатов сложения всех пар чисел:/(1 + 1) = 2,/2(1 + 2) = 3,/!(2 + 1) = 3... Чтобы вычислить расширение двухместной функции, необходимо создать отображение множества элементов универсума в это же множество элементов, U2 -> U.
В общем, построить расширение функции п > 0, означает установить ее соответствие с отображением произведения Un во множество элементов 17.
10-2724
146
Часть II. Классическая символическая логика
Истинность квантифицированных высказываний также основана на понятии расширения.
Произвольная формула (^)ф^ ЛП, главный знак которой — квантор всеобщности, истинна в заданном универсуме, если формула ф£ истинна в каждом своем расширении; аналогичным образом и формула (Е£)ф£, главный знак которой — квантор существования, истинна в заданном универсуме, если формула ф£ истинна хотя бы в одном своем расширении.
Объединяет сказанное следующее определение.
► Формула ЛП получает интерпретацию, если:
1)	задан универсум интерпретации U;
2)	определено расширение каждого ее нелогического символа в U;
3)	формуле (%)ф£, главный знак которой — квантор существования, приписано значение «истина», если формула ф£ истинна при подстановке на место переменной £ любой вещи из универсума U; и приписано значение «ложь» в противном случае;
4)	формуле (£%)ф£, главный знак которой — квантор существования, приписано значение «истина», если формула истинна при подстановке на место переменной £ по крайней мере одной вещи из универсума U; и приписано значение «ложь» в противном случае;
5)	формуле, главный знак которой — логический союз, приписано значение истинности согласно правилу для этого логического союза.
Результатом интерпретации становится какой-либо из следующих. Формула ЛП может быть истинна по крайней мере в одной интерпретации, истинна во всех интерпретациях, ложна во всех интерпретациях. По аналогии с логикой высказываний получаем следующее определение.
► Формула ЛП
•	выполнима, если и только если она истинна хотя бы в одной интерпретации;
•	логически истинна, если и только если истинна во всех интерпретациях;
•	логически ложна, т. е. невыполнима, если и только если она ложна во всех интерпретациях.
Рассмотрим несколько примеров интерпретации формул ЛП в универсуме с фиксированным числом индивидов.
Пример 1. Вычислить значение истинности следующих формул в U = {а, Ь}, где а = «Сократ», b = «Платон», Рху = «х старше у», При
Семантика логики предикатов
147
решении первых двух задач указаны результаты и истинностные значения расширений рассматриваемых формул.
\.(х){у)Рху = (у)Рау & (у)РЬу
(расширение формулы (х)[(у)Рху])
= ((Paa & Pab) & (РЬа & РЬЬ))
(расширение формулы (х)(у)Рху)
= ((F & Т) & (F & F))
(значения истинности элементов расширения) = (F & F)
= F (значение истинности формулы (х)(у)Рху)
2.	(Ех)(у)Рху = (у)Рау v (у)РЬу
(расширение (Ех)[(у)Рху])
= ЦРаа & Pab) v {РЬа & РЬЬ))
(расширение формулы (Ех)(у)Рху)
= ((F & T)v(F&F))
(значения истинности элементов расширения) = (FvF)
= F (значение истинности формулы (Ех)(у)Рху)
3.	(х)(Еу)Рху = (у)Рау & (у)РЬу
= ((Paa v Pab) & (Pba v РЬЬ))
= ((F v Т) & (F v F))
= (Т & F)
= F
4.	(Ех)(Еу)Рх = (у)Рау v (у)РЬу
= ((Paa v Pab) v (РЬа v РЬЬ))
= ((FvT) v(fvf))
= (TvF)
= Т
Объяснение. Известно, что Сократ был старше Платона. Поэтому невозможно, чтобы Платон был одного возраста с Сократом или старше Сократа. Кроме того, по очевидным причинам ни Сократ, ни Платон не могли быть старше самих себя. Следовательно, из всех возможных упорядоченных пар констант а и Ь, образующих расширение двухместного предиката Рху, только пара Pab выполняет предикат Рху. Значит, Pab получает значение «истина», а все остальные упорядоченные пары — «ложь».
По определению, квантор общности вводит конъюнкцию элементов расширения предиката Рху, а квантор существования — их дизъ-
10*
148
Часть II. Классическая символическая логика
юнкцию. Согласно правилам для конъюнкции и дизъюнкции, вычисляется значение истинности каждой формулы в целом.
В итоге только формула (Ех)(Еу)Рху истинна в указанном универсуме при заданном значении констант и предикатного символа. Значит, она истинна в данной интерпретации и потому выполнима, а все остальные формулы в этой интерпретации ложны.
Пример 2. Вычислить значение истинности следующих формул в 17= {a, Ь}, где а = 1; b = 2; Рх = «х — нечетное число»; fx = (х + 1), если х — нечетное число nfx = (х - 1), если х — четное число; Qfxa = [fx=а].
1. (х)(Рх ZD Qfxa) = ((Ра Qfaa) & (Pb z> Qfba))
= ((Tzz> Qba) &(Fz> Qaa))
= ((Tz>F) &(Fzz>T))
= (F&T)
-F
2. (Ex)(Px о Qfxa) = ((Pa о Qfaa) v (Pb zz Qfba))
= ((Tz> Qba) v(Fz> Qaa))
= ((Td/)v(Fd7))
= (fvl)
= T
Объяснение, Из условий примера следует, что Ра -T,Pb- Ft fa = 6, fb-a. Значит, Qfaa = Qba, Qfba = Qaa, Двухместный предикат Qxy выполняется, только если х = у. Следовательно, только расширение Qaa истинно. Значение истинности всех формул вычисляется согласно правилам истинности для конъюнкции и импликации.
При заданных значениях универсума, предикатного и функционального символов истинна и выполнима только формула
(Ех)(Рх zz Qfxa).1
Пример 3. Вычислить значение истинности формулы P[g(f(a), f(b)), g(a, А)] при следующих значениях: U = {натуральные числа}, а = 1, Z> = 2, f(a) = a2,f(b) = b2,g(f(a),f(b)) =f(a) =f(b), Рху =x>y, где x = gif (a), f(b)), у = g(a, b).
W(.a),f(b)), g(l, 2)] = P(g(l2, П g(l, 2))
= P((l + 4), (1 + 2))
= 5>3
= T
Таким образом, при указанных значениях констант, предикатного и функциональных символов рассматриваемая формула истинна и потому выполнима.
Семантика логики предикатов
149
Отношение логического следования в логике предикатов
Формула ЛП может быть истинна во многих интерпретациях, но поскольку число универсумов интерпретации потенциально бесконечно, никто не может гарантировать, что не найдется хотя бы один, в котором данная формула окажется ложной. Учитывая это обстоятельство, в ЛП отношение логического следования принято определять следующим образом. Пусть аир, как и прежде, обозначают соответственно множества формул, образующих посылки и заключение доказательства в ЛП.
► Если а и Р не содержат свободных вхождений предметных переменных, тогда заключение р логически следует из посылок а, если и только если невозможна (противоречива) интерпретация, в которой а истинно, а заключение р ложно.
Отношение логического следования в ЛП сохраняет все свойства отношения логического следования в ЛВ — рефлексивность, несимметричность и транзитивность. Однако обладает определенной спецификой, которая связана с введением кванторов.
Кванторы общности и существования не являются независимыми. Любой из них может быть определен через противоположный квантор согласно следующим теоремам:
П. Н(*)Ф*^
Т2. |- (х)фх — -1(Ех)-1фх.
Отрицание любого квантора равносильно замене его на противоположный при одновременном отрицании всей области его действия.
Отношения между кванторами соответствуют требованиям логического квадрата традиционной логики (рис. 12).
Рис. 12. Отношения между кванторами
Формулы, соединенные диагоналями, противоречивы (вместе не могут быть ни истинными, ни ложными). Формулы, соединенные вертикальными (левой и правой) линиями, — подчинены (из истинности универсально квантифицированной формулы следует истин
150
Часть II. Классическая символическая логика
ность экзистенциально квантифицированной, из ложности экзистенциально квантифицированной — ложность универсально квантифицированной; но обратные следования неверны). Формулы, соединенные верхней горизонтальной линией, — противоположны (вместе не могут быть истинными, но могут быть ложными). Формулы, соединенные нижней горизонтальной линией, — частично совместимы (вместе не могут быть ложными, но могут быть истинными).
Правила подстановки
Если некоторая формула содержит вхождения свободных переменных, то на их место могут подставляться термы. Пусть ф(хД) обозначает операцию подстановки терма t на место свободной переменной х в формуле фх. Результатом подстановки становится формула ф£ по правилу: ф(х/£) = фЛ
Чтобы подстановка оказалась правильной, необходимо выполнить следующие условия:
1) если терм t — предметная константа, то подстановка проводится без ограничений;
2) если терм t — предметная переменная, то ни одно вхождение t не должно оказаться связанным в результате подстановки t на место переменной х в формуле фх.
Подстановка (Ex)Pxy(y/z) s (Ex)Pxz правильная, поскольку вхождение переменной z не является связанным в формуле (Ех)Рху. Подстановка (Ех)Рху(у/х) s (Ех)Рхх неправильная, потому что терм х, подставленный вместо у, оказался связанным квантором (х). Неправильные подстановки приводят к противоречию. Пусть Рху обозначает отношение «х больше у». Пусть U = «натуральные числа». Тогда формула (Ех)Рхг, полученная в результате неправильной подстановки, означает, что «существует такое натуральное число, которое больше самого себя», что очевидно ложно.
Деревья в логике предикатов
Каждая формула логики предикатов может быть представлена в виде дерева, отражающего ее логическую структуру. С этой целью используются правила создания деревьев логики высказываний, к которым добавляются правила исключения кванторов. Эти правила применяются к формуле еще до выведения ее дерева (табл. 22).
Деревья в логике предикатов
151
Таблица 22
Правила исключения кванторов
К1	Каждый квантор существования, не находящийся в области действия квантора общности, заменяется новой предметной константой, ранее не входившей в формулу.
К2	Каждый квантор супщствования, находящийся в области действия квантора общности, заменяется новой предметной функцией, ранее нс входившей в формулу.
КЗ	Если формула содержит кванторы общности, то они исключаются с условием, что каждая связанная предметная переменная по-прежнсм(? остается связанной, т. е. может быть при необходимости в дальнейшем заменена на любую предметную константу или предметную функцию, являющуюся элементом расширения предикатов формулы.
К4	Если формула содержит свободные вхождения переменных, то последние заменяются последовательно на новые предметные константы, ранее не входившие в формулу.
Правило К1 характеризует ситуации, когда исключаемый квантор существования не находится в области действия одного или нескольких кванторов общности. Это означает, что такой квантор существования указывает на элемент универсума, независимый от существующих кванторов общности.
Поэтому, согласно правилу К1:
♦	(Ег)фх заменяется на фя, если константа а ранее не входила в ф;
♦	(Ег)фаг — на ф«6, если константа b ранее не входила в ф;
♦	(Ex)(Ey)fahxy — на формулу fab cd, если константы end ранее входили в формулу /;
♦	(Ex)(Ey)(z)fxyz — на формулу {z)fabz, если константы а и b ранее входили в формулу /.
Правило К2 характеризует ситуации, в которых исключаемый квантор существования находится в области действия по крайней мере одного из кванторов общности. Тем самым объект, обозначаемый квантором существования, принадлежит области действия по крайней мере одного из кванторов общности. Его подчинение символизируется введением новой предметной функции. Эта функция напоминает о том, что переменная квантора существования зависит каким-то образом от переменной квантора общности. Но при этом
152
Часть II. Классическая символическая логика
конкретный вид зависимости значения для дальнейших вычислений не имеет.
Значит, согласно правилу К2:
♦	(х)(Еу)$ху заменяется на формулу (х)фх/(х);
♦	(x){Ey)(Ez)^xyz - на (х)фх/(х)£(х);
♦	(x)(y}(Ez)^xyz - на (x)(y)^xyf{xy);
♦	(Ex)(jf}(z)(v)(Ew)§xyzvw — на формулу (y)(z)(v)$ayzvf(yzv), если константа а ранее не входила в рассматриваемую формулу.
Правило КЗ позволяет снимать кванторы общности без ограничений при условии, что их переменные остаются связанными и на их место могут подставляться любые, простые или сложные, термы.
Следовательно, согласно правилу КЗ:
♦	формула (х)(у)фху сначала заменяется на fxy и, допустим, в универсуме U = {а, Ь} может быть далее заменена на формулы §аа или fyab, или $Ьа, или fybb;
♦	формула (х)(Еу)$ху — сначала на фх/(х) и, допустим, в универсуме U = {а, Ь} может быть далее заменена на формулы фа/(а) или Ф¥(й).
По допущению, понятия вывода и доказательства в ЛП определяются для формул, не имеющих свободных вхождений предметных переменных. Значение истинности таких переменных не определимо, Поэтому каждая из них заменяется, как и в случае с кванторами существования, новой предметной константой, ранее не входившей в формулу.
Поэтому, согласно правилу К4:
♦	формула (фх о (Еу)$у) заменяется на (фа фб), если константы а и b не входили ранее в формулу ф;
♦	формула (фх =) (у)ф#) заменяется на (фа о фг/), если константа а ранее не входила в формулу ф и где предметная переменная у остается связанной.
Пример
1,	Формула:
(x)(y)(£z)((Pxz & Pyz) z> (Ez)Qxyz)).
2,	Исключение знака импликации и кванторов существования:
(х)(г/)(£г)(-.(Рхг & Pyz) v (Ez)Qxyz))
(x)(y)(->(Pxf(xy) & Pyftxy)) V Qxyg(xy)), где f(xy) * g(xy).
Логика предикатов как исчисление
153
3.	Исключение кванторов общности:
(~,(Pxf(xy) & Pyfixy)) V Qxyg(xy)).
4.	Внесение отрицания вовнутрь формулы:
(^Pxf(xy) V -yPyf{xy) V Qxygtxy)).
5.	Дерево формулы примет следующий вид.
---------1--------_
-yPxf(xy) -^Pyf(xy) Q>cyg(xy)
Логика предикатов как исчисление
Как и ЛВ, логика предикатов может быть представлена в виде исчис- ч ления — полностью формализованной теории, основанной на чисто синтаксических преобразованиях деревьев формул. С этой целью ниже обобщаются понятия вывода и доказательства Л В.
В отличие от ЛВ в логике предикатов нельзя указать алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить общезначимость произвольного умозаключения. Невозможность построения такого алгоритма поясняет тот факт, что логически истинная формула ЛП должна быть истинна при любой интерпретации. Поскольку прямое обследование всех универсумов, включая имеющие бесконечное число элементов, невероятно, общим алгоритмом доказательства общезначимости формул ЛП служит их косвенный вывод. Ибо если исходная формула логически истинна, тогда ее отрицание должно быть логически ложной формулой. Обратное также верно. Следовательно, достаточно доказать, что отрицание рассматриваемой формулы логически ложно, т. е. все ветви ее дерева замкнуты, чтобы сделать вывод о ее общезначимости.
Определение косвенного вывода в ЛП ничем принципиально не отличается от подобного определения в ЛВ.
►	Если каждая ветвь дерева формулы (фр ф2,..., ф„ & —«ср) замкнута, тогда формула ф косвенно выводима из последовательности формул фр Ф2» •••» Фи-
Пусть аир, как и прежде, обозначают посылки и заключение доказательства.
►	Доказательством заключения Р в исчислении ЛП называется вывод р из множества посылок а.
Напомним, что доказательство заключения р считается косвенным (от противного), если построен косвенный вывод р из множества посылок а.
154
Часть II. Классическая символическая логика
Рассмотрим несколько примеров косвенного доказательства в ЛП. После исключения кванторов дерево доказательства формулы строится согласно следующим правилам.
Таблица 23
Правила построения деревьев в логике предикатов
Правила П*1-П*12 такие же, как и правила П1-П12 в логике высказываний.
П*13. Если формула имеет вид ф£, где переменная £ связанная, тогда дерево, в которое она входит, начинается или продолжается в каждой своей ветви формулой фа или формулой фГг1 tn, где константа а и функция /п т Уже входят в рассматриваемую ветвь дерева:
М Ф£
| ИЛИ I фя	Ф/tl... tn
П*14. Ветвь дерева формулы логики предикатов замкнута, если и только если она содержит хотя бы одну формулу ЛП вместе со своим отрицанием или хотя бы один и-местный предикатный знак Р” вместе со своим отрицанием -пР" такие, что каждый из них содержит п связанных переменных (необязательно различных), а если кроме связанных переменных есть также константы или функциональные знаки, то знаки Р" и -iP” в результате правильных подстановок термов вместо связанных переменных могут быть приведены к виду Pd и -iPd m (порядок следования термов существенен). Замкнутые ветви отмечаются знаком .
П*15. Процесс конструирования дерева формулы начинается с представления подформул, соединяемых главным логическим оператором формулы, и продолжается до тех пор, пока все ее подформулы не будут представлены в виде ветвей дерева, содержащих только атомарные формулы вида Pti или их отрицания.
Правила П*1-П*12 ничем не отличаются от соответствующих правил логики высказываний. Правило П*13 позволяет проверить, представляют ли ранее введенные термы (константы и функции) расширение формулы со связанной переменной. Правило П*14 обобщает определение замкнутой ветви. Правило П*15 определяет порядок создания дерева формулы ЛП.
Пример 1
1.	Умозаключение: «Некоторые люди тщеславны. Никто не любит тщеславных. Следовательно, некоторых людей никто не любит».
Логика предикатов как исчислений
155
2.	Формализация посылок и заключения: U = «люди», Рх = «х тщеславен», Qxy = «а любит у»:
(Ех)Рх, (х)(у)(Рх э Qxy) I- (Ex)(y)Qxy.
3.	Отрицание заключения:
-п(£х)(у)фу  (x)-,(y)Qxy
• (x)(Ey)^Qxy.
4.	Исключение (снятие) кванторов, знака импликации (знак «=>» символизирует этапы и результаты исключения):
(Ех)Рх => Ра;
(х)(у)(Рх z> Qxy) => (-tPr v Qxy);
(x)(Ey) ->Qxy => -<Qxf(x).
5.	Дерево косвенного доказательства:
Ра
~~*Рх Qxy
-.Ра	Qxfa)
Переменные .г и у связаны кванторами общности (х) и (у). Они истинны для любого значения хи у. Значит, допустима подстановка любых термов вместо х и у в дерево доказательства. Для проверки подставляем прежде всего те термы, которые уже входят в дерево доказательства. Вершина дерева рассматриваемого доказательства содержит такие термы, как а и f(x). Подставляя константу а и предметную функцию /(л) вместо переменных х и г/, видим, что все ветви дерева исследуемого умозаключения оказались замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения несовместимо с посылками. Значит, рассматриваемое умозаключение общезначимо.
Пример 2
1.	Умозаключение: «Всякий восхищается каким-нибудь артистом. Каждый, кто восхищается кем-либо, уважает его. Следовательно, существуют люди, которые уважают какого-нибудь артиста».
2.	Формализация посылок и заключения: U = «люди», Рху = «х восхищается //», ОУ = «г/ — артист», Rxy = «х уважает г/».
(x)(£^)(Q// & Рху), (х)(у)(Рху => Rxy) |- (Ey)(Ex)(Qy & Rxy).
3.	Отрицание заключения:
-<(Ey)(Ex)(Qy & Rxy) = (y)-i(Ex)(Qy & Rxy) s (y)(x)(~iQy V -Jlxy).
4.	Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(х)(£г/)(Ог/ & Рху) => (Qf(x) & Pxf(x));
156
Часть II. Классическая символическая логика
(х)(у)(Рху э Rxy) => (-Rxy V Rxy)\ (y)(x)(-^Qy v -Rxy) => (-xQy v -Rxy).
5.	Дерево косвенного доказательства:
Qf<*) Pxf(x)
-Рху ^Pxf(x)
^Rxy^
->Qy -*Rxy
Подстановка предметной функции f(x) вместо связанной переменной у делает все ветви дерева рассматриваемого умозаключения замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения несовместимо с посылками. Значит, данное умозаключение общезначимо.
Пример 3
1.	Умозаключение: «Автомобиль — достижение научно-технического прогресса. Следовательно, колесо автомобиля — колесо достижения научно-технического прогресса».
2.	Формализация посылок и заключения: U = «достижения», Рх = «х — автомобиль», Qy = «г/ — достижение научно-технического прогресса», Rxy = «х есть колесо t/».
(у)(Ру э Qy) I- (х)[(Еу)(Ру & Rxy) о (Ez)(Qz & Rxz)].
3.	Отрицание заключения:
-.(х)[(Еу)(Ру & Qxy) => (£z)(Qz & Rxz)] « (Ех)-,[(Еу)(Ру & Qxy)z> (Ez)(Qz & Rxz)] s (Ex)-,[(Ey)(Py & Qxy) & -.(Ez)(Qz & Rxz)] « (Ex)[(Ey)(Py & Rxy) & (z)bQz v -.Rxz)].
4.	Исключение (снятие) кванторов, знака импликации:
(у)(Ру => Оу) => <г&у v Qy)\ (Ех)[(Еу)(Ру & Rxy) & (-.Qz v -.Rxz)] => => (Pb & Rab) & (-.Qz v -.Raz).
5.	Дерево косвенного доказательства:
РЬ
Rab
-xQz	-Paz
^Qb	^Rab
-Py	Qy
~J>b	Qb
Основные законы логики п|хщикшоп
157
Последовательная подстановка константы b вместо переменных z и у делает псе ветви дерева рассматриваемого умозаключения замкнутыми. Следовательно, отрицание заключения несовместимо с посылками. Значи т, данное* умозаключение общезначимо.
Основные законы логики предикатов
Как и в ЛИ, в лотке предикатов существуют логически истинные формулы, па ihiii.K’Mbie тавтологиями или законами ЛП. Ниже приводятся и |(оммеп1иру|(>тся наиболее важные.
Закон удаления квантора общности. Общее правило, истинное для каждого /Ю/1ЖПО быть истинно и для отдельного случая а, служащего элемеиюм расширения формулы ф^. Если истинно высказывание «Вег вини универсума круглые», то должно быть истинно высказывание нВешь по имени а, принадлежащая универсуму, круглая».
КОФ^Ф(аА).
Закон введения квантора существования. То, что истинно для отдельною глупая а как элемента расширения формулы ф£, должно быть ИС1ПППО и качестве произвольного примера подстановки предметной переменной Е, формулы ф£. Из истинности высказывания «Вещь а, припал нежащая универсуму, круглая» следует истинность высказывании <•( ‘уществует такая что истинно — круглая”».
I- ф(аД> о (ЕЖ-
Закон подчинения кванторов. Из истинности универсально квантифицированного высказывания следует истинность экзистенциально килшифицированного высказывания, а из ложности экзистенциально к на (инфицированного высказывания — ложность универсально кннптифицированного высказывания:
(Е^.
Закон противоречия. Противоречащие друг другу высказывания не могут бын» вместе ни истинны, ни ложны:
I- & (^ЬФУ.
Закон пснустоты универсума логического квадрата. В универсуме логического квадрата должна существовать хотя бы один объект, отвечающий формуле ф^, или его отрицание -.ф^ (или и то и другое).
F -Ь(Я;№ &
Законы папимоопределимости кванторов. Каждый квантор может быть определен в терминах противоположного ему квантора.
158
Часть II. Классическая символическая логика
Сказать «Все вещи из универсума круглые» означает сказать «Неверно, что в универсуме существует хотя бы одна некруглая вещь». Аналогично, сказать «В универсуме существует по крайней мере одна круглая вещь» означает сказать «Неверно, что все вещи из универсума некруглые»:
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака конъюнкции. Высказывание «Все вещи в универсуме круглые и синие» эквивалентно высказыванию «Все вещи в универсуме круглые, и все вещи в универсуме синие». Значит, квантор общности дистрибутивен относительно знака конъюнкции без ограничений:
Из высказывания «В универсуме существует круглая и синяя вещь» выводимо высказывание «В универсуме существует круглая вещь, и в универсуме существует синяя вещь», но обратная выводимость в целом неверна. Из того, что какая-то вещь круглая, а другая синяя, не следует с необходимостью, что какая-то (возможно третья) вещь круглая и синяя одновременно. Значит, квантор существования дистрибутивен относительно знака конъюнкции с ограничением:
I- (^)(ф^ & (Ю => [(£?;№ &
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака дизъюнкции. Из высказывания «Все вещи в универсуме круглые или все вещи в универсуме синие» выводимо высказывание «Все вещи в универсуме круглые или синие», но обратная выводимость в целом оказывается неверной. Например, из того, что все целые числа четные или нечетные, не доказывается, что все целые числа четные или все целые числа нечетные. Значит, квантор общности дистрибутивен относительно знака дизъюнкции с ограничением:
I- [(£№ V фф$] => (£)(<Н; V (£)ФО.
Высказывание «В универсуме существует круглая или синяя вещь» эквивалентно высказыванию «В универсуме существует круглая вещь или в универсуме существует синяя вещь». Значит, квантор существования дистрибутивен относительно знака дизъюнкции без ограничений:
I- (Д)(ф^ V Ф^) s (£%)ф£, V (£^)ф^.
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака импликации. Из высказывания «Для каждого числа, если оно четное,
Основные законы логики предикатов
159
то оно целое» выводимо высказывание «Если каждое число четное, то каждое число целое». Но обратная выводимость в общем неверна:
Из высказывания «Если существует четное число, то существует целое число» выводимо высказывание «Существует такое число, что если оно четное, то оно целое». Но обратная выводимость в целом неверна: ,
I-	= (Я;)Ж => <ю.
Из высказывания «Существует такое число, что если оно четное, то оно целое» выводимо высказывание «Если каждое число четное, то существует целое число». Но обратная выводимость в целом неверна:
I- (Д)(ф^ = Ф$) => [(0<К => (£;№].
Из высказывания «Если существует четное число, то все числа целые» выводимо высказывание «Для каждого числа, если оно четное, то оно — целое». Обратная выводимость в общем неверна:
I- [(Е£№ (^)Ф^ (^)(Ф^фО.
Из сказанного следует, что кванторы общности и существования дистрибутивны относительно знака импликации лишь с ограничением.
Законы перестановки кванторов. Кванторы общности и существования могут переставляться в любом порядке, если они предшествуют формуле однородно, т. с. либо только кванторы общности, либо только кванторы существования. В противном случае отмечается ограничение: независимый квантор существования может свободно вводиться в область действия квантора общности, но не может из нее свободно выводиться.
Н/^)(ЮФ^ = (Ю(Я;)Ф%
I- (/^)(^)ф^ (О(Д)Ф^-
1 Метапсрсмсиипи С. пмгсто которой могут подставляться различные предметные переменные л, //,	... читается как «дзета».
Светлов Виктор Александрович
Логика: экзаменационные ответы для студентов вузов
Серия «Завтра экзамен»
Заведующий редакцией Руководитель проекта Литературный редактор Художественный редактор Корректоры Верстка
Л. Винокуров Е. Цветкова Е. Трофимов Е. Дьяченко Л. Ванькаева, М. Котова И. Смарышева
ООО «Питер Пресс», 193206, Санкт-Петербург, Петергофское шоссе, д. 73, лит. А29. Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 95 3005 — литература учебная.
Подписано в печать 22.08.06. Формат 60 * 90/16. Усл. п. л. 10. Доп. тираж 3500 экз. Заказ № 2724.
Отпечатно с готовых диапозитивов в ООО «Типография Правда 1906». 195299, Санкт-Петербург, Киришская ул., 2. Тел.: (812) 531-20-00, (812) 531-25-55.
В. А. Светлов
ЛОГИКА
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ОТВЕТЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ
Спрашивайте в магазинах или заказывайте наложенным платежом
книги издательства «Питер»
В. Фортунатов, F Платово, В. Огородников политология
В. в. Ильин, А. С. Кармин, В. П. Огородников
ЗАВТРА ЭКЗАМЕН
ФИЛОСОФИЯ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ОТВЕТЫ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ
1^ппт>
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ОТВЕТЫ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ
1^;ппгср
ЗАВТРА. ЭКЗАМ1Н—
А. И. Худаков, К. Д. Зароченцев
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ
ПСИХОЛОГИЯ
ОТВЕТЫ НА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ
юпитер
С&ППТЕР
Заказ книг:
197198, Санкт-Петербург, а/я 619
тел.: (812) 703-73-74, postbook@piter.com
61093, Харьков-93, а/я 9130
тел.: (057) 712-27-05, piter@kharkov.piter.com
У ! ОЭЧОУ и и У I и о
www.piter.com
гах и веб-магазин
j С зи гпов Логик Л ЭКЗЭ.М
Нфр Цена: .ЭД
WoiiiiiiiiM ?ail473?nS388B300e30