АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ЛЬВОВСКИЙ ФИЛИАЛ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ИНСТИТУТА
МАТЕМАТИКИ

ШОПА
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1977

531
Т35
УДК 539.3/
Авторы Я. С. ПОДСТРИГАЯ
Я. И. БУРАК
А. Р. ГАЧКЕВИЧ
Л. В. ЧЕРНЯВСКАЯ
Рецензенты
Я. Т. Селезов
Я. М, Григоренко
Редакция
физико-математической
литературы
20304—104
М 221(04)—77
217-77
(С) Издательство «Наукова думка», 1977

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние годы все больше внимания уделяется изучению влияния внешних
электромагнитных полей на тепловые и механические процессы в
электропроводных телах. Это обусловлено, в первую очередь, широким использованием
индукционного нагрева токами повышенной частоты в технологических процессах
изготовления и обработки элементов металлических конструкций и приборов во
многих отраслях промышленности.
Основы теории деформации электропроводных тел с учетом тепловых и
электромагнитных процессов содержатся в работах Л. И. Седова, [78], Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшица [48], А. И. Ахиезера и С. В. Пелетминского [4, 5], И. Т. Селезо-
ва [79], Я. С. Подстригача и Я. И. Бурака [69] и др. Вопросы расчета и
практического применения индукционного нагрева достаточно полно освещены в
работах В. П. Вологдина [20], Г. И. Бабата [6], Н. П. Глуханова и В. Н. Богданова
[26], И. Н. Кидина [37—39], В. С. Алмазова [1], М. Т. Лозинского [51, 52],
В. С. Немкова [59, 60], Н. А. Павлова [63—65], Н. М. Родигина [77] и др.
В электропроводных телах, находящихся в электромагнитном поле,
индуцируются электрические токи, протекание которых сопровождается выделением
джоулева тепла и действием пондеромоторных сил. Возникающие в связи с этим
температурные поля и напряжения могут достигать значительной величины и
превышать допустимые. Поэтому необходима разработка эффективных расчетных
моделей и аналитических методов определения и исследования электромагнитного
поля, джоулева тепла, температурного поля и напряжений в электропроводном
теле в зависимости от характера внешнего электромагнитного поля, его частоты,
изменения во времени амплитуды, условий теплообмена тела с внешней средой,
теплофизических и механических характеристик материала и т. п. Результаты
таких исследований являются теоретической основой построения методики
рационального выбора схем и режимов индукционной термообработки.
В исследованиях по аналитическому определению термоупругого состояния
электропроводных тел в периодических во времени электромагнитных полях
исходят из упрощенной схемы решения задачи, которая состоит в следующем. Из
уравнений электродинамики определяется электромагнитное поле в области
тела и обусловленное этим полем распределение джоулева тепла. Джоулево тепло,
усредненное по периоду колебания электромагнитной волны, является удельной
мощностью непрерывно распределенных тепловых источников в уравнении
теплопроводности. После определения температурного поля из уравнений
термоупругости (термопластичности) находится напряженно-деформированное состояние
электропроводного тела. При этом механоэлектрическими и
термоэлектрическими эффектами, пондеромоторными силами, связанностью полей деформации и
температуры, а также силами инерции в уравнениях движения пренебрегают. Реше-
5

ние такой комплексной задачи даже для тел простейшей геометрической
конфигурации связано со значительными математическими трудностями. Этим,
по-видимому, несмотря на широкое применение индукционного нагрева в
инженерной практике, объясняется наличие небольшого числа работ, посвященных
аналитическому определению и исследованию напряженного состояния,
возникающего в электропроводных телах под воздействием периодических во времени
электромагнитных полей.
Данная работа в определенной степени восполняет этот пробел. Она
посвящена построению и развитию расчетных моделей и методики определения
термоупругого состояния деформируемых электропроводных тел, находящихся в
периодическом во времени электромагнитном поле; определению и исследованию
джоулева тепла, температурных полей и напряжений в однослойных и
биметаллических пластинах, в круговых сплошных и полых цилиндрах, тонких
оболочках; оптимизации термоупругого состояния электропроводных пластин при
индукционном нагреве, а также исследованию влияния периодического характера
изменения во времени электромагнитного поля на распределение температуры
и напряжений.
В монографии изложены в основном результаты исследований авторов, а
также канд. физ.-мат. наук Б. И. Колодия, которому авторы признательны за
предоставленные! материалы, использованные в главах 2 и 4. Авторы благодарны
также сотрудникам О. Р. Мисьонг, Я. И. Лопушанскому, Б. И. Чорному, А. И. Капий,
М. М. Дацко и В. П. Тимчук за участие в подготовке рукописи к печати.

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
х, у, z — прямоугольные декартовы координаты
г, В, г — цилиндрические координаты
а, р, у — смешанные ортогональные криволинейные координаты
ha, ho, h — коэффициенты Ляме
п = {п(} — внешняя к поверхности нормаль
xi» х2 — главные кривизны срединной поверхности оболочки
г — радиус-вектор точки
t — время
ю — круговая частота
е — диэлектрическая проницаемость
\i — магнитная проницаемость
о — коэффициент электропроводности
"к — коэффициент теплопроводности
а — коэффициент температуропроводности
ос/ — линейный коэффициент температурного расширения
Е — модуль упругости
v — коэффициент Пуассона
G — модуль сдвига
р — плотность
Н — коэффициент теплоотдачи с поверхностей
с — скорость распространения электромагнитной волны в вакууме
т = -р- — критерий Фурье
Bi = hH — критерий Био
-*• -+
£** (/"» 0 — вектор напряженности электрического поля
-*• ->
#** (/"» 0 — вектор напряженности магнитного поля
£*♦* (г» t) — вектор электрической индукции
#♦* (г, t) — вектор магнитной индукции
/** (г, t) — вектор плотности токов
Q+t — объемная плотность электрических зарядов
£* (/". О — комплексный вектор напряженности электрического поля
Н* (г Л) — комплексный вектор напряженности магнитного поля
/* (г, t) — комплексный вектор плотности токов
Е (г), — функция напряженности электрического поля
И (г) — функция напряженности магнитного поля
7

/ (г) — функция плотности токов
Q* — удельная плотность джоулева тепла.
Q — удельная плотность джоулева тепла, усредненная во7временя
по периоду колебания электромагнитной волны
F^e) — плотность пондеромоторных сил
Т — отклонение температуры от начальной Т0
Ts — отклонение температуры внешней среды от начальной
Tv Тй — интегральные характеристики температуры пластины
(оболочки)
о = {о..} — тензор напряжений
е = {е1}-} — тензор деформаций
и, v, ад — компоненты вектора перемещений в декартовой системе
координат
Wi» и2» "з — компоненты вектора перемещений в декартовой системе
координат с нумерованными осями
/ = {6^} — единичный тензор
^у — символ Кронеккера
5_|_ (£) ={о' I ^ о — асимметричная единичная функция
6 (£) — дельта-функция Дирака
А — оператор Лапласа
V — оператор Гамильтона
erf х — интеграл вероятности
Jv (i)> ^v ® ~~ ФУНКЦИИ Бесселя 1-го и 2-го рода
Н^ (I), Н® (£) — функции Ханкеля 1-го и 2-го рода
g — параметр преобразования Фурье
s — параметр преобразования Лапласа
Рл» №п> Уп —корни трансцендентных уравнений

г-пдод I ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
I ЛАЕ А I ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
И ТЕРМОУПРУГОСТИ
В настоящей главе приводятся исходные соотношения для
нахождения электромагнитного поля, полей джоулева тепла, температуры
и напряжений в электропроводных упругих телах, находящихся
в переменном во времени внешнем электромагнитном поле.
В расчетной схеме решения задачи влияние электромагнитного
поля на процессы теплопроводности и деформации связывается
только с выделением джоулева тепла и действием пондеромоторных сил.
В такой постановке, при постоянных характеристиках материала
электропроводного тела в пренебрежении механоэлектрическими
и термоэлектрическими эффектами, задача сводится к
последовательному решению уравнений электродинамики и термоупругости
(термопластичности) при соответствующих начальных и граничных
условиях. При этом из уравнений электродинамики
определяется электромагнитное поле в области тела и обусловленные этим
полем распределения джоулева тепла и пондеромоторных сил,
которые являются соответственно источниками тепла и объемными
силами в уравнениях термоупругости.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ
МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ ТЕЛ
Рассмотрим изотропное электропроводное тело, в области которого
отсутствуют сторонние электрические заряды и токи. Тело
подвергается воздействию электромагнитного поля, возбуждаемого
системой токов /*°* и зарядов Q*°2, расположенных вне тела.
Исходной системой уравнений для определения
электромагнитного поля являются уравнения Максвелла для области тела и
внешней среды, которую в дальнейшем будем рассматривать в
приближении вакуума. Такая система уравнений в пренебрежении
механоэлектрическими и термоэлектрическими эффектами,
поляризацией и намагничиванием запишется [31, 48] в виде
т(ЛН„ = -Щ*- + и, rot Я дВ**
—► —►
divR^-0, div D^ = Q^

для области, занятой телом, и в виде 7
„,*• _«$-+*. „,!•__-$../ (12)
divB% =0, divDSJ=nj;
для области вакуума. Здесь £^, Я^ — векторы напряженности
электрического и магнитного полей; D^, В#* — электрическая и
магнитная индукции; /## — плотность тока; Q^* — объемная
плотность электрических зарядов. Величины с индексом (0) относятся
к области вакуума.
Функции /(°], Qfl — заданные функции координат и времени,
связанные между собой уравнением сохранения электрического
заряда. Для получения такого уравнения рассмотрим первое из
уравнений (1.1). Действуя оператором div на правую и левую
части этого уравнения, а также учитывая, что div rot = 0, находим
div(-^- + /**)=°-
Изменив порядок действия операторов в первом члене уравнения,
с использованием четвертого уравнения (1.1) получим искомый
закон сохранения заряда (уравнение непрерывности):
div £,+ -%- = (>. (1.3)
Систему уравнений Максвелла необходимо замкнуть
соотношениями, связывающими векторы напряженности и индукции
электромагнитного поля
а также законом Ома, определяющим плотность тока проводимости
в подвижной среде
U=*o(e„ + 1*-xhJ}9 (1.5)
где ит — вектор скорости.
В дальнейшем будем пренебрегать влиянием подвижности среды
на электрические токи, т. е. примем закон Ома в виде
7^ = сгДМ|. (1.6)
Из уравнения сохранения электрического заряда (1.4), с
использованием четвертого уравнения (1.1) и соотношения (1.6),
следует, что плотность свободных зарядов Q#* удовлетворяет
уравнению
^ + -^** = °-
10

Отсюда получим
Q** = Ае
а
--irt
Предполагая, что в начальный момент времени плотность
электрических зарядов Q#s|! в теле равна нулю, находим, что функция ti^
равна нулю в произвольный момент времени. В связи с этим
уравнения Максвелла для области электропроводного тела запишутся так:
rottf^^
dt
+ /.
**»
rot £## = —
dt
(1-7)
div В^ = 0, div D^ = 0.
Для определения электромагнитного поля в области
электропроводного тела и внешней среды к системе уравнений (1.2), (1.7)
необходимо присоединить начальные условия, граничные условия
на поверхности раздела тело — вакуум и условия на бесконечности.
Допустим, что электромагнитное поле в начальный момент
времени t = 0 в теле и вакууме отсутствует. Тогда начальные условия
запишутся в виде
?(0)
Ет = 0, Н„ = 0; Е™ = 0, Н™=0 при t= 0
(0)
(1.8;
При установлении граничных условий на характеристики
электромагнитного поля на поверхности раздела исходят обычно из
уравнений Максвелла в интегральной форме, которые имеют вид
[82, 841
ф HjU = J (их dS + 4 j Ф*Л dS,
(П (S) (S)
(j) Ejtt = -4 { (A**)» dSf (j) (B**)„dS = 0, }
(D (S) (5) '
(1.9)
где (S) — произвольная поверхность, которая опирается на
выбранный в теле замкнутый контур (Г); (V) — область, ограниченная
замкнутой поверхностью (5); п — внешняя к поверхности (S)
нормаль.
Из уравнений (1.9) следует, что на границе раздела тело —
вакуум выполняются условия
,<°к
(£**)„-ТО* =а0,
(1.10)
(1.11)
11

<Я«Ь«(£2)т. 0.12)
(H**h-(H%=X (i.i3)
Здесь Q0 — поверхностный заряд; (£**)т, (Е{®)х и (Н^)х, (Н^)х —
тангенциальные составляющие векторов соответственно Е^ ^1
и Н^, Н® на поверхности раздела; Jx — поверхностные токи.
При отсутствии поверхностных токов Jx условия (1.10) — (1.12)
не изменяются, а условие (1.13) записывается в виде
(Н^х-(Н^х = 0. (1.14)
На границе раздела должно выполняться и условие непрерыв-
ности нормальных составляющих полного тока /##
(*'**)п = (*'**)п» «>** = 5/ ^~ ^**' (1 • 15)
Для решения соответствующих задач электродинамики из
приведенных граничных условий (1.12) — (1.15) в качестве независимых
принимают условия
(£**)* = (£**)т,
<°)\ _7 „„„ /а/ \_ _ т(°\
(Н^)х - (Н:!)х = J или (Н^х = Ют,
(i.i6)
При этом условие (1.11) дает возможность определить
поверхностную плотность зарядов Q0 на поверхности раздела, если найдено
распределение электрического поля в теле, а условие (1.10)
выполняется тождественно, поскольку магнитная индукция Вш> В{® удов-
летворяет уравнениям div Вш = 0, div ZrJ = 0.
В дальнейшем будем предполагать, что заданные внешние
электрические токи (токи в вакууме) подчинены условию
divffi = 0, (1.17)
и начальная плотность электрических зарядов в вакууме равна
нулю. В этом случае из уравнения (1.3), записанного для области
вакуума, следует Qjfj г 0. Положим также, что поверхностные
токи отсутствуют. Тогда
div£^ = 0, div£i°j==0 (1.18)
для произвольного момента времени. Учитывая, что в начальный
момент времени электромагнитное поле отсутствует, приходим к
выведу, что поверхностные заряды Q0 на границе раздела тело —
12

вакуум равны нулю. При этом третье уравнение (1.16)
выполняется тождественно.
В качестве граничного условия на бесконечности в области
вакуума обычно принимаются условия излучения [84], которые
выводятся из требования существования лишь уходящих на
бесконечность волн. В случае, если бесконечным является электропроводное
тело, таким условием будет обращение на бесконечности в нуль
электромагнитного поля от любой системы излучателей, лежащих
целиком внутри некоторой конечной области.
Таким образом, электромагнитное поле определяется из системы
уравнений электродинамики (1.2), (1.7), которая с учетом
соотношений (1.4), (1.6) имеет вид
div #** = 0, div Ещ = 0
для области электропроводного тела и
хо\М„ = е0 —jt \- /„, rot£„# = —f^o -^Г-» (1.20)
div#i°>=0, div£i°i=0
для области вакуума. При этом напряженности электромагнитного
поля должны равняться нулю при / = 0 и удовлетворять условиям
сопряжения на границе тело — вакуум
(£jT = (£^)t, (Н^)т = (Н% (1.21)
(непрерывность касательных составляющих напряженностей
электромагнитного поля), а также условиям излучения на бесконечности.
При рассмотрении системы контактирующих электропроводных
тел уравнения Максвелла (1.19) записываются для каждой из
областей, а к граничным условиям добавляются условия сопряжения
электромагнитного поля на границах раздела, которые имеют вид
(1.21) и выражают непрерывность касательных составляющих
напряженностей электрического и магнитного полей в области
контакта.
Уравнения Максвелла совместно с граничными и начальными
условиями позволяют однозначно найти электромагнитное поле в
электропроводном теле и вакууме в произвольный момент времени
[31, 47]. В случае, когда на поверхности тела задается вектор
напряженности электрического или магнитного поля, определение
электромагнитного поля в области тела сводится к решению краевой
задачи для этой области на основании системы уравнений (1.19) при
заданных граничных значениях функций Е^ или #„..
Уравнения Максвелла (1.19) могут быть приведены также к систе-
ме уравнений относительно функций Е^ или #„,[31]. Запишем
такую систему уравнений, когда в качестве разрешающих функций
о

выбраны напряженности электрического поля Е^, Е\[.
/Применяя преобразование Лапласа к уравнениям (1.19), (1.20) с учетом
начальных условий (1.8), получим
rot Н^ = esE^ + а£##, rot £## = — \isH^
div^ = 0, div ^ = 0 (1.22)
для области тела и
div Я(Л = 0, dWEfl = 0 (1.23)
для области вакуума. Здесь знаком «тильда» обозначены
трансформанты Лапласа искомых функций, s — параметр преобразования.
Из вторых уравнений (1.22), (1.23) находим представление
трансформант векторов напряженности магнитного поля через
трансформанты напряженности электрического поля
#** = — rot £w> Hfl = L rot Ё®.
Подставляя эти выражения в первые уравнения, находим
— ~^Г rot rot ^** = es^** + а^**'
-^rotrot^ = e0sIl?+B
Принимая во внимание, что rot rot if = — Дя|э -f- grad div гр и
div £„,* = 0, получаем
ДДм, — е^Д,,* — ojisf*,, = 0,
Переходя к оригиналам, с учетом начальных условий (1.8) на функ-
ции Е^ и Н^ и отсутствия внешних токов при t = 0, а также
присоединяя к полученным уравнениям соотношения div Е^ = 0,
div Е{® = 0, приходим к следующей системе уравнений
электродинамики, записанной относительно напряженностей
электрического поля Е^ и Ё\
(0).
* (1.24)

При этом начальные условия (1.8) примут вид
£** = 0; Е% = 0;
,(0)
дЕ„,
= 0,
д&0)
= 0 при t=0. (1.25)
dt ' dt
Условия сопряжения (1.21) электромагнитного поля на границе
раздела тело — вакуум будут
(Ет)х = (&Х -^ (rot Е^)т = -f- (rot E™)
P
Ho
(1.26)
Условия излучения на бесконечности в области вакуума
запишутся [84] в виде
lim г | Е\\ (г, t) | = const; lim г
<^°>7о j_ <^°> £ О
дг
dt
= 0. (1.27)
Для плоского по координатам электромагнитного поля эти условия
принимают вид
г- -л* - /-Г дЕ{0)(7, о 1 ai(0)(?, о 1
lim/г | £2 (г, 01 = const; lim Кг "Г + i- " ' U о.
(1.28)
В случае плоской волны (электромагнитное поле зависит только
от одной координаты х)
lim|£^(*. 0| = const; li
; lim -
\х\-к» L
dEP(x,i)
дх
дЕ{0) (х, t)
dt
0.
(1.29)
Здесь с = —т== скорость распространения электромагнитных
Уе0Цо
волн в вакууме.
Если найдены Е^ и £(^, то функции Н^ и #28 определяются
по формулам
t t
Я« =~ Jrotl,^,, ЙТ.=-±г[то\ЕУи. (1.30)
Система разрешающих уравнений электродинамики относительно
функций Н^ и ЩЦ получается так же, как (1.24), и
записывается следующим образом:
АН*,, — eji
&нл
dt2
•o\i>
dft+,
dt
= 0, div#sMl=0;
А^-во^о
дфо)
(1.31)
а, —пис div#::=o.
Начальные условия в этом случае представляются в виде
дк
И--°> -Трв°: //-=0'
а/
0 при *«0, (1.32)
15

Условия сопряжения (1.21) будут
(Н^х = (Я£)т, е0 (rot Н^)х - е (rot Н% = a J (rot /7[°>К Я0- (1-33)
= 0.
Условия излучения в функциях Я^ принимают вид
(1.34)
В случае плоского по координатам электромагнитного поля или
плоской волны граничные условия на бесконечности имеют вид
соответственно (1.28) или (1.29), где необходимо заменить функцию £\°2
на Я»
Напряженности электрического поля Е#* и Е®\ при найденных
значениях Н^ и H{Sl определяются по формулам
Е» = -f \е е ° rot Я^Ло, £fj = -i- J (rot //£> -7i°i) Л0. (1.35)
Квазиустановившееся электромагнитное поле. Приведем систему
уравнений электродинамики для случая, когда в области вне тела
заданы электрические токи
j(0)
~*-(о) ,7\
Г (г, t) = i(t)n(r)e>
■>1ш
(1.36)
амплитуда которых / (t) относительно мало изменяется во времени
за период колебания, т. е.
<Ч(0
dt
« Ч (О,
<pj(t)
dt*
<O2/(0-
(1.37)
В применяемых режимах индукционной термообработки такие
условия практически всегда имеют место, кроме, быть может,
моментов включения и выключения индуктора. В дальнейшем,
следуя работе [72], такие режимы работы индуктора будем называть
квазиустановившимися, а соответствующее электромагнитное
поле — квазиустановившимся полем.
Для квазиустановившегося режима напряженность
электрического и магнитного полей можно приближенно представить в виде
£, = /(*) £(?)*'<* H^j{f)H{r)e^ (1.38)
для области электропроводного тела и
Ef = j (t) £(0) (?) el<*\ Hf = / (t) Н(0) (?) еш (L39)
для области вакуума. Подставляя соотношения (1.38), (1.39) в
уравнения (1.19), (1.20), пренебрегая ^ по сравнению с ю/ (t)
16

(1.40)
и сокращая правую и левую части на / (t) и ешу получаем
rot Н = (teco + о) Е, rot Е = — фсо#,
divtf = 0, div£ = 0;
rot Я(0) = teoco£(0) +7(0), rot Е{0) = - *>0соЯ(0),
div//(0) =0, div £(0) = 0.
В таком приближении из уравнений (1.24), (1.31) придем к разре-
шающей системе уравнений относительно функций Е и Е0
Д£ + £2£(0) = 0, div£ = 0;
А£(0> + klEi0) = щ0о}°\ div Е{0) = 0,
и аналогично — относительно функций Н и Я<0):
ДЯ + **Я = 0, divtf = 0,
A#0, + #//(0,=-rot/(l\ divtf(0) = 0.
Здесь ft2 = цсо (ею — кг); &о — и-0еоо>г.
Граничные условия (1.26), записанные относительно Е, £w,
имеют вид
(1.41)
(1.42)
7(0)
(£)т
(£<\, -^(rot^-^rot^V
а условия излучения на бесконечности
7(0)
lim г | ЕК) (г) | — const, lim г
дг
+ ik0Ew(r)
"(0),
(1.43)
= 0. (1.44)
В случае плоского электромагнитного поля или плоской волны из
условий на бесконечности (1.28), (1.29) соответственно получаем
lim Vr | Ёф) (7) | = const; lim У? [ а^?(г) + ik0E{0) (?) 1 =0, (1.45)
lim | £(0) (*) | = const; lim | a^?w + tft0£(0) (*) 1 - 0. (1.46)
Если найдены E и £(0), то напряженности H и п(0) определяются
по формулам
1 -х 2 ,>) _ 1 _, ^(0) (j 47)
# =
rot £, /Г1
■rotF1
При решении задачи в функциях Я, Я(0) граничные условия на
поверхности раздела запишутся в виде
fa = <*">* TW(«*.?>*-:Esr:(n*#V
2 7-102
(1.48)
17

а условия излучения — /
Hmr | Я<0) (7) | = const, lim г \ ая<0'(г) + ik0H{0> (7)1 *'о. (1.49)
Г-+ оо Г-* ос
Для плоского по координатам электромагнитного поля или
плоской волны условия (1.49) имеют вид (1.45) или (1.46), в которых
необходимо заменить Е(0) на я<0).
Функции Е и Е(0\ при найденных Я и Я<0,( определяются из
соотношений
1 __А й ^(0) 1
£ =
•rot Я, £(и' =
(rot Я'
(0)
■}\
(1.50)
Рассмотрим случай, когда на поверхности тела задан вектор
напряженности электрического Е® (г0, f) = E (/) Е0 (r0) ^ или
магнитного полей Н®] (г0, t) = Н (t) Н0 (г0) е'®', где г0 — радиус-
вектор точек поверхности тела. По аналогии с (1.36)
соответствующие электромагнитные поля будем называть квазиустановивши-
мися, если выполняются условия
или
dE(t)
dt
dH(t)
dt
«>£(/),
«*>#(/),
«co2£(0
<G>2#(/).
При этих предположениях, представляя аналогично (1.38)
напряженности электрического и магнитного полей в виде
Е* = E(t)E (г) *** H* = E(f)H(r)e«»<, (1.51)
или
£«, = Н (/) Е (г) еш> Н*=Н (t) Н (г) е'<* (1.52)
получим в таком приближении следующую разрешающую систему
уравнений:
А£ + k2E = 0, div Е = 0 (1.53)
или
ДЯ+/г2Я = 0, div# = 0. (1.54)
Полагая в записанных для квазиустановишегося режима
соотношениях амплитуду внешних токов или амплитуду заданной на
поверхности электропроводного тела напряженности
электрического (магнитного) поля постоянной во времени и разной единице,
получаем представление искомых функций для установившегося
электромагнитного поля. При этом система исходных уравнений
для нахождения этих функций полностью совпадает с (1.40) —
(1.42) или (1.53), (1,54) при краевых условиях (1.43), (1.44) или
(1.48), (1.49).
18

Отметим, что при решении конкретных задач определения
установившегося электромагнитного поля в электропроводных телах
токами смещения в области электропроводного тела обычно
пренебрегают, поскольку они малы по сравнению с токами проводимости
[83]. В этом случае разрешающую систему уравнений для
определения электромагнитного поля получим из соотношений (1.41),
(1.42), (1.48), (1.49) заменой коэффициента k2 = ц,со (есо — ia)
на k2 = — ф,соа.
Определение джоулева тепла и пондеромоторных сил. Пусть на
основании приведенной системы уравнений электродинамики
найдена напряженность электрического поля £**. Тогда удельная
мощность джоулева тепла Q#, выделяемого в теле в связи с протека-
нием индукционных токов /„ = сг£**, определяется по формуле
[48]
Q* = /** • £** = <*£** • £**• 0-55)
Для квазиустановившегося режима, соответствующего заданию
действительной части векторов /*0) (г, /), Е{® (г0, f) или Н®] (r0, f),
0* = о[ЯеЕ*(?, f)]2- ^ ^ 0-56)
При этом для заданных внешних токов /*0) (г, f) = / (t) /(0) (г)
cos о/ в области вакуума функция Q# будет иметь вид
Q* = oj2(t){Re[E(?)e«*<}}2. (1.57)
В случае задания на поверхности тела касательной
составляющей напряженности электрического или магнитного поля
удельная мощность джоулева тепла, согласно (1.56), определяется так:
Q^oE2(t){Re[E(?)e^]}\ (1.58)
или
Q^ofPft^elEfae^]}2. (1.59)
Для установившегося режима выражение джоулева тепла
можно записать в виде
Q* = a{Re[£(V<«><]}2. (1-60)
Рассмотрим также усредненную во времени по периоду
колебания электромагнитного поля удельную мощность джоулева тепла
2л
Q-i-jQ^. 0-61)
0
Для квазиустановившегося режима, пренебрегая в пределах
периода усреднения изменяемостьюфункций/(/), Е (/)или# (/),
получаем
Q=,±.4>(t)E(7)ECr)9 (1.62)

где ф (0 принимает значения /2 (О, Е2 (t) или Я2 (t) соответственно
указанным функциям.
В случае установившегося режима
Q = ^E(r).Z(r). (1.63)
Здесь Е (г) — функция, комплексно сопряженная к Е (г).
Выражения для удельной мощности джоулева тепла Q*, которые
соответствуют мнимой составляющей заданных векторов /*0), £*0)
или получаются таким же путем. Отметим, что усредненное во
времени джоулево тепло при заданной действительной и мнимой
части этих векторов совпадает.
Силовое воздействие электромагнитного поля на индукционные
токи характеризуется пондеромоторными силами [48, 83], удельная
плотность которых
Е{е) = PI** X #** = [ioE^ X Я**. (1.64)
В случае квазиустановившегося (установившегося)
электромагнитного поля пондеромоторные силы, соответствующие заданию
действительной части вектора внешних токов Д0), граничных значений
напряженностей электрического £;0) или магнитного Я^0) полей,
будут
Fie) = lie [Re Ет (г, 01 X [Re Я, (7, f)]. (1.65)
При этом для внешних токов /-0) (г, /) = / (t) /(0) (г) cos со/ в
области вакуума выражение удельной плотности пондеромоторных
сил запишется в виде
F{e) = \xoj2 (t) {Re [E (г) еш]} x {Re [Я (г) еш\). (1.66)
Для заданной на поверхности тела напряженности
электрического или магнитного полей получим
F{e) « iiaE2 (t) {Re [E (г) г1**]) X (Re [Я (?) e'«% (1.67)
или
Fie) = \ioH2 (0 {Re [E (г) еш]} x {Re [Я (7) e™\). (1.68)
В установившемся режиме удельная плотность пондеромоторных
сил определяется по формуле
F{e) = \хо {Re [Ё(г)е*«*]} х {Re [Н(Р) е^\). (1.69)
Аналогично можно записать выражения пондеромоторной силы,
соотетстзующей заданию мнимой части векторов /*0), Е®\ /г0).
20

» СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
После решения приведенных выше уравнений электродинамики
й нахождения соответствующего распределения джоулева тепла
и пондеромоторных сил температурные поля и напряжения в
электропроводном теле определяются из системы уравнений термоупру^
гости или термопластичности [35, 40, 41, 49, 56, 62, 87].
В настоящей работе основное внимание уделяется исследованию
температурных полей и напряженного состояния тела в области
упругого деформирования. Ниже приводятся исходные соотношения
линейной теории термоупругости для решения такого класса
задач. Принципиальная схема нахождения напряженного состояния
электропроводных тел в упруго-пластической области при
индукционном нагреве рассматривается на примере задачи об
упруго-пластическом равновесии кругового цилиндра в установившемся
электромагнитном поле.
Система уравнений термоупругости для определения темпера-
туры Г, вектора перемещений и = {ut}y тензора деформаций е =*
= {вц} и тензора напряжений о = {о1}} запишется так [40, 41]:
ДГ-4--2* 1 дГ atET0 .. ди _Q ,. ?().
Ш + % a dt Ml-2v) * ' К '
DivS+j5«-p-^, (1.71)
°il=M]iell + -T^ekk8il-ZJL^8tlT}, (1.72)
Здесь T0 — начальная температура, К; V = i -д—1 — оператор
Гамильтона; Wu\ uV — диадное произведение векторов V и и\
повторяющиеся индексы являются индексами суммирования.
К уравнениям (1.70) — (1.73) необходимо присоединить
определенные начальные и граничные условия.
В качестве начальных условий обычно задаются вектор переме-
щений ц, скорости -^т- и температура Т во всей области (V)
упругого тела в начальный момент времени. В частности, если эти
функции равны нулю при t = 0, то начальные условия имеют вид
Щ (г, 0) = 0, Щ^ = 0; Т £ 0) - 0. (1.74)
Граничные условия на поверхности (S) упругого тела включают
тещювые и механические условия.
21

Тепловое граничное условие на поверхности тела (S) при
конвективном теплообмене с внешней средой имеет вид /
^г + Н(Т-Т,) = 0. (1.75)
Здесь -^- = grad Т • п.
Механические граничные условия могут соответствовать
заданию усилий
otjtij = PL (r0, t) при t > 0, (1.76)
перемещений
^=%(г0, t) при t>0 (1.77)
или иметь смешанный вид. Здесь Р = {Р,}, и0 = {и01} —
заданные вектор поверхностных усилий и вектор перемещений на
поверхности тела.
При определении термоупругого состояния системы
контактирующих электропроводных тел в области контакта ставятся условия
механического и теплового сопряжения.
В частности, для идеального контакта такие условия запишутся
в следующем виде:
Т^ТЛ *,*£--Х,*£; (1.78)
ы(»=Л(2>, а<" .; = а(2'.п, (1.79)
где индексами 1, 2 обозначены соответствующие функции
контактирующих тел. Более общие условия теплового и механического
контакта описаны в работах [71, 75].
Система уравнений термоупругости (1.70) — (1.73) может быть
сведена к двум дифференциальным уравнениям, записанным от-
-*-
носительно температуры Т и вектора перемещений и. Такую
систему уравнений получим, подставляя соотношения (1.72) в уравнение
(1.71) и используя при этом соотношения (1.73):
(1.80)
В прямоугольной декартовой системе координат уравнения (1.80)
будут иметь вид
лт 4- J?*- _ ±UL _ **&* д (ди'') - о
"*" к a dt X(l — 2v) dt \dxf I ~ u' ^ 3^
Af. , 1 a (dui\ , *У p *"/ _ 2oc,(i + v) ar
аи/ "Г j _ 2v ад;/ [ dxi ) ~r G G dt* ~~" (1 - 2v) dxf '
22

Приведем также исходную систему уравнений в пренебрежении
динамическими членами в уравнениях движения и связанностью
полей деформации и температуры:
«•+-*~-i-5--«. (Ш)
Данная система соответствует квазистатической задаче
термоупругости [41]. В такой постановке начальные условия ставятся только
на температурное поле.
После определения вектора перемещений из системы уравнений
(1.80) или (1.82) компоненты поля напряжений находятся по
формуле (1.72).
Запишем также исходную систему уравнений термоупругости,
когда в качестве разрешающих функций выбраны температура Т
и тензор напряжений а. С этой целью уравнения состояния (1.72)
представим в виде
Учитывая соотношения (1.73), получаем
Def и = -^- а + (atT — -~- а*) /. (1.84)
Используя операцию свертывания, находим
div и = д Okk + Эа/Г. (1.85)
С учетом соотношения (1.85) система уравнений (1.70) — (1.73)
запишется так:
AT 1 Q* ( l I 3a2'ET° \ dT ^£l. д°ь* - О I
(1.86)
X. \ a ^ \ (1 — 2v)/ d* X d<
3% 1
Di.va+Fw=p^-,
Применяя преобразование Лапласа к двум последним
уравнениям (1.86), с учетом начальных условий (1.74) получаем
_ WvS + ^-цЛ, (187)
Def a » -^-a + (аД1 - Jj- a J 7.
Здесь величины с тильдой представляют собой трансформанты
Лапласа искомых функций.
23

Из первого уравнения (1.87) находим представление
трансформанты вектора перемещений через трансформанты тензора'
напряжений и пондеромоторной силы:
t/ = ^(Diva + /^).
(1.88)
Подставляя выражение для и во второе уравнение (1.87), получаем
одно дифференциальное уравнение, записанное относительно
трансформанты тензора напряжений,
Def(Diva + Fw) = ps:
1
2G
o + (atf—l- 5*)/]. (1.
89)
Переходя к оригиналам, с учетом принятых начальных условий
(1.74) на функции и и -^-, получаем
Def (Div a + ?<«>) = р -£- [ JL a + (а,Г - -f сЦ7
(1.90)
Таким образом, уравнение движения (1.71), записанное в
напряжениях, приведено к виду (1.90).
Действуя на уравнения состояния (1.83) оператором
несовместности Ink, т. е.
Inke = V х е х V = Ink f-^-a + [atT — -^ okk) I
и учитывая, что е = Def и и Ink Def = 0, получаем дополнительное
условие
_^.a + (a/T—f aM)7]-0 (1.91)
на тензор напряжений и температуру, которое является следствием
совместности деформации (сплошности среды).
Присоединяя к полученным уравнениям (1.90), (1.91) первое из
уравнений (1.86), приходим к искомой разрешающей системе
уравнений динамической термоупругости, записанной относительно
температуры и тензора напряжений:
Ink
дг + _0^_
1 ЩЕТо
а +^(1 —2v)
дТ
a/ То dokk
dt
dt
0,
Def (Div a + F{e) = p *-[ * a + (atT
dt* I 2G
В прямоугольной системе координат
■or*)/], } (1.92)
Ink
1 -a + fa/Г ^-ab
ьлв-{б//*б^-а^}.
(1.93)
24

где £ = [€ijk} (iy /» k = 1, 2, 3) — альтернативный тензор,
компоненты которого имеют следующие значения: 0, если любые два
индекса равны; + 1, если i, /, k — четная перестановка чисел 1,
2, 3; — 1, если /, /, k — нечетная перестановка этих чисел. При
этом
bjktzlmn =
6,7
б//
О/т
Jjm
Щп
Ujn
= б// (б/тб/от — блтб/ri) •
I б& 6fcm fifcn I
— б/т (bjfikn — bkfijn) + б/n (б/Дт — 6*/6/m).
(1.94)
С учетом (1.94) тензор несовместности Ink а можно представить
в виде
I \ д*/д*а dxjdxa ]
+
aS^' + W-Aa-4' U.a.P-1.2,a (1.95)
С использованием выражения (1.95) из уравнения совместности
Ink а = О, применяя операцию свертки, находим
Да
•kk
dxjdxk
(1.96)
В соответствии с этим условие совместности тензора а в
прямоугольной декартовой системе координат выражается следующим
уравнением:
Ля// —
I dxidxa * dxjdxa J "Т dxidxj ' \ • /
Поэтому в рассматриваемой системе координат уравнения (1.92)
запишутся в виде
ДГ +
Q*
1 ЩЕТ0
а + К(\
дТ
X \ а ' X(l —2v)/ а/
atT0 dokk __ n
a/f
Vy^a
a^
= 2P-P-
Дст//-
дл:/^а "•" a*;
2G~ a/' + (a^ — "F aaa) 8//]'
v^a J i + v [ ajt/ajc,
- vAa«A/ + <X,£ [ЬТЬЦ + ^-)] - 0.
(1.98)
25

Начальные условия (1.74) при решении задач в напряжениях
будут
а(;, 0)-0, Г (7, 0) = 0; ^Щ^ + [ЩЕ^
0)
v дааа(г, °)
/=0.
(1.99)
Е dt
В частности, если —^-^ = 0, то условия (1.99) запишутся так:
да
о(г, 0) = 0, Г (г, 0)=0; -^-(г, 0) = 0.
dt
(1.100)
Приведенный выше вывод динамических уравнений
термоупругости в напряжениях основан на применении преобразования
Лапласа к последним двум уравнениям (1.86) при сформулированных
начальных условиях (1.74) с последующим исключением из них
вектора перемещения и и использованием условия совместности
деформации.
Динамическая система уравнений термоупругости, полученная
иным путем, приведена в работе [61]. Эта система, однако, не
включает уравнения (1.91). При этом уравнение движения, записанное
в напряжениях, имеет более сложную аналитическую структуру.
Отметим, что из него можно перейти к уравнению (1.90), используя
соотношения (1.91).
Запишем также систему уравнений термоупругости в
напряжениях при пренебрежении динамическими членами и связанностью
полей деформации и температуры. В данном случае уравнение (1.90)
удовлетворяется тождественно в силу выполнения уравнения равно-
весия Div о + F = 0. Поэтому полную систему уравнений
составляют уравнения теплопроводности, равновесия и совместности
деформации, т. е.
ДГ
Q*
1 дТ
a dt
= 0,
Divcr+f^O,
Ink
■i-a + (a^--J--a««)/]-0. J
(1.101)
В частности, в прямоугольной декартовой системе координат
получим
Q* 1 аг
АГ
fog
dxj
a dt
= о.
(1.102)
36

Здесь третье уравнение совместности записано с использованием
уравнения равновесия [40].
Отметим, что при определении температурных полей и
напряжений, возникающих в электропроводном теле при индукционном
нагреве квазиустановившимися (установишимися)
электромагнитными полями, обычно пренебрегают [77, 43] динамическими
членами, пондеромоторными силами и связанностью полей деформации
и температуры, т. е. исходят из системы уравнений (1.82) или (1.101)
при Fie)= 0. В этом случае джоулево тепло усредняется во времени
по периоду колебания электромагнитной волны. В таком
приближении расчетная схема решения задачи состоит в следующем.
Из уравнений электродинамики определяется
электромагнитное поле в области тела и обусловленная этим полем усредненная
во времени удельная мощность джоулева тепла, которая является
удельной мощностью непрерывно распределенных тепловых
источников в уравнении теплопроводности. После нахождения
температурного поля из уравнения теплопроводности на основе решения
уравнений термоупругости определяется напряженно-деформированное
состояние электропроводного тела.
Такая расчетная схема принимается за основу при решении
конкретных задач определения термоупругого состояния
электропроводных тел в последующих главах (за исключением гл. 8).

ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОГО СЛОЯ
И ПОЛУПРОСТРАНСТВА /
В ПЕРИОДИЧЕСКОМ
ВО ВРЕМЕНИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
При изготовлении и обработке тонкостенных элементов конструкций
типа пластин находит эффективное применение индукционный
нагрев. В связи с этим для построения рациональных режимов такой
термообработки является важным аналитическое определение и
исследование термонапряженного состояния электропроводных
пластин, находящихся под воздействием электромагнитных полей.
В настоящей главе получено решение задачи об определении
джоулева тепла, температурных полей и напряжений в
электропроводном слое в установившемся периодическом во времени
электромагнитном поле.
Термоупругое состояние найдено в пренебрежении в
уравнениях термоупругости динамическими членами, пондеромоторными
силами и связанностью полей деформации и температуры, т. е. в
квазистатической постановке. При этом в качестве функции
распределения источников тепла в уравнении теплопроводности
принята удельная мощность джоулева тепла, усредненная во времени
по периоду колебания электромагнитной волны.
Исследовано распределение джоулева тепла, температуры и
напряжений в зависимости от режимов нагрева, характеристик
материала, условий теплообмена и т. п. Предложено обобщение
полученного решения на случай электропроводного слоя, помещенного
в квазиустановившееся электромагнитное поле. В такой же
расчетной схеме получено решение задачи для полубесконечного
электропроводного упругого тела при индукционном нагреве и
выполнены исследования джоулева тепла, температурных полей и
напряжений.
1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим электропроводный упругий слой (рис. 1) толщиной А,
на основании z = О которого задан вектор напряженности
электрического £(#0) = {0; Е0 (х) еш\ 0} или магнитного #*0) « {0;
Н0 (х) &ш\ 0} поля. На поверхности г = А слой контактирует с
диэлектрической средой, которая принимается в приближении
вакуума.
Определим электромагнитное поле в области слоя,
соответствующие ему джоулево тепло, температурное поле и напряжения. От-
^=== ГЛАВА 2
23

дельно найдем решение задачи, когда электромагнитное поле в слое
создано системой токов в индукторе, расположенном вне области
слоя.
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла.
Рассмотрим сначала методику определения электромагнитного поля
в слое при заданной на поверхности слоя напряженности
электрического поля.
Из анализа системы уравнений (1.40) и граничных условий (1.43)
применительно к сформулированной задаче следует, что напряжен-
Рис. 1.
ности электрического и магнитного полей в слое [область (1)\ и
вакууме [область (0)1 представляются в виде
Е? = {0; Е% 0}; Н? = [Н% 0; Н%
(2Л)
где ЕтУ (х, г, t) = Е (х, z) ешу а Н^Ху НфУ определяются через Е^9
по соотношениям (1.47). На основании уравнения (1.41) в
пренебрежении токами смещения в области электропроводного слоя [83],
функции £(/) (ху z) в каждой из областей удовлетворяют уравнению
Д£(/) + k)E{i) = 0 (/ = 0; 1), (2.2)
где k\ = — ^(o^/i2; k\ = е0|л0со2^2; А = -^ + -^г — оператор
Лапласа. При этом уравнения div Е® = 0 удовлетворяются
тождественно. Здесь и в дальнейшем через х, у, z обозначены
безразмерные координаты (отнесенные к толщине h декартовые координаты).
Индексы (0) и (1) введены для обозначения искомых функций и
характеристик среды соответственно в области вакуума и слоя.
Граничные условия в рассматриваемой задаче на основании
соотношений (1.21), (1.46) имеют вид
E(i)(x, 0)=Ео(х),
£(V
__ f*i
1)=-£(0,(*, 1),
дЕ{0)(х, 1)
дЕ{1)(х, 1)
дг
Но
lim |
?<°>,
Ет(х, z)|<oo, lim
Z-*oo L
дг
дЕ{0) (х, г)
'(0),
дг
+ ik0E™ (х, z)
= 0.
(2.3)
(2.4)
29

lim
Для определения функций £(/) (х, z), удовлетворяющих
условиям (2.3), (2,4), используем интегральное преобразование Фурье
* по координате х:
00
(2-6)
E(x,z)=-^ J Е(Ь z)e-<t*d£.
Тогда система уравнений (2.2) и граничных условий (2.3), (2.4)
в области изображений запишется в виде
£§£ - l)EU) = О, I) = ?-kj (/ = О, 1), (2.6)
£(,) (6, 0) = Ё0 ©, £'" (I, 1) = £<°> (|, 1), &*£ '> -
im| £<°> (|, г) |< оо, lim [ ***<£■ г) + ^£<0)(5, *)1 = 0. (2.8)
-юо г-*оо [_ "^ J
Покажем, что контактная задача (2.6) — (2.8) для системы
электропроводный слой — вакуум может быть сведена к решению
краевой задачи для области слоя при соответствующем
эквивалентном граничном условии на поверхности z = 1. Для получения
такого условия будем исходить из общего решения уравнения (2.6) для
области вакуума
£<°> = схё* + С2е-1**. (2.9)
Здесь /0 = VI2 — kl — значение корня с положительной
действительной частью.
Из условий (2.8) следует, что Сг = 0, и решение (2.9)
принимает вид
Е{0) = Сае-Ч (2.10)
Подставляя (2.10) в условия сопряжения (2.7) электромагнитного
поля при г = 1, получаем
£(,)(|, 1) = С2е-Ч (2.11)
dz Но ° 2
Исключая из этих соотношений С2, находим искомое граничное
условие на поверхности z = 1
-T-^+^^d. D-0. (2.12)
30

Таким образом, рассматриваемая задача об определении
электромагнитного поля в области слоя свелась к решению уравнения
-«jjL - $<" - О, /?=£*-*? (2.13>
для области электропроводного слоя при граничных условиях
£(1,(5. 0) = £0®, ^"l1' ° +-^-^'"(1, D=0. (2.14)
Решение уравнения (2.13) запишется в виде
Ёа) = Сге^ + С2е^\ (2.15)
где, как и ранее, 1г = V \2 — $ — значение корня с
положительной действительной частью. Удовлетворяя граничным условиям
(2.14), находим
Ё{1) = ЁоА^1 [\х<£-1^-* — е^~% (2.16)
Здесь
Д.-И*-».-*; р.- ЙТЙ' h-VT=%- (2-17)
По известной трансформанте Ё{1) (g, z) функция £(1) (х, z)
определяется по формуле обращения (2.5).
Запишем выражение для удельной плотности усредненного во
времени джоулева тепла, обусловленного протеканием
индукционных токов. Выразим сначала трансформанту Q (g, z) джоулева
тепла Q (ху z) через трансформанту напряженности электрического
поля. Применяя преобразование Фурье к функции Q (х, z),
определяемой формулой (1.63), с использованием теоремы о свертке,
получаем
Q (|, г) = -^— j £<•> (i _ |0, Z) £<» &, z) dg0. (2.18)
Тогда формула для удельной плотности джоулева тепла,
представленного через трансформанту напряженности электрического
поля, будет иметь вид
оо оо __
Q (х, г) = -^ j j Е<1) (I - i0, г) £(1) &, г) e-'^d^. (2.19)
— оо —оо
Здесь £(1) (х, z) — комплексно-сопряженная к £(l) (х, z) функция.
Перейдем теперь к нахождению электромагнитного поля и
джоулева тепла в слое при заданном на поверхности 2 = 0 векторе на
пряженности магнитного поля Н®} = {0; Н0 (х) еш\ 0}. В этом
случае задачу естественно решать, исходя из уравнений электроди-
31

намики (1.42), записанных относительно напряженности
/магнитного поля.
Для определения отличной от нуля составляющей
напряженности магнитного поля Н^у (х, z, t) = Н (х, z) еш имеем уравнение
АЯ(/) + k -Я(/) = 0 (/=0, 1) (2.20)
и граничные условия
н«(х,о) = н0(х), д"><*, 1) = я>, 1), дН<1)^ 1) =
- а> аЯ<> '» , (2.21)
НО)
lim | Я(^ (л:, z)|<oo, lim
^£L + ,^V г)
0. (2.22)
Применив преобразование Фурье по координате х к
соотношениям (2.20) — (2.22), использовав общее решение уравнения (2.20)
при / = 0 и условия сопряжения (2.21), придем, как и в
рассмотренном выше случае, от контактной задачи для области слой —
вакуум к следующей эквивалентной краевой задаче для области
электропроводного слоя: найти решение уравнения
-^1 _ 1\Й{1) = 0, l\ = 1г — k] (2.23)
при граничных условиях
#4, 0)=ад, d"a2l'l) +ffi#l)(5. D=0. (2.24)
Решение уравнения (2.23), удовлетворяющее условиям (2.24),
будет
#(1) = Н0 ([xme-h - е^Г1 (^~MI-Z) - е^~% (2.25)
где
^m =
<V<> + 'бою/!
Функция Я(1) по известной трансформанте (2.25) Я(1) находится
по формуле обращения
#(*, z)=--±=- J H(l z)e-^d\.
V2k J
Функция напряженности электрического поля £(1) (х, z)
определяется через Я(1) (х, z) согласно (1.50) следующим образом:
1 дн^Х) . п. 1 дн^ \
^"(м»=|4т^Ч*)- **»
32

«-*(
На основании формул (1.63) и (2.26) для удельной плотности
джоулева тепла получим
~~dz W+ ~~д^ 55"/ • VmZt)
Формулу (2.27) для определения джоулева тепла можно
представить непосредственно через найденную трансформанту Фурье
(2.25) напряженности магнитного поля Я(1). Трансформанта Фурье
от функции Q (х, г) будет
п = 1 Г Г днМ&-1о,г) дН® <&>.*) ,
2Уг2ло1 J I дг дг "*"
+ Ь (S - Ь) #" (| - Ь, 2) Я (g,, 2)1 dgo, (2.28)
где Я — комплексно-сопряженная функция к Я. Тогда выражение
для удельной мощности джоулева тепла запишется так:
х Я(1) G- Ь, 2) #«> &, г)]e-o*dbrf8. (2.29)
Определим также электромагнитное поле в слое, созданное
системой электрических токов в индукторе, протекающих в
направлении оси у. Положим, что плотность тока при этом
/10> = (0; /*, (х, г, t) = /<°> (х, 2) е'°<; 0}. (2.30)
Напряженности электрического поля в области слоя и вакуума
представляются в виде
Е[1) = (0; Е?}(х9 z)e^\ 0}, Ef =- {0; £(0)(х, г)еш\ 0}. (2.31)
Для нахождения функций EU) (#, z) из уравнений (1.41)
получим
Д£(0) + klE{0) = t>0©/i2/(0) (х9 z) (2.32)
в области вакуума z <; 0,
Д£(1) + fc?£(,) = 0 (2.33)
в области электропроводного слоя 0 < z < 1 и
Д£(0) + *о£(0)~0 (2.34)
в области вакуума z > 1. При этом уравнения div Е® =« 0 (/ = 0,1)
удовлетворяются тождественно.
J 7-102 JJ

Граничные условия (1.21), (1.46) запишутся так:
Е = Е • "ЦТ"Й- = ЦТ-&- При Z = °:J' (2-35)
iim | £(0) | < оо, lim l^- + ik0Em) = 0.
Применяя преобразование Фурье по координате х к уравнениям
(2.34) и граничным условиям (2.35) и используя общее решение
полученных уравнений для области вакуума z < 0, z > 1, а
также условия сопряжения и излучения, как и ранее, приходим к
краевой задаче для области электропроводного слоя, т. е. к определению
функции £(1) (£, z) из уравнения
-^- —/i£(1) = 0 (2.36)
при таких граничных условиях на поверхностях:
*^а~л_аю(1.о)=-^-}^-.«, Zl№. (237)
Решение уравнения (2.36), удовлетворяющее условиям (2.37), будет
£(1) = Л2* (^е-'Л1-*) — е1^~% (2.38)
где
4* = /WlCf ,—г— f ^ (Е, О &i;
2* OVo + lWOO^"-'1--''1) 0J
'/ = '£2 — */ (/ = 0» 1) — значение корней с положительной
действительной частью, а \ле определяется по формуле (2.17).
Удельная мощность джоулева тепла находится по формуле (2.19).
Определение температурного поля. Допустим, что на основаниях
слоя г = 0; 1 имеет место конвективный теплообмен с внешней
средой, температура которой равна начальной температуре слоя.
Тогда температурное поле Т (л:, z, f), обусловленное выделением
джоулева тепла, удовлетворяет уравнению
дг + л_!о^)=^) (2<39)
начальному Т (х, г, 0) = 0 и граничным
дТ(х-о, В _BhT{x> о,т)=0, ar(zI,',t) +Bi2T(x, 1, <r) = 0
д (2.40)
34

условиям. Здесь Bix *= H-Ji, Bi2 =» #2/i — критерии Био; Hf (/ =
ss 1, 2) — относительный коэффициент теплоотдачи на
поверхностях слоя. Функция джоулева тепла Q (#, г) определяется
выражением (2.19) или (2.29), если на поверхности слоя задана касательная
составляющая напряженности электрического или магнитного
поля, и выражениями (2.19), (2.38) — для случая задания токов в
индукторе.
Применяя к уравнению (2.39) и граничным условиям (2.40)
конечное интегральное преобразование [31, 47] по координате z и
преобразование Фурье по х для определения трансформанты темпера-
туры Тп (g, т), получаем уравнение
-^- + Ф1 + I2) Тп = -£%©- (2.41)
и начальное условие
Тп& 0)=0, (2.42)
где
1
f„(g, т) =-^=- J [/С(Р„, 2)е^Г(х, г, т)<Ыл:
1
Qn (?) = -J=- J J /С (рй1 г) e**Q (*, г) <Ы*.
(2.43)
Здесь
К (ft,, Z) = J^ sin P. (1 - *) + cos Pn 0 - г) (2.44)
есть ядро конечного интегрального преобразования,
соответствующее граничным условиям (2.40); (5Л — корни трансцендентного
уравнения
ClgP р (Bix + Bi2) ' ^Л0)
Решение уравнения (2.41), удовлетворяющее условию (2.42), будет
Тп (|, т) = » \ Qn © e-<^—>dTo = ^ilL_ (1 _ e-<^>V
о МР„ + 12) (246)
fa
По найденным трансформантам Тп (£, т) температура Т (х, г, т)
Определяется по формуле
Т{х'z> T)=wle~^-2- T)de>
где
f(l,z,f) = 2Tn(l'X^^'Z) , (2.47)

или, с учетом соотношения (2.46),
Г(*' г' *>ТРъ2лв« К®п, г) 2 (1-е / )d|.
Здесь
Б" = i [(Р« + в'г) Р» + 2 ВЬ Р» sin2 Р„ + (Р« - Bil) sin 2Р„]. (2.49)
Из решения (2.47), устремляя т ->• оо, получим формулы для
температурного поля Т (л:, z) в стационарном режиме
г^г=1¥^<&•г)в" I irke~tlxd%- (2,50)
Определение температурных напряжений. Предположим, что
основания слоя свободны от силовой нагрузки и
напряженно-деформированное состояние не зависит от координаты у (плоская задача).
В этом случае напряженное состояние характеризуется отличными
от нуля компонентами оХХу oxz, azz, оууу которые будем определять
в квазистатической постановке, т. е. исходя из уравнений
dxi ' (2.51)
Граничные условия на основаниях слоя z = 0; 1 запишутся так:
Ozx = <Jzz = 0. (2.52)
Представим искомые компоненты напряжений в виде суммы
двух составляющих [7, 45, 66]:
оч = о?/ + of/ (i9 j = x9 z), (2.53)
где off (k = 1, 2) выражаются соответственно через производные
термоупругого потенциала Ф и функции Эри U таким образом:
а<» = £__£Ф o<i) = _£_.££. а<» = £—™_
** 1 + v дг* ' « 1 + v дгд* » » i + v дх* '
(2.54)
о<2, = _^ о<2,= __^ о<2)= W_ (255)
°хх — а** ' гх дгдх ' " ад:* • ^,00'
При этом функция Ф является частным решением уравнения
АФ=4^-а<Г' (2-56)
at/ — таким решением бигармонического уравнения
ДДС/ = 0, (2.57)
16
= 0.

при котором соответствующие компоненты напряжений (2.53)
удовлетворяют граничным условиям (2.52).
Согласно (2.53), (2.54) и (2.55)
*.--£(«-г$т»). *-&("-гт5-ф)-
".•--те(у—гттф> <258>
Из анализа системы уравнений равновесия и совместности
деформации, при принятых предположениях о независимости
термоупругого состояния от координаты г/, с использованием введенных
представлений (2.54), (2.55) для компонент напряженного состояния
находим
ауу = Ееуу - -^ Т + vA£/, (2.59)
где
еуу = D2x + Dxz + D0. (2.60)
С учетом ограниченности деформации при х ->■ ± сю D2 = 0.
Постоянные Dy (/ = 0, 1) определяются из условий закрепления
краев при у -> ± оо.
Для нахождения искомых компонент напряжений используем
преобразование Фурье по координате х. Тогда получим
о*
ok} = —1==- j e^Qkjdx (k, j = x, z), (2.61)
где
5.—!•(£/--т^Ф).
(2.62)
При этом трансформанта функции ада согласно (2.59) запишется
в виде
о....= atE
"m,- 1 _ v f + ^2я6 © £ (°гг + °о) + v (-g- -12) t/. (2.63)
Здесь тильдой обозначены трансформанты Фурье искомых функций.
Для определения трансформанты Ф из уравнения (2.56) имеем
(ж-^)6 = а<Т^- (2-64)
Учитывая формулу (2.47) для трансформанты температуры,
находим следующее частное решение уравнения (2.64):
37

где
Аналогично, применяя к (2.57) преобразование Фурье, получаем
уравнение для определения трансформанты функции Эри
(■&■-*! В-о.
решение которого, удовлетворяющее условию ограниченности
напряжений при х ->- -ь оо, имеет вид
& ^ (#х + #az)sh|g|z + (#з + *4*)chgz + 4"*26® (т^ + *«)>
(2.66)
где /?у (/ = 1 -ь 6) — произвольные постоянные.
Удовлетворяя граничным условиям (2.52), записанным в
трансформантах Фурье, с учетом (2.58) находим
*i
*|6|
z=l
0+v)(E1-sh«B
+ |S|chg)6|z=I+(|||+4-sh2|5|)6|2=o +
зф
i
(sh|S| +
аФ
#2 =
+ (sh2|g| + U|ch2g+ishg)-^
Е
i.
z=0j
-£2sh|i[<D|z=1 + (|£|chg-
»~(i+v)(E«-sh«E)
*ahl5l)-^L1+(-i-6,sh2|6|-sh2|5| +
«8
+ |E|sh|E|-|5|ch»6-Pchg
дФ
дг
z=0
+151 sh2 &Ф U=o
l+v
#4 = #i
5Ф
l+v dz
|z=o
(2.67)
Система соотношений (2.61) — (2.63), (2.65) — (2.67) дает
полное решение задачи об определении напряжений в упругом слое.
При этом произвольные постоянные D0, Dly R5> RQ находятся из
условий закрепления краев при х -> i оо; у ->■ ± со.
38

2. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ В СЛОЕ
ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ ПО ТОЛЩИНЕ
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла.
Рассмотрим сначала решение задачи при заданном на поверхности
электропроводного слоя векторе напряженности электрического поля
Е(? = (0'> Еое~Ш> 0} постоянной амплитуды. В данном случае
трансформанта Фурье E0(Q = ° 6 (Q, где б (g) — дельта-функ-
У 2я
ция Дирака. Из формулы (2.16), применив обратное преобразование
Фурье, найдем
Е(1) _ Е = _|о_ (^_Mi_2) _ еЫ\-г)^ (2.68)
Ас\.
-2-1
l+me Т
AQ* = )xee-k* — ek:
Подставив (2.68) в формулу (1.63), после некоторых
преобразований получим следующее выражение для удельной мощности
джоулева тепла:
Q=-i-<r£oX
, 1 — 2 . ,а* . 1—Z 1—2 лП. .1—2
mx ch —т f- У 2 m sh —^ m2 cos —^ у 2m sin —^—
X ^ ^r—^ 22-= ^ . (2.69)
mi cn Y* + У %m sn Y* — m2 cos Y* — У 2m sin у#
Здесь 80 = -r- = ——= параметр, характеризующий относи-
л У 2^icoo7i2
тельную глубину проникновения джоулева тепла в слое; y* в -т—;
тх = 1 -f т2, т2 = 1 — т2.
Для применяемых обычно в элементах металлических
конструкций материалов
° > Ш6 Ш^ ' е « е0 = 8,84 . Ю""12 Ф/м, (-J-) < 100. (2.70)
\ г^° / max
Поэтому для частот со < 10101/сек, используемых при
индукционном нагреве,
^/Ж*105»1- (2-71)
Считывая малость величины 1/т по сравнению с единицей, из
формулы (2.69) получаем приближенное выражение для джоулева
тепла
СП т 1- COS •
Q = 4- oEl ^— ^— , (2.72)
х 2 chv* + cos7* v '
39

Справедливое с достаточной для практических расчетов точностью.
Отметим, что выражение (2.72) совпадает с найденным на основании
решения уравнений Максвелла при пренебрежении токами
смещения как в области слоя, так и в области вакуума.
Анализ формулы (2.72) показал, что при 7* =з -у > 6 (малые
значения параметра б0 == —, характеризующего отношение
глубины проникновения джоулева тепла к толщине) распределение
удельной плотности джоулева тепла по толщине слоя приближенно
описывается формулой
г
Q=-±-oEle V (2.73)
При 7* <£ 1 (большое значение параметра 60) функции Е (z) и Q (z)
практически не изменяются по толщине и записываются в виде
£(z)«£0, Q(z)^±oEl (2.74)
Причем погрешность соотношений (2.74) меньше 1% для 7* < 0,7;
0,1% для 7* < 0,4 и 0,01% для 7* < 0,21.
На рис. 2. приведены графики распределения по толщине слоя
h
джоулева тепла при различных значениях параметра 7* = -у-
С увеличением 7* от 0,5 до 8,0 распределение джоулева тепла по
толщине меняется от близкого к равномерному при 7* = 0,5 до
экспоненциального при 7* = 8.
Перейдем к определению электромагнитного поля и джоулева
тепла при заданном на поверхности z = 0 векторе напряженности
магнитного поля /г0) = {0; Н0еш\ 0} постоянной амплитуды.
Из формулы (2.25), полагая Н0 (£) =* --=- #06 (g) и применяя об-
у 2л
ратное преобразование Фурье, находим
H(z) = -р- {Mr***-* — еЬЛ-% (2.75)
Здесь
1 + mQe 4
Из соотношений (2.27) получим
Я
в(*)-ет*
4аб2
40

X
+ (I—m0)cos—^
^—.i^-^yimosin
60
1—2
60
(1 + ml) ch 7# + |/"2m0 sh y# — (1 — mg) cos 7* + V^o sin 7*
(2.76)
Для материалов, применяемых при индукционном нагреве,
согласно (2.71) .
т0=±-<\, (2.77)
Рис. 2
41
ом
Щ
ОМ
1 \ ^*"v
ч^
2.0
^Г
Z8'0
Q25 (7,5 0,75 -f
При этом исследование решения (2.76) показало, что для у# > КР*
с достаточной для практических расчетов точностью (с
погрешностью, меньшей 0,1%) в формуле (2.76) можно положить т0= 0.
В таком приближении решение запишется в виде
Q —
4
1-2 , 1—2
ch —5 h cos —5—
Оо о0
Aoh420
ch v* — cos v#
(2.78>
На основании оценочного анализа формулы (2.78) при y* > 6
следует, что распределение джоулева тепла по толщине слоя
совпадает с аналогичным, найденным для случая задания на границе
напряженности электрического поля, т. е.
Q-
«2 ~-£-
4а #i*
(2.79)'
В случае большой относительной глубины проникновения
индукционных токов (у* <£ 1) функция Q практически не изменяется
по толщине. При этом для 10~3< у* < 0>4 с погрешностью,
меньшей 1%,
Hi
toh% -f
JUL
2a/i»
(2.80)
41

а при v* < 10"
Q«.
Hi
4оА»6§ (m\ + Ц- + V2m0y^
(2.81)
Отметим, что выражение (2.78) соответствует решению уравнений
электродинамики для рассматриваемой задачи при пренебрежении
токами смещения в вакууме. В то же время при y# ->• 0 токами сме-
6(1
Hi
2,15
150
?,25
2,0
пч
щ
\ ыо
\у1'5
10\
/
0,5
1 0,
25
0,
5 Oj
'5
X
h
Рис. 3.
щения пренебречь нельзя, поскольку при уменьшении параметра
Ух токи смещения в вакууме являются определяющими. Так,
например, для у <^ 1, исходя из точного решения, джоулево тепло
Q определяется по формуле (2.81), а в пренебрежении токами
смещения получим решение (2.80), которое имеет особенность при v*->
->- 0. Поэтому при решении задачи для заданной на поверхности
напряженности магнитного поля постоянной амплитуды (что в ПрИ-
веденном случае соответствует заданию на поверхности —-^Ч при
большой относительной глубине проникновения джоулева тепла
токами смещения в вакууме пренебрегать нельзя.
На рис. 3. представлены графики изменения джоулева тепла
по толщине слоя для различных значений у*. Из графиков видно,
что при выбранном материале и фиксированной толщине слоев с
увеличением частоты ш (увеличение у*) интенсивность
тепловыделений возрастает в приповерхностном слое. При этом характер
распределения по толщине меняется от близкого к равномерному (у^ =
= 0,5) до экспоненциального (y* = 2,0).
Рассмотрим решение задачи об индукционном нагреве слоя
системой электрических токов постоянной амплитуды, расположен-
42

ных в плоскости z = — г0 (рис. 4). Вектор плотности тока примем
f® = {0; /0б (z + z0) е"><; 0}. В данном случае /<°> © = :т=/об (I).
* У 2я
Поэтому из формулы (2.38) следует
tH-W^^^.^,, (2.82)
где А0 = ]/^в0|д,0 co/i; k+ = —y-^-(2^coa/i2)1/2; jx, задается выражени-
ем (2.68), т. e.\ie=(l—me 4 )(l + me 4 Г1.
Применяя формулу (1.63), для джоулева тепла получаем
, 1-2 , _/^ ,1 — 2 , 1—2 ..^т: . 1—2
^oi сп —« h У 2 m0 sh —^ 1- т02 cos —г У 2 т0 sin —~—
У £о °о о0 о0
(m20l + 2mg) ch v* + 2 yl т0т01 sh у* — ' (2.83)
— (т202 — 2т\) cos 7^ + 2/2 т0т02 sin 7*
где т01 = 1 + т;;, т02 = 1 — mg, т0 = ]/ -^-. Как видно из
формулы (2.83), распределение джоулева тепла в слое не зависит от
расстояния до плоскости заданных токов. >
Исследование решения (2.83), с учетом оценочного соотношения
(2.71), показало, что для у* > Ю~3 с достаточной для практических
расчетов точностью будет
= у*№ chJ^T+cosl^L (2.84)
v 2 chv* — cosy,, '
т. е. характер изменения джоулева тепла по толщине аналогичен
полученному при заданном на поверхности векторе
напряженности магнитного поля.
Из анализа формулы (2.84) следует, что при у# > 6
распределение удельной мощности джоулева тепла по толщине слоя
практически описывается формулой
«_■=£.,-*-_£.-*. (2.85)
При Ю-3 < Y* < 0|4, с погрешностью, меньшей 1%,
Q « const = -!!£-_ J^, (2.86)
а при y*< Ю-3
Q«i^l^6m20 + 2K2moY, + 4)~1. (2-87)
43

Выражение (2.84) соответствует решению уравнений Максвелла
для данной задачи при пренебрежении токами смещения в вакууме.
Поэтому, как видно из проведенного выше анализа, при решении
задачи для заданных токов в индукторе постоянной амплитуды, как
и в случае заданной на поверхности напряженности магнитного
поля постоянной амплитуды, токами смещения в вакууме при у* ->
->• 0 пренебрегать нельзя.
Отметим, однако, что для реальных толщин слоев из конкретных
металлов в диапазоне частот со, используемых обычно при индук-
г?
1-
0
\ х
Z
Рис. 4.
ционном нагреве, практически всегда применимы формулы (2.78)
и (2.84). Поэтому в дальнейшем при определении температурного
поля будем исходить из джоулева тепла, определяемого формулами
(2.72), (2.78) и (2.84).
Определение температурного поля. На основании формулы
(2.47), при условиях конвективного теплообмена на поверхностях
слоя г = 0; 1, получим
Т(г9 т)=Г#/2
—В2т;
Я*пКФп, *) У-е п )
2о2
п=1
КК
где
_ Big ( у* sh у» sin р„ — р„ ch у» cos Р„
**"" М ft + ч2.
[cos (ря + у»)
[ Pn+Y,
(2.88)
+
cos(P,, — у»)
Pn —Y.
2Р3„
у» sh у» cos р„ + Рл c°s V* sin р„
J_ [sin (ря + у») , sin (ря — у»)
"*" 2 Pn + У* ""*" Рл-Y*
(2.89)
K(Prt, г) и fin определяются формулами (2.44) и (2.49). Здесь Tj
равно
аЯ§/12
Ц©Я§ЛЯ
2Я (ch у» + cos у*) f 2Х (ch у» — cos у*)
ИЛИ
2A, (ch y# — cos y*)
44

в зависимости от того, выражается джоулево тепло формулой (2.72),
(2.78) или (2.84).
Выделив слагаемые, соответствующие стационарному режиму,
формулу (2.88) для температурного поля можно представить в
виде
Т(г, т) = fi&^-ch i^l + cos-i^--Cl2 + С2-
-t^K2B7\nK(S>n,z)e " . (2.90)
л=1 J
Здесь
Сх = Со"1 [Bi2 (sh v* + sin y*) + Bix (ch y* + cos 7*) — 2 BiJ,
C2 = C^1 {2 Bi2 + (1 + Bi2) [sh v* + sin y* + Bix (ch Y* - cos y*)]},
C0 = Bix + Bi2 + BixBi2.
Запишем также выражение T(x, z) при одинаковых
коэффициентах теплоотдачи на поверхностях (Bix = Bi2 == Bi). При этом из
(2.90) получим
^ = ^l+Bi(l-e)]-ch^ + cos-^-
00
- ?! S Игл [Р„ cos р„ (1 - г) + Bi sin р„ (1 - г)] -
_р2х
-^(p^osP^ + Bisinp^)}* \ Л = б?Г#/, (2.91)
где
л __ Bi (ch у* — cos у») + У* (sh у* + sin у») . - --1 ., 2 R2x
^1 — Bi (2 + Bi) ' 2п "~~ 0л ^** — Рп'
X (Y* sh y* + Bi ch y*) + (Y* + P*) (Y* sin Y* — Bi cos y*)];
Asn = 2 Bi p^\ Л0„ = рп $ — y!) X
X [4- (Bi2 + 2Bi - pj) cos p„ - (1 + Bi) pn sin p„],
P„— ненулевые корни трансцендентного уравнения
ctSP = iW1- (2-92)
Для теплоизолированного на основаниях слоя (Bi = 0) найдем
Т = Г#/{б0 (shT* + sin y*) (т + -^Z^l ^.j +SJ(shY*-sinvJ-
+ (^ + p2) Sin Yj p-2 (P< - Yi)-i cos p„ (1 - 2) <Г^}, (2.93)
45

а для случая идеальных условий теплоотдачи ,
_^ = (chY*-cosY*)(l-z)-(ch-4p-- cos-Ц^)-
- 2f. 2 (- 1)" рТ1 (ft - v!)~' ml ~ &) ch Y* - (v! + &) cos y*] X
n=\
X sin (1 - 2) p„ - 2$ sin p» е~Э"\ (2.94)
где p„ = tin.
При приповерхностном нагреве (б0 <£ 1) для температурного
поля из формулы (2.91) можно получить следующее приближенное
выражение:
т _ Bi + v»
ww[1+Bi (1 -z)] -2 (ch V -cos V) e~v* -
- f. 2 Л* (ft - Y?) {(V* + Bi) [ft, cos p„ (1 - г) + Bi sin p„ (1 - z)\ -
- 2 Bi $ [p„ cos ряг + Bi sin pnz)} <ГР"\ (2.95)
где Prt — ненулевые корни уравнения (2.92). Здесь, в зависимости
от выражения для удельной плотности джоулева тепла (2.73), (2.79)
oE20h* Н2
или (2.85), Tj соответственно принимает значения 2к » ^oU2
или
2Х *
В этом случае при теплоизоляции на основаниях (Bi = 0)
+ 2y* У (- 1)" созпя(1~г)2 е-"Ц, (2.96)
а при идеальных условиях теплоотдачи
Г = Г^{1-г-2(сЬ-Ц^-со3-Ц^)е-п_
ОО
- 2Y* S 2 .{"У, 2, Isin (1-г) n2n2-4/22n2^Y*sin л2я2г] е~пгпН
Определение температурных напряжений. Температурные
напряжения при нагреве по толщине находим из соотношений (2.59)—
(2.62), (2.65)—(2.67). Учитывая, что температурное поле
изменяется только по толщине, получаем
Огх = огг = 0, (2.98)
46

щЕ
°хх 1 — V
■Т + Ьгг + Ь19
иУУ
_^£^T + v(biZ + bd + Ефз2+Ь^
(2.99)
(2.100)
Для слоя, края которого свободны от внешних усилий и
моментов, граничные условия имеют вид
1 1
j axxdz = j oyydz = 0,
0 ° (2.101)
l l
J \2 ¥) G**dz = J \z 5") °^dz = °"
о 0
Подставив выражения (2.99), (2.100) в формулы (2.101), полу-
чим
о
(2.102)
Компоненты ахх, ауу температурных напряжений принимают вид
cos—J—+
<*х, (*, т) = аю {г, т) = -^i {— ch i^ +
+ "¥■ ["^ [sh ?* — sin V») — ch Т* — cos Y*] +
+ ■4- —"Г^(*Т* —sinY*) + chv» —cosy» —
■ 2 -& t- /C (P„, ^) + 12zY^7lf) + 6тГ2^2)] «""И (2. ЮЗ)
где
т(1) —
■« n —
2p„
(2 Bi2 - р^Г1) sin pn + p„Y.-' (2 - Biap„) cos p„
—^(2 + P„)
T(2)
зр„
-|a- (BiaY, - 3) cos p„ + -§s- (3 - Bia Y.) -
-(P2Yr1+3Bia)sinPj.+ 27,J
•d)
Для слоя, края (x ->■ ± oo, y->± oo) которого жестко
защемлены, граничными условиями будут первые два условия (2.101).
Определив из них произвольные постоянные в соотношениях (2.99),
47

{2.100), получим /
<*~ = °уу = ~Г=Т [Т* W - Т & ХК> Ti = Iг («. т)dz* <2-104)
о /7
При жесткой заделке краев граничные условия запишутся так:
ехх = еуу=0 при *-*±оо, у-+±оо. (2.105)
В этом случае из формул (2.99), (2.100) найдем
°хх = °уу = Sr Т (*• т)« (2. Ю6)
№ 0,8 f
На рис. 5—7 представлены результаты исследования
температурного поля и напряжений в слое при индукционном нагреве
электрическими токами постоянной амплитуды /0, расположенными
в плоскости z = — z0. Коэффициенты теплоотдачи на основаниях
слоя z = 0; 1 приняты равными: Bix = Bi2 = Bi = 0,2. Значение
/0 выбиралось так, чтобы в установившемся тепловом режиме на
поверхности слоя со стороны индуктора z = 0 обеспечивалось
заданное значение температуры Т^.
На рис. 5 показано распределение температуры по толщине слоя
для различных значений времени т при двух значениях у# = 10
(сплошные линии) и y* = 1 (штриховые линии). Отметим, что у* =
=■ 10 соответствует толщине слоя, в 10 раз большей абсолютной
глубины проникновения джоулева тепла (приповерхностный нагрев),
при -у* = 1 глубина проникновения имеет тот же порядок, что и
толщина слоя. Из приведенных результатов видно, что в первом случае
имеет место значительная неравномерность температурного поля по
толщине, во втором случае температурное поле по толщине
изменяется мало.
На рис. 6 показано распределение безразмерных температур-
(1— \)охх (1— у) о
ных напряжений а* = —^-^— = — аЕТ по толщине жестко
защемленного слоя в случае приповерхностного нагрева (у^ =■ 10)
48

для различных моментов времени. Из приведенных графиков
следует, что на протяжении всего нагрева на более нагретой
поверхности z « 0 имеют место сжимающие напряжения, на
противоположной поверхности 2=1 — растягивающие. Уровень этих
напряжений возрастает со временем. Значения напряжений в
установившемся тепловом режиме близки к значениям при т = 100 и
поэтому на рисунке не приведены.
Распределение температурных напряжений по толщине слоя,
свободного от силовой нагрузки на краях, в случае
приповерхностного нагрева приведено на рис. 7, а. Как видно в рассматриваемом
случае, в начальный период нагрева температурные напряжения на
поверхности z = 0 сжимающие. В процессе нагрева они меняют
знак на противоположный и достигают наибольшего значения в
установившемся тепловом режиме.
Распределение напряжений а^в случае жесткой заделки краев
слоя, согласно (2.106), с точностью до знака совпадает с
распределением температурного поля (см. рис. 5).
На рис. 7, б представлено распределение температурных
напряжений по толщине для установившегося теплового режима. В
рассматриваемом диапазоне изменения у* максимальными по величине
напряжениями будут растягивающие. Они достигаются на
поверхности z = 0, и их уровень практически не зависит от значения у*.
С увеличением параметра у* уровень температурных напряжений
на противоположной поверхности слоя (z = 1) стремится к нулю.
Таким образом, из приведенного анализа видно, что характер
распределения и величина температурных напряжений в слое
могут существенно изменяться в зависимости от условий закрепления
и характера распределения джоулева тепла по толщине. В случае
4 7-102
49

поверхностного распределения джоулева тепла уровень напряжений
больше, чем в случае распределения по толщине, близкого к
равномерному. Для жесткой заделки краев слоя их уровень выше, чем
для защемленных и свободных. В установившемся теплбвом режиме
в случае приповерхностного распределения удельной плотности
джоулева тепла уровень максимальных температурных напряжений
практически не зависит от толщины слоя.
3. ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОЯ
В КВАЗИУСТАНОВИВШЕМСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Обобщим полученные выше решения на случай электропроводного
слоя, находящегося в квазиустановившемся электромагнитном
поле.
Приведем принципиальную схему построения решений при
заданном на поверхности слоя векторе напряженности
электрического поля Е{® = {0; Е (t) Е0 (х) еш\ 0} переменной во времени
амплитуды.
Трансформанта Фурье по координате х от функции
напряженности электрического поля Е* (х> z, f) = Е^ (х, z, t) еш согласно
соотношению (1.51) будет
Д*(Ь *> t)=E(t)E(l z), (2.107)
где функция Е (g, z) определяется формулой (2.16).
Напряженность электрического поля по трансформанте Фурье
£** (5> г» 0 находится по формуле обращения
00
Е* (х, *, /) = -Щ I Ё (£, z) e-^db (2.108)
Усредненная во времени по периоду колебания
электромагнитного поля /^ = удельная мощность джоулева тепла Q =*
2я
СО
= -тр- ) Q*dt в пренебрежении изменяемостью функции Е (f) в
6
пределах периода усреднения на основании формулы (1.62)
запишется в виде
Q (*, z, t) = Ф (О Q (*, *), ф (0 = £2 (/). (2.109)
Здесь Q (х, z) определяется выражением (2.19).
Найдем температурное поле Т (х, z, f) для условий
теплообмена на основаниях z = 0; 1с внешней средой, температура которой
постоянна и равна начальной температуре слоя.
50

Применяя конечное интегральное преобразование по координа-
те 2 и преобразование Фурье по х для трансформанты Тп (g, т) от
температуры Т (х, z, t) аналогично (2.41) получим уравнение
4r + (fn + li)Tn=h2(p(t)^(l) (2.110)
и начальное условие
Тп(1, 0) = 0, (2.111)
где Т"п и Qn определяются формулами (2.43). Решение уравнения
(2.1Ю), удовлетворяющее условию (2.111), имеет вид
х
Tn = ^QnО I ФК) Г<Э''+|!)(Т^Т)dt„. (2.112)
о
Выполнив обратные преобразования, найдем
оо
Т (х, г, т) = -+=- J e-bf (g, г, т) d\. (2.113)
Здесь
Т{%, г, т)-£ ?п(1,ч)КФп,г) f (2ЛИ)
а К (Рп> 2) и Bl определяются формулами (2.44), (2.49).
Температурные напряжения, соответствующие конкретному
способу закрепления краев, находятся по формулам (2.58), (2.59) о
использованием соотношений (2.65), (2.67).
Аналогичным путем можно записать формулы для определения
полей джоулева тепла, температуры и напряжений в слое, когда на
основании z = 0 задан вектор напряженности магнитного поля или
внешние токи в вакууме.
Приведем решение для случая одномерной задачи при
индукционном нагреве слоя по толщине системой электрических toKdfc
/• = {0; 1оеШ в (z + z0)»0} постоянной амплитуды, расположенных
в плоскости z = — z0 [72].
Согласно соотношению (1.62) с учетом (2.84) получим
^,(0 q^ + cos -4т
vv ' ; 2 ch у* — cos y* * ^.lio;
Температурное поле, соответствующее распределению
джоулева тепла (2.115), находим по формуле (2.113), принимая TL(g, г, т) =*
= -pUr(Z, Об®. При этом
Г (2, т) = Г* 2 ^ДГЙ (г) J /2 (т0) Г*То~~х) dx09 (2.116)
tal
4*
51

где <7,л определяется выражением (2.89);
Т (z) = Pn tBl, sin р„ (1 - г) + р„ cos р„ (1 - г)] , . п
" 2р„(Й + Вф + (р»-Вф81п2рж + 4ря81п«К; '
г ^/^4
У* 2Х (ch y* — cos v«) '
Р„ — корни трансцендентного уравнения
ctgB= P2-BjiBi*
(2.118)
(2.119)
Определим температурные напряжения в свободном на краях
от силовой нагрузки слое. Тогда согласно выражениям (2.102)
atE
где
-"«-—-TZ—T + b.z + b,,
Ь~№т1{-±)тм*
(2.120)
(2.121)
о
Используя формулу для температурного поля (2.116), находим
X
+ 67Г2
i- (sh v* + sin vJ — ch y* + cos v.] +
— -o- V* (sh Y* + sin y*) + ch y*
3 f*
— cos?*] —
-э!х
- S <7*Л*Рп~2 [- У» (2) + 1277*2712 + &£*!%] e n \, (2.122)
tl=\
где
5П* =
T^> — R T<!> T<2> — R T(2)-
4
(2.123)
, (2.124)
2P* (P* + Вф + ф2 - Bi2) sin 2|3Л + 4prt sin* рЛ
а Тд\ 7^2) определяются формулой (2.103).
Подобным образом можно получить искомые решения в случае
индукционного нагрева по толщине слоя при заданном на
поверхности векторе напряженности электрического или магнитного поля.
52

4 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Рассмотрим задачу об индукционном * нагреве электропроводного
твердого тела, занимающего область г > О (рис. 8), где ху у, z —
безразмерные координаты (отнесенные к характерному размеру h
декартовы координаты). Пусть на поверхности тела задан вектор
напряженности электрического Е® = {0; Е0 (х) ё®*\ 0} или маг-
N*
I
'ч
1 /
/
У
нитного #*0) = {0; Н0 (х) еш\ 0} поля. Найдем электромагнитное
поле, распределение джоулева тепла, температуры и напряжений,
возникающих в области тела.
Аналитическое решение сформулированной задачи можно
получить путем предельного перехода в найденных выше результатах
для электропроводного слоя. Здесь приводится решение этой
задачи на основании системы уравнений и граничных условий,
записанных непосредственно для полубесконечного тела.
Определение электромагнитного поля для области
электропроводного полупространства, как это следует из первой главы,
сводится к решению краевой задачи для рассматриваемой области при
заданной напряженности электрического или магнитного поля при
z = 0 и ограниченности решения при z -> оо.
При заданном на поверхности полупространства векторе
напряженности электрического поля . £<0) = {0; Е^д = Е0 (х) еш\ 0}
задачу следует решать относительно функции Еу (х, z, t) =
= Е (x,z) еш. Функция Е (а:, г) должна удовлетворять уравнению
(2.2), условию затухания на бесконечности и быть равной Е0 (х)
при z = 0. Применив к уравнению (2.2) преобразование Фурье,
найдем
Ё = С^е* + C2er*, (2.125)
где I, как и выше, значение корня ]/g2 — k2 с положительной
действительной частью; k2 = — i\i(uoh2.
Из условия затухания поля при z ->■ оо получим
Ё**С%ег*. (2.126)
53

Определив С2 из граничного условия при z = О, найдем /
Ё = ~Е0(Ъ)е-», (2.127)
где Е0 (I) — трансформанта Фурье функции Е0 (л:),
оо
£0(i)=-pL-j E0(x)e<l*dx.
г- Трансформанта Фурье от удельной мощности джоулева тепла,
выраженная через трансформанту напряженности электрического
поля согласно формуле (2.18) запишется так:
2у2п — (2.128)
Здесь черточкой над буквой обозначены комплексно-сопряженные
величины. Формула для удельной мощности джоулева тепла,
представленного через трансформанту напряженности электрического
поля, имеет вид
оо оо
-~-~ (2.129)
При заданной на поверхности z = 0 касательной составляющей
напряженности магнитного поля ##i, (л:, t) = Я0 (л:) е/со'
аналогично получаем
Я=Я0©е-* (2.130)
Функция Я (л:, г) находится по формуле обращения:
оо
Н (*, z) = -^=- J Н «, г) <Н^. (2.131)
В данном случае трансформанта Фурье от функции Q (ху г)
(джоулева тепла) согласно (2.26) — (2.28) будет
оо
Q(g, Z) = _L_ J {у[{1 _ ^i _ ftij $ _ £) + |o (| _ g0)] X
X Я„ft-S0)ЙЦй)e#<*-Ы«-*чУ£3]гd|0> (2.132)
а функция Q (x, z) может быть найдена через трансформанту Q по
формуле обращения, аналогичной (2.131).
Определим электромагнитное поле в электропроводном
полупространстве, созданное системой внешних токов, параллельных
оси у к не меняющихся в ее направлении, т. е. при плотности токов
в индукторе, заданной в виде /^0) = {0; /(0) (л:, z)ei(0t\ 0}.
Трансформанта Фурье функции напряженности электрического поля опреде-
54

ляется по формуле (2.126), где коэффициент С2 находится на
основании первого условия (2.37):
оо
Здесь
Тогда джоулево тепло вычисляется по формулам (2.128), (2.129).
Для квазиустановившегося режима, когда заданы касательные
составляющие напряженностей электрического ЕшУ = Е (f) Е0 (х) еш
или магнитного НшУ = Н (t) Н0 (х) еш полей на поверхности слоя,
выражение для удельной плотности джоулева тепла получаем,
умножая Q, представляемое формулой (2.129), на Е2 (t) или Q,
представляемое формулой (2.132), на Н2 (t). Если заданы внешние токи
у(0) = {о; jQ) (^ Zy t) e j (/) у«» (^ 2) £/со;; о}, то выражение для
удельной плотности джоулева тепла получаем, умножая правую
часть формулы (2.129) на /а (f).
При определении температурного поля положим, что на
поверхности 2 = 0 полупространства имеет место конвективный
теплообмен с внешней средой, температура которой равна начальной
температуре полупространства, а при z -* оо тепловой поток равен ну-
лю, т. е. -у = 0.
Температурное поле находим из уравнения теплопроводности
АТ+^ ==-§•• <2-134)
начального
и граничных условий
дт
Г = 0 при т = 0 (2.135)
- BIT = 0 при г = 0;
дг
-fcT = 0 при z->oo.
(2 Л 36)
Здесь т = -2-5 критерий Фурье; Q = Q (х, г) определяется
формулой (2.129) или (2.132), если на поверхности г = 0 задана
касательная составляющая напряженности электрического или
магнитного поля, и формулой (2.129) с учетом (2.133) в случае, если заданы
внешние токи.
Для квазиустановившегося режима
Q(x, z, /) = Ф(/)<Ж г),
ГДе функция ф (t) соответственно равна Е2 (/), Н2 (t) или /2 (/).
55

Не уменьшая общности рассуждений, в дальнейшем ограничимся
рассмотрением термоупругого состояния полупространства, Которое
находится под воздействием квазиустановившегося
электромагнитного поля, обусловленного внешними токами [73], т. е. будем
исходить из джоулева тепла
оо во
Q(x, г, ()=-±-оГ® J {£(£-&,, z)£(b,*)e-'UtfE0dg. (2.137)
— во О— 00
Здесь Е (g, z) определяется сотношением (2.133).
Для нахождения температурного поля применим к уравнению
(2.134), начальному (2.135) и граничным условиям (2.136)
преобразование Фурье по координате х и преобразование Лапласа по т.
Получим уравнение
** ?Т = -Я»& *, *) (2.138)
dz2
и граничные условия
dT
dz
dT
где
Bi Т = 0 при z = О,
. 0 при z->oo,
(2 Л 39)
L(l, *, ?) = ^j/2W^T j £(Е-Ь, г)Е&, *)*,
q2 = t2 + s.
Решая уравнение (2.138) при условиях (2.139) и переходя к
оригиналам, находим
a-\-too со
Г (л:, г, т) = —4^дг J" e^ds j Т& г, e)e**dg. (2.140)
Здесь
Т (I z, s) - -^L L-" { J^ (g, л, s) endri +
во "1 оо \
+ ТТ1Г I ?** & Л, s) е-*»*] + е'г j L (g, П, «) е-*адЯ . (2.141)
6 J Z J
При определении температурных напряжений предположим,
что напряженно-деформированное состояние не зависит от
координаты у (плоская деформация) и что поверхность полупространства
z = 0 свободна от силовой нагрузки. Тогда граничные условия
запишутся так:
ОгХ = Огг — 0 При Z « 0. (2.142)
56

Отличные от нуля составляющие тензора напряжений аХХу azx,
Czz, <з уу найдем, используя их представление при помощи
термоупругого потенциала Ф и функции Эри U (см. § 1 данной главы).
Применяя прямое и обратное преобразования Фурье и Лапласа и
используя трансформанту Фурье — Лапласа температурного поля (2.141),
получаем
JLJL ахх(х, г, т)=4г1.Ifc+f
(г + Я)
—оо О
X
етс, л, т)
d£2
+ <*-*> ff=
1
(*-i)* + (z-*tfa
+ (*-|)2
+
X
_(1-V) g /v Z T)-_L f (7 ^g-«) w
—«. 0
X
X
W(6, t|, т)
aga
эт-С. Л, т)
+
Г г — Ti
l(*-Ti)2 + (*
I)2
+
г + Л
(г + Л)а + (ж — |)а
0-у) g /x , T)__L f f fcfr + n) x
—oo о
if *Г(£, Л, т) . . nr 1
x a|2 -t-i* У[ (х_э. + (г + ч).
1
Wffi, Л. т)
*К*Ь
(*-?)* +(г-Л)а I dl
«<£
X
агг(|, л, т)
— 00 0
ar (g, t|, т)
dt|dg-
(2.143)
ag2
-7(*. г, t).
Соотношения (2.143) определяют температурные напряжения,
соответствующие температурному полю (2.140).
Решим задачу для случая периодического по координате
электромагнитного поля. Пусть на поверхности z = О электропроводного
полубесконечного тела (рис. 8) задан вектор напряженности
электрического поля Ё™ =» {0; Е0 cos £0 хеш; 0}. Учитывая, что транс-
форманта Фурье функции Е0(х) =• Е0 cos l^c имеет вид [24]
Е0(1)
^°[б(1 + |о) + 6(5 -I*)].
(2.144)
57

и выполняя обратное преобразование Фурье в формуле (2.127),
находим
Е(х, z) = E0e~lzcos%0х, I = V%-k\ (2.145)
Джоулево тепло, согласно выражению (2.129), будет
2
Q=q01e 6e(l + cos2£0*), (2.146)
где
<7oi = -^п-; б0 - А = s0, (К^4 + l + <*2Г1/2;
(2.147)
S0* = (2[icoa/i2)~1/2; d = K2£060}f,
Величина б0 определяет глубину проникновения джоулева тепла,
т. е. расстояние от поверхности полупространства z = О, на
котором удельная мощность джоулева тепла в е раз меньше ее значения
на поверхности. Как видно из формулы (2.147), глубина
проникновения зависит от частоты изменения во времени внешнего
электромагнитного поля и свойств среды (параметр fioj, а также от параметра d,
характеризующего изменение заданного поля в направлении оси х.
Отметим, что глубина проникновения индукционных токов 6* —
= 2б0. В случае нагрева полупространства только по толщине
(1о =* 0) глубина проникновения джоулева тепла записывается в
виде
ео = б0нс=(2исоа/12Г1/2, (2.148)
т. е. полностью определяется физическими характеристиками
материала и заданной частотой электромагнитного поля, а удельная
плотность джоулева тепла —
пт# L-
Т
На рис. 9 представлена зависимость глубины проникновения
джоулева тепла б0 от параметра б0Нс = (2^coa/i2)~1/2 при различных
значениях d a *° . Как видно из приведенного графика,
глубина проникновения джоулева тепла с возрастанием параметра d,
характеризующего период изменения поля в направлении оси х,
уменьшается, т. е. нагрев становится более приповерхностным.
Из формулы (2.147) следует, что при d<0,l (go < 0,1а|яш/*2)
относительная глубина проникновения б0 практически (с
точностью, большей 1%) совпадает с ее значением для случая
заданной постоянной по координате х напряженности
электрического поля, т. е. б0 = б0л = , .При &> 4 с точностью, большей
1%, имеем 60«-,£-. Отметим также, что мощность тепловыделе-
Q^^-e бо\ (2.149)
ift

ний максимальна в сечениях * = -г— (п = О, 1...) и равна нулю
при х = |J-(-J- + Ля) (&=0, 1...).
При заданной на поверхности 2 = 0 гармонической по
координате х касательной составляющей напряженности магнитного поля
Ц^у = #0 cos ЕоЛВ** учитывая (2.144), из формулы (2.131) находим
Н {х, г) = Н0е-12 cos %0х. (2.150)
Рис. 9.
'13 5
Из соотношения (2.27) получим
г
Q = <7o2/~e°(^+d!cos2io*),
7 <U«>2m
(2.151)
где
<702 =
"2о
(и©Я|
8а6^а
1; dj = У\ + rf* + d2>d2 e j/"i + #_d2.
Для постоянной по координате х напряженности магнитного поля
имеем
г
Q = 2q02e V (2.152)
При периоде изменения электромагнитного поля в направлении
оси ху значительно большем параметра 60:f:, т. е. при d ^> 1, удельная
плотность джоулева тепла с достаточной точностью будет
г
Q = 2q02d2e~2l\ (2.153)
Найдем также распределение джоулева тепла при индукционном
нагреве полупространства индуктором, плотность токов в котором
равна 7i0) = {0; /0б (г + z0) cos 10хе"»- 0).
59

В данном случае из формулы (2.133) для функции
напряженности электрического поля найдем
Е(z>х)- S+wе~иг'-,гcosь* ' (2-154)
Удельная плотность джоулева тепла, соответствующая
напряженности (2.154), будет
г
Q = q^e-™* (1 + cos 2%0х) = q03e б° (1 + cos %*), (2.155)
где
..^;2i,2
<7оз =-
<7оз =•
dJ + 4 + ЭДА
Л2 I л2 I ОЛ Л
при *J > g
при g>A»
(2.156)
(2.157)
Здесь
d3 = Re / = -J- [(d« + 1)*'' + d']v«;
26,
-*vi
#. <
[xcoa/i2
Из приведенных формул следует, что удельная плотность
джоулева тепла при kl > $ не зависит от расстояния z0 от
полупространства до индуктора.
Учитывая в формулах (2.140), (2.141) выражения для джоулева
тепла (2.146), (2.155), находим температурное поле
Т (*, г, т) - qT [Т[ (0, г, т) + Т[ (2£0, г, т) cos ад. (2.158)
Здесь функции Г1 (0, г, т) и Tj (2g0, г, т) определяются из
соотношения
(Y? - Л2) Т\ (л, г, т) = (y* + Bi) [щ^ ^ erfc х
X (-V - Л V^l + Bi(Y«~"T|,) <>в| H-CBi-^i-yi х
\2/т J' ^ (Bii-fii)(Bi»-$
у erfc / z _i- Bi l/xl 1 fi-v»z+(v2-^fK у
XerICU>^ +bl,/TJ 2(В1 + ъ) * X
XenCU/T У*УТ) 2(Bi-v) * X
60

X erfc I
2/т
+ V>
Yt)
1
2(В1-Л)
e№ X
X erfc (■ ..
Z + Л 1^)1 — e~v*2 [ 1 — eCv*"^,,)T] (2.159)
соответственно прит] = 0 и rj = 2g0; ?г = ^ (/ = 1, 3), где q0\
представляется формулой (2.146) при заданной напряженности
электрического поля на поверхности, а <7оз — формулами (2.156), (2.157)
при задании токов в индукторе.
Рис. Ю. $
Щ
* 8
В случае, если на границе полупространства задается
касательная составляющая напряженности магнитного поля, выражение для
температурного поля записывается в виде
Т(х, z, t) = qT[d\ri(0, г, 4) + dlT\(2t(h г, t)cos2£0*], (2.160)
где Т\ (т|, г, т) (т) = 0; 2£0) находится из соотношения (2.159); qT =
1
к
к
\
kb
V5
/2
Bi'O
Температурные напряжения определяются по формулам (2.143),
если подставить в них полученные выражения (2.158), (2.160) для
температурного поля, и записываются так:
°«(х, г, т) = -^у [q^ [<r**F?> (0, z, т) +
+ е21»2^ (г, оо; т) + (3 - 4£0z) <Г2|°* х
Х/^ГЧО, оо, T)]cos2£0* — П*. z, т)};
о«(х, г, т) = 1-v
[e-2|„zFW(0> г. T)_e2?.3x
X F^ (г, «>; т) + (1 - 4|0z) е-25^-»(0, оо; т)] sin 2g0x;
«« (*. ^ т) = - Jg£- 1*"-Л+) (0, г. т) + е2Ь* х
(2.161)
61

X Fp (г, оо; т) - (1 + 4?02) e'^/f }(0, оо; т)] X
X cos 210х;
оуд (*, г, т) = ^ [4v£0 (1 - &,г) <7ге-2^ (0, оо; т) х
X со521оХ—Т(х, г, т)].
Здесь
+
+^%Г^(а- Р: 17Т- ±2^ ±*b) +
(Bi*-Y2)(Bi*-4$ ТЧ 2/т ™)
__^-4|2°Ч(а> ft -5^=-. -y*T^. -т.± 2ь) -
T(V2-4|?)
2(Bi
ч,2 At&
где
+ —i-=r- (1 - eT(v "4|о)) [eP(±2^v,) _ в«(±2б.-т.)]э (2.162)
г|)0(а, Р; ft, с) = (Р—^) erfc <№ + с) - (а- ^Jj erfc(aft + c);
% (а, р; ft, с, d) = -J- [erfc (ftp -f с) е^ — erfc (aft + с) e*d] —
Ц /2~*2 [erfc (ftp + /g - erfc (оф + /г0)], л0 = 2bc~d .
Полагая в формулах (2.158) — (2.162) g0 = 0, получаем выражения
для температурного поля и напряжений при индукционном
нагреве полупространства по толщине:
2?г ( y* + Bi
Bi
Xerfc(-i^+Bi^)-Te
erfc—*—=■— еВ1(г+В1т) х
2fx
1 r-v.<*-v«t) erfc/ г
U/т V*
Bi + V,
2(Bi-V»)
2 j
X ев»<г+и*> erfc (—^=- + Bi j/т] 1 — er** (1 — eV)[,
Oxz = Огг = 0, Oxx — Суд ~ f^v" ^'
Ы
(2.163)

Приведем результаты численных исследований температурных
напряжений в случае индукционного нагрева полупространства по
толщине.
На рис. 10 показано распределение температурных напряжений
для различных значений Bi при % = 0,1; 1,0; 10 (соответственно
кривые U 2> 3), Здесь о# = 2а~Еа °хх* В качестве
характерной длины h выбрана глубина проникновения джоулева тепла б =
1 ,
= , что соответствует y* = 1-
У 2(Ы(оа
Как видно из рисунка, при теплоизоляции (Bi = 0) поверхности
полупространства z = 0 наибольшие напряжения возникают на
этой поверхности и их уровень возрастает со временем. При наличии
теплообмена с внешней средой (Bi Ф 0) точка, где температурные
напряжения достигают максимального уровня, расположена
внутри полупространства и со временем перемещается вглубь. При этом
максимальное значение напряжений возрастает.

ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ
БИМЕТАЛЛИЧЕСКОГО СЛОЯ
В ПЕРИОДИЧЕСКОМ /
ВО ВРЕМЕНИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Элементы тонкостенных конструкций типа биметаллических
пластин находят широкое применение в инженерной практике,
особенно в машинах и аппаратах для работы в агрессивных средах. В этой
связи для разработки рациональных схем и режимов индукционной
термообработки таких элементов конструкций представляется
весьма важным исследование температурных полей и напряжений,
возникающих под воздействием периодического во времени
электромагнитного поля.
Настоящая глава посвящена решению задачи об определении
электромагнитного поля, полей джоулева тепла, температуры
и напряжений в биметаллическом слое, который находится
в установившемся периодическом во времени
электромагнитном поле.
Термоупругое состояние определяется в квазистатической
постановке. При этом предполагается, что в области контакта составных
слоев имеют место идеальные условия теплового и механического
сопряжения (1.78), (1,79).
Выполнены исследования распределения джоулева тепла,
температуры и напряжений в зависимости от характеристик
материала и толщин составных слоев, а также схем индукционного
нагрева.
§ 1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла.
Рассматривается биметаллический слой (рис. 11) толщиной /i, на верхнем
основании z = — hx которого задается вектор напряженности
электрического Е{® = {0; Е0 (х) еш\ 0} или магнитного Н{® =
= {0; Н0 (х) еш\ 0} поля. На нижнем основании г = h2 слой
контактирует с диэлектрической средой, которая принимается в
приближении вакуума.
Если задается напряженность электрического поля, то в каждом
из слоев [области (/), (2)\ и вакууме [область (0)] отличными от
нуля будут составляющие напряженности ЕтУ (х, г, t) = Е (х,
z) ешх электрического поля и соответствующие #,*, Н%г
составляющие магнитного поля.
- ГЛАВА 3
«4

Из уравнений (1.53), в пренебрежении токами смещения в
области биметаллического слоя, следует, что функции Е (х, г) в каждой
из областей удовлетворяют уравнению
Д£(/) + k)E{I) = О (/-0,1,2), (3.1)
где $ =а —гнусью (/ = 1, 2), &о = So^o^2- При этом уравнение
div £(/) = 0 удовлетворяется тождественно. Индексы (0), (1), (2)
введены для обозначения величин, относящихся соответственно к
областям вакуума и слоев.
Рис. 11.
Граничные условия в рассматриваемом случае имеют вид
Е* (*, - /у = Е0 <*), Е« (*, 0) = £<2) (*, 0), »*" £' 0) =
__ н дЕ&)(х>0)
М<2 °Z /О О)
pTO/v л\ p(0)/v л \ а£<2) (*, h2) __ fia а^ (х, h2)
£ (*» Л2) = h (*» "2)» Jy = Т. Ту ♦
Но
lim | £(0) (*, z) | = const, lim [ д^\(х' г) + ikQE{0) (х9 г) 1 = 0. (3.3)
Для решения сформулированной задачи используем
интегральное преобразование Фурье по координате*, определяемое формулами
во
1
£("(|, г)=-
/2л
Вп (х, г) =
J Еф(х, z)e**dx,
— оо
(3.4)
/2я j^
Тогда уравнения (3.1) и граничные условия (3.2), (3.3) примут
вид
d*~E{!)
dz*
/?£(/)=0, /?=£2-&? (/ = 0, 1, 2),
•d)
£(I)(5, -AJ-=£o(g); ^'(Ь 0)-£w(fc 0),
= э® -
rf£(1) ffi. 0)
цх rfff2) g. 0)
7(2)
Hi
<fe
; £w& ftj-^u*.).
S 7-102
(3.5)
(3.6)
65

<*g(2) (I, h) _ m dEP>(l, ft2)
dz щ ciz
lim|F0)(|, r) | = const; lim
^£^- + lkj*b4
= 0. (3.7)
Рассматриваемая контактная задача для системы биметаллический
слой — вакуум, как и в предыдущей главе, может быть сведена к
решению краевой задачи для области слоя при граничном условии
(2.12) на поверхности z = /i2, т. е. к нахождению решений
уравнений
J^. ^=0, 1) = ?-Щ (/=1,2), (3.8)
удовлетворяющих граничным условиям
& (I, - ЛЛ = Ё, ®; ^> (I, 0) = £(2> (1,0),^§^ = f ^|^>;
d^thi) + -£- а<2' & /у = о, /о = У¥=Ц.
Решение уравнений (3.8), удовлетворяющее условиям (3.9),
запишется в виде
£(1> = i0Ax \[(de f 1) цее-2'А + dt- 1] e'.«-
- Ш - 1) |МГа'Л + dt + 1] е-'>г}, (3.10)
£(2) = 2-Ё,,^ [(хее—/=(h*—z> — e'^'-v] • е-'«Ч
Здесь
AT1 = е-'А [(4 + 1) цее-2'Л + 4, — 1] —
— e''ft. [(d, — 1) fy?-2'A + d, + 1];
J _ И^2 . __ ^2^0 ^~ И(Л .
* |l2/i ' ™ ' ц2/0 + |^0/2 '
lj = yl2 — k2j (/'= 1, 2).— как и ранее, значение корней с
положительной действительной частью. Функции. £(1) (х, z) и Е{2) (х, z)
находятся по формулам обращения (3.4).
Удельная плотность джоулева тепла, усредненная по периоду
колебания электромагнитной волны, согласно формуле (1.63),
запишется так:
qW=^e{I)(x, z)E{I)(xy z), (3.11)
где £(/) (х, z) — комплексно-сопряженные с Е{1) (ху z) функции.
Из выражения (3.11), с учетом непрерывности напряженности
электрического, поля на поверхности спая, следует^ что.при перехо-
66

де через границу контакта слоев джоулево тепло изменяется
скачкообразно. Величина скачка AQ12 будет
AQ12 = -
^1~СГ2 л+
<й\
(3.12)
где AQ12 = Q7- Qt\ Q7 = Q(1) (*, 0 - 0), Q? = Q(2) (*, 0 + 0). При
этом для ах > а2 имеем AQ12 > 0, для о1 < а2 будет AQ12 < 0.
Отметим, что в зоне контакта отношение граничных значений
джоулева тепла определяется отношением коэффициентов
электропроводности материалов составных слоев:
— ^2 _. J!l
Ц~ Q7~~ °1
(3.13)
Аналогично тому, как это сделано для одного слоя (см. § 1 гл. 2),
для нахождения трансформанты джоулева тепла применим
преобразование Фурье к правой части выражения (3.11). С использованием
теорем о свертке получим
со
Q<» <gt г) = -£±=- \ E(i) (£ - &,, г) £(/) &, г) dgo- (3.14)
Тогда формула для удельной мощности джоулева тепла, записанная
через трансформанты Фурье напряженности электрического поля,
будет
оо со
Q(i) (х, г) = -g- J ( Ёф <g - &,. г) £(/) &, г) е-*!* dgodg. (3.15)
—со —со
При заданном на поверхности z = — /i2 векторе напряженности
магнитного поля Я(+0) = {0; Я0 (л:) еш ; 0} естественно исходить из
уравнений электродинамики, записанных относительно
напряженности магнитного поля. Тогда отличная от нуля составляющая
напряженности магнитного поля НщУ (х, z, /) = Н (х, z) еш*
удовлетворяет уравнениям
ДЯ(/) + k)H{i) = 0 (/ = 0, 1, 2) (3.16)
и граничным условиям
tf<V -hl}=H0(x), Н*(х, 0)=Н®(х, 0), i^if^U
dz
а1 дН{2) (х, 0)
02 dz
Д* (х, /ц) = Я<°> (х, /У, ^^- = -^ *^- ,
Нщ | Я(0) (х, г) | = const, lim! dHi°\[*' г) + ik0Hl0) (х, г)] = 0.
2-*со 2_).со L 0Z J
} (3-17)
67

« Применяя преобразование Фурье по координате х к уравнениям
(3.16) и граничным условиям (3.17), с учетом второго граничного
условия (2.24) приходим к определению функций Ни) ц& системы
уравнений
**£_-&&-0 (/=1,2) (3.18)
для области электропроводного тела при следующих граничных
условиях:
Н" (В, - hx) = Нй ©, Я<" (1, 0) = #2> (|, 0), «*»£' 0) =
- £1. ^/' °> , (3.19)
<W(2>(S, *,) + _gA_#2)(S ft2) = 0.
Решение уравнений (3.18) при условиях (3.19) имеет вид
Я(,) = Н0А2 {[(dm + 1) ^в-а* + dm_ 1] ^ -
- [0т - 1) *W?-2/'"' + 4 + 1] *-"}, (3.20)
Я(2) = 2Н0А2е'1^ [11те-1^~* — е1^-%
где
ЛГ1 в ^Л [{dm + 1} ^-2/А + dm _ J] _
- е'«\ [(4 - 1) и^е-ад. + dm + 1];
Um а2/, • ^m а2/0 + /е0а)/2 • *' У € *'*
Функции Я(/) (л:, z) (/ = 1,2) находятся по формулам
обращения
оо
Нф (х, г) = -*=г { Я(/) (I, z) e-^dg. (3.21)
Функция напряженности электрического поля £(/) (х9 z)
определяется через Я(/) (х, г) по формуле (2.26) следующим образом:
Тогда согласно формуле (1.63) для джоулева тепла получим
ой _ 1 / ая</> з№ , ая</> ая</> \

Трансформанта Фурье от функции Q(/) аналогично (3.14)
запишется в виде
Q(f) = 1_ [ Г aff» (£-&,, г)
2V2KO, J L дг
X
X dHii)t Z) +%o(Z- So) H(I) (I - Бо, z) ft» (b, *)] db- (3.24)
Соответствующее выражение удельной мощности джоулева тепла
через трансформанту напряженности магнитного поля Я(/) имеет
вид
ОО ОО
X
аЯ(/)а?0> г) + Бо (Б - Бо) #(/) (Б - Бо, г) Я(/) (Бо, г)
е-<£*«. (3.25)
Определение температурного поля. Предположим, что
биметаллический слой находится в условиях конвективного теплообмена
с внешней средой, температура которой равна начальной
температуре слоя.
Температурное поле T{f) (л;, z, f) в каждом из слоев
удовлетворяет уравнению
QW (*, г) __ 1 дТМ
ДТ(/) +
cif dt
(/ = 1, 2),
(3.26)
г</>
начальному условию TU) (х, z, 0) = 0 и граничным условиям
dz
n(D
-hj*1)(x9 -К o = o, к
дТ{1) (х, 0, t)
dz
= К *"{%0'*> , 7*>(Ж,0,0 = 7^(*,0,0.
аг(2) (х, /i2, /)
п(2)
аг
+ Н2Т"(х, К 0 = 0.
(3.27)
Здесь Q(/) (х, г) определяется формулой (3.15), если на поверхности
z = — /i2 задана касательная составляющая напряженности
электрического поля, и по формуле (3.25), если задана составляющая
напряженности магнитного поля; Hj и ^/v ai — относительный
коэффициент теплоотдачи на поверхностях слоя и коэффициенты тепло-
и температуропроводности слоев. Отметим, что второе и третье
граничные условия соответствуют условиям идеального контакта
(1.78).
69

Выполнив преобразование Фурье по координате х и «Далласа
по /, получим систему дифференциальных уравнений и граничных
условий для нахождения изображения температуры Y(/) (£, г, s):
&Т®
L_ л</>,
<fe2
QiT{" = --^rQU)(l,z),
(3.28)
"'"V^'-tf"!-^ s)-o, Kd*W%°'S) =
- Я, ^<2) % °' s) , 7^(1, 0, s) =f(2)(i, 0, s),
(3.29)
где
Здесь
Я]
V + ^r.
/2я _'
со \0
T™ (I, z, s) = -)=r f ( J Г(/) (x, z, t) er*dt) e**dx. (3.30)
(3.31)
Трансформанту температуры представим в виде
TU) =f(/) +7^ (/ = 1, 2),
где Тр — общее решение однородного уравнения (3.28), Т{/} =
= Ci°V/2 + C{<pe~qi\ a if — частное решение.
Определив Т\Р методом вариации постоянных и удовлетворив
граничным условиям (3.29), получим
Г' = П] + В0 {В, [KxKq (q2 sh ftft2 + H2 ch q2h2) sh ft* -
— (q2 ch q2h2 + H2 sh ftft.2) ch q2z] + B2K\KQ X
X [ft ch ft (Ах + z) + /Л sh ft (ft2 + г)]}.
T{2) = 7f + So {£2 [fai sh qA + Hx ch ftftx) sh q2z -
— /C^ (ft ch ft/ix + //L sh ft/ii) ch ftz] —
— Si [ft ch ft (h2 —z) + H2 sh ft) (ft, — г)]}.
(3.32)
70

Здесь
7У-
e-«inQU) (Ъ, TlMTl-
Вг
В,
О
(l _-£-)«?-**. ] e-wQ(l)(t ri)dr\ +
—Л i
0
+ (l +-^-)e»A J е^ФЧ. ri)dn
-fti
i1 it) e~q'h' J ^'^ & 4) dr] +
+11 + ь) e<,'H' J e~M®2) (5, ^ dT1
Bo-' = (qtHt + q^KxKJ ch qA ch ?Д + fatf, +
+qiH1KxKQ) sh <7A sh qfa + (q1qi + НХН2К>.КЯ) X
X ch q2h2 sh qfa + (Я,Я2 + ЯАъК\Кч) sh ^2Л2 ch ft^,
/s +
_ , ЛХ - ^ , Aa - fl2 ,
*?• - vx.
(3.33)
Температура T{f) (л;, z, <) по полученной трансформанте T (E, z, s)
находится по формуле обращения
Г</)(*' г- /)==-7^vT \ ** 1 ^ г' s)e-^dgds. (3.
34)
Определение температурных напряжений. При определении
температурных напряжений будем предполагать, что основания слоя
свободны от силовой нагрузки и напряженно-деформированное
состояние не зависит от координаты у. В качестве исходных примем
соотношения теории биметаллических тонких упругих пластин [28],
основанные на гипотезе Кирхгофа — Лява. Тогда деформации
в биметаллическом слое определяются деформациями поверхности
спая 2 = 0:
ех = гх — ZKxt еу=гу—гкуу еху = уху — 2гкху, (3.35)
71

где
er =
ди
~дх
_ dv
dv
ди
ду '
К* =
d2w
d2w
Мхи —'
d*w
(3.36)
н*~ ду* » л^"^ а*а</ •
Здесь е„ гу, уху, кх, кУ9 кху — деформации, a ut v, w —
перемещения поверхности спая.
Из соотношений (3.35), учитывая независимость компонент
деформации от координаты у, получаем следующее представление
компонент вектора перемещений:
Ъу2
и = Ф (х) + R3
., v^iRiX + Rjy + fix),
(3.37)
(3.38)
w = Rt\ + (Rbx+R6)y + q(x)
и соответствующих деформаций
е* = дх » е# ^ 1<х: "^ ^2* ^ = ~д*~'
где Rf — произвольные постоянные, ф, / и яр — произвольные
функции от х.
Напряженное состояние характеризуется отличными от нуля
нормальными a*], Oyl и касательными а$ компонентами, которые
Еыражаются через компоненты деформации таким образом:
а</)
щ
if) л
-±j [в, + vfiy - г (*х + vpy) - (1 + vf) atITU)]
°{Л = Т^Т[гУ + v'8* ~z^y + v^ -{l+ v/> "'I1***'
°% = °(Л = Gi (У*у - 2zKxy) (/ = 1, 2).
Подставляя выражения (3.38) в соотношения (3.39), находим
-2(-S- + ^4)-(l+v/)a//r'
#i* + #2 + V/ ^
(3.39)
^^T^L
'(Л
дф
-*(«. + Vy-S-)-(l + v/)a»/7w],
(3.40)
72

Здесь а/у, Ejy vy — коэффициент линейного расширения, модуль угт-
ругости и коэффициент Пуассона; Gf — модуль сдвига /-го слоя.
Соответствующая напряженному состоянию (3.40) статически,
эквивалентная система усилий и моментов, приведенных к
плоскости спая, имеет вид
Nx = Lt(RlX+R2) + L6-^
Nlf = Lt(Rlx + RJ+L,-&—LlRi-Lt-Z$—N(x),
^Ф Г D J _?$_
т =т
Т — L9 —~^ 2L7Rb,
Mx=L2(R1x + R2)+Ll
дф
дх
L^-L^-Mix),
M^LARiX + Rd+L^-LzRt-L^-Mix),
где
Ну= Н = L7
■ 2L8/?5»
tf Ю = -£%. J Г(1> (х, z) dz + -^ | Г(2> (х, г) dz,
—hi 0
mw
... » Г «<i£i Г
~ 2l1-^!,
Г<!)
zTw (X, 2) Й2 +
-?&- \zt2){x, z)dz
1 - v, J
*1-чг
£2/i2
2 I 1-vf
EJii
1-v?
1 / EJ$ Exh\
z,s = 4-
£2A|
3 I 1—v|
, 1 / £2^
1-v?
+ vx
E,k
i"i
1-v;
- +
v* ' 'M-vf
1—V
+ v2
£*2^2
1-vf
L9 = G2h2 + GJiv
J (3.41)
(3.42)
7»

Здесь N, и Tj — соответственно нормальная и сдвигающая/силы;
Mj и Hj — изгибающий и крутящий моменты; / = х, у.
Для определения функций /, <р и г|э используем уравнения
равновесия слоя, записанные в усилиях и моментах:
дТи
= 0,
dNx
дх ~h ду
д2М„ д*М
ON
дх
(3.43)
дх*
ду-
1 дхду
(3.44)
Подставляя выражения (3.41) в уравнения равновесия (3.43),
определяем функции /, ф и гр:
<Р = , . ' .а {J lL»N М - Li^ Wld* + К^Л - W*) «i -
L3L5 — Lj V
-L3S1 + L1S3]x} + S4,
* = , . ' а {И 1МГ (*) - M* (*)] dxdx -
- [(LxLe - L6L2) R, + L552] -f- + [- (LXL, - Z.5L2) tf2 +
+ (LXL2 - L6L4) RA + L& - LtS„] -f-} + Sbx + S„
/ = S7* + S8.
Здесь 5/ (/ = 1, ..., 8) — произвольные постоянные.
Из соотношений (3.41), учитывая (3.44), находим
Ny = doX [{d.Ry — dtS2) x + d,R2 — dBRt — d"A — d4S3 —
-d4M(x)-(d2+d0)N(x)],
Tx — Ty = L9S7 — 2L7Rb,
Mx = S2x + S„
My = doX [(d,/?! - d3S2) x + d8tf2 — d6#4 - dA — d,S3 —
-(d3 + d0)M(x)-d1N(x)]1
Hx^Hy — ^7*^7 — 2L8i?6,
где
До = ^Б^З '-'i'i dy = Ьх^4 ^3^2» "2 = bj-Lj i's'-'»;
d3 = Lx^a — A.^: d4 = ^-i^e — ^2^*; db = d2L2 + d4L4 + d^;
74
(3.45)

d6 = dxL2 + d3L4 + d0L3; d7 = d2Lb + dxL2 + d0Lb]
d8 = dxLb + d3L2 + doL^
Формулы для напряжений, согласно (3.40), (3.44), записываются
в виде
1-v
L. о{Л (х, z) = cfc1 [L3N (х) - LXM (х) + {d2Rx - LXS2) x + |
+ d2R2 - dxR4 + L3S, — LXS3] + v, (RlX + R2) -
- zdo1 [LXN (x) - LbM (x) - (d4Rx + LbS2) x - d4R2 +
+ d3R4 + L& - L553 + V/do/?J - (1 + v;) *tiTU) (x, z),
l — v.
i «(/)
Ef
< (*, z) = Rxx + R2 + vjdo1 [L3N (x) - LLM (x) +
(3.46)
+ (d2Rx - LXSJ x + d2R2 — dxR4 + L3SX - LXS9] -
- zdJT'v, WoR^1 + EXN (x) - LbM (x) - (d4R, + LbS2) x -
- d4R2 + d3R4 + L& - LbS3)} - (1 + v,) ati T{\
°S (*. *) = a$ (*. *) = G/ (5^ - 2^b).
Перемещения находятся по формулам (3.37). Произвольные
постоянные Sjy R; определяются из граничных условий,
соответствующих конкретному способу закрепления краев. Положив в
приведенных выражениях (3.46) для температурных напряжений hx =
= h2 = -у, Ег = Е2 = £, vx = v2 = v, a/i = a<2 = a„ получим
решение в приближении гипотез Кирхгофа — Лява для слоя толщиной
/г, записанное в системе координат, применяемой обычно в теории
тонких пластин [41].
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И НАПРЯЖЕНИЙ
ПРИ ЗАДАННОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ
НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла. Пусть на
поверхности биметаллического слоя z = — hx (см. рис. И) задана
касательная составляющая напряженности электрического поля
Е^у = EQemt. В данном случае Е0 (|) = -— £08 (£). Поэтому из
у 2л
формул (3.10), применяя обратное преобразование Фурье, находим
£(1) = Е0А, {[(de + 1) №-***> + de - 1] е^г -
- [(d, - 1) це<Г2*'2"* + dt + \] e-k^}, (3.47)
£(2) = 2E0Al [nee+ft'2(z-2ft,) -е-"'*].
г»

где
.у
1^2
^201
1 — те
~Ь
-т'
т
.у
«0^2
¥'
е0ц2со
1 + те
к., = у*р. (1+0;
ЛГ1 = в"1**1*1 [(^ + 1) \iee~2k*2h2 + de - 1] -
-^•^[^(d.-D^^ + d. + l].
Подставляя выражения (3.10) при Е0 (£) = --= £06 (£) в
формулу (3.15), для рассматриваемого случая получаем
<2(1) = -^ {[(4 + 1) К ch 7.2 + "|/2msh 7*2) + (d\- 1) (m2 cos 7,2 +
+ К 2m sin 7*2] ch -| 2de (mx sh 7*2 + V2m ch 7*2) sh -|
— [(d2e — 1) (тх ch 7,2 + V2tn sh 7*2) + [d] + 1) (m2 cos 7.2- +
-f- K2m sin 7#2)] cos"l 2de (m2 sin 7*2 — K2m cos 7*2) sin -|-j, (3.48)
Q^ =
a2^0
m9ch
h2 — z
— m2 cos -
"2 ~* 6.
ho-—г
+ V2m sh
ft2 — z
62
-K2
:m sin ■
h2 — z
Здесь
mx = 1 + m2; m2 = 1 — m2; Л3 = [(dj + 1) (m1 ch 7*2 +
+ "j/2/л sh 7*2) + (4 — 1) (Щ cos 7*2 + K2m sin 7*2)] ch 7*1 +
+ 2de (m1 sh 7*2 + K2m ch 7*2) sh 7*1 — [(d2e — 1) (mx ch 7*2 +
+ V2m sh 7*2) + (d2e + 1) (mx cos 7*2 + V2m sin 7*2)] cos 7*1 +
+ 2de (m2 sin 7*2 — Vbn cos 7*2) sin 7*1; 7*/ = -jr . s/ = ^м/^/Г7'•
Положив hx = 0, /i2 = /1, \jl2 = |i, a2 = a, получим решение (2.69)
для случая однослойной пластины толщиной h.
Учитывая оценочные соотношения (2.71), из формул (3.48)
получаем приближенные выражения для джоулева тепла
■ч(1) 1 °iEo
Ql) = ■
[л4сЬ^ + ЛБ5Ь-^ + Лбсо5-|- + Л5т-|г], (3.49)
Q{
,(2)
°2Ео /л|_ h2 — z , _ h2—z
.(ch-
+ COS
)•
76

справедливые с достаточной для практических расчетов точностью
в диапазоне используемых обычно при индукционном нагреве
металлов частот со установившихся электромагнитных полей. Здесь
А3 = Л4 ch 7.1 — Аь sh 7*1 + А0 cos 7.1 — Л7 sin 7*1,
Ai = (d2e + l) ch 7*2 — (d2e — 1) cos 7*2, Аь = — 2d, sh 7.2,
Л = (d* + 1) cos 7,2 — (dj — 1) ch 7*2, Л7 = 2de sin 7^.
(/,5 / 0 0,5
a if
В рассматриваемом приближении из формул (3.49), положив hx =
= 0, h2 = Л, |л2 = [х, а2 = а, получим решение (2.72) для
однослойной пластины толщиной h.
Величина скачка джоулева тепла при переходе через границу
контакта слоев г = 0 согласно формуле (3.12) будет
AQ12 = ^LZ^L q+ = _£l=2L £2о (ch 7,2 + cos 7*2).
Анализ формул (3.49) показал, что при 7*1 = -т- > 8 распределе-
ниеджоулева тепла в первом слое рассматриваемой
биметаллической пластины практически совпадает с аналогичным, найденным
для случая полупространства [48], т. е.
Q(1)~-i-aiZ& *' f Q^^O. (3.50)
При 7*i < 0,2, 7*2 < 0,2 для неферромагнитных материалов с
погрешностью меньше 2% £(1) да £(2) да? £0, или
О"»--J-*^ Q(2,=4-G^- <3-51>
77

7(2)
При 7*i < 0,2 (или v*2 < 0,2) Е{ и соответственно Q (цли Е
и Q(2)) практически не изменяются по толщине.
Если материалы слоев ферромагнитные [48, 65] с ja7< 100 |i0,
то приближенные выражения (3.51) справедливы при 7*1 < 0,1,
7*2 < 0,1.
Численный анализ распределения джоулева тепла по толщине
проводился для биметаллических слоев при hx = h2 = -=- и для раз-
N
V
л
5
8 \
чУ«в42
/2
ь
0,2
\
"ч
Рис. 13.
I 0J5 Л
а 5 h
личных значений 7*1 (рис. 12, 13). Характеристики материалов слоев
принимались следующие:
сталь Х18Н9Т а = 0,135 • 107 1/Ом • м, \х « \i0\
медь о = 0,588 • 108 1/Ом • м, \i^\i0\
сталь 10 а = 0,526- 107 1/Ом • м, |л»24[х0.
На рис. 12, а представлены графики изменения джоулева тепла
по толщине слоя сталь Х18Н9Т — медь. Здесь z1 = z + -б
координата по толщине, отсчитываемая от основания z = ^-. Как
видно из графиков, удельная мощность джоулева тепла в области
контакта в первом слое значительно меньше, чем во втором.
Величина скачка максимальна при малом значении 7*ь а при увеличении
Y»i — уменьшается и начиная с 7*1 = 2 практически равна нулю.
Отметим, что кривые, соответствующие малой относительной
глубине проникновения индукционных токов (7*1 = 5, 7*1 = 8),
совпадают с аналогичными кривыми, найденными для полупространства
(7*1 ->• оо). Из графиков видно также, что при 7*1 > 1 уровень
джоулева тепла во втором слое резко уменьшается по глубине. Для
Y*i <0,1 интенсивность тепловыделений по толщине каждого из
слоев приближается к равномерной. При этом мощность
тепловыделений во втором слое (а2 > ах) больше, чем в первом, в т) = ^ »
« 43,5 раза.
?в

Рис. 12, б иллюстрирует зависимость распределения джоулева
тепла по толщине слоя медь — сталь Х18Н9Т (а2 < ах). Как
следует из приведенных данных, в этом случае в зоне контакта уровень
джоулева тепла в первом слое значительно выше, чем во втором.
При этом для 7+i > 5, как и для слоя медь — сталь Х18Н9Т,
интенсивность тепловыделений по толщине слоя практически
совпадает с найденной для полупространства.
На рис. 13, а и б показано распределение джоулева тепла по
толщине для биметаллических слоев сталь Х18Н9Т — сталь 10 и сталь
10 — сталь Х18Н9Т соответственно. Как видно из рисунков,
распределение джоулева тепла по толщине слоя в данном, случае имеет
те же особенности, что и в случае, представленном на рис. 12.
Случай Y*f > 5 соответствует приповерхностному нагреву, и
распределение джоулева тепла в первом составном слое практически
совпадает с аналогичным для полупространства. Во втором слое
тепловыделения пренебрежимо малы.
Определение температурного поля. На основании соотношений
(3.32), (3.33) соответствующая распределению джоулева тепла
(3.49) трансформанта Лапласа температуры будет иметь вид
<7i2 ( cS
+ (Ab cos -y- + A7 sin
M.
«?
r)(-t)l
Bo
fli
Vs
KxK'J*
x (у i^sh<p2 + HtCh^jshy ^z — (y=^ chq>2 +
H.
Vs
-shcp^chjAi-
+ Sa
v\
ch
ai
V-t^
+ *) +
+-w^Vi^+4'
(3.52)
/ 4
, a» Y i ■ ft2 — 2
fig /
+
+[s-t)cos-\-
— OjBo
_, f 4#2*C0s
KaK.
aAx
S° — ■
Va,
=-8ЬФ1-Ь
-^-ch9l)sh У±г + K^y=-^ +
+ ffSh(Pl
)*Vi
•ft
7=-ch К t ^ --) + -yrsh /i <*» - 4
79

Здесь
+(1%+т»гад'1Аф'5И*+(75г+
-M-t)]('-4)-
-6,
+ Л U
f)]+('-4)W-+f)+
- адУ- {кгЧГ1 (s» —j-) ft* («+ -$-) +
+ t»(s-t)]-(s'-l
u2
^l- + -f-] +
+ 4Я2АГ7'Ча5(«2
3 м б|
|(}AiLsh<pt + tf1ch<pt) +
в}/'
СЛ. + 4--С..--1
+
4-4+t)+4-t)]-M
X
80
>*(5+т)+л'(5-1)1-(^Лф'+

-И„. U—=f
С1 = —АЪ (ch 7*i + Bi\ vr/ sh Y*i) + Л4 (sh 7*1 +
+ BiiY7i1chY,i),
C2 = A6 (sin y#i — Bix y#icos y*i) + Л7 (cos Y^+B^ y7\ sin Y*i)*>
b01 = 2Ko sh y*2, b02 = 2/Ca sin y*2J bQ3 = 2/Ca ch y*2,
604 = 2ЛГа cos y*2;
T, <*2 b" ^2 If gl Z^ ^2 .
VT2
, Bi/^-tf, (/=1, 2).
1 n.2 « — I ftiKs
h*V~s
Для нахождения оригиналов функций T(l) и Т(2)
воспользуемся теоремой разложения [53, 34]. Приравнивая нулю знаменатель
В0 в формулах (3.52), получаем соответствующее
характеристическое уравнение
К1!' (1 + КяКь) cos у cos р - (Ки + КхКа) sin ф sin р +
+ (Г' [tfa/! (Вц/СлКГ1 - Bif'p2) cosapsinp +
+ (КнЫ2 - КкКа В1Г1 Ра) sin i|> cos p] =. 0,
(3.54)
Выражения для температуры в области слоев запишутся так:
-lr—=:—A5sh-^- — Aich-^- + Aecos~- + ATsm-^- +
+ Со-' {[- v.iKtKiT1 Bi4 (Сх + CJ + Bix С3] ■£- +
+ (1 + By С3 + v.i (Сх + Q (1 + Bi2)) +
+ гт3,.^12 D°-1 {с* (с*sinЭп -^-—ce cosр„ JL) +
П=я1
+ С, [cos ft, (1 + -£) + Bix PS*1 sin ft, (l + .£
"PJk
6 7-102
81

г(2)
= Ц, (cos -
А« — $
— ch
К — г
]-JD1CTIfl+B!,X }(3'б5)
X (l—|-)] + 273.1/СГ1Д ЯГ'{д,(я, sin !>„-£.+ у
+ Я4со5^^+ЯБ|*:У'costal-^)+
+ Bi,^1p-1sinaj)n(l—-|-
^в2т
Здесь
С0 = Bix + Bi, КхК7Х + Bi, Bi, (1 + КхКГ\ С8 =
= Y.>/Ce (1 + Bi2) [fc0, + Ь02 - КГ1 (Л, - Аь) - К7Х Bi, [Kl х
X (Ьоз - bj - К% (А, - А6)], Q - - bi (bjc, + *>£,), СБ =
= KxKf& (Bi, cos я|>„ — рХЛ sin фп), Ce = /tff' cos % +
+ tfr'pJT1 Bi, sin t„, C7 - Ca [/СГ'АТ'ь; (Ь>01 + b'5b02) -
- ft» ф'2А7 - &X)] - y.iP„Cb [К?К7% Ф\ boa - blboi) -
- bl (&U4 - blAe)} + K?'Dt, D0 = blbl {ря [ф'7 Bi, +
+ blK7 XK7X Bi, + b'l0 + Kk) sin г|>„ cos p„ + KJ1'' ф1 Bi, +
+ bl Bi, + КкКаЬ'и + 1) cos % sin p„] + p* ф1ь'10 — b') x
X sin t„ sin p„ — K7l/' (bl Bi, Bi, — bl$) cos i|)„ cos p„}, D, =
- Y.i {Ci + C, + (1 + Bi,) [(&0, + ftoa) /Ce + Л6 - Л7] +
+ Bi, [Кб (&оз — &04) — AtAt)}, D2 = — 4y,iP'JWC;T1 Bi, ftj,
Z)8 = Bi, p^1 cos P„ - sin p„, Z>4 = КьКУ' (cos p„ +
+ Bi, p"1 sin p„), Db = 63 (ftlC, + &2C,) + K^KT11^ x
X [/(Т'Яв"'^ Ф'Ф01 + b'5b02) + bl (Ь\АЪ — b*2Aj)] + y.AD3 x
X ШХК7ХЬ1 ф\Ьы — &5&04) — bl (ftU4 — b'2A6)], D, =
= 2K7W; b; = Y2..-Pn, 62 = Y2..+Pn, Ьз =
= P„ — a,, ft4 = a»— p„, &5 = a.+ Pn, bl = fin — y*u
ь;
1 + K\Kh ,
-2 _ л,2 г7-2г/»1
ь;0 = KhKT Bi, Bi, рГ. a» = TWCa/c
(/-1. 2),
4>n
= KhKa 'Рл
1
Bi/ = Hjhf
T01 =
axt
где pn — корни трансцендентного уравнения (3.54).
82

Из решения (3.55), устремляя т -v оо, получаем формулы для
определения температуры Т{1) и Т(2) в случае стационарного
температурного поля:
Т(1) г г г г
т-=Л6со8^- + Л751п1Г-Лб8Н1Г-Л4сЬ^ +
+ Ct {[- чЖкКй1 Bi2 (Сх + С2) + Bix С3] -^ + (1 + Bix) С8 +
+ Y*i(C1 + C2)(l+Bi2)}, (3,57)
Г(2) _1
'01
cos
К —г
■ch
ft2 —
*-]-
_ZW[l+Bi,(l_JL)].
Для случая приповерхностного нагрева v»i ^ 1» т- е- когда
распределение джоулева тепла определяется выражением (3.50),
формулы (3.55) значительно упрощаются и принимают вид
-j£- = Со1 {(y.i- + ВУ (1 + В1г) + (1 + BIJ D, -
- [(y.i + By /(ьАТ1 Bia + Bix D7] -£} - e" l'+ M **' +
+ 2y2.iK71 I Д71 {(?.. + By (с, sin p„ -£- - Ce cos p„ -£■) +
_p2T
+ D.[cospn(n-l-)+Bi1pS-,sinP/,(l+^-)]}e "', (3,58)
-^- = C5-'Z)8[1 +Bi2(l-^-)]-2Y2.1/Ca-I|iD10Dn1 x
Ч&.
x [/#•costn(l --£) + Bi2Kh%1 sin^(l -JL)je "
Здесь
D7 = <r-*.i [Y., (1 + By -Kk Bi2/Cr'], Dg = y.i +
+ Bix - <TV., [y.i (1 + By + BiJ, D, = e~^ [y,x (/#■ costfc, +
+ ВцЛГ'РГ1 sin ц>„) — KM (Kh1 Bi8 cos i|>„ - рХЛ sin TfcJJ,
D10 = y.i + Bii - <TV" [y.i (cos pn + -Ц- sinp„j +
+ Bi1cosp„-p„sinp„],
Dn=-
<К-0(Р„-Г.,>
> •* oi —
J
4
4 jiiCoXj *
85

При стационарном режиме формулы (3.58) запишутся таш
-^- = Со"1 {(Y.i + By (1 + Bi2) + (1 + Bix) Di -
1 01 v
- [(v.. + BiJ KxKT1 Bi2 + BljD,] -^J - e~ i'+ X)V*1, (3.59)
^-^[.H-B^.'-t)].
Определение температурных напряжений. Напряженное
состояние, соответствующее температурному полю (3.55), найдем из
соотношений (3.46) при конкретных граничных условиях на краях.
Рассмотрим граничные условия при следующих способах
закрепления краев:
а) жесткая заделка краев
и = v = w = 0 при х-*± °° и у-+ ± оо; (3.60)
б) свободные края
Л^ = 0, Мх = 0 при#->-±оо,
Ny = 0, Му = 0 при у-+±оо; (3,61)
в) жесткая заделка при х ->- ± сю и свободные края при у ->• ± оо
ех = 0 при*+±оо, (362)
Ny = 0, Му = 0 при у ->- ± оо.
Из соотношений (3.37), (3.45) и (3.46), удовлетворив
соответственно условиям (3.60) — (3.62), получим следующие выражения
для температурных напряжений:
а) жесткая заделка краев
^ = ^=-т^г7,(Л' <3-63>
б) свободные края
°inx («) = °й W = T=hflR* -zRi - а"г(/)]' (3,64)
#г = ВД> - P*M0, Rt = РгЫй - P8Af0,
где
Рх = /)♦(£. + *•«), P^D^L. + L,), />3 = D„(L5 + Le),
D. = [(Le + L6) (L, + Lt) - (Lx + L2f]~\
M° = ~r (-eSr f гг0) (г) d2 + t=v J2r<2) <2>Л) •
"' ° (3.66)
-ft, о
a коэффициенты Lx — Le определяются из соотношений (3.42);
84

в) жесткая заделка при х
о</>
XX
£ оо и свободные края при у ->- ± оо
^Ц- {v,V [L3^0 - М*о - z (L^0 - L6M0)} -
v/
i(/)i
ai£ = Т^З- {*"' fL3^o - LxM0 - z (L^o - LbM0)] -
-(l+Vj)atiTU)},
(3.67)
1-v*
где d0 = LzLb — Lu
Приведенные выше формулы для температурных напряжений
получены согласно теории тонких биметаллических пластин,
основанной на гипотезе Кирхгофа — Лява. Для рассмотренной задачи
нетрудно получить также точное решение, исходя из уравнений
термоупругости (1.102). В этом случае из уравнений равновесия и
условий совместности деформации получим
<« = —^iv+bf + b»
(3.68)
хх 1 — v2
УУ 1 — Vx
(2) = _ Щ&
УУ 1 — v2
Огг = Оуг = 0#дс
Т(2> + V + ft7,
■ T(l) + btz + b1,
-Ti2) + btz + b6,
= o*z = 0.
Используя условия механического сопряжения олоев (1.79), найдем
зависимости между произвольными постоянными bf.
Ь± + Ь3-К1 (Ьь + Ь7) =0, Ь± — Ь3-К2 ф6 - Ь7) = 0,
Ь2 + Ьь-К1ф* + Ь8)=0, Ь2-&4-/С2(Ьб-Ь8)=0,
(3.69)
где
Кг
1~V2 Et
1 — vx Е2
К,
l+v2 Ег
l+vx £2
Присоединив к условиям (3.69) граничные условия,
соответствующие конкретному способу закрепления краев, получим полную
систему уравнений для определения произвольных постоянных.
Запишем граничные условия для рассмотренных выше
способов закрепления краев:
а) при жесткой заделке
ехх = еуу = 0; (3.70)
85

б) при свободных краях
л, ъ
j oyydz=* j 0^2 = О,
ft*
(3.71)
Г zoyydz = f гаххс?2 = 0;
—ht
-Л,
в) при жесткой заделке краев для х ->■ ± с» и свободных
краях при г/ -> ± оо
Л2 А2
е** = 0, j* o^dz = о, f zoyydz = 0. (3.72)
Решение для приведенных случаев граничных условий имеет вид
a) ooj-og)—т^-Г», ag = a^ = -1^-T<2'; (3.73)
£#
1
anEt
v' хх "уу 1 — Vl ' 2 ftj х
a<2) = a<2> = ^i- T(2) + 4- (*A T- + *i).
где
&2 = 6K,N7l [2Ml (Кг + Kh) - N'0 (Kh - Kt)],
bx = 2KXN7X [2N'0 (Кг + Кн) - Ш'о (Kh - KJ],
^-^(Кг + К^ХКг+КЬ-З^н-Кг)*,
^-it^/^ + ^iW
—ht 0
1 —Л, О
-Л*
в)
o<i> ==■
хх
УУ
Q(2)
0<2)
аП£1
an£]
ai0E<
^^ + ,(¥^ + 4
S^ + W»t + *».
(3.74)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
86

Здесь
где
&в - 6ЛГ-1 [2 (/С, + Kh) Ml + (JC8 - /СИ ЛИ.
Ьъ = 2ЛГ7-1 [2 (К3 + К\) Nl + 3 (Kb ~ Kb ЛИ],
N** = 4 (Къ + Kh) (К* + *2) - 3 (/С, - Kl)\
(3.78)
Рис. 14.
Отметим, что точное решение и решение, найденное на
основании гипотез Кирхгофа — Лява для случая жесткого защемления
краев, совпадают.
Численный анализ. Численные исследования температурных
полей и напряжений выполнялись для приповерхностного нагрева
биметаллических слоев сталь 10 — сталь Х18Н9Т и сталь Х18Н9Т—
h h
сталь 10 при hx = h2 = у в 0,01 м, уп =а -± — 8.
Характеристики материалов следующие [25]:
сталь 10
X = 0,733 • 102 Вт/м • град, а =« 0,207 • 10~4 м2/с;
^ = 0,116 - 10~4 1/град; £ = 0,211 • 1012 Н/м2; v = 0,28;
сталь Х18Н9Т
% = 0,167 • 102 Вт/м • град, а = 0,422 • 10~5 м2/е,
ос,
0,17 • 10"* 1/град, Е = 0,192 - 1012 Н/м2, v = 0,283.
Расчеты проводились для случая, когда коэффициенты
теплоотдачи при z =а =F -у одинаковы: Bix =* Bi2 sBi = 0,1; 1.
87

На рис. 14, а представлено распределение температуры по трл-
щине биметаллического слоя сталь 10 — сталь Х18Н9Т при Bi =*
= 0,1 (сплошные линии) и Bi = 1 (штриховые линии); / Г* —
значение температуры в установившемся режиме (t = ooY на
поверхности z = £■; zi = z + ~2 координата по толщине,
отсчитываемая от верхнего основания z = ^ (0 < zi < h).
(H)'6*x
dt<E
0,2
OJ
0
-0,1
-0,1
-0,3
-и
л
/ кГ*
\
\U1C
10
/ /,
Рис. 15.
i 0
0,25
0,5
0,75 Zl
h
\ V
и
\^&c/
10
t=1c
C~^
30
^ \fc»
Рис. 1*.
0,5
6
f
Графики распределения температуры по толщине слоя сталь
Х18Н9Т— сталь 10 при Bi = 0,1 (сплошные линии) и Bi = 1
(штриховые линии) даны на рис. 14, б.
Анализ результатов проведенных расчетов показывает, что для
биметаллического слоя сталь 10 — сталь Х18Н9Т при Bi = 0,1
установившийся режим наступает практически для t > 300 с, а при
Bi = 1 — для t > 120 с. В случае биметаллического слоя сталь
Х18Н9Т — сталь 10 установившийся режим при Bi = 0,1
наступает для t > 120 с, а при Bi = 1 — для t > 30 с.
88

Температурные напряжения исследовались на основании
решений (3.64) для свободного от силовой нагрузки биметаллического
слоя, т. е. при граничных условиях (3.61).
Рассмотрим распределения температурных напряжений^по
толщине биметаллического слоя сталь 10 — сталь Х18Н9Т Bi = 0,Г
(рис. 15, а) и Bi = 1 (рис. 15, б) для различных моментов времени.
Как видно из рис. 15, а, максимальные растягивающие напряжения
в первом составном слое достигаются на поверхности 2 = 0 — 0, а
Рис. 17.
во втором составном слое при г = -у. При этом максимальные
сжимающие напряжения во втором слое будут при 2 = 0 + 0. Темпе-
h
ратурные напряжения на поверхности z = ^ переходят из
сжимающих в начальный момент времени в растягивающие, а затем,
с возрастанием t,— снова в сжимающие.
Как следует из рис. 15, б, с увеличением Bi картина
распределения напряжения в первом слое качественно меняется. В отличие
от случая Bi = 0,1 для Bi = 1,0 максимальные растягивающие
напряжения достигаются не на поверхности спая 2 = 0 — 0, а на ос-
h
новании 2 = 2".
Распределение температурных напряжений по толщине
биметаллического слоя сталь Х18Н9Т — сталь 10 представлено при Bi =
= 0,1 на рис. 16, а и при Bi = 1 — на рис. 16, б. Из графиков видно,
8*

что максимальные растягивающие напряжения достигаются во^вто-
ром слое на поверхности контакта z = 0 -f- 0.
Проведенный анализ показывает, что для исследуемых случаев
максимальные напряжения достигаются в установившемся^режиме.
При этом наибольшие растягивающие напряжения в случае
биметаллического слоя сталь 10 — сталь Х18Н9Т при Bi = 0,1
будут в первом составном слое на поверхности спая z = 0 — 0, при
Pi
Bi = 1 — во втором слое на основании z = у, а в случае
биметаллического слоя сталь Х18Н9Т — сталь 10 — во втором составном
слое на поверхности z = 0 + 0.
Отметим, что в исследуемом диапазоне изменения параметров
температурные напряжения, полученные в приближении гипотезы
Кирхгофа — Лява, незначительно отличаются от аналогичных,
найденных в точной постановке, т. е. по формулам (3.74).
На рис. 17 кривые 1 характеризуют зависимость температуры
на верхнем основании z = -^ в установившемся режиме Г# от
напряженности электрического поля Е0 для биметаллического слоя сталь
10 — сталь Х18Н9Т, кривые 2 соответствуют слою сталь Х18Н9Т —
сталь 10 при Bi = 0,1 (сплошные линии) и при Bi = 1 (штриховые
линии). Приведенные данные могут быть использованы, в частности,
для выбора величины напряженности электрического поля Е0у
обеспечивающей при индукционном нагреве повышение температу-
h
ры на поверхности z = ^- до заданной величины.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И НАПРЯЖЕНИЙ
ПРИ ЗАДАННОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ СЛОЯ
НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла. В случае,
когда на поверхности биметаллического слоя z = — hx (см. рис. 11)
задан вектор напряженности магнитного поля Н[} = {0; Н[у =
= Н0еш\ 0} [13, 21], из формул (3.20), (3.21), учитывая, что
Н0 (I) = — #08 (|), находим
у 2л
Нт = ±H0ATl {[dm-\ + lim(dm + 1)e-2k^\ek*-
- ft, +l + iim(dm- 1) e2k**h'] е-"-*}, (3.79)
tf(2) = -ад-1 [e-k**- \iine-k'*2H'-z)],
где
a _ l/ qiN" (1 — mp) — K2m0i ,/~ ерЦзоГ.
а«-К-^Г» b*~ l + ml + V2m0 ' m°~V W* '
-dn(\+ ^e-2*»2"')shk.A, klj = iv-jM,.
90

Из соотношения (3.23) получим
Q(i) = Jh^_ |[(^+ 1} (mo ch ^ + ^^ sh Y,2) +
+ (dm — 1) (ml cos 7,2 — V2 m0 sin 7,2)] ch -j- + [(d2m — 1) x
X (m? ch 7#2 + K2m0 sh 7*2) + (dm + 1) (m° cos 7,2 —
— ]/"2 m0 sin 7,2)] cos -| 2dm | (m? sh 7,2 + V2 Щ ch 7*2) sh -|
— (ml sin 7»2 + V2m0 cos 7,2) sin -|- |; (3.80)
(2) = J^4_ Г ?ch A^_ Ocos ^-г_
+
Здесь
V2m0{i
sh
Ло —2

Sinus— 2
)]■
m?=l+m§; m^=l—m§; Л3 = [(<& + 1) (m? ch 7.2 +
+ Кг/По sh 7,2) + (dm — 1) (ml cos v,2 — V2m0 sin 7*2)] ch 7,1 —
— [(dl — 1) (m? ch 7*2 + V2m0 sh 7*2) + (d2m + 1) (ml cos 7,2 —
— V2m0sin 7.2)] cos7*1 + 2dm [(m?sh 7*2 + l/2/n0sh7,2) sh 7,1 +
+ (ml sin 7*2 + V2 m0 cos 7,2) sin 7*1]; Y«/ =* -757-» e/ =
\-v,
= (2^,0)^)"
Исследования решений (3.80) показали, что при 71» Y2 > 0Л
с достаточной для практических расчетов точностью в формулах
можно положить т0 = 0. Тогда
«(1)=?1о(^сЬ^ + Лб5Ь-|г+Лвсо$-~ + Л78т^,
Q(2) / , h2 — z . h2 — г
= ^(ch^— + cos—s7~
(3.81)
где
<7ю =
2Л
ц2шЯ^
= —jT-> ^4 = (4 + l)chY.2 +
+ (dm — 1) cos y.2, Аъ = — 2dm sh 7.2, Лв =
= ((& — 1) ch y.2 + (d2m + 1) cos 7.2, Л7 = 2dm sin Y.2,
Л3 = [(dm + 1) ch y«2 + (dm — 1) cos Yd ch y.i —
— [(dm — 1) ch y.2 + (dm + 1) cos y,2] cos y.i +
+ 2dm (sh y.i sh Y.2 + sin y.i sin Y.2).
[ (3.82)
91

Из решения (3.81) следует, что при 7*1 = с1- > 8 распределение
джоулева тепла в первом слое практически совпадает с
аналогичным, найденным для случая полупространства [83],/а во втором
слое тепловыделения пренебрежимо малы, т. е.
Ф~Щ^е~^, Q<2>=0. (3.83)
Отметим, что выражения (3.81) для удельной плотности
джоулева тепла соответствуют решениям уравнения Максвелла при
пренебрежении токами смещения в вакууме.
Положив в решениях (3.80), (3.81) hx = 0, ft2 = ft, придем к
полученным ранее решениям (2.76) и (2.78) для однослойной
пластины толщиной ft.
Из формулы (3.80) вытекает, что при у*ь 7*2 < 0,1 значения
q(D и q(2) Практически не изменяются по толщине:
у2 - \-1
+ d2m -у- + dmv*iY*2 + V2m0yt2J . (3.84)
В рассматриваемом случае пренебрежение токами смещения (т0 —
=*= 0) недопустимо, поскольку в таком приближении при y*i» 7*2-^0
джоулево тепло неограниченно возрастает.
Численный анализ распределения джоулева тепла проводился
в зависимости от параметров ущ\, dmuKh — -jr- при \ix « fx2.
На рис. 18, а приведена зависимость распределения джоулева
тепла по толщине слоя при hx = ft2 = -у и °i = 0,25а2 от параметра
Y*i = ё1-. Штриховые кривые соответствуют распределению тепла
для однородного слоя толщиной ft; zx = z + -g координата по
толщине, отсчитываемая от верхнего основания z = g- (0 <
< Zi < h). Из графика видно, что характер распределения джоулева
тепла по толщине биметаллического слоя качественно отличается
от характера распределения тепла в одинаковой толщины
однородном слое. В частности, в исследуемом случае (ог <; а2) джоулево
тепло в области контакта в первом слое значительно меньше, чем
в однородном. При y*i > 6 распределение джоулева тепла по
толщине биметаллического слоя такое же, как в однородном слое.
На рис. 18, б показано распределение джоулева тепла по
толщине биметаллического слоя при hx = ft2 = -у, -у- = 2 для
различных значений параметра dm = 1/ —. С увеличением параметра dm
92

(для dm > 1) интенсивность тепловыделений по толщине первого
слоя возрастает; при этом распределение джоулева тепла по
толщине второго слоя приближается к равномерному. В случае dm <С 1
наблюдается повышение интенсивности тепловыделений во втором
слое.
Распределение джоулева тепла по толщине биметаллического
слоя при y.i = 2 и ах = 0,25а2 для некоторых значений Kh = -г-
представлено на рис. 19. Из графика, в частности, следует, что при
фиксированных толщине первого слоя и параметре dm,
характеризующем отношение коэффициентов электропроводности при /СА< 1,
распределение джоулева тепла во втором слое существенно зависит
от толщины h2 этого слоя. В случае Kh > 1 влияние толщины
второго слоя на джоулево тепло в первом составном слое
пренебрежимо мало.
Определение температурных полей и напряжений.
Температурные поля и напряжения определим для приближенного
выражения (3.81) удельной мощности джоулева тепла. В этом случае, при
условиях конвективного теплообмена на основаниях
биметаллического слоя и нулевом начальном условии, температура находится
по формулам (3.55), в которых коэффициенты Cf (/ = 0, 1,...,7),
D0, DlyDz—D5, b/ (/ = 1—10) определяются соотношениями
(3.56) с учетом (3.82), а
D2 = - 4y*iKhlKo Bi2 blpi De = 2Kx]K7\ b01 = 2/fo sh y.2f
b02 = 2Кц sin Y*2, (3.85)
H2
b03 = 2Кц ch y»2, b04t = 2/Cm. cos y.2, T01 = 2k ^ .
Для случая приповерхностного нагрева (y*i > 8) температур-
н2
ное поле находим из выражений (3.58), полагая Тм = —трг •
Температурные напряжения, соответствующие полученному
температурному полю, определяются по формулам (3.63) — (3.67).
Численный анализ. Численные исследования температурных
полей и напряжений выполнялись для случая приповерхностного
нагрева биметаллического слоя сталь 10 — медь при h± = h2 =
= 0,02 м, yu = г- = Ю. Характеристики материала слоев
следующие:
%х = 0,733 . 102 Вт/м . град, ах = 0,207 . 10^4 м2/с,
a/i = 0,116 • 10~4 1/град, ^ = 0,211 - Ш12 Н/м2; v1 = 0,28;
%2 = 0,406 • 103 Вт/м • град, а2 = 0,118 • 10^3 м2/с,
ад = 0,178 • Ю-4 1/град, Е% = 0,129 . 1012 Н/м2, v, = 0,35.
93

Расчеты проводились для случая, когда поверхность z = 7- hx
теплоизолирована (Bii = 0), а на поверхности z = /i2
поддерживается температура внешней среды (Bi2 = 00). /
На рис. 20 сплошными линиями представлено распределение
температуры по толщине слоя для различных значений времени,
штриховыми — распределение температуры для тех же значений
времени в слое медь — сталь, причем Т^ — значение
температуры в установившемся режиме (/ = оо) на поверхности z = — hv
Отметим, что в отличие от исследований, проведенных в § 2
данной главы, здесь частота о в обоих случаях принималась
одинаковой. Это соответствует индукционному нагреву слоя медь — сталь
10 при y*i « 14,6.
Из сравнения приведенных данных для двух исследуемых
случаев видно, что градиентность температурного поля в каждом из
слоев существенно зависит от теплофизических свойств материалов.
94

Из анализа проведенных расчетов следует, что для
биметаллического слоя сталь — медь установившийся режим наступает
практически при />60 с, а для слоя медь — сталь — при
t > 120 с.
Для исследуемых материалов было принято —- -^ . """V2 ■ = 1.
Поэтому в'случае жесткой заделки краев, как вытекает из формулы
(3.63), характер распределения напряжений аналогичен
распределению температуры.
На рис. 21, а приведены кривые распределения температурных
напряжений в свободном биметаллическом слое сталь — медь,
найденные по формулам (3.64) для различных значений времени,
а на рис. 21, б — в слое медь — сталь для тех же моментов
времени.
Как видно из рисунка, максимальные напряжения достигаются
в установившемся режиме. При этом наибольшие растягивающие
напряжения в первом случае (биметаллический слой сталь 10 — медь)
95

будут на поверхности контакта слоев, а во втором случае
(биметаллический слой медь — сталь 10) — на поверхности z = ?- hv
Таким образом, из приведенных в настоящей главе результатов
конкретных исследований температурных полей и напряжений для
случая приповерхностного нагрева по толщине свободного от
силовой нагрузки биметаллического слоя из различных материалов
составных слоев при условиях конвективного теплообмена на
основаниях следует, что характер распределения температуры и напряжений
существенно зависит от расположения составных слоев и их
толщины, упругих и теплофизических характеристик материала, а также
условий теплообмена. Максимальные растягивающие напряжения
достигаются в стационарном режиме (t ->- оо) на поверхности z =
= — hly на спае 2 = 0 или на поверхности z = h2.
4. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
В КВАЗИУСТАНОВИВШЕМСЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Приведенная выше методика определения полей джоулева тепла,
температуры и напряжений в биметаллическом слое, вызванных
установившимися электромагнитными полями, может быть
использована для построения решений в случае квазиустановившегося
режима, когда на основании z = — hx (см. рис. 11) задан вектор
напряженности электрического Е^ = {0; Е (t) Е0 (х) еш\0) или
магнитного Щ] «= {0; Н (t) #0 (х) еш\ 0} поля переменной во времени
амплитуды.
Приведем принципиальную схему решения задачи при заданном
векторе напряженности электрического поля.
Трансформанта Фурье по координате х от функции
напряженности электрического поля Е* (#, z, f) = Е^ (х, z, t) еш согласно
соотношениям (1.51) запишется в виде
E§ = E(t)E(l\ E?0 = E(t)E{2\ (3.86)
где £(1) и Я(2) определяются формулами (3.10). Функции
£$ (х, z, t) (/ = 1, 2) по найденным трансформантам £(/о (£, z, t)
определяются по формуле обращения
£<Ло (х, z,f) = -^E (/) J £w (6, z) e*»db (3.87)
—оо
Трансформанта Фурье от усредненной во времени по периоду
колебания электромагнитной волны удельной мощности джоулева
тепла Q согласно (1.62) будет иметь вид
<^<5.*.0-Ф(0(^(6.*). (3.88)
где ф (0 = Е2 (f). Тогда
О^*,0«Ф(ОО^ (*.*)- (3.89)
96

Здесь Q\P определяются по формуле (3.15), т. е.
<№ <*• 2> = -Ж J J ~еФ (I - Sd. 2) Я «о, г) <r*dbfc (3.90)
—оо —оо
Положим, что биметаллический слой находится в условиях
конвективного теплообмена с внешней средой, температура которой
постоянна и равна начальной температуре слоя. Тогда трансфор-
манта T{f) (£, 2, s) Фурье по х и Лапласа по времени / от
температуры T(I) (a:, 2, t) определяется по формуле (3.32), в которую вместо
выражения Q &>z^ необходимо подставить <р (s) Q(/) (£, 2), где
^ S
Ф (s) — трансформанта Лапласа от функции ср (/) = Е2 (t). С
учетом найденного значения Тф (£, 2, s) функция Тф (х, 2, t)
определяется по формуле обращения:
а-Н°о оо м
1™ (х, z, i) = —^ ( 5ф (s) е* Г 7У (6, 2, s) e-*tf&fe, (3.91)
а—too —00
где 7;л (£, г, s) определяется формулой (3.32).,
Используя теорему о свертке для преобразования Лапласа,
функцию Т(/) (я, 2, /) можно представить в виде
i
T(i) (х, г, 0 = f -Ц^- Т? {х, г, t -Q dt0. (3.92)
6
Здесь Т[п (х, 2, t) определяется выражением (3.34).
Температурные напряжения, соответствующие конкретному
способу закрепления краев, находятся по соотношениям (3.46).
В случае одномерной задачи, т. е. при задании на поверхности
биметаллического слоя составляющей напряженности
электрического поля Е+у~ Е (t) Е0е1(*\ джоулево тепло находится по
формуле (3.49), в которой необходимо заменить Е% на E2(t)Et При этом
<?" ° -Г °lE4A3 4 [А* ^i + Absh-L + At cos -jL + A7 sin -g-
(3.93)
Q =—ir-(ch-^^ + cos-\-)'
где коэффициенты Л8 — Л7 определяются по формулам (3.49).
Трансформанта Лапласа Т{/) температурного поля Т(/) в
каждом из слоев, соответствующая распределению джоулева тепла
(3.93), запишется в виде
7(/)(2, s) = sy(s)f{J\ (3.94)
7 7-Ю2 97

где f[n (z, s) определяется формулой (3.52) при q12 = 2~~Й~^ ^ог"
да температурное поле Т (z, t) будет /
t
Г(Л (Zf 0 = j _^L г» (г> / _ g Ло, (3.95)
6
а Т^ (z, /) выражается формулой (3.55).
Если температурное поле найдено, то температурные
напряжения, соответствующие конкретному способу закрепления краев,
определяются по формулам (3.63) — (3.67).
Аналогичным путем можно записать формулы для определения
полей джоулева тепла, температуры и напряжений в
биметаллическом слое, когда на основании z = — кг задана касательная
составляющая напряженности Н*у = Н (f) Н0 (х) еш магнитного поля.
Отметим, что, используя результаты настоящей и предыдущей
глав, можно построить решение для случая, когда
электромагнитное поле в биметаллическом слое обусловлено заданными
внешними электрическими токами.

THARA Л ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ
I ЛАВА ** и НАПРЯЖЕНИЯ
В КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ
ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
В данной главе приводится решение комплексной задачи об
определении термоупругого состояния кругового цилиндра, находящегося
во внешнем установившемся или квазиустановившемся
электромагнитном поле, обусловленном заданными токами в индукторе, а
также при заданном векторе напряженности электрического поля на
поверхности цилиндра.
Приведены результаты количественного анализа
температурных полей и напряжений в зависимости от характерных режимов
работы индуктора, условий теплообмена и других факторов.
В главе содержатся в основном результаты исследований,
полученные в работах [10, 43, 45].
1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ДЖОУЛЕВО ТЕПЛО
В СПЛОШНОМ ЦИЛИНДРЕ
Решение задачи при заданных токах в индукторе. Рассмотрим
длинный сплошной цилиндр радиуса R0y помещенный в
коаксиальный с ним индуктор радиуса R1 (рис. 22). Примем, что плотность
тока в индукторе имеет отличную от нуля только угловую
составляющую, представляемую в виде
/ (г, г, 0 = /06 (r-rjftfe^ (4.1)
где г, г — цилиндрические координаты, отнесенные к R0\ гх = -^•>
о v — /i) — дельта-функция. В этом случае напряженность
электрического поля в области цилиндра Е# (z, г, /) и вне его (вакуум)
^У (z> г> 0 будет иметь отличную от нуля угловую составляющую,
которая представляется в виде
E*{zyryt)=j0E{zyr)el<*\
40)(г,г,0=/0£(0)(г,г)^.
Функции Е (z, г), £(0) (г,, z) удовлетворяют уравнениям (1.41),
которые в принятой системе координат имеют вид
*= toji0/ (г) б (г — гх) при г > гг; (4.3)
7* 99
(4.2)

(-£-+-£■+-V-V+«8-i-)fi-o /
при 0<r< 1. //
Здесь kl = е0р,0(о2, k2 = — Ш[ш.
На границе раздела г = 1 должны выполняться условия
сопряжения электромагнитного поля в области цилиндра с электромаг-
Рис. 22.
нитным полем вне его. В данном случае эти условия при г = 1
запишутся так:
£ = £«,
±(-£-+4-*)-£(-£-+-)-*•)• <М>
Функция Е{0) должна удовлетворять также условию излучения на
бесконечности
7(0)/. „х „I к™ Гд£(°>(г,г)
1ип£* (г, z) = const,
lim г -
л-+оо I
дг
+ ik0R0Ei0)(z,r)\ = 0. (4.5)
]-
Применяя к уравнениям (4.3) и условиям (4.4) преобразование
Фурье по г, получаем
(-S- + -T 4"+«S-^ «.'J-
= fo>H<7 (I) б (' — 'i) при г > 1;
£ = £<0'. 4" (-£- +±Е) = ±№+-Т £(0)) "Р« ^-1.
(4J)
too

где
ql^klRl-g, q* = k*B?0-V, (4.8)
1 е...,.1Л... (4_9>
'® = 7sTJ f®***-
Решая уравнения (4.6) с учетом граничных условий (4.7),
условия ограниченности решения при г = 0 и условия излучения (4.5),
находим
Ё&г) = А®!®Ыяг)9 (4.10)
где
АН) = folWi^faft) 4 п
w Wo/^1} too) Л to) - мо^о to) яi1* too)
Здесь Jn (х), Н(п (х) — функции Бесселя и Ханкеля первого рода
порядка п.
В соответствии с (1.63) удельная мощность усредненного по
периоду изменения электромагнитного поля джоулева тепла
находится в виде
.—оо —оо
X Л (г ]/k*Rl-(Z-t$ Jx (rVk2Rl-l$ dgodg, (4.12)
где A — комплексно-сопряженная к А функция.
В случае независимого от координаты z распределения
внешних токов в индукторе
/(г, f) = /08 (г -rx) е*»\ f © = КИЙ©. (4.13)
Тогда согласно (4.10), (4.11) для напряженности электрического
поля получим
£* (г, t) = Л/0Л (kRjr) el*\ (4.14)
где
4.=
/0i|A|l0/'1//j1> (VVl)
0 МоЗДД0 (kQR0) J, (kRQ) - МоедйУ0 (*/?o) ^(.° (*o%)
Для мощности джоулева тепла соответственно будем иметь
Q (0 = -y /*Wi (*Д/) Л (*Д«А (4.15)
В дальнейшем ограничимся случаем, когда выполняются условия
*оЯо«1, *o/?i«l. (4.16)
Воспользуемся асимптотическим представлением функций Ханкеля
и Бесселя при малом аргументе [27, 33]. Тогда выражение (4.14) за-
101

пишется в виде
EJrJ)=Aj0[ber1^+ibei1^y*<»tf /(4.17)
где /
д = (Q\i(i— 1)
/27,(ber0-^- + /bei0A-)
kR0=^-eTli, Y* = ^oK2^,
ber„#, Ье\пх — функции Томсона порядка п. При этом выражение
(4.15) для удельной мощности джоулева тепла принимает вид
Q (г) = -f /MA (ber? Jf- + bei? J£_) . (4.18)
Решение задачи при заданном на поверхности цилиндра векторе
напряженности электрического поля. Рассмотрим задачу об
определении электромагнитного поля и джоулева тепла в цилиндре при
заданном на его поверхности векторе напряженности
электрического поля Е* (г, г, f) = (О, Е0 (г)еш, 0}.
Функция Е (г, г) напряженности электрического поля в
области цилиндра для данного случая удовлетворяет уравнению
' * +-£г + -т-4- + *й-4г)Е = 0, (4.19)
^ dz2 ^ дг2 ^ г дг ^Л iVU г2 ^
граничному условию
E(z9 l)=E0(z) (4.20)
и условию ограниченности решения при г -> 0.
Применяя интегральное преобразование Фурье по координате
г к уравнению (4.19) и условию (4.20), находим
-^ + -¥-^Г+Я2-^-)Е(1,г) = 0,
£& l)-£0(g).
(4.21)
(4.22)
Решение представляется в виде
Ё&г)=Ё0®К1{я)^(Яг). (4.23)
Применение обратного преобразования Фурье к (4.23) дает
возможность найти выражение для функции напряженности
электрического поля:
Е (г, г) = -±=- [ Е0 © /Г1 (Я) J1 (qr) е~'1Щ. (4.24)
—оо
Удельная мощность джоулева тепла, усредненная по периоду
изменения электромагнитного поля, определяется при этом по фор-
102

муле (1.63). В частности, если амплитуда вектора напряженности
электрического поля на поверхности цилиндра постоянна, т. е.
Е (z, 1) = Е0у то согласно (4.23), (4.24) находим
Е (г) = E0J7l (kRo) Л (kR0r), (4.25)
Q (г) = -|- ElJV1 (kR0) Tf1 (kRo) h (kR0r) Jx (kR0r). (4.26)
Представляя функции Бесселя J± (x) через функции Томсона
berx х и be^ х, получим
Q (г) = -f $ у f- • (4-27)
Решение задачи для квазиустановившегося режима. Приведенная
выше методика определения напряженности электрического поля
и джоулева тепла может быть использована для решения задачи
в случае квазиустановившегося режима, когда ток в индукторе
задается в виде
/ (*, г, t) = / (t) /об (г - г,) f (z) еш, (4.28)
а функция / (/) удовлетворяет условиям (1.37), т. е.
dj(t)
dt
«со/(О,
d2i (t)
dt*
<О2/(0-
Соответственно (1.38), (1.39), (4.28) напряженность электрического
поля в области цилиндра и вне его (вакуум) представляется в виде
E^(ztrtt)=j(t)j0E(z}r)e^y
E{?(z,rtt)=j(t)j0Ei0)(zyr)e«»<y
где Е (г, г), £(0) (z, г) определяются из системы уравнений (4.3) —
(4.5). Удельная мощность джоулева тепла в данном случае
определяется по формуле
Q (*, г,*)---- /2 (0 /о J J А (| - Ь) Л(У е-^ х
—оо —оо
X Л (/- К^-(£-£0)*) 7l (Г V»R2-® dlodb (4.30)
2, ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ДЖОУЛЕВО ТЕПЛО
В ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ
Решение задачи при заданных токах в индукторе. Рассмотрим
длинный полый круговой цилиндр с внутренним радиусом R0 и внешним
Rly помещенный в коаксиальный с ним бесконечный индуктор
радиуса R2 (рис. 23). Предположим, как и ранее, что плотность тока
в индукторе имеет отличную от нуля только угловую составляющую
j(z,r)=j0f(z)8(r-r2)e«»<, (4.31)
103

где z, г — цилиндрические координаты, отнесенные к R0\ ft = тт.
В этом случае напряженность электрического поля в оОласти
цилиндра £* (г, г, t) и вне его (вакуум) Е®} (z, r, t) будет иметь также
отличную от нуля только угловую составляющую, которая
представляется в виде
E*(z,r,t)=j0E (г,г)е««,
M^,r,/)=/0£<Vr)e<4
(4.32)
Рис. 23.
Функции Е (г, г) и Е{0) (z, г) удовлетворяют уравнениям (1.41),
которые в принятой системе координат запишутся в виде
д2 , д2
дг2
I д2
{ дг2
dz2 ^
+
дг2
д2
дг2
д2
дг2
+ ±^ + klRl--^Ei0)=0 при0<г<1, j
+ ±^ + k*R20--^E=0 при 1<г <rlf
= i(i>\i0R0f (z) 6 (г — Га)
(4.33)
-т/, kl = е0|я0о)2, Л2 = — icofia. На
при r>rv
границах раздела
Здесь /j —т^> ^и — <>of*o
г = 1 и г = /*! должны выполняться условия сопряжения
электромагнитного поля в цилиндре с электромагнитным полем вне его.
В данном случае эти условия запишутся так:
= _Lf d£<°>(r)
Ho I
дЕ(г)
дг
+ -7-E(r)
дг
+ 4-£(0)(а)], (4.34)
7(0)
E(r) = E{V)(r) при г = 1, г =rv
104

функция £(0) (г) для области г > гх должна удовлетворять также
условиям излучения на бесконечности
Игл £(0) (г, г) = const, lim г (ijf- + ВД>£(0)) = 0- (4-35)
Применяя к уравнениям (4.33) и условиям (4.34), (4.35)
преобразование Фурье по г, получаем
(-^+-f^ + ^-^)^'') = 0 при0<г<1;
(■£+-r4+9"--i-)*&'>-0 при1<г<г1: j(436)
= iWoRJ (I) б (г — г2) при /■ > /у,
при г = 1, г = rlt
(4.37)
где
<7о
= *otfo-£a, <72 = Л2Яо-£а, /(i) = y^ J /(г)
e'*zdz.
Решая преобразованные уравнения (4.36) с учетом граничных
условий (4.37), условий излучения
lim Е (g, г) = const, lim г (-^1 + ВД£(0)) = О
r-юо г-+оо \ аг }
и условия ограниченности решения при г = О, находим
£ (I, г) = [с, (\) H\l) (qr) + с2 (|) Н? (qr)] /©,
где
Cl (g) = naR.H?>(?0г2) fooIi/tf> (?) У0 (?„) -
-WoM2)(<7)A(<7o)]^'(i).
с2 © = - яшЯ 2tff > fa/s) foeHtfi" (?) Л (<7о) -
(4.38)
«0©=^
Но
С),
Л Ы W' (Wi) [ЯГ («7/-!) ЯГ' (?) -
Jp> ■
- tf'> (?) Н? (qr,)] - qq0J0 (q0) Н? (q^) X
X [Н$> (qr,) Н? (q) - //J" (q) Н? (qrj\ -
(4.39)
105

- qq0Jl (q) H? (q^) [rf? (qrj H02) (q) _ /
- H\ (qrj M° (<?)] + -^jr J у Ш /*F (q^) [HP (q) H$> Щ-
-//gVi)^" (?)]).
Здесь H(n (x)y H{n (x) — функции Ханкеля первого и второго рода
порядка п.
Удельная мощность джоулева тепла определяется через
найденную трансформанту от напряженности электрического поля по
формуле
^ (*• '> = TF'° f J e~ilZE <'• 6 - W ^ «о. 0 <*ЬЛ- (4.40)
—оо —оо
Решение плоской осесимметричной задачи получается из (4.38) —
(4.40), если положить / (г) =» 1. Тогда
/©-1^256®, (4.41)
и напряженность электрического поля, после выполнения обратного
преобразования Фурье, будет
Е* (г, t) = /0 lMli (kR0r) + с2Н? (kR0r)] еш, (4.42)
Здесь
с\ = Я(о£2М2> (koR0r2) [koRoprf? (kR0) J0 (k0R0) —
- kR0n0H? (kRQ) Jx (k0R0)] c0-\
c'2 =» — no^jZ/f (fc0#o'2) IkoRoprf" (kR0) J0 (W —
- kR0\i0Hy (kR0) J1 (k0R0)] со'1,
со = 4r, {-^- Л (W Я&2) (£0#0n) [Я1" (kR^) H? (k0R0) -
- HP (kRJ Д(2) (W^i)] ~ ВДсЛ (W?o) М2,(*оЗД X
X [M4 (Л/Vi) ^i2> (W?o) - M" (*/?„) /Д2) (A#0n)] -
- ВД^ (kR0) M2) (Wi) [Ml) (A^oTi) M2> (*/?«) -
- M2) (A/Vi) M" ОВД + -^- Л (« # f (koRord X
r
X [Я? (kR0) H0l) (kRorJ - нр (*ад M° ОВД
Удельная мощность джоулева тепла в соответствии с (4.41), (4.42)
будет
Q (г) - -J" /о {«Vi'M1» (АЛ»г) Я*,0 (ЛДоГ) +
+ адгЙР (ft/?,/) Ш] №ог) + 2 Re [Mi" (ВД Я}2) («?/)]}.
106

При Y*r ^> 1 (y* = RoV^<*>№)> используя, как и ранее,
асимптотические представления функций Бесселя и Ханкеля, получаем
упрощенное выражение для джоулева тепла
chy,, {г — 1) +cosy» (г— 1)
Q(r)
luorrfl
chv»^!— О —cosv*(ri— 1)
(4.43)
Если ввести параметр глубины проникновения джоулева тепла
An АО Ai
-2-, то в случае, когда — 1
Y*
бп =
Y* °0
можно записать приближенное выражение
^> 1, для джоулева тепла (4.40)
Q(r) =
Щ^1
2г
6о
(4.44)
из которого видно, что параметр 6° определяет глубину
проникновения, на которой удельная мощность джоулева тепла в е раз меньше.
Решение задачи при заданном на поверхности цилиндра векторе
напряженности электрического поля. Рассмотрим задачу об
определении электромагнитного поля и джоулева тепла в полом цилиндре,
когда на одной из его поверхностей задан вектор напряженности
электрического поля, характеризуемый касательной составляющей
£* (г> 0 = {0» Е0еш\ 0}, а на другой — выполняются условия
сопряжения электромагнитного поля в области цилиндра с
электромагнитным полем вне его (вакуум). При этом будем рассматривать
два случая.
1. На внешней поверхности г = гг цилиндра задана угловая
составляющая напряженности электрического поля
£* (г, f)*=E (г) еш = Ефш при г = rlf
(4.45)
а на внутренней г = 1 выполняются условия сопряжения (1.43),
которые в данном случае имеют вид
£(г)=£(0)(г),
dE(r)
dr
+ -jrE(r)
_1
d£<°> (г)
dr
+ — E
1 г
(0)
if)
при
(4.46)
*i.
Здесь гг = б1; Е (г) — функция напряженности электрического
An
поля в области 0 < г < 1 (вакуум).
2. На внутренней поверхности г = 1 "задана угловая
составляющая напряженности электрического поля
Е*(и)=Е0е^, (4.47)
а на внешней г = гг — выполняются условия сопряжения
(4.48)
(0) ,
E(rj~f(rj,
** L
dE (rx)
dr
+ -7ГЕЫ
|-*0
dr
+ T-**(',)
107

В дальнейшем случай 1 будем называть «внешним»
индукционным нагревом, а случай 2 — «внутренним». /
Рассмотрим подробно эти два случая.
1. Для определения функции напряженности электрического
поля £ в области цилиндра необходимо решать контактную задачу:
-7F-+T--IF+ (*•*'•—Яг)£ = 0. (4-49)
£(г) = £(0)(г), при г=1 (450)
dr 1 г
Но L
dE®
*++*.].
Эта задача может быть сведена к граничной задаче для области
цилиндра при соответствующем эквивалентном граничном условии
на поверхности г = 1. Для получения такого условия будем
исходить из общего решения уравнения
<*2£(0) 1 d& , /,2/?2 lU
—&Г-.+ - dr+[koR°-7r]E
О
(4.51)
для области вакуума г < 1.
Решение уравнения (4.51) с учетом ограниченности его при г = О
представляется в виде
E^tf^DJ^koRor). (4.52)
Подставляя это решение в (4.50) и исключая постояннуюZ>, получаем
искомое граничное условие на поверхности г = 1:
-^W-_J-£(r) = 0nPHr=l.
dr
(4.53)
Таким образом, задача об определении функции Е (г) в области
цилиндра сводится к решению уравнения (4.49) при граничных
условиях
Е(г)=Е0
при г = rlf
dE(r) _J_£(r)=0 Приг = 1.
dr
Решение представляется в виде
7<2>,
где
Е (г) = Е0 [BJf? (kR0r) + 5^" (ад] Во
2 „т „ ~ ч „ 2
i-i
(4.54)
(4.55)
В, = М1 > (/г^0) - -щ- H\l) (&?„). В2 = -±- Н(? (kR0) - //о2) (kR0),
В0 = Я f> (kR0) [Я0° (ft/гвГО ^г- M'^iVi) | -
-М,)(^0)[М2)(^о''1)
WVi
НТ (kRsd
108

dE 1 - Л (4«58)
Tr -E=0 приг=г1.
Подставляя (4.55) в (1.63), получаем выражение для удельной
мощности джоулева тепла. Если воспользоваться также асимптотическим
представлением для функций Ханкеля, то получим
Q{r)~ 2 b^ ch*('1-1> -cosT.('i-U * (4'56)
2. Как и в рассмотренном выше случае, определение функции
напряженности электрического поля в области цилиндра сводится
к решению граничной задачи
-0-+Т--#+Н--^г)я = О. (4.57)
Е(г) = Е0 при г = 1,
5" '.
г /
Решение представим в виде
£ (г) = Е0 [В[Н? (kR0r) + ВгНУ (kR0r)] V, (4.59)
где
В\ = /tf > (АД^) ^- /#> (Лад,
^=пйЬг Hf) {kR°ri) _ я°2) (^°ri)-
Если подставить (4.59) в (1.63), получим выражение для джоулева
тепла. Используя асимптотическое представление функций Ханкеля,
находим
Q (Г) = -L oEl -L cos7 (^l) + chV,(r--l) (4 g0)
w 2 гх cos v* {rl — 1) + ch у* (rt — 1) v 7
Методика определения электромагнитного поля и джоулева
тепла для квазиустановившегося режима аналогична.
3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ И НАПРЯЖЕНИЯ
В СПЛОШНОМ ЦИЛИНДРЕ
Осесимметрическая задача для сплошного цилиндра. При определении
температурного поля положим, что цилиндр находится в условиях
конвективного теплообмена с внешней средой постоянной
температуры. Температура Т (г, r, t) в области цилиндра, отсчитываемая
от ее начального значения, равного температуре внешней среды,
удовлетворяет уравнению теплопроводности
(4.61)
(4.62)
д*Т , д2Г , 1 дТ RlQ
dz* + dr2 + г дг + Я,
:ловию
Г (г, г, 0) = 0
дТ
109

и граничному условию /
дТ{\г' т) + Bi Т (г, г, т) = 0 при г = 1. / (4.63)
Здесь т = —g безразмерное время; Bi = HR0— критерий Био.
%о
Задачу (4.61) — (4.63) будем решать, применяя преобразование
Фурье по 2 и конечное интегральное преобразование по г с ядром
J0 фпг)у где р„ — корни трансцендентного уравнения
РЛ(р)-В!Л(Р)=0. (4.64)
Трансформанта от температуры определяется по формуле
f & г, т) = 2 В^Тп (6. *) Л> (iV), (4-65)
п=1
где
Тп (1, т) = -^=- Г вО» ( Г rJ0 фпг) Т (г, г, т) dr) dz,
У2к А. V ' (4.66)
»—оо
Трансформанта Тп (£, т) определяется из уравнения
dTn^ Т) + Ф1 + I2) Тп & т) = Qn © (4.67)
при начальном условии
Гй(Б,0)=0. (4.68)
Здесь
Q„ © = yL J e^ ( J rQ (г, r) Л (pnr) drj dz; (4.69)
Q (г, r) — усредненная по периоду изменения электромагнитного
поля удельная мощность, джоу лева тепла, определяемая
соотношением (4.12).
Из (4.66), (4.67) получим
fn(t,*) = f^rV-e-<+l')\ (4.70)
Температурное поле находим в соответствии с (4.65) по формуле
обращения
Т (z9 г, т) = -^ 2 f ВЛ (Б, т) Л (М c-*dg. (4.71)
110

(4.72)
При осесимметричном температурном поле (4.71) в свободном
0т силовой нагрузки круговом цилиндре отличными от нуля будут
составляющие azz, аее, огп <т2Л, которые определяются через термо-
уПругий потенциал Ф и функцию Эри U по следующим формулам
Ml66-^{^-^ + ^[(2-v)A-^jy}+ j
— -fc[±Js-'*+M«~i~F-)u]-
*."rb[Jg-»» + -i-(«-Sr)u].
где Д = "^"* + W* +7дГ' Потенциал Ф и функция Эри U
удовлетворяют уравнениям
(-£-+-£-+-)-т-)«»--!±^. <«*
(-£-+-£-+-НН'"-* <^>
Поскольку на поверхности цилиндра г = 1 отсутствует силовая
нагрузка, т. е. агг = сг^ = 0, граничные условия в силу (4.72)
запишутся в виде
дг* <* \ дг* I ' при г = 1
Применим преобразование Фурье по координате z к уравнениям
(4.73), (4.74). Тогда для трансформант Ф, V от функций Ф, U,
учитывая (4.71), получаем
Ф & г, т) = - tt< f'J^ 1 jj; [ДГ1 (Р« + Г)"' ^ (I, *) У, (М +
+ /i (5, т) Л (gr) + /, (5, т) /С0 «г)]}, (4.76)
& «. '. т) = "'f'-V [/а (5. т) rJ, &r) + U (|, т) гКг (gr)].
Трансформанты компонент напряжений
a" (z'г'т) = тшг J °" & г> т) e*a*db (4-77)
—во
111

в соответствии с представлениями (4.72), определяются через Ф,
U по формулам /
+ «6 [(2 - v) Д + |г] О (I г, г)) + V2кЕе„ (т) б (|),
*Д —
°ее(Е, г,т) =-т^г[(Г --Й-)Ф& '. т) + $[
д*
дх
+ 4-((l-v)A +
Л-
} (4-78)
—^{/&г,т)|,
Из условия ограниченности напряжений при г = О имеем
/i (&,*) = Л <£.т)=о.
Если применить к условиям (4.75) преобразование Фурье и
подставить туда найденные выражения (4.76) для Ф, U, то найдем
h (g, т) = ДГ1 (g) {(- гф0 + фх) [2 (1 _ v) У, © + у„ (|) +
+ e©i[(2v-l)/0(£)-S/1©]}f
/, {%, т) = Do"' (|) {(- £2Ф0 + Фх) Л © +
+ Oil-Ус (9-Л©!}-
Здесь
ф0 (I. х) + 2 ЯГ1 Фп + IT1 Тп (|, т) J0 ф„),
п=\
Фг (1. т) = £ В» Ф» + ^ Р"Г« & т) Л фп),
п=1
*>о О = lh О + 2(1- 2v) /0 (1) Л (|) +
*.—1
(4.79)
■+rl(E,-2 + 2v)/f©.
Соотношения (4.72) — (4.77) дают возможность записать в
квадратурах выражения для компонент температурных напряжений,
соответствующих осесимметричному температурному полю (4.71).
112

Плоская задача для сплошного цилиндра. Остановимся более
подсобно на решении задачи в случае индукционного нагрева
цилиндра по толщине, когда функция Q определяется соотношением (4.18).
Температурное поле, соответствующее такому нагреву, при
нулевой начальной температуре и конвективном теплообмене с внешней
средой, в соответствии с (4.69) — (4.71), определится соотношением
T(r9T) = 2%Tn(%)JQM9 (4.80)
n=l
где
Тп (т) - jlanT0 (1 - Г*). Го = # АЛ. <4'81)
ап = РГ2 [А (Р„) + А Фп)Г] ( г (ber? Ж- + bei? Jf\ Ja фпг) dr.
0 ^ '
(4.82)
При малой относительной глубине проникновения
индукционных токов джоулево тепло сосредоточено в приповерхностном слое.
Поэтому для упрощения расчетных формул точное распределение
джоулева тепла можно заменить некоторым приближенным,
оставляя постоянной суммарную мощность джоулева тепла по
поперечному сечению. Найдем коэффициенты ап для двух характерных
приближенных распределений джоулева тепла: постоянной амплитуды
приповерхностное и поверхностное.
Суммарная по поперечному сечению мощность QcyM =
= 2л j rQ (г) dr на основании (4.18) будет
о
Qcy„ = -^- jlA0Ao (ber, -*- bei,' -f- _ bei, -*- ber,' -£■) , (4.83)
где штрихом отмечена производная по аргументу.
Рассмотрим сначала случай, когда действительному
распределению джоулева тепла ставится в соответствие приповерхностное
распределение в слое 1 — б0 < г <; 1 толщиной 80 с постоянной
плотностью Qx = -^L_—^# Тогда коэффициент ап согласно
2л60 II -2б°)
(4.82) представим в виде
Q 1-^1 (Рл) — (1 — «о) /i (Pi» — Рябо)!
Рп[/?(Рл)+ /§№*)]
Для предельной аппроксимации распределения джоулева тепла
эквивалентным по суммарной мощности поверхностным
распределением имеем
QcyuJo (Рл)
(4.85)
" 2я[^1(Рп) + /§(Рп)]
8 7-102 Ш

Температурное поле при указанных приближениях определяется
по формулам (4.80) — (4.82), в которых необходимо положить7
Тп(Ът)=УЫ8&)Гп(т). / (4.86)
Коэффициенты ап для рассматриваемых приближений определяются
соответственно по формулам (4.84), (4.85).
Температурные напряжения в свободном от силовой нагрузки
цилиндре найдем из (4.76) — (4.79). При этом получим
** (г*т) = -г=т 2 тп W (2Р^А фп) - J0 фпг)1
л=1
2atE
o—1—l
<*« (г, т) = -f2CL 2 Тп (т) [РГЛ (Р„) - KTV-Vi (pnr)]f
л=1
<*» (Г, Т) = -g- J 7„ (Т) [р^-'Л (р„) + KTV-Vx фпГ)
п=1
(4.87)
<Ъг (Г, Т) = 0.
Осесиммешрическая задача для полого цилиндра. Положим, как
и ранее, что цилиндр находится в условиях конвективного
теплообмена с внешней средой постоянной температуры. Начальная
температура цилиндра равна температуре внешней среды.
Температурное поле в области цилиндра Т (z, г, т), обусловленное
расределением джоулева тепла (4.40), определяется из решения
уравнения теплопроводности
RoQ = дТ
X дт
д2Т
dz* ' дг*
при начальном условии
+ г дг +
Г(*,г,0)=0
(4.88)
(4.89)
и граничных условиях
дТ (г, г, т)
дг
дГ(г, /•, т)
ЭТ(У'Т) + Bi2T(z, г, т) = 0 при r = rlf
— Bix Г (г,/*, т) =0 при г = 1.
(4.90)
дг
а/
Здесь т = —2 безразмерное время; Bix = Ях/?0, Bi2 = H2R0 —
#о
критерии Био; Я2, Нх — коэффициенты теплоотдачи на внешней
и внутренней поверхностях цилиндра.
Для решения задачи (4.88) — (4.90) применим интегральное
преобразование Фурье по г и конечное преобразование по г с ядром
(31,761:
К Ы) = [Уо (Уп) + ^Yi (Тп)] 'о (Упг) -
-[^e(Y») + ^-A(Tn)]^o(TnO.
(4,91)
114

где Уп (х) ~~~ ФУнкиия Бесселя второго рода порядка п\ уп — корни
трансцендентного уравнения
[ТЛ (Y) + Bi1 Л (Y)J lY^i М - Bi2 К0 ('iY)l -
- lyY, (у) + Bh Y0 (у)] [yJ, (rlY) - Bi2 У0 (rlY)] = 0. (4.92)
Трансформанта от температуры определяется по формуле
Т (Ь г, т) = 2 Вп1 Тп (I, т) К (уЛ (4.93)
где
В^-Н^ + Вф/С*^)-
я*В^
«>т) = 71д~ J e&^rK(yar)T(z,r,x)dr}dz (4.94)
—-oo 1
удовлетворяет уравнению
drl5' T) + (Y» + Г) Г„ (|, т) = Qn (I) (4.95)
и начальному условию
fn(l,0)=0. (4.96)
Здесь
Qn © = -^- J e<U ((' rtf (7„r) Q (z, r) dr] dz. (4.97)
—oo 1
Температурное поле найдем по формуле обращения
Т (z, г, т) = ^— J е-^ДГ1 Г„ (Ь т) К (ynr) dt (4.98)
—oo
Квазиустановившееся термоупругое состояние,
соответствующее температурному полю (4.98), можно определять, используя
представление температурных напряжений через термоупругий
потенциал Ф и функцию Эри £/, как и для сплошного цилиндра.
Плоская задача для полого цилиндра. В данном случае
температурное поле определяется по формуле (4.98), в которой необходимо
положить
Тогда
Тп(1^)=У2пЬ(1)Тп(х),
Tn(T)=y?Qn(l-e-"fh
Qn = -^-\rK(ynr)Q(r)dr.
i
T(r,T) = ftB71Tn(x)K(yn,r).
л=1
(4.99)
(4.100)
(4.101)
(4.102)
115

При определении температурных напряжений будем
предполагать, что цилиндр свободен от внешней силовой нагрузки/Для
температурного поля (4.102) осевые azz, кольцевые аее и /радиальные
огг напряжения записываются в виде /
Огг = 2a0 f Уп1В~1Тп (т) Lv(УпГ,) - V(уп) -4- Yn (г\-\)К(упг)\,
(4.103)
аее = «о 2 ТГ'ДГ'П (т) Ц. [г^ for,) - гК (Тяа)1 +
+ 4 [гК (v„r) - V (Yn)] + г^ (Ynrx)- V (Yn) - Y„ С? - 1) К (yar)},
(4.104)
on = «о 2 Y^X (т) {4 [V (Y„) - rV (yar)] +
П=1 Г
+ -^ [/-V (v„0 - rxV (Y„rx)] + rtK (Y„rx) - У (y„)} . (4.105)
При этом
V(ynr) = [Y0(yn) + ^-Y1(yn)
•MY//) —
[jo(yn)+^Ji(yn)]Yi(ynr),
atE
(1—v)(rf—1) *
Отметим, что если в приведенных выражениях для
температурного поля и температурных напряжений в качестве функции Q для
удельной мощности джоулева тепла принять (4.56), (4.60), то
получим формулы для определения термоупругого состояния полого
цилиндра в случае, когда на внешней или внутренней поверхности
задается вектор напряженности электрического поля.
Термоупругое состояние полого цилиндра в квазиустановившем-
ся электромагнитном поле. Приведем решение задачи об
определении термоупругого состояния длинного полого цилиндра,
находящегося во внешнем квазиустановившемся электромагнитном поле,
обусловленном внешними токами переменной во времени амплитуды
(4.28). В этом случае удельная мощность джоулева тепла
определяется из формулы (1.63):
Q (z, г, т) = -1- j\j* (т) J J е-ЪЁ (I -1„, г) Ё (|0, г) <ф&, (4.106)
—оо ■—оо
где Е (£, г) задается соотношениями (4.38), (4.39).
116

Температурное поле в рассматриваемом случае находится по
формуле
Т{Z' r' Т) = W $ В»]Г'12Тп(8. т)К(упг)(Ц (4.107)
где
-(V2n+l*)(x-To)
0
^ (i> T) = ~j/tir f e'|z (JrK (lv) Q {z> r«T) dr)dz-
Для определения температурных напряжений,соответствующих
данному температурному полю, может быть использована методика,
изложенная выше.
В приложениях представляет интерес рассмотрение таких
режимов изменений во времени токов в индукторе, при которых
обеспечивается повышение температуры одной из поверхностей до заданного
уровня Г# за время т0. Если за такую поверхность принята поверх_-
ность r = rv условие нагрева можно записать в виде
Т(г,т0) = Т* при r = rv (4.108)
Тогда температурное поле будет
2 В-1Тп(х)К(упг)
Т (г, т) = Г* -5=! , (4.109)
2 В-1Тп(х0)К(упг)
где
п=1
-у2пх г .о,. v:t0
TnW~q.fi п \}4^)en0dxot
о
Чп="тгЦ1 rK(ynr)Q(r,x)dr.
1
Для постоянной во времени мощности индуктора (/ (т) = 1)
ТпЮ = -Ц-(1-е^я\ (4.110)
Уп
117

.* Если амплитуда тока возрастает во времени по степенному
закону (/ (т) = тт, т = 1, 2, ...), то
Тп (т) = qn
т"1 , у (_l)sm(m-1) . . . (m-s-KQt"1"
s=l
y2 ' £ <$*+«
(— l)mm! e Л
W1
2чт+1
(4.111)
Температурные напряжения определяются при этом по
формулам (4.103) — (4.105), где Тп (т) имеет соответственно вид (4.110)
или (4.111).
Полученное решение дает возможность провести широкий
анализ температурных полей и напряжений в зависимости от режима
работы индуктора. Такой анализ может быть положен в основу
методики выбора рациональных режимов индукционного нагрева.
Ниже приводятся результаты количественного анализа решения
задачи для двух частных случаев, когда ток в индукторе постоянной
амплитуды или изменяется во времени, следуя линейному закону.
4. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ
ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
Приведем результаты количественных исследований
нестационарных температурных полей и напряжений в полом цилиндре при
индукционном нагреве по толщине в зависимости от режима работы
индуктора, задаваемого функцией / (т) (4.28), характера распределения
джоулева тепла, зависящего от относительной глубины его
проникновения 60, а также условий теплообмена.
Влияние режима работы индуктора. Анализ выполнен для двух
режимов работы индуктора: амплитуда плотности тока постоянна
(/ (т) = 1) — первый режим и линейно возрастающая во времени
(/ (т) = т) — второй режим. Амплитуда выбиралась так, чтобы за
время т0 = 0,083 на внешней поверхности цилиндра достигалась
заданная температура 7^. Принято Bix = Bi2 = 0,1, r2 = 1,05,
б0 = 0,065.
Изменение уровня температуры в процессе нагрева можно харак-
теризовать величиной Т\ = —^ • Здесь и в дальнейшем знаки
«плюс» и «минус» в индексах соответствуют значениям функций
при г = г± иг = 1; Г+, Т~ — температура соответственно на
внешней и внутренней поверхностях. Графики изменения уровня
температуры во времени представлены на рис. 24. Кривая /
соответствует первому режиму нагрева, кривая 2 — второму. Как видим, в
первом режиме изменение Т\ близко к равномерному, для второго
режима характерен низкий уровень температуры в начальный период
нагрева и резкое возрастание в конечный период.
118

Изменение температурного поля по толщине будем
характеризовать величиной Т2
т (г, т) — т (1,т)
Эта величина
представлена для первого режима на рис. 25 при т/т0 = 0,01; 0,03; 1
(соответственно кривые 1—3), для второго режима на рис. 26 при т/т0 =
= 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1 (соответственно кривые 1—6). Из
графиков видно, что при первом режиме в окрестности т/т0 = 0,05 по
толщине устанавливается распределение температуры, близкое к
стационарному, при втором режиме нагрева перепад температуры Tl
со временем возрастает, следуя закону, близкому к квадратичному.
№
и
2 1 1
Рис. 24.
1/3 2/3 £
ом\
ол
—-Ё
^
л
г
^
к
^
г
«4
0,8 /fcr
Рис. 25.
Рис. 27.
Рис. 26.
т*
flMf,
v,U0O
OfiW
0
//
У/
У\
71
Л
Л
Зч|
1 2^
\?\
0,25 0,50 0,15 Rjt
б*
0,0056
0
-0,0056
шПМЮ
■^v5
у
г'
хИ
К/1
jvJ
I 5/v
0,25 ф W £r
A*
119

Вычисления температурных напряжений для обоих режимов
показали, что а™ах примерно на два порядка меньше, чем age* или а™\
а значения составляющих gqq и ozz близки между собой цб толщине
цилиндра и равны друг другу на поверхностях.
На рис. 27 показано распределение безразмерных осевых напря-
жений —- по толщине цилиндра для т/т0 = 0,002; 0,004; 0,01;
0,03; 1 (соответственно кривые 1—5) при первом режиме нагрева.
Из рисунка видно, что в рассматриваемом случае температур-
Рис. 28.
Рис. 29.
ные напряжения агг достигают наибольшей величины на
поверхностях (на внешней — сжимающие, на внутренней —
растягивающие).
Кривые на рис. 28 представляют распределение напряжений
о
— по толщине стенки при втором режиме нагрева для т/т0 = 0,2;
а0
0,4; 0,6; 0,8; 0,9; 1 (соответственно кривые 1—6). Сравнивая
рисунки 27 и 28, видим, что максимальные температурные напряжения для
второго режима примерно в три раза превышают максимальные
напряжения для этого же момента времени при первом режиме
нагрева.
На рис. 29, а показано изменение во времени величин
^+
<7о
= ooz и — = o0z при первом режиме нагрева, а на рис. 29, б —
те же величины для второго режима. Из рисунка видно, что при
первом режиме | atz \ достигает наибольшего значения уже вблизи
х/т0 = 0,05, а в дальнейшем происходит его монотонное убывание;
120

\aZ\ монотонно возрастает, при этом в начальный период
наблюдается резкое возрастание. При втором режиме нагрева величины
оХ и о7г монотонно возрастают со временем, достигая
наибольшей величины в момент выхода на заданную температуру. Из
полученных результатов следует, что при первом режиме нагрева
уровень максимальных напряжений значительно ниже по сравнению
с их уровнем при втором режиме.
На основании приведенного анализа для условий
приповерхностного нагрева полого цилиндра можно сделать следующие выводы.
Рис. 30.
7®Юг
1,0
0,5
f)
-J
Bit'0
3
\
уУ
****
V
^
-*?
\
I
W
OS
V
BifBi,
(
\
^7
2v^
OJt
Ofi
\J
Bif2Bi,
2
\
£
,si
<
/<
/
A
~v\
f/t W Rfr
Рис. 31.
2,5\
\BifBi,
/
V.
s.
—. —
2
/3
1
ж
0/i
7*
5
if
1,0
ir^
BifO
A
3v
^
<
-/L
0tb
°\
-si
\Bif2Bi,
/
yl
>
л
^
V*
40 RjT
m

При нагреве по первому режиму (/(т) = 1) перепад
^температурного поля и распределения температурных напряжений по
толщине уже в начальный период нагрева близки к установившимся.
При нагреве по второму режиму (/ (т) = т) перепады температуры
и температурные напряжения практически изменяются во
времени пропорционально /2 (т).
В тех случаях, когда в процессе нагрева требуется обеспечить
минимальные температурные напряжения, первый режим
предпочтительнее по сравнению со вторым. В дальнейшем ограничимся
бгг
J.5I
-7
г
^
Ч
>
h
BifO
^
\^
o/f
W
S
°\
-3
-6
б
^
^^t
^
А
к
р*
/
ч
ч
BifBi,
Nj
^Ч
2^
/>
3^
Bi2'2Bi\
ол
0,8 Цсг. О
/,5
0
-1,5
О3
Bit'2Bi,
X
\
/
//
у\
~S1
ол
Рис. 32
Рис. 33.
рассмотрением режима работы "индуктора на постоянной
мощности как обеспечивающего более низкий уровень температурных
напряжений.
122

Влияние глубины проникновения джоулева тепла и условий
теплообмена с внешней средой. Исследования выполнялись для цилиндров
с г = 1,1 при б0 = 0,07; 0,6; Bi-, = 0,1 и трех условиях
теплоотдачи с внешней поверхности Bi2 = 0; Bix; 2Bix. Значение
амплитуды плотности тока выбиралось так, чтобы за время т0 = 0,3 на
внешней поверхности достигалась температура Г*.
На рис. 30 и 31 представлены результаты исследований
перепада температуры Т{2) соответственно при б0 = 0,07 и б0 = 0,6 для
моментов времени т/т0 = 0,005; 0,05; 1 (кривые /—3). Распределение
Рис. 34.
осевых напряжений —— по толщине для тех же моментов (кривые
1—3) при б0 = 0,007 и 60 = 0,6 показано соответственно на рис. 32
и 33. На рис. 34 и 35 представлено изменение во времени осевых на-
пряжении -^— = ojZy -J±- = o0z на внешней и внутренней
поверхностях для Bix = 0,1 при Bi2 = 0 (сплошные линии), Bi2 = Bi!
(штриховые линии) и Bi2 = 2Bix (штрихпунктирные линии).
Из рис. 30, 31 видно, что в случае приповерхностного
распределения джоулева тепла при всех рассмотренных значениях Bi2
изменение температуры по толщине качественно одинаковое. При этом
температура монотонно возрастает от внутренней к внешней поверх-
123

ности. В случае 60 — 0,6, когда распределение джоулева тепла
близко к равномерному, при теплоизоляции внешней поверхности
Bi2 = 0 характер изменения температуры по толщине качественно
такой же, как и в случае приповерхностного распределения
джоулева тепла, а при теплоотдаче с обеих поверхностей (Bi2 = Bix;
Bi2 = 2Bix) наибольшая температура достигается в середине
цилиндра.
Как видно из графиков температурных напряжений,
приведенных на рис. 32 и 33, в точках, где температура выше средней по тол-
Рис. 35.
щине, имеют место сжимающие напряжения, а в точках, где
температура ниже средней по толщине,— растягивающие. При этом
наибольшие по величине напряжения имеют место на поверхностях
цилиндра или в их окрестности. Результаты исследования временной
зависимости максимальных напряжений на поверхностях цилиндра
представлены на рис. 34, 35. Из приведенных графиков видно, что
уровень напряжений в случае малой глубины проникновения
джоулева тепла выше, чем при их распределении, близком к
равномерному.
Результаты исследования влияния величины коэффициентов
теплообмена на уровень напряжений представлены на рис. 36.
Вычисления проводились при Bi2 = 2Bix для Bix = 0,1 (сплошные
линии), Bix = 0,2 (штриховые линии) в двух случаях: б0 = 0,035,
гх = 1,1 (кривые /) и б0 = 0,025, г2 = 1,2 (кривые 2). Из рисунка
124

идно, что уровень температурных напряжений возрастает с
увеличением коэффициента теплоотдачи.
Время появления максимальных температурных напряжений.
В процессе нагрева важным является не только определение уровня
и места нахождения максимальных напряжений, но и время, при
котором они достигаются.
На рис. 34, 36 представлено изменение во времени осевых напря-
для б0 = 0,07 (рис. 34) и 60 = 0,025;
жении
°о
O"0z> OOz, <*02
Рис. 36.
0,035 (рис. 36) при различных значениях коэффициента теплоотдачи Bi
на поверхностях цилиндра г = 1; гг. Из приведенных графиков видно,
что в случае приповерхностного распределения джоулева тепла при
Bi2 = 2Bix напряжения на обеих поверхностях достигают
максимального значения уже в самом начале нагрева. При Bi2 = Bi2
максимум ooz достигается в начале нагрева, а а^ — в конечный момент,
а при Bi2 = 0 — в момент т = т0 достижения температуры Т*.
В случае распределения джоулева тепла по толщине, близкого
к равномерному (рис. 35), напряжения на поверхностях достигают
наибольшего значения в момент т = т0. Исключение составляет
ом при Bi2 = 2Bix, но это не меняет отмеченной закономерности,
так как величина gqz в данном случае мала.
Из рис. 36 видно, что величина коэффициента теплообмена не
оказывает существенного влияния на момент появления наибольших
напряжений.
125

5. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ЦИЛИНДРА
Осесимметрическая задача об упруго-пластическом
деформировании цилиндров при наличии заданного теплового воздействия
рассматривалась в работе [32].
Рассмотрим задачу об упруго-пластическом равновесии
сплошного цилиндра, свободного от механической нагрузки,
применительно к условиям индукционного нагрева.
При определении напряженно-деформированного состояния в
упруго-пластической области предполагаем, что рассматриваемый
цилиндр выполнен из идеально-пластического несжимаемого
материала (v = 0,5), который подчиняется условию текучести Треска —
Сен-Венана.
Компоненты пластической деформации в области, где
пластический потенциал, который выбран в виде функции текучести Треска
f = max {| orr — (Уее |, | огее — ozzi | ozz — orr |}, регулярен,
выражаются зависимостями [35, 85, 87]
е'гг-к^-, «е-Ц^. £=Ц£-. (4-112)
а в сингулярном режиме — формулами
^ = л1"^- + ^-э^"« ^ = я1^г+^-^-
= i -Jh-A_iJh
(4.113)
ezz = ^i -^г1—V К
2
до„ ' 2 да.
гг
(точка обозначает дифференцирование по времени т).
Задача решается для цилиндра из стали 1Х18Н9Т при у* = 20,
/о = 6 • 106 А/м, Bi = 0,1.
Анализ упругого решения (4.87) показывает, что пластическое
течение начинается с поверхности цилиндра г = 1. При этом
пластическая область гг (т) < г < 1 состоит из двух зон, разделенных
поверхностью г = г2 (т). Напряженное состояние в зоне г2 (т)^ г <
< 1 характеризуется сингулярным режимом нагружения:
Orr — (Tee = orr — Ozz = от, (4.114)
в зоне гг (т) < г < г2 (т) — регулярным:
Огг — oqq = от. (4.115)
Из уравнения равновесия
dorr + *„-(,„ =Q> (4Л1б)
dr ' /•
используя (4.113), (4.115) и условия равновесия при г = г2, г = 1,
находим
<т„ == — аг In г, аее = ozz = — аг (In г + 1) при га < г < 1,
агг = — аг In г, аее = — стг(1пг + 1) при г1<г<г2.
126

Из выражения (4.112) и начального условия e"2Z = 0 следует,
чт0 в области ^ < г < г2 егг (т) = 0. Поэтому
агг = Е (егг — а/Г) + 0,5 (а„ + ае9). (4.118)
Компоненты напряжений в упругой области 0 < г < гх (т)
запишутся в виде
о„ = - 4а,£ 2 PiT1''-1^» (т) Л (М + «1 ft.
"=I (4.119)
tree = 4а,£ f Тп W ЮЛ-'^ (p„r) - /0 (p„r)] + ах (т).
Из условий равновесия и текучести при г = г1э г = г2, которые
имеют вид
{<*гг, cTeeJ^+o = {стгг, аее^-о,
{Orr, сгее, ст22}Г2+о = {стГл, сгее, огг2}Г2_0,
и условий свободных концов находим
ezz (Т) =
"2£ ЛГ"
+ 4а,2Р71/-2-1ГЛ(т)Л(Р/гг2),
гс=1
«IW = f (21п г2 + 1) + 2atE 2 Тп (г) /0 (р^),
п=1
4<xtE 2 Г» W [2РГ гГЛ (р„гх) - /0 (§„/-,)] = - от,
п=1
(4.120)
4а,£г| 2 Гп (т) [2РГГГЛ (р„г2) - /0 (р„г2)] = - ат. \
Последние два уравнения определяют законы движения границ
пластических зон.
Из уравнений несжимаемости -£- -\—-—\- егг = За,Г находим
и = 1Г гегг + 6а, 2 $п1Тп (т) J, фпг),
л=1
где и — радиальная компонента вектора перемещения.
Используя соотношения Коши для компонент полной
деформации err = ~у eQQ = —, закон Гука и формулы (4.117) — (4.119),
запишем компоненты пластической деформации:
при г2 < г ^ 1
Кг = —°-f - иг - 2«, 2 тп W [Зр^г"1/! фпг) - 2J0 фпг)1
л=1
4 = -г + ^г - 2<х< 2 Тя (т) 70 (Р„г),
(4.121)
127

«w = Ж Г е" + 2а< 2 Тп W [3PJ-V-V! (р„г) - /в (р„г)],/
при гх < г < га у
О 75ст °°
<, = V1 ~ За, 2 Г» W [грГ'г^'Л (Р„г) - /0 (ft/)]. (4.122)
В момент т == т* зарождения области разгрузки в некотором
сечении г = г3 (т*) скорость изменения удельной пластической
работы Wp равна нулю, т. е.
Wp = orre;r + <тее4 + **4 = °- (4-*23)
Из формул (4.112), (4.113), (4.121), (4.122) видно, что условие (4.123)
для сингулярной области эквивалентно условию
X [ЗР^'г-'Л (Р„г) - 2J0 (ft/) + р^'гГ'Л (ft/,)] = 0, (4.124)
для регулярной — условию
err = еее ~
= - За,Г0 2 апе~& [2&Г1г-1^ (ft/) - J0 (ft/)] = 0. (4.125)
Численный анализ условий (4.124) и (4.125) для
рассматриваемого цилиндра показывает, что разгрузка начинается с
поверхности цилиндра т = 1 прит* = 0,25. Для т > 0,25 область разгрузки
распространяется до г = г3 (т). В области разгрузки г3 (т) < г <
< 1 напряжения, вызванные пластическими деформациями и
температурой, удовлетворяют уравнению равновесия (4.116) и уравнению
совместности деформаций
+ w rr =0.
1 г
+ — j (Orr — Oqb) =
dr l r
Используя закон Гука, последнее уравнение приводим к виду
d
dr
+ 2*<Е^-. (4.126)
"Компоненты пластической деформации в правой части находятся
по формулам (4.121) и (4.122), в которых следует положить т = т (г),
где т (г) — время прохождения границы области разгрузки через
сечение г = const.
128
3 п
<* (4)+ о,54)
dr
e"rr — e"eo I
Г |

Из уравнений (4.116), (4.126) находим
i-.—i'i
en = с + ■%■ - 4се,£ ^ Р^'г-Г,, (т) J, фпг) +
П=?1
, 2Е С err W — еее W .
(гее = с —£- + 4atE f Г; (т) [p^V"1/, фаг) - J0 фпг)) +
П=1
Ozz = E (егг — е"я (г) — atT) + 0,5 (orr + oree).
I (4.127)
В зонах области нагружения r2 < г < г3 и гг < г < г2, а также
в упругой области 0 < г < гх выражения для компонент
напряжения определяются аналогично случаю отсутствия области
разгрузки:
Orr = — 0Т 1П Г + Съ
<тее = azz = — от (1г
Orr = — От 1П Г + С3>
аее = — а7 (In г + 1) + с3> | при гх < г < г2; (4.129)
Ozz =■ £ (^22 — а,Г) + 0,5 (а„ + аее)
*• ] при г2<г</-3; (4.128)
1—1 г
arr = с4-4а,£ 2 t£r~lTn(г)Л(р„г),
П=1
1--1
а99 = с4 + 4а,£ 2 Тп W IPJTV-Vx (р„г) - 70 (р„>)],
П=1
o2Z = £ (егг — а,£) + 0,5 (аГГ +
при 0 < г < rv
(4.130)
Используя условия равновесия и текучести при г = 1; г3;
га; гх, находим
и
^Г „2 2£ ГГ Лт —«Й9 .1 ,
С = Г 'з Я" I V 1 ОГ,г~1 +
1
+ J%- [2е;9 (г3) + <г (г8)] + 4ос,£ 2 ^ W ffc"''i (Ю ■
-Р^ЧЛФ^+т-^аФп'-в)
9 7-102
129

с, =
°Т 2.
£/•§
+ AatE S Г,; (т) [рЛзЛ (р„гз) - -f У0 (р„г8)]
/
\ (4.131)
с2 = с3 = 4сс,£ ^ Г» (т) [&" А (Р«) - К" Vi (P«r») -
1-4
••МЫ
+ _^L(21nr, + l-/f)-
Я(1 —/f)
— — J ; dr з l2eee (гз) + ezz (rs) ]
r,
c* - c, - -Y- О + 2 In /4) + 4a,£ Jj °'5r* (T) yo (iVi).
4a,£ 2 7\. W [2|3;Г VA (Р,Л) - -/„ (P^i)! = - от,
4a,£ jjj Tn (t) J0 (Р.Г,) — 2Еегг = ar.
Последние два уравнения для т > т* определяют законы движения
границ г = г1 (т) и /* = г2 (т) пластических зон.
Как видно из предпоследних соотношений (4.120) и (4.131),
появление области разгрузки не влияет на движение границы г =
— ri (т) раздела упругой и пластической областей.
При условии свободных концов
1 . 1
eZz =
4a/
l+d
^Kdr+3(i+L,J
2 —'3
r<?eedr —
. ^ 2 2 ■ S ВГХ W Mi M - Vi (P„r2) - y, (pj] +
a r2 — r2
+ "2g" ll^-r2 ПРИ Гз>Г2(т)'
(4.132)
'2 — Л3
1
** = 4a, ^ (Л (t) Л (PJ + 2 J r^dr + — j reQQdr при r3 < r2 (т).
n=l
(4.133)
На основании (4.113), используя (4.12), (4.122) и последнее
уравнение (4.131), получаем закон движения г3 = г3 (т) границы
области разгрузки
2 к7>-р«т [бр^'г-1^ (рпг) - 4У0 (ft/) +
л=1 1>
130

+ 4J0 M] - №n W h (РЛ) J^L) = 0 при г2 (т) < г3 (т)< 1,
(4.134)
2 ^е4^ I Wnlr-lJx фпг) - J0 фпг)] = 0 при гг (т) < г8 (т) < г2 (т).
(4.135)
Анализ численного решения уравнения движения границы
гг (т) показывает, что скорость движения границы гх (т) для т > т*
Рис. 37.
Рис. 39,
О 0,8
пренебрежимо мала и для т = т** = 0,3 практически равна нулю.
Можно показать также, что при т = т** разгрузка распространится
на всю пластическую область, т. е. г3 (т**) = гг (т).
О*
у 131

Для упрощения численного исследования закона движения
г3 = г3 (т) примем в уравнении (4.134) г2 (т) да г2 (т*) {—г- = 0).
В этом случае уравнение (4.134) может быть решено Численным
методом и определена функция т (г), которая входит в формулы (4.121)
и (4.122) для компонент пластических деформации в области
разгрузки. При этом осевая деформация егг находится из последнего
соотношения (4.131), где полагаем г2 (т) = г2 (т*). Интересно отметить,
что при определении пластических деформаций, соответствующих
моменту полной разгрузки т = т*, в формулах (4.121), (4.122)
можно заменить функцию т (г) ее значением для некоторого г* (гх<
< г* < 1), т* < т (г*) < т**. Отклонения максимальных значений
компонент пластической деформации не превышают 4%. В
дальнейшем будем считать, что момент времени т = т** совпадает с моментом
выключения индуктора т** = т0.
Анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра для
т > т0 показывает, что после выключения индуктора (отсутствие
тепловых источников) области пластического нагружения не
возникают. Это означает, что распределение пластических деформаций,
соответствующее моменту т= т**, представляет собой одновременно
распределение остаточных пластических деформаций в момент
термического равновесия Т = 0.
> Результаты вычислений приведены в виде графиков (рис. 37—
39), на которых для сравнения даны также результаты вычислений
остаточных напряжений и деформаций при замене точного
распределения источников тепла приближенными, соответствующими
приповерхностному (в слое толщиной б0) и поверхностному
распределениям. При этом радиальные напряжения (деформации) <г# = оГГ
10~7 Н/м2 для точного и указанных приближенных распределений
источников тепла изображены соответственно на рисунках
сплошными, штриховыми и штрихпунктирными линиями. При
вычислении остаточных пластических деформаций принято т (г*) = т**.
На рис. 37 приведены графики компонент напряжений для трех
моментов времени; т = 0,07 (момент появления текучести при
г = 1 (кривая 1)у т = т** = 0,3 (кривая 2), т = 0,35 (кривая 3).
На рис. 38 и 39 даны соответственно остаточные напряжения при
т = оо и остаточные пластические деформации для трех законов
распределения источников тепла: точное — кривая 7,
приповерхностное — кривая 2, поверхностное — кривая 3.
Из графиков видно, что при определении остаточных напряжений
(пластических деформаций) с достаточной точностью можно
заменять действительное распределение источников тепла равномерным
в приповерхностном слое толщиной, равной глубине проникновения
индукционных токов.
132

ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ
ТОНКИХ ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ
ОБОЛОЧЕК
В УСТАНОВИВШЕМСЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
В данной главе приведены основные уравнения для определения
электромагнитного и температурного полей в тонких
электропроводных оболочках, полученные из уравнений Максвелла и
теплопроводности без априорного предположения о законе изменения по
толщине оболочки электромагнитного поля, индукционных токов, джо-
улева тепла и температуры. При этом исходная система уравнений
электродинамики и теплопроводности упрощается только за счет
малости геометрических параметров оболочки. Для определения
температурных напряжений используются известные соотношения
термоупругости тонких оболочек, основанные на применении
гипотезы Кирхгофа — Лява. В предлагаемом методе решения задачи
искомые решения уравнений элекродинамики и
теплопроводности представляются в виде разложения в ряд по системе
собственных функций рассматриваемой краевой задачи. Выполненены
исследования температурных полей и напряжений в зависимости
от условий теплообмена на боковых поверхностях, геометрических
параметров оболочки и схем индукционного нагрева [14, 16, 861.
1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Рассматривается тонкая электропроводная упругая оболочка
постоянной толщины 2ft из неферромагнитного материала. Оболочка
отнесена к смешанной криволинейной системе координат a, (J, у
(рис. 40), где а, р — координаты срединной поверхности оболочки,
у — координата, определяющая положение точки по толщине
оболочки (—h < у < А).-При этом предполагается, что линии ос, (J на
срединной поверхности являются линиями главных кривизн этой
поверхности, величины хД к2Н малы по сравнению с единицей.
Здесь хх, х2 — главные кривизны срединной поверхности оболочки.
Оболочка находится в условиях индукционного нагрева
установившимися периодическими во времени токами повышенной частоты.
В качестве исходных уравнений при определении
электромагнитного поля в области оболочки принимается известная система
уравнений Максвелла (1.19) для области электропроводного тела
при постоянных характеристиках материала.
Уравнения для определения функции напряженности
электрического поля Е (а, Р, у) = £* (а, р, у, t) е~ш в области оболочки
ГЛАВА
13*

согласно (1.53) имеют вид
АЁ + k2E = О,
div Е = 0.
k2 = — /со(яа,
Г д ( Уу д \
[ да [ ha да )-*-
Здесь
Д =
hahfihy
^ ду
кн
div £" =
КНнч
д__
v дУ
д
д 1 hahv
ар [ аэ
»
/
-4-)+
(5.1)
(5.2)
В рассматриваемой смешанной ортогональной системе координат
коэффициенты Ляме fta, ftp, /iv, входящие в выражение для
операторов Д и div, предствляются в виде fta = А (1 + х^), ftp = В (1 +
+х2 у), ftv = 1, где Л, В—коэффициенты первой квадратичной
формы срединной поверхности оболочки. В соответствии с принятыми
допущениями, пренебрегая величинами хху, щу по сравнению с
единицей, получаем
A = V2 +
ду2
+*«-k>
div Е
1
ЪЕ.
А да
а . 1
ая,
э
в ар
+
a£v
а?
+ 2x£V)
(5.3)
(5.4)
где V2 = "Ж [i (х ж) + Ж (4 ж) ~ опеРат°Р Бельтрами,
X
Xl + X2
— средняя кривизна.
Таким образом, уравнения (5.1), (5.2) для определения
напряженности электрического поля в области оболочки принимают вид
**+«. + *-«
+ k*E = 0,
1 ЭЕа
1
дЕ,
Р
да
Введем замену
в ар
+ ■
dEv
+ 2%Еу = 0.
(5.5)
(5.6)
(5.7)
£(a,p,Y)=e-"vF(a,p,T)4
Для определения функции F (a, р, у) получим в соотвествии с
(5.5), (5.6) следующие уравнения:
V2F
d*F
ду*
+ ^ = 0,
(5.8)
134

A
da
+ 1Г
1 dF*
ap
+
dy
+ ycFy = 0,
(5.9)
где ^ = -н2
При определении электромагнитного поля из решения краевой
задачи электродинамики для области оболочки к уравнениям (5.5),
(5.6) необходимо присоединитьсоответствующие граничные условия
на поверхности оболочки.
Рис. 40.
В случае, когда на поверхности оболочки не задается граничное
значение вектора напряженности электрического или магнитного
поля, решение уравнений электродинамики для области
электропроводного тела необходимо решать совместно с соответствующими
уравнениями для области внешней среды при известных условиях
сопряжения электромагнитного поля на границе контакта (1.43).
Запишем условия (1.43) в рассматриваемой системе координат
-»>
(a, (J, у). Компоненты rot от вектора Е представляются в виде
<«* Й- - я/,1м,,ч {"^- - В 4г [(1 + к27) Е*]},
B(1+*2Y)
<rot Ьт - ЛВ(1+^)(1+нг7) Й -W I(1 + XlY) £в] ~ I
(5.10)
дЕу)
да J*
Введем ту же систему координат для слоя, близлежащего к
поверхностям оболочки у = ±Л- В пределах рассматриваемой точности
условия сопряжения (1.43) электромагнитного поля на боковых по-
верхностях с учетом (5.10), записанные относительно функции F,
135

представляются в виде
1 3*5
1
cttf*
А
Щ
ду
1_
В
да
- К+ -£-*.) ^-4-
Ио
аду*
да
1 af*
в ар
I* / »*?*
/
Цо\ Зу
<Э£(«0)±
Но \ dY
[ (5.11)
Здесь y! =
■х2
7(0)
7(0). Ы°).
7(0)
; Е™ = {££'; Щ?; Е?) —функция напряжен-
ности электрического поля для внешней по отношению к оболочке
области. При этом индексом «плюс» обозначены предельные
значения функций F и £(0) на поверхности у = А, а индексом «минус» —
предельные значения соответствующих величин на поверхности
у = — Л. В случае незамкнутых оболочек аналогичные условия
необходимо ставить на краевых поверхностях.
Удельная мощность усредненного по периоду колебаний
электромагнитного поля джоулева тепла, выделенного в области оболочки
при протекании индукционных токов /# = оЕ#у определяется по
формуле
Q =
— F F
2 •с'*'с*-
(5.12)
2. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ
Уравнения теплопроводности. Температурное поле в области
оболочки, вызванное распределением джоулева тепла (5.12), при
заданных тепловых условиях на поверхностях оболочки определяется
из уравнения теплопроводности (1.82), которое в рассматриваемой
системе координат (а, Р, у), если пренебречь величинами. >сху, к2у
по сравнению с единицей, запишется в виде
V2T +
д2Т
ду*
+ 2х
дТ
ду
^ X а
дТ
dt
(5.13)
Вдальнейшем будем считать, что оболочка находится в условиях
конвективного теплообмена с внешней средой. Температура внешней
среды постоянна и равна начальной температуре оболочки.
Условия теплообмена на боковых поверхностях и начальные.условия за-
136

пишутся в виде
*г(,.м,о W(a>p>M) = 0>
ЭТ(а'^"М -н>т («. Р. -л» 0 - о.
(5.14)
Г(а,р,Т,0) = 0. (5.15)
Здесь Нг, Н2 — относительные коэффициенты теплоотдачи с
боковых поверхностей соответственно у = h, у = — h.
Введем замену
Т (а, р, у, f) = е-чгг* (а, р, ?, /). (5.16)
Тогда уравнение теплопроводности (5.13) и условия (5.14), (5.15)
примут вид
v2?; + -^-k^ + -£ =4--тН <5Л7>
ar*(a>avP> *' ° + (/^-х^а, Р, А, 0 = О,
Y (5.18)
ar.(«,ft-*,0 _№ + x)r,(«fp, -М)=0,
Г, (а, р, y, 0) = 0. (5.19)
Приведенная система уравнений (5.16) — (5.19) является
исходной для определения температурного поля в тонкой
оболочке.
Система уравнений термоупругости. Для определения
напряженно-деформированного состояния, вызванного неравномерным
нагревом оболочки при отсутствии внешней силовой нагрузки,
используем систему уравнений и соотношений термоупругой задачи
тонких оболочек, основанную на гипотезе Кирхгофа — Лява. Эта
система уравнений при решении задачи в квазистатической
постановке включает следующие группы соотношений:
1. Соотношения, характеризующие геометрию срединной
поверхности оболочки в процессе ее деформирования (соотношения Ко-
ши, уравнения совместности).
2. Условия равновесия.
3. Соотношения, характеризующие физические свойства
материала (связь между компонентами деформации срединной поверхности
оболочки и приведенными усилиями, моментами).
4. Граничные условия, отражающие способ закрепления
граничных сечений или распределения внешних усилий, приложенных
к граничным поверхностям.
Рассмотрим каждую из указанных групп уравнений.
137

1. Из гипотезы о неизменности нормального к срединной
поверхности оболочки элемента следует, что компоненты
перемещения точек оболочки н*, i>*, ш* определяются по формулам
«* (а, Р. У) = " («. Р) — 6x7,
у* (а, Р. ?)="(«. Р)— 02Y.
а>* («. P. Y) — w (а.Р).
где
61 =
1 dw
А да
ft I dw
(5.20)
(5.21)
и, vy w — компоненты перемещения срединной поверхности
оболочки; Qv 62 — углы поворота элемента срединной поверхности
вокруг касательной к линии р и линии а соответственно.
Из соотношений (5.20), (5.21) следует, что вектор перемещения в
произвольной точке оболочки полностью определяется
компонентами перемещения срединной поверхности оболочки.
Деформация срединной поверхности оболочки характеризуется
следующими компонентами: е1э е2 — деформация растяжения в
направлении осей а, Р; е12 — деформация сдвига срединной
поверхности; х", Х2 — деформационное изменение главных кривизн
срединной поверхности оболочки; Xi2 — компонента, которая
характеризует деформацию кручения. Здесь индекс 1 приписывается
величинам, которые относятся к направлению координатной линии
а, индекс 2 — к направлению координатной линии р.
Компоненты деформации срединной поверхности связаны с
компонентами перемещения и, vt w точек этой поверхности
соотношениями
_ 1 ди i
1
дА
А
1
да
dv
в ар
+
АВ
1
АВ
ар
v + ххо;,
дВ
T" + x2w,
е12 —
2В
а /_и_\ , _д а_ / v\ .
ар [ А ) + 2Л да { В ) '
(5.22)
♦ ___ 1 а / 1 dw \ 1 дА ( i dw \
Х1 -— Т'1а'\Т~да~ — *1и)~-АВ Ж И "^Р 2 Г
♦ __ 1 а / j__ аш \ i_ _ав_ / j__ dw \
У'ъ-~~Т д$\В ар ^V) АВ да [А да — xiwJ»
. __ 1 / а2ш 1___ал__аш_ i дв dw \
xi2 — ав [ ааар л ар да в аа ар J+
Л а /а\ В д ( v \
+ xi "F "ар" ^Т"]+ х* X "а£~ ^~F J •
(5.23)
138

Условия неразрывности деформации срединной поверхности
выражаются следующими дифференциальными связями:
дВк2 дВ дАх12 дА щ
—& да xi ар ар xi2-t-
+ xi( а^Г+ &rei + ^p^ + хх ар8**,/-0'
ал*1 ^4_ * ___ дв*\2 ав_ ,
"^р~ ар х2 аа аа xi2"r
+ х^ ар + ар е2+ аа +г *2 аа ei2J-u»
* _1_ 1
_а 1 / дВе2 дВ 1 аЛе12 .
аа Л I л„ + л~ 81 + о ли "Г
аа ^ аа х ^ 2 ар
(5,24)
1 дА \ а 1 / дАгх . дА , _1_ аВв12 ,
+ "2""arei2J + "ar"5"v ар" + Ж82+ 2 аа +
+ ТГ-5Ге")] = а
Система величин е2, е2, е12, х*, xj, х*2 полностью определяет
деформацию оболочек. При этом отличные от нуля компоненты
деформации оболочки определяются через компоненты деформации
срединной поверхности оболочки по следующим формулам:
еаа = Ц + Kfr, ерр = е2 + xjy, ^ = е12 + x;2y.
Соотношения (5.16) — (5.21) дополняются соотношениями Кода-
ци — Гаусса, которые отражают связь между коэффициентами
первой и второй квадратичных форм:
дщВ
да
__ дВ__ дщА __ _аЛ_
~~ Х1 Лгу » ЯЛ "" Х2 Л« »
Ж\А да ) + ар (^ Б ар J + Л/^х1х2 - и-
2. Напряженное состояние оболочки характеризуется
приведенными к срединной поверхности усилиями Nv N2, N12, N2V
моментами Mlf M21 M12t M21 и перерезывающими силами Qv Q2, которые
определяются через компоненты напряжения по следующим
формулам:
h h
Nx = \ (1 + x2v) Oaady, N12= f (1 + x2y) aaPdv,
-ft Л
ft h
#2 = J (1 + *iY) otodY. #21 = J (1 + *iY) <Wy»
139

Мг = J (1 + *2Y) Y^oarfv, M12 = £ (1 + *2Y) vaa,
—ft -ft /
ft * /
M2 = j (1 + *iY) Y^Y. M2i = j (1 + xxv) Y^a^Y
/l ft
Qi = ^ (1 + *2Y) <W*Y. Q2 = j0 + *iY) <w*y-
-ft -ft
Условия равновесия элемента оболочки при отсутствии
внешних объемных сил выражаются такими уравнениями:
dBNx
дВ
да
дА
даГ /v» + —df~ + Ж 12 +
)
+ *i(
аямх
аа
алл/2 дА
ар ар
алм2
аа ^2 + ^ ар +^
к2 дА
я12)=о,
^ + ^- + -^512 +
да,
да °12
/^4М2_ ал м 9 авя12 9 нх дв и \ п
х^ + x2/v2 АВуда Ау да
дАн12 _,_дА_и\_, _<?__i_ /_&
"^ ар "^ ар ^«l "^ ар в [ ар
ад
да
м2 +
1 / алм2
дА
ар
Мх +
+
адлг1;
да
дВ
<ъ-М
г~да~Н^
дВМх
О,
Q2 =
лв
да
дАМ2
дВ
да
дА
дАМ2
дВМ,
дА
ар
12 .
ар
ар
Мг + ^+ЖМ»
\ (5.25)
Здесь введены следующие обозначения:
Si2 = W12 — «2^21 = Sa = N21 — щМи,
ни = 4- W» + М21) = я12 = 4- (М21 + М12).
3. В нелинейной теории тонких оболочек физические
соотношения (уравнения состояния), которые устанавливают связь между
компонентами деформации срединной поверхности оболочек с
усилиями и моментами, имеют вид
# 1 = T=V [ei + V8* + a/ С1 + v) ^
^2 = t^V [e8 + vex-a, (1 + v) 7\],
140

1
мх = Dx [*; + vx; - at (1 + v) -£-],
M, = ^[kJ + vxj-a, (1 + v)-£-],
где Tl = "Ж" 1 Г^ Г2 = "2^2" j 4Td4 — характеристики усредне-
-Л -h
ния температурного поля Г по толщине (средняя температура и
температурный момент); D0 = 2Eh — жесткость на растяжение; Dx =
= эд1—v) — изгибная жесткость.
Напряженное состояние оболочки характеризуется тремя
отличными от нуля компонентами напряжений сгоа, арр, аар, которые
определяются через приведенные к срединной поверхности усилия
и моменты, температуру и усредненные характеристики
температурного поля по формулам
CW =
°<х$ = "2^" f Sm + ЗЯ12 -jjj-J .
I (5.26)
4. При формулировании граничных условий на граничных
поверхностях оболочки ограничимся случаем, когда указанные
поверхности линейчаты и образованы пересечением координатных
поверхностей а = const или р = const с внешней (у = К) и
внутренней (у =s — h) поверхностями оболочки.
В том случае, когда граница срединной поверхности оболочки
является линией а=const, в качестве граничных условий можно
задавать четыре из восьми величин Nl9 S12 -f 2х2#12, Qi + "5—~ж^~»
Мг (обобщенные силы), м, у, до, 0Х (обобщенные перемещения) при
условии, что среди величин, которые задаются, отсутствуют
взаимно соответствующие. При этом взаимно соответствующими
являются пары
Wi, "). (S12 + 2х2#12, v). (Qx + -±- -^-, ю) , (Aflf 9Х).
Когда граница срединной поверхности является линией р = const,
то в качестве граничных условий можно задавать четыре из восьми
величин W2, S12 + 2x1#12, Q2 + -^ -р1- , Л12 (обобщенные силы),
щ v, до, 02 (обобщенные перемещения). В частности, если граница
141

совпадает с линией а = const и свободна от внешних усилий, то
соответствующие граничные условия запишутся так:
^ = 0, S12 + 2х2#12 = 0, (31 + -1-^- = 0,Ж = 0.
Из приведенных выше уравнений следует, что задача об
определении термоупругого состояния оболочки, находящейся под
воздействием заданного температурного поля, сводится к определению
усилий Nv N2, S12 и моментов Mv М2, Я12, которые удовлетворяют
уравнениям равновесия (5.25), условиям неразрывности
деформации (5.24), записанным относительно усилий и моментов, и граничным
условиям, соответствующим способу закрепления краевых сечений
оболочки.
Уравнения неразрывности, записанные в перемещениях,
удовлетворяются тождественно,поэтому система дифференциальных
уравнений термоупругости в перемещениях сводится к трем уравнениям
равновесия (5.25), записанным относительно компонент вектора
перемещения срединной поверхности оболочки, т. е.
L u + L v + L у atD° 4dTl I Klh аГа \ )
L21u + L2iv + L^w = -j^- — ^J- + -i-^, | (5.27)
L31u + L3iv + L33w = -^- (A V2r2 - 2x7\),
где Ltj — дифференциальные операторы не выше четвертого порядка
с переменными коэффициентами.
3. ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Определение электромагнитного поля. Остановимся сначала на
решении краевой задачи об определении электромагнитного поля в
области оболочки, когда на ее поверхности задан вектор
напряженности электрического поля. Для замкнутых оболочек такие условия
имеют вид
E^s = Ese^t (5.28)
где Es — заданная на поверхности (S) функция. Здесь область (S)
включает боковые поверхности у = ± h и поверхности краевых
сечений.
Электромагнитное поле в области оболочки характеризуется
вектором напряженности электрического поля EJa, Р, у> t) =
= Е (а, Р, у) еш и вектором напряженности магнитного поля
#*(<*> Р. Т. 0 = Н(а,$,у)еш.
142

В рассматриваемом случае задача об определении
электромагнитного поля сводится к нахождению в области оболочки функции
F (а» Р» V) = ^ Е (а> Р> Т)> которая удовлетворяет уравнениям
(5.8), (5.9). При этом функция F при подходе к граничной
поверхности должна принимать заданные значения Fs = exyEs*
Решение уравнения (5.8) представим в виде суммы
F =
F+ + F-
±Kh~b±
cos hy F+-F- sin fe»y , f -
. -»■
= (£)|V=±ft — заданные на боковых по-
Здесь F± = e±KhE
верхностях у = ± h значения функции Е.
Функция F0 является решением уравнения
= — Vs
ду*
cos ^v
?+ —?-
, л- ■ —л- sink*y ) .- от
2 cos*,* ^ 2 sin^A /' К '
удовлетворяет нулевым условиям F* = 0 на боковых поверхностях
и соответствующим условиям (5.28) на краевых сечениях.
->•
Функцию F0 будем искать в виде разложения в ряд по
собственным функциям краевой задачи
av0
ду*
+ *2Л = о,
F0(a,p, ±й)«0.
(5.31)
(5.32)
Тогда F0 запишется в виде
К = 2 f^-i (a, Р) cos 2"2// я7 + В„ (а, р) sin -^- Y|. (5.33)
Представляя правую часть уравнения (5.30) также в виде
разложения в ряд по тригонометрическим функциям вида (5.33) и
подставляя выражение (5.33) в уравнение (5.30), получаем следующую
систему уравнений для определения коэффициентов разложения
Аъп-и Вп:
VM2„_, (а, р) + [k\ - (-^Г1- nJ] 4*-i («, Р) =
V2B„ (а, Р) + (fi - -^-) Вп (а, Р) =
»(-*- 1)" -тг- ("2"a — W va (£+ + £~).
} (5.34)
14»

Здесь учтено, что в пределах рассматриваемой точности F,« £«
—►
Таким образом, определение функции F сведено к решению
системы уравнений (5.34) при определенных условиях ^граничных
сечениях, которые соответствуют заданию на этих поверхностях
вектора напряженности электрического поля.
Поскольку функция F должна удовлетворять также уравнению
(5.9), решение рассматриваемой задачи об определении
электромагнитного поля возможно, если заданные на поверхностях значения
напряженности электрического поля Е удовлетворяют определенным
дополнительным ограничениям. Эти ограничения получим после
решения системы уравнений (5.34) и подстановки найденного выражения
(5.29) для функции F в уравнение (5.9). Методика решения задачи
в случае, когда на поверхности оболочки задаются граничные
значения вектора напряженности магнитного поля, аналогична
изложенной выше.
Отметим, что рассмотренный подход может быть использован
также для решения задачи при других видах граничных условий
на векторы напряженности электрического и магнитного полей или
условий смешанного вида. В частности, случай, когда на внешней
поверхности оболочки задается вектор напряженности
электрического поля, а на внутренней удовлетворяются условия сопряжения
электромагнитного поля в области оболочки с электромагнитным
полем внутри (вакуум), рассматривается в § 5 данной главы.
Индукционный нагрев оболочки, когда на ее поверхностях у =
= ± h задан вектор напряженности электрического (магнитного)
поля, будем называть двухсторонним индукционным нагревом.
Если вектор напряженности задан лишь на одной из поверхностей
оболочки, а на второй выполняются условия сопряжения
электромагнитного поля (5.11), то такой нагрев будем называть
односторонним.
Пусть найдено решение системы уравнений (5.33), т. е. известен
вектор напряженности поля Е. Тогда усредненная во времени по
периоду колебаний электромагнитного поля удельная мощность джо-
улева тепла определяется по формуле (5.12).
Определение температурного поля. При определении
температурного поля допустим, что оболочка находится в условиях
конвективного теплообмена с внешней средой при одинаковых
относительных коэффициентах теплоотдачи Нх = Н2 => Н0. Температура
внешней среды постоянная и равна начальной температуре
оболочки. В дальнейшем температуру будем отсчитывать от ее начального
значения.
Определение температурного поля сводится к решению
уравнения теплопроводности
V2r* + -5— нТ. + 1 = -J- Т (5-35)
144

при нулевом начальном условии (5.19), условиях теплообмена на
боковых поверхностях
дГ#(а, Р» ± h> О /е о/?ч
*у L ± (Но =F х) Г* (а, р, ± Л, /) = 0 (5.36)
и аналогичного вида условиях теплообмена на граничных сечениях.
Применим к соотношениям (5.35), (5.36) преобразование
Лапласа. Тогда получим следующую систему уравнений:
vr*+-$- - *&*+4- <г=°. (5-37)
ЭТ.(«,Ь±М) ± (//в ^ х) ^ (а> р( ± ftf s) = Q (5>38)
Здесь
Г* (а, р, v, s) = ( Г* (а, р, v, 0 er«dt, к\ = х2 + -^-s.
6
Решение уравнения теплопроводности, записанное в
трансформантах Лапласа от температуры, представим в виде ряда по
собственным функциям соответствующей однородной краевой задачи:
-ф._к»г.в0, *•<"•***•* ±(Я.=гх)7;(«,р.±м-о.
В соответствии с этим получим
Г» = 2 (Cln (05, Р, S) [COS [i,„ -I- +
(Bi + x^cos^-^sin^ Y "I
+ ., ^„ ■L/fli.L,M.<n„lfi Sin И*« XJ +
+ C2„ (a, p, s)
l^ln cos ^ln + (Bi + *h) sin V\n
1*2/1 cos ^2« + (Bi — *h) Sin ^2n V
^„cos^-Mbi-xftjsin^ _t< v ,.nil Yl
: -^ n COS U2n -T Г Sin Ll2rt "Г" >
(5.39)
где Bi = HQh; \i\n, \i2n — корни трансцендентного уравнения
tg \x = 2 'Bj [Bi2 — \i2 — Y?h2 ± K(^2 + x2/i2 — Bi2)2 + 4[x2 Bi8].
(5.40)
При этом корни \iin являются решениями уравнения (5.40) для
знака «плюс», а fx2n — корни уравнения (5.40) для знака «минус».
Система уравнений для определения коэффициентов разложения
Cin (a, Р, s), С2п (a, Р, s) имеет вид
^-Т-х'К^
1 —ft L
10 7-Ю2 145

(Bi + x/i) cos ц1л — ц{п sin \i
\— , ...v r-m r-m r-m y,
+ ц1псо5ц1л+(В1 + нЛ)5тц1п Sin^"' Л
(*__ J* __*.]<;„
dy,
/
/
—h
ц2п cos ц2л + (Bi — xft) sin ц^
где
И2п cos ц2п -1- jDl - ш) sin ^ Y I
+ ц2„5тц2п-(В!-хЛ)со8(г2п C0S ^2" TJ dY.
2цщ + sin 2nin +
(5.41)
"'-*
+
/9„ c,-n9.. 4/ (Bi + »«*) cos |х1я —.|*1я sin |*|я \*-\
(2^ta - «n 2Ы ( „n cos ^-KBi + ^sin^ J J -
^=^r
X
(2^2* + sin 2\l2n) X
1^2л cos ^2n + (Bi — *h) sin ^n \2
|ti2n sin ц2л — (Bi — ХЛ) COS JLl^
| + 2fx2n + sin 2[i2/i .
Эта система уравнений должна решаться при соответствующих
граничных условиях на краевых сечениях, которые вытекают из
условий теплообмена на этих поверхностях.
Если пренебречь влиянием кривизны оболочки на
температурное поле, как 'обычно поступают при решении уравнений
теплопроводности тонких оболочек [8, 67], то решение уравнения (5.37)
можно записать в виде
00 Г v v
Г* = 2 I с\п (а, Р, s) cos рт -f- + С2п (а, р, s) sin \i2n -f-
n=\
. (5.42)
Здесь |Liin, \x2n являются корнями трансцендентных уравнений
ctgH *=-£-, tg|i = —gp. (5.43)
Система уравнений для определения коэффициентов разложения
Cm, С2п в рассматриваемом приближении имеет вид
2Иш
= _ _L ^2" 4" ? Q Sin ^ -|_dY.
Xs 2ц2„ + sin2ц2„ ft J4 r h i
—h
(5.44)
146

Таким образом, нахождение температурного поля оболочки при
заданном распределении джоулева тепла и условиях конвективного
теплообмена сводится к определению коэффициентов С\ПУ Счп
разложения (5.39) путем решения системы (5.41) и последующего
определения оригинала трансформанты Г*.
Если температурное поле найдено, то термоупругое состояние
оболочки определяется на основании соотношений теории
термоупругости тонких оболочек, приведенных в предыдущем параграфе.
4. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
ПРИ ДВУСТОРОННЕМ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла. Рассмотрим
длинную цилиндрическую оболочку из неферромагнитного
материала постоянной толщины 2/t с радиусом R срединной поверхности
оболочки, находящуюся в условиях двустороннего осесиммет-
ричного индукционного нагрева, т. е. когда на внешней и
внутренней поверхностях оболочки вектор напряженности
электрического поля задается в виде Е? = {О, Е± (z) ешу 0}. Область
оболочки отнесем к смешанной системе координат (г, 0, у).
В данном случае индукционные токи в оболочке
характеризуются кольцевой составляющей Е* (г, у, t) = Е (z, у) еш вектора
-►
напряженности электрического поля Е^,. При этом уравнение (5.2)
удовлетворяется тождественно.
Функцию Е (г, у) согласно (5.7), (5.28), (5.33) представим в виде
Р . v Е^ + ЕГ~ cos k*y , Е~^ — Е~~ slnk^y ,
£ (*> У) — 2 cos kjh, + 2 smkji +
+ 2 А^-\ (z) cos п~ пу + Вп (г) sin -5р- у К (5<45)
где £+, Е~~ — заданные на боковых поверхностях у = ± h значения
функции напряженности электрического поля Е (г, у).
Решение системы уравнений (5.34) для определения
коэффициентов разложения Лгл-i (*)» Вп (г) запишется в виде
Л2„_, (г) = - -gj- j e-^*-*\ -|L [Е+ (х) + ЕГ (х)] dx,
. ~~" - (5.46)
в"(г) = —ёг I е""2|г_л:| -sr[£+ <*> ~ £~ W] d*-
—*оо
Здесь введены обозначения
а _ (— 1)"2л(2/г— 1) ь ^ (- \)ппп
2п i(2n - 1) я]2 - 4^ > « nW —#/i* '
2п— 1 \я 9 L0 , Я2Я2
^--З + р^1-*)'. "i = -*2.
/г2
10*
147

Подставляя полученные для Л2п_1 (z), Вп (г) выражения в
решение (5.45), получаем
Р(, ,л £+ (г) + £~ (г) cos kty . £+ (г) - ЕГ (г) /5*п *»Y _
П=\
П1
+ -£- sin -f- у J e-".l~l -£- [£+ (*) - £- (*)] Л}. (5.47)
—оо
Исследуем более подробно решение задачи в случае, когда
граничные значения напряженности электрического поля не зависят
.от осевой координаты (£+ = const, Е~ = const). Тогда
Е(у) =
_ Е+ + Е~~ cos k*y , Е+ — Е~ sin fe»y
~~ cos &*/i "•" 2 sin £*/*
(5.48)
Соответствующее (5.48) распределение джоулева тепла согласно
(5.12) запишется в виде
,_ <?(£+)2
■ {[(В? + В22) cos ах + 2ВХВ2 ch а2] cos ах -£- +
+ (В] — В\) [sin а± • sin ах -у- + sh а2 • sh а2 -|-| +
+ [2ВД cos ах + (В? + Bl) ch а2] ch а2 -£-} f (5.49)
где
в1 == - 2ft 4/H4 + coVaa2 sin (-L arctg ^-),
а2 = 2ft 4/*4 + w2|x2cJ2 cos Ц- arctg -^J , } (5 50)
о ch а2 — m cos fli о mcha2 — cos at E~~
1 ~~ ch2 a2 — cos2 ax ' 2 ch2 a2 — cos2 ax ' £+
Определение температурного поля и температурных напряжений
При найденном выражении (5.49) для удельной мощности джоулева
тепла трансформанта Лапласа от температуры Т согласно (5.39)
определяется формулой
п=\ [
COS (Хщ -f. +
(Bi + x^cosjn^ — nlnsmixln . у
H , ,р. , 77—. SinUlrt-£-
H>i„ cos ц1п + (Bi + x/i) sin *х1л rin h
+
+
148
^ , чГ 1^2л C0S И2л + (Bi —Kh) sin l-l2n V , • V ll .^ p-.v
C'"(s>[ ^^^-(Bi-x^cos^ ^s^-^ + smF2n-f JJ. (5.51)

При этом коэффициенты С\п (s), С2п (s) определяются из системы
уравнений (5.41) и имеют вид
Cin(s)= -тт
ь*ь
\п
, C2n{s) =
h*b,
'2п
Здесь введены обозначения
bm = -ю- Л (Wn sin №п cos ax + ax sin ях cos ^i„) x
X [(5? + B22) cos ax + 2ВД ch a2] +
l
*2 + Wn
(a2 sh a2 cos \iin +
+ |iln ch a2 sin |iln) [2BiS2 cos ax + (Я2 + B22) ch aa] +
+ (B?-B22)
sin ax
—= ^— (ax sin |ii„ cos % — Щп cos [Xirt sin ax) +
Ьоп =
sha2 , , xl)
+ „2 ,„2 (a2 ch a2 sin |iin — |iin sh я2 cos \iin) ,
a2~T\i\n J |
(|112п sin \i2n cos ax + #1 sin ах cos \i2n) X
*■ 1 4-A
X \(B\ + Bl) cos a± + 2BXB2 ch a2] -\ 2 2 (я2 sh a2 cos p^ +
a2 + ^2n
+ ^2rt ch a2 sin p^) [26^2 cos ax + (fl? + #2) ch a2] +
+ (52-B2)
sinflt
2 2
■ (аг sin [Х2л cos ax — \i2n cos |12л sin ax) +
sh a9
H 9°""29 (я2 ch a2 sin \i2n — уял sh a2 cos fx2„)
<*2 + Hn
Определяя оригинал от трансформанты Г с помощью обратного
преобразования Лапласа, получаем следующее выражение для
температурного поля:
7(,,_^^2(_^(1_« >х
Г Y (Bi + x/i) cos filri — jilrt sin filrt . Y]
X cos \i[n-4- Л , /D. ,—тт-. sin liin-7-
^ ^m h ^ ^lncos[iln + (Bi + x/i)sinjiIn rm h J
+
+
u2n
«n + xW
_,--<4i+*ifci*
(1-е
V-2n cos ^2n + (Bi — *h) Sin fan
М2л sin fan — (Bi — Hh) C0S fan
X COS (A2n ~Y + sin И-2П -J"] }
(5.52)
149

Если пренебречь влиянием кривизны оболочки (nh « 0)v то
получим /
2Х
Т(?, т) = JLVg»- Д [*я(1 -Г"**) cosM'-f +
+ dm (1-е ^T)sinji2rt-f],
(5.53)
где
din
—/о . • о ^ \ -о о— [(В\ + ВЦ cos а, +
1*1л №m +sin 2^m) \ A?-|i?n
+ 2ВгВ2 ch а2\ (\i{n sin \1щ cos ах + ах sin аг cos |iin) +
2 2 [2ВА cos ах + (5? + 5i) ch a2] (ц1л sin щ^ ch a2 +
a2 ~T H'ln
din =
#1-4
+ a2 sh a2 cos |ii„) ,
V2n (2^3n — sin 2^2n)
sh g2
sin a, ,
I \— (ax sin \i2n cos ax —
2 2
msha8) .
— \i2n cos |х2л cos ax) H 22 (a2 sin \i2n ch a2 — |л2я cos |я2/
a2 + ^2л
При определении термоупругого состояния оболочки положим,
что оболочка свободна от внешней силовой нагрузки. В этом случае
напряженное состояние оболочки характеризуется отличными от
нуля составляющими aZZy oqq. При этом
h
Огг = стее =
Sr(-srj™v-r).
(5.54)
Подставляя в правую часть (5.54) выражения (5.52), (5.53) для
температуры, соответственно получаем
Ozz = <тее = ст0 ^ { „2 , _«,.« (1 ~~ е ) х
л=1
|if„ + xW
X
1 . V (Bi + хЛ) cos (11л — \iln sin jx,
Sin [iin — COS Uln -J , /D. ,—7^-. X
\xln rin **in h os + (Bl + щ sm
X sinjiin-^-
&
'2a
l4 + xW
(1-е
.*-^2п+х,Ла)т
1
И2п
- Sill |Х2Л —
7 \ \x2n cos ц2л + (Bi — хЛ) sin ц2п . ?
— COS ii2n 4r ~ 7^~ П " Sin \i2n -T-
Л J M2nsinl^2n- Bl - H/l) COS fi2n Ггп h
, (5.55)
= cree =.a0 J] [йл (1 — e Hr%x) (-^- sin \iin — cos j*inx) '
— d2n(l—e Ц2лТ) sin fi2n -£-
(5.56)
150

где
__ о,£(£+)2/г2а
0 ~ х (f^W
Рассмотрим более подробно два частных случая решения задачи.
1. Предположим, что граничное значение напряженности
электрического поля на внешней поверхности у = h равно Е0 (Е~*~=
= Е0)у а на внутренней у — — h оно имеет вид £""=0. В этом
случае согласно выражению (5.48) для функции напряженности
электрического поля и джоулева тепла имеем
sin k* (у + h)
Е = Еп
«--=?
0 sin 2fc*/i
, сЦ1+_1.)-СОза1(|+-1)
ch2 a2 — cos2 ax
(5.57)
(5.58)
Выражения для температурного поля и температурных напряжений
даны соответственно в виде формул (5.52), (5.53) и (5.55), (5.56), в
которых коэффициенты Ь\п, 1>2п> d\n, d2n имеют вид
Ьы =*-гг
1
Nx ch2 а2 — cos2 аг
ch а2
Ъ + Ап
(а2 sh а2 cos \i\n +
+ iiin ch a2 sin \i\n) ~2 \— (и-irt sin [Хм cos ax -f at sin ax cos jnin) +
or —!'
*i-V\n
Sin fl|_
—2 — (a2 sin jxi« cos ax — \iin sin ax cos |ai„) +
al ~Hn
J
W2 ch2
"I 2*. g2 (^ ch a2sin M-m — [Мл sh a2 cos ^i„) , (5.59)
&2n =
^-COS2^ »^2 (a2 Ch a2 COS ^n + \l2n ch a2 Sin \k2n) —
COS flx
(|i2n sin (i2rt cos ax + ax sin ax cos ц^) +
sin ал
Л 2 2""" (aisin ^2n cos ax — \i2n sin ax cos \i2n) +
al ~~ ^2n
+ —о 1— К ch a2 sin ^ — №n sh a2 cos fx2n) ,
4+tin J
din =
cosfilrt
Pin (2Hi/i + sin 2^ln) (ch2 «a ~ cos2 ax)
X
X
(Bi ch a2 + fl2 sh fl2) ch a^ (Bi cos aY -f- flt sin gj cos ax 1 ,-
60)
^2п =
sinn2rt
Ъп (2^2n — ^n 2|я2п) (ch2 a2 — cos2 a^
151

X
Г (а2 ch а2 + Bi sh а2) sh а2 , (дг cos g1 -f- Bi sin flj) sin g1
2 i 2 I 9 2
a2 + f*2n al-M2rt
Численные исследования распределения джоулева тепла выпол-
h 1
нялись для цилиндрической оболочки при — = — в зависимости
К 40
Л*
от параметра б* = -^г-, характеризующего относительную глубину
проникновения индукционных токов (рис. 41). Здесь б* = у
Рис. 41.
Рис. 43,
tgl
VI
"_РЛ_
А
щ
152

параметр глубины проникновения индукционных токов. На
рисунке Q* в -^т- Из приведенных графиков видно, что для малых зна-
оЕ0
чений параметра б+ распределение джоулева тепла носит
приповерхностный характер и уменьшается по закону, близкому к
экспоненциальному. Отметим также, что для 6* > 0,7 с достаточной для
практических расчетов точностью можно пользоваться линейной
аппроксимацией.
Исследования температурных полей выполнялись для случая
приповерхностного нагрева цилиндрической оболочки при -^ = -^тг,
6*.= 0,1.
На рис. 42 показано изменение во времени температурного поля
на внешней (сплошная линии), срединной (штриховая линия) и
внутренней (штрихпунктирная линия) поверхностях при Bi = 0,5.
Через Г* обозначена безразмерная величина Т* = Хо~~1 Е^2К~2Т.
На рис. 43 показано распределение осевых (кольцевых)
температурных напряжений по толщине оболочки при Bi = 0 (штриховые
линии) и Bi = 0,5 (сплошные линии). Случай т = со соответствует
установившемуся режиму. Из приведенных графиков видно, что
в процессе нагрева на внешней поверхности оболочки у = h имеют
место сжимающие напряжения, на внутренней у = — h —
растягивающие, величина которых увеличивается во времени.
Распределение напряжений для значений времени т >« 2 практически
совпадает с распределением в установившемся режиме т -> со.
Результаты численных исследований показали, что
распределение температуры и температурных напряжений, найденные с учетом
и в пренебрежении влиянием кривизны оболочки на температурное
поле, практически совпадают. Это указывает на возможность
определения с достаточной для практических расчетов точностью
температурного поля и температурных напряжений на основании
упрощенного решения (5.53), (5.56), (5.60), которое соответствует x/i = 0.
2. Пусть заданные на внешней и внутренней поверхностях у =
*= ± h граничные значения напряженности электрического поля
равны между собой, т. е. Е+ = £~ = Е0. В этом случае, если
пренебречь влиянием кривизны оболочки на температурное поле (nh «
« 0), решение задачи запишется в виде
Е = Е cos k*v /сап
П ^° сое*, Л • (5-61)
Y Y
F2 ch а2 — + cos flx —
Q=^ oleosa, " ■ <5-62>
Г =-^-2 dm (1-е "*)cosn„,-J-, (5.63)
' Огг = o-0e = ao у dm (I — e ln ) (—-— sin \im — cos\i{n 4- ,
п=1 \ Pin I
153

. = 2cosf^ln
{П ~ Uln (2Pln + sin 2^ln) (ch a* + COS fli)
, Bi ch g2 + Да sh a2
Bi cos cti + ax sin ax
A-An
4 +An
/
(5.64)
В рассматриваемой задаче двустороннего индукционного
нагрева джоулево тепло, температурное поле и температурные
напряжения на внешней и внутренней поверхностях оболочки равны.
Рис. 45.
Рис. 46.
Результаты численных расчетов распределения джоулева тепла
по толщине цилиндрической оболочки в зависимости от параметра
относительной глубины проникновения индукционных токов б#
представлены на рис. 44.
Из приведенных графиков видно, что для 6*;>0,7 изменяемость
джоулева тепла по толщине оболочки незначительна. Поэтому для
6* > 0,7 в качестве первого приближения можно принять, что
джоулево тепло равномерно распределено по толщине оболочки. Для
малых значений параметра 6* распределение джоулева тепла носит
приповерхностный характер.
На рис. 45 показано изменение температурного поля во
времени на внешней и внутренней (сплошная линия) и срединной
(штриховая линия) поверхностях. Вычисления проводились при Bi =*
« 0,5 и 6* = 1.
154

На рис. 46 представлено распределение безразмерных темпера-
Ozz Gqq
турных напряжений -^— = по толщине оболочки при Bi = О
(штриховые линии), Bi = 0,5 (сплошные линии).
Из сравнения рис. 43 и 46 следует, что в рассмотренных двух
случаях приповерхностного нагрева характер распределения и
уровень температурных напряжений существенно различны. При этом
уровень температурных напряжений в первом случае (£+ = Е0,
Е~~ = 0) значительно больше, чем в случае индукционного нагрева,
когда £+ = £"* = Е0.
5. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА ПРИ
ОДНОСТОРОННЕМ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
Рассмотрим решение задачи об одностороннем осесимметричном
индукционном нагреве длинной цилиндрической оболочки, когда
только на внешней поверхности задается вектор напряженности
электрического поля Е# = (0, Е+ (г) еш> 0}, а на внутренней
поверхности удовлетворяются условия сопряжения электромагнитного
поля в области оболочки с электромагнитным полем внутри
(вакуум). Оболочка, как и ранее, относится к смешанной системе
координат (г, 6, у), область вакуума — к цилиндрической системе
координат (z, 9, /*). В рассматриваемом случае задача об определении
электромагнитного поля сводится к нахождению кольцевой
составляющей напряженности электрического поля £# (г, у, t) = Е (z, уу) еш
в области оболочки и кольцевой составляющей Е® (г, г, /) =
=» Еф) (г, г) еш в области вакуума. Функция Е (г, у)
удовлетворяет уравнению
д2Е . д*Е , п дЕ . „ л /с ссч
"^т- + sjt + 2к^- — ШР°Е = 0, (5.65)
принимает заданное граничное значение £+ (г) на внешней
поверхности оболочки и удовлетворяет условию сопряжения
электромагнитного поля на внутренней поверхности
£(*, -h) = E®& R-h),
m^+^{z9-h)^[^(z9R-h)+ {5Щ
+
д&0) (z,R—h)
(гЯ-h)]
Функция напряженности электрического поля £(0) удовлетворяет,
согласно (5.1), уравнению
а*£<0> ре® , 1. д&°>
+ -г-2?- + (*8—рг)*(0! = 0- (5-67>
155

Поскольку электромагнитное поле в области оболочки и, в области
вакуума имеет отличную от нуля лишь кольцевую составляющую
напряженности электрического поля, то уравнение (5/.6)
удовлетворяется тождественно.
Следуя изложенному в § 3 данной главы, представим функцию
напряженности электрического поля Е (z, у) в виде
Е(г, y) = e~*yF(z, у).
Для определения функции F (г, у) имеем уравнение
^F +-Sr + #' = 0, (5.68)
dz2 ' dyz
где kl = — к2 — шцсг; к = -^-; R — радиус срединной
поверхности оболочки. При этом функция F (z, у) должна удовлетворять
следующим граничным условиям:
F(z, ft) = F+(z) (5,69)
на поверхности у = А,
F(z, -ft)=£(0)(z, R-h)e-™9
^Z± + J^F(Zt -ft) = -iL[^^(,, R-h) +
+ d^^R-h)y^ (5JQ)
на поверхности у = — h(r = R — ft).
Таким образом, для определения напряженности электрического
поля в области оболочки необходимо найти функцию F (z, у) в этой
области и £(0) (z, г) в области вакуума, которые удовлетворяют
уравнениям (5.67), (5.68), граничному условию (5.69) на
поверхности у = ft и условиям сопряжения электромагнитного поля (5.70)
на поверхности у = — ft.
Сведем сформулированную контактную задачу к
соответствующей краевой задаче для области оболочки.
Применяя интегральное преобразование Фурье [34, 81 ] к
уравнению (5.67), получаем решение этого уравнения в виде
E(0,(z, r)= j CJ^rVkl-l^e^dl (5.71)
00
где С — константа.
Как уже отмечалось, на поверхности оболочка — вакуум (г =
= R — ft) должны удовлетворяться условия сопряжения
электромагнитного поля, которые имеют вид (5.70). Подставляя полученное
выражение (5.71) для £(0) (z, г) в условия (5.70) и исключая
постоянную С, получаем следующее граничное условие на функцию
F при у = — ft:
dF%~k) + qR~lF (*. - Л) = 0, (5.72)
156

где
f(r)=-±- In Tf С J, (r Vkl-Ъ*) eirldA
Следовательно, задача сведена к решению уравнения (5.68) при
граничных условиях (5.69), (5.72) на боковых поверхностях
оболочки.
Решение уравнения (5.68) представим в виде суммы
F(zf y) = FA^ Y) + M*. Y). (5-73)
где F1 (2, у) — решение уравнения
*ffiT) +&г(г, Т)-0 (5.74)
при следующих условиях на поверхностях оболочки v = ± ^:
^(2, *) = F+(z),
aF'%~ft) + <7Я_1/Ч (г, - Л) = 0; (5.75)
?г (2> Y) — решение уравнения
дЩ^- + ^§|^ + k% (г, Т) — ^УП- (5.76)
при однородных граничных условиях на боковых поверхностях
F2 {Zt ft) = о, dF%{z^h) + ^F, (z - h) = 0. (5.77)
Решение уравнения (5.74) с учетом граничных условий (5.75)
будет иметь вид
р /~ Л,\ _ р+ /у\ k*% CQS k* (У + h) — Я sin К (у + h) ,- ?R.
^i (*> Y) - Г W k*Rcos2k*h-qs\n2k*h " ({X'6'
В соответствии с выражением (5.78) уравнение (5.76) для
функции F2(z, у) запишется так:
d2F2 , d2F2 . -2 n __ **fl cos ^ (V + /z) — ^ sin /?„ (у + /г)
дг2 "Т" ду2 "*" * 2 £*/? cos 2М — q sin 2*»Л Л
X ■*£*-. (5.79,
Используя метод конечных интегральных преобразований [31,
47], решение уравнения (5.79) представим в виде
РЛг, т)-2[ ^ *"<Y> + Г^ W
«='[/.-' j P\n(y)dy ft-'jpL(Y)rfY
(5.80)
157

Функции Р (у) являются решением уравнения
d?P (v)
+ (1)'Я(7)-0
dv2
при граничных условиях
Р(Л) = о, R^JH + qp(-h)^o
у COS Pin . о V
и имеют вид
P,n(v) = cosPl„-I— ^g-sinp,„^,
d /„л 2хАу sin pte-pg,, cos {^ v Y
Здесь Pin, Ргп — корни трансцендентного уравнения
(5.81)
цр--**^ + *»-Х (5.82)
При этом корни Pin являются решениями уравнения (5.82) для
знака «плюс», а р^ — корни этого уравнения для знака «минус».
Подставляя решение (5.80) в уравнение (5.79) и представляя
правую часть этого уравнения в виде разложения в ряд по
собственным функциям Pin (y), Л>я (y)> получаем систему уравнений для
определения функций
d* PL , Ь2\ г г ,* к d*F+ (г)
PL , ,2\ т j , v „ rf2F+ (2)
Та- + *. ^2/г (2) = — Л2п Т^-
Здесь
(5.83)
Kin =
/(2* =
h
1 J_ f KR cos fr» (Y + h) — g sin fe» (у + ft) p , . .
U^inll Л J KR^os2kJk — qsm2kiJi ^ Ш "Y,
h
■ _ 1 J_ Г ^ cos fe* (V + ^ ~ ? sin fe* (V + h) P ил л„
\\?2п\\ h ) KRzos2Kh-q$\n2kJi rMYJ «Y.
-Л
4P1„ + sin4pin
Pln\\ =
4PmSin2Pm
2P2n+sin2p2n
\\F'2n = •
2p,
'2n
/ 2x/u7 sin p2„ - p2n cos p2„ y> гр^ - sin 2p2a
\ К sin Р2,г + 2*Л<7 cOS P2n / ^ 2P2a
Применяя к (5.83) интегральное преобразование Фурье
^2л
€59

получаем решение для трансформант Un (£) в виде
Uin®-=-Kinll-
£а + Й
F+®,
U2n(l)=-K2n[l~-^-T)F+(l),
(5.84)
V + U
где
с-т+<. s—Е-+*. *©
1
Pin . ,2 «.2 _ P2fl
А, -Т-«., W — ft» ' '-•' ' w — узя
+ (Ч\ о-1*1.
\ F+u
e*vdz.
Применение обратного преобразования Фурье к выражениям
(5.84) приводит к решению вида
Um (г) = - Km \f+ (г) + Ц- ] e~Uz-xiF+ (х) dx\.
\f+ (г) + ■&■ j e~Uz~x]F+ (х) dx ,
L —°° J
U2n(z) = -K<
. (5.85)
Таким образом, функция напряженности электрического поля
Е (zy у) в пределах применяемой точности (F « Е) имеет вид
F (у лЛ _ F+ (у\ k*R C0S МУ + &) — 9sin ** (V + h) l
^ ^, y; — n \z) k^R cos 2k^ __ q sin 2^ -r
oo , Sinp, (1 \-\ г -Loo -1
+l(wr-^-J [~£+<г> +-И ^^ H +
^ 2*hq sin p^ (l + -X) _ p2n cos P2n (l + X.)
+ ■
2/ill
X
02л Sin P2n + 2x^7 COS p2„
X
_ E+{z) + -|" +f ^2|Z"A:,£+ (x) dx\ j .
—oo J J
(5.86)
Полученное в квадратурах решение (5.86) можно записать в
явном виде, если функция £+ (2) является периодически
изменяющейся в направлении оси z. Приведем, в частности, выражение
для Е (г, у) в случае, когда функция E+(z) запишется в виде
E+(z) = E0cosr\z. (5.87)
Подставляя выражение (5.87) в (5.86), получим функцию
напряженности электрического поля Е (z, у) в виде
159
, v F \ KR cos k* (у + К) — q sin 6, (у + К) .
1*> т; ^о ki,Rcos2ki,h-'qsin2kl¥h "*"

+2
П=\
К
In
t)W
sin p
»('-*)
II ^m II P?„ + mW sinpln
+
+ •
K.
2n
T)W
1P2/J pL+mW
где
2xft9 sin p2n(l + -|-j- P2n cos p2„(l + -f-)
P2nsinP2n + 2x/l<7cosP2n
m2 = — k\ + if.
COS Г)?,
(5.88)
Выражение (5.88) для функции E (z, у) может быть приведено к
виду
E(z, у) = Е0
mR cos т (у + h) — q sin т (у + h)
mR cos 2mh — q sin 2m/i
cos nz. (5.89)
В этом можно убедиться, представляя первое слагаемое в (5.89) в
виде разложения в ряд по системе функций Р\п (у), Р2п (у)-
Полагая в выражении (5.89) т| = 0, получим решение задачи,
когда граничное значение напряженности электрического поля
не зависит от осевой координаты. В этом случае для функции
напряженности электрического поля получим
■ k*R cos k+ (у + h) — q sin £» (у + h)
0 k+R cos 2kji — q sin 2k Ji '
E(y)
(5.90)
где E0 = E+. Соответствующее (5.88) — (5.90) распределение джо-
улева тепла определяется по формуле Q = -S- ЕЕ.
Если найдено распределение джоулева тепла, температурное
поле определяется с помощью соотношений (5.35) — (5.44), а
температурные напряжения — с использованием уравнений теории
термоупругости тонких оболочек, приведенных в § 2 данной главы.
В качестве примера рассмотрим задачу об определении
температурных полей и напряжений в длинной цилиндрической
оболочке, находящейся в условиях одностороннего индукционного
нагрева, когда: а) на внешней поверхности оболочки задано не
зависящее от осевой координаты граничное значение напряженности
электрического поля, а на внутренней — выполняются условия
сопряжения электромагнитного поля; б) на внешней поверхности
выполняются условия сопряжения электромагнитного поля, а на
внутренней — задано граничное значение напряженности
электрического поля, не зависящее от осевой координаты.
Пусть на внешней поверхности оболочки задано граничное
значение напряженности электрического поля Е+ = Е0. Согласно
(5.90) соответствующее распределение джоулева тепла запишется
в виде
Q(Y) = 4-£o
(d\ + d\) (ch2 a2 -| sin2 a, -f) +
160

где
+ (dl + dl) (sh2 а2 -J- + sin2 ax -J-) + W^4 - dxdj sh 2fl2 -J- +
+ (dxd4 + d2d3) sin 2ax -1-1, (5.91)
dx = bxq sin 3ax ch a2 + b2q sh 3a2 cos ax g- (fci + &2 + ?2) X
X ch Ъа2 cos ax ^- (fc? -\-b\ — q2) ch a2 cos 3ax
do ,
do =
b2q sin ax ch 3a2 — &x<7 cos 3ax sh a2
(&l + b2-?2)X
X sin 3ax sh a2 g- (&i + ^2 + 92) sin ax sh 3a2
do ,
d3 = 6^ cos 3ax ch a2 + 62g sin ax sh 3a2 + -y- (b\ + 62 — <?2) X
X sin 3ax ch a2 ^" (^1 + ^2 + <72) sin ax ch 3a2
<*o ,
d4 = 6X9 sin 3ax sh a2 — 62^ cos ax ch 3a2 + -y (ft? + 62 -t <72) X
X cos ax sh 3a2 2" (b? + &2 — <72) cos Ъах sh a2 do-1,
d0 = (b\ + b\) (ch2 2a2 — sin2 2ax) + q2 (ch2 2a2 — cos2 2ax) —
— 9 (ax sin 4ax + ^2 sh 4a2),
ax = — 2/i |/x4 + co2[i2a2 sin (-5- arctg -^- ),
я2 = 2/i yV + coV2*2 cos U- arctg -^-) f
D D
Перейдем к определению температурного поля, соответствующего
распределению джоулева тепла (5.91). Трансформанту Лапласа от
температуры представим в виде разложения в ряд (5.39):
(Bi + хЛ) cos ц1п — |xln sin fxla
Г (7, s) = y C,„(s) cos |ii„ 4- + -—— . лУ.1. м
sin^m
X
X Sin [Xin -j- + С2ч (s) f ■ „ „.... ,. 77ТГ—гт^-гг-:— X
\i2n sin n2„ — (Bi — Kh) cos fi2/l
X COS И*л "I") + Sin |I2n -£"
11 7-102
(5.92)
161

Коэффициенты разложения определяются из системы уравнений
(5.41) и в данном случае имеют вид
С\п = -
a£S
h2L
2Х sA + x2/l2 + a4/i2s)'
(5.93)
Con =
°4
h4
2л
2К s(И2rl + >c2/l2+a",1/l2s),
где
1
.2 \—1
1т = -щ- {№ + jiuF [(df + di + di + di) (2a2 sh 2a2 cos |iln +
+ \i\n ch 2a2 sin ^i„) + (d2d4 — dxds) (2a2 ch 2a2 sin |Xi„ —
— \im sh 2a2 cos \iin)] + (4a? — jiL)"1 [(d2 +d22 — dl — d2) x
X (2ax sin 2ax cos |ii„ — |xJn cos 2ax sin |iin) + (dxd4 + d2d3) x
X (\i\n sin 2ax cos |ii„ — 2ax cos 2ax sin Цы)]},
'-К^ + ц2^1'^ ' -2 ' -2 ' -*
2
(5.94)
fo. = -^ ((4flS + *4) [(di + ^2 + di + di) (2a2 sh 2a2 cos \i2n +
+ №n ch 2a2 sin \i2n) + (d2dA — dxd3) (2a2 ch 2a2 sin \i2n —
— \x2n sh 2a2 cos \i2n)] + (4a2 — \&n)~x [(d2 + d2 — 4 — $ X
X (2ax sin 2ax cos \i2n — \i2n cos 2ax sin \i2n) + (dxd4 + d2d3) X
X (\i2n sin 2axcos \i2n — 2ax cos2ax sin \i2n)]}.
После определения оригинала трансформанты (5.92) получим
температурное поле в виде
oh*Ei
Чп
.<l_e-^i»+***)x
х
v (Bi-f x/z)cos^iln — plnsin\iln . 7
COS Ui» -г- Ц , /p. , rr- Sin Uifl -f-
+
+ ■
2n
KW + tin
.(1—^2/1+^
sin \i2n -f- +
M2n cos И2/1 + (Bl — H/l) Sin ^2* Y
: 7^ - cos a2n -}-
1^2/t Sln \4n — (Bl — *h) C0S V2n h
(5.95)
Предположим, что оболочка свободна от внешней силовой
нагрузки. В этом случае
^г = от = -^~(Тх-Т),
(5.96)
™ ^ = "2/Г ) ™У-
—Л
162

Подставляя выражение (5.95) для температурного поля в (5.96),
получаем
<*zz = dee = сг0 ^
п=\
\п
HW + liln
(1
_ р~к^\п
■(^ы+х2Л,К
:)х
Г sintxln v (Bi + ^)cos^xln —filnsin^xlrl ш y
+
/o
HW + Jllr.
S\n\L2n у \
)
\i2n cos \i2n - (Bi - xh) sin ц2„ Y I)
X ——лгт T^i—ГГГТГГ7 sin \x2n -j- . (5.97)
\i2n sin fx2n — (Bi — Hh) cos |i2/1
Если пренебречь влиянием кривизны оболочки (кк «0) на
температурное поле, получим следующие выражения для
температурного поля и температурных напряжений:
Т (v, т) = ^-Jj [/, (1 - Г*Ц cos pte JL +
+ /,(l-e ^sin^-f]'
(5.98)
л=1
Ml
,-Чл / sin^*
Ч
V-m
•cosui,,-^- —
-Ml-e'^sin^-l-
(5.99)
где
/i =
2 \—I / j2
X (2a2 sh 2a2 cos jxi« + |xi„ ch 2a2 sin \цп) + (4ai — ii\n)~l X
X (di + dl — dl — d\) (2аг sin 2ax cos jxi^ — \i\n cos 2ax sin \цп)]9
/,=■
^2« (2I*2« + sin 2^2n)
■[(4^ + [xLrI(d2d4-^3)X
X (2a2 ch 2a2 sin \i2n — H-2n sh 2a2 cos ^i) + (4a? — fiii)""1 X
X (d^ + d2d3) (|i2rt sin 2ax cos ^ — 2ax cos 2ax sin jA2n)].
Численные исследования распределения джоулева тепла вы-
h \
полнялись для цилиндрической оболочки при -д- = -tq в
зависимости от параметра б„. (рис. 47). На рисунке Q*= —-^.
11*
163

Из приведенных результатов видно, что для малых значения
параметра 6* распределение джоулева тепла носит
приповерхностный характер. Из сравнения рис. 41 и 47 видно, что в случае
одностороннего нагрева распределение джоулева тепла7 носит более
плавный характер, чем в случае двустороннего нагрева при£+ =
= Е0> Е~~ = 0. Исследования температурных полей выполнялись
для 6* = 0,1, -д = -т^-, а также в пренебрежении влиянием
кривизны оболочки на температурное поле.
На рис. 48 показано изменение во времени температуры на
внешней (сплошные линии), срединной (штриховые линии) и внутренней
(штрихпунктирные линии) поверхностях оболочки. Через Т*
обозначена безразмерная величина Т* = 'ко^хЬГ2Е^2Т. Исследования
показали, что, как и в случае двустороннего индукционного нагрева,
кривизна оболочки практически не влияет на распределение
температурного поля по толщине оболочки.
Распределение кольцевых (осевых) напряжений -5i-(——) по
толщине оболочки при Bi = 0 (штриховые линии) и Bi = 1
(сплошные линии) представлено на рис. 49.
Для исследованного случая при Bi Ф 0 величина напряжений
на внутренней поверхности оболочки со временем возрастает и
достигает максимального значения при т > 25. На внешней
поверхности она достигает наибольшего значения в начальный период
нагрева, а с увеличением времени происходит ее незначительное
монотонное убывание. В случае Bi = 0 величина напряжений
на обеих поверхностях возрастает в зависимости от времени. При
этом для т > 1,5 кривые распределения по толщине оболочки
практически не изменяются во времени.
Распределение напряжений, найденных в приближении кк «
« 0, практически совпадает с распределением для точного решения
задачи. Это указывает на возможность определять и в случае одно-
,164

стороннего индукционного нагрева по толщине оболочки
температурные поля и напряжения для оболочек с -~- < -^г по упрощенным
формулам (5.98), (5.99).
Рассмотрим случай, когда на внешней поверхности оболочки
выполняются условия сопряжения электромагнитного поля для
области оболочки и внешней среды (вакуум), а на внутренней —
задано независимое от осевой координаты граничное значение
кольцевой составляющей напряженности электрического поля.
Рис. 49.
Задача об определении поля в области оболочки сводится к
нахождению функции F (у) из уравнения
d*F
dy*
и граничных условий
dF jh)
dy
1
+i^(ft)=ir
k2F
7(0)
0
Ew,(R + h)
dE(0) (fl + h)
dr
(5.100)
(6.101)
F(-h)=E0e
—Kit
Здесь £(0)(r) — функция напряженности электрического поля во
внешней по отношению к оболочке области (вакуум). При этом
£(0) (г) определяется из уравнения
а^ , , <ш<°> ,^ .U Л {r>R + h) (5Л02)
dr*
dr
+ [kl-
0
и должна удовлетворять условию излучения на бесконечности.
Решение уравнения (5.102) ищем в виде
Е® (г) = АН? (kf)t (5.103)
165

где kl = e0\i0(x)2; A — постоянная; //f°(&0r) — функция Х^нкеля
второго рода.
Подставляя (5.103) в первое из условий (5.101) и /исключая
постоянную Л, получаем /
dF , J_
dy + R
J t |i R "PM
F=0.
Представляя функцию Ханкеля в виде ряда по малому
параметру k0r и ограничиваясь первым членом разложения, находим
— + — /"—— 2-^-^ = 0
dy + R [ 2 Z ^ j
Таким образом, задача об определении напряженности
электрического поля в области оболочки сведена к решению уравнения
(5.100) при условиях
■^-+-т(4—2^)^А)-°. П-Н)=Е0. (5.104)
Решение уравнения (5.100) с учетом (5.104) имеет вид
р( v _ р k*R cos К (у — h) — q sin fe» (у — h) /с. 1Г)1-ч
' W ~ £о ^/?cos2M + ^sin2M * 1 '
где а = -75 2 -^- . Для неферромагнитных материалов — «
^ И-о И-о
3
« 1. Поэтому q ж 2".
Учитывая, что в пределах рассматриваемой точности Е «F,
получаем
рЛЛ _ р &*# cos k*(y — h)—q sin /?„ (у — /i) ,- infi,
^ I" - ^ k+R cos 2M + q sin 2^/z * ^. iuo;
Соответствующее (5.106) распределение джоулева тепла имеет
вид
Q = -^ (Li slnai "J" + L2 cos^ -J- + L3 shaa-|- +
+ L4cha2-|- + L6cha2-|- cos ax-|- + LeSta^ -|-sh я2 -jM . (5.107)
Здесь
Lx = Г-М- фх sh2 a2 sin ax + 2~"^^2 sin ax ch a2 ^- a?<72 sin Ъах +
+ 2~7 (ф! — 16a^2) (sin 3ax — sin ax)l L^2,
L2 = I -^- фх sh 2a2 cos a, + 2~7фхФ2 ch2a2cos ax ^- aj<72 cos Ъах -f
+ 2~7 (Ф2 — 16a2?2) (cosax + cos 3^)1 LJT2,
166

JL, = (2"7ф! (sh a2 — sh 3a2) — 2^ [(a2 + al) — 16 q*] cos 2a, sh a, —
— -g- q2 (a2 + al) ch a2 + -j- a2q2 sh a2 i- a2?2 sh 3a2 —
[g- ^2?Ф] cos 2ax ch a2 jg- а2^ф2 ch 3a2| L^"2,
L4 = (2~7ф2 (ch a2 + ch 3a2) + 2"7 [(a2 + (&) — 16^4] cos 2a, ch a2 —
—-g-92 (a? + at) sha2 + -g-a??2 ch a2 + -^-a^2ch 3a2 +
+ -jq- a2y2q sh 3a2 + -^- a2q^ cos 2ax sh a2| L^2,
Lb = f — a^2 sh a2 sin ax + -yg- ax^2 ch a2 sin ax +
+ "Tg- ^i?9i ch a2 sin 3ax) L^2y
LQ = (— axa2q2 ch a2 cos ax + -^г- ах^ф2 sh a2 cos ax —
rg- ^х^Ф! sh a2 cos 3ax J LJT ,
<Pi = a2\ + al — 4<72, ф2 = a2 + d + 4?2,
L0 = — (a2 + a|) (ch2 a2 — cos2 ax) -f- q2 (ch2 a2 — sin2 ax) +
+ -s- ? (fl, sin 2aj + a2 sh 2a2).
Для определения температурных полей и напряжений можно
использовать методику, изложенную выше, для случая, когда на
внешней поверхности оболочки задано не зависящее от осевой
координаты граничное значение напряженности электрического
поля, а на внутренней — выполняются условия сопряжения
электромагнитного поля.

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ
И НАПРЯЖЕНИЯ /
В ЭЛЕКТРОПРОВОДНЫХ
ОБОЛОЧКАХ ПРИ '
БОЛЬШОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ГЛУБИНЕ ПРОНИКНОВЕНИЯ
ИНДУКЦИОННЫХ токов
Рассмотренная в предыдущей главе методика определения джоуле-
ва тепла, температурных полей и напряжений в электропроводных
оболочках основана на последовательном решении упрощенной
системы уравнений электродинамики, теплопроводности и
термоупругости. При этом в уравнениях электродинамики и
теплопроводности упрощения получены только за счет малости
геометрических параметров оболочки, характеризующих ее тонкостенность.
В такой расчетной схеме можно эффективно строить решения для
двустороннего индукционного нагрева, когда задаются
определенного вида граничные условия на вектор напряженности
электрического (магнитного) поля на всей поверхности оболочки. В
случае одностороннего индукционного нагрева определение
электромагнитного поля в области оболочки связано уже с решением
контактной задачи для системы электропроводная оболочка — внешняя
среда, что сопряжено в общем случае со значительными
математическими трудностями.
В то же время выполненные выше количественные исследования
распределения джоулева тепла в электропроводных оболочках,
когда глубина проникновения индукционных токов сравнима или
больше толщины оболочки, показали, что распределение их по
толщине оболочки близко к линейному. В настоящей главе для
указанных глубин проникновения индукционных токов
предлагается эффективный приближенный способ решения
рассматриваемого класса задач об индукционном нагреве электропроводных
тел, в котором области электропроводной оболочки ставится в
соответствие физическая поверхность, наделенная
соответствующими приведенными характеристиками материала [15]. Это дает
возможность, в частности, свести контактную задачу
электродинамики для системы электропроводная оболочка — внешняя среда
к краевой задаче электродинамики для внешней по отношению
к оболочке области при обобщенных граничных условиях на
указанной физической поверхности. С применением операторного
метода трехмерная задача электродинамики и теплопроводности
для области оболочки сводится к соответствующей двухмерной
задаче. Для определения температурных напряжений используются
известные уравнения термоупругости теории тонких оболочек,
основанной на гипотезе Кирхгофа — Лява. Предложенная методика
^^== ГЛАВА 6
168

приближенного определения джоулева тепла, температурных полей
и напряжений иллюстрируется на примере цилиндрической
оболочки. Выполнены количественные исследования джоулева тепла,
температурных полей и напряжений в зависимости от параметров
индукционного нагрева и условий теплообмена [9, 15, 17].
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБОБЩЕННЫЕ УСЛОВИЯ
СОПРЯЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим тонкую упругую электропроводную оболочку из
неферромагнитного материала. Как и ранее, оболочку и слой
вакуума, близлежащий к внутренней поверхности оболочки у = — А,
будем относить к смешанной криволинейной ортогональной
системе координат (а, Р, у). Предположим, что на внешней
поверхности оболочки задан вектор напряженности электрического поля
Е* (а, Р, A, t) = Е0 (а, Р) еш. Если оболочка не замкнута, то
к написанным соотношениям необходимо присоединить
соответствующие граничные условия на краях оболочки.
Определение напряженности электрического поля в области
оболочки сводится к решению уравнений (5.5), (5.6) относительно
функции напряженности электрического поля Е (а, р, у) =
=£* (а, Р, у» t)e~l®\ которая должна удовлетворять заданному
условию на внешней поверхности оболочки и условиям сопряжения
электромагнитного поля на внутренней поверхности.
Представим функцию напряженности электрического поля Е
в области оболочки и функцию напряженности электрического поля
Е{0) вне ее в окрестности внутренней поверхности у = —h в виде
Е (ос, р, у) = e~^F (а, Р, у), Е{0) (а, Р, у) = <TXV F{0) (а, р, Y), где
х = Xl~^*2 средняя кривизна оболочки, к1У к2 — главные
кривизны срединной поверхности оболочки. Предположим, что в области
оболочки внешние заряды и токи отсутствуют.
Из уравнений электродинамики (5.8), (5.9) и условий сопряжения
электромагнитного поля при у = — к в пренебрежении токами
смещения и величинами кгу, x2Y по сравнению с единицей получим
следующие соотношения для определения функции F. В области
оболочки функция F удовлетворяет уравнению
граничным условиям
F = F{0) (6.2)
169

на поверхности у = ft и условиям сопряжения электромагнитного
поля
<?Y Uo / ^ \ aY А да )' (6в3)
<?Y Х Uo J Р ^ ^о ^ dY В ар]
на поверхности у = — ft. Здесь р2 = у2 -f &*, &♦ = — х2 — ш|яа,
, х,-х2 2 _ J_ \J_ /_В_ _д_\ ,_д_(А JLW.
2 ■ v АВ[да [А да)~*~ д$ [В д$ )\9
е, е0, |ы, |ы0 — диэлектрическая и магнитная проницаемость в
области оболочки и вакуума.
В условия (6.3) входят граничные значения функции F(0) и ее
производных, которые определяются через соответствующие
граничные значения для вектора напряженности электрического поля
£(0) в области у < — ft. Поэтому в общем случае система уравнений
(6.1) — (6.3) должна решаться совместно с уравнениями для £(0)
Л£(0) + klE{0) = 0, div Еф) = 0. (6.4)
Будем считать в дальнейшем, что глубина проникновения
индукционных токов больше толщины оболочки б# > 1. В этом случае
для приближенного определения функции £(0) рассматриваемой
оболочке поставим в соответствие физическую поверхность с
приведенными характеристиками материала. Это даст возможность
свести задачу об определении электромагнитного поля в области
вакуума к решению соответствующей краевой задачи для этой
области с обобщенного вида граничными условиями.
Перейдем к выводу таких условий. При этом будем исходить
из рассмотрения более общей задачи об определении
электромагнитного поля в системе двух электропроводных тел, сопряженных
электропроводной оболочкой, помещенных во внешнее
электромагнитное поле.
Пусть рассматриваемая электропровЪдная оболочка, которую
в дальнейшем, для упрощения расчетной схемы, будем считать
замкнутой, контактирует на внешней поверхности с электропроводным
телом (У), а на внутренней поверхности — с электропроводным
телом (2) (рис. 50). Электромагнитные характеристики материала
рассматриваемых тел и оболочки обозначим соответственно через
ai» ei» Vv а2> е2» fV> аз» ез> ^з- При отсутствии внешних зарядов
и токов в рассматриваемой системе и пренебрежении токами
смещения функции напряженности электрического поля Е и
магнитного поля Н должны удовлетворять уравнениям (5.1), (5.2)
Д£(0 + klEil) = 0, div Е{1) = 0; (6.5)
170

Д//(0 + k2iH{i) = 0, div Я(/) =0 (/=1,2, 3). (6.6)
Здесь и в дальнейшем индекс (i) используется для обозначения
области рассматриваемой системы: (/), (2) — электропроводных
тел; (3) — оболочки.
К системе уравнений (6.5), (6.6) необходимо присоединить
граничные условия на поверхности (513) раздела электропроводное
тело (/) — оболочка (3) и на поверхности (S32) раздела оболочка
(3) — электропроводное тело (2).
Рис. 50.
Отнесем близлежащие к поверхностям (513), (532) слои
электропроводных тел (/), (2) к смешанной криволинейной системе
координат (а, Р, у), введенной для области оболочки. В такой системе
координат условия сопряжения электромагнитного поля
запишутся в виде
' (rot£(\=-^(rot£(3))x (6.7)
Н-з
Uh _ £(3)
на поверхности 513 (у =
£(2> = £(3)
1
Hi
1
п (rot£w)x = -Mrot£w')T (6.8)
\h Н-з
на поверхности. (532) (у = — К). Здесь
<rot &« = B(i + x2Y) № - в Wt(1 + x*v) Яр])'
E[l) — касательная составляющая вектора £(0. Если решать зада-
чу относительно напряженности магнитного поля Н> то к уравнениям
(6.6) следует добавить аналогичные (6.7), (6.8) условия
Н[1) = Я<3), J- (rot Н{\ = — (rot Н(\ (6.9)
Oj О;'
на поверхности (5,3);
/?<*> = Н®, J- (rot Н% = JL (rot Hl\ (6.10)
а2 а3
171

на поверхности (532)- Функция напряженности электрической? поля
Е(1) в области (У) должна удовлетворять также условию излучения
на бесконечности. Перейдем к приближенной постановке^формули-
рованной задачи, используя методику, изложенную в работах
[68, 71, 74, 75], где рассматриваются аналогичные вопросы
применительно к задачам теплопроводности.
Для определения функции напряженности электрического поля
-xV£(3)
в области оболочки Е{ (а, Р, у) = е~* F{' (а, Р, у) будем
пользоваться приближенной формой уравнения (5.8), полученной в
пренебрежении величинами кху, к2у по сравнению с единицей,
p*F{3)
ду*
= 0,
1 Г д ( В д \ . д [ А д \\
-X'
и в таком приближении соответствующими (6.7), (6.8)
ми сопряжения
(6.11)
(6.12)
условия-
/7(3) _ /7(1)
СП3'
Hi
ду |хх \ ду
а (А'>)
да
1 ах
dF$
А а3 да
+
Из
Hi
ду
lM"
на
ду
поверхности (513)
F$ = F$, Ff = Ff
^2 \
и условиям
+
1 ах
ар
+
(6.13)
<3'
а**
<>
ду ц2 \ ду
+ x'(-g--l)tf.
Of
1
ду
1
да
dF<v2)
+ —
в ар
+х
1 сга
да
eif
dp
+
+
(6.14)
на поверхности (S32). Отметим, что два последних условия в (6.13),
(6.14) следуют из непрерывности тангенциальных составляющих
напряженности магнитного поля и уравнения div Е = 0.
172

Используя операторный метод, решение уравнения (6.11) можно
представить в виде [54, 71 ]
Я3) =
i^[(f(3))+ + (>(3)n
sin ру
"(3)4—!
sinph
[(F{6Y-(Fn~l
(6.15)
где (F(3))± = F{S)\v=±h. В полученном представлении функция Р3)
в области оболочки определяется через граничные значения функции
на поверхностях у = ± h. В частности, если такие значения
заданы, то выражение (6.15) является решением задачи об
определении напряженности электрического поля в области оболочки.
Установим соответствующие условия (уравнения), которым
должны удовлетворять граничные значения (Р3*)*. С этой целью
проинтегрируем уравнение (6.11) и уравнение (6.11), умноженное
на у» по у в пределах от — ft до h. Используя решение (6.15),
получаем
др& \+ / д-р(3)
phtgphl(F{3))+ + (F®r]+h
ду )
ду
О, (6.16)
(1 - ph ctg ph) [(F(3))+ - (?(3)П + h
dF® \+
ду
+
dF®
ду
7(3)ч+
<3)v
(Fwr + (FT = 0.
(6.17)
где
dFi3)
ду
dF®
дУ J\v=±h
Отметим, что система уравнений (6.16), (6.17) не может быть
непосредственно использована для определения граничных
значений функции F(3), поскольку эти уравнения содержат также не-
. ( а?<3) \±
известные функции I —^— 1 , зависящие от напряженности
электрического поля в области электропроводных тел (/), (2).
Полученные соотношения, однако, дают возможность
сформулировать обобщенные граничные условия для напряженности
электрического поля в области тел (/), (2) и тем самым свести
рассматриваемую задачу к поэтапному решению следующих задач: а)
определение напряженности электрического поля в системе
контактирующих электропроводных тел (7), (2) при обобщенного
вида условиях сопряжения; б) на основании этого решения
определение напряженности электрического поля в области оболочки
по формуле (6.15).
С этой целью, используя (6.13), (6.14), выразим граничные
значения функции F и ее производных через соответствующие
граничные значения этих величин для тел (/), (2). С точностью до
173

малых величин порядка xxft, x2ft уравнение (6.16) может быть
представлено в виде векторного уравнения с компонентами
вунаправлении осей еа и е$: /
1
hSr tg ph и»? <fg>+f«)+Pi en1»+n2))i +
+
Paj^
^M4
л L pa#i \
d(AF$)
dy
da
da
+ -*-
a/*!>
da
a da
J \ PAiM-l
яг) - ш. (f<" - F<ty ;e+{-i- tg Pft [p? (fg>+n2>) -
d(BF&)
PjV#2
1 / d(BF%>)
Рл#«
PmVi
dFf
dy
ар
+ 5 *
aY
ap
О
dFf
ap
-2x'U
Рл#1
П'>-
l
■Ff
и в виде скалярного уравнения
)+™L.(lf-Fr))*-0 (6.18)
av
-^+*П"-*/?)= О, (6.19)
соответствующего проекции уравнения (6.16) на нормаль к
срединной поверхности. Здесь
2 2
я 1
Р =~АВ
(АВ)*
•[-35-("
ав \2
аа
в
\ I д I А д М • * 2
Л да
2 1 /лп ^ ^ ~ „
ав
д +В дЫ
— А
д*В
1 дА дА
дад$ А2В да д$
\i = 2/i|i3, от = 2/ia3, рл!
+
да д$
1 дБ дБ
дад$
АВ* да
2h
дВ \
ар J1
Из
Ре =
2/1
} (6.20)
;
Аналогичным путем уравнение (6.17) может быть сведено к
следующим двум уравнениям:
- - /1 — ph ctg ph\
(ЙРм I-
pW
hj[phF2-FZ) + Pm>-Ft)]
+
174

+■
Hi
d(AFg>) д^\
ду да. I
+ ^iP* ■
да
+ ■
(г2
dff
da
+ /£> _ 4 (fg> _ F<?)} * + {iip* f-ypA) \P\ (fj? - ff) -
<>
^
+ CTiP«-ar
+
1ITV—a^ дГ) + а*р'-ЩГ\-2н ГИГ** + "7Г/Ч +
(6.21)
av ap
+ 2*'Л (Ff? + if) - 4 (fg> - /f>)} 41 = 0,
+ 2a
dlf
+
n(2).
d)
?(2)\
+ xf^ + xF;0 — 4 (a^ — a2/^) = 0. (6.22)
dy г dy
Величины [x, a, рм, pg представляют собой приведенные
характеристики материала оболочки: \i — приведенная магнитная
проницаемость; a — приведенная электропроводимость; рм —
приведенное магнитное сопротивление; ре — приведенное
электросопротивление.
Уравнения (6.18) —(6.22) представляют собой искомые
обобщенные граничные условия на поверхности раздела тело (1) — тело
(2), которые отражают наличие в зоне контакта электропроводной
оболочки.
Приближенную форму этих граничных условий получим при
устремлении /i->0 в соотношениях (6.18) — (6.22), сохраняя при
этом постоянными величины \i, а, рм, ре. Полученные таким
путем условия, записанные в скалярной форме для предельных зна-
-+•
чений функции напряженности электрического поля Е> имеют
следующий вид:
Рм [р\ (£g} + Е$) + pl (4] + 42))] + 2 [ l
^i
dy
1
dE$
da
1
^2
1
■ 2 Рм
A a
d^
<>
да 2 da
Pi, IP? (£|P + £f)-pS (£!?+£?)]+ 2
0, (6.23)
1
Hi
dE$>
dy
175

дЕ%>
ар
1
(i2
-^-^' +
(2)
Из
aY
Рм
о
_1_
В
*£?>
ар
<'
+ х2
azf
ар
ар
/
/
= 0,
(6.24)
„2 , с(1) Р(2)ч , _2
а£?>
aY
Э£(2)
= 0, (6.25)
Wm [Pi (££ - ££') + Р2 (4" - 42>)1 + 6ц
f*2 \
1
1^1
<>
аа
+ •
(2)
MP«[pt(4
+
■(1)
■ 6 _
+ -ГРе
7<2к
а42)
ау '
да
да
ду
-12(E%}-E(?) = 0,
Щ) + рН^-Е^)] + 611
&),
1
«fig.
a?
в
(6.26)
6Е$
1
а?
в ар
"^«.ЬНр+тЬ*).
ар у
+
1 6 -
<
+ <*2
<
7<U
-(2)'
ар 1 ~2 ар
12(4'-40= 0, (6.27)
<L +
<
aY
av
+ 2х(41) + £?))] — 12(^4°
■а2£<2))
0.
,у —^2^Y / — w- (6.28)
Выполненный граничный переход означает замену
электропроводной оболочки физической поверхностью, которая
характеризуется приведенной магнитной проницаемостью (i, приведенной
электропроводностью а, приведенным магнитным сопротивлением
рм и приведенным электросопротивлением ре. При этом
уравнения (6.23) — (6.28) представляют собой условия, которым
должна удовлетворять напряженность электрического поля Е на
поверхности контакта тело (1) — тело (2). В дальнейшем эти условия,
в отличие от условий (6.13), (6.14), будем называть условиями
неидеального контакта.
С уменьшением толщины оболочки приведенные характеристики
стремятся к нулю. Поэтому, выполняя переход \i -> 0, а ->- 0,
рм-^0, ре ->• 0 в граничных условиях (6.23) — (6.28), приходим
к условиям идеального контакта.
Таким образом, напряженность электрического поля в области
контактирующих электропроводных тел определяется из системы
176

уравнений (6.5), (6.23) — (6.28). Напряженность электрического
поля в области оболочки определяется по формуле (6.15) при
известных уже значениях (f^)*.
В случае, если области тел (У), (2) принимаются в приближении
вакуума, соответствующие условия на эквивалентной оболочке
физической поверхности, которая совпадает со срединной
поверхностью оболочки, могут быть получены из (6.23) — (6.28) заменой
olt о2 на ше0, a \il9 \i2 на |л0.
2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
И ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЕЙ
Уравнения электромагнитного поля. Полученные выше
результаты используем при выводе уравнений для приближенного
определения напряженности электрического поля £(0) во внутренней
области оболочки (области вакуума). При этом обобщенные
граничные условия для функции £(0) получаем, как отмечалось
выше, из соотношений (6.23) — (6.28) заменой а1у о2 на ше0, \хъ \i2
на |w0:
рм [р\ (£g> + £<2)) + р\ (£Р + т + -2-
го
дБ®
ду
А
да
"Г л
ду
<- + х, (£<?- ESh +
+ ■
Рм ■
-4г- icoe„
да
Щ-о.
(6.29)
Рм [р\ (£g> + Ef) - pi (£fi> + m +-$-[-?$—
1
<
в ар
<> + i
ду
Рм
1№п
В д$
дЕ$
ар '
дЕ^ + кг(4)-Е<$)] +
7«)
(2К
р,ор*(ЕУ + Е%>) + 2
дЕ%>
ду
dEf \
ар j =
й£<2>
-О,
■РК
•£-)
(6.30)
= 0, (6,31)
№ [rf О*1» - £?) + pl (E$ - Ef)] + 6 JL-
H'O
<>
a£<!> . a£<2>
a«
+
ду
ду
+ -j- "°8oP*
a£(1) ая(2) \
aa ^ aa / ^V^a ~ ^a J
aa у
+
0,
(6.32)
12 7-102
177

мм [p? (£JP - £?) + p\ (4° + 42))J + 6
1 dE$> , dE®
,7 Г a£jj»
-4
Ho L
av
-г-1Г1-гг-т-^- + '«.(^, + ^]
+
i - / d£(I) d£(2) \
+ 6 -i- toerf). [-gf- + -^J - 12 (£&> - 42>) = 0, (6.33)
twe0op>2 (£(v" — £?') + 6a
<- + ^£- + 2и(ЕУ + Е*>)]-
dy l dy
— 12кое0 (4° — E{y) = 0. (6.34)
Если функция £(0) найдена, то на основании сформулированной
краевой задачи определение напряженности электрического поля
Е в области оболочки сводится к решению уравнения (6.1) при гра-
ничных условиях (6.2), (6.3) относительно функции F.
Решение уравнения (6.1) запишется в виде
1 p2h2 sinpy
r cos ph г
3 (1 — phctgph) sin ph
F*.
(6.35)
Здесь
1 о
~-h —h
Интегрируя уравнение (6.1) и уравнение (6.1), умноженное на
Y, по толщине оболочки, а также учитывая условия (6.2), получаем
систему уравнений для определения функций Fx и F2\
1 p2h2
p2h2Fx
9 1 — ph ctg ph
|pActgpA + x'A(l--jji-)'
F,-
dF®
dy
ev +
+ но \ aY ea
p2h2F2 — n'h(l
dy
pW
T>=—ft
(6.36)
; F2 + 3p%2 X
= — ЗА
Ho j 1 — ph ctg рЛ * 2
x (i + ^) ?i + 3*'Л I1 - ~t)ph ctg^ "
+ 3E0. (6.37)
Ho \ dy e" +
-ду~е*
af<?> - 1
av
Jv—ft
Представляя операторы ctg ph и 1 —ph ctgp А в ряд по параметру
ph и ограничиваясь первым или первыми двумя членами разложе-
178

ния, получаем соответственно систему уравнений первого и второго
приближения:
= lThl-!>tev + -t[—e« + -15r
pWF, - Зх'Л (1 - -£.) ?, + 3 (l - к'Л -£-) ?x -
ЗлГ-i
(6.38)
drf> -
ч +
af<0) -
J Iy=—Л
ay p/ ' dy
+ 3£0;
af<°> -
ea +
v=-ft
-r*[-
p'ft'f, + 2pVAF, + 3f, - 3*7. (l - J-) (l - -т£-) f, +
+*,*(i-*-)(,-j?-P"--*bs-№-+
dfV -
aY
*p +■
aY
Y=-/i
+ 3£0.
(6.39)
J
Если найти решения системы уравнений (6.36), (6.37) для
соответствующего приближения, то с помощью представления (6.35)
найдем распределение напряженности электрического поля
Е# (а, р, у, t) = е~*у+ш F (а, Р, у) в области оболочки.
Усредненная по периоду изменения во времени
электромагнитного поля плотность джоулева тепла определяется через вектор
напряженности электрического поля по формуле (1.63).
Уравнения температурного поля. Положим, что оболочка
находится в условиях конвективного теплообмена с внешнец средой,
температура которой постоянна и равна начальной температуре
оболочки. Температуру будем отсчитывать от ее начального
значения.
Согласно (5.17), (5.19) определение температурного поля Г (ос,
Р, у, t) = e-*v Т# (а, р, у, t) в области оболочки сводится к решению
уравнения теплопроводности
роГ* + •
ду*
(6.40)
при нулевом начальном условии
ПК Р, Y, 0)=0
12*
(6.41)
179

и условиях теплообмена на боковых поверхностях
аг.(«.Р,А, 0 +(я-х)Г,(а, р, А, 0 = 0,
./ (6.42)
аг.(«,(Ь-*, 0_(Д + Х)Г>(0С> Р) _Л> 0==0.
Здесь ро = V2 — х2 33- • Записанные исходные соотношения
а (л
(6.40) — (6.42) упрощены за счет малости величин х2 7, и2 V п0
сравнению с единицей.
Применим к соотношениям (6.40) — (6.42) преобразование
Лапласа. Тогда получим следующую систему соотношений для
определения трансформанты Лапласа Т* (а, р, 7» s) от Т* (а, Р, 7» 0:
te
-Q,
ar*(cc, р, ft, s)
ду
&ГФ (а, р, - К s)
ду
+ (Н-х)Т*(а, Р, К s)=0,
-(Я + х)Г,(а, Р, -ft, s) = 0,
(6.43)
(6.44)
где
7Ж Р> V. s)= f^%(a, р, 7, t)dty ^ = V2-x2 Ls. (6.45)
6
Решение уравнения (6.43) представим в виде
T*=Pah^
cos р3у
sin p3h
Ti — -ir) + -3~(r=
p3h* sin p3y
pji ct6 Ps^) sin pzh
X
Здесь
X 71,-
92
(6.46)
i ?*, * з A
2/i2
J Wv,
—/t
—л
-ft
ft
q* = ~W J ^Y' ?2 = "2^" J Wfy
-ft -ft
При этом функции 7\, Т2 определяются из системы уравнений
»г, - ю р,> ctg & (г, -^.) -.*, _ Л";,е м (?. -1) -
180

2 / - <6-47^
P3^2-(l+Bi)^^tgp3,(r2-^-) +
+ 3xftp3ft ctg Paft (т\ - -g-j = 3 (1 + Bi) q-l^ -
3;cft^"+*°~~ 3—0
которые получены путем интегрирования уравнения (6.43) с
учетом граничных условий (6.44). Здесь
? 1 h ~
Qi = J Qdy, Q2 = — J yQdy, q£ = q (y) \y==±h.
Таким образом, определение температурного поля в оболочке
при найденном распределении джоулева тепла и условиях
конвективного теплообмена сводится к определению 7\ и Т2 из системы
уравнений(6.47) и последующего определения оригинала от
трансформанты Т* (а, р, у, s), которая определяется из уравнения (6.46).
3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
ОБОЛОЧКИ
Определение электромагнитного поля и джоулева тепла.
Рассматривается длинная цилиндрическая оболочка радиуса R (рис. 51),
когда на внешней поверхности задан вектор напряженности
электрического поля £*(z, у> t) = {О, Е0, (z) еш, 0}, где Е0 (г) =
= Е0 cos nz. В области оболочки и вне ее при г < R — ft отличные
от нуля кольцевые составляющие Е# (г, у, t) и Е® (г, у, t)
представляются в виде
Е* (г, y, 0 = F (у) е-**-**» cos nz,
£?(*, rt t) =Е{0) (г) еш cos nz.
Здесь £(0) (г, г, /) — функция напряженности электрического поля
внутри оболочки; z и г — осевая и радиальная координаты этой
области.
Функция £(0) (г), согласно (6.4), в области г < R — ft
удовлетворяет уравнению
^ + -^ + (*5-^-»')^ = о (6.«)
и обобщенным условиям (6.29) — (6.34) при г = R — ft (у = —ft),
181

которые с учетом того, что г = R + V» и замены -j- = -^-/в
данном случае имеют вид у
iWa (В. + £<°>) + ^-{e0-r^L- е*) - о,
Здесь
(£в - £<0)) + -3L (Ео + R «£- - £<°>) - 12 (Е0 - £<°>) = 0.
(6.50)
рм = -^— , |л = 2А|х, а = 2/кт, р2 = — я2 — ш -J^-
Рис. 51.
Решая уравнение (6.49) с использованием условия
ограниченности функции £(0) (г) при г -*- 0 и условия (6.50), получаем
3 3 •
б* 1 / 2
где б^ — -т^-, 6* = J/ -^ глубина проникновения
индукционных токов; J±(r) — функция Бесселя первого рода.
Поскольку функция £(0) (г) найдена, то из соотношения (6.48)
найдем функцию напряженности электрического поля £(0) (г, г)
внутри оболочки, а на основании (6.35) — (6.37) — функцию
напряженности электрического поля Е (z, у) = e^*v F (г, у) в области
оболочки. Если ограничиться первыми членами разложения в ряд
операторов при Fly F2> получим
Здесь
Е (z, v) = Е0[*1 + х*» + '(*» + "л" *«)]cosпг- (6'52>
182

% - пг'бг2 [4 (-1 + -j- ^2 - -if с4) +
+ (nW + х2Л2) (l + лА + -|- "%2) + с4 (i + 4- ft%2)l •
4>з = nr'6r2[3 (л»А« + к%2) (1-4 С4) +
+nh (i --&iw - -У-s:4) (i + -L sr4)],
Ь = пТХ2 (1 + 4- С4) [3 + nh (5 - 4- 6Г4)],
«i = i+4-s-
Если в выражении (6.52) положить параметр п = О, получим
выражение для функции напряженности электрического поля в
случае индукционного нагрева цилиндрической оболочки по
толщине (плоская задача)
£(7) = £0[1-4-6Г4+'-ГХбГ2(1 + 4-б.~2)]- (6-53)
Сравним выражение для Е (у) (6.53) с точным решением (5.90)
для функции напряженности электрического поля в случае
одностороннего индукционного нагрева длинной цилиндрической
оболочки, т. е.
Ет (у) = E0\dx cos^ -|-cha2 -J- + d2 siru^-J-sh a2 -J- +
+ d3 sin ax -j- ch a2 -| d4 cos ax -|- sh a2 -|- + / (d2 cos ax -~- x
X cha2-| diSinaj -|-sh я2-|- + d4sinax -|-cha2-|- +
+ d3cosa1-|-sha2-|-jl,
где
ax = - 2 ^/xW + -i-6r4 sin (4- arctg -i- C^V2),
a2 = 2 ]Д%4 + 4-6Г4 cos (4- arctg -^ Ь?**КГ*).
Выражения для коэффициентов dlt d2, d3, d4 приведены в § 5
гл. 5.
183

Соответствующие граничные значения функций Е (у) \ь Ет (у)
при у = ±h следующие:
E(h) = £,[l - -1-бГ4+ '-f C2(l + ±K*j\,
E(-h) = E0
(6.54)
£Т(Л) = £0,
£т (— h) = £0 {ch a2 (dx cos ax — d3 sin ax) + sh a2 (d2 sin ax +
+ d4 cos ax) + f [ch a2 (d2 cos ях — d4 sin a^) —
— sh a2 (dx sin ax + d3 cos a^]}.
При больших относительных глубинах проникновения
индукционных токов (б* ^> 1) представим входящие в выражения
(6.54) тригонометрические и гиперболические функции в виде ряда
по степеням соответствующих параметров aL (i = 1,2). Если при
этом ограничиться лишь двумя членами разложения, то для
определения относительной погрешности найденных граничных
значений функции напряженности электрического поля на внешней
поверхности получим следующую оценку:
Er(h)-E(h)
Ят(Л)
На внутренней поверхности
26*
Er(-/Q-£(-/г)
М-Л)
1~|/|-в- -
6х/г
(6.55)
(6.56)
На основании оценок (6.55) и (6.56) точности полученного
приближенного решения (6.53) можно указать пределы применимости
предложенного метода решения. В частности, если задаться
величиной допустимого относительного отклонения функции
напряженности электрического поля, то для фиксированного х/i по
формулам (6.55), (6.56) легко установить допустимые
относительные параметры глубины проникновения индукционных токов 8*,
при которых можно эффективно использовать приближенное
решение (6.53).
Аналогичные оценки могут быть получены и в случае, когда
функция напряженности электрического поля определяется
соотношением (6.52). При этом вместо условия б^2 <^ 1 должно
выполняться условие 8~2 + n2h2 <^ 1.
Соответствующая выражению (6.52) для функции напряженности
электрического поля, усредненная по периоду изменения во вре-
184

мени электромагнитного поля плотность джоулева тепла имеет вид
— Ьо
(6.57)
При п = 0, т. е. для случая нагрева цилиндрической оболочки па
толщине, имеем
Q = -f-£?(l
-6. +-4-6. -}jr-).
В пределах применимости полученного решения (6.52) для
функции напряженности электрического поля, т. е. при 8^ -f n2h2 4С
<£ 1, выражение для джоулева тепла можно упростить к виду
Q==^£^/1 + /2i)cos2nz
и для п = О
—2ч
(2 = ^-^(1-бГ),
(6.58>
(6.59)
где
7 *-2ч
/х = 1 — 2/гЛ — 67% к = 2nft6p (1 — 2лА — -j- 6f )
Определение температурного поля. Для нахождения
температурного поля, соответствующего выражению (6.58) для джоулева
тепла Q, будем исходить из операторной формы решения уравнения
теплопроводности, приведенной в предыдущем параграфе. На
основании формулы (6.46) получим следующее выражение для
трансформанты Лапласа 7% от температуры 7%:
1 *-<-
pji —
га с,
cos рЛу
sin pji
Тг-
+
1
P\W
3 (1 — рз^ ctg P3h) sin p.Ji \ 2
02
Л. У*
Здесь
<7o
_ • El{IA2-e-
4p;
. e~P*iy+h) eP4(V+h)
■P*(Y+/l) eP<(V+bh i j
** +
Р4Л
(<Р* — ё-Р*У)
COS4 Я2,
a c2,
s + ^ru-e-^lcos2^,
?2 = — 3 _£^ £§/, (l — -§- pth + e-2"**) cos2 nz.
«PS
(6.60)
(6.61)
t«

При этом Т1У Т2 определяются из системы уравнений (6.47) А имеют
вид
*
7\ =
oh*E20
2АЛ
1=0
+ xW + 4/ai2/i2 + cTWs
x [l —w~(1-pJt - r2Plh - p*hr2P*h)\cos 2lnz>
1
Ж^—^к У " Г
т2 =
3aA2£Jj
(6.62)
/«о
3(1+ Bi) + й> + 4/nW + a""^
X
x(l +
Bi
Bi + x2/i2 + 4/n2A2 +
cTlh*s)
X
X |"l - y§^-(1 -P^-*~2pJk-P4^~2P4")1 cos 2lnz.
Найдя оригинал от трансформанты Т+ (г, y» s)> которая
определяется формулой (6.60), получим температурное поле в области
оболочки. Для т<1
Т(г9 Y, т) =
oh*E20 J
8А,
^2 ("*W
3 «r*.
3Bi
X erfc ^ + 4dr' J/" -£ - 2^Г'Л erf d)V
_l_
*(Bi + *)
•2т
:)X
Bi+d,
X
x(1_e-(Bl+^)+ 1 d}
--/•H)
1 + 4-
erfc
Sf+H
+
+ e
r,;/.(.+i)
1 +
erfc
2/t
' -44''.)+ /
'/•(.-i)
X
X
«* (-w- + H+«"<t"*) •* fer - H] -
— df erfc
i+-
l —-
• erfc -
+ 3xA
7 Г x
/i L 1 + Bi
2Yx ' ~*" 2Ут
erfc—T=-
Ч-гА^ей^'т"'
3(l + Bi)-^ ' i.cos2/«z;
d, = *2/t2 + 4/n%a (/=0, 1).
(6.63)
1M

Для т > 1
oh*El
X
+1
Т fe т. т) = -^р- /, ((1 + 4 Bi) -я"1 (1 - «"") -
3(1+ Bi) <ГОТТ - wg-3<'+B"T - 3 - 2 Bi 5 1-<Г3<'+В|>Ч
m + 4лгЛ2
*(
3(1+ Bi) (3 + 2 Bi) m 3 3 (1 + Bi) J +
011+4**»* - (m + 4я»Д1) «-W-Bifr - 3 - 2 Bi Л J5_ R.\
3(1+ Bi) (3 + 2Bi) (m2 + 4n2/i2) V1 + 3 Ш/
ь l • 1cos2aizJ, (6.64)
3(1+ Bi)
где m = Bi + x2/i2.
Для случая индукционного нагрева цилиндрической оболочки
по толщине п = О имеем для т <с 1
Г(т, *) =
a/i2£§
((•
4А, xW
3 л-к8Л2т
■б
3Bi
x2/t2 (Bi + x2/t2)~ 2/rjerfc у- +
+^/^-*§rerf*^~ +
1
2x2/i2
xn
ю
erf с
■++
2/t
^ +
+ nhVv]—e \ "/erfcl-—7= кЛ]Аг1 +
(-*)
2уТ
1—-
X erf с
2/т
•хЛ]/т
1 +
x2/i2
erfc-
2/т
Л
1 —■
+ erfc-
2/f J h
T тг-erfc
l + Bi WX4- y^" 3xW(l+Bi)
rr X
К Y^e^hH(l-e"h +
l
3x3/i3 (.1 + Bi)
77- erf yh
yr]},
(6.65)
187

для т> 1
г „^ _*?-{(,+ >)!=р1--}-(£-*) +
' h
+ -Н
3 (1 + Bi) g~mT — mg-3<1+Bi)T — 3 — 2 Bi
3(1 + Bi) (3 + 2 Bi) m ~
1-
-3(l+Bi)x
3(1+В
box l\
(6.66)
Рис. 52.
fl*|
°A
1
Ь_:
==5*
4
fi25| ^ 4-
-/ • -«5
Рис. 53.
Рис. 54.
«5
10
T
Определение температурных напряжений. Для определения
температурных напряжений в свободной на краях цилиндрической
оболочке воспользуемся соотношениями (5.22) — (5.27), полагая
а = z, Р = 9, А = 1, В = R, к± = 0, к2 = -^-. В
рассматриваемой задаче об осесимметрическом индукционном нагреве свободной
на краях оболочки температурные напряжения характеризуются
отличными от нуля компонентами ozz, сгее, которые определяются
через кольцевое усилие N2 и изгибающие моменты М1У М2 по
формулам
2 /г*
^i + i^r^i+x^-^)^
aee^^^1 + 3M2^)+^(ri + -fr2-T)
(6.67)
188

При этом
N2 = 2Eh(^-aiTiy
М = L №
М9
3 1 — v2
2
Г &W , /1 , ч Т'г 1
2 £/i3 Г d2w , n . ч Г2 1
(6.68)
Рис. 55.
Рис. 56.
189

где функция прогибов w удовлетворяет разрешающему уравнению
Здесь
Периодическое по 2 решение уравнения (6.69), соответствующее
заданному формулами (6.63), (6.64) температурному полю Т (г,
7, т), имеет вид
«Ч. ~ ЩТ\ + Т^Г [т\ + 10^ £ 7$) cos „0z0, (6.70)
где при т < 1
Л0---5-,
Г, „ о/,2£° 1 ferfc _L_ /_i_ с-^х зш \
+ w- VTe_HWT о -e_,/T) - w-erf <* wtf'' +
^Bi + xW*1 * ']•
a/l2£n . Г/ Я -(x2fc2-f4n2ft2)T
■4(s
8X "i J \x,*h* + 4л2Д2
3Bi
"(xW + 4nW) (Bi + xW + 4/i2/i2) j er*C у f +
2 I/ т *-(x2ft*+4/i2u2)T/i _ v-l/Tv
1
(xW + 4/ДО)
^ erf (x%2 + 4n2h2)4i V% +
2 . 1 (Bi+x2ft2+4n2/i2;
/1 —(В1+и2/г2+4/г2Л2)Тч1
+ Bi + H2/i2 + 4rt2/i2 '
r2 = 4.x/i__Z^/iJ_l_erfc^^ _,,,* , D, X
8 х/г x '![ i+Bi mcYx SxWO+BiT
X /^ ^Х2Л2Т (1 - ^1/T) + 3x^(1 +B1) ^f кА К T ] ,
jf 3 <^2£* м Г x с 1
Г« * T—Г" Hft/i [Т+вГ erfc ут ~
_ 2 l/T" -(K2fc2-f4n2/i2)T n _ -~1/тК ,
3 (х'»# + 4n2/i2) (1 + Bi) К jt u * ' ^
+ l—r, erf (x%2 + 4n2/i2)7' ]/t 1;
3 (x2/i2 + 4/i2/i2)8/« (1 + Bi) v J
190

при т > 1
*=^<.(1+-И^
1 _ eMBi+4'ft«)T
+ х2й2
7-1 =
oh*E20
к
(1 + -f bi)
I _ g-(Bi+x*/t»4-4«2/i2)T
Bi + x2/i2 + 4/i2/i2
(6.72)
Рис. 57.
ОМ
Рис. 58. **
0,M\
№
а
у
I
VJ
i
ffl
А
20
40
60
h
-ОМ
То =
3 *ЬЩ
^ч[(1 + 4-ш)х
3(1+ Bi) е-(В1+хЦ°)т ___ (Bi + xW) e-3(i+Bi)t _ з _ 2 gl
3(l + Bi)(Bi + x2/i2)(3 + 2Bi)
5 i-g-3(i+Bi)Ti
3 3(1 + Bi) J»
б !_g-3(i+Bi)T
3 3(1+Bi)
+
(«+-H
X
X
3 (1 + Bi) g-(Bi+x^+4^Ht ___ (Bi + xW) е-ДО+врт _ 3 __ 2 Bi
3 (1 + Bi) (Bi + x2/i2 + 4n2/i2) (3 + 2 Bi)
]•
Tt = Г/' + T"i cos n020 (t = 1, 2).
(6.73)
Подставляя найденное для w выражение последовательно в
формулы (6.68) и (6.67), получаем для температурных напряжений
Огг, <Jee выражения
°я—ггт[у1-у+-r(1+v)(4 + „4)Trx
х17-.Чз(^)ХТ21С08
"oZol.
191

atE
T1-T-(l-v)T\+ 4(1 4V) X
4 + 4
x^+^ir^. + X^^eo^.
(6.74)
В случае индукционного нагрева цилиндрической оболочки по
толщине (п0 = 0) имеем
<'» = ^вв = -1^г(7'1-Т). (6.75)
Численный анализ. Численные исследования распределения
джоулева тепла выполнялись для цилиндрической оболочки с
-п = -г* в зависимости от параметра 6* = -^характеризующего
относительную глубину проникновения индукционных токов, и
параметра nh = 21 nh (I = 0, 1, 2, ...), характеризующего
периодическое изменение функции напряженности электрического поля
вдоль оси z. На рис. 52 представлены результаты численных
расчетов джоулева тепла, отнесенного к оЕ\ (Q = oE20Q*) для nh =
= 0; 0,039; 0,078; 0,157; 0,314; 0,471; 0,628; 0,785 (соответственно
кривые /—8) на основе точного решения. Параметр 6* принимался
равным 10. Расчеты показали также, что в диапазоне изменения
б^ = 10 ч- 2 распределение Q* при фиксированном nh практически
не зависит от б*. Из приведенных графиков видно, что для параметра
nh, изменяющегося в пределах 0 < nh < 0,157, распределение
джоулева тепла по толщине оболочки близко к равномерному. С
возрастанием nh для nh > 0,157 существенно увеличивается градиен-
тность распределения джоулева тепла по толщине оболочки.
На рис. 53 представлено распределение джоулева тепла по
толщине оболочки на основе приближенного решения (6.56) для 6* =
= 10 (сплошные линии) и 8* = 3, 3; 2 (штриховые линии) при nh =
= 0; 0,039; 0,078; 0,157 (соответственно кривые 1—4).
Из сравнения результатов, приведенных на рис. 52 и 53, видно,
что для параметра nh < 0,078 имеется удовлетворительное
согласование распределения джоулева тепла, найденного на
основании точного и приближенного решений.
Исследование температурного поля выполнялось для ^ = -^,
б^ = 10; nh = 0. На рис. 54 показано изменение во времени
температурного поля Т = oh2E%k~lT* на внешней (сплошные линии),
срединной (штриховые линии) и внутренней (штрихпунктирные
линии) поверхностях оболочки. Отметим, что кривые
распределения при nh = 0,039; 0,078 практически совпадают с кривыми при
nh = 0. Через 7* обозначена безразмерная величина.
Численные исследования распределения осевых напряжений
ozz по толщине оболочки проводились для т = 1; 10; оо в
зависимости от параметров б*, nh, Bi при z = 0, когда амплитуда
джоулева тепла достигает максимального значения. Случай т = оо
191

соответствует установившемуся режиму. Расчеты показали, что
распределение о22 для значений времени г > 10 практически
совпадает с распределением в установившемся режиме.
Распределение -^- по толщине оболочки при б# =0,1; nh =
= 0; 0,039; 0,078 (соответственно кривые /—3) представлено на
рис. 55, а для т = 1, на рис. 55, б для т = 10, что практически
соответствует установившемуся режиму. Сплошные линии на ри-
apEElh2
сунке соответствуют В i = 0, штриховые — Bi = 1, а0 = ... .—
Из приведенных графиков видно, что в установившемся режиме
уровни температурных напряжений значительно выше, чем в
начальный период нагрева.
На рис. 56 показано распределение по толщине оболочки ВеЛИ-
чины при тех же параметрах 8*, nh, Bi, т. Сравнивая эти гра-
фики с соответствующими графиками для осевых температурных
напряжений о22у видим, что характер распределения аее
аналогичен характеру распределения агг.
На рис. 57 и 58 показано распределение Т# = т к* * и а* =
= —-—- по оси z для параметров nh = 0,039 (кривые /) и
ао
nh = 0,078 (кривые 2). На рис. 58 сплошные линии
соответствуют Bi = 0 при т = 1, штриховые и штрихпунктирные — Bi = 1
при т = 1 и т = 10.
Выполненные исследования подтверждают применимость
предложенной методики определения температурных полей и
температурных напряжений в цилиндрической оболочке, когда глубина
проникновения индукционных токов больше толщины оболочки.
13 7-102

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯ^
НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
Выполненные исследования показали, что возникающие в
процессе индукционной термообработки температурные напряжения
могут изменяться в широких пределах в зависимости от схемы
индукционного нагрева, частоты и амплитуды источников внешнего
электромагнитного поля, условий теплообмена с внешней средой,
условий закрепления элементов конструкций и т. п. Поэтому
возникает необходимость постановки и решения задачи о выборе схем,
режимов и условий индукционной термообработки,
оптимизирующих в требуемом направлении напряженно-деформированное
состояние. В частности, применительно к проблеме
высокотемпературной локальной индукционной термообработки сварных
элементов конструкций с целью создания условий максимальной
релаксации остаточных напряжений возникает необходимость
определения таких режимов индукционного нагрева, при которых
уровень температурных напряжений оптимально низок и не
превышает заданного.
Настоящая глава посвящена решению задачи об оптимизации
режимов индукционной термообработки электропроводных пластин
при их нагреве по толщине. Задача решается с использованием
методов вариационного исчисления на основе минимизации
функционала, характеризующего напряженное состояние в процессе
термообработки. Получено решение для тонкой электропроводной
пластинки, когда распределение температуры по толщине в
процессе индукционного нагрева с достаточной точностью может быть
аппроксимировано линейным законом. Отдельно рассматривается
случай приповерхностного индукционного нагрева без априорного
предположения о распределении температуры по толщине [11].
1. ИНДУКЦИОННЫЙ НАГРЕВ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ
Исходные уравнения теплопроводности и термоупругости.
Рассматривается электропроводная пластинка толщиной 2ft,
отнесенная к декартовой системе координат (рис. 59). На поверхности
z = ft задана периодическая во времени касательная
составляющая напряженности электрического поля Ех = Е (t) Е0еш
с переменной во времени амплитудой, направленная параллельно
оси х.
- ГЛАВА 7
194

Возникающие в пластинке индукционные токи приводят к
выделению джоулева тепла, удельная мощность которого
определяется по формулам (2.109), (2.72) и в данной системе координат
записывается в виде
Q=cp(0/(z). (7Л>
Здесь
chl+l+C0SA+i_
У 2|хохт
Пусть пластинка находится в условиях конвективного
теплообмена с внешней средой, температура которой равна начальной
температуре пластинки. Положим, что распределение температуры
по толщине пластины с достаточной точностью может быть
аппроксимировано линейным законом
где
-h -h
Определение температурного поля в этом случае сводится к
решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений [42, 74]
относительно функций 7\ (t) и Т2 (t) вида
_d_
dt
(7.3)
a (Bi+ + Bi~) 1 т _ а (В1+ - Bi-) т (.р _п
Г d 3a(2 + Bi+ + Bi-)lT 3a(Bi+-BJ-) _ _п
Здесь Bi111 = H^h — критерий Био на верхней z = h и нижней г =
= — h поверхностях;
Fi = W \f&dz> /Г2 = ^Г 1^/(г)^. (7.4>
-'л -л
В качестве исходных соотношений при определении
температурных напряжений примем уравнения термоупругости тонких
пластин, основанные на гипотезе Кирхгофа — Лява [42, 68]. Будем
считать, что края пластинки жестко защемлены.
В этом случае напряженное состояние изменяется только по
толщине и характеризуется компонентами оХХ1 ауу. При этом
<*хх = Оуу = <** = — ОГ0 4" ^2» (7-5)
УУ * v0 /j л 2>
гдаа.-^.
«" 195

Из формулы (7.5) видно, что в данном случае напряжения
достигают наибольшего (наименьшего) значения на основаниях $ =■ dth.
Постановка и решение вариационной задачи. Рассматривается
задача об определении оптимальных по напряжениям Джимов
индукционного нагрева тонкой пластины, осуществляющих нагрев
внешней поверхности г = ft за время t = t* до заданной
температуры Т#- Предполагается, что в процессе нагрева функция ф (t)t
характеризующая изменение во времени джоулева тепла, не пре-
Рис. 59.
вышает значения ф0, и напряжения о# не превышают величины
а^. Будем предполагать также, что функция ф (t)
удовлетворяет условию
о
где Ь0 — заданное число.
Л Сформулированную задачу будем решать методами
вариационного исчисления [23, 88]. В качестве функционального условия
оптимальности примем условие минимума функционала энергии
упругой деформации
и
М = J Kdt, (7.7)
о
где К — энергия упругой деформации в фиксированный момент
времени для элемента пластинки с единичной площадью срединной
плоскости [29]. С учетом (7.5) получим
К=Щ£-т\. (7.8)
Функционал (7.7) определен на множестве функций Г2, которые
связаны с функциями Тг и ф соотношениями (7.3). Поэтому задачу
об определении экстремалей функционала (7.7) можно
сформулировать таким образом.
\ Найти экстремали функционала М на множестве допустимых
функций 7\, Т2, ф, которые связаны между собой уравнениями
(7?3) и удовлетворяют условию (7.6). При этом
0<Ф<Фо, \Т%\<-^-9 7\ + T2<7V (7.9)
196

Последние два условия отражают ограничения на уровень
температурных напряжений и температуру на внешней поверхности.
Рассмотрим сначала решение сформулированной задачи о
нахождении экстремалей функционала М без последних двух
ограничений на допустимые функции. Решение ее сводится к
определению экстремалей функционала
и
м* = 4 at°oh \ {т* + 2^i О [чг + -щ-(Bi+ + ш~)т* -
о
- -JL- (Bi+ - Bi-) 72 - аФ (t) Fx] + 2X2 (t) [-§»- + -Ц x
X (2 + Bi+ + Bi-) T2 - -J^ (Bi+ - Bi~) 7\ - aq> (0 F,] + 2fcp (/)} Л,
(7.10)
где A,x (/), h2 (/), Ь — множители Лагранжа.
Из необходимого условия экстремума функционала находим
г. (0 - -гиг- (Bi+ - Bi~) *i (0 - -^jr" + -ш (2 + Bi+ + Bi-) х
ХМО=0, (7-П)
- -^ + ^- (Bi+ + Bi-) %, (f) - -§, (Bi+ - Bi~) Я2 (0 - о,
MO^i + MO^-^O;
(7.12)
^ (у 67\ (4) - ^ (0) вГх (0) + Ji2 (Q 6Г2 (4) - Ь2 (0) ЬТ2 (0) = 0.
Здесь 6Г/ (0) — вариации функций Tf (t) при / = 0.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением решения в случае
одинаковых условий теплообмена (Bi+ = Bi- = Bi). Тогда
уравнения (7.11) и вариационное соотношение (7.12) запишутся так!
П(0-^ + -т£-(1+вомо = о,
(7.13)
^-^шмо-о,
^Л(0 + ^Л (0-6 = 0; »
К (**) м\ «*) - К (0) 67\ (0) + %2 (Q бг2 (д - к (0) бг2 (0) = о.
Решение уравнений (7.13) имеет вид (7.14)
Т, (0 = w- [А (3 + 2 Bi) е<*-2™ _ 36 (1+ Bi)],
*i (0 = -77 ^~2ш' *» W = -77 (ь - АеаН~2щ 0 •
(7.15)
197

Учитывая нулевые начальные условия на допустимые функции
Тъ Т2, т. е. 67\ (0) = 6Г2 (0) = 0, а также условие Тг (Q +
+ Т2 (/*) = Т^} из вариационного соотношения (7.14)' получаем
М'*) = М'*). (7.16)
Удовлетворяя решение (7.15) условиям (7.16) при Г2 (0) = 0,
находим /1 = 0, Ъ = 0.
Таким образом, при сформулированных условиях на
допустимые функции не существует экстремалей функционала М.
Поэтому решение задачи необходимо искать на граничных значениях
допустимых функций ф, Т1У Т2у исходя из неравенств (7.9).
Поскольку функции 7\, Т2 связаны с функцией ф уравнениями
(7.3) и в начальный момент времени равны нулю, а напряжения
о# при t = 0 отсутствуют, то на первом этапе индукционного
нагрева необходимо положить ф (t) = ф0.
В дальнейшем будем предполагать, что режим ф = Ф0
обеспечивает повышение температуры на внешней поверхности до
величины 7^. При таком режиме максимальные температурные
напряжения могут быть ниже или выше допустимых. В зависимости от этого
возможны два случая.
1. При индукционном нагреве на режиме ср (/) = ф0
|Г2|<-^- для 0 </</», (7.17)
(7.18)
(7.19)
7,+ (0 = Т1(/) + Г2(0<71* для0</<^,
T1(t*) + T2(Q=T*.
В этом случае искомым является режим <р (/) = ф0.
2. При индукционном нагреве на режиме Ф (0 = Фо
Т+ = 7\ (0 + Г2 (0 < Г* для 0 < t < /х & < у,
\T,(f)\<-^- для0</</1,
и0
1^(У1 = ^; |Г2(0|>-^- для/<<х.
В данном случае начиная с момента времени t = tx необходимо
перейти на режим индукционного нагрева, определяемый условием
\T2(f)\ = -^. (7.20)
Ниже приведены решения и результаты исследования
температурных йЬлей и напряжений для двух указанных случаев.
Температурные поля и напряжения при индукционном нагреве
по режиму ф (t) = ф0. Из уравнений (7.3), полагая ф (/) = ф0,
при нулевых начальных условиях на функции Тг (t) и Т2 (t)
получаем
Тг (0 = Ф0Л2Л Bi-> (1 -е-"-**% (? 2J)
Тг (0 = 4- Ф(Л2^ . (1 + Bi)-1 (1 - e-^-^+W).
198

По условиям задачи Т+ (Q = T1(Q -f- Т2 (Q = Г*.
Подставляя сюда выражения (7.21) при t = **, находим
Фо = 3 Bi (1 + Bi) TJi~2 [3 (1 + Bi) (1 — е-™*) Fx +
+ Bi (1 — er*l+w>) F2]~\ (7.22)
где 4 = -%r t*.
Учитывая связь (7.1) между функцией ф (t) и напряженностью
Е (t) Е0 электрического поля при z = h, последнее соотношение
можно использовать для установления величины напряженности
электрического поля на основании пластинки, при которой за время
/* температура на этом основании достигает значения Т#.
Температура на верхнем (Г+) и нижнем (Т~~) основаниях
определяется по формуле Т,± = Тг ± Т% или в развернутом виде
Г* = TJ3* [3F0 (1 + Bi) (1 - е-™) ± Bi (1 — erW+n*)]. (7.23)
Здесь введены обозначения
* = -}£-. Fo = T7' В* - [3F0(1 + BI) (1 — е-в«^) +
+ Bi(l— erW+*K)]-K (7.24)
Температурные напряжения определяются через функцию
Т2 (t) по формуле (7.5). Подставив в (7.5) выражение (7.21) для
Т2 (t), получим
от = -В*В10к(1-ег**+*1Ч-т9 a0i = <W (7.25)
Формулы (7.23), (7.25) для определения температуры и
температурных напряжений в предельном случае Bi -> 0 (теплоизоляция)
запишутся так:
Г* = Г* (Зт<Д + 1 - е-**)-* [3F0x ± (1 - е-*)Ь (? щ
°* = а01 (ЭгЛ + 1 - е-^)^ (1 - е-*) -J-.
Выражение (7.22) для ф0 в рассматриваемом предельном
случае имеет вид
зт
ф< = /^2(ЗтЛ + 1-.-Зх#) • <7-27)
Приведем также выражения Fv F2% F0 интегральных
характеристик распределения джоулева тепла по толщине, которые опре-
199

деляются через функцию / (z) по формулам (7.4), (7.24):
Ft
1 °Eq
Т ~v£~(sh Y*+ sin y**(ch v*+ cos Y*)_
/
F* =
3a Ei
+ cos v J
sh y* + sin y* — — (ch y* — cos у J
(ch y* +
(7.28)
^o = 4"(sh Y*+sin v4sh Y*+sln y*~^t(ch Y*~~cos y*>]~l>
2h
y* = — •
Численные исследования. Анализ температурных полей и
напряжений при индукционном нагреве по режиму ср (t) = ф0 (т. е.
когда в процессе выхода за время /* на заданную температуру Т#
температурные напряжения не превышают допустимых) проводился
для пластинки из стали Х18Н9Т толщиной 2ft = 0,02 м.
На рис. 60 представлены графики зависимости температуры на
основаниях пластинки от безразмерного времени р = т для ^ =
= 10; 30; 60; 300 с (соответственно кривые 1—4). Сплошными
линиями показаны изменения температуры для z = ft, штриховыми —
для z = — ft. Параметр относительной глубины проникновения
индукционных токов принят
6* = 4г = — = 1,0.
Как следует из приведенных графиков, в условиях
теплоизоляции характер изменения температуры на нижнем основании
существенно зависит от времени выхода /* на заданную температуру,
при этом с увеличением ^ уровень температуры на нижнем
основании повышается; на верхнем основании соответствующие кривые
практически совпадают. Для Bi Ф 0 с возрастанием Bi изменение
температуры как на верхнем, так и на нижнем основании
существенно зависит от /*. При больших значениях t* и Bi = 1,0 (кривые
4) температура на верхнем основании достигает практически
заданного уровня 7^ при t0 < ^. Это означает, что в данном случае при
t = t0 температура Т# близка к значению температуры,
достигаемой в стационарном режиме (t ->- оо).
На рис. 61, 62 приведены графики изменения напряжений на
основаниях в зависимости от параметра Р соответственно для
значений 8* = 1, 6* == 2. Кривые 1—5 на рисунках соответствуют
значениям tm= 10, 30, 60, 120, 300 с.
Как видно из рис. 61, при фиксированных 6* и Bi меньшему
времени выхода t# на заданную температуру соответствует больший
уровень напряжений. При этом с увеличением t# уровень напряже-
200

ний существенно понижается и для ^ > 60 с начиная с некоторого
момента /0 (/0 < t < f#) температурные напряжения практически
не изменяются. Величина t0 с возрастанием /* существенно
уменьшается.
С увеличением Bi в исследуемом диапазоне изменения t* для
малых /* (^ < 30 с) уровни напряжений понижаются, а для
больших f# (/* > 120 с) — увеличиваются. С увеличением Bi
температурные напряжения резко возрастают до определенного момента
времени, начиная с которого их величина практически не изменя-
Рис. 60
Рис. 61.
°0 >*
10
5,0
п
-Л
~^
/>
£*-
Bi=0
У
>j
2v
3\
•*
.
~AJ
/
5,0
BMJ
У
2
3
4 5
/ / •
/
5,0
0,25 ' 0,5 0,75 /
-^
/^
f
Bhlfi
Z-
•^—|
\
^
-t—
\
2
/
т—
\
5
0,25 0,5 0,75
ется. При этом значение t0 уменьшается. При t^ > 120 с уровень
напряжений для t > t0 при Bi > 1 не зависит от t*.
Анализ графиков при различных значениях 6* показывает, что
общий характер зависимостей напряжений от t, t%, Bi такой же,
как для 6* = 1. С увеличением 6* уровень напряжений существенно
уменьшается. Так, для б* = 1 а+ (1) = 11,5 ♦ 10~~2о0Т„ а для
6* = 2 — а+ (1) = 9 • 10~3сг0Г*, т. е. напряжения отличаются на
порядок. Это связано с тем, что для больших значений 6*
распределение джоулева тепла по толщине близко к равномерному.
201

Режим индукционного нагрева при ограничениях на напряжения.
В рассматриваемом случае оптимальный режим индукционного
нагрева состоит из двух этапов. /
На первом этапе при 0 < т < тх ф (т) = ф0. Поэтому4штеграль-
ные характеристики температурного поля 7\ (т) и Т2 (т)
определяются формулами (7.21). Соответственно температура на верхнем
и нижнем основаниях будет
Т± = ЗВ10+В1) [3F* d + Bi) (1 - e-Blx) ± Bi F2 (1 - 6-3(i н-Biyt)].
(7.29)
Рис. 62.
Рис. 63. m
0,5\
С,5\
0,5
0,25 0,5 0J5 1t0fi
\f\\ к
i/:\i\i N
^N
! ' i^~-
ЫтК
|W
i Kt4
i —
X L—*
^T=^
i ;
i
/5
/2
^W
l/J'
/2
\/_
^r
V
5/=0
Bi=0,1
3
Bi=f,0
240 tf',Uc
Температурные напряжения согласно (7.5) находятся по
формуле
Г*=-°оз|^(1-*-3<1+В1*)-Ь
а* =
(7.30)
При / = tx имеем |а# (/ь ±/i)| = а**. Это условие с учетом (7.30)
запишется так:
_ kh\QF2
J°3(l+Bi)
(l—^d+BDi,)^^
702

Здесь k = 1 для о7 = о^ (/#, — К) > О или at = ст* (^, ft) < О
и k = —1 для аГ < О или а+ > 0. Отсюда находим
со - 3fe(l+Bi)q„ а чп
Положим
а** = Атпа* (т*, — Л), 0 < /и <: 1, (7.32)
где а„. (т^, — К) — напряжения, найденные по формулам (7.25),
<** (V - Л) = 5, Bi о01 (1 - *~зо+ы*.). (7.33)
Подставляя последнее выражение в (7.32) и (7.31) и
приравнивая ф0 в (7.31) и (7.22), получаем следующую связь между
параметром т и временем тг:
т = ^^-зо+ввт, • (7-34)
На втором этапе индукционного нагрева для tx < / < /** (/** —
время выхода на заданную температуру Т#) напряжения на
верхнем и нижнем основаниях по величине равны допустимым, т. е.
(of) = ст^. Отсюда находим
a? = =F К*. (7.35)
Поскольку of = =р сг0Г2, получим
a,
Г2=/>-^**-. (7.36)
Подставляя Т2 во второе уравнение (7.3), находим
ФЮ-Ъ-ТЯ^-О + ВО-^-. (7.37)
Таким образом, переходу из первого этапа индукционного
нагрева на второй соответствует переход от режима ф = ф0 на режим
Ф = ф*. При этом величина скачка будет
ДФ = Ф# - Фо = - Фое-за+в1)т1в (7.38)
Отметим, что отношение
JE*L — J g-3(l+Bi)T,
Фо
зависит только от тх и Bi.
Подставив теперь выражение (7.37) в первое уравнение (7.3)
и решая это уравнение относительно Т1 с учетом сопряжения
функции Тг при t=t1—T1 (tx — 0) = Тг (tx + 0) и формулы (7.36),
получим для t >> t±
г+ = JjA jm5i [3Fq (1 + Bi) + Bi] [ 1 — e-w +Bi**] [ 1 — e-BI<*-4 +
+ r-Bicu-Tl)}| (7.39)
iU3

где
Вх = [3(1+ Bi) (1 — e-B*>) F0 + Bi (1 — ^за+вот,)],*;
т — fl/l . т — at* /
По условиям задачи Т+ (/##) = Г#. Из этого соотношения,
учитывая формулу (7.32), находим связь между параметрами т, /х
и временем i^ выхода на заданную температуру:
m = £i £*£ (7 40)
Д^ [3F0 (1 + Bi) + Bi] [1 — e-3(l+Bi)T#j jj ...g-Bid^-T,)] • v • /
При т## -> oo параметры m, ть Bi, т* связаны между собой
соотношением
3F0 (1 + Bi) (1 - g-B1*«) + Bi (1 - е-за+вот,)
[3F0 (1 + Bi) + BiJ [1 - e-*l+m*>] ' K '
Найденные из этого выражения и формулы (7.34) значения т или
тх при заданных т^, Bi и F0 являются наименьшими значениями,
при которых возможен нагрев внешней поверхности слоя до
температуры Г#.
Формулы (7.39) и (7.40) для случая теплоизоляции (Bi = 0)
запишутся в виде
(7.42)
т = ^^-j>-^ + ^ . (7.43)
Из выражения (7.43), учитывая соотношение (7.34), при Bi = О
получим
т** = LLjS " т? • (7.44)
** 3(1—e~3Tl)F0 '
Из формулы (7.44) видно, что при теплоизоляции оснований
пластинки возможно построение режима нагрева для произвольно малой
величины допустимого напряжения.
Численный анализ. Для рассмотренного режима нагрева при
ограничениях на напряжения исследовалась зависимость времени
tx перехода из режима ф = ф0 на режим ф = ф* и
соответствующего времени выхода /## на заданную температуру Т% от /# (время
достижения температуры Т# на внешней поверхности при
отсутствии ограничений на напряжения), уровней допустимых
напряжений (параметр т) и условия теплообмена. Анализ проводился для
пластины толщиной h = 0,01 м из стали Х18Н9Т при 6* = 1,0.
На рис. 63 представлены графики изменения tx и /## в
зависимости от параметра т для /# = 30; 60; 120 с (соответственно кривые
204

/—3). При этом каждая кривая слева от вертикальной
штриховой прямой представляет зависимость tx от т, а справа —
зависимость t^ от т. Из рисунка видно, что в исследуемом диапазоне
изменения параметров нагрева время tx перехода на режим Ф = Ф*
незначительно зависит от *#э а при Bi > 1 практически не
изменяется с увеличением /#. Для всех значений Bi с возрастанием t±
значение т увеличивается и начиная с некоторого tx = t\
практически равно единице. Это означает, что начиная с t = /?
температурное поле при нагреве по режиму ф=ф0 близко к установившемуся.
Рис. 64. т\
ом
0,5]
0,25]
к
BNfi
\/
*
/
/
/
/
^<-'
/\
/
/
/ 1
V'
ft с Рис. 65.
60
120
10
го
и с
ОМ
ОМ
0.251
х/,0
ч8/=0
30
45
Г, с
Время t^ выхода на заданную температуру Т# существенно
увеличивается с уменьшением значения т. При этом f## возрастает
с увеличением f#. Так, в случае Bi = 0 для т = 0,5 при t* = 30 с
t*t = 55 с, при ^ = 60 с tft =115 с, а при t* = 120 с /„, =
= 235 с. С возрастанием Вi время t^ при заданном т
увеличивается.
На рис. 64 приведена зависимость наименьших значений т
(сплошные линии) или tx (штриховые линии), при которых
возможен нагрев внешней поверхности до температуры Т*> от t# для
6* = 1 и Bi = 0,1; 1,0.
Из приведенных результатов видно, что с возрастанием t#
граничные значения m или t увеличиваются. При Bi > 1 для / > 120с
наименьшее значение m близко к единице. Отсюда следует, что для
таких значений Bi и ^ невозможно обеспечить выход на заданную
температуру Т* при z = ft, если m не близко к единице.
На рис. 65 показано изменение отношения — в зависимости от
Фо
времени tx переключения из режима ф = ф0 на ф ~ ф#. Из графика
следует, что с увеличением tx при tx < 40 с отношение -9-*-
изменяет У°
ется от нуля к единице. При этом с возрастанием Bi указанное
отношение приближается к единице быстрее. Для tx > 40 с ф* » ф0.
205

2. ИНДУКЦИОННЫЙ НАГРЕВ СЛОЯ
Приведенное выше решение задачи об определении оптимальных
режимов индукционного нагрева получено в предположен^, что
распределение температуры по толщине пластинки при индукционном
нагреве с достаточной точностью может быть аппроксимировано
линейным законом. При малых относительной глубине
проникновения индукционных токов и времени нагрева пластинки до
заданной температуры, а также больших коэффициентах теплообмена
Рис. 66.
распределение температуры по толщине может значительно
отличаться от линейного. Поэтому расчетные напряжения могут
существенно превышать найденные для линейного закона изменения
температуры. Для этих случаев представляется важным получить
оптимальные режимы индукционного нагрева, не задаваясь
законом распределения температуры по толщине.
Исходные соотношения. Постановка и решение задачи.
Рассматривается электропроводный слой толщиной 2h (рис. 66), который
находится в условиях одностороннего индукционного нагрева со
стороны z = h при заданной на этой поверхности касательной
составляющей напряженности электрического поля Еу = Е (t) Е^еш
с переменной во времени амплитудой. Соответствующая
индукционным токам мощность джоулева тепла определяется,
формулой (7.1).
При определении температурного поля будем, как и ранее,
исходить из того, что слой находится в условиях конвективного
теплообмена с внешней средой, температура которой равна
начальной температуре слоя. Температурное поле при заданном
распределении джоулева тепла Q = ф (t) f (z) определяется из решения
уравнения теплопроводности
-?|г + Ф<<)/1<*)--5-ТГ <7"45>
при граничных
дТ± ± Н*^ = 0 (7.46)
дг
и нулевом начальном условиях. Здесь Я* — относительный
коэффициент теплоотдачи на основаниях соответственно z = ±А; Г* =
-Ttt±*);^»2L^±JL):/lW=s,^).
206

При определении температурных напряжений будем считать,
что края слоя жестко защемлены. Отличные от нуля составляющие
температурных напряжений аХХУ оуу в приближении гипотезы
Кирхгофа — Лява находятся по формулам [42]
h
охх = ат = о, = о0 <7\ - Т), 7\ = -1- J Tdz, а0 = -^. (7.47)
—Л
Перейдем к определению оптимальных по напряжениям
режимов индукционного нагрева, осуществляющих за время / = /*
повышение температуры на верхней поверхности до величины Г*.
На искомые режимы, характеризуемые функцией ф (/),
накладываются такие ограничения:
$Ф(/)Л = &0, (7.48)
о
где Ь0 — заданное число,
О < <р (0 < Фо. I о* К ***» Т+ < Т*> (7.49)
где а^ — допустимые напряжения.
Сформулированную задачу будем решать методами
вариационного исчисления на основе минимизации функционала энергии
упругой деформации [29]. Такой функционал для элемента
единичной площади с учетом соотношений (7.47) запишется в виде
о V —Л /
При этом задача о нахождении оптимальных режимов
индукционного нагрева сводится к определению экстремума функционала
(7.50) на множестве допустимых функций ф, Т, которые
удовлетворяют уравнению (7.45), граничным условиям (7.46) и
дополнительным ограничениям, вытекающим из условий (7.48), (7.49).
Решение такой задачи эквивалентно нахождению экстремума
функционала
о I—л L L о
X dz + 2fc (/) (^ + И+Т+) + 2Р2 (0 (^1-Я-Г-) -
i-Y {Г^+2ЬФ(/)]л, (7.51)
где Х0 (t, z), Pi (0» Р2 (0i Ь — множители Лагранжа.
Из необходимого условия экстремума функционала М*
находим
ю?

/
г» п
T{U z) + K(U г)-a J ***£' г) М0—±- ^Tdz=Ot
t -а
J [M^ft, г)ЛЛ0-4=0,
/ —ft
Pi (0 - a (A Co. л) *o = О. P2 (t) + a f b0 (f0, - A) dt0 = 0, 1 (7 52)
Присоединяя к записанным соотношениям уравнение
теплопроводности (7.45), проинтегрированное по времени от 0 до t# с учетом
начальных условий, и граничные условия (7.46), получаем полную
систему уравнений для определения экстремальных решений.
Такая система после исключения множителей Лагранжа р; (t)
запишется так:
t
о
t* А
-А
Ч
t -А
J [h(z)h(to> z)dzdt0--^ = 0;
дТ±
(7.53)
dz
± я±г± = о,
J (J^__ ± //=%*) Л0 = 0, f ф(0 л = &0.
/ о
Рассмотрим более подробно третье уравнение (7.53):
$h(z)F(t, 2)^ = 4",
(7.54)
-ft
где
F(t, z) = j40('o. г) Л,.
(7.55)
(7.56)
208

В рассматриваемой задаче индукционного нагрева fx (г) —
неотрицательная функция. Поэтому из уравнения (7.55) следует,
что F (/, г) = F* (z). С другой стороны, из выражения (7.56) сле-
dF
дует gj- = Х0 (/, г). Поэтому Х0 (tf z) = 0. Подставляя это
выражение во второе уравнение (7.53), находим
Т& Z) = ~W iTdzBeFi®. (7.57)
—л
Полученное решение согласуется с уравнением
теплопроводности (7.45) при условии, что ср (/) === 0.
Таким образом, как и в случае рассмотренной выше
вариационной задачи для тонкой пластины, при сформулированных
условиях на допустимые функции не существует экстремалей
функционала М в классе ограниченных кусочно-непрерывных функций.
Поэтому решение задачи необходимо искать на граничных
значениях допустимых функций ф и Г, исходя из неравенства (7.49).
Поскольку функция Т связана с ф (t) уравнением (7.45) и в
начальный момент времени t = 0 равна нулю, а напряжения а* в
начальный момент времени отсутствуют, то нужно исходить из режима
индукционного нагрева ф (t) = ф0.
В дальнейшем предполагаем, что режим Ф = Ф0 обеспечивает
повышение температуры на внешней поверхности до величины Т#.
При таком нагреве максимальные температурные напряжения могут
быть ниже или выше допустимых. В зависимости от этого, как и в
случае пластинки, возможны два случая:
1) в процессе нагрева до заданной температуры Т# при z = h
для t < t* температурные напряжения не превышают допустимых. В
этом случае искомым оптимальным режимом является режим ф (t) =
= Фо;
2) в процессе нагрева при 0 < t < tx (tx < /*) T+ < T„ |(т* | <
<aJMs; при t = tx max | <х# | = а**, а при / > tx max | а* | > aw.
В данном случае начиная с момента t = tx необходимо перейти из
режима ф = ф0 на режим индукционного нагрева, определяемый
условием
max|a„(*, z) | = о„. (7.58)
Ниже приведены решения и результаты исследования
температурных полей и напряжений для двух указанных случаев.
Режим индукционного нагрева ф (/) = ф0. Искомое
температурное поле в принятой системе координат (рис. 66), удовлетворяющее
уравнению (7.45) и граничным условиям (7.46), найденное при
помощи конечного интегрального преобразования по координате z
согласно формуле (2.88) запишется в виде
^г = Л1[1 + ВГ(1+0]-сЬ^-(1+0 + соз-Ь.(1+0-
14 7-102
209

- v? £ Aor! \Aln fp„ cosЩ?„+ 2ВГsin 1±1 pn) -y
/0„
- 4 Bi~ p^ (p„ cos -Ц^- p„ + 2 Bi+ sin -Ц^ p„)] e--h , (7.59)
где
Ло„ = P„ (P* - Vt) {- (1 + Bi+ + Bi") p„ sin p„ + -L [4 Bi+ Bi~ +
+ 2 (Bi+ + Bi~) - p^] cos p„}, Am = (tf - Pil) (Y* sh y* +
+ 2 Bi+ ch tJ + (Y.a + PS) (V* sin y* - 2 Bi+ cos vJ,
Ai = ["x (sh Y* + sin y*) + Bi+ (ch y* — cos yj\ X
X (Bi+ + Bi- + 2Bi+Brr\
01 ~ Xvf(chv» + cosv»)*
2ft
Здесь p„ — ненулевые корни трансцендентного уравнения
(Bi+ + Bi~) p ctg p = 2 (-£■ — Bi+ Bi-].
(7.60)
Для жестко защемленных краев слоя компоненты
температурных напряжений определяются по формуле (7.47):
-^ =_yi1Bi-C + ch^(l + Q-cos-^(l +0
sin у,
— ~ — Т. Zj
n=l
' cos $п
shy»
+
+ ^ ~ Y? S ^' {^ [Р. (^" cos-4^P„) -
— 2ВГ
Р*
_l + sin-L+ip«
+
+ 4 Bi- рг [р„ (i|k + cos -Ц^- р„) -
2Bi+f-^«.-l-sin-l
р„
(7.61)
В случае приповерхностного нагрева (y* ^> 1) формулы
(7.59), (7.61) с достаточной для практических расчетов точностью
имеют вид
-f- = bAll+ Bi- (1 + 0] (Bi+ Bi- + Bi+ + Bi--)-' +
1 01 I
210

+ W 2 Чо (Р« ^Ц1 Рп + 2 ВГ sin Ц1 р„) <г4Ч -
_&-(1-0
— в 2 ; (7.62)
-^Г=Ь1{- (Bi+Bi- + Bi+ + Bi-r'Bi- С + 2у.2 2 4г X
x[B.(-b._„bttfc)_
где ftx = -f + Bi+, ЛИ = Лоп (К - tfT1.
Численные исследования. Как и в предыдущем параграфе, анализ
температурных полей и напряжений при индукционном нагреве
слоя по режиму <р (t) = ф0, когда в процессе выхода за время t%
на заданную температуру Т% температурные напряжения не
превышают допустимых, проводился для теплоизолированного на
основаниях слоя из стали Х18Н9Т толщиной 2А = 0,02 м.
На рис. 67 представлены графики зависимости температуры от
безразмерного времени р = т при t* .= 30; 60; 120 с (соответствен-
но кривые 1—3). Сплошными линиями показано изменение
температуры на верхнем основании слоя z = h, штриховыми — на
нижнем z = —h. Как видно из графиков, характер изменения
температуры на нижнем основании существенно зависит от времени t^
и параметра 6*, характеризующего глубину проникновения джоу-
лева тепла. С увеличением t* уровень температуры повышается.
С уменьшением 8* при фиксированном t* уровень Т в случае z =
= —h понижается.
На рис. 68 показано изменение температурных напряжений а+
на верхнем (сплошные линии) и о~ на нижнем (штриховые линии)
основаниях слоя в зависимости от (5 при t# = 30; 60; 120 с
(соответственно кривые 1—3).
Из графиков видно, что, как и в случае тонкой пластинки, с
увеличением t4 уровень напряжения существенно понижается.
При 8* = 1 и фиксированном /* напряжения о* и о^" отличаются
по величине незначительно. С уменьшением 8*, т. е. с уменьшением
параметра глубины проникновения индукционных токов, уровень
напряжений существенно повышается. При этом величина
напряжений о^ возрастает быстрее, чем а~
Режим индукционного нагрева при ограничениях на напряжения.
Перейдем к построению оптимального режима нагрева для случая,
когда в процессе выхода на заданную температуру Т# на внешней
поверхности z = h по режиму ср = ф0 уровень напряжений пре-
14*
211

вышает допустимый. В этом случае оптимальный режим состоит
из двух этапов. /
На первом этапе 0 < t < tx имеем ф (t) = ф0. Поэтому
температурные поля и напряжения находятся по формулам (7.59),
(7.61). На втором этапе t± < t < t*# режим индукционного
нагрева определяется условием
max | (г* | = о**.
(7.63)
В дальнейшем ограничимся рассмотрением приповерхностного
индукционного нагрева теплоизолированного на основаниях слоя.
Рис. 67.
0,25 0,5
0,5 0J5 р
В этом случае напряжения достигают наибольшего по величине
значения на верхнем или нижнем основании. Предположим, что
допустимые напряжения о#* достигаются при г = ft.
На первом этапе индукционного нагрева из формул (7.62)
получим
~ (_I)"Cos-L±ipn j£i
+ 2 2 ^u,-¥, e 4 J' С7.ВД
,Я PSd + vr^)
где P„ =* ля (л «* 1, 2, ...), Я =
S12
• С—Г-

На втором этапе режим нагрева определяется условием
°t = <** (т, 1) = о^ при тх < т < т**. (7.66)>
Здесь т## — время выхода на заданную температуру Г*; ст^ —
допустимое напряжение сжатия. Температурные напряжения при
£ = 1 для 0 < т < т^ будут
<т+ = а(1>(т, 1)-[о<|>(т, lJ-aJS+Or-Tj, (7.67)
где S+ (т) — функция скачка; а*,1* — напряжение, соответствующее
режиму нагрева ф (/) = ф0.
Рис. 68.
1
р^:
teOfi
\
\
\
■ь
\
■lz
10
0,25
0,5
075
Р
Перейдем к определению функции ф (т) = ф0 [1 — фх (т — хг) х
X S+ (т — тх) ] в интервале тх < т < т^. Для этого используем
представление решения уравнения теплопроводности при нулевом
начальном условии и теплоизоляции на поверхностях £= ±1 в
трансформантах Лапласа
j> s j.(l) у«(2) = фрД
Vs(s— -j- yA sh 2/1
(±_Ф1(5)е-^
X
X
2 |/Ssh2}/s —-^-ch/s(l +C)
(7.68)
По формуле (7.47) находим трансформанту температурных
напряжений
: О? - У» =
фоОоВ
[(vr'-^'"C>)Kish2K5-i-[
sh2/"i
(т — <Pi (s)e_STl) X
sh2/s
2V~s
-chV~s(\+Q
0
!•
r.69)
213

Запишем также трансформанту функции о* (т), определяемой
формулой (7.67). С учетом соотношения о^ (xv 1) = а** получим
q2
а+ = а<1} (s, 1) + <р0о0Ве-*> 2
п=1
0+P^72)S(s + |-)
(7.70)
Полагая в формуле (7.69) £ = 1 и приравнивая полученное
выражение для трансформанты Лапласа от о^ к ее выражению (7.70),
находим
в2
%w = —£-2
X
Y* „^ (1+f^. >
s !^-)sh2>rs
X
/"«(«+4
(vr'-.)^sh2/i-^(^L-ch2/-Vj (771)
=)] *
Используя теорему разложения [53] и представление q> (т) =
= Фо [1 — <Pi (* — Тх) 5-1- (т — Ti)], получаем
ф(т) = ф0
PS
»-е
6v!
„tj i + Pivr L РД (v« - 3Y* + 3)
+
(1 + У1Н2)е~(Х~Х,)
+ 4?* fc5, <K ~ H» [Y. (V2. - 3y. + 3) ^Г2 + 7Г1 (1 - Y*)2]
рансцендент1
■(■£- !),-+.
S+(t-tx) ,
(7.72)
Ц, COS (J, =
sinji.
(7.73)
где цк — ненулевые корни трансцендентного уравнения
V*
Подставляя выражение (7.71) в формулу (7.68) при £ = 1 и
выполняя обратное преобразование Лапласа, определяем изменение
во времени температуры Т+ на верхнем основании в оптимальном
режиме нагрева:
Я
Г+ = 7(1)(т, 1) +
■Вф0
Е
^J 1 + ft2 -2
3Y
P'(y2-3y* + 3)
X
t-t1 + 2(1-2Y-1) -рТ
10(y'~3v* + 3) J
+
214

+ 4рГе
а—г«-*.>
А
+
+ 8v*£
О + V*H* ctg (ift) е '4
(t-X,)
,2 /ft2
ii n* (P„ - \ф It. (y. - 3v* + 3) иг2 + (i - 7*)21
5+(t
-*l)l-
(7.74)
* Методика решения задачи в случае, когда допустимые
напряжения достигаются на нижнем основании, а также при коэффициен-
Рис. 69.
К
>
V
0,
\—г
/
у
б+
25 0,
<1
5 «7
1
1
Ъ 1,0 1
6аТщ
О
-0J25
-0,25
-0,375
тах Био, отличных от нуля, аналогична приведенной. Отметим,
однако, что при значениях Bi, отличных от нуля, необходимо
учитывать возможность достижения температурными напряжениями
допустимой величины внутри слоя.
Численный анализ. Приведем результаты численных
исследований оптимальных режимов приповерхностного нагрева для
теплоизолированного на основаниях слоя из стали Х18Н9Т при y* =
= Ц. = 5, h = 0,01 м.
На рис. 69 показано изменение функции ф (/), температуры
Т+ и напряжений о^~ на верхнем основании z = h в зависимости от
безразмерного времени t/t^ для t# = 30 с без ограничений
(штриховые линии) и при ограничениях (сплошные линии) на напряжения.
Допустимые напряжения приняты -—?- = 0,3; 0,325; 0,34 (соот-
ветственно рис. 69, а, б, в).
215

Как видно из графиков, время tx переключения на режим
ограничения по напряжениям, характер изменения функции ф (t)f для
О^и время выхода t## на заданную температуру Т# существенно
зависят от величины допустимых напряжений. Так, из риб. 69, а, б
видно, что при а^ = 0,3 о0Т# tx ^ 16,5 си /## = 37,2 с, a
при а^ = 0,325 о0Т^ tx = 21 с и t^ = 33 с.
Функция ф (f) = Е2 (t) в момент переключения изменяется
скачкообразно и в дальнейшем с возрастанием времени
приближается к некоторой постоянной величине.
Таким образом, результаты анализа полученных оптимальных
по напряжениям режимов индукционной термообработки
электропроводных пластин при заданных ограничениях на величину
напряженности электрического поля и температурные напряжения
показали, что в оптимальном по напряжениям режиме
индукционного нагрева необходимо исходить из напряженности
электрического поля постоянной амплитуды, равной допустимой: Е (f) =
= ]/ф0. При таком режиме максимальные температурные
напряжения могут быть ниже или выше допустимых. В зависимости
от этого в случае, если в процессе нагрева до заданной температуры
на поверхности пластины температурные напряжения не
превышают допустимых, искомым режимом является режим Е (t) = ]Ap0.
Если же в процессе нагрева по режиму Е (t) = }Лр0 максимальные
температурные напряжения достигают допустимой величины а** в
некоторый момент времени, то начиная с этого момента в оптималь- •
ном режиме необходимо переключение на соответствующий режим,
который определяется условием max |а*| = сг^.
Приведенные результаты численных расчетов для пластины из
стали Х18Н9Т дают возможность определить параметры
оптимальных режимов индукционного нагрева в зависимости от глубины
проникновения индукционных токов, величины допустимых
напряжений и условий теплообмена.
Сформулированная постановка и метод решения задачи об
определении оптимальных режимов индукционного нагрева
электропроводных пластин, находящихся под воздействием квазиустановив-
шегося электромагнитного поля, позволяют ставить и решать
такие задачи, когда функциями управления являются напряженность
магнитного поля на поверхности или амплитуды внешних токов,
а также для более сложных схем индукционного нагрева и тел
иной конфигурации.
Предложенная методика без существенных изменений может
быть использована при построении оптимальных по
быстродействию режимов индукционного нагрева. Отметим, что такие
тепловые режимы, с использованием принципа максимума, когда в
качестве функции управления принимается распределение источников
тепла, рассмотрены в работах [2, 3, 18, 441.
216

ВЛИЯНИЕ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
ИЗМЕНЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ТЕМПЕРАТУРЫ И НАПРЯЖЕНИЙ
В предыдущих главах температурные поля и напряжения в
электропроводных телах, находящихся в установившемся во времени
электромагнитном поле, определялись из уравнений
термоупругости в квазистатической постановке на основании усредненной по
периоду колебания электромагнитной волны удельной мощности
джоулева тепла. При этом пондеромоторные силы не учитывались.
Такая расчетная модель, однако, не дает возможности
исследовать влияние периодического характера изменения во времени
джоулева тепла и пондеромоторных сил на термоупругое состояние и
колебания электропроводных тел. В то же время, как показали
проведенные в работе [46] и др. исследования электромеханических
процессов в поляризованных пьезокерамических телах,
периодическое изменение во времени электрического поля оказывает
существенное влияние на механические колебания тел. Поэтому
представляет значительный интерес решение задачи о термоупругом
состоянии электропроводных тел с учетом периодического
характера изменения во времени джоулева тепла, пондеромоторных сил
и связанности полей деформации и температуры. Такие
исследования необходимы также для оценки пределов применимости
используемой в предыдущих главах приближенной расчетной схемы.
В данной главе дается постановка и метод решения задачи об
определении температурных полей и напряжений в
электропроводных телах в установившемся электромагнитном поле с учетом
периодического во времени изменения джоулева тепла, пондеромоторных
сил и связанности полей деформации и температуры. В такой
постановке получено решение задачи и выполнены количественные
исследования для электропроводного упругого слоя, а также
найдены резонансные частоты упругих колебаний биметаллического
слоя [22].
1. ПОСТАНОВКА И МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Рассматривается электропроводное упругое тело, которое помещено-
во внешнее периодическое во времени электромагнитное поле.
Определение электромагнитного поля в области тела,
соответствующего ему джоулева тепла, температурных полей и напряжений,
сводится к последовательному решению уравнений электродинамик»
ГЛАВА О
нт

Составляющая Q(I) является усредненной по периоду f* = — удельной
(1.40) и термоупругости (1.70) — (1.73) при заданных начальных
и граничных условиях.
Будем исходить из того, что найдено решение уравнений
электродинамики (1.40) и определена функция напряженности
электрического поля Е* (/*, t) в области тела. Тогда удельная мощность джоу-
лева тепла находится по формуле (1.56):
Q* = a [Re Е* (?, /)]2 = a {Re [Е (7) е'°*]}\ (8.1)
Учитывая, что Re £„. = -к- (Е% + Е*), находим
(Re EJ =±-(Ё1 + Е1 + 2Я„ . £„). (8.2)
Здесь черточкой над буквой обозначены комплексно сопряженные
функции.
Подставив выражения (8.2) в формулу (8.1), представим удельную
мощность джоулева тепла в виде двух составляющих:
Q* = Q(1) + Q(2), (8.3)
где _ _
Q<b = -L оЕ (?) • Е (7), Q(2) = J- а [£2 (?) е2Ш + Ь (г) е~2Ш].
со
мощностью джоулева тепла. Суммарная мощность периодической
во времени составляющей Q(2) за период /* равна нулю.
Пондеромоторная сила, соответствующая действительной части
векторов напряженностеи электрического Е# (г, f) и магнитного
Н^ (л, t) полей, определяется согласно (1.65) по формуле
F{e) ^tiolReEtd t)] х [Re/^;, *)].
Учитывая, что Re Е* = -|-[Е (г) <?<»*+Ё (г) е~ш], Re^=«
= —[Н (г) еш + Н (г) е~ш], пондеромоторную силу F® представим
аналогично (8.3) в виде двух составляющих:
F^ = F{1) +F{2\ (8.4)
где
?(1) = ^(£хЯ+£хЯ),
F{2) = -2L [(£ х Н) е2Ш + (ЕхН) е~^%
Составляющая F(1) не зависит от времени, a Fi2) — периодическая
во времени составляющая пондеромоторной силы.
218

Температурные поля и напряжения определяем из системы
уравнений термоупругости (1.72), (1.73), (1.80):
аТ , _о* L HL _ а*ЕТ<>
"*■ К a dt Х(\
д" + x^Yv^raddivи + -5 G ~dtr
0 ч div -^- = 0,
2v) (5/ '
p d2u _ 2a, (1 + v)
1 —2v
grad 7\
a/y = 2G
*'/ + !_2v *aa6// Г
. a/(l +v) R rp
У И \ 7Г— Oiil
2v
(8.5)
о - l ( dui I ^Л
e// ~ 2 \ а*/ "^ a* J»
если в качестве разрешающих функций выбраны температура Т
и вектор перемещений и, и уравнений (1.92)
3a2tET0 \ дТ
^ X \ а ^ l(\ — 2v)
a/^o
аа„
а/
а/
= 0,
Def (Diva + F«>) = p-*• [ JLa + (a/T- -J-aaa)7
Ink [ JL a + (а,Г —J- aaa) 7 1 = 0
(8.6)
при решении задачи в функциях Г и a.
К уравнениям (8.5), (8.6) необходимо присоединить начальные
(1.74), граничные тепловые (1.75) и механические (1.76) или (1.77)
условия.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда
механические граничные условия имеют вид
и, = и*, (г0, 0 = Kj (г0) + 2 Re [и™, (г0) <*'«<] при t > 0, (8.7)
если на поверхности тела (5) задается вектор перемещений, или
оцщ = Р^Сго) + 2 Re [Pf (70) е2Ш] при t > 0, (8.8)
если задается силовая нагрузка. В частности, когда вектор
перемещений или силовая нагрузка не изменяются во времени, то,
полагая Pf = 0 или и® = 0, из условий (8.7), (8.8) находим
"/ = "l/Vo)
(8.9)
или
airni=Pf)(70). (8.10)
Для свободной от силовой нагрузки поверхности тела
механическое граничное условие запишется так:
с*,, л, =0. (8.11)
219

При пренебрежении связанностью полей деформации и температуры
уравнения термоупругости (8.5), (8.6) соответственно будут'
1 дТ _ Qt
a dt ~ X •
дг-
X
Аи + |_2v erad divu—g-
p д2и
dt*
i - 2v grad l G
*/- —U^ + -Ж7^
a(•/ = 2G
e'i -Г ! _ 2v e«aO,, , _ 2v
если задача решается в функциях Т, и, и
ЛТ 1 дТ _ Q,
a dt ~ к '
■6„Т
(8.12)
Def (Div о + Fw) = р -g- [4- a + (atT - -£- *««) / ],
Ink
l ~
o + (a,tT — -g-oaa
Щ-о.
(8.13)
если разрешающими функциями выбраны температура Т и тензор
напряжений а.
Выберем сначала в качестве разрешающих функций температуру
Т и вектор перемещений и. Пусть на поверхности тела заданы
граничные условия (1.75), (8.7). В соответствии с выражениями
(8.3) и (8.4) для джоулева тепла и пондеромоторной силы
температуру и перемещения представим в виде
« = ы(1) + «(2), Т = Т(1) + Г<2), (8.14)
где ы(/>, T(i) (j = 1, 2) удовлетворяют уравнениям (1.80) для Q* =
= Q(/) и F(e) = F(i).
Составляющие Т(1) и ы(1) будем находить в квазистатической
постановке [22, 43, 77], пренебрегая влиянием коэффициента
связанности [40], т. е. из системы уравнений
Я i_ дт^
к а
Д74" 4
dt
-0,
<»
2a,(l+v)
д«1" + т^г§raddivu<1> = Т-1>У; gradr(1)- ~r~
>(.,^15)
r(D
при начальном T{> (г, 0) = 0 и граничных
дп
н,(1)
(1)
,М)
+ #7^=0, Й}=иУ
(8.16)
условиях на поверхности тела.
220

Функции Т(2) и и{2) определяем в установившемся режиме, т. е.
будем пренебрегать влиянием начальной стадии процесса.
Согласно выражениям (8.3) и (8.4) для Q(2) и F(2) эти функции
представим в виде
Г(2) = ф (;} #Ш + ф (;} £Г2Ш9
Z(2) = X (г) е2Ш + X (г) е~2Ш.
Подставляя выражения (8.17) в исходные уравнения при Q* =
= Q(2) и F{e) = F2, получаем систему уравнений для нахожде-
ния функций ф и %
аф+т-И'й-
2/со 2mat ETq ,. £ Л
•Ф-гтг=Го^^уХ = 0,
Я, (1 — 2v)
^+T^graddiv? + 4-^^x^+^^ = (8-18)
2a/ (1 + v) ,
= Г-Tv g^9
при следующих граничных условиях на поверхности (S) тела:
-JL + Яф-О; Х,. = ^>. (8.19)
Рассмотрим теперь случай, когда в качестве разрешающих
функций выбраны температура Т и тензор напряжений а, а на
поверхности тела (5) заданы граничные условия (8.8). Как и при решении
задачи в перемещениях, температуру Т и тензор напряжений о
представим в виде
Г = Г(1) + Г(2\ ^=о{1)+72>, (8.20)
где составляющие Т(Л и а(/) (/ = 1,2) удовлетворяют уравнениям
(8.6) для Q = Q(/) и £(<) = F(/).
Функции Т(1) и <х(|) будем определять, как отмечалось выше,
в квазистатической постановке, т. е. из системы уравнений
ДГ> +
->d>
1 аг(1)
к а
(D i р(1)
а/
= 0,
Div aw + F" = 0,
при начальном Т (г, 0) = 0 и граничных
аг(1)
(8.21)
ал
+ Я7(1> = 0, а;Х=Р(/>
(8.22)
условиях.
221

Составляющие Т(2) и а(2) находим в установившемся режиме,
представляя их в виде /
Т(2) = Ф (г) е21°>< + ф (г) е-2'"', g(2) = $ (Г) &™ + J (?) *-**'. (8.23)
Из уравнений (8.6) при Q# = Q(2) и F = F(2) получим систему
уравнений для определения функций ф и г|>
Лф + — °£ (0 — 2"» — + 1 /I - 9,Л ) Ф Г2- *ха = О,
Def
Ink
%(l — 2v)y
-^-$ + (<VP г***)?]
= 0
} (8-24)
при таких граничных условиях на поверхности тела (S):
-Й" + Яф = 0, yt,n, = P?>. (8.25)
В пренебрежении термоупругим рассеянием для составляющих
температуры и перемещений, соответствующих периодическим
частям джоулева тепла и пондемоторной силы, система исходных
уравнений согласно (8.12) запишется в виде
2«'со „ las, ,-*.
Дф-
Ф =—
4 %
Е2(г),
АХ
graddivX+i^!_X =
1 — 2v Б'"""" ™т G
= ^^-^ас1ф-^.(£хЯ)
(8.26)
1—2v &'""т 4G
При решении задачи в функциях Т и о уравнения для определения
составляющих Т{2) и а(2) примут вид
Аф-
Def
Ink
2/со
Ф
4 А
E*(r),
OJJ.
Divi|) + ^-(£ xfl)
+ |«,Ф ■
= — 4co2p
-ЯГ* +
E ^сса] /
-§g- * + (<ЭД> — -g- г|>аа) 71 = 0.
(8.27)
В данном случае сначала из уравнений теплопроводности при
заданных условиях теплообмена с внешней средой находится
температурное поле, обусловленное джоулевым теплом Q*. После этого
222

из уравнении термоупругости по известному температурному полю
определяется напряженно-деформированное состояние.
Таким образом, в рассматриваемой постановке, при найденных
удельной мощности джоулева тепла и пондеромоторных силах,
задача об определении температурных полей и напряжений
сводится к определению функций Т{1\ и{1) и ф, X или Г(1), а(1) и ср,
г|э из системы уравнений (8.15), (8.18) или (8.21), (8.24) при
соответствующих граничных условиях.
Отметим, что если механические граничные условия на
поверхности тела (5) смешанного вида, то задача может решаться как в
-V /Ч
функциях 7\ и, так и в функциях 7\ а.
2. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ВО ВРЕМЕНИ
ИЗМЕНЕНИЯ ДЖОУЛЕВА ТЕПЛА
Исследуем термоупругое состояние электропроводного слоя с
учетом периодического характера изменения во времени джоулева тепла
в пренебрежении пондеромоторными силами и связанностью полей
деформации и температуры [12].
Рассмотрим бесконечный слой толщиной h (рис. 70) при
заданной на основании z = 0 касательной составляющей напряженности
электрического поля Efx = Е0еш*. В дальнейшем через х, г/, z
обозначаются отнесенные к толщине h безразмерные координаты.
В области слоя отличными от нуля будут составляющие
Ех (z, t) = Е (z) еш напряженности электрического Е^ (г, /) и
Ну (z, t) = Н (z) emi напряженности магнитного Н% (г, t) полей.
Как следует из уравнений электродинамики, приведенных в
гл. 2, в пренебрежении токами смещения в области слоя и вакуума
(область z > 1) функция Е (z) удовлетворяет уравнению
-Ц---^£ = 0, # = /|А(оаАг (8.28>
и граничным условиям
Е(0) = £0| -^- = 0, (8.29>
которые являются следствием задания напряженности
электрического поля на поверхности z = 0 и непрерывности касательных
составляющих напряженностей электрического и магнитного полей
на границе раздела слой — вакуум (z = 1).
Решение уравнения (8.28), удовлетворяющее условиям (8.29),
запишется так:
E(z) = E0chkll)1-z) , (8.30).
где ^=_L(i +»), б0
223

Удельная мощность джоулева тепла Q* = or {Re [Е (х) £ш\)2
согласно формуле (8.3) будет
Q* = Q(,) + Q(2), (8.3i)
Q(1> = -L оЕ (z) Е(г), Q(2) = -J- о [E2 (z) e2i^ + E2 (z) е~2Ш\.
Здесь E (z) — комплексно-сопряженная к E (z) функция.
Составляющая Q(1) не зависит от времени, a Q(2) — периодическая во
Еве!ш*
0}
VI'
Tz
Рис. 70.
времени функция, суммарная мощность которой за период
колебания равна нулю. При этом Q(I) равна усредненной во времени по
периоду колебания электромагнитной волны удельной мощности
джоулева тепла. Разделяя действительную и мнимую части,
получаем
Q*
+ А71х
^.-{сь^--1-1
+ cos-67- +
chl^-cosi + chwC0ST)8~
2б0
2 — z\*
„(shi-gJ-sin-^ + sh-^sin-^
+2A^ (ch -тС08ж+ch жсо$
cos 2co/ +
2 — 2'
260
X
x (sh Tsin Ж +sh Жsin V")sin 2o)1 •
где ^«chv^ + cosv*, Y*
(8.32)
•— 6 = l
6 ' /"2co|Ia
Для приповерхностного нагрева, когда отнесенный к толщине
слоя параметр глубины проникновения индукционных токов б* =
= -у = 2 (2|хсобЛ)""2" мал (в^ <£ 1), выражения (8.30), (8.31) с
достаточной точностью могут быть записаны в виде
'(z) = E0e б- V*- ',
224

QP^-LoEle \ Q(2i = -LaE^ *Re[/(fc *Л (8.33)
Здесь б0 = -J*- — относительный параметр глубины проникновения
джоулева тепла.
При определении температурного поля и напряжений в качестве
разрешающих функций выберем температуру Т и вектор перемеще-
->
ний и. Положим, что свободный на основаниях от силовой нагрузки
слой находится в условиях конвективного теплообмена с внешней
средой, температура которой постоянна и равна начальной
температуре слоя. В данном случае температурное поле Т (z, t)
удовлетворяет уравнению
тр— -w = - "Г Q* <*• т>> (8-34)
начальному условию Т (г, 0) = 0 и граничным условиям
iH|Ji _В1Г(о, х)-о,
(8.35)
аго, т) +Bir(1)T) = 0.
Здесь коэффициенты теплоотдачи Н на основаниях слоя приняты
равными.
Следуя изложенной выше методике решения, температуру Т
представим в виде суммы двух составляющих:
Гр __ Гр(\) ш Гр(2)
где Т(/) (/ = 1, 2) — решения уравнения (8.34) для Q# = Q(/)
при сформулированных краевых условиях.
Составляющая Г(1) находится по формуле (2.91):
т™ л г. , г,- „ ч, t_ 1 —г , 1-2
Л1[1+ВЦ1-г)]-сЬ-^ +
cos-
оо
-1 2 {А2п [р„ cos р„ (1 - г) + Bi sin р„ (1 - г)] -
- Агп (ря cos р„г + Bi sin рлг)} * , (8.36)
где коэффициенты Л0, Ль А2п, Л3п определяются соотношениями
(2.91); р„ — корни трансцендентного уравнения
. _ pa _ Bi2
с12Р=-увГГ-
15 7-102 225

Приведем формулу для определения Т(1) в предельном случае
Bi -> О (теплоизоляция поверхностей):
-^=Mshv* + sinYj(T+ (1^г)2 — -^) + 6g (sh Vhc — sin у,.) —
- б2, (ch 1=± - cos-Ц^-) + 2Y, J (_ 1)" /Г2л~2 (/At4 - y!)"1 X
X [(у] — n2n2) sh y* + (y* + n2n2) sin y*] cos шт (1 — z) е-п*п*\ (8.37)
Соответствующее периодической составляющей джоулева тепла
температурное поле Г(2) найдем в установившемся режиме:
Т(2) = ф (г) е2Ш + ф (2) е~2Ш. (8.38)
Подставляя (8.38) в уравнение (8.34) при Q, = Q(2) и учитывая
граничные условия (8.35), получаем
9(z)=B0{B2[Tllch%(l-e) + Bish^1(l-2)] +
+ B3[ri1ch^+Bishri12] + Tir2 — (4ft2 — г)2)""1 ch2ft, (1 — z)}. (8.39)
Здесь
1 <^2£0 1 о о 1
В° = "Г Td^T'• В2 = 5Г1 [2ft, (4ft,2 - г]?)"1 sh 2ft, -
— r\T2 Bi + Bi (4ft2 — г]2)-1 ch 2ft,],
B3 = Bf1 Bi [- т]Г2 + (4ft! - г]2)"1],
Al = Oil + Bi2) sh r^ + 2t]x Bi ch -%; t\\ = m ; ft2 = ijioxrA2.
Для теплоизоляции оснований пластины решение запишется
так:
Ф (г) = В0
Г 2fe» sh 2К ch%(l — г) 2 _ ch 2k* (1 - z)1
(8.40)
При определении напряженного состояния исходим из того, что
вектор перемещений и равен {и (z, т), 0, 0}. В этом случае
температурные напряжения, соответствующие температурному полю
Т(1), найденные в квазистатической постановке, будут
о0> = 0, оМ = оМ = — АщЕ Г(1). (8.41)
zz ' хх уу 1 V \^*^А/
Для составляющей температурного поля Т(2) = 2Re [ф (z) е2ш]
согласно (8.26) получим следующее дифференциальное уравнение
для определения функций % (z, т):
«_W«-a,-[±f *-« • *■-*-!=?■ <8"2>
226

(2 = 0; 1).
при граничных условиях
аХ _ ath(\ +v)
дг 1 — v ф
Определив функцию X, найдем
лп
°2 = tzW Re (К1 + v) * W -«/ 0 + v) ф (г)] е2"><},
°2 = <$ = Т=ъГ Re (М W - «/ (1+ v) Ф (г)] е2"*
Здесь
а, (1 + v) (1 - v)-1 В0 {% (л? + л*)"' [5. * Л1 (1 - г) +
(8.43)
(8.44)
Ч>
-f В5 sh Tii (1 — z) + £e ch "h2 + #? sh %* —
— Б8 sh 2£* (1 — г)] + sin-,T]2 [B9 sh л2 (1 — z)+
+ J510 sin л2г]}, Bt = л?52, Я6 = % Bi B2,
B6 = t)JB3, B7 = Л1 Bi B» B8 = 4^,-' (л? + тй) X
\—i
„2\-I
X (4** - л?) (4£* + vgT1, B9 = B2 (th ch ть + Bi sh tu) +
+ %#, + TjF2 - № - Л?)-' ch 2K - % (Л? + Л*)"' X
X [fi4 ch x\x + B6 sh 4l + Ba — B8 sh 2AJ,
#io = Д.Л1 + Я. (4i * % + Bi sh tu) + лГ2 - (4*» - л?)~'
- 4i (Л? + if)-' (Я« + Se ch лх + В, sh лх);
Л, = /-^-(1+0. ть = 2щК
При этом в случае теплоизоляции (Bi = 0) в соотношениях (8.45)
необходимо положить
тйВя, б5 = О, В6 = TJ»fi,f 57 = О, Bs = 4А^Г!
} (8.45)
^4 =
х
Х^ + тйХ^-тй)"1 (4^+rfe2)-
(8.46)
Я9 = В2Л1 ch-ть + %В3 + ni - (4AJ - ri^— ch 2£* —
- % (Л? + 4Г1 [В, ch ть + В6 - В8 sh 2*J,
5ю = В,% + Яа% ch % + ЛГ2 - (4£ - п?)"1 -
Приведем результаты численного анализа джоулева тепла,
температуры и напряжений в зависимости от параметров
индукционного нагрева.
На рис. 71 представлено распределение джоулева тепла по
толщине пластины в случае приповерхностного нагрева (б# = 0,4 —
сплошные линии) и в случае, когда глубина проникновения
индукционных токов больше толщины (6*=2—штриховые линии). Кривые
15*
227

2—5 соответствуют моментам времени т = 0, д—, —, ^—. Крйвы-
Зя
2со • ©"' 2со'
ми / представлено распределение усредненного во времени джоу-
лева тепла. '
Температурные поля и напряжения исследованы на пластинке
из стали Х18Н9Т, физико-механические характеристики которой
приведены в гл. 3. Количественная оценка решений,
соответствующих распределению джоулева тепла (8.31) и усредненному по
периоду, показала, что в диапазоне частот, применяемых при индукцион-
Рис. 71.
0,1 Qfi 0,6 Ofi j-
Рис. 72.
\г 1,о
,0 3,0 /? 1Гм
ной термообработке, температурные поля практически совпадают,
независимо от коэффициента Bi. Соответствующие температурные
напряжения также отличаются незначительно, за исключением
окрестностей резонансных частот со„
1
2qh
•, где я = 1,2,... Отметим,
что (дп= -у (On, где сол — собственные частоты рассматриваемой
пластины.
На рис. 72 сплошными линиями показаны зависимости первых
трех резонансных частот (оь со2, со3 (соответственно кривые /—3)
от толщины пластины, штриховыми линиями для этих же частот —
зависимости параметра относительной глубины проникновения
индукционных токов от толщины пластины. Из рисунка видно,
что первой резонансной частоте а>1 при h > 0,002 м соответствует
приповерхностный нагрев (6* < 0,1). При заданной толщине
пластины более высоким резонансным частотам соответствуют
меньшие значения
падают.
б*. С
увеличением толщины резонансные частоты
(D „&
Сопоставление величин температурных напряжений оуХУ о]
для частот со в окрестности резонансной а>1 показало, что
максимальное во времени значение G*i составляет не более 5% aJJ,
если А со = | со — о*! | > 14 Гц в случае идеальных условий
теплоотдачи с оснований пластины иДш> Ю-2 Гц в случае теплоизоля-
228

ции. При со ->- со,г составляющая напряжений aS стремится к;
бесконечности.
Результаты исследований показали, что при приближенном
решении задачи об индукционном нагреве электропроводных пластин
для всех частот электромагнитного поля, за исключением
окрестностей резонансных, температурные поля и напряжения можна^
находить, исходя из усредненного во времени джоулева тепла.
Резонансные частоты определяются на основании решения
соответствующей краевой задачи о собственных частотах колебаний*
упругой пластины.
3. УЧЕТ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ И СВЯЗАННОСТИ ПОЛЕЙ
ДЕФОРМАЦИИ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Результаты, приведенные в предыдущем параграфе, получены в
пренебрежении пондеромоторными силами и связанностью полей
деформации и температуры. Исследуем термоупругое состояние
электропроводного слоя при одновременном учете периодического*
характера изменения во времени джоулева тепла, пондеромоторных-
сил и связанности полей деформации и температуры [14].
Рассмотрим упругий электропроводный слой (рис. 73)
толщиной /г, лежащий на жестком диэлектрическом основании, при
заданной на поверхности 2 = 0 касательной составляющей
напряженности электрического поля Efl = E0et(Oi. В дальнейшем, как и ранее,,
через х, у, z обозначены безразмерные координаты. Пренебрегая
токами смещения в области слоя и диэлектрика, приходим к
решениям (8.30), (8.33) для функции напряженности электрического
поля. При этом удельная мощность джоулева тепла выражается;
формулой (8.31).
При определении температурного поля и напряжений будем*
считать, что на верхнем основании слоя имеет место конвективный
теплообмен с внешней средой, температура которой равна начальной
температуре Г0 слоя, а нижнее основание теплоизолировано.
Основание z = 0 свободно от силовой нагрузки, а при z = 1
перемещение иг = 0.
Из уравнений (1.70) — (1.73), полагая их = ид=* 0, приходим
к следующей системе уравнений:
до*
h(\-2v) р{е) _ pa2 (1 - 2v) д*и2
dz ^ Е h3E дт2 .g 47.
д22 U -t- z*) дх 4 dT — a* x V*>
_ \—2v duz fl
°* ~~ /г(1 +v) dz *
при начальных
e*(z, 0)=0, a,(г, 0) = 0, ^^. = 0 (8.48>
22*

а граничных
ЩЛ-BiQ^O, т) = 0,
дг
(8.49)
= 0, 0,(0, т) = 0, иг(\, т) = 0
условиях, где 6# = atT\ о# = —^— a2Z; a2Z — нормальные
напряжения в направлении оси г; е* =
ofo(l+v)gr0
(1 — v)(l — 2v)X
параметр
Рис. 73.
связанности; Н — коэффициент теплоотдачи на основании слоя
z = 0; F{e) = F(l) + F(2) — пондеромоторная сила,
F(1) =
F{2) =
0 Ке|/£(г)-4^],
2(o/i
2art
Ке[^(г)-^-^И.
(8.50)
Нормальные напряжения а** и a^ определяются по формуле
<*хх = % = Т^— ( !^2v a* — 6*) (8'51)
При решении сформулированной задачи в качестве
разрешающих функций примем температуру Т и напряжение ozz. Тогда из
системы уравнений (1.98), с использованием уравнения совместности,
для данного случая получим
где т)о =
dz2
д2о*
дг2
a2q2
<\ +f \ -^к — е да*
2 д2а* __ 2_^9*_
'По 5x2 — 'По ^Т2
(l — 2v) ft2 af(g)
Е дг
(8.52)
/г2 '
г =
p(l+v)(l-2v)
(l— v)E
Следуя методике, изложенной в § I данной главы, температуру
;и напряжения представим в виде
%=t + t. -а,-о?> + о?. (8.53)
2Э0

где В® и о® удовлетворяют (8.52) для Q* = Q(f) и F(e) = F{f) при
сформулированных начальных и граничных условиях.
Составляющие Э(ф1} и а*° будем находить в квазистатической
постановке, т. е. из системы уравнений
а*" Ч" _ «^ (1) *?> , Mi-у) но о ,854v
при начальном 0^' (z, 0) = 0 и граничных
• у — Bi 81^ (0, т) = 0,
02 (8.55>
^ъ* =0; ^(о, т) = о, «f>(i,t)-o
условиях. Применяя прямое и обратное преобразования Лапласа,
из первого уравнения (8.54) и соответствующих граничных условий
(8.55) в случае приповерхностного нагрева (джоулево тепло (8.33))
получим следующее выражение для составляющей 6^:
в(.1} = Мо I - 60e-v^ - ze~v* + Аг + 2 2 А2п [ег-у. фп cos р„г +
[ п=1
+ Bi sin pnz) _ (1 + б0 Bi) p„ cos p„ (1 - z)] e j. (8.56)
Здесь A0 = ^~ oEl; Ax = 60 + Bi"1 (1 - <TY*); ATn = P72 (P*6* +
+ 1) [(1 + Bi) sin p„ + pn cos prt]; y* = -^ \ P„ — К0РНИ
трансцендентного уравнения
ctgp«-4-- <8-57>
Из второго уравнения (8.54), учитывая граничные условия
(8.55), находим
„v oEl (1 — 2v)
а- = -Lit-2 <! - *~v*2)- <8-58>
Напряжения a^l и о^ определяются по формуле (8.51).
Составляющие 0® и of находим в установившемся режиме. В
соответствии с выражениями (8.20) эти функции представим в виде
6?> = 2 Re [Ф (г) е2Ш], of = 2 Re [ф (г) е2Ш]. (8.59)
Подставляя выражения (8.59) в уравнения (8.52) и условия
(8.49) при Q = Q<2) и F(e) = F(2\ получаем
4^-^[(1+ОФ + еЛ]~-^0Р. (8.60)
231

'И граничные условия
-М-_ В1Ф(0)=0, -^- = 0;
dz
*(0) = 0,
^(1)
dz
f ^o V1)-
(8.61)
Здесь
л!-
2/ой2
а
, г]22= 4(oYh\ (g>=±-aE*(z), Ftf =
ia dE (z)
2co/i dz
Отметим, что последнее условие (8.61) получено из граничного
условия az (1, т) = 0с использованием уравнения (8.47),
записанного для установившегося режима.
Исключая ф из уравнений (8.60), приходим к разрешающему
уравнению четвертого порядка для функции г|>
-££- + Пй - гй О + **)] -S- - л»=
а^2П2 Л(2)
■ Vo -
ft2 (1 — 2v)
"" Л ^и Е I dz*
?и соответствующих граничных условий
** .,;(1+e,i*](8.62,
<Рф(0) р. <Рф(0)
dz3 dz2
-i #(0)
112 dz
Bi
d/f > (0) d242)(0)
dz
^(0)=0; JM>
dz2
fta(l-
2v)
dz
dz3
.*lL^2v)f^(l).
A» (1 — 2v)
dz2
■riirt
?<1>].
(8.63)
В случае приповерхностного нагрева решение уравнения (8.62),
удовлетворяющее условиям (8.63), примет вид
у = Вхе-Ы + В2 ch %1z + fig sh Xxz + fi4 ch X2z + Bb sh X2z, (8.64)
<где
Ли = - 4" M - (J + 8*) Tli =F [(Л* + тЙ) + 2n? (nJ - тй) e* +
Ях = -J- оЕУ [а,Х~\1 — 2cTlE-y,i (1 — 2v) (1 + e* — 2[iaa)] X
X [2if.ru - 4tf - ti» [2i£ (1 + ej + ч1\Г\ Bt = - X^B X
X [Ct ch ^ + C3 [XI ft* + *•) ch X2 - *J (tiJ + A») ch Aj -
232

- С, [(Л22 + *!) ch Х2 - (ril + Х2) ch XJ}, S3 = X2B {X.C, sh ^ -
- C3 [Я2 Bi (X2 - XI) ch Я2 + (т]22 + Л& (*J sh X, - X32 sh bj] +
+ C4 [(Ji2 - XI) Bi ch X2 + (Til + XI) (X, sh X± - X2 sh Jc2)]},
Ct = (XJ - A|) {- ^ [(т|| + XI) sh ?t2 + Х2 Bi ch Jt2] + С2 sh >i2},
В""1 = ХХХ2 (Х\ — XI) {[(М — XI) Bi ch X, + X, (v\l + Х\) sh Хг] ch Х2 —
-X2(r\l + Xl)shX2chX1}>
Б4 и Вб получаются соответственно из В2у В3 заменой Хг на Х2, а Х2
на Xv Здесь
ft = V. О + 0. С2 = tf {[- 2 + г^72 +/(2 + 2 Bi Y71 + г&>Г2)]Я1 -
a£g(i-2v)
4co£
.(i + BiYr + 0 . с, = ь
Вг
gE20(\
2v) i
•by\
21BX —
(l-2v)q£20
4co£
2A,-24
1+4-л!тГ'
8co£
tr-b
r-b
По известному значению г|) функция ф находится из второго
уравнения (8.60):
Ф = —*Ъ
rfz2
+ л5ч> +
(1 — 2v) h*
(8.65)
Исследования температурных полей и напряжений проводились
для слоя из стали Х18Н9Т. Характеристики материала приняты
следующие:
о = 0,135 . 107 0м* м ; X = 0,167 . 102 Вт/м . град;
а = 0,422 . 10~5 м2/с; щ = 0,17 . 10"4 1/град;
£ = 0,198- 1012 Н/м2; v = 0,28; е*= 0,171 • КГ1.
Количественная оценка температурных полей и
напряжений, соответствующих нагреву джоулевым теплом (8.31)
и усредненным по периоду /# = -—, показала, что для всех частот
со, за исключением окрестностей резонансных соп» о /W2— \
(д = 0, 1, 2, ...), решения практически совпадают независимо
от критерия Bi. Отметим, что если пренебречь влиянием
коэффициента связанности е* (е* < 0,02), то сол = 41" = ~у ®п*
где со« — собственные частоты колебаний рассматриваемого слоя.
На рис. 74 сплошными линиями представлена зависимость первых
трех резонансных частот оо^ со2, со3 (соответственно кривые /—3)
от толщины слоя с учетом термоупругого рассеяния. Штриховыми
линиями для этих частот показана зависимость параметра отно-
16 7-102
233

сительной глубины проникновения индукционных токов от
толщины. /
На рис. 75 приведены данные о величине отклонения А со частоты
со от первой резонансной о^ (А со = | со — (о^), при котсдегом
максимальное значение напряжения of] составляет 10% наибольшего
значения о*1] в установившемся режиме в зависимости от толщины
слоя и Bi.
Исследования напряжений о£], aS, а также температуры по
толщине слоя при резонансной частоте сох выполнялись для слоя
Рис. 74.
ш
Гц
751
5fi\
М 25
Рис. 75.
3,0 h 102М
\\\
V
\
X1
^fl/=ee
v^
0,2 1,0
2,0
3,0 h102M
толщиной /i = 2 • 10 2 м в случае теплоизоляции (Bi = 0) при
2=1 и идеальной теплоотдаче (Bi = оо) при z = 0. На рис. 76
кривой / соответствует напряжение a£J при т= 1, кривым 2 и
5 — ofi соответственно при т = Ю-4 и т = 10~2. Кривая 5 харак-
теризует распределение напряжении ai*, вычисленных в
пренебрежении влиянием пондеромоторных сил. Напряжения a?i
приведены для моментов времени, когда амплитуда их максимальна.
Кривая / при т = 1 представляет профиль составляющей
температурного поля Т(,); кривые 2 и 3 — профиль составляющей Г(2)
соответственно с учетом (при т =3,8 * 10~3) и без учета (при т=
=0,38) влияния пондеромоторных сил. Здесь Г* = 4» —
значение температуры Г(1) на нижнем основании z = 1 в
установившемся режиме. Зависимость Т* от напряженности электрического поля
Е0 при h =■ 0,01; 0,02; 0,03 м (соответственно кривые 1—3) для
рассматриваемого материала представлена на рис. 77.
234

Количественный анализ решения показал,"что в зоне резонансных
частот составляющие напряжения oi2j и температуры Т{2)
значительно превосходят значения напряжений ох1х и температуры
/ , соответствующие случаю усредненного по периоду f* = —
джоулева тепла. При этом составляющие температуры Т{} и
напряжения о® практически незначительно зависят от критерия Био.
С повышением порядка резонансной частоты амплитуда Т(2) и
ofl уменьшается. Отметим также, что в диапазоне частот,
применяемых в практике индукционной термообработки, влиянием
составляющей F(1) пондеромоторных сил на напряжения охх можно
пренебречь.
Из полученных результатов следует, что при приближенном
решении задачи об индукционном нагреве электропроводных слоев
для всех частот электромагнитного поля, за исключением узких
окрестностей резонансных, температурные поля и напряжения
можно определять исходя из усредненного во времени джоулева тепла,
пренебрегая влиянием пондеромоторных сил. В окрестности
резонансных частот наблюдается резкое возрастание уровней
температурных полей и напряжений, обусловленных периодическими
во времени составляющими джоулева тепла и пондеромоторных
сил. При этом влияние пондеромоторных сил является
определяющим. Резонансные частоты практически равны собственным
частотам колебаний и могут быть определены приближенно на
основании решения соответствующей краевой задачи о собственных
частотах колебаний рассматриваемого слоя.
16*
235

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ
ДЛЯ БИМЕТАЛЛИЧЕСКОГО СЛОЯ '
/
Выполненные исследования термоупругого состояния
электропроводного слоя показали, что уровни температурных полей и
напряжений резко возрастают, если частота внешнего электромагнитного
поля приближается к определенной (резонансной) величине. Это
возрастание обусловлено периодическими во времени составляющими
пондеромоторных сил и джоулева тепла, если их частота прибли-
Рис. 78.
г\
жается к собственной частоте термоупругих колебаний тела.
Поэтому для построения методики оптимального выбора параметров
индукционного нагрева электропроводных тел представляется
важным определение тех частот электромагнитного поля и
соответствующих им глубин проникновения индукционных токов, при которых
имеют место резонансные явления.
Как отмечалось выше, резонансные частоты с достаточной для
практических расчетов точностью можно находить исходя из
решения соответствующей краевой задачи о собственных частотах
(о*п колебаний рассматриваемого тела. Если частоты со*п найдены, то
резонансные частоты электромагнитного поля cort определяются
по формуле
(on&-Ltfn. (8.66)
В качестве примера рассмотрим задачу об определении
резонансных частот электромагнитного поля для биметаллического слоя
(рис. 78), на поверхности z = —hx которого задана касательная
составляющая напряженности электрического поля Е{% = Е0еш.
Верхнее основание свободно от силовой нагрузки, а перемещения
нижнего основания равны нулю. В рассматриваемой задаче вектор
перемещений характеризуется отличной от нуля компонентой uz =
= иг (z, t).
Соответствующая краевая задача об определении собственных
частот колебаний упругого биметаллического слоя формулируется
следующим образом.
Найти отличное от нуля решение однородного уравнения
движения (1.80), записанного относительно перемещения и^г (г, t) =
= w (г) еш
236

d2w(!)
-^+(ш*)2?>1/) = 0 (/==i, 2)
(8.67)
при однородных граничных условиях
q(0(_/1i) = 0, o*J>(0)==af (0), a2>(0)=og(0)f ^)(/г2)=0, (8.68)
которые отражают условия отсутствия силовой нагрузки на
верхнем основании z = —hv условия механического сопряжения при
z = 0 и равенства нулю перемещения на нижнем основании z =
Рис. 79.
<У 10%
h102M
= /i2. Здесь q) = ^n-vO' Индексы (*)> (2) введены для
обозначения величин, относящихся к области первого и второго слоя.
Согласно закону Гука
2G/(1— vy) с(ш(/)
*2
/jCO*/
(1 — 2v;) dz
С учетом (8.69) граничные условия (8.68) запишутся так;
d^U—hx) , dm{X) (0)
- l = 0, ^)(0)=ш(2)(0),
(8.69)
dz
dz
237

= r2!!~V2!!!~9Vl! *t(0). ^(^ = 0. ф>
Решение уравнений (8.67) представится в виде
а,</> = c/V + Dy<r'V, (8.71)
где чу = са*^у. Подставляя решение (8.71) в граничные условия
(8.70), получаем систему алгебраических уравнений для нахождения
коэффициентов Cjy Df
Qe-^Л — ц^лЛ = 0, C1 — D1 — K (C2 — D2) = 0,
(8.72)
Сг + D1 — C2 — D2 = 0, С2в^»Л« + D2e-'4*h* = 0,
где
^ = /02(1~у2)(1-2уд)р2
\G1(l-v1)(l-2v2)p1
Приравнивая определитель системы (8.72) нулю и учитывая
соотношение (8.66) между собственными частотами cart колебаний
слоя и резонансными частотами соп электромагнитного поля,
получаем следующее трансцендентное уравнение для нахождения
резонансных частот электромагнитного поля:
К cos 2щ1Н1 cos 2(0^2 — sin 2со<7А sin 2щ2Н2 = 0. (8.73)
Численные исследования резонансных частот выполнялись для
биметаллического слоя медь — сталь Х18Н9Т и слоя сталь 10 —
сталь Х18Н9Т.
На рис. 79, а представлены графики зависимости первых трех
резонансных частот со1э со2, со3 (соответственно кривые /—3) от
толщины биметаллического слоя медь — сталь Х18Н9Т при со-
отношениях между толщинами составляющих слоев Kh = -г- = 0
(сплошные линии), Kh = 1 (штриховые линии) и Kh = 5 (штрих-
пунктирные линии). На рис. 79, б приведены аналогичные
графики для слоя сталь Х18Н9Т — медь, а на рис. 79, в — для слоя
сталь 10 — сталь Х18Н9Т.
Из приведенных графиков видно, что для биметаллического слоя
медь — сталь Х18Н9Т при увеличении значения Kh (увеличение
толщины слоя из стали) резонансные частоты со, возрастают.
Минимальные по величине значения частот соу достигаются при Kh =
= 0, что соответствует однородному слою из меди толщиной h.
В случае, когда со стороны индуктора расположен слой из стали,
наблюдается обратная картина, т. е. с увеличением толщины слоя
из меди величины резонансных частот соу уменьшаются и принимают
наименьшие значения для однородного медного слоя толщиной h.
Сталь Х18Н9Т и сталь 10 имеют близкие по величине
механические характеристики. Поэтому резонансные частоты (ох, ю2, (о3
для биметаллического слоя сталь Х18Н9Т — сталь 10 и сталь 10 —
сталь Х18Н9Т, как видно из рис. 79, в, несущественно зависят от
238

соотношения толщин Khy т. е. практически такие же, как для
однородного слоя из стали 10 или стали Х18Н9Т толщиной h.
На риЬ. 80 приведены графики изменения первой резонансной
частоты в зависимости от толщины слоя сталь Х18Н9Т — медь.
Кривая / соответствует случаю Kh = 0 (слой из стали), кривая
2 — Kh= 1, кривая 3 — Kh = 5, кривая 4 — Kh = оо (слой из
меди). Эти графики дают возможность найти величину % в
зависимости от соотношения между толщинами составляющих слоев
с большей точностью, чем графики, представленные на рис. 79.
Рис. 80. w Щ
'0,5 1,5 2,5 3,5 h10*M
Отметим, что для всех рассматриваемых случаев с увеличением
толщины биметаллического слоя резонансные частоты падают.
Представляет интерес исследование параметра относительной
6*
глубины проникновения индукционных ТОКОВ б* = т- (б* =
= 2 (2jxcucr)-1/2), соответствующего резонансным частотам соу- (/ =
= 1,2, 3) в слое, расположенном со стороны индуктора, в
зависимости от толщины биметаллического слоя.
На рис. 81, а сплошными линиями показаны графики изменения
б# для однородного слоя из стали Х18Н9Т (Kh = 0), штриховыми
и штрихпунктирными линиями — для биметаллического слоя сталь
Х18Н9Т — медь при Кн = 1 и Kh = 5. Кривые 1У 2, 3
соответствуют глубинам проникновения токов б+/ для резонансных частот
Щ, ^2» Юз- И3 приведенных графиков видно, что первой
резонансной частоте (ах при h > 0,01 м соответствует приповерхностный
нагрев (б* < 1,0). При заданной толщине пластины более высоким
резонансным частотам соответствуют меньшие б„/. Для
фиксированного h с увеличением толщины второго составляющего слоя
/г2^|из меди большим значениям Kh соответствуют большие 6*.
В случае, когда со стороны индуктора первым слоем является
239

медь, зависимость 5+/ от толщины показана на рис. 81, б. При этом
величина параметра глубины проникновения б+/- на порядок меньше,
чем для слоя сталь Х18Н9Т — медь при всех значениях Kh.
Аналогичные зависимости представлены на рис. 82, сц/ б для
биметаллических слоев сталь 10 — сталь Х18Н9Т и сталь
Х18Н9Т —сталь 10.
Как видно из рисунков, для всех исследуемых случаев
резонансные явления наблюдаются при приповерхностном индукцион-
Рис. 81
Рис. 82.
ном нагреве (6* < 0,2). С увеличением толщины второго слоя
«резонансная» глубина проникновения индукционных токов
возрастает. Если первым слоем является слой с высокой
электропроводностью или магнитной проницаемостью (малые глубины
проникновения б*), то резонансные явления возникают при значениях 8*,
на порядок меньших, чем в случае,*когда первый слой имеет низкую
электропроводность или магнитную проницаемость.
Таким образом, предложенная методика определения
температурных полей и напряжений в электропроводных телах с учетом
пондеромоторных сил и периодического характера изменения во
времени джоулева тепла и проведенные на ее основе количественные
исследования показали, что при приближенном решении задачи
240

для всех частот электромагнитного поля, за исключением
окрестностей определенных (резонансных) частот, распределение темпе-
ратурьг'и напряжений можно находить на основании усредненного
во времени джоулева тепла, пренебрегая при этом влиянием пон-
деромоторных сил, а также связанностью полей деформации и
температуры, т. е. в постановке, применяемой обычно при решении
задач индукционного нагрева. В узкой окрестности резонансных
частот наблюдается резкое возрастание уровней температурных
полей и напряжений, вызванных периодическими во времени
составляющими джоулева тепла и пондеромоторных сил. При этом
влияние пондеромоторных сил является определяющим.
Каждая из резонансных частот электромагнитного поля равна
половине соответствующей собственной частоты термоупругой
задачи. Практически (с погрешностью меньшей 1%) резонансные
частоты могут быть определены в соответствии с решением краевой
задачи о собственных частотах колебаний исследуемого тела.
Поэтому на основании результатов исследований, приведенных в
настоящей главе, в качестве расчетной схемы приближенного
определения температурных полей и напряжений в электропроводных
телах, находящихся под воздействием установившихся
электромагнитных полей, можно принять схему, состоящую из трех этапов:
1. Из уравнений электродинамики определяются
электромагнитное поле и распределение джоулева тепла в области
электропроводного тела.
2. Находятся резонансные частоты электромагнитного поля на
основе решения соответствующей краевой задачи о собственных
частотах колебаний рассматриваемого тела.
3. Определяются температурные поля и напряжения. При этом,
если заданная частота электромагнитного поля находится вне
узкой окрестности резонансной, то термоупругое состояние тела
можно определять в квазистатической постановке, пренебрегая
периодической изменяемостью во времени джоулева тепла, пондеро-
моторными силами и связанностью полей деформации и температуры.
Если же частота близка к резонансной, то температурные поля и
напряжения необходимо находить на основании динамических
уравнений термоупругости, учитывая периодически изменяющиеся
во времени составляющие джоулева тепла и пондеромоторных сил,
а также связанность полей деформации и температуры.
Предложенная расчетная схема может быть положена в основу
методики решения задачи об определении термоупругого состояния
электропроводных тел, находящихся под воздействием квазиус-
тановившихся электромагнитных полей.
Полученные результаты указывают также на возможность
возбуждения в электропроводных телах интенсивных механических
колебаний посредством периодического во времени
электромагнитного поля, что может быть использовано при разработке
эффективных режимов вибрационной термообработки сварных элементов
конструкций для понижения уровня остаточных напряжений.

ЛИТЕРАТУРА
!. Алмазов В. С. Рациональные методы индукционного нагрева труб токами
промышленной частоты.— В кн.: Энергетическое строительство, 2. М.—Л.,
1966, с. 95—96.
2. Андреев Ю. Н., Бутковский А. Г. Оптимальное управление нагревом
массивных тел.— Техн. кибернетика, 1964, № 5, с. 45—54.
3. Андреев Ю. И., Огульник М. Г. Оптимальный по быстродействию нагрев
пластин при ограниченных температурных напряжениях.— В кн.:
Кибернетика и управление. М., 1967, с. 43—52.
4. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский В. С. Связанные магнито-
упругие волны в ферромагнетиках и ферроакустический резонанс.— ЖЭТФ,
1958, 35, 1, с. 228—233.
5. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пелетминский С. В. Спиновые волны.
«Наука», М., 1967, 368 с.
6. Бабат Г. И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное
применение. «Энергия», М.—Л., 1965, 552 с.
7. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. «Мир», М., 1964,
517 с.
8. Болотин В. В. Уравнения нестационарных температурных полей в тонких
оболочках при наличии источников тепла.— ПММ, 1960, 24, № 2, с. 361—363.
9. Бурак Я- И. Определение температурных полей и напряжений в тонких
электропроводных оболочках при индукционном нагреве.— В кн.: Труды IV
Всесоюзной конференции по прочности и пластичности. М., 1971, с. 337—344.
10. Бурак Я- И., Галапац Б. П., Колодий Б. И. Упруго-пластическое равновесие
бесконечного цилиндра при индукционном нагреве.— Прикладная механика,
1968, 4, № 1, с. 29—39.
11. Бурак Я- И., Гачкевич А. Р. Оптимальные по напряжениям режимы
индукционного нагрева тонкой пластинки.— В кн.: Математические методы и
физико-механические поля, 2. К., 1975, с. 93—98.
12. Бурак Я- П., Гачкевич А. Р. Влияние периодических во времени
электромагнитных полей на вынужденные колебания электропроводной пластины.—
В кн.: Динамика и прочность машин, 21. Харьков, 1975, с. 102—107.
13. Бурак Я- П., Гачкевич А. Р., Колодий Б. И. Определение температурных
полей и напряжений в биметаллическом слое при индукционном нагреве.—
Прикладная механика, 1973, 9, 9, с. 87—93.
14. Бурак Я- Й-> Гачкевич О. Р., ЧернявськаЛ. В. Температурю поля i напру-
ження в електропров1дних т1лах при шдукщйному HarpiBi.— BicHHK
АН УРСР, 1975, 4, с. 47—54.
15. Бурак Я- И., Чернявская Л. В. Условия сопряжения электромагнитного поля
в системе «тзердое тело — макровключение» при неидеальном контакте.—
В кн.: Теоретическая электротехника, 6. Львов, 1969, с. 16—24.
16. Бурак Я- И.у Чернявская Л. В. Определение джоулева тепла, температурных
полей и напряжений в тонких электропроводных оболочках, находящихся
в условиях приповерхностного индукционного нагрева.— Изв. АН СССР,
1973, 2, с. 101—107.
17. Бурак Я- И-, Чернявская Л. В. Осесимметричный индукционный нагрев
цилиндрической оболочки.— В кн.: Математические методы и
физико-механические поля, 1. К., 1975, с. 79—84.
242

18. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с
распределенными параметрами. «Наука», М.,' 1965, 476 с.
19. Батсон Ду Я^Теория бесселевых функций. ИЛ, М., 1949, 799 с*
20. Бологдин В. П. Поверхностная индукционная закалка. Оборонгиз, М., 1947,
291 с.
21. Гачкевич А. Р. Исследование распределения джоулева тепла при
индукционном нагреве биметаллического слоя.— ФХММ, 1972, 5, с. 111—114.
22. Гачкевич А. Р. О влиянии периодического во времени изменения джоулева
тепла и пондеромоторных сил на температуру и напряжения в
электропроводных телах.— В кн.: Математические методы и физико-механические поля,
F 1. К., 1975, с. 84—89.
23. Гельфанд И. М., Фомин С. Б. Вариационное исчисление. Физматгиз, М., 1961,
228 с.
24. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е* Обобщенные функции и действия над ними.
Физматгиз, М., 1958, 439 с.
25. Гладыревская С. А., Меандров Л. Б., Голованенко С. А., Быков А. А.
Двухслойные стали в химическом машиностроении. «Машиностроение», М., 1965,
152 с.
26. Глуханов Н. П., Богданов Б. Я. Сварка металлов при высокочастотном
нагреве. Машгиз, М.—Л., 1962, 190 с.
27. Градштейн И. С, Рыжик И. М> Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. Физматгиз, М., 1963, 1100 с.
28. Григолюк Э. И. Тонкие биметаллические оболочки и пластины.— В кн.:
Инженерный сборник, 17. М., 1953, с. 69—120.
29. Григолюк Э. И., Бурак Я. И., Подстригач Я- С. Постановка и решение
некоторых вариационных задач термоупругости тонких оболочек
применительно к выбору оптимальных режимов местной термообработки. — ПМТФ,
1968, 4, с. 47—54.
30. Григоренко Я- М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки вращения
переменной жесткости. «Наукова думка», К., 1973, 223 с.
31. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических
и магнитных явлений. Изд-во АН СССР, М.— Л., 1948, 728 с.
32. Даниловская Б. И. Упруго-пластическая симметричная деформация
тонкостенной трубы с учетом неравномерности распределения температуры вдоль
радиуса.— Прикладная механика, 1965, 1, № 6, с. 8—13.
33. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. ИЛ,
М., 1948, 256 с.
34. Диткин Б. А>, Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению.
«Высшая школа», М., 1965, 466 с.
35. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. Изд-
во АН СССР, М., 1963,271с.
36. Карслоу Г. и Егер Д. Теплопроводность твердых'тел. «Наука», М., 1964, 487 с.
37. Кидин И. Н. Закалка стали при нагреве токами высокой частоты. Машгиз,
М., 1950,40 с.
38. Кидин И. Н. Термическая обработка стали при индукционном нагреве. Ме-
таллургиздат, М., 1950, 316 с.
39. Кидин И. Н. Физические основы электротермической обработки металлов
и сплавов. «Металлургия», М., 1969, 375 с.
40. Коваленко А. Д. Введение в термоупругость. «Наукова думка», К., 1965,
204 с.
41. Коваленко Л. Д. Основы термоупругости. «Наукова думка», К., 1970, 307 с.
42. Коваленко А. Д. Пластинки и оболочки в роторах турбомашин. Изд-во
АН УССР, К., 1955,334 с.
43. Колодий Б. И. Определение температурных полей и напряжений в полом
цилиндре при индукционном нагреве.— Прикладная механика, 1969, 5, № 10,
с. 35—41.
44. Колодий Б. И. Оптимальный по быстродействию нагрев тонких пластин при
ограничениях на температурные напряжения.— Автоматика и телемеханика,
1972, № 12, с. 33—36.
45. Колодий Б. И. Некоторые двумерные задачи расчета температурных полей
243

и напряжений в элементах конструкций при индукционном негреве. 1$анд.
дис, Львов, 1970, 151 с. /
46. Коломиец Г. А., Улитко А. Ф. Связанные электроупругие колебания пьезо-
керамических тел.— В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций,
8. К., 1969, с. 15—24. '
47. Котляков Н. С, Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения
математической физики. Физматгиз, М., 1962, 767 с,
48. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. Физматгиз,
М., 1959, 532 с.
49. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. ОНТИ, М.—
Л., 1937, 110 с.
50. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их применения. Физматгиз, М.— Л.,
1963,358 с.
51. Лозинский М. Т. Поверхностная закалка и индукционный нагрев стали. Маш-
гиз, М., 1949, 460 с.
52. Лозинский М. Т. Промышленное применение индукционного нагрева. Изд-во
АН СССР, М., 1958, 472 с.
53. Лыков А. В. Теория теплопроводности. «Высшая школа», М., 1967, 599 с.
54. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат, М.— Л.,
1947, 252 с.
55. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, М.—Л., 1935, 676 с.
56. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными
температурными полями. Физматгиз, М., 1958, 167 с.
57. Мотовиловец И. А. Решение задачи о нестационарном температурном поле
пластинки при конвективном теплообмене на боковых поверхностях.— В кн.:
Тепловые напряжения в элементах турбомашин, 1. К., 1961, с. 9—19.
58. Нейман Л. Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. Госэнергоиз-
дат, М.—Л., 1949, 190 с.
59. Немков В. С. Расчет нагрева полых цилиндров внутренним индуктором.—
В кн.: Труды Всесоюзного научно-исследовательского института токов
высокой частоты, 7. М.— Л., 1966, с. 94—105.
60. Немков В. С. Индукционный нагрев тонкостенных труб в цилиндрическом
индукторе-— В кн.: Труды Всесоюзного научно-исследовательского института
токов высокой частоты, 7. М.— Л., 1966, с. 106—130.
61. Новацкий В. Вопросы термоупругости. Изд-во АН СССР, М., 1962, 364 с.
62. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, Л., 1951, 344 с.
63. Павлов Н. А. Методика выбора оптимального режима при ускоренном
индукционном нагреве цилиндрических заготовок.— В кн.: Электротермия, 38.
Л., 1964, с. 25—27,
64. Павлов Н. А. Температурные поля в стальных плитах при ускоренном
индукционном нагреве.— ИФЖ, 1965, 8, № 4, с. 467—472.
65. Павлов Н. А., Полевода Б. С. Расчет индукционных нагревателей для
сквозного нагрева цилиндрических заготовок в поперечном магнитном поле.—
В кн.: Промышленное применение токов высокой частоты, 9. Л., 1968, с. 12—
27.
66. Паркус Л Неустановившиеся температурные напряжения. Физматгиз, М.,
1963, 252 с.
67. Шдстригач Я- С. Температурив поле в тонких оболонках.— ДАН УРСР,
1958, 5, с. 505—507.
68. Шдстригач Я- С., Ярема С. Я- Темпер ату pui напруження в оболонках.
Вид-во АН УРСР, К., 1961, 212 с.
69. Шдстригач Я- С., Бурак Я- Й- Деяк! аспекти побудови нових моделей меха-
шки твердого т1ла з урахуванням електромагштних процеав.— В1сник
АН УРСР, 1970. 12, с. 18—31.
70. Подстригач Я- С. Приближенное определение нестационарных
температурных полей в тонких пластинках и оболочках.— В кн.: Тепловые напряжения
в элементах турбомашин, 1. К-, 1961, с. 34—40.
71. Подстригач Я. С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных
с помощью тонкого промежуточного слоя.— ИФЖ, 1963, 10, с. 129—136.
72. Подстригач Я' С., Колодий Б. И. Температурные поля и напряжения при ин-
244

дукционном нагреве упругого слоя.— В кн.: Тепловые напряжения в
элементах конструкций, 10. К., 1970, с. 208—214.
73. Подстригай ft. С, Колодий Б. Я. Двухмерные неустановившиеся поля
температуры и напряжений при индукционном нагреве упругого
полупространства.— Прикладная механика, 1970, 6, № 12, с. 68—73.
74. Подстригай Я- С, Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и
напряжения в тонких пластинках. «Наукова думка», К., 1973, 308 с.
75. Подстригай Я- С, Шевчук П. Р. Температурные поля и напряжения в телах
с тонкими покрытиями.— В кн.: Тепловые напряжения в элементах
конструкций, 7. К., 1967, с. 227—233.
76. Плят Ш. Т. Корни одного трансцендентного уравнения в задаче
теплопроводности для полого цилиндра.— ИФЖ, 1964, 7, № 2, с. 75—78.
77. Родигин Н. М. Индукционный нагрев стальных изделий токами нормальной
частоты. Металлургиздат, Москва — Свердловск, 1950, 248 с.
78. Седов Л. И. Механика сплошной среды. «Наука», М., 1970. Т. 1, 492 с. Т. 2,
568 с.
79. Селезов И. Т., Селезова Л. В. Волны в магнитоупругих средах. «Наукова
думка», К., 1975, 163 с.
80. Смайт В. Электростатика и электродинамика. ИЛ, М., 1954, 604 с.
81. Снеддон И. Н. Преобразование Фурье. ИЛ, М., 1955, 668 с.
82. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. Гостехиздат, М.—Л., 1948,
539 с.
83. Тамм И. Е. Основы теории электричества. Гостехиздат, М., 1956, 620 с.
84. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения
математической физики. Ч. 2. ОНТИ, Л.— М., 1937, 998 с.
85. Хилл Р. Математическая теория пластичности. Гостехиздат, М., 1956, 407 с.
86. Чернявская Л. В. Температурные поля и напряжения в цилиндрической
оболочке при индукционной термообработке. — Физико-химическая механика
материалов, 1973, 3, с. 82—86.
87. Шевченко Ю. Н. Термопластичность при переменных нагружениях. «Наукова
думка», К., 1970, 287 с.
88. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
«Наука», М., 1969, 424 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие , 5
Основные условные обозначения 7
ГЛАВА 1. Исходные соотношения
электродинамики и термоупругости .... 9
Ь Основные положения и уравнения макроскопической
электродинамики электропроводных тел 9
2* Система уравнений термоупругости 21
ГЛАВА 2. Термоупругое состояние
электропроводного слоя и
полупространства в периодическом во времени
электромагнитном поле ..... 28
1. Постановка и решение задачи 28
2. Температурные поля и напряжения в слое при индукционном нагреве по
толщине 39
3. Термоупругое состояние слоя в квазиустановившемся электромагнитном
поле 50
4. Температурные поля и напряжения при индукционном нагреве
полупространства 53
ГЛАВА 3. Термоупругое состояние
биметаллического слоя в периодическом во
времени электромагнитном поле . 64
1. Постановка и решение задачи 64
2. Распределение температуры и напряжений при заданной на поверхности
слоя напряженности электрического поля 75
3. Распределение температуры и напряжений при заданной на поверхности
слоя напряженности магнитного поля 90
4. Температурные поля и напряжения в квазиустановившемся
электромагнитном поле 96
ГЛАВА 4. Температурные поля и напряжения
в круговом цилиндре при
индукционном нагреве 99
1. Электромагнитное поле и джоулево тепло в сплошном цилиндре .... 99
2* Электромагнитное поле и джоулево тепло в полом цилиндре 103
246

3. Температурные поля и напряжения в сплошном цилиндре 109
4. Исследование термоупругого состояния полого цилиндра 118
5. Упруго-пластическое равновесие цилиндра 126
ГЛАВА 5. Термоупругое состояние тонких
электропроводных оболочек в
установившемся электромагнитном поле 133
1. Уравнения электродинамики 133
2. Уравнения теплопроводности и термоупругости 136
3. Постановка и метод решения задачи 142
4. Цилиндрическая оболочка при двустороннем индукционном нагреве 147
5. Цилиндрическая оболочка при одностороннем индукционном нагреве 155
ГЛАВА 6. Температурные поля и напряжения
в электропроводных оболочках при
большой относительной глубине
проникновения индукционных токов 16S
1. Постановка задачи. Обобщенные условия сопряжения электромагнитное
го поля 169
2. Приближенное определение электромагнитного и температурного полей 177
3. Исследование решения для цилиндрической оболочки 18J
ГЛАВА 7. Оптимизация режимов
индукционного нагрева при ограничениях на
температурные напряжения . . . 194
1. Индукционный нагрев тонкой пластины 194
2. Индукционный нагрев слоя , 20§
ГЛАВА 8. Влияние периодического характера
изменения во времени
электромагнитного поля на распределение
температуры и напряжений . . . . . 217
1. Постановка и метод решения задачи 217
2. Влияние периодического во времени изменения джоулева тепла .... * 223
3. Учет пондеромоторных сил и связанности полей деформации и
температуры 229
4. Определение резонансных частот для биметаллического слоя 236
Литература
242

ЯРОСЛАВ СТЕПАНОВИЧ ПОДСТРИГАЯ
ЯРОСЛАВ ИОСИФОВИЧ БУРАК
АЛЕКСАНДР РОМАНОВИЧ ГАЧКЕВИЧ
ЛЮБОВЬ ВЛАДИМИРОВНА ЧЕРНЯВСКАЯ
ТЕРМО
ЗЛЕКТРО
ПРОВО
дных
ЕЛ
Печатается по постановлению ученого совета
Львовского филиала математической физики
Института математики АН УССР
Редактор
Л. Е. Зборовская
Художественный редактор
И. П. Антонюк
Оформление художника
М. Н. Усова
Технический редактор
Б. М. Кричевская
Корректоры
Э. Я. Белокопытова,
Л. Н. Тищенко
Информ. бланк № 1167.
БФ 00179. Сдано в набор 16.VIII 1976 г,
Подписано в печать 28.1 1977 г.
Формат 60X907i6.
Бумага типогр. № 1.
Усл. печ. л. 15,5. Учетно-изд. л. 15,76.
Тираж 2000 экз. Изд. № 19. Заказ № 7-102.
Цена 2 руб. 80 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев,
Репина, 3.
Книжная фабрика «Коммунист» РПО «Поли-
графкнига» Госкомиздата УССР, г. Харьков,
ул. Энгельса, 11.