/
Tags: математика здравоохранение медицинские науки
ISBN: 5-9221-0477-2
Text
УДК 519.95 (075.8)
ББК 518
Г 12
Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения
по дискретной математике: Учеб, пособие. — 3-е изд., перераб. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 416 с. - ISBN 5-9221-0477-2.
В пособие включены задачи и упражнения по конечнозначным логикам
(в том числе по алгебре логики), по теории автоматов, теории алгоритмов,
теории графов и сетей, теории кодирования, комбинаторике, минимизации
булевых функций и синтезу схем и формул, реализующих булевы функции.
Имеются задачи, предназначенные для первоначальной проработки и осво-
ения методов дискретной математики, а также задачи для углубленного
изучения предмета.
Второе издание — 1992 г.
Для студентов и преподавателей университетов и технических вузов,
в которых изучается дискретная математика.
Табл. 41. Ил. 129. Библиогр. 37 назв.
Учебное издание
ГАВРИЛОВ Гарий Петрович
САПОЖЕНКО Александр Антонович
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Т.Ю. Вайсберг
Оригинал-макет Е.А. Королевой
Оформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 15.11.04. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,6. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0477-2
ISBN 5-9221-0477-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2005
© Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко, 2004,
2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию ......................... 6
Предисловие ко второму изданию ......................... 7
Глава I
Способы задания и простейшие свойства функций
алгебры логики
§ 1. Функции алгебры логики и способы их задания. Операция супер-
позиции ........................................................ 9
1. Основные понятия и факты, связанные с булевым кубом и
булевыми функциями (9). 2. Элементы булева куба. Первичные
представления о булевых функциях (15). 3. Формулы. Реализация
булевых функций формулами (23). 4. Двойственные функции. Прин-
цип двойственности (31). 5. Фиктивные и существенные перемен-
ные. Отождествление переменных у булевых функций (33).
§ 2. Специальные представления булевых функций ................ 39
1. Разложения булевых функций по переменным. Совершенные
дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (39). 2. Дизъ-
юнктивные и конъюнктивные нормальные формы (47). 3. Полиномы
Жегалкина (52).
Глава II
Замкнутые классы и полнота систем функций
алгебры логики
§ 1. Понятия функциональной замкнутости и полноты ....... 60
§ 2. Класс самодвойственных функций ..................... 64
§ 3. Класс линейных функций ............................. 68
§ 4. Классы функций, сохраняющих константы .............. 72
§ 5. Класс монотонных функций ........................... 75
§ 6. Полнота и замкнутые классы ......................... 81
Глава III
fc-значные логики
§ 1. Представление функций &-значных логик формулами .... 88
1. Элементарные функции А;-значных логик и соотношения между
ними (88). 2. Разложение функций fc-значных логик в первую и
вторую формы (91).
4
§2.
§1-
§2.
§ 1-
§2.
§1-
§2.
§3.
§1-
§2.
Замкнутые классы и полнота в й-значных логиках........ 92
1. Некоторые замкнутые классы й-значных логик. Представление
функций из Pk полиномами по модулю к (92). 2. Исследование
систем функций &-значной логики на полноту (97).
Глава IV
Ограниченно-детерминированные функции
Отображения последовательностей ..................... 102
1. Основные понятия и факты, связанные с заданием детермини-
рованных функций (102). 2. Типовые примеры (105). 3. Выявление
свойства детерминированности функции. Эквивалентность детер-
минированных функций. Остаточные функции (111). 4. Выявление
свойства ограниченной детерминированности функции. Порожден-
ные и автономные функции. Строение классов эквивалентности.
Мощности некоторых множеств отображений (119).
Диаграммы, таблицы, канонические уравнения, схемы.... 126
1. Диаграммы Мура, канонические таблицы и канонические
уравнения (126). 2. Операции над детерминированными функ-
циями (145). 3. Реализация ограниченно-детерминированных
функций схемами (159). 4. Замкнутые классы и полнота в мно-
жествах детерминированных и ограниченно-детерминированных
функций (171).
Глава V
Элементы теории алгоритмов
Машины Тьюринга и операции над ними. Функции, вычислимые
на машинах Тьюринга ................................ 178
1. Простейшие свойства машин Тьюринга (178). 2. Операции над
машинами Тьюринга (186). 3. Вычислимые функции (190).
Классы вычислимых и рекурсивных функций ............ 195
1. Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и минимиза-
ции (195). 2. Некоторые специальные свойства рекурсивных функ-
ций (201).
Глава VI
Графы и сети
Основные понятия теории графов ..................... 203
1. Простейшие свойства графов. Изоморфизм графов (203). 2. Ори-
ентированные графы (210).
Планарность и раскраска графов ..................... 215
Деревья и сети...................................... 219
1. Корневые деревья (219). 2. Двухполюсные сети (223).
Глава VII
Элементы теории кодирования
Алфавитное кодирование. Критерий однозначности кодирования . 230
Коды с минимальной избыточностью .........................235
§ 3. Самокорректирующиеся коды...........................241
1. Расстояние Хэмминга, шары, сферы и циклы в n-мерном ку-
бе (241). 2. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошиб-
ки (244).
§ 4. Линейные коды ..................................... 249
Глава VIII
Элементы комбинаторики
§ 1. Перестановки и сочетания. Свойства биномиальных коэффи-
циентов ................................................ 253
§ 2. Формула включений и исключений .................... 262
§ 3. Возвратные последовательности, производящие функции, рекур-
рентные соотношения......................................265
§ 4. Теория Пойа ....................................... 273
§ 5. Асимптотические оценки и неравенства .............. 277
§ 6. Оценки в теории графов и сетей .....................284
Глава IX
Минимизация булевых функций
§ 1. Структура граней n-мерного куба. Покрытия и тесты для таблиц 290
§ 2. Методы построения сокращенной д. н.ф .............. 296
§ 3. Методы построения тупиковых, минимальных и кратчайших
д.н.ф....................................................301
Глава X
Реализация булевых функций схемами и формулами
§ 1. Схемы из функциональных элементов ................. 306
§ 2. Контактные схемы и формулы..........................312
Ответы, указания, решения .............................. 324
Список литературы....................................... 412
Предметный указатель ................................... 414
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание сборника задач выходит спустя четыре года после
того как ушел из жизни Гарий Петрович Гаврилов. Со времени
предыдущего издания прошло 11 лет. Необходимость переиздания
ощущалась давно, поскольку сборник активно используется во мно-
гих вузах для проведения упражнений по дискретной математике.
Отличия этого издания от предыдущего незначительны. Исправлены
опечатки и некоторые ошибки. Некоторым изменениям подверглись
теоретические введения к главам. Существенных изменений не по-
требовалось, поскольку материал книги по-прежнему соответствует
программе по дискретной математике для университетов России.
Некоторые изменения назревают. Например, в главе, посвященной
теории алгоритмов, следовало бы, видимо, поместить задачи по слож-
ности алгоритмов и сводимости. Это направление бурно развивается
и находит все большие приложения. В комбинаторике и теории графов
все более значительную роль находят вероятностные методы. Алгеб-
раические методы теории кодирования находят все большее приме-
нение в криптографии. Эти тенденции ощущаются и, по-видимому,
скоро найдут свое отражение в вузовских программах и учебниках.
Пользуясь случаем, выражаю признательность всем коллегам,
активно использующим книгу в своей преподавательской и научной
деятельности и высказавшим свои замечания и предложения, а также
студентам и аспирантам, оказавшим помощь в подготовке нового
издания.
А. А. Сапоженко
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Это пособие является существенной переработкой нашего «Сбор-
ника задач по дискретной математике», вышедшего в 1977г.
В предлагаемой вниманию читателя книге значительно расширен
набор задач тренировочного характера (упражнений) и задач среднего
уровня трудности.
Пособие предназначено в основном для студентов младших курсов
университетов и технических вузов, но может быть полезно так-
же студентам старших курсов и аспирантам, применяющим мето-
ды и конструкции дискретной математики и желающим углубить
свои знания в этой области. Преподаватели могут использовать его
при подготовке упражнений для семинарских занятий. Основным
теоретическим руководством по разделам дискретной математики,
представленным в данном сборнике, является книга С. В. Яблонского
«Введение в дискретную математику» (М.: Наука, 1986). Другие биб-
лиографические источники, могущие оказаться полезными при работе
над различными главами, указаны в списке литературы, помещенном
в конце данного пособия.
В сборнике десять глав. Первые пять глав посвящены алгебре ло-
гики, А;-значным логикам, теории автоматов и теории алгоритмов. На
материале этих глав читатель познакомится с такими важными по-
нятиями дискретных функциональных систем, как булева и /с-значная
функции, дискретный преобразователь (автомат), вычислимая и ре-
курсивная функции, функционально полная система, операции супер-
позиции, обратной связи, примитивной рекурсии и минимизации, а
также составит достаточно четкое представление о различных спосо-
бах задания дискретных функций (табличном, с помощью полиномов
и нормальных форм, с помощью диаграмм, канонических уравнений
и схем), об эквивалентных преобразованиях формул, эффективной вы-
числимости и некоторых конкретных формах определения алгоритма
(машинах Тьюринга и рекурсивных функциях).
В главе VI содержатся задачи по теории графов, сетей и схем. Цель
этой главы — познакомить читателя с языком и основополагающими
понятиями и методами теории графов, широко применяемыми при
описании и исследовании структурных свойств объектов в различных
областях науки и техники. Приводятся задачи для закрепления основ-
ных понятий теории графов, на выявление планарности и по раскраске
графов, на подсчет объектов с заданной геометрической структурой
и т.п. Авторы надеются, что преподаватель найдет здесь и такие
задачи, с помощью которых удастся обучить студента математически
строгому доказательству геометрически «очевидных» утверждений.
В главе VII представлены задачи о свойствах алфавитных кодов,
кодов с минимальной избыточностью и самокорректирующихся кодов.
Глава VIII посвящена комбинаторике. При изучении дискретной
математики часто приходится сталкиваться с вопросами существо-
вания, подсчета и оценки числа различных комбинаторных объек-
тов. Поэтому полезно бывает знать основные принципы и методы
комбинаторного анализа. В главу VIII включен не только традици-
онный комбинаторный материал (перестановки, сочетания, свойства
биномиальных коэффициентов, принцип включения-исключения, воз-
вратные последовательности, рекуррентные соотношения, производя-
щие функции), но и современные разделы комбинаторной математики
(теория Пойа, асимптотические оценки и неравенства).
В главе IX затронуты вопросы, относящиеся к минимизации бу-
левых функций. Здесь представлены задачи о свойствах булева куба,
характеризациях дизъюнктивных нормальных форм, алгоритмах на
множествах д.н.ф.
Глава X содержит задачи по реализации булевых функций схема-
ми из функциональных элементов, контактными схемами и форму-
лами.
Для удобства читателя авторы сочли целесообразным поместить
в каждом параграфе необходимые теоретические справки. Многие
задачи снабжены ответами и указаниями. К сожалению, ограничен-
ный объем не позволил включить подготовленные нами подробные
указания и решения задач среднего и высокого уровней трудности.
По происхождению материал, включенный в задачник, весьма
разнообразен. Есть и «фольклорные» задачи, есть задачи, возникшие
при обработке журнальных статей, отдельные задачи заимствованы
из других руководств. Основная часть задач придумана авторами
при подготовке к семинарским занятиям и проведению экзаменов по
дискретной математике, а также при написании данного пособия и
ранее вышедшего сборника задач.
При написании настоящего пособия мы пытались учесть все за-
мечания, которые были высказаны нам коллегами и читателями,
приславшими свои отзывы о содержании «Сборника задач по дискрет-
ной математике». Всем им мы выражаем искреннюю благодарность.
В заключение отметим, что работа над пособием распределялась
следующим образом: главы I, III-V, а также §1,2 главы VI и ответы
ко всем этим главам и параграфам написаны Г. П. Гавриловым,
главы II, VII-X, а также § 3 главы VI и ответы к ним написаны
А. А. Сапоженко.
Г. П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Глава I
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
§ 1. Функции алгебры логики и способы их задания.
Операция суперпозиции
1. Основные понятия и факты, связанные с булевым кубом
и булевыми функциями. Набор (cq, «2, • ••, где £ {0, 1}5
1 i п, называется булевым или двоичным набором (вектором).
Элементы набора часто называют компонентами или координа-
тами. Кратко набор («1, ^2, • ••> <*п) обозначают через ап или а.
Число п называется длиной набора ап. Весом (или нормой) на-
бора ап (обозначение ||<5П||) называют число его координат, рав-
п
ных 1, т.е. ||5П|| = 52 ai-
i=l
Множество всех двоичных наборов длины п образует п-мерный
булев (или двоичный) куб, который называют также единичным
п-мерным кубом и обычно обозначают Вп (а иногда Е%). Применяя
геометрическую терминологию, наборы ап Е Вп называют верши-
нами куба Вп. Множество всех вершин куба Вп, имеющих вес к,
называется к-м слоем куба Вп (обозначение В%). Каждому двоич-
п
ному набору ап можно сопоставить число и(ап) = 52 ai ' %п~г ~
i=l
номер набора ап. Набор ап является двоичным разложением своего
номера и(ап).
Расстоянием (Хэмминга) между вершинами а и (3 куба Вп на-
~ п
зывается число р(а, X?) = 52 1аг — А|? оно равно числу координат, в
i=l
которых наборы а и /3 отличаются друг от друга. Расстояние Хэм-
минга является метрикой, а куб Вп — метрическим пространством.
Наборы а = («1, «2, • • •, скп) и (3 = (Z?i, /?2, • • •, f3n) из Вп на-
зываются соседними, если р(а, (3) = 1, и противоположными, ес-
ли р(а, /3) = п, т. е. соседние наборы различаются только в одной
координате, а противоположные — во всех координатах. Говорят, что
набор ап предшествует набору /Зп (или не больше набора /Зп), и
применяют обозначение ап /Зп, если а.г fit для всех i = 1,..., п.
Если ап (Зп и ап /Зп, то говорят, что набор ап строго пред-
шествует набору /Зп (или строго меньше, или меньше набора /Зп),
и используют обозначение ап -< (Зп. Наборы ап и /Зп называются
сравнимыми, если либо ап (Зп, либо (Зп ап. В случае, когда ни
одно из этих отношений не выполняется, наборы ап и [Зп называются
несравнимыми. Говорят, что набор ап непосредственно предшест-
вует набору /Зп, если ап -< /Зп и р(сип, /Зп) = 1. Отношение (его
часто называют отношением предшествования) является частным
1111
Рис. 1.1
порядком на множестве Вп. На рис. 1.1 приведены диаграммы час-
тично упорядоченных множеств В2, В3 и В4.
Функция /(^1, ..., хп), определенная на множестве Вп = {0, 1}п
и принимающая значения из множества {0, 1}, называется функ-
цией алгебры логики (а также булевой или булевской функцией).
Набор символов переменных (xi,...,xn) будет обозначаться так-
же через хп или х, а множество тех же символов переменных —
через Хп. Множество всех булевых функций, зависящих от пере-
менных Xi, ..., хп, будем обозначать через Pz(Xn). При этом обыч-
но полагают, что п 0. Нульместными булевыми функциями (т. е.
соответствующими п = 0) являются константы 0 и 1.
Булеву функцию f(xn) при n 1 можно задать таблицей T(f)
(табл. 1.1), в которой наборы ст = (cri, 6Т2, • • •, &п-1, &п) выписыва-
Т аб лица 1.1
X! Х2 • Хп— 1 Хп /(«1, Х2, ... - Хп—1, Хп)
0 0 .. 0 0 f(0,0,. .., 0, 0)
0 0 .. 0 1 /(0, о,. ..,0, 1)
0 0 .. 1 0 /(0, о,. 1, 0)
1 1 1 1 /(1,1, • • •,1,1)
ются в порядке возрастания их номеров (сверху вниз). Имея в виду
такое стандартное расположение наборов, булеву функцию f(xn)
удобно задавать вектором ее значений', а2? = («о,
где координата оц равна значению функции f(xn) на наборе 5,
имеющем номер i (г = 0, 1, ..., 2П — 1).
Символом Nf обозначают множество {ап | (ап Е Вп) & (/(5П) =
= 1)}, т.е. множество всех наборов ап из Вп, на которых функ-
ция f(xn) обращается в 1.
Булева функция f(xn) при п 2 может быть задана прямоуголь-
ной таблицей ILk,n-k(f) (табл. 1.2), в которой значение f(a±, ..., ,
(7>+1, ..., <7П) функции f(xn) помещается на пересечении «стро-
ки» (<71, ..., а к) и «столбца» (<т^+1, ..., сгп), 1 к < п.
Булевы функции, задаваемые табл. 1.3 и табл. 1.4, будут счи-
таться элементарными.
Таблица 1.4
X! Х2 /з А /5 /б А /8 /9
0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 1 1 0 0
Приведем обозначения и названия этих функций.
1. Функции 0 и 1 называются соответственно (тождественным)
нулем и (тождественной) единицей.
2. Функция fi называется тождеств енной функцией и обозна-
чается через х.
3. Функция /2 называется отрицанием х, обозначается х или 1 х
(читается «не ж»).
4. Функция /з называется конъюнкцией х± и обозначает-
ся Ж1&Ж2 или Xi • Ж2, или Ж1Ж2, или тш(ж1,х2) (читается «Ж1
и ж2>>).
5. Функция /4 называется дизъюнкцией х± и обозначает-
ся Xi V Ж2 или Ж1 + Ж2, или max(#i,#2) (читается «Ж1
или Ж2»).
6. Функция /5 называется суммой по модулю 2 х± и Ж2, обознача-
ется Х1 ф Х2 или Х1 + Х2 (читается «Х± ПЛЮС ^2»).
7. Функция /б называется эквиваленцией (или эквивалент-
ностью) Xi и Х2, обозначается x± ~ Х2 или х± = Ж2, или х± Х2
(читается «Ж1 эквивалентно Ж2»).
8. Функция /7 называется импликацией х± и Х2, обозначает-
ся Xi —> Х2 или Xi D Х2 (читается «Т1 имплицирует Ж2» или «из х±
следует Ж2»).
9. Функция fs называется штрихом Шеффера х± и обознача-
ется Ж1 | Х2 (читается «не х± или не Ж2» или «Т1 и X2 не совместны»).
В технической литературе функция х± | X2 называется обычно анти-
конъюнкцией или «не - и».
10. Функция /9 называется стрелкой Пирса х± и Х2, обозначает-
ся Xi X2 (читается «ни х±, ни Ж2» или «не х± и не а?2»). В технической
литературе функция х± Х2 обычно называется антидизъюнкцией
или «не - илиъ> (а также функцией Даггера и функцией Вебба).
Функции 0 и 1 иногда рассматриваются как нульместные, т. е.
зависящие от пустого множества переменных.
Символы 1, &, V, ф, ~ и т.д., участвующие в обозначениях
элементарных функций, называются логическими связками (или
просто связками).
Зафиксируем некоторый алфавит переменных X (конечный или
счетно-бесконечный). Пусть Ф = /2^^ • • • } — множество
функциональных символов, где верхние индексы указывают «мест-
ность» (арность) символов. Иногда верхние индексы опускаются, но
при этом арности предполагаются известными.
Определение 1. Формулой над множеством Ф называется
всякое (и только такое) выражение вида:
1) fk и xi2, ..., xin), где fk — нульместный, a fj -
n-местный (n 1) функциональные символы и Xi2, ..., Xin -
переменные из множества X;
2) /m(2li, ^2, • • •, 2ls), где fm — s-местный (s 1) функциональ-
ный символ и 21* — либо формула над Ф, либо переменная из X.
Для подчеркивания того факта, что в формуле 21 используются
только переменные из X (не обязательно все) или только функ-
циональные символы из Ф (тоже не обязательно все), будем писать
соответственно 21 (X) и 21 [Ф].
Иногда формулу вида /(ж, у) записывают либо как (xfy), либо
как xfy, а формулу /(ж) — как (/ж) или fx. При этом символы /
называют связками.
В алгебре логики обычно в качестве связок употребляют символы
из множества © = {1, &, V, ф, -4-, |,
Определение 2. Формулой над & называется всякое (и только
такое) выражение вида:
1) ж — любая переменная из множества X;
2) (па), (а&53), (sivsB), (а®53), (а~53), (а 53), (а | 53),
(а 53), где а и 53 — формулы над в.
Замечание. Аналогично определяется понятие формулы над
любым непустым подмножеством <E>i множества ©; п. 1) из определе-
ния 2 надо оставить неизменным, а п. 2) видоизменить естественным
образом: берутся только связки из 61, и формулы а и 53 должны быть
формулами над 61.
Обычно принимаются следующие соглашения для сокращения за-
писи формул над множеством связок в:
а) внешние скобки у формул опускаются;
б) формула (1 а) записывается в виде а;
в) формула (а&53) записывается в виде (а • 53) или (а53);
г) считается, что связка “I сильнее любой двухместной связки из
множества в;
д) связка & считается сильнее, чем любая другая двухместная
связка из множества &.
Эти соглашения позволяют, например, записать формулу ((((1 х) ф
ф у) & z) —> ((ж & (1 у)) V z)) в виде (х ф y)z —> (ху V z).
Употребляется также «смешанная» запись формул, например,
^) или Ж1/(ж2, 0, ж3) V ж2/(ж1, ж2, 1).
Пусть каждому функциональному символу f-n^ из множест-
ва Ф = /2П2\ • ••} сопоставлена некоторая функция Fi: Bni —>
—> В = {0, 1}. Понятие функции реализуемой формулой а над
множеством Ф, определяется (как и понятие формулы) по ин-
дукции:
1) если а = Xj2, ..., Xjn.)y то для всякого набора (qi,
а2, ..., ап.) значений переменных Xj2, ..., Xjn. значение функ-
ции (р^ равно F^ai, а2, ..., ап.);
2) если а = а(г/1,..., ук) = /(аь а2,..., аш), где / е ф и а/ -
либо формула над Ф, либо переменная из X, то ^(сц, ак) =
= fa, ..., /Зт), где F — функция, сопоставленная функциональ-
ному символу /, и (Зр — значение функции (р = 1,2,..., т),
причем
_ Г aQ> еСЛИ = Уа,
[>•••> aps)-> если ар = ар(7/Р1,..., yPs)
(здесь s зависит, естественно, от р).
Если а = ^Пг\хк, Xj2, Xjn.)1 то функция реализуемая
формулой а, обычно обозначается через Е^(жд, ..., Xjn,). Если
же а =/(аь а2, ... ,ат), то обозначается через F(tp^r (2/11,
2/129 • • • , 2/151)? W2 (z/21, 2/22? • • • , 2/2s2)? • • - , feml, Ут2, • • • , Ут8т))',
14 Гл. I. Способы задания и свойства функций алгебры логики
здесь F — функция, сопоставленная функциональному символу /,
а (уц, уi2, • • •, yisi) — функция, реализуемая формулой (г =
= 1, 2, ..., т).
Понятие функции р%, реализуемой формулой 21 над множеством
связок (5, вводится (также по индукции) следующим образом:
1) формуле 21 = ж, где ж € X, сопоставляется тождественная
функция = ж;
2) если 21 = (1 23) или 21 = (23 о С), где о е { &, V, ф, |, ^},
то соответственно р% = , и р% = р<% о р<? (здесь символ ° надо
понимать уже как обозначение для соответствующей элементарной
булевой функции; см. табл. 1.3 и табл. 1.4).
Пусть 21 = 21(жй, ..., xik), <8 = 23(ж^, ..., ^г) и {х17 х2, ...
..., хп} — множество тех переменных, которые встречаются хотя
бы в одной из формул 2( и 23, т. е. {^i, х2, ..., хп} = {х^, ..., xik} U
U {xj±, ..., Xjt}. Формулы 21 и 23 называются эквивалентными
(обозначение: 2( = 23 или 21 = 23), если на всяком наборе («1, а2, ...
..., ап) значений переменных #1, х2, ..., хп значения функций р%
и р%>, реализуемых соответственно формулами 21 и 23, совпадают,
т. е. р%[ (c^i, ..., Oijk) — (р?$ (сгц, ..., otjt).
Пусть Ф - множество функциональных символов или логических
связок, а Р — множество соответствующих им функций. Суперпо-
зицией над множеством Р называется всякая функция F, которую
можно реализовать формулой над множеством Ф.
Пусть 2l = 2l[/1(ni),...,/s(nJ] и <В = ®[5<"1), Гово-
рят, что формулы 21 и 23 имеют одинаковое строение, если фор-
мула 21 может быть получена из формулы 23 путем замены каж-
дого вхождения функционального символа д^Пг^ на символ
(г = 1, ..., <§). Строение формулы отражает индуктивный процесс
ее порождения в соответствии с определением формулы (см. опреде-
ления 1 и 2).
Строение формулы можно естественным образом характеризовать
диаграммой (специальным графом, являющимся обычно ориентиро-
ванным графом), вершинам которой приписаны функциональные сим-
волы (или логические связки) и символы переменных. Например, если
формулы
21 = /(2)(5(2)(ж, Л(1)(у)), </?(2)((ж&у), ^(0))), ® = ^(0),
С = д^\х, х), S = р2\р2\{х V у) ф г), у, h^\x & г))
рассматриваются над некоторым множеством Ф, содержащим логи-
ческие связки &, V, ф и функциональные символы д^2\ h^\
р^ и (и, возможно, что-то еще), то их строение описывается
диаграммами, изображенными на рис. 1.2.
Если нужно обратить внимание именно на строение формулы 21 =
= 2l[/i, ..., /5], то используют запись 21 = C[/i, ..., f8\.
2. Элементы булева куба. Первичные представления о
булевых функциях.
Пример 1. Найти номер двоичного набора
й = (ДДО ДД 0_Д)), т>1.
т раз т раз т раз
Решение. Длина данного набора равна Зт + 1, а его г-я ком-
понента равна 1 при i = 1, ..., m, т + 2, ..., 2т + 1 и равна 0 в
противном случае. Следовательно,
Зт+1 т 2т-\-1
v(a) = 23m+1-’ai = ^23m+1-<+ 23m+1“-’ =
= 22то+1(2то - 1) + 2m(2m - 1) = 2™(22to+1 - 2™ - 1).
Пример 2. Найти двоичный набор, являющийся разложением
числа 325 (первая слева цифра в наборе должна быть равна 1).
п
Решение. Так как i/(S) = аг ' 2п~г-> то для нахождения ком-
i=l
понент набора 5, имеющего номер г/(й), можно применить процедуру
«последовательного деления с остатком на число 2»:
а) делим i/(a) на 2, остаток есть ап, а частное Qi = «1 • 2n-2 + ...
... + О'п-2 • 2 + CEn_i;
б) частное qi делим на 2, остаток равен an~i, частное =
= «1 • 2П-3 + ... + ап_2 делим на 2, остаток равен ап~2 и т. д.
до тех пор, пока на некотором ((п — 1)-м) шаге не получим част-
ное Qn-i =«i и остаток «2-
В нашем случае у (а) = 325. Используем описанную процедуру:
1) делим 325 на 2, находим частное Qi и остаток ап\ qi = 162,
= 1,
2) делим 162 на 2, частное равно 81, в остатке 0, т.е. ап_± = О,
Q2 = 81;
3) делим 81 на 2, д3 = 40, an-2 = 1;
4) делим 40 на 2, 74 = 20, ап-з = 0;
5) делим 20 на 2, q$ = 10, oin_^ = 0;
6) делим 10 на 2, q§ = 5, СЕп-5 = 0;
7) делим 5 на 2, q~ = 2, ап-в = 1;
8) делим 2 на 2, частное равно 1, в остатке 0, т.е. ап_7 = 0
и ans =01 = 1.
Следовательно, п = 9 и а = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1).
п
Замечание. Из формулы z/(5) = аг * 2п~г видно, что для
г=1
получения координаты набора а можно поступать следующим
образом:
а) используя неравенство 2П-1 р(5) < 2П, находим п;
б) делим z/(5) на 2п-г+1 и получаем остаток ri = оц • 2п~г +
+ c^+i ’ 2n i 1 + ... + оп-1 ’ 2 + ап;
в) делим z/(5) на 2П-1 и получаем остаток r^+i = a^+i ’ 2п~г~1 + ...
... + on-i • 2 + сеп;
г) вычисляем разность г* — r*+i и делим ее на 2п~г.
Полученное частное и есть значение координаты сц. Например,
если i/(5) = 325 и нужно найти а3 (см. пример 2), то имеем:
а) 2П-1 325 < 2П, значит, п = 9, так как 28 = 256 < 325 < 29 =
= 512;
б) делим 325 на 29-3+1 = 27 = 128, получаем остаток, равный 69;
в) делим 325 на 29-3 = 26 = 64 и получаем в остатке 5;
г) Г2 — г3 = 64, и поэтому а3 = 64/64 = 1.
Пример 3. Найти двоичный набор длины т, являющийся разло-
жением числа 2Ш-1 — 2 (т 3).
Решение. Представим число 2Ш-1 —2 в виде суммы степеней
двойки:
2m-i _ 2 = 2 (2m“2 - 1) = 2 (2Ш-3 + 2m“4 + ... + 2 + 1) =
= 2m“2 + 2m-3 + ... + 22 + 2.
Значит, соответствующий числу 2Ш-1 — 2 двоичный набор длины т
таков: (01 . „ 10).
т—2 раз
Пример 4. На множестве наборов
а = {(oo^^j.), (lo^j-O), (lt^oii), (oio^gi), (ooi_^j.o),
n—2 раз n—3 раз n—3 раз n—3 раз n—3 раз
где п 3, указать естественный частичный порядок и выяснить,
имеются ли в этом множестве соседние и противоположные наборы.
Решение. Решая данную задачу, удобно просматривать наборы
в порядке возрастания (или убывания) их весов, т. е. начинать с
наборов меньшего (или большего) веса и переходить последовательно
к наборам с большим (соответственно с меньшим) весом.
Сначала рассмотрим случай п = 3. Множество А состоит из сле-
дующих наборов: (001), (100), (111), (011), (000). Очевидно, что
(000) (001) (011) (111) и (000) (100) (111). Соседними
являются наборы (000) и (001), (000) и (100), (001) и (011), (011)
и (111). Пары противоположных наборов таковы: (000) и (111),
(100) и (011).
Пусть теперь п = 4. Тогда множество А выглядит так: {(ООН),
(1010), (1011), (0101), (0010)}. Имеем (0010) (ООП) (1011) и
(0010) (1010); набор (0101) не сравним ни с одним из остальных
наборов. Соседними являются наборы (0010) и (ООП), (0010) и (1010),
(0011) и (1011). Противоположных наборов только два: (0101) и (1010).
Предположим, что п 5. Тогда
А = {(00111... 1), (101П^10), (100^011), (0100^01), (0011_^Л0)},
I раз I раз I раз I раз I раз
где I = п — 4 1. Обозначим эти наборы (в соответствии с порядком,
в котором они выписаны выше) через Й1, Й2, Й3, Й4 и Й5. Возьмем
набор З4 = (0100... 01) (его вес равен 2) и посмотрим, сравним ли
I раз
он с каким-либо другим набором. Так как у всех остальных наборов
вторые компоненты нулевые, а веса не меньше 2, то они не мо-
гут быть сравнимы с набором сц. Затем переходим к набору йз —
сравниваем его с наборами й1, Й2 и Й5. Нетрудно заметить, что
начальные отрезки длины 3 наборов Й1 и йз, а также наборов Й5
и й3 не сравнимы. Значит, набор йз не сравним ни с Й1, ни с Й5.
Далее, рассматривая третьи и последние компоненты наборов Й2
и йз, видим, что эти наборы тоже не сравнимы. Берем теперь на-
бор Й1 и сравниваем его с наборами Й2 и Й5. Очевидно, что Й5 Й1,
но Й1 и Й2 — несравнимые наборы (достаточно обратить внимание на
первые и последние компоненты этих двух наборов). Наконец, легко
видеть, что й5 Й2- Итак, имеем Й5 Й1 и Й5 Й2. Соседними
являются наборы Й1 и Й5, а также Й2 и Й5. Противоположных набо-
ров два: Й2 и Й4.
Пример 5. Найти формулу для числа наборов ап из Вп, удов-
летворяющих условию р(йп, Дп) = [(п + 1)/2] и р(йп, уп) [п/2],
где /Зп и уп — фиксированные наборы и р(/Зп, уп) = [п/2] + 1.
Решение. Не ограничивая общности рассуждений, можно счи-
тать, что {Зп = 0п и 7n = (1 ... 10...0). Пусть йп — такой набор,
[п/2]+1раз
что р(йп,Оп) = [(п + 1)/2] и р(йп, 7n) $ [zz/2]. Предположим, что
2 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
среди первых его [п/2] + 1 компонент ровно j единичных (J 1).
Тогда из остальных п — [п/2] — 1 компонент единичными будут
[(n + 1)/2] — j штук. Следовательно, при фиксированном j набор ап
/[п/2] + 1\ /п-[п/2]-1\
можно выбрать . • Г/ /ЛП . способами, но при этом
\ 3 ) \[(n + 1)/2] -3J
должно выполняться условие р(ап, 7П) = [п/2] + 1 — j + [(п + 1)/2] —
- j [п/2], т.е. 2j [(п + 1)/2] + 1.
Таким образом, искомое число наборов равно
п — [п/2] — 1 \
[(n + l)/2]-J •
В частности, при п = 1 имеем (если Р1 = О1?
то 71 = I1 и й1 = 71), а при п = 2 получаем ( •) * (i _ . ) = 2
(если /З2 = О2, то 72 = I2 и й2 = (01) и (10)). Здесь полагаем, как
обычно, I Q 1 = 1.
Пример 6. Найти число функций, зависящих от перемен-
ных Xi, Х2, ..., хп (т.е. принадлежащих множеству и удов-
летворяющих условию: функция f(xn) равна 0 на каждом наборе йп,
вес которого не превосходит п/2, а на всех остальных наборах значе-
ния функции произвольные (n 1).
Решение. Число наборов (из Вп\ на которых значения функ-
ции / зафиксированы, равно
На каждом из остальных наборов значение функции / можно
задавать произвольно (полагая его равным 0 или 1). Следовательно,
число различных функций, удовлетворяющих сформулированному вы-
п-П — 1 _ — ( П
ше условию, равно 2 при п нечетном и 2 2 Vn/2' при п четном.
Пример 7. Найти число функций в Р2(ХП), удовлетворяющих
условию: существует пара противоположных наборов, на которых
функция / обращается в 1 (для разных функций / такие пары наборов
могут не совпадать).
Решение. При решении данной задачи проще поступить сле-
дующим образом: подсчитать число функций в Рз^Х™), не удовлетво-
ряющих сформулированному условию, а затем вычесть полученное
число из |р2(Хп)| = 22 . Функция f(xn) не удовлетворяет указанно-
му выше условию, если, какова бы ни была пара противоположных
наборов, функция f(xn) на них либо принимает разные значения,
либо обращается в 0. Причем в том случае, когда соответствующие
значения разные, надо различать две возможности (для каждой пары
противоположных наборов); например, если а и /3 — пара проти-
воположных наборов, то либо /(5) = 0, а /(/3) = 1, либо /(5) = 1,
a f(j3) = 0. Таким образом, каждой паре противоположных наборов
соответствуют три допустимые возможности. Остается заметить, что
существует 2п/2 = 2П-1 пар противоположных наборов длины п,
и тогда получаем: число функций в Р2(Хп), не удовлетворяющих
описанному выше условию, равно З2 . Следовательно, искомое число
функций есть 22?г — З2" . (Например, при п = 1 имеем 22 — З2 = 1,
а при п = 2 получаем 22 — З2 = 16 — 9 = 7.)
Пример 8. По каналу связи могут передаваться три сообще-
ния: А,ВнС. Известно, что к данному моменту времени осуществи-
лось каждое из следующих событий:
1) передано не более чем одно из сообщений А и В;
2) сообщение А могло быть передано в том и только том случае,
если были переданы оба сообщения В и (7;
3) передано хотя бы одно из сообщений А и С.
Вытекает ли отсюда, что сообщение В не передавалось, а сообще-
ние С было передано?
Решение. Сопоставим сообщениям А, В и С булевы перемен-
ные ж, у и z соответственно. Считаем, что х = 1 (аналогично у = 1
и z = 1) в том и только том случае, если сообщение А (соответст-
венно сообщение В и сообщение С) было передано по каналу связи.
Событиям 1), 2) и 3) отвечают следующие булевы функции: ху,
х ~ yz и х V z (это надо понимать так: второе событие, напри-
мер, осуществляется тогда и только тогда, когда х ~ yz = 1). Буле-
ва функция /(ж, т/, z), соответствующая всем трем событиям, имеет
вид ху • (х ~ yz) • (х V z). Преобразуем это выражение:
/(ж, ?/, z) = (х V у) • (х • yz У х • yz) • (хУ z) =
= (х • yz У х • у • yz) • (хУ z) = х- (yz У у - (у У z)) • z =
= х • (у У z) • z = х • у • z.
Отсюда следует, что /(ж, ?/, z) = 1 тогда и только тогда, когда
х = 0, у = 0 и z = 1, т.е. когда сообщения А и В не передавались,
а сообщение С было передано. Таким образом, на вопрос, постав-
ленный в задаче, ответ утвердительный. Последний шаг в реше-
нии данной задачи можно расписать подробнее: для выяснения того,
вытекает ли событие, указанное в вопросе задачи, из осуществи-
мости событий 1), 2) и 3), надо посмотреть, выполняется ли эквива-
лентность /(ж, г/. z) —> у • z = 1 (функция у • z соответствует собы-
тию «сообщение В не передавалось, а сообщение С было передано»).
Имеем
x-y-z^y-z = x- y'zyy-z = xyy'zyy-z = xyl = l,
т. е. действительно /(ж, у, z) ~^y-z = 1.
Замечание. Преобразовывая выражения, задающие булевы
функции, мы использовали основные эквивалентности алгебры логики
(см. п. 3 после задачи 1.20).
1.1. Найти номера следующих двоичных наборов:
1) (1011); 2) (11001); 3) (11001101);
4) (010111101); 5) (10^01), m > 1;
б) (.П^П-О^Ю), т if 7) (ВЦ^П^Л. 0^Ю1), т > 1.
т раз 2 т раз т раз т раз т раз
1.2. Найти двоичный набор длины I, являющийся разложением
числа п:
1) I = 5, п = 28; 2) I = 8, п = 231;
3) I = т + 1, п = 2т + 1 (т 1);
4) I = т, п = 3 2™-2 - 1 (т > 2).
1.3. На множестве наборов А из Вп указать естественный час-
тичный порядок =<!. Выяснить, есть ли в множестве А соседние и
противоположные наборы, и, если они имеются, выписать их:
1) Л = {(00111), (01011), (00110), (10110), (ПОЮ), (01010),
(11100), (ПОП)};
2) Л = {(010101), (110011), (101101), (010111), (110111),
(101010), (100010)};
3) Л = {(10^01), (ПСГ^Л)), (110^01), (ОП^И,), (0^011),
п—2 раз п—2 раз п—3 раз п—1 раз п—2 раз
(ОП^Л.01)}, п^4;
п—3 раз
4) Л = {(10 ... 01 ... 1), (10 ... 01 ... 101),
т—1 раз п—т раз т—2 раз п—т—1 раз
(10 ... 0 1 ... 1), (01 ... 10 ... 011),
т раз п—т — 1 раз п—т —1 раз т — 2 раз
(010 ... 01 ... 1 ), (01 ... 10 ... 0)}, п > т + 1 > 3.
т раз п—т—2 раз п—т раз т—1 раз
1. 4. Найти:
1) число \В%\ наборов ап веса k (n 1, п к 0);
2) число наборов ап из Вп, удовлетворяющих условию 2П-1
< z/(5n) < 2п 1);
3) число упорядоченных пар соседних наборов в Вп (п 1);
4) число упорядоченных пар (йп, наборов из Вп таких, что
р(5п, (Зп) = к (п к 1);
5) число наборов ап из Вп, удовлетворяющих условию /Зп ап
7П, где /Зп и уп — два фиксированных набора и р([Зп, уп) = к
(п > к 1);
6) число наборов ап из Вп таких, что р(5п, /Зп) + р(5п, 7П) ф
p(J3n, 7п),где (Зп И7П—два фиксированных набора и р{(Зп, = I
(п I 1);
7) число наборов а2т = (ai, ..., «2т) из В2т, удовлетворяющих
I _ 1 1 Z +1
условию: 52 ai 9 для каждого Z = 1, 2, ..., 2т (m 1);
2 i=1 ~ 2
8) число наборов ап в у которых между любыми единичны-
ми компонентами находится не менее г нулевых компонент (0 г
< п — 2, 2 < к < п).
1. 5. Показать, что:
1) два различных набора в Вп, имеющих одинаковый вес, несрав-
нимы (п > 2);
2) в Вп существует только два сравнимых противоположных на-
бора (n 1);
3) в Вп существует множество, состоящее из [ ,, П п /91 ) попарно
\ 1хп ~ 4/^1 J
несравнимых наборов, не сравнимых с набором (10... 0) (п 2);
4) всякое подмножество в Вп, содержащее не менее п + 2 наборов,
содержит пару несравнимых наборов (п 2);
5) число наборов в Вп, не сравнимых с фиксированным набо-
ром йп, имеющим вес к, равно 2п — 2п~к — 2^ + 1 (n 1 и п
^к^ОУ
6) если ап и (Зп — два несравнимых набора из Вп (п 2), имею-
щих I общих единичных компонент (Z 0), и ||5n|| = г, ||/3n|| = <8, то
число наборов, которые не сравнимы ни с одним из наборов ап и /Зп,
равно 2п + 2n+l~r~s + 21 + 2 - 2n~r - 2n~s -2r -2s (в частности, ес-
ли наборы ап и (Зп противоположные, то имеем 2п — 2n-r+1 — 2r+1 +4
наборов).
1. 6. Найти число функций в Рз(^п) (т.е. функций, зависящих от
переменных Ж1, ^2, ..., жп), удовлетворяющих условию:
1) на данных I наборах значения функции фиксированы, а на ос-
тальных произвольные (1 2П — 1, n 1);
2) функция f(xn) равна 1 на всяком наборе йп, вес которого
удовлетворяет неравенствам (п — 1)/2 ||йп|| п/2, а на остальных
наборах значения функции произвольные (п 2);
3) на противоположных наборах функция принимает одинаковые
значения (n 1);
4) на каждой паре соседних наборов функция принимает противо-
положные значения (n 1);
5) функция равна 0 не менее чем на половине наборов (n 1);
6) функция f(xn) совпадает с функцией, получаемой из нее при
перестановке переменных х± и Х2 (п 2);
7) функция f(xn) симметрическая, т.е. /(xi, х^ ..., хп) =
= /(ж^, Xi2 ..., Xin) при любой подстановке , п 1;
8) если функция обращается в 1 на некотором наборе веса к
(0 к п — 1), то она равна 1 и на всяком наборе большего веса
(п > 1).
1. 7. 1) Булева функция /(ж3) определяется так. Она равна 1
только в тех случаях, когда Xi = 1 либо когда выполняется следу-
ющее условие: переменные ж 2 и хз принимают разные значения, а
значение переменной х± меньше значения переменной жз; в остальных
случаях функция обращается в 0. Построить таблицы T(f) и Пц2(/)
функции /(ж3) и выписать наборы множества Nf.
2) Булева функция f(x4) задается следующим образом: она рав-
на 0 только на таких наборах а = («1, «2, для которых спра-
ведливо неравенство 2«i + > «з + 2oj4 ; на остальных наборах она
обращается в 1. Построить таблицы T(f) и П2,2(/) этой функции и
выписать наборы множества Nf.
3) Пусть наборы (жх, ж2) и (ж3, Х4) задают двоичные разложения
чисел z/i и z/2 соответственно. Обозначим через Л (ж4) г-й разряд
двоичного разложения (/2, /1) числа |^i — г = 1, 2. Построить
прямоугольные таблицы П2,2 функций fi(x4) и fz(x4).
4) На аварийном пульте системы расположены четыре сигналь-
ные лампочки: Li, £2, ^3, L4. Система выключается только в том
случае, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:
а) загорелась лампочка Гц, но не загорелась лампочка L2; б) заго-
релись лампочки L2 и L3, но не горит лампочка L4; в) загорелась
лампочка L4 и не горит лампочка Построить таблицу T(f) буле-
вой функции /(ж4), характеризующей условия выключения системы,
т.е. f(x4) = 1 тогда и только тогда, когда справедливо хотя бы
одно из условий а), б), в); при этом предполагается, что Xi = 1, если
лампочка Li горит, и ж?- = 0, если лампочка Li не горит.
5) Для оценки гипотез Hi и Н% проводятся пять разнотипных экс-
периментов: Ai, А2, Дз? Aj, Д-б* Каждый эксперимент упорядочивает
гипотезы по предпочтению относительно некоторого признака. Гипо-
теза Hi принимается только в следующих случаях: а) в большинстве
экспериментов предпочтение отдавалось Hi; б) в экспериментах А±
и А2 предпочтение отдавалось гипотезе Н2: но в эксперименте А4
предпочтение отдано гипотезе Н±. Гипотеза Н2 принимается в слу-
чаях, когда: в) в экспериментах А2 и A3 предпочтение отдавалось ей,
а в экспериментах А± и А4 — гипотезе Hi; г) в экспериментах А± и А$
предпочтение отдавалось гипотезе Н2, а в экспериментах A3 и А4 -
гипотезе Н±. Полагаем Xj = 0, если эксперимент Aj «поддерживает»
гипотезу Hi, и Xj = 1, если в эксперименте Aj предпочтение отдано
гипотезе Н2 (7 = 1, ..., 5). Записать в виде булевых функций (ж5)
и Fh2(x5) условия принятия гипотез Hi и Н2 — 1) тогда и
только тогда, когда по набору й5 принимается гипотеза Hj (г = 1, 2).
Выяснить, возможна ли такая ситуация, когда окажутся принятыми
обе гипотезы.
6) Четырем членам Bi, В2, В3, В4 некоторой комиссии сформули-
рованы следующие условия посещения заседаний (хотя бы одно из них
они должны выполнить): а) в заседании не участвует ни В±, ни Г>2-
но должен быть В3: б) в заседании принимают участие В2 и В4, но
отсутствует В3: в) на заседании должны присутствовать Bi и В4.
Выяснить, обязан ли присутствовать на заседании комиссии член В3.
если в нем не участвует В2.
7) Проект принимается, если большинство из шести экспер-
тов Ci, ..., Cq высказалось в его пользу. Кроме того, проект все же
принимается, если указанное условие не выполнено, но за принятие
проекта высказались: а) либо эксперты Ci, С2, С'з; б) либо экспер-
ты С2, С4, С5; в) либо эксперты Ci, С5, Cq. Записать в виде буле-
вой функции /(ж6) условие принятия проекта, считая, что Xi = 1 в
том случае, когда г-й эксперт высказывается за принятие проекта,
и Xi = 0 в противном случае. Выяснить, будет ли обязательно принят
проект, если известно, что за его принятие высказались ровно трое
из экспертов СД, С3, С4 и Cq, а кто-то один из экспертов С2 и Cq
высказался против.
3. Формулы. Реализация булевых функций формулами.
Пример 9. Доказать, что выражения 2Д = 1 ж) -> 1(1 y&z
и 2I2 = (х V (1 ?/)) —> (х & 1 у) не являются формулами над множест-
вом логических связок {"I, & , V, —>}, но что, добавляя скобки, каждое
из этих выражений можно превратить в формулу над указанным
множеством связок.
Решение. Для доказательства того, что некоторое выражение 21
не является формулой над каким-то фиксированным множеством Ф
(функциональных символов и/или логических связок), достаточно
выявить какое-либо свойство, присущее каждой формуле над задан-
ным множеством Ф, но которым не обладает выражение 21. Утвержде-
ние о том, что любая формула над множеством Ф обладает выявлен-
ным свойством, обосновывается обычно по индукции — по «сложнос-
ти» формул (например, по числу связок или по числу функциональных
символов, входящих в формулы). В выражении 2Д = 1 ж) -> 1(1 y&z
нарушено несколько свойств, присущих формулам над множест-
вом {1, & , V, -4}:
а) обе скобки, содержащиеся в 211, не имеют парных им скобок;
б) отсутствуют внешние скобки;
в) не отделена скобками связка —> от остальных связок.
Добавляя скобки, выражение 2Д можно превратить, например,
В формулу ИЛИ (("I ж) —> (-|(-|(2/&z)))), или ((1 х) —> (1 ((1 у) & z))),
или ((1ж) -> ((1(1 у))&г)).
В выражении 212 = (х V ("I у)) (х &"1 у) не хватает только двух
пар скобок: внешних и отделяющих связку & от связки "I. Формула,
соответствующая выражению 2I2, имеет вид ((ж V (“I у)) —> (ж & (1 ?/))).
Для обоснования того, что оба выражения 211 и 2I2 не являются
формулами над множеством связок {1, & , V, —>}, достаточно, напри-
мер, установить справедливость такого утверждения: всякая форму-
ла над множеством связок {"I, &, V, —>}, отличная от формул ви-
да х, у, ..., обладает парой внешних скобок.
Доказательство этого факта проведем по индукции — по числу
связок 1, &, V, —> в формулах.
Базис индукции. Если в формуле 21 только одна связка, то
с точностью до переименования переменных (с отождествлением)
формула 21 имеет один из следующих видов: 21 = (1 ж), 21 = (ж&у),
21 = (х V у) и 21 = (х —> у). Следовательно, базис индукции справедлив.
Индуктивный шаг. Предположим, что доказываемое утверж-
дение верно для формул, содержащих не более s связок (s 1), и
установим его истинность для формул с числом связок, равным s + 1.
Имеем или 21 = (1 23), или 21 = (21 &б), или 21 = (23 V С), или 21 =
= (23 —> £), причем одна из подформул 23 или С в формулах трех
последних видов может быть (с точностью до переименования пере-
менных) формулой, равной х. Очевидно, что индуктивный шаг также
справедлив.
Пример 10. Построив таблицы функций, реализуемых форму-
лами 21 = ((ж ф т/) —> ((у Ф (х V z)) | z)) и ® — ((ж V у) ~ (ж (у ф
ф (ж&^)))), выяснить, эквивалентны ли эти формулы.
Решение. Принимая во внимание тот факт, что функция х —> у
обращается в 0 только на наборе (1, 0), а функция х у равна 1
лишь на наборе (0, 0), мы можем упрос-
тить процедуру построения таблицы функ-
ции т/, z), реализуемой формулой 21.
В самом деле, = 0 тогда и только тог-
да, когда х у = 1 и (у ф (х V z)) | z — 0,
т. е. когда х = у = 0 и (0 ф (0 V г)) | z —
— z \ z — ~z — 0. Следовательно, = 0
только при х — у — z — \ (табл. 1.5).
Таблицу функции (ж, ?/, z), реализуе-
мой формулой 23, будем строить шаг за
шагом (табл. 1.6).
Таблица 1.6
Таблица 1.5
X у Z £21
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
X у Z У £1 = X V у X-Z £2 = У Ф X‘Z £3 = X £2 £® = £1 ~ £з
0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 0
Сравнивая таблицы функций и , видим, что р% р%.
Значит, формулы 21 и 23 неэквивалентны.
Пример 11. Используя основные эквивалентности (см. п. 3 после
задачи 1.20), установить эквивалентность формул
21 = (ж J. у) -> (xz ((ж | (у ~ г)) V (х^у ф г)))
и
® = ((ж -> у) I (ж I (уг))) V yz.
Решение. Применяя основные эквивалентности 8, в), 9, а) и 9, б),
получаем 21 = х У у V xz V (х(у ~ z) V (ху ф г)). Используя затем ос-
новные эквивалентности 7,д), 4, а), 8,6) и 8, а), имеем 21= (х V у) V
V (ж V ~z) V ((ж V (у ф z)) V ((ж V y)z V xyz)). Далее применяем основ-
ные эквивалентности 2, 7, в), 7, д), 1, 3 и 8, а): 21 = х V у V ~z V yz V yz V
V жг V yz У xyz. Наконец, воспользовавшись правилом поглощения 5, а),
приходим к соотношению 21 = х V у V z. Преобразуем теперь к такому
же виду и формулу 23. Имеем 23 = (х V у)х V yz V у V z (здесь были
использованы основные эквивалентности 8, в), 9, а), 9,6) и 4, а)). Да-
лее, применяя основные эквивалентности 4,а), 7,д) и 4,6), получаем
23 = xy\/x\/yz\/y\/~z. С помощью закона поглощения 5, а) последнее
выражение преобразуется к такому: х V у V ~z. Тем самым эквивалент-
ность формул 21 и 23 доказана.
1.8. Выяснить, какие из нижеприводимых выражений являются
формулами над множеством логических связок S = {"I, &, V, ф, ~,
—>}. Проверить, можно ли некоторые из приведенных ниже выражений
(и какие), не являющиеся формулами над S, превратить в формулы,
добавляя скобки:
1) ж Ф ж; 2)жУ(1т/); 3)жф(&т/); 4) (ж V?/)(ж® (lz));
5) (ж Ф т/); 6) (х & ) 1 ж; 7) (ж ф (^)); 8) 1(ж -> ((1ж)& т/));
9) (ж ~ у) 1 у; 10) ((ж-> (Ту)) ~ ((жУ(з/&г))Фз/)); 11) (1 х -> у)-
12) ((ж& (1 ж)) V (ж ф (ж Ф ж)) V (1 ж)).
1.9. Выяснить, является ли выражение А формулой над множест-
вом Ф. Проверить, можно ли, добавляя скобки, запятые и переменные
(не обязательно все эти знаки), превратить некоторые из приведен-
ных ниже выражений (и какие) в формулы над соответствующими
множествами Ф:
1) а = 5<1)(/(2)(1,ж)), ф = {/(2), Ф};
2) А =)х((р^\ Ф = {h^\
3) А = (^(1)(/(2)(ж, ^(ж)))), Ф = {/(2),
4) А = f^2\g^2\xy), М2\1, т/)), Ф = {1, /(2\ д^2\ h№};
5) А = </2)(с^3)(ж, т/, /^(ж)), /(^ж), Ф = д(2\ <//3)};
6) А = ^)(/(2)(^2)(ж, ^)(ж)), ^(т/))),
Ф = {0, f2\ д^2\ М1),^2)};
7) А = (1), д^(2, </?^\ж))), Ф = {1, 2, д^2\ h^2\
8) А = </2>(1, ^2)(ж, /г^(^2)(ж, т/)))),
Ф = {1, д(3\ h^\
9) А = д(2)(Л/2)(1, <//3)(2, ж, /^\ж)))),
Ф = {1, 2, /^, h^2\ ^(3)};
10) А = Л^\ж, <//2)(ж, /^\1))), Ф = {1, h^\
1.10. Выписать все подформулы формулы А над множеством Ф:
1) А = ((ж ~ т/) Ф ((17/) Ф (ж V г))), Ф = {1, V, ~, ф};
2) А = (((ж&т/) &z) ф ((("I ж) ф т/) V z)), Ф = {1, & , V, ф, ф};
3) А =/(2) (</2) (1, ж), Л/3)(ж, 1, ф^\д^(ж, ж)))),
Ф = {1, 2, /(2), д^2\
4) А = 5W(/3)(M2)(1, ж), </?(3)(1, у, 5(1)(1)), ФЧх))),
ф = {1, /(з), 5(i), М2)(1, □), ф(1, □)},
символом □ указаны «пустые» места;
5) А = /<2)(у(1)(х -4 у), Д(1)(ж&у)), Ф = {/(2), Д(2), /^2)},
где /Р\п, □) = (/^(П —4 □) и б,2\о, □) = /г/1-*(П&Е1) (здесь сим-
волом □ указаны те «пустые» места, которые характеризуют «ар-
ность» соответствующих логических связок).
1.11. Выяснить, сколькими способами можно расставить скобки в
выражении А, чтобы всякий раз получалась формула над множеством
логических связок {1, & , V, ф, —>, ф}, если:
1)А="1жф7/—2)А = ж—
3) А = х У у k 1 х [ z; 4) А = 1 х ф 1 у 1 г;
5)А=-|_1ж^_|_|_|?/; 6) А = хУ~\у®х®х1х.
1.12. Сложностью формулы над множеством связок 3 = {"I, &,
V, ф, —, —>, |, назовем число связок в ней. Индукцией по сложности
формулы доказать, что в формуле:
1) ненулевой сложности содержится хотя бы одна пара скобок;
2) число левых скобок равно числу правых скобок;
3) нет двух связок, стоящих рядом;
4) нет двух символов переменных, стоящих рядом.
1.13. Индексом связки в формуле назовем разность между числом
левых скобок, предшествующих рассматриваемой связке в данной
формуле, и числом правых скобок, предшествующих этой связке. До-
казать, что всякая формула ненулевой сложности над множеством в
(см. предыдущую задачу):
1) содержит единственную связку индекса 1;
2) единственным образом представляется в каком-нибудь одном
из видов (121), (21&®), (21 V®), (21 ф®), (21-®), (21—> ®),
(21 | ®), (21 ф ®), где 21 и ® — формулы над множеством в.
1.14. Рассмотрим бесскобочную (польскую) запись формул над
множеством связок (5 = {"I, & , V, Ф, —, |, J,}: вместо (1 х), (х&у),
(ж\/7/), (жфт/), (ж —т/), (х ~^у), (х I т/), (х 1у) будем писать 1 ж,
&жт/, Уху, ®ху, ~ ху, ху, | ху, ф ху. Соответствующим об-
разом записываются и более сложные формулы; например, форму-
ла (((1 х) у) & (1 (z х))) в бесскобочной записи будет иметь вид
& —> "I ху "Ц zx. Доказать, что если каждую из связок &, V, ф, —,
—>, |, ф оценить числом +1, связку 1 — числом 0, а каждый символ
переменной — числом —1, то в бесскобочной записи произвольное
выражение А над множеством © будет формулой тогда и только
тогда, когда сумма оценок всех вхождений символов в А равна —1 и в
каждом собственном начальном отрезке выражения А (т.е. в непустом
и отличном от всего А) эта сумма неотрицательна.
1.15. Построить диаграмму, характеризующую строение форму-
лы А над множеством Ф:
1) А = ((1(ж -4- (1у))) Ф ((zV(j&i))h)),
Ф = {1, &, V, ф, -4, ф};
2) А = (((ж -4- у) -4 (-|((ж | у) -> (ж | г)))) -4 ((1 у) -4 г)),
Ф = {Ъ^, |};
3) А = (((((ж ф у) ф ж) ф у) ф z) ф (ж ф г)), Ф = {ф};
4) А = ((((ж у) | (у ф ж)) | z) | (ж | z)), Ф = {|, J,};
5) А = /(1)(0(2)(/(1)(ж), М2)(р(2)(ж, /(1)(у)), /(1)(ж)))),
ф = {/(1), д(2), М2)};
6) А = /(3)(5(1)(/(3)(ж, ж, ж)), М2\ж, 5(1)(/(3)(ж, у, у))), у),
Ф = {/(3), 5d), ^(2)};
7) А = /(2)(((ж -4- (1 у)) -> z), р(1)((ж ® у) -> г)),
Ф = {/(2), дА\ 1( ф}_
1. 16. Восстановить формулы по диаграммам из рис. 1.3.
Рис. 1.3
1. 17. Построить таблицы функций, реализуемых следующими
формулами над множеством связок (5 = {1, &, V, ф, |, J,}:
1) ((ж -» у) V (жа г)) (у I г); 2) ((ж • у) J. (ж | у)) -> (г -> у);
3) (ж ~ у) V (у -> z) 4, ((ж ф z) V у); 4)ж->уф((ж-> z) ~ у) • z;
5) (ж V у) -> ((ж J. у) | z) ф у; 6) (ж ~ у) -> (ж -z -> у) ->х • г;
7) ((ж J. у) | г) | х) 4 у; 8) ((ж -> у) ф (ж -> у г)) | (ж J. у).
1.18. По функциям /(ж1, х2) и g(xi, ж2), заданным векторно,
построить векторное представление функции h:
1) OLj — (0010), ag = (1000), ft(^i, ж2, #з) = /(^1, жз) &р(ж2, ^1);
2) 5/ = (0100), ад = (1101),
Л(Ж1, ж2) = /(и, #(ж2, Ж1)) V #(ж2, /(Xi, Ж1));
3) й/ = (1001), ад = (1110),
Л(ж1, ж2, ж3, ж4) = /(Xi, ж3) Ф#(ж2, /(Xi, ж4)),
для функции h построить и таблицу П2,2(/г);
4) af = (ОНО), ад = (1011), Л(жъ ж2, ж3) = /(р(жх, ж3), /(ж2, #i));
5) af = (1101), ад = (0111),
Л(жь х2) = f(g(xi, х2у х2) д(х2, f(x2, Ж1));
6) af = (1000), ад = (ОНО), Л(^1, ж2, жз, ж4) =
= /(^1, /(ж2, Ж1)) V ^(/(жь ж2), р(жъ ж3))) Ф №(#з, ж4), /(ж2, ж2)),
для функции h построить и таблицу П2>2(Л).
1.19. Построив таблицы соответствующих функций, выяснить,
эквивалентны ли формулы 21 и 53:
1) 21 = (ж -4 у) ф ((?/ -4 z) —> х • у), *В = у • z -4 х]
2) 21 = (ж V у) j. (х {у -Л z)), *В = у -4 (х V z);
3) = ж ->((?/-> z) ->?/•;?), 23 = (ж V (?/ -> z)) • (ж ф у);
4) 21 = (х у) V (х ~ z) | (х ф у • z), 23 = х • (у • г) V х г;
5) 21 = ((ж V у) • z ((ж ~ z) ф у)) • ((ж ф у) '~z),
23 = (ж yz) &;х у;
6) 21 = (х V у) ((?/ | ~z) {х ~ х • г)), 23 = ху V (х ху z);
7) 21 = (ж | у) ((?/ ^1) 4 (жф z)), 23 = х • (у • г) ф (х z);
8) ® = (((ж I у) ; z) I у) J. (у -> z),
® = ((ж | у) (у | г)) • (ж (у -> z));
9) 21 = (ж • у -> z) V ((ж J, у) | z),
23 = ((ж —> у • г) ф (ж ~ у)) V (у х • z)\
10) 21 = х ф у • z • у х • z • (х ф у), ?В = (х • у (у I z)) V х • z • z.
1.20. Построив таблицы для соответствующих функций, убе-
диться в справедливости следующих эквивалентностей:
1) Ж V у = (ж -> у) у; 2) ж ~ у = (ж у) & (у -> ж);
3) ж J, у = ((ж | ж) | (у | у)) | ((ж | ж) | (у | у));
4) х V (у ~ z) = (ж V у) ~ (ж V г);
5) х & (у ~ z) = ((ж & у) ~ (ж & г)) ~ х'
6) х —> (у ~ z) = (х —> у) ~ (х z)\
7) хУ (у z) = (xV у) (xV z);
8) х & (у z) = (х у) (х & z),
9) ж -> (у V z) = (ж -> у) V (ж -> г);
10) х -Л {у & z) = (х у) & (ж z);
11) х -> (у -> z) = (х у) -> (х -> z).
При оперировании с функциями алгебры логики бывают полезны
следующие эквивалентности (большинство из них называют обычно
основными эквивалентностями алгебры логики).
1. х оу = у ох — коммутативность связки о , где символ ° является
общим обозначением для связок &, V, ф, |,
2. (ж ° у) oz = х о (у о z) — ассоциативность связки о, где о — об-
щее обозначение для связок &, V, ф,
3. а) ж& (у V z) = (х&у) V (ж&^) — дистрибутивность конъюнк-
ции относительно дизъюнкции;
б) ж V (у & z) = (х V у} & (ж V z} — дистрибутивность дизъюнкции
относительно конъюнкции;
в) ж & (у ф z) = (х & у} ф (ж & z) — дистрибутивность конъюнкции
относительно сложения по mod 2.
4. а) ж & т/= ж V т/; б)х\/у = х&у (правила де Моргана).
5. а) ж V (ж & т/) = ж; б) ж & (ж V т/) = ж (правила поглощения).
6. а) ж V (ж & у) = ж V т/; б) ж & (ж V у) = ж & у.
7. а) ж & ж = ж & 0 = ж ф ж = 0;
б) ж V ж = ж V 1 = ж ~ ж = ж —> ж = 1;
в) ж V ж = ж&ж = ж & 1 = ж V 0 = ж ф 0 = ж;
г) ж ф 1 = ж 4 0 = ж ~ 0 = ж | ж = ж |ж = х; д) ж = ж.
8. а) ж ф у = (ж & т/) V (ж & т/) = (ж V у) & (ж V у);
б) ж ~ у = ж ф у = (ж & т/) V (ж & у) = (ж V у) & (ж V у);
в) Ж —> 7/ = Ж V 7/ = ((ж & 7/) ф ж) ф 1.
9. а)ж|т/ = ж& т/ = ж\/^; б) х].у = х\/у = х-у.
В справедливости этих эквивалентностей можно убедиться путем
построения таблиц соответствующих им функций.
1.21. Используя приведенные выше (основные) эквивалентности и
соотношения из задачи 1.20, доказать эквивалентность формул 21 и 53:
1) 21 = (ж у) -> (ж • у ~ (ж ф у)), ® = (ж - у -> ж) -> у;
2) 21 = (х-у\/(х -> yz)) ~ ((ж -> у) -> z), ® = (ж -> г/)ф(уф2;);
3) 21 = (ж ф у • z) (ж -> (у -> z)), Ъ = х ^у z) ж);
4) 21 = (ж -> (у -> (ж ~ z))) (ж ~ (у -> (z V (ж -> у)))),
® = (ж -> (у -> z)) -> ж;
5) 21 = (ж V у • z) -> ((ж -> у) ((у V z) -> ж)),
® = (ж -> у) -> (у -> ж);
6) 21 = (ж • у V х • г) ф ((т/ z) х • у), *В = (ж • (у • z) ф у) ф z;
7) 21 = х ((ж • у (х • z —> ?/)) у) • z, *В = х • {у z);
8) 21 = (ж ~ у) (ж —> z) V (х ф у • z), *В = х ~ (z у);
9) 21 = (ж V у -z) • (ж у • z) • (ж -> (у ~ г)),
________________93 = ((ж у) ~ (у -> (ж -> г))) ф ж (у г);
10) 21 = ((ж V у) у • г) V (у х • z) V (ж (у -у z)),
*В = (ж у) У z.
1.22. Выписать все булевы функции, зависящие только от пе-
ременных из множества {ж, у} и являющиеся суперпозициями над
множеством Р:
1) Р = {ui -> u2, иг • n2}; 2) Р = {?zi ~ и2, иг V u2};
3) Р = {щ ф и2, иг Ф 1}; 4) Р = {(ui V и2) иг • u2};
5) Р = {иг V и2 • u3, Ur Ф u2}; 6) P = {ui • u2, ur Ф u2 Ф u3};
7) P = {ui • u2 V ur • из V u2 • u3, ur • (u2 V u3)).
1.23. Глубина формулы 21 над множеством Ф (обозначе-
ние 0ерф(2()) определяется по индукции:
(а) если 21 — символ переменной или 0-местный функциональный
символ, то 0ерф(2() = 0;
(б) если 21 = /^n\2li, ..., 21п), где п 1 и е Ф, то 0ерф(2() =
= max dep$(2lj + 1.
Выяснить, верно ли, что указанная ниже формула 21 имеет мини-
мально возможную глубину среди формул над множеством Ф, реали-
зующих функцию /:
1) 21 = (ж -> (у ф у)) ф у, f = X~y, $ = {©,->};
2) 21 = ж ~ (у ~ (ж V у)), f = х - у, Ф = {V, ~};
3) 21 = (ж | ж) | ((ж | у) | у), f = xVy, Ф = {|};
4) 21 = ж • у, f = x^y, Ф = {1, &};
5) 21 = (ж -> у) у ж, / = жфу, Ф = {],->};
6) 21 = ((ж -> у) -> у) ~ (ж ~ у), f = x-y, Ф = {~, ->};
7) 21 = ((ж 4.ж) J. (у Гу) Ф ((ж J-ж) | (у Гу)), f = x\y, ф = Ш;
8) 21 = ((ж -> у) • (у -> z)) • (z ж), f = (ж V у V z) -4- ж -у • z,
Ф = {&,
9) 21= (ж —> у) —> (ж —> 0) • у, f = ж ф у, Ф = {0, —>, &);
10) 21 = ((ж —> z) —> у) • (z —> (у —> ж)), f = ж • у V ж -~z\! у -~z,
Ф = {&, ->}.
1.2 4. 1) Пусть булева функция /(ж, у) удовлетворяет соотноше-
нию /(/(ж, /(у, z)), у), f(x, z))) = 1. Доказать, что тогда
справедливы следующие эквивалентности:
а) /(ж, ж) = 1; б) /(ж, /(у, ж)) = 1;
в) /(/(/(ж, у), /(ж, z)), /(ж, f (у, ^))) = 1;
г) /(/(ж, у), /(/(ж, /(у, z)), рх, г))) = 1;
Д) /(/(ж, /(у, z)), ру, рх, z)\) = 1.
2) Выяснить, вытекают ли эквивалентности б), в) и г) из д).
4. Двойственные функции. Принцип двойственности.
Пусть /(ж1,...,жп) — произвольная булева функция, зависящая
от n 1 переменных. Функция /(Ti, ..., Тп), обозначаемая обыч-
но /*(Ж1, ..., хп) (или, подробнее, [/(rci, ..., жп)]*), называется
двойственной (к) функции f(xi,...1xn). При п = 0 полагают (по
определению), что функция 0 двойственна 1, а 1 двойственна 0. Если
функция f(xn) совпадает с функцией, которая двойственна ей, т.е.
с f*(xn\ то она называется самодвойственной. Самодвойственными
являются, например, функции ж, х и х ф {у ф z).
Справедлив следующий принцип двойственности.
Если функция / реализуется формулой 21, имеющей строение
C[/i, ..., Л], то двойственная ей функция /* реализуется форму-
лой 21*, имеющей такое же строение, как и формула 21, и 21* =
— С[/Г, •' ч А*]? в частности, если 21 = Ф(<^П1\ ..., то 21* =
= И"1]*).
Пример 12. С использованием принципа двойственности по-
строить формулу, реализующую функцию, двойственную функции
f = (ж V (1 ?/)) V yz V (х | у ф z). Полученную формулу по возмож-
ности упростить.
Решение. Так как (х V у)* = х • т/, 1* = 0, (х —> 2/)* = % у =
= х V у = х • т/, (х • т/)* = х V 2/, (ж)* = Т, (ж | 2/)* = х у и (ж 2/)* =
= х | 2/, то /* = (ж(О2/))(2/ V ~z)(x ф у | z). Применяя коммутативный и
ассоциативный законы для конъюнкции, а также эквивалентнос-
ти 0 = 1, 1 • .т = .т, х ' х = X) х = ж, х[у = х-у к х\у = х\/у.
получаем /* = х • у • (у V z) • х • у | z = х • у • (у V z) & х(у V ~z) = х • у •
• (у У ~z) • (у V z). Раскрывая скобки в последнем выражении и ис-
пользуя эквивалентности х • х = х, ж • ж = 0, х • 0 = 0 и ж V 0 = ж,
имеем /* = x- y-(y-yVy-zVz-y\/z-z) = xyz.
1. 25. Используя непосредственно определение двойственности бу-
левых функций, а также основные эквивалентности и соотношения
из задачи 1.20, выяснить, является ли функция g двойственной к
функции /:
1)/ = жфу, g = x~y; 2)f = x\y, д = х\.у,
3) f = х -^у, д = х-у;
4) f = (х -> у) -> (у -> ж), д = (х -> у) • (у -Ф ж);
= g = x®y®z, 6)f = x-y\/zJ g = x • (у V z)\
7) f = ху Ф xz Ф yz, g — xy\J xz\J yz\
8) f = x-y -> z, g = x-y-z;
9) f = (ж V у V z) • i V x • у • z, g = (x V у V z) • t V x • у • z;
10) f = ху V у z V zt\! tx, g = xz\l yt;
11) f = (ж V у) -> (z ф t), g = (ж | у) • (z ~ i);
12) f = (ж -> у) • (z -> t), g = (ж -> z) • (ж -> i) • (у z) • (у -> t).
Замечание. Если функция задана в табличной или векторной
форме, то при построении функции, двойственной ей, удобно быва-
ет использовать тот факт, что на противоположных наборах двойст-
венные функции принимают противоположные значения, т.е. если
f = f(xi, Хп) и g = то з(71; ..., 7т) = /(71, ..., 7„) при
любом наборе (71, ..., 7П). В частности, если функция f задана век-
тором Sf = («о,^!, • • •, «2^-2, то функция /* задается векто-
ром {(У.2п — 1, <У-2п — 2 , •••? CKIjCKq)-
1.2 6. Пусть 21 — формула над множеством S = {0, 1, "I, &, V,
ф, |, —>}. Формула 21* над тем же множеством S называется
двойственной (к) формуле 21, если она получается из 21 заменой
каждого вхождения одного символа из пар (0, 1), (&, V), (ф, ~),
(|, ф) на другой символ из той же пары.
1) Доказать, что если функция / реализуется формулой 21 над
множеством S, то двойственная ей функция /* реализуется форму-
лой 21* (доказательство провести двумя способами: а) непосредст-
венно, используя индукцию по «сложности формулы», т.е. по числу
вхождений в нее символов из множества S; б) применяя принцип
двойственности).
2) Показать, что если формулы 2( и 25 (над множеством S) экви-
валентны, то эквивалентны также формулы 21* и 25*.
1.27. С использованием принципа двойственности построить фор-
мулу, реализующую функцию, двойственную к функции /, и убе-
диться в том, что полученная формула эквивалентна формуле 21:
1) / = х • 1 V у • (z V 0) V х • у • z, 21 = х • {у ф г);
2) / = (ж у) Ф ((ж | у) 1(х ~ у • z)), 21 = х • у \/ х • у V у • z,
3) / = (х V у V (у • z ф 1)) z, 2( = х V у V z;
4)f = x-yVy-zVy-z, 21 = х -у -~z\l у • г;
5) f = ((ж у) V z) • (у • z (х Ф у • г)), 21 = (ж Ф у) • z,
6) / = (((ж V у V (у • z ~ 1)) Ф 1) -Э 0) | у, 21 = х- zV у,
7) / = (ж V?/V J) 4 (.т (,тф?/ • г)), 21 = (ж ~ z) • у,
8) f = X- y\/y-Z\/Z-t, ^i = X'Z\/Z'y\/y‘t;
9) / = (ж V 1/ V z) V ж • • 2, = (х V у \/ z) • t \/ х • у • z;
10) / = (ж • (у • z V 0) ~ (t • 1 V х • ?/)) Уу-t, 21 = (ж V (z ф £)) • у.
5. Фиктивные и существенные переменные. Отождествле-
ние переменных у булевых функций. Переменная Xi (1 г п)
функции /(ж1, ..., x^-i, ж*, Жг+i, ..., жп) называется существенной,
если можно указать такие наборы а и /3, соседние по г-й компо-
ненте (т. е. а = («1, ..., 0, a^+i, • • •, скп) и /3 = («1, ..., с^-i, 1,
«г+15 • • •, ап)), чт0 7^ /(^)- В противном случае переменная xi
называется фиктивной (или несущественной) переменной функ-
ции /(xi, ..., х^!, Xi, xi+1, ..., хп). Две функции f(xn) и д(ут) на-
зываются равными, если множества их существенных переменных
совпадают и на любых двух наборах ап и (Зт, различающихся, быть
может, только значениями несущественных переменных, значения
функций одинаковы: f(an) = g(j3m). Если f(xn) и д(ут) — равные
функции, то одну из них можно получить из другой путем добавления
и/или изъятия фиктивных переменных.
Пусть 1 21 < Z2 < • • • < ik С П. Говорят, ЧТО функция ф{х-!, . . .
• • • 7 ^21 — 1 7 ^7 *^21+1 7 * * * 7 ^22—1 7 ^22 + 1 "> ’ ' * 1 ^^к ~ 1 ? *^2fc +1 7 • • • 7 % п) ПОЛуЧв~
на из функции f(xn) путем отождествления переменных х^,
Xi2, ..., Xik, если является результатом подстановки переменной х
в функцию / на места переменных х^, Xi2, ..., Xik. В качестве х
можно взять любую переменную, не входящую в множество Хп\{х^,
Ж22 7 • • • 7 Xik }•
Пример 13. Перечислить все существенные и фиктивные пере-
менные функции /(ж4) = (1100001111000011).
Решение. Сравнивая значения функции на всех парах наборов,
соседних по переменной ж4, видим, что
/(0, 0, 0, 0) = /(0, 0, 0, 1) = /(0, 1, 1, 0) = /(0, 1, 1,1) =
= /(1, 0, 0, 0) = /(1, 0, 0,1) = /(1, 1, 1, 0) = /(1, 1, 1, 1) = 1,
/(0, 0, 1, 0) = /(0, 0, 1, 1) = /(0, 1, 0, 0) = /(0, 1, 0, 1) =
= /(1, 0, 1, 0) = /(1, 0, 1, 1) = /(1, 1, О, 0) = /(1, 1, о, 1) = о,
т.е. /(xi, Ж2, жз, 0) = /(ж1, ^2, х%, 1). Следовательно, переменная Х4
фиктивная. Далее, так как /(0, 0, 0, 0) = 1, а /(0, 0, 1, 0) = 0
и /(0, 1, 0, 0) = 0, то переменные жз и х2 существенные. Наконец,
принимая во внимание соотношения /(0, х2, хз, ж4) = (11000011) =
= /(1, Ж2, Х3, ж4), заключаем, что переменная х± фиктивная. Итак,
у функции /(ж4) переменные х± и Х4 фиктивные, а переменные х2
и хз существенные. (Нетрудно убедиться в том, что /(ж4) = х2 ~ Ж3.)
Пример 14. Перечислить все фиктивные и существенные пере-
менные функции /(ж4) = ((^1^2 V Хз) ~ (Ж1Ж4 V Ж2Ж3)) (((^2 Ф
ф х4) V Хз) I (Ж1 • (ж2 -> (ж3 ф ж4)))).
Решение. Для решения данной задачи можно действовать так
же, как при решении предыдущей, т.е. сравнивать значения функ-
ции на парах соседних наборов, чтобы выяснить, совпадают или
нет соответствующие подфункции функции /(ж4) (ибо переменная Xi
фиктивна тогда и только тогда, когда /q i (ж4) = (х4)). Однако при
3 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
задании булевой функции в «аналитической форме» для выяснения
того, какие переменные у нее существенные (а какие фиктивные),
иногда бывает полезно преобразовать исходное выражение к некото-
рому специальному виду, например к совершенной дизъюнктивной
нормальной форме или полиному Жегалкина (см. § 2, пп. 2 и 3).
Оказывается, что переменная xi функции f(xn) является фиктивной
тогда и только тогда, когда:
1) в совершенной д. н. ф. этой функции вместе с каждой элемен-
тарной конъюнкцией вида х°^ К содержится и элементарная конъюнк-
ция х^К (см. задачу 2.16) или
2) в полиноме Жегалкина, реализующем эту функцию, перемен-
ная Xi отсутствует.
Для решения сформулированной задачи мы сначала преобразу-
ем (с помощью основных эквивалентностей) исходное аналитическое
задание функции f(x4) к достаточно простой дизъюнктивной нор-
мальной форме (см. § 2, п. 2), а затем, подставляя на места соот-
ветствующих переменных 0 и 1, получим нужные нам подфункции
функции /(ж4) и сравним их между собой.
Сначала воспользуемся эквивалентностями х -> у = х V у, х = х,
х ~ у = х ф у и х \ у = х V у. Получаем
/(ж4) = ((#1#2 V Жз) ф (^1^4 V Ж2Ж3)) V
V (х2 фж4) V ж3 V х-1 (ж2 v (ж3 фж4)).
Далее применяем эквивалентности
х ф у = ху У ху, х\/у = х-у, х ф у = х ~ у = ху V ху,
х-у = х\/у, X = X, X ф?7 = х Ф у Ф1 = х ф у = хуУ ху.
Это приводит нас к такому соотношению:
/(ж4) = (#1^2 v Ж3)Ж1Ж4 V ж2Т3 V Ж1Ж2 V Ж3(Ж1Ж4 V ж2ж3) V
V (ж2ж4 V ж2ж4)^з V Xi V х2(хзХ4 V Х3Х4).
Так как Tix4 V ж2Тз = Tix4 • ж2жз = (х± V ж4) • (х2 V жз) и Ж1Ж2 V хз =
= Ж1Т2 • хз = (Т1 V ж2)Тз, то из последнего выражения для /(ж4) после
раскрытия скобок получаем формулу
Ж1Т2 V Ж1Т2Жз V Ж1Т2ж4 V Ж1Т2ЖзЖ4 V Ж1Ж2^з V
V Ж1Ж3 V Т2ЖзТ4 V ЖзТ4 V Ж1^3ж4 V Ж1Ж2Жз V Ж1Ж2ТзЖ4 V
V ж2Тз V ж2жзж4 V ж2ж3ж4 V Ж1 V ж2жзж4 V ж2жзж4.
С помощью правила поглощения 2( V 2153 = 21 эта формула может
быть преобразована к следующему виду:
Ж1 V ЖзТ4 V ж2Тз V Ж1ЖзЖ4 V ж2ЖзТ4 V ж2жзж4.
С использованием эквивалентностей ж V х = 1 и х • 1 = х получаем
/(ж4) = Xi V ЖзТ4 V ж2Тз V Т1ЖзЖ4 V ж2ж3(ж4 V ж4) =
= Ж1 V ЖзТ4 V TiT3T4 V хз(х2 V ж2) = Xi V ЖзТ4 V Т1ЖзЖ4 V Хз.
Наконец, применяя еще раз правило поглощения и эквивалентность
ху\/х = х\/у, имеем f(x4) = х± V Х3 V Ж4. Отсюда сразу следует,
что переменная х% фиктивная. Далее, так как /(О, 0, 1, 1) = 0, а
/(1, 0, 1, 0) = /(0, 0, 0, 1) = /(0, 0, 1, 0) = 1, то остальные три пере-
менные у функции /(ж4) существенные.
Пример 15. Выяснить, можно ли, отождествляя и переименовы-
вая переменные в функции /(ж4) = (ж1 V х^ \/жз)ж4 V Ж1Ж2Ж4, полу-
чить функцию #1(Ж1, Х2) = Xi V Х2 или функцию #2(^1, Х2) = Xi | Х2-
Решение. Легко заметить, что /(0) = 1 и /(1) = 0. Следова-
тельно, всякая функция, которая получается из функции /(ж4) путем
отождествления и переименования переменных, на нулевом наборе
равна 1, а на единичном — 0. В то же время функция #1(ж2) этому
условию не удовлетворяет (#1(0, 0) = 0 и pi(l, 1) = 1). Значит, функ-
цию из функции / описанным выше способом построить нельзя.
Далее, хотя функция д2 на 0 равна 1 и на 1 равна 0, отсюда еще
не следует, что ее можно получить из функции /, отождествляя и
переименовывая переменные. Чтобы выяснить, получается или нет
указанным способом из функции f функция /72 • можно, естественно,
перебрать все возможности построения из функции / двуместных
функций (с помощью отождествления и переименования переменных)
и сравнить полученные функции с функцией д2- При этом нужно
будет рассмотреть семь вариантов: 1) х± = Х2 = Х3 = х, Х4 = у;
2) х^ = Х2 = Х4 = х, хз = у; 3) х± = ж3 = ж4 = х, х2 = у; 4) ж2 =
= Хз = Х4 = X, Xi = у; 5) Xi = Х2 = Ж, Хз = Х4 = у, 6) Ж1 = Ж3 = Ж,
Ж2 = Ж4 = У\ 7) Xi = Х4 = X, х2 = Хз = у.
Такая процедура несколько утомительна. Можно поступить иначе.
Предположим, что функцию д2 указанным путем из функции / по-
строить можно. Из соотношений #2(0, 1) = #2(1, 0) = 1 следует, что
должна существовать пара противоположных наборов а = (cq, се25
«з, щ) и (3 = («1, «2, ей), на которых функция / обращается в 1,
Т. е. функция Ж2, Ж3, Ж4) = /(Ж1, Ж2, Жз, Ж4) & /(Ж1, Ж2, Жз, Ж4) не
должна быть равна 0.
Тот набор (любой), на котором функция р(ж4) равна 1 (если р
0), и определит соответствующее отождествление переменных.
Имеем
(/?(ж4) = ((Ж1 V Ж2 V Жз)ж4 V Ж1Ж2Ж4) • ((Ж1 V Ж2 V Жз)ж4 V Ж1Ж2Ж4) =
= Ж1Ж2Ж4(Ж1 V Ж2 V Жз) V Ж1Ж2Ж4(Ж1 V Ж2 V Ж3) = Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж2Ж4.
Очевидно, что </?(ж4) равна 1 только на наборах (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0),
(0, 0, 0, 1) и (0, 0, 1, 1). Взяв, например, набор (1, 1, 0, 0), приходим к
такому отождествлению: Ж1 = Ж2 = ж и жз = Ж4 = у; оно дает
/(ж, ж, ?/,?/) = (ж V ж V у)у V хху = ху \/у \/ху = х \/у = х \ у.
Набор (1, 1, 1, 0) дает отождествление Ж1 = Ж2 = жз = ж и Ж4 = у и
функцию
/(ж, ж, ж, у) = (ж V ж V х)у V ж • ж • у = у V ху = ж V у = ж | у.
з*
Других отождествлений (с точностью до переименования перемен-
ных), дающих функцию г/2, нет. Итак, функцию #2(^1, х%) из функ-
ции /(ж4) с помощью отождествления и переименования пере-
менных получить можно, а именно #2(^1, ^2) = /(^1, ж2, #2) =
= /(^1, ЖХ, ЖХ, ж2).
1.28. Указать все фиктивные переменные функции /:
1) /(53) = (10101010); 2) /(ж3) = (01100110);
3) Дж3) = (11110011); 4) /(ж4) = (1011010110110101);
5) Дж4) = (0101111101011111); 6) Дж4) = (1100110000110011).
1.29. Показать, что Ж1 — фиктивная переменная функции f
(реализовав для этой цели функцию f формулой, не содержащей явно
переменную жх):
1) Дж2) = (ж2 -4 Ж1) • (ж2 j. ж2); 2) Дж2) = (Ж1 ~ ж2) V (жх | ж2);
3) Дж3) = ((Ж1 ф ж2) -4 ж3) ж3 -4 ж2;
4) Дж3) = ((Ж1 V ж2) -4 Ж1 ~ ж3)) Ж1 -4 (ж2 V ж3);
5) Дж3) = ((Ж1 V ж2 ж3) ~ (жх -4 ж2 ж3)) (ж2 J. ж3);
6) /(ж3) = ((Ж1 V ж2 V ж3) -4 (Ж1 • ж2 | ж3)) ф (ж2 -4 Ж1) • ж3;
7) Дж4) = (Ж1 -4 ((ж2 -4 Ж3) -4 Ж4)) ~ Ж1 • (ж2 -4 ж3) • ж4;
8) Дж4) = (жх • ж2 V ж3) (ж2 V Ж1 ж4) -4 (жх -4 (ж2 -4 ж3));
9) Дж4) = (жХЖ2 V Ж3Ж4) • (жХ ф ж2 ф ж3) -4 ж4) ф
ф (жхж2(ж3 -4 ж4) V жзж4);
10) Дж4) = ((Ж1 I ж2) 4 ((Ж1 4 ж4) I (ж3 4 Ж4))) | ((Ж1 | Жз) I ж2).
1.30. Перечислить существенные переменные следующих функ-
ций:
1) Дж2) = ((Ж1 V Ж2) -4 Ж1 • Ж2) ф (Ж1 -4 ж2) • (ж2 -4 жх);
2) Дж2) = (Ж1 -4 ((ж2 -4 Ж1) -4 Ж2)) ~ (Ж1 V ж2);
3) Дж2) = (Ж1 ф (ж2 -4 (жх ~ ж2))) V Ж1 -4 ж2;
4) Дж2) = (Ж1 • ж2 ф (Ж1 -4 ж2)) -4 (Ж1 ~ Ж1 • ж2);
5) /(ж2) = (Ж1 • ж2 -4 (Ж1 -4 ж2)) -4 Ж1 • ж2;
6) /(ж3) = (Ж1 -4 ж2 Жз) • (ж2 -4 Ж1 • Жз) V (Ж1 ~ ж2);
7) /(ж3) = ((Ж1 -4 ж2) ф (ж2 -4 Жз)) ф (ж2 -4 Жз);
8) /(ж3) = ((Ж1 V ж2 Жз) -4 (ж2 -4 Ж1 Жз)) -4 (жх V Жз);
9) /(ж3) = ((Ж1 4 (ж2 I ж3)) 4 (ж2 I (Ж1 4 Жз))) 4 (Ж1 I ж2);
10) /(ж4) = (жх • ж2 ф ж3 • ж4) V ((жх • жз ~ ж2) -4 ж4) V жх • ж3.
1.31. 1) Доказать, что если у функции f(xn) (n 1) имеются
фиктивные переменные, то она принимает значение 1 на четном числе
наборов.
2) Выяснить, верно ли утверждение, обратное к 1).
3) Пусть функция f(xn) такова, что \Nf\ = 2т(21 — 1), где т 0
и Z > 1. Каково максимально возможное число фиктивных перемен-
ных у этой функции?
1.32. Пусть функция f(xn) задана вектором af = (uq, а±,...
..., 02”-1)- Доказать, что если ж* — фиктивная переменная, то
о, = a2n-k+i для всех г, удовлетворяющих условию s 2n~k+1 С С
(2s + 1) • 2n~k - 1, где s = О, 1, ... 2fc-4 - 1.
1.33. С использованием результатов задач 1.31,1) и 1.32 выяснить,
какие переменные функции f являются существенными:
1) Дж4) = (1001001100110010);
3) Дж4) = (1100001100111100);
5) Дж4) = (0011110000111100);
7) Дж4) = (0110110110110111);
9) Дж4) = (0111011110101010).
1.34. Выяснить, при каких п (:
2) /(г4) = (0110011101110110);
4) Д£4) = (0001000101110111);
6) = (0001100101101110);
8) fix4) = (0000000111111110);
2) функция f(xn) зависит су-
щественно от всех своих переменных:
1) f(xn) = (Ж1 V ж2 V ... Vхп)
((^i V ж2) • (ж2 V ж3) • ... • (жп_1 V хп) • (хп V жх));
2) f(xn) = (жхж2 V ж2ж3 V ... V xn—ixn \/ хпхг)
(жхж2 ф ж2ж3 ф ... ф хп-1Хп ф жпЖ1);
3) f(xn) = ((Ж1 V ж2 У • • • V хп) Ж1 • ж2 • ... • хп) -4
—> (#1 ф х2 ф ... ф хп Ф 1);
4) f(xn) = (Ж1 (ж2 -4 ... (хп-1 -4 жп)...)) ->
-4- (Ж1 -4 Жп)(ж2 -4 Жп) . . . (жп—1 -4 Хп);
5) /(жп) = (Ж1 I ж2) Ф (ж2 | ж3) ф ... ф (жп-1 I хп) Ф (хп | Ж1);
6) /(жп) = (Ж1 -4 ж2)(ж2 -4 Жз) . . . (жп-1 -4 жп)(жп -4 ЖХ) ~
~ (Ж1 ф ж2 ф ... ф жп).
1.35. Булевы функции /(жп) (п 1) и д(ут) (m 1) существен-
но зависят от всех своих переменных. Переменные жх, ..., жп, г/i, ...
, ут попарно различные. Показать, что функция f(g(yi, ..., ут),
ж2, ..., хп) существенно зависит от всех своих переменных.
1.36. Доказать, что всякая булева симметрическая функция (см.
задачу 1.6, 7)), отличная от константы, существенно зависит от всех
своих переменных.
1.37. Пусть п 1 и функции f(xn) и д(хп) таковы, что сум-
ма f(xn) Ф д(хп) обращается в 1 на нечетном числе наборов. Дока-
зать, что для всякого i = 1, ..., п переменная ж* является существен-
ной хотя бы у одной из функций, f или д.
1.38. Через Рс(Хп) (n 1) обозначим множество всех булевых
функций, зависящих от переменных жх, ж2, ..., хп и при этом от
каждой из них существенным образом.
1) Выписать все функции множества РС(Х2).
2) Найти число элементов множества РС(Х3).
3) Доказать, что |Pc(Xn)| = (—1)к ( , ) • 22"
к=о
тт г \Рс(Хп)\ ,
4) Показать, что пт -— = 1.
п—22
1.39. Выяснить, можно ли из функции /, отождествляя и переиме-
новывая в ней переменные, получить функцию д:
1) /(ж3) = (11001011), д(х2) = (1011);
2) /(23) = (10101100), д(х2) = (1000);
3) /(®3) = (00110010), 5(ж2) = (ОНО);
4) Дж4) = (0110110111100011), д(х3) = (01100111);
5) Дж4) = (1111110100011011), д(х2) = (1001);
6) /(ж3) = жхж2 V жхж3 V ж2ж3, з(ж2) = Ж1Ж2;
7) /(ж3) = (Ж1 V ж2)ж3 ф Ж1Ж2, Дж2) = Ж1 V ж2;
8) Дж3) = (Ж1 -4 (ж2 -4 ж3)) -4 (Ж1 -4 ж3), Дж2) = жх -4 ж2;
9) Дж4) = (жхж2 V ж3ж4) -4 (жхж2 -4 (ж3 V ж4)),
Дж3) = Ж1 -4 (ж2 V ж3);
10) /(ж4) = (жхж2 V ж3ж4) ф (ж4ж4 V ж2ж3), Дж2) = Ж1 | ж2.
1.40. 1) Доказать, что если функция /(ж3) существенно зависит
от всех своих переменных и удовлетворяет условию /(0) = /(1), то
найдется пара переменных, отождествляя которые можно получить
функцию, существенно зависящую от двух переменных.
2) Показать, что условие /(0) = /(1) отбросить нельзя.
1.41. Пусть п 2 и функция f(xn) такова, что \Nf\ > 2П-1.
Показать, что при отождествлении в ней любых двух переменных
получается функция, отличная от тождественного нуля.
1.42. 1) Пусть функция /(#1, #2, •••5 #п) (п 3) удовлетво-
ряет условию: сумма /(0, 0, жз, ..., хп) ф /(1, 1, жз, ..., хп) обраща-
ется в 1 на нечетном числе наборов. Доказать, что в этом случае
функция /(^1, Х2, хз, ..., хп) существенно зависит от всех п — 1
переменных.
2) Показать, что утверждение 1) справедливо и в том случае, когда
вместо суммы /(0, 0, хз, ..., хп) ф /(1, 1, хз, ..., жп) берется импли-
кация /(0, 0, хз, ..., хп) /(1, 1, хз, ..., хп). Однако заменить ф
на & или V нельзя.
1.43. Доказать, что число Q(g(xn)) тех функций f(xi, х^ ...
..., хп, жп+1), из которых отождествлением переменных можно полу-
чить данную функцию д(хп) = g(xi, #2, • • •, хп), удовлетворяет соот-
ношению
ит QM )) = 1.
п^оо П • 22™
1.44. Пусть функция f(xn) удовлетворяет условию: для некото-
рых наборов ап, (Зп и уп таких, что ап (Г1 уп, выполняются
соотношения f(j$nY Доказать, что:
1) функция f(xn) зависит существенно не менее чем от двух
переменных;
2) можно так отождествить переменные у функции f(xn), что
получится функция, существенно зависящая не менее чем от двух, но
не более чем от трех переменных.
1.45. Доказать, что если функция f(xn) существенно зависит не
менее чем от двух переменных, то найдутся три набора 5П, (Зп
удовлетворяющие условиям р(йп, Дп) = р((Зп, 7n) = 1, ап
1.46. Последовательность вершин До, Д1, • • • 5 Д&—15 Д™ куба Вп
называется цепью (длины к), соединяющей вершины (3q и (Зк, если
p((3i) fli+i) = 1 при i = 0, 1, ..., к — 1. Пусть функция f(xn) изме-
няет свое значение т раз (т 1) в вершинах некоторой це-
пи До, (31, • • •,/Зк-i, (Зп, соединяющей вершины До и (Зк такие, что
р((3в, (Зк) — к. Доказать, что функция f(xn) существенно зависит не
менее чем от т переменных.
1.47. Доказать, что если функция f(xn) существенно зависит от
переменной Xi (1 i п) , то двойственная ей функция f*(xn) так-
же зависит существенно от переменной Xi.
§ 2. Специальные представления булевых функций
1. Разложения булевых функций по переменным. Совер-
шенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные
формы. Пусть f(xn) — булева функция и 1 и < 22 < ... < 2^ п.
Функцию, получаемую из f(xn) подстановкой на места перемен-
ных х^, Xi2, ..., Xik констант ai, (?2, • • •, &к соответственно, назы-
вают х^ х^ ... -компонентой функции f(xn) или подфунк-
цией функции f(xn) И обозначают через fa\a22C.alk
или При к = 0 подфункция функции f(xn) просто
совпадает с самой этой функцией. Если к 0 и к п, то под-
функция называется собственной. Подфункции функ-
ции f(xn) различны, если они отличаются как функции от перемен-
ных Ж1, ^2,..., хп.
Справедливо следующее представление:
Ж'1) = V W
(<71,сг2,
где 1 21 < 22 < ... < ik Ti (к 1) и дизъюнкция берется по всем
наборам (бТ1, сг2, ..., (?к) из Вк.
Это представление называется разложением функции f(xn) по к
переменным х^, Xi2, ..., Xik.
Если к = 1 и 21=2, то выражение (1) можно записать в форме
f(xn) = Xi • /(Ж1, . . . , Xi-l, 0, xi+1, . . . , Жп) V
V Xi • /(Ж1, . . . , ^-1, 1, Жг+1, . . . , Хп). (2)
Представление (2) называется разложением функции f(xn) по
переменной Xi. Оно бывает полезно при доказательстве каких-либо
свойств булевых функций по индукции.
При к = п представление (1) имеет вид
/(£") = v ...,^), (з)
(СГ1,СГ2, •••; сгте)
и его называют разложением функции f(xn) по всем п переменным.
Если f(xn) 0, то выражение (3) можно записать в иной форме:
f(xn) = V а«2 •••<”. (4)
5:/(5) = l
где дизъюнкция берется по всем наборам а = (cri, сг2, ..., сгп) Е Вп,
на которых функция f(xn) обращается в 1.
Правая часть формулы (4) называется совершенной дизъюнктив-
ной нормальной формой (сокращенно совершенной д. н. ф.) функ-
ции f(xn).
Кроме приведенных выше разложений булевых функций, широко
используются еще такие разложения:
a) f(xn) = & (</ V<22 V...V®^* ik(xn)Y (5)
где 1 21 < 22 < ... < ik п (k 1) и конъюнкция берется по всем
наборам (<7i, <72, • •, Cfe) из Вк',
б) f(xn) = (Xi V /(Ж1, . . . , Жг-1, 1, Xi+1, . . . , Хп)) X
X (Xi V f(Xi, Xi-!, 0, Xi+1, □?„)); (6)
в) f(xn) = & (xf1 V^2 V ... V/(<7i, ст2, ..., <7n)); (7)
(<T1,CT2, crn)
r) f(xn) = & vs< V ... (8)
<т:/(<т)=О ~
где конъюнкция берется по всем наборам а = (cri, сг2, ..., сгп) 6 Вп.
на которых функция f(xn) обращается в 0, и предполагается, что
f(xn) 1; правая часть формулы (8) называется совершенной конъ-
юнктивной нормальной формой (сокращенно совершенной к. н. ф.)
функции f(xn);
д) f(xn) = Ф (9)
(<Т1 ,<Т2, (Тк)
где 1 21 < 22 < ... < 2/. n (А; 1) и суммирование ведется по mod 2
и по всем наборам (<п, сг2, ..., сг&) из Вк ;
е) /(ж") = Xif^Xi, Xi-!, 0, xi+i, ..., хп) ф
Ф %if(x!, Xi-!, 1, Xi+1, ..., Хп)- (10)
ж) f(xn) = ф Жр®22 • • <Т2, • • • , 0п); (11)
((Г 1 ,СТ2 1 — ) О'тг )
з) /(г«)=_ф х^х^2... (12)
о-:/(о-) = 1 ~
где суммирование (по mod 2) ведется по всем наборам 5 = (<ti ,
^2, • • •, сгп) 6 Вп, на которых функция f(xn) обращается в 1.
Пример 1. Разложить по переменной Ж1, применяя формулы (2)
и (6), и представить в совершенных д.н.ф. и к.н.ф. следующие
функции:
1) Д(жх, ж2) = жх; 2) /2(жь ж2) = ж2; 3) /3(ж1, ж2) = жх V ж2;
4) /4(жх, ж2) = Ж1 -> ж2; 5) /5(^1, ж2, ж3) = ж2 ~ ж3;
6) /6(Ж1, Ж2, Жз) = Ж1Ж2 -> ж3.
Решение. 1) Так как /1(0, ж2) =0 = 1 и /1(1, ж2) = 1 = 0, то,
используя формулы (2) и (6), получаем Д(ж1, ж2) = жх = жх • 1 V
\/Ж1 • 0 = (ж1 V 0) • (ж1 V 1). Далее имеем /1(0, 0) = /1(0, 1) = 1 и
/1(1, 0) = /1(1, 1) = 0. Значит, для построения совершенной д.н.ф.
функции fi надо взять наборы (0, 0) и (0, 1) (функция Д равна 1
только на них), каждому из этих наборов сопоставить соответству-
ющую конъюнкцию (набору (0, 0) — конъюнкцию ж^ж^ = Ж1Ж2, набо-
ру (0, 1) — конъюнкцию Ж|Ж^ = Ж1Ж2), а затем полученные конъюнк-
ции соединить знаком дизъюнкции: Ж1Ж2 \/Ж1Ж2.
Аналогично, для построения совершенной к.н.ф. функции Д надо
взять все наборы, на которых Д обращается в 0, т.е. наборы (1, 0)
и (1, 1), каждому из этих наборов сопоставить соответствующую
дизъюнкцию (набору (1,0) — дизъюнкцию х\ V х® = ж? V х\ = Ж1 V ж2,
набору (1, 1) — дизъюнкцию ж/ V ж2г = ж? V Ж2 = Ж1 V ж2), а затем
полученные дизъюнкции соединить знаком конъюнкции: (ж1 V ж2) *
* (Ж1 V ж2).
2) Д(0, ж2) = ж2 и /2(1, ж2) = ж2. Значит, разложения (2) и (6)
по переменной Ж1 для функции /2 таковы: /2(ж1, ж2) = Ж1 • ж2 V Ж1 • ж2
и Д(ж1, ж2) = (Ж1 V ж2) • (Ж1 V ж2). Далее, /2(0, 0) =/2(1, 0) = 0 и
/2(0, 1) = /2(1, 1) = 1- Следовательно, совершенная д. н. ф. функции /2
имеет вид ж? • х\ У ж| • ж^ = Ж1Ж2 V Ж1Ж2, а совершенная к. н. ф. такова:
(жР V Ж2 ) • (Ж1 V Ж2 ) = (ж| V Ж^) • (ж^ V Ж2) = (Ж1 V Ж2) • (Ж1 V ж2).
3) /з(0, ж2) = 0 V ж2 = ж2, /3(1, ж2) = 1 V ж2 = 1. Поэтому имеем
/3(^1, ж2) = Ж1 • ж2 V Ж1 • 1 и /з(ж1, ж2) = (Ж1 V 1) • (Ж1 V ж2). Вычис-
ляя значения функции /3 на различных наборах значений переменных,
получаем /з(0, 0) = 0, /з(0, 1) = /3(1, 0) = /3 (1, 1) = 1. Затем строим
совершенные дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы
функции /3:
ж°ж| V ж|ж° V ж|ж| = Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Ж1Ж2, ж^ V х® = х\ V ж| = Ж1 V ж2.
4) /4(0, ж2) = 0 —> ж2 = 1, /4(1, ж2) = 1 ж2 = 0 V ж2 = ж2. Сле-
довательно, Д(ж1, ж2) = Ж1 • 1 V Ж1 • ж2 и Д(ж1, ж2) = (ж1 V ж2) &
& (Ж1 VI). Далее, /4(0, 0) = /4(0, 1) = /4(1, 1) = 1 и /4(1, 0) = 0.
Значит, совершенная д.н.ф. функции Д имеет вид ж^ж^ V ж^ж^ V
V ж|ж^ = Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Ж1Ж2, а совершенная к. н. ф. такова: ж/ V х® =
= ж? V Ж2 = Ж1 V ж2.
5) Д (0, ж2, жз) = Д(1, х2, жз) = ж2 Ж3. Поэтому разложения этой
функции по переменной Ж1, полученные по формулам (2) и (6), та-
ковы: Ж1 • (ж2 — ж3) V Ж1 • (ж2 — ж3) и (Ж1 V (ж2 — Ж3))(Ж1 V (ж2 — ж3)).
Вычисляя значения функции Д на различных наборах значений пе-
ременных, имеем /5(0, 0, 0) = /5(1, О, 0) = /5(0, 1, 1) = /5(1, 1, 1) = 1
и Д(О, О, 1) = 7*5(1, О, 1) = /5(0, 1, 0) = /5(1, 1, 0) = 0. Совершенная
д. н. ф. у /5 имеет вид
Ж1Ж2Ж3 V ЯдЖ2Ж3 V V ж|ж2Ж3 = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Х\Х2Х% ,
а совершенная к. н. ф. такова:
($1° V ж2° V Ж31) (ж/ V ж2° V Ж31) • (жр V ж2 V ж3°) • (жр V ж2 V ж3°) =
= (Ж1 V х2 V ж3) • (Ж1 V х2 Х/ж3) • (Ж1 V ж2 V ж3) • (х± V ж2 V ж3).
6) /б(0, ж2,ж3) = О -э ж3 = 1, /6(1, Жз) = 1 • Ж2 -> Жз = ж2 ->
—> Ж3. Следовательно, разложения этой функции по переменной Ж1,
полученные по формулам (2) и (6), имеют вид Ж1 • 1 V Ж1 • (ж2 —> жз)
и (ж1 V (ж2 —> жз)) • (ж1 V 1). Вычисляем значения функции fe на
различных наборах значений переменных: Д(0, 0, 0) = /б(0, 0, 1) =
= /б(о, 1, 0) = /6(0, 1, 1) = /6(1, 0, 0) = /6(1, 0, 1) = /6(1, 1, 0) и
/б(1, 1, 1) =0. Значит, совершенная д.н.ф. функции /б такова:
Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3. Совершенная
к. н. ф. функции имеет вид Ж1 V х2 V Ж3.
Замечание. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
функции /(Ж1) = Ж1 (как функции от одной переменной жД совпадает
с совершенной к.н.ф. и есть просто Ж1. В самом деле, /(0) = 1
и /(1) = 0; следовательно, совершенная д.н.ф. функции /(Ж1) = Ж1
имеет вид х® = х± и совершенная к.н.ф. такова же: х\ = х® =Ж1.
Аналогичное утверждение справедливо и для функции f(x2) = х2: ее
совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
совпадают с ней самой, т.е. с Ж2. Эти факты интересно сравнить с
соответствующими результатами для функций Д и f2 из приведенно-
го выше примера.
Пример 2. Представить в совершенной д.н.ф. и совершенной
к.н.ф. функцию /(ж3) = (01101001).
Решение. Функция / принимает значение 1 на наборах, номера
которых равны 1, 2, 4 и 7, т.е. на наборах (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)
и (1, 1, 1). Конъюнкции, соответствующие этим наборам, имеют вид
Ж1Ж2Ж3 = Ж1Ж2Ж3, Ж1Ж2Ж3 = Ж1Ж2Ж3, Ж1Ж2Ж3 = Ж1Ж2Ж3 И Ж^Ж^Жз =
= Ж1Ж2Ж3. Значит, совершенная д.н.ф. функции /(ж3) такова:
Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3. Для построения совершенной
к. н. ф. рассматриваем все те наборы, на которых функция / обра-
щается в 0. Это наборы (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) и (1, 1, 0). Соот-
ветствующие им дизъюнкции имеют вид
жх° V Ж° V Ж° = Ж1 V Ж2 V Жз = Ж1 V ж2 V Жз,
жх° V ж2г V Ж31 = ж]; V ж° V Ж3 = Ж1 V Ж2 V Жз,
Ж1 Уж2° V Ж31 = ж? V Ж2 V Ж3 = Ж1 V Ж2 V Жз,
ж/ V ж2х V Ж3 = ж° V ж° V Ж3 = Ж1 V ж2 V ж3.
Перемножая эти дизъюнкции, получаем совершенную к.н.ф. функ-
ции Д (Ж1 V ж2 V ж3) • (Ж1 V ж2 V ж3) • (ж1 V ж2 V ж3) • (ж1 V ж2 V ж3).
Пример 3. Представить в совершенной к.н.ф. Ж1-, х2- и
Ж2Жз-компоненты функции /(ж3) = (^1 Т2.Т3) ФЖ2, рассматривая
их как функции, зависящие только от «оставшихся» переменных.
Решение, хi -компонентой функции f (х 3) является
/1(ж3) = 7(1, ж2, Жз) = (1 -> ж2ж3) Ф ж2 = (О V ж2ж3) ФЖ2 =
= ж2ж3 Ф х2 = х2 V ж3.
Аналогично, ^-компонента функции /(ж3) есть функция /д(ж3) =
= /(Xi, 0, жз) = (^1 —> 0 • жз) ф 0 = Ж1 —> жз, а Ж2Жз-компонента -
функция /^3(ж3) = /(ж1, 1, 0) = (ж1 —> 1 • 0) ф 1 = Ж1 ф 1 — Ж1. Оче-
видно, что совершенная к.н.ф. функции <^1(ж2, Ж3) = х2 V жз совпа-
дает с ней самой, совершенная к.н.ф. функции <^2(ж1, Жз) = Ж1 —> жз
есть ж| V ж3° = ж? V ж^ = Ж1 V жз и, наконец, совершенная к. н. ф.
функции <рз(ж1) = Ж1 — это просто Ж1.
Пример 4. Доказать, что если /д(жп) = fl(xn) для всякого i
(1 i п), то функция f(xn) есть константа.
Решение. Разложив функцию / по переменной Xj (см. форму-
лу (2)), получаем
(жп) = ж ,^(жп) V (хп) = Xif^Xn) У Xif^Xn) =
= (жгУж^(£")-Ь^(жп)=^(£"),
т.е. Xi — фиктивная переменная функции f(xn). Так как Xi -
произвольно выбранная переменная, то, значит, все переменные функ-
ции f(xn) фиктивные. Следовательно, f(xn) есть константа.
Пример 5. Среди функций, зависящих только от двух перемен-
ных Ж1 ИЖ2, найти те, которые имеют наибольшее число разных под-
функций. (Каждая подфункция функции /(ж1, Ж2) рассматривается
как функция, зависящая от обеих переменных Ж1 и Ж2.)
Решение. Эту задачу можно решать следующим (громоздким,
переборным) способом: выписать все функции, зависящие от перемен-
ных Ж1 и Ж2 (их 16!), затем для каждой из них найти все ее подфункции
и выяснить, сколько среди них разных. Привлекая некоторые допол-
нительные утверждения, удается сократить перебор.
Например, можно воспользоваться следующими фактами (см. за-
дачу 2.6):
1) если функция д(хп) может быть получена из функции f(xn) пе-
реименованием переменных без отождествления, то число различных
подфункций у функции f(xn) и д(хп) одинаковое;
2) у двойственных функций число различных подфункций одина-
ковое;
3) если д(хп) = f(xn), то число различных подфункций у функ-
ций f(xn) и д(хп) одинаковое.
Принимая во внимание эти три утверждения, достаточно ограни-
читься рассмотрением пяти функций: 0, Ж1, Ж1Ж2, Ж1 ф х2 и Ж1 —> х2.
Нетрудно установить, что у функции 0 все подфункции равны
ей самой, а у функции х± три разные подфункции: 0, 1 и х±. У
функции Ж1Ж2 разных подфункций пять: Ж1Ж2, О, Ж1, Xz и 1. У функ-
ции Ж1 ф Х2 семь разных подфункций: х± ф ^2, ^1, #2, х± ф 1, Xz Ф 1,
О и 1. Наконец, у функции х± Xz пять подфункций: х± —> Ж2,
1—>Ж2=Ж2, Ж1 —> 0 = Ж1, 1 —> 0 = О И 0—> £2=^1—>1=0—>0 =
= (W 1 = 1 1 = 1.
Итак, наибольшее число разных подфункций (семь) имеют следую-
щие функции, зависящие от х± иХ2'. х± ф xz и х± ф xz Ф 1 = х± ~ xz-
Приведем еще одно решение данной задачи. Сначала заметим, что
у функции, зависящей существенно хотя бы от одной переменной, чис-
ло различных подфункций не меньше трех (она сама и две констант-
ные подфункции всегда отличны друг от друга). Поэтому тот случай,
когда исходная функция есть константа, можно не рассматривать (ибо
все ее подфункции просто совпадают с ней самой).
Далее, если функция f(xn) зависит существенно только от одной
переменной, то она имеет вид х%, где a G {0, 1} (г = 1, 2). Очевидно,
что у такой функции три различные подфункции: ж^,0и 1.
Теперь займемся исследованием функций, у которых обе перемен-
ные существенные. Возможны два подслучая:
а) функция f(x 2) принимает некоторое значение а на трех наборах
значений переменных, а другое значение а — на одном наборе);
б) функция f(x 2) принимает каждое значение (0 и 1) ровно на двух
наборах.
В случае а) в каждой паре подфункций (/(0, #2), /(1, #2)) и
(/(^1,0), /(#1, 1)) ровно одна подфункция является константой а, а
другая есть соответственно х% и х± (где ст, г Е {0, 1}). Отсюда сле-
дует, что у данной функции /(ж2) ровно пять различных подфункций:
сама функция /(ж2), х%, 0 и 1.
Перейдем к подслучаю б). Здесь ни одна из подфункций /(0, Ж2),
/(1, Ж2), /(^1, 0) и /(Xi, 1) не может быть константой. В самом деле,
если, например, /(0, xz) = <а, то функция /(1, xz) должна быть равна
тождественное; но тогда (см. формулу (2))
_ _ (Xi при а = 0,
х ) = х-^а V х±а = < _
при а = 1,
т.е. функция /(ж2) зависит несущественно от переменной Ж2, что
противоречит условию, наложенному на функцию /(ж2). Далее, так
как функция /(ж2) существенно зависит от обеих переменных, то
/(0, Ж2) /(1, Ж2) и /(ж1, 0) /(ж, 1). Действительно, если, напри-
мер, /(0, xz) = /(1, Ж2), то, используя формулу (2), получаем (ср. с
решением примера 4): /(ж2) = #1/(0, xz) V Ж1/(1, xz) = £i/(0, xz) V
V xi/(0, xz) = (xi V xi) • /(0, xz) = 1 & /(0, xz) = /(0, ж2), т. е. пере-
менная Ж1 фиктивная. Это противоречит условию, наложенному на
функцию /(ж2). Из всего сказанного относительно функций /(0, xz),
/(ДЖ2), J^(xi,_0) и /(Xi, 1) следует, что ДО, х^) = ж2, /(Д ^2) =
= ж2 = ж2 = ж2, /(ж1, 0) = Д и /(^1, 1) = Ху = Отсюда вытека-
ет, что у функции /(ж2) семь разных подфункций: она сама, 0, 1,
ж[, ж? и ж£. Нетрудно получить и выражение для функции /(ж2),
воспользовавшись, например, формулой (10):
/(ж2) = X1^2 Ф X1^2 = (Ж1 ф 1) Х% Ф Ж1(ж£ Ф 1) =
= £1^2 Ф х2 Ф #1^2 Ф Х1 = Х1 Ф х2 =
(%1 ~ Ж2, если а = 0,
= Ж1Фж2Фсгф1 = < .
[ х± ф Ж2, если а = 1.
(Здесь, как и выше, мы использовали эквивалентности ха = ха =
= ха ф 1, а также очевидные тождества ха = х ~ а = х ф су ф 1.)
2.1. Рассматривая соответствующую компоненту функции f(xn)
как функцию, зависящую от всех переменных Ж1, х^ ..., хп, предста-
вить ее в векторной форме:
1) /(ж3) = Ж1 —> (а?2 ФЖ1Ж3), Х2-компоненту;
2) /(ж3) = Ж1^2 | (х2 Ж1Ж3), жз-компоненту;
3) /(ж3) = (Ж1 V ж2 V ж3) (ж1 (ж2 —> Жз)), Ж1-компоненту;
4) /(ж3) = (01110100), ^-компоненту;
5) /(ж3) = (11001110), Ж2-компоненту;
6) /(ж3) = (10011110), жз-компоненту;
7) /(ж4) = (ж1 ф Ж2) (жз Ж1Ж4), Ж2Ж4-компоненту;
8) /(ж4) = (Ж1 V Ж2Ж3 V Ж4) ф (Ж1Ж2Ж3 —> Ж4), Ж1Ж2Жз-компоненту;
9) f(x4) = (0101011011100011), Ж1Ж4-компоненту;
10) /(ж4) = (1101101100001001), Ж2ЖзЖ4-компоненту.
2.2. Используя Xi~ и ж^-компоненты функции f(xn), построить в
векторной форме ее ж J-компоненту, причем эту компоненту
следует рассматривать как функцию, зависящую от всех перемен-
ных Ж1, Ж2, ..., хп:
1) /0х(ж3) = х2 х3) /1(ж3) = ж2, ж3-компоненту;
2) /д (ж3) = Ж1, /2 (ж3) = Ж1 ~ жз, Ж1 -компоненту;
3) /q(£3) = (00111100), /3(£3) = (11110000), Ж2-компоненту;
4) /д(ж3) = (10101111) , /р(ж3) = Ж1 | жз, жз-компоненту;
5) /□ (ж4) = Ж1 ф Ж4, (ж4) = Ж2 V Ж4, Ж2-компоненту;
6) /q(£4) = Ж1 —> Ж3Ж4, /р(ж4) = Ж1Ж3Ж4, Ж4-компоненту;
7) /о(ж4) = Ж2Ж3 ФЖ4, /1(ж4) = (1011011110110111), жз-компо-
ненту.
2.3. Представить в совершенной д.н.ф. следующие функции:
1) /(ж3) = (Ж1 V ж2) -4- ж3; 2) /(ж3) = (ж1 ж2) Ф (Ж1 | ж2ж3);
3) /(г3) = (01010001); 4) /(г3) = (ОШЮОО);
5) /(ж3) = (10001111); 6) /(ж4) = (ж1 -4- Ж2Ж3Ж4) • (ж3 -4 Ж1Ж2);
7) /(J4) = (Ж1еЖ2)-(ж3 -4ж2ж4); 8) /(£4) = (0100100011000010);
9) /(г4) = (1000011100110001); 10) /(г4) = (1100100010010011).
2.4. Представить в совершенной к.н.ф. следующие функции:
1)/(ж2) = ж4 ф ж2; 2)/(ж2) = ж4 / ж2;
3) /(ж3) = ж4ж2 V ж4ж3 V ж2ж3; 4) /(ж3) = ж4ж2 ф ж3;
5) /(ж3) = (01011101); 6) /(ж3) = (00101110);
7) /(ж4) = (жх V ж2 V жз) • ж4 V Ж1Ж2ж3;
8) /(ж4) = Ж1 -> (ж2 -> ж3ж4); 9) Дж4) = (0101111101110011);
10) Дж4) = (0110111011100101).
2.5. Представить в указанной форме соответствующую компонен-
ту функции f(xn) (рассматривая эту компоненту как функцию от
«оставшихся» переменных):
1) /(ж3) = ^1^2 —> жз, Ж1-компоненту в совершенной к.н.ф.;
2) /(ж3) = (ж1 | Ж2) • жз, жз-компоненту в совершенной д.н.ф.;
3) /(ж3) = Ж1Ж2 ~ (ж2 ~ жз), Ж2-компоненту в совершенной д. н. ф.;
4) /(ж3) — (11101101), Ж2-компоненту в совершенной д.н.ф.;
5) /(ж3) = (01011011), жз-компоненту в совершенной к.н.ф.;
6) /(ж4) = (ж1 V ж2 V жз)ж4 V Ж1Ж2Ж3, Ж2Жз-компоненту в совершен-
ной д. н. ф.;
7) /(ж4) = Ж1 —> ((Ж2Ж3 —> Ж4) -у Ж2), Ж2-компоненту в совершен-
ной к. н. ф.;
8) /(ж4) = ((ж1 | Ж2) ^Ж3) | (жг ФЖ4), жз-компоненту в совершен-
ной к. н. ф.;
9) /(ж4) = (0110111010110111), Ж2Ж4-компоненту в совершенной
Д.н.ф.;
10) /(ж4) = (1011011101111000), ^-компоненту в совершенной
к. н. ф.
2.6. Доказать, что число различных подфункций у функций f(xn)
и д(хп) одинаковое, если:
1) функция д(хп) получается из функции f(xn) переименованием
переменных без отождествления;
2) функция д(хп) получается из функции f(xn) заменой некото-
рых (быть может, всех) переменных на их отрицания;
3) д(хп) =
4) функции f(xn) и д(хп) двойственные.
2.7. Подсчитать число различных подфункций у функции f(xn),
Ж1- и Ж1-компоненты которой известны (напоминаем, что подфунк-
ции функции f(xn) следует рассматривать как функции, зависящие
от всех переменных Ж1, Ж2, ..., жп):
1)= ж2 v ... Ужга, /Дж") = 1 (п^2);
2)/0Дж") = ж2 Ф ... Фжп, /Дж”) = ж2 ф ... ф ж„ (п 2);
3)/0Дж") =ж2...жп, /Дж") = ж2 ... ж„ (п 2);
4) fo(xn) =x2...xnVx2...xn, fpxn) = х2 ... хп (п^2);
5) /о($”) = ж2 ... ж„, /Дж") = ж2 V ... V ж„ (п 2);
6) /о(ж") = ж2 V ... Ужп, /Дж") = ж3 V ... V жп (п 3);
7) /о(ж") = жз • -хп, fi(xn) = х2У х3 (п^ 3);
8) /о($”) = $2 -> хп, f}(xn) =х3...хп (п^З).
2.8. Найти число функций f(xn), удовлетворяющих условию:
/оо (^n) = fii ПРИ всех 3 таких, что 1 i < j п.
2.9. Показать, что число различных функций f(xn), для кото-
рых данная функция f(xk) является подфункцией, не меньше 22 —
_(22fc_1)2—
2. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.
Формула х°С кхаС &. ... &х°;, где ак € {0, 1}, x°ik = xik, х}к = xik,
ik Е {1, 2, ..., п}, к = 1, 2, ..., г (г 1 и п 1), называется
конъюнкцией над множеством Хп = {rri, ^2, • • •, хп}. Аналогично,
формула х^ V х% V ... V x°J называется дизъюнкцией над множест-
вом Хп. Если Х{. Xik при j к, то конъюнкция (соответственно
дизъюнкция) называется элементарной (сокращенно э. к. и э. д. соот-
ветственно). Выражения вида х°£ называются буквами. Число букв в
э. к. (и в э. д.) называется рангом э. к. (соответственно э. д.). Констан-
та 1 считается по определению э. к. нулевого ранга, а константа 0 —
э. д. нулевого ранга.
Формула вида
= Кг V К2 V ... V К (13)
(краткая запись Кгде Ki — попарно различные элементарные
i = l
конъюнкции (г = 1,2,..., s) и s 1, называется дизъюнктивной нор-
мальной формой (сокращенно д. н. ф.).
Формула вида
^ = Di&D2& ... (14)
S
(краткая запись & где Di — попарно различные элементарные
2=1
дизъюнкции (г = 1,2, ...,$) и s 1, называется конъюнктивной
нормальной формой (сокращенно к.н.ф.).
Число s в формулах (13) и (14) называется соответственно длиной
д. н. ф. и длиной к. н. ф. Сумма рангов всех конъюнкций, входящих
в д.н.ф., называется сложностью д. н. ф. Аналогично, сумма рангов
всех дизъюнкций, входящих в к. н. ф., называется сложностью к. н. ф.
Дизъюнктивная (соответственно конъюнктивная) нормальная
форма над множеством переменных Хп = {^i, х2, ..., хп} называ-
ется совершенной, если она составлена из элементарных конъюнкций
(соответственно элементарных дизъюнкций) ранга п (ср. с определе-
нием в п. 1).
Простейший (но весьма громоздкий) способ построения дизъюнк-
тивных и конъюнктивных нормальных форм для булевых функций
состоит в использовании эквивалентных преобразований.
Пример 6. С помощью эквивалентных преобразований пост-
роить Д. Н. ф. фуНКЦИИ /(ж4) = ((^1 Х2Х3) • (х2 ф Ж3Ж4) Ж1Ж2Ж4) V
V Ж1Ж2-
Решение. Используя основные эквивалентности из § 1, преоб-
разуем «постепенно» части формулы, задающей функцию /(ж4), к
Д’Н’Ф” Ж1 -> Ж2Ж3 = V Ж2Ж3; (см. 8, в))
Х2 Ф Ж3Ж4 = Ж2Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 = Ж2СЁ3 V Ж4) V Ж2Ж3Ж4; (см. 8, а) и 4, а))
(Ж1 -> ж2ж3)(ж2 Ф ж3ж4) -> Ж1Ж2Ж4 =
= (Ж1 V Ж2^з)(ж2(^3 V Ж4) V Ж2Ж3Ж4) Х1Х2Х4 = (см. 8, в))
= (xi V Ж2Ж3)(х2(х3 V Ж4) V Ж2Ж3Ж4) V Ж1Ж2Ж4 = (см. 4, а))
= ж"1 V Ж2Ж3 V #2(^3 V Ж4) V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж4 = (см. 4, б))
= жГЖ2Ж3 V £2(^3 V Ж4) &Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж4 = (см. 7, д) и 4, а))
= Ж1(ж2 V ж3) V (ж2 V ж3 V ж4)(ж2 V ж3 V ж4) V
Х/Ж1Ж2Ж4 = (см. 3,в), 4,6), 7,д))
= Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V (Ж2 V Ж3Ж4ХЖ2 V жз V Ж4) V
V Ж1Ж2Ж4 = (см. 3,в), 7, а), 7, в))
= Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3 V Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж4 V ;
/(ж4) = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3 V Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V
V Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж2 =
(см. 4,а), 7,д))
= Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3 V Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж4 V
V Ж1 V Ж2 =
= Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж4 V Ж1 V Ж2 =
= Ж2Ж3Ж4 V Ж2Ж4 V Ж1 V ж2 =
= Ж2Ж4 V Ж1 V Ж2 =
(см. 5, а))
(см. 6, а))
(см. 5, а))
(см. 6, а))
= Ж1 V Ж2 V Ж4.
Очевидно, что полученная д. н. ф. является и к. н. ф.
Если булева функция задана некоторой д.н.ф., то совершенную
д. н. ф. этой функции можно получить, используя преобразования вида
А = А • х V А -х и Л V А = А. Аналогично, совершенная к. н. ф. буле-
вой функции может быть построена из какой-либо к.н.ф. этой функ-
ции с помощью преобразований вида Л = (Л V ж) • (Л V7) и А • А = А.
Дистрибутивный закон x-(yVz)=x-yVx-z (см. 3, а) в § 1) сов-
местно с эквивалентностями ж • ж = ж, ж • ж = О, А • 0 = О, А V 0 = А
и законом поглощения А V А • В = А позволяет переходить от к.н.ф.
булевой функции к некоторой д. н. ф., задающей эту же функцию. Ана-
логично, используя дистрибутивный закон ж V у • z = (ж V у) • (ж V z)
(см. 3, б) в § 1), эквивалентности ж V ж = ж, ж V ж = 1, А V 1 = 1,
А • 1 = А и закон поглощения Л • (Л V В) = Л, можно из д. н. ф. буле-
вой функции построить некоторую к. н. ф. той же функции.
Пример 7. Используя преобразования вида А = А • х У А • х
и А V А = А, построить совершенную д.н.ф. функции f(x3) =
= Ж1 V Ж1Ж2 V ж2ж3.
Решение. Функция / задана д.н.ф. Каждая из входящих в эту
д. н. ф. конъюнкций элементарная. Значит, для построения совершен-
ной д. н. ф. достаточно «пополнить» каждую из конъюнкций недос-
тающими буквами х?, применяя соотношение А = А • х V А -ж, а
затем устранить повторения («привести подобные слагаемые») с
помощью эквивалентности А V А = А. Имеем х\ = ж1ж2 V Ж1Ж2 =
= Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2Ж3,~Ж1Ж2 = Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3, ж2ж3 =
= Ж1Ж2Жз V Ж1Ж2жз. Следовательно, /(ж3) = Ж1Ж2жз V Ж1Ж2Жз V Ж1Ж2жз V
V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3.
Пример 8. Применяя дистрибутивный закон х У yz = (ж V у) х
х (ж V z) и эквивалентности ж V ж = 1, AV1 = 1 и А • 1 = А, преоб-
разовать д. н. ф. Ж1 V Ж1Ж2 V ж2жз в к. н. ф.
Решение. Имеем х± V х± • ж2 = (х± V хр • (x± V ж2) = 1 & (х± V
V ж2) — Xi V ж2. Далее, (ж1 V ж2) V ж2жз = (ж1 V ж2 V ж2) & (Ж1 V ж2 V
V ж3) = (ж1 V 1) • (Ж1 V ж2 V Жз) = 1 • (жз. V ж2 V жз) = Ж1 V ж2 V жз.
Пример 9. Подсчитать число функций f(xn), У которых со-
вершенная к. н. ф. является одновременно и д. н. ф. (не обязательно
совершенной).
Решение. Совершенная к.н.ф. функции f(xn) есть «произве-
дение» элементарных дизъюнкций ранга п: D\ • D2 • ... • Ds (s 1).
Если n = 1, то имеется три возможности: Ж1, Ж1 и Ж1 • Ж1. Очевидно,
что дизъюнктивными нормальными формами являются только Ж1
и Ж1 (причем даже совершенными д.н.ф.). Пусть теперь п 2. Если
s 2, то формула D± • D2 • ... • Ds не может быть д. н. ф., так как
в каждой элементарной дизъюнкции Dj содержится не менее двух
букв. Значит, нужно исследовать только случай, когда s = 1. Имеем
f(xn) = жр V ж^2 V ... V хр1, где ai 6 {0, 1} (г = 1, 2, ..., п). Каж-
дая такая функция однозначно определяется заданием набора (сгх,
сг2, • ••, <тп). Следовательно, число соответствующих функций рав-
но 2П (при любом п 1).
Пример 10. Найти длину совершенной д.н.ф. функции f(xn) =
= (Ж1 V ж2 V ... V жп) • (Ж1 V ж2 V ... V жп), п 2.
Решение. Принимая во внимание определение длины д.н.ф. бу-
левой функции и процедуру построения совершенной д.н.ф., описан-
ную в § 1, заключаем, что длина совершенной д. н. ф. равна мощности
множества Nf (множества наборов, на которых функция / обращается
в 1). Следовательно, достаточно выяснить, на скольких наборах зна-
чений переменных выполняется равенство (ж1 V ж2 V ... V жп) • (ж1 V
\/ж2 V ... V жп) = 1.
Очевидно, что это равенство справедливо тогда и только тогда,
когда Ж1 V ж2 V ... V хп = 1 и Ж1 V ж2 V ... V хп = 1. Далее, элемен-
тарная дизъюнкция Ж|1 V ж£2 V ... V хр обращается в 1 на любом на-
боре, кроме набора (?ti , сг2, ..., ап), ибо если ж* = ai для некоторо-
го г, то ж^ = ар = 1 и ж?1 V ... V ж^гА V ар V жЙ-1 V ... V хр = 1.
4 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Значит, дизъюнкция Xi V Т2 V ... V хп равна 1 на всех наборах, за
исключением единичного набора 1 = (1, 1, ...,1),а дизъюнкция х± V
V ж2 V ... V хп равна 1 на всяком наборе, кроме нулевого: 0 = (0, 0, ...
..., 0). Таким образом, получаем \Nf\ = 2П — 2.
2.10. С помощью эквивалентных преобразований построить
д.н.ф. функции f(xn):
1) Дж3) = (Ж1 V ж2 Уж3) • (жхж2 V Жз);
2) Дж3) = (Ж1Ж2 фж3) (Ж1Ж3 -4 ж2);
3) Дж3) = (Ж1 ~ ж2) V (жхжз ф (ж2 -4 ж3));
4) Дж3) = (Ж1 J, ж2ж3) J, ((Ж1 | ж2) J. жз);
5) Дж3) = Ж1 -> (ж2 -> ж3) ф (ж1 | (ж2 Ф ж3));
6) Дж3) = Ж1Ж2 V ж3 ~ (Ж1 -4 ж2ж3);
7) /(ж3) = (Ж1 V ж2ж3) (Ж1Ж2 V ж3) (Ж1Ж2 V ж3);
8) /(ж4) = (Ж1 V ж2ж3Ж4) • ((Ж1 V Ж4) ф ж2ж3) V ж2 (ж3 V Ж1Ж4);
9) Дж4) = (Ж1 -4 ж2) (ж2 -4- ж3) • (ж3 -4- Ж1Ж4);
10) Дж4) = (Ж1 ф ж2) ((ж2 | Жз) V Ж1Ж4) • (Ж1 ф (ж3 I Ж4)).
2.11. Используя эквивалентные преобразования, построить
к.н.ф. функции f(xn):
1) Дж2) = ((Ж1 -4 ж2) ф (Ж1 I ж2)) • (Ж1 ~ ж2 • (Ж1 -4 ж2));
2) Дж2) = жхж2 V (жх 4- (ж2 V (жх -4 ж2)));
3) Дж3) = Ж1Ж2 Уж2ж3 V (Ж1 ж2жз);
4) Дж3) = (Ж1 -4 (ж2 -4 жз)) ФЖ1Ж2ж3;
5) Дж3) = (жх ~ (ж2 -4 Жз)) V (ж2 -4 жхж3);
6) Дж4) = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж4 V Ж1Ж4;
7) Дж4) = (Ж1 ~ ж2) V (Ж1Ж3 ~ ж4) V ж2ж3.
2.12. Применяя преобразования вида А = А-хУ А-х и Л V А =
= А, построить из заданной д.н.ф. функции f(xn) ее совершенную
д.н.ф.:
1) /(А3) = ^1^2 V ж3; 2) /(ж3) = Т1Т2 V х2^з V Ж1Т3;
3) /(ж3) = Ж1 V ж2ж3 V Т2Т3; 4) /(ж3) = V ж2ж3 V Т3;
5) /(ж3) = Xi Ух2 VTix3; 6) f(x4) = ^1Ж2ж3 V Ж1Ж3Ж4;
7) /(ж4) = Ж1Ж2 V Т2^4 V ж3Ж4; 8) /(ж4) = V ж2ж3 V Т1Ж4.
2.13. С помощью преобразований вида А = (A V х) • (А V х) и
А • А = А построить из заданной к.н.ф. функции f(xn) ее совершен-
ную к. н. ф.:
1) /(ж3) = (Ж1 V ж2) ж3; 2) /(ж3) = (Ж1 V ж2) (ж2 V ж3) ж3;
3) /(ж3) = (Ж1 V ж2) • (Ж1 Уж3) • (ж2 V ж3);
4) /(ж3) = Ж1 -ж2 • (Ж1 V ж3) • (Ж1 Уж3);
5) /(ж3) = (Ж1 V ж2) ж2 (Ж1 V ж3) • (ж2 V ж3);
6) /(ж4) = (Ж1 Уж2 V ж3) • (жх Уж2 Уж4);
7) /(ж4) = (Ж1 V ж2) • (ж2 V ж3) • (ж3 V ж4);
8) /(ж4) = Ж1 -ж2 - жз • (жх Уж2 У х3 7ж4).
2.14. Используя дистрибутивный закон х(у V z) = ху V xz и
эквивалентности х • х — х, х -х = О, А • 0 = О, А V 0 = А и А V
V А • В = А, перейти от заданной к. н.ф. функции f(xn) к д.н.ф.:
1) Дж3) = (ж4 V ж2) • (ж4 V Жз) • (ж2 V ж3);
2) Ж3) = Ж1 • (Ж1 V ж2 V жз) • (ж2 V ж3);
3) Дж3) = (Ж1 Уж2) • (Ж1 V ж3) • (Ж1 V ж2 V ж3);
4) Дж3) = (Ж1 V ж2) • (Ж1 V ж3) • (Ж1 V жз) (ж2 V ж3);
5) Дж3) = (ж1 V ж2 V ж3) • (ж1 V ж2 Х/ж3) • (Ж1 V ж2 V ж3);
6) Дж4) = (Ж1 Уж2) • (ж2 V ж3) • (ж2 V ж4) • (ж3 V ж4);
7) Дж4) = (ж4 V ж2 V Жз V ж4) • (Ж1 V ж2 V ж3) (ж4 V ж4).
2.15. Используя дистрибутивный закон х V у • z — (ж V у) & (х V z)
и эквивалентности хУх = х, ж V ж = 1, AV1 = 1, А • 1 = А и
А • (А V В) = А, перейти от заданной д.н.ф. функции f(xn) к ее
к. н. ф.:
1) /(а3) = ^1^2 V ж3; 2) /(ж3) = V v х2х3;
3) /(ж3) = x-l V V ж2ж3; 4) /(ж3) = Xi V х2 V XiX2x3;
5) /(ж3) = ^1^2 V х2 V х2х3; 6) f(x4) = Х]_х2 V х2х3 V Ж2Ж4 V ж3Ж45
7) f(x4) = Ж1Ж2Ж3Ж4 V хгх2х3 \/х2х^
8) /(ж4) = Ж1 V Ж2Ж3 V Ж1Ж3Ж4 V 'Ё2#3Ж4.
2.16. Доказать, что переменная Xi функции f(xn) 0 является
фиктивной тогда и только тогда, когда совершенная д. н. ф. этой
функции вместе с каждой элементарной конъюнкцией Kj содержит
также конъюнкцию К], отличающуюся от Kj только i-й буквой,
т.е. Kj = хрК и Ki = хрК, где К — конъюнкция ранга п — 1.
Замечание. Справедливо также утверждение, двойственное
задаче 2.16: переменная Xi является фиктивной переменной функ-
ции f(xn) 1 тогда и только тогда, когда совершенная к. н. ф. этой
функции вместе со всякой элементарной дизъюнкцией Dj содержит
такую элементарную дизъюнкцию 72/, которая отличается от Dj
лишь i-й буквой, т.е. Dj = хр V D и Di = хр V 72, где 72 —
дизъюнкция ранга п — 1.
2.17. Подсчитать число функций f(xn), у которых совершенная
д. н. ф. удовлетворяет следующему условию:
1) отсутствуют элементарные конъюнкции, у которых число букв
с отрицаниями равно числу букв без отрицаний;
2) каждая элементарная конъюнкция содержит хотя бы две буквы
с отрицаниями (п 2);
3) отсутствуют элементарные конъюнкции, содержащие нечетное
число букв с отрицаниями;
4) в каждой элементарной конъюнкции число букв с отрицаниями
не больше числа букв без отрицаний;
5) какова бы ни была элементарная конъюнкция Kj, найдется
(другая) элементарная конъюнкция 7f/, отличающаяся от Kj только
первой буквой (т.е. Kj = х^1 К и Ki = х^К, где К — конъюнкция
ранга п — 1);
6) какова бы ни была элементарная конъюнкция найдется
элементарная конъюнкция X/, отличающаяся от Kj двумя первыми
буквами (т.е. Kj = х^х^К и Ki = х^х^К, где К — конъюнкция
ранга п — 2 (п > 2)).
2.18. Найти длину совершенной д.н.ф. функции f(xn):
1) /($") = V XiXi’
^.п
2) /($”) = & (ж’ п 2’
3) f(xn) = (((жх | ж2) | ж3) | ... | жп_1) | хп, 2;
4) /(ж") = Ж1 -> (ж2 -> (ж3 (жп_1 -4 жп)...)), п 2;
5) f(xn) = (... ((жх -> ж2) -> ж3) . жп-1) -4 жп, п 2;
6) f(xn) = (ж1 V ж2) (жх \/ж2) -4 ж3 •... • хп, 3;
7) /(жп) = Ж1Ж2 ... хп ф ж3 ф ... ф хп, n^i-
8) f(xn) = (Ж1 V ж2 V ж3 V ... V хп) -4 ((... (ж3 ~ ж4) ~ .
• • • жп—1) ~ ж„), п 4.
2.19. Пусть множества Хт = {ж4, ..., хт} и У” = {у^, ..., уп}
не пересекаются. Предполагая, что длины совершенных д. н. ф. функ-
ций f(xm) и д(у п) равны соответственно к и I, найти длины совер-
шенных д. н. ф. следующих функций:
1)/(£m)V <?(£"); 2) f(xm)-g(yn)-, 3) f(xm) ф д(уп)-
4) f(xm) -4 g(ynY
2.20. Найти длину совершенной д.н.ф. функции f(xn) ф д(хп),
если известны длины совершенных д.н.ф. следующих функций:
1) /(ж”) - и f(xn)V д(хп)-,
2) /(жп) -4 д(хп) и д(хп) -4 f(xn).
2.21. Доказать, что среди булевых функций, зависящих только от
двух переменных х± и причем от каждой из них существенным
образом:
1) ровно восемь функций имеют д.н.ф. сложности 2;
2) не существует функций, у которых минимально возможная
сложность д. н. ф. равна 3.
3. Полиномы Жегалкина. Элементарная конъюнкция назы-
вается монотонной, если она не содержит отрицаний переменных.
Константа 1 (т. е. элементарная конъюнкция нулевого ранга) счи-
тается по определению монотонной элементарной конъюнкцией. Вы-
ражение вида
кг ф к2 ф... ф ks,
(15)
где Ki (г = 1, 2, ..., з) — попарно различные монотонные элементар-
ные конъюнкции над фиксированным множеством переменных
(в частности, над множеством Хп, п 1), называется полиномом
Жегалкина (или полиномом по модулю 2). Рассматривается также
полином Жегалкина, соответствующий s = 0. Такой полином обо-
значают через 0 (независимо от множества переменных) и считают
по определению, что он равен константе 0. Наибольший из рангов
элементарных конъюнкций, входящих в полином, называется те-
пенью этого полинома. Степень полинома 0 считается неопреде-
ленной. Число s называется длиной полинома (15). Справедлива
следующая
Теорема (И. И. Жегалкин). Всякая булева функция единствен-
ным образом представима в виде полинома Жегалкина.
Замечание. Здесь единственность понимается с точностью до
порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях.
И в дальнейшем мы считаем одинаковыми полиномы, различающиеся
только порядком слагаемых в сумме и/или порядком сомножителей в
конъюнкциях.
Указанная единственность представления булевой функции поли-
номом Жегалкина позволяет применять разнообразные методы по-
строения соответствующих данной функции полиномиальных выра-
жений, заботясь лишь о том, чтобы результирующий полином был
приведенным, т.е. не содержал одинаковых сомножителей в конъюнк-
циях и одинаковых слагаемых.
Опишем три метода построения полиномов Жегалкина.
Сначала введем специальную нумерацию монотонных элементар-
ных конъюнкций (э. к.) над множеством переменных Хп = {xi, Х2,...
..., хп}. Монотонной э. к. К сопоставляем вектор сг(К) = (<7i, сг2,...
..., ап) из Вп, в котором o~i = 1 тогда и только тогда, когда xi входит
п
в К. Номером э. к. К будем называть число v(a(K)) = с2п~г-
г=1
Константа 1 в этой нумерации будет иметь номер 0.
1. Метод неопределенных коэффициентов. Пусть Р(хп) — иско-
мый полином Жегалкина (реализующий заданную функцию f(xn)).
Запишем его в виде
Р(хп) = До * 1 Ф Д1 • К± ф /З2 ’ К2 Ф ... Ф /32^—1 • K2n—i, (16)
где Kj — элементарная конъюнкция с номером J (j = 1, 2, ..., 2П — 1).
Вектор (3р = (До, /31, Дг™—1) будем в дальнейшем называть
вектором коэффициентов полинома Р(хп).
Нам нужно найти неизвестные коэффициенты /Зо, /31, ..., Д2™_1.
Поступаем так. Для каждого а Е Вп составляем уравнение Р(5) =
= /(5), где Р(5) — выражение, получающееся из формулы (16)
при х = а. Это дает систему из 2П уравнений с 2П неизвестными; она
имеет единственное решение. Решив систему, находим коэффициенты
полинома Р(хп).
2. Метод, базирующийся на преобразовании вектора значений
функции. Над векторами из В2 определяется (индукцией по п) опе-
рация Т.
а) Если п = 1 и а — («о, <^1), то P(S) = («о, «о Ф оц).
б) Предположим, что операция Т уже определена для каждого
вектора Ъ из В2, и рассмотрим произвольный вектор а из В2 .
Пусть а = (До, Д1, • • •, Д2--1,7о,7ь • ••, 72--1) и
Р(До, Д1, • • • , Д2та-1) = (<5о, Д1, • • • , ^2^-1),
Р(7о, 71, • • •, 72те-1) = (^о, £1, • • •, £2™-1)
(Si и Ej по индуктивному предположению известны). Полагаем
Т'(се) = (Jo, J1, • • • 1 ^2п—1, Jo Ф во, J1 Ф в1, • • • , $2п — 1 ® в2п—1)-
Мы сейчас покажем, что вектор йу значений функции f(xn)
связан с вектором (Зр коэффициентов полинома Р(жп), реализующего
функцию f(xn), следующим образом: (Зр — Т(й/) и otf = Т((3р).
Сделаем это с помощью индукции по п.
Базис индукции: п = 1. Тогда Sf = («о, сн) и в силу
формулы (10) имеем /(#i) = #1/(0) ф Ж1/(1) = «о * #1 Ф СП • х± =
= «о * (#1 Ф 1) Ф «1 • Ж1 = «о * 1 Ф (сео Ф си) • #1, т. е. (Зр = (се0, ceq Ф
ф cei) = Т(йу). Обратно, если /Зр = (/30, /31), то Р(#1)=/Зо*1Ф
ф/31 • Ж1, а следовательно, /(0) = Р(0) = /30 и /(1) = Р(1) = /30 ф /31,
т.е. ocf — T(J3p). Базис индукции обоснован.
Индуктивный шаг. Предположим, что утверждение верно
для п = т 1, и установим его справедливость при п = т + 1.
Пусть вектором значений функции /(жт+1) будет oif = (ceq,cei, ...
..., 1, «2га- СЕ2™+1, • • •, <V2'”+1-i)- Тогда вектор значений дц-ком-
поненты функции /(Jm+1) есть йу1 = (ceq, cei, ..., ce2^-i), а век-
тор значений яц-компоненты есть йу1 = (се2^, ce2^+i, ..., «2m+1-i)-
(Здесь обе компоненты рассматриваются как функции, зависящие от
переменных #2, • • •, , и наборы значений этих переменных счита-
ются стандартно упорядоченными — при естественном, по возраста-
нию номеров индексов, упорядочении самих переменных.) Используя
индуктивное предположение, можем написать
) = Т((оцр СЕ1, . . . , (T2m-1)) = (Jo, J1, • • • , J2m-1),
Т (tEyi ) = Т((сЕ2т, С^2т + 1, • • • , а2гп + 1—1)) — (во, в1, . . . , в2™ — 1)?
где (Jq, Ji, ..., J2m_i) — вектор коэффициентов полинома Ро(я?2, • • •
..., жт+1), реализующего Xi-компоненту /J, а (sq, £1, • • •, C2™-i) _
вектор коэффициентов полинома Pi (#2, ..., xm+i), реализующего
Ж1-компоненту Д1. Применяя формулу (10) и расписывая полиномы Pq
и Pi в виде (16), имеем
/(жт+1) = жТ/о Ф ж1/1 = ^1 (Jo • Ко Ф Ji • Ki Ф ... Ф J2™-i • К2™—1) Ф
Ф #1 (во ’ Ко Ф El • К1 ф . . . ф E2m— 1 ’ K2m — 1) = Jo ’ Ко Ф J1 * К\ ф . . .
. . . Ф §2т — 1 ’ К2™— 1 Ф Xi ((Jo Ф в0) ' Kq Ф (J1 Ф €1) • Ki ф . . .
. . . Ф (J2ТП _1 Ф Е2m_1 ) • К2m_1^5
где Kj — конъюнкция с номером j (J = 0, 1, ..., 2m — 1) над множест-
вом переменных {я^, • • •, ^m+i}« Если конъюнкцию Kj рассматривать
над множеством {xi, Ж2, xm+i), то ее номер не изменится, так
как в соответствующем ей новом наборе первая координата нулевая.
В то же время номер конъюнкции xiKj равен 2т +7, j = 0, 1,...
..., 2m — 1. Отсюда следует, что вектор коэффициентов полино-
ма Р(жт+1), реализующего функцию /(жт+1), имеет вид (Зр = (Jo,
Ji, ..., ($2т—1, Jo Ф £о, Ji Ф £1, • • •, ^2т—1 Ф £2т—1)ч т.е. совпадает с
тем, который указан в определении операции Т. Итак, установлено,
что (Зр=Т(ру). Докажем теперь обратное утверждение, т.е. что
(□7 = T(J3p). Пусть (Зр = (До, Д1, . . . , /02т-1, @2т ч 02т + 1ч • • • , (32гП + 1_1).
Тогда (3pQ = (До, 01ч •••, Дз™—1) И Дрг = (Д2т , Д2т + 1, • • • , ^2m + !-l),
где Ро и Р1 — полиномы, реализующие соответственно х±-компонен-
ту /J и Ж1-компоненту Д1 функции /(жт+1). Очевидно, что
/(О, Х2ч • • • , W1) = Р(0, Х2ч • • • , Жш+1) =
= До * Ф Д1 ' P"i Ф • • • Ф Д2™-—1 • РД™—1,
/(1, Х2ч "ч W) = Р(1, Х2ч • • • , #т+1) =
= Д2™ • К0 Ф Д2т+1 * Р1 Ф • • • Ф Д2^ + 1— 1 ’ Р2™—1,
где Kj — конъюнкция с номером j (7 = 0, 1, ..., 2т — 1) над мно-
жеством переменных {х2, . •., xmpi}. Воспользовавшись форму-
лой (10), получаем
f(xm+1) = Ж1/Ох Ф Ж1/1 = /о1 © • (/о1 © /1) =
= Р(0, ®2, • • , Жто+1)ф®1(Р(0, а?2, . • , Жто+1)фР(1, х2, Im+l)) =
= До • Kq ф Д1 • К\ ф . . . ф Д2т—1 * ^2m—1 ф #1((До ф Д2т) ' Ро ф
Ф (Д1 ф Д2т + 1) ’ Р1 Ф • . . Ф (Д2т—1 ф Д2^ + !-1) * Р2т-1) —
= (3q • Ро Ф Д1 • Pi Ф ... Ф Д2т—1 * Р2т—1 Ф (До Ф Д2т) * Рг™ Ф
Ф (Д1 ф Д2т + 1) ’ Р2т+1 Ф . . . Ф (Д2т—1 ф Д2т + г—1) ’ P2m + 1— 1?
где конъюнкция Kj рассматривается над множеством {a^i, Ж2,---
..., xm+i} и при j = 0, 1, ..., 2т — 1 совпадает сД. а при j = 2т,
2т + 1, ..., 2m+1 - 1 она равна х-^ • Kj—2m • Таким образом, доказано,
что Sf = T(J3p). Утверждение обосновано полностью.
Используя доказанное утверждение, можно описать алгоритм
построения вектора (Зр коэффициентов полинома Р(жп), реализующе-
го функцию ф(хп)ч имеющую вектор значений су.
Пусть = (do, СЕ1, СЕ2, <^3, • • • , <^2г, <^2г+1, • • • , ОС2п-2ч Ос2п -1) • Рс13-
~2"
биваем вектор aj на двумерные наборы:
7о = («о, «1), 71 = («2, «з),
. .., 7г = («2г, «2г+1), •••, 72^-i-l = (^2^-2, «2^-1)«
К каждому из них применяем операцию Т:
Т(уо) = («о, «0 ф «1), Т(71) = («2, «2 ф «з), ..., Р(7г) =
= (<^2г, <^2г Ф <^2г+1), • • • , ^'(72те-1-1) = (а2п-2ч а2п-2 Ф «2^-1).
Используя построенные наборы, конструируем такие четырехмерные
наборы, которые получаются в результате применения операции Т к
56 Гл. I. Способы задания и свойства функций алгебры логики
четырехмерным наборам, выделяемым из вектора а2^:
Т(се0, «1, «2, «з) = Л7о, 71) = СШо), ^(7о) Ф Г(71)), • • •,
. . . , Щу+Ь ^4j+2, CUj+s) =
= ^(72j, 72J+1) = (^(72j), ^(72j) Ф T(72j+1)), • • •
. . . , T(cE2n-45 CE2™-35 CE2«-2, O'2n-l) = 71(72n-i-2, 72n~1-l) =
= (^'(72n-1-2)^1(72n-1-2) Ф 21(72^-1-1))«
Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогичным образом)
к восьмимерным и т. д., пока не построим 2п-мерный набор. Он и будет
искомым вектором коэффициентов полинома Р(хп).
Замечание. Здесь 2т-мерный вектор изображается многими
способами: мы «расщепляем» его на «последовательные» двумер-
ные, четырехмерные, восьмимерные и т.д. наборы. Например, для
вектора (ceq, cei, се2, сез, СЕ4, ces, се?) применяются такие записи:
((cEq, СЕ1), (СЕ2, СЕз),^(сЕ4, СЕ5), (сЕб,СЕ?)), ((cEq , СЕ1, СЕ2, СЕ3), (СЕ4, СЕ5, CEg,
се?)). Сумма се ф /3 наборов (векторов) одинаковой длины понима-
ется нами обычным образом: это покомпонентная сумма по моду-
лю 2, т.е. се ф /3 = («1 ф /31, ..., ап ф(Зп\ если а — (cei, ..., ап) и
(/зь...,/зп).
3. Метод, базирующийся на преобразовании формул над множест-
вом связок {&, —Строят некоторую формулу Ф над множеством
связок { & , —реализующую заданную функцию /. Затем заменяют
всюду подформулы вида А на Аф 1, раскрывают скобки, пользуясь
дистрибутивным законом А • (23 ф С) = А • В ф А • С, и применяют
эквивалентности А • А = А, А • 1 = А, Аф А = 0 и А ф 0 = А.
Пример 11. Методом неопределенных коэффициентов построить
полином Жегалкина для функции /(ж, у) = хУ у.
Решение. Р(ж, у) = /Зо Ф /31 • х ф (З2 • у Ф (3% • ху. Выписываем сис-
тему уравнений для коэффициентов /Зо, /31, /З2, /Зз:
/(о, 0) = 0 = /30 ф /31 • о ф /32 • о ф • о,
/(о, 1) = 1 = /30 ф /31 • о ф (32 • 0 ф /з3 • о,
/(1, 0) = 1 = & ф /31 • 1 Ф/32 • о Ф/З3 • о,
/(1, 1) = 1 = /30Ф&-0ф/32-1ф/33-1.
Решая эту систему, получаем /Зо = 0, /31 = /32 = /З3 = 1. Следователь-
но, х7у = ху®х®у.
Пример 12. Преобразуя вектор значений функции, построить
полином Жегалкина для функции /(ж3) = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3.
Решение. Имеем Sf = (00010111). Разбиваем этот вектор на
«последовательные» двумерные наборы: 70 = (0? 0), 71 = (0, 1), 72 =
= (0, 1), 7з = (1, 1). Затем последовательно применяем операцию Т к
соответствующим векторам:
Т(7о) = (0, 0 ф 0) = (0, 0), T(7i) = (0, 0 ф 1) = (0, 1),
Т(72) = (0, 0 ф 1) = (0, 1), Т(7з) = (1, 1 ф 1) = (1, 0);
Г(7о, 71) = (Г(7о), Т(7о) ФТ(71)) =
= ((О, О), (О, 0) ф (О, 1)) = (О, О, О, 1),
Г(72, 7з) = (Г(72), Г(72) ФТ(7з)) =
= ((О, 1), (О, 1)Ф(1,О)) = (О, 1, 1, 1);
Г(оу) = Т(7о, 71, 72, 7з) = СП7о, 71), г(7о, 71) ® г(7з, 7з)) =
= ((О, О, О, 1), (О, О, О, 1) ф (О, 1, 1, 1)) = (О, О, О, 1, О, 1, 1, 0) = (Зр.
Таким образом,
Р(ж3) = О • Ко ф О ф О К2 Ф 1 • к3 ф О • К4 ф 1 К5 ф
ф 1 • Кв Ф О • К7 = ж2ж3 ф Ж1Ж3 ф Ж1Ж2.
Пример 13. Представив функцию /(ж, у) = х у формулой
над множеством связок {&, — преобразовать затем полученную
формулу в полином Жегалкина.
Решение. Имеем х^у = х\/у = х- у = х- у = х-(у =
= ху ф X ф 1.
Пример 14. На скольких наборах из Вп обращается в 1 поли-
ном Р(хп) — ф XiXj (п 2)?
Решение. Данный полином можно записать в следующем виде:
Р(хп) = Х^Х2 Ф (жх ф ж2) • ж3 ф ... ф (жх ф ... ф жп_2) • Жп-1 ф
ф (Ж1 ф ... ф жп-1) • хп.
В силу симметричности вхождения в него всех переменных дос-
таточно рассмотреть наборы вида (1, ..., 1, 0, ..., 0), 0 i п
(при i = 0 это будет нулевой набор 0 = (0, 0, ..., 0)). Если ж^+i = ...
... = хп — 0, то F(^i, ..., ж*, 0, ..., 0) = жх • ж2 ф (жх ф ж2) & жз ф ...
... Ф (ж1 Ф ... Ф ж^-1) • ж7: здесь число произведений вида ж^ж/ равно,
очевидно, Q) (2 г п), а при i = 1 и i = 0 таких произведений
нет. Значит, Р(1, ..., 1, 0, ..., 0) равно 0 или 1 в зависимости от
того, четно или нечетно число Q) (при i = 1 и i = 0 значение
полинома на соответствующем наборе есть 0). Выясним теперь, при
каких i число Q) является нечетным. Если i = 4 А; или г = 4k + 1
(fc 1), то Q) равно 2k • (4k — 1) или (4k + 1) • 2k соответственно,
а если i = 4k + 2 или i = 4k + 3 (k 0), to Q) равно (2k + 1)(4k + 1)
или (4fc + 3)(2fc + 1). Следовательно, число Q) является нечетным
только тогда, когда i = 2, 3, 6, 7, ..., 4k + 2, 4k + 3, ... Учитывая
этот факт, заключаем, что число наборов, на которых полином Р(хп)
обращается в 1, равно
В частности, если п = 2, то существует только один такой набор
(в этом случае вторая сумма вырождается в нуль: ^2 (4^ + 3) = о)>
а если п = 3, то таких наборов четыре
=3+1=4
2.22. Методом неопределенных коэффициентов найти полиномы
Жегалкина для следующих функций:
1) /(ж2) = X! I ж2; 2)/(ж2) = (0100); 3) Дж3) = ж4(ж2 Уж3);
4) /(ж3) = Ж1 -4 (ж2 -4 ж3); 5) /(ж3) = (01101001);
6) f(x3) = (10001110); 7) Дж3) = (00000111);
8) Дж3) = (01100110); 9) Дж4) = (1000000000000001);
io) /(г4) = (0000100010010000).
2.23. Преобразуя вектор значений функции f(xn), построить по-
лином Жегалкина для этой функции, если:
1) Дж2) = (1000); 2) Дж2) = (0010);
3) Дж3) = (01101110); 4) Дж3) = (01110011);
5) Дж3) = (10101110); 6) Дж3) = (10000100);
7) Дж4) = (0000010001100111); 8) Дж4) = (1010101010110110);
9) Дж4) = (0100000000010001); 10) Дж4) = (0000000100010001).
2.24. Представив функцию Дж”) формулой над множеством свя-
зок {&, —преобразовать затем полученную формулу в полином
Жегалкина функции ,f(xn) (используя эквивалентности А = Аф1,
А-(В®С) = А-В®А-С, А-А = А, А-1 = А, АфЛ = 0 и Л®
Ф0 = А):
1) /+) = -> (ж2 -4 ж4ж2); 2) Дж2) = Ж1 • (ж2 ~ Ж1Ж2);
3) Дж3) = (жх J. ж2) | (ж2 J. ж3); 4) Дж3) = (ж4 V ж2) • (ж2 | ж3);
5) Дж3) = Ж1 ((жх -4 ж2) Уж3);
6) Дж3) = (Ж1 -4 (ж2 -4 ж3)) • ((Ж1 -4 ж2) -4 ж3);
7) Дж3) = (Ж1 ф ж2) V (ж2 ф ж3);
8) Дж4) = (жх -4 ж2) -4 (ж3 -4 Ж1Ж4);
9) Дж4) = жх V (ж2 -4 ((ж3 -4 ж2) -4 ж4));
10) /(ж4) = (ж4 V ж2 V жз) ж4 V ж4ж2жз.
2.25. Показать, что Xi является существенной переменной функ-
ции f(xn) тогда и только тогда, когда Xi явно входит в полином
Жегалкина этой функции.
2.26. Найти число:
1) монотонных элементарных конъюнкций ранга г над множест-
вом переменных Хп = {Ж1,Ж2, • • •, хп} (0 г п);
2) полиномов Жегалкина степени г над множеством перемен-
ных Хп (0 г п);
3) полиномов Жегалкина степени г над множеством Хп, обра-
щающихся в 1 на наборе 1 (0 г п):
4) полиномов Жегалкина длины к над множеством Хп, обра-
щающихся в 0 на наборах 0 и 1 (0 к < 2П);
5) полиномов Жегалкина степени г над множеством Хп, удов-
летворяющих условию: в полиноме не могут содержаться одновремен-
но (в качестве слагаемых) конъюнкции одинакового ранга (0 г п).
2.27. Выяснить, на скольких наборах из Вп обращается в 1 поли-
ном Р(хп):
7 п
1) Р(хп) = Ж1 • Х2 Ф Х1 • Ж3 ф . . . ф Х1 • Хп = ф Ж1Жг, п > 2;
i=2
2) Р(хп) = Ж1 • х2 Ф Жз ф ... ф хп = Ж1Ж2 Ф ф Xi, 3;
3) Р(жП) = Ж1 • Ж2 Ф Ж1 • Жз ф Ж4 ф . . . ф Хп = п
= Ж1Ж2 Ф Ж1Ж3 ф ф Xi, 4;
п i=4
4) Р(хп) — Ж1Ж2ж3 ф ф Xi, п > 4;
i=4
5) Р(хп) = Ж1 ... Xk Ф ж&+1 ... хп, 1 < к < п;
п
6) Р(жп) = ф Ж1 ... Xi ф 1, n > 1;
i=i
п
7) Р(жп) = ф Ж1... Ж|-1Ж^+1... хп, п^2-,
i=l
8) Р(хп) = Ж1 ф ф XiXj, п 2;
п
9) Р(хп) = ф XiXj ф ф Xi, п^2.
1=1
2.28. Найти функцию f(xn), у которой длина полинома Жегал-
кина в 2П раз превосходит длину ее совершенной д. н. ф. (n 1).
2.29. Доказать, что функция f(xn), реализуемая полиномом Же-
галкина степени к > 0, принимает каждое из значений 0 и 1 не менее
чем на 2п~к наборах из Вп (т.е. \Nf\ 2п~к и |JV/| 2п~к).
2.30. Доказать, что для всякого I (0 I 2П) существует полином
Жегалкина Р(жп), обращающийся в 1 ровно на I наборах из Вп
и имеющий длину, не превосходящую п.
2.31. Показать, что всякая булева функция f(xn), отличная от
s
константы 0, представима в виде ф Ki, где Ki (г = 1, ..., з) —
i=l
различные элементарные конъюнкции, каждая из которых содержит
не более одного отрицания переменной, a s 2П-1.
2.32. Пусть функция f(xn), где п 3, зависит существенно от
всех своих переменных и реализуется полиномом Жегалкина сте-
пени п. Доказать, что найдутся две такие переменные, отождеств-
ление которых уменьшает число существенных переменных ровно
на 1.
Глава II
ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ И ПОЛНОТА СИСТЕМ
ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
§ 1. Понятия функциональной замкнутости
и полноты
Замыканием [К] множества К функций алгебры логики называ-
ется совокупность всех функций из Р2, являющихся суперпозициями
функций из множества К. Множество К называется (функционально)
замкнутым, если [К] = К. Замкнутые множества называются также
замкнутыми классами. Подмножество Р функций из замкнутого мно-
жества К называется (функционально) полным в К, если [Р] = К.
Полное в замкнутом классе К множество Р называется базисом
класса К, если для всякого собственного подмножества Р1 С Р вы-
полнено [Pf] К. Подмножество Р функций из замкнутого класса К
называется предполным классом в К, если [Р] К и для всякой
функции / 6 К\Р выполняется равенство [Р U {/}] = К.
Функции /1 и /2 назовем конгруэнтными, если одна из них может
быть получена из другой заменой переменных (без отождествления).
Например, функции ху и yz конгруэнтны, а функции ху и zz не
являются конгруэнтными. При рассмотрении вопросов, связанных с
замкнутыми классами, бывает удобно указывать по одному пред-
ставителю из множества попарно конгруэнтных функций. Напри-
мер, класс {х, y,z,...,xi, Х2, ... }, состоящий из всех тождественных
функций, будет обозначаться через {ж}.
Если А — некоторое множество функций, то через А(Хп) или,
короче, через Ап будет обозначаться множество всех тех функций
из А, которые зависят только от переменных х±, ж2, ..., хп.
1.1. Построить множество всех функций, зависящих от перемен-
ных Xi, Х2 и принадлежащих замыканию множества А:
1) А = {ж}; 2) А = {xi ф ж2}; 3) А = {0, ж}; 4) А = {Ж1Ж2};
5) А = {ж1Ж2 V ж2ж3 V ж3Ж1}; 6) А = {^1 V х2};
7) А = {О, Ж1 — ж2}; 8) А = {ж1Ж2, Ж1 ф х2};
9) А = {xi ф Х2 Ф ж3}; 10) А = {Ж1Ж2 V ж2ж3 V ж3Ж1};
11) А = {ж1 Ф Х2 Ф хз ф 1}; 12) А = {Ж1Ж2};
13) А = {^1^2 V Ж2Ж3 V Ж3Ж1}; 14) А = {xi V ж2 V жз};
15) А = {Ж1Ж2 V ж3}.
1.2. Показать, что / G [Л], выразив / формулой над множест-
вом А:
1) f = ж, А = {0, х -У у}; 2)f = x®y, А = {х^у};
3) / = ж, А = {х ф у}; 4) f = х ф у ф г, А = {х ~ у};
5) / = О, A = {xy®z}; 6) / = ж, А = {ху};
7) / = ж V у, А = {х V у}; 8) f = ж, А = {ху V yzM zx};
9) f = ху, А = {ху ф г};
10) / = xyz V t(x V у \/ z), А = {ху V yz\/ zx};
11) / = ж ф у ф z, А = {ж, xy\Jyz\/ zx};
12*) / = ж ф у ф z, А = {ху V yzM ~zx};
13) / = ж ф ?/, А = {ху, х V у}; 14) f = ж V у, А — {х у}',
15) / — ху, А — {ж V у, х ф у}.
1.3. Выписать все попарно неконгруэнтные функции /(ж3), при-
надлежащие замыканию множества А:
1)А = {1,ж}; 2) А = {ху}; 3) А = {ж - у};
4) А = {ху V yzV zx}; 5) А = {ж ф у ф z ф 1};
6) А = {ж V у V z}; 7) А = {ж —> у}; 8) А = {ху V z};
9) А = {ху} ; 10) А = {ж(ж V у) (у V z)(z V ж)}.
1.4. Из полной для класса [А] системы выделить базис:
1) А = {0, 1, ж}; 2) А = {ж ф у, х ~ у, 1};
3) А = {ж, ж ф у, х ф у Ф z}; 4) А = {ху, х V у, ху V z};
5) А = {ж V у, х у}; 6) А = {ху, ху};
7) А — {ж ф у ф z, ху V yz V zx, х};
8) А = {1, ж ~ у, х ф у ф z ф 1}; 9) А = {ху, ху V xz};
10) А = {ж, ж V у, х У у V z, ху V z}.
1.5. Выяснить, какие из указанных ниже множеств являются
замкнутыми множествами:
1) множество всех функций от одной переменной;
2) множество всех функций от двух переменных;
3) множество всех функций /(ж1, Ж2, ... жп) таких, что /(1, 1, ...
..., 1) = 1, п > 0;
4) множество всех функций f(xn), п 0, таких, что /(1, 1, ...
1) = 0;
5) множество всех симметрических функций, т. е. таких функ-
ций /(ж1, Ж2, • • •, жп), что для любой подстановки (1 .2 ” ’ спра-
12 • • • 1-п /
ведливо равенство /(ж1, Ж2, ..., хп) = f {х^ , Xi2, ..., Xin);
6) множество всех функций f(xn) таких, что \Nf\ = 2п~1;
7) множество всех функций, выражаемых полиномом Жегалкина
не выше первой степени;
8) множество всех функций, выражаемых полиномом Жегалкина
не выше второй степени;
9) множество всех функций, допускающих представление в виде
д. н. ф. и не содержащих отрицаний переменных;
10) множество всех функций, любая д. н. ф. которых содержит хотя
бы одно отрицание переменной;
11) множество всех функций /(жп), п 0, полином Жегалкина
которых содержит 2П — 1 слагаемых;
12) множество всех функций f(xn), п 0, полином Жегалкина
которых содержит 2п — 1 слагаемых и не содержит 1 в качестве
слагаемого;
13) множество всех функций f(xn), n 1, таких, что \Nf\ = 1;
14) множество всех функций f(xn), п 1, таких, что \Nf\ = 1
и /(1, 1, ..., 1) = 0.
1.6. Доказать, что:
1) пересечение замкнутых классов является замкнутым классом;
2) объединение двух замкнутых классов, вообще говоря, не явля-
ется замкнутым классом;
3) разность двух замкнутых классов, вообще говоря, не является
замкнутым классом;
4) дополнение непустого и отличного от Р2 замкнутого класса К
до Р2 не является замкнутым.
1.7. Доказать, что класс А, пред полный в замкнутом классе К,
является замкнутым.
1.8. Обосновать следующие свойства замыкания:
1) [[К]] = [К]* 2) из С К2 вытекает [К±] С [К2];
3) [К, Q К2] С [К,] П [К2]; 4) [Ki]U[K2] С [KiUKs]; 5) [0] = 0.
1.9. Выяснить, является ли множество А замкнутым классом.
Предполагается, что вместе с каждой функцией / из А множеству А
принадлежат и все функции из Р2, конгруэнтные /:
1) А = {0, 1}; 2) А = {ж}; 3) А = {ж, ж}; 4)А = {1,ж};
5) А = {^1 • ... • хп, п = 1, 2, ... };
6) А = {xi ф ... ф хП1 п = 1, 2, ... };
7) А = {0, Xi V ... V хп, п = 1, 2, ... };
8) А = {xi ф ... ф ж2п-1, n = 1, 2, ... };
9) А = {0, Ж1 ф ... ф ж2п-1, n = 1, 2, ... };
10) А = {0, 1, Ж1 ф ... ф хп ф ст, а е {0, 1}, п = 1, 2, ... }.
1.10. 1) Перечислить все замкнутые классы К С Р2 такие, что
число попарно не равных функций в К конечно.
2) Перечислить все замкнутые классы К С Р2 такие, что число
попарно неконгруэнтных функций конечно.
3) Указать множество А С Р2 такое, что для каждого n 1 число
функций из [А], существенно зависящих от переменных Ж1, ..., жп,
равно: а) 1; б) 2.
1.11. 1) Доказать, что если замкнутый класс в Р2 содержит функ-
цию, существенно зависящую от п 2 переменных, то он содержит
бесконечно много попарно неконгруэнтных функций.
2) Верно ли, что если замкнутый класс К содержит функцию,
существенно зависящую от п 2 переменных, то для всякого т п
он содержит функцию, существенно зависящую от т переменных?
1.12. Сведением к заведомо полным системам в Р2 показать, что
множество А является полной системой в Р2:
1) А = {х j. у}; 2) А = {ху ф z, (х ~ у) ф z};
3) А = {ж у, х ф у ф z}; 4) А = (ж у, f = (01011110)};
5) А = {0, т(ж3) = ^1^2 V Ж2Ж3 V Ж3Ж1, х ф у ф 1};
6) А = {ж ~ ?/, х ф т/, ху ф z}; 7) А = {ху V х 7, / = (01111110)};
8) А = {ху ф zt Ф 1, / = (10110110)};
9) А = {0, 1, х ф у ф z, ху ф zx ф zy}; 10) А = {ху V z, х ф у}.
1.1 3. Выяснить, какое из отношений С, D, =, выполняется для
множеств КД К2 из Р2 (отношение означает, что не выполнено ни
одно из отношений С, D, =):
1) ^1 = [Ai И А2], К2 = [Ai] А [А2];
2) Кг = [АДА2], К2 = [АХ]\[А2];
3) Кг = [Ai U (А2 П Аз)], К2 — [Ai U А2\ A [Ai U A3];
4) Кг = [АДА2], К2 = [Ai]\[Ai А А2].
1.14. Привести примеры замкнутых классов Кг, К2 из Р2 таких,
что Кг С К2, и таких, что:
1) Кг А К2 = 0, К2\Кг 0, [Кг U К2] = Кг U К2,
2) Кг А К2 ф 0, К2\Кг ф 0, [Кг U К2\ = Кг U К2,
3)КгЭК2, [Кг\К2] = Кг\К2;
4) КгПК2^ 0, К2\Кг 0, [Кг\К2] = КДК2;
5) Кг А К2 ф 0. К2\Кг ф 0, [Кг Ф К2] = Кг Ф К2.
1.15. Перечислить все предполные классы замкнутого класса:
1) К = [0, ж]; 2) К = [0, 1]; 3) К = [ху]; 4) К = [х ф у];
5) К = [0, х V у]; 6) К = [1, ху]; 7) К = [х ф у ф z];
8) К = [х ф у, 1].
1.16. Доказать, что для любого замкнутого класса К С Р2 вы-
полнено равенство [К U {ж}] = К U {ж}.
1.17. Доказать, что каждый пред полный в Р2 класс содержит
тождественную функцию.
1.18. Доказать, что всякий замкнутый класс в Р2, содержащий
функцию, отличную от константы, содержит и функцию х.
1.19. Доказать, что множество Р2 всех функций алгебры логики
не представимо в виде объединения непустых попарно непересекаю-
щихся замкнутых классов.
1.20. Доказать, что если замкнутый класс Р2 имеет конечный
базис, то всякий базис этого класса конечен.
1.21. Доказать, что если непустой замкнутый класс в Р% отличен
от множеств, состоящих из одних констант, то его нельзя расширить
до базиса в Р2 •
1.22. Доказать, что в замкнутом классе [х —> у\ содержатся только
такие функции из Р2, которые могут быть представлены (с точ-
ностью до обозначения переменных) в виде xi V f(xn), где f(xn) Е Pz-
1.23. Пусть функция f(xn) принадлежит множеству [х —> у\ и
зависит существенно не менее чем от двух переменных. Доказать,
что |7V/| > 2П"1.
§ 2. Класс самодвойственных функций
Функция /(^1, ж2, ..., хп) называется самодвойственной, если
/(xi, ж2, ..., хп) = ж2, • •., хп), или, что то же самое, если
/(^1, ж2, ..., хп) = f(xr, Т2, ..., Хп).
Из этого определения вытекает, что функция является самодвойст-
венной тогда и только тогда, когда на любых двух противоположных
наборах значений переменных она принимает противоположные зна-
чения. Класс самодвойственных функций будет обозначаться через S.
Из определения S вытекает, что |Sn| = 22?г_1.
Справедливо следующее утверждение, называемое обычно леммой
о несамодвойственной функции: если функция f(xn) не является
самодвойственной, то, подставляя на места ее переменных функции х
и х, можно получить константу.
Если А — некоторое множество функций из Р2, то через А* будет
обозначаться множество всех функций, двойственных к функциям из
множества А. Множество А* называется двойственным к множест-
ву А. Если А* = А, то множество А называется самодвойственным.
Пример 1. Выяснить, является ли самодвойственной функция /,
заданная вектором: а) 5/ = (10110100); б) af = (10110010).
Решение. Из определения самодвойственной функции вытекает,
что на противоположных наборах она принимает противоположные
значения. Поэтому вектор af самодвойственной функции f(xn) имеет
вид z \
Otf — ^1? • • • , С^2п~1 — 1, (T2n-i , . . . , ОЦ, QqJ.
Таким образом, чтобы выяснить, является ли функция f(xn),
задаваемая вектором (ад, «1, • ••, «2п-1)? самодвойственной, следует
проверить, получается ли вторая половина вектора из первой путем
отражения и последующей расстановки отрицаний над координатами.
В рассматриваемом примере вектор af задает самодвойственную
функцию в случае б) и несамодвойственную в случае а).
Пример 2. При каких п функция
/ = & Vxi2 V... Vxi]n/2[)
1^4<«2<...<2]n/2[^n
является самодвойственной?
Решение. Заметим, что множество IVy, наборов а таких, что
f(a) = 0, состоит из всех наборов веса не выше п—]п/2[= [п/2].
Пусть п четно, тогда В^/2 Q Nf. Пусть а — произвольный набор
из В™/2. Противоположный набор а также принадлежит множест-
ву В^^. Таким образом, /(5) = /(й) = 0, что противоречит само-
двойственности. Следовательно, при четных п функция f(xn) не явля-
[п/2]
ется самодвойственной. Пусть теперь п нечетно. Тогда Nr = U В™,
п ? i=0
Nf = U В?. Очевидно, что а Е N-f тогда и только тогда, когда
J i=]n/2[ 1 *
а Е Nf. Это и означает, что f(xn) Е S при нечетных п.
Пример 3. Какие из переменных несамодвойственной функ-
ции /(ж3), задаваемой вектором otf — (01101101), следует заменить
на ж, а какие на х с тем, чтобы получить константу?
Решение. Поскольку /(ж3) Е S, то существует пара противопо-
ложных наборов, на которых функция принимает одно и то же зна-
чение. Такими наборами являются в данном случае (010) и (101),
причем /(010) = /(101) = 1. Если заменить жх и х$ на ж, а Ж2 на ж
(или Ж1 и жз на ж, а Ж2 на ж), то получим /(ж, ж, ж) = /(ж, ж, ж) = 1.
2.1. Выяснить, является ли функция / самодвойственной:
1) / = Ж1Ж2 V ж2ж3 V ж3жх; 2) / = Ж1 V ж2; 3) / = жх ф ж2 Ф ж3 ф 1;
4) / = (ж V у V z)t V xyz; 5) f = (х V у V z)t V xyz;
6) f = (Ж1 -4 ж2); 7) / (жх ф ж2);
8) / = Ж1Ж2 Ф ж2ж3 ф ж3Ж1 ф ж2 Ф ж3; 9) / = жхж2 V ж3;
10) / = Ж1 ф ж2 Ф (жхж2 V ж2ж3 V ж3Ж1); 11) / = жхж2 Ф ж3(жх V ж2);
12) / = жхж2ж3 ф жхж2 Ф ж2ж3 ф ж3жх;
13) / = жхж2ж3 ф жхж2ж3 ф ж2ж3 ф жхж3;
14) / = (жх -4 ж2) Ф (ж2 -4- ж3) ф (ж3 -4- жх) ф ж3;
15) / = (жх ж2) Ф (ж2 -4 ж3) ф (ж2 -4 жх).
2.2. Выяснить, является ли самодвойственной функция /, задан-
ная векторно:
1) = (1010); 2) af = (1001); 3) af = (10010110);
4) af = (01100110); 5) af = (01110001); 6) af = (01001101);
7) af = (1100 1001 0110 1100); 8) af = (1110 0111 00011000);
9) af = (1000 ООП 1000 1100); 10) af = (1001101110111001);
11) af = (1100 00111010 0101); 12) й/ = (1100 001100111100);
13) af = (1001 0110 1001 0110); 14) af = (1101 0100 1011 0010);
15) af = (1010 010101011010).
2.3. Заменить прочерки в векторе а символами 0 или 1 так, чтобы
получился вектор значений самодвойственной функции:
1) а = (1 — 0—); 2) 5 = (—01—); 3) а = (01---------);
4) а = (01 — 0 — 0,-------); 5) а = (----01-----11);
5 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
6) а = (—1—1 —0 — 1); 7) а = (—10 — 0----------1);
8) а = (1001---------1111----------);
9) а = (11----00-----01------10----);
Ю) 5= (---------------01------101100).
2.4. Определить, какие из переменных функций f(xn) следует
заменить на ж, а какие на ж с тем, чтобы получить константу:
1) = (10110110); 2) af = (11011000); 3) af = (10100100);
4) af = (10101000); 5) af = (11001110);
6) af = (1000 1101 0010 1100); 7) af = (1001 0110 10011010);
8) af = (0111 0001 ООП 0001); 9) af = (0110 1000 1110 1011);
10) af = (1010 0101010100110); 11) 5/ = (1010111011001010);
12) af = (01100001); 13) af = (1011 0100 1111 0010);
14) Sf = (0000 11110010 1111); 15) af = (1110 1000 0110 1000).
2.5. Пусть т(ж, у, z) = ху V yz V zx. Доказать тождества:
1) т(т(ж, т/, z), т(ж, у, z), т(х, у, z)) =
= т(ш(ж, т/, z), т(ж, у, z), m(x,y,z));
2) х ф у ф z — т(т(х, у, z), т(х, у, z), z);
3) т(т(х, у, z), т(х, у, z), т(х, у, z)) =
= т(х, т(х, у, z), т(х, у, z));
4) х ф у ф z — т(т(ж, т/, z), т(ж, у, z), т(х, у, z));
5) т(х, у, z) = т(х, у, z); 6) т(х, у, z) = ху ф yz ф zx;
7) т(ж, т/, z) = т(х, т(х, у, z), z);
8) xyz V t(x \/ yV z) = т(ж, т(т/, z, t), t);
9) xyz V t(x V 7/ V z) = т(ттг(ж, т/, t), т(ж, z, t), т(т/, z, ^));
10) xyz V t(x У у V z) = m(x ф у Ф z\ m(x, т/, г), t).
2.6. Доказать, что если f(xn) 6 S, то \Nf\ = 2n-1. Привести
пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
2.7. Доказать, что не существует самодвойственных функций,
существенно зависящих в точности от двух переменных.
2.8. Выяснить, при каких п 2 функция f(xn) является само-
двойственной:
1) /(жп) = Ж1 ф ж2 ф • • • ф Жп; 2) f(xn)= \/ XiXj;
^f(xn)= V Xi.x^ ...xi]n/2l;
4) /(жп) = ф XiXj-,
5) f(xn) = (xi V ж2) Ф (ж2 V ж3) ф ... ф (жп_1 V Хп) ф (жп V xj;
6) f (xn) = (xi V ж2 V ж3) ф (ж4 V ж5 V ж6) Ф ...
... ф (жп_2 V жп_1 V жп), п = Зк;
7) f(xn) = т(ж1, ж2, ж3) ф т(ж4, ж5, ж6) Ф ...
... ф ш(жп_2, жп_1, жп), п = Зк;
8) /(ж”) = (ж4 -4 ж2)(ж2 -> х3) ... (жп-1 -4 хп)(хп -4 ж4);
9) /(жп) = (ж4 -4 ж2) Ф(1'2 4 г3)® ...ф (ж„_4 -4 хп) ф
ф (жи -4 ж4) ф ж4 ф ж2 Ф • • • Ф хп;
10) f(xn) = \/ xhXi2 .. ,xik, 1 к п.
2.9. Показать, что каждая самодвойственная функция, сущест-
венно зависящая только от переменных Ж1, ж2, х%, представима в
виде х^х^ V Xyx'l V х^х^ либо в виде х± ф х% ф х% ф ст, где а, (3 у,
ст е {о, 1}.
2.10. Доказать, что функция f(xn) самодвойственна тогда и толь-
ко тогда, когда ее ^-компонента //(хп) двойственна к ее ^-компо-
ненте /^(жп).
2.11. Пусть f(xn) такова, что /*(0, Ж2, • • •, хп) = /(1, Ж2, ..., хп).
Верно ли, что /*(ж1, ..., жп-1, 1) = /(ж1, ..., жп_1, 0)?
2.12. Пусть функция f(xn) представима в виде f(xn) =
= хп(р(хп~1) V </9*(жп-1), где (р — некоторая функция такая, что
<р*(хп~1) V (р(хп~1) = </э(жп-1). Доказать, что f Е S.
2.13. Доказать, что функция / = ^0 ф х((р ф 0) самодвойственна,
если ip и 0 являются самодвойственными.
2.14. Используя лемму о несамодвойственной функции, доказать,
что S является предполным классом в Р%-
2.15. Верно ли, что число самодвойственных функций, сущест-
венно зависящих от переменных Ж1, Ж2, .• -, хп, равно числу функций
из Р2(Хп~1\ существенно зависящих от всех своих переменных?
2.16. 1) Пусть функция f(xn) существенно зависит от перемен-
ной х± и каждая из компонент //(хп) и /^(жп) является самодвойст-
венной функцией. Показать, что f(xn) не является самодвойственной
функцией.
2) Останется ли верным утверждение 1), если слова «каждая из
компонент» заменить на «хотя бы одна из компонент»?
2.17. Доказать тождество
У(®1, Х2, Х3, ®4, • • • , Хп) =
= /(ж4, m(a?i, ж2, ж3), m(a;i, х2, ж3), ж4, ..., хп) ф
ф ж2, ж3), ж2, т(ж1, ж2, ж3), ж4, ..., жп) ф
ф /(т(ж4, ж2, ж3), т(ж4, ж2, ж3), ж3, ж4, ..., хп).
2.18. Используя предыдущую задачу, доказать, что:
1)S= [{xi фж2 Фж3, т(ж1, Х2, жз), ж}]; 2) S = [{т(ж1, ж2, ж3)}];
3) S = [{т(ж1, ж2, жз)}].
2.19. Выяснить, является ли множество А самодвойственным:
1) А = {0, 1, ж}; 2) А = {0, ж}; 3) А = {ж ф у, х ~ у, х ф у ф z};
4) А = {ж у, х\/у}- 5) А = {х у, ху}-
6) А = {ху, х^у, т(х, у, z)}; 7) А = {ж ф у ф z, ж};
8) А = [{ж -4- у}]; 9) А = [{т(ж, у, z)}]; 10) А = [{1, х ф у}];
11) А = [{1, ж фу, жу}]; 12) А = [{1, ху}];
13) А = [{ж V у, х ф у}]; 14) А = [{ж ф у}]; 15) А = [{ху ф z ф 1}].
2.20. Доказать, что:
1) если [А] = Р2, то и [А*] = Р2; 2) (А*)* = А;
3) если А = [А] , то и А* = [А*]; 4) если Ai С А2, то А£ С А^;
5) если А — базис [А], то А* — базис [А*] .
§ 3. Класс линейных функций
Функция f(xn) называется линейной, если она представима по-
линомом Жегалкина не выше первой степени, т.е. если существуют
такие константы 6 {0, 1}, г = 0, п, что
f(xn) = а0 ф &iXi ф ... ф апхп. (1)
Множество всех линейных функций обозначается через L, а мно-
жество всех линейных функций, зависящих от переменных #i, ж2, ...
..., хп, — через Ln. Из представления (1) вытекает, что \Ln\ = 2n+1.
Множество L является замкнутым и предполным в Р2 классом. Спра-
ведливо утверждение (лемма о нелинейной функции)', если / L, то,
подставляя на места ее переменных функции 0, 1, х, у, х, у, можно
получить ху или ху.
Если / ^ L, то функция / называется нелинейной.
Пример 1. Выяснить, линейна ли функция /, заданная вектором
значений af = (1001 ОНО 1001 ОНО).
Решение. Найдем вектор Ду коэффициентов полинома Жегал-
кина для функции /. Имеем (3f = (1110 1000 0000 0000). По вектору Ду
определяется представление полиномом / = 1 ф Х4 ф х% ф т2. Отме-
тим, что в /3f отличны от нуля лишь координаты До, Д1, Д2, Д4
с номерами, равными 0 либо степеням 2. Это является критерием
принадлежности / классу линейных функций.
Пример 2. Заменить в векторе а = (—110-----------0) прочерки
символами 0 и 1 так, чтобы получился вектор значений некоторой
линейной функции /. Выразить / полиномом.
Решение. Сравнивая значения координат «1 и «з, а2 и «з в
векторе а = («о^1^2«з^4^5^6<^7)5 находим, что функция / сущест-
венно зависит от переменных ж2 и х% (так как /(001) = /(011) и
/(010) ф /(011)). Тогда в силу линейности функции / имеем а® = 0,
«5 = <^6 = 1- Значение 014 необходимо положить равным 0, так как
если бы «4 = 1, то, поскольку «о = 05 функция существенно зави-
села бы от Ж1 (ибо /(000) /(100)). Но тогда в силу линейности
функции / имели бы /(011) /(111), что противоречит условию, ибо
«з = «7 = 0. Таким образом, «7 = (01100110), а / = ж2 ф х%.
Пример 3. Подставляя на места переменных нелинейной функ-
ции / с вектором значений й7 = (1000 0000 0000 1010) функции из
множества {0, 1, ж, ?/, ж, у}, получить дизъюнкцию хУу.
Решение. Функция х V у обращается в 1 на трех наборах. За-
метим, что и / обращается в 1 на трех наборах: (0000), (1100), (1110),
и что все три эти набора имеют 0 в четвертой координате, а вторая
координата равна первой в каждом из наборов. Положим Х4 = 0,
Ж1 = Х2 = ж, жз = у. Тогда / = (ж, ж, у, 0) = ж V у. Для получения
дизъюнкции остается лишь подставить у вместо у. Таким образом,
f(x, x,y,Q) =X\J у.
3.1. Представив функцию / полиномом, выяснить, является ли она
линейной:
1)/ = ж_>У; 2) f = ж -> у Ф ху; 3) f = ху(х ~ у);
4) f = ху V ху V z; 5) f = (ху V xy)z V z(xy V ху);
6) f = ((ж -> у)(у -4 ж)) ~ z; 7) f = xyz V ху;
8) / = xyz ф xyz ф ху; 9) f = т(ж, у, z) фxyz ф xyz;
10) f = (ж V yz) ф xyz; 11) / = (ж V yz) ф xyz;
12) f = (xyz V xy z) ф x(y ф z); 13) f = xyz ф x(y z) ф x(y V z);
14) f = (xyz ф zxy) V (xyz ®xyz);
15) f = (xyz ~ xyz) ~ (xyz ~ xyz).
3.2. Выяснить, является ли линейной функция f, заданная век-
тор но:
1) af = (1001); 2) af = (1101); 3) af = (1001 ОНО);
4) af = (11000011); 5) af = (10100101); 6) af = (10100110);
7) af = (1100100101101001); 8) af = (01101001);
9) af = (10010110 01101001); 10) af = (01101001 ОНО 1001);
11) af = (1010 010110011100); 12) af = (1010 010101011010);
13) af = (1010 0110 0110 0101); 14) af = (001111001100 ООП);
15) af = (100110010110 0110).
3.3. Заменить в векторе а прочерки символами 0 и 1 так, чтобы по-
лучился вектор значений некоторой линейной функции f. Выразить f
полиномом:
1)5 = (10 — 1); 2) 5 =(0 — 11); 3) а = (100 — 0-);
4) а = (—001--1—); 5) а = (1 — 101--);
6) а = ( — 0 — 1-00); 7) й =(11—0---1);
8) 3 = (1-11 — 0—);
9) а = (--10--------0---1 — ПО);
10) а= (1-----------------0 — 110);
11)а=(—11 —1- -1- -0);
12) а = (---0 — 00—1 —0----------);
13) 5= (—100-----1 — 1-----------);
14) а = (---1 — 11---11 — 1 — 0—);
15) а = (—1----------оо—1—i—).
3.4. Подставляя на места переменных нелинейной функции /
функции из множества {0, 1, ж, у}, получить хотя бы одну из функ-
ций ху, ху, ху:
1) /(ж3) = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1; 2) &f = (0110 0111);
3) af = (1101 0101); 4) af = (1100 1110);
5) af = (110111111100 1111); 6) af = (011111111110 1110);
7) af = (1111 0101111111011); 8) af = (0111101111111110);
9) 5f = (1001 011111111010); 10) af = (110110011001 0111);
11) f = (Ж1 V X2 V Хз)(Х1 Vx2 VX3 V X4);
12) f = (Ж1 V X2 V Хз V ж4)(^1 V#2 V Хз V ж4)(ж2 v Хз)',
13) f = Ж1Ж2жзж4 V Ж1Ж2хзж4 V Ж1Ж2жз^4 V tit2t3t4 V Х1Ж2ж4 V
Vж2ж3ж4 V Ж1Ж2ж3;
14) af = (1100 111111111110); 15) af = (10111110 10110111).
3.5 . Выяснить, можно ли путем подстановки функций 0, 1, х, у,
х, у на места переменных функций / получить функцию ху:
1) / = Х1 х2; 2) af = (1110 1000); 3) af = (1001 ОНО);
4) af = (11011011); 5) af = (10010111); 6) af = (1101 ОНО);
7) f = Ж1 -> (x2 -> Хз); 8) f = (x{x2 Ухгх2хз) ф^ад;
9) / = (Ж1Ж2 V ж2ж3 V хзхх); 10) 5/ = (10011010);
11) af = (10010110 01101001); 12) af = (1110100110010111);
13) af = (1101111001101011); 14) af = (1100 001100111100);
15) af = (0111101111111100).
3.6. 1) Пусть функция f(xn) представима в виде f = хп ф р(хп~г).
Доказать, что на любых двух наборах, различающихся только в п-й
координате, функция f принимает противоположные значения.
2) Доказать обратное утверждение, т. е. что если функция / на
любой паре наборов, различающихся только в n-й компоненте, при-
нимает противоположные значения, то функция / может быть пред-
ставлена в виде / = хп ф р, где р не зависит от хп.
3) Доказать, что функция f(xn), принимающая на любых двух
соседних наборах противоположные значения, линейна и существенно
зависит от всех своих переменных.
3.7. 1) Показать, что если функцию f(xn) можно представить в
виде f(xn) = ф р, где р не зависит от хп, то \Nf\ = 2п~1.
2) Показать, что если / линейна и отлична от константы, то
1^/1 = 2"-1.
3.8. Доказать, что функция f(xn), существенно зависящая от всех
своих переменных, является линейной тогда и только тогда, когда
при замещении любого подмножества переменных любым набором
констант получается функция, существенно зависящая от всех остав-
шихся переменных.
3.9. Доказать, что линейная функция является самодвойственной
тогда и только тогда, когда она существенно зависит от нечетного
числа переменных.
3.10. Найти число линейных функций f(xn), существенно завися-
щих в точности от к переменных.
3.11. Найти число линейных функций f(xn) таких, что /(О, 0, ...
...,0) = /(1, 1, 1) = 1.
3.12. Пусть /(xi, ^2, 0, ..., 0) = —> ^2- Доказать, что f £ L.
3.13. Пусть /(ж, 0, ..., 0) f(xi, 1? • • • > 1)? f(xn) существенно
зависит от всех переменных, п нечетно. Доказать, что f L.
3.14. Пусть f(xn) L. Доказать, что подстановкой констант
вместо некоторых п — 2 переменных можно получить нелинейную
функцию от двух переменных.
3.15. Специальной назовем четверку наборов S, /3, 7, 8 из Вп. ко-
торая обладает следующими свойствами: множество координат мож-
но разбить на два подмножества А = {zi, ..., г к) и В = {Д, ..., jn-k}-
набор а таков, что координаты ..., aik равны 1; набор /3 та-
ков, что координаты /3^, ..., /3ik равны 0; набор 7 таков, что 1 <
к ~
< 52 7гv < к', набор 8 таков, что <5^—7^ = 1, • • •, к); кроме того,
V— 1
для всякого m € Л выполнено равенство ат = (Зт = ут = 8т. Ины-
ми словами, специальная четверка образована верхним и нижним
наборами некоторой ^-мерной грани д куба Вп и двумя отличными
от них противоположными наборами этой грани.
Доказать, что функция f(xn) является нелинейной тогда и только
тогда, когда в Вп найдется специальная четверка наборов такая, что
функция f(xn) обращается в 1 либо на одном, либо на трех наборах
из специальной четверки.
3.16. Доказать, что если f(xn) L, \Nf\ = 2П-1, то с помощью
подстановки функций {0, 1, х, у, х, у} на места переменных функ-
ции / можно получить как конъюнкцию, так и дизъюнкцию.
3.17. Доказать, что отождествлением переменных из нелинейной
функции f(xn) (п 4) можно получить нелинейную функцию, зави-
сящую не более чем от трех переменных.
3.18. Доказать, что система А полна в L. Выяснить, является ли
система А базисом в L:
1) А = {1, xi ф ж2}; 2) Л = {0, х± ~ х2);
3) А = {0, 1, xi ф х2 ф жз}; 4) А = {х ф 1, Ж1 ф х2};
5) А = {^1 Ф х2, Ж1 ~ х2}; 6) А = {ж1 ф х2 ф ж3, х ф 1, 0};
7) А = {ж1 ф х2 ф ж3 ф 1, Ж1 ~ ж2};
8) А = {ж1 фж2 Фж3 ФЖ4, ж ф 1}; 9) А = {ж1 Ф ж2 Ф ж3 ф 1, 0};
Ю) А = L А Р2(Х2); 11) А = (L A S) U {0}; 12) А = L\S;
13) А = {жх ф ж2, Ж1 ф ж2 Ф ж3 ф 1, 1};
14) А = {Ж1Ж2 V Ж1Ж2, ж ф 1}; 15) А = (L\S) А В(Х2).
3.19. Доказать, что не существует линейной функции /, образую-
щей базис в L.
3.20. Доказать, что L A S = [{ж ф у ф z ф 1}].
3.21. Доказать, что система {ж, Д, /2, /з}- где /ь /2, /з — попарно
различные функции, существенно зависящие от переменных Ж1, Ж2,
полна в Р2.
3.22. Доказать, что система {0, х, fa, fa, /3}, где /х, /2, /з — раз-
личные функции, существенно зависящие от переменных Ж1, Ж2, ...
..., жп, п > 2, полна в Р2.
3.23. Доказать, что из полинома степени 3, зависящего от трех
переменных, с помощью отождествления переменных можно получить
функцию вида ху ф / (ж, ?/), где / (ж, у) — некоторая линейная функция.
3.24. Доказать, что из нелинейной функции f(xn) с помощью
отождествления переменных можно получить функцию вида ху ф
ф /(ж, у) или вида ху ф yz ф zx ф /(ж, ?/, z), где /(ж, у) и /(ж, ?/, z) -
линейные функции.
§ 4. Классы функций, сохраняющих константы
Функция f(xn) сохраняет константу 0 (константу 1), если
/(О, 0, ..., 0) = 0 (соответственно если /(1, 1, ..., 1) = 1). Мно-
жество всех функций алгебры логики, сохраняющих константу 0
(константу 1), обозначается через Tq (соответственно через Ti).
Множество всех функций из Tq (Ti), зависящих от переменных Ж1,
Ж2, ..., жп, будет обозначаться через Tq (соответственно через Tf).
Каждое из множеств То, Т± является замкнутым и предполным в Р2
классом. п—2
Пример 1. Выяснить, при каких п функция f(xn) = ф т(ж*,
ж*+1, ж^+2) принадлежит множеству То П Т\.
Решение. Если п нечетно, то f(xn) является суперпозицией
функций т(ж1, Ж2, жз) и Ж1 Ф Ж2 Фж3, принадлежащих замкнутому
классу То П 71 , и, следовательно, f(xn) е То А Т±. Если п четно, то
/(1, 1, 1) = 0, и /^ТоПТь
Пример 2. Найти число функций f(xn), принадлежащих мно-
жеству А = (Ь\ТЬ) A S.
Решение. А = (L\(Tq A L)) AS = (L A S)\(L А То A S). Следова-
тельно, |А| = \L A S\ — \L A S А То|. Линейная функция f(xn) явля-
ется самодвойственной тогда и только тогда, когда она сущест-
венно зависит от нечетного числа переменных, т. е. представима в
виде / = ж^ Ф ж;2 ф ... ф ж^2в+1 ф (т, ст с {0, 1}. Число линейных функ-
ций f(xnl зависящих существенно от к переменных, равно 2С^
(€% способами можно выбрать к переменных из Ж1, Ж2, ..., жп и
двумя способами можно выбрать свободный член). Таким образом,
|L"nS"|=2 С^+1=2п.
0^s^(n-l)/2
Ясно, что \Ln A Sn A T^l = i \Ln A Sn|, поскольку свободный член
определяется однозначно (равен 0). Таким образом, |А| = 2П-1.
Пример 3. Доказать, что [{ху, жф?/}]=7о.
Решение. Заметим, что полином любой функции f из Tq не
содержит 1 в качестве слагаемого. Но всякий такой полином может
быть, очевидно, получен с помощью суперпозиции из функций ху,
X ®у.
4.1. Выяснить, принадлежит ли функция / множеству 7i\7q:
1) f = (Ж1 -4 ж2)(ж2 -> ж3)(ж3 -4 жх); 2) f = т(жх, ж2, ж3);
3) f = жх -4 (ж2 -4 (ж3 -4 жх)); 4) f = жхж2ж3 Х/жхж2 \Хж2;
5) f = (жх V ж2)ж3 V жхж2 V ж2; 6) f = жхж2 ж3 V жхж2 V ж2 V жхж2ж3;
7) af = (1001 ОНО); 8) af = (11011001); 9) af = (1000 0111);
10) af = (00011011).
4.2. Выяснить, при каких п функция f(xn) принадлежит мно-
жеству 7о\Гв
/п—1 \
1) f(xn) = Ж1 ф Ж2 Ф . . . ф Хп, 2) f(xn) = I ф Ж;Ж;+1 ) ф Ж„ЖХ;
V=i /
3) /(жп) = ф XiXj- 47)f(xn) = ф (XjX/Xj);
5) f(xn) = 1 Ф (жх -> ж2)(ж2 -4 ж3)(ж3 -4 ж4)...
п_2 • ••(жп_х -4ж„)(ж„ -4жх);
6) f(xn) = ф (жг -4 (жг+х -4 жг+2));
г=1
7) f(xn) = ф ((жх -> Жг+1) -4 ж<+2);
г=1
8)/(^п) = Ф (ж^ ф Жг+1Жг+2); 9*)/(ж”) = ф XiXjXk;
i=l l^i<j<k^.n
10) /(ж") = ф m(xi, Xj, xk);
11)/(ж") = ф ^(жга), ^eSnTi;
i=l
12) f(^n) = ж„Г V ^(ж11-1)^ Vxn( & </?• (ж"-1)^ , где — про-
\ г=1 / \i=l /
извольные функции из (р* — двойственная к ipi функция, г =
= 1, п- 1;
13) /(ж")=ж„( V^(^"-1)) ® & r«e ‘Pi — произ-
\ г = 1 / i=l
вольные функции из (р* — двойственная к tpi функция, i =
= 1, ...,п-1;
14) f(xn) = Pi е фпт0)\5;
i=l
15) /(ж") = & Pi(xn), е S\T1.
i=l
4.3. Подсчитать число функций, зависящих от переменных жх,
Х2, • • •, хп и принадлежащих множеству А:
1)А = ТОАТХ; 2)A = TOUTX; 3) А = То A L; 4) А = Т± A S;
5)A = T0UT; 6) А = Т\ТХ; 7) А = (L U Тх) A S;
8) А = LATXAS; 9)A = LUSUT0; 10) А = (Д U S)\TX;
11) А = (L\T0) A S; 12) А = S'А То; 13) А = (S А То) U Тх;
14) А = (S A L)\TX; 15) А = (ТО\ТХ) A S; 16) А = (ТО\ТХ) А L;
17) А = (S U Д) А Тх; 18) А = (Тх U То) A S; 19) А = То А Тх А Д;
20) А = (Т0АТ1 АД)\5; 21) А = (S А Д)\Т0;
22) А = (S А Д)\(Т0 A Ti); 23) А = (S A Д)\(Т0 U Тх);
24) А = (S\T0) АТХ; 25) А = S\(Т0 U Тх); 26) А = (S А ТО)\ТХ;
27) А = S\(T0 U Д); 28)А = 5АТ0АД; 29) А = Д\(То U Тх);
30) A = (Д\(ТоиТх)) AS; 31) A = S\L; 32) A = L\S;
33) A = (Д\5) ATX; 34) A = ((S\Д)\ТО)\ТХ;
35) A = ((S A Д)\ТО)\ТХ; 36) A = S A (ТХ\Д);
37) 4= (LA S)\(T0 A Tx); 38) A= (LA T0)\(S A Tx);
39) A = (S A TO)\TX; 40) A = (Д A To A TX)\S;
41) A = (To A Tx А 5)\Д; 42) A = To U Tx U S;
43) A = To U Tx U S U L; 44) A = To U Tx U Д;
45) A = (L\S) U (TO\TX).
4.4. Доказать, что:
1) L A S A To = L A S A Tx = L A To A Tx = L A S A To A Tx;
2) S A To = S A Tx = S A To A Tx.
4.5. Доказать, что:
1) [{^ V у, х ф у}] = То; 2) [{ж V у, х ~ у}] = Тх;
3) [{жу, х ~ у}] = Тх; 4) [{жуфг}] = То;
5) [{жу, ж ф у ф z}] = То А Тх; 6) [{жу ф z ф t}] = То А Тх;
7) [{ж фу}] = ТА То; 8) [{ж ~ у}] = Д А Тх;
9) [{ж ф у ф г}] = L A S А То;
10*) [{т(ж, у, z), ж ф у ф z}] = То A S;
11*) [{т(ж, у, z)}] = Тх A S; 12) [{ж ф у ф z ф 1}] = L A S;
13) [{ху, т{х, у, г)}] = То А Тх; 14) [{ж V у, т(ж, у, г)}] = То А Тх;
15) [{т(ж, у, г), ж ф у}] = То.
4.6. Выяснить, является ли множество А базисом в классе К:
1) А = {ху ~ z}, К = Тх; 2) А = {ху У z}, К = То;
3) А = {ху, х ~ у, х\/ у}, К = Ti~
4) А = {ж ф у ф z, т{х, у, г)}, К = То А Тх;
5) А = {ху, х ®у ф z, т(х, у, z)}, К = То А Тх;
6*) А = {ху, т(х, у, z)}, К = То А Тх;
7) А = {ж ф у, т(ж, у, z)}, К = То А Тх;
8) А = {ж V у, ху}, К = То; 9) А = {ж ф у ф z, 0}, К = То A L;
10) А = {х ф у ф z, х ®у ф z Ф £}, К = То A L;
11) А = {ху фу ф z, х фу ф z], К = То A Тх;
12) А = {т(ж, у, г), х ф у ф z}, К = То A S;
13) А = {(ж ~ у) ~ z}, К = L A S А То;
14) А = {ж ~ m(y, z, t)}, К = Т±;
15) А = {ху, х ф у ф z, ж V у}, К = Tq А Т±.
4.7. В заданном векторе а заменить координаты — символами из
множества {0, 1} так, чтобы получился вектор af значений некоторой
функции /, образующей базис в К. Доказать единственность решения:
1) а = (------), K = T0CiL;
2) а = {--------------), K = LC\S;
3) S = (—110 —11—), К = Т0; 4) а = (-----), К = Тх A L;
5) а = (--------------), К = LAS АТ;
6) а = (—11001100110100—), К = То АТ1;
7) а = (--1--------------------------), K = LC\S;
8) а = (— 0---0-----), 7C = SATi;
9) а = (— 0---0-----), K = SOT0;
Ю) а = (------1 — 0—), к = SATr,
11)а = (------------10—), K = S^To;
12) а= (----1 — 0---), 7C = SATi;
13)5= (-------1----------------------), К = ЬПТ0 ATi;
14) а = (--------------------------1—), K = Lr\S0 А То;
15) <5 = (—00-------),K = S.
4.8. Доказать, что класс Тх является предполным в Рг.
4.9. Доказать, что множество А является предполным в L:
1) А = [{0, ж}]; 2)A = LATX; 3)A = LATo; 4)A = LAS.
4.10. Выяснить, является ли множество А предполным в Tq:
1)A = ToAL; 2) А = То AS; 3)A = T0ATi; 4) А = [{0, ж}];
5) А = [{жу, жУу}].
§ 5. Класс монотонных функций
Булева функция f(xn) называется монотонной, если для любых
двух наборов а и (3 из Вп таких, что а /3, имеет место неравенст-
во /(5) /(/?)• В противном случае f(xn) будет называться немоно-
тонной. Множество всех монотонных булевых функций обозначает-
ся через М, а множество всех монотонных функций, зависящих от
переменных Ж1, Ж2, ..., жп, — через Мп. Множество М является
замкнутым и предполным в Р2 классом. Справедливо утверждение
(лемма о немонотонной функции): если / М, то, подставляя на
места ее переменных функций 0, 1, х, можно получить функцию х.
Вершина а куба Вп называется нижней единицей (верхним нулем)
монотонной функции f(xn)y если f(a) = 1 (соответственно f(a) = 0)
и для всякой вершины /3 из (3 < а вытекает, что /(/3) = 0 (соответст-
венно из а < 13 вытекает, что f(j3) = 1).
Проверку на монотонность булевой функции f(xn), заданной сво-
им вектором значений 5у = («о, си, ..., бЪ" -1), можно осуществить
следующим образом. Разделим вектор af на две равные части otfi =
= (cVq, СК1, . . . , 0^2™ —i—l) И Qyi ~ (^2та —1 , а2п — 1_ 1, . . . , — 1)- ЕСЛИ
отношение afi Sfi не выполнено, то f(xn) не является монотонной.
В противном случае каждый из векторов otfi (ст 6 {0, 1}) вновь
разделим на две равные части 3Li,2 ийд,2. Если не выполнено хотя бы
Jo-,0 Jo-,1
одно из отношений а^1,2 Syi,2, то f(xn) М. В противном случае
вновь делим векторы пополам и т.д. Если отношение предшествова-
ния выполняется для всех пар векторов, то f(xn) монотонна.
Пример 1. af — (10011111). Первый шаг не обнаруживает немо-
нотонности, так как 1001 1111. Второй шаг дает: 10 01, 11^11.
Монотонность нарушена.
Для доказательства монотонности функции /, которая задана фор-
мулой, можно с помощью эквивалентных преобразований представить
функцию с помощью формулы, содержащей лишь связки & и V (или
другие монотонные операции).
Пример 2. f = х \/ху \/xyz. Имеем ху У xyz = х(у V yz) =
= х(у V z). Далее х V х(у V z) — хМ у z. Функция / монотонна.
Установить немонотонность функции / можно также, получив из
нее немонотонную функцию одной переменной путем замены осталь-
ных переменных константами.
5.1. По вектору значений Sy выяснить, является ли функция /
монотонной:
1) Sy = (ОНО); 2) Sy = (00110111); 3) Sy = (01010111);
4) Sy = (01100110); 5) Sy = (00010111); 6) Sy = (01010011);
7) Sy = (0010001101111111); 8) Sy = (0001010101110111).
5.2. Проверить, является ли функция / монотонной:
1) / = (xi Ф ж2) & (^i - ж2); 2) / = -> (ж2 -> Ж1);
3) / = Xi (xi ж2);
4) / = Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 V V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2^з;
5) / = Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2ж3 V V Ж1Ж2ж3;
6) / = (xi ф ж2)ж1Ж2; 7) / = Ж1Ж2 Ф Ж1Ж3 ф Ж3Ж1;
8) / = Ж1Ж2 Ф ж2ж3 ф ж3Ж1 ф х4.
5.3. Для немонотонной функции f указать два соседних набора S,
/3 значений переменных таких, что а < (3 и f(a) > f(j3):
1) f = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2; 2) / = Ж1 фж2 фж3; з) / = Ж1Ж2 Ф ж3;
4) f = Xi V ж2ж3; 5) f = Ж1Ж3 ф х2х4;
6) / = (Ж1Ж2Ж4 х2х3) ф х4.
5.4. Пусть Мп — множество тех векторов а = («о, • • •,
которые являются векторами значений монотонной функции. Найти
число векторов из Жп, которые можно получить из вектора у2 =
= (Уо- 71? • • • ? 72" -1) заменой символа — на 0 или 1:
1)72 = (0-); 2)72 = (----); з)74 = (—оо—);
4) 74 = (—10—); 5) 78 = (---------00—);
6) 78 = (----1----0—); 7) 78 = (— 1---0---------);
8)78 = (0- -1).
5.5. Пусть M,Sn — множество тех векторов а2 = («о,
..., а2"-1)> которые являются векторами значений функций из клас-
са М П S. Найти число векторов из которые можно получить,
заменяя в векторе -у2 символы — на 0 и 1:
1)72 = (---); 2)74 = (-0----); 3) у4 = (--------1);
4) 78 = (— 00 — 0----); 5) 78 = (—01--0---------);
6) у16 = (---0 — 0-------0------------);
7)у=(--------1----1--1--------------);
8)7=(--------1----0-------------------).
5.6. Выяснить, при каких п 1 функция f(xn) монотонна:
1) = $1 Ф х2 Ф • - Ф хп;
3) f(xn) = xix2 ... хп -> (жх ф х2 ф ... ф хп);
4) f(xn) = ф xtlxi2 ...xim, т =
1^21 < 22 < • * • < im 72
5) /(®”) = Ж1^2 • • • хп Ф ф Xi... Xi-iXi+i ... хп;
т
6) f(xn) = ф ф xitxi2 ... xim.
т=1 1^21 -
5.7. Привести пример немонотонной функции f(xn), у которой
каждая подфункция вида f^(xn) (г = 1, ..., n), а 6 {0, 1}, монотонна.
5.8. Доказать, что если функция / немонотонна, то существуют
два соседних набора S и (3 такие, что а < (3 и f(a) > f(j3).
5.9. Доказать, что функция, существенно зависящая не менее чем
от двух переменных, монотонна тогда и только тогда, когда всякая ее
подфункция, зависящая существенно от одной переменной, монотонна.
5.10. Доказать, что функция f(xn) монотонна тогда и только
тогда, когда для любого А; = 1, 2, ...,n — 1, любого подмножест-
ва {zi, ..., ik} С {1, ..., п} и любых двух наборов а = (сгх, ..., су.)
и т = (ri, ..., Тк) таких, что ст <С т, выполняется тождество
/•71
J (71
...U(2n) V /и-(£«) =
5.11. Доказать, что для всякой монотонной функции f(xn) спра-
ведливы разложения
f(xn) = Xifi(xn) У Г0[хп), f(xn) = V f^xn))fi(xn).
5.12. Доказать, что для каждой отличной от константы монотон-
ной функции / существуют д.н.ф. и к.н.ф., не содержащие отрица-
ний переменных и реализующие f.
5.13. Элементарная конъюнкция К называется простым импли-
кантом, если К V f = f и К' V f f для каждой конъюнкции К',
полученной из К вычеркиванием букв. Доказать, что никакой простой
импликант монотонной функции не содержит отрицаний переменных.
5.14. Найти число нижних единиц е(/) и верхних нулей п(/)
монотонной функции /:
1) Дж3) = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1; 2) Дж2) = Ж1 V ж2;
3) Дж4) = Ж1Ж2жз V Ж4(ж1 V ж2 V жз);
4) Дж2*) = (жх V ж2)(ж3 V ж4)... (ж2й_1 V ж2й);
5) Дж3*) = (жх V ж2 V ж3)(ж4 V ж5 V ж6)... (жЗА_2 V жзй_1 V жзй).
5.15. Пусть у) = х\/у. Для набора а = («1, ..., ап) из Вп
п
положим Ка(хп) = cp(xi) с^). Доказать, что если а является ниж-
2=1
ней единицей функции f(xn), то элементарная конъюнкция К^(хп)
входит в полином Жегалкина функции f(xn) в качестве слагаемого.
5.16. Показать, что не существует монотонных самодвойственных
функций, имеющих ровно две нижние единицы.
5.17. 1) Показать, что в Вп существует подмножество, состоящее
из ( ) попарно несравнимых наборов.
2*) Показать, что |7ИП| 2(fn/2]).
5.18. Возрастающей цепью длины к в Вп называется последова-
тельность наборов So, 51, ..., Sfc такая, что S^-i < од (г = 1, ..., к).
1) Показать, что в Вп существует п\ попарно различных возрас-
тающих цепей длины п.
2) Показать, что число попарно различных цепей длины п, содер-
жащих фиксированную вершину 5 из , равно к ! (п — к)!.
5.19. 1) Показать, что мощность любого подмножества попарно
несравнимых наборов куба Вп не превосходит ( ^/2] ) ’
2) Показать, что если подмножество А С Вп состоит из попарно
несравнимых наборов и при этом ||5|| к п/2 для любого 5 6 А,
то М*)-
5.20. 1) Используя теорему Дилуорса, утверждающую, что мини-
мальное число цепей, содержащих все вершины частично упорядочен-
ного множества, равно максимальному числу попарно несравнимых
наборов в нем, доказать, что
\Мп\ <$ 2 + тгС ) .
2) Доказать, что число монотонных функций f(xn), у которых
каждая нижняя единица имеет вес, не превышающий к (0 к п/2),
не превосходит 1 + (к + 1)(&).
5.21. Подсчитать число функций в каждом из следующих мно-
жеств:
1) Мп\(Т1 U То); 2) МП\(Т1 П То); 3) Мп П В; 4) Мп П L П S;
5) Ln(MUS).
5.22. Показать, что:
1) |SAM”| |Мп-1| при 2) |М”| |Мп-1|2 при п 1;
3) |МП| |Ми-2|2 22П-2 при п > 1.
5.23. 1) Перечислить все монотонные функции переменных х±, Х2-
2) Перечислить все попарно неконгруэнтные монотонные функ-
ции, существенно зависящие от трех переменных.
3) Пусть 'ф(п) — число монотонных функций, зависящих от пере-
менных Ж1, Ж2, • • •, хп. Показать, что:
а) -0(1) = 3; б) ^(2) = 6; в) ^(3) = 20; г*) тД4) = 168.
4) Пусть ^с(п) — число монотонных функций, существенно зави-
сящих от переменных a?i, ^2, ..., хп. Найти z^c(n) для п 4.
5.24. Перечислить все попарно неконгруэнтные самодвойственные
монотонные функции, зависящие от четырех переменных.
5.25. Доказать, что |Mn| < \Sn| при п 4.
5.26. Пусть А С Bzn, С — множество всех наборов а G В£, для
которых существует набор /3 из А, сравнимый с S. Доказать, что
5.27. Пусть f € Мп, qk(f) = \Nf А . Доказать, что
(А: = 1, п).
5.28. Функция </?(жп), определенная на Вп и принимающая про-
извольные действительные значения, называется обобщенной моно-
тонной функцией (сокращенно ОМФ), если из а /3 вытекает, что
1) Доказать, что ОМФ (р[хп) может быть представлена в виде ли-
нейной комбинации монотонных булевых функций следующего вида:
ф(2п) = с + ^2 aff(xn),
f(xn)EM
где с — действительное число, a af — неотрицательное число.
2) Пусть ср(хп) — ОМФ, а q^(</?) = (/Q ^(^). Доказать,
что (k = 1, ..., п).
5.29*. 1) Пусть f(xn) и д(хп) — монотонные булевы функции.
Доказать, что
\Nf ^д\2~п \Nf\2~n \Ng\2~n.
2) Пусть /1, ..., fs — функции из Мп. Доказать, что
кл<.л12""^ п d^i2-”)-
5.30. 1) Верно ли, что если f е Мп, то из условия а, /3 G Вп,
i/(j3) > v(a) (||Д|| > ||й||) вытекает, что /(S) /(Д)?
2) Пусть для всякого к (0 к < п) из условий z/(5n) 2П — 1 —
—2fe, v(J3n) = z/(5n) + 2к следует, что f(an) f(/3n). Доказать, что
f е м. п_± 2„_2fc_1
5.31. Пусть Д(у2”) = &; & (у*-> Уг+2^)- Доказать, что
к=0 i=Q
\Nf\ = |M"|,
5.32. Можно ли из функции / = хуz V t(xy —> z) получить:
1) функцию Ъх отождествлением переменных;
2) функцию xz отождествлением переменных;
3) функцию xz с помощью суперпозиции;
4) функцию х подстановкой констант 0, 1;
5) функцию xz подстановкой константы 0;
6) функцию z отождествлением переменных?
5.33. Показать, что всякая монотонная функция содержится не
менее чем в двух классах из Zq, Zi, L.
5.34. Показать, что М не содержится ни в одном из классов Zq, Zi,
S, Z, указав монотонные функции, не содержащиеся в соответствую-
щих классах.
5.35. Можно ли с помощью функций ху, хУ у, 1 получить 0?
5.36. Показать, что множество {0, 1, ху, х\/ у} является базисом
в М.
5.37. Из множества {0, 1, ху, х\/ у, ху У z, ху yz V zx} выде-
лить все подмножества, являющиеся базисами в М.
5.38. Доказать, что всякий базис в М содержит не менее трех и
не более четырех функций.
5.39. Показать, что всякий базис в М, состоящий из трех функций,
содержит функцию, существенно зависящую не менее чем от трех
переменных.
5.40. Привести примеры базисов в следующих классах: 1) Tq П М;
2) Zi ПМ; 3) ЬПМ.
5.41. Показать, что если / 6 М, то /* 6 М.
5.42. Можно ли из функции f = ху V yz V zx получить с помощью
операции суперпозиции функцию д = ж V у!
5.43. Доказать, что / 6 М П S тогда и только тогда, когда fn е
е м, (жу = ж и
<р(хп х) = /(ж4, . . . , Жп-1, 0)&/(ж4, . . . , Хп-!, 0) = 0.
5.44. Пусть т(х3) = ж4ж2 V ж2жз V Ж3Ж1 и f(xn) € М П S (п 3).
Доказать справедливость представления
f(xn) = т(/(ж1, ж4, ж3, ж4, ..., жп), /(ж1, ж2, ж2, ж4, ..., ж„),
/(ж3, Ж2, Жз, Ж4, . . . , Жп)).
5.45. 1) Пусть Dn — множество функций / из S А Мп, сущест-
венно зависящих от п переменных. Для каждого п 4 перечислить
функции из Dn.
2) Доказать, что для всякого п 4 из функции / G Dn можно по-
лучить путем отождествления переменных функцию т(ж3) = Ж1Ж2 V
V ж2ж3 V Ж3Ж1.
5.46. 1) Доказать, что т(ж3) = Х1Х2 V ж2^з V Ж3Ж1 образует базис
в М AS.
2) Доказать, что любая функция из MAS, существенно завися-
щая более чем от одной переменной, образует базис в М A S.
5.47* . Пусть D — множество, состоящее из всех монотонных
элементарных дизъюнкций, а УС — множество, состоящее из всех
монотонных элементарных конъюнкций. Показать, что множества
D U {0, 1}, Ж U {0, 1}, М А То, М Ар и только они образуют пред-
полные классы в М.
§ 6. Полнота и замкнутые классы
В Р2 справедлив следующий критерий полноты.
Теорема (Э. Пост). Система А функций из Р2 полна в Р2 тогда
и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из
классов Tq, Ti, L, S и М.
Функция f(xn) называется шефферовой (или функцией Шеффера),
если она образует базис в Р2.
При исследовании полноты систем функций удобно пользоваться
таблицей, которую мы будем называть критериальной. Эта таблица
имеет пять столбцов, каждый из которых соответствует одному из
пяти предполных классов в Р2, а строки таблицы соответствуют
функциям исследуемой системы. На пересечении строки таблицы,
соответствующей функции /, и столбца, соответствующего классу К,
ставится знак плюс, если f Е К, и минус, если f К. Система функ-
ций полна тогда и только тогда, когда в каждом столбце содержится
хотя бы один знак минус.
Пример 1. Исследовать полноту системы А = {Д = ху ф z, Д =
= х ф у ф 1}. Критериальная таблица имеет вид табл. 2.1. В каждом
Пример 2. Исследовать полноту системы А = (S\M) UL\(7qU
U Ti). Для исследования полноты этой системы можно использовать
некоторый аналог критериальной таблицы, в котором строки соот-
6 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
ветствуют не отдельным функциям, а подмножествам системы А.
Разобьем систему А на подмножества Ai = S\M и А% = L\(7q U 7i)
и исследуем принадлежность функции из этих подмножеств предпол-
ным классам.
Заметим, что Xi G Ai П А^. Отсюда следует, что Ai <£. 7q, Ai 2
2 T"i, Ai М (г = 1, 2). Очевидно, что А± С S, А% С L. Заметим,
что т(ж, ?/, z) = ху ф yz ф zx принадлежит Ai и не является ли-
нейной. Таким образом, Ai £ L. Остается выяснить справедливость
включения А^ С S. Всякая функция f из А имеет вид f = otiXi ф
ф «2^2 Ф . . . Ф Otnxn ф «о, поскольку А^ С L. Поскольку А2
то <то = 1. Поскольку А2 2 то /(1) — ai Ф 1 — 0. Следова-
1^г^п
тельно, нечетное число коэффициентов «1, ..., ап обращается в 1.
Значит, функция / линейна и зависит существенно от нечетного числа
переменных. Такая функция, как нетрудно проверить, является само-
двойственной. Аналог критериальной таблицы имеет вид табл. 2.2.
Таблица 2.2
То Т1 L S м
- - - + -
- - + + -
Система А не является полной в Р2. Критериальная таблица может
быть полезной для нахождения базисов, содержащихся в системе А.
Пример 3. Из полной в Р2 системы А = {Д = х ф у, Д = ху ф z,
f3 = x®y®z®I, f4 = ху ® yz ® zx} выделить всевозможные ба-
зисы.
Критериальная таблица имеет вид табл. 2.3. По таблице составим
Таблица 2.3
То Ti L S M
fl + - + - -
fl + - - - -
h - - + + -
fi + + - + +
к. н. ф. К, в которой элементарные дизъюнкции соответствуют столб-
цам таблицы и включают в качестве слагаемых символы тех функций,
которые не входят в класс, соответствующий столбцу. В данном
случае имеем
к = Шг У f2 у fM У flKfi У V /2 V /з).
Перемножая скобки и используя для упрощения равенства вида
А • А = А, А(А V В) = А, А V АВ = А, приведем к. н. ф. К к д. н. ф. В,
в которой упрощения А V АВ = А невозможны. В нашем случае
имеем
к = /з(/2 V /4) (Л V /2) = /з/2 V /зА/1 = D.
По полученной д. н. ф. D выпишем подмножества функций, соот-
ветствующие слагаемым д.н.ф. D. Это и будут искомые базисы. В
нашем случае имеется два базиса: £>i = {/2, /з} и £2 = {/ь /з, /4} •
Полноту систем функций в Р2 можно доказывать путем сведения
исследуемой системы к известным полным системам таким, как
{ху, X V у, ж}, {ху, х®у, 1}, {жУу}, {ху}.
Пример 4. Доказать полноту в Р2 системы А = {Д = ху V yzV
v zx, fa = o, /3 = 1, А = х ф у ф z}.
Имеем /1(ж, у, 0) = ху, fa(x, у, 0) = х ф у. Таким образом, из
функций системы А получаются функции ху, х ф у, 1 одной из выше-
указанных полных систем. Это и означает, что система А полна в Р2.
6.1. Выяснить, полна ли система функций:
1) А = {ху, хУ у, х ®у, xyVyzV zx};
2) А = {ху, хУ у, х ф у ф z ф 1};
3) А = {1, х, х(у ~ z) ф х(у ф z), х ~ у};
4) А = {0, х, х(у ф z) ф yz};
5) А = {ж, х(у ~ z) ~ (т/ V z), х ф у ф z};
6) А = {х, х(у ~ z) ~ yz, х ®у ф z};
7) А = {ху(х ф у), ху ф х ф у, 1, ху ф yz ф zx};
8) А = {ху(х ф z), 1}; 9) А = {х —> у, х —> ух, жф у ф z, 1};
10) А = {х —> у, х Ф у}.
6.2. Выяснить, полна ли система А функций, заданных векторами
своих значений:
1) А = {Л = (ОНО), fa = (11000011), fa = (10010110)};
2) А = {fa = (0111), fa = (01011010), fa = (01111110)};
3) A = {fa = (0111), fa = (10010110)};
4) A = {fa = (0101), fa = (11101000), fa = (01101001)};
5) A = {fa = (1001), fa = (11101000)};
6) A = {fa = (11), fa = (0111), fa = (00110111)};
7) A = {/i = (10), fa = (00110111)};
8) A = {fa = (11), fa = (00), fa = (00110101)};
9) A = {fa = (1000 0001), fa = (0111), fa = (1011)};
10) A = {/1 = (1000 0001), fa = (0110), fa = (1001)}.
6.3. Выяснить, полна ли система А:
1) А = (S П М) U (L\M); 2) А = (L П fa П То) U S\(T0 U fa);
3) А = (L П fa) U (S П М); 4) А = (L П fa) U (S\T0);
5) А = (M\fa) U (L\S); 6) А = (M\fa) U (S\L);
7) A = (L П M) U (S\T0); 8) A = ((L П M)\fa) U (S П fa);
9) A = (M\S) U (L П S); 10) A = (M П S) U (TQ\M) U (fa П S).
6.4. Проверить, является ли система функций А базисом в Р2:
1) А = {х у, х ф у, х V у}; 2) А = {х ф у ф z, х V у, 0, 1};
3) А = {х ф у ф yz, х ф у ф 1}; 4) А = {ху V z, ху ф z, ху ~ z};
5) А = {х ф у ф z, х ф у ф z ф 1, ху ф yz ф zx, х};
6) А = {х ф у ф z, ху ф zx ф zy, 0, 1}; 7) А = {х ф у, х ~ yz};
8) А = {ху ф yz ф zt, 0, 1, ж V у}.
6.5. Из полной в Р2 системы А выделить всевозможные базисы:
1)4 = {1, х, ху(х ф у), X ф у ф ху ф yz ф zx};
2) А = {0, х ф у, х у, ху ~ xz};
3) А = {0, 1, х ф у ф z, ху ф zx ф yz, ху ф z, хУ у};
4) А = {ху, хУ у, xy\/z, х ф у, х у};
5) А = {ху ф z, х ф у ф 1, ху, х};
6) А = {ху V z, х, х у, 0, х ф zy};
7) А = {ху, xy\/z, х ф у, х у, х};
8) А = {ж ф у, х ~ у, х ®у ф z, ху, х —> у}.
6.6. Используя теоретико-множественные операции, выразить че-
рез известные замкнутые классы Tq, Т±, L, S, М и Р2 замыкание
множества А:
1) А = Р2\(Т0 U^ULUSUM); 2) А = М\(Т0 П L);
3) А = М\(Т0ПТ1у 4) A = Ton(L\Sy 5) А = S\(T0\7i);
6) А = (L П S)\(T0 U ТУ); 7) А = S\Tr U L\(Tr U То);
8) A = L\(SuT0); 9) А = L\(T0 U ТУ); 10) А = (T0\Ti) U (M\L);
11) A = (T0\Ti) U (M\Toy 12) A = M\(S U L).
6.7 1) Пусть P^X2) — множество всех функций из Р2УХ2), су-
щественно зависящих от двух переменных. Найти базисы Б С Р£ (X2),
содержащие: а) одну функцию; б) две функции; в) три функции.
2) Доказать, что нет базисов Б С Р2(Х2у содержащих четыре
функции.
6.8. Выяснить, можно ли расширить до базиса в Р2 множество А:
1) А = {х ~ у, т(х, у, z)}; 2) А = {ж}; 3) А = {ж ф у, х \/ у};
4) А = {х V у, ху}; 5) А = {0, 1}; 6) А = {0, 1, ж V у};
7) А = {х у, х V у}; 8) А = {х ф у, х ~ у}.
6.9. Выяснить, полна ли система функций А = {Д, Д}-
1)/1ES\M, hi LUS, h^f2 = y
2) h^LUTQUh, h^MUL, h^h = L,
3)hiTQUL, his, h^f2 = y
4) h e (SnL)\T0, ЬеМЦТгПБу f,^h = L
6.10. Выяснить, при каких n 2 функция f(xn) является шеф-
феровой:
1) f(xn) = 1 ф Ж1Ж2 Ф ... Ф XiXi+r ф ... ф xn-ixn Ф хпх^;
2) f(xn) = 1 ф Ж1Ж2 Ф ... Ф XiXi+1 ф . . . ф Хп-гХп,
3) /(ж") = V XiXj- 4*) f(xn) = 1ф 52 XiXA
5)f(xn) = V х^х{2 ...xi]n/2l;
6) f(xn) = 1 ф (жХ -> Ж2) ф (ж2 ~r жз) ® • •
- • • Ф (ж^—i Жп) ф (^Xn ЖХ),
7) /(ж") = 1 ф (жх -> ж2) Ф (ж2 -> Жз) ф ... ф (ж„_1 -4 ж„);
8) /(ж") = (Ж1 | ж2) Ф (ж2 | ж3) ф ... ф (ж„_1 | ж„) ф (ж„ | Ж1);
9) /(ж”) = (Ж1 | ж2) ф (ж2 | ж3) ф ... ф (ж„_1 | ж„);
10) f(xn) = Ж1Ж2 . . . Хп ф (Ж1 -> ж2) & (ж2 -> жз) & ...
... & (Жп_1 -4- Ж„) & (Ж„ -> Ж1).
6.11. Доказать, что, если / монотонна и зависит существенно не
менее чем от двух переменных, то система {0, /} полна в Р2.
6.12. Пусть /1, /2, /з — попарно различные функции перемен-
ных Ж1, Ж2, существенно зависящие от двух переменных. Доказать,
что система {ж, Д, Д, Д } полна в .
6.13. С помощью суперпозиции из функции / можно получить
константы 0 и 1. Доказать, что / — шефферова функция.
6.14. Монотонная функция f имеет ровно две нижние единицы.
Доказать, что / — шефферова функция.
6.15. Доказать, что если f Tq U Д. U S', то / — шефферова
функция.
6.16. Подсчитать число шефферовых функций в Р2(Хп).
6.17. Функция / зависит существенно ровно от двух переменных
и не принадлежит множеству I\ U То- Доказать, что функция / шеф-
ферова.
6.18* ). Доказать, что с помощью отождествления переменных
из шефферовой функции, зависящей от п 3 переменных, можно
получить одну из функций х\/у или ху.
6.19. 1) Доказать, что L С Д U То U S.
2) Доказать, что множество А является непустым:
а) А = (L П Т1)\(Т0 U S); б) А = (L П Т0)\(Л U S);
в) A = (LD5)\(T0UTi).
6.20. Пусть f(xn) — симметрическая функция, существенно за-
висящая от п 3 переменных, и /(1110 ... 0) = /(00 ... 0). Доказать,
что система {/(жп), 0, х} полна в Р2-
2) Пусть п четно, f(xn) — симметрическая функция, существен-
но зависящая от п переменных, /(0) ф /(1)- Доказать, что систе-
ма {/(жп), х} полна в Р2.
6.21. 1) Пусть А — множество функций из Р2(Хп) такое, что
|А| > ^ • 22 . Доказать, что система А полна в Р2, п 2.
2) Пусть А — множество функций из Р2(Хп), существенно зави-
сящих от п переменных, |А| • 22" (п 2). Доказать, что систе-
ма А полна в Р2.
3) Пусть |А\(Т0 и Т1)| > | 22”-1, А С Р2(Хп) (п 2). Доказать,
что система А полна в Р2.
4) Пусть \А П L\ > 2П, \А П М\ > п + 2, АС Р2(ХП) (п > 2). До-
казать, что система А полна.
5) Пусть |AnL|>2n, |AnS|>2n, А С Р2(Хп) (п^З). Дока-
зать, что система А полна.
6) Пусть |4П5| > | 22"’1, |ДП(Д\То)| > 2”-1, А С Р2(Хп)
(п 3). Доказать, что система А полна.
6.22. Доказать, что всякая функция / из множества S\(Tq U Т± U
U М U L) образует базис в S.
6.23. Верно ли, что всякая функция / G 7o\(7i U М U L U S) об-
разует базис в То?
6.24. 1) Верно ли, что если / С M\S U L, то {0, 1, /} — базис в Ml
2) Верно ли, что для всякой функции / G M\S U L такой, что
/ ([{ж v У}] U [{ж2/}])> множество {0, 1, /} является базисом?
6.25. Пусть функция /(ж4) такова, что для всякого i (1 i 4)
каждая из подфункций /д и fi принимает значение 1 ровно на четы-
рех наборах значений переменных. Может ли система {0, 1, /} быть
полной в Р2?
Пусть функция f(xn) существенно зависит от всех своих перемен-
ных. Через 04(/(жп)) обозначается множество всех таких функций,
которые получаются из f(xn) отождествлением переменных, при-
чем сама функция f(xn) множеству 94(/(жп)) не принадлежит. Если
п < 2, то по определению 04(/(жп)) = 0. Множество $!(/) называется
наследственной системой функции f. Функция называется неприво-
димой, если [94(/)] ф [/]. Базис Б замкнутого класса К называется
простым, если после замены произвольной функции / из Б ее нас-
ледственной системой получается система, неполная в К. Функция /,
не принадлежащая замкнутому классу К, называется простой отно-
сительно К, если ее наследственная система 91(/) содержится в К.
6.26. По функции f найти все попарно неконгруэнтные функции,
входящие в ее наследственную систему $!(/):
1) / = ху, 2) / = ху V yz V zx; 3) f = ху ф z; 4) f = ху V z;
5) f = xyV zt; 6) f = ху V ~zt; 7) f = x ф у Ф z;
3) f = xy ® zy ® x ® y; 9) f = (x У z) y;
10) f = xyz ф ху Ф x Ф 1.
6.27. Найти все попарно неконгруэнтные функции, простые отно-
сительно класса К:
1) К = {0}; 2) К = То; 3) К = {0, 1}; 4) К = L;
5)K = LnS; 6)K = TonTi; 7) К = М; 8) К = S;
9) К = [О, 1, х\; 10) К = [О, 1, х, х\; 11) К = [ж, х\;
12) К = То П L П S.
6.28. Выяснить, является ли функция / неприводимой:
1) / = х ф у; 2) / = х ф у ф г; 3)/ = жф?/фгф£;
4) / = ху ф yz ф zx; 5) f = х V у V z; 6) f = xyz V t(x V у У z);
7) f = ху V z; 8) ху V zt; 9) f = ху Ф yz Ф zt; 10) f = ху Ф z.
6.29. Выяснить, является ли базис Б класса К простым:
1) Б = {0, 1, ху, х ®у ф z}, К = Р2;
2) Б = {ху ф z, 1}, К = Р2; 3) Б = {ху У z, 0, 1}, К = М;
4) Б = {ху V zt, 0, 1}, К = М; 5) Б = {ху ф х ф у, х}, К = Р2;
6) Б = {х ф у, х ~ у}, К = L; 7) Б = {х ф у, х у}, К = Р2;
8) Б = {х ®у ф z, 1}, К — LC\Ti; 9) Б = {х —> у, ху}, К = Р2;
10) Б = {ж ~ у, т(х, у, г)}, К = Т\.
6.30. Доказать, что в Р2 существует ровно два простых базиса,
состоящих из одной функции: {х | у} и {х ф у}.
6.31. Доказать, что каждая функция / из простого базиса в Р2
является простой относительно некоторого предполного класса в Р2,
к которому / не принадлежит.
Глава III
fc-ЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
§ 1. Представление функций fc-значных логик
формулами
1. Элементарные функции fc-значных логик и соотноше-
ния между ними. Всюду в этой главе число к предполагается на-
туральным и большим 2. Через Ek обозначается множество {0, 1, ...
..., к — 1}. Функция f(xn) = f(x±, ^2, ..., хп) называется функцией
к-значной логики, если на всяком наборе а = (оц, се2, ..., ап) зна-
чений переменных х±, ..., хп, где ai е Ek, значение f(a) также
принадлежит множеству Ek. Совокупность всех функций к-значной
логики обозначается через Р&. Понятия фиктивной и существенной
переменных, равенства функций, формулы над множеством функций
(и связок), операций суперпозиции и замыкания, замкнутого класса,
базиса и другие в fc-значных логиках определяются так же, как со-
ответствующие понятия в алгебре логики. Поэтому в дальнейшем
приводятся определения только таких понятий, которые чем-то су-
щественным отличаются от аналогичных понятий в .
Следующие функции fc-значной логики считаются элементар-
ными'.
константы 0, 1, ..., к — 1; эти функции будут рассматриваться
как функции, зависящие от произвольного конечного числа перемен-
ных (включая и нуль переменных);
отрицание Поста', х + l(mod fc); обозначение х;
отрицание Лукасевича: (fc — 1) — х; обозначение ~ х или Nx;
характеристическая функция (первого рода) числа i: ji(x) (i =
= 0, 1, ..., fc- 1),
_ z fl, если x = i,
v 7 f О, если x ф г;
характеристическая функция второго рода числа i: Ji(x) (i =
= 0, 1, ..., fc- 1),
_ z 4 f fc — 1, если x = i,
Ji\X) — Г / •
f 0, если x Ф v,
минимум х и у: min(x, у) (другие обозначения: ху, ж&?/);
максимум х и у: тах(ж, у) (другое обозначение: х V у);
сумма по модулю к: х + у (mod к), читается «х плюс у по моду-
лю к>',
произведение по модулю к: х • у (mod к) читается произведение х
на у по модулю к *);
усеченная разность:
(0, если — 1,
Х~ У = < 1
(ж — у, если — 1;
импликация:
( к — 1, если $^х<у^к —
Х V ( (к — 1) — х + у, если —1;
функция Вебба: тах(т. у) + 1 (mod к), обозначение ^(ж, у);
разность по модулю к:
(х — у, если — 1,
X — Ц = < . 7 \ /А /7 -1
(к — (у — х), если 0 т < т/ А; — 1.
Функции (операции) min, max, + и • обладают свойствами ком-
мутативности и ассоциативности. Кроме того, справедливы соотно-
шения:
(ж + у) • z = (х • Z) + (у • Z)
— дистрибутивность умножения относительно сложения;
тах(тш(ж, у), z) = тт(тах(ж, z), max(y, z))
— дистрибутивность операции max относительно операции min;
min(max(x, у), z) = max(min(rr, z), min(i/, z))
— дистрибутивность операции min относительно операции max;
max(x, x) = x, min(:r, x) = x
— идемпотентность операций max и min;
min(~ x, ~ у) =~ шах(ж, у), max(~ x, ~ y) =~ min (ж, у)
— аналоги правил де Моргана в Р2.
Следующие равенства вводятся по определению:
max(xi, Ж2, ..., жп-1, хп) = тах(тах(ж1, ж2? • • •, жп-1), жп), п > 3;
тт(жь ж2, ..., жп_1, хп) = min (min (ж 1, х2, ..., жп_х), жп), п > 3;
f 0, если х = О,
-х=<7 .п
[к — х, если х ф 0.
Принимая во внимание ассоциативность умножения по модулю к,
произведение хх ... х (Z сомножителей, I 1) записывают часто в виде
степени х1.
*) Всюду в этой главе, если не оговаривается противное, знаки + и •
понимаются как знаки сложения и умножения по модулю к.
1.1. Доказать справедливость следующих равенств:
1) — (ж) =~ ж; 2) х D у =~ (х — г/); 3) х — (ж — у) — min (ж, у);
4) (ж D у) D у = шах(ж, у); 5) (х D у) + х = min (ж, г/);
6) х — у = х — тт(ж, у), 7) х — у = тах(ж, у) — у\
8) (~ х) - (у - х) =~ тах(ж, г/); 9) (~ ж) - (~ у) = у - х;
10) ~ (ж + у) = (~ ж) + (~ у); 11) ~ (ж • у) = (~ ж) • у;
12) тах((ж + 2) — 1, Jk-2(ж)) = ж;
13) min(~ 7*_1(ж), (fc — 2) D ж) = ж;
14) х-у = (х- у) +х jk-i(y} +У Л-1(ж);
15) ук(х, у) +х • jk-i(y) +у • Л-i (ж) = тах(ж, у);
16) тах(ж, у) + j0(y - ж) + Л-Х(ж) • у = тах(ж, у);
17) тт(ж, у) + J0(y - х) ~Л-Х(ж) - у = тт(ж, у);
18) /о(тах(7о(ж), Л(ж), Л_2(ж))) = Л-Х(ж);
19) Л(тах(ж, 1, Л (ж), Л(ж), Л_2(ж))) = 70(ж);
20) ж л(Л(ж)) + jo(®) = x + jo(x) -ji(x);
21) J0(x-i) - J0(x-(i - 1)) = Л(ж), i = 1, 2, к- 1;
22) (~ ((- ж)-!))-(...(((*-1)-
(~ ж)) 2 (~ ж)) = ж;
23) (... (((& - 1) - 7о(ж)) - д>(ж - 1)) - ... Р“
• •• -Ро(ж-(/г - 3)))-((fc - 1) • Jo(~ ж)) = ж.
1.2. Показать, что функция / из Рь порождается с помощью
операции суперпозиции множеством функций А (АсРД если:
1) / = Л(ж), А = {J0(x), тах(ж, у)}, к = 3;
2) / =~ ж, А = {Jo(^)5 Л (ж), тт(ж, у), тах(х, ?/)}, к = 3;
3) f = х, А = {1, х2, JAxY тах(ж, у)}, к = 3:
4)/ = j0(z), А = {х-1, х2}, к = 3,5;
5)/=Л(ж), А = {ж • у + ж - у2 + 1}, к = 3, 5;
6) / ж, А = {1, х • у}, к = 3, 5;
7)/ = ж, А = {3, >о(ж), ж-I/}, к = 4;
8) / ж, А = {х + 2, J$(x), Л(ж), тах(ж, у), х • у}, к = 4;
9) / = 74(ж), А = {х — 1, Л(^)}, к = 6;
10)/ = Ь(ж), А = {ж + 2, ж2, Л(ж)}, к = 6;
11) f = Л(ж), А = {ж, -ж, Л_1(ж)};
12)/ = Л-i (ж), А = {~ ж, х-у}-
13) f = Jk-2(xy А = {к- 1, ж+ 2, х-у}-,
14)/ = >о(ж), А = {1, ~ ж, ж- 2у}-
15) / = ж, А = {1, ~ ж, ж — у}.
1.3. Доказать, что если а принадлежит и взаимно просто с к,
то каждую функцию Ji (ж) (0 г к — 2) можно представить в виде
суперпозиции над множеством {х + a, Jk-i(x)}.
1.4. Показать, что функция ср из Рь представима формулой над
множеством {0, 1, ..., к — 1, х — 2?/}, если:
1) Р = Л-i (ж), к = 2т (т 2); 2) р = ;0(ж), к = 2т + 1 (m > 1).
1.5. Пусть Л1(ж) ж, Лг+1(ж) = х D hi(x) (г 1). Доказать, что
~ = Л-1(ж).
1.6. При каких значениях к (& ^ 3) функции ж2, ж3 и ж4 попарно
различны?
1.7. Пусть к = 3, 4, ..., 9, 10. Для каждого такого к выяснить,
сколько различных функций из Р&, зависящих только от переменной ж,
можно представить в форме xl (i 1 и степень рассматривается по
модулю к).
1.8. Доказать, что каждую одноместную функцию /(ж) из Р}-
можно представить в виде суперпозиции над множеством {1, J^_i(x),
1.9. Функции /1(ж) и /2(2?) из Р3 удовлетворяют следующим усло-
виям: /1(ж) const, /i(P3) и /2(Рз) = Е3, где /(Р) = {/(е):
е 6 Е}. Доказать, что функция g(x) = fi(x) + /2(^)5 где сумма
берется по модулю 3, выпускает хотя бы одно значение из Рз,
т.е. ^(Р3) Е3.
1.10. Пусть функция /(ж) из Р3 представима в виде с&ож2 + а>2х +
+ «2 (здесь сумма и произведение берутся по модулю 3 и do-
«2 принадлежат Рз). Выяснить, какие значения могут принимать
коэффициенты (Zq, ai, ^2, если известно, что функция /(ж) выпускает
хотя бы одно значение из Рз, т.е. /(Рз) Е3.
2. Разложение функций А-значных логик в первую и вто-
рую формы. Любую функцию /(#1, Х2, . . . , хп) ИЗ Pk (n 1) можно
представить в так называемой первой форме, являющейся аналогом
совершенной д. н. ф. для функций алгебры логики:
/(®1, Х2, Хп) =
= max{min(y(<7i, сг2, • • , <хп), Л2(ж2), • •, Л„(жп))},
а
где максимум берется по всем наборам а = (cri, сг2, ..., сгп) значений
переменных х±, Х2, ..., хп.
Справедливо еще одно представление для функций Рзначной ло-
гики, называемое второй формой:
Рхп) = ffijjaAx!) . . Jan(xn),
а
где суммирование ведется по всем наборам а = (сгх, ..., сгп) значений
переменных х±, ..., хп (сумма и произведение берутся по модулю к).
Пример. Представить функцию /(ж, у) = Таблица 3.1
= шах(;0 (ж) • Jo (т/), х • (Д(т/) + 2/2 (?/))) из Р3
в первой и второй формах.
Решение. Сначала выпишем значения
функции / в таблицу (табл. 3.1).
Затем по этой таблице строим первую и вто-
рую формы функции /. Первая форма выглядит
X
0 1 2
1 0 0 0 1 2 0 2 1
следующим образом:
/(ж, у) = max {min (1, J0(x), J0(y)), min (0, J0(x), Ji(y)),
min (0, J0(x), J2(y)), min (0, Ji(x), J0(y)), min(l, Л(ж), Л(у)),
min (2, Л(ж), J2(y)), min(0, 72(ж), ^о(у)), min (2, У2(ж), Л(у)),
min (1, 72(ж), J2(y))}.
Выполняя простые преобразования, имеем
/(ж, у) = max {min (1, J0(x), J0(y)), min(l, J0(x), Ji(y)),
тт(Л(ж), J2(y)), min(J2(ar), Л(у)), min(l, 72(ж), J2(y))},
Ж у) = 1 • j0(x) j0(y) + 0 • j0(x) ji(y) + 0 • j0(x) j2(y) +
+ 0 • ji (x) j0 (y) + 1 • л (ж) • л (у) + 2 Ji (ж) • j2 (у) + 0 • j2 (ж) j0 (y) +
+ 2 • j2 (ж) • л (у) + 1 • j2 (ж) • j2 (у) = j0 (ж) • j0 (у) + л (ж) • л (у) +
+ 2 Л (ж) j2 (у) + 2 • J2 (ж) • л (у) + л (ж) • J2 (у).
1. 11. Для заданного к представить функцию / в первой и второй
формах (полученные выражения упростить):
1) / = ж, к — 3: 2) / х, к — 4; 3) / = — jo(x\ к = 5;
4) / = 2Л(ж), к = 6; 5) f = J2(x1 2 + х), к = 5;
6)/ = (~ж)2+ж, к = 4; 7) / = Зл(ж) - л(ж), к = 4;
8) / = х + 2у, к = 9) f = max (ж, у), А; = 3;
10) / = х — у2, к = 3; 11) f = х2 • у, к = 3;
12) f = х - у. к = 4.
1.12. Доказать справедливость следующего соотношения, являю-
щегося аналогом совершенной конъюнктивной нормальной формулы
для функций из Рк'.
f(xn) = min? {max (/(di, сг2, ..., (7n), - ^(xj, - Л2(ж2), ...
..., ~ Jan (жп))}
(здесь n 1 и минимум берется по всем наборам а = (сгх, сг2, ..., сгп)
значений переменных х±, х2, ..., хп).
§ 2. Замкнутые классы и полнота в fc-значных
логиках
1. Некоторые замкнутые классы fc-значных логик. Пред-
ставление функций из Рк полиномами по модулю к. Пусть
§ — подмножество множества Е^. Говорят, что функция f(xn) из Рк
(n 1) сохраняет множество если на любом наборе ап =
= (ai, а2,..., ап) таком, что (г = 1, 2, ..., п), она принимает
значение также принадлежащее ё. При п = 0 считают по
определению, что функция / = а (а Е Ек) сохраняет множество ё
только в том случае, когда а Е Множество всех функций из Р^
сохраняющих множество ё, является замкнутым классом; оно обоз-
начается через Т(ё) и называется классом сохранения множества
Если g — собственное подмножество множества Ek ^т.е. 0 0 g С
то Т(фъ) ф (см. задачу 2.3).
Пусть D = {§1, ^2, • ••, ^s} — разбиение множества Ek, т.е.
Е^ = U 7^ 0 ПРИ = 1, 2, ..., s и A ф & при i j.
г=1
Говорят, что элементы а и b из Ek эквивалентны относительно
разбиения D (обозначение а ~ & (mod 7?)), если а и b принадлежат
одному и тому же подмножеству &j разбиения D. Два набора ап и [Зп
называются эквивалентными относительно разбиения D (обозначе-
ние ап ~ (Зп (mod 7?)), если сц ~ fa (mod 7?) при i = 1, 2, ..., п. Го-
ворят, что функция f(xn) из Pk (n 1) сохраняет разбиение D, если
для любых наборов ап и (Зп из эквивалентности ап ~ {Зп (mod D)
следует эквивалентность f(an) ~ f(j3n) (mod D). По определению
считают, что всякая константная функция (т.е. нульместная функция
вида / = а, а е Е^) сохраняет любое разбиение 7?.
Множество всех функций из Pk, сохраняющих разбиение D =
= {®1, • ••, является замкнутым классом; оно обозначается
через U(D) или C7(§i, §2? • ••, §$) и называется классом сохранения
разбиения D. Если $ / 1 и s к, то класс U(D) отличен от Pk
(см. задачу 2.4).
Функция f(xn) из Pk (п 0) называется линейной, если она пред-
ставима в виде ао + a^xi + ... + апхп, где aj е Ek (J = 0, 1, ..., п) ,
а сумма и произведение берутся по модулю к. Множество всех ли-
нейных функций из Pk образует замкнутый класс линейных функций,
который обозначается через Lk (или L). Класс Lk отличен от Pk при
всяком к 3. Полиномом (или многочленом) по модулю к от пере-
менных Ж1, Х2, ..., хп называется выражение вида ао + aiXi + ...
... + атХт, где коэффициенты а/ принадлежат множеству Ek
и Xj — либо некоторая переменная из {xi, Х2, ..., хп}, либо произве-
дение переменных из этого множества (J = 1, ..., т).
Говорят, что некоторая функция из Pk представима (или реализу-
ется) полиномом по модулю к, если существует полином по модулю к,
равный этой функции. Множество всех функций из Pk, представимых
полиномами по модулю к (или, короче, множество всех полиномов по
модулю к), является замкнутым классом в Pk.
Теорема (критерий полноты класса полиномов в Pk). Представ-
ление каждой функции из Pk полиномом по модулю к возможно в
том и только том случае, когда к — простое число (иными словами,
система полиномов по модулю к полна в Pk тогда и только тогда,
когда к — простое число).
Если к — составное число, то в Pk имеются функции, представи-
мые полиномами, и функции, не представимые полиномами (напри-
мер, константные функции 0, 1, ..., к — \ и «полиномиальные» х, х2,
х • у, х + у представимы полиномами, а функции jo(x), max (ж, у),
min (х, у), х — у не представимы).
Пример 1. Представить полиномом по модулю 5 функцию /(ж) =
= х2 — х из Р5.
Решение. Сначала представим функцию f(x) во второй форме:
/(ж) = 52/И • 7<т(ж) = /(0) jo(®) +/(1) -jl (ж) +
+ /(2) • Ь(^) + /(3) • 7з(ж) +/(4) - я (ж) =
= 0->о(я;) + 0 • л(ж) + 2 • j2(x) + 1 • 7з(ж) + 0 • j4(x) = 2 • j2(x) + j3(x).
Далее воспользуемся тем, что jo(x) = 1 — хк~г, если к — простое
число (к 3), и что ji(x) = jo(x — г), i = 1, ..., к — 1. (Здесь, как
обычно, разность и степень берутся по модулю к.) Имеем
72 (ж) = 1 — (ж — 2)4 = —ж4 — 2ж3 + х2 + 2ж,
7з(ж) = 1 — (ж — З)4 = 1 — (х + 2)4 = —ж4 + 2ж3 + х2 — 2ж.
Следовательно, х2 — х = 2ж4 — 2ж3 — 2х2 + 2х. Это выражение можно
записать компактнее: 2ж(ж — 1)2(ж + 1.
Полином, реализующий функцию /(ж), можно найти также ме-
тодом неопределенных коэффициентов: пусть /(ж) = oq + а± • х +
+ 02 • х2 + аз • х2 + • ж4 (более высокие показатели степени рассмат-
ривать не нужно, ибо ж4+/ = х1 (mod 5)). Составим систему:
«о = /(0) = 0,
do + О1 + 0-2 + аз + 04 = /(1) — О,
oq + 2ai + 4а2 + Заз + 04 = f (2) = 2,
oq + 3ai + 4а2 + 2оз + 04 = f (3) = 1,
oq + 4ai + 02 + 4аз + 04 = f (4) = 0.
Решая ее, например, методом исключения, находим: ао = 0, ai = 2,
02 = 3, аз = 3, 04 = 2.
Пример 2. Доказать, что функция /(ж, у) = ж2 — у из Р4 не
представима полиномом по модулю 4.
Решение. Предположим противное, т.е. что /(ж, у) реализуется
полиномом по модулю 4, и запишем этот гипотетический полином в
общем виде (с неопределенными коэффициентами):
f(x,y) = (а00+а10х + а20х2+а30х3) + (а01у + а11ху + а21х2у + а31х3у) +
+ (ао2У2 + ai2xy2 + а22х2у2 + а32х3у2) 4-
+ (аозУ3 + а13ху' + а23х2у3 + а33х3у3).
(Показатель степени выше 3 рассматривать не надо, так как при I 1
справедливы соотношения ж2/+2 = х2 (mod 4) и ж2/+3 = ж3 (mod 4)).
Имеем
/(1, 0) = аоо + аю + 020 + ^зо = 1, z ч
(*)
/(1, = аоо + аю + а20 + азо + 2(aoi + ац + 021 + аз1) = 0.
Так как уравнение 1 + 2а = 0 (mod 4) решений не имеет (в чем
можно убедиться непосредственно, полагая последовательно a = 0,
1, 2, 3), то система (*) также не имеет решения. Следовательно,
нельзя подобрать подходящие коэффициенты aij, которые обеспечили
бы представимость функции / в виде полинома по модулю 4. Значит,
функция / не реализуема полиномом по модулю 4.
Замечание. В рассмотренной задаче достаточно было выписать
два соотношения между коэффициентами. Однако иногда бывает не-
обходимо рассматривать более полную совокупность уравнений. В п. 2
мы продемонстрируем другие методы доказательства непредстави-
мости функций из Pk полиномами по модулю к.
2.1. 1) Выяснить, каким из классов Т({0, 2}) и [7({0, 1}, {2})
принадлежат следующие функции из Р3: а) ~ ж; б) Д(ж); в) Тг(^);
г) х — у; д) х + у; е) min (ж, т/).
2) Выяснить, каким из классов Т({1, 3}), Е7({0, 1}, {2}, {3}) и
[7 ({О, 3}, {1, 2}) принадлежат следующие функции из Р4: а) ж;
б) ~ х\ в) Jo (ж); г) х + 2т/; д) max (ж, т/); е) х2 • у.
2.2. Для функции / из Pk при заданном к подобрать классы
типа T(g) и U(D), которым она принадлежит. При этом & долж-
но быть собственным подмножеством множества Ek (т.е. g 0 и
§ Ek, a D — таким разбиением {gi, §2? • ••, gs} множества Ek,
чтобы выполнялись неравенства 1 < s < к:
1) к = 3, f = х2 + 1; 2) к = 3, / = J0(^2 + 2ж);
3) к = 3, / = (ж2 - у2) + 1; 4) к = 3, / = х -у- у + 1;
5) к = 4, / = j2(x - ж2); б) к = 4, / = 73(2ж + ж2);
7) к = 4, f = х • у — у + 3; 8) к = 5, f = min (ж2, ?/);
9) к = 5, / = (2ж2 — у) — 1; 10) к = б, / = х3 • у + 2;
11) к — произвольное число, не меньшее 3, / = ji(2x — ж2);
12) к — произвольное число, не меньшее 3, / = Jk-i(x • у — 1).
2.3. 1) Пусть g С Ek. Доказать, что T(g) Pk тогда и только
тогда, когда g — собственное подмножество множества Ek (т. е.
g^0n g ф Ek).
2) Сколько существует различных замкнутых классов в Pk, яв-
ляющихся классами сохранения множеств?
3) Пусть g С Ek. Подсчитать число функций в Pk, содержащихся
в классе Т(Е) и зависящих от переменных Ж1, х2, хп (п 0).
2.4. 1) Пусть D = {§i, g2, • gs} — разбиение множества Ek.
Доказать, что U(D) ф Pk тогда и только тогда, когда 1 < s < к.
2) Для к = 3, 4, 5 подсчитать число различных замкнутых классов
в Pk, являющихся классами сохранения разбиений.
3) Пусть D = {§i, g2, ..., g<J — разбиение множества Ek. Под-
считать число функций в Pk, содержащихся в классе U(D) и завися-
щих от переменных Ж1, х^, ..., хп (п 0).
2.5. Пусть g — непустое подмножество из Ek, отличное от все-
го Ek, и D = {g, Ek\&}. Подсчитать число функций в Pk, зависящих
от переменных Ж1, х^, ..., хп (п 0) и содержащихся в множестве:
1) T(g)\l/(D); 2) l/(D)\T(g); 3) T(g) U U(D).
2.6. Через Sk обозначается множество всех разнозначных функ-
ций из Pk, зависящих от одной переменной (т.е. д(х) принадле-
жит Sk тогда и только тогда, когда g(Ek) — Ek). Пусть Р^ — мно-
жество всех функций А>значной логики Pk, зависящих от одной
переменной, и CSk = P^\Sk-
1) Показать, что множества Sk и CSk являются замкнутыми клас-
сами.
2) Подсчитать число функций, зависящих от переменной х и
принадлежащих классу Sk A U({0, к — 2}, {1, ..., к — 3}, {к — 1}).
(При к = 3 считаем, что {1, ..., к — 3} = 0.)
2.7. Разложить в полином по модулю к функцию f из Pk'.
1) f = 2х — х2, к = 5; 2) / = min (ж2, ж3), к = 5;
3) / = max (2ж — 1, х2), к = 5; 4) / = Зх — (ж — 2х), к = 7;
5) / = max ((ж — I)2, ж3), к = 7; 6) / = min (ж2, т/), к = 3;
7) / = max (2х — у, х • у), к = 3; 8) f = х — у, к = 3;
9) / = Jk~2(x), к — произвольное простое число;
Ю) / = — х2), к — произвольное простое число.
2.8. 1) Доказать, что функция 2Д(ж) из Р4 при любом i = 0, 1,
2, 3 представима полиномом по модулю 4.
2) Доказать, что если функция из Р4, зависящая от одной перемен-
ной, принимает значения либо только из множества {0, 2}, либо толь-
ко из множества {1, 3}, то она представима полиномом по модулю 4.
3) Используя функцию /(ж, у) = 2 • jo(x) • jo (у) (из Р4), показать,
что утверждение 2) не обобщается на функции, зависящие более чем
от одной переменной.
2.9. Доказать, что если функция /(ж) из Р4 не представима по-
линомом по модулю 4, то при любом целом т 2 функция (/(ж))т,
равная m-й степени функции /(ж), также не представима полиномом
по модулю 4.
2.10. Подсчитать число функций в Р4, которые зависят только от
переменной х и реализуются полиномами по модулю 4.
2.11. 1) Пусть функция f(x) из Pq реализуется полиномом по мо-
дулю 6. Доказать, что ее можно реализовать полиномом по модулю 6,
имеющим вид ао + а^х + а^х2.
2) Доказать, что в Pq число функций, зависящих от переменной х
и представимых полиномами по модулю 6, равно 108.
3) Перечислить все функции /(ж) из Pq, которые представимы в
виде а + b • jo(х) (а иЬ принадлежат Eq), не реализуемы полиномами
по модулю 6 и удовлетворяют следующему условию: функция (/(ж))2
реализуема полиномом по модулю 6.
2.12. Выяснить, представима ли полиномом по модулю к функ-
ция / из Pk, если:
1) f = Зх - 2ж2, к = 4; 2) f = 3>0(ж), к = 6;
3) f = 2 • (Л(ж) + Л(ж)), к = 6; 4) f = (х^у)^-у, к = 4;
5) f = (max (ж, у) — min (ж, у))2, к = 4.
2. Исследование систем функций fc-значной логики на
полноту. В fc-значных логиках исследование произвольной системы
функций на полноту сопряжено с большими техническими труднос-
тями: использование критерия полноты, основанного на рассмотре-
нии совокупности всех предполных классов в Р&, даже при к = 3, 4
требует проверки весьма значительного числа условий (так как в Рз
существует ровно 18, а в Р4 — ровно 82 предполных класса). До-
казательства полноты конкретных систем в Рк проводятся обычно
методом сведения к заведомо полным системам (таким, например, как
система Россера-Туркетта
{О, 1, ..., fc — 1, Jo (ж), Ji(^), • • •, Jfc-i(^), min (ж, ?/), max (ж, у)}
или система Поста {ж, max (ж, у)}). Существует, кроме того, ряд
признаков полноты, в которых рассматриваются множества функций,
содержащие некоторые совокупности функций от одной переменной и
еще только одну функцию, существенно зависящую не менее чем от
двух переменных. Сформулируем наиболее важные из таких призна-
ков. Напомним, что:
Sk — это множество всех разнозначных функций из Рк, зависящих
от одной переменной;
csk = P^\sk-,
Р^ — множество всех одноместных функций из Рк.
Функция /(ж) е Рк называется существенной, если она зависит
существенно не менее чем от двух переменных и принимает все к
значений из множества Ек.
Теорема 1 (критерий Е. Слупецкого). Система Р^ > U {/(ж)}
полна в Рк (при к 3) тогда и только тогда, когда f(x) — су-
щественная функция.
Теорема 2 (критерий С. В. Яблонского). Система CSk U {/(#)}
полна в Рк (при к 3) тогда и только тогда, когда f(x) — су-
щественная функция.
Теорема 3 (критерий А. Саломаа). Система Sk U {f(x)} полна
в Рк (при fc 5) тогда и только тогда, когда функция f(x) су-
щественная.
При использовании этих теорем полезными являются утвержде-
ния, дающие разнообразные критерии полноты систем функций в
множествах Р^\ Sk и CSk- Приведем один из таких результатов.
Пусть функция hij(x), где 0 г < J fc — 1, определяется так:
{z, если х = j,
j, если х = г,
х в остальных случаях.
Теорем а 4 (С. Пикар). Каждая из систем {х, hoi(x), х + jo(x)}
и {/101(ж), /го2(ж), /го(й-1)(ж), ж+>0(ж)} полна в Р^\
7Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
2.13. Подобрав подходящий класс типа Т(ё) или U(D) доказать,
что система А не полна в Р^:
1) А = ж, min (ж, ?/), х • у2}]
2) А = {1, 2, х — izix), max (ж, ?/)};
3) А = {2, j0(x), x + jo(x) + 71(ж) + Jk-i(x), тт(ж, у)};
А) А = {J2(x), x+jo(x), ж + Jo (ж) + Л (ж), max (ж, у)};
5) А = {к - 1, 70(ж), ж - у, х -у • z};
6) А = {2ж3, 2ж + у, ж2 у, х J0(y), ж2 + (~ у)};
7) А = {ж • у, max (ж, у) — z + 1}; 8) А = {—ж2, max (ж, у) + z};
9) А = {1, —ж - у, ж2 — у}; 10) А = {2, max (ж, у), ж — у};
11) А = {к - 2, ~ №-2(ж), max (ж, у), ж + у};
12) А = 0'2(ж), ж + №(ж) + Л(ж), ж-у, х-у};
13) А = {1, 70(ж), ж+^_1(ж), min (ж, у), max (ж, у)};
14) А = {1, 2, ..., к - 1, ж + _7о(ж), >2(ж) + 1, max (ж, у)};
15) А = {1, ~ ж, ж — у, min (ж, у)};
16) А = {~ ж, Jo (ж), Ji(z), 7Л_1(ж), min (ж, у) + (jo (ж) +
+ jo(y)) • (ж + у)};
17) А = {1 - ж, }0(ж), ;х(ж), .jk-i(x), х-у, х-у), min (ж, у)}.
2.14. Как известно (см. § 1), система
А = {0, 1, ..., к - 1, >0(ж), Ух(ж), ..., >*-1(ж), ж + у, ж • у}
полна в Р^.
1) Доказать, что из системы А можно выделить полную в Pk
подсистему, состоящую из двух функций.
2) Показать, что любая подсистема системы А, состоящая из одной
функции, не полна в Р^.
2.15. Система Россера-Туркетта
Ai = {0, 1, ..., к - 1, Л (ж), ..., min (ж, у), max (ж, у)},
как известно, полна в Pk (см. § 1).
1) Проверить, что, удаляя из А± любую константу, отличную от 0
и к — 1, получаем подсистему, содержащуюся в некотором классе
типа Т(ё), где 0 Ek (и, значит, неполную вР^).
2) Выделить из системы А± полную в Pk подсистему, состоящую
из 2к — 2 функций.
2.16. Для заданных к исследовать на полноту следующие подсис-
темы системы Россера-Туркетта:
1) к = 3, {1, Jo (ж), min (ж, ?/), шах(ж, у)};
2) к = 3, {1, 2, Т2(ж), min (ж, т/), тах(ж, ?/)};
3) к = 4, {1, 2, Jo (ж), Л (ж), min (ж, у), тах(ж, у)};
4) к = 4, {1, 2, Jo (ж), ^з(ж), min (ж, у), тах(ж, у)}.
2.17. Доказать, что каждая из приводимых ниже систем полна
в Sk:
1) {/101(ж), /гог(ж), /10(*-1)(ж)};
2) {/101(ж), Л12(ж), /1г,г+1(ж), hk-2,k-i(ж)};
3) {х, /г01(ж)}.
2.18. Доказать, что система {/го1(ж), ко2(х), ..., Л.о,ь-1(ж), х +
+ Jo (ж)} полна в
2.19. Используя метод сведения к заведомо полным системам,
доказать полноту в Р& следующих систем:
1) {70(ж), Л (ж), Л-х(ж), ж2, х-у};
2) {к — 1, х — у, х + у}, 3) {~ ж, х + 2, х — у},
4) {-х, 1-х2, х- у}; 5) {ж + у, (~ ж) - 2у};
6) {ж, min (ж, у)}; 7) {min (ж, у) - 1}; 8) {Jk-i (ж), ж + у, х • у};
9) {1, ж2 + у, ж2 - у}; 10) {70(ж), ж + у, х у2};
11) {к — 2, ж • у + 1, (~ ж) — у}; 12) {к — 1, ж2 — у, ж2 — у};
13) {1, 2 • х + т/, х • у], 14) {1, х2 — у, min (ж, т/)};
15) {1, х + у + 2, х2 - у}, 16) {ж • Jo (?/), min (ж, у)}.
2.20. Используя критерий Слупецкого, доказать полноту в
нижеприводимых систем:
1) {к - 1, ж - у + 2, ж2 - у}; 2) {>2(ж), ж + у2, х • у + 1};
3) {х-у, (~ ж) -у}; 4) {Д(ж),ж-у, ж2 -у}; 5) {ж, j0(x), х • у}-,
6) {ж-1, (ж+^о(ж))-(1^у) + (1^ж)-(у-Д(у))};
7) {(1-ж) -у + х- (1-у)};
8) {ж Jo (ж - у) + (ж - Ji^)) • Jo (у) + у Jo (ж)};
9) W*-</) + zjo(!/) + (MiM) -Ji(t/)};
Ю) {ж - Jo (у) + Jo (ж) • (у + Jo(t/) - Ji(y)) + Jifa) • (у - Jo(y))};
11) {У • Jo (ж) + ;х(ж) (у +Jo(y)) + Ji(?/) • 0'г(ж) -;х(ж))}.
2.21. Исследовать на полноту в Р& следующие системы:
1) {к — 1, х + 2, max (ж, т/)}; 2) {1, 2, х — у}’,
3) {к — 2, х + т/, min (ж, т/)}; 4) {0, 1, х — (~ т/)};
5) {2, 2х + т/, х2 — т/}; 6) {1, 2, max (ж, т/)};
7) {2-х, х • у, max (ж, т/)}; 8) {к - 2, 2х + у, х- у};
9) {~ х, —х • т/, min (ж, т/)}; 10) {2, х + у, х — т/};
11) {~ X, 2J0^), 71(ж), ж -у};
12) {1, ~ х, Jq(x) + Л(ж), max (ж, т/)};
13) {0, 1, - х, 2 - ;0(ж) - 2л(ж), min (ж, у)};
14) 11, к — 1, х — , min (ж, у)|; 15) {к — 2, ~ х, х — у}.
2.2 2. Доказать, что приводимые ниже системы полны в Р^ тогда
и только тогда, когда к — простое число:
1) {1, х + у + х • z}\ 2) {х - у + 1, х2 - т/, х • т/2};
3) {х - 1, х + т/, х2 • т/}; 4) {к - 1, х • у + х - у + z};
5) {к — 2, х + 2т/, х • у2}; 6) {~ х, х — у, х2 • у};
у*
7) [х - 2, х + 2у + 1, х • у - х - у}; 8) {1, 2х + у, х • у2 - х + у},
9) {х + у + 1, х • у — ж2}; 10) {х — 2у, х • у + х + 1};
11) {1 + Ж1 - ж2 + жх • х2 • ... • хк}.
2.23. Доказать, что при составном к перечисленные ниже функции
из Рк не представимы полиномами по модулю к:
1) Л(ж), 0<г<А;-1; 2) шах(ж, ?/); 3) min (ж, т/);
4) х — у; 5) ж D ?/; 6) (ж — у) — г;
7) любая функция Шеффера (т.е. функция, образующая в Рк
полную систему).
2.24. Подобрав для функции /(ж, у) такие многочлены <Эо(ж),
Qi (ж) и Q2(ж), чтобы хотя бы одна из функций Qo(/(Qi(^), Q2(?/)))
или Qo(/(Qi(^)5 Q2(^))) была заведомо не разложима в полином по
модулю к, доказать, что при к = 4,6 нижеперечисленные функции не
представимы полиномами по модулю к:
1) / = (2 - ж3) у; 2) f = ((~ ж) + у) - (ж 1);
3) f = min (~ ж, у) — (1 — ж); 4) f = max (ж, у) — (ж — 2).
2.25. Выделить базис из полной в Рк системы А:
1) А = {к - 1, Д(ж), Д(ж), ..., л-1(ж), ж • у, х-у}\
2) А = {ж — 2, Jo (ж), max (ж, у), х — у2, ж2 • у};
3) А = {~ ж, min (ж, у), х • у, х + у};
4) А = {ж — 1, ж + 2, max (ж, ?/), ж — у};
5) А = {2, j0(x), х + у2, х2 -у, х-у z}.
2.26. Пусть В — произвольный базис, выделенный из системы
Рессора-Туркетта. Доказать, что в нем:
а) содержится хотя бы одна из функций Ji(x) (0 г к — 2);
б) нет константы 0;
в) если Jo (ж) 6 В, то к — 1 В.
2.27. Доказать, что если замкнутый класс в Рк имеет конечную
полную систему, то множество всех различных базисов у него не более
чем счетное. (Два базиса считаются различными, если один из них
нельзя получить из другого путем переименования переменных без
отождествления.)
2.28. 1) Пусть А — непустое множество одноместных функций
из Р&, отличное от всего множества Р^ и удовлетворяющее следую-
щему условию: существует предполный класс В в Рк такой, что
В А Р^ = А. Доказать, что такой класс В единственный.
2) Доказать, что число предполных классов в Рк, каждый из
тэ(1) ъкк
которых не содержит целиком множество Рк 7, меньше 2 .
2.29. 1) Показать, что в замкнутом классе К± = [ж2 • у2] из Рз нет
ни констант, ни тождественной функции.
2) Показать, что в замкнутом классе К2 = [Д (ж) • j2 (?/)] из Рз нет
функций, зависящих существенно от одной переменной.
2.30. Две функции из Pk называются конгруэнтными, если они
могут быть получены друг из друга путем переименования пере-
менных без отождествления. Показать, что замкнутый класс К% =
= [j2 (ж) • 7'2(3/)] из Р3 состоит из конечного числа попарно неконгру-
энтных функций, зависящих существенно от всех своих аргументов.
2.31. Рассмотрим в Pk замкнутый класс
К4 = [/1 (Ж1), /2(Ж1, ж2), /з(«1, Ж2, Ж3), . . . , /И(Ж1, х2, ж„), . .
где jn(xn) = Ь(Ж1) • Ь(ж2) ... • ;2(ж„) (n= 1, 2, 3, ...). Очевидно,
что он содержит бесконечно много попарно неконгруэнтных функций.
Доказать, что в К4 нет пред полных классов.
2.32. Подсчитать число существенных функций в Pk, зависящих
от переменных х±, х%, ..., хп (п 2).
2.33. Как известно, в Pk при к 3 существуют замкнутые клас-
сы, не имеющие базисов, и замкнутые классы со счетно-бесконечными
базисами. Рассмотрим класс Ak = [/2, • • •, /т, • • • L где
{1 при Ж1 = ... = Xi-i = xw = ... = хт - 2,
Xi — 1 (z — 1, ..., ш),
0 в остальных случаях,
т 2. Базисом в Ak является множество {/2? • • • , /т, • • • }• Используя
класс Ak, доказать, что в Pk (к 3) существует континуальное
семейство {2?7} замкнутых классов, образующих по включению цепь,
т.е. для любых двух классов В71 и В72 из семейства {В7} справедливо
только одно из включений: В71 С В72 или В72 П В71.
Глава IV
ОГРАНИЧЕННО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Отображения последовательностей
1. Основные понятия и факты, связанные с заданием
детерминированных функций. Пусть А — непустой конечный
алфавит. Его элементы называются буквами (или символами).
Словом длины $ в алфавите А называется последовательность ви-
да ж(1) ж(2)... ж($), составленная из букв алфавита А (здесь s 1).
Кратко эта последовательность обозначается так: Xs. Множество всех
слов длины s в алфавите A (s 1) обозначается через As. Часто
рассматривают и слово длины 0 (пустое слово); его обозначают
символом Л. Через А* обозначается множество {Л} U (J As. Сим-
s^l
вол вида [ai ... an]s, где s 2, n 1 и ai, ..., ап — буквы из
алфавита А, используется для краткой записи «периодического» сло-
ва а± .. .апа± ... ап ... ... ап (длины п • s). Если п = 1, то вмес-
то [cii]s применяют также символ af.
Бесконечные последовательности = х(1) х(2)... x(t)..., со-
ставленные из букв алфавита Л, называются бесконечными словами
в алфавите А. Множество всех бесконечных слов в алфавите А
обозначается через Аш.
Слово w, получающееся приписыванием слова справа к конеч-
ному слову wi, называется соединением слов w± и и обозначается
через W1W2. Слово w± называют при этом префиксом (или началом),
а слово W2 — суффиксом (или окончанием).
Слово хш = ж(1) х(2)... из Аш называется квазипериодическим,
если существуют такие целые числа ng и Т, что no 1, Т 1 и
х(п + Т) = х(п) при п по. Префикс ж(1) х(2)... х(по — 1) слова хш
в этом случае называют предпериодом, число по — 1 — длиной пред-
периода, слово х(по) х(по + 1)... х(по + Т — 1) — периодом слова хш,
а число Т — длиной периода. Такое квазипериодическое слово удобно
записывать в виде
ж(1) х(2) ... х(по - 1) [ж(п0) х(по + 1)... х(по +т - 1)]^.
Символом аА обозначается слово хш 6 Аш, в котором x(t) = а при
любом t = 1, 2, ... (а е А).
Пусть Ан В — конечные непустые алфавиты. Множество отоб-
ражений вида /: обозначается через Рд,в,а>- Алфавиты А
и В называют соответственно входным и выходным алфавитами
отображения из Ра,в,<А слова (последовательности) из множества Аш
называют входными, а из множества Вш — выходными. Отображе-
ние / из Ра,в,и называется детерминированным оператором или
детерминированной функцией (сокращенно: д. оператором или
д. функцией), если оно удовлетворяет следующему условию: для вся-
кого S 1 и любого входного слова хш (из Аш) s-й символ выходного
слова у = f(x“) является однозначной функцией первых з симво-
лов слова хш. Множество всех д. функций из Ра,в,и обозначается
через Рд,в,д.
В тех случаях, когда
А = Ек х ... х Ек (n 1), В = Ei х ... х Ег (m 1),
п раз т раз
где Ек = {0, 1, ..., к - 1} (к 2) и Ei = {0, 1, ..., I - 1} (/ > 2),
множества Ра,в,и и Ра,в,д будут обозначаться через Рк^ и Рк\тД
соответственно. Если отображение уш = f(x^) принадлежит мно-
жеству Р^}17^ (или Рк1тД)) то при т 2 вместо уш можно при-
менять запись (уф, ..., уф), а при п 2 вместо ffx1-0) употреблять
запись f(xf, ..., хф); здесь уф (J = 1, ..., т) — переменная, пробега-
ющая множество Еф, и хф (г = 1, ..., п) — переменная, пробегающая
множество Еф. При п = т = 1 верхние индексы у Pki^ и Рк\тд
будем иногда опускать, т.е. будем писать Рк,1,ш и Рк,1,д> Полагаем
Рк,1,д — U Рк1тд- Если I = к, то вместо двух индексов внизу будем
п^1
772^1
писать один (например, Р&,д).
Функции fi и /2 из множества Ра,в,д называются различи-
мыми, если существует такое слово х$ (s 1), что /i(Jg) Ф /2(^0)-
Если же /1(ж5) = f?(xs) для любых слов xs (s = 1, 2, ...), т. е. если
равенство fi(x^) = /2(2^) выполняется при всяком входном сло-
ве х“, то функции fi и /2 называются эквивалентными (или нераз-
личимыми) д. функциями.
Пусть f и д — функции из Рд,в,д. Если существует такое слово
х^ 6 Л*, что ф(х^хш) = ф(х^)д(х^) для любого слова хш е Аш (здесь
через /(£q) обозначен префикс длины s выходного слова f^x^x^)),
то функция д называется остаточной функцией (или остаточным
оператором) функции /, порожденной (порожденным) словом х$, и
обозначается через Множество Q(f, Xq) всех остаточных функ-
ций функции /, эквивалентных функции образует класс эквива-
лентности, называемый состоянием функции f, содержащим оста-
точную функцию fa*. Состояние, содержащее функцию f, называется
начальным. Функция f называется ограниченно-детерминированной
(сокращенно о.-д. функцией или о.-д. оператором), если она имеет
конечное число попарно различных состояний. Число различных сос-
тояний о.-д. функции называется ее весом. Если множество попарно
различных состояний функции / бесконечное, то считают, что вес ее
равен сю. Множество всех о.-д. функций, принадлежащих множест-
ву Ра,в,д (соответственно множествам Р/с,/,д и Р^?д),
обозначается через Рд,в,оД (соответственно через Р^™д, Р^’™, Р^,/,од
и Р&,од)-
При описании д. функций бывает удобно пользоваться теоретико-
графовым языком (а именно бесконечными информативными деревья-
ми). Пусть А — алфавит, состоящий из I букв (Z 1). Через Da
обозначим бесконечное ориентированное корневое дерево *) , удовлет-
воряющее следующим условиям:
а) из каждой вершины дерева, включая и корень, выходят ров-
но I дуг (т.е. ориентированных ребер);
б) в каждую вершину дерева, отличную от корня, входит только
одна дуга, а в корень дерева не входит ни одной;
в) каждой дуге дерева Da приписана некоторая буква алфави-
та А, причем разным дугам, выходящим из одной и той же вершины
дерева (в частности, из корня), приписаны разные буквы.
Корень дерева Da считается вершиной нулевого ранга; если вер-
шина дерева Da является концом дуги, выходящей из вершины
г-го ранга (г 0), то она называется вершиной (г + 1)-го ранга. Дугой
(ребром) j-го яруса (J 1) назы-
вается всякая дуга, выходящая из
вершины (j — 1)-го ранга. Каждой
бесконечной ориентированной цепи
в дереве Da соответствует впол-
не определенное слово из множест-
ва . На рис. 4.1 изображен фраг-
Рис. 4.2
Рис. 4.1
мент дерева Da (где А = {0, 1}), состоящий из трех первых ярусов
этого дерева (здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что символу 0
соответствует левое ребро (дуга), выходящее из вершины, а симво-
лу 1 — правое); жирными ребрами выделена цепь, соответствующая
слову 101.
Нагруженное дерево Da,в получается из дерева Da приписывани-
ем каждой дуге некоторой буквы из алфавита В. Всякой бесконечной
*) Определение корневого дерева см. в гл. VI.
ориентированной цепи в дереве Da,в отвечает слово из множества ,
составленное из букв, приписанных дугам этой цепи. Поэтому можно
считать, что нагруженное дерево Da,в задает (реализует) вполне
определенное отображение /: , являющееся д. функцией из
множества Ра,в,д- На рис. 4.2 изображен фрагмент нагруженного
дерева Рд,в, где А = {0, 1} и В = {0, 1, 2}; д. функция, соответст-
вующая этому дереву, «перерабатывает», например, слово 1010 в
слово 2012.
Пусть Da,в — нагруженное дерево, реализующее д. функцию /.
Остаточной функции (з 0) отвечает поддерево Da,b(%q), рас-
тущее из такой вершины v(xq) s-ro ранга, в которой оканчивается
цепь, выходящая из корня дерева и содержащая ровно з ребер; г-е по
порядку ребро этой цепи принадлежит г-му ярусу дерева и помечено
символом xo(i) 6 А.
Если остаточные функции и эквивалентны, то соответст-
вующие им вершины v(xf) и ^(ж^), а также растущие из этих вершин
поддеревья называются эквивалентными. Вес дерева, реализующего
д. функцию, равен весу этой функции, а следовательно, равен макси-
мальному числу попарно неэквивалентных вершин (или поддеревьев)
данного дерева.
2. Типовые примеры.
Пример 1. Выяснить, является ли д. функцией отображение
Уш = € Р^, где хР = ж(1) х(2)... x(t) уш = г/(1)\(2)...
... И при I
Решение. Из описания функции следует, что значение «выхо-
да» y(t) в момент времени t однозначно определяется значениями
«входа» в моменты времени 1 и t, т.е. s-й символ выходного сло-
ва уш при всяком s 1 является однозначной функцией первых s
символов входного слова хш. Значит, рассматриваемая функция де-
терминированная .
Пример 2. Является ли функция у^ детерминированной, если
= /(£“) € Рз’У где хш = ж(1)я;(2)... ®(t) ..., уш = у(1) у(2)...
... y(t) ... и
x(t — 1), если t — четное число,
x(t) • y(t + 1), если t — нечетное число?
Решение. Если ориентироваться на форму задания функции,
то естественно предположить, что она не является детерминирован-
ной, так как, например, «выход» в момент времени t = 1 зависит
от «выхода» в момент t = 2. Однако указанная зависимость мо-
жет оказаться «фиктивной», возникшей только вследствие «плохого»
(неудачного) описания функции. Поэтому необходимо проанализи-
ровать «природу» рассматриваемой функции. Пусть t = 2s + 1, где
s 0. Имеем y(2s + 1) = x(2s + 1) • y(2s + 2) = x(2s + 1) • x(2s + 1) =
= 0. Следовательно, при всяком нечетном t выход y(t) равен 0, т.е.
y(t) = {
является однозначной функцией первых t символов входного сло-
ва . Очевидно также, что аналогичная однозначность имеет место
и для четных значений t. Таким образом, рассматриваемая функция
детерминированная.
Пример 3. Выяснить, является ли д. функцией отображение
=/(жш) е Рг/У где хш = ж(1) ж(2)... x(f)..., уш = у(1)\(2)...
y(t) ... и
УХ) = <
0,
1
если существует такое s t,
что 3x(s) x(s + 1) + x(s + 2),
в ином случае.
Решение. При х(з) = 0 неравенство 3x(s) x(s + 1) + x(s + 2)
выполняется независимо от значений х(з -Ь 1) и х(з + 2), а при х(з) =
= 1 оно не выполняется ни при каких значениях x(s + 1) и x(s + 2).
Следовательно,
У<Х) = {
о,
1
если х(з) = 0 при некотором s t,
в ином случае,
т. е. отображение / является д. функцией.
Пример 4. Пусть = f(x“) Е гДе хш = х(1) х(2)...
...x(t)..., у“ = 2/(1) 2/(2)... y(t)... и y(t) есть (f + 2)-я цифра
после запятой в двоичном разложении числа x(t)/6. Выяснить, явля-
ется ли д. функцией отображение
Решение. Из описания функции видно, что выход y(t) в мо-
мент времени t определяется однозначно значением входа x(t): надо
просто найти (t + 2)-ю цифру после запятой в двоичном разложе-
нии числа x(t)/6. Значит, рассматриваемая функция является де-
терминированной. Запишем выход y(t) в «явной форме». Нетрудно
установить, что | | + ... + + ... Следовательно,
двоичное разложение числа 1/6 имеет вид 0,0010101... = 0,0 (01), а
поэтому
/м _ Г 1, если x(f) = 1 и t = 2s + 1, где s 1,
[0 в иных случаях.
Пример 5. Показать, что оба приводимых ниже отображения
уш = /(хш) (из не являются д. функциями (здесь, как обычно,
хш = ж(1)ж(2)... x(t)... и уш = «/(1) «/(2)... ?/(£)...):
. /t3 + 2<2 + l\ ,
0, если в слове ж(1) ж(2)... x(t2 — 2t + 2) имеется
б) y(t) = < массив из t нулей и ему не предшествует
массив из t единиц,
0 в ином случае.
Решение, а) Можно последовательно вычислять 2/ (1), у (2) ит.д.
до тех пор, пока не придем к соотношению вида у (to) = x(to + s)
для некоторого to 1 и некоторого s 1. Однако такая процеду-
ра «последовательного нахождения выходов» y(t) может оказаться
практически неосуществимой (например, если минимальное to, удов-
летворяющее соотношению у (to) = x(to + s), где s 1, равно 2000).
Поэтому надо действовать иначе, а именно выяснить, при каком
(хотя бы одном) t выполняется неравенство (t3 + 2t2 + l)/(t2 + 3)
t + 1. Получаем, что это неравенство справедливо при всяком нату-
ральном t 4 (в частности, если t = 4, то у(4) = ж(5)). Сле-
довательно, при t 4 «выход» y(t) зависит от некоторого «вхо-
да» x(t + s), где s 1 (здесь s является функцией от t). Тем самым
недетерминированность заданного отображения доказана.
б) Прикинем, как меняется длина слова ж(1) ж(2)... x(t2 — 2t + 2)
в зависимости от значения t, чтобы можно было высказать конкретное
соображение о том, при каком входном слове хш «выход» у (to) в
некоторый момент времени to зависит от входов вида х(to + s), где
s 1. Ясно, что длина упомянутого выше слова равна (t — I)2 + 1.
Следовательно, она превосходит значение t на заведомо подходя-
щую для наших целей величину уже при t = 3: массив из трех нулей
может начинаться с 3-го символа входного слова. Имеем следующее:
если хш = 01000 х(б)..., то у“ = 010..., а если хш = 01011 х(6)...,
то уш = 011... Таким образом, 3-й символ выходного слова, соот-
ветствующий входному слову 010 ж(4) х(5)..., зависит не только от
первых трех букв этого слова, но также и от символов х(4) и х(Ь).
Значит, рассматриваемое отображение не является детермини-
рованным. (Заметим, что у(1) = ж(1) и у (2) является однозначной
функцией символов ж(1) и х(2),)
Пример 6. Через g обозначим здесь подмножество всех таких
слов хш из множества {0, 1}^, в которых на четных местах стоят
единицы, т.е. x(2s) = 1 при s 1. Выяснить, можно ли функцию /
доопределить до детерминированной:
а) /(.-/•-') =
1 хш, если хш €
1Ш, если хш =01 [Of;
б) /(£“) = <
если е
если = 00ж(3) ж(4)... x(t)... (т.е.
входное слово начинается с двух нулей).
Решение, а) Очевидно, что значение первого выходного симво-
ла у(1) не зависит от входного символа (у(1) = 1 и при хш = 01 [0]^,
и при хш Е ё). Однако у(2) является функцией от последовательнос-
ти х(2) ж(4) ... х(2з) ..., причем у(2) = ж(1), если x(2s) = 1 при
всяком s 1, и у(2) = 1, если хш — 01 [0]^.
Рассмотрим два входных слова: [01]^ и 01 [0]^. Имеем /([01]^) =
= [10]" и /(01 [0]") = 1". Значит, у (2) = 0, если хш = [01]", и
у (2) = 1, если хш = 01 [0]", т.е. у(2) не является однозначной функ-
цией от входных символов ж(1) и х(2).
Таким образом, рассматриваемая нами функция / не может быть
«продолжена» до детерминированной (она уже сама недетерминиро-
ванная, хотя и не является всюду определенной на множестве {0, 1}^).
б) Из приведенного описания функции / видно, что у(1) = ж(1)
и у(2) = ж(2) как для хш е S, так и для х^ = 00ж(3) ж(4) ... x(t) ...
Далее, если ж(2) в рассматриваемых входных словах равно 0, то
y(t) = 0 при всяком t 3, а если х(2) = 1, то y(t) = x(t), t 3. Зна-
чит, заданную функцию / можно попытаться доопределить следующим
образом: если хш = ж(1) 1ж(3) 1ж(5) 1... 1ж(2.$ — 1)0ж(2з + 1)ж(2« + 2)...,
где s 1, то f(x“) = ж(1) 1ж(3) 1 ... 1ж(2з — 1) [0]^ (другими слова-
ми, на «выходе» выдается y(t) = x(t) до тех пор, пока при некотором
to = 2s на «вход» не поступит символ 0; после этого y(t) = 0 для всех
t to- Очевидно, что ф(хш) —д. функция, являющаяся продолжением
функции ф(хш).
Пример 7. Выяснить, является ли функция ф(хш) = у(1) у(2)...
... y(t)... (из д) °-"д- Функцией, и найти ее вес:
аЫА = Р(1) ПРИ *=1’2’
[®([i/3]) при t 3;
(f\ _ f0 ПРИ t =
f ж(£) -4 y(t — 1) при t 2;
x z 4 fl, если t — нечетное число,
в) y(t) = < _z. 4
(ж(1), если t — четное число.
Решение, а) Из приведенного описания функции ф(хш) следует,
что для получения выходного символа при t = 3s (s 1) необходимо
«хранить в памяти» входной символ, поступивший в момент време-
ни s, т. е. этот входной символ надо «помнить» в течение 2s моментов
времени. Значит, для «реализации» рассматриваемой д. функции
нужно иметь бесконечную (растущую во времени) память, что соот-
ветствует бесконечному множеству состояний.
К такому же выводу можно прийти, строя для заданной функции
фрагменты ее информативного дерева. (Однако потребуется постро-
ить 8-9 ярусов дерева, что весьма громоздко.)
Для обоснования того, что данная функция не является ограни-
ченно-детерминированной, рассмотрим остаточные функции, порож-
денные словами 0 s = 00 ... 0, где s 1, и сравним значения этих
s раз
функций на входном слове lw. Имеем /(0s1^) = 00 ... 0 [1]^, а следо-
_ з«+2
вательно, /qs(1w) = 00 ... 0 [1]^. Значит, для разных значений s эти
3«+2
функции попарно не эквивалентны. Таким образом, вес функции /
равен сю, т.е. она не является о.-д. функцией.
б) Построив четыре яруса информативного дерева заданной функ-
ции (рис. 4.3), нетрудно высказать предположение, что все вершины
Рис. 4.3
дерева разбиваются на три класса эквивалентности: первый класс
содержит только вершину 0, второй — вершины 1, 2, 4, 6, 10, 14 и
т.д., а третий — вершины 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13 и т.д.
Вершинам из второго класса соответствуют остаточные функ-
ции /ор(ж^) и ДДж^), где s 1, а вершинам из третьего
класса — остаточные функции /^(З^), где а равно 0 или 1, s 1
и Xs ф Is.
Убедимся в эквивалентности функций, входящих в один и тот же
класс эквивалентности. Имеем
/(0 я(1) я(2)... x(t)...) = 0(^(1) -> 0)(я(2) И1) -> 0))...
... (x(t) (x(t — 1) —> ... ж(1) —> 0)...))... =
= 0 ж(1) (ж(1) V ж(2))... (ж(1) V ... V x(t — 1) V x(t))...,
/(01s ж(1) ж(2)... x(t)...) = 0 ж(1)(ж(1) V
V ж(2))... (ж(1) V ... V x(t — 1) V x(t)) ...,
/(Is ж(1) ж(2)... x(t)...) = 0 ж(1)(ж(1) V ж(2))...
... (ж(1) V ... V x(t — 1) V x(t)) ...
(здесь 1 = 0 и при s 1 слово 1 .^. 1 пустое).
s—1
Отсюда заключаем, что каждая из остаточных функций /о(ж^),
/□уДж^) и /уДж^), где s 1, эквивалентна функции д(хш) =
= у(1) у(2) - - - где y(t) = ж(1) V... Vi(t- 1) Vz(f), t 1.
Далее,
/ (ст Ж1 х2 ... xs ж(1) ж(2)... x(f)...) —
= 0ж1(ж1 V х2) ... (xi V х2 V ... V ^s_i)(xi V х2 V ... V xs) &
& (xi V х2 ... V xs V ж(1))(ж1 V х2 V ... V xs V ж(1) V ж(2)) ...
... (xi V ж2 V ... V xs V ж(1) V ж(2) V ... V ж(£)) ... =
= О Ж1 (Ж1 V ж2)... (^1 V х2 V ... V xs-i)ll... 1...,
ибо xs Is (а значит, х± V ж2 V ... V xs = 1).
Таким образом, ф^з (ж(1) ж(2)...) = И. Из наших рассмотрений
вытекает, что заданная функция ф является о.-д. функцией веса 3.
в) Нарисовав пять полных ярусов и частично шестой ярус инфор-
мативного дерева заданной функции (рис. 4.4), легко увидеть, на какие
классы эквивалентности разбивается множество вершин этого дерева.
Вершина 0 образует один класс эквивалентности; все вершины,
принадлежащие дереву, растущему из вершины 1, образуют второй
О
Рис. 4.4
класс эквивалентности; вершина 2 вместе со всеми вершинами чет-
ного ранга дерева Dq, растущего из нее (сама вершина 2 имеет в
дереве Dq ранг 0), образует третий класс эквивалентности; наконец,
все вершины нечетного ранга дерева Dq образуют четвертый класс
эквивалентности.
Следовательно, рассматриваемая нами сейчас функция есть о.-д.
функция веса 4. Все ее остаточные функции из упомянутого выше
второго класса эквивалентны функции д(хш) = И. Остаточные функ-
ции, соответствующие вершинам четного ранга дерева Dq, эквива-
лентны функции ср(хш) = ?/(1) у (2)... y(t)..., где
, . _ Г 0, если t нечетное,
(1, если Учетное.
Наконец, остаточные функции, соответствующие вершинам нечетного
ранга дерева Dq, эквивалентны функции ф(хш) = г/(1) г/(2)... y(t)...,
где (1 +
/,ч _ I 1, если t нечетное,
(0, если t четное.
3. Выявление свойства детерминированности функции.
Эквивалентность детерминированных функций. Остаточные
функции.
1.1. Пусть /(ж(1) ж(2)... x(t)...) = 2/(1) 2/(2)... y(t)... — функ-
ция из множества Р^^- Выяснить, является ли она детерминирован-
ной, когда:
1) у(1) = ж(1) и = ж(1) Ф ж(2) Ф ... Ф x(t) при t 2;
2) y(t) = ж(1) V ж(2) V ... V x(t) V x(t + 1) при t 1;
3) y(t) = ж(1) • ж(2) • ... • x(t) • x(t + 2) —> ж(1) при t 1;
4) y(t) = z([log2 t] + 1) при t 1;
5) y(i) = я(а/[3/(2£)]) при t 1;
6) 2/(1) = 2/(2) = 1 и y(i) = ж(2*-1 - t) при t 3;
7) y(i) = ж([ЗЛ/4] + [Vf]) при t 1;
8) 7/(1) = 1 и y(t) = х(2 + x(t)) при t 2;
9) 2/(1) = 3/(2) = 0 и y(t) = х(2 + x(t)) при t 3;
10) 2/(1) = 1 и y(t) = ж(2 + y(t - 1)) при t 2;
. , . _ (1, если существует такое целое I 0, что t = 2г;
[0 в ином случае;
fl, если t < 100,
12) ,'W = (о, «ли О 100;
13) 2/(i) =
ж(20£ — t2 — 90), если 7 t 13,
0 в ином случае;
..А f ж(19£ — t2 — 80), если 7 t 12,
14) y(t) = / 3 * * * 7
( 1 в ином случае.
1.2. Выяснить, является ли детерминированной функция / из Р^^,
заданная следующим описанием:
n = если =0ш,
(1 в ином случае;
2) = Гу, _если у
[ ж(1)ж(2)... x(t)... в ином случае
(здесь ж(1)ж(2)... x(t)... — выходная последовательность, соот-
ветствующая входной последовательности хш =ж(1)ж(2)...ж(^)...);
3) Я2И = Р"’ если ^ = 0"’
[ж(1)ж(2)ж(3)ж(4).. .x(2s — l)x(2s)... в ином случае
(здесь ж(1)ж(2)ж(3)ж(4)... x(2s — 1)ж(2з)... — выходная последо-
вательность, соответствующая входной последовательности хш =
= ж(1)ж(2)... x(t)...);
4)/(жш) =y(l)y(2)...y(t)..., где
(4-\ _ Г если t — простое число,
[О в ином случае;
если найдется число с такое, что У2 Ф
t>i
в ином случае;
если последовательность х ш такова, что
t t
^2 Ж(2/ - 1) < ^2 х(2Г) для всех t = 1, 2, ...,
1=1 1=1
в ином случае;
7) /(ж“) = y(l)y(2)...y(t)..., где
3/(0 = <
[(t+l)/2] [t/2]
если ^2 x(2l - 1) У яг(2/),
i=i i=i
в ином случае;
8)/(ж“) =y(l)y(2)...y(t)..., где
y(t) = <
[t/2] + l [t/2] + l
если У х(21 - 1) У а?(2/),
z=i «=1
в ином случае;
9) /(2“) =
если последовательность хш такова, что
t
У2 ^(0 для всех ^ = 1,2,...,
7=1
в ином случае;
10) /(ж“) =y(l)y(2)...y(t)..., где
y(t) = <
t
если Уж(г)^-,
7=1
в ином случае;
11)/(ж“) =y(l)y(2)...y(f)..., где
y(t) = <
t
если ^2Ж($ + 1) 2’
7=0
0
в ином случае;
12) /(ж^) = 7/(1) 7/(2)... т/(^)..., где
y(t) = <
ж(1), если t = 1,
ф y(t — 1), если t — нечетное число и
x(t — 1), если t — четное число;
13) /(3F) = 2/(1) 2/(2)... 2/(t)..., где y(t) определяется из соотно-
шений 2/(2/) = х(21 — 1) и 2/(2/ — 1) = х(21 — 1) V ?7(2/), I = 1, 2, ...;
14) /(3F) = 2/(1) 2/(2) • • • y(t) • • •, где y(t) есть (t + 1)-я цифра после
запятой в двоичном разложении числа ж(£)/3;
15) /(2F) = 2/(1) 2/(2) • • • y(t)..., где y(t) есть (3t + 2)-я цифра пос-
ле запятой в двоичном разложении числа x(t + 1)/7;
16) /(ж^) = 2/(1) 2/(2) • • • y(t) • • •, где y(t) есть 2^+1-я цифра после
запятой в двоичном разложении числа (2x(t + 1) + 1)/15.
1.3. Через D будем обозначать здесь подмножество всех таких слов
из множества {0, 1}^, в которых не встречаются две единицы подряд.
Выяснить, можно ли доопределить функцию / до детерминированной,
и если доопределение возможно, указать, какую-либо функцию, яв-
ляющуюся доопределением функции /:
1) /(^) = 0w при х“ е Р;
2) f(x^) = ж(1) ж(2)... x(t)... при хш е D\
3) /(F) = 02F при хш е D;
4) функция / определена только на одном слове х$ =
= 11010010001... (т.е. xo(t) = 1 лишь для t = i(i — 1)/2 + 1,
i = 1, 2, ...) и /(xq ) =у$= 1010010001... (т. е. 2/о (£) = 1 лишь при
t = (2)’ 7=2,3,...);
5) функция / определена только на двух словах: 0^ и [01]^, при-
чем 7(0^)=!^ и /([01]^) = 1[10]^;
если хш е D,
если хш = 1^;
если х“ е Р,
, если хш = lw;
хш, если х“ е D,
0[1]^, если хш = lw;
0хш, если хш е D,
0[l]^, если хш = 1^;
0ж(1) ж(2)... x(t)..., если FeD,
ООЩ^, если хш = 1F
1.4. В дереве, соответствующем функции / из изменена
метка на ребре Z-го яруса, принадлежащем цепи, отвечающей входной
последовательности 0F Найти вес г(/) функции / и вес г(р) вновь
полученной функции д. если:
1) /(.т^) = 0е", 7 = 3; 2) /(£") = хш. 7 = 4;
3) /(2е") = 00 [01]^, 7 = 2; 4) f(x“) =0х\ I = 1;
5) /(2F) = 2/(1) 2/(2) • • • y(t)..., где y(t) есть t-я цифра после запя-
той в двоичном разложении числа 2/3, / = 3;
(0^
6) /(^) =
7> «г"> = {о[1’1
8) =
9) /(^) =
Ю) /(ж“) =
8 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
y(t) = {
У(<) = |
y(i) = {
6) ф(хш) = у(1) у(2)... y(t)..., где y(t) есть t-я цифра после запя-
той в двоичном разложении числа 1/д/2, / = 1;
7)/(ж“) =y(l)y(2)...y(t)..., где
О, если t = 1, / — 1
y(t — 1) ф rr(t), если t 2,
8)/(ж“) =y(l)y(2)...y(i)..., где
О, если t = 1, I — 1
x(i) x(t — 1), если t 2,
9)/(ж^) =y(l)j/(2)...j/(t)..., где
1, если t = 1, I — 2
x(t)->y(t — 1), если t 2,
1.5. 1) Доказать, что если изменить метку на каком-либо ребре,
принадлежащем j-му ярусу дерева, соответствующего функции / 6
Е ^2,од, то вес г (д') вновь полученной функции g удовлетворяет нера-
венству |r(/) - r(g)\ < j.
2) Как может измениться вес о.-д. функции / 6 Р2,од? если в со-
ответствующем ей дереве изменить метки на двух ребрах j-го яруса?
1.6. Выяснить, эквивалентны ли д. функции Д и Д, если:
1) /1(2^) = ^(1) ^(2) ж(3) ж(4) ж(5)... x(2s) x(2s + 1)... (т. е. вход-
ная последовательность хш = ж(1) ж(2)... x(t)... «перерабатывает-
ся» в выходную последовательность ж(1) ж(2) ж(3) ..., выписанную в
данном соотношении справа),
г тте
x(t) при t = 1, 2,
x(t — 1) Ф x(t) Ф y(t — 1) при t 3;
2) fi(x^) = 0ж(1) 0ж(2) 0ж(3)...Ox(t)... (т.е. входная последова-
тельность хш = ж(1) х(2)... x(t)... «перерабатывается» в выходную
последовательность 0ж(1) Ох (2) 0ж(3)..., выписанную в данном соот-
ношении справа),
Л(ж“) = г/(1)?/(2)
О при t = 1,
#([t/2]) • y(t — 1) при t 2;
3) Д (ж^) = ж(1) (ж(1) & ^(2))... (ж(1) & ж(2) & ... & x(t))... (т. е.
в момент времени t^2 «выход» равен ж(1) & ж(2) & ... & x(t),
а при t = 1 он равен ж(1)),
/2(ХЧ =y(l)y(2)..-y(i)...,
где z t
z ч 0, если x(t) <
yW = S Й 2
k 1 в ином случае;
y(t) = {
y(t) = {
4) Л(г“) = ж(1) (ж(2) -4 ж(1))(ж(3) -4 ж(2))... (ж(£) -4 x(t - 1))...
(т.е. при t = 1 «выход» равен ж(1), а при t 2 он равен x(t)
x(t - 1)),
V Ых^)= 7/(1) 7/(2)...
где
ж(<),
x(t),
У(0 = <
если t = 1,
если t 2 и x(t — 1) = О,
к 1 в остальных случаях;
5) Л(ж“) = 1(ж(2) -4 ж(1))(ж(3) -4 ж(1)- ж(2))... (ж(£) -4
ж(1)« ж(2)- ... • x(t — 1))...
(т.е. при t = 1 «выход» равен 1, а при t 2 он равен x(t) —>
-4 ж(1)« ж(2)« ... • x(t — 1)),
/2(^)= 7/(1) 7/(2)... 7/(t)...,
где _
( . (x(t), если t 2 и найдется такое s < t, что x(s) = О,
[ 1 в остальных случаях;
6) /1 (Jw) = ж(1) 1ж(3) 1ж(5) 1... 17г (2.$ — 1) 1... (т.е. входная по-
следовательность хш = ж(1) ж (2)... «перерабатывается» в выходную
последовательность ж(1) 1ж(3) 1ж(5)..., указанную в данном соотно-
шении справа),
Мж'4 = y(l)3/(2)...y(i)...,
, , _ (x(t) при t = 1,
\ж(2[(£ 4- 1)/2] — 1) ф y(t — 1) при t 2;
7) Л (ж") = y(l)y(2)...y(i).--, где
/,х = Г1 при t = 1,
V \ж(£) -4 (x(t — 1) ф x(t) • y(t — 1)) при t 2,
/2(ж“) = 1(ж(2) -4 ж(1))(ж(3) -4 (ж(2) -4 ж(1)))(ж(4) -4
-4 (Ж(2) -4 Ж(1))) . . . (ж(<) -4 (Ж(2) -4 ж(1))) . . .
(т.е. при t = 1 «выход» совпадает с 1, при t = 2 — с ж(2) ж(1), а
при t 3 — с x(t) -4- (ж(2) -4 ж(1)));
8) Л(ж“) =y(l)?/(2)...y(i)..., где
Cfx = Гх<Х) ПРИ f = 4,
[x(t) —> (x(t — 1) —> x(t)- y(t — 1)) при t 2,
/2(ж“)=ж(1)[1]“;
9)/1(ж“) =2/(l)?/(2)...i/(i)..., где
= Гx<X) ПРИ 1 = 4,
[x(t) -4- (x(t)' y(t — 1) —> x(t — 1)) при t 2,
/2(ж^) = ж(1)1(ж(3) -> ж(2))(ж(4) -4> ж(3))... (x(t) -4 x(t - 1)) . . .
(т.е. при t = l «выход» совпадает с ж(1), при t = 2 — с 1, а
при t 3 — с x(t) —> x(t — 1));
Ю) /1(2^) = 01(ж(2) —> ж(1))(ж(3) ж(2))... (x(t) x(t —
1))... (т.е. при t = 1 «выход» совпадает с 0, при t = 2 — с 1, а
при t 3 — с x(t) x(t — 1)),
/2(г-) = 2/(1) 7/(2)... 7/(t)...,
где
f 0 при t = 1,
уХ) = <
1 при t = 2,
x(t — l)y(t — 1) —> (x(t — 2) —> x(t — 1)) при t 3.
1.7. Выяснить, эквивалентны ли остаточные функции и д.
функции f е Рг’д (здесь всюду /(ж“) =уш = у(1) у(2)... y(t)...):
1) !/(<) = ПР" ‘ = ]' 2’ 3'
(ж(^) при t 4:
а) ж? = 11, х% = 00101; б) xf = 010, х42 = 1001;
21 v(t} = IПРИ f = Г 2’ 3’
)У[) |ж(*-1) при t^4:
a) ж? = 10, х3 = 011; б) xf = 111, х% = 00101;
в) х4 = 0101, xi, = 1000;
. , . _ (x(t) при t нечетном,
У |ж(£) при t четном:
a) ж? = 00, х2 = 100101; б) xf = 101, х32 = 110;
в) х$ = 0101, х% = 11111;
, , _ (0 при t = 1,
\a;(t — 1) ф x(t) при t 2:
2 = 00, = 110; б) ж? = 0110, х\
? = 11111, х\ = 001001;
= 0101;
, , _ (1 при t = 1, 2,
х3 = 10, Ж2 = 010; б)
ж? = ПО, ж| = 00101;
, , _ (0 при t = 1,
yw-^(f)^y(f-i)
1) при t 3:
ж^ = 1110, а?2
= 1011101;
при t 2:
011, ж^ = 1111; б) xl = 01111,
0100, ж^ =111010;
х^ = 00111;
7) y(t) = {
при t =
1
ж? = 101,
в остальных случаях:
ж^ = 110; б) ж^ = 0101, ж| = 11011;
0
8) y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении чис-
ла 9/20:
а) х\ =0, х62 = 001110; б) xf = 101, х72 = 1001011;
в) xf = 1101, х\ = 00100;
9) у (О) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении чис-
ла 23/28:
а) х{ = 1, х% = ОНО; б) ж? = 10, хъ2 = 00110;
в) ж? = 110, ж| = 111101111;
Ю) ум = Jесли ж(х) + + + ®(0 < f/2>
[ 1 в ином случае:
а) ж? = 10, xi = ООП; б) ж? = 111, ж§ = ОПП;
в) ж? = 1101, хъ2 = ЮОЮ;
П) y/t\ _ Г°> если ж(1) + ж(2) + • • • + *([(* + 1)/2]) < t/3,
[1 в ином случае:
а) ж? = 10, 7Д = ОНО; б) жf = ПО, 5Д = 001;
в) ж? = 100101, хб2 = 010101;
1, если t = 1 t-i
12) y(t) = < или если t 2 и ^2(1 — ж(0)’ i < t' ж(7),
i=l
x(t) —> x(t — 1) в ином случае:
а) х 1 = 01, х2 = 11; б) xf = 101, х2 = ООП;
в) х[ = 011101, х2 = 000111;
1, если t = 1 t-i
13) _ < или если t 2 и И x(t) 1 + ^^(1 — ж(г)) '
i=l
0 в ином случае:
а) ж? = 011, ж^ = 101; б) ж? = 11, х\ = 0101;
в) х[ = 11001, ж^ = 10110.
1.8. Доказать, что д. функция Д (Д G Дг,д) не является остаточ-
ной функцией д. функции Д € Р2,д (здесь, как обычно, считаем, что
/о = Д(ж“) =у“ = у(1)у(2).. .y(t) и Д = Д(жш) =уш =у(1)у(2)...
П f • =ж(-0’ f .М1)= -1’
Л’ (У(0 = ^(1) ® ж(^), t^2, J1' \y(t) = ж(1) ®ж(0, t^2',
9W fy(i) = o, p(i) = o,
’ Jo- \y(t) = x(t), t^2, J1' }2/Д)=ж(1)^ж(^-1), i^2;
3) Д: y(t)=x(t), t^l, fr. = ^2;
118 Гл. IV. Ограниченно-детерминированные функции
4) /о: Г 2/(1) = 1, 1 ?/(i) = y(t - 1) -> x(t - 1), t 2,
А = b(i) = i, \y(t) = x(t - 1), t 2;
5) /о: (2/(1) = *(1), , (y{t) = 0, t = 1, 2, \y(t) = x(t)-y(t-l), t^2, n- \y(t) = l, t^3-,
6) /о: (y(t) = x(t), / = 1,2, 12/(0 = “ 2) -4 y(t - 1), t 3,
А = |у(1)=ж(/), / = 1,2, |у(/) = 1, />3.
1.9. Доказать, что д. функция Д является остаточной функцией
д. функции /о € А,д (считаем, как обычно, что /о = =
= У ш = 2/(1) 2/(2) • • y\t~)... и /1 = /1(ж“) = уы = у(1) 2/(2)... y(t)
l)/o: < 'y(i) = ж(1), k y(t) = x(t — 1)• x(t), t 2,
A: (1/(1) = 0, (y(t) = x(t — 1) —> ж(/), / ^ 2;
2)/о: < (y(i) = o, ( y(i) = y(.t - 1) -> x(t), t 2,
A: ‘ f 2/(1) = ж(1), (y(/) = ®(/) Vy(/ - 1), / ^ 2;
3)/o: < (2/(1) = 1, [ y(t) = x(t — 1) ф ж(^), t > 2,
A: < f y(l) =ж(1), L — 1) —> x(t — 1) • x(t), t 2;
4) /о: < [y(t) = x(t), t = 1, 2, 3, l уф = y(.t - 3) y(t - 1), / ^ 4,
A: < f y(/) =0, / = 1, 2, [y(/) = 1, / ^ 3;
5) /о: < (y(i) = x(t), / = 1, 2, I y(i) = y(.t - 2) -> ж(/), / 3,
A: < fy(/)=S(l), / = 1,2, I y(^) = x(t) y(t - 2), / ^ 3; 'y(Z) = 1, t = 1, 2,
6) /о: < У(^) = Ш - 2) -> ж(/ - 1)) -4- —> x(t — 2)• x(t — 1)• x(t), t 3,
'?/(1) = ж(1),
/ . у(2) = ж(1) -> ж(2),
Ь 2/(*) = (x(t - 1) -> x(t - 2)-ж(£))- (y(t - 2) ->
—> x(t — 2)x(t — 1)• x(t)), t 3;
7) /o: y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 2/3,
fi: y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 1/3;
8) /о: y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 7/60,
fi: y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 13/15.
4. Выявление свойства ограниченной детерминированнос-
ти функции. Порожденные и автономные функции. Строение
классов эквивалентности. Мощности некоторых множеств
отображений.
1.10. Выяснить, является ли функция f 6 Р2,д о.-д. функцией, и
найти ее вес:
1) У<1) = j 1 при t = 1, 9\ _ Г 0 ПРИ — fx(t — 1) при t 2; [#(t) ПРИ £ 2;
3) y(i) = j ж(1) при t = 1, . /,ч _ f Zr(l) ПРИ £ = 1, y(t — 1) при t 2; [0 при t 2;
5) y(t) = \r(l) при t = 1, j/(t — 1) —> x(t) при t 2;
6) y(t) = j 1 при t = 1, 2, x(t — 2) при t 3;
7) y(t) = <{ ж(1) при t = 1, jr(l) Ф x(2) ф ... ф x(t) при t 2;
8) y(t) = 0 при t = 1, [Vt — y/t — 2] при t 2;
9) y(i) = ж(1) при t = 1, 2, jr(l) • x(2) • ... • x(t — 1) при t 3;
10) y(t) = x(2[(t - 1)/2] + 1),
И) 2/(0 = x(t), если t — нечетное число, x(t), если t — четное число; 'ж(1), если t = 1,
12) y(t) = < 1, если t — нечетное число и t 3, kx(t/2) ?/(t/2), если t — четное число;
13) y(t) = • ( 0, если t — нечетное число, \x(t/2 + 1), если t — четное число;
14) y(0 = • (1 при t = 1, 2, \y(t — 2) ф x(t — 1) при t 3;
15) y(t) = <
0, если t = 1,
М) - 2),
x(t — 1), если
если t — нечетное число и t 3,
t — четное число;
- I 1 ПРИ t = Г
16)yG) |ж([г/2])
при t 2;
17) М) =
0, если £ = 1,2,...,/,
y(t — I), если t I + 1, I 1;
18) y(t) есть t-я цифра после
числа 7/15;
19) y(t) есть t-я цифра после
числа 11/24;
запятой в двоичном разложении
запятой в двоичном разложении
20) f е в,1;2
pi(i) = o,
3/2(1) = 1,
2/1(0 = 3/г(< - 1), О 2,
4T/2(t) = yi(t - 1), t 2;
' 7/1(1) = Ж1(1)-Ж2(1), 7/2(1) = Ml) V Ж2(1),
20) f e f22;2 и ft < 7/1 (t) = ^(i) V a;2(i) V y2(t - 1), t 2, k7/2(t) = Ti(i)-a;2(t)-T/2(i - 1), t 2.
1.11. ПуСТЬ /1(Ж1,Ж2, • ,Ж„), /2(Т1,Ж2, • • • ,хп), fm(Xi,X2,
..., жп) — функции вида Ek х Ek х ... х Ek —> Ei, где к 2 и I 2.
Оператор из (т.е. pflj2^^fm=(x?,...,x“) =
— (У1 ? У2 ) ''') УпУ) называется оператором (или функцией), по-
рожденным (порожденной) функциями fi, •• • , fm, если для
всякого t 1
2/i(0 = Л(М*)> • • •, xn{t)'), г = 1, 2, ..., m.
Выяснить, является ли порожденной функция f Е Р2,д •> если:
1)6 Мл и ft = y(j. _ i), t^2-
.. Гт/(1)=0,
2) / e P2 д И ft | _ x^t _ X) _J. y(t _ -p, t 2;
r r ( y(t) = x(t), если t = 2s — 1, s 1,
?2,д и | _ x(2) x(t — 1) • x(t), если t = 2s, s 1;
nfcPi.i , Г 3/(1) = ^(i),
)J 2,д и J- | = x(t _ ф х^ ф y(f _ х), t 2;
5) /(ж^) = 1(ж(1)• ж(2) -4 ж(2))... (ж(1)• x(z) -A- x(z))... (т. е. при
t = 1 «выход» совпадает с 1, а при t 2 — с ж(1)« x(t) -> x(t))\
6) /(ж^) = ?/(1) ?/(2)... y(t)..., где у(б) есть t-я цифра после запя-
той в двоичном разложении числа 1/7;
7) /(ж^) = ?/(1) 2/(2) • • • y(t)..., где y(f) есть t-я цифра после запя-
той в двоичном разложении числа 1/5;
8) f е Р2Х,’Д2
9) f e
10) f € f2x;2
И /: <
3/1(1) =0,
Ы1) = 1,
У1 (0 = 3/2^ - 1) -> З/i- 1), 0 2;
„ 3/г(£) = x(t) -> y2(t - 1), t 2;
' 3/1(1) = ж(1),
и f: ?/i(i) = (3/i(< - 1) -> 3/2<i - 1)) -> x(t), t £ 2;
<?/2(i) = x(t), t 1;
' 3/1(1) = J/2(1) = ®(1),
и f: ?/i(£) = 3/1 (i - 1) ® x(t), t 2;
W2(^) =3/2(i-1)->3/i(^-1), 0 2;
11) f e р22д
' y(t) = rci(t) ^(t), если t = 2s — 1, s 1,
и f\ < y(t) = xi(t)‘X2{i) e ^i(t) e 1,
если
t = 2s, s > 1.
1.12. Из определения порожденной функции (см. предыдущую
задачу) следует, что вес порожденной функции равен 1. Доказать,
что справедливо и обратное утверждение: если / 6 Ра,в,д и вес функ-
ции / равен 1, то существует функция (/?: А —> В, порождающая функ-
цию f, т. е. /(?“) = уш = у(1) у(2)... y(t)где y(t) = </?(ж(/)) при
всяком t 1, x(t) е А и y(t) е в.
1.13. 1) Функция / из Рз,д определяется следующим образом:
/(ж^) = [0 ... 01]^, где I — произвольное фиксированное целое чис-
I
ло, не меньшее 1. Доказать, что:
а) у функции / вес каждой остаточной функции равен I + 1;
б) каждый класс эквивалентности остаточных функций у функ-
ции / является счетно-бесконечным множеством.
2) Пусть /(ж^) 6 Р2,Д и f(x^) = 0.^.0 [1]^, где I — произволь-
I
ное фиксированное целое число, не меньшее 1. Доказать, что:
а) для каждого г, удовлетворяющего неравенствам 1 < г I + 1,
у функции / существует в точности 2Z-r+1 остаточных функций
веса г;
2/(0 = {
б) функция / имеет только один бесконечный класс эквивалент-
ности остаточных функций и его элементы — порожденные функции.
3) Пусть /(ж“) € Р2,Д И /(£“) = у(1) у(2)... y(t)..., где
О, если 1 t Z,
ж(1)• ж(2)• ... • ж(£), если t I + 1,
и I — произвольное фиксированное целое число, не меньшее 1. Дока-
зать, что:
а) для каждого г, удовлетворяющего неравенствам 3 С г I + 2,
у функции / существует лишь одна остаточная функция веса г;
б) функция / имеет ровно два бесконечных класса эквивалент-
ности остаточных функций, причем элементы одного из них явля-
ются порожденными функциями, а другого — функциями веса 2.
4) В задаче 3) изменим только одно условие: если 1 t Z,
то y(t) = 1. Обозначим новую функцию через Д. Доказать, что:
а) у функции /1 в точности два бесконечных класса эквивалент-
ности остаточных функций, и элементы одного из них являются
функциями веса 2, а другого — порожденными функциями;
б) остальные классы эквивалентности остаточных функций функ-
ции /1 конечные, и при I 2 среди них ровно I + 1 одноэлементных
классов;
в) вес функции Д равен 21 + 1.
5) Функция / из Р2,д определяется следующим образом:
0 О [1]Д если х“
_ i
СФ в ином случае,
= 0^Л) £(/ + !)£(/ +2)...,
i
I — произвольное фиксированное целое число, не меньшее 1. Дока-
зать, что:
а) функция / имеет ровно два бесконечных класса эквивалентнос-
ти остаточных функций, и элементы каждого из них — порожденные
функции;
б) остальные классы эквивалентности у функции / одноэлемент-
ные;
в) для каждого г, удовлетворяющего неравенствам 3 г I + 2,
у функции / существует единственная остаточная функция веса г.
1. 14. Выяснить, сколько у функции f Е Р?,д конечных и сколько
бесконечных классов эквивалентности остаточных функций, выпи-
сать явно (в какой-либо форме) все остаточные функции (по одной
из каждого класса эквивалентности) и найти их веса:
p(i) = o,
= ж(1) ® x(f) ® ^2;
Гд(1) = 1,
2) /: y(t) = ж(1)-ж(^), i>l; 3)= v - 1), t^2
лл у. fy(1) = Ж(1)’ PC1) = ^С1)’
’ \y(t) = y(t - 1), 2; ' J- \y(t) = x(t) -> y(t - 1), t 2;
6) рхш) = [010]“;
' [Olf , если хш = 0^,
[01]Z lx(21 + 2) x(2l 4- 3)..., если хш =
ч ч = 02/1ж(2/+ 2) x(2Z + 3)... и / >1,
7) f(x^) = <
[01]Z x(2l + 1) х(21 4- 2)..., если хш =
= 02/-11ж(2/ + 1) х(21 + 2)... и / > 1,
<хш в ином случае;
8) /(£") = [<Ь(1))“; 9) /(г“) = [i(l) 1(2) 1]“;
(9(1)= 9(2) = 0.
[ y(t) = x(t ~ 2) ф x(t), t 3.
1.15. Функция / из Рд,в,д называется автономной (или конс-
тантой, или функцией без выхода), если она принимает постоянное
значение (на множестве Аш), т.е. если на любом входном сло-
ве хш Е функция / равна одному и тому же (выходному) сло-
ву из .
Выяснить, является ли автономной функция / Е Р2,д? и если она
автономна, то найти ее вес:
1) f е Р.д1
2) / е р’д
3) / G Fp1
Гу(1) =0,
“ \ y(t) = y(t — 1), t > 2;
И **’ \ y(t) = ж(2) • x(t — 1) —> x(t — 1), t 2;
и y(t) = ж(1)* • • • ’ x(t) ж(1)’ x(t), t 1;
4) f G P^a и /: < ' y{t) = ®(1) (®(i) -> y(f) = y(t - 1) -> x(t - y(t) = y(t - 2)9y(t - если t = 3s — 2, s 1, - если t = 3s — 1, s 1, 1), если t = 3s, s 1;
и /: p(i) = o, p(f) = ж(2) -> (ж(1) - > t 2;
6) f G P^a и /: ” y(t) = 1, если t = 2 < y(i) = ?/(l) ® 2/(2) ® • k 1 (« = 0, 1,2, • • ® y(t - 1) в ином случае;
' y(t) = 0, если И + 1 t (г + 1)/,
7) f G РГ и /: < i = 0, 2, 4, ..., 2m, ..., y(t) = y(t — I + 1) в ином случае
(здесь I — произвольное фиксированное число, не меньшее 2);
8) / е Р^
9) f G P2\2
10) f € P^ и
pi(i) = 1,
у2(1) =о,
yi(t) = ж(£) -> (j/2(t - 1) -> j7x(f - 1)), t > 2,
ky2(i) =3/i(i-l)->3/2(t-l)a:(t), t 2;
И
yi(t) = ж(1)- x(t) -> x(t), t 1,
/: < 2/2(1) = 0,
У2^ = y^t - 1) -> y2(t - 1), i > 2;
2/1(1) = Уг(1) = 1,
2/1 (<) = x(f) -4- yi(t - 1) y2(i - 1), t > 2,
y2(i) = ®(l)^(2)...S(t) -4i(2)j/x(t- 1),
t
11) f € Р^2Д и f: <
(2/1(1) = 1,
Ы1) = о,
2/1(0 = 2/г(< - 1), t 2,
,3/2(0 = y2(t — 1) —> yi(t- l)-x(t - 1), t 2.
1.16. 1) Доказать, что если f — о.-д. функция из Рд,в,д, то для
всякого квазипериодического слова (из Аш) слово /(ж^) также
квазипериод ическое.
2) Утверждение, обратное к сформулированному в 1), неверно.
Покажите это, используя следующую функцию ф(хш) = ?/(1) у(2)...
... y(t)... из множества
y(t) = ^(1).^2(2).....^W,
где t > 1,
ж(г), если ai = 0
ж(г), если (Ji = 1
и (j^(j2 ... (Jt — префикс длины t слова 0101101110 ..., в котором нули
стоят только на местах с номерами (0, j = 2, 3, 4, 5, ... (Дру-
гими словами, функция f(x“) такова, что в реализующем ее дере-
ве символ 1 приписан только дугам, которые принадлежат ориен-
тированной цепи, исходящей из корня и соответствующей входно-
му слову 010110111011110...; остальным дугам дерева приписан 0.)
1.17. 1) Пусть Da,в — нагруженное дерево веса г 1. Доказать,
что для каждой его вершины найдется эквивалентная ей вершина
ранга не выше г — 1.
2) Пусть г > 2. Показать, что в задаче 1) заменить г — 1 на г — 2,
вообще говоря, нельзя.
1.18. Пусть все вершины нагруженного дерева Da,в разбиты
обычным образом на классы эквивалентности. Доказать, что, каков
бы ни был класс эквивалентности дерева Da,b, в нем существует
такая вершина v, что в ориентированной цепи, исходящей из корня
дерева и оканчивающейся в вершине v, все вершины попарно не
эквивалентны.
1.19. Найти мощности следующих множеств:
1) множество всех отображений вида /: {0, 1}^ —>{0, 1}^, завися-
щих от (фиксированной) переменной х\;
2) множество всех одноместных д. функций вида /: {0, 1}^ —>
—> {0, 1}^, зависящих от (фиксированной) переменной
3) множество всех одноместных о.-д. функций вида /: {0, 1}^ —>
—> {0, 1}^, зависящих от переменной х%\
4) множество всех автономных функций (см. задачу 1.15), принад-
лежащих множеству Р2 д и зависящих от переменной х^;
5) множество всех порожденных д. функций (см. задачу 1.11),
принадлежащих множеству Р%\ 9 где п 1, и зависящих от перемен-
ттт TV /р /р /р •
X1JD12V JU 1 5*^2 5 ••• fl
6) множество всех функций из зависящих от переменной
и удовлетворяющих следующему условию: в соответствующих им
деревьях, начиная с Z-ro яруса, стоят только нули (здесь I 1 и
фиксировано);
7) множество всех функций из Р^д, зависящих от переменной х±
и таких, что в соответствующих им деревьях единицы могут стоять
только на дугах, принадлежащих цепи, отвечающей входному сло-
ву 6Ш;
8) множество всех функций из Р^, зависящих от переменной х%
и удовлетворяющих следующему условию: в соответствующих им
деревьях число единиц конечное (хотя может быть сколь угодно боль-
шим);
9) множество всех функций из Р^^ зависящих от переменной х%
и таких, что в соответствующих им деревьях в любой цепи, вы-
ходящей из корня, две единицы не могут быть приписаны соседним
дугам;
10) множество всех функций из Р21’д? зависящих от переменной х%
и таких, что в каждом ярусе соответствующих им деревьев:
а) находится только один нуль (остальные выходные символы —
единицы);
б) число нулей равно 2;
в) число нулей равно числу единиц;
г) число нулей меньше числа единиц.
§ 2. Диаграммы, таблицы, канонические уравнения,
схемы
1. Диаграммы Мура, канонические таблицы и каноничес-
кие уравнения. Пусть Q = {Qo, Qi, ..., Qw-i} — множество всех
состояний функции f из Ра,в,од- Сопоставим функции f ориентиро-
ванный граф Гf, задаваемый следующим образом:
1) множеством вершин орграфа Гf является множество Ew =
= {0, 1, ..., w — 1}, причем считается, что вершина j соответствует
состоянию Qj ]
2) если и — остаточные функции, реализуемые соот-
ветственно состояниями Qi и Qj, и является остаточной функ-
цией функции порождаемой словом х1 = а, причем ф^(ахш) =
= 6/^(F), то в орграфе Гу имеется дуга (г, J), и ей приписывается
выражение а(Ь),
3) дуга (г, J) существует в Гу только при выполнении условий
п. 2).
Вершина из Гу, соответствующая начальному состоянию функ-
ции /, обычно отмечается звездочкой. Пусть из вершины i в вершину j
идут т дуг, которым приписаны выражения (bi), «2 (Ь?)? 9 ат(Ьш)
(здесь обязательно ар / aq при р ф q, но некоторые или все сим-
волы bs могут совпадать друг с другом); тогда будем соединять г
с j только одной дугой (г, j) и будем приписывать ей все выраже-
ния ap(bp) (р = 1, 2, ..., т). Орграф Г у называется диаграммой Мура
функции f.
Две вершины v± и V2 диаграммы Мура называются эквивалент-
ными, если всем вершинам диаграммы можно так сопоставить нату-
ральные числа (номера), что будут выполняться следующие условия:
а) номера вершин и и? совпадают; б) если щ и U2 — две про-
извольные вершины с одинаковыми номерами, то, каков бы ни был
входной символ а, дуги (ui, w±) и (и2, W2), соответствующие ему,
имеют одинаковую пометку а(Ь) и концы этих дуг, т.е. вершины w±
и W2, имеют одинаковые номера.
Операция склеивания (эквивалентных) состояний состоит в сле-
дующем: вершины с одинаковыми номерами «стягиваются» в одну
вершину, а появляющиеся при этом параллельные*) одинаково по-
меченные дуги заменяются одной дугой (с тем же направлением),
несущей ту же пометку.
Вершина и диаграммы Мура называется достижимой из (началь-
ной) вершины и, если существует ориентированная цепь, выходящая
из вершины и и заходящая в вершину и. Начальная вершина считается
по определению достижимой.
*) Дуги в ориентированном графе называются параллельными, если они
соединяют одни и те же вершины и их направления совпадают.
Операция исключения (удаления) недостижимых вершин состоит
в удалении из диаграммы всех вершин, не являющихся достижимыми.
Диаграмма, в которой нет ни одной пары эквивалентных вершин и все
вершины достижимые, называется приведенной диаграммой.
Недостижимые вершины можно найти, просматривая в диаграмме
все ориентированные цепи, выходящие из начальной вершины. Эк-
вивалентность вершин можно устанавливать, используя непосредст-
венно определение эквивалентных вершин или строя по диаграмме
информативное дерево, соответствующее ей (и той о.-д. функции,
которую эта диаграмма описывает).
С помощью информативных деревьев легко устанавливается спра-
ведливость следующих утверждений.
а) Операция исключения недостижимых вершин в диаграмме
Мура о.-д. функции приводит к диаграмме, реализующей ту же
функцию.
б) Операция склеивания эквивалентных вершин, примененная к
диаграмме Мура о.-д. функции, приводит к диаграмме, реализующей
ту же функцию.
в) Число вершин в приведенной диаграмме Мура о.-д. функции
равно весу этой функции.
С диаграммой Г у функции f можно связать две функции:
a) F: А х Q В (функция выходов);
б) G: А х Q Q (функция переходов).
Функции F и G по орграфу Гу определяются так: по паре (a, j)
находим вершину j и такую дугу, исходящую из у, которой приписан
входной символ а (пусть эта дуга есть (j, I)); значением функции F
на паре (a, j) является выходной символ, приписанный дуге (j, I) и
стоящий в скобках за символом а; значение функции G на паре (a, j)
совпадает с Z, т.е. равно «номеру» того состояния, которое «является
концом» дуги (j, I).
Система уравнений
y(t) = F(x(t), q(t - 1)),
9(i) = GHi),g(i-l)), (1)
g(0) = %,
где x(t) G A, y(t) G B. q(t) G Q (t = 1, 2, ...) и g0 G Q. называется
каноническими уравнениями функции (оператора) f с начальным
условием Qo-
С помощью диаграмм Мура и канонических уравнений можно
задавать и такие детерминированные функции, которые не являются
ограниченно-детерминированными. Множество вершин орграфа Гу,
соответствующего такой д. функции, совпадает с расширенным на-
туральным рядом N = {0, 1, 2, ...}. («Орграф» определен в гл. VI.)
Если / — о.- д. функция, то функции F(x(t), q(t — 1)) и G(x(t),
q(t — 1)) (см. систему (1)) и аргументы, от которых они зависят,
принимают конечное число значений. Поэтому возможно табличное
задание о.-д. функции / с помощью так называемой канонической
таблицы (табл. 4.1).
Таблица 4.1
®(t) q(t - 1) y{t - 1) «(*)
а э F(a, j) G(«, j)
Вместо канонических уравнений (1) бывает удобно рассматривать
такие канонические уравнения, в которых функции выходов и перехо-
дов являются функциями А;-значной логики (к 2). Для получения
соответствующего представления функции / алфавиты А, В и Q
кодируются векторами (наборами), координаты (компоненты) кото-
рых принадлежат множеству = {0, 1, ..., к — 1} (к 2). Если / —
о.-д. функция и п =] log,. |А|[, m=]logfe|B|[, г =] logfc |Q|[, то для
кодирования букв из алфавитов А, В и Q достаточно взять векторы
(с координатами, принадлежащими Е^), имеющие длины п, т и г
соответственно*) .
Система (1) преобразуется тогда в следующую:
2/i(i) = F1(x1(t), ..., xn(t), qi(t- 1), qr(t- 1)),
Ут(^) — Гт(жх (t), ..., q± (t 1), ..., qr(t 1)),
qi G) =Gi(x1(t), xn(t), qi(t- 1), ..., qr(t - 1)), (2)
qr(t) = Gr(®i(i), ..., xn(t), q\(t - 1), ..., qr(t - 1)),
Qi(O) = ?oi, •••, 9r(O) = ?or-
Используется также векторная запись систем, аналогичных системе
(2). При такой записи система (2) примет вид
y(m)(Z) = F(m)(x(n)(t), qW(t - 1)),
q«(t) = G«(xW(t)>qW(t-l)), (3)
q{r)(0) = q^’.
Функции Ei и Gi в системе (2) являются, вообще говоря, частич-
ными, т. е. не всюду определенными. Обычно их доопределяют так,
чтобы правые части уравнений в (2) имели по возможности более
простой вид.
Каноническая таблица, задающая о.-д. функцию /, соответствую-
щую системе (2), имеет т + п + 2г столбцов и кп+г строк.
Уравнения системы (2) называются каноническими уравнениями
в скалярной форме, а уравнения из системы (1) — каноническими
уравнениями в векторной форме.
*) Если д. функция f не является ограниченно-детерминированной,
то г = оо.
Можно считать, что система (2) определяет функцию из мно-
Ъ тт •
Пример 1. Построить диаграмму Мура, каноническую таблицу
и канонические уравнения для функции f(x)^ = g/(l)g/(2)... y(t)...
(из Р^д):
\ ЛЛ _ Г0 ПРИ * = О ЛЛ _ I 1 ПРИ t=1’
а) у( ) - |1 при 1^2; У ~ |i(l) при t 2;
ч /,ч Гx(t) при t нечетном,
в) y(t) = < ч
[x(t — 1) при t четном.
Решение, а) Построив три яруса информативного дерева задан-
ной функции (рис. 4.5), видим, что все вершины дерева разбиваются
на два класса эквивалентности: первый класс содержит только вер-
шину 0, а второй — все остальные вершины. Следовательно, вес
рассматриваемой функции равен 2, и диаграмму Мура для нее можно
построить, отождествляя в «усеченном» дереве, изображенном на
рис. 4.6, вершины 1, 2, 3, 4 и «восстанавливая» входные символы,
соответствующие ребрам этого дерева.
Диаграмма Мура заданной функции приведена на рис. 4.7. (Вместо
двух дуг, идущих из вершины 0 в вершину 1, мы изобразили на
рисунке только одну, приписав ей два выражения: 0(0) и 1(0). Анало-
гично мы поступили и с дугами-петлями, исходящими из вершины 1.
Начальное состояние помечено звездочкой.)
Используя диаграмму Мура, строим таблицу. В качестве «вход-
ной» и «выходной» переменных возьмем Xi(t) и yi(t) (а не x(t) и £/(£),
Таблица 4.2
Ж1(£) g(t- 1) yi(0 9(0
0 0 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 1 1 1
чтобы явно подчеркнуть содержательное отличие переменных из
первоначального задания рассматриваемой функции от перемен-
ных, входящих в ее канонические уравнения). В качестве переменной
9 Т.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
для описания состояний берем q(t — 1) (на «входе») и q(f) (на «выхо-
де»). Каноническая таблица функции — табл. 4.2.
Из таблицы следует, что yi(t) = q(t — 1) и q(t) = 1. Значит, кано-
нические уравнения и начальное условие заданной функции таковы:
yi (*) = q(t -1),
= 1,
<?(0) = о.
б) Для нахождения веса функции и построения диаграммы Мура
достаточно изобразить три яруса ее информативного дерева (рис. 4.8).
ности. Второй класс образуют вершины 1, 3, 4, ... Третий класс —
вершины 2,5,6,... «Усеченное» дерево и диаграмма Мура приведены
на рис. 4.9 и рис. 4.10.
Построим таблицу. В качестве «входной» переменной возьмем ж(£),
а в качестве «выходной» — y(t)- Для описания состояний берем
переменные qi(t — 1), Q2(£ — 1) (на «входе») и Qi(tf), qz(t) (на «выходе»).
Состояние 0 кодируем парой (0, 0), т.е. qi = qz — 0, состояние 1 ко-
Таблица 4.3
*(0 «1 (* -1) 92 (t - 1) 91 (0 92 (i)
0 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0
0 1 1
1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 0
1 1 1
дируем парой (0, 1), т.е. q± =0, qz = 1, и состояние 2 — парой (1, 0),
т.е. Qi = 1, qz = 0. Каноническая таблица функции — табл. 4.3.
В таблице выписаны все наборы значений переменных ж(£),
Qi(t — 1), qz(t — 1). Для q± = qz = 1 соответствующего состояния в
рассматриваемой диаграмме нет. Из-за этого функции, «описываю-
щие» y(t), Qi(t) и являются частичными (не всюду определен-
ными) булевыми функциями. Мы их доопределим каким-либо обра-
зом; например, как в табл. 4.4.
Таблица 4.4
®(0 Q10 - 1) «2^ - 1) 2/(0 «00 «2(0
0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 0 1
Указанное доопределение дает достаточно простые представле-
ния переменных y(t), Qi(t) и q2(£) (как булевых функций от пере-
менных x(t), qi(t — 1) и q2(t — 1)): y(t) = q2(t — 1), Qi(t)=x(t)-
• Qi(t - 1) V x(t) -q2(t - 1), Q2(f) = • qr(t - 1) V x(f) • q2(t - 1). Тем
самым канонические уравнения нами получены. Остается выписать
начальное условие. Оно имеет вид Qi(0) = q2(0) = 0.
в) Достаточно построить четыре яруса информативного дерева
(рис. 4.11). Все вершины дерева разбиваются на три класса эквива-
лентности: первый класс содержит вершины 0, 3, 4, 5, 6, ..., второй
Рис. 4.11
класс — вершины 1, 7, 9, 11, 13, ..., третий класс — вершины 2, 8,
10, 12, 14, ... Вес рассматриваемой функции равен 3.
«Усеченное» дерево и диаграмма Мура изображены на рис. 4.12
и рис. 4.13. Каноническая таблица (с доопределенными значениями
соответствующих функций) — табл. 4.5.
Состояния закодированы нами традиционным образом: состоя-
нию 0 сопоставлена пара (0, 0), т.е. q± = q2 = 0 , состоянию 1 сопос-
тавлена пара (0, 1), т.е. Qi = 0 и q2 = 1, состоянию 2 — пара (1, 0),
т.е. Qi = 1 и q2 = 0.
Таблица 4.5
®(0 91(i - 1) g2(t- 1) у(0 91(0 92 (0
0 0 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
Канонические уравнения и начальное условие имеют следующий
ВИД' Z/(0 = x(i) q2(t - 1) V x(f) -q^t - 1),
91(0 = x(t) -q^t - 1) -q2(t - 1),
9г(0 = ®(0 -q^t- 1) -q2(t- 1),
<Zi(0) = q2(0) = 0.
Пример 2. Для каждой диаграммы, изображенной на рис. 4.14,
построить приведенную диаграмму.
Решение, а) Рассматривая диаграмму, нетрудно заметить, что
вершины 3 и 4 не достижимы из начальной вершины 0. Удаляя их,
получаем диаграмму, изображенную на рис. 4.15. Исходя из этой
(новой) диаграммы строим несколько ярусов соответствующего ин-
формативного дерева (рис. 4.16; достаточно неполных четырех яру-
сов). Изображенный фрагмент дерева позволяет сделать заключение
об эквивалентности вершин 1 и 2. Склеивая эти вершины, получаем
диаграмму, представленную на рис. 4.17. Эта диаграмма приведенная,
так как обе ее вершины достижимые и не эквивалентны друг другу
(хотя бы потому, что дуга, выходящая из вершины 0 и соответст-
вующая входному символу 0, помечена выходным символом 0, а дуга
с таким же входным символом, выходящая из вершины (1, 2), имеет
метку 1).
Эквивалентность вершин 1 и 2 в диаграмме, изображенной на
рис. 4.15, можно обосновать также следующим образом: 1) дуги,
соединяющие вершины 1 и 2 между собой, помечены одинаково (на них
стоят метки 1(0)); 2) дуги с меткой 0(1), выходящие из этих вершин,
заходят в одну и ту же вершину 0; следовательно, вершины 1 и 2
эквивалентны (в силу определения эквивалентных вершин).
б) В диаграмме не достижимы вершины 3 и 4. После удаления их
получаем диаграмму, изображенную на рис. 4.18. Фрагмент информа-
тивного дерева, соответствующего этой (новой) диаграмме, показан
на рис. 4.19 (достаточно трех ярусов). Ясно, что вершины 1 и 2 экви-
валентны. Склеивая их, получаем приведенную диаграмму (рис. 4.20).
Пример 3. Для частично определенной функции f(xw): {0, 1}^ —>
—> {0, 1}^, отображающей заданные последовательности в заданные,
построить (если это возможно) диаграмму Мура с конечным и по
возможности меньшим числом вершин. Затем полученную диаграмму
доопределить до диаграммы Мура всюду определенной о.-д. функции
7-)1,1
И3 ^2, од’
а) /(0[001]ш) = 1[0]" и /(l[100]~) = [01]~;
б) /([ПО]") = 0[001]^ и /(1[10]") = 00[011]".
Решение, а) Так как у заданных входных последовательнос-
тей первые символы (т.е. префиксы длины 1) разные, то исходная
частично определенная функция может быть продолжена до всюду
определенной д. функции. Далее, нетрудно заметить, что заданные
входные и выходные последовательности квазипериодические.
Значит, исходную частичную функцию можно доопределить до
о.-д. функции. (Если приведенные в условии задачи соотношения пе-
реписать в виде /(0[001]") = 1[000]^ и /(1 [100100]") = 0[101010]", то
становится очевидным, что вес подходящей о.-д. функции не больше,
чем 1 + 3 + 6 = 10. Здесь 1 — общая длина пред периодов в новой
записи всех четырех входных и выходных последовательностей, а 3
и 6 — общие длины периодов у последовательностей соответственно
из первого и второго соотношений.)
Мы вначале не будем пытаться найти диаграмму Мура с мини-
мально возможным (или хотя бы с не очень большим) числом вершин,
а просто будем строить какую-нибудь подходящую диаграмму, со-
ответствующую всюду определенной д. функции, перерабатывающей
заданные входные последовательности в заданные выходные последо-
вательности.
Для достижения этой цели действуем следующим образом: сначала
изобразим часть диаграммы, реализующую соотношение /(OfOOl]^) =
= 1[0]~, а затем добавим к ней часть, отвечающую равенству
/(lflOO]^) = [01]". Так как соотношение /(0[001]") = 1[0]" можно
записать в виде /(0[001]") = 1[000]^, то имеем x(i + 3Z) = х(г) и
у (г + 3Z) = у (г) при г = 2, 3, 4, ... и Z = 1, 2, ...
Отсюда следует, что данное соотношение можно реализовать
4-вершинной диаграммой с циклом длины 3 (рис. 4.21). Аналогич-
но)
0 12 3
Рис. 4.21
0(0)
Л(0) r/A 0(0X0(1)rt1(0)rP^
0 4 5 6 7 8 9
Рис. 4.22
но поступаем со вторым соотношением. Его можно записать так:
/(1 [100100]") = 0[101010]". Следовательно, имеем x(j + 6m) = x(j) и
y(j + 6m) = y(j) при j = 2, 3, 4, ... и m = 1, 2, ..., а поэтому рас-
сматриваемое соотношение можно реализовать 7-вершинной диаграм-
мой с циклом длины 6 (рис. 4.22).
Далее «склеиваем» две построенные диаграммы в «начальной»
получившуюся при этом «частичную»
вершине 0 и доопределяем
Рис. 4.23
диаграмму подходящим способом до
диаграммы всюду определенной о.-д.
функции. Приходим, например, к диаг-
рамме, изображенной на рис. 4.23. Эта
диаграмма имеет 10 вершин.
Детально проанализировав взаимо-
связи между входными и выходными
последовательностями, указанными в
условии задачи, и учтя структурные
особенности этих последовательнос-
тей, можно построить более «эконом-
ную» (по числу вершин) диаграм-
му, реализующую заданное частичное
отображение.
Рис. 4.24
На рис. 4.24 приведены три 5-вершинные (а—в) и одна (г) 6-вер-
шинная диаграммы, реализующие заданную частично определенную
функцию.
б) Входные последовательности можно записать так: [110]^ =
= HOlflOl]^ и IflO]^ = llOlfOl]^. Отсюда следует, что их префиксы
длины 4 совпадают (а соответствующие префиксы большей длины
попарно отличны друг от друга). Значит, прежде чем строить диа-
грамму, надо проверить, совпадают ли префиксы длины 4 у заданных
выходных последовательностей (если эти префиксы различные, то не
будет выполняться условие детерминированности).
Запишем заданные выходные последовательности в иной форме:
0[001]^ = 0001[001]^ и 00[011]^ = 0001[10ф. Теперь очевидно, что
у этих последовательностей префиксы длины 4 одинаковые. Соот-
ношения /(HOlflOl]^) = OOOlfOOl]^ можно реализовать диаграммой,
имеющей только две вер-
шины (рис. 4.25). Однако
«расширить» эту диаграм-
му таким образом, что-
бы реализовывалось и со-
отношение /(1101 [01]") =
1(1)
Рис. 4.25
1(0)
Рис. 4.26
= 0001 [101]", не удается.
Поэтому для получения возможности одновременной (совместной)
реализации обоих соотношений надо более гибко строить части иско-
мой диаграммы, помня о том, что предстоит «склеивать» их. В нашем
случае каждая из двух частей диаграммы должна иметь одинаковое
«начало», соответствующее общему префиксу (длины 4) двух задан-
ных входных последовательностей. (Кроме того, полезно принять во
внимание, что общее наименьшее кратное длин периодов заданных
входных и выходных последовательностей равно 6.)
Подходящая диаграмма для соотношения/(1101 [101]^) = OOOlfOOl]^
изображена на рис. 4.26. Диаграмма, реализующая соотношение
/(1101 [01]") = 0001[101]" и приспособленная для склейки с предыду-
щей диаграммой, изображена на рис. 4.27.
При ее построении использовался, как обычно, «полный перебор»
возможных случаев. Покажем подробнее, как это делалось. До верши-
ны 2 диаграмма совпадает с предыдущей и реализует преобразование
Рис. 4.27 Рис. 4.28
префикса 1101 в префикс 0001 (дуга (1, 0), изображенная на рисун-
ке штриховой линией, для реализации соотношения /(1101 [01]") =
= 0001 [101]" не нужна, но ее следует учитывать при построении диа-
граммы). Далее выясняем, можно ли «направить» дугу из вершины 2
с нужной нам меткой 0(1) в какую-либо из имеющихся вершин 0, 1
или 2. Если эта дуга будет входить в вершину 0, то слово 010 будет
преобразовываться в слово 100 (при «движении» по диаграмме из
вершины 2), а нам нужно иметь слово 101. Следовательно, в вершину 0
эту дугу направить нельзя. Не может заходить рассматриваемая дуга
и в вершину 1, так как иначе слово 01 преобразовалось бы в слово 11
(а мы должны иметь слово 10). Делать эту дугу петлей в вершине 2
также нельзя, ибо в противном случае имеем следующее: слово 010
преобразуется в слово 100 (а нам нужно слово 101).
Итак, дуга, выходящая из вершины 2 и имеющая метку 0(1),
должна заходить в «новую» вершину 3. Далее смотрим, куда можно
направить дугу из вершины 3 с меткой 1(0). Легко убеждаемся в том,
что ни в одну из вершин 0, 1 или 2 эту дугу вести нельзя, но сделать
ее петлей в вершине 3 можно.
Затем выясняем, куда можно направить дугу из вершины 3 с
меткой 0(1). Оказывается, что для этой дуги нужна новая вершина 4.
Наконец, нетрудно проверить, что дугу с меткой 1(1), выходящую
из вершины 4, можно направить в вершину 0.
После «склеивания» двух построенных диаграмм в вершинах 0,
1 и 2 остается подходящим способом доопределить получившуюся
«частичную» диаграмму до диаграммы всюду определенной функции.
На рис. 4.28 изображена одна из таких диаграмм.
Пример 4. Найти вес о.-д. функции / из Т^од? заданной канони-
ческими уравнениями:
f- s
y(t) = -1),
91(0 = x(t) ~ Qi(t — 1),
92(f) = 9i(t — 1) Ф q2(t - 1),
91(0) = 1, g2(0) = 0.
Решение. Эту задачу можно решать путем построения инфор-
мативного дерева функции /. Однако мы поступим иначе: сначала
Таблица 4.6
®(t) 91 (i -1) 92(t - 1) ?/(0 91(0 92(f)
0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1
0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 1 0
построим для функции f каноническую таблицу, затем по таблице
построим диаграмму Мура и, наконец, получим из нее приведенную
диаграмму. Число вершин в приведенной диаграмме равно весу функ-
ции f (см. задачу 2.3.3). Каноническая таблица функции / — табл. 4.6.
Диаграмма Мура функции f изображена на рис. 4.29. Анализируя
ее, получаем: состояние 00 эквивалентно состоянию 01, а состоя-
Рис. 4.29 Рис. 4.30
Следовательно, вес функции f равен 2. Нетрудно видеть, что пе-
ременная Q2 является фиктивной: функция / эквивалентна (по своему
функционированию) функции следующей задаваемой канонически-
ми уравнениями и начальным условием:
( У^) = x(t)-q(t-l),
9(f) = x(t) ~ q(t - 1),
9(0) = 1.
Вес функции /' равен 2.
2. 1. Построить диаграмму Мура, каноническую таблицу и канони-
ческие уравнения для функции /(Р) = ?/(1) у (2) ... y(t)... из ^’од1
1) 2/(С = 5 1 1 при t = 1, 1 x(t — 1) —> x(i) при t 2;
2) 3/(0 = | 0 при t = 1, \x(t — 1) —> y(t — 1) при t 2;
з) у(С = | 1 при t = 1, [y(t — 1) • x(t) при t 2;
4) 2/(С = 5 1 1 при t = 1, 2, x(2) при t 3;
5) 3/(0 = j | ж(1) при t = 1, \x(t — l)®x(t) при t 2;
6) y(t) = j | x(t) при t = 1, 2, 1 x(t — 1) при t 3;
7) 3/(0 = j | ж(2), если t = 2, 1 1 в остальных случаях;
8) 3/(0 = j [ ж(1) -4- x(t), если t = 1, 2, 3, 1 0 в ином случае;
9) y(t) = j 1 ж(1) при t = 1, 1 y(t — 1) V x(t) при t 2;
10) y(t) = j ж(1), если t = 1, 2, — 2) ф y(t — 1), если £ 3;
И) y(t) = J 0, если t = 1 и t = 3, 1 ж(£), если t = 2 или t 4;
12) y(t) = J ж(1) при t = 1, — 1) • x(t) при t 2;
13) y(t) = J 1 при t = 1, —l)Vx(t) при t 2;
14) 3/(0 = j ж(1) при t = 1, 1 y(t — 1) Ф x(t) при t 2;
{x(t), если t нечетное,
л ’
О, если t четное;
{x(t). если t нечетное,
y\t — 1) ф x\t), если t четное;
{x(tV если t нечетное,
ж(1) —> y(t — 1), если t четное;
18) /(£") = 0ж(2) [ф; 19) f(x“) = ж(1) ж(2) [(ф;
20) /(Jw) = Оф) [Оф; 21) /(£") = ф!) Оф
0^, если хш = б“,
22) = < О1 [ф, если 1^, если х^ f , если х“ хш = б;1ж(/+ 2) ж(/+ 3)... и/^1, = 1ж(2) ж(3)... ; = 0^ или хш = 1^,
23) Д^) = < lz [0]ф если х' = 011х(1 + 2) х(1 + 3)... или v = I10ж(/ + 2) х(1 + 3)..., где 1 1
24) y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 5/7;
25) y(t) есть (£ + 1)-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 1/9;
26) y(t) есть (t + 2)-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа 11/15;
27) y(t) есть (t + 1)-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа ф)/5;
28) y(t) есть (t + 2)-я цифра после запятой в двоичном разложении
числа Зф)/7;
29) y(t) есть t-я цифра после запятой в двоичном разложении чис-
ла (ф) + 1)/3;
30) y(t) =
ж(1) при t = 1,
ж(1) • ж(2) при t = 2,
(y(t — 2) ф x(t)) • x(t — 1) при t 3;
ж(1) при t = 1,
31) y(t) = ж(1) + ж(2) при t = 2,
x(t — 2) ф x(t — 1) ф x(t)
при t 3;
ж(1) при t = 1,
32) y(t) = < ж(2) ж(1) при t = 2,
0, если t = 1,
33) y(t) = < x(t — 1) —> x(t), если t четное,
x(t) в ином случае;
ж(1), если t = 1,
34) y(t) =
< x(t — 1),
,y(t- 1)
если t 3 и нечетное,
в ином случае;
35) y(t) =
36) y(i) =
37) y(t) =
0, если
1, если
t = 3.s — 2 и
t = 3s — 1 и
x(t) в ином случае;
1, если t = 3s — 2 и s 1,
< x(t — 1), если t = 3s — 1 и s 1,
y(t — 1) x(t) в ином случае;
0, если t = 1,
< ж(£), если t = 3s — 2 и s 2,
x(t — 1) • y(t — 1) в ином случае;
1, если £ = 4s + 1 и s 0,
ж(^), если £ = 4s + 2 и s > 0,
ж(^), если £ = 4s + 3 и s 0,
ч 0 в ином случае;
' x(t), если £ = 4s + 1 и s 0,
x(t — 1), если t = 4s + 2 и s 0,
y(t — 1), если t = 4s + 3 и s 0,
к y(t — 1) • x(t) в ином случае;
40) y(t) = <
0, если t = 4s + 1 и s 0,
x(t — 1)фж(^), если £ = 4s + 2 и s 0,
y(t — 1) ф ж(£), если t = 4s + 3 и s 0,
^x(t — 1) ф y(t — 1) в ином случае.
2.2. Для каждой из диаграмм построить приведенную диаграмму:
1) рис. 4.31, а; 2) рис. 4.31, б; 3) рис. 4.31, в; 4) рис. 4.31, г;
Рис. 4.31
5) рис. 4.31, д\ 6) рис. 4.31, е; 7) рис. 4.31, ж; 8) рис. 4.31, з;
9) рис. 4.31, и\ 10) рис. 4.31, к; 11) рис. 4.31, л.
2.3. Доопределить частичную диаграмму таким образом, чтобы
новой диаграмме соответствовала о.-д. функция указанного веса г:
1) рис. 4.32, а; г = 2; 2) рис. 4.32, б; г = 2; 3) рис. 4.32, в; г = 2;
Рис. 4.32
4) рис. 4.32, г; г = 2; 5) рис. 4.32, д; г = 3: 6) рис. 4.32, е; г = 3;
7) рис. 4.32, ж; г = 4; 8) рис. 4.32, з; г = 4.
2.4. Найти вес о.-д. функции f из Р2 од> заданной каноническими
уравнениями:
'y(t) = ®(t) -> gi(t - 1)- q2(t - 1),
n f. 9i(i) = 9i(t - 1) 9г(* - 1),
' 'I 9г(£) = q2(.t - 1) -> qi(t - 1),
Q1(0) = ?2(0) = l;
' y(t) = x(t) ®gi(t - 1),
t. 91W = x(ty q2(t-\),
)r g2(*) = 9i(*-i),
^i(O) = 1, 9г(0) =0;
'y(i) = 91G - 1),
f. 91 (i) = 92(i - 1) 9i(t - 1),
92^)=^),
Л1(°) = °> 9г(0) = 1;
' У(t) = V q^t- 1),
4\ f. 91W = x(t) ®q2(t - 1),
J' qi{i) = x(t)-qi(t - l)-<Z2(i - 1),
[9i(0) = g2(0)=0;
' y(t) = Qi(t - 1) -> 9г(£- 1),
f. J Ql (0 = 92G“ 1),
I 9г(£) = ^(t) -> 91 (i- 1),
, 9i(0) = l, q2(0)=0;
' y(f) = x(t) ф 91 (t - 1) ®q2(t - 1),
m f. J 91W = 92(i - 1) -> 91 (i - 1),
I 926) = 91 (i - 1) -> %(t),
, 9i(0)= 92(0) = 0;
'y(i) =^(t)-9i(t - 1)- Q2(i - 1) ®9i(i - 1) • 9г(£ - 1),
7a f. J 9i(i) =^(^) V9i(t-l)-92(i-l),
| 92У) =S(t)-92(t- 1),
, 9i(0)=0, 92(0) = 1;
= s(t)-9i(i - 1) V g2(t - 1),
oa f. J 91W =9i(^-l) -> ®(i),
I 92 W = ^(t) -4-92(t-l),
, 9i(0) = 92(0) = 1;
'y(i) = x(t)-q1(t - 1) V x(t)-q2{t - 1),
QA f. J 91W =^(i)-9i(«-l)VT(t)-92(i-l),
I 92(i) =x(t)-(9i(t - 1) V 92(i - 1)),
,91(0) = 1, 92(0) =0;
' y(t) =qi(t- 1)- q2(t -1) -> ®(t),
1fA f. J 91 (i) = «(i),
J Z‘ 1 92(t) =92(t-l)©9i(t-l),
,9i(0)= 92(0) = 1.
2.5. Для частично определенной д. функции {0, 1}^ —>
—> {0, 1}^, отображающей заданные последовательности в заданные,
построить диаграмму Мура с возможно меньшим числом вершин;
затем полученную диаграмму доопределить до диаграммы Мура всю-
ду определенной о.-д. функции из -?2 од? и для эт°й новой функции
построить каноническую таблицу и канонические уравнения:
1) /(б“) = [01]“ И /([10]“) = 1“;
2)/([01]“) =0“ и /(1[10]“) = [001]“;
3)/([101]“) = [110]“ и /([010]“) = [1011]“;
4)/(1 [110]“) = 10 [001]“ и /(01 [100]“) = [101]“;
5)/(01 [10]“) = [100]“ и /(011 [110]“) = 100 [01]“;
6)/([1101]“) = [011]“ и /(1100 [1]“) = [0111]“;
7)/(111 [100]“) = 00 [001]“ и /(1 [1100]“) = 000 [1]“;
8)/([11000]“) = [010]“ и /(1100[1]“) =01[0]“.
2.6. Подсчитать число различных о.-д. функций из Т^од» У к0"
торых приведенная диаграмма Мура получается из указанного ори-
ентированного графа путем приписывания его дугам подходящих
меток вида где а и b принадлежат множеству {0, 1} (звездочкой
обозначается начальное состояние):
1) рис. 4.33, а; 2) рис. 4.33, б; 3) рис. 4.33, в; 4) рис. 4.33, е;
5) рис. 4.33, д: 6) рис. 4.33, е; 7) рис. 4.33, ж; 8) рис. 4.33, з;
9) рис. 4.33, щ 10) рис. 4.33, к; 11) рис. 4.33, л; 12) рис. 4.33, ж.
Рис. 4.33
2.7. 1) Доказать, что приведенные диаграммы Мура различных
о.-д. функций веса 2 из Р2 ’0 исчерпываются диаграммами, полу-
чающимися из ориентированных графов, изображенных на рис. 4.34,
Рис. 4.34
путем приписывания их вершинам меток 0 и 1, приписывания их
ребрам меток вида а(Ь), где а и b принадлежат множеству {0, 1},
и выделения подходящих вершин в качестве «начальных» (т.е. в
качестве вершин, соответствующих начальным состояниям).
2) Подсчитать число различных о.-д. функций из Р2’Од> имею-
щих вес 2.
2. Операции над детерминированными функциями. Пусть
д. функция / задана системой (2) (см. п. 1) и каждая из функций Fi
и Gi — всюду определенная функция &-значной логики (А; 2).
Будем рассматривать функцию f как элемент множества Р%'™-
Схема Tif, реализующая функцию f, определяется следующим
образом: Еу представляет собой сеть (определение сети см. в гл. VI),
полюсам которой приписаны символы входных и выходных пере-
менных, а некоторым вершинам, отличным от полюсов, приписаны
символы каких-то (вполне определенных и связанных с /) д. функций
(из множества U Схему функции / из Р^'™ будем изображать
XI о--->
Х2 °—;->
Хп О >
Рис. 4.35 Рис. 4.36
О Ут
о У1
° У2
Х1 О
Х2 О-
ю?/
в виде прямоугольника (рис. 4.35) с п входами (входными каналами)
и т выходами (выходными каналами). Входы изображаются в виде
стрелок, исходящих из входных полюсов, а выходы — в виде стрелок,
заходящих в выходные полюса. Полюса изображаются в виде кру-
жочков. Если т = 1, то схему Еу, реализующую функцию /, иногда
изображают в виде треугольника (рис. 4.36) с п входными и одним
выходным полюсами.
Считаем, что в каждый момент времени t = 1, 2, ... на г-й вход Xi
поступает входной символ Xi(t) Е Е^, а на j-м. выходе yj выдается
значение
%(0 = • • • > xn(t), qi(t - 1), ..., qr(t - 1)).
Говорят, что выход yj зависит с запаздыванием от входа Xi, если
функция Fj(~x^ (t), q^r\t — 1)) не зависит существенно от перемен-
ной Xi(t).
Понятие зависимости с запаздыванием можно ввести иначе.
Рассмотрим, например, случай д. функции вида ..., х^)\
А± х х ... х и определим зависимость с запаздыванием
от переменной . Функция / зависит с запаздыванием от х± , если
при любых входных словах 3^,3^, ..., (а1^ Е А“, j = 1, 2, ..., п)
s-я буква выходного слова IF = f(a^, ag, ..., а%) однозначно оп-
ределяется s первыми символами слов ag, ..., и s — 1 первыми
символами слова а“ (s = 1, 2, ...).
10 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Пусть д. функция / задана системой (2) и — схема, реали-
зующая эту функцию. Определим три операции над функцией / и
схемой Hf.
1) Операция О± — отождествление двух или большего числа
входных переменных в функции f и отождествление в схеме Е f
соответствующих этим переменным входных полюсов. Отождеств-
У1У2
Рис. 4.37
Ут
Рис. 4.38
ленные
полюса рассматриваются
как один
полюс новой
схемы.
На рис. 4.37 показана схема Еу/, которая получена из Еу отождеств-
лением полюсов х± и
2) Операция О2 — удаление некоторой выходной переменной yj
у функции / (что эквивалентно выбрасыванию из системы (2) урав-
нения yj(t) = Fj(-x(n\t\ q^r\t — 1))), и удаление из схемы Еу вы-
ходного канала и полюса, соответствующих выходной переменной yj
(на рис. 4.38 изображена схема Еу/, полученная из схемы Еу после
удаления выходного канала и полюса у±).
Замечание. Если т = 1, то, удаляя переменную у± (единствен-
ную выходную переменную), получаем автомат без выхода (его вес
считается неопределенным).
3) Операция О % — введение обратной связи по одной входной
и одной выходной переменным. Пусть в качестве входной перемен-
ной взята переменная а в качестве выходной — переменная yj.
Операцию Оз можно применить к функции / и схеме Еу только в
том случае, когда выход yj зависит с запаздыванием от входа х^.
Канонические уравнения для новой функции fr получаются исклю-
чением из системы (2) уравнения yj(t) = Fy(xW(£), q(r’(i-l)) и за-
меной переменной xi(t) в каждой функции Fq (g / j) и G/ на функ-
цию Fj(xi(t), ..., Xi-i(t), ^+i(t), . • •, xn(t), qr(t - 1), ..., qr(t - 1)),
получающуюся из функции Fy(x(n)(t), — 1)) отбрасыванием не-
существенной переменной Xi(t). Начальные условия остаются преж-
ними. Схема Еу/ получается из схемы Еу путем отождествления
выхода yj с входом при этом отождествленные полюса объявля-
ются внутренней вершиной схемы Sу/.
На рис. 4.39 показана схема Еу/, полученная из схемы Еу введе-
нием обратной связи по переменным #i, у±.
Рис. 4.39
д. функциями.
Замечание 1. Если п = 1, то,
вводя обратную связь по перемен-
ной Ж1 (и любой выходной перемен-
ной), получаем автомат без входа.
Замечание 2. Применяя пере-
численные выше операции, удобно
указывать в скобках (за обозначе-
ниями этих операций) те каналы
(полюса и переменные), к которым
операции применяются. Напри-
мер, 01(^1, ж3), О2(з/5), Оз(жю, Уг)-
Опишем еще три операции не
4) Операция О4 — операция объединения двух (или большего чис-
ла) функций. Пусть /1 € P^mi и /2 ^Тд7712, Предполагаем, что
эти функции имеют в качестве входных переменные х'г, х'2, ..., xfn
и ж'/, ^2, ..., х” соответственно, а в качестве выходных — пере-
менные у{, у'2, ..., у'т1 и у'{, у'2, ..., у'^. Считаем, что все эти пе-
ременные попарно различны. Пусть Ед и Ед — схемы функций Д
и Д соответственно. Тогда схема Еу функции /, равной объедине-
нию функций /1 и Д- будет выглядеть так, как показано на рис. 4.40;
при этом входными и выходными полюсами схемы Е^ являются
соответственно все входные и все выходные полюса схем Ед и Ед.
Канонические уравнения и начальные условия для функции / по-
лучаются путем объединения канонических уравнений и начальных
условий, задающих функции Д и Д. При этом предполагается, что
множества QH) и q(2) состояний функций Д и /2 не пересекаются.
5) Операция S — операция суперпозиции. Пусть Д е Ра,в,д и
/2 £ Рв,с,д- Суперпозицией Д(Д) функций Д и /2 называется такая
функция / G Рд,С,д? ЧТО /(2^) = Д(Д(£Ц;)) при любом входном сло-
ве хш из . Пусть fi е P^mi (г = 1, 2) , и им отвечают схемы Ед
и Ед. (Считаем, что входные и выходные переменные и состояния
функций fi и /2 такие же, как в предыдущем пункте.) Можно ввести
такую суперпозицию этих функций: отождествим, например, входной
полюс ж'/ схемы Ед с выходным полюсом у'1+1 схемы Ед, полюс х2
с полюсом у'1+2 и т.д., наконец, полюс с полюсом у'т1; получим
схему Ед (рис. 4.41), у которой:
а) входными полюсами будут все входные полюса схемы Ед и
входные полюса схемы Ед, не участвовавшие в указанной выше
процедуре отождествления;
б) выходными полюсами являются все выходные полюса схе-
мы Ед и те выходные полюса схемы Ед, которые не были отождест-
влены ни с одним входным полюсом схемы Е д.
Отождествленные полюса объявляются внутренними вершинами
схемы Ед Схема Е^ называется суперпозицией схем Ед и Ед (по
переменным у’1+1 - х", Д2 - х%, ..., у'т1 - Если функция Д
задается системой
3/1(0 = *iW), , q'i(t — 1), q'ri(t- 1)),
у'т1Х) = •••> 1), •••, Qr^t- i)),
q'M = G'^x'^t), x'ni (t), q'^t - 1), ..., Д (t - 1)), (4')
Д (t) = G'ri (4(t), ..., Ж'П1 (t), q'^t - 1), ..., Д (t - 1)),
Qi (0) = Qoi j • , (0) = Qon •
а функция /2 — системой
С*) = CWi W, • • •, CW, № - 1), • • •, QrAt - i)),
C W = C2 Wi W, • •, CW, C* - 1), • •, О - 1)),
q" W = CW'i'W, • • •, CW, q"(t - 1), , <?"(* - 1)), (4")
q"2W = CWi'W, • •, CW, q'^t - 1), • •, О - 1)),
<Zi(0) = C, ...,q"(o) = C2,
то функции f, реализуемой схемой Sy, соответствует такая система:
s4W = ^1'WiW, CW, q'At-1), •••, «гД*-1)),
у/W = #WW, • CW, q'i(t-1), q'ri(t -1)),
yl'W = C(Ci> • •, C, C-шW, • •
CW, qi(t-1), •••, Qr2(i-1)),
C2 W = C2 (Ci, • •, С, Cx -z+i W, •
• • •, xn2 W> ?iG — i), • • •, qr2G—1))>
Qi W = G'i Wi W, • •, CW, q'dt - 1), ..., q'ri(t ~ 1)),
9nW = CWiW, CW, q'dt-1), •••, q'ri(t- W,
91W = g'i'(Ci>---,C1,C1-hiW,---
CW, 9i(t- 1), Qr2(.t - 1)),
Qr2 (t) = Gr2 (Ft+1, ..., Fmi, xmi _/+i W, • • •
•••, CW, qi(.t-1), • ••, qr2(t-1)),
Qi (0) = Qoi, • • •, Qn (0) = 9ori, Qi (0) = Qoi, • • • i Qr2 (0) = Qor2 ’
vaeF^ =F^x'1(t), x'ni(t), q'^t-1), ..., q'ri (t-1)), j = I + 1, ..., mi-
6) Операция 0$ — операция разветвления (некоторого выхода
о.-д. функции). Пусть / — функция из и Sy — реализующая ее
схема. Результатом применения операции О5 к выходу yj функции /
и схемы Sy являются функция ff и схема Sy/ такие, что:
а) канонические уравнения, задающие функцию получаются из
канонических уравнений, описывающих функцию /, заменой уравне-
ния yj(t) = Fj(x(n)(t), c£r\t — 1)) совокупностью уравнений y'js(t) =
= Fj(x(n)(t), q(r\t — 1)) (s = 1, ..., v) (если выход yj разветвился
на v выходов y'jr, ..., y'jv);
б) схема Tif получается из схемы разветвлением канала (и
полюса) yj на соответствующее число «одинаково работающих»
Рис. 4.42
каналов т/д, ..., y'-v^ каждый из которых реализует ту же функцию,
что и канал yj в схеме Еу (рис. 4.42).
Из определения операций (Д, 0%, О4, О5 и S немедленно
вытекают следующие утверждения:
а) если i = 1, 2, 3, то вес функции Д, полученной из функции /
с помощью операции не превосходит веса функции f (здесь, ес-
тественно, предполагается, что у функции f имеется хотя бы одна
выходная переменная; иначе ее вес был бы неопределенным);
б) вес функции Д полученной из функции /1 и /2 с помощью опера-
ции О4 (операция объединения), равен произведению весов функций Д
и Д;
в) вес функции Д, полученной из функции / с помощью опера-
ции О5 (операция разветвления), равен весу функции Д
г) вес функции Д полученной из функций Д и Д с помощью
операции S (операция суперпозиции), не превосходит произведения
весов функций Д и Д.
Справедливы и такие предложения:
1) если целые числа г± и г 2 удовлетворяют неравенствам 1
ri Г2, то существуют о.-д. функции fi и Д, веса которых рав-
ны соответственно г± и Г2, и при этом функция Д получается из
функцииД с помощью операции Oi (г = 1, 2, 3);
2) если целые числа го, Г\ и Г2 удовлетворяют неравенствам
1 го то существуют о.-д. функции Д, Д и Д, веса кото-
рых равны соответственно го, ri и Г2, и при этом функция Д есть
суперпозиция функций Д и Д.
Нетрудно показать, что операция О5 порождается операциями 6Д,
О2 и О4, а именно, если о.-д. функция Д получена из о.-д. функции /
с помощью операции О5, то функцию ff можно реализовать над мно-
жеством {/} (т.е. используя, вообще говоря, несколько экземпляров
функции /) с помощью операций 6Д, О2 и О4.
Элементом единичной задержки (или, короче, единичной задерж-
кой) в множестве называется о.-д. функция задаваемая
системой
2/(0 = q(t - 1),
q(t) = x(t),
?(0) = 0.
(6)
На «языке последовательностей» единичная задержка описывается
следующим соотношением:
Диаграммы Мура единичных задержек для к = 2, 3, 4 изображены
на рис. 4.43. Вес единичной задержки из множества Рь.а равен к.
Схему, реализующую единичную задержку, будем изображать так:
: х ш о->| 3 |—»о Ож ш .
Справедливо следующее утверждение: всякая о.-д. функция
из Р/с,од может быть реализована схемой над таким множеством,
которое содержит:
1) схемы, реализующие элемент единичной задержки;
2) схемы, реализующие функции, порожденные функциями из не-
которой полной в системы.
Иными словами, любое множество о.-д. функций из Рд,,од? состоя-
щее из элемента единичной задержки и функций, порожденных функ-
Рис. 4.43
циями из некоторой полной в Рк системы, образует полную в РкЛт
систему относительно совокупности операций {Oi, О2, Оз, О4, S}.
Пример 5. Найти веса о.-д. функций, получающихся из о.-д.
функции / с помощью операции отождествления, примененной к
всевозможным парам входных переменных xi, х% и х%:
' y(t) = - 1) -> V x2(t) V ar3(i)),
< q(t) = x(t)-x2(t)-x3(t) -> q(t — 1),
л(°) = °-
Решение. Полагая x± = x^, получаем функцию
' У(t) = q(t -1) -* (a?i(t) V®3(t)),
/12 = < 9(t) = 1,
I 9(0) =0.
Диаграмма Мура этой функции изображена на рис. 4.44. Вес функ-
ции /12 равен 2.
Полагаем х± — х^. Приходим к функции
= 1,
/13:
< q(t) = a?i(f)- ®2(i) -> q(t - 1),
Вес этой функции равен 1. Диаграмма Мура функции /13 и ее приве-
денная диаграмма представлены на рис. 4.45.
Положим теперь х% = х%. Получаем функцию
/23 •
'y(t) = 1,
< g(i) = 1,
л(°) = °-
Вес функции /23 равен 1. Диаграмма Мура и приведенная диаграмма
изображены на рис. 4.46.
00(1),01(1)
0* 10(1), 11(1)
Рис. 4.45
00(1)
11(1)
Рис. 4.44
*т 00(1),01(1)
о’ 10(1), 11(1)
Рис. 4.46
00(1)
11(1)
Пример 6. Построить канонические уравнения и диаграммы
Мура для о.-д. функций, получающихся из функции
"2/1(0 =q(t- 1),
у2(^) = - 1),
q(t) = q(t - 1) V x2{t),
U(0)=0
введением обратной связи по парам переменных (xi, т/i), (^2, у±)
и (^2, yz). Найти веса полученных функций.
Решение. Вводим обратную связь по переменным х± и ?/i. Для
получения канонических уравнений результирующей функции надо
Рис. 4.47
0(0)
Рис. 4.48
вместо Xi(t) в уравнениях yz(t) = #i(£)- <?(£ — 1) и q(f) = xi(t)« q(t —
— 1) V xz(t) подставить правую часть соотношения yi(f) = q(t — 1).
Получаем
'У2^) = О,
hi- q(t) =
U(o) = o.
Диаграмма Мура и приведенная диаграмма этой функции изображены
на рис. 4.47. Вес функции /ц равен 1.
Вводя обратную связь по переменным х% и у±, получаем функцию
Ль
'y2(t) = x1(t)-q(t- 1),
< g(t) = q(t - i}Vq(t - 1) = rci(i) V q(t - 1),
л(0) = 0.
Ее диаграмма Мура представлена на рис. 4.48. Вес функции /21 ра-
вен 2.
Вводя обратную связь по переменным xz и 7/2, имеем
/22:
' yiG) = q(t -1),
< g(t) = ari(t)- q(t - 1),
L(0) = 0.
Диаграмма Мура и приведенная диаграмма функции /22 изображены
0(1)
1(1)
Рис. 4.49
на рис. 4.49. Вес функции равен 1. Эта функция автономная (порож-
денная константой 1).
Пример
о.-д. функций
7. Для суперпозиции /1(/2) по переменным у % — х±
'yi(f) = $o(t)-qi(t - 1) V
< gx(t) = ®0(f) V^i(t) Vgx(i-1),
L(o) = i,
/2:
' y2(t) = x2(t) Ф q2(t - 1),
< g2(i) = ^2(f) \/q2(t — 1),
,92(0) = о
построить канонические уравнения и диаграмму Мура. Найти вес
этой суперпозиции.
Решение. Канонические уравнения для суперпозиции / = /1 (/2)
по указанным переменным получаются подстановкой правой части
соотношения 3/2 (£) = #2(£) Ф <72(£ — 1) вместо переменной Xi(t) в кано-
нических уравнениях для функции Д и добавлением к получившимся
выражениям уравнения q2^t) = %2(i) V q2(t — 1) и начального усло-
вия д2(0) = 0. Имеем
' 2/1 (О = x0(t)- gx(t - 1) V (ar2(f) Ф q2ft - 1)),
91(f) = x0(t) V x2(t) ®q2{t - VfVq^t - 1),
92(f) = x2(t) Vq2(t - 1),
Li(0) = l, q2(0)=0.
Отсюда следует, что вес функции f не больше 4 (так как каждая
00(1), 10(0)
10(1) ^Ш1)
u(0)\*
00(0// V\00(l) °W
10(0)/01(1) \\10W /
00(1)
00
10
/01(0)
11(0)
01
Рис. 4.50
переменная q±, q2 принимает два значе-
ния, а именно 0 и 1). Исходя из этих
уравнений и начальных условий стро-
им диаграмму Мура (рис. 4.50). При-
веденная диаграмма, соответствующая
полученной диаграмме Мура, содержит
вершины 01, 10 и 11. Следовательно,
вес суперпозиции / равен 3.
2.8. Для суперпозиции / = Д(/2)
о.-д. функций /1 и /2 из Р2,од пост-
роить канонические уравнения и приведенную диаграмму Мура:
'yi(t) = $x(t) —> 9i(f — 1),
'«/2(f) = x2(t) V q2(t - 1),
1) Л: < 91(f) = ^i(f),
/2: < q2(f) = x2(t) f q2(t - 1),
lgi(0) = l,
U2(0) = 0;
'yi(i) = 9i(f - !),
'y2(f) = 92(i - 1),
2) fi- < 91(f) = 91 (f - 1) ^i(t),
/2: < 92(f) = x2(t),
I 91(0) = 0,
192(0) = 1;
' 2/1(0 =
3) fi- < 9i(i) = 9i(f - 1),
/2:
I 91(0) = 1,
'y2(i) = 92(f “ 1),
< ?2(i) = x2(t)-q2(t - 1),
,92(0) =0;
'yi(i) = ari(i)- gi(t - 1),
4) h- = Qi(t ~ 1),
Л1(0) =0,
f . f 2/2(1) = 1,
2- I y2W = x2(t) Ф y2(t - 1), /^2;
5) fr f= 0’
’ 12/i(i) = Xi(t - 1) -> yi(t - 1), t 2,
'y2(i) = Q2(t - 1) -> x2(t),
< q2(t) = x2(t),
Лг(0) = 1;
6) функция fi задается диаграммой Мура, изображенной на
рис. 4.51,
/2:
'y2(i) = x2(t) | q2(t - 1),
< q2(f) = a?2(t) -> q2(t - 1),
Л2(0) = 1;
7) функции fi и /2 задаются диаграммами Мура, изображенными
на рис. 4.52, а, б соответственно;
У1(1)=Ы2) = 0,
8) Л:
У1(*) = yi(t - 1) -> У1 (t - 2), t 3,
Г Уг(1) = 0, у2(2) = 1,
tz/2(i) = x2(t) y2(t - 2), t 3.
2.9. Построить канонические уравнения и приведенную диаграм-
му Мура о.-д. функции, получающейся из функции f введением об-
ратной связи по переменным Xi, yj:
' 3/1(0 = xi(t) -> q(t - 1),
У2 (i) = Xi (/) • x2 (t) Ф q(t - 1),
= xi(t) V x2ft)-qft - 1),
л(о) = 0,
ГУ1(/) = Ж1(/) V x2(t)-q(t - 1),
y2(i) = ^i(i) ф q(t - 1),
q(t) = Ж1(/)-^2(t) V q(t - 1),
л(о) = 0,
i = 2, j = 1;
г = j = 2;
4) f: 4
"2/1(0 = x^t) q(t - 1),
У2(i) = Ж1 (f) • q(t - 1) ф x2 (i),
g(t) = x2(t) -> q(t - 1),
U(O) = 1,
"2/1(0 = Xi(t)-q(t - 1) V x2(t),
V2(t) = x2(t),
q(t) = (x1(t) ж2(£)) V q(t - 1),
lg(O) = O,
= q(t -1),
У2(i) = Xi(t) ф (x2(t) V q(t - 1)),
Q(t) = q(t - 1) -> Ж1(^)- x2(t\
U(0) = 0,
i = 2, j = 1;
i = 1, j = 2;
5) f- 4
з) /: {
а) г = j = 1; б) г = 2, j = 1;
6) /: <
2/1 (i) = (x2(t) -> -> q(t - 1),
2/2(t) = x2(t)-q(t- 1),
2/3(i) = ^i(i)’ (x2(t) -4- q(t - 1)), i = 1, j = 2;
q(t) =x1(t)-q(t-l),
Л(°) = 1’
'2/i(i) = Ж1(15),
2/2(i) = x2(t) Ф q(t - 1),
2/3(i) = x2(t) V q(t - 1),
q(t) = xr(t) \J x2(t),
Q(°) = °,
7) /:
a) г = 2, j = 1; б) г = 1, j = 2;
8) /: {
yi(t) = x^t) ф gi(t - 1)- q2(t - 1),
2/г(<) = x2(t) q2(t - 1),
Qi(t) = Qi(f - 1) Ф Q2(t - 1),
g2(i) = Zi(£) ф gi(t - 1),
Qi(0) = Q2(0)=0,
a) i = 1, j = 2; 6) i = 2, j = 1.
2.10. Найти вес о.-д. функции, получающейся из о.-д. функции /
введением обратной связи по переменным Xi, yj:
1) .Л {
2/1 (i) = xi (f) • x2 (f) q(t - 1),
У2(t) = x2(t)\/q(t - 1),
g(t) = a:i(t) x2(t),
i = l, j = 2;
2) f: < yi(i) = ®i(t) J. q(t - 1), 2/2^) = x2(t) V q(t - 1), q(t) = 9(0) = o,
а) г = 1, j = 2; б) i = 2, j = 1;
3) f: < yi(i) = q(t - 1), y2(i) = xi(t) V q(t - 1), q(t) = xi(t) ф x2(t), 9(0) =0,
a) i = ji = 1; б) i = 2, j = 1; в) г = j = 2;
4) f: < 1 $ T и Д i i i н S i£? S II II II II II £ £ £ £ § Г-Н 05 1 05 — 53} 0-1 X Z
а) г = j = 1; 6)i=j=2;
5) f: < 2/1 (t) = Xi(t) V J2(t)Vg(t - 1), «/2(i) = x2(t) ф x2(t)-q(t - 1), q(t) = xr(t) -> (®2(t) -> ^3(i)), 9(0) =0,
a) i = 3, j = 1; 6) i = 1, j = 2;
6) /: < 2/i (i) = (®i (t) Ф x2 (i)) • q(t - 1), 2/2(i) = x3(t) q(t - 1), g(i) = xr(t)- x3{t)-q(t - 1), 9(0) = 0,
a) i = 1, j = 2; 6) i = j = 2; в) i = 3, j = 1;
7) f: < x—*4 i 2) 7 i« w H |iS 8 5? О II II II II II £ £ £ £ £ г-н oq ^1 CM 4 z
а)г = 1, j = 2; 6) i = 2, j = 1; в) i = j = 2; r) i = 3, j = 1;
Д) i = 3, j = 2.
2.11. Найти вес о.-д. функции, получающейся из о.-д. функции /
с помощью операции отождествления входных переменных xt и Xj
(операция Oi):
' y(t) =2Ji(i) -> ж2(г)-<71(< - 1),
1) /: <
Qi(i) = x2(t) -> x3(t)-q2(t - 1),
g2(i) = Ж1(<)-ж2(<) Vq^t - 1),
[gi(0) = Q2(0)=0,
а) i = 1, j = 2; 6) i = 2, j = 3;
' y(t) = xi(t) V x2(t)-qi(t - 1),
2) f- 4
Qi(i) = ?2(i-l) —> — 1),
Q2(i) = x2(t) V x3(t) V q-dt - 1),
(<Z1(O) = g2(0)=0,
a) i = 1, j = 2; 6) i = 2, j = 3;
' yi(t) = an(t) -x2(t) -> q(t- 1),
o') f. J Ы*) = Xi(t) -x3(t) x2(t),
| q(t) = x3(t)\/q(t-V),
Л(°) = 1’
a) i = 1, j = 2; 6) i = 1, j = 3; в) i = 2, j = 3;
' У1Х) = xi(t) -> (ar2(t) V53(t))-q(t - 1),
2/2 (i) = q(t-l) -> ^i(f)-x2(i),
g(t) = q(t - 1) V x2(t)-x3(f),
Л(°) = °,
2.12. Найти все суперпозиции /i(/2), если:
2/1(0 = a?i(f) V?i(f- 1),
1) fl- S Qi(i) = ®i(i) V qi(t- 1),
/2:
y2(i) = x2(t)-q2(t - 1),
< q2(t) = x2(t)-q2(t - 1),
^2(0) = 1;
^i(0) = 0,
yi(t) = q1(t - 1),
?/2(i) = Q2(t - 1),
2) fi- < Qi(i) = xr(t)-qr(t - 1),
/2: g2(i) = X2(t) V q2(t - 1),
^i(0) = 1,
^2(0) = 0;
2/1 (i) = xr(t) -> qi(.t - 1),
3) fl- < qi(t) = q1(t - 1),
kQi(0) = 0,
функция /2 задается диаграммой Мура, изображенной на рис. 4.53;
4) функции /1 и /2 задаются диаграммами Мура, изображенными
на рис. 4.54, а, б соответственно;
5) функции /1 и /2 задаются диаграммами Мура, изображенными
на рис. 4.55, а, б соответственно.
3. Реализация ограниченно-детерминированных функций
схемами. Понятие схемы, реализующей о.-д. функцию, и определение
соответствующих операций над схемами даны в п. 2. В настоящем
пункте представлены некоторые задачи, относящиеся к схемам, реа-
лизующим о.-д. функции из множества Р2,од-
Пример 8. Построить схему, реализующую о.-д. функцию / из
^2,од, над множеством, состоящим из элемента единичной задержки
и функций, порожденных дизъюнкцией, конъюнкцией и отрицанием:
'yi(i) = ari(t)- qr(t - 1) V x2(t)-x3(t),
wAt) = q2(t - 1) -> ®i(i) V x3(t),
P-
qi(£) = 9i(* - 1) ® 9г(* - 1),
92(i) = a?2(t)- 9i(t - 1),
Л1(0)=92(0)=0.
Решение. Сначала строим схему из функциональных элементов
над множеством, состоящим из дизъюнкции, конъюнкции и отрица-
ния, для следующей совокупности булевых функций:
т/i = х1Д1\/х2 'Х3,
у2 =q2\/ хг Ух2,
q'l = 91 -92 V 91 -92,
92 = Xi -х2 q1.
(При выписывании этих функций мы воспользовались эквивалент-
ными соотношениями для функций алгебры логики: х —> у = х V у
и х ®у = xyV ху.)
Схема из функциональных элементов, реализующая систему функ-
ций (*), имеет пять входных каналов (по переменным х±, Ж2, жз, q±
Рис. 4.56
и q^) и четыре выходных (по переменным g/i, у2- q[ и q2). Обозначим
эту схему через Е*. Она представлена на рис. 4.56.
Светлыми кружочками на ней обозначены входные и выходные
полюса, а темными кружочками — внутренние полюса. Функциональ-
ные (логические) элементы, реализующие дизъюнкцию, конъюнкцию
и отрицание, изображены в виде треугольников с двумя (для дизъюнк-
ции и конъюнкции) или одним (для отрицания) входными каналами.
У каждого функционального элемента один выходной канал. Около
выходных полюсов элементов указаны булевы функции, реализуе-
мые такими подсхемами схемы У*, у которых входы совпадают с
входами схемы X*, а выходами являются данные выходы элемен-
тов. В треугольниках, соответствующих элементам, реализующим
конъюнкцию, изображен знак & ; элементы, реализующие отрицание,
помечены знаком 1.
Для получения схемы Е/, реализующей о.-д. функцию /, доста-
точно к выходам и q2 схемы Е* присоединить последовательно
элементы единичной задержки (операция суперпозиции) и затем ввес-
ти обратную связь по парам каналов q" — q± и q'^ — q?. где q" —
выходной канал элемента единичной задержки, подсоединенного к
выходу q' схемы Е*.
Схема Еf приведена на рис. 4.57. (Нули около элементов единич-
ной задержки, поставлены нами для того, чтобы лишний раз напом-
Рис. 4.57
нить, что в момент времени t = 1 выходные символы этих элементов
равны 0.)
Пример 9. По схеме Еу, реализующей функцию / (рис. 4.58),
построить канонические уравнения, задающие эту функцию.
Рис. 4.58
11 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Решение. Удаляя из схемы Еf задержки, получаем Еу/ — схему
из функциональных элементов, изображенную на рис. 4.59, с допол-
нительными выходными и и входными (gi и Q2) полюсами.
Выписывая функции проводимости для каждого выходного полюса,
имеем _
уа. = xi • х2 е Qi,
У2 = qi (ж2 Vg2),
q'x = Xi ф х2 V q2 = Xi ф х2 q2,
q2 = (®i -х2 ®q1)-x2 = (®i ~ 91) • х2.
Теперь для получения канонических уравнений, описывающих работу
схемы Еу, нужно учесть время и начальные условия:
' yi(t) = ®i(t)-s2(t) ф 9x(t-1),
Ы*) = 9i(t - 1)- (x2(t) Vq2(t - 1)),
< qilfi = Xi(t) фж2(£)- q2(t - 1),
?2(i) = (^i(i) ~ Qi(t - 1))- ar2(f),
I 9i(0)= 92(0) = 0.
Пример 10. Выписать канонические уравнения для функций,
реализуемых схемами, изображенными на рис. 4.60. (Схемы, изобра-
женные на рис. 4.60, а-к, соответствуют пп. а)-к) решения.)
Решение, а) Схема реализует функцию /1(ж) = (ж)), где
fx(z) — о.-д. функция, порожденная функцией х из Р2. На «языке
Рис. 4.60
последовательностей» функция /1(ж) описывается следующим соот-
ношением: /1(3;^) = 1ж(1) ж(2)... x(t)... Исходя из него можем сразу
написать канонические уравнения:
3/(0 =q(t- 1),
?(0 = ®(0,
</(0) = 0.
Приведем еще одно решение этой задачи. Ясно, что данная схема
является суперпозицией двух схем, одна из которых реализует еди-
ничную задержку а другая — функцию /$(z). Канонические
уравнения этих функций можно записать в следующей форме:
Qi(t) = x(t),
<71(0) =0.
fy2(t) = z(t),
< 92 (7) = 0,
,92(0) =0.
Значит, канонические уравнения суперпозиции /1(ж) = /ж^Д#)) име-
ют вид
3/(0 = 91 (i- 1),
/1(О: <
91(7) = ж(7),
9г(7) = 0,
, 9г(0) = 92 (0) = 0.
Вес функции /1(ж) равен 2 (переменная q% является «фиктивной»),
и поэтому «приведенные» канонические уравнения для нее выглядят
так:
?/(*) = 9i (i- 1),
А (ж): <
91(7) = ж(7),
91(0) = 0.
(Эти уравнения с точностью до обозначения переменных такие же,
как и выписанные выше.)
б) Очевидно, что данная схема реализует функцию /2 (ж) =
— /1(/®(^))5 где /1(ж) — о.-д. функция из примера а). Следователь-
но, — «единичная задержка с начальным выходом,
равным 1», и
t/(7) = g(7 - 1),
А (ж): <
9(7) = ж(7),
9(0) = 0.
в) Схема реализует функцию /з(^) = Значит, ЛС^') =
= 01 ж(1) ж(2)... x(t)... Далее, так как функции и Д задаются
следующими каноническими уравнениями:
^1(^1):
' 3/1(0 = 91 (^ - 1),
< gi(7) = Ж1(7),
,91(0) = 0,
/1(ж2):
'7/2(7) = 92(7 - 1),
< 9г(7) = ж2(7),
,9г(0) = 0,
то имеем
Ы/1(ж)):
'yW = 91А -1),
91 (A =92(i- 1),
g2(7) = ж (7),
.91(0) =92(0) =0.
г) Данная схема реализует о.-д. функцию
Ч>Г(О = ^(У1 ••• • • • )
п раз
— задержку на п тактов. Очевидно, что <р^п\хш) =00 ... 0хш. Кано-
„ . п раз
нические уравнения этой функции выглядят так:
'yW = qi(t ~ 1),
qi W = 9г(* -1),
^п)(ж): <
Qn-i(i) = qn(t - 1),
Qn(i) = x(t),
.91(0) = g2(0) = ... = g„(0) = 0.
д) Обозначим функцию, реализуемую этой схемой, через Д (ж). От
переменной х она зависит несущественным образом. Для получения
ее канонических уравнений возьмем единичную задержку с двумя
выходами, и т/i, и введем обратную связь по переменным х и у±.
Канонические уравнения единичной задержки с двумя выходами у
и т/i выглядят так:
y(i) = q(t - 1),
2/1(0 = q(t - 1),
9(0 = x(t),
9(0) = 0.
Вводя обратную связь по каналам х и ?/i, имеем
/4(ж): <
2/(0 =9(i-l),
9(0 = q(t - 1),
9(0) = 0.
Таким образом, Д(^) = /=о($) (здесь /=о(ж) — о.-д. функция, порож-
денная тождественным нулем), т.е. /^(ж^) = 0^.
е) Функцию, реализуемую этой схемой, обозначим через /5 (ж)
(переменная х фиктивная). Для получения канонических уравнений
функции /б(ж) достаточно взять схему из примера а), разветвить ее
выход на два (у и т/i) и ввести обратную связь по переменным х и ?/i.
и"“"
2/1(0 = 9(i - 1),
9(0 = x(t),
9(0) = 0,
Л (ж): <
= q(t - 1),
9(0 = q(t - 1),
9(0) = 0.
На «языке последовательностей» функция /5 (ж) описывается соотно-
шением /5(2^) = [Ю]^.
ж) Функцию, реализуемую данной схемой, обозначим через fe(x)
(переменная х фиктивная). Для нахождения ее канонических урав-
нений можно взять канонические уравнения для функции ^(/^(ж)),
разветвить ее выход на два (у и у±) и ввести обратную связь по
переменным х и у^. Выполним эти шаги:
' УХ) = q(t - 1), 9(0) = 0, y(t) = q(t - 1), yi(i) = q(t - 1), q{t) = x(t), 9(0) = 0, '«/(i) = q(t - 1), /б (ж): q(t) = q(t — 1), л(о) = о.
На «языке последовательностей» имеем = [01]^.
з) Канонические уравнения функции /7 (ж), реализуемой этой схе-
мой, получаем из канонических уравнений функции /2(2?) (см. при-
мер б)), применяя операции разветвления и обратной связи (как в
примере ж)). Имеем _
УХ) = q(t - 1),
yi(i) = q(t-1), q(t) = x(t), 9(0) = o, 'y(t) = q(t- 1), Л (ж): g(t) = q(t - 1), л(о) = о,
т.е. /7 00 = /=1(ж) или /7^^) = (переменная х фиктивная).
и) Обозначим о.-д. функцию, реализуемую данной схемой, че-
рез fs(ж) (х фиктивная переменная). Действуя так же, как в при-
мере з), но используя при этом функцию /зОО (из примера в)),
получаем y(t) = Qi(t - 1), yi(i) = qi(t - 1), qi(0 = q2(t ~ 1), 92 (i) = x(i), 91(0) = g2 (0) = 0, 'y(t) = 91 (i - 1), «4»S ^2!Г I!' 92(.t) — 91 (.t - J-J, 9i(0) = 92(0) =0,
т.е. /8(^) = [ОНО]".
к) Для построения канонических уравнений функции /9 (ж), реали-
зуемой данной схемой, можно поступить так: напишем канонические
уравнения для суперпозиции гДе fxvy(x, У) ~
о.-д. функция, порожденная дизъюнкцией; затем разветвим выход
на два (у и т/i), а потом применим операцию обратной связи по
переменным х± и ?/i. Выполним эти шаги:
Г уХ) = ж(0 Vg(f- 1),
^г(Ж1)): J 9(0 = МО,
[g(0) = 0,
ИО = ж(0 Vg(t- 1),
MO = x(t) V q(t - 1),
q(t) = x^t),
9(0) = 0,
' УХ) = x(t) V q(t - 1),
fa (ж): q(t) = x(t) V q(t - 1),
л(о) = о>
t. e.
y(l) = J(l),
7/(2) = ж(1) V ж(2), ..., y(t) = ж(1) V ж(2) V ... V x(i)...
2.13. Для функции f из Рз,од построить схему над множеством,
состоящим из элемента единичной задержки и функций, порожденных
дизъюнкцией, конъюнкцией и отрицанием:
1) /=
У<Р) = V q(t - 1),
9(0 = ж(0‘ q(t - 1),
9(0) = 1;
'y(0 = x(f) ®q(t- 1),
2) /: 9(0 = ±q(t- 1),
U(0)=0;
3) функция f задается канонической таблицей (табл. 4.7) и на-
чальным условием q(0) = 1;
Таблица 4.7
®(0 ?(< - 1) 3/(0 9(0
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0
Таблица 4.8
®(0 g(t - 1) у(0 9(0
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
4) функция / задается
9(0) = 0;
5) функция / задается
рис. 4.61, а;
6) функция / задается
рис. 4.61, б;
7) функция / задается
рис. 4.61, в;
8) и
Мура, изображенной на
Мура, изображенной на
Мура, изображенной на
канонической таблицей (табл. 4.
диаграммой
диаграммой
диаграммой
а б в
Рис. 4.61
8) функция f задается диаграммой Мура, изображенной на
рис. 4.61, г; 9) функция f задается диаграммой Мура, изображенной на
рис. 4.61, д, 10) функция f задается диаграммой Мура, изображенной на
рис. 4.61, е;
г2/(1)=0,
11 ' t уФ = x(t - 1) V y(t - 1), t 2;
19. р(1)=У(2) = 1,
’ J' 1 УЮ = y(t - 1) -> x(t - 2), t > 3;
f 3/(1) = 0,
13) /:
2/(2) = 1,
y(t) = x(t — 2) ф y(t — 1), t 3;
14) /: • y(2t) = x(2t — 1), t 1, ) 0 в остальных случаях;
15) /: ^(2^-1) = x(2t- 1), t 1, 1 y(2t) = x(2t — 1) ф x(2t), t J
'3/1(1) = Ж1(1),
Ы1) = ®2(1),
3/1(0 = xi(f) -> x2{t - 1), t 2,
= x2(t) -> a?i(f - 1), t 2.
2.14. По схеме, реализующей функцию f из Р2,од? построить
канонические уравнения, каноническую таблицу и диаграмму Мура:
1) рис. 4.62, а; 2) рис. 4.62, б; 3) рис. 4.62, в; 4) рис. 4.62, г;
5) рис. 4.63, а; 6) рис. 4.63, б\ 7) рис. 4.63, в; 8) рис. 4.63, г.
2.15. Построить схему, реализующую ту же о.-д. функцию, что
и заданная схема, но содержащую меньше элементов единичной за-
держки. Схема должна строиться над множеством, состоящим из
элемента единичной задержки и функций, порожденных дизъюнк-
цией, конъюнкцией и отрицанием:
1) рис. 4.64, а; 2) рис. 4.64, б\ 3) рис. 4.65, а; 4) рис. 4.65, б;
5) рис. 4.66, а; 6) рис. 4.66, б.
2.16. В схеме, реализующей функцию / из множества Р^од (п
1), содержится р (р 0) единичных задержек
1) Показать, что вес функции f не больше 2Р.
2) Привести примеры схем с р единичными задержками, реали-
зующих функции веса г, где:
а) г = 1, р 1; б) г = 2Р, р > 1; в) г = 1, 2, 3, 4 и р = 2.
4. Замкнутые классы и полнота в множествах детерми-
нированных и ограниченно-детерминированных функций.
Пусть М — некоторое множество д. (или о.-д.) функций и 0 -
какая-либо совокупность операций, не выводящих за пределы мно-
жества всех д. (или о.-д.) функций. Иными словами, если о 6 6,
то, применяя о к произвольным (или допустимым) д. (или о.-д.)
функциям, мы получаем снова д. (или о.-д.) функции.
Замыканием [М]@ множества М относительно совокупности опе-
раций 0 называется множество, состоящее из множества М и таких
д. (или о.-д.) функций, которые могут быть получены из функций
множества М с помощью операций из 0, причем операции можно
применять любое конечное число раз. Операция получения множест-
ва [М]@ из М называется операцией замыкания. Множество М назы-
вается функционально замкнутым (или, короче, замкнутым) классом
относительно совокупности операций 0, если [М] q = М. Пусть М —
замкнутый относительно совокупности операций 0 класс д. (или о.-д.)
функций. Подмножество А из М называется функционально полной
(или, короче, полной) системой в М относительно совокупности опе-
раций 0, если [Л](5 = М. Множество А д. (или о.-д.) функций на-
зывается неприв о димой системой относительно совокупности опера-
ций 0, если, каково бы ни было собственное подмножество В из А,
выполняется строгое включение [В]@ С [А]@. Базисом замкнутого
класса М относительно совокупности операций 0 называется всякая
полная и неприводимая система из М. Множество А, содержащееся в
замкнутом классе М. называется предполным классом в М, если оно
не является полной системой в М, но для всякой функции / из М\А
выполняется равенство [AU {/}]о = М.
Как уже указывалось в п. 2 (перед примером 5) всякое множес-
тво о.-д. функций из Рк,оду состоящее из элемента единичной за-
держки и функций, порожденных функциями из некоторой полной
в Рк системы, образует полную в Рк,од систему относительно со-
вокупности операций {Oi, О2, Оз, О4, S}. В частности, в Р2,од пол-
на система {/т(ж), fxyy(x, у), fx&y(x, у), где fx(x), fxyv(x, у)
и fx&y(x, у) — о.-д. функции, порожденные соответственно отрица-
нием, дизъюнкцией и конъюнкцией.
В множестве Рд-.од существуют базисы относительно совокупности
операции {Oi, О2, О3, О4, S}, состоящие из одной функции. Пример
такого базиса дает множество {Д(ж1, #2, ^3, <^(#4))}, где — эле-
мент единичной задержки из Рк,од> а функция /о есть о.-д. функция,
порожденная функцией max (#i • Х4 + #2(1 — ^4), #з) + 1 (здесь сумма,
разность и произведение берутся по mod к).
Полнота конкретных систем в Рк,оД доказывается обычно мето-
дом сведения к заведомо полным системам (в частности, строятся
элемент единичной задержки и функции, порожденные функциями из
некоторой полной в Рк системы).
Пример 11. Доказать полноту системы функций {Д, /2} в Р2,од
относительно совокупности операций {6Д, О2, Оз, О4, S}, если
/1: y(t) = x1(t)-x2(t), t 1;
Л:
' 2/1(0 =xi(t) Vq(t- 1),
2/2(1) = жх(/)- q(t - 1) V ж2(/),
< q(f) = Ж1(/)-ж2(/),
^(0) = 0.
Решение. Попытаемся построить единичную задержку и функ-
цию /=1(ж) — функцию, порожденную тождественной единицей. Это-
го для обоснования полноты системы { Д, Д} будет достаточно, так
как система {х • у, 1} полна в Р%.
Отождествляя переменные в функции Д (операция 61), получа-
ем о.-д. функцию, порожденную тождественным нулем: Д(ж, х) =
= /=о(^)« Затем, удаляя выходную переменную у 2 у функции Д (опе-
рация О2) и беря суперпозицию Д(ж) = Д(/=о(ж), /=о(ж)), имеем
' 3/i(0 = q(t -1),
Ых)-. g(i) =0,
[</(0) = 0,
т.е. /з(ж) = f=i(x). Далее строим функцию, порожденную отрица-
нием: /4(2:) = /1(ж, /=1(®)) = fx{x) (использована операция S); потом
подставляем в функцию /2 вместо переменной ж2 функцию fx(x2)
(операция S) и применяем операцию обратной связи к функ-
ции /2(ж1, /-(т2)) по переменным ж2 и у\. Получаем функцию
/5(^1): <
' Ы0 = Ж1(/)- g(t - 1) V Ж1(/) V q(t - 1) =
= ®i(t)- q(t - 1) V®x(t)- q(t - 1) = q(t - 1),
q(t) = X!(t) (Ж1 (t) V q(t - 1)) = (t),
^(0)=0,
т.е. /5(ж1) = </?3(ж1).
Таким образом, система функций {Д, /2} порождает полную
в ?2,од систему {/1, /=1(ж), <р3(ж)}. Следовательно, система {Д, /2}
полная. ..
Пример 12. Доказать, что система {Д, /2} не полна в Р2,од
относительно совокупности операций 0 = {Oi, О2, Оз, О4, *?}, если
Л: у(0 = Ж1(2)-S2(t), t 1;
/2:
' у(Р) = ^i(i) V q(t - 1),
< q(t) = Ж1(£)- x2(t),
л(°) = о.
Решение. Покажем, что в замыкании системы {Д, /2} относи-
тельно совокупности 0 содержатся только такие функции, которые в
момент времени t = 1 при подаче на входы нулей выдают на любом
выходе 0. Очевидно, что это так для исходных функций Д и Д.
Предположим, что сформулированное утверждение верно для всех
тех функций из замыкания (назовем их допустимыми), которые могут
быть получены из функций /1 и /2 с использованием операций из 0 в
суммарном количестве, не превосходящем числа I (Z 0), и докажем
его справедливость для функций, требующих для своего построения
(из функций /1 и /2 с помощью совокупности операций 0) самое ма-
лое I + 1 (суммарного) числа операций. Рассмотрим пять случаев.
1) Функция f получается из некоторой допустимой функции /'
с помощью операции Oi. Пусть yj — произвольный выход функ-
ции f1 и /' = f'(xi, ..., хп) (п > 2). Предположим, что функция f
строится из функции f посредством отождествления перемен-
ных xiT = ... = xip = х (р > 2), т. е.
У(ж, Ж1, . . . , 3721—1, *^/1+1, • • • , ЯЧр— 1, 372р-|-1, • • > , Хп) —
— f (*^1 , • • • , *^21—1, ^7, *£21+1, • • • , ^2р—1, X, 27^ + 1, • • • ? Хп).
Так как , ..., 0S-) = 0Ь^ (для всякого J), т0
/(0S-,ОН-, ..., 0S-_15 os-1+1,..., 0S- _15 0S- +1, ..., 0S-) =
= Д(ой-,..., os-_15 os-, os-+1,..., os-_15 os-, os-+1,...
...,0S-)=06-.
Значит, утверждение справедливо и для функции Д
2) Функция / получена из некоторой допустимой функции /' с
помощью операции О2- В этом случае утверждение очевидно, так
как «функционирование» любого невыброшенного выхода осталось
неизменным.
3) Функция / получена из допустимой функции /' с помощью
операции обратной связи (операция Оз). Предположим, что обратная
связь была введена по входной переменной Xi0 и выходной перемен-
ной yj0, и рассмотрим произвольный ВЫХОД yj (j jo) у функции Д
Если в канонических уравнениях, задающих функцию /',
= Г,о(ж1(2), xio+1(t), xn(t), q(2 - 1))
и yj(i) = Fj(x(t), q(t — 1)), j jo, то функционирование выхода yj
описывается соотношением
2/j(l) sio-i(i), Fj/z/i), ^0-i(i), ario+i(f),...
• • •, xn(t), q(t - 1)), xio+1(t), xn(t), q(t - 1)).
Поэтому
y/i) = F/0, ..., 0, Fjo(0, ..., 0, 0, ..., 0, q(0)), 0, ... 0, q(0)) =
= 4(0, ...,0, 0,0,..., 0, q(0)) =0.
Следовательно, утверждение справедливо и для функции /.
4) Функция / получена из допустимых функций ф' и ф" с помощью
операции объединения (операция О4). Утверждение в этом случае
очевидно, так как функционирование каждого выхода (у любой из
функций ф' и ф"} остается неизменным.
5) Функция ф есть суперпозиция ф'(ф") допустимых функций ф'
и ф" по переменным х'г — у", ..., х'р — ур, где х\ — входные перемен-
ные функции /7, а у" — выходные переменные функции ф". Очевидно,
что функционирование каждого выхода у" функции /, являющегося
выходом функции ф" (т.е. для j 1, ..., р), остается неизменным.
Рассмотрим произвольный выход y'j функции ф. Если в каноничес-
ких уравнениях для функции f выход y'j описывался соотношением
у'з^> = , 4^’ жр+1(^)> •••> - х))> т0 в канони-
ческих уравнениях суперпозиции ф'(ф") ему отвечает соотношение
q"(t - 1)), ..., q"(i - 1)),
x'p+1(t), x'njt), q'(t- !))•
Поэтому при x"(l) = 0 и Жр+1(1) = ... = х'П1(1) = 0 имеем
^(l)=Fj(F1"(x"(l),q"(0)), ...
..., F;(x"(l), q"(0)), ^(1), ...,4/1), q'(0)) =
= 4(4'(0, q"(0)), ..., F;(0,q"(0)), 0, ..., 0, q'(0)) =
= F/(0, ..., 0, 0, ..., 0, q'(0)) = 0.
Значит, утверждение справедливо и для функции f.
Итак, неполнота системы {Д, /2} (относительно совокупности
операции 6) установлена.
2. 17. Доказать полноту системы {Д, Д} в Рз.од относительно
совокупности операций {Oi, О2, О3, О4, S}. если:
1) /: y(t) = Ж1(^)-ж2(/, t 1,
/2:
'y(t) = x1(t)-x2(t) v q(t - 1),
< q(t) = ж/i) V ж2(/,
Л(°) = 0;
2)/i: y(i) = ^i(i) -> x2(t), t 1, 'y(i) = (^i(t) -> ^2(t))- q(t - 1),
/2: < g(f) = a?i(f))- x2(t), Л(0) = 0;
Vfi: /(*) = ^i(t) VS2(f), t 1, '//(t) = a/i(t) V q(t - 1),
f2- < g(t) = xi(t) ® Ж2О), ^(0) = 0;
4)/i: i y(i) = x(t), t 1, = x1(t)-x2(t) V a?3(i)-q(t - 1),
/2: < g(t) = x2(t)- x2(t), л(°) = °;
5)/i: i !/(i) = ^i(i)-x2(t)-Si(Z) V53(i) V^2(t)-^3(t), t 1, 'y(i) = q(t -1),
/2: < q(t) = xx(t) ф x2(t), ^(0) = 0;
6) A; ; y(t) = x2(t), t 1, '?/(«) = (Ж1(«) -4- x2(t)) V q(t - 1),
/2: < q(t) = xx(t) -4- a;3(t), л(°) = 1;
А: y(t) — х2 (tf > 1, /2 задается диаграммой Мура,
изображенной на рис. 4.67, а;
0(1) i(i) 1(0) 00(0) 10(1), 11(0) 00(0) 00(0) W(OX11(1) 10(1)
/CD (D* * - XDiiw (00(1), 01ft)XD
01(0) 01(1) 10(1) 01(1) 11(1)
a 6 в
Рис. 4.67
8) Д: y(t) = xi(t)• ^2(^)7 t 1, /2 задается диаграммой Мура,
изображенной на рис. 4.67, б;
9) fi- y(t) = xi(t) V х2 (tf t 1, /2 задается диаграммой Мура,
изображенной на рис. 4.67, в;
ю) Л: y(t) = Ж1(£) -> x2(t), t 1,
/2:
ri/i(i) = x1(t)-x2(t) V q(t - 1),
1/2G) = x2(f)-q(t-l),
q(t) = x2(t),
11) fa- y(fa = x(t), t 1,
/2:
'yi(t) = ®i(t)-®2(t) Фж3(*) ® qfa - 1),
У2(£) = xfat) Ф q(t - 1),
< q(t)
Л(°) = О;
12) fa: y(t) = xfat)-x2fa), t 1,
/2:
'«/i(i) = xi(t)-x2(t) V q(t - 1),
i/2(i) = xfat) \/q(t - 1),
q(t) = Xi(t),
Л(0)=0;
13) /i:
/2:
y(t) = X1(t)-X2fa), t 1,
' y(t) = xfat)-qfat - 1) V x2(t)-q2(t - 1),
Qi(t) = a?i(t)- qr(t - 1) V x2(t),
I 92(f) = x1(t)-q1(t - 1) V q2(t - 1),
Л1(0) = <72(0=0;
14) fa:
15) fa:
y(t) = q(t -1),
9(f) = x(t),
9(0) = 0,
' У (fa = (t) V x2 (t) V x3 (f) • q(t - 1),
/2: < 9(f) = ^i(t) Var3(t),
л(°) = °;
У fa) = q(t — 1),
qfa) = xfat) Ф ar2(i),
9(0) = 0,
' y(t) = Ж1 (<) V x2 (i) • q(t - 1),
< ?G) = q(t -1),
, <7(0 = 1.
2.18. Доказать, что функция f является шефферовой в Р2,од
относительно множества операций О = {Oi, О?, Оз, О4, S}:
' y(t) = ^i(i) V Ж2О) V жзО)- q(t - 1),
1) f- < 9W = x3(t)-x4(t\
[g(0) = 0;
2) f- 4
y(t) = a?i(i)- x2(t) V x3(t)-q(t - 1),
q(t) = rci(f) -4- (ж20) -> x3(t)),
9(0) = 1;
' y(t) = x4{t) x2(t} x3(t) V q(t - 1),
3) f: 4
g(t) = 2Ji(t)- ®2(i),
9(0) = 0;
'y(t) = x1(t)-x2(t) V gi(t - !)• q2(t - 1),
4) /: <
91 (i) = x2(t)-x3(t),
q2(t) = x4(t)-x3{t) V Qi(t - 1),
[9(0) = 0, g2(0) = l;
i/i(i) = x^t)- q^t - 1),
5) /:
2/г(0 = x^f)-q^t - l)X/x2(t)-q2(t - 1),
qi(t) = ari(^)-S3(f),
q2(t) = qi(t - 1),
hi(0) = g2(0) = 0.
2.19. Из системы А, полной в Р2,Од относительно множества
операций {01, <?2, Оз, О4, S}, выделить собственную подсистему,
полную в Р2,од относительно тех же операций (и состоящую из
возможно меньшего числа функций):
1) А = {/=0(ж), /=а(ж), fx.v(x, у), fx(Sy(Sz(x, у, z), </?3(ж)};
2) А = {/=0(ж), fx~y(x, у), fx-+y(x, у), </73(Лг(ж))};
3) А = {/=1(ж), /Жфу(ж, у), fxyy(x, у), ip^fz.ytx, у))};
4) А = {/=0(ж), /т(ж), fx.y(x, у), /хУу(<рг(х), fv(y))};
5) А = {/=х(ж), /Ж.у(ж, у), fx_>y(x, Ш(Ш))}-
2.20. Выяснить, содержится ли функция f (из 7^ од) в замкну-
том классе А (здесь О = {Oi, О2, О3, О4, S'}, Oi = {Oi, О2, О4, S}):
1)/ = /=о(ж), A=[Mx),^fy(y))]o,
2) f = /=1(ж), А = [Лг(ж), <р,(ж)]о;
3) f = fx(x), А = [fx^v(x, у), <р}(х)]о;
4) / = /=1(ж), А = [fxVy(x, у), iP}(fx(x)), fx(<Pi(y))]o;
(y(t) = 0, если t — 4s + 1 или t = 4s + 2, s 0,
°’ [ y(t) = 1 в ином случае,
a) A = [fx\y(x, y), <fi3(x)]0i; б) A = |у>3(ж),
2.21. Выяснить, можно ли расширить множество А до полной
системы в Р2,од относительно множества операций {Oi, О2, О3,
О4, S}, добавляя только одну функцию из множества В:
1) А = {fx(x), fx9y9z(x, у, z), 9?3(ж)},
— {/=1(ж), fx<&y(Xi У\ fm(x,y,z)(.X^ У>
2) А = {/=1(ж), А^(ж, у), ^3(/зг(ж))},
В = {/=о(ж), fx.y(x, у), <£3(ж)};
3) А = {Л г/(ж, у), fxvy(x, («/))},
в = {/но(ж), /н1(ж), fx^y(x, </13(1/))};
4) А = {fx.y(x, у), fx(Sy(x, у), fx.y(x, <р}(у))},
В = {/н1(ж), Л^у(ж, <^3(i/)), </?3(ж)};
3) A [fX\Zy(x> ?/), fx'y^X, у\ fm(x,y,z)(x, у^ </?3(z))},
В = {ЛеУ(ж, у), ^(ж)}.
12 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Глава V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
§ 1. Машины Тьюринга и операции над ними.
Функции, вычислимые на машинах Тьюринга
1. Простейшие свойства машин Тьюринга. Машина Тью-
ринга представляет собой абстрактное устройство, состоящее из
ленты, считывающей (и печатающей) головки и управляющего
устройства.
Лента разбита на ячейки {клетки). Во всякой ячейке в каждый
дискретный момент времени находится в точности один символ из
внешнего алфавита А = {^о, ai, ..., an-i} (n 2). Алфавит А со-
держит символ, называемый пустым, а любая ячейка, содержащая в
данный момент пустой символ, называется пустой ячейкой (в этот
момент). В качестве пустого символа обычно используют 0 (нуль).
Лента предполагается потенциально неограниченной в обе стороны.
Это следует понимать так: в каждый момент времени лента конечна
(т.е. содержит конечное число ячеек), но «размеры» ленты (число
ячеек на ней) при необходимости можно увеличивать.
Управляющее устройство в каждый момент времени находится в
некотором состоянии qj, принадлежащем множеству Q = {q$, q±, ...
..., qr~i} (г 1). Множество Q называется внутренним алфавитом
(или множеством внутренних состояний). Иногда из Q выделяются
непересекающиеся подмножества Qi и Qq начальных и заключи-
тельных состояний соответственно.
Замечание. В дальнейшем, если не оговаривается противное,
считаем, что |Q| 2, и в качестве начального берем только одно
состояние Qi. Заключительным, как правило, будет состояние Со-
считывающая (и печатающая) головка перемещается вдоль лен-
ты так, что в каждый момент времени она обозревает ровно одну
ячейку ленты. Головка считывает содержимое обозреваемой ячейки
и записывает в нее (печатает в ней) вместо обозреваемого символа
некоторый символ из внешнего алфавита. «Засылаемый» в ячейку
символ может, в частности, совпадать с тем, который обозревался (в
данный момент).
В процессе работы управляющее устройство в зависимости от
состояния, в котором оно находится, и символа, обозреваемого го-
ловкой, изменяет свое внутреннее состояние или остается в прежнем
состоянии, выдает головке приказ напечатать в обозреваемой ячейке
определенный символ из внешнего алфавита и «приказывает» головке
либо остаться на месте, либо сдвинуться на одну ячейку влево, либо
сдвинуться на одну ячейку вправо.
Работа управляющего устройства характеризуется тремя функ-
циями:
G: QxA^Q,
F: Q х А А,
D- QxA^{S,L,R}.
Функция G называется функцией переходов, функция F — функ-
цией выходов и D — функцией движения (головки). Символы S, L
и R обозначают соответственно отсутствие движения головки, сдвиг
головки на одну ячейку влево и сдвиг на ячейку вправо.
Функции G, F и D можно задать списком пятерок вида
qidjGtqi, aj)F(qt, a^D^qi, aj),
(1)
или, короче, qiajQijOijdij. Эти пятерки называются командами. Функ-
ции G, F и D являются, вообще говоря, частичными (не всюду опре-
деленными). Это значит, что не для всякой пары (<^, aj) определена
соответствующая пятерка вида (1). Список всех пятерок, определяю-
щих работу машины Тьюринга, на-
зывается программой этой машины.
Программу машины можно задавать в
виде таблицы (табл. 5.1).
Если в программе машины для па-
ры (qi, aj) пятерка вида (1) отсутству-
ет, то в таблице на пересечении стро-
ки aj и столбца qj ставится прочерк.
Работу машины Тьюринга описы-
вают также на «языке конфигураций».
Пусть в момент времени t самая
левая непустая ячейка Gi ленты со-
держит символ ajr, а самая правая непустая ячейка Cs (s 2) -
символ ajs (между ячейками Gi и Cs находится s — 2 ячеек). В
этом случае говорят, что в момент t на ленте записано слово Р =
= ahaj2 ... ajp ... ajs, где aj — символ, содержащийся в момент t в
ячейке Ср (1 р s). При s = 1, т.е. когда на ленте только один
непустой символ, Р = а71. Пусть в этот момент времени управляю-
щее устройство находится в состоянии qi, и головка обозревает сим-
вол aji слова Р (1^2). Тогда слово
aJi • • • aji-iQiaji • • • ajs
называется конфигурацией машины (в данный момент t). При I = 1
конфигурация имеет вид qiajr ... ajs. Если в момент t головка обо-
зревает пустую ячейку, находящуюся слева (справа) от слова Р, и
между этой ячейкой и первой (соответственно последней) ячейкой
слова Р расположено и 0 пустых ячеек, то конфигурацией машины
в момент t называется слово
Qz • • • ^js ($)
г>+1 раз
(соответственно слово ... ajs Л ... Л^Л), где через Л обозначен
v раз
пустой символ алфавита А. Если в момент t лента пуста, т. е. на
ней записано пустое слово, состоящее только из пустых символов
внешнего алфавита, то конфигурацией машины в момент t будет
слово qiA.
Пусть в момент t конфигурация машины имеет вид (2) и в прог-
рамме машины содержится команда
Qiaji Qiji aiji diji.
Тогда при dijl = L в следующий момент времени конфигурацией
машины будет слово:
a) Qiji AcL^j-y O1J2 • • • ajs, если I — 1,
б) Qij2^ji aj, * * * ajs, если I — 2,
в) ajr ... djl_2Qijlajl+1 ... ajs, если I > 2.
Случаи, когда dijt = R или d^ = S, или когда либо конфигура-
ция машины соответствует головке, находящейся вне слова Р (как в
словах (3) и (3')), либо слово Р пустое, описываются аналогично.
Если в программе машины нет пятерки вида (1) для пары (q^, aj)
или «новое» состояние является заключительным, то машина
прекращает работу, а «результирующая» конфигурация называется
заключительной. Конфигурация, соответствующая началу работы
машины, называется начальной.
Пусть в некоторый момент времени конфигурация машины бы-
ла К, а в следующий момент она есть К'. Тогда конфигурация К'
называется непосредственно выводимой из К (обозначение К |= К').
Если К± — начальная конфигурация, то последовательность Ki,
К2, ..., Кт, где Ki |= JQ+i при 1 i т — 1, называется тью-
ринговым вычислением. При этом говорят, что конфигурация Кт
выводима из конфигурации Ki, и пишут К± |— Кт. Если Кт явля-
ется к тому же заключительной конфигурацией, то говорят, что Кт
заключительно выводима из Кч, и пишут Ki |— Кт.
Пусть машина Тьюринга Т начинает работать в некоторый (на-
чальный) момент времени. Слово, записанное в этот момент на ленте,
называется исходным или начальным. Чтобы машина Т действитель-
но начала работать, необходимо поместить считывающую головку
против какой-либо ячейки на ленте и указать, в каком состоянии
машина Т находится в начальный момент,
Если Pi — исходное слово, то машина Т, начав работу «на сло-
ве» Pi, либо остановится через определенное число шагов, либо ни-
когда не остановится. В первом случае говорят, что машина Т при-
менима к слову Р± и результатом применения машины Т к слову Р±
является слово Р, соответствующее заключительной конфигурации
(обозначение Р = Т(Р1)). Во втором случае говорят, что машина Т
не применима к слову Р±.
В дальнейшем мы будем предполагать, если не оговаривается
противное, что: 1) исходное слово непустое, 2) в начальный момент
головка находится против самой левой непустой ячейки на ленте и
3) машина начинает работу, находясь в состоянии q±.
Зоной работы машины Т (на слове Pi) называется множество
всех ячеек, которые за время работы машины хотя бы один раз
обозреваются головкой.
Часто будет использоваться обозначение [Р]т для слов ви-
да РР... Р (т раз), где т 0; при т = 0 считаем, что [Р]т -
пустое слово; если Р = а — слово длины 1, то вместо аа.. .а (т раз)
и [ц]т будем писать ат.
Через W будем обозначать произвольное конечное слово во внеш-
нем алфавите машины Тьюринга (в частности, пустое, т.е. состоящее
из пустых символов внешнего алфавита).
При описании работы машины Тьюринга «на языке конфигура-
ций» будут использоваться выражения, аналогичные такому:
QiFOPW^ lyOqoW,
х 1 и у 1. Приведенное выражение надо понимать так: машина
«стирает» слово Iх и останавливается на первой букве слова W; если
же W — пустое слово, то «останов» происходит на втором 0 (нуле)
после слова 1У.
Машины Тьюринга Т± и Т2 называются эквивалентными (в алфа-
вите А), если для всякого входного слова Р (в алфавите А) выполня-
ется соотношение Ti(P) — ^(Р)? означающее следующее: результа-
ты 71 (Р) и 7*2 (Р) определены или не определены одновременно (т.е.
машины Т± и Т2 либо обе применимы, либо обе не применимы к сло-
ву Р) и, если эти результаты определены, Ti(P) = Т2(Р). Символ ~
называется знаком условного равенства.
Пример 1. Выяснить, применима ли машина Тьюринга Т, за-
даваемая программой П, к слову Р. Если применима, то выписать
результат применения машины Т к слову Р (считается, что q± — на-
чальное состояние и в начальный момент головка машины обозревает
самую левую единицу на ленте):
( q10q2lR
П: <
Q11Q10L
Q20q31P
Q2IQ3OL
.Q3 Oqi ОР
а) Р = 1031; б) Р = [10]21.
Решение, а) Исходя из конфигурации Qil03l получаем после-
довательно такие конфигурации: Qi051, 1q2041, 12^з031, 120qi021,
1201q201, 12012<2з1. Так как команды вида q^lq^vD в программе П
нет, то последняя конфигурация (т.е. 12012дз1) заключительная. Сле-
довательно, машина Т к слову Р = 1031 применима, и Т(Р) = 12013.
б) Выписывая конфигурации, имеем qi[10]21, qi03101, 1q202101,
12q3[01]2, 120qi101, 12qi031, 13q2021, 14q301, 140qi 1, 14щ0, 15q20, 16q30,
160qi0, 1601q20, 16012q30, 160120qi0, 1601201q20, 16012012q30 и т.д. Яс-
но, что этот процесс продолжается неограниченно. Значит, машина Т
к слову Р = [10]21 не применима.
Пример 2. Построить в алфавите {0, 1} машину Тьюринга,
которая применима к словам вида i2m+1gi2n+1 (m 0 и п 0)
и l2mQl2n (m 1 и п 1) но не применима к словам вида i2mQl2n-1
и i2n~1oi2m (m 1 и n 1). (К словам иного вида машина может
быть как применима, так и не применима.)
Решение. Предполагаем, что Qi — начальное состояние, Qo _
заключительное состояние и в начальный момент головка машины
обозревает самую левую единицу на ленте. Попытаемся реализовать в
«конструируемой» машине следующую идею: машина «запоминает»,
четным или нечетным является число единиц в первом единичном
массиве слова, и затем «сравнивает» эту характеристику с такой же
характеристикой второго единичного массива.
Пара команд Qi 1q21^ и q21qi 1R позволяет «выяснить» четность-
нечетность числа единиц в первом единичном массиве: если на «про-
межуточном» нуле головка оказывается в состоянии Qi, то число
единиц в первом единичном массиве четное, а если она оказывается
в состоянии q2, то число единиц в этом массиве нечетное. Проходя
промежуточный нуль, нужно «запомнить», четное или нечетное число
единиц было в первом массиве, чтобы после прохождения второго
единичного массива в случае совпадения «четностей» числа единиц в
двух массивах машина остановилась, а в ином случае не остановилась.
Поэтому оба состояния q± и д2 «сменим»: рассмотрим коман-
ды Q1OQ3O/? и Q2OQ4O/Z.
Второй единичный массив будем «просматривать» с помощью
состояний Q3 и Q4: Q3IQ4I/Z, Q4IQ3I/Z. Если первый единичный массив
«четный», то просмотр второго единичного массива будет начат в
состоянии Q3. В случае, когда второй массив тоже четный, на первый
нуль за этим массивом головка «выйдет» в состоянии Q3. и машина
должна остановиться.
Значит, можно взять команду вида qzOqoaD (а 6 {0, 1} и D G
Е {S, L, R}) либо не включать в программу ни одной команды, начи-
нающейся С СИМВОЛОВ Q3 и 0.
Если же первый единичный массив четный, а второй нечетный, то
на первый нуль после второго массива головка выйдет в состоянии q^,
и машина не должна остановиться. Поэтому берем команду Q4OQ4OS.
Аналогично рассматривается случай с нечетным первым единичным
массивом.
Подходящая машина задается программой
Qilg2lE Q31Q41#
q21qi1E q41Q31^
giOgsCLR Q4OQ4OS
1.1. Выяснить, применима ли машина Тьюринга Г, задаваемая
программой П, к слову Р. Если применима, то выписать результат
применения машины Т к слову Р. Предполагается, что q± — началь-
ное состояние, Qo — заключительное состояние и в начальный момент
головка машины обозревает самую левую единицу на ленте:
' QiOqiO/Z
1) П: < ^20Т? а)Р=1301; б) F = 12021; в) F = I6; q2Lq1U.it
<q20qolS
'qi0q2lL
2) П: < qilq2lR a) F = 12021; б) P = Is; в) P = l2013;
.42141 IF
'41O42IF
qi I421#
3) П: < ?20?з1.Я a) F = l3012; 6) F = l5; в) F = l2[01]2
4214з OF
.43141 IF
' 41O41 IF
4i I42 OF
4) П: < 42O41IF a) F = [10]2l; 6) F = 102l2; b) F = 103
4214з1#
. 43O41IL
' 4i042 IF
4i 142 IF
5) П: < 92?^3nf a) F = I2; 6) F = 12021; в) P = 104l. 4214i 0L
43 04215
43I400L
1.2. Построить в алфавите {0, 1} машину Тьюринга, обладающую
следующими свойствами (предполагается, что в начальный момент
головка обозревает самый левый символ слова, и в качестве пустого
символа берется 0):
1) машина имеет одно состояние, одну команду и применима к
любому слову в алфавите {0, 1};
2) машина имеет две команды, не применима ни к какому слову в
алфавите {0, 1} и зона работы на каждом слове бесконечная;
3) машина имеет две команды, не применима ни к какому слову
в алфавите {0, 1} и зона работы на любом слове ограничена одним и
тем же числом ячеек, не зависящим от выбранного слова;
4) машина имеет три команды, применима к словам 102nl (n 1)
и не применима к словам 102п+11 (п 0);
5) машина имеет пять команд, применима к словам l3n (п 1) и
не применима к словам l3n+Q (а = 1, 2 и п 0);
6) машина применима к словам 1п01п, где n 1, и не применима
к словам lm01n, где т 7^ n, r/O 1 и n 1.
1.3. По заданной машине Тьюринга Т и начальной конфигура-
ции К± найти заключительную конфигурацию (до — заключительное
состояние):
1) T: ' qiQq2lR gilg20L q2 Ogo IS g2lgilL " giOgilL a) JCi = TOlgil2; 6) Kx = lOlgiOl2;
2) T: < gilg2lJ? g2lgi0i? a) Kr = lgiOl3; 6) Кг = lgxl4;
k 52 Ogo 0£ ' qiOqzOL
3) T: < gilgiOfl g20g2lL a) Ki = 103gx01; 6) Kx = l2gil301;
g2lgoOi? ' giOgolS
4) T: < gilg202? g20gi02? a) Ki = l2g!l301; 6) Kr = Igil4;
g2lg2lL ' giOgoOS
gilg2li?
5) T: < g20golL g2lg302? g30gilL a) Ki = Igil5; 6) Kx = gil301; в) К. = lOgil4
g3lgi02?
1.4. Построить в алфавите {0, 1} машину Тьюринга, переводящую
конфигурации К± в конфигурации Kq:
Y)Kr=qAn. K^q^W1 (n^l);
2)K1=Q10nln, Ko = Qo[01]n (n^l);
3) = 1”Q1O, K0 = q0l2n (n^l);
4) Ki = lnQi01m, Ko = lmqo01n (m > 1, 1).
1.5. 1) Показать, что для всякой машины Тьюринга существует
эквивалентная ей машина, в программе которой отсутствует сим-
вол S.
2) Показать, что по всякой машине Тьюринга можно построить
эквивалентную ей машину, в программе которой не содержится за-
ключительных состояний.
1.6. Показать, что для всякой машины Тьюринга Т в алфави-
те А существует счетно-бесконечное множество эквивалентных ей
машин Ti, Т2, ..., ... в том же алфавите А, отличающихся друг
от друга своими программами.
1.7. Сколько существует неэквивалентных машин Тьюринга в
алфавите {0, 1}, программы которых содержат только по одной ко-
манде?
1.8. По словесному описанию машины Тьюринга построить ее
программу (в алфавите {0, 1}).
1) Начав работу с последней единицы массива из единиц, маши-
на «сдвигает» его на одну ячейку влево, не изменяя «остального
содержимого» ленты. Головка останавливается на первой единице
«перенесенного» массива.
2) Начав двигаться вправо от какой-то «начальной» ячейки, го-
ловка «находит» первую при таком перемещении ячейку с единицей
(если такая ячейка «встретится на пути») и, сделав «один шаг»
вправо, останавливается на соседней ячейке. Если в «начальной»
ячейке записана единица, то головка останавливается на соседней
справа ячейке. Содержимое ленты не меняется.
3) Машина начинает работу с самой левой непустой ячейки и
отыскивает единицу, примыкающую с левой стороны к первому слева
массиву из трех нулей («окаймленному» единицами). Головка остана-
вливается на найденной единице (если такая есть). Содержимое ленты
не меняется.
4) При заданном I 1 головка машины, начав работу с произ-
вольной ячейки, содержащей единицу, двигается вправо до тех пор,
пока не пройдет подряд I + 1 нулей. Головка останавливается на
первой ячейке за этими I + 1 нулями, напечатав в ней 1. Остальное
содержимое ленты не меняется.
5) При заданном I 1 головка машины, начав работу с какой-то
ячейки и двигаясь вправо, ставит подряд 21 единиц и останавливается
на последней из них.
6) При заданном I 1 головка машины, двигаясь вправо от какой-
либо пустой ячейки, находит первый при таком перемещении массив,
содержащий не менее I единиц, стирает в нем первые I единиц и
останавливается на самой правой из ячеек, в которых были стертые
единицы. Остальное содержимое ленты не меняется.
2. Операции над машинами Тьюринга. Пусть машины Т±
и Т2 имеют соответственно программы Щ и Щ. Предположим, что
внутренние алфавиты этих машин не пересекаются и что Qq — не-
которое заключительное состояние машины Ti, a q" — какое-либо
начальное состояние машины Т2. Заменим всюду в программе Щ
состояние Qq на состояние q" и полученную программу объединим
с программой П2. Новая программа П определяет машину Г, назы-
ваемую композицией машин Т4 и Т2 (по паре состояний (qq, q")) и
обозначаемую через 7\ °Т2 или Т4Т2 (более подробно: Т = 71(T'i, Т2,
(qq, Qi))). Внешний алфавит композиции Т4Т2 является объединением
внешних алфавитов машин Т\ и Т2.
Пусть q' — некоторое заключительное состояние машины Г, а
q" — какое-либо состояние машины Т, не являющееся заключитель-
ным. Заменим всюду в программе П машины Т символ q' на q".
Получим программу П7, определяющую машину T'^q', q"). Маши-
на Т' называется итерацией машины Т (по паре состояний (qz, q")).
Пусть машины Тьюринга 7\, Т2 и задаются программами Щ,
П2 и П3 соответственно. Считаем, что внутренние алфавиты этих ма-
шин попарно не пересекаются. Пусть q$ и Qq — какие-либо различные
заключительные состояния машины Т±. Заменим всюду в програм-
ме П1 состояние q'Q некоторым начальным состоянием q'r машины Т2,
а состояние Qq некоторым начальным состоянием q" машины Т3.
Затем новую программу объединим с программами Щ и П3. Получим
программу П, задающую машину Тьюринга Т = Т(Т]_, (qf0, #0, Т2,
Qi \ 7з). Эта машина называется разветвлением машин Т2 и Т3,
управляемым машиной Т±.
При задании сложных машин Тьюринга часто применяют так
называемую операторную запись алгоритма, которая представляет
собой строку, состоящую из символов, обозначающих машины, сим-
волов перехода (вида \qf и а также символов а и служа-
k к
щих для обозначения соответственно начала и окончания работы
алгоритма. В операторной записи (некоторого алгоритма) выраже-
ние Ti |q^o Tj ... Тт qni I Tn обозначает разветвление машин Tj и Тп,
~к~ к
управляемое машиной 7^, причем заключительное состояние ма-
шины Ti заменяется начальным состоянием qnl машины Тп, а всякое
другое заключительное состояние машины Ti заменяется начальным
состоянием машины Tj (одним и тем же). Если машина Ti имеет
одно заключительное состояние, то символы |<^о и qnl\ служат для
обозначения безусловного перехода. Там, где не могут возникнуть
недоразумения, символы qio и qn± опускаются.
Пример 3. Операторная схема
I | 710:72 1^20 Т3 |д30 Т4ш
2___1_12
описывает следующий «процесс вычисления». Начинает работу ма-
шина Т2. Если она заканчивает работу в состоянии q2o, то начинает
работать машина Ti, а по окончании работы машины Т± вновь «вы-
полняет работу» машина Т%. Если же машина останавливается в
некотором заключительном состоянии, отличном от ^20, то «работу
продолжает» машина . Если 7з приходит в заключительное состо-
яние Q30, то начинает работу машина Ti; если же Тз заканчивает ра-
боту в некотором заключительном состоянии, отличном от Q30, то
«работу продолжает» машина Т4. Если машина Т4 когда-либо оста-
новится, то процесс вычисления на этом заканчивается.
1.9. Построить композицию Т1Т2 машин Тьюринга Ti и Т2 по паре
состояний (qio, Q21) и найти результат применения композиции
к слову Р (^20 — заключительное состояние машины Т2):
Qu Q12
0 Q12OK QiolT
1 Q12IK qnOR
Q21 Q22
0 Q22IK Q211К
1 Q21OL Q201£
а) Р = 130212; б) Р = 1401;
Q11 #12 #13
0 QIOOL #1зОК #nOK
1 #121К qis^-R #110К
Т2:
#21 #22
0 #22 IT #20 OK
1 #22 IT #21 ОТ
а) Р = 140213012; б) Р = 12[01]212.
1.10. Найти результат применения итерации машины Т по паре
состояний (go, Qz) к слову Р (заключительными состояниями являют-
ся q0 и q'o):
1) г = 1, T: #1 #2 Q3 Q4 Q5
0 #oOS Q4OS g50S Q41K go ib
1 #2 OK Q3OK giOK — —
а) Р= l3fc; 6)F = 13*+1; в) F = l3fc+2 (fc>l);
2) г = 1, Т- #1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6
0 #oOK go OF </4 OK q51L QeOK QoOK
1 #2 OK Q3OK дз1К g4lK q51T q61T
а) Р= 12ж; б) Р = 12ж+1 (ж 1);
#1 #2 #з #4 #5 #6
0 #2 0£ <7о 15 #4 Ой #5il #б0£ q^R
1 #12й #21й #з1й #41Я #51L qQ\L
2 — #з1й — — — q^R
Р = POP (ж 1, у 1).
1.11. Найти результат применения машины Т — Т(Т±, (#i0, Q21)?
Т2, (gio? Q31), ^з) к слову Р (#20 — заключительное состояние маши-
ны Т2, a Q30 — заключительное состояние машины Тз):
#11 #12
0 #i20B #1оОЙ
1 #121й <z'io 1L
#21
0 #20 IS'
1 #21 Ой
#31 #32
0 #32 1Ь <7зо15
1 #311й #32 0L
а) Р = 1013; б) Р = 1301;
1.12. Используя машины Ti, Т2, Т3, Т4 и Т5, построить опера-
торную схему алгоритма 21 (здесь #ю, #i0, #20, #зо, #40, #50 и #g0 -
заключительные состояния соответствующих машин):
#п #12
0 #120й #1оОЙ
1 #io Ой <71115
#21 #22 #23
#220й #2з1й #2о1£
#211Й
#22 1Й
431 432 4зз
0 432 Gb 4ззОЬ 433 ок
1 4з11Ь 432 IL 4зз 1Ь
441
0 440 IS
1 4411R
451 452
0 — 45q1S
1 452 IK 450 IS
1)21: д11ж|-д012ж (ж 0); 2)21: ^1ж+11- д013ж (ж 1);
3) 21: ТУ0д11ж+1 ИЧ)90Гж+1 (ж 0).
1.13. По операторной схеме алгоритма 21 и описанию машин,
входящих в нее, построить программу машины Г, задаваемой этой
схемой, и найти результат применения машины Т к слову Р:
1) 21 = aTr T2T3 430 cj, 1 1
Ti: 4ii , T2: 421 422 423 , T3; 431 432
0 410OL 0 423OK 423 OK 4201Ь 0 432 OL 43o0K
1 4h2K 1 421 IK — 423 IK 1 4з11Ь 4321b
2 — 2 422 IK — — 2 — 430 IK
Р = 1х01у (ж^1, у^1).
(начальные состояния машин 4ц, 421 и 431, а заключительные — Qio ?
9го, 9зо и q'3O);
2) 21 — OL | bl?2 |420 b3 |4зо | (Д, 2 12 1
Ti: 411 412 413 414 , Г2: 421 422
0 — 413OK 414Gb — 0 422Gb 420 is
1 412OK 4121K 413IK 4io0b 1 920 IS 4221b
T3: 431 432 433 434
0 432 OK 433 OK 430IS 430 IK
1 4з11Ь 4з41Ь — 4з41Ь
Р = ГОР (ж > 1, у 1)
(начальные состояния машин — 4ц, 421 и 431, а заключительные —
910, 920, 9го, 9зо и q'3O).
3. Вычислимые функции. Пусть а = («1, «2, • • •, <an) (n 1) —
произвольный набор целых неотрицательных чисел. Слово
lai+iQla2+iQ. ..Qi^n+i называется основным машинным кодом (или
просто кодом) набора а (в алфавите {0, 1}) и обозначается к (а). В
частности, слово 1а+1 является основным машинным кодом числа а.
В дальнейшем рассматриваются частичные числовые функции.
Функция f(xn) (n 1) называется частичной числовой функцией,
если переменные Xi принимают значения из натурального ряда с
нулем: N = {0, 1, 2, ..., т, ... и в том случае, когда на набо-
ре 5п = («1, «2, • • •, <ап) функция / определена, f(cin) Е N.
Частичная числовая функция f(xn) называется вычислимой (по
Тьюрингу), если существует машина Тьюринга Tf, обладающая сле-
дующими свойствами:
а) если f(an) определено, то Tf(k(an)) = k(f(an));
б) если f(an) не определено, то либо Tf(k(otn)) не является кодом
никакого числа из 7V, либо машина Tf не применима к слову к(ап).
Замечание. В дальнейшем предполагаем, что в начальный
момент головка машины обозревает самую левую единицу сло-
ва к(ап). Известно, что это ограничение не сужает класса вычис-
лимых функций.
Если функция / вычислима по Тьюрингу с помощью машины Tf,
то будем говорить, что машина Tf вычисляет функцию /.
Говорят, что машина Тьюринга Т правильно вычисляет функ-
цию f(xn), если:
а) в случае, когда f(an) определено, машина Т, начав работу с
левой единицы кода к(ап), останавливается, Т(к(ап)) = k(f(an)) и
головка машины в заключительной конфигурации обозревает левую
единицу кода k(f(an));
б) в случае, когда f(an) не определено, машина Т, начав работу с
левой единицы кода к(ап), не останавливается.
Справедливо следующее утверждение: для всякой вычислимой
функции существует машина Тьюринга, правильно вычисляющая
эту функцию.
Расстояние между двумя ячейками С и С ленты равно уве-
личенному на единицу числу ячеек, расположенных между С и С.
В частности, соседние ячейки ленты находятся друг от друга на
расстоянии 1. Пусть I — целое положительное число. Подмножество
всех таких ячеек ленты, каждые две из которых расположены друг
от друга на расстоянии, кратном I, называется решеткой с шагом I.
Ленту можно рассматривать как объединение I решеток с шагом I.
Пусть Яр) — решетка с шагом I. Две ячейки этой решетки назы-
ваются соседними, если расстояние между ними, рассматриваемое
относительно всей ленты, равно I.
Говорят, что слово Р = 0,10,2 ... о,т записано на решетке
если:
символ oi записан в некоторой ячейке С± этой решетки;
символ (Х2 записан в ячейке С2, которая является соседней к С± на
решетке R^ и расположена справа от нее и т.д.;
символ ат записан в ячейке Сш, отстоящей от ячейки С± на
расстояние (т — 1)-1 и расположенной справа от С±.
Будем говорить, что машина Тьюринга Т± моделирует машину
Тьюринга Т на решетке R^ (с шагом Z), если, каково бы ни было
слово Р (в алфавите А), выполняется следующее условие: пусть на
решетке R^ записано слово Рив начальный момент головка маши-
ны Т± обозревает самую левую букву слова Р; машина Т± останав-
ливается тогда и только тогда, когда машина Т применима к сло-
ву Р; при этом, если Т(Р) определено, то после окончания работы
машины Т± на решетке R^ будет записано слово Т(Р).
Справедливо следующее утверждение: для каждой машины Тью-
ринга Т и каждой решетки R^ с шагом I можно построить машину
Тьюринга Т±, моделирующую машину Тьюринга Т на решетке Ryy
Пусть ап = («1, гъ- ..., <an) (n 1) — произвольный набор це-
лых неотрицательных чисел; I-кратным кодом этого набора назы-
вается слово в алфавите {0, 1}, имеющее вид iz(ai+1)ozl^a2+1^)Oz...
^gqz^+i) (/2).
Справедливо утверждение: для каждого фиксированного целого
числа п (n 1) существует машина Тьюринга, преобразующая ос-
новной код любого набора ап в его I-кратный код, а также су-
ществует машина Тьюринга, преобразующая l-кратный код всякого
набора ап в его основной код.
Решетчатым кодом набора ап — (ai, 0% • • • , сеп) 1) назы-
вается слово в алфавите {0, 1}, записанное на п решетках с шагом п,
причем так, что на первой решетке записано слово Iе*1+15 на второй —
слово 1а2+1 и т.д., на п-й — слово 1а,л+1; начала слов на решетках
должны быть согласованы, т. е. самая левая единица на первой решет-
ке непосредственно предшествует (на всей ленте) самой левой единице
на второй решетке, а эта единица непосредственно предшествует
самой левой единице на третьей решетке и т.д.
Справедливо утверждение: для всякого фиксированного целого
числа п (n 1) можно построить машину Тьюринга, преобразую-
щую основной код любого набора ап в его решетчатый код, а также
можно построить машину Тьюринга, преобразующую решетчатый
код всякого набора ап в его основной код.
Пример 4. Для функции /(ж) = 2х — 1 построить машину Тью-
ринга, вычисляющую ее, а также машину Тьюринга, правильно вы-
числяющую эту функцию.
Замечание. Здесь и в дальнейшем при «аналитическом» зада-
нии числовых функций используются известные (из математического
анализа) «элементарные» функции. При этом «аналитически» задан-
ная функция считается определенной только на таких целочислен-
ных наборах значений переменных (принадлежащих множеству N —
натуральному ряду с нулем), на которых определены и принимают
целые неотрицательные значения все «элементарные» функции, вхо-
дящие в рассматриваемое «формульное задание» определяемой функ-
тт , х2 и
ции. Например, функция -----— определена лишь тогда, когда —
6 — у / 2. 2
о У
целое неотрицательное число, 3 — — целое положительное число
х2
и -----— — целое неотрицательное число.
3 - у/%
Решение примера 4. Имеем
Л/ ч ( 2х — 1 при х > 1,
I \ Х) — <
[ не определено при х = 0.
Нужно построить такую машину Тьюринга Г, которая «перера-
батывает» любое слово 1а+1 (при а 1) в слово 12а и удовлетворяет
условию: либо Т(1) не определено, либо Т(1) не является основным
машинным кодом никакого числа из N.
Попытаемся реализовать следующую идею: стирая самую левую
единицу в слове 1а+1 (а 0) и проходя оставшееся подслово 1а
слева направо, головка пропускает еще одну (пустую) ячейку («раз-
делительный нуль») и печатает две единицы подряд; получается
слово lQ012; затем головка возвращается к левой единице подслова 1а
(если такая единица есть), вычеркивает ее, проходит новое подсло-
во 1а-1 слева направо, потом проходит «разделительный нуль» и две
ранее напечатанные единицы (справа от него), печатает еще две еди-
ницы и опять возвращается к началу «остатка» исходного слова 1С1+1
и т.д.; когда в исходном слове все единицы будут вычеркнуты, а во
«вновь формируемом» массиве все единицы будут напечатаны, то на
ленте «останется» массив из 2а + 2 единиц; вычеркнем в нем две
первые единицы и «процесс вычисления» закончим.
Программа машины Тьюринга Т, реализующей описанную идею,
выглядит так:
Q1OQ4CLR Q4IQ7OE
qi1q20J? д50$б0Т
qzOq^OR q^lq^lL
q2lq2lR qeOqiOR
q^OqilR qQlq6lL
q^lq^lR q7lqQ0R
qiOq^lL
Имеем T(la+1) = 12а при a 1 и T(l) = Л (пустое слово). Значит,
машина Т действительно вычисляет заданную функцию /(ж), но не
является машиной Тьюринга, правильно вычисляющей эту функцию
(так как она применима к слову 1, соответствующему значению х = 0,
а на этом значении аргумента функция /(ж) не определена). Что-
бы из машины Т построить машину Т', правильно вычисляющую
функцию /(ж), достаточно удалить из программы машины Т коман-
ду QylQoOi? и добавить команды gylggOI? и q$q$S.
1.14. Построить машину Тьюринга, вычисляющую функцию /:
1) Дж) = sga: = [О’ еслиж-0’ 2) /(ж) = sgx = 1 - sga:;
I 1, если х > 1;
3) /(ж) = ж - 1 =
О, если х = О,
х — 1, если х 1;
4> ш =
' 1, если х = 1,
< 0, если х 2;
чне определено,
если х = 0;
5) /(ж) = Зж; 6) /(ж) = 21-ж;
7) /(ж) = [ж/2] = т, если х = 2m или х = 2m + 1, m 0;
8) /(ж, у) = ж + 2; 9) /(ж, у) = ж - у = (°’ еСЛИ Х
(х — у, если х > у;
10) /(ж, у) = ж - у; 11) /(ж, у) = 2ж + у; 12) /(ж, у) = -
1.15. Построить машину Тьюринга, правильно вычисляющую
функцию /:
1)/(ж)=ж —2; 2)/(ж)=[^]; 3)/(ж) = ^;
4)/(ж)=ж —5; 5) f(x, у) = ж + у, 6) /(ж, у) = | 4- у;
7) /(ж, у) = 8) /(ж, у) =
1.16. По программе машины Тьюринга Т записать аналитическое
выражение для функций /(ж) и /(ж, д), вычисляемых машиной Т (в
качестве начального состояния берется q±, а в качестве заключитель-
ного — до):
1) Т:
Qi Q3 ; 2) Т: Qi 92
0 q^L до OK 0 92 0В 91 ОТ
1 qilR 92 IT 1 qilR 9о0К
3) Т:
91 Q2 9з ; 4) Т-. gi д2 дз
0 д21К 92 ОТ до ОК 0 qoOS д31Т gilL
1 gi 0R 9з 1Т дз1К 1 q<AR giOK дз1К
13 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
1.17. Какие одноместные функции вычисляются всеми такими ма-
шинами Тьюринга в алфавите {0, 1}, программы которых содержат
только по одной команде?
1.18. На решетке с шагом I смоделировать работу машины Г,
вычисляющей функцию /:
1) /(ж) = х + 2, I = 2; 2) f(x) = 2 х, 1 = 3;
Q
3) /(*) = I = 4; 4) /(Ж) = 3 - 2х, 1 = 3;
5) /(ж, у) = 2 - у, I = 2; 6) /(ж, у) = x-sgy, I = 3;
7) /(ж, у) = х + (у - 1), I = 2.
1.19. Построить машину Тьюринга, преобразующую один машин-
ный код в другой.
1) Заданный Z-кратный код набора преобразуется в решетчатый
код (I 2):
а) 1/0/12/ (функционирование машины не должно зависеть от зна-
чения /);
б) 12/0/1/0/13/ (функционирование машины не должно зависеть от
значения /);
в) 1/0/1/0/... 0/1/ (п массивов единиц, n 1); рассмотреть два
случая:
(1) п фиксировано, I произвольное;
(2) I фиксировано, п произвольное;
г) 1/(а+1)д/1/ (здесь I фиксированное, меняется а, а 0).
2) Решетчатый код с заданной совокупностью слов, расположен-
ных на соответствующих решетках (1-й, 2-й и т.д.), преобразуется в
/-кратный код с указанным значением /:
а) 1, 1а+1 (а>0), / = 2; б) la+1, I2, 1 (а > 0), / = 2;
в) 1а+1, 1а+1, 1 (а > 0), I = 3.
§ 2. Классы вычислимых и рекурсивных функций
1. Операции суперпозиции, примитивной рекурсии и ми-
нимизации. Функции, рассматриваемые в этом параграфе, являются
частичными числовыми функциями.
Функция F(a:i, ..., Хп) = f(gi(xi, хп), дт(х!, хп))
называется суперпозицией функций f и pi, ..., и иногда обозна-
чается через д^), причем функция F определена
на наборе ап тогда и только тогда, когда каждая функция gi опре-
делена на наборе ап и, кроме того, функция / определена на на-
боре (#i(5n), ..., #т(йп)); в этом случае F(an) = /(^i(5n),...
flmP)).
Пусть p(^i, ..., жп_1) и Л(ж1, ..., жп_1, жп, Жп+1) — какие-либо
две функции, причем п 2. Определим третью функцию /(xi, ...
..., жп_1, хп) с помощью следующей схемы:
/01, ..., жп_1, 0) = ..., жп_1),
/О, ..., жп_1, у + 1) = Л(Ж1, ..., жп-1, у, f(xr, ... (1)
..., жп_1, ?/)), t 0.
Схема (1) называется схемой примитивной рекурсии для функ-
ции f(xn) по переменной хп и задает примитивно рекурсивное опи-
сание функции f(xn) с помощью функций д и h. Говорят также, что
функция f получена из функций д uh с помощью операции примитив-
ной рекурсии по переменной хп, используют обозначение / = R{g, h)
и указывают отдельно, по какой переменной ведется рекурсия.
При задании примитивно рекурсивного описания функции /(ж),
зависящей от одной переменной, схема примитивной рекурсии имеет
вид
/(0) = «. (2)
f(y + 1) = h(y, f(y)), у^О,
где а — константа (число из множества 7V = {0, 1, 2, ...} — нату-
рального ряда с нулем).
Пусть /(Xi, ..., жп_1, хп) (n 1) — некоторая частичная чис-
ловая функция. Определим функцию д(х±, ..., жп-1, хп) следующим
образом. Пусть ап = (оц, ..., ап-ь ап) — произвольный набор це-
лых неотрицательных чисел; рассмотрим уравнение
/(«1, ..., ап_1, у) = ап: (3)
а) если уравнение (3) имеет решение уо Е N и при всех у Е N
таких, что 0 у < у о- функция ..., an-i, у) определена и ее
значения отличны от ап, то полагаем g(cin) =
б) если уравнение (3) не имеет решений в целых неотрицательных
числах, то считаем, что g(cin) не определено;
в) если уо — наименьшее целое неотрицательное решение урав-
нения (3) и при некотором yi G N и меньшем у$ значение /(оц, ...
..., an-i, yi) не определено, то полагаем, что д(ап) не определено.
О функции д(хп), построенной указанным способом из функ-
ции f(xn), говорят, что она получена из функции f(xi, ..., жп-1, хп)
с помощью операции минимизации по переменной хп (или, короче,
с помощью минимизации по хп). Используются следующие обозна-
чения: д = Mf или д(хп) = MXnf(xn), или д(хп) = /ь„(/(?п)), или
д(хп) = хп_!, у) = хп).
Замечание. Операции примитивной рекурсии и минимизации
можно применять по любым переменным, входящим в функции /, д
и Л, но всегда нужно указывать, по каким переменным эти операции
проводятся.
Простейшими будем называть в дальнейшем следующие функции:
a) s(x) = х + 1 (функция следования);
б) о(х) = 0 (нулевая функция);
в) 1^(ж1, ..., хп) = хт (1 т п; п ~ 1, 2, ...) (селекторная
функция или функция выбора аргумента).
Класс Кпр всех примитивно рекурсивных функций представляет
собой множество всех функций, которые могут быть получены из
простейших функций с помощью операций суперпозиции и примитив-
ной рекурсии.
Классом Кчр всех частично рекурсивных функций называется
множество всех функций, которые могут быть получены из прос-
тейших функций с помощью операций суперпозиции, примитивной
рекурсии и минимизации.
Замечание. При определении классов Кпр и Кчр предполагает-
ся, что при построении каждой конкретной функции соответствующие
операции применяются не более чем конечное число раз (некоторые
или все операции могут вообще не применяться).
Класс Кор всех общерекурсивных функций представляет собой
множество всех всюду определенных частично рекурсивных функций.
Нетрудно показать, что Кор С Кчр (включение строгое). Спра-
ведливо также и строгое включение КПр С Кор (т.е. существуют об-
щерекурсивные функции, не являющиеся примитивно рекурсивными).
Через Кв будем обозначать класс всех частичных числовых функ-
ций, вычислимых на машинах Тьюринга.
Теорема (о представлении вычислимых функций в специальной
форме, аналог теоремы С. К. Клини о нормальной форме частично ре-
курсивных функций). Для всякой вычислимой функции f(xi, ..., хп)
существуют такие примитивно рекурсивные функции Ф/(ж1,...
. • •, Жп, жп+1) и Gf(xly ..., хп, хп+1), что
f(xi, ..., жп) = Ф/(жь ..., хт, piy(Gf(x1, ..., хп,у) = 0)).
Здесь iiy(Gf(xi) ..., жп, у) = 0) — минимальное целое неотри-
цательное решение уравнения Gf(xi, ..., хп, у) =0 (для каждого
набора значений переменных ..., хп); если при заданном набо-
ре (xj, ..., х^) решения нет, то /iy(Gf(x^ ..., ж®, у) = 0) не опреде-
лено.
Справедливо утверждение: классы Кчр и Кв совпадают.
Пример 1. Обосновать примитивную рекурсивность функции
/(ж, у) = х + (2 — у) , построив описывающие ее примитивно рекур-
сивные схемы.
Решение. Запишем схему примитивной рекурсии для функ-
ции /(ж, г/), ведя рекурсию по переменной х:
/(0, у) = 2-у = д(у),
f(x + 1, у) = х + 1 + (2 у) = s(f (ж, у)) = 1%(х, у, s(f(x, ?/))).
Из этой схемы следует, что для описания функции /(ж, у) достаточно
иметь функцию д(у) = 2 — у и функцию Л(ж, у, z) = Zf(x, у, s(z)).
Очевидно, что функция h(ж, 7/, z) представима в виде суперпозиции
простейших функций. Дадим примитивно рекурсивное описание
функции 9(9). Имеем 9(()) = 2 = ,(s(()||
д(у + 1) = /ii(г/, д(уУ) = 2-(у + 1) = 1 - у.
Значит, hr (у, z) = Ii(<p(y), z), где </?(«/) = 1 - у.
Следовательно, надо еще построить примитивно рекурсивное опи-
сание функции 99(7/), которая, как нетрудно заметить, есть sgy. Легко
видеть, что
^(0) = 1 = 5(0),
<р(у + 1) = 0.
Итак, /(ж, у) строится из простейших функций с помощью операций
суперпозиции и примитивной рекурсии. Значит, она примитивно ре-
курсивная функция.
Пример 2. Применить операцию минимизации к функции
у х _ (Зх 4- 2, если х 2,
[не определено, если х = 2.
Результирующую функцию представить в «аналитической» форме.
Решение. Для каждого xq Е N ищем минимальное решение
уравнения /(?/)= ж0. Так как множеством значений функции /(ж)
является множество {Зп + 2 | п 2} = {2, 5} U {11, 14, 17, ..., Зп +
+ 2, ...}, то уравнение f(y) = х$ имеет решения лишь при xq =
= 2, 5, 11, 14, ...; для всякого такого xq решение единственное (оно
Хо - 2\
равно —-—).
Принимая во внимание, что функция /(ж) при х = 2 не опреде-
лена, заключаем: найденные решения, превосходящие 2, т.е. 3, 4, ...,
не являются допустимыми (см. п. в) определения операции миними-
зации). Итак, функция д(х) = /Lxf(x) определена только при х = 2
И X = 5; 5(2) = 0, 5(5) = 1.
В качестве «аналитической» записи функции д(х) можно взять
_________2 ___ _______________________2
формулу —------F sg (6 — х) (ибо функция —-— определена только
при х = 2, 5, 8, 11, ..., Зп + 2, ..., а функция sg (6 — ж) — только
для х < 6, причем sg (6 — 2) = sg (6 - 5) = 0).
2.1. Используя в качестве исходных функций только константы
и простейшие функции, построить примитивно рекурсивные схемы,
описывающие следующие функции:
1) sgx; 2) sgx; 3) х + у; 4) пх,
5)ж—1; 6) х—у', 7) х • у; 8) ж2;
где п 2 и натуральное;
9) х2 + 2?/2;
10) х\ =
1, если х = 0,
1 • 2 • ... • ж, если
х 1;
П) [i];
12) х ф у =
0, если
1, если
четное,
нечетное,
(сумма) по модулю 2).
х + У
х + у
2.2. Применяя операцию примитивной рекурсии к функциям д(х)
и Л(ж, ?/, z) по переменной ?/, построить функцию /(ж, у) = R(g, h),
записав ее в «аналитической» форме:
1) д(х) = ж, Л(ж, ?/, z) = х + z', 2) д(х) = ж, Л(ж, ?/, z) = х + у;
3) д(х) = 2Ж, Л(ж, ?/, z) = 2х • z; 4) д(х) = Зж, Л(ж, ?/, z) = Зу • z\
5) 9(ж) = 1, h(x, у, z) = х-у, 6) д(х) = 2, h(x, у, z) = z-x;
z ч Л 7 / х СV, если х > у,
7) д(х) = 2х, h(x, у, z) = <
[0, если X < у;
8) д(х) = Sg£, Л(ж, 7/, z) = X • Sgy + Z • SgX.
2.3. Доказать примитивную рекурсивность следующих функций,
используя простейшие функции и функции sgrr, sgrr, х + у, х — у,
х-у, х ф у (сумма по модулю 2; см. задачу 2.1, 12)):
1) \х — у\-, 2) min (ж, у); 3) тах(ж, у); 4) х2 • у2 ф z3;
М _ fх- если У = о,
7 LуJ [целая часть от деления х на у, если у Г,
6) ах, где а 2 и натуральное;
7) fa если х j — какие-либо числа из
[ж в ином случае,
... (di, если х = z, i = 0, 1, ..., т,
J \-^) — )
[с в ином случае,
здесь clq, ai, ..., ат, с — какие-либо числа из
0 при х четном,
х при х нечетном;
9) /(ж) = |
10) =
1, если х = Im, I = 0, 1, 2,...,
0 в ином случае,
m 2 и натуральное;
11) [х/^]-
2. 4. 1) Доказать, что если функция д(х) примитивно рекурсивна,
то всюду определенная функция f(x), отличающаяся от д(х) только в
конечном числе точек, является примитивно рекурсивной.
2) Пусть gi(x) и #2 (ж) — примитивно рекурсивные функции. До-
казать, что функция
р1(ж), если а х 6,
д2 (ж) в ином случае,
/(ж) = {
где (atN, b Е N), примитивно рекурсивна.
3) Показать, что если функции д(у), <£1(ж), ipz(x) и <£з(ж) прими-
тивно рекурсивны, то функция
¥>2 (Ж),
^з(ж),
/(ж, у) = <
если д(у) а,
если а < д(у) 6,
если д(у) > Ь,
где 0 а 6 (a^N, b Е IV), примитивно рекурсивна. Условия,
наложенные на функцию д(у), надо понимать так: рассматриваются
все такие значения ?/, при которых функция д(у) удовлетворяет ука-
занному соотношению.
4) Пусть ^1(ж), gz(x) и дз(х, у) — примитивно рекурсивные функ-
ции. Доказать, что тогда примитивно рекурсивна и функция /(ж, у),
определяемая следующей схемой:
/(О, у) = gi(y),
/(ж + 1, 0) = д2(х),
/(ж + 1, у + 1) = 0з(яг, у)
(здесь х 0 и у 0).
5) Пусть функция ^(^1, ..., жп_1, хп) (n 1) примитивно рекур-
сивная. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
Хп
а) Л(ж") = У р(ж1, ®„-i, г);
£=0
Хп
б) /2(ж") = ®та-1, г).
i=0
6) Доказать, что функция /(ж), определяемая соотношения-
ми /(0) = 1, /(1) = 2, f(m + 2) = 3/(m + 1) — 2/(m) (m 0), явля-
ется примитивно рекурсивной.
7) Доказать, что следующие функции /1(ж) и /2 (х) примитивно
рекурсивные:
1, если х = a1 (Z = 0, 1, 2, ...),
0 в ином случае,
а 2 и натуральное;
б) /2 (ж) = [loga (х + 1)], О 2 и натуральное.
а) Л(ж) =
2.5. Применить операцию минимизации к функции / по перемен-
ной Xi (результирующую функцию представить в «аналитической»
форме):
1)Ж) = 3, 2 = 1; 2) f(X1)=xr+2, i = 1;
3) /(a?i) = Ж1 - 2, г = 1; 4) /(жх) = Ж1 - 2, г = 1;
5) /(^1) = 2ж1 + 1, г = 1; 6) /(жх) = 2^1 — 1, г = 1;
7)/(®1) = [у], 2 = 1; 8)/(ц) = ^, 2 = 1;
9) /Ы = [у] [у], г = 1; Ю) Ж, х2) = 1?(Х1, ж2),
11) /(жх, ж2) = Жх - х2, г = 1, 2;
12) /(ж1, х2) = sg(a?i - 2ж2), г = 1;
13) /(ж1, ж2) = xi - 1/х2, г = 1,2;
14)/(Ж1, ж2) = 2Ж1 (2ж2 + 1), 2 = 1,2;
i = 2;
15) /(Ж1) = <
х\ + 1, если = 0, 1, 2,
не определено, если х± = 3,
i = 1.
х\ — 4, если х\ 4,
2.6. Найти примитивно рекурсивную функцию (если она сущест-
вует), из которой однократным применением операции минимизации
можно получить частично рекурсивную функцию /:
1)/(х1) = 2-Ж1; 2)/(х1) = ^-; 3) /Ы = уур
4) /(жх) = sg (жх - 1); 5) /(жх, ж2) = Х1 - 2ж2;
6) f(X1, х2) = 7) f(X1, х2) =
8) f^,x2) = -^-----.
1 — Х1 - Х2
2.7. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
2)M[i]'x); 3)^(ж'К]);
4) \х - ); 5)/ArQ-iZz^l); 6) цх(х-[х/ж]2).
2.8. 1) Доказать, что однократное применение операции миними-
зации к всюду определенной числовой функции приводит к функции,
определенной хотя бы в одной точке.
2) Привести пример одноместной примитивно рекурсивной функ-
ции, из которой двукратным применением операции минимизации
можно получить нигде не определенную функцию.
3) Сформулировать условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы функция ii>xf(x) была нигде не определенной.
4) Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что
числовая функция /хж/(ж) является всюду определенной.
5) Доказать, что если функция /(ж, у) не является всюду опреде-
ленной, то таким же свойством обладает каждая из функций /хж/(ж, у)
И /lyftx, у).
2.9. 1) У всюду определенной функции /(ж, у) обе переменные
существенные. Предположим, что у) и /луф(х, у) — всюду
определенные функции. Может ли хотя бы одна из этих функций
зависеть существенно только от одной переменной?
2) У всюду определенной функции /(ж, у) ровно одна существен-
ная переменная. Могут ли у функции у) быть существенными
обе переменные, если предположить дополнительно, что она всюду
определена?
2.10. Обосновать вычислимость следующих функций:
1) /(ж, у, z) = [^у] • (ж-§1(2®-у))-(ж4-1)3;
2) f(x, у, z) = (-^ + З^) • ((ж2 - у) + г));
3) /(ж, у, z) = 4х2 ~ y2'z - (ж2 + I)2 (sg (ж - 2У) + г);
4) /(ж, у, z) = . 2(z3+j/)-sg(^ yz\
z -I- 1
2.11. Каковы мощности классов JCnp, А"ор, А?чр и Кв?
2. Некоторые специальные свойства рекурсивных функций.
2.12. Опровергнуть следующее утверждение: если машина Тью-
ринга вычисляет функцию /1(ж) Е JfOp\^np5 то вычислимая на этой
машине функция /2(^5 у) не является примитивно рекурсивной.
2.13. 1) Машины Тьюринга Ti и вычисляют примитивно ре-
курсивные функции /1(ж) и /2(^0 соответственно. Следует ли отсюда,
что композиция Т1Т2 этих машин вычисляет обязательно примитивно
рекурсивную функцию? А если машины Т? и Т2 правильно вычисляют
функции fi и f2?
2) Машина Тьюринга Т вычисляет примитивно рекурсивную
функцию /(ж). Справедливо ли следующее утверждение: если ите-
рация машины Т вычисляет некоторую всюду определенную функ-
цию д(х), то функция д(х) обязательно примитивно рекурсивна?
2.14. Известно, что /(ж) Е Кор и что при всех х 0 выполня-
ются соотношения /(2ж) = f{x + 1) и f(2x + 1) = f(x). Вытекает ли
отсюда, что /(ж) — примитивно рекурсивная функция?
2.15. Функции gi(x) и д2(х) являются всюду определенными вы-
числимыми функциями, удовлетворяющими следующему условию: ка-
кова бы ни была примитивно рекурсивная функция /(ж), найдется xq
такое, что /(#о) < Pi(^o) + #2(^0). Доказать, что хотя бы одна из
функций gi(x) и д2(ж) не является примитивно рекурсивной.
2.16. Функция /(ж) принадлежит множеству /Сор\/Спр (т.е. обще-
рекурсивна, но не является примитивно рекурсивной функцией). По-
казать, что каждая из приводимых ниже функций также содержится
в множестве Кор\Кпр:
1)/(ж + 3); 2)/(ж—2); 3) /([|]); 4)/([^]); 5)/(ж-у3);
Vf^y2\, 7)/(2Ж2+у); 8)/([^П.
2.17. Пусть частично рекурсивная функция /(ж) такова, что функ-
ция р(ж), определяемая условием
/ \ _ Г0 в тех точках5 где /(ж) определена,
[ 1 в точках, где /(ж) не определена,
является общерекурсивной. Показать, что функцию /(ж) можно до-
определить до общерекурсивной функции.
2.18. Выяснить, образует ли множество М полную систему отно-
сительно совокупности операций 0 в классе Кчр, если:
1) М = Кчр\Кор, 0 = {операции примитивной рекурсии и мини-
мизации};
2) М = Хчр\Хор, 6 = {операция отождествления переменных};
3) М = Кор\Кпр, 6 = {операции суперпозиции и минимизации}.
Глава VI
ГРАФЫ И СЕТИ
§ 1. Основные понятия теории графов
1. Простейшие свойства графов. Изоморфизм графов.
Пусть V — конечное непустое множество и X — некоторый набор
пар элементов из V. В наборе X могут встречаться пары, состоящие
из одинаковых элементов, а также одинаковые пары. Множество V
и набор X определяют граф с кратными ребрами и петлями (или,
короче, псевдограф) G = (V, X). Элементы множества V называются
вершинами псевдографа, а элементы набора X — ребрами псевдо-
графа.
Ребра вида (v, v), v eV, называются петлями. Псевдограф без
петель называется графом с кратными ребрами (или, короче, мулъ-
тиграфом). Если в наборе X нет петель и ни одна пара не встречается
более одного раза, то мультиграф G = (V, X) называется графом.
Ниже почти все определения даются для графов. Эти определения,
как правило, легко переносятся на мультиграфы и псевдографы. В
тех случаях, когда различия в определениях существенны, даются
определения и для псевдографов.
Если пары в наборе X являются упорядоченными, то граф называ-
ется ориентированным графом (или, короче, орграфом). Ребра ориен-
тированного графа часто называются дугами. Если пары в наборе X
являются неупорядоченными, то граф называется неориентирован-
ным графом (или просто графом). Если х = (и, и) — ребро графа, то
вершины и и и называются концами ребра х. Если вершина и является
концом ребра х, то говорят, что v и х инцидентны. Вершины пни
графа G называются смежными, если существует ребро графа G,
соединяющее их (т.е. (u, v) е X). Два ребра называются смежными,
если они имеют общую вершину.
Степенью вершины и (обозначения d(v) и deg(v)) называется
число ребер графа, инцидентных вершине и. В псевдографе степень
вершины и равна общему числу ребер (и петель), инцидентных этой
вершине, сложенному с числом петель, инцидентных ей (т. е. каж-
дая петля, инцидентная вершине v, в величину степени вершины и
«вносит вклад», равный 2). Вершина графа, имеющая степень О,
называется изолированной, а вершина, имеющая степень 1, — вися-
чей (или концевой). Ребро, инцидентное висячей вершине, называют
концевым.
Последовательность
VXXXV2X2V3 . . . Vn-rXn-iVn (п 2), (1)
в которой чередуются вершины и ребра и при этом для каждого i =
= 1, ..., п — 1 ребро Xi имеет вид (v^, t^+i), называется маршрутом,
соединяющим вершины v± и vn (или, короче, (vi, ип)~ маршрутом).
Число ребер в маршруте называется его длиной. Маршрутом дли-
ны нуль называется последовательность, состоящая из единствен-
ной вершины. Маршрут, в котором все ребра разные, называется
цепью. Маршрут, в котором все вершины разные, называется простой
цепью. Маршрут (1) называется замкнутым, если и± = ип. Замкну-
тый маршрут, в котором все ребра различные, называется циклом.
Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, разные,
называется простым циклом.
Граф называется связным, если для любых двух различных его
вершин существует цепь (маршрут, простая цепь), соединяющая их.
Расстоянием между вершинами связного графа называется длина
кратчайшей (а значит, простой) цепи, соединяющей эти вершины.
Диаметром связного графа называется расстояние между двумя наи-
более удаленными друг от друга вершинами. Диаметр графа G обыч-
но обозначают через D(G).
Подграфом графа G называется граф, все вершины и ребра кото-
рого содержатся среди вершин и ребер графа G. Подграф называется
собственным, если он отличен от самого графа. Компонентой связ-
ности (или, короче, компонентой) графа G называется его связный
подграф, не являющийся собственным подграфом никакого другого
связного подграфа графа G. Остовным называется подграф, содер-
жащий все вершины графа.
Подграфом графа G = (V, X), порожденным подмножеством U
(U С V), называется граф Н = (U, Y), множество ребер которого
состоит из тех и только тех ребер графа G, оба конца которых ле-
жат в U.
Графы (псевдографы) G = (V, X) и Н = (U, Y) изоморфны,
если существуют такие два взаимно однозначных соответствия ср:
V U и ф: X Y, что для всякого ребра х = (и, и) из X спра-
ведливо соотношение ф(х) = (<р(и), </?(?;)).
В случае графов можно дать следующее определение. Графы G =
= (V, X) и Н = (U, Y) изоморфны, если существует такое взаимно
однозначное отображение </?: V U, что (и, и) Е X тогда и только
тогда, когда (</?(u), <p(v)) G Y.
Такое отображение ср называется изоморфным (или изоморфиз-
мом).
Операция удаления вершины из графа G состоит в удалении неко-
торой вершины вместе с инцидентными ей ребрами. Операция уда-
ления ребра из графа G = (V, X) заключается в удалении соот-
ветствующей пары из набора X. При этом, если не оговаривается
противное, все вершины в графе сохраняются.
Дополнением G графа G называется граф, в котором две вершины
смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G. Если
графы Gi и G% изоморфны, то их дополнения также изоморфны.
Операция подразбиения ребра (и, и) в графе G = (У, X) состоит
в удалении от X ребра (u, v), добавлении к V новой вершины w и
добавлении к X\{(u, v)} двух ребер — (u, w) и (w, и).
Граф G называется подразбиением графа Н, если G может быть
получен из Н с помощью операции подразбиения ребра, примененной
конечное число раз. В частности, подразбиением графа Н является и
сам граф Н.
Графы G и Н называются гомеоморфными, если некоторые их
подразбиения изоморфны. Объединением графов G = (V, X) и Н =
= (U, У) называется граф F = (V U U, X U У).
Деревом называется связный ациклический (т.е. не имеющий
циклов) граф. Ациклический граф называется лесом.
Полным называется граф, в котором любые две различные вер-
шины смежны. Полный граф с п вершинами обозначается через Кп.
Пустым (вполне несвязным) называется граф, не имеющий ребер.
Вполне несвязный граф с п вершинами является, очевидно, допол-
нением полного графа Кп и поэтому часто обозначается через Кп.
Одновершинный граф без ребер называется тривиальным (его можно
обозначать через или К±).
Двудольным называется граф, множество вершин которого можно
разбить на два непустых подмножества (на две доли) V± и 14 таким
образом, что никакие две вершины из одной и той же доли не являются
смежными. Двудольный граф с долями Vj_ и 14 и множеством ребер X
обычно обозначается через (14, 14, X). Если каждая вершина из Vi
смежна с каждой вершиной из 14, то двудольный граф называется
полным двудольным графом. Полный двудольный граф (14, 14, X), у
которого |Vi| = Hi и |Т41 = П2, обозначается через КП1?П2.
Справедлива следующая теорема Д. Кёнига: граф является дву-
дольным тогда и только тогда, когда в нем отсутствуют циклы
нечетной длины.
Граф называется однородным (или регулярным) графом степе-
ни d. если все его вершины имеют степень d. Регулярный граф
(подграф) степени 1 называется паросочетанием. Регулярный граф
степени 3 называется кубическим; k-фактором графа называется его
остовный однородный подграф степени к.
Совершенным паросочетанием графа называется его 1-фактор.
Максимальным паросочетанием графа называется паросочетание, со-
держащее наибольшее число ребер.
Единичным п-мерным кубом называется граф Вп, вершинами
которого являются двоичные наборы длины п, а ребрами — неупо-
рядоченные пары соседних наборов (см. гл. I, § 1).
Вершина графа, при удалении которой увеличивается число ком-
понент связности, называется разделяющей (или точкой сочленения).
Граф называется k-связным, если при удалении любых к — 1 его
вершин получается связный граф, отличный от тривиального.
Всюду в данном параграфе под графом понимается граф без
петель и кратных ребер.
1.1. Показать, что для произвольного псевдографа G = (V, X)
справедливо равенство d(v) = 2|Х|.
v£V
Замечание. Это первая теорема теории графов (принадлежа-
щая Леонарду Эйлеру и опубликованная в 1736 г.).
1.2. Обозначим через n*(G) число вершин степени i в графе G.
Построить все попарно неизоморфные графы без петель и кратных
ребер, у которых:
1) ^(G) = 1, nz(G) = 734(G) = 2 и ni(G) = 0 при i 2, 3, 4;
2) 732(G) = 3, 733(G) = 2, 734(G) = 1 и T3^(G) = 0 при i 2, 3, 4.
1.3. Изобразить все попарно неизоморфные 4-вершинные графы
без петель и кратных ребер.
1.4. Построить все попарно неизоморфные несвязные 5-вершинные
графы, не имеющие петель, кратных ребер и изолированных вершин.
1.5. Изобразить все попарно неизоморфные 6-вершинные графы
без петель и кратных ребер, состоящие:
1) из 4 компонент; 2) из 3 компонент; 3) из одной компоненты и
имеющие 7 ребер и 2 висячие вершины.
1.6. Сколько существует попарно неизоморфных 6-вершинных
графов без петель и кратных ребер со следующим набором степеней
вершин: (2, 2, 3, 3, 3, 5)?
1.7. Сколько существует попарно неизоморфных, не имеющих пе-
тель и кратных ребер кубических графов с 6 вершинами? Есть ли
среди них двудольные графы?
1.8. Существует ли 6-вершинный граф без петель и кратных
ребер, имеющий такой набор степеней вершин: (2, 2, 2, 4, 5, 5)?
1.9. Выяснить, какие наборы степеней вершин могут быть у
6-вершинных связных графов без петель и кратных ребер, имею-
щих 7 ребер и содержащих вершину степени 2 и вершину степени 3.
Для каждого допустимого набора степеней вершин построить пример
соответствующего графа.
1.10. Показать, что в любом графе без петель и кратных ребер,
содержащем не менее 2 вершин, найдутся 2 вершины с одинаковыми
степенями.
1.11. Доказать, что для всякого п 3 существует тз-вершинный
связный граф без петель и кратных ребер, содержащий п — 1 вершин
с неравными друг другу степенями.
1.12. Доказать, что в мультиграфе всякий замкнутый маршрут
нечетной длины I 3 содержит простой цикл. Справедливо ли ана-
логичное утверждение для маршрутов четной длины?
1.13. Пусть 6(G) — наименьшая из степеней вершин графа G, не
имеющего петель и кратных ребер и содержащего п вершин (п 2).
1) Доказать, что если 6(G) (п — 1)/2, то граф связен.
2) Показать, что в предыдущем утверждении заменить (п — 1)/2
на [(п — 1)/2] нельзя.
1.14. Индукцией по п доказать, что связный псевдограф с п вер-
шинами содержит не менее п — 1 ребер (п 1).
1.15. Доказать, что если из связного мультиграфа удалить про-
извольное ребро, содержащееся в некотором цикле, то новый мульти-
граф будет также связным.
1.16. Доказать, что в связном псевдографе любые две простые
цепи максимальной длины имеют хотя бы одну общую вершину.
Верно ли, что у них всегда есть общее ребро?
1.17. Доказать, что всякий связный псевдограф, имеющий не ме-
нее двух вершин, содержит вершину, не являющуюся разделяющей.
1.18. Показать, что если в мультиграфе степень каждой вершины
больше 1, то в нем есть цикл.
_1.19. Пусть G — произвольный граф без петель и кратных ребер,
a G — его дополнение. Доказать, что£_
1) хотя бы один из графов G или G связен;
2) если в G более 4 вершин, то хотя бы в одном из графов G или G
имеется цикл;
3) если граф G несвязен или его диаметр не меньше 3, то диаметр
графа G не больше 3;
4) если v — разделяющая вершина графа G, то она не является
разделяющей в графе G.
1.20. Граф (без петель и кратных ребер) называется самодопол-
нителъным, если он изоморфен своему дополнению.
1) Показать, что если граф самодополнительный, то число вершин
в нем равно либо 4Z (I 1), либо 4/ + 1 (I 0).
2) Доказать, что среди 4-вершинных графов самодополнительным
является только один, а среди 5-вершинных — только два.
3) Показать, что самодополнительный граф связен.
4) Доказать, что диаметр самодополнительного нетривиального
графа G удовлетворяет неравенствам 2 D(G) 3.
1.21. Выяснить, сколько существует попарно неизоморфных гра-
фов без петель и кратных ребер, имеющих:
1) 6 вершин и 11 ребер; 2) 7 вершин и 18 ребер; 3) 8 вершин и 24
ребра; 4) 6 вершин, 7 ребер и 2 компоненты связности; 5) 8 вершин и
удовлетворяющих следующему условию: сумма степеней всех вершин
не меньше 53.
1.22. Пусть у графа без петель и кратных ребер п вершин и з
компонент связности. Доказать, что число ребер в нем не меньше, чем
п — s и не превосходит (n — s)(n — s + 1)/2. Вывести отсюда, что если
у n-вершинного графа (п 2) число ребер больше (п — 2)(п — 1)/2,
то он связный.
1.23. Доказать, что если в псевдографе имеются ровно две верши-
ны нечетной степени, то существует цепь, соединяющая их.
1.24. Показать, что если в n-вершинном графе без петель и
кратных ребер нет циклов нечетной длины и число ребер боль-
ше ((п — 1)/2)2, то граф связен (п 2).
1.25. Пусть G — граф с п 2 вершинами, не имеющий петель.
Доказать эквивалентность следующих утверждений:
1) G — связный граф с п — 1 ребрами;
2) G — связный граф, но после удаления любого ребра получается
несвязный граф;
3) любая пара различных вершин в графе G соединена единствен-
ной цепью;
4) граф G не имеет циклов, но добавление ребра, соединяющего
любые две различные вершины, приводит к появлению цикла.
1.26. Доказать, что во всяком дереве с п 2 вершинами содер-
жится не менее двух висячих вершин.
1.27. Пусть m — число висячих вершин у n-вершинного дерева,
не содержащего вершин степени 2. Доказать, что ni n/2 + 1.
1.28. 1) Индукцией по п доказать, что каждое дерево с п 2
вершинами является двудольным графом.
2) Какие деревья являются полными двудольными графами?
1.29. Изобразить все попарно неизоморфные деревья:
1) с 6 ребрами и 3 висячими вершинами; 2) с 6 ребрами и 4
висячими вершинами; 3) с 7 ребрами и 3 висячими вершинами;
4) с 8 ребрами и 3 вершинами степени 3.
1.30. Подсчитать число попарно неизоморфных 7-вершинных де-
7
ревьев, удовлетворяющих условию ^^d2{vi) 26.
г=1
1.31. Описать все графы, являющиеся деревьями вместе со своими
дополнениями.
1.32. Пусть п, т и з — соответственно число вершин, число ребер
и число компонент у мультиграфа G. Доказать, что:
1) число циклов у мультиграфа G не меньше, чем т — п + з;
2) мультиграф G является лесом тогда и только тогда, когда
т — п + s = 0.
1.33. Если графы G и 77, не имеющие петель и кратных ребер,
изоморфны, то для каждого 7^0 число вершин степени d в графах G
и Н одинаково. Показать, что:
1) в том случае, когда в каждом из графов G и Н не более четырех
вершин, сформулированное (необходимое) условие для изоморфности
графов является также и достаточным;
2) это условие не является достаточным для графов с пятью и
более вершинами, причем если число вершин не меньше 6, то даже
для деревьев.
1. 34. Среди пар графов, изображенных на рис. 6.1-6.5, указать
пары изоморфных и пары неизоморфных графов. Ответ обосновать.
1. 35. 1) Пусть G и Н не имеют петель и кратных ребер, являются
двухсвязными, содержат по 6 вершин и по 8 ребер. Пусть, кроме
того, граф G имеет ровно 2 вершины степени 2, а граф Н — ров-
но 4 вершины степени 3. Изоморфны ли графы G и Н‘?
2) Известно, что 6-вершинные графы G и Н не имеют петель и
кратных ребер, двухсвязны, содержат по 10 ребер и удовлетворя-
ют следующему условию: степень одной вершины в каждом из них
равна с/i (1 c?i 5), а степени всех остальных вершин равны
(с/2 < di). Показать, что графы G и Н изоморфны.
1.36. Выяснить, существуют ли в графах, изображенных на
рис. 6.6, подграфы, гомеоморфные графу G:
14 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Рис. 6.7
1) G = K4 (рис. 6.7, а); 2) G = К5 (рис. 6.7,6); 3) G = К2,з
(рис. 6.7, в).
1.37. Пусть п — нечетное число, не меньшее 3, и — под-
множество всех вершин куба Вп, имеющих вес к (см. гл. I, § 1).
Пусть Gn — подграф куба Вп, порожденный множеством В^-^^ U
I 1 Гп
иП(п+1)/2’
1) Построить по одному совершенному паросочетанию в гра-
фах G3 hGs.
2) Показать, что в графе G? существует совершенное паросоче-
тание.
1.38. 1) Привести пример связного однородного графа степени 4,
не имеющего петель и кратных ребер и не содержащего остовного
простого цикла.
2) Доказать, что всякий однородный псевдограф степени 4 мож-
но представить в виде объединения двух реберно непересекающихся
2-факторов.
2. Ориентированные графы. Ориентированный псевдограф
G = G(V, X) определяется непустым (конечным) множеством V и
набором X упорядоченных пар элементов из V. Элементы множест-
ва V называются вершинами, а элементы набора X — дугами (или
ориентированными ребрами) ориентированного псевдографа G(V, X).
В наборе X могут встречаться пары вида (v, и), называемые
петлями, и одинаковые пары, называемые кратными (или параллель-
ными) дугами. Пары (и, и) и (v, и) считаются одинаковыми лишь в
том случае, когда и = и.
Ориентированным мулътиграфом называется ориентированный
псевдограф, не содержащий петель. Если в ориентированном псев-
дографе нет ни петель, ни кратных дуг, то он называется ориен-
тированным графом (или, короче, орграфом). Направленным гра-
фом называется такой орграф, который не имеет симметричных пар
ориентированных ребер (т. е. множество X у направленного графа
не может содержать одновременно и дугу (u, v), и противоположно
направленную дугу (v, и)).
Пусть х = (u, и) — дуга ориентированного псевдографа. Верши-
ну и называют началом или начальной вершиной, а вершину и -
концом или конечной вершиной дуги х. В этом случае говорят также,
что дуга х исходит из вершины и и заходит в вершину и. Если
вершина и является началом или концом дуги х, то говорят, что и
и х инцидентны.
Полу степенью исхода вершины v псевдографа G называется число
дуг псевдографа G, исходящих из вершины и. Полу степень исхода
вершины и обозначается через od (и) или d+(y). Аналогично полу-
степенью захода вершины и (обозначения: id (и) и d~(v)) называется
число дуг псевдографа, заходящих в вершину и.
Заменяя каждую упорядоченную пару (и, и) из набора X ориен-
тированного псевдографа G(V, X) неупорядоченной парой {и, и}, сос-
тоящей из тех же элементов и и г, получаем псевдограф Н = (V, Х°),
ассоциированный с ориентированным псевдографом G(V, X).
Ориентированные псевдографы Gi(Vi, Х±) и ^2(^2? А^) называ-
ются изоморфными, если существуют два таких взаимно однознач-
ных соответствия (р: Vi 14 и ф: Х± А4. что для всякой дуги
х = {и, v) Е Xi справедливо соотношение ф(х) = (<^(г/), <^(v)).
Операции удаления вершины и дуги, а также понятия подгра-
фа, остовного подграфа и порожденного подграфа определяются для
ориентированных псевдографов аналогично тому, как это делалось в
случае неориентированных псевдографов.
При определении ориентированных маршрута, замкнутого марш-
рута, цепи, цикла, простой цепи и простого цикла требуется (в от-
личие от определения соответствующих «неориентированных поня-
тий»), чтобы последовательность (вершин и дуг) и±, х±, #2, ...
..., жп_2, vn-i) xn_i, vn (п 2) удовлетворяла условию: каждая ду-
га xi (1 i 4 п — 1) имеет вид (vi, t^+i), т.е. вершина Vi является
началом дуги Xi, а вершина — ее концом. Считается, что ориен-
тированный (и, ^-маршрут ориентирован от своей первой вершины и
к своей последней вершине и.
Длиной маршрута называется число дуг в нем. Расстояни-
ем р{и, и) от вершины и до вершины v называется длина кратчай-
шего (и, -^-маршрута.
Ориентированный маршрут называется путем, а ориентирован-
ный простой цикл — контуром.
Ориентированная простая остовная цепь называется гамильтоно-
вым путем (или гамильтоновой цепью). Гамильтоновым контуром
называется остовный контур ориентированного псевдографа. Если
ориентированный псевдограф содержит гамильтонов контур, то сам
псевдограф также называется гамильтоновым.
Говорят, что вершина v ориентированного псевдографа G дости-
жима из вершины и, если в псевдографе G существует (и, т^-путь,
т.е. путь, исходящий из вершины и и заходящий в вершину и. (В этом
определении вместо (и, г>)-пути можно рассматривать ориентирован-
ную (и, т^-цепь или ориентированную простую (и, т^-цепь.)
Ориентированный псевдограф называется сильно связным (или
сильным), если любая вершина в нем достижима из всякой другой его
вершины. Ориентированный псевдограф называется односторонне
связным (или односторонним), если для любых двух различных его
вершин по меньшей мере одна достижима из другой. Ориентирован-
ный псевдограф G(V, X) называется слабо связным (или слабым),
если ассоциированный с ним псевдограф (V, Х°) является связным.
Если ориентированный псевдограф не является даже слабо связным,
то он называется несвязным. Тривиальный орграф, состоящий лишь
из одной вершины, считается (по определению) сильно связным.
Сильной компонентой ориентированного псевдографа G называ-
ется любой его ориентированный подграф, являющийся сильно связ-
ным псевдографом и не содержащийся ни в каком другом сильно
связном ориентированном подграфе псевдографа G.
Аналогично односторонняя компонента представляет собой
«максимальный» (по включению) односторонний псевдограф-под-
граф псевдографа G, а слабая компонента — «максимальный» (по
включению) слабый псевдограф-подграф в G.
Пусть 7 = {Si, S2, ..., Sn} — множество всех сильных компонент
ориентированного псевдографа G. Конденсацией G* ориентирован-
ного псевдографа G называется такой орграф (без петель и крат-
ных дуг), у которого множеством вершин является множество 7,
а дуга (Si, Sj) присутствует в орграфе G* тогда и только тогда,
когда в псевдографе G существует хотя бы одна дуга, исходящая
из некоторой вершины компоненты Si и заходящая в какую-нибудь
вершину компоненты Sj (г j).
Если G = G(V, X) — ориентированный псевдограф, то обратный
к нему ориентированный псевдограф G' задается тем же множеством
вершин V и таким множеством дуг X', что дуга (и, и) принадле-
жит X' тогда и только тогда, когда дуга (и, и) принадлежит X.
Вершина и ориентированного псевдографа G называется источ-
ником, если из нее достижима любая другая вершина псевдогра-
фа G. Стоком ориентированного псевдографа G называется всякая
его вершина и, являющаяся источником в обратном (к псевдографу G)
ориентированном псевдографе G'.
Ориентированный псевдограф называется полным, если в нем
любые две различные вершины соединены хотя бы одной дугой. Тур-
ниром называется полный направленный граф. Орграф G называется
растущим деревом, если ассоциированный с ним граф является дере-
вом и если в G есть источник.
1.39. Построить все попарно неизоморфные орграфы (без петель
и кратных дуг), содержащие:
1) 3 вершины и 3 дуги; 2) 3 вершины и 4 дуги; 3) 4 вершины и 3
дуги.
Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо
связных?
1.40. Изобразить все попарно неизоморфные ориентированные
псевдографы, содержащие:
1) 2 вершины и 2 дуги; 2) 2 вершины и 3 дуги; 3) 3 вершины и 2
дуги.
Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо
связных?
1.41. Построить все попарно неизоморфные направленные графы,
имеющие:
1) 3 вершины и хотя бы одну дугу; 2) 4 вершины и 4 дуги;
3) 5 вершин и 3 дуги.
Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо
связных?
1.42. Построить все попарно неизоморфные турниры с:
1) 3 вершинами; 2) 4 вершинами.
Сколько среди них сильно связных, односторонне связных и слабо
связных?
1.43. Изобразить все попарно неизоморфные турниры с 5 верши-
нами, содержащие вершину с нулевой полу степенью захода и вершину
с нулевой полустепенью исхода. Для каждого из них построить кон-
денсацию.
1.44. Построить все попарно неизоморфные растущие деревья с:
1) 4 вершинами; 2) 5 вершинами; 3) б вершинами, не содержащие
ориентированных цепей длины, превосходящей 3.
1.45. 1) Доказать, что в n-вершинном (п 3) сильно связном
орграфе (без петель и кратных дуг) число дуг (обозначим его через т)
удовлетворяет неравенствам п т п(п — 1).
2) Доказать, что в n-вершинном (п 2) слабо связном орграфе
(без петель и кратных дуг), не являющемся сильно связным, число
дуг (обозначим его через т) удовлетворяет неравенствам п — 1
< т < (n — I)2.
1.46. Доказать, что если полустепень исхода каждой вершины
ориентированного псевдографа положительна, то в нем существует
ориентированный цикл. (Петля считается ориентированным циклом
длины 1.)
1.47. Пусть орграф G (без петель и кратных дуг) является по
меньшей мере слабо связным. Пусть V = {гц, , vn} — множест-
во его вершин (п 2) , с/+(г>1) — ^-(^i) = 1, с?+(^2) — с/-(^2) = — 1,
d+(ry) = d~(vj) при j = 3, ..., п. Доказать, что в орграфе G сущест-
вует ориентированная (^i, г^-цепь, содержащая все его дуги.
1.48. 1) Доказать, что ориентированный псевдограф, имеющий не
менее 2 вершин, сильно связен тогда и только тогда, когда в нем
существует ориентированный остовный замкнутый маршрут.
2) Можно ли в приведенном утверждении заменить замкнутый
маршрут циклом?
1.49. Доказать, что слабо связный псевдограф является сильно
связным тогда и только тогда, когда в нем существует ориентиро-
ванный замкнутый маршрут, содержащий каждую дугу псевдографа
хотя бы один раз.
1.50. Пусть ориентированный псевдограф G можно представить в
виде объединения некоторых его ориентированных замкнутых марш-
рутов Mi, М2, ..., (fc 1), удовлетворяющих условию: каждые
два соседних маршрута Mj и Mj+i (1 j к — 1) имеют хотя бы
одну общую вершину. Показать, что псевдограф G сильно связен.
1.51. 1) Привести пример 7-вершинного орграфа без петель и
кратных дуг, опровергающий следующее утверждение: если полу-
степени исхода и захода любой вершины орграфа положительные
и четные, то для каждой вершины орграфа найдется контур, содер-
жащий ее.
2) Показать, что орграфа без петель и кратных дуг, имеющего
менее 7 вершин и опровергающего приведенное выше утверждение,
не существует.
1.52. Доказать, что в конденсации G* произвольного ориентиро-
ванного псевдографа G контуры отсутствуют.
1.53. Доказать, что если ориентированный псевдограф G не явля-
ется сильно связным, то он будет односторонним тогда и только тогда,
когда его конденсация G* имеет ориентированную остовную цепь.
1.54. Бесконтурным ориентированным мультиграфом называет-
ся мультиграф, не содержащий контуров. Доказать, что в бесконтур-
ном ориентированном мультиграфе существует вершина с нулевой
полустепенью исхода.
1.55. Доказать, что ориентированный псевдограф изоморфен
своей конденсации тогда и только тогда, когда он является бескон-
турным орграфом (не имеющим петель и кратных дуг).
1.56. Пусть G — слабо связный ориентированный псевдограф, не
являющийся односторонним. Доказать, что в G не существует такой
вершины, удаление которой дает сильно связный псевдограф.
1.57. Доказать, что слабо связный орграф является растущим
деревом тогда и только тогда, когда лишь одна его вершина имеет
нулевую полустепень захода, а полустепень захода любой из осталь-
ных вершин равна 1.
1.58. Показать, что во всяком полном ориентированном псевдогра-
фе существует источник, т.е. вершина, из которой достижима любая
другая вершина псевдографа.
1.59. Пусть G — полный сильно связный орграф (без петель и
кратных дуг), имеющий п 3 вершин.
1) Доказать, что, каково бы ни было к (3 к п), для всякой вер-
шины орграфа G найдется контур длины к, содержащий эту вершину.
2) Доказать, что если из орграфа G (при п 4) удалить произ-
вольную вершину, то результирующий орграф либо сильно связный,
либо становится сильно связным после добавления одной подходящей
дуги.
1.60. Показать, что в любом турнире существует гамильтонова
цепь.
1.61. Доказать, что турнир является сильным орграфом тогда и
только тогда, когда в нем имеется остовный контур (т.е. когда этот
турнир гамильтонов).
1.62. Пусть {??i, ..., vn} — множество вершин турнира. Доказать,
п п
ЧТО ^(^(^г))2 = - 1 - Й+(«г))2-
г=1 i=l
1.63. Пусть у вершины v турнира Т полу степень исхода не мень-
ше, чем полу степень исхода каждой другой вершины турнира. Дока-
зать, что расстояние от вершины v до любой другой вершины турнира
не превосходит 2.
1.64. Орграф G(V, X) без петель и кратных дуг называется тран-
зитивным, если из принадлежности дуг (и, и) и (у, w) множест-
ву X следует принадлежность множеству X дуги (u, w). Доказать,
что конденсация всякого турнира является транзитивным турниром.
1.65. Доказать, что в любом транзитивном турнире существует
гамильтонова цепь.
1.66. Пусть G(V, X) — орграф без петель и кратных дуг, а
G(V, X) — его дополнение, т.е. орграф, имеющий то же множество
вершин V и такое множество дуг, что (гц, ^2) Е X тогда и только
тогда, когда (fi, Д2) X (здесь, естественно, 7^2). Через h(G)
и h(G) обозначим число гамильтоновых цепей в G и G соответствен-
но. Доказать, что h(G) = h(G) (mod 2).
1.67. Пусть G(V, X) — произвольный турнир и h(G) — число
гамильтоновых цепей в нем. Доказать, что:
1) при изменении ориентации одной его дуги получается тур-
нир G', у которого число h(G') гамильтоновых цепей удовлетворяет
условию h(G') = h(G) (mod 2);
2) h(G) — нечетное число.
§ 2. Планарность и раскраска графов
Мультиграф называется планарным, если его можно изобразить
на плоскости так, что любые две дуги кривых (в частности, отрезки
прямых), изображающие ребра, либо не имеют общих точек, либо
пересекаются только в точках, соответствующих вершинам графа;
причем в любой точке пересечения сходятся лишь дуги (отрезки),
сопоставленные ребрам, инцидентным именно той вершине, которой
соответствует данная точка. Такая геометрическая фигура, являю-
щаяся изображением планарного мультиграфа, называется плоским
мулътиграфом. Внутренней гранью плоского мультиграфа называ-
ется конечная область плоскости, ограниченная простым циклом и
не содержащая внутри себя никаких вершин и ребер мультиграфа,
принадлежащих другим простым циклам. Простой цикл, ограничи-
вающий грань, называется ее границей. Часть плоскости, состоящая
из точек, не принадлежащих мультиграфу и никакой из его внутрен-
них граней, называется внешней гранью.
Из этих определений следует, что в гранях могут располагаться
«древовидные отростки» (в частности, концевые ребра и висячие вер-
шины); они в границы граней не включаются. Для связных плоских
мультиграфов, содержащих п вершин, т ребер и / граней (считая и
внешнюю), справедливо следующее соотношение, называемое форму-
лой Эйлера: п — т + f = 2.
Очевидно, что мультиграф G планарен тогда и только тогда,
когда планарен граф, получаемый из G заменой каждой совокупности
кратных ребер одним ребром с соответствующими концами (т.е.,
например, совокупность кратных ребер с концами v и w заменяется
одним ребром (v, w)).
Критерий планарности (теорема Понтрягина-Куратовско-
го). Граф планарен тогда и только тогда, когда ни один из его
подграфов не гомеоморфен ни ни (см. рис. 6.7, б и рис. 6.4).
Раскраской вершин графа (или ребер мультиграфа) называется
сопоставление (приписывание, назначение) цветов (красок) верши-
нам графа (соответственно ребрам мультиграфа). Раскраска назы-
вается правильной, если смежные вершины (соответственно ребра)
окрашены в разные цвета. Наименьшее число цветов, для которого
существует правильная раскраска вершин графа G, называется хро-
матическим числом графа G и обозначается через x(G). Наименьшее
число цветов, для которого существует правильная раскраска ребер
мультиграфа G, называется хроматическим индексом (или хромати-
ческим классом, или реберно-хроматическим числом) мультиграфа G
и обычно обозначается через x'(G).
Для хроматического числа графа G = (V, X) справедливы сле-
дующие оценки:
1) %(G) oj(G), где oj(G) — число вершин у наибольшего пол-
ного подграфа графа G (так называемое кликовое число графа G);
772
2) „2 _2 > r«e п = И и т = |Х|;
II Zi III
3) %(G) < A(G) + 1, где A(G) = maxd(v).
vEV
Для хроматического индекса мультиграфа G = (V, X) имеют мес-
то следующие оценки:
1) x'(G) A(G), где A(G) = maxd(r);
2) y'(G) [| A(G)j (теорема К. Шеннона);
3) %'(G) A(G) + p(G), где /i(G) = max//(-г, w) и w) -
(v,w)
число ребер, соединяющих в G вершины v и w, т.е. /1(G) — мощность
наибольшей из совокупностей кратных ребер в мультиграфе G;
эта оценка получена В.Г. Визингом.
Если G — граф (без петель и кратных ребер), то A(G) %'(G)
< A(G) + 1.
2.1. Применяя критерий Понтрягина—Куратовского, выяснить, пла-
нарны ли графы, изображенные: 1) на рис. 6.5, а, б; 2) на рис. 6.6, а, б, в.
п «секций»
п «секций»
б
Рис. 6.8
2.2. При каких п 2 являются планарными графы, изображен-
ные на рис. 6.8, а, б?
2.3. Построить граф с 6 вершинами и 12 ребрами, содержащий
одновременно подграфы, гомеоморфные и
2.4. Построить все попарно неизоморфные непланарные графы
без петель и кратных ребер, содержащие 6 вершин и 11 ребер.
2.5. Построить однородный 9-вершинный граф (без петель и
кратных ребер), который не планарен вместе со своим дополнением.
2.6. Используя формулу Эйлера, доказать непланарность сле-
дующих графов:
1) Кб (рис. 6.7, б); 2) К3,з (рис. 6.4); 3) граф Петерсена (рис. 6.6, а);
4) граф, изображенный на рис. 6.6, в.
2.7. 1) Выяснить, какое наименьшее число вершин нужно
удалить из графа G, чтобы получился планарный граф, если:
a) G — граф Петерсена (рис. 6.6, а); б) G —
граф, изображенный на рис. 6.9.
2) Выяснить, какое наименьшее число ребер
надо удалить из графа G, чтобы получился
планарный граф, если:
a) G = KQ- б) G = В4; в) G — граф Петер-
сена.
2.8. Выяснить, существует ли планарный
кратных ребер), у которого:
1) 7 вершин и 16 ребер; 2) 8 вершин и 17 ребер.
Рис. 6.9
граф (без петель и
2.9. Какое наибольшее число граней может быть у плоского
5-вершинного графа, не имеющего петель и кратных ребер? Изобра-
зите такой граф.
2.10. 1) Существует ли плоский 6-вершинный граф (без петель и
кратных ребер), у которого 9 граней?
2) Построить все попарно неизоморфные плоские 6-вершинные
графы (без петель и кратных ребер), имеющие 8 граней.
2.11. Графы Gi и G2 плоские, 6-вершинные, с одинаковым числом
граней. У графа G± четыре вершины степени 4 и две вершины
степени 3. У графа G2 две вершины степени 5, а остальные имеют
степени меньше 5. Какие степени могут быть у остальных вершин
графа G2? Изобразите все такие графы G± и СД.
2.12. Доказать, что в каждом планарном графе без петель и
кратных ребер есть вершина степени, не большей чем 5.
2.13. Плоский связный граф без висячих вершин, каждая грань
которого, включая и внешнюю, ограничена циклом длины 3, называ-
ется триангуляцией. Показать, что триангуляция с п 3 вершинами
имеет Зп — 6 ребер и 2п - 4 граней.
2.14. Доказать, что если у связного планарного графа (без петель
и кратных ребер), имеющего п вершин и т ребер, каждый простой
цикл содержит не менее к ребер (к 3), то т к(п — 2)/(fc — 2).
2.15. Доказать, что в любом планарном графе (без петель и
кратных ребер), имеющем не менее 4 вершин, найдутся хотя бы
4 вершины, степени которых не больше 5.
2.16. Показать, что 6-связных планарных графов (без петель и
кратных ребер) не существует.
2.17. 1) Показать, что плоский кубический граф, граница каждой
грани которого имеет не менее 5 вершин, содержит по крайней мере
20 вершин. Привести пример такого графа.
2) Пусть G — плоский связный кубический граф (без петель
и кратных ребер). Через Д (г 3) обозначим число тех граней
графа G, каждая из которых ограничена i ребрами. Доказать,
что У (6 - = 12-
г^З
2.18. Найти хроматические числа и хроматические индексы гра-
фов, изображенных на рис. 6.1, рис. 6.3, рис. 6.5 и рис. 6.6.
2.19. Найти хроматическое число и хроматический индекс гра-
фа G:
1) G = Вп (п^ 1); 2) G = Кп (п > 2); 3) G = Кт,п (n > т > 1).
2.20. Граф (без петель и кратных ребер) называется гамильто-
новым, если в нем существует простой остовный цикл (т.е. прос-
той цикл, содержащий все вершины графа). Такой цикл называют
гамильтоновым. Доказать, что если G — кубический гамильтонов
граф, то x'iG) = 3.
2.21. Пусть I — длина самой длинной простой цепи в графе G,
не имеющем петель и кратных ребер. Показать, что %(G) I + 1.
2.22. Пусть G — граф без петель и кратных ребер и A(G) —
наибольшая из степеней его вершин. Доказать, что %(G) △ (£?) + 1.
2.23. Доказать, что вершины всякого плоского графа (без петель
и кратных ребер) можно правильно окрасить в q 6 цветов.
2.24. Доказать, что для правильной раскраски ребер всякого
кубического мультиграфа достаточно 4 цветов.
§ 3. Деревья и сети
1. Корневые деревья. Пусть G = (V, Е) — граф с множеством
вершин V и множеством ребер Ен W CV — некоторое подмножество
вершин. Пару Г = (РИ, б?) будем называть сетью. Ребра и верши-
ны графа G называются ребрами и вершинами сети Г = (G, W).
Элементы множества W называются полюсами. Сеть называется
к-полюсной, если |W\ = к. Сеть Г = (G, W) является связной (пла-
нарной), если связным (планарным) является граф G. Две А;-по-
люсные сети изоморфны, если их графы изоморфны и при этом по-
люса одной сети взаимно однозначно соответствуют полюсам другой.
Корневым деревом (деревом с корнем) называется однополюсная сеть,
граф которой является деревом. Корневое дерево можно определить
также по индукции.
Базис индукции. Однополюсная сеть с одним ребром является
корневым деревом (рис. 6.10, а).
Индуктивный переход. Пусть А (рис. 6.10, б) —дерево с кор-
нем а и В (рис. 6.10, в) —дерево с корнем Ь. Тогда сеть С (рис. 6.10, г),
Рис. 6.10
полученная отождествлением полюсов а и Ь, является деревом с кор-
нем с = а = Ь. Далее, деревом является сеть D (рис. 6.10, д), полу-
ченная добавлением нового ребра (а, с), где с не является вершиной
сети А, и выбором вершины с в качестве нового корня.
Укладкой корневого дерева или плоским корневым деревом назы-
вается изображение дерева на плоскости. Укладку корневого дерева
можно провести в соответствии с процедурой индуктивного построе-
ния корневого дерева. При этом мы будем считать, что корневое дере-
во укладывается на плоскости с разрезом, представляющим собой по-
лупрямую, исходящую из корня. Ребра укладки дерева, инцидентные
корню, можно пронумеровать по часовой стрелке числами 1, ..., т.
где т — степень корня. Такая нумерация является однозначной в
случае расположения укладки на плоскости с разрезом. Если из плос-
кой укладки удалить ребро, инцидентное корню и имеющее номер г,
1 i т, то образуются две компоненты связности. Ту из компонент,
которая не содержит корня, назовем i-й ветвью укладки дерева. Будем
рассматривать ветвь как плоское корневое дерево с корнем в вершине,
инцидентной г-му ребру (в исходном дереве). Если ветвь не содержит
ребер, то будем называть ее пустой.
Два плоских корневых дерева А и В будем называть одинаковыми,
если:
1) АнВ — однореберные деревья;
2) Л и В — плоские корневые деревья с более чем одним ребром
и равными степенями корней и такие, что г-е ветви деревьев А
и В, имеющие один и тот же номер, либо пусты, либо являются
одинаковыми плоскими корневыми деревьями.
Деревья, не являющиеся одинаковыми, называются различными.
Каждому плоскому корневому дереву с т ребрами можно взаимно
однозначно сопоставить двоичный вектор длины 2т, называемый
кодом дерева. Код плоского корневого дерева определим по индукции.
Базис индукции. Дереву с одним ребром (см. рис. 6.10, а)
сопоставим вектор 01.
Индуктивный переход. Если дереву А (см. рис. 6.10, б) сопо-
ставлен вектор а, а дереву В (см. рис. 6.10, в) — вектор (3, то дереву С
(см. рис. 6.10, г) сопоставляется вектор а/3, а дереву D (см. рис. 6.10, д)
сопоставлен вектор 051.
Пример. Дереву, изображенному на рис. 6.11, а, сопоставляется
вектор 001001010111. Отметим, что код дерева с т ребрами является
двоичным вектором, обладающим следующими двумя свойствами.
р( 1. Число нулей в векторе а совпа-
\ 1 I /7/ дает с числом единиц.
\/ 2. Для любого к 2т число еди-
^'>^7''' ниц среди первых к координат на-
। j ! бора а не превосходит числа нулей
*о' среди тех же к координат.
а б Восстановить дерево по коду
Рис. 6.11 можно следующим образом.
Базис индукции. Вектору 01
сопоставляем дерево с одним ребром (см. рис. 6.10, а). Такое плоское
дерево единственно, поскольку все однореберные плоские корневые
деревья одинаковы.
Индуктивный переход. Пусть дан вектор а с 2т координа-
тами (m > 1), обладающий свойствами 1 и 2. Пусть к — наименьшее
четное число такое, что вектор Д, состоящий из первых к координат
набора а, удовлетворяет свойству 1. Если к < 2т, рассмотрим еще
вектор у, составленный из координат a^+i, ..., ап набора а. Тогда,
поскольку плоские корневые деревья А и В, кодами которых являются
соответственно наборы /3 и 7, определены однозначно в силу предполо-
жения индукции, то можно однозначно сопоставить вектору а дерево,
показанное на рис. 6.10, г. Если же к = 2m, то пусть S — вектор, полу-
ченный из а отбрасыванием первой и последней координат. Нетрудно
убедиться, что вектор 6 также обладает свойствами 1, 2. Тогда в
силу предположения индукции вектору 3 соответствует единственное
плоское дерево А. Сопоставим вектору а плоское дерево, изображенное
на рис. 6.10, д.
Код плоского корневого дерева можно получить также с помощью
обхода: при обходе дерева, начиная с корня, мы проходим каждое ребро
дважды (см. рис. 6.11, б). Первый проход вдоль ребра отмечаем нулем,
Рис. 6.12
а второй — единицей. В результате получаем тот же самый код де-
рева, что и при индуктивном способе построения.
3.1. Построить коды плоских корневых деревьев, изображенных
на рис. 6.12.
3.2. Построить плоское корневое дерево по его коду а:
1) 5 = 0010100111; 2) 5 = 00110101000111;
3) 5 = 0000010011011111; 4) 5 = 01001000110111;
5) 5 = 00100010110111; 6) 5 = 000101110100001011.
3.3. По вектору 5 установить, является ли он кодом какого-либо
плоского дерева:
1)5 = 001011; 2)5 = 0110; 3) 5 = 001001;
4) 5 = 010011; 5) 5 = 00111001; 6) 5 = 0001100111.
3.4. Множество векторов А разбить на классы так, чтобы каж-
дый класс состоял из кодов попарно изоморфных плоских корневых
деревьев:
1) А = {51 = 0 10 0 10 1101, 52 = 010 10 0 0 111,
53 = 0001110101, 54 = 0101001011, 5б = 0 10 0 0 1110 1};
2) А = {51 = 0100010110111, 52 = 000110011101,
53 = 001001011101, 54 = 010010010111,
5б = 010001100111};
3) А = {51 = 0 0 110 10 0 11, 52 = 010 0 110 0 11,
53 = 0010110101, 54 = 0100101101, 5б = 0 0 110 0 110 1}.
3.5. Доказать по индукции, что для всякого корневого дерева D
с п ребрами его код а = (оа ... Q2n) обладает свойствами 1 и 2,
сформулированными в рассмотренном выше примере.
3.6. Показать, что для числа ?/>(п) попарно различных плоских
корневых деревьев справедливы неравенства:
1)^(п)^4"; 2) V>(n) С2”„; 3) ^(п)
3.7. 1) Показать, что для числа ^(п) попарно различных плоских
корневых деревьев справедливо рекуррентное соотношение
^(п) = тДг — 1)^(п — г), -0(0) = -0(1) = 1.
i=l
2*) Доказать, что 'ф(п) = —
3.8. Доказать эквивалентность двух определений корневого де-
рева:
1) корневое дерево есть однополюсная сеть, граф которой связен и
не имеет циклов;
2) корневое дерево есть сеть, которую можно получить с помощью
индуктивного построения, описанного выше (см. индуктивное опреде-
ление корневого дерева).
3.9. Опираясь на индуктивное определение корневого дерева, до-
казать следующие свойства корневых деревьев:
1) число вершин корневого дерева на единицу больше числа его
ребер;
2) любая пара вершин корневого дерева соединена единственной
цепью;
3) добавление любого ребра к корневому дереву приводит к появ-
лению цикла.
3.10. Вершину корневого дерева будем называть висячей, если она
отлична от корня и имеет степень, равную 1.
1) Пусть корневое дерево имеет к висячих вершин и не имеет
вершин степени 2, отличных от корня. Доказать, что при к 2 общее
количество вершин не превосходит 2к.
2) Пусть каждая вершина корневого дерева, отличная от корня,
имеет степень, не превосходящую 3, а степень корня не превосходит 2.
Доказать, что число висячих вершин не превосходит п/2, где п -
число вершин корневого дерева.
Напомним, что расстоянием между вершинами и и и связного
графа G называется минимальное число Pg(u, v) ребер в цепи, соеди-
няющей вершины и и и. Диаметром связного графа G = (V, X)
называется число D(G) = max pg(u, v). Центром связного гра-
u,v£X
фа G = (V, X) называется вершина uq такая, что
max pG (uq, v) = min max pg (u, v),
vEX uEV vEV
а величина R(G) = шахрс(^о5 называется его радиусом. Цепь в
vEV
графе G назовем диаметральной, если она соединяет вершины ими
такие, что pg(u, = D(G), и имеет длину, равную D(G).
3.11. Найти количество центров z(T), радиус R(T) и диа-
метр D(T) для каждого корневого дерева Т из тех, что изображены
на рис. 6.12.
3.12. 1) Доказать, что радиус R(G) и диаметр D(G) графа G
связаны неравенствами R(G) D(G) 2R(G).
2) Показать, что обе оценки достижимы.
3) Доказать, что если G — дерево, то R(G) = ] [•
4) Доказать, что всякий центр дерева принадлежит каждой его
диаметральной цепи.
5) Доказать, что дерево обладает единственным центром в случае,
когда его диаметр — число четное, и обладает двумя центрами, когда
его диаметр — число нечетное.
3.13. Показать, что в дереве с нечетным диаметром любые две
простые цепи наибольшей длины имеют хотя бы одно общее ребро.
3.14. Доказать, что дерево (некорневое) однозначно с точностью
до изоморфизма восстанавливается, если заданы все попарные рас-
стояния между его висячими вершинами.
Подграф Н связного графа G называется остовным деревом гра-
фа G, если Н - дерево, содержащее все вершины графа Н.
3.15. 1) Для каждого d > 2 указать граф, диаметр которого ра-
вен d, а любой связный остовный подграф имеет диаметр, равный 2d.
2) Доказать, что в любом связном графе G существует остовное
дерево, диаметр которого не более чем в два раза превосходит диа-
метр графа.
2. Двухполюсные сети. Двухполюсная сеть Г = ({a, b}, G)
будет обозначаться кратко через Г(а, 6). Подграфом сети Г будем
называть произвольный подграф графа G. Пусть G — подграф се-
ти Г(а, Ь), содержащий хотя бы одно ребро. Тогда вершина подгра-
фа G называется граничной, если она либо является полюсом, либо
инцидентна некоторому ребру сети, не принадлежащему подграфу G.
Подграф сети называется отростком, если он обладает единствен-
ной граничной вершиной. Подсетью двухполюсной сети называется
ее подграф, имеющий ровно две граничные вершины. Эти верши-
ны называются полюсами подсети. Сеть Г({а, b}, G) называется
связной, если ее граф G является связным. Тривиальной называется
двухполюсная связная сеть, имеющая одно ребро. Если не оговорено
противное, то под цепью двухполюсной сети Г(а, Ь) будет подразу-
меваться цепь, соединяющая полюса а, Ь. Связная сеть называется
сильно связной, если через каждое ребро проходит цепь. Сильно связ-
ная цепь называется разложимой, если она обладает хотя бы одной
нетривиальной подсетью. В противном случае сильно связная сеть на-
зывается неразложимой. Пусть Г(а, Ъ) — разложимая сеть, G(c, d) —
ее нетривиальная подсеть, а Г1(а, Ь) — сеть, полученная из Г(а, Ъ)
заменой подсети G(c, d) одним ребром (с, d). Тогда в свою очередь
сеть Г (а, Ь) может быть получена подстановкой сети G(c, d) вместо
ребра (с, d) сети Г1(а, Ь). Таким образом, разложимая сеть Г(а, Ъ)
может быть задана указанием сети 1\(а, 6) ребра (с, с/), сети Ti(a, b)
и сети G(c, d) (рис. 6.13). Такое задание называется разложением
сети Г(а, Ь). Сеть Ti(a, b) называется внешней, а сеть G(c, d) -
внутренней сетью разложения. Сеть Г(а, Ь) называется суперпози-
цией сетей Ti (а, Ъ) и G(c, d). Сеть, состоящая из п параллельных
ребер, соединяющих полюса а, 6, обозначается через Г^(а, Ъ) или,
короче, Г^. Сеть, граф которой есть простая цепь длины ш. соеди-
няющая полюса а, 6, обозначается через Г^(а, Ь) или, короче, Г^.
Сеть, которая может быть получена из сетей Г? и Г2 применением
конечного числа операций подстановки сети вместо ребра, называется
параллельно-последовательной сетью или, короче, тг-сетью. Нетри-
виальная неразложимая сеть Г(а, 6), отличная от Г^а, Ь) и П(а, Ъ),
называется Н-сетью.
Разложимая сеть называется р-разложимой (соответственно
s-разложимой), если некоторая внешняя сеть разложения имеет
вид (соответственно Г^), т 2. Если некоторая внешняя сеть
разложения сети Г является 7?-сетью, то Г называется Н-разложи-
мой. Справедливо утверждение о том, что всякая разложимая сеть
является либо р-, либо s-, либо 7?-разложимой.
р-расщеплением сети называется р-разложение, при котором внут-
ренние сети разложения отличны от сетей вида Г?? и сетей, являющих-
ся р-разложимыми. Аналогично определяются s-расщепления.
Заметим, что сети и Гк (к 3) являются разложимыми, но не
допускают р-расщепления. Н-расщеплением называется разложение,
внешней сетью которого является Н-сегь. Каждой тг-сети Г с т 1
ребрами можно сопоставить плоское корневое дерево Т(Г) ст висячи-
ми вершинами такое, что: а) каждая вершина дерева Г (Г), отличная
от висячей, помечена символом р или $; б) на каждой цепи, идущей
от корня к висячей вершине, отметки р и s чередуются; в) вершины,
отличные от корня, имеют степень, не равную 2. Висячие вершины де-
рева Г (Г) пометок не имеют. Дерево Т(Г) определяется по индукции.
Если Г имеет вид (или Г^), то Т(Г) есть дерево, корень которого
помечен символом р (соответственно символом s), а остальные т
вершин являются висячими, смежными с корнем и не имеют пометок.
Если сеть Г отлична от сетей указанного вида, то она допускает
расщепление. Пусть внешняя сеть расщепления имеет вид (или Г|),
а внутренние сети суть Gi, G2, ..., Gk- Тогда дерево Г (Г) строится
следующим образом. Пусть T(Gi), T(G2), ..., T(Gk) — помеченные
плоские корневые деревья, соответствующие внутренним сетям р-
или s-расщепления. Тогда в качестве корня Г (Г) берется вершина
степени к, помеченная символом р (соответственно символом s). Вер-
шины ^1, ?72, • • •, Vk> смежные с корнем и не являющиеся висячими,
помечаются символом s (соответственно символом р) и отождествля-
ются с корнями деревьев T(Gi), T(G2), ..., T(Gk)- Например, тг-сети,
изображенной на рис. 6.14, а, соответствует дерево, изображенное
на рис. 6.14,#. Дерево Т(Г) называется диаграммой расщепления
я-сети Г.
Укажем теперь индуктивное правило построения тг-сети с h реб-
рами по заданному корневому помеченному дереву с h висячими вер-
шинами, являющемуся диаграммой расщепления некоторой тг-сети.
Базис индукции. Пусть плоское корневое дерево Т имеет один
ярус, т.е. каждая из h висячих вершин соединена ребром с корнем.
Тогда: а) если корень имеет пометку s, то сопоставим дереву Т
сеть Г(а, 6), представляющую собой цепь из h ребер, соединяющую
полюса а и 6; б) если же корень дерева Т имеет пометку р, то сопо-
ставим дереву Т сеть Г(а, 6), представляющую собой h параллельных
ребер, соединяющих полюса а, Ь.
Индуктивный переход. Пусть корень плоского помеченного
дерева Т имеет степень, равную к. Пусть 7i, Т2, ..., 7^ — ветви
корневого дерева, пронумерованные слева направо. Если корень дере-
ва Т помечен буквой s, a Ti(ai, &i), Г2(«2 5 62), • • •, Г^(ц^, bk) — сети,
сопоставленные соответственно ветвями Тъ, ..., Тк (пустой ветви
сопоставляется однореберная сеть), то дереву Т сопоставляется сеть,
являющаяся суперпозицией сети и сетей М (г = 1, ..., А;).
15 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
При этом сеть ГДс^, подставляется вместо г-го ребра сети Гк.
Таким образом, сеть Г, изображенная на рис. 6.14, а, соответству-
ет дереву Т (см. рис. 6.14,6), но не дереву Т', изображенному на
рис. 6.14, г. (Соответствующая сеть Г' изображена на рис. 6.14, в.) При
изображении сетей будем располагать полюс а слева от полюса Ь, а
ребра внешней сети Гк считать упорядоченными слева направо; полю-
са bi внутренних сетей bi) также считаются упорядочен-
ными. Если корень помечен буквой р, a Fi(tzi, bi), Г2(й2, ^2), •••
..., Г^(ц^, bk) — сети, сопоставленные соответственно ветвям Ti,
Т2, ..., Ti, то дереву Т сопоставляется сеть, являющаяся суперпози-
цией сети Гк и сетей Г\ («$, bi) (г = 1, ..., к) . При этом сеть bi)
подставляется вместо z-го ребра сети Г^. При изображении мы рас-
полагаем первую подсеть слева, затем располагаем вторую подсеть и
т.д. Соглашения об упорядоченности полюсов и ребер сетей позво-
ляют однозначно с точностью до изоморфизма строить тг-сети по их
диаграммам расщепления.
Вершина сети, отличная от полюса, называется внутренней. Вер-
шина v зависит от вершины и, если всякая цепь, соединяющая по-
люса и проходящая через v, проходит и через и. Вершины и и v
эквивалентны, если v зависит от и, и зависит от и. Вершина v слабее
вершины и, а вершина и сильнее вершины и, если v зависит от и, но
не эквивалентна ей. Вершина v называется минимальной, если она не
слабее никакой другой внутренней вершины сети. Вершина v назы-
вается разделяющей, если через нее проходят все цепи, соединяющие
полюса.
Пример. В сети, изображенной на рис. 6.15, а, вершины 2, 3
зависят от 1 и 4 и слабее их, вершина 2 эквивалентна вершине 3,
вершина 5 сильнее вершины 4, вершины 6 и 7 являются минималь-
ными и разделяющими и эквивалентны друг другу.
3.16. 1) Построить все попарно неизоморфные сильно связные
двухполюсные сети с 3 ребрами.
2) Найти число попарно неизоморфных сильно связных двухпо-
люсных сетей с 4 ребрами.
3.17. 1) Для каждой из сетей, представленных на рис. 6.16, ука-
зать тип разложения.
Рис. 6.16
2) Найти внешнюю сеть и внутренние сети расщеплений для се-
тей, представленных на рис. 6.16.
3.18. 1) Показать, что в каждой неразложимой сети, имеющей
более двух ребер:
а) степень каждого полюса не меньше 2;
б) степень каждой внутренней вершины не меньше 3.
2) Найти число попарно неизоморфных неразложимых сетей с
пятью ребрами.
3.19. Для сети Г, представленной на рис. 6.15, б. указать:
1) две пары вершин (u, v) такие, что и слабее v и вершины и, v
неэквивалентны;
2) две пары эквивалентных вершин (u, v);
3) пару вершин (u, v), не зависящих друг от друга;
4) все разделяющие вершины; 5) все минимальные вершины.
3.20. 1) Показать, что если неразложимая сеть имеет п > 3 вер-
шин и т ребер, то z
Р Зп < 2m+ 2 < п(п- 1). (1)
2) Доказать, что при четных п первое из неравенств (1) дости-
гается.
3.21. Показать, что всякая разделяющая вершина сети мини-
мальна.
3.22. Показать, что всякая разделяющая вершина сети, смежная с
обоими ее полюсами, минимальна.
3.23. Пусть все вершины сильно связной сети Г минимальны.
Выяснить, может ли сеть Г быть:
1) s-разложимой; 2) р-разложимой; 3) Н-разложимой.
3.24. Пусть все внутренние вершины
сети Г являются минимальными, сеть Г
не является ни р-, ни s-разложимой, число
вершин сети больше 3 и в Г нет кратных
ребер. Доказать, что Г является /7-сетью.
Рис. 6.17
3.25. Доказать неразложимость сети, представленной на рис. 6.17.
3.26. Пусть G — двухсвязный граф без кратных ребер, степень
каждой вершины которого не меньше 3. Верно ли, что, выбирая
произвольные две вершины в качестве полюсов, мы получаем нераз-
ложимую сеть?
3.27. Сколько попарно неизоморфных неразложимых сетей можно
получить, выбирая в n-мерном единичном кубе две вершины в качест-
ве полюсов?
3.28. Пусть Г — сильно связная сеть без кратных ребер и S'(Г) —
множество всех вершин сети v, не являющихся минимальными.
1) Верно ли, что если в сети Г соединить каждую вершину v мно-
жества 5(Г) с каждым из тех ее полюсов, с которыми v не соединена
ребром, то получится неразложимая сеть?
2) Верно ли, что если в сети Г соединить каждую вершину v ровно
с одним из тех ее полюсов, с которыми v не соединена ребром, то
получится неразложимая сеть?
3) Верно ли утверждение п. 1) при условии, что Г является
Н-разложимой сетью без кратных ребер?
4) Пусть сеть Г является Jf-разложимой сетью без кратных ре-
бер. Достаточно ли для получения из нее неразложимой сети соеди-
нить каждую вершину v из 5(Г) с одним из полюсов, с которыми v
не смежна?
5) Доказать, что разложимая сеть Г может быть сделана неразло-
жимой добавлением ребер тогда и только тогда, когда она не имеет
кратных ребер, не имеет ребер, соединяющих полюса, и обладает по
меньшей мере четырьмя вершинами.
6) Указать разложимую сеть с наименьшим числом ребер и вер-
шин, которую нельзя сделать неразложимой с помощью замены сетей
вида Г| и Г2 на ребра.
3.29. 1) Пусть в сильно связной сети Г имеется ровно одна мини-
мальная вершина и не менее трех ребер. Доказать, что сеть Г является
либо р-. либо s-разложимой.
2) Пусть в сильно связной сети Г, имеющей не менее трех ребер,
все минимальные вершины эквивалентны между собой. Доказать, что
сеть Г либо р-. либо s-разложима.
3.30. 1) Доказать, что если в Н-сетп удалить вершину вместе с
инцидентными ее ребрами, то получится связный граф.
2) Верно ли утверждение 1) для Н-разложимых сетей?
3.31. Пусть G = (У, РК, X) — связный двудольный граф, степень
каждой вершины которого не меньше 2. Пусть Г (а, Ь) — сеть, пост-
роенная путем добавления вершин а и b в качестве полюсов и соеди-
нения ребром каждой вершины множества V с полюсом а и каждой
вершины множества W с полюсом Ь. Доказать, что Г(а, Ь) является
Н-сетью.
3.32. Для каждой из тг-сетей, представленных на рис. 6.16, а, б,
г, д. построить диаграмму расщепления.
3.33. Для каждой из диаграмм расщепления Т(Г), представлен-
ных на рис. 6.18, восстановить сеть Г.
3.34. Доказать, что число попарно неизоморфных
ребрами не превосходит
3.35. Доказать эквивалентность следующих двух
тг-сетей с h
определений
к-сети:
1) сильно связная сеть Г(ц, Ь) называется тг-сетью, если ее ребра
можно ориентировать так, что в каждой простой цепи, соединяющей
полюса а и 6, все ребра цепи направлены от а к 6;
2) тг-сетями являются те и только те сети, которые получаются
следующим индуктивным процессом.
Базис индукции. Сети Г? и 1?2 (рис. 6.19, а) суть тг-сети.
Рис. 6.19
Индуктивный переход. Если сети А и В (рис. 6.19, б) яв-
ляются тг-сетями, то и сети, представленные на рис. 6.19, в, также
являются тг-сетями.
3.36. Пусть tp (Г) — число цепей сети Г, a <p(ri) = max <р (Г), где
максимум берется по всем тг-сетям с п ребрами. Положим s(n) = О
при п = 3m, s(n) = 2 при п = 3m + 1, s(n) = 1 при п = 3m + 2.
Показать, что <р(1) = 1 и ip(n) = (2/3)s(n) • З^/3^ при п > 1.
Длиной цепи называется число ребер в ней. Кратчайшей цепью
называется цепь наименьшей длины. Длиной сети называется длина
ее кратчайшей цепи. Разрезом называется множество ребер сети,
удаление которых разрушает все цепи. Разрез называется тупиковым,
если никакое его подмножество не является разрезом. Разрез называ-
ется минимальным, если он имеет минимальное число ребер. Число
ребер в минимальном разрезе называется шириной сети.
3.37. Доказать, что в тг-сети пересечение любой простой цепи и
любого тупикового разреза содержит ровно одно ребро.
3.38. Доказать, что для любой сильно связной сети с т ребра-
ми, имеющей длину I и ширину t, справедливо неравенство т It.
Глава VII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ
§ 1. Алфавитное кодирование.
Критерий однозначности кодирования
Пусть 21 = {di, d2. • • •, Яг} — алфавит. Конечная последователь-
ность символов из 2( называется словом в алфавите 21. Через 5(21)
будет обозначаться множество всех слов в алфавите 21. Пусть 21
и 23 — два алфавита. Однозначное отображение F произвольного
подмножества М С 5(21) на подмножества С С 5(23) называется
кодированием. При этом слова из М называются сообщениями, а их
образы — кодами сообщений. Множество С называется кодом мно-
жества сообщений М. Алфавит 21 называется алфавитом сообщений,
а алфавит 23 — кодирующим алфавитом. Кодирование F (или код С)
называется взаимно однозначным или однозначно декодируемым, ес-
ли каждый код сообщения является кодом ровно одного сообщения.
Пусть задано отображение Е букв алфавита 21 в множество 5(23)
вида
Е:
di —> В±,
О>2 ^2,
О/p 13 if..
Кодирование F^: 5(21) —> S(%F), удовлетворяющее свойствам:
1)ГЕ(^) = В, (г = 1, ...,г);
2) F^ (d^ d/2 • • • -Sf2 • • • Bik,
где под произведением слов АВ понимается приписывание слова В
справа к слову А, называется алфавитным кодированием, задаваемым
схемой Е. Множество кодовых слов {В±, В%, ..., Вг} будет обозна-
чаться через (7(E) и называться кодом алфавита в схеме Е.
Если В = В1В2, то Bi называется префиксом, а В2 — суффиксом
слова В. Префикс (суффикс) слова В называется собственным, если
он отличен от пустого слова (обозначаемого через А) и от само-
го слова В. Длиной слова называется число букв в нем. Схема Е
(код (7(E), кодирование Е^) обладает свойством префикса, если для
любых слов Bi и Bj (г j) из (7(E) слово Bi не является префиксом
слова Bj. Код S(E), обладающий свойством префикса, называется еще
префиксным кодом.
Префиксный код С(Е) называется полным, если для каждого сло-
ва Р в кодирующем алфавите справедливо одно из следующих утверж-
дений: 1) Р является префиксом (не обязательно собственным) некото-
рого слова из С(Е2); 2) некоторое слово из C(S) является собственным
префиксом слова Р.
Один из алгоритмов распознавания однозначности декодирования
заключается в следующем. Пусть C(S) — алфавитный код. Пусть Si —
множество слов (3, обладающих следующим свойством: слово /3 явля-
ется собственным суффиксом некоторого кодового слова В и собст-
венным префиксом некоторого кодового слова В±, отличного от В, и,
кроме того, не является кодовым словом кода C(S). Положим S =
= Si U {Л}. Сопоставим коду C(S) ориентированный граф Ge, вер-
шинами которого являются элементы множества S и в котором дуга,
ведущая из вершины а в вершину /3 (J3 а), присутствует тогда и
только тогда, когда существует кодовое слово В и последовательность
Р = В^, ..., Bis кодовых слов такие, что В = аВ^ ... Bts(3. При этом
последовательность Р может быть и пустой, если ни одна из вершин а,
/3 не совпадает с Л. Дуге, ведущей из а в /3, припишем последова-
тельность Р. Дуги вида (а, а), ведущие из а в а, рассматриваться
не будут, за исключением случая се = Л. Дуга (петля) из Л в Л при-
сутствует в графе Ge тогда и только тогда, когда существуют сло-
во В и последовательность кодовых слов Р = В±, ..., Bs, где s 2,
такие, что В = В± ... Bs. Петле (Л, Л) припишем слово В.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1 (Ал. А. Марков). Алфавитный код G(E) является
однозначно декодируемым тогда и только тогда, когда в графе
отсутствуют контуры и петли, проходящие через вершину Л.
Теорема 2 (неравенство Макмиллана). Для всякого однозначно
декодируемого кода в q-буквенном кодирующем алфавите с набором
длин кодовых слов Zi, Z2, • • •, lr выполнено неравенство
г=1
Теорема 3. Для всякого однозначно декодируемого кода в
кодирующем алфавите 03 с набором длин кодовых слов 1±, 1%, ..., 1Г
можно построить префиксный код С(S') с тем же набором длин
кодовых слов и в том же кодирующем алфавите.
Следствие. Пусть Zi, Z2, Zr — натуральные числа такие,
что 1- Тогда существует префиксный код в q-буквенном ко-
i=l
дирующем алфавите с набором длин кодовых слов вида {Zi, Z2, ..., Zr}.
Пример 1. Выяснить, является ли кодирование взаимно од-
нозначным, если G(S) = {a, ab, cab, baac}. Если да, то указать слово,
декодируемое двумя способами.
Рис. 7.1
Решение. Граф G^ показан на рис. 7.1, а. Существует контур,
проходящий через вершину Л. Выписывая слова, приписанные вер-
шинам и дугам контура, получаем слово, декодируемое неоднозначно:
a baac ab = аб a a cab.
Пример 2. Та же задача для кода С'(Е) = {а, б, aab}.
Решение. Граф показан на рис. 7.1,#. Граф содержит пет-
лю (Л, Л). Код не является однозначно декодируемым. Слово, декоди-
руемое неоднозначно, есть: aab = а^а^Ь^.
Пример 3. Та же задача для кода
С(Е) = {саб, абс, бсс, abca, abcb}.
Решение. Граф G^ показан на рис. 7.1,6. Контуров и петель,
проходящих через Л, нет. Код является однозначно декодируемым.
1.1. Выяснить, обладает ли код С свойством префикса:
1) С = {а, Ьа, бб, ббба}; 2) С = {аб, бб, ba, aab};
3) С = {ас, с, бб, abc, bac, abb, abcb}; 4) С = {а, ba, cab, acb};
5) С = {а, ba, ЬЬа, ..., (б)па, ... };
6) С = {а, Ьа, ..., с(а)п, ...}.
1.2. Выяснить, является ли код С с кодирующим алфави-
том {0, 1, 2} однозначно декодируемым:
1) С = {01, 201, 112, 122, 0112};
2) С = {001, 021, 102, 201, 001121, 01012101};
3) С = {0, 01, 0010001001};
4) С = {20, 01202, 22, 2001, 2012010, 10201121, 1112};
5) С = 01, 011, 100, 2100, 101210, 001210};
6) С = {01, 011, 100, 2100, 10110, 00112};
7) С = {01, 12, 021, 0102, 10112};
8) С = {01, 12, 012, 111, 0102, 10112, 01112};
9) С = {01, 12, 012, 0102, 020112};
Ю) С = {01, 10, 210, 121, 0210, 0112};
11) С = {01, 10, 210, 201, 0210, 011022, 2221};
12) С = {01, 10, 210, 201, 0210, 011022, 221};
13) С = {01, 10, 210, 201, 0210, 011022};
14) С = {01, 12, 011, 01210, 20120, 2011220};
15) С = {01, 12, 011, 01210, 201120, 2011220};
16) С = {ООО, 0100, 10, 1001, 0010010};
17) С = {01, 12, 01121, 21201}.
1.3. Выяснить, является ли слово Р в алфавите {0, 1, 2} кодом
сообщения в кодировании, задаваемом схемой
1 -НО
2 —> 12
3 -> 012
4-> 101
5 -> 2100
Если да, то выяснить, является ли Р кодом ровно одного сообщения:
1) Р = 10120121012100; 2) Р = 1012101201210012;
3) Р = 0121001210201; 4) Р = 120120121001210;
5) Р = 1010122100; 6) Р = 12101210012; 7) Р = 101212101012;
8) Р = 1010012100101.
1.4. Выбрать максимальное по числу элементов подмножество В
множества А с условием, что двоичные разложения наименьшей дли-
ны чисел из В представляют собой
а) префиксный код; б) однозначно декодируемый код:
1) А = {1, 5, 6, 7, 12, 13, 17}; 2) А = {1, 3, 6,8,10,13,19,33,37};
3) А = {2, 6, 7, 9, 12, 15, 18, 35, 36, 37};
4) А = {1, 2, 5, 8, 9, 10, 13, 15};
5) А = {2, 3, 7, 8, 11, 12, 13, 14};
6) А = {3, 5, 6, 9, 10, 13, 17}; 7) А = {1, 2, 5, 8, 9, 12, 13, 14};
8) А = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13};
9) А = {4, 6, 7, 10, 13, 15, 20, 23, 25};
10) А = {5, 7, 9, 10, 12, 14, 17, 23, 24}.
1.5. Для кода С найти слово минимальной длины, декодируемое
неоднозначно:
1) С = {10, 01, 12, 012, 2100, 12011, 12010};
2) С = {0, 101010, 01010101}; 3) С = {0, (10)*+1, (01)*};
4) С = {010, 101, 01010, (01)*}, k = 3s + 1;
5) С = {0, (10)*, (01)™};
6) С = {001, Oil, 100, ПО, (1100)*}, k = 3s;
7) С = {0, 10, 11, (101)*}; 8) С = {01, 10, 11, (ПО)*}, k = 2s;
9) С = {0*, 0™}; 10) С = {(01)*0, 0(10)*+1, 1(01)™};
11) С = {0, 0*1, 1(0)™}; 12) С = {(01)*, (10)™, (01)s0};
13) С = {(01)*, (01)*+10, (10)*+21, (Ю)*1};
14) С = {0, 0*1(0)™, (1(0)™)21}; 15) С = {(01)*, (10)*+1; (01)*0};
16) С = {(01)*, (01)*+10, (10)*+2}.
1.6. Построить двоичный префиксный код С с заданной последо-
вательностью L длин кодовых слов:
1) L = (1, 2, 3, 3); 2) L = (1, 2, 4, 4, 4, 4);
3) L = (2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4); 4) L = (2, 2, 2, 4, 4, 4);
5) L = (2, 2, 3, 4, 4); 6) L = (2, 3, 3, 3, 4, 4).
1.7. С помощью неравенства Макмиллана выяснить, может ли
набор чисел L быть набором длин кодовых слов однозначно декоди-
руемого кода в Q-значном алфавите:
1) L = (1, 2, 2, 3), q = 2; 2) L = (/, 2, 2, 3), q = 3;
3) L = (2, 2, 2, 4, 4, 4), q = 2;
4) L = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3), q = 3;
5) L = (1, 1, 2, 2, 3, 3, 3), q = 3;
6) L = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3), q = 4.
1.8. Пусть в алфавитом двоичном коде С таком, что |(7| > 2П,
каждое слово имеет длину, не превышающую п.
1) Может ли код С быть однозначно декодируемым?
2) Может ли код С быть префиксным?
1.9. Пусть С(Е) — алфавитный код со схемой Е, |C(S)| = г, сум-
ма длин кодовых слов равна N, а максимальная из длин кодовых слов
равна I. Доказать, что код С(Е) является однозначно декодируемым,
если однозначно декодируются все коды сообщений, имеющие длину,
не превышающую (7 — 1)(7V — г + 1) + 1.
1.10. Пусть к — наименьшая, а I — наибольшая из длин кодовых
слов алфавитного кода С(Е) и N — сумма длин кодовых слов. Пока-
зать, что для установления однозначной декодируемости кода С(Х2)
достаточно исследовать на однозначную декодируемость все коды
сообщений, имеющих длину не больше Nl/k в алфавите сообщений.
1.11. Пусть М — множество, состоящее из г непустых слов в
алфавите, имеющем q букв. Показать, что:
1) в М найдется слово длины не меньше logQ(g + r(g — 1)) — 1;
2) для всякого е > 0 доля тех слов из М, длина которых не пре-
восходит (1 — б) logQ(l + r{q — 1)), не больше
(з) (r(q -1)) е при г 2, 0 2.
1.12. Доказать, что префиксный код С(Е) с (/-буквенным коди-
рующим алфавитом тогда и только тогда является полным, когда
выполнено равенство УУ q~li = 1, где Zi, Z25 , Zr — длины кодовых
слов из C(S).
1.13. Пусть Zi, Z2? • • •, 1Г — целые неотрицательные числа такие,
что УУ 2li 2П. Доказать, что в кубе Вп существуют попарно непе-
г=1
ресекающиеся грани </i, (/2, ..., Qr, размерности которых равны соот-
ветственно Zi, /2- • • •, Zn. Напомним, что к-мерной гранью куба Вп на-
зывается всякое множество д. для которого существуют подмножест-
во {zi, 22, ..., in-k} множества {1, 2, ..., п} и набор сч, 6Т2, ..., сгп-к
такие, что
д = {(«1, а2, ап) G Вп | = <jj, j = 1, к}.
1.14. Пусть код (7(E) состоит из двух непустых слов и не яв-
ляется однозначно декодируемым. Доказать, что наименьшая длина
декодируемого слова не превышает 21 — 1, где I — наибольшая из
длин кодовых слов. Привести пример кода, для которого эта верхняя
оценка достижима.
1.15. Пусть А’(С') — наименьшая длина неоднозначно декоди-
руемого слова в кодирующем алфавите кода С. Положим Х(7У, г) —
— шахХ(С), где максимум берется по всем неоднозначно декодируе-
мым кодам С с г кодовыми словами и суммой длин кодовых слов,
равной N. Доказать, что:
1) существует положительная константа ci такая, что 3)
< ci№;
2) для всякого к существуют такие число N к и код С = {Bi,
з
В2, В3}, что Z(Bj) = N и Х(С) C22V2, где С2 — константа,
i=l
не зависящая от к.
§ 2. Коды с минимальной избыточностью
Пусть заданы алфавиты А = {«i, «2, • • • 7 Qr}, В = {61, 62, • • •, bq}
г
и набор вероятностей Р = (pi, Р2, • • •, рг), Pi > 0, У^р^ = 1. Пусть
i=l
С = {wi, W2, ..., wr} — алфавитный префиксный код в алфавите В
такой, что слово Wi Е С является кодом буквы aj 6 А, и Ц — длина
п
слова Wi (г = 1, ..., г). Число lcp(C, Р) = ^^liPi называется избы-
i=l
точностью кода С или средней длиной кодового слова в коде С. По-
ложим Г(Р) = ш£с/ср(С, Р). Код С* такой, что /ср(С*, Р) = Г(Р),
называется q-ичным кодом с минимальной избыточностью для набо-
ра вероятностей Р (или оптимальным (Р, q^-кодом).
Метод Хаффмена для построения оптимальных (Р, 2)-кодов опи-
рается на следующие утверждения.
1. Среди кодовых слов максимальной длины I оптимального (Р, 2)-
кода найдутся два слова, имеющие один и тот же префикс длины I — 1.
2. Если слова Wj оптимального (Р, д)-кода соответствуют ве-
роятностям pz. Pj и pi > р7, то длины l(wi) и l(wj) этих слов связаны
неравенством l(wi) Z(wj).
3. Теорема редукции. Пусть С = (wi, W2, ..., wr) — двоич-
г
ный код, Р = (pi, р2, Рг), Р1^ Р2^ Рг, Pi> О, У2 р» = 1 -
i=l
распределение вероятностей. Пусть Wi, Wj (слова, имеющие макси-
мальную длину I и соответствующие вероятностям pi, pj) обла-
дают одинаковыми префиксами w длины 1 — 1. Положим р' = pi pj
и рассмотрим распределение вероятностей Р' = (pi, ..., p^-i, р',
Pk+i, • • ., Рг-i, Pi+ъ • • •, Pj-i, Pj+i, • • •, Pr), в котором вероятности
расположены в порядке невозрастания. Код С = (С U {w})\{wz. Wj}
является (Р', 2)-оптимальным тогда и только тогда, когда код С
является (Р, 2)-оптимальным.
Процедура Хаффмена для построения оптимального (Р, 2)-кода
заключается в следующем. Пусть вероятности в распределении Р =
= (^1, Р2, ..., рг) расположены в порядке невозрастания. Исключим
из Р вероятности pr-i и рг, а их сумму р вставим в оставшийся набор
таким образом, чтобы в получившемся новом наборе вероятности не
возрастали. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не полу-
чится набор из двух вероятностей. Для такого набора вероятностей
оптимальным является код, в котором каждой букве из алфавита
сообщений А ставится в соответствие 0 или 1. Исходя из полученного
на некотором шаге оптимального кода С' в соответствии с теоремой
редукции можно перейти к расширенному оптимальному коду С,
имеющему мощность, на единицу большую, чем код С. Продолжая
этот процесс, придем к искомому оптимальному (Р, 2)-коду с г сооб-
щениями.
Пример 1. Пусть А = {1, 2, ..., 6}, В = {0, 1}, Р = (0,4; 0,3;
0,1; 0,1; 0,05; 0,05), г = 6.
Схема построения оптимального (Р, 2)-кода выглядит следующим
образом:
А Р рг рП рШ pIV C'lv С1П сп с1 с
1 0,4 0,4 0,4 0,4 0,6 0 1 1 1 1
2 0,3 0,3 0,3 о,зЪ / 0,4 1 \ k Г 00 00 00 00
3 0,1 0,1 0,21 ^0,з/ loi^ Гою 011 011
4 0,1 0,11 ^o,ij 1011^ 10100 0100
5 0,051 ^0,1? 1оюц 101010
6 0,05j 101011
Всякому префиксному коду С в g-ичном алфавите В с задан-
ным набором вероятностей Р можно сопоставить помеченное дере-
во D(C, Р, q), называемое в дальнейшем деревом кода С, следую-
щим образом. Сопоставим каждому кодовому слову висячую верши-
ну, каждому собственному префиксу внутреннюю вершину, причем
одинаковым префиксам разных кодовых слов сопоставим одну и ту
же внутреннюю вершину. Пустому префиксу сопоставим вершину,
называемую корнем дерева. Соединим две вершины, соответствую-
щие префиксам и и w, ребром с пометкой 6, если и = wb или w = vb,
где b — буква алфавита В. Висячим вершинам припишем вероят-
ности, с которыми встречаются соответствующие кодовые слова.
Дерево D(C, Р, q) устроено так, что последовательность пометок,
приписанных ребрам цепи, соединяющей корень дерева с висячей
вершиной, представляет собой соответствующее кодовое слово. Непо-
меченное корневое дерево, полученное из D(C, Р, q) путем отбрасыва-
ния пометок, будем называть остовом дерева D(C, Р, q).
Пример 2. Пусть задан префиксный код С = {6, с, аа, ab, аса,
acb, асе} и набор вероятностей, соответствующих кодовым словам,
р /1111 1 1 1\
КЗ’ 9’ 3’ 27’ 27’ 27’ 9/ Р
во D(C, Р, д) показано на рис. 7.2.
Дерево D(C, Р, q), соответствующее оп-
тимальному (Р, д)-коду С, будет назы-
ваться оптимальным. Порядком ветвления
вершины v в дереве D называется число ре-
бер, инцидентных вершине v и не лежащих
на цепи, соединяющей вершину v с корнем.
Будем говорить, что вершина принадлежит
Л
Рис. 7.2
k-му ярусу дерева, если цепь, соединяющая
эту вершину с корнем,
содержит к ребер. Будем говорить, что ребро принадлежит к-му
ярусу, если оно соединяет вершины к-го и (к + 1)-го ярусов. Дерево D
называется (г, q)-насыщенным, если порядки ветвления всех его вер-
шин, за исключением, может быть, одной вершины, лежащей в послед-
нем ярусе, равны 0 или q, а порядок ветвления этой исключительной
вершины равен qo, где
<7о =
1 г
q — 1, если -------- — целое число,
д-1
в остальных случаях.
Построение (Р, q)-оптимальных кодов С, обладающих (г, д)-на-
сыщенными деревьями, производится аналогично построению (Р, 2)-
оптимальных кодов.
Пример 3. Построить (Р, 3)-оптимальный код для Р = (0,4;
0,3; 0,1; 0,1; 0,05; 0,05).
Решение. Поскольку г = 6, g = 3 и r/q — \ — целое число, то
qo = q — 1 = 2. Число qo дает количество «склеиваемых» на первом
шаге вероятностей. Построение кода проведем в два этапа, как и в
примере 1. Сначала редуцируем распределение Р, а затем, построив
оптимальный код для трех сообщений, расширим его до г = 6. Схема
построения оптимального (Р, 3)-кода имеет вид
A P p1 p11 G" c1 C
1 0,4 0,4 0,4^- —*0 0 0
2 0,3 0,3 0,3 * * 1 1 1
3 0,1 0,1' ^,0,3 —>2\ '20 20
4 0,1 0,1 21 21
5 0,051 ^0,lJ <22-^ ^Г220
6 0,05 J [221
2.1. С помощью процедуры Хаффмена построить двоичный код с
минимальной избыточностью для набора вероятностей Р:
1) Р = (0,4; 0,2; 0,2; 0,2); 2) Р = (0,7; 0,1; 0,1; 0,1);
3) Р = (0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2);
4) Р = (0,5; 0,2; 0,1; 0,09; 0,08; 0,03);
5) Р = (0,4; 0,3; 0,08; 0,06; 0,04; 0,04; 0,04; 0,04);
6) Р = (0,3; 0,3; 0,2; 0,04; 0,03; 0,03; 0,03; 0,03; 0,03; 0,01);
7) Р = (0,3; 0,2; 0,1; 0,1; 0,06; 0,06; 0,06; 0,06; 0,06);
8) Р = (0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,05; 0,05; 0,05; 0,05; 0,05).
2.2. Построить оптимальный (F, </)-код для заданных Р и q:
1) Р = (0,3; 0,2; 0,2; 0,2; 0,1), q = 3;
2) Р = (0,4; 0,2; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1), q = 3;
3) Р = (0,3; 0,3; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1), q = 3;
4) Р = (0,4; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 0,08; 0,06; 0,06), q = 3;
5) Р = (0,3; 0,2; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1), q = 4;
6) Р = (0,21; 0,20; 0,17; 0,16; 0,12; 0,08; 0,04; 0,02), q = 4;
7) Р = (0,20; 0,15; 0,15; 0,13; 0,12; 0,11; 0,11; 0,03), q = 4;
8) Р = (0,23; 0,22; 0,18; 0,17; 0,08; 0,04; 0,02; 0,02; 0,02; 0,02),
q = 4;
9) Р = (i; -; -; -; —; —; —; —Y 5 = 3;
1 \3 3’ 9’ 9’ 27’ 27’ 54’ 54/’ 4
. „ /1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \
' ~ V4’ 4’ 16’ 16’ 16’ 16’ 20’ 20’ 20’ 20’ 20/’ Q ~ '
2.3. Для заданного q указать набор вероятностей Р, при котором
существует 5-ичный префиксный код с заданным набором длин кодо-
вых слов L, являющийся (F, 5)-оптимальным. Построить этот код:
1)5 = 2, L= (1, 2, 3, 4, 5, 5); 2)5 = 2, L = (2, 2, 2, 3, 3);
3) 5 = 2, L = (2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4);
4)5 = 2, L = (1, 2, 4, 4, 4, 4); 5)5 = 3, L = (1, 1, 2, 2);
6) 5 = 3, L = (1, 1, 2, 3, 3, 3); 7) 5 = 3, L = (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2);
8)5 = 4, L=(l, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2);
9) 5 = 4, L = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3);
10) 5 = 4, L = (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2).
2.4. Для префиксного кода С с заданным набором вероятностей Р
построить дерево D(C, Р. q), соответствующее коду. Выяснить, явля-
ется ли код С оптимальным:
1) С = {1, 00, 01, 02, 20, 21}, Р = (0,5; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1);
2) С = {00, 01, 10, ПО, 111}, Р = |);
3) С = {0, 10, ПО, 1110, 1111}, Р = Y Y А; -YY
\Z 4 о 10 10/
4) С = {0, 1, 20, 21, 220, 221}, Р = (Y Y Y Y Y-; Y-Y
7 i ’ ’ > ’ ’ »’ V3’ 3’ 9’ 9’ 18’ 18/
5) C = {0, 10, 11, 120, 121, 122}, P = (Y Y Y-; Y-; -Y Y-Y
7 I ’ ’ ’ ’ ’ J’ \2 6 12 12 12 12/
6) C = {0, 20, 21, 220, 221, 222}, P = (Y Y Y -Y -Y -Y Y-Y
7 1 ’ ’ ’ ’ ’ J’ \2 6 6 12’ 12’ 12’ 12/
7) C = {0, 10, 11, 20, 210, 222}, P = (Y Y Y Y -Y; Y-Y
7 1 ’ ’ ’ ’ ’ ” \3 6 6 6 12’ 12/’
8) C = {0, 10, 11, 12, 20, 22}, P = (j; j; j; j;
9) C = {0, 10, 11, 120, 121, 122}, P = (Y Y Y Y Y 1);
10) C = {0, 1, 20, 21, 220, 221}, F = (Y; Y Y Y Y Y).
\6 6 6 6 6 6/
2.5 . а) Выяснить, какие из найденных в задаче 2.4 деревьев явля-
ются насыщенными.
б) Выяснить, какие из этих деревьев могут быть остовами опти-
мальных кодовых деревьев.
2.6 . Верны ли следующие утверждения?
1) Оптимальное дерево D(C, Р, 2) является насыщенным.
2) Оптимальное дерево D(C, Р, g), q > 2, является насыщенным.
3) В оптимальном дереве нет вершин с порядком ветвления, рав-
ным 1.
4) В оптимальном дереве все вершины, кроме одной, имеют поряд-
ки ветвления либо 0, либо q.
5) В оптимальном дереве все вершины, за исключением вершин
яруса I — 1, где I — максимальная длина кодового слова, имеют по-
рядок ветвления либо 0, либо q.
6) Всякое непомеченное (г, д)-насыщенное дерево можно пометить
так, что получится оптимальное кодовое дерево.
2.7 . 1*) Доказать, что префиксный код с g-значным кодирующим
алфавитом и совокупностью длин кодовых слов L = (Ai, А2, ..., Аг)
является полным, если q~Xi = 1, т.е. если в неравенстве Макмил-
г=1
лана имеет место равенство.
2) Используя теорему редукции, доказать следующее: при q = 2
всякий код с минимальной избыточностью является полным.
3) Верно ли утверждение п. 2) для q > 2?
2.8 . Доказать, что во всяком коде с минимальной избыточностью
среди кодовых слов наибольшей длины найдутся два слова, разли-
чающихся только последней буквой.
2.9 . Доказать, что в двоичном коде с минимальной избыточностью
число слов максимальной длины четно.
2.1 0. Выяснить, существует ли двоичный код с минимальной
избыточностью, обладающий заданной последовательностью L длин
кодовых слов:
1) L = (2, 3, 3, 3); 2) L = (3, 3, 3, 3); 3) L = (1, 3, 3, 3, 3);
4) L = (1, 2, 3, 4); 5) L = (1, 2, 3, 4, 4); 6) L = (1, 2, 3, 4, 4, 4);
7) L = (1, 2, 3, 4, 4, 4, 4); 8) L = (1, 3, 3, 3, 3, 3, 3);
9) L = (1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4); 10) L = (3, 3, 3, 3, 3, 3).
2.11. Выяснить, существует ли q-ичный код с минимальной из-
быточностью, обладающий заданной последовательностью L длин
кодовых слов:
1) L = (1, 1, 2), q = 3; 2) L = (1, 1, 2, 2), q = 3;
3) L = (1, 1, 2, 2, 2, 2), q = 3; 4) L = (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 3;
5) L = (2, 2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 3; 6) L = (3, 3, ..., 3), q = 3;
26 раз
7) L = (3, 3, 3), <7 = 3;
8) L = (1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5), q = 3;
9) L = (2, 2, 2, 3, 3, 3, 3), q = 4;
13 раз
10 L= (2, 2, 2, 3, 3, 3), q = 4.
11 раз
2.12. Показать, что если q < г qs — q + 1, s = 2, 3, ..., то в
q-ичном коде с минимальной избыточностью, содержащем г кодовых
слов, найдутся два слова разной длины.
2.13. Код называется почти равномерным, если длины его кодо-
вых слов различаются не более чем на единицу.
1) Показать, что для всякого натурального г найдется почти рав-
номерный код мощности г, являющийся кодом с минимальной избы-
точностью для набора вероятностей Р вида (1/г, 1/г, ..., 1/г).
2) Существуют ли наборы вероятностей, отличные от Р, для кото-
рых почти равномерный двоичный код является кодом с минимальной
избыточностью?
2.14. Показать, что максимальная длина кодового слова оптималь-
ного двоичного кода мощности г не превосходит г — 1.
2.15. Указать такой набор вероятностей Р = (pi, р?. ..., рг), что
набор длин кодовых слов двоичного кода с минимальной избыточ-
ностью для набора Р имеет вид (1, 2, 3, ..., г — 2, г — 1, г — 1).
2.16. Доказать (индукцией по г), что сумма длин кодовых слов
двоичного кода с минимальной избыточностью с г сообщениями не
превосходит - (г + 2)(г — 1).
2.17. Используя теорему редукции, показать, что число оптималь-
ных двоичных кодов с г кодовыми словами не превосходит 2r(r — 1)!.
2.18. 1) Доказать, что число схем Е: аг —> В, (г = 1, ..., г), где
ai — буквы алфавита А, |Л| = г, Bi — слова в алфавите В длины
не больше г — 1 (\В\ = д), не превосходит qr .
2) Префиксный алфавитный код со схемой Е: a>i —> Bi (i — 1, ..., г)
будем называть тупиковым, если после удаления любой буквы из
любого слова Bi код перестает быть префиксным.
а) Верно ли, что оптимальный код является тупиковым?
б) Доказать, что число тупиковых алфавитных g-ичных кодов
мощности г не превосходит (4g)2г.
Указание. Оценить число помеченных деревьев, соответствую-
щих тупиковым кодам.
2.19. Пусть Р = (pi, р2, “ •, Рг) — набор вероятностей, а Z*(P) =
= inf lcp(C, Р), где нижняя грань берется по всем двоичным префикс-
ным кодам мощности г. Доказать, что:
1) Z*(P) > 1 при г 3;
2) для всякого г > 0 и любого г > 1 существует набор вероятнос-
тей Р такой, что l*(P) < 1 + е.
2.20. Пусть Z(r) = supinf/cp(C, Р), где нижняя грань берется по
р с
всем префиксным q-ичным кодам мощности г, а верхняя грань берется
по всем наборам вероятностей Р = (pi, р%, ..., рг) таким, что pi > О
(г = 1, ..., г), ^^pi = 1. Доказать, что:
1=1
1) В) Z (logg г) - 1; 2) Г(г) [logg г] + 1.
§ 3. Самокорректирующиеся коды
1. Расстояние Хэмминга, шары, сферы и циклы в п-мерном
кубе. Напомним, что расстоянием Хэмминга между вершинами а
п
и /3 куба Вп называется число р(а, /3) = |сч — Дг|, равное числу
г=1
координат, в которых векторы а и (3 различаются. Наборы 5, /3 из Вп
называются соседними, если р(а, /3) = 1, и противоположными, ес-
ли р(а, /3) = п. Неупорядоченная пара соседних вершин называется
ребром куба. Множество В^(а) = {Д е Вп: р(а, (3) = к} называется
сферой радиуса к с центром a, a S^(S) = {/3 6 Вп: р(а, (3) ^к} —
16 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
шаром радиуса к с центром а. Положим В% = В^(б). Множест-
во В % называется к-м слоем п-мерного куба. Последовательность (5q,
51, ..., а^) называется цепью в Вп, если p(5^~i, а^) = 1. Цепь (5q,
51, ..., 5&) такая, что р(5&, 5q) = 1, называется циклом. Цепь (5q,
5i, ..., 5&) такая, что 5^-1 < 5* (г = 1, ..., к), называется возрас-
тающей цепью. Число к называется длиной цепи (5q, 51, ..., 5&).
Цикл С куба Вп называется 26-циклом, если |СА5^(5)| = 2d + 1
для каждого 5 6 С. Через В™^1^4 обозначим множество всех набо-
ров (51, 52, ..., 5П) таких, что {j = 1, ..., к). Всякое такое
множество называется (п — к)-мерной гранью направления (Ц, ..., г&).
3. 1. Доказать, что для любых 5, /3, 7 из Вп выполнены соотно-
1) р(а, 0) = рф, а); 2) р(а, 7) р(й, Д) + р(Д, 7); 3) р{а, 5) = 0;
4) р(а, 7) = 7Ф/З), где (ах, ..., а„) ф (Д, /Зп)= ~
= (cei Ф /31, ..., ап Ф /Зп);
5) р(5,/3) = ||5 ф/3||, где ||(«i, ..., an)|| = ai + ... + ап;
6) р(5, Д) = ||5|| ф ||Д|| - 2||5П Д||,
где («1, ..., ап) П (/31, ..., /Зп) = (07 &/Зь ..., ап&/Зп).
3.2. 1) Найти число ребер в Вп.
2) Найти число неупорядоченных пар наборов 5, /3 из Вп таких,
что р(5, /3) = к.
3.3. Найти число вершин в подмножестве:
1)А = В£(5); 2)A = S£(a);
3) А = В£(5) П В£(Д), где р(а, (3) = г\
4) А = S%(a) П где р(й, Д) = г.
3.4. Пусть 5, /3 — вершины куба Вп, а р(5, /3) = т. Найти число
вершин у, удовлетворяющих условию:
1) р(«, 7) + р(7, 7 = + Р&У) -г;
3) р(а, 7) = к, р(/3, у) = г; 4) р(а, 7) к, р((3, у) г.
3.5. Доказать несовместимость следующих систем соотношений
для 5, /3, 7 из Вп (п 2):
1) Р(«, > у, 7) > у, Р(А, а) > у;
2) i/(5) < z/(/3 ф 7), z/(/3) < i/(5 ф 7), 1/(7) < i/(5 ф /3);
3) ||5|| > ||ДФ7||, |Й|>||5Ф7||, ||7|| > ||ЙФД||, |5П(ДП7)|=О.
3.6. Множество А С Вп называется полным в Вп, если любой
вектор /3 G Вп однозначно восстанавливается при условии, что для
каждого а Е А известно расстояние р(5, /3). Полное в Вп множест-
во А называется базисным, если для любого вектора а из А множест-
во А\{а} не является полным.
1) Показать, что любая цепь а0, Зц, ..., 5n_i в Вп образует ба-
зисное множество.
2) Показать, что множества В™ и В™_г являются полными в Вп
при п > 2. Указать такое п > 2, что В™ не является базисным.
3) При каких п и к множество В% не является полным в Вп?
4) Доказать, что всякое базисное множество А С Вп удовлетво-
ряет условию
nlog2 1(п — 1) |А| п.
5) Доказать, что никакая грань размерности п — 2 не является
полным в Вп множеством.
6) Показать, что число базисных множеств в Вп удовлетворяет
(2П \
п ) ‘
3.7. Пусть ср — взаимно однозначное отображение Вп на себя.
Говорят, что <р сохраняет расстояние, если р(а, (3) = р(<р(а, (р((3))
для всех а, /3 из Вп. Доказать, что отображение сохраняет расстояние
тогда и только тогда, когда оно может быть получено: а) с помощью
некоторой перестановки координат во всех наборах из Вп; б) заме-
ной 0 на 1 и 1 на 0 в некоторых координатах всех векторов.
3.8. Отображение <р множества Вп в себя называется монотон-
ным, если из z/(S) z/(/3) вытекает, что !/(</?(«)) i/(<p(/3)). Найти
число монотонных отображений куба из Вп.
3.9* . Пусть 1(A) — число ребер n-мерного куба, соединяющих
пары вершин подмножества А С Вп, a In(m) = max I(>1)I.
АСВп, | А\=т
1) Доказать, что /n(m) -mlog2m.
2) Доказать, что оценка п. 1) достигается при т = 2к.
3) Пусть А С Вп, |А| > 2П-1. Доказать, что 1(A) п.
4) Доказать, что 1(A) <С п|А| — min{|A|, 2п — |Д|}.
3.10. Пусть Fr(n) — семейство подмножеств А С Вп таких, что
р(а, /3) 2г для любых а, (3 из А. Пусть <pr(n) = max |А|.
AeFr(n)
1) Доказать, что максимум А по всем A Е Fr(n) не мень-
W-
О^г^г
2) Для нечетного п и г = (п — 1)/2 привести пример множества
А е Fr(n), не являющегося шаром радиуса г ни в одном из подкубов
куба Вп и такого, что |А| = (&)•
3.11. Доказать по индукции, что наборы из Вп можно располо-
жить в цикл So, Si, ..., «2^-1.
3.12. Двоичный вектор («о, «1, ..., 02"-1) называется п-уни-
версалъным, если для всякого (Д1, ..., (Зп) из Вп существует такой
номер к, что (3i = ak&i (г = 1, ..., п), где к ф i = к + i (mod2n). На-
пример, вектор (ООН) является 2-универсальным.
1) Выяснить, является ли n-универсальным вектор а2 * :
а) й4 * * * = (ОНО); б) й4 = (0101); в) а8 * = (0001 1101);
г) а8 = (0001 1010); д) а8 = (01000111); е) а8 = (01001110);
ж) а16 = (0000111100101101); з) а16 = (110010110100 0011).
2) Доказать, что для всякого п существует п-универсальный
вектор.
3.13. 1) Пусть Z(n) — максимальная длина 2-цикла в Вп. Най-
ти /(2), /(3), /(4).
2) Доказать, что для всякого 2-цикла С С Вп и любой грани G
размерности 4 выполнено |С А С?| 8.
3) Доказать, что максимальная длина 2-цикла в Вп не превосхо-
дит 2П-1 (п > 3).
3.14* . Пусть <р(п)/((р,(п)) — максимальная мощность множества
А С Вп такого, что ||й А /3|| = 1 (соответственно ||й А /3|| = 1) для
любых двух различных векторов из А. Доказать, что:
1) (^(п) = п; 2) ip'(n) = 2П-1.
3.15* . Доказать, что куб Вп можно представить в виде объеди-
нения попарно непересекающихся возрастающих цепей, обладающих
следующими свойствами:
1) число цепей длины п — 2к равно — (& — 1)’ А; = 1, ...,
..., [п/2]; при этом минимальный набор каждой цепи длины п — 2к
имеет вес А;, а максимальный — вес п — к;
2) если й^, йг+i, й^+2 — три последовательные вершины цепи,
имеющей длину п — 2к, то вершина (3 такая, что сц < /3 < й^+2,
(3 ф Si-i, принадлежит цепи длины п — 2к — 2.
3.16* . Пусть А С Вп — такое множество наборов, что не су-
ществует наборов й, Д, у из А, для которых й А /3 = 0 и й U Д = у.
Пусть ak = |А А В£\. Доказать, что
2. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки. Под-
множество С С Вп называется {двоичным) кодом с расстоянием d
или, короче, (п, d)-ко дом,. если min р(й, (3) = d. Число d называ-
ем, /Зес
ется кодовым расстоянием множества С. Максимальная мощность
(п, с/)-кода будет обозначаться через m(n, d). Если мощность (п, d)-
кода равна m(n, d), то он называется максимальным. Плотно упако-
ванным кодом называется (п, 2d + 1)-код С, удовлетворяющий еле-
дующему условию: для всякого а 6 Вп существует /3 G С такое,
что р(5, /3) d. Множество С С Вп называется эквидистантным
кодом, если величина р(й, /3) постоянна для любой пары наборов 5, /3
из С. Множество С С Вп называется равновесным кодом, если су-
ществует целое число к (0 к п), называемое весом кода, такое,
что С С В%- Положим т(п, d, к) = max |С|, где максимум берется по
всем (п, с/)-кодам веса к.
Подмножества С С Вп могут рассматриваться как множества
двоичных слов, предназначенных для передачи по каналу связи, в
котором могут происходить искажения передаваемых слов. Элементы
множества С называются при этом кодовыми словами. Передача
слова по каналу связи рассматривается здесь как преобразование, не
меняющее длины передаваемого слова и состоящее в замене некоторых
букв на противоположные, т.е. О на 1, а 1 на 0. Если слово а при
передаче по каналу преобразовывалось в слово /3, отличное от а, то
говорят, что в канале произошли ошибки. Если г-я буква переданного
слова а отличается от г-й буквы полученного слова /3, то говорят, что
произошла ошибка в i-м разряде. Если полученное слово отличается
от переданного в t разрядах, то говорят, что произошло t ошибок. Яс-
но, что число ошибок, имевших место при передаче, равно расстоянию
Хэмминга между переданным и принятым словами.
Пусть С С Вп — некоторый код. Произвольное однозначное отоб-
ражение ср множества Вп на множество С называется декодирова-
нием. Пусть a 6 С, а '0-1(й) — множество тех /3 G Вп, для которых
= а. Пусть S™(5) — шар радиуса t с центром а в Вп. Говорят,
что код С исправляет t ошибок, если существует такое декодирова-
ние i/j, что S'™ (5) С для каждого atC. Очевидно, что код С
исправляет t ошибок тогда и только тогда, когда S™(5) A S^((3) = 0
для любых двух различных кодовых слов а, (3 из С.
Говорят, что код С обнаруживает t ошибок, если любое слово,
которое можно получить из произвольного кодового слова а в ре-
зультате не более t ошибок, отлично от любого слова С\{5}. Таким
образом, код С обнаруживает t ошибок, если С = {5} для
любого а е С.
Метод Хэмминга построения кодов, исправляющих одну ошиб-
ку, заключается в построении по произвольному двоичному набору
а = «1, «2, • • •, с^т, называемому в дальнейшем сообщением, коди-
рующего слова /3 = /31, /З2, ..., (Зп, где п и т связаны соотношением
п = min{Z: 2т 2г/(7 + 1)}. Кодирующее слово (3 содержит все разря-
ды набора а и, кроме того, к проверочных разрядов ро, р±, ..., Pk-i-
При этом (3j = pi, если j = 2г (г = 0, 1, ..., к — 1), и (3j = ocj_] iog2 д,
если j не является степенью двойки. Значения проверочных разря-
дов ро, ..., Pk-i определяются из равенств вида
Pi = /^2* + 1 Ф /^2* +2 Ф • • • ? г = 0, ..., к — 1,
где в правую часть входят все координаты (3j (2г < j п), у которых
двоичное разложение индекса j имеет коэффициент при 2г, равный
единице.
Пример 1. Построим по методу Хэмминга кодовое слово для
сообщения а — (1011). Имеем т = 4, п = min{Z: 2т 2l/(I + 1)} = 7,
к = п — т = 3. Кодовое слово /3 имеет вид /З1/З2/З3/З4/З5/З6/З7 =
= PoPi I722OII. Значения проверочных символов определяются из ра-
венств
ро = /з3 ф (Зв ф (37 = 1 е о е 1 = о,
pi = (Зз ф (3q ф (37 = 1 ф 1 ф 1 = 1,
Р2 = (Зв ф (3q ф (37 = о е 1 © 1 = о.
Таким образом, кодовым словом для а является вектор (3 = (0110011).
Декодирование состоит в том, что по вектору (3 = (Z?i, ..., /Зп),
полученному из некоторого кодового слова путем искажения не бо-
лее чем в одном разряде, восстанавливается исходное сообщение а =
= («1, ..., ат). Декодирование осуществляется следующим образом.
Пусть т = [log2(2n/(n + 1))], к = п — т. Вычислим по вектору (3 =
= (/31, ..., (Зп) к сумм вида
Vi = (32i Ф (32i+i Ф ..., i = 0, ..., к - 1,
где в г-ю сумму включаются все координаты (3j (2г j п), у кото-
рых двоичное разложение индекса j имеет коэффициент при 2г, рав-
ный единице. В результате получаем двоичный вектор v = (г?о, ...
..., Vk-i) и число 77(v) = vi • 2г. Это число указывает номер
О^.г<к
разряда, в котором произошла ошибка. Если Г(у) = 0, то считаем,
что ошибки при передаче не было. Если и (у) > п, то считаем, что
передавалось слово, которое не является ни кодовым словом сообще-
ния 5, ни кодовым словом, искаженным в одном разряде.
Пример 2. Декодировать вектор (3 = (1001110). Имеем п = 7,
т — [1°§2(27/8)] =4, к = п — т = 3.
Вычислим вектор v = (^о, гц, ^2)- Имеем
v0 = А © (З3 ф (Зв ф (37 = 1 ф о ф 1 ф о = о,
vi = /з2 ф /з3 ф (Зв ф /з7 = о © о © 1 © о = 1,
v2 = /34 ф /35 ф (Зв Ф (37 = 1 Ф 1 Ф 1 Ф 0 = 1.
Получаем, что v(y) = 1 • 22 + 1 • 21 + 0 • 2° = 6. Следовательно, ошиб-
ка произошла в шестом разряде. Неискаженный кодовый вектор имеет
вид /3' = (1001100). Вычеркивая проверочные разряды с номерами 1,
2, 4, получаем исходное сообщение а = (0100).
3.17. 1) Показать, что код исправляет t ошибок тогда и только
тогда, когда расстояние между любыми двумя кодовыми словами не
меньше 2t + 1.
2) Показать, что код обнаруживает t ошибок тогда и только тогда,
когда расстояние между любыми двумя кодовыми словами не мень-
ше t + 1.
3.18. Для данного множества С С Вп найти кодовое расстояние:
1) С = {11000, 10101, 01110}; 2) С = {111100, 110011, 001111);
3) С = {00001, 11111, 10100, 01010);
4) С = {101010, 010110, 000001);
5) С = {01101010, 11000110, 00011001, 10101100).
3.19. Для каждого из кодов С предыдущей задачи найти:
а) число ошибок, которые код С обнаруживает;
б) число ошибок, которые код С исправляет.
3.20. Булева функция f(xn) называется характеристической для
подмножества С С Вп, если С = Nf.
Определить, сколько ошибок обнаруживает и сколько исправляет
код с характеристической функцией /:
1) f(xn) = Х1 ф Х2 Ф • • • Ф Хп; 2) f(xn) = Ж1^2 . . . Хп V £1^2 • • • Хп;
3) f(xЗп) = Ж1®2 • • х3п ф ®1 . . . ХпХп+1 . . . Х3п ф
Ф • • • ^п^п+1 • • • ^2п^2п+1 • • • ^Зп Ф • • • ^2п^2п+1 • • • ^Зп5
4) f(xn) = Х1Х2 . . . Хп-1 ф £1^2 • • • Хп-2Хп ф . . . ф ^2^3 • • • Хп.
3.21. Построить по методу Хэмминга кодовое слово для сообще-
ния:
1) 5 = 010; 2) а = 011; 3) а = 1001; 4) 5 = 1101;
5) 5 = 10101011; 6) а = 111001111; 7) а = 100010011;
8) а = 01110111011.
3.22. По каналу связи передавалось кодовое слово, построенное по
методу Хэмминга для сообщения а. После передачи по каналу связи,
искажающему слово не более чем в одном разряде, было получено
слово /3. Восстановить исходное сообщение:
1) /3 = 110; 2)/3 = 101110; 3)/3 = 011110; 4)/3 = 1001011;
5) /3 = 0101101; 6) /3 = 1011101; 7) /3 = 1100011;
8) /3 = 11011100110; 9) /3 = 1010101010100;
Ю) Д = 001011110111111.
3.23. Доказать, что при кодировании сообщений по методу Хэм-
минга кодовые слова, сопоставленные двум различным сообщениям
одинаковой длины, различаются по меньшей мере в трех разрядах.
3.24. Множество сообщений R задано характеристической функ-
цией f(xn). Построить характеристическую функцию д(хп) мно-
жества кодовых слов, соответствующих сообщениям из R:
1) Дж2) = жх ~ ж2; 2) Дж2) =11 V ж2;
3) Дж3) = Х1_х2х3 \Zxix2x3-, 4) /(ж3) = жхж2 УЖ1Ж2ж3.
3.25. Верно ли, что код С С Вп\ исправляющий t ошибок, обна-
руживает:
1) не менее 2t + 1 ошибок; 2) не менее 2t ошибок;
3) не более 2t ошибок?
3.26. Показать, что из всякого подмножества С С Вп можно
получить код, обнаруживающий одну ошибку, удалив из С не более
половины вершин.
3.27. Показать, что мощность плотно упакованного (п, 2£+1)-кода
равна 2П/^Д”).
2=0
3.28. Показать, что мощность максимального (n, 2t + 1)-кода не
меньше 2П•
2=0
3.29. Показать, что m(n,d) = 2 при 2n/3 < d п.
3.30. Показать, что m(n, 2п/3)= 4 при п, кратных 3.
3.31. Показать, что не существует максимальных кодов мощ-
ности 3.
3.32. 1) Показать, что при любом натуральном к и п = 2к — 1
существует разбиение куба Вп на непересекающиеся шары радиуса 1.
2) Показать, что при п = 2к существует разбиение куба Вп на
непересекающиеся сферы радиуса 1.
3.33* . Доказать, что:
1) т(п + 1, d) т(п, d); 2) т(п + d, d) 2m(n, с/);
3) m(2n, d) (т(п, d))2; 4) m(n, d) < 2т(п — 1, rf);
5) m(n, d) 2d/(2d — ri) при n < 2d.
3.34. Пусть g(n, d) — максимальное число вершин в Вп, попар-
ные расстояния между которыми не превосходят d. Доказать, что
m(n, d + l)g(n, d) 2n.
3.35. Показать, что из всякого множества С С Вп можно выде-
лить множество D мощности, не меньшей 2d+11С|, которое явля-
ется (n, d)-кодом.
3.36. Доказать, что m(n, d) 2n-d+1.
3.37. 1) Показать, что максимальный (п, 2)-код имеет мощ-
ность 2П-1.
2) Выяснить, сколько существует максимальных (п, 2)-кодов.
3.38. Найти максимальную мощность множества С С Вп, в кото-
ром расстояния между любыми двумя вершинами четны.
3.39. Выяснить, существует ли плотно упакованный (п, 3)-код
при п = 147.
3.40. Показать, что не существует плотно упакованных (15, 7)-ко-
дов.
3.41. Показать, что мощность всякого эквидистантного кода с
нечетным кодовым расстоянием не превосходит 2.
3.42. Показать, что при четном d существует эквидистантный код
мощности [2n/d]. d_±
3.43. Доказать, что m(n, к, 2d)
)i
i=0
3.44. Доказать, что при 2к2 — п(2к — d) > О
m(n, к, d) < Г—-------------------—"I.
v ’ 7 L2A;2 — n(2k — d)\
3.45. Доказать, что при к d п — к:
1) m(n, к, 2d) т(п — 1, к — 1, 2d)^;
3) m(n, к, 2d) < [—m(n — 1, к, 2d)];
L п — К J
4) т(п, к, 2d) [ П;1.[- • [^1 •]]]•
Ln — к Ln — 1 — к L L d J JJJ
§ 4. Линейные коды
Выражение вида
Aicei Ф А2СК2 Ф ... Ф Asas, (1)
где oii С Вп, Ai € {0, 1} (г = 1, ..., $), называется линейной комби-
нацией векторов Si, . ..,5S. Линейная комбинация (1) называется
тривиальной, если Ai = А2 = .. = As = 0, и нетривиальной в про-
тивном случае. Всякая линейная комбинация векторов из Вп является
вектором из Вп. Векторы 51, ..., as называются линейно независи-
мыми, если любая их нетривиальная комбинация отлична от нулевого
вектора. В противном случае говорят, что векторы 51, ..., as ли-
нейно зависимы. Подмножество G С Вп называется группой, если G
замкнуто относительно операции сложения по модулю 2, т.е. если для
любых а, /3 из G вектор а ф (3 принадлежит G. Из замкнутости G
относительно операции ф вытекает, что всякая линейная комбинация
векторов из G также принадлежит G (в частности, О Е G). Наиболь-
шее число k = k(G), для которого в группе (в линейном пространстве,
которым также является группа в Вп) G существует к линейно
независимых векторов, называется размерностью G. Совокупность
из к линейно независимых векторов пространства размерности к
называется базисом этого пространства. Если код С С Вп образует
группу, то он называется линейным или групповым. Если линей-
ный код в Вп имеет размерность к, то он называется (п, к)-кодом.
Двоичный линейный код, исправляющий одну ошибку, называется
кодом Хэмминга.
Линейные коды удобно задавать с помощью матриц. Матри-
ца Н(С), строками которой являются кодовые слова кода С С Вп,
называется матрицей кода С. Матрица М(С), строками которой
являются векторы некоторого произвольного базиса (п, А;)-кода С,
называется порождающей матрицей кода С. Если Н — произвольная
матрица, строками которой являются векторы из Вп, то множест-
во С(Н), составленное из всех попарно различных вершин куба Вп,
являющихся линейными комбинациями строк матрицы Н, называ-
ется кодом, порожденным матрицей Н. Векторы а = («1, ап)
и /3 = (/31, ..., /Зп) называются ортогональными, если oti/3i ф ...
... ф oi-n^n — 0- Множество V (Н) всех векторов из Вп, ортогональных
к каждой из строк матрицы Н, называется нулевым пространством
матрицы Н. Пусть С — двоичный код, каждое слово которого ор-
тогонально каждой строке некоторой матрицы Н. Если С являет-
ся (п, А;)-кодом, а матрица Н состоит из п — к линейно независимых
строк, то Н называется проверочной матрицей кода С. Множест-
во С* всех векторов, представимых в виде линейной комбинации строк
проверочной матрицы (п, А;)-кода С, называется кодом, двойствен-
ным к коду С. Через g(n, d) обозначается шах|С|, где максимум
берется по всем линейным кодам С С Вп с кодовым расстоянием d.
4.1. Пусть векторы а и (3 из Вп являются кодовыми словами,
построенными по методу Хэмминга. Доказать, что S ф /3 также яв-
ляется кодовым словом для некоторого сообщения.
4.2. 1) Выяснить, являются ли векторы множества А линейно
зависимыми:
а) А = {010, 101); б) А = {010, 011, 001};
в) А = {010, 101, 110}; г) А = {101, 110, 011};
д) А = {ОНО, 1011, 0100, 1001}; е) А = {1011, 0100, 1111, 0101}.
2) Найти множество векторов, являющихся линейными комбина-
циями векторов из А.
3) Найти множество всех ненулевых векторов, ортогональных
каждому из векторов множества А.
4.3. Пусть множество С С Вп состоит из к линейно независимых
векторов. Показать, что любые две линейные комбинации векторов
множества С, различающиеся коэффициентами, представляют собой
различные векторы.
4.4. Показать, что всякий (п, А;)-код имеет мощность 2к.
4.5. 1) Показать, что в двоичном линейном коде либо каждый
кодовый вектор имеет четный вес, либо половина кодовых векторов
имеет четные веса и половина — нечетные.
2) Пусть Н(С) — матрица (п, А;)-кода С. Показать, что в каждом
ненулевом столбце ее ровно 2^-1 единиц.
3) Если матрица Н(С) (п, А;)-код а С не содержит ненулевых столб-
цов, то сумма весов матрицы Н(С) равна п • 2^-1.
4.6. Найти число векторов, ортогональных к данному ненулевому
вектору а из Вп.
4.7. 1) По матрице Н найти кодовое расстояние с1(С(НУ) кода
порожденного матрицей Н:
а) Н =
00
11 ’
б) Н =
0111
1100 ’
'0100Г
11100
10110
'1100Г
10101
01110
'0001111'
0110011
1010101
е) Н =
'10101010'
11000101
01010011 ;
00111100
"1110110010"
0111100101
1001101010
0010011111
1101011101
2) Для каждой из матриц Н задач 1) а)-д) построить проверочные
матрицы Н* для кодов порожденных матрицей Н.
4.8. Пусть т = [log2(2n/(n + 1)] и ср: Вт -> Вп — отображение
m-мерных векторов в n-мерные по методу Хэмминга (см. § 3). Пусть
к = п — т и Н — матрица размера к х п, составленная из наборов
(взятых в качестве столбцов) с номерами от 1 до п, расположенных
в порядке возрастания номеров. Доказать, что матрица НТ является
проверочной для кода С = ср(Вт). Например, матрица Н из зада-
чи 4.7, 1), д) является проверочной для кода С = ср^В^).
Пусть Q и Р — матрицы размерности соответственно к х т
и к х п. Тогда через (QP) будем обозначать матрицу размерности
к х (т + п), в которой г-я строка (1 i к) получена приписыва-
нием справа к i-й строке матрицы Q матрицы Р,
4.9. Доказать, что кодовое расстояние линейного кода С равно
минимальному весу ненулевого кодового слова.
4.10. Пусть Н = (JkP)-) где I — единичная матрица размернос-
ти к х к, а Р — произвольная двоичная матрица размерности к х
х (п — к), каждая строка которой содержит по меньшей мере две
единицы и все строки попарно различны. Доказать, что код
порожденный матрицей Н. является кодом Хэмминга.
4.11. Выяснить, каково кодовое расстояние d(C(M)) кода С(М),
порожденного матрицей М = где Д — единичная матрица
размерности 5 х 5, а Н — матрица из задачи 4.7, 1), д).
4.12. Пусть V С Вп — пространство, состоящее из линейных
комбинаций матрицы Н = (JkP), где Д — единичная матрица раз-
мерности к х к, а Р — матрица из нулей и единиц размерности
к х (п — к). Доказать, что V является нулевым пространством для
матрицы G = (PTIn-k), где 1п-к — единичная матрица размер-
ности (п — к) х (п — к), а РТ — матрица, транспонированная к
матрице Р.
4.13. Показать, что кодовое расстояние (п, А;)-кода не превосхо-
дит [п • 2/е-1/(2/е - 1)].
4.14. Показать, что при п = 2d — 1 мощность линейного (n, d)-
кода не превосходит 2d.
4.15. 1) Показать, что максимально возможная мощность g(n, d)
линейного (n, d)-кода удовлетворяет неравенству
g(n, d) < 2р(п — 1, d).
2) С использованием утверждения задачи 4.14 показать, что
p(n, d) <d-2n-2d+2.
4.16. Пусть код С является нулевым пространством матрицы С.
Показать, что кодовое расстояние кода С тогда и только тогда не
меньше с/, когда любая совокупность из d — 1 или меньшего числа
столбцов матрицы Н является линейно независимой.
d—2
4.17. Показать, что если ; ^2^ — 1, то существует
г—1
матрица из нулей и единиц размерности к х г, в которой лю-
бые d — 1 столбцов линейно независимы и, следовательно, сущест-
вует (п, п — А;)-код с кодовым расстоянием не меньше d.
4.18. 1) Показать, что д(9, 5) = 4.
2) Показать, что т(9, 5) 5.
4.19. Показать, что число различных базисов в Вп равно
(2n-l)(2n-2)...(2n-2n~1)
п\
4.20. Показать, что число различных (п, А;)-кодов в Вп равно
(2П — 1)(2П — 2)... (2n — 2fe-1)
(2fe-l)(2fe-2)...(2/2-2fe-1)’
Глава VIII
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
§ 1. Перестановки и сочетания
Свойства биномиальных коэффициентов
Набор элементов ., сцг из множества U = {ai, ..., ап} на-
зывается выборкой объема г из п элементов или (п, г)-выборкой.
Выборка называется упорядоченной, если порядок следования эле-
ментов в ней задан. Две упорядоченные выборки, различающиеся
лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если
порядок следования элементов не является существенным, то выбор-
ка называется неупорядоченной. В выборках могут допускаться или
не допускаться повторения элементов. Упорядоченная (п, г)-выборка,
в которой элементы могут повторяться, называется перестановкой
с повторениями из п элементов по г или (п, г)-перестановкой с
повторениями. Если элементы упорядоченной (п, г)-выборки попарно
различны, то она называется (п, г)-перестановкой без повторений
или просто (п, г)-перестановкой. Число (п, ^-перестановок будет
обозначаться символом Р(п, г), а число (п, ^-перестановок с пов-
торениями — символом Р(п, г). Неупорядоченная (п, г)-выборка, в
которой элементы могут повторяться, называется сочетанием с
повторениями из п элементов по г или, короче, (п, г)-сочетанием с
повторениями. Если элементы неупорядоченной выборки попарно раз-
личны, то она называется сочетанием (без повторений) из п элемен-
тов по г или (п, г)-сочетанием. Каждое такое сочетание представ-
ляет собой подмножество мощности г множества U. Число сочетаний
из п элементов по г будет обозначаться через С(п, г). Число сочета-
ний с повторениями из п элементов по г будет обозначаться че-
рез С(п, г).
Пример 1. Пусть U = {а, Ь, с}, г = 2. Тогда имеются:
девять перестановок с повторениями — аа, ab, ас, ba, bb, Ьс, са,
cb, сс;
шесть перестановок без повторений — ab, ас, ba, be, са, cb;
шесть сочетаний с повторениями — аа, ab, ас, bb, be, сс,
три сочетания без повторений — ab, ас, Ьс.
Произведение п(п — 1)... (п — г + 1), где п действительное,
а г целое положительное, будет обозначаться через (п)г. По опреде-
лению положим (no) = 1. Если п натуральное, то (п)п обозначает-
ся символом п\ и называется п-факториалом. При п = 0 полагаем
О! = 1. Для любого действительного п и целого неотрицательного г
Мг
величина называется биномиальным коэффициентом и обознача-
ется символом *) ( п 1. Пусть п, Г2, ..., rk — целые неотрицательные
п\
числа и п + Г2 + ... + rk = п. Величина —7—----т называется по-
Г1! г21... г Г
линомиалъным коэффициентом и обозначается через ( п ).
\Г1, Г2, ..., rk )
При подсчете числа различных комбинаций используются следую-
щие два правила.
Правило произведения. Если объект А может быть выб-
ран п способами и после каждого из таких выборов объект В в
свою очередь может быть выбран п способами, то выбор «А и В» в
указанном порядке может быть осуществлен т • п способами.
Правило суммы. Если объект А может быть выбран т спо-
собами, а объект В — другими п способами при условии, что одно-
временный выбор А и В невозможен, то выбор «А или В» можно
осуществить т + п способами.
Пример 2. Бросают две игральные кости (с шестью гранями
каждая). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на
каждой грани выпадет четное число очков, либо на каждой грани
выпадет нечетное число очков?
Решение. Пусть А — число способов выпадения на каждой
кости четного числа очков, В — число способов выпадения на каждой
кости нечетного числа очков. Тогда по правилу суммы искомое число
равно А + В. Пусть С — число способов выпадения четного числа
очков на первой кости, a D — число способов выпадения четного
числа очков на второй кости. Ясно, что С = D = 3, а по правилу
произведения А = С • D = 9. Аналогично, В = 9, а искомое число
равно 18.
Пример 3. Доказать, что число (п, г)-перестановок без повторе-
ний равно (п)г.
Решение. Индукция по г. При г = 1 число способов выбора
одного элемента из п равно п = (n)i. Пусть для некоторого г 1
выполнено равенство Р(п, г) = (п)г. Докажем аналогичное равенство
для г + 1. Всякая совокупность, состоящая из г + 1 элементов, может
быть составлена путем предварительного выбора элементов, состав-
ляющих (п, г)-перестановку, и последующего присоединения к ней
(г + 1)-го элемента. Если г элементов выбраны, то (г + 1)-й может быть
*) В литературе встречаются также обозначения (7£, п(7г, (п, г).
выбран п — г способами. В силу правила произведения получаем, что
P(n, г + 1) = Р(п, г) • (п — г).
С использованием предположения индукции получаем отсюда, что
Р(п, г + 1) = (п)г • (п - г) = (п)г+1.
Большое число комбинаторных задач сводится к подсчету числа
двоичных векторов.
Пример 4. Сколькими способами можно представить число п
в виде суммы к неотрицательных слагаемых? (Представления, отли-
чающиеся лишь порядком слагаемых, считаются различными.)
Решение. Каждому разбиению числа п на к целых неотрица-
тельных слагаемых сопоставим вектор длины п + к — 1 с п еди-
ницами и к — 1 нулями, в котором число единиц, стоящих перед
первым нулем, равно первому слагаемому, число единиц, располо-
женных между первым и вторым нулями, равно второму слагаемому
и т.д. Соответствие взаимно однозначно. Заметим, что каждому
двоичному вектору с п + к — 1 координатами и п единицами в свою
очередь можно сопоставить n-элементное подмножество А множества
U = {сц, «2, ..., an+k-i} следующим образом: г-я координата вектора
равна 1 тогда и только тогда, когда аг € А (г = 1, 2, ..., п + к — 1).
Но число таких подмножеств есть С(п + к + 1, п).
1.1. Сколькими способами можно распределить три билета сре-
ди 20 студентов, если:
1) распределяются билеты в разные театры, а каждый студент
может получить не более одного билета;
2) распределяются билеты в разные театры и на разные дни,
а каждый студент может получить любое (не превышающее трех)
число билетов;
3) распределяются равноценные билеты на вечер и каждый сту-
дент может получить не более одного билета?
1.2. Выяснить, сколькими способами можно выстроить девять че-
ловек:
1) в колонну по одному;
2) в колонну по три, если в каждой шеренге люди выстраиваются
по росту и нет людей одинакового роста?
1.3. Показать, что:
1) P(n,r)=nr-, 2)С(п,г) = (”); 3)С(п,г)= (”+£71).
1.4. Найти число векторов а = (оц, ..., ап), координаты которых
удовлетворяют условиям:
1) Е {0, 1, ..., к — 1} (г = 1, ..., п);
2) oti £ {0, 1, ..., ki - 1} (г = 1, ..., п);
3) оц £ {0, 1} (г = 1, ..., п) и «1 + ... + oin = г.
1.5. 1) Каково число матриц из п строк и т столбцов с элементами
из множества {0, 1}?
2) То же при условии, что строки матрицы попарно различны?
1.6. Дано т предметов одного сорта и п другого. Найти число
выборок, составленных из г предметов одного сорта и s предметов
другого сорта.
1.7. Из п букв, среди которых а встречается а раз, буква b встре-
чается (3 раз, а остальные буквы попарно различны, составляются
слова. Сколько среди них будет различных r-буквенных слов, содер-
жащих h раз букву аик раз букву Ь?
1.8. Имеется колода из 4п (п 5) карт, которая содержит карты
четырех мастей по п карт каждой масти, занумерованных числа-
ми 1, 2, ..., п. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать
пять карт так, что среди них окажутся:
1) пять последовательных карт одной масти;
2) четыре карты из пяти с одинаковыми номерами;
3) три карты с одним номером и две карты с другим;
4) пять карт какой-нибудь одной масти;
5) пять последовательно занумерованных карт;
6) в точности три карты из пяти с одним и тем же номером;
7) не более двух карт каждой масти.
1. 9. Применяя правило суммы и правило произведения, решить
следующие задачи.
1) Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две
кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е. чтобы
некоторое одинаковое число очков встретилось на обеих костях)?
2) Бросают три игральные кости. Сколькими способами они могут
упасть так, что все оказавшиеся сверху грани либо одинаковы, либо
попарно различны?
3) У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими
способами можно назвать ребенка, если ему дадут не более трех имен,
а общее число имен равно 300?
1. 10. 1) Сколькими способами можно число п представить в виде
суммы к натуральных слагаемых? (Представления, различающиеся
лишь порядком слагаемых, считаются разными.)
2) Сколькими способами число 7п можно представить в виде
трех сомножителей? (Представления, различающиеся лишь порядком
сомножителей, считаются разными.)
3) Решить задачу 2), если представления, различающиеся лишь
порядками, разными не считаются и п 3s.
1.11.1) Сколькими способами можно расставить п нулей и к
единиц так, чтобы между любыми двумя единицами находилось не
менее т нулей?
2) Сколько существует неотрицательных целых чисел, не превы-
шающих 10п, цифры которых расположены в неубывающем порядке?
3) Карта города имеет вид прямоугольника, разделенного улицами
на квадраты. Таких квадратов в направлении с севера на юг ровно п,
а в направлении с востока на запад ровно к. Сколько имеется кратчай-
ших маршрутов от северо-восточного конца города до юго-западного?
1.12. Пусть п = Р&1 .. .р&г — разложение числа п в произведение
простых попарно различных чисел. Найти:
1) число всех натуральных делителей числа (n)j;
2) число всех делителей, не делящихся на квадрат никакого целого
числа, отличного от 1;
3) сумму делителей числа п.
1.13. Доказать следующие свойства биномиальных коэффициен-
1.14. Доказать, что:
1) возрастает по п при фиксированном к;
2) ( ? г ) убывает по г при фиксированных п и к]
3) если п фиксировано, то возрастает по к при к и
убывает при к > ] [;
( п\ ( п \
4) max 7 = г /о1 ;
\к J \[n/2] у
r\ f , f П2\ t I (ns \
5) минимальное значение суммы + ПРИ
s
условии равно (s — г) + Г ’ где = [~] ’ г~
=-<
-х (п \ . (п \ . , ( п\
б) максимальное значение суммы I ) + I )+••• + I, I при
условии 0 С к\ < ... < ks п (1 s п + 1) равно J ) ’
п — S _ п + S
2 ^'У< 2
7) при простом р и любом р > к 1 число n j кратно р;
17 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
8) pi п J, где произведение берется по всем простым
n<Pi ^2п
числам pi (п < pi 2п).
1. 15. 1) Пусть т — целое неотрицательное число, а п = п(т) —
минимальное целое число такое, что т < п\. Показать, что можно
(и притом единственным способом) сопоставить числу т такой
вектор а(т) = («1, «2, • • •, an-i), что т = а± • 1! + а^ • 2! + ...
... + an-i(n — 1)!, О ai < I (г = 1, ..., п — 1).
2) Пусть /1(2) — число такое, что а = S(/i(S)). Найти вектор а(т)
для т = 4, 15, 37.
3) По вектору а найти /z(S), где:
а) 5 — (0, 2, 0, 4); б) а = (0, 2, 1); в) 2 = (1, 2, 3, 2).
4) Подстановкой на множестве zn — {1, 2, ..., п} называется
произвольное отображение zn на себя. Всякой подстановке тг взаимно
однозначно соответствует вектор тг = (тг(1), ..., 7г(п)), в котором ко-
ордината тг(г) указывает место элемента i. Каждой подстановке тг по-
ставим в соответствие число г/(тг), 0 р(тг) < п!, называемое номером
подстановки. Для этого сначала построим вектор ап = («i, «г,---
..., an-i). Положим an-i = тг(1) — 1. Если an-i, ..., an_j уже оп-
ределены и s(J) = |{г < j\ 7г(г) < 7r(J)}|, то положим an_j_\ =
= 7r(J + 1) — s{j + 1) — 1. Номер z/(?r) определим как /1(5^)- Например,
если тг = (3, 4, 2, 1), то ап = (1, 2, 2), i/(tt) = 1 + 2 • 2! + 2 • 3! = 17.
По подстановке тг, заданной вектором тг, найти номер г/(тг):
а) тг = (2, 3, 1, 4); б) тг = (3, 5, 2, 1, 4); в) тг = (1, 3, 4, 5, 2).
5) Дать алгоритм построения подстановки тг по ее номеру ^(тг).
6) По числу т найти подстановку тг на множестве zn, где п! >
> т (п — 1)!, такую, что z/(tt) = т:
а) т = 7; б) т = 18; в) т = 28.
1.16. 1) Пусть к, п — натуральные числа. Доказать, что любому
целому т (б можно сопоставить (и притом единст-
венным образом) целочисленный вектор /3(т) = (/31, /?2, ..., /3^),
удовлетворяющий условию п > /3± > /3% >...> /Зк > О, т = +
+ + • • • + Число т в этом случае будем называть но-
мером набора /3 (обозначение: т = /а(/3)).
2) Для заданных ш, п, к построить вектор /3(т):
а) т = 19, п = 7, к = 4: б) т = 25, п = 7, к = 3;
в) т = 32, п = 8, к = 4.
3) По заданному вектору Д = (Д1, ..., /Зп) построить число т,
удовлетворяющее условию задачи 1):
а) Д = (6, 3, 0); б) Д = (5, 4, 3, 1); в) Д = (6, 4, 3, 2, 1).
4) Пусть — подмножество всех векторов длины п с к едини-
цами и п — к нулями. Опираясь на задачу 1), построить нумерацию
всех наборов из числами от 1 до т.е. взаимно однозначное
отображение и множества В^ на множество {1, 2, .
1. 17. Индукцией по п с использованием соотношения ( ) =
у гь /
п\ I ( П \
7 1 4- Н _ 1 ) доказать тождество
(1 + Г = £(£У- (1)
к=0
1.18. Пусть пит — целые положительные числа. С использо-
ванием тождества (1) или иным способом доказать следующие ра-
венства:
п п п
1)Е© = 2П; 2) =0; 3)Efcft)=n2:
к=0 к=0 к=1
4) £ Кк - 1) (*) = П(п - 1)2”-2; 5) £(2fc + 1) (”) = (п + 1)2”;
к=2 к=0
6) Ёгтт© = (2”+1 -1); 7> Ё<-‘>‘*71© =
к=0 к=0
г=0 к=0
п
и)Е
к=0
(М!
(А;!)2((п-А;)!)2
к=0 г=0
п
13) £ (-i)*-^) =
г=0
г=к
т
15) £(-1)*-”
к=п
к\ /т\ _ ( О
п) \ к ) ~ 11
при m п,
при т = п.
1.19. Доказать тождества:
Е(©=Е(и”+1)
к к
= 2П-1:
2)4V(") = 2''+2''/2+1cos^;
7 z—/ \4кJ 4
т— 1
3) если 0 г < т, то т (т1^+ г) = 52 е~27Т",'/т(1 + е2™/т)п
• 9 к v=O
г2 = -1;
4>EU + r) = |(2n + 2n/2+lc°s(j(n-2r))), 0 < г 3;
к
5) если 0 С г < m, m 1, то
— fl — (т — 1) cos —) < V f , ) С — fl + (m — 1) cos —) .
m\ 7 m) \mk^r) v 7
к
1.20. 1) Доказать, что
m—1
mVamfc+rf ,n, = V e-2”ir^m(l + ae27ri"/mY\
Z-^ \mk + r J Z_^ v 7
к v=0
С помощью тождества из п. 1) вычислить:
2>S3‘(£); 3>S(-4‘2‘Ui);
к
к
к
1.21. Определить, сколько рациональных членов содержится в
разложении:
/ о \ 20 / 4 х 50 / о Л х 100
1)(л/2+^з) ; 2) (а/З + 1/ь) ; 3)(^6+^2) ;
4) (W+€/3)3°.
1.22. Найти коэффициент при tk в разложении:
1) (l + 2t-3t2)8, к = 9; 2) (1 — t + 2t2)10, к = 7;
3) (2 + t-2t3)10, к = 5; 4) (2 + t4 + ^7)15, к = 17.
1.23. Доказать, что при целых т 0, п 0 справедливы тож-
дества:
т + 1
т — п + 1
п
2)Е
к=0
т
т + к — 1 \ _ In + к — 1 \
к ) ~ к )’
к=0
1.24. Пусть а, b — действительные, к, т, п, г — целые неотрица-
тельные числа. Доказать, что:
/ а \ _ (а + 1 \
к) + \& — 1) ~ \ к
ОО
2) (i + e = £
k=Q
(£)“• |<1<1;
з) (Л = (-1)fc(
а + к — 1
к
к=0
к=0
п—к
к—О
к=0
а + п — к — 1
п — к
Ь + к — 1
к
П
«) у.
0^к,г^п
с \_ (а + Ь + с
п — к — г)~\ п
’) (|Г=1о) £ Gfc'+i)®*
к=0 к=0
т—1
ll)mVf )bmk+r = V e-2niry/m^ + be2niV/mx
7 Z—/ \ тк + г J v 7
к п=0
\Ь\ < 1.
1. 25. 1) Найти число всех таких слов длины тп в п-буквенном
алфавите, в которых каждая буква алфавита встречается т раз.
2) Сколькими способами множество из п элементов может быть
разбито на s подмножеств, из которых первое содержит к± элементов,
второе кз элементов и т.д.?
3) Исходя из комбинаторных соображений, показать, что для лю-
бых целых неотрицательных fci, кз, ..., ks. п таких, что к]_ + кз + ...
... + кs = п, справедливо равенство
( п \ ( п — к^\ ( п — к± — к? — ... — ks~i \ _ п\
ШД к2 ks ) ~ kr\k2\...ks\'
4) Индукцией по s доказать тождество
^1, • • • •> ks
kr + ...+ks=n
§ 2. Формула включений и исключений
Пусть имеется N предметов и п свойств Ai, ..., Ап. Каждый
из этих предметов может обладать или не обладать любым из этих
свойств. Обозначим через число предметов, обладающих
свойствами А^, ..., Alk (и, может быть, некоторыми другими). Тог-
да число TVq предметов, не обладающих ни одним из свойств Ai, ...
..., Ап, определяется равенством
y0 = S0-S1+S2-... + (-l)nSn, (1)
где So = N, а
Sk= 52 k=l,...,n. (2)
1^21 <...<2fe
Формула (1) называется формулой включений и исключений.
Пример 1. Пусть колода состоит из п карт, пронумерованных
числами 1, ..., п. Сколькими способами можно расположить карты
в колоде так, что ни для одного i (1 i ri) карта с номером i не
занимает г-е место?
Решение. Имеется п свойств оц вида «г-я карта занимает в
колоде г-е место». Число всевозможных расположений карт в колоде
равно п\. Число расположений, при которых карта с номе-
ром занимает место г„ (i/ = 1, fc), равно (п — к)\. Тогда
S0 = n!, Sk= 2 =
1^21<...<2fc^n
Используя формулу (1), получаем, что число Nq расположений, при
которых ни одно из свойств ai не выполняется, равно
п п
52(-i)fcsfc = n!52(-i)ft^.
к=0 к=0
В случае, когда свойств немного, для решения задач подобного
сорта удобно пользоваться так называемыми кругами Эйлера.
Пример 2. В группе студентов 25 человек. Среди них 20 сдали
сессию успешно, 12 занимаются в спортивных секциях, причем 10
из них сдали сессию успешно. Сколько неус-
певающих студентов не посещает спортивных
секций?
Решение. Изобразим (рис. 8.1) множество
студентов, успешно сдавших сессию, кругом,
помеченным буквой У, а множество тех, кто
занимается в секциях, кругом, помеченным буквой С. Пересечение
кругов соответствует множеству успевающих студентов, занимаю-
щихся спортом, а объединение — множеству студентов, которые
учатся успешно или посещают секции. Число таких студентов рав-
Рис. 8.1
но 20 + 12 — 10 = 22. Число тех неуспевающих студентов, которые не
посещают секций, равно 25 — 22 = 3.
При решении задач, связанных с подсчетами числа элементов из
множества U = {ai, ..., а^}, обладающих заданными свойствами,
используются диаграммы Венна. Диаграмма Венна для п свойств
представляет собой прямоугольник, разбитый на 2П клеток. Каждая
клетка соответствует одному типу элементов. Тип элемента опреде-
ляется тем, что для каждого i (1 i п) известно, обладает эле-
мент г-м свойством или нет. Поэтому тип и соответствующую ему
клетку удобно кодировать двоичным вектором (ах, ..., ап), в котором
ai = 1, если г-е свойство выполнено для данного типа элементов, и
ai = 0 в противном случае (i = 1, ..., п).
Пример 3. Пусть X, У, Z — подмножества множества U =
= (ai, ..., o-tv), удовлетворяющие условиям X С (Y A Z) U U\Y,
ХС(ХАУ)иХ, У C(lnz)uz, где А = U\A, Ae{X,Y,Z}.
Найти число троек (X, У, Z).
Решение. Для каждого а Е U определены три свойства: а G X,
а 6 У, а € Z. Каждый элемент принадлежит одному из восьми типов
в зависимости от принадлежности множества X, Z. Очевидно,
что включение АСВ равносильно тому, что А А В = 0. Поэтому
условие X С (У A Z) U У равносильно тому, что ХП (У A Z) U У =
= ХП ((У U Z) А У) = X А (X А У) = 0. Два остальных условия
равносильны равенствам Z А (У А X) = 0, у _
У А (X AZ) = 0. На диаграмме (рис. 8.2)
это соответствует тому, что соответствую- X
щие клетки пусты. Таким образом, X, У, Z —
тогда и только тогда удовлетворяют услови-
ям задачи, когда среди элементов множест-
ва U = {ai, ..., ajy} нет элементов трех ти-
пов: ХУХ, XYZ и XYZ. Произвольный эле-
мент из U может принадлежать любому из остальных пяти типов.
Отсюда число искомых троек равно 5N.
2.1. 1) Доказать по индукции формулу (1).
2) Пусть Nm — число предметов, обладающих в точности т
свойствами из п. Доказать, что
п—т
Nm= £ (-l)A=(TO + /c)sm+fc. (3)
k=0
3) Пусть Nm — число предметов, обладающих в точности не менее
чем т свойствами из п. Доказать, что
п—т
k=Q
(4)
4) Показать, что п
Sk = 52
m=k
п
Sk = 52
m—k
5) Показать, что
“Ь ^2 Nm $т >
Sm Nm Sm.
(5)
(6)
(7)
(8)
2.2. Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. В предпо-
ложении, что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность того,
что в точности к человек получат свои шляпы назад. Рассмотреть все
значения к (0 к 4).
2.3. Пусть В (г, п, т) — число способов размещения г различных
предметов по п ящикам, при которых имеется ровно т пустых ящи-
ков, a F(r, п, т) — число тех способов размещения, при которых не
менее т ящиков оказываются пустыми. Показать, что:
1) E(r, n, o) = ^(-l)fc(”)(n-fc)r;
к=0
п—т
2) R(r, п,т)= (-1)к(п~т)(П-т-к)г;
к=0
п—т
з) F(r,= (") £
k=Q
2.4. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось,
что 60 % студентов читают журнал Л, 50 % — журнал В, 50 % -
журнал (7, 30 % — журналы А и (7, 20 % — журналы В и (7, 40 % —
журналы А и (7, 10 % — журналы А, В и С. Выяснить, сколько
процентов студентов:
1) не читает ни одного из журналов;
2) читает в точности два журнала;
3) читает не менее двух журналов.
2.5. На одной из кафедр университета работают 13 человек, при-
чем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять
человек знают английский, семеро — немецкий, шестеро — фран-
цузский, пятеро знают английский и немецкий, четверо — английский
и французский, трое — немецкий и французский. Выяснить:
1) сколько человек знают все три языка;
2) сколько человек знают ровно два языка;
3) сколько человек знают только английский язык.
2.6. 1) Показать, что количество целых положительных чисел,
делящихся на п и не превосходящих ж, равно [х/п].
2) Найти число целых положительных чисел, не превосходя-
щих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7.
3) Найти число целых положительных чисел, не превосходя-
щих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15.
4) Показать, что если п = 30m, то количество целых положи-
тельных чисел, не превосходящих п и не делящихся ни на одно из
чисел 6, 10, 15, равно 22m.
5) Пусть pi, ..., рг — все простые числа, не превосходящие у/п.
Показать, что число простых чисел р таких, что у/п < р п, рав-
но п — 1 + (—l)kSk, где сумма
к=1
всевозможным наборам показателей
показателей равны 1, а остальные равны 0.
п
Pl1 ---Pr
берется по
., аг, в которых к
из
6) Найти число простых чисел, не превосходящих 100.
2.7. Пусть U — множество из п (п 3) элементов.
1) Найти число пар (X, У) таких подмножеств множества [7,
что X П У = 0.
2) Найти число таких пар (X, У), что X С 77, У С 77, |(Х\У) U
и(У\Х)| = 1.
3) Найти число таких троек (X, У, Z), что X С 77, У С 77, ZCU,
X U (У n Z) = I и У.
4) Найти число таких пар (X, У) подмножеств множества 77,
что ХПУ = 0, |Х| 2, |У| > 3.
5) Найти число таких пар (X, У), что X С 77, У С 77, |(Х\У) U
и(У\Х)| = 1, |Х| 2, |У| 2.
6) Найти число таких троек (X, У, Z), что X С 77, У С 77, Z С 77,
XU (УП7) =хиу, |Х| > 1, |У| > 1, \Z\ < 1.
2.8. Задача мажордома. К обеду за круглым столом при-
глашены п пар враждующих рыцарей (п 2). Требуется рассадить
их так, чтобы никакие два врага не сидели рядом. Показать, что это
п
можно сделать (—1)к ’ 2^+1(2n — к — 1)! способами.
к=0
2.9. Задача о супружеских парах. Сколькими способами
можно расположить за круглым столом шесть супружеских пар так,
чтобы мужчины и женщины чередовались и никакие двое супругов
не сидели рядом?
§ 3. Возвратные последовательности, производящие
функции, рекуррентные соотношения
Последовательность ао, ап, ... называется возвратной,
если для некоторого к и всех п выполняется соотношение вида
®>п-\-к “Ь Р1ап+к—1 Т • • • “Ь РкО>п — 0, (1)
где коэффициенты pi (г = 1, ..., к) не зависят от п. Многочлен
Р(х) = хк +р1хк~1 + ... +рк (2)
называется характеристическим для возвратной последователь-
ности.
3.1. 1) Доказать, что возвратная последовательность полностью
определяется заданием ее первых к членов и соотношением (1).
2) Пусть А является корнем характеристического многочлена. По-
казать, что последовательность {сАп}, где с — константа, удовлетво-
ряет соотношению (1).
3) Доказать, что если Ai, ..., А/,. — простые (не являющиеся крат-
ными) корни характеристического многочлена (2), то общее решение
рекуррентного соотношения (1) имеет вид
«п = С1А| 4- ... 4- СкХ^-
4) Пусть Xi является корнем кратности щ (г = 1, ..., s) харак-
теристического многочлена (2). Доказать, что тогда общее решение
рекуррентного соотношения (1) имеет вид
s
ап = 52 (Cil + СаП + • • + сгппГ;-1)\П,
г=1
где Cij (г = 1, ..., з, j = 1, ..., — некоторые константы.
3.2. Найти общие решения рекуррентных соотношений:
1) «п+2 4(zn_|_i + Зап — 0; 2) dn+2 4~ Зап — 0;
3) «п+2 «п+i ап — 0, 4) dn-i-2 Н- 2(zn_|-i + ап — 0;
5) «n+з 4- 10 &n-i-2 + 32 an+i 4- 32 an = 0;
6) «n+З + 3 «n+2 + 3 Цп+l + O>n — 0.
3.3. Найти an по рекуррентным соотношениям и начальным усло-
виям:
1) ап+2 ~ 4 + 3 ап = 0, а$ = 10, cz-i = 16;
2) «n+з 3 ап-\-2 4” «п+i 3 ап = 0, <2q = 3, = 7, d2 = 27;
3) «п+з 3 CLpi-1_i -I- 2 — 0, cti — ci, cl2 — +з — c,
4) an+2 — 2 cos aan+i + an = 0, сщ = 1, = cos a;
3) dn-\-2 o,n ~ 0, Qq = 0, <21 = 2;
6) an+2 ~ 6 an+i + 9 an = 0, a0 = 6, ai = 6.
3.4. Доказать, что:
1) если x = 1 не является корнем многочлена х2 + рх + Q. то част-
ным решением рекуррентного соотношения
«п+2 + P«n+i + Q«n = осп + Д, (3)
где а, Д, р. q — данные числа, является последовательность а* =
= ап + Ь; найти а и Ь;
2) если х = 1 — простой корень многочлена х2 + рх + Q. то част-
ное решение может быть найдено в виде a* = п(ап + Ь)\ найти а и Ь;
3) если х = 1 — кратный корень многочлена х2 + рх + Q, то част-
ное решение может быть найдено в виде а* = п2(ап + 6); найти а и 6;
4) в каждом из предыдущих случаев найти общее решение соот-
ношения (3).
3.5. Решить рекуррентные соотношения:
1) ^п+1 ^1 - 1,
2) cin+2 Н- 2 cin+1 — 8 ап = 27 • 5n, tzg = 0, di = —9;
3) ci>n-\-2 2 ctn+i "Ь 2 ап = 2 , <zq = 1, di — 2;
4) ^п+2 “Ь ^n+l 2 «О — 1, — 2,
5) ^n+2 — 4an+i + 4ап = 2П, ад = 1, o,i = 2;
6) ^п+2 “Ь ^n+i 6 ап — 5*2 + , Цд — 2, (Zi — 1.
3.6. 1) Пусть {ап} и {Ьп} — две последовательности, члены
которых связаны соотношениями
^п+1 — Pl^n “Ь
Ьп-\-1 = Р2&п + Q2^n,
△ =P1Q2 -P2Q1 о,
где pi, Qi, р2, Q2 — данные числа. Найти выражения для ап и Ьп.
считая, что ai и Ь± заданы.
2) Найти решение системы рекуррентных соотношений
^п+1 — 3<Zn + Ьп,
^п+1 = О“П "Ь Ьп,
ai = 14, bi = —6.
3) Найти общее решение системы рекуррентных соотношений
^п+1 = bn F Ь,
^п+1 = “Ь 3.
3.7. Последовательность Фибоначчи {Fn} задается рекуррент-
ным соотношением Fn+2 = Fn+i + Fn и начальными условиями Fi =
= F2 = 1. Доказать, что:
1) для любых натуральныз шип Fn+m = Fn_iFm + FnFm+i\
2) для любых т и п = кт число Fn делится на Fm]
3) два соседних числа Fn и Fn+i взаимно просты;
4) всякое натуральное число N (N >1) может быть однозначно
представлено в виде суммы чисел Фибоначчи такой, что каждое число
входит в сумму не более одного раза и никакие два соседних числа не
входят вместе;
6) Fi + F3 + ... + F2n+i — F2n+2;
7) 1 + F2 + F4 + ... + Fzn = F271+1;
8)^+^-^=^.
С каждой последовательностью ад, ап, ... можно свя-
зать ряд = ао + ait + ... + antn + ..., называемый производящей
функцией для последовательности {ап}. В тех случаях, когда
ряд A(t) сходится к некоторой функции f(t), функцию /(t) также
называют производящей для {ап}. В задачах на нахождение произ-
водящей функции для последовательности {ап} обычно под разуме-
вается нахождение функции f(t), ряд Маклорена которой есть A(t).
Экспоненциальной производящей функцией для {цп} называется ряд
E(t) = clq + ai(t) + ... + an(t)/n\ + ... Можно определить операции
сложения, умножения на константу для производящих функций, рас-
сматривая их как формальные ряды. Пусть A(t) и B(t) — произво-
дящие функции для последовательностей {цп} и {6П} соответственно,
а а, /3 — константы. Тогда
aA(t) + (3B(t) — сшо + /З&о + (cecz-i + + ... + (сшп 4- (3bn)tn 4- ...,
A(t) • B(t) — CLobo + (cio^i 4- aibo)t + ...
+ ... + Qibn-i + • • • + anbo)tn T ...
Если Ea(t) и Eb(t) — экспоненциальные производящие функции
соответственно для последовательностей {цп} и {6П}, то сложение
и умножение на константу определяются так же, как для обычных
производящих функций, а их произведение определяется как
Ea(t) * ^b(^) = Со + С1^ + . . . Н —h ...,
где сп — аоЬп 4- 1 сцbn—i Т • • • Т о,^bn—д- Т ... Т Ojnbo.
3.8. Найти производящую функцию f(t) для последовательнос-
ти {ап},если:
1) ап = 1 при всех п 0;
2) ап = 1 при 0 n 7V и ап = 0 при п > 7X7;
3) ап = ап'. 4) ап = ап/п\; 5) ап = (—1)п; 6) ап = щ
7) ап = п(п — 1); 8) ап = m — натуральное число;
9) о,п = а — действительное число; 10) ап = п2;
11) ап = sin ст; 12) ап = cosan.
3. 9. Найти экспоненциальные производящие функции E(t) для
последовательности {an}, если:
1) ап = 1; 2) ап = an; 3) ап = п; 4) ап = n(n — 1);
5) ап = (ш)п; 6) ап = п2.
3. 10. С помощью тождеств, связывающих производящие функции,
вывести следующие тождества для биномиальных коэффициентов:
1)(i + i)«(i + i)m = (i+tp+m, E(”)(fcms) = (”tw);
s=0
2) (1 - = (1 -
3) (1 + t)n(l + t)~m = (1 +
k
E(_-\\k-s (n\(m + k - s -1\ _ (n- m\
UA k-s J ~ \ k J’
s=0
4) (1 - f)-x-n(l + i)-1-” = (1 - i2)-1-”,
2k
E(_-t\s (ns\ f n2k — s\ _ (n + k\
4 \ n n J \ k p
s=0
5) (l + t)n(l-t2)"n = (l-t)n,
3.11. Найти общий член an последовательности, для которой
функция A(t) является производящей:
1) 4(t) = (q + pt)m; 2) 4(t) = (1-t)”1; 3) 4(t) =
4) 4(f) = tm(l - t)m; 5) 4(f) = (t + t2 + ... + tr)m:
(4.2 X — m t / 4. \ — m
1 + y) ; 7) A(i) = (l + 2f)-1/2(l-|) ;
8) 4(f) = t2(l - t)(l + 2t)-m; 9) 4(f) = ln(l 4-t);
10) A(t) = arctg^; 11) A(t) = arcsint; 12) A(t) = e-2f2;
t
13) A(t) = уe~x2 dx,
о
/ — + \ n
») = (r^) -
3.12. Вывести тождества*):
s
m
2n — s
3)£(-i)s
s
m
m — k + s
m — n — 1
k
n A _ ( । n\.
z Z^\2sJ\2m-2sJ ~ \2mJ } \m J ’
s
*) Суммирование ведется по всем s, для которых рассматриваемые
выражения имеют смысл.
г \ 9 ( п + 2s \ ( п + 2m — 2s + 1 \ _ / 2n + 2m + 2 \
п Д п + 1 ) ~ V 2п + 1 /’
S
6)£(-ir-Ms(”+2ss+1)=n + i.
$=0
3.13. Пусть А (А) и E(t) являются соответственно обычной и экс-
поненциальной производящими функциями последовательности {цп}.
ОО
1) Используя равенство n! = Jе~ххп dx, показать, что
о
A(t) = Je~xE(xt) dx. (4)
о
2) Убедиться, что формула (4) справедлива для производящих
функций A(t) = (1 — А)-1 и E(t) = е1 последовательности ц0 = а± =
= а2 = ... = 1.
3) То же, что и в задаче 2), но для последовательности с общим
членом
_ J 0, п < J,
“Ш, n^j.
3.14. 1) Пусть (а)п = а(а — 1)... (а — п + 1). Доказать, используя
экспоненциальные производящие функции, что
п
(а + Ъ)п =
к=0
Указание. Использовать тождество (1 + t)a+b = (1 + t)a(l + t)b.
2) Пусть (а)п,д = а(а — К).. .(а — h(n — 1)). Показать, что
п
(о, + (a)'™—k,h•
к=0
3.15. Пусть {ап}, {Ьп} — последовательности, Ь-± = 0, A(t)
и В (А) — соответствующие производящие функции. Показать, что:
1) если
2) если
3) если
4) если
5) если
ап = Ьп - Ьп-Ъ то Л(А) = В(А)(1 — А);
ап = Ьп+1 - Ьп, то A(t) = B(t) - W-1;
an = bn+1 + bn+2 + ..., a0= B(l), to A(f) =
an = nbn, to A(t) =tlB(t);
an = n2bn, to A(t) =
6) если определить операцию Sk (к 0) над последователь-
ностью {bn} с помощью соотношения
Sk(bn) — bn+ (^bn-i + ... + + j + • • • + 1^о
и положить ап = Sk(bn), то A(t) = (1 — A) kB(t);
7) если ап = Ь2п, то A(t) = | (^(i1/2 * * *) + ^(-t1/2));
8) если an = bo + b± + ... + bn_i, ao = 0, to A(t) = B(t)t(l — t)-1.
3.16. Пусть A(t) и В(t) — производящие функции последователь-
ностей {ап} и {Ьп} соответственно, и пусть A(t) • B(t) = 1.
Найти {bn} и B(t) по заданной последовательности {цп}:
1)ап=(™}; 2) ап = ап- 3) ап = п + 1;
4) ц0 = ц2 = 1, &п — 0 при п 0, 2;
5) а„ = (—1)"; 6)ап = (-1)"(2”)4-".
3.17. Пусть последовательность {ап} удовлетворяет рекуррент-
ному соотношению ап+2 + pan+i + = 0.
1) Показать, что A(t) = а° +
7 ’ V 7 1 + pt + qt2
2) Пусть 1 + pt + qt2 = (1 — Ait)(l — A2^), Ai Х%. Показать, что
\n \n xn+1 xn+1
an = (ai + pa0) 4^4^ + a0 \
Ai — Л2 Ai — Л2
3) Выразить an в случае, когда 1 + pt + qt2 = (1 — Xt)2.
3.18. Пусть
n n—1
°«= ^2 ( 2j7)’ bn = Z2 (2; +1)’ n = °’2> '
j=Q j=0
и A(t), B(t) — соответствующие производящие функции.
1) Показать, что ап и Ьп связаны соотношениями вида
^п+1 — “Ь 6П-|-1,
^п+1 — 4“ ^"П’) «о — 1, — 0*
2) Показать, что A(t) и B(t) удовлетворяют системе уравнений
A(t) - 1 = tA(t) + B(t),
B(t) = tA(t) +tB(t).
3) Найти A(t) и B(t).
4) Показать, что
3.19. Пусть члены последовательности {ап} удовлетворяют соот-
ношению
цп = aoan-i + а±ап-2 + ... + ап-^а^, = 1.
1) Показать, что производящая функция A(t) = antn удовлет-
п=0
воряет равенству tA2(t) = A(t) — ао, или, с учетом начального усло-
1-а/Г^47
вия равенству А (г) = -—-----.
2) Разлагая A(t) в ряд по степеням t, показать, что
- 1 (2пУ
ап ~ п + 1 \ п ) '
3) Найти последовательность {ап}, члены которой удовлетворяют
соотношениям
CLQCLn-i 4- ^i^n-2 4-... 4- ап-±ао = 2пцп, ао = а± = 1.
3.20. Вывести рекуррентное соотношение для последовательности
чисел {ап} и разрешить это соотношение, если:
1) ап — число способов разбиения выпуклого (п + 2)-угольника
на треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри этого
многоугольника;
2) ап — число таких способов расстановки скобок в выраже-
нии &1: &2 : • • • : Ьп+i, ПРИ которых получающиеся выражения имеют
смысл.
3.21. Используя метод математической индукции, найти после-
довательность {цп} по рекуррентному соотношению и начальным
условиям:
1) ап+1 = (п 4- l)an, aQ = 1; 2) пап+1 + = 0, ai = 1;
3) (п + 2)(п + 1)ап+2 - п2ап, а0 = 0, ai = 1;
4) (п 4- 2)2Оп+2 4" ап — 0? ао — 1? — 0;
5) п2ап+2 + (п 4- 2)2ап = 0, сц = 1, а2 = 0;
б*) а2+1 - апап+2 = (-1)п-1, а0 = 1, аг = 1.
ОО
3.22. Пусть An(t) = g(n, k)tk — производящая функция для
k=Q
последовательности, удовлетворяющей соотношению а(п, к) =
= а(п, к — 1) 4- а(п — 1, к) с начальными условиями а(п, 0) = 1,
ц(0, к) = 0 при к > 0. Показать, что:
1) 1 - t)An(t) = Ап_^ 2) An(t) = (1 - ;
3) а(п, к) = к J.
3.23. 1) Сколькими способами можно разменять 10-копеечную
монету монетами в 1, 2, 3 и 5 копеек.
2) Та же задача, что и 1), при условии, что каждая из разменных
монет присутствует в двух экземплярах.
3) Та же задача, что и 1), при условии, что имеются четыре
копеечные монеты, три монеты достоинством 2 копейки, две трехко-
пеечные монеты и одна пятикопеечная.
3.24. Найти производящую функцию A(t) для последовательнос-
ти {ап}, где:
1) ап — число решений в целых неотрицательных числах уравне-
ния 2х 4- Зу 4- 5z = п;
2) ап — число решений того же уравнения при условии, что ж, у,
z принимают значения 0 или 1;
3) ап — число решений в целых числах того же уравнения при
условии, что 0 ж р, 0 у г, 0 s.
3.25* . По заданной производящей функции A(t) для последова-
тельности {ап} найти ап:
ОО
1) A(t)= П(1-<М м<1.
k=Q
Указание. Показать, что A(t) = (1 — qt)A(qt), и сравнить коэф-
фициенты при tn в левой и правой частях этого равенства;
00 ъ
2) A(f) = П(1 + ^2 )•
к=0
Указание. Доказать, что an = qbn, где Ьп — число единиц в
двоичном разложении числа п.
3.26. Пусть 5(n, А:, I) = (—1)п-р (z/ + Г)к. Доказать, что:
р=0
1) S(n + 1, к, I) = S(n, k,l + X)- S(n, к, Z);
2) S(n, к, I + 1) = 5(п, к, I) - S(n + 1, к, I)-
3) S(n, к + 1, Z) = (n + Z)5(n, к, I) + nS(n - 1, к, /);
4) S(n, к, I) = 0 при п > к;
5) S(n, n, Z) = п!; 6) 5(n, fe, Z) > 0 при п к;
7) S(n, A;, Z) — возрастающая функция параметров к и I при п к;
8) S(n, п 4-1, I) = (к + 1)к\\ 9) 5(1, А;, 0) = 1 при 1 к.
к=0
3.27. Пусть S(n, к) = S(n, к, 0) = У (-1)"”" (”)^ и <т„(£) =
ОО v
— 5(n, k)tk. Показать, что при \t\ < 1:
к=0
_ nltn
’ an[ > (l-i)(l-2i)...(l-nt)’
2) = «У (-1)"-Ч(”)(1 - kt)-1.
к=1
§ 4. Теория Пойа
Подстановкой на множестве Zn — {1, 2, ..., п} называется отоб-
ражение Zn на себя*). Подстановку тг = f.1’ ’ п ) будем час-
то задавать строкой (й, 22, ..., in). Подстановка называется цик-
*) Роль Zn может играть любое множество из п элементов.
18 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
лической (или циклом), если некоторое число ji переводится ею
в 72, h — в j'з и т.д., переводится в jk, jk — в Ji, а все
остальные числа остаются на месте. Такой цикл обозначается че-
рез (Ji, 72, ..., jk). Число к называется длиной цикла. Произвольная
подстановка может быть представлена в виде произведения циклов.
(1234 5\
2’ 4’ 5’ з J = 2)(3, 4, 5). Цикл длины 2 называется
транспозицией. Всякая подстановка представима в виде произведе-
ния (т.е. последовательного выполнения) транспозиций. Подстановка,
представимая в виде произведения четного (нечетного) числа транспо-
зиций, называется четной (соответственно нечетной). Подста-
новки на множестве Zn образуют группу относительно операции
произведения. Операция произведения подстановок 7Г1 и 7Г2 состоит в
/1 2 3 4\
последовательном их применении. Например, если 7Г1 = (2 4 31)’
/1 2 3 4\ /1 2 3 4\ v '
7Г2 = \1? 4 з’ 2/’ т0 7Г17Г2 = (^4’ 2 3 1/ Операция произведения обла-
дает, как нетрудно проверить, свойством ассоциативности: тг(сгт) =
= (тгсг)т. Единичным элементом группы является тождественная
f 1, 2, ..., п\ и „ [ 1, 2, .... п\
подстановка П 2 подстановкой, обратной к (. 'У С 1,
является подстановка (^’^ * * * ’ п”)’ Группа подстановок на мно-
жестве Zn называется симметрической группой n-й степени и обозна-
чается через Sn. Порядок симметрической группы n-й степени (число
ее элементов) равен п!.
Если подстановка на множестве Nn представляется в виде про-
изведения &1 циклов длины 1, &2 циклов длины 2 и т.д., Ьп циклов
длины п, то говорят, что подстановка имеет тип (Ь±, ^2- • ••, Ьп).
(123 4\
з’ 2’ 4’ имеет тип (1, 0, 1, 0). Если G —
некоторая подгруппа группы Sn, то многочлен
PG = PG(ti, ..., t„) = |G|-1ф • • • ,
7reG
где (bi, ..., bn) — тип подстановки тг, называется цикловым индек-
сом группы G. Пусть G — группа подстановок на множестве Zn.
Элементы а и b из zn называются G-эквивалентными (обозначение:
а ~ Ь), если существует подстановка тг 6 G такая, что ка = b (или,
что то же самое, кЬ = а). Классы G-эквивалентности называются
транзитивными множествами или орбитами.
Лемма Бернсайда. Число орбит v(G) в множестве Zn, опре-
деляемых группой G, дается равенством
I/(G) = |G|-1£b1(7r).
л-ЕС
Пусть М и N — конечные множества, a G и Н — группы
подстановок соответственно на М и N. Степенная группа HG сос-
тоит из всевозможных пар (тг; ст), где тг G G, а Е Н. и действует
на множестве NM всех функций /: М —> N. При этом по определе-
нию (тг; o-)f(x) = ст/(тг (ж)) для всех х Е М и f Е NM. Пусть на
множестве N задана весовая функция w: N —> {О, 1, ...} и gn — число
ОО
элементов веса п в N. Производящая функция Q(t) = qntn назы-
п—0
вается перечисляющим рядом для фигур. Все функции / из NM опре-
деляются равенством w(/) = w(/(^))- Функции Д и /2 из NM на-
хем
зываются эквивалентными (обозначение: Д ~ Д), если существует
элемент тг G G такой, что Д (тгж) = Д (х) для всех х Е М. Если Д и /2
эквивалентны, то они имеют одинаковый вес. Поэтому можно опреде-
лить вес w(F) класса эквивалентности F как вес любого элемента /
из F. Пусть (р^ — число классов эквивалентности веса к в NM.
00
Производящая функция $(t) = называется перечисляющим
к=0
рядом для функций (или перечисляющим рядом для конфигурации).
Теорема (Д. Пойа)
где п = |G|, , Д, ..., tn) — цикловой индекс группы G, a Q(tk)
подставляется в Pg на место переменной tk (k = 1, 2, ..., п).
4.1. Найти тип подстановки тг:
1) 7Г = (2, 3, 4, 1); 2) 7Г = (4, 2, 3, 1); 3) тг = (3, 4, 5, б, 1, 2);
4) 7Г = (8, 2, 1, 7, 4, б, 3, 5).
4.2. Представить подстановки из предыдущей задачи в виде про-
изведения транспозиций.
4.3. Найти цикловой индекс группы G, где:
1) G — группа подстановок вершин квадрата, получающихся при
вращениях квадрата в плоскости;
2) G — группа подстановок вершин квадрата, получающихся при
вращении квадрата в пространстве;
3) G — группа подстановок вершин тетраэдра, получающихся при
его вращениях;
4) G — группа подстановок ребер тетраэдра, получающихся при
его вращениях;
5) G — группа подстановок граней тетраэдра, получающихся при
его вращениях;
б) G = S3;
7) G = А4, где Л-4 — знакопеременная группа степени 4, т.е. под-
группа группы S4, состоящая из подстановок, представимых произве-
дениями четного числа транспозиций;
8) G — группа подстановок граней куба, получающихся при вра-
щениях;
9) G — группа подстановок вершин октаэдра.
4.4. 1) Доказать, что группа G, определенная в задаче 4.3, 1),
задает на множестве Z4 одну орбиту.
2) Найти число орбит в множестве Z4, определяемых группой G,
образованной перестановками:
7ГХ = (1, 2, 3, 4), ТГ2 = (1, 2, 4, 3), тгз = (2, 1, 3, 4), тг4 = (2, 1, 4, 3).
4.5. Доказать лемму Бернсайда.
4.6. Пусть b = (bi, , Ьп) — вектор, соответствующий раз-
биению числа п, для которого Ь± + 2^ + ... + nbn = п, где bk -
целые неотрицательные числа (1 к п). Через 77(b) обозначим
множество всех таких подстановок симметрической группы Sn, у
которых тип совпадает с 6, и пусть Н(Ъ) = |77(Ь)|.
/ П \ — 1
1) Доказать, что h(b) — ( JJ kbk ‘ W )
2) Доказать, что Psn(*i, ^2, • • • Зп) = “[52^(Ь)Ц Ф*
ь к=1
3) Доказать, что цикловой индекс Psn равен коэффициенту при хп
в разложении функции 2 к
ехр{йж + ^2у + ... + ^у + -- -}
в ряд по степеням х.
4.7. Пусть Ап — знакопеременная группа степени п, т. е. подгруп-
па группы Sn, состоящая из всех ее подстановок, представляемых в
виде произведения четного числа транспозиций. Доказать, что
tn) = tn) + Csn(ii, -t2, , (-l)nin).
4.8. Пусть G — группа подстановок множества X, H — группа
подстановок множества У, X А У = 0. Произвольной паре подста-
новок тг G G, сг (Е Н поставим в соответствие подстановку тг х а
множества X U У, определенную так: z —> тгг при z 6 X, z —> (jz
при z е У.
1) Показать, что подстановки тг х ст образуют группу порядка
|G| • \Н\. Эта группа называется произведением групп G и Н и
обозначается G х Н.
2) Показать, что если подстановки тг Е G, а Е Н имеют соот-
ветственно типы (bi, ..., Ьп) и (ci, ..., сп), то тг х су имеет тип
(61 + ci, ..., Ьп + сп).
3) Доказать, что Pgxh — Pg х Рет-
4.9. 1) Найти число ожерелий, которые можно составить из бусин
двух цветов, если каждое ожерелье содержит семь бусин. Ожерелья
считаются одинаковыми, если одно из другого получаются поворотом
(зеркальные повороты не допускаются).
2) С помощью теоремы Пойа найти количество ожерелий из бу-
син к цветов, если каждое ожерелье состоит из п бусин (п — прос-
тое число). Ожерелья считаются одинаковыми, если одно из другого
получается поворотом без отражений.
4.10. 1) Найти число различных окрасок вершин тетраэдра в
два цвета. Две окраски считаются различными, если нельзя добиться
совпадения цветов вершин вращениями тетраэдра.
2) Найти число различных окрасок вершин октаэдра в три цвета.
3) Найти число различных окрасок граней куба таких, что три
грани окрашены в красный цвет, две в синий и одна в белый.
4.11. Пусть G — группа подстановок множества Zn, а Е — еди-
ничная группа, действующая на множестве N и переводящая каждый
элемент х G N в себя. Найти число орбит, определяемых степенной
группой Eg на множестве NZn.
4.12. Пусть — число попарно неизоморфных корневых деревьев
с к вершинами, а Т(х) = Т^хк — производящая функция для
к=1
последовательности {Ti}. Доказать, что
(X)
ад = ^Ps„ W).
п=1
4.13. Пусть дп — число попарно неизоморфных графов с п вер-
шинами, 1п — число попарно неизоморфных связных графов с п вер-
шинами. Пусть
J (X) (X)
9(t) = ^gntn, =
п=1 п=1
суть соответствующие производящие функции. Доказать, что
ОО
...,w
п=1
4.14. Пусть р(п, к) — число подстановок группы Sn, состоящих
из к циклов, a 9n(t) = p(n, k)tk — соответствующая произво-
ди
дящая функция. Доказать, что:
п—1
1) ^n(i) = П (£ + «);
1=0
2) р(п, к) = р{п — 1, к — 1) + (п — 1)р(п — 1, к).
§ 5. Асимптотические оценки и неравенства
При оценке роста функций употребляются следующие обозначе-
ния. Запись <р(х) = О('0(ж)) при х € X означает, что существует
константа с такая, что |</?(ж)| с|т/?(ж)| для х G X. Если <р(х) =
= и ф(х) = при х С X, то пишут ip(x) хф(х) при
х е X. Запись <р(х) = о('0(ж)) при х —> а означает, что lim -77-е = 0.
Говорят, что функции (ж) и ^(х) асимптотически равны (обозначе-
ние: <р(х) ~ ПРИ > а, если ср(х) = 'ф(х) + о('0(ж)) при х а.
При разного рода оценках полезна формула Стирлинга
п\ ~ у/2ттппе п.
(1)
Для более точных оценок используются неравенства
V&n”exp{-n+T^-^}<n!<v/2^n”exp{-n+Tl?}. (2)
5.1. Доказать неравенства*):
1) пп/2 < п\ < 1) при п > 2; 2) (2п)! < [п(п + 1)]п;
А , iV / о (п\п . гч / ,ч2 /п(п + 1)\п
3) (J + -J < 3; 4) < п!; 5) (п!)2 < —-J , п > 1;
о о /2т> +1 \ п(п+1)/2 (2т? — Г)” 1
6) 1 22 • З3 -...-тг" «С ; 7) < 1 ;
’ \ 3 ) ' ’ (2тг)!! V3n +1
8) (2тг - 1)!! < пп, п> 1; 9) тг! > е~ппп-,
10) (1 + а)" (1 + ап) при — 1 а, тг 1;
Пч /тг + 2\п+1 7тг + 1\"
\тг + 1 / \ п 7
5.2. Доказать неравенства:
п /9 тг - /п\ 1 7
7 I fc + 17 < Ш Л
471
п
kk(n — k)n~k ’
47г
—, , п
у/Зп + 1
1.
5.3. Используя формулу Стирлинга, показать, что при п —> сю
справедливы асимптотические равенства:
1) (2тг - 1)!! ~ а/2 (2п)пе~п; 2) (2"') <
.X (т + 1)(т + 2)... (ш + п)
(к + 1)(& + 2)... (к + т)
ных кит;
3\
п 1
к! yyj__и
—- п для целых неотрицатель-
ТП1
(2п)!!
(2п - 1)!!
*) Символом (2п — 1)!! обозначается число 1 • 3 • 5 • ... • (2п — 1), а
(2п)!! = 2 • 4 • 6 • ... • (2п).
5.4. Доказать, что при п —> оо справедливы следующие асимпто-
тические равенства:
1) У ~ ; 2) УД Л ) ~ Т -2п, о г < к;
J ^k + l\kj п ' Z_^\r + ku) к
к=1 v
з) У ( \ ~ т (1 + «Г, О г < к-,
7 z—/ \r + kv) к v
v
п 2
4>ЕКЙ ~г7г4“-
к=1
5.5. Пусть &о, &1, ..., Ьп — такие числа, что 0 < ак bk С ск < 1.
Выяснить, верно ли, что:
п
1) (1 + а)^У (”)&^(1 + с)и;
к—О
п
2) (1-с)^£(_1ДА«и1-а)га.
к=0
5.6. 1) Доказать неравенство Чебышева в следующей форме.
1 п
Пусть А = {ai, <22, • • •, ап} — совокупность чисел, а = — У^а^
п i=i
Da = — (ai — а)2. Тогда доля St тех а*, для которых |а^ — а| Д t.
i=l
не превышает Da/t2.
2) Используя неравенство Чебышева, показать, что
Е(п\ (п\ <
\к ) 2^ \к) (2£2) ’
О^.к^.п/2—t у/п п/2+t у/п^.к^.п
о\ тт 1 (п\ 2п+1
3) Показать, что у к \к) ’
к=1
5.7. С помощью формулы Стирлинга показать, что:
1) если \к — | = о(п3/4) при п —> оо, то
(п\ 2n+1 <2k-nf /(2п).
\ к I ’
' у27Г71
2*) если а > 0 и к------= о(п2/3) при п оо, то
(п\ к = (1 + «Г+1 ( (fe(a + 1) - on)2 1
X/ х/2тта Р i 2an /
X
1 + о (- + (fc(° + 1)~aw)3
\п п2
3*
т —
-------------г~г
, а + 1
п, =
хк
5.8. Пусть 0 < А < 1, \п целое, ц = 1 — А, и пусть G(n, А) =
A-An/i-Atn
= — С помощью формул (1) и (2) показать, что:
у2тгАрш
1) ~ G(n, А) при п сю;
2>
з) G(n, А) 5$ ( при п 2;
л\ f п \ (п\ „ X ( п\ Л 1
) \Ап/ < Е \k) < 2А —1\Ап/ ПрИ < 2’
к~ Хп
п
5) Е (Z) < при А > 1;
к=Хп
6) Е (Z) < ^~Хп^п при А < 1.
5.9. Пусть к и п — натуральные числа (к < п). Показать, что:
{оо к — 1 А
“Ег^Ег с
р=1 i=l )
2) если к = о{у/п) при п сю, то (п)^ ~ пк;
3) если к = о(п) при п —> сю, то для всякого т > 1
(п)^ = пк ехр < - 3^ —-—---h О (-----) > ;
V 7 I Е—г -|- У\п» \ пт J |
I У=1 )
/ , ( k2 k3 1
4) при ti —> сю и к = о(п3/4) {п)к — пк ехр < — — — + о(1) >.
5.10. 1) Пусть к = к(п) и s = s(n) таковы, что при п —> сю s =
= о(д/^). Показать, что
/п — s\ / / п\ f V
\к- s) j \к) ~ \Й7
2) Показать, что если s = o(kr, то
s"+1 / 1
l/(l/ +1) \ k"
5.11. Пусть s = s(n) и k = k(n) — целочисленные неотрицатель-
ные функции натурального аргумента. Показать, что:
1) если s + к = о(п3/4) при п —> сю, то
( п — s\ / (п\ f sk s2k + sk2 1
2) если х2 + к2 — о(п) при п —> сю, то
f sk sk2 s2 \^fn-s\/fn\^ f sk}
к )/\k) <ехр/ 7Г/’
п к + 2s.
5.12. Пусть /(ж) — непрерывная, монотонно возрастающая на
отрезке [п, т] функция. Показать, что
/(п) 52 ~ /'^х>1 dx К™)-
к=п п
5.13. Используя предыдущую задачу, показать, что при т —> сю
справедливы следующие соотношения:
т
1) ink ~ mlnm — mA- O(lnm);
к=1
т
2)^кп = —Ц- mn+1 + О(т"), п > 1;
к=1 П
т
3) У' > ! , , = In In In т + с + О ( —--,
к ш к Inin к \mlnmininm/
к=2
с — константа;
.ч log к li2 . . /logm\
4) > ~ о + с + (J I —— 1, с — константа;
' К Л \ ТП /
к=1
т 1 1 1
5) > 5— = с + -h О |-5— ), с — константа;
А: In к Inm \rnln т/
к=1
бх у- х = 1 ______+ о(-____________-У
Z-/ у — 1 yn"-1 т”-1 / \пи ти / ’
к=п
к=п
5.14. Последовательность {рп} определяется рекуррентным соот-
ношением рп = pn-i — ро = 1, 0 < а < 1, /3 > 1.
Показать, что:
1) 0 < рп < 1 (n > 1); 2) рп монотонно убывает с ростом п;
3*) рп ~ (<а(^ - 1)п)1/(1-/3) при п —> оо.
Указание. Воспользоваться неравенствами
_ Pk-i Рк < Pf dx рк ~ Рк-1
S ^к-1 ' / ~ах(3 ' ~^Рк
5.15. 1) Показать, что решение уравнения хех = t имеет вид
х = In t — In In t +
In In £ ~ / / In In t \ 2
In £ \ \ In £ /
£ —> oo.
2) Показать, что решение уравнения ех + In ж = £ при £ —> оо
имеет вид
х = In £ —
In In £ ।
In In £ \ 2
£ J
5.16. Пусть f(x) > 0 и = f(t) + £ + 0(1), 0 < £ < оо. Пока-
зать, что /(£) = + 0(£-2) при £ —> oo.
5.17. Пусть производящая функция А(£) последовательности {ап}
имеет вид А(£) = Q(£)/P(£), где Q(£) и Р(£) — многочлены с действи-
тельными коэффициентами. Пусть Ai — наименьший по абсолютной
величине корень многочлена P(t). Доказать, что:
1) если Ai — простой (не являющийся кратным) действительный
корень, то при zi —оо
где p'(A1) = ^p(f)L;
-£ (У / — Al
2) если Ai — действительный корень кратности г и
4(i) =
Qi(i) Q2(i)(i-Ai)r
(t-Axr+ P(t)
где Qi (t), Qa(i)
при n —oo
— многочлены, Qi(t) = qo + qit + ... + qr-itr x, to
r—1
2=0
5.18. Пусть A(t) — производящая функция последовательнос-
ти {nn}« Найти асимптотическое поведение ап при п —> оо:
1 _I— f 1 1 9/3 1 А/2
£ 2£3
4) = 4t2 + Г 5) = - 17i3 + 35t2 - 22t + 4 ’
. -7А л^\ _ 2*2 + 4* + 8 _
6) (8*3 — 1)(*2 + 1) ’ (*2 + 2* — 2)2 ’
. (} = 2Г - 1,8* - 0,02
’ W (2t2 + l)(t2 + 1,4* + 0,49) ’
5.19. По заданному рекуррентному соотношению и начальным
условиям найти асимптотическое поведение ап при п —> сю:
1) ап-\-2 + 3an+i + 2ап = 0, = 1, Ui = 2;
2) ап = qan_r + р(1 - an-i), а0 = 1, р + q = 1, р, q > 0;
3) ^n+2 + 2an+i -Ь 4an = 0, «о — 0? ai — 2;
4) ^п+з 9^n+2 “I- 26ttn_|-i 24dn — 0, <zq — a± — 1, d2 — 3,
5) an+4 — 4an+2 + 4an = 2, a0 = 1, «1 = 0, = 2, (13 = 0.
5.20. Найти предел последовательности {an}, заданной рекуррент-
ными соотношениями:
1) ^n+i — (Рп “Ь Ъ/ап}/^') ь > 0, do 0;
2) ап+1 = (2ап + b/afy/3, b > 0, а0 > 0;
3) an+i = (6 - а2 )/2, 0 < b < 1, а0 = Ъ/2.
5.21. Пусть ап удовлетворяет соотношениям
цп 2-n-1 + (п — 1) • 4-п-1,
М2 2 п +(п + 1)-4 п +^((4) + (4)
+ (ri + 2) • 2П~*~2 + 4ап^,
ai = 0, а2 = 1/16.
Показать, что:
1) ап 1/8; 2) ап < 9(3/4)п; 3) ап - 2-^(1 + О((3/4)п)).
5.22. Пусть последовательность {ап} удовлетворяет условию
G'n+m + ат, а± > 0. Доказать, что ап а^п при п 1.
5.23. Пусть А;, п целые. С точностью до 1 вычислить к = к(п),
при котором функция /(п, к) принимает максимальное значение:
1) /(п, к) = (^)2-2‘; 2) /(п, к) = (”)2"-fc-2\l - 2~2к)п~к.
5.24. Найти минимальное и максимальное значения выражения
л»..-, ч = (;)(;:;)
как функции от г (0 г к п); г, к, п целые.
5.25. Найти асимптотическое поведение при п —> сю величи-
ны д(п) = min /(п, А;), к целое, если:
О к п
1) /(п, к) = 2п~к + 22"; 2) /(п, к) = к 2к + i 22п~к.
§ 6. Оценки в теории графов и сетей
Помеченным или нумерованным здесь мы будем называть граф,
вершинам которого приписаны пометки (номера). Через Ч5п будем
обозначать множество всех n-вершинных графов (п-графов), вершины
которых помечены числами от 1 до п. Через Ч5п,т будем обозначать
множество тех графов из 45п, которые имеют в точности т ребер.
Граф из множества 45n?w будет называться кратко (п, т)-графом.
Графы G и Н из Ч5п считаются различными, если существуют две
вершины j и А;, смежные в одном из графов, но не смежные в другом.
Пусть <рп(Р) обозначает число всех графов из Ч5П, обладающих
свойством Р. Говорят, что почти все графы обладают свойствами Р,
если lim (Р)/1Ч5П|) = 1. Пусть т = т(п) — целочисленная не-
п—>ос
отрицательная функция, a (рп,т(Р} — число всех графов из
обладающих свойством Р. Говорят, что почти все (n, m(n))-графы
обладают свойством Р, если
lim Уп’т(Р) = 1
п-+оо |^>га|
6.1. Показать, что: 1) |^n| = 2^2^; 2) |СЙП1ТО| = (^2^) •
6.2. 1) Найти число различных турниров с п вершинами, прону-
мерованными числами 1, 2, ..., п.
2) Найти число ориентированных псевдографов с п нумерованны-
ми вершинами и т дугами.
6.3. 1) Показать, что число графов в Ч5П, у которых заданные к
/ п—к \
вершин являются изолированными, равно 2 2 Л
2) Показать, что число графов без изолированных вершин в 4Jn
п (п—к\
равно 52 Ь1)*^)2 2
к=0
3) Показать, что почти все n-графы не имеют изолированных
вершин.
6.4. Пусть подмножество 45 С Ч5П состоит из N попарно различ-
ных графов. Показать, что число попарно неизоморфных графов в 45
не меньше N/nl.
6.5. Пусть — число попарно неизоморфных связных графов
с т ребрами. Показать, что:
1) V’(m) 52 Ст)’
— (1 + л/1+«т)^п^т+1
2) ф(т) < (2т)т при т —> оо.
6.6. Показать, что число попарно неизоморфных псевдографов,
не имеющих изолированных вершин и обладающих т ребрами, не
превосходит (crn)m, где с — константа, не зависящая от т.
6.7. Показать, что число попарно неизоморфных А;-полюсных сетей
с т ребрами без петель и без изолированных вершин не превосхо-
дит (2m)fe(cm)2m, где с — константа, не зависящая от т.
Каждому нумерованному дереву Ten вершинами можно вза-
имно однозначно сопоставить два вектора: I = 1(Т) = (и, ..., in_z)
и J = J(T) = (Д, ..., Jn-2), координаты которых принимают зна-
чения из множества {1, ..., п}. Эти векторы строятся следующим
образом. Координата есть наименьший из номеров висячих вершин
дерева Г, a ji — номер той вершины, с которой вершина соединена
ребром. Ясно, что числа и Д определены однозначно. Удалим из
дерева Т вершину и ребро (Д, Д). В оставшемся дереве пусть Д —
снова наименьший номер висячей вершины, а Д — номер той вер-
шины, с которой Д соединена ребром, и т.д. до тех пор, пока после
удаления ребра (in-2, jn-2) не останется одно ребро. Положим I =
= (Д, . . . , 2П_2), J = (Д, • • • , jn—2)>
6.8. 1) Восстановить дерево Т по векторам I и J:
а) I = (3, 5, 6, 2, 4), J= (1, 2, 2, 4, 1);
б) I = (2, 4, 5, 1), J = (3, 1, 1, 3);
в) I = (2, 4, 5, 3, 6, 7, 8), J = (9, 8, 3, 1, 7, 1, 1).
2) Доказать, что если I и J — векторы, построенные по произ-
вольному нумерованному дереву Г, то вектор /, а значит, и дерево Т
можно однозначно восстановить по вектору J.
3) Доказать теорему Кэли, утверждающую, что число нумерован-
ных деревьев с п вершинами равно пп-2.
6.9. Используя теорему Кэли (см. предыдущую задачу), показать,
что число попарно неизоморфных деревьев с п вершинами не меньше,
чем cnn-2,5en, где lim сп =
П~>ОС)
6.10. Показать, что число попарно различных п-вершинных
лесов с нумерованными вершинами не превосходит 2п~1пп~2.
6.11. Пусть степень каждой вершины связного графа G из ЧЬп
не превосходит s. Доказать, что число попарно различных связных
А;-вершинных подграфов графа G не превосходит n(4s)fc-1.
6.12. Показать, что число попарно различных связных подграфов
куба Вп, порожденных подмножествами из к вершин, не превос-
ходит 2п(4п)/е-1. (Считать, что вершины куба Вп пронумерованы
числами от 1 до 2П.)
6.13. Показать, что число несвязных графов в 4in,m не превосходит
[п/2]
V ММ")
к=1
6.14. Показать, что число графов в ЧД,™, имеющих ровно две
компоненты связности, не превосходит
Плоское ориентированное корневое дерево, в котором дуги ори-
ентированы к корню, называется дихотомическим, если степень
полузахода каждой вершины либо равна 0 (такие вершины будем
называть висячими), либо равна 2 (такие вершины будем называть
внутренними).
6.15. 1) Доказать, что каждое дихотомическое дерево с т внут-
ренними вершинами имеет ровно т + 1 висячих вершин.
2) Пусть tm — число попарно различных дихотомических деревьев
с т внутренними вершинами. Доказать, что to = й = 1, а при т > 1
т—1
tm = tktm—k—1-
k=Q
3) Доказать, что tm = —3—-
т + 1 \ т /
Плоское ориентированное корневое дерево будем называть почти
дихотомическим, если все дуги ориентированы к корню, степень
полузахода каждой вершины находится в пределах от 0 до 2, каждая
вершина с полу степенью захода, равной 1, является концом дуги,
исходящей из висячей вершины (т.е. вершины с полу степенью захода,
равной 0). Вершина почти дихотомического дерева называется внут-
ренней, если степень полузахода отлична от 0. Пусть tm^ — число
попарно различных почти дихотомических деревьев с т внутренними
вершинами, к из которых имеют полустепень захода, равную 1, и
пусть tm — число попарно различных почти дихотомических деревьев
с т внутренними вершинами.
6.16. 1) Доказать, что tm,k = tm_&(m где ^гп — вели-
чина, определенная в предыдущей задаче.
2) Доказать, что tm 2ст, где 2 < с < 3.
Обозначим через Фп множество всех попарно различных формул
над множеством связок {V, &, —} и множеством переменных Хп =
= {^1, Х2, ..., хп}. Формулы считаются различными, если они пред-
ставляют собой различные слова в алфавите {V, &,—,(,), х±, Ж2, ...
..., хп}. Пусть Фп?т — подмножество тех формул из Фп, которые
содержат ровно т связок и в которых отрицания встречаются только
над символами переменных. Пусть Тп^т — множество почти дихо-
томических деревьев, имеющих т внутренних вершин, и таких, что
каждая висячая вершина помечена символом алфавита Хп = {xi,
#2, • • •, хп}, каждая внутренняя вершина, имеющая полустепень за-
хода, равную 1, помечена символом —, а каждая из остальных внут-
ренних вершин — символом из алфавита {V, & }.
6.17. 1) Установить изоморфизм между множествами Фп?т и Тп,т.
2) Доказать, что |Фп,т| (сп)т, где с — константа, не зависящая
от п и т.
Пусть p(G) — некоторый числовой параметр графа G. Пусть
р(п) = 2 2' p(G) — среднее значение параметра р. a Dp(n) =
/п\ СеЧк
= 2 УУ (p(G) — р(п))2 — дисперсия параметра р. Аналогично
можно определить среднее значение и дисперсию параметров графов
из ^п,т • Пусть 3 > 0, 6п(3) — доля тех графов Сиз для которых
p(G) 0, & Дп(0) —доля таких графов Сиз%, что |p(G) — р(п)| 3.
Для различных оценок и доказательства свойств почти всех графов
часто используются следующие неравенства Чебышева:
(1)
△nW (2)
Пусть, например, p(G) — число изолированных вершин гра-
фа G. Требуется показать, что p(G) — 0 для почти всех п-графов.
Пусть дп(г) — число графов из 4in, у которых вершина с номером i
является изолированной. Тогда
/п\ /п\ п
р(п) = 2 ^2' ^2 P(G) = 2 ^2'^2<7п(О-
Се'й„ г=1
р-1)
Очевидно, что gn(i) = 2V 2 7 для всех i = 1, ..., п. Отсюда р(п) =
= п • 2-п. Полагая в (1) 0 = 1/2, получаем, что доля графов G
из ^n, для которых p(G) ^1/2, не превосходит п • 2 nd'1. Но
lim п • 2-n+1 = 0. Следовательно, для почти всех п-графов p(G) <
п-^-оо
< 1/2, т. е. p(G) = 0.
Пусть теперь p(G) — число ребер в графе G. Покажем, что у
1 (п\
почти всех п-графов p(G) = — ( ) (1 +бп), где lim еп = 0. Имеем
р(п) = 2 С) ^2 p(G) = 2 б) ^2 9n(i, j), где gn(i, j)=2^ 1 -
GeU (bJ)
число графов, у которых пара вершин (г, j) соединена ребром. Таким
образом, р(п) = К2)’ Подсчитаем дисперсию:
Г>р(п) = 2“(2) £ (p(G)-р(»))2 = 2“^2^ £ p2(G) - (р(п))2.
Ge4i„ Ce4in
Пронумеруем все пары вида (г, J), 1 i < j п. числами от 1
до () ч и ПУСТЬ /1) — число графов G из %, у которых пары с
номерами v и /1, являются ребрами. Тогда
(?) (?) (?)
Л0) = II ^9п(у> /I) = V дп(у, у) +2^дп(у, р).
Ge(Ijn 17=1 ^=1 17=1
(П)-2
Но gn(v м) = 2^2 , если и р,. Поэтому
Полагая в (2) 0 = д/пр(п), получаем, что доля тех графов G6 %,
для которых |р((?) — |(2)| (2) ’ не пРевосходит “• Отсюда
вытекает, что для почти всех графов p(G} = ) (1 + еп\ где
lim £п = 0.
п—>оо
6.18. Пусть р(С?) — число пар различных вершин графа G из ^п,
для которых не существует цепи длины меньшей, чем 3, соединяющей
_ /п\
эти вершины. Пусть р(п) =2 ^2' p(G).
GE^n
1) Показать, что р(п) = ^(2) (4)
2) Показать, что у почти всех n-графов отсутствуют вершины,
расстояние между которыми больше 2.
3) Используя результаты задачи 6.18, 2), показать, что у почти
всех n-графов радиус и диаметр равны 2.
6.19. Показать, что среднее число гамильтоновых циклов в гра-
фах G из Ч5п равно (n — l)!/2n+1.
6.20. 1) Найти среднее число р(п) циклов длины 3 для графов G
из %.
2) Найти дисперсию Dp(n) числа циклов длины 3 для графов G
из Ч$п.
3) Показать, что для почти всех графов G 6 число p(G) цик-
лов длины 3 удовлетворяет асимптотическому равенству p(G) ~ р(п)
при п сю.
6.21. 1) Найти среднее число р(п, т) циклов длины 3 для графов G
ИЗ ^71,772 •
2) Показать, что дисперсия Dp(n, т) числа циклов длины 3 для
графов G из 4in,m удовлетворяет неравенству D(p)(n, т) n4(m/n)5,
где N = (2)-
3) Доказать, что если т = т(п) и lim (т/п) = сю, то для почти
п—>ос
всех графов G из Ч$п,т число p(G) циклов длины 3 удовлетворяет
асимптотическому равенству
4 (т\3
p(G) ~ J при п —> сю.
6.22. Найти среднее число А;-вершинных независимых множеств в
графах G из Ч5п.
6.23. Пусть p(G) — целочисленный неотрицательный параметр,
а р(п) — его среднее значение для графов G из ЧЬп. Показать, что
если lim р(п) = 0, то для почти всех графов p(G) = 0.
п—>ос
6.24. Используя неравенство Чебышева (2), показать, что у почти
всех (п, т(п))-графов, где т(п) = [n/ln(nlnn)], число изолирован-
ных вершин равно п(1 — в(п)), где lim s(n) = 0.
п—>ос
Глава IX
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Структура граней n-мерного куба.
Покрытия и тесты для таблиц
Гранью единичного n-мерного куба Вп называется множество
= {(аь • • •, «п) е Bn: ah = СГ1, ..., aik = ак}. Множест-
во {zi, ..., in} называется направлением, число к — рангом, а чис-
ло п — к — размерностью грани В^^ак'^к. Кодом грани G =
= называется вектор y(G) длины п, в котором 7^ =
= <71, ..., %к = ак, а остальные координаты есть —. Например,
7(Bqi1,3) = (0 — 1—). Одномерные грани называются ребрами куба.
Обозначим множество векторов длины п с координатами из мно-
жества {0, 1, —} через Gn. На множестве Gn зададим частичный
порядок, полагая S /3, если вектор /3 может быть получен из а
путем замены некоторых (быть может, ни одной) координат набора а,
равных 0 или 1, на —. Отношение а (3 между кодами граней G
и Н соответствует отношению G СН между гранями. Положим ||й||
равным числу прочерков в наборе а и G£ = \а 6 Gn: ||й|| = к\. Тог-
да G§ = Вп, G™ соответствует множеству ребер куба Вп, G^ — мно-
жеству граней куба Вп, имеющих размерность к. Интервалом 1(а, /3)
куба Вп называется множество вида {7 е Вп: 5^7^ /?}> гДе
/3 — вершины из Вп такие, что а (3. Число р(а, /3) называется
размерностью интервала.
Пусть М — матрица с элементами из множества {0, 1}. Будем
говорить, что строка а матрицы М покрывает некоторый столбец /3,
если на их пересечении стоит 1. Матрицу с т строками и п столб-
цами будем называть матрицей размерности т х п. Подмножест-
во А строк матрицы М называется покрытием (множества столб-
цов) матрицы М, если для каждого столбца матрицы М найдется
строка из множества А, покрывающая этот столбец. Покрытие назы-
вается кратчайшим, если оно имеет минимальную мощность среди
всех покрытий матрицы М. Мощность £(М) кратчайшего покрытия
называется глубиной матрицы М. Пусть каждой строке а матри-
цы М приписано неотрицательное число w(5), называемое весом
строки а. Весом множества А строк матрицы М называется чис-
ло w(A) = w(5). Покрытие А матрицы М называется минималъ-
а^А
ным (относительно весовой функции w), если оно имеет минимальный
вес среди всех покрытий матрицы М. Покрытие называется тупико-
вым, если удаление из него любой строки приводит к множеству, не
являющемуся покрытием. Покрытие называется градиентным, если
оно может быть получено в результате следующей пошаговой про-
цедуры. На первом шаге выбирается строка Si, имеющая наиболь-
шее число единиц, а из М вычеркиваются строка Si и все столб-
цы, имеющие в пересечении с Si единицу. В результате получается
матрица М±. Пусть сделано к шагов, на которых выбрано множество
строк Ак = {Si, ..., &к} и получена матрица М].. На (к + 1)-м шаге
в матрице выбирается строка S&+1 с наибольшим числом единиц и
т. п. Процедура заканчивается, если матрица М]. не содержит единиц.
Полученное при этом множество А^ и является градиентным покры-
тием. Результат процедуры неоднозначен, поскольку выбор строки на
каждом шаге, вообще говоря, не является однозначным. Через Ly(M)
будем обозначать максимальную мощность градиентного покрытия
матрицы М.
Множество А строк матрицы М называется тестом, если в под-
матрице, образованной строками из А, столбцы с номерами i и j
различны, когда столбцы с номерами i и j различны в матрице М.
Тест называется минимальным, если он имеет минимальную мощ-
ность среди всех тестов матрицы. Тест называется тупиковым, если
после удаления любой строки получается множество, не являющееся
тестом. Количество строк в тесте называется его длиной.
1.1. Показать, что грань куба Вп размерности к является его
интервалом размерности к и наоборот.
1.2. Доказать следующие утверждения:
1) число различных граней куба Вп, имеющих заданное направле-
ние {zi, ..., ik}, равно 2к',
2) две различные грани одного направления не пересекаются;
3) объединение всех граней куба Вп, имеющих заданное направ-
ление, дает весь куб Вп;
4) число всех граней ранга к куба Вп равно • 2к;
5) общее число граней куба Вп равно Зп;
6) число граней размерности к, содержащих заданную вершину
г— тэт) ( П \
а е Вп, равно ( I;
7) число граней размерности к, содержащих заданную грань раз-
7 f п — 1\
мерности I, равно I М;
8) пересечение двух граней (если оно не пусто) является гранью;
9) число А;-мерных граней, пересекающихся с заданной /-мерной
min {к, 1}
гранью куба Вп, равно • 2г
j=Q
1.3. 1) Пусть G, Я, F — грани куба Вп. Показать, что если
G П Н 0, G П F 0, Н П F 0, то G П (Я nF) 0.
2) Если 5, /3 — вершины из Вп, то пусть В (а, /3) — грань куба Вп
с кодом у, получающимся из набора а расстановкой прочерков в тех
его координатах, которые отличаются от соответствующих коорди-
нат набора /3. Доказать, что для трех произвольных вершин 5, /3, 7
из Вп множество В (а, (3) П В(Д, 7) П В (7, S) состоит из единствен-
ного набора S = (Ji, ..., Jn), где = aifli V /3*7/ v (г = 1, ..., n).
3) Пусть В (А) — множество ребер куба Вп, целиком содержащих-
ся в подмножестве А С Вп. Доказать, что для любого целого т тако-
го, что 0 т 2П-1, и любого А С Вп такого, что |А| = 2П-1 + ш,
выполнено неравенство |В(А) | тп.
1.4. Пусть Hi, П2, ns — целые неотрицательные числа та-
fi
кие, что У^ 2ni = 2п. Тогда в Вп существуют попарно непересе-
4=1
кающиеся грани Gi, С?2, ...,GS размерностей, соответственно рав-
S
ных т, П2, ..., ns, такие, что IJ Gi С Вп.
i=l
1.5. Грани G и Я куба Вп называются несравнимыми, если не
выполняется ни одно из включений G С Я, Я С G.
1) Показать, что существует множество граней куба Яп, состоя-
/ п \ (п — [n/З] \
щее из г /о, г /от попарно несравнимых граней.
\[«/3]/ \ [n/3] J
2) Показать, что мощность всякого множества попарно несравни-
мых граней куба Вп не превосходит
2п-[п/3]
1.6. Найти глубину матрицы М:
Г01101
"11110000001111"
00111100111100
11000111100110
11111110000000
00000001111111
111000'
100100
010010 ’
001001
1) М =
ООП
1001 ’
1100
110000' "11100" "1010010"
4) М = 011000 001100 000110 ; 5) М = 01110 00111 ; 6) М = 1001001 0101010
10011 0010110
000011 100001 11001 0100101
1.7. Найти минимальные мощности градиентных покрытий мат-
риц М из задачи 1.6.
1.8. Найти числа кратчайших покрытий матриц М из задачи 1.6.
1.9. Найти числа тупиковых покрытий матриц М из задачи 1.6.
1.10. Пусть М — матрица с п ненулевыми столбцами, а в каж-
дой ее строке не менее к единиц. 1) Показать, что £(М) п — к + 1.
2) Показать, что оценка достижима.
1.11. Пусть М — матрица линейного (п, &)-кода. Показать, что
ам) к.
1.12* . Пусть матрица М размерности т х п имеет не менее s
единиц в каждом столбце. Доказать, что:
-1 . тп л esn Т / л л-х / л , тп . esn
1) Ц--In ; 2) ЕГ(М) < Ц---------In .
S ТП S ТП
1.13* . Пусть в матрице Men ненулевыми столбцами существует
подматрица М' с m строками такая, что число столбцов подматри-
цы М'. содержащих менее s единиц, не превосходит еп. Доказать, что
максимальная мощность Вр(М) градиентного покрытия матрицы М
удовлетворяет неравенству
т (-л л-\ s- -1 . , тп 1 ens
Lrp(M) 1 + вп Ч---In----.
s тп
1.14. Пусть матрица тп имеет п ненулевых столбцов, а ее глубина
равна р. Доказать, что
Lr(M) 1+р+ fin/in fl - Д
\ nJ / \ pJ
1.15. Пусть двоичная матрица М имеет п — 2(2П — 1) столбцов
и q + 2 строк, причем множество Е* номеров единичных коорди-
нат г-й строки матрицы М имеет вид
Et = {2’-1, 2’-1 + 1, ..., У - 1, п - 2’-1 + 1, п - 2£-1, ..., п - 2i + 2}
при
1 < i < Q, Eq+1 = {1, 2, ..., 2n — 1}, Еа+2 = {29, 2q + 1, ..., п}.
Найти отношение мощности градиентного покрытия к мощности
кратчайшего покрытия.
1.16. Множество N С Вп называется (п, к)-протыкающим^ если
в каждой А;-мерной грани куба Вп находится хотя бы одна верши-
на множества N. Пусть L(n, к) = min|7V|, где минимум берется по
всем (п, А;)-протыкающим множествам. Доказать, что:
1) L(n, 1) = 2П-1; 2) L(n, п - 1) = 2; 3) L(n, 2) < [2П/3];
4) т L(n, п — 2) т + 2, где т — наименьшее целое, для ко-
( т \
торого > п;
\[т/2]У
[п/к]
5) L(n, к) ((fe + l)z);
i=0
6) L(n, k) 2п rL(r, к) (к г п);
7) L(n, к) 1 + 2п~к In (fy + 2п~к.
1.17*. Пусть 1 I < к п и — матрица, строки которой
соответствуют наборам из В^, а столбцы — наборам из В™, и пусть 1
на пересечении строки и столбца стоит тогда и только тогда, когда
набор, соответствующий столбцу, содержит все единицы набора, со-
ответствующего строке.
1) Найти £(Мп,п_ц).
2) Доказать, что £(МП,М) - 7—7
п — I + 1
к — I + 1
3) Доказать, что £(^п.п-м) = I + 1 при п (7 + 1)к.
4) Доказать, что (”)|(i) 1 + (fy (1 + In (|))|(/)-
5) Доказать, что £(Mnin_2,n-z) г+ (7 - 1 + г) Q), где
г — остаток от деления п на I — 1, a q = (n — r)/(l — 1).
1.18. Пусть М — матрица размерности т х п, р — положи-
тельное число. Показать, что в М можно найти множество строк А
мощности, не превышающей п/</?, такое, что после вычеркивания всех
столбцов, покрываемых строками из А, получается подматрица, в
каждой строке которой менее <р единиц.
1.19. Найти длину минимального теста матриц М из задачи 1.6.
1.20. Найти длины минимальных тестов для матрицы 7И, если:
1) множество столбцов матрицы М есть Вп;
2) множество столбцов матрицы М есть BJ?;
3) множество столбцов матрицы М есть |J
0^к^п/2
4) множество столбцов матрицы М есть В^ U В^+1 (к > 0).
1.21. Через будем обозначить матрицу, составленную из
сумм по модулю 2 всевозможных неупорядоченных пар столбцов
ГП01
матрицы М. Например, если М =
"01Г
по
011
м® =
011
001
то
Доказать, что множество строк матрицы М с номерами zi, ..., г к
тогда и только тогда является тестом (минимальным, тупиковым
тестом), когда множество строк матрицы MW с теми же номерами
является ее покрытием (кратчайшим, тупиковым покрытием).
1.22. Две матрицы М и L с одинаковым числом строк называ-
ются Т-эквивалентными, если множество строк с номерами zi, ..., ik
является тестом тогда и только тогда, когда множество строк матри-
цы L с теми же номерами является тестом матрицы L.
Выяснить, являются ли Т-эквивалентными матрицы М и L, если:
1) М получена из L перестановкой столбцов;
2) М получена из L перестановкой строк;
3) М получена из L удалением всех столбцов, сплошь состоящих
из 0 (из 1);
4) М получена из L вычеркиванием к — 1 столбцов из к одина-
ковых;
5) М получена сложением по модулю 2 каждого столбца матри-
цы L с заданным столбцом й;
6) М получена из L сложением по модулю 2 каждой строки мат-
рицы L с заданной строкой й;
7) М получена из L заменой всех 0 на 1 и всех 1 на 0;
8) М состоит из всех линейных комбинаций столбцов матрицы L;
9) М = (определение см. в задаче 1.21).
1.23. Доказать, что если М имеет п попарно различных столбцов,
то длина минимального теста не меньше log2 п.
1.24. Доказать, что число тупиковых тестов матрицы Мет
( т \
строками не превосходит г /Л1 .
\ /
1.25. Доказать, что число матриц размерности т х п с попар-
но различными строками, у которых совокупность строк с номера-
ми 21, ..., ik является тестом, равна 2к(2к + 1)... (2к — п + i)2n(m-/c).
Универсальный алгоритм построения тестов состоит в построе-
нии по заданной матрице М некоторой к. н. ф. и последующем пре-
образовании ее в д.н.ф., слагаемые которой соответствуют тупи-
ковым тестам.
Пример. Рассмотрим матрицу М. Для построения всех тупико-
вых тестов этой матрицы построим сначала матрицу
0 1 1
1 0 1
1 1 0
М^> =
’1 о г
1 1 о
1 0 1
0 1 1
По матрице построим к. н. ф. Q(M), переменными которой яв-
ляются номера строк матрицы а элементарные дизъюнкции со-
ответствуют ее столбцам и включают в себя номера строк, имеющих
единицы на пересечении с данным столбцом. Таким образом, к. н. ф.
имеет вид
Q(M) = (1 V 2 V 3)(2 V 4)(1 V 3 V 4).
Раскрывая скобки в к. н. ф. Q(M) и используя правило поглоще-
ния (А V АВ = А), получаем д. н. ф. D(M) = 1- 2V1-4V2-4V3-4V
V 2 • 3.
Тупиковыми тестами являются следующие множества строк:
{1, 2}, {1,4}, {2,4}, {3, 4}, {2, 3}.
1.26. Пользуясь универсальным алгоритмом, построить все тупи-
ковые тесты для матриц из пп. 1), 2), 5), 6) задачи 1.6.
1.27. Доказать, что если в матрице М размерности т х п рас-
стояние между двумя строками не меньше с/, то длина минимального
, т . 2edm
теста не превосходит 14—- ш —---—.
а п(п — 1)
§ 2. Методы построения сокращенной д. н. ф.
Импликантой функции f(xn) называется такая элементарная
конъюнкция к над множеством переменных {rri, ., хп}, что
kV f(xn) = f(xn). Импликанта к функции / называется простой
импликантой, если после отбрасывания любой буквы из к получается
конъюнкция, не являющаяся импликантой функции /. Дизъюнкция
всех простых импликант функции / называется сокращенной д. н. ф.
функции /.
Дизъюнктивная нормальная форма называется:
минимальной, если она содержит наименьшее число букв среди
всех д. н. ф., эквивалентных ей;
кратчайшей, если она имеет наименьшую длину (число элемен-
тарных конъюнкций) среди всех д.н.ф., эквивалентных ей;
тупиковой, если отбрасывание любой элементарной конъюнкции
или буквы приводит к д.н.ф., которая не эквивалентна исходной
Д.н.ф.;
д. н. ф. функции f, если она реализует функцию /.
Конъюнкции, входящие в д.н.ф., называются ее слагаемыми,
число слагаемых — длиной д. н. ф., а сумма рангов слагаемых -
сложностью д. н. ф. Говорят, что функция f поглощает функцию g
(обозначение: g /), если gV f = / (или, что то же самое, д& f =
= д'). Простая импликанта к функции / называется ядровой, если
д.н.ф., составленная из всех простых импликант функции /, отлич-
ных от к, не поглощает к. Дизъюнкция всех ядровых импликант
функции F называется ядром функции /.
Если элементарная конъюнкция к является импликантой функ-
ции f(xn), то множество всех наборов а из Вп таких, что /(5) =
= 1, образует грань, содержащуюся в множестве Nf. Эта грань на-
зывается интервалом функции f, соответствующим импликанте к.
Интервал функции /, не содержащийся ни в каком другом интервале
функции /, называется максимальным интервалом. Максимальные
интервалы функции / соответствуют ее простым импликантам. Ин-
тервалы, соответствующие ядровым импликантам функции /, назы-
ваются ядровыми интервалами.
Метод Блейка для построения сокращенной д. н. ф. из произ-
вольной д. н. ф. состоит в применении правил обобщенного склеива-
ния хК± V хК? = хК± V хКз V и поглощения К\ V = К±.
Подразумевается, что правила применяются слева направо. На первом
этапе производится операция обобщенного склеивания до тех пор, пока
это возможно. На втором производится операция поглощения.
Пример 1. Построить сокращенную д.н.ф. по д.н.ф. D функ-
ции /, где D = Ж1Ж2 Vxi^3 Ух2хз.
После первого этапа получаем
Di = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 VT2t3 V ж2ж3 V Ж1Ж3 V ж3.
После второго этапа получаем сокращенную д. н. ф.
Dj = D2 = Ж1Ж2 V ж3.
Метод Нельсона позволяет строить сокращенную д. н. ф. по к. н. ф.
Сначала в заданной к.н.ф. раскрываются скобки с использовани-
ем закона дистрибутивности. На втором этапе вычеркиваются бук-
вы и конъюнкции с использованием правил ххК = 0, ххК = хК,
К1 V К1К2 = К1.
Пример 2. Построить сокращенную д.н.ф. по заданной к.н.ф.
/ = (Ж1 V Ж2)(Ж1 V х2 V Жз).
После раскрытия скобок имеем
Di — Х]_Х1 V Ж1^2 V Ж1Ж3 V ж2Ж1 V х2х2 V ж2жз.
После второго этапа получаем сокращенную д. н. ф.
Dj = D2 = Ж1Ж3 V х2.
Алгоритм Квайна строит сокращенную д.н.ф. по совершенной
д. н. ф. На первом этапе к совершенной д. н. ф. применяется операция
неполного склеивания (хК V хК = К V хК V хК). После того как та-
кая операция применена к каждой паре конъюнкций из совершенной
д.н.ф., к которой она применима, с помощью операции поглоще-
ния (К V ха К = К) удаляются те конъюнкции ранга п, которые
можно удалить таким образом. В результате получается некоторая
д.н.ф. D±. Если проведено k 1 этапов, то на (к + 1)-м этапе опе-
рации неполного склеивания и поглощения применяются к конъюнк-
циям ранга п — к д.н.ф. В}-. В результате получается д.н.ф. D&+1.
Алгоритм заканчивает работу, если Dk+i = Dj~.
Пример 3. Пусть функция /(ж3) задана своей совершенной д. н. ф.
Dq = Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2^з V ^1Ж2жз V ^1Ж2жз V Ж1Ж2^з.
После первого этапа имеем
Di = ж2ж3 V Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж1Ж3.
После второго этапа получаем сокращенную д. н. ф.
Dcf = D2 = х2 V Ж1Ж2.
Для небольших значений п сокращенную д.н.ф. функции f(xn)
можно найти, исходя из геометрического изображения множества Nf
в кубе Вп. С этой целью в кубе Вп отыскиваются грани максимальной
размерности, целиком содержащиеся в множестве Nf, а затем состав-
ляется д. н. ф. из конъюнкций, соответствующих этим граням.
Пример 4. Пусть функция /(ж3) задана вектором cif =
= (00011111). Требуется найти ее сокращенную д.н.ф.
Решение. Вершины множества Nf = {111, 110, 101, 100, 011}
отмечены в кубе В3 (рис. 9.1) светлыми кружками. Максимальны-
Рис. 9.1
ми являются грани В3,1 и В^2,3. Коды этих
граней суть (1--) и (—11). Соответствующие
конъюнкции имеют вид Ж1, Ж2Ж3, а сокращенная
д. н. ф. есть By = У x^x^.
Другой способ построения сокращенных
д. н. ф. для функций, зависящих от небольшо-
го числа (не более 4) переменных, состоит в
использовании минимизирующих карт (называе-
мых картами Карно или диаграммами Вейча).
При этом функция задается прямоугольной таб-
лицей, в которой наборы значений переменных на
каждой из сторон прямоугольника расположены
в коде Грея. Нахождение простых импликант сводится к выделению
максимальных по включению прямоугольников, состоящих из единиц.
Считается, что каждая клетка таблицы, примыкающая к одной из
сторон, является соседней к клетке, примыкающей к противоположной
стороне и расположенной на той же горизонтали или вертикали.
Метод применйм также и для не всюду определенных функций. В этом
случае выделяются максимальные прямоугольники, содержащие хотя
бы одну единицу и не содержащие нулей.
Пример 5. Таблица 9.1 представляет собой минимизирую-
щую карту для функции /(ж4) с вектором значений otf =
= (1110010101001101). Коды максимальных интервалов имеют вид
(0 0 — 0), (0 0 0—), (-0 1), (— 1 — 1), (11 — 0). Сокращенная д. н. ф.
имеет вид Dj = Т1Т2Т4 V Т1Т2Ж3 V Ж3Ж4 V ^2^4 V Ж1Ж2Т3.
Пример 6. Таблица 9.2 представляет собой минимизирую-
щую карту для частичной функции /, зависящей от трех перемен-
ных. Сокращенная д. н. ф. имеет вид Dj = Т1Т3 V Т1Ж2 V Ж2Ж3 V Ж1Ж3.
Простая импликанта I функции f называется ядровой, если су-
ществует набор а такой, что 1(5) = 0, и в то же время к (а) = 0
для любой простой импликанты К функции /, отличной от I. Такой
набор а называется собственным набором ядровой импликанты I
(или соответствующего интервала).
2.1. Из заданного множества А элементарных конъюнкций выде-
лить простые импликанты функции /:
1) А = {xi, ж3, Ж1Ж2, ж2ж3}, /(ж3) = (00101111);
2) А = {Ж1Ж2, х2х3, Я1Ж2ж3}, /(ж3) = (01111110);
3) А = {ж1, х4, х2х3, х4х2х4}, f(x4) = (1010111001011110);
4) А = {ж1, х2, х4х2}, f(x2) = (1011);
5) А = {Ж1Ж3, Ж1Ж3, х2], f(x3) = (ООН 1011);
6) А = {жхж2, ж2ж3, х2}, f(x3) = (00101111).
2.2. По заданной д.н.ф. D с помощью метода Блейка построить
сокращенную д. н. ф.:
1) D = Ж1Ж2 V Ж1Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4; 2) D = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4;
3) D = Ж1 \/Ж1Ж2 V Ж1Ж2Ж3 \/Ж1Ж2ЖзЖ4;
4) D — Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж2Ж3 \/жзЖ4;
5) D = х%х± V Ж2Ж4 V Ж1Ж4 V Ж2Ж3Ж4;
6) D = Ж1Ж2Ж3 V Ж3Ж4 V Ж1Ж4 V Ж2Ж4;
7) D = Ж3Ж4 V Ж1Ж2 V Ж3Ж4 V Ж1Ж3;
8) D = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж1.
2.3. Построить сокращенную д. н. ф. по заданной к. н. ф.:
1) (Ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V ж2 V ж3)(ж2 V ж3); 2) (ж1 V ж2)(жх V ж2 V ж3);
3) (Ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V ж2)(ж1 V ж2 V ж3);
4) (Ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V ж2 V ж3); 5) (жх V ж2)(ж2 V ж3)(ж3 V жх);
б) (Ж1 V ж2)(ж2 V ж3)(ж3 V ж4)(ж4 V Ж1);
7) (Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Ж4)(Ж1 V Ж2 V Ж4);
8) (жх V ж2)(ж1 V ж3 V ж4)(ж1 V ж2 V ж3)(ж3 V ж4).
2.4. С помощью алгоритма Квайна построить сокращенную д. н. ф.
для функции /, заданной вектором своих значений;
1) бу = (0111 ОНО); 2) бу = (10111101); 3) бу = (0010 1111);
4) бу = (1110 0100); 5) af = (0001101111011011);
6) = (0000 11111111 ОНО); 7) af = (11111111 01111110);
8) = (0000111101111111).
2.5. Изобразив множество Nf функции f(xn) в Вп, найти коды
максимальных интервалов и построить сокращенную д. н. ф.:
1) бу = (11110100); 2) бу = (01010011); 3) бу = (11010011);
4) af = (1110 0111); 5) бу = (11111000 0100 1100);
6) af = (0001011111101111); 7) af = (1110 0110 0000 0111);
8) af = (1111111111111000).
2.6. Найти сокращенную д. н. ф. функции / с помощью минимизи-
рующей карты:
1) af = (0101 0111); 2) af = (11011011); 3) af = (1011 0000);
4) af = (11101111); 5) af = (0001101111011111);
6) af = (ООН 110111111101); 7) af = (ООН 110111011110);
8) af = (0010101111011111).
2.7. С помощью минимизирующих карт построить сокращенную
д. н. ф. для частичной функции f, заданной векторно (прочерки соот-
ветствуют не определенным значениям):
1) af = (01---01 — 1); 2) 07 = (1 — 01-----10);
3) cif = (1---0 — 10); 4) af = (0------10 — 1—);
5) af = (10 — 1 — 011 — 0--1 — 01);
6) af = (0---1------0------1 — 1 — 01);
7) af = (--01 — 1—00-----------1 — 0);
8) af = (—10 — 1----11—01—0-----------).
2.8. Найти все ядровые импликанты для функций / из задачи 2.6.
2.9. Найти длину сокращенной д.н.ф. функции /:
1) = Ж1 ф Ж2 Ф • Ф Хп,
2) f(xn) = (жх V Х2 V ж3)(жх V Ж2 V ж3) ф ж4 ф ... ф хп;
3) f(xn) = (ж4 V ж2 V ж3)(жх V ж2 V жз)(ж4 ф ... ф жп);
4) /(ж") = (жз V ... V xk)(xk+i V ... V жп);
5) f(xn) = (жз ф ... ф xk)(xk+1 ф ... ф ж„);
6) f(xn) = (жз V ... V ж„)(ж1 V ... V xk V Ж£+1 V ... V ж„);
7) f(xn) = (жх -4 ж2)(ж2 -> Жз)... (ж„_1 -4 жп)(жга -4 жх);
8) f(xn) = (жх V ... V Жп)(жх V ... V ж„);
9) Джп) = (жх V ж2)(ж3 V ж4)... (ж2п-1 V ж2п).
2.10. Пусть Sk,m(xn) такова, что Nsk,m = {5 € Вп: к ||а||
к + т}.
1) Для данного набора а € В^ найти число максимальных интер-
валов функции Sktm, содержащих набор а.
2) Для к < I sj к + т и а € В" найти число максимальных ин-
тервалов функции Sk,m, содержащих набор а.
3) Показать, что число максимальных интервалов 1с(Зк,т(х4:У)
функции Sk,m равно
4) Показать, что max Iе (Si- т&п\) = т?——7—тхттт-
7 ’ V П ([п/3]!)2(п — [п/3])!
2.11. Пусть lc(f) — длина сокращенной д.н.ф. функции /. Пока-
зать, что Zc(/) | l-W/KMV/l + 1)-
2.12. Найти числа ядровых импликант у функций f из задачи 2.9.
2.13. Показать, что число ядровых импликант функций f(xn) не
превосходит 2П-1.
2.14. 1) Показать, что всякая простая импликанта функции f(xn)
ранга п является ядровой.
2) Показать, что всякая простая импликанта функции f(xn) ранга
меньше 2 является ядровой.
2.15. 1) Показать, что простая импликанта монотонной функции
не содержит отрицаний переменных.
2) Показать, что каждая простая импликанта монотонной функции
является ядровой.
2.16. Доказать, что сокращенная д.н.ф. функции / реализует /.
§ 3. Методы построения тупиковых, минимальных
и кратчайших д. н. ф.
При построении тупиковых д. н. ф. функций, зависящих не более
чем от четырех переменных, удобно пользоваться минимизирующими
картами. При построении кратчайших д. н. ф. функции на минимизи-
рующей карте отыскивается минимальная по числу элементов сово-
купность «прямоугольников», соответствующих простым импликан-
там функции и покрывающих все единицы в минимизирующей карте.
Пример 1. Кратчайшей д.н.ф. функции /, которая задана
табл. 9.1, является д. н. ф. D = х$х^ V #2^4 V V Ж1Ж2Ж4. В этой
д. н. ф. все конъюнкции ядровые, как это легко усматривается из
минимизирующей карты. Отметим, что D является единственной
тупиковой и минимальной д.н.ф. функции /.
Для построения тупиковых д. н. ф. функции / часто используется
так называемая таблица Квайна Qf функции /, строки которой соот-
ветствуют простым импликантам функции /, а столбцы — наборам из
множества Nf. На пересечении строки, соответствующей импликан-
те Z, и столбца, соответствующего набору 5, стоит 1, если Z(5) = 1,
и 0, если 1(5) = 0. Минимальное (тупиковое) покрытие столбцов
таблицы Qf строками соответствует кратчайшей (тупиковой) д. н. ф.
функции /. Минимальной д.н.ф. отвечает покрытие, обладающее
минимальной суммой рангов конъюнкций, соответствующих стро-
кам, вошедшим в покрытие. Для построения всех тупиковых д. н. ф.
функции / составим к. н. ф. Х(/) следующим образом: поставим в
соответствие столбцу 5 таблицы Q f элементарную дизъюнкцию вида
= Ki V К2 V .. .V Ks. где Ki (г = 1, ..., з) — все такие простые
импликанты функции /, что Кг(А) = 1. Полагаем = & D&.
Раскрывая скобки подобно тому, как это делалось в методе Нельсона
(см. пример 2 из предыдущего параграфа), и используя правила
А-А = А и AvAB = A, получаем из к.н.ф. д.н.ф.
слагаемые которой соответствуют тупиковым д.н.ф. функции /.
Пример 2. Пусть / = (#1 V Х2 V жз)(^1 V х^ V жз). Сокращенная
д. н. ф. функции / имеет вид
DCf = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж2 V Ж3Ж2 V Ж3Ж1 V Ж2Ж3.
Таблица Квайна Qf показана в табл. 9.3.
Таблица 9.3
001 010 100 011 101 по
К\ = Ж1Ж2 0 0 1 0 1 0
К2 = Ж1Ж3 0 0 1 0 0 1
Кз = Ж1Ж2 0 1 0 1 0 0
К4 = Х2Х3 0 1 0 0 0 1
к5 = Ж1Ж3 1 0 0 1 0 0
Кв = Х2Х3 1 0 0 0 1 0
К.н.ф. имеет вид
= (к5 V да V ^4)(КХ V К2)(^з V к5Ж1 V КбЖ V К4).
Далее
М(/) = К4К4К5 V K2K3KQ У К4К2КзК5 V К4К3К4КЪ V К2К4К5К6.
Функция / имеет две кратчайшие д. н. ф., которые являются в данном
случае и минимальными, и три тупиковые д.н.ф., не являющиеся
кратчайшими (и минимальными). Кратчайшая д. н. ф., соответствую-
щая слагаемому К±К4К§ д.н.ф. имеет вид
V #2^3 V Ж3Ж1.
Заметим, что слагаемые д.н.ф. соответствуют тупиковым по-
крытиям матрицы Qf и могли быть получены непосредственно из нее.
Алгоритм упрощения д.н.ф. состоит в применении двух операций.
1. Операция удаления элементарной конъюнкции.
Операция удаления конъюнкции К из д. н. ф. D осуществляется лишь
в случае, если после удаления К из д.н.ф. D получается д.н.ф.
эквивалентная д. н. ф. D.
2. Операция удаления буквы. Операция осуществляется,
если удаление буквы xf из некоторой конъюнкции К д. н. ф. D приво-
дит к д. н. ф. ZH, которая эквивалентна д. н. ф. D.
При применении алгоритма упрощения д. н. ф. D рассматривается
как слово, в котором задан некоторый порядок следования конъюнк-
ций, а также букв в каждой конъюнкции. Операция 1 (операция 2)
применяется к первой конъюнкции (букве), к которой эта операция
применима. Если ни одна из операций не применима, то алгоритм
заканчивает работу.
Пример 3. Применим алгоритм упрощения к д.н.ф.
D = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V #2^3 V Ж3Ж1 V Ж1Ж3.
На первом этапе исключается первая конъюнкция
Di = Ж1Ж2ж3 V ж2^з V Ж3Ж1 V Ж1Ж3.
В Di нет конъюнкций, которые можно удалить, но можно удалить
букву Ж1 в первой конъюнкции. Имеем
в2 = ж2ж3 V Ж2Ж3 V Ж3Ж1 V Ж1Ж3.
Эта д. н. ф. является тупиковой. Алгоритм заканчивает работу. Заме-
тим, что если на этом этапе удалить из конъюнкции Ж1Ж2Ж3 не бук-
ву Ж1, как этого требует алгоритм упрощения, а букву жз, то процесс
упрощения можно продолжить путем удаления конъюнкции Ж1Ж3. В
результате была бы получена д. н. ф.
D3 = Ж1Ж2 V ж2^з V жз^1,
являющаяся кратчайшей и минимальной.
3.1. Выяснить, является ли д.н.ф. D а) тупиковой, б) кратчай-
шей, в) минимальной:
1) D = Ж1Ж2 V т2; 2) D = Ж1Ж2 V ж2; 3) D = х± V т2:
4) D = Ж1Ж2 V Ж1Ж2; 5) D = Ж1Ж2^з V Ж2Ж3 V т2т3;
6) D = Ж1Ж2 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4;
7) D = Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж3Ж4 V Х2Х%х±;
8) D = Ж1Ж2Ж3 V^1^2^4 V Ж1Ж3Ж4 V^2^3^4.
3.2. Применить алгоритм упрощения к д.н.ф.:
1) D = Х1Х2 V Х2', 2) D = Х1Х2 V Т1Т2;
3) D = Ж1Ж2Ж3 V Ж2Ж3 V Ж2Ж3; 4) D = #1^2 V ^1^2 V Х2Х3;
5) D = Х1Х2 V Ж2Ж3 V Ж1Ж3 V Ж1Ж2 V Х2Х3;
6) D = Х1Х2Х2Х4 V Ж2Ж3Ж4 V #2^3 V яцжз;
7) D = Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4;
8) D = xix3 V #2^3 V Ж1Х2 V Ж1Ж2Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж3Ж4.
3.3. По заданной сокращенной д.н.ф. D построить д.н.ф. 2?ет5
состоящую из конъюнкций, входящих хотя бы в одну тупиковую
д.н.ф.:
1) D = ху У х z V yz;
2) D = zw V yzw V xyw V х yz V xy~z V xyw;
3) D = xyz V xyw V xyw V xzw V yzw;
4) D = zw V xyw V xyz V xyz V xyw;
5) D = zw V yw V xw V yzw V xyz;
6) D = xyz V xyz V xyz V zw V yw V xw;
7) D = xz V yz V ху V xyw V yzw V xzw;
8) D = xz V yw V ху V yz V xw \/ zw.
3.4. По заданной сокращенной д.н.ф. D построить д.н.ф.
состоящую из конъюнкций, входящих хотя бы в одну минимальную
д.н.ф.:
1) D = ху V xz V yz; 2) D = xy~z V xyz V xyw V xzw V yzw;
3) D = xw V yw V zw\/ xz\l yz;
4) D = xz V yz У xyw V xy\/ yzw V xzw;
5) D = yz\/ ~xzw V xyz V xzw V xyz;
6) D = xyw V xzw V yzw V yzw V xyz;
7) D = xz V xz V xyz \/ xzw; 8) D = yzt\/ ywtVxyztV xyzw.
3.5. Для д.н.ф. из предыдущей задачи построить минимальные
д.н.ф.
3.6. С помощью таблицы Квайна построить все тупиковые д. н. ф.
функции f, заданной вектором своих значений:
1) af = (01111100); 2) af = (01111110); 3) af = (00011111);
4) af = (1111100001001100); 5) af = (1110100001101000);
6) af = (1110011000010101); 7) af = (0001011110101110);
8) af = (000110111110 0111).
3.7. Найти число т(/) тупиковых д.н.ф. и число //,(/) минималь-
ных д. н. ф. функции f:
1) f(xn) = xi ф ж2 Ф • • Ф хп ф 1;
2) f(% ) = (жх V ж2 V Хз)(ж1 V ж2 V ж3) ф х± ф ... ф
3) f(xn) = (ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V ж2 V ж3)(ж4 ф ... ф ж„);
4) f(xn) = (0111111111111110);
5) f(xn) = (xi Х/ж2 V3?3 V ж4 V Ж5 V ... V хп~) & (жх V ж2 V ... V ж„);
6) f(xn) = (жх ф ... ф xk)(xk+1 ф ... ф хп).
3.8. Показать, что число тупиковых д. н. ф. произвольной булевой
функции f(xn) не превосходит ( .
3.9. Пусть L(f) — число букв в минимальной д.н.ф. функции /,
а /(/) — число слагаемых в кратчайшей д. н. ф. функции /.
Показать, что:
1) max l(f(xnY) = 2n-1; 2) max L(f(xnY) = n • 2n-1.
f(£n) f(xn)
3.10. Доказать, что число тупиковых д.н.ф. любой функ-
ции f(xn), имеющей 2П-1 ядровых импликант, равно 1.
3.11. Для скольких функций f(xn) справедливы соотношения:
1) L(/(£n)) = п • 2П-1; 2) L(/(£n)) = п(2п-1 - 1)?
3.12. Функция f(xn) называется цепной, если множество Nf
можно расположить в последовательность а±, «2, • • •, й/ такую, что
р(йг, Йг+1) = 1 при всех 1 i < I И p(pii, af) > 1 при \i — j\ > 1.
Пусть rj(l) — число тупиковых д.н.ф. цепной функции / такой,
что \Nf\ = I. Показать, что:
1) 7/(1) = т?(2) = 77(3) = 7/(4) = 1;
2) т](Г) = т](1 — 2) + т](1 — 3) при I 5.
3) Найти асимптотическое поведение при I —> сю.
3.13. Пусть l*(f) — минимально возможное число элементар-
ных дизъюнкций в конъюнктивной нормальной форме функции /,
а А(/) = ОЛ*(/)- Найти А(/) для
/ = (жх V ж2)(ж3 V ж4) • • • (ж2„_1 V ж2„).
3.14. Пусть Do = Do(xn) и Di = Di(xn) — д.н.ф. такие, что
Do & Di = 0, Do V D± = 1, а д. н. ф. D(ym) не содержит общих букв с
д.н.ф. Dq и D±. Бесповторной суперпозицией д.н.ф. D, Do, D± по
переменной у^ называется д. н. ф. Е, полученная из д. н. ф. D под-
становкой вместо каждого вхождения буквы yi д.н.ф. Dq, а вмес-
то yi — д. н. ф. Di с последующим раскрытием скобок.
1) Доказать, что бесповторная суперпозиция тупиковых д. н. ф.
является тупиковой д. н. ф.
2) Доказать, что бесповторная суперпозиция сокращенных д. н. ф.
является сокращенной д. н. ф.
3.15. Пусть функция w(x4) такова, что
й2 = (01011100 0011 1010).
Доказать, что выполнены свойства 1)-3):
1) w(xi, ^2, Жз, Ж4) = w(x4);
2) минимальными д.н.ф. функции w(x4) являются
Di = Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4,
1?2 = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4 VX1X2X3 V Ж1Ж2Ж4;
3) число тупиковых д. н. ф. равно 10.
4) Доказать, что если А(жш) = ху ф Ф ... Ф хт , п четно и
f(xn) = w(xi, х2, А(ж3, ..., ®п/2+1), Л(жп/2+2, , Жп)), то сущест-
вуют тупиковые д.н.ф. Е и F функции f такие, что l(E)/l(F) =
_ 2п/2-2
5) Показать, что число тупиковых д.н.ф. функции
h(xn) = w(x4) ф Ж5 ф ... ф хп
равно Ю2” 4, а число минимальных д.н.ф. равно 22П 4.
Глава X
РЕАЛИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
СХЕМАМИ И ФОРМУЛАМИ
§ 1. Схемы из функциональных элементов
Схемой из функциональных элементов (СФЭ) называется ориен-
тированная бесконтурная сеть с помеченными вершинами. Полюса
сети делятся на входные {входы) и выходные {выходы). Входные
полюса помечаются символами переменных (иногда также символами
отрицаний переменных или констант). Каждая вершина, отличная от
входа (внутренняя вершина), помечается функциональным символом
(или символом логической связки). При этом должны выполняться
следующие условия:
1) полу степень захода каждого входного полюса равна нулю;
2) полу степень захода каждой вершины, отличной от входного
полюса, равна числу мест функционального символа (или логической
связки), которым эта вершина помечена.
Множество функциональных символов или связок, используемых
для пометки внутренних вершин СФЭ, называется базисом схемы.
Термин «базис» употребляется здесь в смысле, отличном от того,
который принят в гл. II, поскольку в данном случае не предполагается
ни полнота системы функций, составляющих базис, ни ее неизбы-
точность. Например, принято говорить о схемах в базисе {V, &, —}
(этот базис будет называться стандартным) или в базисе {ф, &}.
На рис. 10.1, а представлено изображение СФЭ. Входы помечаются
светлыми кружками, внутренние вершины — темными кружками, а
выходы — двойными кружками.
Другой способ изображения схем иллюстрируется рис. 10.1, б.
Здесь входы, как и ранее, изображаются светлыми кружками, каж-
дая внутренняя вершина заменена треугольником, внутрь которого
помещена пометка (функциональный символ). К одной из сторон тре-
угольника присоединены входы элемента, а вершина треугольника,
противоположная этой стороне, является выходом элемента. Выходы
схемы отделены от функциональных элементов и обозначены, как и
прежде, двойными кружками. Выходам иногда будут приписываться
символы функций, реализуемых в них. Понятие функции, реализуемой
в вершине схемы, определим по индукции следующим образом. Если
СФЭ не содержит функциональных элементов, то каждая ее вершина
является входом. В этом случае функция, реализуемая в вершине,
тождественно равна переменной (или отрицанию переменной), при-
писанной соответствующему входу. Пусть для СФЭ, содержащих не
более т 0 элементов, для каждой вершины функция, реализуе-
мая в ней, определена. Рассмотрим произвольную СФЭ Е с т + 1
элементами. Поскольку СФЭ является ориентированным бесконтур-
ным графом, то существует вершина с нулевой полу степенью исхода.
Удаляя эту вершину, получаем СФЭ с т элементами, в которой по
предположению индукции каждой вершине можно однозначно сопо-
ставить функцию, реализуемую в этой вершине. Пусть удаленная
вершина v имела полу степень захода, равную к, и вершине был
приписан Ai-местный функциональный символ /. Пусть, кроме того,
в к вершинах, из которых дуги выходили в вершину и, реализуются
функции /i(^i, ..., хп), ..., Л(^1, ..., хп). Тогда определим функ-
цию (pv, реализуемую в вершине v, равенством
= /(/1(Ж1, . . . , Хп), , Хп)).
Заметим, что при этом входы функционального элемента считаются
упорядоченными.
Будем говорить, что функция f реализуется схемой X, если в X
существует выход, в котором реализуется функция /. Сложностью
СФЭ будем называть число вершин, не являющихся входами (т. е.
число функциональных элементов). СФЭ Е называется минимальной,
если она имеет наименьшую сложность среди всех СФЭ, реализующих
функции, реализуемые схемой Е. Сложностью булевой функции f
(системы функций А = {Д, ..., /ш}) в классе СФЭ в базисе Б назы-
вается сложность минимальной СФЭ в базисе Б, реализующей функ-
цию / (систему функций А). Сложность схемы Е (функции /, системы
функций А) в базисе Б обозначается через L^(E), Ls(A))).
В дальнейшем, если базис СФЭ не указывается, подразумевается,
что это СФЭ в стандартном базисе {V, &, — При этом символ Б
в обозначении сложности схемы или функции будем опускать и пи-
сать L(S) и L(f). Везде в дальнейшем связки V, &, ф, |, —>, ~
являются двухместными.
1.1. Для заданной функции f(xn) построить СФЭ в стандартном
базисе сложности, не превосходящей т:
1)/(ж2) = жх • ж2, т = 2; 2)/(ж2) = жх ~ ж2, т = 4;
3) Дж3) = Ж1Ж2 V ж2жз V Ж3Ж1, т = 4;
4) Дж3) = (01111110), т = 6; 5) Дж3) = (0001 1111), т = 2;
6) Дж3) = (10001101), т = 4; 7) Дж3) = (ОНО 1001), т = 8.
1.2. Для заданной функции f(xn) построить формулу в базисе Б:
1) Дж2) = Ж1 ф ж2; а) Б = {|, -}, б) Б = {->, -};
2) /(ж2) = Ж1 -> ж2; а) Б = {ф, б) Б = { & ,
3) Дж2) = жх V ж2; а) Б = |}, б) Б = & };
4) Дж3) = Ж1 V ж2 V Жз; а) Б = {-, }}, б) Б = {->, -};
5) Дж3) = Ж1Ж2 V ж2жз V Ж3Ж1; а) Б = { & , ф}, б) Б = {—>, —
6) /(ж3) = жхж2жз V Ж1Ж2ж3; а) Б = |,Ц-}, б) Б = { & , ф, -};
7) Дж3) = Ж1 ф ж2ж3; а) Б = {}, |, -}, б) Б = {->, -}.
1.3. Для функции, заданной вектором своих значений, построить
формулу в базисе Б:
1) Дж2) = (ЮП); a) B={V,-}, б) Б= {|};
2) Дж2) = (1001); а) Б = { &, ->}, б) Б = {}};
3) Дж3) = (10000001); а) Б= |}, б) Б = {©, &, 1};
4) /(ж3) = (11101000); а) Б= {ф, &, 1}, б) Б = {->, -};
5) /(ж3) = (10010100); а) Б = {ф, 1}, б) Б = {-, |};
6) f ix3) = (10101110); а) Б = {ф, &, б) Б = {-, V};
7) рх3) = (ОНО 1111); а) Б = {ф, & , б) Б = {-, Л-
1.4. По схемам X, изображенным на рис. 10.2, найти функции,
реализуемые ими.
1.5. Построить СФЭ в базисе Б, реализующую систему функций Ф:
1) Ф = {/1 = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1, /2 = Ж1 ф ж2 ф Жз};
а) Д= {&, V,б)Б={&,ф}, в)Д=Ц, |};
2) Ф = {fi = жь /2 = жхж2, Д = жхж2жз, Д = 1};
а) Б= {&, -}, б) Б= {-, }};
3) Ф = {fi = Ж1 ф ж2, Д = жх V ж2 V жз V Ж1Ж2ж3,
Д = яПг V жхж2};
а) Б= {ф, &, б) Б= {&, V,
4) Ф = {fi = жхж2 V ж2ж3 УЖ1Ж3, Д = Ж1 ~ ж2, Д = ж2 ф ж3};
а) Б= {&, V, б) £ = {}};
5) Ф = {fi = жхж2 V ж2ж3 V ж3Ж1, Ж1 V ж2 V ж3, жхж2жз};
a) b={&,V, б) Д = {|};
Рис. 10.2
6) Ф = {/1(J4) = Ж1Ж3Ж4 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V
/2 = /1(^1, ж2, ж3, ж4)};
а) Б = { & , V, -}, б) Б = { & , ф, -};
7) Ф = {/1(ж4) = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж2Ж4,
/2 = Ж1 ф х2, /з = ж2 ф Жз, /4 = Ж1 Ф ж4};
а) Б = { & , V, -}, б) Б = { & , ф, -};
8) Ф = {/о = жь ж2, жзг/1 = Ж1Ж2ж3, /2 = Ж1Ж2ж3, /3 = Ж1Ж2ж3,
А = Ж1Ж2ж3, /5 = Ж1Ж2ж3, /6 = Ж1Ж2ж3, /7 = Ж1Ж2ж3};
а) Б= {&, -}, б) Б= {V, ф, 1}.
1.6. Реализовать функцию /(ж”) СФЭ в стандартном базисе,
предварительно упростив выражение для f(xn):
1) /(ж3) = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2ж3;
2) /(ж3) = Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 Х/Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2ж3 \ХЖ1Ж2ж3 7Ж1Ж2ж3;
3) /(ж3) = Ж1Ж3 V ж2ж3 V Ж1Ж2 V Ж1Ж3;
4) Дж3) = (Ж1 Уж2 V ж3)(ж1 7ж2 Уж3)(ж1 V ж2 Уж3)(ж1 V ж2 Уж3);
5) /(ж3) = (Ж1 V ж2)(ж1 V ж2 V жз) V Ж1Ж2Ж3 V ж2ж3;
6) /(ж3) = (Ж1 Х/ж2)(ж2 V ж3)(ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V ж2 Х/ж3);
7) /(ж3) = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж2ж3 УЖ1Ж2 V Ж1Ж3.
Метод синтеза СФЭ, основанный на д.н.ф., состоит из двух эта-
пов: 1) представления функции в д.н.ф.; 2) реализации д.н.ф. с
помощью СФЭ.
1.7. Реализовать функцию f по методу, основанному на д.н.ф.:
1) / = (01000110); 2) / = (01111110); 3) / = (00011111);
4) / = (00010111); 5) / = 1 ф х ф zy- б) f = x®y®z.
1.8. Доказать, что если /* — функция, двойственная к /, и f
отлична от константы, то L(f*) = L(f).
Одноразрядным двоичным сумматором называется СФЭ (в произ-
вольном базисе), реализующая систему из двух функций: т(х, у, р) =
= хуУурУрх и /(ж, /у, р) = х ф у ф р.
1.9. Построить одноразрядный двоичный сумматор в базисе со
сложностью, не превышающей L:
1) Б = {V, & , L = 9; 2) Б = {ф, & }, L = 5;
3) Б=Ц, I, -}, L = 12.
1.10. Построить СФЭ в базисе {ф, &}, реализующую такую сис-
тему функций {/1(ж4), /2(ж4), /з(£4)}, что z/(/i(54), /2(й4), /з(54))
равно числу единиц в наборе а4 = (дц, о2, сез, «4). Таким образом,
искомая СФЭ дает двоичное разложение числа единиц набора а4.
Здесь, как и раньше, p(qi, ..., ап) = УУ oti • 2п-г.
Дешифратором называется схема Dn, реализующая систему всех
конъюнкций ранга п переменных #i, ж2, ..., хп.
1.11. 1) Построить D2 в базисе {&, —} с числом элементов, не
превосходящим 6.
2) Построить Dn в базисе Б = { & , —} такую, что
L(Dn) < 2n+1 + п - 4.
3) Построить Dn в базисе Б = { & , —} такую, что
L(P„) 2" + 2(п+3)/2 + п.
1.12. Мультиплексором от переменных ..., хп, уо, у±, ...
..., у2п-1 называется схема Мп, реализующая функцию
/(^1, Хп, Уо, У!, 3/2-.-1) = Z V
(СГ1, ап)
п
где iz(<7i, ..., сг„) = 57 at • 2п~\
г=1
1) Построить М2 в стандартном базисе с числом элементов, не
превосходящим 13.
2) Доказать, что Б(Мп) 3 • 2п + 2(п+3)/2 + п.
3) Доказать, что Б(Мп) 2п~1.
1.13. Универсальным многополюсником для множества перемен-
ных X называется СФЭ U(X), реализующая все булевы функции
переменных из X. Если Хп = {^i, ..., хп}, то полагаем U(Xn) = Un.
1) Построить СФЭ U± сложности 3.
2*) Доказать, что сложность минимального многополюсника Un
равна 22" — п.
1.14. Пусть Dn-k — произвольный дешифратор для множества
переменных х±, ..., xn_k, X = {жп_&+1, ..., хп} и Uk — произволь-
ный универсальный многополюсник для множества переменных X.
1) Доказать, что для произвольной булевой функции f(xn)
L(f(xn)) L(Dn_k) + L(Uk) + 2”-fc+1.
2) Опираясь на результаты задач 1.11 и 1.13, доказать, что для
достаточно больших п и любой булевой функции f(xn) справедливо
неравенство L(f(xn)) 2п+2/п.
3) Доказать, что существует СФЭ в базисе {V, &, ф, —реали-
зующая все самодвойственные функции f(xn) и имеющая сложность,
не превосходящую 2 • 22
т
Функция f(xn) такая, что Nf = |J Вр, называется поясковой и
i=k
обозначается через Sk,m(xn). Функция Sk,k(xn) называется элемен-
тарной симметрической функцией. Функция f(xn), представимая в
виде дизъюнкции элементарных симметрических функций, называет-
ся симметрической.
1.15. 1) Доказать, что для любой перестановки тг = (Д, ..., гп)
чисел 1, ..., п и любой симметрической функции f(xn) выполнено
равенство
хп) = /(а;й , xin).
2) Доказать, что для любой поясковой функции существует СФЭ,
содержащая не более одного элемента отрицания.
3) Доказать, что для любой симметрической функции f(xn) су-
ществует СФЭ, содержащая не более (п + 1)/2 элементов отрицания.
1.16* . Построить СФЭ, реализующую три одноместные функ-
ции Ж1, жД жз и содержащую ровно два элемента отрицания.
1.17. Доказать, что L(x ф у) = 4.
Глубиной СФЭ в базисе Б называется максимальное число внут-
ренних вершин (функциональных элементов) в ориентированных
цепях, соединяющих вход с выходом. Например, глубина схемы
изображенной на рис. 10.1, а, равна 3.
1.18. Построить СФЭ глубины I для функции Д:
1) /1 = Ж1Ж2ж3ж4, 7 = 2; 2) /2 = ж2ж3 V Ж1Ж2ж3, I = 2;
3) /3 = ^i Фж2 Фж3, 7 = 6;
4) Л = Ж1(ж3 V ж4)(ж5 V ж6) V ж2(ж3ж5 V ж4ж5 V ж4ж6 V ж3ж6), I = 3;
5) /5 = ^1 Х/Ж1Ж2 7ж1Ж2ж3 УЖ1Ж2ж3Ж4, I = 2;
6) /6 = (Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1) V (Ж1 фж2 Ф ж3), I = 2.
1.19. СФЭ X называется связной, если граф, полученный из нее
заменой дуг на ребра, является связным. Пусть СФЭ X связна и
312 Гл. X. Реализация булевых функций схемами и формулами
существует единственная вершина (выход) с нулевой полустепеныо
исхода.
1) Доказать, что L(S) С 2Z+1 — 1, где I — глубина схемы S.
2) Доказать, что всякая минимальная СФЭ с одним выходом
связна.
1.20. Доказать, что для любого I существует минимальная СФЭ
глубины I.
1.21. Доказать, что любая СФЭ, реализующая произвольную
функцию f(xn), существенно зависящую от всех переменных, имеет
глубину не меньшую, чем log2 п — 1.
§ 2. Контактные схемы и формулы
Сеть Г с к полюсами, в которой каждое ребро помечено бук-
вой из алфавита Хп = {rri, ^2, ..., жп, Xi, ^2, ..., жп}, называется к-
полюсной контактной схемой, реализующей булевы функции пере-
менных Ж1, хэ, ..., хп, или, короче, (к, п)-схемой. (2, п)-схемы бу-
дут называться Хп-схемами. Сеть Г называется сетью контакт-
ной схемы. Контактная схема называется связной (сильно связной,
параллельно-последовательной), если таковой является ее сеть.
Параллельно-последовательная контактная схема называется кратко
к-схемой. Ребра схемы, помеченные символами переменных или их
отрицаний, называются контактами. Контакт называется замыкаю-
щим, если он помечен символом переменной, и размыкающим, ес-
ли он помечен символом отрицания переменной. Пусть Si и Е2 -
две А:-полюсные контактные схемы, полюса каждой из которых поме-
чены буквами а±, 02, ..., 0,^. Схемы Si и S2 называются изоморфны-
ми, если их сети изоморфны и при этом: а) соответствующие ребра
помечены одинаково; б) соответствующие полюса помечены одинако-
во. Пусть а и b — два полюса контактной схемы S, [а, Ь\ — некоторая
цепь, соединяющая а и Ь, и ^[а,ь] — конъюнкция букв, приписанных
ребрам цепи [а, Ь]. Функция фа,ь(хп), определяемая формулой
[а,Ь]
в которой дизъюнкция берется по всем простым цепям схемы, соеди-
няющим полюса а и Ь, называется функцией проводимости между по-
люсами а, b схемы S. Говорят, что схема S реализует функцию д(хп),
если в ней существуют полюса а и b такие, что д(хп) = фа,ь(хп).
Контактная схема с k + 1 полюсами называется (1, к)-полюсни-
ком, реализующим функции gi(xn), ..., gk(xn), если существуют по-
люс а и полюса bi (1 i к) такие, что fa,bi(xn) = gt(xn). При
изображении (1, А;)-полюсников полюс а изображается светлым круж-
ком и называется входом, полюса bi изображаются двойными круж-
ками и называются выходами, остальные вершины изображаются
темными кружками. В тех случаях, когда число полюсов схемы не
указывается, речь всегда будет идти о двухполюсных контактных
схемах. Две контактные схемы называются эквивалентными, если
они реализуют одну и ту же булеву функцию или одну и ту же
систему функций. Сложностью контактной схемы называется число
ее контактов. Контактная схема, имеющая наименьшую сложность
среди всех эквивалентных ей схем, называется минимальной. Слож-
ностью булевой функции f в классе контактных схем (обозначе-
ние: Lk(fX) называется сложность минимальной контактной схемы,
реализующей /. Сложностью булевой функции f в классе к-схем
называется число контактов в минимальной тг-схеме, реализующей /
(обозначение: L^-(/)). Понятие формулы над множеством связок было
определено в гл. I. Сложностью булевой функции f в классе формул
(над множеством связок {V, &, — }) будет называться число вхож-
дений символов переменных. Сложность функции / в этом классе
формул обозначается через Дф(/).
2.1. Найти функции, реализуемые двухполюсными схемами S,
представленными на рис. 10.3.
Один из способов построения контактных схем, реализующих бу-
левы функции, состоит в том, что функция представляется в д. н. ф.
Рис. 10.3
(или к.н.ф.), а затем для каждой элементарной конъюнкции К =
= х^ & ... & х% (дизъюнкции D = х^ V ... V х°*) строим схему,
представляющую собой последовательное (па-
раллельное) соединение контактов х?*, ..., х°*,
и соединяем полученные схемы параллельно
(последовательно).
Пример. Пусть (11011100) — вектор зна-
а
Х2
Рис. 10.4
b
чений функции /(ж3). Представим f в совершенной д.н.ф., а затем
упростим ее:
/(ж3) = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 v Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2ж3 V xix2x3 = х2 V Ж1Х3.
Схема, соответствующая этой д.н.ф., показана на рис. 10.4.
2.2. Представив функцию f в д.н.ф. или к.н.ф., построить
тг-схему, реализующую /:
1)/(Д) = (1101); 2)/(ж2) = Ж1 ~ж2; 3) /(ж3) = (1000 1111);
4) Дж3) = (11101000); 5) Дж3) = (01000010);
6) Дж3) = (а?! -> ж2)(жх Ф ж3); 7) Дж3) = Ж1Ж2 Ф ж2ж3 ф ж3Ж1 ф 1.
2.3. Построить контактную схему, реализующую функцию f:
1) Дж3) = (Ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V72 V х3);
2) Дж3) = Ж1Ж2 ф ж2ж3 ф ж3жх; 3) Дж3) = Ж1 ф ж2 Ф ж3 ф 1;
4) Дж3) = (жх V ж2ж3)(ж1 V ж2); 5) Дж3) = (жх | ж2) J. (ж3 | ж2);
6) Дж3) = жх ф ж2ж3 ф 1; 7) Дж3) = (жх V ж2жз)(жх ф ж3).
2.4. Построить контактную схему сложности, не превышающей /.
реализующую функцию /:
1) /(^3) = ^1 е ж2ж3, I = 6;
2) /(ж3) = Ж1Ж2 Ф ж2ж3 ф ж3Ж1 ф 1, I = 5;
3) /(ж3) = Ж1Ж3 V ж2жз \/Ж1Ж2жз, I = 5;
4) /(ж3) = Ж1Ж2 V Ж1Ж2жз V Ж1Ж2ж3 V Ж1Ж2, I = 5;
5) f(x4) = Х1Х4 V ж2жзЖ4 V ж2жзЖ4 V Ж1Ж4, I = 7;
6) /(ж3) = (^1 ф ж2 Ф ж3)(жх V ж3), I = 5;
1) /(г4) = (0000 00010111 1111) 1 = 7.
2.5. Построить контактную схему, реализующую / и имеющую
сложность не выше L, упростив предварительно формулу, с помощью
которой она задана:
1) f = ((^1 V ж2)(ж2 V ж4) V (ж3 V ж4)(ж1Ж2ж3 V ж4ж5))(ж1 V ж2ж3),
L = 5;
2) / = Ж1 V Ж1Ж2 V Х1Ж2ж3 V ЖфЖ2жзЖ4, L = 4;
3) / = (xi V ж2)((ж1Ж2 V x2x3)xQ V (ж2 V ж3ж5)(ж2 V ж3)\/
\/(ж1Ж2 V Ж1Ж2 V ж6)ж3 V Ж1Ж2 V ж5ж6), L = 1;
4) f = Ж1Ж2Ж3((Ж4 V Ж1Жб)(Ж5 V Ж1Ж4Ж7) V (Жб^7 V Ж2Ж4Жб) &
& (Ж4Ж5 V Ж3Ж6Ж7)) V (^1 V ж2)0Ё4 V Жб)(ж5 V Ж7), L = 6;
5) f = Ж1 ф Ж2 ф Жз ф Х4 ф Ж1Ж2ЖзЖ4 ф Ж1Ж2 ф Ж1Ж3 ф Ж1Ж4 ф ж2ж3Ф
фЖ2Ж4 ф Ж3Ж4 ф Ж1Ж2Жз ф Ж1Ж2Ж4 ф Ж1Ж3Ж4 ф Ж2ЖзЖ4, L = 4;
6) / = Ж1Ж2ЖзЖ4 V ( ф XiXjV L = 6.
2.6. Построить контактную схему сложности, не превышающей L,
реализующую систему функций Ф:
1) Ф = {fl = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1, /2 = Ж1 Ф ж2 Ф ж3}, L = 12;
2) Ф = {Д = (00000001), /2 = (00000011), /3 = (00000111),
А = (00001Ш), /5 = (00011Ш), а = (оошш),
/7 = (01111111)}, L = 11;
3) Ф = {/о = X! V х2, У1 = Ж1 V х2, /2 = #i V х2, /3 = V Х2},
L = 6;
4) Ф = {/о = Ж1Ж2, fl = Х!Х2, /2 = X1X2, f3 = X1X2}, L = 6;
5) Ф = {fi = (00000001), /2 = (00010111), /з = (01111111)},
L = 9;
6) Ф = {Л = (10010110), /2 = (01101001), /3 = (00111100),
/4 = (11000011)}, L = 10.
2.7. Найти функции, реализуемые контактными схемами, изобра-
женными на рис. 10.5.
Рис. 10.5
2.8. Пусть z/(a) = 2п гоц — номер набора а = («1, ..., ап).
i=l
Построить контактную схему с не более чем I контактами, реали-
зующую функцию /:
1) /(х4) = {
2) /(х4) = {
3) /(ж4) = {
1, z/(ai, а2) «4),
О в противном случае,
1, i/(qi, а2) = ^(«з, «4),
О в противном случае,
1, СЕ1 + Ot2 = О3 + О4,
О в противном случае,
I = 7;
I = 8;
I = 12;
( 1, «1 + а2 — а3 + «4 (mod 2),
। и о,
U в противном случае,
[1, «1 + а2 а3 + щ,
[О в противном случае, ’
Г 1, («1 < а3) & (а2 < а4); 1 _ 4>
[О в противном случае,
(1, если наборы (ах, а2) и (а3, а4) несравнимы,
[О в противном случае,
2.9. Построить контактную схему для одноразрядного двоичного
сумматора.
Контактным Хп-деревом называется контактный (1, 2п)-полюс-
ник индуктивное определение которого дано на рис. 10.6. Очевид-
Рис. 10.6
но, что D1^ реализует все конъюнкции ранга п переменных xi, ..., хп
и что = 2n+1 — 2; (1, ш)-полюсник называется разделитель-
ным, если для любых его выходов Ь, с функция проводимости фъ,с(хп)
тождественно равна нулю.
2.10. 1) Построить D3.
2) Доказать, что является разделительным (1, 2п)-полюс-
ником.
3) Система функций Ф называется ортогональной, если для любых
двух функций / и g из Ф выполняется равенство / & g = 0. Доказать,
что для всякой ортогональной системы функций Ф = {/1(жп), ...
..., fm(xn)} существует контактная схема сложности, не превышаю-
щей 2n+1 — 2, реализующая Ф.
2.11. Пусть разделительный (1, &)-полюсник А с полюсами а,
bi, ..., bk соединяется с (т, 1)-полюсником В с полюсами ..., ат,
b так, что каждый выход bi отождествляется ровно с одним из по-
люсов aj. Доказать, что для полученного таким образом двухпо-
k
люсника S выполняется равенство fa,b(xn) = \/фа^(хп)фъ^ь(хп),
i = l
где fa,b(xn) — функция проводимости между полюсами а, b схе-
мы S; fa,bi(xn) — функция проводимости между полюсами a, bi
схемы A; fbi,b(xn) — функция проводимости между
отождествленным с полюсом bi схемы А, и полюсом
Универсальным контактным многополюсником
называется (1, 22 )- или (22 , 1)-полюсник, реализую-
щий все булевы функции переменных х±, ..., хп.
На рис. 10.7 представлена схема CTf.
Метод Шеннона для синтеза контактных схем,
реализующих булевы функции f(xn), состоит в ис-
пользовании схем D^_m и U^.
Пусть f(xn) — функция, которую следует реализовать. Для набо-
ра Ъ — ((71, . . . , Оп-т) ИЗ Вп~т ПОЛОЖИМ
) = /(^1, • • • ? Оп-т, Хп—т+1ч • • •? Хп)-
По формуле разложения имеем
ПОЛЮСОМ Oj,
b схемы В.
Рис. 10.7
/(*") =
Дп-m Г (~П
п—т Jcr\d'
V 41
Пусть D^l_m — контактное дерево с полюсами а, b$, bi, ...,
реализующее конъюнкции К„~ = х°1 х%2 . -. между полюсами а
и Ьк, где к = р(сг) = 2П т 'а,. Пусть -
i=l
универсальный контактный (22 , 1)-полюсник с
полюсами ао, Ь, реализующий все
функции /(жп_т+1, ..., хп)-
Рассмотрим схему Sy, полученную отож-
дествлением для каждого а Е Вп~т выхода Ь„(а)
схемы D^_m с входом аг схемы таким, что
Ar,b(^n-m+l, • • • , Хп) = fa(xn) (рис. 10.8).
В силу разделительности схемы D^_m для по-
лученной таким образом схемы Sy с полюсами а
и b справедливо равенство
fa,b(xn)= V =
Заметим, что из построения следует равенство
L(S/)=L(^_TO)+L(^).
(1)
2.12. 1) Построить U2 с числом контактов, не превосходящим 16.
2) Доказать индукцией по п существование такого, что
L(^)<2-22\
3) Доказать путем выбора подходящего т в равенстве (1), что
при достаточно больших п для произвольной булевой функции f(xn)
‘2п
справедливо неравенство Д(/(жп)) 8 • —.
Метод каскадов для построения контактных схем состоит в сле-
дующем. Пусть требуется реализовать контактной схемой булеву
функцию /(Ж1, ..., хп) (п 2). Обозначим через 21* (г = 1, ..., п — 1)
СОВОКУПНОСТЬ ВСеХ ПОДФУНКЦИЙ /((71, ..., ст*, Жг+i, • • • > хп\ (си5 • • •
..., (Тг) 6 Вг, функции /, и пусть 21* — множество, составленное из
попарно различных функций из 21?. Каждому множеству 21* (г =
= 1, ..., п — 1) взаимно однозначно сопоставим множество Vi точек
плоскости, называемых вершинами i-го ранга. Добавим еще три по-
люса — входной полюс а и выходные полюса b и с. Полюс а является
вершиной нулевого ранга, полюса Ь, с — вершинами n-го ранга.
Полюсу а сопоставим функцию /(Ж1, ..., жп), полюсам 6, с — функ-
ции, тождественно равные соответственно единице и нулю. Положим
V = {a, b} U U Множество V разобьем на классы эквивалентнос-
i=1
ти, отнеся к одному классу вершины разных рангов в том и только
том случае, когда они соответствуют равным функциям. Пусть v -
произвольная вершина z-ro ранга, a ^(жг+i, ^г+2, • • • , хп) — со-
ответствующая ей функция, и пусть (0, Жг+2, • • • , хп) </^(1,
Жг+2, • ••, жп). Тогда соединим вершину и контактом ж^+i с верши-
ной и ранга i + 1, которая соответствует подфункции tpv (1, Жг+2, • • •
. ..,жп), и контактом Xi+i с вершиной w, соответствующей под-
функции 92^(0, Жг+2, . . . , Хп). Если же ^(0, Жг+2, • • • , Хп) = ^(1,
Жг+2, • • •, жп), то обе подфункции равны тождественно функ-
ции (/2г?(^г+1 •) ^г+2, • • • •> хп), и контакты между соответствующими
вершинами не проводятся. Все вершины из одного класса эквивалент-
ности отождествляются. В результате получаем схему Еу такую, что
fa,b(xn) = f(xn), fa,c(xn) = f(xn). В случае, когда нас интересует
только реализация функции /, вершина с может быть удалена вместе
с инцидентными ей контактами.
Изложенный метод очевидным образом переносится на реализа-
цию систем.
В дальнейшем под схемой S, полученной ^стандартным^ мето-
дом каскадов, будем понимать схему, в которой вершина с отбро-
шена.
Пример. Реализуем /(ж3) = Ж1Ж2 Ф жз методом каскадов. Имеем
2li = {жз, Х2 Ф жз}, 2(| = {ж3, жз}, 2I3 = {0, 1}. Полагаем Уо = {«},
Vi = {1, 2}, У2 = {3, 4}, Уз = {5, 6}. Вершины 1 и 4, соответствую-
щие функции жз, эквивалентны. Способ проведения ребер показан на
рис. 10.9, а. На рис. 10.9, б' дана схема, полученная отождествлением
эквивалентных вершин и удалением вершины 0.
2.13. С использованием метода каскадов построить контактную
схему для функции /:
1) /(^3) = Ж1Ж2ж3 ф ж2ж3 ф 1; 2) /(ж3) = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1;
3) /(ж3) = жх ф ж2 Ф Хз ф 1; 4) /(ж3) = (жх V ж2 V ж3)(жх V ж2 Х/ж3);
5) /(J3) = (ОНО 1000); 6) /(ж3) = (ОНО 1101);
7) /(®4) = (0000000101111111).
2.14. С использованием метода каскадов построить контактную
схему для системы функций Ф:
1) Ф = {ху, xV у}; 2) Ф = {ж2 ф ж3, жх ф ж2 ф ж3, ж2};
3) Ф = {жз,ж3, ж2 ф ж3, ж2 ~ ж3, Ж1 ф ж2 ф ж3, Ж1 ф ж2 ф ж3};
4) Ф = {ж2 &ж3, ж2 V ж3, ж3, Ж1Ж2 V ж2ж3 V ж2Ж1};
5) Ф = {Л =Ж1 фж2 ф ж3, /2 = (Ж1 V ж2)ж3 V Ж1Ж2};
6) Ф = {/1 = Ж1Ж2Ж3 УЖ1Ж2Ж3, /2 = Ж1Ж3 Уж2};
7) Ф = {ж1 V ж2, Ж1 V ж2, Ж1 V ж2, Ж1 V ж2};
8) Ф = {Ж1Ж2, Ж1Ж2, Ж1Ж2, Ж1Ж2}.
2.15. Показать, что если функция /(ж) не равна тождественно
константе, то схема Sf, построенная по методу каскадов, является
сильно связной.
2.16. Доказать, что схема S$, реализующая систему функций Ф
и построенная по методу каскадов, является разделительной тогда
и только тогда, когда система Ф состоит из попарно ортогональных
функций.
2.17. 1) Доказать, что схема для универсального многополюсни-
ка U%, построенная по методу каскадов, имеет сложность, не превы-
шающую 2 • 22 .
2) Доказать, что для всякой функции f и любой схемы Sy, построен-
2П
ной для / по методу каскадов, выполнено неравенство L(Sy) 8 • —.
2.18. Доказать, что схема D& для реализации всех элементарных
конъюнкций ранга п переменных Ж1, ..., жп, построенная по методу
каскадов, является контактным деревом и имеет сложность 2n+1 — 2.
г) <Ап(яи) =
2.19. Доказать, что схема D^k, реализующая все дизъюнкции
ранга п переменных Ж1, ..., жп, имеет сложность 2п+2 — 2.
2.20. Функция рт(хп) (0 т 2П) называется ступенчатой,
если фт(ап) = 1 тогда и только тогда, когда и (а) т.
1) Убедиться в следующих свойствах ступенчатых функций:
а) ро(хп) = 1; б) <р2-п-(хп) = 0; в) Р2п-1(хп) = Ж1Ж2 .. .хп\
xi V </9m_2™-i (ж2, ..., хп) при 0 < m < 2П-1,
Х\ • <рт($2, • • •, Хп) при 2П-1 < т 2П;
д) Р2к(хп) не зависит существенно от хп (к = 1, ..., 2П-1);
е) ipm(xn) — монотонная функция.
2) Убедиться в том, что при применении «стандартного» метода
каскадов, когда в г-м ярусе разложение ведется по переменной х,
сложность получающейся схемы равна 3 • 2П — 2п — 3.
3) Убедиться в том, что если в методе каскадов применить обрат-
ный порядок разложения, при котором в г-м ярусе разложение ведет-
ся по переменной п — г 4-1, то сложность получающейся схемы рав-
на 2n+1 - п - 2.
2.21. Пусть схема Е содержит контакт ха, и пусть Е7 (Е77) -
схема, полученная последовательным (параллельным) соединением
этой схемы со схемой из одного контакта х@, а, /3 6 {0, 1}. Доказать,
что схемы Е7 и Е77 не являются минимальными.
2.22. Доказать, что всякая минимальная контактная схема, реа-
лизующая функцию, отличную от констант, является сильно связной.
2.23. Доказать, что не существует минимальных контактных
Х1-схем с двумя контактами и Х2-схем с тремя контактами.
2.24. Доказать, что не существует минимальных контактных
Х3-схем сложности 4, содержащих только замыкающие контакты.
2.25. Доказать, что минимальная контактная схема для функ-
ции / = х ф у содержит четыре контакта.
Контактная схема называется бесповторной, если каждая пере-
менная встречается в качестве пометки контакта один раз.
2.26. Доказать, что сильно связная бесповторная схема Е:
1) реализует функцию, существенно зависящую от каждой пере-
менной, встречающейся в схеме;
2) является минимальной.
2.27. Доказать, что для каждого натурального т существует
минимальная схема сложности т.
2.28. Доказать, что если к минимальной схеме присоединить кон-
такт, помеченный новой переменной, так, чтобы получилась сильно
связная схема, то построенная схема также будет минимальной.
2.29. Пусть — минимальное число контактов в схеме Sy,
составленной из замыкающих контактов и реализующей монотонную
функцию /, И ш(ж3) = Ж1Ж2 V Ж2^3 V Ж3Ж1.
1) Привести примеры двух схем сложности 5 из замыкающих кон-
тактов, обладающих неизоморфными сетями и реализующих т(ж3).
2) Доказать, что Ь^(т(ж3)) 5.
3) Доказать, что во всякой схеме S из замыкающих контактов,
реализующей т(ж3), найдутся переменные такие, что для каж-
дой из них в S присутствуют не менее чем по два контакта с помет-
ками Xi, Xj.
4) Пусть = Ж2^з, ^2 = Ж4Ж5 и /(ж5) = т(ж1, к±, к^)- Доказать,
что L+ (/(ж5)) = 8.
5) Доказать, что L&(/(£5)) 7.
Пусть двухсвязная двухполюсная контактная схема S является
плоской (т.е. ее сеть Г(а, Ь) является плоской) и ее полюсы а и b
лежат в одной грани. Проведем в этой грани ребро (а, Ь) так, чтобы
сеть Г', полученная из Г добавлением ребра (а, Ь), осталась плоской.
Выберем в каждой грани сети Г' по одной вершине. Построим на
выбранных вершинах граф G*, двойственный к графу G сети Г'.
Каждое отличное от (а, Ь) ребро графа G* пересекает некоторый
контакт схемы S. Пометим это ребро той буквой, которой помечен пе-
ресекаемый им контакт. Вершины графа G*, расположенные в гранях
сети Г', разделенных ребром (а, 6), обозначим через а*, Ь* и назовем
полюсами. Удалим ребро (а*, &*) из G*. В результате получится
двухсвязная схема S* с полюсами а* и 6*. Схема У* называется схемой,
двойственной к У.
На рис. 10.10 проиллюстрирован процесс построения двойственной
схемы.
2.30. Для схем, указанных на рис. 10.11, построить двойственные.
2.31* . Доказать, что контактная схема S*, двойственная к У,
реализует булеву функцию, двойственную к функции, реализуемой
схемой У.
2.32. Доказать, что для всякой булевой функции / такой, что
h (/) 7, выполняются равенства
Lk(f) = Lk(f*) = Lk(f).
2.33. Доказать, что для всякой булевой функции / выполняется
равенство L^f) =
2.34* . Пусть f — функция, реализуемая схемой, указанной на
рис. 10.12. Доказать, что функция, двойственная к /, не может
z быть реализована бесповторной схемой.
2.35. Верно ли, что для всех буле-
h вых ФУнки™ f выполняется равенство
“ /Г\ М/) = МЛ?
—у—2.36. Доказать, что для всякой фор-
р Ю12 мулы Ф в базисе {V, &, —} существу-
ет эквивалентная ей формула той же
сложности, в которой отрицания стоят лишь над переменными.
2.37. Доказать, что для всякой булевой функции / выполняется
равенство Ьф(У) = Ln(f).
При получении нижних оценок сложности реализации различ-
ных классов функций схемами и формулами часто используются так
называемые «мощностные соображения». Примером может служить
следующее утверждение.
Пусть S(n, т) — число схем из некоторого класса К, каждая из
которых реализует булеву функцию, зависящую от переменных Ж1,
Ж2, жп, и имеет сложность, не большую чем т. Пусть ip(n) -
число булевых функций f(xn) в некотором множестве Тогда
если S(n, т) < найдется функция f(xn), не реализуемая
в классе К схемой сложности, меньшей или равной т.
2.38. Показать, что число S(n, m) связных попарно неизоморфных
контактных Хп-схем, имеющих сложность не больше т, не превосхо-
дит (cnm)m, где с — константа, не зависящая от п и т.
2.39. Показать, что число Р(п, т) связных попарно неизоморф-
ных тг-схем сложности не больше т, реализующих булевы функции
переменных Ж1, Ж2, ..., жп, не превосходит (cn)m, где с — констан-
та, не зависящая от п и т.
2.40. Показать, что число Ф(п, т) попарно различных формул
сложности не большей т над множеством связок {V, &, —} и мно-
жеством переменных Ж1, Ж2, • ••, хп не превосходит (cn)m, где с -
константа, не зависящая от п и т.
СФЭ называется неприводимой, если каждая ее вершина принад-
лежит некоторой ориентированной цепи, соединяющей один из входов
с выходом схемы.
2.41. 1) Показать, что для каждой булевой функции f существует
неприводимая схема, реализующая /.
2) Пусть N(n, т) — число неприводимых СФЭ в стандартном
базисе, реализующих функции переменных х±,...,хп и имеющих
сложность, не превышающую т. Доказать, что
N(n, т) < (c(n + т))п+ш,
где с — константа, не зависящая от п и т.
2.42. 1) Доказать, что для всякого г > 0 и достаточно больших п
существует булева функция f(xn) такая, что
суП
2) Доказать, что доля тех функций f(xn), для которых нера-
венство из п. 1) не выполняется, стремится к нулю при п —> оо.
2.43. Доказать, что для всякого е > 0 и достаточно больших п
существует самодвойственная функция f(xn), для которой:
п юё>2 ГЬ
2.44. Доказать, что для всякого е > 0 и достаточно больших п
существует функция f(xn), являющаяся суперпозицией функ-
ции (р(х, у, z) = ху V z и такая, что
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
1. 1. 3) 205. 5) 2m+1 + 1. 7) 23m+1 + 22m+1 - 2m+1 + 1.
1. 2. 2) (11100111). 4) Если m 4, то п = 2m-1 + 2т~2 — 1, набор имеет
вид (101 ... 11 j; при т = 2 имеем (10), а при т = 3 имеем (101).
т — 2 раз
1. 3. 1) (00110) =«(00111), (00110) =«(10110), (01010) =«(01011)^(11011),
(01010) =« (11010) =« (11011). Шесть пар соседних наборов, противоположных
наборов нет.
4) Если т = 2 и п = 4, то А= {(1011), (1101), (1001), (0111), (0100),
(ОНО)}. Четыре пары соседних наборов и две пары противоположных.
Если т = 2 и п = 5, то А = {(10111), (11101), (10011), (01111), (01001),
(OHIO)}. Две пары соседних наборов, противоположных наборов нет. Ес-
ли т = 2 и п > 6, то А = {(10НЛ), (1^Л,01), (ЮОЛ^Л), (01^Л),
n — 2 n — 2 n — 3 n — 1
(01001 . ^. 1), (01 .^. 10)}- Две пары соседних наборов, противоположных
п—4 п—2
наборов нет. Если ш 3 и n = m + 2, то А = {(10 ... 011), (10 ... 0101),
т—1 т —2
(1(НЛД1), (01(НЛИ1), (01(НЛ)), (01ПНЛ))}.
т т — 2 т т — 1
Соседних наборов — три
пары, противоположные наборы будут только при т = 3 (одна пара). Если
т 3 и п > т + 2, то имеем (10 .^.01 .^. 1) (10 .^. 01 .^. 1), и в тех слу-
га п —га—1 га —1 п — т
чаях, когда п — т = 3 или п — т = 4,
(ОЮЛЕЛ) =« (0КЛ0Л11).
га п — т —2 п — т—1 т — 2
Соседние наборы (10 ... 0 1 ... 1) и
(10 ... 01 ... 1), противоположные
(10 ... 0 1 ... 1) и (01 ...10... 0) при
п = 2т — 1 (ш 4), (10 ... 0 1 ... 1
га—1 п —га
га — п га—1
и (01 ... 10 ... 0) при п = 2т (ш 3).
га п —га —1
п — га
га — 1
i-4. 1) (”).
2) е2п~1. Если ап = (сп, «2, ап) и v(an) 2п~\ то сп = 1.
3) п • 2п. Число наборов соседних с (сп, а2, -.., ап) равно п.
4) (^2п. Любой набор /Зп, отстоящий от фиксированного набора ап на
расстоянии А:. получается из а72 подходящей заменой некоторых к компонент
на противоположные.
5) 2к.
6) 2п — 21. Если/З" И7П отличаются в компонентах с номерами гх, г/,
то число различных наборов ап, удовлетворяющих условию, равно числу 2п
минус число всех подмножеств множества {й, ..., ii}.
7) 2Ш. Справедливы соотношения 0 й «2>+1 1 и «2>+1 + «2.7+2 = 1
(J = 0, 1, ..., т — 1).
8) Г^к ) * Искомое число равно числу наборов длины п — г(к — 1),
имеющих вес к.
1.5. 3) Рассмотреть множество
4) В таком подмножестве есть наборы одинакового веса.
5) Набор /Зп не сравним с набором ап тогда и только тогда, когда
/3j = 0 для некоторого J Е {й, • • •, й} и ft = 1 для какого-либо I {й, • • •
..., й}, где й, •••, й — номера всех единичных компонент набора ап.
6) Найти число наборов 7™, не сравнимых с наборов «п, но сравнимых с
набором (3п. Затем вычесть полученное число из общего числа наборов 7п,
не сравнимых с ап.
1.6. 1) 22"-/. 2) 22"-Е«/2]). з)22"-1. 4)2.
-1 / \ п (п\
5) 22’’1+ -( „-!) 6) 23'2”-2. 7) 2"+1. 8)^2^'-п.
' ' i=0
1.7. 1) Nf = {(001), (100), (101), (110), (111)}.
4) Nf = {(0001), (000), (0101), (ОНО), (0111), (1000), (1001), (1010),
(1011), (1110)}.
5) (ж5) = Ж1Ж2(ж2 V Ж4 V Жб) V Ж1Жз(ж4 V Жб) V Ж2Жз(ж4 V Жб) V
V Ж4Жб(Ж1 V Ж2 V Ж3) V Ж1Ж2Ж4-
Ситуация, когда будут приняты обе гипотезы, возможна (это соответствует
наборам (01100), (10001) и (11001)).
6) Полагая, что Xi = 1 тогда и только тогда, когда Bi участвует в
заседании комиссии (г = 1, 2, 3, 4) , запишем условия а), б) и в) с помощью
булевой функции /(ж4). Имеем /(ж4) = Ж1Ж2жз V ж2жзЖ4 V Ж1Ж4. Если В2 в
заседании не участвует (т.е. если ж2 =0), то обязан ли быть на заседа-
нии Вз, т.е. будет ли функция /(жх, 0, жз, Ж4) обращаться в 1 на каком-
нибудь наборе вида (сп, 0, 0, «4)? Так как /(жх, 0, жз, Ж4) = Ж1Ж3 V Ж1Ж4,
то /(жх, 0, 0, Х4) = Х1Х4 и, значит, /(1, 0, 0, 1) = 1. Следовательно, Вз
также может не участвовать в заседании.
7) При условиях, указанных в задаче, проект может быть не принят.
1.8. 1)—9), 11), 12) Не является. Добавляя скобки, можно превратить в
формулы выражения 1), 2), 4), 8), 11) и 12).
1.9. 1)—5), 8)—10) Не является. Добавляя скобки, запятые и переменные
в формулы можно превратить только выражения 4) и 5).
1.10. 1) х, у, у, х, z, (х ~ у), ("I у), (х V z), (("I ?/) —> (ж V г)), А.
Указание. См. замечание, следующее за определением 2 (в и. 1).
4) /г(2)(1, х), 1, д(1)(х), д(1)(1), ^<3)(1, у, JZ(1)(1)), /(3)(/г(2)(1, ж),
У>(3)(1, У, 9(1)(1))> JZ(1)(®))5 А-
5) 5(1)(« -* У), h/'Axky), А.
1.11. 1) Пятью способами. 3) Семью способами. 5) Тремя способами.
6) Девятью способами.
1.12. 3) Индуктивный шаг. Для обозначения произвольной дву-
местной связки из 6 используем символы о и *. Пусть утверждение верно
для формул, сложность которых не превосходит I (где I 1), и рассмотрим
формулу 21, имеющую сложность, равную I + 1. Тогда либо 21 = ("I 23),
либо 21 = (23 о (£), где о 6 6\{“|} и сложности подформул 23 и £ неболь-
ше I. Если 21 = ("I 23), то 23 имеет сложность I 1 и, значит, 23 = (“I 231)
или 23 = (232 * 23з), где * = 6\{“|}, поэтому 21 = ("I("I 231)) или 21 =
= ("I 232 * 23з)). По индуктивному предположению в подформулах ("I 231)
и (232 * 23з) двух связок, стоящих рядом, быть не должно. Значит, таких
связок нет и в формулах (l(l23i)) и "1(232 * 23з)) (две «внешние» связки "I
в формуле (“l(~l $31)) разделены скобкой). Если 21 = (23 о (2^), то возможны
случаи: а) 23 = х, € = (“l(£i); б) 23 — х, £ = (£2 * £з); в) 23 = (“I 231),
£ = х; г) 23 = (-1 231), C=("lCi); д) (1 231), € = (€2 * €3); е) 23 =
= (232 * 233), £ = х; ж) 23 = (232 * 23з), С = (1 €1); з) 23 = (232 * 1233),
С = (С2 * 2<£з)« Здесь х обозначает произвольную переменную и *, *1, *2
принадлежат (5\{"|}. Сложности подформул 23 и £ не превосходят I. Сле-
довательно, в силу индуктивного предположения связок, стоящих рядом, в
них нет. Остается показать, что «внешняя» связка о формулы 21 = (23 ° £),
соединяющая подформулы 23 и (£, также не стоит рядом ни с какой другой
связкой. Но это вытекает из того факта, что его подформула 23 (соответст-
венно (£) отлична от переменной, то между любой связкой, содержащейся
в подформуле 23 (или (£), и «внешней» связкой о находится хотя бы одна
скобка.
1.13. 1) Доказательство можно провести индукцией по сложности фор-
мулы. Через ind(oj, 21) обозначим индекс связки ш в формуле 21.
Индуктивный шаг. Пусть утверждение справедливо для формул,
имеющих сложность, не превосходящую I (Z 1). Рассмотрим формулу 21
со сложностью, равной Z+1. Возможны случаи: а) 21 = ("I 23); б) 21 = (23 о £).
Разберем случай б). Каждая связка ш из подформулы 23 (если 23 отлична
от переменной) имеет в формуле 2( индекс, на единицу больший индекса
той же связки в формуле 23, т.е. ind(ш, 21) = 1 + ind (ш, 23), а значит,
ind(c«j, 21) 2. Далее, так как число левых скобок в любой формуле равно
числу правых скобок в ней (см. задачу 1.12, 2)), то «внешняя связка» ° в
формуле 21 имеет индекс 1, а для всякой связки ш из подформулы (£ (если (£
не является переменной) выполняется неравенство ind (о?, 21) > ind (°, 21),
так как подформула (£ начинается с левой скобки.
1.15. 2) См. рис. 0.1.1. 4) См. рис. 0.1.2. 5) См. рис. 0.1.3.
7) См. рис. 0.1.4.
1.16. 1) (((О ® (ж ф (у V ж))) V ж) & (г/ ф (("I ж) -4 1))).
3) /(3)(5<3)(1, ^2\х, у), 2, h^(x, ^Ч^2Чх, ж)))).
6) Л(М® 1), Л<2>((-1 гг), 1), (Я <7<2>(1, /(3)((Ж&г/), 1, h^(x, ж))))).
1.17. 2) Вектор значений функций имеет вид (11111110).
3) Вектор значений функций таков: (10000100).
6) Вектор значений функции выглядит так: (01111111).
1.18. 2) ah = (0101). 4) ah = (10010011). 6) ah = (1100011011000101).
1.19. 2), 6), 9), 10) Эквивалентны. 3), 7) Не эквивалентны.
1.21. 4) 21= (ж V у V (ж ~ z)) • (ж ~ (?/ V г V ж V у)) = (ж V г/ V xz V xz) &
& (х ~ 1) = (х V у V z) - х = х’ $5 = х V у V z V х = xyz V х = х.
9) 21 = (ж V yz V ж V yz) • (ж V (у ~ z)) = (х(у V z) V ж(г/ V z)) • (ж V yzV
V у z) = (ху VxzV xz) • (ж V yz V yz) = ж • (ж V yz V yz) = х'.
23 = ((ж V у) ~ (у V ж V z)) ф xyz = ((ху ф ж ф у) ф xyz) ф xyz =
= ху ф у ф ж ф у ф ху = х.
1.22. 1) При решении задач такого типа (связанных с полным или час-
тичным перебором элементов некоторого множества) бывает удобно (и даже
необходимо) упорядочить и просматривать элементы данного множества по
возрастанию (или убыванию) какого-либо подходящего параметра. Перебор
можно уменьшить путем выявления дополнительных свойств исследуемых
элементов. В нашей задаче перебор можно вести по сложности суперпози-
ций (формул) над заданным множеством Р. Под сложностью суперпозиции
можно понимать, например, число связок в ней или число «шагов» в ее по-
строении. Булевы функции, зависящие от переменных из множества {ж, у}
и являющиеся суперпозициями над множеством {tti -4- Д2, и± • Д2}, исчер-
пываются функциями: Д(ж) = 1, /2(ж) = х, f3(y) = 1, Д(?/) = у, х у,
У X. Х-у, f8(x, у) = 1, fg(x,y)=x, f10(x, у) = у, X V у, X ~ у.
2) Функции такие же, как в задаче 1).
3) Все функции, кроме одной, порождаются за «два шага». Всего 16
функций. «Три шага» требуются для построения функции f(x, у) = 1.
4) Все функции (их восемь) порождаются за «два шага».
5) Все функции (их 12) строятся за «два шага».
6) Д(ж) = ж, f2(y) = y, f3(x,y) = x, f4(x,y) = y, f5(x,y) = x-y,
fe(x, у) = x V у. «Два шага» нужно только для порождения функции /б(ж, у).
7) fi(x) = х, f2(y) = у, /з(ж, у) = х, f4(x, у) = у, fe(x, у) = х-у. Все
функции порождаются за «один шаг».
1.23. 1) Глубина формулы 21 равна 3, но формула (ж —> ж) ® (ж ® у)
реализует ту же функцию и имеет глубину 2.
2) Рассмотреть формулу (ж V у) ~ (х ~ у).
3) Рассмотреть формулу (ж | х) | (у | у).
4), 5), 7), 8), 10) Глубина минимально возможная.
6) Рассмотреть формулу ж ~ (ж —> ?/).
9) Глубина формулы равна 2.
1.24. 1) Предполагая, что /(0, 0) = 0 и беря ж = у = ж = 0, имеем
/(/(о, /(0, 0)), /(/(0, 0), /(0, 0))) = /(/(0, 0), /(0, 0)) = /(0, 0) = 0. Это
противоречит условию задачи. Значит, /(0, 0) = 1. Полагая затем, что
/(0, 1) = 0, и беря ж = у = z = 0, получаем
/(/(0, /(0, 0), /(/(0, 0), /(0, 0))) = /(/(0, 1), /(1, 1)) = /(0, /(1, 1)).
Отсюда, принимая во внимание условие задачи, выводим, что /(1, 1) долж-
но быть равно 0. Но взяв ж = 0 и у = z = \, имеем
/(/(0, /(1, 1)), /(/(0, 1), /(0, 1))) = /(/(0, 0), /(0, 0)) = /(1, 1) = 0.
Это противоречит условию задачи. Следовательно, /(0, 1) = 1. Аналогично
доказывается, что и /(1, 1) = 1. Значит, /(ж, у) = ж —> у или /(ж, у) = 1.
Далее соотношения а)-д) проверяются непосредственно (например, с ис-
пользованием основных эквивалентностей).
2) Не вытекают. Достаточно рассмотреть функцию /(ж, у) = ж ~ у.
1.25. 4) /* = (ж у) (у х) = ж V у V (у V ж) = 1 = 0; д = (ж V у) &
& (у Ух) = ж у 0. Значит, д не двойственна к /.
6) Не является. 8), 9), 11) Является.
1.26. 2) Пусть формулы 21 и 23 (над множеством S) эквивалентны. Тог-
да в силу определения эквивалентности формул реализуемые ими функции
равны, т.е. Да = Дв. Значит, = Дв • Применяя утверждение 1) данной
задачи, имеем Д£ = и /А = Дв*. Следовательно, /а* = Дв*, т.е. 21*
и 23* — эквивалентные формулы.
1.27. 1) /* = (ж • 1 V у • (z V 0) V ж • у • ^)* =
= (ж V 0) • (у V z • (ж V у V z) = ж • ((г/ V z) • (у V г)) = ж • (у ф z).
2) f* = ху\/ xy\Jyz. 5) f* = («©«/) • z. 10) f* = (ж V (z ® t)) -У-
1.28. 1) Две фиктивные переменные. 3) Одна фиктивная переменная.
5) Фиктивные переменные Ж1 и х3.
1.29. 4)/= 1. 8) / = 1. 9) / = 0. 10) / = 1.
1.30. 1) Существенных переменных нет. 3) Только Х2-
9) Переменные х± и Х2- 10) Переменные Ж2, хз и х±.
1.31. 2) Достаточно рассмотреть функцию х± ф Х2-
3) Возможно т фиксированных переменных.
1.33. 1) У функции нечетное число значений, равных 1. Значит, все ее
переменные существенные.
2) Все переменные существенные (так как, например, ао / «1, «о «2,
«з ф «11 и аз ± аг).
5) Две существенные переменные — Х2 и хз (ai = a^+i (i = 0, 2, 4, 6,
8, 10, 12, 14); aj — a$+j (j = 0, 1, ..., 7); «о ф «2 и «о ф «4).
9) Три существенные переменные — xi, Х2 и х± (ai = ai+4 (i = 0, 1, 2,
3, 8, 9, 10, 11)).
1.34. 1) При п 3. 2) При п ± 3. 3) При п = 2т + 1 (т 1).
4)-6) При п 3.
1.37. Имеем Nf®g — (Nf\(Nf A Ng)) U (Ng\(Nf A Ng)). Значит,
IW = PV/| + l^| -2|^n^|.
Так как \Nf$g| — нечетное число (см. условие задачи), то одно из чисел |-ZVy |
и |Л^| нечетное. Например, число |1V/|. Тогда функция f обращается в
единицу на нечетном числе наборов, и в силу задачи 1.31, 1) каждая
переменная у f существенная.
1.38. 1) Ж1Ж2, Xi V Х2, Xi Х2у Х2 #1, Х1 —> #2, #2 #1, #1 ф #2,
Xi ~ Х2, Х1 | Ж2, Xi j. Х2.
2) \РС(Х3)\ = 218.
1.39. 1), 2), 5), 7)—10) Можно. 3), 4), 6) Нельзя.
1.40. 2) Достаточно рассмотреть одну из функций — m(a?i, #2, хз) =
= Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3 или Ж1ФЖ2ФЖ3.
1.41. Если при отождествлении некоторой пары переменных Xj и Хк
(1 j < к п) получается функция, тождественно равная 0, то f(xn)
должна обращаться в 0 на всяком наборе вида (ai, ..., «7-1, «, «7+1 ? • • •
..., a/e-i, а, а/fe+i, ..., ап). Но число таких наборов 2П-1. Значит, выпол-
нялось бы неравенство |2Vy | 2п — 2П-1 = 2П-1, что противоречит условию
задачи.
1.42. 2) Тот факт, что ф нельзя заменить на & и V, обосновывается,
например, с использованием функций f(xn) = хз ... хп (п 3).
1.46. Наборы /3j и Д+1 соседние при всяком j = 0, 1, ..., к — 1.
Пусть ij — номер той компоненты, в которой наборы (3j и Дч-i отличаются
друг от друга. Если f((3j) 7^ /(Д7+1), то ж,. — существенная переменная
функции f(xn). Докажем, что числа г’о, й, ..., ik-i (номера соответст-
вующих компонент) все разные. Предположим противное, т. е. что для
некоторых р и q (O^p<q^k — 1) выполняется равенство ip = iq. Тогда
имеем р(/Зр, (3q) = p(/?P+i, flq) — 1. Используя это соотношение и «свойство
треугольника» для расстояния Хэмминга, получаем
/г = р(3о, /Зк) р(До, М + p(f3p, Pq) + p([3q, Рк) <
p-1 k — 1
53 A+l) + p(0p+l, fig) ~ 1 + 53 Л-1)
Z=0 l=q
Q-1 _ _
0+52 p^h ^+х) ~l + k- q = p+(q~p~T)-l + k- q = k-2.
l=p+l
Это противоречие показывает, что наше предположение ложно. Следо-
вательно, все номера io, ii, ..., ik-i разные, а поэтому число существенных
переменных у функции f(xn) не меньше числа перемен ее значений на
рассматриваемой цепи, т. е. не меньше т.
§ 2
2. 1. 3) (10001000). 4) (01110111). 7) (1111111111001100).
10) (1111111100000000).
2. 2. 1) /(£3) = Ж1(ж2 -> хз) V жхж2; /о (ж3) = ж2 = (11001100).
3) /(ж3) = (01111000); /о(ж3) = (01011010).
7) /(ж4) = Ж1(ж2ж3®ж4) Ужх/^ж4); /о (ж4) = (0101010110011001).
2. 3. 2) Ж1Ж2жз V Ж1Ж2жз V Ж1Ж2жз.
4) Ж1Ж2жз V жхж2ж3 V Х1Х2хз V Ж1Ж2жз.
7) Ж1Ж2ЖзЖ4 V Ж1Ж2ЖзЖ4 V Ж1Ж2ЖзЖ4 V Ж1Ж2ЖзЖ4 V Ж1Ж2ЖзЖ4-
2.4 . 1) (а?1 V ж2)(ж1 V ж2). 2) (жг V ж2)(жх V ж2)(ж1 V ж2).
6) (жх V х2 V жз)(ж1 V х2 V жз)(ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V х2 V жз).
8) (xi V ж2 V хз У X4:)(xi V ж2 V хз У Ж4)(жт V х2 V хз V х±).
2.5 . 2) /о (жх, $2) = xi | х2 = Ж1Ж2 V жтж2 V Ж1Ж2.
5) А3(^1, х2) = (1101) = xi V ж2;
7) /1(^1, Хз, Ж4) = xi хз Х4 =
= (Ж1 V Ж3 V Ж4)(Ж1 V Жз V Ж4)(Ж1 V Жз V Ж4).
9) /о14(жъ Хз) = Ж1 ~ Хз = Ж1ЖЗ V Ж1Ж3.
2.6 . 2) Пусть ^(ж1, ж2, ..., хп) = /(жр, ж^2, ..., Хпп), где ж^ = Xi при
(ц = 0 и жр = Xi при (Ti = 1. Подходящее взаимно однозначное соот-
ветствие между подфункциями функций д и f задается так: подфунк-
ции (ж71) сопоставляется подфункция (хп), где Wkj =
= rk^J (0 < m < n; f = 1, ..., m).
4) Вытекает из 2) и 3).
2.7 . 1) f(xn) = Ж1 V ж2 V ... V жп. Число разных подфункций рав-
но 2п + 1.
2), 3) Разных подфункций 2n+1 — 1.
4) При п = 2 число разных подфункций равно 5, а при п 3 их чис-
ло 3-2n-x.
5) 3 • 2П-1 + 1. 6) 2п + 1.
7) При п = 3 число разных подфункций 9, а при п 4 их 3 • 22п-2 + 5.
8) 2п + 7 при п 4; 12 при п = 3.
2.8 . При п = 2, используя прямой перебор, легко находим, что таких
ФУНКЦИЙ 8. (ЭТО /о(Ж1, Ж2) = 0, /1(Ж1, Ж2) = 1, Ж1 ® Ж2, Ж1 ~ Ж2, Ж1 ж2,
Ж1 ж2, ж2ЧЖ| и ж2 —> Ж1.) При п 3 сначала следует доказать, что
функция f(xn) обладает таким свойством: если веса наборов ап и (Зп либо
одновременно четные, либо одновременно нечетные, то f(otn) = f(J3n).
Значит, при п 3 функция f(xn) однозначно определяется значениями на
наборах 0" и(1, 0, ..., 0). Следовательно, таких функций 4 (это /о (ж") = 0,
— — -У
fl(xn) = 1, /2(ж") =Х1®Ж2е...®Жп И /з(жП) = Х1 ф Х2 Ф • • • Ф хп ф 1).
2.1 0. 4) f(x3) = Ж1 V Ж2Ж3 • Ж1Ж2 V хз = (xi V Ж2Ж3) V (Ж1Ж2 V жз) =
= Ж1 V Х2Х3 V Х1 V Ж 2 V Хз = Х\ V Ж 2 V Хз-
10) /(ж4) = Ж1 V Ж2(^2Жз V Ж1Ж4)Ж1 V Ж3Ж4 =
= Ж1Ж2СЁ2 V Ж3 V Ж1Ж4)Ж1ЖзЖ4 = Ж1Ж2Ж3Ж4.
2.1 1. 1) /(ж2) = ((ж1 V Ж2) ® Ж1Ж2)(Ж1 ~ Ж2(Ж1 V Ж2)) =
= (Ж1Ж2 Ф Ж1Ж2)(Ж1 ~ Ж2) = (Ж1 ф Ж2)(Ж1 ~ Ж2) = 0 =
= (Ж1 \/Ж2)(Ж1 V Ж2)(Ж1 \/Ж2)(Ж1 V Ж2).
3) /(ж3) = Ж1Ж2 V Ж2Ж3 V Ж1 V Ж2Ж3 = Ж1 V Ж2 V Жз.
6) /(ж4) = (Ж1 V Ж2 V Жз V Ж4)(Ж1 V Ж2 V Жз V Ж4).
2.12. 2) /(ж3) = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 =
= Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3.
5) /(ж3) = Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 =
= Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3.
2.13. 1) /(ж3) = (Ж1 V ж2 V Жз)(ж1 V ж2 V ж3)(ж1 V ж3)(ж1 V ж3) =
= (ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз).
5) (ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз) &
& (ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз) & (Ж1 V Ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз).
2.14. 3) /(ж3) = (Ж1 V Ж2Жз)(ж1 V Ж2 V жз) =
= Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Ж2Ж3 = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж2Ж3 = Ж1Ж3 V Ж2Ж3.
6) /(ж4) = (Ж1Ж2 V Ж1ЖЗ V Ж2Жз)(ж2Жз V Ж2Ж4 V Ж3Ж4) =
= Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж3Ж4 = Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4.
2.15. 2) /(ж3) = (Ж1 V Ж2)(Ж2 V Ж2)(Ж1 V Жз)(ж2 V Жз) V Ж2Ж3 =
= (Ж1 V Ж2 V Ж2)(Ж1 V Ж2 V Жз)(ж2 V Ж3 V Жг)(Ж1 V Ж2 V Жз) &
& (ж1 V Жз V Жз)(ж2 V Жз V Жз) = (Ж1 V Ж2 V Жз)(ж2 V Жз)(Ж1 V Ж2 V Жз) =
= (ж2 V Жз)(Ж1 V ж2 V Жз).
5) /(ж3) = (ж1 V Ж2)(Ж2 V Ж2) V Ж2Ж3 = (Ж1 V Ж2)Ж2 V Ж2Ж3 =
= Ж2 V Ж2Ж3 = (Ж2 V Ж2)(Ж2 V Жз) = Ж2 V Жз.
п- 2П-( П }
2.17. 1) 22 -1, если п нечетное, и 2 \[™/2Ь _ если п четное.
2) 22n“n_1 - 1. 3) 22П-1 - 1.
4) 2" - 1, где L = (-) + (?) + ... + (n?2) = 2-1 + | (п?2), если п
четное, и L = (?) + (?) + ... + ((п —”1)^2) = если п нечетное.
5), 6) 22”"1 - 1.
2.18. 1) 2" - п - 1. 2) п + 1. 3), 5) (2”+1 + (-1)п)/3. 4) 2" - 1.
6) 2П-1 + 2. 7) 2П-1 — 1, если п нечетное, и 2n-1 + 1, если п четное.
8) 2П-1, если п нечетное, и 2n-1 + 1, если п нечетное.
2.19. 1) 2п • к + 2Ш • I - к • I. 2) к О. 3) (2n - Z) • к + (2Ш - к) • I.
4) (2Ш - к) • 2п + к • I.
2.20. 1) li — fo, где li и 1э — длины совершенных д. н. ф. функций f V д
и f • д соответственно.
2) 2n+1 — li—12, где li и I2 — длины совершенных д.н.ф. функ-
ций f(xn) д(хп) и д(хп) f(xn) соответственно.
2.21. 1) Всего имеется 10 булевых функций, зависящих от перемен-
ных xi и Х2-) причем от каждой из них существенным образом.
2) Функции ;i'i Q 2'2 и 1'1 ~ ,z'2 имеют минимальные д. н. ф. сложности 4.
2.22. 1) Ж1Ж2 Ф 1. 3) Ж1Ж2Ж3 Ф Ж1Ж3 Ф xi.
6) Ж1Ж2 Ф Ж1Ж3 Ф Ж2Ж3 Ф Х2 Ф Хз Ф 1.
10) Ж1Ж2Ж3Ж4 Ф Ж2Ж3Ж4 Ф Ж1Ж3 Ф Ж1Ж4 Ф Х2Х3 Ф Ж2Ж4 Ф Х1 ф Ж2-
2.23. 1) Ж1Ж2 Ф Х1 ф Х2 Ф 1. 4) Ж1Ж2Ж3 ф Ж1Ж3 ф Х2Х3 Ф Х2 Ф Хз.
7) Ж1Ж2Ж4 Ф Ж2Ж3Ж4 Ф Ж1Ж3 ф Ж1Ж4 Ф Ж2Ж4.
2.24. 1) f(x2) = Х1 V Х2 V Ж1Ж2 = Xi V Х2 = £1^2 = ^1^2 Ф 1.
3) /(ж3) = Xi V Х2 • Х2 V Хз = Х1 • Х2 • Хз = (#1 Ф 1)(#2 Ф 1)(^3 Ф 1) Ф 1 =
_______________________= Ж1Ж2Ж3 Ф £1^2 Ф Х'Хз ф Х2Х3 ф Х1 ф Х2 Ф Хз.
9) f(x 4) = XI V Х2 V Х2 V Ж3Ж4 = Xi V Х2 V £4 = Х1Х2Х4 =
= (#1 ф 1)372(^4 Ф 1) Ф 1 = Х1Х2Х4 Ф #1^2 Ф #2^4 Ф Х2 Ф 1.
2.25. Достаточность. Пусть Xi содержится в полиноме Жегалки-
на Р(жп) функции f(xn). Представим полином Р(хп) в виде XiPi(xi, ...
..., Xi-i, Xi+i, ..., Хп) ф Р2&1, ..., Xi-i, Xi+i, , хп). Здесь Pi 0, так
как иначе переменная Xi не входила бы явно в Р(хп). Возьмем набор а =
= (ai, ..., (Тг-i, «г+1? • • •, ап) такой, что Pi (a) = 1. Тогда имеем
/(«I, ..., скг-1, 0, аг+1, .... (У-п) = о • Pi (а) Ф Рг(а) = P^ol),
/(ai, ..., а^_1, 1, Qi+i, ..., ап) = 1 • Pi (а) Ф Рг(а) = 1 + Рг(а) / Р2(а).
Значит, Xi — существенная переменная функции f(xn).
2.2в. !)("}.
2) 1 при г = 0 и 2l (2'г ' — 1] при г 1, где
^ = (!) + (?) + -- + U1)-
3) 1 при г = 0 и ^2^г) — 1) • 2Ь-1 при г 1, где
^=(;) + ('1‘)+-+(,?1)-
4) где т = 2п — 1 и к четное. При к нечетном таких полиномов
нет.
5) 1 при г = 0, П (i + ПРИ г^1.
2.27. 1) 2п~2. 2)-4) 2n-r. 5) 2к + 2п~к - 2. 6) (2n+1 + (-1)п)/3.
7) п + 1, если п нечетное, и п, если п четное.
8) 1 при п = 2, 2 при п = 3 и
E(V) + ±GV2)+2±(rA)
k=0 1=0 т=0
при п 4, где р = [(n — 1)/4], q = [(п — 3)/4] и г = [(п — 4)/4].
Р Q
s)E(«’E) + £(Z+1).™« »=М - «=М-
к=0 1=0
2.28. Ж1Ж2 ... хп.
2.29. Применить индукцию по п.
2.30. Для п = 1 утверждение очевидно (соответствующими полино-
мами являются 0, xi и 1). Пусть утверждение верно для п = к (к 1).
Докажем его для п = к + 1. Если I 2к, то по индуктивному предположе-
нию существует полином Р(хк), длина которого не превосходит к и такой,
что \Np | = I. Но тогда полином Xk+iP(xk) обращается в 1 в I вершинах
куба Вк+1. Если 2к < I 2fe+1, то рассмотрим полином Р(хк), обращаю-
щийся в 1 на 2fe+1 —I наборах из Вк. Полином Xk+iP(xk) ф 1 является
искомым.
Глава II
§1
1. 1. 1) {я?1, Ж1, Ж2, Хэ}. 2) {О, Ж1, Ж2, фЖ2}-
3) {0, 1, Ж1, Х2, xi, Х2}. 4) {#1, Ж2, Ж1Ж2}. 5) {#i, Х2}.
6) {1, XI, Х2, Xi V Ж2, Xi V Ж2, Xi V Х2}-
1.2. 1) f = X 0, 2) f = ((ж J. х) ; (у J. у)) |(4 у\
3) / = (ж ф ж) ф ж. 4) f = (х ~ у) ~ z. 5) / = жж ф ж. 6) f = х(ух).
7) f = (ж V ж) V (у Уу).
1.3. 1) {0, 1, ж, ж}. 2) {ж, ху, xyz}. 3) {1, ж, ж ~ у, х ф у ф z}.
4) {ж, xy\/yz\/ zx}. 5 {ж, ж, ж ф у ф z, х ф у ф z ф 1}.
1.4. 1) {0, ж}. 2) {ж ф у, 1}. 3) {ж ф у}. 4) {ху, х V у}. 5) {ж -4 у}.
1.5. 1), 3), 7) Множество является замкнутым.
2), 4)-6), 8) Множество не является замкнутым.
1.7. Пусть А — предполный класс замкнутого класса К. Это озна-
чает по определению, что [Л] ф К и [A U {/}] = К для всякой функ-
ции f G К\А. Предположив, что А не является замкнутым, имели бы
[А]\А ф 0. Но тогда, с одной стороны, [Ли ([А]\А)] = К, а с другой сто-
роны, AU ([А]\А) = [А] и [[А]] = [А] в силу замкнутости [А]. Пришли к
противоречию.
1.9. 1), 3), 5), 7), 8), 10) Множество Л является замкнутым.
2), 4), 6), 9) Множество А не является замкнутым.
1.10. 1) {0}, {1}, {1, 0}.
2) Кроме классов п. 1) еще [0, ж], [1, ж], [0, 1, ж], [ж], [о, ж], [ж].
3) а) [ху]; б) ж® у, ж ~ у].
1.12. 1) Система {ж, ху, х V у} является полной в Р2, поскольку вся-
кая f G Р2 может быть представлена в виде д. н. ф. или к. н. ф. С другой
стороны, Ж = Ж 4- Ж, ху = (ж 4- х) J, (у у), X V у = (ж 4- у) (ж 4- у)'
2) Имеем 0 = хх ф х, ху = ху ф О, х = (ж ~ х) ф х. Система {х, ху}
полна, поскольку х V у = х • у.
3) Имеем х = х ® х ® х, х У у = х —> у, ху = х ~^у.
4) Имеем 0 = /(ж, х, х), х = х О, ху = х у.
5) Имеем ж = ж ф О ф 1, ху = т(х, у, 0).
1.13. 1) Ki С К2.
2) Вообще говоря, К\^К2. Рассмотреть Ai = {х, ху}, А2 = {х, х ф у}.
1.14. 1) Например, Ki = {0}, К2 = {1}.
2) Например, Ki = [ж, 0], К2 = [ж, 1]. 3) Ki = [0, х], К2 = [0, 1, ж].
1.15. 1) Mi = [0, 1, ж], М2 = [ж] предполные в К.
2) Mi = {0}, М2 = {1}. 3) [ж]. 4)[жф^®4
1.17. Пусть К — предполный класс в Р2. Если х К, то в силу пред-
полноты К имеем [К U {ж}] = Р2. Но в силу 1.7 и 1.16 имеем [К U {ж}] =
= К U {ж}. По условию х\у [К], а значит, х | у ф К U {ж} = Р2. Противо-
речие.
1.18. Пусть f(xn) не является константой. Если f(x, х, ..., х) С {х, х},
то на f, очевидно, можно получить х. В противном случае /(ж, х, ..., х) Е
Е {0, 1}. Пусть для определенности f(x, х, ..., х) = 0. Поскольку f(xn)
0, то существует набор а = (ai, ..., сеп) такой, что f(a) = 1. Заменим
в f переменную Xi на х, если ai = 1, и на у, если ai = 0. Тогда получим
функцию д(х, у). Ясно, что д(х, у) Е {ху, х ф ?/} и что х Е [д(х, у)].
1.19. Предположим, что Р2 = Ki U К2 U ... U Ks, где Ki — непустые
попарно непересекающиеся замкнутые классы. Тогда существует i такое,
что х | у Е Ki. Но тогда Ki = Р2 в противоречии с тем, что s > 1.
1.21. Утверждение вытекает из 1.18 и из того, что система, содержащая
функцию х, не может быть расширена до базиса.
1.22. Указание. Провести индукцию по числу вхождений связки —>
в формулу, реализующую функцию f Е [ж —> ?/].
1.23. Указание. Использовать задачу 1.22.
§2
2.1. В задачах 1), 3), 4), 8), 10) функция f самодвойственна. В зада-
чах 2), 5)-7), 9) функция f на является самодвойственной.
2.2. В задачах 1), 3), 5)-8) f Е S. В задачах 2), 4), 9), 10) f ф S.
2.3. 1) (1100). 4) (01101001). 8) (1001000011110110).
2.4. 1) f(x, х, х) = f(x, х, х) = 1. 2) f(x, х, х) = 1.
2.6. Куб Вп разбивается на 2П-1 непересекающихся пар противопо-
ложных вершин. В каждой такой паре самодвойственная функция f(xn)
обращается в 1 ровно один раз. Контрпримером к обратному утверждению
является функция xi ф х2.
2.8. 1), 3) f(xn) Е S при нечетных п.
2), 4), 5) f (xn) ф S при всех п ф 3, /(ж3) Е S.
6) f(xn) S при всех п = 3k.
2.10. Необходимость. Пусть f = Ж1/1 V ац/о • Тогда
Г = (хх/,1 V тх/с!)’ = (an V (А1)*) & V (/J)*) =
= М/оГ V (УоП/х'Г = М/оГ V .
В силу того, что f G S, имеем /* = /, и, следовательно,
ж1(/о )* V ^(/^)* = жх/1 V жг/J.
Полагая Ж1 = 1, а затем xi = 0, получаем отсюда, что (/о)* = fi и
(/11)*=/о1-
Достаточность. Пусть (//)*=/о- Отсюда вытекает, что f± =
— ((/1)*)* — (/о)*? и? следовательно,
f = x.fi V^/o1 = = (Х!Л1 = f.
2.11. Верно. Вытекает из задачи 2.10.
2.13. f является суперпозицией самодвойственных функций т(ж3),
(f И т/.
2.14. Пусть f 0 S. Требуется доказать, что [{/}US]=F2- Имеем
{х, х) С S. Из леммы о несамодвойственной функции вытекает тогда,
что {1, 0} С [{ж, ж, /}]. Известно, что [ж, ху, х V у] = Р2. Отсюда следует,
что [0, 1, х ф у ф г, т(ж, ?/, z)\ = Р2, ибо ж = ж ф 1 ф 0, ху = т(ж, ?/, 0),
ж V у = т(ж, ?/, 1). Имеем
F2 С [0, 1, х Ф у ф г, m(xyz)] С [{ж, ж, /} U S] = [{/} U S'].
2.15. Верно для п — 1, 3 и не верно для остальных натуральных п.
2.16. 1) Из условий этой задачи и из задачи 2.10 следует, что /J = /1 •
Но тогда f не зависит существенно от xi.
2) Утверждение остается верным.
2.18. 1) Нетрудно получить все функции f G S. зависящие не более
чем от трех переменных (см. задачу 2.9). Если для некоторого п все са-
модвойственные функции /(жп-1) получены, то с помощью представления
из задачи 2.17 получим любую функцию f(xn) из S.
2.19. В задачах 1), 3), 5)—7), 10) множества М являются самодвойст-
венными. В задачах 2), 4), 8), 9) множества М не являются самодвойствен-
ными.
§3
3.1. 1), 4), 7), 10) f i L. 2), 3), 5), 6), 8), 9) / е L.
3.2. 1), 3)-5), 7)-10) f е L. 2), 6) f <£L.
3.3. 1) Имеем f = ах± ф bx2 Ф с, /(00) = с = 1, /(01) = b ф с = 0,
/(11) = а ф 6 ф с = 1. Отсюда / = х± ф Х2 Ф 1, ос/ = (1001).
2) / = xi. 3), 4) / = xi ф Х2 Ф хз Ф 1. 5) / = хз Ф 1.
6) / = Ж1 Ф Х2- 9) / = Ж1 ф Х2 Ф Х4 Ф 1. 10) / = Х1 ф Хз Ф Х4 Ф 1.
3.4. 1) /(ж, у, у) = f(x, у, 1) = ху. 2) /(ж, у, у) = ху.
3) /(ж, у, 0) = ху. 4) /(ж, 1, у) = ху. 5) /(?/, 0, 1, ж) = ху.
6) /(?/, х, у, у) = ху. 11) /(ж, ж, ж, у) = ху. 12) /(ж, 1, у, 1) = ху.
3.5. 1), 4), 7), 9) Нельзя, так как |1Уу| 2.
2) ху = f(x, у, 1). 3), 8), 11) Нельзя, так как / G L.
5), 6) Нельзя. Указание. Подстановка констант и любое отождеств-
ление переменных приводит к уменьшению числа нулей.
3.6. 1) Пусть «1, ..., an-i — произвольный набор значений пере-
менных Ж1, ..., ж„-1. Тогда /(сц, ..., «п-i, хп) = хп ф </?(сц, ..., an-i).
Отсюда ясно, что /(ац, ..., an-i, 0) /(оц, • • •, «п-ь !)•
2) Представим функцию в виде жп/г(жп-1) фд(жп-1). Так как f сущест-
венно зависит от хп, то h 0. Предположим, что h 1. Тогда существует
набор а = («1, ..., an-i) такой, что h(a) = 0. Но тогда /(«i, ..., an-i,
0) = /(«i, ..., an-i, 1) = д(а), что противоречит условию. Таким образом,
h = 1, что и требовалось доказать.
3) Указание: Значение /(0) и условия однозначно определяют ее
значения на Вп. При этом на наборах четного веса значение функции
совпадает с /(0), а на наборах нечетного веса противоположно ему. Такова
функция xi ф ... ф хп ф /(0). Представление единственно.
3.7. 1), 2) Вытекает из задачи 3.6), 1).
ЗЛО.2(^.
3.11. 2"-1.
3.12. Функция xi —> Х2 нелинейна. Если f Е L, то xi —> ж 2 —
= /(ж1, ^2, 0, ..., 0) Е L. Пришли к противоречию.
3.13. Предположим, что f Е L. Тогда / = Ж1 ф ... ф ф ст, ст 6 {0, 1}.
Из условия /(a?i, 0, ..., 0) Ф f(xi, 1, ..., 1) следует, что п четно. Пришли
к противоречию с условием.
3.14. В силу нелинейности функции f существуют такие i и J, что
f = XiXjipi ф хцр2 Ф Ф <^4, где функции срт (т = 1, ..., 4) не зави-
сят от i и j и (pi 0. Пусть а = (ац, ..., a?-i, a»+i, ..., aj-i, ctj+i, • • •
..., an) — набор такой, что ^i(a) = 1. Тогда *ф(х^ Xj) = f(ai, ..., oti-i,
Xi, O!i+i, • • •, Oij-i, Xj, otj+i, ..., an) нелинейна.
3.15. Достаточность. Пусть функция f(xn) такова, что в Вп най-
дется специальная четверка наборов а, (3, у, 8 такая, что функция f прини-
мает на этих наборах значение 1 нечетное число раз. Положим хт = ат,
если т Е А2. Если же т Е Д1, то пусть хт = х при = 1 и хт = У
при = 0. В результате такой подстановки из f получается функция <р(х, у)
такая, что </>(11) = Да), </>(00) = /(Д), ¥>(10) = /(7), </>(01) = /(<5). Ясно,
что у) L.
Необходимость. Вытекает из 3.14.
3.16. Указание. Используя 3.14, доказать существование грани раз-
мерности 2, на которой функция обращается в 1 нечетное число раз. Из
того, что \Nf\ = 271-1, вывести существование двух граней таких, что на
одной из них функция обращается в 1 один раз, а на другой три раза.
3.18. 1) С помощью суперпозиции из функции xi ф ж2 можно получать
любую функцию вида Xir ф ж;2 ф ... ф Xik, путем подстановки 1 — любую
функцию вида х^ ф Xi2 ф ... ф Xik ф 1. Система А является базисом.
2)—5), 7)-9) А является базисом. 6), 10) А не является базисом.
3.19. Пусть f Е L. Если f зависит существенно от нечетного числа пе-
ременных, то f Е S A L. Если f зависит существенно от четного числа пере-
менных, то либо /(0) = 0 и 1 ф [{/}], либо /(0) = 1, /(1) = 1 и 0$ [{/}]•
3.21. Среди функций Д, /2, /з хотя бы одна является нелинейной, по-
скольку существуют лишь две линейные функции, существенно зависящие
от xi и Х2- Кроме того, каждая из этих функций не является самодвойст-
венной. Подстановкой х и х на места переменных несамодвойственной
функции f получаем константу. С помощью отрицания получаем вторую
константу. Подстановкой 0, 1, ж, ж, у, у из нелинейной функции получаем
функцию вида ху ф а. Имеем [{ж, ху ф а}] = Р2.
3.23. Функция представима в виде f = xyz ф аху + (3xz ф yzx ф/(ж,
у, г), где а, /3, у принадлежат множеству {0, 1}, а 1(х, у, z) Е L. Если
а = (3 = 7 = 1, то /(ж, у, у) = ху ф Zi(ж, у), где fa Е L. Если « + /3 + 7 = 2
и, например, а = 0, то /(ж, ж, у) = ху ф 12(х, у), I2 Е L. Если а + (3 + 7 У
1 и, например, а = /3 = 0, то /(ж, т/, у) = ху ф 1з(х, у), I Е L.
§4
4.1. 1), 3), 4), 6), 8), 9) / € ТДТо. 2), 5), 7), 10) f £ ТДТо-
4.2. 1), 2) При четных п 2. 3), 4) При п = 2, 3 (mod 4).
5), 8) При всех п 2. 6), 7) При всех четных п.
9), 10) При всех натуральных п 3 (mod 4).
Указание. нечетно при п = 3 (mod 4).
4.3. 1) 22"-2. 2)-22". 3)2”. 4) 22”-1-1. 5)22"-1+2п. 6)2”.
7) 22"”1+2"-1. 8) 2"-1. 9) 22"-1 4-22"”1-1+2П-1.
10) | (22"”1 4-2П). 15)0.
4.4. Указание. Если f Е Та П 5, <т Е {0, 1}, то f Е ТУ П S; если f Е
Е ЬПУо ПТ1, то f Е S.
4.5. 1) ху = (ж V у) ф ж ф у. Далее см. пример 3.
2) Указание. Использовать пример 3 и то, что То* — Ть
3) Указание. Свести к 2).
4) Указание, ж ф у = жж ф у, ху = (ху ф z) ф z. Далее см. пример 3.
5) Полином всякой функции из То П Т± содержит нечетное число слагае-
мых и не содержит 1 в качестве свободного члена. С помощью функций ху,
х ф у ф z любой такой полином можно построить.
6) См. 5).
7) Указание. Всякий многочлен не выше первой степени и не содер-
жащий слагаемых, равных 1, является суперпозицией функции ж ф у.
4.6. 1) Да. Имеем 1 = жж ~ ж, ж ~ у = жж ~ у, х ф у ф z = (ж ~ у) ~ z,
ху = ху ~ 1. Далее см. задачу 4.5, 5).
2) А не является базисом в То, так как А С То П Т±.
3) А не является базисом в Т±, так как [{ж?/, ж ~ у}] = Т±.
4) А не является базисом в То П Ti, так как А С S.
5) Нет, так как [{ху, х ф у ф z}] = То П ТУ
6) А — базис в То C\Ti, см. задачу 4.5, 5) и задачу 1.2, 12).
4.7. 1) af = (ОНО), f = Ж1 ф Ж2.
Решение, /(ж2) Е L существенно зависит от Ж1 и ж 2 и /(00) = 0.
Отсюда / = Ж1 ф Ж2. Утверждение о том, что [{ж1 ф Ж2}] = То П L, доказано
в задаче 4.5, 7).
2) af = (10010110). 3) af = (01100110). 4) af = (1001).
6) otf = (ОНО ОНО ОНО 1001). 7) / = 1 ф Ж1 ф ж 2 Ф Ж4.
8) af = (00101011).
22 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
4.8. Пусть f ф Ti. Тогда либо a) f(x, ..., х) = 0, либо б) f(x, ..., х) =
= х. В случае а) имеем Р2 = [{0, 1, ху ф z}] С [{0} А Т±] С [{/} U 71]. В слу-
чае б) Р2 = [{ж, ху}] С [{/} U Ti].
4.9. 1) Пусть f G L\A. Тогда / существенно зависит более чем от одной
переменой. Подстановкой константы 0 из / можно получить функцию ви-
да х ф у ф а, а е {0, 1}. Но [{ж ф у ф а, ж}] = L.
3) Пусть f е L\A. Тогда /(ж, ..., ж) 6 {1, ж}. Далее утверждение сле-
дует из полноты в L систем {1, ж ф у}, {ж, ж ф у}.
4.10. 1) Пусть / G Tq\L. Из / отождествлением переменных можно
получить функцию </?, которая имеет вид либо ж?/фД(ж, у), либо т(ж, у,
z) ФЬ(ж, у, z), где Zi, I2 — линейные функции (см. задачу 3.24). В обоих
случаях То = [{ж ф у, </?}] С [То A L А {/}].
2) А = Tq A S не является предполным в То, так как А С То А Т±.
3) Да. 4) Нет. 5) Нет, так как, например, [{0} U А] Ф Tq.
§5
5.1. 1), 4), 6), 7) f <£ М. 2), 3), 5), 8) f Е М.
5.2. 1) Да, f = 0. 2) Да, f = 1. 3) Нет, f(x, 0) = х.
4) Да, / = Ж1 V Ж2Ж3. 5) Нет, /(1, 0, z) = z. 6), 7) Да. 8) Нет.
5.3. 1) а = (010), Д = (ПО). 2) а = (001), Д = (011).
5.4. 1), 3) Два вектора. 2), 5)-7) Три вектора. 8) 18.
5.5. 1), 2), 4)-6) Один вектор. 3), 7) Два вектора. 8) Три вектора.
5.6. 1) При п = 1 f(xn) € М. Если же п 2, то /(ж1, 1, 0, ..., 0) = Ж1,
и, следовательно, f М.
2) f(xn) G М при п = 2, 3, f(xn) £ М при п 4.
3) f(xn) монотонна при четных п и немонотонна при нечетных п.
4) При п = 1 и п = 3 функция монотонна, а при других п — нет.
5.7. При п = 1 такой функцией является Ж1. При п > 1 таких функций
не существует (см. задачу 5.9).
5.8. Если f ф М, то существуют наборы а = (cri, ..., ап) и т =
= (п, ..., Тп) такие, что а < т, но f(p-) > f(r). Если т) = 1, то
утверждение доказано. Пусть р(а, т) = k > 1. Рассмотрим произвольную
последовательность вида 7о>71, • • •, 7&? где 70 = а, Ук = т, 7^-1 < 7г
(а значит, />(7^-1, 7г) = 1)- Имеем /(70) = 1, f(Tk) — 0- Ясно, что сущест-
вует такое г, 0 < гчто /(7^-1) > ftpfi)- Остается положить а = 7г-1,
Р = 7г-
5.9. Вытекает из задачи 5.8.
5.11. Докажем первое из разложений. С использованием задачи 5.10
имеем /(жп) = хг/{ У хг^ = x^fl V ft) Ух, ft = Xift У ft.
5.12. Следует из задачи 5.11 по индукции.
5.13. Предположим противное. Пусть К = x±L — простой импликант
функции f 6 М. Тогда по определению К V f = f, LV f ф /.Из последне-
го соотношения вытекает существование набора а = (ai, «2, •.., ап) тако-
го, что L(a) = 1, /(а) = 0. Заметим, что сн = 1, так как иначе К (а) = 1,
/(а) = 0, что противоречит условию. Положим (3 = (0, «2, ..•, сап). Имеем
L(a) = L(/3) = К (fl) = f((3) = 1. Из /3 < а и f ЕМ следует, что f(a)
f(fl) = 1- Пришли к противоречию.
5.14. 1) е(/) = «(/) = 3. 2) е(/) = 2, n(/) = 1. 3) е(/) = п(/) = 4.
4) е(/) = 2\ n(/) = fc.
5.16. Пусть cl и /3 — нижние единицы функции f(xn) из М (тг 2).
Тогда |2V/| = 2^11 + — 2^а:П^Т. Ясно, что \Nf \ не является степенью
двойки при а (3 и /3 а, а значит, / ф S.
5.17. 1) Рассмотреть В^п^2у
2) Пусть М? = (/ е Рп: U В% С Nf, |J В% = ДГ-Д. Показать,
1 К>[п/2] К<[п/2] J
что МГ С Мп и |МГ| = 2^п"21\
5.18. В любой возрастающей цепи длины п куба Вп для каждого i =
= 0, 1, ..., п имеется вершина оц G В". Ясно, что всегда «о = 0. Для вы-
бора 51 имеется п возможностей, для выбора «2 при выбранной вершине
имеется п — 1 возможностей и т. д. Всего п\ возможностей.
2) Если а G В^, то число возрастающих цепей длины тг, содержащих ее,
равно произведению числа возрастающих цепей длины А;, соединяющих 0
с 5, и числа возрастающих цепей длины п — к, соединяющих а с 1. В силу
задачи 1) это число равно к\ (п — к)\.
5.19. 1) Пусть А — множество попарно несравнимых наборов из Вп и
Ai = А П BP, a Z(a) — множество цепей длины тг, содержащих вершину а.
Имеем
n!^|U Z(a)\ = £>(й)| = £ |Л|г!(п-г)!^
а£А а£А О^г^п
(х
[п/2])'
2) Указание. При i к п/2 справедливо неравенство И(п — г)!
> kl(n — к)\.
5.21 .1)0. 2)2. 3) п + 2. 4) тг. 5) 2п - 2.
5.22. 1) Если f е5ПМп, то f = xnf? V xn(f? )* и /Г € Мп~х. Отсю-
да вытекает оценка.
2) Если f 6 Мп, то f = xnfi V /о, ГДе /о € М, а £ {0? 1}- Функция f
полностью определяется парой (/”, ftf).
5.25. При тг = 4 в силу задачи 5.23 имеем |7И41 = 168, а |В4| = 256.
Далее утверждение вытекает из того, что | Мп | | Мп~112, а | Sn |j= | Sn~112.
5.26. Для определенности пусть к > I. Для произвольного (3 G А име-
ется ровно наборов а из С таких, что (3 < а. Для всякого а G С
существует не более наборов /3 из А таких, что /3 < а. Отсюда
И|(У;) ^|С|(г)-Сучетомтождества (9(Z) = (7)(Z-z) полУча-
ем требуемое неравенство.
5.27. Вытекает из задачи 5.26.
5.28. С использованием задачи 1) имеем
4k^ = (£) 52 (с+ 52 а//(й)
' f£Mn
= с+ 52 «/^(/) ^с+52
fEMn fEM
5.29. 1) Привести индукцию по числу переменных.
2) Провести индукцию по s с использованием задачи 1).
5.30. Вообще говоря, неверно. Рассмотреть /(ж3) = хз и наборы (110)
и (001).
2) Предположим противное. Пусть условия выполнены, но f ф М. Тог-
да существуют соседние наборы а, /3 такие, что а < /3 и /(а) > /(/3).
Пусть наборы а, /3 различаются в (п — к)-м разряде. Тогда у{(3) — v(a) +
+ 2к и по условию f(a) Пришли к противоречию.
5.31. Заметим, что F(ao, cei, •••, Л2та-1) — 1 тогда и только тогда,
когда выполнены условия задачи 5.30, 2), т.е. если вектор («о, • • •, «2"-1)
является вектором значений некоторой монотонной функции.
5.32. 1) Нельзя, так как / 6 То, а х ф То.
2), 3) Нельзя, так как / е S, a xz S. 4) Можно, f(x, 0, 1, 0) = х.
5) Можно, f(x, 0, z, 0) = xz. 6) Можно, f(x, у, z, z) = z.
5.33. Если f = 1, то f Е Ti П L. Если f = 0, то f Е То A L. Если
f {0, 1}, то /ЕТоПТь
5.34. 1 е м\т0, о е m\Ti, ху е m\s, ху е м\ь.
5.35. Нельзя, так как {ху, х V у, 1} С Ti, а 0 Ту.
5.36. Полнота системы {0, 1, ху, хУу} вытекает из задачи 5.12.
5.37. {0, 1, ху, х V у}, {0, 1, ху V z}, {0, 1, xyVyzV zx}.
5.40. 1) {0, ху, х V у}. 2) {1, ху, х V у}. 3) {0, 1, ж}.
5.41. Следует из задачи 5.36 и того, что 1* =0, 0* = 1, (жг/)* = ж V у,
(ж V уУ = ху.
5.42. Нельзя, так как f G S, д ф S.
5.46. 2) Функции из Мп A S для п 3 получаются из т(х3) отож-
дествлением переменных. Функции из Мп A S при п > 3 можно получать
из функций, зависящих от п — 1 переменных, с помощью разложения из
задачи 2.17.
5.47. Покажем, например, что То А М является предполным в М. Заме-
тим, что М\То = {1} и {0, ху, х V у} С То А М. Теперь [{1} U (7И А То)] =
= М вытекает из задачи 5.36.
§ 6
6.1. 1) Нет, А С То. 2) Да. 3) Нет, А С L. 4) Да.
5) Нет, ACS. 6) Да.
6.2. 1) Нет, А С L. 2) Нет, А С То. 3), 5) Да. 4) Нет, ACS.
6) Нет, А С М.
6.3. 1), 4), 6) Да. 2) Нет, А С S. 3) Нет, А С Ть 5) Нет, А С L.
6.4. 1) Нет, так как подсистема {х у, х ф у} полна.
2) Да. 3) Нет, А С Ту. 4) Нет, можно удалить ху V z.
6.5. 1) £i = {1, ж, /}, Б2 = {х, ху(х ф у), /}, где f = x®y®xy®
®yz ф zx.
2) Бх = {0, ж —> у}, Б2 = {ж ф у, х у}, Б3 = {О, ху ~ xz}, 7i =
= {х ф у, ху ~ xz}.
6.6. 1) Р2. 2)МГТХ. 3)(MAL)\S. 4) Г AS. 5) S. 6) L П S.
6.7. 1) а) {х | у}, {ж 4. у}-,
б) {,г Ф у. ,г Ч у}, {х ~ ху}, {ху, х —> у} и еще четыре базиса, по-
лучающиеся из них перестановкой переменных в функциях ху, х у;
в) {жх ф х2, хх ~ х2, ху}, {ж ф у, х ~ у, х V у}.
2) Указание. С использованием критериальной таблицы убедиться,
что нет базисов, отличных от перечисленных в задаче 1).
6.8. 1) Да, A U {0} — базис.
2) Нет, функция ж входит во все предполные классы.
3) Да, A U {1} — базис.
4) Нет, функции ху и ж V у принадлежат одним и тем же предполным
классам.
6.9. 1) Вообще говоря, нет. Рассмотреть Д = ж ф у ф z, f2 = Ж1 V х2 V жз.
2) Да, имеем f2 = 1 S, Д М U L U То U Тх. Система полна.
3) Вообще говоря, нет. Рассмотреть Д = ж у, Д = 1.
4) Вообще говоря, нет. Например, Д = ж, Д = 1.
6.10. 1) f(xn) не является шефферовой ни при каких п. Если п четно,
то f Е Ti. Если п нечетно, то f € S.
2) При четных п функция шефферова, при нечетных f Е Тх.
3) f(xn) шефферова при п = 2 и п > 3.
4) f(xn) шефферова при п = 4k + 1.
5) f(xn) шефферова при п = 2k и f(xn) Е S при п = 2k + 1.
6.11. Имеем 0 Ti U S, / £ 70 U М U L.
6.12. Указание. Среди трех функций, существенно зависящих от Ж1,
Ж2, нет самодвойственных и есть хотя бы одна нелинейная.
6.13. Ясно, что f £ Tq U Ti U S. Далее см. задачу 6.15.
6.14. В силу задачи 5.16 имеем f ф S. Ясно также, что f ф То UTX.
Далее см. задачу 6.15.
6.15. Из f Tq U Ti следует, что f Е М. Если бы f Е L, то из f Tq U
U 71 следовало бы, что f Е S, а это противоречит условию.
6.16. Пусть S(n) — число шефферовых функций f(xn). В силу зада-
чи 6.15 5(n) = |F2n\(T0 и Ti и 5)| = 22"-2 - 22"”1-1.
6.17. См. задачи 2.7 и 6.15.
6.18. Поскольку f S, найдутся наборы а = (ai, ..., ап) и /3 = (сП, ...
..., ап) такие, что f(a) = /(/3). Ясно, что а £ {0, 1}, ибо /(0) = 1, /(1) =
= 0. Заменим в /(ж1, ..., хп) Xi на ж, если ai = 1, и на у, если ai = 0.
Полученная таким образом функция д(х, у) шефферова.
6.19. 2) а) 1 Е А; б) ж Е А.
6.21. 1) А 2 7о, ибо |А| > |7о|. Аналогично А 2 Тх, А 2 S, А 2 L.
6.22. В силу задачи 3.24 из нелинейной функции f с помощью отождест-
вления переменных можно получить функцию 7(ж, у, z) вида ху ф Д(ж, у)
или вида т(ж, у, z) ф 12(х, у, z), где 1Х, 12 линейны. Поскольку f Е S,
то осуществима лишь вторая возможность. Ясно, что F Е S\(Tq U 71).
Тогда с точностью до перестановки переменных либо F = т(ж, у, ~z), либо
F = т(х, у, z). В обоих случаях в силу задачи 2.18 функция F, а значит,
и f(xn), образует базис в S.
6.23. Неверно. Например, ху G Tb\(7i U L U М U S), но в [{аф}] не вхо-
дит ни одна функция f(xn) такая, что \Nf\ >2"~'. например, х± V Х2-
6.24. 1) Неверно, рассмотреть f = ж V у. 2) Верно.
6.25. Да, например, f = xi ф ж2 Ф ж2жз Ф удовлетворяет условию
задачи и при этом f ф S U М U L.
6.26. 1), 2) Ш) = W- 3) 01(/) = {Жфт/, 0}. 4) W) = {z, zV?/}.
6.27. 1) 1, х, х, ху, х ф у. 2) 1, х. 3) х, х, ху, х ф у, х ~ у, х у.
4) хау?, ха V у3, а, /3 е {0, 1}, а (3, т(ху, у, z) ф д. у, д е {0, 1}.
5) 0, 1, ху, х V у, ху, хМу.
6.28. 1), 2), 4) Да. 3), 5) Нет.
6.29. 1) Да. 2) Нет, поскольку {ху ф у, 1} — также базис в Р2. 3) Да.
4) Нет, ибо {ж V у, ху} С $l(xy V zt) и {0, 1, ху, х V у} — базис в М.
5) Да.
6.30. Если {/} — простой базис, то функция f шефферова и не может
зависеть существенно более чем от двух переменных, так как в противном
случае в силу задачи 6.18 имели бы pl(/)] = Р2-
Глава III
§1
1. 1. 1) Рассмотреть два случая: х = к — 1 и х к — 1.
2)-7) Рассмотреть два случая: х у и х < у.
12) Рассмотреть два случая: х = к — 2 и х к — 2.
13) Рассмотреть два случая: х = к — 1 и х к — 1.
14) Рассмотреть пять случаев:
%) х = у = к — 1 ; б) х = к — 1, у к — 1; в) х к — 1, у = к — 1;
г) х к — 1, у к — 1, я) х к — 1, у к — 1, х > у.
15) Рассмотреть четыре случая:
а) х = у = к — 1 ’ б) х = к — 1, у ф к — 1; в) х к — 1, у = к — 1;
г) х ф к — 1, у ф к — 1.
16), 17) Рассмотреть три случая:
дЗ) х = к — 1 ; б) х к — 1, х у; в) х ± к — 1, х < у.
20) Рассмотреть три случая: ж = 0, х = 1 и х 2.
23) Рассмотреть три случая: х = к — 1, х = к — 2 и х к — 3.
1.2. 2) ~ х = тах(7о(ж), min (х, Л(ж))).
з) /1(®)=тах(1, Л(®2)), Л(ж) = J1(/1(®)), /г (ж) = Jo(«) и
х = max (Jo (ж), Ji(#)).
5) Пусть х-у + х — у23~1 = у). Имеем <р(х, х) — х, <р(х, х) = 0.
Далее получаем все константы и а) при к = 3 у?(2, х) = ji(x\,
б) при к = 5 </?(0, х) = 1 — х2, а значит, можно построить функции —х2,
ж4, х + 4(= х — 1) и ji(x) = 1 — (ж — I)4.
8) ~ ж = max (Jo(ж), Jo (ж+ 2), 2Ji(a;)).
9) j4(x) = ((^2((ж - 1) - 1) - 1) - 1) - 1) - 1.
12) Л-1(ж) = (... ((ж — (~ ж)) — (~ ж)) — ... — (~ ж)) — (~ ж) (~ ж вычита-
ется к — 2 раз).
15) ж = (~ ((~ ж) — 1)) — Л;-1(ж), а Л-х(ж) можно представить форму-
лой над множеством {~ ж, ж — у} (см. 12)).
1.4. 1) Взять у = т — 1. 2) Рассмотреть функцию 1 — 2ж.
1.5. Полезно воспользоваться соотношением ж D у = min (к — 1, у —
— ж + к — 1), где в выражении у — ж + к — 1 сложение и вычитание обыч-
ные, а не по модулю к. Индукцией по i можно доказать, что ЛДж) =
= min (к — 1, i(k — 1 — ж)), i = 1, 2, ..., к — 1.
1.6. к ± 3, 4, 6, 12.
1.7. При к = 4, 6, 8, 9, 10 число различных функций указанного вида
равно соответственно 3, 2, 4, 7, 4.
1.8. jk-i(x) = Л-1(ж) + ... + Л-1(ж) (к - 1 слагаемых); ji(x) =
= jk-i(x - i - 1), 0 < i к - 2. Если р(ж) € Р^\ то д(х) = ^(0)>о(ж) + ...
... + g(i)ji(x) + ... + д(к — l)jk-i(x). Остается учесть, что lji(x) —
= ji(x) + ... + ji(x) (Z слагаемых).
1.10. Д2 произвольное и (1), если ai = 0, то ао произвольное, (2), ес-
ли ai 7^ 0, то либо ао = ai, либо ао = 2«i (т.е. если а\ ф 0, то ао ф 0).
1.11. 1) ж = max (min (1, Jo (ж)), 71(ж)) = jo(^) + 2еУ1(ж).
5) Л(ж2+ж) = тах(Л(ж), J3(®)) = 4Ji(®) + 4j3(®).
10) x — у2 = max (min (1, Ji(«), Jo(?/))> min(l, J2(^), Ji(t/)),
min(l, J2(«/)), mm(J2(«), Jo(?/))) =
= Ji(«b'o(t/) + >2 (я?) Ji (t/) + J2(®)j2(i/) + 2j2(s)J0(y).
§2
2.1. 1) Положим T({0, 2}) = T и ^({0, 1}, {2}) = %;
a) ~ x € T и / в) J2(s) € T П eU; д) x + у ф T и °U.
2) ПоложимТ({1, 3}) = T, %({0, 1}, {2}, {3}) = °Ui, °lZ({0, 3}, {1, 2}) =
= eU.2', в) Jo(a:) -/- T, € °Ui и eU.2', д) max (ж, y) 6 T П °ZZi и °U2',
e) x2 -у ET, и
2.2. 3) g = {1}, D = {{0}, {1, 2}}.
4) g = {2}, подходящее разбиение подобрать нельзя.
8) g = {0}, D = {{0, 1, 4}, {2, 3}}.
11) g = {0, 1}, D = {{0, 1}, {2, ..., к - 1}}.
12) g = {0, fc —1}; D = {{0, 2}, {1}} при к = 3 и D = {{0, к - 1},
{1, 2, ..., к — 2}} при fc 4.
2.3. 2) 2к - 1.
3) Если g = 0, то |(T(g))| = кк . Если 1 Si т = |g| С к — 1, то
|(T(g))W| =ттПккП~тП.
2.4. 2) В Рз существует 4 различных класса типа °1Z(D), если считать
и все множество Рз. В Р4 их 14, а в Р5 их 51.
3) Пусть (Н, /2, ..., in) — набор чисел из множества {1, 2, ..., s}. Всего
таких наборов sn. Упорядочим их в лексикографическом порядке и пере-
нумеруем, приписав номера от 1 до sn. Набор (1, 1, ..., 1, 1) будет иметь
номер 1, набор (1, 1, ..., 1, 2) — номер 2, набор (1, 1, ..., 1, 2, 1) — но-
мер s + 1 и т.д. Если набор (Н, г*2, .in) имеет номер т, то
число • |gj2| • ... • |gjn| обозначим через Jm. Число функций в мно-
жестве Pk(Xn), сохраняющих разбиение D = {ёх, §2, ..., равно
|%'i ’ 1^2 l^2 ' • • • ' \&jr \dr i где r = sn и суммирование ведется
0'1,72, •••, Jr)
по всем наборам длины sn, составленным из чисел, принадлежащих мно-
жеству {1, 2, ..., s}.
2.5. 1) Пусть dm обозначает число |^| • ... • |§гте|, где т — номер
набора в лексикографическом упорядочении множества всех
наборов длины п, состоящих из чисел 1 и 2 (как в задаче 2.4, 3), если s = 2).
Число функций из Pk(Xn), входящих в T'(S)\6l/(Z>), при п 1 равно I1
(ккП~1П - 53 |SJ2|rf2 ...•|gJr|d”l где g1 = g, g2 = w, * = |8|,
\ (j2, • • •, Jr) /
г = 2п и сумма берется по всем наборам длины 2п — 1, составленным из
чисел 1 и 2. Если п = 0, то таких функций нет.
2) |(%(Z))\T(g))(0)| = \Ек\£\ = к-l, где I = |g|. Если п > 1, то
|(al/(D)\T(g))(”)| = (к — Г)1" 52 lW2 (*, г, Ji и dm такие
(J2 , • • •, Jr )
же, как в задаче 1)).
3) к, если п = 0, и I1 кк ~1 + (к — Г)п |ё7-2 |d2 • ... • |§yr \dr, ес-
ли П 1. (J2 ,•••, Jr )
2.6. 2) (2!)(/с — 3)!.
2.7. 3) х + ж3 — ж4. 6) х2у2. 7) ху2 + ху + 2х.
к-2
9) (к - 1)(1 - (ж + 2)*-1) = 52 (fc 7
г О
к-2
10) 1 - (ж - х2 - 2)fe-1 = 52 (-l)i+1(fc 7 - a;)*-1-*.
г=0
2.8. 1) Достаточно реализовать полиномом функцию 2Jo(a?), ибо
2ji(x) = 2jo(x — г) (г = 1, 2, 3), 2<уо(ж) = 2 + х + х3 = 2 + Зх + Зх3 = 2 + х +
+ 2ж2 + Зх3 = 2 + Зх + 2ж2 + ж3.
2) Если /(ж) G Fi и /(F4) С {0, 2}, то /(ж) можно представить в
з
виде • 2ji(x), где bi е {0, 1} (г = 0, 1, 2, 3). Если f(E±) С {1, 3}, то
г=0
рассмотреть функцию д(х) = /(ж) — 1.
2.9. Функции /(ж) — /2(ж) и /(ж) — /3(ж) принимают значения только
из множества {0, 2}.
2.10. 64. В F4 справедливы соотношения 2ж3 = 2ж2 = 2ж и Зж3 = 2ж + ж3.
2.11. 1) Сравнить друг с другом функции ж, ж2 и ж3 из Рв-
2) В Рв выполняется соотношение Зж" = Зж.
3) Либо b = 2 и а = 2, 5, либо b = 4 и а = 1, 4.
2.12. 1), 2), 4) Не представима. 3), 5) Представима.
2.13. 2) Т({1, 2}). 3) %({0, 1}, {2, ..., к - 1}). 5) Т({0, к - 1}).
9) Т({1, fc-l}). 13)%({0}, {1, 2, 15) Т({1, fc-2}).
2.14. 1) Такой подсистемой является множество {Jo(ж), х + у}.
2) {0, х + у, х у} С Т({0}), Ь'о(ж), ji(®), Л-1(®)} С Т({0, 1}),
{1, 2, fc-1} СТ({1, 2,
2.15. 1) 4i\{Q С Т(Ек\{г}), i = 1, ..., к - 2.
2) Ai\{0, к- 1, 70(ж), Л-1(ж)}.
2.16. 1) Полна. 2)-4) Не полна.
2.17. 1) Полноту в Sk данной системы можно доказать так: индук-
цией по i (i 1) установить, что любая функция д из Sk, удовлетворяю-
щая условию д(х) = х при х > г, порождается функциями из множест-
ва {Ло1(ж), ..., Ло^(ж)}; затем положить i = к — 1.
2) Так как Тгог(^г,гн-1 (^Ог(ж))) = ho,i+i(x) (г = 1, 2, ..., к — 2), то дан-
ная система порождает каждую функцию из задачи 1).
3) Принять во внимание, что Ь1Л+\(х + (к — 1)) + 1 = (ж) (г =
= 0, 1, 2, ..., к-3).
2.18. Данная система порождает множество Sk- Используя функ-
цию можно построить любую функцию, выпускающую ровно
одно значение (из Ek)- Затем, предполагая, что имеются все функции,
выпускающие не более i значений (1 iк — 2), продемонстрировать,
как строится произвольная функция из Р^, выпускающая i + 1 значений.
2.19. 1), 4), 13) Породить систему Россера- Туркетта.
2), 11) Породить систему Поста.
3) Если к нечетное, то породить систему Поста. При четном к породить
систему Россера-Туркетта.
5), 8)—10), 12), 15) Породить заведомо полную систему {Jo (ж), х + у} —
см. задачу 2.14, 1).
6) Полноту этой системы можно установить методом, подобным методу
доказательства полноты системы Поста.
7), 14), 16) Породить систему {х, min (ж, у)}.
2.20. 2) Функции х + у2 и ху + 1 существенные. Строим функции ж,
Л01(ж) и x + jo(x): J2(j2(^)) = 0, х -0 + 1 = 1, х • 1 + 1 = ж, j2(x) =
= j2(x + 2) = Jo(z), х + О’о(ж))2 = х + j0(x) (((ж + 1) + 1) + ... + 1) = х - 1
(единица прибавляется к — 1 раз), jo(x — 1) = Ji(#), hoi(x) = х + jo(x) +
+ (Д(Ж))2 + ..:+ (Д(ж))2.
к — 1 раз
8) Исходная функция, очевидно, существенная. Обозначим ее че-
рез -0(ж, у). Имеем -0(ж, х) = ж, т/>(ж, х) = х • jo(x — х) + (ж — ji(x))jo(x) +
+ ж • j0(x) = Л-1(ж), Л-1(Л-1(ж)) = 0, ?/г(0, ж) = j0(x) + ж, ^(ж, 0) =
= hoi (ж). Далее применяем теорему С. Пикар.
2.21. 1), 3), 5), 8), 10) Полна при нечетных к и не полна при четных к.
2), 4), 6), 7), 9), 14) Не полна.
11) Полна при четных к и не полна при нечетных к.
12), 13) Полна при к = 3, не полна при к 4. 15) Полна.
2.22. 2) При к простом достаточно построить систему {Jo(ж), ж + у} —
см. задачу 2.14, 1). Имеем ж — ж + 1 = 1, I2 —1 = 0, ж — 0 + 1 = ж + 1,
ж — (у + 1) + 1 = ж — у, 1 • ж2 = ж2, ж2-ж2=ж4, ..., хк~3 • ж2 = хк~г
(к — 1 — четное число, ибо к — простое число, не меньшее 3), 1 — хк~[ =
= Jo(^), 0 - ж = -ж, ж - (-у) = хГу-
9) При к простом строим функции 1, х + у, х • у. Имеем х • х — ж2 = О,
0 4-04-1 = 1, ж + 0 + 1= ж + 1, (ж 4- 1) 4- 1 4- ... 4- 1 = ж — 1 (единица при-
бавляется к — 1 раз), х + (у — 1) + 1 = х + у, х(х + у) — ж2 = х • у.
2.23. 2) Рассмотреть систему Поста.
4) Добавляя, например, функцию ж, легко получить систему Поста.
7) Непосредственно применить критерий полноты класса полиномов
в Рк-
2.24. 1) При к = 4, 6 можно рассмотреть функцию f(x + 1, х).
3) При к = 4 можно рассмотреть любую из функций (/(0, ж))2,
(/(ж + 1, ж))2 или 1 — /(2, ж), а при к = 6 — функцию 1 — /(4, х).
2.25. 1) {к - 1, _7о(ж), х - у}. 2) 17о(ж), х - у2}.
3) {~ х, min (ж, у), х + у}.
4) Если к — нечетное число, то базисами являются, например, под-
системы {х + 2, max ((х, у)} и {ж + 2, х — у}. Если к — четное число, то
базисом является множество {к — 1, х + 2, х — у}.
5) Ь'о(®), х + у2}.
2.26. Учесть, что {0, 1, ..., к — 1, Jk-i(x), min (ж, у), max (ж, у)} С
С °1/({0, 1, ..., к — 2}, {к — 1}), min (Л(ж), Л-1(ж)) = 0 (0 i к — 2) и
max (Jo(Jo(ж)), Jo(#)) = к — 1.
2.28. 2) Из задачи 1) вытекает, что число таких предполных классов
в Рк не больше, чем число всех подмножеств множества Р^ • Но \Р^ | = кк.
Значит, мощность множества всех подмножеств из Р^ равна 2к .
2.29. 2) Обозначим функцию Д(ж) • jz(y) через <р(х, у). Имеем
<р(ж, ж) = 0, <р(0, ж) = <р(ж, 0) = у?(0, 0) = 0. Значит, в РР содержится толь-
ко одна функция, зависящая не более чем от одной переменной, и эта
функция — тождественный 0.
2.32. Подсчитать число несущественных функций в Р^1' и полученное
выражение вычесть из кк . Число несущественных функций в Р^ рав-
к-1
но (fc!)-гс + У (-1)’+1(/J •
г = 1
Глава IV
§1
1. 1. 1), 3), 4), 9), 11), 12) Является. 2), 5)—8), 10) Не является.
13) Является, так как при 7 t 13 выполняются неравенства 1
20t - t2 - 90 t.
14) Не является, ибо ?/(9) = ж(10).
1.2 . 1) Не является, так как /(0ш) = 0ш, но /(01 [0]^) = 1ш, т.е. первый
символ выходного слова не определяется однозначно первым символом
входного слова.
2) Является; /(ж^) = ж(1) ж(2)... x(t)...
3) Не является. Рассмотреть /(0w) и /(0 [l]w).
4), 7), 10), 12) Является.
5), 6), 8), 9), 11) Не является.
13) Является; /(ж^) = 1ж(1) 1ж(3) 1ж(5)...
14) Является; ф(хш) = ж(1) 0ж(3) 0ж(5)..., ибо 1/3 = О,
(01) = 0,010101...
15) Является; f(xw) = 0^, так как 1/7 = 0, (001) = 0,001001001 ...
16) Является.
1.3. 1) Можно; р(жш) = Ош. 2) Можно; д(хш) = ж(1) ж(2)... x(t)...
3) Можно; д(хш) = 0хш. 4), 5), 9) Можно.
6), 8) Нельзя; рассмотреть входные слова х“ = 1 [0]^ и ж^ = 1^.
7) Можно; д(хш) = 0[ж(1) &ж(2)]У
10) Можно; д(хш) = 0ж(1) у(3)... y(t), ..., где y(t) =
= x(t — 1) ® ж(1) • ж(2) ® 1.
1.4. 1) r(/) = 1, г(д) = 4. 2) r(/) = 1, г(д) = 5. 3) г(/) = 4, г(д) = 5.
4) r(f) = 2, г(д) = 3.
5) г(/) = 2, г(д) = 3, ибо 2/3 = 0, (10) = 0,101010 ...
6) r(/) = г(д) = °°ч так как 1/л/2 — иррациональное число и его двоич-
ное разложение является непериодической дробью.
9) »"(/) = 2, г(з) = 4.
1.5. 1) Пусть жо, ci, г/i, в2, ..., е7-1, Vj-i ej — вершины и ребра
ориентированной цепи Z, начинающейся в корне дерева и заканчивающейся
тем ребром, где изменена метка. Если вершина дерева не принадлежит
этой цепи, то после изменения метки на ребре ej она (и растущее из нее
поддерево) останется в том же классе эквивалентности, в котором нахо-
дилась раньше. Новые классы эквивалентности могут возникнуть только
при «распределении» вершин, содержащихся в цепи Z. Следовательно, вес
первоначальной функции может измениться не более чем на j. Дости-
жимость указанной оценки вытекает, например, из рассмотрения дерева,
соответствующего функции ф(хш>) = 0^.
2) k(f) - r(ff)| 2j - 1.
1.6. 1), 2), 4)—6), 8)—10) Эквивалентны. 3), 7) Не эквивалентны.
1.7. 1) а) Не эквивалентны, б) Эквивалентны.
2) а), в) Не эквивалентны, б) Эквивалентны.
3) а), б) Эквивалентны, в) Не эквивалентны.
4) а), в) Эквивалентны, б) Не эквивалентны.
5) а), в) Не эквивалентны, б) Эквивалентны.
6) а), в) Эквивалентны, б) Не эквивалентны.
7) а) Эквивалентны, б) Не эквивалентны.
8) а), в) Не эквивалентны, б) Эквивалентны.
Указание, /(xw) = 01 [1100]^.
9) а) Не эквивалентны, б), в) Эквивалентны.
Указание, /(xw) = 11 [010]ш.
10) а) Эквивалентны.
Указание. /~2(ж(1) ж (2)...) = z(l) z(2)... z(t), где
если 1 + 0 + ж(1) + ... + x(t) < (t + 2)/2 = t/2 + 1,
11 в ином случае,
И1) ж(2) • • •) = «(1) «(2) • • • v(t) • • •, где
, , _ Гж(£), если 0 + 0 + 1 + 1+ ж(1) + ... + x(t) < (t 4- 4)/2 = t/2 + 2,
| 1 в ином случае.
и 5 на слове 0 ш.
J ж2
t-i
у (1 -®(г))« <t-x(t)
i = l
10) б) Эквивалентны.
в) Не эквивалентны. Рассмотреть функции /~4
11) а), б) Не эквивалентны, в) Эквивалентны.
12) а) Не эквивалентны, б), в) Эквивалентны.
Указание. Если х(t — 1) = 0, то неравенство
выполняется только тогда, когда все х(г) при г = 1, 2, ..., t — 2, t равны 1.
13) а), б) Не эквивалентны. Рассмотреть остаточные функции на сло-
ве 0[l]w.
в) Эквивалентны.
1.8. 1) Указание. Для любой остаточной функции р функции /о
имеем </>(0ж(2)...) = у(1)... и </>(1ж(2)...) = у(1)...
2) Указание. Всякая остаточная функция р функции /о, отличная от
самой функции /о, обладает следующим свойством: </>(0ж(2)...) = 1ж(2)...
5) Указание. Если р — остаточная функция функции /о, то
<p(0w) = 0w. Сравнить с /1(0^).
6) Указание. При s 2 остаточная функция р функции /о, порож-
денная словом Xs, удовлетворяет условию </>(0ж(2)...) = </>(1ж(2)...).
1.9. 2) Можно взять остаточную функцию функции /о, порожденную
произвольным словом длины 2.
5) Исследовать остаточную функцию функции /о, порожденную сло-
вом х2 = 11.
6) Рассмотреть остаточную функцию функции /о, порожденную сло-
вом х3 = 011.
8) /0(^) = 00[0111]~, /1(£ш) = [1101]^.
1.10. 1), 2), 4), 5), 11), 12), 20) О.-д. функция веса 2.
3), 7)—10), 21) О.-д. функция веса 3. 6), 18) О.-д. функция веса 4.
13), 16) Функция не является ограниченно-детерминированной.
14), 19) О.-д. функция веса 5. 15) Вес функции равен 7.
17) Вес функции равен 2Z.
1.11. 1) Порождается булевой функцией д(х) = 1.
2), 3) Порожденной не является.
4) Порождается булевой функцией д(х) = х.
5) Является порожденной. 6), 7) Порожденной не является.
8) Порождается парой булевых функций: #1(ж) = 0 и #2 (ж) = 1.
9) Порождается парой булевых функций: дх(х) = х и дз(ж) = х.
10) Порожденной не является.
11) Порождается булевой функцией д(х±, хз) = Ж1 —> хз-
1.13. 1) а) У функции /(жш) попарно неэквивалентные остаточные
функции исчерпываются функциями /(ж^), f%i (хш) (г = 1, ..., Z), где хг —
произвольное входное слово длины i. Вес каждой из этих I + 1 функций
равен I + 1.
2) б) Указание. Если Xs — входное слово длины s I, то
/^(ж") = 1-.
3) а) Соответствующая остаточная функция веса г (г = 3, ..., I + 2)
порождается входным словом iz-r+2 (если г = I + 2, то слово пустое).
б) Один из бесконечных классов эквивалентности состоит из функций,
тождественно равных О6'’’, а другой — из функций вида f: y(t) = ж(1) &
& ж(2) & ... & ж(7), t 1.
4) а) См. задачу 3), б). Представители бесконечных классов эквивалент-
ности такие же.
5) а) Элементы одного бесконечного класса эквивалентности порожда-
ются словами вида О1 Xs ($ ^ 0), а другого — словами вида 7Ш, отличными
от 0ш (m = 1, ..., Z), и еще словами х{х™, где х{ — слово, отличное от 0z,
а х™ — произвольное слово длины п 1.
б) Кроме остаточных функций из двух бесконечных классов эквивалент-
ности у функции /(ж^) имеются еще остаточные функции, порождаемые
словами 0 s (s = 0, 1, ..., I — 1). Эти функции попарно не эквивалентны, и
если $i > S2, то /qS1 является остаточной функцией функции /gS2.
в) Следует из а) и б).
1.14. 1), 2), 4), 5) Два бесконечных класса эквивалентности и один
одноэлементный. Вес функции f равен 3.
3), 8) Три бесконечных класса эквивалентности и один одноэлементный.
6), 7) Три бесконечных класса эквивалентности.
9) Семь бесконечных классов эквивалентности и три одноэлементных.
10) Четыре бесконечных класса эквивалентности и три одноэле-
ментных.
1.1 5. 1), 11) Автономная функция веса 2.
2), 3) Автономная порожденная функция.
4) Автономная функция веса 3. 5) Автономной не является.
6) Автономная функция бесконечного веса.
7) Автономная функция веса 21.
8)—10) Автономная порожденная функция.
1.17. 2) Рассмотреть функцию f(x“) = Ох Г Ее вес равен 2. Вершина
ранга 2, соответствующая входному слову I2 = 11, не эквивалентна корню
дерева (вершине ранга 0), так как /72 (.7^) = lx".
1.19. 1) Мощность гиперконтинуума (2е).
2) Мощность континуума (с). 3) Множество счетно-бесконечное.
4) Мощность континуума. 5) 22 . 6) 42 -1.
7) Мощность континуума. 8) Множество счетно-бесконечное.
9) Мощность континуума. 10) Мощность каждого из множеств равна с.
§ 2
2. 1. 1) y(t) = q(t - 1) -> ж(4), q(t) = x(t), g(0) = 0.
2) ?/(0 = q(t ~ 1), g(<) = x(t) I q(t - 1), g(0) = 0.
3) Диаграмма Мура изображена на рис. 0.4.1, а.
4) y(t) = ®(4) • gi(t - 1) -> g2(i - 1), gi(t) = qi(t - 1) V q2(t - 1),
g2(t) = ®(t) -91(4 - 1) V (gi(4 - 1) ~ g2(t - 1)), Qi(0) = g2(0) = 0.
5) Рис. 0.4.1, 6. 6) Рис. 0.4.1, в. 7) Рис. 0.4.1, г. 8) Рис. 0.4.1, д.
9) Рис. 0.4.1, е. 10) Рис. 0.4.1, ж. 12) Рис. 0.4.1, з.
13)—15), 22) Указание. Вес функции равен 2.
16), 18), 19), 24), 28), 35) Указание. Вес функции равен 3.
Рис. 0.4.1
17), 25), 30), 37) Указание. Вес функции равен 6.
21), 23), 27) Указание. Вес функции равен 4.
32), 34), 36) Указание. Вес функции равен 5.
39), 40) Указание. Вес функции равен 7.
2.2 . 1) Рис. 0.4.2, а. 2) Рис. 0.4.2, б.
3) Эквивалентны вершины 1 и 2. Рис. 0.4.2, в.
4) Рис. 0.4.2, г. 5) Рис. 0.4.2, д.
6) Эквивалентны вершины 1, 2 и 3; рис. 0.4.2, е.
7) Эквивалентны вершины в парах {0, 2} и {1, 3}; см. рис. 0.4.2, ж.
8) Эквивалентны вершины в тройках {О, 3, 5} и {1, 2, 4}; рис. 0.4.2, з.
9) Рис. 0.4.2, и. 10) Рис. 0.4.2, к. 11) Рис. 0.4.2, л.
2.3 . 1) Добавить дугу (1, 0) с меткой 0(0).
4) Добавить дугу (О, 1) с меткой 0(1) и дугу (3, 0) с меткой 1(0).
7) Добавить дугу (2, 3) с меткой 1(0).
2.4. 1) Вес равен 1. 2), 5) Вес равен 4. 3), 7), 8) Вес равен 2.
4), 6), 9), 10) Вес равен 3.
2.5. 1) Подходящая диаграмма изображена на рис. 0.4.3, а.
2) Рис. 0.4.3, б. 3) Рис. 0.4.3, в. 4) Рис. 0.4.3, г. 5) Рис. 0.4.4, а.
6) Рис. 0.4.4, б. 7) Рис. 0.4.4, в. 8) Рис. 0.4.3, г.
1(1) 0(0) 1(1) 0(0) 0(1)
О 0(1) Ql(l) О 0(1) Ql(l) *0(0),1(1) О
*0 3 *0,2) 1 о (1,2,3)
г д е
Рис. 0.4.3
Рис. 0.4.4
2. 6. 1) Число различных диаграмм Мура, получающихся из данного
ориентированного графа, равно 32. Приведенными являются 24 диаграммы;
они соответствуют различным о.-д. функциям из Р^’од-
2) Всего 64 диаграммы Мура, 16 диаграмм не являются приведенными,
48 соответствуют различным о.-д. функциям веса 2 из Р^’од-
3) Всего 32 диаграммы, 24 приведенные, и все они задают различные
о.-д. функции из Р21,од-
4) 16 различных диаграмм, приведенных 12, и все они соответствуют
различным о.-д. функциям из Р^’од-
5) 512 различных диаграмм, 480 приведенных (они соответствуют раз-
ным о.-д. функциям веса 3 из Р2 ’од)-
6) 256 различных диаграмм, 240 приведенных (все они соответствуют
разным о.-д. функциям из Р21’оД)-
7), 8) 512 различных диаграмм, 432 приведенных (все они соответству-
ют разным о.-д. функциям веса 3 из Р2’оД).
9) 512 различных диаграмм, приведенных 336. Число разных о.-д. функ-
ций из Р2’оД, задаваемых этими приведенными диаграммами, равно 168.
10) 64 различные диаграммы, приведенных 60, и все они соответствуют
разным о.-д. функциям веса 3 из Р2’оД.
11) 4096 (= 212) различных диаграмм; приведенных 4032 (они задают
попарно различные о.-д. функции веса 4 из Р2’оД).
12) 512 различных диаграмм, приведенных 504 (они соответствуют
разным о.-д. функциям веса 4 из ’*д).
2.7 . 2) 144 о.-д. функции.
2. 8.1) y(t) = q^t - 1) V x(t~)q2(t - 1),
Qi(t) =ж(1)д2(1- 1),
Q2(t) = x(t)q2(t- 1),
gi(0) = 1, g2(0) = 0.
Вес суперпозиции /1(/2) равен 2, она может быть задана следующими
каноническими уравнениями и начальными условиями:
3/(0 = ®(0 q(t - 1), q(t) = x(t~), g(0) = 1,
т.е. она «функционирует» так же, как функция Д.
2) Указание. Вес суперпозиции равен 3.
3) Суперпозиция является функцией веса 1.
5) Суперпозиция Д (/2) имеет вес 2 и может быть задана следующими
каноническими уравнениями и начальным условием:
y(i) = - 1), q(t) = x(t) q(t - 1), <?(0) = 0.
6) Указание. Вес суперпозиции равен 4.
7) Указание. Суперпозиция имеет вес 2.
8) Указание. Вес суперпозиции равен 5.
2. 9. 1) Указание. Получается о.-д. функция веса 2.
2) Указание. Получается функция, порожденная отрицанием.
7) а)-в) Указание. Получается функция веса 2.
8) а) Указание. Получается функция веса 3.
б) Указание. Получается функция веса 4.
2.10. 1) Вес равен 1. 2) а) Вес 2. б) Вес 1. 3) а), в) Вес 1. б) Вес 2.
4) а), б) Вес 4. 5) а) Вес 2. б) Вес 1. 6) а), в) Вес 1. б) Вес 2.
7) а) Вес 4. б), д) Вес 2. в), г) Вес 3.
(В д) эквивалентны вершины в парах (00, 01) и (10, 11).)
2.11. 1) а) Вес равен 4. б) Вес 2. 2) а), б) Вес 3.
3) а) Вес 1. б), в) Вес 2. 4) а)-в) Вес 2.
2.12. 1), 4) Вес равен 4. 2) Вес 2. 3) Вес 3. 5) Вес 7.
2.13. 1) Указание. Воспользоваться схемой для функции /2 из при-
мера 10, б).
12) Указание. Вес функции равен 3.
15) Канонические уравнения и начальные условия для некоторого до-
определения функции можно записать в следующем виде:
y(t) = x(f) ~ q2(t - 1),
qi(t) = x(t) q1(t - 1) • q2(t - 1),
9г(0 = x(t) • q^t - 1) • q2(t - 1),
<71(0)= д2(0) = 0.
2.14. 3) ?/(0 = <n(t -1) - 0, 91(0 = q2(t) = qi(t - 1), ?i(0)=g2(0) = 0;
7) 3/1(0 = x2(t) qi(t - 1) V q2(t - 1), 1/2(0 = ®i(0 ’ 9з(* - 1), 91(0 = x2(t) qi(t - 1) V q2(t - 1), q2(t) = ®i(t), q3(t) = x2(t), 91(0) =92(0) = 93(0) =0.
23 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
2.15. 1) Реализуемая схемой о.-д. функция может быть описана сле-
дующими каноническими уравнениями и начальным условием:
t/(t) = x(t) q(t - 1),
g(t) = ar(t),
g(0) = 0.
Новая схема изображена на рис. 0.4.5, а.
2)
y(t) =®(f) Vq(<- 1),
?(*) = 1,
«(0) = 0.
Схема с выходом y(t) = x(t)q(t — 1) приведена на рис. 0.4.5, б.
2.16. 2) а) Можно взять схему, изображенную на рис. 0.4.6, а. Она
реализует функцию /=о(ж), порожденную тождественным путем.
б) См., например, схему на рис. 0.4.6, б. Она реализует функцию
vKv’s (•••%(«)•••))•
в) Для г = 1 и г = 4 соответствующие схемы приведены в задачах а)
Рис. 0.4.6
б
у(0
и б). Для г = 2 подходит любая схема из задачи 2.15, а для г = 3 — схе-
мы из задачи 2.13 (см. 12), 14), 15)).
2.17. 1), 2) Единичная задержка строится из /2 отождествлением
переменных.
3) Получить из fi функцию /=о(ж), порожденную тождественным пу-
тем, и подставить ее подходящим образом в /2.
4) Рассмотреть функции </?1(ж) = Д(ж, ж, ж), ф2(х) = /1(</п(ж)), ^з(ж) =
= /2(^1 (®), X, </?2(®)) и <р4(х, у) = f2(x, у, <Р1(х)).
5) Рассмотреть функции tfi(ж) = /2(ж, ж), ^2 (ж, у) = fi(x, у, *ф1(хУ) и
«/’з(ж) = f2(x, ^1(«))-
6) Единичная задержка и функция, порожденная стрелкой Пирса, стро-
ятся так: 9?1(ж) = /2(ж, ж, ж), = /1 (ж, 9?1(ж)), <£з(ж, у) = fi(x, ц^у)),
У>1(х) = fi(x, х), 9?5(ж) = /2(</?1(ж), </м(я), ж), Рб(х) = ^(^(^(ж))).
7) Нужные функции получаются так: 'ifi(x) = fi(x, х), фъ^х) =
= ’ЫЛ(ж))-
8) Из функции fi получить функцию /=1(ж), порожденную тождествен-
ной единицей, и подходящим образом подставить ее в А-
9) Из fi получить функцию /=о(ж) и подставить ее в /2-
10) Построив из /2 функцию /=о(ж) и подставляя ее в /2, получаем
(на одном из выходов) функцию /=о(ж). Затем надо рассмотреть функ-
ЦИЮ /2(/=о(«), «).
11) Вводя обратную связь по переменным .7:3 и у2 в функции /2, полу-
чаем функцию, порожденную конъюнкцией. Затем надо построить функ-
цию /=о(ж) и рассмотреть суперпозицию /2 (А (ж), /1(ж), /=о(ж)).
12) Подставляя в /2 подходящим образом функцию /1(ж, ж), получаем
функцию f=i(x). Задержку можно построить, вводя обратную связь в функ-
ции /2 по переменным х 2 и у2.
13) Из fi построить /=о(ж). Затем подставить ее в /2 вместо перемен-
ной Х1.
14) Рассмотреть функцию <^1(ж) = А(ж? ж, ж), <^2(ж) = fi((pi(x)) и
</?з(к, у) = f(x, у, х).
15) Рассмотреть функции /1(ж, /1(ж, х)) и /2(^1, #2).
2.18. 1) Полагая хз = #2, получаем функцию, порожденную штрихом
Шеффера. Затем построить функции /=о(#), /=1(ж), fx(x) и рассмотреть
суперпозицию f(f=i(x), f=i(x), f=o(x), fx(x)).
2) f(xi, X2, хз) = A1VT2(^1, X2); значит, [f]pD {f=o(x), f=i(x), fx(x)}.
Далее, ip^x) = fx(f(f=i(x), x, f=o(x))).
3) Если ж2 = Ж1, то f(xi, xi, хз) = fx!o3(tfi, хз). Строим f=o(x)
И /=1(ж), затем задержку (р3(х) = f(x, f=o(x), f=i(x)).
4) Полагая хз = Ж2, получаем функцию fxr&т2(#1, х^)- Кроме того,
Ч>АХ) = /(/=1(ж), Ж, /=о(ж)).
5) Полагая хз = Ж1, получаем, что на одном выходе функции /(^i, Ж2, #1)
реализуется функция fxr (^i), а на другом — функция /Ж2->Ж1(ж1, Х2). Затем
строим /=о(ж), /=1(ж) и задержку <р^х) = /ж(/(/=1(ж), /=1(ж), fAx))) (п0
выходному каналу У2).
2.19. 1) Можно удалить /=о(ж) (она получается из у^(ж) с помощью
операций объединения, отождествления входов и обратной связи; см. при-
мер 10, д) в п. 3).
2) Можно удалить две первые функции, так как
fx^y(.X, х) = f=l(x), = f=o(x),
fx^v(x, f=o(x)) = fe{x), fx~V(x, у) = fxl&X2(fx^y(x, у), fv->x(x, у))
И
fx&y(x, J/) = fx(fx->V(.X, fy(y))).
3) Можно удалить две первые функции, так как:
а) ¥>,(/«»(«, х) = <ps(x\,
б) из с помощью операций объединения, отождествления входов и
обратной связи строится /=о(ж);
в) fxvy(f=o(x), у) = fy(y)-, г) fx^y(x, у) = Лг (AwCM®), у));
д) fX®y(x, у) = fxUxrkx^fxMy^X, у), fxVytx, у)).
4) Можно удалить Лг(ж), ибо Av!/(y’J(/=o(a:)), /7(3/)) = fy(y).
5) Можно удалить первую и третью функцию, так как:
а) с помощью операций объединения, отождествления входов и обратной
связи из последней функции системы А получается функция /=1(ж);
б) из fx-y(x, у) и /=1(ж) можно построить всякую порожденную функ-
цию ИЗ ft, од 5
в)
2.20. 1) Содержится, ибо = (p$(fx (fx (х))) и /=о(ж) есть
В [¥’з(®)]{01,03,04}-
2) Содержится.
3) Содержится, ибо fx^.y(x, f=o(x)) = f^(x), а /=о(ж) есть в
[^(z)]{Oi,o3,o4}-
4) Содержится.
Указание. Вводя обратную связь во второй и третьей функциях,
получаем /1(ж) = [01]ш и /2 (ж) = [10]^. Затем надо воспользоваться
fxVy(X) У)-
5) а) Не содержится.
Указание. Установить, что каждая функция из А «сохраняет» мно-
жество последовательностей V = {аш = qiQ2 • - • at • • • | (Vf ((f to) =>
=> (at = 0))) V Зй (Vi ((£ > ti) => (at = 1)))}.
б) Содержится.
Указание. Рассмотреть функцию, получающуюся из функции
tp3((p3(fx (эс))) введением обратной связи.
2. 21. 1) Добавить fm(x,y,z)(x, у, z). 2) Добавить fx.y(x, у).
3) Добавляя только одну функцию из В, систему до полной расширить
нельзя.
Указание. Замкнутые классы, получающиеся при этом, состоят из
функций, сохраняющих множество последовательностей V, описанное в
ответе к задаче 2.20, 5), а). Значит, в них не содержится, например, функ-
ция f(x) = [01]". При обосновании свойства сохранения множества V в
случае рассмотрения операции обратной связи удобно использовать пред-
ставление о.-д. функции (к которой применяется операция обратной связи)
в виде канонических уравнений.
4) Добавить fx^y(x, (р3(у)). 5) Добавить fx (</>3(у)).
Глава V
§1
1.1. 1) а) Т(Р) = I2. б) Т(Р) = 1. в) К слову I6 не применима.
2) а) Т(Р) = 1301. б), в) Т(Р) = I7.
3) а) Т(Р) = 10212013. б) Т(Р) = 10413. в) Т(Р) = 1012021.
4) а)-в) К данному слову не применима.
5) а) К слову I2 не применима, б) Т(Р) = I3. в) Т(Р) = I4.
1.2. 1) Одна из возможных машин задается такой программой: qilqAR.
2) Программа одной из таких машин: t/iOgiOK, qilqilR.
3) Программа одной из таких машин: ^iOqiOS, qilqAS.
4) Одна из возможных машин задается следующей программой:
Q1OQ2OB, qilqzlR, q20qi0R.
1.3. 1) a) Qol[01]2, 2) б) 1[10]2qo1. 3) б) 10qo1301. 4) a) 1206qo1.
5) a) 12021qo01. в) [10]20qo12.
1.4. 3) Программа одной такой машины имеет вид
Q1OQ2OL
q20q30E
Q21Q2IF
q30qo0E
Q3lg40B
<?40д50В
фДфДВ
QsOgelB
(/5IQ5IB Q8OQ3OE
б/бО</71Ь QslQslb
^OqsOL
$71Q71b
1.5. 2) Пусть qoi , .. •, qom (m 1) — все заключительные состояния
заданной машины Тьюринга. Нужную машину можно построить так: заме-
няем каждую команду вида qiaqoj/3D (а, /3 — символы внешнего алфавита,
D G {5, L, R}) на команду qiaq'jfiD, где q'j — новое состояние (для каждого
состояния qoj свое).
1.6. Для построения машины Тт достаточно добавить т дополнитель-
ных (новых) состояний q\. ..., q'm и «пополнить» программу машины Г,
например, такими командами: q^aq^aS, ..., q^aq^aS^ где а — какой-то
фиксированный символ из внешнего алфавита.
1.7. Таких машин 15.
1.8. 1) Одна из возможных программ: Q1IQ2OL, Q2OQ0IS*, #21#21Т.
2) Одна из подходящих программ: qiOqiOR, qilqolR.
5) Одна из возможных программ: qiOq2IB, Q2OQ3IB, ..., (frOQz+ilB, ...
.. •, ^2Z-iO^2z1B, q2i0qolS, Q1IQ2IB, д21^з1В, ..., qJ^+iIB, ..., q2z-i1Q2z1B.
1.9. 1) а) Композиция T1T2 к l3О212 не применима.
2) a) (TiT2)(P) = l[10]2[01]3l. 3) 6) (TiT2)(F) = l201202212.
1.10. 1) а), б) Указанная итерация к словам вида 13/г и l3fc+1 (ft 1)5
не применима.
в) Итерация применима к любому слову вида l3fe+2 (ft 1)? и в резуль-
тате получается слово 1.
3) Итерация к данным словам применима, результат — слово 12ж+?/+1е
1.11. 1) Т(Р) = 1041. 2) б) T(F) = F010F0F01.
1.12. 2) qTi |qio I |qiq lo | T2T4T3 |
~T ГУ 2 2 3
3)оТШо = T2T1T3T3T4 I |T4 \TrT3CV.
3 12 12 3
1.13. 1) T(F) = 1ж01ж+?/.
2) T(F) = 1ж, если x > у 1, T(F) = F, если у > x = 1, и T(F) =
= p-iop-s+i, если у > x 2.
1.14. 6) Функция определена только при х = 0, 1. Одна из возможных
программ такова: qiOqoIF, Q1IQ2IB, g20gilB, Q2IQ3IB, Q3IQ3IF.
12) Указание. Функция определена только на следующих парах зна-
чений аргументов: (0, 1), (0, 2), (1, 1) и (2, /5), где (3 1.
1.15. 3) Функция определена только при х = 2, 3. Одна из возможных
программ: qiOqoIF, Q1IQ2OB, ^0^205, д21^зОВ, #зО(/зО5, Q3IQ4OB, (/40(/ilL,
Q4IQ5OB, q50q41T, Q5IQ5IF.
1.16. 1) /(ж) = х + 1, /(ж, у) = х + у + 1. 3) /(ж) = 0, /(ж, у) = у + 1.
6) /(ж) нигде не определена, /(ж, у) = у.
1.17. Если машины начинают работу с самой левой единицы кода
числа х, то вычисляются следующие три функции: х, х — 1 и нигде не
определенная.
1.18. 1) Подходящая программа: giOgsl#, qi 1(/21 Я, Q2OQ1OK, Q2IQ11К,
Q3OQ4OE, дз1#41Я, g40golS.
1.19. 1) а) Данному Z-кратному коду соответствует решетчатый код,
расположенный на двух решетках, со следующей парой слов: 1 и 11. Значит,
надо построить машину Г, удовлетворяющую условию: начав работу на
первой единице слова 1 OZ12Z, она выдает слово 1101 (решетчатый код на-
бора (0, 1)). Подходящая программа: giO^OB, qilgiOK, Q2OQ2OK, Q2IQ3OK,
дзОфДЯ, Q3IQ3OE, Q4OQ5I-R, QsOgeOB, g60golS.
§ 2
2. 1. 4) /(ж) = пх; /(0) = п • 0 = 0, f(x + 1) = h(x, /(ж)) = п(х + 1) =
= пх + п — f(x) + п — s(s ... s(f(x))...). Значит,
п раз
/г(ж, у) = s(s ... s(y)...) = ll(x, s(s ... s(y)...)).
п раз n раз
7) Указание. Для требуемого примитивно рекурсивного описания
функции х-у на «первом этапе» нужны функции д(х) = О(х) и
h(x, у, z) = х + if (х, у, z). «Второй этап» связан с описанием функ-
ции h(x, у, z).
2. 2. 1) f(x, у) = х(у + 1). 2) /(ж, у) = х + (у - 1).
4) /(ж, у) = Зх+у(-у~ 1)/2. 5) /(ж, у) = sgt/ + (ж-(«/- 1)) -sg у.
7) /(ж, у) = (2x)sgy + (//- l)sg((t/- 1) - ж).
8) /(ж, у) = sg х • sg у + х • sg (t/ - 1).
2. 3. 3) тах(ж, у) = (ж — у) + у.
т т
8) Указание, /(ж) = ’ SS \х ~ г1 + с ’ П8$ 1ж — гТ
г=0 г=0
9) Указание, /(ж) = ж • %(ж), где у(ж) = ж — 2[ж/2] —характеристи-
ческая функция множества нечетных чисел.
10) /ш(ж) = sg (ж - т • [ж/ш]).
11) Указание, [у/х + 1] = [д/ж] + </?(ж), где </?(ж) = sg (([д/ж] + I)2—
-(ж + 1)).
2.4 . 7) а) Указание. Д(ж) получается из примитивно рекурсивной
у
у) = sg |ж — аг\ отождествлением переменных ж и у.
г=0
б) У к а з а н и е. /2 (ж + 1) = /2 (ж) + /1 (ж + 2), где Д — функция из зада-
чи а).
2.5 . 1) sg |Ж1 — 3| — 1. 2)ж1-2. 3)ж1 + 2. 5) (ж1 - 1)/2.
6) ((ж1 + 1) • sgЖl)/2. 9) (6ж1 - 4^жь 10) (ж1 - ж2) + (х2 - жД.
12) ^жД • (2ж2 + 1)^(2-Ж1).
14) log2(a?i/(2a?2 + 1)) при i = 1; (ж2 — 2Ж1)/2Ж1+1 при i = 2.
15) (a;i - l)/sg (3 - Ж1).
2.6. 1) 2 — xi. 2) 2ж1. 3), 4) Такой функции нет. 5) Ж1 + 2x2-
6) 3a?i + Х2- 7) xi • (х2 Т 2). 8) xi • (1 — Ж2).
2.7. 1) Мж([(ж 1)/2]) = (2ж + 1)8§ж.
4) р,х(х -[ж/3]) = (3[ж/2] + 1) - 2 • sg (ж - 2[ж/2]).
5) мДС^я2]) = [a/ж3] + sg(> -[лД]2)-
6) р,х(х -[д/ж])2 = х + [(ж + 1)/2]2.
2.8. 2) /(ж) = 1.
3) Функция /(ж) должна быть не определена при ж = 0.
4) /(ж) всюду определена и принимает каждое значение из множест-
ва {0, 1, 2,...}.
2.9. 1) Не может. 2) Не могут.
2.13. 1) Не следует. Если же машины Т± и Т2 правильно вычисляют
примитивно рекурсивные функции Д и /2 (соответственно), то их компо-
зиция Т1Т2 вычисляет (причем «правильным образом») функцию /2(^1 (ж)).
2) Не справедливо.
2.14. Да, вытекает.
2.16. 2)-8) Указание. Достаточно построить соответствующую су-
перпозицию над множеством, содержащим заданную функцию и подходя-
щие функции из совокупности {0, 1, 2ж, ж2}. Например, для функции из
задачи 5) имеем /(ж • I3) = /(ж). Затем надо провести рассуждение от
противного.
2.17. Указание. Построить машину Тьюринга, вычисляющую сле-
дующее общерекурсивное доопределение функции /(ж):
7-/ \ f /(ж), если в точке ж функция /(ж) определена,
J ---- Л \
|^ж, если в точке ж функция / (ж) не определена.
2.18. 1) Полной системой не является. 2), 3) Полная система.
Глава VI
§1
1.2. 1) Указание. Такой граф один. У него 5 вершин и 8 ребер.
2) Указание. Таких графов 3.
1.3. У к аз ание. Таких графов 11.
1.5. 2) У к аз ание. Таких графов 9.
1.6. Два.
1.7. Два.
1.8. 1) Не существует.
1.9. Имеется 5 допустимых наборов степеней вершин.
1.11. Указание. Набор степеней вершин у одного из таких п-вершин-
ных графов имеет вид {1, 2, ..., п — 1, [п/2]}.
1.12. Для маршрутов четной длины утверждение неверно.
1.13. 2) Указание. Рассмотреть граф, состоящий из двух изолиро-
ванных вершин.
1.16. Общего ребра может не быть.
1.20. 4) Так как в нетривиальном самодополнительном графе G имеют-
ся несмежные вершины (ибо он отличен от полного графа), то D(G) 2.
Далее, из задачи 1.19, 3) следует, что если D(G) 4, то D(G} 3. Но G —
самодополнительный граф. Значит, он изоморфен G. а поэтому неравенст-
во D(G) 4 выполняться не может.
1.21. Указание. В задачах 1)-3) удобнее строить дополнения искомых
графов.
1) 9 графов. 3) 11 графов. 4) 5 графов.
1.24. У Казани е. Из теоремы Кёнига следует, что данный граф дву-
дольный.
1.27. Указание. Воспользоваться теоремой Эйлера (см. задачу 1.1).
1.28. 2) Указание. Для каждого п 2 существует только одно такое
дерево.
1.29. 2) Указание. Таких деревьев 4.
4) Указание. Таких деревьев 3.
1.30. 6 деревьев.
1.31. Такой граф один.
Указание. Используя результат из задачи 1.19, 2), можно оценить
сверху число вершин у такого графа.
1.34. На рис. 6.1, 6.3 и 6.4 изображены пары изоморфных графов.
Указание. Полезно рассмотреть дополнения этих графов.
1.35. 1) Могут быть не изоморфными.
1.36. 1) В каждом из графов, изображенных на рис. 6.6, существует
подграф, гомеоморфный К±.
2) В графе Петерсена (см. рис. 6.6, а) и в графе, изображенном на
рис. 6.6, в, подграфов, гомеоморфных графу Кб, нет. В графе, представлен-
ном на рис. 6.6, б, существует подграф, гомеоморфный К$.
1.38. 2) Можно применить индукцию по числу вершин в псевдографе.
1.39. 1) 4 орграфа. Односторонне связных четыре. Сильно связный
один.
2) 4 орграфа. Сильно связных два.
3) 9 орграфов. Слабо связных четыре, односторонне связный один.
1.40. 1) 6 псевдографов. Сильно связный один.
2) 10 псевдографов. Слабо связных восемь, сильно связных два.
3) 8 псевдографов. Односторонне связный один.
1.41. 1) 6 графов. 2) 12 графов. 3)9 графов.
1.42. 2) 4 турнира.
1.43. Два турнира.
1.44. 1) 4 дерева. 2) 9 деревьев. 3) 15 деревьев.
1.47. Можно применить индукцию по числу дуг.
1.48. 2) Нельзя.
1.55. Можно применить индукцию по числу дуг.
1.58. Указание. Применить индукцию по числу вершин.
1.59. 1) Указание. Применить индукцию по к.
1.62. У Казани е. Для турнира с п вершинами ..., vn выполняются
п
равенства d+(vi) = —---------- и d+(vi) + d~ (vi) = п — 1 (г = 1, ...,п).
г = 1
§ 2
2.1. 1) Каждый из рассматриваемых графов содержит подграф, гомео-
морфный графу Кз,з-
2) Каждый из графов, изображенных на рис. 6.6, а, в, содержит под-
граф, гомеоморфный графу Кз,з- У графа, приведенного на рис. 6.6, б, есть
подграф, гомеоморфный К$.
2.2. а) При всех п 2. б) Только при п = 2.
2.4. Таких графов четыре.
2.6. 3) Указание. Оценка для числа граней имеет вид 5/ 2m.
4) Указание. Для получения противоречия оценивать число граней
нужно достаточно тонко: f = /з + /^4, где /3 — число граней, ограничен-
ных циклами длины 3, а /^4 — число остальных граней; З/з + 4/^4 2m.
2.7. 1) а), б) 2 вершины. 2) а) 3 ребра, б) 4 ребра, в) 2 ребра.
2.8. 1) Не существует. 2) Существует.
2.9. 6.
Указание. Рассмотреть граф, получающийся из К$ после удаления
одного ребра.
2.10. 1) Не существует.
2) Указание. Таких графов два.
2.11. Указание. Возможны следующие наборы степеней вершин у
графа G?'. (4, 3, 3, 2) и (3, 3, 3, 3).
2.18. Рис. 6.1: x(G) = 3, /(G) = 3. Рис. 6.3: X(G) = 3, /(G) = 4.
Рис. 6.5, a: X(G) = 3, /(G) = 3. Рис. 6.5, б: X(G) = 3, /(G) = 3.
Рис. 6.6, a: = 3, /(G) = 4. Рис. 6.6, б: /G) = 2, /(G) = 4.
Рис. 6.6, в: x(G) = 4, x'(G) = 5.
2.19. 1)х(В") = 2, Х'(.Вп) = п.
2) = п'-> если п нечетно, то /(Кп) = п, если же п четное, то
х\Кп) = п-1.
3) х(Кт,п) = 2, x'(JCm,n) = max(m, п) = п.
2.21. Указание. Применить индукцию по числу вершин.
2.22. Указание. Можно применить индукцию по числу вершин.
2.23. Указание. Применить индукцию по числу вершин.
§3
3.1. а) 0101001011. б) 00010010111011. в) 0000101110010111.
г) 0000110100101111. д) 0010110100010111.
3.2. См. рис. 0.6.1.
3.3. 1), 4), 6) Да. 2) Нет, нарушено свойство 2.
4) Нет, нарушено свойство 1. 5) Нет, нарушено свойство 2.
3.4. 1) Классы разбиения имеют вид К[ = {оч, см}, К2 = {см, «з7 Дб}-
3.5. Провести индукцию по числу ребер.
3.6. 1) Число деревьев с п ребрами не превосходит числа кодов, которые
являются двоичными векторами длины 2п.
2) Учтено, что число единиц в коде дерева равно числу нулей.
3) Учтено, что первая координата кода есть 0, а последняя 1.
Рис. 0.6.1
3.8— 3.10. Провести индукцию, опираясь на индуктивное определение
корневого дерева.
3.11. а) г(Т) = 2, R(T) = 2, D(T) = 3.
б) г(Т) = 1, Л(Т) = 2, D(T) = 4. в) г(Т) = 1, Е(Т) = 3, D(T) = 5.
3.13. Следует из задачи 3.12, 5).
3.14. Указание. Провести индукцию по величине радиуса дерева.
3.15. 1) Например, простой цикл длины 21 + 1.
3.16. 1) См. рис. 0.6.2. 2) 15.
3.17. 1) На рис. 6.16, б, г — разложение s-типа; на рис. 6.16, а, д —
разложение p-типа; на рис. 6.16, в, е — разложение Н-типа.
2) На рис. 0.6.3, а представлена внешняя сеть Г1(а, 6) s-расщепления
Рис. 0.6.2
Рис. 0.6.3
сети Г(а, 5), изображенной на рис. 6.16, а. На рис. 0.6.3, б, в, г представлены
внутренние сети s-расщепления.
3.19. 1) Например, (2, 5), (3, 1). 2) (1, 5), (3, 4). 3) Например, (2, 6).
4) {1, 5}. 5) {1, 5}.
3.20. 1) Первое из неравенств вытекает из того, что в неразложимой,
сильно связной сети каждая внутренняя вершина имеет степень, не мень-
шую 3, а каждый полюс имеет степень, не меньшую 2. Второе неравенство
следует из того, что неразложимая n-вершинная сеть не имеет кратных
ребер, а следовательно, число ребер меньше, чем у полного графа с п
вершинами.
3.21. Через разделяющую вершину проходят все цепи. Поэтому она не
может зависеть ни от какой неэквивалентной ей вершины.
3.22. Через вершину и, смежную с полюсами а, Ь. проходит цепь
из ребер (a, v), (v, b). Эта цепь не проходит через какую-либо другую
внутреннюю вершину сети.
3.23. 1) Да. Рассмотреть суперпозицию, где внешней сетью является
сеть (т > 1), а внутренние имеют вид (к > 1).
2) Да. Рассмотреть суперпозицию, где внешняя сеть есть сеть типа
(т > 1), а внутренние имеют вид (к > 1).
3) Да. Рассмотреть суперпозицию, где внешняя сеть есть Н-сеть, а
внутренние сети имеют вид (к > 1).
3.26. Неверно. См., например, сеть, граф которой является полным
n-вершинным (п > 3) графом.
3.27. п 1. При выборе в Б в качестве полюсов вертттин, наход ятттихс я
на расстоянии 2, 3, ..., тг, получаем неразложимые, попарно неизоморфные
сети.
3.28. 1) Неверно, см. рис. 0.6.4, а. 2) Неверно, см. рис. 0.6.4, б.
3) Верно. 4) Да, достаточно. 6) См. рис. 0.6.4, в.
3.30. 1) Если при удалении некоторой вершины из сети последняя
становится несвязной, то удаляемая вершина является разделяющей. Таких
вершин в Н-сети нет.
2) Верно.
3.31. Указание. Показать, что каждая внутренняя вершина получен-
ной сети минимальная, и использовать ответ к задаче 3.24.
3.32. См. рис. 0.6.5.
3.33. См. рис. 0.6.6.
3.38. Рангом вершины v сети Г(а, 6) назовем расстояние и от а. Ребро
сети, соединяющее вершину ранга г — 1 с вершиной ранга г, назовем
ребром уровня г. Заметим, что удаление всех ребер одного уровня, не пре-
восходящего Z, делает сеть несвязной. Поэтому число ребер одного уровня
не меньше I. Число уровней в сети длины I не меньше I. Отсюда вытекает
утверждение.
Глава VII
§1
1.1. 1), 3), 4), 6) Код С не обладает свойством префикса.
2), 5) Код обладает свойством префикса.
1.2. 1) Код не является однозначно декодируемым. Неоднозначно деко-
дируемое слово: 01122 01.
2), 4), 5), 8) Код однозначно декодируемый.
з) 'ooioooiooi. 6) 01101100112100. 7) 010210112
1.3. 1), 2), 4) Р является кодом одного сообщения.
3), 8) Р не является кодом сообщения.
5)-7 ) Р является кодом более чем одного сообщения.
1.4. 1) Решение. Пусть С (А) — множество двоичных разложений чи-
сел из А: С (А) = {1, 101, 110, 111, 1100, 1101, 10001}. Вычеркнув из С (А)
слова 1 и 110, получим префиксный код. Вычеркиванием меньшего числа
слов обойтись нельзя. Таким образом, для задачи а) В = Л\{1, 6}.
2) а) В = А\{1, 3, 6, 8}; б) В = А\{1}.
3) а) В = А\{2, 6, 7, 8, 9}; б) В = А\{2, 7}.
4) а) В = Л\{1, 2, 5}; б) В = А\{1, 2}.
1. 5.1) 1201012. 2) pioioioibioioioi'oioioioio 3) (01)*с&+1)0.
4) Если к = 4, то 01010101, если к > 4, то 01010101010.
5) 0(10)я^ш,/е\ где Н(т, к) — наименьшее общее кратное чисел т и к.
6) (1100)^, если к — 3s, s = 1, 2 ...; в противном случае решений нет.
7) (101)^0 для всех к = 1, 2, ... 8) (110)fc (к = 2s).
1.6. 1) с = {a, ba, bba, bbb}. 2) с = {а, ba, bbba, bbab, ЪЪЪЪ, bbaa}.
3) с = {ab, ba, bba, bbb, aaaa, aaab, aaba, aabb}.
4) c = {aa, ab, ba, bbaa, bbab, bbba}.
, ~ tt 11119,
1.7. 1) Нет, так как - + - + - + - = -> 1.
7 2 4 4 8 8
2) Да, так как ^ + ^ + ^ + — <1. 3) Да. 4) Да.
7 3 9 9 27 7 7
1.8. 1) Воспользуемся неравенством Макмиллана. Пусть Ц — длины
|с| 1 |с| 1 |С|
кодовых слов кода С. Тогда > -- > > — = — > 1. Код не может быть
2li 2п 2п
i = l i = l
однозначно декодируемым.
2) Нет, так как если бы код С был префиксным, то он был бы однознач-
но декодируемым.
1.9. Пусть код (7(E) с набором длин кодовых слов Д, О, ..., Д не являет-
ся декодируемым. Тогда в графе (7s существует контур или петля, проходя-
щие через вершину Л. Число вершин (и дуг) в контуре не больше, чем
в графе (7s, и, следовательно, не больше 1 + (^ — 1) = У — г + 1.
г = 1
Идя вдоль контура от вершины Л, рассмотрим слова, приписанные
паре (дуга — вершина, являющаяся концом дуги). Ясно, что суммарное
количество букв для каждой такой пары не превосходит I и может быть
равно I только для первой пары. Отсюда и вытекает утверждение.
1.10. Пусть С — алфавитный код с набором длин кодовых слов Д, Г ...
..., Д, min Ц — A:, max Ц — Z, = N. Из предыдущей задачи вытекает,
г = 1,г г = 1,г . .
г = 1
что если код С не является однозначно декодируемым, то существует сло-
во в кодирующем алфавите длины не больше 1 + (IV — г + 1)(Z — 1) NI.
Тогда в алфавите сообщений длина соответствующих слов будет не боль-
ше Nl/k.
1.11. 1) Пусть I — максимальная из длин слов в М. Тогда для числа г
слов в М имеем
Отсюда I logq(g + r(q — 1)) — 1.
2) Доля д£ слов длины, не превосходящей I = (1 — е) logg(l + r(q — 1)),
Ql ~ Q
не больше —------.
Ф-1
q1 — £ _ о 1 /4\1 — £
Если г = 2, q = 2, то д£ 2-е.
Если г 2, q 2 и г • д > 4, то r(q — 1) 3 и
1.15. 1) Утверждение вытекает из результата задачи 1.9.
2) Указание. Рассмотреть код С(Е) = {д, (a6)fc+1, (ba)k+2} (k 1).
Убедиться, что единственный контур в Gs, проходящий через Л, проходит
последовательно через вершины (Ьа)к+1~гЬ, а(Ъа)г (г = 1, ..., к + 1), а
соответствующее этому контуру слово имеет вид (ab)k +3/г+2д.
3mm
§ 2
2.1. 1), 2) Например, С = {0, 10, 110, 111}.
3) Например, С = {00, 01, 10, 110, 111}.
2. 2. 1) Например, С = {а, 6, са, сб, сс}.
2) Например, С = {а, 5, са, сб, сса, ссб, ссс}.
о тт п f 1 1 1 1 1 1]
2. 3. 1) Например, Р = < - ; —: —: — оптимальным является
7 1 12 4 8 16 32 32 J
код С = {0, 10, 110, 1110, НПО, 11111}.
Решение. Проведем редукцию длин (1, 2, 3, 4, 5, 5) (1, 2, 3, 4, 4) —>
(1, 2, 3, 3) (1, 2, 2) (1, 1). Двоичный код с набором длин (1, 1),
очевидно, существует и является единственным и оптимальным при лю-
бом распределении вероятностей, например, при Р =
(I’ 1), С={0, 1).
Проводя с набором Р преобразования, соответствующие переходу от набора
длин (1, 1) к исходному, и деля всякий раз соответствующую вероят-
р Г1 1 1 1 1 1 }
ность появления слова пополам, приходим к Р = <-• —; —; —
12 4 8 16 32 32 J
и С = {0, 10, 110, 1110, НПО, 11111}.
2) Например, Р = (0,2; 0,2; 0,2; 0,2; 0,2); оптимальным является код
С = {00, 01, 10, 110, 111}.
3) Например, Р = Д —; —; —; — k С = {00, 01, 100, 101,
' r r’ U’ 4’ 8’ 16’ 16’ 16’ 161 1 ’ ’ ’
1100, 1101, 1110, 1111}.
5) Например, Р = {|; i; i; С = {а, 6, са, cb}.
1П\тт Jllllllll'l j^ Л л
10) Например, Р = < С = 1а, Ь, са, со, сс, са,
7 г 18 8 8 8 8 8 8 81 1
da, db, de, dd}.
2.4. 1), 3), 4), 8) Код оптимален. 2), 9), 10) Код не оптимален.
2.5. а) Деревья 2), 4), 8), 10) являются насыщенными, остальные не
являются насыщенными.
б) Деревья 1), 2), 4), 8), 10) могут являться остовами оптимальных
деревьев, остальные не могут.
2.6. 1) Утверждение верно. Всякий двоичный оптимальный код являет-
ся полным.
2) Вообще говоря, утверждение неверно (см. задачу 2.5, б), 1)).
3), 5) Утверждение верно.
4) Вообще говоря, неверно (см. задачу 2.5, б), 1)).
6) Утверждение верно. Доказать можно индукцией по числу концевых
вершин.
2.7. 1*) Пусть С — полный g-значный код с длинами кодовых слов Xi
(г = 1, ..., т). Пусть А = max А;. Из полноты кода С следует, что каждое
г
слово длины А в алфавите В имеет префиксом (не обязательно собственным)
некоторое кодовое слово. Число слов длины А, имеющих префиксом слово Wi
длины Аг, равно qx~Xi. Если Wi и Wj — два кодовых слова, то множес-
тва Bx(wi) и Bx(wj) слов длины А в алфавите В, имеющих префиксом
кодовые слова Wi и Wj, не пересекаются. Отсюда qx Хг = qx, что и
l^t^m
требовалось доказать.
2) База индукции — двоичный оптимальный код с двумя сообщения-
ми. Индуктивный переход осуществляется с помощью теоремы редукции.
3) Для q > 2 утверждение, вообще говоря, неверно. Пример: q = 3,
Р = < -• -; -; - С = {a, b, са, cb}. Код С оптимальный, но не полный,
13 3 6 6 J
так как З-1 + З-1 + З-2 + З-2 = 8/9 < 1.
2.8. Если для некоторого кодового слова w максимальной длины I не
найдется слова, отличающегося от w последней буквой, то, не нарушая
префиксности кода, можно заменить слово его префиксом длины I — 1, что
противоречит оптимальности кода.
2.9. У к аз ание. См. задачу 2.8.
2.10. 1), 4), 6) Нет, см. задачу 2.9.
2), 7), 8) Нет. Нарушено неравенство Макмиллана.
3), 5) Оптимальный код существует.
2.11. 1), 3), 5), 7), 9) Не существует. 2), 4), 6), 8), 10) Существует.
2.13. 1) Указание. Достаточно убедиться, что почти равномерный
код можно построить в результате алгоритма Хаффмена.
2) Указание. Рассмотреть распределение Р = ( — + с, —, ..., —,
। х । \т т т
— — е ), где е < —.
т / 2т
2.14. 1) Указание. Провести доказательство индукцией по г с при-
менением теоремы редукции.
о и of11 1 1 1 А
2.15. Например, Г = ----- .
1 1 ’ \ 2 7 4 7 7 2т—2 7 2Ш-1 7 2Ш-1 /
2.16. Базис индукции: т = 2. Утверждение очевидно. На шаге индук-
ции использовать задачу 2.14.
2.17. В процессе преобразования набора вероятностей неоднозначность
может возникнуть при упорядочении вероятностей по невозрастанию. Если
набор содержит г вероятностей, то разместить сумму наименьших двух
вероятностей среди оставшихся г — 2 можно не более чем г — 1 способами. В
процессе сопоставления вероятностям кодовых слов на каждом шаге имеется
две возможности. Отсюда вытекает оценка.
2.18. 1) Число непустых слов длины не больше т — 1 равно bm-i =
= q1 Число однозначных отображений букв алфавита А в
, “ 4 - 1
слова в алфавите В, |В| = д, длины меньше г не превосходят qr .
2) а) Верно.
б) Число тупиковых кодов мощности г не превосходят числа помеченных
корневых деревьев с г висячими вершинами. Число непомеченных деревьев
с г висячими вершинами не превосходит 42г (см. гл. VI, задачи 3.6 и 3.10).
Пометить ребра можно не более чем q2r способами.
§3
3.1. 2) Вытекает из того, что |а — у| |а — /3\ + \/3 — у| для всех а,
V, 7 из {0, 1}.
6) Вытекает из того, что |а — (3\ = а + /3 — 2а(3 для всех се, /3 из {0, 1}.
3.2. 1) п- 2”-1. 2)(”}-2re-fc.
1) G)- 2 3 * * *> Е (?)•
О i к
(п-т\ ( г \ т + к-т
3) s _ sj-> если s = ------------- — целое неотрицательное число.
3.4. 1) 2Ш.
2) 0, если г < ш; 2Ш, если г = m; (j1 • 2Ш, если г = т + 2к п;
0, если г = 2к + т — 1, А; = 0, 1,... или если г > п.
3) 0, если к + г < т или если г к = т + 2d — 1, <7 = 0,1,..., или
если г + к > п; (jk>)’ если к + г = m; если к 3-г =
= т + 2d, d = 0, 1, ...
3.5. 1) Пусть существуют наборы се, /3, у? удовлетворяющие условиям.
Положим а = 0, 8 = (3 ф се, е = у ф а. Ясно, что ||J|| > 2п/3 и ||с|| 2п/3.
Но тогда p(J, е) = р(/3, у) < 2п/3.
3.6. 3) При к = 0, п. а также при к = п/2 и четных п.
4) Пусть А — полная система. Рассмотрим систему уравнений
p(c*i, /3i) = ri (i = 1, ..., к). Очевидно, что ri 6 {0, 1, ..., п} (г = 1, ...
..., к). Каждый набор (п, г2, ..., г^), при котором система имеет решения,
однозначно определяет некоторый вектор (3 6 Вп. Отсюда (n + 1)А 2п.
Верхняя оценка для числа векторов в базисной системе может быть по-
лучена из того, что система р(с^, /?) = п является системой линейных
уравнений с п неизвестными.
6) Нижняя оценка вытекает из задачи 1) и оценки числа возрастающих
цепей длины п — 1, верхняя — из задачи 4).
/2п+1 — 1\
3.8. ( 2п — 1 )-Указание- См. гл. , задачу 1.11.
3.10. 1) Рассмотреть
2) Например, А = {а: а 6 Вп, ||а|| четное}.
3.11. Индукция по п. При п = 1 последовательность (0), (1) об-
разует требуемый цикл в В1. Пусть ао, ал, ..., «2n-i является циклом
в Вп. Если а — набор в Вг\ то обозначим через аа набор из Вп+1,
полученный приписыванием символа а 6 {0, 1} справа к набору а. Тог-
да последовательность йоО, ал О, ..., «2^-10, a^-il, ..., ал1, ceqI является
циклом в Вп+1.
3.12. 1), а), в), д), ж), з) Векторы а являются n-универсальными, в
остальных случаях — нет.
3.13. 1) Z(2) = 4, Z(3) = 6, Z(4) = 8.
3.14. 1) Нижняя оценка. Пусть а = (10 ... 0), (3 = (01... 1), М =
= {у 6 В2 : ||а Ф у|| = 1}, Ai = {a} U М, Аз = {0} U М. Ясно, что ip(n)
|Л1 (п)| = |А2(п)| = п.
2) Нижняя оценка. Пусть А = {(«i, ..., ап) 6 Вп : ал = 1}. Ясно,
что <//(п) |А| = 2П-1.
Верхняя оценка. Если ||а П /3\\ 1 для любых а, (3 6 А С Вп,
то А не содержит противоположных наборов. Положив А = {a: a G А},
имеем A U А С Вп, А П А = 0. Отсюда |А| 2П-1.
3.16. (D.J. Kleitman.) Пусть t(n, т, к) — число троек (а, (3, у) та-
ких, что а G В1^ П А, (3 Е В£ , у G В”+А. и a U /3 = у, а П (3 = 0. Тогда
(-/)=«», <(© -л а+си а -«-«) ст.» а
Отсюда вытекает требуемое неравенство.
3.17. 1) Шары радиуса t с центрами в кодовых словах не пересекаются
тогда и только тогда, когда расстояние между двумя кодовыми словами не
меньше 2t + 1.
3.18. 1) 3. 2) 4. 3) 3. 4) 4. 5) 4.
3.19. Указание. Использовать задачу 3.17.
3.20. 1) Обнаруживает одну ошибку и исправляет ноль ошибок.
[2^]. 3)^-1 я g-А].
4) Обнаруживает одну ошибку при четных п и ноль ошибок при нечет-
ных п, исправляет ноль ошибок.
3.21. 1) 100110. 2) 110011. 3) 0011001. 4) 1010101. 5) 111001011011.
6) 0010110001111. 7) 1110000110011. 8) 000011110111011.
3.22. 1) 1. 2) 110. 3) ПО. 4) ООП. 5) 0101. 6) 1101. 7) ООП.
8) 0111110. 9) 110110100. 10) 11110111101.
3.24. 1) д(х5) = Ж1(ж2^зЖ4Ж5 V Ж2Ж3Ж4Ж5).
2) д(х5) = Хз(х4:Х5(Х1Х2 VX1X2) V Ж1Ш2Ж4Ж5).
3.25. 1) Вообще говоря, нет. 2) Да. 3) Вообще говоря, нет.
3.26. Пусть Со- = {(«1 ... осп) Е С: «1 ф ... ап = ст}. Тогда Со и Ci яв-
ляются кодами, обнаруживающими одну ошибку, и max{|(7o|, |Ci|} |С7|/2.
3.34. Пусть С С Вп — код с расстоянием d + 1 и a G Вп. Поло-
жим Са = {7 6 Вп: у = а ф /3, /3 G С}. Тогда, если С является (п, 60-кодом
и р(й, /3) d, то Cs П Сд = 0. Отсюда вытекает требуемое неравенство.
3.35. Утверждение вытекает из задачи 3.34 и из того, что р(й, /3) < d
для любых вершин й, (3 из (d — 1)-мерной грани куба Вп.
3.36. Неравенство следует из задачи 3.35 при С = Вп.
3.38. 2П-1.
3.39. Не существует. Имеем |Si47(ce)| = 148 при всех а G В147. Но 148
не является степенью двойки, что противоречит задаче 3.27.
3.41. Пусть в некотором эквидистантном (n, 2d + 1)-коде С содержатся
три вершины й, /3, у. Без ограничения общности можно считать, что
а = 0. Тогда ||/3|| = ||у|| = 2d + 1, а значит, р((3, у) — четное число, что
противоречит условию.
3.42. Разобьем п координат на блоки величины d/2. Каждому блоку
сопоставим набор, в котором единицы стоят в координатах, содержащихся
в данном блоке. Полученное множество наборов образует эквидистантный
{п, с?)-код мощности [2n/d].
3.44. Указание. Использовать задачу 3.33, 5).
3.45. 1) Пусть С — максимальный {п, к, 2d)-код. Тогда подмножество
(7(i) = С П В^г является (п — 1, к — 1, 2d)-кoдoм. Число пар (г, /3), где
1 г п , (3 G (7(j), не превосходит п • т(п — 1, к — 1, 2d). С другой сто-
роны, для каждого набора (3 G С существует ровно к таких пар. Отсюда
к • m(n, к, 2d) п • т(п — 1, к — 1, 2d). С учетом того, что m(rz, к, 2d) —
целое число, получаем требуемое неравенство.
2) Вытекает (применить индукцию) из задачи 1) с учетом того, что
т(п — к + d — 1, d — 1, 2d) = 1.
§4
4.2. 1) а), в), г) Нет. б), д), е) Да.
2) а) {000, 111} U А. б) В3’1. в), г) В3.
д) A U {0000, 0010, 1101, 1111}. е) A U {0000, 0001, 1010, 1110}.
3) а) {101}. б) {100}. в), г) 0. д) {1001}. е) {1010}.
4.7. 1) а)-в) 2. г) 1. д)-ж) 4.
2) а) Я = [11]. б) Я*
ООП] . * _ г10100] . * _ Г10001
ню • в)м - оюоо • г; - 11100
"0101010"
1001100
1110000
0001111
4.11. d(C(M)) = 7.
24 Т.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
Глава VIII
§1
1.1. 1) (20)з- Билеты неравноценны. Первый билет можно распределить
20-ю способами, второй — 19-ю, третий — 18-ю.
2) 203. 3) С(20, 3).
1.2. 1) 9!.
2) С(9, 3) • С(6, 3). Первую шеренгу можно выбрать (7(9, 3) способами,
после чего вторую — (7(6, 3) способами. Пользуясь правилом произведения,
получаем результат.
1.3. 1) Каждый из членов перестановки с повторениями можно выбрать
независимо от других п способами. С использованием правила произведения
получаем, что Р(п, г) = пг.
2) Из каждого (тг, г)-сочетания без повторений путем перестановок
можно получить г! различных (тг, г)-перестановок, причем каждая (тг, г)-
перестановка может быть получена таким способом. Отсюда г!С(тг, г) =
— Р(п, г). Поскольку (см. пример 3) Р(тг, г) = (п)г, то С(тг, г) = (тг)г/т! —
-(:)
3) Каждому (тг, т)-сочетанию А с повторениями, составленному из эле-
ментов множества U = {ai, ..., ап}, поставим в соответствие век-
тор а (А) длины тг + г — 1 из г единиц и тг — 1 нулей такой, что число
нулей, находящихся между (г — 1)-й и г-й единицами, равно числу элемен-
тов ai, входящих в сочетание А (г = 2, ..., тг), а число нулей, стоящих
перед первой единицей (после (тг — 1)-й единицы), равно числу элементов а±
(соответственно элементов ап), входящих в сочетание А. Это соответствие
между сочетаниями и векторами взаимно однозначно. С другой стороны,
число векторов с тг — 1 единицами и г нулями равно С(тг + т — 1, тг — 1),
поскольку каждому такому вектору можно взаимно однозначно сопоставить
сочетание из тг + г — 1 элементов по тг — 1. Отсюда с учетом результата
предыдущей задачи получаем, что (7(тг, г) =
1.4. 1)кп. 2) к^к2’...’кп. 3) (Р).
1.5. 1) 2тп. 2) (2Ш)П.
1.6. ($)’ Применяется правило произведения.
1Г- D (ьХг~РУп-а-^-н-к.
1.8. 1) 4(тг —4). Масть карт можно выбрать четырьмя способами, после
чего наименьший номер карты можно выбрать тг — 4 способами.
2) 4тг(тг — 1). Выбрать номер четырех карт можно тг способами, после
чего оствшуюся карту можно выбрать 4(тг — 1) способами.
3)24п(п-1). 4) 5)4®(п —4). 6) 4п(4”2-4).
7) 12n(^)2 + 4n3(”).
1.9. 2) 147.
2) 26. Число случаев выпадения одинаковых граней равно 6, число
способов выпадения попарно различных граней равно J =20.
3) 300 + 3002 +ЗОО3.
1.10. !>(-;). 2) (VI Г("ГЧ(М)-
1.11. 1) (n-fc(mfc-l) + l). 2)(" + 9). 3) (n + fc).
1.12. 1) (1 + ai)(l + «2) • • • (1 + «п)« Каждому делителю р^...ргг
(О (3i di, i = 1, ..., г) можно взаимно однозначно сопоставить век-
тор (/31, ..., /Зг). Далее см. задачу 1.4, 2).
2) 2Г. Каждому делителю pf1 .. .р@г числа п, не делящемуся на квадрат,
можно сопоставить двоичный вектор (/31, ..., (Зг).
з)
к=1
Указание. Заметить, что после раскрытия скобок в выражении
(1 + pi + ... + р^1)... (1 + рг + ...+ р^г) каждый делитель присутствует в
качестве слагаемого суммы ровно один раз.
1ЛЗ-(9 = тг
= (n)n_fc = / п \
kl(n — к)1 (п — к)1 \п — к J
Другое доказательство. Число равно числу способов вы-
бора ^-элементного подмножества из U = {ai, ..., ап}. Но каждому
^-элементному подмножеству взаимно однозначно соответствует его допол-
нение в U, являющееся (п — &)-элементным множеством.
1.15. 1) Решение. Положим ап-1 = 7—Ш
L(n — 1)!
коэффициенты ап-1, ап-2, . • •, an-i- Тогда
. Пусть
уже определены
Гт - ап-1(п - 1)! - ап-2(п - 2)! - ... - an-i(n - г)!1
” L-------------------(п —г —1)!------------------1
Единственность представления докажем от противного. Пусть неко-
торому т соответствуют два вектора: а(т) = («1, ..., ctn-i) и /3(т) =
= (/3i, ...,/3n-i). Пусть j — наибольший из номеров разрядов, в ко-
торых векторы различаются. Без ограничения общности можно считать,
что aj < /3j. Имеем
п —1 п —1 j—1 j—1
° = У № ~ У Uii\ > (/3j - aj)j! - У оцИ г! > 0.
i = l г = 1 г=1 i = l
Пришли к противоречию.
2) 5(4) = (0, 2), 5(15) = (1, 1, 2), 5(37) = (1, 0, 2, 1).
3) /1(0, 2, 0, 4) = 100, /1(0, 2, 1) = 10, /1(1, 2, 3, 2) = 71.
4) l/(2, 3, 1, 4) = 8, i/(3, 5, 2, 1, 4) = 68, z/(l, 3, 3, 5, 2) = 9.
5) Пусть задано число т. Представим его в виде т = сц • 1! + «2 • 2! + ...
... + an-i (п — 1)!, где а; 1, 1 i < п. Построение искомой подстанов-
ки тг равносильно построению вектора (тг(1), тг(2), ..., 7г(п)). Координа-
ты 7r(J) зададим по индукции. Положим тг(1) = an-i + 1- Если коорди-
наты 7г(1), ..., 7r(j — 1) определены, то положим 7r(J) = an_j + 1 + s(J),
где s(J) — число тех 7г(&), 1 к < J, для которых 7г(&) <
6) 7Г7 = (2, 1, 4, 3), 7Г18 = (4, 1, 2, 3), 7Г28 = (2, 1, 5, 3, 4).
1.16. 1) Координаты вектора /3(т) = (/31, ..., /З/g) определяются сле-
дующим образом: /31 — наибольшее целое такое, что т Если
/31, ..., (3i уже определены, то fli+x — наибольшее целое такое, что
т~ Ю - (fc-1) - •••“ (k-El) > (k-i)' Единственность доказы-
вается так же, как и в задаче 1.15, 1).
2) а) Д(19) = (6, 4, 1, 0), так как Q) + + (|) + (J).
б) /3(25) = (6, 3, 2). в) Д(32) = (6, 5, 4, 1).
3) а) т = 18, так как т = (|/ + (|) + (4) = 23.
б) т = 13. в) т = 10.
4) Сопоставим вектору а = (сп, ..., ап) из сначала вектор (3 =
= (/31, ..., /З/g), в котором f3j + 1 является номером координаты (k — j + 1)-й
слева единицы в наборе а, 1 j; к. После этого полагаем и (а) — /dfjT) + 1.
Например, если а = (1, 0, 0, 1, 0), то /3 = (3, 0), i/(a) = /i(/3) + 1 = Q) +
+ (°) +i = 4.
1.17. При п = 1 равенство (1) проверяется непосредственно. Пусть
равенство доказано для некоторого п 1. Имеем
е (” t 'У=е ((;) + G ” О) <*=е (г)<*+е G" ,)<* =
к=0 к=0 к=0 к = 1
= Е (кУ + Е (fc)^+1 = (i + О” + + *)” = (i + *)n+1-
к=0 к=0
1.18. 1) Положить t = 1 в (1).
2) Положить t = — 1 в (1).
3) Продифференцировать (1) по t и положить t = 1.
4) Продифференцировать (1) дважды и положить t = 1.
5) С использованием 1) и 3) имеем
E(2fc + 1)(£) =21>(£)+Ё(£) = п • 2" + 2” = (n + 1) • 2".
к=0 к=0 к=0
6) Проинтегрировать тождество (1) по t от 0 до 1.
7) Проинтегрировать тождество (1) по t от —1 до 0.
8) Провести индукцию по п с использованием задач 1.13, 2) и 1.17, 7).
9) Сравнить коэффициенты при tk в левой и правой частях тождества
(l+t)n(l+t)m = (l+t)m+n.
10) Положить в задаче 9) к = п = т.
11) Делением на свести задачу к задаче 10).
1.1 9. 1) У2 (2*) = С1 + i)n + С1 - !)П = 2”-
к
2) 4^2 (4nfe) = (1 + 1)” + (1 + г)” + (1 + *2)" + (1 + i3V =
к
= 2" + (1 + г)" + (1 - 0" = 2П + (л/г)” (cos + j sin ^)"+
+ (а/2)" (cos - «sin = 2" + 2"/2 • 2cos
т — 1
з) 52ехр
д/=0
2тпг ] Л f 2тггг/1 \ п
----V И 1 + ехр 1-------1 ) =
ш J \ I т ) /
т — 1 т — 1
= ЕЧ?')ЕЕ(
и=0 s=0 к
т — 1 т — 1
= ЕЕ (mf+jE ехр{
к s=0 р=0
mfel+s)exp{;'
2Tvi(mk — s — г)
т
2Tvi(mk + s) 1 _
т J
"}=тХ(тк + гУ’
к
в последнем случае использовано тождество
Г 2тггп 1 f т, если п кратно т,
ехр -----v f
I т J [ U в противном случае.
1.2 0. 2) | ((1 + х/З)” + (1 - х/З)”)-
1.2 1. 1) 4. Член разложения С*© * 2fc^2 • з<20—fe)/3 рационален в том и
только том случае, когда к четно и 20 — к кратно 3, т.е. при к = 2, 8,
14, 20.
2) 13. 3) 9. 4) 6.
1.22. 1) —30288. Общий вид к-го члена разложения имеет вид ^^Afe,
где А = t(2 — 3f), причем в разложение Ак входят степени t от к-й до 2&-й.
Степень t9 входит в А5, А6, А7, А8 соответственно с коэффициентами
©©•2(-3>4’ ©©-23(-3)3’ (?)©'25(-3л ©GM-3)1-
Коэффициент при t9 является суммой этих величин и равен —30288.
2) -11340. 4) 0.
1.24. 1) =
’ к\ (fc-1)!
2) Ряд =
/с=0
= (1 + t)a, поскольку
по признаку Даламбера:
Q)fc +fe(a)fe-i = (а + l)fc
k\ k\
является рядом Маклорена функции f(t) =
= Ряд сходится при \t\ < 1 и всех а
+ / \kj £ + 1
lim
k—>oo
= t < 1.
Пусть r/g(t) — остаточный член ряда (в форме Коши). Покажем, что
rk(t) 0 при к оо; тем самым равенство будет доказано. Имеем
МО = -0)kt^ = (a)fc+1(l + 0ty-k-\l -0}к^ =
k\ k\
Здесь fc ^tk —> 0 при к оо, выражение д(1 + ограничено и
/ 1 _ 0 \ к
0 < I------) < 1 при 0 < 0 < 1, |£| < 1. Отсюда и следует, что lim r/g(t) =
\ 1 + 0t / к—>оо
= 0.
§ 2
2.1. 1) Доказательство. При п = 1 No = N — М = So — Si , фор-
мула (1), очевидно, справедлива. Пусть формула справедлива для п — 1
свойств, и пусть — число предметов, не обладающих ни одним из
свойств Н, ..., ik. Имеем
п — 1
Я = NT, „,,^т = N - Ni + 52 ~
i = l — 1
— Nij’k + • • • + (—l)n 1Ni,"',n-i. (*)
Эта формула справедлива и для совокупности предметов, обладающих
свойством п:
..—l,n=Nn- 52 М>п+... + (-1Г~1М,...,п-1,„, (**)
— 1
где Л/у —р п — число предметов, обладающих свойством п, но не обла-
дающих ни одним из свойств 1, ..., п — 1. Ясно, что
-^1, п-1,п
Вычитая формулу (**) из (*), получаем формулу (1).
2) Формулу (3) в соответствии с определением запишем следующим
образом:
Докажем, что каждый предмет, обладающий т свойствами, будет учтен
в ней ровно один раз, а все другие — ни разу. В самом деле, элементы,
обладающие s < т свойствами, не учитываются очевидным образом. Эле-
мент, обладающий заданными s = т +1 свойствами, будет учитываться
/ т + t \ тт
во внутренней сумме Раз- По
у- (_ 1\к (т + к\ ( т + t\ _ ( m + t\ /_.. xfc (t \ _ ( 1 ПРИ t = 0,
{ m ) \m + к) - m ) 2^ {kJ ~ 1 0 при t > 0.
k=0 k=0 k
Таким образом, в (3) ровно по одному разу учитываются элементы, обла-
дающие в точности т свойствами, а остальные не учитываются.
3) Заметим, что Nm+i = Nm — Nm, и докажем (4) индукцией по т.
По определению No = N = So- Тогда Ni = So — (So — Si + S2 — ...) =
n
= (—l)fe~1S/e. Тем самым (4) выполняется для т = 1. Пусть тождест-
к=1
во (4) справедливо при некотором т 1. Тогда
п — т
Nm+1=NNm-Nm = £ (-I)" + =
k=0
n-m n-(m + l)
= E +‘)s„.+. = E (-и1 (”™ ‘>-+.+-
k=l k=0
2.2. Общее число способов выдачи шляп равно 4! = 24. Вероятность то-
го, что ровно т человек получат свои шляпы, равна Хш/4!, где опреде-
ляется формулой (3) при п = 4. Имеем 7Уо = *$о — *$1+*$2 — *$з + *$4 = 4! —
- 4 • 3! + 6 • 2! - 4 • 1! + 1 = 9, ро = 3/8; М = Л - 2S2 + 3S3 - 4S4 = 4 • 3! -
- 2 • 6 • 2! + 3 • 4 - 4 • 1 = 8, pi = 1/3, p2 = 1/4, p3 = 0, p4 = 1/24.
2.3. 1) Число распределений предметов, при которых данные к ящиков
остаются пустыми, равно (п — k)r, Sk = . (п — • Остается применить
формулу (1).
п — т
2) Sm+k = куп-т-кУ, E(r,n,m) = 2Vm = ^(-l)fc(m + fc)x
к=0
п — т
4 л <=)<"-"•- ь>’ = U) Е «-ч1 (" г)
к=0
3) Использовать формулу (4) задачи 2.1, 3).
2.4. Указание. Использовать круги Эйлера.
1) 20%. 2) 60%. 3) 70%.
2.5. 1) 2. 2) 6. 3) 3.
2.6. 2) 457. Используя формулу (1), получаем Si = 675, S2 — 141,
S3 = 9, № = 457.
3) 734.
4) Имеем N = So = 30m, Si = 10m, S2 = 3m, S3 = m, No = So — Si +
+ S2 — S3 = 22m.
2.7. 1) 3n. Каждый элемент независимо от распределения других эле-
ментов может принадлежать одному из множеств *) XY_^_ XY или X Y.
2) п-2п. Один элемент из U принадлежит множеству XY U XY. Осталь-
ные элементы принадлежат одному из множеств XY или XY.
3) Зп. Равенство ХиУ2 = ХОУ равносильно равенству XY U
\J XYZ = U. Таким образом, каждый элемент из U содержится ровно в
одном из трех множеств XYZ, XY Z, XYZ.
4) Зп - (n + 2)2™ + п(п + 1) + 1. 5) п(2п - 2п).
2.9.4 п £
§ 3
3. 1. 1) Индукция. Числа ао, «1, •••, а/г-i определены по следующему
условию: если все члены ai при i п уже определены, то с помощью (1)
получаем an+i = —pian — p2an-i — ... — pkan-k+i-
2) Требуется показать, что сХп+к + picXn+k~r Ч ... + рксХп = 0, или,
что то же самое, сХп(Хк Ч piAfe-1 Ч ... Ч рк) = 0. Поскольку А является
корнем многочлена (2), то выражение в скобках обращается в 0.
3) То, что ап = ciXi + ... + СкХк удовлетворяет соотношению (1), сле-
дует из задачи 2) и из того, что если последовательности ап и Ьп удов-
*) Выражение «элемент v принадлежит множеству ХУ» здесь и да-
лее понимается в смысле v G X П (С7\У), a v G XY равносильно v G
G (U\X) П (U\Y).
летворяют соотношению (1), то и последовательность dn = аап + (ЗЪп ему
удовлетворяет при всех а и (3.
Покажем теперь, что любая последовательность ап, удовлетворяю-
щая (1), может быть представлена в виде ап = ci А™ + ... + Ck AJJ,
где ci — подходящие константы. В силу задачи 1) любая последователь-
ность ап, удовлетворяющая (1), полностью определяется своими первыми
членами ао, а±, ..., аь-i- Таким образом, остается показать, что для лю-
бых ао, ..., ak-i существуют ci, ..., Ск такие, что
ci + С2 + ... + Ck — ао,
ciAi + С2А2 + ... + CkXk =
С1А1 1 + С2А2 1 + . . . + Ck^k-l ~ ак-1-
(*)
Определитель системы (*) является определителем Вандермонда (см.:
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — Изд. 6. — М.: Физматгиз, 1959).
Он равен П (А^ — Aj) и не обращается в нуль, если Ai У Xj при
i\ Ф j . Следовательно, система (*) имеет (и притом единственное) решение.
4) Чтобы показать, что вякая последовательность указанного в усло-
вии вида удовлетворяет (1), достаточно показать, что последовательность
ап = птХп, где А — корень кратности г > т многочлена (2), удовлетво-
ряет (1). Подставляя as = smXs (s = п, ..., п + к) в левую часть (1) и
полагая ро = 1, получаем
L(n) = (п + к)тХп+к +Р1(п + к- + ...+ РкПтХп =
у к \ / к т \
= а" + =
j=0 ' i=Q '
/ т к \ z т \
= AV £ (7)«-iEwAfe-J'(fc -= XV £ (7)п-РКА)1,
j=0 ' 'г=0 '
к
где Pi (ж) = (А; ~ зУхк~^• Заметим, что Ро(х) = Р(х), где Р — мно-
j=o
гочлен (2). Поскольку А является r-кратным корнем многочлена Ро, то
Ро(х) = (х — X)rQo(x), где Qo — некоторый многочлен. Нетрудно прове-
рить, что Pi+1(x) = X — Pi(x). Поэтому Pi = (ж - Xy~lQi{x), Qi -
ax
многочлен. Отсюда следует, что Pi (A) = 0 при всех i < г. Следователь-
но, Р(А) = 0. Тем самым (1) выполнено для последовательности пшАп
при т < г, а тем самым и для последовательностей указанного в условии
вида.
Докажем теперь, что любая последовательность ап, удовлетворяющая (1)
при условии, что Ai является корнем кратности ri (г = 1, ..., s) много-
члена (2), имеет вид, указанный в формулировке задачи. При этом без
ограничения общности будем полагать, что рк 0, т. е. что нуль не яв-
ляется корнем характеристического многочлена. (Если рк = 0, то можно
упростить (1).) Для доказательства (см. решение задачи 3)) достаточно
показать, что для любых ао, ai, . • •, o>k-i система
С1,1 + . . . + Cs,l = До,
(С1,1 + С1,2 + • • • + С1;Г1 )А1 + . . . + (с5д + . . . + Cs^rs )AS = Д1,
(ci,i + ci^(k — 1) + ... + С1;Г1 (к — 1)Г1)А^ 1 + ...
... + (cs,i + cs,2(& - 1) + ... + cs,rs (к - 1р)А^-1 = ак-1
имеет решение. Для этого достаточно показать, что ее определитель не
равен нулю, или что векторы Ло, ..., A^-i, где А» = (AJ, гА1, ..., iri А1, ...
..., А*, г А*, ..., irs А7) (г = 0, ..., к — 1), линейно независимы. Предполо-
жим противное. Тогда существуют константы Jo, Ji, .. •, J/e-i, не все рав-
к-1
ные нулю, такие, что Л = JqAq + ... + dk-i^k-i = 0. Пусть Q(x) = diX1
г=0
и △ — оператор такой, что △/(#)= ж Положим Аа/= 1/).
Тогда А = (Q(Ai), AQ(Xi'), ..., △ri“1Q(Ai), ..., Q(AS), ..., △r^1Q(As)).
Заметим, что Q(A) = △Q(A) = ... = △r-1Q(A) при A = 0 тогда и только
тогда, когда А является корнем кратности г многочлена Q(x). Таким
образом, Л = 0 означает, что Ai является корнем кратности п, А2 яв-
ляется корнем кратности г2, наконец, As является корнем кратности rs
многочлена Q(x). Но п + г2 + ... + rs = к, a Q(x) является многочленом
степени меньше к и, следовательно, не может иметь к корней. Пришли к
противоречию. Таким образом, система (*) имеет и притом единственное
решение.
3. 2. 1) ci + с2 • Зп. Характеристический многочлен х2 — 4х + 3 имеет
корни Ai = 1 и А2 = 3. С использованием задачи 3.1, 3) получаем общее
решение ciAJ+c2A2.
2) С1(-3)"/2 + с2(-1)"(-3)п/2. 3) С1((1 + У5)/2)” + с2((1 - У5)/2)".
4) (-1)"(С1 + с2п). 5) (С1 + с2п)(—4)" + с3(-2)".
6) ( —1)П(С1 +с2п + сзп2).
3.3. 1) 7 + 3™. Общее решение ci + с2 • З71 (см. задачу 3.2, 1)). Из началь-
ных условий имеем ci + Зс2 = 10, х± + 9с2 = 16. Отсюда ci = 7, с2 = 1,
ап = 7 + 3™.
2) 3™ + (a/^T)™ + (-^T)™.
3) ci + С2П + сз(—2)™, где ci = (14 — b — 4с)/9, с2 = (5 + с — 2д)/3,
сз = (26 — с — д)/18.
4) cos ст. Корнями характеристического многочлена являются Ai,2 =
= е±га = cos а ± since. Общее решение ап = ciAJ + с2А^. Из равенств а± =
= cos се, д2 = cos2ce находим а = с2 = 1/2. Отсюда ап = (AJ + А^)/2 =
= cos ап.
5) 1 - (-1)п. 6) Зп(1 + п).
3.4. 1) Подставляя ап + b в (3) вместо ап, получаем, что а(п + 2) + 5 +
+ р(д(п + 1) + b) + q(an + 5) = ап + /3. Сравнивая коэффициенты при п
в левой и правой частях, а также свободные члены, получаем, что а =
= a/(l+p + q), b = ((l+p + g)/3-a(2+p))/(l+p + g)2.
2) Из того, что х = 1 является корнем многочлена х2 + рх + q , сле-
дует, что р = — 1 — q. Подставляя п(ап + Ь) вместо ап в равенство ап+ 2 +
+ — (р + 1)дп = ап + /3, получаем, что а = а/(2(р + 2)); Ь =
= (2/3(р + 2)-а(р + 4))/(2(р + 2)2).
3) Поскольку х = 1 является кратным корнем многочлена х2 + рх + q.
то р = 2, q = 1. Подставляя п2(ап + Ъ) вместо ап в равенство ап+2 +
+ 2an+i + ап = ап + (3 и сравнивая коэффициенты при п3, п2, п, п°, полу-
чаем, что коэффициенты при п3 и п2 равны 0 и а = а/6, b = (J3 — а)/2.
4) общее решение для задачи 1) ап = ci А™ + С2А2 + &п/(1 + р + q) +
+ (^(l+g + p)-a(p + 2))/(l+p + <7)2), где Л(1>2) - (-р ± л/р2 - 4д)/2;
для задачи 2) ап = ci(-p - 1)п + с2 + ап/(2(р + 2)) + (2/3(р + 2) - а(р±
±4))/2(р + 2)2); для задачи 3) ап = n2((cm/6) + (/? — сь)/2) + cin + с2.
3.5. 1) ап = 1+^2)- Общее решение рекуррентного соотношения
— ап = 0 есть произвольная константа с. Частное решение соотноше-
ния 1) будем искать в виде а* = п(ап + Ь). Подставляя его в соотноше-
ние 1), получаем, что а* = п(п — 1)/2. Общее решение соотношения 1) име-
ет вид ап = а* + с. Из условия ai = 1 находим, что с = 1, а следовательно,
ап = 1 + п(п — 1)/2.
2) ап = 2(—4)п — 3 • 2п + 5П. Общее решение однородного соотноше-
ния an+2 + 2an+i — 8ап = 0 имеет вид ci(—4)п + С2 • 2п. Частное решение
неоднородного соотношения 2) будем искать в виде а* = d • 5П. Подстав-
ляя а* вместо ai (г = п, п + 1, п + 2) в соотношение 2), получаем, что
d = 1. Общее решение неоднородного соотношения 2) ci(—4)п 4- С2 • 2п + 5П;
из начальных условий находим, что ci = 2, С2 = — 3.
3) 2"-1 + (У2)"-1. 4) 1 + rg (-2)" + п 5) 2П-З(п2 — п + 8).
2( 2( 1о
6) (МгчТз)".
\ 5 / о
3.6. 1) Невырожденным является случай, когда либо Qi 7^ 0, либо р2
Ф 0. Если Qi = р2 = 0, то, очевидно, ап = cip?, bn = C2Q2 • Пусть qi 0.
Тогда bn = l/(Qi(an+i - р\апУ), 6n+i = l/(gi(an+i ~ Pian+i)). Подстав-
ляя bn+i и bn во второе соотношение, получаем ап+2 + (— pi — q2)an+i +
+ (P1Q2 — P2qi)an = 0. Задача сведена к задаче 3.1.
а) ап = (5 + 2п) • 2n, bn = -(1 + 2п) • 2п.
3.7. 1) Индукция по п. При п = 2 соотношение Ег+т = F\Fm +
+ F2Fm+i = Fm + Fm+i верно для всех т 1. Индуктивный переход
п Т 1: Fn-\-l-\-m — Fn-\-m Т Fn-\-m—1 = Fn—iFm + FnFm+i T Fn—2Frn +
T Fn — lFm+1 = FnFm + Fn + iFm+i.
2) Провести индукцию по k.
3) Если бы Fn+x и Fn имели общий делитель d > 1, то и Fn_i и Fn
имели бы тот же общий делитель, поскольку Fn-i = Fn+i — Fn. По индук-
ции отсюда вытекало бы, что и Fi и F2 имели бы делитель d.
4) Способ представления. Если N = 2, то N = F2 + F±. Ес-
ли N > 2, то выбираем наибольшее п± такое, что Fni ^, затем наи-
большее П2 такое, что Fn2 N — Fni , и т. д. Тогда N = Fni + Fn2 + ...
Поскольку Fn+i. > Fn при п > 1, то представление не может содержать
двух чисел с одним и тем же индексом п > 2. Представление не может
содержать двух соседних чисел Fn и Fn+i, поскольку Fn + Fn+i = Fn+2,
и, значит, на том шаге, когда было выбрано Fn+i, должно было быть
выбрано
5) Общее решение рекуррентного соотношения Fn+2 = Fn+i + Fn дано
в задаче 3.2.
3) Используя начальные условия, получаем результат.
6), 7) Доказательство индукцией по п.
8) Применяя дважды тождество из задачи 1), имеем
Рзп = Fn-iF2n + FnF2n+i = Fn-i(Fn-iFn + FnFn+i) + Fn(F2 + F2-^) =
= F2_1Fn + Fn-iFnFn-i + Fn + Fn+i(Fn+i — Fn-i) =
= F^+1 + Pn + F2_1Fn + Fn+iFn-i (Fn — Fn-^-i) =
__ 7J|3 | 773 , 7712 7-j _ 771 7-i2 _ 7-j3 . t~i3 _ 77 3
-- “ П-\~1 I “ n • n—1-^ n n—1 * n + 1 I “ П ^n—1'
3.8. 1) (1 - i)-1. 2) 1 + t + ... + tN = (iN+1 - l)/(i - 1).
3) (1 — at)-1. 4)eat. 5)(l + t)-1. 6) t(l — i)-2. 7) 2t2(l - t)~3.
8)(l+t)m. 9)(l+t)a. 10) 7(7 + 1)(1-t)~3.
11) t sina(l — 27cos a + 72) x. 12) (1 — t cosa)(l — 2t cosa + 72) \
___Л j-n
I*. По определению E(t) = У n * = —. Этот ряд схо-
3.9. 1) ё
дится к ef.
ti=0
2) eat. 3) te\ 4) fe*.
5) (1 + t)m. По определению E(t) = = (1 + ^)n-
6)e\t2Ft). n=° П' n=°
3. 10. 1)-б) Сравнить коэффициенты при tk.
3. 11. 1) (™)qm-npn. 2)1. 3) (-1H1/2). 4) (-l)"-m(nTm).
5)
8) (E”2) • 2"'2 - • 2П’3- 9) (-I)”’1»-1-
10) -— -----. Воспользуемся тем, что /------------------ = arctg£. Имеем
2??, 1 J A. “I- x
оо 0
(1 + x2) 1 = (—1)пх2п. Интегрируя левую и правую части в пределах
71 = 0
от 0 до t, получаем, что
arctgf = X 2и + 1
71 = 0
11)
12)
13)
1 • 3 • ... • (2п - 1) 1 ЛГ Г dx
---------1------- ----. Указание. / . =
2 • 4 • ... • 2п 2п + 1 J V1 -ж2
о
(-2)11/2
-Е——— при четных п и 0 при нечетных п.
(п/2)!
(-1)”/2
, , —— при четных п и 0 при нечетных п.
(п/2 + 1)!
14) (-1г(£Д).
3. 12 1) Сравним коэффициенты при tn 1 в тождестве (l+f)n*
* (1 + = (1 + С одной стороны, этот коэффициент равен
=E<-ir‘C;=
2) Рассмотреть тождество (1 +£)m(l — t)m = (1 — t2)m и сравнить ко-
эффициенты при t2n.
3) Рассмотреть тождество (1 — £-1)ш * (1 — = (—l)mt-m(l —
и коэффициенты ПрИ tk~m,
4) Рассмотреть тождество ((1 + t)n + (1 — f)n)2 = (1 + t)2n + 2(1 — t2)n +
+ (1 — t)2n и коэффициенты при t2m.
5) Рассмотреть тождество ((1 + t)~n~r + (1 — f)-n-1)((l + t)~n~r —
— (1 — = (1 + t)~2n~2 — (1 — t)~2n~2 и коэффициенты при f2n+1.
6) Рассмотреть тождество (1 — t)2n(l + 2f(l — t) 2)n = (1 + t2)n и ко-
эффициенты при t2m.
3.13. 1) A(t) = ^antn = ^^tnJe~xxn dx = Je~x^ ^(xt)n dx =
n=0 n=0 q q n=Q
= fe~xE(xt)dx.
2) le~xextdx= = °
о о
3) Для последовательности an из условия имеем
лт = £(»)_,<-, вд= £ <^<"= £
Далее,
fexE(xt)dx = Je
О 0 j=°
(п -j)l
f е~ххп dx = ^2 = Л(0-
О 7=0
3.14. 1) Воспользоваться тождеством (1 + t)a+b = (1 + t)a • (1 +t)6.
Сравнивая коэффициенты при tn, получаем, что
Умножая обе части на п!, получаем доказываемое равенство.
2) Положим а = a/h, b' = b/h. Применяя тождество, доказанное в
задаче 1), к а' м.Ь', получаем, что (а1 (ц,)п_/г(5,)/г. Умножая
к
обе части на hn, получаем доказываемое тождество (ибо (a')s • hs = (a)s,h).
3.15. 1) Умножим равенство ап = bn — bn-i на tn и просуммируем по п.
ОО ОО
В области сходимости рядов У^ antn и У^ bntn справедливы тождества
оо оо п—0 п—0 ж
52 antn = ^(bn- bn-^tn = 52 ЬпГ - 52 Ь„-1С = B(t)(l - t)-
n = 0 П = 0 72 = 0 72 = 1
2) Умножим равенство ап = &n+i — bn на tn+1 и просуммируем по п в
пределах от 0 до оо. Получим tA(t) = В (t) — bo —
3) Заметим, что bn = an-i — ап. Отсюда B(t) = — A(t)(l — t) + a~i,
причем a-i = В(1).
4) Умножая равенство ап = nbn на tn и суммируя, получаем A(t) =
00 л
= nbntn =t — B(t).
72 = 1
5) Аналогично задаче 4).
6) Сравним коэффициенты при tn в равенстве A(t) — (1 — t)~kB(t).
Этот коэффициент для левой части равен по определению ап, а для правой
^2 (-1У (-Л)ь„_> = £ (k+j~1)bn-j = sk(bn).
j=0 j=0
7) Имеем В^1/2) = У^ &ntn/2, B(—t1^2) = У^ (—l)nbntn^2. Умножая
72 = 0 72 = 0
сумму этих рядов на 1/2, получаем
оо оо
± (B(t1/2) + B(-t1/2)) = 52 b2ntn = 52 antn = A(t).
72 = 0 72 = 0
8) Заметим, что bn = — атг- Теперь равенство A(t) = B(t) • t • (1 —
— t)-1 вытекает из задачи 2).
3.16. 1) Первый способ. Пусть C(t) — производящая функция по-
следовательности 1, 0, 0, ... По условию C(t) = A(t) ’ В(t). Следова-
тельно, должны выполняться равенства 1 = aobo, 0 = aobi + aibo, ...,
72
О = У^ ... Поскольку an=(j^^4 то для всех rz = 1, 2,...
7 = 0
72
У^ = 0 и (Jq^o = 1 для п = 0. Последовательно находим bo = 1,
7 = 0
bi =—т, 52=m(m + l)/2, Ьз = — т(т + 1)(т + 2)/6. Индукцией по п
нетрудно показать, что Ьп = ( Таким образом, B(t) = (1 + t)~m.
Второй способ. A(t) = (1 + t)m, B(t) = [A(t)]-1 = (1 + t)~m. Отсю-
да Ъп = (27).
2) Ьо = 1, bi = —а, Ьп = 0 при п > 1, B(t) = 1 — at. Имеем A(t) =
= = (1 — at)-1, а поскольку A(t)B(t) = 1, то B(t) = 1 — at.
п^0
3) bo = b2 = 1, 61 = -2, bn = 0 (n > 2), B(7) = (1 - 7)2.
4) b2n = (-1)”, 62„+i = 0 (n 0), B(t) = (1 + t2)-1.
5)6o=6i = l, B(t) = l+t. 6)Ь„= (т/2), B(t) = yi+7.
3. 17. 1) Умножая на tn+2
+ ptA(t) — paot + qA(t)t2.
2) Представим A(t) в виде
и суммируя, получаем A(t) = ait — ао +
ci
С2
= —>
Ai — A2
а± + рао + Aicio
1 - Ait
1 — Ait 1 — A2t
сц + рао + A2fto
~ 1 - A2t
. Найдя ci и С2, получим
Найдя коэффициент
при tn в разложении A(t) в ряд по степеням t, получим выражение для ап.
3) Представим A(t) в виде ———
1 — At
С2 _ ао + (ai — 2Acio)t
(1 - At)2
(1 - At)2
найдем,
I ^2 Т7Г ^1 I
+ -------—. Из равенства ------------+
(1 - At)2 1 1 - At
ai , o ai
что Ci = —— + 2до, C2 = — — do-
Разлагая A(t) в ряд, получаем
= («о + n^— — ao) ) A71.
A(t) = 52 (ciAn + c2(n + 1) • Xn)tn,
n~O
an —
3. 18. 1) Указание. Использовать тождество из задачи 1.15, 3).
2) Умножим каждое из соотношений задачи 1) на tn+1 и просуммируем
по тг от 0 до оо. С использованием начальных условий получаем соотноше-
ния между производящими функциями.
3) A(i) = —B(t) =---------------
’ v ’ 1 - 3t + t2 v ’ 1 - 3t +12
3 I \/5
4) Корнями уравнения 1 — 3t +12 = 0 являются Ai = —-— и A2 =
_ 3—Выразим A(t) в виде A(t) = — --------1-----—. Поскольку A(t) =
2 1 — Ait 1 — A2t
1 - t
= ------— -----, то приравняв правые части, получим равенство
(1 - Ait) • (1 - A2t)
а (1 — A2t) + 6(1 — Ait) = 1 — t. Отсюда a = ——— = 1 + . ^/5, 5 —
Ai — A2 2
1 v^-l /Em 1 /1 + \/5 a/5-1\
= 1 — a = -----• V5. 1 аким образом, Alt) = —— -------+-------- .
2 н ? \ / 2Уб VI- Ait 1 — A2t/
Аналогично находим B(t) = —= (------—-------). Разлагая A(t) и B(t) в
v5 VI — Ait 1 — A2t/
ряд по степеням t, получаем, что an = (2-/5)-1((l + х/5)А" + (-/5 — l)A"j,
bn = ^~1^-X^. C учетом неравенств 0 < A2 < Ai получаем, что
lim ап Xln = 1 + ^, lim bn Af” = 4=.
п—>эс 2V5 п—>ОО +5
3.19. 1) Умножая на tn и суммируя исходное соотношение, получаем
A(t) — ао = tA2(t).
2) Имеем
A(t) = (2i)-1(l - (1 - 4t)1/2) = (2£)-1
(1-Е(-1гСЛ(4И =
V п=о А
=2Ё =f ^(2,
п=1 п=0
3) Умножая на tn и суммируя по п, получаем для производящей функ-
ции A(t) = 52 antn функциональное уравнение A2(t) = A(2t). Будем ис-
п=0
кать его решение в виде A(t) = eat. Эта функция, очевидно, удовлетворяет
функциональному уравнению. Учитывая, что а± = 1, находим, что а = 1,
откуда ап = 1/п!. Единственность решения вытекает из исходных соотно-
шений.
3.20. 1) Пронумеруем вершины (п + 2)-угольника числами 1, 2, ...
..., п + 2 по часовой стрелке. Возможны два случая.
Первый случай. Через вершину п + 2 не проходит ни одна диаго-
наль. Тогда должна существовать диагональ между вершинами 1 и п + 1,
а число способов разбиения равно an-i«
Второй случай. Существует диагональ, исходящая из верши-
ны п + 2. Пусть к — наименьший номер такой, что вершина к + 1 сое-
динена диагональю с вершиной п + 2. Если к 2, то существует диаго-
наль вида (1, & + 1). Тогда число разбиений исходного (п + 2)-угольника
равно числу разбиений (к + 1)-угольника с вершинами 1, 2, ..., & + 1, ум-
ноженному на число разбиений (п — к + 2)-угольника с вершинами к + 1,
к + 2, ..., п + 2, т.е. равно ak-ian-k (2 к п). Естественно считать,
п
что во = 1- Тогда имеем ап = ^^ak-ian-k- Так же, как в задаче 3.19,
1 (2п\ к=1
находим, что ап = ------1
п + 1 V п /
2) ап = -----I j. Решается аналогично задаче 1).
п + 1 \ п /
3.21. 1) nl. 2) (—l)n-1/(n — 1)!.
3) I2 • З2 • ... • (п — 2)2/п\ при нечетных п, 0 при четных п.
4) 0 при нечетных гг, (—1)п/2 • 2-п((п/2)!)-1 при четных п.
5) (—1)(п-1)/2п2 при нечетных п, 0 при четных п.
6) ап = Fni где {Д?} = 1, 1, 2, 3 — последовательность Фибоначчи.
Докажем сначала, что если последовательность {цп} удовлетворяет соот-
ношению
^п + 2 = + i Т anj O,Q = G-1 = 1, (*)
то она удовлетворяет соотношению
GLnQn-\-2 = ( 1) , &0 = 0,1 — 1« (**)
При п = 0, 1 утверждение справедливо. Индуктивный переход:
^n + 2 O,n-\-iQn-\-3 — (Zn_|_2 ®п+1 (®п+2 T &п + 1) =
/ \ 2 ___ 2 _ / \п + 2
— О,п+2\Оп-\-2 ttn + lj Оп-1-1 — Оп-^2Оп 1)
Таким образом, {Еп} удовлетворяет (**)• Других решений соотноше-
ние (**) не имеет в силу того, что (**) вместе с начальными условиями
определяет ап единственным образом.
3.22. 1) Умножая рекуррентное соотношение на tk и суммируя по к,
получаем, что (1 — t)An(t) = An+i(t).
2) Поскольку а(0, 0) = 1 и а(0, к) = 0 при всех к > 0, то Ao(t) — 1. Ин-
дукцией по п с использованием задачи 1) получаем, что An(t) = (1 — t)~n.
3) Разлагая а(п, к) в ряд, получаем, что а(п, к) = ( ^п)(—1)к =
= (“+Г‘)-
3.23. 1) 20. 3) 6. 3) 10.
3.24. 1) A(t) = (1 - t2)-1 • (1 - А3)-1 • (1 - А5)-1.
3.25. 1) Заметим, что A(qt) = — qk+1 • t) = Д(£)(1 — qt)-1 и, сле-
k=i
довательно, A(t) = A(qt)(l + qt). Коэффициент при tn в левой части равен
по определению ап, в правой anqn — an-iqn~1. Отсюда индукцией по п
получаем, что ап = qn(jl+v>/2 JJ(gfe — l)-1 (тг = 1, 2, ..., ао = 1).
k=Q
2) См. решение задачи 3.24, 1).
п
3.26. 1), 2) S(n, к, I + 1) = £ (-1)— [(” +1) - (4 г)] х
17 = 0
п + 1
X (n +1 + ь = -£ (-1Г+1--' (и +1) (р + ок +
17 = 1
+ 52 (-l)”-" (”)(" + l)k = ~S(n + 1, к, 0 + S(n, fc, Z).
17=1
3) S(n, к + 1, I) = 52 (-1)"-*' (2) (р + + Z) =
и=0
= 52 (-i)n-pn(2 z +is(n, к, о =
и=0
= n52(-D— ((-)_("4))+zsb fc, о =
v=0
= (п + l)D(n, к, I) + nS(n — 1, к, I).
4) Доказательство индукцией по А; с использованием задачи 3). Для лю-
п
бых I и п > 1 имеем 5(тг, 0, Z) = У2 (—l)n-z/ = 0. Пусть утверждение
17 = 0
верно для некоторого к 0, любых п > к и любых I. Пусть к + 1 < п.
Из задачи 3) имеем S(n, к + 1, 1) = (п + l)S(n, к, I) + nS(n — 1, к, I). Пос-
кольку к < п — 1, то в силу предположения индукции 5(тг, к, Z) =
= S(n — 1, к, I) = 0 и, следовательно, S(n, к + 1, I) = 0.
5) Индукция по п. Имеем 5(0, 0, Z) = 1° = 1 = 0!. Пусть S(n, п, I) = п\
для некоторого п 0 и всех I. Используя задачи 3) и 4), получаем
5(тг + 1, п + 1, 1) = (тг + 1 + Г)3(п + 1, тг, Z) + (тг + 1)5(тг, тг, I) =
= (тг + 1)5(тг, тг, Z) = (тг + 1)!.
6) Индукция по к. В силу задачи 5) имеем 5(тг, тг, I) = тг! > 0 при
всех тг и всех I. Пусть 5(тг, к, Z) 0 для некоторого к > тг и любых тг и I.
Воспользовавшись задачей 3), имеем 5(тг, к + 1, Z) = (тг + /)5(тг, к, I) +
+ тг5(тг — 1, к, Z) > 0.
7) Вытекает из задач 1), 2) и 6). 8) Вытекает из задач 3) и 5).
9) Может быть выведено из задач 3) и 4) индукцией по к.
3.27. 1) В силу задачи 3.26, 9) имеем <п(А) = 52ж fc, or = ^2^ =
к=0 к=1
= t(l — t)-1. Далее в силу задачи 3.26, 3) имеем 5(тг, к + 1) = тг5(тг, к) +
+ nS(n — 1, к). Умножая обе части равенства на tk+1 и суммируя по к,
получаем сгп(7)(1 — nt) = nt(yn-i(t). Теперь утверждение доказывается ин-
дукцией по п.
2) При п = 1 правые части формул из задач 1) и 2) для сгп совпа-
п
дают. Если будет доказано, что для an(t) = t
к=1
справедливо рекуррентное соотношение an-i(t) = ((1 — nt)/(nt)) • crn(t), то
утверждение будет вытекать из него по индукции. Имеем
= к^£(-1)"Л(Д(1-kt)-1 =
nt nt ЛJ
k=l
Е/ 1\n-k fn - 1\ 1 - nt _ , Л\П-к(п-1\(Л (n - k)t\ _
k-1 k=l
n—1 n—1
= £ (-i)-*+1 (” I i) ~T) (i - kt)-1 =
k=l k—1 z 4
= &n-l(t).
§4
4.1. 1) (0, 0, 0, 1). 2) (2, 1, 0, 0). 3) (0, 0, 2, 0, 0, 0).
4) (2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0).
4.2. Транспозицию элементов i и j обозначим парой (г, j). Тогда
(2,3,4,1) = (1,2)(2,3)(3,4), (4,2,3,1) = (1,4)(1, 2)(1,3), (3, 4, 5, 6, 1, 2) =
= (1, 5)(2, 6)(3, 5)(4, 6), (8, 2, 1, 7, 4, 6, 3, 5) = (1, 3)(1, 7)(4, 5)(4, 8)(1, 4).
4.3. 1) Существуют четыре поворота квадрата в плоскости, перево-
дящие квадрат в себя: на 0°, на 90°, на 180°, на 270°. Этим поворотом
соответствуют подстановки (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 1), (3, 4, 1, 2), (4, 1, 2, 3).
Первая из подстановок имеет тип (4, 0, 0, 0), остальные — тип (0, 0, 0, 1).
Цикловой индекс: Pc(fi, ^2, £з? t±) = (t* + 3^)/4.
2) Кроме подстановок задачи 1) появляются еще четыре: (1, 4, 3, 2),
(3, 2, 1, 4), (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), соответствующие поворотам квадрата
вокруг диагоналей и осей. Две из них имеют тип (2, 1, 0, 0), а две другие —
тип (0, 0, 0, 1). Отсюда Pg = + 3^4 + 2^2 + 2t%)/8.
3) Существует 12 вращений тетраэдра: тождественное; восемь враще-
ний на 120° вокруг оси, проходящей через вершину и середину противо-
положной грани; три вращения вокруг оси, проходящей через середины
противоположных ребер. Отсюда Pg = + 8£Пз + 3^2)/12.
4) PG = (tf + 8tf + 3^^)/12. 5) PG = (if + 8tit3 + 3ti)/12.
6) PG = Ц? + ЗМ2 + 2t3)/6. 7) PG = + 8trt3 + 3ii)/12.
4.4. 1) Докажем это утверждение непосредственно и с помощью леммы
Бернсайда. Группа G состоит из подстановок ти = (1, 2, 3, 4), 7Г2 = (2, 3,
4, 1), 7Гз = (3, 4, 1, 2), 7Г4 = (4, 1, 2, 3). Непосредственно видно, что для
любой пары 1 г, j4 существует подстановка тг такая, что tg = j.
Таким образом, все элементы эквивалентны. Имеется один класс эквива-
лентности. Теперь получим тот же результат с помощью леммы Бернсай-
да. Имеем |(7| = 4, бЦти) = 4, бЦтгЦ = 0 при i = 2, 3, 4. Отсюда v(G) =
= (4 + 0 + 0 + 0)/4 = 1.
2) Заметим, что элементы 1 и 2 переводятся один в другой переста-
новкой 7Гз, а перестановка 7Г2 переводит друг в друга элементы 3 и 4,
25 Г.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
но ни одна из перестановок не переводит элементы множества {1, 2} в
элементы множества {3, 4}. Таким образом, имеются две орбиты. Приме-
ним лемму Бернсайда: |(7| = 4, — 4, 61(^2) = 6(тгз) = 2, 61(тг4) = О,
v(G) = (4 + 2 + 2 + 0)/4 = 2.
4.5. Требуется доказать, что |G|p(G) = ^2&1(тг), где |(7| — порядок
tv EG
(число элементов) группы G, v(G) — число классов ^-эквивалентности
(орбит) на множестве Zn, 51(тг) — число элементов, которые подстановка тг
оставляет на месте. Положим Gy^x = {тг Е G: тгу = х}. Если М С Zn —
некоторая орбита и х Е М, то G = |J Gy^x. При этом, очевидно, Gr^x А
уЕМ
nGy^x = 0 при v ф у. Заметим, что = |(7Ж-|, если у ~ х, т.е.
если у принадлежит той же орбите, что и х. В самом деле, если a Е Gy^x
и = {ТГ1, ..., тгт), то {(Т7Г1, ..., сг7гт} Е Gy^x, причем aTVi aTVj
при i ф j. С другой стороны, если Gy^x = {cri, ..., ak} и а Е Gy^x, то
{сг_1сг1, ..., a~rah} С Gx-+x и a~xai ф cr~1aj при i ф j. Отсюда вытекает,
что \Gy->ж| = Пусть теперь Mi, ..., MI/(G!) — орбиты и Xi Е Mi.
Т°ГДа ,(«) ,(G)
Е(тг) = 52 = 52 52 ig^.i = 52 igi = igi • ^g).
ttEG xEZn г=1 yEM^ i=l
4.6. 1) Каждую подстановку тг из Sn, имеющую тип b = (61, 62, • • •, bn),
можно представить в виде произведения циклов так, чтобы длины циклов
не убывали: я = (г1)(€г)... (ibr )(«ь1+1, ib-t+z) • • • Две такие записи могут
задавать, вообще говоря, одну и ту же подстановку. Это может произойти
в двух случаях:
а) когда одинаковые циклы стоят в этих записях на разных местах;
б) когда циклы хотя и равны (как циклы подстановки), но их записи
начинаются с разных элементов (например, (1 2 3) и (2 3 1)). Первая при-
п
чина приводит к повторению одной и той же подстановки вторая —
тт ь к=1
к повторению I I кк раз. Эти причины действуют независимо.
к=1
2) По определению имеем
pSn (t15..., = («о-152 . tbn^ =
TtESn
= («!)-1E E tbG--tbn =(п!)-1Емь)П^-
b 7TGH(b) b г = 1
3) Имеем
Коэффициент при xn равен сумме по всевозможным целым неотрицатель-
ным числам bi, 62, ... таким, что bi + 262 + ... + nbn = п, слагаемых
п
вида
к=1
4.7. Заметим, что цикл четной длины является нечетной подстановкой,
а цикл нечетной длины — четной подстановкой. В выражение Fsn(ti,
—^2, .(—l)n~1tn) каждая нечетная подстановка типа (bi, ..., Ъп) дает
вклад, равный — tj1 ... tb^ , а в выражение Psn (fi, ..., tn) — вклад, рав-
ный t^1 ... tn . Поэтому слагаемые правой части доказываемого равенства,
соответствующие нечетным подстановкам, взаимно уничтожаются, а сла-
гаемые, соответствующие четным подстановкам, удваиваются. Кроме того,
как легко видеть, |An | = |Sn |/2 = (п!)/2. Отсюда и вытекает утверждение.
4.8. 1), 2) Очевидно. 3) По определению Pg-
4.9. 1) 20. Ожерелье из семи бусин можно окрасить в два цвета 27 = 128
способами. Имеется множество G из семи различных поворотов ти, ..., 7Г7,
переводящих ожерелье в себя. Тип тождественной перестановки есть (7, 0,
0, 0, 0, 0, 0), тип каждой из остальных подстановок имеет вид (0, 0, 0, 0, 0,
0, 1). Цикловой индекс есть Fg(£i, ..., £7) = (ii + 6fr)/7. По теореме Пойа
число различных классов эквивалентности равно Fg(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) = 20.
2) Цикловой индекс есть F(£i, •. •, tn) = (tf + (n — V)tn)/n. Число оже-
релий равно P(k, ..., k) = (kn + (n — l)k)/n.
4.10. 1) Цикловой индекс равен (см. задачу 4.3, 3)) Pg — (t4 + Stit^ +
+ 3t|)/12. По теореме Пойа число окрасок равно Fg(2, 2, 2, 2) = 5.
2) Цикловой индекс Pg найден в задаче 4.3, 9). Число окрасок рав-
но FG(3, 3, 3, 3, 3, 3) = 57.
3) Пусть М — множество граней куба, G — группа вращений, N -
множество, состоящее из трех цветов: красного, синего и белого. Придадим
вес х красному цвету, вес у синему и z белому. Цикловой индекс (см. за-
дачу 4.3, 8)) есть Pg = (tf + 3£2£i + 6£2£4 + б£3 + 8^з)/24. По теореме Пойа
перечисляющий ряд для функций равен Fg(/i, /2, /з- /4), где fk = xk +
+ yk + Zk (k = 1, 2, 3, 4). Таким образом, F<?(/i, /2, /з, /4) = ((ж + у +
+ г)6 + 3(ж + у + z)2(x2 + у2 + z2)2 + 6(ж + у + г)2(ж4 + у4 + z4) + 6(ж2 +
+ у2 + г2)3 + 8(ж3 + у3 + z3)2). Число различных окрасок, при которых
три грани окрашены в красный цвет, две - - в синий и одна — - в белый,
равно коэффициенту C3,2,i(Fg) при x3y2z4 в Fg(/i, /2, /з, /4). Имеем
сз,2,1Рв(/1,/2,/з,/4) = c3j2,i((» + ?/+ г)6+3(® + t/+ z)2(®2+?/2+г2)2) =
= + 3-2-2) =3.
24 \3!2!1! 7
4.11. Pg(N, N. ..., N). Следует из теоремы Пойа.
4.14. 1), 2) Пусть тг — некоторая подстановка из п элементов, имею-
щая к циклов. Элемент п в ней может образовывать единичный цикл. Тогда
такой перестановке можно взаимно однозначно поставить в соответствие
перестановку из п — 1 элементов с к — 1 циклами (число таковых рав-
но р(п — к, к — 1)). Если элемент п не образует единичного цикла, то
перестановка тг может быть получена из некоторой подстановки из п — 1
элементов с к циклами каждая путем включения элемента в некоторый
цикл. Для фиксированной перестановки на п — 1 элементах с к циклами
такое включение можно провести п — 1 способами (ставить элемент п на
первое место нельзя, так как п — наибольший элемент). Отсюда следует,
что F(n, к) = р(п — 1, к — 1) + р(п — 1, к) • (п — 1). Умножая равенство
на tk и суммируя по к, получаем соотношение между производящими функ-
циями 9*п(£) = (£ + п — l)9n-i(t). Отсюда по индукции с учетом равенст-
ва pi(t) = t получаем, что 27Ч(£) = t(t + 1)... (£ + п — 1).
§5
5.1. 1) Заметим, что п (г + 1)(п — г) < ((п + 1)/2)2 при 0 i < п.
Отсюда
,.-'Ч П « + п + ДЛГ
1^г^п/2 1^г<тг/2
2) Заметить, что (г + 1) (2п — г) п(п + 1).
п п п
3) Имеем (1 + 1) "= £ i £ 1 < 2 + £ i < 3.
/г=0 fc=O fc = l
4) Индукция по п. При п = 1 неравенство верно. Если (п/3)п < п!, то
((п + l)/3)"+1 = (n/3)n((n + 1)/гг)п < (см. 3)) (n/3)n(n + 1) < (n + 1)!.
5) Заметив, что (тг!)2 (2п)! • 2~п, воспользоваться результатом за-
дачи 2).
6) Использовать неравенство Коши - • - аь («1 + о>2 + . . . + a>k)/k,
ai 0, и тот факт, что среднее арифметическое множителей, стоящих в
2 .2 2n + 1
левой части неравенства, равно ——г — —-—.
7) Положив ап = (2п — 1) ^/Зп + 1 (2п!!)-1, показать, что a2+i/a2 < 1.
Далее провести индукцию по п.
00 к п
Г,\ -/Г» 2 • ГА\ п \ Пп
8) Заметить, что г(2гг — г) < п при г < п. 9) е = у — > —-.
к=0
10) При п = 1 неравенство очевидно. Предположим, что (1 + а) >
> 1 + ап для всех — 1 а и некоторого п 1. Тогда (1 + ci)n+1 =
= (1 + а)(1 + а)п (1 + а)(1 + ап) = 1 + а(п + 1) + а2п 1 + а(п + 1).
11) Разложив обе части неравенства по формуле бинома Ньютона, срав-
(П \ _ и
к)п ~
= (” + 1)(n + l)-fc при fc = 0, 1. Далее, {j.)n~k / (п + 1)(п+ 1)~* =
= (1 — к/(п + 1))(1 — l/(n + l))fe. В силу задачи 10) отношение не превос-
ходит 1. Таким образом, каждое слагаемое разложения (1 + 1/п)п не пре-
восходит соответствующего слагаемого из разложения (1 + l/(n + l))n+1.
Кроме того, в последнем разложении имеется еще (п + 2)-е слагаемое,
равное (п -р l)_(n+1) > 0. Отсюда и вытекает строгое неравенство.
5.2. 1) Положим ак = ! /(^) И У$едимся> чт0 ак+1 при
к 1. С учетом того, что а± 1, отсюда следует первое неравенство.
Второе вытекает из задачи 5.1, 3).
2) ( — при 1 к п. Второе неравенство можно получить,
\ к / к\
рассмотрев отношение Qfe+1, где ак = кк(п — к)п~кп~п. Имеем
flfe+1 = (1 + (п — к — l)-1)n-fc_1 fl + -^ . Поскольку fl + —монотон-
ен \ к/ \ т/
но возрастает с ростом т (см. задачу 5.1, 11)), то ak+1 1 при к ------.
ак 2
Отсюда с учетом того, что ai < 1 , вытекает справедливость неравенст-
ва ak < 1 для к . Для к > — неравенство вытекает из соображений
симметрии.
3) Первое неравенство докажем индукцией по п. При п = 1 неравенство
верно. Предполагая его справедливость при некотором п 1, имеем
2(n + 1) \ 2 f ^п\ > 2 1
n + 1 / п + 1 \ ™ / п + 1
4^
2 у/п >
> (2п + 1) . > 1 . дп+1
у/п + 1 • п 2 у/п + 1
Второе неравенство можно доказать по индукции с использованием зада-
чи 5.1, 7).
5.3. 1) (2п - 1)!! = (2п)!(п!)-1 • 2~п -
~ Л/27г(2п)(2п)2пе-2г1(27гп)-1/2п-пе" • 2~п ~ л/2п"е~и 2”.
2) = (2n)!(n!)-2 ~ v/4^(2n)2ne-2n(27m)-1 х
х п~2п22п sin(7rn)-1/2 4”.
5) (2га)!!((2га — I)!!)-1 = (2n)!((2n — I)!!)-2. Далее можно использовать
формулу Стирлинга и результат задачи 1).
5. 4.1) /(1 + t)n dt = -+- (1 + i)n+11 = -----1-. С другой сто-
J n + 1 Io n + 1 n + 1
РОИЫ, /<1 + ,)» Л = ft f'Y ©
о о k=0 к=0 о k=0
2) Воспользовавшись результатом задачи 1.19, 3), имеем
Заметим, что | ехр {—2тггг1//А;}| = 1 и
1 + ехр
-1 । 2тгг/ , • •
1 + cos-------+ г sin
к
2тгг/ I
~k~\
|_ 7TZ7 ( TVU . . 7TZX \ | _ | 7FZ/ |
= |2cos — (^cos — + «sin — j| = 2 |cos — |
2 cos —.
к
Отсюда
1/=1
3) Воспользоваться результатом задачи 1.20, 1) и заметить, что
11 + ae27rl//fe | 1 — а + 2а cos — < 1 + а при 0 < и < к.
к
4) С использованием задач 1.18, 9) и 5.3, 2) получаем
Ё ©)’ = 'Ё (?::)(„© ="©-) = к© ~ 5
к=1 к=1 v
5. 5. 1) Да. Справедливость неравенств следует из того, что
ак
2) Нет. Контрпримером может служить последовательность {bk} такая,
что bk = 2 • 3~к при к четном, bk = 3~к при к нечетном. Полагая а = 1/3
и с = 2/3, имеем 0 < ак bk < ск < 1. Однако в силу задачи 1.22, 1) по-
лучаем
Ё и*©*.=£(->* (г) (|)*+е(!".)(1)" =
к=0 к=0 s
= (H)'DD ЁЧ -ID ><>-»>"
5.6. 1) Имеем
да bt Da/t2.
Da = i V (di — d) -
n n
г = 1 ai :
(di — d)2 6tt2. Отсю-
\ai-a\^t
2) Рассмотрим множество A = {do, di, ..., d2”-i}, в котором а„ -
число единиц в двоичном векторе а — (ал, ..., ап), имеющем номер у.
Заметим, что а = 2 п
0^р<2п
Яр - 2 " У2 k(jk) ~
0^/е<2
—. Заметим, далее, что
число, стоящее в левой части доказываемого неравенства, равно числу
тех а„, для которых |ар — а| t у/п. В силу задачи 1) это число не пре-
восходит Da/(t у/п)2. Но
2nDa= (а,-о)2 = (А - «2) =-2па2 + 52 *2(fc) =
0<^<2п 0^и<2п
= —2” + (п2 + п)2п~2 = ni
Таким образом, 2пDa/(t у/п)2 = 2n~2/t2.
3) Оценка снизу. Положим t = Inn. С учетом задачи 2) имеем
Е₽(Э> Е (‘D
к = 1 k: \k — n/2\<ty/n \k — n/2\<ty/n
> 4 (2п - — ~ —
(n — 4ty/n)2 \ t2 / п2
Q / (еп\п
Оценка сверху. Заметим сначала, что — J в силу зада-
чи 5.2, 1) и (fc 2 J/(fc) = n_fc + 1 <| при fc Ё. Поэтому
к : \k — n/2\^.ty/n г—О
+ А (1 + (iw-1/2)) 2" < п~2 2п+2.
п2
5. 7. 1) Используя формулу (2), имеем
у/ппп(1 + О(1/п))
у/2тг/с(п — к) кк(п — к)п~к
Положим х = п/2 — к, тогда полученное выражение можно переписать в
Имеем, далее,
~ (п\ 2П+1 ( (2к-п)2\
Отсюда I , I ~ —== ехр к
\^/ у2тгп I nJ
4) Положим xi = х + 2 д/1пп, к(х} = na^Vx^/na^ Тогда
а + 1
е (:)«-= е (:)-"+ е О-
k(x)^.v^.k(xi) д/>/е(ж1)
Но yv)0,1' ГДе ® СИЛУ задачи 2) получаем
отсюда, что
52 (2)°* п(2тгпа)-1/2(1 + а)п+1 ехр {-у} =
17>&(Ж1)
= п1/2(2тг)-1у/2(1 + a)n+1 ехр | —— х Vin п — 2 In
п-3/2(2тг)-1/2(1 + аГ+1е~х2/2 - xVh^. (*)
С другой стороны, из задачи 3) следует, что
Из (*) и (**) вытекает искомая оценка.
5. 8. 1) Используя неравенство (2) и вытекающее из него неравенст-
во п\ > д/2тгп ппе~п, получаем
V2^exp(-n+ll-) = е1/(12п) ~
\^п) 2тгп уСХД (Ап)Хп (/j,n)^n ехр {—Хп — /j/п} y/27rnXjlХХп/1,^п 1
С другой стороны,
у/2тгп пп ехр {—п}
\Ап) > ( 11
2тгп л/Ар (Ап)Хгг (рп)^п ехр < —Ап — рп ----1------
[ 12/zn 12Ап
= ехр {-(l/(12n))(1/А + 1/м)} G^n Лч
у/2япАр АХпр^п
2) Нижняя оценка вытекает из решения задачи 1). Для получения
верхней оценки, воспользовавшись неравенствами (2), имеем
( п\ f 1 1 1 1 11
\Хп) [ 12n 12An 12jtzn ЗбО(Ап)3 360(дш)3 J
Без ограничения общности можно считать, что А р. Тогда ,
а 360(W + 360^ “ 180^ - < °- Сл<~ельно,
© < G(n, А).
3) Используя нижнюю оценку из задачи 2), получаем ( 1 > G(n, А) х
I 1
х ехр <-------
[ 12пАр
. Но ехр {—(12nA/z) 1}^ехр{—(Зп) г} ехр
> при п 3, ехр | — 1 При п = 2 и Ап = рп = 1 выполняется
равенство.
4) Верхняя оценка
k=Xn i=l
5) Неравенство легко проверяется в случаях, когда
а) А = 1 (поскольку (fc) < 2" = Q) ^Q) Ь
б) Ап = п — 1 (левая часть есть п + 1, а правая равна (—п)’
в) 3 п 5, п/2 < Ап < п — 1 (непосредственно). Пусть теперь п 5
и п/2 < Ап п — 2. Из задач 4) и 1) следует, что
^2 g) < А(2А - I)’1 (Лпп) < А1/2(2Л - 1)-1(2тт(1 - А))-1/2Л-а>-"\
Хп
Положим /(А) = Аг/2(2А — 1)-1(2тгп(1 — А))-1/2. Требуется показать, что
/(А) < 1 при А Е [1/2 + €, (п — 2)/п], где е = 1/п при четных п и 1/(2п)
при нечетных п. Дифференцируя по А, замечаем, что функция /(А) выпукла
вниз на исследуемом сегменте. Поэтому максимальные значения следует
искать на концах сегмента. Имеем
f G+е)= (1+2e)_1 (2™ G_ е))
= ((1 — 4s2) • 2тгп)-1/2 ^1 — • 2тгп) < 1
при всех п 5.
Рассмотрим правый конец интервала:
ЛХН)=О14)" A-
при п 6. Если А < 1/2, то р = 1 — А > 1/2.
6) Поскольку то с использованием задачи 5) полу-
-«-•™ £ (;)=£(;)<<'"л-*--
O^fc^An k=p,n
k — 1 . (k—1 . x
5.9. 1) (п)ь = nk П (1 — —) = nk exp < In (1 — —) >, но
k-i
2) Очевидно, что (п)& nk. С другой стороны, (n)k — f[(n — г) >
i=o
> (n — k)k = nk (1 — nk (1 — —) ~ (так как k = о(у/п)) ~ nk(l —
-o(l)).
k-1
3) Воспользуемся тем (см. задачу 5.13, 2)), что iu = (у + I)-1 к17+1 +
i=l
+ О(к^). Отсюда в силу задачи 1) имеем при к —> оо и к = о(п)
Отсюда и следует искомое равенство.
4) Следует воспользоваться задачей 3) при т = 3.
5.10. 1) В силу задач 1.13, 6) и 5.9, 1) имеем
(£3/(:)=гт~(-)"-
\К SJ / \к/ ХП/
2) Использовать задачу 5.9, 3).
5.11. 1) Имеем
С использованием задачи 5.12 имеем
при v > 2. Отсюда вытекает требуемая оценка.
2) Вытекает из задачи 1).
3) Указание. Использовать решение задачи 1) с учетом неравенств
/с-1
у -2- in —п_— + —1,
' п — i п — k + 1 п — к 1
— 1п(1 — а) а + а2 при 0 а 1/2,
5.12. Указание. Сумма f(k) является верхней, а f(k) -
fe=n+l к=п
нижней интегральной суммой для
5.13. 1) Имеем (см. задачу 5.12)
т
Уlnfc^
к=\
т
J 1п х dx + In m,
J In ж da? = x In x —
i
dж = ж In ж — ж + 1.
Отсюда
n
Elnfc m In m — m + 1 + In m.
k=i
С другой стороны (см. задачу 5.12),
т
52lnfe >
к=1
т
jhxxdx = mln т — m + 1.
2)-7) Аналогично задаче 1).
5.14. 1) Индукция по п. При п = 1 имеем р\ = р0 — ар^ = 1 — а. От-
сюда 0 < pi < 1. Пусть 0 < рп < 1 для некоторого п 1. Тогда рп+х =
= рп — ар™ = рп(1 — Поскольку 0 < а < 1, /3 > 1, 0 < < 1, то
и 0 < pn+i < 1.
2) Следует из того, что pn+i — Рп = ~&Рп < 0.
3) Оценка сверху. Имеем —— = 1- Отсюда
аРк-1
п 1
„ = V Pfc~1 < f — = 1 в1-/3 _ 1
aPk-1 J ах0 а(/3-1)Рп
K—L К ± рп
Отсюда Рп Р 1 + a(j3 — 1)п, или, что то же самое,
рп (1 + а((3 - l)n)1/(1
Оценка снизу. Из (*) и из рекуррентного соотношения рп =
= Pn-i(l - «Рп-i) следует, что
Рп/рп-х 1 - а/(1 + а((3 - 1)(п - 1)). (**)
Далее,
Рп —1 К
Заметим, что из (**) следует, что pk р&-1(1 — а) при 1 к ^]д/п[
и pk Р/е-1(1 — (с/у/п)) при к >]\/п[, гДе с — константа. Отсюда с
учетом того, что
(w-i -Рк)/(а^-1) =
получаем
у^ Рк-х ~Рк < Рк-х ~Рк + у^ Рк-х ~Рк <
- (C/v^)C
(a(l -a))-1]Vn[+ ---= rl + °(v/w)-
1 — c/yn
С учетом (***) получаем, что при Д > 1
z? п (Рп Р - 1) п + O(Vn).
'{р -1)
Отсюда (а(/? — 1)(п + О(Уг)))1^1 Таким образом, при п —> оо
5.15. 1) Перепишем уравнение в виде ж = 1п£ — 1п(ж) (*). Посколь-
ку f —> оо, то можно считать, что t > е, и, следовательно, х > 1. Тогда
из (*) вытекает, что х < In t, т.е. 1 < х < Inf. Отсюда In ж = O(lnlnt). Та-
ким образом, х = Int + O(lnlnt) при t —> оо. Логарифмируя, находим, что
. , , . л (~ /Tnlnt\\ li. /lnlnt\ z ч
In ж = mint + In ^1 + О = mint + О j J . Подставляя в (*),
получаем новое приближение х = Int — Inint + О pn I*1 Ц Вновь логариф-
\ In t /
миру я и подставляя результат в правую часть (*), получим еще одно
приближение, дающее требуемую точность (см.: Де Брейн Н.Г. Асимпто-
тические методы в анализе. — М.: ИЛ, 1961).
2) Поскольку t оо, то и ж —> оо. Поэтому ех < t, или, что то же са-
мое, х < Int. Отсюда ех = t — In ж > t — In Int и
»>lnt + ln (l-“) =1п<-£1(^)" =
= In t —
С использованием этого неравенства получаем
Прологарифмировав, получаем
1 (. > 1 . хл /lnlnt\\ . , . InInt „ /lnlnt\\
= lnt- !^+O
t
Верхняя и нижняя оценки совпадают с требуемой точностью.
5.16. Указание. Показать сначала, что f(t) = O(t) при t —> оо.
Тогда исходное равенство можно будет записать в виде = t + o(t).
Пользуясь этим неравенством, показать, что /(f) = 0(1), и преобразовать
исходное равенство в = t + 0(1). Наконец, доказать, что /(t) = Т
5.17. 1) Разложим A(t) на простые дроби: A(t) = ——— + ——...
Ai — t А2 — t
... + ——— + B(t), где B(t) — многочлен. Для нахождения коэффициен-
Ащ ~ t
та ci умножим Л (г) на Ai — t. Тогда (Ai — t) A(t) = -- ---------.
(t - A2)... (t - Am)
При t = Ai левая часть равна ci, а правая • Таким образом, ci =
_ —Q(Ai) дналогично можно вычислить и коэффициенты Ci (i = 2, ...
P'(Ai)
. ..,m). Дробь ------— можно разложить в геометрическую прогрес-
l-t/Afe
сию (1 — — ) = Y2 ( ) • Получаем А(Г) = ~
V Хк' п=0 \Хк' i=l Xi п=0 \Х^
Отсюда для больших п имеем ап ~ 1 + ... + ~ ciAf™-1.
Ах А2 Аш
2) Рассмотрим сначала случай, когда P(t) не имеет корней, кроме Ai,
a Q(t) имеет степень меньшую, чем степень F(f), и Ai не является кор-
г-1
нем Q(t). Тогда P(t) = (t — Ai)r, Q(^) = Разложение F-1(f) по
2 = 0
степеням имеет вид
Тогда
4(2)
Отсюда ап = (-
F-^OM-inr
п=0
1)г Аг qi У j Ар В общем случае A(t) = Ai(t) +
п, *—О
QsW—, где Ai(t) — многочлен, Qs(t) — многочлен степени мень-
^-^rs
ше rs. В этом случае асимптотическое значение для ап определяется коэф-
фициентом при tn в разложении дроби Q\(t)/(t — Ai)ri. Задача сводится к
уже рассмотренной.
5.18. 1) 2 • Зп. Воспользуемся результатами задачи 5.17, 1). Многочлен
Pi(t) = З/;2 — 4/; + 1 имеет корни Ai = - и А2 = 1. Положим Q{t) = -(1 +t),
P(t) = t2 — -t Тогда
v 7 3 3
Q(i/3) fly'"1
P'(l/3) V3/
=-----— • 3n+1 =2-3"
2/3 - 4/3
2) an ~ (— — yj J. Наименьший по модулю корень многочле-
на 6t2 + 5t — 6 равен 2/3. Используя задачу 5.17, 1), получаем результат.
з) ап ~ (_1Ь 4) а2п=°’ °2n+i ~ (-1)п2"+з-
5) Указание. 624 * 6 - 17£3 + 35t2 - 222 + 4 = 6 (t - i) - 1) (2 - 1 +
+ гл/3)(2-1-гл/3), «„~^--3”.
6) — 2n+1.
’ 15
7) ( ^2) (a/3 — l)-"-2. Корни уравнения 22 + 22 — 2 есть Лх = а/З — 1,
А2 = — л/З — 1. Представив A(f) в виде
Л _ at + Ь । Ct + d
( } “ (2-Лх)2 + (2-А2)2’
найдем методом неопределенных коэффициентов, что а = 0, b = 1. С ис-
пользованием задачи 5.17, 2) получим, что
ап = (-1)2ЛГ-2 (&(;2) + Аха^-Д)) = (л/з - I)2 ( “2).
/10\п+2 /—2\
8) dn ~ \^ — j \ п )' Наименьший по модулю корень знаменателя
равен 0,7 и имеет кратность 2. Заметим, что
A(t} = * + 1________L_
(t-0,7)2 2t2 + l’
/10\п+2 ( — 2\
С использованием задачи 5.17, 2) получаем ап ~ — J \ п J'
5.19. 1) ап ~ (—3(—2)п). Пусть A(t) = an^n> Умножая обе части
п=0
соотношения на tn+2 и складывая, получаем, что A(t) — a\t — ао +
+ 3t(A(t) — до) + 2t2A(t) = 0. Отсюда с учетом того, что ао — 1, а± = 2,
имеем A(t) = (1 — t)/(2t2 + 3t + 1). Корни знаменателя есть Ai = —1/2,
А2 = —1. Используя задачу 5.17, 1), получаем, что ап ~ (—3(—2)п).
2) 1/2. Так же, как и в задаче 1), находим, что A(f) = (2(1 — t))-1 +
+ (2(1 — (g — p)t))-1. Поскольку Q + p=l, р, q > 0, то \q — р| < 1.
Корнями знаменателя являются Ai = 1 и А2 = q — р, |Ai| < |А2|. Теперь
с использованием задачи 5.17, 1) или непосредственно получаем, что
ап ~ 1/2.
2n+1 / . 2тгп . 4тгп\ ,ч 2
3) ап = (^sm —----sm —— J. 4) ап ~ 3 . 5) ап ~ п2 • 2 5.
5.20. 1) Наводящее соображение: если предел ап существует и ра-
вен а, то из рекуррентного соотношения получаем, что а = (а + 6/а)/2,
или а = Vb, так как а > 0. Если ао = Vb, то ai = (ао + Ь/ао)/2 =
= (дА + Vb)/2 = Vb. По индукции легко получим, что ап = Vb. Рассмот-
рим случай, когда ао > b (случай ао < b аналогичен). Докажем, что в этом
случае ап убывает и ап > Vb при всех п 0. Если ап > Vb при некото-
ром п 0, то
dn+1 - ап = ((ап + —/2] - ап = -— < 0.
\ \ а>п J / / 2ап
Таким образом, ап убывает с ростом п,
Уъ = >о.
2а?2
Следовательно, ап убывает и ограничено снизу. Значит, существует пре-
дел а = lim ап. Как мы убедились, этот предел равен Vb.
п-Ъ-оо
2) Как и в задаче 1), если предел ап существует, то он равен Vb.
Рассмотрим случай ао < Vb . Так же, как и в задаче 1), доказывается,
что ап монотонно возрастает и ап < Vb при всех п. Отсюда следует
существование предела ап. Если lim ап = а, то, переходя к пределу в
п—>оо
3/Г
рекуррентном соотношении, получаем, что а = у о.
____ __(Г
3) v 1 + b — 1. Заметим, что а\ — ао = --—
b — Ь2 „ „ „
—-— > 0, т. е. 0 < ai < ао- Далее, а2 — ai =
— ао =
b — а2
2
—Ь — Ь2
2
b + Ь2
2
2-Ъ2
2
а2 — ао =
„2 _ „2
6 - а2 6 а1^аг\ / / о -
—— 2 = — 2 < ’ ^тсюда а± < 0,2 < ао. Вообще
О'П-\-2 ап —
n+1. Отсюда по индукции следует, что {а2п} возрастает
и аП2 < ао при всех п 1, {<22^+2} убывает и d2n+i > а±. Следовательно,
существуют пределы с= lim а^п и d= lim a2n+i- Переходя к пределу
п —>оо п—>оо
в рекуррентном соотношении, получаем с = (b — d2) и d = (b — с2). Отсю-
да (с — d)(2 — с — d) = 0, а поскольку с < 5/2 < 1/2 и d < 6/2 < 1/2, то
2 — с — d > 0; следовательно, с = d. Отсюда с = у/1 4- 6 — 1.
5.21. 1) С помощью соотношений (3) и (4) получаем, что аз = 9/128,
Д4 11/128. При п 3 неравенство (4) можно переписать в виде
ап+2
17
----+ ап
1024
/323 _L_
I----Н- ап
V1024
Отсюда вытекает, что если ап 1/8, то и ап+2 ^1/8 при п 3.
2) Пользуясь тем, что ап 1/8, выведем из (4) новое неравенство:
/3\ п
Отсюда по индукции ап 9 J .
1 /3\п"1"2
3) Используя задачу 2), выводим из (4) an+2 4-66an ( - )
2П+3 \4/
Пользуясь последним, получаем, что ап = 2~п~1 2 (14-0 ((j)
5.22. Индукция по п. При п = 1 имеем ai = ai • 1. Если ап ai • тг,
то an+i а^ 4~ а± а1(тг 4~ 1).
\ т-» /(гг, А; + 1) п — k п_2к -л
5.23. 1) Рассмотрим отношение аь = ----------— = -------• 2 . Ес-
f (тг, к) к И- 1
ли к < [log2 log2 тг], то ak > 1, если же к > [log2 log2 тг], то аь < 1. Сле-
довательно, максимальное значение /(тг, к) достигается либо при к =
= [log2 log2 п], либо при к = [log2 log2 n] + 1.
2) Тот же результат, что и в задаче 1).
5.24. Заметим, что Л(тг, г, к) = /(тг, г + 1, Ат)//(тг, г, к) = (к — г) х
х 22 -1/(т 4- 1) и что Л(тг, г, к) > 1 при к г > 0. Следовательно, /(тг, г, к)
возрастает по г. Отсюда
тах/(тг, г, к) = f(n, к, к) = ^^2 к+2 ,
minf(n, г, к) =
5.25. 1)
г2п+1/тг, если [log2 тг] > log2(n — log2 тг),
5(«)
(2”/п) (1 + 22[1ов2"1-1ов2('*-1о82’г)),
если log2(и - log2 п) [log2 п] log2(и - log2 п - log2 log2 и),
2n-[log2 п], если [log2 < ]Og2(n _ lOg2 n _ lOg2 lOg2
Функция /(п, к) как функция действительного аргумента к выпукла вниз,
причем минимум достигается при к = к* = log2 (п — log2 п + О .
Положим ко = [log2n]. Очевидно, что либо д(п) = /(п, ко), либо д(п) =
= f(n, ко — 1). Для нахождения д(п) нужно выбрать минимум из f(n, ко)
и f(n, ко — 1).
Пусть a) log2 п ко > log2(n — log2 п). Тогда
/(п, ко - 1) = з”-*0-1-1 + 22к° 1 ~ 2п+1/п,
f(n, ко) = 2п~к° + 22к° > 2п-1ов2 п + 221°M(n-'°S2 ~ 2п+1/п.
Пусть б) log2(rz — log2 п) ко > log2(n — log2 п — log2 log2 п). Тогда
г/ 7 X 2n 2fco 2п ( 2fc0-iog2(rx-iog2n)\ 2n+1
f(n, ко)------|-2 =—1 + 2 , f(n, ко - 1)--------.
п п \ / п
Следовательно, д(п) ~ f(n, ко).
Пусть в) ко log2(n — log2 п — log2 log2 п). Тогда
f(n, ко) = 2п~к+ 22 * * *"0 ~ 2п~к° ~ — 21ов2 п~к°,
п
f(n, ко - 1) > 2”-fco+1 > /(п, ко).
Отсюда /(п, ко) ~ д(п) = 2п~к°.
2) д(п) ~ 2" (2Q<-n* + 2~Qln)], где а(п) = log2 п — [log2 п], если а(п) <
< 1/2, д(п) ~ 2n(2i-«(n) +2«(п)-1), если а(п) > 1/2.
§6
6.1. 1) Граф с п помеченными вершинами без петель и кратных ребер
полностью определяется множеством ребер. Поэтому число таких графов
(п\ X)
равно числу подмножеств I ) — элементного множества, т.е. равно 2v 7.
6.2. 1) 2^2\
2) Число равно числу выборок из п2 возможных дуг (включая
петли) по т.
6.4. Если pb(G) — число различных помеченных графов из изоморф-
ных графу G, a Sg* — множество всех неизоморфных rz-вершинных графов,
то |%| ^ п! |<|, поскольку p>(G) п\.
6.5. 1) Воспользоваться результатом задачи 6.1, 2) с учетом того, что
число т ребер связного n-вершинного графа без кратных ребер и петель
удовлетворяет неравенствам п — 1 m ( 2 / ’
2) Воспользоваться тем, что ((?))< f( + )\ ((++<
\ т J \ т / \ т /
е Л(т + 1)\ш
< 6 \ 2 7
6.8. 1) См. рис. 0.8.1.
Рис. 0.8.1
2) Алгоритм восстановления вектора I = (й, /2, ..., in-2) таков: ко-
ордината й равна наименьшему числу из множества N = {1, 2, ..., п},
не входящему в набор J = (Д, Д, •-., Д-2). Проведем ребро (Д, Д) и
положим № = 7V\{z"i}, Ji = (Д, • • •, Д-2). Далее положим Д равным наи-
меньшему числу из №, не входящему в Д. Проводим ребро (Д, Д) и т.д.
Последними соединяются ребром две вершины, оставшиеся в Nn-2-
3) Утверждение вытекает из того, что соответствие между вектора-
ми J = (Д, Д, • • •, jn-2) и нумерованными n-вершинными деревьями
взаимно однозначно, а число векторов равно пп~2.
6.9. Использовать задачи 6.4, 6.8 и формулу Стирлинга.
6.15. 1) Провести доказательство индукцией по числу вершин.
3) Вывести из рекуррентного соотношения для числа t дихотомичес-
ких деревьев следующее соотношение для производящей функции Т(х):
Т(х) — 1 = хТ2(х). Отсюда Т(х) = (2ж)-1(1 — у/1 — 4х). Разлагая Т(х) в
ряд, получаем, что
‘.-’MTCW-she:)-
6.18. 1) Число графов G из таких, что для фиксированной па-
ры вершин {г, j} в G отсутствуют цепи длины меньше 3, равно Зп-2 х
(”)-2(п-2)-1
х 2v 2 7 . Поэтому
2) Из того, что lim р(п) = 0, вытекает, что p(G) = 0 для почти всех
графов. Отсюда следует, что диаметр почти всех графов меньше 3.
3) Пусть pi(G) — число вершин степени п — 1 в графе G из а
р1(п) = 2 '27 Pi(G). Тогда р1(п) = п-2 71+1. Отсюда следует,
G^n
что pi(G) = 0 для почти всех графов, а значит, радиус их не меньше 2.
Теперь с учетом задачи 2) получаем утверждение.
6.19. Число гамильтоновых циклов в полном графе из рав-
1 z
но - (п
2 v
1)!. Доля графов, у которых присутствует заданный гамильтонов
цикл, равна 2 п
6.20. 1) p(n) = (Д 23.
2) Рр(п) = (3) • 2-3 + (Д (п - 2)(п - 3) 2-6.
3) Вытекает из неравенства Чебышева с учетом того, что Dp(n) и4 =
= о((рН)2)-
26 Т.П. Гаврилов, А. А. Сапоженко
6.21. 1) р(п, т) = (з)("«)з/((г))3-
6.22. 2~^к\
6.23. +
\ к / \ т — к / \ т /
Глава IX
§1
1.2. 1) Если множество {ii,...,ik} зафиксировано, то число гра-
ней равно числу двоичных наборов (cri ... аь), т.е. равно 2к.
2) Если а G Г т0 fi = п, ..., ста, = т^, а следова-
тельно, грани совпадают. Приходим к противоречию.
3) Вытекает из задач 1) и 2) с учетом того, что |в^гЛ’<т’Г%к | = 2n-fe.
4) Число способов выбора направления {й, ..., ik} равно Теперь
утверждение следует из задачи 1).
5) Следует из задачи 4).
6) Если то вектор (<п...сгк) однозначно определяется
вектором а и множеством {И, ..., Д}. Последнее можно выбрать
способами.
7) Код грани G размерности к, содержащей заданную грань Н размер-
ности Z, получается из кода грани Н расстановкой к — I прочерков среди
п — I координат, имеющих значение 0 или 1.
8) Для символов а и /3 из множества {0, 1, —} введем операцию о,
полагая: а°(3 = а, если а = (3; а°(3 = а (а°/3 = (3), если а 6 {0, 1};
(3 = — (соответственно если (3 Е {0, 1}, а =—), значение а°(3 неопре-
деленно, если а ф (3 и а, (3 Е {0, 1}. Естественным образом операция о
распространяется на векторы из Gn. Нетрудно убедиться в том, что если а
и (3 — коды граней F и Н, то вектор а ° Д определен тогда и только
тогда, когда F П Н В последнем случае а°(3 является кодом грани,
совпадающей с F П Н.
9) Вытекает из задачи 7).
1.4. Положим Ц = п — ni. Тогда числа Ц удовлетворяют неравенству
Макмиллана 2~1г 1. Поэтому существует префиксный двоичный
код с длинами кодовых слов Д, ..., ls. Дополним каждое кодовое слово Wi
длины Ц прочерками в количестве п — Ц, Тогда каждое из так полученных
слов Wi можно рассматривать как код грани размерности п — Ц = щ. То,
что грани попарно не пересекаются, следует из префиксности кода.
1.5. 1) Рассмотрим множество всех интервалов 7(й, /3) таких, что
5 е В[^/3]> Д е вп-[п/з]- Для каждой из ([п/3]) вершин а е В["/3] сущест-
вует (п вершин /3 G Вп-[п/з] таких, что а С /3. Таким образом,
число пар (а, /3) указанного вида, а значит, и число интервалов 7(й, /3) рав-
/ П \ (п — [п/31 \ тт
н0 \ [n/3] J \ [n/3] J ' НетРУДно виДеть? чт0 все они попарно несравнимы.
2) Аналогично задаче 5.19.1 из гл. II.
1.6. 1) 2. 2) 3. 3) 2. 4) 3. 5) 2. 6) 3.
1.7. 1) 2. 2) 4. 3) 3. 4) 3. 5) 2. 6) 3.
1.8. 1) 2. 2) 1. 3) 1. 4) 2. 5) 5. 6) 4.
1.9. 1) 2. 2) 1. 3) 3. 4) 5. 5) 5. 6) 4.
1.10. 2) Рассмотреть матрицу вида (Pk-iln-k+i), где Pr-i — матрица
размерности (n — k + 1) х (к — 1), состоящая сплошь из единиц, a In-k+i —
единичная матрица размерности (п — А: + 1) х (п — А: + 1).
1.11. Пусть А — множество векторов (базисных) линейного (п, А:)-ко-
да. Тогда |Л| = к и Л — покрытие. Последнее вытекает из следующих
соображений. Пусть J-й столбец имеет единицу в г-й координате. Поскольку
г-я строка является линейной комбинацией базисных строк, то существует
базисный вектор, имеющий единицу в J-м разряде.
1.12* . 1) Пусть Rk — семейство всех ^-элементных подмножеств строк
матрицы М. Для Р G Rk обозначим через ^(Р) множество столбцов, не
покрытых строками из Р, и пусть у к = i/(P) — среднее число
PERk
непокрытых вершин по подмножествам Р из Rk- Пусть V — множество
столбцов матрицы М. а p(v) — число тех Р из Rk, которые не покрывают
столбец v, а cr(v) — число строк, покрывающих столбец и. Тогда
vEV vEV
Для всякого натурального к имеем £(М) к + Ук. Поэтому, полагая к =
I т . sn Г esn
= — In — I, получаем £(М) 1 + — ш----.
J s т L s т
2) Пусть $к — поля тех столбцов матрицы М. которые остались не-
покрытыми после А;-го шага градиентной процедуры. Ясно, что Jo = 1.
Покажем, что п(8к — Jfc+i) nbks/m. Неравенство равносильно утверж-
дению о том, что на (к + 1)-м шаге можно выбрать строку, покры-
вающую не менее snbk/'tn столбцов. В самом деле, в каждом из пдк
непокрытых столбцов содержится не менее s единиц, а число строк
не превышает т. Таким образом, J&(1 — s/m). Отсюда по индук-
ции следует, что 6 к (1 — s/m)k e~sk/m. для всякого натурального к
имеем Lp(M) к + пдк С к + ne~sk^m. Полагая к = ] — 1п ( —) [, получа-
ем требуемое неравенство.
1.13*. Аналогично тому, как в задаче 1.12, 2) доказывается, что 6к
+ (1 — s) fl — —^E + e~sk/m. Далее, полагая к = "I — In (Г в
\ т/ J s \ т / L
неравенстве Lp(Af) к + пдк, получаем требуемое утверждение.
1.14. На первом шаге градиентной процедуры в покрытие войдет стро-
ка, покрывающая не менее п/р столбцов, и не более п(1 — 1/р) останутся
непокрытыми. Если Ак — множество непокрытых после к-го шага столбцов
и \Ак | n(l — l/p)fe, то на (А: + 1)-м шаге по крайней мере одна из строк
покрывает не менее \А^\/р столбцов. Отсюда |Afc+i| \Ак |(1 — 1/р)
n(l — l/p)fe+1. Таким образом, |А&| п(1 — ^/р)к. Поскольку £г(Р)
к + \Ак | при любом натуральном к, то, полагая
Н('<)/ЧН)[-
получаем утверждение.
1.16. 1) Множество N = {а Е Вп: ||а||, п четное} является (п, ^-про-
тыкающим и |7V| = 271-1. Остается показать, что L(n, 1) 2П-1. В силу за-
дачи 1.2 куб Вп разбивается на 2П-1 1-мерных граней одного направления.
В каждой из них должна присутствовать вершина (п, 1)-протыкаюгцего
множества. _ _
2) Нижняя оценка очевидна. С другой стороны, N = {0, 1} является
(n, п — 1)-протыкающим.
3) (В.В. Глаголев.) Указание. Рассмотреть N = {а 6 Вп : ||5|| =
= О (mod 3)} или N\ — {(i. Е Вп : 1/(5) = 3 (mod 4)}.
4) (О.Б. Лупанов.) Нижняя оценка. Заметим, что, для того чтобы
вершина а — (qi, ..., ап) содержалась в (п — 2)-мерной грани с кодом у =
= (yi, ..., уп), в котором у^, G {0, 1}, нужно, чтобы ai = 7*, aj = 7?.
Пусть N С Bn — (п, п — 2)-протыкающее множество и |2V| = т. Рассмот-
рим матрицу М. строками которой являются векторы из N. Из предыду-
щего следует, что для каждой пары чисел (г, J), 1 i < jп, и любой
пары (ст, т), сг, т Е {0, 1}, должна найтись строка а = (ai, ..., ап) такая,
что ai = a, aj = т. Отсюда вытекает, что любые два столбца матри-
цы М попарно несравнимы. Число попарно несравнимых двоичных наборов
длины m не превосходит ^^2])* Отсюда вытекает, что ([^2]) п‘
Верхняя оценка. Пусть m — наименьшее целое такое, что
([ш/2]) п' Построим двоичную матрицу Mem строками и п попарно
несравнимыми столбцами. Добавим к матрице две строки: 0 и 1. Тог-
да множество строк полученной матрицы будет (п, п + 2)-протыкающим.
[n/fc]
5) Вытекает из того, что множество N = |J В™к+1^ является (п, к)-
i=0
протыкающим.
6) Если N является (п, Ц-протыкающим и G — r-мерная грань ку-
ба Вп, то N П G является (г, &)-протыкающим. Отсюда и из зада-
чи 1.2, 1) вытекает требуемое неравенство.
7) Неравенство вытекает из задачи 1.12, если положить m = 2". s = 2к,
1.17. 1) 1 + 1.
2) Положим Утверждение вытекает из того, что
, . ’’ ’’ _iп-г+iг
кр>п, к,1 ТЩп—!, к— 1, I — 1 •) Р>п, к, I Целое И /е —Z + l 1 — ~ ~ — •
J к — I + 1 L
3) Ясно, что £,(Мп, n-k,i) > I, поскольку при любом выборе I векто-
ров 51, ..., ai из В™_к можно подобрать вектор /3 G В™, не покрываемый
ни одним из выбранных I векторов. Это можно сделать, выбрав по одной
нулевой координате в каждом из векторов ai, ..., аг и положив их рав-
ными 1 в векторе /3. Если же выбраны I + 1 векторов из В™_к так, что
множества нулевых координат попарно не пересекаются, то все векторы
из В™ оказываются покрытыми.
4) Нижняя оценка вытекает из мощностных соображений: число покры-
ваемых столбцов равно (j), а каждая строка покрывает столбцов.
Верхняя оценка вытекает из задачи 1.12.
5) Верхняя оценка. Пусть п = q(l — 1) + г, 0 г I — 2. Ра-
зобьем п координат на I — 1 блоков так, что два любых блока различаются
по мощности не больше, чем на 1. Всего имеется г блоков мощности q + 1,
I — 1 — г блоков мощности q. Для каждой пары координат произвольного
из этих блоков возьмем вектор из В™_2, имеющий нули в этих координа-
тах. Множество Р получаемых таким образом векторов имеет мощность
+ G —1—HQ)- Покажем, что для каждого а из B™_z сущест-
вует /3 из Р такой, что а < /3. В самом деле, поскольку число нулей в а
равно Z, а число блоков равно Z — 1, то некоторый блок содержит некоторые
две нулевые координаты. В Р содержится вектор /3, имеющий нули в этих
координатах. Ясно, что а < (3.
1.19. 1) 2. 2) 2. 3) 4. 4) 3. 5) 3. 6) 3.
1.20. 1) п. 2)п-1. 3)п-1. 4) п.
1.21. Указание. Два столбца матрицы М различаются в J-й строке
тогда и только тогда, когда j-я. строка матрицы покрывает сумму по
модулю 2 этих столбцов.
1.22. 1), 4), 5), 7) Да. 2), 3), 6), 8), 9) Вообще говоря, нет.
1.23. Если матрица составлена менее чем из log2 п строк, то число
попарно различных столбцов меньше п.
1.24. Пусть А и В — тупиковые тесты матрицы М с т строками. Тогда
ни одно из включений А С В, В С А не имеет места. Отсюда вытекает, что
число тестов не превосходит числа попарно несравнимых наборов в Вт, а
( т \
значит, не превосходит
1.25. Число матриц размерности к х п с попарно различными столб-
цами равно 2к(2к + 1)... (2fe — п + 1). Число матриц размерности т х п, у
которых фиксированные к строк заданы, равно 2п(т~к\
1.26. 1) {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}. 2) {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}.
1.27. (Э.Ш. Коспанов.) Если в матрице М с попарно различными
столбцами расстояние между любыми двумя столбцами не меньше J, то
в матрице каждый столбец содержит не менее d единиц. Теперь
утверждение вытекает из задач 1.21 и 1.12.
§2
2. 1. 1) Ж1, Ж2Т3. 2) Ж1Ж2. 3) Ж2Ж3, Ж1Ж2Ж4. 4) xi.
2. 2. 1) После применения правила обобщенного склеивания имеем D[ =
= Х1Х2 V Ж1Т2Ж4 V Ж2Т3Ж4 V Т2Ж4 V Ж1Ж3Ж4 V Ж1Ж3Ж4 V Т3Ж4. После примене-
ния правила поглощения получаем D2 = Х1Х2 V Ж2Ж4 V Т3Ж4.
2) Ж1Т2Ж3 V Ж1Т2Т4 V Т1Ж2Т4 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Т4. 3) xi V Х2 V хз V Х4.
4) Т3Т4 V Т2Ж3Ж4 V Ж1Т2Ж4 V Т1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3 V Т1Т2Т4.
5) D V Т1Ж3 V Т3Ж4 V Т2Ж3 V Ж1Ж2Ж4.
2.3. 1) Ж1Ж3 V Ж1Ж2Ж3. 2) Ж1 V Ж2Ж3. 3) Ж1Ж2 V Ж1Ж2Ж3.
4) Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Х2Х3 V Ж2Ж3 V Ж1Ж3 V Ж1Ж3. 5) Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж3.
6) Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4 V Ж1Ж3Ж4.
2.4. 1) Ж1Ж3 V Ж1Ж2 VX2X3 V Х2Х3.
2) Х2Х3 V Х2Х3 V Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж2 V Ж1Жз- 3) xi V Х2Х3.
4) Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Х2Хз- 5) Х2Х2 V Х2Х3 V Ж3Ж4 V Ж1Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж2Ж4.
6) Ж1Ж2 V Ж1Ж2 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж3Ж4.
2.5. 1) xi V Ж2Ж3. 2) Ж1Ж3 V Ж2Ж3 V Ж1Ж2- 3) Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Х2Х3 V Ж1Ж2.
4) Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Х2Х3 V Ж1Ж3 V Ж1Ж3 V Х2Х3.
5) Ж1Ж2 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4 V Ж1Ж2Ж3 V Ж1Ж3Ж4 V Ж2Ж3Ж4.
6) Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж3 V Ж1Ж4 V Х2Х3 V Ж2Ж4 V Ж1Ж3Ж4.
2.6. 1) хз V Ж1Ж2. 2) Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Х2Х3 V Ж1Ж3 V Ж1Ж2 V Х2Х3.
3) Ж1Ж3 V Ж1Ж2- 4) Xi V Х2 V Хз-
5) Ж2Ж4 V Ж1Ж3 V Ж3Ж4 V Ж2Ж3 V Ж1Ж4 V Ж1Ж2.
6) Х2Х3 V Х2Х3 V Ж3Ж4 V Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж4-
2.7. 1) Х2 V хз- 2) Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж3. 3) жт V я^з- 4) £2 V ж^з-
5) Ж3Ж4 V Ж1Ж4 V £1#з V #1Жз V Ж1Ж4 V Х2Х3 V Ж3Ж4.
2.8. 1) хз, х±Х2- 2) Ядровых импликант нет. 3) Ж1Ж3, Ж1Ж2.
4) Ж1, Х2, Хз> 5) Ж2Ж4 V Ж1Ж3, Ж3Ж4. 6) #2^3, #2#3-
2.9. 1) 2П-1. 2) 2П-1. 3) 6 • 2П-4. 4) к(п - к). 5) 2П“2.
6) к + (п — к)(п — к — 1). 7)2. 8)п(п-1). 9) 2П.
2'10' (V)' 2)(fc)(fc + m-z)- 3) Вытекает из задачи 1).
4) Вытекает из того, что
O^n(fc!)(" " к ~ m)!W! = (S ОХ” ” К])’’
2.11. Каждый интервал функции f однозначно определяется заданием
любой пары противоположных в этом интервале точек. Эти точки, очевид-
но, принадлежат множеству Nf. Поэтому число максимальных интервалов
не превосходит числа неупорядоченных пар вершин (быть может, совпа-
дающих) из множества Nf.
2.12. 1) 2"-1. 2) 2"“3. 3) 0.
4) к(п — fc). Указание. В любом максимальном интервале монотонной
функции нижняя единица является собственной точкой того интервала,
которому она принадлежит.
5) 2п~2. Указание. Использовать задачу 1.9, 5) и то, что все интер-
валы имеют размерность 0.
6) &. 7) 2. Заметить, что f = х±... хп V xi .. .хп. 9) 2п.
2.13. Выберем для каждого ядрового импликанта функции f(xn) в
точности по одной собственной точке. Рассмотрим все ребра куба Вп неко-
торого направления. Никакое ребро не может содержать двух выделенных
собственных точек. Отсюда и вытекает утверждение.
§ 3
3.1. 1) а) Нет. б) Да. в) Нет. 2) а) Нет. б) Нет. в) Нет.
3.3. 1) Dst = ху V ~xz. 2) Dst = D.
3.7. 1) т(/) = Л(/) = 1. 2) т(/) = 52"’4, //(/) = 22"-4.
4) т(/) = 58, д(/) = 6.
3.8. Указание. Оценка следует из того, что число элементарных
конъюнкций над переменными Ж1, ..., хп равно 3", длина тупиковой д. н. ф.
не превосходит 2" и ни одна из конъюнкций в тупиковой д. н. ф. не погло-
щает другую.
3.9. Указание. Верхняя оценка устанавливается по индукции.
3.11. 1) 2. 2) 2п.
3.12. 3) Указание. См. задачу 5.17 гл. VIII.
3.13. 2п/п.
Глава X
§1
1. 2. 1) а) ((а?1 | ж2) | (^2 | х2)) | (xi | х2). б) (^1 х2) (xi х2).
2) а) ((ж2 4 х2) 4 xi) 4 ((^2 4 х?) 4 #1)- б) xi &ж2.
3) а) (а?1 | Ж1)(ж2 | х2). б) ((ж&г/) ~ х) ~ у.
1.3. 1) а) х2 V xi. б) х2 | (a;i | xi).
2) а) (#1 -» х2) & (ж2 а?1). б) ((#1 4 xi) 4 х%) 4 ((^2 4 х%) 4 ^1)-
3) а) ((Ж1 | Ж2) | Хз) | ((#1 | Х2) | Хз). б) Ж1Ж2Ж3 Ф (#1 Ф 1)(я2 Ф 1)(#з Ф 1).
1.4. 1) /1 = Ж1Ж2, f2 = xi х2.
2) fl = Ж1Ж2 Ф Ж2Жз ф Ж3Ж1, /2 = Х1 ф Х2 ф Хз.
3) fl = Х1 V Х2 У Жз, /2 = Ж1Ж2Ж3.
1.6. У к аз ание. 1)/ = ж2\/Ж1Жз. 2) / = Ж1Ж2 V ж2жз V ж2Ж1.
3) f = ж3(ж1 V х2) V Ж1(ж2 V хз). 4) f = (ж1 V х2)(х2 V х3).
1.7. У к аз ание. 1) / = ж2жз V Ж1Ж2жз.
2) f = Ж1Ж2 V ж2ж3 V Ж3Ж1. 3) f = xi V х2хз.
1.8. Утверждение вытекает из того, что замена в СФЭ Е всех поме-
ток V на & и & на V приводит к схеме Е*, реализующей двойственную
функцию У*.
1.13. 1) См. рис. 0.10.1.
2) Индукция по п. Базис индукции доказан в п. 1. Пусть Un — схема уни-
версального многополюсника сложности 22 — п. Добавим к ней вход xn+i
и инвертор для реализации жп+1. Реализуем все функ-
ции вида Xn+i & /, где f = У(ж1, ..., хп) — функции, от-
личные от констант и реализованные в Un • Далее с ис-
пользованием уже построенных функций реализуем функ-
ции вида (жп+1 & У) V (жп+1 &р), где f = У(ж1, ..., жп),
д = g(xi, ..., жп), У д. f V д 0. Для реализации каждой
из упомянутых (кроме хп+1) функций требуется дополни-
тельно ровно один элемент. Таким образом, к 22 — п эле-
ментам схемы Un добавляются один инвертор, 2(22 — 2)
конъюнкторов и (22 — 1)(22 — 2) дизъюнкторов. Всего в полученной схе-
ме 22 — (n + 1) элементов.
Нижняя оценка следует из того, что каждая функция, отличная от
Xi, i = 1, ..., п, должна быть реализована на выходе некоторого элемента.
1.15. 2) Утверждение вытекает из представлений Sk'm(xn) =
= Sk^(xn)^S^m(xn) и 5°’т(жп) =
1.16. Заметим, что функции Sk'3(x3} (к = 0, 1, 2, 3) монотонны и мо-
гут быть реализованы схемами, не содержащими отрицаний. Покажем сна-
чала, что совокупность всех схем вида Sk'k(x3} (к = 0, 1, 2, 3) может быть
реализована с применением двух отрицаний. Имеем 50,1(ж3) = 52’3(ж3),
51,1(ж3) = 50,1(ж3) & 51,3(ж3). Далее, полагая /Дж3) = х± ф Х2 Ф хз ф а, по-
лучаем 1о(х3) = 51,1(ж3) U 53’3(ж3), h(x3) = 1о(х3), 52,2(ж3) = Ц(х3) &
& 52’3(ж3), 50,0(ж3) =/1(ж3) & 50,1(ж3). Теперь из функций Sk,k(x3) и
элементарных монотонных конъюнкций можно без применения отрица-
ний построить любую конъюнкцию вида х^х^х^3. Например, Ж1Ж2Ж3 =
= 51,1(ж3) & xi, Х1Х2Х3 = 52,2(ж3) & Х2Х3. Располагая всеми элементарны-
ми конъюнкциями ранга 3, функции Xi (г — 1, 2, 3) можно строить с при-
менением только элементов дизъюнкции. Например, xi = Ж1Ж2Ж3 V rr 1ГГ2Ж3 V
V Х1Х2Х3 V Ж1Ж2Т3.
1.17. Рис. 10.2, г и задача 1.8 показывают, что L(x ф у) 4. Нера-
венство Цх ф у) 4 вытекает из следующих соображений. В силу не-
монотонности функции f = х ф у она не может быть реализована без
отрицаний. В минимальной схеме Sy, реализующей /, элемент отрица-
ния не может стоять на выходе схемы; в противном случае в вершине,
предшествующей выходу, реализовалась бы функция f = f*, и в силу
утверждений задачи 1.8 схема Sy неминимальная. Таким образом, выход
схемы Sy совпадает с выходом одного из элементов & или V. Обозначим
этот элемент через о. Тогда f = fi ° f2 , где функции Д, /2 реализованы в
вершинах схемы Sy, предшествующих выходу. Ни одна из этих функций не
является одноместной, так как f отлична от функций вида ха V h, ха &h.
Кроме того, функция Д не является отрицанием функции Д, поскольку f
не является константой. Отсюда следует, что схема Sy должна содержать
еще по меньшей мере два двухместных элемента.
1.19. Провести индукцию по I.
1.20. Указание. Рассмотреть схему Sy, реализующую функцию f =
= xi V ... V Ж/+1 и имеющую глубину I.
1.21. Утверждение вытекает из задачи 1.19 и из того, что сложность
СФЭ, реализующей функцию, существенно зависящую от п переменных, не
меньше, чем п — 1.
§2
2.1. a) f = xi ф Х2 = Ж1Ж2 V Ж1Ж2. б) f = Ж1Ж4 V Ж1Ж3Ж5 V Ж2Ж3Ж4 V Х2Х5.
в) f = (xi V Ж2)(^1 V Х2) = Х1 ф Х2. г) / = Х1 ф Х2 Ф Хз Ф 1.
д) f = Ж1Ж2 V Ж2(жз^2 V Ж3Ж2) V Ж1Ж2. е) / = Ж1Ж2 V Х2Х3 V Ж3Ж1.
2.4. Указание. Представить функцию / формулой в базисе {V, & , —}.
Если число букв окажется равным I, то построить схему по формуле.
Если число букв окажется больше, чем I и формула не упрощается, то
реализовать отдельные подформулы схемами и попытаться совместить
куски полученных схем так, чтобы не возникало «ложных» цепей.
1) f = Ж1Ж2Ж3 V Ж1(#2 V Хз). 2) / = Х2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж3.
3) f = Ж2СЁ1 V хз) V Ж1Ж3. 4) f = a?i(a?2 V хз) V xz(x2 V хз).
5) f = ж2(ж1 V хз) V Ж1Ж3.
2.5. 1) f = (xi V Ж2^з)(ж2 V Х4). 2) f = xi V Х2 V хз V Х4. 3) f = xi.
4) / = (ж1 V Ж2)(#4 V Жб)(ж5 v Х7). 5) f = Х1 V X2 V Хз У Х4.
6) f = Ж1Ж2 V Ж1Ж3 V Ж1Ж4 V Ж2Ж3 V Ж2Ж4 V Ж3Ж4.
2.7. 1) f = Ж1Ж2 ... хп V Х1Х2 .. .хп. 2) / = • • • xn-ixn.
3) f = X! ф Х2 Ф • • • Ф Хп.
4) f = (Ж1, . . . , Хп, У!, ..., уп) = Рп, где Р1 = X! V yi, Pk+1 = ХкУк V
V Рк(хк V ук), Рп реализует перенос в (п + 1)-й разряд сумматора.
5) f(x2n) = (X2n-1 ~ Х2п).
2.9. См. задачу 2.6, 1).
2.10. 3) Представив каждую из функций системы Ф совершенной д. н. ф.,
отождествим выходы схемы D1^, соответствующие элементарным конъюнк-
циям, относящимся к одной функции.
2.12. 2) Докажем утверждение индукцией по п. Нетрудно видеть, что
L(t/i) = 2<2-22 . По предположению индукции существует схема
для Un-i сложности, не большей чем 2 • 22 . Все функции f(xn), не
зависящие существенно от жп, реализованы в U^-i- Если функция f зависит
от хп существенно, то она представима в виде f = хпд V xnh, где д и h —
различные функции переменных xi, ..., xn-i. Если одна из этих функций
(д или h) равна нулю, то отнесем f к классу в противном случае —
к классу К2. Добавим к схеме U^-i по одной вершине Vf для каждой
функции f из Ki U К2. Если f 6 Ki и имеет вид f = Xnh, то соединим
вершину Vh схемы U^-i контактом х^ с новой вершиной Vf. Если f 6 К2
и f = хпд -\-xnh, то соединим вершины vg и vk схемы U^-i с новой верши-
ной Vf соответственно контактами жиж. Таким образом, добавляется всего
|Л11 + 2|J<21 контактов. Ясно, что такое добавление контактов к схеме U^-i
не вносит каких-либо цепей с ненулевой проводимостью в Un-i и, следова-
тельно, не изменяет функций, реализуемых схемой Un-i- Ясно также, что
в новых вершинах реализуются соответствующие им функции из Ki U К2,
и, значит, построена схема для U&. Оценим сложность построенной схемы.
Имеем
Lk(U„) + \Ki\ + 2\К2\ <2-22"” + 2|2<i| + |К2| = 2 • 22".
3) Выбирая т = [log2(n — 2 log2 п)], получаем при достаточно боль-
ших п
ЬЦЦхпУ) Lk(Dk_m) + Lk(U^ 2-2’l-lo^<’1-21o^n)+1 +
nlog2(n — 2 log2 n) n2 ~ n
2.17. 1) Схема для может быть получена по методу каскадов. Эта
схема имеет сложность, равную 2. Предположим, что схема для U^-i, полу-
ченная по методу каскадов, содержит не более 2-22 контактов. Построим
схему для и1^. Множество Vo вершин этой схемы соответствует множеству
всех функций f(xn). Вершины из Vo, соответствующие функциям f(xn), не
зависящим от переменной хп, содержатся также и в Vi. Пусть Ki, К2 —
классы функций, зависящих от п переменных, определенные в решении
задачи 2.12, 2). Правило проведения контактов метода каскадов предписы-
вает провести один контакт для каждой вершины, соответствующей функ-
ции f из Ki, и два контакта для вершины, соответствующей функции f
из К2. Таким образом, общее количество ребер, соединяющих вершины
множеств Уо и Vi, равно |JGj + 2|К21. Дальнейшие рассуждения повторяют
решение задачи 2.12, 2).
2.18. Утверждение вытекает из того, что для реализации всех конъюнк-
ций по методу каскадов | Vi | = 2п~г (г = 0, 1, ..., п) и из каждой вершины
г-го яруса (0 i < п) в следующий ярус выходит ровно одно ребро.
2.19. Доказательство отличается от предыдущего только тем, что
количество ребер, исходящих из вершины, отличной от полюса Ь, равно 2
при 0 i < п — 2. При i = п — 1 из каждой вершины исходит одно ребро.
2.21. Пусть, например, схема S представляет собой последовательное
соединение некоторой двухполюсной схемы А и контакта х. Преобразуем
схему S, отбросив все контакты х и стянув в точку каждый из контактов х
в А. Ясно, что функция проводимости новой схемы S' совпадает с прежней,
а число контактов уменьшилось.
2.22. Если схема S не является сильно связной, то в ней имеется отрос-
ток. Отбрасывая его, мы не изменяем, очевидно, функцию проводимости.
Поэтому S не может быть минимальной.
2.25. То, что Lk (х ф у) 4, вытекает из того, что существует схема
для х ф у (см. задачу 2.1) сложности 4. Предположим, что минимальная
схема для х ф у содержит менее четырех контактов. В силу утверждения
задачи 2.23 эта схема не может иметь ровно три контакта. Каждая мини-
мальная схема с двумя контактами реализует либо функцию вида хау^,
либо функцию вида ха V у^.
2.26. Пусть ж? — буква, встречающаяся в качестве пометки контакта
в бесповторной схеме Е. Поскольку S сильно связная, то существует цепь,
соединяющая полюса а и Ъ схемы S и содержащая контакт х°. Зафиксируем
значения (Т2, ..., ап переменных, отличных от Ж1, так что все контакты
рассматриваемой цепи, кроме х™, оказались замкнутыми, а все контакты,
не входящие в цепь, — разомкнутыми. Тогда fa,b(xi, (Т2, ..., ап) =х™.
Отсюда и следует, что функция проводимости faj> существенно зависит
от Х1.
2.27. Утверждение вытекает из того, что для каждого п существует
сильно связная бесповторная схема с п контактами.
2.32. Всякая контактная схема с семью ребрами остается планар-
ной после добавления полюсного ребра, так как не существует непла-
нарных графов с восемью ребрами. Поскольку для всякой такой схемы
двойственная схема определена и имеет такую же сложность, то отсюда
вытекает, что Lk(f) = Lk(f*)- Второе равенство следует из того, что
/(^1, ..., хп) = /*(Ж1, ..., жп).
2.33. Утверждение следует из того, что всякая тг-схема является пла-
нарной и остается таковой после добавления к ней полюсного ребра.
2.34* . Схема S, указанная на рис. 10.12, имеет среди своих сечений
множества {х, у}, {г, w}, {ж, г, v, z} и {ж, w, t, и}. Тогда, если существует
бесповторная схема Si, реализующая функцию /*, то в ней имеются цепи
с проводимостями ху, rw, xrvz, xwtu. Без ограничения общности можно
считать, что контакт ж примыкает к полюсу а сети Si. Тогда к этому
полюсу примыкает также и контакт г или контакт w. В первом случае в Si
не существует цепи xrvz, а во втором — цепи xwtu.
2.35. Неверно. Воспользоваться тем, что /(#1, ..., хп) = f* (xi, ..., жп),
и результатом задачи 2.34.
2.38. Пусть Н(К) — число связных двухполюсных сетей с к ребрами.
Каждая из рассматриваемых контактных схем может быть получена из
некоторой двухполюсной сети в результате приписывания каждому ребру
одного из 2п символов Ж1, ..., Ж1, ..., хп- Поскольку Н(к) (ск)к (см.
задачу), то
т т
S{n^ m) ^ff(fc)(2n)fc ^(cfe)fc(2n)fc < (c'mn)ra.
fc=O k=0
2.40. (О. Б. Лупанов.) Каждая формула, содержащая к символов пере-
менных, имеет к — 1 символов связок & и V, не более к — 1 левых и не
более к — 1 правых скобок. Общее число символов не превосходит 4А: — 3.
Таким образом, всякая такая формула есть слово длины, не превышаю-
щей 4А; — 3, в алфавите {(, ), V, &} U Хп, где Хп = {т, ..., жп, Ti, ...
..., жп}, причем число букв из Хп равно к. Число слов длины з, содер-
жащих к букв из алфавита Ли s — к &у~к.ъ алфавита В, не превосхо-
дит (7s |A|fc|B|s-fc. Поэтому
Ф(п, т) Ckik-3(2n)k43k~2 < (сп)т.
к^т
2.42. 1), 2) С использованием результата предыдущей задачи имеем
при тг —> ос
^П,±2"(1-Г / 2"А / / 2” \\
l°g2 —-----(п + (1 - е) —) log (16 (п + — (1 — е))) —
- 2n < п + (1 - е)2" - 2” = п - £ • 2” -> -с».
Отсюда вытекает задача 2), а значит, и задача 1).
2.43. 1) Число самодвойственных функций f(xn) равно 22 .С исполь-
зованием задачи 2.38 имеем при п —> оо
log2S (п, ----(1 - е)) < --(1 - e)log2(c • 2"-1(1 - е)) =
\ п J п
= 2"-1(1 —е) (1 + о(1)) < 2”-1.
Отсюда вытекает утверждение.
2) С использованием задачи 2.39 имеем при п —> оо
/ 2^-1 \ 2П-1П —
log2 Р ( п, --(1 - е) ) < —-------- log2(cn) =
\ log2 п ) log2 п
= 2"-1 ( 1 - £ + О ( .
\ \log2n//
Список литературы *)
1. Автоматы / Под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. — М.: ИЛ,
1956. (IV)
2. Алферова 3. В. Теория алгоритмов. — М.: Статистика, 1973. (V)
3. Арбиб М. Мозг, машина и математика. — М.: Наука, 1968. (IV, V)
4. Берж К. Теория графов и ее применения. — М.: ИЛ, 1962. (VI)
5. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969. (VIII)
6. Грехем В., Кнут Д., Поташник О. Конкретная математика. — М.:
Мир, 1998. (VI, VIII)
7. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики.
Т. 1. — М.: Наука, 1974. (I III, VI, VII, IX, X)
8. Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И.
Лекции по теории графов. — М.: Наука, 1990. (VI, VHI-X)
9. Зыков А. А. Теория конечных графов. — Новосибирск: Наука, 1969. (VI)
10. Кобринский Н. Е., Трахтенброт Б. А. Введение в теорию конечных
автоматов. — М.: Физматгиз, 1962. (IV)
11. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / Под ред. К. А. Рыбни-
кова — М.: Наука, 1982. (VI, VIII)
12. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. — М.: Мир,
1978. (VI)
13. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств математи-
ческой логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2001. (I, II, V)
14. Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. — М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. (VIII)
15. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — М.: Наука,
1986. (V)
16. Марченков С.С. Замкнутые классы булевых функций. — М.: Физмат-
лит, 2000. (II)
17. Матросов В.Л., Стеценко В.Н. Лекции по дискретной математике. —
М.: МПГУ, 1997. (I, II, VI)
18. Минский М. Вычисления и автоматы. — М.: Мир, 1971. (IV, V)
19. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.:
МАИ, 1992. (I, II, VIII)
20. Оре О. Теория графов. — М.: Наука, 1980. (VI)
*) Римские цифры, стоящие после названия, указывают главы задач-
ника, при работе над которыми эта литература может оказаться полезной.
21. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. — М.: Мир,
1976. (VII)
22. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — М.: ИЛ, 1963. (VI,
VIII)
23. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: Изд-во МГУ,
1985. (VI, VIII)
24. Сачков В. Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математи-
ки. — М.: Наука, 1982. (VI, VIII)
25. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. — М.: Мир,
1984. (VI)
26. Трахтенброт Б. А. Алгоритмы и вычислительные автоматы. — М.:
Советское радио, 1974. (IV, V)
27. Трахтенброт В. А., Барздинъ Я. М. Конечные автоматы. — М.: Наука,
1970. (IV)
28. Уилсон Р. Введение в теорию графов. — М.: Мир, 1977. (VI)
29. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Т. 1. — М.: Мир, 1984. (VIII)
30. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. (VI)
31. Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970. (VI, VIII)
32. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Физматлит, 1989. (VI, VIII)
33. Яблонский С. В. Функциональные построения в &-значной логике //
Труды МИАН СССР. — 1958. — Т. 51. — С. 5-142. (I-Ш, VI, IX, X)
34. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука,
1986. (1-Х)
35. Яблонский С. В., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры
логики и классы Поста. — М.: Наука, 1966. (I, II)
36. Alon N., Spencer J. The Probabilistic Method. — J. Wiley & Sons, 2000.
(VI, VIII)
37. Bollobas B. Random Graphs. — N.Y.: Academic Press, 1985. (VI, VIII)
Предметный указатель
Автомат без входа 147
---выхода 146
Алгоритм Квайна 297
Алфавит входной 103
— выходной 103
— кодирующий 230
— машины Тьюринга внешний 182
-------внутренний 182
Арность функционального символа
10
Базис замкнутого класса 60
— схемы 311
Буква (символ) алфавита 102
Вектор значений булевой функции
11
— коэффициентов полинома 53
Вершины графа смежные 203
Вес набора 9
-- о.-д. функции 103
Глубина формулы 30
Грань булева куба 290
— плоского графа 216
Граф 203
— двудольный 205
— кубический 205
— направленный 210
— однородный (регулярный) 205
— ориентированный 210
— планарный 215
— полный 205
— пустой (вполне несвязный) 205
— связный 204
— /^-связный 206
Графы гомеоморфные 205
— изоморфные 204
Дерево 205
— бесконечное информативное 104
— корневое 219
— растущее 212
Деревья одинаковые 220
Диаметр графа 204
Дизъюнкция 12
— над множеством переменных 47
— элементарная 47
Длина д. н. ф. 47
— к. н. ф. 47
Длина маршрута 204, 211
— слова 102
— теста 291
Дополнение графа 205
Замыкание множества функций 60
Знак условного равенства 181
Зона работы машины Тьюринга
181
Избыточность кода 235
Импликанта 296
— простая 78, 296
— ядровая 296
Импликация 12, 89
Интервал функции максимальный
296
---ядровый 296
Инцидентность вершины и ребра
203
Источник орграфа 212
Итерация машины Тьюринга 186
Класс вычислимых функций 196
— общерекурсивных функций 196
— предполный 60
— примитивно рекурсивных функ-
ций 196
— функционально замкнутый 60
— частично рекурсивных функций
196
Код алфавитный 230
— дерева 220
— набора основной машинный 190
---решетчатый 191
— префиксный 231
Композиция машин Тьюринга 186
Компонента связности графа 204
Конденсация орграфа 212
Контакт замыкающий 312
— размыкающий 312
Контур в орграфе 211
Конфигурация машины Тьюринга
179
Конъюнкция 11
— над множеством переменных 47
— элементарная 47
---монотонная 52
Критерий планарности 216
— Саломаа 97
— Слупецкого 97
— Яблонского 97
Лемма Бернсайда 274
— о нелинейной функции 68
— немонотонной функции 75
---несамодвойственной функции
64
Лес 205
Максимум х и у 89
Маршрут в графе 204
— орграфе 211
Метод Блейка 296
— минимизирующих карт 298
— Нельсона 297
- неопределенных коэффициентов
53, 94
— Хэмминга 245
Минимум х и у 89
Мультиграф 203
— ориентированный 210
— планарный 215
Набор булев (двоичный) 9
---, предшествующий набору 10
Наборы булевы противоположные 9
---соседние 9
---сравнимые 10
Неравенство Чебышева 279
Объединение графов 205
Оператор, порожденный функция-
ми 120
Операция введения обратной связи
146
— минимизация 196
— объединения д. функций 147
— отождествления переменных 33,
146
Операция примитивной рекурсии
195
— разветвления выхода 149
— суперпозиции 147
— удаления выходной переменной
146
Орграф 203
— транзитивный 215
Отрицание Лукасевича 88
— Поста 88
— ж 11
Отросток в сети 223
Ошибка в канале связи 245
Паросочетание 205
Переменная существенная 33
— фиктивная 33
Подграф 204
— остовный 204
—, порожденный подмножеством
вершин 204
Подразбиение графа 205
Подфункция 39
Покрытие матрицы 290
Полином Жегалкина (по модулю 2)
52
Полином по модулю к 93
Полу степень захода 211
— исхода 211
Префикс (начало) слова 103, 230
Принцип двойственности 31
Произведение по модулю к 89
Псевдограф 203
— ориентированный 210
Путь в орграфе 211
Разветвление машин Тьюринга 186
Разность по модулю к 89
— усеченная 89
Ранг элементарной конъюнкции 47
Расстояние Хэмминга 9
Ребра кратные (параллельные) 203,
210
Связка логическая 12
Сеть 219
— разложимая 223
— й-полюсная 219
Система Поста 97
— Россера-Туркетта 97
— функционально полная 60
Слово бесконечное 102
— квазипериодическое 102
Слово пустое 102, 180
Сложность д. н. ф. 47
Слой булева куба 9, 247
Соединение слов 102
Степень вершины графа 203
Сток орграфа 212
Стрелка Пирса 12
Сумма по модулю 2 12
-------к 89
Суперпозиция сетей 224
— функций 14, 195
Сфера в булевом кубе 241
Схема, реализующая функцию 145
Таблица каноническая 130
— критериальная 81
Теорема Визинга 217
— Кёнига 205
— о представлении вычислимой
функции 196
— Пикар 97
Поста (критерий полноты в ал-
гебре логики) 81
— Шеннона 217
Тест 291
Точка сочленения (разделяющая
вершина) 206
Турнир 212
Уравнения канонические 128
Форма дизъюнктивная нормальная
47
— кратчайшая 296
-------минимальная 296
-------совершенная 40
-------сокращенная 296
-------тупиковая 296
— конъюнктивная нормальная 47
-------совершенная 40
— &-значной функции вторая 91
------- первая 91
Формула над множеством связок 13
-------функциональных символов
12
— Стирлинга 278
Формулы одинакового строения 14
— эквивалентные 14
Функции конгруэнтные 60
— равные 31
Функции эквивалентные (неразли-
чимые) 103
Функция автономная (константная,
без выхода) 123
— булева (булевская, алгебры логи-
ки) 10
-----, двойственная к функции 31
-----линейная 68
-----монотонная 75
-----самодвойственная 31, 64
-----симметрическая 21
—, сохраняющая константу 72
-----шефферова 81
-----элементарная 11
— Вебба 89
— выходов 127, 179
— вычислимая 196
— детерминированная 103
— ограниченно-детерминированная
103
— переходов 127, 179
— проводимости 312
— , реализуемая формулой 13
— А;-значной логики 88
---------, сохраняющая множество
92
—, — разбиение 93
— характеристическая второ-
го рода 88
---------первого рода 88
— элементарная 88
— ^-фактор графа 205
Центр графа 223
Цепь в графе 204
Цикл в булевом кубе 242
-----графе 204
Число кликовое 216
— реберно-хроматическое 216
— хроматическое 216
Шар в булевом кубе 241
Штрих Шеффера 12
Эквивалентность машин Тьюринга
181
Эквиваленция 12
Элемент единичной задержки 151
]ж[ — минимальное целое число, не
меньшее х 64
7г-сеть 224