/
Author: Перкинс Д.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика теоретическая физика ядерная физика учебное пособие физика элементарных частиц
ISBN: 5-283-02467-9
Year: 1991
Text
Д. Перкинс
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ
ВЫСОКИХ
ЭНЕРГИИ
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук
А.В. БЕРКОВА
Под редакцией
доктора физ.-мат. наук
Б.А. ДОЛГОШЕИНА
МОСКВА ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ 1991
УДК 539.1.01
Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий: Пер.
с англ.— М.: Энергоатомиздат, 1991.— 429 с: ил.—
ISBN 5-283-02467-9
Приведены последние достижения физики высоких энер-
гий науки о структуре материи. Последовательно и до-
статочно широко излагаются наиболее важные аспекты физики
элементарных ' частиц: единство слабого и электромагнитного
взаимодействия, кварк-партонная структура адронов и др.
Для научных работников в области ядерной физики.
Может служить учебным пособием для студентов физических
специальностей вузов.
Табл. 35. Ил. 157. Библиогр.: 87 назв.
Рецензенты: К. Н. Мухин, В. И. Г ольданский
INTRODUCTION TO HIGH ENERGY PHYSICS
Third edition
DONALD H. PERKINS
Addison — Wesley Publisching Company, Inc.
1604080000-276
П 7-91
051 @1)-91
ISBN 5-283-02467-9 (рус.) © Addison — Wesley Company, Inc., 1987
ISBN 0-201-12105-0 (англ.) © Перевод на русский язык, Энерго-
атомиздат, 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основное внимание в этой книге уделено описанию наиболее
важных аспектов физики высоких энергий или физики частиц
на элементарном уровне. Содержание основано на курсе
лекций, прочитанных в Оксфорде для студентов старших
курсов, специализирующихся в ядерной физике, но книга
может также служить введением в экспериментальную физику
высоких энергий для молодых специалистов.
Первое издание было написано семнадцать лет назад,
и физика высоких энергий испытала за это время бурное
развитие, поэтому объем и круг рассматриваемых вопросов
значительно расширились. Это привело к существенному
изменению текста и некоторому увеличению объема книги.
Связь между отдельными аспектами предмета столь сильна, что
деление материала на различные части весьма относительно.
Первая глава представляет собой основные вводные идеи,
историческое развитие и краткий обзор предмета; вторая
и третья главы посвящены экспериментальным методам, за-
конам сохранения и принципам инвариантности — точно так'
же, как в первом издании.
Следующие главы посвящены описанию основных харак-
теристик взаимодействий между адронами, описанию адронов
в терминах кварковых составляющих, а также обсуждению
основ электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий
лептонов и кварков. В последних главах книги обсуждаются
различные унифицированные взаимодействия.
В течение последних нескольких лет астрофизические и кос-
мофизические аспекты результатов и идей физики высоких
3
энергий стали важными и действительно жизненными для
нашего понимания развития Вселенной. Я попробовал передать
дух этой связи, так как он поможет сформировать тенденции
развития физики высоких энергий в обозримом будущем.
В настоящем издании, как и в первом, подчеркивается
взаимосвязь между экспериментом и теорией и дается об-
суждение ключевых экспериментов.
Я избегаю длинных теоретических выкладок и для боль-
шинства математических деталей отсылаю студента к приложе-
ниям или к другим источникам. Предполагаются знания
элементарной квантовой механики, но в основном материал
представлен с эмпирической точки зрения с минимальным
формализмом и с использованием интуитивного подхода.
Физика имеет дело с численными величинами, поэтому я при-
даю большое значение тому, чтобы студент мог вычислить
по порядку величины конкретное сечение или скорость распада,
а не написать сложную формулу (обычно основанную на
спорных предположениях) без какой-либо реальной идеи и со-
поставления с экспериментом. С той же целью в каждой
главе приведены задачи (в основном численные) и в конце
книги рассмотрены их решения.
Дональд Перкинс
«Мельчайшие частицы материи могут объединяться за счет
сильнейшего притяжения и составлять большие частицы слабой
природы. Поэтому в природе есть агенты, способные сцеплять
частицы в тела за счет очень сильного притяжения. Об-
наружить их есть дело экспериментальной философии».
Ньютон. «Оптика», 1680 г.
«Философы, создающие теории строения Вселенной, подобны на-
шим путешественникам, которые ездят в Константинополь и рас-
сказывают о Сералях. Сераль они видят только снаружи и дума-
ют, что знают, что делает султан со своими фаворитками».
Вольтер. «Философские размышления», 1766 г.
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
При изучении физики высоких энергий мы имеем дело
в основном с предельно малыми составляющими материи
и природой взаимодействий между ними. Экспериментальные
исследования в этой области науки выполняются на гигантских
ускорителях частиц с помощью соответствующего детектиру-
ющего оборудования. Высокие энергии необходимы по двум
причинам: во-первых, для того чтобы локализовать исследова-
ния в области очень малых расстояний, соответствующих
элементарным составляющим материи, требуется излучение
наименьшей длины волны, т. е. наивысшей возможной энергии;
во-вторых, многие из фундаментальных составляющих материи
имеют большие массы и требуют соответственно высоких
энергий для их образования и изучения.
Пятьдесят лет назад были известны только несколько
«элементарных» частиц — протон и нейтрон, электрон и ней-
трино, вместе с квантом электромагнитного поля (фотоном).
Вселенная, как мы знаем ее теперь, действительно состоит
почти полностью из этих частиц. Однако попытки понять
детали ядерных сил между протонами и нейтронами, а также
последующие первые открытия новых нестабильных частиц
в космических лучах привели к сооружению очень больших
ускорителей и к наблюдению многих сотен новых нестабильных
состояний частиц, названных адронами (или сильно взаимодей-
ствующими частицами). Тем не менее этот получившийся
хаос можно описать довольно простой картиной. Вся материя
состоит из фундаментальных точечноподобных фермионов (со
спином 1/2) — кварков, имеющих дробный электрический заряд
2 1 \ _
-е, — -е\, и лептонов, подобных электрону и нейтрино,
несущих целый электрический заряд. Нейтроны и протоны
построены из трех кварков.
Эти составляющие материи могут взаимодействовать путем
обмена различными фундаментальными бозонами (частицами
с целым спином), которые являются переносчиками или
квантами четырех отдельных типов фундаментальных взаимо-
действий или полей. Привычная для всех гравитация—далеко
не самое важное взаимодействие из четырех известных в шкале
масс и расстояний, рассматриваемых в физике частиц. Помимо
гравитации электромагнитное взаимодействие объясняет боль-
шинство внеядерных явлений в физике (поскольку электромаг-
нитные силы имеют наибольшую протяженность) и приводит
к связанным состояниям атомов и молекул. Примером слабого
взаимодействия являются чрезвычайно медленные процессы
радиоактивного Р-распада ядер. Сильное взаимодействие необ-
ходимо для удержания кварков внутри протона, и, как
следствие, это приводит к взаимодействию между протонами
и нейтронами, т. е. к силам ядерной связи. Как слабое, так
и сильное взаимодействия являются короткодействующими
(действуют на расстояниях меньше или порядка одного ферми
или фемтометра A фм= 10~15 м).
Имеется много необычных, даже запутанных, аспектов этой
картины. Дробнозаряженные кварки не наблюдались экспери-
ментально как свободные частицы, и представляется, что они
постоянно заперты внутри адронов. Кварки делятся на раз-
личные «типы», или «ароматы» (известны шесть ароматов);
то же можно сказать о лептонах (существуют три «типа»
заряженных и нейтральных лептонов). Мы не понимаем ни
механизма запирания, ни действительной причины существова-
ния «ксерокопий» кварковых и лептонных ароматов, поскольку
Вселенная, как мы ее знаем сегодня, кажется сконструированной
в основном только из двух типов кварков и одного нейтраль-
ного и одного заряженного лептонов.
Наряду с многочисленностью кварковых и лептонных
ароматов существуют четыре типа фундаментальных взаимо-
действий. Здесь, однако, достигнут определенный прогресс
в понимании. Есть хорошие основания предполагать, что
некоторые, а возможно, и все взаимодействия унифицированы,
т. е. являются различными аспектами одного единственного
взаимодействия. Например, слабое и электромагнитное вза-
имодействия, по-видимому, имеют одну и ту же внутреннюю
связь фермионных составляющих с промежуточными бозона-
ми— это есть различные аспекты одного электрослабого вза-
имодействия. По сравнению с электромагнетизмом (где пе-
реносчиком является безмассовое фотонное поле бесконечной
протяженности), «слабость» слабого взаимодействия объясня-
ется его короткодействием (переносчиком здесь являются
6
массивные бозоны W±, Z0, массы которых составляют около
100 протонных масс). При достаточно больших энергиях
и передаваемых импульсах (в шкале бозонных масс) элект-
ромагнитное и слабое взаимодействия должны иметь оди-
наковую силу.
Почему симметрия, справедливая при высоких энергиях,
сильно нарушается, при низких энергиях, а соответствующие
бозоны имеют столь отличающиеся массы — остается нерешен-
ной проблемой. Важным моментом, однако, является то, что
сила различных взаимодействий не является фиксированной
раз и навсегда: она зависит от энергетической шкалы. При
высоких энергиях слабое взаимодействие становится сильнее,
а сильное, по-видимому, становится слабее; электрослабое
и сильное взаимодействия могут сливаться при колоссальных
энергиях (?~1015 ГэВ).
Изучение физики частиц следует рассматривать в непо-
средственной связи с развитием Вселенной. Мы считаем, что
Вселенная произошла путем «большого взрыва» некого «пу-
зырька» энергии, из которого возникли все типы частиц —
кварки, лептоны и кванты. Сегодня мы имеем дело с рас-
ширившимся холодным остатком. Таким образом, наши ис-
следования в области высоких энергий есть также взгляд
назад, во времена самых разных стадий развития Вселенной,
которые определяют ее характеристики сегодня.
1.2. ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ
Одной из наиболее фундаментальных концепций, лежащих
в основе нашего анализа взаимодействий частиц и полей,
является теорема о спине и статистике частиц (Паули, 1940),
связывающая статистику, которой подчиняется частица, с ее
спиновым угловым моментом. Частицы с полуцелым спином
-h, -h\ подчиняются статистике Ферми — Дирака и поэтому
называются фермионами, в то время как частицы с целым
спином @, /г, 2/г) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна
и называются бозонами.
Статистика, которой подчиняется частица, определяет сим-
метрию волновой функции, описывающей пару тождественных
частиц, скажем, 1 и 2, относительно их перестановки. Если
частицы тождественны, тогда квадрат волновой функции | v|/12,
равный вероятности частице 1 иметь одну координату, а части-
це 2 другую, будет оставаться неизменным при замене 1<->2.
Таким образом,
Соблюдается следующее правило:
]*-*2
тождественные бозоны: \|/->±\|/ симметричная, A.1)
тождественные фермионы: v|/ -> — v|/ антисимметричная.
Для того чтобы применять это правило, волновую функцию
пары можно представить в виде произведения функций,
зависящих от пространственных координат а и от ориентации
спина Р:
ф = °Ф. A-2)
Координатная часть а будет описывать любое орбитальное
движение одной частицы относительно другой, и ее можно
представить в виде сферических гармонических функций
7Г(9, ф) (см, гл. 3).
Замена пространственных координат частиц 1 и 2 (спин
не рассматриваем) эквивалентна замене 0->я: — 0, ф-хр + л
и дает фактор (—1)' как множитель перед а, где /—
орбитальное квантовое число. Таким образом, если / четно
(нечетно), функция а симметрична (антисимметрична) от-
носительно перестановки. Как показано в гл. 3, спиновая
функция может быть симметрична (спины параллельны) или
антисимметрична (спины антипараллельны) при перестановке.
Уравнение A.2) означает, что для тождественных бозонов
аир должны быть симметричны или антисимметричны; для
фермионов симметричность а означает антисимметричность
Р, и наоборот.
Как пример, рассмотрим распад нейтрального р-мезона со
спином /= 1 на два нейтральных пиона: р°-»2п°. Оба пиона
незаряжены и бесспиновы. Так как Р по необходимости
симметрична, правило для тождественных бозонов означает,
что а должна быть симметричной и, следовательно, два пиона
могут существовать только в состояниях с четным угловым
моментом /. Поэтому распад р°->2я:0 запрещен в силу
сохранения углового момента и Бозе-симметрии. Распад на
заряженные (нетождественные) пионы имеет место: р°->п + п~,
Принцип Паули есть хорошо известное использование
антисимметрии волновой функции двух тождественных фер-
мионов при перестановке. Предположим, что тождественные
частицы находятся в одном и том же квантовом состоянии,
так что v|/ по необходимости симметрична. Это нарушает
правило, что два тождественных фермиона должны иметь
антисимметричную волновую функцию. Поэтому два фермиона
не могут существовать в одном и том же квантовом состоянии
(принцип Паули). Но нет ограничений для числа бозонов
(фотонов, например), которые могут существовать в одном
и том же квантовом состоянии; примером этого является лазер.
1.3. ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ
Релятивистское волновое уравнение, предложенное Дираком
в 1928 г., объясняло внутренний угловой момент или спин
электрона, который был ранее постулирован Уленбеком и Го-
удсмитом для того, чтобы объяснить эффект Зеемана в атомной
физике. В теории Дирака электроны описывались четырехком-
понентными волновыми функциями, в соответствии со спи-
,1,
новыми состояниями Jz=+-h, каждая с положительной или
отрицательной энергией. Состояние с отрицательной энергией
интерпретировалось как античастица, позитрон (см. приложение
Г). Существование позитрона было продемонстрировано Ан-
дерсоном в 1933 г. в камере Вильсона (эксперименты в кос-
мических лучах). Существование античастиц есть фундамен-
тальное свойство как фермионов, так и бозонов, античастица
имеет ту же массу, что и частица, но противоположный
заряд и магнитный момент.
Фермионы и антифермионы могут рождаться и уничтожать-
ся только в парах. Например, у-квант в поле ядра (чтобы
сохранить импульс) может «материализоваться» в электрон-
позитронную пару (рис. 1.1), а связанное состояние е е~,
называемое позитронием, аннигилирует на два или три у-
кванта. Теоретически, состояния частицы и античастицы свя-
заны через операцию сопряжения частица — античастица. Фер-
мионное число сохраняется, если каждому фермиону приписать
фермионное число +1, а каждому антифермиону — 1. Итак,
операция сопряжения частица — античасти-
ца для фермиона дает антифермион с про-
тивоположным зарядом, магнитным мо-
ментом и фермионным числом, но оди-
наковой массой и спиновым угловым мо-
ментом. Для бозонов нет закона
сохранения бозонного числа, и операция
сопряжения частица — античастица имеет
для них тот же смысл, что и операция
зарядового сопряжения.
Рис. 1.1. Конверсия фотона в электрон-позитронную
пару в пузырьковой камере. Входящий заряженный
пион испытывает перезарядку в точке А:
к~ +р->п + п°; нейтральный пион затем распадается:
к°~*2у. Так как время жизни гс° составляет только
10 ~16 с, пара е+е~ находится на прямой линии,
исходящей из вершины взаимодействия
9
1.4. ОСНОВНЫЕ ФЕРМИОНЫ —КВАРКИ И ЛЕПТОНЫ
1.4.1. Кварки. Согласно современным данным, материя
состоит из двух типов фундаментальных фермионов, называ-
емых кварками и лептонами, которые являются бесструктур-
ными и точечноподобными (до 10~17м). ~ .
Кварки несут дробные электрические заряды, +-|е| и —\е\.
Они существуют в нескольких разновидностях или «ароматах»,
отличающихся заданием внутренних квантовых чисел, которые
обозначаются и, d, s, с, b, t (табл. 1.1). Кварки и и d—
наилегчайшие из всех и имеют примерно равные массы (с
точностью около 1 МэВ). Как показано ниже, протоны и ней-
троны построены из и- и (/-кварков, и поэтому примерное
равенство масс протона и нейтрона означает примерно такое
же равенство масс для и- и й?-кварков. Они имеют сходное
сильное взаимодействие с другими кварками и отличаются
только электрическим зарядом и, следовательно, электромаг-
нитным взаимодействием. Исторически равенство сильного
взаимодействия и- и J-кварков проявилось как гипотеза
изотопической инвариантности взаимодействий между адрона-
ми, состоящими из и- и ^-кварков. По этой причине и-
и ^-кварки иногда группируют в изоспиновый дублет (/=1/2
с третьей компонентой /3= + 1/2 для ми —1/2 для й?-кварков).
5-кварк имеет квантовое число, называемое странностью
S= — 1; он входит в состав так называемых странных частиц,
впервые наблюденных в космических лучах в 1950 г., с-
кварк — квантовое число «очарование» С= + 1, 6-кварк — кван-
товое число «прелесть» В= — 1, и /-кварк — квантовое число
Т= +1. Кварки с и b были предложены как составляющие
для массивных короткоживущих адронных состояний, наблю-
денных впервые в 1974 и 1977 гг. соответственно. Эти кван-
товые числа более детально обсуждаются в гл. 5. В табл. 1.1
Кварки
е/м=+-и, с, t
QI\e\=-X-d, s, b
u-(up) кварк )
W=l/2 дублет
a-(down) кварк J
^-(«странный») (S= — 1)
^-(«очарованный») (С= +1)
/«-(bottom) (B=-l)
r-(top) (T= + \)
Таблица 1.1
Антикварки
Q!\e
2
= + - и, с, t
Ql\e =+-d, s, h
muxmdx35O МэВ/с2
ms*550 МэВ/с2
от, «1800 МэВ/с2
/и„«4500 МэВ/с2
w,>20000 МэВ/с2
10
приведены приблизительные значения масс различных кварков.
Каждому кварку соответствует антикварк с противоположным
знаком заряда, магнитного момента, «странности» и т. д.
Адроны — сильно взаимодействующие частицы, состоящие
из двух типов кварковых комбинаций:
барионы = gj2?> (три кварка), /i ,v
мезоны = 26 (кварк-антикварковая пара).
Реализуются два и только два типа кварковых комбинаций,
что успешно объясняется в теории, описывающей силы между
кварками (квантовой хромодинамике). Поскольку кварки имеют
полуцелый спин, из этого следует, что барионы характеризу-
ются полуцелым спином, а мезоны целым, например:
Барионы Мезоны
uud-(p) протон, ud-K + (пион),
udd-n (нейтрон), ds-K ° (каон),
uds-A (лямбда-гиперон), сс-\|/-мезон.
Как следует из приведенного выше обсуждения бозонов
и фермионов, закона сохранения мезонов нет. Но каждому
бариону приписывается барионное число +1(—1), так что
полное барионное число сохраняется.
Хотя мезоны являются нестабильными и не существуют
в обычной материи, открытие двух из них, пиона и каона
(в космических лучах, 1947 г.), было очень важным, так как
ознаменовало рождение физики частиц. На рис. 1.2 показаны
первые примеры слабого распада заряженного пиона
л + ->-ц + +у^, а на рис. 1.3 показано ассоциативное рождение
пары странных частиц, Ли К0;
я- + р -»к° + л
Кварковый состав ud uud sd usd
Странность 0 0 +1 — 1
1.4.2. Лептоны несут целый электрический заряд, 0 или
+ \е\; известно три типа лептонов (табл. 1.2).
е/м=-1
е/м=о
Лептоны
е' ц" т"
vE у„ v.
Таблица
1.2. Лептоны
QI\e\= + \
е/м=о
me=0,5ll МэВ/с2
mM= 105,6 МэВ/с2
/ит = 187О МэВ/с2
Антилептоны
е+ ц+ х+
Ve V,, V,
Нейтральные лептоны названы нейтрино, они имеют очень
малые или нулевые массы. Электрон известен всем, мюон — это
II
A
A
A
у/ N
<* * Ч-J Рис. 1.2
Рис. 1.2. Примеры последовательного распада я+->ц+->е+ в эмульсии G5.
Постоянство пробега мюона (около 600 мкм) определяется двухчастичным
распадом пиона: я+->ц++ум. Первые примеры пионного распада были
наблюдены Латтесом, Мюрхедом, Оккилиани и Пауэллом в 1947 г. Следует
отметить очень плотную ионизацию на мюонном и пионном треках вблизи
остановки по сравнению с тонким треком релятивистского электрона, а также
поперечные отклонения (кулоновское рассеяние) мюона вдоль его пути
в эмульсии
Рис. 1.3. Пример совместного образования п~ +/?->Л° + К0 в водородной
камере при взаимодействии отрицательного пиона с импульсом 4 ГэВ/с в точке
А. Л-гиперон распадается в точке В по схеме Л->/>+я~, а /Г-мезон — в точке С:
нестабильный «тяжелый электрон», который был открыт
в космических лучах в 30-е годы; он является продуктом
распада пионов, образующихся в атмосфере (см. рис. 1.2);
т-лептон был впервые наблюден в ускорительном эксперименте
в 1974 г. Лептоны представлены дублетами, нейтрино имеют
индекс, соответствующий заряженному лептону. Заряженные
лептоны отличаются от антилептонов знаком заряда. Нейтрино
предельно поляризованы, Jz= — («левые»), где z—направление
2 >
вектора скорости, в то время как антинейтрино имеют J2=-\—
(«правые»).
Заряженные лептоны обладают электромагнитным и слабым
взаимодействием; в отличие от них нейтрино обладают только
слабым взаимодействием. Кварки, в дополнение к слабому
и электромагнитному взаимодействию, обладают сильным
(специфически кварк-кварковым) взаимодействием. Сильное вза-
12
имодействие приводит к кварковым связанным системам
(адронам), в то время как существуют лишь слабосвязанные
и нестабильные комбинации заряженных лептонов (например,
позитроний е + е~, связанный кулоновским взаимодействием).
Законы сохранения для фермионов применимы, конечно,
к кваркам и лептонам. В частности, лептонные числа Le,
Lp, LT, равные +1, приписываются каждому типу лептонов,
и — 1 для каждого антилептона. Примерами сохранения
лептонов может служить образование пары е+ е ~ фотоном
(см. рис. 1.2):
у->е+ +е~,
Le 0 -1 +1;
A.4)
распад
распад
пиона:
мюона:
В то же время
7
и ?
L» -1
Le 0
распад
и
0
->•
—
—
0
-1
+
1
f +
1
- v,
+
0
+ 1
г +
0
1
о,
J
vM,
-1
0.
Le 0-10
запрещен из-за сохранения лептонного числа. Эксперименталь-
ный предел отношения вероятности последнего распада к веро-
ятности ц-^eVeVj, меньше 10~9.
В то время как полное число кварков сохраняется во всех
взаимодействиях, число кварков данного аромата абсолютно
сохраняется только в сильных взаимодействиях (подобно
сохранению /3, странности и других сходных квантовых чисел).
В слабых распадных процессах кварковый аромат может
измениться (А5=1, АС=1 и т.д.).
1.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ПОЛЯ В ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ
1.5.1. Классическая и квантовая картина. Классически взаимо-
действие на расстоянии описывается в терминах потенциала или
поля, посредством которого одна частица действует на другую.
В квантовой теории взаимодействие описывается в терминах
обмена специальными квантами (бозонами), связанного с дан-
ным типом взаимодействия. Квант несет энергию и импульс,
однако законы сохранения выполняются только в случае, если
этот процесс имеет место в течение интервала времени,
большего чем интервал, ограничиваемый принципом неоп-
ределенности, т. е. AE-At^h. Такие кванты называются вир-
туальными.
13
?
* Г * 4
Рис. 1.4. Классическая и квантовая концепции электромаг-
нитного поля
То, что эти два описания эквивалентны в макроскопической
шкале, можно проиллюстрировать, рассматривая электроста-
тическое поле между двумя точечными зарядами
Q\ и Qi (Рис- 1-4). В классическом случае сила F, действующая
на Q2 со стороны Ql4 описывается полем E(r): F = E(r)Q2 =
= fQ\Qilr2. Квантовомеханически, сила между зарядами опи-
сывается за счет обмена виртуальным фотоном с импульсом
q, равным изменению импульса заряда, испустившего (поглоти-
вшего) фотон. Принцип неопределенности приводит к «раз-
мыванию» линейных размеров системы, т. е. к неопределен-
ности в положении фотона в соответствии с его импульсом:
Каждый обменный фотон передает импульс q в течение времени
he
t — r\c, что соответствует силе dq\dt = —. Число фотонов,
испущенных и поглощенных каждым зарядом, считается пропор-
циональным произведению зарядов, так что имеет место закон
Кулона F=QlQ2lr2, как и в классическом случае. Квантовая
концепция испускания и поглощения виртуальных фотонов
источником заряда — столь же условна, как и классическая
концепция поля, окружающего источник. Как поле, так и вирту-
альный квант ненаблюдаемы; они ответственны за силу, которую
можно измерить количественно. Однако распространение элект-
ромагнитного поля действительно квантуется в виде свободных
фотонов — квантов, поэтому описание взаимодействия в виде
обмена виртуальными фотонами в статическом случае удобно
для обсуждения взаимодействия в микроскопическом масштабе.
1.5.2. Теория Юкава. В 1935 г. при описании короткодейству-
ющих сил между протоном и нейтроном Юкава установил, что
область статического взаимодействия зависит от массы свобод-
ного кванта поля. Предположим, что происходит обмен квантом
с массой т, тогда принцип неопределенности ограничивает
время его существования t^h/mc2, в течение которого он может
пройти расстояние RszcAt^h/mc. Таким образом, область
действия поля определяется комптоновской длиной волны
полевого кванта. Используя релятивистское соотношение между
полной энергией Е и импульсом р свободной частицы массой
Е2=р2с2 + т2с+, A.5)
можно сделать это утверждение количественным.
14
Дифференциальное уравнение, описывающее волновую фун-
кцию такой свободной частицы, получается в результате
подстановки в A.5) квантовомеханических операторов:
f,д ¦ ¦ h д
op g{ op gT ¦>
откуда получаем волновое уравнение Клейна — Гордана
V2\|/ 2~\|/ 2 Г = 0' 0*^)
описывающее распространение бесспиновой частицы массой
т в свободном пространстве.
Если положить т = 0, соотношение A.6) перейдет в хорошо
знакомое волновое уравнение распространения электромагнит-
ной волны, где \|/ интерпретируется как потенциал в точке
пространства и времени или как волновая амплитуда соответ-
ствующего свободного безмассового фотона. Здесь нас не так
интересует волновое распространение частицы, как статический
потенциал. Опустив зависящий от времени член в A.6),
получим уравнение для статического потенциала U в сферичес-
ких координатах
2<3?Л ™2-2
для г>0 от точечного источника, расположенного при г = 0.
В результате интегрирования находим
U(r) = JLe-'i*, A.7)
где
R = hjmc. A.8)
Здесь g— константа интегрирования, которая идентична силе
точечного источника. Аналогичное уравнение в электромагнетиз-
ме есть У2и(г) = 0 для г>Ь с решением U(r) = ~-, где Q — заряд.
Итак, g в теории Юкава играет ту же роль, что и заряд
в электростатике, и характеризует «сильный ядерный заряд».
В историческом плане гипотеза Юкава предсказывала для
описания ядерных сил с радиусом действия Rv\0~15 м сущест-
вование бесспинового кванта с массой me2 = he/RkIOO МэВ.
Пион, наблюденный в 1947 г., имел массу 140 МэВ, спин, равный
нулю, и сильное взаимодействие с ядром; поэтому он является
хорошим кандидатом на роль кванта ядерных сил. Впоследствии
оказалось, что это несколько упрощенная точка зрения.
15
1.5.3. Бозонный пропагатор. Рассмотрим частицу, рассеива-
емую потенциалом, действие которого наблюдается по уг-
ловому отклонению частицы или, что эквивалентно, по пере-
даваемому импульсу q. Потенциал (/(г) в координатном
пространстве имеет соответствующую амплитуду /(q), которая
является просто Фурье-преобразованием потенциала, точно так
же, как угловое распределение света при дифракции на
некотором объекте в классической оптике есть Фурье-преоб-
разование ' этого объекта, т. е.
f(q) = go$U(r)e'«'dV, A.9)
где go — внутренняя константа связи частицы с потенциалом.
Для центрального потенциала U(г )=?/(/¦) интегрирование по
объему легко выполнить, положив
dV=r2dQsinQdQdr,
где 0 и ф — полярный и азимутальный углы. Используя A.7)
и A.8), а также, для простоты единицы2 h = c=\, имеем
откуда
A.10)
Это уравнение в пространстве импульсов и соотношение
в координатном пространстве A.7) эквивалентны.
Здесь мы обсуждаем рассеяние частицы с константой связи
go на статическом потенциале U, создаваемом массивным
источником силы g. Падающая частица рассеивается без потери
энергии, однако при реальном соударении двух частиц имеет
место передача трехмерного импульса q и энергии Е. Оказыва-
ется, что соотношение A.10) остается справедливым, если
интерпретировать q как 4-мерный передаваемый импульс
q = {q,\E), где q2=q —E2 в единицах h = c=\ (см. приложение
А, обсуждение 4-векторов).
Итак, амплитуда рассеяния за счет обмена одиночным
бозоном есть произведение двух вершинных факторов gQ, g,
описывающих связь бозона с рассеиваемой и рассеивающей
частицами и пропагаторного члена (q2+m2)~l:
{2 2. A.11)
1 Вывод этой формулы приведен в § 6.2.
2 Единицы величин см. в § 1.11.
16
Поперечное сечение рассеяния есть произведение |/2|
на фазовый множитель, деленное на падающий поток (см.
гл. 4 и приложение Д). Необходимо вводить также допол-
нительные множители, связанные со спином частицы, что
будет сделано ниже. Тем не менее A.11) — основная формула,
описывающая взаимодействие двух частиц в результате обмена
одиночным бозоном, к которой мы будем неоднократно
прибегать ниже.
Как пример, для т = 0 получим пропагатор фотона, который
дает зависимость 1/д4 в поперечном сечении рассеяния двух
заряженных частиц и является основой формулы Резерфорда.
Представление взаимодействий частиц с квантованными
полями часто описывается с помощью фейнмановских диа-
грамм, для которых существуют определенные правила, по-
зволяющие вычислить матричные элементы переходов. Однако
в этой книге такие диаграммы применяются в основном как
наглядное представление взаимодействий посредством обмена
квантами.
1.6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Силу взаимодействия между заряженными частицами и фо-
тоном характеризует безразмерная постоянная тонкой стру-
ктуры
a = e2/4nhc = 1/137,0360, A.12)
названная так потому, что она определяет тонкую структуру
(спин-орбитальное расщепление) атомных спектров. Величина
ос входит в матричный элемент рассматриваемого процесса,
квадрат которого определяет вероятность распада или сечение.
На рис. 1.5 показаны диаграммы, описывающие различные
электромагнитные процессы. Время t имеет горизонтальное
направление, пространственная ось — вертикальное. Стрелки
указывают направление движения частиц, входящих или вы-
ходящих из вершины. Входящие электроны (с импульсом р)
всегда можно заменить выходящими античастицами (позит-
ронами) с импульсом р (без изменения матричного элемента).
На рис. 1.5, а показан простейший процесс поглощения (или
испускания) фотона электронами. Этот процесс может иметь
место только для электрона, связанного в атоме, чтобы
обеспечить сохранение импульса. Фотон связан с электроном
с амплитудой ^/а (или е в единицах Й = с=1), так что сечение
фотоэффекта (или квадрат матричного элемента) пропорци-
онально ос (или е2). Здесь ос представлено в первой степени,
следовательно, имеет место процесс первого порядка.
На рис. 1.5,6 показан процесс второго порядка—кулоновс-
кое рассеяние между двумя электронами через обмен одним
виртуальным фотоном с импульсом #, связанным с двумя
2 Заказ 416 17
Промежуточный
виртуальный
фотон
ос
"V Промежуточное
\ Виртуальное
^состояние
<х\—л е~
Ze В)
Г\
Промежуточное
виртуальное
состояние
г)
Диаграммы, дающие Вклад 6
„собственную" энергию электрона
О)
Рис. 1.5. Фейнмановские диаграммы электромагнитных процессов
вершинами. Виртуальный фотон вносит так называемый про-
пагаторный член \jq2 в матричный элемент [см. A.11)],
который поэтому пропорционален >yav/a/g2. Поперечное
сечение рассеяния есть do/dq2~a.2/q4 (формула Резерфорда).
На рис. 1.5,6 показано испускание реального фотона элект-
роном, который испытал ускорение в электрическом поле ядра
с зарядом Ze (процесс тормозного излучения). Для сохранения
импульса должен существовать обмен виртуальным фотоном
с ядром, а поперечное сечение должно быть порядка ос3
(пропорционально Z2a3). Следует отметить, что в этом случае
необходимо наличие промежуточного электронного состояния,
так как электрон не может испустить реальный фотон
и сохранить энергию и импульс без уменьшения его массы
покоя (как говорят, должен уйти «с массовой поверхности»).
Наконец, на рис. 1.5, г показан процесс образования пары
е+ е ~ фотоном в поле ядра, также по порядку величины
пропорциональным ос3. Диаграммы в и г имеют сходство.
Последнюю диаграмму можно получить из первой заменой
линии, соответствующей входящему электрону, на линию
выходящего позитрона.
Теория поля, используемая для вычисления поперечных
сечений таких электромагнитных процессов, называется кван-
товой электродинамикой (КЭД). Одним из очень важных
свойств КЭД является ее перенормируемость. Как показано
на рис. 1.5, д, электрон может испустить и снова поглотить
виртуальные фотоны (или пары), и такие члены «собственной
18
энергии» вносят вклад в массу (и заряд) электрона; на самом
деле, они дают расходящиеся интегралы, и теоретически
вычисленная «голая» масса т0 или заряд е0 оказываются
бесконечными. Подобные расходящиеся члены присутствуют
во всех расчетах по КЭД, например в Процессе, представленном
на рис. 1.5, а — г. Однако найден метод подавления всех
расходимостей в т0 и е0 и переопределения массы и заряда
с заменой их соответствующими физическими величинами е,
т (их определяют экспериментально). Эта операция называется
перенормировкой. В результате расчеты по КЭД, если их
выражать в терминах физических величин е и т, всегда дают
конечные (и невероятно точные) значения для поперечных
сечений, скоростей распада и т. д.
Второе существеннейшее свойство электромагнитного вза-
имодействия— его калибровочная инвариантность. В электро-
статике, например, энергия взаимодействия, которую можно
измерить экспериментально, зависит только от изменений
статического потенциала, а не от его абсолютного значения,
и поэтому эта энергия инвариантна по отношению к измене-
ниям масштаба или калибра потенциала. В квантовой механике
фаза фермионного поля (волновой функции электрона) также
относительна, и можно было бы потребовать свободу выбора
(любым способом) фаз всех фермионных полей во всех точках
пространства-времени без изменения физических следствий.
Такая локальная калибровочная инвариантность приводит
к сохранению токов и сохранению электрического заряда.
Мы отметили перенормируемость и калибровочную ин-
вариантность, т. к. они тесно связаны: многие теории частиц
в прошлом, не обладающие этими свойствами, приводили
к непреодолимым трудностям. Поразительный успех КЭД,
позволяющей точно вычислить электромагнитные процессы во
всех порядках по ос, привел к тому, что сегодня существует
общепринятое мнение: все теории фундаментальных полей
должны быть перенормируемыми калибровочными теориями.
1.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Слабое взаимодействие имеет место между всеми со-
ставляющими кварков и лептонов; каждый из них имеет,
так сказать, «слабый заряд». Однако это взаимодействие
столь ничтожно, что оно обычно подавлено гораздо
более интенсивным электромагнитным и сильным вза-
имодействиями, за исключением случаев, когда эти вза-
имодействия запрещены законами сохранения. Поэтому
наблюдаемые слабые взаимодействия включают либо нейтрино
(которое не имеет электрического и сильного заряда),
либо кварковые переходы с изменением аромата (AS=1;
2* 19
АС=1 и т.д.), запрещенные для сильного или элек-
тромагнитного взаимодействий. Реакции
+ve — распад нейтрона; \ . .
+поглощение антинейтрино]
суть примеры слабых взаимодействий с участием нейтрино.
Следует отметить, что любой другой распад нейтрона запрещен
сохранением барионов и что сохранение лептонов требует
рождения в распаде как заряженного (е), так и нейтрального
(ve) лептонов. Однако чисто адронный распад сигма-гиперона
Е-->л + „-, т=10-'°с,
5-100 U '
происходит с переходом странного кварка E= — 1) в нестран-
ный E=0). Можно сравнить это с электромагнитным распадом
Х° (нейтральным партнером Х~):
Х°-+ Л +у, т=10~19с, A.15)
S -1 -1 0.
Это—электромагнитный распад, поскольку, несмотря на сохра-
нение кваркового аромата, член кваркового триплета барионов
(XOl±) переходит в барион из зарядового синглета (Л), что запре-
щено в сильных взаимодействиях (законом сохранения изоспина,
см. гл. 4). Значение отношения времени жизни из A.14) к времени
жизни из A.15) свидетельствует о том, что слабая константа
связи составляет в этом случае A0~19/10~10I/2^10~5 от элек-
тромагнитной константы.
Слабое взаимодействие переносится массивными бозонами
W- и Z0, как показано на рис. 1.6, по аналогии с обменом фото-
ном в электромагнитном взаимодействии. Массы W± и Z0 рав-
ны 81 и 94 ГэВ соответственно. Обмен W± приводит к изменению
заряда в лептонной и адронной частях реакции [как и в A.13)],
и поэтому этот процесс называется реакцией за счет заряженного
тока, в то время как обмен Z" не приводит к изменению
заряда и эти процессы называются реакциями за счет нейтраль-
ного тока. На рис. 1.7 показано упругое vMe~-рассеяние (реакция
за счет нейтрального тока), а на рис. 1.8 — результаты первого
наблюдения образования и распада W + -+e + +ve в /?/?-соударениях
высокой энергии. Если в упрощенном виде обозначим константу
связи между W, Z, кварками и лептонами g, из A.11) получим
Jkrr (LI6)
что следует сравнить с отношением e2/q2 для электромагнит-
ного рассеяния на рис. 1.6,в. Для q1 <^M\vsZ амплитуда A.16)
не зависит от q2, т. е. в этом случае слабое взаимодействие
20
a)
J 9
w
a
s) a
8)
ep+ep
Рис. 1.6. Диаграммы электромагнитных и слабых процессов: слабое взаимодей-
ствие за счет заряженного тока (а, б); электромагнитное взаимодействие (в);
слабое взаимодействие за счет нейтрального тока (г), процессы, показанные на
рис. 1.8 и рис. 1.7, соответствуют диаграммам б я г
Рис 1 7 Первый пример слабого процесса, идущего за счет нейтрального тока,
v +eJ>v +е в тяжеложидкостной пузырьковой камере Гаргамель в ЦЕРН,
в пучке v (Hasert et al., 1973 г.). Одиночный электрон испускается под малым
углом (Г5+15°) к пучку и идентифицируется по тормозному излучению
и образованию пар вдоль трека (см. гл 2). При каждом импульс* Ускорителя
камеру пересекает 10» *„; три подобных события были среди 1,4 млн.
Vy фотографий (с согласия ЦЕРН)
21
Рис. 1.8. Одно из первых событий, относящихся к образованию и распаду
>f+-6o3OHa, W+ ->e + +ve. Он образуется при соударении протона (справа)
с антипротоном (слева), каждый из которых имеет энергию ?=270 ГэВ. Среди
наблюдаемых 66 треков имеется очень энергетичный позитрон (указанный
стрелкой), который идентифицируется при последующем поглощении в калори-
метре. Энергия позитрона 42 ГэВ, его поперечный импульс 26 ГэВ/с. Недоста-
ющий поперечный импульс во всем событии в целом составляет 24 ГэВ/е, что
соответствует импульсу нейтрино в распаде W+ -*е+ + vc (с согласия ЦЕРН)
точечноподобно. Ферми в 1935 г. для описания Р-распада
постулировал контактное взаимодействие между четырьмя
фермионами с константой G. Фактически при q ->0
v\0-s ГэВ, A.17)
значения G можно определить, измеряя скорости Р-распада.
В электрослабой теории A967—1968 гг.) Глэшоу, Салама
и Вайнберга считается, что константа связи g между W±, Z°
и кварками, и лептонами та же, что и для фотона, т. е. g = e;
слабое и электромагнитное взаимодействия объединяются (здесь
мы пренебрегаем некоторыми численными коэффициентами
и углами смешивания, которые обсуждаются в гл. 9). Тогда
с учетом найденного значения G [см. A.17)] и из A.12) определяем
iw.z'
A.18)
что находится в согласии со значениями масс W- и Z0- частиц,
измеренными в 1983 г.
В отличие от электромагнитного и сильного взаимодей-
ствий, сохраняющих четность, т. е. симметрию относительно
пространственного отражения, слабое взаимодействие нарушает
эту симметрию. Например, нейтрино всегда левоспирально,
а антинейтрино — правоспирально.
1.8. СИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАРКАМИ
Сильное взаимодействие имеет место между кварками,
составляющими адроны. Константу связи можно оценить из
22
вероятности распада или ширины Г нестабильных барионов.
Рассмотрим состояние Е A385), образующееся как резонанс
с массой 1385 МэВ в А^-взаимодействии:
АГ+/>->Е° A385НЛ + Л0 A.19)
с величиной О в распаде (равной 130 МэВ) и временем жизни
т = /г/Г=10~ с, которую можно получить из измеряемой
ширины Г. Если мы сравним это значение с электромагнитным
распадом A.15) Q G7 МэВ)
1°A192)-»Л + у, т=1СГ19с, A.20)
получим для сильной константы связи ocs (аналогично а):
1/2
или
Мы определили константу связи сильного заряда кварков
с соответствующим промежуточным бозоном, называемым
глюоном — нейтральным безмассовым переносчиком сильного вза-
имодействия, аналогичным фотону в КЭД. В КЭД имеется
два типа зарядов: положительных и отрицательных. В теории
межкварковых сил (квантовой хромодинамике, КХД) имеется
шесть типов сильного заряда, называемых «цветами» (название
отражает наименование степеней свободы). Кварк может нести
один из трех цветов (например, «красный», «синий» или
«зеленый»), а антикварк — соответствующий антицвет. Пред-
полагается, что цветовая симметрия является строгой, так
что кварк-кварковые силы не зависят от цветов кварка.
Например, на рис. 1.9,6 «красный» кварк взаимодействует
с «синим» кварком путем_ обмена глюоном, имеющим цвет
«красный — антисиний» (КС). Эта диаграмма — пример обмена
одним глюоном, хотя при as ~ 1 это не единственный процесс
и обмен многими глюонами весьма вероятен. Оказывается,
что при больших <72as<l обмен одиночным глюоном есть
хорошее приближение, в то время как при малых q2 (или,
соответственно, на больших расстояниях) константа связи as
становится большой, что делает невозможным вычисления.
Это поведение а5 на больших расстояниях предположительно
связано с запиранием кварков и глюонов внутри адронов.
Потенциал между двумя кварками часто описывается следу-
ющим соотношением:
Vs=-4^+kxr, A.22)
23
9t
ь
b-
rb
\
' 9s
a) S)
a a a a a a
•чЛЛЛЛЛЛЛЛЛ */W«——-«ЛЛЛ4
в) я
Рис. 1.9. Электромагнитное взаимодействие между двумя заряженными части-
цами, обменивающимися одиночным фотоном с константой взаимодействия \е\
(а). Сильная цветовая сила между кварками за счет обмена одиночным
глюоном с константой gs (б). Красный кварк взаимодействует с синим кварком
при обмене «красным—антисиним» глюоном. Попытки освободить кварк
путем растягивания глюонной «струны» приводят к образованию
кварк-антикварковой пары (мезона) (в)
где первый член, доминирующий на малых расстояниях,
возникает в результате обмена одиночным глюоном и, за
исключением численного фактора, имеет тот же вид, что
и кулоновский потенциал между элементарными зарядами:
Второй, линейный член связан с запиранием на больших
расстояниях г. Оба члена в A.22) имеют прямое эксперимен-
тальное подтверждение. '
Благодаря линейному члену в A.22) попытка_оторвать кварк
от адрона приводит к возникновению новых QQ-пар (мезонов).
Природа КХД такова, что силовые линии цветового поля
притягиваются друг к другу за счет сильного глюон-глюонного
взаимодействия так, что они образуют трубку или струну (см.
рис. 8.23). При натяжении этой струны энергия кг в A.22)
достигает такого значения, при котором энергетически более
выгодно образовать пару QQ с двумя короткими струнами
вместо одной длинной струны (см. рис. 8.23, в).
В пределе высоких энергий кварков запирающий потенциал
приводит к драматическим эффектам. Процесс аннигиляции
ее' -> адроны, если его рассматривать как элементарный
процесс е+е~ -» QQ, сопровождается «фрагментацией» кварка
и антикварка в адроны — процессом, описанным выше с глю-
онными струнами. Поскольку поперечные импульсы, возни-
кающие при образовании мезонов, имеют порядок только
нескольких т„с, возникают две коллимированные «струи»
24
адронов, двигающихся в противоположных направлениях вдоль
векторов импульсов образовавшихся начальных кварков (см.
рис. 2.23).
1.9. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Гравитация есть несущественный эффект в физике частиц,
но для полноты картины мы кратко упомянем о ней.
Гравитация описывается с помощью ньютоновской константы
К; сила между двумя равными точечными массами М со-
ставляет КМ2/г2, где г—расстояние между ними. Сравнивая
эту силу с электростатической силой между единичными
зарядами е2/г2, рассмотрим безразмерную величину KM2/hc.
Например, если М — масса протона, то
= 4,6 -Ю0 A.23)
4л Tic
по сравнению с
e2j4nhc= 1/137.
Таким образом, для основной шкалы масс в физике высоких
энергий гравитационная константа взаимодействия пренебрежимо
мала и может достигать единицы для гипотетической элементарной
частицы с планковской массой Мр = Dпhe/КI/2 = =2-1019 ГэВ.
Гравитация важна в повседневной жизни, так как имеет
аддитивный (кумулятивный) характер. Существует только один
знак гравитационного заряда (отрицательная масса не суще-
ствует), так что потенциал, действующий на протон, есть
сумма потенциалов всех нуклонов и электронов, составляющих
Землю. В случае электрических сил существует два типа
электрического заряда, поэтому мир электрически нейтрален
и колоссальная электрическая сила, действующая на протон
со стороны всех других протонов Земли, полностью компен-
сируется такой же силой, связанной с электронами.
1.10. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
Суммарные характеристики фундаментальных взаимодейст-
вий, описанных выше, представлены в табл. 1.3. В таблицу
включен также перечень типичных поперечных сечений соударе-
ний и типичных времен жизни распада для различных видов
взаимодействий.
На рис. 1.10 приведены время жизни и ширина адронных
состояний, распадающихся за счет различных взаимодействий.
25
Таблица
Взаимодействие
Гравитацион-
ное
Электромаг-
нитное
Слабое
Сильное
.3. Фундаментальные взаимодействия (М — масса нуклона)
Квант поля
Гравитон
Фотон
Промежуточ-
ный бозон
Глюон
Спин-чет-
ность
2 +
1"
1", 1"
\-
Масса,
ГэВ
0
0
80—90
0
Ралиус
действия,
м
00
ОО
ю"8
«1(Г15
Источник
взаимодействия
Масса
Электрический
заряд
«Слабый заряд»
«Цветовой заряд»
Ширина зависит от констант связи и, в меньшей степени, от
масс состояний, т. е. от фазового пространства, доступного
для образующихся вторичных частиц.
В табл. 1.4 приведен перечень некоторых величин, сохраня-
ющихся при различных взаимодействиях. Некоторые из законов
сохранения абсолютны или очень близки к этому. Другие
свойства, такие, например, как инвариантность относительно
пространственной инверсии (сохранение четности), наблюда-
ются в одних взаимодействиях, но не наблюдаются в других.
Часто такие нарушения имеют регулярный вид. Например,
в слабых взаимодействиях странность 5 может сохраняться
или не сохраняться, если она нарушается, то выполняется
правило Л5=1.
Таблица 1.4. Законы сохранения
Сохраняющаяся
величина
Энергия (импульс)
Заряд
Барионное число
Лептонное число
/ (изоспин)
S (странность)
С (очарование)
Р (четность)
С (зарядовое сопря-
жение)
СР (или Т)
СРТ
Взаимодействие
Сильное
Да
Да
»
»
»
»
»
»
Электромагнитное
Да
Нет
Да
»
»
»
»
»
Слабое
Да
Нет(Д/=1или1/2)
Нет (Д5=1,0)
Нет (АС=1,0)
Нет
»
Да*
»
* Нарушается (около 10"') в К -распаде.
26
Константа
связи
К (Ньютон)
—
G (Ферми)
—
Безразмерная константа связи
КМ2/Йс = 0,53 10~38
а.=е2/DпЪс)= 1/137
(Л/с/ЙJО/(Йс)=1,0210
О,~1, большие г
as < 1, малые г
Типичное по-
перечное сече-
ние, м2 A ГэВ)
.—
,0-зз
ю4*
|0-зо
Типичное вре-
мя жизни для
распада, с
—
,0-2О
10"8
ю-23
1.11. ЕДИНИЦЫ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ
ЭНЕРГИЙ
Фундаментальными единицами являются длина, масса и вре-
мя, выражаемые в системе МКС в метрах, килограммах
и секундах. Такие единицы, однако, не очень удобны в физике
частиц, где типичной длиной является 105 м, а массой 10~27 кг.
Длина в физике частиц обычно измеряется в фемтометрах
или ферми Aф=10~15м), а поперечные сечения — в барнах
A б=10~28м2). Единица энергии основана на электрон-вольте
A эВ = 1,6-10~19 Дж). Масса частицы обычно выражается
в МэВ/с2; это означает, что если масса равна М, то энергия
покоя есть Мс2 МэВ. Например, протон имеет энергию покоя
938,28 МэВ, или 0,938 ГэВ. Часто для масс (имеется в виду
эквивалент энергии покоя) используются мегаэлектрон- или
гигаэлектрон-вольты.
В вычислениях часто встречаются величины Й = /г/Bтс) и с,
и поэтому очень удобно использовать систему единиц, в ко-
торой ft = c=l. Мы сделаем это при выборе некоторой
стандартной массы т0 (например, массы протона) в качестве
единицы: т0 = 1. Естественной единицей длины в этом случае
является комптоновская длина волны стандартной частицы:
единицей времени:
а единицей энергии:
= h/moc=l,
= h/(moc)=l,
Для этих единиц Й = с=1. Чтобы вернуться в конце вычислений
к более привычным единицам, полезно вспомнить, что
27
Ширина адронных состояний
г
О
-г
-4
-е
-в
-ю
-12
-*• А дроны
•• si f •
-»• у-f-А дроны
WI
~AdpoHbi(AS=1,AC=1)
-24
-го
-16
-п
-8
3 4
Масса (ГэВ/сг)
10
Рис. 1.10. Ширина и время жизни адронных состояний. Вертикальные шкалы —
логарифмические (десятичные логарифмы), слева показана ширина Г, МэВ,
справа—среднее время жизни в секундах х=Й/Г. Так как й =
= 6,58 • 102 МэВ'с, состояние с шириной 1 МэВ имеет т = 6,6-10~22 с, а состо-
яние с т=10~22с имеет Г = 6,58 МэВ. Темные точки обозначают адронные
состояния (резонансы), распадающиеся путем сильного взаимодействия (в
адроны, при сохранении /, S, С...). Следует отметить, что все эти состояния
имеют Г>10 МэВ, за исключением аномально узких состояний V- и У-мезонов
(их низших энергетических состояний). Для них КХД предсказывает, что
эффективная константа связи (за счет обмена тремя глюонами, см. § 5.15)
слабее, чем для других состояний. Светлые точки относятся к адронам,
распадающимся за счет электромагнитного взаимодействия в лептонные пары
или в фотоны (или в фотоны и другие адроны). Эти распады не сохраняют
изоспин /. Крестики относятся к адронам, распадающимся по слабому
взаимодействию, либо в пару электрон — нейтрино, либо в адроны с изменени-
ем изоспина /, странности S, очарования С и т. д. Наименьшее время жизни,
измеряемое прямым образом, есть 106 с для распада п°-*2у. Более короткие
времена жизни определяются из измерения ширины при помощи приведенной
выше формулы
йс= 197 МэВ -фм. Таким образом, частица с массой
то = 197МэВ имеет комптоновскую длину волны h/mQc =
= hc/moc= 1 фм.
Везде в этом тексте мы будем иметь дело со связью
зарядов—сильного, электромагнитного и слабого—с проме-
жуточными бозонами. В системе СИ электрический заряд
е измеряется в кулонах и константу тонкой структуры можно
представить в следующем виде:
28
4mQnc
Для основной связи зарядов с бозонами такие единицы
неудобны, и мы определим е в единицах Хевисайда — Лоренца
( 1)
как и в A.12). Сходные определения применяются к от-
носительным зарядам и константам связи других взаимодей-
ствий.
ЗАДАЧИ
1.1 а) Покажите, что отрицательный мюон, захваченный в S-состояние
ядром с зарядом Ze и массой А, будет проводить часть времени /«0,25Л
(Z/137K в ядерной материи и за время t пройдет полный путь в ядерном
веществе fct(Zj 137).
б) Закон радиоактивного распада свободных мюонов dN/dt= — XdN, где
Х4—1/т—константа распада, т = 2,16 — время жизни, мкс. Для отрицательного
мюона, захваченного атомом Z, константа распада X = Xd + Xc, где Хс — веро-
ятность ядерного захвата в единицу времени. Для алюминия (Z=13, А = 37)
среднее время жизни отрицательных мюонов составляет 0,88 мкс. Вычислите
Хс и, используя выражение для / из «а», сосчитайте средний свободный
пробег мюона до взаимодействия в ядерном веществе.
в) Зная X в «б», оцените константу связи в реакции ji +p->п-\-х, считая,
что константа связи, равная единице, соответствует среднему свободному
пробегу, равному радиусу действия ядерных сил.
1.2 а) Выразите энергию у-квантов от распада нейтрального пиона я°->2у
через массу т, энергию ?, скорость |3с пиона и угол вылета 9 в СЦИ.
б) Покажите, что, если пион имеет нулевой спин, распределение по
0 будет изотропным, а энергетическое распределение у-квантов будет плоским
от ?A+Р)/2 до ?A-Р)/2.
в) Найдите выражения для асимметрии D (отношения энергий) двух
у-квантов от я°-распада. Для релятивистских пионов покажите, что Z)>3
для половины распадов и D>1 — для четверти.
1.3. Почему отрицательный мюон, который останавливается в жидком
водороде, может образовывать молекулярный ион Н^, замещая электрон?
Почему если водород содержит даже мельчайшую примесь дейтерия, то
отрицательные ионы при определенных условиях образуют молекулярные
ионы HD+? Каково типичное межъядерное расстояние в таком ионе? Если
два ядра вступают в реакцию с образованием 3Не2, что может случиться
с мюоном?
1.4. Допустим, что нейтрино ve, vM, v, и т. д. представляют собой
комбинацию собственных состояний дискретных масс vb v2, v3,... Предположим
также, что в распаде я->ц+уи состояние vM состоит из комбинации состояний
с массой т1 и т2- Следовательно, энергия и импульс мюона от я-распада
29
покоящегося пиона состоит из двух дискретных величин. Считая, что импульс
мюона можно измерить с неограниченной точностью, покажите, что две
такие величины можно зафиксировать только если т\—т\>\ (эВ/с2J. По-
кажите, что конечная погрешность при измерении мюонного импульса
ограничивает точность измерения величины т\—т\.
1.5. Поперечное сечение реакции п~ +/>->Л + К0 при импульсе налетающей
частицы 1 ГэВ/с равно примерно 1 мб A0~27 см2). Как Л, так и К°
распадаются со средним временем жизни около 1ОГ10 с. Оцените относительное
значение констант связи, ответственных за образование и распад Л- и К°-частиц.
1.6. Установите, какие из следующих реакций разрешены законами со-
хранения и какие запрещены, и укажите причину в каждом случае:
(i+ >е+ + е~ +<? + ,
К++п >S + + it°.
1.7. Предположим, что заряды электрона и протона отличаются на малую
величину (Ае) и потому расширение Вселенной можно объяснить за счет
электростатического отталкивания между атомами водорода в пространстве.
Оцените минимальное значение отношения (Ае/е), требуемое для подтверж-
дения этой гипотезы.
(Ссылки: Теория. Н. Bondi and R. A. Lyttleton, Nature, 184, 974, 1959;
Proc. Roy. Soc, A252, 313, 1959. Экспериментальное опровержение. А. М. Hilas
and Т. Е. Craushaw, 184, 892, 1959).
ГЛАВА 2
УСКОРИТЕЛИ И ДЕТЕКТОРЫ ЧАСТИЦ
2.1. УСКОРИТЕЛИ
Во всех ускорителях используют электрические поля для
ускорения стабильных заряженных частиц (электронов, протонов
или тяжелых ионов) до высоких энергий. Простейшим ускорите-
лем можно считать высоковольтный источник постоянного тока
(генератор Ван-дер-Граафа), однако энергия пучка в нем может
достигать только примерно 20 МэВ. Для достижения большей
энергии необходимо применить высокочастотное напряжение,
для того чтобы ускорять сгусток частиц, в определенный момент
времени синхронизованный с ускоряющим полем. Это сделано
в линейном ускорителе с соответствующими ускоряющими
30
Рис. 2.1. Схема протонного линейного ускорителя. Протоны от ионного
источника двигаются вдоль ряда дрейфовых труб (внутри вакуумной камеры).
Длины труб подбираются так, что при увеличении скорости протона время его
движения в каждой из труб остается постоянным:
/ — источник ионов; 2 — источник радиочастотного напряжения
элементами (дрейфовыми трубами), выстроенными в линию,
или в циклическом ускорителе при многократном прохождении
частицами одного ускоряющего источника напряжения.
2.1.1. Линейные ускорители (линаки). На рис. 2.1 показана
схема протонного линака. Он состоит из серии металлических
дрейфовых труб, имеющих знакопеременную полярность ра-
диочастотного напряжения. Протонный источник (источник
ионов водорода) работает в непрерывном режиме, однако
ускоряются протоны только внутри определенных временных
интервалов. Эти протоны пересекают промежуток между
соответствующими трубами, когда поле направлено слева
направо, и находятся внутри трубы (где поле равно нулю),
когда поле меняет знак. Если правильно выбрать длину
каждой трубы вдоль оси пучка с учетом увеличения скорости
протона в процессе ускорения, сгусток протонов будет не-
прерывно ускоряться. Типичные ускоряющие поля составляют
несколько мегаэлектрон-вольт на 1 м длины. Такие протонные
линаки, ускоряющие протоны до энергий около 50 МэВ,
используются как инжекторы для циклических ускорителей.
Электроны с энергией выше нескольких мегаэлектрон-вольт
движутся со скоростью, почти равной скорости света, поэтому
электронный линак имеет трубы одинаковой длины (после
первых нескольких метров). Практически, при использовании
микроволновых частот эти трубы заменяются резонаторами
(размером несколько сантиметров), которые возбуждаются
серией клистронных генераторов, синхронизованных во времени
для обеспечения непрерывного ускорения. Можно сказать, что
электроны движутся на «гребне волны» электромагнитного
поля. Наибольший электронный линак в Стэнфорде длиной
3 км ускоряет электроны энергией до 25 ГэВ с помощью 240
клистронов, генерирующих короткие B мкс) цуги интенсивных
импульсов большой мощности 60 раз в 1 с, создавая соот-
ветствующую структуру пучка во времени.
2.1.2. Циклические ускорители (синхротроны). Все современ-
ные протонные и большинство электронных ускорителей яв-
ляются круговыми (или близкими к круговым). Частицы
удерживаются в тороидальной вакуумной камере, • которая
проходит через серию электромагнитов, создающих поле,
нормальное к плоскости орбиты (рис. 2.2). Для протона
31
а) б)
Рис. 2.2. Поперечное сечение типичного отклоняющего (дипольного) магнита
(о) и фокусирующего (квадрупольного магнита) (б). Тонкие стрелки указывают
направление поля; жирные стрелки — силы, действующие на положительную
частицу, двигающуюся нормально к плоскости рисунка:
/ — обмотка; 2 — железо
с импульсом р, ГэВ/с, и магнитной индукцией В, Тл, имеет
место соотношение л
Р = 0,ЗВр, B.1)
здесь р—радиус кольца, м. Частицы ускоряются 1 раз (или
более) за оборот с помощью радиочастотных резонаторов.
Как индукция поля В, так и частота ускоряющего поля
должны увеличиваться синхронно с увеличением скорости
частицы — отсюда и название синхротрон. Протоны инжек-
тируются из линака при низкой энергии и при низкой
магнитной индукции поля В, которая затем увеличивается до
своего максимального значения в процессе ускорения, длящего-
ся обычно несколько секунд. Затем цикл повторяется. Таким
образом, пучок имеет структуру дискретных импульсов.
В линаке конечная энергия пучка зависит от напряжения
в резонаторе и от полной длины, в то время как в протонном
синхротроне она определяется радиусом кольца и максималь-
ным значением В. Для обычных электромагнитов, использу-
ющих медные обмотки, Втах составляет около 1,4 Тл; если
же применяются сверхпроводящие обмотки, то магнитная
индукция может достигать 5 Тл и более. Например, синхротрон
лаборатории Ферми (тэватрон) имеет радиус 1 км, энергия
протонов в нем достигает 400 ГэВ с обычными магнитами
и 1000 ГэВ A ТэВ) со сверхпроводящими.
Во всех циклических ускорителях для достижения конечной
энергии протоны совершают около 105 оборотов, проходя
каждый раз ускоряющее напряжение порядка 0,1 МэВ за
оборот. При полном пути, проходимом частицами, около
106 км стабильность и фокусировка протонного сгустка чре-
звычайно важны, иначе частицы будут быстро потеряны.
В большинстве современных ускорителей, использующих
принцип жесткой фокусировки, имеются магниты двух типов:
отклоняющие, которые создают однородное вертикальное ди-
32
польное поле на размере пучковой вакуумной трубы и удер-
живающие протоны на круговой орбите (рис. 2.2,а), и фоку-
сирующие, создающие квадрупольное поле с помощью четырех
полюсов (рис. 2.2,6), причем поле равно нулю в центре
и быстро увеличивается к периферии. На протоны, отклоня-
ющиеся от центра, будут действовать магнитные силы, показан-
ные на рисунке жирными стрелками. Такой магнит (рис. 2.2,6)
является вертикально фокусирующим и горизонтально дефо-
кусирующим. При замене полюсов магнита мы получим
горизонтально фокусирующий магнит. При использовании
периодической структуры горизонтально и вертикально фоку-
сирующих магнитов мы получим эффект фокусировки в обеих
плоскостях, наподобие фокусировки пучка света в системе
фокусирующих и дефокусирующих линз.
2.1.3. Фокусировка и стабильность пучка. Частицы, цир-
кулирующие в синхротроне, не движутся по идеальным кру-
говым орбитам; реально они испытывают отклонение в вер-
тикальной и горизонтальной плоскостях — бетатронные колеба-
ния. Эти колебания возникают от естественной расходимости
инжектирующего пучка, небольших асимметрий в магнитном
поле, установки магнитов и т. д. Длина волны этих колебаний
сопоставима с фокальной длиной квадруполей и мала по
сравнению с полной длиной кольца. В дополнение к этим
поперечным колебаниям существуют продольные колебания —
синхротронные, возникающие, когда отдельные частицы от-
клоняются от идеальной синхротронной фазы, при которой
увеличение импульса за один оборот за счет ускоряющего
поля точно соответствует увеличению индукции магнитного
поля. Так, на рис. 2.3 частица F, которая находится за точно
синхронизованной частицей Е, будет получать меньшее ускоре-
ние, попадет на орбиту меньшего радиуса и поэтому на
следующем обороте придет к ускоряющему промежутку рань-
ше. В противоположность этому, более «ранняя» частица
D получит больший импульс, будет двигаться по орбите
большего радиуса и соответственно придет позже. Таким
образом, частицы в сгустке
испытывают синхротронные
Рис. 2.3. Частицы, движущиеся в син-
хротроне, пришедшие раньше (D) или
позже (F), получают больше или
меньше энергии в радиочастотном
ускоряющем поле, чем синхронно при-
шедшая частица (?). Это уменьшает
(увеличивает) частоту обращения,
в результате чего частицы испытыва-
ют осцилляции (показанные стрелка-
ми) по отношению к синхронно двига-
ющейся частице
V',
3 Заказ 416
33
колебания относительно положения равновесия, но сгусток
в целом остается стабильным.
Итак, протоны инжектируются непрерывно из линака в на-
чале ускорительного цикла, когда дипольное поле мало.
В процессе ускорения частицы группируются в равноотстоящие
в пространстве сгустки (расстояние между ними определяется
частотой ускоряющего поля). Поперечный размер сгустка,
первоначально заполняющий апертуру вакуумной камеры (ти-
пично— около 10 см), в процессе ускорения фокусируется до
размера, примерно равного 1 мм. Пучок с конечной энергией
выводится из кольца с помощью быстрого импульсного
магнита (быстрый вывод) или медленно выводится (скажем,
за время 1 с) с использованием тонкой фольги, при прохож-
дении через которую пучок теряет энергию.
2.1.4. Электронные синхротроны. Мы кратко обсудили
наиболее общий тип протонных ускорителей—синхротрон
с жесткой фокусировкой. Существуют также и электронные
синхротроны, основанные на сходных принципах. Однако
электронные синхротроны имеют важное ограничение, от-
сутствующее в протонных машинах. При циклическом уско-
рении электрон испускает синхротронное излучение; энергия,
излученная на одну частицу за один оборот,
AE=^ne2$Y/P, B-2)
где р — радиус отклонения; Р — скорость частицы; у = A — Р2I/2.
Таким образом, для релятивистского протона и электрона
одинакового импульса энергетические потери относятся как
(т/М)*, т. е. потери в 10 раз меньше для протонов, чем
для электронов. Для электронов с энергией 10 ГэВ, циркулиру-
ющих в кольце радиусом 1 км, эти энергетические потери
равны 1 МэВ на оборот и возрастают до 16 МэВ на оборот
для 20 ГэВ. Следовательно, даже при очень большом размере
кольца и низком магнитном поле необходимость компенсиро-
вать энергетические потери на синхротронное излучение при-
водит к очень большим радиочастотным мощностям, что
является доминирующим фактором для циклических элект-
ронных машин. По этой причине в Стенфорде был построен
линейный ускоритель (длиной 2 км) с энергией 20 ГэВ.
2.2. УСКОРИТЕЛИ СО ВСТРЕЧНЫМИ ПУЧКАМИ
Большая часть всех экспериментальных результатов в об-
ласти физики высоких энергий была получена на протонных
и электронных ускорителях, в которых пучок был выведен
и направлен на внешнюю мишень — в так называемых экс-
периментах с фиксированной мишенью. В частности, протонные
34
синхротроны высоких энергий могут производить интенсивные
вторичные пучки адронов (тс, К, р, р) и лептонов (ц, у), кроме
того, можно использовать вторичные пучки с разными им-
пульсами от одной или более мишеней одновременно для
различных экспериментов.
В течение последних двух десятилетий большое значение
приобрели ускорители со встречными пучками. В этих ускори-
телях два циркулирующих пучка частиц сталкиваются в не-
скольких областях пересечения вокруг кольца. Их огромное
преимущество состоит в большой энергии в системе центра
масс, пригодной для образования новых частиц. Ускорители
с фиксированной мишенью производят частицы с энергией
Е, соударяющиеся с нуклоном массой М в мишени, квадрат
энергии в СЦИ равен (см. приложение А)
S=W2 = 2ME+2M2. B.3)
Итак, для ?»М кинетическая энергия в СЦИ для об-
разования новых частиц растет только как Е112. Остальная
часть энергии теряется — она переходит в кинетическую энергию
вторичных частиц в ЛС, и это позволяет создавать вторичные
пучки высоких энергий.
Если две релятивистские частицы с энергией Е1 и Е2
циркулируют в противоположных направлениях в накопитель-
ных кольцах, тогда при столкновении W можно определить
из соотношения
S=W2 = 4E1E2. B.4)
Если Е1 = Е2, СЦМ столкновения совпадает с лабораторной
системой (ЛС). Фактически вся энергия пригодна для образова-
ния новых частиц, и W растет как Е, а не Е112. Действительно,
в этом случае W имеет то же значение, что и в ускорителе
с фиксированной мишенью с энергией Е=2Е1Е2/М. Как
пример, протонные накопительные кольца ISR в ЦЕРН
создавали протонные пучки с энергией 30 ГэВ, соударяющиеся
под углом 15°. Итак, W&60 ГэВ, для такого значения W был
бы необходим протонный синхротрон с энергией ?=2000 ГэВ.
Машины со встречными пучками также обладают неко-
торыми недостатками. Сталкивающиеся частицы должны быть
стабильными, что ограничивает их состав протонами (или
более тяжелыми ядрами), антипротонами, электронами и позит-
ронами. Все коллайдеры, построенные до настоящего времени,
представляют собой ускорители рр, рр или е+е~, хотя планиру-
ются также столкновения ер (см. табл. 21). Во-вторых, ин-
тенсивность столкновений в области пересечения низка. Ско-
рость реакции можно получить из соотношения
R = oL, B.5)
где а — поперечное сечение взаимодействия; L—светимость,
3* 35
Таблица
Название
Протонные
ЦЕРН (протонный
синхротрон)
Брукхэйвеиская нацио-
нальная лаборатория
КЕК
Серпухов
ЦЕРН (суперсинхротрон)
Лаборатория им. Ферми,
тэватрон II
Электронные
Стенфордский линейный
ускоритель
Синхротрон
DESY
2.1. Список существующих ускорителей
Расположение
гинхротроны
Женева
Брукхэйвен, США
Токио, Япония
СССР
Женева
Батавия, США
ускорители
Стенфорд, США
Гамбург, ФРГ
Ускорители со встречными пучками
PETRA
PEP
CESR
TPISTAN
Стенфордский линейный
коллайдер A987)
LEP A989)*
sPPs
Тэватрон I
HERA A990)*
Гамбург, ФРГ
Стенфорд, США
Корнелл, США
Цукуба, Япония
Стенфорд, США
ЦЕРН, Женева
То же
Батавия, США
Гамбург, ФРГ
е+е
г+е~
е+е~
е+е~
г+е
?+е~
РР
РР
ер
Энергия, ГэВ
22
18
8
30
50
50
A-я
95
B-я
310
1000
ЗОе
28
32
12
76
450
1000
25
7
+ 22
+ 18
+ 8
+ 30
+ 50
+ 50
ступень)
+ 95
ступень)
+ 310
+ 1000
+ 820»
* Ожидаемые сроки запуска.
см 2-с *. Для двух противоположно направленных пучков
релятивистских частиц светимость равна
L=fnN1N2/A, B.6)
где Nt и N2 — числа частиц в каждом сгустке частиц; п — число
сгустков в каждом пучке; А — площадь поперечного сечения
пучков, в предположении, что они перекрываются полностью;
/—частота обращения. Очевидно, что L — максимально, если
пучки имеют малое поперечное сечение А. Светимость, однако,
ограничивается взаимодействием пучок — пучок. Типичное зна-
чение L есть 1031см-с~1 для е+е~ и 1032см~2-с'1 для
^-ускорителей. Эти величины можно сравнить с соответст-
вующими для ускорителей с фиксированной мишенью. Пучок
протонов интенсивностью 2¦ Ш12-с * от протонного синхрот-
рона, пересекающий жидководородную мишень длиной
соответствует светимости L^l(r7 см~2 ¦ с~х.
м,
36
В рр и е/7-коллайдерах необходимо иметь два кольца
магнитов и две пучковые вакуумные камеры, в то время как
е+е~- и до-коллайдеры обладают уникальной особенностью,
позволяющей использовать одну и ту же вакуумную камеру
и кольцо магнитов. Благодаря принципу зарядовой симметрии
(симметрии частица — античастица) оказывается, что синхрот-
рон, состоящий из кольца магнитов и ускоряющих станций
и приспособленный для ускорения, скажем, электрона е~, по
часовой стрелке, будет одновременно ускорять позитрон е+
по той же траектории, но против часовой стрелки. Таким
образом, е+е~- и рр -коллайдеры требуют только одну
вакуумную камеру и одно кольцо магнитов.
2.2.1. Охлаждение в рр-коллайдерах. Получить интенсивный
е+ (позитронный) источник для е+е~-коллайдеров нетрудно,
однако создать интенсивный пучок р (антипротонов) для рр-
коллайдеров—задача гораздо более сложная. Антипротоны
должны быть образованы в парах с протонами в протон-
ядерных соударениях высокой энергии, их выход при этом
весьма низок, а разброс в импульсах и углах вылета из
мишени — наоборот, велик. Другими словами, в системе центра
масс образующихся антипротонов индивидуальные частицы
подобны молекулам очень горячего газа с хаотическим движе-
нием, которое можно описать в терминах «температуры».
Чтобы накопить достаточное число антипротонов, пучок
должен быть «охлажден», для того чтобы понизить рас-
ходимость и разброс в продольных импульсах антипротонов.
Это техническая проблема, о которой мы вынуждены здесь
сказать, поскольку ее решение было разрешающим при от-
крытии W±-, Z°-nepeHoc4HKOB слабого взаимодействия.
Один из подходов к решению этой проблемы, реализован-
ный на /?/>-коллайдере ЦЕРН — использование статистического
метода, поэтому он назван стохастическим охлаждением.
Сгусток порядка 107 антипротонов с импульсом около
3,5 ГэВ/с, образованных на медной мишени (бомбардируемой
импульсом 1013 протонов с энергией 26 ГэВ), инжектируется
во внешнюю часть широкоапертурной вакуумной камеры,
разделенной механически с помощью затвора и расположенной
внутри специального магнитного кольца антипротонного акку-
мулятора (рис. 2.4). Специальные обмотки в одной из секций
кольца чувствуют среднее отклонение частиц от идеальной
орбиты, и корректирующий сигнал посылается по хорде
к импульсному магниту в соответствующий момент времени,
для того чтобы отклонить частицы по направлению к иде-
альной орбите. После двухсекундной циркуляции поперечный
и продольный разбросы понижаются на порядок величины,
затвор открывается и «охлажденный» сгусток антипротонов
отклоняется магнитным полем и «запасается» во внутренней
37
АА
Рис. 2.4. Принцип стохастического охлаждения в кольце антипротонного
аккумулятора (АА) (а). Индикатор пучка передает сигнал, зависящий от
отклонений антипротонов от идеальной орбиты, который управляет коррек-
тирующими магнитами, отклоняющими пучок к идеальной орбите при их
движении по орбите. Поперечное сечение вакуумной камеры — в кольце А А (б).
После того как механический затвор открывается, охлажденный сгусток частиц
выводится во внутреннюю половину камеры и накапливается там вместе
с предыдущими сгустками:
/ — корректирующий магнит; 2—индикатор пучка; 3—вакуумная камера; 4—центр кольца
АА; 5 — конечный сгусток частиц; 6 — затвор; 7—охлажденный сгусток; 8—начальный
сгусток
половине вакуумной камеры, где он продолжает охлаждаться.
Процесс повторяется до тех пор, пока, после примерно одного
дня, 1012 антипротонов запасаются, а затем выводятся для
ускорения в основное кольцо 5Р5-коллайдера.
2.2.2. Ускорительные комплексы. На рис. 2.5 показано ос-
новное расположение вторичных пучков вокруг 500-гигаэлект-
рон-вольтного протонного ускорителя Национальной лабора-
Рис. 2.5. Схема протонного синхротрона и пучковых линий Лаборатории
им. Ферми. Этот ускоритель доведен до энергии 1000 ГэВ за счет применения
сверхпроводящих магнитов; ускоритель используется так же, как протон-
антипротонный коллайдер на энергию 2 ТэВ:
/—бустер, энергия 8 ГэВ; 2—линейный ускоритель, энергия 200 МэВ; 3—ускоритель
Кокрофта — Уолтона, 800 кВ; 4 — станция внешних мишеней; 5—мезонная лаборатория;
6 — нейтринная лаборатория; 7—протонная лаборатория; 8—основной ускоритель,
500 ГэВ
38
SPS
рО-*-26ГэВ/с
У'р'3,5+26ГэВ
Рис. 2.6. Схема ускорительного комплекса в ЦЕРН:
PS — протонный синхротрон, 26 ГэВ; 1SR — пересекающиеся накопительные кольца
B6x26 ГэВ); PSB— бустер PS; SPS—протонный синхротрон, 400 ГэВ; АА—антипротон-
ный аккумулятор
тории им. Ферми вблизи Чикаго. Пучок длиной 2,5 км, направ-
ленный в сторону нейтринной лаборатории, производит как
мюоны, так и нейтрино. На рис. 2.6 показано расположение
ускорительного комплекса в ЦЕРН, Женева. Протонный син-
хротрон PS с энергией 26 ГэВ используется для заполнения
встречных колец ISR с противоположно циркулирующими
пучками протонов как инжектор для протонного синхротрона
SPS с энергией 400 ГэВ, а также для образования вторичных
антипротонов, которые передаются, аккумулируются и «охла-
ждаются» в 3,5-гигаэлектрон-вольтном антипротонном акку-
муляторе перед тем как вновь ускориться в синхротроне PS
и инжектироваться в синхротрон SPS, использующийся как
/?/>-коллайдер 310x310 ГэВ.
2.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
И ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
2.3.1. Ионизационные потери заряженных частиц. Детектиро-
вание ядерных частиц зависит в конечном счете от того, что
прямо или косвенно частицы передают энергию среде, в ко-
торой они движутся, посредством процессов ионизации или
39
Рис. 2.7. Зависимость средних ио-
низационных потерь энергии заря-
женных частиц в смеси аргон —
метан (релятивистский рост) от
отношения р/тс. Измерения выпо-
лнены с помощью многослойных
ионизационных детекторов
(Lehraus et al., 1978 г.)
р/тс
возбуждения атомов среды. Это может быть наблюдено. при
регистрации заряженных ионов (в газовых счетчиках), а также
световых сигналов в сцинтилляторах или в детекторах Вави-
лова — Черенкова.
Формула Бете — Блоха для средних ионизационных потерь
заряженной частицы1 имеет следующий вид:
dE
~dx =
где т — масса электрона; Z и v — заряд (в единицах е)
и скорость частицы соответственно; fi = v/c, No — число Авогад-
ро; Z и А—соответственно атомный номер и массовое число
среды; х — путь частицы в среде, г/см2 или кг/м2; /—эф-
фективный ионизационный потенциал, усредненный для всех
электронов, приблизительно равный 10Z эВ. Уравнение B.7)
показывает, что dE/dx не зависит от массы частицы М,
изменяется как \/v2 для нерелятивистских скоростей и, после
прохождения через минимум при ЕкЪ Мс2, увеличивается
логарифмически с у = ?У(Мс2) = A-р2)~1/2. Зависимость dE/dx
от среды очень слабая, так как Z/AxO,5, кроме водорода
и самых тяжелых элементов. Численно (dE/dx)min&
«1-1,5 МэВ/(г-см) (или 0,1-0,15 МэВ/(кг-м-2).
На рис. 2.7 показана зависимость роста ионизационных
потерь от Р/Мс = (у2 —1I/2 для релятивистских частиц в газе
(аргон—метан). Для у~103 потери достигают 1,5 минималь-
ного значения. Рост потерь связан с тем, что поперечное
электрическое поле частицы пропорционально у, так что все
более и более далекие соударения начинают быть существен-
ными для ионизационных потерь. При достижении условия,
когда параметр соударения становится сравним с межатомными
расстояниями, поляризационные эффекты среды (связанные
с диэлектрической постоянной) останавливают дальнейший
рост. В твердых телах, гораздо быстрее, чем в газах, этот
1 Для полуклассического вывода этой формулы см., например, Росси Б.
Частицы высоких энергий: Пер. с англ.; J. D. Jackcon, Classical Electrodynamics,
2 nd ed., New York, 1975, Chap. 13.
40
эффект начинает быть существенным при довольно низких
у~10, и значение этого плато dEjdx лишь примерно на 10%
больше, чем (dE/dx)min. Часть энергетических потерь реляти-
вистской частицы может быть излучена возбужденными ато-
мами в виде когерентного излучения под определенным углом.
Такое излучение Вавилова — Черенкова обсуждается ниже.
Большая часть ионизационных потерь идет на образование
пар ионов (положительных ионов и электронов) в среде.
Можно различить две стадии этого процесса. На первой
стадии падающая частица производит первичную ионизацию
при атомных столкновениях. Электроны, выбитые из атомов
в этом процессе, имеют распределение по энергии ?" (это
распределение приблизительно подчиняется закону dE'/(E'J:
те из них, которые имеют достаточно большую энергию
(называемые 5-электронами), могут сами образовывать новые
ионы, проходя через среду (вторичная ионизация). Резуль-
тирующее полное число ионных пар в 3—4 раза больше
числа первичных ионизационных столкновений и пропорци-
онально ионизационным потерям падающей частицы в среде.
Уравнение B.7) позволяет. определить средние ионизационные
потери dE/dx; значительные флуктуации этих потерь определя-
ются относительно малым числом «близких» первичных ио-
низационных столкновений с большим Е'. Это так называемое
распределение Ландау около средней величины асимметрично;
оно имеет «хвост», простирающийся до значений, много
больших средних потерь. Тем не менее при многократном
измерении в большом числе слоев газа и отбрасывании
«хвоста» распределения средние ионизационные потери можно
измерить с точностью несколько процентов. Таким путем
можно оценить у из релятивистского роста ионизационных
потерь; при этом, если известен импульс, можно определить
массу частицы и произвести разделение, например, пионов,
каонов и протонов.
Полное число ионов, образованных в среде частицей
высокой энергии, зависит от dE/dx и энергии, требуемой для
образования ионной пары. В газах это значение меняется от
40 эВ в гелии до 26 эВ в аргоне. В полупроводниках энергия,
требуемая для образования одной пары ионов, составляет
только 3 эВ и, следовательно, число ионных пар много больше.
Если заряженная частица тормозится до остановки в полу-
проводнике, выделившаяся энергия измеряется по полному
числу ионных пар и такой детектор поэтому является не
только линейным, но и обладает высоким энергетическим
разрешением (типичное значение составляет 10 ~4). Из-за малых
размеров полупроводниковых детекторов такие твердотельные
детекторы не нашли широкого применения в физике высоких
энергий.
41
2.3.2. Кулоновское рассеяние. При прохождении через среду
заряженная частица испытывает электромагнитное взаимодей-
ствие как с электронами, так и с ядрами. Как видно из
B.7), dE/dx обратно пропорционально массе мишени, так что,
в сравнении с электронами, энергетические потери в кулоновс-
ких столкновениях с ядрами пренебрежимо малы. Однако
из-за большей массы мишени, поперечное рассеяние частиц
в кулоновском поле ядер достаточно заметно и описывается
известной формулой Резерфорда для дифференциального по-
перечного сечения рассеяния на угол 9:
I 2)
da 4 V pv J sin4@/2)'
где p, v, z — импульс, скорость и заряд налетающей частицы
соответственно, a Z—заряд ядра; предполагается, что заряд
точечный. Для малых углов рассеяния поперечное сечение
велико, так что для любого данного слоя материала резуль-
тирующее рассеяние есть результат большого числа малых
отклонений, независимых друг от друга. Результирующее
распределение угла многократного рассеяния подчиняется грубо
гауссовскому распределению
'<р. B.9)
Среднеквадратичное отклонение (rms) в слое / среды имеет вид
qW = <cp2>1/2 = ~ /—, B.10)
где
р _ /д v П7 тг2 — 91 МчК О \\\
J-^s — ¦*/ *т Л I _; / frit- — Zr I 1V1JD \-^" *• *•}
- 1 4Z(Z+1)^/183Y BЛ2)
В этой формуле ге = е2/тс2 — классический радиус электрона.
Величина Хо по причинам, которые будут ясны ниже, называ-
ется радиационной длиной среды (см. табл. 2.2) и содержит
всю зависимость фгт5 от свойств среды. Поэтому однократно
заряженная частица (z = 1) с импульсом р, скоростью v и произ-
ведением pv, измеряемым в мегаэлектрон-вольтах, испытывает
угловое отклонение 21 /pv рад при прохождении одной ради-
ационной длины. Среднеквадратичное угловое отклонение rms
будет азимутально симметричным около траектории и, сле-
довательно, в 1Д/2 раз меньше в плоскости, проходящей
через траекторию частицы.
42
Таблица 2.2 Радиационная длина различных элементов (Bethe, Ashkin, 1953)
Элемент
Водород
Гелий
Углерод
Алюминий
Железо
Свинец
Z
1
2
6
11
26
82
Е, МэВ
310
220
103
47
24
6,9
А"о, г-см 2
58
85
42,5
23,9
13,8
5,8
Кулоновское рассеяние важно на практике, поскольку оно
часто ограничивает точность, с которой может быть определено
направление частицы. Для примера рассмотрим определение
импульса высокоэнергичной заряженной частицы при ее от-
клонении в магнитном поле В в сплошном железном магните.
Если нет рассеяния и импульс несущественно меняется при
прохождении через магнит, радиус кривизны р определяется
из соотношения рс — Вер, так что при прохождении расстояния
5 отклонение
_s_Bes_300Bs
фмаг — ~ ~~ 1
р рс рс
где В измеряется в теслах A Тл=10 кГс); 5—в метрах; рс — в
мегаэлектрон-вольтах. Отклонение rms кулоновского рассеяния
в плоскости траектории
-iL_L /Т
Фрас /гТоТ./ТГ'
так что
0,05
Фм
независимо от импульса частиц для релятивистского случая
(C = 1). Для примера в железе Х0 = 0,02м, 5*1,5Тл
и фрас/фмаг = 0,25 ДЛЯ 5=1 М И 0,10 М ДЛЯ 5 = 6 М.
Угловое распределение многократного рассеяния фактически
только приблизительно Гауссово. Как показано на рис. 2.8,
оно имеет длинный хвост за счет случайных одиночных
больших отклонений; на хвосте распределение имеет вид ср~3
(этот результат можно получить из B.8)).
2.3.3. Радиационные потери электронов. Электроны теряют
энергию при прохождении через среду за счет ионизационных
потерь B.7) и за счет процесса радиационных потерь или
тормозного излучения. Радиационные столкновения электронов
43
Ну)
Г
Рис. 2.8. Многократное рассеяние заряженных частиц при пересечении слоя
вещества толщиной t{a). Если число частиц, рассеянных в интервале углов от
<р до <р+<Лр, есть /*(<р), то это распределение является приблизительно
гауссовым (б). Для очень больших углов основной вклад вносит однократное
рассеяние (штриховая кривая)
происходят с атомными ядрами среды. Ядерное электричес-
кое поле замедляет электрон, и изменение энергии излучается
в виде фотона; отсюда термин тормозное излучение. Фо-
тонный спектр имеет приближенную формулу dE'/E', где
Е' — энергия фотона. Интегрируя по спектру, получаем пол-
ные радиационные потери электрона при прохождении среды
толщиной dx:
B.13)
где Хо — радиационная длина [см. B.12)]. Из B.13) следует,
что средняя энергия пучка электронов начальной энергии Ео
после прохождения толщины х среды составляет
B.14)
= .Еоехр -
Таким образом, радиационную длину можно просто определить
как толщину среды, которая понижает среднюю энергию пучка
электронов в е раз.
Так как энергетические ионизационные потери электронов
(dE/dx)BOB приблизительно постоянны, а средние радиационные
потери (dE/dx)paa~E, то это означает, что при высоких
энергиях радиационные потери доминируют. Критическая энер-
гия Ес определяется как такая энергия, при которой радиаци-
44
Рис. 2.9. Зависимость коэффициента
поглощения в свинце, в г/см2, для
у-квантов от энергии:
/ — фотоэффект;2— комптон-эффект;
3— образование пар; 4 — полное сечение
онные и ионизационные по-
тери равны. Из B.7), B.12)
и B.13) видно, что грубо,
МэВ, ;
**f. B-15)
Значения Хо и Ес для различ-
ных материалов приведены
в табл. 2.2.
Г
i
ю
|
ща/п
?
0,001
\
-JV
^ .
V
</2
ч
ч
\
о 1 ю юо
Энергия (ротонов hv, МэВ
2.3.4. Поглощение у-квантов в веществе. Имеется три процес-
са, ответственных за поглощение у-квантов в веществе: фо-
тоэлектрическое поглощение, комптоновское рассеяние и об-
разование пар. Поперечное сечение фотоэффекта меняется
с энергией фотона как I/is3, комптоновское поперечное сечение
как l/Е, так что для ?>10МэВ доминирует процесс об-
разования пар, поперечное сечение которого существенно от
энергии не зависит (рис. 2.9).
Процесс конверсии фотона высокой энергии в электрон-
позитронную пару (в поле ядра, чтобы сохранить импульс)
близко связан с процессом тормозного излучения. Ослабление
пучка фотонов высокой энергии интенсивности /0 за счет
образования пар в поглотителе толщиной х описывается
выражением
B.16)
так что интенсивность ослабляется в е раз на расстоянии
9Х0/1, иногда называемом конверсионной длиной. Следует
заметить, что хотя порог для образования пар Е„ор = 2тес к.
% 1 МэВ, асимптотическая величина B.16) для коэффициента
поглощения не достигается вплоть до значений энергии фотона,
примерно равных 1 ГэВ.
2.4. ДЕТЕКТОРЫ ОДИНОЧНЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Детекторы частиц, используемые в физике высоких энергий,
регистрируют их пространственное положение, время прохож-
дения, а также идентифицируют заряженные частицы. Точное
определение координаты требуется для определения траектории
частицы, и особенно ее импульса (по отклонению в магнитном
45
поле); точная метка времени необходима часто для выделения
одной частицы вместе с другими от того же взаимодействия
в условиях, когда полное число взаимодействий в единицу
времени очень велико. Идентификация частицы может быть
проведена при одновременном измерении скорости (путем
измерения времени пролета или излучения Вавилова — Черен-
кова) и импульса, а следовательно массы покоя путем
измерения определенного типа распада, если частица нестабиль-
на, а также по измерению ее взаимодействия с веществом
(сильного, электромагнитного или слабого). Нейтральные ча-
стицы детектируются по их распаду (например, К°->п+п~)
и (или) взаимодействию в веществе (например, я°->2у, у ->
->е + <?~), приводящему к вторичным заряженным частицам.
Не существует ни одного детектора, способного объединить
в себе все эти требования, и поэтому необходима комбинация
детекторов различных типов. Обсудим вначале типы детек-
торов, используемых в настоящее время, а затем рассмотрим
примеры комбинации их в сложных системах.
В течение последних двух десятилетий было развито очень
мало радикально новых концепций в основах методов детек-
тирования. Развитие происходило, главным образом, за счет
приспособления и использования хорошо установленных ме-
тодов, революции в электронике и вычислительной технике
для отбора, регистрации и анализа гигантского числа данных
с высокой скоростью и создания гибридных систем, включа-
ющих много различных типов детекторов, часто в очень
больших масштабах.
2.4.1. Пропорциональные счетчики. Пропорциональный счет-
чик— один из старейших детекторов для регистрации иони-
зации. Одиночные счетчики состоят из наполненной газом
цилиндрической трубки радиусом г2 из металла или стекла,
на которую подается отрицательный потенциал, и тонкой
анодной проволоки радиусом гх в центре, несущей положитель-
ный потенциал. Электрическое поле в газе для разности
потенциалов Vo описывается формулой
?(/¦) = —^-. B.17)
rlnr2/ri
Электроны, образованные при ионизации на расстоянии
rv будут дрейфовать к аноду, увеличивая свою энергию на
величину Т=е J E{r)dr при достижении радиуса гь. Если
Т превосходит энергию ионизации газа, тогда образуются
новые ионы и цепь таких процессов приводит к лавине
электронов и положительных ионов. Коэффициент газового
усиления, равный полному числу вторичных электронов, до-
46
Частица
о о
Анод
+ 1,7кв
0
-1,5
о о
Катод \
-J,5kB /
о о
-JKB
Рис. 2.10. Схема многопроволочной пропорциональной камеры (а) и типичное
устройство электродов ячейки дрейфовой камеры (б):
I — катодные плоскости; 2 — анодные проволочки; 3 — проволочка, формирующая поле
стигающих анода, на одну пару ионов, обычно составляет
105, независимо от числа первичных ионов; отсюда и название
пропорциональный счетчик.
Наиболее существенным успехом в этой области было
создание многопроволочной пропорциональной камеры (МПК)
Шарпаком A968, 1970 гг.).
Этот прибор состоит из многих параллельных анодных
проволок, натянутых в плоскости между двумя катодными
плоскостями (рис. 2.10). Различные анодные проволоки дей-
ствуют как независимые детекторы. Типичная структура камеры
имеет проволоки диаметром 20 мкм с расстоянием между
ними 2 мм, расстоянием между катодными плоскостями 12 мм.
Камера работает при разности потенциалов 5 кВ и наполняется
смесью аргон — изобутан. Обычно несколько электронов от
первичной ионизации дрейфует к анодной проволоке и образует
отдельные лавины, давая на аноде отрицательные импульсы
с очень быстрым временем нарастания (около 0,1 не). По-
ложительные ионы имеют значительно меньшую подвижность
и индуцируют импульсы как на катоде, так и на соседних
анодах длительностью около 30 не. Эффективное простра-
нственное разрешение, измеренное по анодному импульсу,
47
составляет около 0,7 мм. Если катоды выполнены в виде
полосок (стрипов), для измерения координаты лавины можно
использовать центр тяжести катодных импульсов (простра-
нственное разрешение в этом случае 0,05 мм).
2.4.2. Дрейфовые камеры. Как указывалось выше, МП К
имеют типичное пространственное разрешение 1 мм или менее
и временное разрешение 30 не. Однако достижение такого
разрешения на большой площади требует огромного числа
проволок (вместе с усилителями). Сильное сокращение сто-
имости детектора может быть достигнуто при дрейфе элек-
тронов от первичной ионизации на (типично) 10 см в области
низкого электрического поля (около 1 кВ/см) и последующей
их регистрации в области высокого поля у анодной проволоки;
в этом случае время собирания (дрейфа) позволяет измерить
положение начальной ионизации. На рис. 2.10 показано типич-
ное устройство анодных, катодных и формирующих дрейфовое
поле проволок, необходимых для создания однородного дрей-
фового поля. Достигается пространственное разрешение 0,1 мм
при дрейфовых скоростях около 40 мкм/нс в смеси аргон —
изобутан, где дрейфовая скорость почти не зависит от значения
поля. Итак, при пути дрейфа 10 см типичное время дрейфа
составляет 2 мке, так что такие камеры полезны только при
довольно низких интенсивностях пучка или скорости взаимодей-
ствий, например, на е + е~-коллайдерах. Построены дрейфовые
камеры очень большого объема A00 м3). Иногда такие устрой-
ства называют времяпроекционными камерами. Из известного
времени дрейфа может быть полностью восстановлен трек
частицы, создавшей ионизацию; амплитуда сигналов использу-
ется для измерения ионизации и, следовательно, при известном
импульсе частицы, ее массы (см. рис. 2.7). На рис. 2.11 приведен
пример реконструкции треков в дрейфовой камере детектора
ISIS.
2.4.3. Сцинтилляционные счетчики. Сцинтилляционный счет-
чик—детектор, нашедший широкое применение в эксперимен-
тах в области физики высоких энергий в течение уже более
30 лет. Возбуждение атомов некоторых сред ионизирующими
частицами создает люминесценцию (сцинтилляцию), которая
может быть зарегистрирована фотоумножителем. Наиболее
употребительны сцинтилляторы из монокристаллов и органи-
ческих жидкостей и пластмасс, хотя это явление присутствует
также и в других жидкостях, а также в газах. Время
высвечивания быстрейших (органических) сцинтилляторов со-
ставляет около 1 не.
Неорганические кристаллические сцинтилляторы, такие, как
натрийиод, активируются специальными добавками (например,
таллием). Ионизирующие частицы, пересекая кристалл, об-
разуют свободные электроны и дырки, которые двигаются
48
Рис. 2.11. Реконструированные треки в большой дрейфовой камере ISIS (объем
4x2x5 м3, Аг+20% СО2), расположенной позади маленькой пузырьковой
камеры и спектрометра в эксперименте «Европейский гибридный спектрометр».
Частицы идентифицируются по их импульсу и ионизационным измерениям
в камере (см. рис. 2.7). В дополнение к трекам в виде линий высокоэнергичных
частиц видны также несколько низкоэнергичных сильнорассеивающихся фоно-
вых треков (электронов). Кроме пучковых треков (обозначенных В) имеются
вторичные частицы от распада очарованного мезона D°->n + n~n~e+v, об-
разовавшегося в пузырьковой камере перед системой ISIS (на рисунке слева)
до захвата на активаторных центрах. Затем возникают воз-
бужденные состояния, которые распадаются с испусканием
света в широком спектре видимой области с временем
высвечивания около 250 не.
Кроме того, в органических материалах (твердых или
жидких) механизм сцинтилляций состоит в возбуждении мо-
лекулярных уровней, которые распадаются с испусканием света
в ультрафиолетовой области. Преобразование света из уль-
трафиолетовой в синюю область достигается за счет флу-
оресцентного возбуждения молекул красителя, внедренных
в вещество сцинтиллятора и известных как смесители длин
волн. В табл. 2.3 дан список некоторых часто используемых
органических и неорганических сцинтилляторов.
Свет от сцинтиллятора регистрируется одним или несколь-
кими фотоумножителями (рис. 2.12). Они состоят из фотока-
тода, покрытого щелочным металлом, с которого вырываются
электроны в результате фотоэффекта. Электроны двигаются
к системе электродов вторичной эмиссии — динодам, находя-
щимся под существенно большими потенциалами. Так как на
один падающий электрон испускается около четырех вторич-
ных, коэффициент усиления 108 достигается при 14 динодах.
Типичное время переноса электронов от катода до выходного
динода равно 50 не с разбросом около 1 не. Разброс в основном
определяется разницей времен переноса от различных точек
4 Заказ 416 49
Таблица 2.3. Характеристики типичных сцинтилляторов
Тип сцинтнллятора
Полистирол +/?-терфенил
Полистирол + тетрафенил-
бутадиен
Натрийиод (+ тантал)
Антрацен
Толуол
Амплитуда
импульса
по соотноше-
нию к ан-
трацену
0,28
0,38
2,1
1,0
0,7
Время
высвечи-
вания, НС
3
4,6
2,50
32
<3
*-m»x, A
3550
4800
4100
4100
4300
Плотность,
г/см3
0,9
3,7
3,7
0,9
фотокатода до первого динода. Квантовая эффективность
фотокатода составляет обычно 25% и имеет максимум при
А. = 400нм.
Свет, возникший в пластине сцинтиллятора, переносится
на ее край за счет внутреннего отражения, а затем используется
традиционный путь переноса света на фотокатод — исполь-
зование его многократного отражения в пластическом световоде
специальной формы. Для сцинтилляторов очень большой
площади световоды состоят из изогнутых пластических стерж-
ней или полосок, и подобная система может быть поэтому
очень громоздкой. Альтернативный метод состоит в рас-
положении полосок из специального вещества, содержащего
сместитель спектра, вдоль края сцинтилляционной пластины.
Рис. 2.12. Счетчик на основе пластического сцинтиллятора, световод и фотоум-
ножитель:
/--электроника; 2 — фотоумножитель: 3 — световод; 4 — сцинтиллятор; 5 — магнитный
экран; 6 — внешняя стальная оболочка; 7 — сцинтилляционный счетчик в сборе
50
Синий свет от сцинтиллятора попадает в такую полоску,
сделанную, например, из акрила с добавкой специальных
молекул (например, BBQ), которые поглощают голубой свет
и переизлучают его изотропно в зеленой области спектра.
Часть этого света захватывается полоской-световодом за счет
внутреннего отражения и регистрируется фотоумножителем,
приклеенным на конце. Световой выход здесь много меньше,
чем при использовании обычных световодов, но при этом
имеет место большая экономия в объеме, числе фотоумножи-
телей и конструкции сложных световодных структур. Выходной
импульс от фотоумножителя подается на соответствующие
усилители, дискриминаторы и пересчетные схемы, функция
которых состоит в запоминании числа импульсов фотоум-
ножителя, превышающих определенное значение.
2.4.4. Пузырьковая камера. Пузырьковая камера является
совершенно незаменимым инструментом в физике высоких
энергий вот уже на протяжении более 30 лет, в особенности для
изучения сложных взаимодействий, включающих много вторич-
ных частиц. Созданная впервые Глазером в 1952 г., она
основана на том факте, что в перегретой жидкости кипение
начинается с образования газовых пузырьков в определенных
центрах в жидкости, и в особенности вдоль цепочки ионов,
возникающих при прохождении заряженной частицы. Жидкость,
наполняющая камеру, обычно сжата до давления 5—20 атм;
перегрев жидкости достигается путем быстрого расширения,
создаваемого механизмом клапан — диафрагма. После расшире-
ния пузырьки растут вдоль треков в течение 10 мс и фотографи-
руются системой фотоаппаратов с использованием вспышки
света. Затем пузырьки схлопываются при последующем сжатии.
Так как время цикла около 1 с, пузырьковая камера хорошо
подходит для пульсирующих циклических ускорителей с часто-
той повторения того же порядка. Наиболее употребительными
жидкостными наполнителями являются водород, дейтерий
и тяжелые жидкости, такие, как неон-водородная смесь, пропан
(С3Н8) и фреон (CF3B) (рис. 2.13). Большинство камер помеща-
ется в сильное магнитное поле (В = 2-^-3,5 Тл), образуемое
электромагнитом с обычными или сверхпроводящими катушка-
ми, для того чтобы измерять импульс по кривизне трека.
Изображение пузырьков регистрируется на фотопленке несколь-
кими стереофотоаппаратами. Последующее измерение изобра-
жений на пленке автоматизировано; при обработке применяется
геометрическая программа реконструкции треков и вершин
событий в трех измерениях. Большое число деталей, которые
регистрируются в сложном процессе образования и распада
частиц, хорошо видно на рис. 2.14.
Основными недостатками пузырьковой камеры являются,
во-первых, низкое быстродействие и длительный процесс
4* 51
R721O
Рис. 2.13. Схема расположения и общий вид пузырьковой камеры ВЕВС,
ЦЕРН (диаметр камеры 3,7 м). Камера заполнялась жидким водородом,
дейтерием или неон-водородной смесью и использовалась в нейтринных
экспериментах совместно с внешним мюонным идентификатором. Он состоит
из многопроволочных пропорциональных камер общей площадью 150 м2,
расположенных за ярмом магнита (на рисунке слева)
обработки фотопленки (типичные эксперименты редко содержат
более чем 105 полезных анализируемых событий); во-вторых,
в связи с тем, что значительная часть существующих
и почти все новые ускорители являются ускорителями со
встречными пучками, которые имеют непрерывный высокий
52
Импульс, ГэВ/с
Рис. 2.14. Образование и распад очарованной частицы в водородной камере
ВЕВС. экспонированной в нейтринном пучке CERN SPS (схема)
темп взаимодействий, пузырьковые камеры, имеющие очень
низкое быстродействие (не более 100 раз в секунду), применять
в этом случае нельзя.
2.4.5. Стримерные камеры и газоразрядные годоскопы.
Пропорциональные камеры действуют при потенциале анод —
катод, равном около 5 кВ, эффективность регистрации заря-
женных частиц достигает на плато практически 100%.
Дальнейшее увеличение напряжения приводит к электричес-
кому пробою газа. Это происходит, когда пространственный
заряд внутри лавины велик и поэтому экранирует внешнее
поле; в результате рекомбинации ионов возникает эмиссия
фотонов, дающая начало фотоионизации вне первичной
лавины и возникновению новых лавин. Этот процесс рас-
пространяется вдоль колонки ионов между катодом и анодом,
и возникает искровой разряд. Тогда говорят, что счетчик
работает в гейгеровском режиме.
Однако, если применять короткий A0 не) импульс высокого
A0 + 50 кВ/см) напряжения между плоскими параллельными
прозрачными электродами, тогда только короткий B—3 мм)
стримерный разряд развивается от электронов, возникающих от
проходящей частицы, и может быть получено и сфотографиро-
вано через электрод изображение трека (довольно похожего на
трек в пузырьковой камере). Такая стримерная камера обладает
хорошей многотрековой эффективностью и пространственным
разрешением; преимущество перед пузырьковой камерой в дан-
ном случае состоит в том, что высоковольтный импульс
управляем (внешними сцинтилляторами), а также в том, что
стримерная камера имеет высокое быстродействие, ограничива-
емое только скоростью системы перемотки фотопленки.
Годоскопическая камера — простой и дешевый детектор,
состоящий из большого числа трубок или каналов из пласт-
массы, наполненных неон-гелиевой смесью и расположенных
между плоскими электродами, к которым прикладывается
управляемый высоковольтный импульс. В ячейках, где возникла
ионизация, образованная проходящей заряженной частицей,
возникает тлеющий разряд. Разряд регистрируется фотогра-
фически или электронными методами. Пространственное раз-
решение определяется диаметром трубок и составляет обычно
несколько миллиметров, однако данный метод позволяет
создавать детекторы калориметрического типа большого объ-
ема и низкой стоимости.
2.4.6. Черенковские счетчики. Когда частица высокой энергии
пересекает диэлектрическую среду, часть света, испускаемого
возбужденными атомами, излучается в виде когерентного
волнового фронта под фиксированным углом по отношению
к траектории (эффект Черенкова). Такое излучение возникает
тогда, когда скорость частицы Рс превышает значение от-
ношения с/и, где п — коэффициент преломления среды. Из
построения Гюйгенса на рис. 2.15 видно, что волновой фронт
образует поверхность конуса, ось которого совпадает с тра-
екторией частицы, так что
cos6 = ^ = l, р>1. B.18)
pet рп п
Излучение Вавилова — Черенкова имеет непрерывный
спектр. В среде с дисперсией величины п и 0 — функции
частоты v. Полная энергия излучения на единице длины трека
Число фотонов данной частоты или длины волны пропорци-
онально d\ или dX/X2, т. е. преобладает синий цвет. В узком
диапазоне частот можно пренебречь зависимостью п от v,
54
тогда B.19) перейдет в
dE
~dx'
2 \hc
P2
B.20)
Для частицы с z=l и Р«1 в воде (и =1,33) из этого выражения
имеем dE\dx = 400 эВ/см для видимого света (А, = 400 4-700 мм),
т. е. 200 фотонов/см. Следует отметить, что это значение
мало по сравнению с полными энергетическими потерями,
которые составляют около 2 МэВ/см.
Полезность эффекта Черенкова состоит в том, что измерение
угла B.18) позволяет непосредственно измерить скорость fie.
В табл. 2.4 перечислены некоторые излучающие среды, харак-
теристики которых демонстрируют, что с помощью твердых
тел, жидкостей, газов и аэрогелей перекрывается область
значений у от 1,2 до 100.
Пороговые черенковские счетчики могут применяться для
разделения двух релятивистских частиц с одинаковым им-
пульсом р, но разными массами тх и т2, если более тяжелая,
но медленная частица т2, имеет скорость ниже пороговой.
В этом случае $\=\\т1 и легко показать, что интенсивность
фотонов от частицы тх можно получить из предыдущего
выражения при
sin2e1 = I —т^т^~—Г5—• С2-21)
Таблица 2.4. Черенковские радиаторы
Волновой фронт
Среда
Гелий* .
со2*
Пентан *
Аэрогель
Н2О
Стекло
л-1
3,3-Ю
4,3-10г4
1,7-КГ3
0,075-> 0,025
0,33
0,75-0,46
у (пороговое)
123
24
17,2
2,7-4,5
1,52
1,22-1,37
* При нормальных температуре и да- рис 2 ]5 Схема образова„ия вол-
нового фронта излучения Вавило-
ва — Черенкова
Итак, длина радиатора при фиксированном числе фотоэлект-
ронов (считая, что коэффициент преломления выбран правиль-
но) увеличивается как квадрат импульса. Для пучков высоких
энергий поэтому могут потребоваться радиаторы на основе
сжатых газов длиной несколько метров.
В дифференциальном черенковском счетике (рис. 2.16)
для идентификации частиц измеряется угол черенковского
55
Рис. 2.16. Ранняя конструкция дифференциального черенковского счетчика.
Устройство селектирует свет от одной из трех компонент пучка (в данном
случае от А"-мезонов):
/ — радиатор; 2—цилиндрическое зеркало; 3 — фотоумножитель; 4 — экран
излучения. Конус света от излучающей частицы фокусируется
линзой или сферическим зеркалом в кольцевое изображение,
и соответствующая диафрагма в фокальной плоскости передает
свет на фотоумножитель. Построены дифференциальные счет-
чики с разрешением по скоростям Ар7Э«10 , т. е. достигается
разделение пионов, каонов и протонов вплоть до нескольких
сотен Гэв/с. Для смещения по шкале скоростей вместо
изменения радиуса диафрагмы возможно изменение давления
газа при фиксированной диафрагме. Такие счетчики можно
применять для измерения выхода вторичных частиц в вы-
сокоинтенсивных пучках путем интегрирования по времени
на выходе фотоумножителя.
Возможна также регистрация черенковского света без ис-
пользования фотоумножителей. В одном из последних
устройств фотоны, испущенные в конусе черенковского излуче-
ния из жидкого радиатора, попадают в специальный газ
с низким потенциалом ионизации; здесь электроны, возникшие
за счет фотоионизации, дрейфуют в электрическом поле
и плоскости анодов многопроволочной пропорциональной
камеры, давая при регистрации изображение кольца излучения
(с диаметром, определяемым скоростью частицы).
2.5. ДЕТЕКТОРЫ ЛИВНЕЙ ЧАСТИЦ И КАЛОРИМЕТРЫ
Энергия и координаты вторичных частиц от взаимодействий
высоких энергий могут также при соответствующих условиях
быть измерены методами полного поглощения. Падающая
частица в процессах поглощения в детекторе большой массы
образует вторичные частицы, которые, в свою очередь, об-
разуют третичные частицы и т. д., так что вся падающая
энергия (или большая ее часть) тратится на ионизацию
56
и возбуждение среды — отсюда термин «калориметр». Такие
приборы существенны при регистрации энергии нейтральных
адронов; поскольку относительное энергетическое разреше-
ние изменяется как Е~112, калориметры позволяют достиг-
нуть точностей в измерении энергии даже для заряженных
адронов при высоких энергиях A0—100 ГэВ), сравнимых
с теми, что можно достигнуть методом магнитного от-
клонения. Весьма важен также факт, что калориметры
полного поглощения вырабатывают быстрый A00 не) сиг-
нал «полной энергии» для принятия решения при отборе
событий.
2.5.1. Электромагнитные ливневые детекторы. Для электро-
нов и фотонов высокой энергии комбинация явлений тормоз-
ного излучения и образования пар приводит к каскадным
ливням. Родительский электрон будет излучать фотоны, ко-
торые конвертируют в пары; эти пары, в свою очередь,
образуют новые пары, так что число частиц увеличивается
экспоненциально с глубиной в среде. Развитие такого ливня
можно описывать в соответствии со следующей упрощенной
моделью. Предположим, что при прохождении первичным
электроном с энергией Ео одной радиационной длины этот
электрон излучает половину своей энергии Ео/2 в виде одного
фотона. Будем считать также, что на следующей радиационной
длине фотон конвертирует в пару электрон — позитрон, каждый
из которых уносит половину энергии, т. е. Ео/4, а исходный
электрон излучает новый фотон, несущий половину оставшейся
энергии Ео/4. Следовательно, после прохождения двух ради-
ационных длин мы будем иметь фотон с энергией Е0/4, два
электрона и один позитрон, каждый с энергией Ео/4. Легко
видеть, что после прохождения t радиационных длин будет
N = 2l частиц с приблизительно равным числом фотонов,
электронов и позитронов. Мы здесь пренебрегли ионизацион-
ными потерями, а также зависимостью поперечного сечения
тормозного излучения и образования пар от энергии. Тогда
энергия, приходящаяся на одну частицу на глубине будет
Elt) = E0/2'. Этот процесс продолжается до тех пор, пока
E[t)= Ec, после чего, по-видимому, ионизационные потери
становятся существенными, а дальнейшее излучение невозмож-
но. Ливень будет при этом достигать максимума и затем
резко обрываться. Максимум будет при
_\п(Ер/Ес)
' — 'max— I- ' \Z—L-L)
Число частиц в максимуме
ma%\n2] = E0/Ec. B.23)
57
Число частиц с энергией больше Е
t{E) t(E)
N{>E) = j МЛ- j *•'„,*•—.%*,
О О
где t(E) — глубина, на которой энергия частиц упала до
значения Е. Таким образом, дифференциальный энергетический
спектр частиц dN\dE~\\E2. Полная суммарная длина треков
заряженных частиц (в радиационных длинах) во всем ливне
составит
fmax
L = - [ Ndt = —^^. B.24)
3 J 31n2 Ec Ec v '
о
Этот последний результат также следует из определения
Ес и сохранения энергии; примерно вся энергия ливня должна
в конечном счете оказаться в виде энергетических потерь
заряженных частиц в среде.
Реально развитие ливня состоит из экспоненциального
роста, широкого максимума и медленного спада. Тем не
менее приведенные выше уравнения правильно указывают
основные качественные особенности:
1) глубину максимума, увеличивающуюся логарифмически
с первичной энергией Ео;
2) число ливневых частиц в максимуме, логарифмически
растущее с первичной энергией Ео;
3) полную суммарную длину треков, пропорциональную Ео.
Наблюдаемое продольное развитие ливня, инициируемого
электроном в различных поглотителях, приведено на рис. 2.17
вместе с расчетом по методу Монте-Карло, учитывающим
известные энергетические зависимости поперечных сечений
излучения и ионизационных потерь электронов, поглощение
фотонов за счет образования пар и других процессов.
Благодаря кулоновскому рассеянию ливень размывается
в поперечном направлении. Радиальное размытие определяется
радиационной длиной среды и угловым отклонением на
радиационной длине при критической энергии. Во всех матери-
алах это размытие порядка одной мольеровской длины
2| у
RM = -, где Ес измеряется в мегаэлектрон-вольтах (рис. 2.18).
Детекторы электромагнитных ливней конструируются из
материалов с высоким Z, имеющих малую величину Хо,
так, чтобы поглотить ливень в малом объеме. В детекто-
рах из свинцового стекла E5% PbO + 45% SiO2) использует-
ся излучение Вавилова — Черенкова от релятивистских элект-
58
io го зо
Глубина проникновения
Рис. 2.17. Продольное распределение
энерговыделения в электронном ливне
с энергией 6 ГэВ (Bathow et al.,
1970 г.). Сплошные кривые- резуль-
тат эксперимента. Гистограммы —ре-
зультат расчета по методу Монте-
Карло. Глубина развития ливня из-
меряется в радиационных длинах
Рис. 2.18. Продольное распределение
энерговыделения в электронном ливне
с энергией 6 ГэВ; точки показывают
экспериментальные данные, а гистог-
рамма—предсказания Монте-Карло.
Горизонтальная шкала — в единицах
Мольер, RM = 2\XQjEc, где Хо — ради-
ационная длина, а Ес — критическая
длина, МэВ (Bathow et al., 1970 г.)
4 6 в 10
Радиус
1Z
ронов для измерения энергии ливня. Типичное разрешение
А.Е/Е=0,05/^/Е (где Е измеряется в гигаэлектрон-вольтах)
определяется флуктуациями ^JN числа частиц N в максимуме,
где N~E. Применяются также калориметры из чередующихся
пластин свинца и пластического сцинтиллятора; разрешение
зависит от частоты разбиения и сравнимо с вышеприведенным
для свинцового стекла.
2.5.2. Калориметры адронных ливней. Адронный ливень
возникает, когда падающий адрон испытывает неупругое
ядерное соударение с образованием вторичных адронов,
которые снова неупруго взаимодействуют с образованием
следующего поколения адронов и т. д. Масштаб продольного
развития устанавливает ядерная длина поглощения X,
59
Рис. 2.19. Среднее поперечное раз-
витие адронных ливней от отрица-
тельных пионов в «сэндвиче» из 5 см
железных пластин, прослоенных сцин-
тиллятором. Ордината дает эквива-
лентное число минимально ионизиру-
ющих частиц на каждой глубине.
Среднеквадратичные флуктуации от-
носительно среднего значения состав-
ляют около 100% для индивидуаль-
ного ливня (Holder et al., 1978 г.)
изменяющаяся от 80 г/см2
(С) через 130 г/см2 (Fe) до
210 г/см2 (РЬ). Эта величина
в тяжелых элементах велика
по сравнению с радиационной
длиной Хо, поэтому адронные
калориметры велики по сра-
внению с электромагнитными
юо zoo зоо ш 500 600 ливневыми детекторами. На-
глубина,г/ймг пример, для сэндвича же-
лезо— сцинтиллятор, продольный и поперечный раз-
мер адронного калориметра составляет 2 и 0,5 м соот-
ветственно.
В электромагнитном каскаде большая часть падающей
энергии выделяется при определенных условиях в виде ио-
низации. В адронном каскаде около 30% падающей энергии
теряется на расщепление ядер, ядерное возбуждение и испарение
нейтронов (и протонов) и не дает вклада в измеряемый
сигнал. Успешный метод компенсации этого — применение 238U
в качестве среды для развития каскада, где выделяется
избыточная энергия за счет деления 238U быстрыми нейтронами
и фотонами, восполняющая «невидимые» энергетические по-
тери, идущие на развал ядер.
Важность подобной компенсации очевидна: в адронном
каскаде, содержащем как нейтральные, так и заряженные
пионы, которые дают электромагнитный и адронный каскады
соответственно, полный сцинтилляционный сигнал должен быть
пропорциональным полной начальной энергии независимо от
флуктуации отношения доли нейтральных пионов к заряжен-
ным. На рис. 2.19 показано развитие адронного каскада
в «сэндвиче» железо — сцинтиллятор.
Типичное энергетическое разрешение адронных калоримет-
ров 0,5 \sf~k, где Е в гигаэлектрон-вольтах. В настоящее время
применяются различные типы адронных калориметров. Уже
упоминался сэндвич железо — сцинтиллятор; в качестве регист-
рирующего элемента сэндвича используются пропорциональные
счетчики, газоразрядные годоскопы и дрейфовые камеры.
60
2.5.3. Примеры больших гибридных детекторов. Типичные
эксперименты физики высоких энергий включают одновременно
детектирование, измерение и идентификацию многих частиц,
как заряженных, так и нейтральных, от каждого происшедше-
го взаимодействия. Поэтому они обычно объединяют вмес-
те несколько типов детектирующей техники в одной уста-
новке.
Как пример, рис. 2.20 показывает большой спектрометр,
используемый коллаборацией JADE на встречных кольцах
е+е~ PETRA в DESY, Гамбург. Показано вертикальное
сечение вдоль оси пучков. Заряженные частицы из области
пересечения пучков регистрируются счетчиками вокруг пучковой
трубы, системой цилиндрических дрейфовых камер («струйные
камеры») и времяпролетными счетчиками. Дрейфовые камеры
измеряют координаты треков и ионизационную информацию.
Все это устройство расположено внутри соленоидального
магнита, создающего поле (с магнитной индукцией 0,5 Тл)
параллельно оси пучков в объеме длиной 3,5 м и диаметром
2 м. Снаружи катушек ливневые счетчики из свинцового стекла
регистрируют электроны и фотоны, а внешние слои дрейфовых
камер («мюонные камеры») регистрируют и идентифицируют
мюоны по их проникновению через железный и бетонный
поглотители. Специальные счетчики, расположенные в направ-
лениях вперед и назад относительно пучковой трубы, регист-
рируют частицы на малых углах. На рис. 2.21 показан пример
события.
ЗАДАЧИ
2.1. Среднее число ионизационных столкновений, испытываемых быстрой
частицей с зарядом ze при прохождении слоя dx (в г/см2) среды с передачей
энергии в столкновении от Е' до E'+dE\ равно
- ,/,л^ 2nz2e*N0Z dE' ( v2 E' \
n=f(E )dEdx = г —г^ 1 г \dx,
К ' mv2A (Е'J\ c2E'mJ
где все обозначения, как в B.7), и максимальная передаваемая энергия
?max = 2»№2/(l— р2), р = и/с. Для индивидуальной частицы распределение числа
столкновений п дается законом Пуассона, так что <(« — йJ) = й. Если мы
помножим написанное выше уравнение на (Е'J и проинтегрируем, получим
среднеквадратичное отклонение для потерь энергии 62 = <(A?— A?J> около
среднего значения Д?. Покажите, что
е2 = 0,6-{тс2Jу2(\-—W
А \ 2
Вычислите относительное rms отклонение е/АЕ энергетических потерь для
протонов с кинетической энергией 500 МэВ, проходящих: а) 0,1; б) 1,0 и в)
61
4 10 I
ШШШШ////Ш//Ш
^\^^
Рис. 2.20. Спектрометрический детектор JADE на накопительных е + е -кольцах PETRA, Гамбург. Показано вертикальное
сечение через вакуумную камеру:
/-¦счетчики пучковой камеры; 2— торцевые счетчики из свинцовою стекла; i—сосуд высокого давления: 4 — «мюонные камеры»;
5 — «струйные дрейфовые камеры»; 6 • -времяпролетшые счетчики; 7- обмогка; 8 — центральные счетчики ич свинцового сгекла; 9 -ярмо
магнита; 10 — мюонные фильтры; //- выдвижной торцевой детектор; 12—вакуумная камера: 13— счетчики мочении; 14- компенсирующая
обмотка; 15- выдвижные устройства
Рис. 2.21. Пример аннигиляции е+е в адроны на коллайдере PETRA при
энергии в СЦИ 30 ГэВ. Реконструированные с помощью компьютера траек-
тории заряженных частиц показаны в виде линий, полученных из пересечений
частицами дрейфовых камер; у-кванты от распада нейтральных пионов,
регистрируемые в счетчиках из свинцового стекла, показаны в виде пунктирных
линий. Показана проекция, нормальная к вакуумной камере. Хорошо видна
концентрация адронов в двух противоположных направлениях. События—с
детектора JADE (см. рис. 2.20)
10 г/см2 пластического сцишгиллятора (Z//4 = l/2). Считайте dEldx =
= 3 МэВт-'-см2.
2.2. Бесконечно узкий пучок однозарядных частиц с импульсом р,
двигающийся вдоль оси х, проходит через пластину толщиной s радиацион-
ных длин. Пренебрегая ионизационными потерями в пластине, вычисли-
те среднеквадратичное поперечное размытие пучка rms в ^-направлении,
когда он выходит из пластины. (Указание: рассмотрите элемент пласти-
ны толщиной dx на глубине х и найдите вклад (dyJ, который этот элемент
вносит в среднеквадратичное поперечное отклонение; затем проинтегри-
руйте по толщине пластины.) Сосчитайте среднеквадратичное поперечное
размытие пучка мюонов с импульсом 10 ГэВ/с, проходящим через тру-
63
бу длиной 100 м, наполненную: а) воздухом, б) гелием, при нормальных
условиях.
2.3. Широкие атмосферные ливни в космических лучах содержат «мяг-
кую» компоненту из электронов и фотонов и «жесткую» компоненту из
мюонов. Положим, что центральная часть ливня на уровне моря состо-
ит из узкого параллельного пучка мюонов с энергией 1000 ГэВ. кото-
рые проникают под землю. Примем ионизационные потери в грунте
постоянными и равными 2МэВ/(гсм). Найдите глубину грунта, при
которой мюоны затормозятся до остановки, считая плотность грунта
3,0 г/см3. Используя формулу предыдущей задачи, оцените их радиаль-
ное размытие в метрах, принимая во внимание изменение энергии мюо-
нов при прохождении через грунт. (Радиационная длина в грунте равна
25 г/см2).
2.4. Покажите, что при встречном столкновении пучка релятивистских
частиц с энергией Е^ с другим пучком с энергией Е2 квадрат энергии
в системе центра масс (СЦИ) равен 4Е1Е2 и что при угле скрещивания
между пучками эта величина понижается на фактор -(l+cos9). Покажите,
что встречные пучки протонов 25 х 25 ГэВ эквивалентны (с точки зрения
энергии в СЦИ) столкновению протона с энергией 1300 ГэВ с покоящимся
нуклоном.
2.5. Электрон высокой энергии сталкивается с атомным электроном.
Какова пороговая энергия для образования пар <?+<?~?
2.6. Протон с импульсом р, большим по сравнению с массой покоя М,
сталкивается с протоном внутри мишени, с импульсом Ферми ps. Найдите
кинетическую энергию, доступную в столкновении по сравнению с мишенью
из свободных нуклонов, когда р и ^: а) параллельны, б) антипараллельны.
в) перпендикулярны.
2.7. Разделение между треками релятивистских пионов, протонов и каонов
в пузырьковой камере в некоторых случаях возможно благодаря 8-электронам,
которые образуют эти частицы. Какова минимальная энергия 8-электронов,
которые должны быть наблюдены от пионов с импульсом 5 ГэВ/с, чтобы
доказать, что они не возникли от протона или каона? Какова вероятность
наблюдения таких 5-электронов на пути 1 м жидкого водорода (плотность
0,06 г/см3)? Используйте формулы к задаче 2.1.
2.8. Эксперимент по распаду протона должен выполняться с применением
кубического бака с водой как протонного источника, а возможная протонная
мода распада р-*е ++ п° должна детектироваться с помощью черенковского
излучения, испускаемого электромагнитными ливнями, от распадных продук-
тов, которые поглощаются в воде. Как велик должен быть такой бак, чтобы
вместить в себе эти ливни? Оцените полную длину треков в ливнях от
распадного события в полное число фотонов, испущенных в видимой области
(X=400-;-700 нм). Излучение должно регистрироваться системой фотоумножи-
телей, расположенных на поверхности бака. Если оптическая прозрачность
воды 20%, а эффективность фотокатодов 15%, какая часть поверхности
должна быть покрыта фотокатодами, чтобы получить энергетическое раз-
решение 10%?
64
ГЛАВА 3
ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ
И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Одной из важнейших концепций в физике является сим-
метрия или инвариантность уравнений, описывающих систему,
относительно различных преобразований, например трансляций
или вращений в пространстве. Неразрывно связаны с такими
свойствами инвариантности законы сохранения — в приведен-
ном выше примере это сохранение импульса и момента
количества движения. Конкретный тип взаимодействия об-
ладает многими различными законами сохранения, поэтому
математическое описание взаимодействия должно удовлетво-
рять нескольким требованиям инвариантности, которые замет-
но ограничивают возможные формы взаимодействия и, более
того, позволяют, например, получить соотношения между
поперечными сечениями различных процессов. Так, сохранение
изоспина в сильных взаимодействиях эквивалентно инвариан-
тности относительно вращений в «пространстве изоспина»,
что приводит к соотношениям между поперечными сечениями
для различных возможных зарядовых состояний в пион-
нуклонном рассеянии.
Рассматриваемые преобразования могут быть либо непре-
рывными, либо дискретными. Трансляции и вращения в про-
странстве— пример непрерывных преобразований, в то время
как пространственное отражение координат (операция про-
странственной инверсии) есть дискретное преобразование. Соот-
ветствующие законы сохранения в этих двух случаях являются,
соответственно, аддитивными и мультипликативными.
В настоящей главе рассмотрены наиболее важные примеры
законов сохранения и инвариантности в физике частиц. Ин-
вариантность относительно пространственно-временных преоб-
разований в специальной теории относительности обсуждается
в приложении А.
3.1. ИНВАРИАНТНОСТЬ И ОПЕРАТОРЫ
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
В квантовой механике система частиц представляется с по-
мощью волновой функции или вектора состояния Ч*. Уравнения
движения Шредингера и Гейзенберга описывают развитие
такой системы во времени. Результат физического измерения
в такой системе соответствует математическому ожиданию
некоторого оператора Q, действующего на волновую функцию,
и имеет значение q = \4>*Qv?dV. Изменение q во времени
5 Заказ 416 65
можно описать, используя зависимость от времени *Р (пред-
ставление Шредингера) или, эквивалентно, временную зависи-
мость оператора Q (представление Гейзенберга). В первом
случае v|/ = v|/s(/j и уравнение Шредингера для \|/
где Н—оператор полной энергии или гамильтониан, он дает
собственные значения энергии Е стационарных состояний:
Я| = ?Ч|/. Временная зависимость v|/s(/) есть
b(t)=T(t,to)^(t), C.2)
C.3)
Здесь предполагается, что Н не зависит от t явно. Оператор
Т сохраняет норму волновой функции и унитарен, Т~Х = Т —
= exp[i(? — to)Hjh\ и Т~1Т=\. Таким образом, комплексно
сопряженная волновая функция удовлетворяет выражению
^s{tT = ^{toYT-l{uto). C.4)
Гейзенберговское описание вводит зависимость от времени
оператора Q; поскольку физически наблюдаемая величина
должна быть той же в обоих случаях, то
Гейзенберг
=J*M0*Go<M')
Шредингер
или с учетом C.2) и C.4)
или
Q^T-'QoT, C.5)
т. е. мы имеем выражение для временной зависимости опе-
ратора Q. Таким образом, из C.3) и C.5) находим
= -HQ + QH=[QH]. C.6)
Здесь [Q#] — коммутатор Q и Я. Если Q явно зависит от
времени, dQ/dt^O, и C.6) принимает следующий вид:
f 0.7)
66
Уравнение C.7) есть уравнение движения Гейзенберга для
оператора Q. Если dQ/dt = O, то dQjdt = Q, если [QH\=0.
Таким образом, оператор, не зависящий явно от времени,
коммутирует с оператором Гамильтона. Следовательно, со-
храняющиеся квантовые числа связаны с операторами, ком-
мутирующими с гамильтонианом.
3.2. ТРАНСЛЯЦИИ И ВРАЩЕНИЯ
Преобразования под действием квантовомеханических опе-
раторов бывают двух типов: непрерывные (трансляции в про-
странстве и времени) и дискретные (пространственная инвер-
сия). Как пример непрерывного преобразования рассмотрим
сначала пространственные трансляции. Действие бесконечно
малой трансляции 8Г в протранстве на волновую функцию
со будет:
Ц) Щ ^ ^ C.8)
где
есть оператор бесконечно малой пространственной трансляции.
Так как оператор импульса p — \hdldr, то
D = (\+ipbr/h). C.9)
Конечную трансляцию Аг можно получить путем и шагов
(Аг = и5г), т. е.
D= lim A +~pbr ) =ехр( ~pAr J. C.10)
№—•00 \ Fl J \Л I
Таким образом, D — унитарный оператор, D*D = D~1D=\.
Оператор импульса р называется генератором оператора
пространственной трансляции D. Если гамильтониан Н ин-
вариантен относительно пространственных трансляций, тогда
[D, #]=0. Из C.9) ясно, что если D коммутирует с Я, тогда
и генератор р также коммутирует с Я:
[АЯ]=0. C.11)
Таким образом, если гамильтониан инвариантен относительно
пространственных трансляций, то оператор импульса р (ко-
торый генерирует эти трансляции) коммутирует с гамиль-
тонианом и среднее значение р (импульса симметрии) со-
храняется. Следовательно, все следующие ниже утверждения
эквивалентны: 1) импульс изолированной системы сохраняется;
5* 67
2) гамильтониан инвариантен относительно пространственных
трансляций; 3) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом.
По аналогии с оператором пространственных трансляций
C.8) генератор бесконечно малых вращений относительно
некоторой оси можно записать в виде
Л=1+5ф^-. C.12)
Оф
Оператор z-компоненты момента количества движения есть
(см. приложение С):
-ih~, C.13)
оф
где ф — азимутальный угол относительно оси z. Таким образом,
Конечное вращение Аф получается при применении бесконечно
малых вращений п раз: Аф = и5ф, где п-юо при 5ф-*0. В этом
случае
(U) (^) C.14)
Сохранение момента количества движения относительно не-
которой оси соответствует инвариантности гамильтониана
относительно вращений вокруг этой оси и также выражается
через равенство нулю коммутатора
[Л, #] = 0.
3.3. ЧЕТНОСТЬ
Операция пространственной инверсии координат (х, у,
z-* — x, —у, —z) — пример дискретного преобразования. Это
преобразование задается оператором четности Р, где
Повторное применение этого оператора дает Р2 = 1, так что
Р есть унитарный оператор. Собственные значения оператора
равны +1 и называются также четностью Р системы. Волновая
функция может иметь (или не иметь) определенную четность,
которая может быть четной (Р=+1) или нечетной (Р= —1).
Например, для
\|/ = cosxP\|/-»cos( — x) = cos(x)= +v|/, четная, Р= + \,
v|/ = sinxP\|/->sin( — x)= — sin(x)= — v|/, нечетная, Р= — \,
68
Рис. 3.1. Схема пространственной инверсии
тогда как для
\|/ = cosj»c + sinxP\|/->cos;c—sin*,* ±\|/,
так что последняя функция не имеет определенных собственных
значений четности. Как обычно, четность системы будет
сохраняющимся квантовым числом, если [Я, />] = 0. Например,
любой сферически симметричный потенциал имеет свойство
Н{—r) = /7(r) = //(r), так что \_Р, #] = 0; связанные состояния
системы имеют определенную четность. Хорошо знакомым
примером является волновая функция атома водорода (в
пренебрежении спиновыми эффектами), где решениями явля-
ются сферические гармоники (см. приложения, табл. II):
Ф(г, е, <р)=х(гI7(е, ф)= .
Пространственная инверсия r-> —r эквивалентна
0—»-тс — 0; ф->л + ф,
(рис. 3.1), и в результате
ехр (йиф)->ехр (im (л + ф)) = (— 1)" exp (im(p);
или
yt{q, ф)-»уг(я-9, тс+ф)=(-1)'уг(е, ф). (з.1б)
Таким образом, сферическая гармоника имеет четность (—1)'.
Тогда атомные состояния s, d, g имеют положительную
четность, т. е. являются четными, а р, /, h, ... — нечетными.
Электрические дипольные переходы между состояниями харак-
теризуются правилами отбора А/=±1, поэтому в результате
таких переходов четность атомного состояния должна изме-
ниться. Четность электромагнитного (Е1) излучения (фотоны),
69
испускаемого в этом случае, должна быть — 1, поэтому
четность всей системы (атом + фотон) сохраняется.
Четность—мультипликативное квантовое число, так что
четность составной системы \|/ = фафь равна произведению
четностей ее частей.
В сильном и электромагнитном взаимодействии четность
сохраняется. Это справедливо, например, в реакции
р+р-*п+ +р + п, в которой образуется единичный бозон (пион).
В таком случае необходимо определить внутреннюю четность
пиона, для того чтобы сравнивать четность начального и конеч-
ного состояний, точно так же, как заряд пиона необходим
для установления сохранения заряда в этой реакции.
3.3.1. Четность пиона. Как будет показано в гл. 4, пион
является бозоном с нулевым спином (./=0). Используя этот
факт, а также результат реакции поглощения медленных
отрицательных пионов в дейтерии:
C.17)
C.18)
можно сделать вывод, что пион должен иметь отрицательную
четность. Это следует из того факта, что поглощение пиона
дейтоном идет из атомного 5-состояния, это устанавливается
путем изучения рентгеновских переходов в мезоатоме, а также
прямыми вычислениями. Так как sd = l и j, = 0, полный угловой
момент /= 1 в обоих частях (слева и справа) реакции. Здесь
J = L+S, где L — орбитальный момент системы из двух
нейтронов, a 5—их полный спин. Как указывается ниже
в C.40), триплетное состояние с 5=1 симметрично, тогда
как синглетное состояние с 5=0— антисимметрично. Поскольку
волновая функция двух тождественных нейтронов должна быть
антисимметрична и в то же время эта симметрия описывается
как (— l)L+s+1, то сумма L + S должна быть четной. Полный
угловой момент 7=1 требует тогда, чтобы либо L = 0, 5=1,
либо L=\, 5=0 или 1, либо L = 2, 5=1. Из этих возможностей
только L = 5=l дает четную сумму L + S. Итак, возможно
только состояние 3/>J двух нейтронов с четностью (—l)t= —1,
что требует отрицательной четности также и для начального
состояния.
Для нейтронов и протонов принята (по соглашению)
одинаковая внутренняя четность -f 1 (поскольку барионное
число сохраняется, это определение условно; нуклонные чет-
ности компенсируются в любой реакции). В этом случае
четность дейтона положительна и пиону необходимо приписать
отрицательную четность.
Четность нейтрального пиона установлена из измере-
ний поляризации у-квантов в распаде ло->2у. Используя
70
Рис. 3.2. Распределение по углу ф между
плоскостями поляризации пар в «двой-
ном» далитц-распаде . п -*(е + е') +
+ (е* +е~). Для скалярного тг° распреде-
ление должно иметь вид 1 + Kcos2^i,
а для псевдоскалярного п° 1—Axos2(p
(Piano et al., 1959 г.)
аргументы, аналогичные при-
мененным в § 3.10 для 2у-
распада позитрония, можно
предсказать, что при отрица-
тельной четности пиона плос-
кости поляризации (Е-вектора)
двух фотонов должны быть
ортогональны. Реальные изме-
рения были сделаны для событий
«двойного» далитц-распада
иг
1,0
а
о
\
\
/¦
\
i i i
\
I I
15 30 45 60
в котором каждый фотон испытывает внутреннюю конверсию
в е+е~-пару. Вероятность такого процесса по сравнению
с п ->2у есть а ~Ш . Гак как плоскость каждой пары
лежит преимущественно в плоскости вектора Е, измерение
распределения по углу между плоскостями пар позволяет
продемонстрировать отрицательную четность нейтрального
пиона (см. рис. 3.2).
Итак, пион имеет спин 0 и отрицательную внутреннюю
четность, т. е. Jp = 0~; его волновая функция обладает транс-
формационными свойствами относительно пространственной
инверсии и вращений подобно псевдоскаляру. Поэтому такие
мезоны называются псевдоскалярными мезонами. По аналогич-
ной причине частицы с^ /р = 0+ называют скалярными,
/ -1 —векторными, а / =1
аксиально-векторными.
3.4. ЧЕТНОСТЬ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ
В то время как внутренняя четность протона есть предмет
соглашения, это не относится к относительной четности
протона и антипротона (или любого фермиона и антиферми-
она). Например, можно образовать протон-антипротонную
пару в реакции
Р+Р->Р+Р+(Р+Р)-
Здесь точно так же, как в случае образования одиночного
пиона, внутренняя четность протон-антипротонной пары можно
непосредственно измерить. Дираковская теория релятивистских
фермионов (см. приложение Г) предсказывает противополож-
ную четность фермионов и антифермионов. Это предсказание
71
подтверждено экспериментально, например, в случае позитро-
ния (см. § 3.10). Для бозонов, в противоположность фермионам,
частицы и античастицы имеют одинаковую внутреннюю чет-
ность.
В случае пиона внутренняя четность определяется тем
обстоятельством, что пион может быть образован в одиночку;
в отличие от этого странные мезоны образуются совместно,
например в реакции р+р^>К + +А+р. Таким образом, можно
измерить только четность ЛЛГ-пары (относительно нуклона),
она оказывается отрицательной. Условимся, что Л-гиперон
имеет ту же (положительную) четность, что и нуклон, так
что каон оказывается отрицательно четным.
3.5. ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЧЕТНОСТИ
В отличие от сильных и электромагнитных взаимодействий,
где четность сохраняется, в слабом взаимодействии происходит
ее нарушение. В этом взаимодействии матричные элементы
содержат суперпозицию амплитуд с положительной и от-
рицательной четностью. Так, ядерный Р-распад описывается
так называемой V—A-теорией, в которой амплитуды с от-
рицательной и положительной четностью примерно равны.
Это называется принципом максимального нарушения четности.
Более полное обсуждение этого вопроса приведено в гл. 7.
Экспериментальное изучение как сильных, так и электромаг-
нитных взаимодействий показывает некоторую малую степень
нарушения четности. Это происходит не от нарушения четности
в самих этих взаимодействиях как таковых, а благодаря тому,
что гамильтониан, описывающий взаимодействие, содержит
вклад также слабого взаимодействия между участвующими
частицами:
" = " сильн ~Ь "электромаг ~Ь ''слабый• (у •' Л/
В ядерных переходах степень нарушения, очевидно, должна
быть порядка отношения слабой и сильной констант связи,
т. е. порядка 10~7. Как пример, мы упомянем измерение
асимметрии в у-распаде поляризованных ядер 19F:
19р* 19р
_-» +у(П0кэВ), C.20)
где имеется смешивание четностей между состояниями. На-
блюдаемая асимметрия Д=— A8 + 9)-10 находится в хорошем
согласии с ожидаемыми эффектами от слабого нейтрального
тока (Adelberger et al., 1975 г.). В качестве второго примера
72
следует отметить ос-распад возбужденного состояния 1бО при
8,87 МэВ:
Jr=2~Jr=2+' { '
где начальное состояние имеет отрицательную четность, а ко-
нечное— положительную. Предельно узкая парциальная ши-
рина этого распада Га = A,0 + 0,3)- 1О~10 эВ (Neubeck et. al.,
1974 г.) совместима с величиной, ожидаемой от нарушающего
четность вклада от слабого взаимодействия и контрастирует
с шириной у-распада 16О*—1бО + у, равной 3 10~3эВ. Более
детально нарушающие четность ядерные реакции описаны
в обзоре (Tadic, 1980 г.).
Очень малые нарушающие четность эффекты наблюдены
также в атомных переходах. Например, наблюден очень слабый
A0~7 рад) поворот плоскости поляризации света, проходящего
через пары висмута, где индуцируются оптические переходы.
Нарушение четности возникает за счет интерференции между
слабым взаимодействием через нейтральный ток и чисто
электромагнитным взаимодействием, и его величина грубо
согласуется с ожидаемой из константы связи нейтрального
тока в теории Вайнберга — Салама — Глэшоу. Последний
обзор на эту тему — Forston, Lewis, 1984 г. Эффекты за счет
нейтральных токов обсуждаются детально в гл. 9.
3.6. СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА,
КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ФОТОНЫ
Важным классом непрерывных преобразований в физике
частиц являются калибровочные преобразования, которые свя-
заны с сохранением электрического заряда. Известно, что
электрический заряд строго сохраняется. Например, при распаде
нейтрона п^>р + е~ +у заряд сохраняется с точностью лучше
чем 109 (см. задачу 1.7).
3.6.1. Сохранение заряда и калибровочная инвариантность
в классической и квантовой физике. Концепцию калибровочной
инвариантности и сохранение заряда можно ввести, используя
аргументы Вигнера, 1949 г. В электростатике потенциал си-
стемы ф является относительной величиной. Уравнения всегда
содержат изменение потенциала и не зависят от абсолютной
величины ф в любой точке пространства. Предположим теперь,
что заряд не сохраняется и может быть создан или уничтожен
неким магическим процессом. Чтобы создать заряд Q, требу-
ется работа W, которая при его уничтожении возвращается.
Положим, что заряд создается в точке, где потенциал в некой
выбранной шкале есть ф. Работа по созданию заряда есть
73
Пучок
Рис. 3.3. Дифракция электронного пучка на двой-
ной щели, наблюдаемая в плоскости С
W независимо от ф, поскольку по условию нет физических
процессов, зависящих от абсолютной шкалы потенциала. Если
теперь заряд передвинуть в точку с потенциалом ф, изменение
энергии будет б(ф —ф')- Если теперь заряд исчезнет, мы
вернемся к начальной системе с энергией, измененной на
величину W— tV+Q(<p — ф'). Таким образом, сохранение энер-
гии не позволяет образовать и уничтожить заряд, если шкала
электростатического потенциала является относительной. Дру-
гими словами, только сохранение заряда позволяет нам
произвольно выбирать шкалу потенциала.
В квантовой механике связь между калибровочной инвари-
антностью и сохранением заряда можно проиллюстрировать
на простом примере. На рис. 3.3 показан пучок электронов
низкой энергии, проходящих через двойную щель А В и детек-
тируемых в плоскости С, где наблюдается характерная диф-
ракционная картина. Электронная волна описывается волновой
функцией в виде i|/ = expi(k ¦ х — со?) или, в системе единиц
й = с=1:
\|/ = expi(px — Et) = exp(ipx), C.22)
где р = (р, \Е) — 4-импульс электрона и л = (х, it)— пространст-
венно-временная координата. В общем случае можно включить
постоянный фазовый множитель, который по причинам, ко-
торые станут ясны позже, запишем в виде — еа, где е — заряд
электрона:
\\) = ехр'\(рх — еа). C.23)
Интенсивность в плоскости С зависит от разницы фаз
в А и В и не зависит от глобальной (одинаковой во всем
пространстве) фазы еа, которая относительна и ненаблюдаема.
74
Предположим теперь, что фаза выбрана различно для разных
точек еа = еа(х). Тогда пространственно-временной градиент
полной фазы будет
-—1\рх—еа) = 1\р — е— . C24)
ох ч \ oxJ
Поскольку а зависит от х, разность фаз в точках А и В будет
изменяться и предсказываемая картина в плоскости С также
будет иной. Таким образом, ожидаемый физический результат
не инвариантен относительно локальных фазовых преобразова-
ний. Электроны, однако, заряжены и взаимодействуют за счет
электромагнитного потенциала, который мы запишем в виде
4-вектора А={А,'щ), где А — векторный потенциал, а ф —
скалярный. Действие потенциала изменяет фазу электрона при
подстановке в C.22):
C.25)
так что производная C.24) теперь принимает следующий вид:
i( + A ) i( + A
i(px + eAx ea) i(p + eA e). C.26)
ёх v \ дх)
Шкала потенциала, или калибр, также относительна, и суще-
ствует возможность изменять ее путем так называемого
локального калибровочного преобразования, т. е. добавлением
к А градиента любой скалярной функции (этот вопрос
обсуждается ниже). Поэтому, если мы проведем следующее
преобразование:
А^А+да/дх, C.27)
то производная C.26) станет просто \р независимо от а.
Другими словами, эффекты локальных фазовых преобразований
и калибровочного преобразования C.27) точно сокращаются
и картина в плоскости С остается неизменной. Эта процедура
сокращения зависит от двух факторов. Во-первых, должно
существовать дальнодействующее поле (в данном случае,
электромагнитное), действующее на электроны и изменяющее
их фазы. Оно должно быть дальнодействующим, поскольку
расстояние между щелями А В может быть относительно
велико. Во-вторых, сокращение будет происходить только
в случае сохранения электрического заряда; оно не возникнет,
если электрон неожиданно потерял, а затем вновь обрел свой
заряд.
Резюмируя, можно сказать, что заряженные частицы могут
быть описаны волновыми функциями с фазами, выбранными
совершенно произвольно в различных точках пространства
и времени, и это не меняет физических результатов при
75
условии, если заряды связаны с дальнодействующим полем
(электромагнитным), к которому применимы локальные калиб-
ровочные преобразования, а также при условии сохранения
заряда. Теории взаимодействий частиц, обладающие свойством
локальной калибровочной инвариантности, имеют высокую
степень симметрии и оказываются перенормируемыми, т. е.
предсказываемые ими эффекты взаимодействий (например,
время жизни или поперечное сечение) являются конечными
и их можно вычислить при всех энергиях и во всех порядках
константы связи.
В полевых теориях с локальной калибровочной инвариан-
тностью абсолютно сохраняющаяся величина, подобная элек-
трическому заряду, приводит к существованию дальнодейст-
вующего поля, связанного с этим зарядом. Аналогично этому,
если барионнре число абсолютно сохраняется, должно суще-
ствовать дальнодействующее поле, связанное с ним (Lee, Yang
1955 г.). До сих пор нет никаких указаний на существование
такого поля, и предел константы связи такого поля меньше
10 ~9 от соответствующей константы связи гравитационного
поля (см., например, задачу 9.5). По этой причине считается,
что протон нестабилен и может распадаться, хотя и с очень
большим временем жизни {см. гл. 9).
3.6.2. Электромагнитное поле и фотоны. В электромагнитной
теории поля В и Е можно представить как производные от
векторного и скалярного потенциалов А и ф:
B = VxA, C.28)
¦--"-;?• ¦ C-29)
причем В и Е удовлетворяют уравнениям Максвелла, которые
содержат сохранение электрического заряда в виде соотношения
между зарядом и плотностью тока: dpjdt=— Vj. Величины
В и Е инвариантны относительно калибровочных преоб-
разований:
C.30)
, 1 да. ,,.,,
ф_>ф =ф____5 C.31)
где а—любая скалярная функция пространственных координат
и времени. Эта свобода выбора а, называемая калибровочной
инвариантностью, означает, что А и ф могут быть определены
различными способами. Например, кулоновская калибровка
выбирается, чтобы удовлетворить условию
V-A = 0. C.32)
76
Применяя C.29) и уравнение Максвелла V-E = 4rcp, получаем
уравнение Пуассона
V2-cp= -4яр,
так что при этой калибровке ср определяется из статического
распределения заряда р.
В свободном пространстве векторный потенциал А удов-
летворяет волновому уравнению
V2-A-l^=0, C.33)
соответствующему распространению свободного безмассо-
вого фотона. Уравнение имеет решение в виде плоской
волны
А = еА0 exp i (kr — а»),
где к — вектор распространения волны, а е — единичный вектор
(вектор поляризации), задающий направление поля Е; х —
компонента А вдоль оси х, причем
Ах = ехА0 exp i (kr — Ш) =
= exAQ expi(kxx+kyy+kzz-<at),
ЗА
-~-^ = iexkxA0 expi(kr—at)
ox v
(аналогично для у- и z-компонент). Применяя C.32):
получаем соотношение для кулоновской калибровки
е-к = 0. C.34)
Таким образом, Е и В плоской электромагнитной волны
в свободном пространстве поперечны вектору распространения
(рис. 3.4). Если выбрать к вдоль оси z, тогда ez и Az равны
нулю и остаются только две линейно независимые компоненты:
Ах = ехАо exp i (kz—Ш+8),
Ау = еуА0 expi(&z — (ot),
где е2 = е1 + ву = 1 и где амплитуды и относительные фазы
8 между компонентами произвольны. Например, при 8 = 0
получаем плоскую поляризацию, а при 8 = л/2
и ех = еу — циркулярную поляризацию. Последнее может быть
77
Рис. 3.4. Векторная схема электромагнитной вол-
ны
Рис. 3.5. Спиновые состояния поперечного (т = 0)
и продольного (тфО) фотонов
(т=0) (тФО)
интерпретировано в терминах вращения вектора е. Для право-
и лево циркулярно поляризованных волн
1
1 ,
C.35)
Следует отметить, что |^r|2 = |^lI2 для всех ех и еу, как
требует сохранение четности. Векторы поляризации классичес-
кого поля можно связать со спиновыми состояниями поля
свободных фотонов. Для бесконечной плоской волны, рас-
пространяющейся в направлении z, очевидно, что, поскольку
компоненты импульса рх=ру = 0, z-компонента орбитального
момента количества движения Lz = xpy—ypx = 0. Таким образом,
полный угловой момент относительно z-оси Jz должен опре-
делять спин соответствующего фотона.
Рассмотрим теперь вращение на угол 0 относительно
оси z, которое можно получить, используя оператор враще-
ния C.14) R = exp(\JzQ), где мы для простоты опускаем
фактор /г.
В результате имеем для ех, еу и ez следующие соотношения:
е'х = ех cos 0 — еу sin 0,
е 'у = ех sin 0 + еу cos 0,
C.36)
78
Первые два уравнения преобразуются следующим образом:
(' + i) {ex+iey)exp(iB),
C.37)
Таким образом, состояния е», eL и ez — собственные состояния
оператора вращения exp(i/z0) с /Z= + 1, —1 и 0 соответственно
и дают 2У+1=3 возможных состояния фотона со спином 0. Из
условия поперечности C.34), однако, мы имеем ez = 0 и состоя-
ние Л = 0 для свободного фотона не существует. Обобщая,
можно утверждать, что лоренц-инвариантность допускает толь-
ко два состояния безмассовой частицы со спином J:JZ=±J.
Реальные фотоны движутся со скоростью света и поэтому
вынужденно не имеют массы (экспериментальный предел на
массу фотона 10~47 г, Goldhaber, Nieto, 1971 г.). Они называ-
ются поперечными фотонами, что означает: соответствующие
поля Е и Н перпендикулярны направлению вектора распрост-
ранения к.
Однако электромагнитные сигналы могут также распрост-
раняться со скоростью v<c (например, в световоде), и здесь
возможны как продольная, так и поперечная компонента поля.
В этой ситуации фотоны не могут быть в точности безмас-
совыми. Они имеют компоненту спина Л = 0, а также ±1
(рис. 3.5). Фотон с У2 = 0 называется продольным (или скаляр-
ным). Примером продольного фотона служит виртуальный
фотон, переносящий статическое взаимодействие между двумя
зарядами, когда вектор е направлен вдоль линии, соединяющей
заряды.
Спиновая поляризация частиц часто обозначается термином
спиралъность. Частица с вектором спина <т, импульсом р и энер-
гией Е имеет спиральность
Таким образом, правые, левые и скалярные фотоны имеют
Я= + 1, —1, 0 соответственно. Поскольку четность в элект-
ромагнитных взаимодействиях сохраняется, а при инверсии
координат <тр изменяет знак (см. ниже, табл. 3.2), спиральность
фотонов должна быть нулевой. Это значит, что левые и правые
фотоны всегда присутствуют с равной амплитудой и термин
«поперечный» относится к обоим состояниям спиральности.
Итак, калибровочная инвариантность есть свойство элек-
тромагнитного поля, связанное с сохранением электрического
заряда. Это приводит к поперечности электромагнитных волн
в свободном пространстве. В результате свободные фотоны
79
со спином 1—переносчики векторного поля — могут существо-
вать только в двух состояниях и должны быть безмассовыми.
Безмассовость фотонов следует из A.7) и, как обсуждалось
выше, приводит к полю бесконечной протяженности.
Более сложные калибровочные преобразования типа введен-
ных Янгом и Миллсом A954 г.) описывают ситуацию, когда
вводятся как заряженное, так и нейтральное поле (и соответ-
ствующие бозоны). Этот случай относится к объединенным
калибровочным теориям электромагнитного и слабого вза-
имодействий и обсуждается в гл. 9.
3.7. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО
ЗАРЯДОВОГО СОПРЯЖЕНИЯ
Операция зарядового сопряжения изменяет знак заряда
и магнитного момента частицы (оставляя другие координаты
неизменными). Симметрия относительно зарядового сопряже-
ния в классической физике обеспечивается инвариантностью
уравнений Максвелла относительно изменения знака заряда
и плотности тока, а также Е и Н. В релятивистской квантовой
механике термин, «зарядовое сопряжение» также включает
замену частицы на античастицу. Для барионов и лептонов
изменение знака заряда означает изменение знака барионного
и лептонного числа. Как пример мы показываем в табл. 3.1
результат применения операции зарядового сопряжения для
электрона и протона. Заметим, что положительный (отрица-
тельный) знак ц означает, что магнитный момент параллелен
(антипараллелен) вектору спина.
Таблица 3.1. Зарядовое сопряжение
Характеристика частицы
Q
в
ц
а
Характеристика частицы
Q
и
Ц
а
Протон
+ е
+ 1
+ 2,19(eh/2Mc)
1
2
Электрон
—е
+ 1
~eh/2mc
1
2
Антипротон
— е
-1
-2,79(eh/2Mc)
1
2
Позитрон
+ е
-1
+ eh/2mc
1
2
80
v p
г)
Рис. 3.6. Результаты операций Р и
С на состояния нейтрино. В природе
встречаются только состояния, пред-
ставленные на рис. 3.6, а и г
Экспериментальные свиде-
тельства инвариантности силь-
ного и электромагнитного вза-
имодействий относительно
операции С обсуждаются
в § 3.11. В противоположность
этому, слабое взаимодействие
нарушает инвариантность от-
носительно зарядового сопряжения точно так же, как оно
нарушает инвариантность относительно операции четности.
Эти явления обсуждаются в деталях в гл. 7, но так или
иначе необходимо кратко упомянуть о них здесь. Неинвари-
антность слабого взаимодействия относительно четности и за-
рядового сопряжения демонстрируется продольной поляризаци-
ей нейтрино (v) и антинейтрино (v), испускаемых в |3-распаде
совместно с позитронами и электронами соответственно.
Нейтрино имеют спин 1/2 и нулевую (или почти нулевую)
массу, так что, как отмечалось выше [см. C.37)], возможные
спиновые состояния есть Jz= + \/2, где ось z совпадает
с направлением вектора импульса р. Экспериментально най-
дено, что для нейтрино Jz= — 1/2. Другими словами, нейтрино
являются «левыми», а антинейтрино — «правыми». Эта ситу-
ация показана на рис. 3.6, где р направлен в сторону
отрицательной оси z. При операции пространственной инверсии,
которая в этом случае соответствует замене z-^—z, полярный
вектор р изменяет знак, в то время как аксиальный вектор
о остается без изменений. Эта ситуация показана на рис. 3.6,6
и соответствует правому нейтрино, которого нет в природе.
Это говорит о том, что слабое взаимодействие неинвариантно
относительно пространственной инверсии. В случае фотона,
испущенного в электромагнитном процессе, присутствуют как
левые, так и правые фотоны с равной вероятностью, так
что это взаимодействие оказывается инвариантным относитель-
но пространственной инверсии.
Аналогично, если мы применим операцию зарядового
сопряжения к состоянию нейтрино (рис. 3.6, а), получим левое
v. как на рис. 3.6, в, которое также не существует. Однако,
если дополнительно применить операцию пространственной
инверсии к этому состоянию, получим правое антинейтрино
(рис. 3.6, г), которое наблюдается в эксперименте. Таким об-
разом, слабое взаимодействие неинвариантно относительно
С и Р по отдельности, но демонстрирует СР-инвариантность.
Мы пришли к этому выводу, рассматривая состояния нейтрино.
6 Заказ 416 81
Следует отметить, что СР-инвариантность является основным
свойством всех слабых взаимодействий (с нейтрино и без
нейтриноI.
3.8. СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ОПЕРАТОРА
ЗАРЯДОВОГО СОПРЯЖЕНИЯ
Рассмотрим операцию зарядового сопряжения, примененную
к волновой функции заряженного пиона, которую мы запишем
в виде In*):
При этой операции может возникнуть относительная фаза;
это не существенно для нашего обсуждения. Мы видим, что
| я + > и | я"" > не являются собственными значениями оператора
С. Однако для нейтральной системы оператор зарядового
сопряжения может иметь определенное собственное значение.
Так, для нейтрального пиона
так как |п°> преобразуется сам в себя; т| — константа. При
повторении этой операции получим т|2 = 1, т.е.
С|7Г°>=±1|7Г°>.
Следует отметить, что электромагнитный поля образуются
движущимися зарядами (токами), которые изменяют знак при
зарядовом сопряжении. Как следствие этого, фотон имеет
С= — 1, поскольку зарядовая четность — мультипликативное
квантовое число. Следовательно, система из п фотонов имеет
собственное значение оператора С, равное (—1)". Нейтральный
пион испытывает распад
тг°->2у
и, таким образом, имеет положительную С-четность. Распад
поэтому запрещен, если электромагнитное взаимодейст-
вие инвариантно относительно С. Экспериментально отноше-
ние
' СР-инвариантность слабых взаимодействий не является точной. Малые
отклонения от СР-инвариантности обсуждаются в гл. 7.
82
3.9. РАСПАД ПОЗИТРОНИЯ
Рассмотрим теперь ограничения, вносимые С-инвариант-
ностью в состояния позитрония, который испытывает ан-
нигиляцию по каналам
е + е~->2у, Зу.
Связанное состояние электрона и позитрона имеет энер-
гетические уровни, сходные с уровнями водородного атома
(с расстояниями между уровнями, примерно вдвое меньшими
за счет меньшей массы). Запишем полную волновую функцию
состояния позитрония как произведение трех волновых функций
в координатах спина, пространства и заряда;
v|/ (полн.) = ф (простр.) ¦ а (спин) ¦ х (заряд) C.39)
и рассмотрим, как эти функции ведут себя, если частицы
поменять местами. Если бы электрон и позитрон были бы
тождественными фермионами, а не фермионом и антиферми-
оном, можно было бы заключить, что \|/(полн.) должна быть
антисимметрична, как в A.1).
Спиновая функция для комбинации двух частиц со спином
1/2 имеет следующий вид. Если i|/i(.s, s~) и i|/2(.s, .sz) — волновые
функции частиц 1 и 2, a a(S, S:) — волновая функция пары
(здесь s, S—спины, a sz, Sz — третьи компоненты спинов),
возможны четыре следующие комбинации:
-о. i)_
.,М,-•[¦.(!. !)¦,(!,-1)-
C.40)
где первые три комбинации—триплет со спином 5=1 и 5: = 1,
0, —I, а последняя—синглет со спином S—S: — 0. Триплетные
6* 83
состояния являются симметричными при перестановке частиц
1<->2 (а не меняет знака), а синглетное состояние — антисим-
метрично (а меняет знак). Таким образом, симметрия спиновой
функции а относительно перестановки частиц есть (—l)s+1,
где S—полный спин.
Комбинации C.40) могут быть выражены формально на
языке теории групп. Эти состояния являются представлениями
группы SU B), где буквы устанавливают тип специальной
унитарной группы1 двух измерений (соответствующих ком-
бинации двух базисных состояний спина 1/2). Символически
этот результат записывается следующим образом:
что означает: комбинируя два фундаментальных «2» пред-
ставления SUB), мы получаем представление «3» (S= 1
триплет) и представление «1» E=0 синглет).
Пространственная часть волновой функции ср выражается
через сферические гармоники Y^(Q, ф) [см. C.16)]. Перестанов-
ка частиц эквивалентна инверсии координат и приводит
к множителю (—1)', где /—орбитальный угловой момент
системы.
Наконец, зарядовая волновая функция % дает множитель
С при перестановке. Произведение множителей, возникающих
по отдельности от спиновой, пространственной и зарядовой
частей волновой функции, должно дать итоговый множитель
перед полной волновой функцией при перестановке, который
мы обозначим К:
K=C{-l)s+1(-]I. C.42)
Чтобы найти С и К, мы нуждаемся в дополнительной
информации. Как уже указывалось, при аннигиляции позит-
рония из основного состояния (/=0) наблюдаются две раз-
личные моды распада — в два или в три у-кванта. Эти две
моды, очевидно, должны соответствовать двум возможным
спиновым состояниям: синглету (/=0) и триплету (/=1).
Основываясь на симметрии Бозе -системы двух фотонов или
на безмассовости фотона (рис. 3.5), можно заключить, что
2у-распад должен иметь /=0, так что Зу-распаду нуж-
но приписать J=\. Тогда из формулы С=(—1)" и для сис-
темы из п фотонов мы найдем С= + 1 для состояния /=0
и С= — 1 для J=\. Вводя соответствующие множители в C.36),
получаем:
1 Матричный оператор, генерирующий преобразования между членами
группы, имеет детерминант «+1» и является унитарным, сохраняя норму
волновой функции.
84
Распад
Синглет
Триплет
С
е
¦So)
s,)
S=J
0
1
I
0
0
с
+1
-1
к
-1
-1
Время
1,25 •
1,4-1
жизни, с
ИГ10
О
Отметим, что множитель К, описывающий измене-
ние полной волновой функции при перестановке частиц, есть
К= — 1; т.е. если принять во внимание операцию зарядо-
вого сопряжения, полная волновая функция е + е~-системы
антисимметрична, как и в случае двух тождественных ферми-
онов.
Скорость аннигиляции в два у-кванта, выраженная в тер-
минах Г = /г/х, где х— время жизни, вычисляется по формуле
ГBу) = 4лгг2/И*|/@)|2, С3-43)
где rl = e2/4nmc2 — классический радиус электрона; \|/@) — ам-
плитуда электрон-позитроннои радиальной волновой функции
в нуле. Из решения уравнения Шредингера для основного
состояния водородного атома известно, что
= ^, C.44)
где а—боровский радиус. С учетом множителя 2 (из-за
эффекта уменьшения массы) для боровского радиуса позит-
рония имеем
а = 2ге/а2, ¦ C.45)
так что
Г Bу) = -тс2 а5
тBу)=1,252-1(Г1Ос, C.46)
что следует сравнить с экспериментальным значением
A,252 + 0,017)-100 с. Для Зу-распада скорость аннигиляции
меньше на множитель порядка а:
2-9)а6тС2, C.47)
хCу)= 1,374-10~7 с (наблюдаемое значение 1,377 с±0,004 с).
Как хBу), так и тCу] были впервые измерены в работе
Dentsch, 1953 г., который измерял скорость аннигиляции позит-
ронов, остановившихся в газах. Рассчитанные и измеренные
значения хорошо согласуются. В гл. 5 приведено сравнение
энергетических уровней позитрония и систем из тяжелых
кварков — антикварков.
85
3.10. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНОВ
ПРИ РАСПАДЕ ПОЗИТРОНИЯ
Для полноты обсуждения квантовых чисел позитрония
рассмотрим поляризацию двух у-квантов, испускаемых при
распаде синглетного состояния E=0).
Электрон и позитрон являются фермионом и антифермионом
и поэтому должны иметь противоположные внутренние четности
(см. приложение Г); относительная четность е+ и е~ несуществен-
на для настоящего анализа, так как при перестановке частиц
полная четность остается той же самой. Однако существенно, что
два испускаемых у-кванта должны иметь отрицательную четность.
Пусть к, —к — векторы импульсов двух фотонов,
а е2 и е2—векторы их поляризации (Е — вектор). Начальное
состояние имеет /=0, и простейшие комбинации, которые
можно составить с участием обоих векторов Е и удовлетворить
требованиям симметрии при перестановке идентичных бозонов,
имеют вид:
C.48а)
k, C.486)
где а и Ъ — константы. Первая комбинация — скаляр и поэтому
является четной при инверсии пространства. Вторая — псевдоска-
ляр (произведение полярного и аксиального векторов) и поэтому
имеет отрицательную четность. Если i|/By) конечна, ei и е2 не
могут быть параллельными. Таким образом, плоскости поляри-
зации двух фотонов должны быть преимущественно перпендику-
лярны, и вероятность наблюдения угла между этими плоскостя-
ми, как это следует из C.485), |i|/|2~sin2(p. Экспериментально
это может быть изучено путем наблюдения углового распределе-
ния комптоновского рассеяния у-квантов, которое сильно
зависит от поляризации у-квантов и имеет максимальную
вероятность в плоскости, нормальной к электрическому вектору.
Это можно установить при рассмотрении колебаний электрона
в мишени в направлении вектора Е, возбуждаемых падающим
фотоном. Тогда соответствующее дипольное излучение (рассеян-
ные фотоны) испускается с интенсивностью, максимальной
в направлении, перпендикулярном к Е.
Экспериментальная установка, использованная в работе Wu,
Shakhov, 1950 г., показана на рис. 3.7. Скорость совпадений
у-квантов, рассеянных алюминиевыми блоками, измеряли счет-
чиками из антрацена SJ и S2 в зависимости от их от-
носительного азимутального угла ср. Ожидаемая ср-зависимость
различна для разных (полярных) углов 9 рассеяния у-квантов
86
S2
Рис. 3.7. Схема метода, примененного Wu, Shaknov A950 г.), для измерения
относительной ориентации векторов поляризации двух фтонов, испущенных
в распаде 'So=позитрония; S, и S2—антраценовые счетчики, регистрирующие
у-лучи, испытавшие комптоновское рассеяние в алюминиевом образце. Получен-
ные результаты подтверждают, что фермион и антифермион имеют проти-
воположные внутренние четности, как предсказывается в дираковской теории:
/—источник позитронов; 2—свинцовая защита; 3—рассеиватель из алюминия
и наиболее сильно проявляется при 9 «81° (Ргусе, Ward,
1947 г., Snyderetal, 1948 г.). Наблюдаемое отношение
Скорость(ф = 90°) ....... .. _.
= z,U4 + 0,0о C.4У)
Скорость (ф=0°)
следует сравнить с теоретически ожидаемой величиной 2,00.
Такой эксперимент подтверждает предсказание относительно
преимущественно ортогональных поляризаций уквантов и де-
монстрирует правильность предположения о том, что фермион
и антифермион имеют противоположные внутренние четности.
Аналогичные аргументы были применены, чтобы продемонст-
рировать, что нейтральный пион имеет отрицательную внут-
реннюю четность (рис. 3.2).
3.11. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
С-ИНВАРИАНТНОСТИ
Экспериментальная проверка инвариантности относительно
зарядового сопряжения состоит в сравнении реакций, в которых
частицы заменяются античастицами. Например, сравнение ско-
ростей реакций и спектров положительных и отрицательных
мезонов в реакциях сильного взаимодействия
87
привело к ограничениям в любых проявлениях нарушения
С-инвариантности (значительно меньше 1%).
Поиски возможного нарушения С-инвариантности в элек-
тромагнитных взаимодействиях имеют интересную историю.
В 1964 г. было наблюдено малое @,1%) нарушение СР-
инвариантности в распаде нейтральных каонов (см. § 7.14).
Его происхождение было неизвестно, но было ясно, что такой
эффект мог приводить к С-нарушению в электромагнитных
(или сильных) взаимодействиях, так как в этих реакциях
четность сохраняется строго. Поэтому был проделан подроб-
ный анализ продуктов распада т|-мезона (масса 550 МэВ/с2),
который распадается за счет электромагнитного взаимодей-
ствия. Некоторые из его возможных мод распада:
П^УУ; C.50а)
7г~л0; C.506)
л~у; C.50в)
ц^п°е + е-. C.50г)
Из распада г|->уу с относительной вероятностью 38% следует,
что С-четность г\ есть +1. В этом случае распадная мода
г\~+п°е + е~ должна быть запрещена, если интерпретировать
ее как т|-»яоу с внутренней конверсией у-кванта в е + е~-пару,
поскольку Су = — 1 и Сп0 = + 1. Существование этой распадной
моды определенно свидетельствовало бы о нарушении С-
инвариантности. Существующие пределы на относительную
вероятность этого распада меньше 5-10.
К сожалению, отсутствие распада C.50г) неоднозначно
свидетельствует об отсутствии С-нарушения, так как ин-
терпретация экспериментального предела модельно зависима.
Поэтому лучшим тестом является проверка спектров п+ и п~
в распаде r|->7r + 7r~y и r\-+n + n~n°. Действительно, в ранних
экспериментах наблюдалась существенная асимметрия, однако
более точные измерения подтвердили эквивалентность п+ и п~
спектров вплоть до уровня 0,5%.
Разюмируя, можно отметить, что в конце шестидесятых
годов значительные усилия были направлены на изучение
возможных С-нарушений в сильных и электромагнитных вза-
имодействиях, но подобные нарушения не были обнаружены.
3.12. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО
ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ
Инвариантность и неинвариантность относительно обраще-
ния времени хорошо знакомы в классической физике. Напри-
мер, ньютоновский закон F=md2x/dt2 инвариантен относитель-
88
а) Ч в)
Рис. 3.8. Соударение между двумя молекулами (и)
и соударение, обращенное во времени (б)
но изменения знака времени: фильм о траектории снаряда
в земном гравитационном поле выглядит одинаково реалистич-
но, просматриваем ли мы его вперед или назад по времени
(если пренебречь сопротивлением воздуха). Ситуация же с те-
плопроводностью или диффузией совершенно отлична и зависит
от первой производной по времени. В этом случае элемен-
тарные соударения между молекулами обладают микроско-
пической обратимостью. Для каждого соударения существует
обращенное во времени соударение, как на рис. 3.8. Для газа,
находящегося в равновесии, оба типа соударений присутствуют
с равной вероятностью и энтропия постоянна. Фильм о пе-
реходе от упорядоченной системы к неупорядоченной, например
расширении газа высокого давления через сопло в область
низкого давления, неинвариантен относительно изменения на-
правления времени и выглядит нереально, если его просмат-
ривать в обратном направлении. Однако это есть просто
следствие начальных условий и ничего не меняет в отношении
обращения во времени элементарных соударений. Преобразова-
ния основных величин относительно пространственной инверсии
Р и обращения времени Т в классической физике приведены
в табл. 3.2.
Следует отметить, что элементарная частица со спином
а не должна иметь статического дипольного момента, если
взаимодействие частицы с электромагнитным полем инвариан-
тно относительно операций Р и Т. На первый взгляд это
выглядит странно, поскольку имеются молекулы и даже атомы,
обладающие большими дипольными электрическими момен-
тами, хотя их взаимодействия полностью инвариантны от-
носительно операций Т и Р. В случае молекулярной или
атомной систем электрический дипольный момент всегда связан
с существованием двух вырожденных или почти вырожден-
ных собственных состояний системы. Например, первое воз-
бужденное состояние атома водорода (я = 2) содержит
¦Si/2 и Рт вырожденные уровни энергии (исключая малые
эффекты за счет лэмбовского сдвига). Эти состояния имеют
противоположные четности, но во внешнем электрическом
поле происходит их смешивание за счет штарк-эффекта. Новые
энергетические состояния являются линейными комбинациями
89
s(/=0)- и рA= 1)-состояний и поэтому не имеют определенной
четности. Они и являются причиной асимметричного (грушевид-
ного) распределения электронного заряда и потому — возникно-
вения электрического дипольного момента \\.е, а также соответ-
ствующего энергетического расщепления ±\ьеЕ. (Нет строгого
вырождения состояний: мы здесь имеем в виду, что начальная
разница энергий между уровнями мала по сравнению с \\.еЕ.)
В случае нейтрона, например, электрический дипольный
момент в отсутствие Р-, Г-нарушений может возникнуть,
только если существует «теневое» нейтронное состояние с про-
тивоположной четностью, вырожденное с первым. Суперпози-
ция этих состояний могла бы допустить асимметричное
распределение заряда, т. е. электрический дипольный момент.
Нет абсолютно никаких указаний о существовании двух типов
состояний нейтрона; если бы они существовали, вся физика
ядерных структур была бы совершенно иной. Мы рассматрива-
ем поэтому нейтрон как одно состояние с фиксированной
четностью. Вектор спина о является единственным выделенным
направлением в пространстве, вдоль которого может быть
направлен электрический (или магнитный) дипольный момент
(це и \im должны быть параллельны или антипараллельны <г).
Поэтому измерения электрического дипольного момента ней-
трона являются важным тестом Т-инвариантности (см. § 3.14).
Таблица 3.2. Преобразование основных величии
Обозначение
величины
г
Р
<г (спин)
Е (электрическое
поле)
В
а В
<г Е
<г р
<T(PlP2)
Т
Г
-Р
— <Г
Е
-В
а В
а Е
ар
e(PiP2)
Р
-Р
а
-Е
В
а В
<г-Е
ар
<KPiP2)
Величина
Радиус-вектор
Полярный вектор
Аксиальный вектор (г х р)
Е=-дУ/дт
Магнитная индукция
Магнитный дипольный момент
Электрический дипольный момент
Продольная поляризация
Поперечная поляризация
Экспериментально инвариантность относительно обращения
времени подтверждается в сильных взаимодействиях с помощью
принципа детального равновесия (см. § 4.1). На рис. 3.9
приведены результаты проверки детального равновесия в реакции
из этой проверки следует, что амплитуда Г-нарушения меньше
0,3% амплитуды, сохраняющей Г-инвариантность.
90
г7АЪ(р,ОС)Ер,ПэЪ
10,10 10,20 10,30 10,4-0 10,50 10,60
Г* "*
13,30 13,40 13,50 .13.S0 13,70
Рис. 3.9. Дифференциальные поперечные сечения прямой и обратной реакций
2*Mg(a, pJ7Al, измеренные Von Witch et al., 1968 r.
3.13. СР-НАРУШЕНИЕ И СРГ-ТЕОРЕМА
Экспериментальная проверка Г-инвариантности вызывает
интерес в последние годы в связи с наблюдаемым нарушением
СР-инвариантности при распаде К0. Причиной этого является
то обстоятельство, что Т- и СР-преобразования связаны
знаменитой СРГ-теоремой, являющейся одним из важнейших
принципов квантовой теории поля. Эта теорема устанавливает,
что все взаимодействия инвариантны относительно действия
трех операций С, Р, Т, произведенных в любом порядке.
Справедливость этой теоремы основана на общих принципах
и, по утверждению теоретиков, трудно сформулировать по-
левую теорию, которая не была бы автоматически СРТ-
инвариантной. Однако СРГ-теорема не имеет столь солидных
экспериментальных оснований, как сохранение энергии, поэтому
необходимость экспериментальной проверки этой теоремы
очевидна.
Некоторые следствия СРГ-теоремы можно проверить экс-
периментально путем сравнения свойств частиц и античастиц,
которые должны иметь одинаковые массы и времена жизни,
а магнитные моменты должны быть равны по величине
и противоположны по знаку. Эти результаты должны следовать
из зарядовой инвариантности самой по себе, если бы она
была универсальна. Однако слабые взаимодействия не являются
С-инвариантными, поэтому эти предсказания имеют отношение
к более фундаментальной теореме.
91
Таблица 3.3. Проверка ОТ-теоремы
Измеряемые величины
Время жизни
Магнитный момент
Масса
lMii+1-lMi.-l
М„\'-Л/я '
&
Ограничения
<10
<Ю
<10 3
<10~8
< 10 10
<\аъ
<ю~4
Экспериментально СРГ-теорема кажется довольно хорошо
подтвержденной (табл. 3.3). Лучшие экспериментальные огра-
ничения получены из сравнения масс К° и К°.
Другой особенностью СРГ-теоремы является утверждение,
что частицы должны обладать «нормальным» соотношением
спин—статистика, т. е. частицы с целым (полуцелым) спином
должны подчиняться статистике Бозе (Ферми).
Вплоть до 1964 г. считалось, что все типы взаимодейст-
вий инвариантны относительно комбинированной операции
СР. Было также известно, что слабые взаимодействия, на-
рушая С- и Р-инвариантность по отдельности, также СР-
инвариантны. Однако Christenson et. al., 1964 г. нашли,
что долгоживущий нейтральный АГ-мезон, который нор-
мально распадается за счет слабого взаимодействия на три
пиона, имеющие собственное СР-значение — 1, может ино-
гда (с вероятностью 2-10) распадаться на два пиона,
имеющие СР — +1. Эти результаты обсуждаются детально
в §7.14.
Происхождение СР-нарушения не установлено до сих пор,
хотя оно является особенностью теорий фундаментальных
взаимодействий, использующих по крайней мере шесть квар-
ковых ароматов. Если принять теорию «большого взрыва»
Вселенной, не имеющей начальной асимметрии, результаты
СР-нарушения (Г-нарушения) в настоящее время окружа-
ют нас: Вселенная развивается во времени так, что име-
ет место колоссальное преобладание материи над антимате-
рией (обсуждение см. в гл. 9). Как указывалось выше, вели-
чина СР-нарушения очень мала и до сих пор (и, возмож-
но, и в будущем) наблюдена в эксперименте только в сис-
теме К°К°, являющейся очень точным «интерферометром».
Были сделаны также попытки обнаружить Г-нарушение в дру-
гих процессах; так, в следующем разделе мы обсудим экс-
перименты по измерению электрического дипольного момента
нейтрона.
92
3.14. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬНЫЙ МОМЕНТ
НЕЙТРОНА
Мы уже отмечали, что существование электрического ди-
польного момента означало бы нарушение как Т-, так
и Р-инвариантности. Поскольку дипольный момент можно
измерить с большой точностью, это является чувствительным
тестом Г-инвариантности. Перед тем как описывать экс-
перимент по измерению электрического дипольного момента
(ЭДМ) нейтрона, попробуем оценить величину эффекта, пользу-
ясь лишь соображениями размерности.
Можно записать:
ЭДМ = заряд (е) х длина (/) х параметр Г нарушения (/).
Нейтрон не имеет заряда, поэтому дипольный момент
может быть следствием асимметрии между облаками поло-
жительного и отрицательного зарядов (в целом равного нулю)
по отношению к направлению спина о (рис. 3.10). Поскольку
Р-инвариантность также нарушается, мы должны как-то при-
влечь слабое взаимодействие; естественный масштаб длины
в слабом взаимодействии 1—GM, где М—некоторая масса,
за которую естественно выбрать массу нуклона М,
а G=10 /М2 — константа слабого взаимодействия. (Мы здесь
используем единицы А = с=1.) Тогда
ЭДМ = 10~5 e-f~\019fe, C.51)
м
где \/М—комптоновская длина протона h/Mc = 2 • 10~14 см.
Какое нам взять значение для /? Для сохраняющих четность
электромагнитных взаимодействий из СТТ-теоремы следует,
что если Г-инвариантность нарушается, это означает нарушение
С-инвариантности; тогда из результатов по распаду Г|-мезона
(см. §3.11) следует, что/<10 . Другим выбором параметра
Г-нарушения является АГ°-распад, тогда /<10. В любом
случае мы можем ожидать величину ЭДМ порядка \0~22е.
Следует отметить, что эффективная длина диполя очень мала
по сравнению С размером элементарной частицы (около
103 см).
В эксперименте Dress et. al., 1968 г. использовался реактор
как источник тепловых нейтронов. Для увеличения чувст-
вительности эксперимента нейтроны были «охлаждены» за
Рис. 3.10. Асимметричное распределение
плотностей положительного и отрица-
тельного зарядов р в нейтроне может ^ч 7
создавать электрический дипольный мо-
мент
93
счет пропускания через узкую изогнутую трубу из тщательно
полированного никеля с радиусом кривизны 1 м (рис. 3.11).
Критический угол для полного внутреннего отражения в трубе
обратно пропорционален скорости нейтрона, поэтому через
трубу проходят с высокой интенсивностью нейтроны малых
скоростей, образуя пучок с ограниченной расходимостью.
Пучок, прошедший через трубу, падает затем на поляризован-
ную мишень, состоящую из полированного намагниченного
зеркала из железно-кобальтового сплава, в котором направ-
ление магнитной индукции В нормально к поверхности. Полное
внутреннее отражение нейтронов происходит при углах падения
(относительно поверхности), меньших критического угла 0С, где
sin4=l-«2 =—±^- C.52)
п Т
Здесь 1, Г и ц — длина волны, кинетическая энергия и маг-
нитный момент нейтронов соответственно; п — коэффициент
преломления зеркала; ./V—число рассеивающих ядер в единице
объема; а — длина когерентного ядерного рассеяния. Благодаря
второму члену в C.52) 9С зависит от знака ц и, следовательно,
от направления спина нейтрона. Таким образом, можно
выбрать угол рассеяния, при котором пучок нейтронов будет
иметь поперечную поляризацию. В типичном случае для
нейтронов со скоростью г=100мс^1 (температура 1 К) 0 = 2°
выделяет пучок с поляризацией 70%.
После прохождения спектрометра нейтроны отражаются от
анализирующего магнита (аналогичного поляриметру) и регист-
рируются в детекторе, представляющем собой содержащий 6Li
стеклянный сцинтиллятор, чувствительный к нейтронам. Интен-
сивность проходящих нейтронов / максимальна для нейтронов,
которые не испытывают деполяризацию в спектрометре.
Спектрометр состоит, во-первых, из однородного магнит-
ного поля #(//«10 Гс), которое заставляет спины нейтронов
прецессировать с ларморовой частотой vL = \iH/h, где ц—
магнитный момент нейтрона (vL*25 кГц). Во-вторых, исполь-
зуется радиочастотное поле частоты v, создаваемое с помощью
двух катушек, так что при резонансе (v = vL) происходят
переходы с переворотом спина нейтрона и нейтронный пучок
частично деполяризуется; при этом изменяется интенсивность
прохождения нейтронов /. Две катушки используются для
того, чтобы создать эффект интерферометрии, когда возникает
несколько максимумов и минимумов на резонансной кривой
(рис. 3.12) и имеет место быстрое изменение скорости счета
как функции радиочастоты. Наконец, применяется электричес-
кое поле Е= 100 кВ/см- различной полярности, направленное
в направлении магнитного поля Н.
94
17
15'
Рис. З.П. Схема аппаратуры для измерения электрического дипольного момента нейтрона (Dress et. al.. 1968 г.):
/ — центр реактора; 2— нейтроновод (радиусом кривизны 46 м); 3—зашита и охлаждение (А1 и Н2О); 4 — защита реактора; 5— фильтр
(радиус кривизны 1 м); 6—железо Армко; 7—сплав Со—Fe; 8—канал из меди; У— обмотка; 10— магнитная зашита: // — электростатические
пластины; 12—магнитные полюсы, создающие однородное поле; 13 --анализатор спина, магнитное зеркало из сплава Со — Fe;
14—световод; 15— ФЭУ: 16 — стеклянный сцинтиллятор. обогащенный 6Li; 17—радиочастотная обмотка; 18— предварительный спектрометр
(/. = 0.61 м), конечный спектрометр (?,= 1,83 м); 19- пучковый коллиматор; 20—О2О-замедлитель
ЬОО ZOO - О -200 -400
А V, ГЦ
Рис. 3.12. Резонансная кривая, (штриховая), полученная с помощью аппаратуры,
представленной рис. 3.11, в зависимости от изменяющейся радиочастоты.
В наиболее крутой части кривой скорость счета изменяется на 1% при
изменении частоты Av=l Гц. Сплошная кривая вычислена в предположении
о простом максвелловском распределении скоростей в нейтронном пучке
Эксперимент состоит в измерениях интенсивности нейтронов
в области резонансной кривой, где dljdv велико, и наблюдении
изменения / при изменении полярности электрического поля.
Если нейтрон обладает электрическим дипольным моментом
в направлении его спина, то поле Е будет создавать допол-
нительную малую прецессию и соответствующие изменения
в /, когда частота v поддерживается постоянной. Величина
dl/dv пропорциональна времени, затрачиваемому нейтроном
на пролет между катушками и, таким образом, имеет наиболь-
шую величину для большого расстояния между катушками
и для случая малой скорости нейтрона — в этом преимущество
использования «холодных» нейтронов. Результат последней
версии эксперимента (Dress et. al., 1978 г.) устанавливает предел
на электрический дипольный момент
= @,4±1,5)-1(Г24е. C.53)
Отметим, что одним из ограничений эксперимента является
трудность получения точно параллельных полей Е и Н. Если
существует малая компонента EL, перпендикулярная Н, это
96
индуцирует дополнительное магнитное поле AH=(v/c)E± в на-
правлении Н, создающее ложный эффект.
Из C.52) следует, что для ультрахолодных нейтронов
G"=0,002К, 1'%6м-с)8с может превысить к/2, при этом
нейтроны могут отражаться и при нормальном падении. Такие
нейтроны могут быть захвачены и накоплены в магнитных
<<бутылках», это позволяет сделать измерения более длитель-
ными и более точными при определении ЭДМ. Самые
последние результаты с использованием этой техники — резуль-
таты Алтарева и др., 1981 г.:
ЭДМ = B,3 + 2,3)-1(Г25е
и Pendlburi et. al., 1984 г.:
ЭДМ = @.3 + 4,8)-1(Г25е. C.54)
Обзор последних измерений электрического дипольного
момента нейтрона и других частиц дан в работе Ramsay, 1982 г.
Теоретические оценки ЭДМ варьируются на много порядков
величины. Так как нет прямых указаний С-нарушения в эле-
ктромагнетизме, обычно предполагается, что ЭДМ нейтрона
связан с СР-нарушением, таким, которое наблюдается в АГ°-
распаде (см. § 7.14). Это приводит к предсказаниям в области
10~зоеем для так называемой стандартной модели с шестью
кварковыми ароматами, но при других предположениях воз-
можны большие значения ЭДМ. Ясно, что будущие экс-
перименты по измерению электрического дипольного момента
будут иметь фундаментальную значимость для нашего понима-
ния СР-нарушения.
ЗАДАЧИ
3.1. Л-гиперон образуется в пионном пучке в реакции я~ +р->К° + А
и наблюдается по распаду Л->•/> +к ~. Обозначим через J спин Л, г —
направление пучка, в — угол продукта распада относительно z, измеренный
в системе покоя Л.
а) В случае, когда Л образуется точно вдоль направления г, каковы
возможные значения /z?
б) Покажите, что для неполяризованных протонов угловое распределение
распада для Л-гиперонов. образуемых в направлении «вперед», как функция
спина Л будет следующим:
1
А = г (изотропное);
JA=- Ecos4e-2eos2e+ 1).
7 Заказ 416 97
Этот метол определения спина Л был впервые предложен Adair, 1955 г. Для
обсуждения деталей см. работы Sakurau, 1964 г. и Tripp, 1965 г.
в) Установите, как можно определить спин 1 *, возникающих при захвате
из ,9-состояния отрицательных каонов в водороде К' +р->Е* +тс+?
3.2. Х°-гиперон распадается электромагнитно по моде Е°->Л + у. Покажите,
как относительная четность Е° и Л определяет поляризационные состояния
испускаемых фотонов. Зная вектор поляризации фотона е, вектор распрост-
ранения к и спин в для Л-гиперона, найдите простейшие формы матричного
элемента для положительной и отрицательной относительной четности.
Экспериментальное определение S Л-четности было основано на анализе
далитц-распада ?->Л е+е~. Какая четность соответствует наиболее крутому
распределению в инвариантной массе е+е~-пары?
3.3. Покажите, что скалярный мезон не может распадаться на три
псевдоскалярных мезона в сохраняющем четность процессе.
3.4. Внутренняя четность 5Г-гиперона со странностью — 2 может быть,
в принципе, определена из наблюдения его захвата в водороде с S-оболочки:
Е~+р->А + А.
Поляризацию Л-гиперонов можно определить по асимметрии слабого распада
Л->/? + я~ (см. § 7.7). Установите, какова поляризация (если она есть) Л-гиперонов
в этой реакции и как относительные поляризации определяются Е-четностью.
3.5. Захват отрицательных каонов в гелии иногда приводит к образованию
гиперъядра (ядра, в котором нейтрон заменен Л-гипероном) в соответствии
с реакцией
При изучении относительных мод распада 4НЛ и изотропии распадных
продуктов установлено, что УDНЛ) = 0. Покажите, что это означает от-
рицательную четность для К~, независимо от углового момента состояния,
из которого К~ был захвачен.
3.6. Покажите, что реакция п' +d-yn + n + n° не может идти для поко-
ящихся пионов.
3.7. Покажите, что для пионов с нулевым относительным орбитальным
угловым моментом комбинация п+п~ есть собственное состояние СР= + 1,
а п*п~п° собственное состояние СР= — 1.
3.8. Какие ограничения накладывает распадная мода АГ?-»2л° на а) спин
каона, б) четность каона?
ГЛАВА 4
АДРОН-АДРОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Ниже рассматриваются характеристики взаимодействий
между адронами. Как указано в гл. 5, фундаментальное сильное
взаимодействие имеет место между элементарными кварковыми
98
составляющими адронов и существует реально приемлемая
полевая теория взаимодействий между парами кварков, называе-
мая квантовой хромодинамикой, которая, однако, позволяет
получать количественные результаты только для больших
импульсов, передаваемых между кварками. В адрон-адронных
взаимодействиях, в противоположность этому, мы имеем дело
с многими кварками (антикварками), т. е. с неразрешимой задачей
многих тел, и обычно с малыми передаваемыми импульсами.
Ситуация в чем-то схожа с соударениями между атомами.
Фундаментальное (электромагнитное) взаимодействие между
индивидуальными электронами и ядрами хорошо известно, но
описание взаимодействия атом — атом очень сложно, поскольку
включает много электронов, и поэтому требует эмпирического
подхода к задаче. Детальное изучение адрон-адронных взаимо-
действий в течение многих лет предшествовало кварковой
модели. Весьма общий подход—теория 5-матрицы — рассматри-
вает адрон-адронные взаимодействия в терминах амплитуд и фаз
волн, по аналогии с оптикой, применяя концепции и методы
(такие, как резонансы), развитые вначале в .ядерной физике.
Описание адрон-адронных взаимодействий имело большую
важность для установления существования различных адронных
состояний, измерения их масс и квантовых чисел; это упо-
рядочение данных было существенно для появления кварковой
концепции.
4.1. ПОПЕРЕЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ И СКОРОСТИ РАСПАДОВ
Большая часть информации о свойствах частиц и их
взаимодействий исходит из экспериментальных данных о по-
перечных сечениях столкновений и скоростях распада. Для
примера рассмотрим реакцию в виде
аЛ-Ь -> с+? D.1)
i f
с двумя частицами в начальном состоянии / и двумя — в
конечном состоянии /. Если мы будем рассматривать b как
мишень, а а — как налетающую частицу — обычно в виде
хорошо коллимированного пучка — тогда поперечное сечение
для этой реакции определяется скоростью перехода W на
единицу падающего потока и на одну частицу мишени. Если
па — плотность частиц в налетающем пучке, a vt—относитель-
ная скорость частиц а и Ь, тогда поток частиц в единицу
времени через единицу поверхности, нормальной к пучку, будет
Ф = лв»?. D.2)
7* 99
Если имеется пь частиц мишени на единицу площади и каждая
частица имеет эффективное поперечное сечение а, то вероят-
ность того, что любая из падающих частиц столкнется
с мишенью, есть апь и число взаимодействий на единицу
площади в секунду будет nanbovi. Следовательно, скорость
перехода на одну частицу в мишени
lV=a(p = unavi. D.3)
Величина W выражается как произведение квадрата мат-
ричного элемента Mif и плотности конечных состояний или
фазового объема pf; Mif отражает различные динамические
особенности взаимодействия: константу связи, энергетическую
зависимость, угловое распределение и т. д. Формула для
W (см. приложение Д):
W=~\Mif\2pf. D.4)
Эта формула справедлива и для распадных процессов,
в которых начальное состояние / представляет собой нестабиль-
ную частицу, распадающуюся в конечное состояние f(X->c + d).
В первом порядке теории возмущений, когда взаимодействие
предполагается слабым, М{<- можно определить как интеграл
перекрытия по объему Ji|//#'\j/;rft, где Я' — потенциал вза-
имодействия, а 1|/; и tyf — волновые функции начального
и конечного состояний. Эта интерпретация справедлива при
условии #'<ё:#0, где Яо — невозмущенный оператор энергии
(гамильтониан). Однако, когда взаимодействие сильно, Mif не
может быть вычислено непосредственно и D.4) можно рас-
сматривать только как определение М,-у
Чтобы вычислить фазовый объем р^, поместим частицу
в некоторый определенный единичный объем, который упростит
вычисления. Тогда
dn dQ ? dpf .. ,.
J dE0 n dE0 J
где Eo — полная энергия в СЦИ; pf — импульс конечного
состояния в этой системе (|pc| = |Pdl =/?/), a dQ — телесный
угол частиц в конечном состоянии; gf — спиновый множитель.
Уравнение D.1) относится к одной частице каждого типа
в выбранном объеме. При па = 1, интегрируя по всем углам
продуктов реакции с и d, с учетом D.3) получаем
pgft D.6)
где численные множители внесены в \Mtf\2. Согласно закону
сохранения энергии,
100
и, следовательно,
vf
где Ec, Ed — полные энергии, a vf = vc + vd — относительная
скорость с и d. Если sc и sd — спины частиц end,
число их возможных состояний есть Bsc+\) и Bsd+l),
следовательно, gf = Bsc+ \)Bsd+1). Уравнение D.6) в этом
случае принимает вид
\lf\ ph
ViVf
В этом выражении, проинтегрированном по всем углам,
\M{f\2 усреднен по всем возможным спиновым состояниям
а и b и по орбитальным угловым моментам всех состояний.
Как отмечалось выше, точный вид Mif обычно неизвестен.
Однако, если мы сравниваем прямую и обратную реакции
a + b+±c+d в СЦИ, эта информация не является необходимой.
На основе принципа детального равновесия
\Mif\2 = \Mfi\2. D.9)
Это соотношение справедливо при предположениях об ин-
вариантности взаимодействия относительно обращения времени
и пространственной инверсии, которые хорошо выполняются
для сильного (адронного) и электромагнитного взаимодействий
(см. гл. 3). Обращение во времени меняет начальное и конечное
состояния, но также меняет все импульсы и спины; инверсия
в пространстве изменяет затем назад знаки импульсов, оставляя
спины неизменными. Таким образом, записывая Mif = (f\T\i),
где Т—подходящий матричный оператор перехода, получаем
. D.10)
\ i(pa, рь, sa,
Обращение времени
+ Пространственная
инверсия
Суммируя по всем Bs +1 )-проекциям спина, принимающим
значения от — s до +s, получаем \Mif\2 = \Mfl\2, как
в D.9).
Инвариантность относительно обращения времени и про-
странственной инверсии не выполняется для слабых взаимодей-
ствий. Здесь, однако, может быть использован первый порядок
теории возмущений (Н'<^Н0) и Я' — эрмитовый оператор
(т.е. </|Я'|г> = <г|Я'|/>*), так что принцип детального рав-
новесия снова оказывается справедливым. Применим теперь
соотношения D.8) и D.9) для определения спина пиона.
101
4.1.1. Спин пиоиа. Для заряженных пионов спин был
определен путем применения принципа детального равновесия
к прямой и обратной реакциям
p+p*±n++d. D.11)
Используя D.8) для прямой реакции, получаем
Ф+ 0B^+1) 2 ЛИТ,
—pi, D.12)
v,v,
uiuf
где рп — абсолютное значение импульса pn = pd в системе СЦМ
и sd = 1. Для обратной реакции
'"" "%*. D.13)
Для данной энергии в СЦИ, согласно принципу детального
равновесия, множители |Af,/|2 для прямой и обратной реакций
совпадают. Множитель 1/2 в D.13) возникает с учетом того,
что интегрирование фазового множителя D.5) проводится
в пределах телесного угла 2л (а не 4л), это позволяет
определить все состояния пар идентичных протонов. Таким
образом, для отношения поперечных сечений имеем
BуЦ)BуЦ)р
Bsp+lf РУ К AV
Дифференциальное поперечное сечение da/dQ для реакции
//?-> я +d впервые было измерено Cartwright et. al., 1953 г.,
которые использовали протоны с ?'=340 МэВ, соответству-
ющие в СЦИ кинетической энергии пионов Г„ = 21,4МэВ.
Полное поперечное сечение для обратной реакции п+ +d-+p+p
было измерено Clark et. al., 1951, 1952 гг. с Г, = 23 МэВ
и оказалось равным а = D,5+0,8) мб, а также Durbin et. al.,
1951г. при Г, = 25 МэВ, ст = 3,1±0,Змб. Интегрирование из-
мерений Cartwright предсказывало для этой реакции
ст = 3,0± 1,0мб для sn = 0 и а=1,0±0,Змб для sn=\. Эти
данные ясно свидетельствовали, что sn = 0, и более поздние
эксперименты подтвердили это.
Для нейтрального пиона существование распада я°-»2у
означает, что sn должен быть целым (так как яу=1). и что
лят^1. Фотон имеет только два возможных спиновых состояния:
он может быть параллелен или антипараллелен направлению
движения (см. § 3.6). Примем общую прямую линию вылета
фотонов в системе покоя я0 за ось квантования; тогда
z-компонента полного спина фотонов может принимать значе-
ния sz — Q или 2. Предположим, что sn = l, тогда возможно
только sz = 0. В этом случае двухфотонная амплитуда должна
вести себя при пространственных вращениях как Pf (cos 8)
102
с т = 0, где 0 есть угол с осью z. При вращении на 180%
относительно нормали к оси z Э-»л —Э; при этом P°~cos0
меняет знак. При sz = 0 ситуация соответствует двум право-
(или лево-) поляризованным фотонам, разлетающимся в про-
тивоположных направлениях. Упомянутое выше вращение по-
этому эквивалентно перестановке двух фотонов, при которой
их волновая функция должна быть симметричной. Отсюда
следует, что спин нейтрального пиона не может быть равен
единице, т. е. 5„ = 0 или sn^-2. Поскольку в нуклон-нуклонных
взаимодействиях нейтральные, положительные и отрицательные
пионы образуются в равных количествах, это указывает, что
спин нейтрального пиона равен нулю (одинаковый спиновый
множитель, как и у заряженных пионов).
4.2. ИЗОСПИН
Гейзенберг в 1932 г. предположил, что нейтрон и протон
можно рассматривать как различные зарядовые состояния
одной частицы — нуклона. Нуклону можно приписать квантовое
число—изоспин, обозначаемый символом / и равный /=1/2,
и два состояния с /2 или /3, равные ±1/2. Заряд тогда
можно получить из соотношения Q/e = -+I3, если приписать
/3 = 1/2 протону и /3= —1/2 нейтрону. Это чисто формальное
описание полностью аналогично описанию частиц с обычным
спином 1/2 с двумя спиновыми состояниями /z= + l/2 (в
единицах h/2n).
Концепция изоспина является полезной, так как изоспин —
квантовое число, сохраняющееся в сильных взаимодействиях.
Процессы сильного взаимодействия зависят от / и не зависят
от его третьей компоненты /3. Например, сильные взаимодей-
ствия между нуклонами определяются изоспином нуклона и не
отличаются в случае протона или нейтрона, которые в этом
случае являются вырожденными состояниями. Удобным спо-
собом для визуализации изоспина является введение вектора
в трехмерном «изоспиновом пространстве» с проекциями /15
/2, /3- Сохранение изоспина соответствует инвариантности
длины этого вектора при вращении координатных осей в изос-
пиновом пространстве. Электромагнитные взаимодействия не
сохраняют / и не инвариантны относительно этих вращений.
Для них ось /3 является выделенной, так как они связаны
с электрическим зарядом (рис. 4.1).
Самым ранним свидетельством сохранения изоспина в силь-
ных взаимодействиях явилось наблюдение зарядовой симмет-
рии и зарядовой независимости ядерных сил, т. е. эквивален-
тность пр-, рр- и ««-сил в состояниях с тем же угловым
103
\
\
4*'
\
Рис. 4.1. Сохранение изоспина /
в сильных взаимодействиях можно
интерпретировать как инвариантность
относительно вращения вектора изос-
пина длиной v//(/+l) в трехмерном
изоспиновом пространстве. Для /= 1.2
r-компонента может иметь собствен-
ные состояния /3 = + 1 2. В электричес-
ком поле эти состояния отличаются
по заряду (протон и нейтрон)
-1/г
1/2
моментом и с учетом кулоновских эффектов. Эта эквивален-
тность следует из значительного сходства схем уровней
зеркальных ядер, т. е. ядер со сходной конфигурацией нуклонов,
но с заменой нейтронов на протоны и наоборот.
4.3. ИЗОСПИН СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ НУКЛОНОВ
Изоспин системы из двух нуклонов можно записать анало-
гично спиновым комбинациям двух объектов со спином 1/2,
как в C.40).
Обозначая волновые функции буквами пир для нейтрон-
ного и протонного состояний, получаем
\)=P(\)PB);
D.15)
0) [р(\)пB)
V2
где первые три состояния — члены триплета /=1. симметрич-
ного относительно перестановки индексов 1<->2. а последнее —
синглет /=0, который является антисимметричным.
Полную волновую функцию для двухнуклонного состояния
запишем в виде
v|/(полная) = ф (пространственная) ос (спин) х (изоспин) D.16)
при условии, что орбитальный и спиновый угловой моменты
могут быть квантованы по отдельности (система нерелятивистс-
кая). Применяя D.16) к дейтону, спин которого равен единице,
находим, что ос симметрична относительно перестановки двух
нуклонов. Пространственная часть волновой функции ф имеет
симметрию (—1) при перестановке. Известно, что два нуклона
104
в дейтоне находятся в состоянии /=0 (с примесью 1=2
несколько процентов). Таким образом, ф антисимметрична,
и х также должна быть антисимметрична для того, чтобы
обеспечить антисимметрию полной волновой функции v|/. Из
D.15) тогда следует, что /=0: дейтон является изосинглетом.
Для примера рассмотрим реакции
a) p+p->d+n + , б) p + n-*d+n°.
I 1 0 1 0 или 1 0 1
В обоих случаях конечное состояние имеет /=1. В левой
части имеем чистое состояние /= 1 в реакции «а» и 50%
/ = 0 и 50% /= 1 в реакции «б». Сохранение изоспина означает,
что в случае b реакция может идти только из состояния
с /=1. Соответственно, о(Ь)/о(а)= 1/2, что и наблюдается
в эксперименте.
4.4. ИЗОСПИН В СИСТЕМЕ ПИОН —НУКЛОН
Пион существует в трех зарядовых состояниях с массой,
примерно равной к +, к~ и к . Соответственно ему должен
быть приписан изоспин /=1, при этом заряд выражается как
Q/e = I3. Эта формула отличается от соответствующей формулы
для нуклона Qje = I3 + \J2. Обе формулы, однако, можно
объединить в одну при введении барионного числа
Q/e = I3 + B/2. D.17)
Важное приложение сохранение изоспина имеет в процессах
сильного взаимодействия нетождественных частиц, которые
будут в основном представлять смесь различных изоспиновых
состояний. Классическим примером здесь является пион-нук-
лонное рассеяние. Так как /„=1, a IN=\J2, возможно /полн=1/2
или 3/2. Если сильное взаимодействие зависит только от /,
а не от /3. тогда 3x2 = 6 процессов пион-нуклонных взаимодей-
ствий можно описать в терминах двух изоспиновых амплитуд.
Из шести процессов два процесса упругого рассеяния
D.18)
Я П-+П П '
имеют /3=+3/2 и поэтому описываются чистой амплитудой
с /=3/2. Очевидно, что при данной энергии налетающей
частицы оба процесса D.18) будут иметь одинаковые попереч-
ные сечения, так как они отличаются только знаком /3.
Остальные взаимодействия
п~р->п~р;
I
, , D.18а)
105
имеют /3= +1/2, и поэтому /= 1/2 или 3/2. Веса двух амплитуд
в смеси определяются коэффициентами Клебша—Гордана
(известными также как коэффициенты векторной связи или
коэффициенты Вигнера). Их вычисления даны в приложении В.
Альтернативный метод, который используется в настоящем
случае, был применен Фейнманом. Силы между нуклонами
зарядово-независимы. Можно думать, что эти силы возникают
благодаря обмену виртуальными частицами (точно так же
как электростатические силы между двумя зарядами можно
представить в терминах обмена виртуальными фотонами).
Однако в адрон-адронных взаимодействиях возможен вклад
в обмен многих процессов, таких, как обмен пионами,
р-мезонами, парами КК и т. д. Разумно предположить, что
вклад однопионного обмена в отдельности является зарядово-
независимым — в противном случае зарядовая независимость
будет случайно зависеть от интерференции сил всех возможных
механизмов, каждый из которых не является зарядово-неза-
висимым. Эту возможность, в принципе, надо также учитывать.
Вклад однопионного обмена в рр-, рп- и ««-взаимодействия
представлен в виде диаграммы на рис. 4.2, где а, Ъ и с—
неизвестные константы связи. В последней диаграмме виртуаль-
ный к~ можно, конечно, заменить на я+ с изменением направле-
ния стрелки.- Если рр-, рп- и ««-силы одинаковы, мы имеем:
2 2 2
Таким образом, а= ±b. Более того, с не может быть нулем,
так как известно, что последняя диаграмма существует и при-
водит к рассеянию рп с перезарядкой. В этом случае должны
иметь место соотношения
Ь= —а, с= +s/2a,
где знак в последнем выражении произволен.
рр-взаа модействи е п п-в за и модейстби е
а Ь
п
\ яг
a b '
а с
~Т Р Р 1
п п *
Ь с
рп -взаимодействи е
Рис. 4.2. Диаграммы нуклон-нуклонных взаимодействий
106
В сильном взаимодействии нуклон может виртуально дис-
социировать на нуклон и один или более пионов, пару
гиперон — каон и т. п. Возможные виртуальные состояния
нейтрона, включающие нуклон плюс один пион, точно такие
же, как на нижней части рис. 4.2: мы можем обозначить их
|«я°> и \рп~") соответственно. Начальное состояние (нейтрон)
имеет /=1/2, /3= —1/2. Поэтому его можно представить
суперпозицией таких состояний:
i.
ля"
I
Из условия нормировки (x\l)~\l*ldV= I, (nn°\nn°} =
= (рп~\рп~У = \, и поэтому мы получаем
Xl2' l)) у/з
Аналогично, протонное состояние имеет вид
Х\~Л\ ) =
рп»
ПК
D.19)
D.20)
где знак с выбран в соответствии с обычным обозначением
(Condon, Shortey, 1951 г.).
Чтобы найти коэффициенты для состояний /=3/2, /3= +1/2,
используем условия ортогональности и нормировки; например:
1 1
<«я°|«я°> = :
тогда, если мы положим
(Ъ 1
* 2'2
X
!•
= С рп
«яЛ,
яти0 V
D.21)
D.22)
то, очевидно, получим
и, перемножив D.21) на D.20) и D.22) на D.19), найдем, что
т. е.
D.23)
107
Таблица
Пион
я +
*+
я0
я0
тС
я"
4.1. Коэффициенты
Нуклон
Р
п
Р
п
р
п
/3 = 3/2
1
Клебша—
Горлана
/=3/2
1/2
Л
л
-1/2
Л
л
в пиои-нуклониом
-3/2
1
1—
1/2
л
-л
рассеянии
1/2
-1/2
Л
опять с обычным соглашением относительно знака. Резуль-
тирующие коэффициенты Клебша — Гордана приведены
в табл. 4.1.
Теперь мы можем вычислить относительные поперечные
сечения для следующих трех процессов, при фиксированной
энергии:
п+р^>п+р (упругое рассеяние); D.24а)
пр^п'р (упругое рассеяние); D.246)
я /?-»я°и (перезарядка). D.24в)
Поперечное сечение пропорционально квадрату матричного
элемента перехода из начального состояния в конечное, т. е.
где Я.— оператор изоспина, причем Н = Ни если он действует
на начальное и конечное состояния с /=1/2 и Н = Н3 для
состояний /=3/2. Благодаря сохранению изоспина не существу-
ет оператора для переходов, когда начальное и конечное
состояния имеют различные изоспины.
Положим:
42
108
Реакция D.24а) имеет дело с чистым состоянием /=3/2,
/3 = + 3/2. Поэтому
где К—константа.
С учетом табл. 4.1 для реакции D.246) запишем
1
и, следовательно,
Для реакции D.24<?) имеем:
Д /з 1
¦л
н>-
[2
Уз
1
3
'(
1
1
1
2'
^1
\2
2
"з
—
1
~2
Л/,
¦0
и, следовательно,
Тогда отношения поперечных сечений
D.25)
Ограничиваясь ситуацией, когда только одна изоспиновая
амплитуда доминирует при определенных экспериментальных
условиях, получаем:
M oa:ob:ac = 9:1:2,
аа:аь:ас — 0:2:\. .
Проделаны многочисленные экспериментальные измерения
полных и дифференциальных сечений пион-нуклонного рассе-
яния. Самые ранние и простейшие эксперименты измеряли
ослабление коллимированного моноэнергетического я* пучка,
проходящего через жидководородную мишень. Таким образом,
как показано на рис. 4.3, измеряется изменение скорости счета
в счетчиках S3 и S4 при данном числе совпадений S1 + S2
для пустой и полной мишени. Результаты такого типа
измерений показаны на рис. 4.4. Для обоих знаков пионов
(п+ и п ~) имеется сильный пик в аполн при кинетической
109
if-пучок
S1
н—
S2
н-
$3
S4-
Рис. 4.3. Схема измерений полного пион-протонного
поперечного сечения
u3tPJ
,м5
200
190
60
го
0
-
———-~—-_
-
Порог
7/
1,0
;35
i
X
11
/1
1
^+
\у
-\
I
600 3
J ¦
lf> <
>
/
00
3
>
;
I
1,6
|
*7*
1350 МэВ
J
«a
P
A
i
2,0
i
C5
\
I
2,2
4.
<
I
2 Л
, , , , , , , ,
Инбариантная масса sCp- системы, ГэВ
Рис. 4.4. Зависимость полного поперечного сечения п + - и тг-мезонов на
протоне от энергии пионов (значения энергии указаны на рисунке сверху).
Символ А относится к резонансам с /=3/2, N -к резонансам /=1/2. Указаны
положения только некоторых из известных состояний с обозначением их спина
и четности
энергии пионов около 200 МэВ. Отношение (о^р/акр)пош = 3
указывает на то, что амплитуда /=3/2 доминирует в этой
области. Этот пик классифицируется как резонанс Д A236)
A236 МэВ в терминах инвариантной массы пион — нуклон).
Ширина этого состояния на половине высоты около 120 МэВ.
Поскольку спин-четность этого состояния оказывается Ур = 3 + /2
и /=3/2, этот резонанс часто называют C,3)-резонанс. Об-
суждение этого пион-нуклонного состояния дано в § 4.9. Как
видно из рис. 4.4, имеется много пион-нуклонных резонансов,
например /=1/2 резонанс при 1525 МэВ. В основном, в любой
области пион-нуклонной инвариантной массы вклад в сечение
дают несколько амплитуд и нельзя просто интерпретировать
пик в поперечном сечении как указание на определенное
чистое резонансное состояние. Только в первом C,3)-резонансе
такая интерпретация однозначна.
ПО
4.5. СТРАННОСТЬ И ИЗОСПИН
Как объяснялось в гл. 1, странные частицы были названы так
благодаря их большому времени жизни (для процесса распада
по слабому взаимодействию) по сравнению с их обильным
образованием (за счет сильного взаимодействия). Из этого было
сделано заключение о существовании нового квантового числа,
названного странностью S. Странность должна сохраняться
в совместном образовании частиц с противоположной странно-
стью в процессах сильного взаимодействия, но нарушается
в слабом распаде одиночной странной частицы на нестранные.
Связь между изоспином и странностью можно получить
следующим образом. Прежде всего отметим, что Л-гиперон
не имеет заряженных компонент, т. е. /л = 0. Величины
/ и /3 в Л-распаде выглядят тогда так:
Л-> р + п~
/0 1/2 1
h 0 1/2 -1
Поскольку это слабый процесс, ни /, ни /3 не сохраняются в этом
процессе' Так как Л-гиперон и каон образуются в сильных
взаимодействиях совместно (что наблюдалось в ранних экспери-
ментах с диффузионной камерой), то можно приписать каону
полуцелый изоспин /к=1/2 как простейший вариант:
я~ + р ^А+К°
I 11/2 0 1/2
/3 -1 1/2 0 -1/2
Правильный знак заряда для нейтрального каона получится,
если положить:
Qle=T3 + \/2, D.26)
подразумевая, что А"-мезон—заряженный член каонного дуб-
лета— имеет /3 = 1/2. Этот выбор также запрещает сильный
распад каона по схеме К + ->п + +п~ +п +; как мы уже видели,
это слабый процесс. К "-мезон не вписывается в эту схему.
Поэтому необходимо постулировать второй А-дублет с
Q/e=h-\/2, D.27)
который содержит второй нейтральный каон с /3= + 1/2, назы-
ваемый К0. К+ и К~ рассматриваются как частица и ан-
тичастицад.так же, как К0 и К0. Интересные явления, связанные
с К0 и К0, обсуждаются в § 7.14.
Gell-Mann в 1953 г. и Nishijima в 1955 г. заметили, что
формулы D.17), D.26) и D.27) могут быть более элегантно
представлены, если ввести в квантовое число странность,
в соответствии с формулой
ill
. D.28)
Значение странности S следует из значения изоспина.
Нуклоны и пионы, очевидно, должны иметь 5=0, Л-гиперон,
5=-1, Л:°/Г + -дублет S= + \, а К" А"°-дублет 5=-1. Эти
значения приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2. Изоспин и странность для частиц, распадающихся путем слабого
или электромагнитного взаимодействии
в
1
1
0
0
0
1
1
1
0
s
0
_ 1
0
+ 1
-1
-1
-2
-3
0
1/2
0
1
1/2
1/2
1
1/2
0
0
h
-1
n~
-1/2
n
K°
K'
0
л
S°
a~
Л
+ 1 2
P
K"
¦=¦0
+ 1
Пример реакции, сохраняющей странность:
К + р -> Л +п°
-1
0
-1
0
0
0
/3 -1/2 +1/2
показан на рис. 4.5.
Z-гиперон входит в заряженный триплет, 7=1. Это значение
/ хорошо описывает наблюдаемые реакции сильного взаимодей-
ствия:
Рис. 4.5. Схема реакции К +/?->Л + л° при
остановке отрицательного ? "-мезона в пузырь-
ковой камере (в точке А). Нейтральный пион
испытывает далитц-распад п°-+е*е~у, Л-гипе-
рон распадается (Л->тс~+/?) в точке В
112
Рис. 4.6. Схема распада S
в водородной пузырьковой камере.
Реакция вызывается налетающим К'-
мезоном с импульсом^ 10 ГэВ/с:
К-+ р-~.~+к* + Ка + К° + К"; Странность
S: -1 0 -2 0 +1 +1 -1
В данном событии К0 не наблюдает-
ся. Оба К°-мезона распадаются по
моде К°->п+п~
л± + р ->х* +л: +
/ 11/2 1 1/2
/3 ±1 1/2 ±1 1/2
S 0 0-11
и соответствует слабому рас-
паду Е + ->и + л.
Предсказываемый ней-
тральный член триплета
Х° был найден лишь в
1959 г. Он распадается путем
электромагнитного взаимо
действия
I
h
S
1°
1
0
1
-> Л +
0
0
-1
У
0
0
0
Каскадный а -гиперон впервые наблюдался ь ран-
них экспериментах в космических лучах в камере Вильсона;
значение S =—2 для него следует из факта его образования
совместно с парой АГ°-мезонов, а также из схемы его слабого
распада
Его ожидаемый нейтральный партнер Н° был обнаружен
в 1959 г. Пример Е"-распада показан на рис. 4.6.
Существование О~-бариона с S=— 3. его масса и схе-
ма распада были предсказаны раньше его обнаружения
в 1964 г., на основе унитарной симметрии и кварков •? модели
(см. гл. 5). Фотография первого Q "-события показана на
рис. 5.2.
Электромагнитное расщепление масс между членами изос-
пиновых мультиплетов приведено в табл 4.3. Как и ожидается,
они имеют порядок величины Am/m*a*10~2 Отметим, что
частица и античастица должны иметь идентичные массы
8 Заказ 416 113
Таблица 4.3. Массовое различие изоспяновых мультиплетов
Различие в массах
п-р
?--S°
а:0-*:*
hm, МэВ/с2
1,3
3,1
4,9
6,5
4,0
4,6
теср, МэВ/с2
939
1190
1195
1318
495
140
103Aw/w
1,4
2,6
4,1
4,9
8,1
3,3
благодаря СРГ-теореме и, следовательно, тп*=тп , тк + = тк-.
Однако тъ*фт^-, поскольку ?+ и I" не являются барионом
и антибарионом, а являются оба барионами.
4.5.1. С-четность. Оператор зарядового сопряжения С может
иметь собственные состояния только для нейтральных систем,
таких, как п°, у, г| и е + е~. Полезно, однако, сформулировать
правила отбора для некоторых заряженных систем; это можно
сделать, комбинируя операцию зарядового сопряжения с враще-
нием изоспина в сильных взаимодействиях. Для этого рас-
смотрим операцию
G — CR = Cexp(inI2). D.29)
Операция G состоит во вращении R на 180° относительно /2-оси
в пространстве изоспина после операции зарядового сопряже-
ния. Примененная к состоянию с z-компонентой изоспина /3,
эта операция сперва переворачивает компоненту /3-+ — /3,
а затем обращает процесс — /3->/3. Поэтому заряженные
состояния могут быть собственными состояниями G-оператора.
Для того чтобы получить эти собственные состояния, рассмот-
рим изоспиновое состояние % (/, /3 = 0). При вращении изоспина
это состояние ведет себя в точности так же, как волновая
функция момента количества движения Yf=0(Q, <p) C.16) при
вращении в обычном пространстве. Я-операция exp(inLy)
предполагает 9->я —0, <p->7t — (р, и поэтому
Поэтому
Например, для состояния нуклон — антинуклон с полным
спином s и орбитальным угловым моментом / операция С дает
фактор (—1) точно так же, как в случае с позитронием.
Таким образом, операция G = CR для нейтральной (/3 = 0)
системы нуклон — антинуклон |v|/> имеет следующий вид:
114
Так как сильное взаимодействие инвариантно относительно
вращения изоспина, эта формула должна быть справедлива
не только для случая /3 = 0, для которого она выведена.
Теперь предположим, что G-оператор действует на волно-
вую функцию пиона |л+>. R переворачивает /3, переводя
л + -*л~, а С изменяет знак: л~->л + . Можно написать, что
G\n°)=±\n°).
Нейтральный пион должен быть собственным состоянием С со
значением +1, так как он распадается по схеме ji°->2y.
Собственное состояние R есть ( — 1) = — 1, поэтому
Собственное состояние оператора G называют G-четностью.
В то время как G-четность нейтрального пиона однозначна,
для заряженных пионов это не так. Они не являются
собственными состояниями оператора С, и в процессе заря-
довой инверсии возникает произвольно выбираемая фаза.
С практической точки зрения удобнее договориться и опре-
делить фазы таким образом, чтобы изоспиновый триплет
имел ту же G-четность, что и нейтральная компонента.
В данном случае можно записать:
G|7t>=-|7t>, D.30)
если мы примем
Поскольку операция С изменяет знак барионного числа,
очевидно, что собственные состояния G-четности должны иметь
нулевые барионные числа. Квантовые числа зарядового со-
пряжения являются мультипликативными, а изоспиновые — ад-
дитивными, поэтому G-четность мультипликативна.
Тогда для состояния из п пионов
)>. D31)
Концепция G-четности не вносит ничего нового по срав-
нению с действием операции С и изоспиновой инвариант-
ностью; она попросту позволяет сформулировать некоторые
простые правила отбора для распада мезонных резонансов.
В табл. 4.4 представлены необходимые квантовые числа ме-
зонов и мезонных резонансов.
8* 115
Таблица 4
Частица
(масса, МэВ)
Спин-четность Jr
Изоспин /
G-четность
Доминирующая
мода распада на
пионы
4. Квантовые числа мезонов и мезонных резоиансов
гсA40)
(Г
1
-1
рG70)
Г
1
+ 1
2я
со G83)
1"
0
-1
Зя
ФA020)
I"
0
-1
Зл
/A270)
2 +
0
+ 1
2л
ЛE49)
(Г
0
+ 1
2я
Ц'(958)
(Г
0
+ 1
Отметим, что векторные мезоны р, со, (р и / распадаются
за счет сильного взаимодействия и имеют большие ширины
(от 3 до 100 МэВ) и что множественность пионных распадных
мод следует правилу G = (—\)". Но существование уу-распадных
мод г) и г)' доказывает, что эти мезоны распадаются
в результате электромагнитного взаимодействия с полными
ширинами 0,9 КэВ и 0,3 МэВ соответственно. Так как для
них /=0 и СBу)= + 1, они должны иметь G= + \. Поэтому,
поскольку сильный распад на два пиона запрещен сохранением
четности, остается единственная возможность распада на три
пиона путем нарушающего G-четность электромагнитного рас-
пада.
4.6. ДИАГРАММЫ ДАЛИТЦА
В реакции типа
п+р->п + п+р D.32)
можно изучать возможные взаимодействия между частицами
в конечном состоянии, например возникновение резонансов
(пр, ш) путем наблюдения отличий импульсных и угловых
распределений от ситуации, когда матричный элемент посто-
янен, т. е. когда эти распределения определяются просто
фазовым пространством конечного состояния. Отклонение
таких распределений от фазового пространства удобно изучать
на диаграммах Далитца (Dalitz, *1953 г., Fabri, 1954 г.).
4.6.1. Трехчастичиое фазовое пространство. Согласно D.5),
число квантовых состояний в фазовом пространстве на единицу
объема есть
p2dpdQ/h3
для бесспиновых частиц с импульсом от р до p + dp внутри
элемента телесного угла dQ. В реакции типа D.32) с тремя
частицами 1, 2 и 3 в конечном состоянии и фиксированной
начальной энергией число состояний пропорционально
116
В СЦИ импульс Рз = — (Pi+Рг) фиксирован, так что нет
необходимости следить за импульсом частицы 3. Если началь-
ное состояние неполяризовано, все ориентации в пространстве
равноправны (изотропия). Интеграл по всем направлениям
частицы 1 в этом случае равен JdQ1=4ji, в то время как
dQ2 = 2nd(cosQl2), где 012 — угол между частицами 1 и 2.
Итак, число состояний в элементе пространства dp1dp2d(cosQ12)
равно
dN=constpldp1p2dp2d{cosQ12).
Матричный элемент для взаимодействия обычно подсчитыва-
ется в лоренц-инвариантной форме, путем нормировки вол-
новой функции частиц в их собственной системе покоя. Объем
V в системе покоя частицы будет претерпевать лоренцевское
сокращение до величины V'm/E СЦИ, где частица имеет
энергию Е. Выражение в фазовом пространстве может быть
сделано релятивистски-инвариантным путем включения от-
ношения т/Е или \/Е для каждого конечного состояния
частиц (см. приложение А).
Тогда оно имеет вид
P^EPM^M. D.33)
Е1Е2Е3
Используя соотношения
Е\=р\ \ ll
E1dE1=pldp1, E2dE2=p2dp2,
получаем
,.г Е\д.Е\
dN=const r
Плотность конечных состояний получим при делении dN
на dEf, где Ef = E1 + E2 + E3—полная энергия; для фиксирован-
ных Ег и Е2 dEf = dE3. Следовательно,
dN
p=-— = constdEldE2. D.34)
dEf
Если теперь включим матричный элемент взаимодействия
М, то найдем заселенность диаграммы Далитца для интервала
dEtdE2:
P = \M(E1,E2)\2dEldE2. D.35)
117
В этом случае плотность в любой точке равна квадрату
матричного элемента; это позволяет его измерить.
4.6.2. Кж -распад. Впервые диаграмма Далитца была постро-
ена для распада
К + -^п + +п + +7i", 6 = 75 МэВ (полная кинетическая энергия).
В этом случае три частицы имеют одинаковые массы
и являются нерелятивистскими (или почти нерелятивистскими).
При построении диаграммы кинетические энергии пионов
откладываются вдоль трех осей, повернутых на 120°, как
показано на рис. 4.7, а. Плотность на диаграмме должна быть
постоянной, если матричный элемент постоянен, и они должны
лежать в круге радиуса Q/3, где Q — полная кинетическая
энергия (см. задачу 4.10).
Зададимся теперь вопросом, как изменится картина в фа-
зовом пространстве комбинаций п + л + л ~ для различных
спинов, которые можно приписать каону. Пусть /+ будет
угловой момент двух пионов с одинаковым знаком заряда
в СЦИ, который должен быть четным благодаря бозе-
симметрии, и пусть /"—момент отрицательного пиона от-
носительно дипионной системы. Если /+>0 (т.е. 2, 4,...),
матричный элемент и плотность диаграммы Далитца должны
исчезнуть в области S на рис. 4.7,а, где два п+ находятся
в состоянии покоя. Если /~>0 (т.е. 1, 2, 3, ...), диаграмма
должна быть обеднена событиями в области R, где от-
рицательный пион имеет очень маленькую энергию относитель-
но дипиона. Поскольку реальная диаграмма (рис. 4.7, б) везде
однородна, ни / + , ни /~ не могут быть отличными от нуля,
и поэтому /к = 0 как единственная возможность.
Необходимо подчеркнуть, что приведенный анализ не дает
информации о четности каона. Три пиона в ^-состоянии имеют
четность (—1K= —1; однако, так как в слабом распаде К->Зп
четность не сохраняется, это еще ничего не говорит нам
о начальном состоянии. Четность каона может быть определена
при изучении гиперъядер. Это ядра, в которых один из
нейтронов замещен на связанный Л-гиперон. Например, когда
отрицательный каон останавливается в гелии и происходит его
захват в ^-состояние атома, в нескольких процентах случаев
возникают не свободные, а связанные Л-гипероны после реакции
где гиперъядро 4НЛ состоит из тритона CН) и связанной
Л-частицы. В результате детальных измерений слабого распада
4НеЛ найдено, что спин Лн =0. Итак, /=/=0 в обоих частях
этой реакции. Если четность Л положительна, как и для
нуклона, то каон должен иметь Jp = 0~ (аналогично пиону).
118
• -11 Событий, (Колумбия)
х- 100 Событей (Бернли)
о - 4в Событий (МТИ)
a) ^ "" б) "'а
Рис. 4.7. Ожидаемые области пониженной плотности (Л и S) в диаграмме
Далнтца для #->Зя-распада в случае ненулевого спина каона JK (a)
и наблюдаемое распределение событий в К-*Зп, показывающее однородное
заселение диаграммы Далнтца (б), т. е. JK = 0. Все события нанесены в одной
половине круга. Штриховая кривая показывает края диаграммы при исполь-
зовании релятивистской кинематики
4.6.3. Диаграммы Далитца, включающие три разные частицы.
В качестве примера диаграммы Далитца, включающей три частицы
разной массы, рассмотрим распад гиперонного резонанса Y\ A385),
называемого также Е A385). Это состояние было впервые
наблюдено Alston et. al. в 1960 г. во взаимодействии К "-мезонов
с импульсом 1,15 ГэВ/с в жидководородной пузырьковой камере
Лаборатории им. Лоуренса в Беркли. Была изучена реакция
К~ +/>->я + +п~ + Л. D.36)
Кинетическая энергия п+- и л "-мезонов, рассчитанная в СЦИ
всех частиц, откладывалась вдоль осей х и у соответственно.
Если Q — полная кинетическая энергия трех частиц в конечном
состоянии в этой системе, тогда T^ = Q — (Tn+Tn) и линии
постоянной ГЛ есть линии, наклоненные под углом 45° к осям,
как показано на рис. 4.8. Законы сохранения энергии и импульса
ограничивают положение точек, соответствующих отдельным
событиям, внутри указанного на рис. 4.8 сжатого эллипса.
Как обычно, если нет сильных корреляций в конечном
состоянии D.36), плотность точек должна быть однородной.
119
Масса пары л?Г~, МэВ
1300 1*00 1500 1600
1700
,50 2,00 2,50 3,00
НВадрат массы пары ЛйС~, ГзВг
Число на Л7МэВ
Рис. 4.8. Диаграмма Далнтца событий Ак*п от реакции D.36), полученная
Shater et al., 1963 г., при импульсе налетающего К -мезона 1,22 ГэВ/с.
Эффективный спектр масс Лл+ показан справа. Штриховая кривая соответству-
ет фазовому распределению (ордината равна интервалу в М\„- в пределах
диаграммы Далитца), сплошная кривая — подгонке брайт-вигнеровской формы
кривой для Ля + - и \ж~ -систем
На рис. 4.8 ясно видны сильные отклонения от однородной
плотности, что выражается в горизонтальной и вертикальной
полосах заселенности диаграммы, соответствующих выделен-
ным значениям Т„ и Т„*. Это означает, что реакция D.36)
протекает как двухчастичная реакция, когда возникают один
пион (л1) и резонансное состояние Л с другим пионом (п2)
с более или менее фиксированной массой МЛя = 1385 МэВ.
Итак, если р — импульс каждой из двух частиц в системе
СЦИ, полная энергия
W=y/ML+p2+Jm2n+p2; D.37)
так что при фиксированной МЛя импульс р также фиксирован.
Очевидно, что если имеет место широкий резонанс в системе
Л„. величина Т„ будет иметь разброс и, соответственно,
возникает полоса на диаграмме Далитца. Заметим, что на-
блюдаются две полосы: горизонтальная и вертикальная, это
означает, что резонанс возникает как в системе Ля*, так
и в системе Л„-. Следовательно,
/1
0 1,
120
причем этот резонанс должен иметь изоспин 1, так как он
распадается путем сильного взаимодействия, где изоспин
сохраняется.
В диаграмме Далитца обычно изображают М\п- вместо
Т„ вдоль оси х (и A/in* вдоль оси у), т. е. можно прямо
получить инвариантную массу Ля. Можно показать, что
М2Лп = W2 + m2-2WEn< = a + bTn., D.38)
т. е. М\„- пропорциональна Тп при фиксированном W—пол-
ной энергии. На рис. 4.8 показан также спектр масс системы
Лл+ на. фоне чистого фазового распределения D.34); сплошная
кривая получена в предположении, что имеются резонансы
Ля + или Лп~, описываемые формулой Брайта—Вигнера D.55)
с шириной Г = 40 МэВ.
Спин-четность Е A385) была определена как Jp — 3/2 + ;
этот вывод был сделан на основе анализа поляризации
Л-частицы относительно плоскости образования частиц в ре-
акции D.36).
4.7. ОПТИКО-ВОЛНОВОЕ ОБСУЖДЕНИЕ
АДРОННОГО РАССЕЯНИЯ
Рассмотрим пучок частиц как плоскую волну, распрост-
раняющуюся вдоль оси z и падающую на бесспиновую
частицу-мишень, или центр рассеяния. Такую падающую волну
с единичной амплитудой можно представить в виде
где к=\/Х, а 2пХ—длина волны де-Бройля; зависимость от
времени е~1Ш' опущена для простоты изложения. Плоскую
волну можно представить как суперпозицию сферических
падающих и отраженных волн. На расстоянии г от центра
рассеяния, при котором кг»\, радиальная зависимость этих
сферических волн имеет вид e±ik /кг, так что поток через
оболочку сферы не зависит от г, как и должно быть для
сохранения вероятности. Угловая зависимость определяется
полиномом Лежандра P((cos9).
При кгу>\
^), D.39)
где первый член в квадратных скобках означает падающую
волну, а второй — отраженную, как на рис. 4.9 (смысл становит-
ся ясен, если включить член временной зависимости е~'м').
Во всех случаях, с которыми мы здесь имеем дело, типичное
значение к равно 1013 см, а расстояние от рассеивающего
121
__ +ц,г ^ИС' ^-9- Падающая и отраженная во-
~~*% 3 * лны
/ \ j^ центра г, на котором наблю-
/ \ г/ \ дается рассеянная волна, рав-
' \ Хд \ но десяткам сантиметров. По*-
~^ о — этому асимптотическая форма
D.39) является оправданной.
Рассеивающий центр или потенциал не может воздей-
ствовать на падающие волны, но может изменять как фазы,
так и амплитуды отраженных волн. Изменение фазы парци-
альной волны с орбитальным моментом / обозначим 25;,
а ее амплитуду ць где 1>г];>0.
Полная волна имеет теперь асимптотический вид
^/)[()]). D.40)
Таким образом, рассеянная волна, представленная как разница
между отраженными волнами при наличии и в отсутствии
рассеивающего потенциала, имеет следующий вид:
^() D.41)
где амплитуда рассеяния
[T^^)). D.42)
Заметим, что это выражение соответствует упруго рассе-
янной волне, волновое число к одно и то же до и после
рассеяния. Это может быть справедливо в лабораторной
системе координат, если рассеивающий центр имеет бесконеч-
ную массу. Реально рассеивающая частица-мишень приобретает
импульс и энергию; таким образом, величины к и X, строго
говоря, характеризуют волну в СЦМ налетающей частицы
и частицы-мишени, где они не меняются в процессе упругого
рассеяния. Отраженный рассеянный поток в телесном угле
dQ на сфере радиуса г имеет следующий вид:
tfovl/расЖрасс'^ = »о IЩ12 dCl D.43)
где v0—скорость отраженных частиц (относительно центра
рассеяния). Но D.43), согласно определению, есть произведение
поперечного сечения рассеяния на падающий поток (t>j\|/,-\|/j = t;j).
Так как Vi = v0 для упругого рассеяния, то
122
или
f—\ = |^(e) |2. D.44)
\"^'/упр
Полиномы Лежандра обладают условием ортогональности
'21+ Г
где
5;Г=1 при /=/',
5„=0 при 1Ф1'.
Таким образом, полное сечение упругого рассеяния, проинтег-
рированное по углам, согласно D.42) и D.44), имеет вид
D.45)
2i
Когда г| = 1, что соответствует отсутствию поглощения
падающей волны:
CTynP = 4jrX2^B/+l)sin25;. D.46)
Очевидно, что ступр = 0 при 5; = 0, что соответствует нулевому
рассеивающему потенциалу. Если г| < 1, то поперечное сечение
реакции стр можно получить из сохранения вероятности:
где \|/вх представляет собой первый член D.39), а \|/вых — второй
член в D.40). Следовательно,
л2)- D.47)
i
Полное поперечное сечение
Так как Р;A)=1 для всех /, из D.42) для направления «вперед»
находим (cos 9=1, 9 = 0)
Сравнивая последние два уравнения, получаем оптическую
теорему
=^anMH, D.48)
123
связывающую полное поперечное сечение с мнимой частью
амплитуды упругого рассеяния «вперед».
Соотношения, полученные выше, описывают различные
поперечные сечения аупр и стполн в терминах параметров г|
и 8. Они устанавливают ограничения на поперечные сече-
ния, возникающие из сохранения вероятности (часто на-
зываемом условием унитарности). Например, из D.46) ви-
дим, что максимум упругого поперечного сечения для пар-
циальной волны / достигается при 5; = л/2 и имеет вели-
чину
а™? = 4пХ2B1+\) ' D.49)
для г|/ = 1, т.е. в случае, когда имеется чистое рассеяние
без поглощения. Аналогично, из D.47) получаем максимум
поперечного сечения поглощения или сечения реакции при
0
Это последнее выражение может быть интерпретировано
в рамках простых классических аргументов. Орбитальный
угловой момент соответствует «прицельному параметру» Ь,
соответствующему соотношению lh=pb или b = l%. Частицы
с угловым моментом от / до /+1 поэтому поглощаются
в кольце с поперечным сечением
Следует заметить, что в случае полного поглощения г) = 0
упругое поперечное сечение есть также лХ.2B/+1) (см. § 4.11).
Величина
J\1)- 2i 22e
D.50)
Imf
в D.42) — амплитуда упругого
поперечного сечения (для
парциальной волны /), которая
является комплексной величиной;
на рис. 4.10 показан вектор
f в комплексной плоскос-
ти. Для г| = 1 конец вектора
описывает круг с радиусом, рав-
ным 1/2, с центром в точке i/2
Рис. 4.10. Амплитуда рассеяния f как
вектор в комплексной плоскости. При-
чинность требует, чтобы при увеличении
энергии конец вектора вычерчивал уни-
тарную окружность в направлении про-
тив часовой стрелки
124
при изменении сдвига фаз от 0 до л/2. Когда 5 = л/2, f—чисто
мнимая величина, равная по значению единице, согласно
D.49). Если г| < 1, то конец вектора лежит внутри упомянутого
круга, иногда называемого унитарным кругом. Такое название
происходит оттого, что, по определению f, его максимальный
модуль должен быть равен единице, если вероятность со-
храняется; таким образом, интенсивность отраженной парци-
альной волны не может превосходить соответствующую вели-
чину падающей волны.
4.8. РЕЗОНАНСНАЯ ФОРМУЛА БРАЙТА — ВИГНЕРА
Свяжем теперь предшествующее оптико-волновое обсуж-
дение с рассеянием двух элементарных частиц — одной,
соответствующей падающей волне, и другой — волне после
рассеяния. Для упрощения будем считать обе частицы
бесспиновыми. Говорят, что две частицы резонируют, если
амплитуда упругого рассеяния /(/) проходит через максимум
при данном / и при данном значении длины волны
X в СЦИ. Резонансное состояние характеризуется угловым
моментом /=/, определенной четностью и изоспином, а та-
кже массой, соответствующей полной энергии двух частиц.
Критерием резонанса является прохождение сдвига фаз
8; через л/2 для парциальной волны /. Поперечное сечение
может также быть описано в терминах ширины Г или
времени жизни резонансного состояния следующим образом:
опуская индекс / в D.50) и полагая Ц = 1, перепишем
/ в следующем виде:
ei«/eis_ -is\ i
ctg5i v '
J 2i ctg5-i
Вблизи резонанса 5«л/2 и ctg8«0. Если Е—полная энергия
двухчастичного состояния в СЦИ, a ER — величина Е в резонан-
се (8 = л/2), тогда, путем разложения в ряд Тейлора, получаем
ctg8(?)=ctg8(?R) +
здесь ctg 8 (?») = 0, и мы определяем величину 2/Г =
= — [d(ctg6(E))/dE]E=E . Пренебрежение последующими члена-
ми ряда при разложении справедливо при условии
\Е—Ев\х Г <^ER. В этом случае резонанс симметричен
и [rf2(ctg5(i?))/</Zi2]E=B =0. (Если резонанс достаточно широ-
кий, фактор фазового пространства изменяется в пределах
125
0,5
Рис. 4.11. Кривая брайт-вигнеровского
резонанса
ширины Г и резонанс становится
асимметричным.) Из D.51) на-
ходим
1
Г/2
ctg5-i (ER-E)-ir/2- D52)
Из D.45) и D.50) находим сече-
ние упругого рассеяния
Г2/4
/4 D.53)
Мы получили формулу Брайта — Вигнера. Резонансная кривая
<у(Е) показана на рис. 4.11. Ширина Г определена таким
образом, что упругое сечение аупр уменьшается вдвое от
максимума, когда \Е—ER\ = +Г/2.
Как отмечалось в гл. 1, ширина Г и время жизни т резонанс-
ного состояния связаны соотношением т = Й/Г. Энергетическая
зависимость амплитуды D.53) является просто фурье-преоб-
разованием экспоненциального временного спада радиоактив-
ного распада резонанса. Волновую функцию нестационарного
распадающегося состояния с центральной угловой частотой
(oR = ER/h и временем жизни т = А/Г можно записать в виде
( D.54)
в единицах Й = с=1. Интенсивность 7(г) = \|/\|/* = /@)е"'/т описы-
вает нормальный экспоненциальный закон радиоактивного
распада. Фурье-преобразование этого выражения есть
о
с со = ?/# = ?. Зависимость амплитуды от Е запишем в виде
Х(Е)= Гф@с'»А = ф@) [с-™*™*-™*** *
J J (^R-t)-il /2
где К—некоторая постоянная.
Теперь найдем связь между вероятностью, проинтегрирован-
ной по времени распада резонансного состояния с полной
энергией Е, и поперечным сечением аупр(Е). Если резонанс
является чисто упругим, из соображений сохранения вероят-
ности ясно, что поперечное сечение, которое измеряет веро-
ятность образования резонансного состояния, должно быть
пропорционально вероятности распада. Следовательно, можно
написать, что ст(/, Е)~х*Ъ ГДе X = Xi(E), I—орбитальный
126
угловой момент, участвующий в образовании резонансного
состояния. Обе величины имеют максимум, когда E—ER
и 5/ = л/2, так что
АК2
И (x*x)max = "jpr
Таким образом, в терминах ширины распадного процесса
Г вместо 5-сдвига фаз процесса рассеяния имеем
как в D.53).
Для бесспиновой налетающей частицы и бесспиновой части-
цы-мишени /=/—полному угловому моменту резонансного
состояния. Поэтому B/+1)->B./+1). Для образования и распада
резонанса с угловым моментом J при соударении частиц со
спинами sa и sb и усреднении поперечного сечения по спиновым
состояниям а и Ъ получим
Спиновые факторы возникают при рассмотрении квантовых
состояний, доступных в обращаемых реакциях а + Ьт^с, как
в D.8) и D.14).
До сих пор предполагалось, что резонанс может распадаться
только упруго, т. е. л+л->А->я + л, но не А->2я + л. Реально
Г = Гупр + Гр, где Гупр и Тр — парциальные ширины для упругого
и неупругого каналов. Тогда для аупр(Е) Г2 в D.55) должно
быть заменено на Гупр. Неупругое поперечное сечение <ур(Е)
— то же самое, что и в D.55), но с Г2, замененным на ГупрГр.
Амплитуда упругого рассеяния / в случае упругого резонанса
(г| = 1) прочерчивает унитарный круг на рис. 4.10. При использо-
вании принципа причинности (отраженная волна не может
возникнуть раньше, чем падающая волна достигнет рассеивающе-
го центра) можно заключить, что / прочерчивает круг в направле-
нии против часовой стрелки (для потенциала притяжения).
4.9. ПРИМЕР БАРИОННОГО РЕЗОНАНСА А A232)
На рис. 4.4 показана зависимость полного сечения тс+ и п~
от кинетической энергии налетающего пиона. Отчетливо виден
резонанс /=3/2 при Гя=195МэВ, соответствующий массе
системы пион — протон 1232 МэВ. Он был открыт Ферми
и Андерсоном в 1949 г. Резонанс обозначают Р3з A232), что
значит: /=1 (/?-волна), пион-нуклонный резонанс с /=3/2
127
0",м5
Масса системы пион-протон, МэВ
1100 1150 1200 1250 1300 1350
1400
100 200 300 400
Кинетическая энергия пиона,МэВ
Рис. 4.12. Зависимость полного поперечного сечения п+р от кинетической
энергии падающего пиона или массы п+р в области резонанса 1232 МэВ, /=3/2,
Jp = 3+/2. Штриховой •линией показано максимальное поперечное сечение &пХ2,
которое следует из соображений сохранения вероятности
и 7=3/2. Заметны также другие горбы и пики в стполн.
Например, в канале /=1/2 видны состояния D13 A520)
и F15 A688) как пики в а(п~р) и РЪ1 A950) как пик в сечении
а(п+р), т.е. 7=3/2.
Амплитуда наинизшего по энергии А A232) niV-резонапса
является почти чисто упругой амплитудой из-за его малой
массы; «хвостами» от резонансов большей массы можно
пренебречь. Ограничением сечения для 7=3/2 является
ступр = 8яХ2, что показано пунктиром на рис. 4.12; сравнение
с экспериментальными данными на рис. 4.12 ясно указывает, что
А A232) есть /^-волновой резонанс со спин-четностью 7р = 3/2 + .
Приписывание А A232) резонансу спина 7=3/2 может быть
подтверждено угловым распределением упругого л + />-рассеяния
в области этого резонанса. Выберем направление налетающего
пиона за ось квантования (ось z). Волновая функция углового
момента /^-состояния пиона будет ф(/, т) = фA.0), так как
спин пиона равен нулю. Для протона мы имеем on -, +-z),
в соответствии с двумя возможными ориентациями спина
(рис. 4.13). Результирующее состояние есть
128
Рис. 4.13. Схема ориентации спина протона
Когда А испускает пион, спин остающегося протона может
либо сохранить свое направление, либо изменить его на
противоположное; зная коэффициент Клебша — Гордана (см.
табл. 4.1), можно использовать волновые функции конечного
состояния а' и ф':
Отметим, что при вылете рассеянного пиона под некоторым
углом 9 по отношению к оси z его орбитальный момент
может иметь проекции 1 или 0 на ось z. Функция ср' при
этом является сферической гармоникой:
ф'A,о)=у?= /—cose.
\ 4л
Угловое распределение пионов поэтому
перекрестный член равен нулю, так как У\ и У?, так же
как ом-, —») и a'lz, х), являются ортогональными. Таким
образом,
/(9)~sin29 + 4cos29=l+3cos29. D.56)
Зависимость дифференциального поперечного сечения от угла
9 в СЦИ показана на рис. 4.14 для различных величин Т„.
8 резонансе угловая зависимость согласуется с D.56).
4.10. БОЗОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ
Примеры бозонных резонансов рассматриваются ниже.
Примечательными являются 7/\|/-резонанс, наблюденный
в е+е"-аннигиляции (см. §5.13), и W+- и Z0-pe3OHaHCu (см.
§ 7.13 и 9.8).
9 Заказ 416 129
30 180 в,грар,
Рис. 4.14. Угловое распределение рассеянного пиона в упругом рассеянии п*р,
измеренное в СЦИ. В области А -резонанса с массой 1232 МэВ (Г„=190 МэВ)
распределение имеет вид l+3cos29 [см. D.56)]
4.11. ПОЛНОЕ И УПРУГОЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ СЕЧЕНИЯ
ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
На рис. 4.15 показаны полное и упругое поперечные сечения
рр при высоких энергиях, а на рис. 4.16 — полное поперечное
сечение для рассеяния различных частиц на протонах. Упругое
поперечное сечение на рис. 4.15 составляет только малую
долю полного поперечного сечения при высоких энергиях.
Полное поперечное сечение постоянно в пределах 10% при
энергиях выше 5 ГэВ, внутри этих 10% имеется медленный
спад и затем снова рост сечения.
Величина поперечного сечения различна для разных частиц
в пределах от 20 до 40 мб. Если отождествить эту величину
с «геометрическим» поперечным сечением л/?2, получим радиус
сильного взаимодействия /?«10~13 см=1 фм. Кроме этого,
наблюдается, особенно в области меньших энергий, большое
различие в сечениях рр и рр; это не является неожиданным
с учетом большого числа изоспиновых каналов, открытых для
нуклон-антинуклонных процессов, а также с учетом большей
энергии процесса за счет энергии рр-аннигиляции. Сходные
аргументы могут быть применены при сравнении п~р и к+р,
К~р и К+р. При очень высоких энергиях мы имеем дело
130
Рис. 4.15. Зависимость упругого и полного поперечных сечений рр от лабора-
торной энергии
с предсказанием квантовой теории поля, известным как теорема
Померанчука, о том, что поперечные сечения становятся один-
аковыми для частиц и античастиц и, более того, независимыми
от изоспина. Так, поперечные сечения %~р и п+р (а также
ss
so
25
20
15
¦ - Серпухов
v-FNAL
•-IS/?
10
50 100 500 1OOO
p, БВ/С
Рис. 4.16. Зависимость полных поперечных сечений различных частиц на
протонных мишенях от лабораторной энергии
9* 131
50 100
p, ГэВ/с
500 1000
Рис. 4.17. Зависимость различий в поперечных сечениях частиц и античастиц на
протонах от лабораторной энергии
и %п из зарядовой независимости) должны стать одинаковыми
с ростом энергии. Тенденция в поведении экспериментальных
данных (рис. 4.17) подтверждает это предсказание.
Простейшей возможной моделью процессов поглощения и рас-
сеяния является модель полностью поглощающего диска ради-
усом R. Полагая в этом случае г|, = 0 в D.45) и D.47), получаем
D.57)
где %—длина волны де-Бройля сталкивающихся частиц в си-
стеме центра их импульсов. В этой модели вклад углового
момента / падающей волны меняется от 0 до /тах = Л/Х.
Например, для R=\ фм, Х. = 0,01 фм при импульсе налетающей
частицы 20 ГэВ/с /тах = Ю0. В этом случае
Как и ожидалось, неупругое поперечное сечение или сечение
реакции (или сечение поглощения) является просто геомет-
рической площадью диска nk2. Отметим, что сгупр = онеупр,
что соответствует дифракции или теневому рассеянию, которое
знакомо из оптики, когда плоская волна падает на полностью
поглощающий объект. Угловое распределение упругого рас-
сеяния является фурье-преобразованием пространственного рас-
пределения объекта. Для парциальной /-волны это распределе-
ние описывается полиномом Pt (cos 0). Сумма полиномов Лежан-
дра для малых углов рассеяния может быть аппроксимирована
функцией Бесселя первого порядка. В терминах передаваемого
132
pp*pp
5ГЭ6
ю-
10-8
Рис. 4.18. Зависимость дифференциального поперечного сечения упругого рассе-
яния рр от квадрата передаваемого импульса \t\ = q
импульса q — 2p sin (9/2), здесь р — импульс в СЦИ соударя-
ющихся частиц:
daynp (черного диска) 4
— —=пк
dq2
Л
Rq
2q2
, D.59)
где последнее выражение точно при Л=1фм для величин
<72<0,2(ГэВ/сJ. Для больших величин Rq функция Jl[Rq)IRq
описывает максимумы и минимумы дифракционных явлений.
Минимумы достигаются при Rq = 3,S3; 7,02; 10,17 и т. д., так
что при R = 0,l фм первый нуль будет, если ^2 = 1,15 ГэВ2.
Пример экспериментальных данных, приведенных на рис. 4.18,
показывает экспоненциальное падение при малых q2 и минимум
дифракционного типа, особенно ясный при больших импульсах.
Примечательно, что положение минимума на шкале сдвигается
влево с увеличением энергии, что соответствует медленному
(логарифмическому) росту эффективной величины «диска».
Подобный эффект разбухания виден и в полных поперечных
сечениях (рис. 4.16).
Наша модель черного диска может предсказать особенности
поведения упругого рассеяния адронов качественно, а не
количественно. Например, она дает ступр/стполн = 0,5, тогда как
экспериментально это отношение значительно меньше 0,5
и уменьшается с ростом энергии. Энергетическая зависимость
da/dq2 также не согласуется с простой моделью. Значительно
лучшее описание экспериментальных данных достигается в те-
ории полюсов Редже, которая включает обмен объектами
с комплексными угловыми моментами, но мы здесь не будем
133
10~3
10
10"
Рис. 4.19. Зависимость средней множественности п+, п , К+, К , р и р а рр-
соударениях от квадрата энергии в СЦИ s. Полная множественность <яир>
изменяется примерно как Ins при высоких энергиях (Antinucci et al., 1973 г.)
обсуждать эту теорию. Отошлем читателя, интересующегося
деталями, к библиографии.
4.12. РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
Как ясно из рис. 4.15, при высоких энергиях доминируют
неупругие процессы. Они характеризуются множественным
рождением мезонов и барион-антибарионных пар. На рис. 4.19
показана средняя множественность различных типов частиц
в /зр-соударениях, свидетельствующая о медленном росте
множественности при высоких энергиях. Очень грубо множест-
венность меняется как
п = А + В In s,
D.60)
где s — квадрат энергии в СЦИ.
Импульсное распределение вторичных частиц, в первом
приближении, подчиняется простым скэйлинговым (масштабно-
инвариантным) законам. Если Е и р есть соответственно
полная энергия и трехмерный импульс вторичной частицы,
то инвариантное поперечное сечение (см. приложение А)
имеет вид
134
Рис. 4.20. Распределение по попереч-
ному импульсу пионов при энергиях
ISR (,/s = 31 ГэВ) под углом 90°
в СЦИ, изменяющееся экспоненци-
ально с рт (Alper et al., 1973 г.)
Рис. 4.21. Распределение по быстроте
при фиксированном />г=0,4 ГэВ/с
в де-соударениях на CERN TSR. Вели-
чина ^/s измеряется от 22,5 до 53 ГэВ.
Абсцисса есть утлк—у, где у—быст-
рота соударения в СЦИ. В зависи-
мости от s точка у = 0 изменяется от
3 до 4 в этой шкале. Плато при малых
у (справа) отчетливо проявляется.
Увеличение распределения для про-
тонов вблизи у=утах (слева) связано
с дифракционными процессами, когда
протон испускается под малым углом
при почти неизменяющейся энергии
рТ,Г3Ъ/с
101
10°
10°
'I
- *Z2po
У
- , /1
,
9 o°000
i
I
о<г>
I
• • • • •
1
•s
I
Ed3a
О
Ed3 a
d2a
dp3 dpxdpydpz
D.61)
поперечный импульс вторичной частицы,
й СЦИ
где Р \/РРур у р ц,
а Pl=Pz — продольный импульс в СЦИ относительно направ-
ления движения первичной частицы; х есть фейнмановская
переменная: x=pLfpLmax, где максимальная величина продоль-
ного импульса PLmax&y/s/2. При достаточно больших энергиях
(выше 10 ГэВ в рр-соударениях) наблюдается, что функция
F становится почти независимой от s (т. е. энергии падающей
частицы) и факторизуется в виде произведения
F{x,pT) = Fl{x)F2{pT). D.62)
135
Итак, распределение по поперечным импульсам вторичных
частиц становится почти независимым от s и pL (этот факт был
впервые наблюден в космических лучах более 25 лет назад). При
фиксированном х da/dpT приблизительно описывается экспонен-
циальной зависимостью от рт со средней величиной
рт~0,35 ГэВ/с (см. рис. 4.20). Для вторичных частиц
рт определяется в среднем размером адронов, т. е. pTc&hc/R,
где /?~0,5 фм.
Фейнман постулировал, что при малых х функция F1(x)^B
(константа), поэтому из D.61) и D.62)
D.63)
Распределение по продольному импульсу часто описывается
в терминах быстроты у, определяемой следующим образом:
D.64)
где m — масса вторичной частицы; мы использовали также
тот факт, что E2=pt+pT+m2. Если Е, pL измеряются в СЦИ,
тогда pL = 0 соответствует у = 0, поэтому
D-65)
При лоренц-преобразовании в другую систему, движущуюся
со скоростью Р вдоль оси z (направление падающего пучка),
получим (см. приложение А)
у'-ъ
D.66)
так что ^-распределение инвариантно и переход в другую
систему просто приводит к сдвигу первоначального j-pac-
пределения.
Из D.64) имеем
dy = dpL/E,
интегрируя D.63) по рт, получаем:
dc/dy=const. D.67)
На рис. 4.21 показаны быстротные распределения л*, р и р,
полученные на встречных накопительных кольцах ЦЕРН в рр-
136
соударениях при высоких энергиях. Заметно плато в рас-
пределении в области малых у в соответствии с D.67), т. е.
большинство образующихся вторичных частиц сконцентриро-
вано в области малых у. При больших значениях у (у^утл%)
плотность частиц быстро убывает. Если пренебречь этим
убыванием, полную множественность можно получить, интег-
рируя dc/dy, т. е. множественность будет изменяться как
Ут&х и> согласно D,65), будет пропорциональна In s, что
согласуется с эмпирическим соотношением D.60).
Если не принимать во внимание медленный рост множест-
венности с начальной энергией, отдельные вторичные адроны
получают в среднем почти постоянную часть энергии сто-
лкновения и поэтому имеется масштабная инвариантность их
продольного импульса по отношению к импульсу падающей
частицы. В противоположность этому поперечный импульс
ограничен и почти не зависит от начальной и вторичной
энергии. Поэтому образование адронов имеет тенденцию
к концентрации в конус или струю частиц, направленных
в сторону падающего пучка.
Особенности адрон-адронных соударений при высоких энер-
гиях в целом определяются дальнодействующими взаимодейст-
виями, за которыми скрываются сильные взаимодействия между
кварками. Фактически невозможно почувствовать природу
элементарных составляющих адронов — кварков (глюонов)—из
таких мягких соударений. Это является причиной существенно
феноменологического анализа таких соударений. Однако возмо-
жно при очень высоких энергиях отобрать весьма редкие
события (типично одно событие на миллиард соударений),
характеристики которых определяются главным образом пове-
дением кварк-кварковых взаимодействий на малых расстояниях.
Эти события соответствуют случайным «лобовым» или жестким
соударениям кварка с кварком (или глюоном) с последующим
рассеянием кварков на большой угол с поперечным импульсом
рТ вплоть до 1000 ГэВ/с и последующей их «фрагментацией»
в две струи адронов. . Такие «драматические» события были
наблюдены на /?/?-коллайдере ЦЕРН (см. рис. 8.18), и их анализ
свидетельствует <о природе кварк-кварковых сил (см. § 8.9).
ЗАДАЧИ
4.1. Найдите соотношение между полными поперечными сечениями реакций
(при фиксированной энергии)
137
4.2. Каково отношение поперечных сечений реакций p+uf->3He+ic°
и p+d-t3H+K+ данной энергии в СЦИ?
4.3. Гиперъядро — это ядро, в котором нейтрон заменен на связанный
Л-гиперон. 4Нел и 4НЛ—дублет зеркальных гиперъядер. Выведите отношение
скоростей реакций
АГ+Не-»4Нл+тс°.
4.4. Установите, какая из приведенных комбинаций может (или не может)
существовать в состоянии с /= 1 и дать реакции: а) п°к°, б) к+к~, в)
ic+ic + , г) XV, д) Ля°.
4.5. В каких изоспиновых состояниях могут существовать: а) п+ п ~п°,
б) it°it°it°? (Указание: сначала выпишите изоспиновые функции для пары,
например, 1с°я°, а затем комбинируйте с третьим пионом; см. также табл. III
коэффициентов Клебша — Гордана в приложениях.)
4.6. Вывести, в каких изоспиновых каналах могут происходить следующие
реакции: а) К + +р-*Т,° + п°, б) К'+р^Т, * +к~. Найти отношение поперечных
сечений для «а» и «б», предполагая, что один или другой канал доминирует.
4.7. Мезон А1 с 1—\ рассматривается как резонансное состояние р-мезона
G=1) и пиона (/=1). Следовательно, распад А1->р+к является доминиру-
ющим. Определить ожидаемое отношение распадов
А1->п°п°п +
4.8. со-мезон имеет изоспин /=0, а р-мезон /=1. Они оба имеют одно
и то же значение спин-четности: I. р-мезон имеет центральную массу
775 МэВ и является состоянием с шириной Г«120 МэВ, перекрывающимся с со-
состоянием G83 МэВ, Г«10МэВ). Ожидается ли интерференция ш- и р-
состояний и какие качественные эффекты может дать такая интерференция
в спектрах масс п+п~ и п+п~п° в реакциях, где могут образовываться как
р, так и со?
4.9. Как показано в гл. 7, нейтральные состояния К® и К° являются
собственными состояниями СР со значениями — 1 и +1 соответственно.
Если считать, что рр-аннигиляция при остановке происходит только из
атомного S-состояния, покажите, что процесс рр-*К° + К° происходит,
а рр->2К° или рр-*2К° не имеют места.
4.10. При анализе диаграммы далитц-распада ДГ-»Згс кинетические энергии
пионов откладываются вдоль трех осей, ориентированных на 120° друг
относительно друга, т. е. нормально к сторонам равностороннего треугольника.
Высота этого треугольника Q — полная кинетическая энергия в распаде.
Покажите, считая пионы нерелятивистскими, что:
а) сохранение энергии требует, чтобы все точки лежали внутри треугольника;
б) сохранение импульса ограничивает расположение всех точек областью
внутри окружности, вписанной в треугольник;
в) при постоянном матричном элементе плотность точек внутри этой
окружности должна быть однородной. Покажите, что в распаде на три
138
релятивистские вторичные частицы равной массы границы диаграммы Далитца
будут превращаться в равносторонний треугольник, вписанный в эту окру-
жность. *
4.11. Покажите, что в распаде К°-*Зп релятивистский фактор Е1Е2Е3
постоянен в пределах ±1% в различных областях диаграммы Далитца.
4.12. Покажите, что при распаде резонанса массы М на три частицы
с импульсами pt, p2, р3 границы диаграммы Далитца определяются условием
|р, | + |р2| —|р3|=0. Выведите уравнение границ в терминах Е1 и Е2 в случае,
когда все три распадных продукта имеют ту же массу покоя т. Покажите,
что если /и«:А/, границы диаграммы Далитца приобретают форму вписанного
треугольника.
4.13. В реакции A + B-*C+D+E при фиксированной энергии падающей
частицы величины m^.D и m2DE (mCD — масса частиц С и D и т. д.), отложены
вдоль осей х и у на диаграмме Далитца. Если 9 — угол между направлением
частицы Е по отношению либо к С, либо к D в СЦИ частиц CD, покажите,
что, когда С и D образуют резонанс с фиксированной массой, мы имеем
АИд? = а—PcosG, где а и E — константы.
4.14. В реакции
п~ +р^>Х~ +р
наблюдается бозонный резонанс X с массой 2,4 ГэВ. Значение импульса
падающего пиона составляет 12 ГэВ/с. Вычислите максимальный угол ис-
пускания протона отдачи по отношению к направлению пучка и его импульс.
Вычислите также угол и импульс протона, когда 4-импульс максимален,
и найдите его значение.
4.15. Формула Брайта — Вигнера D.55) описывает резонанс с шириной
Г «Я,,—энергии в пике. Для широкого резонанса эта формула не точна,
так как двухчастичный фазовый объем распада заметно изменяется при
прохождении через резонанс. Покажите, что для S-волнового резонанса это
может быть учтено путем замены Г на Г0'(рЕ0/Ер0), где р—импульс любой
частицы в СЦИ, а Го, р0, Ео—величины в резонансном пике. Какие
дополнительные множители возникнут в случае резонанса, распадающегося
на две частицы с орбитальным угловым моментом /?
4.16. Покажите, что если величина т2 релятивистской вторичной частицы
пренебрежимо мала по сравнению с р\, то быстрота становится зависящей
только от угла испускания вторичной частицы и что j>=lnBCtg9)«
е*
In Ctg—-f- In 2y, где 9 и 9 —углы в ЛС и СЦИ соответственно, а у —
лореиц-фактор СЦИ.
4.17. Установите, какие из перечисленных ниже мод распада р-мезона
(У*=1", /= 1) разрешены в сильных и электромагнитных взаимодействиях:
р° —it+it";
ро-я°я0;
139
ГЛАВА 5
СТАТИЧЕСКАЯ КВАРКОВАЯ
МОДЕЛЬ АДРОНОВ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
В течение 60-х годов произошло накопление большо-
го числа данных о барионных и мезонных резонансах,
приведшее к регуляризации этих состояний и их интерпре-
тации в рамках приближенной высшей симметрии, так на-
зываемой унитарной симметрии. Это описание было заме-
нено другим, в котором все многообразие адронных му-
льтиплетов могло быть просто объяснено в терминах квар-
ковых составляющих, когда барионы состоят из трех квар-
ков, а мезоны — из кварк-антикварковых пар. Этот под-
ход особенно убедителен для систем, представляющих со-
бой связанные состояния тяжелых кварк-антикварковых
пар. Однако мы сначала обсудим в рамках кварковых
составляющих систему самых легких мезонных и барионных
мультиплетов.
5.2. ДЕКУПЛЕТ БАРИОНОВ
На рис. 5.1 показана схема 10 барионных состояний наиниз-
ТР 3 +
ших масс со спин-четностью J = —, где по осям отложены
странность и третья компонента изотопспина /3 для каждого
из 10 членов декуплета. Рассматривая сверху вниз, мы находим
изоспиновый квадруплет S=0, /=~, А A232), существующий
в зарядовых состояниях А + + , А + , А0 и Д~. Число 1232
в скобках означает среднюю массу квадруплета в мегаэлектрон-
вольтах.
Следующий изоспиновый триплет /= 1, 5*= — 1 есть ? A384);
далее изоспиновый дублет /=~, S=—2, E A533) и, наконец,
синглет /=0, S=— 3, п~ A672). Члены каждого изоспинового
мультиплета имеют массы, отличающиеся от соответствующего
среднего значения только на несколько мегаэлектрон-вольт,
что характеризует электромагнитное расщепление по массе
внутри изоспинового мультиплета. Состояния с разной стран-
ностью отличаются по массе значительно, это различие для
каждого шага по странности примерно одинаково, что явно
не случайно; действительно, О~-барион был предсказан на
140
ddd
\
ft
-fT
sss\ t-3
/
das laws
I—i—a—i- 1=1-
1 ,r.1 I,
7 I ~2
-2puss
I
I
a)
I=f/2-
1=0*
0 Oa e
X° I*
-2*
s"
Рис. 5.1. Кварковые обозначения барион-
ного декуплета (а) и наблюдаемый де-
куплет барионных состояний со спин-чет-
ностью 3/2+ (б). В скобках указаны
средние массы каждого изоспинового
мультиплета
Рис. 5.2. Схема первого Я -события
(Barnes et al., 1964 г.) содержит следу-
ющую цепочку распадов:
L =¦ +mr(AS= 1 слабый распад)
\*SC°+A(AS= 1 слабый распад)
L*~~se~+p(AS -1 слабый распад)
у + у (электромагнитный распад)
е+е~ е+е~
этой основе за три года до того, как он был экспериментально
наблюден (рис. 5.2).
Подобную регулярность в декуплете можно объяс-
нить путем введения трех фермионных составляющих в бари-
оне, называемых кварками, с квантовыми числами, указан-
141
Таблица 5.1. Квантовые числа кварков*
Аромат
и
d
s
В
1
—
3
• 1
3
1
3
J
1
2
1
2
1
2
/
1
2
1
2
0
/з
1
1
2
1
~2
0
1 S
0
0
-1
Qle
2
+-
3
1
~3
1
~3
Антикварки п, 3, s имеют обратные знаки В, /3, 5 и Q/e.
ными в табл. 5.1. Гипотеза кварков была выдвинута в 1964 г.
Гелл-Манном и Цвайгом. Кварки состоят из 5 = 0 изоспино-
вого дублета, называемого и- или d-кварком (при этом
1ъ — -{ир) и /3= — -(down)), и S= — 1 изосинглета, обозначаемо-
го s (странный). Обозначение типа кварка: и, d, s назы-
вают ароматом кварка. Предполагается, что барионы состоят
из трех кварков, и наиболее «демократично» приписать каждому
кварку дробное барионное число 5=1/3. Из соотношения D.28)
Q/e=l-(B+S) + I3,
E.1)
где комбинация Y=B+S называется суперзарядом, следует,
что кварки должны также иметь дробные заряды 2/3 и —1/3.
Соответствующие комбинации кварков, указанные на рис. 5.1,
могут объяснить тогда квантовые числа /, /3, S (или Y)
всех членов декуплета и, конечно, их электрические заряды.
Возрастание массы членов декуплета с увеличением S можно
тогда просто описать за счет различия в массах s-, u-
и d-кварков, считая ms—/wU)d«150 МэВ. Массы и- и й?-кварков
ожидаются примерно равными, поскольку это отличие должно
быть порядка электромагнитного расщепления масс среди
членов изоспинового мультиплета (см. табл. 4.3).
Кварки не наблюдаются как свободные частицы и поэтому
должны быть заперты в адронах за счет кварк-кваркового
потенциала. Внутри этого запирающего потенциала кварк
может рассматриваться как квазисвободная частица массы т*
(около одной трети массы бариона) с импульсом около .RoS
где Ro—типичный размер адрона (около 1 фм). В ранних
вычислениях предполагалось, что кварки нерелятивистские,
т. е. w*»i?o *• Это несколько сильное предположение для
легких кварков {и, d, s) тем не менее оказывается разумным.
Лучшей проверкой нерелятивистской кварковой модели, как
142
обсуждается ниже, является описание адронов, содержащих
тяжелые (с, й?)-кварки.
Если считать, что барион состоит из трех кварков, выбран-
ных из любого из трех ароматов, то возможно 27 комбинаций
для адронов; почему же мы имеем только 10 из них?
Необходимо ввести некоторые принципы симметрии, харак-
теризующие члены мультиплета барионов. Эта симметрия
должна учитывать спины и ароматы кварков. Прежде всего,
в отношении аромата, мы должны потребовать, чтобы часть
волновой функции, которая связана с ароматом, должна иметь
определенную симметрию относительно перестановки любой
пары кварков. «Угловые» состояния иии, ddd, sss на рис. 5.1,
очевидно, симметричны относительно перестановки, поэтому
естественно потребовать той же симметрии для всех других
состояний. Мы будем обозначать волновые функции для
кратности как ddu, duu, uss и т. д., понимая под этим
соответствующие симметричные выражения. Например, полной
формой состояния ddu является
-^(ddu + udd+dud), E.2)
которая симметрична относительно перестановки любых двух
кварков; численный множитель необходим для нормировки.
Аналогично, краткая запись для dus есть
^(dsu + uds+sud+sdu+dus + usd) E.3)
6
и т. д. Различные состояния в мультиплете могут быть
получены одно из другого, по горизонтали, путем применения
операторов поворота изоспина (см. приложение В). Таким обра-
зом, / ~ (иии) = [ I ~ (и)] (ии) + и [ / " (и)] и+(ии) [ / ~ (u)] = duu +
+ udu + uud.
Аналогично можно получить другие ряды на рис. 5.1
заменой w-кварков на ^-кварки.
Подобным образом мы можем сделать только эти 10
полностью симметричных состояний. Из оставшихся 17 (от
полного числа 27) одно является полностью антисимметрич-
ным. Волновая функция
(dsu + uds + sud—usd—sdu — dus), E.4)
описывающая это состояние, изменяет знак при перестановке
любых двух кварков, например 1<-*2 или 2<-»3. Ее легко
сконструировать путем добавления 5-кварка к антисимметрич-
ной комбинации и- и d-кварков, т. е. (ud—du)s плюс циклическая
перестановка. Остальные 16 состояний являются двумя ок-
тетами состояний со смешанной симметрией.
143
5.3. СПИН И ЦВЕТ КВАРКОВ
Поскольку члены декуплета барионов со спином 3/2 состоят
из барионов наименьших масс, мы можем заключить, что
они образованы из кварков, находящихся в пространственно
симметричном основном состоянии (/=0). Величина У =3/2
получается из кварков в симметричном спиновом состоянии
с «параллельными» спинами, например А+ + =и}и\и]. Поэтому
декуплет 3/2+ характеризуется симметрией волновой функции
трех кварков как по аромату, так и по пространству, и спину.
Очевидно, что это нарушает принцип Паули, согласно которому
два или более фермионов не могут существовать в одном
и том же квантовом состоянии. Это было проблемой некоторое
время тому назад, но впоследствии оказалось, что по другим
причинам необходима еще одна степень свободы, называемая
цветом. Постулируется, что существуют кварки трех цветов —
скажем, красного, зеленого и голубого — и что барионы
и мезоны построены из кварков, имеющих в целом нулевой
цвет, т. е. являющихся цветовыми синглетами. (Адроны должны
быть бесцветными, в противном случае цвет был бы измеря-
емым свойством адронов.) Так, А+ + состоит из красного,
зеленого и голубого м-кварков, что делает их неидентичными.
«Цвет», возможно — неудачное название; это просто обозначе-
ние нового свойства кварков, совершенно отличного от кван-
тового числа «аромат». Три цвета определяют «сильные
заряды» кварков, точно так же, как знаки « + » и « —»
определяют их электрические заряды. Необходимость цветового
квантового числа следует из ряда фактов. Например, пред-
сказываемая скорость распада тс°->2у оказывается пропорци-
ональной квадрату числа цветов Nc и сравнение с эксперимен-
том дает Nc = 2,98 + 0,11, а также отношение поперечных
сечений реакций
а(е +е~ ->адроны)/ае +е ~ -»ц + ц ~
при высоких энергиях пропорционально Nc и требует величины
7VC = 3 с точностью примерно до 10% (см. §8.6).
5.4. ОКТЕТ БАРИОНОВ
Мы отмечали, что волновые функции членов барионного
декуплета пространственно симметричны, а также симметричны
относительно спина и аромата. Возможно также сформулиро-
вать трехкварковые состояния, которые симметричны относи-
тельно одновременного изменения аромата и спина любой
кварковой пары в отличие от изменения этих величин по
отдельности, как и в случае декуплета. Эти состояния могут
быть идентифицированы как члены состояний с наинизшей
144
s
i-
-1.
N(939)
XAfS3)
ucts
I3
2--JD
3°
dss
uud
e
uus
—e
uss
Рис. 5.З. Барионный октет со спин-четностью 1/2+. Наблюдаемые состояния
показаны слева, кварковые обозначения—справа
энергией барионного октета Jp = —, включающего в себя
протон и нейтрон.
Чтобы сконструировать волновые функции барионного
октета, начнем с протона (uud) и поместим два кварка
в спиновое сиг летное состояние [см. C.40)]
которое является антисимметричным. Чтобы сделать в целом
это состояние симметричным, необходима антисимметричная
комбинация по аромату кварков и и d (так как и и и не
подходит), которая является изосинглетом (см. § 4.3):
--(ud-du).
Добавим теперь третий кварк и со спином вверх, получим
хотя выражение в скобках симметрично относительно пере-
становки первого и второго кварков (по аромату и спину),
полное выражение нужно симметризовать путем циклической
перестановки (всего 12 членов); получим наконец
— u\u[ct\ — u[u\ct\ — d\u[u\ — U\ct\ u{—d\ m| m|]. E.5)
Другие члены барионного октета 7р=1+/2 могут быть
сконструированы аналогичным образом. Этот октет изображен
на рис. 5.3, где волновые функции обозначены как uud, ssu
10 Заказ 416 145
и т. д., но эти обозначения следует понимать как аббревиатуры
соответствующим образом систематизированных выражений.
Восемь членов состоят из п- и р (939)-изодублета нуклонов
(l=L 5=о\ 2 A193)-изотриплета G=1, 5=-1), S A318)-
изодублета I /=-, 5= —2 I и Л A116)-изосинглета (/=0, S— — 1).
Гипотеза, что массы барионов отличаются благодаря раз-
личию в содержании странных кварков, дает для декуплета
ЕA384)-ДA232) = 3A533)-ЕA384) =
152 МэВ 149 МэВ
=(Г A672)-Н A533). E.6)
139 МэВ
1 +
Для октета — та же гипотеза дает:
Мг = МА,
1193 МэВ 1116 МэВ
MA-MN=MS-MN.
177 МэВ 203 МэВ
E.7)
Мы имеем довольно плохое согласие для каждого из
приведенных выше равенств и большое различие в массах
для октета и декуплета. Исторически массовые соотношения
в мультиплетах были впервые получены с использованием
определенных предположений о природе нарушения унитарной
симметрии и предсказываются формулой Гелл-Манна—Окубо
для барионов
E.8)
где гиперзаряд Y=B+S. Для состояний декуплета на рис. 5.1
У= 5+5=2G— 1), так что M=A + BY и мы получаем линейную
5-зависимость массы, как в E.6). Для барионного октета E.8)
предсказывает:
ЗМа+Mj; =2Mn-Me,
4541 МэВ 4514 МэВ
E.9)
что справедливо с точностью 1%. Однако очевидных физичес-
ких причин для предположений, на которых основано E.8),
не существует, и эта формула не объясняет большое отличие
в А/о для состояний октета и декуплета. Более количественное
описание масс барионов и мезонов получено в рамках эффектов
146
сверхтонкого расщепления во взаимодействиях кварк — кварк,
что обсуждается в § 5.10.
Наблюдаются также барионные мультиплеты с большими
значениями спинов, и они могут быть объяснены в рамках
тройных комбинаций и-, d- и ^-кварков при введении от-
носительного орбитального момента /-кварков, что необходимо
для описания состояний с большими J. Это раздельное
квантование орбитального и спинового моментов кварков
справедливо, конечно, только в приближении нерелятивистского
движения кварков.
5.5. СОСТОЯНИЯ КВАРК—АНТИКВАРК:
ПСЕВДОСКАЛЯРНЫЕ МЕЗОНЫ
Как указывалось выше, наблюдаемые в природе состояния
образованы тремя кварковыми комбинациями (барионами)
и кварк-антикварковыми комбинациями (мезонами). Ограни-
чиваясь тремя ароматами, мы можем ожидать мезонные
семейства, называемые нонетами, состоящие из 33 = 9 состо-
яний. При спине кварков и антикварков, равном 1/2, мы
можем ожидать как состояния триплетные (}}) по спину J— 1
(векторные мезоны), так и синглетные (Т1)^=0 (псевдоскаляр-
ные мезоны).
При обсуждении барионных мультиплетов подчеркивалось
значение симметрии при перестановке кварков. Теперь мы
имеем дело с кварками и антикварками, т. е., например,
с перестановкой и-*п. Поэтому необходимо рассмотреть эффект
операции зарядового сопряжения, примененной к волновой
функции кварка. Если барионное число сохраняется, это
означает невозможность физического процесса Q<^Q: таким
образом, в результате операции зарядового сопряжения или
операции перевода частиц в античастицу возникает относитель-
ная фаза, не наблюдаемая реально. Мы можем написать:
с с
|м>->|м> или |м>-+|и>е"р. Фаза <р выбирается в соответствии
с соглашением Кондора—Шортли, при котором в некоторых
местах вводится знак «минус». Ниже стрелками отмечена
операция С:
'з
+ 1/2
-1/2
Нуклоны
Частицы
Античастицы
\Р> +|»>
|"> -\р>
Кварки
Частицы
Античастицы
|в>х+м>
\d> -|и>
10*
147
Предполагая, что наши кварк-антикварковые комбинации
являются синглетными по спину с /=0 [см. C.40)] и приписывая
фермиону и антифермиону противоположную внутреннюю
четность (см. § 3.4), получаем квантовые числа этих состояний
fi = 0, Jp = 0~. Это соответствует псевдоскалярным мезонам,
названным так потому, что их волновые функции имеют
7=0, отрицательную четность и изменяют знак при простран-
ственной инверсии.
Имея только и- и d-кварки и антикварки, можно сделать
22 = 4 таких комбинаций:
/
1
1
1
0
/з
1
-1
0
0
Волновая функция
иЗ=к +
— ud=n~
J\(dd-uu)=n°
ll-{dd+uu) = 4
Q/e
! Изоспиновый
. Гтриплет
0 Изоспиновый
синглет
Эти обозначения подтверждаются при использовании опера-
торов сдвига изоспина /* в точной аналогии с операторами
углового момента J± (см. приложение В):
+1)-/з(/з+1)|Ч/(/,/з±1)>. E.10)
Применим эту операцию к одиночному кварку:
Кроме того,
E.12)
E.13)
Используя эти результаты применительно к кварк-антиквар-
ковым комбинациям, получаем, например,
У°>, E.14)
E.15)
148
Таким образом, комбинации с /=1 идентифицируются с те + ,
те", те0 псевдоскалярными мезонами, имеющими наименьшие
массы. Четвертая комбинация имеет свойство
E16)
Таким образом, |г)> является изоспиновым синглетом, который
не переводится при изоспиновом преобразовании ни в какое
другое состояние; это состояние является ортогональным
к состояниям с 1=1, так что, например, <r| j те >=0. В соот-
ветствии с принятым нами соглашением о С-сопряжении,
синглетное состояние является симметричным относительно
кварковых индексов (d-yu, d-уп), в то время как л+-, те"-,
л°-состояния меняют знак. Синглет идентифицируется ц-
мезоном с массой 550 МэВ.
Введение ^-кварков в дополнение к и и d дает нам полное
число состояний 32 = 9, которые перечислены в табл. 5.2 вместе
с соответствующими им наименованиями псевдоскалярных
мезонов.
По аналогии с синглетным состоянием E.16), полученным
с и-, d-кварк-антикварковыми состояниями, эти девять состо-
яний, построенных из и^, d- и s-кварков, разбиваются на
синглет-симметричную (^-комбинацию гH в последней строчке
табл. 5.2 и восемь состояний, которые могут быть преоб-
разованы друг в друга путем перестановки и-, d- и ^-кварков.
_. „ (dd+uu — 2ss)
Отметим, что восьмой член г)8, — - является ор:
V6
тогональным к тH. Коэффициенты перед волновыми функ-
циями возникают за счет нормировки всех состояний на
единицу.
Линейная формула E.8) массового октета, используе-
мая для барионов, не применима для мезонов; обнаружено,
что она работает, если вместо массы используется квадрат
массы:
к ж E.17)
0,988 ГэВ2 0,924 ГэВ2
Однако наблюдаемые состояния г) и г\' оказывают-
ся линейными комбинациями волновых функций г|8 и гH
(см. последние две строчки табл. 5.2). На основе массо-
вой формулы угол смешивания есть 9=11°. Это явление
обсуждается более детально ниже для нонета векторных
мезонов.
149
Таблица S.2. Псевдоскалярные мезонные состояния
как кварк-автнкварковые комбинации
/
Октет <
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
0
Синглет 0
h
1
-1
0
1
2
1
~2
1
~2
1
2
0
0
S
0
0
0
+ 1
+ 1
-1
-1
0
0
Мезон
к +
п •
п°
К +
К0
К~
к°
По
Кварковая
комбинация
ud
du
(dd-uu)/J2
us
ds
us
ds
(dd+uu-^l^fl
(dd+uu+ss)/^
Распад
JI + ->HV
K + ->\iv
К -niv
П-2у
Т|-*Т|ЯЯ
->2y
Масса,
МэВ
140
135
494
498
494
498
549
958
5.6. ВЕКТОРНЫЕ МЕЗОНЫ
Триплетные спиновые комбинации (ft) б и Q с 1—0 дают
нам векторные мезоны (У**= 1 ~) (рис. 5.4). В этом случае
угол смешивания октет — синглет велик (9 «35°). Формально
мы можем написать:
Ф = ф0 sin 0 - ф8 cos 9,
со=ф8 sin 0 + Фо cos б*
E.18)
к°Ш)
-й
\ /
k-(su) -»
"Л
к*0
K°7sd)
\
AT»" "
-1 К'0
Рис. 5.4. Наинизшие состояния псевдоскалярных мезонов (Ур=0 ) вместе с их
кварковыми обозначениями (а) и нонет векторных мезонов (Jp=l~) (б).
Кварковос содержание такое же, как ива
150
где ф, о обозначают физические векторные мезонные состояния,
а ф0 и ф8—синглетные и октетные состояния с /=5=0
соответственно. Предполагая, что матричный элемент гамиль-
тониана между состояниями пропорционален квадрату массы,
т.е. А/^ = <ф|#|ф> и т.д., получаем из E.18)
, , , , , , г E.19)
М« = МI sin2 8 +Mo cos 6 + 2Mo8sin0fcos6,j
обозначения очевидны. Далее, так как ф и ш ортогональны,
мы получим
M2Me = 0=(M§-M|)sin8cos8+Mg8(sin28-cos2e). E.20)
Исключая Мое и Мо из этих трех выражений, получаем
E.21)
Используя аналогию с E.17), имеем
E.22)
так что наблюдаемые массы (табл. 5.3) дают 8«40°.
Таблица 5.3. Нонет векторных мезонов
Состояние
Р
Г
ш
Ф
/
1
1
0
0
?
0
±1
0
0
Масса, МэВ
776
892
783
1019
Доминирующая мода распада
р->2я
К'-*Кп
<о-»3я
Для частного случая 8^8=1/^/3, 8«35° и из уравнения
E.18) имеем:
1
согласно табл. 5.2:
Фо =
ф8 = (dd+uu—2ss)/y/6,
151
E.23)
не*
Рис. 5.5. Кварковыс диаграммы для распадов (р- и со-ме-
зонов
так что
E.24)
В таком случае «идеального смешивания», которое прак-
тически почти реализуется, ф является чистой композицией
5-кварков, а со—кварков и и d. Отметим, что эти простые
выражения предсказывают близкие массы для со и р, а также
большую массу для <р, что и наблюдается. Более важным
является то, что они позволяют описать распадные моды
со и ф. Ниже перечислены наблюдаемые моды:
фA020)-
к
к
п~
°к°
( 84%,
1
0 15%,
со G83)^
->•
_>
к
п
я
+ Я~1
+я-~
°Y-
т° 90%,
| 10%.
E.25)
Соображения большего фазового пространства делают пред-
почтительным распад ф->3я, так как в этом случае Q = 600 МэВ
по сравнению с 2 = 24МэВ для ф->/Г/Г-распада. Тем не менее
распад КК доминирует. Это должно быть как-то связано
с «-композицией ф-мезона E.24). Чтобы понять это, мы
должны нарисовать кварковые диаграммы (рис. 5.5). Диаграм-
ма (В) для ф-»3л включает несвязанные кварковые линии
и является подавленной. Это подавление известно как правило
Цвейга и является особенно важным для. понимания узких
ширин более массивных мезонов (VP, T), построенных из с-
и о-кварков (см. § 5.13). В соответствии с полевой теорией
кварковых взаимодействий (кварковой хромодинамикой) подав-
152
Рис. 5.6. Диаграмма лептонного распада
векторного мезона
ление Цвейга описывается в рамках многоглюонного проме-
жуточного состояния (см. § 5.15).
5.7. ЛЕПТОННЫЕ РАСПАДЫ ВЕКТОРНЫХ МЕЗОНОВ
Рассмотрим лептонные распады векторных мезонов
V^>e+e~ (где 1=е, ц), предполагая, что они происходят путем
испускания виртуального фотона (см. рис. 5.6); при этом будем
использовать кварк-антикварковые обозначения векторных ме-
зонов, введенные выше:
V 2
^ E.26)
(p°=ss.
Парциальная ширина распада описывается формулой Ван-
Ройена — Вайцкопфа, 1967 г.
^^ E.27)
где Q2 = \I.\aiQ{\2 — квадрат суммы зарядов кварков в мезоне;
ф@) — амплитуда волновой функции QQ в нуле, a Mv — масса
мезона. За исключением численных множителей, вид этого
выражения ясен из простых соображений. Квадрат пропагатора
обмена одиночным фотоном вносит фактор q~4(\q2\ = My),
а фазовый множитель для двухчастичного конечного состояния
дает фактор q1 yfu-Qb где Qt — заряд кварка есть констан-
та связи в амплитуде обмена фотоном, и мы имеем супер-
позицию амплитуд ai от всех кварков в мезоне. Добавле-
ние константы связи в вершине фотон—лептонная пара дает
полную амплитуду ^/а^/аХ^бн которую нужно воз-
вести в квадрат, чтобы получить скорость распада. Нако-
нец, №@)]2 есть вероятность того, что кварк и антикварк
взаимодействуют с фотоном в некой точке пространства-
времени (начале их относительных координат). В выраже-
нии для фазового множителя мы предполагаем, что
Поскольку р, со, ф имеют близкие массы, мы ожидаем
|ф@)|2/Мк практически постоянным, и тогда Ге+е_~б2 (см.
также табл. 5.9). Q-множители определяются из E.26):
. 153
2 1
3
\Т_1
JJ "IS'
I
Запишем ожидаемые отношения лептонных ширин:
Г(ро):Г(ю)о:Г(ф)°= 9:1:2 предсказываются
8,8 + 2,6 : 1: 1,70 + 0,41 наблюдаются.
Этот результат является проверкой как кваркового содержания
векторных мезонов, так и зарядов кварков.
E.28)
5.8. РОЖДЕНИЕ ЛЕПТОННЫХ ПАР ПИОНАМИ НА
ИЗОСКАЛЯРНОЙ МИШЕНИ (ПРОЦЕСС ДРЕЛЛА—ЯНА)
Другой проверкой зарядов, приписываемых кваркам, служит
процесс рождения лептонных пар пионами на нуклонах. Как
показано на рис. 5.7, мы представляем этот процесс как
аннигиляцию антикварка из пиона и кварка из нуклона;
в результате образуется виртуальный фотон, переходящий
в мюонную пару. Снова поперечное сечение пропорционально
квадрату кварковых зарядов. Для к~ ( = ud) на изоскалярном
ядре 12С (ISu+lSd) мы имеем аннигиляцию ип; тогда
в случае падающего к+( = иЗ)
Отношение поперечных сечений о(к~ С)/о(п+ С) действительно
равно 4:1 в области масс Ц+ц~, далекой от тяжелых мезонных
резонансов (например, \|/-»ц ц~).
Рис. 5.7. Дрелл-яновский механизм
образования лептонных пар описыва-
ется как слияние кварка и антикварка
в виртуальный фотон, распадающийся
на пару лептонов
154
5.9. ПИОН-НУКЛОННОЕ ПОПЕРЕЧНОЕ СЕЧЕНИЕ
Кварковая модель делает предсказания об относительных
величинах поперечных сечений адрон-адронных взаимодействий
при высоких энергиях, интерпретируя их как аддитивные
эффекты амплитуд рассеяния между отдельными кварковыми
составляющими.
Индивидуальные соударения между парами кварков рас-
сматриваются как независимые от соударений других состав-
ляющих. Тогда полная амплитуда /@) упругого рассеяния
«вперед» будет суммой амплитуд каждой кварковой пары.
Оптическая теорема D.48) свидетельствует о том, что полное
адрон-адронное поперечное сечение стг~1т/@). Реальная часть
амплитуды /@) предполагается малой; это подтверждается,
например, наблюдением кулоновской интерференции в направ-
лении «вперед» в упругом рр-рассеянии. Нам необходима
также теорема Померанчука (см. §4.11), которая утверждает,
что при высоких энергиях g(QQ) = g(QQ), а также изо-
топическая инвариантность для поперечных сечений и- и d-
кварков ст(ии)= =a(dd) = G(ud). Объединяя все это вместе,
приходим к заключению, что отношение сечений определяется
простым кварковым счетом
c(nN) 2
c(NN)~3'
При Еп = 60 ГэВ а(п+р) и а(п~р) оба равны 24 мб, а о(рр) =
= ст(/>л) = 38 мб в эквивалентной области энергий (см. рис. 4.16).
Их отношение действительно равно примерно 2/3. В качестве
других примеров см. задачу 5.4.
5.10. МАССОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ И СВЕРХТОНКОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
До сих пор различия в массах в адронных мультиплетах
описывались просто в рамках отличия масс и-, d- и s-кварков.
Однако только эти различия не могут объяснить наблюдаемых
различий в массах, в особенности различия между членами
октета и декуплета барионов при том же кварковом содер-
жании. Различие должно определяться эффектами кварк-квар-
кового взаимодействия, теория которого—квантовая хромо-
динамика — обсуждается в гл. 8. Здесь мы только вкратце
рассмотрим, как можно описать в рамках цветных сил между
кварками основной эффект — сверхтонкое расщепление уровней
адронной энергии.
Во-первых, следует напомнить, что в диаграмме эне-
ргетических уровней водородного атома каждый уровень
155
с данными квантовыми числами п, е и j расщепляется
на два очень близких сверхтонких уровня за счет вза-
имодействия между магнитными моментами протона и эле-
ктрона. В основном ^-состоянии переход, связанный с пе-
реворотом спина между этими двумя состояниями, создает
известную радиочастотную линию 1420 МГц B1 см).
Рассмотрим теперь два заряженных точечных фермиона
с магнитными дипольными моментами ц; и Цр находящихся
на расстоянии ги. Энергия взаимодействия пропорциональна
fiiUj/rfj. Тогда для' двух частиц в 5-состоянии взаимодействие,
усредненное по всем направлениям, равно нулю, за исключе-
нием точки г^ = 0. Дипольный момент имеет вид, ожидаемый
для дираковского точечноподобного фермиона:
*-?."• <529)
в единицах h = c=l, где е( и mt есть электрический заряд
и масса частицы; at — вектор спина (а? = 1). Энергия взаимодей-
ствия за счет этого диполь-дипольного взаимодействия в этом
случае равна:
где \j/@)—волновая функция двухчастичной системы в нуле
(rfj=0). Численный множитель возникает за счет интегрирова-
ния по углам для волновой функции 5-состояния.
Возвращаясь теперь к кваркам, отметим, что нормальное
магнитное взаимодействие, связанное с электрическим зарядом
и спином кварка, мало в шкале адронных масс; оно порядка
электромагнитного различия в массах (около 1 МэВ). Но
кварки несут цветной сильный заряд, и на малых расстояниях
между кварками предполагается, что цветной потенциал имеет
тот же A/г) вид, что и кулоновский потенциал [см. E.47)].
Связанное с цветными зарядами кварков цветное магнитное
взаимодействие имеет тот же вид, что и E.30), но с заменой
электрических зарядов на цветные. Численный коэффициент
в выражении для АЕ зависит от того, взаимодействует ли
пара кварков или кварк-антикварковая пара, а также от
собственных значений определенных операторов, связанных
с цветовой симметрией. В результате имеем выражение (см.
приложение Ж)
?^ E.31)
E-32)
где as—сильная константа связи (см. § 8.8), равная квадрату
цветного заряда, по аналогии с постоянной тонкой структуры
в электромагнетизме а = е2/4яйс. Произведение векторов Паули
<т;, <т; зависит по величине и по знаку от относительной
ориентации спинов, в точности так же, как сила между двумя
железными магнитами зависит от их ориентации. Обозначая
векторы спина кварков s;, Sj (где sz=±-) и полный спин
S = s; + s;, получаем:
oi-oj = 4srsj=2[S(S+\)-si(si+\)-sj(sj+l)] =
+ 1 для 5=1,
-3 для 5=0. l ;
Возвращаясь к барионам, состоящим из трех кварков, мы
должны просуммировать E.33) по спинам кварков, чтобы
ПОЛУЧИТЬ ДЛЯ S = S; + Sj + St
+ 3 для 5 = 3/2,
-3 для 5=1/2. l ;
Эта формула хорошо применима для нуклонных ./V- и А-
состояний, где массы трех кварков (и и d) в знаменателе
E.32) равны. Для Е+ A193)-гиперона (имя) в октете различие
масс s- и и-кварков должно быть учтено при суммировании
E.33) по трехкварковому состоянию. Пара одинаковых кварков
м|м| в триплетном спиновом состоянии с <tu-<tu=1, поэтому
из E.34) 2auas = 'Lai-aj — оиаи= — 4. Тогда получим, например,
ml
E.35)
К,
ч . rnums ¦
где K—4nas\\\f@)\2j9. Из восьми членов изомультиплетов
барионов в декуплете и октете мы можем определить четыре
неизвестных параметра: К, ти, ms и константу М в E.8).
В табл. 5.4 сравниваются наблюдаемые массы с пред-
сказываемыми теорией, полученными для следующих значений,
МэВ:
ms = 568; > E.36)
К\тгп =50. j
157
Таблица 5.4. Массы бариоиов, предсказываемые из эффектов сверхтонкого
расщепления (Rosner, 1980 г.)
Барион и
масса, МэВ
N (939)
Л A116)
1A193)
Н A318)
Д A232)
I A384)
Е A533)
QA672)
Кварковый состав
Зл
2и, 1*
2и, Ь
\п, 2s
Зи
2 л, b
In, 2j
35
AEjK
-Ъ\т1
-3/m2
1/т^-4ш„ш,
1/т*-4/т„/и,
3/т„2
\/т^ + 2/тят,
1 /т s2 + 2/т„ ms
Ъ1т2,
Предсказывае-
мая масса, МэВ
939
1114
1179
1327
1239
1381
1529
1682
Для всех значений масс наблюдается согласие в пределах
1% или лучше. В частности, успешно объясняется разница
масс между А и N. Для псевдоскалярных и векторных
мезонных состояний, обсуждаемых в § 5.5 и 5.6, возможен
аналогичный подход. В частности, большая разница масс
между тс A40) и р G76), представляющих синглетную и триплет-
ную комбинации м-, rf-кварков и антикварков, описываются
за счет сверхтонкого взаимодействия. Отметим, что, как
следует из E.31) и E.32), коэффициент в расщеплении уровней
энергии вдвое выше для мезонов, чем для барионов, что
является критическим предсказанием теории кварк-кваркового
цветового поля. В случае мезонов предсказываемые массы
согласуются с наблюдаемыми с точностью лучше 1%. Значения
величин т„, ms несколько меньше, чем для барионов, а К\т\
оказывается равным 80 МэВ (против 50 МэВ для барионов).
Однако известно, что среднеквадратичный радиус распределе-
ния заряда для мезонов меньше (/?0«0,6 фм), чем для барионов
(/?0»0,8 фм), поэтому |v|/@)|2, которая пропорциональна \\R\,
будет больше на фактор 2. Поэтому несколько большее
значение сверхтонкого расщепления в случае мезонов по
сравнению с барионами кажется в согласии с эксперименталь-
ными данными.
5.11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РАЗЛИЧИЯ В МАССАХ
И ИЗОТОПИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
Можно полагать, что реальная масса заряженного адрона
состоит из двух компонент. Во-первых, это некая «голая»
масса, происходящая от кварковых составляющих и их силь-
ного взаимодействия, устроенного наподобие того, как описано
в §5.10. Во-вторых, дополнительный вклад Am за счет
электрического заряда адрона — в основном равный работе,
158
необходимой для того, чтобы вложить заряд в предварительно
1 +
незаряженную частицу. Если все барионы в октете — имеют
одинаковые распределения заряда, тогда можно ожидать
одинаковые значения Am для сходных зарядов:
= Атг
Добавление «голых» масс и суммирование этих равенств дает
тр+тг +mso=mE* + ms +mn
или
[тр-т)п={тг>-тг )+(mH -ms«)
-1,ЗМэВ -8,0 МэВ +6,4 МэВ. (' }
-1,6МэВ
Эта формула, впервые полученная Колеманом и Глэншоу,
хорошо согласуется (в пределах погрешностей измерений)
с опытом. Индивидуальные различия в массах связаны с на-
рушением изотопической симметрии, которое уже обсуждалось
в § 4.5 (см. табл. 4.3). В рамках кварковой модели имеется
несколько различных эффектов, ответственных за различия
в массах.
/. Различия в массах и- и d-кварков. Знак каждого члена
в E.37) указывает, что тй>ти.
2. Различие за счет кулоновской энергии, связанное с элек-
трическим взаимодействием меокду парами кварков. Оно долж-
но быть порядка e2/R0=(e2/hc)(hc/R0), где Ro—размер бари-
она. При /?о=0,8 фм, йс=197МэВ-фм мы имеем
e2/R0&2 МэВ.
3. Различие за счет магнитной энергии, связанное с вза-
имодействием магнитных моментов (сверхтонким взаимодей-
ствием) меокду парами кварков. Из E.30) следует, что оно
должно быть порядка [eh/тсJ(I/Ro), где /и—масса кварка
и |\J»@)|2«/? ~2. Поскольку h/mc порядка Ro, магнитная
энергия также порядка e2fR0, т. е. 1 или 2 МэВ.
Используя более точные выражения для этих эффектов, можно
из E.37) получить md—mu = 2 МэВ. Подобную близость масс м-
и «/-кварков трудно заранее предвидеть, в то время как величина
эффектов, связанных с кулоновской или магнитной энергией,
легко может быть предсказана для данных спинов, зарядов
и радиусов барионов. Таким образом, свойства приближенной
изотопической инвариантности в адронных взаимодействиях
159
и в атомных ядрах могут быть связаны с примерным равенст-
вом ти и тл и не иметь более фундаментального значе-
ния. В настоящее время происхождение масс кварков и их
примерное равенство в случае и- и (/-кварков остаются
невыясненными.
5.12. МАГНИТНЫЕ МОМЕНТЫ БАРИОНОВ
Пользуясь свойствами симметрии трехкварковой волновой
функции в октете барионов, довольно легко рассчитать маг-
нитные моменты его различных членов, предполагая, что
магнитный момент бариона есть векторная сумма кварковых
моментов. Если кварки ведут себя как точечноподобные
дираковские частицы, то магнитный дипольный момент кварка
описывается формулой E.29). Для протона uud мы уже
отмечали, что два м-кварка находятся в симметричном (три-
плетном) спиновом состоянии, описываемом спиновой функцией
х(/=1; т=0. +1), в то время как третий </-кварк описывается
функцией ф(/=1/2, т=±1/2). Полная волновая функция уг-
лового момента для протона со спином «вверх» будет \|/(У=1/2,
т=1/2) с учетом коэффициентов Клебша — Гордана для ком-
бинации состояний /= 1 и /=1/2 будет (см. приложение В,
табл. III)
ЛКНЛК^) <5-38)
Для первой комбинации момент будет цв + Ци — Ц<ь а для
второй просто \id. Следовательно, мы получим для момента
протона
Для нейтрона результат будет тот же при перестановке
индексов и и d. Для Е+-бариона ц0 заменяется на ц5 в E.39),
а для ? "-бариона \id заменяется на ц5, а ци — на \id. Для
Л-гиперона, который есть комбинация uds с 1=0, пара
uud должна быть в изоспиновом состоянии с /=0 (в
антисимметричном состоянии). Поэтому они должны быть
в антисимметричном спиновом состоянии (/=0) и не давать
вклада в момент Л-гиперона; следовательно, Ha = Hs- Величины
р. для Е°, 3° и S" могут быть получены аналогичным
образом. В табл. 5.5 приведены наблюдаемые значения маг-
нитных моментов совместно с предсказываемыми значениями,
полученными с помощью E.35) и масс кварков из табл. 5.4.
Все численные значения даны в терминах ядерных магнетонов
(я. м.) \i = eh/2Mc, где М—масса протона.
160
Таблица 5.5. Магнитные моменты «стабильных» барнонов в октете </'
Барионы
Р
п
Л
Z +
Z0
z-
-0
Магнитный момент
в кварковой модели
4 1
3 " 3
4 1
4 1
2 1
4 1
4 1
4 1
Предсказание я. м.
2,79
-1.86
-0,58
2,68
0,82
-1,05
-1,40
-0,47
Наблюдаемая
величина я. м.
2,793
-1.913
-0,614 + 0.005
2,33±0,13
-
-1.00±0,12
-1.25 + 0,014
-1,85 + 0,75
Предсказываемые значения магнитных моментов р, п,
Л очень хорошо согласуются с экспериментом. В частности,
ожидаемое отношение \in/\ip=— 2/3 находится в -блестящем
согласии с наблюдаемым значением —0,685. Однако имеются
разногласия в случае Е- и Н-барионов, что подчеркивает
слабость статической нерелятивистской кварковой модели.
Ниже мы увидим, что барионы (или мезоны) представляют
собой более сложные образования, состоящие из «валентных»
кварков статической модели плюс нейтральные векторные
глюоны (промежуточные векторные бозоны цветового поля),
некоторые из которых могут переходить в кварк-антикварковые
пары. Компонента QQ-nap, содержащаяся в барионе, хотя
она и мала по величине, может давать вклад в дополнительные
токи и, следовательно, в магнитный момент. В настоящее
время, однако, не существует законченной динамической теории
кварковых взаимодействий, применимой к статическим бари-
онным состояниям.
Здесь уместно краткое описание измерений магнитного
момента гиперона, например Л-гиперона, который может
образовываться в адрон-адронных соударениях, например в ре-
акции
11 Заказ 416
161
Мишень
Прецессия
Г
Протонный пучок
Рис. 5.8. Схема прецессии в магнитном поле спина Л-гиперона, образованного
совместно с нейтральным каоном. Начальная поляризация гиперонов нормаль-
на к плоскости образования
где он образуется поляризованным со спином, нормальным
к плоскости рождения \К, т. е. вдоль вектора (рк х рЛ). Степень
поляризации может быть определена по асимметрии вверх —
вниз продуктов слабого распада Л->/? + я~, нарушающего
четность (см. § 7.7). Предположим теперь, что Л пересекает
магнитное поле В, перпендикулярное рЛ и плоскости рождения,
как показано на рис. 5.8. Частота ларморовской прецессии
а угол поворота в магнитном поле
[bdl
пропорциональный интегралу поля по длине, равен 18° (цл./jo.^)
для fBdl=\ Тл-м, где Цд, — ядерный магнетон.
Первые эксперименты по определению цЛ были сделаны
с помощью детекторов на основе ядерной эмульсии при
импульсе пионов, примерно равном 1,05 ГэВ/с; при этом
импульсе поперечная поляризация Л-гиперонов была очень
большой (около 100%), но длина пути в магнитном поле
ограничивалась распадной длиной стЛ~10см. Следовательно,
заметные углы прецессии могли быть достигнуты только
с использованием импульсных магнитных полей порядка 20 Тл.
В более поздних экспериментах использовались пучки протонов
высоких энергий C00 ГэВ), которые образовывали интенсивные
вторичные гиперонные пучки более высокого импульса A00—
250 ГэВ/с). В этом случае распадный путь увеличивается из-за
релятивистского возрастания времени жизни на два порядка,
и поэтому могут быть использованы магниты с постоянным
магнитным полем. Продукты распада регистрировались с по-
мощью многопроволочных пропорциональных камер. Сильное
162
уменьшение поляризации при таких высоких энергиях (8%
вместо 100%) компенсируется резким увеличением интенсив-
ности гиперонов; в последних экспериментах достигнута полная
статистика около 3¦ 106 Л-частиц.
5.13. СПЕКТРОСКОПИЯ ТЯЖЕЛЫХ МЕЗОНОВ
И КВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ
В последние десять — пятнадцать лет таблица кварков
(табл. 5.6) дополнилась в связи с открытием двух новых
ароматов: «очарования» с и «прелести» Ь, связанных с более
тяжелыми кварками (см. табл. 5.6). Кроме того, имеются
предварительные указания на top-кварк t (см. § 6.16).
Таблица S.6. Квантовые числа кварков (на 1985 г.):
^*+ T)*
Аромат
и
Ъ
s
с
Ъ
t
I
1/2
1/2
0
0
0
0
h
1/2
-1/2
0
0
0
0
s
0
0
1
0
0
0
с
0
0
0
1
0
0
в*
0
0
0
0
-1
0
т
¦ 0
0
0
0
0
1
-Qle
+ 2/3
-1/3
-1/3
+ 2/3
-1/3
+ 2/3
В* обозначает квантовое число «прелесть» или bottom; В — барионное число, которое
равно 1/3 для кварков.
Характерной чертой сильных цветовых сил между кварками
является то, что наиболее тяжелые составляющие находятся
на наименьших расстояниях и обладают наименьшими вза-
имодействиями. Серии _ тяжелых мезонных состояний i|/, T,
образованные из се и bb, соответственно, имеют узкие ширины
и образуют спектр дискретных спектроскопических уровней,
сходных с уровнями позитрония (но в совершенно иной
энергетической шкале). Последовательность и положение этих
уровней, которые можно рассчитать, используя простые потен-
циальные модели, находятся в удивительном согласии с на-
блюдаемыми значениями. Эти спектры тяжелых мезонов
действительно свидетельствуют о существовании основных
кварковых и антикварковых составляющих адронов.
5.13.1. Уровни чармония. у|/-серия мезонных резонансов впер-
вые наблюдена в 1974 г. в е + е "-соударениях в лаборатории
SLAC (Стенфорд) на е + е~-коллайдере SPEAR (Augustin et.
al., 1974 г.); низшее состояние, называемое \|/ или «//vj/, было
одновременно наблюдено в экспериментах на ускорителе AGS
11 * 163
3,050 3,090 3,100 3,110 3,120 Е^
Рис. 5.9. Результаты Augustin et al., 1974 г. по наблюдению У/Ч'-резонанса
с массой 3,1 ГэВ, образующегося при е+е~-аннигиляции на накопительных
кольцах SPEAR (SLAC)
в Брукхейвене (BNL) в соударениях протонов с энергией
28 ГэВ с бериллиевой мишенью (Aubert et. al., 1974 г.),
приводящих к образованию массивных е + е
адроны
E.40)
BNL :
У/\(/ + что угодно.
E.41)
Экспериментальные данные реакции E.40) показаны на
рис. 5.9, а реакции E.41) — на рис. 5.10. В обоих случаях
164
Рис. 5.10. Результаты Aubert et al., 1974 г. по наблюдению узкого резонанса JI'V
в распределении инвариантных масс пар е*е~, образующихся в инклюзивных
взаимодействиях протонов с бериллйевой мишенью. Эксперимент был выпол-
нен на ускорителе AGS с энергией протонов 28 ГэВ (Брукхейвенская националь-
ная лаборатория)
наблюдается острый резонанс \|f при массе 3,1 ГэВ. В E.41)
массивные электронные пары детектировались с помощью
магнитного спектрометра и детекторов, расположенных за
мишенью; электроны и позитроны регистрировались в со-
впадениях под большими углами симметрично относительно
оси протонного пучка. В е + е~-эксперименте измерялась ско-
рость реакции в области пересечения пучков как функция
энергии пучков, которая увеличивалась небольшими шагами.
В этих первых экспериментах на SPEAR (Abrams et. al,
1974 г.) был также обнаружен, в дополнение к \|/, второй
резонанс \|/' с массой 3,7 ГэВ.
Наблюдаемые ширины пиков на рис. 5.9 и 5.10 определяются
экспериментальным разрешением по массе, связанным с точно-
стью измерения импульсов вторичных электронов в эксперимен-
те BNL и импульсным разрешением пучков е+ и е~ в экспери-
менте SLAC. Истинная ширина \|/ гораздо меньше, и ее можно
определить из измерения полной скорости реакции и относи-
тельной вероятности лептонного распада. Используя формулу
Брайта — Вигнера D.55) для образования резонанса со спином
J из двух частиц со спинами sx и s2, получаем
4nX2BJ+l)Tle /4
E.42)
где X—длина волны де-Бройля; ER — энергия в резонансном
пике; Г — полная ширина резонанса, а Тее —парциальная
165
ширина i|/—е + е . При 5!=52 = 1/2 и при предположении, что
У=1, полное проинтегрированное поперечное сечение можно
найти из E.42), используя подстановку tg9 = 2(?—Ек)/Г:
E.43)
Проинтегрированное поперечное сечение на рис. 5.9, в долж-
но быть равно $a(E)dE и численно есть 900 нб-МэВ. От-
носительная вероятность Ге*е =0,07, a X = hc/pc, где
рс= 1500 МэВ и йс = 200 МэВ фм. Подставляя эти величины
в E.43), получаем Г = 0,067 МэВ для истинной ширины v|/,
которая много меньше экспериментальной ширины (равной
нескольким мегаэлектрон-вольтам). По сравнению с другими
векторными мезонами, такими, как р G76 МэВ) с Г =100 МэВ
и соG84 МэВ) с Г=11 МэВ, \|/ C100 МэВ) имеет чрезвычайно
малую ширину, и чисто электромагнитный распад \|/->е + е
конкурирует с распадом в адроны. Отметим, что парциальная
ширина Г(\|/-+е + е~) = 4 кэВ не сильно отличается от аналогич-
ной ширины для других векторных мезонов. Например,
Г(со->е + е") = 0,8кэВ и Г(<р->-е + е~)==1,6 кэВ.
Предположение о том, что Jp=l~, т. е. векторная природа
\|/-частицы, подтверждается наблюдением формы резонансной
кривой на рис. 5.9,6. Она имеет вид, характерный для ин-
терференции двух амплитуд: одной—за счет прямого канала
(рис. 5.11, а) и другой за счет образования v|/ через промежуточ-
ный виртуальный фотон (рис. 5.11,6). Интерференция между
этими диаграммами является доказательством того, что \|/ до-
лжен иметь те же квантовые числа, что и фотон. Приписывание
изоспина /=0 основано на характеристиках адронных распадов.
Так как \|/ распадается преимущественно на нечетное число
пионов, то из аргументов, связанных с G-четностью (см.
§ 4.5), следует, что / должен быть четным. Значение /=0
подтверждается наблюдением распадной моды i|/->pjt: различ-
ные зарядовые состояния р + я~, р°л°, р~л+ оказываются
равновероятными. Тогда сравнение с коэффициентами Клеб-
ша—Гордана для комбинирования двух состояний с /= 1
показывает правильность выбора /=0.
Сводка некоторых свойств i|/- и \|/ '-частиц приведена
в табл. 5.7. Пример распада v|/'-»v|/-l-n + n", ty-+e + e~ показан
на рис. 5.12.
Чрезвычайно узкие ширины \|/- и ^'-состояний не позволяют
объяснить их в рамках и-, d- и s-(u-, d- и *-)-кварков. За
несколько лет до обнаружения \|/ и v|/' Glashow Iliopoulos
и Maiani, 1970 г. предположили существование нового типа
кварка в связи с несуществованием нейтральных токов, наруша-
166
V
Phc. 5.11. Две диаграммы аннигиля-
ции e*e~ -*\i+\i~
Рис. 5.12. Пример распада Ч?'
C,7)-»Ч» C,1) + п* + я", наблюда-
емый в детекторе с искровой камерой;
Ч* C,1) затем распадаются на е е~.
Трекн 3 и 4 — следы относительно
низкоэнергичных пионов A50 МэВ),
/ и 2 — следы электронов с энергией
1,5 ГэВ. Магнитное поле (а также
вакуумная камера SPEAR) нормально
к плоскости рисунка. Траектории ча-
стиц проведены по координатам искр,
указанным крестиками (Abrams G. S.
et at., Phys. Rev. Lett., 34, 1181, 1975)
v v-
Таблица 5.7 Состоянии и распадиые моды чармоння
Состояние
//¦C100)
\|/'C700)
Масса, МэВ
3097 ±0,1
3686 ±0,1
¦/',/
/",0
/",0
Г. МэВ
0,063
0,215
Относительная вероятность
распада, %
Адроны (главным 86
образом B„+1)тс
е*е~ 7
ц + ц- 7
¦+2я 50
Х + У 23
е*е~ 0,9
Ц + Ц" 0,9
ющих странность (см. § 7.11). Они несут новое квантовое
число С (очарование), которое, подобно странности, сохраня-
ется в сильных и электромагнитных взаимодействиях. Большие
массы \|/- и \|/'-мезонов означают, что в случае, если эти
мезоны содержат такие очарованные кварки, то последние,
в свою очередь, должны быть массивными. Постулируется,
что v|/ и v|/' состоят из векторной комбинации ее, названной
чармонием, точно так же как р° состоит из ии и dd. Другие
комбинации с отличным от нуля очарованием, например cd,
образуют так называемые очарованные мезоны, которые были
вначале наблюдены в нейтринных экспериментах (но не ясно
167
a)
Рис. 5.13. Кварковые диаграммы распада чармония. Диаграмма а запрещена
законом сохранения энергии для состояний чармония ? C,1) и 4*' C,7)
с массами ниже порога 2А/и = 3,75 ГэВ. поэтому запрещенная правилом Цвейга
диаграмма 6 является единственно разрешенной для адронного распада
идентифицированы), а вскоре зафиксированы в экспериментах
в SLAC. За исключением самого низшего состояния ?>-мезона
с массой 1870 МэВ, который распадается слабо в переходе
с АС=1, все остальные являются широкими состояниями типа
р и со. Поскольку Ml|/<2MD, распад в мезонные состояния
с С = + 1 и —1 энергетически невозможен; отсюда следует,
что \|/ должен распадаться в состояния, содержащие только
и-, d- и .у-кварки и антикварки.
Напомним, что малая относительная вероятность распада
ц>-+к + к~п° по сравнению с ф—»АГА" (см. рис. 5.5) объясняется
в рамках так называемого правила Цвейга, когда несвязанные
линии на кварковой диаграмме приводят к подавлению
амплитуды распада. Мы можем нарисовать подобную диаграм-
му для распада \|/ (рис. 5.13).
Согласно этому правилу, распад i|/->Z)Z) предпочтителен,
но не разрешен по сохранению энергии; в результате имеет
место распад в мезоны, не имеющие очарования (рис. 5.13,6),
который подавлен намного сильнее, чем ф-распад. Мы вернемся
к проблеме ширины v|/ в § 5.15.
Наблюдаются и более тяжелые состояния чармония, все
они лежат выше порога DD; эти состояния становятся
широкими, поскольку распады в DD и другие очарованные
мезоны не запрещены правилом Цвейга. Зафиксированы оча-
рованные псевдоскалярные мезоны D + (cd), D (си) и их
античастицы; очарованные векторные мезоны D*, распада-
ющиеся по моде D*-+nD, а также F-мезоны (cs) и т.д.,
несущие очарование и странность. Псевдоскалярные мезоны
распадаются за счет слабого взаимодействия с АС=1 в не-
очарованные состояния с преимущественным распадом в каоны
(D -+К~к+ и т.д.) благодаря так называемому фактору
Кабиббо (см. § 7.9). Пример образования векторного мезона
D* в нейтринных реакциях и его распад показаны на
фотографии водородной пузырьковой камеры ВЕВС (ЦЕРН)
(см. рис. 2.15).
5.13.2. Состояния ипсилон (V). После открытия в 1974 г.
узких состояний чармония (\|/ = <х) в 1977 г. были обнаружены
аналогичные узкие резонансы в области энергий 9,5—10,5 ГэВ,
168
Параметры
состояний
Масса. ГэВ
Г>„ , юВ
rn0JIH, МэВ
Та б л
9,46+0.01
1,2 + 0,2
0,042 + 0,015
ица 5.8. Состояния Т
Г'235
10,02+0.01
0,50 + 0.14
0,03 ±0,01
Г35
10.35 + 0,01
0,40 ±0,10
Г'35
10,57+0.01
0,30+0,10
14 + 5
приписываемые связанным состояниям еще более тяжелых.
bottom-кварков с зарядом 1/3; эти состояния названы Y = bb
(табл. 5.8).
На рис. 5.14 показан результирующий спектр масс мюонных
пар, образованных в соударениях протон — ядро при энергии
400 ГэВ:
р + Be, Cu, Pt+->u + u +что угодно,
наблюдаемый в двухилечевом спектрометре (Herb et al., 1977 г.;
Innes et al., 1977 г.) в экспериментах в Национальной уско-
рительной лаборатории им. Ферми (FNAL). Широкий пик
в районе 10 ГэВ ясно виден на фоне убывающего с энергией
непрерывного континуума. Так как полная ширина пика
A,2 ГэВ) была больше ширины, определяемой эксперименталь-
ным разрешением @,5 ГэВ), было сделано заключение, что
в спектре присутствуют два или три резонанса с массами
9,4; 10; 0,1 и, возможно, 10,4 ГэВ, названные Т, У и Т"
соответственно.
Как и в случае чармония, состояния Т и У были также
наблюдены (годом позже) в е + е~-экспериментах на накопитель-
ных кольцах DORIS в Гамбурге, где они были четко разделены,
а также на е + е~-коллайдере CESR в Корнелле. где было
идентифицировано узкое состояние Т" и найдено четвертое
состояние Т'". Как и в случае
чармония, наблюдаемая шири-
на трех Т-состояний опреде-
лялась энергетическим разре-
шением пучков. Массы и леп-
тонные ширины Т-состояний
приведены в табл. 5.8.
Рис. 5.14. Первое доказательство об-
разования ипсилон-резонансов Т и Т',
полученное Herb et al. A977 г.) в спек-
тре мюонных пар, образующихся
с энергией 400 ГэВ в протон-ядерных
соударениях в Фермиевской лаборато-
рии близ Чикаго. Эти резонансы
проявляются как избыток мюонных
пар на фоне быстро убывающего
континуума. Состояния Т, У и т. д.
не разрешаются
169
!
V
-
1 1
.1 1
г
Цт
1 1
8 10 12
Таблица S.9. Лептонные ширины векторных мезонов
Мезон
Р
ю
Ф
Ф
Т
Волновые функции
кварков
{uu-dd)ly/2
(uu + dd)l^/2
ss
се
bb
\XaiQjl2
1/2
1/18
1/9
4/9
1/9
Г,-,-, КэВ
6,6 ±0,8
0,71 ±0,07
1,31 ±0,06
4,7 ±1,0
1,2 ±0,2
Г,-. /\ZaiQ,\2
13,2+1,5
12,8+1,3
11,8±О,5
10,5 + 2,3
10,6+1,8
В нерелятивистской кварковой модели ширины лептонных
распадов векторных мезонов в процессе распада, описываемом
обменом одиночным виртуальным фотоном, ожидаются пропор-
циональными квадрату зарядов кварков (резерфордовское рассея-
ние) [см. E.27)]. Экспериментальные значения (табл. 5.9) отноше-
ний лептонных ширин к квадрату среднего кваркового заряда
rVe/IEa.-gjI2 для р, со, ф и \|/ довольно близки, аналогичное
отношение для Т-состояния согласуется с предположением, что
это состояние построено из bb-къатрков с зарядом g=l/3.
Следует отметить (см. табл. 5.8), что 435-уровень Т'"-
состояния имеет гораздо большую ширину, чем низшие S-
состояния, это значит, что оно находится _выше порога
образования пары псевдоскалярных В-мезонов (Ьи, Ьп, bd, bd),
аналогичных D-мезонам, содержащим с-кварки. Масса В-
мезона равна 5,27 ГэВ.
5.14. СРАВНЕНИЕ УРОВНЕЙ КВАРКОНИЯ
И ПОЗИТРОНИЯ
На рис. 5.15 з 5.16 показаны схемы уровней чармония
(ее), Т-серии (bb) и позитрония (е+ е ~). Сходство между
ними очевидно и приводит к выводу о том, что подобно
позитронию ее- и bb-серш могут быть описаны как связанные
состояния пар фермион-антифермион. Проведем сравнение этих
систем более количественно.
Мы уже отмечали в схеме уровней Jpc =l~~ триплетные
^-состояния v|/ C100) и \|/'C685), где значения С равны (—1)'+1
и (— \)l+s (см. § 3.9). Кроме того, имеется кандидат для
синглетного (^о^-состояния, названный г\ B980) с Jpc = 0~+,
возникающий при радиационном распаде \|/ C685)->уг|с, а также
кандидат для 215г0-состояния с массой 3590 МэВ. Р-состояния
обозначаются хс (или Хь в Т-системе, рис.,5.15,6); они являются
продуктом радиационных распадов v|/-»yxc. Все эти состояния
лежат ниже порога DD и являются узкими (правило Цвейга). Для
Т-системы имеются три узких 5-состояния и два Р-состояния,
лежащих ниже порога образования пары fi-мезонов A0,54 ГэВ).
170
§
3,0
Уровни чармония
~fpr Распад
ТАдр,
онныи
ФC770)
р
распад
35
jfC097)
3,5
3p
Го
Уровни ипсилония
е+е~-*-ьь
T(WS7S)
TA03S5)
zsTA00Z5) *ЬСостояния
_ Г(ЭШ)
Т
о-+ г
Jp
Рис. 5.15. Энергетические уровни чармония (системы ее) (а) и ипсилон системы
(bb) (б). Числа в скобках указывают массы, МэВ/с2
Переходя к позитронию, выпишем (используя нерелятивистс-
кое уравнение Шредингера и кулоновский потенциал) уровни
энергии
<х2тс2
E.44)
где и — радиальное квантовое число, соответствующее уровням
UJ
10
0
10
0
2%
М1 /
J 1p1~
' "Т^ mi
'Vm r
-яА. J
2y
i i i
i i i
Рис. 5.16. Энергетические уровни позитрония (следует обратить внимание на
изменение шкалы по вертикальной оси)
171
IS, 2S, ... и т. д., а т—масса электрона. Это обычная формула
Бальмера для уровней водородного атома, отличающаяся
только коэффициентом 1/2 за счет уменьшения эффективной
массы в случае позитрония. В релятивистском случае уровни
расщепляются, во-первых, за счет спин-орбитального взаимо-
действия в S-. Р-, ... состояниях с различными орбитальными
моментами /(<«), во-вторых, за счет спин-спинового (через
магнитные моменты) взаимодействия в триплетном CSl)
и синглетном (lS0) состояниях. В атомной спектроскопии эти
расщепления называются тонкой и сверхтонкой структурами,
соответственно, но для позитрония (где обе составляющие
е+ и е~ имеют магнитный момент, равный магнетону Бора)
оба типа расщепления имеют одинаковую величину:
. струк з "
Триплетное и синглетное состояния называются орто-
и парапозитронием (см. § 3.9). Выражения E.44) и E.45)
описывают величину расщепления первого порядка по а;
в полных квантовоэлектродинамических (КЭД) вычислениях
возникают поправки высших порядков с относительными
вкладами порядка а, а2 и т. д. Измеряемые частоты переходов
для 23S1-*VP2 (8628 МГц) и 1351->11SO B03286 МГц) на-
ходятся в точном согласии с предсказаниями КЭД, также
как времена жизни C.46) и C.47) распада основных состояний
орто- и парапозитрония.
Как известно, для позитрония потенциал имеет вид куло-
новского:
Иэ. „=-«//-, E.46)
где г—расстояние между е+ не". Точный вид для потенциала
в системе тяжелых кварков QQ неизвестен. В полевой теории
кварк-кварковых взаимодействий, квантовой хромодинамике
(КХД) переносчиками сильного цветового поля являются
безмассовые векторные глюоны — аналоги безмассовых век-
торных фотонов в КЭД. Поэтому можно ожидать, что
потенциал КХД будет иметь вид кулоновского, что подтвер-
ждается экспериментально при измерении поперечного сечения
образования двух струй на адронных коллайдерах (см. § 8.9).
При больших г кварки обладают запирающим потенциалом
взаимодействия; этот потенциал при больших г является
линейным (см. § 8.10), как можно заключить из линейной
зависимости J от квадрата массы для барионов и мезонов
(см. § 8.10). Следовательно, потенциал КХД имеет вид
V=~-3j+kr, E.47)
172
Рис. 5.17. Вид КХД-потенциала
4
V=--oiJr+kr с as = 0,3 и
Jt = l ГэВфм1
где 4/3 — цветовой коэффициент'
(см. приложение И);
ots—константа связи кварк —
глюон, аналогичная а в E.46),
и к « 1 ГэВ • фм ~ '. Вид такого
потенциала для <xs—0,3 показан
на рис. 5.17. Уровни энергии для
этого потенциала можно вычис-
лить. Первый член дает разницу
уровней 2S—IS, пропорциональ-
ную массе составляющих квар-
ков, как в E.44), а второй —
пропорционально /и~1/3. Бли-
зость в наблюдаемых разницах
в энергетических уровнях для
\|/-состояний E89 МэВ) и для
Т E65 МэВ) (см. рис. 5.15), несмотря на различие в 3 раза
в массах составляющих кварков, по-видимому, является след-
ствием случайной компенсации вкладов от этих двух членов.
Для того чтобы получить количественное представление
о расщеплении уровней, рассмотрим аналитическое решение
E.47), используя только первый кулоновский член. Из вида
потенциала 1/г следует, что AEB3S1~ \3Si)^iC.2m,
a A?B3St — 13Р2)~<х4т; поэтому из известных значений рас-
щеплений, полагая массы с- и ^-кварков равными массами
D- и 5-мезонов, можно получить значение as (табл. 5.10).
-2 -
Таблица
Система
tfb
Константа
связи
а=1/137
4os/3
4os/3
5.10.
Расщепление уровнен i
Масса со-
ставляющих
0,51
1870
5280
МэВ
МэВ
МэВ
A?B3S,-13S,)~
5,1 эВ -
589 МэВ
565 МэВ
кварконня
а,
0,6
М
и позитрония
3,610 эВ
130 МэВ
ПО МэВ
а.
-0,7
Факторы 108 в тонком расщеплении и 1013 в сверхтонком
между кварконием и позитронием могут быть объяснены за
1 Коэффициент 4/3 можно получить следующим образом. Кварк имеет
три степени свободы и связан с октетом цветных глюонных состояний.
Усредняя по цвету кварка, получаем коэффициент 8/3 по сравнению с КЭД
(один цвет фотона и один фермионный заряд). Этот коэффициент должен
быть поделен на 2, поскольку as определяется как двойной квадрат заряда
сильного цветового поля.
173
счет много большей массы составляющих и сильной константы
связи <xs^l. Поскольку мы пренебрегли линейным членом
в E.17), из рис. 5.17 видно, что эти значения ots переоценены.
Численное решение для полного потенциала дает значение
ots»O,3 для \|/- и Т-систем, которое сравнимо с соответст-
вующим значением, извлеченным из частоты трехструнных
событий в е + е~-аннигиляции при высоких энергиях, из сечения
образования двухструйных событий в адрон-адронных соударе-
ниях, а также из анализа глубоконеупругого лептон-нуклонного
рассеяния; все эти процессы обсуждаются в гл. 8.
5.15. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРАВИЛА ЦВЕЙГА
Обсудим теперь необычайную узость состояний тяжелых
кваркониев (порядка десятков килоэлектрон-вольт), вызванную
правилом Цвейга для несвязанных кварковых линий (см.
рис. 5.13). Эти состояния, так же как и мезоны, в которые
они распадаются, являются синглетами по цвету, поэтому
связь между начальным и конечным кварковым состоянием
в КХД должна осуществляться путем синглетной по цвету
глюонной комбинации. Поэтому по крайней мере должен
быть обмен двумя глюонами. Из-за связи \|/, Т с фотонами
они имеют квантовое число зарядового сопряжения С= — 1,
и поэтому в соответствии с теми же аргументами, которые
были применены для позитрония, число глюонов, которыми
осуществляется обмен, должно быть нечетным. Таким образом,
простейшей возможностью является трехглюонный обмен.
Тогда для \|/, например, из E.27) имеем
5 кэВ, E.48)
в то время как для адронного распада через обмен тремя
глюонами
^^2«70 кэВ. E.49)
Последнее выражение — то же, что и для е + е~ -»3у (см. C.47)),
за исключением дополнительного численного множителя за
счет цвета для QQ->3G, умноженного на зарядовый фактор
5/18, и замены а на as. Из E.48) и E.49) находим значения
as (табл. 5.11). Значения относительных вероятностей лептонных
распадов находятся в хорошем согласии с предыдущими
оценками. Следует отметить, что наибольшее значение as для
<р A020) согласуется с уменьшением as при переходе к большим
массам и большим передаваемым импульсам (см. обсуждение
в § 8.12).
174
Таблица 5.11. Относительные вероятности лептонных мод распада векторных
мезонов
Мезон
<рA020)
i|/C100)
Т(9480)
г,-, /гполн
B,09±0,07I0'3
G,4±1,2I0
C,0±1,0I0~2
<*.
0,44
0,21
0,18
Величина Гполн для ф-мезона относится только к запрещен-
ному _правилом Цвейга распаду ф-+3л и не включает распад
(р->КК. Поэтому узость состояний кваркония определяется
обменом тремя «жесткими» глюонами (рис. 5.18, а), и это
существенно ограничивает адронную ширину.
В противоположность этому распад \|/' C7 70)->/)/) может
происходить путем обмена одиночным «мягким» глюоном
с малым передаваемым импульсом, и это состояние имеет
значительно большую ширину B5 МэВ по сравнению
с 0,063 МэВ).
5.16. ТОР-КВАРК
Уже отмечалось, что кварк, существование которого следует
из открытия ипсилон-мезонов в 1977 г., должен иметь парт-
нера— /-кварк (top) с зарядом +2/3. На основе симметрии
между лептонами и кварками (см. § 7.12), наряду с тремя
парами лептонов с зарядами — 1 и 0, ожидается существование
трех пар кварков с зарядами +2/3 и —1/3. Экспериментальные
поиски /-кварка на е + е~-коллайдере с наибольшей в настоящее
время энергией показывают, что т,>22 ГэВ. Предварительные
результаты на /j/j-коллайдере ЦЕРН указывают на наличие
Рис. 5.18. Интерпретация правила Цвейга при распаде кваркония согласно
КХД. Распад (а) *Р C,100) в неочарованные кварковые состояния посредством
трехглюонного обмена сильно подавлен по сравнению с распадом (б) Ч* C770)
в пару DD, содержащую очарованные кварки
175
событий, которые могут быть объяснены образованием и рас-
падом ^-бозона в соответствии со схемой W-^tb-^2 струи + за-
ряженный лептон (электрон или мюон), при mt «40 ГэВ (Arnison
et. al., 1984 г.).
5.17. ПОИСКИ СВОБОДНЫХ КВАРКОВ
В период после возникновения гипотезы о кварковой
структуре адронов, выдвинутой в 1964 г. Гелл-Манном и Цвей-
гом, проводились интенсивные поиски существования свобод-
ных кварков. Подавляющее большинство этих экспериментов
не получило никаких указаний на существование свободных
кварков, что привело к постулату о «запирании» кварков,
т. е. таком взаимодействии между кварками, при котором
они не могут быть выделены как отдельные свободные
частицы, существуя только запертыми внутри адронов.
Здесь мы приведем только итоги исследований по поиску
кварков, поскольку экспериментальные свидетельства за и про-
тив существования свободных кварков широко обсуждались.
Все выполненные эксперименты можно разбить на два типа:
а) образование .кварков в соударениях высоких энергий на
ускорителях в адрон-адронных, лептон-адронных и е + е~-
реакциях, а также в космических лучах,
б) поиски кварков, уже существующих в веществе Земли
или других тел.
5.17.1. Ускорительные эксперименты. При поисках кварков,
образующихся в адронных (обычно протон-протонных) соударе-
ниях, для идентификации частиц с зарядом 2е/3 и \е/3
используются комбинация экспериментальной техники черен-
ковских счетчиков, измерения амплитуды сигналов в ионизаци-
онных детекторах, а также времяпролетная техника. Из этих
экспериментов определены пределы (менее 10"и) для отноше-
ния кварков к пионам в области масс свободных кварков
вплоть до 10 ГэВ. В основном такие адронные взаимодействия
представляют собой довольно «мягкие» соударения, в которых
передаваемые импульсы малы. Лептон-нуклонные соударения
(см. гл. 8) включают большие передаваемые импульсы и могут
быть более эффективными для «выбивания» кварков. Здесь
получены пределы менее 10~4 кварка на одно взаимодействие.
В ее "-соударениях—отношение а(е + е~->кварк + что угодно)/
(е + е"->ц + ц~ )< 10. Лептонные эксперименты чувствительны
в настоящее время для масс кварков вплоть до 20 ГэВ.
Анализ вторичных космических частиц давал в некоторых
случаях указания на кварковый сигнал, однако всегда не
очень убедительный, поэтому здесь можно сделать заключение
только о надежном потоке кварков на уровне моря менее
100 от потока первичных нуклонов, падающих на атмосферу.
176
Уровень обеспеченности и надежности предела, полученного
в экспериментах в космических лучах, является менее однознач-
ным, чем в ускорительных экспериментах.
5.17.2. Поиск стабильных кварков. Если кварки существуют
в обычной материи, они могут образовывать «кварковые атомы»
со специфическими физическими и химическими свойствами и,
конечно, с дробным полным зарядом. Поэтому в некоторых
экспериментах были предприняты попытки обогащения изучае-
мых образцов вещества с помощью применения электрического
поля. Подобным образом плотность свободных кварков в морс-
кой воде была ограничена на уровне менее 10" кварка на
нуклон. Если кварки присутствуют в потоке космических лучей
и тормозятся до остановки в океанской воде, этот предел
означает, что поток кварков в космических лучах меньше 10"8 от
первичного потока нуклонов. Проводились также поиски
в лунной породе, метеоритах, глубоководных осаждениях
океанов и даже в раковинах устриц. Существование кварков
исследовалось с помощью оптической спектрометрии и масс-
спектрометрии с применением дуговых и ионных источников. Все
эти поиски оказались безуспешными и привели к пределам на
плотность кварков, не более жестким, чем пределы для морской
воды. Можно заметить, конечно, что благодаря своим специфи-
ческим физическим и химическим свойствам кварковые атомы
могут существовать только в специальных материалах или даже
в специальных областях пространства вне солнечной системы.
Только в одном эксперименте до настоящего времени
получен положительный результат и действительно утвержда-
ется о существовании свободных частиц дробного заряда (La
Rue, Fairbank, Hebard, 1977 г.). Здесь использовался электро-
метрический метод, аналогичный эксперименту Милликена
с каплями масла. Он состоял в подвешивании маленьких
A00 мкг) диамагнитных сфер из ниобия в магнитном поле
специальной формы, где они осциллировали вертикально
с частотой /«1 Гц. Сферы располагались между двумя горизон-
тальными пластинами конденсатора, с зазором 1 см, к которым
было приложено осциллирующее электрическое поле частоты
/, сдвинутое по фазе относительно свободных осцилляции на
90°. Скорость изменения амплитуды осцилляции пропорци-
ональна электрическому заряду сферы. Полный заряд сферы
может быть изменен на ±1е путем облучения радиоактивным
электронным или позитронным источником, что позволяет
осуществлять калибровку по заряду. Используемые ниобиевые
сферы были подвергнуты специальной тепловой обработке
для улучшения 2-величины естественных осцилляции. В послед-
ней работе (La Rue et.al., 1981 г.) дано описание 39 измерений,
выполненных на 13 сферах с радиусами 100—140 мкм. Пять
сфер показали наличие дробных зарядов. При этом 5 измерений
12 Заказ 416 177
дали отрицательный заряд со средним значением
— 0,343 + 0,011, а 9—дали положительный заряд со средним
значением +0,328 + 0,007. Остальные 25 измерений соответ-
ствовали целому заряду @,00-1+0,003). Число наблюдаемых
дробных зарядов соответствует концентрации около 10~20
кварков на нуклон ниобия, если учесть полное число нуклонов
в сфере. Это число сравнимо с верхними пределами, получен-
ными из других экспериментов по поиску кварков.
Во втором эксперименте (Gallinaro, Marineffi, Morpurgo^
1977 г.), » котором использовались ферромагнитные цилиндры
B00 мкг), подвешенные в магнитном поле, были обнаружены
только целые заряды (т. е. Д(?<0,1е). Предел на концентрацию
свободных кварков в этом случае составил менее 3 • 10~2 квар-
ков/нуклон. Обзор экспериментов с магнитной подвеской см.
Marinelli и Morpurgo, 1982 г.
Резюмируя результаты, можно сказать, что нельзя сделать
заключение о существовании свободных кварков в земных
условиях; если они и существуют, их число меньше 100
по сравнению с числом связанных кварков. Запирание кварков
в адронах может даже быть абсолютным, в этом случае
любая частица с дробным зарядом не сможет образоваться,
даже в ранней Вселенной.
ЗАДАЧИ
5.1. а)' Проверьте выражения для магнитных моменте» барионов
в табл. 5.5. Магнитные моменты протона к нейтрона, а также некоторых
комбинаций из магнитных моментов гиперонов зависят только от магнитных
моментов и- и ^-кварков. Предполагая, чте и- и ^-кварки имеют (каждый)
массу, равную одной трети массы нуклона, вычислите моменты бараонов
и сравните их с экспериментально наблюдаемыми1.
б) Аномальные магнитные моменты нейтрона и протона примерно равны
но величине и противоположны по знаку. Покажите, как этот результат
можно получить при рассмотрении нуклона, проводящего часть времени как
дираковский (точечный) нуклон, остальную часть времени — каж точечная
сердцевина* окруженная заряженным пионом в Л-свстоянии, дающим вклад
в полный момент как циркулирующий ток.
5.2, Обсудите возможные распадные ш>ш ©-гиперона, разрешенные
законами сохранения, и покажите^ что возможен только слабый расвад.
5.3» Оцените |ф>(в).|2 в E.17), исходя, из типичного размера адрова,
и получите абсолютные значения ширины векторных мезонов р/, ш, ц>.
5.4 Покажите, что аддитивная кварковаа медаль предсказывает следующие
соотношения между поперечными сечениями:
а {Ар) = а (рр)+<т [К 'n)-xript +p)\
p)—a(n
1-78
ГЛАВА 6
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
6.1. ВВЕДЕНИЕ
Электромагнитные взаимодействия являются взаимодейст-
виями, обеспечивающими силы связи между атомами и мо-
лекулами. Уровни энергии водородного атома в пренебрежении
спиновыми эффектами можно найти, используя формулу
где ц= хт—эффективная масса; т, М—массы электрона
т+М
и протона, а л=1, 2, ...—главное квантовое число. Другие
элементарные системы, связанные кулоновским потенциалом,
такие, как мюоний ц + е~ или позитроний е+е~, имеют со-
бственные состояния, определяющиеся той же формулой (мы
использовали ее уже в § 5.14). Во всех таких системах уровни
расщеплены за счет спин-орбитального (тонкая структура) и спин-
спинового (сверхтонкая структура) взаимодействий, в обоих
случаях расщепление пропорционально а.2Е; согласно предсказа-
ниям КЭД, уровни энергии испытывают также сдвиг (лембовский
сдвиг) в результате «радиационных поправок» высших порядков.
Необходимо подчеркнуть, что энергетические уровни основного
состояния, например зависимость от п и от ц в F.1), зависят
от вида кулоновского потенциала A/г), а также отражают
свойства составляющих величин, например отношения масс (из
ц), магнитных моментов и констант связи а кулоновского поля.
Ниже основное внимание сконцентрировано на непрерывной
системе несвязанных состояний, возникающих в процессе
упругого рассеяния электронов на протонах (и других ядрах).
Здесь опять угловое распределение рассеянных частиц определя-
ется видом потенциала, константой связи а и массами
и магнитными моментами соударяющихся частиц (а также,
конечно, энергией налетающего пучка). Обсудим вначале про-
стейший случай рассеяния бесспиновых частиц, а затем случай,
когда спиновые эффекты приняты во внимание.
6.2. УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ БЕССПИНОВЫХ
ЭЛЕКТРОНОВ ЯДРАМИ
Резерфордовское рассеяние бесспиновых электронов ядрами
можно получить в первом порядке теории возмущений (а также
классически). Мы применим D.4) для вероятности перехода
12* 179
[MYPf F-2)
Для возмущающего центрального потенциала, создаваемого
стационарным ядром Ze, матричный элемент есть интеграл
по объему
Mif = lrfV(r)№, F.3)
где \|/,, \|/у— волновые функции начального и конечного
состояний рассеивающего электрона. В борновском приближе-
нии слабого возмущения рассматривается только однократное
рассеяние (можно показать, что это эквивалентно требованию
Z<137). Поэтому можно представить \|/f и \\if как плоские
волны, до и после рассеяния. Записывая к0 и к для
начального и конечного векторов распространения волн,
получаем из F.3)
Af,7 = Jei(k°"k)rK(r)^3r. F.4)
Как в D.6), дифференциальное сечение рассеяния есть W/v,
где v — скорость налетающего пучка относительно рассеива-
ющего центра. Фактор плотности состояния
_p2dil dp
P
где р = Йк — импульс рассеянного электрона, a Ef — полная
энергия конечного состояния. Это дает нам
da_ p2 dp
До сих пор мы предполагали ядро бесконечно массивным.
Реально мы должны учесть отдачу ядра. Обозначим р,
W и М импульс, полную энергию и массу покоя ядра отдачи
соответственно, а 0 — угловое отклонение электрона (рис. 6.1).
Используя единицы h = c=\ и полагая налетающий и рассе-
янный электрон крайне релятивистским, имеем
ро = ко = Ео, р = Е=к, VKC.
Рис. 6.1. Схема рассеяния электрона
на неточечном ядре
180
Все величины рассматриваем в лабораторной системе. Ис-
пользуя сохранение энергии-импульса, получаем
находим
dp\ W W p
dEf j e Ef — po cos 0 Mp0
? = —-J . F.6)
Л 1+^A-cosG)
M
Выражение F.5) тогда приобретает вид
где передаваемый импульс
q=Po-p
Представим теперь ядро в виде сферы с плотностью заряда
p(R), как показано на рис. 6.1, нормированного так, что
|p(R)c/3R=l.
о
В этом случае
v{t,Ze^ fp(RH3R
[Т> 4тг J |r-R|
и
.. Ze
M
4»t J
Ir-R|
*»*d(«»*)F.8)
где s = r—R, a a—полярный угол между s и q (вектором
передаваемого импульса). Определим ядерный форм-фактор:
F(?2) = fp(R)el«"irrf3R. F.9)
Тогда
M,f=~ F{q2) \sds Liqscos
\sds
7рг Г ^d<i(eiqs—e~'«s4>
2 J i?s
F.10)
181
К сожалению, этот интеграл расходится, как и должно быть,
поскольку поперечное сечение рассеяния двух частиц в поле,
описываемом законом обратного квадрата расстояния, бес-
конечно. Реально ядро экранируется на больших расстояниях
атомными электронами. Поэтому необходимо модифицировать
V(r) введением фактора е~г/в, где я—типичный атомный
радиус; впоследствии мы можем положить д-»оо, если захотим.
Поскольку я» Я (на фактор, примерно равный 104), можно
положить: е~ф = е~а/". Тогда F.10) примет следующий вид:
Ze2F(q2) f 1 1 ] (Ze2/2)F(q2)
Следует отметить, что если q<\ja (очень малые передаваемые
импульсы), M2~-—>const. В атоме а~10 8 см и, следователь-
аи
но, \/ак\ КэВ; для интересующей нас области q^\/a находим
дифференциальное поперечное сечение
)]2. F.12)
W
По причинам, которые станут ясны позже, 1 — q1\2M2<^. 1,
М
поэтому можно считать W/M=l для всех практических случаев
(ядро отдачи нерелятивистское). При еще одном предположе-
нии, что импульс отдачи ядра р' = q<^:p0, можно положить
р-р0, тогда
0
q — 2р о — 2р о cos 9 = 4posm -, F.13)
2
так что
da Z2(e2/4u)>[F(q2)Y
du е"
Так как а = е2/4т
и
получим, что
du
с
da
ApZsin4-
2
4n<x2Z2 [Fiq1
j 2
!)]2
F.15)
г -*¦—• F-16)
dq
182
Выражения F.14) и F.16) для случая эффективно-точечного
ядра (в случае малых величин q2, так что F(q2)ml) пред-
ставляют собой известную формулу резерфордовского рассе-
яния.
Следует отметить, что ^-зависимость F.16) является аль-
тернативным способом описания вида кулоновского потенциала
A/г в координатном пространстве), точно так же как это
имело место в случае 1/и2-зависимости уровней энергии
связанного состояния в F.1).
6.3. ПЕРЕДАВАЕМЫЙ 4-ИМПУЛЬС
Выражение F.16) содержит трехмерный передаваемый им-
пульс q2=\q\2 между налетающей частицей и мишенью в лабо-
раторной системе. Чтобы выразить F.16) в ковариантной
форме, т. е. в форме, не зависящей от системы отсчета
(лабораторной системы, системы центра масс), необходимо
переопределить q как передаваемый 4-импульс. На рис. 6.2 р0,
р и Q обозначают 4-импульсы частиц. Каждый 4-импульс имеет
три пространственные и одну временную координату.
Квадрат вектора 4-импульса (реальной частицы) есть
P2 = p2+(iEJ=p2-E2 = -т2.
Он является инвариантом (см. приложение А). Аналогично,
квадрат передаваемого 4-импульса между падающим и рас-
сеянным электроном есть инвариант, равный
= 2рр0(\ -cos8) = 4/>p0sin2 -, F.17а)
если пренебречь электронной массой (m2<^.q2). Так как угол
рассеяния есть реальная величина (—1 <cos8<l), q2 положи-
телен. При обмене реальной частицей q2 может быть от-
рицательным, т. е. того же знака, что энергетическая или
временная компонента (iEJ. Величина q2>0 иногда называется
пространственноподобным передаваемым импульсом, в отличие
от 9 <0, которая называется времениподобным импульсом.
Рис. 6.2. Схема рассеяния в терминах
4-импульсов
Все процессы рассеяния необходимо отнести к пространст-
венноподобной области q2.
Другое выражение для q1 можно получить при рассмотрении
передачи импульса ядру:
42 = (-р'J-(М- WJ=-2M2 + 2MW=2MT, F.176)
где кинетическая энергия, получаемая ядром, Т— W—M. Итак,
Если ядро получает отдачу когерентно, это означает, что
q2<g:2M2, так что практически W/M^l, как предполагалось
в F.14). Хотя величины q2 в F.17) выражаются через величины,
измеряемые в ЛС, их численные значения одинаковы во всех
инерциальных системах. Величина \Mif\2 выражается так же,
как и прежде, но q теперь является передаваемым 4-импульсом,
а F.9) есть интеграл по пространству — времени при qR,
являющимся скалярным произведением 4-векторов. Однако,
если отношение W/M&1, то передаваемая энергия (временная
компонента) мала, и мы можем сохранить интерпретацию
F.9) как интеграл по пространственному распределению заряда.
Выражение F.9) для ядерного формфактора является просто
фурье-преобразованием распределения плотности заряда в ядре
p(R). Интегрируя по углам, легко показать, что
iR. F.19)
Отсылаем также читателя к задачам § 6.1 и 6.2 в конце
главы. Типичные размеры ядер составляют несколько ферми.
Если R = 4 фм, например, то qR=l означает
qc = he/R =197 МэВ-фм/4»50 МэВ. Следовательно, если
q<zz.5O МэВ/с, то рассеяние является точечноподобным, тогда
как для больших q формфактор занижает сечение.
Отметим, наконец, что для Z=\ и F(q2) = \, т.е. для
рассеяния бесспинового электрона на бесспиновом ядре, диф-
ференциальное поперечное сечение F.16) принимает вид
F-20)
что имеет простую интерпретацию. Матричный элемент за-
писывается как произведение двух вершинных множителей
и фотонного пропагатора (см. § 1.6):
—,
184
тогда как из F.6) и F.15) элемент фазового пространства
при ркр0 есть
dEf
Поэтому
da
6.4. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ СО СПИНОМ
НА БЕССПИНОВОМ ЯДРЕ
Релятивистское волновое уравнение Дирака описывает точеч-
ные электроны со спином 1/2. Оно подробно обсуждается
в приложении Г, где показано, что в системе отсчета, в которой
электрон является релятивистским, вектор спина <т(<т2=1)
выстроен с вектором импульса р. Если р направить вдоль
оси z, величина ожидания <crz)= + l, в то время как
<сгх> = <ау> = 0. Степень продольной поляризации выражается
в терминах спиральности Н, так что
H=fC±l. F.21)
Частицы с Н= + \ называются правыми, а с Н= — \—левыми.
Эти состояния обозначаются \|/к и \|/L соответственно.
В электромагнитном взаимодействии (и вообще для случая
связи фермиона со спином 1/2 с любым векторным или
аксиально-векторным полем) спиралъностъ сохраняется (см.
приложение Г). Состояние \\iL сохраняется как % в процессах
рассеяния (аналогично и \|/я). Итак, для электрического рас-
сеяния электрона на другой заряженной частице, происходящего
без переворота спина, рассеяние на 180° запрещено законом
сохранения углового момента. Другими словами, обменный
фотон является поперечным, имеющим проекцию углового
момента на ось z, равную нулю (рис. 6.3).
Электрон, имеющий, скажем, ?Я-спиральность, рассеи-
вающийся на угол 0, описывается волновой функцией v|/t(8),
которая есть суперпозиция амплитуд с /z=l/2 и 7Z= —1/2.
Часть амплитуды, описывающей электрон, первоначально
Разрешено Запрещено Jz-~1/2 Jz=~f/
Рнс. 6.3. Схема рассеяния "точечного электрона со спином A/2) Ъ
.185
находящийся в состоянии Jz= —1/2 и рассеянный на угол
6 также с /z= —1/2, описывается с помощью ^-функций
(матриц вращения, см. приложение В):
F.22)
в то время как
Итак, эффект спина электрона при рассеянии на бесспиновом
ядре сводится к введению фактора cos2 F/2) в поперечное
сечение. При релятивистских вычислениях также оказывается,
что член WJM исчезает (см. приложение А о релятивистской
нормировке волновых функций), так что, записывая q1 как
квадрат передаваемого 4-импульса, как в F.16), F.17), получаем
Z2<x2 cos2 -
J F-23)
-sin" -
Эта формула называется формулой Мотта. Член в квад-
ратных скобках описывает отдачу ядра. Очевидно, что для
больших q2, когда ядро не является точечным, необходимо
умножить это выражение на квадрат упругого формфактора
\F(q2)\2.
6.5. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА НУКЛОНЕ
Теперь учтем, кроме спина электрона, еще и спин мишени.
Рассмотрим рассеяние электронов точечными (гипотетическими)
протонами. Это вызывает, кроме электрического (кулоновс-
кого), еще и магнитное взаимодействие (с переворотом спинов
частиц). Так как магнитное поле, создаваемое из-за наличия
спина протона, изменяется как г~3, по сравнению с г~2-
зависимостью для электрического поля, для магнитного вза-
имодействия более важными будут близкие соударения и боль-
шие значения квадрата передаваемого импульса q2. Такое
рассеяние описывается дираковским поперечным сечением (см.
приложение В):
do\ fda\ ( 20 q2 . 2 в\
all /Дирак \иъ1 /Резерфорд \ L LM L I
/ \ / \ /
где
\.dil /Резерфорд
186
и первый член в скобках в правой части есть электрическое
(моттовское) рассеяние; магнитное рассеяние с переворотом
спина во вторых скобках в правой части содержит фактор
sin2 - из F.22). Поперечное сечение F.24) имеет место в случае,
если электрон и протон являются точечными дираковскими
eh
частицами с магнитными моментами ц=х—, где т — масса
2тс
частицы.
Протоны и нейтроны не являются точечными, и их
матричные моменты являются аномальными в том смысле,
что они отличаются от предсказываемых величин для дираковс-
ких точечных частиц:
Частица
Протон
Нейтрон
^(Дирк)
еЪ/2тс=\ ядерный магнетон (я.м.)
0
U
•(наблюдаемый)
+ 2,79 я.м.
-1,91 я.м.
Структура протона и нейтрона, подобно ядру, описывается
эмпирически с помощью подходящих формфакторов: два
формфактора (один электрический, один магнитный) необ-
ходимы как для протона, так и для нейтрона.
При их введении поперечное сечение записывается в виде
da fdo\ Г W2 " Я2
где GE = GE(q2), GM = GM{q2) с нормировкой G|@)=l,
G?@) = 0, G&@) = 2,79, G&@)=-1,91. Эта формула называется
формулой Розенблюта. Ее существенным свойством является
ЛГ> I/ I jn I —-"\4 / i " \Ч )^8 V F.26)
20
т. е. линейная зависимость поперечного сечения от tg -
для различных импульсов падающих частиц и углов рассеяния
при фиксированном значении q. Выражение F.25) получено
при одном основном предположении—справедливости бо-
риовского приближения, т. е. наличии только одного со-
ударения, которое происходит в результате обмена одним
виртуальным фотоном. В принципе, обмен двумя фотонами
187
Рис. 6.4. Поперечное сечение электрон-протонного рассеяния для фиксирован-
ного q1 и различных углов рассеяния 9 (график Розеблюта, Weber, 1967 г.)
Рис. 6.6. Электромагнитный формфактор протона в области больших q2.
Экспериментальные точки хорошо описываются дипольной формулой. Данные
получены в лаборатории SLAC (Panassky, 1968 г.)
может происходить, однако равенство поперечных сечений
рассеяния е+р и е~р (для которых члены двухфотонного
обмена имеют противоположный знак) свидетельствует, что
двухфотонный обмен несуществен. Этот вывод подкрепляется
наблюдаемой линейностью графика Розенблюта (рис. 6.4).
Экспериментальное определение протонного формфактора
было выполнено в экспериментах по рассеянию высокоэнер-
гичных электронов (от 400 до 16 ГэВ) на водородной мишени,
в которых точные измерения импульсов и углов рассеянных
электронов проводились с помощью магнитных спектрометров.
События упругого рассеяния отбирались по кинематическому
соотношению F.6) между углом и энергией рассеянного
электрона (со значением М, равным массе протона). Для
нейтрона проводились измерения с дейтериевой мишенью
и применялась процедура вычитания:
17^ (еп )=IF.
ail ail
~~ ^ (еР ) + поправочный фактор,
ail
где последний член извлекается из ядерно-физических харак-
теристик дейтона. По этой причине нейтронные данные менее
точны. Первые эксперименты, демонстрирующие отклонения
сечения рассеяния от ожидаемого для случая точечной части-
цы мишени и, следовательно, измеряющие формфактор, были
выполнены Хофштадтером и его сотрудниками в 1961 г.
в Стенфорде, а затем и во многих лабораториях мира. Конеч-
188
Рис. 6.5. Сравнение магнитного и электрического формфакторов нейтрона
и протона. Они совместимы со скэйлинговым законом F.27). Протонный
магнитный формфактор (а), протонный электрический формфактор (б) и ней-
тронный магнитный формфактор (в) (Weber, 1967 г.)
189
ные результаты современных экспериментов свидетельствуют
о том, что формфакторы подчиняются простому скэйлинговому
закону:
^^j^, G"E(q2) = 0, F.27)
и эмпирической диполъной формуле
2, с М? = @,84ГэВJ. F-28)
Соотношение F.27) установлено для исследуемой области
92 = 0-2ГэВ2 (рис. 6.5).
Для больших q2 существуют только данные по электрон-
протонному рассеянию, которые, согласно F.25), имеют от-
ношение главным образом к магнитному формфактору G& (q2);
вклад электрического рассеяния мал и недоступен измерению.
Для измерений ер-рассеяния дипольная формула F.28) справед-
лива с точностью 10% вплоть до 25 ГэВ2, как видно из
рис. 6.6. Используя обратное преобразование Фурье и F.19),
находим, что вид формфактора F.28) можно интерпретировать
как экспоненциальное распределение заряда и магнитного
момента в протоне с плотностью
р(Д) = роехр(-МкЯ), F.29)
имеющее среднеквадратичный радиус
=~^ = 0,80 фм. F.30)
My
Упругие формфакторы отражают пространственное рас-
пределение заряда и магнитного момента в нуклоне. Если
бы мы имели полную теорию адронной структуры, то эти
формфакторы могли бы быть вычислены. Однако в настоящее
время такой теории не существует, и в этом вопросе следует
исходить в основном из экспериментальных результатов.
+е~
6.6. ПРОЦЕСС е +е
Поперечное сечение для этого электромагнитного процесса
можно определить согласно формуле
^ F.31)
при этом угловое распределение имеет простой вид
^~(l+cos2e), F.32)
ail
190
Рис. 6.7. Диаграммы
где 0—угол испускания мюонов по отношению к направлению
пучков в СЦМ; s — квадрат энергии в СЦМ (s = 4EtE2, где
Е1 и Е2 — энергии сталкивающихся электрона и позитрона),
а все лептонные массы пренебрежимо малы по сравнению
с энергией в СЦИ. Точный вид этих выражений получается
из уравнения Дирака путем вычисления соответствующего
шпура (см. приложение Ж). Однако эти выражения можно
получить путем простых аргументов для крайне релятивистс-
кого случая. Во-первых, поперечное сечение должно быть
пропорционально а2, благодаря связи обменного фотона в каж-
дой из вершин (рис. 6.7). Во-вторых, сечение имеет размерность
квадрата длины или квадрата энергии и поэтому может
изменяться только как \/s, поскольку s является единственным
энергетическим масштабом задачи в случае sys>ml, m^.
(Численный коэффициент 4я/3 следует из интегрирования по
телесному углу и усреднения по спинам.)
Наконец, угловое распределение следует прямо из сохране-
ния спиральности в векторном взаимодействии для реляти-
вистских фермионов. Рассмотрим вначале процесс рассеяния
e~\i+ -*e~\i+ (см. рис. 6.7,а). Так как спиральность сохраняется,
е?-*е? и е^->е« (аналогично и для мюонов). Эта диаграмма
(рис. 6.7,а} переходит в (рис. 6.7, б) при замене входящей
(выходящей) частицы на выходящую (входящую) античастицу,
которая имеет противоположную спиральность. Рис. 6.7, б носит
название кросс-диаграммы. Отсюда следует, что в процессе
е+е~->ц+ц~ имеется связь е? и е? (или еЦ и el), но не
?l и е? (или е? и е«). Поэтому промежуточный фотон
должен иметь только J=l, /,= ±1, а не /z=0; это можно
увидеть из картины в СЦИ, рис. 6.7, в. Поскольку электромаг-
нитное взаимодействие сохраняет четность, состояния с Jz = + 1
и — 1 реализуются с равной вероятностью. Если, например,
в начальном соетояит Jz= +1, это должно сохраниться и для
конечного состояли*, а амплитуда для испускания р+ на угол
0 но отношение к е+ в системе отсчета рис. 6,7, в выражается
через *?-футсцшо (см. приложение В):
^M^U+cose). F.33)
m
10
5
a
3%5ГэВ
У
i
-
/d/
X
')
500 1000
S, ГэВг
1500 -1,0 -0,5
0
cose
Рис. 6.8. Компиляция результатов (Wu, 1984 r.) по перечному сечению
е+е~-»ц+ц~ и е+е~->т+т~ для е+е~-коллайдера PETRA в лаборатории DESY.
Предсказания КЭД F.31) показаны в виде кривой (а). Для полных поперечных
сечений эффекты нейтрального тока (обмен Z0) малы и неизмеримы. Угловое
распределение для процесса е+е"-»ц+ц", измеренное на коллайдере PETRA
(б). Предсказания КЭД F.32) показаны штриховой линией. Сплошная линия
(КЭД + слабое взаимодействие) демонстрирует небольшую асимметрию
вперед — назад, ожидаемую для реакций, идущих при обмене как у-квантом,
так и Z -бозоном (более детально см. § 9.7)
Если в начальном состоянии Jz= — 1, мы должны заменить
9 (определенное по отношению к положительному направлению
оси z) на л — 9, т. е. амплитуда становится -A— cos 9). Возводя
в квадрат и складывая амплитуды этих двух состояний,
получаем F.32)
В случае, когда нельзя пренебречь массой мюона, т. е.
мюоны не являются чистыми состояниями спиральности +1,
это выражение должно модифицироваться
в A +cos29 + 2 —- sin29). Вывод этого результата приведен
s
в приложении Ж).
На рис. 6.8 показаны экспериментальные результаты по
полным и дифференциальным поперечным сечениям для процес-
сов e+e~-*\i+\i~ и е+е~~ ->т+т~ при высоких энергиях. Полные
поперечные сечения находятся в хорошем согласии с пред-
сказаниями. Угловое распределение имеет в основном вид
A+cos29), но заметна асимметрия вперед—назад. Это проис-
ходит благодаря тому, что кроме чистой диаграммы обмена
фотоном (см. рис. 6.7) имеет место нарушающая четность (с
асимметрией вперед — назад) слабая амплитуда за счет обмена
192
¦ e
e' a)
Рис. 6.9. Диаграммы, вносящие вклад в Bhabha-рассеяние е+е~-*е*е~
Z0-6o3ohom. Поскольку слабая амплитуда порядка константы
Ферми G по сравнению с 4n%/s для электромагнитного
взаимодействия, можно ожидать, что интерференционный член
у—Z0 имеет относительный вклад величиной/=аслабаЭмМэм,
т. е. f~Gs/4na~lO~As, где s измерено в ГэВ2. Итак, ожидаемая
асимметрия (B-F)/{B+F)=f* 10% при 5=1000 ГэВ2, как и на-
блюдается. Такая асимметрия является важным тестом эле-
ктрослабой теории, она обсуждается количественно в гл. 9.
6.7. ВНАВНА-РАССЕЯНИЕ е+е^е+е~
Аргументы размерности, использованные в предыдущем
разделе для предсказания l/s-зависимости полного поперечного
сечения, в равной степени применимы к Bhabha-рассеянию.
Однако угловое распределение оказывается более сложным
(рис. 6.9) благодаря вкладу двух диаграмм. Диаграммы, пред-
ставленные на рис. 6.9, а, являются аналогом ер-рассеяния,
а диаграмма, представленная на рис. 6.9,6—аналогом
е+е~->цц~. Первая доминирует при малых углах. Мы не
приводим соответствующих формул, отметим только, что при
малых углах поперечное сечение велико, и это обстоятельство
используется как монитор интенсивности в е+е~-коллайдерах.
Угловое распределение в целом находится в блестящем
согласии с КЭД.
6.8. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Предыдущее обсуждение е/?-рассеяния и е+е"-аннигиляции
предполагало обмен одиночным фотоном. Естественно, что
обмен 2, 3,... фотонами также возможен, но он подавлен
относительно однофотонного обмена факторами а2, а4 и т. д.
При достижимых точностях экспериментов по рассеянию
измерение этих эффектов крайне сложно.
13 Заказ 416 193
Все эти так называемые процессы высших порядков вычис-
лимы в квантовой электродинамике. Требуются очень точные
эксперименты по проверке предсказаний теории, поэтому
необходимо привлечь эксперименты со стационарными состо-
яниями, которые можно измерить с большой точностью.
Основной класс подобных измерений касается лептонных
магнитных моментов, а также уровней энергии связанных
состояний водорода и других атомов — мюония д +e~ и позит-
рония е+е ~. Эти эксперименты не описаны здесь подробно,
мы ограничились лишь приведением полученных результатов.
6.8.1. Лептонные магнитные моменты. Согласно теории Ди-
рака, электрон и мюон являются точечными частицами
и обладают магнитными моментами, равными магнетону Бора:
^ F-34)
где т — лептонная масса. Магнитный момент ц связан с век-
тором спина s:
u = guBs, F.35)
где g—фактор Ланде, a g\iB = \ijs — гиромагнитное отношение,
т. е. отношение магнитного момента к механическому. Итак,
теория Дирака предсказывает для частиц со спином 1/2
g = 2. F.36)
Действительное значение величин g для электрона и мюона
определено с большой точностью и отличается от значения
2 примерно на 0,2%. Следовательно, дираковская картина
бесструктурной точечной частицы не является точной. Сходные
явления отмечаются и в атомных уровнях: например, знамени-
тый лэмбовский сдвиг, дающий поправку, равную 1%, к рас-
щеплению уровней 2Pij2 — 25i/2 в тонкой структуре спектра
атома водорода.
Магнитный момент заряженной частицы зависит от отноше-
ния е/т и в классическом рассмотрении вращающегося заряда
от пространственного распределения заряда и массы. (Если два
этих распределения одинаковы, из классического рассмотрения
следует, что g=l.) Отклонение g от значения 2 для частицы со
спином 1/2 поэтому доказывает, что имеются процессы,
которые искажают относительные распределения массы и заря-
да. Например, протон имеет значение g = 5,59, которое должно
возникать из-за составной структуры и различных величин
значений отношения е/т для компонент (кварков).
В любой момент времени электрон имеет определенную
вероятность состоять из «голого» или точечного объекта,
окруженного одним или более виртуальным фотоном, непре-
рывно испускаемым и поглощаемым. Количественно, мы
194
OCj
a) N S)
Рис. 6.10. Диаграммы, указывающие некоторые из поправок КЭД к магнит-
ному моменту лептонов
можем видеть, что, хотя заряд электрона по-прежнему равен
е, часть энергии (массы) несет фотонное облако, и поэтому
отношение ejm для собственно электрона будет слегка уве-
личиваться. Это увеличенное значение будет проявляться, если
измерять магнитный момент электрона во внешнем магнитном
поле В. Величина поправки пропорциональна вероятности
излучения фотона, определяемой константой связи а = е2/4я/гс.
Очевидно, что необходимы также поправочные члены порядка
ос2, а4,..., соответствующие испусканию 1, 2,... виртуальных
фотонов одновременно.
На рис. 6.10 приведены диаграммы для различных рас-
сматриваемых процессов. Диаграмма на рис. 6.10, а соответ-
ствует взаимодействию дираковского типа с «голым» элект-
роном, диаграмма на рис. 6.10,6—эмиссии одного виртуаль-
ного фотона (отсюда пропорциональность а), тогда как
диаграмма рис. б.Ю.в показывает ос2-процессы, один — с излуче-
нием двух фотонов, а другой — с образованием одной вирту-
альной пары. Так как образовавшаяся пара будет поляризовать-
ся, это создаст экранирование заряда электрона во внешнем
поле, такой эффект называется «поляризация вакуума».
Спектр виртуальных фотонов с 4-импульсом к в таком
процессе имеет вид f(k)dkxdk/k. Поскольку нет ограничений
в импульсах виртуальных состояний, полная поправка, которая
есть интеграл по спектру, будет логарифмически расходиться.
Например, масса или «собственная энергия» электрона будет,
очевидно, бесконечной. Однако теория имеет существенное
свойство — перенормируемость, расходимость всегда может
быть уничтожена путем переопределения «голых» лептонных
зарядов или масс, которые являются в любом случае относи-
тельными, и приравнивания их физически измеряемым величи-
нам. Все другие предсказываемые физические величины, такие,
как сдвиги уровней в атомах, магнитные моменты лептонов или
поперечные сечения столкновений, являются конечными.
Предсказания для лептонных магнитных моментов получа-
ются в виде ряда по степеням а с коэффициентами, которые
вычислены суммированием всех соответствующих диаграмм
Фейнмана. Для электрона предсказываемая аномалия есть
13* 195
т .
= 0,5 --0,32848 (-
1,19 (-
+ ••• =
= A159652,4 + 0,4)-10 9
аналогичная величина для мюона
, КЭД .. / .. \ 2
= 0,5- + 0,76578 (-) + 24,45 (-
к \kJ \п
= A165851,7 + 2,3)-10~9.
+ ...=
F.37)
F.38)
Отметим, что поправка первого порядка 0,5-, очевидно,
к
одинакова для электрона и мюона, тогда как ос2-члены
отличаются для этих случаев по величине и по знаку. Это
происходит из-за того, что импульсы частиц в промежуточных
виртуальных состояниях пропорциональны массе «родительс-
кой» частицы. Член поляризации вакуума для мюона значитель-
но больше.
Результат, предсказываемый КЭД F.38), существенно от-
личается от наблюденной величины-примерно на 9 стан-
дартных отклонений (табл. 6.1). Однако имеются дополнитель-
ные эффекты, которые возникают вследствие того, что фотон
может переходить не только в лептонную пару, но также
и в адроны.
Этот вклад можно вычислить с использованием результатов
экспериментов на е + е"-встречных пучках е + е~->у->адроны.
Он является пренебрежимо малым для (g — 2)e, а в случае
мюона поправка
12^J Г
адроны)
;7 -10
-8
F.39)
приводит F.38) к
= A,165918+ 10) -10
-9
F.40)
что находится в прекрасном согласии с экспериментом.
Таблица 6.1. (g— 2)/2-аномалия для лептонов
Теоретические предсказания
и результаты измерений
Предсказания КЭД
С поправкой на сильное взаимо-
действие
Наблюдаемая величина
109U-2)/2
Электрон
1159652,4 + 0,4
1159652.4 + 0,2
Мюон
1165851,7 + 2,3
1165918±10
И 65924 ±9
196
Вклады от других эффектов (например, от слабых вза-
имодействий, образования пар тяжелых т--лептонов за счет
КЭД) пренебрежимо малы на существующем уровне точ-
ности.
Экспериментальное определение g-факторов электро-
на и мюона является одним из наиболее красивых экс-
периментов в физике, точность которых непрерывно улуч-
шается.
Для более детального ознакомления читатель отсылается
к библиографии. В табл. 6.1 приведены результаты эксперимен-
та и теории.
6.8.2. Сверхтонкая структура. В табл. 6.2 приведено, как
результат проверки предсказаний КЭД, сравнение этих
предсказаний для переходов с переворотом спина между
основными состояниями 1 ^i-^l'50 в мюонии (\i + e~) и позит-
ронии (е + е~). Некоторые отличия между экспериментом
и теорией объясняются вкладом поправок более высокого
порядка. Приведенные частоты, в первом приближении,
отличаются простыми численными множителями (см.' зада-
чу 6.6).
Таблица 6.2. Сверхтонкое растепление C5, —*50) в мюонии и позитронии
(Bodwin and Yennie, 1978, Bcrko and Pendleton, 1980)
Результат
Теоретический
Экспериментальный
ц * е". МГи
4463,304 + 6
4463.302 ±5
i'*e\ МГц
203400+ 10
203387 + 2
Bojopoj (с р). МГц
1420.4057
(X = 21 см)
Следует отметить, что в теории Дирака уровни водородного
. атома определяются главным квантовым числом п и полным
угловым моментом электрона j. В более детальной теории
(КЭД) энергетические уровни зависят также от орбитального
углового момента /, так что 2Р1/2- и 2512-уровни не являются
вырожденными. Их различие дает знаменитый лэмбовский
сдвиг (частота перехода 1057 МГц). Правильное предсказание
этого сдвига явилось одним из первых успехов КЭД.
6.8.3. Проверки КЭД в области высоких энергий. Мы можем,
наконец, спросить, каковы возможные пределы справедливости
КЭД при очень высоких энергиях, полагая, что теория будет
нарушаться при очень больших передаваемых импульсах. Это
явление обсуждается в терминах параметра «обрезания» Л,
вводимого как относительный структурный фактор в виде
F=\+s/A2, где .v — квадрат энергии в СЦИ, или F=[+q2! \2.
Если вводить такой фактор в сечение КЭД для cj + e~->|i + |i^.
то из экспериментальных данных следует предел Л>100ГэВ.
Другие элементарные процессы дают .близкие пределы.
197
ЗАДАЧИ
6.1. Покажите, что экспоненциальное распределение плотности заряда для про-
тона в виде F.29) приводит к формфактору, соответствующему формуле F.28),
и покажите, что для Mv=0,H4 ГэВ радиус rms есть 0,8 фм.
6.2. Процесс е + е~-+п + п~ эффективно измеряет электромагнитный форм-
фактор пиона во времениподобной области q1. Если этот процесс доминирует
в промежуточном состоянии р, покажите, что радиус rms пиона есть 0,64 фм
(для Мр = 765 МэВ).
6.3. В эксперименте на встречных пучках е*е~ радиус каждого кольца 10 м,
интенсивность пучка 10 мА, поперечное сечение 0,1 см2. Предполагая, что
электроны и позитроны ускоряются сгустками и что два сгустка встречаются
дважды за один оборот, вычислите светимость в единицах см2 с ' (светимость
L определяет скорость реакций oL в секунду для процесса с поперечным
сечением а). Из формулы Брайта — Вигнера D.55) вычислите поперечное сечение
реакции е* е~ ->л + п~ п° в пике и-резонанса, предполагая относительную
вероятность распада ж-+е*е~ равной аг. Отсюда получите скорость набора
событий за 1 ч для этого процесса с данной светимостью.
6.4. Электрон с энергией 10 ГэВ соударяется с протоном и испускается
после соударения под углом 10 с энергией 7 ГэВ. Вычислите массу покоя
W адронного состояния, получившего отдачу.
6.5. Узкий электронный пучок с энергией 15 ГэВ и интенсивностью
I014 част/с попадает в жидководородную мишень длиной 1 м (по пучку)
и поперечным сечением, достаточным, чтобы перекрыть пучок. Оцените число
электронов за I с, упруго рассеянных на угол 0,1 рад внутри телесного угла
10 ср для а) точечного бесспинового протона, б) протона с формфакторами
из F.25). (Плотность водорода составляет 0,06 г/см3.)
6.6. Расщепление уровней l3^ — l'So в основных состояниях атома
водорода позитрония и мюония пропорционально произведению магнитных
моментов соответствующих фермионов [см. E.30)]. Зная частоту перехода
A420 МГц) в водороде, вычислите соответствующую частоту для мюония
и сравните с экспериментально наблюдаемой (из табл. 6.2). Для позитрония
возникает дополнительный фактор 7/16 из-за вклада аннигиляционной диаграм-
мы, не присутствующей в других системах. Учитывая уменьшение эффективной
массы [см. F.1)], вычислите расщепление для позитрония и сравните
с результатом, представленным в табл. 6.2. (Вы должны получить согласие
с экспериментальной величиной в пределах 1/2%; какова причина расхождения?)
ГЛАВА 7
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
7.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Впервые слабые взаимодействия наблюдались в медленном
процессе ядерного Р-распада. Подобные процессы имеют место
и могут наблюдаться в тех случаях, когда значительно более
198
быстрые сильные или электромагнитные распады запрещены
законами сохранения. В противном случае несмотря на то,
что все адроны и лептоны участвуют в слабых взаимодейст-
виях, проявления этих взаимодействий обычно подавляются
большими электромагнитными или сильными константами
связи.
Продукты слабых взаимодействий часто включают в себя
лептоны. В частности, нейтральные лептоны — нейтрино уни-
кальны в том смысле, что они могут принимать участие.
только в слабых взаимодействиях. Проведенные 20 лет назад
эксперименты с пучками нейтрино, образованных при распаде
на лету пионов и каонов, а также недавние эксперименты
по е +е "-аннигиляции показали, что заряженные и нейтральные
лептоны (см. табл. 1.2) образуют дублеты:
Q Le=\ 1Ц=1 1Т=1
каждому из которых можно приписать сохраняющееся леп-
тонное число (Le, ?ц, LT). Антилептоны имеют противополож-
ные значения заряда и лептонного числа по отношению
к соответствующим лептонам. Так, было показано, что мю-
онные нейтрино vM, образованные при распаде на лету:
7t + ->u + vM, приводят при последующем взаимодействии к об-
разованию мюонов (например, в реакции уця->/?ц~) и никогда
не приводят к образованию электронов. По тем же соображе-
ниям запрещен распад ц + -»е + у.
Помимо сохранения лептонного числа (если в процессе
участвуют лептоны), в слабых реакциях могут как сохраняться,
так и не сохраняться изоспин / и странность S. Ниже приведены
некоторые типичные слабые процессы с указанием причин, по
которым запрещены электромагнитные или сильные переходы:
Распад
п-*ре "i
Процесс
нейтрона
~~>е
Обратный распад нейтрона
vep->ne
Распад
Л-*рп~
Распад
Л-гиперона
пиона
vM
т. с
10J
—
,0-ю
10"8
Причины
Электромагнитный распад за^
прещен законом сохранения
заряда
Нейтрино способны только к
слабому взаимодействию
А5=1; сильный или электро-
магнитный распад запрещен
Единственными более легки-
ми частицами являются леп-
тоны
G.2)
G.3)
G-4)
G.5)
Времена жизни слабых распадов зависят от величины
слабой константы связи би от факторов, связанных с фазовым
199
Лептонные
Полулептонные
Нелептонные
Д5 = 0
п-*ре~ ve
n+PnZ"n+n
(нарушение четности
в ядрах)
объемом, но они велики по сравнению с типичными временами
жизни для электромагнитных (т~109с) или сильных
(т~10~23с) распадов. Соответственно малы и сечения слабых
процессов; например, сечение процесса у„ + Ж->./У+л + ц —при
энергии 1 ГэВ равно 108 см2, что в 10 раз меньше сечения
процесса п + N->n + N при той же энергии.
Иногда слабые взаимодействия классифицируют по тому,
включают ли они только лептоны, лептоны и адроны или
только адроны, как показано ниже:
AS=\
A-»7t p
Слабые взаимодействия имеют большое значение в кос-
мических масштабах. Они контролируют скорость термоядер-
ных реакций в звездах главной последовательности. Считается,
что первой стадией производства энергии в сердцевине звезды
является слабое взаимодействие имеющихся там ядер водорода
pp->de + ve. G.6)
Свидетельством малости сечения является то, что даже при
огромной плотности сердцевины (которая примерно в 100 раз
больше плотности воды) любой протон живет в среднем около
Ю10 лет, прежде чем испытает эту реакцию. Отсюда следует
и долгая жизнь Солнечной системы, и невозможность наблю-
дать этот процесс соударения непосредственно в лаборатории.
Однако при подходящих условиях можно зарегистрировать
слабые взаимодействия между нуклонами; они приводят к эффе-
ктам нарушения четности в ядерных переходах (см. § 3.5).
7.2. ЯДЕРНЫЙ р-РАСПАД. ТЕОРИЯ ФЕРМИ
Исторически прототипом слабого взаимодействия был ядер-
ный Р-распад
+ve
или, на языке кварковых составляющих,
+ ve. G.7)
Этот процесс описывается обменом виртуальным ^-бозоном
(рис. 7.1, а), но поскольку переданные импульсы в процессе
малы (<72<§;Af jv), взаимодействие фактически является точеч-
200
a' a) ^ve a' S) ^ve
Рис. 7.1. Диаграммы процесса р-распада: за счет обмена И^-бозоном (а)
и точечное четырехфермионное F)
ным и описывается соответствующей четырехфермионной кон-
стантой Ферми G = g2/Myy [см. A.17) и рис. 7.1,6].
В теории Ферми вероятность перехода или скорость распада
за единицу времени определяется формулой
W= — G2\M\2 —, G.8)
где Ео — энергия конечного состояния; dN/dE0 — плотность
состояний и | М |2 — квадрат матричного элемента, включа-
ющий интегрирование по углам и направлениям спина участ-
вующих частиц и являющийся константой порядка единицы.
На самом деле, если полный угловой момент J (лептонов) = 0,
то |М|2*1, если же J (лептонов)= 1, то |М|2%3 (учет
спинового множителя). Указанные два типа переходов называ-
ются соответственно переходами фермиевского или гамов-
теллеровского типов. Множитель, связанный с плотностью
состояний, определяет число способов, которыми можно раз-
делить имеющуюся энергию в интервале E0^>E0 + dE0 между,
например, р, е~ и ve в распаде нейтрона G.7). Величина dE0
возникает из-за разброса энергии конечного состояния, от-
вечающего конечному времени жизни начального состояния.
На рис. 7.2 величины р, q и Р — импульсы электрона, нейтрино
и протона; Е, Ev и Т— их кинетические энергии.
Тогда в системе покоя начального состояния (нейтрона)
¦Конечное состояние
Рис. 1.1. Начальное состояние с разбросом по энергии dE0 распадается на
конечное (стабильное) состояние с фиксированной энергией, при этом энер-
говыделение равно Еп(а). Векторы импульса в Р-распаде нейтрона (б)
201
Предположим, что /wv = 0, так что Ev = qc. По порядку величины
?0~1 МэВ, следовательно, Рс%1 МэВ. Поэтому, если масса
нуклона отдачи равна М, кинетическая энергия такого нуклона
Г=.Р2/2М«10 МэВ и ею можно пренебречь. Нуклон играет
свою роль в выполнении закона сохранения импульса, но
можно считать, что величина Ео делится исключительно между
электроном и нейтрино. Таким образом, qc = E0 — E. Число
доступных электрону состояний в фазовом пространстве,
ограниченном объемом V с импульсом в интервале значений
p->p + dp внутри элемента телесного угла dQ, равно
Если волновые функции фермионов нормированы на единич-
ный объем (К=1) и произведено интегрирование по всем
углам, то остающийся фазовый множитель для электрона равен
4np2dp/h2.
Аналогично, для нейтрино этот фактор равен
4nq2dq/h3.
Пренебрежем любой возможной угловой корреляцией между
р и q и рассмотрим эти два фактора как независимые, в то
время как протон забирает оставшийся импульс. Поскольку
теперь импульс протона фиксирован и равен Р=—(p + q),
для него не возникает никаких множителей, связанных с фа-
зовым объемом. В результате число конечных состояний
Кроме того, при заданных значениях р и Е импульс нейтрино
фиксирован, q = [EQ — E)lc, причем dq = dE0/c. Отсюда
d2N 16л2 2/ и
Если считать, что \М\2 — константа, то последнее выражение
определяет спектр электронов:
N{p)dp~p2(E0-EJdp, G.9)
так что если построить зависимость [-N(p)//?2]1/2 от Е, то
должна получиться прямая линия, пересекающая ось х в точке
Е=Е0. Такой график называется графиком Кюри. Для многих
(i-переходов график Кюри линеен, как показано, например,
для распада ^H->3He + e~+vt. Чтобы учесть потерю (е~)
или приобретение (е + ) энергии от кулоновского поля ядра,
202
необходимо учитывать поправочный кулоновский фактор
F(Z, р), который можно точно вычислить. Такая поправка
существенна только для электронов (позитронов) малой энергии
и ядер с большим Z.
В случае ненулевой массы нейтрино mv можно прямыми
вычислениями показать, что G.9) модифицируется и принимает
вид
dp. G.10)
Оказывается, что в этом случае график Кюри пересекает ось
под прямым углом в точке E=E0 — mvc2, как показано на
рис. 7.3,0- Предлагаем читателю проверить это утверждение
в качестве упражнения. Таким образом, форма графика вблизи
концевой точки позволяет в принципе определить массу нейтрино.
На практике ситуация осложняется разрешением спектрометра
(рис. 7.3,6) и тем, что дочерний атом может остаться в возбуж-
денном состоянии. В табл. 7.1 указаны пределы или оценки массы
нейтрино. В настоящее время вопрос о конечности массы
нейтрино в связи с измерениями (i-распада остается открытым.
Таблица 7.1. Некоторые оценки массы нейтрино, полученные нз графика
Кюри для р-распада трития (@=18,6кэВ)
Автор
Langer and Moffatt A952)
Bergkvist A972)
Tretyakov et al. A976)
Lyubimov et al. A980)
Fritschi et al. A986)
»lvp. ЭВ/С2
< 10,000
<65
<35
^30
<18
Полная вероятность распада получается интегрированием
формулы G.9) по спектру электронов. Это можно проделать
точно, но в грубом приближении можно считать электроны
ультрарелятивистскими, т. е. положить Ехрс (для трития это
не годится!), так что в результате получается
Ео
N*$ E2{E0-EJdE=E5of20. G.11)
о
При этом константа распада (т. е. его вероятность) изменяется
пропорционально пятой степени энерговыделения (так называ-
емое правило Сарджента).
Исходя из наблюдаемой вероятности распада и G.8), после
интегрирования по фазовому объему можно найти G. На-
пример, распад 14O->14N* + e f +ve является фермиевским пе-
реходом (Jp — 0J—//' = 0 + ); поэтому \М\2=\ и время жизни
Ж'
Энергия электрона E
4B0
Eg, произв. ев
*" в)
475 ЬВО 0 50 100 150
Еа, произв. ед.
Рис. 7.3. График Кюри для разрешенного перехода в случаях нулевой
и конечной масс нейтрино: начальное разрешение (а); конечное разрешение
(б); экспериментальные результаты Р-распада трития (в и г)
т = ЗЮ0с. (На самом деле, значение т нужно удвоить, так
как 14О представляет собой ядро 12С плюс два протона,
каждый из которых может распадаться.) Подставляя численные
значения констант, находим
G= 1,02 ¦lO~5hc(h/MpcJ= 1,02 -lO~5/Ml (в системе
единиц й = с=1)=1,16-10~5 ГэВ. G.12)
7.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВОБОДНЫХ НЕЙТРИНО:
ОБРАТНЫЙ р-РАСПАД
Сечение обратной реакции G.3) взаимодействия свободных
антинейтрино с протонами можно вычислить согласно G.8).
204
В этом случае в конечном состоянии имеются только две
частицы, так что, используя D.6), получаем (в единицах Н = с= 1)
{ ) |M|2A G.13)
VV
где Vf, Vf — относительные скорости частиц в начальном
и конечном состояниях (vi = VfVc), a p — величина импульса
в СЦИ нейтрона и позитрона. В данном случае происходит
смешанный переход, причем для вклада фермиевских переходов
(А/=0) Mffal, а для гамов-теллеровских переходов (А/=1)
благодаря спиновому множителю М|г~3. Таким образом,
Для нейтрино с энергией вблизи 1 МэВ, падающих на непо-
движную нуклонную мишень, импульс в СЦИ и лабораторная
энергия нейтрино над порогом (Q= 1,8 МэВ) связаны соот-
ношением pv(Ev — Q)/c. Беря рск\ МэВ и G из G.12), получаем
lO-^cM2. G.15)
Мрс) \М,с
При поглощении антинейтрино водой это соответствует
свободному пробегу 1020 см или 100 световых лет. Впервые
подобные взаимодействия наблюдались Райнесом и Коуэном
в 1959 г. В качестве источника антинейтрино они использовали
ядерный реактор. Осколки деления урана обогащены нейтро-
нами и испытывают E-распад, испуская электроны и антиней-
трино (в среднем шесть штук на одно деление, причем спектр
антинейтрино имеет максимум в области 1 МэВ). Для реактора
мощностью 1000 МВт полезный поток антинейтрино составляет
примерно 1013 см~2 -с. Наблюдалась реакция
причем мишенью служили хлористый кадмий (CdCl2) и вода.
Позитрон, образованный в этой реакции, быстро тормозится
до остановки за счет ионизационных потерь и образует
позитроний, который аннигилирует на у-кванты, образующие,
в свою очередь, быстрые электроны за счет комптоновского
эффекта. Электроны регистрируются в жидком сцинтилляци-
онном счетчике. Временная шкала такого процесса составляет
величину порядка 10"9 с, так что позитрон дает так называ-
емый стартовый импульс. Роль кадмия заключается в том,
чтобы захватить нейтрон после того, как он замедлится (т. е.
приобретет тепловую энергию за счет многократных упругих
соударений с протонами) в воде. Процесс замедления задер-
живает на несколько микросекунд у-кванты, возникающие от
205
Пучок v
от
реактора
С |^ Аннигиляция
( ^~) позитрона
> Ч
\ Жидкий
С сцинтиллятор
у от захвата нейтронов в Си.
CttClz+HzO
Рис. 7.4. Схематическое изображение эксперимента, в котором были зарегист-
рированы взаимодействия свободных антинейтрино от реактора (Reines and
Cowan, 1959 г.)
радиационного захвата нейтрона кадмием. Таким образом,
свидетельством события являются два импульса, разделенные
несколькими микросекундами по времени. На рис. 7.4 схема-
тически показано устройство экспериментальной установки.
7.4. НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ В 0-РАСПАДЕ
В 1956 г., критически проанализировав имевшиеся экс-
периментальные данные, Ли и Янг пришли к выводу, что
слабые взаимодействия неинвариантны по отношению к про-
странственной инверсии, т. е. не сохраняют четность. Этот
вывод был сделан, главным образом, на основании того
факта, что К+ может распадаться двумя разными способами,
К + ->2п и К + ->Зп, причем конечные состояния этих мод
распада имеют противоположную четность (так называемая
загадка т-9).
Чтобы проверить сохранение четности, By с сотрудниками
в 1957 г. провели эксперимент, в котором использовался
образец 60Со, помещенный внутрь соленоида при температуре
0,01 К. При такой температуре значительная доля ядер б0Со
является выстроенной. В результате чистого гамов-теллеровс-
кого перехода 60Со(/=5) распадается на 60Ni*(/=4). Изме-
рялась относительная интенсивность электронов вдоль и против
206
Рис. 7.5. Схема эксперимента по Р-рас- *~Н(осьг)
паду 60Со (Wu et al., 1957 г.)
направления поля (рис. 7.5). Сте-
пень выстроенности б0Со можно
определить из наблюдений уг- электрон
лового распределения у-квантов
от 60Ni*. Результаты измерений
интенсивности электронов оказались в согласии с распределе-
нием вида
(^V G.16)
где а= —1; яг—единичный вектор спина в направлении J;
р и Е—импульс и полная энергия электрона, а 9—угол вылета
электрона по отношению к J. Зависимость интенсивности от
скорости электронов проверялась в интервале 0,4<-<0,8.
с
Асимметрия вперед—назад интенсивности в G.16) означает,
что взаимодействие в целом нарушает закон сохранения четности.
Представим, что вся система отражается в зеркале, расположен-
ном перпендикулярно оси z. Первое слагаемое (единица) не меняет
знак при отражении и является скаляром (положительная
четность). Вектор яг является аксиальным вектором и знака не
меняет, а полярный вектор р-> — р. Таким образом, при отражении
произведение ор->— ягр; его называют псевдоскаляром (отрица-
тельная четность). Из сохранения z-компоненты углового момента
в рассматриваемом переходе вытекает, что спин электрона должен
быть направлен по вектору J, так что, если <7 — вектор спина
электрона (нормированный так, что а,= + 1), интенсивность
/=1+а|. G.17)
Результирующая продольная поляризация, или спиральность,
определяется как
где /+ и /_ —интенсивности испускания электронов соответствен-
но, когда яг параллелен, либо антипараллелен р. Экспериментально:
+1 для е + , H=+v/c,
- ,, , ('-18)
-1 для е , H=-v/c.
Понятие спиральности применимо не только к лепто-
нам. Как уже было показано, безмассовые фотоны обладают
двумя возможными спиновыми состояниями: /г=±1 (причем
вектор распространения направлен по оси z). Правополяризо-
ванные (Jz = + 1) и левополяризованные (Jz = — 1) фотоны имеют
207
J=0-
К-захбат
J=1 ¦
J=0-
Ей
' у,Э60кэЪ
15Z
Sm
KiSm*
Назад
Без переборота С переворотом
спина спина
)
Рис. 7.6. Основные этапы эксперимента по определению спиральности
нейтрино (Goldhaber et al., 1958 г.)
спиральности +1 и — I соответственно. В электромагнитных
процессах с участием фотонов четность сохраняется, поскольку
два типа фотонов всегда испускаются с равной амплитудой, так
что в результате не наблюдается какая-то остаточная циркуляр-
ная поляризация. Напротив, в слабых взаимодействиях в про-
цессах E-распада происходит испускание либо электронов
с отличной от нуля левой поляризацией спина, либо позитронов,
имеющих преимущественно правую поляризацию.
7.5. СПИРАЛЬНОСТЬ НЕЙТРИНО
Если применить результат G.18) к нейтрино (т = 0), по-
лучается, что такая частица должна быть полностью поляризо-
ванной, т. е. #= + 1 или — 1. Для определения типа операторов,
возникающих в матричном элементе, критическим оказывается
знак спиральности нейтрино. Здесь нейтрино определено как
нейтральная частица, испускаемая вместе с позитроном в C+-
распаде или сопровождающая А^-захват. Следовательно, анти-
нейтрино сопровождает электроны в E"-распаде. Спиральность
нейтрино была определена в классическом и очень красивом
эксперименте Гольдхабера с сотрудниками в 1958 г. Этапы
этого эксперимента показаны на рис. 7.6.
1. Ядро 152Sm испытывает А^-захват и переходит в воз-
бужденное состояние 152Sm * с J— 1 (рис. 7.6,а). Для сохранения
углового момента вектор J должен быть параллелен спину
электрона, но противоположен направлению спина нейтрино,
так что ядро отдачи 152Sm* имеет то же направление
поляризации, что и нейтрино (рис. 1.6,6).
208
2. Далее, в переходе 152Sm *->1:~2Sm + y испущенные «вперед»
(«назад») по отношению к направлению движения 1?2Sm * у-кванты
будут поляризованы в том же (противоположном) направлении,
что и нейтрино, как показано па рис. 7.6. в. Итак, поляризация
летящих «вперед» у-квантов совпадает с поляризацией нейтрино.
3..Следующий niai заключается в наблюдении резонансного
рассеяния у-квантов в мишени из 15~Sm. Резонансное рассеяние
возможно, если у-кванты имеют как раз ту частоту, которая
нужна, чтобы «поймать» возбужденное состояние:
y+15~Sm->152Sm*->y-f 152Sm. G.19)
Чтобы процесс резонансного рассеяния осуществился, энергия
у-квантов с учетом необходимой отдачи ядра должна несколько
превышать 960 кэВ. В точности такими свойствами обладают
летящие «вперед» у-кванты. уносящие часть импульса отдачи,
связанного с испусканием нейтрино, и поэтому автоматически
отбираемые в процессе резонансного рассеяния.
4. Заключительный шаг состоит- в определении поляризации
у-квангов. Для этого, перед попаданием в поглотитель из 152Sm,
кванты проходят через намагниченное железо. Электрон железа
со спином ае, противоположным спину фотона, может поглотить
единицу углового момента за счет процесса переворота спина;
если же спины параллельны, такое невозможно. Это показано на
рис. 7.6, г. Если пучок у-квантов летит по направлению индукции
магнитного поля В. то пропускающая способность стали больше
для левогюляризованных квантов, чем для правополяризованных.
Схематическое устройство прибора показано на рис. 7.7.
Обращая направление магнитного поля В, можно по изменению
скорости счета определить знак поляризации. После учета
различных деполяризующих эффектов был сделан вывод, что
нейтрино являются левополяризованными частицами.
В заключение приведем установленные значения спираль-
пости лептонов. испускаемых в ядерном Р-распаде:
Частица е* е~ vc ve
Спиралъноапь +v!c —vie — 1 -f-1
7.6. V— ^-ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Формулы G.16), G.18) и G.20) получены чисто эмпирическим
путем. Но все ли результаты вытекают из так называемой
V- А-теорш слабых взаимодействий. Эта теория включает
дираковское описание релятивистских ферм ионов; краткий
обзор этих вопросов, определение у-матриц и вывод приво-
димых ниже результатов можно найти в приложении Д.
Ферми построил свою теорию Р-распада по аналогии
с электродинамикой. Рассмотрим сначала процесс электромаг-
нитного рассеяния электрона на протоне:
14 Закчп416 209
e ~ +p^e ~ +p. G.21)
Так как число электронов и барионов в этом процессе
сохраняется, можно описать его как взаимодействие двух
токов за счет обмена одним виртуальным фотоном (см.
рис. 1.5,в), так что матричный элемент
1VI ~~ 2 Jбарион ** лептон •>
Ч
G.22)
где q — переданный импульс.
Релятивистские фермионы в теории Дирака описываются
четырехкомпонентными или спинорными волновыми функци-
ями, на которые действуют операторы, имеющие вид матриц
4x4. Элек громагнитные токи содержат векторный оператор
Оэ.м = у4уц (где индекс д=1,..., 4 нумерует пространственно-
временные компоненты), так что токи имеют вид
Лептон = Ф е Y4 Ум
^барион трУ\х yP'
= ^ Л ,
G.23)
где \|/ = \|/*у4.
По аналогии, Ферми
предположил, что для сла-
бого процесса распада ней-
трона можно написать:
fJCJl . Г СЛ
UJ барион ** лептон
vJ, G.24)
причем группировка волно-
вых функций станет более
понятной, если записать
процесс Р-распада
п^>р + е~ +ve
Рис. 7.7. Схема установки, исполь-
зованной Гольдхабером и др.,
в которой у-кванты от распада
152Sm*, образованного в резуль-
тате А"-захвата в 152Еи, претерпе-
вали резонансное рассеяние
в Sm2O3 и регистрировались сцин-
тиллятором из йодистого натрия
и фотоумножителем. Прохождение
фотонов через сталь, окружающую
источник Ей, зависит от их
спиральности и направления ин-
дукции магнитного поля В:
I — электромагнит; 2— экран; 3 -коль-
цевой рассеиватель; 4 — фотоумножи-
тель: 5 —счетчик m Nal
210
и эквивалентной форме
v(, \-n-*p-he .
Ферми предположил, что матричный оператор О в G.24)
гакже является векторным оператором, как и в G.23). Оишчия
шключаются в том. что вместо константы е1 сюит константа
О; кроме tojo. предполагается, чю слабые тки взаимодей-
ствуют в точке, т. с. отсутствует множитель 1/г/~, который
содержится в G.22). и, наконец, что во взаимодействии
электрические заряды легиона и бариопа меняются на единицу.
Поэтому такие реакции р-распада называют взаимодействиями
с изменением заряда или просто слабыми взаимодействиями
заряженных токов (см. рис. 1.5, а, и).
Векторное взаимодействие удовлетворительно описывало
фермиевские переходы (до открытия в 1956 т. несохранения
четности). Однако оно не было применимо к гамов-гсллеровским
переходам, так как не могло приводить к перевороту скипа
нуклона. С учетом определенных требований, вытекающих и<
релятивистской инвариантности, можно, на самом деле, выписать
пять возможных независимых выражений для опера гора
О в G.24). Они носят название скаляра (.У), вектора (V), тензора
{/'). аксиального вектора (А ) и псевдоскаляр! (Р). Такие названия
связаны с трансформационными свойствами слабых токов по
отношению к пространственной инверсии. Взаимодействия V-
ii К-типа приводят к фермиевским переходам, а 7- и ^-'. ипа к
iамок-геллеровским. Псевдоскалярное взаимодействие Р несуще-
ственно в р-распаде. так как оно связывает спинорные
компонен гы. пропорциональные скорости частиц, и в рез) льтате
и квадрате матричного элемента М2 возникает множитель с2'i2.
[дс (/—-скорость нуклона (в Р-раснаде v2,:c2^ 10"fl).
Как показано в приложении Д, в результате I-'- i< A-
(чаимодействий лепт он и антилептон (например, с' т ¦¦-.'<
обладают противоположными спиральностями. в го вр'"'и
как за счет S-. Т- и /'-взаимодействий возникаю! л^мкны
и ангилептоны с одинаковыми спиральностямп. Из 17,?СП
следует, что в амплитуду взаимодействия входят \- и А-
взаимодействия и не дают вклада S-, Т- и Я-взаимодейсмвия.
Следовательно, можно вместо G.24) записать наиболее обптлю
форму р-распадного взаимодействия в виде
i - V. Л
|де Cv и СА — некоторые коэффициенты. Например, для чисто
фермиевского перехода Сл = 0. Однако матричный элемеш
G.25) является скалярной величиной. Это предполагает, чго
четность сохраняется. Но ясно, что такое предположение
неверно. К выражению G.25) необходимо добавим, другое
и* 2П
слагаемое, являющееся исевдоскаляром, гак, чнюы мафичный
элемент содержал как скаляры, 1ак и нсевдоскаляры и не имел
бы поэтому определенной четное in. Сдела1Ь это можно, добавив
аналогичное выражение, с той разницей, чго в одной из скобок
введен дополнительный множитель в виде матрицы
75(Ys — YiY2 73 74)- В результат, если ввести еще множитель 1 v< 2
для сохранения старого определения консташы С получим
М = 4- I №Р0^а]№МС, + С]у5)^.1 G.2о)
Если принять с учетом имеющихся данных, чю взаимодей-
ствие инвариантно по отношению к обращению времени, то
можно показать, что С, и (Г'1 должны бьпь действительными
коэффициентами; более того, если нейтрино (антинейтрино)
должны быть полностью поляризованы (Н-—±\). то с необ-
ходимостью C'i=+Cj. Поскольку при этом скалярный и псев-
доскалярный члены в амплитуде входят с одинаковыми
коэффициентами, это называется принципом максимального
нарушения четности. В этом случае оператор (l±ys). дейст-
вующий на волновую функцию нейтрино в G.26), осуществляет
проектирование на состояние с определенной сниральностыо:
О+75)->левое нейтрино (правое антинейтрино),
A —у5)->правое нейтрино (левое антинейтрино).
Так как эксперимент, описанный в § 7.5. показываем что
нейтрино левополяризовапы. необходимо использовать первый
вариант, соответствующий С|-= ?',-. Слабое взаимодействие такого
типа называется теорией двухкомпонентного нейтрино; эта )еория
была независимо предложена Ли и Янгом, Ландау и Салимом. Из
нее следует также правильное предсказание спиральностей +vic
для заряженных лешонов G.18). Итак. G.26) принимает вид
М = JL ? С', [>„Ot i|/B ] [^О,- A + у5) i|/v ].
Подставляя выражения через дираковские матрицы операторов
Оу = ур и OA = iyity5 и полагая СА>СУ = Х, Сг-\ (т. е. определяя
исходную константу Ферми G). почучаем
М = —[>р?мA --А-у5)^][ФЛмA +7.0^J- G-27)
\' -
В распаде мюона с участием только лептонов отношение
А и V констант связи /.= -!. В адронных процессах эффекты
сильного (кварк-кваркового) взаимодействия мог>т изменять
СА (но не Cv, см. задачу 7.1). так что к оыичается от
единицы. Например, в распаде нейтрона л—— 1,25, в р-распаде
212
Л-гиперона А-+р + е~ +vc. X~ —0,69. Заметим, что если бы
¦ [апый иукломный ток имел чистую (V—А )-форму (с Л= — 1),
ч) операторы в пуклонной и лептонной скобках были бы
¦'кшпаковымп. так что все фермионы в C-раепаде имели бы
¦ииралыюсть H——v;c, все антифермионы имели бы H=+cjc,
.1 вил мафичного пемеша отличался бы от чисто векторного
таимо (ействия Ферми только добавлением проектирующего
оператора (I+Vs) в обе скобки.
7.7. НАРУШЕНИЕ ЧЕТНОСТИ В РАСПАДЕ А-ГИПЕРОНА
Несохранение четности есть общее свойство всех процессов
слабых взаимодействий, отнюдь не связанное только с леп-
гоиными процессами. Уже упоминался «парадокс т-0», связан-
ный с нелептонным распадом каонов в пионы. Другим
примером нелептонного распада является распад Л-гиперона,
1.ЧЯ которого доминирующие моды распада суть
Л->п"р, Л->тг°п. G.28)
На самом деле, с небольшой относительной вероятностью
л-гиперон испытывает и лептонный Р-распад А-*р + е" +ve.
Нарушение четности можно обнаружить, изучая распад
¦Л-гнперонов, образованных в процессе ассоциативного рождения
п'р-^АК". G.29)
Н этом процессе Л может рождаться (и действительно
рождается) поляризованным. Из сохранения четности в таком
ильном взаимодействии вытекает, что Л-гиперон должен
поляризоваться со спином а. перпендикулярным плоскости
рождения, т.е. поляризация имеет вид ст~(р>.хрк), не меня-
ющий знак при инверсии. Заметим, что поляризация в плос-
кости рождения в общем случае меняет знак при инверсии,
¦!i'O запрещено.
На практике, если импульс начального пиона несколько
превышает 1 ГэВ.Ч". средняя поперечная поляризация
Для процесса распада G.28) определим направление а как
¦къ г в системе покоя Л (рис. 7.8). В згой системе угловое
распределение образующихся пиона или протона по углам
(В. ср) будет зависеть от их орбитального углового момента /.
Так как JA=\:2. Jz=±\.'2, могут быть случаи, когда /=0
:спины протона и Л параллельны) или /= I (спины антипарал-
кмьны). Таким образом, в общем случае следует ожидать
комбинацию v- и /?-волн. Обозначим через т1 2-компоненту
иектора спина прогона, а через т2 z-компоненту /. В случае
213
Рис. 7.8. Определение осей и направлений
и распаде Л
s-волны !П2=- 0 и угловая часть
волновой функции имеет вид
У'" — Y9). Таким образом, для
7г= + 1/2 полная волновая функция
есть произведение
ф, = я»У8х+, G.30)
где а, обозначает амплитуду д-вол-
ны, а х -состояние протона
с проекцией спина /?71 = + 1;2. Для
/;-волны т, -+ тг = J, = 1 '2, причем
;ii6o т,--)-] 2 и />ь = 0, либо »»1 = -1/2 и ш2= + 1.
В габл. III приложений приведены коэффициенты Клебша--
Горлана для сложения моментов J=\ и 7=1/2; беря
'„,,.,„ = »!-= f 1/2, находим
Здесь в общем случае «, и ар — комплексные амплитуды.
Гаки>1 образом, если дают вклад как л-, так и р-во:шы,
полная амплитуда имеет вид
v 2.3 У!
Ф ^ 4М- 0/г - [«» >' о - «;, N/i73 ^? ] X + [ аР v
Вспоминая орю1оналы!ос1ь спиновых состояний ^4 и '/ "-
видим, что угловое распределение принимае! вид
/
\cipV
Р /
:.\с одна т фаз должна быть произвольной, и мы выбрали
/ [
.. iciicibii'ie 1ьной величиной. Кроме того, У{!=1, /- y,=cosG,
' -" )' j — - -in t). так чю
уф * -1 us |2 4 ! ир | ¦ cos2 0 +-1 «p | - sin2 0 - as cos 0 (ap + a*,) =
-¦= |./,!2 -f- i up 12 - la, Re a; cos 0. G.32)
i i. lit НО. к»КИ'1 Ь
х--2аь Kcap;{\as\2T\ap\2),
то угловое распределение имеет в 1Д
214
Угол 0 определен по отношению к а; на [фактике можно
измерять его только по отношению к нормали к плоскости
рождения, так чго, переопределяя 0 с учетом этого, получаем,
что G.33) принимает вид
/@)=!-aPcos0,
где Р средняя поляризация; эксперимент показывает, что
ос/" % 0,7. Таким образом, нарушение четности в распаде
Л проявляется как асимметрия вверх - — вниз вылета распадного
пиона (или протона) по отношению к плоскости рождения.
Заметим, что G.33) имеет тот же вид, что и G.16), кроме того,
нарушающий четность параметр ос конечен лишь если обе
амплитуды as и ар конечны, и, следовательно, нарушение четности
возникает от интерференции .у-(четной) и /;-(нечетной) волн.
7.8. РАСПАД ПИОНА И МЮОНА
Спиральное™ лептонов, впервые наблюдавшиеся в 1957 т.
в ядерном C-распаде, были одновременно измерены в распаде
пионов и мюонов. Напомним, что пион и мюон распадаются
по каналам:
я + ->и + у,; G.34)
uT-^ + v,v G.35)
Так как спин пиона равен нулю, векторы спина нейтрино
и мюона должны быть антипараллельны, как показано на рис. 7.9.
Если сниральность нейтрино # = — I, как в C-распаде, то ц + должен
иметь отрицательную спиральность. В последующем распаде
мюона спектр позитронов имеет пик в области максимальной
энергии, так что наиболее вероятной является показанная
конфигурация, при которой позитрон имеет положительную
спиральность. В действительности, спектр позитронов имеет вид,
показанный на рис. 7.10. В экспериментах положительные пионы
распадались на лету, и далее отбирались те из распадных мюонов,
которые летели в направлении «вперед» и имели, следовательно,
отрицательную спиральность. Эти ц+ останавливались в поглоти-
теле из углерода, и наблюдалось угловое распределение е + по
отношению к начальному импульсу мюона рц. Спин мюона
<т должен быть противоположен рц, если не возникает деполяриза-
ции мюонов в процессе остановки (именно это происходит
в углероде). Наблюдавшееся угловое распределение имеет вид
(IN;du=\-* cosQ,
где 0 — угол между вектором начального импульса мюона
р^ и вектором импульса электрона р(,, а я=1 в пределах
215
-» ^ь м" -*Г ' — и
т^- ?¦ -—1?=^*
Рис. 7.9. Схемы, показывающие направление спина частик в распадах пиона
и мюона в их системах покоя
погрешностей измерений. Для ц+ и ц было получено
одинаковое значение а. Именно такая форма углового распреде-
ления предсказывается V — А -теорией. Измерялась также спира-
льность электронов (позитронов), показано, что она равна +v/c.
Время жизни мюона, согласно V- Л-теории, равно
192я3'
где зависимость от массы в пятой степени соответствует
правилу Сарджента для трехчастичного распада. Используя
измеренные значения mllc2= 105,6593 МэВ, т = 2,19709 мкс, най-
дем константу Ферми
G= 1,16637- \0~5 ГэВ 2, G.36)
где учтена малая радиационная поправка @,5%).
7.8.1. Отношение вероятностей распадов я-»ц и п-+е. Пи-
онный распад позволяет осуществить важную проверку V--
/4-теории путем измерения отношения вероятностей распадов:
6000
10
70
80
20 30 40 SO 60
Энергия электрона,МэВ
Рис. 7.10. Спектр электронов, возникающий после остановки положительных
пионов, измеренный в эксперименте (Anderson et aL 1960 г.). Широкое
распределение, простирающееся до 53 МэВ, обусловлено распадом
ц + -н'4 н-v + v. Узкий пик вблизи 70 МэВ возникает от распада jr*-»f + v (следует
обратить внимание на изменение шкалы по вертикали для этих очень редких
событий)
216
(iv. G.37)
Распад пиона является примером четырехфермионного вза-
имодействия, если представить пион как пару кварк—антик-
варк (рис. 7.11). Пользуясь терминологией ядерного Р-распада,
можно сказать, что переход происходит из адронного состояния
с Ур = 0' (пион) в состояние с Jp = 0+ (вакуум), так что из
упомянутых ранее пяти операторов вклад могут давать только
~А (аксиальный вектор) и Р (псевдоскаляр). В системе покоя
пиона лептоны должны испускаться в противоположных на-
правлениях, но с одинаковыми сииральностями, с тем чтобы
не нарушить закон сохранения момента. Из приведенного
выше анализа следует, что Р- и /f-взаимодействия предпочита-
ют лептоны с одинаковой и противоположной спиральностями
соответственно. В любом случае нейтрино должно иметь
спиральность —1. Из G.17) видно, что вероятность образования
ел (или ц *"), имеющих скорость v и неправильную спиральность
— о/с, за счет ^-взаимодействия будет пропорциональна
A— vie): для Р-взаимодействия, приводящего к одинаковой
спиралыюсти е+ и нейтрино, вероятность будет пропорци-
ональна (l+vlc).
Предсказание относительной вероятности распадов G.37)
получим, учитывая фазовый объем. Он равен
dNjdEo - const/;2 (dpjdE0);
здесь р — импульс заряженного лептона в системе покоя пиона,
г;—скорость лептона, т—его масса. Тогда импульс нейтрино
равен — р:
- р
р,
Нейтрино тя Заряженный
т-0 лептан
В системе единиц, где с=\, полная энергия
Е0
Отсюда
Рис. 7.11. Диаграмма л->еу-распада
217
-j— — "_
г
Imz
2/n2
Следовательно, для .4-связи вероятность распада определяется
соотношением
с/л„ \ I1 ¦' 2
а для Р-связи
1 "Р
7"
Приближенно, с учетом неравенства m?.i
предсказание ,чля отношения вероятностей:
А -связь:
>ц\'
получаем
G.38)
Р-связь:
1
Л----" '-".=/----.;- - , = 5.5. G.39)
Необычная разница в относи 1Сльных верояшостях для двух
типов связи вызвана тем, что закон сохранения углового
момента вынуждаем хчектрои или мюон в случае /4-связи имечь
«неправильную» спиральное! ь. Фазовый множитель для распа-
да электрона больше, чем для распада мюона. но множи>ель
(\-v.ic) сильно подавляе! распад па более легкий лен тон.
Современное измеренное значение этого отношения равно
Я ,„„ = A,267 ± 0.023 )•
лавный триумф V
иг*.
.4-теории.
G.40)
Этот результат iлавный триумф Г .4-теории. он показал,
что вклад псевдоскалярной связи равен нулю или необычайно
мал. На рис. 7.10 приведен типичный спектр позитронов,
получаемых от распада положительных пионов, останавливаю-
щихся в поглоттеле. Редкий процесс 7i-»cv дает позитроны
определенной jnepi ии. около 70 МэВ. Эти позитроны сопровож-
даются значительно большим числом позитронов от цепочки
распадов я ->uv, u-h'vv. Спектр от распада мюопов простирает-
ся до 50 MjB. Отделение электронов от распадов H->(.i->f
основано на измерении их пмпу.чьса. момента времени их
образования (среднее время жизни пиона равно 26 не, а мюона
2200 не), а 1акже на oicyieinnH мюоппого сишала в сче!чика.\.
Предыдущие формулы можно применить и к отношению
вероятностей каонных распадов, для которых предсказываемое
для случая /1-свяш значение
A->UV
чго следует сравнить с экспериментально измеренным значе-
нием B,43 + 0.14) • 10. В этих распадах электрон более
релятивистский, и поэтому электронная мода здесь подавлена
еще сильнее, чем для пиона.
Проводя этот анализ, мы предполагали, что распады ?i->uv
и л;--><.'v определяются одной и той же константой О\ и данные
подтверждают это предположение. Такая гипотеза универсаль-
ности констант ы для электронов и мюонов (а также, т-
лептоиов) должна быть модифицирована в случае кварков,
о чем будет сказано в дальнейшем.
7.9. СЛАБЫЕ РАСПАДЫ СТРАННЫХ ЧАСТИЦ.
ТЕОРИЯ КАБИББО
Представляется, что нелептонные распады странных ча-
С1иц можно охарактеризовать правилами отбора А5=1,
Л/--1,2, как и следует ожидать, если заменить странный
кварк .уE— — 1, / = 0) на нестранный кварк d(S--Q, /=1,2)
и пренебречь эффектом других кварков. В качестве подтвер-
ждения приведем значения относительных вероятностей для
распада Л:
Распад Кварковое описание
- , uud+ud G.4!)
Л (] 0 uds -»• udd c.r .
пк ClB ^ udd + пи
Здесь C.i. В означает слабое взаимодействие, а С. В —сильное
взаимодействие. Так как /=0, из правила Д/----1/2 следует,
что нуклон и пион должны находиться в состоянии с /= 1/2.
С учетом таблицы коэффициентов Клебша — Гордана (см.
приложение) находим, что это правило предсказывает
r(AW) - = 1x1,036 = 0,345, G.42)
¦»л ) 3
где поправочный множитель учитывает слегка отличающиеся
фазовые объемы для пп°- и рл -состояний. Наблюдаемое
значение равно 0.348 + 0,005 в согласии с этим предсказанием,
если принять во внимание небольшие радиационные поправки.
В нолулептонных распадах с!ранных частиц нельзя опре-
делить топит конечного состояния, но эти распады
подчиняются правилу отбора AS — AQ, где AQ и Л5
изменения заряда и странности адронов. Если ЛУ? =¦-!,'?.
то из соотношения
Q=-I3+l-(B+S)
следует ожидать, что Д(? = Д5=1. Для подтверждения этого
правила укажем, что наблюдается распад G.43) с опюсигельной
вероятностью 1,08 • 10 3. но не наблюдается распад G,44).
относительная вероятность которого меньше чем 5I0"fl.
Распад Кварковое описание
= AQ=\), G.43)
=-AQ=\). G.44)
Отклонения от правила Д/=1/2 определенно наблюдаются
в тех случаях, когда адроны в конечном состоянии могут иметь
как /=1/2, так и /=3/2. Например, относительная вероятность
в то время как правило А/= 1/2 предсказывает значение 2,00
Следовательно, амплитуда с /=3/2 тоже дает свой вклад,
хотя он и сильно подавлен.
Большой интерес представляют абсолютные вероятности
переходов с А5=1 по сравнению с переходами с А5 = 0.
Переходы с А5=1 подавлены примерно в 20 раз по сравнению
с переходами с Д5 = 0. Уменьшение вероятности для процессов
с А5=1 учитывается в рамках теории Кабиббо A963 г.).
В этой модели состояния d- и ^-кварков, участвующих в слабых
взаимодействиях, «повернуты» на некоторый угол смешивания
0о называемый углом Кабиббо. По аналогии с лентонными
дублетами, входящими в лептонные токи с изменением заряда,
кварки и, d, s также образуют дублет:
Пептоны Кварки
Vcosec+ssmeJ-
Для каждого из этих дублетов слабая константа связи
равна константе Ферми G. Тогда для полулептонного распада
с А5 = 0. включающего и- и ^/-кварки, константа связи равна
GcosQc- & Для распада с А5=1, включающего .v-кварки, эта
константа составляет Gsin0c. Ниже в табл. 7.2 выписаны
распад мюона, Р-распад |4О, р-распад пиона (л~->лое~ \'е)
и лептонный АГ-распад (К~-^п°е~ \>е) через превращения участ-
вующих в распадах кварков.
220
'Г абл и цп 7.Г
Процесс
It -»7t°f "v,,
К "->тс°(? "v,.
Кварковое
С пин
И llMIlOClb
к.фонов
(Г-(Г
о -о-
описание нолулептонных процессов
Кварковое
описание
(/—>»'.' V,,
.V —> IW V,,
Верояiноет ь
G 2tos20(
G2cos20(
G2sin29c
а2
Уравнение
G.46)
G.47)
G.48)
G.49)
Заметим, что распады G.46) и G.47) являются разрешенными
фермиевскими переходами (Ур = 0 ->0 + или 0"->0~). так что
они должны иметь одинаковое значение | Л/12, что и происходит
в действительности (см. задачу 7.1). Изучая различные процессы
полулептонного распада адронов, можно получить оценки
величины 0С с помощью соотношений:
AS=l,
G.50)
Так, сравнивая вероятности распада О с вероятностью
распада мюона [процессы G.46) и G.49)], определяем значение
cos20с, откуда
9(- (вектор) = 0,210 ±0,025,
G.51)
а сравнивая реакции G.48) и G.47) для чисто векторных
переходов с AS=\ и А5 = 0. находим
6С (вектор) = 0,25 ±0,01.
G.52)
Оценку Эс можно получить также, сравнивая вероятности
чисто аксиально-векторных переходов:
-¦т—т^-*ес (аксиал) = 0,269 ±0,001.
я ->ц v
G.53)
Результаты G.51) —G.53) не совсем совпадают, но причины
)гих небольших расхождений можно понять. Это связано
с вопросами несохранения аксиально-векторных токов и эф-
фектами масс кварков. Достаточно сказать, что когда все
)то принимается во внимание, то относительные вероятности
меняющих и не меняющих странность распадов приводятся
б согласие с единственным значением угла Кабиббо. Однако
:»га теория была сформулирована в те времена, когда было
известно только три сорта кварков (м, с/, s). Ожидаемые
изменения в модели с шестью сортами кварков обсуждаются
а § 7.12.
221
7.10. НЕЙТРАЛЬНЫЕ СЛАБЫЕ ТОКИ
Получение в начале 60-х годов на ускорителях интенсивных
пучков пешрипо и ашинейтрино больших чпершй повлекло
за собой драма (ические изменения в понимании слабых
ттимодейсчвий. Схема получения [витринного пучка приведена
па рис. 7.12. а. Основной принцип заключается в тм, чтобы
сначала в pesy.n.iaie взаимодействия протонов большой энер-
гии с мишенью Т образовать вторичные пионы и каоны.
( помощью дино.тьных новоротных магнитов, квадрунольных
фокусирующих магнитов и коллимирующих щелей можно
отобрать вторичные частицы одного знака заряда в небольшом
интервале импульсов. Пионы и каоиы влетают в расиадный
гуннель. где часть из них распадается на мюоны и нейтрино
GТ*-->ц"\'м. п ->ц"у„). Мюопы отсекаются то.тстой защитой
из слали, а взаимодействие пейфино наблюдается в детекторе.
Как 01 мечено выше, подобные эксперименты привели
в 1961 I. к установлению различия электронных и мюонных
нейтрино v(. и v,, (примеры событий показаны на рис. 7.13).
В 1973 к в эксперименте с пузырьковой камерой в ЦБРН
было впервые обнаружено существование взаимолействий уц без
заряженного лептсиа в конечном состоянии (Hasert et al..
1973. 1974 гг.). Эги события были названы событиями с ней-
тральными токами, и они отвечали реакциям вида
vM-V-»Vlljr, ^N-*%X. G.54)
где X любое адропное состояние. Такие реакции составляют
некоюрую долю более обычных реакций с заряженными
токами:
v,;V-niJ, %N-*\i'X. G.55)
Как обсуждалось в гл. 1, реакции с нейтральными и за-
ряженными токами описываются с помощью обмена проме-
жуточными бозонами W'' и Z0 (рис. 7.14. а. б). Обозначим
константу связи этих частиц с лептонами или кварками через g.
в )юм случае матричный элемент будет содержать пропагатор
вида (!.1О), который при малых ц1 (что верно для всех до сих
пор обсуждавшихся ироцесов) связан с четырехфермионной
константой связи G соотношением [см. A.17)]
G=\\m-rT?—T-=g2IMb. G.56)
В теории электрослабого взаимодействия (см. гл. 9) константа
g взаимодействия W-uZ° связана с константой взаимодействия
фотона с заряженными лептонами и кварками. Грубо, с точно-
стью до численных множителей, g&e, так что отсюда возникают
предсказания для масс промежуточных бозонов. В 1983 г.
ПуЧОК в, К
т / гоотэъ
Т-т-г-^ (—^я=-— -у-*
100 м
~1
1,0 - ';:;^;-.:¦¦¦'• ¦'¦'../'¦!'"'¦ ¦•'•.!¦¦•:
v;,^::
5G 100 150
Знеогия нейтрино, ГэВ
ZOO
Рис. 7.12, Схема формирования учкопо.'юсного нейтринного пучка с лнергией
200 ГэВ. ЦЕРН {а) и связь между энертей ней тинных событий и расстояния
по радиусу R от оси пучка ((>). С)шествует кинематическое соотношение между
энергией и направлением движения нейтрино от распада монохроматического
пучка пионов иди каопов (см. задачу 7.2). Полому энергия нейтринных событий
скорректирована с расстоянием от оси пучка. Полоса событий с большой
энергией обячана нейтрино от распада каопов. а события с матой эпер1ией
свячаны с нейтрино от распада пионов. Данные получены на калориметре (de
Groot et nl.. 1979 г.):
/- стадь. 2 ipjiiT: 3 .детектор: 4 мюоиньи мониюры: 5 расна.шый imiho.ii>
в ЦЕРН на /?/?-коллайдере B70 + 270 ГэВ) наблюдались рождение
и распад этих частиц ( W-*ev, (.iv и Z°->e+e . ц + р~) (см. § 7.13).
Из первых экспериментов для отно1пения сечений реакций
с нейтральными и заряженными токами G.54) и G.55) найдены
следующие величины:
о45
G.57)
Рис. 7.13. Первые примеры «ynpyinx» ней-
тринных взаимодействий, наблю давшихся
в тяжеложидкостной пузырьковой камере.
ЦЕРН. 1963 г. Показано событие, приписы-
ваемое реакции \'„ г/г-'/' + ц" (и). Невза-
имодействующий мюон выхоли г за пределы
камеры, а протон оiдачи осынавливается
внутри обьсма. Событие, вызванное взаимо-
действием электронною нейтронного ней-
трино v(.:\\, 4- и-»р + с (о). Начальный пучок
содержит в основном мюонные нейтрино \-ц
с очень малой примесью (около 0,5%) v,,,
возникающих от трехчастичных распадов на
лету К ' -+п° +с ' + vt,. Вторичный электрон
большой энергии наблюдается По характер-
ному ливню, порождаемому этим электро-
ном за счет процессов тормозного излучения
и рождения пар
так что на основании примерно сотни событий можно
утверждать, что вероятности реакций за счет нейтральных
и заряженных токов сравнимы по величине.
В том же эксперименте в дополнение к указанным полулеп-
тонным реакциям наблюдались и чисто лептонные события
с нейтральными токами типа
vM + er->e- + v G.58)
Первое такое событие (см. рис. 1.7) получено даже раньше,
чем реакции G.54). Результаты более поздних данных по
полулептонным и лептонным реакциям с нейтральными токами
приведены в § 9.7. Главное, что мы хотели бы подчеркнуть
сейчас, это то, что связь, обусловленная нейтральными токами,
существует, причем значение константы связи сравнимо с соот-
ветствующей константой для заряженных токов.
7.11. ОТСУТСТВИЕ НЕЙТРАЛЬНЫХ ТОКОВ С AS=\.
МОДЕЛЬ ГИМ И ОЧАРОВАНИЕ
Все наблюдаемые процессы с нейтральными токами харак-
теризуются правилом отбора A5~U. На самом деле, одной
Рис. 7.14. Диаграммы процессов с заряженными (и) и нейтральными (о) токами
и процесса электромагнитного рассеяния (в)
224
из причин того, что ранние теории слабых взаимодействий,
включавшие нейтральные токи, были не в почете, являлось
то, что проявления нейтральных токов никогда не наблюдались
в процессах распада. Например, отношение вероятностей
распадов каона, идущих за счет нейтральных и заряженных
токов, равно
G.59)
В гл. 9 мы будем обсуждать интерпретацию введенных на
рис. 7.14 частиц W + , W~, Z° как членов «слабого изос-
пинового» триплета бозонов, взаимодействующих с кварками
(и лептонами). Если не выписывать матричные операторы
в G.27), то заряженный (или повышающий заряд) слабый
ток, например в распаде нейтрона, будет иметь вид
7±=M(/cos8c. Тогда, на основании G.45), следует ожидать,
что связь с нейтральным током (рис. 7.15) будет иметь вид
MM+(rfJcos29c+^sin20c) (sd-
AS=0 ~+ '
) sin 0C cos 0С
G.60)
так что в принципе возможны нейтральные токи с А5= 1,
так как sinG^O. В классической работе 1970 г. Глешоу,
Иллиопулос и Майани (ГИМ) предложили ввести новый кварк,
обозначаемый с от слова charm (очарование), имеющий заряд
+ 2/3. Для кварковых состояний в слабых взаимодействиях
был предложен еще один дублет, состоящий из с-кварка
и ортогональной к ^-комбинации s- и (/-кварков. Таким
образом, два кварковых дублета имеют вид
sc
. G.61)
Следуя этому пути, к нейтральному току (см. рис. 7.15)
следует добавить дополнительные члены (рис. 7.16), так что
после их включения матричный элемент слабого взаимодейст-
вия за счет нейтральных токов примет вид
ип + ее + (dd+ss) cos 2 0С + (ss + dd) sin 2 6C
__ _ _____ +
Рис. 7.15. Связь Z° с ней-
тральным током ы-, d-, s-
кварков
15 Заказ 416
225
z° +
(scosec-dslnBc)
(scos ffc-d sin Bc)
(dcnsBc+s&i.n6c)
тральным током с-, d-, s-
кварков (гипотеза ГИМ,
Glh t а1' l97°Г)
Erf+5rf5rf-^)sin9ccos9c ,_
A5=l
Итак, ценой введения нового кварка и второго кваркового
дублета нежелательные нейтральные токи с А 5=1 взаимно
сократились.
По этой причине наблюдение в 1974—1976 гг. тяжелых
с-кварковых состояний (J/ty = cc, D — сп и т. д.), описанное
в § 5.13, явилось необычайным триумфом теории. Заметим,
что гипотеза G.61) предсказывает также, что в распадах
очарованных мезонов на неочарованные (АС=1) следует ожи-
дать, что с->.у-переходы (пропорциональные cos20b) доминиру-
ют над с-к/-переходами (пропорциональными sin28c). Так,
мезон D0 A893) в основном распадается по каналу
D°^K~ +mt, а распад D°-nm сильно подавлен (пример такого
распада приведен на рис. 2.14).
Благодаря тому же механизму, который уничтожает ней-
тральные токи с А5=1, следует ожидать и отсутствия
нейтральных токов с АС=1. Пределы на соответствую-
щие вероятности можно установить из экспериментов с ней-
трино, пытаясь искать процессы (одиночного) рождения оча-
рованных частиц в реакциях с нейтральными токами. Сейчас
известно, что вклад таких процессов составляет менее 3% от
сечений, обусловленных нейтральными токами процессов
с АС=0.
7.12. СЛАБЫЕ УГЛЫ СМЕШИВАНИЯ
ПРИ НАЛИЧИИ ШЕСТИ КВАРКОВ
В § 7.9 и 7.11 мы ограничились рассмотрением и-, d-, s-
и с-кварков и формализма Кабиббо —ГИМ для матрицы
смешивания, определяющей кварковые состояния, участвующие
в слабых взаимодействиях. При этом заряженный трк выража-
ется в матричной форме в виде
l cos9c sineAAA
_8т0с cosQc)[s)> G-63)
226
где опущены константы связи и оператор умA + Ys)^ опре-
деляющий пространственно-временную структуру тока. Сме-
шивание здесь определяется одним единственным пара-
метром— углом Кабиббо 0С. Как упоминалось выше, все
данные по слабым распадам, включающим и-, d-, s- и с-
кварки, по-видимому, согласуются с единственным значе-
нием Эс.
Если мы намереваемся включить в рассмотрение другие
кварки [6-кварк с Q= —1/3, существование которого необ-
ходимо было постулировать после открытия Т-резонансов
(§ 5.13), и его предполагаемый партнер /-кварк с g=+2/3
(см. § 5.16)], то описанный подход должен быть модифици-
рован. Существование трех пар кварков параллельно с тремя
парами лептонов эстетически привлекательно и даже имеет
определенное подтверждение, связанное с отсутствием в такой
схеме определенных «треугольных аномалий». Мы не будем
обсуждать здесь эти вопросы, а заметим лишь, что условие
сокращения подобных аномалий заключается в равенстве нулю
полного заряда всех фермионов. Суммарный заряд трех
лептонных дублетов (е, ve; ц, vM; т, vT) равен — 31 е|; три
кварка (и, с, t) с зарядом g=+2/3 и три кварка (d, s, b)
с зарядом Q= —1/3 дают в сумме +3|е|, если учесть
множитель 3, связанный с цветом.
При наличии шести кварковых ароматов слабые токи будут
описываться унитарными преобразованиями трех кварковых
дублетов, характеризующимися тремя углами Эйлера и шестью
фазами (Kobayashi, Maskava, 1972 г.). Пять из шести фаз
произвольны и ненаблюдаемы, так что остается одна нетриви-
альная фаза 8. Тогда
/с+лаб = (й, С, TjAllsY G.64)
где матрица Кобаяши — Маскава М размерностью 3x3
имеет вид
/ Сх C3Si SiS3 \
( c1c2c3—5253exp(i8) clc2S3 + c3s2exp(ib) I, G.65)
где с, = со8Э,- и 5? = sin Э,-. Здесь Эх, 92, Эз—три угла смешивания,
заменяющие единственный угол 0С в 2x2 матрице G.63).
Поскольку при обращении времени exp(i8)-»exp( — i8), фазовый
угол 5 отвечает возможности существования нарушающих Т-
и СР-инвариантность амплитуд (см. § 7.14).
Сравнивая G.63) и G.65), видим, что смешивание u-*d,
определявшееся в теории Кабиббо коэффициентом cos6c,
15* 227
в более общей модели задается коэффициентом cos Эх. Следует
напомнить, что этот коэффициент равен отношению константы
G в ц-распаде и константы Gcos9c в ядерном Р-распаде.
Полулептонные распады гиперонов и каонов, ранее исполь-
зовавшиеся для определения sin6c [см. G.52) и G.53)],
характеризуют теперь произведение sin0icos03. Так как в пре-
делах погрешностей значения 9С из Р-распада и из распада
каона равны, то cos 93»1 и, следовательно, sin 93 должен
быть малым.
Информацию об угле Э2 можно получить из наблюдений
одиночного рождения очарованных частиц в реакциях с ней-
трино высоких энергий; на языке кварков такая реакция
выглядит так:
G.66)
Здесь показано, что очарованный кварк, образованный в слабой
реакции с АС=1, полулептонным образом распадается на
5-кварк и лептонную пару. Подобные события очень характер-
ны'— они содержат пару мюонов с противоположным зарядом
(ц+ц~) и большой энергией. Вероятность переходов d-*c, по
сравнению с более обычными </->и-переходами с АС=0, можно
получить из наблюдаемой вероятности дилептонных событий
и известных относительных вероятностей полулептонного рас-
пада очарованных мезонов (D+, D° и т.д.). Согласно G.65),
этим определяется произведение sin61cos62; эксперименты
указывают на то, что cos 92«1 и, следовательно, sin 92 мал.
Хотя точность имеющихся данных не очень велика, пред-
ставляется все же, что jl5 s2 и s3 малы. Если это так,
модель позволяет сделать предсказания о последовательности
слабых распадов мезонов, содержащих 6-кварки. Цепочка
распадов b-*c-*s-*u, амплитуда которой пропорциональна
CiC2s3 + c3s2expib, должна доминировать по сравнению с рас-
падом Ь-+и, амплитуда которого пропорциональна sis3, так
что при распаде подобных состояний, содержащих 6-кварки,
среди вторичных адронов должны преимущественно встречаться
странные частицы (каоны). Именно так и происходит.
7.13. НАБЛЮДЕНИЕ W±- И Z°-BO3OHOB
7.13.1. Рождение Wu Z в />р-соударениях. Массы и распадные
характеристики векторных бозонов W± и Z0, являющихся
переносчиками слабых взаимодействий с заряженными и ней-
тральными токами, предсказываются теорией электрослабого
взаимодействия, детально обсуждаемой в гл. 9. Согласно этой
теории, Mw^.%2 ГэВ, Mz°~93 ГэВ. Как ясно из рис. 7.14,
228
средимод распада должны быть лептонные распады W
Z°-*ll или V(V; (где l=e, \i, х), а также более многочисленные
распады на адроны через кварковые пары: W, Z-yQQ-^адроны.
Такие бозоны впервые наблюдались на /тр-коллайдере
в 1ДЕРН (Arnison et al., 1983 г., Banner et al., 1983 г., Bagnaia
et al., 1983 г.) за счет элементарных реакций образования
и распада:
G.67а)
G.676)
G.67в)
Сечение процесса G.67а) с образованием И^-бозона в покое
будет определяться обычной резонансной формулой Брейта —
Вигнера:
1
) = — х
4nX2Tu3rev/4 B7+1)
—i—> G.6й)
Bsd+l)Bsu+l)[(E-MwJ
где Е—инвариантная масса системы ud; Х = 2/Е—дебройлевс-
кая длина волны сталкивающихся частиц в СЦИ; Г, Гиз,
Fev — полная и парциальные ширины распада. Спины кварков
sd = stt=l/2. В V—A-теории в процессе участвуют только левые
(правые) спиральные состояния u(d), так что спиновый весовой
множитель для W равен BУ+1)/3 = 1 (рис. 7.17). Цветовой
множитель l/Nc=l/3 определяет вероятность взаимодействия,
например, красного кварка с антикрасным антикварком. Таким
образом, максимум сечения
= 5,2 нб, G.69)
где мы положили М^ = 83 ГэВ, а для каждого из распадов
W-^ud, cs, tb учли цветовой множитель 3, в то время как
распады W-*eve, цуц, tvT входят с весом 1, так что Тиз/Г=1/4
и Гет/Т = 1/12'. Сечение процесса G.67в) содержит связь ней-
трального тока с кварками и лептонами и зависит от слабого
угла смешивания sin26^. Оказывается, что это сечение пример-
но в 10 раз меньше (см. приложение 3).
Сечения реакций pp-*W +..., W + ^e+ve и pp-*ZOj\-...,
Z°-*e +e~ получаются интегрированием элементарного кваркового
1 Массами фермионов мы пренебрегаем, так что всем модам распадов
приписывается одинаковый фазовый объем.
229
Рис. 7.17. Кварковая диаграмма процесса образования W+ в рр-соударениях
(а). Распад ff+->e + v,F)
сечения по ширине бозона и по распределению импульсов кварков
внутри нуклона. При соударении протонов и антипротонов
с энергией 270 ГэВ o{pp^*W-+ev) сечение реакции равно по
порядку величины 1 нб A0~33 см2), а сечение o(/y>->Z°->e+e~)
составляет примерно 0,1 нб, что следует сравнить с сечением
а (полн) = 40 мб = 4-107 нб полного сечения взаимодействия pp.
Извлечение таких редких событий, на уровне 10 ~8—10~9 от
полного числа, возможно потому, что электроны и мюоны,
а также нейтрино от распадов имеют очень большие поперечные
импульсы: pt^Mwj2kA0 ГэВ/с. Другие источники лептонов,
например от распада адронов, дают значительно меньшие
значения рт (см. рис. 4.20).
Главной составной частью калориметров, использовавшихся
в экспериментах, являются центральные трековые камеры для
детектирования отдельных вторичных частиц, окруженные эле-
ктромагнитным калориметром (для детектирования ливней,
порождаемых электронами и фотонами), значительно большим
по размерам калориметром, используемым для измерений
адронных струй (см. § 8.9) и расположенным снаружи
детектором мюонов. Калориметры сегментированы в узких
интервалах полярного и азимутального углов 9 и ср. Если
не считать разницы в размерах, главные части устройства
во многом совпадают с использованными в детекторе
JADE.
На рис. 1.8 показана реконструкция типичного события
W-*e\. Признаками его являются: а) электрон с большим
рт, выглядящий как отдельный изолированный трек с большим
импульсом в центральном трековом детекторе и направленный
в сторону ливня; б) наличие ливня в электромагнитном
калориметре, причем в соседних сегментах адронного кало-
риметра нет заметного выделения энергии; в) недостача
рт в событии в целом, после того как проведено суммирование
по всем образовавшимся вторичным частицам (ясно, что
участвующие в соударении другие кварки порождают вторич-
ные адроны, в основном с малыми рт). Недостающий импульс
Рт связан с нейтрино от распада W.
На рис. 7.18, а изображена зависимость недостающего
рт в плоскости, определяемой импульсом электрона и направ-
230
«540
С
Ч
$20
8-
5
им
—
-
- //
/
н
1
1 /
и +
I ^^
С Л7 20 30 ЬО 50
рт электрона, ГэВ/с
Рис. 7.18. Потерянный импульс р, в плоскости электрон — пучок в зависимости
от рТ электронов в 43 событиях, приписываемых распаду W-+e+ve и зарегист-
рированных детектором UA1. Импульс рт W- бозона и суммарный импульс рт
других частиц, образованных в событии, мал, так что потерянный импульс рт
должен быть приписан нейтрино (а). Угловое распределение распадных
электронов в системе покоя W-бозона. Угол в образован направлениями
движения е
протонов (б)
и протонного пучка или направлениями движения е и анти-
лением начального пучка, от поперечного импульса рт эле-
ктрона. Из этой зависимости видно, что нейтрино и электрон
обладают примерно равными и противоположно направлен-
ными значениями рт, как и следовало ожидать (сами W-бозоны
образуются со значениями рт по отношению к пучку порядка
всего лишь 5 ГэВ/с).
Для событий Z°->e+e~ (на рис. 7.19 показан пример такого
события) отбор основан на выделении двух изолированных
треков, идущих из одной вершины и направленных в сторону
локализованных кластеров в сегментах электромагнитного
калориметра, причем одновременно отбираются большие значе-
ния рт и инвариантная масса Ме+е>50 ГэВ. На рисунке
показано распределение энергии по сегментам калориметра
в зависимости от углов 9 и <р — ясно видна концентрация
энергии в двух кластерах.
Наблюдались также распады на мюоны W±^\im, Z°->h\i.
В этом случае требования к отбору событий заключаются
в наличии одной или двух частиц с большим значением рт,
проникающих через адронный калориметр (примерно шесть длин
взаимодействия) и наблюдаемых во внешних мюонных камерах.
7.13.2. Масса, ширина и распадные характеристики
бозонов. Анализ событий W- и Z-распадов, наблюденных
231
ЮТэЪ
ez
360°
е1
в
Рис. 7.19. Событие Z°-*e*e в эксперименте UA1. Зависимость выхода энергии
в поперечном направлении от полярного и азимутального углов для треков
с рт>2 ГэВ/с и поперечной (калориметрической) энергией Ет>2 ГэВ
в калориметрах UA1 и UA2, позволил установить значения
масс и сечений образования бозонов, которые приведены ниже:
Значения Наблюдения Предсказания
Mw, ГэВ
Mz°, ГэВ
a[pp_-*W-<
a{pp^Z -
/v), нб
+ГГ), нб
81,2±1,3
92,8 ±1,5
0,55
0,06
83,0 + 2,7
93,8 + 2,2
0,5
0,05
Погрешность в предсказании масс возникает из-за неоп-
ределенности в значении угла Вайнберга Qw. Существует
замечательное согласие между наблюдаемыми и ожидаемыми
значениями масс (см. § 9.8). Ширина этих бозонных резонансов
вычислена в приложении 3. По размерным соображениям
следует ожидать, что
TWU)~GM*W{Z), G.70)
так как G имеет размерность массы в минус второй степени. На
самом деле rw = (y/2/n)GMw = 2,9 ГэВ, если использовать значе-
ние константы Ферми G из G.12), a Tz = 2,8 ГэВ. Наблюдаемые
значения согласуются с этими предсказаниями. На рис. 7.17
показано, что в рамках V— Л-теории И'-бозоны поляризованы,
так что следует ожидать нарушающую четность асимметрию
распада, выражающуюся в том, что е от распада W + вылетает
232
преимущественно в том же направлении, что и начальный
антипротон, в то время как в реакции G.676) е~ (или ц~) от
распада W~ вылетает преимущественно в направлении началь-
ного протона. Легко получить угловое распределение в системе
покоя W. Если пучок антипротонов на рис. 7.17 определяет ось z,
тогда W+ образуются только в состоянии с Jz= +1. Вероятность
того, что е+ и ve со спиральностями +1 и — 1 соответственно
вылетают под углами 9 и я —9, причем Jz= +1, дается, очевидно,
квадратом соответствующей ^-функции (приложение В):
(J. G.71)
Здесь 9 — угол между направлениями движения позитрона
и антипротона. Аналогичное распределение получается для
распадов W~, если считать теперь углом 9 угол между
направлениями движения электрона и протона. Такое угловое
распределение очень хорошо подтверждается на эксперименте
(рис. 7.18,6).
7.14. РАСПАД К°-МЕЗОНА
Формула Гелл-Манна — Нишиджимы
Q/e = h + {B+S)/2
указывает, что в дополнение к двум заряженным каонам К±
со странностью 5= +1 существуют два нейтральных каона
К0 и К0, образующие вместе с заряженными изотопические
дублеты с /= 1 /2:
+ ]'2 -V2 n 72)
+ i к+ к0' u l)
-1 K° K~
А^°-мезон может рождаться при соударении нестранных
частиц совместно с гипероном:
5 0 0-1+1 *¦ '
В то же время ^° может рождаться только совместно
с каоном или антигипероном с.5= + 1:
"" G.74)
0 0+1-10 У
500+1-10 0. 1
233
Пороговая энергия пиона в реакции G.73) равна 0,91 ГэВ,
а для реакций G.74) и G.75) она намного больше: 1,50
и 6,0 ГэВ соответственно. Таким образом, подбирая подхо-
дящую энергию начальных пионов, можно образовать чистый
пучок АГ°-мезонов.
А- и А"°-мезоны являются частицами и античастицами
по отношению друг к другу и связаны процедурой зарядового
сопряжения, включающей изменение на противоположные зна-
чения /3 и изменение странности, AS=2. Сильные взаимодей-
ствия сохраняют /•, и S, так что до тех пор, пока речь идет
о рождении частиц, отдельными собственными состояниями
нейтральных каонов являются К0 и А.
Но пусть теперь К0 и К0 летят в пустом пространстве.
Так как обе эти частицы нейтральны, они могут в результате
слабого взаимодействия распасться на пионы, причем в этих
распадах |AS|=1. Следовательно, может возникать смешивание
за счет (виртуальных) промежуточных пионных состояний:
и'
Подобные переходы отвечают AS—2 и являются поэтому
переходами второго порядка по слабому взаимодействию. Как
бы они ни были подавлены, тем не менее, если первоначально
имелось чистое /^-состояние при t = 0, в любой последующий
момент времени_ / уже будет наблюдаться суперпозиция
состояний К0 и К0, так что можно записать состояние в виде
|ВД> = сф)Ю + Р@1*°>- G-76)
Известно, что объекты, распадающиеся за счет слабых
взаимодействий, являются собственными состояниями СР,
а не странности S. Операция СР, действуя на состояния
А:0 и Кь, дает
СР\К°У^ц\К°У, CP\R°}^r\'\K0), G.77)
где т|, г)' — произвольные фазовые множители, которыеможно
считать равными; г| = г|'=1. Ясно, что \К0} и lA'0) не
являются собственными состояниями СР, но можно образовать
линейные комбинации
G.78)
-|?°», СР=-\,
234
так что
Ci»| *,>-»! *i>; СР|^2>^-|^2>. G.79)
В противоположность К0 и К0, различающимся по способу
их образования, К\ и К2 различаются способами распада.
Рассмотрим моды распада на 2п и Зя.
1. я°я°, 71 + п~. Благодаря бозе-симметрии полная волновая
функция в обоих случаях должна быть симметричной по
отношению к перестановке двух частиц. Так как спина нет,
то это эквивалентно операции С и последующей операции
Р, так что СР= + \.
2. 7i+7i я0. Так как энерговыделение Q мало G0 МэВ), то
можно считать, что /=0, т. е. три пиона находятся в s-
состоянии относительно друг друга. Согласно предыдущему
пункту, СР-четность пары п + к~ равна +1. Для я°-мезона
С= + 1 (так как он распадается на два у-кванта) и Р= — \,
следовательно, СР= — 1. Поэтому, комбинируя я0 с системой
71+я~, находим, что СР= — \. При />0 могут получаться как
положительные, так и отрицательные собственные значения
СР, но такие распады сильно подавлены эффектами центробеж-
ного барьера.
3. л; 7i°7i°. В силу симметрии Бозе любой орбитальный
угловой момент / между любой парой пионов должен быть
четным. Отсюда, значение момента / оставшегося пиона
относительно дипиона также четно, поскольку JK = 0. Таким
образом, полная четность есть произведение внутренних чет-
ностей пионов, т.е. Р= — \. Так как у нейтрального пиона
С= + 1, получаем, что СР= — 1 независимо от значений
/ в системе.
Суммируя, можно сказать, что 2я-состояние должно иметь
СР= + \, в то время как 37с-состояние может иметь СР= + \
или —1, причем СР= — 1 кинематически неизмеримо пред-
почтительнее. Двухпионные и трехпионные моды распада
имеют разные значения Q, откуда у этих мод разные фазовые
объемы и разные вероятности распада, причем двухпионный
распад происходит значительно быстрее. Состояния нейтраль-
ных каонов при образовании и распаде приведены в табл. 7.3.
Таблица
Рождение
|*°>E= — 1)
|А
7.3.
Собственные состояния
Распад
нейтральных
2п(СР= + \)
Зя(СР=-1)
каонов
Время жизни, с
т,=0,9х1(Г10
т2 = 0,5х10'7
7.14.1. Осцилляции странности. До сих пор мы обсуждали
амплитуды Кг и К2, не обращая внимания на явную зависи-
235
мость их от времени. Для более точного рассмотрения
необходимо включить в амплитуды фазовые множители. Если
бы частицы А\ и К2 имели одинаковые массы, то относительная
фаза Ki- и ^-состояний с данным импульсом была бы
постоянной во времени. Однако Ку и К2 не являются
зарядово-сопряженными состояниями и имеют совершенно
разные времена жизни и моды распада, так что в том же духе,
как разность масс протона и нейтрона, может быть приписана
разнице в их электромагнитном взаимодействии разность масс
Ку — К2, которая, конечно, намного меньше, возникает из-за
разницы в их слабых взаимодействиях.
Амплитуду состояния Ki в момент времени t можно
представить в виде
al(t) = al@)e\p-(\El/fi)te\p(-r1t/2ti), G.80)
где Ву — полная энергия частицы, так что Ey/h — круговая
частота юь a Ti = h/xl—ширина состояния, причем Tj —
среднее время жизни в системе отсчета, в которой определена
энергия Ei. Последний сомножитель в G.80) должен иметь
указанный вид в силу закона радиоактивного распада для
интенсивности пучка:
Положим h = c=\ и будем измерять все промежутки времени
в системе покоя, так что тх—собственное время жизни,
а Ех=ти где тх — масса частицы. Тогда амплитуда
состояния Ki
@ ) ]. G.81)
Аналогично, для К2 имеем
[ ]. G.82)
Предположим теперь, что в момент времени / = 0 пучок
единичной интенсивности состоит только из АГ°-мезонов. Из
G.78) следует тогда, что a1@) = a2(Q)=\/yj2. В результате
свободного распада в вакууме через время t интенсивность
пучка К0 будет равна
= j=(ai(t)+a2(t))j=(a\(t) +
-[(r1 + r2)/2]f}cosA/fif], G.83)
236
где Am = \m2 — mi \. Аналогично, интенсивность пучка К0 можно
вычислить, записав амплитуду в виде [fli(?) —й2(?)]л/2, так что
G.84)
Таким образом, интенсивности пучков К0 к К0 осциллируют
с частотой Am. На рис. 7.20 показаны ожидаемые вариации
интенсивности для случая Am = 0J5/x1. Если измерить число
событий с взаимодействиями К0 (выход гиперонов) как
функцию расстояния от источника К0, то можно извлечь
значение \Ат\. По современным данным
Д/ит^ 0,477 ±0,002, G.85)
где Ат = т2 — т1, причем в отдельных экспериментах по
регенерации установлено, что т2>т1.
Абсолютное значение разности масс очень мало:
или относительная разность масс
Ат/т = 0,7-10 ~14. G.86)
Диаграммы на рис. 7.21 позволяют грубо оценить значения
собственной энергии (вклада в массу) Кг и К2. Очевидно,
что «слабая» масса, порождаемая за счет этих диаграмм,
пропорциональна G (все вклады более высокого порядка
пренебрежимо малы по сравнению с этим), т. е. эффекту
второго порядка по слабой константе связи, причем следует
заметить, что это единственный до сих пор наблюдавшийся
экспериментально случай такого рода. Так как G=10~5/Mp,
то для получения правильной размерности нужно ввести
некоторую массу. По-видимому, разумно в качестве такой
массы выбрать массу каона. Поскольку мы имеем дело
с двумя переходами, меняющими странность, нужно на самом
деле заменить G на Gsin9c, как в G.50), тогда получим
следующую оценку:
Am (для переходов с AS= \)xG2mKsm2Qc&\0~4 эВ, G.87)
что с точностью до порядка совпадает с наблюдаемым
значением G.86). Рассуждая аналогично, можно установить
очень сильные ограничения на возможный прямой переход
с AS = 2 между состояниями К0 и К0. Если обозначить
константу этого перехода /G, тогда
Атк (для перехода с AS=2)«/Gw|=103/3B, G.88)
откуда /<10"8.
237
&S=1
Рис. 7.21. Диаграммы собственной
энергии К^ и ?2-мезонов
в t/t,
Рис. 7.20. Осцилляции интенсивностей К0 и К0 для первоначально чистого
пучка К0, рассчитанные по формулам G.83) ч G.84). Предполагается, что
Л»?т1=0,5
Точное вычисление разности масс нейтральных АГ-мезонов,
основанное на обменах кварками и модели ГИМ, приводит
к результату (Gaillard et al., 1975 г.):
Ql
&т --^г/кШкШс cos2 9С sin2 Эс,
где /къ\,2тп — константа распада каона, а тс — масса оча-
рованного кварка. Это выражение согласуется с экспериментом
при лисяк 1,5 ГэВ. На самом деле, приближенно масса с-кварка
была предсказана с помощью этой формулы до того, как
этот кварк был обнаружен на опыте.
7.14.2. Явление регенерации К0. Наблюдение Л:2-распада
произошло не сразу после того, как он был предсказан
в работе Гелл-Манна и Пайса. Однако Пайс и Пиччиони
A955 г., заметили, что существование Kv и К2 должно
приводить к явлению регенерации. Пусть вначале имеется
чистый пучок А:0; если дать ему возможность пролететь
в вакууме в течение времени порядка 100 средних времен
жизни Ки то вся Кх -компонента распадется и останется
только ^-компонента. Пусть теперь А^-пучок пройдет через
пластину вещества, взаимодействуя с ним. Сразу же сильные
взаимодействия выделят компоненты пучка со странностью
+ 1 и -1, т. е.
__ ' (\ JfO\ I fO\\
G.89)
Таким образом, первичная интенсивность А'°-пучка ослабит-
ся на 50% за счет распада Х\. Оставшийся пучок, который мы
238
называем К2, при прохождении пластины, в которой можно
наблюдать ядерные взаимодействия, будет состоять на 50% из
К0 и на 50% из К0. Появление A:0 (S=:-l) на большом
расстоянии от первоначально чистого пучка К0 (S= + \) было
подтверждено в 1956 г. наблюдением образования гиперонов.
Например, имела место реакция К°+р^>Л + п +.
Компоненты К0- и АГ°-состояния G.89) должны испытывать
разное поглощение в веществе; К0-мезоны могут только
упруго рассеиваться или рассеиваться с перезарядкой, а К°-
мезоны могут, кроме того, участвовать в процессах с обменом
странностью, приводящих к рождению гиперонов. Поскольку
открыто больше каналов сильного взаимодействия, А^° по-
глощаются сильнее, чем К0. В результате после прохождения
пластины ЛГ°-амплитуда /|АГ°> и А^°-амплитуда f\K°) будут
разными, причем /</< 1. Если теперь задать вопрос, каковы
характеристики прошедшего пучка по отношению к распаду,
нужно вместо G.89) написать:
. G.90)
Так как /ф/, отсюда следует, что произошла частичная
регенерация Л^-состояния (рис. 7.22). Такая регенерация ко-
роткоживущих Ку в пучке долгоживущих К2 была подтверждена
экспериментом.
По существу, явление регенерации К -мезонов является
следствием общих принципов суперпозиции и квантования
в квантовой механике. Довольно близким аналогом этого
эффекта является поведение атомного пучка в неоднородном
магнитном поле — классический опыт Штерна—Герлаха. Пред-
положим теперь, что имеется начально неполяризованный
атомный пучок со спином 1/2, летящий вдоль оси z (рис. 7.23),
который проходит область неоднородного поля Ну, направ-
ленного вдоль оси у (аналог сильного взаимодействия в случае
К0). При этом происходит квантование атомов по двум
состояниям спина а,=+ 1/2 и о, = — 1/2, причем частицы
в первом состоянии отклоняются вверх, а во втором состоянии
вниз. (Эти состояния аналогичны собственным состояниям
странности S, т. е. К0 и К0.) Отберем часть пучка, отклонив-
шегося вверх и пропустим его через область неоднородного
поля Нх вдоль оси х (аналог слабых взаимодействий). Пучок
снова расщепится на две компоненты, причем 50% частиц
пучка будут иметь ах= —1/2 и отклонятся влево, а 50%
239
Источник I
частых ' '
К»
Регенератор -^
Рис. 7.22. Регенерация короткоживущих /^-мезонов при
прохождении чистого пучка К2 через регенератор
будут иметь ах= + \/2 и отклонятся вправо. Заметим, что вся
информация о квантовании вдоль оси у полностью потерялась.
Далее, если взять компоненту с ох = + I /2 (соответствующую
К2) и опять пропустить ее через область поля вдоль оси у, то
восстановятся компоненты с оу= + I/2 и_ потеряется вся
информация о <ух (аналог регенерации К0 н К0 в поглотителе).
Наконец, еще один пролет через область поля Нх приводит
к появлению собственных значений ох = +1 /2 (что соответствует
регенерации К{). Чтобы сделать аналогию еще более близкой,
т. е. отразить разные вероятности распада и свойства поглоще-
ния в задаче с АГ°-мезонами, можно добавить устройство,
поглощающее компоненты пучка, отклоняющиеся в двух из
четырех направлений.
Важным свойством эксперимента Штерна — Герлаха с атом-
ным пучком является то, что невозможно одновременно
проквантовать компоненты спина пучка по двум взаимно
перпендикулярным направлениям. Иными словами, операторы
спина <ух и Оу не коммутируют, или, что то же самое, из
трех матричных операторов ах, ау, oz только один может
быть диагонализован в данный момент времени (т. е. иметь
только диагональные элементы и действительные отличные
от нуля собственные значения). Так как оператор с дейст-
вительными собственными значениями должен коммутировать
с оператором Гамильтона (оператором энергии), то выделяемая
в пространстве ось с необходимостью определяется вектором
напряженности магнитного поля. Аналогично, операторы СР
и S не коммутируют, так что можно иметь состояния,
НеполяризоВан-:
ный атомный \ I
(-
Ось Z
Рис. 7.23. Аналогия между отклонением атомного пучка в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях с помощью неоднородного магнитного поля
и распадом К" с последующей регенерацией
240
являющиеся собственными состояниями СР или S, но не
обоих этих операторов одновременно.
7.14.3. Нарушение СР в распаде АГ°. После открытия
в 1957 г. несохранения четности в процессах слабых распадов
в течение некоторого времени считалось, что слабые взаимодей-
ствия по крайней мере инвариантны относительно СР-преоб-
разования. Вытекающее из этого описание состояний
Kt и К2 как собственных состояний оператора СР было дано
выше. Однако в 1964 г. Кристенсон, Кронин, Фитч и Тэрли
впервые экспериментально доказали, что долгоживущее со-
стояние, названное нами К2, может распадаться на п+п~
с относительной вероятностью порядка 10 ~3. Эксперименталь-
ная установка Кристенсона и др. показана на рис. 7.24. Назва-
ния Ki (для состояния с СР=+ 1) и К2 \СР= — \) были,
естественно, заменены на Ks (короткоживущая компонента)
и KL (долгоживущая компонента). Приведенные выше ар-
гументы, касающиеся регенерации и разности масс, вытекающие
из принципа суперпозиции, сохраняют свою силу, хотя фор-
мулы G.78) нужно слегка видоизменить, если применять их
к Ks и Kl. Мерой степени нарушения СР обычно считают
отношение амплитуд (А):
*Х) 2)-1О-?. G.91)
Состояние Ks содержит главным образом амплитуду
с СР=+\ и лишь малую примесь амплитуды с СР= — 1,
а состояние KL — наоборот. Поскольку и Ks и KL распадаются
на два пиона, следует ожидать эффектов интерференции
в п+п"-сигнале, которые будут функцией временной эволюции
первоначально чистого К -пучка. Из G.83) следует, что ин-
тенсивность будет меняться как
)-)], G.92)
где t—собственное время, а ф+_—соответствующий сдвиг
фаз между амплитудами АГ5->2п и KL->2n. Такие интерферен-
ционные эффекты действительно наблюдались (см. рис. 7.25).
Аналогичные эффекты нарушения СР обнаружены в распаде
KL-*2n°. Величины г| + _ и Г|0о зависят от амплитуд Ао и А2 об-
наружения конечных пионов в состоянии с изоспином /=0
или 2 (значение /= 1 запрещено бозе-симметрией), причем
Л + - = е + е', Лоо = Е-2е', G.93)
где
, i Im Ai г. ,„ с \п
у/2 Ао
16 Зака( 416 241
0,399
б)
1
со$в
по
100
во
60
40
20
О
Рис. 7.24. Экспериментальная установка (Christenson et al., 1964 г.), на которой
был обнаружен распад KL->n+n~. Пучок Я0 входит в установку слева и состоит
только из KL, так как Ks- компонента уже вымерла. Распады KL наблюдаются
в гелиевом мешке, заряженные продукты распада анализируются двумя
спектрометрами, состоящими из отклоняющих магнитов и искровых камер, со
сцинтилляторами в качестве триггеров. Редкие двухпионные события выделяют-
ся на фоне обычных трехпионных и лептонных распадов с помощью анализа по
инвариантной массе пары и направлению 9 их результирующего вектора
импульса по отношению к направлению начального пучка (а). Распределение по
cos 9 для событий с инвариантной массой в интервале 490<Afmt<510 МэВ
(гистограмма из сплошных линий). Распределение совпадает с тем, которое
ожидается для трехчастичных распадов (штриховая гистограмма, полученная
расчетами по методу Монте-Карло), однако имеется примерно 50 событий
(заштриховано), точно коллинеарных пучку и обязанных моде распада иа я+я~
(б). Используемые обозначения:
/— коллиматор; 2—магнит; 3— сцинтиллятор; 4— водяной черенковский счетчик; 5 —
искровая камера; 6 — гелиевый мешок
В общем случае л + - и Лоо являются комплексными
числами, и их можно представить в виде
Л + - =1Л + - lexP(i<P+-)> Лоо = 1 Лоо|ехрAф00), G.94)
где ф+_, фоо связаны с в' в G.93).
Если выполняется правило А/=1/2, то А2 = 0, и поэтому
1л + -| = 1Лоо1> ф+-=фоо- Экспериментальные значения таковы:
Л + -=B,274 + 0,022)-Ю, <р + _ =44,6+ 1,2°,
G.95)
Лоо = B,29±0,04)-10~3, Фоо = 55 + 6°,
так что они согласуются с правилом. Верхний предел 8'/е<0,02
вытекает из приведенных выше определений и чисел.
СТ-неинвариантность проявляется также в лептонных модах
распада KL. Речь идет о распадах
KL^e+ven~, G.96)
KL^e~ven+ G.97)
и аналогичных распадах с заменой электронов на мюоны.
Распады G.96) и G.97) переходят друг в друга под действием
операции СР, так что, если СР-инвариантность нарушается,
следует' ожидать небольшой зарядовой асимметрии:
242
Рис. 7.25. Зависимость ско-
рости счета событий
п+я~-распадов в пучке ней-
тральных каонов от соб-
ственного времени, демон-
стрирующая, что наилучшее
совпадение требует сущест-
вования интерференции KL-
и Л^-амплитуд. Сплошная
линия — с учетом интерфере-
нции, штриховая — без учета
(а). Интерференционный
член извлечен из анализа
результатов. Можно извлечь
разность масс KL — ^s и фа-
зовый угол ф между двумя
амплитудами (б) (Geweniger
et al., 1974 г.)
10s
i
v
3"
-7
S)
10
15
T,
._ вероятность^/,-»е+уся ) — вероятность(KL-*e ven + )
вероятность (KL -> e + ve я ~)+вероятность (KL -* e ~ ven +)
= @,330 + 0,012)-10. G.98)
Источник СР-нарушения продолжает оставаться загадочным
с самого момента обнаружения этого эффекта в 1964 г.
В принципе СР-нарушение может возникать в сильных, эле-
ктромагнитных ^ли слабых взаимодействиях. Если оно воз-
никает в сильных взаимодействиях, то распад нейтрального
каона должен происходить в две стадии: сначала слабый
сохраняющий СР переход с А5==1 от KL к промежуточному
состоянию с СР= — 1 (например, Зп), а затем сильный
нарушающий СР переход в 2л на уровне 10 ~3 от сильного
взаимодействия. Так как СРТ и Р сохраняются в сильных
взаимодействиях, необходимо, чтобы нарушение С и Г проис-
ходило на уровне 10~3. Прямые эксперименты по проверке
сохранения С и Г едва дбстигли этого уровня, так что до
сих пор нельзя полностью исключить «миллисильное» вза-
имодействие как источник СР-нарушения, хотя эту возможность
и следует рассматривать как весьма маловероятную.
16* 243
Поиск эффектов нейтральных токов в атомах накладывает
жесткие ограничения на нарушение С и Р в электромагнитных
взаимодействиях. Далее, нарушение СР (а следовательно, и Т)
на уровне, требуемом для объяснения результатов по рас-
паду каона, приводило бы к э. д. м. нейтрона порядка
10" е см, что исключается экспериментом. Нарушение СР
на уровне 10 в первом порядке по слабому взаимодейст-
вию («миллислабое» нарушение) влечет за собой нарушение
Т на этом же уровне, что опять исключается эксперимен-
тами по изучению распада поляризованных нейтронов и Л-
распада.
Одной из остающихся возможностей является знаменитое
«сверхслабое» взаимодействие, постулированное Вольфенш-
тейном A964 г.). Это новый нарушающий СР-процесс
с AS = 2, преобразующий KL в Ks. Так как KL и Ks весьма
близки по массе, сверхслабая константа должна быть поряд-
ка 100 от нормальной слабой константы. В этом случае
шансы наблюдать СР-нарушение в любой другой системе
близки к нулю. Все доступные экспериментальные данные
по нарушению СР в распаде К0 согласуются со сверхс-
лаббй моделью. Среди предсказаний этой модели следует
отметить утверждение, что е' = 0 и поэтому |г|+._ | = |Лоо1>
Ф + _ = фоо, а также вывод, что если пренебречь членами
порядка 82 по сравнению с единицей, то из G.95) получаем
соотношение
Д = 2Кел = 2|л|со8ф = 0,322-10, G.99)
согласующееся с G.98). Однако существуют и другие модели
СР-нарушения, с практической точки зрения почти неотличимые
от теории сверхслабого взаимодействия. Как отмечалось
в §7.12, модели, включающие шесть или более кварковых
ароматов и обобщенное кабиббовское смешивание, обязательно
содержат возможный конечный фазовый угол 8, связанный
с нарушением СР-инвариантности [см. G.65)]. Значение СР-
нарушающего параметра в /С°-распаде в рамках модели шести
кварков составляет примерно 8«SxS3 sin 5. Ожидается также
конечное значение отношения е'/б«10, что вполне измеримо
в будущих экспериментах. Важно, однако, подчеркнуть, что
в отличие от сверхслабой теории, где нарушение СР измеримо
лишь в небольшом замкнутом пространстве системы нейтраль-
ных каонов, в теориях со смешиванием большого числа
кварков предсказываются эффекты, в принципе обнаружимые
в других системах, например в распадах мезонов с ^-кварками
или в форме ненулевого значения электрического дипольного
момента нейтрона. К сожалению, предсказываемое значение
э. д. м. необычайно мало (\0~зое см) и, по-видимому, недоступ-
но измерению.
244
Для описания явлений значительно больших масштабов
оказалось необходимым постулировать С^-нарушение и не-
стабильность барионов для того, чтобы учесть избыток
барионов над антибарионами и отношение числа барионов
к числу фотонов во Вселенной (см. § 9.12).
Следует сделать еще одно общее замечание. Вплоть до
открытия несохранения СР не существовало однозначного
способа определить левую и правую системы координат или
отличить в космических масштабах материю от антиматерии.
Так, выстроенные ядра 60Со испускают отрицательно заряжен-
ные электроны с асимметрией вперед — назад и левой поля-
ризацией (по нашему определению, левого). Эта информация
недостаточна для того, чтобы с помощью световых сигналов
объяснить разумному существу в другой части Вселенной,
что мы понимаем под левосторонней системой отсчета,
поскольку при этом надо еще однозначно определить поло-
жительный и отрицательный заряды или, эквивалентно, 60Со
и анти-60Со. Благодаря СР-несохранению становится возмож-
ным однозначное определение. Положительный заряд определя-
ется теперь как заряд лептона, связанного с более вероятной
лептонной модой распада долгоживущего Л^-мезона,
(KL-*n~ e + v)/(KL->n + e~v)> 1. Этот лептон имеет тот же (или
противоположный) заряд, что и атомное ядро вещества
(антивещества) в данном месте.
7.15. СЕМЕЙСТВА ЛЕПТОНОВ, МАССЫ НЕЙТРИНО
И НЕЙТРИННЫЕ ОСЦИЛЛЯЦИИ
До сих пор наше обсуждение лептонов в основном огра-
ничивалось рассмотрением электронного (е~, ve; e + , ve) и мю-
онного (ц~, vM; ц + , v,,) семейств. В 1975 г. эксперименты Перла
с сотрудниками в Станфорде засвидетельствовали существова-
ние нового тяжелого лептона, названного т-лептоном, который,
вероятно, связан с новым семейством (т~, vx; x + , vT). Открытие
т-лептона основывалось на наблюдении в реакции е + е~-
аннигиляции 24 событий типа ец, содержащих только вторич-
ный электрон и вторичный мюон большой энергии и ничего
более, т. е. описываемых схемой
+ve
Масса т-лептона равна 1,78 ГэВ, так что порог реак-
ции G.100), равный 1.56 ГэВ, довольно близок к порогу
245
образования очарованных мезонов 3,74 ГэВ, поэтому отделе-
ние этого и других адронных фоновых эффектов представля-
ет собой пример высшего мастерства в исследовательской
работе. Здесь не место описывать анализ этого и других
подтверждающих экспериментов. На рис. 7.26 показан лишь
один пример анализа, указывающего на то, что спин т ра-
вен 1/2. Импульсный спектр лептонов имеет вид, согласу-
ющийся с V—А -типом связи, как и в лептонных слабых
взаимодействиях; относительные вероятности лептонных
мод распада (распада с образованием электронов и мюо-
нов) согласуются с е/ц-универсальностью и той же (ферми-
евской) константой, что и в распаде мюона; относительные
вероятности полулептонных мод распада находятся в согласии
с теорией. Например, t->nv, можно связать с я->цум,
a x->pvt — с е + е~-*р.
Значение массы т и верхний предел на массу v, приведены
в табл. 7.4.
Таблица 7.4. Массы лептонов
Лен гон
Заряженный
(е, Ц- т)
Нейтральный .
(v,., vM, vT)
Электронное
поколение
(е, V,)
0,511 МэВ
<30эВ
Мюонное
поколение
(Ш vj
105,6 МэВ
<0,5 МэВ
Тау-поколение
(т, v,)
1784 ±4 МэВ
< 70 МэВ
Практически все предыдущее обсуждение лептонов прово-
дилось в предположении, что массы нейтрино тождественно
равны нулю, так что различие между нейтрино и антинейт-
рино— если не считать способ их образования, например,
+
и
п
/
/
/ I
•Г
i i
3,Б 3,8
ГэВ
Рис. 7.26. Анализ рождения т-лепто-
нов в эксперименте коллаборации
DELCO на е*е~-коллайдере SPEAR
в. SLAC (Bacino et al., 1978 г.). Парное
рождение т-лептонов регистрирова-
лось как событие, состоящее из одно-
го электронного трека и другого тре-
ка, обязанного мюону или адрону
с противоположным знаком заряда.
Данные ясно указывают на то, что
спин т равен 1/2 (стрелкой указаны
поры образования очарования)
246
в реакциях п + -ц1*ч^, п ->ц v,, — основывалось на значении
их спиральности: нейтрино левополяризованы (Н= — 1), а ан-
тинейтрино правополяризованы (#= + 1), как в G.18). Такое
описание релятивистски инвариантно, как и для поляризован-
ного света с правой и левой круговой поляризациями. Если бы
масса нейтрино была конечной, то подобное описание было бы
неверным: всегда можно было бы найти такую систему отсчета,
движущуюся быстрее, чем нейтрино, с точки зрения которой
знак спиральности нейтрино был бы обратным.
Гипотеза о том, что все нейтрино не имеют массы
и встречаются в нескольких разновидностях (ароматах), на
самом деле кажется удивительной и в последнее время
подвергается сомнению. Для того чтобы отличить три типа
нейтрино, оказалось необходимым ввести квантовые числа
(Le, Lp, Lx) или внутреннюю степень свободы, так что можно
думать, что подобная внутренняя структура должна прояв-
ляться в разнице масс, как это происходит для заряженных
лептонов. Действительно, в астрофизике существуют указания
на то, что безмассовые нейтрино могут привести к трудностям
в нашем понимании расширяющейся Вселенной. В принципе,
приписывание нейтрино некоторой массы приводит к драма-
тическому изменению гравитационной потенциальной энергии
и могло бы устранить кажущийся дисбаланс между кинетичес-
кой энергией галактик и их гравитационной энергией, которая
на порядок величины меньше. Если, как предлагают аст-
рофизики, масса одного или нескольких нейтрино составляет
величину порядка электрон-вольта, то в ближайшем будущем
это может быть проверено в лабораторных экспериментах,
по крайней мере, косвенно. Мало надежд на то, что сущест-
вующие пределы на массу vM и vt могут быть резко улучшены
путем прямых измерений.
Если лептонное число не является абсолютно сохраня-
ющимся (заметим, что не существует убедительных доводов
в пользу того, что оно обязано сохраняться) и нейтрино
имеют конечные массы, то между разными типами нейтрино
(ve, v,,, vT) может возникать смешивание. Такая возможность
была впервые отмечена много лет назад (Maki et al., 1962 г.,
Pontecorvo, 1968 г.). Собственные состояния гамильтониана
слабых взаимодействий ve, v,,, vT выражаются через комбинации
собственных состояний с данной массой vt, v2, v3, которые
благодаря разнице в массах распространяются с немного
различающимися частотами. В результате, если вначале име-
ется, например, чистый уе-пучок, то затем возникнут осцил-
ляции, и в последующие моменты времени пучок будет
представлять собой смесь ve, v,, и vt. Чтобы упростить
рассмотрение, ограничимся случаем двух типов нейтрино,
скажем, ve и v,,. Они будут линейными комбинациями двух
247
состояний с данной массой vt и v2, которые задаются
унитарным преобразованием, включающим произвольный угол
смешивания в:
C0Sflesin!!Y4 (
-sin0cos6y\V2/
так что волновые функции
v,, = vi cos6+v2 sin6, ve= —vi sin6 + V2cos6
являются ортонормированными. Состояния уц и ve образуются
в процессе слабого распада, например л->(Л-уц. Однако
распространение в пространстве-времени определяется харак-
терными частотами собственных состояний с данной массой:
G.102)
(считаем h = c=\). Поскольку импульс сохраняется, можно
утверждать, что состояния vi(/) и v2(f) должны иметь
одинаковый импульс р. Тогда, если массы т\<^Е{ (/=1,2),
Ь=р + т?/2р. G.103)
Допустим, что при t = 0 имеются нейтрино мюонного типа,
так что уц@)=1 и ve@) = 0. Тогда из G.101) находим, что
v2@) = v,,@)sine, У1@) = уц@)со8б G.104)
и
vM (/)=cos 6vi (t) + sin 6v2 (t).
Пользуясь G.102) и G.104), получаем затем, что
и интенсивность равна
M')/7m(<>) = K(')/
+ sin4 6 + sin2 6 cos2 6 [exp [i(E2-E1)t]
Введя Ьипг = т\—т\ и пользуясь соотношением G.103), получа-
ем следующее выражение для вероятности нахождения v,, или
ve через время V.
l-P(vM^vM). G.105)
248
Константа в формуле G.105) равна 1,27, если Am2 измерено
в (эВ/с2J, расстояние от источника L — в метрах, а энергия
пучка Е в мегаэлектрон-вольтах. Выражение G.105) показывает,
что интенсивности v,, и ve осциллируют как функции расстояния
от источника. Например, если источником (антинейтрино)
является реактор, то Е&1 МэВ и для Ат&\ эВ/с2 длина
осцилляции составит несколько метров.
Вопрос о нейтринных осцилляциях вызвал значительный
интерес в связи с так называемой проблемой солнечных
нейтрино: обнаружилось, что количество зарегистрированных
солнечных нейтрино в реакции ve + 37Cl-»37Ar+e- примерно
в 3 раза меньше, чем ожидалось (Davis et.al., 1968 г.). Однако
расчеты модели Солнца содержат неопределенности, так что
расхождение вряд ли является свидетельством нейтринных
осцилляции (хотя смешивание ve с у„ и vT может без труда
объяснить как раз такой множитель). К тому же в 1984 г.
в лабораторных экспериментах с использованием в качестве
источников нейтрино реакторов или ускорителей не было
получено подтверждающих свидетельств нейтринных осцил-
ляции.
На рис. 7.27 показаны современные ограничения на Am2
и sin2 26 из реакторных и ускорительных экспериментов.
В опытах с реактором измеряют зависимость числа событий
типа ve+p->n + e+ от расстояния от центра реактора и энергии
позитронов. Эта величина чувствительна к уменьшению потока
ve, т. е. к переходам ve-»vx, где X—другой тип лептона.
Так как энергия этих нейтрино мала (около 1 МэВ), они не
могут породить в последующих взаимодействиях соответст-
вующий заряженный лептон. Эксперименты с ускорительными
нейтрино проводятся при больших энергиях A — 50 ГэВ), и пуч-
ки состоят на 99,5% из vM; поэтому ведется поиск появления
аномально большого числа взаимодействий типа
ve + N^>e~+ ..., vt + N-»t"+..., возникающих в результате ос-
цилляции v,,^ve, vT.
ЗАДАЧИ
7.1. Основные состояния ядер \*С\ и ?JS имеют Jr=0* и принадлежат
к мультиплету с /=1. Среднее время жизни относительно распада
i7Cl->?6S + P + + v составляет т = 2,3 с, а максимальная энергия позитронов
равна 4,5 МэВ. Время жизни пиона равно 26 не. Оцените относительную
вероятность распада n + -*n°e + v.
7.2. В результате бомбардировки мишени из Be протонами с энергией
400 ГэВ и образования вторичного коллимированиого пучка с малым раз-
бросом по импульсам вокруг значения 200 ГэВ/с образуется «узкий» пучок
нейтрино (см. рис. 7.12). Вторичный пучок содержит пионы и каоны одного
249
Лтг,эЪг F
10
Ю'
Рис. 7.27. Пределы на осцилляции нейтрино. Приведена зависимость квадрата
разности масс собственных состояний с данной массой от sin229, где 9—угол
смешивания. Результаты для ve получены на реакторе; остальные результаты —
из экспериментов на ускорителях. Области справа от кривых исключаются на
90%-ном уровне достоверности (Boehm, 1984 г.)
знака заряда и влетает в вакуумный распадный туннель длиной 300 м, где
часть пионов и каонов распадается на мюоны и нейтрино. За туннелем
помещается поглотитель из стали длиной 200 м и бетона длиной 150 м.
Цилиндрический детектор радиусом 2 м помещен на оси пучка на расстоя-
нии 400 м от конца распадного туннеля, а) Для нейтрино от распадов
пионов и каонов найдите соотношение между лабораторной энергией
нейтрино и углом вылета нейтрино по отношению к оси пучка, б) Чему
равны минимальная и максимальная энергия нейтрино в обоих случаях?
в) Какова та предельная энергия нейтрино, выше которой все нейтрино от
распада каонов проходят через детектор? г) Если за один импульс
ускорителя в распадный туннель влетают 1010 пионов, то сколько нейтри-
но от распада пионов пройдут через детектор? (Расходимостью пионно-
го пучка можно пренебречь.) д) Пусть детектор имеет массу 100 т. Сколь-
ко нейтрино от распада пионов испытывают взаимодействия в детекторе за
250
один импульс, если сечение на один нуклон при энергии Е равно
0,6?х 10~38 см2, где Е—измеряется в гигаэлектрон-вольтах? е) Зачем нужен
поглотитель длиной 350 м? (Указание: см. задачу 2.1 для оценки разброса
по пробегу.)
7.3. Среднее время жизни нейтрона т„ = 930с, а мюона тй=2,2 • 10 с.
Покажите, что если принять во внимание факторы, связанные с фазовым
объемом, то константы взаимодействия в обоих случаях имеют одинаковый
порядок величины.
7.4. Получите оценку отношения вероятности распадов (I~->Ae~v)
и A~->ия~), предполагая, что матричный элемент электронного распада
такой же, как и для нейтрона, а отдачей бариона можно пренебречь. (Данные
по распаду нейтрона и S см. в табл. IV приложений.)
7.5. Меняющие странность распады не сохраняют изоспин, но, по-
видимому, подчиняются правилу А/=1/2. Используйте это правило, чтобы
вычислить отношение вероятностей распадов:
а) *s->k + k~/*s-k°k0,
б) Н-->ЛтГ/Н°->Ля0.
Сравните полученные значения с экспериментальными данными из табл. IV
приложений. (Указание: чтобы применить правило А/=1/2, можно постулиро-
вать, что в левую часть процесса слабого распада добавляется гипотетическая
частица с /=1/2, называемая «шпурионом», и затем рассматривать распад
как реакцию с сохранением изоспина.)
7.6. Каково ожидаемое значение отношения вероятности распадов
KL-+2n°/KL-+n + к~, если пионы находятся: а) в состоянии с /=0 (правило
Д/=1/2); б) в состоянии с /=2.(Д/=3/2 или 5/2)?
7.7. Пользуясь правилом Д/=1/2, найдите соотношение между амп-
литудами а+, а- и а0 распадов ? + ->ия + , ?~->ия~ и ? + ->/ш° соответственно.
Потребуется ввести амплитуды с /=3/2 и /=1/2. Должно получиться
соотношение треугольника
Экспериментально \а+ |яг|ао|~1а-1. так что получается прямоугольный тре-
угольник.
7.8. Учитывая, что ширина я/?-резонанса А A234) равна 150 МэВ, оцените
относительную вероятность р-распада
7.9. Как экспериментально можно получить пучок чистых моноэнер-
гетических Х°-мезонов? Пусть короткий импульс таких частиц распространяется
в вакууме. Рассчитайте зависимость интенсивности К0 и К0 от собственного
времени, предполагая, что разность масс А/и равна: а) 0,5/т.,; бJ/т,.
Изобразите результат на графике.
7.10. В золотоносной шахте в Южной Дакоте был проведен эксперимент
по детектированию солнечных нейтрино с использованием реакции
v+37Ci-+37Ar+e~.
251
Детектор содержал примерно 4-105л тетрахлорэтилена (С2С14). Оцените,
сколько атомов 37Аг будет образовываться за один день, если сделать
следующие предположения: а) солнечная постоянная равна 8,4 Дж-см~2 -мин;
б) 10% термоядерной энергии Солнца выделяется в форме нейтрино со средней
энергией 1 МэВ; в) 1% всех нейтрино достаточно энергичны, чтобы вызвать
указанную реакцию; г) сечение поглощения «активных» нейтрино на ядре 37С1
составляет 10~45 см~2; д) изотопическая распространенность 37С1 составляет
25%; е) плотность СгСЦ составляет 1,5 гсм. Ожидаете ли вы какой-то
разницы между числом событий днем и ночью? Описание эксперимента см.
в работе R. Davis, D. S. Harmer, К. С. Hoffman, Phys. Rev. Lett. 20 1968, 1205.
7.11. Нейтрино достаточно большой энергии могут образовывать пионы
в следующих реакциях на протонах и нейтронах:
A)
--
Предположим, что процесс определяется образованием первого пион-нуклон-
ного резонанса Д A234), так что система Tt-нуклон имеет изоспин /=3/2.
Таким образом, как и в процессах слабого распада с Д5=0, изоспин
адронного состояния меняется на единицу (правило Д/=1). Покажите, что
это правило предсказывает, что вероятность процесса A) в три раза больше,
чем B). Покажите также, что в противоположность этому для переходов
с Д/=2 (свидетельства таких переходов в настоящее время отсутствуют)
вероятность B) в 3 раза больше вероятности процесса A).
7.12. Пользуясь правилом Д/= 1/2, докажите следующие соотношения
между вероятностями трехпионных распадов заряженных и нейтральных
каонов:
Комментарий. Эти результаты зависят от (разумного) предположения, что
три пиона находятся в относительном 5-состоянии. Тогда любая пара пионов
должна находиться в симметричном по изотопу состоянии, т. е. /=0 и(или) 2.
Следовательно, третий пион (/=1) должен быть скомбинирован с парой, с тем
чтобы образовать трехпионное состояние с /=1, /з = 1 для К+ или /=1, /з = 0
для К0 (как это следует из правила Д/=1/2). Необходимо записать трехпион-
ную волновую функцию таким образом, чтобы она была, как это требуется для
тождественных бозонов, полностью симметричной по отношению к перестанов-
ке индексов пионов. Так, состояние 7t + 7t + 7t~ должно быть записано в виде
252
Каждое слагаемое в этом выражении будет произведением изоспинового
состояния с /=0 или 2 для первых двух пионов и состояния с /=1 для
третьего пиона с соответствующими коэффициентами Клебша—Гор дана.
7.13. Покажите, почему наблюдение процесса vM+e~->e~ + vM является
уникальным свидетельством существования нейтральных токов, а для процесса
Vp+e'-+e~ +ve это не так. Докажите, что максимальный угол вылета
электрона отдачи по отношению к направлению пучка равен ^/2т/Е, где
т, Е—масса и энергия электрона.
7.14. Среднее время жизни мюона равно 2,197 мкс. Рассчитайте время
жизни х-лептона, считая, что относительная вероятность распада T + ->e + vev,
составляет 18% и что т,= 1784МэВ, тй = 105,7 МэВ. Сделайте любые
предположения, которые потребуются для расчета, и сравните результат
с измеренным временем жизни тт = B,86±0,16)-10~13 с.
ГЛАВА 8
КВАРК-КВАРКОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.
ПАРТОННАЯ МОДЕЛЬ И КВАНТОВАЯ
ХРОМОДИНАМИКА (КХД)
Динамическое, в противоположность статическому, понима-
ние кварковой субструктуры восходит к 1968 г., когда стали
появляться новые данные о кварках, связанные с эксперимента-
ми по глубоконеупругому лептон-нуклонному рассеянию. Эти
эксперименты показали, прежде всего, что сложный процесс
рождения большого числа адронов при соударении лептонов
с нуклонами можно простым образом интерпретировать как
(квази) упругое рассеяние лептона точечной или почти точечной
составляющей нуклона или партоном, который позднее был
отождествлен с кварком; кроме того, анализ точных и подроб-
ных данных в опытах по рассеянию может дать ценную
информацию о кварк-кварковом взаимодействии. Эти соображе-
ния получили сильное подтверждение в результатах, полученных
при изучении е + е ~ -аннигиляции в адроны при высоких энергиях
и образования лептонных пар в адрон-адронных соударениях.
8.1. СВИДЕТЕЛЬСТВА СУЩЕСТВОВАНИЯ ПАРТОНОВ.
СЕЧЕНИЯ НЕЙТРИНО-НУКЛОННОГО РАССЕЯНИЯ
И е + е -АННИГИЛЯЦИИ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ
Одно из наиболее впечатляющих доказательств составной
природы адронов — это поведение полного сечения нейтрино-
253
Рис. 8.1. Зависимость полных сечений рассеяния нейтрино и антинейтрино на
нуклонах от энергии (полученных из экспериментов в ЦЕРН, в Фермиевской
лаборатории и в Серпухове). Отношение сечений на нуклон к начальной энергии
практически постоянно на интервале в два порядка величины и непосредственно
демонстрирует точечноподобный характер составляющих (партонов) внутри
нуклона. Слабая зависимость отношения а/? от энергии предсказывается
в полевой теории взаимодействия кварков (КХД)
нуклонного рассеяния как функции энергии. Если измерить
зависимость полного сечения а реакции от энергии
+адроны,
(8.1)
результат окажется очень простым: сечение а почти линейно
растет с ростом энергии нейтрино (рис. 8.1).
Именно такой результат следует ожидать, если заменить
сложный процесс рождения адронов упругим^ рассеянием ней-
трино на отдельной точечной частице, сечение которого может
зависеть только от константы Ферми G и фазового объема.
Действительно, если энергия нейтрино Е велика по сравнению
с любой из масс участвующих в процессе частиц, следует
ожидать, что как и в G.14)
/т~G2п2^/;2 р2 /о 1\
О ^ KJ I) <-ч5 \J Hj , \O.z.\
где р—импульс двух частиц в СЦИ, а простой расчет пока-
зывает, что р2 = тЕ/2, где т — масса точечной мишени. Та-
ким образом, линейная зависимость о от ? просто указывает,
что две частицы испытывают контактное взаимодействие
с сечением, растущим пропорционально • фазовому объему. В
этом обсуждении мы пренебрегли тем влиянием, которое
оказывает на сечение учет пропагатора W±(l+q2/M2v)~l, так
как в указанном интервале энергий вклад этого эффекта
пренебрежимо мал.
254
На рис. 8.2 показаны результаты проведенных на е + е -
коллайдерах большой энергии измерений отношения сечений
R = а (е + е~ ->адроны) /а (е + е~ ->ц + ц~) (8.3)
как функции энергии Е в СЦИ. При ?>10ГэВ значение
R за вычетом влияния р-, ю-, ф-, \|/- и Т-резонансов практически
постоянно, что подтверждает точечный характер процесса
е + е~-> адроны, происходящего аналогично процессу
е + е~ -*\i + \i~.
Прежде чем детально обсуждать эти результаты и пытать-
ся установить природу точечных или партонных составляю-
щих адронов, ответственных за них, рассмотрим глубоконе-
упругое электрон-нуклонное рассеяние, при изучении кото-
рого были получены первые свидетельства существования
партонов.
8.2. ГЛУБОКОНЕУПРУГОЕ ЭЛЕКТРОН-НУКЛОННОЕ
РАССЕЯНИЕ
Как видно из F.27), при больших переданных импуль-
сах упругий формфактор очень мал и неупругое рассеяние
начального электрона намного вероятнее упругого рассея-
ния. В общем случае процесса неупругого рассеяния имеется
лишняя кинематическая переменная, так как пространственная
и временная компоненты (q, iv) переданного импульса q уже
не связаны более соотношением q2 = 2Mv, как в F.176).
Обозначая импульс, энергию и инвариантную массу конечного
адронного состояния соответственно р*, Е* и W, получим
(рис. 8.3)
()() v = E*-M, W2
так что
q2 = 2Mv-W2 + M2. (8.4)
Значение W—M соответствует упругому рассеянию, при этом,
как и раньше, q2 = 2Mv. По аналогии с F.24) запишем
дифференциальное сечение в переменных q2, v, при этом
)^ (8.5)
255
л *_,
Рис. 8.2. Отношение R сечения е+е~-> адроны к сечению процесса е+е ->ц+ц • Тот факт, что при энергиях в СЦИ
выше 10 ГэВ значение R постоянно, является доказательством точечноподобной структуры адронных составляющих. Если
предположить, что первичным процессом является образование кварк-антикварковых пар, то предсказываемое значение
R равно 11/3 в случае, когда возбуждаются пары м-, d-, s-, с-, Ь-кварков, имеющих три цветовые степени свободы каждый.
Данные получены из многих экспериментов на ускорителях с накопительными кольцами. При высоких энергиях (более
10 ГэВ в СЦИ) они получены на кольце PETRA в ДЭЗИ, Гамбург
Рис. 8.3. Диаграмма процесса глубоконс- ?'=?-v
упругого e/V-рассеяния
где Е, Е'— начальная и конечная энергии электрона (Е,
Е'»тс2), Функции W\, W2 являются произвольными струк-
турными функциями, соответствующими двум возможным
поляризационным состояниям — поперечному и продольному —
промежуточного фотона. Так же как и в случае упругого
рассеяния, справедливость этой формулы была установлена
исходя из линейности графика Розенблюта. Построив этот
график, можно определить отношение Wx / W2 вкладов маг-
нитного и электрического рассеяния.
Область изменения переменных q2, 2Mv показана на
рис. 8.4, а (заштрихованная площадь соответствует физической
области, доступной неупругому рассеянию), там же определена
величина
x = q2/2Mv@<x<l). (8.6)
Показаны линии постоянного значения W, проведенные под
углом 45° к осям; линии постоянного значения х расходятся
из начала координат с наклоном, равным х. Область q2<2Mv,
х<\ отвечает области неупругого рассеяния, а линия х—\
определяет кинематику упругого рассеяния.
Полезно сравнить зависимость d2ajdqzdv от переданной
энергии v = E—E' в разных областях по q2 для рассеяния
электронов на ядре и на нуклоне. На рис. 8.4,6 показаны
типичные результаты для рассеяния электронов большой
энергии на ядре. При малых q2 наблюдается сильный пик
упругого рассеяния при значении
E' = E-v = E-q2/2Msapo. (8.7)
При больших значениях v (меньшие ?") наблюдается широкий
пик с максимумом в области
у*<72/2Мну„Л0Н, (8.8)
соответствующий квазиупругому рассеянию на отдельных нук-
лонах. Если бы нуклоны были свободны, то мы видели бы
острый пик при v = q2/2M. Однако нуклоны мишени связаны
в потенциальной яме радиусом R, и поэтому их фермиевский
импульс
pF~hjR = 2Q0 МэВ/с.
17 Заказ 416 257
'упругое)
х-0,5 1
<и
/=0,2
-
J
^11
ji
l|
I!
11
II
II
11
11
Л
250
300
350
Рис. 8.4. Кинематические соотношения в процессе неупругого лептон-нуклон-
ного рассеяния. Квадрат переданного 4-импульса ц2 показан в зависимости от
2Mv. где М — масса нуклона и v- передаваемая энергия, измеренная в системе
покоя мишени. Инвариантная масса конечного состояния адронов равна
W1 = M2 + 2M\—q2. а переменная x=q2j2Mv. Упругое рассеяние соответствует
области .v=l, W=M. Линии фиксированного значения W наклонены под углом
45 ; линии фиксированного х выходят из начала координат с наклоном, равным
х(а). Рассеяние электронов с энергией 400 МэВ в гелии на угол 45 ; виден узкий
пик упругого рассеяния на гелии и сглаженный пик, обязанный упругому
рассеянию на отдельных нуклонах (б) (Hofstadter, 1956 г.);
/ — положение пика с />-рассеяния; 2 — пик упругого рассеяния е— Не; 3- пик упругого
е — р-рассеяния, размытый фермиевским движением
Энергия связи нуклонов в ядре (порядка 10 МэВ) пренебрежимо
мала по сравнению с v и вряд ли может оказывать влияние
на упругую кинематику; но фермиевский импульс сглаживает
упругий пик с симметричным размытием порядка
Av/v=±pF/M=\0%. (8.9)
(Доказательство мы оставляем в качестве упражнения.) Рас-
суждая иначе, можно сказать, что упругое кинематическое
соотношение q2 = 2Mv. определяет передачу энергии v в системе
покоя рассеиваемого нуклона. В лабораторной системе, где
связанный нуклон движется, измеряемая передача энергии
будет больше или меньше в зависимости от направления
скорости нуклона.
Суммируя, можно сказать, что в электрон-ядерном, рассе-
янии с ростом цг от малых значений когерентное ядерное
рассеяние вымирает и постепенно все более существенным
становится некогерентное упругое рассеяние на отдельных
нуклонах. Рост q эквивалентен уменьшению длины волны
или увеличению разрешения нашего «пробника», так что при
достаточно больших q2 мы начинаем «видеть» не ядро как
целое, а его составные части.
258
1500 -
1000 -
ю
X
soo-
2,8
3,0
3,2 3,4 3,6 3,8
4,0 4,2 4,4 ?',ГэВ
1,0
Рис. 8.5. Кривая возбуждения р неупругом ер-рассеянии, полученная на элект-
ронном ускорителе в ДЭЗИ (Bartel et al., 1968 г.). Энергии начального
и конечного электронов равны Е и ?"; W—масса конечного адронного
состояния. Ясно видны пики, связанные с пион-нуклонными резонансами
с массами 1,24, 1,51 и 1,69 ГэВ. Сплошной кривой показан упругий пик,
уменьшенный в 15 раз
Обращаясь теперь к электрон-протонному рассеянию, мы
видим, что наблюдается та же картина, тсак и в случае
ядра (только при много больших значениях q2). При
q2<\ ГэВ2 с ростом v наблюдается сначала упругий пик при
v — q2j2M или x = q2/2Mv=l, за которым последовательно
идут пики, обязанные широким нуклонным резонансам А A232),
#A450), АA688), ..., при x=q2/{q2+W2-M2). В терминах
параметра х с ростом q2 эти пики двигаются к значению
х = 1 и подавляются формфакторами, но возбуждение контину-
ума при меньших значениях х остается большим. По аналогии
с нуклонным случаем можно ожидать, что это связано
с квазиупругим рассеянием на составляющих нуклона, которые
являются более точечными, чем сам нуклон, и поэтому их
вклад не подавляется при больших q2 (рис. 8.5 и 8.6).
Если пытаться идентифицировать эти составляющие нуклона
с точечноподобными кварками, три из которых {и, и, d) входят
в состав протона, то следует ожидать, что каждый кварк
обладает эффективной массой т = М/3, и поэтому
x = q2/2Mv = (q2/2mv)(m/M)=l/3, т.е. должен наблюдаться
острый упругий пик. На самом деле ничего подобного не
наблюдается. Опять же, это связано с тем, что кварки
17*
259
F,(X)
Рис. 8.6. Схематическая диаграмма
зависимости сечения, мерой которою
является структурная функция
/2) от .v = «2,2A/v для разных
б
Ь\(х, (/2). от .v «
с/ . При малых (/ и больших х воз-
никает упругий пик и пики, связанные
с резонансами. как на рис. S.5; при
меньших х возникает возбуждение
континуума (упругое рассеяние леп-
тонов на кварках). При больших (/2
упругие и резонансные пики подавля-
ются эффектами формфакторов и все
распределение сдвигается в область
меньших х:
1 — кварк-антикварковые пары; 2 -ник. со-
ответствующий вален шым кваркам (раз-
мытый фермиевским движением): .? ниои-
нуклонные резонансы; 4- упругий пик
заключены внутри объема с размерами порядка нуклонного
радиуса R, так что их фермиевский импульс hjR
«250 МэВ/с. Теперь размытие упругого пика Ax!x
т. е. сам пик по существу невидим.
8.3. МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ПАРТОНЫ
Перейдем к количественному обсуждению идеи о том, что
неупругое лептон-нуклонное рассеяние можно интерпретировать
как упругое рассеяние лептона на точечных составляющих
нуклона — партонах и каким образом эти партоны могут быть
идентифицированы с кварками (если таковые существуют).
Прежде всего перепишем (8.5), введя связанные со старыми,
новые функции и переменные:
F2{q2, v) = vW2(q2, v)/M,
F,{q\ v)=W,(?2, v), y = v/E,
E'/E=l-y, q2 = 2MExy.
0,4
0,3
0,2
П 1
- ?|*
I
+ -6"
Х- 10°
*****
П- 18°
Д- 26°
Я
I
I
к = 0,25
I
% ГэВ/cZ
Рис. 8.7. Зависимость \W2 (или F2) от q2 при .v = 0,25. При таком выборе
х практически нет зависимости от цг, т. е. имеется точный «скейлинг»
(Friedman, Kendall, 1972 г.)
260
Тогда получим
d2a And2 E'
dq2dv qA ?v_
(8.10)
ft
или, учитывая, что cos2 -=1 — q1 j{AEE')^\ и dv/v = dx/x,
^^[(.^j]. (8.П)
dq dx q [_ x 2 x J
Если рассеяние лептонов на партонах носит точечный
характер, то Fy и F2 не могут зависеть от q2 и являются
функциями только переменной х. Это предположение известно
как гипотеза Бьеркена о масштабной инвариантности (скейлин-
ге) (Bjorken. 1967 г.). Попросту говоря, эта гипотеза утвержда-
ет, что если в пределе #2->оо, v->oo функция F(q2, v) остается
конечной, то она может зависеть только от безразмерного
и конечного отношения двух этих величин, т. е. от x=q2/2Mv.
Поскольку х—безразмерная величина, не существует масштаба
массы или длины; отсюда и возник термин «масштабная
инвариантность». На рис. 8.7 приведены значения F2(x, q2) при
.v = 0,25. полученные из экспериментов по электронному рассея-
нию в СЛАК, которые показывают отсутствие существенной
зависимости от q2. Даже при больших или меньших х зависи-
мость от q1 слабая (см. рис. 8.28). Например, при х=0,5
функция F2 падает на 50% с ростом q2 от 1 до 25 ГэВ2; это
следует сопоставить с поведением квадрата упругого формфак-
тора (рис. 6.6), который в том же интервале по q падает
в 10б раз. Масштабная инвариантность, предложенная Бьерке-
ном в пределе #2->оо, оказывается на самом деле приближенно
справедливой в области q2 порядка нескольких А/2.
Физическая интерпретация масштабной инвариантности да-
ется в рамках партонной модели (Feynman, 1969 г.). Представим
себе систему отсчета, в которой протон мишени имеет очень
большой 3-импульс,— так называемую систему бесконечного
импульса (рис. 8.8). Массой протона можно пренебречь, так
что его 4-импульс Р=(р, 0, 0, \р) можно представить наглядно
как составленный из импульсов параллельного потока пар-
тонов, причем импульс каждого равен хР@<х<1). Опять же,
если Р велик, то массами и поперечными компонентами
импульса партонов можно пренебречь. Предположим теперь,
что один партон массой т упруго рассеивается, поглощая
передаваемый 4-импульс q от рассеянного лептона. Тогда
x2P2 + q2+2x(P-q)x0. (8.12)
261
m
Рис. 8.8. Партонная модель глубоконеупругого со-
ударения
Если \х2Р2\ = х2М2<^.q2, то
x=-q2/2(Pq) = q2/2Mv, (8.13)
причем инвариантное скалярное произведение Pq было рас-
крыто в ЛС, где передаваемая энергия равна v, а нуклон
покоится. Таким образом, х в (8.13) представляет собой долю
три-импульса партона в системе бесконечного импульса. Все
это выглядит так, как будто у нас имеется гипотетический
партон массой т, неподвижный в ЛС, для которого выполнено
упругое соотношение q2 = 2mv, так что, считая всегда выпол-
ненным неравенство #2»М2, получаем
(8.14)
Следовательно, величина х представляет собой также долю
массы нуклона, уносимую таким гипотетическим свободным
партоном, первоначально покоившемся в ЛС. Поэтому в опре-
деленном смысле сечение или эквивалентная величина F\x)
в (8.11) дает меру распределения партонных составляющих
по эффективной массе.
Естественно, что в конечном состоянии наблюдаются не
протоны, а адроны. Рассеянные и нерассеянные партоны
каким-то образом должны рекомбинировать с образованием
адронов, и в настоящее время никто не знает механизма
этого взаимодействия партонов в конечном состоянии. Ос-
новное предположение заключается в том, что процесс соударе-
ния состоит из двух независимых стадий. На первой стадии
рассеивается один партон, причем время соударения таково,
чтобы обеспечить передачу энергии, т.е. tl^h/v. Через зна-
чительно больший промежуток времени партоны рекомбиниру-
ют, образуя конечное адронное состояние массой W. Ясно,
что собственное время жизни этого состояния должно быть
t2>hjW, или, после преобразования в ЛС, 't2>yh/ W=vhj W2,
262
так что, учитывая, что W2^2Mv, окончательно получаем
?2~Л/Л^»?1 для v»M. Итак, рекомбинация происходит через
большой промежуток времени, и ее можно рассматривать
отдельно от первоначального соударения. Кроме того, пред-
полагается, что сечение будет прежде всего и главным образом
зависеть от динамики начальной стадии и лишь слабо или
совсем не зависеть от сложностей взаимодействия в конечном
состоянии. Оказывается, что такая гипотеза правильна, за
исключением низкоэнергетической области (v^M), в которой
существенны резонансные эффекты. Но даже в этом случае
после интегрирования по всем значениям W при фиксированной
энергии Е, как в полных сечениях рассеяния нейтрино на
рис. 8.2, общий эффект нескольких резонансов усредняется,
приводя к линейному росту сечения, т. е. к чисто партонному
поведению даже в низкоэнергетической области.
8.4. НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРИНО
НА НУКЛОНАХ
Выражение для сечения неупругого нейтрино-нуклонного
рассеяния получается заменой в (8.11) множителя 4лос2/</4,
связанного с электромагнитным взаимодействием, на множи-
тель G2/2n, где G — константа Ферми, и включением третьей
структурной функции F3(x). При дальнейшем рассмотрении
будем пренебрегать эффектами, связанными с переходами
с изменением странности и очарования, которые подавлены
по сравнению с реакциями с AS = AC=0 кабиббовским множи-
телем tg29c. Промежуточный бозон W- может находиться
в трех независимых спиральных состояниях (—1. +1,0), так
как в слабых взаимодействиях четность не сохраняется, что
вынуждает состояния со спиральностью +1 и — 1 возникать
с равной вероятностью в виде когерентной суперпозиции, как
и в электромагнитном случае. Следовательно, для описания
vp-рассеяния необходимы три структурные функции и еще по
три для реакций vp-, vn-, vtt-рассеяния. Поскольку было
сделано много экспериментов на ядерных мишенях, содержащих
примерно равное Число протонов и нейтронов, мы-.рассмотрим
здесь нейтрино-нуклонные (усредненные по протонам и ней-
тронам) и антинейтрино-нуклонные структурные функции. Они
равны друг другу с учетом принципа зарядовой симметрии:
Fy=Fyp')
W=l 2 3
1 i L i 1
так что
263
за исключением того, что V—Л-интерференционный член для
антинейтрино меняет знак: FV3N=—FV3N. В случае точного
скейлинга получаем
} У) х
dxdq2 2п
или, заменяя dq2 = 2MExdy,
dxdy я |_
{)(y^\f\ (8.17)
После интегрирования (8.17) no jc и у в пределах от 0 до
1 получаются полные сечения ovN, ovN, которые, как отмечалось
выше, пропорциональны Е.
8.5. РАССЕЯНИЕ ЛЕПТОНОВ НА КВАРКАХ
Физическую природу партонов можно установить, связав
данные по электромагнитным и слабым структурным функциям
нуклонов (Ff, Ff и соответственно Ff, Ff, Ff) с кван-
товыми числами партонов.
8.5.1. Спин партонов. Прежде всего сравним (8.5) с дираковс-
ким сечением рассеяния на точечных частицах со спином 1/2,
зарядом ze и массой т. Из F.15) и F.24) имеем
da\
e 2 2 . 2e
<74 V ?/ V 2 2
А А
Сравнивая коэффициенты при cos2- и sin2-, а также заменяя
т2 = М2х2, как в (8.14), приходим к соотношению
2xF1(x)/F2(x)=\. (8.18)
Это соотношение между F^ и F2 (структурными функциями
магнитного и электрического рассеяния), которое следует
264
Рис. 8.9. Отношение 2xFJF2, измеренное в экспериментах по рассеянию
электронов на нуклонах в SLAC. Ожидается, что в пределе больших q2
для партонов со спином 1/2 и g = 2 это отношение равно единице (соотношение
Каллана — Гросса); данные скомпилированы из опубликованных данных SLAC
ожидать в области' скейлинга (большие q2), если рассеяние
интерпретировать как обязанное точечным составляющим со
спином 1/2 и нормальным (дираковским) магнитным моментом
(li = zeh/2mc). Соотношение (8.18) называется соотношением
Каллана—Гросса (Callan, Gross, 1968 г.). На рис. 8.9 показаны
наблюдаемые значения отношения 2xFx/F2, измеренные в опы-
тах по рассеянию электронов в СЛАК для небольших значений
q2. Они указывают на то, что спин партонов равен 1/2.
Партоны с нулевым спином BxF1/F2 = 0) решительно исключа-
ются.
8.5.2. Заряды партонов. Сравним теперь сечения глубоконе-
упругого рассеяния нейтрино и антинейтрино на нуклонных
мишенях (8.17) с теми сечениями, которые следует ожидать
для упругого рассеяния на точечных мишенях со спином 1/2.
В рамках V—А -теории слабых взаимодействий упругое рас-
сеяние нейтрино на электронах в реакциях, обусловленных
так называемыми заряженными токами (происходящими за
счет обмена виртуальными W± -бозонами), описывается сле-
дующими формулами (см. приложение Е):
dave/dy = da"e/dy = 2G2mE/n, (8.19)
-уJ,
(8.20)
где у—доля энергии, уносимая электроном отдачи, считается,
что Е»т, где т — масса электрона. Сечение (8.19) отвечает
изотропному рассеянию в СЦИ частицы на частице или
античастицы на античастице, причем суммарная проекция
спина вдоль оси соударения равна 7z = 0 (рис. 8.10, я). Однако,
как показано на рис. 8.10,6, в сечении (8.20) Jz= + 1 и с учетом
265
Ось z
. = 0 JZ = ±1
a) ^ 6)
Рис. 8.Ю. Рассеяние нейтрино и антинейтрино на электроне
закона сохранения момента рассеяния на 180 оказывается
невозможным для точечного (^-волнового) взаимодействия.
Таким образом, как сечение рассеяния нейтрино на позитроне,
так и сечение рассеяния антинейтрино на электроне содержат
член (I — у1), приводящий после интегрирования по у к множите-
лю 1/3. Иными словами, реакции (8.20) происходят через
состояние с /= 1, но закон сохранения момента разрешает только
одно из трех BJ+ 1)-состояний с разными проекциями, так что
сечение уменьшается по сравнению с сечением реакций (8.19).
Если заменить электроны партонами со спином 1/2, а позит-
роны— антипартонами, то будут справедливы те же формулы,
так что для рассеяния нейтрино на комбинации партонов
Q и антипартонов Q с массой т = хМ получаем
что следует теперь сравнить с (8.17), в котором подставлено
соотношение 2.х/г1 = F2:
d2avN G2ME
+ [F2(x)-xF3(x)-]{\-yJ}. (8.22)
Следовательно,
F\N(л-) = 2х [Q(x) + Q(x)l xFf. (x) =
= 2x[Q(x)-Q(x)l (8.23)
Таким образом, структурные функции f2N u'Ff1, описы-
вающие рассеяние нейтрино на нуклонах, пропорциональны
сумме и разности плотностей партонов и антипартонов в точке
х, умноженным на долю массы х, т. е. на долю массы
нуклона (или, точнее, долю 3-импульса), уносимую партонами
(антипартонами).
Если отождествить партоны с кварками и и d, то элемен-
тарные реакции с заряженными токами для мюонных нейтрино
можно представить в следующем виде:
266
уцй?-+ц м, (8.24а)
Vpu-ni~d, (8.246)
уцм->ц+</, (8.24в)
уц^->ц+м". (8.24г)
Пусть м(х), й?(х), м(х) и с?(х)— плотности кварков в протоне,
тогда
/Т(х) = 2х[У(х) + м(х)]. (8.25)
В силу изотопической инвариантности плотности кварков
в нейтроне связаны с плотностью кварков в протоне соот-
ношениями u(x)n = d(x), й?(х)" = к(х), так что
Fv2n(x) = 2x[w(x) + J(x)] (8.26)
или
Ff (x) = x[u(x) + d(x)+u(x) + d(x)]. (8.27)
Аналогично
xFf(x) = x[u(x) + d{x)-u(x)-d(x)]. (8.28)
Значение F2 для электронного рассеяния получается легко.
Заметим, что из (8.11) следует в пределе j->0(9->0)
^dx, (8.29)
x
так что, сравнивая это выражение с формулами из § 6.3,
видим, что jF2(x)dx/x должен интерпретироваться как сумма
квадратов зарядов партонов. Следовательно, F|p(x)/x определя-
ется плотностями кварков в протоне, умноженными на квад-
раты зарядов; это значит, что если рассматривать и-, d-
и 5-кварки, то
(8.30)
Выражение для F2" получается заменой символов и на
d и п на d, так что для нуклона
g V V I ' " V /A I ¦ (o.jl)
267
xQ
1,0
0,8-
0,4
1
X*
1
*x
X
i
1
X -1B/5F?H(SLAC),
„2ъ1
xl
I*
>
"I
X
j
л \
0,2 0,4 0,6 X
0,2 0,4 0,6 X
Рис. 8.11. Первое сравнение функции Ff, измеренной в нешрино-нуклонном
рассеянии в нейтринном пучке ЦЕРН с помощью тяжеложидкостной пузырь-
ковой камеры Гаргамель, с данными SLAC по измерению функции Ff,
полученными в электрон-нуклонном рассеянии при тех же q2. Оба набора
данных согласуются друг с другом, если точки, соответствующие электронному
рассеяннию, умножить на 18/5, что отражает значения среднего квадрата заряда
и- и rf-кварков в нуклоне. Это является подтверждением дробности зарядов
кварков. Заметим, что полная площадь под кривой, являющаяся мерой полной
доли импульса, которую несут кварки в нуклоне, равна примерно 0,5.
Остающаяся доля приписывается глюонным составляющим, которые по
предположению являются переносчиками межкварковых сил цветовою поля (а).
Импульсные распределения кварков (Q) и антикварков (Q) в нуклоне при
значении q2 порядка 10 ГэВ2, полученные из результатов рассеяния нейтрино
и антинейтрино на нуклонах в опытах в ЦЕРН и Фермиевской лаборатории.
Дифференциальные сечения рассеяния нейтрино и антинейтрино измеряют
структурные функции F2 и F3 в выражении (8.17), а разность и сумма этих
сечений, согласно (8.23), дает плотность кварков и антикварков, умноженную на
долю импульса х. Антикварки концентрируются при малых х в области так
называемого кварк-антикваркового «моря». «Валентные» кварки статической
кварковой модели (Q — Q) концентрируются вблизи значения х — 0,2 (б)
Итак, комбинируя это с (8.27), находим
(8.32)
где получившееся число непосредственно вытекает из пред-
положения о дробности зарядов кварков, а равенство выпол-
няется, если можно пренебречь s-, с-, ... кварками (на самом
деле, их вклад составляет несколько процентов). На рис. 8.11
268
показаны первые нейтринные данные по FV2N в сравнении
с данными по электронному рассеянию. Это сравнение показыва-
ет, что нейтрино и электроны «видят» одну и ту же субструктуру
в нуклоне и что партонные составляющие действительно имеют
дробные заряды, ранее приписанные кваркам.
Данные по рассеянию нейтрино и антинейтрино можно
также использовать для подсчета числа кварков в нуклоне.
Из (8.28) следует, что
1 1
/=
где щ — и — п и dv = d—d_—числа «валентных» кварков в нуклоне
(в то время как п, d отвечают числу кварк-антикварковых
пар). Указанное выше предсказание называется правилом сумм
Гросса — Ллевелин-Смита. Экспериментально главная проблема
заключается в том, что в выписанном интеграле подынтег-
ральное выражение максимально вблизи точки х = 0, что
соответствует Ev-*co при фиксированном q1. На практике
интеграл можно оценить вплоть до значения хо«0,03, при
этом получается /» 2,8 ±0,5 в согласии с ожиданиями.
8.5.3. Содержание антикварков в нуклоне. Согласно V—
Л-теории слабых взаимодействий, отношение сечений рассеяния
антинейтрино и нейтрино на точечных частицах со спином
1/2 должно в точности равняться Л =1/3. Как отмечено выше,
этот множитель возникает потому, что при рассеянии ан-
тинейтрино на фермионе начальное состояние имеет момент
7=1 (и 7Z= + 1), но в конечном состоянии с учетом закона
сохранения момента реализуется только одно из трех воз-
можных состояний с моментом 7=1. Однако если учесть
антипартоны, тогда Л>1/3 и отношение плотностей антипар-
тонов и партонов будет просто Q/Q = CR—l)/C — R). Из
рис. 8.1 следует, что RxO,45 в области энергий ?=10-^100 ГэВ,
так что Q/Qz;0,\. Зависимость от х показана на рис. 8.11,6.
8.5.4. Глюонные составляющие. Отождествление партонов
с кварками влечет за собой утверждение, что интегралы от
структурных функций
l, (8.33)
так как доля импульса, просуммированная по всем состав-
ляющим, с необходимостью равна единице. Первые экс-
перименты по рассеянию электронов и нейтрино в 1972 г.
дали следующие значения (см. рис. 8.11, а):
269
— \Ff{x)dx* \F?(x)dx = O,5O±O,O5 (8.34)
для значений q2 в области от 1 до 10 ГэВ2. Таким образом,
партоны, ответственные за рассеяние лептонов благодаря своим
электрическим и слабым зарядам, вносят вклад только в полови-
ну массы нуклона. Мы должны либо полностью отвергнуть
модель, либо постулировать, что внутри кварков существуют
и другие составляющие нового типа, которые инертны по
отношению к лептонам. Эти составляющие были впоследствии
отождествлены с так называемыми глюонами. Как будет
объяснено ниже, глюоны являются безмассовыми векторными
бозонами — специфическими квантами сильной (цветовой) силы,
действующей между кварками. Глюоны взаимодействуют толь-
ко с сильными зарядами кварков и не взаимодействуют
с электромагнитными и слабыми зарядами. Кстати говоря, нет
никаких априорных причин, по которым доля энергии-импуль-
са, связанная с глюонами, должна быть в точности равна этой
доле для кварков, как это следует из (8.34). Тот факт, что доля
массы оказалась примерно равной 50% в области q2 порядка
нескольких гигаэлектрон-вольт в квадрате, есть просто указание
на масштаб масс, связанных с сильным кварк-кварковым
взаимодействием, и на число степеней свободы, которыми
обладают соответственно кварки и глюоны. Важно то, что мы
вынуждены постулировать существование глюонов как необхо-
димую составную часть материи внутри нуклона.
На этой стадии полезно попытаться суммировать все те
результаты, которые установлены нами для глубоконеупругого
лептон-нуклонного рассеяния. ¦
1. Нуклон состоит из точечных составляющих, о чем
свидетельствует приближенная масштабная инвариантность
структурных функций, F2(x, q2)xF2(x).
2. Составляющие имеют спин, равный 1/2; [2.^^! (x)»F2(x)].
3. Сечения электромагнитных и слабых процессов согласу-
ются с отождествлением «активных» партонов с дробнозаря-
женными кварками.
4. Кварки ответственны всего лишь за часть (около
50%) массы нуклона; оставшаяся часть приписывается глю-
онным составляющим, ответственным за межкварковое вза-
имодействие.
8.6. ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ
В АДРОНЫ
Обратимся теперь к процессу электрон-позитронной ан-
нигиляции при высокой энергии, т. е. при энергии в СЦИ
270
Рис. S.I2. Диаграммы процесса ан-
нигиляции е * е' -* адроны
Рис. 8.13. Угловое распределение двух
адронных струй в СЦМ по отноше-
нию к оси пучков в процессе е*е~-
аннигиляции при высоких энергиях.
Распределение согласуется с распреде-
лением A +cos2G), что и должно быть,
если фундаментальным процессом яв-
ляется процесс e*e~->QQ
0,5
w=j*rsi
адронные
\
струи
t
i
У\
о, г
0,6 COS в
выше 10 ГэВ в области, свободной от резонансов, связан-
ных с р, со, ф и серией уровней \|/ и Т. Успех партонной
модели для описания глубоконеупругого лептон-нуклонного
рассеяния естественно приводит к ожиданию, что и другие
процессы, в которых участвуют адроны и лептоны, могут
быть описаны аналогичным образом. Процесс е + ^"-анниги-
ляции в адроны можно рассматривать как двухстадийную
реакцию
Q, 2->адроны (8.35)
в близкой аналогии с лептон-кварковым рассеянием (рис. 8.12).
В формуле (8.3) мы уже сравнивали процесс (8.35) с процессом
лептон-лептонного рассеяния e+e~-*^ + \i~:
причем из F.31) с учетом того, что s = El_y,H, следует:
о. _ч 4яэс2
и(е+е
(8.35а)
Величина R — отношение полного сечения процесса
е+е~^ адроны к сечению процесса <*V~->ji + ji~—легко вычис-
ляется в рамках кварковой модели. Резерфордовское сечение
рассеяния электронов на кварках (рис. 8.12,о) пропорционально
2/,?, квадрату заряда кварка, просуммированного по всем
дающим вклад кварковым ароматам /. Если заменить входящие
(выходящие) фермионы выходящими (входящими) антиферми-
онами на свободных концах диаграммы рис. 8.12, о, получим
271
процесс е+е ->y->QQ (рис. 8.12, б). Из этого следует, что
в соответствии с резерфордовской формулой
Л = 1>,?/1, (8-36)
где сумма берется по всем дающим вклад кварковым аро-
матам.
При малых значениях s, ниже порога рождения сс-пар, вклад
дают только и-, d-, з-кварки и поэтому следует ожидать, что
= 2/3, (8.37)
в то время как при больших значениях s, когда вклад дают
и-, d-, s-, с-, 6-кварки,
=11/9. (8.38)
Из рис. 8.3 очевидно, что эти предсказания дают цифры
значительно ниже экспериментальных данных, и это проти-
воречие было одной из главных побудительных причин введе-
ния упомянутой в § 5.3 цветовой степени свободы. Кваркам
приписываются три возможных значения сильного цветового
заряда: красный, зеленый и синий (г, g, b). Таким образом,
любая данная комбинация QQ с определенным_ ароматом
может возникать в трех вариантах rr, gg и bb, так что
ожидаемые значения R должны быть умножены на 3 в хорошем
согласии с экспериментом.
При высоких энергиях наблюдается, что адроны, образован-
ные в процессе е+е~ ->QQ-> адроны, собираются в две про-
тивоположно направленные «струи», как показано на рис. 2.21.
Можно предполагать, что ось струи должна приблизительно
совпадать с осью, вдоль которой испускаются первичные пары
QQ. Угловое распределение в процессе е+е~->QQ зависит от
спина партонных составляющих. Опять же напомним, что
в процессе е+е~->ц + ц~, являющемся прототипом предыдущего
и включающем частицы со спином 1/2, угловое распределение
имеет следующий вид [см. гл. 6]:
dN/dQ~{\+cos2Q), (8.39)
где 0 — угол между направлением вылета ц* и направлением
пучка. На рис. 8.13 показаны результаты измерений угловых
распределений в процессе е+е~—две адронные струи; дейст-
вительно, эти результаты согласуются с (8.39), справедливым
для кварковых составляющих со спином 1/2.
Суммируя результаты, полученные при изучении процесса
аннигиляции е+е~-> адроны, можно утверждать:
а) постоянство R (см. рис. 8.2) есть свидетельство наличия
точечных (партонных) составляющих в адронах;
272
Рис. 8.14. Диаграммы разных типов
лептон-кваркового взаимодействия.
Рождение мюонной пары при соударе-
нии адронов (процесс Дрелла—Яна)
при q2<0 (а). Глубоконеупругое рас-
сеяние мюонов на нуклонах при q >0
(б). Электрон-позитронная аннигиля-
ция в кварк-антикварковую пару при
У<0 (в)
б) угловое распределение двух адронных струй есть до-
казательство того, что спин партонов равен 1/2;
в) численное значение R равно тому, которое ожидается,
если считать заряженные партоны кварками с дробными
зарядами и цветовым квантовым числом.
8.7. РОЖДЕНИЕ ЛЕПТОННЫХ ПАР ПРИ СОУДАРЕНИИ
АДРОНОВ—ПРОЦЕСС ДРЕЛЛА—ЯНА
Процесс образования лептонных пар в адрон-адронных
соударениях можно также просто интерпретировать в рамках
кварковой партонной модели, что впервые было отмечено
Дреллом и Яном в 1970 г. Рассмотрим реакцию
p+p^\i+\i~+X, (8.40)
где X—любое адронное состояние. Основываясь на диаграмме
лептон-кваркового рассеяния (рис. 8.14,6) или диаграмме про-
цесса е+е~-аннигиляции в адроны (рис. 8.14,в), обсуждающихся
выше, естественно изобразить и диаграмму рис. 8.14, а, на
которой кварк из одного протона аннигилирует с антикварком
из другого протона, а виртуальный фотон порождает лептон-
ную пару. Заметим, что в случаях айв, представленных на
рис. 8.14, 4-импульс фотона времениподобен (#2<0), а в случае
б он пространственноподобен (q2>0).
По аналогии с диаграммой рис. 8.14, в и выражением (8.35а)
можно записать сечение через сечение точечного рассеяния:
W
"зч2
(8.41)
18 Заказ 416
273
где eh —et — электрические заряды пары QQ. Тогда дифферен-
циальное сечение
^J^ef. (8.42)
Значение квадрата массы виртуального фотона q2 связано
с импульсами протонов и долями импульсов xh хь уносимых
составляющими. Пусть Рх, Р2—4-импульсы сталкивающихся
протонов; 4-импульсы составляющих равны тогда ki = xiP1,
%i= х(Р2, так что квадраты инвариантной массы фотона
и пары лептонов равны
m2=-q2=-(ki+kiJ=-(xip1+xip2J=
= -(IP^x^ + xfPl + xfPl). (8.43)
Квадрат полной энергии системы протон — протон в СЦИ равен
s=-(P1+P2J=-BP1P2 + P2l+P22).
Но Р\ = Р\~ — М2, и поэтому при 5»М2, т2»х2М2
получаем
m2 = xixis. (8.44)
При этом анализе мы пренебрегли компонентами импульса,
перпендикулярными направлению протонного пучка.
Вводя безразмерный параметр
T = m2js=xixi, (8.45)
получаем для сечения рождения пары лептонов в рр-со-
ударениях
do 4лос2
^=^/Чт), (8.46)
где, если ввести 5-функцию для обеспечения выполнения
равенства (8.44),
1 1
О О
х//(х,.)/2(х;)8(х,.хг-т), (8.47)
и интегрирование в последнем выражении проводится по
плотностям // (х;), ff (x;) кварков и антикварков данного
аромата / в протонах с весом, равным доле их импульсов
хь хь и квадратом их зарядов е2, в полной аналогии
с выражением (8.30) для структурных функций. Цветовой
множитель Nc = 3 уменьшает сечение, учитывая вероятность
274
спаривания (например) красного кварка с антикрасным ан-
тикварком. Согласно (8.46), сечение
2q*do/dq 2 = m3da/dm ~ F(x) (8.48)
должно обладать свойством масштабной инвариантности, т. е.
зависеть только от безразмерного отношения m2js. Прямые
проверки этого предсказания затруднительны, так как экс-
перимент охватывает только ограниченный интервал импульсов
димюонной пары. Можно определить так называемую быст-
роту пары мюонов
](р^\ (8.49)
-pLJ
где Е и рь— полные энергия и продольный импульс пары
мюонов в ЛС (так что Е2=р1 + т2). Поскольку у безразмерная
величина, можно ожидать, что сечение будет масштабно-
инвариантным также и по переменной у; в частности, безраз-
мерное дважды дифференциальное сечение
m3d2a/dtndy или sd2a/dyd^/x
должно быть функцией только т. На рис. 8.15 показаны
распределения мюонных пар по инвариантной массе, получен-
ные в эксперименте в лаборатории им. Ферми с использованием
протонов с энергией 200—400 ГэВ (^ = 20-^28 ГэВ), падающих
на неподвижную мишень. В пределах погрешностей измерений
сечение действительно является функцией только T = m2/s. Из
подобных данных можно извлечь определенную в (8.46)
функцию F{x) и подогнать ее под какую-либо аналитическую
формулу, например:
/r(T) = const-exp(-18,6v/r)@,2<v/T<0,5). (8.50)
Затем такое выражение можно использовать для предсказания
абсолютных значений сечений при много больших энергиях
ISR в ЦЕРН, где циркулирующие навстречу друг другу
протонные пучки с энергией до 30 ГэВ испытывают лобовое
соударение (yjs достигает 62 ГэВ). После сравнения данных
ISR с предсказаниями (8.50) обнаружено, что сечения продол-
жают быть масштабно-инвариантными даже несмотря на то,
что абсолютные значения сечений в двух экспериментах
отличаются на два порядка; такое подтверждение партонной
модели имеет место для значений q = mll)X>3 ГэВ.
Предположение, что процесс образования лептонной пары
происходит через кварк-антикварковую аннигиляцию в вирту-
альный фотон, проверено в этих опытах путем наблюдения
углового распределения обоих лептонов в системе покоя
18* 275
10'
К10'31
0
д
-
i
ей
1
о-ЬООГэй
А-ЗООГэВ
а-200ГэВ
§
0,2
0,3
-f
cose
Рис. 8.15. Сечение образования мюонных пар, измеренное коллаборацией BFS
(Yohetal, 1978 г.), при трех разных энергиях протонов. Видно, что сечения
подчиняются масштабному закону, являясь функцией безразмерной переменной
т = '"цц/^ где s — квадрат энергии в СЦИ (а). Угловое распределение мюонов,
измеренное в системе покоя димюона, по отношению к направлению
начального пучка в процессе образования димюонов в адрон-адронных
соударениях (Anderson et al., 1978 г.). Если процесс следует механизму
Дрелла_^Яна (см. рис. 8.14, а), включающему кварки со спином 1/2
(QQ*)i + )i~), то следует ожидать распределение вида (l+cos29) (б)
дилептона по отношению к направлению пучка первичных
протонов. Как и в обратном процессе e+e~^>QQ, происходящем
за счет обмена одним фотоном, можно ожидать угловое
распределение вида
da/du = const A + cos26),
что действительно и наблюдается (рис. 8.15,6).
Выражение (8.47) показывает, что F(x) связана с интег-
ралами по кварковым и антикварковым функциям распределе-
ния, которые в принципе независимо определяются в опытах
по лептон-нуклонному рассеянию. Напомним, что при рассе-
янии нейтрино функции распределения антикварков п(х), d(x),
s(x),... довольно трудно измерить, так как содержание их
в нуклоне всего лишь порядка 5—10%, и поэтому для
определения этих распределений следует обращаться к разности
сечений рассеяния нейтрино и антинейтрино (см., например,
рис. 8.11). Напротив, сечение рождения дилептонов в адронных
взаимодействиях прямо пропорционально произведению квар-
ковых и антикварковых распределений. Полученное из подо-
бных экспериментов распределение антикварков находится
в разумном согласии с тем, которое получено из опытов по
рассеянию лептонов; в сравнимых областях по \q2\ в обоих
случаях получается, например, что хЗ(х)х0,5(\ — хI.
276
Другим важным свойством процесса образования массивных
дилептонов в адронных реакциях является то, что, используя
вместо начального протонного начальный пионный пучок,
можно получить сечение, пропорциональное антикварковому
распределению в пионе, причем в силу симметрии ил(х) = ип(х).
Из подобных экспериментов определена структурная функция
пиона в виде
хи„(х)х 0,25 A-х).
Можно сделать вывод, что эта функция много жестче, чем
распределение валентных или морских, кварков в нуклоне,
которые меняются как A-хK и A-хO соответственно.
8.8. КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА И КВАРК-
КВАРКОВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
8.8.1. Цветовое взаимодействие между кварками. Квантовое
число — цвет уже вводилось ранее как дополнительная степень
свободы при рассмотрении кварковой модели адронов и процес-
сов лептон-кварковых взаимодействий, в частности для объяс-
нения величины сечения процесса е+е~->адроны (см. §8.6).
Напомним, что введение трех цветов для кварков увеличивает
ожидаемое сечение е+е"-аннигиляции в 3 раза и приводит
его в согласие с экспериментом. Квантовая хромодинамика
(КХД) является строгой калибровочной теорией сильного
цветового взаимодействия между кварками. Цветовой заряд
кварков может иметь три возможные значения — например,
красный, синий или зеленый. Антикварки обладают антицветом.
Предполагается, что межкварковые взаимодействия инвариан-
тны по отношению к замене цвета; иными словами, считается,
что они инвариантны по отношению к группе симметрии SU
C). Так как кварк может обладать одним из трех возможных
цветов, можно сказать, что кварк принадлежит к триплетному
C) представлению группы SUC). Бозоны, переносящие цветовое
кварк-кварковое взаимодействие, называются глюонами, и по-
стулируется, что они принадлежат к октетному (8) представ-
лению группы SUC). По аналогии с октетом (по аромату)
мезонов в § 5.5 можно записать цветовые-антицветовые со-
стояния 8 глюонов в виде
г- _ , _ , _ _ г rr-bb rr+bb-2gg
rb, rg, bg, br, gr, gb, —jr-, -= . (8.51)
V2 V6
Имея три цвета и три антицвета, можно ожидать 32 = 9
комбинаций, но одна из них является цветовым синглетом
и должна быть исключена. Для примера укажем, что цветовое
взаимодействие между красным кварком (г) и синим кварком
277
Рис. 8.16. Взаимодействие QQ, обусловленное обменом цветом (глюонами) (а).
Взаимодействие между зарядами за счет обмена (незаряженным) фотоном (б)
(Ь) может происходить путем обмена одним г?-глюоном
(рис. 8.16).
Цветовой заряд в сильных взаимодействиях кварков ана-
логичен электрическому заряду в электромагнитных взаимодей-
ствиях. Оба типа сил определяются обменом безмассовыми
векторными частицами (глюонами или фотоном). Однако в то
время как в электромагнетизме имеются два типа заряда
и незаряженный промежуточный бозон в КХД имеется шесть
типов зарядов (цвет и антицвет), а промежуточный бозон
заряжен (имеет цвет). Это различие оказывается критическим
для понимания свойств кварковых взаимодействий на малых
расстояниях и успеха партонной модели.
Цветовое квантовое число не содержится в нашем описании
адронов, так что и барионы, и мезоны должны быть
бесцветными, т. е. синглетами по отношению к цветовой
группе SU C). Если выписать различные вклады, обязанные
обмену глюонами [см. (8.51)] между кварками, можно убедить-
ся, что кварковые конфигурации с наименьшей энергией как
раз соответствуют цветовому синглету QQQ (барион) и цве-
товому синглету QQ (мезон). Другие кварковые комбинации
(например, цветовой октет QQ) имеют меньшую энергию
связи или даже отталкивательное взаимодействие (см. приложе-
ние И). Таким образом, КХД правильно предсказывает, что
только две из всех возможных мультикварковых комбинаций
должны существовать в природе.
Реальный вид потенциала сильного взаимодействия между
кварками обсуждался в § 5.14. Предполагается, что на малых
расстояниях взаимодействие имеет вид кулоновского, по аналогии
с электромагнетизмом, в то время как на больших расстояниях
потенциал должен бесконечно возрастать, с тем чтобы удержать
кварки внутри адрона. Уже приводилась формула
+ kr. (8.52)
3 г
Обсудим теперь экспериментальные свидетельства в пользу
этой формулы.
278
8.9. КХД-ПОТЕНЦИАЛ НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ
Прямое свидетельство в пользу потенциала (8.52) на малых
расстояниях получено в экспериментах на рр-коллайдере
в ЦЕРН (Arnison et al., 1984 г.; Bagnaia et al., 1984 г.). Были
обнаружены редкие события (примерно 10~6 всех соударений),
состоявшие из двух высокоэнергичных струй адронов, вылета-
вших под большим углом к направлению пучка (рис. 8.17).
Отбор таких событий основан прежде всего на требовании,
чтобы поперечная энергия ET = ^jEisinQi> 15 ГэВ, где сумма
берется по локальному выделению энергии в ячейках кало-
риметра, а В,- — угол, отсчитываемый от направления началь-
ного пучка. Большинство таких событий (около 80%) состоит
Рис. 8.17. Схема двухструйных событий в детекторе UA1 на />/>-коллайдере
в ЦЕРН (протоны и антипротоны с энергией 310 ГэВ). Показано событие
в перспективе. Активированные модули калориметра показаны в виде блоков.
Адроны с малой энергией не показаны. Цилиндр окружает внутренний трековый
детектор (а). Вид вдоль трубы пучка, показывающий разлет струй в проти-
воположных направлениях по азимуту (б). Зависимость поперечной энергии от
азимута ф и быстроты у. Полные энергии двух струй равны 93 и 84 ГэВ, а их
поперечные энергии — 81 и 78 ГэВ (в)
из двух струй', приблизительно сбалансированных по импульсу
(о чем свидетельствует конфигурация разлета в противополож-
ные стороны по азимутальному углу на рис. 8.17,6). Остающи-
еся события — в основном трехструйные, хотя есть и четырех-
струйные и одноструйные события. Двухструйные события
интерпретируются как результат упругого рассеяния партона
1 Очевидно, что определение струи довольно произвольно и связано
с выбранным алгоритмом. В эксперименте струи были обнаружены в результате
комбинации сигналов от соседних ячеек калориметра, начинающихся от
ячейки с наибольшим Ет, и отделенным от нее расстоянием, определенным
условием (Д>'2 + Аф2I/2< 1 (где у— быстрота, а ф — азимутальный угол).
Любая ячейка с Ет>2,5 ГэВ, не приписанная к данной струе, рассматривается
как место зарождения новой струи.
279
Струя
*¦
PJ
/в
- Т"
/р?=-р*
а) fl\ -""ГУ -* -* 5)
Рис. 8.18. Кинематика партон-партонного соударения: в лабораторной системе
(а) и в СЦИ партонов (б)
(кварка или глюона) из протона на другом партоне из
антипротона, причем каждый рассеянный партон порождает
струю адронов аналогично тому, как это происходит в процессе
е+е~-»адроны. Кинематика соударения показана на рис. 8.18,
где р3, рА—4-импульсы наблюдаемых струй, а ри р2 — (неиз-
вестные) импульсы партонов перед соударением. Из закона
сохранения энергии-импульса следует, что
(8-53)
а сохранение 3-импульса вдоль оси пучка (ось z) записывается
в виде
Pi+P2=.P3*+/>4z. (8.54)
Передаваемый 4-импульс равен
4=P3-Pi=P2-P4- (8-55)
Введя бьеркеновскую переменную х (8.13), получаем
Pl=XlPu р2 = х2Р2, (8.56)
где Р1 и Р2—4-импульсы протона и антипротона. Пусть
^-энергия частиц в каждом пучке. Тогда, пренебрегая массами
всех частиц, из равенства (8.54) находим
xl-x2(p3z+p4,z)/E=xF, (8.57)
в то время как из (8.53) следует:
(p3+pAJ = (x2P2 + x1PiJ= -4Xlx2E2
или
т, (8.58)
где феинмановские переменные хР и х уже использованы ранее
(см. §4.12 и 8.7). Из приведенных выше соотношений находим
(8.59)
и, следовательно, можно выразить ри р2 через известные
величины Е, ръ и р±. Таким образом, можно вычислить
280
и квадрат переданного 4-импульса q2 в (8.55). Ясно, что ось,
вдоль которой направлены равные по величине и проти-
воположно направленные 3-импульсы рассеянных партонов
в их общей СЦИ (см. рис. 8.18,6), определяется разностью
р3 — р4, так что угол рассеяния в СЦИ партонов по отношению
к направлению пучка равен
|Рз—P4-I IPl —P2I
Заметим, что поскольку неизвестно, какой из начальных
партонов (/?, или р2) к какой струе принадлежит (р3 или
рА), то имеется неопределенность, связанная с заменой 9<-»я —9.
При анализе и сравнении получающегося распределения с те-
орией выбирается меньшее из двух значений угла 9. Ожидаемое
сечение протон-антипротонного рассеяния в две струи имеет вид
d3a(рр^2 струи)^у />;(*!)\ /Fj(x2)\ dojj
dXldx2d(cosQ) fj\ *i ) \ X2 / rf(cosG)' {' '
где Fj(jfi)/jfi, Fj(x2)lx2 — плотности партонов типа i,j в протоне
и антипротоне, хи х2 — доли импульсов и d<jjj/d(cosQ) — эле-
ментарное партон-партонное сечение. Вклад в сечение, опре-
деляемый обменом одним глюоном, показан на рис. 8.19.
Рассеяние может происходить и за счет передачи импульса
в так называемом /-канале, где в соответствии с рис. 8.18
C8.61)
или в ^-канале, где
2=4x, x2E2 (8.62)
равняется квадрату энергии партонов в СЦИ. Диаграммы на
рис. 8.19, а—в показывают процессы, обусловленные обменом
в г-канале, а диаграммы рис. 8.19, г, д отвечают процессам
в ^-канале. Вообще говоря, сечения, обусловленные обменом
в г-канале, меняются как do/dtxljt2 (или l/q4), в то время
как сечения в перекрестном s-канале ведут себя как da/ds&\/s2.
\f Uf hf \jSi
g vuv\Aa/v
4/3 3 3
a) ff) в) ' г) д)
Рис. 8.19. Кварк-кварковое, кварк-глюонное и глюон-глюонное рассеяние за
счет обмена одним глюоном в г- и л-каналах
281
Считая, что t<scs, что соответствует экспериментальной ситу-
ации, можно сделать вывод, что г-канальные_ обмены до-
минируют. Константы связи КХД для пар QQ, QG и GG,
взаимодействующих путем одноглюонного обмена, даны циф-
рами на рис. 8.19 и определяют коэффициенты, на которые
нужно умножить константу сильного взаимодействия ds (см.
приложение И). Ясно, что GC-константа наибольшая, так что
в приближении, когда все три процесса имеют одинаковое
угловое распределение, мы видим, что эффективное сечение
определяет комбинацию структурных функций
9
где теперь Q(x), Q(x) и G(x) представляют плотности
импульсов, т. е. плотности кварков, антикварков и глюонов,
умноженные на долю импульса х.
Угловое распределение имеет вид (Cambridge et al., 1977 г.)
ufa nd* /9 \ C + cos26K
</(cos8) s \\b) (l-cos28J
или для cos9^1
do Ida ъ(-\ —T-^l , (8.65)
' \8; 4^ sin4 (9/2)' v '
где po = ^/s/2 — 3-импульс каждого партона в СЦИ. Заметим,
что это выражение в точности совпадает с формулой
Резерфорда F.14) для потенциала \jr, если только заменить
as на а и учесть другой коэффициент для цветовой константы
связи.
Наблюдавшееся угловое распределение показано на
рис. 8.20. Если параметризовать его в виде (sin0/2)"", то из
данных следует « = 4,16 + 0,20. Заметим, что вблизи значения
9 = л/2 ожидаются отклонения от прямой линии как потому,
что следует использовать релятивистскую формулу (8.64) для
процесса с обменом векторным глюоном, так и из-за упоминав-
шейся выше неопределенности. Полезно сравнить эти резуль-
таты для (преимущественно) глюон-глюонного рассеяния при
типичных значениях <72%2000 ГэВ2 с результатами Гейгера
и Марсдена по рассеянию a-частиц ядрами серебра и золота
при <72*0,1 ГэВ . Линейность графика в обоих случаях есть
подтверждение того, что потенциал взаимодействия имеет вид
1/г. В случае рассеяния бесспиновых нерелятивистских а-частиц
формула Резерфорда применима при всех углах (если ядро
действует как точечный заряд). В партон-партонном рассеянии
282
0,01 0,1
Sin*в/2
Рис. 8.20. Примеры дифференциаль-
ных сечений точечноподобного рассе-
яния на потенциале 1/г. Верхний гра-
фик показывает результаты (Geider,
Marsden, 1911 г.) по рассеянию а-
частиц от радиоактивных источников
золотой или серебряной фольгой, про-
демонстрировавшие существование
ядра в атоме, рассеивающего а-части-
цы своим кулоновским полем. Резуль-
таты этих экспериментов получены
при переданных импульсах q2x
»0,1 ГэВ2 и согласуются с формулой
(О \
- ). Ниж-
ний график представляет собой уг-
ловое распределение двух струй, по-
лученное на />/?-коллайдере в ЦЕРН
при q 2« 2000 ГэВ2 и показывающее,
что рассеяние точечноподобных (квар-
ковых или глюонных) составляющих
нуклона также подчиняется формуле Резерфорда при малых углах, а следо-
вательно, подтверждающее, что КХД-потенциал на малых расстояниях ведет
себя как 1/г. При больших углах возникает отклонение от прямой линии
из-за релятивистских (спиновых) эффектов, а также потому, что рассеяние
при 9>я/2 должно быть преобразовано в распределение при 9<я/2. Сплошная
линия отвечает предсказаниям КХД в случае одноглюонного обмена. Скаляр-
ные глюоны (с нулевым спином) исключаются, так как в этом случае
предсказывается значительно более слабая угловая зависимость
формула Резерфорда является лишь малоугловым приближе-
нием, следующим из общей релятивистской формулы, учиты-
вающей спиновые эффекты.
Опыты на установках UA1 (Arnison et al., 1984 г.) и UA2
(Bagnaia et al., 1984 г.) на /^-коллайдере в ЦЕРН дают
в настоящее время наилучшее прямое свидетельство того, что
КХД-потенциал на малых расстояниях г имеет 1/г, пред-
полагавшийся в выражении (8.52). То, что речь идет именно
о малых расстояниях, гарантируется, конечно, очень большими
значениями q2.
Комбинация плотностей партонов (8.63) может быть извлечена
из дифференциальных сечений процесса рр-*2 струи (8.60)
с точностью до постоянного множителя, так как as неизвестна. Эти
результаты обсуждаются в § 8.12.3. Альтернативно можно извлечь
F(x) из данных по глубоконеупругому лептон-нуклонному
рассеянию, откуда затем найти значение ass»0,2. Ввиду различных
поправок это число следует рассматривать как верхний предел.
Ясно, что проведенный анализ может быть распространен
на события с тремя, четырьмя или более струями. Отношение
числа событий с тремя струями к числу двухструйных событий
будет пропорционально as, по тем же соображениям, которые
описаны в §8.11 для процессов е+е~ две или три струи.
283
8.10. КХД-ПОТЕНЦИАЛ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ.
МОДЕЛЬ СТРУНЫ
Один из наиболее впечатляющих экспериментальных резуль-
татов изучения барионных и мезонных резонансов заключается
в том, что для состояний с данными изоспином, G-четностью
и т. п. существует линейная зависимость углового момента
состояний с наибольшим угловым моментом от квадрата
массы. Примеры таких графиков для А- и Л-барионных
резонансов приведены на рис. 8.21. Подобная зависимость
называется диаграммой Чу — Фраучи и первоначально воз-
никала при исследовании теории полюсов Редже, которую
мы не будем обсуждать. Здесь мы попытаемся показать связь
этой зависимости с формой КХД-потенциала на больших
расстояниях.
В КХД характерным свойством глюонов — носителей цве-
товой силы является их сильное самодействие, возникающее
потому, что сами глюоны предполагаются несущими цветовые
заряды. По аналогии с силовыми линиями электрического
поля между двумя электрическими зарядами (рис. 8.22,а)
можно представить себе, что кварки удерживаются друг около
друга цветовыми линиями (рис. 8.22,6), но глюон-глюонное
взаимодействие сжимает эти силовые линии, придавая им
форму трубки или струны.
Пусть к — плотность энергии на единицу длины такой
струны, которая соединяет два безмассовых кварка (рис. 8.22, в).
Тогда угловой момент пары кварков будет равен полному
угловому моменту глюонной трубки и его можно вычислить,
если предположить, что концы трубки вращаются с линейной
скоростью v = c. Локальную скорость в точке на расстоянии
г можно найти из соотношения
v/c=rlr0,
где г0 — половина длины струны. Поэтому полная масса
(релятивистская)
а орбитальный угловой момент
го
2 Г krvdr krln
Рис. 8.21. Зависимость спина J от массы
в квадрате для барионных резонансов из
семейства Д E=0, /=3/2) и Л E=-1,
/=0). Состояния с положительной и от-
рицательной четностью показаны в виде
зачерненных и незачерненных кружков
Рис. 8.22. Силовые линии электрического
поля между двумя зарядами (а). Силовые
линии цветового поля между кварками
сжаты в трубку или струну, что проис-
ходит благодаря сильному самодействию
между глюонами, являющимися перенос-
чиками цветового поля (б). Модель стру-
ны, используемая для вывода соотноше-
ния между угловым моментом и массой
адрона (в)
J
11/Z
э/z^
V2
5/2
1/2
-
-
//
&(i=z/zy/
/
1 1 1
А/2,ГэВ2
v=c
f
! У
б)
Исключая г0 из этих двух соотношений, получаем наблюдаемое
соотношение между угловым моментом и энергией адронного
состояния:
J=a'E2 + const. (8.66)
Такой результат справедлив в случае постоянной плотности
энергии к струны, т. е. когда потенциал имеет вид
V=kr. (8.67)
В общем случае для потенциала вида
V=krn
соотношение (8.66) принимает вид (это легко показать):
так что наблюдаемая линейная зависимость J от М2
есть свидетельство в пользу линейного потенциала (8.67).
Значение к определяют из наклона а' в (8.66), в рассмат-
риваемой модели
285
a' = l/Bnkhc).
Подставляя наблюдаемое значение а'= 0,93 ГэВ~2, находим
it = 0,85 ГэВ-фм'1. (8.68)
Такое же число возникает из рассмотрения размеров адронов.
Типичная адронная масса равна примерно 1 ГэВ, а радиус
адрона, измеренный в экспериментах по рассеянию электронов,
порядка 1 фм, так что линейная плотность энергии оказывается
равной к^\ ГэВ-фм.
8.11. МНОГОСТРУЙНЫЕ СОБЫТИЯ В ПРОЦЕССЕ
е +е -АННИГИЛЯЦИИ
При изучении процесса е+е~ -аннигиляции в адроны при
очень больших энергиях были получены впечатляющие до-
казательства существования кварковой субструктуры. Как от-
мечалось в § 8.6, элементарным процессом является анниги-
ляция в пару QQ, за которой следует «фрагментация» кварков
в адроны. При энергиях в СЦИ порядка 30 ГэВ или выше
образуется чаще всего порядка 10 адронов (в основном пионы).
Поэтому средний импульс адронов в направлении импульса
первичного кварка велик по сравнению с поперечным им-
пульсом рт, который ограничен значением ртк0,5 ГэВ/с, т. е.
величиной порядка \/R0, где Ro — типичный размер адрона
(около 1 фм). Отсюда вытекает, что адроны образуются^ виде
двух «струй», ориентированных по оси разлета QQ-пары
(рис. 8.23,а). Однако можно ожидать, что иногда кварк
излучает «жесткий» глюон, уносящий, возможно, до половины
энергии кварка под большим углом (рис. 8.23,6), так что
глюон и кварк порождают отдельные адронные струи. По-
Рис. 8.23. Образование адронных «струн»
286
видимому, такие процессы наблюдались. Измеренная вероят-
ность трехструнных событий по сравнению с двухструйными,
очевидно, связана с величиной ocs. Мы не обсуждаем здесь
сложную процедуру анализа, использовавшуюся для извлечения
этой величины, а приводим лишь конечный результат — что
при энергии в СЦИ ?=30н-40 ГэВ а5 = 0,16 ± 0,03 (среднее
значение из нескольких экспериментов).
Угловое распределение в трехструйных событиях позволяет
определить спин глюонов. Прежде всего, струи упорядочива-
ются по энергии, Е\ > Е2 > Е3. Затем совершается переход
в СЦИ струй 2 и 3 и вычисляется угол 9, образованный
струей 1 (с наибольшей энергией) по отношению к общей
линии разлета струй 2 и 3. Струя 3 (с наименьшей энергией)
скорее всего образуется глюоном, так что распределение по
0 чувствительно к спину глюона. На рис. 8.24 показаны
экспериментальные данные, а также предсказания для случаев
скалярного и векторного глюонов. Полученные данные подтвер-
ждают гипотезу о векторном глюоне.
8.12. ЭФФЕКТЫ КВАРКОВЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
В ГЛУБОКОНЕУПРУГОМ ЛЕПТОН-НУКЛОННОМ
РАССЕЯНИИ
Исторически первое экспериментальное свидетельство
в пользу КХД A973 —1978 гг.) было получено в результате
детального анализа глубоконеупругого лептон-нуклонного рас-
сеяния. То, что наблюдалось, получило название «отклонения
от скейлинга», т. е. небольшие отклонения от чисто партонной
картины поведения невзаимодействующих свободных квар-
ковых составляющих. Если удается измерить такие отклонения
достаточно аккуратно, они дают информацию о природе
межкварковых сил.
Предположим, что при исследовании процесса глубоконе-
упругого рассеяния мы меняем квадрат переданного 4-импульса
q2 между конечным и начальным лептонами. По определению,
величина q2 положительна и равна — т2, где т — мнимое
значение массы виртуального фотона, которым обмениваются
лептон и нуклон. Пространственное разрешение этого вирту-
ального фотонного «пробника» равно &r = hjq. При малых
q2, когда Ar>R, где R — радиус протона-мишени (Л%0,8 фм),
протон как целое испытывает упругую отдачу в результате
соударения; иными словами, он ведет себя как точечная
частица (рис. 8.25,а). С ростом q2 виртуальный фотон начинает
«видеть» партонную структуру нуклона в виде трех точечных
«валентных» кварков. В рамках партонной модели, где кварки
считаются точечными и свободными, дальнейшее увеличение
287
-V
г\°
/ /
/ ' I 'l
y^1 I
COS&
Рис. 8.24. Распределение по углу 9 струи с наибольшей энергией в трехструйном
событии по отношению к линии разлета двух других струй в их СЦИ.
Кривые показывают предсказания дли глюонов со спином 1 (векторных —
сплошная кривая) и со спином 0 (скалярных—штриховая кривая). Данные
получены на детекторе TASSO на ускорителе PETRA
q2 не приводит к выявлению дополнительной тонкой структуры
(рис. 8.25,6).
Но в модели взаимодействующих кварков с ростом q
следует ожидать существенных изменений. Обмен глюонами
между кварками приводит к тому, что кварки приобретают
«структуру». Когда виртуальный фотон проникает на все
меньшие и меньшие расстояния, это выглядит так, будто
отдельный кварк при малом разрешении может быть пред-
ставлен как кварк, испустивший глюон, который, в свою очередь,
288
Пар тон - нуклон
Партоны - Валентные Партоны- валентные
кварки кварки + кварк =
антикварковые пары
S) ' В)
Рис. 8.25. Схематическая картина строения нуклона при исследовании его
рассеиваемыми лептонами, когда длина волны пробного лептона \=\/q
уменьшается и выявляется все более глубокая структура
образовал кварк-антикварковую пару. Такой процесс аналогичен
процессу поляризации вакуума (образование виртуальных е + е~-
пар) в КЭД (см. гл. 6). Соответствующие рисунки для модели
взаимодействующих кварков представлены на рис. 8.25,6, в.
Влияние взаимодействия кварков на поведение структурных
функций нуклона можно легко понять качественно из рис. 8.26.
На рис. 8.26, а кварк, несущий долю импульса у от импульса
нуклона Р, поглощает фотон с импульсом q0- Однако при
q »ql кварк диссоциирует на кварк с долей импульса х<у
и глюон с долей импульса у — х. Таким образом, если х велико
(например, х>0,3), рост q2 приводит к сдвигу кваркового
распределения (структурной функции) в сторону малых jc. Но
при очень малых jc рост числа глюонов приводит к об-
разованию кварк-антикварковых пар в области малых jc, так
что один из образовавшихся кварков может поглотить фотон,
что приведет к росту структурной функции в этой области
(рис. 8.26, б). Такой тип поведения следует ожидать в любой
полевой теории взаимодействующих кварков, т. е. это не
специфично для КХД. На рис. 8.27 приведены практические
примеры эволюции структурных функций с ростом q2, из
которых видно сжатие по х при увеличении q2. Подобные
отклонения от масштабноинвариантной партонной модели
впервые наблюдались в опытах по рассеянию мюонов в ла-
Рис. 8.26. Влияние взаимодействия кварков на поведение структурных функций
19 Закал 416 289
0,1
66MVN
(ЗГзЬ)
SLAC ed
A5ГзВ)
CHHS vH
(ЮОГэЪ)\
1,0
•f П'<
1,0
1,о-
0,5
0,1
\ ^^-о<х<о,оз
'-^r ±?00mO,O3<)
L ,)•* a,- **|
¦ ^.* a
¦ ^>
, , ,
6<x<0,1
J,2<x<0,3
i*$r*<o,s
^<o,e
ьо,е^х<о,7
i i
5 Л7
0,25 0,5 0,75
50 100 ZOO
Рис. 8.27. Структурная функция F2(x), измеренная при рассеянии нейтрино
и электронов на нуклонах при разных энергиях пучка. Наблюдается сжатие
в сторону меньших х при увеличении энергии и росте среднего q2 (a).
Зависимость F2N(x, q2) от q2 в разных областях по х (из данных экспериментов
в ЦЕРН). Сравните с рис. 8.7 для электронного рассеяния при jc=O,25. Виден
рост при увеличении q2 при малых х, а также более сильное падение при
больших х. Кривые (б) получены обработкой кварковых импульсных рас-
пределений, включающих зависимость от q2, рассчитанную по КХД
с Л = 0,3 ГэВ (de Groot et al., 1979 г.)
боратории им. Ферми (Чикаго) в 1973 г. (Fox et al., 1974 г.).
8.12.1. Бегущая константа связи: количественные нредсказання
КХД. В § 6.8 были описаны радиационные поправки к магнит-
ным моментам электрона и мюона в КЭД, причем выражение
для [g — 2)/2 было представлено в виде ряда по постоянной
тонкой структуры а (измеряемой, например, в джозефсоновских
переходах). В определенном приближении эффект этих поправок
эквивалентен поправке первого порядка (порядка а), но с а,
зависящей от масс или переданных импульсов в виртуальных
процессах, дающих вклад в эффект. Таким образом, всегда
можно представить аномальный магнитный момент в виде
~-=Ц^, (8.69)
290
где аэф для мюона больше, чем для электрона. На самом деле,
мы рассматриваем а как «бегущую» константу связи, зависящую
от масс или переданных импульсов, существенных в каждом
конкретном случае. Эта процедура не так произвольна, как
кажется на первый взгляд. Ранее уже отмечалось, что попытки
определить «голые» константы связи, заряды или массы а0, е0,
т0 в КЭД приводят к бесконечностям, связанным с вкладом
собственноэнергетических членов, и приходится заменять такие
величины их перенормированными, физически измеримыми значе-
ниями. Бегущая константа связи определяет связь значения а при
одном значении q2 со значением а при другом q2 (при этом
константы связи при q2 = ao не входят в выражение). Соотношение
можно приближенно записать в виде
d)- <8J0)
так что при переходе от процесса, в котором участвуют
типичные передаваемые импульсы q%, к процессу, в котором
существенны q2>ql, изменение значения а логарифмически
зависит от отношения q2/q2- Выражение (8.70) получается
суммированием поправок высших порядков, включающих чле-
ны общего вида a" [In (q2/q о )]m, но при этом учитываются
только ведущие логарифмы, т. е. п = т. Следует подчеркнуть,
что это лишь приближенная процедура, позволяющая избежать
необходимость суммирования огромного числа фейнмановских
диаграмм [72 для члена порядка а3 при вычислении (g — 2)
для мюона или электрона], что в случае КХД было бы
совершенно нереальной задачей. Заметим, что при уменьшении
q или росте типичного расстояния rxljq эффективная кон-
станта а становится меньше. Этот эффект хорошо известен
в поляризуемой (диэлектрической) среде. Пробный заряд,
погруженный в диэлектрик, создает потенциал, который на
расстояниях, больших или сравнимых с размерами молекул,
оказывается меньше кулоновского потенциала в пустом про-
странстве; иными словами, диэлектрик создает экранирующий
эффект (рис. 8.28). На самом деле, наличие среды необязатель-
но. Даже в вакууме пробный заряд непрерывно испускает
и поглощает виртуальные фотоны, которые могут постоянно
порождать е + е~-пары, что приводит вновь к эффекту эк-
ранировки— так называемой поляризации вакуума. На очень
малых расстояниях экранирующий эффект становится малым,
и получается потенциал, соответствующий голому заряду1.
1 Согласно принципу неопределенности, виртуальные электронные пары
будут в основном сосредоточены на расстояниях, меньших, чем \=7i/mc,
так что только при г<\ эффекты экранировки существенны. При г»Х эти
эффекты резко уменьшаются и потенциал быстро достигает кулоновского
значения (Gell-Mann, Low, 1954 г.).
19* 291
Рис. 8.28. Экранирующий эффект в диэлектрике
Рис. 8.29. Экранировка цветового заряда
е+ у
е~
д «
уллМлл/
а
G
6
а.)
Q
а1
* в) й>
В КХД взаимодействие кварков также можно описать бегущей
константой связи as(q2). Как и в предыдущем случае, кварк-
антикварковые пары приводят к эффекту экранировки цветового
заряда пробного кварка (рис. 8.29, а, б). Однако благодаря
неабелевому характеру поля глюон может порождать также
глюонные пары, и при определенных поляризационных состояни-
ях этих пар возникает эффект антиэкранировки (рис. 8.29, в).
В главном логарифмическом приближении as(#2) имеет вид
'l+Bas(q2o)ln(q2/q2o) Blu(q2/A2)'
(8.71)
где 5=C3 — 2/)/12п и во втором выражении сделана подстанов-
ка Л2 = <7оехР[— l/^as(<7o)]- Таким образом, если считать,
что число разных кварковых ароматов /<16, то получается,
что as(<72) уменьшается с ростом q2. Эффект самодействия
глюонов заключается в том, чтобы «размазать» цветовой
заряд, и этот эффект увеличивается при увеличении q2.
Указанное уменьшение as при больших q2 (или на малых
расстояниях) впервые детально обсуждалось Гроссом и Вил-
чеком (Gross, Wifezek, 1973 г.) и Политцером (Politzer, 1974 г.).
Из (8.71) следует, что при асимптотически больших q2
as(q2)->0, т. е. кварки ведут себя как свободные—явление,
названное асимптотической свободой; именно такое поведение
ожидается в партонной модели квазисвободных кварков. При
2\, таких, что q~Л, величина 0Ls(q2) становится очень
292
1/OCi
Рис. 8.30. Зависимость обратной величины бегущей константы связи от q2 для:
КЭД (слева), КХД (справа)
большой. Хотя в этой области теория не имеет смысла,
большая константа связи кварков может быть согласована
с удержанием кварков на больших расстояниях, что находит
отражение в потенциале (8.52).
Противоположное поведение а и а5 как функций показано
на рис. 8.30.
8.12.2. Эволюция структурных функций по переменной q2.
Теория дает количественные предсказания относительно эво-
люции кварковых распределений (структурных функций) по
q2 в пределе, когда cts\q2)<^l, так что верно приближенно
выражение (8.71) при о2»Л . Пусть и(х, ql) — кварковое
распределение при q2 = q\. Тогда, как объяснено выше, при
q2>q\ кварковое распределение может изменяться за счет
излучения глюона. Поскольку в задаче нет какого-то масштаба
или массы, относительное изменение и(х) будет пропорци-
онально относительному изменению q2, так что можно за-
писать (Altarelli, Parisi, 1977 г.):
q2du(x, q2)_du(x, q2)_
dq* d\nq2
(8.72)
Смысл этого уравнения очевиден из рис. 8.26,6. Кварк
с долей импульса х, поглощающий передаваемый импульс q,
возникает от кварка с долей импульса у>х, испустившего
глюон с долей импульса у—х. Вероятность излучения определя-
ется величиной <xs, а вероятность того, что излучающий глюон
кварк сохранит долю импульса z = x/y своего первоначального
импульса, описывается «функцией расщепления» Pqo(z). Фун-
кция PqQ, соответствующая излучению векторной частицы
фермионом, имеет следующий вид:
(8.73)
фермионом, имеет следующий вид:
Такая форма зависимости от z была на самом деле получена
еще Вайцзеккером и Вильямсом в 1934 г. для описания
излучения виртуального фотона электроном; коэффициент 4/3 —
цветовой множитель, возникающий в КХД (см. приложение И).
Уравнение (8.72) справедливо для распределений «валент-
ных» кварков и[х, q2) или d{x, q2) в нуклоне, которые можно
измерить из разностей сечений электрон-протонного и электрон-
нейтронного рассеяния или нейтрино- и антинейтрино-нуклон-
ного рассеяния, так как в этих разностях сокращаются эффекты,
связанные с QQ-парами из «моря». Эволюцию функций
распределения самих морских кварков можно описать урав-
нением, аналогичным (8.72), но содержащим два слагаемых,
так как глюоны могут превращаться в QQ-пары. Это приводит
к увеличению вклада морских кварков при малых х с ростом q2.
Самое существенное заключается в том, что при заданном
из эксперимента кварковом распределении и(х, q ) в области
х вплоть до 1 логарифмическая производная по q2, а следовате-
льно и эволюция распределения по q2, определяется величиной
ocs. Типичный пример кварковых распределений (структурных
функций), полученных в недавних экспериментах, приведен на
рис. 8.27,6. Имея такие данные, можно оценить <xs, а следовате-
льно и параметр Л, в выражении (8.71). Получены типичные
значения Л х О,1 ч-0,5 ГэВ. Малость Л в доступной эксперимен-
тальному исследованию области q2 указывает на то, что
значение ocs невелико (около 0,2) и что соответствующую
зависимость от q2 структурных функций трудно измерить.
_Имея экспериментальные данные для распределений Q(x)
и Q(x) как функций q2 и уравнения эволюции в КХД, можно
отсюда определить глюонную функцию распределения G(x, q2)
в нуклоне. В грубом приближении, если описывать импульсное
распределение формулой вида A-х)", то и^З для валентных
кварков, nzz5 для глюонов и nxl для морских кварков.
8.12.3. Сравнение кварковых и глюонных распределений в леп-
тон-нуклонном рассеянии н процессе рр->2 струи. В § 8.9 было
описано, каким образом двухструйные события в экспериментах
на /?/?-коллайдере позволяют измерить комбинацию структур-
ных функций
±) + Q(x)l (8.74)
где G(x), Q(x) и Q(x) обозначают распределения глюонов,
кварков и антикварков по долям импульса. Точки на рис. 8.31
294
Рис. 8.31. Точки соответствуют ком-
бинациям структурных функций
4 _
G+-(Q + Q) для глюонов, кварков
и антикварков, извлеченным из дан-
ных по двухструнным событиям
на рр-коллайдере в ЦЕРН (q2 =
= 2000 ГэВ2). Штриховая кривая—та
же комбинация, полученная из данных
по нейтрино-нуклонному рассеянию
при ?2 = 20ГэВ2. Сплошная кри-
вая— результат расчета этого распре-
деления и его эволюция согласно
КХД до значений д2 = 2000 ГэВ2 (при
Л=0,2 ГэВ). Штрихпунктирная кри-
вая— распределение, ожидающееся
только для кварков и антикварков
F
1
ю-1
to-*
т-З
\ °
-
i i
• -1/А2
Q-UA1
^Чг=2000
^. \
V \
I \\
\\
0,2
о,б
показывают (нормированные) данные, полученные в экспери-
ментах UA1 и UA2 на рр-кол лайд ере в ЦЕРН. Штриховая
кривая соответствует комбинации (8.74), вычисленной из дан-
ных по рассеянию нейтрино (например, рис. 8.27,6) при
#2 = 5-ь150 ГэВ2 со средним значением ^г2 = 20 ГэВ2. Сплошная
кривая — результат эволюции этого распределения к значению
q = 2000 ГэВ2, соответствующему данным, получаемым на
коллайдере, причем при вычислениях предполагалось, что
Л = 0,2 ГэВ. Имея в виду совершенно различную природу
обоих типов экспериментов, следует -признать, что степень
согласия в форме Р(х) поразительна. Отклонения при малых
х вполне ожидаемы: в этой области информация о глюонном
распределении из нейтринных данных очень ненадежна. Важ-
ность вклада глюонов подчеркивается штрихпунктирной кри-
вой, отвечающей вкладу только Q и Q.
8.13. КХД, ВЫВОДЫ
Мы видели, что успех партонной модели адронов, построен-
ных из квазисвободных кварков и глюонов, можно понять, если
считать, что взаимодействие между кварками при больших
передаваемых импульсах определяется сравнительно небольшой
цветовой константой связи, т. е. <xs<l. Данные, полученные на
рр-коллайдере, находятся в согласии с кулоновским A/г)
потенциалом для близких соударений (большие q2). Природа
трехструнных событий в е +е"-аннигиляции, а также эволюция
с q2 структурных функций нуклона согласуются с предсказания-
ми КХД, причем как эти
данные,
295
так и данные по рр-
соударениям требуют существования глюон-глюонного рассея-
ния за счет обмена глюонами, а следовательно, и трехглюонной
вершины взаимодействия, т. е. неабелевого характера КХД. Все
эксперименты подтверждают векторную природу глюона.
Как полевая теория КХД еще не проверена количественно
с той же точностью, как описанная в гл. 6 КЭД. Пробные частицы
в КЭД (лептоны и фотоны) существуют как свободные частицы,
в то время как кварки и глюоны заперты внутри адронов.
В результате интерпретация данных эксперимента усложняется
благодаря «обмену информацией» между тем кварком в нуклоне,
который принимает участие в жестком соударении (с лептоном
или кварком из другого адрона), и другими кварками —
«наблюдателями». Связь осуществляется через глюонный пропа-
гатор, так что указанные эффекты ведут себя как 1 /q2, I /q4 и т. д.,
т. е. должны становиться менее существенными при больших q
по сравнению с зависимостью основного процесса от <xs« l/lnq2.
Один из мотивов постройки ер-коллайдера на сверхвысокие
энергии (см. табл. 2.1), способного достигать значений qzz
20000 ГэВ2, заключался в том, чтобы избежать указанных
вкладов «высокого твиста» в изучаемые процессы.
Из неабелевой природы КХД вытекает, что as должна
убывать логарифмически с ростом q2; полученные результаты
согласуются с таким поведением, но все еще не доказывают его.
Наконец, мы хотим еще раз подчеркнуть, что при малых q2
величина as становится большой и подход, основанный на
теории возмущений (разложение по степеням ocs), обсуждавший-
ся выше, становится бессмысленным. В частности, до сих пор
непонятен механизм удержания цвета на больших расстояниях.
Несмотря на все эти недостатки, никто не сомневается,
что КХД оказалась необычайно успешной теорией, и в конеч-
ном итоге войдет важной составной частью в будущую полную
полевую теорию сильных взаимодействий.
ЗАДАЧИ
8.1. Показать, что если в (8.12), полученном в рамках партонной модели, не
пренебрегать массой М нуклона или массой т рассеянного партона, то доля
импульса нуклона, уносимая начальным партоном, определяется выражением
М2 х2—т2
-=х\ I I-
где считается, что q2»M2x2 или т2 и, как обычно, x=q2/BMv).
8.2. Предполагая, что импульсные распределения кварков и антикварков
в нуклоне и пионе имеют вид А A —л:K и 5A —х) соответственно, найдите выражение
для инвариантного сечения образования мюонных пар массой т в пион-нуклонных
соударениях в пределе, когда T=m2/s мало (s—квадрат энергии в СЦИ).
8.3. Пусть в конкретном эксперименте найдено, что отношение полных
сечений рассеяния нейтрино и антинейтрино на нуклонных мишенях Л = 0,5.
296
Получите отношение доли импульса, приходящегося на кварки, к доле
импульса, приходящегося на антикварки, в нуклоне и вычислите среднее
значение у [определенное в (8.17)] для нейтринных и антинейтринных событий.
8.4. Покажите, что при больших q2 упругий формфактор нуклона
в выражении F.28) имеет вид, который можно ожидать в рамках КХД,
если считать, что кварк, испытывающий соударение, и кварки-«наблюдатели»
испытывают когерентную отдачу и их взаимодействия обусловлены одноглю-
онным обменом.
8.5. Пусть импульсные распределения {/-кварков в протоне и ^-кварков
в антипротоне имеют вид
где х — бьеркеновская переменная (доля импульса нуклона, уносимая кварком).
Считая, что кварки в целом уносят половину импульса нуклона, найдите
а{ и а2.
Используя значение сечения Сто в пике для процесса ud-> W *, получа-
ющегося из G.69), проинтегрируйте сечение по приведенному выше кварковому
распределению и вычислите сечение ст процесса pp-*W+ +... как функцию
энергии y/s в СЦИ пары pp. Выразите ст через Сто, p=Mw/s и полные
ширину Tw и массу Mw промежуточного векторного бозона. Оцените ст для
значений У7=О,3; 1,0 и 10 ТэВ (М^ = 83 ГэВ, iV = 2,7 ГэВ).
ГЛАВА 9
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И ИХ ОБЪЕДИНЕНИЕ
Как отмечалось в гл. 1, в природе встречается несколько
типов фундаментальных взаимодействий между частицами
и соответствующих полей. Каждое поле обладает индивиду-
альными характеристиками, такими, как свойства по отноше-
нию к пространственно-временным преобразованиям (вектор,
тензор и т. п.), совокупность законов сохранения, выполня-
ющихся в данном взаимодействии, характерная константа
связи, определяющая сечения реакций и т. п. (см. гл. 1).
Тот факт, что, например, интенсивность гравитационного
взаимодействия между двумя протонами составляет всего
108 от их электростатического взаимодействия, всегда
представлялся загадочным и вызывающим, и было сделано
множество попыток понять связь между различными
707
фундаментальными полями. В последние годы стало модным
полагать, что сильное, слабое, электромагнитное и гра-
витационное взаимодействия являются разными проявлениями
единого универсального взаимодействия, которое имеет
место при каких-то колоссально высоких энергиях. При
значительно меньших энергиях необходимо предположить,
что подобная симметрия взаимодействий по каким-то
причинам полностью нарушена, причем масштаб масс
или энергий, при которых это происходит, ничтожен
по сравнению с энергией объединения, но достаточно
велик, чтобы привести к разительным отличиям в ха-
рактеристиках взаимодействий, доступных измерению в ла-
бораторных экспериментах.
Первая успешная попытка объединения двух взаимодействий
была осуществлена Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 г.
Он показал, что электричество и магнетизм могут быть
объединены в рамках единой теории, включающей векторное
поле (электромагнитное поле), взаимодействующее с зарядами
и токами. В уравнения Максвелла потребовалось ввести одну
произвольную константу, названную скоростью света с, которая
не предсказывается теорией и должна определяться из экс-
перимента. В конце 1960-х годов Вайнберг, Салам и Глэшоу
показали, как можно попытаться рассматривать электромаг-
нитное и слабое взаимодействия как разные проявления единого
электрослабого взаимодействия, определяемого одной и той
же константой е. Такая симметрия между электромагнитным
и слабым взаимодействиями должна проявляться при очень
больших передаваемых импульсах (q2> 104 ГэВ2). При низких
энергиях эта симметрия является нарушенной; из четырех
векторных бозонов, входящих в теорию, один (фотон) — безмас-
совый, а другие—W+, W~, Z°—массивны. Таким образом,
слабые взаимодействия, по сравнению с электромагнетизмом,
являются короткодействующими и малыми по интенсивности.
Позднее были предприняты амбициозные попытки рас-
пространить объединение взаимодействий и далее, включив
также сильные и гравитационные взаимодействия. Хотя на
последних страницах этой главы мы и обсуждаем кратко так
называемые теории великого объединения, сами эти идеи
весьма спекулятивны и в настоящее время имеют очень мало
поддержки со стороны эксперимента.
9.1. ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ В КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
В гл. 1 и 3 отмечалась желательность формулировки та-
ких квантовых теорий поля, которые обладали бы свойст-
298
вом перенормируемости, означающим, что амплитуды раз-
личных процессов, связанных с взаимодействием, должны
«хорошо себя вести», т. е. не содержать расходимостеи
при высоких энергиях и в высоких порядках теории возмуще-
ний по константе связи. Прототип всех теорий поля, а имен-
но, квантовая электродинамика (КЭД), содержит на самом
деле расходящиеся выражения, связанные с интегралами
по промежуточным состояниям, однако показано, что эти
расходимости всегда могут быть поглощены переопределе-
нием «голых» лептонных зарядов и масс, являющихся в лю-
бом случае произвольными, и приравниванием их физичес-
ки измеряемым величинам. Таким образом, можно сказать,
что теория перенормируема, если ценой введения конеч-
ного числа произвольных параметров (определяемых из экс-
перимента) предсказываемые амплитуды физических процессов
остаются конечными при всех энергиях и во всех порядках
теории возмущений по константе связи. КЭД является при-
мером (в течение многих лет единственным) такой теории.
В ней имеется небольшое число произвольных констант: h,
е и т (масса электрона). Экспериментальные тесты КЭД
описаны в гл. 6.
В противоположность этому ранние теории слабых вза-
имодействий, приводя к хорошему поведению амплитуд
при низких энергиях и в первом порядке, содержали рас-
ходимости в более высоких порядках, которые могли быть
устранены только ценой введения бесконечно большого
числа произвольных констант, так что в результате по су-
ществу терялась всякая предсказательная сила подобных
теорий. Таким образом, хорошее поведение при больших
энергиях и сокращение расходимостеи являются существенными
требованиями к любой физической теории. Сама процедура
перенормировок технически очень сложна и выходит за рамки
данной книги, так что мы отметим лишь, что свойство
перенормируемости оказывается связанным со свойством ин-
вариантности взаимодействия по отношению к калибровочным
преобразованиям, о чем речь пойдет ниже (см. также § 3.6).
Неудивительно поэтому, что в последние годы было уделено
большое внимание развитию обобщенных калибровочных те-
орий, которые также приводят естественным образом к объ-
единению различных фундаментальных взаимодействий.
9.2. РАСХОДИМОСТИ В СЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ
В противоположность КЭД фермиевская V—А -теория
слабых взаимодействий приводит к очень сильным рас-
ходимостям. Напомним, что в фермиевской теории C-распада
299
предполагается, что четыре участвующих в процессе фермиона
обладают контактным взаимодействием, определяемым ко-
нстантой Ферми G. Примером может служить процесс
(9.1)
Сечение такого точечного взаимодействия определяется фор-
мулой (8.19), если использовать (8.14) для подстановки
qi = 2M\ = 2MEy.
do/dq2 = G2/n, (9.2)
где q2—квадрат передаваемого импульса. Тогда полное сечение
равно
, * G2 2 2G2mE G2s
°tot W) = — 4max = - = , (9.3)
Я Л Л
где т — масса электрона, Е—энергия начального нейтрино,
s—квадрат энергии в СЦИ (s = 2mE). Сечение зависит только
от G и от фазового объема р*, который растет с ростом
импульса в СЦИ как p*2 = s/4 (полагаем, что Е»т).
Сечение такого процесса упругого рассеяния можно полу-
чить также, исходя из волновой теории [см. D.45) и D.55)],
откуда при г) = 0, спине 1/2 для электрона-мишени и в случае
точечного рассеяния (/=0) находим
) 2, (9.4)
где X = h/p*— длина волны в СЦИ. Таким образом, (9.3)
предсказывает, что CTlot>CTmax> когда
4G2p*2/n>n/2p*2
или когда
(УI/2 (9.5)
Итак, при достаточно больших энергиях теория Ферми
предсказывает такое сечение, значение которого превышает
предел, полученный в волновой теории и определяемый
условием, что интенсивность рассеянной волны не может
превышать интенсивность падающей в любой парциальной
волне; часто это требование называют унитарным пределом.
Основная причина плохого высокоэнергетического поведения
V—А -теории (которое становится еще хуже, если рассмат-
риваются процессы более высокого порядка по G, т. е. порядка
G, G4 и т. д.) заключается в том, что G имеет размерность
обратной степени энергии. Таким образом, следует как-то
переопределить слабое взаимодействие, введя безразмерную
константу связи.
300
Предложение о введении промежуточного векторного бозона
W* слабых взаимодействий обсуждалось в § 7.13. Эффективно
это сводится к введению в амплитуду рассеяния пропагатора
A +q2/Mw)~1, что «размывает» взаимодействие на область
конечных размеров порядка Mwl, так что atot в (9.3) стремится
при больших энергиях к значению G2M\,\n. Унитарный
предел в данной парциальной волне все еще нарушен, но
уже только логарифмически. Однако квадратичные расходи-
мости возникают все же в других, более экзотермических
процессах; например, для реакции vv^>W+ W~ сечение atot~5.
Поэтому необходим такой механизм, который бы устранял
расходимости в слабых взаимодействиях последовательно и во
всех порядках по G.
9.3. ВВЕДЕНИЕ НЕЙТРАЛЬНЫХ ТОКОВ
На рис. 9.1, а показана одна из таких «норовистых» диа-
грамм, приводящих к квадратичным расходимостям (для
продольно поляризованных И^-бозонов). В принципе можно
сократить эту расходимость, введя adhoc нейтральный бозон
Z0, либо новый тяжелый лептон Е+ (с тем же лептонным
числом, что и у е~ и ve), либо и то, и другое с должным
образом подобранными константами связи. Заметим, что
диаграмма на рис. 9.1,6 содержит нейтральный ток, в пользу
существования которого имеются, как обсуждалось в § 7.10,
экспериментальные свидетельства. В настоящее время нет
свидетельств существования третьего лептона электронного
типа Е + , так что далее мы не будем рассматривать воз-
можность устранения расходимости, отраженную на диаграмме
рис. 9.1, в.
Аналогично электромагнитный процесс е + е~-+W+ W~, диа-
грамма которого показана на рис. 9.2, а, также расходится,
и сокращение расходимости в данном порядке может быть
достигнуто постулированием существования нейтрального век-
торного бозона Z°, как показано на рис. 9.2,6. Хотя в принципе
сокращение расходимостей в процессах, описываемых диаграм-
мами на рис. 9.1 и 9.2, может быть обеспечено двумя разными
частицами Z0 и Z?, более экономно обойтись одной. Похоже,
9w
а) 5) в)
Рис. 9.1. Диаграммы, приводящие к квадратичным расходимостям
301
Рис. 9.2. Диаграммы процесса е+ е ->W+ W
что природа выбрала этот путь. Тогда ясно, что константа
слабого взаимодействия Z0-6o30Ha gw должна быть близка
по значению электромагнитной константе е. Иными словами,
два поля объединяются, причем (не считая численных множи-
телей порядка единицы) одна и та же константа связи gw&e
управляет взаимодействием лептонов с промежуточными бо-
зонами (f, Z° и у. Из рис. 9.3, а также используя G.56),
видим, что в пределе малых q2
lim
gw
q2 + M2w
или, полагая gw = e, получаем
(9.6)
(9.7)
Подставляя е2 = 4п/\31, С=10~5ГэВ~2 (в единицах Й = с=1),
получаем
Mw,zox\00 ГэВ. (9.8)
Это приближенное значение массы, которую должны иметь
W- и Z°-4acTHUbi, если их константа связи должна быть
такой же, как в электромагнетизме, и эти частицы должны
приводить к эффективному четырехфермионному взаимодей-
ствию с константой порядка G в слабых взаимодействиях
при низких энергиях.
На самом деле, мы требуем, чтобы введение Z0 с правильной
константой привело бы к исчезновению всех расходимостей
в процессе е+е~-»W+ W~. Это оказывается верным только, если
пренебречь массой электрона. В случае конечной массы электрона
Рис. 9.3. Точечное четырехфермионное взаимодей-
ствие и обмен >У-бозоном'
302
сохраняются остаточные расходимости, которые должны устра-
няться введением дополнительных скалярных частиц со специаль-
но подобранными константами связи, пропорциональными массе
лептона. Такие частицы называются хиггсовскими скалярами.
9.4. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ В КЭД
Вспомним прежде всего обсуждение калибровочной инвари-
антности в § 3.6. Там было показано, что квантовомеханическое
описание экспериментов с заряженными частицами можно
сделать инвариантным относительно локальных фазовых преоб-
разований волновой функции частицы, если ввести дальнодей-
ствующее поле, связанное с зарядом (электромагнитное поле),
и совершить подходящее одновременное локальное калиб-
ровочное преобразование электромагнитного потенциала. Ма-
тематически эти рассуждения принимают следующий вид.
Рассмотрим фазовое вращение волновой функции заряжен-
ной частицы \|/(х), где х—пространственно-временные коор-
динаты вида
1|/(хЬехрИ(х)Жх), (9-9)
где е—электрический заряд частицы. Тогда градиент волновой
функции
где индекс ц пробегает значения от 1 до 4, нумеруя
пространственные и временную компоненты. Уравнения движе-
ния включают члены вида \|/*(д:)Зц\|/(х), которые, очевидно,
неинвариантны по отношению к такому локальному фазовому
преобразованию. Запишем, однако, локальное калибровочное
преобразование потенциала Ац электромагнитного поля, связан-
ного с зарядом:
А»{х)^Ац{х) + д^{х), (9.10)
при этом добавление производной от любой скалярной функции
Q(x) к четырехвекторному потенциалу оставляет уравнения
Максвелла инвариантными. Заменим также 5Ц на ковариантную
производную, определяемую как
?>M = 3M-i^M, (9.11)
что совпадает с выражением C.25), если ввести дифференци-
альные операторы (/?= —ibd/dx^. В результате одновременного
фазового преобразования Зц\(/(х) и калибровочного преоб-
разования А^(х) получаем
зоз
?)ц\|/(х)ч-»ехр[кв(;с)] х
()ц()] [кв(х)]Дц1|/(х), (9.12)
так что теперь \|/*(х)?)ц\|/(;с) остается инвариантным. Тот
факт, что нужно использовать /)ц вместо Зц, уже определяет
форму взаимодействия (еА^) заряженной частицы с полем.
Как отмечалось в гл. 3, калибровочная инвариантность эле-
ктромагнитного взаимодействия приводит к сохранению тока
(сохранению заряда) и безмассовости бозонов1 (фотонов),
связанных с Ац. Самое важное то, что теория сохраняет
высокую степень симметрии и, как результат этого, оказывается
перенормируемой, т. е. расходящиеся члены систематически
сокращаются в каждом порядке по константе связи е.
9.5. ОБОБЩЕННАЯ КАЛИБРОВОЧНАЯ
ИНВАРИАНТНОСТЬ
Бесконечная совокупность фазовых преобразований (9.9)
образует группу, называемую U(l). Так как 0(х) — скалярная
величина, группа U(l) является абелевой. Однако возможны
более сложные фазовые преобразования, задаваемые неком-
мутирующими операторами, и в этом случае они образуют
так называемые неабелевы группы. Подобные калибровочные
преобразования были рассмотрены в 1954 г. Янгом и Миллсом
и включают поля, отвечающие как заряженным, так и нейтраль-
ным безмассовым бозонам. Конкретно Янг и Миллс рас-
смотрели изоспиновую группу SUB), включающую неком-
мутирующие матрицы Паули т = х15 х2, х3 (см- приложение Б).
Напомним, что закон сохранения изоспина в сильных вза-
имодействиях требует инвариантности по отношению к изос-
пиновым вращениям [см. C.14)]:
iHexp(igTA)v|/, (9.13)
где А — произвольный вектор, вокруг которого совершается
вращение в «изоспиновом пространстве», a g—константа.
И снова можно потребовать, чтобы А(х) выбирался произ-
вольно в разных точках пространства-времени х. Например,
можно независимым образом в разных местах выбрать два
состояния \|/ нуклона в виде протона или нейтрона. Точно
' Если бозоны массивны, калибровочная инвариантность разрушается
и может быть восстановлена только введением дополнительных взаимодействий
(хигтсовских скаляров).
304
так же, как в электромагнетизме, калибровочно инвариантное
описание может быть получено введением безмассового изовек-
торного поля \УЦ с заряженными и нейтральной компонентами
и сильной константой связи g, аналогичной е. Инвариантность
выражения \|/*/)ц\|/ по отношению к преобразованиям (9.13)
достигается введением ковариантной производной вида
А, = дц-1*т,\Уц, (9.14)
где бесконечно малое калибровочное преобразование поля
\УЦ задается формулой
(9.15)
Дополнительный по сравнению с (9.10) член связан с тем,
что изоспиновые матрицы т = хA), тB>, тC> не коммутируют1.
Справедливость утверждения об инвариантности i|/*Z>M\|/ от-
носительно преобразований (9.13) и (9.15) можно проверить,
выписав выражение для \|/*/)ц\|/ в случае, когда А является
бесконечно малой величиной. Тогда, пренебрегая членами
второго порядка по А, имеем
AxWM]i|/. (9.16)
Второе слагаемое в (9.16), записанное через изовекторные
компоненты /, j, к, равно:
= °- (9.17)
Итак, включение слагаемого с векторным произведением
в (9.15) приводит к локальной калибровочной инвариантности.
Наличие этого слагаемого влечет за собой взаимодействие
WM со всеми частицами, обладающими изоспином, а сле-
довательно с самим собой. Таким образом, бозоны \УЦ в одно
и то же время являются переносчиками и частью источника
изоспинового поля. Похожим примером может служить гра-
витация, где кванты поля — безмассовые гравитоны, пере-
носящие взаимодействие между массами; но поскольку
гравитоны несут энергию и импульс, они сами являются
источниками гравитационного поля. Аналогично мы видели,
1 Изовекторные величины здесь набраны прямым полужирным шрифтом,
а верхние индексы указывают на декартовые компоненты в «изоспиновом
пространстве». Нижний индекс ц (ц=1...,4) нумерует пространственно-времен-
ные компоненты ср-вектора.
20 Заказ 416 305
о.
а)
Рис. 9.4. Вершина взаимодействия ееу (а); диаграмма, описывающая эффект
самодействия глюонного поля в КХД (б)
что в калибровочной теории сильных взаимодействий, вклю-
чающей неабелеву калибровочную группу цвета SUC), кванты
(глюоны) цветового поля сами несут цветовой заряд и поэтому
обладают самодействием (рис. 9.4).
Отметим, однако, что гипотетические заряженные бозо-
ны изоспинового поля являются безмассовыми, как фотон,
и мы приходим к выводу, что изоспиновая симметрия
в адронных взаимодействиях не может быть (и не являет-
ся) точной, поскольку не существует безмассовых заряжен-
ных частиц.
9.6. МОДЕЛЬ ВАЙНБЕРГА —САЛАМА SUB)xU(l)
В 1967—1968 гг. Вайнберг и Салам предложили калиб-
ровочную теорию, объединяющую слабые и электромагнитные
взаимодействия — так называемые электрослабые взаимодейст-
вия, основанную на симметрии по отношению к SUB)-rpynne
«слабого изоспина» / и U(l)-rpynne «слабого гиперзаряда»
Y (фазовые преобразования). Они призвали на помощь процесс,
называемый «спонтанным нарушением симметрии», который
позволяет придать массу калибровочным бозонам, не разрушая
перенормируемости теории. Это может быть достигнуто с по-
мощью изоспинового дублета скалярных мезонов — хиггсовских
скаляров, которые генерируют массу в результате самодействия
и о которых упоминалось выше в связи с устранением
расходимостей в процессе е + е~ -*W+ W (рассмотрение этих
вопросов выходит за рамки данной книги, и мы отсылаем
читателя к библиографии в этой главе). Ценой введения
дополнительных скалярных частиц кванты поля «слабого
изоспина» приобретают массу и теория остается перенормиру-
емой. Критический вопрос о иеренормируемости был разрешен
т'Хофтом в 1971 г.; до этого момента теория не восп-
ринималась достаточно серьезно. Фундаментальными вектор-
ными бозонами являются безмассовый изовекторный триплет
у/цг\?\ W™ W™ (для SUB)) и безмассовый изосинглет
306
Вц [для U(l)]. В результате спонтанного нарушения симметрии
три бозона (обозначаемые W*, W~ и Z°) приобретают
массу, а один (фотон Лц) остается безмассовым. Эти четыре
бозона являются определенными комбинациями полей WM и /?ц,
о чем будет речь ниже. В модели нет новых лептонов,
и сокращение расходимостей на рис. 9.1 полностью осущест-
вляется нейтральным бозоном Z .
Энергия взаимодействия (обычно представляемая так на-
зываемой плотностью лагранжиана if) фермионов с полями
WM, Вц является произведением фермионных токов и полей
и имеет вид
^=sVWM+gVMrB,, (9.18)
где JM и Уц представляют соответственно изоспиновый и гипер-
зарядный токи фермионов (лептонов или кварков), a g и g'—
константы взаимодействия этих токов с \УЦ и Вц, аналогичные
заряду е в (9.11). Чтобы избежать далее выписывания множи-
телей типа двойки, определим слабый гиперзаряд формулой
Y=Q — I3 [а не формулой 2(g — /3) для сильного гиперзаряда
в E.1)], где Q — электрический заряд, /3 — третья компонента
слабого изоспина. Тогда
Jl=JZu-J$\ (9-19)
где УцМ — электромагнитный ток, связанный с зарядом Q,
а У[,3>—третья компонента изоспинового тока JM. Физические
бозоны включают заряженные частицы W^ и нейтральные
частицы ZM и Ар (фотон). Поле фотона берется в виде
линейной комбинации полей W^ и Вп. Таким образом,
можно положить (приложение В):
где, как и положено,
Отсюда
\?{*] и
ортогональны (<
(9.20)
(9.21)
(9.22)
|Яц> = 0).
где y^/^ +
20*
307
Подставляя выражения для W{^ и Вц из (9.21) и (9.22)
и полагая
g'/g=tgBw, (9-23)
получаем
слабый ЗТ слабый НТ
+g sinG^ J^A». (9.24)
т
электромагнитный НТ
Из этого выражения видно, что взаимодействие содержит
слагаемые с меняющим заряд слабым током, слабым нейтраль-
ным током и электромагнитным нейтральным током, для
которого, согласно (9.11), константа связи должна быть равна
е. Следовательно,
e=gsinQw. (9.25)
Угол 'Gjp называется слабым углом смешивания (или углом
Вайнберга).
Рассмотрим теперь электрослабое взаимодействие лептонов.
Как и в случае калибровочных бозонов, лептонам приписыва-
ются слабый изоспин и слабый гиперзаряд. Известно, что
слабое взаимодействие заряженных токов (переносчиком ко-
торого является W±) нарушает четность и связывает, например,
левые состояния нейтрино и электрона. Но электромагнитное
взаимодействие [последнее слагаемое в (9.24)] сохраняет чет-
ность и включает как левые, так и правые состояния электрона.
Поэтому лептонные состояния разделяются на левый дублет
и правый синглет по следующей схеме:
ve\/=l/2, /,= + 1/2, 6 = 0
) /=1/2, /3=-1/2, e=-j
(е") /=0, б=-1, Г=-1. (9-26)
Лептонные волновые функции в (9.26) нормированы на
единицу для электронного состояния (как левые, так и правые
компоненты). С учетом этой нормировки меняющие заряд
лептонные токи в (9.24) определяются как
(9.27а)
M (9.276)
308
где x±=x1±h2— операторы Паули (Б.5) (см. приложение Б),
относящиеся к описанию систем с /= 1/2. Тогда третий член
изоспинового триплета токов будет иметь вид
^^hL). (9.27в)
Сравним теперь (9.27, а, 6) с предыдущим определением
матричного элемента заряженного тока G.27). Используя (9.24)
и переходя к пределу q2<^.M2v, так, чтобы пропагатор Издавал
множитель \/Муу, получаем
так что
после чего из (9.25) следует, что
»2 /т\1/^ / „2 /-> \ Ч-i 37 4
8G
(9.28)
и этот результат можно сравнить с нашей первой грубой
оценкой (9.8).
Чтобы получить предсказание для массы Z0, напомним,
что когда мы имеем дело с бозонами (описываемыми урав-
нением Клейна—Гордана A.6)], массовая матрица включает
квадраты бозонных масс [как в случае смешивания векторных
мезонов в E.19)]. Обращая соотношения (9.21) и (9.22),
находим @ = 0^):
так что, используя эмпирический факт (фотон не имеет массы,
и его волновая функция ортогональна к волновой функции
Z0), получаем:
309
где MBW и MZy — недиагональные массовые члены. Опуская
их, легко находим, что
М,„ 75
Mz»=—^=-r~-ГэВ. (9.29)
cos 9^ sin29r
Полученные предсказания для значений масс бозонов справед-
ливы в рамках простейшей модели (Салама — Вайнберга)
спонтанного нарушения симметрии, включающей один слабый
изоспиновый дублет скалярных (хиггсовских) частиц. Возможна
и более сложная структура хиггсовского сектора теории
(например, изотопический триплет), и это приводит к появле-
нию большего числа физических хиггсовских бозонов, так что
(9.29) перестает быть справедливым. Второе слагаемое в (9.24),
определяющее относительное значение константы связи ней-
тральных токов, приобретает дополнительный множитель р,
так что (9.29) заменяется на
M2zo = Mb,/pcosQw. (9.30)
Однако все имеющиеся на сегодняшний день эксперименты
согласуются со значением р=1, что указывает на справед-
ливость простейшей модели.
9.6.1. Константы связи нейтральных токов фермионов. Как
следует из (9.24) и (9.26), левые и правые константы связи
фермионов с Z (нейтральный ток) имеют коэффициенты
gi=I3-Qsm2QWt gR=-Q sin2 Bw, (9.31)
где Q — электрический заряд в единицах \е\,
а /3 = + 1 /2 — третья компонента слабого изоспина. Так как
векторные (аксиально-векторные) взаимодействия связывают
левые и правые состояния с одинаковым (противоположным)
знаком, V- и А -коэффициенты равны:
Cv=gL+gR = h-2Q sin2Qw, cA=gL-gR = I3. (9.32)
Соответствующие значения квантовых чисел для заряженных
лептонов и нейтрино уже указаны в (9.26). Для и-, с-
и /-кварков с g= +2/3 значение /3= +1/2, для d-, s- и ^-кварков
с Q= — \/3, /3 = —1/2. Таким образом, можно записать:
Фермион 2cv 2cA
е, ц, т -l+4sin20^ -I K }
и, с, t l-8/3sin20^ I
d, s, b - 1+4/3 sin2 0^ -1
Заметим, что для заряженных лептонов и кварков при конечных
значениях sin2 Qw коэффициенты су и сА имеют разные значения,
310
т. е. нейтральные токи дают разные вклады вК-и ^-амплитуды
в отличие от V—^-заряженного тока. Константы связи для
античастиц получаются переменой местами gL и gR в (9.31).
9.7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
СУЩЕСТВОВАНИЯ НЕЙТРАЛЬНЫХ ТОКОВ В МОДЕЛИ
ВАЙНБЕРГА — САЛАМА
Теория Вайнберга — Салама приводит к некоторым пред-
сказаниям, в которых участвует один свободный параметр
sin28|p. Первое важное предсказание заключается в сущест-
вовании нейтральных слабых токов. Оно было проверено
в 1973 г. (см. гл. 7), сейчас мы обсудим это более детально.
Второе, еще более волнующее, предсказание относится к су-
ществованию массивных бозонов W± и Z0, причем массы
и характеристики распада определяются параметром sin28»'
и указанной выше структурой слабых токов. Открытие этих
бозонов также было описано в гл. 7, а более детальное
обсуждение содержится ниже.
9.7.1. Рассеяние нейтрино на электронах. Пионерский экс-
перимент, продемонстрировавший существование процесса рас-
сеяния vMe->vMe, обусловленного нейтральными токами, был
описан в § 7.10. На рис. 9.5 показаны различные процессы,
включающие нейтральные (и заряженные) токи в рассеянии
нейтрино на электронах.
В пределе малых q2 матричный элемент ve рассеяния за
счет нейтральных токов с обменом Z0-6o30Hom имеет, согласно
(9.24), вид
где, пользуясь (9.27в),
^
причем cv и сА определены в (9.32). Используя (9.28) и (9.29),
находим
311
e e
a)
в)
vee-*-vee
)
Рис. 9.5. Диаграммы рассеяния электронных и мюонных
нейтрино и соответствующих антинейтрино на электро-
нах
v
где мы использовали значения Cv = cvA= 1/2 из (9.33) и опре-
делили cv = cv, ceA — cA. Вводя с помощью (9.32) правые и левые
константы связи электрона с Z0, получаем
()]
Используя это выражение и (8.19), (8.20) (см. также приложение
Е), определяем сечение:
(9.34)
312
где Е—энергия нейтрино; т — масса электрона-мишени (Е»т)
и уЕ—энергия электрона отдачи. Значения gL и gR приведены
в табл. 9.1 для разных реакций рис. 9.5.
Таблица 9.1. Константы связи нейтрино с электроном в модели
Вайнберга—Салама
Рис. 9.5
а
б
в
г
Процесс
v e—>v e
vee—vee
vee—vee
gL
-- + sin2e,r
sin^
1 2
- sin w
sin2e.
gK
sin^e.
i
2 w
sm4w
1 . 2
- sin w
Реакции, представленные на рис. 9.5, а и б, обусловлены
только обменом Z0 (нейтральный ток). Константы связи для
антинейтрино получаются из соответствующих констант для
нейтрино заменой gL<->gR. Реакции на рис. 9.5,в и г обуслов-
лены обменом как Z0, так и W + , т. е. как нейтральным,
так и заряженным токами, причем для последнего gL = 1,
gR = 0 (на рис. 9.5,в) и gR=\, ^l = 0 (на рис. 9.5,г). Добавляя
эти значения к предыдущим, получаем приведенные в таблице
результаты.
Сечения реакций на рис. 9.5, а и б были измерены в несколь-
ких нейтринных экспериментах на ускорителях с использова-
нием пузырьковых камер и счетчиков. Данные, основанные
на полной статистике примерно 400 событий, что просто
связано с очень малыми значениями сечений
(g/Evx10~42 cm2 -ГэВ), приводят к следующей оценке:
sin28,y = 0,22+0,03. (9.35)
9.7.2. Электрослабая интерференция в процессах i + i~->|i + |i~,
т+т~. Как было пояснено в § 6.6, угловое распределение
в этом процессе при высоких энергиях не соответствует
предсказаниям чистой КЭД, так как вклад в процесс дают
две диаграммы, связанные с обменом фотоном и Z -бозоном
(рис. 9.6). Складывая амплитуды, отвечающие этим диаграм-
мам, и возводя в квадрат, получаем (s — квадрат энергии
в СЦИ)
da da х„ „ . da
(9.36)
I
I
I
G2s
313
Рис. 9.6. Диаграммы процесса е+е -»Ц+Ц за счет
обмена у и Z0
Первое слагаемое соответствует только фотонному обмену,
последнее — обмену Z0, а второе слагаемое представляет собой
интерференционный член. Если G2s<ct2/s, что справедливо
при 5<a/G%103 ГэВ2, относительная величина интерференци-
онного члена будет порядка Gs/a. Поскольку взаимодействие
нейтральных токов есть смесь V- и Л-связей, ожидается
асимметрия вперед — назад в угловом распределении мюонов
(летящий «вперед» \i+ двигается в том же направлении, что
и начальный е+).-^Вычисленная асимметрия равна
где
причем в это выражение включен множитель, связанный
с пропагатором Z0, который существен, если s не пренебре-
жимо мало по сравнению с М\. Величина А зависит только
от сА. На рис. 6.8 показаны результаты, полученные на
коллайдере PETRA, из которых было найдено, что
Л = (-7,6±1,9)% при л* 1000 ГэВ2. Предполагая, что р=1,
можно определить сА из А, хотя векторная связь лептонов
cZ° известна очень плохо (из полных сечений). На диаграмме
рис. 9.7 отложены значения cv и сА, полученные из имеющихся
данных. Заметим, что величина А определяет сА, так что
существуют два решения. На этом же рисунке показаны
результаты для сА, cv, полученные из описанных ранее
экспериментов по рассеянию нейтрино и антинейтрино на
электронах, для которых тоже получаются два решения
[соответствующие, как это ясно из (9.34), замене cv на
сА и наоборот, см. по этому поводу задачу 9.2]. При
получении результата (9.35) предполагались определенные значе-
ния констант связи в модели, и затем течение подгонялось
под данное значение sin20Wr.
Взятые вместе, две совокупности экспериментов приводят
к одному решению cvx0 и сА= —1/2, в точности согласу-
314
0,5-
-0,5-
-1
тАе-*гуе
0 0,t^^
i
i 1
1
-0,5
0,5
Рис. 9.7. Зависимость аксиально-векторных коэффициентов связи сл заряженных
лептонов с Z0 (нейтральный слабый ток) от векторных коэффициентов этой
связи су [см. (9.33)]. Разрешенные области, полученные из измерений сечений
vve и v^e рассеяния, соответствуют двум решениям: сля —0,5, суъО и cv~ — 0,5,
СдйгО. Разрешенные области, найденные области; найденные из измерений
асимметрии в процессе е+е~->ц + ц~ соответствуют сА« +0,5. Оба эксперимен-
та совместно приводят к единственному решению, выделенному на рисунке
дважды заштрихованной областью, со значением sin2 (V«0,25 (Wu, 1984 г.)
ющемуся со стандартной моделью Вайнберга — Салама и значе-
нием sin20^*0,25 см. (9.33). Важность экспериментов по
аннигиляции е+е~ заключается в том, что они демонстрируют
существование электрослабой интерференции на предсказыва-
емом уровне.
9.7.3. Глубоконеупругое рассеяние нейтрино на нуклонах.
Обусловленное нейтральным током сечение рассеяния нейтрино
на протонах, происходящее через рассеяние на кварковых
составляющих, немедленно получается из (9.34), если заменить
т на хМ, где х—доля импульса нуклона, уносимая кварком см.
(8.14), и воспользоваться результатами (9.33) для констант связи
нейтральных токов кварков. Для простоты рассмотрим только
и- и (/-кварки (пренебрежем вкладом п-, d-, s-, ... составляющих).
Записав энергию рассеянного кварка как уЕ, где Ё—энергия
начального нейтрино, получим (полагая s = sin2Qw)
rfV(HT) G2MExn,
+{\-yJ{(-4s/3Ju(x)+{2s!3Jd{x)}l
315
где и(х), d(x) — плотности кварков при данном значении х.
Выражение для нейтронной мишени получается заменой и(х)
() В результате сечение на нуклоне оказывается равным
V"() G2MExv . v . .,г/ 2 ,
[() + /()] [A +10*2/9-2*)+
(9.38)
Сечение для антинейтрино получается простой перестановкой
множителя A— уJ между двумя слагаемыми в скобках.
Для реакций, обусловленных заряженными токами, из
выражений (8.22), (8.27) и (8.28) следует, что в том же
приближении, когда можно пренебречь антикварками:
2avN
(9.39)
dxdy 2я [»
Интегрируя эти выражения по х и у, получаем отношения
сечений, обусловленных нейтральными и заряженными токами,
^^sm4Qw, (9.40)
{){)^jsm4Qw. (9.41)
Последние экспериментальные данные по отношениям
R и R приведены на рис. 9.8. Отклонения, предсказываемые
в стандартной модели, указаны на кривой с небольшими
поправками, связанными с морскими кварками, эффектами
КХД и т. п. Средний взвешенный результат, получаемый из
этих данных (Geweniger, 1984 г.):
sin2 8^ = 0,233 ±0,010. (9.42)
Рис. 9.8. Значение отношения R сече-
ния рассеяния антинейтрино за счет
нейтральных токов к сечению рассея-
ния антинейтрино за счет заряженных
токов, в зависимости от соответст-
вующей величины Л для нейтрино,
измеренное в экспериментах по глубо-
конеупругому нейтрино-нуклонному
рассеянию. Данные получены в экс-
периментах в Фермиевской лаборато-
рии (CCFRR) и ЦЕРН (CDHS, ВЕВС)
при энергии пучка 50—150 ГэВ. Кри-
вая показывает предсказание на ос-
нове модели Салама—Вайнберга. Об-
работка мировых данных приводит
к значению sin2 9^ = 0,22 ±0,01
0,30 0,35 R (Geweniger, 1984 г.)
316
ЫО
-CJ)HS,1377
_Ў- CHARM, 1381
\-BE В С,1383
^$1пгви,
0,30*
0,25
Рис. 9.9. Слабые и электромагнитные константы связи нейтральных токов
электронов с кварками, относящиеся к эксперименту по рассеянию поляризован-
ных электронов на дейтронах в SLAC
Как видно из рис. 9.8, этот результат определяется главным
образом значением R, а не R. Если оставить величину
р (отношение констант связи нейтральных и заряженных токов)
в качестве свободного параметра [а не считать его равным
единице, как это было сделано при получении (9.42)], то
р= 1,00+0,02, (9.43)
что определяется в основном значением R. Указанные наиболее
точные данные по р и sin20^ (имеющиеся на конец 1985 г.),
очевидно, совместимы с предыдущими результатами и со
стандартной моделью.
9.7.4. Асимметрии при рассеянии поляризованных электронов
на дейтронах. Наконец, обсудим один очень тонкий экс-
перимент, предназначенный для обнаружения крохотных эф-
фектов нарушения четности (асимметрий), обязанных интер-
ференции между процессами с обменом Z0 и у в неупругом
рассеянии поляризованных электронов на дейтронах. Экс-
перимент осуществлялся в SLAC на пучках электронов с им-
пульсом от 16 до 22 ГэВ/с; изучалась реакция
eL, R ~Ь "неполярвз~*е Н~ л.,
где X—любое конечное адронное состояние. Диаграммы,
описывающие электромагнитный и слабый обмены, представ-
лены на рис. 9.9, а, б. Электромагнитная амплитуда рассеяния
по порядку величины равна e2/q2, где q — переданный 4-
импульс, а слабая амплитуда—порядка фермиевской константы
G. Несохраняющая четность асимметрия, измеряемая раз-
ностью сечений для лево- и правополяризованных электронов,
в этом случае равна
где q измеряется в гигаэлектрон-вольтах.
Схема метода, использованного для измерения поля-
ризационных асимметрий порядка 10 ~5, показана на
рис. 9.10, а. Поляризованные или неполяризованные электроны
317
Пушкау
GaAs
Линейный
ускоритель
Мониторы
пучка
Мишень из
Спектрометр
Детектора/
A/\Pe\
20
10 -
-10 -
-го -
-
- \
0
I
j
/Г
A
/ \
90° u>
6)
J
?,ГэВ
Рис. 9.Ю. Схема расположения установок в эксперименте SLAC (Prescott et al.,
1978 г.) по рассеянию поляризованных электронов на дейтронах (а). Асиммет-
рия, определенная (9.44), в зависимости от азимутального угла поворота
кальцитовой призмы в эксперименте, проведенном по схеме рис. 9.10, а (б).
Изменение асимметрии в зависимости от энергии пучка электронов, показыва-
ющее g—2-вращение электронного спина (в)
от источника ускорялись в линейном ускорителе SLAC
до значений импульса от 16 до 22 ГэВ/с и попадали
в жидкую дейтериевую мишень. Знак и степень поляризации
\Ре\ пучка (составляющей 37% в случае поляризованного
источника) измерялись с помощью поляриметра, в котором
наблюдалась лево-правая асимметрия в меллеровском (эле-
ктрон-электронном) рассеянии на намагниченной стальной
фольге. Неупруго рассеянные электроны фокусировались и ана-
лизировались по импульсу в спектрометре, после чего
попадали в газовый черенковскйй счетчик, за которым
находился ливневый счетчик из свинцового стекла.
Источник поляризованных электронов состоял, во-первых,
из лазера на красителях, испускавшего линейно-поляризованный
свет, который затем преобразовывался в циркулярно-поляри-
318
зованный свет с помощью ячейки Покельса — кристалла с двой-
ным лучепреломлением, в котором знак циркулярной поля-
ризации мог меняться на противоположный приложением
электрического поля с большим напряжением любого знака.
Этот циркулярно-поляризованный свет использовался затем
для оптической накачки кристалла арсенида галлия в области
между валентной зоной и зоной проводимости, в результате
чего возникал источник продольно-поляризованных электронов.
Значение и знак поляризации могли также меняться при
вращении плоскости поляризации лазерного света с помощью
вращающейся кальцитовой призмы.
Этапы эксперимента были таковы:
1) измерение асимметрии с использованием неполяризован-
ного источника (электронной пушки), что дало значение
А = ( — 2,5 + 2,2)-10, согласующееся с нулем и доказывающее
как чувствительность метода, так и пригодность системы
мониторирования пучка;
2) поворот кальцитовой призмы на азимутальные углы 0,
45 и 90°. Когда ф = 45°, электроны от источника GaAs должны
быть неполяризованы, в то время как для ф = 0, 90° поля-
ризация должна быть правой (левой) или левой (правой)
в соответствии со знаком +( —) напряжения на ячейке
Покельса. На рис. 9.10, б приведена зависимость измеренной
асимметрии от угла ф;
3) изменение энергии электронов Ео от 16 до 22 ГэВ/с. Пучок
перед попаданием на мишень испытывает отклонение в магнит-
ном поле на угол 24,5°, и в этом процессе спин электрона будет
«следовать» за вектором импульса, причем угол между спином
и импульсом в этом случае определяется g-фактором:
О _ °
"прецессии" ....«?
±2-±Z±Q
рецессии *2 л vотклонения •
Таким образом, при изменении энергии Ео асимметрия
должна изменяться пропорционально тому, как степень про-
дольной поляризации меняется за счет (g — 2)-эффекта. Это
демонстрируется результатами, представленными на рис. 9.10, в.
Окончательные результаты этого эксперимента заключались
в том, что была ясно наблюдена асимметрия, (ГэВ/с):
Л/92=-(9,5±1,6)-10-5. (9.46)
В последующих экспериментах было измерено изменение
А как функции доли потери энергии электроном при соударении
у = (Е0 — Е)/Е0. Зависимость от у, так же как и величина А,
зависят от значения слабого угла смешивания Qw:
ШР}- (9-47)
319
где
at = \—-~sin29|p, a2= 1 — 4sin28^. (9.48)
Указанные коэффициенты получены в рамках кварк-партон-
ной модели с использованием соответствующих значений
/3 и Q в (9.31) (см. задачу 9.4). Наблюдавшаяся зависимость
от у совместима с предсказанием (9.47). Окончательный
результат имеет вид:
sin2 8Ж = 0,22 + 0,02 (9.49)
и согласуется с предыдущими оценками.
Однако если сохранить отношение констант нейтрального
и заряженного токов р в качестве свободного параметра, то
результаты будут другими:
р= 1,74 ±0,36,
Sill Ош — \).j?y j п 1(W} •
поскольку значения р и sin2 Qw сильно скоррелированы. Таким
образом, нейтринные результаты пока что являются наиболее
сильным подтверждением модели Салама — Вайнберга.
Аналогичные эксперименты при значительно большей энер-
гии проводились в ЦЕРН с использованием лево- и право-
поляризованных пучков положительно и отрицательно заряжен-
ных мюонов, рассеивавшихся на мишени из углерода (Argento
et al., 1982 г.). Наблюдавшаяся асимметрия рассеяния привела
к результату:
sin2 9^ = 0,23 + 0,07. (9.50)
9.7.5. Нарушение четности в атомных переходах. Был
проведен ряд экспериментов по обнаружению эффектов несох-
ранения четности в атомах, связанных с у^°-интеРФеренцией.
Например, эти эффекты могут приводить к крохотному
A0 рад) оптическому вращению поляризованного света, про-
ходящего через пары висмута. За недостатком места мы не
описываем эти эксперименты и отсылаем читателя к обзорной
статье Фортсона и Льюиса (Fortson, Lewis, 1984 г.). Они
приводят общий результат всех атомных экспериментов:
sin2 Qw = 0,21 +0,05.
Подводя итоги, можно утверждать, что большое число
разных экспериментов при низких и высоких энергиях, включа-
ющих как чисто лептонные, так и лептон-кварковые взаимодей-
ствия, приводит к единому значению параметра sin2 9^*0,22.
320
9.8. СРАВНЕНИЕ НАБЛЮДАЕМЫХ И ПРЕДСКАЗАННЫХ
МАСС W- И Z-БОЗОНОВ
«Мировое среднее» значение sin20n/, полученное из раз-
личных экспериментов но \'е-, vN-, cuf-рассеянию и т. п.
с участием нейтральных токов, равно:
sin29,K = 0,227±0,015. (9.51)
В любом конкретном эксперименте существенны небольшие
поправки, зависящие от экспериментальных обрезаний данных,
а также «радиационные поправки», в частности, для событий,
обусловленных заряженными токами, когда вторичный мюон
может излучить фотон, который затем засчитывается в энергии
адронов. Кроме того, эксперименты проводятся в разных
областях по q2; возникает вопрос, каковы были бы результаты
измерений, если бы все они проводились при одном значении
\q2\, условно выбранном равным значению Мц,, оцененному,
в свою очередь, с использованием конкретной схемы перенор-
мировок? Получен следующий результат (Marciano, Sirlin,
1981г.; Llewellyn-Smith, Wheater. 1981г.):
sin2 9^ = 0,215 + 0,015. (9.52)
Массы W- и Z-частиц в стандартной модели Вайнберга —
Салама определяются (9.27) и (9.29):
тта \1/2 1 37,281
\ — _=^_-
ГэВ,
\J2GJ
(9.53)
Mz = Mw/cosQw,
если использовать значения а = 137,036, G = 1,1663 ¦ 10 5 ГэВ2.
В этой формуле пренебрегается радиационными поправками
к самим массам W и Z, возникающим из-за того, что
«собственная энергия» W зависит от поправок, связанных
с виртуальными фермионными и бозонными петлями
(рис. 9.11). Наиболее существенной является поправка КЭД
(испускание и поглощение фотона), эквивалентная перенор-
мировке а в (9.53). В результате получается, что значение
37,281 в (9.53) должно быть заменено на 38,50. Сравнение
ожидаемых и наблюдаемых значений масс выглядит следу-
ющим образом:
Mw, ГэВ Mi, ГэВ
Теория без поправок 78,2 89,0
Теория с поправками 83,0±2.7 93.8 + 2,2 (9.54)
Эксперимент 81,1 ±0,8+1,2 94,0 ±1,0 ±1,4
Первая из приведенных экспериментальных погрешностей —
статистическая, вторая связана с систематической неопределен-
21 Заказ 416 321
T,Z0,H
w
Рис. 9.11. Диаграммы низшего порядка для
радиационных поправок к массе И^-бозона за
счет обмена бозонами (слева) и парой
фермионов (справа)
Рис. 9.12. Предсказываемая зависимость от-
ношения R сечения процесса е+е~->адроны
к точечному сечению (Л/2о=оо) от энергии
вблизи г0-резонанса при sin2 Qw = 0,25
ностью шкалы энергий. Погрешность в предсказываемом
значении связана с погрешностью в (9.52).
В последующем точность измерения масс W и Z возрастает,
что во многом связано с пуском больших е+е~-коллайдеров
(LEP, SLC, см. табл. 2.1). На рис. 9.12 показан резонанс
в реакции е+е~->Z°. Дальнейшее обсуждение ширины и других
свойств W и Z0 приведено в приложении 3 и в задаче 9.6.
Если предположить, что Z0 может распадаться на три
поколения кварковых и лептонных пар, то в рамках стан-
дартной модели ширина Z0 составляет примерно 2,8 ГэВ.
Каждый нейтринный аромат (процесс Z°->vv) вносит в ширину
180 МэВ, так что хорошее измерение ширины Z0 есть способ
подсчета ,числа нейтринных ароматов Nv. Существуют и более
изощренные аргументы из области астрофизики, которые
указывают, что Nv>4 (см.. §9.12).
9.9. ХИГГСОВСКИЙ БОЗОН
Уже отмечалось, что в модели Вайнберга — Салама бозон-
ный сектор состоит изначально из слабого изотриплета
W векторных частиц, изоспинглетной векторной частицы В и изо-
дублета скалярных хиггсовских полей, обозначаемых ф + , ф°,
с полным числом действительных компонент, равных четырем.
322
Все чти бозоны безмассовые. В процессе спонтанного наруше-
ния симметрии хипсовские бозоны благодаря самодейст вию
приобретают массу. Три из четырех компонент, ф\ ф — ф*
и (фл —ф"), у'2 «съедаются» И'-бозонами, придавая им массу
и проявляясь как третья степень свободы (появление наряду
с поперечной и продольной поляризации). Кроме того, воз-
никает И'/Я-сметивание, приводящее к появлению безмас-
сового фотона и массивного Z°, так же как и массивных
W и IV . В резулыате остается один физический хиггсовскии
скаляр // = (ф'' + ф°)/у 2. (Возможна и более сложная структура
хиггсовского сектора, например, триплет с /=1, предсказы-
вающая как заряженные, так и нейтральный хиггсовские
бозоны, но при этом р>1 в противоречии с экспериментом.)
Свойства «хипсов» диктуются той ролью, которую они
призваны исполнить: их связь с фермиоиами пропорциональна
массе фермиоиов, а связь с бозонами ( И\ Z) иропорциональна
квадрату массы бозонов, с тем чтобы избежать, соответственно,
расходимостей в процессах e're -->l? ' W и WW-+WW. Сама
масса хиггсовского бозона не предсказывается. Однако, ис-
пользуя те же аргументы, что и для ширины W в G.70),
на основании размерных соображений можно ожидать, что
при больших Мц
Если константа самодействия хипсов не слишком велика,
следует требовать, чтобы Ти<Мп, г. е.
Mu<};\rG.
Более аккуратное вычисление, опирающееся на унитарный
предел в амплитуде WW рассеяния и требование применимости
теории возмущений, приводит к ограничению
М„ <Dл у/210)' 2 = 1.2 ТэВ. (9.55)
Аргументация, используемая при получении верхнего предела
на массу хиггсовского бозона, аналогична той. которая ис-
пользовалась в (9.5) при обсуждении нарушения точечной
теории Ферми на унитарном пределе ч/.у = 0.6ТэВ. На самом
деле, электрослабая теория преодолевает проблемы теории
Ферми и предсказывает целый ряд новых явлений, наблюда-
емых на эксперименте, но эффективно переносит все проблемы
в хиггсовскии сектор. В области энергий порядка 1 ТэВ
должны возникнуть совершенно новые физические явления,
вроде существования самого хиггсовского бозона или другого
типа взаимодействия, выполняющего роль хиггсовского бозона.
Это является главным мотивом проектирования /7/7-суперкол-
лайдеров для работы в мультитэвной области энергий.
21* 323
9.10. ВЫХОД ЗА РАМКИ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ
/—ВЕЛИКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ
Главная проблема в нашем понимании фундаментальных
взаимодействий относится к их числу (четыре, если мы
учитываем гравитацию наряду с сильным, электромагнитным
и слабым взаимодействиями) и резко различающимся интен-
сивностям и свойствам. Для описания электромагнитных
и слабых взаимодействий в рамках электрослабой теории
постулируется единое взаимодействие, а механизм спонтанного
нарушения симметрии призван объяснить их различные ка-
жущиеся интенсивности в области энергий, много меньших
масс соответствующих промежуточных бозонов. Так называ-
емые теории великого объединения (для краткости ТВО)
основаны на рассмотрении процессов дальнейшего нарушения
симметрии, с тем чтобы совместить сравнительно большую
интенсивность сильных взаимодействий при низких энергиях
с единой внутренней константой взаимодействия (примерно
равной постоянной тонкой структуры ос) для всех трех
взаимодействий при энергии объединения.
Основная идея подхода, основанного на универсальной
константе, показана на рис. 9.13. На графике показана зави-
симость бегущих констант связи от переданного импульса
или масштаба масс для случаев абелевого U(l) поля, описыва-
емого константой' g' в (9.18), неабелевого SUB) поля с кон-
стантой g в (9.18) и неабелевого цветового SU C) поля,
константу взаимодействия которого мы обозначим
gs(&s=gs!4n). С ростом д константа g' слегка увеличивается,
a g слегка падает, в то время как gs падает более резко
[ср. (8.70) и (8.71)]. Примечательно, что если экстраполировать
1
1
!
!
I
Сильное SUC) цветовое
поле
Точна
объединения
Лепто-
кВар к и
?='
Рис. 9.13. Бегущие константы связи g, g' u gs электрослабых и сильных
взаимодействий, экстраполированные к одной общей точке при </~1015Г>В
324
все три константы взаимодействий, они пересекаются в одной
точке при колоссальном значении qzz\Ql ГэВ. (На рис. 9.13
опущены некоторые численные коэффициенты порядка единицы,
на которые нужно умножить g, g' и gs.) При такой чудовищной
экстраполяции неявно делается очень смелое предположение,
что в области от <7*ЗО ГэВ/с, что отвечает современным
опытам на ускорителях, до <7*10 ГэВ/с природа исчерпала
свою фантазию и там. нас не ждут сюрпризы. На самом деле,
может быть и так, что новые внутренние степени свободы,
кварковая или лептонная субструктура ожидают нас, что
называется, за углом и проявятся в экспериментах на следу-
ющем поколении ускорителей. Основываясь на прошлом опыте,
можно думать, что такое вполне вероятно (см. также §9.11).
Существует много способов включения симметрии SU B),
U(l) и SUC) в более общую калибровочную симметрию.
Простейшей симметрией великого объединения является сим-
метрия относительно группы SUE) (Georgi, Glashow, 1974 г.).
Эта симметрия объединяет известные фермионы (лептоны
и кварки) в мультиплеты, внутри которых кварки могут
переходить в лептоны и кварки — в антикварки за счет
испускания очень массивных A0 ГэВ) бозонов У и А' с элек-
трическими зарядами —1/3 и —4/3 соответственно. В модели
имеется всего 24 калибровочных бозона. Сюда входят 8 глю-
онов группы SUC) и W*, Z0, фотон группы SUB)xU(l),
а также 12 различных Х- и F-бозонов (каждый из них имеет
три цвета и существует в состоянии частицы и античастицы).
Фермионы (кварки и лептоны) распределены по разным
«поколениям». Первое поколение содержит 15 состояний: и-
и й'-кварки, находящиеся в трех цветовых и двух спиральных
состояниях каждый; е ~ в двух спиральных состояниях;
vP с одним спиральным состоянием. По соглашению, мы
считаем все эти частицы находящимися в левых состояниях,
поскольку, например, состояние е& и е^ эквивалентны (в
силу СТ-инвариантности); 15 состояний следующим образом
разбиваются на представления «5» и «10»:
5 =
(9.56)
LH
а6в
Стрелками указаны глюон, переносящий цветовую силу между
кварками, W", переносящий слабый заряженный ток, и «лепто-
325
[сопряженных v
10-
Ч\ из
0
-e
-dK
-dB
-Jti
<O>>).
e. '
0
-Ur
- - u(i
Итак:
dR
Ur
0
- по
-Uu
dB
uB
по
0
"Ur
do
Uo
Щ
UR
0
кварк» А'-бозон, превращающий кварк в лептон. Квантовые
числа членов представления «10» получаются из антисиммет-
ричных комбинаций 4i4i~i(lLi членов представления «5»
(9.57)
Одно из свойс1В лих мулыиплетов заключается в том, что
полный электрический заряд 1(?;-0. Более тяжелые лептоны
(u, vM, т, vx) и кварки (.v, с, Ь) должны быть помещены
в другие кварк-лептоиные поколения.
Среди привлекательных черт этой (и других) симметрии
великого объединения выделяются:
1) объяснение дробности зарядов кварков B,3 и 1/3), так как
кварки обладают тремя цветами, а электрон бесцветен (и Е(?, = 0);
2) объяснение равенства зарядов бариона (протона) и эле-
ктрона, представлявшего историческую загадку;
3) аналогия между слабыми лептонным и кварковым дуб-
летами, например (v,,, е), и (и, cQL, и тот факт, что 6(v)~
— Q[e) = Q{u) — Q(d) возникают как естественное следствие леп-
токваркового объединения.
Модель приводи г к ряду предсказаний, причем по крайней
мере некоторые из них доступны экспериментальной проверке
сейчас или в недалеком будущем. Мы обсудим здесь два
таких предсказания.
9.10.1. Предсказание слабою угла смешивания. Объединение
кварков и лентопов в мулыиилеты позволяет следующим
образом оценить значение слабого угла смешивания. Рассмот-
рим диаграмму, представленную на рис. 9.14, изображающую
смешивание нейтрального бозона Z0 с фотоном у через
промежуточную фермионную петлю (аналогично смешиванию
К°К° на рис. 7.21). Как мы знаем, Z0 и у являются
ортoiопальными состояниями. <Z°|y> = 0: следовательно, после
суммирования по всем фермионам (лептонам и кваркам),
которые могут давать вклад, полная константа связи в указан-
ном переходе должна равняться нулю.
Фгрмионы
Рис. 9.14. Дишрамма смешивания /Г" и у
326
Связь фермионов с Z0 пропорциональна A — gsin20w,
а связь с фотоном пропорциональна просто Q [см. (9.31)].
Пользуясь (9.31), из (9.56) для представления «5» имеем:
/з
Q
е~
dR
du
dG
+ 1/2
-1/2
0
0
0
0
-1
+ 1/3,
+ 1/3
+ 1/3
(9.58)
где, как объяснялось выше, левые состояния антифермионов
(или правые состояния фермионов) имеют /з = 0. Полная
константа связи, просуммированная по всем фермионам, для
Z0 и у должна обращаться в нуль, что приводит к соот-
ношению
или
= ?• (9.59)
Ясно, что получившееся предсказание для sin2 Qw много
больше, чем наблюдаемое значение (9.52). Однако оно от-
носится к отношению g' /g = tg Qw (= ^/3/5) в точке объединения
Мх~Ю15 ГэВ. Из рис. 9.13 видно, что для того чтобы привести
значения бегущих констант связи g и g' к тем, которые
можно ожидать при энергиях ускорителей, нужно внести
поправки, и эффект этих поправок, очевидно, уменьшает g'/g
и sin20^. После того как указанные поправки сделаны,
получается значение sin2Qw = 0,21 ±0,01, находящееся в при-
мечательном согласии с наблюдаемым значением 0,215 + 0,015.
9.10.2. Предсказание распада протона. Нет сомнений в том,
что протоны — очень стабильные объекты и само существова-
ние жизни на Земле устанавливает нижний предел времени
жизни протона, более чем в миллион раз больший, чем
возраст Солнечной системы (см. задачу 9.3). Неудивительно,
что вслед за предложением Вигнера и других барионное число
в течение многих лет рассматривалось как абсолютно со-
храняющаяся величина во всех взаимодействиях. Однако раз-
витие калибровочных теорий научило нас, что абсолютные
законы сохранения связаны с калибровочной инвариантностью
и существованием соответствующих дальнодействующих (без-
массовых) полей. Неизвестны поля, которые можно было бы
связать с сохранением барионов или лептонов (см. задачу 9.5).
327
и—> »
a , < u-
5Г°
и
Рис. 9.15. Некоторые диаграммы, имеющие отношение к распаду нуклона, на
которых кварки превращаются в лептоны и антикварки за счет обмена
массивными векторными бозонами X и Y с зарядами 4/3 и 1/3
Напротив, модели великого объединения предсказывают,
что протон должен распадаться, нарушая сохранение барионно-
го числа. На рис. 9.15 приведены некоторые возможные
диаграммы протонного распада за счет обмена одиночными X-
или F-бозонами. Такой обмен превращает м-кварк в позитрон,
а <У-кварк в п, что соответствует, например, распаду р-*е л°.
Вероятность распада можно грубо оценить, исходя из этих
диаграмм. Доминирующим фактором будет пропагатор X-
бозона (<72 + М|] . Так как передаваемый импульс равен
всего лишь q2x,\ ГэВ2, вероятность распада будет пропорци-
ональна Мх4- Таким образом, для времени жизни запишем:
где А—безразмерная величина и в единицах /г = с=1 правая
часть имеет размерность массы в минус первой степени. Наш
выбор массы протона в качестве масштаба масс в знаменателе
произволен, но вполне разумен. Константа А может быть
вычислена в рамках теории, которую мы не обсуждаем, но
оказывается порядка единицы. Если положить А = 1
и Мх = 3 1014 ГэВ, то тр=1031 лет.
Экспериментальные нижние пределы на время жизни про-
тона были получены в последние годы с помощью гигантских
подземных водяных черенковских и других детекторов. В ча-
стности, предел по отношению к моде распада р-*е ++п°
превышает 2 • 1032 лет (Bionta et al, 1985 г.), что находится
в явном противоречии с предсказанием SUE)-TeopnH, которое
по меньшей мере на порядок ниже (последние обзоры те-
оретической и экспериментальной ситуации см. Langacker,
1981г. и Perkins, 1984 г.). Другие ТВО, рассматривающие
328
более сложные группы симметрии и суперсимметрию, выделя-
ют другие моды распада или дают менее определенные
предсказания о времени жизни.
9.10.3. Магнитные монополи. В 1929 г. Дирак выдвинул
гипотезу о существовании магнитных монополей, имеющих
магнитный заряд1
g = n!?, (9.61)
где п — целое число. Существование монополя с зарядом
g могло бы в определенном смысле «объяснить», почему
заряд квантован в единицах \е\. В ТВО оператор электрического
заряда является одним из генераторов симметрии, так что
все частицы должны иметь одну и ту же единицу заряда
(или долю этой единицы в случае кварков) и квантование
заряда возникает естественным путем. В таком случае моно-
поли с зарядом g и массой порядка Мх (на самом деле,
порядка 101б —10 ГэВ) предсказываются вполне определенно.
Поиск таких монополей ТВО проводился с помощью сверх-
проводящих катушек и основан на наблюдении изменения
магнитного потока Дф = 4л# при прохождении монополя через
катушку; кроме того, были попытки детектировать ионизацию
или возбуждение атомов в результате магнитного взаимодей-
ствия монополя с магнитными моментами электронов. Со-
временные верхние пределы на поток монополей порядка так
называемой границы Паркера, т. е. 10~15 монополей х
х см~2-ср-с. Это максимальный поток, который прием-
лем для того, чтобы монополи не разрушали галактическое
магнитное поле порядка нескольких микрогаусс.
9.11. ВЫХОД ЗА РАМКИ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ
II— СУПЕРСИММЕТРИЯ
Описанная выше SUE) модель великого объединения
изначально обладает рядом фундаментальных недостатков.
Например, нейтрино рассматриваются безмассовыми и су-
ществующими только в одном спиральном состоянии
(#= —1). Хотя это и совместимо со всеми современными
экспериментами, можно все же задать вопрос, почему
слабые взаимодействия нейтрино должны обладать загадочным
свойством нарушения четности, в то время как другие
взаимодействия сохраняют четность. Может быть, нарушение
четности есть низкоэнергетическое явление, проявление
1 Вывод этой формулы см. в книге Дж. Джексона «Классическая элек-
тродинамика». Пер. с англ. М., Мир, 1965.
329
спонтанного нарушения симметрии, а исчезнувшие правые
константы связи на самом деле существуют, но связаны
с массивными нейтрино и (или) очень массивными про-
межуточными бозонами? Все это является частью много
более обширной проблемы понимания очень широкого
разброса значений и происхождения масс фермионов.
Другая проблема возникает из разницы в энергетической
шкале различных взаимодействий: от шкалы КХД порядка 1 ГэВ,
через шкалу электрослабых взаимодействий порядка Mwzz
100 ГэВ к шкале ТВО порядка М*~1015 ГэВ. Такое различие
шкал составляет так называемую проблему иерархии. В электро-
слабой теории специально были введены хиггсовские скаляры,
для того чтобы за счет самодействия генерировать массы и, как
результат, спонтанное нарушение симметрии, которое отличает
безмассовый калибровочный бозон (фотон) от массивных
бозонов (W, Z). Совершенно аналогично, для объяснения
нарушения SU E)-симметрии нужны хиггсовские скаляры, но уже
массой, равной примерно Мх, а не Mw. Легкие хиггсовские
бозоны неизбежно будут получать радиационные поправки
к массе за счет хиггсовских скаляров ТВО, так что в результате
массы Н, W и Z электрослабого сектора станут нестабильными,
если только не будут обеспечены какие-то хитроумные сокраще-
ния, работающие с точностью порядка MW\MX~ Ю3..
Гипотеза суперсимметрии (SUSY) как раз обеспечивает эти
сокращения. В SUSY вводится привлекательная идея о сим-
метрии между фермионами и бозонами. Для всех известных
точечных фермионов (бозонов) постулируется, как показано
в табл. 9.2, существование новых бозонных (фермионных)
партнеров. Радиационные поправки к массе хиггсовского бозона
от виртуальных бозонных и фермионных петель имеют
противоположные знаки. Так как частицы и их SUSY-партнеры
обладают одними и теми же константами связи, расходимости
в поправках к массе можно держать под контролем, если
только |М\ — М\\< 1 ТэВ2. Таким образом, суперсимметрия
предсказывает множество новых частиц (или счастии) с мас-
сами, грубо равными фермиевской шкале масс G'^2.
Таблица 9.2. Суперсимметричиыс частицы
Частица -
Кварк Q
Пептон /
Фотон у
Г'люон С
W
Хиггс Н
Спин
1/2
1/2
1
1
1
0
Счастица
Скварк Q
Слептон Т
Фотино у
Глюино С
Вино W
Схиггс Н
Спин
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2
330
В большинстве моделей SUSY новые частицы должны
рождаться совместно, т. е. парами по квантовому числу R (+1
для частиц и — 1 для античастиц). Например, кварк-анти-
кварковая пара может превратиться в пару скварков (бозонов):
Q + Q->Q + Q- В силу Л-симметрии по крайней мере одна
SUSY-частица (легчайшая) должна быть стабильна. Если
таковой является фотино у (партнер фотона со спином 1/2),
тогда рождение скварка должно проявляться в распаде
Q~*Q + y- Поскольку масса Q порядка 1 ТэВ, нерегистрируемое
среди продуктов распада фотино должно приводить к разитель-
ному дисбалансу импульса в событии.
На сегодняшний день нет никаких свидетельств существова-
ния SUSY-частиц, а нижние пределы на массы составляют
более 4 ГэВ для глюино и более 20 ГэВ для скварков
и слептонов.
Предложены и другие модели, в которых решается проблема
хиггсовских бозонов, например модель, в которой хиггсовские
бозоны являются не элементарными, а составными частицами.
Во всех этих моделях предсказываются новые типы частиц
и взаимодействий в области энергий порядка 1 ТэВ. Задача
будущих экспериментов — выяснить, существует ли рациональ-
ное зерно в этих идеях.
9.12. ФИЗИКА ЧАСТИЦ И КОСМОЛОГИЯ
Описанная выше ТВО может иметь отношение к нашему
пониманию временной эволюции Вселенной и теперешнего
распределения в ней вещества и излучения. Исследований на
эту тему необычайно много, так что мы отсылаем заин-
тересованного читателя к библиографии обзоров и статей,
приведенных в конце книги в гл. 9. Отметим лишь некоторые
идеи и факты, с тем чтобы подчеркнуть связь результатов
в физике частиц с космологией.
Открытый в 1965 г. изотропный космический фон излучения
в микроволновой области имеет спектр, эквивалентный спектру
излучения черного тела с температурой 3 К, и интерпретируется
как остывшее излучение, которое возникло в результате
«большого взрыва», приведшего к расширению Вселенной.
Зная современное распределение материи, можно оценить
отношение среднего числа барионов к среднему числу фотонов
во Вселенной:
лв/лт=10-9:!:1,
причем эго отношение не должно зависеть от времени
в адиабатически и изотропно расширяющейся Вселенной. На
начальной горячей стадии большого взрыва (?<10 + с.
кТ>\ ГэВ) должны были рождаться пары барионов, причем
их плотность была сравнима с плотностью фотонов. В процессе
расширения и охлаждения Вселенной рождение нуклонных пар
уже не компенсировало их аннигиляцию в фотоны, так что
барионное число должно было катастрофически уменьшаться
до тех пор, пока барионныи остаток не «замерз» при некотором
значении, когда скорость расширения превысила скорость
аннигиляции. Это окончательное отношение числа барионов
и антибарионов к числу фотонов можно довольно точно
рассчитать, и оно оказывается равным
что резко противоречит наблюдаемому значению. Таким
образом, возникают две проблемы: 1) наблюдаемая плотность
барионов на девять порядков величины больше ожидаемой;
2) барионы преобладают над антибарионами. Мы знаем, что
это именно так в нашей собственной Галактике, поскольку
тяжелые первичные ядра космического излучения, которые,
можно сказать, являются посланцами из самых далеких уголков
Млечного Пути, представляют собой именно ядра, а не
антиядра. Кроме того, нет никаких указаний на интенсивное
у-излучение, порожденное аннигиляцией между, например, ве-
ществом галактики и межгалактическим антивеществом. Таким
образом, с учетом обычного предположения о средней изо-
тропии Вселенной мы можем быть уверены, что сейчас
отношение числа антибарионов к числу барионов менее 10 ~4.
Создается впечатление, что в ранней Вселенной происходили
какие-то процессы, приведшие к барион-антибарионной асим-
метрии порядка 10 "9. Все вещество, не считая этой крохотной
<оли, проаннигилировало в фотоны, оставив избыток барионов.
Ясно, что если исходить из симметричной ситуации, то
возникшая асимметрия может произойти только за счет
процессов с несохранением барионного числа, однако, как
впервые в 1967 г. отметил А. Д. Сахаров, существуют два
других ограничения: процессы рождения барионов должны не
сохранять СР-инвариантность и барионы должны находиться
вне состояния теплового равновесия. (В тепловом равновесии
плотность барионов может зависеть только от температуры
и от массы частицы, которая в силу С/Т-теоремы одинакова
для частиц и античастиц.) Одна из возможностей заключается
в_ рождении на начальной стадии упомянутых выше Х-,
АЧюзонов, которые в силу СРГ-теоремы будут иметь оди-
наковые полные ширины распада, но при этом некоторые
парциальные ширины распада на кварки, антикварки и лептоны
могут нарушать сохранение СР, аналогично тому, как это
происходит в лептонном распаде К [см. G.98)]. Такие распады
могут привести к барионной асимметрии как процессу второго
332
порядка, так что в результате представляется возможным
понять преобладание барионов во Вселенной и наблюдаемое
отношение числа барионов к числу фотонов. Эффекты, пред-
сказываемые в SU E)-модели великого объединения, слишком
малы, так что, по-видимому, требуются более общие и широкие
группы объединения, содержащие больше параметров и, сле-
довательно, имеющие меньшую предсказательную силу. Хотя
в принципе СР-нарушение можно ввести, имея только четыре
кварковых аромата, асимметрия становится приемлемой, если
число ароматов по меньшей мере равно шести (см. § 7.12).
Астрофизические аргументы можно использовать и другим
образом, с тем чтобы установить интересные пределы на
свойства элементарных составляющих. Плотность легких ней-
трино (массой значительно меньше 1 МэВ), рожденных в боль-
шом взрыве, должна быть сравнима с плотностью фотонов,
составляющей сейчас 109 от плотности барионов. Следователь-
но, масса нейтрино всего лишь в несколько электрон-вольт
(т. е. 10 "9 от массы нуклона) увеличила бы гравитационную
потенциальную энергию существенным образом; на самом
деле, одна из причин постулирования ненулевой массы ней-
трино заключается в том, чтобы исправить расхождение на
порядок величины в кинетической и гравитационной энергии
Вселенной.
Из рассмотрения наблюдаемого отношения гелий/водород
по массе (составляющего примерно 0,29), которое должно
быть (благодаря звездному синтезу) несколько больше, чем
первичное отношение, достигнутое в реакциях термоядерного
синтеза после большого взрыва, были установлены пределы
на число ароматов легких нейтрино. Первичное содержание
гелия от нуклеосинтеза (при ?*100с, кТ&0,\ МэВ) зависит
от значения отношения п/р, которое определяется обратимой
реакцией е ~ +p<±ve + n. Обратная реакция экзотермична с вы-
делением 0,8 МэВ энергии, так что при нуклеосинтезе от-
ношение п/р<1 и становится меньше (больше) в зависимости
от того, меньше (или больше) скорость охлаждения. Последняя,
в свою очередь, пропорциональна числу фундаментальных
фермионов, образованных на ранней стадии, так что каждое
лишнее нейтрино с новым ароматом увеличивает, как показы-
вают расчеты, долю гелия по массе примерно на 1%. Исходя
из этих соображений, число легких нейтринных ароматов
ограничено четырьмя; таким образом, возможно, что полное
число лептонов (и предположительно, кварков) конечно и мало,
а не чудовищно велико, как опасались некоторые ученые.
Вопрос о числе возможных сортов нейтрино будет независимым
образом и окончательно решен в ближайшие годы из наблюде-
ния относительной вероятности распада Z°-»vv на гигантских
е+е~-коллаидерах.
333
ЗАДАЧИ
9.1. Используя (9.34) и результаты табл. 9.1. постройте зависимость
полных сечений a'A'v лля v,.-, vy. vM-. v^-рассеяний на неподвижной электронной
мишени от sin20n. Koi/ш с\ и av имеют минимальные значения? Для
какою значения sin:0n- константа связи V,, с электронами чисто аксиально-
вскторпая?
9.2. Используя (9.34) и интегрируя по энергии электрона отдачи Е.
постройте зависимость между gv и gA. полагая, что <7(vMc)--3 10 i2fcy см3 • ГэВ.
Возьмите значение 6'= 1.02 • 10" s,'.Wj. Покажите, что если также известно
a(vurj) (без пофсгиностей). то для gv и gA существуют четыре возможных
решения.
9.3. Единицей дозы ионизационного излучения является 1 бэр, соответ-
ствующий высвобождению энергии (за счет ионизации) 10Джг '. Счита-
ется, что годовая допустимая доза для человеческого тела составляет 5 бэр.
Предпола1ая, что доза, в 100 раз большая, привела бы к подавлению всех
форм жизни, оцените, какие пределы это накладывает на время жизни
притопа. (Предположив, что при распаде прогона существенная доля полной
высвобождаемой энергии остается внутри живого тела.)
9.4. Проверьте выражение (9.47) для асимметрии при рассеянии поляри-
зованных электронов на дейтронах. Используйте выражения (9.31) и (9.33)
для установления констант связи электронов и кварков с Z0 и фотоном.
Сечение получается суммированием вкладов амплитуд с обменом фотоном
и /.". Проводя суммирование, учтите, что при </2<8C/Vf/ вклад дают то.т.ко
член с чисто фотонным обменом и член с Z"-фотонной интерференцией.
Предположите также равное количество и- и rf-кварков в дейтроне и не
учитывайте антикварки. (В случае позникновения трудностей обратитесь за
помощью, например, к работе R. N. Cahn, F.J.Oilman. Phys. Rev.. 17, 13K
A977). в которой задача решена.)
9.5. Принцип эквивалентности утверждает, что отношение инертной
и гравитационной масс одинаково для всех тел. Он был проверен сравнением
центробежной силы, обязанной вращению Земли и действующей на тело,
с гравитационной силой на Земле (или Солнце). Найдено, что R одинаково
для А1 и Pt с точностью 1 : 1012. В этих экспериментах был также установлен
предел на константу Кв любого дальнодействующего поля A/г2). связанного
с барионным числом. Рассматривая энергии связи ядер и отношение ней-
трон-протон, покажите, что разница в барионном числе на единицу массы
в А1 и Pi составляет 4-10 4. Покажите отсюда, что /Св'А'<10 ч. где
А'- 1равитаиионная постоянная. (Дальнейшие детали можно найти в работе
Perkins. 1984 т.)
9.6. Используя (9.33) для констант связи Z° с фермионамп, оцените полную
ширину Л°-распада в случае трех фермионных поколений, полагая sin2 0^ = 0,22
и .Wz = 93 Г'эВ. (Парциальная ширина Г(Z->vv) = GA/|,'12itv'2. см. приложение 3.)
9.7. Рассчитайте значение отношения R = a(c+e ~-^°-»все)/а(точсчн) в пи-
ке Z°-pc3OHaHca (см. рис. 9.12). где о(точечн) = а(е^с>~->ц + ц~). Покажите, что
Я — (9'ог)(Г,.,./Г), 1де Г полная ширина Z0 и Г,,,,—парциальная ширина для
распада Z°-*<'+e~. Используя результаты задачи 9.6. покажите, что /? — 5iНО.
334
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
А.1. Преобразования Лоренца. Одной из фундаментальных
симметрии, наличие которой требуется в любой теории
взаимодействия частиц, является релятивистская инвариант-
ность: уравнения, описывающие систему, должны иметь одина-
ковый вид во всех инерциальных системах. Такая инвариан-
тность достигается путем формулировки уравнений в 4-век-
торных обозначениях. Напомним, что релятивистское соот-
ношение между полной энергией Е, 3-импульсом р и массой
т свободной частицы в системе единиц, где с=1, имеет вид
Декартовы компоненты р и Е можно записать как компоненты
одного 4-вектора энергии импульса /?й, где ц=1,..., 4. По
одному из возможных соглашений запишем эти компоненты как
Pl=Px, Р2=Ру,
так что
(А.2)
будет инвариантом, имеющим одинаковое значение во всех
системах отсчета. Если Е, р относятся к величинам, измеренным
в ЛС ?, то эти же величины, измеренные в другой системе
?', движущейся, например, вдоль оси х со скоростью рс,
могут быть найдены с помощью преобразования Лоренца,
имеющего в матричной форМе вид
(A.3)
v=l
где
Y
0
0
iBv
0
1
0
0
0
0
1
0
фу
0
0
Y
335
и у = A— Р2) 1/2. Записывая эти преобразования через ком-
поненты импульса и энергию, получаем:
Р'1=УР1+ФУР4. или р'х = у(рх-$Е),
P'i=P2, Р'з=Рз, (А.4)
P4=-i$ypi+yp4 или Е' = у(Е-$рх).
Если частица покоится в системе ?, тогда в системе ?',
движущейся со скоростью — Р вдоль оси х относительно
системы 5), находим, учитывая, что Е=т и px=py=:pz = 0,
Е' = ут, р'=Рх = у$т = у/у2-\т, (А.5)
при этом, конечно,
Указанные преобразования относятся к системам отсчета,
движущимся друг относительно друга вдоль оси х. Преоб-
разования можно обобщить на случай относительного движе-
ния в произвольном направлении, но всегда проще переоп-
ределить ось х так, чтобы она совпадала с направлением
относительного движения.
Приведенные выше законы преобразования применимы
и для пространственно-временных координат. Достаточно со-
вершить замены p\-*Xi\ = x), р2-»А-2(или у), /?3->л3(или z),
/74->х4(или it).
А.2. Лоренцсвские скаляры. Квадрат 4-импульса в (А.2)
является примером инвариантного скалярного произведения
двух 4-векторов, т. е. Ър^р^. Подобную величину называют
лоренцевским скаляром, поскольку она инвариантна по от-
ношению к лоренцевским преобразованиям. Фаза плоской
волны — в гребне или во впадине — должна быть одинаковой
для всех наблюдателей, и ее можно записать как лоренцовский
скаляр. Если к — вектор распространения, а со — круговая
частота, то
Фаза = кх — со? = ^(рх — ?'г) = 1рцхм (в единицах h=\).
Используемая в данной книге метрика определена выше,
а именно, 4-вектор импульса есть р = (р, i?), так что
D-импульсJ = C-импульсJ—(энергияJ.
| | (А.6)
пространство время
По аналогии с пространственно-временными координатами
хц, компоненты /?1>2.з называют пространственными, а энер-
гетическую компоненту Е—временной. Таким образом, если
обозначаем переданный 4-импульс в реакции, т. е. q=p—p',
где р, р' — начальный и конечный 4-импульсы, тогда
336
q2>0 пространственноподобен, например
в процессе рассеяния,
q2<0 времениподобен, например (массаJ
свободной частицы.
(А.7)
А.З. Другие обозначения и соглашения. Обозначения Мин-
ковского (А.2) для 4-векторов используются в данной книге
потому, что они наиболее употребительны в частной теории
относительности для начинающих. В монографиях по теории
поля чаще используются другие обозначения. Там предпочита-
ют избегать появления мнимого значения четвертой ком-
поненты 4-вектора [рА = \Е) и учитывают отрицательный знак
в (А.6) с помощью метрического тензора g^v. Скалярное
произведение 4-векторов А и В определяется в виде
AB=gllvApBv = A0B0 = AB, (A.8)
где все компоненты действительны и ц, v = 0 соответствует
временной (энергетической) компоненте, ц, v = 1, 2, 3 — простран-
ственным (импульсным) компонентам и
?оо= + 1, ?11=?22=?ээ=-1» ?Цу = 0 Для ц#у. (А.9)
Заметим, что используемая здесь метрика приводит к лорен-
цевским скалярам противоположного по сравнению с (А.6)
знака. Соответствие между обозначениями, используемыми
здесь, в стандартных книгах по теории поля, представлено
в следующем виде:
Величина
Импульс (пространст-
венные координаты)
Энергия (временная
координата)
Метрический тензор
D-импульсJ
Пространственноподоб-
ный 4-импульс
Времениподобный
4-импульс
Эта книга
Pu Pi, Ръ
Pi = iE
р2 = Ър\ = р2-Е2
q2>0
q2<0
Теория поля (например,
Бьеркен и Дрелл)
Pu Pi, Рз
Ро = Е
gll=gll=g33=-U g00= +1
Р2: = ??mv/Wv = Е2 -Р2
q2<0
q2>0
А.4. Пример использования 4-векторов. Обозначения с по-
мощью 4-векторов бесценны при кинематических расчетах.
Для примера рассчитаем необходимую энергию для рождения
новой частицы, когда начальная частица массой тА, полной
энергией ЕА и импульсом рА соударяется с частицей-мишенью
массой тв, энергией Ев и импульсом рв, причем все эти
22 Заказ 416 337
величины измеряются в ЛС. Квадрат полного 4-импульса
системы равен
Система центра инерции (СЦИ) определяется как такая
система отсчета, в которой суммарный 3-импульс равен нулю.
Если полная энергия в этой системе равна Е*, то
2=
Р=-Е*2.
Рассмотрим два интересных случая.
1. Частица-мишень (тв) покоится в ЛС, Ев = тв и рв = 0.
Тогда
Пороговая энергия, необходимая для того, чтобы породить
состояние массой т* при соударении частиц массой тА и тв,
в этом случае равна
т*2-тА — тв т*2
¦Ел(порог)= ~ ~~-1— ПРИ т ^тл, rnB. (A.10)
imB zmB
2. Начальная частица и частица-мишень летят в проти-
воположных направлениях (как в е+е~- или />/>-коллайдерах).
Тогда, обозначая \рА\=рА и \рв\=рв, имеем
х4ЕАЕв, если ЕА, Ев^>тА, тв.
Заметим, что полная энергия в СЦИ, необходимая для
рождения новой частицы в коллайдере с равными значениями
энергии Е пучков, линейно растет с энергией пучка (Е*к2Е),
в то время как для ускорителя с фиксированной мишенью
достижимая энергия в СЦИ растет как квадратный корень
из начальной энергии (Е*&у/2твЕА).
А.5. Лоренцинвариантные сечения. Допустим, что в какой-то
реакции каждая из частиц рождается с импульсом р и энергией
Е, причем обе эти величины измеряются в ЛС. Фазовый
объем в такой системе пропорционален величине
При преобразовании в инерциальную систему, движущуюся
со скоростью +Р вдоль оси х, из формул (А.4) имеем (в
единицах с=1):
' = y{E-fLpx).
338
Тогда
если учесть, что рх+р2+р2 — Е2=—т2 и при фиксированных
Ру> Рг pxdpx=EdE. Поэтому
IE,,_y(l-ppxIE)dpx_dpx
так что
<?У _ dp'xdp'ydp'2 _ dpxdpydpz
ЁГ Е' ЕЁ- (АЛЗ)
Этот результат должен быть верен для лоренцевского преоб-
разования в любом направлении, так как всегда можно
подходящим образом переопределить направление осей. Таким
образом, дифференциальное сечение образования частицы им-
пульсом р и энергией Е представим в виде ¦
Ed3o/d3p, (A. 14)
и эта величина будет лоренцинвариантной.
Физическую причину появления множителя Е в выражении
d3p/E для фазового объема можно пояснить следующим
образом.
Пусть сначала одна из частиц, участвующих во взаимодей-
ствии, находится в состоянии покоя по отношению к ящику
объемом V. Тогда плотность частиц в этой системе равна
1/V. Предположим теперь, что частица вместе с ящиком
движется со скоростью v относительно выбранной системы
отсчета Е, в которой должна быть вычислена вероятность
события W. Если масса частицы равна т, ее энергия в системе
Е равна Е, причем Ejm — {\—v2lc2)~112. Как следствие преоб-
разований Лоренца, длина, измеренная вдоль направления
v в системе покоя частицы, при измерении в системе Е умень-
шается на множитель т/Е, так что объем ящика сокращается
до значения V = Vm/E. Если волновая функция интегрируется
по объему V в системе Е, тогда fy*tydV=E/m, т. е. плотность
частиц возрастает на множитель Е/т. Поэтому, чтобы обес-
печить правильную нормировку плотности частиц во всех
системах отсчета, следует ввести множитель у/т/Е для вол-
новой функции \|/ каждой частицы, где Е—энергия в выбранной
системе отсчета. На самом деле, используются разные соот-
ношения: у/т/Е, \/у/2Ё и т. д., зависящие от выбора нор-
мировочных множителей в волновых функциях фермионов
и бозонов. Мы припишем множитель \\-JlE для каждой из
22* 339
частиц, участвующих во взаимодействии. Релятивистски-ин-
вариантная форма записи выражения D.4) для вероятности
перехода во взаимодействии примет тогда вид (при V= 1
и в системе единиц й = с=1):
U2E,
нач
где фазовый объем конечного состояния в случае и конечных
частиц и (и —1) независимых 3-импульсов равен
р _J_ld^d^2...d^n-x (A16)
dE BK'"-1' П 2Ек
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОСПИНА НУКЛОНА С ПОМОЩЬЮ
МАТРИЦ ПАУЛИ
Так же как и для описания частиц со спином 1/2, можно
формально записать изоспиновую волновую функцию нуклона
в виде двухкомпонентного столбца
)*
где, для краткости, р и и обозначают состояния протона (с
изоспином вверх) и нейтрона (с изоспином вниз) соответст-
венно. Как и в формализме спина 1/2, вводится оператор
изосшша т, имеющий декартовы компоненты, задаваемые 2x2
матричными операторами:
1/0 1\ l/O -A l/l 0
Tl=Hl 0> X2 = 2{i 0> Тз=Н0 -l
которые, если не считать множителя 1/2, тождественны со
спиновыми матрицами Паули [см. (Г.7)] и подчиняются обыч-
ным коммутационным соотношениям операторов углового
момента, как в (Б. 5). Так,
Т1Т2 — Т2Т1=*Т3 И Т- Д-
Подействуем т3 на волновую функцию (Б.1), получим
340
это отражает тот факт, что для двух зарядовых состояний
нуклона собственные значения т3 равны + 1/2 и —1/2. Когда
мы говорим, что изоспин нуклона равен т=1/2, мы подразуме-
ваем, что существуют 2т+1 собственных значений оператора
т3. При этом собственное значение оператора г2 должно
равняться т(т + 1) = 3/4. В этом можно убедиться из (Б.2):
г2 — т2 J-т 2 J-x2 гпв Т2_Т2_.2_1 | ' *
* —^1+^2 + ^3, ГДе Ti—Т2 = Хз = т|л 1
так что
2 _
Т Х
Другими комбинациями операторов Паули являются «по-
вышающие» и «понижающие» операторы [см. (В.б)]:
Л /о о
о} T-=^-1T^(i о
Действуя этими операторами на состояния (Б.1), получаем:
т+р = 0, х+п=р; т_р=п, т_и = 0. (Б.6)
Таким образом, оператор т+ преобразует состояние нейтрона
в состояние протона, а оператор т_ преобразует протон
в нейтрон. Иными словами, операторы т± переворачивают
знак третьей компоненты изоспина нуклона.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И МАТРИЦЫ
ВРАЩЕНИЙ
В.1. Коэффициенты Клебша — Гордана: сложение угловых
моментов или изоспинов. Предположим, что имеются две
частицы с угловыми моментами jt и j2 и проекциями на
ось z mt и т2. Полная проекция на ось z равна
Полный угловой момент
J=jl+J2
341
и может принимать значения, ограниченные неравенством
Мы хотим найти весовые коэффициенты для различных
разрешенных значений j, дающих вклад в двухчастичное
состояние, т. е.
j т), причем т = т1 + т2. (B.I)
j
Коэффициенты Cj называются коэффициентами Клебша — Гор-
дана (или Вигнера, или коэффициентами векторного сложения).
Альтернативно может возникнуть необходимость выразить
i|/(/, m) в виде суммы членов с различными комбинациями
y'l и j2. Все это можно сделать, используя операторы сдвига
для углового момента (или изоспина) (известные также под
названием «повышающих» и «понижающих» операторов).
Прежде всего напомним определение операторов углового
момента, записав их х-, у- и z-компоненты через дифферен-
циальные операторы в декартовых координатах:
т ь( 8 д\ т ь( д д\ т
Jx=-ih\y-—z — , J=-ih \z-—х— , Jz =
\ oz ay J y у ox dz J
Можно связать указанные операторы в декартовых координатах
с вращениями. Например, вращение по азимутальному углу
в плоскости ху имеет декартовы компоненты
5j = rcos(p5(p=x5(p, bx= — rsin(p5<p= — .убф.
Следовательно, в результате малого вращения функция
i|/(x, у, z) преобразуется в
Д (ф, 5ф) \|/(х, у, z) =
+.,
а из (В.2)
Таким образом,
^-=1+^5ф. (В.4)
342
Легко проверяется, что операторы
Jx,Jy,Jz И J2=/2+y
подчиняются коммутационным соотношениям
J2JX-JXJ2 = O и т.д.
JxJy-JyJx = Uz, JyJz-JzJy = Ux, JzJx-JxJz = Ur (B.5)
где для краткости использована система единиц Ь = с = 1.
Собственные значения операторов J2 и Jz приведены в (В.7).
Операторы сдвига определяются следующим образом:
J J -J J = -J (B6)
Поэтому
yz(./_q>)=/z/_q>=./_ (Л- 1)ф = (/и- ОС/- ф).
Аналогично,
Из последнего уравнения видно, что волновая функция J+ ф
является собственной функцией оператора Jz с собственным
значением т +1. Поэтому можно записать:
где С+—неизвестная (и в общем случае комплексная) кон-
станта. Умножив обе части этого уравнения на ф*(Д l)
и проинтегрировав по объему, получим
где * означает комплексное сопряжение.
Выберем нормировку ф так, чтобы последний интеграл
равнялся единице и все разрешенные значения т входили бы
с единичным весом. Тогда
|Л m)dV.
Аналогично, из (В.6)
С_=|ф*(/, т)/_ф(/, m+l)dV=fa*(j, m)J+q>(j, m+\)dV=C\.
Если пренебречь произвольными и ненаблюдаемыми фазами, то
С+ = С- = С (действительное число).
Кроме того, из (В.6)
jx) — JX-\-jy -\-jz = j j
343
Тогда
J+J-q>(j, m+l) = [j(j+\)-m2-m]q>(j,m+l) = C2(p(j, /n + l).
Таким образом, коэффициент, связывающий состояния
U, *4/, m+\), равен
C=y/j{j+X)-m{m+\).
Суммируя, укажем следующие свойства операторов углового
момента:
J2ф(j, т) = т<р(j, m), (В.7а)
m), (B.76)
J+ Ф(Л т) = Уу(У+ \)-т(т+\)ф(j, m+\), (В.7в)
т-1). (В.7г)
Для примера рассмотрим две частицы, имеющие полный
момент и проекцию, равные ju т± и /2, т2, соответственно,
и образующие комбинированное состояние i|/(/, m). Рассмотрим
случай, когда j\ = l, j2 = \/2 и 7 = 3/2 или 1/2.
Очевидно, что состояния с т = + 3/2 можно построить
единственным способом:
, 1/2), (В.8)
, -3/2) = ФA, -1)ФA/2, -1/2). (В.9)
Используем теперь операторы /+, чтобы, пользуясь (В.7в)
и (В.7г), записать соотношения:
2, -1/2), /_ФA/2, -1/2) = 0,
У 0) = У2фA, -О, /_ФA, -0 = 0.
Теперь подействуем оператором /_ на обе части (В.8):
7_v|;C/2, 3/2) = УЗ v|; C/2, 1/2) = /_фA, 1)фA/2, 1/2) =
= У2Ф(Ь 0)ФA/2, 1/2) + ФA, 1)ФA/2, -1/2).
Таким образом,
-1/2) +
У^ , -1/2).
Аналогично, для (В.9)
у|1, 0)ФA/2, -1/2) +
344
, -1)9A/2,1/2).
(B.ll)
Состояние с7= 1/2 представим в виде линейной комбинации:
фA/2, 1/2) = офA, 1)фA/2, -1/2) + г»ФA,0)фA/2, 1/2),
причем а2 + b2 = 1. Тогда
/ , 1/2).
Следовательно, а = у/2/3, Ь=—у/\/3, и поэтому
2, 1/2)= /?фA, 1)фA/2, -1/2)-
Точно так же
- /1фA,0)фA/2, 1/2).
, 0)ФA/2, -1/2)-
(В.12)
(влз)
Выражения (В.8) — (В.12) содержат коэффициенты, приведенные
в табл. III для сложения состояний с J= 1 и J= 1/2.
В.2. Матрицы вращений. При вращении на угол 9 вокруг
оси у состояние ф(/, т) преобразуется в линейную комбинацию
B.7+1) состояний фС/, т'), где m'=-j, -j+l,...J-l, j. Из
C.14) для оператора вращения запишем:
где коэффициенты й?4, m носят название матриц вращения.
При фиксированном т' выражение для dJm,t m находится из
равенства
Ф*С/, и')е-|еЧа m) = rfi'.»(e). (B.15)
Случай j—112. Для состояния с угловым моментом ./=1/2
соответствующий оператор — спиновая матрица Паули сту (см.
приложение Б):
, 1 1/0 -i
Тогда, разлагая экспоненту и учитывая, что а2 = 1, нетрудно
показать, что
345
(9 . 9
C°S2 "Sm2 , тш
.0 9 Ь (ВЛ6)
sin - cos -
2 2,
Запишем состояния ф, ф* в виде столбцов и строк; например,
Ф* A/2, 1/2) = A 0), фA/2, 1/2) = (^ ) и т.д. Таким образом,
9 . 9
COS г — Sin -
.Iх
sin - cos -
x(o)=cos? (B17)
9 . 9
cos - — sin -
01 : \ ix
sm - cos -
. 9
Для примера рассмотрим пучок правополяризованных ча-
стиц, описываемых состоянием фA/2, 1/2) и рассеиваемых на
угол 9. Если взаимодействие сохраняет спиральность (является
векторным или аксиально-векторным взаимодействием), то
частицы будут оставаться правополяризованными, если про-
водить измерения по отношению к их вектору импульса.
Однако по отношению к оси z (начальному направлению)
возникнет суперпозиция состояний ф' A/2, 1/2) и ф' A/2, —1/2).
Но закон сохранения углового момента во взаимодействии
без переворота спина допускает только состояние ф' A/2, 1/2)
с угловым распределением
В случае взаимодействия с переворотом спина конечным
состоянием будет ф' A/2, —1/2) и распределение примет вид
346
Указанные выражения входят в сечение рассеяния электронов
за счет электрического и магнитного взаимодействий соответ-
ственно (см. § 6.6).
Случай у=1. Используем разложение
Q2 дЗ
e-M,= l-iej,--J2,+i-J*+... (B.20)
и формулу
следующую из (В.6). Можно непосредственно убедиться
в том, что
^Ь 1)-фA, -I)]-
Тогда
так что
d\ ! (G) = - (I +cos0), d\ -i (9)=-A —cosG). (В.22)
2 ' 2
Далее,
3!
или
(B.23)
Эти соотношения были использованы при обсуждении углового
распределения при распаде поляризованных Й^-бозонов в гл. 7
см. G.71).
В табл. II приведены важнейшие матрицы вращений.
347
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Подробное рассмотрение уравнения Дирака можно найти
в большинстве стандартных учебников по квантовой механике.
Мы для удобства приведем здесь лишь краткий обзор основных
соотношений. Начнем с выражения для дебройлевской плоской
волны, описывающей свободную частицу. В системе единиц
h \
где к и со—вектор распространения и круговая частота,
соответственно, которые в нашей системе единиц численно
равны импульсу р и энергии Е. Волновая функция (Г.1)
является решением уравнения Клейна — Гордана
пригодного для описания свободной релятивистской бесспиновой
частицы. Подставив (Г.1) в (Г.2), получим знакомое соотношение
Е2 = р2+т2. (Г.З)
В нерелятивистском случае, разлагая (Г.З) по степеням \р\/т,
получаем в первом порядке Е=т + р2/2т. В этом приближении,
опуская множитель е"""(, из (Г.1) имеем
и эта волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера,
описывающему свободные нерелятивистские частицы
^__LV2cp = 0. (Г.4)
Дирак сформулировал релятивистское волновое уравнение,
исходя из предположения, что в это уравнение должны входить
производные как по времени, так и по пространственным
координатам в первом порядке. Оказывается, что такое урав-
нение описывает частицы со спином 1/2. Простейшее выраже-
ние, которое можно записать, это два уравнения Вейля:
- ^ (Г.5)
где а—некоторые константы. Условия, при которых волновая
функция этого уравнения удовлетворяла и (Г.2) [чтобы выпол-
348
нялось (Г.З)], можно получить возведением (Г.5) в квадрат
и приравниванием коэффициентов. В результате получаем
1^ = 0 и т. д., т = 0. (Г.6)
Таким образом, уравнения Вейля описывают безмассовые
частицы (на самом деле, нейтрино). Коэффициенты а не
могут быть числами, так как они некоммутируют. Однако
их можно представить в виде матриц. Подходящим (но не
единственным) выбором являются спиновые 2 х 2-матрицы
Паули. Они имеют вид
1\ =/0 -i\ J\ (Г
1 0/' °y~\i Oj' °z~\0 -1
причем, как и. требуется,
Волновая функция i|/ должна теперь иметь две компоненты,
так как на нее действуют двухрядные матрицы. Таким образом,
-С:
Теперь желательно включить массовый член и, следователь-
но, нужно расширить матрицы. Простейший набор четырех
антикоммутирующих матриц имеет размерность 4x4,
a i|/ в этом случае становится четырехкомпонентным спинором.
Прежде всего запишем пространственно-временные координаты
как компоненты 4-вектора (в ковариантной форме):
Xj X, Xj У, Х^ Z, Хд It.
Вообще любая компонента обозначается хц, где ц=1,...,4,
а релятивистски инвариантное скалярное произведение двух
4-векторов есть х^Х^, где по повторяющимся индексам под-
разумевается суммирование. Запишем теперь уравнение Дирака
в виде
= 0, (Г.8)
и это есть обобщение (Г.5) с включением массового члена.
Матрицы размерности 4x4 подлежат определению. Это
можно сделать, потребовав, чтобы (Г.8) удовлетворяло ура-
внению Клейна — Гордана (Г.2), которое в ковариантной
форме имеет вид
(д2/дхцдх — т2)\\г = 0. (Г.9)
349
Умножая (Г.8) на |7v^:-m |> получаем
причем подразумевается сумма по ц, v. Проверить справед-
ливость (Г. 10) можно, выписывая отдельные компоненты с ц,
v=l,...,4 и убедившись, что перекрестные члены сокращаются.
Сравнив (Г. 10) с (Г.9), потребуем выполнения следующих
условий для матриц у:
где duv=1()
Обычное представление матриц у, удовлетворяющих указан-
ным коммутационным соотношениям, имеет вид
'О -ктЛ , _ . /1 0\
где каждый элемент обозначает 2х2-матрицу и ак определены
в (Г.7). В развернутой записи
0 0 0 —i\ / 0 0 0 -Г
0 0 —i 0 \ / 0 0 1 0
0 i 0 О Г Уг I 0 1 О О
1 0 0 0 / \-1 0 0 0;
О —i 0\ /10 0
О Oil [0 1 О О
О 00J'Y4\00-l О
-i 0 0/ \0 0 0 -1
Полезно также определить матрицу
О -1
О
О
0-1 0 0(
причем у5 = 1, У5Уц + УцУ5 = 0' ц=1,...,4.
Г.1. Решения уравнения Дирака. Уравнение Дирака (Г.8)
есть совокупность четырех уравнений (ц=1,...,4) и должно
иметь четыре решения. Отделяя пространственно-временную
часть, запишем четыре решения в виде плоских волн:
\|/ = мге'рцдсц, ty = vre~ip\>\ (Г. 14)
350'
где г=1, 2 и и и v — постоянные четырехкомпонентные
спиноры. Спиноры Mi,2 соответствуют частице с импульсом
р и энергией Е, а vu2— состоянию с импульсом — р и энергией
— Е, т. е. состоянию с отрицательной энергией. Ясно, что так
разрешено, поскольку (Г.З) не определяет знак Е. Подставляя
(Г.14) в (Г.8), находим:
= 0, (Г. 15)
Подставим теперь явный вид матриц (Г. 13) в (Г. 15) и (Г.16);
определим четыре уравнения, которые можно решить с точ-
ностью до постоянного множителя N, так что в результате
«н .„;..., i^H(Pi_iP2;/(z?+m)i",
-p3l(E+m)
(Г. 17)
р3/(\Е\+т)
1 ,*¦,-
О
Любая линейная комбинация этих решений есть решение.
Выражения (Г. 17) можно записать более компактно в двухком-
понентной форме, где каждая из входящих величин сама есть
матрица 2x2. Обозначая <*1/?1 + (^2/'2 + аз/'з = вР> гДе
°1,2,з — 2х2-матрицы Паули (Г.7), находим:
ер
), v = N l(\E\ + m) |. (Г.18)
Смысл этих решений становится более ясным, если перейти
в систему покоя частицы, в которой р = 0; тогда решения
сводятся к двухкомпонентным спинорам
совпадающим с двухкомпонентными паулиевскими спинорами
нерелятивистской теории. Решения и, и t/2 интерпретируются
как состояния электрона с положительной энергией и двумя
возможными направлениями спина, условно «вверх» и «вниз»,
351
?->/77Cz Рис. ГЛ. «Море» Дирака
/У///У/////////////////У т. е. описывают электроны с по-
луцелым спином. Решения vx и v2
2тсг отвечают двум спиновым состо-
яниям с отрицательной энергией.
У//////////УУ///////У/ Дирак предположил, что суще-
Е<-тсг- ствует полностью заполненное
море состояний с отрицательной
энергией; «дырка» в этом море электронов интерпретируется
как позитрон, который может родиться, если электрон с от-
рицательной энергией получит энергию ?>2тс2 и будет
переброшен в состояние с положительной энергией (рождение
пар е+е~, рис. Г.1).
Г.2. Нормировка дираковских волновых функций. Выберем
нормировочный множитель в виде
N=y/(\E\ + m)/2m (Г. 19)
по причинам, которые вскоре станут ясны. Плотность частиц
определяется как p'=v|/*v|/, где звездочка указывает на комп-
лексно сопряженную функцию. Для 4-спиноров v|/ представля-
ется столбцом, поэтому ф* является строкой. Обозначим ее
v|/ + , чтобы указать как комплексное сопряжение, так и транс-
портирование (замена строк на столбцы и обратно). Итак,
откуда
p=v|/+v|/=Xflifl;. (г.2О)
i
Приняв нормировку (Г. 19), из (Г. 17) находим1
u+u = v+'v = \E\lm. (Г.21)
Такая нормировка для фермионов лоренцинвариантна (см.
приложение А), так как вероятность найти фермион энергией
Е и массой т в ящике объемом V равна теперь
r=V0 (Г.22)
\
т
Нормировка волновых функций делается по соглашению и из сооб-
ражений удобства. Если бы мы использовали обычное условие для бозонов,
как в (А.15), именно: $pdV=2EV0, тогда вместо (Г. 19) получили бы
N=y/\E\+m.
352
и не зависит от Е. Здесь Vo — объем ящика в системе покоя
частицы, а в системе, где энергия частицы равна Е, объем
претерпевает лоренцевское сокращение и равен V= Voin/E.
Таким образом, из (Г.22) следует, что нормировочный множи-
тель (Г. 19) лоренцинвариантен.
Полезно также определить спинор
$ = ^+У4, (Г.23)
так что из (Г. 12)
Можно непосредственно убедиться в том, что ф удовлетворяет
уравнению Дирака
±-^-„,^ = 0 (Г.24)
или
Г.З. Четность частицы и античастицы. Предположим, что
v|/(r, /) удовлетворяет уравнению Дирака (Г.8). Состояние,
получающееся в результате пространственной инверсии, т. е.
замены г->—г, не удовлетворяет уравнению Дирака, поскольку
оно первого порядка по пространственным координатам.
Состояние \|/( — г, t) = ty( — xk, х4) удовлетворяет уравнению
Умножая слева на у4 и пользуясь правилом У4у&+у*У4 =
получаем
Таким образом, состояние y4v(i( —r, t) соответствует инверсии
начального состояния v|/(r, t), а матрица у4 является опера-
тором четности для дираковской волновой функции.
Рассмотрим состояние с положительной энергией и спином,
направленным «вверх» (в системе покоя частицы, где р = 0)
[см. (Г.17)]:
Mi =
Для состояния с отрицательной энергией и спином «вверх»
23 Заказ 416 353
v, =
Следовательно, если приписать состоянию с положительной
энергией положительную внутреннюю четность, то состояние
с отрицательной энергией или, эквивалентно, античастица
будет иметь отрицательную внутреннюю четность.
Г.4. Условие полноты и проекционные операторы. При вычис-
лении сечений и вероятностей распадов приходится проводить
суммирование по спинам фермионов. Это можно сделать
с помощью условия полноты. Обозначим спиновые состояния
индексами г и s (r, s=\,2). Тогда с помощью (Г. 17) можно
показать, что
urus = Ur y4ws = 8rs; vrvs=-brs; §rs = <L' • (Г.25)
Отсюда для суммы по спинам получается соотношение
/1 0 0 0\
v I- - ч ? т / 0 1 О О _.Л,
I (utus-vsv,) = \, где 1= 0 10 ( ^
8=1,2 \ /
\0 0 0 1/
обозначает единичную матрицу 4x4. В эту сумму по спинам
входят состояния с положительной и с отрицательной энергией.
Для произвольной матрицы Q имеем
r.s=1.2
где TrQ обозначает след или сумму диагональных элементов
матрицы Q. [Выше в (Г.26) Q была единичной матрицей
и TrQ = 4]. В реальных задачах возникает необходимость
суммирования только по состояниям с положительной энергией,
так что состояния с отрицательной энергией нужно как-то
удалить. Вводятся операторы проектирования на состояния
с определенным знаком энергии
Л+ = (т-1уц/7м)/2™, Л" =(m + iy,Pil)/2m, (Г.27)
где
Л++Л"=1
и
u
im 2m
354
Л v = v, Л + 1) = Л и —О,
как это следует из (Г. 15) и (Г. 16). Отсюда, для суммы по
спинам состояний с положительной энергией получаем
!».«>.=-Л"!.
В случае 4 х 4-матричного оператора Q, действующего на
волновую функцию фермиона, результат суммирования по
спину для состояний с положительной энергией имеет вид
Q), (Г.28)
spin
и аналогичное выражение верно в случае функций v. Указанные
результаты используются всюду при вычислении сечений (см.
приложения Е, Ж).
Г.5. Спиральные состояния. В частном случае, когда р—р3,
т.е. Pi=p2 = 0, дираковские волновые функции являются соб-
ственными функциями оператора ср. Это верно в случае
обычного представления (Г.7) матриц Паули, в котором о3
диагональна, а а1 и а2 недиагональны.
Определим 4 х 4-матрицу
Если р=р3, то
>Рз
~Рз
Р:
~Рз/ \/
Таким образом, учитывая (Г. 17), получаем, что
Если обозначить о вектор с компонентами аг, д2, й3
[очевидное расширение (Г.29)], тогда результат (Г.30) можно
записать в терминах собственных значений оператора спираль-
ности
Я=ср/|р|, (Г.31)
т. е.
Ям1 = (ор/|р|)м1 = м1, Ни2=-и2, Hv1 = v1, Hv2=-v2.
23 * 355
Говорят, что состояния их и и2 (и vu v2) являются состояниями
со спиральностью Н= + 1 и — 1 соответственно. Таким
образом, спин фермиона выстроен вдоль направления движе-
ния. Если вектор импульса определяет ось z, то собственные
значения углового момента Jz равны +А/2.
Г.6. Приложение теории Дирака к б-распаду. Исходя из
требований лоренцинвариантности, можно показать, что су-
ществует только пять операторов, которые могут быть вклю-
чены в четырехфермионную связь, определяющую Р-распад.
По своим свойствам относительно преобразований Лоренца
эти операторы называются следующим образом:
скаляр S,
4-вектор V,
тензор Т, (Г.32)
аксиальный 4-вектор А,
псевдоскаляр Р.
Рассмотрим для примера состояние \|/( — г, t), получающееся
из состояния v|/(r, t) в результате инверсии. Как отмечалось
выше, \|/( — г, t) не удовлетворяет уравнению Дирака,
а 44^?{ — т, t) или vf( — r, t)yA удовлетворяет. Следовательно,
в результате инверсии
и поэтому такая комбинация является скаляром, в то время как
меняет знак при инверсии и является поэтому псевдоскаляром.
Можно показать, что как фу^ф, так и i^y^y^ ведут себя
как векторы по отношению к вращениям; однако в первом
случае знак пространственных компонент меняется при ин-
версии, а во втором случае—не меняется, так что вторая
комбинация является аксиальным вектором.
Как было указано в § 7.6, наиболее общий несохраняющий
четность матричный элемент Р-распада нейтрона п-*р + е~ +ve
или эквивалентного процесса ve+n—е~+р должен иметь вид
M=G^pOi^n)[^eOi(Ci + y5C'i)^l (Г.ЗЗ)
где С, С—константы, и Ot отвечает S-, V-, Т-, А- и Р-
взаимодействиям. Лептонную скобку можно переписать в виде
2. (Г.34)
356
Найдем теперь результат действия операторов -A±у5) на
волновую функцию лептона, например на состояние плоской
волны (Г.18):
1( { -х\( \=а(
2\-l l)\aV/{E+m)J 2\-(l-ap/(E+m))
2V ;5; 2^1 lJ\ap/(E+m)J 2 \\ + ap/(E+m)J'
где в каждом элементе подразумеваются 2 х 2-матрицы.
Выражение 1— ар/(Е+т) представим в виде
т т
R L
где коэффициенты, на которые умножаются правые (R) и левые
(L) спиральные состоянияsuR, uL= 1 ±ор/|р[, имеют вид
), b=l+\p\l(E+m).
Интенсивности R- и L-состояний в волновой функции
равны, соответственно, а2 и Ь2, так что продольная поляри-
зация лептона равна
Когда Ipl-^^1, v/c-+l, т. е. в ультрарелятивистском пределе,
и в этом пределе, который соответствует также безмассовым
нейтрино при любой энергии,
lim ¦<
V—>С
(Г.37)
Таким образом, оператор A+у5) проектирует на состояния
со спиральностью —1 (L), а оператор A —Ys)—на состояния
со спиральностью +1 (R).
Операторы A + Ys) B (Г-34) действуют на состояние
нейтрино. Экспериментально обнаружено, что нейтрино имеют
отрицательную спиральность. Поэтому в (Г.34) должен со-
357
храниться первый член, а не второй, т. е. нужно потребовать,
чтобы Ct = C'i. В результате, пользуясь (Г.32) и (Г.11),
получаем, что с точностью до численного множителя (Г. 34)
принимает вид
Пользуясь (Г. 18) и (Г.23), можно непосредственно убедиться,
что_ v|/e(l +y5) соответствует рождению правых электронов,
a \J/e A — Y5) — левых. На опыте обнаружено, что электроны,
испускаемые в Р-распаде, левополяризованы, так что взаимодей-
ствие включает V- и А -связь, но не 5, Т и Р. Итак, матричный
элемент (Г.ЗЗ) имеет вид (учитывая, что у$ = \):
M=G {Cv (ф„ уц ф. )[ф, у„ A + у5) v|/v ] +
Мы видим, что если CV——CA, т.е. аксиально-векторная
и векторная константы связи равны по величине и проти-
воположны по знаку, то мы приходим к знаменитому V—
Л-взаимодействию и матричный элемент принимает симмет-
ричную форму:
[^YmO+YsH-H^YmO+YsWv]- (Г.39)
Хотя в распаде мюона и других чисто лептонных процессах
слабого взаимодействия СА= — Cv, для распадов с участием
адронов это уже не так. Аксиальная константа СА (но не
векторная константа Cv) меняется за счет эффектов сильного
взаимодействия. Например, для нуклонов СА= — \,25CV.
Г.7. Сохранение спиральности в векторных взаимодействиях.
Любой фермионный спинор можно записать как суперпозицию
спиральных состояний:
Векторный оператор уи, входящий в ультрарелятивистский
фермионный ток, приводит к выражению
Йум U = (UL + Mr ) Уц (UL + UR ) = UL уц UL + UR Уц MR, (Г-40)
причем перекрестные члены сокращаются, так как
=1йП_ =1A-
2 ' 2
и в случае Г-взаимодействия
358
a) % 6) ^ в)
Рис. Г.2. Сохранение спиральности в векторных взаимодействиях
(это же верно, и для Л-взаимодействия). В случае скалярного
E) взаимодействия
в то время как
(аналогично для Р- и Г-взаимодействий). Как следствие (Г.40),
спиральность фермиона не изменяется в результате V- или
Л-взаимодействия, как это показано на диаграммах рис. Г.2, а
и б. Поскольку начальный фермион можно заменить конечным
антифермионом без изменения матричного элемента, то из
рис. Г.2, в видно, что в процессе е+е~-»у->ц + ц~ с учетом
закона сохранения спиральности в релятивистском пределе
vjc-*\ фермион и антифермион должны иметь противополож-
ные спиральности. Поэтому состояние должно иметь угловой
момент 7=1 (оно взаимодействует с фотоном) и /,= + 1 или
— 1, причем ось z определяется начальными пучками. е+ и е~.
Состояние с /г = 0 исключено, т. е. излучаемый фотон должен
быть поперечным.
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДОВ В ТЕОРИИ
ВОЗМУЩЕНИЙ
В рамках зависящей от времени теории возмущений
мы рассматриваем переходы — например, в процессе соударения
или распада—из хорошо определенного начального состояния
системы, допустим \|/, в некоторую совокупность конечных
состояний, происходящие в результате действия возмущающего
потенциала V. Пусть в моменты времени t<0 система
находится в стационарном состоянии с энергией Ет,
359
являющемся одним из возможных собственных состояний
невозмущенного гамильтониана Но. Волновую функцию можно
записать как произведение зависящей от времени и простран-
ственной частей
Предположим теперь, что при ?^0 «включается» потенциал
V, что приводит к переходам в другие состояния системы
Ф„. Тогда \|/@ можно представить как сумму
Ф(О=1си(ОФпе-!?п^. (Д.2)
п = 0
где функции ф„ являются полным набором ортонормированных
собственных функций невозмущенного гамильтониана системы
Яо, т. е.
ЯоФи = ?пФп. (Д.З)
Коэффициенты с„ определяют амплитуды вероятности об-
наружения системы в состоянии ф„. Следовательно, с„ @) = 1
для п = т и равен нулю для всех других значений и. Полная
волновая функция в (Д.2) должна удовлетворять зависящему
от времени уравнению Шредингера (в нерелятивистском случае)
где полный гамильтониан при t>0 равен
H=H0+V. (Д.5)
Подставляя в (Д.4) выражения для Н и \|/(?) и используя
(Д.5), получаем
я = О
Умножив это уравнение на \|/?, где к отмечает какое-то другое
собственное состояние Яо, и используя то, что ф„ и фк
ортогональны для всех значений пфк, находим
где
Mnk = \q>'kVyndT (Д.6)
определяется как матричный элемент перехода из состояния
к в состояние и, вызванного возмущением V. Размерность
М„к равна размерности энергии, так как и V, и Н являются
операторами энергии, а ф4 и фп нормированы на полный объем.
360
В первом порядке теории возмущений считается, что само
возмущение столь слабо и вероятность перехода так мала,
что за рассматриваемое время t cm(t)&\ и с„(?)~0 для пфт.
Тогда, считая, что V постоянно при t>0 и интегрируя по
времени, получаем
j- (Д-7)
Полная вероятность перехода в единицу времени во все
состояния Е„
1 v i ,.\ii A ii /. \ i ¦?»*-<» »w-, /7ТСЧ
В последнем выражении мы заменили сумму по дискретным
состояниям на интеграл по группе состояний с близкой
энергией, что практически и наблюдается в процессах соударе-
ния или распада. Величина dNjdE есть плотность состояний
на единичный интервал энергии. Если положить:
x = (Ek-Em)/2h, (Д.9)
тогда
Функция sin2*/*2 имеет главный максимум, равный единице,
при х — 0 и первый нуль при х = + л. Вклад в интеграл
области за точками х—±п мал (около 10%). Из (Д.9) следует,
что соответствующий энергетический интервал dEk = 2Kh/t&4x
х10~15эВ при t=\ с. Это просто соответствует тому факту,
что в случае конечной вероятности перехода энергия должна
сохраняться и EkzzEm с точностью до отклонений допустимых
принципом неопределенности. Во всех практически интересных
случаях можно считать, что на интервале dEn отношение
dN/dE постоянно, и, учитывая то, что
1
sin2x
361
мы приходим к выражению
ИМ
(Д.Ю)
w=^\Mif\'dN
Ъ ' 1J ' dE/
Здесь использована слегка измененная система обозначений
для матричного элемента перехода из начального состояния
i в (совокупность) конечных состояний /, причем <р,. и фг —
пространственные части волновых функций. Величина dNjdtf—
плотность конечных состояний, которую часто обозначают
Pj. Выражение (Д.Ю) называют вторым золотым правилом
Ферми нерелятивистской квантовой механики.
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
РАССЕЯНИЕ НЕЙТРИНО НА ЭЛЕКТРОНАХ
В РАМКАХ V— ^-ТЕОРИИ
Сечение реакции
ve + e~-+e~ +ve (E.I)
можно получить из D.5) и D.6):
do^2np*2dp*\Mif\2
du D0 h dE0 BnhK' l " '
причем рассмотрение будет вестись в СЦИ реакции. Пусть
4-импульсы начального и конечного нейтрино равны рх и ръ,
а соответствующие величины для электронов равны р2 и />4-
Полные энергии частиц равны ?\, Е2, Ег, Е±. Величина
3-импульса в СЦИ равна р*, a v0 — относительная скорость
сталкивающихся частиц. Полная энергия в СЦИ равна Ео, причем
El = s= -(/>, +р2J= -(Рз+РаJ-
Будем пользоваться волновыми функциями лептонов, нор-
мированными в их собственных системах покоя, так что, как
объяснялось в приложении Г, для нормировки в общей СЦИ
следует использовать релятивистский множитель yfmjE. Тогда
в системе единиц h = c=\ имеем
do I mlml ,2P*2dp*
Bя) Е],Е2ЕЪЕА Do dE
362
Рис. ЕЛ. Процесс ve-рассеяния в V—Л-теории v
Pi
Для той части амплитуды реакции, которая обусловлена
заряженным током, V—А -теория предсказывает в пределе
малых q2 вид матричного элемента, равный произведению
двух токов (рис. ЕЛ), так что эффектами пропагатора И^-бозона
можно пренебречь (см. приложение Г.6 и G.27)):
Здесь mv, ue—нейтринные и электронные спиноры,
а уцA + Ys) — оператор V—^-взаимодействия. В результате
эрмитового сопряжения этого матричного элемента получим
х(ме(Р2)УрA+У5)"у(рз)), (Е.5)
так что
Y,AWBw, (Е.6)
где
(Р4). (Е.7)
Чтобы осуществить суммирование по спинам, воспользуемся
соотношением полноты (Г.28), применяя в (Г.27) оператор
проектирования на положительные энергии
A + =(m-iyo/>o)/2m. (E.8)
В результате
363
причем при получении (Е.9) учтено, что
(Е.9)
След произведения нечетного числа у-матриц равен нулю.
Второй сомножитель в (Е.6) имеет аналогичный вид:
В
Верна формула
Тг[уяуцу„урA+у5)] Тг[уяуцурурA+у5)] =
Проверить это равенство можно с помощью соотношений
4 Тг [УцУуУрУя] = 8цу8ра-8МР8™ + 8мо5ур,
(Е.11)
где е= +1 или —1, если ц, v, p, ст образуют четную (нечетную)
перестановку 1, 2, 3, 4, и е = 0, если любые два индекса
совпадают. Указанные соотношения можно проверить, подстав-
ляя n = v, р = ст и т. д. и пользуясь тем, что 8AЯ8ар = 8мр
и 8яР8ар = 4.
Разделив на 2 для усреднения по спиновым состояниям
электрона-мишени (поскольку мы просуммировали по этим
состояниям при вычислении следа), получим
ММ + =— Атг SS
4G2
представляющее собой выражение для квадрата матричного
элемента, просуммированного по конечным и усредненного
по начальным спиновым состояниям. Подставляя это выраже-
ние в (Е.З), находим:
do_G2(PlP2)(p3pt)p*2 dp*
du n2 ElE2E3E4. v0 dE0'
364
Если пренебречь массой нейтрино, то можно легко убедиться,
что
= y/(p1p2J-(mvineJ =(р1р2),
(s-mj)/2, E3E4. = (s2~mt)/4s,
m2e)l2sfs, dp*/dE0 = (s + m2)l2s,
после чего дифференциальное сечение в СЦИ принимает вид
а полное сечение оказывается равным
s. (E.15)
/ \ °2 л *2 G2(s-m2eJ G2
a(ve)=—Ар* =—^ -1-к,—
Если ввести лабораторную энергию Е налетающего ней-
трино, взаимодействующего с неподвижной электронной ми-
шенью, то s = 2meE+mj, так что
/ ч G 2теЕ 2 _2 т-- ,Г,Л
a(ve) = —у- ——.&-G2meE. (E.16)
v ; п A+те/2Е) п к '
В случае, когда вначале имеются антинейтрино и идет
реакция
матричный элемент ее совпадает с предыдущим, если совер-
шить замену выходящих (входящих) нейтрино на входящие
(выходящие) антинейтрино. Это сводится просто к замене
импульсов рх и р3 друг на друга, так что в результате
do(ve)_G2(Plp4)(p2p3)p*2dp*
du п2 Е^Е2ЕгЕ^ «о dE0' '
Обозначим 0* угол рассеяния антинейтрино в СЦИ, тогда
PiPa=~{p*2 cos Q* + E1Ea)~-S-(\+ cose*)
в пределе s»mj. Для скалярного произведения ргръ получается
тот же результат. Таким образом, находим, что в СЦИ
соударения
365
Полагая энергию электрона отдачи в ЛС равной Е'=уЕ,
где Е—начальная энергия антинейтрино, можно без труда
показать, что при Е»те
\-y=l-{\+cosQ*),
так что дифференциальное сечение в ЛС для рассеяния
нейтрино и антинейтрино на электронах имеет следующий вид:
G2s/K,
(Е.20)
G2s/K{l-yJ,
как и указывалось в G.53).
Наконец, следует подчеркнуть, что мы рассчитывали сечения
для рассеяния за счет заряженных токов, но, кроме этого,
имеются и вклады нейтральных токов в эти сечения (см. гл. 9).
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж
РАССЕЯНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ФЕРМИОНОВ В КЭД.
ПРОЦЕССЫ е-ц + -*е~|1+ И е +е
Ж.1. Процесс e~u + -»e~u + . Выведем прежде всего формулу
для сечения F.24) упругого рассеяния электронов точечными
заряженными фермионами (мюоном или точечным «дираковс-
ким» протоном). Матричный элемент будет содержать произ-
ведение фермионных токов и множитель, связанный с про-
пагатором фотона:
Mju (Ж1)
где токи
je= Z "Лр"<м h= Z "цУр"ц
спин спии
связаны с электроном с начальным (конечным) 4-импульсом
р(р') и с мюоном с начальным (конечным) 4-импульсом k(k')
(рис. Ж.1). Векторный оператор ур действует на лептонные
спиноры ие, мц. Тогда
(Ж.2)
366
p
e~—»—
* р'
к к
a) S)
Рис. Ж.1. Диаграммы процесса е~ ц + -*e\i+ (а) и процесса е + е~-*ц + ц~ (б)
так что
ч
где
Лв=[М/>')тр"«(/>)] ["«(/>)?«««(/>')]¦
(Ж.З)
(М(Л:')].
Суммирование по спинам осуществляется с помощью проек-
ционного оператора (Г.27)
так что, используя (Г.28), получаем
а с помощью теоремы о следах (Е. 11) принимает следующий
вид:
ml Ар,, = ml 8р„ -р'рра -ррр'„ +р*р'аЬра ¦
Аналогично, для мюонного тока
Таким образом,
*2[ml{pp')+{kp){k'p')+{kp'){k'p)l (Ж.4)
где на последнем этапе мы пренебрегли массой электрона.
Переданный 4-импульс при рассеянии равен q, причем
а из закона сохранения энергии-импульса к'=р + к—р'. В ре-
зультате сумма (Ж.4) принимает вид
367
+(kp')(p2+kp-pp')]
где опять мы пренебрегли массой электрона в последнем
выражении. Рассмотрим это выражение в ЛС, в которой
мюонная мишень покоится. Обозначая т^ = М, а начальную
и конечную энергии электронов Е и Е', получим, что различные
4-импульсы и скалярные произведения можно представить
в виде
/> = р, \Е, р' = р', \Е', к = 0, Ш, к' = у/' W2-M2,\W,
кр=-МЕ, кр'=-МЕ',
где W—полная энергия мюона отдачи. Следовательно,
-Ш2ЕЕ'{\
Вводя угол рассеяния электрона в ЛС, имеем
q2 = -2рр' = -2\р\\р' \
'(\ -cosQ) = 4EE' sin2-
q2 = 2MT=2M(E-E'),
где T=W—M—кинетическая энергия, приобретаемая мюоном.
Таким образом,
4M2EE'\ 29 q2 . 2Qle4
= ^rLC°S 2 + 2M~2Sm Ф' (Ж-5)
Вспоминая (Е.З), видим, что сечение примет вид (в системе
5п~BяJ' ' ~70dE~f ЕЕ MW4'
где множитель 1/4 возник в результате усреднения по четырем
спиновым состояниям частиц в начале. Полная энергия конеч-
368
ного состояния равна Ef = E+M=E' +W, а р' обозначает
теперь 3-импульс рассеянного электрона в ЛС. Из F.6) имеем
л
Учитывая, что vo = c=\, е2 = 4па и q2 = 4EE' sin2-, получаем
окончательно сечение рассеяния Мотта в виде
а2 \/?'\Г ,2е, q2 . 2е
. 4„1Ч Е \ 2' 2М<
АЕ sin —
*, 2/
Эта формула использовалась в F.24) в несколько иных
обозначениях [р0 вместо Е, р вместо Е' и для множителя
Е'/Е, связанного с отдачей, учитывалась формула F.6)].
Полученная формула верна для рассеяния электрона на
точечном заряженном фермионе массы М, покоящемся в ЛС.
Ж.2. Процесс е + е~-»ц + ц~. Выражение (Ж.7) для сечения
рассеяния электрона на мюоне (или электрона на точечном
протоне) было выведено в ЛС. Можно записать это сечение
через лоренцинвариантные кинематические переменные. Ис-
пользуемые величины называются иногда мандельстамовскими
переменными s, t, и (см. рис. Ж.1, а), и они следующим
образом выражаются через 4-импульсы частиц:
t= -q2 = (к-к'J = {р-р'Jк -2рр' = -2кк', (Ж.8)
и = (р-к'J = (к-р'Jх -2к'р= -2кр'.
Здесь справа в конечных выражениях пренебрегается массами
всех частиц. Мы оставляем читателю возможность в качестве
упражнения показать, что сечение (Ж.7) можно записать через
эти переменные в виде [с учетом (Ж.4)]
duK ^ ' 2s t2 y '
Рассмотрим теперь процесс аннигиляции е + е~—Ц + Ц • Сечение
этого процесса можно получить из сечения (Ж.9) следующим
образом. Как показано на рис. Ж.1, импульсы входящих
частиц можно заменить на импульсы выходящих частиц,
и наоборот, не меняя при этом форму матричного элемента.
На рис. Ж.1, б показана диаграмма «кросс-канала» по отноше-
нию к диаграмме рис. Ж.1, а, и сечение процесса, описываемого
этой диаграммой, получается просто заменой
к~-р',
24 Заказ 416 369
^/«
рй
V
Рис. Ж.2. Кинематика процесса е + е~->ц + ц~
т. е. заменой
и <-» и, s *-*t.
Таким образом,
Если обозначить Э угол вылета ц+(ц~) в СЦИ по отношению
к начальному е+ (е ~) и вновь пренебречь всеми массами
лептонов, то (рис. Ж.2):
s = (Po+PoJ = 4po, t = 2pl(\-cosQ), u = 2pl(\+cosQ),
где ро — численное значение 3-импульса в СЦИ для каждой
частицы до и после рассеяния. Итак,
и полное сечение равно
( + - + -)
а(е ец ц)- (Ж.12)
Мы оставляем читателю возможность показать, что если не
пренебрегать массой мюона, то в скобках в (Ж.11) появляется
дополнительное слагаемое Dmp/s)sin2Q и все выражение
умножается на A— 4ml/sI12. Приведенные выше выражения
представляют собой стандартные сечения КЭД в низшем
порядке по а. При высоких энергиях становится важным
дополнительный вклад от обмена Z0 (слабый нейтральный
ток), и это приводит к асимметрии вперед — назад в (Ж.11);
см. § 9.7.
370
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
РАСПАДЫ W- И Z-БОЗОНОВ
Спин W-бозона равен единице, так что его состояние
поляризации можно описать в релятивистски-инвариантной
форме с помощью 4-вектора ей с пространственными ком-
понентами eif e2, е3 и временной компонентой е4- По аналогии
с описанием фотонов C.34) можно записать, например, пра-
вополяризованное состояние в виде
ел = {\ф, i/v/2, 0, 0), C.1)
что соответствует W-бозону с правой циркулярной поляризаци-
ей и проекцией спина 7Z= + 1 на ось z. Аналогично,
«i = (l/>/2, ~i/>/2. °' °) C-2)
и
ег=@,0, 1,0) C.3)
отвечают левополяризованным GZ= —1) и неполяризованным
Gг=0) W-бозонам соответственно. (Четвертую, временную
компоненту всегда можно исключить подходящим выбором
калибровки.)
Матричный элемент распада W с 4-импульсом к на электрон
и нейтрино, с 4-импульсами р, q соответственно, согласно
V—Л-теории можно представить в виде
M=gweil{k)uv{q)yil{\+y5)ue{p), C.4)
где gw—константа взаимодействия W с лептонной парой.
Далее,
М + =gwel{k)ue{p)yv{l+y5)uv{q). C.5)
Используя проекционный оператор (Г.27) для суммирования
по спинам и пренебрегая те, mv по сравнению с их импульсами,
в результате вычисления следа находим [см. (Е.11)]:
X ММ + =??<?„*:Тг[Л.+
4memv
gw eel Tr[yPytfqayv(\ +y5)] =
2memv ц
4g
2memv
371
Рис- 3-1- Кинематика процесса W-*ev
+ 0(JO6vp ОцуОро + Ерцоу J—
2memvL '
Рассмотрим правополяризованное (R) состояние W-бозона
C.1), т. е. состояние с /z= + l, e1 = l/N/2, e2 = i/y/2, e3 = e4.=:0.
Тогда
). C.7)
Пусть />* (рис. 3.1)—численное значение (равных и проти-
воположно направленных) 3-импульсов электрона и нейтрино,
а в—угол их вылета по отношению к оси z. Пренебрегая
слагаемыми, пропорциональными те и mv в числителе, находим
2тетУ1
J. C.8)
tflgtfly
Вероятность распада или ширина Г получается включением
фазового объема:
372
при этом использованы лоренцевские нормировочные множи-
тели -JmlE для фермионов, как в (Г.22), и y/\/2Ew для
бозона, как в (А. 15). В системе покоя ^-бозона EW=MW
и р* = М№/2. Учитывая, что
^ = /8 = |:
V 2
как в (9.28), получаем после интегрирования C.9) парциальную
ширину распада W^ev:
= 232 МэВ. (ЗЛО)
Парциальные ширины распадов W и Z. Очевидно, что
парциальные ширины распадов W-*e\, \w, tv, ud, tb, cs на
лептонные или кварковые пары одного цвета определяются одной
универсальной константой и имеют одинаковое значение. Однако
для кварков необходимо учесть цветовой множитель 3, так что
IV (полная) = 3[Tw(ev) + 3rw(ev)] =
= 12Г^(еу)^2,75ГэВ, C.11)
что дает слегка завышенное значение, так как не учтено
уменьшение фазового объема для тяжелых кварков tb. Из
обсуждения в § 9.6 [см. (9.27)] известно, что матричный
элемент распада имеет вид
V2
в то время как
/(HT)Z° =
COS9»-
4 cosG»-1
Следовательно,
r(Z°->vv)_/Mz\ 1 _ Ml
T(W->ev) \MwJ2cos2Qw 2M»-'
где первый множитель в скобках справа есть отношение
фазовых ^ объемов, кроме того, учтено, что, согласно (9.29),
s26»r. Итак,
C.12)
373
если использовать численные значения Mz = 94 ГэВ,
G= 1,166-10 ГэВ~2. Для распада на любую фермионную
пару отношение ширины такого распада к ширине распада
на пару нейтрино имеет вид
r(Z°-+//) = r(Z°^vv)-2(c? + d), C.13)
где векторные (сг) и аксиально-векторные (сА) константы
связи фермионов с Z0 определены в (9.33). Оставляем читателю
возможность доказать, что в случае трех цветов кварков для
трех фермионных поколений и при значении sin ^9^=0,22
полная ширина Z0 равна Fz=2,7 ГэВ, т. е. по существу такая
же, как для заряженного W-бозона C.11).
ПРИЛОЖЕНИЕ И
ЦВЕТОВЫЕ СИЛЫ МЕЖДУ КВАРКАМИ,
АНТИКВАРКАМИ И ГЛЮОНАМИ
ИЛ. Коэффициенты глюонной связи. Цветовая сила между
кварками переносится цветным-антицветным октетом вектор-
ных глюонов, как в (8.51), состояния которых можно записать
по аналогии с состояниями мезонного октета в табл. 5.2.
Обозначая три цвета символами г (red—красный), Ь (blue —
голубой) и g (green — зеленый), получаем:
гЪ (И. 1а)
rg (И.16)
bg (И.1в)
bf (ИЛ г)
gb (И.1д)
gf (И.1е)
{rf+gg-lbb)!^ (ИЛж)
\rf-gg)ljl. (И.1з)
Связь между парой одинаковых кварков, например rr-*rr
на рис. ИЛ,а, осуществляется путем обмена состояниями
(ИЛж) и (ИЛз). В первом случае возникает множитель
Р2A/Уб)A/Уб), а во втором -р2A/х/2)A/л/2), так что
полная константа равна +2р2/3, где р — цветовой заряд.
В процесс rb-*rb (рис. И.16) вклад дает только обмен
глюонным состоянием (ИЛж), что приводит к появлению
множителя — р2B/^/6)A /у/б) — — Р2/3. Для взаимодействия
374
г г
г г
г Ь
г г
Рис. И.1. Диаграммы, определяющие константы связи октета глюонов с квар-
ками
rb-+br (рис. И.1в) следует учитывать глюонное состояние
(И. 1а), что приводит к множителю + р2.
Мы предполагаем, что по аналогии с электромагнетизмом
связь антикварков с глюонами определяется константой — р.
Так, в процессе гг-угг возникает коэффициент связи с глюонами
— 2Р2/3 (рис. И.1г); в процесс rf-+bb (рис. И.1д) дает вклад
глюонное состояние (И. 1а), как и для процесса на рис. ИЛ в,
так что соответствующий коэффициент равен —р2. Наконец,
процесс rb^rb на рис. ИЛ совпадает с процессом на рис. И.16,
а коэффициент меняет знак, т.е. равен + Р2/3.
Окончательно, коэффициенты связи глюонного октета с па-
рами кварков или антикварков равны:
(И.2)
<гй|С|г6>=-1р2, (rb\G\rby=+\$\
<br\G\rb}=+$2, <rr\G\bb}=-$2.
И.2. Константа связи для цветового синглета барионов.
Вычислим цветовую константу связи между парой кварков
в цветовом синглете, т. е. в антисимметричном по цвету
состоянии бариона. По аналогии с синглетом по аромату
E.4) цветовая волновая функция бариона должна иметь вид
V6
+{gr-rg)b). (И.З)
Глядя на взаимодействие между двумя из трех кварков,
видим, что первый член в круглых скобках включает процессы
375
rb^rb с коэффициентом 1/6 и rb-*br с коэффициентом —1/6.
Учитывая глюонные константы связи (И.2), получаем сум-
марный вклад в слагаемое rb:
(И.4)
Очевидно, что слагаемое br в (Й.З) даст такое же число, как
и bg-, gb-, gr- и rg-состояния. Таким образом, чтобы получить
полный потенциал, просуммированный по всем цветам, вза-
имодействия пары кварков в трехкварковом цветовом синглете
нужно умножить (И.4) на шесть; в результате получим
4В2 1
у (QQbQQQ синглете)— , ' I*1--'/
Отрицательный знак указывает на то, что кварк-кварковое
взаимодействие является притягивающим, а зависимость 1/г
на малых расстояниях свидетельствует о том, что цветовое
поле имеет кулоновский вид [см. E.47)].
И.З. Константа связн для цветового синглета мезонов. Вол-
новая функция цветового синглета кварк-антикварковых пар
имеет вид, аналогичный синглету по ароматам (см. табл. 5.2),
1 '-¦••"¦ "ч (И.6)
v
Если учесть (И.2), то вклад процесса rr-+rr в (И.6) равен
(ч/)(ч/)(|)
В (И.6) содержатся три слагаемых этого типа, так что
совместно они дают коэффициент — 2р*2/3. Взаимодействия
rr-ybb и rr-ygg дают каждое коэффициент — C2/3. Умножая
на три, чтобы учесть все такие члены в (И.6), получаем
— 2C . Таким образом, полный потенциал для цветового
синглета мезонов равен
_ -2Р2-2Р2/3 8р2 1
У(ебсинглет) = = — - • (И. 7)
И.4. Константы связи для несинглетов по цвету. Аналогично
можно получить константы связи для несинглетных комбинаций
QQ и QQ- Для примера рассмотрим «6» (секстет)—представ-
ление цветовой группы SUC). Оно имеет вид
(екстет = ^
/6|_
{ ){gg)+{g + g)\ (И.8)
2 у/2 J
Предоставляем читателю возможность доказать, что
^секстет) =+^). (И.9)
376
Другой j/ример— цветовой октет QQ. Цветовая волновая
функция QQ-пары совпадает с волновой функцией глюонного
октета, приведенной в (И. 1а — з). Можно непосредственно
убедиться в том, что
V(QQ0KTer)=+~-1-. (И. 10)
Заметим, что оба потенциала (И.9) и (И. 10), включающие
кварки и антикварки с отличным от нуля суммарным цветом,
являются отталкивающими. Только синглетные по цвету
комбинации (И.5) и (И.7) приводят к связанным состояниям.
Приведенные выше результаты можно получить с помощью
более общих формул или с помощью диаграмм Юнга;
интересующихся читателей мы отсылаем к обзорным лекциям
(Feynman, 1973 г.; Rosner, 1980 г.).
Выражения (И.5) и (И.7) для синглетных по цвету потен-
циалов взаимодействия QQ и QQ приводят к формулам для
сверхтонкого расщепления в адронных мультиплетах (см.
§ 5.10). Сильная константа связи as = 2C2. Значения АЕ в случае
кварков получаются из E.30) электромагнитной теории под-
становкой e;e, = 4jtas/3 и, соответственно, подстановкой в E.31)
и E.32) <?,*, = 2яа,/3.
И.5. Константы связи в вершинах QQG и GGG. Знание
констант связи для кварк-кваркового, кварк-глюонного и глю-
он-глюонного рассеяния за счет одноглюонного обмена требу-
ется при обсуждении событий рр-+2 струи (см. рис. 8.19).
Связь QQS. Соответствующие диаграммы показаны на
рис. И.2. Если взять в начале r-кварк, то его можно превратить
в g-,_ b- или r-кварк путем испускания глюонных состояний
rg, rb или гг. Из формул (И. 1а, б) получаем для первых двух
случаев одинаковые константы J32, а из (ИЛж, з) для третьего
случая получаем константы р/6 и р2/2, дающие в сумме
2C2/3. Таким образом, полный коэффициент равен 8C2/3.
Очевидно, такой же результат получится, если начать с g- или
^-кварка. Подставляя as = 2C2, находим, что квадрат константы
в вершине QQG равен
ry С rb ? rr
9 г J3 b r
Рис. И.2. Диаграммы связи QQG
377
В В 9 9 r r
Рис. И.З. Диаграммы связи GGG
Связь GGG. Как рассмотреть глюон-глюонную связь?
Представим два глюона как виртуальные 22-состояния
(р_ис. И.З). Предположим сначала, что глюон G1 состоит из
rX-nap, где X=b, g, r, и возьмем для второго глюона G2
какое-то конкретное цветовое состояние, например тЪ. Первая
диаграмма на рис. И.З определяет вероятность того, что G3
находится в состоянии ЬЬ и соответствующий коэффициент
равен ( —2р/л/бJ = 2р2/3. Вторая диаграмма дает просто Р2.
С учетом (ИЛж, з), третья диаграмма приводит к множителю
(—1/6+1/2)Р2 = Р /3. Складывая_ все эти коэффициенты, нахо-
дим, что для процесса rX^rb-\-глюон общий коэффициент
равен 2Р2.
Но G2 является лишь одним из восьми возможных цвето-
вых состояний глюона. Еще один множитель: 3 возникает
потому, что мы могли взять для G1 с равным успехом ЬХ,
gX или тХ. Этим исчерпываются восемь возможных состоя-
ний G1 и G2. По соображениям симметрии все возможные
цветовые состояния глюона G3 будут автоматически включены
в рассмотрение. Таким образом, деля на число состояний
G1, равное восьми, найдем, что для любого конкретного
глюонного состояния G1 общая константа в квадрате со-
ставляет
Результаты (И.11) и (И.12) использовались на рис. 8.19.
Более аккуратно их можно получить с помощью теории
групп. Следует заметить, что с помощью таких простых
аргументов уже не представляется возможным получить значе-
ние константы связи для вершины GGGG.
Может возникнуть вопрос, почему тройная фотонная вер-
шина не может быть представлена диаграммой, подобной
диаграмме на рис. И.З, с заменой глюонов на фотоны
и кварковых пар на пары электронов и позитронов. Подобный
процесс будет иметь амплитуду, равную нулю, поскольку для
каждого фотона зарядовая четность С= — 1, и поэтому С не
может сохраняться.
378
Таблица I. Основные атомные константы
Величина
Обозначение
Значения
Число Авогадро
Скорость света в пус-
тоте
Заряд электрона
Постоянная Планка
Постоянная тонкой
структуры
Масса электрона
Масса протона
Классический радиус
электрона
Комптоновская длина
волны электрона
Первый боровский ра-
диус для бесконечно
тяжелого ядра
Томпсоновское сече-
ние
Боровский магнетон
Ядерный магнетон
Единица частоты
прецессии
mec
т.с2
re=e2]4nmec2
h/mec=re/u.
<»=4*hjmee =
-nr2e
iia=eh/2me.c
]x.-eh/2mpc
e
2mec
e
2mpc
6,02205(±3I02Эмоль
2,99792458 1010 см с"' =
= 2,99792458 108м с
4,80325(±2)-10" 1Оед. СГСЭ =
= 1,602189 (±5)-10" гаКл
6,58217(±2)-102 МэВс=
= 1,054589(±6)-10-27эргс
1/137,0360(±1)
9,10953(±5I0-28г=
=0,511003 (±1)МэВ
938,280 (±3)МэВ= 1836,152
2,81794(±1)-10-13см
3,86159(±1I0-псм
0,5291771 (±4)-10"8 см
665,245 (±3) мб (или хЮ~Э1м2)
0,578838 (± 1) • 10" 14МэВ-г
3,15245(±1I0-18МэВт-1
8,79401 (±3)-10* рад-с г'1
4,78948(±3)-103рад-с-1т-1
Единицы измерения
1,602189(±5I0-6 эрг
1 ферми = 1 фм=10 см
1 барн=1 би=10эмб = 106мкб=10-24см2=10-28м2
Полезные приближенные выражения
Ас=;200МэВфм
Классический радиус электрона: е2/4птес2»2,& фм«2хА/т„с«2л: (радиус ядер-
ных сил)
Радиус кривизны для импульса р: рск0,03Нр (рс в ГэВ, Н в кГ, р в м).
Таблица II. Сферические гармоники н D-функцнн
Y?(Q, ¦
pt (cose )=(-i)m sin- e
ГГ.
J P,(cos9)
379
Продолжение табл. II
Pf"(cose)=(-1)"
¦/Г (cos 9)
/=0,
1=2 Y°2= / Ccos29-l); Yl2
¦у 16я
/=3 Y%= /—Ecos39-3cos9);
"У 16я
У2= / sin29cos9e21";
•у 32я
sin9Ecos29-1)е"
Д-функции <.,m = (-l)m-m'; d>mm.=dLm,-m.;
</Ь=A+со8 9)/2; </},<,= -sin9Д/2; </}. _,=(l-cos9)/2;
9
s-;
^, _1/2
9
=-sin-
Таблица III. Коэффициенты Клебша—Гордана
В качестве примера использования этой таблицы рассмотрим случай
комбинации двух угловых моментов ji = \, ml = \ и jz=l, тг— — \. Ищем
тот вход таблицы, где написана комбинация 1x1, тогда четвертая строка
дает коэффициенты в уравнении (В.1) приложения В:
/т /т /т
<р,A, 1)ч>2A, -1)= /-¦B,0)+ /-¦A,0)+ /- + @,0).
Полученное выражение указывает нам, как две частицы с угловым моментом
(или изоспином), равным единице, комбинируются для образования состояния
с угловыми моментами у=0, 1 или 2. Альтернативно, состояние с конкретным
значением (j,m) можно разложить на составные части. Так, состояние с У =2,
т = 0 можно представить в виде произведения состояний с j—\, при этом,
конечно, ml+m2=m=0. Четвертый столбец таблицы для 1x1 дает:
380
\|/B,0)= /-Ф1О, 1)ф2A, —1)+ / -ф! A, 0)ф,A, 0)+ /-ф, A, —1)ф,A, 1).
V 6 V з . V 6
Соглашение о знаках в таблице следует искать в книге Кондона и Шортли
(Condon, Shortley, 1951 г.).
1 1
2*2
У: 1 1 0 1
М: +1 0 0 -1
1 1
h2+2
1 1
+2
1 1
+2
Л -Л
1 _1
~2
зз д з 2. I
2 2 2 2 2 2
„31111 3
М: +2 +2 +2 ~2 ^
-4
0 +г
о --
.1+1
VI Л
-1
3
2
m,
3
1
~2
1
*2
m2
J:
M:
2
+ 2
1
2
+ 1
1
+ 1
2
0
1
0
1
2
-1
Продолжение табл. Ill
1 2
1 -2
3 1
+ 2 ~2
1 1
+ 2+2
1 1
1 1
~2 +2
1 1
~2 ~2
3 1
2 +2
V4"
\M
Л
-Л
л
л
л
-л
л
л
л
3 _1
~2 2
Af'.
tn^ /и 2
«4
2
5
2
5
•
5
2
3
+ 2
Л
л
3
2
3
+ 2
Л
-л
5
2
1
+ 2
3
2
1
+ 2
5
2
1
~2
3
2
1
~2
5
2
3
~2
3
2
3
~2
5
2
5
382
Продолжение табл. Ill
¦•4
л
-¦¦*
л л
V 5 V 5
Л Л
л-л
2
1x1
т\ тг
+ 1 +1
У:
М:
2
+ 2
1
2
+ 1
1
+ 1
2
0
1
0
0
0
2
-1
1
-1
2
-2
1
+ 1 0
Л Л
л -л
+1 -1 /i /1 /'
/1 0-/1
'А - Г1 Т-
V6 V 2 V з
-1 +1
0 -1
-1 0
-1 -1
383
V2 V2
Продолжение табл. Ill
J:
M:
ь
2
5
i
Ь
2
3
+ 2
3
2
3
+ 2
5
2
1
+ 2
3
2
1
+ 2
1
2
1
+ 2
5
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
5
2
3
2
3
2
3
2
2
5
¦§¦¦
3
+ 2
1
+ 2
1
~2
1
1
1
~2
3
?
0
+ 1
-1
0
+ 1
10 V5
5 V 15
10 V 15
15
-х 0
384
Таблица IV. Элементарные частицы. Долгоживущие частицы (стабильные или распадающиеся за счет слабых или
электромагнитных переходов) *'
Частица
Iе"
Масса, МэВ*4
Время жизни, с
Распад
Мода
Доля, %
МэВ/с*
0,1
0(<310-зэ)
Калибровочные бозоны
Стабильно
W
81,0±1,ЗГэВ
92,4+1,8 ГэВ
Г<6,5ГэВ
Г < 5,6 ГэВ
ev
HV
XV
е+е~
10
12
10
4,6
40,5 • 103
40,5 • 103
40,5 •103
46,2 • 103
V,
е
И
X
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
—
—
—
—
—
<18эВ
<0,25
<35
0,5109906 (±15)
105,65839 (±6)
1784,1+ 2..7
— 3,0
Лептоны
Стабильно
Стабильно(>2 • 1022 лет)
2,19703(±4)-10~6
3,04(±9I03
—
—
evv
HVV
evv
rev
pv
Адроны + v
—
—
100
A7,8 ±0,4)
A7,5±0,4)
A0,8±0,6)
B2,3 ±1,1)
E0,3 ±0,6)
—
—
53
889
892
887
726
Продолжение табл. IV
Частица
Я1
п°
Л
Л'(958)
К*
J1"
(Г
0"
о-
0'
о-
jG'1
г
\-
0+
0+
1
2
Масса, МэВ*4
139,56755 (±33)
134,9734 (±25)
548,8 ±0,6
957,50 ±0,24
493,646 (±9)
Время жизни, с
Распад
Мода
Нестранные мезоны
2,6029(±23I0-8
8,4(±6)-1(Г17
Г = A,08 + 0,19)кэВ
Г = 0,21
HV
ех
к°ех
evy
YY
ye e
е+е-
F
ПЬуу
•з—о
71+71~Я°
JC 71 у
лр
P°Y
YY
ray
Странные мезоны
1,237(±3I0-8
ге±я°
Доля, %
100
1,22-10
1,24-10
1,025 -КГ8
5,6-10"8
98,8
1,2
1,8-10
39
0,07
31,9
23,7
4,9
44
30
«2
3
63,5(^2)
21,2 (АГя2)
мэв/с
30
70
30
4
70
67
67
67
274
258
180
175
236
231
169
479
159
236
205
к0, к0
к*
к
D±
D°,D°
DHF*)
0~
0"
0"
0"
i
1
2
1
2
1
2
0
497,7 (+1)
0,477
nKL mKS~
1869,3 ( + 6)
1864,5 (±6)
1969,3±1,1
50%Ks, 50% KL
ГО,892(±2IО-10
<.5,18(±4I0"8
я±я+ге-
я*яоя°
Ц*Я°У
etv
Г 4 -
< 1Г°1Г°
л Д- Д-
f «Vie0
¦\ гецу
I Jtev
l я+я~
н др.
Очарованные мезоны
lOJ-lO3
4,28 103
4,36-10-13
\K'n+n~
I K~ + что угодно
D* \К* + что угодно
|е± + что угодно
\^К +что угодно
К ~ге+
[к-к+к°
i)° •% К ~ + что угодно
I ?°+что угодно
(_ е ± + что угодно
<ря+ н др.
5,6 (А,з)
1,7
3,2(К з)
4,8 (К з )
1,5-10~5(А^2)
и др.
68,6
1,85-10
21,7
12,37
27
38,6
0,204
7,8
16,2
6,6
19,2
48
3,77
12,5
7,9
43
33
7,7
126
133
215
228
247
206
?А)У
206
139
133
216
229
206
845
—
—
—
861
842
812
—
—
—
Продолжение табл. IV
Частица
Масса, МэВ*4
Время жизни, с
Распад
Мода
Доля, %
МэВ/с*
В±
в0
5277,6 ±1,4
5279,4+1,5
Мезоны с 6-кварком
~103
е±у+адроны
ц±у+адроны
D°+4to угодно
0,5
0,25
13
13
40
2307
2247
gg Частица
Масса, МэВ
Время жизни, с
Распад
Мода
Доля, %
Л™,
МэВ/с
Барионы
р
п
Л
0
0
-1
1
1
1
1+
1
2
1
2
0
938,280 (±3)
939,573 (±3)
1115,63 (±5)
Стабилен (>1032 уг)
896±10
2,63(±2)-100
ре v
рп~
пп°
pev
100
65
35
0,84-Ю
1,6-10~*
1
100
104
163
131
5Г
(c= + l)
-1
-1
_2
-2
-3
0
(Ol — (Ol — (Ol p—
+ + +
1
2 +
1
3
1
1
1
1
(Ol — (O| —
0
0
1189,4(±1)
1192(+2)
1197,3 (±7)
1314,9( + 6)
1321,3(±1)
1672,4 (±3)
2284,9 (±1,5)
0,799(±4I06
G,4±0,7I0°
1,64(±2IO-10
O,82(±1)-1O~10
1,79-103
nn+
Ae+v
пп у
Лу
Ae~v
ne~v
n\i~v
nn~y
An0
An0
52
48
210
1,2-КГ3
100
«100
5,73-10~5
1,1 -lO
0,45-10~3
4,6 10
100
100
и др.
23,6
8,6
68
3
и др.
189
185
72
225
185
75
193
79
230
210
193
135
139
293
289
210
814
Продолокение табл. IV
Частица
Масса, МэВ
Ширина Г, МэВ
Распад
Мода
Доля, %
/>G70)
со G83)
=> 5(980)
5* (980)
срA020)
Л 1A270)
5A235)
/A270)
Г
1
0+
0+
1"
г
1+
2+
1 +
0"
г
0+
0~
г
1+
0+
Мезоввые
770 ±3
782,6 (±2)
983 ±2
975 ±4
Ю19,5(±1)
1275 ±30
1234±10
1273 ±5
ре
овавсы (нестра
153±2
8,5 + 0,1
54+7
33 + 6
4,2±0,1
Около 300
130± 10
178 ±20
jBbie)
пп
е+е~
к+к-к°
А
е+е'
цп,КК
пп,КК
К+К~
KLKS
п+п~п°
е+е~
рп
юге
ПК
н др.
100
610
610
90
8
1,7
710
49
36
15
3-Ю
310'4
100
100
80
Z>A285)
Л2A320)
?A420)
/'A525)
/A600)
ЛЗA680)
юA670)
улкоюо)
ХC415)
1 +
2+
1 +
2 +
Г
2"
з-
1"
0+
г
0+
0+
1+
1"
0"
0~
0+
1283 ±5
1317±5
1418±10
1525±5 .
1590 ±20
1680 ±30
1666±5
3097 ±0,1
3415±1
26±5
110±5
50±10
67 ±10
260 ±100
250 ±50
166 ± 15
0,063 ±0,009
ККп, цпп
и др.
рп
КК
ЦП
ЮГО1
ККп
КК, пп
2л
и др.
/я
рп
рп
е++е~
Адроны
и др.
уф(ЗЮО)
и др.
—
40
5
15
11
60
23
60
30
—
7
7
86
3,7
3
5
4
3
2
Продолжение табл. IV
Частица
ХC510)
ХC555)
v|/C685)
v|/C770)
Т(9460)
Т A0 025)
ТA0355)
Т A0 575)
Х»(9875)
—
1"
\~
1~
1~
Г
1"
0+
0+
0"
—
—
—
Масса, МэВ
3510±0,6
3556 ±0,6
3686 ±0,1
3770 ±3
9460 ±0,3
10 023 ±0,3
10355±0,5
10573±4
9873 ±6
Ширина Г, МэВ
0,22
25 + 3
0,04
0,03
0,02
14±5
Распад
Мода
yv|/C100)
2GС+7С-)
3GС + 7Г)
и др.
#C100)
2(я+я-)
п+ц-К+К-
и др.
е + е~
IX
7c+tTv|/C100)
2tc°v|/C100)
и др.
DD
1+Г
1+Г
ГГ и др.
е + е"
уТ(9460)
Доля, %
30
2
3
15
3
2
1
1
20
33
17
100
5
4
5
0,2
—
Х„(9895)
Хь(9915)
X*A0 255)
Хь A0270)
9895 + 4
9915+2
10255±3
10 271 ± 2
уТ(9460)
у Т (9460)
уТ (9460)
уТA0025)
уТ (9460)
уТA0025)
43
20
Мезонные резонансы (странные)
/С* (890)
АГ*A420)
АГA780)
г
2+
3"
1
2
1
2
1
2
892,1 (±4)
1425 ±5
1780± 10
51±1
100+10
160±20
Кп
Ку
Кп
К* (890) п
Кр
К(о
Кц
Кпп
[is:~ (890)п или Кр]
Кп
100
0,1
45
25
9
4
2
Велика
17
Мезонные резонансы (очарованные)
D*+B0l0)
D*° B010)
1-
r
1
2
1
2
2010+ 1
2007 ±2
<2
<5
?>°я°
D + y
D°n°
D°y
65
29
8
60
40
Продолжение табл. IV
Резонанс
Jp
Масса, МэВ
Ширина Г, МэВ
Распад
Мода
Доля, %
#A470)
#A520)
#A535)
#A650)
#A670)
#A688)
#A700)
#A710)
1
3
t
г~
l
2~
5
5
3
2~
1
Барионные резонансы (нестранные)
1435-1505
1510-1540
1500-1600
1655-1680
1660-1690
1680-1692
1665-1730
1650-1750
200-400
100-150
100-250
105-175
120-180
105-180
70-120
100-150
Nn
Nnn
Nn
Nnn
Nn
Nn
Nnn
Nn
Nnn
Nn
Nn
Nn
Nnn
Nn
Nn
60
40
50
50
35
35
60
30
40
60
60
40
10
90
20
>50
#A720)
#B190)
#B220)
#B250)
#B600)
ДA232)
^ ДA620)
ДA7ОО)
ДA900)
ДA905)
ДA910)
ДA920)
ДA930)
ДA950)
h
1
2~
2+
9
2~
11
Т"
h
1
2~
3
2~
1
2~
h
2+
3
2
5
2
5+
1
2
1
2
1
2
1
5
1— ItN
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1700-1810
2120-2230
2150-2300
2130-2270
2580-2700
1230-1234
1600-1650
1630-1740
1850-2000
1890-1930
1850-1950
1860-2160
1890-1960
1910-1950
150-250
100-400
300-500
200-500
300
115±5
120-160
175-300
150-350
250-400
200-330
190-300
150-350
200-340
#я
#ЮС
#я, #т|, ла:
#тс, #т|, ла:
#я, Nr\, \K
Nn
Nn
#у
Nn
Nnn
Nn, Nnn
Nn
ea:
#Я, #7С7С
Nn, Nnn
Nn, EAT
#я, ea:
Nn, XK, Nnn
17
70
99,4
0,6
27
73
10
10
Продолжение табл. IV
Резонанс
J'
Iе
Масса, МэВ
Ширина Г, МэВ
Распад
Мода
Доля, %
Л A405)
ЛA520)
Л A600)
Л A670)
Л A690)
Л A800)
Л A800)
1
2~
1
Барионные резонансы
1405 ±5
1520+ 1
1560-1700
1670
1690
1700-1850
1750-1850
40±10
16±1
50-250
30
60
200-400
50-250
NK
Ъп
и др.
NK, Ъ
NK
NK
Ляп
NK
и т. д.
NK, Ъп
и др.
100
46
41
10
15
35
50
25
30
25
20
40
«n
vO
&4
о
+1
+1
о
20)
oo
—1-~ о
,-—4
N
о
1
s
о
OO
о
1
30)
oo
<
о
со
IS<
8
CM
1
s
о
00
о
CO |(N
90)
oo
<
(N
4
s fe;
и
о
1
100
о
о
о
1
t— Its
00)
?1
<
Й- w
о
>n
1
150
8
о
N
¦ if
о
>n
CN
1
100
о
>n
CO
CM
о
>n ItN OS ItN
@1
(OS
CO
CM
Ss 2
< w
1—4
+t
CO
^^
о
+1
<N
oo
-
1
CO ICM
85)
CO
N
w
8
1
О
CO
1
s
>n
-
IS*-'
и
о
-
1
— IfN CO ICM
-
Co
N
70)
ЧЭ
N
N
B-
¦<
Й
о
00
о
>n
-
1
N
B-
¦<
Й
о
1
100
-
1
^« 1 CN >П 1 CM I
8
C-t
•*•
N
¦<
NK
9
i
о
oo
о
OS
-
n IrN
15)
OS
w
397
Продолжение табл. IV
Резонанс
1A940)
1B030)
J"
3
2
J +
1°
1
1
Масса, МэВ
1900-1950
2030
Ширина Г, МэВ
150-300
150-200
Распад
Мода
NK, Ля, Ея
и др.
NK
Ля
2я
Доля, %
30
20
7
2A530)
2A820)
2B030)
Барионные резонансы E=—2)
1532 ±0,3
1823±6
2024 ±6
9 ±0,5
30
20
2л
АК
Ея
2A530) я
хк
\к
и др.
100
45
Мало
45
10
20
80
*' Извлечение из таблицы свойств элементарных частиц: С. G. Wohl et al. Reviews of Modern Physics 56, 2 (April 1984) (c
исправлениями по последнему изданию таблиц: Physics Letters 204, April 1988).
*2 Jr—спин и четность частицы.
*3 Iе—изоспин и G-четиость.
*" Погрешности, приведенные в скобках [например, (±2)], относятся к последней значащей цифре.
** Ртшж—импульс каждой из вторичных частиц в двухчастичном распаде или максимальный импульс любой вторичной частицы
в трехчастичном распаде.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
К гл. 1
1.1. а) Боровский радиус для мюона /•O = 137^/ZAc. Радиус ядра R=R0A113,
где Л0=1,2фм. Отсюда/=(Л/гоK!»0,27/4(г/137K = 6,2-10~3. Скорость мюона
в «-состоянии v=Zc/137. Расстояние, пройденное за время t, равно l=fct(Z/137).
б) Вероятность захвата равна 1 — е~х''= 1— е~''\ где Xc=k—Xd, а средний
свободный пробег при взаимодействии A = //Xc/=/cZ/A37Xc). После подстановки
численных значений Л = 26,5 см.
в) Отношение средних свободных пробегов для взаимодействия ядерной
материи равно Лся«6/Лсильв = (^силы,/^ся^J, где gc^^l и Лсильи«1,5 фм. Отсюда
1.2. а) ?,=-?„A+0005 6), что следует из преобразований Лоренца (см.
приложение А).
б) Если Уя=0, то нет выделенных направлений и угловое распределение
в СЦМ изотропно. Отсюда dNjdEy = 2/PE,dNjd (cos0)=const, а пределы
определяются из «а» при cos8=±l.
в) D=Ei/E2m(l + cosв)/A -cos6) при Р-П. Поэтому dN/dD=2,{n> ^J
После интегрирования получается указанный результат.
1.3. Энергия связи (Н2ц)+ больше, чем у (Н2е) + . Приведенная масса
Ин=тц/A+тA/тн)<тХ)=тA/A+тA//Пх)). Межъядерное расстояние«
да 3-КГ1'см. ЯО-Не3 + ц+5,4МэВ. (L.Alvarez et al. Phys. Rev. 105, 1127
A957); G. Feinberg, L. Lederman. Ann. Rev. Nucl. Sci 13, 431 A963)).
1.4. Разница энергий мюона для масс нейтрино ти т2 равна
Неустранимая погрешность в ?м, связанная с конечным временем жизни
пиона, равна ,
Результат получается из требования 5?М>Д?И.
1.5. Радиус сильных взаимодействий равен Л«1 фм, сечения имеют
порядок величины тсЛ2«30 мб, а характерные промежутки времени Щсх.
яаЗ -10~2* с. Если сечение реакции ассоциированного рождения равно 1 мб, то
характерное время будет 2 103с. Отсюда
или
399
1.6. а) разрешено; б) запрещено для свободных протонов, разрешено для
ядер, когда разница в энергиях связи р—п достаточна; в) запрещено законом
сохранения мюонного числа; г) запрещено законом сохранения странности.
1.7. \ Ае/е\> (КМ2/е2I12 = 10-18.
К гл.2
2.1. а) 0,38; б) 0,12; в) 0,038.
2.2. yrms=Bljр^s/2)(s3'21у/3) радиационных длин, где />р — в МэВ. а)
5,1 см; б) 1,2 см.
2.3. Средний пробег s=Eo/(dEjdx)xl,6 км грунта, где ?о=103ГэВ —
начальная энергия мюонов. При постоянной скорости потери энергии
E(x)=Eo—x(dEjdx), радиальный разброс в точке остановки мюонов равен
rrms=21sil2IE0 радиационных длин, где Ео—в МэВ, a s измерено в радиаци-
онных длинах. Если хо = 25 г-см, получаем rrnus=4,9 м.
2.4. Пороговая энергия получается, если потребовать, чтобы кинетическая
энергия в СЦИ, необходимая для образования пары, равнялась бы 2т. Это
значит, что полная энергия в СЦИ должна быть 4т, что соответствует
трем электронам и позитрону, находящимся в покое друг относительно друга
в СЦИ. Если Е, р — энергия и величина импульса начального электрона
в ЛС, то полный квадрат 4-импульса сталкивающихся частиц равен
Это должно равняться квадрату полной энергии в СЦИ, где суммарный
импульс равен нулю. Отсюда
DтJ = 2т2 + 2тЕ,
или E^^lm.
2.6. Квадрат 4-импульса равен s=— (р+Р/J, где р, р;—4-импульсы
начального протона и протона-мишени. Если pfg.M, где М—масса
нуклона, то
s=Ehm=-{p2+P2f+2ppf)=-2M2+2(EM-Wf)=-2M2 +
+2ME(l-Wf/ME),
где Е—полная энергия налетающего протона. Кинетическая энергия в СЦИ
равна -Есци—2М. Если рг и р параллельны (антипараллельны), то
Есии = — 2М2 + 2Af?(l + |p/?'|| р//Л/|). Если р/ и р—взаимно перпендикулярны,
то Е2тя-2М2 + 2МЕ.
2.7. Формула для максимальной передаваемой энергии имеет вид
где тс2—энергия покоя электрона, а у—лоренц-фактор начальной частицы.
Чтобы отождествить частицу с пионом, необходимо, чтобы Е'>(Е'тах)к.
Для каонов с импульсом 5 ГэВ/с 7=10,2, Р=1, так что (Я^ажI = 104х 1002 =
= 106 МэВ. Для пиона (Е'та1)к= 1320 МэВ. Вероятность наблюдения такого
5-пучка в жидком водороде при C»1 равна
400
на каждый проходимый г/см2. Подставляя численные значения и беря
?'=106 МэВ, ?^ах=1320 МэВ, находим
Я(>106 МэВ)=1,04-1(Г3 г см2.
Поэтому на 1 м пути вероятность наблюдения равна 6,2 • 10~3.
2.8. Размер детектора, требуемый для того, чтобы собрать всю энергию
от распада протона, должен быть велик по сравнению с /тах = 1,2 м [см.
B.22)]. Интегральная длина трека равна Мрс2/Екр радиационных длин, или
340г-см~2, если взять ?'кр=100МэВ и .vo = 36 г-см" в воде. Если исполь-
зовать значение 200 фотон • см"i (см. §2.4), это дает суммарно N=68 000
фотонов с длиной волны Х = 400 — 700 нм. Среднее число зарегистрированных
фотонов будет равно Nх0,15 х0,20/= 2040/, где/—доля площади поверхности
фотокатода. Для 100-ного разрешения нужно порядка 100 зарегистрированных
фотонов, т.е. /=0,05 (см. также литературные ссылки к §9.10).
К гл. J
3.1. а) Компонента вдоль оси z орбитального углового момента об-
разованных Л и К0, разлетающихся по оси г, равна хру—урх = 0. Отсюда
У2(Л)= + 1/2, т. е. совпадает с этой проекцией для протона-мишени независимо
от значения УЛ.
б) Можно воспользоваться теми же рассуждениями, что и для углового
распределения в распаде А A232), см. §4.9. Например, если У =5/2, амплитуда
будет равна (см. табл. III приложения):
i|/E/2, 1/2)= /-фB, 1)<хA/2, -1/2)+ /-фB, 0)<хA/2, 1/2),
V5 V5
где а (s, .sz) -- спиновый множитель для протона от распада, а ф(/, т) =
= Fj"(O) — угловая волновая функция пиона. Поэтому, с учетом табл. II,
находим угловое распределение
, 2 ! w 3 .
5 5
в) То же, что в «а» и «б». Захват в ^-состоянии соответствует У2(?)= + 1/2.
3.2. Пусть к, е — векторы распространения и поляризации фотона,
<т—вектор спина Л в распаде Г°->Л + у. Если четность
Ръ = Рл, Ру= + 1, то получается Ml (или Е2) фотон;
/*!=—/*а. /*Y= —1, получается Е1 (или М2) фотон.
Простейшие матричные элементы, линейные по к, е, <т, имеют вид
М+=ст(кхЕ), Ру= + \ (скаляр);
М- =<те, Ру= — \ (псевдоскаляр).
Инвариантная масса е+ и е ~ от далитцевского распада равна
Ме-1-=уДЕ,-+Ег J-к2;
26 Заказ 416 401
где отдачей Л пренебрегаем. Величина |М_|2 не зависит от к, в то время
как |Л/+ |2~к2 и поэтому мало (велико) для больших (малых) значений M,v .
3.3. Пусть kj. к2, к3 — импульсы в СЦИ трех вторичных частиц. Поскольку
у начального мезона М JM = Q, матричный элемент может быть только
функцией кь к2, к3 и подходящие линейные комбинации этих векторов
имеют вид
а) к] (к2 х к3) (псевдоскаляр),
б) k[ (k2-k3) (скаляр).
Так как Рм = +1, а внутренняя четность трех вторичных мезонов равна
(—1K= — 1, следует использовать псевдоскалярную комбинацию «а». Но
поскольку ki+k2+k3 = 0, отсюда kj (k2 xk3)= — kj (k2 x(k!+k2)) =
= — k[ (k2 xk!) = 0, так что матричный элемент обращается в нуль.
3.4. Два Л-гиперона находятся в '^-состоянии, если Р(Е)= + \, в 2Р-
состоянии, если /*(Е)= — 1.
3.5. Если /—орбитальный угловой момент, а спины всех участвующих
частиц равны нулю, то, перемножая четности в начальном и конечном
состояниях, находим (—\)'РК = (—\IР„, откуда РК = Р„= — \.
3.6. Так как Уд=1 и рассматривается захват из ^-состояния, в реакции
будут участвовать состояния с J= 1 в начале и конце. Поскольку энерговыделе-
ние Q равно всего 0,5 МэВ, конечное состояние ппк° должно быть .s-состоянием.
Следовательно, два нейтрона должны находиться в триплетком спиновом
состоянии, что запрещено принципом Паули.
3.7. См. §7.14.
3.8. а) В силу бозе-симметрии Jk четно; б) нет, четность не сохраняется
в слабых взаимодействиях.
К гл.4
4.1. Так же, как для п~р-^пп°, п'р-*рп~, п+р-+п+р.
4.2. 1:2.
4.3. 2:1.
4.4. а) Нет; в силу бозе-симметрии /=0 или 2, другие значения исключены,
б) Да. в) Нет; 1=2, так как /3 = 2. г) Нет; возможны только значения /=0
или 2. д) Да.
4.5. а) /=0, 1, 2 или 3. б) /= 1 или 3.
4.6. /=0'или 1; оа/аь=]. если /=0, и аа/аь = 0, если /=1.
4.7. Отношение равно 1.
4.8. Интерференция р —ш в л+ ж'-моде распада, с амплитудой а, типичной
для нарушающих G-четность электромагнитных взаимодействий. В области
со возникнет узкий пик в спектре масс ti+ti~.
4.9. Система рр~ имеет С-четность (— l)'+s, где /—относительный
орбитальный угловой момент, a S—полный спин @ или 1).
Пространственная четность системы рр равна Р=(—1)'+1, так как внут-
ренние четности частицы и античастицы противоположны. Следовательно,
в начальном состоянии для всех /
402
Пусть полный угловой момент двух К-мезонов равен J, где
В системе покоя А собственные значения СР для Kf и К2 равны +1
и — 1 соответственно. Поэтому в конечном состоянии
1( 1)(-1)(-1)' = (-1)'+1 для К\К°2.
/=0: при аннигиляции из 5-состояния У=5, так что в начальном состоянии
)pp = (-\)J + \ У=0, 1.
Следовательно, конечное состояние К°К° разрешено, а состояния 2К\ и 2К\
запрещены.
/=1: для триплетного состояния E=1) J=0, 1 или 2. Значение (СР)РР
четно, так что при J=0. 2 разрешены 2К1 или 2К\ в конечном состоянии,
а при J=\ возможно только состояние КЧК02. Для синглетного состояния
E=0) У=1 {СР)РР нечетно и разрешены только состояния 2К.Ч или 2К°2.
Экспериментально найдено, что при аннигиляции в покое наблюдается
только А"? К°, что доказывает, что аннигиляция происходит из состояния
с /=0. Напротив, аннигиляция антипротонов налету возможна также из
р-состояния, так что возникают все моды КЧК°2. 2К° и 2К2.
4.11. Пусть Е, Т—полные и кинетические энергии пионов, a Q — полная
кинетическая энергия, выделяющаяся при распаде; легко проверяется, что
условия таковы:
(Е1Е2Е})-максимум, когда Tl = T2 = Ti — Ql'i.
(Я^Ез^минимум, когда Г,=0, Г2 = Г3 =
Обозначая x=Q/m. где m — масса пиона, имеем
так что
Следовательно, 8*0,014.
4.12.
4.13. Обращаясь к приложению А и записывая поперечную компоненту
импульса как рТ = sjpj+pl = р'т¦ видим, что в ЛС угол испускания 6 определя-
ется формулой
sin 9'
{ЕЕЕ) *12A)' ГДС ** 140*2'
где 6' и Р' — угол и скорость частицы в СЦИ, а Р* — скорость СЦИ по
26* ' 403
отношению к ЛС, причем у* = 1/y'l — р4*2. Дифференцирование и использование
условия максимума d(tg9)/<56' = 0 дает
y*ig^, = P'i(P*2-^'2) (только при Р'<Р*!).
Квадрат полной энергии в СЦИ равен
где ?„, рл — энергия и импульс пиона; Л/ -масса нуклона. Из закона
сохранения энергии
¦y*v/j = ?,+ A/, или у* = (?п+Л/)/v'l
Если Е' — энергия протона в СЦИ, а р' — его импульс, легко показать, что
Подставляя значения: рп« ?„ = 12 ГэВ, Л/* = 2,4 ГэВ и Л/= 0,938 ГэВ,
Л/,=0,14 ГэВ, находим:
5=23,411 ГэВ2; у* = 2,674; р"* = 0,9274;
Я'=1,9147; />'= 1,6693; C' = 0,8719.
и поэтому
tg втах = 1,0317, 0max = 0,801 рад.
Для импульса протона в ЛС с помощью преобразований Лоренца находим
рх=7,8549 ГэВ, /jt= 1,30861 ГэВ и отсюда р = 7,962 ГэВ.
Легко показать, что если протон вначале покоится, то передаваемый
ему 4-импульс q2 = 2MT, где 7"—его конечная кинетическая энергия [см.
F.176)]. Величина q2 максимальна, если Т максимальна, т. е. когда протон
летит «вперед» @' = 0). Полная энергия
?=у*(Е' + Р*/>') = 9,2595 ГэВ,
откуда
<?тах= 15,61 ГэВ2 И 9 = 0.
4.14. Лоренцинвариантный фазовый объем (см. приложение А) для
двухчастичного конечного состояния пропорционален
где Е, и Е2 — полные энергии частиц, а р — их импульс в СЦМ. Полная
энергия равна E=Ei + E2- Записывая
находим, что
Е,Е2
dp/dE=
404
Таким образом, в ширину Г входит множитель
E,E2dE
Приведенное рассмотрение относится к резонансу в .s-волне. В случае
распада на две (бесспиновые) частицы с орбитальным угловым моментом
/ необходимо также включать множитель, связанный с центробежным ба-
рьером, известный из теории реакций в ядерной физике (см., например,
Blatt J. M., Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. J. Wiley, 1952 г. и при-
ложение А). Этот множитель связан с поведением парциальных амплитуд
вблизи начала координат (в области взаимодействия), имеющим вид ради-
альной зависимости приближенно (kr)'2i, когда кг<1. Поэтому ширина
Г включает множитель (pRo), где Ro—некоторый (неизвестный) масштабный
параметр (порядка 1 фм). Можно записать:
Г(Е)/Г(ЕоНр1РоJ1+1(Е0/Е),
где Ео и ро относятся к значениям в резонансном пике. Для распада на
частицы со спином формула более сложна [см., например, Jackson J. D.
Nuovo Cimento 34. 1644 A964)].
4.15.
где пренебрегастся т по сравнению с рт и предполагается, что вторичные
частицы ультрарелятивистские, так что Рь^-Pr и Pl^E. Преобразование
углов дает [см. D.14)]
sinG* sinG*
^tse=c^Tp7r*^FTT
Отсюда
/ Q*\ О*
lnBctge) = lnl 2yctg—- l = lnctg—+ 1п2у.
4.17. а) Да, для сильного взаимодействия, б) Нет в силу бозе-симметрии.
в) Нет в силу С-симметрии. Ср= —1, так как р°-*е+е~. Сл = С„= + 1, так
как обе частицы распадаются на два фотона, г) Да, для электромагнитного
взаимодействия.
К гл.5
5.1. цр = 3, ц„=-2, ц3°-Мн =-1, Hi--Hi =4.
5.2. Странность П~Б=-Ъ; /=0; Ур=3/2+; 5=1; Ма= 1672 МэВ;
Мп-Л/, = 734МэВ<ЗЛ/к=1485МэВ; ,Vfn-Ms = 357 МэВ<Мк; Мп-МА =
= 554 МэВ<2Мк = 990 МэВ. Поэтому сильные сохраняющие странность
распады
405
запрещены законом сохранения энергии. Единственно возможным оказывается
распад (Д5'=1) fl->H°7t", Н~я°, \К~ (см. табл. IV приложения).
5.3. Г(К^е+е-)=16ла2|1?>|2|1|/@)|2/Л/к [см. E.27)]. |i)/@)|2= 1 /(объем
где Ло*1 Фм- Поэтому
V
\TQ\\
причем At =0,2 ГэВ фм. Беря Ro=\ фм, получаем для векторных мезонов:
(o:.WK = 0,78 ГэВ, |Ig|2=l/18, Г{е+е ") = 0,46 КэВ;
р:Мк=0,77ГэВ, |Sg|2=l/2, Г(е+е') = 4,3 КэВ;
ц>:Му=\,02 ГэВ. |Sg|2=l/9, Г(е+е") = 0,55 КэВ.
5.4. Обозначим сечения рассеяния и- и tZ-кварков или антикварков мм,
dd и Mrf через а(пп). Обозначим сечения ш или sd через ct(«j), a i« или
sd - через ст(«5). Тогда для всех трех уравнений и правая, и левая части
равны 6ст(««) + 3ст(«.?).
К гл.6
6.1. р(Л) = роехр(-Л/Л), где M = MV. Из F.19)
2яро\Г 1 1 1 8лМр0
щ )[_(M-\qf (M + iqJ] (Г + Л/2J
в соответствии с дипольной формулой. Среднеквадратичный радиус рас-
пределения заряда равен
2_|роехр(-МЛ)Л24яЛ2^Л 12
так что
_v/T2/if_12-0,2_
Л"">~~М7~=~Ь784~ "8фМ-
6.2. Процесс с +е~-> виртуальный у->л+я~ эквивалентен рассеянию пиона
точечным зарядом через обмен фотоном, за исключением того, что q2
отрицательно, т. е. при рассеянии измеряется формфактор (распределение
заряда) пиона для времениподобных q2. В случае распределения заряда
юкавского типа
непосредственным интегрированием F.19) можно показать, что формфактор
имеет вид
406
Процесс е+е ->7t+7t определяется р-резонансом, т. е. может быть представлен
как е+е~ ->виртуальный фотон-»р->я + ;г~. Зависимость от q2 определяется
пропагатором р-мезона вида \l(M2 + q2), как и выше. Поэтому распределение
заряда в пионе будет иметь юкавскую форму, причем среднеквадратичный
радиус будет равен
2_jp(R)R4nR2dR_ 6
R ~ jp(RLnR2dR ~Щ
или
6.3. Ток релятивистских частиц силой 10 мА в кольце радиусом 10 м
соответствует циркулирующему заряду д = Bпг/с):, или, подставляя соответ-
ствующие числа, Л^= 1,3 ¦ 1О10 циркулирующих электронов или позитронов.
Если площадь пересечения пучка равна А, плотность частиц в направлении,
поперечном пучку, будет N/A. Поэтому скорость реакции
где /—частота обращения, причем сгустки частиц встречаются п раз за
один оборот. Если л = 2, /=с/2пг, /1=0,1 см2 и а= 1,5 • 10~30 см2, получаем
из этой формулы L = R/a= 1,6-1028 см с.
Обращаясь к формуле Брейта—Вигнера, получаем для сечения в пике
а = ЗяХ2а2, если предположить, что относительная вероятность по отношению
к е+е~ равна а2, а со имеет У=1. Дебройлевская длина волны е* и е~
в резонансе равна \ = 2jM<a. Таким образом,
ст= \2п<х2(he/М„у = 1,32 мкб.
Используя значение L, получаем скорость реакции 77/А.
6.4. Квадрат переданного 4-им пульса равен
где Ео и Е—начальная и конечная энергии рассматриваемых электронов,
G — угол отклонения и массой электрона мы пренебрегли. Пусть W, ?"
и р'—масса, энергия и 4-импульс конечного адронного состояния, V—масса
нуклона. Тогда
Отсюда
Подставляя данные числа, находим
<?2 = 2,127ГэВ2, Ж=2,09 ГэВ.
407
6.5. а) Для точечных бесспиновых протонов с помощью F.24) получаем
сечение
da (hc\2 ч1 [cos2e/2 + (^2/2M2)sin26/2]
poj 46 (l+-B/>0/M)sin2G/2)
где ро= 15 ГэВ/с — начальный импульс; 0 = 0,1 рад —угол отклонения элект-
ронов; dQ = 10~4 рад; М —масса протона; he=0,2 ГэВ -фм. Тогда
in2- = 2,248 ГэВ2, cos2- = 0,9975
Лт = 3,4-1(Г34см2.
Для мишени плотностью 0,06 и длиной 1 м число протонов мишени на
квадратный сантиметр сечения равно 7V= 3,6 -1024 и число рассеянных за
одну секунду электронов
б) Для формфакторов F.25) приведенное выше число должно быть
умножено на
где ц = 2,79 — магнитный момент протона в ядерных магнетонах; MF = 0,84 ГэВ.
Первое слагаемое равно 3,26 10~3, а второе 3,669, так что в результате
Л2=|,47-10эс-1.
6.6. а) Для мюония частота перехода ожидается равной
/=
1420A +те/Мр)Мр
если принять во внимание эффект приведенной массы [см. F.1)] и тот факт,
что магнитный момент мюона равен МР/(^РМ^), умноженному на магнитный
момент протона, где цр=2,7925- момент протона. Подставляя числа, находим
/(ц+е") = 4497,2 МГц (наблюдается 4463,3 МГц).
б) Для позитрония с учетом аннигиляционного множителя 7/16 получаем
/= 1420A +mJMp) J_ 1_Мр = ш т МГц (наблюдается 203 387 МГц).
(\+те/те) 16 Цр те
Причина расхождения — в пренебрежении поправками высших порядков (поряд-
ка а).
408
К гл. 7
7.1. 34CI->34S+e"+ve является переходом 0 + ->0 + , a 7t + -*7t° + e + + v,
является переходом 0~->0 ~, так что в обоих случаях матричный элемент
(фермиевский) одинаков. Пользуясь правилом Сарджента, находим, что
вероятность распада пропорциональна энерговыделению в пятой степени.
Энерговыделения равны 4,6 и 4.5 МэВ соответственно, т. е. отношение ширин
близко к единице. Отсюда относительная вероятность распада пиона равна
т,,/та=10-в.
7.2. а) Пусть Ev—энергия нейтрино в ЛС, Е—энергия нейтрино в системе
покоя распадающегося мезона, G — угол вылета нейтрино по отношению
к направлению пучка в ЛС. Пусть М, Е, р4— масса, энергия и скорость
мезона, у = l/^/l — Р2. Тогда
?=y?v(l_Pcose) = -^A+y262) при у»1, 6<к1,
отсюда
?v = 2y?/(l+y2G2) = ?v(max)/(l+y202),
где после простого вычисления получаем
Е=(М2-т;)/2М.
б) Поэтому
, ,, @,42 ?„ = 84 ГэВ,
и ?(min)a;0.
в) Подставляя e = 2m/400/w=0,005, ук=405, находим ?v=34 ГэВ. Для
пионов-родителей соответствующее число равно всего 1,6 ГэВ, т. е. практически
все нейтрино от распада пересекают детектор.
г) Доля пионов, распадающихся на длине /=300 м, равна //усх„=0,0242.
Так как практически все нейтрино проходят через детектор, в этом случае
их число равно
101Ох0,024 = 2,4-108.
д) Сектор v, плоский в области примерно от 0 до 84 ГэВ, со средней
энергией 42 ГэВ и средним сечением
а=42хО,6х 10~38 = 2.52-10~37 см2 -нукл". Средний свободный пробег равен
1'Лст = 6,6-1012 гсм~2. где N—число Авогадро. Глубина нейтринного детек-
тора вдоль оси равна 800 г-см. Эти числа приводят к среднему числу
взаимодействий пионных нейтрино 0.029 за импульс.
е) Чтобы исключить мюоны.
7.3. Максимальные энергии электронов равны ?„=1,29 МэВ и ?ц = 53 МэВ.
Из рассмотрения фазового объема на основании правила Сарджента получаем
так что по порядку величины С„~С„.
409
7.4. Максимальные энергии равны: ?'1 = 79 МэВ, Е„= 1,29 МэВ. Времена
жизни нейтрона и X равны 900 с и 1,5 ¦ 10 ~10 с соответственно, что для
относительной вероятности дает
(81/1,29M=1,4-1(Г4.
7.5. а) 2:1; б) 2:1.
7.6. а) 1:2; б) 2:1.
7.7. Добавляя «шпурион» с /, /3 = 1/2, —1/2, получаем для амплитуд
где А\, А3 — амплитуды с /=1/2 и /=3/2. Пион-нуклонные амплитуды равны:
отсюда
что дает
7.8. Из правила Сарджента для парциальной ширины A->/>ev получаем
Г„(Яд/Я„M = 4,5-10-13 МэВ,
где Яд = 300 МэВ, Я„=1,3 МэВ и Г„ = й/т„ = 7-105 МэВ. Эти числа приводят
к относительной вероятности 3 105.
7.9. См. §7.14 и формулы G.83) и G.84).
7.10. Скорость реакции равна
где ст—сечение поглощения нейтрино на одно ядро, N—полное число ядер
в детекторе, ф—поток нейтрино, см~2-с~'.
Примем относительную молекулярную массу С2С14 равной 164, а полную
массу жидкости равной 6 108г; число ядер 37С1 равно Лг=2,2 1030. Поток
солнечного тепла равен 2 кал см~2 мин или 8,8 ¦ 10" МэВ см с.
Примерно 10% этой энергии приходится на нейтрино со средней энергией
1 МэВ, а 1% нейтрино предполагается достаточно энергичным, чтобы привести
к реакции, так что ф = 8,8 • 10 см~2 с~'. Отсюда Л = сгфЛ'=A05)(8,8 • 108)х
х B,2 -10зо)= 1,9 -КГ'с-1 =0,17 день.
7.11. Применим правило Д/=1, комбинируя барион (/=1/2) со «шпури-
оном» с /=1, чтобы получить конечное адронное состояние с /=3/2 и /3 = 3/2
или 1/2.
410
Обращаясь к таблицам коэффициентов Клебша — Гордана и используя
комбинации /=1 с /=1/2, можно записать для реакции «а»
/3 3
фA, 1) фA/2, 1/2)=VI г, -
т т v
«шпурион» нуклон
а для реакции «б»
фA. 0я»(|. -ty-Jltf? ^+Jl^r 2}
Если пион-нуклонная система находится в чистом состоянии с /=3/2,
то отношение сечений, получаемое возведением в квадрат приведенных выше
амплитуд, равно сга/сг6 = 3/1. Для перехода с А 1=2 следует использовать
часть таблицы с /=2 и /=1/2, так что в результате для реакции «а» имеем:
а для реакции «б»
* »4 -%-М- Ы4 О-
Если в конечном состоянии /=3/2, то отношение сга/ст6= 1/3.
7.12. Предполагаем, что три пиона находятся в относительном 5-состоянии.
Тогда в силу бозе-симметрии любая пара пионов должна находиться
в симметричном изоспиновом состоянии, т. е. иметь /=0 или 1=2. Обозначим
амплитуду для состояний двух пионов с/=2и/=0/4иВ соответственно.
Исходя из правила А /= 1/2, добавляем «шпурион» с /=1/2 к каону с /=1/2,
чтобы образовать состояния с /=0 и /=1. Для трехпионного состояния,
образованного из дипиона с /=0 или 2 и третьего пиона с /=1, состояние
с /=0 запрещено. Поэтому рассматриваем трехпионное состояние с /=1,
полученное сложением состояний с 1=1 и /=0 или 2. Обращаясь к табл. III
коэффициентов (см. приложение), находим (обозначения очевидны):
заряженный каон
+ В[ф@,
нейтральный каон
Т
/-
1
+Я[ф@, 0)фA, 0)]. (б)
J
Следующий шаг заключается в том, чтобы выразить различные ком-
бинации пионов через изоспиновые функции ср. Трехпионная волновая функция
должна быть полностью симметричной по отношению к перестановке индексов
пионов, как это и требуется для тождественных бозонов. Поэтому мы
записываем комбинацию п*п*п~ в виде
(+ + -)= -(п?п?Пз +712 Я1+713 +П}П1п{ +7lj7t,+ 7l2 +^2 tj7l,+ +
V 6
+ 71^713^2"), (в)
причем множитель s/Т/б обеспечивает нормировку на единицу. Обращаясь
к табл. III (см. приложение) и рассматривая первые два пиона как «пару»,
находим
Второй результат следует из того, что коэффициент для комбинации состояний
1=1, /3= + 1 и /=1, /3 = —1, с тем чтобы получить /=2, /3 = 0, равен ^/Т/6;
чтобы получить /=0, /3 = 0, коэффициент равен ,/1/3. Эти множители затем
умножаются на соответствующие члены в (а), чтобы найти <\|/A,1Oс + я + я~>
и т. д. Собирая все члены в (в), находим
-> = 2^|с, где C=Jy5
Аналогично, для других зарядовых комбинаций
.1)| + 00>=- 1±С.
)| Ч—0>= /| С.
Возводя в квадрат полученные амплитуды, находим отношения вероятностей
На самом деле мы вычислили вероятность перехода A!°->-7t + 7tt0. Законы
сохранения в слабых взаимодействиях разрешают только половине К0
распадаться в этой моде, называемой КЧ или KL и имеющей собственное
значение С= —1. Другая половина Я0 находится в состоянии К° или Ks,
имеет собственное значение СР= + \ и не распадается на три пиона.
Следовательно,
412
Пользуясь этой формулой, получаем
Экспериментально наблюдается небольшое отклонение от этого предсказания,
указывающее на то, что помимо переходов с Д/=1/2 вклад дают и переходы
с Д/=3/2.
Более полное обсуждение мод распада /к->3я читатель может найти
в книге G. Kallen. Elementary Particle Physics. Addison—Wesley, 1964 г. (имеется
русский перевод: Челлен Г. Физика элементарных частиц. М., Наука, 1966 г.);
наиболее общее рассмотрение трехпионных распадов содержится в классической
работе С. Zemach. Phys. Rev. 133, В1201 A964).
7.13. Первый процесс обусловлен обменом только Z0; во втором процессе
участвуют как Z0, так и W±.
В приближении малых углов при условии, что энергия нейтрино
велика по сравнению с массой электрона т, использование преобразований
Лоренца дает
9= 2m --- ,
где Ее — энергия электрона отдачи.
7.14. Из правила Сарджента для трехчастичного распада получаем для
времени жизни т-лептона
где В—-относительная вероятность распада на лептоны @,18), а максимальные
энергии электронов равны тм/2 и тх/2. Подставляя заданные значения,
приходим к результату xt = 2,9 ¦ 103 с. При этом вычислении неявно пред-
полагается универсальность слабых констант ц и т.
К гл. 8
8.1. Из формулы (8.12)
Определяя
x=-q2/2Pq
Pq
и решая приведенное выше квадратное уравнение, находим
Г-а2 .
где М, т — массы нуклона и партона. Разлагая в ряд, получаем
8.2. Из (8.46) и (8.47) с учетом того, что Nc=2, находим выражение
для сечения (т — инвариантная масса мюонной пары):
413
l
{[.X
20
При т«:1 получаем
2т*^ = тъ-"
dm 180
8.3. Из (8.21) находим для дифференциальных сечений
—^- = BG 2 ME/ п) [xQ (х)+{ 1 -у 2) xQ (х)] dx.
/2 v
—— = BG2MEin)[xQ{x)+(l-y2)xQ[x)]dx.
ay
Положим P=$xQ(x)dx, P=\xQ(x)dx\ интегрируя затем по у, получаем
или
P/P=(iR-\)!{3-R).
Беря Л = 0,5, находим Р/Р=0,20. Средние значения у получаются из соот-
ношения
Для нейтрино
<>>)= ^+ i—=0,484.
Для антинейтрино
¦I— = 0,344.
8.4. Если кварк, испытывающий соударение, получает переданный импульс
<?, этот импульс должен быть затем перенесен на два кварка-наблюдателя.
В результате одноглюонного обмена в каждом случае возникает множитель
.414
\/q2 в амплитуде, т. е. общий множитель l/q*. Такая зависимость амплитуды
от q (или 1/<78 для интенсивности) ожидается для очень больших q2, когда
ocs мало и доминирует одноглюонный обмен.
8.5. В результате интегрирования по распределению импульсов получаем
а,=2а2=4/3. Дважды дифференциальное сечение будет иметь форму сечения
Дрелла — Яна:
d2a-aua(s)u(x1 K(х2)д(\ — x-^XiSJMw)dxx dx2,
где дг|, х2 — доли импульсов и- и rf-кварков и
xlx2=p=M2r/s.
Интегрирование по ширине брейт-вигнеровского резонанса И^бозона дает
<s{pp->W)=-— Г '-(\-plxifdxi,
yMw J Xi
p
где cr0 — сечение ud в пике; Tw — полная ширина W. Интеграл имеет значение
а сто = 5,2х 12=62 нб (для всех мод распада). Подставляя численные значения,
находим:
,/s 0.3 1,0 10 ТэВ
сг 0,99 8,78 33,3 нб
К гл. 9
9.1. Обозначая A=G2mE/2n, лг=sin2Gn-, находим:
сг, =
Сечение av имеет минимум при je = 3/8, а cry имеет минимум при х=1/8.
Взаимодействие чисто аксиально-векторное, если jc= 1/4.
9.2. Сечение имеет вид
2Л + С$+СЛСу)
K=G2mE/3n.
Для сл и cv существуют четыре решения. Приведенные выше уравнения
определяют эллипсы в плоскости сА, cv с главными осями под углом 45
и 135 градусов к оси х.
9.3. Один рад соответствует высвобождающейся при ионизации энергии
100 эрг-г или 6,25 • 107 МэВг '. Пусть т — время жизни протона в годах,
Е—энергия, высвобождаемая при распаде и идущая на ионизацию. За один
год доза радиации составляет
у ^F,25 -Ю7)рад< 500 рад,
415
где N=6-1023— число Авогадро, Е« 1000 М~.3. Из чтого неравенства
следует, что
т> 1016 лет.
9.5. Массу атома, ядро которого имеет массовое число i и атомный
номер Z, запишем в виде
— АМЛ 1 ,
где W—энергия связи ядра, а М„ и Мк— массы нейтрона и атома водорода.
Подставляя соответствующие значения констант, получаем, что относительная
разница в барионном числе В при той же массе для двух разных элементов
составляет
ДВ/Я= 8,ЗД|-| + 10,6Д| — | 10"*,
L \AJ \AJJ
где A(Z//4) и A(W//4) —разница в значениях ZjA и W//4 для двух элементов.
W, МэВ. Из таблицы свойств ядер находим, что для А1 и Pt первое
слагаемое составляет примерно 10% второго и Д5/5=4-10~4.
9.6. Парциальные ширины распада равны: Г (парциальная) =
=const[BcFJ+Bcy(J]. Из (9.33) при sin20H/ = 0,22 находим ширины, выражен-
ные через ширину F(Z->vv):
T(vv)=l,
Учитывая цветовой множитель 3 для кварков, получаем
+ (9 0,750)]=16,54r(vv)
и T(vv) = GAf 1/1271^2 = 0.175 ГэВ. Отсюда ГПОЛИ = 2,89 ГэВ. Это значение выше
истинного, так как при вычислении фазового объема не учитывались массы
t- и 6-кварков.
9.7. Из формулы Брей га— Вигнера D.55) получаем
/ + - ^о ч 4тй2BУ+1)ГГ,/4
а(е е -*Z°->Bce)=
где s= 1/2- -спин электрона, а 7=1 —спин Z°, X = 2/A/z — длина волны в СЦМ
в резонансном пике. Парциальная ширина распада Z->e+e~ равна Ге. Сечение
в пике равно
' М1Г'
416
Как следует из F.31), точечное сечение (для процесса е*е ->ц
всяких резонансов равно
4тис2
так что
9 Ге
а2 Г
где мы взяли Г(!/Г = 0,507/16,54 = 0,0307.
27 Заказ 416 417
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К гл. 2
Allison W. M. and Cobb J. H. Relativistic charged particle identification by energy
loss. Ann. Rev. Nucl. Part. Science 30, 253 A980).
Bethe A. A. and Ashkin J. Passage of radiations through matter, in Segre (ed.).
Experimental Nuclear Physics. John Wiley, New York, 1953. Vol. 1, p. 166.
Blewett M. H. Characteristics of typical accelerators. Ann. Rev. Nucl. Science 17,
427 A967).
Bradner H. Bubble chambers. Ann. Rev. Nucl. Science 10, 109 A960).
Charpak G. Evolution of automatic spark chambers. Ann. Rev. Nucl. Science
20, 195 A970).
Charpak G. and Sauli F. High resolution electronic particle detectors. Ann. Rev.
Nucl. Part. Science 34, 285 A984).
Courant E. D. Accelerators for high intensities and high energies. Ann. Rev.
Nucl. Science 18, 435 A968).
Fabjan C. W. and Fischer H. G. Particle detectors. Rep. Prog. Physics 43, 1003
A980).
Fabjan C. W. and Ludlam T. Calorimetry in high energy physics. Ann. Rev. Nucl.
Part. Science 32, 335 A982).
Glaser D. The bubble chamber, in S. Fluegge (ed.), Encyclopaedia of Physics,
Springer (Berlin), 1955, Vol. 45.
Hutchinson G. Cerenkov detectors. Prog. Nucl. Phys. 8, 195 A960).
Kleinknecht K. Particle detectors. Proc. Advanced Study Inst. on Techniques and
Concepts in High Energy Physics, St Croix USVI (ed. T. Ferbel), 1980.
Kohaupt R. D. and Voss G. A. Progress and performance of e+ e storage rings.
Ann. Rev. Nucl. Part. Science 33, 67 A983).
Lawson J. D. and Tigner M. The physics of particle accelerators. Ann. Rev. Nucl.
Part. Science 34, 99 A984).
Litt J. and Meunier P. Cerenkov counter techniques in high energy physics. Ann.
Rev. Nucl. Part. Science 23, 1 A973).
Livingstone M. S. and Blewett J. P. Particle Accelerators, McGraw-Hill, New York,
1962.
McMillan E. M. Particle accelerators, in Segre (ed.), Experimental Nuclear Physics,
John Wiley, New York, 1959, Vol. 3, p. 639.
Palmer R. and Tollestrup A. V. Superconducting magnet technology for accelerators.
Ann. Rev. Nucl. Part. Science 34, 247 A984).
Panofsky W.K.H. High energy physics horizons. Physics Today, 26 (June 1973).
Pelligrini C. Colliding beam accelerators. Ann, Rev, Nucl. Science 22, 1 A972).
Price W. J. Nuclear Radiation Detection, McGraw-Hill, New York, 1964.
Rossi B. High Energy Particles. Prentice-Hall, New Jersey, 1952.
Sandford J. R. The Fermi National Accelerator Laboratory. Ann. Rev. Nucl.
Part. Science 26, 151 A976).
Segre E. Nuclei and Particles, Benjamin, New York, 1977, Chapters 2—4.
418
Sternheimer R. M. Interaction of radiation with matter, in Yuan and Wu (eds.),
Methods of Experimental Physics, Academic Press, 1961. Vol. 5A, p. 1 (This
volume also contains articles on the different types of particle detector).
Van der Meer S. Stochastic cooling and the accumulation of antiprotons. Rev.
Mod. Phys. 57, 699 A985).
К гл. З
Fraser W. R. Elementary Particles. Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey, 1966.
Hamilton W. D. Parity violation in electromagnetic and strong interaction processes.
Prog. Nucl. Phys. 10, 1 A969).
Henley E. M. Parity and time-reversal invariance in nuclear physics. Ann. Rev.
Nucl. Science 19, 367 A969).
Jackson J. D. The Physics of Elementary Particles. Princeton University Press.
Princeton. New Jersey, 1958.
Kemmer N., Polkinghorne J. C. and Pnrsey D. Invariance in elementary particle
physics. Rep. Prog. Phys. 22, 368 A959).
Muirhead A. The Physics of Elementary Particles. Pergamon, London, 1965.
Chapter 5.
Ramsey N. F. Dipole moments and spin rotations of the neutron. Phys. Reports
43, 409 A978).
Ramsey N. F. Electric dipole moments of particles. Ann. Rev. Nucl. Part. Science
32, 211 A982).
Rowe E. G. and Squires E. J. Present status of C-, P-, and T-invariance. Rep.
Prog. Phys. 32, 273 A969).
Sakurai J. J. Invariance Principles and Elementary Particles. Princeton University
Press. Princeton, New Jersey, 1964.
Tadic D. Parity non-conservation in nuclei. Rep. Prog. Phys. 43, 67 A980).
Tripp R. D. Spin and parity determination of elementary particles. Ann. Rev.
Nucl. Science 15, 325 A965).
Wick G. C. Invariance principles of nuclear physics. Ann. Rev. Nucl. Science 8,
1 A958).
Williams W. S. An Introduction to Elementary Particles. Academic Press, New
York and London, 1971.
К гл. 4
Amaldi U., Jacob M. and Matthiae G. Diffraction of matter waves. Ann. Rev.
Nucl. Science 26, 385 A976).
Blatt J. and Weisskopf V. F. Theoretical Nuclear Physics. John Wiley, New York,
1952.
Boggild H. and Ferbel T. Inclusive reactions. Ann. Rev. Nucl. Science 24, 451 A974).
Dalitz R. H. Strange particle resonant states. Ann. Rev. Nucl. Science 13, 339 A963).
Foa L. High energy hadron physics. Riv. Nuovo Cim. 3, 283 A973).
Giacomelli G. Total cross-sections and elastic scattering at high energies. Phys.
Reports 23, 1231 A976).
Kallen G. Elementary Particle Physics. Addison—Wesley. Reading. Mass., 1964.
К гл.5
Close F. E. An Introduction to Quarks and Partons. Academic Press, 1979.
BerkelmanK. Upsilon spectroscopy at CESR. Phys. Rep. 98, 145 A983).
Feldman G. J. and Perl M. L. Recent results in ее" annihilation above 2 GeV.
Phys, Rep. 33, 285 A977).
Franzim P. and Lee-Franzini J. Upsilon resonances. Ann. Rev. Nucl. Part. Science
33, 1 A983).
Gell-Mann M. and Ne'eman Y. The Eightford Way, Benjamin, New York, 1964.
Glashow S. L. Quarks with color and flavour. Sci. Am. 233, 38 (Oct. 1975).
Greenberg O. W. Quarks. Ann. Rev. Nucl. Science 28, 327 A978).
Jones L. W. A review of quark search experiments. Rev. Mod. Phys. 49, 717 A977).
27* 419
Kernan A. and Van Dalen G. Charm and beauty production in strong interactions.
Phys. Rep. 106, 297 A984).
Kim Y. S. The search for quarks in terrestrial matter. Contemp. Phys. 14, 289 A973).
Kokkedee J. J. The Quark Model. Benjamin, New York, 1969.
Lederman L. The upsilon particle. Sci. Am. 239, 60 (Oct. 1978).
Lipkin H. Lie Groups for Pederstrains. North—Holland, Amsterdam, 1966.
Nambn Y. Confinement of quarks. Sci. Am. 235, 48 (Nov. 1976).
Schwitters R. F. Fundamental particles with charm. Sci. Am. 238, 56 (Oct. 1977).
К гл.6
Combley F., Farley F. J. M. and Picasso E. The CERN muon (g—2) experiment.
Phys. Rep. 68, 93 A981).
Combley F. (g—2) factors for the muon and electron and the consequences for
QED. Rep. Prog. Phys. 42, 1889 A979).
Farley F. J. M. and Picasso E. The muon (g—2) experiment. Ann. Rev. Nucl.
Science 29, 243 A979).
Perez-y-Yorba Y. and Renard F, The physics of e+e colliding beams. Phys. Rep.
31, 1 A977).
WuS. L. e+e" physics at PETRA—the first five years. Phys. Rep. 107, 59 A984).
К гл. 7
Коммиис Ю., Буксбаум Ф. Слабые взаимодействия лептонов и кварков: Пер.
с англ. М.: Энергоатомиздат, 1987.
Ellis J. et al. Physics of intermediate vector bosons. Ann. Rev. Nucl. Part.
Science, 32, 443 A982). •
Feinberg G., Lederman L. Physics of muons and muon neutrinos. Ann. Rev.
Nucl. Science, 13, 431 A963).
Fritschi M. et al. "Phys. Lett., B173, 485 A986).
Газиорович С. Физика элементарных частиц. М.: Наука, Физматгиз, 1969.
Hung P. Q., Quigg С. Intermediate bosons—weak interaction carriers. Science,
210, 1205 A980).
Kleinknecht K. CP violation and K° decays. Ann. Rev. Nucl. Science, 26, 1 A976).
Konopinsky E. J. Experimental clarification of the laws of P-radioactivity. Ann.
Rev. Nucl. Science, 9, 99 A959).
Lederman L. Neutrino physics. In Buhrop (ed.). Pure and Applied Physics. Acad.
Press, N.-Y., 1967, vol. 25-11.
Lee T. D., Wn С S. Weak interactions. Ann. Rev. Nucl. Science, 15, 381 A965).
Окуиь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1981.
Perl M. L. The tau lepton. Ann. Rev. Nucl. Part. Science, 30, 299 A980).
Reines F. Neutrino interactions. Ann. Rev. Nucl. Science, 10, 1 A960).
Rubbia С Experimental observation of the intermediate vector bosons. Rev. Mod.
Phys., 57, 699 A985).
К гл.8
Клоуз Ф. Кварки и партоны: Пер. с англ. М.: Мир, 1982.
Drees J., Montgomery H. Muon scattering. Ann. Rev. Nucl. Science, 33, 383 A983).
Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.
Fisk H., Sciulli F. Charged neutrino current interactions. Ann. Rev. Nucl. Part.
Science, 32, 499 A982).
Francis W. F., Kirk T. B. W. Muon scattering at Fermilab. Phys. Rep., 54, 307
A979).
Friedman J. I., Kendall H. W. Deep inelastic electron scattering. Ann. Rev. Nucl.
Science, 22, 203 A972).
Harari H. Quarks and leptons. Phys. Rep., 42, 235 A978).
Hofstadter R. Nuclear and nucleon scattering of high-energy electrons. Ann. Rev.
Nucl. Science, 7, 231 A957).
Jacob M., Landshoff P. Inner structure of the proton. Sci. Am., 243, 46 (Mar. 1980).
420
Lederman L. M. Lepton production in hadron collisions. Phys. Rep., 26, 149 A976).
Perkins D. H. Inelastic lepton nucleon scattering. Rep. Progr. Phys., 40, 409 A977).
Schwitters R. F., Strauch K. The physics of e+e~ collisions. Ann. Rev. Nucl.
Science, 26, 89 A976).
Tung-Mow Yan. The parton model. Ann. Rev. Nucl. Science, 26, 199 A976).
West G. B. Electron scattering from atoms, nuclei and nucleons. Phys. Rep, 18C,
264 A975).
К гл.9
Aitehison I. J., Hey A. J. Gauge theories in particle physics. Adam Hilger ltd.,
Bristol, 1981.
Bahcall J. H. Solar neutrino experiments. Rev. Mod. Phys., 50, 881 A978).
Barrow J. D. The baryon asymmetry of the universe. Surveys in High En. Phys.,
1, 182 A980).
Beg M. A., Sirlin A. Gauge theories of weak interactions. Ann. Rev. Nucl. Science,
24, 379 A974).
Glaschow S. L. Towards a unified theory: Threads in tapestry. Rev. Mod. Phys.,
52, 539 A980).
Goldhaber M. P., Langacker P., Slansky R. Is the proton stable? Science, 210,
851 A980).
't Hooft G. Gauge theories of the forces between elementary particles. Sci. Am.,
243, 90 (June 1980).
Hung P. Q., Quigg С Intermediate bosons: weak interaction carriers. Science, 210,
1205 A980).
Langacker P. Grand unified theories and proton decay. Phys. Rep., 72, 185 A981).
Perkins D. H. Proton decay experiments. Ann. Rev. Nucl. Part. Science, 34, 1 A984).
Primakoff H., Rosen S. P. Baryon number and lepton number conservation laws.
Ann. Rev. Nucl. Science, 31, 145 A981).
Pullia A. Structure of charged and neutral weak interactions at high energy.
Riv. del Nuovo Cim. 7, Ser. 3, № 1—6 A984).
Salam A. Gauge unification of fundamental forces. Rev. Mod. Phys., 52, 525
A980); Science, 210, 723 A980).
Steigman G. Cosmology confronts particle physics. Ann. Rev. Nucl. Science, 29,
313 A979).
Weinberg S. Conceptual foundations of the unified theory of weak and elec-
tromagnetic interactions. Rev. Mod. Phys., 52, 515 A980); Science, 210,
1212 A980).
421
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕР АТУРЬГ
AbramsG. S. et al. Phys. Rev. Lett. 33, 1452 A974).
AdairR. K. Phys. Rev., 100, 1540 A955).
Adelberger E. G. et al. Phys. Rev. Lett., 34, 402 A975).
AlperB. et al. Phys. Lett., 47B, 75 A973).
AltareUiG., Paris! G. Nucl. Phys., B126, 298 A977).
Altarevl. S. et al. Phys. Lett, 102B, 13 A981).
Anderson С D., Phys. Rev, 43, 491 A933).
Anderson H. L., Fermix E., Martia R., Nagle D. E. Phys. Rev, 91, 155 A953).
Anderson K. J. et al. Proc. 19th Int. Conf. on HEP, Tokyo, 1978.
Aatinncci M. et al. Lett. Nuovo Cim, 6, 121 A973).
Argento A. et al. Phys. Lett, 120B, 245 A982).
ArnisonG. et al. Phys. Lett, 122B, 103 A983); 126B, 398 A983).
Amison G. et al. Phys. Lett, 136B, 294 A984).
ArnisonG. et al. Phys. Lett, 147B, 493 A984a).
AubertJ. J. et al. Phys. Rev. Lett, 33, 1404 A974).
Angustin.I. E. et al. Phys. Rev. Lett, 33, 1406 A974).
BacinoW. et al. Phys. Rev. Lett, 41, 13 A978).
BagnaiaP. et al. Phys. Lett, 129B, 130 A983).
BagnaiaP. et al. Phys. Lett, 138B, 430 A984).
Banner M. et al. Phys. Lett. 122B, 476 A983).
Barnes V. et al. Phys. Rev. Lett, 12, 204 A964).
Bartel W. B. et al. Phys. Lett, 28B, 148 A968).
Bathow G. et al. Nucl. Phys, B20, 592 A970).
Berco S., Pendleton H. N. Ann. Rev. Nucl. Part. Science, 30, 543 A980).
Bergkvist К. Е. Nucl. Phys, B39, 319 A972).
Bethe H. A., Ashkin J. Passage of radiation through matter. J. Exp. Nucl. Phys,
1, 166 A953).
Bionta R. M. et al. Phys. Rev. Lett, 54, 22 A985).
Bjorken J. D. Phys. Rev, 163, 1767 A967).
BodwinG. Т., YennieD. T. Phys. Rep, 43, 268 A978).
Boehm F., Proc. 5th Workshop on Grand Unification. Brown Univ, Providence,
R. I. (World Scientific, 1984).
CabibboN. Phys. Rev. Lett, 10, 531 A963).
CallanC. G., Gross D. G. Phys. Rev. Lett, 21, 311 A968); 22, 156 A969).
Cartwright W. F. et al. Phys. Rev, 91, 677 A977).
CbarpakG. et al. Nucl. Instr. Methods, 62, 262 A968).
CharpakG. et al. Nucl. Instr. Methods, 80, 13 A970).
Chew S. G., Frautschi G., Mandelstam S. Phys. Rev, 126, 1202 A962).
Christenson J. H., Cronin G., Fitch V., Turlay R. Phys. Rev. Lett, 13, 138 A964).
Clark D. L., Roberts A., Wilson R, Phys. Rev, 83, 649 A951); 85, 523 A952).
Combridge B. L. et al. Phys. Lett, 70B, 234 A977).
Condoa E. U., Shortley G. H. The theory of Atomic Spectra. Cambridge Univ.
Press, 1951.
Dalltz R. H. Phil. Mag, 44, 1068 A953).
Davis R. et al. Phys. Rev. Lett, 20, 1205 A968).
DeutschM. Progr. Nucl. Phys, 3, 131 A953).
Dirac P. A. M. Proc. Roy. Soc, A117, 610 A928).
Dirac P. A. M. Proc. Roy. Soc, 133, 60 A931).
DrellS. D., YanT. M. Phys. Rev. Lett, 24, 181 A970); Ann. Phys. (USA), 66,
595 A971).
422
Dress W. В. J. et al. Phys. Rev., 170, 1200 A968).
Dress W. B. J. et al. Phys. Rep., 43, 410 A978).
DnrbinR. H., LoarH., Steinberger J. Phys. Rev., 84, 581 A951).
Fabri E. Nuovo Cim., 11, 479 A954).
Fermi E. Z. Physik, 88, 161 A934).
FeynmanR. P. Phys. Rev. Lett., 23, 1415 A969).
Feynman R. P., Gell-Mann M. Phys. Rev., 109, 193 A958).
Feynman R. P., Proc. 5th Hawaii Topical Conf. on Particle Physics. Hawaii Univ.
Press, 1973.
Fortson E. N., Wilets L. Adv. in Atomic and Mol. Phys. July 1981.
FortsonE. N., Lewis L. L. Phys. Rep., 113, 289 A984).
Fox D. J. et al. Phys. Rev. Lett., 33, 1504 A974).
Friedman J. Т., Kendall H. W. Ann. Rev. Nucl. Science, 22, 203 A972).
GaiUard M. K. et al. Rev. Mod. Phys., 47, 227 A975).
GallinaroG. et al. Phys. Rev. Lett., 38, 1255 A977).
Gell-Mann M. Phys. Rev., 92, 833 A953).
Gell-Mann M. Phys. Lett., 8, 214 A964).
Gell-Mann M., Low F. E. Phys. Rev., 95, 1300 A954).
Gell-Mann M., Pais A. Phys. Rev., 97, 1387 A955).
Georgi H., Glashow S. L. Phys. Rev. Lett., 32, 438 A974).
Geweniger С et al. Phys. Lett., B48, 487 A974).
Glaser D. The Bubble Chamber. Encycl. Phys. 45. Springer, Berlin, 1955.
Glashow S. L. Nucl. Phys., 22, 579 A961).
Glashow S. L., Illiopoulos J., Maiani L. Phys. Rev., D2, 1285 A970).
Goldhaber A. S., Nieto M. M. Rev. Mod. Phys., 43, 277 A971).
GoldhaberM., Grodzins L., Sunyar A. Phys. Rev., 109, 1015 A958).
de Groot J. H. G. et al., Z. Physik, Cl, 143 A979).
Gross D. J., WilczekF. Phys. Rev., D8, 3688 A973); 9, 980 A974).
Gross D. J., Llewellyn-Smith С H. Nucl. Phys., B14, 337 A969).
Hasert F. J. et al. Phys. Lett., 46B, 138 A973); Nucl. Phys., B73, 1 A974).
Heisenberg W., Z. Physik, 77, 1 A932).
HerbS. W. et al. Phys. Rev. Lett., 39, 252 A977).
HiggsP. W. Phys. Lett., 12, 132 A964); Phys. Rev., 145, 1156 A966).
Hofstadter R. Rev. Mod. Phys., 28, 214 A956).
Holder M. et al. Nucl. Inst. Methods, 151, 69 A978).
't HooftG. Phys. Lett., 37B, 195 A971).
lnnes W. R. et al. Phys. Rev. Lett., 39, 1240 A977).
Jackson J. D. Rev. Mod. Phys., 37, 484 A965).
Kohayasbi M., Maskawa K. Progr. Theor. Phys., 49, 282 A972).
Langacker P. Phys. Rep., 72, 185 A981).
LangerL., Moffat R. Phys. Rev., 88, 689 A952).
LaRueG. S. et al. Phys. Rev. Lett., 38, 1011 A977); 46, 967 A981).
Lattes С M. G., Muirhead H., Powell С F., Occhialini G. P. Nature, 159, 694 A947).
LeeT. D., Yang С N. Phys. Rev., 98, 1501 A955).
Lee T. D., Yang С N. Phys. Rev., 104, 254 A956).
Lehrausl. et al. Nucl. Instr. Methods. 153, 347 A978).
Llewellyn-Smith С H., Wheater J. F. Phys. Lett., 105B, 486 A981).
Lyubimov V. A. et al. Phys. Lett., 94B, 266 A980).
MakiZ. et al. Progr. Theor. Phys., 28, 870 A962).
Mardano W. J., Sirlin A. Nucl. Phys., 189, 442 A981).
Marinelli M., Morpurgo G. Phys. Rep., 85, 161 A982).
MarshakR., Bethe H. Phys. Rev., 72, 506 A947).
MarshakR., Sudarshan E. Phys. Rev., 109, 1860 A958).
Ne'emanY. Nucl. Phys., 26, 222 A961).
NeubeckN; et al. Phys. Rev. C, 10, 320 A974).
NishijimaK. Progr. Theor. Phys., 13, 285 A955).
OrearJ. x, Harris G., Taylor S. Phys. Rev., 102, 1676 A956).
Pais A. Phys. Rev., 86, 663 A952).
423
PaisA., PiccioniO. Phys. Rev., 100, 1487 A955).
Panofsky W. (data of E. Bloom et al.), Int. Cof. HEP, Vienna, 1968.
PauliW. Handbuch der Physik, 24, 1, 233 A933).
PauK W. Phys. Rev., 58, 716 A940).
Pendlebury J. M. et al. Phys. Lett., 136B, 327 A984).
Perkins D. H. Ann. Rev. Nucl. Part. Science, 34, 1 A984).
Perl M. L. et al. Phys. Rev. Lett., 35, 1489 A975); Phys. Lett., 63B, 366 A976).
Piano R. et al. Phys. Rev. Lett., 3, 525 A959).
Poh'tzer H. D. Phys. Rep., 14C, 129 A974).
PontecorvoB. Sov. Phys. JETP, 26, 984 A968).
PrescottC. Y. et al. Phys. Lett., 77B, 347 A978); 84B, 524 A979).
Pryce M. H. L., Ward J. С Nature, 160, 435 A947).
Ramsey N. F. Ann. Rev. Nucl. Part. Science, 32, 211 A982).
ReinesF., Cowan С Phys. Rev., 113, 273 A959).
Rosner J. Proc. Advanced Study Inst. on Techniques and Concepts in HEP, St.
Croix, USVI (ed, T. Ferbel), 1980.
Rossi B. High Energy Particles. Prentice-Hall, New York. 1952.
Sakharov A. D. JETR Lett., 5, 24 A967).
Sakurai J. J. Invariance Principles and Elementary Particles. Princton Univ. Press,
Princeton, New Jersey, 1964.
Salam A. Elementary Particle Theory (ed. N. Svartholm). Almquist and Wiksells,
Stockholm, 1968.
Shafer J., Murray J., Huwe D., Phys. Rev. Lett., 10, 176 A963).
SnyderL. et al. Phys. Rev., 63, 440 A948).
TadicC. Rep. Progr. Phys., 43, 67 A980).
Tretyakov E. F. et al. Proc. Neutrino Conf., Aachen, 1976.
Tripp R. D. Spin and Parity determination of elementary particles, Ann. Rev.
- Nucl. Science, 15, 325 A965).
Van RoyenR., Weisskopf V. F., Nuovo Cim., 50, 617 A967); 51, 583 A967).
Von WitschW., RichterA., von Brentano P. Phys. Rev., 169, 923 A968). '
Weber G. Proc. 1967 Int. Conf. on Electron and Photon Int. at High Energies,
Stanford, Calif., 1967, p. 59.
WeinbergS. Phys. Rev. Lett., 19, 1264 A967).
Weizsacker K. F. Z. Physik 88, 612 A934); Williams E. J. Kgl. Danskc Vkl. Selsk.
Mat. Fys. Medd., 13, 14 A935).
Weyl H. Z. Physik, 56, 330 A929).
Wolfenstein L. Phys. Lett., 13, 562 A964).
WuC. S., Shaknovl., Phys. Rev., 77, 136 A950).
WuC. S. et al. Phys. Rev., 105; 1413 A957).
WuC. S. Phys. Rep., 107, 59 A984).
Yang С N., Mills R. L. Phys. Rev., 96, 191 A954).
Yoh J. K. et al. Phys. Rev. Lett., 41, 684 A978).
Yukawa H. Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 17, 48 A935).
ZweigG. CERN Report 8419/Th 412, 1964.
424
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Осиовпые положения.
1.1. Введение 5
.2. Фермионы и бозоны 7
.3. Частицы и античастицы 9
.4. Основные фермионы—кварки и лептоны 10
.5. Взаимодействия и поля в физике частиц 13
.6. Электромагнитные взаимодействия 17
.7. Слабое взаимодействие 19
.8. Сильное взаимодействие между кварками 22
.9. Гравитационное взаимодействие 25
.10. Законы сохранения в фундаментальных взаимодействиях 25
.11. Единицы величин в физике высоких энергий 27
Задачи 29
Глава 2. Ускорители п детекторы частиц 30
2.1. Ускорители 30
2.2. Ускорители со встречными пучками 34
2.3. Взаимодействие заряженных частиц и излучения с веществом 39
2.4. Детекторы одиночных заряженных частиц 45
2.5. Детекторы ливней частиц и калориметры 56
Задачи 61
Глава 3. Принципы инвариантности и законы сохранения 65
3.1. Инвариантность и операторы в квантовой механике 65
3.2. Трансляции и вращения 67
3.3. Четность 68
3.4. Четность частиц и античастиц 71
3.5. Проверка закона сохранения четности 72
3.6. Сохранение заряда, калибровочная инвариантность и фотоны 73
3.7. Инвариантность относительно зарядового сопряжения „ 80
3.8. Собственные состояния оператора зарядового сопряжения 82
3.9. Распад позитрония 83
3.10. Поляризация фотонов при распаде позитрония 86
3.11. Экспериментальная проверка С-инвариантности 87
3.12. Инвариантность относительно обращения времени 88
3.13. СР-нарушение и СРГ-теорема 91
3.14. Электрический дипольный момент нейтрона 93
Задачи 97
425
Глава 4. Адрои-адроииые взаимодействия 98
4.1. Поперечные сечения и скорости распадов 99
4.2. Изоспин 103
4.3. Изоспин системы из двух нуклонов 104
4.4. Изоспин в системе пион — нуклон 105
4.5. Странность и изоспин 111
4.6. Диаграммы Далитца 116
4.7. Оптико-волновое обсуждение адронного рассеяния 121
4.8. Резонансная формула Брайта—Вигнера 125
4.9. Пример барионного резонанса Д A232) 127
4.10. Бозонные резонансы 129
4.11. Полное и упругое поперечные сечения при высоких энергиях 130
4.12. Рождение частиц при высоких энергиях 134
Задачи 137
Глава 5. Статическая кварковая модель адронов 140
5.1. Введение 140
5.2. Декуплет барионов 140
5.3. Спин и цвет кварков 144
5.4. Октет барионов 144
5.5. Состояние кварк — антикварк: псевдоскалярные мезоны. 147
5.6. Векторные мезоны 150
5.7. Лептонные распады векторных мезонов 153
5.8. Рождение лептонных пар пионами на изоскалярной мишени
(процесс Дрелла — Яна) 154
5.9. Пион-нуклонное поперечное сечение 155
5.10. Массовые соотношения и сверхтонкое взаимодействие 155
5.11. Электромагнитные различия в массах и изотопическая сим-
метрия 158
5.12. Магнитные моменты барионов 160
5.13. Спектроскопия тяжелых мезонов и кварковая модель 163
5.14. Сравнение уровней кваркония и позитрония 170
5.15. Интерпретация правила Цвейга 174
5.16. Тор-кварк 175
5.17. Поиски свободных кварков 176
Задачи ¦. 178
Глава 6. Электромагнитные взаимодействия 179
6.1. Введение 179
6.2. Упругое рассеяние бесспиновых электронов ядрами 179
6.3. Передаваемый 4-импульс 183
6.4. Рассеяние электронов со спином на .бесспиновом ядре 185
6.5. Рассеяние электрона на нуклоне 186
6.6. Процесс e + e~->\i+\i~ ._. ._. 190
6.7. Bhabha-рассеяние е + е -><? + е~ 193
6.8. Квантовая электродинамика и процессы высших порядков... 193
Задачи 198
Глава 7. Слабые взаимодействия..., 198
7.1. Классификация слабых взаимодействий 198
7.2. Ядерный р-распад. Теория Ферми 200
7.3. Взаимодействие свободных нейтрино: обратный |3-распад 204
7.4. Несохранение четности в р-распаде 206
7.5. Спиральность нейтрино 208
7.6. V—^-взаимодействие 209
7.7. Нарушение четности в распаде Л-гиперона 213
426
7.8. Распад пиона и мюона 215
7.9. Слабые распады странных частиц. Теория Кабиббо 219
7.10. Нейтральные слабые токи 222
7.11. Отсутствие нейтральных токов с Д5=1. Модель ГИМ и оча-
рование 224
7.12. Слабые углы смешивания при наличии шести кварков 226
7.13. Наблюдение IV*- и Z0-6o3Ohob ". 228
7.14. Распад Л:°-мезона 233
7.15. Семейства лептонов, массы нейтрино и нейтринные осцилляции 245
Задачи 249
Глава 8. Кварк-кварковые взаимодействия. Партоииая модель и кван-
товая хромодпиамика (КХД) 253
8.1. Свидетельства существования партонов. Сечения нейтрино-
нуклонного рассеяния и е + е '-аннигиляции при высоких
энергиях 253
8.2. Глубоконеупругое электрон-нуклонное рассеяние 255
8.3. Масштабная инвариантность и партоны 260
8.4. Неупругое рассеяние нейтрино иа нуклонах 263
8.5. Рассеяние лептонов на кварках 264
8.6. Электрон-позитронная аннигиляция в адроны 270
8.7. Рождение лептонных пар при соударении адронов — процесс
Дрелла —Яна 273
8.8. Квантовая хромодинамика и кварк-кварковые взаимодействия 277
8.9. КХД-потенциал на малых расстояниях 279
8.10. КХД-потенциал на больших расстояниях. Модель струны.... 284
8.11. Многоструйные события в процессе е + е~-аннигиляции 286
8.12. Эффекты кварковых взаимодействий в глубоконеупругом леп-
тон-нуклонном рассеянии 287
8.13. КХД, выводы 295
Задачи 296
Глава 9. Фундаментальные пзаимоденствии и их объединение 297
9.1. Перенормируемость в квантовой электродинамике 298
9.2. Расходимости в слабых взаимодействиях 299.
9.3. Введение нейтральных токов 301
9.4. Калибровочная инвариантность в КЭД 303
9.5. Обобщенная калибровочная инвариантность 304
9.6. Модель Вайнберга—Салама SUB)xU(l) 306
9.7. Экспериментальная проверка существования нейтральных токов
в модели Вайнберга—Салама 311
9.8. Сравнение наблюдаемых и предсказанных масс W- и Z-бозонов 321
9.9. Хиггсовский бозон 322
9.10. Выход за рамки стандартной модели /—«великое» объ-
единение 324
9.11. Выход за рамки стандартной модели //—суперсимметрия... 329
9.12. Физика частиц и космология 331
Задачи 334
Приложения 335
Приложение А. Релятивистские преобразования 335
Приложение Б. Представление изоспина нуклона с помощью мат-
риц Паули 340
Приложение В. Коэффициенты Клебша — Гордана и матрицы вра-
щений 341
Приложение Г. Уравнение Дирака 348
Приложение Д. Вероятности переходов в теории возмущений 359
427
Приложение Е. Рассеяние нейтрино на электронах в рамках V—
Л-теории 362
Приложение Ж. Рассеяние точечных фермионов в КЭД. Процессы
е~ц+->е~ц+ и e + e~-*\i+ \i~ 366
Приложение 3. Распады W- и Z-бозонов 371
Приложение И. Цветовые силы между кварками, антикварками
и глюонами 374
Таблица I. Основные атомные константы...: 379
Таблица II. Сферические гармоники и D-функции 379
Таблица III. Коэффициенты Клебша—Гордана 380
Таблица IV. Элементарные частицы 385
Решения задач 399
Список литературы 418
Список рекомендуемой литературы 422
Научное издание
ПЕРКИНС Дональд
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ
Заведующий редакцией А. Б. Желдыбин
Редактор издательства Л. В. Белова
Художник переплета А. С. Александров
Художественный редактор Ц. Н: Тумин
Технический редактор Н. В. Чиранова
Корректор 3. Б. Драновская
ИБ № 2729
Сдано в набор 23.05.90. Подписано в печать 06.11.90. Формат
60x88'/i6- Бумага офсетная № 2. Гарнитура литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 26,46. Усл. кр.-отт. 26,46. Уч.-изд. л. 27,56.
Тираж 3000 экз. Заказ 416. Дена 5 Р- 80 к-
Энергоатомиздат. 113114 Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Набрано в ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового
Красного Знаменя МПО «Первая Образцовая типография» Государст-
венного комитета СССР по печати. 113054, Москва, Валовая, 28.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 Государствен-
ного комитета СССР по печати. 191126, Ленинград, Социа-
листическая ул., 14.