ЛАМА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР

В. В. КОЛБИН

ВЕРОЯТНОСТНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Издание второе, стереотипное

лш

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР
2021
УДК 51

ББК 22.18я73

К 60 Колбин В. В. Вероятностное программирование : учебное
пособие для вузов / В. В. Колбин. — 2-е изд., стер. — Санкт-
Петербург : Лань, 2021. — 392 с. — Текст : непосредствен-
ный.

I8В^ 978-5-8114-7895-8

Модели и методы математического программирования в условиях
дефицита информации используются в технике, экономике, биологии,
военном деле и других областях человеческой деятельности. Они
адекватнее других современных формальных методов приспособлены к
анализу сложных систем, к подготовке и выбору оптимальных и
компромиссных решений. Представлены одноэтапные, двухэтапные и
многоэтапные модели с вероятностными условиями и функционалами,
многокритериальные и игровые постановки задач. Приведены методы
оптимизации соответствующих эквивалентов исходных моделей.
Исследованы проблемы устойчивости решений и целевых функционалов.
Работа содержит большое число прикладных задач в условиях дефицита
информации.

Предназначено для студентов направлений подготовки «Прикладная
информатика», «Прикладная математика», «Прикладная математика и
информатика», «Менеджмент» и других направлений.

УДК 51

ББК 22.18я73

Издается в авторской редакции

Обложка

П. И. ПОЛЯКОВА

© Издательство «Лань», 2021

© В. В. Колбин, 2021

© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2021
Содержание

Предисловие	10

Введение	12

1	Риск и неопределенность в задачах планирования и
управления сложными системами	15

1.1	Неопределенность и вероятность в задачах планиро-
вания и управления ............................... 16

1.2	Различные вероятностные подходы, используемые при
описании сложных систем........................... 21

1.3	Основы классификации методов и моделей програм-
мирования в условиях риска и неопределенности ...	25

2	Задачи стохастического программирования с вероят-
ностными ограничениями	31

2.1	Постановка и качественный анализ задач стохастиче-
ского программирования с вероятностными ограниче-
ниями ............................................ 31

2.2	Детерминированные эквиваленты Чарнса и Купера .	38

2.3	Детерминированные эквиваленты задач стохастическо-
го программирования с вероятностными ограничениями 42

2.4	Примеры прикладных задач стохастического програм-
мирования с вероятностными ограничениями.........	56

2.5	Одноэтапная модель принятия решений с вероятност-
ными ограничениями, классический эгалитаризм ...	61

2.6	Одноэтапная модель принятия решений с вероятност-
ными ограничениями, классический утилитаризм . .	67
2.7	Одноэтапная модель принятия решений с вероятност-
ными ограничениями, линейная комбинация класси-
ческих принципов выбора............................. 70

2.8	Одноэтапная модель принятия решений с вероятност-
ным функционалом, классический утилитаризм ...	72

2.9	Одноэтапная модель принятия решений с вероятност-
ным функционалом, линейная комбинация классиче-
ских принципов выбора............................... 80

3	Двухэтапная задача стохастического программирова-
ния	83

3.1	Постановка двухэтапной задачи стохастического про-
граммирования ...................................... 83

3.2	Анализ двухэтапной задачи стохастического програм-
мирования .......................................... 87

3.3	Некоторые частные модели двухэтапной задачи сто-
хастического программирования....................... 95

3.4	Двухэтапная задача стохастического нелинейного про-
граммирования ...................................... 99

3.5	Методы решения двухэтапной задачи стохастического
программирования....................................109

3.6	Примеры прикладных двухэтапных задач стохастиче-
ского программирования .............................122

4	Исследование многоэтапных моделей принятия ре-
шений в условиях неполной информации	131

4.1	Постановки динамических задач стохастического про-
граммирования ......................................131
4.2	Постановка задачи принятия решений с принципами
выбора равномерного и пропорционального развития
направлений.........................................141

4.3	Качественный анализ многоэтапных стохастических
задач с апостериорными решающими правилами . . . 147

4.4	Постановка задачи принятия решений в условиях непол-
ной информации с апостериорными решающими пра-
вилами .............................................154

4.5	Рекуррентные апостериорные решающие правила . . 159

4.6	Л-задача........................................164

4.7	Априорные решающие правила в многоэтапных зада-
чах стохастического программирования................173

4.8	Общая постановка задачи принятия решения в усло-
виях неполной информации с априорными решающи-
ми правилами........................................186

4.9	Многоэтапная задача принятия решений с вероятност-
ными ограничениями (М-модель) ......................191

4.10	Многоэтапная задача принятия решений с вероят-
ностным функционалом (Р-модель).....................200

4.11	Двойственность в многоэтапном стохастическом про-
граммировании ......................................204

4.12	Примеры прикладных задач многоэтапного стохасти-
ческого программирования............................213

4.13	Многоэтапные модели принятия решений распределе-
ния ресурсов в условиях неполной информации. Пред-
варительные результаты..............................218

4.14	Существование полубесконечномерного эквивалента для
модели М8Р-М........................................225
4.15	Существование полубесконечномерного эквивалента для
модели М8Р-Р .......................................232

4.16	Единственность полубесконечномерного эквивалента
для модели М8Р-М....................................238

5	Игровой подход к задачам стохастического програм-
мирования	246

5.1	Игровая постановка задач стохастического програм-
мирования ..........................................246

5.2	Частные случаи игры Е,д) ......................253

6	Проблемы существования решения и его оптималь-
ности в задачах стохастического программирования 264
6.1 Двойственные задачи стохастического линейного про-
граммирования ........................................264

6.2	Оптимальность и существование решения в задачах
стохастического программирования ...................267

6.3	Исследования одной задачи стохастического програм-
мирования ..........................................271

6.4	Определение множества допустимых планов в задаче
Хансона.............................................283

7	Исследование проблем стохастической устойчивости
задач принятия решений	288

7.1	Существование областей	устойчивости решения задач

принятия решений в условиях неполной информации.
Область допустимости...........................288

7.2	Область оптимальности..........................289

7.3	^-устойчивость решения	по средним......290
7.4	Плановая устойчивость задачи принятия решений в
условиях неполной информации. Основные понятия
плановой устойчивости ...........................294

7.5	Абсолютная плановая устойчивость.............295

7.6	Функциональная устойчивость в стохастических зада-
чах принятия решений.............................300

7.7	Устойчивость по г-му ограничению в стохастических
задачах принятия решений. Плановая устойчивость
по г-му ограничению .............................301

7.8	Функциональная устойчивость по г-му ограничению . 306

7.9	Устойчивость по вероятностному параметру а...308

7.10	Устойчивость по вероятностному распределению о? . . 312

7.11	Устойчивость решений задач стохастического нелиней-
ного программирования............................315

Заключение	324

Список литературы	326

Дополнительный список литературы	371
Предисловие

Настоящее пособие посвящено проблемам моделирования стохасти-
ческих систем планирования и управления. В основу работы поло-
жены лекции специального курса «Стохастическое программирова-
ние», читавшиеся автором выпускникам отделения экономической
кибернетики Ленинградского университета, начиная с 1967 года; с
1971 года специальный курс читается выпускникам факультета при-
кладной математики — процессов управления Санкт-Петербургско-
го государственного университета. В 1977 году в издательстве
Д.Рейдель (Голландия — США) была опубликована книга «Стоха-
стическое программирование».

Пособие содержит семь глав. В первой главе, носящей вводный ха-
рактер, рассматриваются проблемы неопределенности и вероятно-
сти, используемые для моделирования сложных систем. Приводят-
ся основные признаки классификации задач стохастического про-
граммирования. Глава 2 посвящена анализу различных моделей сто-
хастического программирования с вероятностными ограничениями.
Даются примеры технических и экономических прикладных задач
управления с вероятностными ограничениями. В третьей главе ис-
следуются двухэтапные задачи стохастического программирования,
приводятся различные модели и проводится их качественный ана-
лиз. В заключение главы рассматриваются транспортная задача со
случайными данными, задача определения объемов производства
и задача планирования полетов самолетов как двухэтапные зада-
чи стохастического программирования. Многоэтапные задачи сто-
хастического программирования исследуются в главе 4. Устанав-
ливаются зависимости между априорными и апостериорными ре-
тающими правилами и решающими распределениями. Исследуют-
ся двойственные задачи. Примеры прикладных задач многоэтапно-
го стохастического программирования завершают эту главу. Игро-
вой подход к задачам стохастического программирования является
предметом главы 5. Проблемы существования решения и его опти-
мальности в задачах стохастического программирования исследу-
ются в шестой главе. В главе 7 рассматриваются проблемы устой-
чивости решений в задачах стохастического программирования.

Стохастическое программирование становится важным направ-
лением исследования недетерминированных систем планирования и
управления в технике, экономике, биологии и военном деле. Моде-
ли и методы стохастического программирования больше, чем другие
современные формальные методы приспособлены к анализу слож-
ных с систем, к подготовке и выбору решений в сложных ситуациях.

Автор выражает глубокую благодарность бывшей аспирантке

И.Ю.Быковой, совместно с которой были получены некоторые ре-
зультаты, нашедшие место в данной работе. А также особую благо-
дарность автор выражает аспиранту кафедры математической тео-
рии экономических решений Санкт-Петербургского государственно-
го университета Г.О. Атрахимовичу, взявшего на себя труд оформ-
ления книги.
Введение

В настоящее время все большее признание при оптимизации, управ-
лении и научном исследовании сложных систем находит системный
подход. При этом понимают метод преодоления структурной слож-
ности путем упорядочения многочисленных элементов системы и
связей в виде определенной иерархии подсистем, каждая из кото-
рых ”реализуема” с использованием современных средств обработ-
ки информации. Следует распространить методологию системного
подхода не только в отношении структурно-сложных, но и недоста-
точно формализованных проблем, и в этой связи отдельного вни-
мания заслуживают системы, о структуре и условиях функциони-
рования которых мы не располагаем полной информацией. Во мно-
гих областях знания человек сталкивается со сложными системами
двойственной природы, которая заключается в следующем.
В некотором отношении такие сложные системы причинно обуслов-
лены, развиваются под действием объективных закономерностей и
в этом смысле могут рассматриваться как детерминированные. Од-
новременно на эти сложные системы оказывают действие многие
неоднозначные факторы, носящие случайный или неопределенный
характер, и в результате невозможно точно предсказать условия и
направления будущего развития таких систем. Примеры таких си-
стем имеют место в экономике, технике, военном деле, где исходная
информация для планирования, проектирования и управления, как
правило, недостаточно достоверна или отсутствует. Любая задача
планирования производства осуществляется в условиях неполной
информации об условиях, в которых будет реализовываться план.
Непредвиденные случайные помехи, относительно статистических
закономерностей которых не всегда удается получить данные, со-
провождают работу автоматических устройств. В военных задачах
приходится иметь дело не только с недостатком информации, но
приходится учитывать и возможность дезинформации, организуе-
мой с помощью случайных механизмов.

Конец XX столетия вошел в историю человечества как период
величайших социально-экономических преобразований, существен-
ных изменений во всех областях материальной и духовной жизни.
В современных условиях первостепенное значение приобретают та-
кие глобальные проблемы, как установление прочного мира и рав-
ноправного международного сотрудничества, рациональное исполь-
зование природных ресурсов и удовлетворение потребностей обще-
ства в энергии, ликвидация распространенных и опасных заболева-
ний, охрана окружающей среды и другие. Все эти проблемы отлича-
ются высокой степенью сложности, подлинно глобальной масштаб-
ностью и зависимостью от большого числа разнородных факторов
— природных, экономических, технических, политических, социаль-
ных, культурных. Названные проблемы должны анализироваться с
использованием системного подхода как в части учета взаимных
связей, путем широкого применения междисциплинарного аппара-
та, так и в связи с учетом анализа проблем в условиях риска и
неопределенности. В современных условиях результаты такого ана-
лиза можно формулировать не только в области теории, но уже име-
ются предпосылки для перевода его на язык управленческой прак-
тики. Эти исследования позволят дать более обоснованную карти-
ну современного состояния общества и выяснить возможные аль-
тернативы его дальнейшего развития. Такая область исследований
потребует использования глобального моделирования с применени-
ем формальных методов, базирующихся на аппарате решения задач
планирования и управления в условиях риска и неопределенности;
на использовании методов реализации многокритериальных задач
и задач большой размерности.

В задачах планирования, управления и исследования параметры
могут иметь вероятностные характеристики, полученные в резуль-
тате анализа опытных данных, обработки статистического материа-
ла или на основании изучения процессов, подлежащих моделирова-
нию. В тех случаях, когда имеют место те или иные вероятностные
характеристики параметров задач, принято говорить о моделиро-
вании или о принятии решений в условиях риска. Однако может
оказаться, что в ситуации, подлежащей моделированию, нет осно-
ваний для каких-либо суждений о природе и характеристиках веро-
ятностей, которыми используются параметры задачи. В последнем
случае принято говорить о принятии решений в условиях неопреде-
ленности. Условные экстремальные задачи, связанные с риском или
с неопределенностью, и являются предметом стохастического про-
граммирования. В последние годы сформировался раздел матема-
тического программирования в условиях риска и неопределенности,
получивший название стохастического программирования и иссле-
дующий теорию и приложения условных оптимизационных задач,
когда имеет место неполнота информации о характеристиках пара-
метров моделей.
1 Риск и неопределенность в задачах планирования и

управления сложными системами

В настоящее время преобладающим в процессах исследования и оп-
тимизации сложных систем при планировании и управлении в эко-
номике, технике, военном деле и других областях человеческой де-
ятельности является детерминистический подход. Предполагая од-
нозначность всех категорий исходных данных, детерминистический
подход игнорирует двойственность природы сложных систем, ко-
торые, с одной стороны, развиваются под действием объективных
закономерностей и в этом смысле действительно являются детер-
минированными, с другой стороны, эти системы осуществляют свое
закономерное развитие лишь в виде тенденций, постоянно нарушае-
мых влиянием случайных факторов, т.е. обладают вероятностными
свойствами в смысле невозможности однозначного предсказания их
последующего развития.

Игнорирование вероятностных свойств сложных систем приво-
дит к таким крайностям детерменистического подхода, как стремле-
ние к полной формализации процесса оптимального планирования
и управления, к построению максимально подробных математиче-
ских моделей и получению с их помощью единственного, предельно
точного оптимального результата. Все это чревато опасностью фор-
мирования неправильных концепций оптимального планирования и
управления сложными системами и искаженных представлений о
рациональных направлениях их развития.
1.1 Неопределенность и вероятность в задачах планирования и управ-
ления

Перспективным подходом к проблеме учета факторов риска и неопре-
деленности при постановке и реализации условных оптимизацион-
ных задач планирования и управления сложными системами яв-
ляется вероятностный подход. Разработка и использование мето-
дов оптимального планирования и управления без учета условий
неопределенности и вероятности не могут быть эффективными.
В процессе моделирования сложных систем мы должны по возмож-
ности реально оценивать неточность самих моделей, неадекватность
самих моделей действительным явлениям и процессам. Кроме того,
имеет место неопределенность исходной информации, необходимой
для использования в моделях. Наконец, никакие модели не в со-
стоянии учесть все факторы, оказывающие влияние на результаты
планирования и управления в сложных системах, поэтому заведомо
нужно принимать во внимание ту неопределенность, которая обу-
словлена невозможностью учета всех обстоятельств действительно-
го положения вещей.

Представляется целесообразным в подавляющем большинстве
случаев не разрабатывать и применять точные методы оптимиза-
ции планирования и управления при исследовании сложных систем,
а создавать и использовать методы учета неопределенности и веро-
ятности в процессах принятия решений. Условия неопределенности
и вероятности всегда будут иметь место при описании сложных си-
стем в силу ряда объективных причин (нет нужды перечислять их)
какими бы ни были наши затраты, вызванные стремлением совер-
шенствовать модели и методы планирования и управления, или на-
ши усилия, направленные на получение достоверной информации.
С точки зрения решения практических задач актуальной является
разработка эффективных методов принятия во внимание неопреде-
ленности и вероятности как самих моделей, так и их параметров.
В настоящее время наметились несколько подходов учета вероят-
ности и неопределенности в задачах планирования и управления.
Простейшим, но далеко не самым эффективным, является подход,
использующий первые моменты для вероятностных параметров мо-
дели. Нередко в стохастических задачах планирования и управле-
ния прибегают к значениям математических ожиданий и дисперсий
применительно к случайным целевым функциям и вероятностным
условиям моделей. Вообще говоря, такой подход приводит к резуль-
татам, далёким от реальных обстоятельств, что объясняется слож-
ностью зависимости функционалов задач и их оптимальных пла-
нов от случайных параметров моделей. Такие зависимости требу-
ют самостоятельных исследований, при этом они часто выражаются
не гладкими функциями. Вместе с тем, использование простейшего
подхода и ориентация на средние значения случайных параметров
модели иногда может быть оправдана. Можно показать, что при
условии частой корректировки, например, в задаче перспективного
планирования ошибки от ориентации на средние значения парамет-
ров в процессе разработки плана стремятся к нулю независимо от
длины планового периода. В этих случаях делается предположение
относительно гладкости функций распределения прогнозируемых
значений вероятностных параметров модели. Автоматизированные
системы управления позволяют осуществлять корректировку пла-
новых решений с необходимой частотой, и в этих условиях мож-
но считать оправданной разработку планов и решений по управле-
нию на базе средних значений вероятностных параметров моделей.
Практика применения подхода, ориентированного на средние зна-
чения случайных параметров модели планирования и управления,
не учитывает благоприятные и неблагоприятные обстоятельства, в
которых происходит фактическая реализация случайных условий.
Последнее обстоятельство — отличие параметров модели от при-
нятых средних значений может существенно негативно сказаться
на решениях по планированию и управлению. В тех случаях, ко-
гда нет оснований предполагать стационарный характер случайных
процессов и, как следствие этому, отсутствует возможность доста-
точно частой корректировки решения, применяют другой подход
учета неопределенности. В соответствии с классическим представ-
лением сама неопределенность реализуется в виде конечных мно-
жеств проявления внешних условий (состояний природы). В процес-
се планирования и управления необходимо сопоставить возможные
действия и осуществить выбор из них наилучшего в смысле целей,
преследуемых при моделировании сложной системы. Принимая во
внимание, что в задачах планирования и управления сложными си-
стемами, вообще говоря, множества состояний природы бесконечны,
исследователи прибегают к отбору ограниченного количества про-
явлений случайных параметров модели с таким расчетом, чтобы
эта совокупность наиболее полно отражала бы все множество про-
явлений случайных данных. Применяются различные приемы для
выделения конечного числа состояний природы, характеризующего
исходное бесконечное множество.

Реальные условия решения задач позволяют корректировать вы-
работанные планы, о чем уже упоминалось выше, и, кроме того, в
ряде случаев можно рассматривать проявление неопределенности в
виде множества альтернатив состояния природы. Отмеченные осо-
бенности при моделировании сложных систем позволяют использо-
вать методы многоэтапного принятия решений по планированию и
управлению в условиях неопределенности.

Многоэтапные модели принятия решений в условиях риска и
неопределенности представляются удобными для принятия реше-
ний на перспективу, в частности, сказанное относится к плановым
решениям. В условиях дискретного во времени планирования весь
процесс разбивается на несколько этапов: на предыдущих этапах
принимаются некоторые предварительные решения в условиях
неполной информации о фактических проявлениях случайных па-
раметров, а на последующих этапах планы корректируются в за-
висимости от реализации состояний природы при этом результаты
планирования оцениваются в терминах целевой функции задачи.

Наиболее простой и употребимой схемой в подобных случаях яв-
ляется модель двухэтапного стохастического программирования для
этой модели пригодятся многочисленные задачи планирования, ко-
гда на момент предварительного планирования отсутствует необхо-
димая информация об условиях реализации плана, но, спустя мо-
мент принятия предварительного решения по плану, уже в ходе его
реализации появляется возможность судить о состоянии природы
и на этом основании корректировать предварительный план. При
этом в целевой функции задачи находят отражение все те затра-
ты, которые связаны с несовершенством предварительного плана и
с необходимостью его изменения под влиянием случайных проявле-
ний моделируемых обстоятельств.

В настоящей работе многоэтапные задачи планирования и управ-
ления сложными системами найдут свое отражение в дальнейшем.

Типичным явлением при исследовании задач планирования и
управления в сложных системах является наличие многих случай-
ных факторов, влияние которых необходимо учитывать в совокуп-
ности. В подобных случаях возникает дополнительная проблема
адекватности моделирования и, в частности, оценка принятого в
задаче уровня детализации. Вообще говоря, агрегирование парамет-
ров задачи (прежде всего, случайных условий и их характеристик)
придает модели большую точность, поскольку есть основания счи-
тать, что за счет усреднения действия многочисленных случайных
факторов, их влияние компенсируется. При этом уровень матема-
тического моделирования процессов планирования и управления и
точность моделей должны соответствовать достоверности исходной
информации. Сформулируем основные результаты, относящиеся к
отражению вероятности и неопределенности в задачах планирова-
ния и управления при моделировании сложных систем. Прежде все-
го, приобретает особо важное значение разработка механизмов уче-
та вероятности и неопределенности. Наметились несколько подхо-
дов принятия решений в условиях вероятности и неопределенности,
среди которых основными можно считать следующие:

•	усреднение случайных значений параметров моделей, исполь-
зование их математических ожиданий;

•	выбор конечного разнообразия состояний природы и определе-
ние в некотором смысле наилучшей стратегии поведения, примене-
ние игровых схем принятия решений;

•	применение многоэтапных процедур принятия решений по пла-
нированию и управлению, использование аппарата стохастического
программирования;

•	анализ устойчивости решений под влиянием случайных возму-
щений с последующим применением экспертных оценок.
Последнее направление с необходимостью использует аппарат па-
раметрического и стохастического программирования, теории оши-
бок и теории вероятностей. В зависимости от особенностей сложных
систем необходимо выбирать соответствующий подход для исчисле-
ния вероятностей и учета неопределенности при практическом ре-
шении задач планирования и управления в условиях неполной ин-
формации.

1.2	Различные вероятностные подходы, используемые при описании
сложных систем

Индуктивная логика, изучающая логические процессы. Определяет
степень правдоподобия (вероятности) данного события или явления
на основании некоторой информации, причем эта информация яв-
ляется неполной. В результате можно говорить об одной из форм
индуктивной логики — вероятностной логике. Вероятностная логи-
ка позволяет сопоставлять утверждениям не только значения ис-
тинности или лжи, но и промежуточные значения — вероятности
истинности высказываний или гипотез. При этом здесь нет проти-
воречий тому факту, что высказывание или гипотеза сами по се-
бе могут иметь только одно из двух значений: истины или лжи,
поскольку значение вероятности характеризует отношение выска-
зывания или гипотезы к действительности не непосредственно, а
через другие высказывания, отражающие состояние наших знаний
в данный момент. Количественное определение вероятности одних
высказываний относительно других предполагает наличие двух об-
стоятельств:

•	правил получения исходного распределения вероятностей ги-
потез относительно имеющихся к данному моменту знаний (правил
индукции);

•	правил исчисления вероятностей сложных гипотез, для кото-
рых известны вероятности составляющих их высказываний.

Правила индукции являются дискуссионными и по-разному рас-
сматриваются представителями различных направлений вероятност-
ной логики. Одновременно правила вычисления вероятностей слож-
ных гипотез во всех системах вероятностной логики осуществляют-
ся с помощью математического исчисления вероятностей. В основе
концепции последнего лежит система аксиом А.Н.Колмогорова. На-
личие множества систем вероятностной логики обусловлено множе-
ством вариантов правила индукции. Следует отметить, что в насто-
ящее время системы вероятностной логики ещё недостаточно раз-
виты для учета неопределенности значений параметров сложных
систем.

Современное исчисление вероятностей, построенное на аксиома-
тике А.Н. Колмогорова, положенное в основу концепции объектив-
ной вероятности, является общеприменимым математическим аппа-
ратом для всех других концепций вероятности. В рамках концепции
объективной вероятности неопределенность понимаемая как незна-
ние действительного состояния сложной системы, не изучается,
а исследованию подлежит статистическая определенность.
В случае неопределенности исследователь сталкивается с непред-
сказуемостью, тогда как в условиях статистического детерминизма
чисто теоретически можно иметь полную предсказуемость (практи-
чески приближенную). Понятие математической вероятности явля-
ется необходимым средством количественного учета неопределенно-
сти, а экстремальные вероятностные модели являются более адек-
ватными, чем детерминированные модели сложных систем в услови-
ях неопределенности. Вероятностные характеристики моделей пла-
нирования и управления сложными системами в условиях неопре-
деленности могут быть определены с помощью групп экспертов или
путем использования некоторых индуктивных принципов, а также
статистических методов.

Большое значение для теории и практики моделирования слож-
ных систем имеет концепция субъективной вероятности, которая
развивается в настоящее время в рамках так называемой теории
решений. Впервые последовательно и развернуто развил концеп-
цию субъективной вероятности де Финнети. Теория решений впер-
вые возникла как основание байесовской теории статистических ре-
шений. Сторонники классического направления Неймана-Пирсона
определяли математическую статистику как науку о методах обра-
ботки наблюдений в опытных данных с целью установления законо-
мерностей случайных массовых явлений, в то время как сторонники
байесовской теории статистических решений определяли её как на-
уку о принятии решений в условиях неопределенности на основе
опытных данных. Начиная со второй половины XX века начинают
широко использоваться в решении задач планирования, проектиро-
вания и управления сложными системами математические методы,
среди них заметное место занимают методы математической стати-
стики, применяемые при решении задач управления и организации
производства. В теории статистических решений активно рассмат-
риваются не только классические критерии математической стати-
стики, такие как минимум дисперсии и максимум правдоподобия,
но и экономические и социальные. Например, А.Вальд в своих рабо-
тах рассматривал два типа решений: минимаксные (минимальных
затрат на максимальной полезности) и байесовские.
В работах Сэвиджа по теории решений обосновывалось примене-
ние априорных вероятностных распределений в задачах статисти-
ческих решений, а в качестве критерия в определенных ситуациях
использовался минимаксный риск. Позднее стало очевидным, что
теория статистических решений может рассматриваться не только
в качестве оснований статистики, но и как нормативная теория при-
нятия решений в условиях неопределенности, как логические осно-
вы таких решений. Теория решений развивалась на базе элементов
теории игр, теории статистических решений и в результате разра-
ботки концепции субъективной вероятности.

Байесовский подход к моделированию сложных систем привел к
новому пониманию организации работ в науке управления и иссле-
довании операций.

В настоящее время стало характерным положение дел, когда груп-
па специалистов по исследованию операций содержательно и мате-
матически формулирует, а затем решает задачу в контакте с работ-
никами системы управления, ответственными за принятие решения.
В концепциях логической и субъективной вероятности исследуется
проблема вероятности индивидуального события, в то время как эта
проблема совершенно не рассматривается в концепции объективной
вероятности.

Во всех сферах нашей жизни люди постоянно находятся в усло-
виях, когда необходимо принимать те или иные решения при непол-
ной информации; человек сталкивается с неопределенностью по-
следствий своих действий, при этом принимающий решения все ча-
ще формализует на вероятностном языке свои индуктивные умоза-
ключения. Следует признать, что вероятностная логика ещё недо-
статочно развита (вероятностная логика стала формой индуктив-
ной логики), когда возникает проблема учета неопределенности в
процессе моделирования поведения сложных систем. Для решения
задач наряду с концепцией логической вероятности используются
и другие концепции, в частности, концепции субъективной и объ-
ективной вероятности. При этом, вообще говоря, концепция субъек-
тивной вероятности разрабатывается в пределах байесовской теории
решений, что существенно отразилось на развитии методов иссле-
дования операций.

Все три концепции вероятности используют понятия исчисления
вероятностей, базирующиеся на системе аксиом А.Н.Колмогорова.
С помощью аппарата математической вероятности появляется воз-
можность осуществлять количественный учет неопределенности.
При этом нормативные вероятностные модели адекватно описы-
вают процессы планирования и управления сложными системами
в условиях неполной информации. Различного рода характеристи-
ки случайных параметров вероятностных экстремальных моделей
определяют либо с привлечением групп экспертов, либо применяя
некоторые индуктивные правила. Кроме того, широко используют-
ся статистические методы, в том числе и байесовской теории стати-
стических решений.

1.3	Основы классификации методов и моделей программирования в
условиях риска и неопределенности

Почти любую задачу прикладной математики можно отнести к од-
ному из следующих двух классов. Первый из этих классов составля-
ют «дескриптивные» задачи, в которых с помощью математических
методов перерабатывается информация об исследуемом объекте или
явлении, одни закономерности могут быть выведены из других с ис-
пользованием принципов индуктивной логики.

Ко второму классу относятся — «оптимизационные» задачи, где
из некоторого множества допустимых решений выбирается в том
или ином смысле оптимальное. Задачи исследования операций чаще
всего относятся к задачам второго класса. Кроме указанных двух
классов задач, можно говорить о задачах конструктивных, в кото-
рых тоже имеет место использование аппарата прикладной матема-
тики. Разумеется, разделение задач на классы дескриптивных, кон-
структивных и нормативных (оптимизационных) носит условный
характер. Кроме указанного разделения задач прикладной матема-
тики, можно провести классификацию их и по другим признакам.
В частности, естественно различать детерминированные и стохасти-
ческие задачи. Теория вероятностей может служить примером раз-
вития математической дисциплины в результате процесса решения
стохастических задач.

Вместе с тем вероятностные методы долгое время применялись
исключительно к решению задач дескриптивного класса. Оптими-
зационные стохастические задачи начали разрабатываться только в
последние 50-60 лет. Это же относится и к стохастическим вариан-
там задач оптимального программирования.

Однако стохастическое оптимальное программирование являет-
ся весьма важной и перспективной ветвью прикладной математики
уже хотя бы потому, что на практике принятие решений всегда про-
исходит в условиях той или иной неопределенности. Задачи опти-
мального программирования в условиях риска и неопределенности
оказываются существенно сложнее соответствующих детерминиро-
ванных задач, поэтому при разработке проблем данного направле-
ния исследований нельзя надеяться на быстрое получение достаточ-
но общих и достаточно эффективных результатов.

В большинстве практических задач математического программи-
рования значения параметров подвержены изменениям. Раздел ма-
тематического программирования, изучающий теорию и методы ре-
шения условных экстремальных задач при неполной информации о
параметрах условий задач, получил название стохастического про-
граммирования, к этому же разделу математического программи-
рования иногда относят также условные экстремальные задачи с
детерминированными условиями, в которых по тем или иным при-
чинам целесообразно искать решение в виде распределения случай-
ного вектора. Такие задачи нередко возникают в повторяющихся
ситуациях, в которых условия задачи должны быть выполнены «в
среднем» (в определенном смысле), и интерес представляет только
«средний» эффект от принятых в этом случае решений.

Предметом стохастического программирования, принимая во вни-
мание сказанное выше, являются условные экстремальные задачи,
в которых параметры условий, или составляющие решения, или те
и другие являются случайными величинами. Трудности в стохасти-
ческом программировании появляются уже при постановке задачи,
когда необходимо учесть и отразить тонкие ситуации прогнозирова-
ния, планирования или управления сложными системами в услови-
ях риска и неопределенности. Указанный раздел математического
программирования в практических приложениях используется для
решения задач двух типов. В задачах первого типа прогнозируются
статистические характеристики поведения множества идентичных
в том или ином смысле экстремальных систем. Раздел стохасти-
ческого программирования исследующий подобные задачи получил
название «пассивного стохастического программирования». Модели
второго типа обеспечивают разработку методов и алгоритмов пла-
нирования и управления в условиях риска и неопределенности, при
этом соответствующий раздел стохастического программирования
получил название «активного стохастического программирования».
Информационная структура задачи, которая определяется, глав-
ным образом, последовательностью наблюдений и решений, играет
исключительно важную роль в процессе моделирования сложных
систем в условиях риска и неопределенности.

Содержательная постановка задачи стохастического программи-
рования определяет её решение в чистых или смешанных страте-
гиях. Решения в чистых стратегиях принято называть решающими
правилами, решения в смешанных стратегиях называют решающи-
ми распределениями. Решение задачи программирования в услови-
ях риска и неопределенности обуславливается либо априорной ин-
формацией — характеристиками распределения или выборкой воз-
можных значений случайных параметров условий, либо апостери-
орной информацией — результатами наблюдения конкретной реа-
лизации параметров условий задачи.

В задачах стохастического программирования характеристики рас-
пределения случайных величин могут быть заданы (случай риска)
или неизвестны (случай неопределенности). Можно осуществлять
различие задач данного раздела математического программирова-
ния в зависимости от показателей качества решения и самим опреде-
лением понятия плана (решения) задачи. Среди практических задач
важное место занимают многокритериальные задачи планирования
и управления в сложных системах. Наряду с однокритериальными
условными задачами, можно рассматривать многокритериальные
задачи в условиях риска и неопределенности. В системах планиро-
вания и управления возникают задачи со строго упорядоченными
по важности критериями, такие задачи многокритериальной опти-
мизации получили название лексикографических задач оптимиза-
ции. Представляют интерес методы, с помощью которых решают
лексикографические задачи оптимизации и вообще многокритери-
альные задачи в условиях риска и неопределенности. В последую-
щих главах настоящей работы рассматриваются различные модели
и методы математического программирования в условиях риска и
неопределенности. Исследуются постановки задач, проблемы суще-
ствования и оптимальности решений, вопросы устойчивости этих
решений, приводятся примеры практических задач стохастического
программирования.

2 Задачи стохастического программирования с вероятност-
ными ограничениями

2.1	Постановка и качественный анализ задач стохастического про-
граммирования с вероятностными ограничениями

В настоящей главе рассматриваются задачи стохастического про-
граммирования с вероятностными ограничениями. К таким задачам
обращаются в тех случаях, когда моделируемая ситуация (пробле-
мы планирования или управления) становится осмысленной только
в том случае, если допустить нарушение условий задачи на некото-
ром множестве элементарных событий (состояний природы).

Постановки задачи стохастического программирования с вероят-
ностными ограничениями различаются в зависимости от следую-
щих основных признаков:

•	по способу задания решений;

•	по виду целевого функционала задачи;

•	по характеру задания условий задачи.

Решение в стохастических задачах с вероятностными ограничени-
ями можно определять в виде детерминированного или случайного
вектора, зависящего от детерминированных и вероятностных харак-
теристик случайных параметров задачи, в чистых или смешанных
стратегиях. В качестве целевых функций в задачах стохастическо-
го программирования с вероятностными ограничениями обычно ис-
пользуют следующие функционалы (линейные задачи):

•	математическое ожидание линейной формы

СХ =	- Е-модели;

•	дисперсию линейной формы

Е(С(ш)Х - СХ)2, либо Е(С(ш)Х - С°Х0)2 - У-модели,
где, вообще говоря, СХ С°Х°;

•	вероятность превышения линейной формой некоторого порога,
заранее заданного

Р{С(ш)Х > С°Х0}, либо / шт, Р{С(ш)Х < /} = /3

— Р-модели.

В общем случае вероятностные ограничения в стохастических за-
дачах принимают вид Р{д^Х) < 0} > ад 0 < а* < 1, г = 1,т, где
рфХ) — некоторые случайные функции, ограничивающие область
определения целевой функции задачи. При формализации конкрет-
ной задачи вероятностные условия могут быть наложены на одно
или несколько ограничений. Например, для линейных задач сто-
хастического программирования с вероятностными ограничениями
области определения целевых функций могут быть заданы в виде:

1)	-Р{12”=1 ачхз >	>°Ч, 0 < сц <1, г = 1,т;

2)	Р{АХ > В} > а, 0 < а < 1;

к = 1Д, 0^=1Д = {1,2,...,т}.

Рассмотрим подробнее задачу стохастического линейного
программирования с вероятностными ограничениями вида

шах Л = тахСХ,	(2.1.1)

п

р{	0 < сц < 1, г = 1,т,	(2.1.2)

1=1

Ь' > °> 2 = Т?п,	(2.1.3)

где (щ7) — детерминированная матрица, векторы Ь = (^) и

С = (с7) — случайны.
Задачу (2.1.1) - (2.1.3) можно свести к детерминированной задаче
линейного программирования

шах X = шах СХ.

АХ <Ъ,

X > О,

где С — математическое ожидание вектора С, а вектор Ь можно
определить следующим образом.

Пусть <^(Ь1,	• • •, Ьт) — совместная плотность распределения

компонент случайного вектора Ь(си), а ^(М ~ плотность распреде-
ления г-й компоненты вектора Ь(си), т.е.

Зная ^г(М? можно найти такое что выполняется
[	= а^ г = 1,т.	(2-1-4)

Лг

Если уравнение (2.1.4) имеет множество решений, выбираем в ка-
/п \
честве Ь7 наибольший корень. Тогда соотношение Ру^а^х^Ь} >а7
\=1

эквивалентно неравенству ^2 (1их.) — где Ь7 вычисляется из урав-
7=1

нения (2.1.4). Следовательно, задача стохастического программи-
рования (2.1.1.)-(2.1.3) эквивалентна детерминированной задаче ли-
нейного программирования

СХ шах,	(2.1.5)

АХ <Ь,	(2.1.6)

X > 0,	(2.1.7)

где С = Е(С(м)), Ь = (61,62, • • •, М-
П	~

Система ^2 аих.) < Ы определяет выпуклое множество и, следо-
7=1

/ П	\

вательно, система Р( ^2- (1их.) < М > ей эквивалентная, также
4 7=1	/

определяет выпуклое множество.

Одновременно доказали утверждение, что
п

= Р(У^а^ж/<МИ)>аг, 0<а,<1, ^>0, 7 = 1,п|
7=1

— выпуклое множество.

В работах [376], [377], [378] рассмотрена задача минимизации це-
левой функции Сх на множестве в предположении постоянства
элементов матрицы А = и равномерного распределения компо-
нент вектора Ь(сД. Доказана выпуклость области определения целе-
вой функции для этого случая и разработан алгоритм решения за-
дачи, который представляет собой модификацию градиентного ме-
тода.

Если случайные компоненты вектора 6(сД характеризуются функ-
цией распределения т/Д&Д то параметр выбирается как наиболь-
шее решение неравенства 1 — тД(^) > а/- а если тД(^) — непрерыв-
ная строго монотонная функция, последнее неравество эквивалент-
но уравнению 1 — тД(^) = сц- В общем случае

Ъг = <?1(1 - где ^Д(/) = 8ир{У\г^(У') < /}.	(2.1.8)

Бен-Исраэль [22] рассмотрел задачу, двойственную к задаче с ве-
роятностными ограничениями

УЬ шт,	(2.1.9)

Р(уА >С)>/3,	(2.1.10)

У > 0,	(2.1.11)
где А — детерминированная матрица, а решение У* представля-
ет собой детерминированный вектор. Если задана Су(/) — функ-
ция распределения случайной компоненты с? и вектора С (о?) и если
Су(/) = Р(с7-(о?) < /) = /3?, то запись / = СУ1^) будем считать эк-
вивалентной записи / = тт{У|С7(У) > /3?}. Задача (2.1.9)-(2.1.11)
примет вид

УЬ шт, У А >	У > 0.	(2.1.12)

Задачи (2.1.1)-(2.1.3) и (2.1.12) представляют собой пару двой-
ственных задач (при условии 3 = С(С)) стохастического програм-
мирования с вероятностными ограничениями

шах, Р(АХ < В) > а, X > 0,	(2.1.13)

Уф-\1 - а) шт, Р(УЛ > С) > /3, У > 0,	(2.1.14)

где а = {сц}, Р = {/Зу}, 'У-1 = {Уф1}, С1 = {Су1}. К задачам
(2.1.13), (2.1.14) применимы теоремы двойственности для анализа
решений и оценки параметров задачи.

В работе [203] исследована задача (2.1.1)-(2.1.3), у которой эле-
менты матрицы А = и компоненты вектора Ь =	— незави-

симые между собой нормально распределенные случайные величи-
ны. Пусть имеем

А = (а.у) е ЛЧМ'У, Д),

> 0, 5; г = 1, 2,..., пт, 3 = 1, 2,..., п.

Тогда невязка г-го условия задачи — случайная величина

п

Уг(Х) =	- Ъг,

3=1
также нормально распределена с характеристиками

/'ИХ) =	'А-

А=1

а1(х) = "РХ/Х + вЬ

7=1

уг(Х^

Соотношения (2.1.2) эквивалентны неравенствам

Р{Уг(Х) < 0} >	2 = 1, 2,..., т или, что тоже самое

0	2

_______ / е 2ст?(Х) Ли > а^ г = 1, 2,..., т.

У^аДХ) 7

Обозначив Ф(^) = ~^= / е последнее неравенство перепи-
шем в виде Ф	> а{ или, что то же,

дг(Х) + ф-1(^)<тг(Х) <0.

Подставив выражения для Уг(Х) и <тДХ), получаем

Левая, а следовательно, и правая части неравенства неотрица-
тельны, т.к. для аг > 0,5 имеем Ф '(гц) > 0 и можем возвести в
квадрат обе части неравенства. При этом получим задачу

шах 2 = шах СХ,

(2.1.15)

(2.1.16)

(2.1.17)

Следовательно, в этом случае задача (2.1.1)-(2.1.3) сводится к де-
терминированной задаче выпуклого программирования с линейной
целевой функцией и квадратичными ограничениями.
Построим функцию Лагранжа для задачи (2.1.15)-(2.1.17):
т	п	п	2

Г(Х, А) = Сх - 52 [ф-2(«г) ( У? Д+ Д) - (% - 52 №1Ж1) ] •
г=1	>=1	>=1

(2.1.18)

Найдем седловую точку функции Лагранжа Ь(Х, А)

,’л - = 4-^2 Д [ф-2 ы (2 Д-Д+2му (% - 52 мч Д) ] < о,
7	г=1	з=1

) = -ф_2(«*) (52 ДД) + (у - 52 ^Д) °’

г	1=1	1=1

одЦХ°,А°) п лПсЦХ°,А°)	—

Д Д - = О, А- Д’ 7 = О, х., > 0, 3 = 1, п.

7 ОХд	оХг

Частные производные функции Лагранжа Ь(Х, А) по X дают п
линейных неравенств, которые разрешимы при известном А^. Част-
ные производные функции Лагранжа Ь(Х, А) по А дают т квад-
ратичных неравенств, которые вместе с условиями Куна-Таккера
могут быть использованы для исследования решения задачи.

Исходная задача (2.1.1)-(2.1.3) сводится к детерминированной за-
даче выпуклого программирования с линейной целевой функцией
и квадратичными условиями-неравенствами и в том случае, когда
случайные ограничения-строки коррелированы между собой. Име-

ем

^Д —	^7г)(^Д	ДД')} 1 ^г]к — ^{(^Д	А^д)(^г/с Дг/с)} •

Рассуждая, как и выше, получаем при щ > 0, 5

1 /2

ф-1(«г)] (52^ч^+252пуж1+Д) ^-52^'ч; = 1,т.

(2.1.19)

Область, ограниченная условиями (2.1.19), — выпукла, поскольку
положительно определена форма ^З'Гд/с^^/с-

2А
Таким образом, получаем задачу выпуклого программирования
вида:

шах В = тахСХ,	(2.1.20)

|^Ф (о^)^	В/В/ Т^г	— Лг у %3 "> (2.1.21)

з	з

Хд >0; г = 1,т; ] = 1,п.	(2.1.22)

2.2 Детерминированные эквиваленты Чарнса и Купера

Чарнс и Купер [74], [77], [81] ввели в систему условий задачи сто-
хастического программирования с вероятностными ограничениями
ещё дополнительное правило управления, которое в общем случае
имеет вид X = Ф(Л, В, С), т.е. искомое решение X является функ-
цией от случайных параметров задачи. Такая постановка сводится
к тому, что из заданного класса функций Ф нужно выбрать ту, для
которой полученное значение удовлетворяет системе вероятностных
ограничений и оптимизирует заданную целевую функцию.

Чарнс и Купер рассмотрели линейное правило управления в тех
случаях, когда матрица А не содержит случайных параметров
X = В6(а?), где В — (п х т)-мерная матрица.

В работе [81] показано, что искомая матрица В получается из ре-
шения задачи выпуклого программирования, которая эквивалентна
стохастической задаче с вероятностными ограничениями и которая
получила название детерминированного эквивалента исходной за-
дачи, поскольку она не содержит случайных элементов.

В-модель. Задача имеет вид

Е(С»,Х) тах,	(2.2.1)

Р{А(Х)Х <	> аг- 0 < аг < 1; г = Тдй, (2.2.2)
X = БЬ(ш),

(2.2.3)

(2.2.4)

В предположении, что компоненты векторов С(а?) и 6(о?) не кор-
релированы между собой, можно задачу (2.2.1)-(2.2.4) заменить за-
дачей

тахЕ’(С(сс?), БЬ(ш)) = тахС7?6	(2.2.5)

при ограничениях

Р{АБЬ(ш) <	> аг.	(2.2.6)

Если вектор Ь(а>) распределен нормально, то и величина

а^7?6(сс?) — Ьг(о?) также имеет нормальное распределение.

Рассмотрим величины:

= Ьрр -

г = 1, т,

(2.2.7)

д» =	1	(2.2.8)

У - а^БЪ{ш)]2

где 6(о?) = 6(о?) — Ь при условии Е[Ъ}(сБ) — аг.ПЬ(а))]2 > 0.

Случайная величина подчиняется нормальному закону рас-
пределения 7У(0,1), тогда систему (2.2.6) можно переписать в виде:

Р{а{.БЬ(сХ) — ^(о?) < 0} =	— а^БЫрА) > а^.БЪ —	=

= Р{Д(Д > Д} = ф(Д > аг- 2° < фДа,) = -кг- г = 1,т),

где при > 0, 5; Ф х(сд) <0,	> 0.

Если ввести дополнительные переменные такие, что

- а^ИЪ	/?[(&;Д) - а;.1)ДД)]2 > 0

систему ограничений (2.2.6) можно заменить эквивалентной си-
стемой
аг.БЬ - VI > -Ь{

< — к2Е[Ь{р) — (1,-БЫрУ2 + I-2 > 0	(2.2.9)

VI > О

Окончательно получим, что детерминированным эквивалентом
7?-модели будет задача

тахСРб,	(2.2.10)

- V, > 0,	(2.2.11)

^[^(П) - ДШ)] + V2 > 0, г = Т~т,	(2.2.12)

V/ > 0,	(2.2.13)

где /ДИ) = ~Ь1 — (ц.БЬ; сг2(Б') =	- а.{.БЬ(ш)]2.

Можно показать, что условия (2.2.6) определяют в пространстве
переменных выпуклое множество. Отсюда следует, что детермини-
рованный эквивалент В-модели является задачей выпуклого про-
граммирования.

П-модель. Под П-моделью будем понимать задачу

пип Е(С(рХ - С°Х°У	(2.2.14)

при условиях

Р{аДсд)Х <	> ар 0 <	< 1, г = 1,т,	(2.2.15)

Х = ПЪ(ш).	(2.2.16)

Поскольку система ограничений не отличается от случая Р-модели,
в качестве детерминированного эквивалента будем иметь задачу

пипЕ(С(<рПЬ(<р - С°Х°)2	(2.2.17)

при ограничениях (2.2.9).
Можно показать, что и в этом случае имеем задачу выпуклого

программирования.

Р-модель. Эта модель отличается от предыдущих тем, что здесь
целевая функция также сведена к вероятностному виду

тахР{С'Ц)Х > С°Х°},	(2.2.18)

Р{а,{.(ш)Х < Ъ{(Д) >	0 < а, < 1, г = 1,т,	(2.2.19)

X =	(2.2.20)

Введя обозначения

, . СЦ)ЯЬ(Д - СРВ
и^) =

у/Е[С (<Р)РВ((Х) - СРВ]2

с°х° - срв
и° ~ / —
у/Е[С(ш)РВ(ш) - СРВ]2

и предполагая, что и(ш) распределено нормально 7\Ц0,1), целе-
вую функцию приводим к виду

Р{С(ш)Х > С°Х°} = Р{и(ш) > и0} = Ф(Л),

где

Ф(Л) =

задача сводится к максимизации функции Ф(Л). Введем пере-

менные

гс°2 > Е[С(ш)РВ(ш) - СРВ]2; ю° > 0,

(2.2.21)

2° < СРВ - С°Х°.

(2.2.22)

Детерминированным эквивалентом Р-модели будет задача мак-
симизации Х°/гс° при ограничениях (2.2.9).
Интерес представляют только те задачи, для которых гс° > 0.
Для того, чтобы освободиться от дробно-линейной целевой функ-
ции, введем переменную I = 1/ге° и обозначим

5 = Ш.	И(Р) = Е(С(ш)ЕЬ(сУ) -

= Е[1Ь^(Е) - аг.Ш\2\	= Е(1Ъг^) - а^БЬ).

В новых переменных

фу, 2 = 12^ Х° = г = ТДп, д = ТДг

задача (2.2.18) - (2.2.20) записывается как следующая детермини-
рованная задача выпуклого программирования:

Х° тах,

СЕЬ -2° >

-у(5) +1 > о,
Дг(5) - 2{ > о,
-д2[ф2(5)-д2(5)] + х2>о,

I > 0, 2{ > 0, г = 1, т.

2.3 Детерминированные эквиваленты задач стохастического програм-
мирования с вероятностными ограничениями

Во втором разделе настоящей главы приведены детерминированные
эквиваленты для нескольких моделей. Рассмотрим еще ряд частных
моделей, имеющих важное прикладное значение, и выясним, что
собою представляют детерминированные эквиваленты этих задач
стохастического программирования.

В работе [224] рассмотрена задача вида

тах/,	(2.3.1)
Р{С^)Х </} =/3,	(2.3.2)

Р{сц.Х < >ау, г= Т~т,	(2.3.3)

X > 0, ш е П.	(2.3.4)

Под планом задачи (2.3.1)-(2.3.4) понимается такой неотрицатель-
ный вектор
п

X е 8а, За =	г = X > 0^,

7 = 1

для которого верхняя граница / интервала (—ос,/), в который
значение линейного функционала попадает с вероятностью /3, была
бы максимальной. При некоторых допущениях задача (2.3.1)-(2.3.4)
может быть сведена к детерминированной задаче выпуклого про-
граммирования.

Допущение 2.3.1. Случайная величина Ь^сЗ) имеет нормальное
распределение со средним значением и дисперсией т.е.

В этом предположении условия (2.3.3) могут быть преобразованы:

где (Ьг — Ъ^/аЪг ~ нормальная случайная величина со средним

значением 0 и дисперсией 1. Ф(Х) — функция распределения слу-

чайной величины ТУ(0,1) :

Ф(Х) = -}= [ е-У2^с1у.
V 2тг Л
Введем функцию ^(гг) = 1 — Ф,

ДЦ = -Е I е у2/2с1у.

V 2 Л У

Условие (2.3.3) заменяется

или иначе

УЗ ^7*0

-----------< (<аД г = 1,ш.
аъг

Обычно имеем > 0,5; тогда	< 0, и положим, что

^-1(сц) = —^. Однако щ > 0,5 не является необходимым усло-
вием в этом случае. Условие (2.3.3) можно переписать в виде
щ.Х < Ь{ — д{РЪц т.е. аг-Х < Ь* = Ь{ — или более компактно,
АХ <Ь\ где 6* = (6*,...Х).

Теперь определим значения ф и значения дисперсии матрицы и,
таких, что

Уц = Е(С1 - с^Сд - Сд\	(2.3.5)

где V = Уд — матрица ковариаций. Тогда дисперсия величины
п

УЗ ухд вычисляется следующим образом

7 = 1

гр

Допущение 2.3.2. Вектор имеет нормальное рапреде-
ление со средним С и матрицей ковариаций V. Тогда величина
С(ш)Х имеет нормальное распределение со средним СX и диспер-
сией ХТУХ.

Следовательно,

Р(С(^Х < /) = Р

СХ -СХ < / -сх\
у/Х^УХ ~ у/Х^УХ)

/-сх\
у/Х^УХ)

где

Ж) = -к [

V 2 Л Л

и из условия Р(СХ < /) = (3 имеем

/Ц) = СХ + Г\/3)Лх?УХ.	(2.3.6)

Поскольку у/Х^УХ - выпуклая функция и если /3 = 0, 5 или
7-1(/3) < 0, то функция, определенная в соотношении (2.3.6), явля-
ется вогнутой, поэтому можно сделать следующее допущение.

Допущение 2.3.3. (3 <	0, 5 Итак, имеем задачу максимизации

тах /	= СХ - ду/х^УХ.	(2.3.7)

АХ < Ъ*,	(2.3.8)

X > 0,	(2.3.9)

где Ъ* = Ь{ -	> 0; % = -</?-1(^).

Допущение 2.3.4. Задача (2.3.7)-(2.3.9) имеет ограниченное
оптимальное решение.

Поскольку целевая функция в задаче (2.3.7)-(2.3.9) вогнутая и её
ограничения линейны, то здесь должен существовать только один
максимум который удовлетворяет следующим условиям Куна-Таккера.
Пусть Р(Х, Р) — функция ЛагранжаХ = (яд,..., хп) пЦ = (щ,..., и1п)
— неотрицательные векторы, имеем
п	I--------- т /	п	\

Р(^, Р) =	Щ УцХ^Хд + Щ	\ 

д=1	у г,г=1	\	7=1	/
Если X = (х1,..., хп) и Ц = (Й1,..., ип) удовлетворяют следую-

щим условиям

(2.3.11)

то можно считать, что X — оптимальное решение задачи (2.3.7)-

(2.3.9).

Эффективность использования детерминированных эквивалентов

для анализа задач стохастического программирования с вероятност-
ными ограничениями определяется в зависимости от того, будут ли
они эквивалентны задачами линейного или выпуклого программи-
рования. В работе [290] исследуются некоторые классы линейных
стохастических задач с вероятностными ограничениями, для кото-
рых детерминированные эквиваленты представляют собой задачи
выпуклого программирования и к ним применимы эффективные
методы решения.

Пусть необходимо найти детерминированные векторы X и У(Х)
(или X и Ь), которые удовлетворяют

тах СХ,

Фх(У(Х)) = Фх(АХ -Ь)=а,

У(Х) =АХ-Ь<0, Х>0,

где Фх(АХ — Ь) = Р{АХ — Ь < АХ — Ь} = Р{Ь > Ь}. Если состав-
ляющие вектора Ь — независимые случайные величины, имеем

т	т	т

р{ь>ь} = пш > м = № - р&<^] = № - мм,
1=1	1=1	1=1
где Фд(^г) ~ функция распределения компоненты вектора Ь.

Детерминированный эквивалент задачи имеет вид

тахСХ

при условиях

АХ < Ъ,

Пе1 - фьД)] <*>
г=1

X > 0.

(2.3.12)

(2.3.13)

(2.3.14)

(2.3.15)

В тех случаях, когда плотность распределения составляющих
вектора ограничений соответствует нормальному закону, определя-
ется распределением Вейбулла, равномерным распределением или
гамма-распределением, задача (2.3.12)-(2.3.15) представляет собой
задачу выпуклого программирования. Таким образом, это имеет ме-
сто, когда плотности распределения составляющих вектора огра-
ничений определяются одной из следующих функций (в соответ-
ствии с порядком, приведенным выше)

а) Ф/Цг)	=	1 с(х—11Х/(2аХ.  у/27Г(Тг
б) фг(жг)	МД-ДнгА‘(1гй)й, > А, й > 1, \ > = <  0,  / \ — 1  т 1 Х{—а^ \	г —т
в) Ф/Цг)	II  Л о дц. ©  I
г) Ф-4^)	<	1е АгХг, хг >0, Сг > 1,	> 0;  0,	< 0.

Однако левые части в неравенстве (2.3.14) не являются выпуклы-
ми вверх функциями. Следуя [290], можно заменить условия (2.3.14)
эквивалентными неравенствами ^2 1н[1 — Ф^.(Ьг)] > 1псц что для всех
г=1
перечисленных распределений позволяет перейти к эквивалентным
детерминированным задачам, у которых левые части ограниче-
ний — линейные или выпуклые вверх функции.

В стохастических задачах программирования с вероятностными
ограничениями предполагается известным заранее уровень вероят-
ности выполнения условий задачи. Однако в практических задачах
не всегда имеется достаточно информации, чтобы определить апри-
ори уровень вероятности выполнения ограничений задачи. В этой
связи представляет интерес модель, исследованная в работах [203],
[450], [451].

Рассмотрим задачу стохастического программирования с вероят-
ностными ограничениями вида

тОД,	(2.3.16)

Р <	< ^ > > /%, г = 1, т,	(2.3.17)

17=1

X 6 Я,	(2.3.18)

где X = (яд,..., хп) — случайный вектор-план, компоненты ко-
торого случайные величины .ту независимы и нормально распреде-
лены;

— произвольная случайная величина с функцией распределения

А = {%•} — фиксированная матрица размерности т х п;

— фиксированное число, | < Д < 1, г = 1,т;

/фХ) — некоторый функционал, определенный на пространстве X
указанных случайных векторов;

Я — подмножество X, которому в пространстве (т^сГд) соответ-
ствует множество Я.
В соответствии с теорией центральной предельной теоремы функ-
ция распределения нормированной соответствующим образом сум-

(Т О"п. \

--- случайных величин сходится при некоторых уело-
I

виях к нормальной функции распределения

ад=ДА Л2,'=-

о

Точнее, если, например, |^| < С < ос,	> 0, то

Е(а -

к

1т

(2.3.19)

равномерно по I при п ос.

Естественно предположить, что компоненты вектор-плана X яв-

ляются случайной величиной, полностью определяемой двумя па-
раметрами и независимой от других компонент. Пусть этими пара-
метрами будут математические ожидания и дисперсии а?, тогда
{п

Е < Ы С ЯВЛЯетСЯ функцией ЛИШЬ Шу, СГд При-
1=1

чем, в силу сказанного выше, приблизительно равной

/ ф (Цд9

где = Е аит.Г Д = Е ДД.

Таким образом, при достаточно произвольных компонентах
вектор-плана подсчет вероятности в задаче (2.3.16)-(2.3.18) приво-
дит при больших п примерно к тому же результату, что и в случае

нормально распределенных компонент.

Получим в новых обозначениях детерминированный эквивалент
задачи (2.3.16)-(2.3.18), имеем

т! ад).

(2.3.20)
Ф ( Ср] <1Рг^ > X г = 1,т,	(2.3.21)

(т,о) еН,	(2.3.22)

где к^гпд^ад) — некоторая функция 2п-переменных

(т,<т) = (ш1,... ,тп;<Т1,... ,сгп).

Дальнейшие исследования, проведенные в работах [450], [451],
[452] показывают, что в рассмотренной модели погрешности в опре-
делении уровня вероятности выполнения ограничений сказывают-
ся незначительно, если «управлять» математическим ожиданием и
дисперсией случайной величины. Частным случаем задач стохасти-
ческого программирования с вероятностными ограничениями явля-
ется ситуация, когда в условиях задачи все уровни вероятностей
= 1 (г = 1,2,... ,гп). Это означает, что допустимый вектор
X должен удовлетворять всем ограничениям при любой реализа-
ции случайных параметров. Такой вектор называется перманент-
ным планом задачи, а соответствующая постановка стохастической
задачи называется жесткой. Рассмотрим жесткую постановку зада-
чи стохастического линейного программирования с вероятностными
ограничениями.

Введем обозначения

8 = р| 5Ц); ЗД = {X : 4(ДХ < Ь(ш), X > 0}.

Тогда задача минимизации функционала СХ при ограничениях
Р{А(сС)Х < Ъ(сР)} = 1, X > 0 эквивалентна задаче

шш СХ.

ХеЯ

В некоторых случаях выпуклый многогранник 3 можно описать
системой линейных неравенств. Если число реализаций а) конечно,
то 8 определяется системой неравенств X > 0;	< 6(сщ),

г = 1, 2,..., Я, где К — число возможных реализаций. Решение та-
кой задачи из-за увеличения числа ограничений связано с большими
вычислительными трудностями.

Если только вектор случаен, детерминированную эквива-
лентную задачу получим следующим образом: пусть Ь — вектор,
г-я координата (^) которого определяется из соотношения
Ь} = т€{^(о?)}, тогда множество 8 = {X : АХ < 6, X > 0}
является подмножеством множества 8а.

Обычно для задач в жесткой постановке в качестве реализации
берут математическое ожидание случайных параметров. Для того,
чтобы установить перманентность решения по средним X*, исполь-
зуется эквивалентность задачи линейного программирования и мат-
ричной игры двух лиц с нулевой суммой. Если имеется игра с мат-

рицей выигрышей	0	А	—Ь	
М =	—Ат	0	с	
	Ьт	-Ст	0	(ш+п+1) х (т+п+1)

и найдена такая оптимальная смешанная стратегия (Уо,ХоД), что
I > 0, то X* = у и У* = у - решение пары двойственных задач
линейного программирования.

Пусть ЕМ — матрица той игры, которая соответствует задаче по
средним и пусть У = (У, X, I) — такое решение этой игры, что I > 0.
Тогда решение по средним X* получается из соотношения

—*	X

X =

I

Для перманентности X* необходимо и достаточно выполнение нера-
венства А(сДХ* < для любого е Г7, что равносильно нера-
венству	< 0. В работе [275] показана вычислительная

процедура для проверки последнего условия при любому е Г2.

Пусть д(М} = М2. Первые т компонент вектора имеют
вид д^М) =	— Ьфссф/:, г = 1,т. Предположим, что множе-

ство реализаций с^(щ.(ф), бфоф) для каждого г образует выпук-
лый многогранник. Если решить т задач вида тах^^. д^М} = д^
то достаточным условием перманентности X* будет тахщ < 0.

Во всех рассмотренных выше частных моделях стохастическо-
го программирования с вероятностными ограничениями имели ме-
сто условия, позволившие построить детерминированный эквива-
лент задачи. Ниже приводится общий прием построения детермини-
рованного эквивалента для широкого класса задач стохастического
программирования с вероятностными ограничениями. Пусть имеем
следующие формы записи вероятностных условий задачи в общем
случае:

1)	Р{^(Х) <0}>аг, г = 1,т,

2)	Р{/(Х) < 0} > а,

3)	Р{Д(X) < 0, гк С 1к} > а1к, к = 1,..., 5;

ОД = {1,... ,т}.

к

В форме записи 1) допускается зависимость только между слу-
чайными параметрами, принадлежащими одной и той же строке; в
форме 2) все случайные параметры могут быть зависимы; в фор-
ме записи 3) случайные параметры, отвечающие функциям для
разных /с, независимы между собой.

Пусть Ггк(1) — безусловная функция распределения случайной
величины /фХ) для заданного X, а Еффй, • • •, 1т) ~ совместная
функция распределения системы случайных величин /фХ) — ком-
понент вектора /(X) при заданном X:

оо I оо

= /•••/•••/к/|'

Пусть д(Х) = {щ(Х),..., дт(Х)} — детерминированный вектор,
область изменения составляющих которого для каждого X ограни-
чивается диапазоном изменения соответствующей случайной вели-
чины Д(Х) :

д^Х) е {т(/фХ),8пр/ДХ)}.

Имеем для каждого 0 < ТД(д(Х)) = Р{Д(Х) < дг(Х)} < 1,

Рх(д(Х»=РЩХ) <щ(Х),..., /т(Х) <^Ш(Х)}=Р{/(Х) <д(Х)}.

Сформулируем во введенных понятиях детерминированные зада-
чи математического программирования, решения которых совпада-
ют с решениями соответствующих стохастических задач с вероят-
ностными ограничениями. Такие задачи принято называть детерми-
нированными эквивалентами стохастических задач программирова-
ния.

Рассмотрим задачу стохастического программирования с вероят-

ностными ограничениями в форме 1)

шах/о(Х),	(2.3.23)

< 0} > аг, г = ТДй.	(2.3.24)

Детерминированным эквивалентом задачи (2.3.23)-(2.3.24) будет за-
дача

тах/о(М	(2.3.25)

Ггх(Рг(Х))=^, г = ТДД	(2.3.26)

рг(Х) < 0, г = ТДД	(2.3.27)
в которой требуется определить векторы (детерминированные)
X и д(Х) = {р1(Х),... ,дт(Х)}. В том случае, когда имеем непре-
рывную функцию распределения, детерминированный эквивалент
задачи (2.3.23)-(2.3.24) имеет вид

тах/оШ,	(2.3.28)

< 0, г = 1^.	(2.3.29)

Рассмотрим задачу стохастического программирования с вероят-
ностными ограничениями в форме 2)

тах/оШ,	(2.3.30)

Р{/(Х) < 0} > а.	(2.3.31)

В соответствии с нижеприведенным утверждением детерминиро-
ванным эквивалентом задачи (2.3.30)-(2.3.31) является следующая
задача

тах/оШ,	(2.3.32)

ЗД(Х))=а,	(2.3.33)

р(Х) < 0,	(2.3.34)

в которой требуется вычислить детерминированные векторы X и
<?(*)•

Теорема 2.3.1. [385] Если совместная функция распределения
Е(Х) компонент случайного вектора ф(Х) = {Д(Х),... ,/Ш(Х)}
непрерывна при каждом X, то задача (2.3.32)-(2.3.34) является
детерминированным эквивалентом стохастической задачи
(2.3.30)-(2.3.31).

Доказательство. Если доказать, что обе задачи имеют одну и ту
же область определения, теорема будет доказана, поскольку целе-
вые функции обеих задач совпадают.
Пусть д(Х) удовлетворяет условиям задачи (2.3.32)-(2.3.34), то-
гда

Р{/(Х) < д(Х)} = а, Р{/(Х) < 0} >

т.е. X удовлетворяет условиям стохастической задачи (2.3.30)-

(2.3.31).

Пусть теперь X — план задачи (2.3.30)-(2.3.31), имеем

Р{/(Х) < 0} > а.

Разделим для каждого X номера составляющих вектора /(X) на

Д1) г(2) ДЗ) •	Д1)	р /

три множества: гх \ гх \ гх\ где г Е гх\ если Д(л) — детерминиро-

(2^

ванная величина; г Е 1Х , если Д(Х) — случайная величина с отри-

цательной верхней границей, Д(Х) < Д(Х) < 0; наконец, г Е 1Х\
если /г(Х) — случайная величина, для которой Р{Д(Х) > 0} > 0.

План задачи (2.3.30)-(2.3.31) определяет детерминированный век-
тор

т, * е

эХ = /г(Х), г € 42)
о, г е Д'

Имеем

Р{/т < 0} = Р{/(Х) < ЦХ)} > а.

Тогда векторы X и р(Х) удовлетворяют условиям задачи (2.3.32)-
(2.3.34).

Теорема доказана.

Для решения прикладных задач эффективно можно применять
вычислительные алгоритмы и машинные программы в тех случа-
ях, когда детерминированные эквиваленты стохастических задач
представляют собой задачи линейного и выпуклого программиро-
вания. Поэтому представляет интерес работа [432], в которой вы-
делены случаи, гарантирующие выпуклость целевой функции и об-
ласти определения детерминированной задачи, эквивалентной той
или иной стохастической модели.

Для решения выпуклых задач стохастического программирова-
ния (вычисления апостериорных решающих правил) может быть ис-
пользован любой численный метод выпуклого программирования в
гильбертовом пространстве. Эффективным методом решения задач
математического программирования в функциональных простран-
ствах является метод возможных направлений, обобщенный и обос-
нованный в работе [460] для бесконечномерных выпуклых задач.
Кроме того, для решения задач стохастического программирования
могут быть, в частности, использованы методы, исследованные в
работах [322], [326].

2.4 Примеры прикладных задач стохастического программирования
с вероятностными ограничениями

В практических задачах планирования, управления и проектирова-
ния приходится, как правило, принимать решения в условиях недо-
статка информации об исходных данных. Стохастические модели
принятия решений в сложных ситуациях, как правило, оказывают-
ся более адекватны реальным явлениям и процессам, чем детерми-
нированные постановки задач. При постановке стохастической за-
дачи в качестве целевого функционала и области его определения
чаще других используются такие стастистические характеристики
моделируемого явления, как математическое ожидание, дисперсия,
вероятность попадания в некоторую случайную область. При этом
вероятность попадания может быть безусловной или условной.

Ниже приводятся примеры прикладных задач стохастического
программирования с вероятностными ограничениями. Рассмотрим
задачу планирования добычи угля в условиях, когда исходные дан-
ные частично не могут быть предсказаны заранее, следуя работе
[155].

Пусть имеется несколько шахт, добывающих уголь. Требуется
для г-й шахты (г = 1,2,... ,т) разработать несколько вариантов
развития (д = 1,2,... ,щ) и установить наиболее рациональные, с
точки зрения всего объединения, варианты развития каждой шах-
ты.

Пусть равен единице, если для г-й шахты принимается к реа-
лизации 7-й вариант развития, и нулю — в противном случае.

Реализован может быть для каждой шахты только один вариант
развития, отсюда

^2^ = 1, г = 1,2,... , т.

1=1

Введем следующие обозначения:

—	годовые затраты на добычу угля в г-й шахте по 7-му
варианту при реализации аг случайных параметров условий, опре-
деляемых природными факторами;

фу (о?) — годовой объем добычи угля в г-й шахте по 7-му варианту
при реализации ш случайных природных факторов;

—	зольность угля г-й шахты, работающей по 7-му варианту
при реализации аг случайных условий задачи;

—	годовой фонд заработной платы г-й шахты, функциони-
рующей согласно 7-му варианту развития при реализации ш случай-
ных природных факторов;

(1 — требуемая в соответствии с планом более высокого уровня
(или определяемая спросом) годовая добыча угля по объединению
в целом;

в — допустимая по объединению зольность угля;

к — общий годовой фонд заработной платы по объединению;

— заданные вышестоящей организацией вероятности
соблюдения ограничений по обеспечению спроса, по зольности угля
и по фонду заработной платы.

В соответствии с введенными обозначениями и терминами модель
планирования добычи угля на уровне горнодобывающего объедине-
ния может быть представлена в виде

Решение данной задачи представляет собой случайный вектор-
план добычи угля в последующий период, причем фактические реа-
лизации природных факторов учитываются при планировании раз-
вития горно-добывающего объединения в будующем.

Предположим, что параметры фу, независимые между со-
бой нормально распределенные случайные величины и пусть с^-, фу,
фу, а2(с^\ а2(с1ц \ сг2(^-), сг2(ф_у) — математические ожидания и
дисперсии случайных параметров задачи соответственно. Детерми-
нированный эквивалент задачи (2.4.1) - (2.4.6) имеет вид:

(2.4.10)

(2.4.11)

= 1, г = 1, т,

у,- = {0,1}, у = 1, гц; г = 1,тп.

(2.4.7)

(2.4.8)

(2.4.9)

(2.4.12)

Приведенная постановка задачи планирования угледобычи со слу-
чайными данными простейшая; модель можно усложнить, если, на-
пример, допустить, что случайные параметры условий задачи кор-
релированы между собой. Естественно данную задачу рассматри-
вать как динамическую, когда планирование развития и фактиче-
ская реализация природных факторов осуществляются по периодам
(этапам).

В качестве ещё одного примера приведем модель планирования
сельскохозяйственного производства, представляющую собой зада-
чу стохастического линейного программирования с вероятностными
ограничениями [111].

Введем следующие обозначения:

т — число сельскохозяйственных культур (1 < г < т);
П} — число сортов культур;

р — число типов почвы, на которых планируется сельскохозяй-

ственное производство (1 < к < р);

8р — наличная площадь земли типа к\

— запланированный объем продукции культуры г-го вида;

1	—	— допустимый риск для невыполнения плана по производ-

ству культуры г;

Лгдк — урожайность сорта 7 культуры вида г на почве типа к;

— издержки на обработку единицы площади типа к для по-
сева сорта 7 культуры вида г;

1 — (3 — допустимый риск, при котором фактические издержки
могут превзойти запланированные;

— площадь, занятая сортом у культуры вида г на земле типа
к.

Во введенных обозначениях задача планирования, сельскохозяй-
ственного производства имеет вид

у шт,	(2.4.13)

{т Пг р	Л

у с1]кхг]к < У Г = А	(2.4.14)

г=1 7=1 к=1

{П?;	71

ЕЕг/цкХцк > Пг> > сц; (1 < I < т),	(2.4.15)

7 = 1 /с=1

т Пг

= зк, (1 < к < р),	(2.4.16)

г=1 7=1

ХгЗк >0; г = 1,т; 3 = 1,щ; к = 1,р.	(2.4.17)

Среди приложений математических методов планирования и
управления в условиях неполной информации используются услов-
ные экстремальные задачи, содержащие как вероятностные, так и
статистические и жесткие ограничения. Детерминированные экви-
валенты задач со случайными параметрами, например, моделей с
вероятностными ограничениями представляют собой, вообще гово-
ря, задачи нелинейного, а иногда и невыпуклого программирования.
Отсюда в стохастическом программировании обычно несуществен-
но, порождена ли стохастическая задача линейной или нелинейной
экстремальной задачей.

2.5 Одноэтапная модель принятия решений с вероятностными огра-
ничениями, классический эгалитаризм

Рассмотрим конкретную задачу принятия решений распределения
ресурсов с классическим эгалитарным принципом выбора с вероят-

ностными ограничениями:

{п	Л

< <д(ДсД / >	0,5 < «1 < 1;

7=1

Р?{Уг(1 + 1) =	+ 3^1, сДщ + сД } > а2, 0, 5 <	< 1;

Ы1) > 0, уг(1) > уг(1- 1),	> 0,	> 0, щ(Д > 0;

г = 1,п, ш е Г7, I е [1,Т].

Здесь — элементы матрицы А — матрицы условий задачи.

В такой постановке величины Д, Д, щ (г = 1, 2,..., п) являются слу-
чайными на множестве Г7 реализации случайного параметра о?.

Для решения поставленной задачи необходимо найти ее детерми-
нированный эквивалент.

Введем следующие обозначения:

Уг(1 + 1) -Уъ(1) = Д(Д, Д(ДсДщ(Д + Д(ДсД = Д(ДсД.
Тогда исходная задача примет вид:

{У{ ~ Уг(.С\ к •
тах ------------- тт;

2=1,72 \ У{ /

{п

щ7-гб7-(/) < <д(/,а?) > > «1, 0,5 < «1 < 1;

7=1

Р2{Ь{^) = Нффш)} > а2, 0,5 < а2 < 1;

(2.5.1)

(2.5.2)

(2.5.3)

?/г(1) > 0, 5^(/) > 0, ^г(^) > 0, С«(^^) > 0, 2 = 1, П, Ш Е 2, I Е [1,Т].

(2.5.4)

Теорема 2.5.1. Задача принятия решения с эгалитарным оп-
тимизационным критерием и вероятностными условиями (2.5.1)-
(2.5.4), решение которой определяется в решающих правилах ну-
левого порядка, сводится к детерминированной задаче линейного
программирования при детерминированной матрице А = ||%Ц и
случайных векторах ограничений С = {<д}, Н =

Доказательство. Пусть р = (щ,..., сп), ф> = (/11,..., /1П) — сов-
местная плотность распределения составляющих случайных векто-
ров ограничений С и Н соответственно.

Плотности распределения компоненты вектора С и компоненты
1ц вектора Н равны соответственно

'ФгЦг) = / • • • (П - 1) . . . /

-оо	-оо

Из уравнений

У = «1,	(2.5.5)
= <^2

(2.5.6)

вычислим сг и

Если решения уравнений (2.5.5), (2.5.6) не являются единствен-
ными, выберем в качестве ф и наибольшие корни этих уравнений.

Соотношения (2.5.2)-(2.5.3) эквивалентны неравенствам



Л.;

где С{ и удовлетворяют соответственно соотношениям (2.5.5) и
(2.5.6).

Отсюда следует эквивалентность стохастической задачи приня-
тия решений (2.5.1)-(2.5.4) и детерминированной задачи линейного

программирования

уг(1) > 0, Ьг(1) > 0, иД)

шах

	 шш;  Уг )	(2.5.7)
ли < С\	(2.5.8)
в <н-	(2.5.9)
> 0, сД), г = 1, п, 1 € [1, Т].	(2.5.10)

Теорема доказана.

Если случайные величины с*, характеризуются функциями рас-
пределения 7^(сг), то параметры щ и представляют собой
наибольшие числа, удовлетворяющие неравенствам
Если	— непрерывные строго монотонные функции,

то последние неравенства эквивалентны уравнениям

1 /Д<д) од,

1 - Е-(^) = а2.

Во всех случаях будем записывать

Кг = Е~\1 - а2),

где

1‘,'М = зирЩГД) < г}.

Теорема 2.5.2. Для задачи принятия решений с эгалитарным
принципом выбора и вероятностными ограничениями (2.5.1)-(2б4)
существует эквивалентная детерминированная задача линейно-
го программирования (2.5.7)-(2.5.10), при условии что элементы
матрицы ограничений детерминированы, а элементы векторов
ограничений распределены по нормальному закону, и эта задача
единственна.

Действительно, существование следует из построения детермини-
рованных эквивалентов (2.5.8), (2.5.9) для вероятностных ограниче-
ний (2.5.2), (2.5.3) соответственно.

Единственность следует из выпуклости функций (2.5.2), (2.5.3)
по I, непрерывности их по всем аргументам и ограниченности этих
функций на их области определения, а также условия минимизации
значения вогнутого целевого функционала (2.5.7).

Данная задача принятия решений решается известными метода-
ми линейного программирования.
Откажемся теперь от требования детерминированности матри-
цы А. Пусть элементы матрицы А и составляющие	векто-

ров В, С, Н — независимые между собой нормально распределенные
случайные величины, то есть

Оу € 7У(ау, Д), Ьг е	С; е Л^Д), }ц е 7У(ДД),

где ад, Ъг,	— математические ожидания величин ад, щ,

а <т2-, д2. //2. 02 — соответственно их дисперсии.

При принятых допущениях невязки г-го условия — случайные
величины
п

^0^7

г=1

являются нормально распределенными величинами с математи-

ческими ожиданиями

8 г	(2.5.11)

г=1

=Ьг-кг	(2.5.12)

и дисперсиями

п

р2Аи) =	(2.5.13)

7=1

72Ы=щ2 + е	(2.5.14)

То есть 8г{и) е Я(5г, р2), дг(т/) 6 Я(рг,72).

В данном случае соотношения (2.5.2), (2.5.3) эквивалентны нера-
венствам

Р1{$г < 0} > о<1, г = 1,п,

Ръ{Рг < 0} > «2, 2 = 1,П,
или, что в нашем случае то же самое,

1 / I (€-вд)2Ъ^

\/27Г/Эг(и) У	[	2р2(Л	/

^^2ехр!	27'(м	р-а2'

Введем обозначение

9	,	х

1	Г	| А2 |

последние неравенства перепишем в виде

<Ш) + Ф х(а1)/эД) < О,

~Рг(и) + Ф-1(а2)7г(«) < О-

Учитывая выражения (2.5.11), (2.5.12) и (2.5.13), (2.5.14) для5^(гб),
~РМ и Р2(О,72(м)> получим

/ п	\ V2	п

ф-1(а1) I У +	<с,-^2а.ии^г = Т~п, (2.5.15)

\1=1	/	1=1

Ф-1(с12)(ч2 + ^г2)^2 < Ы — г = 1,п.	(2.5.16)

По условию задачи оа > 0, 5; &2 > 0, 5, поэтому Ф—1 (ст1) > О,
Ф-1((Т2) > 0, и область, высекаемая условиями (2.5.15), (2.5.16),
выпукла.

Введем обозначения:

Ягд —	^)(^г7	•>
Олдк — ^{{(^гд ^гд^^гк ^г/сЖ
9г = М{(кг -кг)(Ьг - Ь^}.

Рассуждая по аналогии с вышеизложенным, получаем, что при
(41 > 0, 5 и (42 > 0, 5

/ \ х/2

/ п	п	\	п

Ф 141)] I У2 Яг]кЦик + 2 У2 + г/г I < с» ~	а^,

\7'Л=1	7 = 1	/	7=1

[Ф '(а2)](2</,+^2)|/2 <к,-~к.

п

Положительная определенность формы Ж Ягдк^дПк гарантирует
7'Л=1

выпуклость области, высекаемой условиями (2.5.15)-(2.5.16).

Таким образом, при принятых допущениях задача (2.5.1)-(2.5.4)
с вероятностными ограничениями сводится к детерминированной
задаче выпуклого программирования с линейной целевой функцией

и квадратичными условиями-неравенствами:

/'Уг-УкЩ	

тах ---------------   тт;	(2.5.17)

2=1,72 \ У{	/

/	\

/ п	п	\	п

[Ф-1(«1)] I д^ки^ик + 2 д^ + ту2 < Ф ~ Т

\7'Л=1	7 = 1	/	7=1

(2.5.18)

[Ф-1 (а2)](2Ф + 02)1/2 <	- к,	(2.5.19)

щ > 0, г = 1, п.

(2.5.20)

Теорема доказана.

2.6 Одноэтапная модель принятия решений с вероятностными огра-
ничениями, классический утилитаризм

Теперь рассмотрим задачу принятия решений с классическим ути-
литарным принципом выбора и вероятностными ограничениями сле-
дующего вида:

(У1~УЛУ\ 
шах ------—---- I пип;

2=1,72 \ Уг /
{п

щ7-гбД/:) <	/ > $3, 0,5 < «1 < 1;

7 = 1

Р1{Уг(1 + 1) = Уг(Р) +	+ ^г(С ^)} > «2, 0, 5 < &2 < 1;

^(1) > 0, Уг(б) > Уг(1- 1), 81(1,01) > 0, щ(1,ш) > 0, щ(^) > 0;

г = 1,п, ш Е Г7, I Е [1,Т].

Согласно выше введенным обозначениям исходную стохастиче-
скую задачу распределения ресурсов с утилитарным принципом вы-
бора перепишем следующим образом.

(Уг-Уг(Р)\ •

111 ах I -=---- I ппп;	(2.6.1)

2=1,72 \ У{ /

Р1 \	а^и^) < с^,сД > > «1, 0,5 < «1 < 1;	(2.6.2)

11=1	>1

Р2{М*) = Ш} > а2, 0,5 < а2 < 1;	(2.6.3)

щ(^) > 0, ?д(1) > 0,	> 0, <д(^,сД > 0, 2 = 1, П, О) Е П, I Е [1,Т].

(2.6.4)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.6.1. Задача принятия решения с утилитарным пра-
вилом выбора и вероятностными условиями (2.6.1)-(2.6.4), реше-
ние которой определяется в решающих правилах нулевого порядка,
сводится к детерминированной задаче линейного программирова-
ния при детерминированной матрице А = \\а^\\ и случайных век-
торах ограничений С = {с*}, Н =

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель-
ству теоремы 2.5.1.
Задача принятия решений (2.6.1) - (2.6.4) с вероятностными огра-
ничениями эквивалентна детерминированной задаче линейного про-

граммирования

тах
2=1,72

/ Уг

\ Уг )

АЦ < С-

шт;

(2.6.5)

(2.6.6)

В <н-

(2.6.7)

т/г(1) > 0, Ьг(1) > 0,	> 0, сЩ г = 1,пДе [1,Т].	(2.6.8)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.6.2. Для задачи принятия решений с утилитар-
ным принципом выбора и вероятностными ограничениями (2.6.1)-
(2.64) существует эквивалентная детерминированная задача ли-
нейного программирования (2.6.5)-(2.6.8), при условии что элемен-
ты матрицы ограничений детерминированы, а элементы векто-
ров ограничений распределены по нормальному закону, и эта задача
единственна.

Эта теорема доказывается аналогично теореме 2.5.2.

Если мы откажемся от детерминированности матрицы условий Л,
то стохастическая задача принятия решений с утилитарным прин-
ципом выбора (2.6.1)-(2.6.4), решение которой определяется в реша-
ющих правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной
задаче выпуклого программирования с линейной целевой функци-
ей и квадратичными ограничениями

тах ----------- тт;	(2.6.9)

2=1,72 \ У{ /

/ \

/	72	72	\	72

Ф ' («.1)] I У2 Яг]ки^ик + 2 У2 ЯИэЧ + Уг I <Сг-^2
\7'Л=1	7 = 1	/	7=1
[Ф Ча2)](27,+^)|/2 <Кг-Ъг,
щ > 0, г = 1, п

(2.6.11)

(2.6.12)

при условии, что элементы матрицы А и составляющие
векторов В— независимые между собой нормально распреде-
ленные случайные величины.

2.7	Одноэтапная модель принятия решений с вероятностными огра-
ничениями, линейная комбинация классических принципов вы-
бора

Рассмотрим задачу принятия решений с линейной комбинацией
классических принципов выбора — эгалитаризм и утилитаризм, с
вероятностными ограничениями следующего вида:

ф = Лэг + (1 - «)/ут -> пип, д е (0,1);
{п

щ7-гб7-(А	> > «1, 0,5 < «1 < 1;

1=1 )

Р^Уг^ + 1) = Уг(1) +	^)щ +	^)} > «2, 0, 5 < а2 < 1;

^(1) > 0, уг(Р) > уг(1- 1),	> 0, сг(С^) > 0, иг(1) > 0;

г = 1,п, ш е П, I е [1,Т].

Согласно выше введенным обозначениям исходную стохастиче-
скую задачу распределения ресурсов с утилитарным принципом вы-
бора перепишем следующим образом.

Ф = <?Аг + (1 - <?)/ут тш, д Е (0,1);	(2.7.1)

Р1 <	< сг(С^) с >	0,5 < «1 < 1;	(2.7.2)

11=1

Р2Щ1) = ЫМ} > «2, 0,5 < «2 < 1;	(2.7.3)

^(А > 0, ?/г(1) > 0, ^г(А — 0, с^С^) > 0, г = 1,п, О) е П, I Е [1,Т].
Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.1. Задача принятия решения с вероятностными
условиями (2.7.1)-(2.7.4), решение которой определяется в реша-
ющих правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной
задаче линейного программирования при детерминированной мат-
рице А = \\аД\ и случайных векторах ограничений С = {сД,
Н = {Нг}.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель-
ству теоремы 2.5.1.

Задача принятия решений (2.7.1)-(2.7.4) с вероятностными огра-
ничениями эквивалентна детерминированной задаче линейного про-
граммирования

ф = Лэг + (1 - д)/ут -> пип, д е (0,1);	(2.7.5)

АЦ < С;	(2.7.6)

В<Н-	(2.7.7)

Щ) > О, ЬЛ) > 0, иЛ) > 0, сЛ), г =ТД, / е [1,Т].	(2.7.8)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.7.2. Для задачи принятия решений с вероятностны-
ми ограничениями (2.7.1)-(2.7.4) существует эквивалентная де-
терминированная задача линейного программирования
(2.7.5)-(2.7.8), при условии что элементы матрицы ограничений
детерминированы, а элементы векторов ограничений распределе-
ны по нормальному закону, и эта задача единственна.

Эта теорема доказывается аналогично теореме 2.5.2.

Откажемся от детерминированности матрицы условий А, тогда
стохастическая задача принятия решений с утилитарным принци-
пом выбора (2.7.1)-(2.7.4), решение которой определяется в реша-
ющих правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной
задаче выпуклого программирования с линейной целевой функци-
ей и квадратичными ограничениями

Ф = Лэг + (1 - «)/ут -> пип, д е (0,1);	(2.7.9)

'	х 1/2

п	п	\	п

ОцкЩик Ч- 2 Ч- Лг I —

д'Л=1	4=1	/	4=1

(2.7.10)

[ф-1(^)](2^ + 0г2)1/2 <кг-Ъг.	(2.7.11)

щ > 0, г = Т~п	(2.7.12)

при условии, что элементы матрицы А и составляющие
векторов В— независимые между собой нормально распреде-
ленные случайные величины.

2.8	Одноэтапная модель принятия решений с вероятностным функ-
ционалом, классический утилитаризм

Рассмотрим постановку одноэтапной задачи принятия решений с ве-
роятностным функционалом на примере задачи принятия решений
по распределению ресурсов с классическим утилитарным принци-
пом выбора.

Требуется максимизировать пороговую величину /с, которой не
должно быть превышено значение функционала, попадающего в ин-
тервал (—ос, к) с заданной вероятностью од-

к тах;

ШИ - Ш*+1)

ШИ

{п	]

У2 ^(^ — с(^^) / > &1, 0,5 < «1 < 1;

г=1
Рг{уг(1 + 1) = Уг(Р) + 8^1,	+ Ф(^, ш)}а2, 0, 5 < аг2 < 1;

Уг(“) > Уг($, Ы°) > О;

щ(^) > о, 5^,0?) > 0, с(^,о?) >0, г = 1,п, I е [О,Г — 1], ш е О.

В такой постановке величины 5^, ф, с, (г = 1, 2,..., п) являются
случайными на множестве Г7 реализации случайного параметра о?.

Выбор значений вероятностей сео, являются предметом са-
мостоятельной задачи. В частности эти величины могут быть вы-
браны как результат предварительного исследования и сопоставле-
ния затрат, связанных с увеличением параметров сць ^1, а2 и до-
стигаемого за счет этого эффекта при оптимизации показателя ка-
чества решения исходной задачи принятия решений при наличии
неполноты информации.

При такой постановке задачи существенным является выбор ве-
роятностного функционала. В нашем случае мы учитываем сле-
дующее. Известна вероятность того, что суммарное отклонение от
перспективного состояния по каждому направлению не превосходит
некоторой пороговой величины к в каждый период времени (^ + 1).
Необходимым критерием оптимальности при данной постановке яв-
ляется минимизация пороговой величины к. Таким образом, цель
оптимизации такого рода задачи есть получение наибольшего выиг-
рыша (прибыли, прироста на единицу вложенных средств) от вло-
жения ограниченного количества ресурсов.

Заметим, что при идеальных условиях развития направлений, ко-
гда распределяемых средств достаточно, количество вкладываемых
ресурсов г-е направление можно определить следующим образом:

Уг~Уг^+^	П '	1--

»(«) =	, Ы0) > 0. . = 1,.,

при ЭТОМ ф(^,Сс?) = 0.
Последнее равенство означает, что в текущий момент времени I
отсутствует влияние внешних факторов на поведение экономиче-
ской системы. В реальных условиях о?) — эффект случайных
внешних факторов чаще всего является отрицательной величиной и
определяет необходимое количество средств, которые дополнитель-
но затрачиваются на развитие г-го направления, чтобы поддержи-
вать его в текущем состоянии.

Рассматриваемую задачу можно переписать в следующем виде.

к тах;

| 2 / иАк) | < к > = (То, 0 < од < 0, 5;

ДГ \	/  )

{п
с >	0,5 < (Т1 < 1;

г=1	7

Рг{Уг^ + 1) = 3/Д) +	+ йД,Д}<У2, 0, 5 < «2 < 1;

у.Д) > У',0), Ы0) > 0:

«Д) > 0, 8г(1,Ш) >  Ведем обозначение следующем виде:  у^  ДДД-1) = у^) + 8  щ(т — 1) > 0, 81  г =	0, с(1, ак) > 0, г = 1, п, 1 е [0, Т — 1], ш е Г7.  т = 1 + 1, тогда наша задача перепишется в  Цт—1)^ < к= «о, 0 < ад < 0,5; к —> тах;  (2.8.1)  < с(т - 1, ш) | > «1, 0,5 < «1 < 1;	(2.8.2)  )(т—1,ш)и^(т—1) + йг(т—1, Д}а2, 0,5<а2<1;  (2.8.3)  (т-1,Д >0, уг(1) > 0, с(т-1,^)>0,  Т~п, 1 е [0,Т- 1], ш € О.	(2.8.4)
Теорема 2.8.1. Задача принятия решения с утилитарным
принципом выбора и вероятностным функционалом (2.8.1)-(2.8.4),
решение которой определяется в решающих правилах нулевого по-
рядка, сводится к детерминированной задаче выпуклого програм-
мирования.

Доказательство. Построим детерминированное эквивалентное
неравенство для условия (2.8.2), исходя из плотности распределения
вероятности случайной величины с(т — 1,сф. Если известна <^(с) —
плотность распределения с(т — 1,си), то найдем нижнюю границу с
случайной величины с(о>) с вероятностью оц из уравнения

(1с = «1.

Если это уравнение имеет более одного корня, то выберем из этих
корней наибольший. Соотношение

- 1) < с(т - 1)

1=1

является эквивалентным неравенству (2.8.2).

Если случайная величина с(г — 1,а>) характеризуется функцией
распределения Е'(с), то параметр с представляет собой наибольшее
число, удовлетворяющее неравенству

1-ВД >сц.	(2.8.5)

Если функция Г (с) непрерывна и строго монотонна, то неравен-
ство (2.8.5) превращается в равенство

1 — Е"(т) = «1.

Тогда

с = К-1(1 — (41),
где

— «1) = зпр{с : Г(с) < «1 — 1}.

Рассмотрим построение детерминированного эквивалента для
условий (2.8.3). Перепишем (2.8.3) в следующем виде.

Рг{Уг(т) ~ У^Т “ Х) “	- 1, ^) = З^Т - 1, ^)щ(т - 1)} >

0,5 < 4 < 1, г =

Случайные величины 5фт — 1, сф и ф(т — 1, сф независимы между
собой. Будем полагать, что они распределены по нормальному зако-
ну. Такое распределение имеет место, так как случайная величина
ф(т — 1,о?) (г = 1, 2,..., п) может принимать отрицательное значе-
ние, а случайная величина З^т — 1,си) (г = 1,2,... ,п) не требует
условия неотрицательности.

Ведем обозначение = Уг(т) — у^т — 1). Тогда условие нормаль-
ного распределения случайных величин 5фт — 1,сф, ф(т — 1,со),
△г (о?) можно записать в виде:

ад € адл2), ад е мад2), ад) е мад2),

где	— математические ожидания нормально распреде-

ленных, независимых между собой случайных величин б'Дт — 1, со),

— 1,о?),Л^(о?) соответственно, а 52,г/2,сг2 — соответственно их
дисперсии.

Введем штрафную функцию

= Лфо?) - ф(о?) - 5фа?)щ,

которая является случайной величиной, распределенной по нор-
мальному закону, для любых г = 1,2,...,п, т.е.

д^и) € Щд^Бд^,
где д.^ = д^и) — математическое ожидание случайной величины

Пдг = Вдг(и) — дисперсия случайной величины

Яг = Аг -	- 8{Щ, Ис/, =

Соотношения (2.8.4) эквивалентны неравенствам

Д{дфща;) = 0} > агъ г = 1,п.

Так как д^и.ш) распределена по нормальному закону, справед-

лива следующая запись:

1 г Г-(е-&)2Ъ^ . —

Р [ 2Пд< Щ ~ 2’

Введем обозначение

тогда последнее неравенство можно записать в следующем виде

или д^Ф 1(С12)< 0- Учитывая выражения для д^Пд^

получаем

Ф	— ф —	<0, г = 1,п. (2.8.6)

Таким образом, мы получили детерминированные эквивалентные
неравенства для условий (2.8.3). Так как а2 >0, 5, тогда Ф-1^) >0
и, следовательно, область высекаемая условиями (2.8.6) выпукла.

Рассмотрим построение детерминированного эквивалента для ве-
роятностного функционала (2.8.1). Введем обозначение
Тогда целевой функционал будет выглядеть так:

Р< ^2 \%г(т ~ 1? ^)и/'(т — 1)1 < к > = (То, к тах.	(2.8.7)

I г=1

При этом, случайные коэффициенты распределены нормаль-
но с математическим ожиданием 77, что следует из предположения
нормального распределения случайной величины 52 Будем считать,
что известна корреляционная матрица 2 = ||гд||, где

= М{(су - 9)(<д - Сг)}, г = 1,п, ] = 1,п.

При принятых допущениях о распределении коэффициентов

линейная форма ги представляет собой нормально распределенную
п

случайную величину с математическим ожиданием 52 и дис-

Персией ^2	:

^№^7

Поэтому соотношение (2.8.7) может быть переписано в виде:

ИЛИ

Д<7 = (То

= <т0.

Отсюда видно, что максимизация к при условии (2.8.7) эквива-

лентна минимизации
Так как ^2 ^дгигид ~ положительно определенная квадратичная
л«=1

форма и 0 < (То < 0, 5, то к представляет собой выпуклую вниз

функцию и.

Таким образом, при сделанных допущениях вероятностный функ-

ционал (2.8.1) эквивалентен следующему детерминированному функ-

ционалу:

(2.8.8)

Теорема доказана.

Теорема 2.8.2. Для задачи принятия решений с вероятност-
ным функционалом (2.8.1)-(2.8.Д) существует эквивалентная де-
терминированная задача

п

(2.8.9)

1=1

Ф ^а^Хст2 + г/2 + 5214,)1/2 +	— <1^ — Ецщ < О,

(2.8.10)

(2.8.11)

щ > 0, с > 0, г = 1, п

(2.8.12)

и эта задача единственна.

Действительно, существование детерминированной задачи (2.8.9)-
(2.8.12), эквивалентной для задачи (2.8.1)-(2.8.4), следует из постро-
енных выше детерминированных эквивалентов (2.8.8), (2.8.7), (2.8.5)
для выражений (2.8.1), (2.8.2), (2.8.3) соответственно.

Единственность детерминированной задачи (2.8.9)-(2.8.12), экви-
валентной для задачи (2.8.1)-(2.8.4), следует из условия минимиза-
ции значения целевого функционала к.
Построенная детерминированная задача (2.8.9)-(2.8.12), эквива-
лентная задаче (2.8.1)-(2.8.4), решается уже известными методами
выпуклого программирования.

2.9 Одноэтапная модель принятия решений с вероятностным функ-
ционалом, линейная комбинация классических принципов выбо-
ра

Сформулируем задачу принятия решений по распределению ресур-
сов с вероятностным функционалом и линейной комбинацией клас-
сических принципов выбора — эгалитаризм и утилитаризм следую-
щим образом:

I/	1,0?) , Д ,	/5)(т—1,0?) , Д\ I

Р------------=----щ(т—1) | + (1—ц)тах|-----=-----щ(т—1) < к ?=Щ),

IV Уг / г=1А Уг //

О < од < 0, 5, де (0,1), к -е тах;	(2.9.1)

— 1) < С(Т —	0,5 < «1 < 1;	(2.9.2)

Л{?/г(т-1) = ?/г(^)+5г(т-1,о?)щ(т-1)+^(т-1,о?)}а2, 0,5 < а\ < 1;

(2.9.3)

щ(т — 1) > 0, 5фг — 1,о?) > 0, ?д(1) > 0, с(т — 1,0?) > О,
г = Гдг, I е [О, Г- 1], о? е О.	(2.9.4)

Теорема 2.9.1. Задача принятия решения с линейной комбина-
цией классических принципов выбора и вероятностным функцио-
налом (2.9.1)-(2.9.4), решение которой определяется в решающих
правилах нулевого порядка, сводится к детерминированной задаче
следующего вида:

(2.9.5)
^щ<с,	(2.9.6)

1=1

Ф^1(а2)(а^ + г/г2 + ДД1/2 + △;-(/;- 3^ < 0,	(2.9.7)

щ > О, с > О, г = 1, п.	(2.9.8)

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы
2.8.1.

Теорема 2.9.2. Для задачи принятия решений с линейной ком-
бинацией классических принципов выбора и вероятностным функ-
ционалом (2.9.1)-(2.9.4) существует эквивалентная детерминиро-
ванная задача (2.9.5)-(2.9.8) и эта задача единственна.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.8.2.

Краткая библиография

Первые работы по исследованию задач стохастического програм-
мирования с вероятностными ограничениями появились в 1953 году,
когда были опубликованы работы А. Чарнса, В. Купера и
Дж. Саймонда [70], [71]. Значительный вклад в разработку различ-
ных проблем качественного анализа задач с вероятностными огра-
ничениями внесли Б. Миллер и X. Вагнер [290], С. Катаока [221],
[222], [223], [224], И. Сенгупта [355], [356] и другие авторы.

Дж. Саймонд [385] сформулировал и обосновал условия постро-
ения детерминированных эквиваленвов для стохастических задач с
вероятностными ограничениями, а И. Веселье [432] исследовал усло-
вия выпуклости детерминированного эквивалента.

Конкретные модели стохастического программирования с вероят-
ностными ограничениями рассматривали А. Чарнс и В. Купер [74],
[77], [81], А. Д. Иоффе и Д. Б. Юдин [192], Д. Б. Юдин [196], [203],
С. В. Жуленев [450], [451], Б. Миллер и Г. Вагнер [290] и другие.
Для решения задач с вероятностными ограничениями могут быть
использованы итеративные методы, в частности, предложенные
Б. Т. Поляком [322] и М. Е. Примак [326].

Прикладные задачи стохастического программирования с веро-
ятностными ограничениями рассматривали А. Я. Фридлянд [155],
А. Д. Юдин [205], Е. П. Лавриненко [261], М. Б. Щепакин [368],
М. Драгомиреску [112] и другие. Обзорные работы, включающие
рассмотрение стохастических задач с вероятностными ограничени-
ями, выполнены Е. Г. Гольштейном и Д. Б. Юдиным [184],
Д. Б. Юдиным [203], Г. Цельмером [455], В. В. Колбиным [238] и
другими.
3 Двухэтапная задача стохастического программирования

3.1	Постановка двухэтапной задачи стохастического программиро-
вания

Многие задачи планирования и управления в условиях неполной
информации рассматриваются и решаются как двухэтапные задачи
стохастического программирования. Стохастические задачи с ком-
пенсацией невязок в системах ограничений наиболее часто встре-
чаются в приложениях, этим задачам посвящено больше публика-
ций, чем любым другим моделям стохастического программирова-
ния. Решение двухэтапной задачи составлено из детерминированно-
го и случайного векторов. На первом этапе решения задачи выбира-
ется детерминированный предварительный план, принимаемый до
реализации случайных условий задачи. Случайный вектор в реше-
нии двухэтапной задачи отвечает плану компенсации невязок, во-
обще говоря, появляющихся после наблюдения реализованных па-
раметров задачи на втором этапе. Целью управляющего является
минимизация среднего значения суммарных затрат, возникающих
на этапе предварительного планирования, и на втором этапе, когда
требуется компенсировать невязки в системе ограничений задачи.
Если задача стохастического программирования в двухэтапной по-
становке разрешима, выбор детерминированного предварительно-
го плана должен гарантировать существование случайного вектора
плана компенсации невязок.

Пусть имеем следующую задачу:

(С, X) тш,	(3.1.1)
А°Х = В°,	(3.1.2)
АХ = В,	(3.1.3)
(3.1.4)

где

С = {с?}, д = 1,72; В = (6Д г = 1,ш:

В° = {Ь°к}, к = 1~^

А0 = ||а^-||, к = 1,т1; 1 = 1,^5

А = ||%-||, г = 1,771; д = 1,72.

Пусть элементы матрицы А = А (си) и векторов В = В(дХ) и
С = С(сф — случайные величины, тогда процесс решения задачи
(3.1.1)-(3.1.4) целесообразно разделить на два этапа: до наблюдения
реализации случайных параметров условий задачи и после фиксиро-
ванной реализации. На первом этапе выберем детерминированный
неотрицательный план Х°, удовлетворяющий условиям (3.1.2).

На втором этапе зафиксируем реализацию о?0 случайного события
и соответствующие ему значения А(о?°) и В(о?0). Вычислим невязку
В (си0) — А(сс?°)Х°, возникшую, вообще говоря, в условиях (3.1.3) по-
сле реализации о?0 6 12. Определим вектор У > 0, компенсирующий
невязки в соответствии с соотношением

В(с/)У(с/) = В(^°) - А(с/)Х°,	(3.1.5)

где В = ||Ф/||, г = 1,772, / = 1,721 — матрица компенсации, вооб-
ще говоря, составленная из случайных элементов. При этом будем
предполагать, что случайная реализация о?, которая наблюдается
на втором этапе, не зависит от выбора предварительного планаХ0.

Рассматривается следующая задача математического програм-
мирования: найти 72-мерный вектор X и 721-мерный вектор У(ш\
а) 6 12, обеспечивающие

ттВ^Сфсф, X) + тт(Я, У ф;))}	(3.1.6)

х	х
при условиях:

А'Х = В°,	(3.1.7)

А(сА)Х + ЛНУН = В(ш), ш е П,	(3.1.8)

X > О, У > 0.	(3.1.9)

Здесь Н — заданный вектор штрафов, зависящий от величин со-
ставляющих вектора компенсирующего невязку. Е — символ
математического ожидания. Определив предварительный планХ0,
будем выбирать составляющие вектора У (о?) таким образом, чтобы
обеспечить минимальный штраф, за компенсацию невязок условий
задачи. Иными словами, зафиксировав вектор Х°, нужно решить
задачу

{гшп(Я,У(И1^МУМ = ВН - А(щ)Х0, У(щ) > 0}. (3.1.10)

Задача (3.1.10) должна обладать планами, иначе не для всякого
а) Е П найдется вектор У (си), обеспечивающий выполнение усло-
вий (3.1.8). Задачу (3.1.6)-(3.1.9) будем называть двухэтапной зада-
чей стохастического программирования, а задачу (3.1.10) — задачей
второго этапа.

Модели и методы решения двухэтапных (многоэтапных) задач
стохастического программирования целесообразно использовать для
перспективного планирования и оперативного управления, посколь-
ку всегда имеют место случайные воздействия на планируемую и
управляющую системы и, кроме того, двухэтапные модели малочув-
ствительны к изменению параметров условий задачи, т.е. в опреде-
ленном смысле устойчивы. Для того, чтобы вектор X был планом
допустимым на первом этапе, необходимо, чтобы для всех ш Е О
существовал вектор У > 0 такой, что

Рф)Г(Д = ВИ -	(3.1.11)
Назовем дополнительные неявно заданные ограничения вида
(3.1.11), возникающие в задаче второго этапа, индуцированными, а
условия, наложенные на неотрицательный вектор X вида (3.1.7),
фиксированными.

Пусть множество

К1 = {Х : А°Х = В°,Х > 0}

образовано фиксированными ограничениями, а множество

К2 = {X : \/ш е О, ЗУ > 0, А((Х)Х = В(сД - В(Д)УИ}

определено индуцированными ограничениями. Тогда множество
К = К\ А К) является множеством допустимых векторов X задачи
(3.1.6) - (3.1.9); если X 6 /С, вектор X удовлетворяет фиксирован-
ным ограничениям Л°Х = В°,Х > 0 и кроме того, задача второго
этапа (3.1.3) обладает планами.

Теорема 3.1.1. Множество К вектров X двухэтапной задачи
стохастического программирования выпукло.

Доказательство. Имеем К = К\ А К2. но множество
К\ = {X : Л°Х = В°,Х > 0} выпукло. Для фиксированного
а) А П определим множество К2ш = {Х|ЗУ(сД > 0} такое, что
Л(сДХ = В(о?) — В(о?)У(сД, которое является выпуклым. Это озна-
чает, что К2 А х 6 АК2^. вместе с ним и К = К\ А К2 — выпуклые
множества, пересечения выпуклых множеств. В работе [435] уста-
новлено, что при случайном векторе В (о?) и детерминированной
матрице условий задачи А стохастического линейного программи-
рования множество К2. а вместе с ним и множество К являются
выпуклыми многогранными множествами.

Теорема доказана.
3.2	Анализ двухэтапной задачи стохастического программирования

Множество К предварительного плана двухэтапной задачи стоха-
стического программирования задано неявно. В общем случае
неясно, как конструктивно строить множество К). Для некоторых
частных случаев, весьма важных для приложений, множество сов-
падает К2 с 7?п, т.е. индуцированные ограничения отсутствуют. Мож-
но считать, что ранг матрицы В равен т, в противном случае (3.1.8)
может быть заменено эквивалентным соотношением, у которого р
строк имеют вид ОУ = В — АХ, где О — вектор, состоящий из
нулей, размерности т, а р - число зависимых строк в 79. В этом
случае их можно включить в число фиксированных ограничений
(3.1.7).

Будем предполагать, что ранг матрицы В размерностью т х п
равен т и первые т столбцов (без ограничения общности) линейно-
независимы.

Предположение 3.2.1. Для каждого V е 7?ш существует

У > 0 такое, что

ВУ = и.	(3.2.1)

Лемма 3.2.1. [208] Если предположение 3.2.1 выполняется, то
В имеет по крайней мере т + 1 столбцов, т.е. п > т + 1.

Теорема 3.2.1. [208] Для того, чтобы система уравнений

ВУ = и имела неотрицательное решение для^ту е Кт, достаточ-
но, чтобы существовало неотрицательное решение однородной си-
стемы линейных уравнений:

79л = 0	(3.2.2)

причем, чтобы л? > 0 для у = 1, т.
Доказательство. Система уравнений ПУ = у всегда имеет реше-
ние. Пусть оно таково, что первые у~д 0 для у = 1, т, а остальные
равны нулю, тогда, так как соотношение а(Птг) У ПУ верно для лю-
бого се, то, взяв а достаточно большим, получим неотрицательное
решение системы (3.2.1).

Условие (3.2.2), вообще говоря, трудно проверить за исключением
некоторых частных случаев.

Пусть п = т + 1, тогда достаточное условие примет вид

7П + 1

^2	— 0) так как если 7гш+1 = 0, то имеем линейную зависи-

7=1

мость первых т столбцов П^ что противоречит тому, что матрица
П имеет ранг т. Следовательно, 7гш+1 > 0 отсюда имеем

т

-Бт+1 = Ут^П,. тг7- = У—.	(3.2.3)

У 7Г»+1

Вышеприведенная система линейных уравнений имеет единствен-
ное решение, если оно положительно, то К) = Кп.

Теорема доказана.

Условия теоремы 3.2.1 не только достаточны, но и необходимы
для того, чтобы система ПУ = у имела неотрицательное решение
при любом у 6 Кт. Однако для того чтобы К) = Кп достаточно
требовать неотрицательной разрешимости ПУ = у не для всех
у Е Кт^ а только для у = В — АХ при всех X Е К, и всех ш Е П.
Такие у далеко не всегда пробегают все Кт.

Задачу (3.1.1)-(3.1.4 ) можно интерпретировать в терминах пла-
нирования производства, где А — матрица основных технологиче-
ских способов, а П — истолковывается как матрица аварийных тех-
нологических способов, определяющих возможные варианты ком-
пенсации невязок в системе условий. В этом случае условия теоре-
мы 3.2.1 можно интерпретировать следующим образом. Для того,
чтобы для любой невязки V 6 нашлась допустимая компенсация
У, достаточно, чтобы аварийные технологические способы представ-
ляли собой «замкнутую» систему, т.е. существовали бы ненулевые
интенсивности л, при которых все, что производится при эксплу-
атации одних производственных способов, потребляется другими,
например, купля-продажа отдельных товаров.

Теорема 3.2.2. Для того, чтобы задача (3.1.10) имела конечное
решение, необходимо и достаточно, чтобы система неравенств

2В <Н	(3.2.4)

была разрешима.

Доказательство, очевидно, следует из теоремы двойственности
линейного программирования [105]. Действительно, если задача
(3.1.10) разрешима и имеет конечное оптимальное решение, то и
двойственная к ней разрешима, и наоборот, а ограничениями двой-
ственной к задаче (3.1.10) и являются условия (3.2.4).

Условия теоремы 3.2.2 имеют экономический смысл. Для того,
чтобы издержки от эксплуатации аварийных технологических спо-
собов при ликвидации невязки были бы конечны, необходимо и до-
статочно, чтобы существовала система оценок 2 продукции, кото-
рая выпускается при помощи аварийных технологических способов,
причем стоимость продукции в этих оценках, выпущенной г-м техно-
логическим способом, при его эксплуатации с единичной интенсив-
ностью была бы не выше издержек на его эксплуатацию с единичной
интенсивностью.

Теорема 3.2.3. [203] Пусть матрица В имеет т + \ столбцов
и удовлетворяет условию теоремы 3.2.1, т.е.

т

-Вт+1 = У^тг^-Д, 7Г,- > 0; 7 = 1,т.

7=1

Тогда для того, чтобы выполнялось условие теоремы 3.2.2, необ-
ходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:
т

У2 7г7Тг7- + ^т+1 > 0,	>0, б = 1>тп.	(3.2.5)

7=1

Доказательство. Необходимость. Пусть задача второго этапа
(3.1.10) разрешима, тогда множество планов двойственной к ней за-
дачи непусто. Пусть вектор Д) удовлетворяет условиям (3.2.4) двой-
ственной задачи, т.е.

Х0А < у = 1,т+ 1.	(3.2.6)

Отсюда при тгу > 0.
т	т	т

У2 ^0 Д <	7Г7/г>; 20^т+1 = - У2 ^О^Д •	(3.2.7)

7=1	7=1	7=1

Кроме того, имеем

т

< бт+\.	(3.2.8)

7=1

Из условий (3.2.7) и (3.2.8) получаем требуемый результат (3.2.5).

Достаточность. Пусть (3.2.5) имеет место, а целевая функция за-
дачи второго этапа (3.1.10) не ограничена на множестве планов, то-
гда множество планов задачи, двойственной к задаче второго этапа,
пусто

{2\2Б < Н} = 0.	(3.2.9)

Из линейной независимости векторов ..., Пт следует, что си-
стема
имеет единственное решение 2$. В силу соотношения (3.2.9) име-

ем

И0Дп+1 > кт+1.	(3.2.11)

Из условий теоремы и соотношений (3.2.10), (3.2.11) получаем
т	т

=	=	^~1 Д/ >

1=1	1=1

что противоречит условию (3.2.5).

Теорема доказана.

Условие (3.2.5) имеет экономический смысл в терминах задачи
планирования. Пусть технологические способы составляют замкну-
тую систему, тогда издержки от эксплуатации аварийных произ-
водственных способов с целью компенсации невязок, будут конеч-
ны, если нельзя получить прибыль при холостом режиме работы,
т.е. когда выполняется соотношение (3.2.3). В работе [208] показа-
но, что аналогичное условие отсутствия прибыли имеет место и для
случаев, когда п > т + 1. Но тогда это условие будет только необ-
ходимым.

Рассмотрим детерминированный эквивалент к двухэтапной зада-
че стохастического программирования (3.1.6)-(3.1.9) и покажем, что
он является задачей выпуклого программирования. Двойственной к
задаче второго этапа (3.1.10) является следующая:

(X, В - АХ) тах,	(3.2.12)

2П < Н.	(3.2.13)

Пусть решение задачи (3.1.10) существует и конечно, тогда су-
ществует и конечно решение задачи (3.2.12)-(3.2.13) и оптимальные
значения обоих функционалов совпадают [105], обозначим значение
функционала через Ф. Можно утверждать, что Ф(Х, А,В) — вы-
пуклый по X. Действительно, пусть Я(Х, Л, В) — точка, в которой
достигается максимум (3.2.12) при условиях (3.2.13) для фиксиро-
ванных X, Л, В. Тогда для любых Х± и для которых экстре-
мальное значение целевой функции (3.2.12) конечно, имеем:

2ДХ1 + (1 - а)Х2, А, В)(В - АДХг + (1 - а)Х2)) =

= %ДХх + (1 - а)Х2, А, В)[а(В - АХг) + (1 - а)(В - АХ2)] <

< аХ(ХьА, ВДВ - АХ1) + (1 - а)Х(Х2, А, В)(В - АХ2).

Пусть Ф — целевой функционал детерминированной эквивалент-
ной задачи, тогда Ф — выпуклая функция, поскольку неотрицатель-
ная комбинация выпуклых функций есть функция выпуклая. Из
выпуклости целевого функционала Ф вытекает его непрерывность
во всех внутренних точках выпуклого множества К. Тем самым до-
казано следующее утверждение.

Теорема 3.2.4. Детерминированный эквивалент двухэтапной
задачи стохастического программирования (3.1.6)-(3.1.9) являет-
ся задачей выпуклого программирования.

Последнее утверждение служит теоретической основой для по-
строения численных методов решения двухэтапных задач. Для рас-
смотрения методов решения двухэтапной задачи потребуется ис-
пользовать выражение опорного функционала к Ф(Х) и устано-
вить условие дифференцируемости. При этом будем понимать под
опорным функционалом к выпуклому функционалу ВД) в точке
//о 6 М линейный функционал Т, если ВД) — В До) > Д, д — до)
при всех у 6 М. Приведем утверждения, следуя [203] и [208].
Теорема 3.2.5. Функционал

Е{С - г\А,В,Х0)А} = У{С(ш) - Г[Л(ЦВ(ЦХ0Н(ш)}ф

является опорным к целевому функционалу эквивалентной де-
терминированной задачи в точке Х(} Е К.

В работе [208] показано, что если вероятностная мера в простран-
стве Л, В абсолютно непрерывна относительно меры Лебега в про-
странстве Л, В и выполняются некоторые условия, то целевая функ-
ция Ф(Х) эквивалентной детерминированной задачи всюду на мно-
жестве К непрерывно дифференцируема.

Для исследования условий оптимальности плана X первого эта-
па нам потребуется вектор Сх = Е[С — Я*(Л, В, Х)Л] и линейная
форма Ьх± = (Сх^Х) = Е[С — Я*(Л, В, Х)Л]Х. В соответствии
с работой [203] сформулируем необходимые условия оптимальности
детерминированного плана X двухэтапной задачи стохастического
программирования.

Теорема 3.2.6. Если X* — детерминированный план двухэтап-
ной задачи, то для любого X Е К имеет место

Ех(Х^<Ьх(Х).	(3.2.14)

Доказательство. Пусть X* — оптимальный план, а X — допу-
стимый план двухэтапной задачи, тогда имеем Ф(Х*) < Ф(Х)

Е(СХ* + Е*(Л,В,Х*)(В-ЛХ*)) < Е(СХ+Е*(Л,В,Х)(В-ЛХ));

(3.2.15)
Е(Х*(Л,В,Х*)(В-ЛХ*)) < Е(Е*(Л,В,Х)(В-ЛХ*)). (3.2.16)

Вычитая (3.2.16) из (3.2.13) и учитывая, что Я*(Л, В, X*) — опти-
мальный план двойственной задачи, получаем требуемый результат
(3.2.14).
Теорема доказана.

Следуя работам [119] и [203], приведем экономический смысл усло-
вия (3.2.14). Вектор Я*(А, В,Х) — решение двойственной задачи к
задаче второго этапа является вектором оценок продуктов, оказав-
шихся дефицитными или излишними при интенсивностях X тех-
нологических способов после того, как реализовались технологиче-
ская матрица А и вектор спроса В. Эти оценки определяют влияние
величины невязки на издержки, связанные с наиболее экономной
т

ликвидацией невязок. Величина щуХ*(Л, В, X) — с? указывает
г=1

прибыльность эксплуатации ^'-го технологического способа с еди-
ничной интенсивностью в предположении, что параметры задачи
реализовались как элементы матрицы А и составляющие векторов
В и С, а оценки продуктов подсчитаны для случая, когда эксплу-
атация технологических способов производится с интенсивностью
X. Если вектор X* определяет оптимальный предварительный план
двухэтапной задачи, то суммарная средняя прибыль при интенсив-
ностях X* использования технологических способов производства,
подсчитанная в оптимальных (отвечающих X*) оценках, не меньше
суммарной средней прибыли, подсчитанной в оптимальных оценках
для любого другого допустимого плана X.

Сформулируем без доказательства теорему о необходимых и до-
статочных условиях оптимальности плана двухэтапной задачи сто-
хастического программирования.

Теорема 3.2.7. Пусть X* — внутренняя точка множества К,
а целевая функция Ф(Х) детерминированной задачи, эквивалент-
ной двухэтапной задаче, дифференцируема в окрестности точки
X*. Тогда задача, двойственная к задаче второго этапа имеет ре-
шение 2*(А,В,Х*), такое, что

Сх* = Е[С - 2*(А,В,Х*)А] = О,	(3.2.17)

тогда и только тогда, когда X* — решение двухэтапной задачи
[203].

3.3	Некоторые частные модели двухэтапной задачи стохастического
программирования

В настоящем разделе рассмотрим часто встречающиеся в приложе-
ниях частные постановки двухэтапной задачи стохастического ли-
нейного программирования, в которых случайными являются толь-
ко составляющие вектора ограничений В (о?). Все остальные пара-
метры условий задачи детерминированы.

Пусть матрица аварийных технологических способов имеет вид
В = (I, — I). Задачу (3.1.6)-(3.1.9) с такой матрицей называют про-
стейшей постановкой двухэтапной задачи стохастического линейно-
го программирования. Наличие невязки в условиях задачи в данном
случае учитывается простейшим способом: как за недопроизвод-
ство, так и за перепроизводство платится штраф, который в част-
ности может равняться нулю. Вектор штрафов от перепроизводства
Н+ (т-мерный вектор) может отражать дополнительные издерж-
ки от хранения готовой продукции, не реализованой и лежащей на
складах; вектор штрафов от недопроизводства Н~ (т-мерный век-
тор) может отражать недополученную прибыль из-за неудовлетво-
ренного спроса на продукцию. Данная постановка двухэтапной за-
дачи была исследована многочисленными авторами и, прежде всего,
в работах [117], [201], [433], [434], [435]. Для простейшей постановки
получены некоторые конструктивные результаты, которые позволя-
ют находить решение задачи точно или приближенно.
Пусть матрица В имеет вид (I, —I), где I — т х т-мерная еди-
ничная матрица. Векторы У и Н разобьем на две части, соответ-
ствующие подматрицам 7, — I. Задача в этом случае (3.1.6)-(3.1.9)
примет вид

(С, X) У В[(Я+, У+) У (Я“, У“)] -у шт (3.3.1)

при условиях

А°Х = В0,	(3.3.2)

АХ У /У+ - 1У~ = В,	(3.3.3)

X > О, У+ > О, У~ > 0,	(3.3.4)

где Я. Я-, У+, У~ — //(-мерные векторы.

Задача второго этапа имеет вид

[(Я+,У+)у (Я“,У“)] -этт,	(3.3.5)

/У+ - 1У~ = В- АХ, У+ > О, У“ > О (3.3.6)

и обладает планами при любой правой части В — АХ. Для раз-
решимости задачи (3.3.5)-(3.3.6) необходимо и достаточно, чтобы
Я+ У Н~ > 0. Будем считать, что Я У Н~ > 0, исключив из рас-
смотрения такие задачи (3.3.1)-(3.3.4), для которых Ф(Х) = —ос
при X 6 К. Очевидно, что у эквивалентной детерминированной
задачи к задаче (3.3.1)-(3.3.4) индуцированные ограничения будут
отсутствовать.

Рассмотрим задачу, двойственную к задаче (3.3.5)-(3.3.6):

тах^(^-(Д,Х))^|-Я" <2<Н+ .	(3.3.7)

1=1

Оптимальный план задачи (3.3.7) примет вид:

^((АЙХ)Д) =	, если - (АЙХ) < 0,
4((А,Х)Д) = К+, если Ь2 - (А,Х) > О,

X), 6«) — произвольное число на интервале [—Л.“, К,+], если
^-(Д,Х) = 0.

Если ввести выпуклые по (А, X) функции

Д(А,Х)Д) =

= {тт(/г+Д + К;у~^у+ - у~ =Ьг- (А{,Ху,у+ > 0,у7 > о} =
= А((А, хуьу(ьг - (А, X)), г = 1Щ,

то задача (3.3.1)-(3.3.4) сводится к следующей задаче выпуклого
сепарабельного программирования:

^2 Чхз + У2 ^(^й X) тт	(3.3.8)

7=1	г=1

при условиях

А°Х = В0, АХ - (Д, X) = О, X > 0.	(3.3.9)

В случае конечного числа реализаций вектора В простейшую
двухэтапную задачу можно представить в виде:

{ы	1

(С,Х) +^В-ЯУД) ?,	(3.3.10)

Г=1	)

где X и У(сщ) удовлетворяют нижеследующим ограничениям,
притом имеет место Р{В(о?) = В(шг)} = РГ. г = 1,ТУ

АХ + РУ(сщ)	=В(сщ)

СУМ	= ВМ	(3.3.11)

АХ +	ВУЦдг) =В(зд)

X > 0; УД.) > 0, г = 1Д.	(3.3.12)
Соответствующая двойственная задача имеет вид:

тах {вЩ)2^1 * * * + ВД2)Т^2 + • • • + В(зд)тЯлг} (3.3.13)

Ат2]	+ Ат22 + ... +	АТ2У	<	С

Пт21	<	РХН

<	Ат2?	< Р2Н (3.3.14)

ПТ2К	<	РуН

к

Если в качестве переменных двойственной задачи рассматривать
величины 71Т = у- (г = 1, ТУ), то получим задачу

тах {РхВДД^1 + В2ВД2)ТЯ2 + • • • + ВЛГВДЛГ)Т^ЛГ} (3.3.15)

РХАТ2> + Р2АТ2? + ... + Р^АТ2У <С

Пт21	< Н

<	Ат22	< Н (3.3.16)

1)Т2У	<Н

к

Структура матрицы задачи (3.3.15)-(3.3.16) позволяет решать эту
задачу методом разложения, используя первые ограничения в

(3.3.16) в качестве «зацепляющих» ограничений, а все остальные
рассматривать как единый блок.

Пусть вектор В (о?) распределен дискретно с конечным числом
реализаций при этом составляющие вектора В (о?) могут прини-
мать значения Ь] < Ь'~ < • • • < с вероятностями р], р?,..., р^
соответственно. В этом случае ввод дополнительных переменных и
ограничений может свести выпуклую кусочно-линейную задачу к
задаче линейного программирования.
Если составляющие вектора В (си) равномерно распределены на
отрезке т.е.

	0 при	Ьг < Щ
Фг(М = <	при	Ь,е[и^]	(3.3.17)
	1 при	Ьг > VI

детерминированный эквивалент двухэтапной задачи (3.3.1)-(3.3.4)
оказывается задачей квадратичного программирования.

К задаче квадратичного программирования можно свести задачу
(3.3.1)-(3.3.4) и в этом случае, когда все компоненты^ вектора В (си)

распределены экспоненциально, т.е.

ФДМ = <

о

< щ

при

при

€ [^,Оо)

(3.3.18)

Двухэтапную задачу стохастического программирования, в кото-

рой все случайные компоненты вектора В(сД имеют непрерывную
функцию распределения, можно приближенно свести к задаче квад-
ратичного программирования. Для этого достаточно заменить слу-

чайные величины взвешенными суммами равномерно распределен-

ных случайных величин

кг	к{

к = ^РГгк; = 1

Г=1	Г=1

(3.3.19)

(3.3.20)

3.4	Двухэтапная задача стохастического нелинейного программиро-
вания

Двухэтапная задача стохастического нелинейного программирова-
ния рассматривается как обобщение линейного случая в работе [280]
и в специальном виде в работе [396], где дается особый алгоритм ее
решения.

Рассмотрим задачу:

штЕтт[^(Х)+^(К)]	(3.4.1)

х х

при условии

+ ЦУ) > Ь,	(3.4.2)

где — скалярная функция П1-мерного вектора X, -
скалярная функция ^-мерного вектора У, р(Х) и /г (У) — векторы
размерности т, компоненты которых являются скалярными функ-
циями своих аргументов, и Ь — есть случайный т-мерный вектор с
известным распределением. Е — обозначает математическое ожида-
ние относительно распределения вектора Ь. В литературе такую по-
становку задачи (3.4.1)-(3.4.2) называют ситуацией «Неге апб по»
по Данцигу. Сначала принимается решение относительно X, затем
ждут и наблюдают какую-либо реализацию случайных величин и
только после этого решают нестохастическую задачу, выбирая век-
тор У оптимальным образом. Дальнейшее изложение будет отно-
ситься к двухэтапной задаче на минимум (3.4.1)-(3.4.2), хотя анало-
гичные результаты могут быть получены в соответствующих усло-
виях и для постановки двухэтапной задачи на максимум.

Для удобства обозначим:

?(», X) = тт{ДХ) + ДХ)|ЦХ) + ЦУ) > Ъ}.	(3.4.3)

Тогда задача (3.4.1) - (3.4.2) примет вид:

ттЕф^, X).	(3.4.4)

Так как задача (3.4.4) имеет ограниченный минимум в простран-
стве X, будем полагать, что существует выпуклое множество К та-
кое, что для каждого X Е К существует У такой, что выполняется
р(Х) + Н(У) > Ь при любом векторе Ь. Такие X будем называть
допустимыми.

Определим Х(ЕЬ) как решение задачи

тт^ЕЬ.Х) = шш{^(Х) + т/;(Х)ф(Х) + Н(У) > ЕЬ}. (3.4.5)
х

Кроме того, введем задачу для всех Ь < 6тах с конечным распре-
делением

тпЩбтах,^) = пипшт{(^(Х) + -ф(У)\д(Х) + Л(Х) > 6тах}.

А.	X I

(3.4.6)

Задачи (3.4.5), (3.4.6) являются нестохастическими и, если функ-
ции д(Х) и Н(Х) являются вогнутыми, они могут быть решены с
использованием условий Куна-Таккера [256].

Задача (3.4.1)-(3.4.2) может быть решена непосредственно в
частично-линейном случае, когда ^(У) и Н(У) являются линейны-
ми функциями, а вектор Ь имеет конечное дискретное распределе-
ние г = 1,/. В этом случае можно ввести векторы У\ г = 1,/,
каждый из которых имеет ту же размерность, что и У. Тогда зада-
ча (3.4.1)-(3.4.2) переходит в детерминированную задачу СП1 + 1п2
неизвестными и т х I ограничениями

{I	1

ДХ) + У^тг.^(Уг)|д(Х) + /г(Уг) > ^, г = 1,1 >.

Для дальнейшего нам потребуется рассмотреть некоторые резуль-
таты работы [280]. Пусть имеем следующую задачу параметрическо-
го нелинейного программирования:

пнп#(Х, а)	(3.4.7)

при условии

Ж,«)>0,	(3.4.8)
где в — скалярная функция от векторов 7 и а, / - векторная
функция от 2 и а.

Лемма 3.4.1. Скалярная функция

а(а) = птт{#(Х, а)|/(Х, а) > 0}

является выпуклой и непрерывной по а при условии, что в есть
выпуклая и непрерывная функция от [2, а], и каждая компонента
функции / является вогнутой и непрерывной функцией от [2, а].

Более общая формулировка леммы 3.4.1 приводится в работе [265]
относительно двухэтапной задачи стохастического нелинейного про-
граммирования.

Лемма 3.4.2. Пусть р : Кп К и ф : Нт К — выпуклые
функции. Пусть дик вектор-функции, д : Нп Нки
к : Кт Пк. компоненты которых являются вещественными во-
гнутыми функциями. Если функции р, ф,д и к принимают только
конечные значения на множестве

Въ = {(Х,У)\д(Х)-^к(У)>Ь},

тогда а(Ъ) = т! [(^(Х)-ЬтДУ)] — есть вещественная выпук-
лая и непрерывная функция на Ж, где

ТУ = {Ь\Ь е Н''.Ь <Ь31},

Ъ§1 = вир т! д^Х} + вир т! к^У}.
ХеКп д=Цк	УЕКт д=Цк

На основе вышеприведенных утверждений можно доказать сле-
дующую теорему.

Теорема 3.4.1. Скалярная функция

а(Ь) = шту(6, X) = Ш1п тт{(/)(Х) + ф(У) |д(Х) + к(У) > Ъ}
X	X У

(3.4.9)
является выпуклой и ^увеличивающейся функцией поЬ при усло-
вии, что и являются вогнутыми функциями своих ар-
гументов.

Следствие 3.4.1. Скалярная функция а(Ь) = тшх7(6Д), опре-
деленная (3.4-9), является непрерывной функцией поЬ при условии,
что и к(У) являются выпуклыми и непрерывными функци-
ями своих аргументов.

Это следствие доказывается с применением теоремы 3.4.1.

Выше приводились утверждения, использующие выпуклость
функции по случайному вектору, рассмотрим теорему, которая обес-
печивает выпуклость функции у(Ъ, X) по допустимым X.

Теорема 3.4.2. Функция

7(6, X) = шш{^(4 + -ф(У) 1^00 +	> Ь}

есть выпуклая функция по допустимым X для любого фиксиро-
ванного Ь при условии, что и ф являются выпуклыми функци-
ями и компоненты дик являются вогнутыми функциями своих
аргументов.

Доказательство осуществляется, вводя соответствующие обозна-
чения и применяя лемму 3.4.1 и теорему 3.4.1.

Следствие 3.4.2. Функция Еу(Ь,Х) является выпуклой функ-
цией по допустимым X при выполнении условий теоремы 3.4-2.

Приведенные общие результаты позволяют указать некоторые тео-
ремы, дающие верхние и нижние границы для задачи (3.4.1)-(3.4.2).
Введем задачу «Ж1й апб зее» по Маданскому, которая отличается
от постановки задачи по Данцигу тем, что в начале наблюдается
реализация случайного вектора Ь, а затем решается задача несто-
хастического программирования, основанная на этой реализации Ь,
т.е. задача

Е тту(Ъ, X) = Е’тттт{^(Х)+'0(У)|р(Х)+/г(У) > Ь}. (3.4.10)
X	X X

Теорема 3.4.3. Пусть Х(ЕЪ) решение задачи ттх у(ЕЬ, X).

Имеют место неравенства:

Еу(Ь, Х^ЕЬУ) > ттЕ’7(6, X) > Етт^Ь,Х) > тту(ЕЬ, X).

При этом только для последнего неравенства предполагается,
что <р(Х) и являются выпуклыми и непрерывными функци-
ями, а компоненты д(Х) и являются вогнутыми и непре-
рывными функциями своих соответствующих аргументов.

Доказательство. Первое из неравенств очевидно, т.к.

1414x^7(6, X) не превосходит значения функции Еу(Ъ,Х), вычис-
ленного в некоторой точке X = Х(ЕЬ). Для второго неравенства
имеем, если X — решение, которое минимизирует Е^(Ъ,Х\ и если
Х(Ь) — решение, минимизирующее 7(6, X):

гшп1Д(6,Х) = Е^(Ъ, X).

Ешт7(6, X) = Еу(Ь, Х(Ь)).

Так как для каждого Ь выполняется неравенство

7(6, X) > 7(6, Х(6)),

то по свойствам математического ожидания

Еу(ф, X) > Е^у(ф, Х(Ь)) или пнп Вд(6, X) > В пнп7(6, X).

Для доказательства третьего неравенства следует применить нера-
венство Йенсена, которое устанавливает, что для выпуклой непре-
рывной функции С, зависящей от случайного вектора X выполня-
ется Е’С(Х) > С(ЕХ). Поскольку в соответствии с теоремой 3.4.1
и следствием 3.4.1 пипх7(6,А') является выпуклой и непрерывной
функцией по 6, то, следовательно, выполняется

Епипх7(6,Х) > пипх7(Е6,А’), что и доказывает теорему 3.4.3.

Теорема доказана.

Важным следствием этой теоремы является то, что можно дать
значениям целевых функций в задачах (3.4.1)-(3.4.2) и (3.4.10) при-
ближенную оценку снизу, решая единственную нестохастическую
задачу, именно задачу (3.4.5). Если вектор Ъ имеет конечное распре-
деление, можно получить некоторую приближенную верхнюю гра-
ницу задачи (3.4.1)-(3.4.2) и тем самым для задачи (3.4.10), решая
единственную детерминированную задачу (3.4.6).

Теорема 3.4.4. Если случайный вектор Ь имеет конечное рас-
пределение, т.е. —ос < Ьш[п < Ь < 6тах < ос, то выполняется
соотношение

т1П7(6тах,Х) > пппЕ7(6,Д

Доказательство. По определению имеем:

тш7(Ьтах,Х) = тттт{у(Х) +'0(У)ф(Х) У > 6тах},
X	XX

тт7(Ь,X) = тттт{у(Х) У у(У)ф(Х) У /фУ) > Ъ}.

X	XX

Для фиксированных X и Ь, каждое значение У, которое удовле-
творяет д(Х) У /фУ) > Ьтах, также удовлетворяет д(Х) У /фУ) > Ь.
Отсюда следует, что и 7(5тах,^) > 7(5, X), а также
7(^тах,^) > Еу(Ь,Х). Следовательно, выполняется

ппп7(6тах,Х) > ттЕТффХ).

Теорема доказана.

Следующая теорема обеспечивает нижнюю границу для значений
целевой функции в задаче (3.4.1)-(3.4.2).
Теорема 3.4.5. Если являются выпуклыми, а компонен-
ты дик — вогнутыми функциями и Еу(Ь,Х) дифференцируема
в точке X = Х(ЕЬ), имеет место соотношение

ттЕ7(6,Х) > Еу(Ь,Х(ЕЬ)) + [X - Х(ЕЬ)]ТХЕу(Ь, Х(ЕЬ)\

где Х(Е)Ь и X — решения, которые минимизируют у(ЕЬ, X) и
Еу(Ь,Х) соответственно, аХ — есть вектор-столбец частных
дифференциальных операторов	...,	.

Доказательство проводится с применением следствия 3.4.2. Так
как само решение X задачи (3.4.4) входит в оценку правой ча-
сти неравенства, то эта теорема представляет практический интерес
только тогда, когда X = Х(ЕЬ) или ХЕу(Ъ, Х(ЕЪУ) = 0, откуда сле-
дует (из теорем 3.4.3 и 3.4.5), что Е^(Ъ,Х(ЕЪУ) = ттхЕу(Ь, X).

В работе [280] представлен нетривиальный пример двухэтапной
задачи (3.4.1)-(3.4.2), на котором основные результаты приведенные
выше, численно подтверждаются. В работе [265] переформулирова-
ны некоторые утверждения из работы [280], в частности теорема
3.4.3. Рассматриваются функциональные пространства и отказыва-
ются от значений верхних границ функций. Обобщаются условия,
из которых конкретные результаты для стохастического линейного
и нелинейного программирования получаются как частные случаи.

В работе [396] исследуется следующая задача.

Найти вектор У € Кп, который доставляет
(т	\

5Щ) + У СаРгХ) I	(3.4.11)

г=1	/

при условии /фУ) < Цг, I = 1,т, где 5(У) — некоторая функ-
ция затрат, рфУ) — вероятность невыполнения г-го условия системы
ограничений, а^ - связанные с этим затраты. Невыполнение усло-
вия Л (У) < Цг рассматривается как случайное событие (Д. причем
вероятность наступления каждого события (Ц зависит только от У.
Задачу (3.4.11) можно записать в другой форме.

Найти вектор У который доставляет

тт ( 5(У) + сад(У) )	(3.4.12)

\	г=1	/

при условии /ДУ) +	г = 1,т, где Р{(У) — вероятность

невыполнения г-го ограничения, — соответствующие затраты, а
— случайные величины с законами распределения

г = 1, т. В линейном случае задачу (3.4.12) можно решить как обыч-
ную двухэтапную задачу. Для нелинейного случая в работе [396]
показано как привести (3.4.12) к задаче детерминированного вы-
пуклого программирования. Сформулируем следующую теорему.

Теорема 3.4.6. Пусть 3 (У), Л (У),..., /Ш(У) — выпуклые функ-
ции и каждая функция ЦЦ) вогнута на некотором отрезке [оу, ф],
содержащем число ф, причем ф =	— /ДУ*), а У* — оптималь-

ное решение в задаче (3-4-12). Тогда для того чтобы задачу (3.4-12)
заменить эквивалентной ей задачей выпуклого программирования,
достаточно ввести дополнительные переменные и^и^... ,ит, на
которые наложены условия

ПЭ —	1 —

< щ >	Г-НЦЪЦ	(3.4.13)

Щ > Рд(У\ б = 1,Ш

где р{(У) = 1 — У)-(гДУ)), гДУ) =	— ФЦУ)- Целевая функция

задачи имеет вид:

т

8(У)+^агщ,	(3.4.14)

1=1

а оптимальный вектор и* = (щ(У*),... ,рш(У*)).

Эту задачу с т + I неизвестными можно решить методами вы-
пуклого программирования, поскольку по условию теоремы целевая
функция (3.4.14) выпуклая вблизи оптимального решения У*. Од-
нако возникают трудности из-за «овражности» задачи, т.к. при пе-
т
реходе через некоторую границу в пространстве Кп затраты ^2 агРг
1=1
начинают быстро возрастать из-за увеличения вероятности невы-
полнения г-го условия.

В работе [396] приводится пример практического поиска решения,
причем число переменных увеличивается.

В работах [25]-[28] обобщаются модели двухэтапных задач стоха-
стического программирования таким образом, что в них укладыва-
ются задачи стохастического оптимального управления поведением
динамических систем. Рассматриваются системы, управляемое по-
ведение которых описывается обыкновенными дифференциальны-
ми уравнениями. Начальное состояние системы, закон ее движения,
целевой функционал и ограничения на фазовые координаты зависят
от случайных параметров. Предварительное решение об управлении
системой принимается до наблюдения реализаций случайных пара-
метров условий задачи. Невязки в ограничениях задачи, выявля-
ющиеся после выбора предварительного решения, компенсируются
коррекциями. Для оптимального выбора коррекции при каждой ре-
ализации случайных параметров условий требуется решить новую
задачу оптимального управления — задачу второго этапа. Матема-
тическое ожидание значений нижней грани целевого функционала
задачи второго этапа, как и в классической двухэтапной задаче сто-
хастического программирования, определяет штраф за коррекцию
и входит составной частью в целевой функционал бесконечномерной
двухэтапной задачи.
3.5 Методы решения двухэтапной задачи стохастического програм-
мирования

Многие двухэтапные задачи стохастического программирования на
этапе определения предварительного плана заменяются детерми-
нированными эквивалентами-задачами выпуклого программирова-
ния. Однако традиционные методы решения задач выпуклого про-
граммирования, как правило, неприменимы для решения двухэтап-
ных задач стохастического программирования, поскольку целевая
функция и множество допустимых решений задачи в общем случае
заданы неявно. Методы решения, которые рассмотрены в настоя-
щем разделе, используют специфические особенности эквивалент-
ной детерминированной задачи и позволяют вычислить предвари-
тельный план и получить приближенные оценки решения исходной
задачи. В частных случаях удается свести двухэтапную задачу к ли-
нейной или кусочно-линейной задаче, естественно, в этих случаях
нет необходимости прибегать к нижеследующим трудоемким мето-
дам решения.

В работах [133]-[136] исследуется метод обобщенных стохастиче-
ских градиентов, позволяющий по реализациям случайных парамет-
ров условий задачи последовательно уточнять оптимальный план
первого этапа. Следуя [133], рассмотрим сущность метода обобщен-
ных стохастических градиентов.

Пусть заданы:

1)	система линейных неравенств вида

АХ + БУ>	(3.5.1)

X > О, У > 0,	(3.5.2)

где А — матрица т х щ, В — матрица т х П2, X, У — соот-
ветственно п\- и П2-мерные вектора, В (си) — т-мерный, случайный
вектор с распределением (1Р(сР) с ограниченной дисперсией;

2)	две линейные формы:

Л1(Х) = (С1,Х); 1,2(Х) = (С2,У),

где С1 — П1-мерный, а С2 — П2-мерный вектор.

Обозначим через Ф(Х, В(а>)) значение

тт(С2,Г)	(3.5.3)

при условиях

БУ >	- АХ,	(3.5.4)

У > 0.	(3.5.5)

Будем считать, что для любого X > 0 и В (о?) существует решение
задачи (3.5.3)-(3.5.5). Пусть Е(Х) = / Ф(Х, В(сф)с1Р(ш). Требуется
найти

тшВД = ттГЛ) + В(Х)].	(3.5.6)

Функция Р(Х) выпуклая, но не обязательно непрерывно-
дифференцируемая. Найдем выражение для внутренней нормали
опорной гиперплоскости к телу {X : Р(Х) < В(Х0)} в некоторой
точке Х°. Рассмотрим двойственную задачу к задаче второго этапа
(3.5.3)-(3.5.5).

Найти

С(Х, В(^)) = шах[(А, В(щ)) - (X, Л* А)]	(3.5.7)

при ограничениях

В* А < С2,	(3.5.8)

А > 0.	(3.5.9)
Из теоремы двойственности следует

С(Х, В(ш)) = Ф(Х,	(3.5.10)

Функция С(Х, В(о?)) — выпуклая по X. Пусть А(Х, В (си)) — точ-
ка, в которой достигается максимум в (3.5.7). Будем считать об-
ласть Я, высекаемую ограничениями (3.5.8)-(3.5.9), ограниченной,
тогда А(Х, В(о?)) можно выбирать совпадающей с одной из вер-
шин К. В случае неоднозначности решения задачи (3.5.7)-(3.5.9)
А(Х, В(о?)) можно выбирать, например, следующим образом: пере-
нумеруем условно вершины К и будем выбирать А(Х, В (си)) равной
вершине с наименьшим номером из вершин, являющихся решением
этой задачи. При таком определении А(Х, В (о?)) будет представлять
кусочно-постоянную вектор-функцию от X и В (си), С(Х, В (о?)) —
кусочно-линейную функцию от X, измеримую по мере
Лебега-Стильтьеса <7Р(сф. Зафиксируем некоторую точку X = X®.
Тогда справедливы соотношения:

С(Х,В(Д) > [(А(Х°,В(Д),В(Д) - (Х,А*А(Х°,В(Д))],
С(Х°,В(ш)) = [(А(Х°,ВЦ)),ВН) - (Х°, А*А(Х°,В(Д))].

Отсюда следует

Е(Х) > У (А(Х°, В(Д), В(ДЦР(Д - У (X, А*А(Х°, В(Д)ЦР(Д,
В(Х) = у (А(Х°,В(Д),В(Д)ЙР(Д-У (Х0,Л*А(Х°,ВЦ)))(/РЦ),
В(Х) - Е(Х°) > - У (X - Х°, 4*А(Х°, В(Д)ЦР(Д. (3.5.11)
В соответствии с неравенством (3.5.11) математическое ожидание
случайного вектора С1 — Л*А(Х°, В (о?)) и является искомым векто-
ром внутренней нормали опорной гиперплоскости к телу
{X : Р(Х) < Р(Х0)}.
Таким обазом, вычисление обобщенного стохастического градиен-
та функции В(Х) сводится к вычислению интегралов (3.5.11), что
при известном приводит к решению параметрической задачи
линейного программирования. В частном случае, когда В (о?) при-
нимает конечное число значений, получаем алгоритм, описанный
в [133]. Однако решение параметрической задачи вызывает боль-
шие трудности. Кроме того, вектор В (о?) часто получается путем
случайных испытаний и распределение б/Р(а?) априори не известно.
Поэтому в общем случае предлагается алгоритм случайного поиска
следующего вида.

Пусть на 5-м шаге получено значение X8. Тогда (а + 1)-й шаг
описывается следующим образом:

а)	выбираем случайную реализацию В(ш)® в соответствии с

б)	находим В(о?/5)), решая задачу (3.5.7) - (3.5.9) при

X = х(8\	= В(щ)^;

в)	находим

= тах{0,Х(5) ТрДС1 - Л*А(%Ч В(^Я)]},	(3.5.12)

где р8 — величина шага. Движение точки при этом происхо-
дит в случайном направлении, математическое ожидание которого
совпадает с направлением обобщенного градиентного спуска.

Сущность метода обобщенных стохастических градиентов заклю-
чается в следующем.

Пусть требуется минимизировать выпуклую вниз функцию
Р(Х) = Р(%1,... )Хп). Рассматривается итеративный процесс

Х(5+1) =	8 = 0,1,...,	(3.5.13)

где X® — произвольная точка, р8 — величина шага, Д ’ — слу-
чайное направление такое, что

Е{Д/Х(1)Д(2),...,хД = Тх(Х(5)),	(3.5.14)

где Рх удовлетворяет неравенству

У(У)-Г(Х) > ЦДХ),У-Х).	(3.5.15)

Пусть тшР(Х) = В(Х*) > —ос. Без ограничения общности
считаем, что точка X* единственная.

Теорема 3.5.1. Пусть

р8 > о,	Р,р2 <	(П

5=1	5=1

Д|ДД2/Х(1),..., ДД < с < оо.	Щ)

Тогда Ит ||Х* - ХД| =0, з -> оо, с вероятностью 1.

Доказательство этого утверждения приведено в работе [137]. По-
кажем, что для процесса (3.5.12) условия теоремы 3.5.1 выполня-
ются. Действительно, из предположения об ограниченности области
Я, высекаемой неравенствами (3.5.8)-(3.5.9) следует ограниченность
нормы случайного вектора С1 — Л*А(Х, В(о?)). Таким образом, для
сходимости процесса (3.5.12) достаточно только условия

а > °, У2 = Р р2 <

5=1	5=1

Иными словами, итеративный процесс обобщенных стохастиче-
ских градиентов, минимизирующий выпуклую вниз функцию В(Х)
выпуклом множестве К может быть представлен следующим соот-
ношением

Х<5+1) =	- р3и3^>\ з = 0,1,...,	(3.5.16)

где — произвольный п-мерный вектор, принадлежащий мио-
жеству К — начальная точка процесса; р8 — величина шага на
5-й итерации; и8 — нормирующий множитель; — случайный
вектор, условное математическое ожидание которого относительно
х(0\...,х^ зависит линейно от обобщенного градиента Рх функ-
ции Р(Х) в точке Х^;

= а3Рх(Х^) +	,	(3.5.17)

здесь а3 — некоторое число; пХ — п-мерный вектор; ТУ — опе-
ратор проектирования на множество /С, такой, что Ж(Х) 6 К и
||Х — Ж(Х)||2 < ||У — Х||2 для любого У е К. Оператор проекти-
рования, таким образом, У = Ж(Х) представляет собой решение
следующей задачи выпуклого программирования с квадратичной
целевой функцией

т^||Х-У||2.	(3.5.18)

В некоторых частных случаях при явном задании множества К
вычисление оператора проектирования Ж(Х) и, следовательно,
определение	может быть существенно упрощено. Назовем

несколько таких случаев:

а)	если К = {Х|Х > 0}, решение задачи (3.5.18) имеет вид

У* = Ж(Х) = тах{0,Х}, а процесс (3.5.16) записывается

Х(8+1) = тах{0, - р3и3^}.	(3.5.19)

б)	если К = {Х|а^ < Х3 < Ь3}, итеративный процесс (3.5.16)

можно представить в виде

Х^ - р3»3^} < а3

а3 <	- Рз^з^ < Ь,

(3.5.20)

-

Х^ - р3и3^ > Ь3

в)	если К = {Х|79Х = д} = {Х|(<7^,Х) = ди г = 1,т}, где

векторы Ф1), ...,	— линейно независимые строки матрицы 79,
тогда процесс (3.5.16) принимает вид

тп

= Xй -	- У (3-5-21)

1=1

где А{ — множители Лагранжа;

г)	если К = {Х|р(Х) < 0}, где д(Х) — выпуклая дифференциру-
емая функция, тогда задача вычисления оператора проектирования
имеет решение

У = Ж(Х) = <

х, д(Х) < 0,

X, д(Х) > 0

(3.5.22)

и X вычисляется из условий X = X — А^^; А > 0, д(Х) = 0, а
итеративный процесс (3.5.16) принимает вид

< Х^ - р8п8^8\ если д(Х^ - р8и8^) < 0,
X, если д{Х^ — р8п8^} > 0

и X вычисляется из условий — р8у8^ = X + А^9^;

А > 0; д(Х) = 0;

д)	если К — выпуклый многогранник К = {Х|7?Х < с1} вычис-

ление оператора проектирования сводится к решению задачи квад-
ратичного программирования

||Х-У||2 чтт, ПУ < с1

(3.5.24)

итеративный процесс (3.5.16) предполагает на каждом шаге ре-
шения задачи квадратичного программирования

= шт	- р3р3^ - У||2.	(3.5.25)

ПУ <Л

Рассмотрим специальный метод решения задач выпуклого про-
граммирования, учитывающий особенности структуры детермини-
рованного эквивалента, двухэтапной задачи стохастического линей-
ного программирования. Пусть имеем задачу

ф> шт	(3.5.26)

при условиях

Е(СХ + 2*)А, В, Х°)(В - АХ)) < -ф,	(3.5.27)

Хе К,	(3.5.28)

где К — выпуклое многогранное множество, последнее имеет ме-
сто, когда К) = Кп или когда матрица А детерминированная. В тех
случаях, если множество К задано в явном виде, задача (3.5.26)-
(3.5.28) представляет собой задачу линейного программирования,
которая может быть решена традиционными методами. В общем
случае множество К — выпуклое и настоящий метод может быть
применим лишь для качественного анализа задачи. Пусть К — огра-
ниченное множество и X® — решение задачи (3.5.26)-(3.5.28), тогда
на второй итерации решается следующая задача

ф тт,

Е[СХ + Х*(Л, В, Х°)(В - АХ)] < ф,
Е[СХ + 2* (А, В, Х(1))(В - 4Х)] < -ф.

На к-и итерации решается задача

ф тт,

Е[СХ + 2*(А,В,Х^)(В - 4Х)] <ф, г = 0,/с- 1, X е К,

где Х^ — оптимальный план наг-й итерации. В работе [136] пока-
зано, что Пт Е\Хк) = ттГ(А'), при этом Пт Хк не обязательно
к—>оо	ХеК	к^-оо

является оптимальным планом исходной задачи.

Теперь обратимся к методам решения отдельных частных случаев
задачи в двухэтапной постановке. Рассмотрим полную двухэтапную
задачу стохастического программирования со случайным вектором
ограничений В вида (3.3.1) - (3.3.4). Пусть задача второго этапа
(3.3.5) - (3.3.6) разрешима, т.е. выполняется условие Н + Н~ > 0.

Введем два класса функций распределения вектора

В = (Ь1,...,Ьт)т.

Определение 3.5.1. Функция В1 =	= В(/31,..., Х?г)};

КфД) = ^(—ос,..., Д,..., ос) для любого г = 1, т удовлетворяет
следующим условиям:

а)	^Ж)=0(^-| при Зг-^-ос или Пт ДКфД) = 0,
\ Рг /	Д—>—сю

1 - ^г(А) = 0 | 4 | ПРи 00 или Ит /Ш - ^Ж)) = 0,
\Рг/

б)	в любом конечном интервале имеет не более чем конеч-
ное число точек разрыва. Условие а) предполагает наличие первых
моментов ЕрЗР ^лл любого г = 1,т. Второе условие б) обеспечи-
вает возможность интегрировать по частям интеграл Римана-
Стильтьеса по мере ЗЕЗЗРр если подынтегральное выражение

непрерывно.

Определение 3.5.2. Класс Е° = {К(/3)}, удовлетворяющий сле-
дующим условиям:

а) Е(3) Е1 б) для любого г существуют числа у(-,у}, такие,
что Е^у®) = 0;Рг(у1) = 1. Если Е(3) Е1 и ввести обозначе-
ние % = (х1, • • •, Хт)Т = ((Л1Х), • • • (АтХУ)т, можно опустить
постоянное слагаемое (Н~рЕВ), в этих предположениях задачу
(3.3.1)-(3.34) представим в виде

<р(Х,х) тт,	(3.5.29)

АХ - х = 0, X > 0.

(3.5.30)
Задача (3.5.29)-(3.5.30) является задачей выпуклого программи-
рования, поскольку функция <^(Х, %) линейна по X и вогнута по

X-

В работе [440] доказаны следующие критерии разрешимости за-
дачи (3.5.29)-(3.5.30).

Теорема 3.5.2. Пусть е К1 и + Н~ > 0, тогда задача
(3.5.29)-(3.5.30) имеет при решении следующие исходы:

1)	не имеет решения в силу неограниченности сверху значений
функции ^(Х, х) тогда и только тогда, когда не существует век-
тора л, удовлетворяющего условиям кА > С, И < к < —Нщ

2)	разрешима тогда и только тогда, когда существует пара век-
торов (л0, х°) такая, что

а)	^(х?) = ^ля всех для которых —1ц >	;

б)	л0 — оптимальный план задачи

[тт(л, х°)|ть4 > С, И < л < Н ].

в)	фуккция <р(Х, х) ограничена сверху, но максимум не дости-
гается, причем этот случай имеет место тогда и только то-
гда, когда не существует пары векторов (л°,х°), удовлетворяю-
щих условиям а) и б) пункта 2).

Теорема 3.5.3. Пусть Р^/З) е Р°,Н+ + Н~ > 0, тогда задача
(3.5.29)-(3.5.30) имеет

1)	не разрешима в силу неограниченности сверху значений функ-
ций <р(Х, х) тогда и только тогда, когда не существует решения
системы кА > С, И < к < —Н~\

2)	разрешима тогда и только тогда, когда система кА > С,
И < к < —Н~ обладает решением.

Теоремы 3.5.2 и 3.5.3 позволяют сформулировать ряд следствий.

Следствие 3.5.1. Если задача (3.5.29)-(3.5.30) разрешима для
некоторой функции Е(Д) Е К0 и выполняется условие

Н + Н~ > 0, то задача разрешима при всех Р(/3) Е К0.

Следствие 3.5.2. Если задача (3.5.29)-(3.5.30) конечна для неко-
торой функции Е Г1 при заданных А, С, Н~, Н\ то она ко-
нечна при всех Е Г1.

Следствие 3.5.3. Задача (3.5.29)-(3.5.30) разрешима тогда и
только тогда при Е(Д) Е Г\Н+ + к~ > О, когда выполнены сле-
дующие условия:

а)	существует решение системы тгА > С, И < л < —Н~-,

б)	для каждого г такого, что —1ц > к+, либо Е^х) = 1 для
достаточно большого %, либо существует вектор л, удовлетво-
ряющий условиям тгА > С, И < л <	< —кД,

в)	для каждого г такого, что —1ц > к+, либо Ег(х) = О для
достаточно малого %, либо существует вектор л, удовлетворяю-
щий условиям тгА > С, Н+ < л < —Н~, к+ < л*.

Из теорем двойственности и теоремы 3.5.3, если задача (3.5.29)-
(3.5.30) разрешима, следует утверждение.

Теорема 3.5.4. Для того, чтобы вектор (Х°, %°) был решением
задачи (3.5.29)-(3.5.30), необходимо и достаточно, чтобы

1)	Х° > 0, АХ° - х° = 0;

2)	для некоторого вектора л°, удовлетворяющего соотношению
л°Л > С, выполнялись условия

а)	х® > 0, если (л°Л)^ = Сд

б)	если -К~ > к+.

Сформулированные выше утверждения позволяют решать двух-
этапные задачи стохастического программирования вида (3.3.1)-
(3.3.4) при случайном векторе ограничений В.

Работы [86], [91], [109], [209] посвящены исследованию двухэтап-
ных задач стохастического программирования с помощью обобщен-
ной обратной матрицы. Напомним, что обобщенной обратной мат-
рицей В+ для матрицы В называется решение системы уравнений

ВВ^В = В,	(3.5.31)

В^ВВ^ = В\	(3.5.32)

(ВВ^)Т = ВВ\	(3.5.33)

(В+В)г = В+В.	(3.5.34)

Можно показать, что такая система имеет единственное решение
для любой матрицы В, при этом если матрица В имеет размерность
тп х п, то обобщенная обратная матрица /7 - (пхт), в тех случа-
ях, когда В — квадратная невырожденная матрица, /7 совпадает
с В-1. В общем случае, В+ = Р\ВР^ где Я1, В> — решения уравне-
ний РВВТ = Вт и Вт ВР = Вт соответственно. Предполагается,
что для полной двухэтапной задачи (3.1.6)-(3.1.9), у которой при
любых В (о?), о? е О. X е К, система условий ВУ = В — АХ, У > О
непротиворечива, найдётся вектор ц, обеспечивающий существова-
ние неотрицательного решения системы ВУ = В — АХ :

У = В+(В - АХ) + Вт] > 0.	(3.5.35)

При условиях (3.5.35) задача (3.1.6) - (3.1.9) может быть пред-
ставлена в виде

Х(Х) = (С,Х) + Етт(Я,В+(В - АХ) + Рц) тт (3.5.36)
1]

при условиях

Рц > В^АХ-В),	(3.5.37)

А°Х = В°,Х > 0.	(3.5.38)
Задача второго этапа (3.1.10) в этом случае преобразуется в за-
дачу выбора ту, удовлетворяющего неравенству Рт] > В+(АХ — В)
и минимизирующего (1/, В+(В — АХ) + Рту), т.е. в задачу

[тт(ЯР,ту)|Рту > В+(ЛХ - В)].	(3.5.39)

7]

Тогда можно записать

{тт(ВР,ту)|Рту > Р(АХ — В)} =

7]

= {тах(щ В+(ЛХ - В))\шР = НР, ш > 0}.	(3.5.40)

Задача (3.5.39), содержащая случайную величину в ограничени-
ях, заменена задачей (3.5.40), у которой множество планов детер-
минировано.

После преобразований задача (3.5.36) - (3.5.38) приводится к виду

Х(Х)=(С-ЯО+Л, X) + В{тах(сщ В\АХ-В))\шР=НР, ^>0}^ппп
(3.5.41)
при условиях

А°Х = В°,Х > 0.	(3.5.42)

Целевые функции отличаются 2(Х) и 2(Х) на постоянное сла-
гаемое Е(Н, В+В).

Задача (З.З.б)-(3.1.9) в форме (3.5.41)-(3.5.42), как правило, не
более конструктивна с вычислительной точки зрения, чем любая
другая форма записи исходной задачи. В работе [86] показано, что
иногда использование обобщенной обратной матрицы позволяет по-
лучить удобные детерминированные эквиваленты двухэтапной за-
дачи стохастического программирования.
3.6 Примеры прикладных двухэтапных задач стохастического про-

граммирования

Транспортная задача со случайными данными исследована в рабо-
тах [30], [89], [93], [125], [287], [367], [391], [438], при этом чаще всего
предполагается, что спрос Ьд в д-м пункте потребления — случай-
ная величина. Пусть спрос непрерывно распределен с плотностью
^•(М- Общее количество продукции, перевезенной в д-й пункт по-
т

требления при данном плане перевозок обозначим уд = ^2 хгд • Если
г=1

в ходе реализации этого плана оказывается, что?/?- < ф(о?), то име-
ют место потери в размере т?(ф(а?) — уд). Если же Уд > Ьд(ш), то
возникают дополнительные затраты в размере кд(уд — Ьд(ш\) (ко-
эффициенты гпд и кд определяются в зависимости от конкретного
содержания задачи), которые связаны с хранением нереализован-
ной части продукции, с ее транспортировкой или потерями, возни-
кающими при ее реализации по более низкой цене. Если в целевую
функцию классической транспортной задачи включить математиче-
ское ожидание этих издержек, стохастическая транспортная задача
принимает вид:

Г	п

ттГ(Х)=тт<

I ^3	7=1 —оо

п	1

+ 52 1П-1 /	~ У^^ЬМЬ3	[	(3.6.1)

7=1 Уз

при ограничениях

п

Хц = г = 1,т,	(3.6.2)

7=1
т

52 хч ~ Уз = °, 7 = ТД-	(3.6.3)

1=1
Если через = / Ьд[ш)(рд[Ьд)с1Ьд обозначить ожидаемый спрос
в 7-м пункте потребления, то целевая функция задачи может быть
представлена в виде

72	72

=52	+12 к1(у1	+52(т>кь^-у^^ьг

' у.

(3.6.4)

Для решения этой задачи Вильямс [438] разработал алгоритм, ко-
торый основывается на методе разложения Данцига в нелинейном
программировании. В работе [129] Эль-Маграби рассмотрел обоб-
щенную транспортную задачу в условиях случайного спроса с непре-
рывным распределением. Для того, чтобы получить критерий оп-
тимальности решения этой задачи, Эль-Маграби модифицировал
условия Куна-Таккера.

Аналогично рассмотренной модели могут быть исследованы сто-
хастические транспортные задачи, в которых случайными являются
объемы производства или такие модели, в которых не могут быть
заранее предсказаны как объемы производства, так и спрос в пунк-
тах потребления. Анализ этих моделей сводится к решению задач
выпуклого или линейного программирования в зависимости от того,
непрерывно или дискретно распределены параметры условий зада-
чи.

Приведем задачу определения объема производства, как она сфор-
мулирована в работе [170]. Пусть имеются ресурсы г (г = 1,т) ви-
дов, которые расходуются в количестве Х^ на производство единицы
7-го продукта (д = 1,п).

Наличное количество г-го ресурса составляет щ единиц, а спрос
Ьд на каждый из продуктов является случайной величиной с плот-
ностью распределения рд(Ъд). Пусть Хд — производимое количество
7-го продукта; в случае, если Хд < ф(д?), возникают затраты в ко-
личестве	— Хд\ если же Хд > Ьр то потери составляют

Мж7 - МД)-

Обозначим через Рд цену и через Сд затраты на производство еди-
ницы 7-го продукта, а через Уд — запасы этого прдукта в начале
рассматриваемого периода. Тогда задача стохастического линейно-
го программирования имеет вид:

Г п	п	п

тах Г(Х)=тах )	МД(Д)	-

Ц=1	7=1	7=1 Д

- 52 / (мд - ч -
7=1

+ 52т7'Д	[	(3-6-5)

7=1	)

при условиях

п

г = 1>77Т	(3.6.6)

7 = 1

Хд > 0, 7 = 0 п-	(3.6.7)

Если задача вообще разрешима, то при фиксированном спросе Ьд
она имеет тривиальное решение Хд = Ьд = 1,п).

Эль-Маграби в работе [127] рассмотрел задачу, близкую к задаче
(3.6.5)-(3.6.7), и сделал предположение, что вектор ф(д;) распреде-
лен дискретно, т.е. принимает значения Ьд(ау); I = 1,7) с вероятно-
стью Рд1.
В этом случае задача принимает вид

{п Г	1=Г	"|Л

7=1 I	1=1	1=1*	-М

(3.6.8)

при условиях

п

ъ =	(3.6.9)

7 = 1

^7 > 0, 7 = 1,^,	(3.6.10)

где I* определяется из соотношения ЬДс<д*) < Хд < Ьд(ш1*+1).

В работе [197] показано, что решение задачи (3.6.8)-(3.6.10) эквива-
лентно решению задачи линейного программирования.

В работе [289] рассмотрена задача планирования полетов само-
летов как двухэтапная задача стохастического программирования.
Пусть требуется составить план полетов самолетов на регулярные
и дополнительные рейсы. Регулярные рейсы осуществляются меж-
ду фиксированными пунктами и планируются заранее на каждый
рассматриваемый период. Дополнительные рейсы возникают слу-
чайным образом, при этом не фиксируются время и пункты пере-
летов, а самолеты для дополнительных рейсов могут быть сняты с
регулярных линий. Различные типы самолетов отличаются полез-
ной нагрузкой, продолжительностью полета и затратами на различ-
ных маршрутах. Спрос на дополнительные перевозки заранее неиз-
вестен; количество груза, которое необходимо перевезти в течение
дня, не может быть полностью предсказано. С того момента, ко-
гда поступила информация о неопределенных параметрах задачи,
возникает необходимость в переназначении самолетов с маршрутов,
на которые поступило меньше заявок, чем планировалось, на линии,
обслуживающие перевозки, спрос на которые оказался выше ожида-
емого, при этом переназначение, в частности, может осуществляться
на промежуточных остановках. Задача ставится на минимум сред-
них ожидаемых затрат за весь плановый период.

Введем следующие обозначения:

—	количество полетов в течение планового периода самолетов
типа г, первоначально назначенных на маршруту;

х^ — количество полетов самолетов типа г, снятых с маршрута
7 и переназначенных на маршрут к;

у- — неудовлетворенные заявки (в тоннах груза) на перевозки по
маршруту д-

—	незагруженная емкость самолетов (в тоннах груза) на ^'-м
маршруте;

—	число часов, требуемое самолету типа г для преодоления
маршрута 7, если самолет с самого начала был назначен на этот
маршрут;

~	число часов, требуемое самолету типа г, первоначально
назначенному на маршрут у для того, чтобы преодолеть маршрут
к. При этом > ад;

—	число тонн груза, перевозимое за один полет самолетом типа
г по маршруту у;

щ — допустимое в течение планового периода число часов полета
самолета типа г;

—	заявки на перевозки груза (в тоннах) по маршруту у;

—	стоимость полета самолета типа г по маршруту д, при усло-
вии, что самолет с самого начала был назначен на этот маршрут;

сгдк — стоимость полета самолета типа г по маршруту /с, если он
был снят с маршрута 7. Очевидно, > сд;

—	штраф за неудовлетворение заявки на перевозку тонны гру-
за по маршруту д;

ф“ — штраф за недогрузку на одну тонну самолета на маршруте
Ф

Задача планирования полетов ставится как двухэтапная задача
стохастического программирования. На первом этапе, до того как
станут известны заявки на дополнительные рейсы, самолеты каж-

дого типа распределяются между маршрутами и определяется чис-
ло полетов самолетов каждого типа по каждой линии. На втором
этапе, после установления реализации случайных параметров усло-
вий задачи, производится переназначение самолетов с маршрута на

маршрут.

Условия первого этапа ограничивают сверху для самолетов каж-
дого типа общее число летных часов по всем маршрутам

У2 < Щ, г = 1,т.	(3.6.11)

1=1

Условия второго этапа фиксируют тот факт, что для каждого
типа самолетов общее число самолето-часов, переведенных с дан-

ного маршрута на другие линии, не превышает числа самолето-
часов, первоначально запланированных на этот маршрут. Кроме
того, необходимы балансовые соотношения для каждого маршрута,
обычные для двухэтапных задач стохастического программирова-
ния. Если самолет типа г, длительность полета которого по марш-
руту ] равна часов, переназначить на маршрут /с, то преодоление
последнего маршрута займет часов; тогда полет по маршруту к
вызовет отмену Щуд/щу полетов по маршруту д.

Ограничения второго этапа в этих предположениях имеют вид
к

^2—х^к<х^;г = 1,т;д = 1,п,	(3.6.12)
Чтш.	(3.6.14)

т	т К	т К

^7Хг7 +	У^г№/с.7 —+ У^ ~ У] = С^Х 3 = 1’ П-

г=1	г=1 к=1	г=1 к=1

кЕ)	к^]

(3.6.13)

Целевая функция задачи планирования полетов в условиях пол-
ной информации выражается следующим образом

\ СцХц Ч- Е \	111111	| Сцк ^-г]	| ЕдкЕ

I у	I \	%•/

+ЕАМ+^д)

1

Таким образом требуется вычислить неотрицательные парамет-
ры Хц, х^ ,у], минимизирующие целевую функцию (3.6.14) при
условиях (3.6.11) - (3.6.13), на переменные х^ и х^ накладывается
дополнительное требование целочисленности.

Для более адекватного описания процесса планирования полетов
самолетов в условиях неполной информации естественно обратить-
ся к многоэтапным задачам стохастического программирования, в
которых последовательно учитывались бы ежедневные изменения
заявок на перевозки.

Многоэтапные задачи стохастического программирования будут
рассмотрены в следующей главе.

Краткая библиография

Первые исследования двухэтапных задач стохастического линей-
ного программирования относятся к 1955 году, когда появились ра-
боты Дж. Данцига [104] и Е. Била [16]. Дальнейшее развитие модели
двухэтапных задач получили в результате работ Р. Ветса [433], [434],
[435], [437], А. Маданского [275], [276], [277], К.Сенгупты [360], [365],
П. Калля [208], [209] и других авторов. Исследованию двухэтапных
задач, их планов, условий разрешимости и оптимальности посвя-
щена достаточно многочисленная литература [86], [103], [109], [201],
[227], [299], [411], [420], [428]. Дж. Данциг и А. Маданский [108] до-
казали необходимые и достаточные условия оптимальности плана
двухэтапной задачи стохастического линейного программирования
с конечным числом реализаций случайного вектора ограничений.

В работах О. Мангазаряна и Г. Розена [279], [280] исследованы
свойства нелинейной двухэтапной задачи стохастического програм-
мирования. Двухэтапные задачи стохастического оптимального
управления поведением динамических систем в условиях неполной
информации представлены в работах Е. Берковича [25], [26], [27].

Итеративный метод решения двухэтапных задач, не требующий
предварительной информации о характере изменения случайных
параметров условий, разработан Ю. Ермольевым и Н. Шором [137],
кроме того, Ермольеву принадлежит ряд результатов позволяющих
проводить анализ задач стохастического программирования [131],
[132], [133], [134], [135].

Дж. Вессельс [432], М. Демпстер [109] и другие предложили раз-
личные обобщения двухэтапных задач и исследовали оценки невя-
зок в стохастических задачах.

Эффективные методы анализа двухэтапных задач с помощью
обобщенной обратной матрицы разработаны в [86], [91], [109], [209].

Приближенные методы оценки значений целевого функционала
разработаны в [209], [273], [411].

Стохастическая транспортная задача обсуждалась в [30], [89], [93],
[125], [287], [367], [391], [438]. Задача перспективного планирования
в условиях неполной информации рассматривалась в работах [127],
[170], [203] и других. Г. Хедли [170] исследовал двухэтапную задачу
со случайной матрицей коэффициентов.

Обзоры результатов по двухэтапным задачам стохастического про-
граммирования выполнены в работах [6], [184], [238], [365], [454] и
Других.
4 Исследование многоэтапных моделей принятия реше-
ний в условиях неполной информации

4.1	Постановки динамических задач стохастического программиро-
вания

Обобщением двухэтапных задач являются многоэтапные задачи сто-
хастического программирования. Многочисленные практические
проблемы перспективного планирования, проектирования и управ-
ления не могут быть удовлетворительно описаны при помощи ста-
тических моделей. Планирование на длительные периоды времени
развития хозяйственных систем, оперативное управление боевыми
операциями, регулирование технологическими процессами и другие
проблемы содержат случайные параметры и требуют для своего
описания применения динамических вероятностных моделей.

В частности, для этих целей используются модели и методы много-
этапного стохастического программирования. Впервые замена ста-
тических моделей стохастического программирования динамически-
ми была произведена с разработкой двухэтапной модели стохасти-
ческого программирования.

Модели многоэтапных задач стохастического программирования
и методы их реализации существенно зависят от информации о зна-
чениях параметров условий задачи, которыми располагают к мо-
менту принятия очередного решения. Можно различать многоэтап-
ные задачи, в которых на каждом последующем этапе требуется
полностью компенсировать невязки, обусловленные реализованны-
ми условиями задачи и принятыми ранее (на предыдущих этапах)
решениями. В других задачах требуется, чтобы на каждом этапе ве-
роятность удовлетворения ограничений превышала некоторую зара-
нее заданную величину или чтобы математические ожидания функ-
ций от невязок условий были бы ограничены заданными числами
или функциями от реализованных на предыдущих этапах значений
случайных параметров.

В зависимости от того, какими являются реальные процессы, под-
лежащие моделированию, многоэтапные задачи могут иметь без-
условные или условные вероятностные или статистические ограни-
чения. Для многоэтапных задач с безусловными ограничениями ха-
рактерно, что решение принимается на основе информации о сов-
местном распределении случайных параметров условий всех этапов.
В многоэтапных задачах с условными ограничениями различают
два случая, когда к моменту принятия решения предполагаются
известными только реализации случайных параметров предыдущих
этапов и когда к моменту принятия решения имеется вся информа-
ция о реализации случайных параметров вплоть до условий теку-
щего этапа, но неизвестны значения случайных параметров после-
дующих этапов. Между многоэтапными задачами с безусловными и
условными ограничениями имеет место определенное соотношение.

Оптимальные решения многоэтапных задач стохастического про-
граммирования могут быть получены в чистых либо смешанных
стратегиях. В последнем случае компоненты решения или стати-
стические характеристики распределения составляющего решение
зависят от реализованных к моменту принятия решения значений
случайных параметров условий задачи.

Построение динамических вероятностных моделей и разработ-
ка методов их реализации представляет значительные трудности, в
частности, это относится к многоэтапным задачам стохастического
программирования. В настоящей главе рассмотрены некоторые во-
просы, связанные с математическими постановками многоэтапных
задач и процедурами построения их решений.

Для дальнейшего изложения постановок и анализа многоэтап-
ных задач стохастического программирования определим нижепри-
веденные понятия. Пусть имеем на г-м этапе $ = 0,1,... ,п —
некоторые пространства элементарных событий где По состоит
из единственного элемента од- Пусть &к — декартово произведение

г = 1, /с, шк = (сщ,... ,6^); ГВ = Г2 и пусть на Г2 задана веро-
ятностная мера В, определенная следующим образом: если А С
то Рк(А) = Р(А х Г^+1 х ... х ГВ). Введем вероятностное простран-
ство (Г2,Е,Р) с соответствующей <т-алгеброй 12, определим Рк —
условную вероятностную меру на О,к :

Р"(Л “ с С) - х В)

для любых А С Г7 /с, Вс Г^/с-1.

Обозначим через Хк декартово произведение Х^ г = 1,..., к\
хк = (х1,..., х^) е Х\ Хп = X, где Хо, АД..., Хп — последова-
тельность множеств произвольной структуры Х^ 6 АД
к = 0,1,.. ., п и где множество Х{} включает одну точку х^.

Пусть задана вектор-функция , хк) размерности для каж-
дого шк Е Ак и хк Е Хк, к = 1,п; кроме того, для каждого ш Е О на
множестве X задан функционал ^о(^7\^п)- Введем = С^[а)к) —
некоторые случайные множества и ЬДоЛ-1) — т-мерные случайные
вектор-функции от Д' 1 (ограниченные и измеримые). Обозначим
через В/- некоторое банахово пространство, которому принадлежит
к

Д(Д-1) _ вектор-функция размерности Д пЕ Наконец, обозначим
1=1

через ЕШк(и(шк) | Д-1) условное математическое ожидание и(шк) в
предположении, что известна реализация Д-1.
Рассмотрим различные постановки многоэтапных задач стохасти-
ческого программирования, используя введенные понятия и обозна-
чения.

Пусть имеем следующую задачу многоэтапного стохастического
программирования

Е^шп,хп) -^т1,	(4.1.1)

Е^к,хк)>Ьк,	(4.1.2)

хк ЕСк, к = ТД.	(4.1.3)

Для того, чтобы задача была сформулирована полностью, необхо-
димо указать, являются ли ограничения безусловными или услов-
ными, определяются ли решения задачи в чистых или смешанных
стратегиях и среди какого класса измеримых функций или распре-
делений следует искать решение. В практических задачах в зависи-
мости от содержательного смысла решение на каждом этапе можно
вычислять как детерминированный вектор, как решающее правило-
функцию от реализованных и наблюденных случайных параметров
условий или как решающее распределение — условное распределе-
ние Хк в предположении, что получена та или иная информация о
реализованных значениях случайных исходных данных. Конкрети-
зация постановки задачи и её информационная структура опреде-
ляются той информацией, которая поступает к моменту принятия
очередного решения. В терминологии, принятой в [134], многоэтап-
ные стохастические задачи порождаются цепочками вида

— наблюдение — решение — наблюдение — ... — решение
решение — наблюдение — решение — ...— решение

Рассмотрим различные модели многоэтапных задач стохастическо-
го программирования, используя классификацию, приведенную в
работе [197].

Многоэтапная стохастическая задача с безусловными ограниче-
ниями имеет вид

У	^0(шп,хп)<1Рип^п 1п€,	(4.1.4)

0пхХп

У	^к(шк,хк)(1РыкуХк >Ьк,	(4.1.5)

№хХк

хк ЕСк, к = ТД.	(4.1.6)

Выделим несколько классов, представляющих наибольший ин-
терес для приложений, из множества информационных структур,
отвечающих многоэтапным задачам с условными ограничениями.
Конкретизация модели (4.1.1) - (4.1.3) в случае задачи с условными
ограничениями, разрешимой в смешанных стратегиях, имеет вид

У (р0{<хп,хп)(1Ршп^п шГ,	(4.1.7)

№хХп

У хк)(1РХк\ык(1Рык\шк-1 > Ы^-1),	(4.1.8)

ЯкхХк

хк е ДЩ); к = 1Д	(4.1.9)

Решением задачи является набор функций распределения ГХк\шь.
Принято говорить, что задача решается в апостериорных решаю-
щих распределениях, если ГХк\шк определяется после реализации и
наблюдения случайных параметров шк\ апостериорные решающие
распределения зависят от хк~г и шк. Говорят, что задача решается
в априорных решающих распределениях, если ГХк\шк определяется
после реализации и наблюдения оЛ-1, но до наблюдения шк, апри-
орные решающие распределения зависят от хк~г и оЛ-1.
Если многоэтапная задача с условными ограничениями решается
в чистых стратегиях, конкретизация модели (4.1.1) - (4.1.3) прини-
мает вид

У	хп)агшп шГ,	(4.1.10)

№хХп

у	(4.1.П)

х Хк

хк е к = 1Д.	(4.1.12)

Набор функций Хк от реализованных и наблюденных случайных
параметров условий задачи является её решением. Задача решается
в апостериорных решающих правилах, если решение принимается
после реализации и наблюдения^, тогда апостериорные решающие
правила имеют вид х& = хъ(шк)- Говорят, что задача решается в
априорных решающих правилах, если решение принимается после
реализации и наблюдения оЛ-1, но до наблюдения шк\ в этом случае
априорные решающие правила имеют вид х^ =

Принято называть задачи (4.1.7)-(4.1.9) (или (4.1.10)-(4.1.12)) мно-
гоэтапными стохастическими задачами в жесткой постановке, если
условия вида (4.1.8) (или соответственно (4.1.11)) в них отсутствуют
и решение на каждом этапе принимается после наблюдения пара-
метров условий и решений предшествующих этапов.

Между областями определения задач с безусловными и условны-
ми ограничениями имеют место определенные соотношения. Ниже-
приведенные утверждения являются обобщением результата, полу-
ченного в работе [122] для частной линейной многоэтапной стоха-
стической задачи, рассмотрим его, следуя [203].

Пусть V — множество допустимых решений многоэтапной стоха-
стической задачи с безусловными ограничениями

V = {хк е С1 х ... х Сп I хк) >Ьк, к = Т~й},

а У[Ьп(шп~х)] — множество допустимых решений (решающих пра-
вил или решающих распределений, априорных или апостериорных)
задачи с условными ограничениями.

Теорема 4.1.1. Множества 17 и V связаны соотношением

V = {хп € уД^"-1)] |	= Ьк, к = ТД}.

Доказательство. Введем обозначение:

V = {хп & У[КП(^”-1)] | ЕЬк^-1) = Ьк, к = ТД}.

Пусть хп 6 V. Это значит, что

Ешк<рк(шк,хк) = Ешк-1{Ешк^к(шк,хк) | ЛЩ >

>	=Ьк, к = 1,п,

т.е. хп Е 17. Пусть теперь хп Е 17. Определим:

Ък{шк~^ = Ешк{^к(шк, хк) | с/“х} + {Ьк - Ешкрк(ш\ хк)} <

< Ешк{рк(ш\ хк) \шк~х}, к = 1,п.

По определению Ьк((хк~^ имеем Ешк-1Ък(шк~х) = Ък.

Поэтому хп Е V.

Теорема доказана.

Следствие 4.1.1. При одних и тех же функциях <рк(шк, хк) и
множествах Ск, к = 1,п области допустимых решений задач
(4.14)-(4.1.6) и (4-1.7)-(4‘1.9) или (4-1 -Ю)-(4-1 • 12) (в зависимости
от того решается ли задача в смешанных или в чистых стратеги-
ях) совпадают в том и только в том случае, если ЕЪк{(хк~г) = Ък.
Приведенные утверждения позволяют переформулировать каче-
ственные результаты, а иногда и вычислительные методы, разрабо-
танные применительно к задачам одного класса, для конструктив-
ного исследования задач другого класса.

Представляют интерес для практических задач соотношения меж-
ду решающими распределениями и решающими правилами. Если
функция выпукла и компоненты вектор-функции вогнуты по
х при каждом се;, то оптимальные значения целевого функционала,
достигаемые на решающих распределениях, могут быть достигнуты
и на решающих правилах. Выпуклость <^о и ~Тк не исчерпывают
условий, при которых оптимальные чистые и смешанные страте-
гии определяют одно и то же значение целевой функции (целевого
функционала).

Значение целевого функционала на оптимальных априорных ре-
шающих правилах многоэтапной стохастической задачи в жесткой
постановке совпадает со значением целевого функционала на опти-
мальных априорных решающих распределениях.

Более сильное утверждение имеет место для апостериорных ре-
шающих правил и решающих распределений.

Теорема 4.1.2. Пусть

а)	вероятностная мера 1Т на Г7 = непрерывна,

б)	существуют положительные функции д^ш) и	ограни-

чивающие по модулю соответственно , хп) и все состав-
ляющие (ръ(щк,Хк).

Тогда оптимальные апостериорные решающие правила многоэтап-
ной стохастической задачи определяют такое же значение целе-
вого функционала, что и оптимальные апостериорные решающие
распределения.

Доказательство. Применительно к одноэтапной стохастической
задаче приведено в работе [197], переход к многоэтапной задаче тре-
бует более громоздких обозначений и выкладок.

Утверждение теоремы остается в силе и для борелевских функций
и при отсутствии допущения о регулярности меры Рш,х.

Задачи многоэтапного стохастического программирования с услов-
ными ограничениями могут быть заменены системой задач, отвеча-
ющих отдельным этапам. Пусть имеем задачу вида (4.1.10) - (4.1.12),
которая решается в чистых стратегиях (в априорных или апостери-
орных решающих правилах).

Области определения задачи г-го этапа соответствует множество

=	| 3^+1еС»+1,...,у„€^];

ЕМ^,хг) | сУ’1] >

Уш, • • •, Уш) I ссЛ-1] >

\/Шг+5-1, • • •	8 = 1,п-г},	(4.1.13)

где С® представляет собой проекцию С, на координатную гипер-
плоскость, определяемую составляющими вектора Х{. Требование
существования векторов Уг+з, з = 1,п — г, удовлетворяющих усло-
виям (4.1.13), эквивалентно наличию индуцированных ограничений
в классической двухэтапной задаче. Необходимым и достаточным
условием разрешимости задачи (4.1.10) - (4.1.12) является условие
К\ Ф (целевая функция (4.1.10) по предположению ограничена
снизу), если, кроме того, 7С1 7^ Ф, то и 7^ Ф7 = 2, п.

Целевая функция С^Х}) задачи г-го этапа представляет собой
условное математическое ожидание ^о(^7\ жп) в предположении, что
на этапах предшествующих г-му, реализован набор о/-1 случайных
параметров условий задачи и приняты решения, составляющие на-
бор хг~г, а на этапах, следующих за г-м, приняты оптимальные ре-
шения х*+1,..., х* :

(^Хг) =	Д”, хг~\ хг, х*+1,Щ.	(4.1.14)

Таким образом, определение оптимального решающего правила на
г-м этапе многоэтапной стохастической задачи сводится к решению
следующей задачи математического программирования:

1111	(4.1.15)

При этом апостериорные решающие правила имеют вид

Хг = Хг(а)г\ уг+8 = тд+5(щг+5), з = 1,п — г, а априорные решающие
правила — Хг = адфУ-1), уг+8 = тд+5(щг+5_1), з = 1,п — г. Ес-
та

ли целевая функция сепарабельна, т. е. ^о(^?\^п) = 52

7=1
имеем

= Е^р-Т^ОгЦ’,^) +<2*+1(ш!,Хг)},

где

^*+^-\x^-^= т! Еш^ш^-1{^р0^+^,x^)+^++\x^)}, 2 = 1,п-1,

при г = п

СЩ-1,х"-1)= т!

хпЕКп

Теорема доказана.

Аналогично строятся задачи отдельных этапов для многоэтапных
стохастических задач, решаемых в смешанных стратегиях (в реша-
ющих распределениях).
4.2 Постановка задачи принятия решений с принципами выбора рав-
номерного и пропорционального развития направлений

Как уже упоминалось выше, классическими механизмами принятия
решений являются эгалитаризм (стремление уравнять индивидуаль-
ные выигрыши участников) и утилитаризм (максимизация суммы
индивидуальных выигрышей). Однако, между двумя этими край-
ними суждениями лежит обширный класс других принципов выбо-
ра решений, каждое из которых обращает внимание и на перерас-
пределение средств между объектами и на повышение суммарного
благосостояния. Одними из таких принципов выбора, которые со-
четают в себе классические принципы выбора, является принцип
сглаживания (уменьшения) диспропорций в развитии направлений
и равномерного развития.

Рассмотрим задачу принятия решения на конкретном примере
распределения ресурсов.

Задача заключается в таком распределении затрат на развитие
объектов (направлений), чтобы при ограниченных средствах полу-
чить максимальный выигрыш (прибыль, прирост на единицу вло-
жений) от их вложения.

В качестве критерия оптимальности мы можем использовать как
классические принципы выбора решения - эгалитаризм и утилита-
ризм, так и принципы выбора, составляющими которых являются
эгалитаризм и утилитаризм.

В качестве критерия оптимальности К(щ(^),2(^),... , ?м(^)) возь-
мем принцип выбора оптимального решения по критерию пропор-
ционального развития направлений:

иг^ = ^сг(1\	(4.2.1)

о
где <т, =

Уг X = V (
8г^ ’	8^ ;•

Данная модель используется, когда целью является постепенное

сглаживание диспропорций в развитии направлений, и предполага-
ет вложение некоторого количества средств во все объекты. Распре-
деление затрат осуществляется пропорционально требуемым сред-

ствам для достижения эталонного состояния каждого направления.
Происходит «подтягивание» объектов пропорционально их отстава-
нию. Такое распределение есть пропорциональное. План распреде-
ления позволяет одновременно перевести все объекты из начального
состояния в требуемое.

Определим экономический смысл формулы (4.2.1):

=	— сумма средств, необходимых для перевода отрасли

г из текущего состояния в некоторое эталонное (желаемое);

8 = 52 (	— сумма средств, необходимых на развитие всех

отраслей из текущего состояния в эталонное.

Следовательно,

у — доля средств, необходимых для развития г-го направления.

Пропорциональное распределение - один из достаточно распро-
страненных принципов математической теории принятия решений
при распределении затрат и дележе прибыли. Ресурсы можно рас-
пределять также пропорционально уровню развития объектов, мо-
жет быть пропорциональное распределение средств с(^) и пропор-
циональное распределение дефицита средств: 52 ( ц) ) — с(/ф гДе
1=1 ' '
п / -	\ \

52 ( У^У(^) ) — требуемые средства на развитие всех объектов, а
г=1 '	'

с(1) — имеющиеся средства.
Пропорциональное распределение затрат предполагает выделе-
ние средств по каждому направлению пропорционально его отстава-
нию от эталонного состояния. Такой подход дает возможность «под-
тягивать» до эталонного состояния одновременно все направления.
Чем больше отстает текущее состояние ^-го направления от эталон-
ного, тем больше средств выделяется на уменьшение этой диспро-
порции в развитии объектов.

Тогда задача принятия решения распределения ресурсов будет
иметь вид:

У1~У№

- п	7^-----Г	т1п> У1 У1^

д	1 ад	7

г=1	х	7

У2с(^) =	+ А А

1=1

- 1) +

Уг(8) > уД + 1), 2/Д1) > 0;

3(8) > о, с(2) > 0, щ(8) > 0;

г = 1,2, I € [1,Т].

Модель принятия решения распределения ресурсов с принципом
выбора равномерного развития является частным случаем принци-
па пропорционального развития. Эта модель может использоваться
тогда, когда целью политики распределения ресурсов является по-
степенное сглаживание диспропорций в развитии направлений (объ-
ектов) .

Сформулируем эту задачу следующим образом.

Г	_ НЗ	т1п.

I \	уг	7 \ а 7 /
п

52с(^) =	+ ’/Л);

1=1

= Уг(*’ - 1) +	+ (к(1\,

Уг(1) > Уг(1 + 1), Щ) > 0;

3(8) > о, с(2) > 0, щ(8) > 0;

г,]’ = 1,2,..., п, г ], I Е [1, Т].

Ставя задачу с экономической точки зрения, говорим о стремле-
нии получить такое распределение ресурсов, которое стимулирова-
ло бы уничтожение диспропорций и достижение общего эффекта.
Эта модель описывает, как наиболее эффективным способом при-
близиться к некоторым эталонным состояниям развития всех на-
правлений, это достижение будет одновременным.

В реальных задачах принятия решения распределения ресурсов
с принципом выбора равномерного развития в первую очередь рас-
пределяются средства в малоразвитые, но жизненно важные на-
правления (объекты) для достижения ими некоторого, заранее за-
данного, эталонного состояния. Оставшиеся после этого ресурсы мо-
гут использоваться на повышение общего уровня развития. При
этом необходимо задать обязательный уровень так, чтобы на его
достижение не ушли все имеющиеся ресурсы.

Несмотря на простоту использования и широкое применение, де-
терминированные модели нередко оказываются существенно непри-
годными для описаний и решений задач в сложных реальных эко-
номических условиях, так как параметры детерминированных мо-
делей, к которым сводятся задачи планирования, распределения ре-
сурсов и управления, рассчитываются на информации, которая но-
сит в той или иной мере вероятностный характер. Все это приводит
к тому, что часть или все параметры моделей могут выступать либо
как случайные, либо как неопределенные величины.

Исходя из возможности получения далеко не лучших и даже аб-
сурдных результатов решения моделей оптимального планирова-
ния, а также из необходимости повышения надежности и макси-
мального приближения к реальным ситуациям, можно сделать вы-
вод о необходимости учета вероятностного характера исходной эко-
номической информации в указанных моделях.

С другой стороны, система производственных отношений такова,
что она с необходимостью осуществляет направление деятельности,
которое в свою очередь детерминировано плановым способом ру-
ководства фирмой, организацией, предприятием и в целом муници-
пальным и народным хозяйством. Но в силу бесконечного много-
образия форм этой деятельности в самом процессе планирования
необходимо использование законов случайных явлений и процессов
в интересах обеспечения необходимости в социально-экономическом
развитии общества и научно-технического прогресса.

Создание процедур принятия и корректировки решения, сочета-
ющих противоречивые требования оперативности и обоснованности
корректировки, приводит к рассмотрению многоэтапных задач сто-
хастического программирования. Корректировка плана, применяе-
мая в многоэтапных стохастических моделях состоит не в изменении
показателей ранее принятого плана, а в планировании мероприятий,
которые позволят достигнуть этих показателей.

Назовем некоторые причины необходимости корректировки пла-
на, приводящие к рассмотрению многоэтапных моделей стохастиче-
ского программирования:

1.	в процессе управления часто не представляется возможным
одновременное наблюдение фактических значений всех параметров
модели, которые полагались случайными;

2.	с информационной точки зрения окончательную корректиров-
ку плана следует осуществлять как можно позже, когда известны
уже все значения фактических параметров модели;

3.	поздняя корректировка существенно снижает эффективность
ее реализации;

4.	уменьшение времени, выделяемого на проведение корректиров-
ки, обычно приводит к повышению степени риска или необходимо-
сти дополнительных затрат;

5.	иногда для приемлемого хода моделируемого процесса прихо-
дится осуществлять некоторые управляющие воздействия, строго
привязанные к определенным интервалам времени.

Однако необходимость корректировки плана не является след-
ствием недостатков в системе планирования. Корректировка при-
нятого ранее плана органически присуща планированию в условиях
неопределенности.

Чтобы перейти к рассмотрению стохастических моделей приня-
тия решений введем вспомогательные понятия.

Как мы уже говорили в первой главе (см. п. 1.2.1) в общем случае
решение стохастической задачи принятия решений представляет со-
бой решающее правило или решающее распределение, зависящее от
двух групп факторов. Факторы первой группы не связаны с наблю-
дением текущих значений параметров условий задачи. Они опреде-
ляются априорной информацией — некоторыми характеристиками
распределения или выборкой возможных значений случайных па-
раметров условий. Факторы первой группы могут заблаговременно
использоваться для построения или для последовательного усовер-
шенствования решающего правила или решающего распределения.
Факторы второй группы определяются апостериорной информаци-
ей, появляющейся в результате наблюдения за конкретной реализа-
цией параметров условий задачи принятия решений.

В случае, когда решение предшествует наблюдению, решающие
правила и решающие распределения зависят только от детермини-
рованных параметров и статистических характеристик случайных
параметров условий задачи. В задачах принятия решений, в кото-
рых решение следует за наблюдением, решающие правила и стати-
стические характеристики решающих распределений представляют
собой функции, таблицы или инструкции, устанавливающие зави-
симость решения как от априорной информации, так и от реализо-
ванных значений случайных параметров условий задачи.

Определение 4.2.1. Решающие правила и решающие распреде-
ления в процедуре принятия решения, в которой решение прини-
мается до наблюдения, будем называть априорными.

Определение 4.2.2. Решающие правила и решающие распреде-
ления в процедуре принятия решения, в которой решение прини-
мается после наблюдения, будем называть апостериорными

Перейдем к рассмотрению и исследованию многоэтапных стоха-
стических моделей принятия решений распределения ресурсов с
принципами выбора классического утилитаризма, пропорциональ-
ного и равномерного развития.

4.3 Качественный анализ многоэтапных стохастических задач с апо-
стериорными решающими правилами

Пусть задача (4.1.10)-(4.1.12) решается в апостериорных решаю-
щих правилах. Совокупность вектор-функций ^(оЛ-1) правых ча-
стей ограничений (4.1.11) при соответствующим образом определен-
ной норме образует банахово пространство /д- при этом каждой
вектор-функции Ьп (о/1-1) е Вп соответствует своя задача (4.1.10)-
(4.1.12). Обозначим через 5(6п(о?п-1)) нижнюю грань значений це-
левого функционала (4.1.10) в зависимости от правой части ограни-
чений (4.1.11), тогда 5(6п(о?п-1)) — функция на Вп. Предположим,
что мера непрерывна. Имеем следующее утверждение.

Теорема 4.3.1. При выпуклых по х функциях рв(а)г\хп) и
—рк(ш\ хк), к = 1,п функционал 3(Ъп{(хп~гУ) — выпуклый.

При п = 1 выпуклость 5(61) следует из теоремы Ляпунова о век-
торных мерах [270] таким же образом, например, как в [191]. Для
справедливости утверждения при п = 1 нет необходимости в до-
пущении о выпуклости ро и —р\. При п > 1 обеспечение выпук-
лости 5(6п(сип-1)) требует некоторых предположений о структуре
целевой функции и ограничений задачи, например, выпуклости р$
и — к = 1,п. Условие выпуклости р$ и —рк по х достаточное,
но не необходимое условие для выпуклости 5(6п(о?п-1)).

Теорема 4.3.1 позволяет построить задачу, двойственную к (4.1.10)-
(4.1.12). Пусть имеем

к.к(Хк.хк. хк ') =

= вир [(Хк,1рк(шк, хк^,хк)) - 8к+1(шк, Л)] ,	(4.3.1)

ШДЛЛ = I	(4.3.2)

0,к
8к{шк~\хкр =

= вир [(^Хк,Ьк(шк~1У) - /4(АЙ,и/-1, Л-1)] , к = 1,п,	(4.3.3)

АЙ>0

где 5п+1(оЛ хп) = ро(шп, хп\ Хк = {А^-}, к = 1, п, у = 1, тк.

Символом (. , .) обозначается скалярное произведение в эвклидовом
пространстве, а символ > понимается в смысле обычного упорядо-
чения относительно неотрицательного ортанта. Пусть
5(Ьпф;п_1)) — замыкание функции 5(Ьпф;п_1)) по норме простран-
ства Вп, т.е. 8(фп(шп~1)) — есть наибольшая полунепрерывная снизу
на Вп функция, не превосходящая 3(Ьп(хп~1У). Имеет место следу-
ющая теорема двойственности.

Теорема 4.3.2. Имеет место соотношение 81 = ^(^(сВ1-1))
[203]. Здесь Ъп(шп~1) не переменный параметр, а тот набор функ-
ций, который стоит в правых частях (4-1-11)-

Вышеприведенное утверждение дает возможность сформулиро-
вать апостериорные решающие правила для задачи (4.1.10)-(4.1.12),
имеем достаточное условие оптимальности.

Теорема 4.3.3. Пусть существуют вектор-функции

€ СПД"),

АЩ"-1) = {А1; Л2Щ),..., А„Щ-1)} > О,
удовлетворяющие соотношениям (4.1.12) (как равенствам при
АД Л-1)	0 ), и

Д(АьД,Д-1Щ-1)) =

= (Аь хкЩ))) - Зк+1Щ, Л), к = 1Д,	(4.3.4)

где Зп+\(щп,хп') = ^(хп,хп), а остальные вычисляются с помо-
щью рекуррентных соотношений (4-3.1) - (4-3.3), тогда хп(щп)
представляет собой набор оптимальных апостериорных решаю-
щих правил задачи (4-1-Ю)~(4-1-12).

Доказательство. Приведем доказательство в соответствии с [203].
Имеем из соотношений (4.3.1)-(4.3.3):

у ^о(сЛх’>”)МГи" <

Пкх...хС1п
<	I Зк+1	=

= -1 кк	Л^Щ’1)) ^и-! +

к

+1 (А.^-1),^^,^^)))^^-^
к

= —Нк (А.^-1),^-1,^-1^-1)) + (А^-ДМ^"1)) <

<	Зк (ш1^1 ,хк~1(шк~1>)') , к = п,п — 1,..., 1.

Когда к = п, первое неравенство заменяется по определению равен-
ством. При к = 1 имеем, кроме того, 8\ <	но, с другой

стороны, при к = 1

У <^оИ,жпИ))^ =

Г21Х...хГ2п

= У	аршп >

Оп

Поэтому

У (шп,хп(шп))(1Ршп =

Оп

т.е. хп(шп) — решение задачи (4.1.10)-(4.1.12).

Теорема доказана.

Доказанное утверждение может быть использовано для постро-
ения оптимальных апостериорных решающих правил многоэтап-
ной задачи стохастического программирования с условными веро-
ятностными ограничениями.

Пусть имеем задачу вида

Е(р0(ш1\хп)	т1,	(4.3.5)

Р{хк е Пк(ик, ЛД I с/-1} >	(4.3.6)
хк(шк) 6	к = 1,п,	(4.3.7)

где на каждом этапе ^(лД хк) представляет собой характеристиче-
скую функцию случайного множества Пк(шк,хк~1\ а все ^(сл^-1)
в неравенствах (4.1.11) — скаляры '). принадлежащие отрез-
ку [0,1] (задача (4.3.5) - (4.3.7) является частным случаем задачи
(4.1.10) - (4.1.12)).

Обозначим

ак(ш\хк~г) = зпр фк(ш\хк\
хк^к

щ-(лА', л^1) = 8прД(сД Д);	(4.3.8)

[ДА*, Л"1, Л"1) = Щ € С1к | ск(шк^1,шк,хк^1) <

^аДЛУ^ЛД + АЦ;	(4.3.9)

ук{Хк,шк~\ Л-1) = Щ е &.к | сДЛ-1,^, Л-1) <

< ак(шк~\мк, Л-1) + хк}-	(4.3.10)

ик(Хк, сЛ 1, .гк ]и хк(Хк, х’к ]. Л ') — меры множеств Цк и Ук
соответственно,

АДЛ”1, Л”1) = тГ{А > 0 I аДЛ”1) <

<ик{Хк^к~\Хк~^}-	(4.3.11)

Ф^ЯЛ"1,Л"1) = нк(х;,(хк \ Л"1), Л"1,ЛД-

-^(Л-^А^Л-^Л-1);	(4.3.12)

ЯДА^Л"1, Л"1) = У ЩАьЛЦшьЛЛ^И-1;	(4.3.13)

ГД

^(А/сСЛ^,^-1) = тах{од(лД хк~г) + Хк, ск(ш\ хк~1у)}.	(4.3.14)

Используя теорему 4.3.3, можно проверить справедливость сле-
дующего утверждения.
Теорема 4.3.4. [203] Пусть (ро(аУ,хп) — ограниченная снизу
функция и условия (4-3.6)-(4-3.7) совместны, тогда нижняя грань
функционала (4-3.5): (р$(шп,хп) = —фп(шп,хп). Это число опре-
деляется в результате решения рекуррентной системы (4-3.8)-
(4-3.14), при к = п,п — 1,..., 1.

Для того, чтобы выписать оптимальные апостериорные решаю-
щие правила многоэтапной стохастической задачи с условными ве-
роятностными ограничениями, введем еще на каждом (к-м) этапе
множества ЬДсД-1, хк~г) и ТУДсД-1, хк~г). Множество ЬДсД-1, хк~г)
является произвольным подмножеством меры

ак(шк Д—п(А^,сД \хк Д множества Кк(шк \хк Д =
=ик(Х1(шк~\ х^1), шк~\х^1) \ Ук(Х1(шк~\ х^1), шк~\ х^1).

Множество ДДсД-1, гг^-1) является дополнением ЬДсД-1, гг^-1)
до Нк(шк~\ хк~г). В этих обозначениях хп(хп) определяет опти-
мальный набор апостериорных решающих правил задачи (4.3.5) -
(4.3.7) тогда и только тогда, когда на каждом этапе (к-м) имеют
место соотношения

е Вк(хк, хк Д, фк(хк, хк(шк)) = Хк(шк, хк г(хк Д),
если шк е Пк (АДсД-1, хк~г), сД-1, хк~^) \

\Ик (шк~\хк~^ .

хп(шп) = <

фк(шк, хк(шк)) = ск(шк, хк х(шк Д),
если шк е Ук (АДсс?^-1,^-1),^^-1,^-1) и

Шк	.

(4.3.15)

В процессах планирования, проектирования и управления многие
проблемы могут быть формализованы в виде задач на экстремум.
Решение детерминированных экстремальных задач не вседа удается
довести до вида, удобного для практического применения, прежде
всего это относится к ситуациям, требующим оперативного выбора
решений, поскольку алгоритмы решения детерминированных задач,
как правило, очень трудоемки.

В стохастических экстремальных моделях процесс решения мо-
жет быть растянут во времени и разделен на предварительный и
оперативный этапы. На предварительном этапе подготавливаются
решающие правила или решающие распределения — решения сто-
хастических задач; на этом этапе не требуется оперативной инфор-
мации об исходных данных. Необходимо знать структуру задачи и
некоторые статистические характеристики случайных параметров
условий задачи.

В последние годы сформировался и другой путь решения сто-
хастических задач заслуживающий внимания. Метод итеративно-
го построения решающих правил или решающих распределений по
последовательным наблюдениям реализованных значений случай-
ных параметров задачи, имея в виду разработку и адаптивное со-
вершенствование решающих правил или решающих распределений
при полном или частичном отсутствии статистических характери-
стик исходной информации. Ниже рассматривается состояние этого
вопроса и приводятся обобщенные схемы стохастической аппрокси-
мации.
4.4 Постановка задачи принятия решений в условиях неполной ин-
формации с апостериорными решающими правилами

Рассмотрим многоэтапную задачу принятия решений с вероятност-
ными ограничениями и апостериорными решающими правилами:

М^о Л", Ы;	(4.4.1)

Л О I Л’1} =

=	I ^’1} [ <	(4.4.2)

I г=1 7=1
у^1+ 1,Л-1)	=

= ЗДЛДЛ^^1) +<ШЛД; (4.4.3)

УгЦ + 1, Л-1) > уД, Л-1), ^(1, Л-1) > 0;	(4.4.4)

3{(1,Л-1) > 0, гЩ, Л-1) > 0, ск(1,Л-1) > О,

г = 1Д, шк е Пк = хк=1^, I € [1, Т],	(4.4.5)

где ск(1,шк~1) — вектор статистических ограничений.

Если в качестве целевого функционала мы выберем классический
принцип выбора утилитаризма, то данная задача будет иметь вид

Мип^о(ш'‘, О)) = Мип ] ^2	1 1пГ; (4 4

I г=1 Уг ' )

МЫкШ^,ик^\шк~1} =

= IЕЕК(Л^) I ^-1} [ < сДХ’1);	(4.4.2')

I г=1 3=1	)

Уз^+1,шк~1) -узЦ,^-1) =

=	ЛЩиЛ,^-1) +сШ^-1);	(4.4.3')

Уз(1 + 1,оЛ-1) > У1^,шк^), г/Д!,^-1) > 0;	(4.4.4')

3^1, Л ') > 0, иг(/, Л"1) > 0, ск(1, Л"1) > 0;
г = 1,п, е = хк=1Пг^е [1,Т].	(4.4.5')

Обозначим Уг(^1,шк~1) —	через Лф^с^-1), а

5ф^,	с»/-1) + ф(/:, с^-1) обозначим как /)(/;, с^-1).

Будем вычислять апостериорные решающие правила, т.е. опреде-
лять решение среди случайных величин

= (иц(1, а;1),	...,ит(1,шп)').

Обозначим через рг вероятностную меру на ГГ — множестве эле-
ментарных событий Л, определенную следующим образом:

если А с ГГ, то рг(Л) = р(А х х ... х ГЦ, а через —
условную вероятностную меру на для всех А С Гф, В С Г2«-1

Рг(А | Ос/-1 е В) = для любого А с ГГ, В с ГГ-1.

Меру рп будем предполагать непрерывной.

Пусть 12 — а-алгебра случайных событий на Г7. Таким образом,
мы определили вероятностное пространство (Г2, Е, В).

Переформулируем задачу (4.4.1)-(4.4.5) следующим образом. Тре-
буется минимизировать

Л),у2(^,^2),... ,у„Дшп)) (4.4.6)

на совокупности измеримых отображений

ДЩ) = (ип Д1, Д • • • Д, иг^,1) : ГУ ->

где — множества произвольной структуры таких, что

е В^-,	= 1, 2,..., п, удовлетворяющих условиям:

(^, сд1), щ2сд2),... ,Щу(^сВ)) =

= (4-4-7)

7=1
^{угА* + х) -х)} =

=	') 4-^Д,^-7"1)};

^3

У;Д+1Д-1) > у;ДД-1), Д1Д1) > 0;

(4.4.8)

(4.4.9)

5д(^,о?-7 х) > 0, щД^сД х) > 0, Сд(1,аР х) > 0;

г = 1,п, д = 1,2, ...,п,	6 & = х{=1ГфД 6 [1,Т].	(4.4.10)

Для задачи принятия решений распределения ресурсов с апосте-
риорными решающими правилами и утилитарным принципом вы-
бора, данная задача может быть переформулирована следующим
образом. Требуется минимизировать

У2 Д(^ЫЛЩЫЛ^2), • • • ,?лД Д)) =

уг-уг(1,шп)

Оп г=1

при выполнении условий

• • • ,«гДД)) =

< сДД-1); у = 1,2,... ,п-

Я, ]=1

У2{Уч(^+	- Уу(Л^-1)} =

= х) +

Уу(^ + 1,^-1) > УуЛ,^-1), Уу(1,^-1) > 0;
3^(1^ х) > 0,	х) > 0, х) > 0;

г = 1, п, д = 1, 2,..., п, о?-7' е О-7 = х{=1Гф, I е [1, Т].

Будем предполагать, что су^оР-1) — ограниченные измеримые
вектор-фу нкции. Введем ^2 тщ-мерные вектор-фу нкции
к=1

Су(^, ссР-1) = (с1(^), ссЛ),..., су^ссл7-1)) и определим норму век-
тора су(^,ссР-1) следующим образом

\\Сд (^, СсТ7-Х) || = тах(|С1(Х)|, 8Пр \С2^^ СсЛ)|, . . . , 8Пр |су(С СсТ7-х) |) ,
сД	сЛ'-1

где |су | — евклидова норма вектора су в ту-мерном евклидовом про-
странстве. Согласно [91], совокупность всех таких функций образует
банахово пространство, которое обозначим через Су. Тогда каждой
вектор-функции сп(^,а?п-х) е Сп будет соответствовать своя задача
(4.4.6)-(4.4.10). Обозначим через 8(сп(1, о/1-1)) нижнюю грань це-
левого функционала (4.4.6) задачи (4.4.6)-(4.4.10), согласно [96] это
функция на Сп.

Зафиксируем оЛ-1, и^1, щ е Нтк.

Рассмотрим следующую задачу. Минимизировать

Фо(Д-1, ^к,	(4.4.11)

0,к

на совокупности измеряемых отображений:

^//(•(^ ? ^) — ^г/с(^	1	1 ^) •	Сд,

удовлетворяющих условиям

Д V) Скф> Д-1),	(4.4.12)

0,к

'^2Ак((л>к^1,шк,и^1,игкф,шк')4) =
= У~^ А^(^	(4.4.13)

А

щ(1,шк~1') > 0,	> О, г = 1Д, I е [1, Т].	(4.4.14)

Обозначим через 5Цсд/-1, ик~г, Ск) нижнюю грань минимизируе-
мого целевого функционала данной задачи.

Теорема 4.4.1. [97].5(с/с(^,с^-1)) совпадает с нижней гранью
минимизируемого функционала в следующей задаче:

^8кЩ-\ик-Ч1^кЩ,ск(1^кЩ} пип (4.4.15)
О/,:

для всех с^-1) = (иц(1, о;1), гц2^, се?2),..., гцд_1(/;, та-
ких, что

(4.4.16)

А;(Л,^,цД, Л),^) =	(4.4.17)

0г	^1

> 0, е/(^,сс/-1) >0, I е [1,Т], I = 1, к — 1, г = 1,п.

(4.4.18)

Доказательство. Если ?4(^,с</) =	о?1),..., и^(1, с</)) удо-

влетворяет условиям (4.4.16), то

У2^/г(^ \^к,ик 1 ,иЛ^,шк),С < ск(1,ик Ц
0,к

Поэтому по определению:

^(^-1,«У1(^^-1),С.(/,^-1)) < ]Г^о(сЛ Д(Лс?)).

^А:

Следовательно, нижняя грань целевого функционала задачи (4.4.15)-
(4.4.18) не больше 3(с^(ф, с^-1)). С другой стороны, можно найти
г^-1(/;, о^-1) так, чтобы выполнялось соотношение (4.4.16) и чтобы
(4.4.15) отличался от нижней грани целевого функционала задачи
(4.4.15)-(4.4.18) не более, чем на заданное е > 0.

Рассматривая для каждого шк } задачу (4.4.11)-(4.4.14) с
ик~г = г^-1(^, с^-1), найдем такое, чтобы оно удовлетворяло усло-
вию (4.4.12) и чтобы (4.4.11) отличался от (4.4.15) не более чем на е.
Тогда вектор-функция ик(1,шк) = (г^-1(/;, с^-1),	с^)) удовле-

творяет условиям (4.4.7).

Обозначая через 3' нижнюю грань целевого функционала задачи
(4.4.15)-(4.4.18) получаем:

<У

. №

< 52 [54^-1,иУ1(Л^-1),с^(Л^-1)) + е] < 5" + е.

ГУ’-1

Так как е мы выбрали произвольно, то ^'(с^, о^-1)) будет нижняя

грань минимизируемого функционала в задаче (4.4.15)-(4.4.18).

Теорема доказана.

Теорема 4.4.2. [96]. При выпуклых пощ функциях , и?) и

—ф^(шк\ик'), к = 1,п; функционал 5(0-^, с»/1-1)) — выпуклый.

4.5 Рекуррентные апостериорные решающие правила

Построим задачу, двойственную к (4.4.6) - (4.4.10), и рекуррентную
последовательность решающих правил.

Рассмотрим следующую последовательность функций:



= вир [(Ап,^п(ш^иУ(«),иД)))-^>о Д«"
игп^йп
Нп(Хп^п \и™ х(/)) = у /гп(Ап,шп \шп,и™ 1(^))(1рп-
8п(шп~1,и^~1(1')) = зир [(Ап,с„^,^"-1)) - Нп(Хп,шп,и™~1(1;У)]-,
Л„ ||'А„ |.Сс’" ',и.'' 2Е)) =

= аир [(Ап_1,^п_1(шп х,и7 2(/),иг>„_1(/))) -
^1,72— 1	1

-8п(шп~1, иП1~‘2(1), г^п_1(г))];

Яп-^Ап-!,^"-2,^2^)) =

=	^п—1 (Ап—1,

^„-1

5п_1(^-2,^-2(/)) =

= зир [(А„_1,сп_1(7,шп“2)) - Яп_1(Ап_1,ш”“2,и’г“2^))];

Ап-1>0

1гк(Хк,шк,ик =

= зир [(Хк,’фк(<шк,и^1(1),щк(1')')) - 8к+1(шк,ик(1))]-

= зир [(АьМ/,^-1)) - Нк(Хк,шк~\ик~\1)У\-,
Аь>0

Л.1(А1, с*-?1) =

= аир [(А1,^1(^1,ш(^))) - 52(си1,иЙ(/))];

Я?;1 ЕЕ/?:1

^1(А1) = у*

Г21

51 = зир [(А1,С1(^) - Я1(А1)];

А1>0
Обозначим через 5п(сп(^, сип-1)) замыкание функции
8(сп(Ъ, о/1-1)) по норме пространства Сп, т.е. 8п(сп(1, о/1-1)) есть
наибольшая полунепрерывная снизу на Сп функция, не превосхо-
дящая 8(сп(1, о/1-1)).

Теорема 4.5.1. [97]. 8г = 8п(сп&с^”1)).

Доказательство. В случае п = 1 утверждение следует из [57].
Допустим, что теорема верна для п = к — 1 и рассмотрим случай
п = к.

Зафиксируем сД-1, г^-1(^) и рассмотрим задачу (4.4.8)-(4.4.9).
Так как задача (4.4.6)-(4.4.7) одноэтапная, то ^(с^-1, г^-1(/;)) сов-
падает с 8^^к~гПоэтому

= зир [(Ай-1,^-1Ц&-1,и-_2^),^Л-1Д)) -

'г/г,Аг-1	Аг-1

Л5ЩЩД-Д))] =

= зир [(А^-1,гЛг,Л;_1Ц))) —
, к — 1 С ; — 1

-8к^к-\икг~Ч1\ск(1,Шк-^],

т.е. значения 8^_\ (шк~2, ик~2(1)), вычисленные для задач (4.4.4)-
(4.4.5) и (4.4.8)-(4.4.9), совпадают.

Следовательно, для них совпадают и все 8^ г < к — 1. По
индуктивному предположению, справедливому для задачи (4.4.15)-
(4.4.18), 51 равно значению замыкания функции, равной нижней
грани функционала (4.4.15) задачи (4.4.15)-(4.4.18) в зависимости от
правой части ограничения (4.4.16), в заданной точке щ.Д/;, сД-2).
Но, как видно из теоремы 4.4.1, эта функция совпадает с
ДбД, О?"-1)).

Теорема доказана.
Теперь можем сформулировать рекуррентное решающее правило,
которое здесь выступает как достаточное условие оптимальности.

Теорема 4.5.2. Для того, чтобы задача принятия решений
(4-4-11)~(4-4-14) имела решение иДб достаточно, чтобы суще-
ствовали такие вектор-функции

А>"-1) = (А1,А2Щ),...,А>"-1))>0!

что удовлетворяются условия (4-4-1%) (как равенства при

АДо?1-1) т^О) и
/г,(Аь^,Д-1(Л^-1)) =

= (АьЩсДД(гХ))) -Д+1(сЛД(<	(4.5.1)

где 8п+1(шп,и™(Щ = ЩЛДД)), а остальные 8 к определяются
по выше описанному рекуррентному правилу.

Доказательство. Имеем

I	= у$пЩсЛ<(^)Ж =

--п	ГД

= ~1 ^(АпЩ-1),^,^1^,^-1))^
--п

+1 (АпД”-1),^^",^^,^)))^^

= -ЯДАпИ-1),^-1,^-1^^"-1)) + (АДс^-ДсД,^1)) <
^Д^ДД-Д,^"-1)).

Поэтому

I ЩсУ>Д,сД>" <
'шп \и™	1))йр„-1 =

1

= - У Л„-1(А„Да>"-2),а>"Д^_2(Ла>"_2))ф„_1 +
^п-1

= -я„1(л„1Ы"-2)^"-2.«г2Глс"-2п +

+ (А„_1И-2),Сп_1(^^-2)) < 5„_1(^-2,г/Г2(Л^-2));



шк \ик 1(^,шк 1))(1рк =

х

,шк,ик к^,шк 1))с1рк+







шк 1),ск^,шк х)) <



= ~У Л1(А1,а)1)ф1 + (А1,С1(4)) < Зг < З^а,^-1)).

Но, с другой стороны,



Итак,

У ^оИ,^(Ло;"))ф" > 5(с"(Л^

Оп

У	= 3(сп^ш'

Оп
т.е.	— решение задачи (4.4.11)-(4.4.14).

Теорема доказана.

4.6 Л-задача

Для ряда многоэтапных моделей принятия решений в условиях
неполной информации, представляющие собой соотношения, кото-
рые связывают компоненты решения с реализацией случайной ве-
личины со и некоторый векторный параметр А, могут быть получе-
ны решающие правила. В некоторых отдельных случаях постановок
таких задач вектор А — план двойственной задачи — оказывается
решением некоторой относительно простой задачи выпуклого про-
граммирования. Будем называть эти задачи К-задачами.

При достаточно общих предположениях относительно структуры
модели можно указать конструктивные пути построения и анализа
Л-задачи для вычисления апостериорных решающих правил много-
этапных стохастических задач принятия решений.

Пусть — область определения аргумента щ, а Г - область зна-
чений функции	Введем следующие определения:

Определение 4.6.1. [95]. Функция	на III х О квазиво-

гнута в 1Д, если при любом щ 6^ (ъ = Д и любом веществен-
ном с множество {щ | /(щ(^),сД > с} выпукло.

Определение 4.6.2. [95]. Функция	на {Д х Г7 квазивы-

пукла в О, если при любом щ е 11{ (г = 1,п), и любом веществен-
ном с множество {щ | /(щ(^),сД < с} выпукло.

Определение 4.6.3. [95]. Функция на	на {Д х Г7

(г = 1,п) квазивогнуто-выпукла, если она квазивогнута в III, и
квазивыпукла в Г7.

Согласно этим определениям, мы можем сказать, что каждая во-
гнутая функция квазивогнута, выпуклая — квазивыпукла, а вогнуто-
выпуклая — квазивогнуто-выпуклая.

Определение 4.6.4. Будем называть подмножество

[гц,/(гц(/ф о;)] множества х Б графиком функции (отображе-
ния) ф(иф^ф

Пусть Ь — множество предельных точек всех последовательно-
стей образов в графике отображения, соответствующих пути
щ а Б(и®(Бф) — множество образов точки и®.

Определение 4.6.5. [96].Функция	полунепрерывна свер-

ху в и®, если Ь С Б(и®(Бф), и полунепрерывна снизу в и®, если
Б(и^(ф)^ С Б. Если ф^иффф) полунепрерывна сверху и снизу,
Б(и®(Бф) = Б, и функция непрерывна в и). Функция полунепре-
рывна сверху (снизу) на множестве 1ф, если это свойство имеет
место для всех

Определение 4.6.6. \96]. Функция /(щ(^),о?) на1фхБ1 является
полунепрерывной сверху - полунепрерывной снизу, если ф, Б)
полунепрерывной сверху по щ для каждого ш Е Б1, и полунепрерыв-
ной снизу по а) для каждого щ е Ш.

Теорема 4.6.1. «О минимаксе» [97]. БГусть Б г = 1,2,... , п
и Г7 — выпуклые множества, одно из которых компактно, а
ф(иг(Е),Б) — функция на1фхБ1 квазивогнуто-выпуклая и полуне-
прерывная сверху - полунепрерывная снизу. Тогда

вир тп! о?) = тп! вир	(4.6.1)

ще1ЛшЕ^	шЕ^ще1Л

Теорема 4.6.2. [97]. Пусть Х(У) выпукло и компактно,
У(Х) — произвольно выпуклое множество, а ф(х,у) — вогнуто-
выпуклая функция на X х У. Если ф(х,у) полунепрерывна сверху
по х для каждого у ЕУ (полунепрерывная снизу по у для каждого
х е X), то имеет место (4-6.1).

Лемма 4.6.1. [95]. Пусть существует функция

6 являющаяся \/ш решением задачи

вир	(4.6.2)

иЩ,ш)еПЦш)

Тогда

М вир /(гц(/:, о;), сф = вир Мф(щ(Т о?), ш) (4.6.3)
иЩ,ш)ЕП{

или

/вир ф(щ(^(ХцсХ)др = вир / /(гц(^, о;), о?)ф. (4.6.4)
ЕЩ(ш)	и{Щш)ЕЩ Ф^

Доказательство. С одной стороны, имеем

/ /(и*(2,Д,Дф = / зир /(иД,Д,Дф>

Ф	Ф иЩ^ЕПЦш)

> вир / /(^(^,а?),сс?)ф;	(4.6.5)

иЩ.ЩЕС!,, Ф
о

с другой стороны,

ВПр / /(^г(^ (хф(х)др > / ф(щ(ф, Сс?), Сс?)ф,	е ифшф

иЛЦи^ЕЩ Ф	Ф

О	О

тогда справедливо и неравенство

вир / Ф(иг(ф) ш),(Х)с1р > / /(?/*(/:, о?), ш)др. (4.6.6)
и{:Ц,ш)Е17{, Ф	Ф

О	О

Сравнивая (4.6.5) и (4.6.6), получаем

/вир ф(щ(ф, ^), (х)др = вир / /(^(^, о?), о?)ф. (4.6.6')

Теорема доказана.

Рассмотрим многоэтапную задачу принятия решения в условиях
неполной информации (4.4.1)-(4.4.5):

7И^оЦп, -> шГ;

(4.4. Г)
щщсДЩ/)) I ^-11 =

I г=1 7=1
иц(1,ш) е ПуД),7 = 1,п;	(4.4.2")

уг(1+ Х,^1) -уг(Ъ,шк~х') =

= 5Д с/ДпЛ,^1) +^(Л	(4.4.3")

у^+1,^-1-) >уЛ,икЩ, у^,шк-^>П-	(4.4.4")

Зф1, ЛЩ > 0, с^/,^1) > О, и(1,шкЩ > О,

? = Гп, шк € Пк = хк=1П1, I € [1, Т].	(4Л.5")

Введем рекуррентным образом функцию ДДш", п"“\ А"_&=1’п):
ф{к+1\^иГк^ип~к’п) = (А^И-"-1),^^”-"-1)) -
зир	[ (А„_, И-*-1), фп_к (шп-к, иГк (*)))-

'ХДА; —п (Т)^-Ткп — к

-Ф(ок)(шп, и?-к(Ф), А"-^1’")], к = 0,п-1,
где

А^ = (\кЩ~\ \к+^к),..., АпИ’1)),
40)И,<И) = 4И,<(/))•

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 4.6.2. [97] Пусть функция	выпукла по

а) е	е и вогнута по е К(^); \/о? е и

существуют функции

ШЕП

/СФ = зир Ф(и1(1,а;),а;).
иЩ,ш)ЕЩ(ш)

Тогда	вогнута по щ на [/(, а ф(щ) выпукла

по а) на Г7.
Теорема 4.6.3. Пусть целевая функция многоэтапной стоха-
стической задачи принятия решений	г = 1,п,

I е [1,Т]; квазивыпукла (выпукла) по и™(1) е 1Д1, а компо-
ненты ограничений многоэтапной задачи принятия решений —
вектор-функции фъ(шк ,ик(Тф), к = 1,п, I е [1,Т]; квазивогну-
ты (вогнуты) поик(1) е 11к, Ушк. Тогда ф^\шп,и7)~к(к),Хп~к+1^п'),
к = 1,п, I е [1,Т] квазивыпуклы (выпуклы) пои™~к(Т) е П(1~к,
\/Ап-/с+1,п > 0 и квазивогнуты (вогнуты) по Д71”^1’71 > О,

Чшп, ^-к(1) е и?-к.

Доказательство выпуклости и вогнутости функций

^+1’Л

удовлетворяющих условиям этой теоремы, следует из леммы. Ква-
зивыпуклость и квазивогнутость этих функций следует из опреде-
лений 4.6.1, 4.6.2.

Лемма 4.6.3. Если целевая функция гффшф и)(Тф, г = 1,п,

I е [1,Т]; задачи принятия решений в условиях неполной инфор-
мации выпукла по и7((к), \/шп, а функции условных ограничений
фъ(щк,ик(1У), к = 1,п, I е [1, СР] вогнуты по ик(Ь)Ушк, то функ-
ции

41 V, «гМ а„), 4%",а-1’"), ...
..., 4%",	А”-/г+1’’Т к = ОД

непрерывны по соответствующим переменным.

Доказательство этой леммы вытекает из доказательства теоремы

Дебре [7].

Перейдем к построению А-задачи для стохастической модели при-
нятия решений (4.4.1") — (4.4.5") • Будем предполагать, что функции
^фДгф(^)) и фк(шк, ик(фУт к = 1,п, I е [1, СР] удовлетворяют тре-
бованиям теоремы 4.6.3. В соответствии с леммой 4.6.1 и теоремами
4.6.1 и 4.6.2 мы можем записать рекуррентные апостериорные ре-
шающие правила в следующем виде:

Зп^п~\ Д-Д)) =

= вир 1 (А„, сп(1)) - вир [(А„, фп) - ф0] [ =
Лп>0	щп(1)е11гП	'

= мШпИ-141)ди,д-1д,Ап),

= вир МШп1|ш„-2{(Ап_1,с„_1(/))-

А„-1>0	1

вир [А„_1, фп-х - Ми вир ф^] ! =
иг,п — 1	1	Ап>0

= вир Мш„-1.пДАп-1,с„_1Д)-

А„_1>0	1-

вир 1пГ [(А„_1,фп-1) - фо'1] } =
Л"-° )

= зир	(Ап-1,Сп-1(^))-

Дп-1,п>0

вир [(А„_1, фп_ф - 4Ч } =
иг,п— 1 (^) ^к,п — 1

= вир МшП-1.п42)Д”,Д-2(^,Ап“1’”)-

Дп-1,п>0

Аналогичным образом получаем

Зк= зир

ДМ>0

- вир [(Аь^)-4”-/г)Д",4Д,Ат’п)]} =
игк

= вир М^.п4"_/С+1)И,4_1Д,л/г’п)-
ДМ>0

Полагаем к = 1, получаем

Д = вирМш„4"А”Л”)-

Ап>0

Сформулируем Л-задачу для многоэтапной стохастической модели
принятия решений (4.4.1,,)-(4.4.5,/)-
Теорема 4.6.4. При выполнении принятых предположений от-
носительно функций 'фо(шп, гф(^)) и	которые опре-

деляют условия многоэтапной стохастической модели принятия
решений (4-4-1")-(4-4-б"), двойственная к ней (К-задача) может
быть представлена в виде

тжМыпф^(шп,
Лп>0	04

(4.6.7)

Условия теоремы 4.6.4 гарантируют вогнутость функций
4п)Щ,Ап) по Хп > 0 \/шп.

Рассмотрим случай, когда целевой функционал

<2(АП) =

задачи (4.6.7) может быть представлен в виде

Ф”) = МШД4(ЛП+1И), Ап(^”-1)),	(4.6.8)

причем 4"^ ~ вогнутая дифференцируемая функция относительно
Ап(о?п-1) и компонент известной вектор-функции Ап+1(о?п).

Рассмотрим следующую конечномерную задачу выпуклого про-
граммирования

тахДп)(Ап+1,ц”),	(4.6.9)

/.Г'>()

где А„+1 = 7ИА„+1(ш”); д" =	..., д„).

Пусть вектор /л*п — решение задачи (4.6.9). Пусть функционал
Т(п)

удовлетворяет следующему условию:

Щ^а„+1ДДап+1И), м*”), ап+1И)) =

= М VА„+1 Дп) (А„+1 (сФг), /Х*п)МХп+1 И),

или, что то же самое,

Мш,.(Уа„+1Дп)(А„+1Щ),д*п), А„+1Щ) - АП+1Щ)) = 0. (4.6.10)
Справедлива следующая теорема.

Теорема 4.6.5. При принятых допущениях относительно
структуры целевого функционала решение конечномерной вы-
пуклой задачи принятия решений (4-6.9), которое представлено
детерминированным вектором ц*п = {д*п}; г = 1,п; является
решением К-задачи.

Доказательство. Неравенство Йенсена для вогнутой функции
т(п)
ту о можно записать в виде:

е(А") = мДп)(А„+1И),А”Щ-1)) <

< ^\мхп+^п\мхп^п~^ < Дп)(ДЛ АД (4.6.11)
Учитывая, что //Д — решение конечномерной задачи (4.6.9), полу-
чаем для Хп > О

ЛЛ < Д’ЦЛЛ Л < Л(ЛЛ Л)-	(4.6.12)

Таким образом, решение конечномерной задачи (4.6.9) определяет
верхнюю грань целевого функционала Л-задачи.

Покажем, что при допущении (4.6.10) вектор /г11 дает точную
верхнюю грань функционала С)(Хп) при Хп > 0 и, следовательно,
является одним из оптимальных планов Л-задачи.

Действительно, для дифференцируемой вогнутой функции
ДдП\Ап+1(с<;п), д*п) при всех справедливо неравенство

ДДХЛИ), Л) - ЛЛлЛ”), Л) <
< уА„+1Дп)(Ап+1И),м*п),ЛЛ- Ап+1 Л)).

Вычислим математическое ожидание обеих частей неравенства.
Учитывая (4.6.10), получаем

Дп)(ДЛЛ, Л) < мДп)(ап+1(Л, Л) = ЛЛ)- (4.6.13)
Сопоставляя (4.6.13) и (4.6.12), приходим к выводу, что

8ирС(Л”) = вир МДП)(А„+1И), АПИ-1)) =
А>0	Ап>0

= ДДап+1,м*п).

Таким образом, при принятых допущениях существует детерми-
нированный вектор д*п = {д*п}, являющийся решением Л-задачи и
определяющий апостериорные решающие правила исходной много-
этапной стохастической задачи принятия решений.

Теорема доказана.

Детерминированный оптимальный план не всегда является един-
ственным решением Л-задачи. При принятых допущениях все опти-
мальные планы представляют собой наборы функций Ап(о?п-1) > О,
удовлетворяющих уравнению

мДДап+1И), Ап(с<Уг_1)) = ДДЕД/О (4.6.14)

Построим Л-задачу для многоэтапной задачи распределения ре-
сурсов с принципом выбора классического утилитаризма.

ДДсЛзГДШ =

= -Хпсп(1) + тГ	+ Е (-	,

\	У г	/

где — матрица ограничений, описывающая, например эффек-
тивность технологических способов производства, тогда

а,лЛ) - Е (" Д:)

^г,п(^^П) =	•

г=1

В соответствии с рекуррентными формулами получаем
Подставляя значение Щд(Д сщ) в выражение для	Ап), полу-

чаем необходимое выражение для построения Л-задачи:

п

4Дсла„) = -Е[^сД)+

7=1

П	П	П /—	/,\ \

+ Е л;д,„-,+1+ Е
г=п—.у+1	к=п—.у+1 г=1

Заметим, что условия задачи (4.4.1')-(4.4.5') дают нам выпуклость
функции <Э(АП) = —	Ап). Матричные и векторные функ-

ции этой задачи дифференцируемы равномерно. Это позволяет нам
решить Л-задачу, например, методом покоординатного спуска. Так-
же данная Л-задача может быть сведена к решению последователь-
ности задач выпуклого параметрического программирования.

4.7 Априорные решающие правила в многоэтапных задачах стоха-
стического программирования

В предыдущем разделе было установлено, что для качественного
анализа построения апостериорных решающих правил многоэтап-
ных стохастических задач могут быть использованы общие принци-
пы теории двойственности в функциональных пространствах. Дело
с разработкой априорных решающих правил обстоит значительно
сложнее. В настоящее время нет сколько-нибудь законченных мате-
матических исследований, которые могли бы быть положены в ос-
нову конструирования априорных решающих правил. В настоящем
разделе рассматривается состояние вопроса и намечаются подходы
к построению априорных решающих правил многоэтапных стоха-
стических задач.

Вначале рассмотрим отдельные модели многоэтапных задач сто-
хастического программирования, для которых удается построить
оптимальные априорные решающие правила.

Пусть имеем линейную многоэтапную стохастическую задачу с
условными вероятностными ограничениями
{п

> -Эшах,	(4-7.1)

1=1 )

> а1

Р{А21(ш1)х1 + А22(А)х2 < Ь2(ш2) | о;1} > а2(иА\ (4.7.2)
<

Р{Ап1{шп~1)х1 4- Ап2(шп~1)х2 + ... + Апп^-^Хп <

< ЬГ1(шп) \шп~1} > сщ(сс?п-1), Хд = 2у(ссР-1) > 0,7 = 1,п (4.7.3)
где Сд и Хд — векторы размерности Пд; и о^ — векторы размерности
тд составляющие сц принадлежат отрезку [0,1]; А^ — матрицы
размера тщ х пд оператор Р применяется построчно.

Задача (4.7.1)-(4.7.3) эквивалентна задаче
{п

Сд^-^Хд > тах,	(4.7.4)

1=1 )

А/АДх, < ТД(1 - сф'-'Х I = 1Д,	(4.7.5)

1=1

ад-фУ-1) > 0, 7 = 1,п,	(4.7.6)

где Рг(г) = Р{Ьг(а)г) < г | о/-1} — условная функция распределения
компонент вектора при фиксированном о/-1;

а Р^1^) = 8пр{т/ | Рг(у) < О — оба последних равенства покомпо-
нентные.

При некоторых допущениях о характеристиках параметров усло-
вий задачи (4.7.1)-(4.7.3) удается получить явные выражения для ее
априорных решающих правил.

Модель № 1 характеризуется следующими допущениями:
1.	Сд = сДо?-7 Д — векторы с неположительными компонентами.

2.	= А^ДсхУ-1), г Д д — матрицы с неположительными элемен-

тами.

3.	Ац = АДсУ-1) — диагональные матрицы с отрицательными эле-
ментами на диагонали.

4.	Составляющие ДдД») ограничены снизу \/сУ-1, т.е.

т! КдД1 — аДсУ-1)) > —ос, г = 1,п.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.7.1.[200] При допущениях 1 - 4 оптимальные апри-
орные решающие правила задачи (4-7.1) - (4-7.3) имеют вид

х\ = -Ад [ДЩ-ДД,	(4.7.7)

г* Д’1) = -АД Д’1) [Д’1 (1 - «1 Д’1))-
г-1

-УЗА.Д-Д*] г = 1Д,	(4.7.8)

где [а](_) = тах(0, —а) (максимум покомпонентный).

Допущение 3 может быть ослаблено и заменено следующим.

З7. Матрицы Ац(хг~г) — прямоугольные, ранг Ац равен числу ее
строк; элементы матрицы Ац и псевдообратной А^ неположи-
тельны и, кроме того, выполняются соотношения

сД-1) (I - А+Д-1)^ Д-1)) = 0	(4.7.9)

для всех сУ—х (I — единичная матрица).

Если заменить допущения 3 на допущения З7, то в оптимальных ре-
шающих правилах задачи (4.7.1)-(4.7.3) следует заменить обратные
матрицы А А на псевдообратные А^. Из условий (4.7.9) следует, что
целевой функционал задачи п-го этапа не изменится, если положить
ш = 0.

Модель №2 характеризуется следующими допущениями:

1.	г д — матрицы с неположительными элемен-

тами.

2.	Ац =	г = 1,п — диагональные матрицы с положи-

тельными элементами на диагонали.

3.	шГ^-1	>0, г = 1,п.

В принятых допущениях область определения задачи /с-го этапа
не пуста при произвольном наборе отсюда, задача /с-го этапа
не индуцирует дополнительных ограничений для задач предшеству-
ющих этапов. Модель № 2 можно описать многоэтапной стохасти-
ческой задачей. Введем обозначения

= тах{0,щ(с/-1)},

/с-1

—	Е^п-г+^п-к^п-к-! |с^-г(щп г	;

г=0

к = 0,1,..., п — 1.

При к = 0, сп(а?п-1) = сп(щп-1);	— диагональная мат-

рица, диагональные элементы которой равны единице, если соот-
ветствующие составляющие	положительны, и нулю в

противном случае.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.7.2. При допущениях 1-3 оптимальные априорные
решающие правила задачи (4-7.1)-(4-7.3) имеют вид

х*п_к = х*п_к^-кщ =
п—к—1

7=1

к = 0,1,..., п — 1.

(4.7.10)

Доказательство утверждения приводится в работе [200].

Можно отказаться от допущения 2 о невырожденности Ац и за-
менить его следующим менее жестким требованием.

2'. Матрицы А До/-1) — прямоугольные; ранг Ац равен числу ее
строк; элементы матрицы Ац и псевдообратной матрицы А7
неотрицательны и, кроме того, для всех о/-1:

5 ДД (/ - А+Агг) = 0.

При этом допущении выражения для оптимальных решающих
правил (4.7.10) сохраняются, если заменить в них обратные матри-
цы А А на псевдообратные А7.

Схемы построения решающих правил для многоэтапных стоха-
стических моделей №1 и №2 не связаны с линейностью соответству-
ющих задач и могут быть распространены на некоторые частные
многоэтапные нелинейные стохастические модели с условными ве-
роятностными ограничениями.

Пусть имеем задачу

Е т/дДсД"1, ггД тах,	(4.7.11)

7=1

{/с	Э

^к^к~\х^ < Ьк(шк) I Л’1 [ >	(4.7.12)

7 = 1	)

= М^”1) > 0, к = 1,п	(4.7.13)

и пусть выполняются следующие требования.
1.	фц(сс/ \хз\ 7 — 1,72 — монотонно невозрастающий функцио-
нал по хр фц(ссР-1, 0) = 0, \/СсР-1.

2.	^(о?-1,#?), г 7 — монотонно возрастающие по х^ вектор-
функции; т/у7'(^г-1,0) = 0, г,д = 1,п, д г.

3.	тДфо/-1, яу), г = 1,п — монотонно убывающие по Х{ вектор-
функции, допускающие существование обратных вектор-функций
'’/дрду)

= ы-И I = у},
^(о?-1, 0), г = 1,п.

4.	Составляющие вектор-функций 7^-1(») ограничены снизу. Име-
ет место следующее утверждение.

Теорема 4.7.3. [203] При допущениях 1- 4 оптимальные апри-
орные решающие правила задачи (4-7.11)-(4-7.13) имеют вид



(4.7.14)

Теперь рассмотрим частный класс многоэтапных задач стохасти-
ческого программирования, в которых на каждом этапе индуциру-
ются дополнительные ограничения

Е < ^2г т&х,	(4.7.16)

17=1
Р{А1Х1 < Ы^1)} > «ь

Р{-А1Х1 + А2х2 < МД | Л} > а2(сА),
<	........................................ (4.7.17)

/Д —Х„ ,	, + Апхп < ЪГ1\х”) | ^" ' } > о„Л>"

Апхп _ О-

Здесь оператор Р применяется покомпонентно. Сделаем следующие
предположения.

1.	Ранг матрицы г = 1,п равен числу ее строк.

2.	сп(^-1)Л+< 0, сп(^-х)(/-Л+Лп) =0, УсА’1.

3.	/7п_1(щп-2) = т€^п-1 К-1(1 — ап{цзп~гУ) > —ос,УаУ-2.

4.	Фиксированные ограничения отдельных этапов непротиворечи-
вы.

Введем обозначения

г„_1(л-2) = Сп_1(л-2);

ДЛ-1) = сг(Л-1) + Еш,.п-1 | ш.-1 [сг+1Цг)](+) А^
г = 1, п — 2,
[а](+) = тах(0, а);

7п(сс/-1) — диагональная матрица с элементами [с(сУ-1)] на диа-
гонали; = I — 11г, 7 = 1, п — 1;

Д„-1Щ-2) = -К„-1С"-2) = - Ы Г-Д - МсЛ’1));
^п— 1

дД’-1) = -т! [ДД1 - «г+1Д)) - дг+1Д)],
г = 1, п — 2.
Имеют место следующие утверждения.

Теорема 4.7.4. [203]
а)	Для того, чтобы задача (4.7.16)-(4-7.17) при допущениях 1 - 4
была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы

<д(о/-1) х (I — А+А}) = О,	г = 1,п,

РГ1 - № > 0.

б)	Оптимальные априорные решающие правила разрешимой зада-
чи вида (4-7.16)-(4-7.17) при допущениях 1 - 4 имеют вид

= о,

+Ы^-1) [Т’Д -	+ А-1Д-1 и-2)],	(4.7.18)

г = 1, п — 1.

Оптимальное решающее правило вида (4.7.18) не единственное.
Общий вид оптимальных решающих априорных правил задачи
(4.7.16)-(4.7.17) можно получить, добавив к правым частям равенств
(4.7.18) для г-го этапа выражение вида (I — А^Аг)уДг~г), где
уДг~г) — произвольный случайный вектор. Можно построить апри-
орные решающие правила задачи (4.7.16)-(4.7.17) и отказавшись от
допущения 2. При этом гг*(а?п-1) окажется, вообще говоря, отлич-
ным от нуля; выражение (4.7.18) для гг*(о/-1), г = 1,п — 1 сохра-
нится, изменятся только выражения для с^(а?г-1).

Схемы построения априорных решающих правил, изложенные
выше, существенно использовали особенности структуры специаль-
ных классов многоэтапных задач стохастического программирова-
ния. Ниже рассматриваются два общих подхода к построению апри-
орных решающих правил. Решение многоэтапной стохастической
задачи общего, вида в априорных решающих правилах сводится к
анализу более простой структуры (например, одноэтапной задачи с
апостериорными решающими правилами или двухэтапной задачи),
по оптимальному плану которой восстанавливается решение исход-
ной задачи.

Рассмотрим многоэтапную задачу стохастического программиро-
вания

зпр,	(4.7.19)

ЕШк	Л)	I ЛЩ > ЫсЛ-Д	(4.7.20)

хк Еск,	к = 1,...,п.	(4.7.21)

Пусть Д и И7 — классы измеримых функций, отображающих со-
ответственно 12 = и ГГ-1 в /С' (щ — размерность плана г-
го этапа), а 4ц = {^ : Д —> И7}. Рассмотрим произвольный набор
тД 6 Ф* и приведем в соответствие многоэтапной стохастической за-
даче (4.7.19) - (4.7.21) с априорными решающими правилами двух-
этапную задачу с тем же целевым функционалом (4.7.19) и с теми
же ограничениями первого этапа, что и в (4.7.19) - (4.7.21) и с огра-
ничениями второго этапа вида

।	Д(Л)) > Ък(шк~х\

<	хкеС°к, к = 2,...,п,	(4.7.22)

Еип {(р0(шп,^”(х”)) - </?о(^”, ж”)} > 0,

где по определению ^(х^ =	, ^/сфдс)}, & = 1,п,

С® — проекция на координатную гиперплоскость, определяемую
составляющими вектора х^. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.7.5.[203] Пусть хи = соп81, Хи = Хи(шп), г = 2,п —
оптимальный план двухэтапной задачи, тогда

= ^1*, я?* = ^(ящ)? г = 2,п	(4.7.23)
оптимальные априорные решающие правила исходной задачи
(4.7.19)-(4.7.21).

Роль двухэтапной задачи из теоремы 4.7.5, «эквивалентной» ис-
ходной многоэтапной, могут играть и другие, порождаемые задачей
(4.7.19)-(4.7.21) стохастические модели относительно простой струк-
туры, для которых разработаны методы построения решающих пра-
вил; для них могут быть сформулированы аналоги теоремы 4.7.5.

Другой подход к построению решающих правил многоэтапных
стохастических задач вытекает из намеченной в работе [264] связи
между задачами стохастического программирования и лексикогра-
фической оптимизации.

Лексикографическая оптимизация представляет собой частную
схему векторной оптимизации, при которой предпочтение отдается
компонентам вектора с меньшими номерами. Принято говорить,что
в /с-мерном евклидовом пространстве Кк введено лексикографиче-
А	А

ское упорядочение (Я , >) и фиксируют это записью у > у\ если
для любой пары элементов у и у' из Кк для всех г < к, таких, что
У г < У^ существует < /. для которого у^ > у^. Задача лексикогра-
фической оптимизациии записывается в виде

Ь* = л. тах{гб(гг) | х Е	(4.7.24)

Ик

где и(х) =	— /с-мерная вектор-функция.

В работе [264] показано, что множество (4* решений задачи (4.7.24),
если оно не пусто, определяется следующей рекуррентной процеду-
рой

^о = ^,

<	= 8ир-1{-и.г(ж) I гг С г = 1,/с,	(4.7.25)

СУ = <2к.
В работе [264] процедура (4.7.25) принята в качестве определения
лексикографической оптимизации.

Свяжем с г-м ограничением к-го этапа задачи (4.7.19)-(4.7.21)
множество

ак^к~\ Л) = {хк I	Л) > ЫД’Д

х8 е Ов, з = 1,...,А;}.	(4.7.26)

Пусть ЩсЛ-1,Л) — вектор, г-я компонента которого представ-
ляет собой характеристическую функцию множества и пусть
иъ(хк) = Ешк-1Кк(шк~\ хк). Упорядочим вектор-функции щ по эта-
пам, а внутри этапов — по априорной важности ограничений. Вве-
дем вектор-функцию и(хп) = (щД1), • • • , ип(хп\ гбп+1(ггп))т и рас-
смотрим задачу лексикографической оптимизации

л. тах и(хп\	(4.7.27)

хкеип

где 1}п — пространство измеримых функций на

Если задача (4.7.19)-(4.7.21) имеет решение, то и задача (4.7.27)
имеет решение, оптимальное в смысле (4.7.19)-(4.7.21). Однако из
разрешимости задачи (4.7.27) не следует, вообще говоря, что ис-
ходная задача имеет решение. Разрешимость задачи (4.7.19)-(4.7.21)
вытекает из разрешимости задачи (4.7.27) только в том случае, ко-
гда на лексикографическом максимуме все компоненты, кроме по-
следней, равны единице. Другая лексикографическая интерпрета-
ция задачи (4.7.19)-(4.7.21) может быть получена, если требовать
выполнения условий (4.7.20) не для всех, а почти для всех реализа-
ций сД-1. Введем п + 1-мерную вектор-функцию и(хп,уп) = {щД,
составляющие которой определяются соотношениями

МДУ) = -||Е^И-1^(Л,Л) -ЫД’1) -ЫД-1)Н, (4.7.28)
к = 1, п,

ип+1(хп) =	(4.7.29)

Здесь 11 ак (шк~1) || обозначаем гильбертову норму пространства функ-
ций щ(сс^-1). При других определениях нормы ||а(сф|| соответству-
ющим образом меняется лексикографическая интерпретация мно-
гоэтапной стохастической задачи.

Поставим в соответствии с задачей (4.7.19) - (4.7.21) задачу лек-
сикографической оптимизации

л. тахтфгг71, уп\

хк е Ск, ук > 0.	(4.7.30)

Если задача (4.7.19) - (4.7.21), в которой условие (4.7.20) выполня-
ются почти для всех о?, разрешима, то разрешима и задача (4.7.30),
и ее решение определяет оптимальные априорные решающие пра-
вила исходной задачи.

Рассмотрим задачу лексикографической оптимизации
и(х) —> л. тах,

<	(4.7.31)

х е (к
к

где и(х) = {т/1 (гг), • • •, ип(х)}т,	— произвольное множество. Опре-

делим на декартовом произведении функцию
п

и(х,у) = ^2ак8гдпкик(х) -ик(уУ),	(4.7.32)

к=1

где {од} — произвольный набор параметров, для которого
п

ап >0, ак > ^2 к = 1,..., п — 1.	(4.7.33)

г=/с+1

В качестве {од} может быть выбрана, например, последователь-
ность ак = к = 1,п. Причем

и(х,у) = —и(у,х).	(4.7.34)
Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.7.6.[203] Для того, чтобы точка х* е С) была реше-
нием задачи (4-7.31) необходимо и достаточно, чтобы

и(х, х*) <0, \/ж е (Д

(4.7.35)

Следствие 4.7.1. Пусть х* — решение задачи (4-7.31), тогда
и(х,х*) = 0 в том и только в том случае, если х е С) также
является лексикографическим оптимумом задачи (4-7.31).

х

Следствие 4.7.2. Если и(х,у) <0, то х <у.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.7.7.[203] Задача (4-7.31) разрешима в том и только
в том случае, если

тахттгб(гг, у) = 0.	(4.7.36)

уЕС}

Теорема 4.7.8. Задача (4-7.31) разрешима в том и только в
том случае, если

тттахф, у) = 0.	(4.7.37)

уЕ(^ хе€}

Теорема 4.7.9. Равенство пип^е^ тахж6^ и(х, у) = 0 справедли-
во тогда и только тогда, когда функция и(х, у) имеет в () х ()
седловую точку.

Последнее утверждение позволяет использовать известные мето-
ды вычисления минимакса для построения решающих правил задач
стохастического программирования.
4.8 Общая постановка задачи принятия решения в условиях непол-
ной информации с априорными решающими правилами

В процессе управления обычно представляется возможность после-
довательно наблюдать реализации случайных параметров условий
задачи каждый раз, если это окажется целесообразным в соответ-
ствии с вновь накопленной информацией, корректировать решение.
Предварительный план и последовательные корректировки долж-
ны, конечно, помимо содержательных ограничений, учитывать апри-
орные характеристики случайных параметров условий на каждом
этапе. Последовательность поступления информации и порядок вы-
бора и корректирования решения определяется информационной
структурой задачи — набором исходных данных, накопленных на
предшествующих этапах, от которого может зависеть решение на
текущем этапе.

Если решение предшествует наблюдению, то оптимальный план
стохастической задачи определяется статистическими характеристи-
ками или известной выборкой возможных значений параметров усло-
вий задачи. Решения будем вычислять в чистых стратегиях с учетом
априорной информации — некоторых характеристик распределения
или выборок возможных значений случайных параметров условий.

Таким образом, будем рассматривать многоэтапную задачу при-
нятия решений в условиях неполной информации с априорными ре-
шающими правилами.

Общая постановка:

(4.8.1)

МШк {ЩсДЩ/)) | с/"1} < с.^,^-1);	(4.8.2)
Уг(1,шк 1) = у^-1,а>к 1) + 8г(1,1л)к 1)и{(1,(л>к 1') + ^(1,шк х);

(4.8.3)

у^,шк^) > Уг(1 - 1,а?-1), гЦ1,а?-1) > 0;	(4.8.4)

<йД) > 0, 5Д, Д"1) > 0, ск(1, с^1) > О,

гц,к € С°к, шк (=_<1к = хк=1^, к = Т~п, г = Т~п, I е [1,Т]. (4.8.5)

Если использовать в качестве критерия оптимальности принцип
выбора пропорционального развития, то задачу (4.8.1) - (4.8.5) мож-

но записать в следующем виде



(Уг-Уг(1,ШП)\
г=1 х	7

> —> т1;

МШк {^к,ик(^ I Д’1} < Ск(1,с/-1)-,

(4.8.1')

(4.8.2')

У{(кшк 1) = ^(^-1,Д 1) + 81(1,шк 1)и{(1,сик 1) + <11^,шк х);

(4.8.3')

> Уг(1~	ДД’1) > 0;	(4.8.4')

> 0,	Д-1) > 0, сй(/,ш*-1) > 0,

е а°к, шк епк = хк=1&,1, к = Т~п, г = Т~п, I € [1,Т]. (4.8.5')

Обозначим нижнюю грань показателя качества решения данной
задачи принятия решения через 5(сп(о?п-1)), т.е.

Дс’Д” 1))=зирс(^,Д Ц
к

Пусть решение на г-м этапе принимается после реализации слу-
чайных параметров условий на предыдущем (г — 1)-м этапе, тогда
решающие правила имеют вид:

Нг(1) = щ(/;,сс?г х), г = 1,п.
Задача (4.8.1)-(4.8.4) — многоэтапная задача стохастического про-
граммирования с условными вероятностными ограничениями и с
априорными решающими правилами.

Для пояснения постановки задачи опишем вспомогательные фор-
мальные понятия.

Пусть

ау 6 СЦ, г = 1, 2,..., п, где СЦ — некоторые множества — про-
странства элементарных событий на г-м этапе; Г7о = {лд};

ш1 6 ГГ = 01 х х ... х Од

У = (сс?1, Сс?2, • • •, и) — вектор в пространстве размерности г;

шп оп = 01 х 02 х ... х Оп; шп = (од, о?2,...,	— последова-

тельность случайных событий.

Пространство случайных событий Оп обозначим через

О(ОП = О).

Пусть на О задана вероятностная мера Р.

Определим меру Рк на О^ следующим образом: если элементар-
ное событие А с 0\ тогда Рк(А) = Р(А х 0&+1 х 0^+2 х ... Оп).

Введем условную вероятностную меру Рк на О^:

Рк(А х В}

Рк Д \шк~1 Е В) =	----Л для любого А с пк, в с пк~1-

рЛь X )

12 — а-алгебра случайных событий на О.

Таким образом, мы определили вероятностное пространство

(й,е,р).

Рассмотрим последовательность множеств Уф У1,..., Уф
произвольной структуры, уе У/с, к = 0,1,..., п;

Го = {уоД};

Ук = Н X У2 X . . . X Ук, ук = (У1(Х),У2(Г), • • -,Ук(^У,
Пусть для каждого шк Е Ук и ук(1) Е Ук\ к = 1,2,... ,п задана
вектор-функция г^(шк ,ук(1\) размерности

на множестве У для каждого ш Е Г2 функционал ф)(фп,

Ск = С^к{шк) — некоторые случайные множества;

с/ффаЛ-1) — т^-мерные случайные величины — ограниченные
измеримые вектор-функции от оЛ-1;

ск(1, м^-1) —	— тщ-мерная вектор-функция;

ФффоЛ-1) Е В^, Вь — некоторое банахово пространство;

МШк	| шк~1} — условное математическое ожидание

щ^м^) в предположении, что известна реализациям^-1.

Сформулируем задачу г-го этапа.

Рассмотрим множество, отвечающее области определения задачи
г-го этапа для задачи (4.8.1) - (4.8.5) при фиксированных мг-1 и иг~х\

К, = [уг е С°г I 3 [им+1 е С°+1,..., иг.п & С°] ,
мШ{ |д(МЛО I

М^+1 угЦ1+8,у1,^з+1(/),... ,г^+Л)) К+8~х] < сДМ^1),

з = 1,2,..., п — ф (4.8.6)

уЛ, Л’1) = у*(1 - 1, Л-1) + 81(1, Л-ЩД) + <М); (4.8.7)
уД,ЛД > уД- 1,ЛД, у;(1,Л-1) > 0;

> о, 5Д, ЛД > о, а+8(1, Л+5-1) > 0,

и^к € С?к, шк &Пк= к = ТД, г = ТД, I е [1,Т]. (4.8.8)

Сформулируем необходимое и достаточное условие разрешимости
задачи (4.8.1)-(4.8.5).
Теорема 4.8.1. Если целевая функция задачи (4-8.1)-(4-8.5) огра-
ничена снизу, то для разрешимости задачи (4-8.1)~(4-8.5) необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось условие К1 0.

Действительно, если К\ 0, то выполняется

± 0, г = 1,2,...,п.

Запишем целевую функцию б)г^Уг^У) задачи г-го этапа.

<л+Щ,сЛ),... ^ДЩс^-1)),

где Ос/-1 — набор случайных параметров, реализованный на этапах,
предшествующих этапу г;

уг~х(б) — набор принятых решений;

— решение на этапе г;

у( ..., у*к(Е) — оптимальное решение на этапах, следующих
за г-м;

У*,кХ) = У*к(1,ЛЩ к = г + 1,п.

Определение оптимального решающего правила наг-м этапе мно-
гоэтапной стохастической задачи сводится, таким образом, к реше-
нию задачи математического программирования:

тт ^^(угл(^Л	(4.8.9)

Уг,г (^) ЕЕ

При сепарабельной целевой функции

п

^п,у^) = ^^,у{^	(4.8.10)

7 = 1

вычисление (^г^Уг.г^У) упрощается.

Пусть

^*^-\уг^ =
=	г\у1м(1,^\...,у1к(1^п 1)).

При сепарабельной целевой функции оптимальное решающее пра-
вило задачи (4.8.1)-(4.8.5) удовлетворяет на каждом этапе
г = 1,2,..., п — 1 следующему функциональному уравнению
Беллмана:

(4.8.11)
при г = п

(2*И-1,уГ1Д)= тт	(4.8.12)

Уг,п^)ЕКп
из (4.8.10) - (4.8.12) следует, что

<21(^0, УцД)) = ттМЩсДу’Д)) = ттМ <	?/Д)) (

11=1

(4.8.13)
при условиях (4.8.2)-(4.8.5).

Таким образом, задача (4.8.1)-(4.8.5) в предположении (4.8.10) эк-
вивалентна задаче (4.8.11)-(4.8.13).

Целевая функция г-го этапа имеет в этом случае вид:

(^АуГ^У) = тЦ, Мш.]ш.-1{'фОг(ш\у‘^) +^*^+1^г,уг^(^))}.

угД1)ЕКг

(4.8.14)

4.9 Многоэтапная задача принятия решений с вероятностными огра-
ничениями (Л/-модель)

Пусть компоненты вектор-функции ЦЦоД т/^Ц)) представляют со-
бой условные характеристические функции полупространств, опре-
деляемых неравенствами

ЕЕ АоР’Р'ЧД) < 01(1,а;1), су(1,шг) > О
к=1 ]=1

при условии, что реализовано о?-1.

Пусть

Ег1^) = р(с(^) < г | с?-1)	(4.9.1)

— условная функция распределения компонент вектора с(1) при
фиксированном о?-1, а

ЕЕ) = аир (х I Рг(х) < с} •	(4.9.2)

Тогда многоэтапная задача принятия решений с условными веро-
ятностными ограничениями и априорными решающими правилами
может быть записана в виде

МрДД), у2Д, • • -,Ур))} -> тт; (4.9.3)
с1 {Е Е^р-1)^-д <	। с^11 > др-1),

I к=1 7=1

0,5 < Др-1) < 1;	(4.9.4)

С2 {икк =	- Г + 81(1)41(1) + а^)} > Др-1),

0,5 < Др-1) < 1;	(4.9.5)

и.](1) = и^(1,зР ]) > 0, уз(1) > уз(1 - 1), Д1) > 0;	(4.9.6)

81(1) > 0, сДр) > 0, г,д = Т~п, Л € ГГ = х{=1^к, € [1,Т].

(4.9.7)

Мы предполагаем, что случайным является вектор ограниченийс(/ф
Задача (4.9.3)-(4.9.7) эквивалентна задаче

м {р(.У1(8),У2(1), ...,уп(1))}^ тт;	(4.9.8)
ЕЕА-кг^ку (^) <	(1	)) ’	1?^?	(4.9.9)

к=1 7=1

{У^к = У1^ - 1) +	+ (1^)} < Р~\1 - а-(V-1)); (4.9.10)

') > о, у^к > У[(1 - 1), уД1) > 0;	(4.9.11)

8^1) > О, г,з = Т~к, [1, Т].	(4.9.12)

В этом случае функция О,(Р~8у'рк1:)) будет иметь следующий
вид

(^(^ЛуГ^У) = 1ПШ Л4!М-4^(?/1,г(^),У2,г(^),---,Жг(^) +
у,.3(рк,	I

+ЕЕ^г+1^\у^к^р}, 1 = 1,п-1-	(4.9.13)

г /;

при г = п

тт	{Нщ.,,(ЛУ2.ЛЛ • • •, Жп(^))}-

(4.9.14)

Таким образом, целевая функция задачи г-го этапа в нашем слу-
чае имеет вид

^г{Уг,г(^У) =

= М^-1{ДУ1ДД У2,Л1 • • • ,УИД)) +

г

В результате имеем задачу минимизировать

= М<;,:И-1{^(У1,г^),У2,гД, • • • , Уп,г Д ) +	Т^+1	}

г

(4.9.15)

при условиях

У2 52 А^ик](.^ < ^-1(1 - «I(^г-1)), г = М; (4.9.16)
к=1 7=1

ЬМ = УгЦ - 1) +	+ ф(/)} < 7Л-1 (1 - Д Д-1)); (4.9.17)
щО) =	х) > 0, уД) > уг(1 - 1), у<(1) > О;

31(3) > О, г,у = 1,п, 1Е [1,Т].

(4.9.18)

(4.9.19)

Сформулируем задачу принятия решений распределения ресур-
сов с априорными решающими правилами и условными вероятност-
ными ограничениями для модели с правилом выбора пропорцио-

нального развития.

0,5

Р1 = У1(1 - 1) + З^и^З) + сД)} > а-Д х),

0,5 < ДД-1) < 1;

ЧЛ) = иу(1,и3 х) > 0, У1(3) > у{(1 - 1), г/Д1) > 0;

31(3) > 0, сД Л) > 0, г,у = 1,п, Л € 1У = хД-Д, I € [1,Т].

Эта задача эквивалентна следующей задаче

М ш11')

8^1,^) )

> тт;

7 — 1 Х	7

П I

ЕЕА-к/ц^к] (^) < -^1 (1	33^ (сЛ )), 2	1, Т1^

к=1 7=1

{у^ = Уг(1 - 1) + З^и^З) + (3(3>} <	\1 - а-Д х));

х) > 0, уг(3) > уг(1 - 1), уг(1) > 0;

31(3) > 0, г,у = 1,п, 1Е [1,Т].
Запишем целевую функцию задачи г-го этапа.

^г(Уг,г(^)} ~

( Уг~Уг(1,^п)\

= Л4.М-1 иг^1,шп)~ - -^-3 -—- + ^^^+1(аЛуД)) > 

V (у-ЫгХ'А ; V

Д 1 5,(4^") )
г=1

В результате эта задача принятия решения пропорционального
распределения ресурсов будет иметь вид

Ог(Уг.Л)) = Л4.и-1<{ игл(1,шп) - -	}—-+

Д 1 8,Р^) )
г=1 х	7

+ЕЕ Ош^у'Х)) 1 -> тт;

г I	'

^А^и^(1) < Г-Д - Д(о?-1)), г = 1~п;

7=1

{УгХ) = УЛ - 1) + З^и^) + сЦ(1)} < Рр(1 - а]Ы' 1)):

Ч/Д) = и^,^) > 0, у{(1) > у^1 - 1), уг(1) > 0;

3^1) > 0, м = 1Д, I е [1,Д-

Для общего вида задачи принятия решений распределения ресур-
сов с вероятностными ограничениями (4.9.8)-(4.9.12) справедлива
следующая теорема.

Теорема 4.9.1. Целевая функция	г-го этапа много-

этапной задачи принятия решений распределения ресурсов (4-9.8)-
(4-9.12) с условными вероятностными ограничениями является
выпуклой вверх функцией на множестве допустимых решаю-
щих правил.

Доказательство. Будем доказывать по индукции.
При г = п <2„(уг,п(/))	7/2,71^), •••, Уп,п(Д} -

линейная, а следовательно, выпуклая вверх функция.

Пусть (^г^Уг.г^У) — выпуклая вверх функция на множестве К/.

Докажем, что (^-{(уг,г-1(У)) — выпукла вверх на множестве К}.

Из (4.9.14) имеем

+ ЕЕ^+1Щ?#))}, г=й^1, 1&[1,Т].
г I

Рассмотрим у[(1) Е у"У) ^г-1-

Пусть

ЫЕХУ = (уЕАЕу^ХУ (ГД))" = (уГД),Ум-Д))-

Обозначим через значения Д^), ДДД), на которых достигаются
^^(шг~\(у^~1(^)У) и ^^(шг~1,(у^~1(^))") соответственно.

По предположению (^{(у 1,1(1)) — выпукло вверх на К/.

Покажем, что отсюда следует выпуклость вверх ^^(шг~\у1^~1(^))
на /Д-1-

Действительно, у(У1) Е Кг и у"УУ) Е К{. Это значит, что су-
ществуют	аД+2 Д, , х'^1) и х"ш(1), х"г+2(1),..., х",^)

такие, что система ограничений, определяющая АД удовлетворяет-
СЯ при	У^-1^) = Уг,1-1Х И Х‘Е*) = Хг,^У

г=1,п, у = г + 1, п, и также при у^(1) = у”^), г/^-Д) = у'^ХЕ
и Хг^У) = х'-^(1), г = 1, п, д = г + 1, п.

Следовательно, для \/А 6 [0,1] система ограничений, определяю-
щая удовлетворяется при

Уг,гХ = ХУгл-1 + С -

У1,г-1Х = ХУ'г,г-1 + (1 “	,
х^(1) = Хх-ЩХ) + (1 - Х)х"ЩХ),
7 = г + 1, п.

В силу выпуклости вверх	на К} имеем

+ (1 - жл)) > Ае<<_д)) + (1 - ад(уд)).

(4.9.20)

По определению у'ц(ф) и у''^1)

<Му-,^У) =	= <М^-\ (уГЛ)П-

(4.9.21)

Кроме того,

егдг’1л(у-1(/))' + (1 - а)^-1^))") = (мху^ + а - ЖД)).

(4.9.22)

Из формул (4.9.20), (4.9.21), (4.9.22) следует, что

АЛГ1 ЛУ + (1 - А)(уЛДП >

> Аедл-1, + (1 - аж1, ог1 лп-

Это означает, что	выпукла вверх на Лф

Но тогда и

Ог-1 (?/г,г-1 (^)) =

= М^р-^ЛуД), УЛ), • • • ,У»Л)) +
г У

также выпукла вверх на К/.

Теорема доказана.

Теорема 4.9.2. Если векторы сф^) и и.ц(ф) статистически неза-
висимы от и	соответственно и — фиксирован-

ные векторы, то среди оптимальных решающих правил много-
этапной задачи принятия решений с условными вероятностны-
ми ограничениями имеются правила нулевого порядка, т.е. задача
(4-9.15)-(4-9.19) имеет решение в детерминированных векторах.
Доказательство. Пусть гп(1 — 1, о?п-1) — оптимальное решающее
правило, а — математическое ожидание

г = 1,п. Составляющие вектора 2^ =	— 1,о/-1) — детермини-

рованные величины.

Покажем, что в условиях теоремы 6 К.

Действительно, гД —1, о/-1) — решающее правило г-го этапа. Это
означает, что существуют туДсД-1), ] = г + 1,п, такие, что верно
ограничение
п

< ДД(1 - ак\ к = Т/п. (4.9.23)
1=1

По условию теоремы КДД1 —	= КД(1 — &к) — детерминиро-

ванный вектор (здесь Рск — вектор-функция распределения состав-
ляющих С^).

Взяв математическое ожидание от обеих частей неравенства
(4.9.23) приходим к выводу, что 2^ 6 /С, т.е. является допустимым
решающим правилом.

Теорема доказана.

Используя выше изложенную теорию найдем детерминирован-
ный эквивалент и оптимальное решающее правило для задачи при-
нятия решения по распределению ресурсов с принципом выбора
пропорционального развития

Дёе-4Ь/Ц1 ЩаД) < <Д Д) I Д Ц

I к=1 7=1

0,5 < ДД-1) < 1;
Р?{уг(1,шг = уг(1 -	1) + 8^,а>г	+ с1г(1,1л>г 2)} >

> ДД/ *), 0,5 < ДД? х) < 1;

^(1) =	Х) > О, у^1) > У1(1 - 1), 2/г(1) > О;

8^1) > О, аЦ,^) > 0, г,] = 1,п, Л € ^ = х*к=1Пк-

Эта задача эквивалентна следующей:

и{(1) > О, У1(1) > у^ - 1), уД1) > 0;

8г(Р) > 0, г,] = 1,п, 1е [1,Т],

где

сД) = т_Г Д-1(1 - Д (Дг-1)),

△Д) = шГ Д-1(1 — Д(ш1 ~1)), г = 1,п.

(Д — 1

Здесь операция т€ покомпонентная.

Обозначим через П блочно-диагональную матрицу, составленную
из векторов и(1), векторов-строк которые соответствуют огра-
ничениям в новых переменных.

Пусть вектор А* = (Ад, Ар ..., А^) (Ад = 1, ТУ — число ограниче-
ний) — решение выпуклой детерминированной задачи

{^	^	>

Г=1	^=^	)
Оптимальное решающее правило эквивалентной к исходной зада-
че можно записать следующим образом

и* = П-^Х*дг, Ла = 1.

г=0

Это оптимальное решающее правило определяет оптимальные ре-
шающие правила исходной многоэтапной задачи принятия решений
в условиях неопределенности.

4.10	Многоэтапная задача принятия решений с вероятностным функ-
ционалом (Р-модель)

Как уже говорилось, в ряде прикладных задач более естественной
целевой функцией является вероятность того, что значение целевой
функции не будет превышать некоторой заданной величины с задан-
ной вероятностью од- Содержательный смысл подобного качества
решения в условиях неполной информации определяется стремле-
нием оптимизировать вероятность достижения или превышения це-
левой функцией параметров управления (объемов производства или
суммарного выигрыша от вкладываемых ресурсов) заданного фик-
сированного уровня, характеризующего требуемую эффективность
многоэтапной операции принятия решений.

Рассмотрим следующую многоэтапную задачу принятия решений
распределения ресурсов.

к тах;	(4.10.1)

Р({К(?/1(С^),?/2(С^),...,?/п(С^))} <к)= а0, 0,5 <	< 1;

(4.10.2)
{п г

ЕЕ-4 х)ик^1) < I 1 > > Д(Х Ц
к=1 7=1
0,5 <	< 1;

Р1 {у№ =	- 1) +	+ (1г^} > Д (^г-1),	(4.10.4)

0,5 < а2Цг-1) < 1;

гДО = мД,а?-1) > 0, у^) > у{(1 - 1), уД1) > 0;	(4.10.5)

5Д) > 0, сД Л) > 0, г,) = ТД Л € 1У = х{=1Пк, I € [1,Т].

(4.10.6)

В такой постановке задачи в общем случае порог к также может
зависеть от набора реализаций случайных параметров о?.

Пусть вектор коэффициентов линейной формы целевой функции
п-го этапа нормально распределен с математическим ожиданием
и детерминированной корреляционной матрицей V. Пусть
он имеет совместное нормальное распределение, то при фиксирован-
ном наборе реализаций этих коэффициентов, условное математиче-
ское ожидание вектора коэффициентов линейной формы целевого
функционала представляет собой линейную комбинацию составля-
ющих векторы коэффициентов линейной формы.

На последнем п-м этапе имеем

ДДДД... ,г/ДоД) < к |	' } =

<к - [/^(г/1(^, си-7),... ,Д*Д))] |

В соответствии с принятыми допущениями имеем

Р{ДуДД,...,у,ДД)) <к\шп '} =

&-РД(ЫЛ Д,---,уДД))<М

(ДДЖМОД

(4.10.7)

где Ф(^) — функция распределения нормального закона ТУ (0,1).
Учитывая (4.10.7), получаем

1(^))= тт Ф \а0Хи[ (1;)Уи^))1/2+

Уг,п(1)еКп ь

+Р{Ц(У1(г,<Щ...,уД,ссЛ) I ^?" ')} + ячД)]-

При (То > 0,5 целевая функция п-го этапа выпукла относительно
Уг,п-1Ц\

Таким образом, при принятых допущениях априорные решающие
правила задачи (4.10.1)-(4.10.6) могут быть вычислены с помощью
методов выпуклого программирования.

Анализ стохастической модели, отвечающей массовой проблеме,
позволяет разделить процесс выбора решения на два этапа. На пер-
вом трудоемком предварительном этапе структура задачи и апри-
орная статистическая информация используются для вычисления
решающего правила: формулы, таблицы или инструкции, устанав-
ливающие зависимость решения от реализованных значений пара-
метров условий задачи. На втором нетрудоемком оперативном эта-
пе решающее правило и текущая реализация условий, отвечающих
исследуемой индивидуальной задаче, применяются для вычисления
оптимального плана.

Для решения стохастических задач принятия решений при неста-
ционарной оптимизации используются известные алгоритмы выпук-
лого программирования. Например, метод стохастических квази-
градиентов с проектированием, метод проекции стохастического гра-
диента или метод стохастической линеаризации.

Многошаговые процедуры принятия решений, разработанные на
основе алгоритмов нестационарной оптимизации, применимы в слу-
чае, когда возможно много (теоретически — бесконечно много) уточ-
няющих наблюдений. С этой точки зрения их можно рассматри-
вать как методы решения многоэтапных задач принятия решения
в условиях неполной информации с большим числом слабо влия-
ющих один на другой этапов принятия решений. Наиболее подхо-
дящей для применения подобных процедур будет следующая ситуа-
ция. Первоначальное решение принимается в условиях неопределен-
ности, вызванной отсутствием информации. Для получения такой
информации ставятся эксперименты. На основе результатов этих
экспериментов необходимо найти наилучшее управление моделиру-
емой системой и, если такая система изменяет свое состояние во
времени, проводить соответствующие корректировки этого управ-
ления.

Применение прикладных многоэтапных моделей может дать хо-
роший результат там, где при принятии исходного решения при-
ходится учитывать влияние многочисленных случайных факторов
и имеется возможность компенсировать влияние этих факторов за
счет дополнительных мероприятий, не включаемых в исходный план:
организация дополнительных перевозок продукции, маневра ресур-
сами, введение в действие дополнительных мощностей и т.д. С этой
точки зрения многоэтапные задачи могут найти применение при
планировании запасов, при определении выпуска продукции массо-
вого спроса, на объем потребления которой влияют трудно прогно-
зируемые факторы (например, мода), в сельском хозяйстве, а также
при долгосрочном планировании развития и размещения производ-
ства.
4.11	Двойственность в многоэтапном стохастическом программиро-

вании

Для построения апостериорных решающих правил многоэтапных
задач стохастического программирования можно использовать двой-
ственные задачи (Л-задачи) при достаточно общих предположени-
ях относительно структуры исходной модели. В процессе построе-
ния двойственной задачи для многоэтапных моделей стохастическо-
го программирования приходится неоднократно пользоваться обоб-
щениями теоремы о минимаксе. Джон фон Нейман доказал теорему
о минимаксе

тахтт/(х, у) = тттах/(х, у)
хЕХ уЕУ	уЕУ хЕХ

для простейшего случая, когда /(гг,т/) — билинейная функция на
XхУ,а X иУ — конечномерные симплексы. Вальд и другие авторы
обобщили теорему фон Неймана для множеств X и У, принадлежа-
щим некоторым бесконечномерным пространствам. Кнезер, Фань
Цзи, Берж и Никайдо распространили теорему о минимаксе для
вогнуто-выпуклых функций, соответствующим образом полунепре-
рывных по х и у. Наиболее общие результаты в этом направлении
получены Сайоном.

Введем следующие определения:

Определение АЛАА.Функция /(х,у) на X х У квазивогнута
в X, если при любом у е У и любом вещественном с множество
{ж | /(х, у) > с} выпукло.

Определение 4.11.2.Функция /(х,у) на X х У квазивыпукла
в У, если при любом х е X и любом вещественном с множество
{у | /(х, у) < с} выпукло.

Определение 4.11.3.Функция /(щцу) на X х У квазивогнуто-
выпукла, если она квазивогнута в X и квазивыпукла в У.

Пусть X — область определения аргумента х, а Г — область зна-
чений функции /(гг). Подмножество \х, /(ж)] множестваХхР назы-
вается графиком функции (отображения) /(гг). Пусть Ь — множе-
ство предельных точек всех последовательностей образов в графике
отображения, соответствующих пути х х$, а Е(хф) — множество
образов точки х$.

Определение А,Функция ф(х) полунепрерывна сверху вх$,
если Ь С Г(хф), и полунепрерывна снизу вх$, если Е(хо) С Ь. Если
ф(х) полунепрерывна сверху и снизу, Е(хф) = Ь, и функция непре-
рывна в хо. Функция полунепрерывна сверху (снизу) на множестве
X, если это свойство имеет место для всех х е X.

Определение 4.11.5. Функция ф(х,у) на X хУ является полу-
непрерывной сверху - полунепрерывной снизу, еслиф(х,у) полуне-
прерывна сверху по х для каждого у е У и полунепрерывна снизу
по у для каждого х е X.

Приведем без доказательства следующие обобщения теоремы о
минимаксе, принадлежащие Сайону [375] и Фань Цзи [145].

Теорема 4.11.1.[375] Пусть X и У — выпуклые множества,
одно из которых компактно, а ф(х,у) — функция на X хУ
квазивогнуто-выпуклая и полунепрерывная сверху, полунепрерыв-
ная снизу. Тогда выполняется

вир т! /(х, у) = т! вир /(х, у).	(4.11.1)

хЕХУеУ	У^у хЕХ

Теорема 4.11.2.[375] Пусть X и У — произвольные множе-
ства, а функция ф(х, у) вогнуто-выпуклая на X хУ. Если для лю-
бого

с < тп! вир /(х, у) (с > вир т€ /(х, у))
у^у хеХ	хеХУ^у

существует такое конечное подмножество А С X (В эУ), что
для любого у Е У ( х Е X) найдется х* Е А (у* Е В), удовлетво-
ряющий неравенству ф(х*,у) > с (ф(х,у*) < с), то имеет место
соотношение (4-11-1)-

Теорема 4.11.3.[145] Пусть X (V) компактно, У (X) — про-
извольное множество, а ф(х, у) — вогнуто-выпуклая функция на
X х У. Если ф(х,у) — полунепрерывная сверху по х для каждого
у ЕУ (полунепрерывная снизу по у для каждого х Е X), то имеет
место соотношение (4-11-1)-

Теорема 4.11.4.[145] Пусть X и У произвольные множества,
а ф(х,у) — вещественная почти периодическая функция на
X хУ. Тогда равенство (4-11-1) имеет место тогда и только то-
гда, когда для произвольного е > 0 и любых конечных множеств
А С X и В С У существуют такие хо Е X и уо Е У, что
ф(а,уф) — ф(хо,Ь) < е ( а Е А, Ь Е В). В частности, если ф(х,у)
вогнуто-выпукла, то (4-11-1) справедливо.

В дальнейшем, при формировании Л-задачи, будут использованы
следующие утверждения.

Лемма 4.11.1.[145] Пусть существует функция х*(щ) Е Х(х),
являющаяся для каждого ш решением задачи

зир

Тогда имеет место соотношение

/вир /(сщх(щ))ф = вир / /(щгг(х))ф.
х^ЕХ^)	х^ЕХ^Ц
Лемма 4.11.2.[145] Пусть ф(х, у) квазивыпукла наУ и для каж-
дого у е У существует функция = 8иржбХ/(х, у). Тогда
квазивыпукла по у на У.

Перейдем к построению А-задачи, двойственной к следующей за-
даче многоэтапного стохастического программирования

т! У	(4.11.2)

о

У^(^Лхп)<1ркк_, > ЬкЩ-1), к = 1,...,п,	(4.11.3)

о

хк е	к = 1,...,п.	(4.11.4)

Обозначим Хк,п = {А/ДЛ 1),..., А,,^"1)} и введем рекуррентным
образом функции ДДси", А"-/г+1,"):

^к+1\ш,хп-к-\Хп-к’п) =

= (Хп-к, Ъп-к) - зир (Ан-/., 'фп-к) - Д^ ,	(4.11.5)

Хп —	— к

где ф^аУ, хп) = фо(соп,хп).

Теорема 4.11.5.[197] Пусть функция фо(аУ, хп), определяющая
целевой функционал многоэтапной стохастической задачи (4-11-2)-
(4-11-4), квазивыпукла по хп е СУ при каждом аУ е а ком-
поненты вектор-функции хк), к = 1,...,п; определяющих
ограничения многоэтапной задачи стохастического программиро-
вания, квазивогнуты по хк е Ск при всех хк е С1к. Тогда функции
ф$к\оУ, хп~к,	к = 1,... ,п квазивыпуклы по хп~к е Сп~к

для всех аУ е П и	> 0 и вогнуты по	> 0 при

любых аУ е П и хп~к е СУ~к.

Доказательство. Рассмотрим

Д1’^”, жп-1, Ап) = (Ап, Ьп) - зир [(Ап, фп) ~ Фо] 
хпЕСп
Из определения -0® и леммы 4.11.2 следует утверждение теоремы
для к = 1. При к > 1 утверждение легко доказывается по индукции.

Теорема доказана.

Теперь приведем основной результат.

Теорема 4.11.6.[197] Пусть функции	и фк(а)к\хк),

определяющие условия многоэтапной задачи (4-11.2) - (4-11.4), удо-
влетворяют условиям теоремы 4-И-5, о соответствующие
функционалы Лагранжа удовлетворяют какому-либо из обобще-
ний теоремы фон Неймана. Тогда двойственная задача (К-задача)
может быть представлена в виде

зир [	Ап(а?п-1))ф.	(4.11.6)

А">0 7

о

Доказательство. В принятых обозначениях рекуррентные фор-
мулы могут быть в соответствии с леммой 4.11.1 и теоремами о ми-

нимаксе переписаны в виде

й'пЦ" 1,хп А = зир / {(АП,Ь„) - вир [(А„,^„) - Ао]}йр"-1 =
ап>о7	хпесп

о

= зир [ч$\шп,хп
ХП>0 .1

--п

вир [(Ап-1, А«-1)

зир ( /2^Рп-а\ }<*Рп-2 =

Ап>0 .1

Оп-1’п

- зир [(А„_1, ^„-1) - АоЧ] }^Рп-2 =

Хп — 1 ЕСп-1
= зир / 'ф^\шп,хп 2,Хп 1,п)11р^_2.

Дп-1,п>0	.]

^п~1,п

Аналогичным образом получаем

зир [ {(Хп_к,Ьп-кЕ

Хп~к’п>0 Л

^п-к,п

- зир [(А„-ь -фп-к) -	}(^р^к-1 =

Хп — к^Сгп — к

= зир [

Дп-А:,п>0

^п-к,п

Полагая к = п — 1, получаем

51 = зир [ 'фо1\шп, Ап(оА-1))ф.

А" >0 л
о

Следовательно, задача (4.11.6) является двойственной к задаче

(4.11.2)-(4.11.4). Условия теоремы 4.11.5 гарантируют вогнутость

Ап) по Ап > 0 для всех шп Е П.

Теорема доказана.

Таким образом, если удастся решить на каждом этапе задачу вида
зир / (Хп_к, ’Фп-к) ~	Фп-*+1> к = 0,1, • • •, п - 1

Хп — к ^Сгп—к
^п-к,п

(4.11.7)

(а эта задача в силу оговоренных свойств функций и яв-
ляется задачей выпуклого программирования), то в соответствии с
приведенными выше утверждениями получим выражения для ре-
шающих правил хк(шк) задачи (4.11.2)-(4.11.4) в зависимости отоА,
хк~г и Ешк+1,пХк,п1 т.е. в виде

хк = ^к,хк-г,Ешк+^ХКп),

(4.11.8)

где

ХКп(1рпк.
Исключив хк из выражения для и решив Л-задачу (4.11.6), по-
лучим искомые выражения для решающих правил исходной зада-
чи стохастического программирования подстановкой оптимальных
значений Ап(о?п-1) в (4.11.8).

Используем полученные результаты для построения двойствен-
ной задачи к многоэтапной задаче квадратичного стохастического

программирования вида:

п

Еыф0(шп, Щ = Еы У2 [ЦД (Л>г + а.;(Л)]	т€,

1=1

(4.11.9)

Ешк	| с^-1] =

(4.11.10)

Здесь 7Афа?г) почти при всех реализациях случайных

параметров

симметричная положительно-определенная матрица размеращ хщ;
А^(а)к) — случайная матрица размера х пд щф/) и ^(оЛ-1) -
случайные векторы размерности гц и соответственно. Предпо-
ложим, кроме того, что матрицы Пфшф и А^(шк) удовлетворяют
требованиям, при которых все интегралы в (4.11.9) и (4.11.10) суще-
ствуют. Функция 'фо(шп,хп) выпукла, а вектор-функции хк)
линейны. Выполнены также условия теоремы 4.11.2. Следователь-
но, условия теоремы 4.11.6 соблюдены и можно построить для за-
дачи (4.11.9)-(4.11.10) Л-задачу.

Используя формулу (4.11.5), запишем выражение для

А„) :

п

Фо (^ 1 %	1 \Ф) — Л ш! \ (АпАп^Х{ -Ь х,- 1Ахг 4~ сцхф —
п—1

(4.11.11)

Безусловный минимум квадратичной формы в последнем члене вы-
ражения (4.11.11) достигается в точке ггп, в которой градиент равен
нулю. Следовательно, имеем в соответствии с (4.11.7) и (4.11.8)

хп^п) =	) [АпИДАДсЛ +	(4.11.12)

Подставляя значения хп(шп) в (4.11.11), получим

п—1

+ У^(ап41пг^г 4“ Х{ П{Х{ Ч- СЦХ^.
г=1

Пользуясь рекуррентными соотношениями (4.11.5) и выполняя пре-
образования, получим двойственную задачу к многоэтапной задаче
стохастического программирования (4.11.2) - (4.11.4)

(4.11.13)

Пусть А*п(сдп х) = {А1, А^сс;1),..., А^71 х)} — решение задачи

(4.11.13), тогда можно получить оптимальные решающие правила

исходной многоэтапной задачи квадратичного стохастического про-

граммирования

ДЩ) = -|д-1(Д)^+1,

^Х^^А^ + а^)	.

3=к

(4.11.14)
Рассмотрим интересный частный случай, подсказанный

Э.В.Цоем и исследованный в работе [204].

Пусть целевой функционал задачи (4.11.6) может быть представ-
лен в виде

$(А”) = У
о

причем — вогнутая дифференцируемая функция относитель-
но составляющих Ап(о?п-1) и компонент вектор-функции Ап+1(о?п).
Рассмотрим конечномерную задачу вогнутого программирования

вир Дп)(Ап+1,/1"),	(4.11.15)

/лп>0

где Ап+1 = Д Хп+1(шп)(1/р, цп = {//1,..., цп}, г = 1, п — «^-мерные
векторы. Пусть /Г — решение задачи (4.11.15). Подчиним структуру
функционала Цд^ дополнительному условию

У(^а„+1Д"\а„+1 I И),/Л, Ап+1И) - А„+1Цр = 0. (4.11.16)
о

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.11.7.[204] При принятых допущениях относительно
структуры целевого функционала детерминированный вектор
ц*п — решение конечномерной выпуклой задачи (4-11.15) — явля-
ется решением задачи (4-11-5).

Детерминированный оптимальный план в общем случае явля-
ется не единственным решением задачи. Все оптимальные планы
представляют собой (при сделанных допущениях) наборы функций
Ап(о?п-1) > 0, удовлетворяющие уравнению

л^Алы^)лпиЛ) = ^п)(а„+1,/х").

Апостериорные решающие правила /с-го этапа х& = х^(хк) опре-
деляют оптимальный план этого этапа в зависимости от реализации
параметров условий задачи до к-го этапа включительно. Однако
оптимальные оценки условий к-го этапа Х& =	зависят от

реализации случайных исходных данных до {к — 1)-го этапа включи-
тельно. Это значит, что для выбора решений, связанных с оценками
условий, нет необходимости ждать получения текущей информа-
ции, а можно ограничиться информацией предшествующих этапов.

4.12 Примеры прикладных задач многоэтапного стохастического
программирования

Многие задачи управления, планирования и проектирования в усло-
виях риска и неопределенности описываются моделями многоэтап-
ного стохастического программирования. Проблемы перспективно-
го планирования развития хозяйственных систем и управления бое-
выми операциями, вопросы планирования экспериментов и регули-
рования движения космических объектов могут быть рассмотрены
как многоэтапные стохастические задачи программирования со ста-
тистическими, вероятностными и жесткими ограничениями.

Примером многоэтапной задачи стохастического программирова-
ния с вероятностными ограничениями может служить задача пла-
нирования добычи, обработки и хранения нефти, исследованная в
работах [71], [368]. Рассмотрим модель, следуя [203].

Пусть период планирования может быть разделен на ТУ этапов.

Введем следующие обозначения:

Хд — искомый объем добычи нефти на д-м. этапе;

Сд — затраты на добычу тонны нефти на д-м этапе;

Гд — транспортные издержки на перевозку тонны нефти на д-м
этапе;

Уд — запас добытой нефти к концу 7-го этапа;
У] = |(%-1 +	— средний запас нефти на ^-м этапе;

—	затраты на хранение нефти на д-м этапе;

—	доход от продажи тонны нефти на д-м этапе;

Ьд — спрос на нефть на д-м этапе.

Предположим, что известна функция распределения случайного
спроса на добываемую нефть ф = Общие издержки, связан-
ные с добычей, перевозкой и хранением нефти на ^'-м этапе выра-
жаются соотношением

(с? +	+ </;//,.

В качестве целевой функции естественно принять максимум мате-
матического ожидания прибыли за весь плановый период

{п

12 [8зЬз ~	- ЧзУз] [ •

1=1 )

Спрос на каждом этапе планирования ограничивает наличный запас
нефти снизу заданной величиной уш{п, а т/тах характеризует емкости
для хранения запаса, тогда запас нефти к концу ^'-го периода равен

2	2

уо+У2^ _ 12^-

г=1	г=1

Поскольку предполагается, что к началу ^'-го этапа спрос на преды-
дущем (д — 1)-м этапе уже известен, задачу планирования добычи,
обработки и хранения нефти целесообразно ставить как многоэтап-
ную задачу стохастического программирования с условными веро-
ятностными ограничениями. При этом характерны два типа огра-
ничений, обусловленные спросом на нефть

{2	1

Уо + У2(ж» _ - У|ш" I Ъ1' • • • ’	[ - Ур (4.12.1)

г=1
(4.12.3)

(4.12.4)

(4.12.5)

Г ы

Р <У0 + 1Д - 61) > Утт | 61, ... , 61У-1

и связанные с емкостями хранилищ

{1 1

УО +	Ю < Утах | 61, ... , 6,-1 ? > О^\	(4.12.2)

г=1

(1)	(2)

где у и ау предполагаются заданными.

Модель планирования добычи и хранения нефти, максимизиру-
ющая прибыль за плановый период во введенных терминах и обо-
значениях может быть представлена в виде

[3^ - (с.; +	,

1=1 )

< Р{Уо + Х\~ЪХ> утт} > оД,
Р {Уо +	< утах} > а^\

Р{У0 + Ж1 +Ж2 - Ьг - Ь2 > утт | 61} > ДДбД
Р{уо + Х1+Х2-Ь1-Ь2< Утах | 61} > Д2)(61),

> оД(61, • • -,6лГ-1)

Р 5 УО +	“ М < Утах | 6Ъ ... , 6лГ-1 > > сД(61, . . . , 6дГ-1)

I 1=1	)

(4.12.6)

Таким образом, план определяется априорными решающими пра-
вилами многоэтапной задачи стохастического программирования с
условными вероятностными ограничениями. В работе [368] пред-
ставлена стохастическая модель оптимизации процесса переработки
нефтепродуктов и приводится алгоритм решения задачи, основан-
ный на методе случайного поиска [137].

Рассмотрим многоэтапную задачу стохастического программиро-
вания, детерминированный аналог приведенной ниже модели иссле-
довался в работах [118], [340]. Сформулируем задачу планирования
работы промышленного предприятия в условиях, когда некоторые
параметры имеют случайный характер; стохастическая модель мо-
жет применяться для отраслевого планирования, а возможно, и для
планирования на более высоком уровне. Основные результаты, при-
веденные ниже, получены в работе [120].

Пусть Ак — матрица технологических способов производства раз-
мерности т х п в к-м плановом периоде;

Ьк — т-мерный вектор спроса на продукцию, выпускаемую дан-
ным предприятием в к-м периоде;

ск — п-мерный вектор издержек на использование технологиче-
ских способов производства в /с-й период;

хк — множество возможных интенсивностей использования тех-
нологических способов производства в к-м периоде. Исходя из тех-
нических и экономических прогнозов, определяются А\ Ьк, с\ хк
для периодов /с = 0,1,...,ТУ — 1.

Статистический подход к решению задачи планирования произ-
водства на X периодов в детерминированном варианте описывается
традиционной моделью программирования

шш(с\^),	(4.12.7)

Акхк = Ъ\ к = 0,1,..., ТУ - 1,	(4.12.8)

хк е Хк.	(4.12.9)

Специфика динамической модели планирования производства со-
стоит в том, что учитываются продукты оставшиеся на складе, бла-
годаря возникшей невязке, и которые могут быть использованы для
реализации в следующие плановые периоды.

Введем вектор невязки ук+г для /с-го периода

у1 =	- А°х°.
Пусть у1 < 0, т.е. в связи с перепроизводством возникли запасы, то-
гда невязка в системе ограничений для второго этапа планирования
имеет вид

у1 = В1 у1 + Ь1 — А1х1,

где Вк — диагональная матрица размерности т. Ненулевые эле-
менты Ьк{ матрицы Вк отражают какая часть продукта г-го вида,
положенная на склад к началу к-го периода, останется годной для
продажи к концу этого периода при ук < 0 и какая часть спроса, не
удовлетворенная в (к — 1)-й период на продукт вида г, останется к
к-му периоду. Если планировать работу промышленного предприя-
тия так, чтобы для реализаций случайного параметра ш спрос был
удовлетворен, т.е. наложить ограничения на невязку типа ук < О
(почти всюду), а издержки от хранения готовой продукции на скла-
де в /с-й период даны в виде т-мерного вектора ук (вообще говоря,
тоже случайного), то линейная многоэтапная стохастическая модель
перспективного планирования производства примет вид

(IV-1	\	/ту	\

скхк I - Е I // I 1Ш11'	(4.12.10)

/с=0	/	\/с=1	/

У+1 = вкук - Акхк + Ьк, /с = 0,1,..., IV - 1,	(4.12.11)

ук < 0 (почти для \/с<? € П),	(4.12.12)

Екхк = <1к, хк > 0, к = 0,1,... Л - 1.	(4.12.13)

Ограничения на интенсивности использования технологических спо-
собов производства задаются соотношениями (4.12.13). Принцип мак-
симума, который может быть использован для решения детермини-
рованных дискретных динамических задач, исследовался в работах
[20], [214]. Стохастический случай рассматривался в работах [204],
[206], но при этом было получено только необходимое условие опти-
мальности решения.

В сложных ситуациях выбор решения, как правило, производит-
ся в условиях риска или неопределенности. Недостаток времени не
позволяет откладывать решение до получения полной информации
об условиях задачи. Однако последовательное накопление инфор-
мации оставляет возможность со временем корректировать и посте-
пенно совершенствовать решение. Рациональное предварительное
решение, как и промежуточные корректировки, должны учитывать
прогнозируемые значения статистических характеристик ещё не ре-
ализованных случайных параметров условий задачи. Формальными
моделями анализа сложных динамических систем являются много-
этапные задачи стохастического программирования с безусловными
или условными, стастистическими, вероятностными или жесткими
ограничениями.

4.13 Многоэтапные модели принятия решений распределения ре-
сурсов в условиях неполной информации. Предварительные ре-
зультаты

Рассмотрим следующую модель принятия решения распределения
ресурсов в условиях неполной информации

. тУп^^У) -> тГ,

(М8Р) <

Ч{ Е АДДиД) < сДД) | Л 4 > Д Д Ц

I 7=1	)

3 = 1, п,

сфдд) । д-1) = удд -1, Д) щд + адд) । д»
шя । д-1)} > ддд-1),
Уг&М1) > уг^ ~ 1,о/),7/г(1,о/) > О,

щ(Д) > О, 3^(1, А) > О, С{(1^ С</) > О,
шг е СЦ = х ГД, г = 1,пД е [1, Т].
к=1

Здесь — некоторые пространства элементарных событий г-го
этапа; Р = (о?1, о?2,... , о/) — вектор в пространстве размерности г;
символ х означает декартово произведение.

Пусть

Сс?°° (Е П°° = х ГД;
к=1

= (сД, о?2,..., Р. ...)— последовательность случайных событий.

Обозначим пространство последовательностей Г7°° через О. Пусть
на Г7 задана вероятностная мера Р.

Тогда определим меру Рк на &к следующим образом:

Рк{А) = (Л х ГД+1 х ••• х х ...) для любого А с Пк. Далее,
введем условную вероятностную меру Р& на ГД :

Рк(А | оЛ1

ЫА х С)
Рк^к х С)

для любых А С ГД; С С &к 1

Пусть 12 — а — алгебра случайных событий на ГД тогда (ГД Е, Р) —

вероятностное пространство.

Если рассматривать задачу принятия решений распределения ре-
сурсов в условиях неполной информации с принципом выбора рав-
номерного развития направлений (объектов), то ее можно записать
в следующем виде.
(М8Р) <

= { (В^) _	Ы, ,	./

р1{ Е ДЩ-ЩЛ) < ДА | Л"1} > а|р-х),

11=1 )

] = 1,п,

р2^(№) |^-1) = Уг((^-1,^) щд + адД) | Д1Д(О+
+<ША)р-1)}>а^Л

Уг(1,шг) > Уг^ ~ 1,а/),т/г(1,о/) > О,
щ(^) > О, 5^, Сс/) > О, Сс/) > О,
шг е СЦ = х ГД, г = 1,пД е [1, Т].
к=1

Для полной формализации задачи М8Р необходимо задать вид
зависимости решений задачи г-го этапа и{(1) от случайных парамет-
ров [12]. Мы будем предполагать, чтощ(^) =	о/-1) для г = 1, ос,

т.е. рассматривать задачу в априорных решающих правилах. Пока-
жем, что задача в апостериорных решающих правилах может быть
сведена к задаче М8Р.

Действительно, пусть и^(1) = т/ДД сд7).

Рассмотрим задачу



(М8Р') <

р1{ Е А/А < сДД) | Е > ДД х),
I ^=1	)

Р2{уМ1^ | ш1-1) =	- 1, Д | с?-1) + 8^1, аР) | ш1-1)и^+
Уг(1^ > Уг^ ~ 1, а/),?д(1,^г) > О,
щ(^) > О,5Д/:,Сс/) > 0,д(/:,Сс/) > О,

^еО2= х <Лк,г = 1, осД 6 [1,Т],
к=1

где

иг-1(1, о/-1) при г > 2,

П1(^, д°) при г = 1,

уДДД при г > 2,
<

О при 2 = 1,
<

Ау Д Д при > 2,
= <

О при = 1,

а д(7.д()) — некоторая числовая константа. В этих условиях реше-
ние задачи М8Р7, начиная с д = 2 будет давать решение исходной
задачи в апостериорных решающих правилах [25].

Для модели принятия решения распределения ресурсов с принци-
пом выбора равномерного развития направлений (объектов) задача
г-го этапа может быть записана в виде

г /ш^дду-1)) - Д"ДДДО)| шт,
|Д уг(шг Д / к у^шг V У )	'

г 2 Э

Ч{ Е ДИД-Д^) < Сг^,^г) I ^г-1} >
11=1 }

г = 1, ос,

р2{^((^,Л) I Л-1) = уг((/-1,Л) ЩД + адД) I ^-1ыщ
+Д(2 Д I > ХД-1),

(МЗР') <
Уг&М1) > Уг^ ~ 1,а/),7/г(1,о/) > О,

> О,5Д^,Сс/) > О,сф^,Сс/) > О,

Р е = х ГД, г = 1, сю,I е [1,Т].

к=1

Будем далее обозначать через

и°° = (пД^, о?0, сс1,..., сР 1

бесконечную последовательность измеримых вектор-функций.

В качестве функционала Р задачи М8Р будем рассматривать
формы вида

(М8Р-М)

МР(у(1, о/-1)) = М Р (у1(1, сР~х\у2(1, а/-1),уп(Ъ, Сс/-1))—М-задача.

(М8Р-Р)

р[(Р\у(1, ^г-1)) = Р(.У1 (Л ^г-1), • Уп(1, ^г-1)) > к} — Р-задача.

Для модели принятия решения распределения ресурсов с прин-
ципом выбора равномерного развития направлений (объектов) це-
левые функционалы для М и Р задач будут иметь вид

(М8Р-М) М	~	)) - М-задача.

(МЗР-Р) р{((№Чз;у-1’) - с >*} -р-эд™.

Для того, чтобы задача М8Р была совместна, необходимо, чтобы
для любого г множество

К,.У \и- \4)) = |иД) > 0 |	> 0, к = 1,оо,

сЛ,^г) I >сч№ Ц • • •,

7=1

тЦЕ+ у; Аг+к.3и^ < сг+к(1^+к) I Л+*-1] >

7=1	7=«+1

> щ+к(ш1+к~х)Ук = 1,00, Ш.;+1, ... ,ш„,. . . }
было непусто при любых фиксированных о/-1 и	(индуциро-

ванные ограничения). Если множество Й4 0, то и О для
любого г = 1, ос [96].

Кроме этого, потребуем, чтобы функционал Р был ограничен
сверху [66].

Введем множества Км и Кр

КМ =	= (161 (^), • • •, М^)> • • •) I М^) > 0, \/г,

/ Р(у1(^,Р~1\у2^,Р~1\ ... ,т/п(А^г-1)ф СХОДИТСЯ|,

Кр =	= (иД),.. . ,ыД), • • •) | иД) > 0,\/г,

• • • ,Уп(Л^г1)) сходится при € П00}.

(4.13.1)

В этом случае множеством планов задачи М8Р-М будет множе-
ство Км = К\ П Км, множеством планов задачи М8Р-Р — множе-
ство Кр = К\ и кр.

—р

Обозначим через К множество

КР = {и00 | щ(1) > 0, \/г, сходится равномерно посс?00^. (4.13.1)

Можно сказать, что Кр С КР. Из теоремы о почленном интегри-
ровании [57] следует, что КР с Км.

Таким образом, ограничения задачи М8Р-Р более сильные, чем у
задачи М8Р-М. Справедливо следующее утверждение

Лемма 4.13.1. Кр С КМ-

Пусть К = Кр. Рассмотрим вопрос о представимости задачи М8Р
задачей

А(щ(А^г),7/2(С^г), • • •	ш1,

Ш - МБР') г г - .	- . 1	. . .

Р1{ Е	| а;-1} > аК^-1),

11=1 у
р2{у^,Л) | Л-1) = Уг((/-1,Л) дЖ + бЖД) р-1ы*)+
+<Ш,Л | ^г-1)} > а^Ж1),

Уг^^1) > Уг^ ~ 1,а/),^(1,о/) > О,

щ(Т) > О, 5^, ^г) > 0,<д(Т,Сс/) > О,

шг е = х Од.,г = 1,п,7 = 1,п,т е [1,Т].
к=1

Определение 4.13.1. Будем называть задачу М-МБР

е-представлением задачи МБР, если решение задачи МБР при до-
полнительных ограничениях

П1(Т) =	^°)-

п2(^) = п2(^,сУ),

(^) — ),

обозначенное через гб°°(Т) = (161 (Т), и^\ .. .ип, ип^,...) таково, что

-Р(и°°(Р))\ <6,

где ип(1) =	.. .ип(1))— решение задачи Ы-М8Р, агб°°(Т) —

решение исходной задачи М8Р.

Если (4.13.1) сходится, то для любого е и любого о?00 существует

7У(г,ссР°) такое, что

Ц-ЖЖ У2^), • • •, уп(18)|| <е-

Если (4.13.1) сходится равномерно поо?00, то не зависит от аР°

(ТУ = Л^(е)) и имеет место теорема:

Теорема 4.13.1. Если К(щ(Т, а?г-1, У2^^ ^г-1), • • •, Уп(1,Сс?г-1))?

г = 1,п сходится равномерно по8х для щ(Т) е К, то задача МБР
на множестве К е-представима п-этапной задачей 1У-М8Р, где
Ы = ТУ (г) для \/б.

Иначе говоря, смысл теоремы 4.13.1 состоит в том, что для лю-
бого е существует такое число ТУ, что решение задачи У-М8Р, под-
ставленное в задачу М8Р, будет давать не более, чем е - отклонение
значения функционала от оптимального.

4.14 Существование полубесконечномерного эквивалента для моде-
ли М8Р-М

Рассмотрим теперь полубесконечномерный эквивалент задачи Т-го
этапа модели М8Р-М.

Обозначим функционал задачи М8Р-М через

<аД°Д)) = М^ДуДДЛуг^ДД, • • • ,уДДД)]д = 1,П,
функционал задачи Т-го этапа М8Р-М-1 через

= 9У) = Мш°о (ДуД, ш1, у2(1,	уп(1, Д) | Д1 = ЛД

ДД) = и^(1)-,иг°ух8) = ДД*)),

где

ДД = (ик^У   • ,ип^,ип+1^у	= ДД и’ДД ДД)),

= (Д1; ДД)ДД)).

Условия задачи Т-го этапа имеют вид:
__________________	____ г-1
р^дгддд < сддд д - Длд;) >
2=1

> Д ДД,	(4.14.1)

Р2|уг(Л^-1) = Уг^ - 1Д-1) + 5,Дг,^-1)«г(Л^’_1) +
4-йДй/-1)} > Дд-1),
уЛ,сЭ~г) > уЛ~ 1Д-1), ?д(1, Л-1) > О,
И;(Д-1) > О, 5Д,Шг-1) > О, Сг(/,Шг-1,^г) > О, / е [1,Т].
Пусть «1? 6 С

Тогда рассмотрим задачу

тГ^ДД);^),
илг)

<	—	—	г-1	_	(4.14.2)

А^и^сЭ-1) <	- ^2 А/Ч/,

< ^'=1

у^,^-1) = Уг(1 ~ 1ДД + 5Д, ЛДиД ЛД + ФД^А1),

З/ДсА1) > УЛ~ 1,^-1),Уг(1,^^1) > О,
г/Д,^-1) > 0, 3^{1,шг-1) > 0, сД, шг-1 Д) > О, I € [1, Т],
9г = (ЛД ДД); Д°Д)),
где знак ( ) означает фиксированные параметры.

Пусть ^(аДси1-1)) — множество подмножеств таких, что
&г е 2^) равносильно Д = 0; □ (Д \ 0Д и Д(0;) = од, где Р{ -
введенная вероятностная мера на СЦ.

Рассмотрим теперь задачу

Ы </?ДД, ©ДЯД	(4.14.3)

©дхДоДсД-1))

где ^(^,0^)— решение задачи (4.14.2).

Имеет место следующее утверждение:

Теорема 4.14.1.

а)	Если существует — решение задачи принятия решений
(4-14-3), то 0^) — решение задачи г-го этапа МЗР-М-г;

б)	Если существует щ(б)-решение задачи принятия решений
г-го этапа, то выполняется
при любом <Э} е и существует — решение (4-14-2), при-
чем

Доказательство.

а)	Доказательство от противного.

Пусть существует точка и* (б) ф и^дб), такая, что
_____________________	____ 1—1

с1 Л-1) < сЛ,	>

7=1

> Д(ЛЩ	(4.14.4)

Р^уЛ, ЛД = уЛ - 1, Л-1) + 8Л,	ЛД +

+йД Л”1)} > ДД-1),

уД^”1) > УЛ~ 1^г“1),Уг(1,^“1) > О,

щ(Да;г_1) > 0, 8{(б Сс?г-1) > 0, Сг(1, Сс?г-1, Ш1) > ОД е [1, Г],

Рг(и*(г,бг)) > (рг(иг^,е^).	(4.14.5)

Поскольку выполняется (4.14.4), то существует множество 0* та-
кое, что для любого 1? е 0*

____	____ г-1

А^и^ср-1) < сД, ЛД й) - УЩдД),

7=1

у{^,ш^~1) = ут{1 - ДсД-1) +	+ ^(^а;^1),

и мера РД0*) = С1г(^г_1)-

Из последнего получаем, что и*(б) — допустимый план задачи
(4.14.3) при 0 = 0* е Х^(о:^(сс?г_1)), следовательно,

(^(Щ*(^Д)) < ^(щ(^, 0г)).
Из Д(0*) = оц следует, что

<АОД,0г)) <	т{=	&<У) =

©^Е^ДаДсЛ-1))

Таким образом, получаем:

что противоречит (4.14.4).

Следовательно, щ(/;, 0«) — решение задачи (4.14.3), такое, что

(^(щ(^,0г)) =

б)	Допустим существование множества 0* 6 2ДоДсР-1)), т.е.

0* С ОдР(0*) = аД^т).

Если предположить при этом

< ^(^(^9*)),

тогда -и*(^,0*) по определению будет являться допустимым пла-
ном задачи М8Р-М-1, улучшающим решение щ(/:), что противоречит
условию теоремы.

Следовательно, при любом 0 е /^(оДсР-1)).

^(щ(^),^"1) < ^(щ(^, 0)).	(4.14.6)

Рассмотрим теперь множество 0«, такое, что для любого 1? 6 0^
выполняется

1 — 1
ЛДгД(^),
7 = 1

^(^сД-1) = у^1 - ДсД-1) +	+ оД^сД”1),

тд^сД-1) > у^1 - 1,^-1),^(1,^-1) > О,

щ(^,Сс?г-1) > 0, 8г(1, Ср-1) > 0, Сг(1, сР-1, Сс^) > ОД е [1,Т].
Это множество существует в силу существования решения задачи
(4.14.1), т.к. при этом

/ДАДД, Д-1) <	> Д Д-1),

3=1

/ДуДД-1) =	- 1, Л-1) + 8{(1, ЛДиД ЛД+

4-сДД-1)} > ДД-1).

Тогда йу(^) — допустимый план задачи (4.14.2) при Д е 0д и

^ДД^Л)) < ^(щД,0г)).

Но, так как 0 е	х)), то по (4.14.6) ^(щ(^), 6Д) > (ДщД, 0г)),

и, следовательно, ^(Д(^), ^)) > ^(щД,0г)).

Теорема доказана.

Теперь мы можем записать полубесконечномерный эквивалент

задачи М8Р-М

МтшЯ»М1(Д	Щ,

000^00 Ц)	I	)

А^и^,^1) <	Ау-иДД-1),

7 = 1

Уг(1, 1Д) = уД-1, 1Д)+6Д,	1Д)+оД, -Д),

(81Р—М) <

Д/Д-1) > у^ - 1Дг-1), Д1Дг-1) > О,

> О,

> ОА € [1,73,

е Вг,

& е 0г = X 0Ь
к=1

0°° = X ®к,
к=1

0 е Д(агДг=1)).

Для модели принятия решения распределения ресурсов с принци-
пом выбора равномерного развития направлений (объектов) детер-
минированный полубесконечномерный эквивалент при данной по-
становке будет иметь вид

ш V уг^г) /V д- V 77 У’

А^ид(1,'дг~1) <	- 52 ЛдгбД^,^-1),

7=1

Уг&= уг(1 - 1,+ 8^1, тР^и^р 1?г-1) +	1?г-1),

> у^1 -	> О,

< щ(1,	> о, сДг, ^) > о,

>ол е [1,Т],

1?г е ег,

г е ег = х 0Ь

к=1

е°° = х ек,
к=1

0 6 Хг(аг(Г=1)).

Теорема 4.14.2. Задача 31Р-Мявляется полубесконечномерным
эквивалентом задачи М8Р-М в смысле выполнения условий а) и
б) теоремы 4-14-1.

Доказательство. Действительно, пусть существует
и^б) и(^^ 0°°), такое, что для любого г выполняются
г—1

Ац-г/Д,^-1) < сЛД-1, Д -
7=1

= уЛ - 1Д-1) +	+ (1Л,согЛ

и

Д(у1^,^г_1),У2(^^1), • • . ЛДД-1))} >

> [з(уЛ,а;‘~1\У2^,^г~1),   • ,уД V1))},
где 0°° = х <Эк.

к=1

Тогда существует такое щ(^), что щ и(1, 0г) •
Из Р^оо Д 0 и (4.14.4) следует, что для любого г справедливо
неравенство Р(0«)	0.

Зафиксировав для к ф г внутри множества 0^, мы получа-
ем одноэтапные задачи принятия решений в условиях неполной ин-
формации и полубесконечномерными задачами принятия решений
с отличающимися решениями, что противоречит условиям теоремы
4.14.1.

(Условие б) доказывается по той же схеме.)

Что и требовалось доказать.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь М8Р-М модель принятия решений при усло-
вии, что решение ищется в апостериорных решающих правилах, т.е.
щ(^) = щ(^,о/) или щ(^) : № Ктг

При фиксированном 6 ГГ-1 мы получаем, что

иг(к) е х) 6 КШг,

где Гт. — семейство функционалов

/ : ГУ —> Етг.

Для условий существования решения необходима по меньшей ме-
ре измеримость и существенная ограниченность функций и

С(Л

В этих условиях для задачи г-го этапа щ(у сУ-1, сщ) является точ-
ками в банаховом пространстве, и все скалярные произведения и
отношения порядка, использованные при доказательстве
теоремы 4.14.1, определены корректно.
4.15 Существование полубесконечномерного эквивалента для моде-
ли М8Р-Р

Рассмотрим теперь полубесконечномерный эквивалент задачи г-го

этапа для модели М8Р-Р.

Функционал задачи М8Р-Р запишем следующим образом

<дД°Д)) = Л°°({-ДуД, Д^ЦДЛ Д-1),• • • ,злД, Д"1))} >

Запишем функционал задачи г-го этапа М8Р-Р-1:

ДДг)Д = Д = Д~({ДуД, Л-1),у2(г, Л-1), • •. ,уД,Д-1))} >

> к |	' = ДДгДД) = ^ДДгДД) = ДД)) (4.15.1)

при условиях (4.14.1).

Пусть 6г

Рассмотрим функционал (4.14.4) при ограничениях

щ(^, х) > 0.

(4.15.2)

Тогда задаче (4.15.1)-(4.15.2) можно поставить в соответствие за-

дачу следующего вида:

шуЛ 1пГ -РДЭД	(4.15.3)

0Д Д иД), Д = {{ДуД, Д-ЦуД, ДД,..	+

ДДуД, ДДД,у2(г, ДДД,... ,уп(1, ДДД)}+

+{С(ух (г, (л)1-1, , дд у2 (Л	, Д ДД..., уД,	) }>&},

(4.15.4)

уДЛД = уД-1ДД+ДгДДиДЛД+</Д,ЛД, (4.15.5)
у^г,^-1) > уД - 1, Д-ЦуД, Л"1) >0,
йг е ОЙШ^-1) > О,щ(^,сР-1) > О,г = 1,М е [1,Т]. (4.15.6)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.15.1. Задача (4-15.3)~(14-15.6) является полубеско-
нечномерным эквивалентом многоэтапной задачи принятия ре-
шений (4.15.1)-(4-15.2).

Доказательство. Будем производить доказательство методом от
противного.

Покажем, что любое решение (4.15.1)-(4.15.2) является решением
(4.15.3)-(14.15.6).

Пусть щ(/;) — решение задачи (4.15.1)-(4.15.2). Пусть существует
щ(^) — решение задачи (4.15.3)-(14.15.6) и щ(^)	щ(^).

Тогда существует множество 0^, такое, что ^(^,щ(^),^) > к
для любого 6 0*.

является допустимым планом задачи (4.15.3)-(14.15.6) при
©г =	|	> &}•

Поскольку щ(/;),0^ — решение задачи (4.15.3)-(14.15.6), то

Рг(0г)^Д(0Д

следовательно,

к} 7^	> к},

т.е. не является решением (4.15.1)-(4.15.2).

Покажем, что любое решение (4.15.3)-(14.15.6) является решени-
ем (4.15.1)-(4.15.2).

Пусть и{(б) — решение (4.15.3)-(14.15.6), и существует
щ(^)	щ(^) такое, что

> к} >	> к}.	(4.15.7)
Тогда запишем множества

©г =	| 'г/’Л, ©О^Д),^) >

©г = {#г | ^Д,©/,^),#)) > к}.

Из (4.15.7) следует, что существует щ(/) = щ(^), такой, что

Рг (©г) > _т€ |Р(©/) |	©г, ЙД), ©,) > к' Й; € ©Д = Л(©Д

т.е. г^),0г, улучшает план г^),0й задачи (4.15.3)-(14.15.6).

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь задачу (4.14.1)-(4.15.1).

Задача (4.15.3)-(14.15.6) при условиях (4.14.1) записывается, как

ШШ 1111 -РД0Д	(4.15.8)
?Дг(1Лг,щ(1)Д) > к,	(4.15.9)
< сД,^"1,®) - У~^ А^цу(1),	(4.15.10)
1=1	
у41,^-1,ф) =	- 1,^-1,ф) + 5'41,^-1,ф)'	щ(1, Щг-1) +
+й.Д, л-1,®),	(4.15.11)
1?1 € ©г, 5г е	С ^1,	(4.15.12)
> Уг^~	>	0,	(4.15.13)
> 0, ЗДсЛЧ^) >	>	0,	(4.15.14)

г = 1,п,I е [1,Т].

Введем теперь Х^(^(сс?г-1)) — множество подмножеств таких,
что

= {едо, = о, и (<ДШ); Д(34 = «,},
где Д(*) = ДД*| #г) — введенная условная вероятностная мера на
Тогда поставим задачу минимизации следующего вида

111€	(4.15.15)

где	вг) — решение задачи (4.15.3)-(14.15.6) при е б)г-

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.15.2.

а)	Если существует — решение задачи (4-15.15),
является решением задачи г-го этапа М8Р-Р-1;

б)	Если существует щ(^) — решение задачи г-го этапа, то вы-
полняется (Рг(иг(1у, 6г) > ^(^(б ()гУ 9г) — При Любом С)г Е Е^г) Н
существует решение (4-15.8)~(4-15.14), причем Рг(иг(1У 9{) =
=	б4()-> Ог).

Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы методом
от противного.

Пусть существует и*(1)	такая, что

____	_____ г-1	____

Д (д-иДД-1) < сД ЛД Д - УЩдД)) > ДДД,
7=1

(4.15.16)

Д{уД Л-1) = уЛ - 1, Л-1) + 5ДД_1)г/.Д Л-1)+
+ДД1) > Д(Л-1),

Д(г),^) > к) >	> /г|.

(4.15.17)

Поскольку выполняется (4.15.16), то существует множество
такое, что для любого у Е

____	___ г-1

Д-иДДД < сДг, Л-1,^) - Дд(г),

7=1

Уг(Л^-1,ф) = уЛ - 1ДД ф) + зл, л-1, ф)иг(г, лд+


и мера Д(<2*) = а(шг-1).

Из последнего получаем, что и*(Р) — допустимый план задачи
(4.15.15) при (^ = (^* Е	1)), следовательно,

> к} <	> /с|.

Из Д(<2*) = оц, следует, что

> к} <

< ы	ШД) > к] =

=	ШЛ) > Д

Таким образом, получаем:

> к} < Р;	ШД) > к},

что противоречит (4.15.17).

Следовательно, <Э«)) — решение задачи (4.15.15), такое, что
Р^^(1,Шг,щ(1^*),0{) > к} < Рг^’фг(Ъ,ССг,иг{Ъ),Ог) > /с|.

Докажем утверждение б) нашей теоремы.

Допустим существование множества (^* 6 2ДаДслг-1)), т.е. пусть
выполняются условия

0* сой^(^*) =арт).

Предположим, что при этом также справедливы неравенства

Р^^'ф^(^^,и^(^),0^') > к} <	> к^.

Тогда щ(/:,<2*) — допустимый план задачи М8Р-Р-1 (по определе-
нию), улучшающий решение йД^), что противоречит условию тео-
ремы.
Следовательно, при любом <3* е	х))

> к} > д{Дф,ЙД ДД >

(4.15.18)

Рассмотрим теперь множество С^. такое, что для любого у Е
выполняется

1 — 1

< сДш'"1,®) - уДД1(Д

1=1

уД ЛД = у^1 - 1ДДф) + 5Д Л~ДДД ЛД+

+Д Дф).

Это множество существует в силу существования решения задачи
(4.14.1)-(4.15.1), тж. при этом

Д (ддд	< сДДц) - У2ДДД) Д ДД,

1=1

Д{ДДД = Уг(1~ 1ДД + 5Д^гДиД ЛД+
+сд лд дд.

Тогда йД) — допустимый план задачи (4.15.8)-(4.15.14) при

® е Д, и

Р^ДиДй;) > к} < д|-0г(фДг(^Дг),^) >

Но т.к. е Х^(о:^(сс?г_1)), то по (4.15.18)

л|^(ф,^(^),^) > к} <	> к},

и следовательно,

д{фг(фЛг(^),^) > к} = д|фг(дгДХ^Дг),^) > к}.

Теорема доказана.
Запишем полубесконечномерную задачу принятия решения

тт тт т€ Р^ДО00),
д°°	©^сО00

{Д Д1?’-1), у2(1,1Г-1),... уп(1,1?8’1)) } > к,

1—1

Ау-оДд’-1) < сД,д1-1,д;) - УД^цД.д8"1),
7=1

иД,д’-1) > 0,Уг^Лг-1) > 0,Сг(Лд’-1,дг) > 0,/ € [1,Т],

1?г € 0г, 19®	= X 0/г, 0°° = X <Эк,

к=1	к=1

&1 е

д’ ^'= х = х <2к,(^ € ШГ1))-
к=1	к=1

Имеет место

Теорема 4.15.3. Задача 81Р-Р является полубесконечномерным
эквивалентом задачи МЗР-Р в смысле выполнения условий а) и
б) теоремы 4-15.2.

4.16 Единственность полубесконечномерного эквивалента для моде-
ли М8Р-М

Рассмотрим теперь вопрос единственности полубесконечномерного
эквивалента задачи г-го этапа М8Р-М-1.

Докажем предварительно вспомогательное утверждение.

Лемма 4.16.1. Пусть

1)	со — непрерывная случайная величина, ш е Г7 С Кп,
е17 сКт.

2)	Функция (Дед гД/Д строго выпукла по ш, непрерывна по обо-
им аргументам и существенно ограничена на своей области опре-
деления.
3)	На множестве 0 С Г2 По(Т)) < 0 для любого ш е 0 и
некоторой точки ио(б) е 16.

Тогда

Пт^Р^о? е 0 | (^(сщ по(^)) > — = р{а? е 0 | р(сщ ио(1)) = 0^ =0.

Доказательство. Первое равенство утверждения леммы следует
непосредственно из непрерывности вероятностной меры Р и того,
что при Д1 < р2.

р{ш е 0 I ^(а?,Мо(^)) > -Р1} С рД е 0 I ^(о?,14о(^)) > -Д

И

Р|Р^о; е 0 |	1бо(^)) > — р^ = Р^а? е 0 | р(рщив(1У) = 0^=0.

р>()

Докажем теперь, что

7-Д € 0 I ^Д,и0(/)) = 0} = Д©} = 0.

Действительно, пусть

р{©} > о.

Тогда в силу того, что случайная величина а) непрерывна, суще-
ствует множество ОсОс Пт меры <^(сщщ)(^)) — 0, что противо-
речит строгой выпуклости функции р.

Лемма доказана.

Следующая теорема дает условия единственности полубесконеч-
номерного эквивалента задачи М8Р-М-1.

Теорема 4.16.1. Пусть

1)	Существует решение задачи М8Р-М-1щ(1).

2)	ор — непрерывная случайная величина на множестве

СД С В61\
3)	6 Щс^”1) С Кт\

4)	Функция щ(б слг-х, Шг) строго выпукла посщ непрерывна и огра-
ничена на всей области определения.

5)	Точка щ(1) не является точкой локального максимума функ-
ции

Тогда среди задач (4-14-1) для Е /^(оДс^-1)) существует
единственный полубесконечномерный эквивалент задачи М8Р-М-1
с точностью до множества меры 0, т.е. если задачи (4-14-1) пРи
О = 0х и 0 = 0? являются полубесконечномерными эквивалента-
ми задачи М8Р-М-1, то

А)Р(ё]\ё^ = 0;

Б)Р(ё?\ё1) = о.

Доказательство. Проведем доказательство методом от против-
ного.

Допустим, что 3 0х при 02 такие, что задачи (4.14.2) при 0 = 0х
и 0 = 02 (обозначим эти задачи через (4.14.2)-(0х) и (4.14.2)-(02),
соответственно) являются полубесконечномерными эквивалентами
задачи М8Р-М-1, и

Р(0- и 0?) = а[ > аДоЛ1).

Тогда, по определению эквивалента щ(б) будет являться решени-
ем задач (4.14.2)-(0х) и (4.14.2)-(02).

При этом

____	___ г-1

Ау-иД, < сД, - У~ДдхД),

7=1

при любом 19 е 0х и 02.
Обозначим через
______________________	____ г—1

Д + АдД).

7=1

Будем обозначать

р(р) =	€ 0- 0 0? | ЦДД > -р|

для р > 0.

По лемме 4.16.1 Пт р(р) = р(0) = 0.
/9^+0

Следовательно, по разности Лец = сц — сц(сег-1) можно найти
такое ро > 0, что р(ро) <

Тогда

е 0- 0 0- I ЦДД < -Ро} = р{& € 0- 0 0? I ЦйД)) < о|-

е 0-00- |	= а/-р(р0) >	= аД4).

Таким образом, построено множество 0$ меры Р(0$) > се, такое,
что
__________________	____ г—1

Ацг/ДДД < сДДД АД УД.ДД; < -р0

7=1

ДЛЯ любого е @3'

Пусть Агц(ф принадлежит некоторой окрестности 0 в Кт\ В си-
лу непрерывности и ограниченности функции сДф ссЛ-1,с^) функ-
ция р{и^У) равномерно непрерывна и для = —р$/% существует
ф > 0 такое, что для любого е 0$ и любого ||Ащ(ф|| выполнено
+ Ащ(ф) < -ро/2.

Следовательно, по (4.15.16), для любого Ащ(ф, меньшего по нор-
ме, чем ф |	+ Ащ(ф) < 0^ > сефа?г-1), т.е. план

+ Ащ(ф является допустимым планом задачи М8Р-М-1 при
любом ||Ащ(ф||.
По условию (4.15.1) для точки щ(1) существует такое Лщ(^) О,
что для ||Лщ(^)|| <

^(щ(^) Д) <	+ Лщ(^) Д).

Выберем ||Лщ(/;)|| < тт(^,^). Тогда точка йДД + Лщ(/:) яв-
ляется (по доказанному данной теоремы) допустимым планом для
задачи М8Р-М-1, а следовательно, щ(/:) — не является оптимальным
планом М8Р-М-1, что противоречит условию. Полученное противо-
речие доказывает утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Теорема 4.16.2. Пусть

1)	Существует решение задачи М8Р-М-ги°°(1).

2)	Для \/г сщ — непрерывная случайная величина на множестве
С Пп\

3)	Для \/г щ(/;, а?г-1) е [4(о?г-1) С Кт\

4)	Для \/г функции	строго выпуклы по сщ непрерыв-

ны равномерно по 1 и ограничены на всей области определения.

5)	Точка и°°(Д) не является точкой локального максимума функ-
ции

Тогда среди задач 81Р-М для семейства 0°° существует един-
ственный полубесконечномерный эквивалент задачи М8Р-М с точ-
ностью до множества меры 0.

Теорема 4.16.3. Пусть

1)	Существует решение задачи (4-14.1)-(4.15.1) иДД).

2)	сщ — непрерывная случайная величина на множестве
С Кп\

3)	щДДД^) 6 С Кт\

4)	Функция щД , и) строго выпукла посщ непрерывна и огра-
ничена на всей области определения.

5)	Точка й°°(^) не является точкой локального максимума функ-
ции

рД^,иЛ);6^ >

Тогда среди задач (4-14-8)-(4-15.14) для (Д Е 2ДаДа?г-1)) суще-
ствует единственный полубесконечномерный эквивалент задачи
М8Р-Р-1 с точностью до множества меры 0, т.е. если задачи
(4-14-8)-(4-15.14) при Д = (Д и С4 = СД являются полубесконечно-
мерными эквивалентами задачи М8Р-М-1, то

А)Р($}\&) = 0;

Б)Р(&\&) = 0.

Теорема 4.16.4. Пусть

1)	Существует решение задачи МЗР-Р-гиТДб).

2)	Для \/г сщ — непрерывная случайная величина на множестве
СД С Кп\

3)	Для \/г гц(^,сс?г-1) е СДс»/-1) С Кт\

4)	Для \/г функции	, шД строго выпуклы по (щ непрерыв-

ны равномерно по 1 и ограничены на всей области определения.

5)	Точка не является точкой локального максимума функ-
ции ^(16°° (/;)).

Тогда среди задач 81Р-М для семейства СД° существует един-
ственный полубесконечномерный эквивалент задачи М8Р-Р с точ-
ностью до множества меры 0.

Краткая библиография

Динамические вероятностные модели (в частности, многоэтапные
задачи) занимают значительное место, среди моделей стохастиче-
ского программирования. Формализация таких моделей и разработ-
ка соответствующих вычислительных процедур представляют зна-
чительные трудности; этим можно объяснить тот факт, что число
содержательных работ этого направления стохастического програм-
мирования отностиельно невелико. Следует отметить работы
А. Чарнса и М. Кирби [88], [90], [94], Айзнера, Каплана и Содена
[122], Д. Б. Юдина [194], [195], [196], [197], [198], [199], Н. 3. Шора,
Д. Б. Юдина и Э. В. Цоя [200].

Для описания систем, в которых процессы перехода из одного слу-
чайного состояния в очередное представляются марковскими про-
цессами, разрабатывается специальный раздел стохастического про-
граммирования — марковского программирования. Первые работы
в этом направлении принадлежат П. Вулфу и Дж. Данцигу [444],
А. Манну [281] и Ж. Михоку [287].

Классификация многоэтапных стохастических задач и качествен-
ный анализ задач с априорными и апостериорными решающими
правилами сделана в работе Д. Б. Юдина [197]. Общий подход к
построению решающих правил многоэтапных стохастических задач
представлен в работе Ж. М. Лемари [264], где отмечается связь меж-
ду задачами стохастического программирования и лексикографиче-
ской оптимизации.

В многоэтапных стохастических задачах возникают специфиче-
ские проблемы, связанные с изучением роли информации и памяти
на отдельных этапах выбора решений. В работе К. Миясава [292]
исследуются различные информационные структуры.

Конструктивные пути построения и анализа двойственной задачи
для вычисления апостериорных решающих правил многоэтапных
задач стохастического программирования намечены в работах
А. Д. Юдина [198], [202].
Прикладные задачи управления научно-техническим прогрессом
с использованием многоэтапных задач рассматривались Г. С. По-
спеловым. Проблемы перспективного планирования [118], многоста-
дийного проектирования, стохастического управления, управления
воздушным движением [289], добычи, очистки и хранения нефти
[71], [368] — эти и другие вопросы использовали аппарат многоэтап-
ного стохастического программирования.
5 Игровой подход к задачам стохастического программи-
рования

5.1	Игровая постановка задач стохастического программирования

В практических задачах стохастического программирования сов-
местное распределение случайных параметров условий задачи не
всегда удается полностью определить. Замена случайных парамет-
ров их средними значениями, если они известны, вычисление опти-
мальных планов полученных детерминированных задач не всегда
оправданы, так как при усреднении параметров условий задачи мо-
жет быть нарушена адекватность модели изучаемому явлению.

В таких случаях часто оказывается эффективной так называемая
игровая постановка стохастической задачи. Субъект, принимающий
решение и недостаточно осведомленный об обстановке, в которой
ему приходится это делать, допускает наступление различных по-
следствий в результате принятия каждого своего решения. На самом
деле наступление тех или иных последствий зависит от некоторой
неизвестной ему закономарности природы. Поэтому он может до-
пустить, что истинная закономерность природы является для него
наименее благоприятной. Это значит, что принимающий решение
представляет себе дело так, как будто вместо объективной, но непо-
знанной природы ему противостоит сознательный противник, стре-
мящийся к ситуациям, наименее предпочтительным субъектом. В
этом смысле к участникам конфликта можно причислить природу.

Таким образом, задачу стохастического программирования мож-
но рассматривать как антагонистическую игру [188], [190], [446],
в которой игроками являются: принимающий решение и природа.
Функция платы определяется целевой функцией задачи и суммой
штрафов за нарушение ограничений. Построение функции платы
в том или ином виде отражает информацию, которой располагает
управляющий. В игровой постановке функция платы определяет,
будет ли задача стохастического программирования решаться в чи-
стых или смешанных стратегиях; оптимальная стратегия управля-
ющего определяет решение стохастической задачи. Игровой подход
целесообразен для анализа задач стохастического программирова-
ния в условиях, когда совместное распределение случайных пара-
метров задачи частично или полностью неизвестно.

Пусть задача стохастического программирования порождается сле-
дующей экстремальной задачей

тах(С, X).	(5.1.1)
АХ < Ь,	(5.1.2)
Х>0,	(5.1.3)

где А = (а^); Ъ = (^); С = (сД, X = (хД, г = 1, т; д = 1, п.

Запись (5.1.1)-(5.1.3) вполне определенная при детерминирован-
ных значениях параметров условий задачи теряет определенность и
требует дополнительных разъяснений, если элементы матрицы
Л, составляющие вектора ограничений Ь и компоненты с? вектора
коэффициентов линейной формы (или некоторые из них) — случай-
ные величины. Для того, чтобы задача стохастического программи-
рования была сформулирована, необходимо определить, что следует
понимать под целевой функцией задачи, как следует истолковывать
ограничения и в каких стратегиях (чистых или смешанных) следует
вычислять решение задачи.

Пусть случайные величины — функции состояния природы
а) 6 О. где П — множество всевозможных состояний природы. Тогда
стохастическая задача может быть, как это сделано в [190], рассмот-
рена как игра двух лиц с нулевой суммой в нормальной форме

С =	Первым игроком является принимающий решение,

его стратегии — это векторы X > 0, принадлежащие соответству-
ющим образом выбранному множеству М С Е+ (Е+ — неотри-
цательный ортант п-мерного евклидова пространства), второй иг-
рок — природа, её стратегии — это наборы троек (Л(о?), Ь(си), С(сф).
Множество П определяет множество ТУ евклидова пространства раз-
мерности (тп + гп + п), соответствующее допустимой области из-
менения элементов бфо?), с7(о?) условий задачи.

При каждом состоянии природы и выборе стратегии X первого
игрока функция платы задается как сумма соответствующих значе-
ний линейной формы задачи и штрафа за нарушение ограничений
п	тп	п

1=1	г=1	7=1

(5.1.4)
где ^(Х),г = 1,т — непрерывные неубывающие функции, удовле-
творяющие условию <^(Я) = 0, если Е < 0. На практике конкрет-
ный вид функций штрафа <^(Я) определяется смысловым содержа-
нием задачи. В терминах теории игр план исходной задачи интер-
претируется как чистая стратегия первого игрока.

Если противники имеют конечное число чистых стратегий и су-
ществует такая пара чистых стратегий, для которой соответствую-
щий ей элемент матрицы выигрышей является одновременно наи-
большим в своем столбце и наименьшим в своей строке (т.е. суще-
ствует седловая точка), то соответствующая чистая стратегия пер-
вого игрока будет решением исходной задачи.

В случае бесконечных игр, если противники имеют равномощ-
ные континууму множества чистых стратегий, а функция платы
вогнуто-выпуклая и непрерывная, то игра имеет оптимальные чи-
стые стратегии. Однако представление игры как игры на единичном
квадрате не учитывает конкретных особенностей структуры мно-
жеств чистых стратегий и может привести к тому, что при этом
многие свойства функции платы будут утрачены. При сохранении
естественной структуры множеств стратегий существование опти-
мальной чистой стратегии не гарантируется, так как по [190] тре-
буется, чтобы множество чистых стратегий первого игрока было
подпространством некоторого линейного пространства в рассмат-
риваемой задаче, пространство не является линейным, так как не
выполняется одна из аксиом линейности (существование противо-
положного элемента).

Таким образом, рассмотренная выше игровая модель задачи сто-
хастического программирования в подавляющем большинстве слу-
чаев не гарантирует существование решения исходной задачи в чи-
стых стратегиях.

Существуют вполне осмысленные постановки экстремальных за-
дач, например, задачи, связанные с повторяющимися ситуациями, о
решении которых можно говорить только в том случае, если расши-
рить область определения задачи и под допустимыми планами по-
нимать не только детерминированные векторы, но и распределение
векторов. Достижимый максимум при этом целевой функции может
только увеличиться, а достижимый минимум — только уменьшить-
ся.

При этом предполагается, что смешанные стратегии имеют смысл
в содержательных терминах задачи.

Обозначим через 3 множество смешанных стратегий принимаю-
щего решение, т.е. множество распределений Рх вектора X, опре-
деленных на М, а через Р — множество смешанных стратегий, т.е.
множество совместных распределений Раъс матрицы Л (о?) и векто-
ров 6(сф и с(о?), определенных на ТУ.

В тех случаях, когда распределение части параметров извест-
но, рассматриваются только такие смешанные стратегии, в кото-
рых распределение этих параметров совпадает с известным. Пусть
они образуют множество Р С Р. В принятых обозначениях игровая
постановка задачи стохастического программирования может быть
сформулирована следующим образом: требуется вычислить такие
смешанные стратегии Р% Е 8 и РдЬс Е К, что

тах тт~ / д(& а, /3,	/3,7) =

Рх<=р рАЬсеР ./

МхЛт

= пиитах / д(& а, 13, А^Рх^РаъсА, /3,7) =
Раъс&Р Рх<=3 3

МхА<

= У 5'(€,а,/3,7)^Гу(€)Г4Ьс(а,/3,7)-

При достаточно общих условиях (компактность множеств М и ТУ)
существуют Р% Е 8 и Раъс Е Р , на которых достигается значение
игры [188].

Если функция распределения Раъс известна заранее (задача —
в условиях риска), то множество Р состоит из этого единственного
элемента.

Если о совместном распределении Раъс параметров условий зада-
чи заранее ничего неизвестно (задача — в условиях неопределен-
ности), то в этом случае Р = Р представляет собой множество
всевозможных распределений, определенных на ТУ, и решение Р%
стохастической задачи определяет смешанную стратегию.
Каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет решение
в смешанных стратегиях, а следовательно, исходная стохастическая
задача имеет решающее распределение. Для бесконечной игры од-
ного факта существования оптимальных смешанных стратегий для
определения решений недостаточно, необходимо знать являются ли
эти стратегии стратегиями конечного порядка.

В работе [188] показано, что если множество М — компактное, а
множество ТУ — выпуклое и компактное и функция платы
д (х, Л(щ), Ь(сД, СДсД) непрерывна по своим переменным и выпук-
ла по (а(сД, 6(а?), С(сД) (или вогнута по X), то первый игрок дол-
жен иметь оптимальную смешанную стратегию порядка не выше
[(тп + тп + п) + 1]. Кроме того, если второй игрок имеет р-мерное
множество У оптимальных стратегий первого игрока (т.е. чистых
стратегий), то первый игрок имеет оптимальные смешанные стра-
тегии порядка не выше [(тп + тп + п) — р + 1] вида:

к	к

= 1, А, > 0),
г=0	г=0

где к = [(тп + тп + п) — р + 1].

— смешанная стратегия первого порядка (т.е. чистая страте-
гия) первого игрока, с помощью которой выбирается с вероят-
ностью 1; в то время как все смешанные стратегии первого порядка
1а*,ъ*,с* ПРИ некоторой (Л*, 6*, С*) 6 У являются оптимальными для
второго игрока. Так как функция платы имеет вид

п	тп	п

ЛИПНЕМ] =

7=1	г=1	]=1

то её выпуклость или вогнутость определяется выбором функции
штрафа.

Пусть совместное распределение Еаъс случайного вектора (Л, Ь, С)
принадлежит множеству распределений Р; определим для X 6 Е+
и Рх е Р-.

п	т	п

д(Х, Р) = Ер{ ^2 сз^хз + 52 ^(52	- мф }>

7=1	г=1	7=1

где <^(Я),г = 1,т — непрерывные неубывающие функции, удовле-
творяющие условию <^(Я) = 0, если 7з < 0. Если р(Х, К) определено
и ограничено для всех X е ЕД Ех Е Г, то определяется игра двух
лиц с нулевой суммой в нормальной форме С = (В+, Е,д). Игра С
соответствует исходной задаче стохастического программирования.
Решение этой игры означает оптимальную чистую стратегию пер-
вого игрока в игре С. Если функции штрафа <^(Я) — выпуклые, то
условия существования значения этой игры определяются следущей
теоремой.

Теорема 5.1.1. [44$] Пусть выполняется одно из следующих
условий:

а)	множество Е — выпуклое и компактное ищ-тые равномерно
(по Ех 6 Е) интегрируемы;

б)	множество Е* — выпуклое и компактное и ЕрС — есть
постоянный вектор для всех Ех Е Е (для Ех Е Е, Е* соот-
ветствует маргинальному распределению вектора (И, Ь), полагаем
Е* = {Е* : Ех Е Е}). Пусть функции ^(Х),г = 1,т — выпуклые
и равномерно (по Ех ЕЕ) интегрируемы для всех X Е ЕД тогда
имеет место:

зир тт д(Х,Е} = тт зир р(Х, Е).

ХеЕп РхЕР	РхЕР ХеЕп

Для случая вогнутых функций штрафа эквивалентное утвержде-
ние приведено дальше.

Теорема 5.1.2. Если множество Е — выпуклое и компактное,
с^-тые равномерно (по Ех Е) интегрируемы, а функции

— вогнутые и равномерно (по Ех 6 Е) интегрируемы для
всех X е Е+, тогда имеет место соотношение:

т€ тах д(Х,Е) = тах т€ д(Х, Е),
ХеЕ+ ХхеЕ	ЕхеЕ ХеЕ+

где

п

9<Х Е) = Ер|	+

7 = 1

т	п

г=1	7=1

Н)1

что соответствует замене исходной задачи

тах (С, X),

АХ < Ь,

Х>0,

эквивалентной задачей

тт —(С, X),
АХ < Ь,
X > 0.

5.2 Частные случаи игры

Пусть — линейные функции вида

^(Х) = туЕА ,тц > 0,г = 1,т,
где 2+ = \(\2\ + ?}.

Исследуем игру С(Е+ ,Е,д) для некоторых частных случаев за-
дания множества Е. Поскольку условия, налагаемые на случайные
величины стохастических задач в основном носят естественный ха-
рактер, в практических задачах случайные величины, как правило,
имеют ограниченную область изменения возможных значений и об-
ладают математическим ожиданием.

Рассмотрим некоторые частные случаи игры С и наметим пути
её решения.

Пусть в игре С, соответствующей стохастической задаче, щу,
г = 1, т, 7 = 1, п — постоянные величины, 6^, г = 1,т — независи-
мые случайные переменные, такие что

Е(Х) =	/3'{ < Ъ1 < (%, /3; < /з"-,

и пусть су, 7 = 1, п — случайные переменные, у которых определены
#(су) = 7? для УЕХ е г.

Обозначим через А{/, 7, К} произвольное разбиение множества
{1,2,..., т} на три части, одна или две из которых могут быть
пустыми.

Обозначим Ащ = 1,М такие их разбиения, для которых мно-
жества
п	п

АГ > 0 . С1{д Хд (3^ , 2 Е 1у , (3^ <	(Цд Хд < Р Е 77У.

7=1	7=1

52(Чзхз <	& К„}	(5.2.1)

7 = 1
не пусты.

Пусть

Ф(Х) = тт р(Х, К).	(5-2.2)

Так как — независимые случайные величины, то (5.2.2) можно
преобразовать к виду
п	т	п	।

фоо = 52 ъч - 52 Ер^ {(52 - Ч } ’

1=1	»=1	Х 1=1
где члены второй суммы могут быть оценены следующим образом

тах

РхРР

+ (1	^г) ( агдхд	’	(5.2.3)

7=1

гдеЛ.г = |4|,0<\<1.

Рг Рг

Таким образом, имеем

Ф Ш = 52	“ 52 Ч Аг ( 52 аих] - А) +

7=1	г=1	7=1

+ (1 — ^г) ( аР)Х3 ~ Рг ) }•	(5.2.4)

7=1

В соответствии с разбиением имеем:

для г е

п

п	п

= $2 ауЧ _ _ Аг(4 _ = 52

7=1	7=1

для г е Л:

п

для г е Ку:
что следует из условия (3\ < (3'[.

Запишем для призвольного разбиения и 'ф(Х):

п	п

ф (%) = 52 _ 52 Ц 52

гЕ1„ 7=1

ИЛИ

фро = - (- + 52 +52	) ч + 52+ 52	

гбД	гбЛ	гбД	гбЛ

Введем обозначения

= ~Е) + 52	+52	= 52 + 52

1е11У	ъЕ'/у	1е11У	ъЕ'/у

V = МЙ =Т^ = (д^\К = (К„).

Если вместо допущения Е(ЪЗ) = Д имеет место Д < Е(Ъ^ < (3^
г = 1, т, а все другие допущения сохраняются, то в определении А
и К„ & заменяется на (3{.

Пусть теперь в игре С(щ1, • • •, щ71, Ъ^) г = 1, т взаимно не зави-
симые случайные векторы, такие что выполняется

(Ту/	(Ту у, (Ту/ < (Ту/,

^<ъг<р"г^'г<^.,
Е(сц^}	+ (Ту^-),

ДМ = А = |(^ + <);
г = 1, т, 3 = 1, п,

и пусть су, 7 = 1, п — случайные переменные, что Е(сд) = Пусть
кроме того, = (1Р, /р, V = 1, п все те разбиения {1,2,..., т}

для которых множества

п	п	п

> о: 52	> А, ге Е 52	>3^^ л

7=1	7=1	7=1
п

52 2Д.? - 6 к»}

не пусты.

Так же, как и в предыдущем случае для произвольного разбиения
у получим функцию Ф(Х) и введем обозначения:

= -т?+52 +152

ъ(Е'71/

= 52 +152	= тм.

ъ(Е'71/

Пусть, наконец, в игре С (А, 6, с) — случайный вектор, такой что

2 < ъг < /з-,
2 <с/ < 2\

2 = 1, п, г = 1, тп.

Пусть Л = (1Р, <}„\у = 1, п, то все разбиения {1,2,..., тп} для
которых множества
п	п

> 0 : 52	> 2, г е 4; У2 2Д < 2^ € Д

1=1	1=1

не пусты. Тогда аналогично предыдущим случаям для произволь-
ного разбиения у получим функцию Ф(Х) и введем обозначения:

+ 52 ^22 е = 52 ^2; = г М; = 1, п.

Так как в приведенных частных случаях учитываются только те
разбиения, для которых соответствующие множества не пусты, то
М < Зт, М < 2т, где т — число ограничений исходной задачи.

Для рассмотренных случаев выполняются соотношения [446]

зир тт р(Х, Г) = тт зир р(Х, К)

ХеЕ+ РхЕР	РхЕР ХеЕ+
и X — есть решение игры С = (Дф Г, д), если и только если
(X, Хо) — есть решение задачи линейного программирования

тах X,

(^Х + 2е< К,

X > О,

(5.2.5)

где е = (1,..., 1).

В рассмотренных частных случаях игровое решение задачи сто-
хастического линейного программирования равносильно решению
детерминированной задачи линейного программирования, в общем
случае, большей размерности, чем исходная стохастическая задача.

Пусть функции штрафа — выпуклые и имеют вид:

Н-Д = РР+Р = 1,т,

где 2+ = |(|Я| + 2), и пусть для Ф(Х) = тт д(Х, Р) имеем

Рх^Р
п	т	п

ф (А) = тт ЕРх{	С7Ж7 “ 52 Ф 52 «ОЧ “ Ь’) }•

Х	7=1	г=1	7=1

Из условий независимости компонент вектора Ь = (61,	, Ьт)

следует независимость функций /фХ+), тогда имеем:

= 52ххз - 52	Ер*{& [52	~ь<] }•

7=1	1=1 Х	7=1

Так как по условию /фХ+) — выпуклые функции, то имеет место
следующее неравенство:

ВрА.{/,} >/,{вГа.(А+)}	(5.2.6)

для каждого Гх Т1.
Учитывая соотношения (5.2.3), (5.2.6) и в силу неотрицательности
значений функций /фХ+) имеем неравенство

ф(х) < Е /,{л,(Е «,х,Е)+-т-л,) ( е	-»;)*}

7=1	г=1	7=1	7=1

или с учетом разбиений можно представить в виде
п	п	п

Ф(^0 —	^3Х3 ~ /г ( агЗХ3 ~	/г (^г (	агЗХ3 ~	•

7=1	гбД 7=1	гбЛ	7=1

(5.2.7)

Обозначим правую часть соотношения (5.2.7) через ФДХ). Функ-
ция Ф(Х) вогнута на Ех и вогнута на каждом множестве, опреде-
ленном выражением (5.2.1); эти множества соответствуют разбие-
ниям Др, V = 1,М и сами образуют непересекающееся разбиение
Е^-, отсюда следует, что

Ф(Х) < шт ФДХ).

1<р<М

Тогда максимизация Ф(Х) эквивалентна максимизации некото-
рой вогнутой функции Ф0(Я) при условии Фо(Е) < Ф(Х), т.е. имеем

Фо(^) < ФДХ).

Обозначим ФДАГ) — Фо(Е) = Ф^(Х, X).

В этом случае получим следующую детерминированную задачу
выпуклого программирования

тах Фо(Х),
ФД^,^) > 0,1/ = ТД7,
х е е+.

(5.2.8)

(5.2.9)

(5.2.10)

Если (X*, X*) — есть решение этой задачи, то X* — есть решение
игры а = (Е+,Р,д).
Из теории двойственности для задач выпуклого программиро-
вания следует, что для того, чтобы (Х*,Я*) было решением зада-
чи (5.2.8)-(5.2.10) достаточно, чтобы нашлись числа[/х*, ^2, •,
удовлетворяющие условиям:

ФДХ*,Х*) > о,
с/*фдх*,^*) = о,
К > о,
м

ЦХ*, 2*, Р') = еир [ЦХ, 2, II*) = Ф0(Я) +	2)],

1/=1

где Ь — функция Лагранжа.

При этом требования дифференцируемости на функции Фо(^) и
ФР(Х, Я) не накладываются.

Во всех рассмотренных выше частных случаях определялась неко-
торая матрица О. По этой матрице можно судить о том, существует
ли конечная оптимальная чистая стратегия первого игрока в игре
С = (Е+,Р,д).

Предположим, что такая стратегия существует, тогда задача (5.2.5)
имеет конечное оптимальное решение и по теории двойственности
можно построить задачу:

шт/Ст[/,	(5.2.11)

Оги > 0,	(5.2.12)

м

=	(5.2.13)

17=1

11„ > 0.	(5.2.14)

В силу теории двойственности множество планов задачи (5.2.11)-
(5.2.14) не пустое, но тогда из условий (5.2.12) и (5.2.14) следует,
что в матрице нет строго отрицательного столбца (необходимое
условие) и есть неотрицательная строка (достаточное условие). Для
проверки достаточного условия нет необходимости строить матрицу
по всем разбиениям, достаточно рассмотреть только одно:

△1 = (Л, Л, Кл) = {(1,2,... ,т),0, о}.

Если соответствующее множество X > 0 не пустое и > 0 для
= 1,п, тогда оптимальная чистая стратегия существует.

Реализация игрового подхода к задачам стохастического програм-
мирования включает несколько этапов:

I этап. Игровая постановка задачи, стохастического программи-
рования.

Определяющим условием на этом этапе является имеющаяся ин-
формация о задаче стохастического программирования. По исход-
ной информации определяются:

а)что понимать под решением задачи;

б)множества стратегий противников;

в)функции штрафа за нарушение условий задачи;

г)функция платы.

II этап. Анализ полученной игры.

На этом этапе рассматривается вопрос о существовании значения
игры и о существовании оптимальных стратегий. На втором этапе
в настоящей главе были рассмотрены следующие ситуации:

а)чистые стратегии против чистых;

б) смешанные стратегии против смешанных;

в)смешанные стратегии против чистых;

г) чистые стратегии против смешанных,

для конечных и бесконечных (с несчетным числом стратегий) игр.
Было показано, что переход к игре на единичном квадрате для полу-
чения ситуации: чистые стратегии против чистых, хотя и гарантиру-
ет существование решения игры в чистых стратегиях, но нарушает
соответствие полученной игры исходной задаче.

Для ситуации: чистые стратегии против смешанных, показана эк-
вивалентность выбора выпуклых и вогнутых функций штрафа для
исходной задачи и сформулированы достаточные условия существо-
вания оптимальной чистой стратегии первого игрока для случая
выпуклых функций штрафа.

III этап. Метод решения игры.

Для конечных игр в общем случае может быть использован сим-
плекс метод и итеративный метод Брауна-Робинса. Если функция
платы непрерывна, то метод Брауна-Робинса может быть применен
и для решения бесконечных игр. Этот метод наиболее эффективен
в случае игр с большим числом чистых стратегий, так как трудно
использовать какой-либо другой метод вследствие необходимости
выполнения большого объема вычислений.

Основным недостатком этого метода является малая скорость
сходимости итеративного процесса, а разработанные к настояще-
му времени способы улучшения сходимости связаны с конкретными
задачами. Применение этих способов в общем случае приводит к
значительному усложнению процедуры решения, в результате чего
теряется их эффективность.

По третьему этапу в настоящей главе были рассмотрены некото-
рые методы получения решения для бесконечной игры. Было по-
казано, что в случае выпуклой функции штрафа бесконечную игру
можно свести к детерминированной задаче выпуклого программи-
рования.
Краткая библиография

Игровой подход к задачам стохастического программирования це-
лесообразен в условиях частичной или полной неопределенности,
когда статистические характеристики всех или некоторых парамет-
ров условий задачи заранее неизвестны. В работе [160] С. Фромовиц
исследовал оптимальные смешанные стратегии детерминированной
условной экстремальной задачи. В работах И. Жачковой [446],
М. Иосифеску и Р. Теодореску [188], В. Н. Лебедева [262], Р. Тео-
дореску [394], А. Чарнса, М. Кирби, В. Рэйк [92] рассматривают-
ся игровые постановки линейных и выпуклых задач стохастическо-
го программирования и приводятся условия, гарантирующие суще-
ствование оптимальных смешанных стратегий игры — решающих
распределений исходной стохастической задачи.

В работах Д. Б. Юдина [197], [203] соответственно для априорных
и апостериорных решающих правил рассматриваются достаточные
условия, при которых оптимальное значение целевой функции на
смешанных стратегиях — решающих распределениях — достигается
также с помощью чистых стратегий — решающих правил.
6 Проблемы существования решения и его оптимально-
сти в задачах стохастического программирования

6.1	Двойственные задачи стохастического линейного программиро-
вания

Для задач стохастического программирования очень важным явля-
ется вопрос о необходимых и достаточных условиях оптимальности
плана и вопрос его существования. Прежде всего рассмотрим неко-
торые свойства двойственных задач стохастического линейного про-
граммирования. Приведенный ниже результат доказан Тинтнером
[402] и получил название «слабой теоремы двойственности». Пусть
имеем задачу

тт X = тт С(аб)Х,
Хе8(ш) Хе8(ш)

где	: А(щ)Х < Ь(щ),Х > 0,о? е о} со случайными

параметрами, и её двойственную задачу, функционал которой обо-
значим через д = Ь(аб)тУ.

Пусть д1ш — значение этой функции при в ш 6 Г2 в 1-й экстремаль-
ной точке двойственной задачи. Имеет место следующая теорема.

Теорема 6.1.1. Пусть для шо С М точка будет оптималь-
ной экстремальной точкой и пусть 2^ —соответствующее зна-
чение целевой функции. Обозначим через область устойчиво-
сти этого решения. Тогда для любого ш Е существует такая
экстремальная точка (скажем с номером!) двойственной задачи,
что выполняется равенство д1ш = 2^ и существует такая окрест-
ность О(сб) точки ей, что для любого ш Е О(сй) имеет место со-
отношение

Е = А
Доказательство. В рассматриваемой точке о) прямая задача име-
ет решение, которое достигается в экстремальной точке 1-^. Следова-
тельно, соответствующая двойственная задача тоже имеет решение.
Пусть /у является оптимальной экстремальной точкой двойственной
задачи. В силу теоремы двойственности имеем равенство

4 = ^

Для того, чтобы доказать вторую часть теоремы, предположим
противное, т.е. нет такой окрестности О (ей), в которой экстремаль-
ная точка оптимальна, хотя она оптимальна в самой точке ей.

Прежде всего заметим, что для любого о) Е двойственная
задача имеет решение, поскольку в этой же области имеет решение
прямая задача. Рассмотрим произвольную окрестность О (ей) С ПД'()
точки ей. В силу оптимальности экстремальной точки имеем нера-
венство

4-^>о	(6.1.1)

для любого I = 1,2,..., 1^, где — общее число экстремальных
точек двойственной задачи. С другой стороны, в силу нашего пред-
положения имеем

Е - д1ш > о	(6.1.2)

для некоторых а) Е О (со) возможны два случая.

1.	Число точек, в которых выполняется соотношение (6.1.2), ко-
нечно. Следовательно, эти точки можно пронумеровать:

г = 1, 2,... ,р. Обозначим через	расстояние между точкой

ей и точкой и найдем р = тш^(о;, оД. Тогда в качестве иско-
г

мой окрестности, в которой выполняется равенство^ = можно
принять множество О (ей) = 5 СО : р(сй,си) < 2 г
2.	Число точек о?, удовлетворяющих неравенству (6.1.2), беско-
нечно (счетно или несчетно). Поскольку пространство П является
топологическим пространством, существует фундаментальная си-
стема окрестностей точки Обозначим окрестности этой системы
через Оп(й). В каждой окрестности Оп(й) содержится хотя бы одна
точка удовлетворяющая условиям (6.1.2). Рассмотрим
79п(ёс?) = Оп(ёсУ) — Оп+1(ёсУ). Существуют две возможности:

а)	число окрестностей Рп(сй), содержащих точки конечно; то-
гда существует такое число ТУ, что для всех п > ТУ Оп(о?) содержит
бесконечно много точек соц из этих точек можно построить после-
довательность сходящуюся к точке ей, т.е.	Отсюда

п п^-оо

получим в силу непрерывности функции д1ш от ш д1ш. д^ сле-
гп п^-оо

довательно, ф, — ф, 9гт ~ 9гт п0 предположению все члены
гп гп п^оо

последовательности меньше нуля, в то время как в силу соотноше-
ния (6.1.1) её предел больше нуля. Это противоречие доказывает
теорему для данного случая;

б)	число окрестностей Рп(сй), содержащих точки бесконечно;
снова можно определить такую последовательность точек , кото-
рая сходится к ей, доказательство завершается аналогично предыду-
щему случаю.

Теорема доказана.

В предыдущих главах рассматривались двойственные задачи для
различных моделей задач стохастического линейного программиро-
вания и в отдельных случаях были сформулированы аналитические.
Критерии оптимальности решений. Ниже приведены некоторые ре-
зультаты исследований по вопросам существования и оптимально-
сти, решений в задачах общего вида.
6.2 Оптимальность и существование решения в задачах стохастиче-
ского программирования

Вопросы существования плана и его оптимальности для задач сто-
хастического программирования нашли выражение в исследовани-
ях Хансона [176]. Рассмотрим некоторые результаты, полученные в
указанной работе.

Пусть вектор У е V е Ет имеет скалярное распределение Ф(У),
которое является непрерывным и дважды дифференцируемым.

Пусть X 6 X 6 Еп — некоторый вектор, минимизирующий мате-
матическое ожидание скалярной функции Ф(Х, У) при двух типах
ограничений:

1)	математическое ожидание функции д(Х, У) является неотри-
цательным, где д 6 Ег;

2)	функция /фХ, У) является неотрицательной для к 6 Е3.

Оба вида ограничений важны с точки зрения практического при-
менения, например, первые можно рассматривать как долговремен-
ные договорные требования, когда допускаются отклонения, кото-
рые, однако, в совокупности нельзя нарушать; вторые ограничения
могут отражать некоторые физические ограничения системы, кото-
рые нельзя нарушать вообще.

Сформулируем следующую задачу

тт у Ф(Х,У)Ф(УЦУ	(6.2.1)

У
при условиях

У д(Х, У)Ф(УЦУ, ЦХ, V) >0,Х еХе Еп,
У

где Ф,д,/г — непрерывные дважды дифференцируемые функции,
заданные на 5 = X х V.
Для такой постановки задачи в работе [176] сформулированы тео-
ремы о необходимых и достаточных условиях оптимальности век-
тора X и теорема двойственности.

Приведем доказательство достаточности для оптимальности век-
тора. Причем, надо заметить, что условия, сформулированные в
теореме, слишком сильные, что существенно сужает круг рассмат-
риваемых задач.

Теорема 6.2.1. Пусть определенная выше функция Ф(Х, У) яв-
ляется выпуклой по X; а д(Х,У) и Н(Х,У), определенные выше,
являются вогнутыми по X. Выполнение следующих условий яв-
ляется достаточным для того, чтобы X был минимизирующим
вектором задачи (6.2.1):

1)	существует X < 0;

2)	существует д(У) < 0;

3)	Фх(Х, У)Ф(У) + Хдх(Х, У)Ф(У) + ц(У}кх{Х, У) = 0;

4)	Ар(Х,У)=0;

5)	/л(У)Н(Х,У) = 0, где Фх =	• • •, РхЛх — мат-

рицы соответствующих размерностей из частных производных,
а А,д(У) г-мерный вектор и з-мерная векторная функция, соот-
ветственно.

Доказательство. Пусть X* и X — некоторые допустимые реше-
ния. Тогда, так как Ф(Х, У) выпукла по X непрерывна и дифферен-
цируема, применим все условия (1)-(5) для X из теоремы, имеем:
У Ф(Х*,У)Ф(У)йУ > У (ф(Х,у)+(х*-х)фх(х,у))ф(уЦу =
У	У

= У (ф(Х,У)Ф(Г)-(Х*-Х)[А5х(УУ)ФЦ)+ЦУ)/гх(Х,У)])^Г,

У
что в силу выпуклости функций Хд и д/г не меньше

У Ф(Х,У)Ф(У)</У-У А(ДХ*,У) -ЦХ,У))ф(У)</У-

У	У

~У ДУ) (ДХ*,У)-ДХ,уфу = у Ф(Х,У)Ф(У)с/У-

У	У

- у А$(Х*,У)Ф(У)</У-У ДУ)ЦХ*,У)йУ>

У	У

> у Ф(Х,У)Ф(УЦУ.

У

Последнее и означает, что X является оптимальным решением.

Теорема доказана.

Нижеприведенная теорема двойственности дает возможность уста-
новить нижние границы для значений целевой функции в задаче
(6.2.1).

Теорема 6.2.2. Если Ф(Х, У), Ф(У), д(Х, У),/фХ, У) являются
функциями, определёнными в теореме 6.2.1, и если X является,
оптимальным решением в прямой задаче (6.2.1), то X является
также оптимальным решением и в двойственной задаче:

тахУ (ф(Х,У)Ф(У) + Хд(Х,У)Ф(У) + ДУ)ДХ,У)фу
У

при условиях

У (фх(у У)Ф(У) + АЫУ У)Ф(У) + ДК)ЫУ уфу = О,
У

А < 0,/фУ) < О,

причем оптимальные X и~ц(У) удовлетворяют условиям (1)-(5) из
теоремы 6.2.1 и оптимальные значения целевых функций в обеих
задачах равны между собой.
Рассмотрим еще одну теорему существования, доказанную Стод-
дартом [7] и применимую для достаточно общей системы, из которой
задача (6.2.1) получается как частный случай.

Рассмотрим вероятностное пространство (Л, 5, д). Будем предпо-
лагать, что вероятностная мера // является обычной относительно
некоторой топологии на А. Пусть К — замкнутое множество в Еп
и Ц — замкнутое выпуклое множество в Ет. Рассмотрим фиксиро-
ванное измеримое отображение г : Л —> Я. Будем называть веще-
ственную функцию /(г, и) на К х линейно ограниченной снизу в
[/, если выполняется неравенство

Щ)) >

для некоторой интегрируемой функции р и ограниченной интегри-
руемой функции д на А.

Рассмотрим некоторое число вещественных непрерывных функ-
ций рфг, и), г^(г, и) на К х V, каждая из которых линейно ограни-
чена снизу в V. Пусть Г — класс всех интегрируемых отображений
и : А -А- Ет таких, что выполняются

1)	и (о?) 6 и почти для каждого ш 6 Л;

2)	/дфг(сф, гб(сф)фп < 0 для каждого г;

А

3)	Ду(г(сф, гб(сф) < 0 почти для каждого ш е А и всех д.

Пусть, кроме того, Ф(г, и) — некоторая вещественная непрерыв-
ная функция на К х V, тогда будем говорить, что план и$ 6 Г явля-
ется оптимальным для Ф в Г, если 1(и) = / Ф(г(сЕ), и(сЕ))с1р имеет
А

минимум в точке щ», т.е. выполняется неравенство /(щ)) < для
всех и е Г.

Заметим, что имеем систему, эквивалентную системе Иенсона, ес-
ли А С Еп, = а) и р = / Ф«7А, где Ф — распределение вероят-
ностей к мере Лебега А на Еп.

Доказательство теоремы существования для непустого Г стро-
ится в предположении замкнутости и компактности относительно
слабой сходимости в = 01 (Л, 5, д).

Полунепрерывность снизу функции I{и) при этой сходимости яв-
ляется достаточной для существования оптимального плана в Г.

Теорема 6.2.3. Пусть Ф(г, и) — вещественная непрерывная
функция на Нх17 линейно ограничена снизу и выпукла в 17. Пусть
/ |гб(щ)\бц ограничена на Г и е — абсолютно непрерывна на Г. То-
А
гда, если Г 7^ 0,

1(и) =	Ф(г(щ), и(щ)) бц

А
имеет минимум на Г.

Ключевым условием в этой теореме является ограниченность и
е — абсолютная непрерывность / |гб(сф\бц на Г.

А

В работе Стоддарта [382] приводятся две теоремы, обеспечиваю-
щие это требование при определенных условиях. Это имеет место,
когда некоторая вещественная функция Ф (и) на 17 ограничена снизу
и такова, что -А ос, как только |п| -А ос на [/, и если / Ф(щ)б/д
А
ограничена на Г.

Доказывается также, что, если брать и)} > Ф(щ), где Ф(щ)
имеет все предыдущие свойства теорема 6.2.3 верна и без предполо-
жения ключевого условия.

6.3 Исследования одной задачи стохастического программирования

Рассмотрим следующую экономическую задачу: пусть имеется неко-
торое производство продуктов с входными величинами

X = (яд, ^2,..., хп) и пусть оно достаточно гибко реагирует на такие
случайные факторы, как спрос, погода, выход из строя оборудова-
ния или другие, т.е. имеем свои варианты планов производства в
различных условиях, реализация которых носит случайный непре-
рывный характер. Требуется найти оптимальный набор значений
входных величин X, минимизируя ожидаемое значение некоторой
функции издержек при следующих ограничениях:

1)	необходимо, чтобы средние долговременные договорные обяза-
тельства в целом (поставки сырья и производство продукции, при-
быль и т.п.) были удовлетворены, хотя при этом допускаются нару-
шения в кратковременных требованиях;

2)	необходимо соблюдать при каждой случайной реализации усло-
вий задачи общие физические ограничения системы, которых нель-
зя нарушать вообще.

Предполагается, что все функции, представленные в задаче, мо-
гут быть нелинейными. В этом случае получаем математическую
постановку задачи Хансона [176]:

пип У Ф(Х, У)Ф(У)йУ,

{П

< У з(Х,У)Ф(У)с/У >0,	(6-3.1)

{П

/г(Х,У) > 0,УУ,

где предполагается, что Ф(Х, У) — некоторая скалярная функция
от X е Еп и У е р(Х, У) и /фХ, У) — вектор-функции на Ег
и Е8 соответственно, Ф(Х, У) и компоненты р(Х, У) и /фХ, У), а
также плотность распределения вероятностей Ф(У) дважды непре-
рывно дифференцируемы на 3 = {X} х {У} с Еп х Ет по всем
переменным.

В работе Хансона даются, как показано выше, необходимые и,
в условиях выпуклости функции Ф(Х, У) и вогнутости компонент
вектор-функций р(Х, У) и /фХ, У), по X также достаточные усло-
вия оптимальности вектора X. Эти условия являются однако слиш-
ком сильными, поскольку в системе

Фх(Х У)Ф(У) + Хдх(Х, У)Ф(У) + Д(У)ЫХ Л = О, УУ (6.3.2)

каждое слагаемое зависит от вектора-параметра У. Покажем, что,
не умаляя общности, эти условия можно ослабить, исключая из
некоторых слагаемых У.

В силу свойств функций Ф, д и Ф можно задачу (6.3.1) переписать
в эквивалентном виде: найти вектор X, который доставляет

ттК(Х)	(6.3.3)

при условиях

С(Х) > 0,	(6.3.4)

/фХ,У) > 0,УУ,	(6.3.5)

где функция Г(Х} и вектор-функция С(Х), вычисленные по рас-
пределению {У}, интегралы /Ф(Х, У)Ф(У)НУ и /д(Х, У)Ф(У)7У
соответственно. Р(Х),С(Х) и к(Х,У) также дважды непрерывно
дифференцируемы. В этой задаче только вектор-функция к зави-
сит от вектора-параметра У. Для того, чтобы свести задачу (6.3.3)-
(6.3.5) к параметрической задаче нелинейного программирования и
вывести необходимые и достаточные условия оптимальности векто-
ра X, будем предполагать выполнение следующего условия: если
г + з > п, то самое большее п компонент функций С и к могут
обращаться в нуль в любой точке множества 3. Те компоненты С)
(д = 1,7) и кр (р = 1, Р), которые обращаются в нуль в некоторой
точке множества 8 таковы, что матрица
г<ЭСД дО^дкг^ дкрл
I дхг '	' дхг ' дхг'	' дхг

имеет максимальный ранг. Докажем следующую лемму, с помощью
которой будем выводить необходимые условия оптимальности век-
тора X.

Лемма 6.3.1. Пусть

1.	имеется область дг(Х) > 0, г = 1,М; где дг — действитель-
ные функции, определенные на {X} С Еп;

2.	дг(Х) при любом г дважды непрерывно дифференцируемы на
{X} С Еп;

3.	существует такой вектор X, что выполняется

дг(Х = 0),г = 1,т; т < п,	(*)

дг(Х > 0), г = тп + 1, М.

4.	для т равенств вида (*) выполняется 7^(1,... ,т)	0; т.е.

якобиан в точке X имеет максимальный ранг. Тогда для любого
г е 1,т существует точка Хг такая, что выполняются

Уг{Хг) > 0; а дг(Хг) = 0 для любого г=1,т,г/1 и дг(Хг) > 0;
г = т + 1, М.

Доказательство.

1.	Поскольку функции дг непрерывны, то для любого

г 6 т + 1, М и любого ег > 0 существует вектор > 0 такой, что
выполняются неравенства

УХ € |Х -Х| < р. |<ДХ) - <ДХ)| < ег.

Отсюда, т.к. дг(Х) > 0,\/г = т + 1,М, можно выбрать таким,
что выполняется для любого X 6 ^-окрестности

о <	- ег < дг(Х) < дг(Х) + ег.
Если теперь выбрать тт 6Г1 = 5Го1о, где 6Г1О 1-я координата г-го век-
тора (все координаты строго больше нуля), и составить п-мерный
вектор, координатами которого являются фд0, то для любого X из
такой фд0-окрестности выполняется неравенство дг(Х) > 0 при лю-
бом г = т + 1, М. В дальнейшем проводятся все рассуждения толь-
ко для векторов X из этой окрестности, которую обозначим через
5(Х).

2.	Рассмотрим дг(Х), г = 1, т на <5(Х). Зафиксируем теперь неко-
торый г 6 1,т и рассмотрим систему из т — 1 равенств дг(Х) = О
для любого г 6 1,т. Для удобства изложения пронумеруем функ-
ции так, что зафиксирован г = т. Из якобиана порядка т, пусть это
для определенности первые т столбцов матрицы из частных про-
изводных, вычеркнем строку т и столбец, в котором стоит элемент
такой, что алгебраическое дополнение к нему не равно нулю.
Такой выбор возможен в силу невырожденности якобиана порядка
т. Ненулевое алгебраическое дополнение к элементу есть яко-
биан 7у(1,... ,т — 1) функций дг(Х\ г = 1,т — 1. Поскольку в
окрестности 5(Х) функции дг(Х) непрерывны, и дг(Х) = О,
г = 1, т — 1 и 7^(1, • • •,	— 1) неособенная матрица, то существует

по теореме о неявных функциях б(Х)-окрестность точки

X =	. , Хп) С Е71-77141, которая целиком содержится в

5(Х) соответствующей размерности, что для любой точки

X = (хш,хш+1,..., хп) из ДХ) существуют однозначные и непре-
рывные функции ^(Х),..., ^т_1(Х), которые обладают свойства-
ми:

а)	Хг = ^Г(Х), г = 1,т — 1;

б)	при любой X е г(Х) значение Хг,г = 1, т — 1, вычисленное по
формуле Хг =	хш+1,..., хп\ вместе с компонентами вектора
X образуют вектор удовлетворяющий уравнениям дг(Х) = 0;

в)	в г(Х) функции ^г(Х),г = 1,т — 1 дифферинцируемы и при

данных 6 т,п производные являются единственным реше-

нием системы линейных уравнений:

3. Покажем теперь, что для дг(Х\г = 1,т существует такой
X1'1. что выполняется неравенство дт(Хт) > 0, а для г = 1,т все
дг(Хт} = 0. Предположим, что не существует такой Хт. Зафикси-
руем в окрестности б(Х) все координаты

^772+1 — ^772+1 ? ^772+2 — ^772+2? • • • , ^72 — ^72 •

Получим для координаты хт = хт окрестность (хт,х'п\ которая
целиком содержится в окрестности е(Х), для любого хт 6 (х'т, х'1и)
и фиксированных координат хт+\получим

^1 — ^1(^772? ^772+Ъ • • • 7 ^72

^772—1	^772—1 (^772? ^772+1 ? • • • ? ^72

Рг(^1? 9^2? • • • ? ^772—1 ? ^772? ^772+1 ? ^72 )	0

таких, что г = 1,т — 1. Если подставить эти координаты в дт(Х\
то по предположению для любого хт е {х1и,х"1и) получим неравен-
ство

^772(^1? 9^2? • • • ? ^772—1 ? ^772? ^772+1 ? ^72 )	0-

Поскольку последние п — т координат зафиксированы, все из-
менения функций зависят только от изменения координаты хт.
Следовательно, для любого хт 6 (х^х^) имеет место дт < 0, а в
точке X выполняется дт(Х) = 0, в этом случае полная производная
по хт в точке X должна равняться нулю, т.е. должно выполняться
равенство

^^1 сДт $^2	&9т Э^т—1	&9т	/ \

-------I-	I- • • • —	=	 ()
дхг дхт дх2 дхт--------------------------дхт_х дхт-дхт х=т

Если теперь сравнить соотношения (**) с (***), то имеем систему
из т уравнений с т — 1 неизвестными. Вектор	• • •;

определяется единственным образом из системы (**). Он удовлетво-
ряет уравнению (* * *) лишь в том случае, когда уравнение (* * *)
есть линейная комбинация уравнений из системы (**). Посколь-
ку коэффициенты образуют якобиан, следовательно, выполняется
7у(1,..., т) = 0, что противоречит условию. Следовательно, пред-
положение неверно и существует Хт такой, что для г = 1,т вы-
полняется равенства дг(Х™) = 0, а кроме того, имеем дт(Х™) > 0.
Поскольку функция дт была получена путем перенумерации, то,
следовательно, для любого г = 1, т выполняется утверждение лем-
мы.

Лемма доказана.

Приведенную выше лемму можно получить как прямое следствие
из теоремы о неявных функциях, если ввести искусственную пере-
менную.

Следующее утверждение дает необходимые условия существова-
ния решения в задаче Хансона.

Теорема 6.3.1. Для того чтобы вектор X являлся решением
задачи (6.3.1), необходимо, чтобы существовали г-мерный вектор
А < 0 и з-мерная вектор-функция д(У) < 0 такие, что выполня-
ются

Ех(Х) + АСх(Х) +	У) =
_^ + л^о+,Лг)_О(	(см)

АС(Х) = 0,	(6.3.7)

//(Г)/1(Х,Г) = 0,УУ,	(6.3.8)

где Ех(Х) =	вектор и Сх(Х) = ^^);

Нх(Х,У) = —матрицы из частных производных, вычислен-
ные в точке X. Если в задаче (6.3.1) функция Ф(Х, У) выпукла, а
компоненты д^(Х,У) и ф(Х, У) у = 1,з вогнуты по X, то необ-
ходимые условия являются и достаточными.

Доказательство. Необходимость. Будем рассматривать вместо
задачи (6.3.1) эквивалентную ей задачу (6.3.3)-(6.3.5). Пусть X —
оптимальное решение задачи (6.3.1), тогда оно оптимальное реше-
ние и задачи (6.3.3)-(6.3.5). На основе введения невязок будем при-
менять теорию множителей Лагранжа, чтобы показать необходи-
мость условий (6.3.6)-(6.3.8). Неположительность А и д(У) будем
выводить отдельно с помощью теоремы о разложении функции в
ряд Тейлора.

Пусть = (^,	• • • , И = (Л1(Х)> • • • , ^(У))Т являются

г-мерным вектором и ^-мерной вектор-функцией такими, что вы-
полняются равенства

с(%) - е = о,

Н(Х,У) — ц(У) =0.

Составим функцию Лагранжа, имеем:

ЦХ, А, ДУ), е, „(УУ) = Г(Х)+А(С(Х) -Щ ДУ)(ЦХ, У) -ЦУ)).

Точки экстремума целевой функции в задаче (6.3.3)-(6.3.5) находят-
ся среди стационарных точек функции Лагранжа. Возьмем частные
производные по всем переменным, которые в точке X должны об-
ращаться в нуль. Имеем

дЬ дГ(Х)	..дкСХ^У)

(с-м>

яг ______	яг

У = Сг(Х) - 42 = 0, (*)^- = 2А^ = о, г = 1, г,
X	м

ЯГ	_ ЯГ

——- = к[(Х, У) - ДУ) = 0, (**)—7рл = ДгДЬСП, / = 1,8.
Сравнивая уравнения (*) и (**) между собой, можно исключить
переменные и ??/(У). Получим условия Х^С^Х) и /ц(У)/ц(Х,У)
или

^А^(Х) = АС(Х) = 0,
г=1

У к1(ГУч(Х, У) = ДУ)ЦХ, У).
1=1

Последние два выражения и соотношение (6.3.9) представляют со-
бой условия (6.3.6)-(6.3.8) из теоремы.

Покажем неположительность А и д(У). Из условий (*) и (**)
следует, что если С{(Х) > 0, то соответствующий Х{ = 0 и анало-
гичным образом для ф(Х, У). Если некоторая компонента векторов
ограничений (6.3.4)-(6.3.5) обращается в точкеX в нуль, то рассмот-
рим специфическое изменение вектора X к некоторой соседней до-
пустимой точке X*. Применим теорему Тейлора до первого порядка
с остаточным членом более высокого порядка е(X*, X) = е. Имеем

Г(Х*) + АС(Х*) + /^У)ЦХ\ У) - (К(Х) + АС(Х) +д(УШХ Л) =
, -хдг(х) дад дк(х,тх _
~{х ~хК-^)Г + х^5Г + ^У}^5^)+г-е-

Следовательно,

Г(Х*)-К(Х) = -АС(Х*)-АС(Х)-д(У)^(Х*,У)+д(У)^(Х,У)+
+е = - [ЛС(Х*) + ц(У)ЦХ*, У) - е].

Возьмем теперь допустимое решение X* достаточно близким к X,
чтобы, во-первых, е не влиял на знак выражения в квадратных
скобках и, во-вторых, все нулевые компоненты вектора ограниче-
ний (6.3.4), кроме г-й, и все нулевые компоненты вектора ограни-
чений (6.3.5) не меняли своего значения. Такой выбор X* возмо-
жен, т.к. условия в задаче (6.3.3)-(6.3.5) удовлетворяют предыду-
щей лемме. Тогда знак выражения соответствует знаку выражения,
|^У(Х*) — У(Х)] соответствует знаку выражения |\бДХ*)]. Сле-
довательно, если по выбору X* СДХ*) > 0 и X доставляет минимум
функционалу (6.3.3), т.е. имеем К(Х*) — К(Х) > 0, то должно быть
Хг < 0. Поскольку был взят любой индекс из нулевых компонент, то
весь вектор А < 0. Аналогично доказывается, что д(У) < 0.

Достаточность. Пусть существуют А < 0 и тпи(У) < 0 такие, что
выполняются условия (6.3.6)-(6.3.8). Интегрирование непрерывной
выпуклой по X функции Ф(Х, У) по области {У} дает выпуклую по
X функцию У(Х). Тоже самое имеет место для вогнутости компо-
нент вектор-функции С(Х). Отсюда имеем в соответствии со свой-
ствами функций Г, С и а также по выполнении условий (6.3.6)-
(6.3.8) следующую систему соотношений:

> Р(Х) + (X -	= Р(Х) - (X - X)

> р(х) - А(ОД - С(Х)) - ДУ)(/г(Х, У)-
ол. /

-Н(Х, У)) = У(Х) - АС(Х) - д(У)/фХ,У) > У(Х).

Сравнивая начало и конец системы соотношений, где X — любое
допустимое решение, получаем, что X является точкой имнимума.

Следовательно, система уравнений (6.3.6)-(6.3.8) обеспечивает
п + г + з специфических необходимых, и в случае выпуклого про-
граммирования, и достаточных условий для решения задачи (6.3.1)
в терминах задачи (6.3.3)-(6.3.5). Число неизвестных компонент век-
торов X, А и р,(У) также равно п + г + 8, причем неравенства А < О
и УУ) < 0 при каждом У превращают задачу (6.3.1) в типичную
задачу нелинейного программирования. При этом первое и второе
слагаемые из условий (6.3.6) уже не зависят от У в противополож-
ность к условиям в задаче Хансона.

Теорема доказана.

Однако остается трудность определения вектор-функции д(У).
Дадим теорему, которая в условиях, сформулированных в задаче
(6.3.1), является следствием оптимальности вектораХ и новых по-
лученных необходимых условий оптимальности.

Теорема 6.3.2. Пусть в условиях задачи (6.3.1) X является
оптимальным решением и пусть при некотором У = У имеет

место соотношение

дг(х) дв(х)
дх +х дх

Тогда д(У) = 0 при любом У.

Доказательство. Пусть X — оптимальное решение в задаче
(6.3.1), тогда существуют А < 0 и УУ) < 0 такие, что выполня-
ются необходимые условия (6.3.6)-(6.3.8). Поскольку система (*) не
зависит от У, то должно выполняться соотношение

Из необходимых условий (6.3.6)-(6.3.8) и неположительности д(У)
следует, что если ЛДХ,У) > 0, то дфУ) = 0, а если ЛДХ,У) = О,
то дфУ) < 0. Если бы для последних г существовала при некотором
У хотя бы одна компонента дц(У) < 0, то это означало бы в соот-
ветствии с (*), что линейная комбинация градиентов для функций
/гфХ, У), обращающихся на X в нуль, должна равняться нулю, т.е.
что градиенты линейно независимы. Последнее противоречит усло-
вию. Следовательно, все дц(У),г = 1,5 тождественно равны нулю
при любом У.

Теорема доказана.

Заметим, что с помощью условий (6.3.6)-(6.3.8) можно сформу-
лировать двойственную задачу. Можно показать, что в случае вы-
пуклости Г(Х} и вогнутости компонент С(Х) и /фХ, У), получает-
ся теорема, эквивалентная теореме о седловой точке Куна-Таккера.
Условие Слейтора при этом следует из леммы 6.3.1, т.к. для ненуле-
вых компонент ограничений (6.3.4)-(6.3.5) существует окрестность
точки X, в которой эти компоненты остаются строго больше нуля, а
для остальных компонент можно подобрать такую выпуклую ком-
бинацию соответствующих точек Хг и леммы 6.3.1, что она является
внутренней точкой для выпуклой области допустимости.

Однако такой подход для практического применения при реше-
нии задачи (6.3.1) приводит к вычислительным трудностям, кроме
того, наложенные условия являются очень сильными.

Условия (6.3.6)-(6.3.8) дают в общем случае лишь стационарные
точки, причем для каждой стационарной точки необходимо опре-
делить д(У) для всех у 6 У. Решение такой системы уравнений
(6.3.6)-(6.3.8), зависящей от вектора У, вызывает в общем случае
большие трудности.

Кроме того, круг задач сужается, поскольку требуется, чтобы все
функции были дважды непрерывно дифференцируемы по всем пе-
ременным.
6.4 Определение множества допустимых планов в задаче Хансона

Используя специфику ограничений вида (6.3.5) можно в некоторых
случаях в задаче (6.3.1) устранить зависимость от параметра У и
определить множество допустимых перманентных планов П. Тогда
множество допустимых планов 8 задачи (6.3.1) представляет собой
пересечение множества допустимых X из ограничений вида (6.3.4)
с множеством перманентных планов П из ограничений вида (6.3.5),
т.е. имеем

3 = Пр|{Х : С(Х) > 0}.

Рассмотрим несколько специальных случаев, когда исходя из ана-
литичности функций ф(Х, У) или экономического смысла случай-
ных величин можно найти множество П для ограничений вида (6.3.5)
Пусть имеем

П={х : X € р|{/г(Х, У) > 0}}={х : Н(Х) = ^пйп к(Х, У) > о},
где Н(Х} и /фХ, У) — ^-мерные вектор-функции. Если множество П
выпукло, а все СфХ) вогнуты, то и непустое пересечение 8 выпукло.
Однако в общем случае П не будет выпуклым, а компоненты Н(Х}
не будут непрерывными функциями по X. Будем предполагать во
всех случаях, что множество допустимых планов 8 не пусто.

Пусть Ь — некоторое подмножество индексов, которое объединя-
ет ограничения из (6.3.5) по некоторому общему свойству. Будем, в
противоположность к ограничивающим условиям в задаче Хансона,
только требовать, чтобы все /гфХ, У) были непрерывны для любого
г = 1,5 и что всегда выполняется условие X > 0. Пусть П(Ь) — мно-
жество перманентных планов для ограничений с индексами I 6 Д а
П(Ь) — множество допустимых планов для остальных ограничений
вида (6.3.5).
1.	Пусть Ь такое множество, что для любого I 6 Ь имеет место
Н1(Х, У) = к[(Х)к2(У\ т.е. Л/(Х, У) можно представить как произ-
ведение двух аналитических функций. Тогда, если Ь =	Ьз,

имеем:

а)	если для всех 6 выполняется неравенство к12 (У) > 0 при
любом У, то соответствующие ограничения ЛЛ(Х, У) > 0 можно
заменить ограничениями ^(Х) > 0;

б)	если для всех 12 6 выполняется неравенство 1г2(У) < 0 при
любом У, то соответствующие огранинения Л/2(Х, У) > 0 можно
заменить неравенствами ^(Х) < 0;

в)	если для любого 1% 6 Ьз существуют У1,У2 такие, что выпол-
няются неравенства > 0 и	< 0, то множество допу-

стимых планов определяется из условия ^/(Х) = 0.

Таким образом, имеем

П(Г) = {х : х е

П (Д(х)>о)}р|



П {х : X € р| (/гЦх) < 0)} р {х : X е Ц| (/гЦХ) =0)}.

(6.4.1)

2.	Пусть Ь такое множество, что для любого I 6 Ь имеем
Л/(Х, У) = ^1(Х) + Н2(У\ т.е. Л/(Х, У) можно представить как сум-
му двух аналитических функций. В этом случае соответствующие
ограничения с индексами из (6.3.5) можно заменить условиями:

/г'(Х) > - тт /ДУ),Уг € ь,

Уе{У}

П(Ц = {х : X € р| {^(Х) > - шт Д(У)}.	(6.4.2)

3.	Пусть Ь таково, что при любом I 6 Ь имеем линейные нера-
венства, т.е. АХ — Ь > 0, где (Л — I х п)-мерная матрица и неко-
торые или все элементы матрицы А и вектора Ь случайны с ко-
нечным распределением, т.е. существуют оптимистические и пес-
симистические границы изменения значений. Эти случайные эле-
менты образуют вектор У. Если ввести А~ и Ь+, где случайные
элементы заменены своими пессимистическими и оптимистически-
ми границами соответственно, то множество перманентных планов
П(Ь) для группы ограничений Ь определяются следующим обра-
зом: П(Ь) = {X : А~X > что следует из системы неравенств
> А~X >	> Ь(си), где X, удовлетворяющий неравен-

(**) (*) (**)

ству (*), удовлетворяет и неравенству (**).

4.	Пусть Ь таково, что для любого I Е Ь К1(Х,У) квадратичны
по X, т.е. эти функции можно представить в виде:

Н1(Х, У) = ХТН1Х У Р1Х — Ьр\/1 Е Ц

где некоторые или все элементы матрицы Нц вектора р1 и компо-
нента Ьр\/1 Е Д являются случайными величинами с конечным рас-
пределением. Они определяют компоненты вектора У. Тогда имеем
для ограничений I Е Ь:

ПЩ = {х : X е р| { тт /ДХ) > 0}} =

= Д : X е р| { тш (ХТЯгХ + Р1Х - 6г)}} =

п п	п

= {х : X е р| { тт	> 0}}, (6.4.3)

Ч1еЬ	г=1 7=1	7=1

поскольку функция во внутренних скобках зависит линейно от ком-
понент вектора У, то, следовательно, минимум достигается на гра-
ницах допустимой области, причем выполняется неравенство
ХгХд > 0 имеем:

п п	п

ПЩ = {%:%€ Г|{ Ш1П Е^2^;^ +> О}}.

У1еЬ У6< г=1 7=1	7=1

Иначе

П(Л) = {% : X е р{ тт (ХтНГХ+р7Х > &+)}}•	(6-4.4)

У1еЬ -г

Если все неположительно определенные матрицы, то непустое
множество П(Ь) — выпукло.

5.	Пусть Ь таково, что для любого I 6 Ь	вогнута по X.

Тогда непосредственно следует, что непустое множество П(Ь) вы-
пукло, поскольку соотношение Л/(Х, У) > 0 выполняется при любом
У. Здесь задача заключается в нахождении границы, оганичиваю-
щей выпуклую область П(Ь). Если граница или часть ее существует,
то она определяется из условия к\Х^ У) = 0.

Заметим, что во всех случаях имеем соотношение

П = П(Ь)ПП(1).

Если П и впоследствии множество 8 состоят из некоторого числа
несвязных множеств допустимых X, то следует задачу (6.3.1) раз-
бить на подзадачи с той же целевой функцией (6.3.3), заданной на
этих множествах 8ъ(к = 1,К). Минимум в задаче (6.3.1) найдется
из соотношения Г(Х) = тт ттР(Х).

ке1,К 8к

Вопросы существования решений и их оптимальности в задачах
стохастического программирования рассматривались в предыдущих
главах применительно к конкретным моделям задач.

Краткая библиография

Для задач стохастического программирования очень важным яв-
ляется вопрос о необходимых и достаточных условиях оптимально-
сти плана и вопрос его существования. Некоторые свойства двой-
ственных задач стохастического линейного программирования рас-
смотрены Тинтнером в работе [401], и на их основе доказана так
называемая «слабая теорема двойственности».

Вопросы существования плана и его оптимальности для задач
стохастического программирования нашли выражение в исследова-
ниях Хансона [176]. Также в этой работе сформулированы теоре-
мы о необходимых и достаточных условиях оптимальности, теорема
двойственности и рассмотрена «задача Хансона».

В работе Стоддарта [382] приводятся теоремы, обеспечивающие
необходимые требования для существования оптимального плана
при определенных условиях.
7 Исследование проблем стохастической устойчивости за-
дач принятия решений

Проблемы устойчивости решений в задачах принятия решений рас-
сматриваются с различных точек зрения и исследуются с разных
позиций. В работах по исследованию устойчивости решений [50, 71,
77, 78, 88] предметом наблюдений избирают условный экстремум
как случайную точку, оптимальный базис как набор векторов или
оптимальное значение целевой функции как случайную величину.
В зависимости от этого вводятся совершенно различные понятия
устойчивости. В ряде работ проблема устойчивости исследуется в
плане стохастическом и параметрическом, а также в свете теории
ошибок. В задачах принятия решений в условиях неполной инфор-
мации вопрос об устойчивости решения приобретает особо важное
значение, поскольку в этих задачах значения параметров случайны.

7.1	Существование областей устойчивости решения задач принятия
решений в условиях неполной информации. Область допустимо-
сти

Введем понятие области допустимости. Рассмотрим фиксированную
точку а?о €= Тогда задача принятия решений в условиях неполной
информации превращается в детерминированную задачу:

шт 1г(у1(Ло;о),У2(Л^о),---,Уп(Л^о))};	(7.1.1)

иг(1)Е8(шо) I	)

п

< сДо>о);	(7.1.2)

7 = 1

уЛ,^о) =	- 1, о?0) +	+ сЩ,а>0);	(7.1.3)

2/гЦ,си0) > Уг(1 - 1,^о),у71,^о) > 0,

о>о) > 0, с(/, ) > 0, 3{(1., о>о) > 0, г = 1, п, I € 1, Т. (7.1.4)
Обозначим через = 1,2,...,/Со) экстремальные точки вы-
пуклого множества 5 (фо), каждая из которых образуется пересе-
чением п гиперплоскостей, где КШо — общее число экстремальных
точек при реализации оу €= случайных параметров.

Определение 7.1.1. Область Уко Е П называется областью
допустимости точки 1%, если для любого ш Е Уко пересечение об-
разующих эту точку гиперплоскостей определяет экстремальную
точку соответствующего множества 3(си).

7.2	Область оптимальности

Введем понятие области оптимальности. Пусть — оптимальная
экстремальная точка задачи (7.1.1)-(7.1.4), т.е. для любого к ф ко
имеет место 2ко > 2к°о, Где _ значение целевой функции задачи
(7.1.1)-(7.1.4) в экстремальной точке 1%.

Определение 7.2.1. Область С Ук° называется областью
оптимальности точки если для любого ш Е ]Ук° выполняется
Хк > Хка (к = 1,2,...,ки;к^ко).

Теорема 7.2.1. [59]. Функция 2к является непрерывной функ-
цией от ш для любой экстремальной точки 1%.

Доказательство. Значение функционала в экстремальной точке
выпуклого множества 5(оу) ПРИ фиксированной реализации
о>о €= равно

Обозначим через и®к(1) — координаты экстремальной точки,
— отличные от нуля величины и®к(1). Они определяются из
соотношения Вокиок(б) — = с°(ф, где Вок — соответствующая базис-
ная матрица.
В силу невырожденности этой матрицы величины и®к(1) будут
непрерывными функциями от и с^(ф, следовательно, 2ко явля-
ется непрерывной функцией от о? 6 П.

Теорема доказана.

Покажем, что для любого ш 6 П существует область устойчиво-
сти П7(). т.е. такая область, что для всех о? 6 Иф0 соответствующая
задача (7.1.1)-(7.1.4) имеет один и тот же оптимальный базис.

Теорема 7.2.2. [59]. Пусть в точке Е О выполняется

С> 2^к = 1,2,...,кЫ0- к ^к0).

Тогда существует такая окрестность О(ад) точки шо, что для
всех а) Е О(о?о) С П имеет место

2к>	= 1,2,...,^;^ф^0)-

Доказательство. В точке шо Е имеем

С - ^0 > 0-	(7-2-1)

По теореме 7.2.1 функции 2ко и 2к°о непрерывна по о?, следова-
тельно, их разность тоже непрерывная функция. Из свойств непре-
рывных функций следует, что существует такая окрестность П(од),
что для ш е О (фо) сохраняется неравенство (7.2.1), т.е. 2[ > 2к°.

Теорема доказана.

7.3	^-устойчивость решения по средним

Введем понятие ^-устойчивости решения для задач принятия реше-
ний в условиях неполной информации.

Определение 7.3.1. Решение по средним задачи принятия ре-
шений в условиях неполной информации называется стохастиче-
ски устойчивым по модулю е (е-устойчивым), если оптимальная
экстремальная точка задачи по средним остается оптимальной
при любой реализации ш случайных параметров, за исключением
множества меры е.

Дадим еще одно определение.

Определение 7.3.2. [59]. Гиперплоскости, пересечением кото-
рых образуется оптимальная точка решения по средним стоха-
стической задачи принятия решений, назовем мечеными.

Пусть все граничные гиперплоскости выпуклого множества
пронумерованы и пусть к\ ,къ, ... ,кп — номера меченых гиперплос-
костей. Экстремальная точка, определяемая пересечением этих ги-
перплоскостей, перемещается в зависимости от реализаций вектора
сД, ш).

Множеством п-мерного евклидова пространства, внутри которо-
(\ п
1 — р ,
является эллипсоид с центром в точке, соответствующей оптималь-
ному решению по средним. Здесь I определяется из неравенства
(\ п

1 — р) >1 — 6. Оси этого эллипсоида рассеяния находятся сле-
дующим образом: в точке ш 6 О рассматривается пересечение п — 1
гиперплоскости из данных п меченых, которое геометрически пред-
ставляет собой прямую. На этой прямой откладывается в обе сторо-
ны от центра эллипсоида величинагде Щ — номер той меченой
гиперплоскости, которая не входит в данное пересечение, а

— среднеквадратическое отклонение случайной величины, сто-
ящей в правой части уравнения этой гиперплоскости. Из независи-
мости компонент сД и неравенства Чебышева следует:

ДП1» -Сг(^)| <	=
= Пр{1с’СМ -с,со1 < Д > П(1 Д) = О Д) •

г	г

Величину I определим из неравенства

где е— достаточно малое число.

Определение 7.3.3. Ограничение вида 52	— 1а^

(г = 1,2, ...,п) назовем нижними ограничениями, а ограничения
п

вида 52 аци:№ <	+ /сгфг = 1,2,..., п) — верхними ограниче-

7=1

ниями.

Предположим, что пересечение нижних ограничений с положи-
тельным гипероктантом не пусто. Это означает, что для любой реа-
лизации вектора с(^, си) (за исключением множества меры б) суще-
ствует хотя бы один допустимый план.

Используя введенные понятия, сформулируем без доказательства
достаточное условие стохастической е-устойчивости решения по сред-
ним.

Теорема 7.3.1. [59]. Для того, чтобы решение по средним было
8-устойчивым, достаточно, чтобы эллипсоид рассеяния не пересе-
кался с нижними ограничениями, кроме меченых.

Для выпуклой задачи принятия решений в условиях неполной
информации ^-устойчивость означает постоянство с вероятностью
1 — е базиса меченых нормалей, по которому целевой вектор рас-
кладывается с положительными коэффициентами.

Теорема 7.3.2. [59]. Для того чтобы решение по средним

и*(1,ш) = (г4(^,Ч), сщ),• • •, ДДбч), 0,..., 0)

п

было 8-устойчивым, достаточно, чтобы 52

г=1

где д — минимальное из расстояний от точки ш до граничных
гиперплоскостей области устойчивости Ц7^ С П.

Доказательство. Если В^ — (п х п)-мерная базисная матрица,
соответствующая решению по средним, то отличные от нуля ком-
поненты и*(б,й)(г = 1,2,... ,п) вектора и и*(1,аГ) определяются из
соотношения

и*(1,ш) = В^с(бш\
где

с(^, ш) = (С1(/:, й?), СсУ), . . . , Сп(^, ш)).

Кроме того, внутри области устойчивости решения по средним
координаты точки пересечения меченых гиперплоскостей об)
определяются из того же соотношения

(7.3.1)

Область устойчивости решения по средним Ц7^ совпадает с обла-
стью допустимости этого решения в пространстве П.

С другой стороны, точка пересечения меченых гиперплоскостей
й(1,сб) перестает быть допустимой, если она лежит на гиперплоско-
стях вида а^и^б) = с^б), (г > п) или вида гц(^) = 0, (г < п). В силу
(7.3.1) это равносильно тому, что удовлетворяет соотноше-
ниям
п п

а(1,а.у 52(-1)у+1Втас„(/,= 0, г > п, (7.3.2)
7 = 1	17=1

к

УД-Щ-7'Д/сД,	= 0, г < п,	(7.3.3)

17=1

где Л — определитель матрицы В.

Следовательно, область устойчивости решения по средним
определяется пересечением т гиперплоскостей вида (7.3.2)-(7.3.3)
в т-мерном пространстве Г7. Если уравнения (7.3.2)-(7.3.3) норми-
рованы и в них вместо	стоят величины Д(/ф то они дают

расстояния от точки ш пространства Г7 от гиперплоскостей (7.3.2)-
(7.3.3). Обозначим эти расстояния через 61,62, • • . ,<Д и определим
6 = тт Д. Тогда для ^-устойчивости решения по средним доста-
ть

точно, чтобы имело место соотношение

р< \с(1, си) — с(/;)|2 > (1 > < е.

(7.3.4)

тп

Покажем, что из ^2	— С(^ следует выполнение соотношения

г=1

(7.3.4). По неравенству Чебышева и свойствам математического ожи-

дания получим

Е^\с(1,си) — с(^)|2)

62

р< \с(1, си) — с(/:)|2 > 6

Теорема доказана.

7.4	Плановая устойчивость задачи принятия решений в условиях
неполной информации. Основные понятия плановой устойчиво-
сти

Дадим определение плановой устойчивости задачи принятия реше-
ний в условиях неполной информации.

Определение 7.4.1. [59]. Пусть для всех си тос! е множество
оптимальных планов (о?) задачи принятия решений принадлежит
6-окрестности множества (ей), т.е. для любого и®(1,си) найдется
^(^сД такое, что

М'ТМ -	< 8.
В этом случае задачу принятия решений в условиях неполной ин-
формации назовем планово устойчивой с характеристиками 6, 6.

Пусть задача базисно устойчива по тоб е и имеет при си = ёй
единственный оптимальный план. Тогда можно найти распределе-
ние оптимального плана п°(^, о?)=(гб5(/;, о?,	а?),..., си), 0,..., 0)

на множестве меры 1 — е, а также распределение \и°(^, си) — и°(1, ей) |.

По любому 5 можно найти 61 = р{ |п°(^, си) — п°(^, ей) | > и
задача будет планово устойчива с характеристиками е + 61,5.

7.5	Абсолютная плановая устойчивость

Обозначим через Ь экстремальные точки выпуклого множествах (о?)
каждая из которых образуется пересечением п гиперплоскостей.

В некоторых задачах стохастического программирования имеют
место случаи, когда при изменении случайных параметров один и
тот же план и®(1) является оптимальным. Это, например, имеет ме-
сто, когда абсолютный минимум целевой функции задачи принад-
лежит некоторой совокупности областей допустимости Я (си), но не
принадлежит множеству перманентных планов 2~. В таких случа-
ях можно ставить задачу нахождения вероятности, с которой такой
план остается оптимальным планом при всех реализациях о? 6 Г7. Не
ограничивая общности, будем исследовать здесь только случай, ко-
гда интересующий нас план принадлежит допустимой в среднем об-
ласти 2 (ей). Если абсолютный минимум принадлежит какой-нибудь
другой допустимой области ^(си), и°(ё)	Х(щ), то исследование

можно провести аналогично. Будем предполагать, что пределы из-
менения случайных величин всегда конечны.

Такая постановка задачи имеет смысл лишь в некоторых случа-
ях, например, когда имеем выпуклую задачу принятия решений со
стохастическими ограничениями или когда необходимо найти точку
экстремума стохастической линейной функции на детерминирован-
ном многограннике. Исследуем эти два случая.

Определение 7.5.1. Задачу принятия решений при наличии
неполной информации назовем абсолютно планово устойчивой с
вероятностью а, если решение по средним является оптималь-
ным решением задачи при всех реализациях ш с вероятностью а.

Рассмотрим прямую и двойственную задачи стохастического про-
граммирования в обычных обозначениях, где условия задачи обра-
зуют ограниченные многогранные области при каждом ш 6

тт Х(ф) = {и : Аи(1) <	> 0},	(7.5.1)

тах Ф(а?); (^ = {и : у А > д^у > 0}.	(7.5.2)

у&АА

Поскольку экстремум линейной функции на ограниченном много-
граннике достигается в крайней точке, то вопрос о плановой устой-
чивости в смысле вышеприведенного определения можно ставить
лишь в том случае, когда все С{(б) случайны и оптимальное в сред-
нем решение образуется как раз теми гиперплоскостями, которые
являются детерминированными, или когда имеем тривиальный слу-
чай и°(1) = 0. Вероятность сц что план и°(1) остается оптимальным
планом, определяется тогда с помощью множества тех реализаций
си, для которых и°(1) является допустимой точкой.

Иначе обстоит дело для двойственной задачи (7.5.2). Здесь мно-
гогранник области допустимых решений детерминирован, и опти-
мальная в среднем точка и°(1) перестает быть оптимальным пла-
ном тогда, когда целевой вектор при некоторой реализации выхо-
дит из положительного конуса, натянутого на нормали тех гипер-
плоскостей, которые образуют оптимальное в среднем решение. Из
[70] имеем, если при некоторых предположениях (единственность
решения и т.д.) прямая задача (7.5.1) является базисно устойчивой
тоб 6, то является и базисно устойчивой с вероятностью 1 — 6 двой-
ственная к ней задача (7.5.2). Поскольку многогранник решений в
задаче (7.5.2) детерминирован и базисная устойчивость означает по-
стоянство базисных гиперплоскостей для некоторого подмножества
из множества всех реализаций о?, то базисная устойчивость зада-
чи (7.5.2) эквивалентна абсолютной плановой устойчивости задачи
(7.5.2). Следовательно, определяя область базисной устойчивости
прямой задачи (7.5.1), мы одновременно определяем вероятность,
с которой задача (7.5.2) является абсолютно планово устойчивой.
Приведем возможный способ оценки, который позволяет опреде-
лить, с какой вероятностью а задача (7.5.2) будет абсолютно пла-
ново устойчивой, а следовательно, и базисно устойчивой.

Зафиксируем все базисные в среднем ограничения, которые пре-
вращаются в точное равенство. Составим соответствующую базис-
ную матрицу А$ размера п х п. Тогда вероятность, с которой за-
дача будет абсолютно планово устойчивой, определяется теми реа-
лизациями, для которых выполняется с = си). Пусть кр — ко-
нус, натянутый на те нормали с неотрицательными коэффициента-
ми (/?1,	• • •, Дг) = /?, для которых соответствующие ограничения

образуют базис, при этом для решения по средним выполняется ра-
венство Ь = /ЗА§, где Ьг > 0, г = 1, 2,..., п. Следовательно, вероят-
ность того, что с(^, о?) 6 кр есть вероятность того, что

(3 =	= еД,Сс?)Л > 0,
где А = (а^) = А^1 — обратная к матрица, т. е. имеем

71

а =	Р|{адС1(^а?) 4- а7-2С2(^а?) Ч---к а^псп(1, о?)} > б}.

7 = 1

В практических задачах, как правило, можно определить границы
изменения случайных величин с(^, и эти границы конечны, тогда
имеем:

а = р[{ р|{йдС1(^а?)	Ч----\-а^псп{1^)} > б},

7 = 1

0^(4) < сф^,Сс?) < С^(^),\/г = 1,2, • • • , п] = Р{<д(^,Сс?) Е Р},
где В — пересечение параллелепипеда [с-, с+] с областью допусти-
мости, образованной полупространствами.

Вопрос абсолютной плановой устойчивости приводит к определе-
нию области В. Если известна совместная функция распределения
компонент вектора с(/ц си), то нахождение вероятности

Р{с(^, Е В} в силу линейности всех ограничений сводится к
сложному интегрированию по многогранной области совместной
функции распределения случайных величин си).

Пусть, например, случайные величины си) взаимно независи-
мы и все имеют равномерное распределение, тогда следует

/ . . . /(1С! . . . (1сп

а = Р(с(7,сВ) е О') =	------------С’

где область В определяется соотношением

7г

В = {с(7,Д : с(ЛД е {[с“,с+],с“ < с+} р|

1=1

7г

Р|{аяС1(7,ш) + а^с2(1,^) Ч----1-а^псп(1,ш) > 0}|.

1=1
Рассмотрим теперь задачу при каждой реализации

. ,уп(Е)\,

иг{1)

< с(1, о?);

V) > 0,ф,^) > 0,уг(1) > О,тд(Х) > уг(1 - 1V е [1,Т],
где	выпуклая вниз функция, а условия задачи образуют

случайный многогранник Я(си). Требуется найти вероятность, с ко-
торой некоторая точка остается оптимальной при всех реализациях
а). Минимум выпуклой функции по допустимой области достигается
либо в точке абсолютного минимума этой функции, если она суще-
ствует и принадлежит некоторым допустимым областям 2(о?), либо
на границе допустимой области.

Следовательно, можно ставить вопрос об абсолютной плановой
устойчивости в смысле приведенного выше определения только ис-
ходя из точки абсолютного минимума выпуклой функции
т.к. в противном случае точка минимума в различных областях
Х(щ), вообще говоря, будет меняться.

Поэтому пусть на гб°(^) > 0 функция	достигает абсолют-

ного минимума, и рассмотрим случай, когда и°(1) > 0 принадлежит
допустимой в среднем области Я (си). Пусть все параметры из раз-
ных ограничений задачи независимы друг от друга. Тогда необходи-
мо вычислить, предполагая, что все параметры имеют непрерывное
распределение:

а =	= р{ Пш«г1,«г2, • • -,ат,Сг(1)) =

Э=1	г=1

п	п

=	> 0}| = Р[7э{^(аг1,аг2,...,^п,Сг(^))>0} =

7=1	г=1
-П/<»+»/»(*.««..............................

г-^г>0

где Рг(ац, ац,..., б^п, с^У) — совместная плотность распределения
случайного вектора (а^,	• • •,	(/:)).

7.6 Функциональная устойчивость в стохастических задачах приня-
тия решений

В ряде реальных задач конечным критерием устойчивости служат
величины отклонений оптимального значения целевого функциона-
ла. Поэтому вводится понятие стохастической устойчивости выпук-
лой задачи принятия решений, в которой проблема устойчивости
рассматривается с точки зрения функциональной устойчивости.

Определение 7.6.1. Пусть при любом ш тоб е выполняется
неравенство

  • ,у,Л,сЛ)\ < 6,

тогда назовем задачу принятия решений в условиях неполной ин-
формации функциональноустойчивой с характеристиками е, 5.

Если задача г, 5-устойчива, то в силу непрерывности целевого
функционала по совокупности аргументов можно подобрать 5 та-
кое, что задача будет функционально 6, 5-устойчива.

В различных прикладных задачах принятия решений случайные
параметры имеют оптимистические и пессимистические границы
изменения, то есть случайные величины имеют конечное распре-
деление. В таких случаях при некоторых условиях мы можем опре-
делить область изменения целевой функции и локализовать множе-
ство оптимальных планов при всех реализациях ш 6 Г7.
7.7 Устойчивость по г-му ограничению в стохастических задачах
принятия решений. Плановая устойчивость по г-му ограничению

Запишем задачу принятия решений по распределению ресурсов с

вероятностными ограничениями в следующем виде

= ^(щ(^Ы^, • • • ,Уп(1)) Ы; (7.7.1)

Аи(1) <	(7.7.2)

= уг(1 - 1) +	+ ^Ш^);	(7.7.3)

Уг(1) > Уг(1~ иЫ1) > О,

> 0, 8г(1,	> 0, с(^,	> 0, г = I 6 [1, Т],	(7.7.4)

где

А — блочно-диагональная матрица условий задачи (7.7.1)-(7.7.4)
(размерности Зп х Зп);

и — вектор переменных (размерности Зп);

с — вектор ограничений (размерности Зп).

Рассмотрим /’-ю задачу параметрического программирования, по-

лученную из задачи (7.7.1)-(7.7.4)

= РМ1^,У2^,   -,Уп^ тт, (7.7.5)

3/7

а7>пг(^) = (Лп(^))7- < 9(^,0?),	(7.7.6)

Г=1

Зп

^а1Гиг(Р) = (Аи(1)^ < ДД,	(7.7.7)

сД, Д > 0,сД,Д > 0,у°Д) > 0,у°Д) >	- 1),

^г(^) >0,2,7 = !, Зп, г 7, ш е П,	(7.7.8)

здесь

— среднее значение случайной величины с7(о?),
г?-г(^)(г,7 = 1,3п) — оптимальный план задачи (7.7.5)-(7.7.8) при
реализации <д(^,сс?).

Введем следующие множества

8(ш) =	: (Лп(^))^ < с^, с<;), щ(^) > 0, г = 1,3п^,

8~(ш) = |п(Х) : (Лп(^))г“ < сг“(^, о?), щ(^) > 0, г = 1,3п^,

8+(ш) =	: (Лп(^))+ < с+(1, о?), и}(1) > 0, г = 1,3п^,

где в Л7? с7(/:)? Л^, г = 1,3п — случайные данные, представ-
ляющие реализации вектора с(^, си), заменены своими оптимистиче-
скими и пессимистическими границами соответственно. Рассмотрим
некоторый Зп-мерный параллелепипед, построенный вокруг опти-
мального в среднем плана и°(1, о?), задачи (7.7.1)-(7.7.4), т.е.

|п°(^, ш) — 6, п°(^, ш) + 5],	(7.7.9)

где 8 — вектор, составляющие которого строго больше нуля, но ко-
торые могут быть разной величины.

Определение 7.7.1. Будем говорить, что задача принятия ре-
шений (7.7.1)-(7.7.4) планово устойчива пог-му ограничению с ха-
рактеристиками 8{,6, если выполняется соотношение

Р^гбОг(^, о?) е (I, со) — 6,и°(1,ш) + <$]}> 1 — г*.

Предполагаем единственность решения задачи (7.7.5)-(7.7.8) при
каждом г и любом ш.

Рассмотрим случай, когда параллелепипед пересекается только с
теми ограничениями задачи (7.7.1)-(7.7.4), которые обращаются на
оптимальном в среднем плане гб°(/;,сс?) в точное равенство. Вектор
6 найдем следующим образом: возьмем минимальное расстояние д
из всех расстояний от точки гб°(/;,сс?) до гиперплоскостей, для кото-
рых выполняется неравенство ((Аи0(^,сй))7- < су^сй), и построим
параллелепипед с центром в точке гб°(^,а?) со сторонами длины 2ф,
/ Зп

причем должно выполняться неравенство \	$ < с1.

У 7=1

Пусть 71 — множество всех тех индексов г = 1,3п, для кото-
рых ограничения при с^,сй) задачи (7.7.1)-(7.7.4) превращаются на
'и°(^,сй) в точное равенство, т.е. выполняется

7^7.

а 72 — множество остальных индексов, т.е.

= СК^)-

3^2

В случае г е 71 будем решать задачу для Ад 0 < А* < 1, исходя
из Ад для которого выполняется равенство

сЩ) = сЛ,Ч) = (1 - Д)с“(Д + ДсЩ),

а условие	= сф^,о?) принимает вид

(ЖЦ = (1 - Д)с.Щ) + АгсЩ) = сХг(1).

Получаем непрерывную оптимальную вектор-функцию, которая
зависит от Ад

Перемещая щ(/:,сс?) = сд.(/:) из сф/:,с7) в (7), найдем нижнюю
границу изменения с^сА). В этом случае оптимальный план обяза-
тельно является элементом параллелепипеда (7.7.9). При этом воз-
можны два случая:

1) какая-либо координата	выходит из параллелепипеда

(7.7.9), т.е. существует такое А|, что выполняется

АгбОг(^, о?))7- < с7-(^,а?),7 = 1, Зп,7 г,
= (1 - АЩ (О + А-сЩ),
П0/Д, IV) > О,

= 1, Зп,

и существует хотя бы один п^(^, си) такой, что либо
п^(^,сс) = п^(^,сс) + ф, либо п^(^,сс) = п^(^,сс) — 6д-

2) передвигаясь из точки сД^сй) в точку ф"(^), наткнемся на гра-
ницу сД для которой = 0, а оптимальный план и°~(1) содержится
еще в параллелепипеде (7.7.9).

Для того, чтобы найти верхнюю границу, будем перемещаться^, сс)
ИЗ Ся(^, сс) в (/:).

Также возможны два случая:

1)	какая-нибудь координата п^г(/:, сс) выходит из параллелепипе-
да (7.7.9), т.е. существует такое, что выполняются соотношения,
аналогичные ранее приведенному примеру для нижней границы;

2)	при перемещении ся(/^, сс) придем к реализации с+(/:), т.е. Л? = 1,
и оптимальный план является элементом параллелепипеда (7.7.9).

Следовательно, изменяя ся(^,сс), мы нашли нижнюю и верхнюю
границы изменения значений случайной величины ся(^,сс), между
которыми оптимальный план задачи (7.7.5)-(7.7.8) обязательно яв-
ляется элементом параллелепипеда (7.7.9).

Для г 6 справедливы соотношения

Аи0^,^')^ <

При перемещении ся(^,сс) из сП) в сг“(^) г-я гиперплоскость
отходит от линии уровня К(т/(пД)) = К(т/0(п0Д, сс)), ограничиваю-
щей выпуклую область и включающей все линии уровня, дающие
меньшее значение функции К(т/(пД)), чем значение К(т/0(п°Д, сс)).
Следовательно, г-я гиперплоскость не пересекается с такими ли-
ниями уровня, и гб°Д,сД является также оптимальным планом для
всех А^, между значениями фДД и

Если при с+(1) оптимальный план задачи (7.7.5)-(7.7.8)

иг+(1) = п°(/:,сД, то оптимальный в среднем план гб°Д,сД является
оптимальным планом при любой реализации щД, сД е [сДсД. Для
нижней границы это доказано. Поскольку при перемещении сД
из щД,сД в с7(Д минимум целевой функции Р(т/°(гб°Д, сД) может
только увеличиваться, а мы имеем К(т/°(щ° Д, сД) = Р(?/г+(пг+Д, сД),
то отсюда следует, что Е(уОг(ъР\ сД) = Е^у^иР, I, аРр) при всех реа-
лизациях сД/:, сД, а в силу единственности решения ДДД = уРг(1, сД
при любом сД.

Если оптимальный план т?+(Д Д 7?+(Д сД при <Д(Д не является
элементом параллелепипеда (7.7.9), то из решения параметрической
задачи мы найдем А?, для которого иг+(Р) лежит на границе парал-
лелепипеда.

Для каждого ограничения г, тем самым, найден интервал измене-
ния случайных величин сД, в пределах которого оптимальный
план задачи (7.7.5)-(7.7.8) обязательно будет элементом параллеле-
пипеда устойчивости.

Теперь можно найти нижние границы вероятностей^, с которы-
ми задача планово устойчива по соответствующим ограничениям в
понятиях случайных величин сД, т.е. имеем соотношение:

Рг = Р^гбОг(/:, о?) е [гб0Д, — Р иР(1, сД + } >

>	€ [с-, с2] I сД,Д = сД,Ц),.; = 1,ЗМ тД = 1 -ег.

Здесь Д и Д определяются из следующих условий:
1)	для г е Л:

с- (^), если иг е [п°(^,сс) — 5, п°(^,сс) +5],

(1 — А|)ф"(^) + Х]с+(1\ если иг~ ф	+ <$];

2	с+, если иг+ Е	— 6.и°(^.сЕ) + 5],

(1 — А2)сг“(^) + А^с+(^), если иг+ [п°(^,сс) — 5, п°(^,сс) + <$];

2)	для г е

4 = с7

%	с+, если иг+ е [п°(^,сс) — 5, и°(1, сс) + 5],

(1 — А?)ф"(^) + А?с+(^), если иг+ ф [п°(^,сс) — 5, п°(^,сс) + <$].

7.8 Функциональная устойчивость по г-му ограничению

Аналогично описанному в предыдущем пункте 7.7 методу мы можем
исследовать функциональную устойчивость по г-му ограничению.
Вновь рассмотрим задачу распределения ресурсов в следующем ви-
де

Г(у(и,1)) =	• • • ,Уп(1У)	ш1;	(7.8.1)

Аи(€) < с(^,а;);	(7.8.2)

Ут№ = Уг^ - 1) + 5ф^,а;)щ(^) + Ф(^);	(7.8.3)

Уг(1) > Уг(1~ иЫ1) > О,

> 0, 8г(1,	> 0, с(^,	> 0, г = Т~п, I 6 [1, Т],	(7.8.4)

где

А — блочно-диагональная матрица условий задачи (7.8.1)-(7.8.4)
(размерности Зп х Зп);

и — вектор переменных (размерности Зп);

с — вектор ограничений (размерности Зп).
Рассмотрим /’-ю задачу параметрического программирования, по-
лученную из задачи (7.8.1)-(7.8.4):

	Д))=Щ^(«),^),...,^))^тт,	(7.8.5)
	Зп  < сд,  Г=1	(7.8.6)
	Зп  < сЛ,со),  Г=1	(7.8.7)
уТ^	> 0,у°Д) >	~ 1),сД Д > 0, сД*,о?) :	> о,
	щ(^) > о, г, 7 = 1, Зп, г у, ш Е Г7,	(7.8.8)

здесь

— среднее значение случайной величины су(щ),
п^г(^)(г,7 = 1,3п) — оптимальный план задачи (7.8.5)-(7.8.8) при
реализации

В задаче (7.8.5)-(7.8.8) будем рассматривать те значения с^(^,сд),
для которых имеет место следующее соотношение

Определение 7.8.1. Будем говорить, что задача принятия ре-
шений (7.8.1)-(7.8.4) функционально устойчива по г-му ограниче-
нию с характеристиками 5 (здесь 5 — число), если выполняется
соотношение

р> =	 , УпХ^~

-Р^ХД,у2°Д,Ч • • -ЛИ)1 < <5} > I -

Чтобы найти вероятности Р}, мы должны решить параметриче-
скую задачу принятия решений (7.8.5)-(7.8.8) для случайной вели-
чины сД^,сД. Найдем А| и А?, которые определяют допустимую об-
ласть изменения случайной величины и обеспечивают функ-
циональную устойчивость задачи (7.8.1)-(7.8.4). Будем искать ин-
тервал [А|, А?] исходя из оптимальных решений иг~(1) и за-
меняя в задаче (7.8.5)-(7.8.8) наф"(^) и соответственно.
Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, приведенным
в предыдущем пункте.

7.9 Устойчивость по вероятностному параметру а

Рассмотрим задачу принятия решения распределения ресурсов сле-
дующего вида:

Ду(М)) =	• • • ,уп(1У) Ы; (7.9.1)

Ап(^) < с(^,сф;	(7.9.2)

Уг(Р) = Уг^ - 1) +	+ ф(^,сД;	(7.9.3)

Уг(1) > Уг^~ иЫ1) > О,

> 0, 8г(1,	> 0, с(^,	> 0, г = Дп, I 6 [1, Т],	(7.9.4)

где

А — блочно-диагональная матрица условий задачи (7.9.1)-(7.9.4)
(размерности Зп х Зп);

и — вектор переменных (размерности Зп);

с — вектор ограничений (размерности Зп).

Перепишем задачу (7.9.1)-(7.9.4) в виде

= Р(Й),Й), .. .,Уп^) тт,
п

Р1(гц (А) =	— С{(1, ш) < 0} > «1, 0,5 < од < 1,

7 = 1

Р2{Р2(^, ^) =	О)) -	О?)} > «2, 0, 5 < «2 < 1,
иг(1) > 0,кг(1,ш) > О, Д1) > 0,уД) > уг(1 - 1),
Сг(Ъ,ш) > 0, г = 1,п,к € [1, Т], ш € О
или в общем виде

<А) = Г(г/1(Ду2(Д • • • ,Уп(*У) -> ппп,	(7.9.5)

Рк{дк(и,	ак, 0,5 < ак < 1, к = 1,2,	(7.9.6)

> 0,уД1) > О,уД) > Уг(±- 1),г = 1,п,1 & [1, Т],ш & П.

(7.9.7)

Для любого к = 1, 2 справедлива следующая теорема

Теорема 7.9.1. Пусть задача (7.9.5)-(7.9.7) удовлетворяет усло-
виям:

1)	функция д(и,1,сР) строго выпукла по ш, непрерывна по всем
переменным;

2)	Г7 Е Кп; со — непрерывная случайная величина;

3)	функция (ро непрерывна по и;

4)	для каждого а Е [о1, о2], (0,5 < о:1 < а2 < 1) существует
единственное решение задачи (7.9.5) - (7.9.7) ии*(ф,а);

5)	для а = а1 множество допустимых планов задачи (7.9.5)-

(7.9.7) ограничено; тогда существует последовательность

{Лещ} -Е +0 такая, что

Пт и*(к о)2 —	= и*(1, а2),

п—^оо

Доказательство. Рассмотрим

Пт
11М01М

Р(д(п + Лщ I, сД < 0) — Р(д(щ I, < 0

для фиксированного и.

Р(д(и + Лщ I, сД < 0) = Р(щ(и + Дп, I, < 0, д(щ < 0)+
+Р(д(п + Дп, I, сД < 0, д(и, I, сД > О).

Аналогично,

Р(д(гц I, ш) < 0) = Р(д(гц I, сД < 0, д(и + Дгц I, ш) < 0)+

+Р(д(гц I, ш) < 0, д(и + Дп, I, ш) >0).

Тогда

Р(р(гб + Дгц ш) < 0) — Р(д(гц ш) < 0) =

=Р(д(п +Дгц I, о?)<0, д(гц I, ш)>0)—Р(д(и, I, о?)<0, д(п+Дгц I, сД>0).

Верно также

|Р(р(гб + Дгц I, сД < 0) — Р(д(гц сД < 0) | <

<Р(д(п+Дгц о?)<0, д(и, сД>О)+Р(д(гц о?)<0, д(и+Ли, о?)>0).

Из непрерывности функции	следует, что для некоторого

од такого, что д(и, I, о?о) > 0 ПРИ достаточно малых || Дгх|| выполня-
ется д(и + Дгц о?о) > 0, тогда

Пт Гр(д(ф + Дгб, I, ш) < 0), д(и, I, ш) > о"| <

< Пт Гр(д(ф + Дгц^сс?) = 0),д(гцо?) > о"| <
||Д1/(ДНо1

< Пт Р(д(и + Дгц^,сА = 0).

ЦА^НО

Допустим, что для некоторого Дй(^) выполняется соотношение
Р(д(и + ДйД,а?) = 0) > 0. В этом случае, из непрерывности слу-
чайной величины ш следует, что

Уп(0 : д(и + Ли,1,9) = 0) > 0,

где Vй — объем в п-мерном пространстве Рп, а это противоречит
строгой выпуклости функции д(и,1,ш).
Тогда Р(д(и + Дщ о?) = 0) = О для любого Дщ а поэтому

Пт Гр(п(п + Дщ <Р)
||Д^Но1

< 0), д(и, I, сР) > 0 <

< Пт Р(д(и + Дщ сф = 0) = 0.
ЦА^НО

По аналогии получаем

Пт [р(п(п + Дщ сей
||Д^Но1

< 0), д(и, I, сР) > 0 <

< Пт Р(д(и, сР) = 0) = 0.
ЦА^НО

Итак,

„Л1™ \Р(д(и +	< 0) -	< 0)| <

< Пт Р(д(и + Дщ^,а?) < 0), д(и, I, сР) > 0)4-
ЦА140Н0

4-	Пт Р(д(щ о?) < 0, д(и 4- Ащ а?) > 0) < 0 + 0 = 0.
ЦДЦДНО

Что и означает непрерывность функции Р(д(ир,сР) < 0) по и(1).

Построим функцию ?/*(/:, а2 — Да) оптимального решения задачи
(7.9.5)-(7.9.7) от параметра а при Да е [0,5; а1—а2]. В силу условия
4) теоремы такая функция существует и однозначна.

Так как множество допустимых планов задачи (7.9.5)-(7.9.7) огра-
ничено при а = а1, то для любого и(1), такого, что

Р(д(що?) < 0) > а1, справедливо: ||гб(/ф| < с(^), т.е. при любых
и(Р) и а е [а1, а2] таких, что Р(д(ир,сР) < 0) > а справедливо
1М^)|| < с(^). Отсюда следует, что при любом Да е [0,5; а1 — а2]
выполняется ||п*(^,а2 — Да)|| < с(/:).

А это и означает, что множество гб*(/:,а2 — Да) ограничено для
Да 6 [0, 5; а1 — а2], поэтому можно выбрать последовательность
Дап 0 такую, что существу Пт а2 — Дап) = и(Р).

п^-оо

Так как Р(р(гб,о?) < 0) = Птгб*(а2 — Дап) = а2, то и(1) —
п^ос

допустимый план задачи (7.9.1)-(7.9.3) при а = а2, поэтому
С другой стороны,

(До(1/*(^, <1 —Асщ)) > <Д)(гб*(^, а2)) при любом п, и функция (До непре-
рывна по п(^), следовательно,	А ^о(^*(С <^2))-

Получаем	= ^о(^*(С <^2))- В силу единственности реше-

ния задачи (7.9.1)-(7.9.3) при а = о? справедливо равенство
и(к} = п*(^, а2).

Таким образом, последовательность Асщ -Е 0 удовлетворяет тре-
бованиям теоремы.

Теорема доказана.

7.10 Устойчивость по вероятностному распределению ы

Проведем исследование условий устойчивости решения задачи при-
нятия решений по вероятностному распределению случайной вели-
чины си. Для этого рассмотрим вновь следующую задачу принятия
решений.

<А) = Д ЗА (6), 3/2 (6), • • .,Уп(^)) -> шт,	(7.10.1)

Рк{дк(и, I, < 0} > ак, 0,5 < ак < 1, к = 1,2,	(7.10.2)

> 0, Д1) > 0, У1(1) > Уг(1- 1), г = 1,п, I. е [1, Т], ш & О,.

(7.10.3)

Справедлива теорема для любого к.

Теорема 7.10.1. Пусть задача (7.10.1)-(7.10.3) удовлетворяет
следующим условиям:

1)	функция д(и,1,оо) строго выпукла по ш, непрерывна по всем
переменным, ш Е Кп , шп — последовательность непрерывных слу-
чайных величин, О — множество реализаций случайных величин
шп, каждая случайная величина задает вероятностное простран-
ство (О, Р, Р^п), и существуют С(и) и Сп(и) — функции распре-
деления случайных величин со и шп соответственно, и некоторая
последовательность чисел {бп} такая, что еп > О, \/п,
Нтп^+оогп = 0 такие, что ||Сп(гб) — С(гб)|| < гп||С'(п)|| для любого
и(б);

2)	множество реализаций случайных величин	. огра-

ничено: Vй ($7) = с < +ос; где Vй - объем в п-мерном простран-
стве;

3)	множество допустимых планов задачи (7.10.1)-(7.10.3) огра-
ничено при некотором О, 5 < а1 < 1;

4)	существует решение задачи (7.1О.1)-(7.1О.З) при некотором
оР > а:1 (обозначим его и(б)) и решения задачи

тпщо(^)),	(7.10.4)

РМ^п)<$}>а	(7.10.5)

(обозначим и(1,а)) для а е [а1, а0], тогда существует последо-
вательность {5П} : 5п > 0, Пт^+оо 5п > 0 такая, что
{и(1,а — <5П)} сходится к решению задачи (7.10.1)-(7.10.3) при
а = оР.

Доказательство. Рассмотрим некоторую точку и(1) — допусти-
мый план задачи (7.10.1)-(7.10.3) при а = о:0. Из условий 1) и 2)
теоремы следует, что:

|Рип{/(М,^п) < о} - Рш{д(и,1,ш) < 0}| < епс(Р).

Выберем в качестве 5п такие числа, что 5п > епс(Ь)\ 5п -----> 0.

п—>+сю

Тогда начиная с некоторого п, будет 5п < (Р — а1 и существует
решение й(рсР — 5п) задачи (7.10.4)-(7.10.5). То есть

РШп{д(и, I, < 0} > Рш{д(щ Р ^) < 0} - 5п > сР - 5п.

Это означает, что любой допустимый план задачи (7.10.1)-(7.10.3)
при а = допустим для задачи (7.10.4)-(7.10.5). Это верно и для
точки и(1), значит,

а° - <5„)).	(7.10.6)

Рассмотрим величину [д(и(а° — 6п),1, ш) < 0}. Согласно уело-
виям 1) и 2) теоремы имеем

Рш {д(и{оР - 4)Л^) < 0} 6 [а0 -6п-епс(1),а° -6п-\-епс(1)] .

(7.10.7)

Значит, начиная с некоторого п, все точки {й(се° — 5П)} допусти-
мы для задачи (7.10.1)-(7.10.3) при а = се1, и множество таких точек
ограничено.

Выберем из последовательности {й(^, се° — 5?1)} сходящуюся по-
следовательность {й(/;,С10 — <5Па.)} такую, что

Пт {й(^,се° — <$ПА;)} = ^*(^).

Пк—>+оо к	*

Будем считать полученные таким образом числа 8Пк искомыми 8п.

В силу непрерывности функции Рш {р(гб*,о?) < 0} по и(1) и
(7.10.7)

Рш {д(гб*, I, < 0} = се°,

т.е. точка и*(1) — допустимый план задачи (7.10.1)-(7.10.3) при
а = се°.

Из непрерывности функции <^о и (7.10.6) следует, что

Ы^)) <

т.е. точка 14*(^) — решение задачи (7.10.1)-(7.10.3) при а = се°.

Теорема доказана.
7.11 Устойчивость решений задач стохастического нелинейного про-
граммирования

В различных прикладных задачах стохастического программирова-
ния случайные параметры имеют оптимистические и пессимисти-
ческие границы изменения, т.е. случайные величины распределены
конечно (непрерывно или дискретно). В таких случаях можно при
некоторых условиях определить область изменения целевой функ-
ции и локализовать множество оптимальных планов при всех реа-
лизациях со 6 Г7.

Пусть имеем задачу стохастического программирования, у кото-
рой целевая функция /(гг, о?) = /(гг) некоторая непрерывная детер-
минированная функция, а функции, определяющие условия задачи
дфж, сф, \/г = 1, 2,..., т, квадратичны или линейны по х с неполо-
жительно определенными матрицами при любой реализации
а) е Г7, т.е. имеем задачу вида

< хтН^ш)х +	> 0,	(7.11.1)

г = 1, 2,..., тп, х > О,

где все элементы матриц Нфси), векторов рфа?) и компоненты Ьфси),
г = 1, 2,..., тп могут быть случайными.

Введем следующие множества:

3(с8) = {ж : хтН^и^х + Рг(р8)х > бфа?), х > 0, г = 1, 2,..., т},

8~ = {ж : хтН^х + р^х > Ь+, х > 0, г = 1, 2,..., ш},

8+ = {ж : хтН+х + р+х > х > 0, г = 1, 2,..., ш},

где Н+, р+, Ь+,	, р^, Ь+, г = 1,2,... ,тп — случайные данные,

представляющие реализации вектора ш, заменены своими оптими-
стическими и пессиместическими границами соответственно.
Имеет место следующее утверждение.

Теорема 7.11.1. Если множество перманентных планов 3~ не
пусто, то для целевой функции задачи (7.11.1) имеет место со-
отношение:

шт/(ж) < тт /(ж) < тт/(х).	(7.11.2)

хеЗ+	хе8(ш)	хеЗ~

Доказательство. Достаточно показать,что 5"' Э 5(сс?) Э 3~ от-
куда будет следовать, что минимум непрерывной функции по неко-
торому множеству меньше либо равен минимуму этой же функции
по любой части этого множества. Если х 6 3~ следует, что для всех
случайных реализаций ш и при \/г имеют место соотношения

Т	(***) т	(**) т _ Н

X Н^Х -Зр^Х > X Нг(ш)Х + Р1\ш)Х > X ЕЦ х + р1 X >

(*) (***)

>	> ЬДсД > 6Д х > 0.

Отсюда следует, что любое допустимое решение из 3~, т.е. удо-
влетворяющее неравенству (*), удовлетворяет и неравенству (**),
т.е. имеет место 3(а3) Э 3~. Кроме того, любое допустимое решение
из множества 3(о?), т.е. удовлетворяющее (**), удовлетворяет также
(***), т.е. имеем, что выполняется 3' Э 3(а3). Окончательно,

3+ э 3(ш) э 3~

и если 3~	0, то имеет смысл выражение (7.11.2) из условий тео-

ремы.

Теорема доказана.

Для задачи на максимум может быть сформулирована симмет-
ричная теорема.

Следствие 7.11.1. Пусть имеем задачу квадратичного програм-
мирования, т.е. пусть в задаче (7.11.1) /(х) = /(ж, о?) — случай-
пая квадратичная по х функция с неотрицательно определенной
матрицей при Зш:

ф(х,ш) = хТ	+ Ро^)х +

где среди элементов Н$, ро и Ьо случайные составляющие с конеч-
ным распределением. Тогда выражение (7.11.2) из теоремы 7.11.1
примет вид:

ф~(х~) = тт/-(х) < тт /(х,< тт/+(ж) = /+(ж+),
хе8+	хеЩш)	хеЗ~

где х~ и х+ — оптимальные планы по соответствующим мно-
жества и 3~, а ф~(х) и ф+(х) — целевые функции, в которых
случайные данные заменены своими пессиместическими и опти-
мистическими границами соответственно.

Доказательство. В соответствии с утверждением теоремы (7.11.1)
имеет место система взаимных вложений Э 3(щ2) Э 3~. Если
гг°(а?) оптимальное решение задачи (7.11.1) при реализации ац то
для любого а: выполняются соотношения:

/“(гг“) = х~ТН^х~ +Рож“ + ьо < Л^°М) =

= ЖОТ(сс?)Яо(^)^°(^) + Ро(^)Л(а?) +	<

< х^тНфх+ +рвХ+ +	= /+(ж+),

откуда следует требуемой результат.

Теорема доказана.

Введем множество

3~= {ж : хтН^х + р))х > Ь^, х > 0, г = 1, 2,..., тп).

Теорема 7.11.2. Пусть функции д^х,оз) в задаче (7.11.1) во-
гнуты или линейны, множество допустимых х: 3~ не пусто, а
множество 3^ ограничено. Если целевая функция задачи (7.11.1)
вогнута и детерминирована, то для любого ш существует опти-
мальный план, который не принадлежит 8~, и множество всех
таких оптимальных планов удовлетворяет условиям

{х°НК с Д5 = 5+\ 8~ .

Доказательство. Поскольку минимум вогнутой функции /(гг) на
границе не больше минимума /(ж) внутри выпуклой области допу-
стимых решений, то в силу непрерывности /(гг) и замкнутости и
ограниченности области допустимых решений, при каждой реали-
зации а) существует такая граничная точка гг°(щ), что выполняется

/Ц°М) < /(Щ)), Уа?(И € 5Ц).

Это означает, что при каждой реализации ш хотя бы одно из нера-
венств д^х^аб) > 0 или х^ > 0 превращается в равенство, т.е. имеет
место либо



для некоторого либо х®(щ) = 0 для некоторого Такой гг°(щ)
не будет принадлежать 8~, поскольку множество 8~ не включает
никаких х, которые превратили бы какое-либо ограничение зада-
чи (7.11.1) в равенство. Однако гг°(а?) е5+, т.к. 8' включает все
области допустимости при любой реализации сщ и, следовательно,
выполняется

{гг°МЬ с 5+\ 8~ .

Теорема доказана.

Если в теореме 7.11.2 целевая функция задачи (7.11.1) является
выпуклой, а абсолютный минимум не принадлежит никакой обла-
сти допустимости 3(щ2) при любом си, то теорема 7.11.2 также имеет
место. Доказательство ведется аналогично приведенному выше.

Теоремы 7.11.1 и 7.11.2 являются обобщением результатов работы
[412], где рассматриваются только линейные функции в исходной
задаче.

Следующее утверждение относится к частному случаю задачи
стохастического программирования.

Теорема 7.11.3. Если в задаче (7.11.1) все функции линейны
по х и только вектор Ъ(х) имеет случайные, независимые и ко-
нечно, непрерывно распределенные составляющие, то множество
оптимальных планов {^(щ)}^ из теоремы 7.11.2 выпукло.

Доказательство. Пусть область допустимых планов задачи
при реализации х. Пусть гг°(сщ) и гг°(а?2) — оптимальные решения
при любых двух реализациях сщ ид. т.е. выполняется

/(ж°Д)) < /(яД1)) \/Щ1) € 5Д1),

/(х°д)) < ХхХХ ЧхСХ)е ЗХ2).

Из Ах°(щ1) > &(сщ), Агг0(а?2) > ^(^2); х0(сщ) > 0; ггДсд) > 0,
следует для любого А, 0 < А < 1:

А(АхО(сщ) + (1 — Х)х°(^2)) > АЬ(сщ) + (1 — А)Ь(^2)5

х()х = Ах°(сщ) + (1 — А)х°(щ2) > 0.

Вектор х°х является возможной реализацией в силу независимости и
непрерывного распределения случайных величин. Указанный век-
тор является и оптимальным, поскольку в силу линейности функ-
ций в задаче (7.11.1) градиенты целевой функции и нормали к ги-
перплоскостям ограничений постоянны, и оптимальная точка х°х,
при перемещении из гг°(сщ) в ггДсд) остается оптимальной, пока
она допустима, а допустимость для вектора х°х доказана при лю-
бом А, 0 < А < 1.

Теорема доказана.

Пусть в исходной задаче все функции квадратичны по ж, причем
с неположительно определенными матрицами Т/фо?), г = 1,т и с
неотрицательно определенной матрицей при Уси, т.е. имеем
задачу квадратичного программирования для каждой реализации

тт /(х,	= тт(хт + Ро(ш)х + &о(^))	(7.11.3)

X	X

при условиях

< хтН^)х +	> 6ДД, г = 1,т,	(7 ц 4)

х > О,

где элементы Т/фо?), рфа?) и бфа?), г = 0,1,..., тп могут быть слу-
чайными величинами. Пусть 1тез, р^ и 7/ — математические ожида-
ния, а агез, а1- и — дисперсии элементов соответственно Яфо?), Рг(ш)
и ЬДси), г = 0,1,..., т. Введем следующие множества и обозначе-
ния:

5(сс?) = {ж : ХТНг(ш)х Рг((х)х > бфсс?), 2 = 1, 2, . . . , 772, X > 0},
= {ж : хтн+х + р+х > Ьр , г = 1, 2,..., тп, х > 0},

3~ = {ж : хтН^х + рРх > Ь+, г = 1, 2,..., тп, х > 0},

Ди,А = {^: хе{5д\{ж: хт НРх+рРх>Ь+, г = 1,2,... ,тп,

Р„ = {тЧ АЦ)} = ттЩяД +Ро х + Ьр,
’ х&р	хе8ц

рх = {ттЦЦ)} = тт(ЛЯо“а;+роа; + &о),
хЕ$р	хе8^

где	р+, рР , Ь- , Ьр определяются из следующих соотно-

шений для любых г = 1, тп и е, д = 1, п:

Н+ = (йгез - Н+ = (кгез + А^),
Р{=(р}~Р^'), Рг+ = Д' + Аст}),
= (Р1 - Е = (рг + А<Тг).

Предположим, что // и А строго больше нуля, 8~ ф Ф, а абсолютный
минимум в задаче (7.11.3)-(7.11.4) не принадлежит 8~ и для 8(иб)
рассматриваются все те о?, для которых существует хотя бы одно
допустимое решение.

Теорема 7.11.4. Вероятность того, что оптимальное значе-
ние целевой функции /(х°(щ)) е	что оптимальный

план задачи (7.11.3)-(7.11.4) х®(ш) принадлежит области Л.рав-
няется по крайней мере

Рц,х = Р{^ I НГ < НЛГ) < н+; рг < рГш) < р+;

< Ьг(ш) \/г = 0,1,..., т}.

Доказательство. Достаточно доказать, что для события

I Нг <	< н+- рг <	< р+;

6- <	<Ь^, \/г = 0,1,..., ш}

(*)

выполняется требование теоремы. Рассуждая аналогично тому, как
это сделано в теореме 7.11.1, имеем 8^ Э 8(ш) Э 8~ для всех ш из
события (*), а множество оптимальных планов для этих со содер-
жится в Ад,м. Тогда в соответствии со следствием из теоремы 7.11.1
имеем, что для всех ш из события (*) выполняются требуемые со-
отношения для целевых функций:

Да = т“ ЛД)

< тт /(ж,сД

< тт /АЦ) = /+
хЕЗ^
Теперь легко показать, например, сдвинув небазисное ограничение,
что в зависимости от вида целевой функции и функций ограниче-
ний могут существовать такие реализации, что оптимальный план
х°(щ) 6 Ад,^, и, соответственно,

/Ц») е [Щ/Щ

но что для таких реализаций со не будет выполняться строгое тре-
бование события (*). Отсюда следует, что — есть нижняя гра-
ница для вероятности того, что оптимальный план гг°(щ) 6 Ад,м, а

Теорема доказана.

Следует заметить, что если все элементы матриц НДсД,

г = 0,1,... ,т при любой реализации со Е П тождественно равны
нулю, то имеем эквивалентную теорему для линейного случая [188].

Краткая библиография

Исследованию поведения оптимального плана как случайной точ-
ки посвящена работа М. Баббара [9], в которой изучается распре-
деление оптимума в предположении постоянства оптимального ба-
зиса, в разложении оптимума отбрасываются члены второго поряд-
ка малости относительно случайных параметров задачи. В работе
Г. Вагнера [424] отмечается ограниченность предположения о по-
стоянстве оптимального базиса и оценки с точностью до первого
порядка считаются недостаточными. Проблемы базисной устойчи-
вости решений задач стохастического программирования получили
наибольшее развитие в работах Н. И. Арбузовой и В. Л. Данило-
ва [3], Н. И. Арбузовой [4], [5], [6], М. Куртиллота [102], К. Шетти
[369], С. Барнетта [15] и других авторов. Работы последних трех
указанных авторов объединяет общий подход к проблеме базисной
устойчивости с точки зрения теории ошибок. В этих работах, как и
в работе Н. И. Арбузовой [4], определяются максимальные отклоне-
ния параметров задачи вставляющие оптимальный базис неизмен-
ным. В работах Г. Тинтнера [401], И. Сенгупта, Г. Тинтнера и
С. Миллхама [352], И. Сенгупта, Г. Тинтнера и Б. Моррисона [404],
Г. Тинтнера, С. Миллхама и И. Сенгупта [402] содержатся каче-
ственные результаты по вопросам базисной устойчивости решений.
В указанных работах, а также в работах Б. Беряну [31], [39], [40]
исследуется проблема стохастической устойчивости оптимального
значения задачи линейного программирования.

Примечательна работа А. Н. Тихонова, в которой указан есте-
ственный с экономической точки зрения путь исправления задачи,
неустойчивой в смысле теории ошибок, чем намечен новый подход
к исследованию задачи линейного программирования.
Заключение

Одним из важных разделов современной теории сложных систем
является разработка количественных методов управления, плани-
рования и проектирования в условиях риска и неопределенности.

С единых позиций могут быть исследованы три группы математиче-
ских методов: методы прогнозирования поведения сложных систем,
методы управления в условиях риска и неопределенности (стоха-
стическое программирование) и методы адаптации и обучения (сто-
хастическая аппроксимация). В настоящем пособии были рассмот-
рены основные результаты, полученные в области стохастического
программирования, а проблемы прогнозирования поведения слож-
ных систем и методы адаптации и обучения не нашли отражения.

В периодической литературе последних десяти лет обсуждается
большое число моделей планирования, управления и проектирова-
ния в условиях риска и неопределенности. В пособие наряду с об-
щими методами анализа задач стохастического программирования
включено определенное количество частных методов, каждый из
которых эффективен для ограниченного круга приложений. Обзор
работ по специальной задаче стохастического программирования —
задаче фильтрации и прогноза и по итеративным методам стохасти-
ческого программирования в пособие не включен.

Интересным, на наш взгляд, представляются попытки получения
общего подхода к различным схемам стохастического программиро-
вания, которые предпринимались в работах И. Лемари [264],
Д. Б. Юдина [199], [202] и Ю. М. Ермольева [132], [134].

Другое перспективное направление стохастического программи-
рования основано на численных методах решения условных экстре-
мальных задач в функциональных пространствах и теории двой-
ственности бесконечномерного математического программирования.
В работах по теории и методам стохастического программирования
следует назвать работу С. И. Зуховицкого, Р. А. Поляка и
М. Е. Примака [460] по численному решению задач выпуклого про-
граммирования в гильбертовых пространствах и работы Е. Г. Голь-
штейна [184] и А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова по двойственным
задачам в функциональных пространствах.

В большинстве работ по стохастическому программированию
условия задачи и целевая функция записываются в классических
вероятностных понятиях и терминах. В тех случаях, когда целесооб-
разно искать оптимальный план в виде случайного вектора, запись
задачи в классических терминах становится необозримой и сложной
для анализа. Именно это обстоятельство является одной из причин
сравнительно ограниченных достижений в стохастическом програм-
мировании.

Известное продвижение в постановках задач стохастического про-
граммирования и в методах их решения можно получить, записывая
стохастические задачи в терминах функциональных пространств и
используя для их анализа по крайней мере те конструктивные беско-
нечномерные аналоги методов математического программирования,
которые к настоящему времени разработаны.
Список литературы

[1]	Абрамов Л. М., Бочкарева И. И., ‘О задаче стохастического
программирования с вероятностными ограничениями’, в кн.
Оптимальное планирование, вып. 16, стр. 3-9. Новосибирск
(1970).

[2]	АИсЫзон, Л., ‘ЗШхзНса! РгоЫетз о1Тгеа!тен1 АПосаНоп’, Роу.
31аПз1. Зое., Зепез А 133(1970), 206-238.

[3]	Арбузова Н. И., Данилов В.Л., Юб одной задаче стохастиче-
ского линейного программирования и ее устойчивости’, ДАН
СССР, том 162, № 1 (1965).

[4]	Арбузова Н. И., ‘О стохастической устойчивости двойственных
задач линейного программирования’, Эконом, и мат. мет.,
том 2 (1966), стр. 558-562.

[5]	Арбузова Н. И., ‘Взаимосвязь стохастической е-устойчивости
задач линейного и дробнолинейного программирования специ-
ального вида’, Эконом, мат. мет., том 4 (1968), стр. 108-110.

[6]	Арбузова Н. И., Вересков А. И., Николаева Н. Д., ‘Неко-
торые задачи стохастического программирования’, Эконом,
мат. мет., том 5 (1969), стр. 412-430.

[7]	Аугте! М. апб \УИ6е Б. Л, ‘З^осйазНс Сеоте1пс Рго§гаттт§’,
т РгосеесИпдз о/ Пае Рппсе1оп Зутрозгит он МаПьетаПса!
Ргодгаттгпд, (Ргтсе1оп 1970), Ргтсе1оп ПтуегзИу Ргезз, 73-
91.

[8]	Аупе! М. апб УУПНатз А. С., ‘Сотр1етеп1агу Сеоте1пс
Рго§гаттт§’, 31АМ 3. Арр1. МаПа., Уо1. 19 (1970), 125-141.
[9]	ВаЬЬаг М. М., ‘ВхзМЬиВопз о! Зо1и1юп8 о! а 8е1 о! Ыпеаг
ЕриаНоп8 дуПН АррНсаНоп 1о Ыпеаг Рго§гаттт§’, 7. Ат.
81аИз1. Аззос., Уо1. 50 (1955), 854-869.

[10]	ВаЬЬаг М. М., НеаЬу Е., апЬ Тт1пег С., ‘Рго§гаттт§ дуйЬ
СопзЫегаНоп о! УапаНопа т 1при1 СоеШстепЫ’, 7. Гагт Есоп.,
Уо1. 37 (1955), 333.

[11]	Ва1акп8Ьпап А., ‘ОрНта! Соп1го1 РгоЫетз т ВапасЬ Зрасез’,
<1. 8ос. 1п(1из1г. Арр1. Ма1к., АЗ, № 1 (1965), 152-180.

[12]	ВаНпйу Л. апП Ргекора А., ‘ЗттиЫюп о! Ва818 81аЫ1Иу
т 31оска811с Ыпеаг Рго§гаттт§’, Рге8еп1ес1 а! 8ЮМАК
У/огкзкор оп 81осказ1гс Ыпеаг Ргодгаттгпд, Ргтсе1оп 1965.

[13]	ВаПпакт М. В, ‘Ап А1§огИЬт 1ог Ртс1т§ АП УегНсез о! Сопуех
Ро1уЬес1га1 ЗеЫ’, 81АМ </., Уо1. 9 (1961), 72-88.

[14]	Вагкж В. Е. апП РгозсПап Е., Ма1кетаЫса1 Ткеогу о/КеНаЫШу,
Уогк 1965, ЛоЬп АУПеу.

[15]	ВагпеВ, 8., ‘ЗЫЬППу о! Пае 8о1иНоп 1о а Ыпеаг Рго§гаттт§
РгоЫет’, Орега1. Кез. (^иаг1., Уо1. 13 (1962), 219-228.

[16]	Веа1е Е. М. Ы, ‘Оп Мхттхгт^ а Сопуех ЕипсНоп ЗиЬдес! 1о
Ыпеаг ЫериаННез’, 7. Коу. 81аНз1. 8ос., Зепез В17, № 2 (1955),
173-184.

[17]	Веа1е Е. М. Ы, ‘Оп (^иаПгаНс Рго§гаттт§’, 7. Мауа1 Кез.
Ьодгз1. (^иаг1., Уо1. 6, № 3 (1959), 227-243.

[18]	Веа1е Е. М. Ы, ’ТПе Пзе о! С^иасЕаНс Рго§гаттт§ т З^осПазНс
Ыпеаг Рго§гаттт§’, Капс1 СогрогаНоп Керог1, 2404-1, (1961).

[19]	ВеПтап В., ‘Вестзюп Макт§ т Расе о! Ппсег1ат1у’, 7. Мауа1
Кез. Ьодгз1. (^иагк 1 (1954), 230-232.

[20]	ВеПтап В., ‘Вестзюп Макт§ ш Расе о! Ппсег1ат1у’, II, 7. Мауа1
Кез. Ьодгз1. Оиаг1. 1 (1954), 327-332.
[21]	ВесккоГег В. Е., ВнппеИ С. XV. апс! 8ос1е1 М., ‘А Тдуо-8ашр1е
Ми1Нр1е Вестзюп РгосесЬге 1ог Напкт§ Меапа о! Могта!
Рори1аНоп8 дуИк а Соттоп Ппкподуп Уапапсе’, ВготеЛпса, Уо1.
41 (1954), 170-176.

[22]	Веп кгае! А., ’Оп 8оте РгоЫетз о! Ма1кетаНса1 Рго§гаттш§’,
Рк.И. Ткезгз гп Епдгпееппд Зсгепсе, Еиапз1оп 1961,
Пог1ки}ез1егп ВтиегзИу.

[23]	Веп Вгае! А. апс! Скагпез А., ’Соп81ап1 Ьеуе! 1пуеп1огу Рокстез
апс! Скапсе Соп81гатес1 Рго§гаттт§ РгоЫетз’, Ыог1к'шез1егп
ВтиегзИу, Еуап81оп 1961.

[24]	Березнев В. А., Об одной задаче стохастического программи-
рования’, Техническая кибернетика, том 4 (1971).

[25]	Беркович Е. М., ‘О двухэтапной задаче стохастического опти-
мального управления’. Вест. Мос. универ., серия: мат. и мех.,
том 4 (1970), 9-17.

[26]	Беркович Е. М., Об аппроксимации двухэтапных стохастиче-
ских задачах’, жур. вычислит, мат. и мат. физ., том 11, №
5 (1971), 1150-1165.

[27]	Беркович Е. М., ‘О существовании оптимальных решений для
одного класса двухэтапных стохастических задач’, Приближ.
методы реш. задач опт. управ, и некот. некоррект. обрат,
задач, Труды вычислит, центра Мос. универ., Москва 1972.

[28]	Беркович Е. М., ‘О численном решении одного класса задач
стохастического птимального управления’, Приближ. мето-
ды реш. задач опт. управ, и некот. некоррект. обрат, задач,
Труды вычислит, центра Мос. универ., Москва 1972.
[29]	Вег§1ка11ег С., ‘А С^иаскаНс Ери1уа1еп1 о! Ле Мштаиш Шзк
РгоЫеш’, Неу. Коитата Ма1к. Ригез Арр1., Уо1. 15 (1970), 17-
23.

[30]	Вегеапи В., ‘81осказЫс ТгапзрогШюп РгоЫеш: I, II. Вапбош
Соз1з’. СотитеаиИе АсаЛ. В.Р.В., Уо1. 13 (1963), 325-337.

[31]	Вегеапи В., Юп ЗЛсказНс Ыпеаг Рго§гаттш§: I. В1з1пЬи1юп
РгоЫетз: а 8ш§1е Вапбот УапаЫе’, Неу. Ма1к. Ригез АррЦ
Уо1. 8 (1963), 683-697.

[32]	Вегеапи В., ‘В1з1пЬи1юп РгоЫетз апб Мтттит Втзк 8о1и1юпз
т ЗЛсказНс Рго§гаттт§’, Со1од. АррИс. Ма1кет. Есоп.,
Вибарез! 1963. Асабепиат КтасЬэ., 37-42.

[33]	Вегеапи В., ‘Тке РгоЫеш о! 1ке В1з1пЬи1юп ЕипсНоп ш Ыпеаг
Рго§гаттш§ апб Мтштит Втзк 8о1и1юп’, Рк. В. РтуегзИу о/
Вискагезк Вискагез! 1963.

[34]	Вегеапи В., Ъоте АррксаНоп о! 81осказЫс Рго§гаттш§
(Воташап)’, Ргос. Зег. Соп/. т 31аИзИс8 Е.С.8., Вискагез!
1963.

[35]	Вегеапи В., Тго^гатте бе пзрие гттта! еп рго^гаттаНоп
кпеатге зЛсказНрие’, Сотр1. Кепск АсаЛ. Зег. Раггз, Ргапсе 259
(1964), 981-983.

[36]	Вегеапи В., ‘А Ргорег1у о! Сопуех Ртесе-уйзе Ыпеаг
РипсНопз дуИк АррксаНопз 1о МаЛетаНса! Рго§гаттш§’,
ип1егпектепз/огзекипд, Ь 9 (1965), 112-119.

[37]	Вегеапи В., Юп 1ке В1з1пЬи1юп о! 1ке ОрНтит ш 81осказЫс
Ыпеаг Рго§гаттш§’, Апа1е1е Рту. ВисигезН Ма1кетаЫсз
Месапгсз, Уо1. 14 (1965), 41- 48.

[38]	Вегеапи В., ‘Оп 81осказЫс Ыпеаг Рго§гаттш§. II: В1з1пЬи1юп
РгоЫетз. АопзЛсказЫс Тескпо1о§1са1 Ма1пх’, Неу. гоитагпе.
та1к.ригез а1 арр1., Уо1. 11 (1966), 713-725.
[39]	Вегеапи В., ‘Оп 81осказ11с Ыпеаг Рго§гаттт§. Тке Ьар1асе
Тгапзйэгт о! 1ке В1з1пЬи1юп о! 1ке ОрНтит апб АррксаНоп’.
7. МаЛ. Апа1. Арр1., Уо1. 15 (1966), 280-294.

[40]	Вегеапи В., ‘Ве^юпз бе бесхзюп е! герагШюпз бе ГорИтит боиз
1а рго^гаттаНоп кпеапе’, Сотр1. Кепск Зеапс. АсаЛ. Зег., Рапз,
Уо1. 259 (1964), 1383-1386.

[41]	Вегеапи В., ‘Непера! Ргосеззез апб 8оте 81осказ11с
Рго§гаттт§ РгоЫетз т Есопоттсз’, 31АМ. Р Арр1. Ма1к.,
Уо1. 19, № 2 (1970), 308-322.

[42]	Вегеапи В. апб Рее1егз С., ‘А “\УаИ-апб-8ее” РгоЫет т
81осказ11с Ыпеаг Рго§гаттт§; ап ЕхрептепЫ! Сотри1ег
Собе’, Сак. Сеп1. Е1иР Реек. Орег., Уо1. 12, № 3 (1970), 133-148.

[43]	Втске! 8. Н., ‘Мтттит Уапапсе апб ОрНта! Азутр^оНс
РогНокоз’, Мападетеп! Зег., Уо1. 16, № 3 (1969), 221-226.

[44]	В1ит Т., ‘МиШбттепзюпа! 81осказ11с АрргохттаНоп Ме1кобз’,
Апп. Ма1к. 81аИз1., Уо1. 25, № 4 (1954).

[45]	В1ит Т., ‘АрргохттаНоп Ме1кобз дуЫск Сопуег^е дуИк
РгоЬаЫЫу Опе’, Апп. Ма1к. 31аНз1., Уо1. 25, № 2 (1954).

[46]	В1ит Т., ‘А АоЫ оп 81осказ11с АрргохттаНоп’, Ргос. Ат. Ма1к.
Зое., Уо1. 9, № 3 (1958).

[47]	Воо! I. С. С., ^иа(1^а^^с Ргодгатттд, Атз1егбат 1964, Мог1к-
НоПапб РиЬкзЫп^ Сотрапу.

[48]	Вобе Н. апб 8каппоп С., ‘А 81тркйеб ВепуаНоп о! Ыпеаг Ьеаз!
8риаге 8тоо1кт§ апб РгебтсНоп Ткеогу’, Ргос. 1КЕ, Уо1. 38
(1950), 417-438.

[49]	Вогск К., ‘Тке Ткеогу о! Шзк’, 7. Роу. 81аИз1. Зое., 8епез В,
Уо1. 29 (1967), 432-467.
[50]	Бочкарева И. И., ‘Алгоритм решения одного класса задач сто-

хастического программирования с вероятностными ограниче-
ниями’, Опт. планир., том 16 (1970), 10-15.

[51]	Воиззагб I. М., Тке 1н1гос1ис1юп о! Втзк ш!о а Рго§гаттш§
Мобек ВкГегеп! Сгйепа апб Пае Ас1на1 Векауюг о! Еагтегз’,
Еигор. Есоп. Кео., Уо1. 1, № 1 (1969), 92-121.

[52]	Воусе XV. Е., ‘Вапбот Е1§епуа1ие РгоЫетз’, РгоЬаЫИзИс
Ме1кос1з гп АррИеЛ Ма1кетаНсз, (ес1. Ьу А.Т. Вкагиска-ВеЫ),
^ду Уогк 1968, Асабеппс Ргезз.

[53]	Вгаскен I., ‘81аВзВса1 Вестзюп Апа1уз1з о! а Ыпеаг Рго§гаттт§
РгоЫет ДУ1В1 а 81осказНс ОЬдесНуе ЕипсНоп’, Тке Оеогде
]№азкгпд1оп РтуегзИу, 8епа1 Т-183, Ли1у, 1965.

[54]	Вгаскен I. апб 8о1апб В. М., ‘ЗЫНзНса! Вестзюп Апа1уз1з о!
З^осказНс Ыпеаг Рго§гаттт§ РгоЫетз’, Маоа1 Кез. Ьодгз1.
диагк, Уо1. 13 (1966), 205-226.

[55]	Вгаскен I. апб МсСогттк С. Р., 8е1ес1ес1 АррНсаНопз о/
1УопИпеаг Ргодгатттд, Меду Уогк 1968, Локп ХУПеу.

[56]	Вгапз I. Р., ‘Рго^гаттез кпеапез з^осказНриез’, Сак. Сепкге
Е1иЗ. Кескегске ОрегаНоп., Уо1. 6, № 1 (1964), 19-43.

[57]	Вгобеаи Е., ‘Ткеогетез бе тахттит еп 1кеопе би соп!го1е
з^осказНрие’, Сотр1. Кепск АсаЗ. 8сг., Рапз, 262 (1966), 1117-
1120.

[58]	Вгоокз 8. Н., ‘А Вхзсиззюп о! Вапбот Ме1кобз о! 8еект§
Махтта’, 7. ОрегаНоп Кез. Кос. Ат., Уо1. 6 (1958), 244-251.

[59]	Випке О., ‘Е1т§е НШзттВе! хиг Ьозип§ зЫНзНзскег РгоЫете
ЬеЫег кпеагеп ипб шск! кпеагеп ОрНттегип^’, Моп-Ьег Зеи1зск
Акаск 1Угзз., Вегкп 1966, 699-703.

[60]	Випке О., ‘Ме1кобеп бег зЫНзНзскеп ОрНттегип^’, Уог. III,
Закгез1д. та1к. Сез., Р.Р.К. (1966).
[61]	Випке О., ‘Ет УегГакгеп бег з^осказНзскеп АрргохттаНоп’, /.
Апдеи. Ма1к. Меск., Ь 46, № 8 (1966), 533-536.

[62]	Випке О., ‘ПЬег Ле Сп1е бег Нпеагеп ипб тек! Нпеагеп
ОрНппегип§ Ьет §езскаШеп Рагате1егп’, ОрегаЫопз/огзскипд
ипс1 та1кетаИзске 81аНзНк, 9-18 (1966).

[63]	ВиЫтапп Н., Ма1кета1гса1 Ме1кос1з гп Шзк Ткеогу, к!еду Уогк
1970, 8ргт§ег-Уег!а§.

[64]	ВигккоИег В., ‘Оп а С1азз о! 81осказ11с АрргохттаНоп
Ргосеззез’, Апп. Ма1к. 81а11з1., Уо1. 27, № 4 (1956).

[65]	Сапскег XV., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ уЛИ 81осказ11с УхеИз’, Рк.Е.
Ткезгз 1ке коша 81а1е ЦпгуегзИу, Атез, 1одуа, (1957).

[66]	Саг1оп В., ‘Рго^гаттез кпеапез з^осказНриез’, Ви11. Еггес1.
ЕЫ Веек. С (1968), 43-60.

[67]	Сазз В., ‘ОрНтит Спжкк т ап А§§ге§аНуе Мобе! о! Сарка!
АсситиЫюп’, Веу. Есоп. 81ис1., Уо1. 32 (1965), 223-240.

[68]	Саз1ат§ Ск., ‘Зиг 1ез тиШ-аррНсаНопз тезигаЫез’, ВкВО, к-ге
аппа1, № 1 (1967), 91-126.

[69]	Скап§ В., ’Оп а З^осказНс АрргоххтаНоп Ме1косГ, Апп. Ма1к.
81аЕ Уо1. 25 (1954).

[70]	Скагпез А., Соорег XV. XV., апб Зутопбз С. кк, ‘Соз!
Нопзопз апб Сег1ат1у Ершуа!еп1з: ап Арргоаск 1о З^осказНс
Рго§гаттт§ о! Неа1т§ ОН’, Мападетеп1 8сг., Уо1. 4, № 3
(1958), 235-263.

[71]	Скагпез А., Соорег XV. XV. апб Зутопбз С. кк, ‘Соз! Ногкопз
апб Сег1ат1у Ершуа!еп1з: Неа1т§ ОН’, Мападетеп1 8сг., Уо1.
4, № 12 (1958).

[72]	Скагпез А., ‘З^осказНс АрргоххтаНопз 1о ОрНта! Весхзюп
Ви!ез’, ОМВ Везеагск МЕМО, № 11, Тескпо1о§1са1 1пз1ки1е
к1ог1кдуез1егп Птуегзку, 1958.
[73]	Скагпез А., ‘Тке Ткеогу о! Зеагск: ОрНшиш ВтзЫйэиНоп о!
Зеагск ЕЯЕогГ, Мападетеп! 8сг., Уо1. 5 (1958), 44-50.

[74]	Скагпез А. апб Соорег XV. XV., ‘Скапсе-СопзЫатеб
Рго§гаттт§’, Мападетеп1 8сг., Уо1. 6 (1959), 73-79.

[75]	Скагпез А., ‘Ве^егппшзНс Ершуа1еп1з 1ог ВйГегеп! ОЬдесНуез т
Скапсе СопзЫатеб Рго§гаттт§’, (ЭЛТ? Кезеагск МЕМО. № 37,
Тескпо1о§1са1 1пз1ки1е, Мог1кдуез1егп Пшуегзйу, 1960.

[76]	Скагпез А., Соорег XV. XV. апб Ткотрзоп С. Ь., ‘СопзЫашеб
Сепегакхеб Мебтапз апб Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег
ПпсегЫтку’, Кез. МЕМО, Уо1. 6, № 9 (1961), Еуапз1оп
Мог1к-дуез1егп Пшуегзйу.

[77]	Скагпез А. апб Соорег XV. XV., ‘Скапсе-СопзЫатЫ апб Могта!
ВепуаНуез’, 7. Ат. 81аНз1. Аззос., Уо1. 57 (1962), 134-148.

[78]	Скагпез А. апб Соорег XV. XV., Тго§гаттт§ дуйй Ыпеаг
ЕгасНопа! Еипс1юпа1з’, Ма/иа1 Кезеагск ЬодгзИсз ^иа^^е^^у,
8ер1етЬег-ВесетЬег, 1962.

[79]	Скагпез А., ‘8уз1етз Еуа1иа1юп апб Нернсту Ткеогетз’,
Мападетеп! 8сг., Уо1. 9, № 1 (1962), 33-49.

[80]	Скагпез А., Соорег XV. XV. апб КогЫпек К., ‘ВиаЫу, Наог
Рго^гатз апб Етке Зериепсе 8расез’, Ргос. Ма1. Асай. 8сг.
11.8.А., Уо1. 48, № 45 (1962), 783-786.

[81]	Скагпез А. апб Соорег XV. XV., ‘Ве^егппшзНс Ершуа1еп1з 1ог
ОрНгтхт^ апб 8аНзйст§ ипбег Скапсе-СопзЫатЫ’, ОрегаЫоп
Кез., Уо1. 11 (1963), 18-39.

[82]	Скагпез А., Соорег XV. XV. апб КогЫпек К., ‘ВиаЫу
т 8етппйш1е Рго^гатз апб 8оте ХУэгкз о! Нааг апб
Сага1кеобогу’, Мападетеп! 8сг., Уо1. 9, № 2 (1963), 209-228.

[83]	Скагпез А., Соорег XV. XV. апб Ткотрзоп С. Ы,
‘Скагас1епха1юп Ьу Скапсе-СопзЫатеб Рго§гаттт§’, Кесеп1
А&оапсез т Ма1кетаНса1 Ргодгатттд, Сгауез, УУоИе, 113-120,
(1963).

[84]	Скагпез А., Соорег, XV. XV. апб Ткотрзоп С. Ь., ‘СпИса! Ра1к
Апа1уз1з Ута Скапсе-СопзЫашеб апб 81осказ11с Рго§гаттт§’,
ОрегаНоп Кез., Уо1. 12 (1964), 460-470.

[85]	Скагпез А. апб 81ебгу А. С., бпуезН^аНопз т 1ке Ткеогу о!
Ми1Нр1е-Ви6§е1е6 Соа1з т Мапа^етеп! Соп1го1з’, МеЬгап, ^ду
Уогк (1964), 186-204.

[86]	Скагпез А., Соорег XV. XV. апб Ткотрзоп С. Ь., ‘СопзЫатеб
Сепегакхеб Мескапз апб Нурегтескапз аз Ве^еггтшзНс
Ершуа1еп1з 1ог Тдуо-81а§е Ыпеаг Рго^гатз ппбег Ппсег1ат1у’,
Мападетеп! Зег., Уо1. 21, № 1 (1965), 83-112.

[87]	Скагпез А., Вгезе. I. апб МШег М., ‘Вестзюп апб Ногтхоп
Ш11ез 1ог 81осказ11с Р1аппт§ РгоЫетз: а Ыпеаг Ехатр1е’,
ЕсопотеННса, Уо1. 34 (1966), 307-330.

[88]	Скагпез А. апб КпЬу М., ’ОрНта! Вестзюп Кп1ез 1ог 1ке Е-
Мобе! о! Скапсе-СопзЫатеб Рго§гаттт§’, Сак. Сеп1ге Е1ис1.
Кескегск ОрегаНоп., Уо1. 8, № 1 (1966), 5-44.

[89]	Скагпез А., КпЬу М. апб Ратк XV., ’Скапсе-СопзЫатеб
Сепегакхеб Мекигогкз’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 14 (1966), 1113-1120.

[90]	Скагпез А. апб КпЬу М., ’8оте 8рес1а1 Р-Мобе1з ш Скапсе-
СопзЫатеб Рго§гаттш§’, Мападетеп1 Зег., Уо1. 14, № 3 (1967),
183-195.

[91]	Скагпез А., КлгЬу. М. апб Ратк XV., ‘8о1п1юп Ткеогетз т
РгоЬаЫкзНс Рго§гаттт§: а Ыпеаг Рго§гаттш§ Арргоаск’, 7.
Ма1к. Апа1. Аррк, Уо1. 20, № 3 (1967), 365-382.
[92]	Скагпез А., КпЬу М. апб Ратк XV., ‘Скапсе-Сопз1гашес1 Сатез
5Укк РагНаПу СспкгоИаЫе 81га1е§1ез’, ОрегаЫоп Кез., Уо1. 16, №
1 (1968), 142-149.

[93]	Скагпез А., ЫШескИек, КпЫу М. апб Ратк XV., ‘Скапсе-
Сопз1гатес1 Мобе! оп Тгапзрог! Рпсез апб 8скебийп§ нпбег
СошреЫЫоп’. ТгапзроНаЫоп 8сгепсе№ 1, (1968).

[94]	Скагпез А. апб КпЬу М., ‘ОрНта! Вестзюп Рн1ез 1ог 1ке
Тпап§п1аг Е-Мо6е1 о! Скапсе-Сопз1гатес1 Рго§гаттт§’, Сак.
Сеп1ге Ыид. Кеск. ОрегаЫоп., Уо1. 11, № 4 (1969), 215-243.

[95]	Скез1ег Ь. В., ‘Апа1уз1з оп 1ке ЕЯЕес! о! Уапапсе оп Ыпеаг
Рго§гаттт§ РгоЫетз’, М.Зс. Ткезгз Агг Гогсе 1пзЫ1и1е о/
Тескпо1оду, Агг Впгиегзйу, ]Уггдк1-Ра11егзоп Агг Гогсе Вазе,
Окю (1964).

[96]	Чирба С.С., Об одной задаче стохастического программиро-
вания’, Вопросы эконом.-мат. моделирования, стр. 299-316,
Москва (1972).

[97]	Чирба С. С., ‘Некоторые вопросы пассивного стохастического
линейного программирования’, Вопросы эконом.-мат. модели-
рования, стр. 317-331, Москва (1972).

[98]	Сокеп А. 8., ‘СопзоНес! 8ашр1ез 1гош Тгнпса1еб Могша!
В1з1пЬи1юпз’, ВготеЫЫка, Уо1. 42 (1955), 516-518.

[99]	Со1ешап XV. Н., ‘Оп С^наскаНс Рго§гатшт§ дукк АррксаНоп
1о 81осказНс РгобнсНоп 8тоо1кт§’, Маз1ег Ткезгз Ьекгдк
ВпгиегзИу, (1965).

[100]	Сопга1к В. XV., ‘Ог^ашзаНопа! Вестзюп Макт§ Векауюнг Ппбег
Уагут§ СопсШюпз о! Ппсег1аш1у’, Мападетеп1 Зег., 8ег. В13
(1967), В487-В500.

[101]	СопНш В., ‘81осказНс Арргоаск 1о Соа1 Рго§гаттт§’,
ОрегаЫоп Кез., Уо1. 16 (1968), 576-586.
[102]	СоигНПо! М., Он Уагут§ АП 1ке Рагате1ег8 т а Ыпеаг
Рго§гаттт§ РгоЫет апб ЗериепНа! 8о1и1юп о! а Ыпеаг
Рго§гаттт§ РгоЫет’, ОрегаЫопа! Кез., Уо1. 10, № 4 (1962).

[103]	СоигНПо! М., ‘СопЫПэиНоп а 1а 1кеопе бе 1а рго^гаттаНоп
Ппеапе е! бе 1а рго^гаттаНоп 81оска8Нрие’, Ткезез Рос1. 8сг.
та1к., Рас. Зсп Вшу. Рапа, р. 96, Рапа (1963).

[104]	ВапЫ1§ С. В., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у’,
Мападетеп! 8сг., Уо1. 1, № 2 (1955), 197-206.

[105]	ВапЫ1§ С. В., ‘Весеп! Абуапсез т Ыпеаг Рго§гаттт§’,
Мападетеп! 8сг., Уо1. 2, № 2 (1956), 131-144.

[106]	ВапЫ1§ С. В., Ыпеаг Ргодгатттд апЛ ЕхЪепзгопз, Ргтсе1оп
(1963), Ргтсе1оп ПшуегзИу Ргезз, 625.

[107]	ВапЫ1§ С. В., ‘Ьаг§е-8са1е Зу81ет8 апб Пае СотрЫег
ВеуоЫНоп’, РгосеесИпдз о/ 1ке Рппсе1оп Зутрозгит оп
Ма1кета1гса1 Ргодгатттд, Ргтсе1оп (1970), Ргшсе1оп
ПтуегзИу, 51-72.

[108]	ВапЫ1§ С. В. апб Мабапаку А., ‘Оп Пае 8о1и1юп о! Тдуо-81а§е
Ыпеаг Рго§гаш8 ипбег Ппсег1ат1у’, РгосеесИпдз о/ 1ке Роиг1к
Вегке1еу Зутрозгит оп Ма1кетаИса1 3±аЫзЫсз ап(1 РгоЬаЫШу
Уо1. 1, 165-176. Вегке1еу (1961), Птуегзйу о! СаШогта Рге88.

[109]	Ветр81ег М. А. Н., ‘Оп 81ос11а811с Рго§гаттт§ 1, 81аНс Ыпеаг
Рго§гаттт§ ипбег Шак’, 7. Ма1к. Апа1. Арр1., Уо1. 21, № 2
(1968), 304-343.

[ПО] Вегтап С., ‘81ос11а811с АрргохттаНоп’, Апп. Ма1к. 81аЫз1., Уо1.
27, № 4 (1956).

[111]	ВшкеПэаск XV., ‘Оп Моп-Ыпеаг РгасНопа! Рго§гаттт§’,
Мападетеп1 8сг, Уо1. 13, № 7 (1967), 492-497.
[112]	Вга^оппгезсп М. апс! ЬИагош С., ‘Мос1е1е з^осказВес реи!ги
с!е1егттаег 1а 81гис1ип орНте а ргосЬсНк а§псо1е’. Кеигз1а де
31аИ8Нса., № 6 (1968).

[113]	Впт1 М. апс! КесЬэта Л., ‘З^осказНс АрргохттаНопз 1ог
СопНпиоиз КапсЬэт Ргосеззез’, Тгапз. 2-пй Ргадие СЪп/(1960),
145-158.

[114]	Впт1 М. апс! Нап8 О., ‘Соп1тиои8 31оска8Нс АрргохттаНопз’,
Тгапз. 2-пЛ Ргадие Соп/. (1960), 113-122.

[115]	Вирас V., ‘ккйез оп 31оска8Нс АрргохттаНоп Ме1косГ, Сгеск.
Ма1к. Т, № 1 (1958).

[116]	Вирас V., ’А Вупагтс 31оска8Нс АрргохкпаНоп Ме1косГ, Апп.
Ма1к. 31а1., Уо1. 36 (1965), 1695-1702.

[117]	Вуоге18ку А.. ‘Оп 31оска8Нс АрргохттаНоп’, Ргосеедгпдз о/
1ке З-гЛ Вегке1еу Зутрозгит о/ Ма1кетаНса1 81аНзНсз апЛ
РгоЬаЫШу, Уо1. 1, (1956).

[118]	Ефимов В. М., ‘Стохастическая модель перспективного плани-
рования’, Теор. опт. реш., Киев (1969).

[119]	Ефимов В. М., ‘Оптимальные оценки в условиях неопределен-
ности’, Эконом, и мат. методы, том 6, № 3 (1970).

[120]	Ефимов В. М., ‘Стохастические экономические модели’, Сто-
хастич. эконом, модели, Москва (1971).

[121]	ЕбтипсКоп Н. Р., ‘Воппер оп 1ке ЕхресШюп о! а Сопуех
ЕипсНоп о! а ВапсЬт УапаЫе’, Тке КАИР СогрогаИоп, 8ап1а
Мошса, Арп1, 882, (1957).

[122]	Е18пег М. Л., Кар1ап В. 8. апс! 8ос1еп Л. V., ‘АйгтззхЫе Ви1е8 1ог
1ке Е-Мо6е1 о! Скапсе-Соп81гатес1 Рго§гаттт§’, Мападетеп1
Зег., № 17 (1971).
[123]	Е1-А§1ху М., ‘Рго§гаттш§ нпбег Ппсег1ат1у дукк В18сге1е
В181пЬи1юп ЕипсНоп’, ОрегаЫоп Кезеагск Сеп1ег, РтиегзИу о/
СаИ/огта, Вегке1еу Кезеагск Керог1, ОКС-64-13, (1964).

[124]	Е1-А§1ху М., ‘Вупаппс 1пуеп1огу’ Мобек оп 81оска8Нс
Ыпеаг Рго§гаттш§’, 8ЮМАК Убогкзкор оп 81осказЫс Ыпеаг
Ргодгаттгпд, Ргтсе1оп, ВесетЬег, (1965).

[125]	Е1-А§1ху М., ‘Тдуо-81а§е Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у дукк
Вксге1е В181пЬи1юп ЕипсНоп’, ОрегаЫоп Кез., Уо1. 15, № 1
(1967), 55-70.

[126]	ЕИег1оп XV. Р., Ргедиепсу Сигиез апб Согге1аЫоп, \Уа8кт§1оп,
В. С. (1953).

[127]	Екпа^кгаЬу 8. Е., ‘Ап Арргоаск 1о Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег
Ппсег1аш1у’, ОрегаЫоп Кез., Уо1. 7 (1959), 208-216.

[128]	Екпа^кгаЬу 8. Е., Ргодгаттгпд ипбег 11псег1агп1у, Рк.В. Тке818,
СогпеП Вшу. (1958).

[129]	Екпа^кгаЬу 8. Е., ‘АПосаНоп ипбег Ппсег1ат1у дукеп 1ке
Ветапб ка8 СопНпиоиз Вк1пЬи1юп ЕипсНоп’, Мападетеп1
8сг., Уо1. 6, № 3 (1960).

[130]	Еремин И. И., ‘О задачах последовательной оптимизации’,
Мат. методы в пекот. задачах опт. планир., № 3 (1971), 60-
74.

[131]	Ермольев Ю. М., ‘Об одном методе решения задач стохасти-
ческого программирования в смешанных стратегиях’, Кибер-
нетика, № 6 (1969).

[132]	Ермольев Ю. М., ‘Об одной общей задаче стохастического про-
граммирования’, Кибернетика, № 3 (1971), 47-50.

[133]	Ермольев Ю. М., ’О методе обобщенных стохастических гра-
диентов и стохастических квази-фейеровских последователь-
ностях’, Кибернетика, № 2 (1969), 73-83.
[134]	Ермольев Ю. М., Стохастич. квазиград, методы и их при-
менение, Докт. дисс., Институт кибернетики АН УССР, Киев
(1970).

[135]	Ермольев Ю. М., ’О некоторых проблемах стохастического
программирования’, Кибернетика, № 1 (1971). 1-5.

[136]	Ермольев Ю. М., Некрылова 3. В., ‘Метод стохастических гра-
диентов и его применение’, Теор. опт. реш., Институт кибер-
нетики АН УССР, Киев (1967).

[137]	Ермольев Ю. М., Шор Н. 3., ’Метод случайного поиска для
двухэтапной задачи стохастического программирования и его
обобщение’, Кибернетика, № 1 (1968), 90-92.

[138]	Еуегз XV. Н., ‘А Кеду Мобе! 1ог З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§’,
Мападетеп! 8сг., Уо1. 13, № 9 (1967).

[139]	Еуегз XV. Н., ’З^осйазНс Рго§гаттт§’, Ргодгезз Керог1,
ПтуегзИу о! Мтсйщап, № 5 (1965).

[140]	ЕаЬег М. М., 81осказНзскез Ргодгаттгегеп, Рйузтсз-УеНа^,
Ш1г/Ьшд-У/1еп (1970).

[141]	ЕаЫап V., ‘З^осйазНс АрргохттаНоп МеНюсГ, Схеск Ма1к. Р,
Уо1. 10 (85), № 1 (1960), 123-159.

[142]	ЕаЫап V., ‘А Кеду Опе-В1теп8юпа1 З^осйазНс АрргохттаНоп
МеНюб 1ог Етс1т§ а Ьоса! Мтштпт о! а ЕппсНоп’, Тгапз. 3-
3 Ргадие Соп/. 1п/. Ткеогу 81а1. Ресгз. Рипсг. Рапбот Ргосезз,
85-105, (1960).

[143]	ЕаЫап V., ‘З^осЬазНс АрргохттаНоп о! Соп81гатес1 Мттта’,
Тгапз. /~1к Ргадие Соп/ 1п/. Ткеогуг 8т1. Ресгз. Рипс1. Рапбот
Ргосезз, 277-290, (1965).

[144]	ЕаЫап V., ‘Оп Азутр^оНс КогтаЫу т З^осйазНс
АрргохттаНоп’, Мгскгдап 81а1е ЦтиегзИу 81аЫзЫса1 ЬаЬога1огу
РиЬИсаЫопз, (1967).
[145]	Фан Цзи, ’Системы линейных неравенств’, Лин. перав. и
смеж. вопр., Москва (1959), 214-262.

[146]	Р18ЙЬиш Р. С., ‘Апа1у818 о! Вес18юп8 дд^Вй 1нсотр1е1е Кн(ш4с(1^е
о! РгоЬаЫШу’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 13 (1965), 217-237.

[147]	Рег§н8он А. К. анб ВапЫ1§ С. В., ’Тйе АПосаНон о! Атгсгай
1о Вон1е8: ан Ехатр1е о! Ыпеаг Рго§гаттт§ нпбег РпсегЫт
ВетапсГ, Мападетеп! 8сг., Уо1. 3, № 1 (1965), 45-73.

[148]	Ртассо А. V. апб МсСогттс С. Р., ’Тйе ЗернепНа! Ппсоп81гатес1
МтшппзаНоп Тесйшрпе 1ог Ыон-Ынеаг Рго§гаттт§ а Рпта1-
Вна1 МеВюсГ, Мападетеп! 8сг., Уо1. 10, № 2 (1964), 360-366.

[149]	Ртассо А. V., ’СотрнШюна! А1§огййт 1ог Пае ЗернепНа!
Ппсоп81гатес1 МтшппзаНоп Тесйшрпе 1ог Ыон-Ынеаг
Рго§гаттт§’, Мападетеп! 8сг., Уо1. 10, № 4 (1964), 601-
617.

[150]	Ртассо А. V. анб МсСогпнск С. Р., 1УопНпеаг Ргодгатттд:
8едиепНа1 11псоп81гате(1 МгпгтггаНоп Тесктдиез, Меддг Уогк
(1968), Лойн АУПеу.

[151]	Р18Йег В. А., Тке Тгипса1ес1 Могта1 ЕгзНггЪиНоп, ЬонсЬэп (1931),
ВгИ18Й А88ос1а1юн 1ог 1йе АсЫансетен! о! Зстенсе, Ма1йетаНса1
ТаЫе8, Уо1. 1.

[152]	Р18Йег С. 8., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ нпбег ПпсегЫтЫу т ап
Зрасе’, Сеп1ег /ог Кезеагск т Мападетеп1 Зсгепсе [ктиегзИу о/
СаН/огта, Вегке1еу (1962), Тесйшса! Верог!, № 7.

[153]	Р18Йег XV., С1из1еппд апЛ АддгедаНоп 1п Есопотгсз, ВаШтоге
(1969), Лойп8 Норктз Рге88.

[154]	Рог1е1 В., ‘Рго§гатте8 Нпеахгез 81осйа8Нрпе8’. СоИоди. Ма1к.
Есоп., Внбарез! (1963), 99-119.
[155]	Фридлянд А. Я., ‘Методы оптимального годового планирова-
ния добычи угля на уровне комбината с учетом вероятностного
характера исходных данных’, Автореф. дисс., Москва (1971).

[156]	Ггенпб К. I., ’ТЬе 1п1гобис1юп о! Шзк т!о а Рго§гаттт§
Мобе!’, Есопоте1пса, Уо1. 24, № 3 (1956), 253-263.

[157]	Гох К. А., 8еп§нр1а I. К. апб ТкогЬеске Е., Тке Ткеогу о/
(^иапЫМгое Есопотгс РоЫсу т1к АррЫсаНопз 1о Есопотгс
Сгоийк апЛ 81аЪ1Ы%аИоп, Атз1егбат апб СЫса^о (1966), АогШ-
НоПапб РнЬНзЫп^ апб Ьапб МсШПу.

[158]	Гох К. А., 8еп§нр1а I. К. апб ТкогЬеске Е., Тке Ткеогу
о/ (^иапШакже Есопотгс РоЫсу т1к АррЫсаИоп Есопотгс
агоиАк, 81аЫЫга1гоп, апЛ Р1аптпд, Атз1егбат (1972), АогШ-
НоПапб РнЬНзЫп^ Сотрапу, геутзеб 2пб ес1.

[159]	Гготт С. апб ТанЬтап Р. I., РоЫсу 8гти1аНоп ш1к
ап Есопотекггс Мо(1е1, Атз1егбат (1968), АогШ-Но11ап(1
РнЬНзЫп^ Сотрапу.

[160]	Гготоуйх 8., ‘А С1азз о! Опе-Регтоб 1пуеп1огу Мобек’. ОрегаИоп
Кез., Уо1. 13 (1965), 779-799.

[161]	ГготоуНх 8., ‘АопПпеаг Рго§гаттш§ дуЦЬ КапботкаНоп’,
Мападетеп! 8с1., 8ег. А, Уо1. 11 (1965), 831-846.

[162]	СеоЯЕгюп А. М., ‘Оп Пае Ве1еуапсе о! Пае Уес1ог Махттнт
РгоЫет 1о Вескюп-Макт§ Епбег ипсег1ат!у апб Шзк’,
1пзИ1и1е /ог Ма1кетаЫса1 81исЫез т 1ке 8осга1 Зсгепсез, 81ап1огб
Птуегзку СаНГогта (1964), Тесктса! Керог! № 6, Липе.

[163]	СеоЯЕгюп А. М., ‘А РагатеШс Рго§гаттт§ 8о1и1юп 1о Пае
Уес1ог Махттит РгоЫет дуЦЬ АррИсаИопз 1о Вестзюпз ипбег
Ппсег1ат1у’, Рк.В., 81ап1огб Птуегзку, (1965), 152.

[164]	Сегтапзку В., ‘ЬкЯаг иЬег Ле Ьозип§ уоп Ех1гетаи1§аЬеп
гтНек ЙегаНоп’, 2. Апдесо. Ма1к. Меск., Ь 14 (1933).
[165]	СЬеИшск С. бе, ’Ьез ргоЫешез бе бестзюпз зециепНеИез’, Сак.
Сеп1ге Е1иб. Рескегск. ОрегаИоп., Уо1. 2 (1960), 161-179.

[166]	Гладышев Е. Г., ‘О стохастической аппроксимации’, Теор. ве-
роят. и ее примен., том 10, № 2 (1965).

[167]	Спебепко В. V. апб Ко1шо§огоу А. X., ЫтИ ЕгзМЪиИопз /ог
8итз о/ 1пберепбеп1 Рапбот УапаЫез, Веас1т§, Мазз. (1968),
А6618оп-\Уез1еу.

[168]	Горохович В. В., ‘Проблемы векторной оптимизации’, Технич.
кибер., № 6 (1972).

[169]	Набаг I. апб Впззе! XV. В., ‘81осЬазНс Воттапсе апб
ВтуегзтйсаНоп’, 7. Есоп. Ткеог., Уо1. 3 (1971), 288-305.

[170]	НасПеу С., Моп-Ыпеаг апб Рупатгс Ргодгатттд, Веас1т§
Мазз. (1964), А6618оп-\Уе81еу, 484.

[171]	НаИ А., 81аИз1гса1 Ткеогу ш1к Епдгпееппд АррИсаЫопз, Хечу
Уогк (1952), Лойп ХУПеу.

[172]	Нап88тап Е., ОрегаИопз Резеагск гп РгобисНоп апб 1пиеп1огу
Соп1го1, Хечу Уогк (1962), Лойп ХУПеу.

[173]	Ханзен Э. М., Методы оптимальных статистических реше-
ний и задачи оптимального управления, Москва (1968).

[174]	Ханзен Э. М., ‘О стохастических дифференциальных уравне-
ниях для апостериорного распределения вероятностей в зада-
чах адаптивной фильтрации и обнаружения сигналов’, Авто-
матика и телемеханика, № 11 (1971), 86-93.

[175]	Нап8 О. апб Зрасек А., ‘Вапбот Етхеб Рот! АрргохттаНоп Ьу
ВИГегепНаЫе Тгадес^опез’, Тгапз. 2-пб Ргадие Соп/. Гп/. Ткеог.
81а1. Ресгз. Рипс1. Рапбот Ргос., Схесй. Асаб. о! Зстепсез,
(1960).

[176]	Нап8оп М. А., ‘З^осйазНс ХопНпеаг Рго§гаттт§’, б. Аиз1га1.
Ма1к. 8ес., Уо1. 4 (1964), 334-353.
[177]	Напзоп М. А., ‘Еггогз апс! З^осйазНс УагтаНопз т Ыпеаг
Рго§гаттт§’, Аиз1га1. Т 31аИз1., № 2 (1960), 41-46.

[178]	Хасьминский Р. 3., Устойчивость систем дифференциальных
уравнений при случайных возмущениях их параметров. Нау-
ка, Москва (1969).

[179]	Неабу Е. С. апб СапсПег XV., ‘ХопНпеаг апб Шзк Рго§гаттт§:
ап Ехатр1е дуйй З^осйазНс УтеИз’, Ыпеаг Ргодгаттлпд
Ме1кодз, Пае 1одуа 81а1е ЕшуегзИу Ргезз (1958), 554-590.

[180]	НПНег Е. 8., ‘Сйапсе-СопзИатес! Рго§гаттт§ учН1 Хего-Опе ог
Воппбеб СопНппопз Вестзюп УапаЫез’, Мападетеп! Зег., Уо1.
14, № 1 (1967), 34-57.

[181]	Ноф^ез I. Ы апб Ьейтап Е. Ы, ‘Оп Месйапз апб С^иазт-МесИапз’,
7. Ат. 31аНз1. Аззос., Уо1. 62 (1967), 926-931.

[182]	Гофмарк А. С., ‘Задачи стохастического программирования с
вероятностными ограничениями, когда случайны коэффици-
енты матрицы “А” ’, Науч, запис. Ташкент, инет, народ, хоз.,
№ 34 (1970), 77-87.

[183]	Гофмак А. С., ‘О задачах стохастического программирования
со штрафными оценками при случайных коэффициентах мат-
рицы “А” ’, Науч, запис. Ташкент, инет, народ, хоз., № 34
(1970), 68-76.

[184]	Гольфштейн Е. Г., Юдин Д. Б., Новые направления в линейном
программировании, Москва (1966).

[185]	1фп У., Мападетеп! Соа1з апд АссоипИпд /ог Соп1го1,
Атз^егбат (1965), ХогБз-НоПапб РнЬНзЫп^ Сошрапу.

[186]	1епзеп I., ‘Тйе Пзе о! Меап Уа1нез ш З^осйазНс Ыпеаг
Рго§гатшт§’, МВА Ткезгз, Птуегзйу о! РеппзуЫаша (1959).
[187]	1о811е8си М. апс! ТкеосЬэгезси К., ‘Оп З^осйазНс Ыпеаг
Рго§гатшт§’, Сотип. Асад. К.С.К., 12 (1962), 299-302.

[188]	1о811е8си М. апс! ТкеосЬэгезси К., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег
Ппсег1ат1у’, СоИодшит оп Арр1. о/ Ма1к. Есопотгсз,
Вибарез! (1965), 133-139.

[189]	1о811е8си М. апб ТкеосЬэгезси К., ‘ЗЫНзНса! Вестзюпз апб Ыпеаг
Рго§гаттт§’, Сотр1. Репей Асад. Ви1даге. Зег., Уо1. 17 (1964),
223-226.

[190]	1о811е8си М. апб ТкеосЬэгезси К., ‘8иг1а рго^гаттаНоп Нпеапе’,
Сотр1ез Кепбиз НеМотаЛаггез Лез Зеапсез Ле ГАсаЛетге Лез
Зсгепсез, Уо1. 256, № 253 (1963).

[191]	Иоффе А., Юдин Д. Б., ‘О некоторых задачах нелинейного
стохастического программирования’, ДАН СССР, том 186, №
1 (1969), 16-18.

[192]	Иоффе А., Юдин Д. Б., ‘О некоторых задачах нелинейного
стохастического программирования’, Журнал вычислитель-
ной математики и математической физики, том 10, № 1
(1970), 16-18.

[193]	Юдин Д. Б., Юб одном классе задач стохастического програм-
мирования’, ДАН СССР, том 177, № 6 (1967).

[194]	Юдин Д. Б., ‘Новые подходы к стохастическому программи-
рованию’, Эконом, и мат. методы, том 4, № 6 (1968).

[195]	Юдин Д. Б., ‘Двойственность в стохастическом программиро-
вании’, Эконом, и мат. методы, том 5, № 2 (1969), 280-284.

[196]	Юдин Д. Б., ‘Стохастическое квадратичное программирова-
ние’, Известил АН СССР, Технич. кибер., № 3 (1969).

[197]	Юдин Д. Б., ‘Многоэтапные задачи стохастического програм-
мирования’, ДАН СССР, том 210, № 3 (1973).
[198]	Юдин Д. Б., ‘Методы построения решающих правил мно-
гоэтапных задач стохастического программирования’, ДАН
СССР, том 210, № 4 (1973).

[199]	Юдин Д. Б., Цой Э. В., ‘Многоэтапные задачи стохастическо-
го программирования с априорными решающими правилами’,
Эконом, и мат. методы, том 9, № 5 (1973).

[200]	Юдин Д. Б., Цой Э. В., ‘О слабом решении двухэтапных задач
стохастического программирования’, Эконом.-мат. моделир.,
Москва (1973).

[201]	Юдин Д. Б., ‘Двойственность в многоэтапных задачах стоха-
стического программирования’, Известия АН СССР, Технич.
кибер., № 6 (1973).

[202]	Юдин Д. Б., Математические методы управления в условиях
неполной информации, Москва (1974).

[203]	Юдин Д. Б., Задачи и методы стохастического программи-
рования, Москва (1979).

[204]	Юдин Д. Б., ‘Двойственность в многоэтапных задачах стоха-
стического программирования’, Известия АН СССР, Технич.
кибер., № 6 (1973).

[205]	Юдин Д. Б., ‘Стохастическая вариантная модель разработки
плана функционирования производственной фирмы’, Эконом,
и мат. методы, том 10, № 6 (1974).

[206]	Юдин А. Д., ‘Покоординатный спуск в задачах бесконечно-
мерного программирования и его приложения’, Известия АН
СССР, Технич. кибер., № 1 (1974).

[207]	Ка11 Р., ‘ПЬег еше Лпжтпкшц епсШсЬег Магкоу-КеНеп
ш бег Нпеагеп нпб шсЫ-Нпеагеп Рго^гатгшегнп^’, 2.
]Уакг8скетИсккеИз1кеог ип(1 пегих СеЬ., Ь 3, № 2 (1964),
89-109.
[208]	КаП Р., ‘(^на1ИаНуе Аизза^еп зиетш^еп РгоЫешеп с!ег
81осНазНзсНеп Рго^гатттегип^’, 2. ]УакгзскегпИсккеИз1кеопе
ипЛ уегш. СеЫе1е, Ь 6, № 2 (1966), 246-272.

[209]	КаП Р., ‘Ваз здуе1з1ий§е РгоЫет бег з^осйазНзсйеп Нпеагеп
Рго§гатпНегип§’, 2. ]УакгзскегпНсккеИз1кеогге ипЛ кепи.
ОеЫе1е, Ь 8, № 2 (1967), 101-112.

[210]	КаП Р., ‘РгобикНопзорНпНегип^ тИ НП1е бег з^осНазНзсНеп
Рго§гатт1егип§’, 1п(1и81г. ОгдапгзаНоп, Ь 36, № 10 (1967).

[211]	КаП Р., ‘Вег §е§епдуагН§е 81апб бег з^осНазНзсНеп Нпеагеп
Рго§гатпНегип§’, ипЪегпектепз/огзскипд, 81-95, (1968).

[212]	Ка1тап К. Е., ‘Кеду АрргоасН 1о 1Не Ыпеаг ЕП1егт§ апб
РгебтсНоп РгоЫетз’, 7. Вазгс Епдгпееппд Тгапз. А8МЕ. Уо1.
82, № 1 (1960).

[213]	Ка1тап К. Е. апб Вису В. 8., ‘Кеду ВезиПз т Ыпеаг ЕП1егт§
апб РгебтсНоп ТНеогу’, 7. Вазгс Епдгпееппд Тгапз. А8МЕ. Уо1.
83 (1961), 95-108.

[214]	Кар1ап В. 8. апб 8обеп I. V., ‘Оп 1Не ОЬдесНуе ЕипсНоп 1ог
1Не 8ериепНа1 Р-Мобе1 о! СНапсе-СопзЫатеб Рго§гаттт§’,
ОрегаНоп Везеагск, Уо1. 19, № 1 (1971), 105-114.

[215]	Каплинский А. И., Пропой А. И., ‘О стохастическом подходе к
задаче нелинейного пограммирования’, Автомат, и телемех.,
№ 3 (1970), 122-133.

[216]	Каплинский А. И., Позняк А. С., Пропой А. И., ‘Условия оп-
тимальности для некоторых задач стохастического програм-
мирования’, Автомат, и телемех., № 8 (1971), 51-60.

[217]	Каплинский А. И., Позняк А. С., Пропой А. И., ‘О некоторых
методах решения задач стохастического программирования’,
Автомат, и телемех., № 10 (1971), 87-94.
[218]	Кардаш В. А., Пряжинская В. Г., ‘О стохастике задач плани-
рования орошаемого земледелия’, Опт. планир., Новосибирск
(1966), 51-56.

[219]	Кардаш В. А., Пряжинская В. Г., ‘Планирование действующих
оросительных систем’, Опт. планир., Новосибирск (1966), 57-
80.

[220]	Каггетан Н., ‘А З^осйазНс Мобе! 1ог Рго§гаттт§ Пае 8прр1у о!
а 81га1ещс Ма1епа1’, т В. Ь. Сгауез апб Р. У/оИе (еск), Кесеп1
А&иапсез гп Ма1кетаЫса1 Ргодгаттгпд, 223-237, (1963).

[221]	Ка1аока 8., ‘Он З^осйазНс Рго§гаттт§. I: З^осйазНс
Рго§гаттт§ апб Из АррНсаНон 1о РгосЬсНон Нопхоп
РгоЫет’, НгШзиЬазкг }оигпа1 Аг1з Зсгепсе, № 2 (1962), 23-25.

[222]	Ка1аока 8., ‘Он З^осйазНс Рго§гаттт§. II: А РгеПттагу 81нс1у
о! а З^осйазНс Рго§гаттт§ Мобе!’, НгШзиЬазкг }оигпа1 Аг1з
Зсгепсе, № 2 (1962), 36-44.

[223]	Ка1аока 8., ‘Он З^осйазНс Рго§гаттт§. III: А З^осйазНс
Рго§гаттт§ Мобе!’, НгШзиЬазкг }оигпа1 Аг1з Зсгепсе, № 2
(1962), 44-55.

[224]	Ка1аока 8., ‘А З^осйазНс Рго§гаттт§ Мобе!’, Есопоте1ггса,
Уо1. 31 (1963), 181-196.

[225]	Ка1аока 8., ‘Он З^осйазНс Рго§гаттт§. IV: А Ко1е он
а СепегаНхеб З^осйазНс Рго§гаттт§ Мобе!’, НгШзиЪазкг
}оигпа1 Аг1з Зсгепсе, № 3 (1963), 35-40.

[226]	Ке11у 1г. I. Е., ‘Тйе Сн11т§ Р1ане МеНюб 1ог 8оМн§ Сонуех
Рго^гатз’, 7. Зое. 1п(1из1г. Арр1. МаЛ., Уо1. 8, № 4 (1960), 703-
712.

[227]	Кеп С., ‘Он Пае Тдуо-81а§е Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у’,
31исИа Зег. Ма1к. Нипдег., № 5 (1970), 37-40.
[228]	КепбаП М. С. апс! 81наг1 А., Тке АЛиапсеЛ Ткеогу о/ 81аНзНсз,
Уо1. 1, Кечу Уогк (1961), НаГпег РиЬНзЫп^ Сотрапу.

[229]	Кепбпск В. апс! Тау1ог Ь., ‘Китепса! 8о1и1юп о! КопНпеаг
Р1аппт§ Мобек’, Есопотекггса, Уо1. 38 (1970), 453-467.

[230]	Кез1еп М., ‘Ассе!ега1ес! З^осЬазНс АрргохттаНоп’, Апп. Ма1к.
81аИз1., Уо1. 29, № 1 (1958).

[231]	Киссина Л М., Об многошаговой экспериментальной задаче’,
Моделир. эконом, проц., Москва (1971), 325-334.

[232]	КтеГег Е. апб АУоНоауйх I., ‘З^осйазНс ЕзНтаНон о!Пае Махттнт
о! а Ке§ге88юн ЕнпсНоп’, Апп. Ма1к. 81аНз1., Уо1. 23, № 3 (1952),
462-466.

[233]	КттЬаП А. XV. апб Ьеасй Е., ‘Арргох!та1е ЫпеапхаНоп о! Пае
1нсотр1е1е Ве1а-Енпс1юп’, Вготе1пка, Уо1. 46 (1959), 214-218.

[234]	Кт§ XV. К., ‘А З^осйазНс Рег8онне1 А881§нтеп1 Мобе!’,
ОрегаИоп Кез., Уо1. 13, № 1 (1965), 67-81.

[235]	КтгЬу М. I. Ь., ‘СепегаНхеб 1пуег8е8 апс! СЬансе-Соп81гатес1
Рго§гаттт§’, Рк.Е. МоНк/шезк 11ти. ЕгззеН. АЬз1гас1з, Уо1.
26, № 6, 256 (1965).

[236]	КтгЬу М. I. Ь., ‘Тйе Снгген! 81а1е о! СЬансе-Соп81гатес1
Рго§гаттт§’, РгосеесИпдз о/ 1ке Рппсе1оп Зутрозгит
оп Ма1кетаНса1 Ргодгатттд, Ргтсе1он (1970), Ргтсе1он
ПшуегаНу Рге88, 93-111.

[237]	КоЫег В. апс! \Уе18 К., Тго§гаттт§ ннбег Пнсег^ат^у:
ан Ехрептен1а1 Собе 1ог Пае “Сотр1е1е” РгоЫет’, Воетд
Роситеп1 Р1-82-0391, Воет§ ЗстенНйс Везеагсй ЬаЬога1опе8,
8еаШе, \Уа8Ып§1оп (1964).

[238]	Колбин В. В., Сыроежин И. М., ‘Возможности применения де-
ловых игр в экономике на примере игры ”Реформа”’, Прим,
мат. в эконом., вып. 5, Ленинград (1969).
[239]	Колбин В. В., Стохастическое программирование’, Теор. веро-
ятп., мат. стат., теор. кибер., Мсоква (1968), 5-68.

[240]	Колбин В. В., Сыроежин И. М., ‘Анализ деловой игры с при-
менением ЭВМ’, Эконом, и мат. методы, АН СССР, том 5,
вып. 1 (1969).

[241]	Колбин В. В., Танская В. Н., ‘Некоторые задачи стохастиче-
ского линейного программирования и алгоритмы их решения’,
Моделир. эконом, проц., Москва (1971), 391-401.

[242]	Колбин В. В., ‘Исследование абсолютной плановой устойчиво-
сти решения задач стохастического программирования’, Ма-
териалы 2-го Всесоюз. симпоз. ’Проб. системотех. ’ том 2
(1972), 96-102.

[243]	Колбин В. В., ‘О возможности оценки оптимального плана в
экономико-математических моделях со случайными парамет-
рами’, Труды Ленинград, инженер.-эконом, инет. им. П. То-
льятти, вып. 107 (1975).

[244]	Колбин В. В., ‘Исследование условий существования и оп-
тимальности решений в задачах стохастического нелинейно-
го программирования (СИЛИ)’, Труды Ленинград, инженер. -
эконом, инет. им. П. Тольятти, вып. 105 (1975).

[245]	Колбин В. В., Бониц Л. К., ’Геометрия задач стохастическо-
го программирования с нелинейными целевыми функциями’,
Труды объед. ЛенэлектромаиТ, том 4 (1969).

[246]	Колбин В. В., 81оска81гс Ргодгатттд, Б. ВеИе1 РнЫ. Сотр.
(1977).

[247]	Колмагоров А. Н., Основы теории вероятностей, М.-Л., ОН-
ТИ, (1936).
[248]	Колмагоров А. Н., ‘Интегрирование и экстраполирование слу-
чайных последовательностей’, Известия АН СССР, сер. мат.,
том 5, № 1 (1941).

[249]	Когнат I., Ма1кетаЫса1 Р1аптпд о/ 81гис1ига1 Иесгзгопз,
Ат81егбаш (1967), КогНт-НоПапб РнЬНзЬт^ Сотрапу.

[250]	Когпат I. апб Ыр1ак ТЕ., ‘Тдуо-Ьеуе! Р1аппт§’, Есопоте1ггсз,
Уо1. 33 (1965), 141-169.

[251]	КогЫпек К. О. апб 8обеп I., ‘Оп Иге Сйагпез-КпЬу ОрНтаШу
Тйеогет 1ог Иге СопбПюпа! Сйапсе-СопзИатеб Е-Мобе1’, Сак.
Сеп1ге Е1ис1. Реек. Орегак, Уо1. 9, № 2 (1967), 87-98.

[252]	Касулина Т. П., ‘О стохастической аппроксимации для слу-
чайных процессов с непрерывным временем’, Теор. вер. и ее
прим., том 16, № 4 (1971), 688-695.

[253]	Кге11е XV., ‘Ыпеаг Рго§гатшт§ ипбег Ппсег1ат1у’, Соп/ VI
Сопдг. 1п1ета1. 1пзШ. Мапд. 8сг., Рапз (1959).

[254]	Кге11е XV., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у’, Ргос. Мапад.

8сг., VI МееНпд, Ьопбоп, Рег^атоп Рге88, Уо1. 1 (1960), 289-294.

[255]	Кге11е, XV., ‘ОрНта1е ЕпЫсйетбип^ Ьет ПпатсйегкеИ’, 1пс1из1г.
ОгдатзаИоп, Уо1. 30 (1961), 515-526.

[256]	Кийп Н. XV. апб Тискег А. XV., ‘Коп-Ыпеаг Рго§гаттт§’, Ргос.
Зесоп! Вегке1еу 8утр. оп Ма1к., 8Ш. апЛ РгоЬ., Пшу. СаНГогта
Рге88, (1951).

[257]	Кизкпег Н. I., 81осказИс 81аЫШу ап! Соп1го1, Кеду Уогк (1967),
Асабеттс Рге88.

[258]	Кизкпег, Н. I., ‘ЕП1егт§ 1ог Ыпеаг В181пЬи1еб Рагате1ег
8у81ет8’, 81АМ <1оигпа1 о/ Соп1го1, Уо1. 8, № 3 (1970).

[259]	КизЬпег Н. I., ‘Оп Иге З^осЬазНс Махттит Ргтс1р1е: Етхеб Ттте
о! СопЫоР, К1А8 Керог1, (1963).
[260]	Лавриненко Е. П., ‘Применение стохастического программиро-
вания к задаче управления воздушным движением’, Техпич.
кибер., Киев, том 16 (1970), 50-56.

[261]	Лавриненко Е. П., ‘Об одной задаче стохастического програм-
мирования’, Кибер, и вычис. тех., Рес. межведом, сбор., том
8 (1971), рр. 68-71.

[262]	Лебедев В. Н., ‘Вогнуто-выпуклые задачи стохастического
программирования в условиях неопределенности’, Известия
АН СССР, Тех. кибер., № 1 (1969), 9-15.

[263]	Левитин Е. С., Поляк Б. Т., ‘Методы минимизации при нали-
чии ограничений’, Жур. вычис. мат. и мат. физ., том 6, № 5
(1966), 787-823.

[264]	Ьетапе Л. М., ‘Ргеутзюп е! бестзюп еп рго^гаттаПоп Нпеатге
з^осйазПцне’, Ткезе, СгепоЫе (1967).

[265]	Ыеи В. Т., ‘Оп а РгоЫет о! Сопуехку апб кз АррНсаПоп 1о
КопНпеаг З^осйазПс Рго§гаттт§’, 7. Ма1к. Апа1. АррИс., Уо1.
8, № 2 (1964), 177-187.

[266]	Ыеи В. Т., ‘А 81ибу о! 8оте ЫециаНПез 1ог КопНпеаг З^осйазПс
Рго§гаттт§’, ИопЫпеаг Ргодгатттд, I. АЬасИе (ес!.), КогН1-
НоПапб РиЬНзЫп^ Сотрапу, Атз^егбат (1967), 251-258.

[267]	ЫпсПеу Б. XV., 1п1гобисНоп 1о РгоЬаЫШу ап б 81аНзНсз /гот
а Вауезгап Угеиз-роМ, Раг! 2, СатЬпб^е (1965), СатЬпб^е
Птуегзку Ргезз.

[268]	Логинов Н. В., ‘Методы стохастической аппроксимации’, Ав-
томат. и телемех., № 4 (1966), 185-204.

[269]	Ьоп8еН1 А. Т., ‘8уз1ет8 о! Ыпеаг ЕцпаПопз дукй СоеШстепЫ
8пЬдес1 1о Еггогз’, Апп. МаЛ. 81аНз1., № 13 (1942).

[270]	Ляпунов А. А., ‘О волне аддитивных вектор-функциях’, Изве-
стия АН СССР, сер. мат., том 4, № 6 (1940), 465-478.
[271]	Мабапзку А., ‘Воппбз о! Пае ЕхресШюп о! а Сопуех ЕипсНоп
о! а Ми1Нуапа1е Вапбош УапаЫе’, Апп. Ма1к. 81аНз1., Уо1. 30,
№ 3 (1959), 743-746.

[272]	Мабапзку, А., ‘Зоте ВезиИз апб РгоЫетз т З^осказНс Ыпеаг
Рго§гаттт§’, КАИР СогрогаНоп, (1959), 1596.

[273]	Мабапзку, А., ‘ЫериакНез 1ог З^осказНс Ыпеаг Рго§гаттт§
РгоЫетз’, Мападетеп! 8сг., Уо1. 6, № 2 (1960), 197-204.

[274]	Мабапзку А., ‘Пзе о! 1ке “Ехрес1ес1 Уа1ие 8о1и1юп” т Ыпеаг
Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у’, Ас1ез 2 Сопдг. 1п1ета1. Кеск.
Орега1., Атх-еп-Ргоуепсе (1960).

[275]	Мабапзку А., ‘Ме1кобз о! 8о1и1юп о! Ыпеаг Рго^гатз ипбег
Ппсег1ат1у’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 10, № 4 (1962), 463-471.

[276]	Мабапзку А., ‘Виа1 УапаЫез т Тдуо-з1а§е Ыпеаг Рго§гаттт§
ипбег Ппсег1ат1у’, 7. Ма1к. Апа1. АррИс., Уо1. 6, № 1 (1963),
98-108.

[277]	Мабапзку А., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у’, Кесеп1
Аскоапсез гп Ма1к. Ргодгатттд, К. Ь. Сгауез апб Р. У/оНе (ебз.),
МсСгаду-НШ, Уеду Уогк (1963), 103-110.

[278]	Мапбе1Ьго1 В., ‘Тке УапаНоп о! СегЫт 8реси1аНуе Рпсез’, 7.
Визтезз, Уо1. 36 (1963), 394-419.

[279]	Мап^азапап, О. Ы, Аопкпеаг Рго§гаттт§ РгоЫетз дуИк
81осказ11с ОЬдесНуе ЕипсНопз’, Мападетеп1 8сг., Уо1. 10 (1964),
353-359.

[280]	Мап^азапап О. Ь. апб Возеп I. В., ‘ЫериакНез 1ог 81осказ11с
Мопкпеаг Рго§гаттт§ РгоЫетз’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 12, № 1
(1964), 143-154.

[281]	Маппе А. 8., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ апб ЗериепНа! Вестзюпз’,
Мападетеп1 8сг., Уо1. 6, № 3 (1960), 259-267.
[282]	Маппе А. 8., 1пиез1теп1з /ог СарасИу Ехрапзгоп, СашЬпб^е,
Мазз. М1Т Ргезз (1966).

[283]	МагИх I. 8., Етртса1 Вауез Ме1коЛз, Ьопбоп (1970), Ме1киеп.

[284]	Магксжйг Н. М., Рог1/о1го 8е1есИоп: Е$рсгеп1 ЕгуегзфсаЫоп о/
1пуез1теп1, Меду Уогк (1959), Локи \УПеу.

[285]	МеггПе XV. С., ‘АНегпаНуе Рго§гаттт§ Мобек 1пуо1ут§
Ппсег1ат1у’, 7. Гагт Есоп., Уо1. 47, № 8 (1965).

[286]	Мткос С., ‘Ппе!е ргескап т 1е§а1ига си арксагеа рго^гатаги
кпеаге’, Кеогз1а Ле 81аЫзЫса, Уо1. 12 (1969), 13-18.

[287]	М1кос С. апб ^ас1е^с1е Пеана, Ргодгатагеа та1кетаНса.
Ргодгатагеа 81осказ1гса, Ебкига зВтВйса, ВисигезН (1967), 407.

[288]	М1ке8 В. К., ‘31оска811с Рго§гаттт§ Мобе! 1ог РгобисНоп
8тоо1кт§’, Маз1ег Ткезез, ЬеЫ§к Птуегзку (1965).

[289]	МПбег XV. апб ХУоПпаг ‘31оска811с Рго§гаттт§ Мобек 1ог
8скеби!т§ АтгНй ОрегаНопа’, Мао. Кез. Ьод. (^иаг1., Уо1. 16,
№ 3 (1969).

[290]	МШег В. Ь. апб XVа§пе^ Н. М., ‘Скапсе-Соп81гатес1
Рго§гаттт§ дуПк Лот! РгоЬаЬПИу Соп81гат18’, ОрегаЫоп
Кез., Уо1. 13, № 6 (1965), 930-945.

[291]	МППе. Р.. ‘Хи етт^еп РгоЫет81е11ип§еп Пег 81оска8118скеп
Нпеагеп ОрНттегип^’, ИЫзз. 2. Носкзск. Агск, ипЛ Ваиуо,
Мегтаг, 18 (1971), 73-75.

[292]	Мтуазадуа К., ‘1п1огтаНоп 81гис1иге8 т 81оска8Нс Рго§гаттт§
РгоЫетз’, Мападетеп! 8сг., Уо1. 14, № 5 (1968), 275-291.

[293]	Могеу В. С., ‘8оте 81оска8Нс РгорегНез о! а СотроипскВепедуа!
Ватаге Мобе!’, ОрегаЫопз Кез., Уо1. 14, № 5 (1966), 902-908.

[294]	Могеаи Л. Л., ‘Рапс1юп8 сопуехез еп ПиаЫе’, РасиНе Лез Зсгепсе
Ле Моп1ереШег, Зет. бе Ма1к., (1962).
[295]	Могохап Т., ‘8иг ГарргохттаНоп з1осказНрие’, Сотр1. Кегкк
АсаЛ. Зег., Рапз, зег. А. 264 (1967). 633-635.

[296]	Ми11ег О., ‘Ыпеаге ОрНгтегип^ ип!ег ПпзтскегкеВ’, ОрегаНопз
Резеагек-Уег/акгеп^ Вб. 2. кгз§. уоп В. Непп, Метзепкетт ат
С1аи, (1967), 299-306.

[297]	Мигрку В. В., ‘ВекаЫШу’, Скар1ег 4 т РгосеесИпдз о/ Пгз1
Зутрозгит оп Епдгпееппд АррИсаНопз о/ Капс1от РипсИоп
Ткеогу апс1 РгоЬаЫШу, еб. Ьу Во^бапоЯЕ апб Г. Кохт, Уогк,
(1963)

[298]	Мигрку В. Е. бг., АсИсрНое Ргосеззез гп Есопотгс Зуз1етз, Меду
Уогк (1965), Асабеппс Ргезз.

[299]	МиВу КаВа С., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег ПпсеВатку: а Вазтс
РгореВу о! 1ке ОрВта! 8о1иВоп’, 2. ]УакгзскегпНсккеИз1кеогге
сегш. СеЬ. 10 (1968), 284-288.

[300]	Мазктб В., Ресгзгопз ипс1ег Кгзк. 81оскко1т (1967), 81оскко1т
8скоо1 о! Есопоттсз.

[301]	Мазктб В. апб \Уктз1оп А. XV., ‘А Мобе1 1ог МиЫ-Репоб
Вестзюп Макш§ ипбег ПпсеВат1у’, Мападетеп1 Зег., Уо1. 8,
№ 1 (1962), 184-200.

[302]	Шзктб В. апб \Уктз1оп А. XV., ‘А УапаНопа! Арргоаск 1о
81осказНс Рго§гаттт§’, Кезеагек Керог^ Сгабиа1е 8скоо1 о!
1пбиз1па1 АбтхтзВаВоп, Сатере 1пзН1и1е о! Тескпо1о§у апб
Соубез Сотппззюп, Уа1е ПтуегзВу, СоппесНси! (1964).

[303]	Уау1ог Т. Н., XVе^18 К. апб XVаппасоВ Т., ‘8оше Ме1кобз 1ог
Еуа1иаНоп 1ке ЕЯЕесВ о! Есопоппс Рокстез Пзт§ 81ти1аНоп
ЕхрегкпепВ’, Кео. 1п1егпа1. 31аЫз1. 1пз1., Уо1. 36 (1968), 184-
200.
[304]	Невельсон Т. Б., ‘О некоторых свойствах непрерывных проце-
дур стохастической аппроксимации’, Теор. вер. и ее прим., том
17 (1972), 310-319.

[305]	Невельсон Т. Б., Хасьминский Р. 3., ‘Непрерывные процедуры
стохастической аппроксимации’, Проб, перед, ипф., том 7, № 2
(1971), 58-69.

[306]	Хепбескег Н. апб уап бе Раппе С., ‘Хо1е оп Пае Азушр^оНс
81апбагб Еггогз о! Ьа1еп1 ВооЫ о! Есопоше1пс ЕцпаНоп
8у81еш8’, Кеи. 1п1егпа1. 81аИз1. 1пз1., Уо1. 34, № 1 (1966), 43-
47.

[307]	ХоеБзег С. Е., Е1етеп1з о/ Попра/гитекггс 3±аИзНсз^ Хеду Уогк
(1967), Лойи АУНеу.

[308]	О1е8оп С. К. апб 8еп§пр1а I. К., ‘А Ыпеапхеб МеНюб о!
Сеоше1пс Рго§гаттт§’, Мгтеодгаркед рарег, апНюгз, (1972).

[309]	Озакт 8. апб Мте Н., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ А1§опН1Ш8 1ог 8ет1-
Магкоутеп Вестзюп Ргосеззез’, 7. Ма1к. Апа1. Аррк, Уо1. 22
(1968), 356-381.

[310]	Раппе С. уап бе, ‘ОрНта! 81га1е§у Вестзюпз 1ог Вупаттс Ыпеаг
Вестзюп Кп1е8 т ЕеесПэаск Еогт’, Есопоте1пса, Уо1. 33 (1965),
307-320.

[311]	Раппе С. уап бе апб Рорр XV., ‘Мтнппт-Соз! СаШе Еееб
ппбег РгоЬаЫНзНс Рго1ет Соп81гатЫ’, Мападетеп1 8сг., Уо1. 9
(1963), 405-430.

[312]	Рапкй 8. С., ‘Ецшуа1еп1 З^осйазНс Ыпеаг Рго^гатз’, 81АМ Е
Аррк Ма1к., Уо1. 18, № 1 (1970), 1-5.

[313]	Разспа! Ь. В. апб Веп-кгае! А., ‘Соп81гатес1 МахтттхаНоп о!
Ро1упот1а18 Ьу Сеоте1пс Рго§гаттт§’, 7. Орк Ткеог. АррИс.,
Уо1. 5, № 2 (1970), 73-80.
[314]	Равзу V., ‘Монйнеаг Аззт^пшеп! РгоЫетз Тгеа1ес1 Ьу Сеоше1пс
Рго§гаттш§’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 19, № 7 (1971), 1675-1690.

[315]	Раззу V. апб АУйбе, В. I., ‘Сепегайзеб Ро1упопйа1 ОрНткаНоп’,
81АМ Л Арр1. Ма1к., Уо1. 15 (1967), 1344-1356.

[316]	Репгозе К., ‘А Сепегайзеб 1пуегзе 1ог Ма1псез’, Ргос. СатЬпдде
РКП. Зое., Уо1. 51, № 3 (1955), 406-413.

[317]	Первозванская Т. Н., ‘Линейное стохастическое программи-
рование’, Труды Ленинград, инженер.-эконом, инет., том 53
(1965), 142-146.

[318]	Ре1егзен Е. К., ‘Репосйс Магкоу Рго§гатпнн§’, СОКЗ Лоигпа1,
(1969), 39-44.

[319]	РЫШрз А. XV., ‘81аЫйзаПоп Ройсу т а С1озеб Есоноту’,
Есопогтс Л, Уо1. 69 (1954), 290-323.

[320]	РП1а1 К. С. апб Ватасйапбгап, К. V., ‘Он 1йе В1з1пЬи1юн о!
1йе ВаПо о! 1йе Мй ОЬзегуаНон т ан Огбегеб 8атр1е 1гот а
Могта! РорнЫюн 1о ан Ыберепбеп! ЕзНта1е о! 1йе 81анбаг6
ВеутаПоп’, Апп. Ма1к. 81а11з1., Уо1. 25 (1954), 565-572.

[321]	Пирогов С. А., ‘Вероятности сложных событий и линейное пр-
граммирование’, Теор. вер. и ее прим., том 13 (1968), 344-348.

[322]	Поляк Б. Т., ‘Минимизация негладких функционалов’, Жур.
вычислит, мат. и мат. физ., том 9, № 3 (1969), 509-521.

[323]	Рорр XV., ‘81ти1а1юпз1есйшк Ьет Ьа§егр1апнп§ тй
З^осйазПзсйег АасЫгаце’. ип1егпектепз-/огзскипд, Вб 7,
№ 1 (1963), 65-74.

[324]	Ргекора А., ‘Он 1йе РгоЬаЫЫу ВтзНйэнПоп о! 1йе ОрПтнт о!
а ВансЬэт Ыпеаг Рго^гат’, 81АМ Л Соп1го1, Уо1. 4 (1966), 211-
222.
[325]	Ргекора А., Он РгоЬаЫНзНс СопзЫатеб Рго§гаттт§’, т
Ргосеес1гпдз о/ 1ке Рггпсе1оп Зутрозгит оп Ма1кетаИса1
Ргодгаттгпд, Ргтсе1оп (1970), Ргтсе1оп ПтуегзВу Ргезз, 113-
138.

[326]	Примак М. Е., вычислительные методы решения некоторых
задач теории аппроксимации’, Авт. реф. дис., Воронеж, ун.
(1966).

[327]	Райк Э., ‘Неравенства в задачах стохастического программи-
рования’, Известия АН СССР, том 19, № 3 (1970), 292-298.

[328]	Райк Э., ‘Сравнение решений в различных постановках за-
дач стохастического программирования’, Известия АН СССР,
том 19, № 4 (1970), 469-472.

[329]	Райк Э., ‘О функции квантиля в стохастическом нелинейном
программировании’, Известия АН СССР, том 20, № 2 (1971),
227-231.

[330]	Ватке XV. М., ‘ВтззесНоп МеНюбз 1ог ЗоЫНопз ш Сйапсе-
сопзЫатеб Рго§гаттт§ РгоЫетз набег В1зсге1е ВтзЫбэиНопз’,
Мападетеп! Зег., Уо1. 16 (1970), 709-715.

[331]	Вабпег В., ‘Тке Ыпеаг Теат: ап Ехатр1е о! Ыпеаг Рго§гаттт§
набег Ппсег1ат1у’, Ргос. 2 Зутроз. Ыпеаг Ргодгатт, Уо1. 1
(1955), 381-396.

[332]	Вабаег В., ‘Тке АррНсаНоп о! Ыаеаг Рго§гаттта§ 1о Теат
Вес18юа РгоЫетз’, Мападетеп1 Зег., Уо1. 5, № 2 (1959), 143-
150.

[333]	Растригин Л. А., ‘Статистические методы поисковой оптими-
зации’, Теор. и прим. случ. поиска, Рига (1969).
[334]	Вейег 8., ‘Зпгго^аГез Гог ПпсегГат Вестзюп РгоЫетз: Мттта!
ЫГогтаГюп Гог Вестзюп Макт§’, Есопотекггса, Уо1. 25, № 2
(1957), 339-345.

[335]	Везск М., ‘Скапсе-сопзГгатес! Рго§гаттт§ оГ Гке МасЫпе
Ьоас1т§ РгоЫет дуйк ЗГосказНс Ргосеззт§ Тттез’, Мападетеп1
Зег., Уо1. 17, № 1 (1970), 48-65.

[336]	Вйбег К., ‘ВиаШу Гог Мопкпеаг Рго§гаттт§ т а Вапаск Зрасе’,
31АМ, Уо1. 15, № 2 (1967), 294-302.

[337]	ВоЬЬтз Н. апб Рктап Е. I. С., ‘АррксаГюп оГ Гке МеГкоб оГ
МтхГигез Го С^иаскаНс Еогтз т Могта! ВеутаГез’, Апп. Ма1к.
31аИз1., Уо1. 20 (1949), 552-560.

[338]	ВоЬегГз Р. В. апб Веп-1згае1 А., ‘А ЗиЬорНгтзаГюп МеГкоб
Гог 1пГегуа1 Ыпеаг Рго§гаттт§: а МеГкоб Гог Ыпеаг
Рго§гаттт§’, Ыпеаг А1деЬга Арр!., Уо1. 3, № 3 (1970), 383-405.

[339]	ВоЬЫпз Н. апб Мопго 8., ‘А ЗГосказНс АрргохттаГюп МеГкосГ,
Апп. МаЛ. 31аИз1., Уо1. 22, № 3 (1951), 400-407.

[340]	Роговский Е. А., ‘Многоэтапная многопродуктовая стохастиче-
ская модель перспективного планирования’, Исслед. по мат.
экон, и смеж. воп., Москва (1971), 99-119.

[341]	ВоскаГеПаг В. Т., ‘ВиакГу апб ЗГаЬПйу ш ЕхГгетнш РгоЫетз
1пуо1уш§ Сопуех ЕппсГюпз’, Рас. 3. МаОг., Уо1. 21 (1967).

[342]	Рубинштейн Я. С., ‘Сопоставление случайного поиска и сто-
хастической аппроксимации’, Теор. и прм. случ. поиска, Рига
(1969).

[343]	ВозепЫаВ Л. В.. ‘Сопйбепсе Ышйз Гог Гке ВекаЬПку оГ Сошр1ех
ЗузГешз’, ш 31а1гз1гса1 Ткеогу о/ КеИаЫЫу, М. 7е1еп (ей.),
МасЙзоп (1963), Пшуегзйу оГ АУтзсопзт Ргезз.
[344]	Заскап К. 8., ‘ЗШсказНс Рго§гаттт§ РгоЫетз ппбег Шзк ап6
ПпсегЫпйу’, Сок. Сеп1. Е1ис1. Реек. Орет, Уо1. 12, № 4 (1970),
211-232.

[345]	Заспзоп В., ‘А СопНпиоиз КтеГег-АУоИодуНх Ргосебиге 1ог
Напбот Ргосеззез’, Апп. Ма1к. 81а1., Уо1. 35, № 2 (1964), 590-
599.

[346]	Засз Л., ‘АзутрШНс ВтзШЬиНоп о! ЗШсказНс АрргохттаНоп
Ргосебигез’, Апп. Ма1к. 81а1., Уо1. 29, № 2 (1958), 373-405.

[347]	Затиекоп Р. А., ЪИеНте РогИоко 8е1ес1юп Ьу Вупагтс
ЗШсказНс Рго§гаттш§’, Кеи. Есоп. 81айз1., Уо1. 57, № 3 (1969),
239-246.

[348]	Зскеежаз Н., ‘А Сепега! Зскете 1ог ЗШсказНс Рго§гаттт§’,
81а1гзНзске Не/1е, Уо1. 9 (1962).

[349]	ЗсктаИх Л., ‘ЗШсказНс Рго§гаттт§ Пзт§ “ситиЫе”
Ветапб ВтзШЬиНопз’, 81СМАР УАтгкзкор оп 81осказИс
Ыпеаг Ргодгаттгпд, РппсеШп (1965).

[350]	ЗсктаИх Л., ‘М1хт§ В1е1з ипбег Ветапб Ппсег1ат1у’, Рк.Р.
Ткезгз, ПшуегзИу о! СЫса^о, (1965).

[351]	ЗскеЯЕе Н., Тке Апа!узгз о/ Уаггапсе, ^ду Уогк (1959), Локп
АУПеу.

[352]	8еп§ир1а Л. К., Тпкпег. С. апб МШкат С., ‘Оп Зоте
Ткеогетз т ЗШсказНс Ыпеаг Рго§гаттт§ дуИк АррксаНопз’,
Мападетеп1 8сг., Уо1. 10 (1963), 143-159.

[353]	8еп§ир1а Л. К., ‘Оп 1ке 81аЫк1у о! Тгипса1еб ЗокШопз ипбег
ЗШсказНс Ыпеаг Рго§гаттт§’, Есопотекггса, Уо1. 34, № 1
(1966), 77-104.

[354]	8еп§ир1а Л. К., ‘ЕсопотеШс Мобе1з о! Шзк Рго§гаттш§’,
1псИап Есопотгс }оигпа1, Есопотекггс Аппиа1, Уо1. 15 (1968),
423-441.
[355]	8еп§пр1а Л. К., ‘В1з1пЬи1юп РгоЫетз ш 81осказНс ап6 Скапсе-
сопзЫатеб Рго§гаттт§’, т Есопотгс Мо(1е1з, ЕзНтаНоп ап(1
Кгзк Ргодгаттгпд, Меду Уогк (1969), 8ргт§ег-Уег1а§, 391-424.

[356]	8еп§ир1а Л. К., ‘8а1е1у-Р1гз1 Ки1ез ипбег Скапсе-СопзЫатеб
Ыпеаг Рго§гаттт§’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 17 (1969), 112-132.

[357]	8еп§ир1а Л. К., ‘ОрНта! 81аЫ1ка1юп Роксу дукк а С^иаскаНс
Сгкепоп РипсНоп’, Кеъ. Есоп. 31ис1., Уо1. 37 (1970), 127-145.

[358]	8еп§ир1а Л. К., ‘А СепегакхаНоп о! 8оте В1з1пЬи1юп АзресЫ
о! Скапсе-СопзЫатеб Ыпеаг Рго§гаттт§’, 1п1егпаНопа1
Есопотгс Кеогеш, Уо1. 11, № 2 (1970), 287-304.

[359]	8еп§ир1а Л. К., ‘Оп 1ке АсНуе Арргоаск о! а 81осказНс Ыпеаг
Рго§гаттт§’, Ме1ггса, Уо1. 15 (1970), 59-70.

[360]	8еп§ир1а Л. К., ‘Есопогтсз о! Весотрозкюп апб
ВтутзюпакхаНоп ипбег ТгапзГег Рпст§’, 2. /Нг (Не дезат1е
31аа1зшззепзска/1, Уо1. 127 (1971), 50-71.

[361]	8еп§ир1а Л. К. апб Рох К. А., Есопотгс Апа1узгз апс1 ОрегаНопз
Кезеагск: ОрНтгхаНоп Тескпгдиез гп (^иапШаН/ие Есопотгс
Мо(1е1з, Атз1егбат (1969), Мог1к-Но11апс1 РиЬкзЫп^ Сотрапу.

[362]	8еп§ир1а Л. К. апб Сгиуег С., ‘Ыпеаг КекаЬИку Апа1уз1з
т Рго§гаттт§ дукк Скапсе-СопзЫатЫ’, К'ше^гзк }оигпа1 о/
Есопотгсз, (1969), 221-246.

[363]	8еп§ир1а Л. К. апб РогНПо-СатрЬеП Л. Н., ‘А РгасЫе Арргоаск
1о Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег Шзк’, Мападетеп1 Зег. Ткеог.
Зег., Уо1. 16 (1970), 298-308.

[364]	8еп§ир1а Л. К. апб Тнкпег С., ‘А Кеутеду о! 81осказНс Ыпеаг
Рго§гаттт§’, Кеогеш о/ 1п1етаНопа1 31аНзНса1 1пзШи1е, Уо1.
39 (1971), 197-223.
[365]	8еп§нр1а Л. К., 31осказНс Ргодгатттд: Ме1ко(18 апд
АррИсаИопз, Атз^егбат (1972), АогШ-Но11ап(1 РиЬНзЫп^
Сошрапу.

[366]	Серебровский А. Н., Туниев А. Д., ‘Оценка числа реализаций
случайной величины в зависимости от точности решения сто-
хастической задачи линейного программирования’, Мат. ме-
тоды исслед. и опт. сист., том 5, Киев (1970), 40-47.

[367]	Шахиди А. А., ‘Модели и решения некоторых задач стохасти-
ческого программирования’, АН Тадж. ССР, 2, № 3 (1968).

[368]	Щепакин М. В., ‘Многоэтапные стохастические задачи на мак-
симум’, Мат. методы исслед. сист. и моделир., № 4 (1970),
3-5.

[369]	ЗЬеНу С. М., ‘А 8о1п1юп 1о Пае ТгапзрогШюп РгоЫет дукй
Коп-Ыпеаг СозЫ’, ОрегаИоп Кез., Уо1. 7, № 5 (1959), 571-580.

[370]	81топ Н. А., ‘Вупагтс Рго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у дукй а
С^иасйаНс Сгкепоп ЕипсНоп’, Есопоте1пса, Уо1. 24 (1956), 74-
81.

[371]	81топ Н. А., ‘Ткеопез о! Вес18юп-Макт§ т Есопогтсз апб
Векауюга! Зстепсе’, Ат. Есоп. Кеи., Уо1. 49, № 3 (1959), 253-
283.

[372]	Зтка 8. М., ‘З^осказНс Рго§гаттт§’, Рк.Р. РгззеН. АЬз1г.,
Вегке1еу Ешуегзку, СаНГогта, Уо1. 24, № 3, (1963).

[373]	Зтка 8. М., ‘З^осказНс Рго§гаттт§’, ОрегаНопз Кезеагск
Сеп1ег, ЦтиегзИу о/ СаИ/огта, Вегке1еу (1963), О ВС 63-22,
Аи^изВ

[374]	Зтка 8. М., ‘Рго§гаттт§ дукк 81апбаг6 Еггогз т Пае
Соп81гат18 апб Пае ОЬдесНуе’, Кесеп1 Адиапсез Ма1к. Ргодг.,
Кеду Уогк (1963).
[375]	8юп М., Оп Сепега! Млтшах Тйеогешз’, Расфс Ма1к., 8, № 1
(1958).

[376]	Солдатов В. Е., Юб одной задаче линейного программирова-
ния со случайными ограничениями’, Сибир. мат. жур., том
6, № 3 (1965), 705-710.

[377]	Солдатов В. Е., Юб одной задаче линейного программирова-
ния со случайными данными’, Мат. модели и методы опт.
план., Новосибирск (1966), 54-64.

[378]	Солдатов В. Е., Ю некоторых задачах стохастического про-
граммирования’, Инс. мат. Сиб. отд. АН СССР, 78-89, (1966).

[379]	ЗсгеесШагап V. В. апб У/ет Н. Н., ‘А З^осйазНс Мп1Н-81а§е
МнШ-Ргобнс! 1пуез1. МобеГ, 31АМ Р Арр1. Ма1к., Уо1. 15, № 2
(1967).

[380]	81агг М. К. апб МП1ег В. XV., 1пиеп1огу Соп1го1: Ткеогу апб
РгасНсе, Еп§1едуооб СНЯЕз, И.У. РгепНсе На11, (1962).

[381]	81етс111., Капдот Ргосеззез апб 1ке СгоиЛк о/ Пгтз, Мечу Уогк
(1962), На&ег РиЬНзкт^ Сотрапу.

[382]	81осМаг1 А. XV. I., ‘Ап Ех1з1епсе Тйеогет 1ог ОрНта! З^осйазНс
Рго§гаттт§’, 7. Аиз1га1. Ма1к. Зое., Уо1. 8, № 1 (1968), 114-118.

[383]	81опе В. К., Кгзк, КеЫьгп апб ЕдиШЬггит: А Сепега! Згпд!е-
Реггод Ткеогу о/ Аззе1 Зе!есЫоп апб СарИа!-тагке1 ЕдиШЬпит,
СатЬгЫ^е, Мазз. (1970), М1Т Ргезз.

[384]	Зутопбз С., ‘81осказНс 8скес1и11п§ Ьу Пае Ногкоп МеНюсГ,
Мападетеп1 Зег., Уо1. 8, № 2 (1962), 138-167.

[385]	Зутопбз С., Юе^егппшзНс 8о1иНопз 1ог а С1азз о! Сйапсе-
СопзНатес! Рго§гаттт§ РгоЫетз’, ОрегаЫоп Кез., Уо1. 15, №
3 (1967), 495-512.
[386]	Зушопбз С., ‘81осказКс Рго§гатттп§’, 81СМАР У/огкзкор оп
81осказЫс Ыпеаг Ргодгаттгпд, Ргтсе1оп (1965).

[387]	Зутопбз С., ‘81осказКс 8скеби1т§ Раг! I: 81осказ1тс
Рго§гаттт§ 1ог а 8т§1е Регюб’, Тесктса! Мето., № 22,
ОрегаНопз Кезеагск Сгоир Сазе 1пз1т1и1е о! Тескпо1о§у,
С1еуе1апб, Окто (1964).

[388]	Зутопбз С., ‘81осказ1тс 8скеби1т§ Раг! II: 1ке ЬосаНоп о!
Р1аппт§ Ногкопз’, Тескпгса! Мето., № 26, ОрегаНопз Кезеагск
Сгоир Сазе 1пз1т1и1е о! Тескпо1о§у, С1еуе1апб, Окто (1964).

[389]	Зушопбз С., ‘81осказКс 8скеби1тп§ Раг! III: ОрНттхаНоп
Ргосебигез’, Тескпгса! Мето., № 27, ОрегаНопз Кезеагск Сгоир
Сазе 1пз1ки1е о! Тескпо1о§у, С1еуе1апб, Окто (1965).

[390]	Зутопбз С., ВоиПтех Р., 81етпти1х С. апб СктбатЬагт Т. 8.,
‘81осказ1тс 8скеби1тп§ Раг! IV: 8о1и1топ Ме1кобз 1ог 81осказ1тс
Рго§гатттп§ РгоЫетз’, Тесктса! Мето., № 39, ОрегаНопз
Кезеагск Сгоир Сазе 1пз1т1и1е о! Тескпо1о§у, С1еуе1апб, Окто
(1965).

[391]	Зхдуагс XV., ‘Тке ТгапзрогШюп РгоЫет дут!к 81осказ1тс
ВетапсГ, Мападетеп! 8сг., Уо1. 11, № 1 (1964), 33-50.

[392]	Ткет1 Н., ‘А ТЧГоке оп Сег1атп1у Еритуа1епсе тп Вупаштс
Рго§гатттп§’, Есопотекггса, Уо1. 25 (1957), 346-349.

[393]	Ткет1 Н., Ъоше КеЙесНоп оп 81а1тс Рго§гатттп§ ипбег
Ппсег1аш1у’, \УеНт^зска/Шскез Агскщ Ь 87 (1961), 124-128.

[394]	Ткеобогезси К., ‘Мтптшах 8о1и1топз о! Капбош Сопуех
Рго^гашз’, Кеп(ИсопН, Уо1. ХЬУ! (1969), 689-692.

[395]	Ткотрзоп С., Соорег XV. апб Скагпез А., ’Скагас1егка1юп Ьу
Скапсе-Сопз1гатпеб Рго§гатттп§ тп Кесеп! Абуапсез’, Ма1к.
Ргодг., Хеду Уогк-8ап Егапс18со-Тогоп1о-Ьопс1оп (1963), 113-120.

[396]	Тинн К. А., Тнугу Е. X., ‘Нелинейное прогрммирование со слу-
чайными ограничениями’, Кибернетика, № 1, (1968), 54-62.

[397]	Т1н1нег С., ‘А З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаштт§ дуНЬ АррНсаНопз
1о А§псп11ига1 Есопоппсз’, т Ргосеебтдз о/ Зесопб Зутрозгит
гп Ыпеаг Ргодгатттд, Уо1. 1, \Уа8Ып§1оп В.С. (1965), ХаНопа!
Вигеан о! 81апбагб8, 197-228.

[398]	Тт1пег С., ‘А Хо1е оп З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§’,
Есопоте1ггса, Уо1. 28, № 2 (1960), 490-495.

[399]	Тт1пег С., ’Тйе Пзе о! З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§ т
Р1аптп§’, 1п(Иап Есопот. Кеи., Уо1. 5, № 2 (1960), 159-167.

[400]	Тт1пег С., ‘Сате Тйеогу, Ыпеаг Рго§гаттт§ апб 1прн1-
Он1рн1 Апа1у818’, 2. КаНопа1окоп., Уо1. 17, № 1 (1957), 1-38.

[401]	Тт1пег С., ‘Оп 8оте Тйеогетз о! З^осйазНс Ыпеаг
Рго§гаттт§ дуШ1 АррНсаНопа’, Мападетеп! Зег., Уо1. 10,
№ 1 (1963), 143-159.

[402]	Тт1пег С., МШйат С. апб 8еп§нр1а Л. К., ‘А АУеак
Впа1Иу Тйеогет 1ог З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§’,
и^егпектепз/огзскипд, Уо1. 7, № 1 (1963), 1-8.

[403]	Тт1пег С., 8еп§нр1а Л. К. апб Рао V. У., ‘Ап АррНсаНоп
о! З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§ 1о Веуе1ортеп1 Р1аппт§’,
Ме1гоесопотгса, Уо1. 14, № 1-3 (1962), 25-41.

[404]	Тт1пег С., 8еп§нр1а Л. К. апб Мотзоп В., ‘З^осйазНс Ыпеаг
Рго§гаттт§ дуИй АррНсаНоп 1о Р1аппт§ т 1псНа’, Мгтеодг.,
(1962).

[405]	Тт1пег С. апб 8еп§нр1а Л. К., ‘З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§
апб 118 АррНсаНоп 1о Есопоттс Р1аппш§’, т Оп РоЫНса!
Есопоту апд Есопотекггсз, АУагзаду (1964), РАДШ ЗстепНйс
РпЬйзйегз.

[406]	Тт1пег С., 8еп§ир1а Л. К., Могпзоп В. апб МПИаат С., ‘8опае
Тйеогетз т З^осйазНс Ыпеаг Рго§гаттт§’, Кезеагск Ио1е,
Пшуегзйу о! ЗоиПаегп СаШогша. Ьоз Ап§е1ез, СаШогша (1964).

[407]	Тт1пег С. апб Аагауапап В., ’А МиЫ-сйтепзюпа! З^осказНс
Ргосезз 1ог Пае Ехр1апаНоп о! Есопоттс Веуе1ортеп1’, Мекггса,
Уо1. 11, № 2 (1966), 85-90.

[408]	Тт1пег С., 8а1дуа С. апб ЕагДаак А., ‘Тке АррйсаНоп о!
З^осказНс Рго§гаттт§ 1о Пае ПАВ Епз! Етуе Уеаг Р1ап’,
Нук1оз, Уо1. 20 (1967), 749-758.

[409]	Тогпрутз! Ь., ‘8опае Меду Ргтс1р1ез 1ог 8о1уш§ Ыпеаг
Рго§гапапат§ РгоЫетз’, ВиИеНп деПпзИШ 1п1егпаИопа1 бе
81аИзИдие, Уо1. 36 (1957), 197-227.

[410]	Туниев А. Д., Об одном классе задач стохастического линей-
ного программирования’, Труды симпоз. ’Вопр. тонн, и эф-
фект. выч. алг.\ № 4, Каем (1969).

[411]	Уадба 8., ТперпаННез 1ог З^осйазНс Ыпеаг Рго§гапапаш§’, Ви11.
3. 1п1егпа1. 81аИз1. 1пз1., Уо1. 36, № 3 (1958), 357-363.

[412]	Уадба 8., ‘З^осйазНс Ыпеаг Рго§гапапат§’, С1а. II, т
Ма1кета1гса1 Ргодгатттд^ Абсйзоп-АУезку, Веас1ш§ Мазз.,
Ьопбоп (1961), 206-217.

[413]	Уадба 8., РгоЬаЫИзИс Ргодгатттд^ 1Чеду Уогк (1972), Асабетю
Ргезз.

[414]	Уап бен Во^аагб Р. Л. М., ‘Оп Пае 81аНс Ткеогу о! Сег1ат1у
Ершуа1епсе’, 1п1егпаНопа1 Сеп1ег /ог Мападетеп1 Зсгепсе,
ВоВегбат (1960), ВероВ 6010.
[415]	Уап Моезеке Р., ‘Тгипса1еб Мтштах-Махтшт Арргоаск 1о
Ыпеаг Рго§гаттт§ ипбег Втзк’, Есопоте1ггса, Уо1. 31 (1963).

[416]	Уап Моезеке Р., ‘Вупагтс Шзк Рго§гаттт§ дд^кк Ьеагпт§
АбдизШепГ, 11п1егпектепз /огзскипд, Уо1. 7, № 4 (1964), 145-
150.

[417]	Уап Моезеке Р., ‘81осказНс Ыпеаг Рго§гаттт§’, Уа1е ЦтиегзИу
Есопотгс Еззауз, Уо1. 4, № 2 (1964).

[418]	Уап Моезеке Р. апб Тт1пег С., ‘Вазе ВиаЫу Ткеогет 1ог
81осказНс апб Рагате1пс Ыпеаг Рго§гаттт§’, Рп1егпектипдз
/огзскипд, Уо1. 8, № 2 (1964), 75-79.

[419]	Уап 81уке В., ‘Ма1кетаНса1 Рго§гаттт§ апб ОрНта! Соп1го1’,
РН.Е. Егззег1. АЬз1г., Уо1. 26, № 2 (1965), 1075.

[420]	Уап 81уке В. апб \Уе1з В. Л. В., Тго§гаттт§ ипбег Ппсег1ат1у
апб 81осказ11с ОрНта! СопЫок, 7. 31АМ Соп1го1., Уо1. 4 (1966),
179-193.

[421]	Вересков А. И., Об одной задаче оптимального планирования
в условиях неопределенности’, Экон, и мат. методы, том 4,
В. 5 (1968), 783-791.

[422]	Берковский В. С., ‘Оптимальное перераспределение водных
ресурсов’, Экон, и мат. методы, том 3 (1972), 128-171.

[423]	Уо1а^ В. Р., ‘Рго§гатшт§ ипбег СопбВюпз о! Ппсег1ат1у’,
РгосеесИпдз о/ Пае 2пд Зутрозгит о/ Ыпеаг Ргодгатттд,
ШНопа! Внгеап о! 81апбагбз, \Уазкт§1оп В.С. (1965), Уо1. 1,
187-195.

[424]	АУа^пег Н. М., ‘Оп 1ке В1з1пЬи1юпз о! Зокбюпз т Ыпеаг
Рго§гаттт§ РгоЫетз’, 7. Ат. 31аИз1. Аззос., Уо1. 53, № 288
(1958), 161-163.

[425]	Вазан М. Т., Стохастическая аппроксимация, Москва (1972),
МИР.
[426]	Вайсброд Э. М., Юдин Д. Б., ‘Стохастическая аппроксимация
для многоэкстремальных задач в гильбертовом пространстве’,
ДАН СССР, том 181, № 5 (1968).

[427]	Вайсброд Э. М., Юдин Д. Б., ‘Многоэкстремальная стохасти-
ческая аппроксимация’, Технич. кибер., № 5 (1968).

[428]	\Уа1кпр Б. XV. апб \Уе1з В. I. В., ‘З^осказВс Рго^гатз угкк
Весоагзе’, 81АМ Р Арр1. Ма1к., Уо1. 15, № 5 (1967), 1299-1314.

[429]	\Уа1кпр Б. XV. апб УЛб8 В. I. В., ‘З^осЬазВс Рго^гатз
учВ1 Весопгзе: Зреста! Рогтз’, т Ргосеебтдз о/ 1ке Рппсе1оп
Зутрозгитп оп Ма1кетаИса1 Ргодгатттд, Ргтсе1оп (1970),
Ргтсе1оп Птуегзку Ргезз, 139-161.

[430]	ХУа181г Л. Е., ‘Арргох1та1е В181пЬп1юп о! Ех1гете8 1ог
Моп8атр1е Сазез’, 7. Ат. 81аНз1. Аззос., Уо1. 59 (1964), 429-436.

[431]	XVа11x Е. М., ‘Ап ЕпДпеегт§ Арргоаск: ШегагсЫае ОрНппзаНоп
Сгкепа’, 1ЕЕЕ ТгапзасИопз Аи1отаИс Соп1го1, Уо1. АС-12
(1967), 179-180.

[432]	XVе88е18 Л., ‘З^осказВс Рго§гаттт§’, 81аИзИса ИееНапсИса, Уо1.
21, № 1 (1967), 39-53.

[433]	ХУб8 В. I. В., ‘Рго§гаттт§ набег Ппсег1ат1у: Тке Сотр1е1е
РгоЫет’, ЕеИзскп/1 ]УакгзскетНсккеИз1кеопе иегео. СеЫе1е,
Уо1. 4, № 4 (1966), 316-339.

[434]	ХУб8 В. I. В., ‘Рго§гаттт§ набег Пасег^атаку: Тке ЕцаВака!
Соауех Рго^гат’, 81АМ Р Арр1. Ма1к., Уо1. 14, № 1 (1966), 89-
105.

[435]	XVе18 В. I. В., ‘Рго§гатппа§ набег ПасеВатаку: Тке 8о1акоп ЗеГ,
81АМ Р Арр1. Ма1к., Уо1. 14, № 5 (1966), 1143-1151.
[436]	АУеГз К. I. В. апб АУкх^аП С., ‘А1§огкктз Гог Ргатез апб
Ыпеагку Зрасез оГ Сопев’, }оигпа1 Кезеагск МаИопа! Вигеаи
ЗЪапйаЫз, В 71, № 1 (1967), 1-7.

[437]	АУеГз В. I. В., ‘ЗГосказВс Рго^гатз угкк Весопгзе:
а Вазтс Ткеогет Гог МпШзГа^е РгоЫетз’, 2ег1зскгг/1
]УакгзскегпИсккеИз1кеопе иети). ОеЫе1е, Уо1. 21, № 3 (1972),
201-206.

[438]	АУПкатз А. С., ‘А ЗГосказНс ТгапзрогШюп РгоЫет’, ОрегаИоп
Кез., УЫ. 11, № 5 (1963), 759-770.

[439]	АУПкатз А. С., Оп ЗГосказНс Ыпеаг Рго§гаттт§’, 81АМ 3.
Арр1. Ма1к., УЫ. 13, № 4 (1965), 927-940.

[440]	АУПкатз А. С., ‘АрргохттаГюп РогтЫаз Гог ЗГосказНс Ыпеаг
Рго§гаттт§’, 81АМ Р Арр1. Ма1к., Уо1. 14, № 4 (1966), 668-
677.

[441]	АУПкатз А. С., ‘Копкпеаг АсПуку Апа1уз1з апб ВпаШу’,
т РгосеесИпдз о/ 1ке Рггпсе1оп Зутрозгит оп МаНгетаИса!
Ргодгаттгпд, РгтсеГоп (1970), РгтсеГоп Птуегзку Ргезз, 163-
177.

[442]	АУПзоп В., ‘Оп Рго§гаттт§ ипбег ПпсегГатГу’, ОрегаИоп Кез.,
УЫ. 14, № 4 (1966), 652-657.

[443]	АУЫГе Р., ‘Тке 81тр1ех МеГкоб Гог С^иабгаНс Рго§гаттт§’,
Есопотекггса, Уо1. 27, № 3 (1959), 282-298.

[444]	АУЫГе Р. апб ВапЫ1§ С. В., ‘Ыпеаг Рго§гаттт§ т Магкоу
Скатз’, ОрегаИоп Кез., Уо1. 10, № 5 (1962).

[445]	АУопкат \У. М., ‘ОрНта! ЗГосказНс СопГго!’, т 81осказИс
РгоЫетз гп Соп1го1: А Зутрозгит о/ 1ке Атеггсап Аи1отаИс
Соп1го1 СоипсИ, Уогк (1968), Атепсап ЗостеГу оГ
Мескатса! Ещрпеегз.
[446]	Хаскоуа Л., ‘Оп Мтштах ЗоЫНопз о! 81осказНс Ыпеаг
Рго§гаттт§ РгоЫетз’, Сазоргз рго рез1оуапг та1ет., Уо1. 91,
№ 4 (1966), 423-429.

[447]	Хаскоуа Л., ‘81осказНске кпеагш рго^гатоуат’, Ескопотгске-
та1етаНску оЪгог, Уо1. 3, № 3 (1967), 273-297.

[448]	Хаскоуа Л., ‘А кЫе оп Ве^еггттзНс Ершуа1еп1з 1о
З^осказНс Ыпеаг Рго§гаттт§ РгоЫетз’, 2еИзскп/1
]УакгзскетНсккеИз1кеопе уеты. СеЫе1е, Вб 14 (1969), 264-268.

[449]	7ап§дуП1 XV. I., 1УопИпеаг Ргодгатттд: А Цпфед Арргоаск,
Еп§1едуооб СНЯЕз (1969), РгепНсе НаН.

[450]	Жуленев С. В., ‘Задача со случайными ограничениями и нор-
мальная модель’, Экон, и мат. методы, том 6, № 5 (1970),
757-764.

[451]	Жуленев С. В., ‘Нормальная модель для задач со случайными
ограничениями. Равномерное распределение’, Моделир. экон,
проц., Москва (1971), 403-414.

[452]	7е1еп М. (есЬ), 3±аЫзЫса1 Ткеогу о/ ЕеНаЫШу, Мабтзоп (1963),
ПтуегзИу о! АУтзсопзт Ргезз.

[453]	ХеНтег С., ‘ПЬег Ьозип§зте1кобеп т бег з^осказНзскег Нпеагеп
ОрНгтегпп^зргоЫете’, 1Угзз. 2ейзскгг/1 (1ег Н/О, № 2 (1968),
163-169.

[454]	ХеНтег С., ‘7н ЗепзтЫНШзиЫегзискип^еп т бег з^осказНзскеп
Нпеагеп ОрНгтегип^’, ЪУгзз. 2еИзскгг/1 (1ег Носкзски1е/иг
Окопотге, ВегНп, № 4 (1968), 495-502.

[455]	ХеПтег С., пиЬег РгоЫетз1еНип§еп т бег з^осказНзскеп
Нпеагеп ОрНгтегип^’, Ма1кетаИс ипд УУггйзека#, Вб 6 (1968).

[456]	ЫетЬа, XV. Т., ‘СотриШюпа! А1§оп1ктз 1ог Сопуех 81осказНс
Рго^гатз дуНИ 81тр1е Весоигзе’, ОрегаНоп Кез., Уо1. 11 (1970),
414-431.
[457]	ХтешЬа XV. Т., ’ВнайГу НеЫюпз. СегГатГу ЕрнтуакпЫ апс!
Воипбз Гог Сопуех ЗГосказПс Рго^гатз учГк 81тр1е Весоигзе’,
Сап. Сеп1. Е1ис1. Реек. Орет., Уо1. 13, № 2 (1971), 85-97.

[458]	ХтетЬа XV. Т., ‘ТгапзГогтт§ ЗГосказПс Вупагтс Рго§гаттт§
РгоЫетз тГо Моп-Ыпеаг Рго^гатз’, Мападетеп1 8сг., Уо1. 17,
№ 7 (1971), 450-462.

[459]	ХоиГепбус С., Ме1кос18 о/ГеазгЫе БггесНопз, АтзГегбат (1960),
Екеутег РиЬкзЫп^ Сотрапу.

[460]	Зуховский С. И., Поляк Р. А., Примак М. Е., ‘Численные
методы решения задач выпуклого программирования’, ДАН
СССР, том 163, № 2 (1965).
Дополнительный список литературы

[1]	ЛисНп В. В., ‘МиШ-81а§е р1аптп§ ргоЫетз ипбег Шзк апс!
ПпсеВаийу’, Теск. СуЬегпеНсз, № 6 (1972).

[2]	Колбин В. В., ’Оп а 81оска8Нс Рго§гаттт§ РгоЫет’,
Мападетеп! ап 1п/огтаИоп, У1аскуо81ок, II.8.8.В. Асабету о!
Зстепсез, Уо1. 16 (1976).

[3]	Колбин В. В., ’З^осказВс Рго§гаттт§’, Б. Кей1е1 РиЫ. Сотр.,
(1976).

[4]	Колбин В. В., ’Р1аппт§ апб ЫпсНопа! 8о1п1юп8 81аЫ1ку а!
Пае 1-В1 Сон81гат1 т Пае 81оска8Нс Рго§гаттт§ РгоЫет’,
Мападетеп1 ап 1п/огтаЫоп, У1асЙУО81ок, II.8.8.В. Асабету о!
8с1енсе8, Уо1. 16 (1976).

[5]	Ан6ег8он Е. Л. ’А Веутеду о! ВнаЫу Ткеогу 1ог Ыпеаг
Рго§гаттт§ оуег Торо1о§1са1 Уес1ог Зрасез’, 7. Ма1к. Апа1, апс1
Арр!., (1983), № 2, 280-392.

[6]	Апбег8оп Е. Л., Ьеду18 А. 8. ‘Ап Ех1еп8юп о! 1ке 81тр1ех
А1§оп1кт 1ог Зетьтйпйе Ыпеаг Рго§гаттт§’, Ма1к. Ргод..
(1989), 44А, № 3, 247-269.

[7]	Апбег8оп Е. Л., Рккро! А. ’Ыйпке Рго§гаттт§’, Вегкп,
НеПбе1Ьег§, К. У, (1984).

[8]	Аггоду К. Л., СнгдуНх Ы, Пхадуа Н. ’1пуе811§аНоп8 о! Ыпеаг апб
Копйпеаг рго§гаттт§’, М.: 1Ь, (1962), 334.

[9]	А81С М.В., Коуасеу1с-Уи]с1с V. V. ’Ап 1п1егюг зепп-тйпйе
Рго§гаттш§ Ме1косГ, 7. Ор1. Ткеог. апЛ АррЦ (1988), 59, №
3, 353-367.

[10]	АзЫйеу К.К. ’Ыйпйе-сйттзюпа! Рго§гаттт§ РгоЫет
(АрргохттаНоп, ВпаЫу Сар, ЕтИе Мойек) 271п1. Ж55. Ко11.
Птепаи, (1982), № 5, 23-24.
[11]	Аз1айеу 14. 14. ’Ыйпйе Ьр РгоЫетз дуйк а Виа1йу Сар’, 1388К
Ас. о/8с., (1984), 275, № 5, 1033-1036.

[12]	Аз1айеу 14.14. ’АрргохттаНоп о! Зегтргорег Ыйпйе-сИтепзюпа!
Ьр РгоЫетз. АрргохттаНоп Ме1кобз 1ог Зегтргорег МР
РгоЫетз’, ЗуегсПоузк, (1984), 26-33.

[13]	Аз1айеу 14.14. ’То Ве§п1агка1юп о! зегт-тйпйе-сйтепзюпа! ЬР
РгоЫетз’, 30 1п1.	Ко11. Птепаи, (1985), 3-6.

[14]	Аз1айеу 14.14. ’С^иазйтйе Ыйпйе-сйтепзюпа! ЬР РгоЫетз.
Рагате1пс ОрНткаНоп апб АрргохттаНоп МеНюбз 1ог
1тргорег МР РгоЫетз’, ЗуегсПоузк, (1985), 54-62.

[15]	ВаккоуеЫ Е. В., Тзйгйзку О. Е. ’Оп Пае Ьа§гап§е Меткой т
Уес1ог ОрНткаНоп РгоЫетз’, Сотр. апЛ Арр1. Ма1к. Ктеу,
(1984), № 54, 82-86.

[16]	Вей, Вгасйеу ’С1оЬа1 Сопуег^епсе о! а Зегт-тйпйе ОрНткаНоп
Ме1косГ, Арр1. Ма1к, ап(1 Ор1., (1990), 21, № 1, 69-88.

[17]	Веп-Та1 А., ТеЬоиПе М., Ходуе I. ’Зесопб Огбег ^сеззагу
ОрптаШу СопсИНопз 1ог Зегт-тйпйе Рго§гаттт§ РгоЫетз.
Зегт-тйпйе Рго§гаттт§, Вегйп, НеМе1Ьег§, ^ду Уогк, (1980),
17-30.

[18]	В1апкепзЫр Л.XV., Еайк Л.Е. ’1пйпйе1у Сопз1гатес1 ОрНткаНоп
РгоЫетз’, 7ОЕ4, (1976), 19, 261-281.

[19]	В1а11 Н. Р. ’Сйагас1егкаНоп о! 81гоп§ Втеку о! зегт-тйпйе
ОрНгтзаНоп Ьу Скат о! ВеГегепсез’, Рагате1г. Ор1гггш. апЛ
Арргохгт., 301-318.

[20]	ВоЬйеу 14.А. ’Оп 1йе СгасЙеп! Меткой т Ыйпйе-бетепзюпз!
ОрНткаНоп РгоЫетз’, Аи1ота1. апЗ Те1етеск., (1985), № 12,
34-42.
[21]	ВоЫапзку V. С. ’ЗерагапПку о! Сопев т Ыпеаг Торо1о§1са1
Зрасе. Вупагшсз о! Мопкото-^епеоиз 8уз1етз’, М., (1984), 68-
76.

[22]	ВоШапзку V. С. ’Магриее Ткеогу аз а Меапз о! 8оМп§ Ех1гета1
РгоЫетз’, М.: УМ1 о! 8уз1етз гезеагск, (1985), 6.

[23]	ВоШаЬзку У.С. ’Магриее Ме1кос1 т 8уз1етз Везеагск’, Арр1.
РтоЬ. о} Масгозуз1ет Соп1го1, М., (1986), 36-43.

[24]	ВоШапзку V. С. ’Магриеез т Торо1о§1са1 Уес1ог 8расез’, УИМ
о/ Зуз1етз Кезеагск, (1986), № 19, 4-12.

[25]	Вопует Л. М. ’Впес! Ткеогетз т Зегт-тйпИе Сопуех
Рго§гаттт§’, Ма1к. Ргодгат., (1981), 21, № 3, 301-318.

[26]	Вопует Л.М. ’Зегт-тйпИе Рго§гаттт§ Виа1Иу: коду зреста!
18 И? Зегт-тйпИе Рго§гаттт§ апб АррйсаНопз, Меду Уогк,
(1983), 10-36.

[27]	Вше В. М., АЬга^ат Л. ’РозШрНтаШу ЗепзШуНу Апа1уз1з
ш АЬз1гас1 Зрасез дуИк АррйсаНопз 1о СопНтиоиз-Нте
Рго§гаттт§ РгоЫетз’, ЛЭТА, (1985), 45, № 3, 347-373.

[28]	Вигеу В. В. ’Апа1уз1з апб 8уп1кез18 1ог АбарНуе Соп1го1
8уз1етз т Зегт-тйтНуе 1Чоп1теаг Рго§гаттт§ РгоЫетз’,
Тескп. Мгз1., (1983), № 6, 7-13; (1984), № 1, 15-20.

[29]	Вигеу В.В. ’№ду Зегт-тйтНуе ОрНгтзаНоп РгоЫетз.
81а1етеп1 апб А1§оп1ктз’, Тескп. Мгзк, (1985), 22, № 2,15-20.

[30]	Вигеу В.В. ’Прдуагб Сопуег^епсе 1о а 8о1и1юп 1ог а Птрие
Мопкпеаг Зегт-тйтНуе Рго§гаттт§ РгоЫет’, Тескп. Мгз1,
(1985), 22, № 4,15-18.

[31]	Скагпез А., Соорег XV.XV., Ког1апек К.О. ’ВиаЫу, Нааг
Ргео^гатз апб ГтИе Зериепсе Зрасез’, Ргос. Ма1. АсаТ Зег.,
ПЗА, (1962), 48, № 5, 783-786.
[32]	Скагпез А., Соорег XV. XV., КоВапек К.О. ’Оп ВергезепШюпз о!
Зегт-тйпйе Рго^гашз дуктск кауе по ВааЫу Сарз’, Мападетеп!
Зсгепсе, (1965), 12, 113-121.

[33]	Скагпез А., СпЫк Р. К., КоВапек К. О. ’8ерагаЫу-тйпйе
Рго§гаттт§’, 20К, (1980), А 24, № 1, 33-45.

[34]	Сопп А. К., СоаИ М. I. М. ’Ап Ехас! РепаИу ЕапсНоп 1ог 8егт-
тйпйе Рго§гаттт§’, Ма1к. Ргодгат., (1987), 37, № 1, 19-40.

[35]	Сооре 1.В., XVа18оп С.А. ’А Ргодес1ес1 Ьап^гащрап А1§огйкт
1ог Зепй-т^тйе Рго§гаттт§’, Ма1к. Ргодгат., (1985), 32, № 3,
337-356.

[36]	СагНап К. Р., Ргйскагб А. Л. ’1пйт1е-(йтепзюпа1 Ыпеаг
8уз1етз Ткеогу’, Вегкп, (1978).

[37]	ВапЫ1§ С.В. ’Рго§гаттт§ т а кпеаг 81гас1аге’, Сотр1го11ег,
XVа8к^п§1оп, (1948).

[38]	Вагккоузку В. 8., Ьеуйт Е.8. ’Кесеззагу апб ЗаШстеп! АпаскаНс
ОрНтаШу Сопбйюпз 1ог Зегт-тйпйе МР РгоЫетз’, Ргос.
Мо8С(Н1) та1к. Зое., (1985), № 48, 163-210.

[39]	Вайт В. В. ’Ыйпйе Рго^гатз. Ыпеаг ЫераакНез апб Аззоста^еб
РгоЫетз’, М.: 1Ь, (1959), 263-276.

[40]	Вайт В. Л., Каг1оуйх Ь.А. ’Ап 1пйпйе Ыпеаг Рго1ат дуйк а
ВааЫу Сар’, Мападетеп! Зсгепсе, (1965), 12, 122-134.

[41]	Вайт В.Л., Легоз1ау В.С., Каг1оуйх Ь.А. ’ВааЫу т 8егт-
тйпйе Ыпеаг Рго§гаттт§’, Зетг-т^пИе Ргодгатттд апЛ
АррИсаИопз, Вегкп, НеЫе1Ьег§, Уогк, (1983), 50-62.

[42]	Е1зт§а Л., Мооге Т.С. ’А Сеп1га1 СаВт§ Р1апе А1§огйкт 1ог
1ке Сопуех Рго1гатгтп§ РгоЫет’, Ма1к. Ргодгат., (1975), V.
8, 134-145.
[43]	Епс1е1тапп В. ’МосИЙ2п1е Ьа§гап§ейткНопа1е ппб ВиайШ
Гиг тсЫкопуехе ОрНттегип^з-ргоЫете т аЬз1гак1еп Ваитеп’,
Жзз. 2. ТН Тегрггд, (1983), 7, № 6, 365-374.

[44]	ЕатЬизоутск Ь. Е. ’Тке У/оке А^огйЬт Гог а С1азз о! 1пйпйе
Рго§гаттт§ РгоЫетз’, 1/8811 Ас. о/ 8с., Теск. СуЬегпеЫсз,
П88В Ас. о! 8с., № 3 (1982), 25-35.

[45]	Еайэизоутсй Ь. Е. ’Соогб1па1е1ез8 ВергезегйаЫоп о! 81тр1ех
Меткой КуЬегпеНка’, Ктеу, № 2 (1983), 78-81.

[46]	Еайэизоутсй Ь. Е. ’Тке Виа1 8ттр1ех МеВюб: ап тйпйе-
сЙтепзюпа! сазе. КуЬегпеНка’, Ктеу, № 1 (1984), 81-84.

[47]	Еетз М.С., РЬПроН А.В. ’Ап 1п1егюг Рот! А1§огййт Гог 8еть
тйпйе Ыпеаг Рго§гаттт§’, МаЛ. Ргодгат., (1989), 43А, № 3,
257-276.

[48]	Етасс! А.У., КогЫпек К.О. ’Зепй-тйпйе Рго§гаттт§ апб
АррйсаВопз’, Вегйп, НеЫе1Ьег§, ^ду Уогк: 8ргт§ег, (1983), 322.

[49]	Етассо А., МсКогттс С. ’Копйпеаг Рго§гаттт§’, М.: Мп,
(1972).

[50]	Егапк М., АУойе Р. ’Ап А1§огййт Гог (^пабгаНс Рго§гаттт§’,
ИВ1С1, (1956), 3, № 1-2.

[51]	Сеог^ййаш В.А., ХйпхЫпазйуШ А.8И. ’81аЫ1йу т 1пйпйе-
сйтепзюпа! МР РгоЫетз’, 30. 1п1. Ж55. Ко11. Птепаи, (1985).
Ш. 4, 55-56.

[52]	Сегз1едуЙ2 СИ. ’ВпайШ Ьет тсЫкопуехеп
Уек1огорНт1егип§зргоЫетеп т МаВ1.’, (1983) № 50/1, 75-
81.

[53]	Сегз1едуЙ2 СИ., Ьуатду Е. ’ВпайШ йтг тсЫсопуехе
Уек1огор1нтепт§8 ргоЫете’, Ж55. 2. ТН Птепаи, (1985), 31,
№ 2, 61-81.
[54]	С&егег Н., СЫбаГ Л., У/аскег Ш. апб 2и1е11пег Ж ’С1оЬаИхаНоп
о! ЬосаПу сопуег^епГ А1§огййтз Гог МоЫтеаг ОрНткаНоп
РгоЫетз дуйй СопзГгатЫ’, Зетг-т^пИе Ргодгатттд апЛ
АррИсаИопз, Вегйп, Не!бе!Ьег§, Шду Уогк: Зргт^ег, (1983), 128-
137.

[55]	СИазкоЯЕ К. Виа1йу ’Тйеогу о! Зегш-тйпйе Рго§гаттт§’, 8етг-
гп^пИе Ргодгатттд, Вегйп, Не!бе!Ьег§, Меду Уогк: ЗрГт^ег,
(1979), 1-16.

[56]	СИазйоЯЕ К., СизГаГзоп 8. ’А Ыпеаг ОрНткаНоп апб
АрргохттаГюп’, Вегйп, Не!бе!Ьег§, Кеду Уогк: Зргт^ег, (1983).

[57]	СоЬегпа М. А., Лоте! V. ’СеотеГпс ЕипбатепГак о! Гйе
81тр1ех МеГйоб т Зегш-тйпйе Рго§гаттт§’, ОК. 8рес1гит,
(1988), № 3, 145-152.

[58]	СоЬегпа М. А., Ьорех М. А. ’ВебисНоп апб ВтзсгеГе
АрргохттаГюп т Ыпеаг Зегт-тйпйе Рго§гаттт§
ОрНткаНоп’, (1987), 18, № 5, 643-658.

[59]	СоЬегпа М. А., Ьорех М.А. ’Тйе ОрНта! Уа1ие РипсНоп т 8еть
Ыйпке рго§гаттт§’, 7О7И, (1988), № 3.

[60]	СоЬегпа М. А., РазГог Л. ’Сопбйюпез зийстепГез рага 1а
ехтзГепста бе зо1исюп орНтаеп ип Рго^гате зетппйпйо’, ТгаЬ.
ез1аЫз1. у гттез1, орет., (1983), 34, 3-20, № 1.

[61]	Со1беп В. ’Хиг 81аш1йаГ зерагаЬеЫпйпйег йпеагег ОрНттегип^з
ргоЫете’, Орег. Кез., Вегкп, (1970), 66-82.

[62]	Со1зГет Е. С. ’Виа! Сопуех Рго§гаттт§ РгоЫетз’, Есоп. апЛ
МаЛ. МеИьосК. (1965), 1, № 3.

[63]	Со1зГет Е. С. ’Виа! РгоЫетз о! Сопуех апб Сопуех-ГгасНопа!
Рго§гаттт§ т ЕипсНоп Зрасез’, Ма1к. Рго/. 1пуезЫдаНопз., М..
Шика, (1968), 10-108.
[64]	СпЫк Р. К. ’А СепГга1-спВт§-р1апе А1§опГйт Гог 81Р
РгоЫетз’, Зетг-т^пИе Ргодгатттд, Вегйп, (1979), 66-82.

[65]	СппутЫ Ь. ’Рго§гаттт§ т Ыпеаг Зрасез. 1пуезН§аНопз т
Ыпеаг апб Мопйпеаг Рго§гаттт§’, М.: 1Ь, (1962), 65-115.

[66]	СизГаГзоп 8. А. ’Оп Гйе СотриШюпа! 8о1иНоп оГ а С1азз оГ
Сепегайхеб МотепГ РгоЫетз’, 31АМ 3. Иитег. Апа1., (1970),
7, 343-357.

[67]	СизГаГзоп 8. А., КогГапек К.О. ’1Читепса1 8о1иГюп оГ а С1азз оГ
Зегт-итйпйе РгоЫетз’, (1973), V. 20, 477-504.

[68]	СизГаГзоп 8. А. ’А Сепега! Тйгее-рйазе А1§опГйт Гог ]\оп1теаг
Зегт-тйтГе Рго§гаттт§’, ОрегаЫопа! Кезеагск, АтзГегбат,
(1981), 495-508.

[69]	СизГаГзоп 8.А., КогГапек К.О. ’Зегт-тйтГе Рго§гаттт§ апб
АррйсаГюпз’, МаЛ. Ргодгат., Вегйп, (1983), 132-157.

[70]	СизГаГзоп 8. А. ’1пуезН§аГт§ Зегт-тйтГе Рго^гатз Пзт§
РепаИу РипсГюпз апб Ьа§гап§1ап МеГйобз’, 7. Аиз1га1. Ма1к.
Зое., (1986), В 28, № 2, 158-159.

[71]	Сдутпег Л. ’ВезиИз оГ Рагказ Гуре Митег. РипсГ. Апа1, апб
ОрВт’ (1987), 9, № 5-6, 471- 520.

[72]	НеШсй В., ’Сгатксй, С. А МоГе оп Пае 1тр1етепГаГюп оГ а
МеГкоб Гог (^иабгаНс ЗетппйтГе Рго§гаттт§’ Ма1к. Ргод.,
(1990), 46, № 2, 249-254.

[73]	НеШск В., Лоп^еп Н. Тй. ’Зегт-тйтГе Рго§гаттт§: СопсЫюпз
оГ ОрНтайГу апб АррйсаВопз’, ОрИтггаИоп Тескпгдиез, рагГ 2.
Вегйп, (1978), 1-11.

[74]	НеШсй В. ’Зегт-тйпйе Рго§гаттт§’, Вегйп, (1979), 178.

[75]	НеШсй В., НопзГебе XV. ’Оп С^пасйаНсаПу Сопуег^епГ МеГпоб
Гог Зегт-тйтГе Рго§гаттт§’, ЗетгЛп$п11е Ргодгатттд,
Вегйп, Небе1Ьег§, №ду Уогк, (1979), 97-111
[76]	НеШсЬ К. А. ’Сошрапзоп оГ Зоше Мпшепса! МеГйобз Гог Зетт-
тйпйе Рго§гаттт§’, 8етг-гп$пг1е Ргодгаттгпд, Вегйп, (1979),
112-125.

[77]	НеШсй В., Хепске Н. ’Митепзсйе МеГйобеп бег АрргохттаГюп
ипб зегт-тйпйе Оргйтепт^’, 81и11даг1: ТеиЬпег. (1982).

[78]	НеШск В. ’А Веутеду оГ Митепса! МеГкобз Гог Зегт-тйпйе
ОрНпйзаГюп’, Зетг-гп^пИе Ргодгатттд апЛ АррНсаЫотщ
Вегйп, (1983), 158-178.

[79]	НеШсй В. ’Ап 1тр1етепГаГюп оГ а ВтзсгеНзаГюп МеГйоб Гог
Зепп-тйпйе Рго§гаттт§’, Ма1к. Ргодгат., (1986), 34, 354-361.

[80]	Ште1Ыаи В. ’Аррйеб Мопйпеаг Рго§гаттт§’, М.: Мй, (1975),
534.

[81]	НоЯЕтап К.Н., ЮозГегтей А. А. ’ЗетМпйпйе Ыпеаг
Рго§гаттт§ Ргосебпге апб АррйсаВоп Го АрргохттаГюп
РгоЫетз т ОрНта! СопГго!’, АрргохгтаИоп Ткеогу. Ц Меду
Уогк, Зап Ргапстзсо, ЬопбопЬ Сгоду-НШ, (1976), 379-389.

[82]	НопзГебе XV. ’Ап АрргохттаГюп МеГйоб Гог Зепп-тйпйе
РгоЫетз Зепп-тйпйе Рго§гаттт§’, Вегйп, Не1бе1Ьег§, №ду
Уогк, (1979), 195-216.

[83]	Нпгдутех Ь. ’Тйе МткодузкйРагказ. Ьетта Гог Воппбеб Ыпеаг
ТгапзГогтаГюпз т Вапасй Зрасез’, СоиЛез Соттгзз. Рарегз.
Ма1к., (1952), № 415, 416.

[84]	1Ыеш§Ьа М. А. ’Тйе Вок оГ Гйе Мпйтрйегз т Гйе МпШрйег
МеВюб’ ЛОТА. (1985), 47, № 2, 195-216.

[85]	Взкоутсй I. А. ’Ыйпйе-бттепзюпа! Есопоттс апб МаГйетаНса!
Мобе1з, МаГй. Апа1уз1з оГ Ве§юпа1 РгобпсГюп ЗузГет Мобе1з,
Моуозйэйзк, (1984), 119-131.
[86]	Лайп Л. ’ВпайШ бег Уек1огорНппегип§ шй Ашуепбип^ т бег
уеЙопеПеп АрргохттаНоп’, <?71п1, Ж$5. КоИ., Птепаи, (1982),
№ 5, 7-9.

[87]	’Виа1йу т Уес1ог ОрНткаНо’, МаЛ. Ргодгат., (1983), 25, № 3,
343-353.

[88]	Леакитаг V. ’Копкпеаг АИегпаНуе Ткеогетз апб
ШпбШегепЫтЫе Рго§гаттт§’, 707?, (1984), А28, № 5,
175-187.

[89]	Легозкж К. С. ’ПпНогт Виа1йу т Зепп-тйпйе Сопуех
ОрНткаНоп’, МаЛ. Ргодгат., (1983), 27, № 2, 144-154.

[90]	ЛоЯЕе 1.В., Ттккоткоу В.М. ’Ткеогу о! Ех1гета1 РгоЫетз’, М.:
Шика, (1974), 192.

[91]	Лоп^еп Н.Тк, \Уе11егйп§ XV., Тлутег С. ’Оп ЗиШстеп! СопбШопз
1ог Ьоса! ОрНтаШу т Зегт-тйпйе Рго§гаттт§ ОрНткаНоп’,
(1987), 18, № 2, 165-178.

[92]	КаЫогоутсй Ь. V. ’МаЦзетаНса! МеНюбз о! РгобисНоп
Ог^апкаНоп ап Р1аппт§’, Ь.: ЬСП Ргезз, (1939).

[93]	Кар1ап А., Ттккасйке К. ’АбарНуе 8о1и1юп МеНюбз 1ог
Ш-бейпеб Зепп-тйпйе-сйтапзюпа! Сопуех ОрНткаНоп
РгоЫетз’, П88Е. Ас. о! 8с., (1992), 322, № 3, 460-464.

[94]	Кагпеу В.Р. ’А ВпаШу Тйеогет 1ог Зепй-тйпйе Сопуех
Рго^гатз апб Тйей Ртйе 8пЬ-рго§гатз’, Ма1к. Ргод., (1983),
27, 75-82.

[95]	Кагпеу В. Р. ’С1агк’з Тйеогет 1ог Зегт-тйпйе Сопуех
Рго^гатз’, АЛуапсез 1п Арр1. МаЛ., (1981), 2, 7-12.

[96]	Кагпеу В. Р. ’Впа1йу Сарз т Зепй-тйпйе Ыпеаг Рго§гаттт§
— апб АрргохттаНоп РгоЫет’, МаОг. Ргодгат., (1981), 20. №
2, 129-143.
[97]	Кагпеу В.Г. ’1п а ЗетМпйпке Ргодгат оп1у а СопЫаЫе 8иЬзе1
о! 1:11е Сопз1гат1з 18 ЕззепИаГ, 7. Арргохкт. Ткеогу, (1985), 44,
№ 1, 69-72.

[98]	Кадуазакт Н. ’Ап епуе!оре — йке ейес! о! 1пйт1е1у Мапу
1периай1у Сопз1гат1з оп Зесопск огбег Кесеззагу СопйНопз 1ог
МттткаНоп РгоЫетз’, МаЛ. Ргодгатттд, (1988), 41, № 1, 73-
96.

[99]	Ке11еу Л.Е. ’Тйе Сп11т§ Р1апе Ме1йос! 1ог 8оМп§ Сопуех
Рго^гатз’, Р81АМ, (1960), 8, 4.

[100]	Кепбегоу Р. 8. ’Моз! о! Пае ОрНгтхаНоп РгоЫетз йауе а Птрпе
8ой11юп’, Рагате1г. Орйтгг. апЛ Арргохгт., (1985), 203-216.

[101]	К1ее V. А. ’Ао1е оп Сопуех Сопез апб Сопз1гат1 С^иаййсаНопз
т Ыйпйе-сйтепзюпа! Уес1ог 8расез’, 70714, (1982), V 37, № 2,
277-284.

[102]	Ко1Ып V. V. ’1пуезН§а1юп о! ЫйпИе-сйтепзюпа! Рго§гаттт§
РгоЫетз’, РгоЫетз о/Мескапгсз агм! Соп1го1 Ргосеззез, Ь.: ЬСП
Ргезз. (1984), № 7. 184-189.

[103]	Ко1Ып V. V. ’1пуезН§а1юп о! ЫйпИе-сИтепзюпа! Рго§гаттт§
РгоЫетз’, РгоЫетз о/ 1п/огтаНсз, Пкгаттап Ас. о! 8с., V 1,
Ктеу, (1990), 116-121.

[104]	Когпз1аеб Н. I. ’Аесеззагу СопсНЫопз о! Ш§йег Огбег 1ог 8егт-
тйпйе Рго§гаттт§’, Зетг-т/1пИе Ргодгатттд, Вегйп, (1979),
31-50.

[105]	Ког1апек К. 0., 81гопуаз Н. М. ’Оп Ех1гете Рот1з о! Воппбеб
8е1з о! Сепегайхеб Гтке 8ерпепсе 8расез’, 20К, (1983), А27, №
5. 145-147.

[106]	КгеЫсйтег К.8. ’Рго^гаттез т Ранее! 8расез’, Сапаск <1. Ма1к.,
(1961), 13, № 2, 221-230.
[107]	Кпйп Н.ХУ., Тискег А.XV. ’ЖЫтеаг Рго§гаттт§’, Ргос. ЗесопЗ
Вегк1еу Зутр. Ма1к. 81аИз1, апс1 РгоЬаЫШу, Вегк1еу апс! Ьоз
Ап§е1ез: Пту. СаПГогта Ргезз, (1951), 481-492.

[108]	ЬаЬап М.М. ’Оп Зоте Жтепса! РгорегНез о! Ыйпйе-
сйтепзюпа! 8утр1ех. Жтег. Ме1й. апб Арргохтт.’, Ткеогу
(1984), 7-12.

[109]	Ьеут V. Ь. ’ЕхЫетит Сопбйюпз т Ыйпйе-сИтепзюпа!
Ыпеаг РгоЫетз дуйй Орега1ог СопзЫатЫ’, Ма1к. Ргодгат.
1пуезНдаНоп., М.: Жака, (1986), 159-197.

[ПО]	Ьорех М.А., Уегсйег Е. ’0рНта1йу Сопбйтопз 1ог
МопсййегепНаЫе Сопуех Зегт-тйпйе Рго§гаттт§’, Ма1к.
Ргодгат., (1983), 307-319.

[111]	ЖЬе1т§ V. ’ПЬег ете зсйпй1те1йос1е хпг Ьозпп§ копуехег
риасйаНзсйег зетМпйпйег Ор11т1егип§8ап1§аЬеп’, 30 1п1. Жзз.
Ко11. Птепаи, (1985), № 4, 91-93.

[112]	АпгпЬег^ег С. ’Птсйу т Зегт-тйпйе ОрНтйаНоп’, Рагате1г.
ОрИтгг, апЗ Арргохгт., (1985), 231-247.

[113]	АпгпЬег^ег С. ’СИоЬа! Птсйу т 8епй-тйпйе ОрНтйаНоп’,
Ыитег. Рипс1. апЛ ОрНт., (1985), 8, № 1-2, 173-191.

[114]	Ртакег А.С. ’А Ыпеаг Рго§гаттт§ РгоЫет т Сотрас! Ме1пс
Зрасез’, ОрНт^аНоп, ЖуозхЫгзк, (1985), № 35, (52), 24-27.

[115]	Ро1ак Е., ТЙ8 А. Ь. ’А НесшЫуе С^пасйаНс Сопуег^еп!
А1§огййт 1ог 8епй-тйпйе РгоЫетз’, Зетг-т^пИе Ргодгатттд
апЛ АррНсаНопз, Вегйп, (1983).

[116]	Ро1ак Е., Маупе В. (^., 8Нт1ег В. М. ’СопЫо! 8у81ет Ве81§п ута
Зегт-тйпйе ОрНгтзаНоп: а Веутеду’, Ргос. 1ЕЕЕ, (1984), 72, №
12, 1777-1794.

[117]	Ро1ак Е., ХУагйу V. V. ’А 81п6у о! МттппгаНоп Зерпепсез.’
31АМ 3. Соп1г. апЗ ОрНт., (1984), № 4, 599-609.
[118]	Рпсе С. Л., Сооре I. В. ’Ап Ехас! Репа11у ЕипсНоп А1§огйЬт
1ог Зетьтйпйе Рго^гаттез’, В1Т. (1990), 30, № 4, 723-734.

[119]	Во1ей К. ’А 81аЫе МиШр1е ехсНап^е А1§огкЬт 1ог Ыпеаг 81Р’,
Зетг-т^пШуе Ргодгатттд, Вегйп, (1979), 83-96.

[120]	Ровен Л. ’Тйе СгасНеп! РгодесНоп Меткой 1ог 14оп1теаг
Рго§гаттт§’, 7. 31АМ. (1960), 8, 181-217.

[121]	ВиЬтз^ет С. 8й. ’ВиаШу т Ж1йепаНса1 Рго§гаттт§ апб
8оте 1ззиез о! Сопуех Апа1уз1з’, Ргодгезз гп Ма1к. Зс. (1970),
V 25, № 5, 171-198.

[122]	Зкарпо А. ’Зесопб Огбег ВепуаНуез о! ех1гета1-уа1ие йтсНопз
апб ОрНтаШу СопсЫдопз 1ог Зегт-тйпйе Рго^гатз’, Ма1к.
Орет. Вез., (1985), 10, № 2, 207-219.

[123]	81о1р В. ’Хит уоп Тискег Ьет Нпеагеп ОрНта1ргоЫетеп т
На1Ь§еогбпе1еп Уек1ог аитеп ОрНткаНоп’, (1984), 15, № 4, 531-
544.

[124]	81игт 14. ’Зепп-тйпйе ОрНпйегип^. РасНуег1а§ 1иг Веутзюпз —
ипб 1геи§апсНта§еп ЗсНадуаг- хепЬек’, (1978).

[125]	ТНатеИ XV. ’ПЬег ЬозЬагкекзет^епзскайеп Ното^епег Нпеагег
11п§1е1сНип§еп т На1Ь§еогб- пе!еп Каитеп ОрНткаНоп’, (1976),
7, 281-294.

[126]	ТНатеИ XV. ’Хит ЗаЫ уоп Тискег т На1Ь§еогбпе1еп
УеНоггаитеп’, 1Угзз. 2. ТН Ьеипа-МегзеЬигд, (1980), 22, № 1,
107-114.

[127]	ТНатеИ XV., 81о1р, В. ’Етш^е Ветегкип^еп хит 8а1х уоп
Тискег’, ЪУгзз. 2. ТН Ыепа-МегзеЬигд, (1981), 23, № 2, 294-302.

[128]	ТНатеИ XV. ’1пйш1е-сНтеп8юпа1 ЬР РгоЫетз, ВиаЫу,
АрргохттаНоп, апб 1Неп Ве1а1юп 1о 1Не ТНеогу о! Сатез’, Ь.:
Ргезз, (1966).
[129]	ТйашеИ XV. ’Впа1йу о! Ыйпйе-бтшепзюпа! ЬР РгоЫетз апб
зоте П.о1а1е(1 1ззиез’, КуЬегпеНка, Ктеу, (1969), № 4, 80-87.

[130]	ТтсйаЫсйке К., Ьойзе ТЕ. ’Ете уега11§ететег1е ЗсйтНтеНюбе
1иг копуехе зегт-тйпйе ОрНттегип^запГ^аЬеп’, Жзз. 2. ТН
Каг1-Магх-$1а(11, (1982), 24, № 3, 332-338.

[131]	ТтсйаЫсйке К. ’ПЬег ЗсйптИтеНюбеп 1иг копуехе зегт-тйпйе
Ор111тегип§заи1§аЬеп зегт- пагЬег’, НитЬоШ 11тт., ВегИп.
Зек. Ма1к., (1983), № 50/2, 339-350.

[132]	ТтсйаЫсйке К., МеЬе1т§ V. А ’Си11т§-р1апе МеНюб 1ог
С^иабгаНс Зегт-тйпйе Рго§гаттт§ РгоЫетз’, ОрИтггаИощ
(1988), А 19, № 6, 803-817.

[133]	ТттокЫп 8. С., Зйаркт А. V. ’МиШр1е ЗрестйсаНоп о! Ма1псез
о! Сопбйюпз 1ог ЬР РгоЫетз’, У1ШТ1, (1980).

[134]	ТттокЫп 8.С., 8йаркт А.У. ’Оп 1йе ЬР РгоЫет дуйй.
1паберпа1е1у Вейпеб Ва1а. Есопогтс апб МаЦзетаНса!
МеВюбз’, (1981), V 17, № 5, 955-963.

[135]	Тобогоу М. I. ’Сепепс Ехаз1епсе апб птрпепезз о! 1йе 8о1п1юп
1о Ыпеаг Зепй-тйпйе ОрНгтзаНоп ргоЫетз’, Ргос., ВЫ^апап
Ас. о! 8с., (1985), 38, № 8, 989-991.

[136]	Тобогоу М. I. ’Сепепс Ех1з1епсе о! 1йе 8о1п1юп 1о Ыпеаг 8еть
тйпйе ОрНпйзаНоп РгоЫетз’, Митег. Гипс1. Апа1, апЛ ОрНт.^
8, № 5-6. 541-556.

[137]	Тобогоу М. I. ’Сепепс птрпепезз о! 8абб1е РотЫ т 1йе Ыпеаг
Зегт-тйпйе ОрНтйаНоп’, Ргос. Ви1дапап Ас. о/ 8с., (1986),
39, № 4, 27-29.

[138]	Тгап (^. СИ. ’ВпаЫу т Уес1ог ОрНтйаНоп. Р1. 1. АЬзЫас!
ВпаЫу Зсйете’, КуЬегпеНка, (1984), 20, № 4, 304-313.
[139]	Тгап (^. СИ. ’Виа1йу т Уес1ог ОрНткаНоп. Р1. 2. Уес1ог
С^иазкопсауе Рго§гаттт§’, КуЬетеНка, (1984), 20, № 5, 386-
404.

[140]	Тгап (^. СИ. ’ВиаШу апб ОрНтаШу Сопбкюпз т АЬз1гас1
Сопсауе МахтткаНоп’, КуЬегпеЫка, (1985), 21, № 2, 108-117.

[141]	ТгеНакоу А. А. ’Тке ^сеззагу Кикп-Тискег СопсНЫопз 1ог
ОрНшкаНоп т НПЬег! Зрасе’, Со11ес1ес1 Жогкз о/ МС1/
Сотри1айоп Сеп1ег, (1983), № 39, 190-196.

[142]	Тго1с12ск Р. ’Оп Ьа§гап§е МиЫрохег Ки1ез апб Ткеп
АррксаНопз 1о Мопкпеаг Соп1го1 РгоЫетз т РипсНоп Зрасез’,
ЗетгпагЬег. НитЬоШ 11пги. ВегНп 8ек1, Макк., (1984), № 64,
121-129.

[143]	ккадуа Н. ’Тке Кикп-Тискег Ткеогет о! Сопуех Рго§гаттт§’,
М.: 1Ь, (1962), 57-64.

[144]	Уа1ут I. ’Арргох1та1е зоЫНопз о! Уес1ог ОрНткаНоп РгоЫет’,
Ма1к. Вез., (1985), 27, п 1, 246-250.

[145]	АУаЫоп С.А. ’С1оЬа11у Сопуег^еп! Ме1кобз 1ог Зегт-тйпке
Рго§гаттт§’, МогсМзк Тг^-зкпа/1 /ог 1п/огтаНопзЬекап(1Ипд
(В1Т), (1981), 21. 36-373.

[146]	АУаЫоп С.А. ’Аитегхса! ЕхрептепЫ уШк С1оЬа11у Сопуег^еп!
Ме1кобз 1ог Зепп-тйпке Рго§гаттт§ РгоЫетз’, 8ет1-1п}1пИе
Ргодгатттд агм! АррИсаИопз, (1983), 190-205.

[147]	АУеЬег К. ’ЕпЫскеШип^зргоЫете Ьет Ппзккегкек ипб
текгГаскег 71е1зе1хип§’, Ма1к. 8уз1. Есоп., (1982), № 80,
VIII, 172.

[148]	АУеЬег К. ’ЕпЫскеЫип^зргоЫете Ьет Ппзккегкек ипб
текгГаскег 71е1зе1хип§ Ет АЬза1х тк НШе бег зепп-тйпкеп
йпеагеп’, Уек1огор1тгегипд Котдз1ет: Уег1. Ап1оп Нот,
Мегзеп- кгет, (1982), VIII, 172.

[149]	АУеЬег К. ’Вестзюп Макт§ ипбег Ппсег1ат1у: а Зепп-тйпйе
рго§гаттт§ АрргоасЫ Еиг.’, 7. Орег. Кез., (1985), 19, № 1,
104-113.

[150]	АУоИе РИ. ’А Виа1йу Ткеогет 1ог УопНпеаг Рго§гаттт§’.

[151]	Уегетт 1.1., АзЫйеу Ы.Ы. ’1п1гобис1юп 1о 1ке Ткеогу о! Ыпеаг
апб Сопуех рго§гаттт§’, М.: Шика, (1976), 170.

[152]	Уегетт 1.1., Уа1о1т А. А. ’ВиаЫу 1ог 1тргорег Ыйпйе-
бттепзюпа! РгоЫетз о! Ыпеаг апб Сопуех Рго§гаттт§.
АрргохттаНоп Ме1кобз 1ог ттргорег МР РгоЫетз’, 8уегб1оузк,
(1984), 3-20.

[153]	Уегетт 1.1., Уа1о1т А. А. ’ВпаЫу 1ог 1тргорег МР РгоЫетз’,
8уегб1оузк: Ма1к, апб Меск. 1пз1йи1е, (1985), 50.

[154]	ХаЬотеуа О.А., ТЫтокЫп 8.С., Зкаркт А.У. ’Оп 1ке Зеагск о!
СпагаЫееб ОрНта! ЗоЫНопз 1о Ьаг§е-зса1е 81Р РгоЫетз’, 7.
Сотр. МаЛ, апЛ Ма1к. Ркузгсз, (1985), 25, № 1, 45-52.

[155]	ХоЫепбетк С. ’ЕеазтЫе ВйесНоп Ме1кобз’, М.: 1Ь, (1963).

[156]	Хиккоуйзку 8. I., Ройак К. А., Рптак РТЕ. ’Тке 8о1п1юп
А1§огйкт 1ог Сопуех Рго§гаттт§ РгоЫетз’, Ргос. о/ 1/ЗЗК
Ас. о/Зс., (1963), 153, № 5.

[157]	’Ап1ота1ес1 Мапа^етеп! 8уз1етз 1ог Мптстра! Есопоту’, Ктеу,
ВпЫуеЫк, (1978), 143.

[158]	Апсйопоу А. А., Роп1па§т Ь.8. ’“81гис1ига11у 81аЫе” 8уз1етз’,
РЗЗК Ас. о/Зс. Керог1з, (1937), V. 14, 5, 521-523.

[159]	Впз1епко Ы.Р., Коуа1епко I. Ы. ’Ьес1пгез оп 1йе Ткеогу о!
Сотр1ех 8уз1етз’, Зооге1 КасИо, (1973), 352.

[160]	ВапЫ1§ С. В. ’Ыпеаг Рго§гаттт§ апб Ех1епзюпз’, Рппсе1оп
11туегзИу Ргезз., (1963), 625.
[161]	0111 Г., Мпггеу XV. ’Митепса! Ме^коск 1ог ОрНткаНоп
Сопбйюпз’, М.: Мп, (1977), 290.

[162]	Штте1Ыаи В. ’Аррйеб ]\оп1теаг Рго§гаттт§’, М.: Мп,
(1976), 526.

[163]	Ыаккпепко А. С. ’НеипзНс 8ек-ог§апка1юп зуз^етз т
Тесктрие СуЬегпеНсз’, Ктеу, Текшка (1971), 165.

[164]	ЛисПп В.В., Со1з1ет Е.С. ’Ыпеаг Рго§гаттт§. Ткеогу апб
Гтке Ме1кобз’, М., Ргг-та1дгг, (1963), 524.

[165]	Кагг XV., Ноиу XV. ’С^иапШаНуе Ме1кобз о! Вестзюп Макт§ т
Есопоту апб Мапа^етепГ, М., Мгг, (1966), 127.

[166]	Ыкк1епз1е1п V. Е. ’В1зсге1е Рго§гаттт§ Мобе1з’, М., Майка,
(1971), 240.

[167]	Мтаеу У.М. ’81аЫ1ку о! ОрНта! 8о1и1юпз т Сопуех МР
РгоЫетз. Аи1ота1еб Р1ап1 Мапа^етеп! 8уз1етз’, Ктеу, 1С о/
[ккгатап Ас. о/ 8с., (1977), 73-84.

[168]	Мтаеу V. Ьк, УПтзката V. М., Птазкепко V. А. ’ВекапИйу
о! ОрНта! зоЫНопз т ап1ота1еб Мапа^етеп! 8уз1етз 1ог
Сопз1гис1юп апб Вш1с1т§’, М., СВМТ1 о/ Пае 1188В Мгпргот-
з1гоу, (1977), 90.

[169]	Мтаеу V. № (Е6.) ’81аЫ1Иу о! Есопогтс апб Ма1кетаНса1
Мобе1з о! ОрНткаНоп’, Мозсоду, 81аНзНка, (1980).

[170]	М1кка1еу1ск V. 8. ’СотриШюпа! Ме1кобз 1ог 8е1ес1юп о!
ОрНта! Везт^п ХУэгкз’, Ктеу, Маикоуа Битка, (1977), 132.

[171]	ОгЬэузку 8. А. ’1пабериа1е1у бекпеб Сатез’, Иоигпа! о/
Сотри1аИопа1 МаПгетаИсз апЛ МаПаетаПса! Ркузгсз, (1976),
V. 16, № 6, 1427-1435.

[172]	Ваз1п§т Ь. А., Шра К. К. ’Ткеогу о! АЫотаНс Вапбот 8еагск’,
Ш§а, 2та1пе, (1973), 342.
[173]	Зег^тепко I. V. ’Тке Меткой о! Уес1ог о! Везсеп! ап6 Из
АррНсаНоп 1о Пае 8о1и1юп о! СошЫпа1опа1 ЕхЫета! РгоЫетз’,
Соп1го1 8уз1етз апЛ Маскгпез, (1976), № 3, 27-31.

[174]	Зтеккоу В.М., Пгтзоп У. М. ’ОрНткаНоп Ме1кобз 1ог Пае
КаНопа! Есопогтс Р1ап’, М., Екопотгка, (1976), 127.

[175]	ТаЬак Т., Кио XV. ’Ма1кетаНса1 Рго§гаттт§ апб ОрНта!
Соп1го1’, М., Майка, (1977), 215.

[176]	Ттккопоу А.К., Агзепт А. А. ’МеНюбз о! 8оМп§ Ш-бейпеб
РгоЫетз’, М., Майка, (1977), 192.

[177]	Хабе Ь. ’Ып^шзНс УапаЫез апб 1кеп АррксаНопз 1о
Арргохтта1е Вестзтоп Макт§’, М., (1976), 165.

[178]	КаЫогоукк Ь.У., АкПоу С.Р. ’ЕипсНопа! Апа1уз1з’, М., Майка,
(1977).

[179]	КаЫогоукк Ь.У., АУийкк У.7., Ртзкег А.С. ’ЕипсНопа! Апа1уз1з
т РагНаПу Огбегеб Зрасез’, М.-Ь., Соз1еккш1а1, (1950).

[180]	Ко1Ып V. V. ’Сотрас^ит-соЫтиоиз ЕипсНоп Зрасез’, “СоЫго!
РгоЫетз” ТгапзасНопз’, 81. Ре1егзЬигд ЦтуегзИу Ргезз, (1992),
86-99.

[181]	Ко1Ып V. V. ’ТЬе СепегаНхеб Рагаше1пс Рго§гаттт§ РгоЫет.
“Соп1го1 РгоЫетз” ТгапзасНопз’, 31. Ре1егзЬигд ЦтуегзИу
Ргезз, (1992), 99-108.

[182]	Тт1пег С., ’Оп Зоте ТЬеогетз о! З^осЬазНс Ыпеаг
Рго§гаттт§ дуЦЬ АррНсаНопз’, Мападетеп1 Зег. 10, (1963),
143-159.

[183]	8еп§ир1а Л. К., Тпйпег С., апб МШЬат С., ’Оп Зоте
ТЬеогетз т З^осЬазНс Ыпеаг Рго§гаттт§ дуЦЬ АррНсаНопз’,
Мападетеп! Зег. 10, (1963), 143-159.

[184]	ВоШапзку У.С. ’Магриее Меткой т Торо1о§1са1 Уес1ог Зрасез’,
РЗЗК Ас. о/Зс., (1986), 289, № 5, 1036-1039.
[185]	Ьохапоузку С. V. ’Оп Пае ЕипсНопз о! Ыпеаг 81гис1иге
Е1ешеп1з’, МаЛетаНса! ТгапзасНопз гп Нгдкег Зскоо1з, (1973),
№ 1, 45-54.

[186]	ЬихетЬиг^Ж А.Л., Хаапеп А. С. ’Шезх Зрасез’, VI, Атз1егбат,
(1971).

[187]	Какапо Н., ’Ыпеаг ЬаШсез’, ВеЫоИ, (1966).

[188]	ХУиккк V. 7. ’А ВипсПе т Ыпеаг РагНаПу Огбегеб Зрасез апб Из
АррксаНоп 1о Пае ОрегаНопз Ткегу’, Ма1кетаНса1 ТгапзасНопз,
22 (64), (1948), № 1, 27-78.

[189]	богоеп М. уап ОозЫит, М. уап Ноибепкоуеп, Л. Ь. Нигтк, Е.
XV. Напз, С. Ш111тк, С. Кахеттег ’А таз1ег зиг^тса! зскебикп^
арргоаск 1ог сускс зскеби1т§ т орега!т§ гоот бераг!теп!з’,
(2006), Зрггпдег

[190]	Векеп Л., Ветеи1етеез1ег Е., ’Вш1бт§ сус1т§ таз1ег зиг^егу
зскеби1ез уп!к 1еуе1еб гези11т§ Ьеб оссирапсу’, (2005)

[191]	Втззскор Л., В1аке Л. Т., Вопа1б Л., ’Моип! зтат козрИа! изез
т!е§ег рго§гаттт§ 1о а11оса!е орега!т§ гоот Нте’, (2002), 63-
67

[192]	Вгискег Р., Вгех! А., Мокгт§ В., Аеитапп К., Резск Е.,
’Везоигзе-сопзЫатес! ргодес! зскесЫт^’, Еиг } Орег Кез, 3-41

[193]	Саг1ег М., ’Вта^позтз: гтзтапа^етеп! о! гезоигсез’, Орег Кез
Мападе Зег ТоЛау, (2002), 26-32

[194]	Сегкак V., Сир1а В., Неш§ М., ’ВезегуаНоп р1аптп§ 1ог е1есНуе
зиг^егу ипбег ипсегЫт бетапб 1ог етег^епсу зиг^егу’, Мападе
Зег 42, 321-334

[195]	СИоиЬегтап 8., МтЫЬег^ Н., ’Мапа§т§ 1ке саге о! кеа11к апб
1ке сиге о! бтзеазе Раг! Г, НеаНк Саге Мападе Кеи 26, 56-69
[196]	СоИгаГГ Е. М., ’СпНса! скати’, Тке Иог1к Кгиег Ргезз, (1997)

[197]	Спите! А., СкааЬаие 8., ’ОрегаГт^ ГкеаГге р1апит§’, 1п13 РгоЗ
Есоп 85, 69-81, (2003)

[198]	Наиз Е. XV., ХУиПтк С., уап Ноибепкоуеи М., Казеийг С.,
’ВоЬизГ зпг^егу 1оас1т§’, Еиг 3 Орег Кез, (2006)

[199]	ЛеЬаН А., Наб] АЬэпаие А. В., ЬайеГ Р., ’ОрегаГт^ гоот
зскес!и1т§’, 1п1 3 РгоЗ Есоп 99, 52-62 (2006)

[200]	Ют 8., НогодутГх I., ’8скес1и1т§ козрйа! зегукез: Гке еШсасу о!
е1есГ1уе-зиг§егу риоГаз’, Отеда 30, 335-346, (2002)

[201]	Ьаийп М., Хте X., Во1§ш А., Сптаиб Е., ’А зГосказПс тойе!
Гог орегаГт§ гоот р1апит§ уйГк е1есНуе апб етег^еису зпг^егу
бетаийз’, Соп/егепсе РгосееЗтдз ОКАНЗ, (2005)

[202]	МсМапиз М. Ь., Ьои§ М. С., Соррег А., МаийеП Л., Вегуйск В.
М., Ра^апо М., ЫГуак Е., ’УапаЬШГу т зиг^тса! сазе1оас! апб
ассе88 Го тГеизтуе саге зегукез’, Апез1кезго1оду 98, (2003), 1491-
1496

[203]	Хеитаии К., Хтттегтаии Л., ’Ргосейигез Гог гезопгсе 1еуе1т§
апб иеГ ргезеиГ уа1ие ргоЫетз т ргодесГ зскесГиНи^ дуНЬ §еиега1
Гетрога! апб гезопгсе соизГгатЫ’, Еиг 3 Орег Кез 127, 425-443,
(2000)

[204]	О§и1аГа 8. X., Его1 В., ’А ЫегагсЫса! ти1Г1р1е сгйепа
таВгетаНса! рго§гаттт§ арргоаск Гог 8скес1и1т§ §еиега1
зпг^егу орегаГог8 т 1аг§е козркак’, 7 МеЗ Зуз1 27, 259-270,
(2003)

[205]	Охкагакат I., ’АПосаГюи оГ зпг^епез Го орегаГт§ гоош8 Ьу §оа1
рго§гаттт§’, 7 МеЗ Зуз1 2^, 339-378, (2000)

[206]	Ртес1о М., ’Р1апит§ апб 8скес1и1т§ т таииГасГигт^ апб
зегуюез’, Зрппдег Зепез т ОрегаНопз Кезеагск апЗ Егпапсга1
Епдгпееппд, (2005)
[207]	Утззегз Л. М. Н., Абап I. Л. В. Г., Веккега Л. А., ’РаНеп! штх
орНттзаНоп т сагбю^когастз зиг^егу р1аппт§: а сазе з!ис1у.’,
1МА 3 Мападе МаЛ 16, 281-304, (2005)

[208]	АУетззтап С., ’Тке епкапсеб роз1орегаНуе саге зуз!ет’, 7 СИп
АпезНг 17, 314-322, (2005)

[209]	Юско1аз С. Най, Маге Е. Розпег, ’Зепзйдуйу апа1уз1з 1ог
зскебикп^ ргоЫетз’, 7 о} 8скебиИпд 7, 49-83, (2004)

[210]	Акида В. К., Ма^папН Т. Ь., 0г1т Л. В., ’КеЙУОгк йодуз: 1кеогу,
а1§огйктз апб аррйсаНопз’, (1993)

[211]	Апбегзоп В. В., Здуеепеу В. Л., АУйкатз Т. А., ’СоЫетрогагу
Мапа^етеп! Зстепсе АУйк ЗргеабзкееЫ’, (1999)

[212]	Вай М. О., Тауегпа В., ’Зепзхуйу апа1уз1з 1ог 1ке та!скт§
ргоЫет апб йз изе т зо1уш§ та1скт§ ргоЫетз дуйк а зт§1е
зтбе сопз!гатГ, Апп Орег Кез 25-56, (1985)

[213]	Вахагаа М. 8., багутз Л. Л., Зкегак Н. В., ’Ыпеаг Рго§гаттт§
апб Ме1дуогк Г1одуз’, (1990)

[214]	Сатт Л. В., ВигдуеЙ Т. Н., ’Зепзйдуйу апа1уз1з т кпеаг
рго§гаттт§ тобе1з дуйк соттоп три!з’, Бсгзгоп 8сг 22, 512-
518, (1991)

[215]	СкакгауагН кк, \Уа§е1тапз А. Р. М., ’Са1си1а1юп о! 81аЫ1йу
ВасШ 1ог СотЬта1опа1 ОрНгтзаНоп РгоЫетз’, Орег Кез ЬеЫ
23, 1-7, (1998)

[216]	Вате1з В. Ь., Коиуекз Р., ’ВоЬиз! зскес1и1т§ 1о кеб^е а§атз!
ргосеззт§ Нте ипсег!ат1у т зт§1е-з1а§е ргобисНоп’, Мападе
8сг 41, 363-376, (1995)

[217]	Гебег^гиеп А., Тхиг М., ’Мттта! Гогесаз! копхопз апб а педу
р1аптп§ ргосебиге 1ог 1ке §епега1 бупагтс 1о1 81хт§ тобек
пегуоизпезз геутзйесГ, Орег Кез 42, 456-468, (1994)
[218]	СгеепЬег§ Н. Л., ’Ап аппоШеб ЫЫю^гарку 1ог роз1-зо1пНоп
апа1у818 т гтхес! т!е§ег рго§гапапат§ апс! сотЬта1опа1
орНткаНоп’, 97-148, (1998)

[219]	Не V., КеПегег Н., Ко1оу V., ’Ыпеаг сотроипб а1§ог1Натз 1ог Нае
рагННопт§ ргоЫет’, Нау Кез ЬодЫ 4Ъ 593-601, (2000)

[220]	Затее Н. Л. XV., ВисЬапап Л. Т., ’НоЬиз^пезз о! зт§1е тасЫпе
8сИ.ес1и11п§ ргоЫетз 1о еагНпезз апб ^агсПпезз репа11у аггот’, Апп
Орег Кез 76, 219-232, (1998)

[221]	КоиуеНз Р., Вате18 К. Ь., УапаЫагактз С., ’НоЬиз! 8сЬес1и1т§
о! а Тдуо-МасЫпе Р1оду 81аор дутНа ПпсеНат Ргосеззт§ Тттез’,
НЕ ТгапзасНопз 32, 421-432, (2000)

[222]	Макабеу 14. V. К., Рекес А., НоЬегЫ Р. 8., ’Оп Нае
паеатп§1и1пез8 о! орНта! 8о1иНоп8 1о зсЬес!и1т§ ргоЫетз’, Орег
Кез 46, 120-134, (1998)

[223]	8ее§ег А., ’ЗиЬ^гасПепЫ о! орНта1-уа1ие 1ипсНоп8 т бупагтс
рго§гаттт§: Т1ае сазе о! сопуех зуз1етз дутНаои! орНта! раНаз’,
МаНь Орег Кез 21, 555-575, (1996)

[224]	8о1зкоу V. 14., ХУа§е!тапз А. Р. М., ХУегпег Р., ’Оп Нае са1си1аНоп
о! Нае з1аЫ1ку гасПиз о! ап орНта! ог ап арргох1та1е зс!ае6и1е’,
Апп Орег Кез 83, 213-252, (1998)

[225]	уап Ноезе! С. Р. М., \Уа§е1тапз А., ’Оп Нае сотр1ех11у о!
роз1орНта1Иу апа1уз1з оР 0/1 рго^гатз’, Нгзсге1е Арр1 МаНь 91,
251-263, (1999)

[226]	ХУепбеП К. Е., ’ЗеЬзхНуку апа1уз1з геухзкеб апб ех!епс1есГ,
Несгзюп 8сг 23, 1127-1142, (1992)
Вячеслав Викторович КОЛБИН

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Издание второе, стереотипное

Зав. редакцией литературы по информационным
технологиям и системам связи О. Е. Гайнутдинова

ЛР № 065466 от 21.10.97

Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10
от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб

Издательство «ЛАНЬ»
1ап@1апЬоок.ги; лумглу.1апЬоок.сош
196105, Санкт-Петербург, пр. Ю. Гагарина, д. 1, лит. А.
Тел./факс: (812) 336-25-09, 412-92-72.

Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71

ГДЕ КУПИТЬ

ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИЙ:

Для того, чтобы заказать необходимые Вам книги, достаточно обратиться
в любую из торговых компаний Издательского Дома «ЛАНЬ»:

по России и зарубежью
«ЛАНЬ-ТРЕЙД». 196105, Санкт-Петербург, пр. Ю. Гагарина, д. 1, лит. А.
тел.: (812) 412-85-78, 412-14-45, 412-85-82; тел./факс: (812) 412-54-93
е-шаП: 1гас1е@1апЬоок.ги; 1С(^: 446-869-967

\у\у\у.1апЬоок.сот
пункт меню «Где купить»
раздел «Прайс-листы, каталоги»

в Москве и в Московской области
«ЛАНЬ-ПРЕСС». 109387, Москва, ул. Летняя, д. 6
тел.: (499) 722-72-30, (495) 647-40-77; е-шаП: 1апргез8@1апЬоок.ги

в Краснодаре и в Краснодарском крае
«ЛАНЬ-ЮГ». 350901, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1/1
тел.: (861) 274-10-35; е-шаП: 1апкгс198@ша11.ги

ДЛЯ РОЗНИЧНЫХ ПОКУПАТЕЛЕЙ:

интернет-магазин

Издательство «Лань»: Ы1р://\у\у\у.1апЬоок.сот

магазин электронных книг

СИоЬа! Е5: 11Пр://§1оЬаИ5.сот/

Подписано в печать 14.03.21.

Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 60x90 1/16.
Печать офсетная. Усл. п. л. 25,00. Тираж 30 экз.

Заказ № 318-21.

Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
в АО «Т8 Издательские Технологии».

109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.