И. М. ГЛАЗМАН
Ю. И. ЛЮБИЧ
'Конечномерный
линейный анализ

И. М. ГЛАЗМАН, Ю. И. ЛЮБИЧ
КОНЕЧНОМЕРНЫЙ
ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ
В ЗАДАЧАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 11N9

517.2
Г-52
УДК 517.5
Книга предназначается для активного изучения расширенного
курса линейной алгебры и основ функционального анализа. Многие
теории н построения, представленные в книге, являются конечномер-
конечномерными моделями соответствующих оригинальных теорий и построений
из функционального анализа. При этом, сохраняя свое идейное
содержание, они становятся существенно более доступными. В це-
целом книгу можно рассматривать как изложение линейной алгебры
с точки зрения функционального анализа. Но вместе с тем в ней
встречаются также некоторые существенно конечномерные теории.
Весь материал книги изложен в форме задач на доказательство.
Вначале рассматриваются геометрия комплексного линейного
пространства и спектральная теория линейных операторов в этом
пространстве. Затем изучается унитарное пространство, в котором
строится спектральная теория самосопряженных и унитарных опе-
операторов. Далее вводится понятие нормы, рассматриваются геометрия
нормированных пространств и некоторые свойства операторов в этих
пространствах. После некоторого отступления в область полилиней-
полилинейной и внешней алгебры вводится вещественное линейное пространст-
пространство н рассматриваются вопросы, связанные с комплексификацией и
декомплексификациеи, а также элементы дифференциального исчис-
исчисления для отображений. На основе излагаемой далее теории выпук-
выпуклых множеств изучаются вопросы расположения собственных значе-
значений н сингулярных чисел линейных операторов После этого в веще-
вещественном линейном пространстве вводится отношение порядка и в
упорядоченном пространстве строится теория линейных иеравенсю,
а также теория линейной и выпуклой оптимизации. Далее, уже в
комплексном пространстве, систематически излагается теория расши-
расширений операторов, и в заключение рассматриваются некоторые спе-
специальные классы операторов.
8-2-3
169-68

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 7
Гл.з в а I. Комплексное линейное пространство П
§ 1. Линейная зависимость и независимость. Ранг системы
векторов 12
§ 2. Базнсы и размерность пространства. Изоморфные про-
пространства 19
§ 3. Подпространства 23
§ 4. Фактор-пространства. Гомоморфизмы. Альтернатива
Фредгольма . 31
§ 5. Действия над гомоморфизмами 38
§ 6. Линейные функционалы. Ортогональность. Биортого-
нальиые системы 49
§ 7. Сопряженный гомоморфизм и теория Фредгольма . . 54
§ 8. Билинейные функционалы и тензорные произведения 58
§ 9. Комплексное сопряжение. Эрмитово-лииейиые функцио-
функционалы. Эрмитовы гомоморфизмы и эрмнтово-билиией-
иые функционалы , 64
§ 10. Общая теория ортогональности 68
§11. Топология . . 70
§ 12. Теория пределов. Ряды. Элементы иифииитезимально-
го анализа 75
Глава II. Линейные операторы в комплексном линейном
пространстве ... 87
§ 1. Алгебра линейных операторов 88
§ , 2. Собственные значения н собственные векторы линей-
линейного оператора. Инвариантные подпространства , , . 94
§ 3. Корневые подпространства. Основная спектральная те-
теорема 101
§ 4. Теорема Жордана. Классификация операторов . . . 108
§ 5. Резольвента и операторное исчисление 115
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Коммутирующие операторы. Функции от оператора 123
§ 7. След оператора 129
§ 8. Проекторы н разложения единицы .132
§ 9. Элементы теории возмущений 139
§ 10. Детерминант оператора. Групповые коммутаторы . 141
Глава III. Билинейные и эрмитово-билинейиые функционалы.
Унитарное пространство. Операторы в унитарном про-
пространстве 145
§ 1. Билинейные и квадратичные функционалы .... 145
§ 2. Эрмнтово-билннейные и квадратичные функционалы.
Закон ииерцнн 151
§ 3. Унитарное пространство '. 156
§ 4. Сопряженный оператор. Ортогонально приводящие
подпространства . . 168
§ 5. Спектральная теория самосопряженных операторов.
Алгебра ортопроекторов 171
§ 6. Спектральная теория . унитарных операторов. Преоб-
Преобразование Кэли. Полярное представление оператора 179
§ 7. Спектральная теория нормальных операторов . . . 184
§ 8. Экстремальные свойства собственных значений само-
самосопряженного оператора 187
§ 9. Теорема Шура. Сингулярные числа (s-числа) операто-
операторов .... 192
§ 10. Хаусдорфово множество оператора 195
Глава IV. Нормированные пространства. Функционалы н
операторы в нормированных пространствах .... 198
§ 1. Норма, метрика, топология 198
§ 2. Преднормы и индуцированные нормы 203
§ 3. Абсолютно выпуклые множества и преднормы. Обоб-
Обобщенные преднормы 207
§ 4. Теория Хана — Банаха 209
§ 5. Изометрия, универсальность, вложение 214
§ 6. Наилучшие приближения : . . . 218
§ 7. Раствор двух подпространств. Метрическое простран-
пространство подпространств 222
§ 8. Изометрические операторы и сжатия. Эргодическая те-
теория 228
§ 9. Норма и спектральный радиус оператора 232
§ 10. Нормы в пространстве операторов . 236
§ И. Неравенства между нормами степеней оператора . . . 240

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава V. Полилинейная и внешняя алгебра 243
§ I. Полилинейные отображения и тензоры 243
§ 2. Симметричные н антисимметричные тензоры. Теория де-
детерминантов 248
§ 3. Внешние произведения н внешние формы 252
§ 4. Тензорные и внешние степени оператора 257
§ 5. Объем системы векторов. Существование базиса Ауэр-
баха 260
§ 6. Нормы в тензорных произведениях пространств . . 263
§ 7. Формальные полиномы и степенные ряды отШескольких
переменных 265
Глава VI. Вещественное линейное пространство 271
§ 1. Комплекснфикаиия '. . 271
§ 2. Декомплексификацня 276
§ 3. Операторы в вещественном пространстве 279
§ 4. Дифференцируемые отображения. Гладкие нормы . . 284
§ 5. Дифференцирование функций от оператора 290
§ 6. Теорема Штейница о векторных рядах 294
Глава VII. Выпуклые множества в вещественном простран-
пространстве 296
§ 1. Клинья и конусы 296
§ 2. Выпуклые множества 302
§ 3. Теоремы отделимости 307
§ 4. Крайние точки . 311
§ 5. Неравенства между собственными значениями и син-
сингулярными числами 316
§ 6. Выпуклые множества в задачах локализации спектра
самосопряженных операторов 320
§ 7. Унитарно-инвариантные нормы и снмметрично-выпук-
лые тела 324
Глава VIII. Упорядоченные пространства 330
§ 1. Отношение порядка в линейном пространстве .... 330
§ 2. Теория линейных неравенств 333
§ 3. Линейные и выпуклые задачи иа экстремум .... 341
§ 4. Задачи иа экстремум в пространстве операторов .. .351
§ 5. Монотонные операторы 355
§ 6. Отношения порядка в пространстве операторов . . . 360
§ 7. Упорядоченное -пространство самосопряженных опера-
операторов , , . 363

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Положительные операторы и неравенства для собствен-
собственных значений 366
§ 9. Монотонные и выпуклые функции от самосопряженного
оператора ... 369
Глава IX. Расширения операторов 374
§ 1. Линейные операторы, действующие с подпространства
линейного пространства 374
§ 2. Линейные операторы, действующие с подпространства
унитарного пространства 377
§ 3. Обобщенный обратный оператор 382
§ 4. Теория расширений эрмитовых и изометрических опе-
операторов 383
§ 5. Самосопряженные расширения с сохранением нормы 388
§ 6. Спектры самосопряженных и унитарных расширений . 392
§ 7. Квазисамосопряжениые и квазиуиитарные расширения 400
§ 8. Блочно-треугольное представление операторов с нену-
ненулевым рангом несамосопряженности 407
§ 9. Проблема моментов 411
Глава X. Некоторые специальные классы операторов . . . 416
§ 1. Диссипативные операторы и сжатия в евклидовом про-
пространстве 416
§ 2. Спектральные множества 420
§ 3. Абстрактная задача Коши и связанные с нею классы
операторов в нормированном пространстве 424
§ 4. Псевдометрика 430
§ 5. Псевдосамосопряжениые и псевдоунитарные операторы 432
§ 6. Инвариантные подпространства псевдосамосопряжен-
псевдосамосопряженных и псевдоунитарных операторов 434
§ 7. Квадратичный пучок самосопряженных операторов . . 439
§ 8. Дробно-линейные преобразования с операторными ко-
коэффициентами 441
Библиографический указатель 445
Словарь общих понятий 459
Указатель основных обозначений 463
Именной указатель теорем 465
Алфавитный указатель терминов 467

ПРЕДИСЛОВИЕ
Композитор Людвиг Шпор, живший на рубеже XVHI — XIX
столетий, мало известен современной широкой публике. Правда,
его скрипичные концерты до сих пор еще звучат в стенах
консерваторий, но симфонии и оперы его уже не исполняются.
Однако имя Шпора, как основателя немецкой романтической
оперы и выдающегося музыканта своего времени, не исчезает
из руководств по истории музыки. Имеется также и одно
внешнее обстоятельство, увековечившее имя Шпора. Это — его
случайное изобретение, сохранившееся неизменным до наших
дней, а именно дирижерская палочка^ Будучи придворным
капельмейстром в Касселе, он первым ввел палочку как
инструмент дирижирования оркестром.
К сожалению, уже и без того разросшийся объем руко-
рукописи не позволяет нам остановиться подробно на анализе
творчества Шпора и на ряде других вопросов, также не
имеющих отношения к настоящей книге. Однако все же
необходимо упомянуть об одном музыкально-педагогическом
сочинении Шпора, о его Violinschule — школе скрипичной
игры. Это была первая из скрипичных школ, в которой
наряду с задачей технического развития учащегося ставилась
задача его художественно-музыкального воспитания. За школой
Л. Шпора последовали аналогичные школы других музыкан-
музыкантов-исполнителей XIX—XX вв.
Обычно школа состоит из нескольких частей (глав),
каждая из которых посвящена определенному аспекту музы-
музыкальной подготовки и которые в совокупности образуют фун-
фундамент исполнительской деятельности будущего музыканта.
Весь материал школы состоит из сравнительно коротких
нотных текстов, носящих характер упражнений, этюдов, пьес
и других музыкальных форм, называемых кратко номерами.
Э номера расположены в таком порядке, что в пределах

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
одного тематического цикла каждый из ,них создает основу
для исполнения дальнейших номеров, многие из которых
сами по себе, вне контекста, могли бы представиться труд-
трудными. Нотный материал школы сопровождается кратким по-
пояснительным текстом, содержащим указания или комменти-
комментирующим значение отдельных номеров. Следует отметить, что,
за редкими исключениями, сами номера не воспринимаются
как оригинальные в творческом отношении произведения
автора школы. Их основу составляют, с одной стороны,
фрагменты из других сочинений, представляемых в их перво-
первоначальном или преобразованном виде, а с другой стороны,
музыкальный материал настолько знакомый, что его уже трудно
приписать какому-либо определенному автору. Некоторые
номера помещаются в школе с указанием композитора, не-
несмотря на производимые существенные упрощения его ори-
оригинального текста, вплоть до превращения полифонических
оркестровых произведений в одноголосные пьесы. Сохранение
оригинальной темы композитора считается достаточным осно-
основанием для сохранения его имени за преобразованной пьесой.
В целом художественно-технический диапазон школ и род-
родственных им сборников этюдов может быть весьма широким,
охватывая, например, номера от упражнений на пустых
струнах до виртуозных пьес с двойными флажолетами *).
Наша книга представляет собой попытку создания курса,
аналогичного по своему характеру и назначению описанным
выше музыкальным школам. Мы назвали бы этот курс шко-
школой функционального анализа, если бы имели до-
достаточные основания заключить, что попытка наша закончи-
закончилась удачно. Однако на деле мы можем сейчас утверждать
несколько меньше, а именно лишь то, что она, наконец,
закончилась.
В книге 2405 задач. Тематически они охватывают линей-
линейную алгебру и курс функционального анализа в транскрипции
для конечномерного пространства. Что касается степени
трудности задач, то упомянутая нижняя грань — игра на
*) См. «Энциклопедический музыкальный словарь» под ред.
Г. В. Келдыша, Москва, 1959. О музыкальной шкале см.
Г. Е. Шило в, Простая гамма, Физматгиз, 1963. Можно, между
прочим, показать, что трудность исполнения флажолет возникает
из-за того, что, в отличие от обычных скрипичных звуков, они не-
неустойчивы в смысле § 11 гл. I (см. задачи 293—295).

ПРЕДИСЛОВИЕ
пустых струнах — в книге достигается (см., например, задачу 1
гл. I), чего нельзя утверждать о верхней грани.
При дроблении излагаемого материала на отдельные задачи
намеренно допускается неравномерность. Материал, содержа-
содержащий фундаментальные понятия, идеи и теории, дробится
мельче, чем материал специального и технического характера.
Указания, облегчающие пользование книгой, можно свести
к следующим пунктам.
1. Никаких предварительных знаний по линейной алгебре
и функциональному анализу от читателя не требуется. Необ-
Необходимые общеобразовательные алгебраические и топологи-
топологические понятия разъясняются на четырех страницах специаль-
специального раздела книги — словаря общих понятий, — где пред-
предполагается известным лишь язык элементарной теории множеств.
2. Книга состоит из задач и вставок сопроводительного тек-
текста. Сопроводительный текст содержит все необходимые опре-
определения, указания к некоторым задачам и другие коммента-
комментарии. Раздела ответов в книге нет, так как все предлагаемые
нами задачи являются задачами на доказательство (теоремами).
3. Признаком окончания вставки сопроводительного текста
является номер очередной теоремы, которая всегда набирается
одним абзацем. Признаком начала новой вставки является
красная строка без номера, следующая за формулировкой
теоремы. В каждой главе принята автономная сквозная нуме-
нумерация теорем.
4. Иногда вспомогательные предложения и указания для
решения данной задачи приводятся не до, а после нее. Поэтому,
читая формулировку очередной теоремы, следует заглянуть и
в первую строку помещенного за ней сопроводительного текста.
Вообще перед решением задач очередного параграфа полезно
просмотреть бегло содержание всего параграфа в целом.
5. После основного текста книги помещен библиографи-
библиографический указатель. В первой его части дается список общих
руководств по алгебре, анализу, топологии, линейной алгебре
и функциональному анализу. Во второй части указывается
использованная нами и рекомендуемая литература по главам.
Для решения задач обращение к литературе, помещенной
в библиографическом указателе, и к другим источникам не
требуется. Основное назначение приведенной библиографии —
указать читателю литературу, содержащую развитие теорий,
затронутых в книге.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
6. В конце книги помещены: указатель основных обозна-
обозначений, именной указатель теорем и, наконец, алфавитный ука-
указатель терминов, возвращающий читателя к тем страницам
основного текста книги, на которых эти термины (они даются
курсивом) определены.
7. Мы нигде не формулируем нерешенных проблем, хотя
в разных местах книги они находятся в непосредственной
близости от излагаемых нами теорем. Поиск и решение таких
проблем относятся уже к творческой работе читателя,
в которой мы желаем ему успехов.
Мы выражаем глубокую признательность нашим учителям
Н. И. Ахиезеру и М. Г. Крейну, а также А. Я. Повзнеру, у ко-
которых мы в свое время прошли школу функционального анализа.
Некоторые задачи и темы были предложены нам
Г. Р. Белицким, В. И. Гурарием, М. И. Кадецом, А. С. Мар-
Маркусом, В. И. Мацаевым, Ю. Л. Шмульяном. Отдельные места
книги мы обсуждали с Э. М. Жмудем, И. С. Иохвидовым,
A. В. Погореловым, В. П. Потаповым, В. А. Ткаченко,
B. И. Юдовичем. Рукопись книги просмотрел Г. Е. Шилов,
который высказал замечания, способствовавшие улучшению
изложения в целом. При оформлении рукописи большую
помощь оказали нам В. И. Коган, В. Н. Митин, А. М. Ры-
Рыбалко, Ю. Ф. Сенчук.
Всем перечисленным лицам мы выражаем искреннюю бла-
благодарность.
Авторы
22 сентября 1967 г.
30 мая 1968 когда, когда эта книга уже была в наборе,
не стало Израиля Марковича Глазмана, которому всецело
принадлежит основной замысел книги — конечномерное «мо-
«моделирование» функционального анализа. Когда кто-нибудь
рассказывал ему о сложных бесконечномерных построениях,
он обычно спрашивал: «А как это выглядит в двумерном
случае?» — и нередко этот шокирующий вопрос помогал лучше
понять суть дела. Вся математическая деятельность этого
незабываемого яркого таланта была направлена на то, чтобы
увидеть простую основу сложных вещей.
17 июля 1968 года Ю- -Любич

ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Комплексным линейным пространством называется мно-
множество Е, на котором определены операции сложения эле-
элементов и умножения элементов на комплексные числа, причем
выполняются следующие аксиомы:
1) обе операции не выводят из Е;
2) Е является абелевой группой относительно
сложения;
3) умножение на число ассоциативно, коммутативно
и связано со сложением дистрибутивными (относительно
числа и относительно элемента) законами;
4) произведение единицы на любой элемент равно
этому элементу.
Элементы линейного пространства *) называются векто-
векторами (иногда точками) и обозначаются малыми латинскими
буквами в отличие от чисел (скаляров), которые мы, как
правило, обозначаем малыми греческими буквами. Символ О
означает вектор нуль (нулевой элемент группы) или число
нуль, в зависимости от контекста.
В силу аксиом 1)—4) действия над векторами в линейном
пространстве подчиняются тем же правилам, что и соответ-
соответствующие действия над векторами в обычном геометрическом
смысле.
Тривиальный пример линейного пространства: множество,
состоящее из одного элемента 0, действия над которым
*)ц Здесь и в дальнейшем, если не оговорено противное, термин
«линейное пространство» означает комплексное линейное простран-
пространство. Наряду с употреблением термина «линейное пространство»
мы также будем говорить кратко «пространство».

12 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
определены равенствами
= 0, а-0 = 0-а = 0.
Это пространство называется нулевым и также обозначается
символом 0.
Другой, менее тривиальный, пример линейного простран-
ства: множество Фм всех функций, определенных на каком-
нибудь абстрактном множестве М и принимающих числовые
значения. Такие функции называются функционалами. Сло-
Сложение функционалов и умножение на число определяются
естественно, как для обычных числовых функций числового
аргумента.
Можно специализировать этот пример, считая М множе-
множеством всех натуральных чисел {1, 2, ...) или каким-нибудь
его отрезком {1, 2, ..., п]. В этих случаях пространство Фм
можно описать как множество Си всех числовых последова-
последовательностей (ар а2, .. .) или, соответственно,-как множество С
всевозможных систем из п чисел (av a2 а„) с почлен-
почленными сложением и умножением на число. Пространства С*
(k=\, 2 п со) называются арифметическими.
Важным примером линейного пространства является также
множество П всех полиномов ff" (t) от одного переменного t
или множество П"сП полиномов степени, меньшей неко-
некоторого натурального «, с обычными операциями сложения
и умножения на число.
§ 1. Линейная зависимость и независимость.
Ранг системы векторов
Линейной комбинацией векторов xlt х2 хт (не обя-
обязательно различных) с коэффициентами с^, а2 ат назы-
называется вектор вида
т
и = У\ akxk.
k-\
Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее
коэффициенты равны нулю, и нетривиальной в противном
случае. Тривиальная линейная комбинация любых векторов,
очевидно, равна нулю.

4) § I. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ. РАНГ 13
Векторы jfj, х2, .... хт называются линейно независи-
независимыми, если все нетривиальные линейные комбинации их
отличны от нуля, и линейно зависимыми в противном случае.
Говорят также: «линейно независимая (соответственно, зави-
зависимая) система векторов {xk}™».
Система векторов — это непустое конечное упорядочен-
упорядоченное множество векторов. Одна система называется подсисте-
подсистемой другой системы, если она является ее подмножеством.
Мы начнем с элементарных теорем о линейной зависимости
и независимости.
1. Для того чтобы система, состоящая из одного век-
вектора х, была линейно независимой, необходимо и достаточно,,
чтобы х Ф 0.
2. Для того чтобы система векторов \xk} (m > 1) была
линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ни
один из векторов системы не был линейной комбинацией
остальных.
3. Каждая подсистема линейно независимой системы век-
векторов линейно независима.
Образно говоря, линейная независимость является «наслед-
«наследственным» свойством.
Пусть Г — какая-нибудь система векторов. Линейной
оболочкой системы Г называется множество всех линейных
комбинаций векторов системы Г. Линейная оболочка системы Г
обозначается через L (Г).
Подсистема Го системы Г называется полной, если
Г с L (Го), т. е. если каждый вектор системы Г является
линейной комбинацией векторов из Го.
4. Каждая подсистема системы векторов, содержащая пол-
полную подсистему, также является полной подсистемой.
Полнота также является наследственным свойстпом, но
уже по отношению к расширению, а не к сужению системы.
Сопоставим ближе теоремы 3 и 4. С этой целью сфор-
сформулируем теорему 3 в несколько иных выражениях.
«Каждая подсистема системы векторов, содержащаяся!
в линейно независимой подсистеме, также является линейно-
независимой подсистемой»
Теперь бросается в глаза, что если в этой формулиропке
теоремы 3 заменить термин «линейно независимая подсистема»
термином «полная подсистема» и термин «содержащаяся»

14 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |5
термином «содержащая», то получится формулировка тео-
теоремы 4. Между теоремами 3, 4 имеется логическая симметрия
или, как говорят иначе, двойственность. Она опирается
на соответствующую симметрию (двойственность) понятий и
отношений. Понятие линейной независимости двойственно
понятию полноты. Отношение между множествами М, L,
выражаемое словами «М содержит L» (МгэЬ), двойственно
отношению «М содержится в L» (McL).
Двойственность часто встречается в различных математи-
математических теориях. Например, в общей теории множеств суще-
существует двойственность, опирающаяся на отмеченную выше
двойственность отношений «содержать» и «содержаться».
Здесь оказываются двойственными понятия пересечения
и объединения, и это обнаруживается всюду в алгебре
множеств. Ярким примером могут служить дистрибутивные
законы:
(М U L) П N=(M П N) U (L П N). (М П L) U N=(M U N) П (L U N).
Очевидно, что двойственность некоторых понятий или
отношений может быть следствием двойственности некоторых
других понятий (отношений). Например, пересечение множеств
можно определить как такое множество, которое содержится
в каждом из данных множеств и содержит каждое множество,
обладающее этим свойствам. Объединение множеств можно
определить «двойственным образом» как такое множество,
которое содержит каждое из данных множеств и содержится
в каждом множестве, обладающем этим свойством. Двойствен-
Двойственность «содержать» — «содержаться» является более фундамен-
фундаментальной, чем двойственность «пересечение» — «объединение».
При построении какой-либо теории выявление имеющейся
в ней двойственности весьма существенно, так как оно по-
позволяет «удваивать» число теорем и придает теории стройность
и законченность. Поэтому в дальнейшем мы будем всюду, где
это возможно, обращать внимание на двойственность.
Введем теперь следующее определение. Полная линейно
независимая подсистема системы векторов, не равных нулю
одновременно, называется базисной подсистемой. Понятие
базисной подсистемы самодвойственно.
5. Для того чтобы подсистема системы векторов была
базисной, необходимо и достаточно, чтобы она была линейно

10| § 1. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ. РАНГ 15
независимой и при этом максимальной, т. е. не содержалась
ни в какой отличной от нее линейно независимой подсистеме.
Двойственное предложение:
6. Для того чтобы подсистема системы векторов была ба-
базисной, необходимо и достаточно, чтобы она была полной и
при этом минимальной, т. е. не содержала никакой отличной
от нее полной подсистемы.
Сформулируем теорему существования базисной подсистемы.
Предварительно заметим, что любая система векторов Г, не
равных нулю одновременно, содержит линейно независимую
подсистему (например, подсистему, состоящую из одного век-
вектора х ? Г, х Ф 0) и содержит полную подсистему (например,
подсистему, совпадающую со всей системой Г).
7. Любая система векторов, не равных нулю одновременно,
содержит базисную подсистему. Более того, любую линейно
независимую подсистему можно дополнить до базисной и
(двойственным образом) из любой полной подсистемы можно
выделить базисную подсистему.
Роль базисных подсистем выясняется следующим предло-
предложением:
8. Если хт , хт , ,.., хт — базисная подсистема системы
векторов [хк\™, то любой вектор Xj (j= I, 2 /и) пред-
представляется в виде линейной комбинации
р
2
р
1 — 2
векторов подсистемы, и коэффициенты akj в этом предста-
представлении определены однозначно.
Обратно:
9. Если любой вектор системы однозначно представляется
в виде линейной комбинации векторов некоторой подсистемы,
то эта подсистема базисная.
Следующее предложение является основной леммой к фун-
фундаментальной теореме 11:
10. Пусть Г= \xk)™ (m > 1) - какая-нибудь система век-
векторов и Г, = \xk}"'~1. Если векторы к, v таковы, что
и, u?L(F), но v^LfT^, то существует такой скаляр и, что
»w€L(r

16 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [П
11. Любые т-\- 1 векторов из линейной оболочки си-
системы векторов {jcs}™ линейно зависимы.
Одним из важных следствий теоремы 11 является:
12. Все базисные подсистемы фиксированной системы век-
векторов Г содержат одно и то же число векторов.
Это число называется рангом системы Г и обозначается
TgT. Если в Г все векторы равны нулю, то rgP=0.
Очевидно, ранг системы не превосходит ее мощности.
Ранг системы векторов есть «верхняя мера» ее линейной
независимости:
13. Ранг системы векторов, не равных нулю одновременно,
равен максимальной мощности ее линейно независимых под-
подсистем.
Следовательно, для линейной независимости системы
cfe}
Теоремой, двойственной к 13, является:
14. Ранг системы векторов, не равных нулю одновременно,
равен минимальной мощности ее полных подсистем.
Таким образом, ранг системы векторов есть «нижняя мера»
ее полноты.
Теоремы 13, 14 характеризуют ранг системы как экстремум
мощности на том или ином классе подсистем. Покажем, что
базисные подсистемы характеризуются как «точки» достиже-
достижения экстремума. То, что на них достигается экстремум, оче-
очевидно. Но и обратно:
15. Любая линейно независимая подсистема системы век-
векторов Г, состоящая из rgF векторов, является базисной и
(двойственным образом) любая полная подсистема системы
векторов Г, состоящая из rgF векторов, является базисной.
Пусть теперь Г,, Г2—какие-нибудь две системы векто-
векторов. Будем писать Г,-«^Г2, если FjC:L(r2). Очевидно, если
Г\с:Г2, то и подавно Г,-^!^.
16. Для того чтобы было Г,-<[Г2, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Ь(Г,)с:Ь(Г2).
Отношение Г,-<^Г2 есть квазипорядок на множестве
систем векторов.
Будем говорить, что системы Г, и Г2 эквивалентны, и
писать Г^соГз, если одновременно Г,-<[Г2 и Г2<^Г,. Это
отношение эквивалентности удовлетворяет обыч-
обычным требованиям.

[20 § 1 ЛННЕППАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ. РАНГ -. 17
Следовательно, можно говорить о классах эквивалент-
эквивалентных систем.
Очевидно, что для того чтобы было Гх ос Г2, необходимо
и достаточно, чтобы L (Г,) = L (Г2).
Исследуем поведение ранга как функционала на множестве
всех систем векторов.
17. Если Г,<Г2, то rgr[<rgr2.
Таким образом, ранг есть монотонно неубывающий (отно-
(относительно введенного квазипорядка) функционал (теорема
Ште й ни ца).
Ранг можно рассматривать как функционал на множестве
классов эквивалентных систем, так как в силу теоремы Штей-
ница эквивалентные системы имеют равные ранги. Обратное
неверно, но:
18. Если Г,<Г2 и rgT, =rgr2, то Г,(хГа.
Таким образом, если Г,<^Г2, то знак равенства в нера-
неравенстве rgr,<;rgr2 достигается тогда и только тогда, когда
Г,л:Г2.
Отметим некоторые неравенства, легко вытекающие из
предшествующих свойств ранга.
19. Если пересечение систем векторов Vv Г2 Г
не пусто (и тем самым является системой), то
min
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда
Q
система f~)rA эквивалентна хотя бы одной из систем Гх,
Г2 Г,.
20. Для любых систем векторов Гр Г2, .... Г? имеет
место неравенство
(Ur)> max
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда
Q
система (JTA эквивалентна хотя бы одной из систем 1\,
1
Г
2 И. М. Гдааман, Ю. И. Любич

18 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |21
Теоремы 19, 20 двойственны друг другу.
Следующая самодвойственная теорема устанавливает соот-
соотношение между рангами пересечения и объединения двух систем.
21. Если пересечение двух систем векторов Г,, Г2 не
пусто, то
tg (Г, П Г2) Ч tg (Г, и Г2) < tg Г, +¦ rg Г2.
Это неравенство останется в силе и в случае пустого пере-
пересечения, если в этом случае положить щ(Г{ |"| Г2) = 0. По-
Поэтому вообще:
22. rg^ursXrg^-brglY
Кроме того:
28. Если Ь(Г1)ПЬ(Г2)={0}, то
Таким образом, ранг является аддитивным (относи-
(относительно операции объединения систем векторов) функционалом.
Теорему 23 можно обратить:
24. Если rg (Г, U Г2) = rg Г, -Н rg Г2, то
Ь(Г,)ПЬ(Г2)=|0).
Две системы векторов Fj, Г2, удовлетворяющие условию
Ь(Г1)ПЬ(Г2)=(О),
называются взаимно независимыми.
В заключение этого параграфа охарактеризуем ранг набо-
набором его функциональных свойств, уже известных из преды-
предыдущего.
25. Пусть функционал р(Г) на множестве всех систем
векторов обладает следующими свойствами:
1) Если Г, cv Г2> то р(Г,)^р(Г2).
2) Если системы Г, и Г\, взаимно независимы, то
0(Г, U Г2) = р (Г,) Ч Р (Г2).
3) Если система Г состоит из одного вектора х Ф 0,
то р(Г)= 1.
Тогда p(r) = rgT для всех Г.
Между прочим, никакие два из трех условий 1), 2), 3)
уже не достаточны для того, чтобы охарактеризовать ранг,
легко показать построением соответствующих примеров.

30| § 2. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА 19
§ 2. Базисы и размерность пространства.
Изоморфные пространства
Непустое множество F векторов пространства Е назы-
называется линейно минимальным, если каждая система FczF
линейно независима.
Множество F называется производящим, если для каждого
д;?Е существует такая система Тс?, что х?Ь(Г).
Пространство Е называется конечномерным, если оно удо-
удовлетворяет какому-нибудь из следующих взаимно двойствен-
двойственных условий:
1) Каждое линейно минимальное множество в Е конечно.
2) В Е существует конечное производящее множество.
С помощью 11 легко устанавливается что:
26. Условия 1), 2) равносильны.
Если пространство не является конечномерным, то оно
называется бесконечномерным. Приведем некоторые примеры.
27. Пространство Фм всех функционалов на каком-нибудь
множестве М конечномерно, если множество М конечно, и
бесконечномерно в противном случае. В частности, арифме-
арифметическое пространство С" при любом натуральном п конечно-
конечномерно, а пространство Сш бесконечномерно.
Аналогично:
28. Пространство П" полиномов степени, меньшей п
(«— натуральное число), конечномерно, а пространство П
всех полиномов бесконечномерно.
В этой книге всюду дальше рассматриваются только
конечномерные пространства.
Если пространство Е конечномерно, то в нем существует
такая система векторов Г, что L(F):=E. Система векторов,
обладающая этим свойством, называется полной.
Полная линейно независимая система векторов называется
базисом пространства Е.
29. В пространстве С" элементы
«1 = 0. 0 0), «а = @. 1 0) е„ = @, 0 1)
образуют базис.
Этот базис называется каноническим.
30. В пространстве И" полиномы 1, t, t2, .... tn~l обра-
образуют базис.
2*

20 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛМНЕПНОЕ ПРОСТРАНСТВО |31
Этот базис также называется каноническим.
Базисы допускают характеристику, аналогичную характе-
характеристике базисных подсистем системы векторов (см. 5, 6).
31. Для того чтобы система векторов была базисом, необ-
необходимо и достаточно, чтобы она была линейно независимой
и при этом максимальной, т. е. не содержалась ни в какой
отличной от нее линейно независимой системе.
32. Для того чтобы система векторов была базисом,
необходимо и достаточно, чтобы она была полной и при этом
минимальной, т. е. не содержала никакой отличной от нее
полной системы.
Теорема существования базиса аналогична теореме 7:
33. В каждом пространстве Е=?0 существует базис. Более
того, любую линейно независимую систему векторов можно
дополнить до базиса и (двойственным образом) из любой пол-
полной системы векторов можно выделить базис.
Базис играет в пространстве роль системы координат
(ср. 8, 9):
34. Пусть {ek}" — базис. Для любого вектора д:?Е су-
п
ществует и единственно разложение по базису: х = 2 \kek-
Коэффициенты %v %2 ?л этого разложения называются
координатами вектора х относительно базиса [ek}".
35. Если система векторов {eft}" такова, что для любого
л
вектора х существует и единственно разложение х = 2 %kek'
fc-I
то система является базисом.
Опираясь на теорему 34, введем понятие матрицы системы
векторов. Вообще матрицей ((лХ^-матрицей или матрицей
размера лХи) называется прямоугольная таблица чисел
1<*<га
При п = т матрица а называется квадратной, а число
п — ее порядком.
Пусть \ик)™ — какая-нибудь система векторов и
л
(А=1, 2, .... т)

33] $ 2. БАЗИСЫ И РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА 21
разложения векторов системы по базису {ej}". Тогда ма-
матрица
Ы
называется матрицей системы {и^}™ относительно ба-
базиса {<?;}".
В частности, матрица базиса относительно самого себя
имеет вид {6/*}", *-ь где bjk — так называемый символ Кро-
некера:
(О (J ф k),
6'* I 1 (/ = *)¦
Это — единичная матрица.
Соответствие между всевозможными системами векторов
и всевозможными л-строчными матрицами при-фиксированном
базисе взаимно однозначно.
Следующая теорема, аналогичная теореме 12, играет фун-
фундаментальную роль.
36. Все базисы фиксированного пространства Е содержат
одно и то же число векторов.
Это число называется размерностью пространства Е и
обозначается dim Е. Если Е = 0, то dim E = 0. Пространство,
размерность которого равна л, называется п-мерным. Тео-
Теоремы 29, 30 показывают, что пространства С и И" л-мерные.
Понятие размерности пространства аналогично понятию
ранга системы векторов и тесно с ним связано:
37. Ранг любой системы векторов не больше размерности
пространства.
Ранг любой полной системы очевидно равен размерности
пространства, Таким образом, размерность пространства Е
является максимумом рангов всевозможных систем векторов.
Кроме того, аналогично 13:
38. Размерность пространства Е Ф 0 равна максимальной
мощности всевозможных линейно независимых систем векторов.
Двойственным образом, аналогично 14:
39. Размерность пространства Е ф 0 равна минимальной
мощности всевозможных полных систем векторов.
С этой точки зрения базисы можно охарактеризовать как
экстремальные системы векторов;

22 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |40
40. Пусть dimE='n > 0. Если система {ек}" линейно не-
независима или (двойственным образом) полна, то она является
базисом пространства Е.
Из 40 легко получить, что в дополнение к сказанному по
поводу 37:
41. Если ранг системы векторов равен размерности про*
странства, то эта система векторов полна.
Фиксируя какой-нибудь базис Л пространства Е (dim E = л),
можно описать все базисы их матрицами относительно ба-
базиса А. При этом каждому базису Г соответствует некоторая
квадратная матрица ("Yyft)",ft_i л-го порядка, но не каждая
такая матрица соответствует какому-либо базису. Однако:
42. Если матрица 8 = 0Y/*)}, *-i соответствует некоторому
базису Г, то для любой пары индексов г, s A <><;«,
1 <; s <С л) существует такое е = еГ) ^ > 0, что каждая матрица
?=(Y/ft)",ft-i c элементами
= r и
при I т) I < e соответствует некоторому базису Г.
Поэтому можно сказать, что множество базисов в л-мер-
ном пространстве является л2-параметрическим: элементы ма-
матрицы, соответствующей базису, в силу теоремы 42, можно
рассматривать как независимые параметры.
В заключение этого параграфа введем важное понятие изо-
изоморфизма двух пространств.
Пространство Е, называется изоморфным пространству Е,
если существует взаимно однозначное отображение j про-
пространства Е на все пространство Е, (изоморфизм про-
пространств Е и Ej), обладающее свойствами:
О j(x1 + x2)=jxl->rjx2,
2) у (адг) = а (У*).
Изоморфность пространств есть отношение ( эквивалент-
эквивалентности. Поэтому можно говорить о классах изомбрфных про-
пространств. С абстрактной точки зрения изоморфные прост-
пространства неразличимы, так как все, что относится к одному
из них и формулируется только в терминах операций сло-
сложения и умножения на число, относится в равной мере
к другому.

46! 5 3. ПОДПРОСТРАНСТВА 23
Если пространства Е и Е, изоморфны, то пишут Е^кЕг
Следующая теорема дает критерий изоморфности двух
пространств.
43. Для изоморфности Е =5в Е, необходимо и достаточно,
чтобы dim E —dim E,.
Таким образом, все л-мерные пространства при данном п
изоморфны между собой. В частности, изоморфны прост-
пространства С" и П".
Начиная со следующего параграфа, мы, как правило,
фиксируем «основное» пространство Е. Однако в некоторых
важных ситуациях требуется одновременное рассмотрение
нескольких «основных» пространств. Основные пространства
мы будем предполагать отличными от нуля.
Буква я везде означает размерность пространства Е.
§ 3. Подпространства
Непустое множество L векторов в пространстве Е назы-
называется подпространством, если операции сложения и умно-
умножения на число не выводят из L, т. е. если L по отноше-
отношению к этим операциям само является линейным простран-
пространством.
Очевидно, вектор 0 входит в любое подпространство и
множество 0, состоящее из одного этого вектора, является
подпространством. Оно называется нулевым подпростран-
подпространством. Само пространство Е также, очевидно, является под-
подпространством. Подпространства 0 и Е называются тривиаль-
тривиальными подпространствами.
Так как каждое подпространство L само является линей-
линейным пространством, то можно говорить о размерности под-
подпространства dim L.
44. Имеет место неравенство dim L •< п. Знак равенства
достигается тогда и только тогда, когда L = E.
Каждая система векторов порождает некоторое подпро-
подпространство:
46. Для любой системы векторов Г линейная оболочка L(F)
является подпространством, причем dimL(r) = rgr.
Поэтому:
46. В Е существуют подпространства любой размерности d,
удовлетворяющей неравенству 0-<rf-^n.
Рассмотрим отношение включения подпространств»

24 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |47
47. Если Lj, L2 — подпространства и ЦсЦ, то
dim Lj <[dim L2.
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда,
когда Lj = L2.
Множество подпространств (Lv) называется цепью, если
для каждой пары L,v LVi либо LVlczLV2, либо LVjc:Lv,.
Благодаря конечномерности пространства Е имеет место
следующий принцип обрыва цепей.
48. Любая цепь подпространств конечна.
Таким образом, любая цепь подпространств может быть
записана в виде LqCLjC: ... cLm (m^-0).
Цепь называется максимальной, если она не является
правильной частью никакой другой цепи.
49. Для того чтобы цепь LqCLjC ... cLra была макси-
максимальной, необходимо и достаточно, чтобы т—п и
dim Lft = /fe (k = 0, 1, .... n)
(в частности, L0 = 0, Ln = E).
50. Любая цепь содержится в некоторой максимальной
цепи.
Эта максимальная цепь, вообще говоря, не единственна.
61. Если {Lk}" — максимальная цепь подпространств, то
существует такой базис {ек}", что подсистемы \ek)™ являются
базисами подпространств Lm(m=l, 2, ..., я).
Над подпространствами можно произподить некоторые
операции. Рассмотрим прежде всего теоретико-множественные
операции.
Объединение подпространств оказывается подпростран-
подпространством лишь в исключительных случаях:
52. Для того чтобы объединение конечного множества
подпространств было подпространством, необходимо и доста-
достаточно, чтобы одно из подпространств содержало все остальные.
Отсюда, очевидно, следует, что объединение конечного
множества подпространств, отличных от пространства Е,
также отлично от Е. В противоположность 52:
53. Если (Lv) — любое множество подпространств, то их
пересечение также есть подпространство. При этом
dim (П Ц) < inin (dim Ц).

Щ § 3. ПОДПРОСТРАНСТВА 25
В этом неравенстве знак равенства достигается тогда и только
тогда, когда одно из подпространств Lv содержится во всех
остальных.
В дальнейшем нам неоднократно придется рассматривать
множества S всех подпространств, обладающих тем или иным
свойством. Мы условимся различать термины «максимальное»
и «наибольшее» из подпространств множества й следующим
образом. Если подпространство L из й не содержится
ни в каком другом подпространстве из й, то назовем его
максимальным. Если же подпространство Ь?й содержит
любое подпространство из й, то назовем его наибольшим.
Если в й существует наибольшее подпространство, то оно
является максимальным.
Для того чтобы максимальное подпространство множе-
множества й было наибольшим, необходимо и достаточно, чтобы
оно было единственным максимальным. Отметим, что макси-
максимальное подпространство, в отличие от наибольшего, суще-
существует для любого множества й.
Двойственным образом определяется минимальное (наи-
(наименьшее) подпространство.
Рассмотрим в качестве примера множество й^ всех под-
подпространств, содержащих некоторое множество векторов F,
Пересечение всех подпространств, принадлежащих Шр, также
принадлежит й^ и, следовательно, является наименьшим из
подпространств множества й^. Оно называется линейной
оболочкой множества F и обозначается L(F).
Пересечение множества подпространств {Lv} есть наиболь-
наибольшее подпространство, содержащееся во всех подпространствах
Lv. Введем двойственное понятие. Им окажется не объединение
потому, что мы будем действовать в классе подпространств,
а не в классе всех подмножеств множества Е.
Суммой подпространств (Lv) называется наименьшее
подпространство, содержащее все Lv. Очевидно, сумма под-
подпространств {Lvj совпадает с линейной оболочкой L(L)LV).
Сумма подпространств обозначается обычными символами
2.+.
54. Имеет место неравенство
dim B Lv) > шах (dim Lv).
В этом неравенстве знак равенства достигается тогда и только

26 ГЛ. !. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО E0
тогда, когда одно из подпространств Lv содержит все
остальные.
Теоремы 63, 54 аналогичны теоремам 19, 20.
Пересечение и сумма подпространств подчиняются сле-
следующим принципам обрыва, вытекающим из принципа
обрыва цепей 48:
бб. Для любого множества подпространств существует
конечное подмножество с тем же самым пересечением.
Двойственным образом:
66. Для любого множества подпространств существует
конечное подмножество с той же самой суммой.
Отметим, что если множество подпространств вместе
с каждыми двумя подпространствами содержит их пересечение,
то в этом множестве существует наименьшее подпространство.
Двойственным образом, если множество подпространств вместе
с каждыми двумя подпространствами содержит их сумму, то
в этом множестве существует наибольшее подпространство.
Операция сложения подпространств ассоциативна и ком-
коммутативна так же, как операция пересечения. Однако дистри-
дистрибутивные законы отсутствуют. В общем случае имеет место
лишь:
67. Для любого множества подпространств {Lv} и любого
подпространства L выполняются соотношения:
L П 2 LV=»2(L n Lv). L + П Цс П (L + Lv).
Но для случая двух подпространств Ц, L2:
68. Если LjcL, то
L П (L, 4 Ц) = L П L, Ч- L П Ц
и, двойственным образом, если ЦзЦ то
Это — так называемые модулярные законы. Они
доказываются очень просто, если использовать следующее
описание суммы двух подпространств.
69. Сумма двух подпространств Ь:, L2 есть множество
векторов вида
*==*, 4 -*а (-K,€Lr *2€Ц)-

63| § 3. ПОДПРОСТРАНСТВА 27
Теорема 69 непосредственно переносится на сумму любого
конечного множества подпространств.
Рассмотрим систему двух подпространств более подробно.
Прежде всего установим аналог теоремы 21.
60. Для любых двух подпространств Lj, L2 имеет место
равенство
dim (Ц П Ц) + dim (Ц + L2) = dim Ц + dim L2
(формула Грассмана).
Из формулы Грассмана вытекает, что аналогично 22:
61. dim(L, + L2)<dimL,-|-dimL2.
Сформулируем условия достижения знака равенства в 61.
Назовем подпространства Ц, L2 взаимно независимыми (а си-
систему {Lj, Ц} — независимой), если
L, П Ц = 0.
Сумма двух взаимно независимых подпространств Ц, L2 на-
называется прямой суммой и обозначается Ц -\- L^.
62. Для того чтобы имело место равенство
dim (Lj + L2) = dim L, + dim L2,
необходимо и достаточно, чтобы подпространства Ьр L2 были
взаимно независимыми (ср. 23, 24).
Свойство «прямизны» суммы двух подпространств можно
сформулировать следующим образом:
63. Сумма двух подпространств Ц, Ц является прямой
тогда и только тогда, когда представление
х~Х\-\- х2 (л:, ? Ц, х2 ? Ц)
единственно для каждого х ? Ц -f- Lj (достаточно даже, чтобы
это представление было единственным для л: = 0, т. е. чтобы
из х = 0 следовало хг = 0, х2 = 0).
Понятию взаимной независимости двойственно понятие
полноты. Система двух подпространств {Ц, Ц} называется
полной, если
т. е. если для каждого вектора х ? Е существует представление

28 ГЛ I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |64
Подпространства Ц, L2 называются взаимно дополни-
дополнительными, а система {L,, L2}—базисной, если
т. е. если система {Ц, L2} полна и независима. При этом
каждое из подпространств называется дополнением другого.
Равенство (*) означает, что каждый вектор х представим,
и притом единственным образом, в виде
х = х]~\-х2 (л:, ? L,, *26L2).
64. Для любого подпространства L существует дополне-
дополнение.
Оно не единственно, если L ф Е, но
66. Размерность любого дополнения подпространства L
равна п — dim L.
Величина п — dim L называется коразмерностью подпро-
подпространства L и обозначается codim L. Таким образом, по опре-
определению
dim L + codim L = п.
Понятие коразмерности двойственно понятию размерности.
Это ясно видно из следующего цикла теорем.
66. Если LP L2 — подпространства и Ljc:L2, то
codim L( ^- codim L2.
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда
L1==L2.
67. Для любого множества {Lv} подпространств имеет
место неравенство
codim ( П Lv) > max (codim Lv).
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда
одно из подпространств Lv содержится во всех остальных.
68. Для любого множества {Lv} подпространств имеет
место неравенство
codim B Lv) < min (codim Lv).
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда
одно из подпространств Ц содержит все остальные.

73| § 3. ПОДПРОСТРАНСТВА 29
69.- Для любых двух подпространств Ц, Ц имеет место
равенство
codim (Lj -f L2) -\- codim (Lj |"| Ц) = codim L] -f codim Ц.
Следовательно:
70. codim (L, f| Ц) ^ codim Lx -f- codim L2.
При этом:
71. Для того чтобы было
codim (Lj |"| L2) = codim Lj -f- codim L2,
необходимо и достаточно, чтобы система {Ц, L2} была полной.
Из теорем 61 и 70 легко получить признаки неполноты и
зависимости для системы двух подпространств {Lj, L2).
72. Если codim L[ > dim L2, то система {Lv L2) неполна.
73. Если dim Lj > codim L2, то система {Lj, L2) зависима.
Пусть Lj, L2 Lm — какие-нибудь подпространства.
При каких условиях у них существует общее дополнение?
Ответ на этот вопрос можно получить с помощью 62:
74. Для того чтобы подпространства L1( L2, ..., Lm имели
общее дополнение, необходимо и достаточно, чтобы их раз-
размерности были равны.
Распространим понятие прямой суммы на систему любого
числа подпространств {L^J". Будем отправляться от 63.
Сумма подпространств Ц, L2, .... Lm называется прямой
т
суммой, если для каждого х ? 2 Lft представление
т
единстЕ*енно, т. е., иными словами, если из равенства
т
вытекает, что хк = 0 (&=1, 2, .... т). Прямая сумма обо-
обозначается символами 2 , -)-•
75. Для того чтобы сумма подпространств Lv L2, .... Lm
была прямой, необходимо и достаточно, чтобы для каждых
Двух непересекающихся систем индексов \jlt j2 jp),
{kx, k2 kq) подпространства

30 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |76
были взаимно независимыми. Достаточно даже, чтобы были
взаимно независимыми подпространства
Ц + Щ- ... 4-Ц и Lpfl
при каждом р = 1, 2, .... т — 1.
76. Для того чтобы сумма подпространств L,, L2, ..., Lm
была прямой, необходимо и достаточно, чтобы
т т
dim 2 Lb = 2 dim Ц-
ft-i ft-i
Система отличных от нуля подпространств {Lft}™ назы-
называется базисной, если
При этом говорят, что пространство Е разложено в прямую
сумму подпространств Lp L2 Lm.
77. Если {Lft}™ — базисная система подпространств и ДА-
m
какой-нибудь базис подпространства Lft, то Л= (J Дй есть
базис пространства Е.
Обратно:
78. Пусть Д — какой-нибудь базис пространства Е,
(Д[, Д2, ... ,Дт} — какое-нибудь разбиение системы Д на под-
подсистемы. Тогда система подпространств (L(Aft)}™ базисная.
При этом Дй — базис подпространства L (Дй).
Характеристикой базисной системы подпространств {Lfc)J"
называется система натуральных чисел {dimLs}™.
79. Для того чтобы система натуральных чисел {fi?ft}["
была характеристикой некоторой базисной системы подпро-
т
странств, необходимо и достаточно, чтобы 2 dk = n.
В частности, необходимо, чтобы т ^п. При т — п един-
единственная возможная характеристика есть {1, 1, ..., 1}. Она
соответствует разложению пространства Е в прямую сумму
одномерных подпространств.

82| ' § *¦ ФАКТОР ПРОСТРАНСТВА. ГОМОМОРФИЗМЫ 31
В заключение охарактеризуем размерность подпространства
набором ее функциональных свойств (ср. 25):
80. Пусть функционал d(L) на множестве всех подпро-
подпространств пространства Е обладает следующими свойствами:
1) если подпространства Ц, Ц взаимно независимы, то
2) если dimL — 1, то d(L)—\.
Тогда d(L) — dimL для всех L.
§ 4. Фактор-пррстранства. Гомоморфизмы.
Альтернатива Фредгольма
Пусть L — какое-нибудь подпространство пространства Е.
Будем говорить, что векторы х и у сравнимы по модулю L.
и писать
х = у (mod L),
если х — >'61~ В частности, сравнение
л: =2 0 (mod L)
равносильно включению x?L. Очевидно, сравнимость по мо-
модулю L является отношением эквивалентности. Поэтому про-
пространство Е распадается на классы сравнимых по модулю L
векторов {классы по модулю L). Класс, порождаемый век-
вектором х, будем обозначать [x]L или, если это не может вы-
вызвать недоразумений, короче: [х].
81. Если ;e = y(modL), лг, = у, (modL), то
х 4- лг, = у f у, (mod L), ад; =; ау (mod L).
Этот факт позволяет естественным образом ввести в мно-
множестве классов по фиксированному модулю операции сло-
сложения и умножения на число, полагая
М-т- [*il = l*4 *il. a [*1 = [a*].
def def
Множество классов превращается в линейное пространство,
которое называется фактор-пространством пространства Е
по модулю L и обозначается E/L.
82. Е/О^Е. Е/Е = 0.
Более общее утверждение:

32 ГЛ. t. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 183
83. Если L' — дополнение подпространства L, то
Отсюда:
84. dim E/L = codim L.
Это равенство можно записать в виде формулы до-
дополнения
dimE/L-l- dimL = «.
В дальнейшем мы будем часто сталкиваться с подобными
формулами.
Векторы х{, х2, •••¦ хт называются линейно независи-
независимыми по модулю L, если порождаемые ими классы [-*r,]L,
[x2]L [Arm]L линейно независимы в фактор-простран-
фактор-пространстве E/L.
85. Для того чтобы векторы хи х2, ..., хт были ли-
линейно независимыми по модулю L, необходимо и достаточно,
чтобы их линейная оболочка и подпространство L были
взаимно независимы.
Если векторы х,, х2 хт линейно независимы по
некоторому модулю L, то они и подавно линейно незави-
независимы (т. е. линейно независимы по модулю 0). Более общим
образом:
86. Если векторы xv х2, . . ., хт линейно независимы по
некоторому модулю L, то они линейно независимы по лю-
любому модулю McL.
Введем теперь фундаментальное понятие гомоморфизма,
обобщающее понятие изоморфизма. Пусть Е, — еще одно ли-
линейное пространство. Отображение h: E-^E! называется го-
гомоморфизмом (из Е в Е,), если
1) h (xl + х2) = hXj -f hx2,
2) h(ax) = ahx.
Если соответствие между х и hx, устанавливаемое гомо-
гомоморфизмом Л, взаимно однозначно (т. е. из hxl = hx2 сле-
следует js, = х2), то h называется мономорфизмом.
Например, если Е — подпространство пространства Ер то
гомоморфизм / из Е в Е,, определенный формулой
является мономорфизмом. Это - так называемое вложение
Е в Ej.

91) § 4. ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА. ГОМОМОРФИЗМЫ 33
Если гомоморфизм h отображает пространство Е на все
пространство Ej, то он называется эпиморфизмом.
Примеры эпиморфизмов будут приведены ниже.
Изоморфизм - это такой гомоморфизм, который является
одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
Пусть h — гомоморфизм из Е в Е,.
87. Множество решений уравнения hx = О является под-
подпространством.
Оно называется ядром гомоморфизма h и обозначается
Ker h.
88. Множество векторов вида y = hx является подпро-
подпространством.
Оно называется образом гомоморфизма h и обозначается
ImA.
Фактор-пространство E,/Im h называется коядром гомо-
гомоморфизма h и обозначается Coker h. Фактор-пространство
Е/Кег Л называется кообразом гомоморфизма Л и обозначается
Coim h. Частица «ко» указывает на двойственность понятий
(так же как в термине «коразмерность»).
89. Для того чтобы гомоморфизм h был мономорфизмом,
необходимо и достаточно, чтобы КегЛ —0.
90. Для того чтобы гомоморфизм h был эпиморфизмом,
необходимо и достаточно, чтобы Coker Л = 0.
Понятия мономорфизма и эпиморфизма двойственны друг
другу. Понятие изоморфизма самодвойственно.
Подчеркнем, что мономорфизм А из Б в Е, можно рас-
рассматривать как изоморфизм из Е в Im h.
Имеется тесная связь между гомоморфизмами и фактор-
пространствами:
91. Пусть М — произвольное подпространство простран-
пространства Е. Отображение hmx = [x]M является гомоморфизмом
из Е в Е/М, причем
Таким образом, им — эпиморфизм. Он называется стяги'
ванием пространства Е по модулю М. «Стягивая» простран-
пространство Е по модулю М, мы получаем фактор-пространство Е/М.
При этом подпространство М «стягивается» в точку 0.
Этот результат можно обобщить. Пусть М и L — два
подпространства пространства Е, причем MdL, Тогда, если
х^у (mod L), то и подавно jesy(modM). Тем самым
3 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

34 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [92
каждый класс по модулю L целиком входит в некоторый (оче-
(очевидно, единственный) класс по модулю М. Возникает ото-
отображение вложения классов, которое мы обозначим
через Лм/l- Оно действует из фактор-пространства E/L
в фактор-пространство Е/М. Очевидно, Лм/о —Лм (если Е/0
отождествить с Е); Ле/l = О для любого подпространства L.
92. Отображение Лмд. является гомоморфизмом, причем
Кег Лмд. = {[х]ь | х 6 М}. Im Л мл. = Е/М.
Вместе с тем Кег Лм/l ^ M/L.
В силу 92, Лм/l — эпиморфизм. Он называется стягива-
стягиванием пространства Е по модулю М относительно модуля L.
93. Пусть h — произвольный гомоморфизм из Е в Ej.
Отображение h, определенное равенством Л[лг]кегл = Ллг,
является изоморфизмом пространств Е/Кег h и Im h:
Im h *& E/Ker ft. (*)
Таким образом, стягивая пространство Е по модулю Кег Л,
мы превращаем гомоморфизм Л в мономорфизм, не меняя
его образа. Можно сказать, что гомоморфизм Л с точностью
до стягивания по модулю Кег Л является мономорфизмом.
Можно также сказать, что Л с точностью до изоморфизма А
является стягиванием по модулю Кег Л. Такая «стандартиза-
«стандартизация» произвольного гомоморфизма играет важную роль. Рас-
Рассмотрим одно из наиболее выразительных применений фор-
формулы (*). Предварительно дадим два определения.
Для любого гомоморфизма Л размерность образа Im h на-
называется рангом гомоморфизма и обозначается rg h; размер-
размерность ядра Кег h называется дефектом гомоморфизма и обо-
обозначается def h.
94. rg Лм/l = codim M, def Лм/l = dim M -— dim L.
В частности, tghn = codim M, defftjvi = dimM и, сле-
следовательно,
def Лм/l = def Лм — def h\,.
Очевидно, если h—гомоморфизм из Е в Е,, то
О < def h < n, 0<rgA<re,,
где п, как обычно, означает размерность пространства Е,
а пг — размерность пространства Ег

97| § 4. ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА. ГОМОМОРФИЗМЫ 35
95. Для любого гомоморфизма А из Б в Е, имеет место
формула дополнения
rgA4-def h = n.
Если h ? Нот (Е, ЕД то разность размерностей
dim Е — dim E;
называется индексом гомоморфизма h и обозначается через
ind Л. Гомоморфизм h называется фредгольмовым, если
ind h = 0. Важным частным случаем являются так называемые
эндоморфизмы пространства Е, т. е. гомоморфизмы из Е в Е.
Основное свойство фредгольмовых гомоморфизмов выра-
выражается следующей теоремой.
96. Для того чтобы фредгольмов гомоморфизм был эпи-
эпиморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы он был мо-
мономорфизмом (и тем самым изоморфизмом).
Отсюда:
97. Если h — фредгольмов гомоморфизм, то, для того
чтобы неоднородное уравнение
hx — y
было глобально разрешимым (т. е. разрешимым при любой
правой части у), необходимо и достаточно, чтобы соответ-
соответствующее однородное уравнение
имело только тривиальное решение х = 0 (первая тео-
теорема Фредгольма).
Этот результат часто формулируется в виде альтер-
альтернативы Фредгольма: если h—фредгольмов гомомор-
гомоморфизм, то либо неоднородное уравнение разрешимо при лю-
любой правой части, либо соответствующее однородное урав-
уравнение имеет нетривиальное решение.
Заметим при этом, что наличие нетривиальных решений
однородного уравнения равносильно неединственности реше-
решения неоднородного уравнения всякий раз, когда это реше-
решение существует. Итак, либо неоднородное уравнение гло-
глобально разрешимо, либо всякий раз, когда оно разрешимо,
его решение не единственно.
Приводимое ниже обобщение 98 формулы 96 послужит
источником ряда дальнейших результатов.

36 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |98
Пусть А— гомоморфизм из Е в Е,, L — подпростран-
подпространство пространства Е. Множество векторов
называемое образом подпространства L, является подпрост-
подпространством. Мы будем обозначать его через AL. В частности,
hE = \mh, hO = Q. Очевидно, всегда hhczlm А, так что
98. dim AL = dim L — dim (L П Ker A).
Отсюда, в частности, видно, что
dimAL<[dimL,
т. е. гомоморфизм не повышает размерности подпространств.
С другой стороны,
dimAL>dimL — def A,
т. е. фиксированный гомоморфизм не может слишком сни-
снижать размерность подпространств. Эта оценка точна:
99. Существует такое подпространство L, что
dimAL = dimL — def A.
Таким образом, дефект гомоморфизма можно интерпре-
интерпретировать как меру понижения размерности подпространств.
В частности, ясно, что для того, чтобы гомоморфизм со-
сохранял размерность всех подпространств, необходимо и до-
достаточно, чтобы он был мономорфизмом.
Введем теперь объект, двойственный AL. Пусть М — под-
подпространство пространства Ег Множество векторов
{х\х?Е, Алг^М},
называемое полным прообразом подпространства М, является
подпространством. Мы будем обозначать его через А~!М.
В частности, A^OssKerft, А~1Е1 = Е. Очевидно, всегда
/Г'МэКегЛ, так что dim Л~*М> def h.
100. Имеет место соотношение
A"'(AL)=>L.
Для того чтобы A~1(AL)=L при всех L, необходимо и до-
достаточно, чтобы Л был мономорфизмом.
Двойственным образом:

104] § *¦ ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА. ГОМОМОРФИЗМЫ 37
101. Имеет место соотношение
А(А~*М)с:М.
Для того чтобы л(л~1М) = М при всех М, необходимо и
достаточно, чтобы h был эпиморфизмом.
102. codim A-1M = codim М — codim (М + Im h).
Двойственность формул 98 и 102 очень выразительна.
Из 102, в частности, видно, что
codim М ^> codim Л-1М.
В этом смысле гомоморфизм не понижает коразмерности
подпространств. С другой стороны,
codim М •< codim Л~'М -\- codim (Im h),
т. е. фиксированный гомоморфизм не может слишком по-
повышать коразмерность подпространств. Эта оценка точна:
103. Существует такое подпространство М, что
codim М = codim A~!M -f- codim (Im h).
Таким образом, величину codim (Im h) можно интерпре-
интерпретировать как меру повышения коразмерности подпространств.
В частности, ясно, что для того, чтобы гомоморфизм А со-
сохранял коразмерность всех подпространств, необходимо и
достаточно, чтобы он был эпиморфизмом.
Отметим, что для фредгольмовых гомоморфизмов (и только
для них)
codim (Im A) = def А,
т. е. максимум снижения размерности совпадает с максиму-
максимумом повышения коразмерности.
Рассмотрим свойства гомоморфизма А по отношению
к операциям сложения и пересечения подпространств.
104. Пусть {LJ - произвольное множество подпрост-
подпространств пространства Е, {Мц} — произвольное множество под-
подпространств пространства Е,. Имеют место соотношения
и, двойственным образом,
А (Л Ц)с Л *Ц. А (Л Мц) =» Л А

38 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО A05
Точнее:
105. Имеют место формулы
П*Ь? = А(П (L? + KerA)).
Поэтому, если M^dmft для всех ц (в частности, если
А — эпиморфизм), то
Двойственным образом, если ЦгэКегА для всех v (в част-
частности, если А — мономорфизм), то
А ( П Ц) == П ALV.
106. Пусть подпространства Lj, L2 образуют полную си-
систему, h — эпиморфизм. Тогда подпространства АЦ, AL2 также
образуют полную систему.
107. Пусть подпространства LIf L2 взаимно независимы,
А — мономорфизм. Тогда подпространства АЦ, ЛЦ также
взаимно независимы.
Более общее утверждение:
т
108. Если L=2 Lft и Л — мономорфизм, то
§ 5. Действия над гомоморфизмами
Рассмотрим множество Нот (Е, Ех) всех гомоморфизмов
из Е в Ег Определим сумму гомоморфизмов hu A2, полагая
и произведение гомоморфизма h на число а, полагая
(ah)x = a(hx). (
Тем самым Нот (Е, Ej) становится линейным пространством.
Нулем этого пространства является гомоморфизм 0: (Ь; = 0
(*€Е).
Следующее предложение приводит к общему способу
описания гомоморфизмов из Е в Ev

Ш| i 5. ДЕЙСТВИЯ НАД ГОМОМОРФИЗМАМИ 39
109. Пусть \ek}" — какой-нибудь базис пространства Е.
Для любой системы векторов \vfc\" из Et существует един-
единственный гомоморфизм Л?Нот(Е, Е[), удовлетворяющий
условиям:
hek — vk (ft = 1, 2, ..., п).
Если еще выбрать какой-нибудь базис {«/}"' простран-
пространства Eji то систему {vfc}" можно будет взаимно однозначно
описать ее матрицей (см. § 2). Эта матрица называется
матрицей гомоморфизма к относительно пары базисов
\ek)\' {"/}"'• О"а имеет размер п1Х,п. Легко проверить,
что при сложении гомоморфизмов их матрицы относительно
фиксированной пары базисов складываются, т. е. склады-
складываются их соответственные элементы:
Аналогично при умножении гомоморфизма на число X его
матрица умножается на это число:
I (aJk) = (Яяуй).
110. Пусть \ek)" — базис пространства Е, {й;}"'—базис
пространства EI# Определим гомоморфизм //)?^Hom(E, Ej),
полагая
V* = 6«*"c (?, А=1, 2 п; р=\, 2 щ).
Система гомоморфизмов [Ipq) образует базис пространства
Hom(E, E;).
Таким образом,
dim Нот (Е, Ех) = dim E ¦ dim Ej.
В частности, пространство Hom(E, E) есть пространства
эндоморфизмов пространства Е. Его размерность равна п2.
Отметим одно следствие теоремы 109 и результатов § 4
(ср. 43).
111. Для того чтобы существовал мономорфизм h из Е
в Ер необходимо и достаточно, чтобы dim Ej ^> dim E. Для
того чтобы существовал эпиморфизм h из Е в Ej, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы dim Ea <^ dim E.

40 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |Н2
Поэтому, если одновременно существуют мономорфизм
Aj?Hom(E, Ej) и эпиморфизм A2?Hom(E, E,), то Е=^Е,,
т. е. существует изоморфизм h ? Нот (Е, Ej). При этом все
мономорфизмы и все эпиморфизмы оказываются изоморфиз-
изоморфизмами в силу первой теоремы Фредгольма.
Введем теперь операцию умножения гомоморфизмов. Пусть
дано еще одно пространство Е2 и пусть hl ? Нот (Е, Ej),
А2?Нот(Е,, ^г). Положим
Этим равенством определяется отображение h пространства Е
в пространство Е2> называемое произведением гомоморфиз-
гомоморфизмов Л2 и А, и обозначаемое h2h1. Гомоморфизмы перемно-
перемножаются так же, как любые отображения: произведение
отображений есть «результирующее» отображение, воз-
возникающее при последовательном выполнении отображений —
множителей.
112. Произведение двух гомоморфизмов есть гомоморфизм.
Точнее, если Aj^HomCE, EJ, Л2?Нот(Е,, Е2), то h2h1 ?
^ Horn (E, Е2).
Имеет место ассоциативный закон:
113. Aa(A2A1) = (A,Aa)Ai-
Ассоциативный закон справедлив для произведения не
только гомоморфизмов, но и любых отображений. Отметим,
что при умножении гомоморфизмов их матрицы умножаются
по следующему правилу: пусть (аФ)— матрица гомомор-
гомоморфизма Aj относительно пары базисов Д, Д,; (а(.^)—матрица
гомоморфизма Л2 относительно пары базисов Д,, Д2. Тогда
матрица гомоморфизма А = А2А, относительно пары бази-
базисов Д, Д2 равна (a/ft), где
Обозначим через /Е единичный эндоморфизм простран-
пространства Е, т. е. тождественное отображение
/Ех = х {х ? Е)
(оно, очевидно, является гомоморфизмом). Единичные эндо-
эндоморфизмы играют роль единиц при умножении:

U6| $ 5. ДЕЙСТВИЯ НАД ГОМОМОРФИЗМАМИ 41
114. Если Л?Нот(Е, Ех), то
Л/Е = /Eia = h.
Матрица единичного эндоморфизма относительно пары
совпадающих базисов А, Л есть единичная матрица.
Теоремы 112—114 позволяют утверждать, что класс
конечномерных линейных пространств и их гомоморфизмов
есть категория.
Отметим еще дистрибутивные законы:
116. Если А, Л, ^ Нот (Е, Ег) и А2?Нот(Е,, Е?, to
Аналогично, если Л?Нот(Е, Ех) и hv Л2? HomCEj, E2), to
(Л, + h2)h = hxh + h2h.
Наконец:
116. Если hx?Hom(E, Ех), h2?Hom(Ev E2), а —любой
скаляр, то
fi2 (aAj) := (аЛ2) hx = а (Л2АХ).
Для эндоморфизмов умножение является внутренней опе-
операцией: если hv A26Hom(E, E), то и к2кх^\\от(^., Е).
На основании предыдущих теорем можно говорить об алгебре
эндоморфизмов. Мы займемся этой алгеброй в гл. II. Вообще
алгеброй называется линейное пространство, в котором опре»
делена операция умножения, подчиняющаяся дистрибутивным
законам
и перестановочная с умножением на скаляр:
х (ay) = (cue) у = a (xy).
Если умножение подчиняется ассоциативному закону
то алгебра называется ассоциативной; такова, например,
алгебра эндоморфизмов.
Рассмотрим теперь важную задачу продолжения гомомор-
гомоморфизма.
Пусть L—подпространство пространства Е и h ? Horn (L, Ex).

42 ГЛ. Г. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |U7
Гомоморфизм А ? Нот (E, Ех) называется продолжением
(или расширением) гомоморфизма А, если
Ъх = hx (х ? L).
Наоборот, если задан гомоморфизм А?Нот(Е, Е,), то
гомоморфизм A?Hom(L, Е^ называется ограничением (или
сужением) гомоморфизма h на L, если
fix = hx (x? L)
(т. е. если Л является продолжением гомоморфизма Л). Часто
пишут
A = A|L.
Очевидно,
Im(A|L) = AL,
Простейшая теорема о продолжении состоит в следующем:
117. Для каждого гомоморфизма A?Hom(L, EJ суще-
существует продолжение A?Hom(E, Ej).
Более того:
118. Пусть векторы ег, е2 ет пространства Е линейно
независимы по модулю L; их, и2 ит — произвольные
векторы пространства Еу Для каждого гомоморфизма
A?Hom(L, E^ существует продолжение A?Hom(E, E,),
удовлетворяющее условиям:
Jiek = ик (k=l, 2 т).
Для единственности такого продолжения (при заданных ег,
е2 ет; их, и2 ит) необходимо и достаточно, чтобы
codimL = m (т. е. чтобы линейная оболочка системы векто-
векторов {eft}j" была дополнением подпространства LY
Этот результат нетрудно получить, опираясь на теорему 109.
Он имеет многочисленные применения. Сейчас мы используем
его для исследования вопроса об обращении гомоморфизма.
Пусть А ? Нот (Е, Ej). Гомоморфизм g? Нот (Ер Е) назы-
называется левым обратным к А, если
gh = Л-.
и правым обратным к Л, если

127| § 5. ДЕЙСТВИЯ НАД ГОМОМОРФИЗМАМИ 43
Если гомоморфизм обладает левым обратным, то он назы-
называется обратимым слева. Аналогично вводится понятие обра-
обратимого справа гомоморфизма. Если гомоморфизм обратим и
слева и справа, то он называется двусторонне обратимым
или, короче, обратимым.
Термины «левый» и «правый» двойственны друг другу,
119. Для того чтобы гомоморфизм h был обратим слева,
необходимо и достаточно, чтобы он был мономорфизмом
(т. е. чтобы Ker h = 0).
При этом:
120. Если h ¦— мономорфизм, то для единственности левого
обратного необходимо и достаточно, чтобы он был изомор-
изоморфизмом (т. е. чтобы не только Ker h = 0, но и Coker h = 0).
Двойственным образом:
121. Для того чтобы гомоморфизм h был обратим справа,
необходимо и достаточно, чтобы он был эпиморфизмом
(т. е. чтобы Coker h = 0).
При этом:
122. Если h — эпиморфизм, то для единственности правого
обратного необходимо и достаточно, чтобы он был изомор-
изоморфизмом (т. е. чтобы не только Coker h = 0, но и Кегй —0).
Рассмотрим ближайшие следствия теорем 119—122.
123. Для того чтобы гомоморфизм был двусторонне
обратимым, необходимо и достаточно, чтобы он был изомор-
изоморфизмом.
124. Если гомоморфизм двусторонне обратим, то его левый
обратный и его правый обратный единственны. Более того,
они совпадают между собой.
В этом случае каждый из них обозначается через h~x и
называется обратным к h гомоморфизмом.
125. Гомоморфизм h~ двусторонне обратим и \h~ ) = h.
126. Если гомоморфизм обратим слева и его левый обрат-
обратный единствен, то он обратим справа и его правый обратный
единствен и совпадает с левым обратным.
Для фредгольмовых гомоморфизмов (в частности, для эндо-
эндоморфизмов) с помощью первой теоремы Фредгольма теорема 126
существенно усиливается:
127. Если фредгольмов гомоморфизм односторонне обра-
обратим (т. е. обратим слева или справа), то он двусторонне
обратим (т. е. обратим слева и справа).

44 ГЛ. Г. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТЁО |128
Наконец, отметим еще, что:
128. Левый обратный к мономорфизму является эпимор-
эпиморфизмом. Правый обратный к эпиморфизму является мономор-
мономорфизмом. Обратный к изоморфизму является изоморфизмом.
Изучим образ и ядро (соответственно ранг и дефект)
суммы и произведения гомоморфизмов.
129. Если hu А2? Horn (E, Е^, то
Im(A, -f-A2)dm A, -(- Im А2, Ker(Aj -f- А2)эКег hx П Ker A2.
В силу первого из этих соотношений:
130. rg(
Отсюда:
131. rg(A1 + A2)>|rgA,-rgA2|.
Далее:
132. Если А^НопЦЕ, Ех), А2?Нот(Е,, Е2), то
Im (A2Ai) = А2 (Im Ai). Ker (A2Ai) = Af1 (Ker A2).
Отсюда и из теоремы 98 вытекает формула:
133. rg h2h1 = rgh1 — dim (Im hl П Ker A2).
Эту формулу можно представить в виде:
134. rg h2h1 = rg A2—codim (ImA x -(- Ker A2),
а также в виде:
135. def ArjAj = def Ax + dim (Im hx П Ker A2)
и, наконец:
136. def A2Aj = def A2 -(- codim (Im A, -(- Ker A2)-f- ind A,.
В частности, если Ах — фредгольмов гомоморфизм, то
def A2A! = def A2 -f- codim (Im hx -\- Ker A2).
В силу 133, 134 имеет место неравенство:
137. rgA2A1<min(rgA2, rgAx).
Более подробно:
138. Если система подпространств {ImAj, KerA2} простран-
пространства Ej независима (в частности, если А2—мономорфизм), то
rgA2A1 =
Если эта система полна (в частности, если hx — эпиморфизм), то
rg A2A! — rg A2.

145] $ 5. ДЕЙСТВИЯ НАД ГОМОМОРФИЗМАМИ 45
В остальных случаях
rgA2A, < min(rgA2, rgA,).
Из теоремы 135 вытекает интересное неравенство
Сильвестра (сублогарифмическое свойство де-
дефекта):
139. defA2A,<def A2 + def hv
Для того чтобы в неравенстве Сильвестра достигался
знак равенства, необходимо и достаточно, чтобы Кег A2dm hv
В частности, знак равенства достигается, если hx — эпи-
эпиморфизм или h2—мономорфизм.
В связи с неравенством Сильвестра отметим, что индекс
обладает логарифмическим свойством:
140. indA2A, = ind A2-|-ind Aj.
В частности, произведение фредгольмовых гомоморфизмов
является фредгольмовым гомоморфизмом.
141. Имеет место неравенство def h2hl ^> def hv причем
знак равенства достигается тогда и только тогда, когда си-
система подпространств {Im hv Ker h2) независима (в част-
частности, когда h2—мономорфизм).
В силу 136:
142. Если гомоморфизм hl фредгольмов, то def h2hx *^ def h2,
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
система подпространств {ImAp Кегй2) полна.
Выясним теперь, когда произведение h = h2h1 двух гомо-
гомоморфизмов является моно- или эпиморфизмом.
143. Для того чтобы произведение h2h1 было мономор-
мономорфизмом, необходимо и достаточно, чтобы Ах был мономор-
мономорфизмом и чтобы система подпространств {Im/z,, KerA2} была
независимой.
В частности, произведение двух мономорфизмов есть моно-
мономорфизм.
144. Для того чтобы произведение h2hx было эпимор-
эпиморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы h2 был эпиморфизмом
и чтобы система подпространств {ImA,, KerA2) была полной.
В частности, произведение двух эпиморфизмов есть эпи-
эпиморфизм.
146. Для того чтобы произведение А2А, было изомор-
изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы А2 был мономор-
мономорфизмом, h2 был эпиморфизмом и чтобы система подпро-
подпространств (ImAp KerA2j была базисной.

46 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1146
В частности, произведение двух изоморфизмов есть изо-
изоморфизм. При этом:
146. (h2hj)~1 = hr%1.
Для дальнейшего нам понадобится понятие ортогональных
гомоморфизмов. Гомоморфизм А2 называется ортогональным
к гомоморфизму А, слева, если
Аналогично определяется ортогональность справа.
Заметим, что равенство (*) равносильно включению Im/^c
сКегА2. В современной алгебре и топологии важную роль
играют такие пары гомоморфизмов hv А2, для которых Im hx =
= КегА2. Они называются точными парами. Последователь-
Последовательности гомоморфизмов, в которых каждые два соседних гомо-
гомоморфизма образуют точную пару, называются точными после-
последовательностями.
147. Пусть А,?Нот(Е, Е^. Множество гомоморфизмов
A2^yioni(B,1, E2), ортогональных к гомоморфизму hx слева,
образует в Horn (Ej, E2) подпространство размерности
(«, — щп{)п2 (я, = dimE,, «2 = dimE2).
Следовательно:
148. Для того чтобы не существовало отличных от нуля
гомоморфизмов, ортогональных к гомоморфизму А] слева,
необходимо и достаточно, чтобы h1 был эпиморфизмом (т. е.
обратимым справа).
149. Пусть A2?Hom(Ej, E2). Множество гомоморфизмов
hx ? Нот (Е, Ej), ортогональных к гомоморфизму А2 справа,
образует в Hom(E, EJ подпространство размерности «,-def hr
Следовательно:
150. Для того чтобы не существовало-отличных от нуля
гомоморфизмов, ортогональных к гомоморфизму /г2 справа,
необходимо и достаточно, чтобы А2 был мономорфизмом
(т. е. обратимым слева).
Исследуем теперь делимость гомоморфизмов. Гомомор-
Гомоморфизм /г, называется правым делителем гомоморфизма h, если
существует такой гомоморфизм g {частное от деления h
на А, справа), что
fi=gfiv
Говорят также, что А делится на At справа.

157| § 5. ДЕЙСТВИЯ НАД ГОМОМОРФИЗМАМИ 47
Аналогично определяется левый делитель и частное от
деления слева. Частные, вообще говоря, определены не одно-
однозначно. Специальная ситуация, когда А — единичный эндо-
эндоморфизм, нами уже изучалась в 119—128.
Рассмотрим деление справа.
161. Пусть гомоморфизм Л?Нот(Е, Еу делится на гомо-
гомоморфизм Л[ ? Нот (Е, Е,) справа. Тогда множество всех
Частных от деления А на Л, справа является в Hom(Ej, E2)
классом по модулю ii, где 8 — подпространство гомоморфиз-
гомоморфизмов, ортогональных к А, слева.
Следовательно:
162. Для того чтобы частное от деления Л на Л, справа
было единственным (при условии, что оно существует), не-
необходимо и достаточно, чтобы h1 был эпиморфизмом.
153. Пусть Aj?Hom(E, Ej)—мономорфизм, h\~l) — какой-
нибудь его левый обратный. Для любого A ? Horn (E, Е2) гомо-
гомоморфизм g — Ай\~ ' является частным от деления Л на ht справа.
Таким образом, мономорфизм является правым делителем
любого гомоморфизма. В общем случае:
164. Если Л делится на h1 справа, то
Кег
Установим, что это необходимое условие делимости справа
является также и достаточным. Попробуем свести задачу к де-
делению на мономорфизм путем стягивания по модулю КегЛ,
(см. 93). С этой целью предварительно рассмотрим стягива-
стягивания с точки зрения действий над гомоморфизмами.
166. Пусть L, М — два подпространства пространства Е
и LcM. Тогда
Таким образом, стягивание Al является правым делителем
стягивания Ам, а соответствующее частное (оно единственно,
так как Al—эпиморфизм) равно относительному стягива-
стягиванию Am/l- Этот результат можно обратить в том смысле, что:
156. Если L, М—два подпространства пространства Е и стя-
стягивание Al является правым делителем стягивания Лм. то МзЬ.
Дадим теперь новое истолкование теоремы 93.
157. Для любого гомоморфизма А существует (и единствен)
такой мономорфизм Л, что Л = Л/Л, где /А означает стяги-
стягивание по модулю КегЛ.

48 ГЛ I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1158
Теперь мы хорошо подготовлены к получению основного
результата:
158. Если h ? Нот (Е, Е2), Л^НотСЕ, Ех) и
Кег АэКег А,,
то h делится на hx справа. В качестве частного можно взять
любой гомоморфизм g, для которого
g | Im fti = Л/л/л, • Л(Г°+ г,
где /л/л — стягивание пространства Е по модулю Ker h отно-
относительно модуля КегЛр r?Hom(ImAp Ej) — произвольный
гомоморфизм, ортогональный к Л, слева. Это описание исчер-
исчерпывает все частные от деления А на hx справа.
Теория деления слева двойственна построенной теории
деления справа.
159. Пусть гомоморфизм Л?Нот(Е, Е2) делится на гомо-
гомоморфизм А; ? Нот (Ер Е2) слева. Тогда множестзо всех част-
частных от деления А на А, слева является в Hom(E, Ej) классом
по модулю Tt, где Tt — подпространство гомоморфизмов,
ортогональных к hx справа.
Следовательно:
160. Для того чтобы частное от деления h на hx слева
было единственным (при условии, что оно существует), не-
необходимо и достаточно, чтобы hx был мономорфизмом.
161. Пусть А1^Нот(Е1, Е2) — эпиморфизм, h\~l)—какой-
нибудь его правый обратный. Для любого А ? Нот (Е, Е2)
гомоморфизм g = h[~^h является частным от деления h на hx
слева.
Таким образом, эпиморфизм hx является левым делителем
любого гомоморфизма А. В общем случае:
162. Если h делится на hx слева, то \mhc\mhx.
Обратно:
163. Если Л?Нот(Е, Е2), Л,?Нот(Ер Е2) и ImAcImA,,
то А делится на hx слева. В качестве частного можно взять
любой гомоморфизм вида

168] § 6. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 49
где f~ ' — какой-нибудь правый обратный к стягиванию /ft,
г ? Нот (Е, Е,) — произвольный гомоморфизм, ортогональный
к Aj справа. Это описание исчерпывает все частные от деле-
деления h на hx слева.
§ 6. Линейные функционалы. Ортогональность.
Биортогональные системы
Функционал f(x) на пространстве Е называется линейным,
если
1 j 1 2
2) f(ax) = af(x).
Таким образом, линейный функционал на Е — это гомо-
гомоморфизм пространства Е в арифметическое пространство С1.
164. Линейные функционалы на Е образуют линейное
пространство по отношению к естественным операциям сло-
сложения и умножения на число.
Это пространство обозначается через Е' и называется
сопряженным к пространству Е.
165. Пусть Е1 — одномерное пространство, е — какой-
нибудь его базисный вектор (т. е. е^Е1, ефО). Формула
hfx = f{x)e
определяет гомоморфизм hi из Е в Е1. Отображение
A: E'->Hom(E, E1), определенное формулой
*/ = */ (/6Е').
является изоморфизмом.
166. dimE' = dimE.
Следовательно:
167. Е'^Е.
Тем самым вообще Е ^ Е' =^ Е" =^ ...
Изоморфизм пространств Е' и Е можно обнаружить также
путем непосредственного построения базисов:
168. Пусть Д={ей)" — какой-нибудь базис простран-
пространства Е. Координаты \k{x) (&=1, 2 п) вектора х
относительно базиса Л являются линейными функционалами
на Е и образуют базис пространства Е'.
Этот базис называется сопряженным к базису Л и обр*'
значается через Л'.

50 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |169
п
Если х — 2 %>kek> то для любого линейного функционала /
k=i
где a*.= /(eft) (& = 1, 2 я). Правая часть этого равен-
равенства определяет линейный функционал в С", который назы-
называется линейной формой.
Изоморфизм пространств Е и Е" (в отличие от изомор-
изоморфизма пространств Е и Е') может быть задан некоторым
естественным образом без использования «случайно» выбран-
выбранного базиса.
169. Пусть х?Е. Формула
Ф, (/) = /(*) (/6Е')
определяет линейный функционал ср^. на Е' (т. е. ср_г?Е").
Отображение ср: Е—>Е", определенное формулой
является изоморфизмом.
Это — так называемый канонический изоморфизм про-
пространств Е и Е".
Мы обнаруживаем, что понятия вектора и линейного функ-
функционала' двойственны: каждый линейный функционал на Е
является вектором в Е'; каждый вектор в Е можно рассма-
рассматривать как линейный функционал на Е'.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что термин
«вектор» будет по-прежнему означать элемент основного
пространства.
Пусть L — подпространство пространства Е и g?V',
т. е. g — линейный функционал на L. В соответствии с общим
определением продолжения гомоморфизма функционал g?E'
называется продолжением функционала g, если
Проблема продолжения линейного функционала является
одной из основных в линейном анализе. Сейчас мы рассмотрим
§е простейший аспект.
Следующие две теоремы редуцируются к теоремам 117, 118.

1751 $ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 51
170. Каждый функционал ?f?L' имеет продолжение
Более того:
171. Пусть векторы *,, х7 хт линейно независимы
по модулю L; yv y2, .... Ут — произвольные числа. Суще-
Существует продолжение g?Е' любого функционала g?L', удо-
удовлетворяющее условиям
?(¦**) = Y* (* = 1. 2, .... т).
Для того чтобы это продолжение было единственным, не-,
обходимо и достаточно, чтобы codimL = m.
В частности:
172. Если вектор х0 не принадлежит подпространству L,
то существует такой функционал /0?Е', что
/„(*) = 0 (*6L). /o(*o)^O.
Функционал /0 отделяет вектор х0 от подпростран-
подпространства L.
Из теоремы 172 вытекает следующий критерий полноты
системы векторов.
173. Для того чтобы система векторов была полной, не-
необходимо и достаточно, чтобы единственным линейным функ-
функционалом, обращающимся в нуль на всех векторах системы,
был нулевой функционал.
Сформулируем предложения, двойственные к 172, 173.
174. Если М — подпространство в Е' и линейный функ-.
ционал /0 не принадлежит М, то существует такой вектор
лго?Е, что
175. Для того чтобы система линейных функционалов
была полной (в пространстве Е'), необходимо и достаточно,
чтобы единственным вектором, на котором обращаются в нуль
все функционалы системы, был нулевой вектор.
Система линейных функционалов, обладающая последним
свойством, называется тотальной.
Теоремы 174, 175 получаются из теорем 172, 173 с по-
помощью канонического изоморфизма.
Вектор х и линейный функционал / называются (взаимно)
ортогональными, если /(*) = 0 (т. е. *?Кег/). Это
4*

52 ГЛ. !. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО A76
обозначается так: fj_x (или xj_f). Отношение ортогональ-
ортогональности /_!_* билинейно:
176. Если /, J_ х, /2_L*, to (/, -f- /2) _[_ д:, и если
fj_x, то а/_]_л;.для любого скаляра а. Двойственным
образом, если f _\_*\> fj_x2, то f J_(xr-\- x2), и если
fj_x, то f _\_ах для любого скаляра а.
Пусть L — подпространство в Е, М — подпространство
в Е'. Они называются (взаимно) ортогональными, если
f±x (/6M, x?L).
Это обозначается так: М _[_ L.
177. Множество тех функционалов /?Е', которые орто-
ортогональны всем векторам из какого-нибудь подпространства
LcE, является подпространством.
Это подпространство называется ортогональным допол-
дополнением*) подпространства L и обозначается через L-k Двой-
Двойственным образом определяется подпространство М-'-сЕ —
ортогональное дополнение полпространства МсЕ'. Орто-
Ортогональное дополнение некоторого подпространства N (в Е
или в Е') есть наибольшее подпространство (в Е' или в Е
соответственно), ортогональное подпространству N.
Существует тесная связь между ортогональными дополне-
дополнениями и фактор-пространствами.
178. Пусть L— подпространство пространства Е. Для того
чтобы *==у (modL), необходимо и достаточно, чтобы
/(*) = /(У) (/6 И.
Таким образом, каждый функционал / ? L^~ постоянен на
каждом классе по модулю L. Обратно:
179. Если функционал /?Е' постоянен на каждом классе
по модулю L, то / ? LA.
Теперь можно установить естественный изоморфизм про-
пространств (E/L)' и L-4
180. Пусть g?(EIL)'. Формула
*) Слово «дополнение» в составе термина «ортогональное
дополнение» имеет смысл, отличный от прежнего: ортогональное
дополнение лежит в Е', а не в Е; оно единственно, в отличие от
дополнения, и т. д.

I86i § 6. Линейные функционалы, ортогональность 53
определяет функционал ? ? L-Ч Определенное тем самым
отображение (E/L)' -> L-1 является изоморфизмом.
Отсюда вытекает формула дополнения:
181. dim L1-)-dim L — я.
Опираясь на эту формулу, мы исследуем отображение (J_)
множества подпространств пространства Е в множество под-
подпространств пространства Е', которое относит каждому LcE
его ортогональное дополнение L . Мы увидим, что оно авто-
автоматически выявляет хорошо известную нам двойственность
в геометрии подпространств.
182. Отображение (_[_) взаимно однозначно. Более того,
оно является инволюцией, т. е. L-L-L = L.
183. Отображение (_]_) является монотонно убывающим:
если L^czL7, то Lj'-dLj1.
Имеют место формулы двойственности для суммы и пере-
пересечения подпространств:
184. (Ц -+- ЦI = Lf П LjL. (L, П ЦI = Lf + L^.
Эти формулы остаются в силе для суммы и пересечения
любого множества подпространств.
185. Для того чтобы система двух подпространств [Lv L2}
была полной, необходимо и достаточно, чтобы их ортогональ-
ортогональные дополнения цЧ L^ были взаимно независимыми. Для
того чтобы подпространства L,, L2 были взаимно независи-
независимыми, необходимо и достаточно, чтобы система их орто-
ортогональных дополнений \Lj , L^} была полной.
Вследствие этого:
186. Если Ц4-Ц = Е, то Lf-f L2" = Е'-
Теорема 186 не может быть распространена на систему
более чем двух подпространств. Это вытекает, например,
т
из следующего неравенства: если ^ dk — га, то
т
2 (« — dk) = {m - 1)га>га (от > 2).
Очевидно, однако, что если 2 LV = E или даже только
П Lv = 0, то 2 L^ = Б', но эта сумма уже не является
прямой.

54 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |187
В заключение параграфа рассмотрим так называемые би-
ортогональные системы. Это — полезный аппарат во многих
вопросах.
Система векторов {хк}™ и система линейных функцио-
функционалов {/А}Г называются (взаимно) биортогональными, если
) = fy* С/. А = 1. 2 т).
т. е. fj±xk УФк). fj(xj)=l (y = l, 2 т).
187. Произвольный базис А пространства Е и сопряжен-
сопряженный с ним базис А' пространства Е взаимно биортогональны.
Обрзтно, биортогональные системы всегда являются бази-
базисами своих линейных оболочек, ибо:
188. Каждая из двух взаимно биортогональных систем
линейно независима.
Далее:
189. Для любой линейно независимой системы ГсЕ суще-
существует биортогональная система Г'сЕ'. Элементы системы Г'
определены с точностью до произвольных слагаемых из [Ь(Г))-1-.
Таким образом, если Г — базис, то система Г' опреде-
определена однозначно и совпадает с сопряженным базисом.
190. Если Г—линейно независимая система, то системы
Г, Г' можно дополнить до сопряженных базисов.
Исследуем взаимное расположение линейных оболочек L(f),
'
191. Подпространство [Ь(Г')]-1- является дополнением под-
подпространства L(f).
Обратно:
192. Если Г — линейно независимая система и М — такое
подпространство в Е', что MJ- является дополнением под-
подпространства L (Г), то существует такая биортогональная
система Г', что Ь(Г") = М.
§ 7. Сопряженный гомоморфизм и теория Фредгольма
Пусть h — гомоморфизм из Е в Е,. Введем двойственный
объект h'—так называемый сопряженный гомоморфизм. Тем
самым мы существенно дополним аппарат двойственности.
193. Пусть g?E\. Формула

200| § 7. СОПРЯЖЕНИЕ И ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА 55
определяет функционал g'?E'. Отображение a': Ei->E',
определенное формулой h'g — g', является гомоморфизмом.
Гомоморфизм А' называется сопряженным к гомомор-
гомоморфизму А. Например, /е = /е'. 0=0.
194. С точностью до канонических изоморфизмов про-
пространств Е, Е и Ei, Ei имеет место равенство*) h" = h.
Таким образом, отображение сопряжения ('): Hom(E, Ej)-*
->Нот(Еь Б'), определенное формулой (')А = А', является
инволюцией с точностью до канонических изоморфизмов.
195. Отображение (') является изоморфизмом.
196. (Alfa)' = h'2h'i-
Имеют место фундаментальные соотношения ортогональ-
ортогональности для ядра и образа:
197. ImA' = (KerAI, Ker A' = (Im АI.-
Одновременно устанавливается, что rgA/ = rgA. Однако,
вообще говоря, def A'=? def Л.
198. def A-- def A' = indA.
Отсюда:
199. Если А — фредгольмов гомоморфизм, то однородные
уравнения
'
имеют одинаковое максимальное число линейно независимых
решений (вторая теорема Фредгольма).
В общем случае максимальные числа линейно независи-
независимых решений не совпадают и их разность равна индексу
гомоморфизма,
Из второй теоремы Фредгольма вытекает, что если фред-
фредгольмов гомоморфизм h — мономорфизм, то А' — также моно-
мономорфизм. Очевидно также, что А' — фредгольмов вместе с А.
Заметим теперь, что из соотношений ортогональности 197
следует:
200. Для того чтобы гомоморфизм А был эпиморфиз-
эпиморфизмом (мономорфизмом), необходимо и достаточно, чтобы
*) Так как h ?Hom(E , Ej), а Л?Нот(Е, Ej), то равен-
равенство h" = h, строго говоря, лишено смысла. Но если мы отожде?
ствнм Е с Е, а Е] с Е] посредством канонических изоморфизмов,
то /;" совпадет с А. В дальнейшем слова «с точностью до изомор-
изоморфизма» указывают на аналогичные отождествления.

56 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |201
сопряженный гомоморфизм h' был мономорфизмом (соответ-
(соответственно эпиморфизмом).
В частности, если h — изоморфизм, то h' — также изо-
изоморфизм и
201. (/гУ'^/Г1)'-
Перефразируя теорему 200, можно сказать, что для гло-
глобальной разрешимости неоднородного уравнения
hx = у
необходимо и достаточно, чтобы сопряженное однородное
уравнение
h'g = 0
имело только тривиальное решение. Отсюда и из второй
теоремы Фредгольма вновь следует первая теорема Фред-
Фредгольма (см. 97).
Теорема 197 на языке уравнений формулируется следую-
следующим образом.
202. Для разрешимости неоднородного уравнения
hx = у
необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогонален
всем решениям сопряженного однородного уравнения
(третья теорема Фредгольма).
Теорему 197 можно обобщить:
203. Если A?Hom(E, Et), L—подпространство в Еу
М—подпространство в Е', то
A'L = (/T'l1I, (A') M = (AM-LI.
Теорема 197 получается из этих взаимно двойственных
формул подстановкой L = Е[, М = 0. Наоборот, 203 можно
вывести из 197, подвергая гомоморфизм ограничению. Вос-
Воспользуемся этим поводом для исследования ограничений гомо-
гомоморфизмов в плане двойственности.
Начнем с представляющей самостоятельный интерес задачи
описания пространства L', сопряженного с подпространством
LE

2101 $ 7. СОПРЯЖЕНИЕ И ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА 5?
204. Пусть /L — вложение подпространства L в простран-
пространство Е, /l — сопряженный гомоморфизм. Тогда
Следовательно (ср. 180):
205. i/^E'/lA
Собственно говоря, естественный изоморфизм пространств
Е /L^ и L легко усмотреть непосредственно: все функцир-
налы из Е', сравнимые по модулю L-1-, совпадают на L (т. е.
их ограничения на L равны), и наоборот. В силу теоремы 170
каждый функционал из L' можно рассматривать как ограни-
ограничение на L некоторого функционала из Е' (ср. 178—180).
Теперь опишем гомоморфизм, сопряженный с ограниче-
ограничением данного гомоморфизма. Напомним обозначение Ам для
стягивания по модулю М.
206. Если g ? Нот (Е, Ej), L — подпространство в Е, то
С точностью до естественного изоморфизма пространств Е /L-*-
и L/.
Эта формула получается из представления g | L = glL.
Остановимся еще на некоторых свойствах индекса.
207. Если h—мономорфизм, то ind h = —def Ы', и обратно.
Таким образом, если h — мономорфизм, то ind/z-^O.
208. Если h — эпиморфизм, то ind h = def h, и обратно.
Таким образом, если h — эпиморфизм, то ind/z^>0.
209. Для любого гомоморфизма h
ind ti = — ind h.
В заключение параграфа изложим теоремы Фредгольма
в переводе с языка гомоморфизмов на язык функционалов.
Предварительно заметим:
210. Если {/А}™ — система линейных функционалов в Е,
то формулы
«* = /*(*) (А=1.2 т)
определяют гомоморфизм из Е в Ст.

58 ГЛ. Г. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО B11
211. Для того чтобы неоднородная система уравнений
/*(*) = «»* (*=1. 2 я)
была разрешима относительно х ? Е при любых правых ча-
частях, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая одно-
однородная система
fk(x) = 0 (*=I. 2 я)
Имела только тривиальное решение х = 0.
212. Системы однородных уравнений
/л(*) = 0 (/г=1, 2 я)
(относительно х ? Е) и
(относительно {Y*}" 6 С") имеют одинаковое максимальное
число линейно независимых решений.
213. Для разрешимости неоднородной системы уравнений
/*<*) = а* (/г=1, 2 я)
необходимо и достаточно, чтобы для любых чисел ук, удов-
удовлетворяющих условию
ft-1
было
§ 8. Билинейные функционалы и тензорные ароизведения
Пусть Ej, Е2 — два пространства, Ej X Е2 — их декар-
декартово произведение. В некоторых ситуациях бывает
удобно снабжать Ej X E2 операциями сложения и умножения
fla число. Последние определяются естественно:
[х, у} + (*1- УП = {* + *!
Декартово произведение Ej X E2, рассматриваемое в каче-
качестве линейного пространства, называется декартовой суммой
пространств Ej, E2 и обозначается Et + E2.

^16| § 8. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 59
214. dim (E, + Е2) = dim E, -+- dim E2.
Функционал В(х, у) на Ej X Е2 называется билинейным,
если при каждом фиксированном х ? Е1 функционал
Вх(у) = В(х, у) (*)
на пространстве Е2 линеен (т. е. ВХ?Е'2) и (двойственным
образом) при каждом фиксированном у функционал
В'у(х) = В(х. у) (**)
на пространстве Ej также линеен (т. е. В'у ? Е(). Подробнее:
1) В(х, ух + у2) = В(х, ух) + В{х. у2),
2) В(х, ау) = аВ(х, у),
3) B(*!-f *2. y) = B(xv у)+В(х2, у),
4) В (ах, у) = аВ(дг, у).
Всюду ниже в этом параграфе В = В(х, у) означает
билинейный функционал на Ej X E2.
Существует глубокая связь между билинейными функ-
функционалами и гомоморфизмами. Она заложена в определении
билинейного функционала. Согласно (*) каждому вектору
х ? Ej соответствует линейный функционал Вх 6 Ег, т. е.
имеется некоторое отображение пространства Ej в простран-
пространство Ег. Обозначим это отображение через /z'B. Аналогично
посредством (**) определяется отображение tiB простран-
пространства Е2 в пространство Е[, относящее каждому вектору у ? Е2
линейный функционал Ву.
216. Функционал
билинеен и Лф = /е', Лф = /е с точностью до канонического
изоморфизма.
216. Отображения hlB и кв являются гомоморфизмами.
При этом fis = (Ав)' с точностью до канонического изомор-
изоморфизма.
Гомоморфизмы hlB и h'B назовем соответственно левым и
правым генераторами функционала В. Пространства
Sb = Im hlB, SrB = Im hTB
назовем соответственно левым и правым носителями функ-
функционала В.

60 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1217
217. dim SB = dim SrB.
Общая величина этих двух размерностей называется ран-
рангом функционала В и обозначается rg В.
Пространства
Кв = Ker hlB, Kb = Ker hrB
назовем соответственно левым и правым ядрами функцио-
функционала В. Их размерности в общем случае не равны. Назовем
эти размерности левым и правым дефектами функционала В
и обозначим их через def(i3, def,i3 соответственно. Разность
ind В = defr В - def, В
называется индексом функционала В.
Если индекс функционала равен нулю, то функционал
называется фредгольмовым. Для фредгольмова функционала В
общая величина левого и правого дефектов называется дефек-
дефектом функционала и обозначается просто def?.
218. indB = dimE2 — dimE,.
219. Для фредгольмова функционала В имеет место фор-
формула дополнения
rg В -f def В — п.
Мы имеем дело, очевидно, с некоторым вариантом теории
Фредгольма. Ключом к нему являются соотношения двой-
двойственности (ср. 93, 197):
220. S'b^Ej/Kb; Sb^E2/Kb.
221. S^KbI; Sb = (Kb)±.
Для контроля подчеркнем, что
Кв с Е,, Кв с Е2; Sb с Ez, SB с Ei'.
Исследуем теперь структуру множества всех билинейных
функционалов на Ej X E2.
222. Билинейные функционалы на Е, X Е2 образуют ли-
линейное пространство по отношению к естественным операциям
сложения и умножения на число.
Это пространство мы обозначим через 93 (Ех, Е2).
223. Отображения
А': ©(Ер E^HomCEb E'2), hT: SB(E,, E3)->Hom(E3, Ej).

227| § 8. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 61
определяемые формулами hlB = Ад. hrB — Ад, являются изо-
изоморфизмами.
224. dim 93 (Е1э Е2) = dim E, • dim Е2.
Билинейные функционалы аналогично гомоморфизмам до-
допускают матричное описание.
Пусть Aj = [ej}, А2 — (и*)— базисы пространств Е,, Е2
соответственно. Матрицей билинейного функционала отно-
относительно пары базисов А1У Д2 называется матрица
(В(ер и,)).
225. Если Ф^)—матрица билинейного функционала В (х, у)
относительно пары базисов Ар А2 и
то
Тем самым устанавливается взаимно однозначно соответ-
соответствие между билинейными функционалами на Е,ХЕ2 и
(пх X «2)-матрицами.
Наметим еще один подход к описанию пространства
93 (Е,, Е2). Он приведет нас к фундаментальному понятию
тензорного произведения пространств.
226. Если /6Еь §^2. то функционал
билинеен.
Он называется тензорным произведением линейных функ-
функционалов /, g и обозначается f®g.
227. Пусть {fj}"' — базис пространства Е(, {^}Яг — базис
пространства Ег. Тогда тензорные произведения
(У=1. 2 n^k=\,2 «2)
образуют базис пространства 93 (Ер Е2).
Заметим теперь, что выражение
f(x)g(y) (/ ? е,'. g 6 Ег; л g E,, у g E2)

62 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |28
можно трактовать как функционал на Ei X Е2 при фиксиро-
фиксированных х, у. В силу 226 и канонического изоморфизма про-
пространства с его вторым сопряженным этот функционал били-
билинеен. Он называется тензорным произведением векторов х, у
и обозначается х®у. В силу 227 базисы {ej}"' и {uk} про-
пространств Ej, E2 порождают базис
^j®uk (j=\, 2 Яр k—\, 2 и2)
пространства 23 (Ei, E0.
Пространство 93 (Ei, Е2) называется тензорным произве-
произведением пространств Ej, Е2 и обозначается Ej ® Е2. Очевидно:
228. dim (Ej ® E2) == dim E1 ¦ dim E2
Отметим, что 23(ЕЬ Е2) = Е!®Е2 с точностью до кано-
канонических изоморфизмов.
229. Тензорное умножение обладает линейными свойствами:
2) х ® (У! + у2) = х ® у1 + х ® у2,
3) (ах) ® у = а (х ® у),
4) х ® (ау) = а(х® у).
Опираясь на эти свойства и теорему 227, легко показать,
что для любого билинейного функционала В на Ej X E2 суще-
существуют такие две системы линейных функционалов
{fk)v Ш* (v = min(«1. я2)).
что
Более точный результат:
230. Пусть p = rg В > 0, \fk\\ — какой-нибудь базис под-
подпространства Sb — правого носителя функционала В. Тогда
в левом носителе S'B существует и единствен такой базис
[gk)\. что

231] § 8. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 63
Можно, конечно, наоборот, задавать базис правого носи-
носителя и строить соответствующий базис левого носителя.
Теорема 230 устанавливает канонический вид произ-
произвольного билинейного функционала. Проблема приведения того
или иного объекта к каноническому виду занимает централь-
центральное место в линейном анализе. При этом слова «приведение»
и «канонический вид» будут иметь смысл, зависящий от
Объекта и окружающей обстановки. Исследование объекта
в каноническом виде протекает значительно проще, чем в общем
виде. Например, из теоремы 230 легко вытекает вся -теория
Фредгольма для билинейного функционала (саму теорему можно
перефразировать так, чтобы результат 217 не предполагался
заранее известным).
С помощью 230 обнаруживается также следующий факт.
231. Пусть /6 Ei', g?E'2, Z7 €[S (Ei, Е2)]'. Функционал
Вр (/¦ S)~F(f®8) на Ei X Е2 билинеен. Определенное этим
отображение [93(Е,, Е2)]'—>-Ej ®Ё2 является изоморфизмом.
Таким образом, тензорное произведение Ej ® Е2 можно
рассматривать как пространство, сопряженное пространству
23 (Ej, Е2). Принимая это отождествление, можно написать
с точностью до канонических изоморфизмов пространств и их
вторых сопряженных.
Введем теперь тензорное (или кронекеровское) произведе-
произведение гомоморфизмов. Пусть имеются две пары пространств
{Е,, Е3) и (Е2, Е4) и пусть й1^Нот(Е1, Е3), й2?Нот(Е2, Е4),
Тензорное произведение h1®h2 есть гомоморфизм из Ej®E2
в Е3 ® Е4, определенный следующим образом. Пусть В ? Ej ® Е2,
т. е. В — билинейный функционал на Ei X E2; тогда
[(А,®h2)В](/, g)=B(A,'/, h'2g) (/6Ез, Г€Е4):
Очевидно, тензорное умножение гомоморфизмов линейно
по каждому сомножителю.
Опишем ядро и образ тензорного произведения гомомор*
физмов и извлечем из этого соответствующие следствия. Пред-
Предварительно заметим, что если Mj — подпространство в Ер
М2 — подпространство в Е2, то Mj ® М2 можно естественно
рассматривать как подпространство в Ej ® Е2.

64 гл. I. комплексное линейное пространство р32
232.
Отсюда:
233. def (й, ® Л2) = def hx • def h2.
Следовательно:
234. Тензорное произведение мономорфизмов есть моно-
мономорфизм.
Формула для образа тензорного произведения гомомор-
гомоморфизмов выглядит сложнее. Именно, с точностью до естествен-
естественных изоморфизмов:
236. Im (Л, ® Л2) = ((Im Л,I ® (Im h2)l)L.
Эту формулу легко получить из 232, если воспользоваться
тем, что с точностью до естественных изоморфизмов:
236. ' '
237. rg(A, ®Л2) =
= rg hi • rg hi -)- rg h\ ¦ def Л2 + rg h-i • def h\.
238. Тензорное произведение эпиморфизмов есть эпи-
эпиморфизм.
239. Тензорное произведение изоморфизмов есть изо-
изоморфизм.
Отметим еще формулу для индекса тензорного произве-
произведения:
240. ind (hi ® hi) = n2 ind hi + «зlnd h%
В частности:
241. Тензорное произведение фредгольмовых гомоморфиз-
гомоморфизмов есть фредгольмов гомоморфизм.
§ 9. Комплексное сопряжение.
Эрмитово-линейные функционалы.
Эрмитовы гомоморфизмы и эрмитово-билинейные
функционалы
Пусть / — линейный функционал в пространстве Е. Рас-
Рассмотрим функционал /, определенный формулой
где черта справа означает комплексное сопряжение. Этот

244] § 9. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 65
функционал уже не является линейным: хотя
1) 7(*1 + %> = /(*1) + 7(л:2)>
но
2) /(ад;) = а/(х).
Функционал с такими свойствами называется эрмитово-
линейным функционалом.
242. Эрмитово-линейные функционалы в Е образуют линей-
линейное пространство по отношению к естественным операциям
сложения и умножения на число.
Это пространство называется эрмитово-сопряженным к Е
и обозначается через Е*.
Введем отображение J: Е' -* Е* по формуле
// = / (/€&')•
Оно не является гомоморфизмом: хотя
но
2) j (ах) = ajx.
Любое отображение со свойствами 1), 2) называется эрми-
эрмитовым гомоморфизмом. Отображение j называется канони-
каноническим комплексным сопряжением.
Для эрмитовых гомоморфизмов можно ввести понятие ядра
и образа точно так же, как это было сделано для гомомор-
гомоморфизмов. Тем самым для эрмитовых гомоморфизмов естественно
определяются понятия дефекта и ранга. Сохраняется также
классификация «эпи-, моно-, изо-». Теория, развитая в § 4,
распространяется на эрмитовы гомоморфизмы без каких-либо
существенных изменений.
243. Каноническое комплексное сопряжение является эрми-
эрмитовым изоморфизмом.
Можно сказать, что пространства Е' и Е* эрми-
тово-изоморфны. Однако это утверждение на самом деле
не отличается от утверждения об обычной изоморфности
(см. 244—247).
244. Пусть А={ей)"—произвольный базис простран-
пространства Е. Тогда отображение /д пространства Е в себя,
5 И. М. Глазман, Ю. И. Любнч

66 ГЛ I КОМПЛЕКСНОЕ ЛИШ-.П1ЮЕ ПРОСТРАНСТВО |243
определенное формулами
является эрмитовым изоморфизмом.
245. Произведение двух эрмитовых гомоморфизмов есть
гомоморфизм.
246. Произведение двух эрмитовых изоморфизмов есть
изоморфизм.
247. Если два пространства эрмитово-изоморфны, то они
изоморфны.
Таким образом, Е*=&Е. Следовательно, Е**=!=Е и т. д.
Однако для пространств Е и Е** существует даже канони-
канонический изоморфизм:
Эрмитов изоморфизм у позволяет автоматически перенести
в пространство Е* теорию, содержащуюся в § 6. Например,
если L — подпространство в Е, то его ортогональным допол-
дополнением в Е* следует назвать образ y'L' и т. д.
Впрочем, можно строить и независимую теорию. Например:
248. Подпространство уЪ1- совпадает с множеством эрми-
тово-линейных функционалов g, ортогональных к L в том
смысле, что g (х) — О (х ? L).
Роль сопряженного гомоморфизма A'(A ? Hom(E,, E2))
теперь играет аналогично определяемый эрмитово-сопряжен-
эрмитово-сопряженный гомоморфизм А*:
(h*g)(x) = g(hx) (.y?E,, g^El).
При этом h ?Hom(lv>, E*). Аналогично 195:
249. Отображение (*): Нот(Еь Е2)-> Нот (Ej, E^), опре-
определенное формулой (*) h = h*, является эрмитовым изомор-
изоморфизмом.
В частности, (аЛ)*==аЛ*, в то время как (ай)' = аЛ'.
250. Имеет место соотношение Л* = у'^'у'.. тле
jk: Е^ —> Е* (&=1, 2)- канонические комплексные соиряг
жения.
Заметим здесь в дополнение к 245, что:

255] § 9. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ (fl
251. Произведение эрмитова гомоморфизма и гомомор-
гомоморфизма (в любом порядке) является эрмитовым гомвмэрфнзмом.
Введем теперь понятие эрмитово-билинейного функционала.
Функционал Н (х, у) на Е, ® Е2 называется .эрмитово-
билинейным, если он линеен по х при каждом фиксирован-
фиксированном у и эрмитово-линеен по у при каждом фиксированном х.
Для эрмитово-билинейного функционала, так же как для*
обычного билинейного функционала, определяются левый и
правый генераторы: я#: bj—>-Е2, Пц: Ej—>-E(.
252. Левый генератор f/ц является гомоморфизмом, пра-
правый генератор 1гц -- эрмитовым гомоморфизмом. При этом
с точностью до канонического изоморфизма.
Носители, ядра, ранг, дефекты, индекс определяются для
эрмитово-билинейных функционалов точно так же, как для
обычных. Теория Фредгольма сохраняется в прежнем виде,
но при соответствующем понимании ортогональных дополнений.
253. Эрмитово-билинейные функционалы на Е, X Е2 обра-
образуют линейное пространство по отношению к естественным
операциям сложения и умножения на число.
254. Пусть {/Л"' — базис пространства EJ. lg,)'' — базис
пространства Е2. Тогда тензорные произведения *)
fk®?j (й—1, 2 л,; /=1, 2, .... п2)
образуют базис пространства эрмитово-билинейных функцио-
функционалов на Е, X Е2 (ср. 226).
Тем самым последнее пространство и^-мерно.
255. Пусть Н — эрмитово-билинейный функционал на
Ej X Е2, p = rg//>0, \hk}\ — какой-нибудь базис правого
носителя S//. Тогда в левом носителе S# существует и един-
единствен такой базис {gk)pv что
(ср. 229).
*) Определенные тем же способом, что в § 8.
5*

68 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1256
§ 10. Общая теория ортогональности
Пусть Б,, Е2— какие-нибудь два пространства, F — били-
билинейный (или эрмитово-билинейный) функционал на Е,X Е2.
Векторы лг?Ер у?Е2 называются F-ортогональными, если
н это обозначается так: х (F _|_) у.
Например, если
ЕХ = Е. Е2 = Е'. F(x. /) = /(*) {x?YL, /?Е').
то /^-ортогональность x(F J_)/ сводится к обычной ортого-
ортогональности xj_f вектора и линейного функционала.
Отношение /'-ортогональности билинейно (ср. 176).
Подпространства LcE,, McE2 называются F-ортого-
нальными, если
256. Множество тех векторов х ^ Е,, которые Р-ортого-
нальны всем векторам из какого-нибудь подпространства
МсЕ2, является подпространством.
Оно называется левым F-ортогональным дополнением
подпространства М и обозначается ''-'-М. Аналогично опре-
определяется правое F-ортогональное дополнение L -^ подпро-
подпространства LcE. F-ортогональное дополнение подпростран-
подпространства N есть наибольшее из подпространств, /'-ортогональных
к N. Ниже для краткости мы будем писать (_|_) вместо (F _|_).
257. Если М,сМ2, то A)М,зA)М2. Если L,cL2> то
Левое и правое ядра функционала F можно описать в тер-
терминах F-ортогональных дополнений:
258. k!f = A)E2, K^El-L).
Вообще же:
259. Для любых подпространств LczE,, McE2
F-ортогональность сводится к обычной ортогональности по-
посредством генераторов;

267| § !0. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ 69
260. Для любого подпространства МсЕ2
и для любого подпространства LcE,
Поэтому:
261. dim(ШМ) = codim M + dim M П К/> — ind/7.
262. dim (L(i)) = codim L-f-dim LnKp+ind/7.
Если функционал F фредгольмов и def F = 0, то он на-
называется регулярным. Например, функционал Ф(/. х) —
= /(*)(/€Е'. *?Е) регулярен.
263. Для регулярного функционала F
dim ((I)M) = codim M, dim (ъш) = codim L.
Исследуем, в какой мере отношение /'-ортогональности
янволютивно.
264.
Кроме того, согласно 259,
Оказывается:
265. (A)М)Ш = М + К^. A)(LA))
Теперь легко установить следующее предложение.
266. Для того чтобы (ШМ) =М, необходимо и доста-
достаточно, чтобы МзКр-
Аналогично формулируется критерий равенства
267. Если оба дефекта (левый и правый) функционала F
равны нулю (в частности, если функционал регулярен), то
/^-ортогональность инволютивна:
для любых подпространств МсЕ2, LcE,. Указанное условие
не только достаточно, но и необходимо для инволютиврости.

70 ГЛ. I КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [268
268. Для того чтобы ' ''М, ='1'М2, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Mj -f Кр = М_> -f К/--.
Аналогично формулируется критерий равенства Li = LBL).
Рассмотрим теперь в плане /'-ортогональности дпойствеи-
ность сумм и пересечений. Здесь она не является полной.
Действительно, с одной стороны:
269. U)(Mi+M») = A1M, n(J'M2, (L1+L2) "^LV'nl^1'.
Но, с другой стороны, в общем случае отсюда не сле-
следует, что
(J '(М, П М2) == (' 'М; 4 (' 'М2. (L, П Uf[' = UJ' 4 Ц1',
из-за отсутствия инволютивности.
270. Для того чтобы ;' '(М, П М2) =' ПМ, 4 ; 1 }Щ, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
(Mi -t- КЯ П (М2 f К/0 = Mi П M2 4 КЯ
В частности, достаточно, чтобы М[ГэК/- или М^эК^. Тем
более достаточно, чтобы правый дефект был равен нулю.
Аналогичные утверждения справедливы для правых орто-
ортогональных дополнений.
§ П. Топология
До сих пор наши рассмотрения были чисто алгебраиче-
алгебраическими, но теперь мы должны коснуться того, что составляет
основу анализа в собственном смысле, а именно топологии.
Поскольку мы ограничились конечномерными простран-
пространствами, топологии будет отведено сравнительно немного места.
Дело в том, что «хорошая» топология в конечномерном про-
пространстве единственна *) и, следовательно, имеет в конечном
счете алгебраическую природу.
Топологию в пространстве Е можно задать, определяя
окрестности элементов пространства, т. е. векторов. После
*) Здесь речь идет о топологиях, в которых непрерывны опре-
определенные в Е операции сложения и умножения на скаляр. Точную
формулировку и доказательство соответствующей теоремы, требую-
требующие некоторого углубления в общую топологию, можно найтн
в книге: Н. Б у р б а к и, Топологические векторные пространстба,
ИЛ, 1959. Родственные результаты рассматриваются ниже C05 и 23
гл. IV).

277) § К. ТОПОЛОГИЯ 71
этого обычным образом определяются открытые и замк-
замкнутые множества.
Пусть х0 — произвольный вектор. Возьмем какие-нибудь
линейные функционалы /,, /2 /,„ и число е > 0. Мно-
Множество векторов х, удовлетворяющих неравенствам
|/*(*)-/*(*оI<е (А=1. 2 т),
обозначим через U (х0; /,, /2 /„,; е). Множество
и(л; /,, /2 /т; е) называется окрестностью вектора х0.
Следующие предложения показывают, что определенные
нами окрестности удовлетворяют обычным требованиям.
271. Пересечение двух окрестностей вектора х0 содержит
некоторую окрестность вектора х0.
272. Если U -- окрестность вектора х0 и х, ? U, то су-
существует окрестность вектора л:,, входящая в U.
273. Каждая окрестность вектора х0 содержит х0.
Исследуем' введенную топологию.
274. Каковы бы ни были два вектора хх ф х2, у них су-
существуют непересекающиеся окрестности U, и U2.
Окрестности Up U2 отделяют х, от х2. Предложение 274
означает, что пространство Е хаусдорфово (отделимое).
Окрестности вида U(x0; /,, /2 fm\ е), где А' =
— !/*)Г ~~ фиксированный базис пространства Е', назовем ку-
кубическими окрестностями (относительно базиса А'). Они обра-
образуют фундаментальную систему окрестностей
в том смысле, что:
275. Каждая окрестность вектора х0 содержит некоторую
кубическую окрестность.
Топология пространства Е согласована с операциями сло-
сложения векторов и умножения вектора на число в том смысле,
что эти операции непрерывны:
276. Если хо-\г у0 = zQ, то для каждой окрестности W
вектора zQ существуют такие окрестности U, V векторов х0, у0
соответственно, что если jc?U, y?V, то дг-f-y^W.
277. Если аоуо = z0, то для каждой окрестности W ве-
вектора z0 существуют такие окрестности U, V числа а0 н
вектора у0 соответственно, что если oc?U, y?V, то ay^W.
В связи с этим подчеркнем, что топология в Е была опре-
определена так, чтобы все линейные функционалы оказались не-
непрерывными (причем это было сделано слабейшим из возмож-
возможных способов). Более того:

72 ГЛ. 1. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |278
278. Каждый гомоморфизм Л?Нот(Е, Ej) является непре-
непрерывным отображением пространства Е в пространство Е,
(наделенное, разумеется, аналогичной топологией).
279. Каждый билинейный функционал 5?33(Е, Ej) непре-
непрерывен.
Рассмотрим так называемые индуцированные топо-
топологии в подпространствах, фактор-пространствах и т. п.
Каждый из этих объектов уже наделен автономной тополо-
топологией аналогично основному пространству Е. Мы убедимся,
что индуцированные и автономные топологии совпадают.
Пусть L — подпространство пространства Е. Индуциро-
Индуцированная топология в L определяется следующим образом: под-
подмножество TczL открыто в L, если оно имеет вид Г = G П L.
где G —- открытое множество в Е.
280. Индуцированная и автономная топологии подпро-
подпространства совпадают.
В фактор-пространстве E/L индуцированная топология
определяется так: подмножество ГсЕ/L открыто в E/L, если
оно имеет вид Г = \[х],} , где G — открытое множество в Е.
281. Индуцированная и автономная топологии фактор-
пространства совпадают.
В пространстве Е' также определяется индуцированная
топология. Она порождается окрестностями, каждая из кото-
которых задается набором векторов {xk}f и числом е > 0 при
помощи неравенств
I /(**) - /о(**) К е (*= 1. 2 т).
В силу канонического изоморфизма пространств Е и Е":
282. Индуцированная и автономная топологии сопряжен-
сопряженного пространства совпадают.
Аналогично обстоит дело с топологией эрмитово-сопря-
женного пространства Е*.
Обобщая эту ситуацию, рассмотрим пространство гомо-
гомоморфизмов Нот(Е, Е,), Пусть /г0 — произвольный гомомор-
гомоморфизм. Возьмем какие-нибудь векторы х{, х2 хт в Е
и какие-нибудь окрестности Uj, U2, ..., Um векторов hoxv
h0x2, . . ., hoxm в Ej. Множество гомоморфизмов h ? Horn (E, E,),
для которых
hxk?\}k (ft=l. 2, .... m),

287! § П. ТОПОЛОГИЯ 73
назовем окрестностью гомоморфизм* Ло. Эта система окрест-
окрестностей определяет индуцированную топологию в Hom(E, Ej).
283. Индуцированная и автономная топологии пространства
гомоморфизмов совпадают.
Рассмотрим, наконец, пространство билинейных функцио-
функционалов 33(Е, Е,) (тем самым будут охвачены и тензорные произ-
произведения пространств).
Пусть Во — произвольный билинейный функционал. Возь-
Возьмем какие-нибудь векторы хг, х2 хр в Е, какие-нибудь
векторы у,, у2 Уд в Е, и какое-нибудь е > 0. Множе-
Множество билинейных функционалов 5?33(Е, Е[), удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам
\B(Xj. yk)-BQ(Xj, yft)|<e
(У=1. 2 р; k=l. 2 q),
назовем окрестностью функционала Во. Эта система окрест-
окрестностей определяет индуцированную топологию в 33 (Е, Е,).
284. Индуцированная и автономная топологии простран-
пространства билинейных функционалов совпадают.
Множество МсЕ называется ограниченным, если, ка-
какова бы ни была окрестность U вектора хо = О, существует
такое а > 0, что a;t?U (x?M).
Следующее предложение дает простой критерий ограни-
ограниченности.
285. Для того чтоб^1 множество М было ограниченным,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого функционала
/?Е' было ограниченным множество /(М).
Отсюда:
286. Если [ekI — какой-нибудь базис пространства Е и
п
х — ^\к{х)ек (х?Е), то для ограниченности множества М
k-i
необходимо и достаточно, чтобы были ограниченными число-
числовые множества |ft(M) (й—1, 2, ..., п).
Таким образом, ограниченность множества векторов равно-
равносильна «покоординатной» ограниченности. Отсюда:
287. Если М - ограниченное множество в пространстве Е,
то каждое бесконечное подмножество множества М имеет пре-
предельную точку (теорема Больцано — Вейерштрасса).
Таким образом, ограниченные множества пространства Е
предкомпактны.

74 ГЛ I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |288
Отметим, что теорема 287 легко обращается, но обратная
теорема уже не столь существенна.
Рассмотрим применение топологии к некоторым задачам
теории возмущений.
288. Пусть г ;> 0 — целое число. Множество гомомор-
гомоморфизмов, удовлетворяющих неравенству rg h -^ r, замкнуто.
Множество гомоморфизмов, удовлетворяющих неравенству
xgh >- г -f 1, открыто.
При доказательстве - этого факта может быть полезной
следующая лемма об устойчивости линейно не-
независимых систем.
289. Если {xk}'"—линейно независимая система векторов,
то существуют такие окрестности U,, U2 U,,, пекторов
„г,, х2, ..., хт соответственно, что каждая система векто-
векторов {}>/;!"', удовлетворяющая условиям *)
y*6Uft (*=1. 2 in).
линейно независима.
Эту лемму в свою очередь удобно доказывать, применяя
ашират биортогональных систем A87—192).
Вследствие 288:
290. Множество мономорфизмов в пространстве Нош (Е, Е()
открыто.
291. Множество эпиморфизмов в пространстве Hom(E, E,)
открыто **).
292. Множество изоморфизмов в пространстве Нот (Е, Е,)
открыто.
В противоположность 289 имеет место следующая л е м м а
о неустойчивости линейно зависимых систем..
293. Пусть fft<TdimE, {^»}^ — произвольная система
векторов, U,, U2, ..., Um — какие-нибудь окрестности век-
векторов xv x2 хт соответственно. Тогда существует такая
линейно независимая система [у/,]"', что
У*6 U* (ft=l. 2 т).
*) То есть достаточно близкая к исходной системе.
**) Здесь может показаться, что нарушается двойственность.
Ситуацию разъясняет теорема 111.

297| § 12. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. РЯДЫ 75
Для доказательства достаточно применить индукцию, опи-
опираясь на тот факт, что:
294. Любое подпространство пространства Е замкнуто.
295. Если подпространство L отлично от всего простран-
пространства, то оно нигде не плотно.
Покажем одно применение леммы 293. Назовем гомомор-
фкзм вырожденным, если он не является ни мономорфизмом,
ни эпиморфизмом.
296. Множество вырожденных гомоморфизмов в простран-
пространстве Нот (Е, Е,) нигде не плотно.
Тем самым множество невырожденных гомоморфизмов всюду
плотно. Вырожденность гомоморфизма - неустойчивое свой-
свойство, в то время как невырожденность — устойчивое свойство,
в силу 290, 291.
Отметим еще, что из 289 следует устойчивость базисов
(ср. 42), а тем самым и устойчивость полных систем. В то же
время из 293 следует неустойчивость неполных систем мощ-
мощности т ;> dim E.
В дальнейшем (гл. IV) «качественная» теорема 289 об устой-
устойчивости базисов получит «количественные» уточнения.
§ 12. Теория пределов. Ряды.
Элементы инфинитезимального анализа
Наличие топологии позволяет построить теорию пре-
пределов.
Пусть {x^ - какая-нибудь последовательность векторов.
В соответствии с обычной схемой вектор х называется преде-
пределом последовательности и обозначается через lini хк, если для
каждой его окрестности U существует такой помер oJV — &Vu,
что
При этом говорят также, что последовательность сходится
к вектору х Единственность предела обеспечивается отде-
отделимостью топологии.
297. Для сходимости последовательности векторов \xk\™
необходимо и достаточно, чтобы при каждом / ? Е' сходилась

76 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1298
числовая последовательность {/(хк)}^. При этом если х =
= lim хк, то /(*)= lim f(xk).
298. Пусть {«*)" — какой-нибудь базис пространства Е и
* ^ (*=1. 2. 3. ...)•
Для того чтобы последовательность {х^ сходилась к век-
п
тору л: = ^ j-уву, необходимо и достаточно, чтобы
;=¦
Нт^ = ^ (У=1, 2 л).
Таким образом, сходимость в Е совпадает с покоорди-
покоординатной сходимостью. Отсюда непосредственно вытекают основ-
основные теоремы элементарной теории пределов:
299. Если lim xk = x, lim yft = y, то
300. Если lim хл = х, lim ай = а, то
ft->oo ft->OT
lim aft^ft = ax.
ft-»oo
301. Для того чтобы lim хл — х, необходимо и доста-
точно, чтобы
lim (хк —*) = 0.
Рассмотрим связь между сходимостью и ограниченностью
последовательности.
302. Каждая сходящаяся последовательность ограничена.
Обратное, конечно, неверно. Однако в силу теоремы
Больцано — Вейерштрасса:
303. Каждая ограниченная последовательность содержит
сходящуюся подпоследовательность.
Отметим одно следствие этой важной теоремы.
304. Если все сходящиеся подпоследовательности неко-
некоторой ограниченной последовательности имеют один и тот же
предел, то и сама последовательность сходится к этому пределу.

308| § 12. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. РЯДЫ 77
Теорема 303 позволяет установить, что в Е нельзя опре-
определить сходимость с естественными свойствами, отличную от
покоординатной. Определить сходимость — это значит задать
класс (§ последовательностей {^}^°. называемых сходящимися,
и отображение lim: (§,—>Е так, чтобы выполнялись аксиомы:
1) Если xk = x (*=1, 2, 3. ...). то Ю^бб и
lim хк = х.
й->оо
2) Если (*ft}"?(?, то для любой подпоследовательности
номеров {?/}Т.j
[хцХ" f®. lim х„ = lim xk.
305. Если в Е определена сходимость, удовлетворяющая
условиям 299, 300, то она совпадает с покоординатной схо-
сходимостью.
Последовательность векторов {^}™ называется фунда-
фундаментальной, если для каждого функционала /?Е' является
фундаментальной числовая последовательность {/(хк)}™, т. е.
lim {/(**) -f(Xj)}=0.
306. Для того чтобы последовательность векторов сходи-
сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундамен-
фундаментальной (критерий Кош и).
Это означает, что пространство Е полно.
Перейдем к рассмотрению сходимости в подпространствах,
фактор-пространствах и т. п. Здесь получаются результаты,
параллельные теоремам 280—284.
307. Для того чтобы в подпространстве последователь-
последовательность векторов была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы она была сходящейся во всем пространстве. При этом
пределы в обоих смыслах совпадают.
308. Для того чтобы в фактор-пространстве E/L после-
последовательность {[¦xrft]}^° была сходящейся, необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовала такая сходящаяся последователь-
последовательность fjc'H0, что
) (ft=l, 2. 3, .. .)¦

78 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [309
При этом
lim [xk] = \ lim x'k].
309. Для того чтобы в пространстве Е' последователь-
последовательность {/{.}Г была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы при каждом х?Е сходилась числовая последователь-
последовательность [fh(x)}T- При этом, если lim fk — f, то lim /fc(x) =
ft -> uo ft -> oo
= /(*) (cp. 297.)
310. Для того чтобы в пространстве Нош (Е, Е,) после-
последовательность {Л/г}{° была сходящейся, необходимо и доста-
достаточно, чтобы при каждом х?Е сходилась последователь-
последовательность векторов [hkx)T. При этом если lim lik = h, то
lim likx = hx.
311. Для того чтобы в пространстве 03(Е, Е,) последо-
последовательность [Bk}f была сходящейся, необходимо и доста-
достаточно, чтобы при каждом х ? Е и при каждом у ? Е, схо-
сходилась числовая последовательность Efc(x, >')}Г- При этом
если lini Bk — В, то lim Bk(x, y)~B{x, у).
Теоремы 309—311 можно усилить в следующем напра-
направлении:
312. Если последовательности [xk\f<=.\L, (/JfcrE' схо-
сходятся, lim xk = х, lim fk = f, то сходится и числовая
k -> oo ft -> tw
последовательность [fk (xft)}i° и lini /fe (xfc) = /(x).
ft ->oo
313. Если последовательности jxfc}J°c:E, j/zfcjJ°c:Hom(E, Ej)
сходятся, lim xfc = x, lim hh = h, то сходится и последова-
телыюсть j/z^.x^J^c:/:, и lim hhxk =^ hx.
ft->oo
314. Если последовательности [лг^сЕ, (у^^сЕр
Eft}^c58(E, Е,) сходятся, lim xft = ,v, lim y^ = y, lim Bk—B,
ft->tXJ ft->CO ft->CX)
то сходится и последовательность (Д/г(хА, у/())^' и
Inn Вк(хк, yh)r=B(x, у).
ft

31G| § 12. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ РЯДЫ 79
Важным вариантом теории пределов являете» теория ря-
доп. Мы коснемся здесь некоторых специфических моментов
этой теории, возникающих в векторном случае.
Векторный ряд
2 ч (*)
л—1
называется сходящимся, если сходится последовательность
его частичных сумм
т
k-l
При этом вектор s— lim sm называется суммой ряда и
т ->оэ
пишется
*= s *».
k-l
В силу 297 для сходимости ряда (*) необходимо и до-
достаточно, чтобы при каждом / ? Е' сходился числовой ряд
2 /(<ч)- (**)
k-l
При этом если сумма ряда (¦) равна 5, то сумма ряда (**)
раина / (s).
Пусть теперь (*) - произвольный векторный ряд. Множе-
Множество тех линейных функционалов /, для которых ряд (**)
сходится, назовем областью сходимости ряда (*). Для схо-
сходимости ряда, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы
его область сходимости соппалала со всем пространством.
315. Область сходимости произвольного векторного ряда
есть подпространство в Е'.
Назовем векторный ряд вполне расходящимся, если его
область сходимости равна нулю.
on
316. Пусть 2 хк—векторный ряд, С—-его область схо-
fc-i
¦ какое-нибудь дополнение подпро
ве Е. Если
¦Ч ^ йи Л vk ("к 6е'. vn 6 L).
димости, L • ¦ какое-нибудь дополнение подпространства
в пространстве Е. Если

80 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЙ ПРОСТРАНСТВО 1317
то ряд 2 uk вполне расходящийся в С-Ц а ряд 2 vk
сходящийся.
Это свойство характеризует область сходимости:
317. Пусть подпространство МсЕ' таково, что при раз-
разложении
где L — некоторое дополнение подпространства МL в Е,
ряд 2 uk оказывается вполне расходящимся в М], а ряд
ft-i
2 Vj — сходящимся. Тогда М является областью сходимости
ОО
ряда 2 хк-
ft-i
Теорема 316 приводит к понятию суммы векторного ряда
относительно подпространства LcE, дополнительного к СЛ.
Именно, в условиях 316 мы будем называть сумму ряда
on со
2 f* суммой ряда 2 хь относительно L и обозначать
Ы fe-1
ее через
СО
*-lL
Возникает вопрос: как эта сумма зависит от подпрост-
подпространства L?
Для сходящегося ряда подпространство L не может
варьироваться (L = Е) и относительная сумма равна сумме
ряда. Для вполне расходящегося ряда подпространство L
также не может варьироваться (L = 0) и относительная сумма
равна нулю. В общем случае:
318. Для произвольного векторного ряда существует
такой вектор 5, что при каждом L, дополнительном к С-1-,
в разложении
s = u + v (и? С1, т>? L)
компонента v равна сумме ряда относительно подпростран-

322] § 12. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. РЯДЫ 81
ства L:
со
v = 2, хк-
Вектор s определен однозначно по модулю С1 (и не более).
Для сходящегося ряда С1 == 0, вектор s определен одно-
однозначно и равен сумме ряда. Это наталкивает на возможный
метод доказательства теоремы 318: стягивание по модулю С.
Из теоремы 318 вытекает:
319. Если сумма ряда относительно некоторого подпро-
подпространства равна нулю, то она равна нулю относительно каж-
каждого подпространства, дополнительного к С .
Случай, описанный в 319, особый, ибо:
320. Если сумма ряда относительно некоторого подпро-
подпространства отлична от нуля, то множество сумм относительно
всех возможных подпространств является классом по мо-
модулю С-к
Построим совершенно аналогичную теорию безусловной
сходимости.
оо
Векторный ряд 2 хк называется безусловно сходящимся,
к-\
если при каждом /?Е' безусловно сходится числовой ряд
оо со
2 f(xk)< т- е- 2 |/(^ft) | < оо. Очевидно, безусловная схо-
*=i к-г
димость влечет сходимость. Если векторный ряд схо-
сходится, но не безусловно, то он называется условно схо-
сходящимся.
Пусть теперь (*) — произвольный векторный ряд. Мно-
Множество тех линейных функционалов /, для которых ряд (**)
безусловно сходится, назовем областью безусловной сходи-
сходимости ряда (*). Очевидно, область безусловной схолимости
содержится в области сходимости.
321. Область безусловной сходимости векторного ряда
есть подпространство в Е'.
Назовем ряд векторов условно расходящимся, если его
область безусловной сходимости равна нулю.
СО
322. Пусть 2 хк — векторный ряд, N — его область
ft-i
безусловной сходимости, L— какое-нибудь дополнение
6 И. М. Глазман, Ю. И- Любнч

82 ГЛ. I КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЦПНОЕ ПРОСТРАНСТВО |323
подпространства N1- в пространстве Е. Если
со т
то ряд 2 uk—условно расходящийся в N , а ряд 2 vk
— безусловно сходящийся.
323. Пусть подпространство МсЕ' таково, что при раз-
разложении
где L—некоторое дополнение подпространства М' в Е, ряд
2 «ft оказывается условно расходящимся в Mj, а ряд
ft-i ¦ •
оо
2 vu — безусловно сходящимся. Тогда М является областью
безусловной сходимости ряда 2 'v*-
*-1
Назовем безусловной суммой ряда (*) относительно под-
пространства Lcr?f, дополнительного к N-1-, сумму 2 **&•
определенную в 323.
324. Для произвольного векторного ряда существует
такой вектор s, что при кажаом L, дополнительном к N'
is разложении s = и -{ v компонента v равна безусловной
сумме ряда относительно подпространства L. Вектор s опре-
определен однозначно по модулю N' (и не более).
Если ряд сходится, то is качестве 5 можно взять его
сумму. В общем случае в качестве s можно взять сумму
ряда относительно какого-нибудь подпространства LzsL, до-
дополнительного к С к Напомним, что NcC и, следовательно,
N1 =>C-L.
325. Если безусловная сумма ряда относительно некото-
некоторого подпространства равна нулю, то она равна нулю отно-
относительно каждого подпространства, дополнительного к N'.
326. Если бсзуслоппая сумма ряда относительно некото-
некоторою подпространства отлична от нуля, то мпожестио без.

329| § 12. ТПОРПЯ ПРПДПЛОВ РЯДЫ 83
условных сумм спшсптельио ucl-x uujmu>kiiux подпространств
является классом но .модулю N '.
327. Для тою чтобы ряд векторов безусловно сходился,
необходимо и достаточно, чтобы все его перестановки схо-
сходились и имели одну и ту же сумму.
Предложение 32/ содержит частичное обобщение тео-
теоремы Рнмана об условно сходящихся числовых рядах. В дей-
действительности теорема Римапа обобщается на векторные
ряды в полном объеме. Это обобщение (теорема Ш т е й-
пица) гласит: если Nc=E' есть область безусловной сходн-
сходней
мости условно сходящегося векторного ряда 2 xk- T0 суммы
всевозможных сходящихся рядов, образованных из данного
с помощью перестановки его членов, заполняют класс по
м<?дулю N1. Теорему Штейница мы рассмотрим в гл. VI.
В заключение совершим краткий экскурс в теорию век-
векторных функций скалярного аргумента.
Пусть 3 - какой-нибудь интервал вещественной оси
(—оо, -f oo). Рассмотрим функции x—x(t) па Ц со значе-
значениями в пространстве В (вектор-функции). Наличие в Е то-
топологии позволяет обычным образом определить понятия
предела, непрерывности, производной и интеграла. Элемен-
Элементарные теоремы и формулы анализа (за исключением теорем
о средних значениях) непосредственно переносятся на вектор-
векторный случай. Вместе с тем возникает несколько новых раз-
разновидностей теорем о непрерывности и дифферепцируемости
произведений.
328. Пусть a (f) — скалярная функция, х (t) — вектор-
функция,
и (t) = a (t) х (t).
Если a(t) и x(t) непрерывны is некоторой точке, то u(t)
также непрерывна в этой точке. Если a(t) и x(t) дифферен-
дифференцируемы в некоторой точке, то и @ также дифференцируема
в этой точке, причем
и' (t) = а' @ х @ -f а @ х[ (t).
329. Пусть В(х, у) (х?Е, у^Е,) билинейный функ-
функционал. x(t) функция со значениями к пространстве Е,
6*

84 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [330
у (9— функция со значениями в пространстве Ер
Если x(t) и y(t) непрерывны в некоторой точке, то 0(9
также непрерывна в этой точке. Если x(t) и y(t) дифферен-
дифференцируемы в некоторой точке, то р (t) также дифференцируема
в этой точке, причем
р' @ = В (х' (t), у @) + В (х @. у' @).
В частности, этот результат относится к функциям вида
Р (9 = Л (*(')).
где л:(9— функция со значениями в Е, /t — функция со
значениями в Е'.
330. Пусть х (9 — функция со значениями в Е, ht —
функция со значениями в Нот (Е, Ej),
Если л: (9 и ht непрерывны в некоторой точке, то у (t) также
непрерывна в этой точке. Если x(f) и ht дифференцируемы
в некоторой точке, то y{t) также дифференцируема в этой
точке, причем
у' (t) = h'tx(t)-\~hlx'(t).
Из 328—330 непосредственно вытекают соответствующие
формулы интегрирования по частям.
В заключение коснемся теории рядов вектор-функций.
со
Ряд 2 •*rft(9 (*€&) называется равномерно сходя-
щимся на множестве ^CcQ', если этим свойством обладают
оо
все ряды 2/(^(9) (/6 е')-
Приведем один удобный признак равномерной сходимости.
Последовательность вектор-функций {*ft(9}^° (^6<-7)на~
зывается равномерно ограниченной на множестве <=/?", если
множество
[y\y = xk(t), Д=1. 2. 3. ...; ^
ограничено.

333J § 12. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. РЯДЫ 85
331. Если числовой ряд ^ ак сходится безусловно,
а последовательность пектор-функций {дгА (Oli° (^6^) равно-
со
мерно ограничена на множестве e/fcff, то ряд 2а/Л@
равномерно сходится на множестве <=/?".
Обычные теоремы о непрерывности, дифференцируемое™
и интегрируемости для равномерно сходящихся рядов легко
переносятся на векторный случай.
Существенную роль в линейном анализе играют аналити-
аналитические вектор-функции комплексного переменного, теория
которых строится стандартным образом. В конечномерном
случае, которым мы только и занимаемся, особенно важны
полиномы и рациональные функции.
Векторные полиномы имеют вид
~0
где коэффициенты ak (/2 = О, 1, 2 т) — векторы. Если
ат Ф О, то полином <^° (к) по определению имеет степень т.
Рациональные вектор-функции — это функции вида
где ИР (X) — векторный полином, a 2fi (к) — отличный от тож-
тождественного нуля скалярный полином.
332. Для того чтобы аналитическая вектор-функция х (к)
была полиномом (рациональной функцией), необходимо и
достаточно, чтобы этим свойством обладала каждая функция
Степенные ряды сохраняют свое значение и в векторном
варианте теории аналитических функций. Они имеют здесь
вид 2 аь(^ — ^о) *• гДе коэффициенты ak (k = 0, 1,2, .. .) —
ft-0
векторы.
333, Положим
k
/(/)= lim V\f(ak)\, /= sup /(/), p = /-i.

86 ГЛ. I. КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО C3S
Степенной ряд
сходится (даже безусловно) всюду в круге \к к01 < р и
расходится всюду вне этого круга (теорема Коши —
А д а м а р а).
334. В каждом круге | Я. — Хо | < г (г < р) сходимость
равномерна (теорема Абеля).
Величина р называется радиусом сходимости, а круг
| Я. — Яд | < р - кругом сходимости степенного ряда. Сумма
степенного ряда аналитична в круге сходимости.
Теорему 333 можно сформулировать еще и так: радиус
сходимости векторного степенного ряда (*) равен нижней
со
грани радиусов сходимости скалярных рядов У] f(ak)(k—^)*
ft 0
</?)
От степенных рядов можно было бы перейти далее к ря-
рядам Лорана и развить теорию особых точек и вычетов. Мы
не будем на этом останавливаться ввиду отсутствия прин-
принципиальной новизны по сравнению со скалярным случаем.

ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КОМПЛЕКСНОМ
ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Оператором в пространстве называется произвольное
отображение пространства в себя. Оператор А в простран-
пространстве Е называется линейным, если
1) /1(лг, 4 •*._,)= А*, + Ах2,
2) А(ах)=гаАх.
Таким образом, линейный оператор--это то же самое,
что эндоморфизм, т. е, гомоморфизм пространства в себя.
Следовательно, все, что мы уже знаем о гомоморфизмах,
относится, в частности, к линейным операторам.
Линейные операторы являются фредгольмовыми гомомор-
гомоморфизмами; поэтому теория Фредгольма применима к ним с мак-
максимальной полнотой.
Если линейный оператор А является изоморфизмом (для
чего достаточно, чтобы он был моно- или эпиморфизмом),
то А называется регулярным оператором *) (автоморфиз-
(автоморфизмом). Если А — регулярный оператор, то существует об-
обратный изоморфизм А~ , который теперь мы будем называть
обратным оператором. Единичный эндоморфизм /в мы бу-
будем называть единичным оператором и обозначать просто /.
Для любого линейного оператора А сопряженный гомо-
гомоморфизм {сопряженный оператор) А' является линейным опе-
оператором в пространстве Е'. При этом если А регулярен, то
и А' регулярен. Эти же замечания относятся и к эрмитово-
*) Или обратимым оператором в соответствии с терминологией,
установленной для гомоморфизмов.

88 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |1
сопряженному оператору А*, действующему в простран-
пространстве Е*.
В обозначениях, введенных в гл. I, множество линейных
операторов в пространстве Е есть Нот (Е, Е). Теперь мы
будем его обозначать Ш (Е). Оно является линейным про-
пространством (размерности л2) и даже алгеброй.
В дальнейшем мы говорим кратко «оператор», имея
в виду, если не оговорено противное, линейный оператор
в пространстве Е.
§ 1. Алгебра линейных операторов
Операторы А и В называются коммутирующими, если
АВ=ВА.
Это обозначается так:
При «> 1 алгебра ЗИ(Е) некоммутативна, т. е., вообще
говоря, АВ Ф ВА. «Мерой некоммутативности» двух опе-
операторов является их коммутатор
[А. В] = АВ —ВА.
def
Операторы вида а/ (они называются скалярными опера-
операторами) коммутируют с каждым оператором из ЗИ(Е). Об-
Обратно :
1. Если оператор коммутирует со всеми операторами
из ЗИ(Е), то он скалярный (лемма Шура).
Лемма Шура показывает, что центр алгебры ЗИ(Е) (т. е.
множество всех элементов алгебры, коммутирующих со всеми
элементами алгебры) совпадает с множеством (а/) скалярных
операторов.
Заметим, что центр является подалгеброй, т. е. подпро-
подпространством, замкнутым относительно операции умножения.
В ЗЯ (Е) существует много других подалгебр. Универсальный
способ построения подалгебры состоит в том, что выбирается
некоторое подмножество ЭДсЗИ(Е) и рассматриваются все-
всевозможные произведения вида
A,A,t...A,t ^
где множители не обязательно различны.

6| § 1. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 89
2. Множество всех линейных комбинаций произведений
вида (*) является наименьшей подалгеброй, содержащей 31.
Множество 21 в этой конструкции есть база подалгебры,
а его элементы — образующие. Особый интерес представляют
подалгебры с одной образующей. К их числу принадлежит
центр, образующей которого является /. В общем случае
подалгебра с образующей А состоит из всех полиномов от А,
т. е. из всех элементов вида
Символ Ak(k — Q, 1, 2, ...) здесь означает, как обычно,
k-ю степень элемента А, т. е. произведение k множителей,
равных А(А° = 1, А1 = А). Обычные правила действий над
def def
степенями остаются здесь в силе, и мы не будем их пере-
перечислять. Отметим лишь, что
3. Если ЛиВ, то (AB)k = AkBk(k = 0, 1, 2, ...)•
4. Если (АВJ= А2В2, причем операторы А, В регу-
регулярны, то A^jB.
Рассмотрим подалгебры с одной образующей более де-
детально.
5. Каждая подалгебра с одной образующей коммута-
коммутативна.
Между прочим, это — частный случай следующего пред-
предложения: для того чтобы подалгебра с базой 91 была комму-
коммутативной, необходимо и достаточно, чтобы каждые две ее
образующие коммутировали.
Обозначим подалгебру с одной образующей А через $ (Л)
и исследуем ее размерность.
6. Размерность подалгебры ^(А) равна наибольшему т.,
для которого степени /, А, А Ат~ линейно незави-
независимы.
Можно сказать иначе. Пусть
— какой-нибудь скалярный полином от %. Положим
г
ft-0 *

90 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |7
Полипом еР (к), отличный or пуля, называется аннулирую-
аннулирующим оператор А, если
(Здесь 0, конечно, означает нулевой оператор, т. е. опера-
оператор, преобразующий все векторы в нулевой вектор.) Теперь
теорему 6 можно сформулировать так:
7. Размерность подалгебры ^(А) равна наименьшей сте-
степени полиномов, аннулирующих оператор А.
Полином наименьшей степени, аннулирующий оператор Л,
называется минимальным полиномом оператора А и обозна-
обозначается через сМ (к; А). Его степень называется порядком
оператора А Минимальный полином обладает многими за-
замечательными свойствами и, прежде всего, следующим:
8. Множество полиномов, аннулирующих оператор А,
состоит из всех тех и только тех полиномов, которые де-
делятся на о/И (К; А).
Отсюда непосредственно вытекает, что:
9. Для данного оператора А минимальный полином един-
единствен с точностью до постоянного множителя.
Мы связали размерность подалгебры ty(A) с полиномами,
аннулирующими оператор А. Однако мы еще не имеем опенки
для этой размерности, отличной от тривиальной оценки
dim f (A) < п2.
Оказывается, эту оценку можно существенно улучшить.
Полином ?Р (к), отличный от нуля, называется аннули-
аннулирующим оператор А на векторе х (короче, аннулирующим
вектор .v), если
10. Для каждого вектора х?Е существует аннулирую-
аннулирующий полином степени <С п.
Полином наименьшей степени, аннулирующий вектор х,
называется минимальным полиномом этого вектора, а его
степень называется порядком вектора х (относительно опе-
оператора А). Таким образом, порядок любого вектора не пре-
превосходит п. Аналогично 8:
11. Множество полиномов, аннулирующих вектор, состоит
из всех тех и только тех полиномов, которые делятся па
минимальный полипом вектора.

:6. § I. АЛГЕБРА ЛИНЕППЫХ ОПЕРАТОРОВ 91
Следоиательно, минимальный полином вектора определен
однозначно с точностью до постоянного множителя. Оче-
иидио, минимальный полином оператора А делится на мини-
минимальный полином каждого иектора х?Е.
12. Множество минимальных полиноыои всевозможных
некторов х?Е содержит минимальный полином оператора А
(см. 52 гл. I).
Теперь ясно, что:
13. (Нт$(Л)<ге.
Эту оценку уже нельзя улучшить: в следующем пара-
параграфе мы покажем, что в пространстве Е существует такой
оператор А, для которого dim ty (А) = п.
Техника аннулирующих полиномов япляется эффективным
орудием спектральной теории операторов. Мы
сейчас несколько расширим эту технику, рассматривая про-
произвольные полиномы ?Р (X) и изучая ядра Кег^(Л).
14. Пусть {^^(А.)}™— произвольная система отличных'
от нуля полиномов, &) (к) — их наибольший общий делитель,
б (А.)- наименьшее общее кратное. Тогда
т т
Кег ® (А) = П Кег ff>k (А), Кег б (А) = 2 Кег &>к (А).
15. Если полиномы е?*, (к), ^2(к) ^т(^) попарно
взаимно просты, то
Следовательно:
16. Если аннулирующий полином аР (к) оператора А ка-
каким-нибудь образом разложен на множители
u
ТО имеет место разложение пространства
Е^ 2 Кег ^, (Л).

92 гл. п. линейные операторы |i?
При этом сумма будет прямой, если множители попарно
взаимно просты.
В дальнейшем метод разложения аннулирующего поли-
полинома на множители приведет к ряду глубоких результатов.
Для полноты изложения сформулируем теорему, двой-
двойственную 14:
т т
17. 1тЗ!(А)= У, \mSPk(A), \тп(А)= f\\mSPk(A).
Оставим теперь на некоторое время аннулирующие по-
полиномы и рассмотрим еще один класс подмножеств алгебры
Ш (Е) — так называемые идеалы.
Подпространство 3 алгебры 91 называется левым идеалом,
если для каждого а ? 3 и каждого х ? 91 произведение ха
принадлежит 3- Аналогично определяется правый идеал.
Идеал называется двусторонним, если он одновременно
является левым и правым. Каждая алгебра 91 обладает три-
тривиальными двусторонними идеалами 91, 0. Очевидно, каждый
идеал является подалгеброй.
18. Для того чтобы оператор был регулярным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал ни одному
идеалу, отличному от ЗЙ(Е).
Достаточно даже, чтобы он не принадлежал ни одному
левому идеалу (или не принадлежал ни одному правому идеалу),
отличному от ЗЙ(Е).
Выделим две леммы, облегчающие доказательство тео-
теоремы 18 (и вместе с тем представляющие самостоятельный
интерес).
19. Для того чтобы идеал был отличен от ЭД?(Е), необ-
необходимо и достаточно, чтобы он не содержал единичного
оператора /.
20. Наименьший левый идеал, содержащий оператор А,
есть множество всех произведений вида ХА (Х?Ш(Е)).
Идеалы алгебры ЗЙ(Е) могут быть описаны следующим
образом:
21. Пусть М — некоторое подпространство простран-
пространства Е. Множество всех тех операторов Л, для которых
КегЛзМ, является левым идеалом.
Обозначим этот идеал через З'м- ^ помощью теории пра-
правого деления гомоморфизмов (§ 5 гл. I) устанавливается сле-
следующее предложение.

26| § I. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 93
22. Для любого левого идеала 3 существует и един-
единственно такое подпространство МсЕ, что 3 —3^-
Таким образом, мы имеем взаимно однозначное соответ-
соответствие между левыми идеалами алгебры ЭИ(Е) и подпростран-
подпространствами пространства Е. При этом ^=3№(Е), 3'Е = 0.
Для правых идеалов возникает двойственная картина.
23. Пусть N — некоторое подпространство простран-
пространства Е. Множество всех тех операторов А, для которых
Im /icN, является правым идеалом.
Обозначим этот идеал через 3n- С помощью теории ле-
левого деления гомоморфизмов устанавливается следующее пред-
предложение.
24. Для любого правого идеала 3 существует и един-
единственно такое подпространство NcE, что 3 = 3n-
Таким образом, мы имеем взаимно однозначное соответ-
соответствие между правыми идеалами алгебры ЭИ(Е) и подпростран-
подпространствами пространства Е. При этом ^о=О, Зе = ЭИ(Е).
Теорема 18 вновь получается в качестве простого след-
следствия теорем 21—24. Еще одно следствие:
25. В алгебре ЭИ(Е) нет нетривиальных двусторонних
идеалов.
Двойственность левых и правых идеалов можно обнару-
обнаружить прямым путем, рассматривая отображение сопряжения.
Оно инволютивно отображает алгебру ЭИ(Е) на алгебру ЭИ(Е'),
причем левые идеалы переходят в правые, а правые — в ле-
левые, и это соответствие идеалов также инволютивно. При
таком подходе теоремы 19, 20 оказываются непосредствен-
непосредственными следствиями теорем 17, 18 и наоборот.
Мы закончим этот параграф следующим замечанием:
26. Множество регулярных операторов (автоморфизмов)
есть группа относительно умножения. При п > 1 эта группа
неабелева.
Тем самым для регулярного оператора А имеют смысл
степени Ак с любыми (а не только неотрицательными) це-
целыми показателями. Именно, по определению
А-т = (А-1)т (/11=1,2.3,...).
Обычные правила действий над степенями остаются в силе
и здесь. В частности, степени одного и того же оператора

94 1"Л И. ЛИНППНЫЕ ОПГгВАТОРЫ B7
попарно коммутируют. Очевидно, все степени регулярного
оператора регулярны. Обратно, если некоторая степень опе-
оператора А регулярна, то и сам оператор А регулярен.
§ 2. Собственные значения и собственные векторы
линейного оператора. Инвариантные подпространства
Число X называется собственным значением, или соб-
собственным числом, оператора Л, если существует такой век-
вектор х Ф 0, что
Ах = Хх.
Вектор х называется собственным вектором оператора А,
соответствующим собственному значению X.
Можно сказлть иначе: собственные значения опера-
оператора А — это такие значения X, для которых
Кег (А - }J) Ф О,
т. е. оператор А -- XI нерегулярен; собственные векторы,
соответствующие собственному значению X, — это отличные
от нуля элементы подпространства Кег (А —XI). Само это
подпространство называется собственным подпространством,
соответствующим собственному значению X.
Множество а (А) собственных значений оператора А назы-
называется спектром оператора А. Исследование спектра и свя-
связанной с ним геометрической структуры оператора является
предметом спектральной теории операторов.
27. Пусть оР (X) —произвольный полином. Тогда
St>(o(A))cza(<&l>(A)).
Более того, каждый собственный вектор оператора А.
соответствующий какому-нибудь собственному значению [i,
является собственным вектором оператора оР (А), соответ-
соответствующим собственному значению SP (\х).
Теорема 27 — это весьма предварительная формулировка
так называемой теоремы об отображении спектров (см. § 4).
Для нас сейчас существенно следствие:
28. Пусть ор (X) - произвольный аннулирующий полином
оператора А. Тогла спектр оператора входит в множество
корней полинома SP {X).

33i § 2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ 05
В частности, спектр оператора А входит а множеств
корней минимального полинома а/И (к; А). Отсюда немедленно
вытекает, что:
29. Спектр любого оператора содержит не более п точек.
Выясним, не может ли спектр оказаться пустым.
30. Пусть S? (к) — произвольный аннулирующий полином
оператора Л, 3l(k) — его наибольший лелитель в классе
полиномов, не обращающихся в нуль на спектре о (А). Тогда
полином ' также является аннулирующим для оператора А.
Следовательно:
31. Среди корней произвольного аннулирующего поли-
полинома оператора А по крайней мере один является собствен-
собственным значением оператора А.
Следовательно, далее:
32. Спектр любого оператора не пуст.
Более того, из теоремы 30 вытекает, что:
33. Спектр оператора А совпадает с множеством корней
минимального полинома o4f(K\ A).
Пусть A=[ek}" — какой-нибудь базис пространства Е.
Матрицей оператора А относительно базиса Д (или,
короче, в базисе Д) называется матрица гомоморфизма отно-
относительно пары базисов Д, Д. т. е. матрица коэффициентов
разложений:
^2
п
Очевидно, если х = 2 ?***> то
&1
Для того чтобы сформулировать правило преобразования
матрицы оператора при изменении базиса, введем понятие
обратной матрицы.
Пусть некоторая матрица а в базисе Д определяет регу-
регулярный оператор А. Тогда она определяет регулярный опе-
оператор в любом базисе и называется регулярной (или неосо-
неособенной). Матрица оператора Л~' также не зависит от выбора

96 ГЛ. U. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 134
базиса. Она называется обратной матрицей к матрице а и
обозначается а~'. Обратная матрица, очевидно, удовлетворяет
соотношениям
(е — единичная матрица) и каждым из них определяется одно-
однозначно.
Теперь, если а — матрица оператора А в базисе Д, то его
матрица в любом базисе А: равна
где t — матрица базиса А, относительно базиса А.
Варьируя базис, можно пытаться упростить матрицу опе-
оператора с тем, чтобы сделать его действие более обозримым.
Пусть, например, базис собственный, т. е. состоит из соб-
собственных векторов оператора:
Аек = КЧ (k=l. 2, ...,«)
(собственные значения >-ft не обязательно попарно различны),
Тогда (и только тогда) матрица оператора А является диа-
диагональной (a,jk = O при J Ф ft); при этом a,kk = Xk. Фор-
Формула (*) принимает совсем простой вид:
п
Ах — 2 *Д/у-
Собственный базис иначе называется базисом диагональ-
диагонального представления. Не каждый оператор обладает таким
базисом:
34. Пусть {ек}" — какой-нибудь базис пространства Е и
оператор D определен формулами:
Del = Q, Dek = ek_i (ft = 2, 3 п).
Этот оператор имеет единственное собственное значение к = 0,
и все его собственные векторы имеют вид aev
Таким образом, из собственных векторов оператора D
при п > 1 нельзя построить базис пространства Е.
Оператор А называется оператором скалярного типа,
если у него существует собственный базис, т. е. если его

»] § 2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ 97
матрицу можно привести *) к диагональному виду. Простейшим
примером может служить скалярный оператор а/; для него
все векторы являются собственными (соответствующими соб-
собственному значению а) и, следовательно, все базисы соб-
собственные.
Установим простой геометрический критерий приводимости
к диагональному виду. Начнем с леммы:
35. Любая система собственных векторов оператора А,
соответствующих попарно различным собственным значениям,
линейно независима.
Следовательно:
36. Пусть {ЕА}™ — система собственных подпространств
оператора А, соответствующих точкам спектра о(А)= {Xk}™.
т
Тогда сумма 2 Е* — прямая. Поэтому
т
2 dim EA -< п.
Отсюда, между прочим, вновь вытекает 29.
Далее:
37. Для того чтобы А был оператором скалярного типа,
необходимо и достаточно, чтобы
Из 37 следует:
38. Если число точек спектра оператора равно п, то он
является оператором скалярного типа.
Но число точек спектра оператора скалярного типа может
быть и меньшим п. Например, для скалярного оператора оно
равно 1. Здесь уместно заметить, что вообще:
39. Каково бы ни было множество о комплексных чисел,
содержащее не более п элементов, существует такой опе-
оператор А, что о (А) = о.
*) Выражение «привести матрицу к диагональному виду» озна-
означает: выбрать базис А так, чтобы матрица оператора была диаго-
диагональной. Аналогичный смысл имеет приведение матрицы опе-
оператора к любому другому специальному виду.
7 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

98 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |40
Если число точек спектра оператора А равно п, то А
называется оператором с простым спектром. Таким образом,
согласно 38, простой спектр влечет скалярный тип.
Рассмотрим минимальный полином оператора скалярного
типа. Это приведет нас к аналитическому критерию скаляр-
скалярного типа.
40. Минимальный полином оператора скалярного типа
не имеет кратных корней.
Оказывается, этот результат можно обратить, используя
теорему 16 и разложение полинома на линейные множители.
41. Если минимальный полином aft(k; А) не имеет крат-
кратных корней, то А — оператор скалярного типа.
Тем более:
42. Если какой-нибудь аннулирующий полином опера-
оператора А не имеет кратных корней, то А — оператор скаляр-
скалярного типа.
Например:
43. Если оператор А является идемпотентом
алгебры ЭИ(Е), т. е. удовлетворяет уравнению А2=А, то
он является оператором скалярного типа.
44. Если оператор А является корнем из единицы,
т. е. удовлетворяет уравнению Ар=/ с некоторым целым
р^5>1, то он является оператором скалярного типа.
Отметим одно следствие теорем 39 и 40:
45. Для каждого т=\, 2 п существует такой опе-
оператор А, что
Этот факт в случае т = п уже упоминался в предыдущем
параграфе.
Подпространство L с Е называется инвариантным отно-
относительно оператора А, если А не выводит векторы из этого
подпространства, т. е.
Ах 6 L (х 6 L).
Тривиальные подпространства Е, 0 инвариантны Относительно
любого оператора.
46. Все собственные подпространства оператора инва-
инвариантны.
Более общее утверждение:

55| § 2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ 99
47. Если #"(>-)— полином, то подпространства
инвариантны относительно оператора А.
Еще более общее утверждение:
48. Если Л о В, то подпространства KerB, Im В инва-
инвариантны относительно оператора А.
Далее:
49. Если подпространство L инвариантно относительно
оператора А, то оно инвариантно относительно всех поли-
полиномов <#°(Л).
50. Если подпространство L инвариантно относительно
регулярного оператора А, то оно инвариантно относительно
обратного оператора А.
51. Сумма и пересечение любого множества инвариантных
подпространств инвариантны.
Пусть L - инвариантное подпространство оператора А.
Сужение A\L является оператором в пространстве L. Оно
называется частью оператора А, индуцированной (или лежа-
лежащей) в подпространстве L. Кроме того, можно определить
так называемый фактор-оператор A/L в фактор-простран-
фактор-пространстве Е/ L, полагая
(А/Щх) = [Ах).
52. Каждый аннулирующий полином оператора А является
аннулирующим для всех частей А | L и всех фактор-опера-
фактор-операторов A/L.
Следовательно, минимальные полиномы частей и фактор-
операторов являются делителями минимального полинома
самого оператора. Поэтому скалярный тип наследуется:
53. Все части и фактор-операторы оператора скалярного
типа также являются операторами скалярного типа.
Имеетсц также простая связь между спектрами операто-
операторов А, Л | L, A/L.
54. Пусть L - нетривиальное инвариантное подпростран-
подпространство оператора А. Тогда
а (Л) = а (А | L) U а (А / L).
Исследуем запас инвариантных подпространств произволь-
произвольного оператора.
55. При п > 1 каждый оператор имеет нетривиальное
инвариантное подпространство.

100 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |56
66. Если L — инвариантное подпространство оператора А
и М—инвариантное подпространство фактор-оператора A/L,
то множество N== (jc| [a:]l?M] является инвариантным под-
подпространством оператора Л, промежуточным между L и Е:
LcNcE.
Если М нетривиально, то N Ф L, N Ф Е.
67. Если Lx, L2— инвариантные подпространства опера-
оператора А, причем
Lt cz L2> dimL2 — dimL^l,
то существует промежуточное инвариантное подпространство L:
L, с L с L2. L=?Lj, L Ф L2.
68. Для каждого оператора А существует максимальная
цепь инвариантных подпространств *):
0 = L0<=L1c:L2c: ... c^^cL^E.
Эта теорема на языке матриц означает возможность при-
приведения матрицы любого оператора к треугольному виду:
69. Для каждого оператора А существует такой базис {eft}",
что матрица (ajk)n, k_1 оператора в этом базисе является
верхнетреугольной: ayft = 0 (у > k) (см. 51 гл. I).
Этот базис называется базисом треугольного предста-
представления оператора А. Треугольное представление является
обобщением диагонального и оно уже существует всегда.
Связь треугольного представления с максимальными цепями
инвариантных подпространств является двусторонней:
60. Для того чтобы базис [ek)" был базисом треуголь-
треугольного представления оператора, необходимо и достаточно,
чтобы линейные оболочки систем
Гт = ЫГ («=1.2 п)
были инвариантными подпространствами.
Как мы сейчас увидим, треугольное представление, по-
подобно диагональному, полностью вскрывает спектр оператора
*) См. § 3 гл. I.

62) § 3. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 101
(но не геометрическую структуру оператора, которую оно
отражает довольно грубо).
61. Диагональные элементы akk{k = \, 2 п) матрицы
оператора в базисе треугольного представления являются соб-
собственными значениями, и каждое собственное значение встре-
встречается среди диагональных элементов (см. 64).
Из теоремы 61 вытекает одно полезное следствие:
62. Множество операторов с простым спектром всюду
плотно в 2)?(Е).
Тем более, в силу 38, всюду плотно множество опера-
операторов скалярного типа. На этом основан употребительный
метод перенесения свойств, установленных для операторов
скалярного типа, на произвольные операторы путем предель-
предельного перехода.
§ 3. Корневые подпространства.
Основная спектральная теорема
Пусть пространство Е разложено в прямую сумму
инвариантных подпространств оператора А и Ak — часть опе-
оператора А, лежащая в подпространстве Lft. Тогда оператор А
называется прямой суммой операторов Ak, и это записы-
записывается в виде
или
т
/4=2 A/f (**)
Если произвольный вектор х представлен, в соответствии
с (*), в виде
т
k-l
то, 'в соответствии с (**),
т
ft-1

102 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ • |63
Если базис Д в Е получен объединением базисов подпро-
подпространств Lft, то матрица оператора А в базисе Д имеет б л о ч-
нодиагональный вид
t 0 ... О
а, ... О
О 0 ... а
где <xk —¦ матрица оператора Ak в соответствующем базисе,
О — прямоугольные матрицы из нулей.
Оператор скалярного типа — это такой, который является
прямой суммой скалярных операторов (действующих в соб-
собственных подпространствах и умножающих на соответствую-
соответствующие собственные значения):
т
где Ik — единичный оператор в й-м собственном подпрост-
подпространстве, Xk — соответствующее собственное значение.
Разложение (***) является простейшим случаем спект-
спектрального разложения оператора. Как мы уже знаем,
оно не универсально в том смысле, что существует не для
всех операторов. Наша ближайшая цель — обобщить спект-
спектральное разложение на произвольные операторы. Заметим, что
треугольное представление не решает эту задачу, так как
оно соответствует цепи, а не прямой сумме инвариантных
подпространств.
Обобщим понятие скалярного оператора. Заметим, что
спектр скалярного оператора а/ состоит из одной точки а.
Оператор А называется одноточечным, если его спектр
состоит из одной точки. При этом говорят, что оператор
сосредоточен в этой точке. Нетривиальный пример одното-
одноточечного оператора приведен в 34.
63. Для того чтобы оператор А был одноточечным,
сосредоточенным в точке а, необходимо и достаточно, чтобы
он удовлетворял уравнению
(А — а/)г = 0
с некоторым показателем г > 0.

66| § 3. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ЮЗ
В качестве г можно взять кратность корня а в минималь-
минимальном полиноме оператора А. Этот показатель — наименьший
возможный.
В дальнейшем кратность собственного значения в мини-
минимальном полиноме мы называем порядком этого собственного
значения.
Пусть теперь А— произвольный оператор, a (A)— {^ft}J",
rk — порядок собственного значения %k. Инвариантное под-
подпространство
называется корневым подпространством оператора А, соот-
соответствующим собственному значению %k.
Теорема 16, которая ранее привела нас к критерию ска-
скалярного типа, теперь дает возможность тем же методом
доказать основную спектральную теорему:
64. Для каждого оператора А имеет место спектральное
разложение
где {Wft}J"—множество корневых подпространств оператора А.
Таким образом, каждый оператор А разлагается в прямую
сумму одноточечных операторов, сосредоточенных в попарно
различных точках спектра оператора А. Это разложение
единственно (с точностью до порядка слагаемых):
65. Если оператор А является прямой суммой одноточеч-
т
ных операторов А = 2и Ak, сосредоточенных в попарно раз-
различных точках %k (А=1, 2, ..., т), то a(A)=z{%k}™ и
Ak = A\Wk, где Wft — соответствующее корневое подпро-
подпространство.
Этот результат вытекает из следующих общих теорем:
т
66. Если А = 2' Ak< T0
o(A)=[Jo(Ak).
fci

104 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 167
т
67. Если А = 2 Ak> т0 минимальный полином a4i(k; А)
совпадает с наименьшим общим кратным минимальных поли-
полиномов о%(Х; Ak) (*=1, 2 т).
Изучим подробнее свойства корневых подпространств.
Согласно основной спектральной теореме, система кор-
корневых подпространств {W^}™ для любого оператора является
базисной, т. е. S"Wft —Е-
Рассмотрим характеристику {dk}™ этого разложения. Число
dk = dim Wft называется кратностью соответствующего соб-
собственного значения Xk. Если dk=l, то собственное значе-
значение Xk называется простым; в противном случае оно назы-
называется кратным.
Полином
называется характеристическим полиномом оператора А.
Степень характеристического полинома равна п и тем самым
не зависит от оператора, в отличие от степени минимального
полинома.
Отметим, что простота спектра равносильна простоте
корней характеристического полинома.
т
68. Если А — 2' Ak, то
А)=Ц®A; Ak).
ft-i
Более общий факт (ср. 54):
69. Если L—нетривиальное инвариантное подпространство
оператора А, то
3S(X; А) = 3)(к; A\L)@(X; A/L).
Аналогичное обобщение теоремы 67 неверно.
70. Если (a.jk)"j ft-1 —матрица оператора А в базисе тре-
треугольного представления, то
л
Я) (к; A)=ll(akk-l).
fti

74] § 3. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 105
Теперь несколько уточняется теорема 61:
71. Каждое собственное число встречается среди диаго-
диагональных элементов матрицы оператора в базисе треугольного
представления столько раз, какова его кратность.
Таким образом, для данного оператора система диагональ-
диагональных элементов матрицы в базисе треугольного представления
с точностью до порядка элементов не зависит от выбора
базиса треугольного представления.
72. Пусть {Hj}f — система чисел, состоящая из собствен-
собственных значений оператора А и содержащая каждое собственное
значение столько раз, какова его кратность. Тогда для любой
перестановки (ц . i" этой системы существует такой базис
треугольного представления оператора А, в котором диаго-
диагональные элементы матрицы оператора таковы:
а** = И/Л (*=1. 2 я).
Минимальный полином произвольного оператора А можно
записать в виде *)
где [кк)™ = а(А), гк — порядок собственного числа кк.
Как связаны кратности собственных чисел с порядками?
Довольно типичный пример — оператор скалярного типа. Для
него, согласно 40. rk — 1 (k = l, 2, ..., т), в то же время
т
кратности dk ^> 1 могут быть любыми, лишь бы 2 dk = n.
k-i
73. Для любого оператора А имеют место неравенства
dk>rk (Л=1, 2 т).
Отсюда:
74. Характеристический полином оператора является ан-
аннулирующим:
0
(теорема Гамильтона — Кэл и).
Между прочим, из неравенства 73 снова следует, что
степень минимального полинома не превосходит п.
*) Напомним, что минимальный полином определен с точностью
до постоянного множителя, см. 9.

106 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |75
Теорему 73 легче всего получить, рассматривая усеченные
корневые подпространства
Wsk = Кег(А — lkff (s = 0, I, 2, ...)•
Очевидно, Wft = 0. Подпространство W\ совпадает с соб-
собственным подпространством Ек, соответствующим собствен-
собственному значению %k. Все W^, очевидно, инвариантны. Общая
картина такова:
75. Имеют место строгие включения
и вместе с тем Wsk = W^* (s > rk).
Отсюда вытекают более сильные, чем 73, неравенства:
76. rfft>dimEft + (rft—1) (*=1, 2 т).
Заметим теперь, что:
77. (A-lkiywsk+JdWsk (у, s = 0, 1, 2, ...).
Поэтому (см. 98 гл. I):
78. dim Wft+;<dimWft + dimWi (у, s = 0, 1, 2, ...).
В частности:
79. dimWr^dimW^+dimEft (s = l, 2, 3, ...).
Отсюда, в дополнение к 76:
80. rfft<rftdimEft (k=\, 2 т).
Оператор А называется простим, если его характери-
характеристический полином совпадает с минимальным, т. е. если
dk = rk (k=[, 2 т).
81. Для простоты оператора необходимо и достаточно,
чтобы все его собственные подпространства были одномерными.
В частности:
82. Оператор с простым спектром прост.
Обратное утверждение неверно, как показывает пример 34.
Однако:
83. Если оператор скалярного типа прост, то его спектр
прост.
Другой, отличный от 81, критерий простоты оператора
состоит в следующем:
84. Для простоты оператора необходимо и достаточно,
чтобы степень его минимального полинома была равна п.

871
§ 3. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
107
Иначе говоря, для простоты оператора А необходимо и
достаточно, чтобы сНт$(Л) = п (см. § 1).
Пользуясь теоремой 52 гл. I, можно перейти от этого
критерия к следующему:
85. Для простоты оператора А необходимо и достаточно,
чтобы существовал такой вектор х, для которого система
х. Ах, Л2лг Ап~1х
является базисом.
Иначе говоря, вектор х должен иметь порядок п отно-
относительно оператора А. Такой вектор называется порождаю-
порождающим вектором оператора А, а соответствующий базис —
базисом Фробениуса. Матрица оператора в этом базисе имеет
фробениусов канонический вид:
(«0
«1
«2
««-2
а„_,
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
... 0
... 0
... 0
... 1
... 0
причем ak — коэффициенты характеристического (или, что
здесь то же самое, минимального) полинома, записанного,
в форме
Q, (К; А) = (— 1)»[Г - 2 а**.*).
Между прочим, отсюда вытекает очевидный способ построе-
построения оператора с заданным характеристическим полиномом.
В связи с теоремой 85 отметим, что:
86. Для любого вектора х линейная оболочка L системы
х, Ах, ...,
Ап~2х, Ап~1х
является инвариантным подпространством.
Это подпространство называется циклическим подпро-
подпространством, порожденным вектором х, и в силу 85 характе-
характеризуется тем, что оператор A\L простой.
"87. Размерность циклического подпространства, порожден-
порожденного вектором х, равна порядку вектора х относительно
оператора А.

108 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |88
§ 4. Теорема Жордана. Классификация операторов
Развивая основную спектральную теорему, перейдем к изу-
изучению тонкой структуры оператора.
Прежде всего введем одно новое понятие. Простой одно-
одноточечный оператор (см. все тот же пример 34) называется
одноклеточным оператором *). Мы увидим сейчас, что одно-
одноклеточный оператор обладает в определенном смысле про-
простейшим строением.
88. Если А — одноклеточный оператор, то цепь его усе-
усеченных корневых подпространств **)
WcV^czV^c: ... <=W
максимальна.
89. Множество инвариантных подпространств однокле-
одноклеточного оператора исчерпывается усеченными корневыми под-
подпространствами.
Инвариантное подпространство L оператора А называется
приводящим, если существует такое его дополнение МсЕ,
которое также инвариантно относительно А. Оператор, обла-
обладающий нетривиальным приводящим подпространством, назы-
называется приводимым.
Неприводимый оператор обязан быть одноточечным в силу
спектрального разложения. В дальнейшем станет ясно, что
он обязан быть и одноклеточным. Пока же мы отметим об-
обратное утверждение:
90. Одноклеточный оператор неприводим.
Кульминационный пункт спектральной теории — это тео-
теорема Жордана, к формулировке которой мы сейчас пере-
переходим. Она состоит из двух частей. В первой части уста-
устанавливается некоторый канонический вид матрицы однокле-
одноклеточного оператора, тесно связанный с фробениусовым
каноническим видим:
91. Если А — одноклеточный оператор, сосредоточенный
в точке а, то существует такой базис {ek}", что
Aek = o.ek-\-ek_x (k = l, 2, .... я; ео = О).
*) Происхождение термина станет ясным из дальнейшего.
**) Нижний индекс в обозначении усеченных корневых подпро-
подпространств здесь опущен ввиду единственности собственного значения.

96]
§ 4. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА
109
Матрица оператора в этом базисе имеет вид
а 1 0 ... 0'
0 а 1 ... 0
0 0 0 ... 1
О 0 0 ... а
Такая матрица называется клеткой Жордана.
Вектор ех указанного базиса — собственный. Остальные
векторы ek называются присоединенными к вектору ev при-
причем ek называется присоединенным вектором (k—\)-го по-
порядка. Очевидно, весь базис однозначно определяется век-
вектором еп. Это дает ключ к доказательству теоремы 91.
Между прочим, теорема 91 обращается:
92. Если оператор А обладает таким базисом \ek}", что
АЧ = ч-ек^-ек_1 (k = l, 2 n; eo = O),
то он одноклеточный и сосредоточен в точке а.
Вторая и вместе с тем главная часть теоремы Жордана
утверждает, что:
93. Каждый оператор является прямой суммой однокле-
одноклеточных операторов.
Доказательство теоремы 93 будет намечено в 96, а сей-
сейчас отметим некоторые ее следствия.
94. Если оператор неприводим, то он одноклеточный.
Теперь можно охарактеризовать одноклеточные операторы
чисто геометрически:
95. Для того чтобы оператор был одноклеточным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы его инвариантные подпростран-
подпространства были попарно сравнимы, т. е. чтобы из каждых двух
инвариантных подпространств одно являлось частью другого.
В силу спектрального разложения теорему 93 достаточно
доказать для одноклеточного оператора. Доказательство
можно провести на основе следующей общей леммы (ср. 77).
96. Если векторы h,?W?+i (./=1, 2 /) линейно
независимы по модулю W?, то векторы
^-(^-V)8/^ C/=l. 2 I)
линейно независимы по модулю W|~' (s = l, 2, 3, ...).

НО ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (97
Между прочим, из этой леммы вытекает интересное уси-
усиление неравенства 78:
97. Последовательность {dim W*}^ вогнута, т. е.
dimW*+1 — 2dimW*-j-dimW*-1<0 (s = l. 2, 3, ...)
(неравенство Фробениуса).
Для s = rk неравенство строгое.
Теорема Жордана 93, 91 означает, что матрица любого
оператора может быть приведена к следующему жорданову
каноническому виду:
h
0
0
0
h
0
0
0
0
... 0
... 0
... J
где 5;- — клетки Жордана. Базис, в котором матрица опера-
оператора имеет жорданов канонический вид, мы будем называть
жордановым базисом этого оператора. Жорданов базис за-
заведомо является базисом треугольного представления, а тео-
теорема Жордана тем самым уточняет теорему о треугольном
представлении. Она окончательна в том смысле, что гаранти-
гарантирует разложение любого оператора в прямую сумму опера-
операторов, дальнейшее разложение которых уже невозможно, —
неприводимых операторов. Кроме того, теорема Жордана
дает возможность провести исчерпывающую классификацию
линейных операторов, к рассмотрению которой мы сейчас
перейдем.
Будем говорить, что операторы А и В подобны, и пи-
писать А як В, если существует такой автоморфизм Т, что
Подобие операторов есть отношение эквивалентности,
так что можно говорить о классах подобных операторов.
Для матриц также можно определить подобие посредством
соотношения
b = tat,
так что подобным операторам в одном и том же базисе со-
соответствуют подобные матрицы. С другой стороны, подобные

ЮЗ] § 4. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА Ш
матрицы можно рассматривать как матрицы одного и того
же оператора в разных базисах (см. § 1).
98. Для того чтобы операторы А к В были подобными,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого базиса А су-
существовал такой базис Aj, что матрица оператора В в базисе At
равна матрице оператора А в базисе А.
Будем представлять себе оператор как объект, который
строится путем выбора базиса и задания матрицы в этом
базисе. Тогда можно сказать, что понятие подобия устраняет
различия между, операторами,-вызванные «случайным» выбором
базиса (системы отсчета). Класс подобных между собой опе-
операторов объединяет все операторы с одинаковыми геометри-
геометрическими свойствами. В отличие от индивидуального оператора
он уже является инвариантом группы автоморфизмов (см. 26)
основного пространства.
Опишем более детально совокупность свойств, общих
всем подобным между собой операторам.
99. Если В = ТАТ~1, то для любого полинома & (К)
имеет место равенство
?р {В) = TS?(A)T-K
100. Минимальные полиномы подобных операторов сов-
совпадают.
Следовательно, спектры подобных операторов совпадают.
101. Если один из двух подобных операторов является
оператором скалярного типа, то этим свойством' обладает и
другой оператор. Точнее, если В = ТАТ'1 и f«ft]" — собствен-
собственный базис оператора А, то {7^]"—собственный базис опе-
оператора В, причем собственные значения, которым соответ-
соответствуют векторы ek и Tek, равны.
Следовательно, равны размерности соответственных соб-
собственных подпространств.
Обобщая 101, можно утверждать, что:
102. Если В — ТАТ~1, то
Следовательно:
103. Характеристические полиномы подобных операторов
совпадают.

112 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |Ю4
Иначе говоря, совпадают кратности соответственно равных
собственных значений.
Теперь можно сформулировать о с н о в н у ю класси-
классификационную теорему:
104. Для того чтобы два оператора А, В были подоб-
подобными, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой
жорданов базис А оператора А и такой жорданов базис А[
оператора В, что матрица оператора А в базисе А совпадает
с матрицей оператора В в базисе А, (ср. 98).
Легко также указать полную систему независимых число-
числовых инвариантов, определяющую класс подобных операторов
(иначе говоря, определяющую оператор с точностью до по-
подобия). Пусть к — собственное значение оператора А. Обо-
Обозначим через %А (к; v) количество соответствующих собствен-
собственному числу к клеток Жордана размерности v в жордановом
каноническом виде матрицы оператора А.
105. Для подобия A^sB необходимо и достаточно,
чтобы
а(А) = а(В), %А(к; \) = хв(к, v) (v=l, 2, 3, ...)
для всех собственных значений к.
Эквивалентная система инвариантов — это система раз-
размерностей
{}
106. пА(кк; v) = (^
(v=l, 2,3, ...)•
Отсюда вновь следует неравенство Фробениуса 97. Те-
Теперь ясно, что усиление этого неравенства невозможно. За-
Заметим попутно, что
107. KA(kk; rk)>0, %A(lk; v) = 0 (v > rk).
Таким образом, порядок rk собственного значения kk
совпадает с наибольшим порядком клеток Жордана, соответ-
соответствующих этому собственному значению.
Формулы, обратные к 106, имеют вид:
108. ? 2 2
v=l x=s+l
(s=\, 2 rj.

113] § 4. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА 113
В частности,
dimW;* = 2vxA(V v).
V-1
Будем говорить, что операторы А к В имеют одинако-
одинаковую жорданову структуру, если их спектры можно при-
привести во взаимно однозначное соответствие так, чтобы
rk(A) = rk(B), dim W* (Л) = dim Wj (В)
(k=l, 2 т; s=\, 2 rk).
Критерий подобия резко упрощается при наличии под-
подходящей дополнительной информации об операторе.
109. Если два простых оператора имеют один и тот же
спектр и кратности соответственных собственных значений
равны, то операторы подобны. В частности, если два опе-
оператора с простым спектром имеют один и тот же спектр,
то они подобны.
110. Если два оператора скалярного типа имеют один и
тот же спектр и кратности соответственных собственных зна-
значений равны, то операторы подобны.
В обоих случаях критерием подобия является просто совпа-
совпадение характеристических полиномов.
В заключение исследуем двойственность в спектральной
теории, т. е. связь спектральных свойств операторов А и А'.
111. Для любого полинома <^° (к) имеет место равенство
112. Минимальные полиномы операторов А' и А совпа-
совпадают.
Следовательно, спектры операторов А' и А совпадают *),
и если А является оператором скалярного типа, то этим свой-
свойством обладает и А'. Последнее утверждение можно уточнить:
113. Если [ek}i —собственный базис оператора А, то
биортогональная система {е'п\\ является собственным базисом
оператора А', причем собственные числа, которым соответ-
соответствуют векторы ей и е^ равны.
Следовательно, равны размерности соответственных соб-
собственных подпространств.
*) Это ясно также нз теории Фредгольма.
8 И. М. Глазман, IO. И. Любич

114 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |1Ы
Заметим теперь, что понятие подобия непосредственно
переносится на операторы, действующие в разных простран-
пространствах. Операторы А и AY, действующие соответственно в про-
пространствах Е и Е,, называются подобными (А =*= Л,), если
E=*=Ej, причем существует такой изоморфизм /z?Hom(E, Ej),
что Ах = hAh~ .
Критерии 104, 105, 109, ПО сохраняются для операто-
операторов, действующих в разных пространствах.
Оказывается, каков бы ни был оператор А:
114. А'^А.
Одно из возможных доказательств этой теоремы состоит
в предельном переходе от операторов скалярного типа, но
мы будем действовать по-прежнему алгебраическими мето-
методами. Теорема 114 будет следовать из 115, 116.
115. Если o(/l)={Xfc)I" и j ф s, то корневое подпро-
подпространство оператора А', соответствующее собственному
числу Xj, ортогонально корневому подпространству опера-
оператора А, соответствующему собственному числу X/.
Рассмотрим теперь усеченные корневые подпространства.
В силу теории Фредгольма:
116. dim W? (Л') = dim W* (Л)
(k=l, 2 от; s=0, 1, 2, ...).
Отметим, что, в частности:
117. Характеристические полиномы операторов А' и А
совпадают.
Аналогично можно исследовать связь между А и А*.
Можно, однако, перенести теоремы, установленные для А и А',
на Л и А* с помощью канонического комплексного сопря-
сопряжения /:
118. A* = jA'f\
Отсюда следует, что:
119. Т
Следовательно, операторы А и А*, вообще говоря,
не подобны, но их жордановы структуры одинаковы.
120. Если спектр оператора А вещественный, то

125] § 5. РЕЗОЛЬВЕНТА И ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 115
§ 5. Резольвента и операторное исчисление
Пусть А — произвольный оператор. Оператор
существующий при Х^а(А), называется резольвентой опе-
оператора А. В дальнейшем мы часто сокращаем обозначение
Ri(A) до Rk.
Цель настоящего параграфа — изучить поведение резоль-
резольвенты как функции от X. Мы начнем с тривиального, но полез-
полезного замечания.
121. Если Х?о(А), то уравнение
Ах — Хх = у
однозначно разрешимо относительно х при любой правой
части у, и его решение есть
х = Riy.
122. Если Ах=-Лх-\-у, то
Акх = Хкх+ и^-'-'л'у (*= 1. 2, 3, . ..).
J-0
123. Для любого полинома <^Ш=2а/^<* имеет место
ft=0
формула
т-\
(<? (Л) -&> {X)I) Rk = 2 &i(Л) А> (Х?о(А)),
где SPj(X)= U ak^J+1Xk (у = 0. 1 т - 1).
124. Если <&* (X) — какой-нибудь аннулирующий полином
оператора A, W — множество его корней, то
2
/-о
Таким образом:
125. Резольвента R\ оператора А является рациональной
функцией от X. Ее полюсы принадлежат спектру оператора А.
На бесконечности она регулярна и обращается в нуль.
8*

116 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |126
Уточним поведение резольвенты в точках спектра и на бес-
бесконечности.
126. Каждая точка кк?о(А) является для резольвенты
полюсом порядка, равного порядку собственного числа.
Следовательно, для того чтобы все полюсы резольвенты
оператора А были простыми, необходимо и достаточно,
чтобы А был оператором скалярного типа.
Теперь легко предугадать роль резольвенты в спектральной
теории. Дело в том, что, как мы уже видели, резольвента
позволяет описать спектр в терминах теории аналитических
функций. Тем самым открывается возможность применения
методов теории аналитических функций к теории операторов.
127. Разложение резольвенты в ряд Лорана на бесконе-
бесконечности имеет вид
¦—2
Этот ряд сходится в области |Я|>р(Л), где р(<4) — наи-
наибольший модуль собственных значений оператора А.
Величина р(Л) называется спектральным радиусом опе-
оператора А. Из 127 и теоремы Коши — Адамара вытекает сле-
следующая формула для спектрального радиуса:
*
128. р(Л)== sup { lim Y\f(Akx)\).
Для дальнейшего изучения резольвенты оказывается весьма
полезным одно функциональное уравнение.
129. Имеет место равенство
Ял —Яц = (А.—H)/№ (*. и€о(Л))
(уравнение Гильберта).
Из уравнения Гильберта вытекает дифференциальное ура-
уравнение для резольвенты:
130. JL {
В силу 130 вообще:
2. 3,
Следовательно:

134] § 5. РЕЗОЛЬВЕНТА И ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ц7
132. Если Ад?0(Л), то ряд Тейлора резольвенты в окре-
окрестности точки Xq имеет вид
я* = 2 я*„+1 (*•->«)*.
ft-О °
Интересно, что уравнение Гильберта при естественных
ограничениях не имеет решений, отличных от резольвент:
133. Если оператор-функция R(X), заданная на некотором
множестве <М точек комплексной плоскости, удовлетворяет
уравнению Гильберта
R (X) — R (\х) = (X — \л) R (X) R (ц) (X,
и если при некотором Х^^аИ оператор R(X0) регулярен,
то существует такой оператор А, что R (X) совпадает с ре-
резольвентой оператора А во всех точках множества <М.
Мы продемонстрируем плодотворность понятия резольвенты
на примере так называемого операторного исчисле-
исчисления Ф. Рисса — Да н фо р да. Соответствующая идея воз-
возникает из следующего результата.
134. Для любого полинома §Р (X) имеет место интеграль-
интегральное представление
JL
где G — произвольный контур*), охватывающий спектр опе-
оператора А.
В частности,
1
2л/
JRl(tX=[, —-J-j
Формула (*) представляет собой точный операторный ана-
аналог интегральной формулы Коши для аналитических функций.
Роль ядра Коши (X — а) играет —Rx-=(Xl—А)~К Однако
§Р (X) в (*) — полином, а не произвольная аналитическая
*) Контуром мы называем простую замкнутую спрямляемую
кривую или конечную систему таких кривых без взаимных пересе-
пересечений. Интегрирование всегда будет производиться в положительном
направлении.

118 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ A35
функция. Иначе и не может быть, поскольку символ &'(А)
пока что имеет смысл только для полиномов. Естественный
шаг заключается в том, чтобы в общем случае принять фор-
формулу Коши в качестве определения.
Итак, пусть скалярная функция <р(Х) голоморфна на неко-
некотором открытом множестве *) 0-^, содержащем спектр опе-
оператора А. Класс таких функций обозначим Фл. Положим
по определению
—2й7"/ф(Ь)Лл<Я.. (**)
е
где Сс^ф—произвольный контур, охватывающий о(А). Это
определение корректно в том смысле, что правая часть (#*)
не зависит от G.
Класс Фл является алгеброй относительно обычных опе-
операций сложения, умножения на число и умножения функций.
Рассмотрим отображение $А: Фл—>ЗЯ(Е), определенное фор-
формулой &л<р = <р(Л).
Оказывается, что это отображение является гомоморфизмом
алгебр:
136. Пусть <р, $?ФА и O = a<p-f-M>. где а, р— числа.
Тогда
9 (Л) = сир (Л) 4-рф (Л).
136. Пусть ф,г|>6фл и 0=фг|), Тогда
Найдем образ гомоморфизма $д. Используя представле-
представление 127, мы приходим к довольно неожиданному выводу:
137. 1т&А = У(А).
Иначе говоря, всевозможные значения ф(Л) исчерпываются
полиномами степени не выше г — 1, где г — степень минималь-
минимального полинома <М(к; А). При этом:
138. Для каждой функции <р?Фл существует и единст-
единствен такой полином ff"^(k) степени не выше г—1, что
Подчеркнем, что оператор А заранее фиксирован. На самом
деле полином ^°ф зависит и от Л (см. 140).
*) Не обязательно связном, так что мы рассматриваем «кусочно
аналитические» функции.

144] § 5. РЕЗОЛЬВЕНТА И ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 119
Нетрудно описать и ядро гомоморфизма $А, т. е. множе-
множество функций <р, аннулирующих оператор А в том смысле,
что <р(Л) = 0.
139. Ядро Кег^л состоит из всех тех и только тех
функций ф?Фл, которые делятся на минимальный полином
ок{%; А), т. е. имеют вид
где г|>?Фл (ср. 8).
Отсюда, в частности, легко извлечь явную алгебраическую
конструкцию полинома <^ф(Л).
140. Пусть о(Л)={Яй}™. Для любой функции <р?ФА
полином S^y(Я.) является решением интерполяционной
задачи Эрмита
U = 0. 1 r4_,;ft=l. 2. ...,т).
Здесь rk, как обычно, — порядок собственного числа %k,
141. Пусть ф?Фл и г|) = -6фл. т- е- ф(^)^=0 при
к?о(А). Тогда оператор ф(Л) регулярен и [ф(Л)] =г|)(Л).
При (р(к) = к теорема 141 превращается в очевидное
утверждение: если 0?р(Л), то оператор А регулярен.
Покажем, что теорема 141 обращается.
142. Каждый собственный вектор оператора А, соответ-
соответствующий какому-нибудь собственному значению \i, является
собственным вектором оператора Ф(Л), соответствующим
собственному значению <р(\л).
143. Если ф?Фл и оператор ф(Л) регулярен, то '— ?ФЛ.
Теоремы 141 и 143 приводят к весьма важному результату:
144. Если Ф^Фл- то
теорема об отображении спектров).
Теорему об отображении спектров можно вывести также
из теоремы Жордана. Именно, заметим, что;

120
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
|145
145. Если Л=
ь, ТО
146. Если А — одноклеточный оператор и
а 1 0 ... О
О а 1 ... О
О 0 а ... О
О О О ... 1
О О О ... а
— его матрица в жордановом базисе, то матрица оператора ф (А)
в том же базисе имеет вид
Ф(а) ф'(а) -i-ф"(а) ... (д^1}| q*»-4(а)
О ф(а) ф'(а) ... -г-—7КТф-п-2Ца)
Ф(а)
¦Ф<"-З4а;
О
О
о
о
о
о
Ф' (а)
Ф (а)
Теорема об отображении спектров непосредственно выте-
вытекает из 145, 146. Более того, теперь можно дать уточнен-
уточненную формулировку, учитывающую кратности (ср. 71):
147. Пусть А—произвольный оператор, o(A) = {Xll\™,
dk—кратность собственного значения "кк (?—1, 2, .... /я).
Пусть, далее, ф?Фл и Иба(ф(А))- Тогда кратность соб-
собственного значения ц оператора Ф(Л) равна
= 2 dk.
Следующий важный результат операторного исчисления:

152] § 5. РЕЗОЛЬВЕНТА И ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 121
148. Если ф?Ф^ и ФбФфМ)' т0 суперпозиция 9(л) —
= ф (ф (Я,)) принадлежит Фд и
Из этой теоремы легко следует:
149. Пусть функция ф?Фд однолистна. Тогда обратная
функция ф принадлежит Фф(л) и ф(ф(Л)) = А
Теорема 149 служит сильным инструментом решения опе-
операторных уравнений вида
где i|> — заданная функция, А — заданный оператор.
150. Пусть функция ф голоморфна и однолистна на неко-
некотором открытом множестве & и o(A)czty (<??). Тогда уравнение
ф (X) = А
разрешимо в классе операторов, удовлетворяющих условию
Вопрос о единственности решения будет рассмотрен
в следующем параграфе.
Теорема 150 хорошо иллюстрируется на частных задачах
извлечения корня из оператора и нахождения логарифма опе-
оператора.
151. Пусть р — натуральное число. Уравнение
Х" = А.
где А — регулярный оператор, разрешимо в классе операто-
операторов, спектр которых лежит в угле 0 <^[ argA, < 2njp.
152. Уравнение
х
где А — регулярный оператор, разрешимо в классе операто-
операторов, спектр которых лежит в полосе 0<;Зго^<2я.
До сих пор мы рассматривали выражение q>(A) с фикси-
фиксированным оператором А и всевозможными ф?Фд. Станем
теперь на двойственную точку зрения: зафиксируем функ-
функцию ф и будем менять оператор А. В этом плане особый
интерес представляют функции, заданные степенными рядами.

122 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |153
со
Пусть ф(Я,) = 2 ak^k в некотором круге I Я, | < р (р — ра-
* = 0
диус сходимости). Когда можно гарантировать сходимость
операторного степенного ряда У\ акАк?
153. Если спектральный радиус р(Л) оператора А удовле-
со
творяет условию р(Л)<р, то ряд 2 а/И* сходится и его
А-0
сумма равна <$(А).
В частности, если ф — целая функция, то
ft-0
со
ХЧ A
для всех Л?ЗК(Е). Например, eA=j -r-r-.
шял кI
ft-0
Условие р(Л)<[р не является необходимым, хотя:
со
154. Если ряд 2 акАк сходится, то р(Л)^р.
Полный ответ на вопрос таков:
со
155. Для сходимости ряда \ си Л* необходимо и доста-
точно, чтобы 1) р(Л)^р; 2) если р(Д) = р, то для каждого
граничного собственного значения X (т. е. такого, что |Я,| = р)
сходятся производные ряды
где гх — порядок собственного значения X.
Теорема 155 приводит к следующему заключению.
со
156. Если ряд 2 ak^k на окружности |Х| = р всюду
ft-0
со
расходится, то для сходимости ряда 2 а*-^* необходимо и
*-о
достаточно, чтобы р(Л)<р.
Примером такой ситуации может служить ряд Неймана
00
2 Ак (операторная геометрическая прогрессия).
ft-U %

163J § 6. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРА 123
157. Для сходимости ряда Неймана необходимо и доста-
со
точно, чтобы р(Л)< 1. При этом 2 Ак = A — А).
Отметим также, что:
158. Для сходимости ряда Неймана необходимо и доста-
достаточно, чтобы lim Л* = 0.
ft-» со
Оператор А называется нильпотентным (вольтерровым),
если существует такое г, что
Наименьшее г, для которого это условие выполняется, совпа-
совпадает с порядком оператора А.
Очевидно, если Х?а(А) и W — соответствующее корне-
корневое подпространство, то оператор (Л —X/) | W — нильпотент-
ный и его порядок равен порядку собственного числа X.
159. Для того чтобы оператор был нильпотентным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы его спектральный радиус был
равен нулю.
160. Для любого оператора А существует разложение
A = S-\- N, где 5 — оператор скалярного типа, N — нильпо-
тентный оператор, коммутирующий с 5.
Разложение, обладающее такими свойствами, называется
разложением Данфорда оператора А. Детальное изучение
разложения Данфорда мы отложим до следующего параграфа.
§ 6. Коммутирующие операторы. Функции от оператора
Условимся говорить, что оператор В является функцией
от оператора А, если существует такая функция Ф^Ф^,
что 5 = ф(Л), т. е., если В?1т$Д.
161. Если оператор В является функцией от оператора А,
то В о А.
Обратное неверно (достаточно взять, например, Л = /).
Исследуем возникающую ситуацию.
162. Если В о А, то собственные подпространства опера-
оператора А инвариантны относительно оператора В (см. 48).
163. Если А—оператор с простым спектром и В о А,
то оператор В является функцией от оператора А.
Но В уже не обязан иметь простой спектр. Однако ска-
скалярный тип сохраняется:

124 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [164
164. Если А — оператор скалярного типа, то все функции
от него также являются операторами скалярного типа (см. 142).
т
Более подробно, если А = 2 ^Jk> где Л: — единичный
А = 1
оператор в k-u собственном подпространстве, то
т
Ф И) =1J
(см. 145).
Если А — оператор скалярного типа, то теорему 162 можно
обратить:
165. Если А — оператор скалярного типа и собственные
подпространства оператора А инвариантны относительно опе-
оператора В, то В о А.
т
Иначе говоря, если Л=2 XJk (А,=?ЯА при jф К), то
ft-i
общий вид операторов, коммутирующих с А, есть
я =24.
где операторы Вк произвольны (в соответствующих подпро-
подпространствах).
Из этого результата вытекает обращение теоремы 163
в классе операторов скалярного типа:
166. Если А — оператор скалярного типа и все операторы
скалярного типа, коммутирующие с А, являются функциями
от оператора А, то А имеет простой спектр.
Теорема 165 позволяет также легко исследовать разложе-
разложение Данфорда A — S-{-N, введенное в конце предыдущего
параграфа.
т
167. Если 5=S*M* (A; =7^* ПРИ J+k), то
*1
где Nк — нильпотентные операторы.
168. Спектр оператора 5 совпадает со спектром опера-
оператора А. Собственные подпространства оператора 5 совпадают
с соответственными корневыми подпространствами оператора А.
Порядок оператора TV совпадает с порядком оператора А.

174| § 6. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРА 125
Отсюда вытекает, что:
169. Разложение Данфорда оператора А единственно.
Оператор 5 в разложении Данфорда А = 5 -f- N назы-
называется скалярной частью оператора А, а оператор N — ниль-
потентной частью оператора А. Очевидно:
170. Для того чтобы А был оператором скалярного типа,
необходимо и достаточно, чтобы его нильпотентная часть
была равна нулю.
Отметим еще следующее предложение.
171. Для того чтобы оператор В коммутировал с опера-
оператором А, необходимо и достаточно, чтобы он коммутировал
со скалярной и нильпотентной частями оператора А.
В частности, здесь сказано, что, если В ^j А, то корне-
корневые подпространства оператора А инвариантны относительно В
(ср. 162). На самом деле справедливо даже более общее
утверждение:
172. Если В и А, то усеченные корневые подпространства
оператора А инвариантны относительно оператора В.
Попытаемся теперь описать класс JR таких операторов Л,
для которых множество операторов, коммутирующих с А,
совпадает с множеством функций от А. Результаты 163, 166
показывают, что пересечение класса $ с множеством опера-
операторов скалярного типа есть класс операторов с простым спект-
спектром, т. е. простых операторов скалярного типа (см. 82, 83).
Это наводит на мысль, что справедлива следующая теорема:
173. Для того чтобы множество операторов, коммути-
коммутирующих с оператором А, совпадало с множеством функций
от А, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был
простым.
Итак, St есть класс простых операторов.
Необходимость в 173 легко устанавливается на основании
критерия 81. Достаточность вытекает из 174, 175.
т
174. Пусть Л=2 А* причем минимальные полиномы
операторов Ak попарно взаимно просты. Тогда для каждого
набора операторов {Bk}™ такого, что оператор Вь является
функцией от оператора Ак (?=1, 2, ..., /я), оператор
т
В=2 Bj будет функцией от оператора А.

126 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |175
175. Если Л— одноклеточный оператор, \ek)" — его жор-
данов базис, то для того, чтобы оператор В коммутировал
с Л, необходимо и достаточно существование такой системы
чисел {aft}"~\ что
?«*=2оа/*-; (*=1. 2 я).
л-1
Это означает, что В=У\ а.-ЛА
1- о
За пределами класса JR отношение коммутирования с дан-
данным оператором нельзя описать в терминах функций от него.
Условимся писать
если В коммутирует с каждым оператором, коммутирую-
коммутирующим с А.
176. Если ВииД то Виф(Л) (Ф^Фд)- В частности,
В о А.
177. Если В является функцией от оператора Л, то
Buui
Но будет ли всякий оператор В, для которого В о о Л,
функцией от Л ? Выясним ситуацию, вводя сначала упро-
упрощающее предположение, что Л — оператор скалярного типа.
С помощью 165 и леммы Шура устанавливается, что:
178. Если А — оператор скалярного типа и В о о Л,
то В является функцией от Л.
Теперь рассмотрим общий случай. Мы используем для
этого приводящие подпространства.
179. Если подпространство L приводит оператор Л, то
любой оператор в L, коммутирующий с Л|Ь, можно про-
продолжить до оператора во всем пространстве, коммутирую-
коммутирующего с Л.
180. Если ВииА, то каждое приводящее подпростран-
подпространство L оператора Л приводит и оператор В, причем
В | L о о Л | L.
181. Если Л — одноточечный оператор, то каждое его
максимальное циклическое подпространство является приво-
приводящим.
182. Если Л — одноточечный оператор и Вии-4, то
каждому максимальному циклическому подпространству L

1881 § 6. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРА 127
оператора А соответствует такой полином S^\.(K), что
Теперь мы можем сформулировать замечательную по своей
общности теорему:
183. Для любого оператора А каждый оператор В, удо-
удовлетворяющий условию ВииЛ, является функцией от А.
Отметим, что из теорем 183, 171 непосредственно следует:
184. Скалярная и нильпотентная части оператора А яв-
являются функциями от А.
Эти функции нетрудно вычислить по жорданову кано-
каноническому виду матрицы оператора А.
Применим теорему 183 к исследованию вопроса о един-
единственности решения уравнения
А. (*)
При этом будем предполагать, что функция ф голоморфна и
однолистна в некоторой области & и о (А) с 1|) (<??). Тогда
в силу 150 уравнение (*) имеет решение в классе операторов
таких, что а(Х)с&.
Отметим предварительно две общие формулы, относящиеся
к коммутаторам. Пусть X, В — какие-нибудь два оператора.
Положим Q = [X, В].
185. [Xk, B]= ^Xk~JQXJ (ft = 2, 3, 4, .. .).
186. Если ф ?ФХ ии — собственный вектор оператора X,
отвечающий собственному значению ц, то
[I) Qu,
где
187. Формула 186 остается в силе для решений уравне-
уравнения
Хи — \iu = v
с правой частью, удовлетворяющей условию:
QXmv = 0 (m = 0. I, 2, ...).
188. Если X — решение уравнения (*) и ВиЛ, тофи —О
на всех собственных и присоединенных векторах оператора X.

128 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |189
Следовательно:
189. Все решения уравнения (*) являются функциями от
оператора А.
Теперь можно получить окончательный результат:
190. В условиях теоремы 150 уравнение
имеет единственное решение.
В частности (см. 151, 152):
191. Уравнение
где А — регулярный оператор, имеет единственное реше-
решение в классе операторов, спектр которых лежит в угле
0<argX<2n//>.
Это решение называется арифметическим корнем р-И
степени из оператора А и обозначается А р.
192. Уравнение
где А — регулярный оператор, имеет единственное решение
в классе операторов, спектр которых лежит в полосе
Я
Это решение называется главным значением логарифма
оператора А и обозначается 1п А.
В заключение мы вернемся к исходной теореме 162 и
заметим, что из нее вытекает:
193. Если операторы А, В скалярного типа коммутируют,
то они обладают общим собственным базисом.
Эту формулировку можно усилить:
194. Если {Av}—какое-нибудь множество попарно ком-
коммутирующих операторов скалярного типа, то существует
общий для всех операторов Av собственный базис.
Отметим вариант:
195. Если [Av] — какое-нибудь множество попарно ком-
коммутирующих операторов, содержащее оператор с простым
спектром, то существует общий для всех операторов соб-
собственный базис.
Существование общего собственного базиса у двух опе-
операторов А, В, вообще говоря, не означает, что один из них
есть функция от другого. Однако:

199| § 7. СЛЕД ОПЕРАТОРА 129
196. Если два оператора А, В имеют общий собствен-
собственный базис, то существует такой оператор Т, что А и В
являются функциями от Т.
В силу 193, 196 для операторов скалярного типа из
соотношения ЛиВ вытекает представимость А и В в виде
функций от одного и того же оператора 7". Для общих опе-
операторов условие A^jB только необходимо для такой пред-
представимости.
§ 7. След оператора
Рассмотрим произвольный оператор А. Пусть {^ft}j —его
спектр, {dk}™ — характеристика спектрального разложения.
Следом оператора А называется число
т
sp A = 21 dklk,
т. е. след — это сумма собственных значений, каждое из
которых засчитывается столько раз, какова его кратность.
Очевидно, что следы подобных операторов равны.
197. Если A = S-\-N — разложение Данфорда опера-
оператора А, то sp.<4 = spS.
/ »-> Л
198. Если Э5(%; Л) = (— 1)"И"- 2 а^* , то
Если взять матрицу оператора в базисе треугольного
представления, то сумма ее диагональных элементов совпа-
совпадет со следом. Весьма важно, что этот способ вычисления
следа сохраняется в произвольном базисе. Мы установим
даже более общий факт:
199. Пусть [ик)чг —какая-нибудь система векторов,
{fk}\ — система линейных функционалов. Тогда формула
я
определяет линейный оператор А и
я
врЛ— 2 /*(«*)•
9 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

130 ГЛ. It. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ B00
При этом:
200. Для каждою оператора А и для каждой полной
системы векторои (и*)* существует такая система линейных
функционалов [fk\\, что
ч
Ах= 2 /*(*)«*¦
Эта система функционалов единственна, если {ий}' — базис,
и только в этом случае.
Вследствие 199:
201. Если (a.jk)n. k^x—матрица оператора А в каком-
нибудь базисе, то
я
SP А = У> akk.
k~\
Таким образом, сумма диагональных элементов'матрицы
оператора не зависит от выбора базиса.
Рассмотрим в пространстве операторов 931 (Е) функцио-
функционал $рХ.
202. Функционал spA" линеен.
Между прочим, это свойство никак не усматривается из
первоначального определения следа, в то время как после
теоремы 201 оно становится очевидным.
С помощью следа можно получить общий вид линейного
функционала в 2)?(Е):
203. Для каждого т?[2#(Е)]' существует и единствен
такой оператор Г?2#(Е), что имеет место представление
Определяемое этим отображение [ЗК(Е)]'->2Я(Е) есть изо-
изоморфизм.
Интересный круг задач связан с уравнением
Начнем с того, что укажем некоторый класс решений этого
уравнения.
204. Для любых двух операторов А, В
sp[A, В] = 0,
т. е. sp В А = sp AB.

2UJ § 7. СЛЕД ОПЕРАТОРА 131
Но каждое ли решение X уравнения (*) можно пред-
представить в виде коммутатора? Ответ на этот вопрос содер-
содержится в теореме 210.
205. Если Q = [A,B] и CkjA, to spQC = 0.
Используя теорию Фредгольма и общий вид линейного
функционала в 9й(Е), можно доказать обратное утверждение:
206. Если оператор Q таков, что spQC = 0 для всех
C^jA, то существует такой оператор В, что Q —[Л, В],
т. е. уравнение
[A, X]=Q
разрешимо относительно X.
207. Если А — простой оператор, то уравнение
[Л, X]=Q
разрешимо относительно X тогда и только тогда, когда
sPQ^*=:0 (? = 0,1,2 л - 1).
208. Пусть А — оператор с простым спектром, {ek}" — его
собственный базис, faya)*! ft-1 — матрица оператора Q в этом
базисе. Для того чтобы уравнение
[A, X]=Q
было разрешимо относительно X, необходимо и достаточно,
чтобы
хм = 0 (А=1, 2 и).
209. Если spQ —0, то существует такой базис, в кото-
котором все диагональные элементы матрицы оператора Q равны
нулю.
Итогом проведенного исследования является теорема:
210. Если spQ = 0, то оператор Q можно представить
в виде <3 = [Л, В], причем А можно выбрать в классе опе-
операторов с простым спектром.
Отметим одно любопытное следствие теоремы 210:
211. Пусть {Лу}^, {By)i —произвольные системы опе-
операторов. Тогда сумма коммутаторов
2 И;, Bj]
представима в виде коммутатора [А, В].
8»

132 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [212
От теоремы 205 ведет начало еще одна серия резуль-
результатов.
212. Если операторы А и В таковы, что [A, B]^jA, то
[А, В] — нильпотентный оператор.
Обратно:
213. Если N — нильпотентный оператор, то его можно
представить в виде N = [A, В], где A^N'.
Таким образом, заключение теоремы 212 усилить нельзя.
Однако:
214. Пусть А— оператор скалярного типа, В—произ-
В—произвольный оператор. Положим
<3, = [Д В]. Qk+1 = [A, Qk] (*=1. 2, 3, ...)•
Если Qm = 0 при некотором /п>-1, то Qt = 0, т. е.
Операция взятия коммутатора может рассматриваться как
умножение. Она линейна
[Л,Ч-Л2, B] = [AV B\-\-[A2, В), [аА, В]=а[А, В]
и анти коммутати вна
[В, А] = — [А, В].
Кроме того, она неассоциативна. Суррогатом ассоциативного
закона является тождество Якоб и:
215. [А, [В, С]]+ [В, [С, А]] + [С. [А, В]]=0.
Алгебра, порождаемая в линейном пространстве умноже-
умножением с перзчисленными свойствами, называется алгеброй Ли.
§ 8. Проекторы и разложения единицы
Оператор Р называется проектором, если он удовлет-
удовлетворяет уравнению
Р2 Р
Согласно 43 каждый проектор является оператором скаляр-
скалярного типа.
216. Для каждого проектора Р
{0, 1}.
Если проектор отличен от 0 и /, то а(Р)={0, 1}.

220| § 8. ПРОЕКТОРЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ C3
Спектральное разложение проектора Р Ф О, / имеет вид
217. Если Я — проектор, то lmP совпадает с собствен-
собственным подпространством, соответствующим собственному зна-
значению X = 1.
Тривиальным образом КегЯ совпадает с собственным
подпространством, соответствующим собственному значению
Я = 0.
218. Формулы lmP = L, КегЯ = М устанавливают взаимно
однозначное соответствие между проекторами и парами под-
подпространств {L, М}, удовлетворяющими условию L -\- М = Е.
Если \tnP-L, КегЯ = М, то говорят, что Я проек-
проектирует на подпространство L параллельно подпространству М.
При этом если х = хг-\-х2 (Xj?L, х2?М), то Рх — хг.
В силу 218 каждому проектору Я соответствует допол-
дополнительный проектор Я, определяемый условиями
1тЯ = КегЯ, КегЯ = 1тЯ.
Очевидно, при этом Р — Р.
Между взаимно дополнительными проекторами имеется
очевидное соотношение:
219. Р-\-Р = 1.
Это — простейший вариант так называемого разложения
единицы. Сформулируем общее определение.
Проекторы Я, Q называются взаимно ортогональными
(см. § 5 гл. I), если
PQ = 0, QP = 0,
т. е. если
Например:
220. Взаимно дополнительные проекторы Я, Я взаимно
ортогональны.
Система попарно взаимно ортогональных проекторов ?
называется ортогонально^ системой проекторов,

134 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |221
221. Если [Рк\™ — ортогональная система проекторов, то
оператор Р= 2 Р* является проектором, причем
?=¦1
т т
Im р = 2' Im Р„, KetP=f]KetPk.
ft-1 л-'
Ортогональная система проекторов [Pk\™ называется раз-
разложением единицы, если
V
/
Очевидно, если \Pk\™ — разложение единицы, то (Fm Pk\™ —
базисная система подпространств.
222. Формулы [mPj = Ls №=1, 2 т) определяют
взаимно однозначное соответствие между разложениями еди-
единицы \Pk)™ и базисными системами подпространств.
223. Если [Pk}™—разложение единицы, то
т
где fk = Рп\\т Рп. Этим определяется взаимно однозначное
соответствие между разложениями единицы и разложениями
вида (*) *).
Разложением единицы оператора А называется то раз-
разложение единицы, которое порождается спектральным раз-
разложением в смысле § 3 (т. е. системой корневых подпро-
подпространств). Оно, очевидно, определено с точностью до порядка
элементов. Элементы разложения единицы оператора А на-
называются корневыми проекторами.
224. Для того чтобы подпространство L было инвари-
инвариантным относительно оператора А, необходимо, чтобы РАР=0
для каждого Р, проектирующего на L, и достаточно, чтобы
это выполнялось для .какого-нибудь одного Р.
*) Последние также можно было бы назвать разложениями
единицы, но мы удержим за этим термином лишь один смысл,

Й8| § 8. ПРОЕКТОРЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ 135
225. Для того чтобы подпространство L приводило опе-
оператор А, необходимо и достаточно, чтобы A^jP для неко-
некоторого Р, проектирующего на L.
226. Пусть {Рк\™ — разложение единицы оператора А.
Тогда
к
к-1
где Ап = APk = PkA {k=\, 2 т).
Операторы Ak попарно взаимно ортогональны:
Отличие этого разложения от разложения 64 состоит
в том, что операторы Ак действуют во всем пространстве.
Но, конечно, Лй| Wft == Л | Wft. Кроме того, /lft|W, —О
(]ФЩ. Разложение 226 по-прежнему называется спектраль-
спектральным разложением. Для оператора скалярного типа спект-
спектральное разложение принимает простой вид:
227. Если А — оператор скалярного типа и [Р^™ — его
разложение единицы, то
т
где X/,—соответствующие собственные числа. Более того,
для всех ф?Фд.
В частности, имеет место разложение резольвенты
т
Pk
Это есть разложение рациональной функции Rk на простей-
простейшие дроби (см. 125, 126).
228. Корневые проекторы Pk (k=l, 2, .... т) произ-
произвольного оператора А являются функциями от оператора А.
Более того, для них можно указать явные аналитические
выражения:

136 ГЛ. П. ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [229
229. Пусть o(A)=[kk)™ и Гк — простой контур, от-
отделяющий точку кк от остальных точек спектра. Тогда
(формулы Ф. Р и с с а).
Для оператора скалярного типа формулы Рисса непосред-
непосредственно следуют из разложения резольвенты по теореме
о вычетах. Формулы Рисса показывают, что корневые проек-
проекторы всегда являются с точностью до знака вычетами резоль-
резольвенты в соответствующих полюсах.
230. Пусть е%к(Х) (k=l, 2 т) — интерполяцион-
интерполяционный полином Эрмита, соответствующий условиям
&е* (**) = 1, М" (**) ==о (у = 1,2 rk - 1),
где rk — порядок собственного значения кк оператора А.
Тогда
Рк=*$рк(А) (ft=l. 2 т)
(ср. 140).
Разложение единицы оператора тесно связано с разложе-
разложением Данфорда.
231. Пусть (Pft)f — разложение единицы оператора А и
О(Л)= {Xft}J". Тогда скалярная часть оператора А равна
(ср. 184).
Отметим еще одно интересное следствие формул Рисса.
232. Каковы бы ни были оператор А и вектор хФО,
функция RK(A)x не является целой относительно X.
Разложение резольвенты на простейшие дроби, получен-
полученное выше для операторов скалярного типа, можно распро-
распространить на произвольные операторы в следующей форме:
233. Для любого оператора А (а(А) =

<-'37| § 8. ПРОЕКТОРЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ 137
где Р(/) = (Л — Xkf)J Р/г. Р^—корневые проекторы опера-
оператора А.
Отметим, что (Л — XkI)P^k~X) = 0.
Из 233 следует формула Лагранжа — Сильве-
Сильвестра:
т Th~x (,)
234. <р(Л)=2 ^J ф р] Р(п}) (ФбФл) (ср. 227, 146,
ft-l /-0
а также 138, 140).
Теперь мы оставим спектральные вопросы и возвратимся
к общей теории проекторов.
235. Пусть Р—проектор, [ek}[ — какой-нибудь базис
подпространства 1тР, {ek}"+i—какой-нибудь базис подпро-
п
странства КегР, х= 2 lk(x)ek — разложение вектора X
по базису {ек}". Тогда
Ss* ()*
Заметим, что система линейных функционалов {^}^ би-
ортогональна системе векторов \ek\rv Обратно:
236. Если Г = [ек)\ — линейно независимая система век-
векторов, Г' = {/4}| — биортогональная система линейных функ-
функционалов, то оператор Р, действующий по формуле
т
является проектором, причем
Кроме того:
237. Если некоторый проектор Р действует по формуле
2 /**
где r = {eft}j — линейно независимая система векторов,
l\={fk}r1 — линейно независимая система линейных функцио-
функционалов, то системы Г и Г1 биортогональны.

138 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |Ж
Теперь легко получить, что (см. 199):
238. Для любого проектора Я
rg Р = sp Р.
Этот результат можно применить для доказательства одной
общей теоремы о сумме проекторов:
т
239. Для того чтобы сумма проекторов Я = 2 Рп была
проектором, необходимо и достаточно, чтобы система \Pk\™
была ортогональной.
Нетривиальным здесь является утверждение о необходи-
необходимости. Утверждение о достаточности содержится в 221.
Из 239 следует, что в определении разложения единицы
можно не выдвигать a priori требование ортогональности.
Рассмотрим другие действия над проекторами.
240. Для того чтобы разность Р = Р1 — Р2 двух проек-
проекторов Я, и Я2 была проектором, необходимо и достаточно,
чтобы Р, и Я2 были взаимно ортогональны. При выполнении
последнего условия
1тР=1тР[ПКегР2, КегЯ = Кег Р{ -j- Im P2.
Отметим, что взаимная ортогональность проекторов Я,, Р2
равносильна соотношениям
1тЯ,з1тЯ2; Кег Я, с Кег Я2.
241. Для того чтобы произведение Р = Я,Р2 двух проек-
проекторов Р, и Я2 было проектором, необходимо и достаточно,
чтобы коммутатор [Р2, Р,] отображал подпространство [щ Р2
в подпространство Кег Яр При выполнении последнего условия:
Im Р = Im Р, П (Im Р2 +- Кег Я, П Кег Я,),
Кег Р = Кег Я2 ¦+- Кег Я, П (Im Я, + Im P2)-
В частности:
242. Если проекторы Я, и Я2 коммутируют, то их про-
произведение Я является проектором. При этом
Im Я = Im Я( П Im Я2, Кег Я = Кег Pl f Кег Я2.
Этот результат непосредственно распространяется на любую
систему (ЯА}™ попарно коммутирующих проекторов. Более того:

25t| ) 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 13Э
243. Если произведение проекторов Р~РХР2 . .. Рт не
меняется при циклических перестановках сомножителей, то
оно также является проектором, причем
Наконец, отметим еще, что:
244. Если Р — проектор, то Р'—также проектор (в про-
пространстве Е'), причем
ImP' = (KerP)J, KerP' = (ImP)L.
§ 9. Элементы теории возмущений
В этом параграфе мы коснемся вопроса о том, как из-
изменяется строение оператора при малом его изменении (воз-
(возмущении). Один важный результат в этом направлении был
уже получен ранее B92 гл. I). На языке настоящей главы
он звучит следующим образом:
245. Множество 9i регулярных операторов в простран-
пространстве 2Я(Е) открыто.
Кроме того:
246. Множество № связно.
Рассмотрим на 91 отображение обращения: QA~A~.
247. Отображение Q непрерывно.
Иными словами оператор, обратный к Л, непрерывно
зависит от Л. Здесь уместно подчеркнуть, что умножение
операторов также является непрерывной операцией:
248. Отображение П(Л, В) = АВ. (Л, В? ЭК(Е)) не-
непрерывно.
Применим теоремы 245, 246 к исследованию зависимости
спектра о(А) от оператора Л.
249. Если точка к0 не принадлежит спектру о(Л0) не-
некоторого оператора Ло, то существует такая окрестность <$/п
точки к0 и такая окрестность По оператора Ло, что Х?о(Л)
при всех X?<2fn, A?l\0.
250. Резольвента Rl(A) = (A—Я,/) является непре-
непрерывной функцией по сопокупности аргументов Л, к (к ? о (Л)).
251. Спектр о (А) непрерывно зависит от оператора Л.

140 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |252
Более подробно это означает, что для любого опера-
оператора Ао и любой окрестности 7^0 множества о(А0) на комп-
комплексной плоскости существует такая окрестность Ц) опера-
оператора Ло, что a(/4)c=7^0 для всех А ? Ио.
Из теоремы 249 следует, в частности, что:
252. Множество операторов с простым спектром открыто
(ср. 62).
Кроме того:
263. Множество операторов с простым спектром связно.
Теорему 250 можно значительно уточнить, отправляясь
от следующего замечания:
254. Пусть Х0?о(А0) и в круге \Х—к0 | < в нет других
точек спектра оператора Ао. Тогда проектор Рисса
J
>
J
I *.->-„ 1-е
является непрерывной функцией от Л в некоторой окрест-
окрестности оператора Ао.
Следовательно:
255. Существует такая окрестность Ид оператора Ао, что
(ср. 288 гл. I).
Иначе говоря, сумма кратностей тех собственных значе-
значений оператора А ? 1!0, которые находятся внутри круга
|Я,— Ящ | < е, равна кратности собственного значения Xq.
Вследствие этого:
256. Характеристический полином @(Х; Л) непрерывно
зависит от оператора А (и даже от совокупности аргументов
А, I).
Для минимального полинома aft (Я,; А) аналогичное утверж-
утверждение неверно. Это связано с тем, что множество операто-
операторов скалярного типа, как легко видеть, не является откры-
открытым *). Однако, между прочим:
257. Множество простых операторов открыто (см. 85
и 289 гл. I).
Отметимеще, что (ср. 245, 247):
258. Если скалярная функция фB.) голоморфна на некото-
некотором открытом множестве <??, то множество Ш^ тех операто-
*) Оно также не является замкнутым (см. 62).

Л>3; § 10. ДЕТЕРМИНАНТ ОПЕРАТОРА 141
ров Л, для которых ф?Фд, открыто и отображение ф:
ЗЯ (Е) -> 2Я (Е), значение которого в точке Л есть ф(Л), не-
непрерывно.
Рассмотрим теперь вкратце элементы аналитической теории
возмущений. Здесь предметом исследования будет голоморф-
голоморфная оператор-функция А% скалярного аргумента ?.
259. Если оператор-функция Л^ голоморфна на некотором
открытом множестве ?%}, то на той части множества $в, где
Аг ? Ш, функция А^1 голоморфна, причем
dA7l , dA. .
At ~TA
260. Резольвента
голоморфной оператор-функции А^ голоморфна по совокуп-
совокупности аргументов С. Я,-
261. Пусть скалярная функция ф(А,) голоморфна на не-
некотором открытом множестве <??, оператор-функция А^ голо-
голоморфна на некотором открытом множестве $в. Тогда опе-
оператор-функция Ф(Л^) голоморфна на той части множества 3%',
где Л?6^Ф-
Следующий результат имеет фундаментальное значение.
262. Характеристический полином 36 (К; ?)= 3S (Я,; А%)
голоморфной оператор-функции А^ голоморфен по совокуп-
совокупности аргументов С. ?ь.
Доказательство можно редуцировать к 261 с помощью
формулы:
263.
§ 10. Детерминант оператора. Групповые коммутаторы
Детерминант оператора — это мультипликативный ана-
аналог следа. Пусть Л — произвольный оператор, {^}J* — его
спектр, {dk\™ — характеристика спектрального разложения.
Детерминантом оператора А называется число
det Л = П ***

142 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |264
(т. е. детерминант - это произведение собственных значений,
каждое из которых засчитывается столько раз, какова его
кратность).
264. deiA=S)@; A).
Отсюда в силу результатов предыдущего параграфа вы-
вытекает:
265. Функционал det А непрерывен в ЗЯ(Е).
266. Если А^ — голоморфная оператор-функция в неко-
некоторой области ??, то det A^ — голоморфная функция в <??.
В силу 263:
267. deM = esP<lnA> (A ?91).
В дополнение к этому, если А ? 91, то det A = 0. Таким
образом, для того чтобы оператор А был регулярным, не-
необходимо и достаточно, чтобы detA^O.
Формулу 264 можно обобщить:
268. Q, (Я; А) = det (A — У).
Очевидно, детерминанты подобных операторов равны.
Отсюда:
269. det ВА = det AB (ср. 204).
Более того:
270. 3>(к\ АВ) = 3>{\; В А).
Формулу 270 можно вывести из следующего утверждения:
271. Если хотя бы один из операторов А, В регулярен,
то АВ^ВА.
Вообще же АВ^вВА. Например, существуют такие опе-
операторы А, В, что АВ — 0, ВАфО.
Теорема 269 допускает существенное уточнение:
272. Для любых двух Операторов Л, В
det AB= det A det В
(теорема умножения детерминантов).
Для случая A^jB теорема умножения детерминантов легко
усматривается из 267 и следующей теоремы сложе-
сложения для экспоненты.
273. Если A<jB, то елсв = еА'в.
Теорема умножения детерминантов очевидна также, если
по крайней мере один из операторов А, В нерегулярен.
Общее доказательство является итогом цепочки лемм 274- 277.
274. det(cL4) = a"deM.
275. Функция 3> (С; А, В) г- det Л [В—?/) является поли-
полиномом от С степени не выше п.

282| § 10. ДЕТЕРМИНАНТ ОПЕРАТОРА 143
276. Если спектр оператора В прост, то полином
®(?; Л, В) делится на характеристический полином 2 (С; В),
причем
®(С; А, В) = @(?; B)detA.
Отсюда:
277. Если спектр оператора В прост, то
det/Ш = det Л det Я.
Отметим в связи с теоремой умножения детерминантов, что:
278. de\An = {detA)n (Л ?Ш; л = 0, ±1, ±2, . . .)•
Функционал 6 (Л) (Л?ЗЯ(Е)) называется мультиплика-
мультипликативным, если
6 (ЛИ) = 6 (Л) б (В).
Тривиальным примером может служить тождественная кон-
константа, равная нулю или единице.
Теорема умножения детерминантов означает, что det Л —
мультипликативный функционал в ЗЯ(Е). На вопрос о том,
какие существуют мультипликативные функционалы в ЗЯ(Е),
мы дадим ответ в конце параграфа.
Введем мультипликативный аналог понятия коммутатора.
Групповым коммутатором двух регулярных операторов А
и В называется оператор
{Л, В}=АВА~1В~1.
279. Для того чтобы два регулярных оператора Л, В
коммутировали, необходимо и достаточно, чтобы (Л, В] =/.
Между групповым коммутатором и коммутатором имеется
прямая связь:
280. ^{е*.е*}\1_0 = [А,В].
Аналогично 204:
281. det {Л, В} = 1.
Оператор, детерминант которого равен единице, называется
собственно унимодулярным. Оператор называется унамоду-
лярным, если модуль его детерминанта равен единице. Вся-
Всякий ли собственно унимодулярный оператор представим в виде
группового коммутатора? По аналогии с 210 следует надеяться
на положительный ответ.
2S2. Для того чтобы уравнение
[X, В)г=С,

144 ГЛ. II. ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [283
где В, С — заданные регулярные операторы, было разрешимо
относительно X, необходимо и достаточно, чтобы СВ^&В.
283. Если С — собственно унимодулярный оператор, то су-
существует такой регулярный оператор В с простым спектром,
что CB^sB.
Таким образом, действительно:
284. Каждый собственно унимодулярный оператор С можно
представить в виде
С=[А, В},
причем В можно выбрать в классе операторов с простым
спектром.
Применим этот результат к описанию всех мультиплика-
мультипликативных функционалов в ЗК(Е).
286. Если 6 (Л) — мультипликативный функционал, отлич-
отличный от нуля, то 6 (С) = 1 для всех собственно унимодуляр-
ных операторов С.
286. Если 6 (А) — непрерывный мультипликативный функ-
функционал, отличный от нуля, то на скалярных операторах он
имеет вид
6(a/) = |a|Vmarga.
где y> и — некоторые константы, причем либо 9?с у > 0.
т — целое, либо Y—~0> m = 0.
287. Общий вид непрерывного мультипликативного функ-
функционала в 9К(Е), отличного от нуля, есть:
где ю, k — некоторые константы, причем либо 91с ю > 0,
k — целое, либо оз = О, k = 0.
В заключение подчеркнем, что:
288. В 9К(Е) при dimE> 1 не существует мультиплика-
мультипликативных линейных функционалов, отличных от нуля.
Этот результат тесно связан с теоремой 26 и легко из
нее следует, если принять во внимание, что:
289. Если 6 (Л) — линейный мультипликативный функцио-
функционал, то Кегб.является двусторонним идеалом в алгебре 3){(_Е).

ГЛАВА III
БИЛИНЕЙНЫЕ И ЭРМИТОВО-БИЛИНЕЙНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЫ. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.
ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Билинейные и квадратичные функционалы
В этом параграфе мы будем изучать билинейные функ-
функционалы В{х, у) на Е ХЕ (см. § 8 гл. I). Они называются
билинейными функционалами в Е. Нас будут интересовать
специфические свойства, обусловленные тем, что оба аргу-
аргумента х, у принадлежат одному и тому же пространству.
Одно из этих свойств — фредгольмовость.
Пусть Д = {ek}"— какой-нибудь базис пространства Е.
Матрицей билинейного функционала В(х, у) (х, у?Е)
в базисе Д называется матрица этого функционала относи-
относительно пары базисов Д, А, т. е. матрица коэффициентов
в разложении
В (х, у) = S tJkljr\k (х = S Ijej, у = S
] fe l \ jl k 1
Правая часть этого равенства определяет билинейный функ-
функционал в арифметическом пространстве С", который назы-
называется билинейной формой.
При переходе от базиса Д к базису Д, матрица били-
билинейного функционала преобразуется по формуле
[\ = t'bt,
где b — матрица функционала в базисе Л, Ь,—его матрица
в базисе А,. t — матрица базиса Д, относительно A, t'—транс-
Ю И. М. Глазман, Ю. И. Любнч

146 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [1
понированная матрица: если1 = (т^у , t'=(T'^ftj" , то
т'у* = т*у^. *=1- 2 «)•
С билинейными функционалами в Е тесно связаны так
называемые квадратичные функционалы.
Функционал Q (х) в Е называется квадратичным, если
существует такой билинейный функционал В(х, у), что
1. Квадратичные функционалы в Е образуют линейное
пространство по отношению к естественным операциям сло-
сложения и умножения на число.
Это пространство мы будем обозначать ®(Е). Исследуем
определяемый формулой (*) эпиморфизм j пространства 23 (Е) =
= 23(Е, Е) билинейных функционалов в пространство ®(Е).
Билинейный функционал В (х, у) называется антисим-
антисимметричным, если
В О», х) = — В(х, у).
2. Ядро гомоморфизма j совпадает с множеством анти-
антисимметричных функционалов.
Иначе говоря, для того чтобы билинейный функционал В
был антисимметричным, необходимо и достаточно, чтобы
В (х, х) = 0 (х ? Е).
3. Для того чтобы билинейный функционал был анти-
антисимметричным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица 6
в каком-нибудь базисе была антисимметричной:
Ь' = — Ь.
В частности, необходимо, чтобы ?>kk — 0 (k = 1, 2, .... л).
4. Размерность подпространства 23 (Е) антисимметрич-
антисимметричных билинейных функционалов равна п(п — 1)/2.
Иными словами def у = я(я--1)/2.
б. Размерность пространства ®(Е) квадратичных функ-
функционалов равна я(я-|-1)/2.
Билинейный функционал В{х, у) называется симметрии^
ныл, если
В (у, х) = В{х,у),

12) § 1. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 147
6. Для того чтобы билинейный функционал был сим-
симметричным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица b
в каком-нибудь базисе была симметричной:
7. Размерность подпространства 23+ (Е) симметричных би-
билинейных функционалов равна «(л-f 1)/2.
8. 23(Е) = 23+(ЕL-2Г(Е).
Таким образом, каждый билинейный функционал допускает
единственное представление в виде суммы симметричного и
антисимметричного функционалов. Этот факт допускает опе-
операторную интерпретацию:
9. Оператор Т в пространстве 23(Е), определенный фор-
формулой (ТВ)(х, у) = В (у, х), является инволюцией: Г2 = /.
Подпространства 23+ (Е) и 23" (Е) являются собственными под-
подпространствами оператора Т, соответствующими собственным
значениям -}-1, —1 (ср. 44 гл. Н).
Положим у+ =у|аЭ+(Е).
10. Гомоморфизм У+ является изоморфизмом пространств
& (Е) и @(Е).
Таким образом, для каждого квадратичного функцио-
функционала Q существует и единствен симметричный билинейный
функционал Bq, порождающий Q в смысле (*). Он назы-
называется полярой функционала Q.
Существует простой способ восстановления поляры Bq по
заданному квадратичному функционалу Q.
И. Q(x ±y) = Q(x) + Q(y) + 2BQ(x, у).
Это—обобщение 'л.'ментарной формулы для квадрата
суммы. Из 11 следует:
12. BQ(x, y) = \[Q(x+y)-Q(x-y)}.
Матрицей квадратичного функционала Q в базисе Д =
= {ек}" называется матрица (Pyft)" ft_t поляры BQ в базисе Д.
Эта матрица симметрична. Очевидно, имеет место разложение
Правая часть этого равенства определяет квадратичный функ-
функционал в С, который называется квадратичной формой.
10»

148 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 113
Взаимная однозначность соответстния между квадратичными
функционалами и их полярами дает возможность автомати-
автоматически перенести на квадратичные функционалы понятия гене-
генераторов, носителей, ядер, дефектов, ранга (см. § 8 гл. I).
При этом различие между левым и правым исчезает в силу
симметрии поляры. Для антисимметричного билинейного функ-
функционала это различие несущественно:
13. Лгвый и правый генераторы антисимметричного били-
билинейного функционала отличаются лишь множителем —1.
Соотношения ортогональности B21 гл. I) для симметрич-
симметричного или антисимметричного билинейного функционала В при-
принимают вид:
14. SB=(KB) (SB—носитель, Кв — ядро).
Каждый билинейный функционал ?J?23(E) порождает
fi-ортогональность векторов в пространстве Е согласно общей
схеме § 10 гл. I. Поскольку теперь ^-ортогональность
является отношением между векторами одного и того же про-
пространства, то левое и правое ортогональные дополне-
дополнения -* 'L, l}*-* какого-нибудь подпространства L cr E являются
также подпространствами в Е.
16. Для того чтобы какое-нибудь /^-ортогональное допол-
дополнение подпространства L было его дополнением, необходимо
и достаточно, чтобы ограничение функционала В на L, т. е.
функционал
%,(*, у) = В(х, у) (x,y?L),
было регулярным, т. е. def/fy,) —0.
16. Если одно из двух ?(-ортогональных дополнений под-
подпространства L является его дополнением, то этим свойством
обладает и второе.
Подпространство L называется В-регулярным, если функ-
функционал fi(L) регулярен. Система векторов называется В-регу-
лярной, если ее линейная оболочка fi-регулярна.
17. Для того чтобы вектор е был /^-регулярным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы В(е, е) Ф 0.
Рассмотрим проблему приведения билинейного функционала
к каноническому виду. Общий результат в этом направлении
был получен в § 8 гл. I. Его можно уточнить, предполагая
функционал симметричным или антисимметричным.

22] § I. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 149
18. Пусть r={gk}[ — какая-нибудь система линейных
г
функционалов. Тогда билинейный функционал В = 2
симметричен и его носитель SB совпадает с линейной обо-
оболочкой системы Г.
Тем самым rgB<>, и если система Г линейно незави-
независима, то rgB = r.
Оказывается, это замечание можно обратить:
19. Пусть В — симметричный билинейный функционал,
rg В = г )> 0. Тогда существует такой базис {Д}^ носи-
т
теля SB, что fi = 2/ft®/ft-
Это — фундаментальная теорема о каноническом виде сим-
симметричного билинейного функционала. Ей можно придать
следующую равносильную форму:
20. Пусть В —симметричный билинейный функционал,
xgB — r > 0. Тогда существует такая система векторов {eft}[,
линейно независимая по модулю Кв, что
Метод доказательства станет понятным, если мы заме-
заметим, что:
21. Система [ек)[ необходимо является В-биортогональ-
ной в том смысле, что
В(е}, ek) = bjk (J. *=1. 2 г).
Сле у.ощая лемма непосредственно ведет к теореме 20:
22. Пусть вектор ех fi-регулярен, B(et, ej)=l и L — ли-
линейная оболочка системы {е,}. Если
x = lel-\-u, y = Tie, + w (u,v?L(L))
то
В{х, у) = В{х. е{)В(у, в,) + В («. v).
Из теоремы 19 вытекает следующая теорема о канони-
каноническом виде квадратичного функционала:

150 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [23
23. Пусть Q(x) — квадратичный функционал, tgQ = r > 0.
Тогда существует такая линейно независимая система {fk}[
линейных функционалов, что
Итак, каждый квадратичный функционал Q ф О можно
представить в виде суммы квадратов линейных функцио-
функционалов, причем число слагаемых может быть сделано равным
r = rgQ. Нельзя ли обойтись меньшим числом квадратов?
24. Если квадратичный функционал Q(x) представлен
в виде
где gk—линейные функционалы, то s^-rgQ. Знак равен-
равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда си-
система {gk}sx линейно независима.
Рассмотрим теперь в аналогичном плане антисимметрич-
антисимметричные билинейные функционалы.
26. Пусть /•> 0 — четное число, г = 2т, Г={Д)" —
какая-нибудь линейно независимая система линейных функ-
функционалов. Тогда билинейный функционал
антисимметричен и его носитель SB совпадает с линейной обо-
оболочкой системы Г.
Тем самым rgB — r. Можно ли построить антисимметрич-
антисимметричный билинейный функционал нечетного ранга? Отрицательный
ответ на этот вопрос получится попутно перед теоремой 30
о каноническом виде антисимметричного билинейного функ-
функционала.
В следующих трех леммах В означает антисимметричный
билинейный функционал.
26. Для того чтобы система [ех, е2] была Я-регулярпа,
необходимо и достаточно, чтобы В(ех, е2)ф0.
27. В-регулярная система [ех, е2] линейно независима.

311 § 2. ЭРМИТОВО-БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 151
28. Пусть система {е}, е,2) ZJ-регулярна, B(ev e2)=\ и
L — линейная оболочка этой системы. Если
х = 1хех + 12е-2 + «. У
то
Я(х, у)*=В(х. ег)В{у, eJ-B{x. e2)B(y,
Теперь можно сформулировать основные теоремы об анти-
антисимметричных билинейных функционалах.
29. Ранг любого антисимметричного билинейного функцио-
функционала является четным числом.
30. Пусть В — антисимметричный билинейный функционал,
rgB = 2m > 0. Тогда существует такая система векторов {ek\Tx,
линейно независимая по модулю Кв, что
В{х, y)=S [Я(*.*,*_,)?(у, е24)-б(дг, егк)В(у, еи_,)].
ft-i
Отметим, что вследствие 29:
31. Если размерность п основного пространства Е не-
нечетна, то все антисимметричные билинейные функционалы в Е
нерегулярны.
Нерегулярный билинейный функционал в Е иначе назы-
называется вырожденным. Этот же термин применяется и
к эрмитово-билинейным функционалам.
§ 2. Эрмитово-билинейные и квадратичные функционалы.
Закон инерции
Этот параграф посвящен перенесению теории, развитой
в § 1, на эрмитово-билинейные функционалы Н (х, у) (х, у ? Е).
Мы намерены остановиться лишь на тех фактах, в которых
как-то проявляется «эрмитовость».
Пусть Д = [ек}" — какой-нибудь базис пространства Е.
Матрицей эрмитово-билинейного функционала Н в базисе Л
называется матрица (Y/*/) кв1 коэффициентов разложения:
Н{х, у)= 2 Yyftl/% (jj jS
J, ft-I V j-\ 4-1
Правая часть этого равенства определяет эрмитово-бнлиней-
ную форму в С. При переходе от базиса А к базису Д4 матрица

152 ГЛ. Ш. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 132
эрмитово-билинейного функционала преобразуется по формуле
где g — матрица функционала в базисе Л, ^ — его матрица
в базисе Aj, t—матрица базиса Л, относительно А, г* —сопря-
—сопряженная матрица: если t —(т.Ля , t* = (T*ft)" , то
*% = **, С/. *=!¦ 2 я).
Функционал К (х) (х?Е) называется эрмитово-квадра-
тичным, если существует такой эрмитово-билинейный функ-
функционал Н(х, у), что
К{х) = Н{х. х) (дгбЕ). (•)
Формула (*) задает эпиморфизм h пространства эрмитово-
билинейных функционалов в пространство эрмитово-квадра-
тичных функционалов. В отличие от 2 имеет место теорема:
32. Гомоморфизм h является изоморфизмом. На этом
основании матрицей эрмитово-квадратичного функцио-
функционала К (х) в базисе Д называется матрица (Уу*)у a=i соответ-
соответствующего эрмитово-билинейного функционала Нк(х,у)
{поляры функционала К). При этом
Правая часть этого равенства определяет эрмитово-квадра-
тичную форму в С".
33. Размерность пространства эрмитово-квадратичных
функционалов в Е равна п2.
Роль формулы 11 теперь играет:
34. К(х + у) =* К{х) + К(у)+ Нк(у. х) + Нк(х, у).
Отсюда:
35. Нк{х, у) =
т = 0
Эрмитовэ-билинейный функционал Н(х, у) называется
Симметричным *), если
Я (у, х) = Н(х, у),
*) Прежнее определение симметрии лишено смысла для эрми-
тово-билкнейных функционалов, так как если такой функционал
удовлетворяет соотношению Н (у, х) = Н (х, у), то он тождественно
равен нулю.

39| § 2. ЭРМИТОВО-БИЛИНСПНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 153
и антисимметричным, если
Н (у, х) = -Н(х, у).
Между симметрией и антисимметрией для эрмитово-били-
нейных функционалов существует тесная связь:
36. Для того чтобы эрмитово-билинейный функционал Н
был антисимметричным, необходимо и достаточно, чтобы
функционал 1Н был симметричным.
Поэтому антисимметричные эрмитово-билинейные функцио-
функционалы не представляют ничего существенно нового по сравне-
сравнению с симметричными функционалами.
37. Для того чтобы эрмитово-билинейный функционал
Н(х, у) был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы
соответствующий ему эрмитово-квадратичный функционал
принимал только вещественные значения.
Такой эрмитово-квадратичный функционал называется
вещественным.
38. Если К — вещественный квадратичный функционал, то
9ltHK(x. У) = ±{К(х+у)-К(х-у)}.
Отметим еще матричный критерий симметрии (ср. 6):
39. Для того чтобы эрмитово-билинейный функционал
был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы его
матрица g в каком-нибудь базисе была самосопряженной:
Вещественный эрмитово-квадратичный функционал в ариф-
арифметическом пространстве называется вещественной эрмитово-
квадратичной формой. Иначе говоря, это — функционал вида
л
S Y./*?/l* с эрмитово-симметричной матрицей (Yya)y ft-1.
/1 Я3*
Рассмотрим проблему приведения симметричного эрмитово-
билинейного функционала к каноническому виду. Будем дей-
действовать тем же методом, что и в § 1.
Пусть Н — эрмитово-билинейный функционал. Определим
понятия И-регулярного подпространства и Н-регулярной
системы векторов точно так же, как и в § 1. Теоремы 15—17
при этом сохраняются.

154 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |40
40. Пусть иектор ех /Y-регулярен, Н{ех, е,)=е (е = ± 1)
и L — линейная оболочка системы jej. Если
х = \ех + и, y = r\el-\-v (и, v ? LA)).
то
Н(х, у) = еЯ(дг, eJHiy. е,) + Я(и, v).
41. Пусти Л/ — симметричный эрмитово-билинейный функ-
функционал, rgH = /• > 0. Тогда существует такая система век-
векторов {е4)р линейно независимая по модулю К^, что
Я (х, у) = 21 EftW (х, ek) H(y,ek),
где е= ±1 (k= I, 2 /•).
Обратно (ср. 18):
42. Пусть Г = {?ft}j — какая-нибудь система линейных
функционалов, [ак}\ — какая-нибудь система вещественных
чисел, отличных от нуля. Тогда эрмитово-билипейный функ-
функционал
г
Н(х, у)= y
k
симметричен и его носитель совпадает с линейной оболочкой
системы Г.
Тем самым tgH ^.г, и если система Г линейно независима,
то tg Н = г.
Теорема 41 немедленно влечет теорему о каноническом
виде вещественного эрмитово-квадратичного функционала.
43. Пусть АГ (дг)—вещественный эрмитово-квадратичный
функционал,
Тогда Существует такая линейно независимая система
линейных функционалов, что
() 2
«1-1
(ср. 23).

451 § 2. ЭРМИТОВОБИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 155
Аналогично 24:
44. Если вещественный эрмитово-квадратичный функцио-
функционал К (х) представлен в виде
*(*)= 2 <**!**(*) Р. (**)
ft-I
где gk — линейные функционалы, ak — отличные от нуля веще-
вещественные числа, то s^>xgK. Знак равенства здесь дости-
достигается тогда и только тогда, когда система [gkY\ линейно
независима.
Таким образом, если в представлении (**) функцио-
функционалы gk линейно независимы, то число слагаемых однозначно
определено функционалом К- На самом деле однозначно
определено не только общее число слагаемых, но и число
тех из них, где ak > О (а тем самым и число тех, где ak < 0).
Этот замечательный факт носит название закона инер-
инерции. Для более полной формулировки нам понадобятся не-
некоторые вспомогательные понятия.
Пусть К{х)— вещественный эрмитово-квадратичный функ-
функционал. Подпространство L называется К-положительным,
если
АГ(дг)>0 (jcgL. дг^О).
Максимальная размерность АГ-положительных подпространств
называется положительным индексом инерции функционала К
и обозначается ind^. К.
Аналогично определяются К-отрицательное подпростран-
подпространство и отрицательный индекс инерции ind _ /С.
Подпространство L называется К-неотрицательным, если
К(х)> 0 (x?L).
Аналогично вводится понятие К-не положительно го подпро-
подпространства.
45. Если вещественный эрмитово-квадратичный функцио-
функционал К(х) представлен в виде
где \gk}\ — линейно независимая система линейных функцио-
функционалов, то число положительных коэффициентов ak равно
jnd+ К, а число отрицательных коэффициентов ак равно ind. К-

156 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |46
46. ind+AT + ind_/C
Отметим еще один результат, связанный с индексами
инерции.
Подпространство L называется К-нейтральным, если
К(х) = 0 (*6L).
47. Максимальная размерность /С-нейтральных подпро-
подпространств равна
min(ind+AT, ind_ АГ) + def К.
В заключение дадим классификацию вещественных эр-
митово-квадратичных функционалов. Функционал АГ(дг) назы-
называется положительным, если ind+ К = п (при этом
ind_Af = 0, def К = 0, rgK = ri), неотрицательным, если
ind_Af = O, отрицательным, если ind_AT —я (при этом
ind4 AT = 0, def АГ= 0, rgK = n), неположительным, если
jnd,. АГ = О. Положительные и отрицательные функционалы
называются дефинитными. Функционал называется инде~
финитным, если ind+ КфО, ind_ КфО.
На основании закона инерции о типе функционала можно
судить по любому представлению в виде 45.
§ 3. Унитарное пространство
Унитарное пространство — это комплексное линейное
пространство, в котором задано скалярное произведение век-
векторов. Скалярным произведением называется какой-нибудь
фиксированный симметричный эрмитово-билинейный функцио-
функционал, которому соответствует положительный эрмитово-квадра-
эрмитово-квадратичный функционал. Скалярное произведение векторов х. у
обозначается символом (дг, у). По определению скалярное
произведение есть функционал со следующими свойствами:
1) (*, + *2. y) = (xv у) + (*2. У)
(дистрибутивность);
2) (ад;, у) —а (л:, у) (однородность);
3) (у, х) = (х, у) (с и м м е т р и я);
4) (дг, дг) > 0 (хфО) (положительность).
Отметим, что свойство
(дт, ау) = а(дг, у)
формально вытекает из 2), д).

50| § 3. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 157
Векторы л:, у в унитарном пространстве называются
взаимно ортогональными (.vj_y), если
(*•>•) = О,
т. е. если они ортогональны относительно эрмитово-билиней-
ного функционала, являющегося скалярным произведением.
Теория ортогональности в унитарном пространстве имеет
простейший возможный вид, точно такой же, как теория
ортогональности вектора и линейного функционала (§ 6 гл. I).
Формально это следует из регулярности скалярного произве-
произведения и теорем § 10 гл. I. Прозрачное объяснение существа
дела дает следующая фундаментальная теорема об общем
виде линейного функционала в унитарном пространстве.
48. Каждый линейный функционал / в унитарном про-
пространстве Е допускает представление в виде
/(*) = (*, у),
где y = \/j,— некоторый вектор (теорема Ф. Рисса).
49. Определяемое формулой у = у^ отображение Е'—>Е
есть эрмитов изоморфизм.
Это — канонический эрмитов изоморфизм пространств Е'
и Е. Он появляется только после того, как пространство Е
превращено в унитарное заданием скалярного произведения.
Всюду ниже на протяжении этой главы пространство Е
считается унитарным.
Мы будем обозначать ортогональное дополнение *) под-
подпространства L в унитарном пространстве через L , т. е.
так же, как ортогональное дополнение в смысле § 6 гл. I.
Эти два понимания термина «ортогональное дополнение»
равносильны в том смысле, что:
60. Если М — подпространство в Е', NcE — его образ
при каноническом эрмитовом изоморфизме пространств Е' и Е,
то M-L=Ni, где ортогональное дополнение слева понимается
в смысле ортогональности вектора и линейного функционала,
а справа — в смысле ортогональности в Е.
Перечислим теперь стандартные теоремы об ортогональ-
ортогональных дополнениях.
*) Левое и правое ортогональные дополнения совпадают в силу
симметрии скалярного произведения.

158
ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
|51
61. dimL1 =codimL.
62. L-j-L1 =E.
63. (l>)L=L.
64. Если LidL2, то L^L^-.
66. (Ц + L2)J = L,L П Ц1; (L, П Ц)!= L;L + L24
В унитарном случае двойственность порождается орто-
ортогональностью без выхода из пространства (канонический
эрмитов изоморфизм компенсирует переход к сопряженному
пространству).
Дальнейшее изложение связано с новыми понятиями.
Система подпространств {ЬЛ}™ называется ортогональной,
если
Например, система (l, L-1-) ортогональна.
66. Если система подпространств (Ц}|" ортогональна, то
сумма
— прямая.
Сумма ортогональной системы подпространств называется
ортогональной суммой и обозначается через
или, короче, 0Lft.
67. Пусть Ь =
k
х, у ? L разложены:
Тогда
и, в соответствии с этим, векторы
В частности,
ft-1
Это — так называемое равенство Парсеваля. Оно
является характеристическим свойством ортогональных систем:

631 § 3. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 159
68. Если система подпространств (Lft)[* обладает тем cuoll-
т
ством, что для каждого вектора дг вида х= 2 •*» (xk?Lk)
ft —1
имеет место равенство Парсеваля, то эта система орто-
ортогональная.
Пусть L — любое подпространство. В соответствии с раз-
разложением L ф L *¦ = Е каждый вектор дг допускает единствен-
единственное представление в виде
Слагаемое и в этом представлении называется ортогональной
проекцией вектора дг на подпространство L. Очевидно, х = Ри,
где Р— проектор (см. 218 гл. II), соответствующий паре
подпространств {L, Ы). Так как второе подпространство
этой пары однозначно определяется первым, то Р зависит
только от L:
P = P(L).
Проектор Я(Ь) называется ортопроектором (проектирующим
на подпространство L).
69. Для того чтобы проектор Р был ортопроектором,
необходимо и достаточно, чтобы K.erP = (Im РI.
Исследуем соответствие P = P(L). Положим Р^- =
60. р' = Р(Г).
61. Если L_LM, то P(L)P(M) = 0. Обратно, если
P(L)P(M) = 0, то LJ_M.
Следовательно:
62. Если Р(Ь)Р(уИ) = 0, to P(M)P(L) = 0.
Теорема 61 говорит о том, что взаимно ортогональным
подпространствам соответствуют взаимно ортогональные орто-
проекторы, и обратно.
63. Если {Lftj™ — ортогональная система подпространств,
то
(см. 221 гл. II).

160 ГЛ. Ш. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |64
Обратно:
Im \ m
64. Если Р\ 2 Lft = ^ Р (Lk), то система подпространств
\ft-l / к-\
{Ц}™ ортогональна (см. 239 гл. II).
65. Для того чтобы ортогональная система подпространств
{Lk}™ была базисной, необходимо и достаточно, чтобы
m
?i P(Lk) = /, т. е. чтобы соответствующие ортопроекторы
к = \
образовывали разложение единицы.
Разложение единицы, составленное из ортопроекторов,
называется ортогональным.
66. Формулами Pk = P(Lk) (k=\, 2, .... т) устанавли-
устанавливается взаимно однозначное соответствие между базисными
ортогональными системами подпространств (Lft}J™ и ортого-
ортогональными разложениями единицы {Яй}™.
Пусть {LfcjJ™— какая-нибудь ортогональная система под-
подпространств. Формальным разложением по этой системе
называется отображение р пространства Е в декартову сумму
пространств L,-|-L2-f ••• -f-Lm, определенное формулами
px=[xk)™, xk = P(Lk)x (A=l. 2 т).
Одновременно рх называется формальным разложением век-
вектора х?Е.
67. Формальное разложение является гомоморфизмом, более
того — эпиморфизмом. Поэтому существует и является моно-
мономорфизмом гомоморфизм J, правый обратный к р (ср. 56).
68. Гомоморфизм j имеет вид
69. W = /L, + L2+...+Lm. ^ =
Следовательно:
70. Если лг?®Ц, то дг = ^Я(Ц)дг, и обратно.
*1 fti

76| § з. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 161
/ т \_!_
71. Kerp- ©LJ .
Таким образом:
72. 1тУ0Кегр = Е.
73. Для того чтобы формальное разложение по системе
{Lfc}J™ было мономорфизмом (и тем самым — изоморфизмом),
необходимо и достаточно, чтобы система была базисной.
Это предложение можно рассматривать как критерий ба-
зисностн в терминах формального разложения.
Если система {Lft}™— базисная, то гомоморфизму, правый
обратный к формальному разложению р, превращается
в обратный, j = p~l\ формула (*) дает разложение вектора
по данной системе подпространств:
Важный аспект формального разложения открывается в связи
с равенством Парсеваля.
74. Если px=-[xk)™ — формальное разложение век-
вектора х, то
т
\Х, X)— ^j \Xfoy JC^) = (r, Г)»
m
где г — х — jpx — х — 2 xk-
75. Имеет место неравенство Бесселя
2(* *)<(. *)•
Это неравенство превращается в равенство *) тогда и только
т
тогда, когда х ? ф Lft.
k-i
76. Для того чтобы ортогональная система подпространств
была базисной, необходимо и достаточно, чтобы равенство
Парсеваля имело место для всех Е
*) А именно, в равенство Парсеваля.
11 И. М. Глазман, Ю. И. Любнч

162 ГЛ. HI. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |7?
Рассмотрим теперь параллельную теорию для систем век-
векторов. Она может быть редуцирована к предыдущей, но может
быть развита и независимо.
Система векторов {ek}f называется ортогональной, если
и ортонормированной, если, сверх того,
{ек, ek)=\ (А=1. 2 т).
Таким образом, для ортонормированной системы
Очевидно, любая подсистема ортогональной (ортонорми-
(ортонормированной) системы сама является ортогональной (ортонорми-
(ортонормированной).
77. Если ортогональная система векторов не содержит
нуля, то она линейно независима.
В частности, ортонормированная система всегда линейно
независима. Всюду ниже предполагается, что рассматриваемая
ортогональная система {ек\™ не содержит нуля.
78. Пусть {ек}^ — ортогональная система векторов. Если
т
* = 2Vt> то
= (х, ек) (ь=\, 2, .... т)
(формулы Эйлера — Фурье).
Формулы Эйлера— Фурье принимают особенно простой вид
в случае ортонормированной системы:
ск = (х, ек) (k = l, 2 т).
Правые части формул Эйлера — Фурье имеют смысл при
всех #?Е. В соответствии с этим коэффициентами Фурье
произвольного вектора х относительно ортогональной си-
системы [ek\™ называются величины

82) § 3. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО J63
79. Оператор Р, действующий по формуле
совпадает с ортопроектором на линейную оболочку системы
80. Имеет место неравенство Бесселя
Это неравенство превращается в равенство Парсеваля
т
S2(«*. «*) = (*. -V)
тогда и только тогда, когда х принадлежит линейной обо-
оболочке системы \ек}™.
Для ортонормированной системы неравенство Бесселя имеет
более простой вид:
Соответственно выглядит равенство Парсеваля
81. Для того чтобы ортогональная система векторов {eft},m
была базисом, необходимо и достаточно, чтобы равенство
Парсеваля выполнялось для всех #?Е.
Равенство Парсеваля играет роль не только критерия пол-
полноты, но и критерия ортогональности:
82. Для системы векторов Г = {нЛ}™, не содержащей нуля,
равенство Парсеваля
т
(х, ик) _. л
11»

164 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |83
выполняется при всех х ? L (Г) тогда и только тогда, когда
система ортогональна.
Заметим, что в силу 77 ортогональная система является
базисом тогда и только тогда, когда она полна. Полная орто-
ортогональная (ортонормированная) система называется ортого-
ортогональным (ортонормированным) базисом. Ортонормирован-
Ортонормированный базис — это базис, совпадающий со своим сопряженным
с точностью до канонического эрмитова изоморфизма.
83. Для того чтобы ортогональная система векторов \ek)™
была полной, необходимо и достаточно, чтобы единственным
вектором, ортогональным ко всем векторам системы, был нуль
(см. 173 гл. I).
Иначе говоря, критерием полноты является равенство нулю
любого вектора, у которого все коэффициенты Фурье отно-
относительно данной системы равны нулю.
Теорема 82 в сочетании с теоремой о каноническом виде
вещественного эрмитово-квадратичного функционала приводит
к фундаментальному результату:
84. В унитарном пространстве Е всегда существует орто-
ортонормированный базис.
Можно даже строить ортонормированные базисы, удовле-
удовлетворяющие специальным дополнительным условиям. Например:
85. Пусть (Lft}J™ — какая-нибудь базисная ортогональная
система подпространств, A\mLk=nk (k=l, 2 т). Су-
Существует такой ортонормированный базис {fiftjj, что подсистемы
являются базисами подпространств L,, L2 Lm соответ-
соответственно.
86. Любую ортогональную Сортонормированную) систему
[е^]™ можно дополнить до ортогонального (ортонормирован-
ного) базиса [ек]".
87. Пусть [Ьк]"—какая-нибудь максимальная цепь под-
подпространств. Существует ортонормированный базис [ek\",
обладающий тем свойством, что подсистема [ек\™ является
базисом в Lm (m=l, 2 п) (ср. 51 гл. I).
Иначе говоря:

Щ § 3. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 165
88. Для любого базиса {ик}" существует такой ортонор-
мированный базис {ek}", что при всех т=\, 2, ..., п сов-
совпадают линейные оболочки подсистем [uk\™, {ek}™.
Совпадение линейных оболочек подсистем {мй}™, (ей|™
(т = 1, 2, .... л) означает, что переход от одного базиса
к другому осуществляется треугольными матрицами:
k к
е; (*=1, 2 л).
Существует простой рекуррентный процесс для эффектив-
эффективного построения ортонормированного базиса {ек}", «треугольно
эквивалентного» данному базису [ик]". Это — процесс
ортогонализации Сонина — Шмидта:
89. Пусть (мй}™+ — произвольная линейно независимая
система, {eft}™ — ортонормированная система, линейная обо-
оболочка которой совпадает с линейной оболочкой системы {uk}.
Положим
2
(ПРИ « = 0: е[ = и^).
Тогда ет+\ Ф 0. Положим, далее,
ет+\
V(e'
m+V
Тогда {eftO+1 — ортонормированная система, линейная обо-
оболочка которой совпадает с линейной оболочкой системы
1
(»)Г
Процесс ортогонализации вновь приводит к теореме 86.
Отметим еще, что:
90. В ортонормированием базисе [ек}" скалярное произ-
произведение имеет канонический вид:
2** (

166 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |91
Таким образом, матрица скалярного произведения в орто-
нормированном базисе единичная. Это — характеристические
свойство ортонормированного базиса:
91. Если в некотором базисе скалярное произведение имеет
канонический вид, то базис ортонормированный.
Аналогично ортогональный базис характеризуется тем, что
матрица скалярного произведения в этом базисе диагональная.
В общем случае матрица скалярного произведения в базисе
{vk\1 имеет вид
Y/* = (f/. ^) (У- k=\, 2 л).
Для любой системы векторов {да^Ц" матрица с элементами
yfk = (Wj, wk) (j, k — 1, 2, .... л)
называется матрицей Грама этой системы векторов. Матрица
Грама любой системы векторов эрмитово-симметрична.
Используя матрицу Грама, распространим неравенство
Бесселя и критерий полноты (равенство Парсеваля) на произ-
произвольные линейно независимые системы. Предварительно отме-
отметим следующее предложение..
92. Для того чтобы система векторов была линейно неза-
независимой, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица Грама
была неособенной.
93. Пусть (Y,bO ь 1 ~ матрица Грама линейно независимой
системы Г —{даЛт, (Yf^)'" —обратная матрица. Тогда
т
), Ь-\
для всех л;?Е. Знак равенства достигается тогда и только
тогда, когда х ? L (Г).
94. Для того чтобы линейно независимая система [w^
была полной, необходимо и достаточно, чтобы
для всех

98) § 3. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 167
В унитарном пространстве естественно вводится понятие
биортогональных систем векторов. Системы
Г==К)Г' Р=ЮГ
называются биортогональными, если
(wj, те>*) = 6# (у, k=l, 2 т).
Например, ортонормированная система — это система, биорто-
гональная самой себе. Общая теория биортогональных систем
векторов получается из теории, развитой в § 6 гл. I (см.
187—192), применением канонического эрмитова изоморфизма
и поэтому не нуждается в самостоятельном построении. От-
Отметим лишь следующее обобщение формул Эйлера — Фурье.
т
95. Если х — 2 lkwk> T0
(ср. 168 гл. I).
Отсюда:
96. (х. *) = |j
Это есть равенство Парсеваля для биортогональных систем.
Неравенство Бесселя не переносится на биортогональные си-
системы, однако равенство Парсеваля продолжает служить кри-
критерием полноты.
97. Для того чтобы система ["wk)™ была полной, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
т
2 {х, w*k) (х, wk) — (дг, х)
при всех д:^ Е.
В заключение выясним роль матрицы Грама в теории
биортогональных систем.
98. Ортогональная проекция вектора W/ на L(P) равна
т
2 ^nt1)w*b< г^е (Yy*O *-i ~ матрица Грама системы Г.

168 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |99
В частности:
99. Разложение какого-нибудь базиса Д = (е^)" по биор-
тогональному базису Д*=[е*|" имеет вид
где (Yyft)y ft_i — матрица Грама базиса Л.
Отсюда:
100. Матрицы Грама биортогональных базисов Д, Д*
взаимно обратны.
Поэтому можно разложению 99 придать вид
§ 4. Сопряженный оператор. Ортогонально
приводящие подпространства
Пусть А — произвольный линейный оператор в унитар-
унитарном пространстве Е. Рассмотрим эрмитово-сопряженный опе-
оператор А*-, действующий в эрмитово-сопряженном простран-
пространстве Е*. Он определяется равенством
Переведем g из Е* в Е' с помощью канонического ком-
комплексного сопряжения и затем из Е' в Е с помощью кано-
канонического эрмитова изоморфизма. Полученное таким образом
отображение Е*->Е обозначим через Т.
101. Отображение Т является изоморфизмом.
Это — канонический изоморфизм пространств Е* и Е.
Его легко описать непосредственно:
102. Имеет место тождество
g(x)=(x, Tg) (*?E, tfgE').
Обратно:
103. Если для данного эрмитово-линейного функционала
имеет место тождество
g(x)=(.x,y) (*
с некоторым вектором у, то у = Tg.

1121 4 4. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР 163
Соответственно:
104. (Ах, у) = (х, ТА*Т~гу) (х, у?Е).
Оператор ТА Т~ , подобный оператору А*, действует
уже в пространстве Е. Его следовало бы назвать внутрен-
внутренним эрмитово-сопряженным к оператору А, но по традиции
мы будем кратко называть его сопряженным к А и обозна-
обозначать по-прежнему А*.
Тождество 104 теперь принимает вид
(Ах, jO = (*. А*у) (х,
и может служить внутренним (без выхода из Е) определе-
определением нового сопряженного оператора А*:
105. Если операторы А и В в пространстве Е таковы,
что
(Ах, у) = (х. By) (х, у?Е),
то В= А*.
Функционал
Н(х. у; А) = (Ах, у) (*, убЕ) (*)
эрмитово-билинеен.
106. Определяемое формулой (*) отображение простран-
пространства операторов в пространство эрмитово-билинейных функ-
функционалов является изоморфизмом.
Это утверждение можно дополнить:
107. В любом ортонормированном базисе {ек}" матрица
функционала Н(х, у; А) совпадает с транспонированной
матрицей оператора А.
Это означает, что матрица оператора А имеет вид
108. Если а — матрица оператора А в ортонормирован-
ортонормированном базисе, то матрица оператора А* в этом же базисе
равна а*.
Воспроизведем основные свойства сопряжения.
109. А**—А (теперь уже буквально, а не с точностью
до канонического изоморфизма).
ПО. (А-\-В)*==А*+-В*.
111.
112.

170 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |113
113. Если оператор Л регулярен, то и оператор А* ре-
регулярен, причем (Л*) = (Л)*.
В дополнение к этому:
114. Если АиВ, то A*<jB*.
Теория Фредгольма в унитарном пространстве принимает
более простой вид благодаря тому, что сопряженный опера-
оператор действует теперь в основном пространстве. Поэтому вто-
вторая и третья теоремы Фредгольма теперь формулируются
без выхода из пространства Е. Мы не будем воспроизводить
формулировки на языке уравнений, а отметим лишь основные
соотношения.
115. 1т А* = (Кет АI, Кег А* = Aт ЛI.
116. xgA* = xgA, def Л*= def Л.
С помощью теории Фредгольма можно вновь вывести,
что
(см. 119 гл. II), а также установить следующие предложения:
117. Если Л—оператор скалярного типа и {в/,}"—его
собственный базис, то биортогональная система fe*\" является
собственным базисом оператора Л*, причем собственные зна-
значения, которым соответствуют векторы ek и e*k, сопряжены.
118. Корневые подпространства Л и Л*, соответствую-
соответствующие несопряженным точкам спектра X, ц(кф\1), взаимно
ортогональны.
Таким образом, [W k (А)\^ — ^ W,(i4*) при согласован-
согласований ;
ной нумерации спектров.
Рассмотрим связь между инвариантными подпростран-
подпространствами операторов Л и Л*.
119. Если подпространство L инвариантно относительно
оператора Л, то подпространство L^~ инвариантно относи-
относительно оператора Л*. При этом (A |L)* = P(L) A* |L, где
P(L) — ортопроектор, проектирующий на L.
Говорят, что подпространство L ортогонально приводит
оператор Л, если оно само и его ортогональное дополне-
дополнение L-1 инвариантны относительно А.
120. Для того чтобы подпространство L ортогонально
приводило оператор Л, необходимо и достаточно, чтобы оно

122) $ 5. ТЕОРИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 1?1
было инвариантно относительно обоих операторов А и А*.
При этом (Л | L)* = Л* | L.
Введем понятие ортогональной суммы операторов. Пусть
пространство Е разложено в ортогональную сумму
ненулевых инвариантных подпространств оператора А. Тогда
оператор А называется ортогональной суммой соответствую-
соответствующих частей:
га
def fc=l
Очевидно при этом, что каждое подпространство Lfc ор-
ортогонально приводит оператор А.
Оператор А называется ортогонально неприводимым,
если его нельзя нетривиально разложить в ортогональную
сумму (т. е. если у него не существует нетривиального ор-
ортогонально приводящего подпространства).
т га
121. Если А = @АЬ, то А*=®А*
Множество ортогонально приводящих подпространств
оператора А обладает определенной алгебраической струк-
структурой, чего нельзя сказать о приводящих подпространствах
вообще:
122. Сумма и пересечение любого множества ортогонально
приводящих подпространств есть ортогонально приводящее
подпространство (ср. 51 гл. II).
§ 5. Спектральная теория самосопряженных операторов.
Алгебра ортопроекторов
Оператор 5 в унитарном пространстве Е называется са-
самосопряженным, если
(Sx. y) = (x. Sy) (x.
Класс самосопряженных операторов в Е обозначим через в (Е).

172 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |123
123. Для того чтобы Л?©(Е), необходимо и достаточно,
чтобы эрмитово-билинейный функционал Н(х, у; А) был
симметричным.
124. Для того чтобы оператор был самосопряженным,
необходимо и достаточно, чтобы его матрица в каком-нибудь
ортонормированием базисе была самосопряженной.
Приведем примеры самосопряженных операторов.
125. Любой орто проектор является самосопряженным
оператором.
Между прочим, наоборот:
126. Каждый самосопряженный проектор является орто-
проектором.
127. Для любого оператора А операторы А* А и А А*
являются самосопряженными.
128. Для любого оператора А операторы
с_ A -f- А* т_ А —А*
i>~ 2 ' Ti
являются самосопряженными.
Они называются соответственно вещественной и мнимой
частью оператора А. Очевидно,
A = S-\-iT. (*)
Обратно:
129. Если A = Sli-lTl, где 5,, Т] ? 6 (Е), то 5, = 5,
Г, = 7\
Формула (*) называется декартовым представлением
оператора А. Это — операторный аналог обычного пред-
представления комплексных чисел.
130. Если L—инвариантное подпространство самосопря-
самосопряженного оператора 5, то сужение S\L является самосопря-
самосопряженным оператором в L.
131. Если 5,, S2e<S(E), то Si -к S2 ? в (Е). Если «—ве-
«—вещественное число, то aS?E(E) при S? ®(Е).
Это означает, что в (Е)—вещественное линейное
пространство (см. гл. VI).
Заметим, что если 5?в(Е) и 5^0, то aS?<S(E)
только при вещественных а.
Отсюда и из 130 вытекает замечательное свойство спектра
самосопряженного оператора:
132. Спектр самосопряженного оператора лежит на ве-
вещественной оси.

139| § 5. ТЕОРИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 173
Кроме того:
133. Система собственных подпространств самосопряжен-
самосопряженного оператора ортогональна.
Является ли она базисной? Это — центральный вопрос
теории самосопряженных операторов. Для его решения может
быть использована лемма:
134. Для самосопряженного оператора каждое инвариант-
инвариантное подпространство является ортогонально приводящим.
Теперь уже легко устанавливается, что:
135. Система собственных подпространств самосопряжен-
самосопряженного оператора базисная.
Таким образом, если 5?<5(Е), то S — оператор скаляр-,
ного типа. Более того, в силу 84:
136. Для любого самосопряженного оператора существует
ортонормированный собственный базис.
Перейдем на язык разложений единицы:
137. Разложение единицы самосопряженного оператора
ортогонально.
Таким образом, установлена спектральная тео-
теорема теории самосопряженных операторов:
138. Спектральное разложение самосопряженного опера-
оператора имеет вид
где (/а), —ортогональное разложение единицы, (A,fc), —ве-
—вещественные числа (см. 227 гл. II).
Такое представление в существенном единственно:
139. Если самосопряженный оператор представлен в вид»
т
т
где 'к)Ф'Кк U Ф k), Pk — проекторы и ^ Рк = /, то [Рк\™ —
разложение единицы оператора S, {A,fc}™—его спектр.
m
Очевидно, каждый оператор вида 5=2 ^a^V r^e
fc-i
{Pft}, — ортогональное разложение единицы, (ХЛ)" — веще-
вещественные числа, является самосопряженным. В частности,

174 ГЛ. 111. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1140
если у оператора существует ортонормированный собствен-
собственный базис и спектр вещественный, то оператор самосопря-
самосопряженный. Таким образом, самосопряженные операторы — это
все те и только те, которые имеют вещественный спектр и
ортонормированный собственный базис. Выясним, какой класс
операторов получится, если оставить только требования ве-
вещественности спектра и скалярного типа.
140. Для того чтобы оператор скалярного типа имел ве-
вещественный спектр, необходимо и достаточно, чтобы он был
подобен самосопряженному оператору.
Оператор, подобный самосопряженному, называется сим-
метризуемым.
Теперь мы можем существенно дополнить теорему о ка-
каноническом виде симметричного эрмитово-билинейного функ-
функционала.
141. В унитарном пространстве для любого симметрич-
симметричного эрмитово-билинейного функционала И (х, у) существует
такой ортонормированный базис [ek\", что
Н(х,
Тем самым:
142. В унитарном пространстве для любого веществен-
вещественного эрмитово-квадратичного функционала К(х) существует
такой ортонормированный базис [ек\", что
4-1 \ ft-1
Этот базис называется системой главных осей функцио-
функционала.
Отметим, что:
143. В канонических представлениях 141, 142 система
коэффициентов {lft}" определена однозначно с точностью до
перестановки (ср. 45).
Теорема 142 допускает следующую важную интерпретацию.
144. Если К (х), Ко (х) — вещественные эрмитово-ква-
эрмитово-квадратичные функционалы в линейном пространстве и функ-

147| § 5. ТЕОРИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 175
ционал К0(х) положителен, то существует такой базис [ek\",
что
Это — теорема об одновременном приведении
пары функционалов к каноническому виду.
Возвращаясь к самосопряженным операторам, рассмотрим
элементарные свойства резольвенты.
145. [RK(S)]' = RX(S).
В частности:
146. Если X вещественное, то RK(S)— самосопряженный
оператор.
Более глубокое свойство обнаруживается при рассмотрении
скалярной функции вида (R^x, х), где х — произвольный
фиксированный вектор, отличный от нуля.
147. Функция (R^x, х) вещественна на вещественной оси,
а в верхней полуплоскости удовлетворяет неравенству
. x)>0
(см. 129 гл. II).
Функция ф(Х), голоморфная в верхней полуплоскости
ЗтЯ>0 и удовлетворяющая там неравенству ЗтПф(Х)^>0,
называется e/f-фу н кци е й (или неванлинновской
функцией).
Нетрудно доказать, что общий вид рациональной QJV-функ-
QJV-функции ф(Я), обращающейся в нуль на бесконечности, таков:
4-1
где полюсы.кк вещественные, а вычеты ск положительны.
Отсюда можно вновь вывести спектральную теорему теории
самосопряжённых операторов.
Операторное исчисление (§ 5 гл. I) в случае самосопря-
самосопряженного оператора 5 может быть существенно расширено.
Именно, клксс Ф8 функций, голоморфных в окрестности
спектра, мо&ет быть теперь заменен классом всех функций,

176 гл. ш. унитарное пространство \ш
определенных на спектре *). При этом мы полагаем, исходя
из спектрального разложения,
def fe-1
148. [ф( ф()
Поэтому:
149. Оператор <p(S) является самосопряженным тогда и
только тогда, когда функция (f(X) веществена на спектре a(S).
Теория операторных уравнений
в классе самосопряженных операторов упрощается.
160. Пусть >S — самосопряженный оператор, т|> — какая-
нибудь функция, определенная на некотором множестве М
точек комплексной плоскости. Для того чтобы уравнение
имело самосопряженное решение X, необходимо и достаточно,
чтобы уравнение
имело вещественное решение \ik при каждом k?o(S). Для
единственности решения X необходима единственность ре-
решения \1^ при каждом % ? о E).
В частности:
151. Пусть р — натуральное число. Уравнение
где S — самосопряженный оператор, при нечетном р всегда
имеет единственное самосопряженное решение X, а при чет-
четном р имеет самосопряженное решение тогда и только тогда,
когда спектр оператора 5 неотрицателен, и это решение
единственно в классе операторов с неотрицательным спек-
спектром.
Если спектр самосопряженного оператора неотрицателен
(положителен), то сам оператор называется неотрицательным
*) Впрочем, это относится не только к самосопряженным опе-
операторам, но и вообще ко всем операторам скалярного типа.

I59| § 5. ТЕОРИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 177
(положительным). В силу 151 уравнение Хр = S с неотри-
неотрицательным оператором S имеет единственное неотрицательное
решение при любом р. Это решение совпадает с арифмети-
арифмети1/
ческим корнем
152. Уравнение
с положительным оператором 5 имеет единственное самосо-
самосопряженное решение.
Это решение совпадает с главным значением In S.
Отметим, что:
153. Любой ортопроектор Р является неотрицательным
оператором. Положительным он будет только в случае Р = I.
154. Для того чтобы самосопряженный оператор 5 был
неотрицательным, необходимо и достаточно, чтобы
(Sx, x)>0
Для положительности оператора S необходимо и достаточно,
чтобы
(Sx, x)>0 (х?Е, хфО).
Таким образом, положительность (неотрицательность)
самосопряженного оператора равносильна положительности
(неотрицательности) соответствующего эрмитово-квадратич-
эрмитово-квадратичного функционала.
155. Для любого оператора Л операторы А* А и А А*
неотрицательны. Для положительности любого из них необ-
необходима и достаточна регулярность оператора А.
156. Кег Л*Л = Кег Л, Кег А А* = Кег Л*.
157. ]тЛ*Л = 1тЛ*, 1т АА* = 1т Л.
Таким образом
rg A*A = rg Л* = rg Л =
Отметим обращение теоремы 156.
158. Если S — неотрицательный оператор, то существует
такой оператор Л, что S — A*A.
Следующие две теоремы связаны с матрицей Грама.
159. Если [икI — базис, то его матрица Грама (Yyft)y k-ml
определяет в любом ортонормированном базисе {ek}" поло-
положительный оператор.
12 И. М. Глазман. Ю. И. Любич

178 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО A60
Обратно:
160. Если некоторая матрица в каком-нибудь ортонор-
мированном базисе определяет положительный оператор, то
она является матрицей Грама некоторого базиса.
В заключение остановимся на алгебре ортопроекторов
(ср. § 8 гл. II).
161. Если сумма нескольких ортопроекторов является
проектором, то она является ортопроектором.
т
162. Для того чтобы сумма Р — 2 Pk ортопроекторов Pk
(k=l, 2, ..., т) была ортопроектором, необходимо и
достаточно, чтобы система [Pk\™ была ортогональной.
163. Если разность ортопроекторов является проектором,
то она является ортопроектором.
В частности, проектор Р, дополнительный к ортопроек-
тору Р, является ортопроектором.
164. Для того чтобы разность P = Pj—Р2 двух орто-
ортопроекторов Р, и Р2 была ортопроектором, необходимо и
достаточно, чтобы Р1 и Р2 были ортогональны.
Теперь заметим, что вообще:
165. Если S, Г?<2(Е), то ST?<Z(E) тогда и только
тогда, когда S^jT.
Поэтому:
166. Если Р, Q - - ортопроекторы, то произведение PQ
является ортопроектором тогда и только тогда, когда
167. Если произведение ортопроекторов Р = Р^Р2 ... Рт
не меняется при циклических перестановках сомножителей,
а также при обращении порядка сомножителей, то оно яв-
является ортопроектором.
Рассмотрим задачу о вычислении ортопроектора на пере-
пересечении подпространств Lk(k — 1, 2 т.) через ортопро-
ортопроекторы Pk = P (Lfc). Положим для q > m
где k — остаток от деления q на т.
( \
мана).
k — остаток от деления q на т.
(т \ ею
ПЧ =11^ (формула Качмажа —Ней-

1?4( | ^. ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 179
§ 6. Спектральная теория унитарных операторов.
Преобразование Кэли. Полярное представление оператора
Оператор U в унитарном пространстве Е называется уни-
унитарным, если он регулярен и
Класс унитарных операторов в Е обозначим через U(E).
169. Для того чтобы оператор А был унитарным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы он сохранял скалярное произ-
произведение:
(Ах, Ау) = (х, у) (х,
170. Для того чтобы оператор А был унитарным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы его матрица а в каком-нибудь
ортонормированном базисе была унитарной:
Это равносильно следующей системе соотношений для
элементов а)к матрицы а:
л
2ау*а^ = йь (*• s=\, 2, .... я).
171. Для того чтобы оператор был унитарным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он отображал какой-нибудь орто-
нормированный базис в ортонормированный базис.
172. Произведение унитарных операторов есть унитарный
оператор.
173. Оператор, обратный *) к унитарному, унитарен.
Таким образом, унитарные операторы в Е образуют
группу — подгруппу группы автоморфизмов. Эта подгруппа
неабелева при я> 1. Она называется я-мерной унитарной
группой.
Важное топологическое свойство унитарной группы со-
состоит в том, что:
174. Унитарная группа компактна.
Спектральная теория унитарных операторов аналогична
спектральной теории самосопряженных операторов. На самом
*) И, следовательно, сопряженный.
12*

180 ГЛ. Ш. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО A75
деле, как мы увидим дальше, здесь имеется не только ана-
аналогия, но и непосредственная связь.
175. Если L — инвариантное подпространство унитарного
оператора U, то сужение U | L является унитарным операто-
оператором в L.
176. Если ?/?U(E) и |а|=1, то at/?U(E).
Заметим, что если ?/?Ц(Е), то a?/?U(E) только при
|а|=1.
177. Спектр унитарного оператора лежит на единичной
окружности.
Такой спектр называется унитарным.
178. Система собственных подпространств унитарного
оператора ортогональна.
179. Для унитарного оператора каждое инвариантное
подпространство является ортогонально приводящим.
180. Система собственных подпространств унитарного
оператора базисная.
Таким образом, если ?/?U(E), то U — оператор скаляр-
скалярного типа.
181. Для любого унитарного оператора существует орто-
нормированный собственный базис.
Мы пришли к спектральной теореме теории уни-
унитарных операторов:
182. Спектральное разложение унитарного оператора
имеет вид
где \Pk\™ — ортогональное разложение единицы, {9ft}{™—ве-
{9ft}{™—вещественные числа.
183. Если унитарный оператор представлен в виде
m
и = S Крк-
k-i
т
где X/ Ф Xk \f Ф k), Pk — проекторы и 2 Р4 = /, то
{Pk}f — разложение единицы оператора U, [X^f — его
спектр.

1901 § в. ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 181
т
184. Каждый оператор вида U= S <?%кРь< где {Pk}T —
ортогональное разложение единицы, {9ft}|™ — вещественные
числа, является унитарным.
В частности, если у оператора существует ортонорми-
рованный собственный базис и его спектр является унитар-
унитарным, то оператор унитарен. Таким образом, унитарные опе-
операторы — это псе те и только те, которые имеют унитарный
спектр и ортонормированпый собственный базис.
185. Для того чтобы оператор скалярного типа имел уни-
унитарный спектр, необходимо и достаточно, чтобы он был
подобен унитарному оператору.
Отсюда, например, следует, что:
186. Если оператор А удовлетворяет уравнению
с некоторым целым р >> 1, то он подобен унитарному.
Теорема 186 допускает далеко идущее обобщение:
187. Если Г = \Ak)px — конечная группа регулярных опе-
операторов, то существует такой автоморфизм Т, что все опе-
операторы
Uk = TAkT~l (Л=1. 2 р)
унитарны.
Этот факт вытекает из 188—190. Рассмотрим в Е ска-
скалярное произведение, порождаемое группой Г:
р
(х, у)т = — J]
188. Функционал (х, у)г обладает всеми свойствами ска-
скалярного произведения.
189. Все операторы, входящие в группу Г, унитарны от-
относительно скалярного произведения (х, у)г.
190. Если в унитарном пространстве задано еще одно
скалярное произведение {х, у), то существует такой авто-
автоморфизм 7\ что для каждого оператора Л, унитарного в смы-
смысле скалярного произведения (л;, у), оператор U *=ТАТ~
унитарен в смысле основного скалярного произведения.

182 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (Ml
Установим непосредственную связь между унитарными и
самосопряженными операторами. Это можно сделать по край-
крайней мере двумя способами. Первый способ основан на так
называемом преобразовании Кэли. Идея преобразования Кэли
тесно связана с теоремой об отображении спектров. Чтобы
перейти от самосопряженного оператора к унитарному, нужно
преобразовать вещественный спектр в унитарный. Этого можно
добиться дробно-линейным преобразованием
f. X — ю
где и — параметр, %т и ф 0.
Преоб разованием Кэли самосопряженного оператора 5 на-
называется оператор Ua вида
где %т« Ф 0.
191. Оператор Ua унитарен.
192. Спектр оператора Ua не содержит точки 1.
193. Оператор S выражается через свое преобразование
Кэли следующим образом:
Если U — унитарный оператор, спектр которого не содер-
содержит точки 1, то существует оператор
называемый преобразованием Кэли унитарного оператора U.
194. Оператор Sa самосопряженный.
195. Оператор U выражается через свое преобразование
Кэли по формуле
Таким образом, устанавливается взаимно однозначное со-
соответствие между самосопряженными операторами и унитар-
унитарными операторами, спектр которых не содержит точки 1.
Второй способ перехода от самосопряженных операторов
к унитарным основан на экспоненциальном отображении
? = еа, которое также переводит вещественную ось в еди-
единичную окружность.

2001 § 6. ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 183
196. Если 5 — самосопряженный оператор, то оператор
U — eis унитарен.
197. Для любого унитарного оператора U существует та-
такой самосопряженный оператрр S, что
Равенство (*) можно рассматривать как аналог полярного
представления точки на единичной окружности. Эту аналогию
мы сейчас разовьем дальше.
Назовем левым и правым операторными модулями опе-
оператора А операторы
R(l)=(AA*f\ R(r) = (A*A)'2
соответственно (см. 155). Если А — регулярный оператор, то
его операторные модули регулярны.
198. Если А — регулярный оператор, то A = R^U, где
U — унитарный оператор.
Отсюда с использованием предельного перехода (см. 174)
получается, что:
199. Любой оператор А можно представить в виде
где U — унитарный оператор.
Аналогично:
200. Любой оператор А можно представить в виде
где U — унитарный оператор.
Представления 199, 200 называются полярными пред-
представлениями оператора А. Участвующие в них унитарные
операторы называются соответственно правым и левым фа-
фазовыми множителями оператора А. Записывая их в виде (*),
получаем полную аналогию с полярным представлением ком-
комплексных чисел.
Рассмотрим вопрос о единственности каждого из поляр-
полярных представлений. Для определенности ограничимся пред-
представлением вида
A = RU (**)
(R — неотрицательный, U — унитарный оператор).

184 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |201
201. Для регулярного оператора А представление (**)
единственно:
В общем случае можно утверждать лишь единственность
модуля:
202. Для любого оператора А из представления (**)
следует R = Ril).
203. Общий вид фазового множителя U в представлении
(**) таков:
U = (f-T)UQ,
где Uo — один из фазовых множителей, а Т пробегает мно-
множество операторов, определяемое условиями:
Операторы А и В называются унитарно подобными, если
существует такой унитарный оператор U, что
Bz=UAU~l (=UAU*).
Унитарное подобие операторов есть отношение эквивалент-
эквивалентности.
204. Для того чтобы операторы А к В были унитарно
подобными, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ор-
тонормированпого базиса А существовал такой ортонормиро-
ванный базис Л,, что матрица оператора В в базисе А, равна
матрице оператора А в базисе А (ср. 98 гл. II).
С помощью полярного представления легко установить,
что:
206. Операторы АА* и А*А унитарно подобны, каков бы
ни был оператор А (ср. 271 гл. II).
206. Если два самосопряженных (или два унитарных) опе-
оператора подобны, то они унитарно подобны.
§ 7. Спектральная теория нормальных операторов
Оператор N в унитарном пространстве называется нор-
нормальным, если
Очевидно, самосопряженные и унитарные операторы нор-
нормальны.

2151 * 7. ТЕОРИЯ НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 185
207. Для того чтобы оператор был нормальным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы его вещественная и мнимая части
коммутировали.
208. Для того чтобы оператор был нормальным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы его операторный модуль и соот-
соответствующий фазовый множитель коммутировали.
В доказательстве необходимости полезно учесть следую-
следующее предложение:
209. Если N — нормальный оператор, то Ker N* = Кег N.
Нормальные операторы — это наиболее широкий класс опе-
операторов скалярного типа, обладающих ортогональным разло-
разложением единицы. Спектральная теория нормальных операто-
операторов строится по той же схеме, что и спектральные теории
самосопряженных и унитарных операторов.
210. Для нормального оператора каждое собственное под-
подпространство является ортогонально приводящим.
Это же верно и для инвариантных подпространств (ср. 134,
179), но доказывается не очень просто. Вместе с тем для по-
получения спектральной теоремы достаточно 210, а обобщение
на произвольные инвариантные подпространства будет следо-
следовать из спектральной теоремы.
211. Собственное подпространство нормального опера-
оператора N, соответствующее собственному значению X, совпа-
совпадает с собственным подпространством оператора N*, соответ-
соответствующим собственному значению к.
212. Система собственных подпространств нормального
оператора ортогональна.
213. Система собственных подпространств нормального
оператора базисная.
Таким образом, если N — нормальный оператор, то N —
оператор скалярного типа.
214. Для любого нормального оператора N существует
ортонормированный собственный базис.
Каждый такой базис является собственным и для N*
в силу 211.
Теперь получается спектральная теорема для нор-
нормальных операторов:
215. Спектральное разложение нормального оператора
имеет вид m
w=2 V*.
«I

186 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО B16
где {Pjj™ — ортогональное разложение единицы,
комплексные числа.
216. Если нормальный оператор представлен в виде
A-I
где lj Фкк (J Ф к), Рй-проекторы и J? Pk=I> то {Pk}™ —
k-i
разложение единицы оператора N, {A.ft}™ —его спектр.
т
217. Каждый оператор вида N= ^ KPk> ™e [PkU ~
ортогональное разложение единицы, {^}|" — какие-нибудь чи-
числа, является нормальным.
В частности, если у оператора существует ортонормиро-
ванный собственный базис, то оператор нормальный. Таким
образом, нормальные операторы — это все те и только те,
которые обладают ортонормированным собственным базисом.
На спектр нормального оператора нет никаких ограничений.
Самосопряженные операторы—это нормальные операторы с ве-
вещественным спектром. Унитарные операторы — это нормаль-
нормальные операторы с унитарным спектром.
218. Для того чтобы оператор был оператором скалярного
типа, необходимо и достаточно, чтобы он был подобен нор-
нормальному оператору.
Следующая теорема является обобщением теоремы 206.
219. Если два нормальных оператора подобны, то они
унитарно подобны.
Другой подход к спектральной теории нормальных опе-
операторов основан на следующей теореме об одновре-
одновременном приведении.
220. Если два самосопряженных оператора S,, S2 ком-
коммутируют, то они обладают общим ортонормированным соб-
собственным базисом (ср. 193 гл. II).
В силу 207 эта теорема следует из спектральной теоремы
для нормальных операторов и обратно.
Теорему 220 можно усилить (ср. 194 гл. II):
221. Если {Sv} — какое-либо множество попарно комму-
коммутирующих самосопряженных операторов, то существует об-

225] § 8. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 187
щий для всех операторов Sv ортонормированный собствен-
собственный базис.
Более того:
222. Если {Mv} — какое-либо множество попарно комму-
коммутирующих нормальных операторов, то существует общий для
всех операторов jVv ортонормированный собственный базис.
Связь нормальных операторов с самосопряженными обна-
обнаруживается также при рассмотрении функций от оператора.
223. Любая функция от самосопряженного оператора
является нормальным оператором.
Обратно:
224. Если N — нормальный оператор, то существуют та-
такой самосопряженный оператор S и такая функция ф, что
S
В некоторых ситуациях от оператора, не являющегося, во-
вообще говоря, нормальным, удается естественно «отщепить»,
нормальную часть. Например:
225. Пусть спектр о (А) некоторого оператора А разбит
на две части
о(Л) = оA>иоB) (оA)ПоB)=0)
так, что собственные подпространства оператора А, соответ-
соответствующие точкам X ? оA), инвариантны относительно опера-
оператора А*. Тогда A — N@K, где N — нормальный оператор,
= оA) и о(Л-) = оB).
§ 8. Экстремальные свойства собственных значений
самосопряженного оператора
Пусть S — самосопряженный оператор. Рассмотрим его
собственные значения
занумерованные с учетом кратностей: каждое собственное зна-
значение учитывается столько раз, какова его кратность*). Со-
Соответственно занумеруем собственные векторы:
*) Указанная нумерация собственных значений самосопряжен-
самосопряженного оператора сохраняется на протяжении всей книги.

188 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |226
Оператор 5 порождает эрмитово-квадратичный функци-
функционал Ks(x) = (Sx, x). Оказывается, что собственные значения
оператора 5 могут быть описаны как экстремумы функ-
функционала К$ (х) на единичной сфере (х, х) = I (теория
Фишера — Курант а).
226. Имеют место соотношения:
Х1 = max (Sx, х), Хп = min (Sx, x).
(X, X)~l (X, X)-l
При этом минимум достигается на векторе ех, максимум — на
векторе еп-
Экстремальные векторы могут быть полностью описаны.
Назовем вектор х нормированным, если (х, х) = 1.
227. Множество нормированных векторов х, для кото-
которых
(Sx, x) = Xl ((Sx, *) = *,„),
совпадает с множеством нормированных собственных векто-
векторов оператора S, отвечающих собственному значению ^,
(соответственно 1,п).
Промежуточные собственные значения тоже обладают
некоторыми экстремальными свойствами:
228. Имеет место соотношение
Xk= max (Sx, x) (ft = 2, 3 я).
IX, ЛГ) = 1,
{*,.,)-О
Минимум достигается при x = ek. Аналогично
lk = min (Sx, x) (k = l, 2 я—1).
l
(X, fl ,
*, ej)-0
Максимум достигается при x = ek.
Полученное описание промежуточных собственных значе-
значений страдает тем недостатком, что оно «привязано» к собствен-
собственному базису оператора S. Устранение этого недостатка при-
приводит к более глубоким экстремальным (так называемым
минимаксным) характеристикам:

234] § 8. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 189
229. Пусть Lk — произвольное подпространство кораз-
коразмерности k — 1. Тогда
min Eл;, x)^.Xn_k+1, max Eл;,
(х, лг)=-1, (х, x)-l,
Более того:
230. ^„_ft+1 = max min Eл;, х), Ък =min max (Sx, x)
Ц (лг, x)-l, Ц (*, jr)=l,
Рассмотрим некоторые применения теории Фишера —
Куранта.
231. Пусть Р — ортопроектор, проектирующий на какое-
нибудь (я — 1)-мерное подпространство L/J_1. Рассмотрим
в Ln_j самосопряженный оператор S = P5|Ln_1, и пусть
{^*}"~ ~~ ег0 собственные значения. Тогда собственные зна-
значения операторов 5 и 5 перемежаются:
232. Пусть {Ц}"—какая-нибудь максимальная цепь под-
подпространств, Рк — ортопроектор, проектирующий на Lk.
Sk = PkS\Lk (k=l, 2 п).
Тогда собственные значения любых двух соседних членов по-
последовательности {Sk}" перемежаются.
Из этого предложения легко вывести детерминантный кри-
критерий положительности самосопряженного оператора, извест-
известный под названием критерия Сильвестра — Якоб и:
233. Положим dk = detSk (k — l, 2 я). Для того
чтобы оператор S был положительным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы все детерминанты dk были положительными.
Этот результат обобщается следующим образом.
234. Если йкф0 (fe = l, 2 я), то число отрица-
отрицательных собственных значений оператора 5 равно числу
знакоперемен в последовательности
1. dv d2 dn.

190 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО fA»
Пусть теперь 2k(k)—характеристический полином опе-
оператора Sk. Обозначим через \)§(Х) число знакоперемен в по-
последовательности
для тех X, для которых все члены этой последовательности
отличны от нуля.
235. Число собственных значений оператора 5, лежащих
в интервале (а, р), равно \)s (Р) — bs (а) (при условии, что
|}s (а) и tts (P) имеют смысл).
236. Функция \>s (А,) равна числу собственных значений
Оператора 5, лежащих в интервале (— оо, X).
Продолжим развитие теории Фишера — Куранта. Прежде
всего отметим, что результат 231 точен в том смысле, что:
237. Если числовая последовательность {^)"~ удовлет-
удовлетворяет неравенствам 231, то существует такой ортопроектор
P(tgP=n—1),что {Я-а}" есть спектр оператора S—Я5|1тР.
Результаты 231, 237 содержатся в более общем пред-
предложении:
238. Для существования ортопроектора P(rgP = г,
О < г < и) такого, чтобы заданная числовая последователь-
последовательность {kk)[ являлась спектром оператора 5 ~PS\\mP, необ-
необходимо и достаточно выполнение неравенств
**+(„-,) <?*<*.» (*=1. 2 г).
239. Пусть при фиксированном натуральном г последова-
последовательность {.tffc}' пробегает совокупность всевозможных орто-
нормированных систем в Е. Тогда
г
.. -+ а,г= min S (Sxn> xk)
и аналогично
г
_г+1 = тах 2 (Sxk> xk).
Экстремумы достигаются на отрезках ортонормированного
собственного базиса {ek)\ и [ek)"n_r_l соответственно.

§ 8. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 191
При г = п величины под знаками max и min сохраняют
постоянное значение sp 5.
Теорема 239 является обобщением основного экстремаль-
экстремального свойства 228. Аналогичным обобщением минимакси-
мального свойства 230 являются следующие две теоремы
Ви л ан дта.
240. Пусть тх < т2 < ... < тТ (шг <[ га) — натуральные
числа, L(ltcLAc ... <zL(r) — произвольная цепь подпрост-
подпространств размерностей dimL(-" = /»y, а \xj\\—произвольная
ортонормированная система, удовлетворяющая условию Xj ?L(-"
(у = 1, 2 г). Тогда
А-га,-|-V.-T ••• ~+ *"" = шах min 2E*/, X,).
Аналогично:
241. Пусть mx < m2 < ... < mr (mr^n) — натуральные
числа, М сМ' 'с ... dM* —произвольная цепь подпрост-
подпространств размерностей dim M^=ntj— 1, а {¦*;}[ — произволь-
произвольная ортонормированная система, удовлетворяющая условию
(i) (У=1, 2, .... г). Тогда
г
= min max
В заключение отметим еще неравенства Г. Вейля,
также вытекающие из основного минимаксимального свойства.
Пусть Xt (S), ^2 (S), ... — положительные собственные
вначения оператора 5, занумерованные в порядке убывания,
Xi (S), %2 (S), ...—его отрицательные и нулевые собст-
собственные значения, занумерованные в порядке убывания абсо-
абсолютных величин, и [х, (S) > ц,2 (S) > ... > \in (S) — модули
собственных значений оператора 5.
242. Для любых самосопряженных операторов Sl и S2
имеют место неравенства:
i -j- S2) <*С ^y+i (Si) -j- Xk+i (Si),
i -\- S2) > Д-7+i (^i) -

192 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [243
§ 9. Теорема Шура. Сингулярные числа (s-числа)
операторов
Если оператор А в унитарном пространстве не является
нормальным, то у него не существует ортонормированного
собственного базиса, хотя А при этом может быть даже
оператором скалярного типа. Возникает проблема «унитарного»
канонического вида. Существенный вклад в решение этой
проблемы дает следующая теорема Шура:
243. Для каждого оператора А существует ортонорми-
рованный базис треугольного представления.
Такой базис называется базисом Шура.
Доказательство может быть проведено методом § 2 гл. II
с использованием теоремы 86 настоящей главы.
244. Для того чтобы оператор был нормальным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы все его базисы Шура были
собственными.
Достаточно, конечно, чтобы один какой-нибудь базис
Шура был собственным.
Этот критерий нормальности вытекает из следующего,
упоминавшегося в § 7, критерия:
245. Для того чтобы оператор был нормальным, необходимо
и достаточно, чтобы все его инвариантные подпространства
были ортогонально приводящими.
Для вольтерровых операторов теорема Шура позволяет
выразить оператор через его мнимую часть. Пусть А —
вольтерров оператор, {е,-}" — его базис Шура и Qk — орто-
проектор на линейную оболочку системы {ej\\, Q0 = 0.
а— 1
246. А = 2( ? Qk А~.А* (Qk+, - Q,,)
ft-i
(формула М. С. Бродского).
Отсюда:
247. Если мнимые части вольтерровых операторов уни-
унитарно подобны, то сами операторы унитарно подобны.
Сингулярными числами (s-числами) sk = sk(A) опера-
оператора А называются собственные значения операторного модуля
sk(A)=Xlt((AA*Li) (ft=l, 2 я).
Сингулярные числа унитарно инвариантны:

255 § g. ТЕОРЕМА ШУРА. СИНГУЛЯРНЫЕ ЧИСЛА 193
248. Если U—унитарный оператор, то
sk(A) (к=\, 2 я).
249. sft (Л) = sft (Л*) (*=1, 2 «).
250. Если Л = /?L/ — полярное представление оператора
A, [ekI — собственный базис оператора/? и e'k = U~xek, то
при любом х? Е
(разложение Шмидта).
251. Для нормального оператора А
sk(A) = \K(A)\ (*=1, 2 п)
при соответствующей нумерации собственных значений.
Обратно:
252. Если для некоторого оператора А
(ft=l, 2 n).
то оператор Л нормальный.
Более того:
253. Если для некоторого оператора А и какого-нибудь
ортонормированного базиса {eft}"
\(Аек, ek)\ = sk(A) (k=l, 2 я),
то оператор Л нормальный.
Для доказательства можно использовать разложение
Шмидта.
254. Если [ek)" — ортонормированный базис, то
Тем более имеет место неравенство
(•)
255. Знак равенства в (*) имеет место лишь для нор-
нормального оператора вида А = е1(ЛВ, где В — неотрицательный
оператор и «= ---'¦- "ч
я
2 (А
п
(Л).

194 ГЛ. III. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО B56
256. Знак равенства в 254 имеет место лишь для опера-
оператора вида A—US, где 5 — неотрицательный оператор и
Sx = 0 в линейной оболочке тех eh, для которых (Аек, ek) = 0,
a U — унитарный оператор, определяемый соотношениями
где <aA=arg(/teft, е„).
Из 254 вытекает:
257. 2|
*-1
Очевидно:
258. max |А,А(Л)|< max sk(A).
1 <* < я I <ft «, л
Следующее неравенство Шура является в некотором
смысле промежуточным между 257 и 258.
259. 2|МР2!2
ft-I *-1
260. Знак равенства в каждом из неравенств 257—259
имеет место лишь для нормальных операторов.
Отметим одно интересное следствие неравенства Шура:
261. max| Я,;(Л) —А,Й(Л)|< у 2fsp ЛЛ* —-i|sp A |2j
(неравенство Мирского).
Для доказательства можно использовать формулу:
262. 2 | Xj (А) - 1к (Л) Р = п 2 | Я,* (Л) Р - | sp Л |».
Рассмотрим некоторые неравенства для s-чисел суммы и
произведения операторов.
263. 5, + *и(Л + В)<5у+,(Л)-МАМ(Д)(/ + Л<«-1).
264. 2 s* (Л + В) < 2 sft (/«) r2«t (^).
*-l ft-I A-I
Для доказательства 264 можно использовать формулу:
п
265. 2 **(Л)= sup \spAU\.
»-I t/fE)
266. 5уч

275| § 10. ХАУСДОРФОВО МНОЖЕСТВО 195
§ 10. Хаусдорфово множество оператора
Хаусдорфовым множеством (или числовой областью)
¦ оператора А называется множество gf? (А) комплексных чисел
вида (Ах, х), где х пробегает единичную сферу (х, х)=1.
267. Хаусдорфово множество ?HJ (N) нормального опе-
оператора совпадает с выпуклой оболочкой спектра а (М)
(т. е. с наименьшим выпуклым множеством, содержащим
спектр).
В частности:
268. Хаусдорфово множество 3@ (S) самосопряженного
оператора 5 совпадает с отрезком [Хп, Х^] вещественной оси.
269. Хаусдорфово множество Щ6(U) унитарного опера-
оператора U совпадает с многоугольником, множество вершин
которого есть спектр.
270. Хаусдорфово множество скалярного оператора а/
состоит из одной точки а.
Обратно:
271. Если хаусдорфово множество некоторого оператора
состоит из одной точки, то оператор скалярный.
Исследуем геометрию хаусдорфова множества. С помощью
теоремы Шура элементарно устанавливается, что:
272. Если основное пространство Е двумерно, то для
любого оператора А хаусдорфово множество SW (А) является
эллипсом с фокусами в точках спектра оператора А. Этот
эллипс вырождается в отрезок (или в точку) тогда и только
тогда, когда оператор нормален.
Заметим теперь, что:
273. Если L — произвольное подпространство простран-
пространства*) Е, Р — ортопроектор на L и А = PA\L, то
Отсюда и из 272 вытекает замечательная теорема:
274. Хаусдорфово множество любого оператора выпукло
(теорема Хаусдорфа).
При этом:
275. a(A)<=3V(A).
Следовательно, выпуклая оболочка спектра всегда со-
содержится в хаусдорфовом множестве.
*) Уже любой размерности,
13*

196 ГЛ. I!!. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО |276
Рассмотрим границу множества 36 (А). Это — выпуклая
замкнутая кривая в комплексной плоскости, исключая случаи
вырождения в отрезок или точку.
276. Если % — угловая точка границы хаусдорфова мно-
множества и х — такой вектор, для которого (Ах, х) — X,
(х, х)=1, то ортогональное дополнение вектора х инва-
инвариантно относительно А и А*.
Поэтому:
277. Угловые точки границы хаусдорфова множества^? (А)
входят в спектр оператора А и соответствующие собствен-
собственные подпространства ортогонально приводят оператор.
Таким образом, граница хаусдорфова множества может
иметь лишь конечное число угловых точек.
278. Если граница хаусдорфова множества Ш}(А) имеет
угловые точки Xv X2, .... Хт, то либо
где TV — нормальный оператор и
0(ЛО={^)?. a(K) = a(A)\a(N),
либо, в крайнем случае (в частности, при т = п), оператор
нормален и а(А)=['к])™. Если §в (А) — многоугольник
с вершинами Xlt X2 Хт, то
Следовательно:
279. Пусть §6'(А) — многоугольник, множество вершин
которого либо совпадает со спектром а (А), либо не содержит
только одну точку спектра, являющуюся простым корнем
минимального полинома. Тогда оператор А нормален.
Это — частичное обращение теоремы 267. Полное обраще-
обращение невозможно, как станет ясно из 282.
т
280. Если /1=®4 т0 е%>(А) совпадает с выпуклой
т.
оболочкой множества [J Щв (Ak).
*-i
Поэтому:
281. Если N—нормальный оператор в некотором под-
подпространстве L, а К — любой оператор в подпространстве Ы-.

288| § Ю. ХАУСДОРФОВО МНОЖЕСТВО 197
удовлетворяющий условию й?(/С)сй?(Л/), то хаусдорфово
множество оператора A = N фК совпадает с многоугольни-
многоугольником g?e(N).
Итак:
282. Для того чтобы хаусдорфово множество оператора А
совпадало с выпуклой оболочкой спектра, необходимо и
достаточно, чтобы А был нормален или имел вид
где /V — нормальный оператор, Об(К)с??в (N).
Будем говорить, что конечное множество точек на плос-
плоскости является с-независимым, если ни одна точка не при-
принадлежит выпуклой оболочке остальных (т. е. если суще-
существует выпуклый многоугольник, имеющий данное множество
в качестве множества вершин).
283. Если спектр оператора А является с-независимым
и выпуклая оболочка спектра совпадает с е%? (А), то опера-
оператор А нормальный.
284. Если А — оператор с унитарным спектром и выпук-
выпуклая оболочка спектра совпадает с $в(А), то А — унитарный
оператор.
285. Если &6{А) совпадает с отрезком вещественной оси,
то А — самосопряженный оператор.
Продемонстрируем одно из применений хаусдорфова мно-
множества.
286. Если sp А = О, то существует такой ортонормиро-
ванный базис {ек}", что (Aek, ek) — 0 (ср. 209 гл. II).
Отсюда тем же методом, что и в § 6 гл. II, можно уста-
установить следующее предложение.
287. Если 5 — самосопряженный оператор и sp5 = 0,
то существует такой самосопряженный оператор Sx с простым
спектром и такой самосопряженный оператор S2, что
5 = у[5„ S2].
Из 287, между прочим, вытекает, что:
288. Если 5 — самосопряженный оператор и sp 5 = 0, то
существует такой оператор А, что S = — [А, А*].

ГЛАВА IV
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ФУНКЦИОНАЛЫ
И ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Норма, метрика, топология
Функционал v(x) в пространстве Е называется нормой,
если он обладает следующими свойствами:
1) v (х) > 0 (х Ф 0) (позитивность);
2) v(ах) = | а |v(л;) (абсолютная одно-
однородность);
3) v (х, -(- х2) <; v (x,) -\- v (х2) (неравенство тре-
треугольника).
Норма — это естественное обобщение элементарного понятия
длины вектора.
Отметим непосредственные следствия основных свойств
нормы.
1. v@) = 0.
2. v (— х) = v (x) (симметрия).
3. | v (х.) - v (х2) |< v (дс, ± х2)< v (х.) + v (х2).
Если в пространстве фиксирована какая-нибудь норма,
то говорят, что пространство нормировано; выделенную норму
при этом обозначают через j| x ||. Нормированное пространство
называется также пространством Минковского *).
Подпространства нормированного пространства нормиро-
нормированы естественным образом.
Одно и то же линейное пространство можно нормировать
бесконечным множеством способов:
*) Бесконечномерным аналогом конечномерного пространства
Минковского является пространство Ран эх а (или б а на»
X о в о пространство).

8| § I. НОРМА. МЕТРИКА, ТОПОЛОГИЯ 199
4. Если v(x)-—норма, а — положительное число, то
av (х) — также норма.
б. Пусть А={ек}" — какой-нибудь базис. Тогда функ-
функционал
vc(x; A)= max
U=2 6*«*j
\ ft-1 /
является нормой.
Это — так называемая с-норма (или равномерная норма)
относительно данного базиса А.
6. Функционал
является нормой.
Это — l-норма (относительно базиса А). Ее можно обоб-
обобщить следующим образом:
7. Пусть р — любое число, удовлетворяющее неравенству
р^-1. Функционал
является нормой.
Это — 1Р-норма (относительно базиса А). При /? = оо
она обращается в с-норму. При р — 1 она обращается
в /-норму.
Арифметическое пространство, наделенное /"-нормой от-
относительно какого-нибудь базиса, называется пространст-
пространством V. При р = 1 оно называется также пространством I,
при р = оо называется также пространством с.
Неравенство треугольника в 1Р известно в анализе как
неравенство Ми нковского
/ я \1/р / п \1/р / я у/р
\А-1 * / _ ^ \ft-l * / \ft-l * /
Весьма важен частный случай /2-нормы, естественно воз-
возникающей в унитарном пространстве:
8. В унитарном пространстве функционал
|| X || = У{Х, X) (.*)

200 ГЛ. IV НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |9
совпадает с Я-нормой относительно любого ортонормирован-
ного базиса.
Тем самым унитарное пространство естественным образом
нормировано. Норма (*) в унитарном пространстве Е назы-
называется евклидовой нормой, а само Е, рассматриваемое как
нормированное, называется евклидовым пространством *).
Таким образом, пространство I2 евклидово.
Неравенство треугольника для евклидовой нормы тесно
связано с важным неравенством Г. Шварца:
9. В евклидовом пространстве
К*. у)К1МН1у11-
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда век-
векторы х и у линейно зависимы.
Неравенство Шварца является геометрической интерпре-
интерпретацией известного в анализе неравенства Коши
ft-1 » ft-1
Связь неравенства Шварца с неравенством треугольника
устанавливается через посредство теоремы косинусов:
10. В евклидовом пространстве
Отметим, что из теоремы косинусов вытекает теорема
о диагоналях параллелограмма:
Свойство 11 нормы в евклидовом пространстве является
характеристическим:
12. Если норма в пространстве Е удовлетворяет соотно-
соотношению 11, то она является евклидовой.
Из 12 следует, что:
13. Если каждое двумерное подпространство нормирован-
нормированного пространства Е является евклидовым, то и простран-
пространство Е евклидово.
*) Бесконечномерным аналогом конечномерного евклидова про-
пространства является гильбертово пространство.

IS] § 1. НОРМА. МЕТРИКА. ТОПОЛОГИЯ 201
Введем в связи с 12 меру неевклидовости нормирован-
нормированного пространства Е:
14. Имеет место точное неравенство 1 <^ \i (E) ^ 2,
15. Для того чтобы нормированное пространство Е было
евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы ц(Е)=1.
Каждое нормированное пространство обладает естествен-
естественной метрикой:
d(x, у) =|| х — у ||. (**)
Это означает, что:
1) d(x, у) > 0 (хфу); d(x, x) = 0 (позитивность);
2) d (у, х) — d (х, у) (с и м м е т р и я);
3) d (x, у) <^ d (x, z)-\-d(z, у) (неравенство
треугольника).
Кроме того, имеются дополнительные *) свойства:
4) d(x -f- z, y-r-2r) = d(x, у) (трансляцион-
(трансляционная инвариант-
инвариантность);
5) d {ax, ay) = | а | d (x, у) (абсолютная
однородность).
Оказывается, что:
16. Если функционал d(x, у) в линейном пространстве
обладает свойствами 1) — 5), то он порождается некоторой
нормой по формуле (**), и эта норма единственна.
Итак, мы вправе рассматривать каждое нормированное
пространство как метрическое, а тем самым и как топо-
топологическое. В гл. I мы уже наделили пространство Е топо-
топологией. Эту топологию назовем слабой топологией.
17. Топология, порождаемая любой нормой в Е, совпадает
со слабой топологией.
Этот фундаментальный результат вытекает из устанавли-
устанавливаемых ниже теорем 18—23.
18. Слабая топология порождается с-нормой (относительно
любого базиса).
*) Не обязательные для метрики в общем случае.

202 >'Л. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА A9
Пусть v( (х) и v2 (х) — две нормы в пространстве Е.
Говорят, что норма v, подчинена норме v2, если существует
такая константа G, что
19. Каждая норма подчинена с-норме.
Отсюда следует, что:
20. Каждая норма является непрерывным функционалом
в слабой топологии.
Если каждая из двух норм подчинена другой, то нормы
называются эквивалентными.
. 21. Эквивалентные нормы порождают одну и ту же топо-
топологию.
С помощью 18 и элементарной теории непрерывных функ-
функций устанавливается, что:
22. Каждая норма эквивалентна с-норме.
Следовательно:
23. Любые две нормы в Е эквивалентны.
Теорема 17 непосредственно следует из 23, 21, 18.
В нормированном пространстве можно определить сходи-
сходимость по норме, полагая
lim xk = x,
ft-»oo
если
lim || xk — x|| = 0.
Это определение согласовано с определением сходимости
в общем метрическом пространстве. В силу 305 гл. I сходи-
сходимость по норме в Е совпадает с покоординатной сходимостью.
Класс фундаментальных последовательностей в Е также
можно описать, пользуясь нормой: для того чтобы последо-
последовательность [xk]^ была фундаментальной, необходимо и до-
достаточно, чтобы
lim ||*y —*,||-=0
У, ft-Юо
(т. е. чтобы она была фундаментальной в Смысле, принятом
для метрических пространств).
Сформулируем несколько предложений, относящихся к ря-
рядам а нормированном пространств.

Щ § 2. ПРЕДНОРМЫ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ НОРМЫ 203
Векторный ряд ^] jcfe в нормированном пространстве на-
к-\
оо
зывается абсолютно сходящимся, если 2 !| *ь II < °°-
/it-i
24. Для того чтобы векторный ряд был абсолютно схо-
сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы он был безусловно
сходящимся.
Тем самым абсолютная сходимость в Е не зависит от
выбора нормы *). Заметим еще, что:
по
25. Если ряд векторов 2 хь абсолютно сходится, то он
4-1
СХОДИТСЯ И
1оо II со
Zj xk | ^- Zj II хк II-
Для векторных степенных рядов существенно отметить
следующую модификацию теоремы Коши — Адамара:
со
26. Пусть 2 aft(^—^o)* — векторный степенной ряд.
Положим
р= k
lim fl\ak\\
Величина р не зависит от выбора нормы и совпадает с радиу-
радиусом сходимости степенного ряда.
§ 2. Преднормы и индуцированные нормы
Функционал р (х) в пространстве Е называется преднор-
мой (или полунормой), если он удовлетворяет неравенству
треугольника
р (л:, f х2) < р (л:,) -Ь Р (Х2>
и абсолютно однороден:
= \а\р(х).
*) Это легко проверяется и непосредственно на основании 21.

204 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |27
Отметим элементарные свойства преднормы.
27. р@) = 0.
28. р(—х) = р(х).
29. р(л:)>0.
Таким образом, преднорма р является нормой тогда и
только тогда, когда р(х)Ф0 (х Ф 0).
30. Множество Кег р векторов х, для которых р (х) = 0,
является подпространством.
31. Если L— какое-нибудь дополнение подпространства
Кег р, то функционал p\L является нормой в L.
32. Соотношение х = у (mod Кег р) влечет за собой
р(х)=р(у).
Поэтому в фактор-пространстве Е | Кег р определен функ-
функционал р([х]) = р (х).
33. Функционал р является нормой в Е | Кег р.
Преднорма рх называется подчиненной преднорме р2, если
существует такая константа С, что
34. Преднорма подчинена любой норме.
Таким образом, если р — преднорма в нормированном
пространстве, то существует такая константа С, что:
р(х)<е\\х\\ (де б е).
Наименьшее С в этом неравенстве называется нормой функ-
функционала р и обозначается || р ||. Очевидно,
Можно также написать
|= sup p(x).
11*11-1
По этому поводу введем определение: если ||л:||=1, то
вектор х называется нормированным. Система векторов
[xk)m называется нормированной, если все векторы системы
нормированы. Множество всех нормированных векторов на-
называется единичной сферой.
35. Для подчиненности преднормы рх предпорме р2 не-
необходимо и достаточно, чтобы Кег р2 cz K,er р±.

Щ § 2. ПРЕДНОРМЫ И ИНДУЦИРОВАННЫЕ НОРМЫ 205
Если каждая из двух преднорм подчинена другой, то они
называются эквивалентными. В силу 35:
36. Для эквивалентности преднорм рх и р2 необходимо
и достаточно, чтобы Кег рх = Кег р2.
Таким образом, классы эквивалентных преднорм нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с подпростран-
подпространствами пространства Е. При этом классу норм соответствует
подпространство 0. Классу, состоящему из одной нулевой
преднормы, соответствует Е.
С помощью преднорм можно вводить индуцирован-
индуцированные нормы в фактор-пространствах, пространствах функ-
функционалов и гомоморфизмов.
Пусть Е — нормированное пространство, L — его подпро-
подпространство. Расстоянием вектора х от подпространства L
называется величина
d(x; L) = inf ||jf—y||.
37. Функционал d(. ; L) является преднормой и
Кег</(.; L)=L.
В силу 33 в фактор-пространстве E/L индуцируется норма.
Она обозначается тем же символом ||. ||, что и норма основ-
основного пространства.
38. Индуцированная норма в фактор-пространстве равна
11*11= inf ||* ||.
\x\-X
39. Пусть Е и Ej — нормированные пространства и
h ? Нот (Е, Ej). Тогда функционал
Ph (•*) = II пх Hi (x 6 Е, ||. ||, — норма в Е,)
является преднормой. При этом Кег ph = Ker h.
Норма функционала рн называется нормой гомомор-
гомоморфизма h и обозначается || h ||. Итак,
-= sup || hx||,.
В частности, тем самым введено понятие нормы линей-
линейного оператора А в нормированном пространстве

206 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА J40
и нормы линейного функционала f в нормированном про-
пространстве
L^i= sup \f(x)\
!U'I-1
40. Функционал || А || в пространстве Нот (Е, Et) обла-
обладает всеми свойствами нормы.
Это и есть индуцированная норма в Нот (Е, Е,) (в част-
частности, в Ш (Е) и в Е').
Для эрмитовых гомоморфизмов норма вводится точно
так же, как для гомоморфизмов. В частности, тем самым
вводится индуцированная норма в Е*.
Индуцированная норма гомоморфизмов обладает некото-
некоторыми специальными свойствами, связанными с алгеброй гомо-
гомоморфизмов.
41. || A2A] ||-^|| А2|| • || Aj || (кольцевое свойство).
42. || /1| = 1 (сохранение единицы).
Можно также определить норму билинейного функцио-
функционала, полагая
Р||У||у|| I
х, у IIх II II УII || дг|| = ||у|| —1
и аналогично — норму эрмитово-билинейного функционала.
Наконец, норма квадратичного функционала определяется
как
= sup \Q(x)\
||х|| -1
и аналогично — норма эрмитово-квадратичного функцио-
функционала.
43. Если BQ — поляра квадратичного функционала Q, то
Таким образом:
44. В евклидовом пространстве || BQ |] = || Q ||.
Для того чтобы сформулировать аналогичные результаты,
относящиеся к эрмитово-квадратичным функционалам, пведем
еще одну меру неевклидовости:
„(о /Еч __ ,,1П
ц W_sup

52| § 3. АБСОЛЮТНО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 207
45. Имеет место точное неравенство 1 <^ц(с) (Е)<^ 2.
Для того чтобы пространство Е было евклидовым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ц(с)(Е) = 1.
46. Если Ик - поляра эрмитово-квадратичного функцио-
функционала К, то
47. Для вещественного эрмитово-квадратичного функцио-
функционала имеет место неравенство
Таким образом:
48. Если К— вещественный эрмитово-квадратичный функ-
функционал в евклидовом пространстве, то
№11 = 11 к II-
Отметим еще, что:
49. Норма билинейного (эрмитово-билинейного) функ-
функционала равна норме каждого из его генераторов.
Тем самым нормы левого и правого генераторов равны.
§ 3. Абсолютно выпуклые множества и преднормы.
Обобщенные преднормы
Множество W в пространстве Е называется абсолютно
выпуклым, если для любых х. y?W и для любых чисел
а, C, удовлетворяющих условию |а[ + |р| = 1, имеет место
включение
ах + 1Ь' 6 W.
50. Абсолютно выпуклое множество W симметрично от-
относительно нуля: если х ? W, то — х ? V/.
51. Каждое непустое абсолютно выпуклое множество со-
содержит нуль.
52. Если W — абсолютно выпуклое множество и х ? W,
то ах ? W при любом а, удовлетворяющем неравенству
|о|<1.
Абсолютно выпуклое множество называется абсолютно
выпуклым телом, если оно содержит некоторую окрестность
нуля.

208 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |53
63. Если р — преднорма, то единичный шар
является замкнутым абсолютно выпуклым телом.
54. Если р1 и р2—преднормы и соответствующие им
единичные шары совпадают, то рх (х) = р2 (х) (х?Е).
Таким образом, единичный шар однозначно определяет
преднорму.
Пусть, наоборот, W — какое-нибудь замкнутое абсолютно
выпуклое тело. Рассмотрим множество положительных чисел
а, для которых при фиксированном х
х/а ? W.
Нижнюю грань этого множества обозначим через pw(x).
55. Функционал /?w (x) является преднормой, и соответ-
соответствующий единичный шар совпадает с W.
Функционал /?w (jc) называется функционалом Минков-
ского тела W. Таким образом, установлено взаимно одно-
однозначное соответствие между преднормами и замкнутыми
абсолютно выпуклыми телами.
56. Для того чтобы преднорма р была нормой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы соответствующий единичный шар
был ограниченным множеством.
В связи с этим отметим, что:
57. Для того чтобы множество F в нормированном про-
пространстве было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы
оно содержалось в некотором шаре || х || ^ г.
Полезное обобщение изложенной теории получится, если
допустить функционалы, принимающие значение -)-оо. Со-
Сохраняя в остальном определение преднормы, мы получаем
понятие обобщенной преднормы.
Пусть р — обобщенная преднорма. Положим
Dom р = {х | р (х) < + оо).
58. Множество Dom p либо пусто, либо является под-
подпространством.
Если Dom р ф 0, то функционал р | Dom p — преднорма
в Dom p.
69. Если Dom р Ф 0, то р @) = 0 (и обратно).
60. Единичный шар р (х) <^ 1 является замкнутым абсо-
абсолютно выпуклым множеством, непустым тогда и только тогда,
когда Dom p не пусто. Абсолютно выпуклым телом он будет
тогда и только тогда, когда р — преднорма,

66| § 4. ТЕОРИЯ ХАНА - БАНАХА 209
61. Если рх и р2— обобщенные преднормы и соответ-
соответствующие им единичные шары совпадают, то /?, (х) = р2 (х)
(*€Е).
Пусть теперь W—какое-нибудь замкнутое абсолютно
выпуклое множество. Введем функционал Минковского pw(x)
точно так же, как и для случая тела.
62. Функционал pw(x) является обобщенной преднормой,
и соответствующий единичный шар совпадает с W.
Таким образом, установлено взаимно однозначное соот-
соответствие между обобщенными преднормами и замкнутыми абсо-
абсолютно выпуклыми множествами.
Понятия подчиненности и эквивалентности непосредственно
переносятся на обобщенные преднормы.
63. Для того чтобы обобщенная преднорма р, была под-
подчинена обобщенной преднорме р2, необходимо и достаточно,
чтобы
Ker p2 cKer px; Dom p2czDom pv
64. Для того чтобы обобщенные преднормы рх и р2 были
эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы
Ker /?! = Ker p2\ Dom pl = Dom p2.
Сформулируем критерии подчиненности и эквивалентности
в терминах единичных шаров. Будем говорить, что множество
Wj поглощает множество W2, если существует такое q > 0,
что qW2cz'Wl.
Пусть рЛ и р2 — обобщенные преднормы, W, и W2 —
соответствующие абсолютно выпуклые множества.
65. Для того чтобы рх была подчинена р2, необходимо
и достаточно, чтобы W\ поглощало W2. Для того чтобы /?,
и р2 были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы
W, и W2 поглощали друг друга.
§ 4. Теория Хана — Банаха
Под теорией Хана—Банаха мы понимаем теорию продол-
продолжения гомоморфизмов, заданных на подпространствах норми-
нормированного пространства Е.
66. Пусть L ф 0 — подпространство пространства Е, Е, —
еще одно нормированное пространство, h ? Нот (Е, Et).
Тогда ||h| L||<|| h||.
14 И. М. Глазман, 10. И. Любнч ¦

210 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |67
Поэтому при продолжении гомоморфизма норма либэ
увеличивается, либо сохраняется.
Основная проблема состоит в выяснении возможности
продолжения гомоморфизма с сохранением нормы. Укажем
один подход к решению этой проблемы. Начнем со следую-
следующего очевидного замечания.
67. Если Р Ф 0 — проектор, то ||Р||>1.
Теперь для данного подпространства L Ф О рассмотрим
множество П(Ь) всех проекторов на подпространство L и
положим
co(L, E) =
Величина <a(L, E) называется проекционной константой
подпространства L. Очевидно, co(L, E)^>1. Можно привести
примеры, когда co(L, E) > 1.
68. В П(Ь) существует такой проектор P(L), 4tom(L, E) =
Я |
Таким образом, ш(Ь, Е) = min || Р \\.
Pgn(L)
69. Для того чтобы каждый гомоморфизм /z?Hom(L, E,)
(L =?0) допускал продолжение Л?Нот(Е, Е^ с сохранением
нормы, необходимо и достаточно, чтобы ш(Ь, Е)=1.
Применим этот общий результат к случаю евклидова
пространства.
70. Если Р ф О — ортопроектор в евклидовом простран-
пространстве, то || Р ||= 1.
Следовательно:
71. Условие ш(Ь, Е)=1 выполняется для всех подпро-
подпространств L ф О евклидова пространства *) Е.
72. Если Е — евклидово пространство, то для каждого его
подпространства L Ф 0 и каждого гомоморфизма h ? Horn (L, Е,)
существует продолжение Л? Hom(E, Ej) с сохранением нормы.
Между прочим, теорема 70 обращается:
73. Если Р — проектор в евклидовом пространстве и
||Я||=1, то Р — ортопроектор.
Это дает повод называть ортопроектором в нормирован-
нормированном пространстве проектор Р, для которого || Р || = 1. Усло-
*) Это свойство является характеристическим для евклидова
пространства (см. § 2 гл. VII).

81| § 4. ТЕОРИЯ ХАНА — БАНАХА 211
вие ш (L, Е) = 1 означает, чтв Р (L) — ортопрвектвр, иначе
говоря, что существует ортопроектор на L.
Введем понятие ортогональности векторов в нормирован-
нормированном пространстве.
Вектор у называется ортогональным к вектору х, если
для всех а.
Так определенная ортогональность, вообще говоря, несим-
несимметрична. Однако в евклидовом пространстве это — прежняя
ортогональность:
74. В евклидовом пространстве соотношение (*) для всех
а выполняется тогда и только тогда, когда (х, у) — 0.
Подпространство М нормированного пространства Е на-
называется ортогональным к подпространству L, если, как
обычно, каждый вектор у ? М ортогонален каждому вектору
x?L.
75. Если подпространство М ортогонально к подпрост-
подпространству L, то М и L взаимно независимы.
Однако произвольное подпространство L может не иметь
ортогонального дополнения, т. е. дополнения, ортогонального
к L в рассматриваемом смысле. Может также случиться, что
ортогональное дополнение существует, но не единственно.
76. Для того чтобы подпространство L обладало ортого-
ортогональным дополнением, необходимо и достаточно, чтобы
©(L, Е)=1.
Это предложение тесно связано со следующим:
77. Для того чтобы проектор Р был ортопроектором,
необходимо и достаточно, чтобы подпространство Кег Р было
ортогонально подпространству Im P.
При этом ввиду несимметрии свойства ортогональности
дополнительный проектор Р может уже не быть ортопроек-
ортопроектором.
Обозначим через Тх множество тех векторов простран-
пространства Е, которые ортогональны к вектору х ? Е, Множество
Т, может не быть подпространством. Однако:
78. Если у ? Т^., то ау ? 7Х при всех а.
В частности, О ?ТХ.
79. Если хф 0, то х?Тх.
80. Если х = 0, то Т^ = Е.
81. 1ах = 1х(аф0).
14*

212 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |82
Ниже мы увидим, что множество Тх всегда достаточно
богато векторами.
Подпространство М называется ортогональным к вектору
х, если МсТ^, т. е. если М ортогонально к линейной обо-
оболочке L вектора л:. Очевидно, если М — ортогональное к х
подпространство, то каждое его подпространство также яв-
является ортогональным к х.
82. Каждое ортогональное к х подпространство содер-
содержится в некотором максимальном ортогональном к х подпро-
подпространстве.
Если х ф 0 и М — максимальное ортогональное к х под-
подпространство, то, в силу 79, М ф Е, т. е. codimM^l.
На самом же деле:
83. Если х ф 0 и М — максимальное ортогональное к л:
подпространство, то codimM=l (теорема Асколи —
М аз у р а).
Инлми словами, М является ортогональным дополнением
к одномерному подпространству, порождаемому вектором х.
Доказательство этой фундаментальной теоремы опирается
на следующие две леммы.
84. Пусть N — ортогональное к х подпространство, An —
гомоморфизм стягивания пространства Е по модулю N. Тогда
И*Ю>||<|М1 (УбЕ) и |[ ANх || = || х||.
Таким образом, ||An||=1-
85. Если dim Е > 1, то для любого вектора х существует
вектор у Ф 0, ортогональный к х.
Рассмотрим основные следствия теоремы Асколи — Ма-
зура:
86. Если х ф 0 и Тх является подпространством, то
codim Тх — 1.
87. Если L — одномерное подпространство, toco(L, E) = 1.
Следовательно, любой гомоморфизм, заданный на одно-
одномерном подпространстве, можно с сохранением нормы про-
продолжить на все пространство. В частности:
88. Любой линейный функционал g, определенный на
подпространстве, можно продолжить на все пространство
с сохранением нормы (теорема Хан а-Банах а).
Это — центральная теорема рассматриваемой теории. С ее
помощью легко устанавливается теорема Мипковского:

95J § 4. ТЕОРИЯ ХАНА-DAHAXA 213
89. Для любого вектора х существует такой линейный
функционал /х Ф 0, что
Функционал fx называется опорным функционалом (к шару
jy| || у || = || х ||)) в точке х. Он определен по крайней мере
с точностью до множителя X ф 0.
Опорные функционалы связаны с ортогональными подпро-
подпространствами следующим предложением:
90. Для того чтобы линейный функционал / Ф 0 был
опорным в точке х, необходимо и достаточно, чтобы подпро-
подпространство Кег/ было ортогональным к вектору х.
91. Для того чтобы опорный функционал в точке х Ф 0
был определен однозначно с точностью до множителя, необ-
необходимо и достаточно, чтобы Т^ было подпространством.
Заметим еще, что независимо от теоремы Хана — Банаха
92. Каждый линейный функционал /ФО является опорным
в некоторой точке х Ф 0.
Это предложение позволяет построить в нормированном
пространстве аналог процесса ортогонализации Сонина —
Шмидта.
93. Для любого базиса (мй)" существует нормированный
базис [екI такой, что линейная оболочка системы {eft}/~!
(/=2, 3 л) ортогональна к вектору е;- и совпадает с ли-
линейной оболочкой системы [икI~1.
Базис [ек\1, обладающий тем же свойством, что при
каждом у = 2,3, ...,« линейная оболочка системы {ek}k<j
ортогональна к вектору ej, называется полуортогональным.
Теорема 93 гарантирует существование полуортогонального
базиса.
Базис [екI называется ортогональным (ипибазисом Ауэр-
баха), если при каждом /=1. 2, п линейная оболочка
системы \ек\кф) ортогональна к вектору ву. Ортогональный
базис также существует, но его построение требует более
сложных средств (см. § 5 гл. V).
94. Канонический базис в № A <^р<[оэ) является нор-
нормированным базисом Ауэрбаха.
Распространим теорему Хана — Банаха на гомоморфизмы.
95. Пусть g4-Q - гомоморфизм из подпространства LcrE
в нормированное пространство Е,, причем ig g ^ codim L -j- 1.

214 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |96
Тогда существует такое подпространство L:dL, что
codimL = tgg — 1,
и g можно продолжить на L с сохранением нормы.
Теория Хана — Банаха без существенных изменений пере-
переносится на эрмитово-линейные функционалы и эрмитовы го-
гомоморфизмы.
Отметим еще обобщение теоремы Хана — Банаха на «пред-
нормированное» пространство. Линейный функционал / на-
называется подчиненным обобщенной преднорме р, если пред-
порма |/| подчинена обобщенной преднорме р. При этом
96. Если р — обобщенная преднорма в Е и g — линейный
функционал, определенный на подпространстве и подчинен-
подчиненный там обобщенной преднорме р, то существует продол-
продолжение g'^E', подчиненное р и удовлетворяющее условию
§ 5. Изометрия, универсальность, вложение
Нормированное пространство Е называется изометричным
пространству Е^ если Е и Е, изоморфны, причем существует
изоморфизм j ? Нот (Е, Е,), сохраняющий норму векторов:
IIАII = 11* II-
Такой изоморфизм называется изометрией пространств Е и Е,.
Очевидно, изометричность пространств является отноше-
отношением эквивалентности.
97. Изометрия сохраняет расстояния:
d(Jx. jy) = d(x, у) (х, у?Е).
Обратно, любой эпиморфизм, сохраняющий расстояния,
является изометрией.
Эрмитовой изометрией пространств Е и Е, называется
эрмитов изоморфизм, сохраняющий норму векторов.
98. Каноническое комплексное сопряжение Е' -> Е* яв-
является эрмитовой изометрией.

I04| § 5. ИЗОМЕТРИЯ, УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ, ВЛОЖЕНИЕ 215
Но это не означает, что пространства Е' и Е* изомет-
ричны.
99. Канонические изоморфизмы Е -> Е", Е —> Е** являются
изометриями.
Эта фундаментальная теорема легко выводится из теоремы
Минковского.
С помощью 99 и 49 устанавливаются равенства:
юо. и л'|| HI*'II НИ II-
Рассмотрим теперь несколько примеров.
101. Все евклидовы пространства одной и той же раз-
размерности изометричны.
102. Если р1ф р A < р, р,<со), то пространство lPi
не изометрично пространству 1Р, за исключением случаев
двумерных / и с и одномерных пространств.
В частности:
103. Пространство 1Р при р Ф 2 неевклидово (исключая
одномерный случай).
Введем для любого р A <! р <! со) двойственный
индекс а = —^-р, так что
104. Пространство, сопряженное к 1Р, изометрично /*.
В частности, пространство, сопряженное к /, изомет-
изометрично с, а сопряженное к с изометрично /.
Теорема 104 выражает в геометрической форме известное
в анализе неравенство Гельдера
ft-!
которое при р = 2 превращается в неравенство Коши
(см. § 1).
Для двух изоморфных, но, вообще говоря, не изомет-
ричных пространств Elt E2 можно ввести числовую харак-
характеристику нензометричности.
Мерой неизометричности нормированных пространств Et
и Е2 (dim Ej = dimE2) называется величина
6(Е,, E2) = inl

216 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |I0J
где j пробегает множество изоморфизмов из Ej в Е2. При
этом величина
р(Е,. Еа) = 1п6(Е1. Е2)
называется расстоянием Банаха — Мазура между прост-
пространствами Е: и Е2.
105. Расстояние Банаха — Мазура обладает свойствами
метрики:
1) р(Е[, Е2)^>0 (знак равенства имеет место тогда и
только тогда, когда Е! и Е2 изометричны),
2) р(Е1§ Е2) = р(Е2, Е,);
3) p(Elf EjXpCEp E3) + p(E3, E2).
106. р(Е,', Е^) = р(Еь Еи).
107. Пусть Aj и Л2— канонические базисы пространств
1Р' и 1Р\ Тогда для изоморфизма j ? Horn (lp\ lp'), отобра-
отображающего Aj на А2, имеют место соотношения
11/11=1. II Г1 II = «1/A-VP, A<рх<Л).
Поэтому:
108. ЬA"\ /Л)< «VA-Vft A < р, < р2).
В частности:
109. 6(IP, с)<Л
С другой стороны:
ПО. б(/р, /2)>я1/2-"р B<р<оо).
Отсюда, в силу 106, следует:
111. Ь{1р, Z2)>n1/p-1/2 (I <p<2).
Итак:
112. б(/р, ^^я'-1"" A<р<оо). •
Отсюда и из неравенства треугольника для расстояния
Банаха—Мазура следует ф ормула Гур ария —К адеца-
М а цае в а:
113. ЬAР>. ^) = «|1/p'-1/ftl (Рх — 2)(р2— 2)>0.
Нормированное пространство Ео называется универсаль-
универсальным для некоторого класса (§ нормированных пространств,
если для любого Е?(у. существует в Ео подпространство,
изометричное Е. Ближайшие предложения являются подго-
подготовительными к теореме 117 об универсальности простран-
пространства С,

H8| § 5. ИЗОМЕТРИЯ. УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ, ВЛОЖЕНИЕ 217
Если L—-подпространство пространства Е, codim L = 1
и ,v0 ? L, то множество
назовем гиперслоем. Пересечение W конечного числа гипер-
гиперслоев называется симметричным многогранником. Если
наименьшее число гиперслоев, образующих в пересечении
симметричный многогранник W, равно от, то W называется
симметричным 2т-гранником.
114. Симметричный многогранник является абсолютно вы-
выпуклым телом.
115. Ограниченность симметричного многогранника W =
г г
= О F(A:ft, Lft) равносильна соотношению Г") Lft —0.
Для выполнения последнего соотношения необходимо,
чтобы г^> п.
Если Wm — ограниченный симметричный 2/и-гранник,
то через Е (Wm) обозначим нормированное пространство
с нормой, порождаемой в Е многогранником Wm как еди-
единичным шаром.
116. Пусть Wm — ограниченный симметричный 2/и-гранник
т
гк || V k* k)*
Если z = yk + akxk (yk ? L; k = 1, 2 m), то норма
вектора z в Е (Wm) равна
II г 11= max |aJ.
В частности, ||лгА||—1 (А=1, 2 т).
117. Любое пространство E(Wm) изометрично некоторому
подпространству пространства с (dim с — т.).
Таким обгаюм, пространство с является универсальным
для класса всех пространств вида E(Wm), где m^dimc.
В некотором ослабленном смысле универсальность с со-
сохраняется для класса всех нормированных пространств
(см. 120).
118. Для любого л-мерного нормированного простран-
пространства Е и произвольного е>0 существуют такое т = т (я, е)
и такое пространство E(Wm), что р(Е, E(Wm))<e.

218 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |П9
Для доказательства можно аппроксимировать единичный
шар в Е симметричными многогранниками, опираясь при
этом на следующее предложение.
119. Если {ek}"—нормированный полуортогональный ба-
базис, то расстояние dj вектора et от линейной оболочки
системы {е^иф] удовлетворяет неравенству dJ^21~n
(У = 1. 2 л).
Нормированное пространство Ео называется е-универсаль-
ним для некоторого класса Й нормированных пространств,
если для любого Е ? (S существует в Ео подпространство Ц,
такое, что р(Е, Lo) ¦< е.
120. Для любого е>0 существует такое от = /м(л, е),
что пространство с размерности т является е-универсальным
для класса всех га-мерных нормированных пространств.
Это — аппроксимационный аналог теоремы Банаха —
М аз ура.
В заключение рассмотрим оценки проекционных констант
при изометрическом вложении одного нормированного про-
пространства в другое.
121. Если пространство Е содержит подпространство L
(dim L = т.), изометричное 1Р> то со (L, Е) <^ т1/р A ^ р ^ оо).
Для доказательства можно воспользоваться теоремой
Хана — Банаха применительно к каноническим координатам,
перенесенным из 1Р в L. При р=оо теорема 121 дает:
122. Если пространство Е содержит подпространство L,
изометричное с, то <a(L, E)= 1.
В связи с 121 заметим, что из существования базиса
Ауэрбаха в любом нормированном пространстве Е следует:
123. Для любого подпространства L (dimL = m) прост-
пространства Е
<o(L,
§ 6. Наилучшие приближения
В § 2 мы ввели функционал d(x; L) — расстояние век-
вектора л: от подпространства L. В связи с этим понятием дадим
следующее определение. Вектор у?^ называется наилучшим
приближением вектора х векторами из подпространства L.
если

132) § 6. НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ 219
124. Наилучшее приближение существует для любых лги L.
Следовательно, можно писать
d (x; L) = min || х — у ||.
У(Ь
Наилучшее приближение может быть не единственным.
125. Если х ? L, то его наилучшее приближение векто-
векторами из L единственно и равно х.
126. Для того чтобы вектор у был наилучшим прибли-
приближением вектора х векторами из подпространства L, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы подпространство L было ортого-
ортогонально к разности х — у.
Поэтому, например:
127. В евклидовом пространстве вектор у является наи-
наилучшим приближением вектора х векторами из подпрост-
подпространства L тогда и только тогда, когда у = Р (L) х, где
Р (L) — ортопроектор на L.
Таким образом, в евклидовом пространстве наилучшее
приближение единственно.
Пространство Е называется строго нормированным, если
в неравенстве треугольника
знак равенства достигается только в случае, когда векторы
х, у линейно зависимы (тогда с необходимостью у = ах,
где а > 0, или х = 0).
128. Евклидово пространство строго нормировано.
129. Все пространства 1Р A </?<оэ) строго нормированы.
Однако:
130. Пространства / и с не являются строго нормиро-
нормированными.
Этот пример типичен в том смысле, что:
131. Если пространство не является строго нормирован-
нормированным, то в нем существуют такие линейно независимые век-
векторы е,, е2, что
||+Ц
при любых вещественных а, р.
Роль понятия строгой нормированности определяется сле-
следующим предложением:
132. Для того чтобы для каждого вектора х ? Е и для каж-
каждого подпространства LcE наилучшее приближение вектора х

220 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |133
векторами из L было единственным, необходимо и до-
достаточно, чтобы пространство Е было строго нормированным.
Тем самым в строго нормированном пространстве для
каждого подпространства L определен оператор A (L) наи-
наилучшего приближения, который каждый вектор х преобра-
преобразует в его наилучшее приближение векторами из L. Этот
оператор, вообще говоря, нелинеен, хотя и однороден:
133. A (L) (ал-) = аА (L) х.
Кроме того, он обладает основным свойством проектора:
134. [Л (L)]2 =- A (L).
Это — нелинейный ортопроектор на L. В евклидовом
пространстве он совпадает с ортопроектором P(L).
136. Оператор A(L) непрерывен.
В силу 136 и 133 можно ввести норму оператора A (L):
|= sup
136.
Рассмотрим дополнительный оператор A (L) = / — A (L).
Он также однороден и непрерывен, и поэтому для него
можно также ввести норму
| = sup
II
Она совпадает с нормой функционала d(-;L). На деле:
137. ||3
Рассмотрим теперь задачу о наилучших приближениях
относительно цепи подпространств. При этом пространство Е
уже вновь не будет предполагаться строго нормированным.
Пусть {Ц)о — какая-нибудь максимальная цепь подпро-
подпространств. Положим
dk{x) = d{x\ Lk) (Jfe = 0, 1, 2 я).
Очевидно, d0(x) = || х||, dn(x) = 0.
138. do(x)>dl(x)^-d2(x)^. ... >dn(x).
Оказывается, обратно:
139. Для любой системы чисел
o0>6,>62>...>6n F„ = 0)
существует такой вектор х, что
6k(x) = 6k (k = 0, I, 2 я)
(теорема С. Н. Берн штейн а).

1421 § 6. НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ 221
Рассмотрим случай цепи подпространств, порожденной
базисом {е,}":
Lk = h([ej}i) (&e=l, 2 я).
Базис {ek}\ называется базисом наилучшего приближе-
п
ния, если для любого вектора х = 2 \je) имеет место ра-
равенство
|| п
Обозначим через Rk проектор на линейную оболочку си-
системы {?/}*+1 параллельно Lk. Очевидно,
п
f\k — ^Л fey" i*
и наилучшее приближение вектора х векторами из Ц равно
_ *
j-i ' '
140. Для того чтобы базис {ej}" был базисом наилуч-
наилучшего приближения, необходимо и достаточно выполнения
неравенств
Базис наилучшего приближения обладает весьма специаль-
специальными свойствами (настолько специальными, что может не
существовать даже в трехмерном пространстве).
141. Для того чтобы базис {ej}" был базисом наилуч-
наилучшего приближения, необходимо и достаточно, чтобы для
каждого k—1, 2, 3 п—1 вектор ек был ортогонален
к линейной оболочке системы [ej\k+\.
Базис наилучшего приближения является объектом, двой-
двойственным к полуортогональному базису.
142. Канонический базис пространства lp (I -^ p ^
является базисом наилучшего приближения.

222 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА A43
§ 7. Раствор двух подпространств. Метрическое
пространство подпространств
Пусть L ф 0 — подпространство. Обозначим через Sl
единичную сферу:
При L = 0 положим Sl = 0.
Раствором подпространств L и М называется величина
6(L, M) = <nax{sup d(x; L), sup d(x; M)}.
Раствор удовлетворяет неравенству:
143. 0(L, M)<1.
Раствор обладает некоторыми свойствами метрики:
144. 1) 6(L, М)>0 (ЬчЬМ); 0(L, L) = 0;
2) 0(М, L) = 9(L, M).
Однако неравенство треугольника может не выполняться.
В дальнейшем определение раствора будет слегка модифици-
модифицировано с тем, чтобы получить метрику на множестве под-
подпространств. В евклидовом пространстве раствор, как мы
сейчас увидим, является метрикой.
146. Для любых двух подпространств L, М евклидова
пространства имеет место формула
d(x- L)=|||
Следовательно,
146. 9(L, М
На самом же деле:
147. 0(L, M)=||P(M)-P(L)||.
Для доказательства можно воспользоваться тождеством:
148. ||[P(M)-P(L)]x|P =
Н| Р (М) [/- Р (L)] х |Р+ || [/- Р (М)] Р (L) * |р.
В силу 147:
149. В евклидовом пространстве имеет место неравенство
треугольника
9(L, M)<0(L, N) + 9(N, M).
Другим очевидным следствием формулы 147 является
самодвойственность раствора:
1бо. 0(iA м1)^

1541 i 7. РАСТВОР. МЕТРИКА НА ПОДПРОСТРАНСТВАХ 223
Теперь мы можем также выяснить условия достижения
знака равенства в 143:
151. Для того чтобы в евклидовом пространстве было
0(L, M)=l, необходимо и достаточно, чтобы по крайней
мере одно из подпространств L, М содержало ненулевой
вектор, ортогональный к другому подпространству, т. е.
LflM1 фО или 1>ПМ=?0.
Отсюда вытекает важное следствие:
162. Если в евклидовом пространстве 0(L, M)< 1, то
dimL = dimM
(теорема Секефальви-Надя).
Обратное, конечно, неверно.
В дополнение к теореме 162 отметим следующее пред-
предложение:
163. Пусть Р и Q—ортопроекторы на L и М соответ-
соответственно (G(L, М)< 1). Тогда оператор 5 = /-fP(Q — P)P
самосопряженный положительный и оператор V = QS~ P
изометрически отображает L на М.
Теорема Секефальви-Надя обобщается на произвольно
нормированные конечномерные пространства, но это обобще-
обобщение связано с использованием специальных топологических
средств *).
Сферическим раствором ненулевых подпространств L, М
называется величина
0(L, M) = max/ sup d(x; SL). sup d(x
•; S«) \.
где d(x; F) означает расстояние вектора х от компактного
множества F. Дополним это определение, полагая
0@, М) = 0(М, 0)=1 (ЖфО), 0@, 0) = 0.
Эта модификация понятия раствора в количественном отно-
отношении не очень значительна:
164. Сферический раствор удовлетворяет неравенству
0(L, M)<0(L, M)<26(L, M).
*) См. М. А. Красносельский, М. Г. Крейн, Д. П. Мильман,
О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве
и о некоторых геометрических вопросах. Сб. Гр. Ин-та матем.
АН УССР 11 A948), 97—112.

224 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА A55
Достоинство сферического раствора состоит в том, что:
166. Сферический раствор является метрикой.
Заметим, что понятия раствора и сферического раствора
не совпадают даже в случае евклидова пространства. Суще-
Существует иная модификация понятия раствора—так называемый
шаровой раствор 0, определяемый соотношением
0(L, M) = maxf sup d(x\ VL), sup d(x;
1€V ?V
где Vl и Vm — единичные шары подпространств L и М.
166. В евклидовом'пространстве 6(L, M) = 6(L, M).
Вместе с тем:
167. Шаровой раствор является метрикой.
168. 6(L, M)<6~(L, M)<C6(L, M)
(С — абсолютная константа).
Множество подпространств нормированного простран-
пространства Е, наделенное метрикой сферического (или шаровою)
раствора, является метрическим пространством. Мы
обозначим его через @(Е). Исследуем свойства простран-
пространства @(Е). Прежде всего рассмотрим сходимость последова-
последовательностей. В силу 164, 168 о сходимости можно судить
по раствору 0:
169. Пусть {Lft}^° — последовательность подпространств.
Для того чтобы limLft=L, необходимо и достаточно, чтобы
lim 0(Lft, L) = 0.
160. Если lim Lft = L, то подпространство L совпадает
с множеством векторов х, которые являются пределами
таких сходящихся последовательностей {лг^}™, что xk ? Lk
(*=1. 2, 3, ...).
Описанное здесь множество векторов определено для лю-
любой последовательности подпространств {Lft}™ и называется
в общем случае нижним пределом этой последовательности;
оно соответственно обозначается через lim hk. Итак, если
й->оо
lim Lk существует, то он совпадает с lim Lfe.

16S1 § 7. РАСТВОР. МЕТРИКА НА ПОДПРОСТРАНСТВАХ 225
Верхним пределом последовательности {Lft}J° называется
сумма подпространств вида limLt., отвечающих всевозможным
подпоследовательностям {L*.}°° . Обозначение для верхнего
предела: lim Lk.
Л->оо
161. lim Lkc lim Lk.
162. Для того чтобы последовательность подпространств
{Lft)J° сходилась, необходимо и достаточно, чтобы
lim Lk = lim Lk.
Ясно, что все нормы в основном пространстве Е поро-
порождают одну и ту же топологию в пространстве ®(Е). По-
Поэтому, изучая @(Е) как топологическое пространство, мы
вправе считать пространство Е евклидовым. Это значительно
упрощает исследование. Например, из теоремы Секефальви-
Надя сразу следует:
163. Для любого L?@(E) существует такая окрестность,
в которой все подпространства имеют ту же размерность,
что и L (ср. 289 гл. I).
164. Множество ©т(Е) подпространств фиксированной
размерности m в ©(Е) открыто и замкнуто.
. Топологическое пространство ©m (E) называется много-
многообразием Грассмана ранга т.
Итак, топологическое пространство ©(Е) не связно.
Будет ли связной каждая «однородная» часть ©т(Е)? Ответ
на этот вопрос потребует дальнейшего исследования.
Обозначим через ®га(Е) множество всех ортонормирован-
ных систем [uk}™ в Е. Пусть Г={йа)™, Yx = {vk)™ — две
системы. Положим
=1/
:-^IP-
166. Функционал б является метрикой на @т(Е).
Тем самым @т(Е) превращается в метрическое, а значит,
и в топологическое пространство. Оно называется много-
образием Штифеля ранга т.

226 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА A66
Рассмотрим теперь отображение 8т: @,„ (Е) -> Щт (Е),
определенное формулой
166. Lm является непрерывным отображением простран-
пространства ©т(Е) на пространство ©т(Е).
Но:
167. Пространство ©т(Е) связно.
Поэтому:
168. Пространство ©т(Е) связно.
Отображение 2т полезно и в других вопросах. Например,
его можно использовать для доказательства компактности
многообразия Грассмана.
169. Пространство @т(Е) компактно (ср. 174 гл. III).
170. Пространство ©т(Е) компактно.
Следовательно:
171. Пространство ©(Е) компактно.
Это — фундаментальный факт. Одно из его непосредствен-
непосредственных следствий состоит в том, что пространство ©(Е) полно.
Между прочим, отображение йт можно в некотором смысле
обратить. Обозначим через @т(Е) множество всех линейно
независимых систем в Е, и пусть 2: @m (E) -> @m (E) — ото-
отображение, определяемое процессом ортогонализации.
172. Пусть Ц,?©„,(Е), Го — ортонормированный базис
в Lo. Тогда система Г (L) = %Р (L) Го является ортонормиро-
ванным базисом подпространства L в окрестности 0(L, Lo) < 1
(ср. 163).
В заключение остановимся на теории возмущений базисов.
Заметим, что метрику б можно рассматривать на множестве
всех (а не только ортонормированных) систем {и*}™. Это
позволяет сформулировать следующую теорему о ква-
квадратично-близких базисах.
173. Если А — ортонормированный базис, то все точки
шара б (Г, А) < 1 являются базисами.
Эта теорема точна в том смысле, что:
174. На сфере б (Г, Д)= 1 существует система, не являю-
являющаяся базисом.
Сформулируем родственную 173 теорему Винера —
П э л и:

1781 § 7. РАСТВОР. МЕТРИКА НА ПОДПРОСТРАНСТВАХ 227
176. Если {ек}" — ортонормированный базис, то каждая
система (и*}", удовлетворяющая неравенству вида
1м**Г2|*р (<
IU-i I! k-i
при всех alF а2 а„ является базисом. При этом если
л
х = 2 \кик< то
ft=l
Эта теорема также точна.
Для произвольного базиса {ек}" и даже в любом норми-
нормированном пространстве Е справедлива следующая теорем а
Крейна — М ильма на — Рутмана:
176. Если Д={ей}"—базис в Е, А' = [fk]" — сопря-
сопряженный базис в Е', то каждая Система {uk}" , удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенству
k-l
является базисом.
В частности:
177. Если {ek\1 — нормированный базис Ауэрбаха, то
каждая система \ик\", удовлетворяющая неравенству
является базисом.
Теорема 177 точна:
178. Если {eft}" — нормированный базис Ауэрбаха, то
существует линейно зависимая система [uk]", для которой
Jill «»-«»»= I.
15*

228 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [179
§ 8. Изометрические операторы и сжатия.
Эргодическая теория
Изометрическим оператором в нормированном простран-
пространстве Е называется изометрия Е—>Е.
179. Изометрические операторы образуют группу относи-
относительно умножения.
Изометричность можно описать в терминах нормы опе-
оператора:
180. Для того чтобы регулярный оператор А был изо-
изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы
ИН=|. \а~Ч=1.
Заметим здесь, что (ср. 106, 1)):
181. Для любого регулярного оператора А имеет место
неравенство
\\а\\-\\а-1\\>\.
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда,
когда A = pU, где U—изометрический оператор.
Поэтому достаточные условия в 180 можно ослабить:
182. Если регулярный оператор А удовлетворяет нера-
неравенствам ||/11|^1, IЛ~ ||-^1. то он изометрический.
Оператор А, удовлетворяющий условию
называется сжатием. Сжатие называется строгим, если
И1К1-
183. Сжатия образуют полугруппу относительно умно-
умножения.
Из 100 следует:
184. Оператор, сопряженный со сжатием (с изометри-
изометрическим оператором) является сжатием (изометрическим опе-
оператором).
То же верно для эрмитово-сопряженного оператора.
В евклидовом пространстве множество изометрических
операторов хорошо обозримо:
186. Для того чтобы оператор в евклидовом простран-
пространстве был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы
он был унитарным.

192) § 8. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И СЖАТИЯ 229
Спектральная теория унитарных операторов в значитель-
значительной части переносится на произвольные изометрические опе-
операторы.
186. Изометрический оператор имеет унитарный спектр.
187. Изометрический оператор является оператором ска-
скалярного типа.
Более того:
188. Если циклическая группа \Ak)°^co, порождаемая ре-
регулярным оператором А, ограничена, т. е. sup || Л*|| < оо,
то А — оператор скалярного типа с унитарным спектром.
Обратное утверждение также верно.
Теорема 188 является лишь формальным обобщением
теорем 186—187, ибо:
189. Если sup || Ak || < со, то функционал sup ||*||
<< <
(л;?Е) является нормой и оператор А изометричен относи-
относительно этой нормы.
Исследуем ортогональность собственных подпространств
изометрического оператора.
190. Пусть U — изометрический оператор, {Pj}™— его
разложение единицы, [е'9/^ — соответствующие собственные
значения. Тогда
г
¦ PJ= lim ъГГТ X <>-mJUk (/= 1. 2 m).
Из этой формулы вытекает, что:
191. Все проекторы Pj в разложении единицы изометри-
изометрического оператора являются ортопроекторами: || Pj \\ = 1
(/=1, 2 т).
Следовательно:
192. Собственные подпространства изометрического опе-
оператора взаимно ортогональны. Более того, для каждого соб-
собственного подпространства прямая сумма остальных собствен-
собственных подпространств служит ортогональным дополнением.
Базис А в Е называется абсолютным, если норма вектора
зависит только от модулей координат относительно базиса Д.
Примером абсолютного базиса является канонический базис
пространства lp (I ^ р<^оо). В евклидовом пространстве

230 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |193
класс абсолютных базисов совпадает с классом ортогональных
базисов.
193. Каждый абсолютный базис является базисом Ауэрбаха.
Обратное неверно. Более того, существуют нормирован-
нормированные пространства без абсолютного базиса.
194. Если оператор с унитарным спектром обладает абсо-
абсолютным собственным базисом, то он изометрический.
Обратное, конечно, неверно, но становится верным, если
наложить дополнительное условие эргодичности. Изометри-
Изометрический оператор U называется эргодическим, если его спектр
\е J] прост и показатели 0;- рационально независимы, т. е.
п
из равенства 2рД/ —0 с рациональными коэффициентами р^
вытекает р;=0 (/=1, 2 п). Последнее свойство
равносильно тому, что для любого набора веществен-
вещественных чисел {оэу}^, и любого е > 0 существуют такие целые
k, qf (J = 1, 2 п), что
| kQj 4- 2nqj — aj |< e (/ = 1, 2 я).
195. Собственный базис эргодического оператора—абсо-
оператора—абсолютный.
Из спектральной теории непосредственно вытекает эрго-
эргоди ческая теорема:
196. Для люббго изометрического оператора U суще-
существует предел
1 чЬ цьш
Оператор Р является ортопроектором на подпространство
неподвижных точек оператора: Im Р == {х \ Ux = x\ (ср. 190).
Эргодическая теорема может быть доказана без помощи
спектральной теории, и на этом пути обнаруживается воз-
возможность обобщить эргодическую теорему на произвольные
Сжатия.
197. Если А — сжатие, то все средние арифметические
4* (г = 0, 1 2, .)
также являются сжатиями.

206] § 8. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И СЖАТИЯ 231
198. Если Р—-предел какой-нибудь подпоследователь-
подпоследовательности последовательности {^4Г}™. то
Отсюда:
199. Р2 = Р.
Таким образом, Р — проектор. Более того:
200. Р — ортопроектор на подпространство неподвижных
точек оператора А.
Остается установить независимость Р от выбора сходя-
сходящейся подпоследовательности. Для этого достаточно заме-
заметить, что:
201. Пределы любых двух сходящихся подпоследователь-
подпоследовательностей последовательности {Л,.}" коммутируют.
Таким образом, доказана эргодическая теорема для
сжатий:
202. Для любого сжатия А существует предел
р
Оператор Р является ортопроектором на подпространство
неподвижных точек оператора А.
Оператор Р можно полностью описать в спектральных
терминах:
203. Подпространство КегР совпадает с суммой корневых
подпространств оператора А, соответствующих собственным
значениям, отличным от 1.
Для доказательства 203 следует принять во внимание,
что, во-первых:
204. Спектр сжатия лежит в единичном круге |A,|<s^l.
Во-вторых:
205. Порядки собственных значений сжатия, лежащих на
единичной окружности | % \ = 1, равны единице.
В дополнение к 205 отметим, что:
206. Собственные подпространства сжатия, соответ-
соответствующие граничным собственным значениям, взаимно орто-
ортогональны.
На пути обобщения эргодической теоремы можно сделать
еще один формальный шаг.

232 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА B07
207. Если циклическая полугруппа {^4*}", порождаемая
ератором А
ствует предел
оператором А, ограничена, т. е. sup J| Ak\\ < со, то суще-
сущего
Оператор Р является проектором на подпространство непо-
неподвижных точек оператора А.
Это обобщение — чисто формальное, ибо аналогично 189:
208. Если sup|| Ak || < оо, то функционал
*>0
является нормой и оператор А является сжатием относи-
относительно этой нормы.
Дальнейшее обобщение эргодической теоремы невозможно:
209. Если для оператора А существует предел
г
lim
то sup || Л* || < оо.
ft>0
Отметим еще интересную модификацию теоремы 208
в случае евклидова пространства:
210. Если оператор А в евклидовом пространстве удо-
удовлетворяет условию sup || Ak || < оо, то он является сжатием
*о
относительно некоторой евклидовой нормы (вообще говоря,
отличной от исходной нормы).
§ 9. Норма и спектральный радиус оператора
В 128 гл. II была указана довольно сложная процедура
вычисления спектрального радиуса через степени оператора.
Эту процедуру можно значительно упростить, используя норму.
211. р(Л)<||Л||.
Отсюда:
k
212. р(Л)</||Л*|| Л = A, 2, 3, ...).

219] § 9. НОРМА И СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС 233
Следовательно:
k
213. р(Л)< lim У|[Л ||*.
С другой стороны, из тех же соображений, что и в гл. II:
к
214. р (А) = Urn V\\Ak ||.
Сопоставляя 213 и 214, приходим к формуле Гель-
фан да *):
а
215. р(/4)= lim УМ* ||.
В силу 212 можно также написать:
k
216. р(Л)= inf У||Л* II-
А>1
Отметим одно интересное следствие формулы Гельфанда:
217. Если A KJ В, то
Кроме того, очевидно,
р(Л)>0,
Возвратимся к исходному неравенству 211 и выясним,
при каких условиях оно обращается в равенство.
218. Если А — регулярный оператор и
то A = pU, где р = р(Л)>0, {/—изометрический оператор.
219. Для того чтобы М||=р(Л), необходимо и доста-
достаточно, чтобы
М*|| = М||*" (ft = 2. 3, ...).
*) Из 213 и 214 вытекает как существование предела в правой
части равенства 215, так и само равенство. Существование предела
может быть также выведено независимо из теоремы Фекете:
если последовательность вещественных чисел {a^Yf полуадди-
полуаддитивна, т. е. aft4/<afc + a/ (А= 1. 2, 3, ...), то существует
lim /TW= inf k~lak\.

234 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ' [220
Рассмотрим случай евклидова пространства.
220. Если N — нормальный оператор, то
221. Для того чтобы оператор А в евклидовом простран-
пространстве удовлетворял условию || Л|| = р(Л), необходимо и доста-
достаточно, чтобы он был нормальным или имел вид
где N—нормальный оператор, a R удовлетворяет неравенствам
р(Л)<р(ЛО.
(ср. 282 гл. III).
Заметим, кстати, что из экстремальных свойств собствен-
собственных значений следует, что:
222. В евклидовом пространстве
\\A\\=Vp(A*A)=Vp(AA*).
223. В евклидовом пространстве
|| А ||= max \(Ах, у) |.
IUII-I,
Ну 11-1
Таким образом, норма оператора совпадает с нормой
порождаемого им эрмитово-билинейного функционала. Для
эрмитово-квадратичных функционалов это уже неверно.
224. Имеет место неравенство max | (Ах, *) | <^ || Л ||.
и*11-1
Иначе говоря, хаусдорфово множество оператора А заклю-
заключено в круге | А, | < || А ||.
225. Для того чтобы max | (Ах, лг) I = || Л ||, необходимо
II-41=1
и достаточно, чтобы ||Л|| = р(Л).
Наряду с неравенством 224 имеет место неравенство:
226. || Л || .< 2 max \(Ax, х)\.
IUII-I
Это неравенство точное:
227. При п > 1 существует такой оператор А, что
|| А ||=1, шах | (Ах, х) |=-s-.
l!*ll-i *
Заметим теперь, что левая часть неравенства 211 не
зависит от выбора нормы в Е. Нельзя ли при данном А
выбрать норму так, чтобы неравенство превратилось в ра-

236) I 6. НОРМА И СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС 235
венство? Препятствие к этому указывает теорема 205. Однако
с помощью 207 можно установить, что:
228. p(/4) =
М!
С помощью 209 можно получить более точное утвер-
утверждение:
229. Если А — оператор в евклидовом пространстве, то
Иными словами, в 228 можно брать inf лишь по евкли-
евклидовым нормам.
230. Нижняя грань в 228 достигается тогда и только
тогда, когда порядки собственных значений, лежащих на
окружности |А,| = р(Л), равны 1.
Применим формулу Гельфанда для вычисления расстоя-
расстояния d(k; А) точки к на комплексной плоскости от спектра о (А).
231. d(X; А) = \
Вместе с тем:
232.
k>Pi vf*
. Здесь содержится часто используемое неравенство:
233. \W\>T^.
При этом:
234. Если ./V — нормальный оператор в евклидовом про-
пространстве, то HftJH dil;A) .
Обратно:
235. Если для оператора А в евклидовом пространстве
II R\ II — d /i. л\ > то Л — нормальный оператор.
В частности:
236. Если 5 — самосопряженный оператор в евклидовом
пространстве, то
H^IK

236 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |237
Обратно:
237. Если для оператора А в евклидовом пространстве
1
13«»я,| •
то А — самосопряженный оператор.
Аналогично:
238. Если U — унитарный оператор в евклидовом про-
пространстве, то ||/?J| •< м _| д| | ¦ и обратно, из этого нера-
неравенства следует унитарность оператора.
Этот результат обобщается на нормированные про-
пространства:
239. Если U — изометрический оператор в нормирован-
1
ном пространстве, то ||/?» II-^[-п—гттг • и обратно, из этого
\ 1 —I MI
неравенства следует, что оператор изометрический.
§ 10. Нормы в пространстве операторов
Пространство операторов 2№(Е) можно рассматривать как
самостоятельное я2-мерное комплексное линейное пространство
и в соответствии с этим вводить в нем ту или иную норму,
независимо от нормы в Е. Те нормы в 9№(Е), которые инду-
индуцируются нормами в Е, мы будем называть операторными
нормами. Нормы в 2№(Е), для которых имеет место коль-
кольцевое свойство
будем называть кольцевыми. Наконец, нормы, для которых
|| /1|=1, будем называть сохраняющими единицу. Каждая
операторная норма является кольцевой и сохраняющей единицу.
240. Если Е — унитарное пространство, то ЗЙ(Е) — уни-
унитарное пространство относительно скалярного произведения
(A, B) = spAB*.
241. Норма
|| Л || = У sp Л/Г
является кольцевой, но при п > 1 не сохраняющей единицу
(и, следовательно, не операторной).

2471 § Ю. НОРМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 237
Эта норма в 2№(Е) называется гильбертовой (или абсо-
абсолютной) нормой. Мы уже с ней встречались (§ 9 гл. III).
242. Пусть А — какой-нибудь базис в Е, {а1к)п. 4-=1 — ма-
матрица произвольного оператора А в этом базисе. Положим
\\А\\ = \
I, ft-i
Это—норма, сохраняющая единицу, но не кольцевая при я > 1.
243. Положим
[| Л || = <? max | ctyft |, (*)
i. ь
где 0 < б? < я, Сф\. Эта норма не кольцевая и не сохра-
сохраняющая единицу.
Между прочим, норма (*) при С^> п становится коль-
кольцевой (но не сохраняющей единицу), при Q = 1 она сохра-
сохраняет единицу (но не кольцевая при п > 1).
244. Если А — канонический базис в /, (а^)" 4<-1 — ма-
матрица оператора А в этом базисе, то соответствующая
операторная норма {операторная I-норма) равна
я
max 2 I «/si-
«/sift y-i
245. Если А — канонический базис в с, (а]к)п. 4-1 — ма-
матрица оператора А в этом базисе, то соответствующая опе-
операторная норма (операторная с-норма) равна
я
. max 2 I alk I.
j ft-i
246. Для каждой кольцевой нормы имеет место неравен-
ство ||/||>1.
Пусть в Ш(Е) введена какая-нибудь норма (исходная
норма), не обязательно кольцевая или сохраняющая единицу.
Тогда можно определить производную норму
247. Производная норма всегда является кольцевой и
сохраняющей единицу.

238 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА B48
248. Если исходная норма кольцевая, то || А \\' <! || А ||.
249. Если исходная норма сохраняет единицу или хотя бы
удовлетворяет условию ||/||^1, то || А \\' ^>|| А ||.
250. Для того чтобы норма была кольцевой и сохраняю-
сохраняющей единицу, необходимо и достаточно, чтобы она совпадала
со своей производной.
Теорема 248 побуждает ввести в множество всех норм
в ffi(E) отношение порядка, определяемое как выполнение
неравенства || А ^ <^|| А ||2 при всех Л?9№(Е). В этом смысле
можно говорить, что одна норма меньше или равна (больше
или равна) другой, или является ее минорантой (мажорантой).
Конечно, нормы могут быть несравнимыми. Например, про-
производная норма в общем случае не сравнима с исходной, так
как теоремы 248, 249 обращаются:
251. Если производная норма меньше или равна исходной,
то исходная норма кольцевая.
252. Если производная норма больше или равна исходной,
то для исходной нормы || /1|^1.
Обобщим понятие производной нормы. Пусть 3^0 —
какой-нибудь левый идеал алгебры Ш(Е). Для каждой нормы
в Ш(Е) определяется ее производная норма относительно
идеала 3
\АВ\\
263. Норма || А ||д всегда является кольцевой и сохраняю-
сохраняющей единицу.
254. Производная кольцевой нормы относительно любого
левого идеала 3 Ф 0 является минорантой исходной нормы.
Это — обобщение теоремы 248. Что касается теоремы 249,
то она не обобщается на идеалы %ФЗЯ(Е), так как такие
идеалы не содержат единицы.
Мы используем производные нормы относительно идеалов
для того, чтобы получить характеристику операторных норм.
Определим с этой целью левый идеал 3(/) (/€Е'- /т^0)
условием
КегЛэКег/
(см. 21 гл. II).
255. Для того чтобы А ?%(/), необходимо и достаточно,
чтобы А имел вид Ay = f(y)x, где х — некоторый вектор.

2651 § 10. НОРМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПЕРАТОРОВ 239
Операторы такого вида можно рассматривать как тензор-
тензорные произведения и обозначать соответственно f®x.
256. A(f®x) = f® Ах (А?Ш(Е)).
257. Если пространство Е нормировано, то для индуци-
индуцированных норм имеет место формула ||/® х || = ||/|| • \\х ||. •
Роль идеалов 3(/) определяется следующим предложением:
268. Для любой нормы в Ш(Е) ее производная относи-
относительно любого идеала 3(/) является операторной нормой.
Поэтому.
259. Если для некоторой нормы в Ш (Е) ее производная
относительно какого-нибудь идеала 3(Л совпадает с ней, то
исходная норма операторная.
Этот признак, на первый взгляд лишь достаточный, на
самом деле необходим:
260. Для каждой операторной нормы ее производная
относительно любого идеала 3(/) совпадает с ней.
Итак, мы получили полную характеристику операторных
норм. Но она еще не позволяет указать кольцевую норму,
сохраняющую единицу, но не операторную. Поэтому продол-
продолжим наше исследование.
261. Каждая кольцевая норма имеет операторную мино-
миноранту.
Назовем кольцевую норму минимальной, если она не
имеет кольцевых минорант, отличных от нее самой.
262. Минимальная кольцевая норма является операторной.
Этот признак операторное™ нормы необходим:
263. Для того чтобы кольцевая норма была операторной,
необходимо и достаточно, чтобы она была минимальной.
Доказательство необходимости опирается на следующие
леммы 264—266.
264. Если в пространстве Е введены две нормы || х \\t
и \\х\\2 и для соответствующих операторных норм в Ш(Е)
выполняется неравенство
то
inf 1тГ
II/ 111
265. Для любых двух норм в Е
supl?li = sup Ifk, lnf 14-= inf Uk.
?E 1И /6E' ll/il €е1И12 /eE' »/lll

240 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |266
и д. ||
Таким образом, области значений функционалов
совпадают.
II/ Hi
266. Если операторные нормы в Зл (Е) сравнимы (в смысле
определенного выше порядка), то порождающие их нормы
в Е пропорциональны, а исходные операторные нормы
совпадают.
Из критерия 263 вытекает, в частности, что:
267. Если H^llj и ||Л||2 — две различные операторные
нормы в 2Я(Е), то норма || А || = max(|| A ||j, || А ||2) является
кольцевой, сохраняющей единицу, но не операторной.
Например:
268. Норма
In я \
II А11 = max [max У\ \aik I, max У\ | aik | I,
построенная по матрице (ад), ft_, оператора А в произволь-
произвольном фиксированном базисе, не является операторной (при
и> 1), но она кольцевая и сохраняет единицу.
В заключение отметим, что в Ш(Е) не имеет особого
смысла рассматривать преднормы, ибо:
269. Если преднорма р ф 0 в Ж (Е) обладает кольцевым
свойством р(АВ)^ р(А) р(В), то р есть норма (см. 25 гл. II).
§ 11. Неравенства между нормами степеней оператора
Назовем оператор А в нормированном пространстве Е
оператором класса е^Г, если для него имеют место нера-
неравенства
m — k k
II Afcx II <* Р . II jr ll~™ . II Атх if™"
II л х II ^ ^т, ft II * II II "¦ х II
при всех *?Е, т — 2, 3, .... k=\, 2 т—1;
Стк — константы. Если А—оператор класса <ffi, то наимень-
наименьшее возможное значение константы Ьт< k обозначим От< k (A).
270. Если для оператора А имеет место неравенство
при всех х g Е, то А — оператор класса

279] § П. НОРМЫ СТЕПЕНЕЙ ОПЕРАТОРА 241
Таким образом, для любого оператора класса &?
271. Для того чтобы Л был оператором класса &%", не-
необходимо и достаточно, чтобы КегЛ2 = КегЛ, т. е. чтобы
он был регулярным или порядок собственного значения X = О
был равен 1.
Эта теорема показывает, что принадлежность классу ^Г
не зависит от выбора нормы в Е. Но, конечно, значения
констант Gmtk{A) существенно зависят от выбора нормы.
272. Если Л — регулярный оператор, то
т-к к_
II J, |> /П
273. Если А—регулярный оператор, то Ст k(A ') =
=em,m-k(A).
274. Каждый оператор А скалярного типа является опе-
оператором класса &%", причем sup Qm< k (A) < оо.
т, к
Обратно:
275. Если оператор А класса &? таков, что
т, к
то А — оператор скалярного типа.
276. Если А ф 0 — оператор класса ,ДГ, то GMt k (A) > 1.
Для каких операторов в этом неравенстве достигается
знак равенства? Мы исследуем этот вопрос для оператора А
в евклидовом пространстве.
277. Если А — нормальный оператор, то Ст, к (^) = 1
для всех т, k.
278. Если Ст< k (А) = 1 для какой-нибудь пары т, k, то
А — оператор скалярного типа.
279. Пусть к и (д. — такие два различных собственных
числа, что соответствующие собственные подпространства не-
неортогональны. Если Qm>k(A)=l для некоторой пары т, k,
то Xd(m'h) — nrf(ra'*), где d{m, fc) — наибольший общий де-
делитель чисел т и k.
16 И. М. Глазман, Ю. И. Любнч

242 ГЛ. IV. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА B8и
280. Если Ст, д (Л) = 1 для некоторой пары т, k и если
функция ф (X) = Xd (m'к) на спектре о (А) взаимно однозначна,
то оператор А нормален.
281. Если
для некоторой пары т, k, то оператор Ad(m'k) нормален.
В частности, если числа т, k взаимно просты, то из ра-
равенства (*) следует нормальность оператора А.
282. Для любых т, & (/и>-2, 1<А^/и — 1) сущест-
существует такой оператор А класса <^Г в евклидовом простран-
пространстве, что Ст, *(/1) = 1. но ни одна из степеней Aq
G= 1, 2 d(m, k)—1) не является нормальным опера-
оператором.

ГЛАВА V
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
§ 1. Полилинейные отображения и тензоры
Пусть даны пространства Е,, ..., Е^, Е. Отображение F
декартова произведения Е, X • • • X Ер в Е (т. е. функция
F (я, хр) (xk?Ek) со значениями в Е) называется поли-
полилинейным, если оно является гомоморфизмом по каждому
аргументу Xj (J=l, 2, .... р). Полилинейные отображения
в арифметическое пространство С1 называются полилиней-
полилинейными функционалами или тензорами. Число р называется
валентностью тензора. Таким образом, полилинейный функ-
функционал от р аргументов можно называть /7-валентным тен-
тензором. Одновалентный тензор — это линейный функционал,
двухвалентный тензор — билинейный функционал.
Полилинейное отображение при р = 2 называется били-
билинейным.
1. Отображение F (h, x) = hx (Л?Нот(Е,, Е2), аг^Е,)
билинейно.
2. Отображение F (Л,, Л2) = й,Л2 (Л,, Л2— гомоморфизмы,
для которых имеет смысл произведение Л,Л2) билинейно.
Если в Е определена алгебра, то соответствующее умно-
умножение является билинейным отображением ЕХЕ->Е,
Полилинейные отображения тесно связаны с тензорными
произведениями.
Тензорным произведением пространств Е,, .... Ер назы-
называется пространство
полилинейных функционалов на
е; х ¦ ¦. х К-
16*

^.44 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА |3
Если xv .... хр—какие-нибудь векторы из Е1 Ер
соответственно, то полилинейный функционал
/,(*,) ... /р(хр)
от аргументов /, ? Е{, ..., / ? Е' называется тензорным
произведением векторов хх, .... хр и обозначается
Отметим, что хх ® ... ® хр = О тогда и только тогда, когда
среди множителей содержится нуль.
3. Отображение тензорного умножения
т(*1 хр) = х, ® .. . ® хр (Jcft6Eft)
полилинейно.
4. Если F — полилинейное отображение в некоторое про-
пространство Ео и h ? Нот (Ео, Е), то hF — полилинейное ото-
отображение в Е.
Следовательно:
б. Для каждого гомоморфизма h ? Нот (Ej ® . . . ® Ер, Е)
отображение F — hx, т. е.
F(xl jcp) = A(a:1® ... ®хр) (xk?Ek)
полилинейно.
Оказывается, что таким способом можно получить все
полилинейные отображения. В этом смысле тензорное умно-
умножение является универсальным полилинейным отображением.
6. Для каждого полилинейного отображения F из Ej X
X • • • X Ер в Е существует и единствен такой гомоморфизм
Fx ^ Нот (Е, ® ... ® Ер, Е), что F = Fxx.
При р=\, очевидно, Fx — F.
Свойство универсальности характеризует тензорное умно-
умножение:
7. Пусть даны пространства Et Ер, пространство Ео
и полилинейное отображение о декартова произведения
Ei X • • • X Ер в Ео, причем 1) для каждого полилинейного
отображения F из Et X • • • X Ер в произвольное простран-
пространство Е существует такой гомоморфизм Fg ? Нот (Ео, Е), что
F = Fga; 2) образ отображения а содержит систему, пол-
полную в Ео. Тогда Еп изоморфно тензорному произведению

141 § I- ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ТЕНЗОРЫ 245
Е] ® ... <g> Ep и при этом изоморфизме отображение а пре-
преобразуется в т, т. е. в тензорное умножение.
Обозначим через П^ Ер; Е) линейное про-
пространство полилинейных отображений Е[ X ••• ХЕр->Е
с естественными операциями сложения и умножения на
число.
8. П(Е, Ер; Е)=&Нош(Е,® ... ® Ер, Е).
Отсюда:
9. dim П (Е, Ер; Е) = dim Е, .. . dim Ep • dim E.
В частности:
10. Максимальное число линейно независимых умножений
в пространстве Е равно я3.
Из 8 вытекает также, что естественным образом:
11. Е,® ... gjE^OKE,, ..., Ер, С»))'.
Пусть задан набор «основных» пространств Н1, ..., Нр
и по нему строится набор пространств Е, Ер так, что
либо Eft = Hft, либо Е* — Hft (k = 1, ..., />)*). Тогда поли-
полилинейный функционал (тензор) на Е, X • • • X Ер называется
ковариантным по аргументу xk, если Ek = Нк, и контра-
вариантным по этому аргументу, если Ek == Hft. Тензор
ко(нтра)вариантный по всем аргументам называется ко{нтра)-
вариантным.
12. Линейный функционал в Е является одновалентным
ковариантным тензором (Н, = Е).
Принцип двойственности позволяет трактовать каждый
вектор из Е как одновалентный контравариантный тензор
(Н, = Е). .
13. Билинейный функционал в Е является двухвалентным
ковариантным тензором (Н, = Н2=Е).
14. Билинейный функционал /(х) (х?Е, /?Е') является
двухвалентным тензором, ковариантным по аргументу х и
контравариантным по аргументу / (Н, —Н2 —Е).
Существует канонический способ отождествления любых
полилинейных отображений с тензорами подходящего типа.
Пусть F: Е[ X • • • ХЕр—>Е — полилинейное отображе-
отображение. Рассмотрим полилинейный функционал f{F (л:,, .... хр))
от р + 1 аргументов xk?Ek, /?E' (k—l р).
*) Здесь имеется 1Р возможностей.

246 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА |15
ковариантный по аргументам xk и контравариантный по аргу-
аргументу /. Тем самым определено отображение %:
П(Е„ .... Ер;Е)-^П(Е1 Е„, Е'; С').
15. Отображение % является изоморфизмом.
На этом основании каждое полилинейное отображение
можно именовать тензором.
16. Гомоморфизм из Е, в Е является двухвалентным тен-
тензором (Hj — Ep H2 = E), ковариантным по первому аргументу
и контравариантным по второму.
17. Умножение в Е является трехвалентным тензором
(Н, = Н2 = Н3 = Е), ковариантным по первым двум аргумен-
аргументам и контравариантным по третьему.
Значение тензорного языка состоит в том, что он едино-
единообразно описывает все основные объекты линейного анализа.
Распространим на произвольные тензоры координатно-
матричное описание.
Выберем в каждом из основных пространств Uk (dim Hk—nk)
базис Aft = [ek.\ k . Если среди пространств есть совпадаю-
совпадающие, то и базисы в них возьмем совпадающими. В каждом
из сопряженных пространств Н^ возьмем сопряженный к Ак
базис Aft.
18. Пусть F есть /«-валентный тензор, ковариантный по
аргументам, которые будут обозначены хк, и контравариант-
контравариантный по аргументам, которые будут обозначены f. Пусть
* - координаты вектора xk относительно базиса Aft,
Ш\
}
Тогда
— координаты функционала /* относительно базиса
/=•(..., xk< ...; .... /\ ...) =
где а;;;'у.;.—числовая функция набора индексов (../.../..),
суммирование ведется по всем наборам индексов, все дей-
действия под знаком суммы — умножения.
а...}'... называется матрицей тензора F относительно
выбранных базисов.

201 § 1- ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ТЕНЗОРЫ 247
В частности, элементы матрицы умножения в Е называ-
называются структурными константами соответствующей алгебры.
Правая часть равенства (*) называется полилинейной
формой.
Теорема 18 определяет базис в пространстве тензоров
рассматриваемого типа, индуцируемый выбранными базисами
в основных пространствах. Базисными тензорами являются те,
у которых равны нулю все матричные элементы, кроме одного,
равного 1.
В заключение рассмотрим основные действия над тензо-
тензорами.
Пусть ф = ф(аг, хр), t|> = t|)(y, yq) — два тен-
тензора (полилинейных функционала), причем наборы перемен-
переменных {хх хр), (у, yq) не пересекаются. Тензорным
произведением ф®г|) называется полилинейный функционал
»(*! хр, у, yq) = 4,(xl xp)i\>(y^ у,).
Это общее определение согласовано с прежними определе-
определениями, относящимися к частным случаям линейных функцио-
функционалов и векторов.
Очевидно, при умножении тензоров валентности склады-
складываются, а тип по каждому аргументу заимствуется от множи-
множителя, в который входит этот аргумент.
Тензорное умножение полилинейных отображений можно
определить естественным образом через умножение соответ-
соответствующих полилинейных функционалов. При этом если Fl
отображает Еп X • • • X Е1р в Ер F2 отображает Е21 X • • •
...ХЕ2? в Е2, то F,®P2 отображает Е„Х ••• ХЕ,„Х
X Е21 X • • • X Е2? в Е, <g) E2. Для гомоморфизмов это опре-
определение сводится к прежнему.
19. При тензорном умножении полилинейных отображе-
отображений F, О соответствующие гомоморфизмы Fx, Gx (см. 6)
тензорно перемножаются.
Следующая важная, но более специальная операция —
свертывание тензора по сопряженным аргументам.
20. Если ф(,.., х, ..., /, ...)—тензор, в котором
х, /—сопряженные аргументы, т. е. аг^Е, /?Е', то су-
существует и единственна полилинейная функция Гф остальных
аргументов со значениями в Hom(E, E) такая, что

248 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА |21
Тензор sp Гф (след оператора Гф, рассматриваемый как
функция остальных аргументов) называется сверткой тен-
тензора ф по аргументам х, /. При свертывании тензора его
валентность уменьшается на 2. Здесь целесообразно ввести
соглашение о том, что тензор нулевой валентности есть
просто число (скаляр).
21. Свертка линейного оператора Т ? Нош (Е, Е) равна sp Т.
22. Свертка билинейного функционала f (х) равна dimE.
Соотношение между свертыванием и тензорным умноже-
умножением описывается следующей теоремой:
23. Пусть ф, ф — два тензора, допускающих тензорное
перемножение. Свертка тензорного произведения ср®ф по
аргументам, входящим в один из множителей, равна тензор-
тензорному произведению свертки этого множителя на второй мно-
множитель.
Этот факт связан с тензорной мультипликативностью следа:
24. Для любых двух операторов AX??SR(EX), Л2?ЗК(Е2)
sp (Ах <g> Л2) = sp Л, • sp Л2.
Другие (не тензорные) умножения можно рассматривать
как некоторые комбинации тензорного умножения и сверты-
свертывания. Например:
26. Если /z?Hom(E, E,), й, ?Нот(Е,, Е2), то произве-
произведение /г,/г совпадает со сверткой тензора й, ®/г по соответ-
соответствующим аргументам.
26. Если h ? Horn (E, Ех), х ? Е, то «произведение» hx
совпадает со сверткой тензора h ® x по соответствующим
аргументам.
Общая теорема редукции такова:
27. Пусть F — полилинейное отображение Е, X • • • X Ер
в Е, рассматриваемое как тензор. Тогда «произведение»
F(jc, хр) векторов л-, хр совпадает с р-кратной
сверткой тензора F ® хх ® ... ® хр по соответствующим
аргументам.
§ 2. Симметричные и антисимметричные тензоры.
Теория детерминантов
В этом параграфе мы будем рассматривать только такие
тензоры, все аргументы которых принадлежат одному и тому
же пространству Е, т. е. ковариантные по всем аргументам.

36] § 2. ТЕОРИЯ ДЕТЕРМИНАНТОВ 249
Тензор называется симметричным, если он не меняется
при перестановках его аргументов:
*/J = q>(*i хр).
28. В пространстве /7-валентных тензоров симметричные
тензоры образуют подпространство. Его размерность равна
п + р-\\_ п(п+\) ...(п + р-1)
Р )~~ р\
Отметим, что размерность пространства р-валентных тен-
тензоров равна п" (см. 9).
29. Оператор Q, определенный в пространстве />-валент-
ных тензоров формулой
где суммирование распространяется на все перестановки ин-
индексов A, .... р), проектирует на подпространство симмет-
симметричных тензоров.
Оператор Q называется оператором симметризации.
Тензор называется антисимметричным, если он не ме-
меняется при четных перестановках аргументов и умножается на
— 1 при нечетных перестановках.
30. В пространстве /«-валентных тензоров антисиммет-
антисимметричные тензоры образуют подпространство. Его размерность
равна
\___ п(п—\)...(п — р + 1)
р)~ />!
В частности, при р > п она равна нулю.
31. Подпространство антисимметричных тензоров валент-
валентности р > 1 входит в ядро оператора симметризации,' но
при р > 2 не совпадает с ним.
Особо важную роль играет подпространство 3) (Е) анти-
антисимметричных тензоров валентности п.
32. dim J)(E)=1.
Согласно § 1 каждый базис А в Е индуцирует базис
в 3) (Е), который в силу 32 состоит из одного элемента йд.
Значение этого полилинейного функционала на системе аргу-
аргументов r={jCj xn) называется детерминантом этой

250 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 133
системы относительно базиса Д и обозначается detA Г или
detA [хг хп\. Если выбор базиса ясен из контекста
или безразличен, то можно писать просто det Г или
det{*i *„}.
33. detA Д = 1.
34. Для любых базисов А, Aj
dAl = (detA, Д) dд.
Отсюда:
36. Для любых базисов Д, А,, Д2
detAj Д = detAl Д • detAjAi.
Это — теорема умножения детерминантов систем. Ее связь
с теоремой умножения детерминантов операторов B72 гл. II)
обнаружится ниже, после того как детерминант оператора
будет описан на языке детерминантов систем.
36. Для любых базисов Д, Aj
detAl Д • detA Д1== 1.
В связи с этим отметим, что:
37. Если система Г линейно независима, то detF^fcO.
Обратно:
38. Если система Г линейно зависима, то det Г = 0.
Последняя теорема легко редуцируется к следующему
утверждению:
39. Если какие-нибудь два аргумента антисимметричного
полилинейного функционала совпадают, то значение функ-
функционала равно нулю.
Из теоремы 38 вытекает часто используемое в вычисле-
вычислениях следствие:
40. Если к какому-нибудь из векторов системы Г =
= [хх xn) прибавить линейную комбинацию остальных
векторов, то детерминант системы не изменится.
Назовем систему Y-={xk\" треугольной относительно
базиса А, если матрица (a;*)yift_i этой системы относительно
базиса Д является треугольной.
41. Если система Г треугольная относительно базиса Д, то
п
detA Г =-- П akk.

46] § 2. ТЕОРИЯ ДЕТЕРМИНАНТОВ 251
Этот факт полезно сравнить с определением детерми-
детерминанта оператора (§ 10 гл. II).
Пусть (/,, ..., Jp)—перестановка индексов A, ..., р).
Характером этой перестановки называется
i 1, если перестановка четная,
1 р у —1, если перестановка нечетная.
42. Если А=\ек}"—базис и (j1 /„)—какая-нибудь
перестановка индексов A л), то
/я)-
43. Пусть (o.jk)"j k_t — матрица системы Г относительно
базиса Д. Тогда
ае{д Г = 2 X (Л Л)«/,1 • • • «/„«•
В классической теории детерминантов правая часть
этого равенства называется детерминантом матрицы
(аУ*)",*-г
44. Если оператор A^Tt(E) регулярен, то для любых двух
базисов Д, Д, имеет место равенство detA& A&\ = det& &\.
45. Для любого оператора А величина det^AA не зависит
от базиса Д и совпадает с детерминантом оператора: сЫд АА=
= detA.
Иначе говоря, detA Г = det А, где А — тот однозначно
определенный оператор, который переводит базис Д в си-
систему Г.
Из 45 и 35 вновь, и притом очень просто, выводится
теорема умножения детерминантов операторов.
Возвращаясь к тензорам любой валентности р, введем
еще оператор антисимметризации Q:
(Q<p)(*i xP> = 'fT ^J х^ JpL(xi хр)-
(f Jp)
46. Оператор Q проектирует на подпространство анти-
антисимметричных тензоров.

252 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА D7
47. Подпространство симметричных тензоров валентности
р > 1 входит в ядро оператора антисимметризации, но при
р > 2 не совпадает с ним.
Сопоставление теорем 46, 47 с теоремами 29, 31 обна-
обнаруживает некоторую двойственность между симметрией и
антисимметрией.
§ 3. Внешние произведения н внешние формы
Рассмотрим р-ю тензорную степень пространства Е:
Это пространство сопряжено к пространству тензоров ва-
валентности р с аргументами из Е.
Пространство, сопряженное к пространству антисиммет-
антисимметричных тензоров валентности р с аргументами из Е, назы-
называется р-й внешней степенью пространства Е и обозначается
р
Если р > п, то
48. Оператор Q'', сопряженный к оператору антисиммет-
р
ризации, проектирует пространство ®Е на подпространство,
р
изоморфное /\Е:
IQ'
р
В дальнейшем мы отождествляем ДЕ с подпространством
ImQ'. В этом смысле:
49. Если jcj хр—векторы из Е, то тензор
2 Х(Л jp)x)i®...®xjp
р
принадлежит /\Е.
Он обозначается хг/\..,/\хр и называется внешним
произведением векторов xv ..., хр.
50. Внешнее умножение является полилинейным отобра-
р р
жением декартовой степени ХЕ —ЕХ ••• ХЕ вДЕ, анти-

551 § 3. ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФОРМЫ 253
симметричным относительно множителей
для всех перестановок (/,, у2 jp) системы индексов
A. 2 р).
51. Равенство xt/\. . . /\хр — 0 имеет место тогда и
только тогда, когда векторы xv ..., хр линейно зависимы.
Подобно тензорному умножению внешнее умножение явля-
является универсальным антисимметричным полилинейным отобра-
отображением, и это свойство характеризует внешнее умножение
(ср. 4-7).
52. Если F — антисимметричное полилинейное отображе-
р
ние декартовой степени \Е в некоторое пространство Ео и
Л?Нот(Е0, Е,), то hF— антисимметричное полилинейное
р
отображение ХЕ в Е,.
р
53. Для каждого гомоморфизма А ? Нот ( ЛЕ, Ej) ото-
отображение F = АЛ, где Л—отображение внешнего умножения,
Л(Х] хр) = х1/\.../\хр (Хь?Е),
р
есть антисимметричное полилинейное отображение ХЕ в Ei.
64. Для каждого антисимметричного полилинейного ото-
р
бражения F из ХЕ в Е] существует и единствен такой
р
гомоморфизм /?Л?Нот(ЛЕ, Ег), что F = F\k.
55. Пусть даны пространства Е, Ео и антисимметричное
р
полилинейное отображение М декартовой степени Х^ в Ео,
причем 1) для каждого антисимметричного полилинейного
р
отображения F из ХЕ в произвольное пространство Ej суще-
существует такой гомоморфизм /^мбНотСЕо, Ej), что /? = /?мМ;
2) образ отображения М содержит систему, полную в Ео.
р
Тогда Ео изоморфно внешней степени ДЕ и при этом изо-
изоморфизме отображение М преобразуется в Л, т. е. во внеш-
внешнее умножение.
Теория детерминантов, развитая в предыдущем параграфе,
естественно вписывается в рамки внешней алгебры.

254 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 156
56. Если A={eft}"—какой-нибудь базис в Е, то для
любой системы Г={д;/)"
i х„) (*iA • • • Л*»)-
Эту формулу можно значительно обобщить, вводя понятия
минора и адъюнкта.
Пусть 0 = {jl<*..<jm), <Ж=\К<---<К\-
какие-нибудь равномощные подсистемы системы {1 я}.
Для произвольной системы векторов r=[xk}" обозначим
через Туе подсистему Xk xk . Через P&.t д обозна-
обозначим проектор на линейную оболочку подсистемы А^сД
параллельно линейной оболочке остальных векторов базиса Д.
Детерминант системы /V; дГгг относительно базиса Д,у под-
подпространства Ь(Д^) называется минором системы Г отно-
относительно базиса А, отвечающим паре подсистем \0, ]
и обозначается М&, Ж; д (Г). Итак,
т
Положим теперь s(?f)= 2 Л- Величина
k » I
называется адъюнктом системы Г относительно базиса Д,
отвечающим паре подсистем [if, (Ж\-
57. Л xk = ^Msr,x,h(Y)( Л
Следствием этой формулы является теорема Лапласа:
58. detAr = 2^. х-, д(Г)Л*-., Ж'. д(Г)
Другой важный аспект внешней алгебры — это теория
внешних форм Э. Картана. Мы рассмотрим ее простейший
частный случай, а именно, внешние формы с постоянными
коэффициентами.
Внешней формой р-й степени от л переменных л:,, .. ., хп
A<!р<^я) называется выражение вида
2
F

63] § з. внешние Произведения и формы 255
где ^—-какое-нибудь множество систем индексов,
[j\ jp) A<^Уа<^я), a'i'""'p — числовые коэффи-
коэффициенты. Каждая внешняя форма /?-й степени от п перемен-
п
ных определяет отображение декартовой степени X Е
р
во внешнюю степень Д Е. В общем случае это отображение
не является ни полилинейным, ни антисимметричным. Равенство
внешних форм понимается как равенство соответствующих
отображений. Будем говорить, что внешняя форма со стан-
стандартно записана, если Ц'а совпадает с множеством всех
систем {j\ jp), для которых у, < ... < jp.
59. Каждая внешняя форма равна некоторой стандартно
записанной внешней форме.
60. Если стандартно записанные внешние формы равны,
то их соответственные коэффициенты равны.
61. Внешние формы р-й степени образуют линейное
пространство относительно естественных операций сложения
и умножения, на число. Размерность этого пространства
равна I I (равна нулю при р > л).
Обозначим это пространство через Q^(E). Положим также
Q0(E) = C, Qp(E) = 0 0X0, p>n).
Определим внешнее произведение внешних форм
ю(*1 *„)= 2«7' Jpxj Д ... /\Xj
е(*,, ,... *„) = 2Р*' *«**, Л ..- Axkg
естественным образом:
((аДе)(ж, ха) =
= 2 «а V1 *«У1л...л*урл*»,л...л'**в.
Очевидно:
62. При умножении внешних форм их степени склады-
складываются.
63. еДо) = (—1)р»иДе.
Внешние формы играют значительную роль в алге-
алгебраической топологии — области математики, осуще-

256 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА |64
ствляющей синтез алгебры и топологии. Правда, наш част-
частный случай постоянных коэффициентов содержательно три-
тривиален (см. 66), но он достаточен для иллюстрации общей
формальной схемы. Начнем с переименования: будем называть
внешние формы р-й степени р-мерными цепями. Границей
(или дифференциалом) р-мерной цепи
называется (р — 1)-мерная цепь
' (</ш)(*, хя) = S ш'« Jpd(Xji Д ... Л xJp).
где
р-1
d(XjiA ... Л xJp)m Д *,, Л ... Л *у, Л *„+, Л ... • Л*Ур.
При р=1 считается dXj = 1. При р<С0 или Р>я
примем fifco = 0.
64. Отображение с^: Qp(E)-^-Q/,_1 (E) (rf^co = fifco) является
гомоморфизмом.
Оно называется граничным гомоморфизмом. Фундамен-
Фундаментальное свойство граничного гомоморфизма выражается фор-
формулой:
65. dpdp+1 = 0.
Эту формулу символически часто записывают в виде
Формула 65 равносильна включению lmdp+lcK.etdp. Это
обстоятельство позволяет рассматривать фактор-пространство
которое называется пространством р-мерных гомологии,
а его элементы — р-мерными классами гомологии. Цепи,
принадлежащие Ker dp, называются р-мерными циклами. По
определению граница цикла равна нулю. Циклы, принадле-
принадлежащие одному классу гомологии, называются гомологичными.
Два гомологичных цикла — это такие, разность которых есть
граница некоторой цепи. Формула 65 говорит о том, что все
границы являются циклами.

73) § 4. ТЕНЗОРНЫЕ И ВНЕШНИЕ СТЕПЕНИ 257
Очевидно, Н/ДЕ) = 0 (р < 0, р~>п). Тривиальность
рассматриваемой ситуации заключается в том, что и при
р = 0, 1 я:
66. Нр(Е) = 0.
Вместе с тем 66 составляет элементарный частный случай
одной важной теоремы де Рама.
Отметим, что 65 и 66 вместе означают, что последова-
последовательность гомоморфизмов \dp) точна.
§ 4. Тензорные и внешние степени оператора
р
Тензорная степень <^А оператора А, действующего в про-
р
странстве Е, определяется как оператор в пространстве ®Е,
действующий по формуле
=ф(Л7,. .,.. A'fp),
р
где ф — произвольный полилинейный функционал на
67. (<g> Л) О, ® ... ® хр) = Axj ® ... ® Ахр.
р
Этой формулой оператор % А определяется однозначно.
68. xg{®A) = {xgAf.
В частности:
69. Тензорная степень регулярного оператора регулярна.
При этом:
70. (®А)'1 = ®А~\
Это соответствует двум следующим формулам:
71. <Z(AB)=((?A)(t%B).
72. &/Е = /„ .
р
Итак, отображение ® является гомоморфизмом относи-
относительно умножения операторов. Ясно также, что:
73. ®(аА) = ар®А.
Как ведут себя след и детерминант при возведении в тен-
тензорную степень? Из 24 следует:
17 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

258 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА G1
74.
Пользуясь теоремой об общем виде мультипликативного
функционала в Wl (E) (гл. II), можно также установить, что:
76. dei(®.A) = №A)pnP~\
Впрочем, этот факт (так же как и 74) легко вывести
из спектральных свойств тензорной степени, устанавливаемых
ниже.
76. Если ех, ..., ер— собственные векторы *) оператора А,
соответствующие собственным значениям kv .. ., кр, то
р
ех® ... ®ер—собственный вектор оператора ® А, соответ-
соответствующий собственному значению кх ... %р.
77. Тензорная степень оператора скалярного типа есть
оператор скалярного типа.
78. Если [кк}" — все собственные значения оператора А,
взятые с учетом кратностей, то всевозможные произведения
вида
5=1 р)
Р
образуют набор всех собственных значений оператора ® А
с учетом кратностей.
р
Между прочим, отсюда видно, что оператор ® А при
р > 1 всегда имеет кратный спектр.
р
Внешняя степень Д А оператора А, действующего в про-
р
странстве Е, определяется как сужение оператора ® А на
р
подпространство /\ Е.
79. (Л A)(Xl Л • • • Л хр) = Ахх Д • • • Л Ахр.
В частности:
п
80. Л А совпадает с оператором умножения на det A.
' В силу 79:
р р
81. Подпространство Л Е инвариантно относительно Л А.
*) Не обязательно попарно различные.

90] § 4. ТЕНЗОРНЫЕ И ВНЕШНИЕ СТЕПЕНИ 259
Р Р
Таким образом, Д А есть оператор в пространстве Д Е.
Свойства внешних степеней оператора лишь в некоторых
деталях отличаются от свойств тензорных степеней.
82. ЛВ (ДЛ
83. Ah = /P .
ЛЕ
84. Внешняя степень регулярного оператора регулярна
р -1 р 1
и при этом (Д А) = Д А .
85. Д(аЛ) = ар /\ А.
86. det (Д А) = (det Ар -»).
р
След оператора Д Л, однако, нельзя выразить через след
оператора А. Формула для следа будет приведена ниже.
87. Если ev .... ер — линейно независимые собственные
векторы оператора А, соответствующие собственным значе-
значениям *) Я,,, .. ., Я, . то е, Д ... Д ер — собственный вектор
р
оператора Д А, соответствующий собственному значению
Я-j ... Я.^.
88. Внешняя степень оператора скалярного типа есть
оператор скалярного типа.
89. Если {Я,й}" — все собственные значения оператора А,
взятые с учетом кратностей, то всевозможные произведения
вида Я-й ... Ik (I <^i < • •. < ^Р<«) образуют на-
р
бор всех собственных значений оператора Д А с учетом
кратностей.
90. Пусть характеристический полином оператора А равен
Тогда sp (Д/!) = (—1)"~ра„ (/? = 1 к).
*) Не обязательно попарно различным.
17*

260 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА |91
§ 5. Объем системы векторов.
Существование базиса Ауэрбаха
Пусть Е — унитарное (и тем самым евклидово) простран-
пространство. Для такого пространства определены понятия длины
(нормы) вектора и ортогональности векторов. Отправляясь
от этих понятий, можно естественно развить теорию объемов.
Она оказывается тесно связанной с теорией детерминантов,
по существу, представляя собой метрическую интерпретацию
последней.
Понятие объема системы 'векторов Г = {хА}™ мы опре-
определим индукцией по т.. Объем будем обозначать через ||Г||
или || х, хт\\. Это обозначение оправдано тем, что при
т = 1 мы примем объем равным норме вектора. При т > 1
где Q(xv .... л;т_,) — ортопроектор на ортогональное до-
дополнение линейной оболочки векторов xv ..., xm_v Опре-
Определение, очевидно, подсказано элементарными теоремами
о площади параллелограмма и объеме параллелепипеда.
91. Всегда ||Г||^-0. Равенство ||Г|| = 0 имеет место
тогда и только тогда, когда система Г линейно зависима.
Уже здесь намечается связь с теорией детерминантов
(ср. 51).
Имеет место неравенство Адамара:
92. || х, *
93. Неравенство Адамара переходит в равенство тогда
и только тогда, когда система \xk}™ ортогональна или со-
содержит нулевой вектор.
В частности:
94. Если Г — ортонормированная система, то || Г || = 1.
Обратно, если Г — нормированная система и ||Г||=1, то
Г — ортонормированная система.
Поскольку || Г ||-^1 для произвольных нормированных
систем, то ортонормированные системы выделяются среди
нормированных свойством максимальности объема. Это заме-
замечание будет полезно в дальнейшем (см. 106—107).

101| § 5. ОБЪЕМ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 261
95. Если А={ей}{"— ортонормированная система, а
Y=[xk)™ — треугольная система относительно А, то
(см. 41).
Отметим, что для заданной системы Г система А, связан-
связанная с Г требованиями теоремы 95, всегда может быть по-
построена процессом ортогонализации.
Общая теорема о связи объемов с детерминантами гласит:
96. Если А = {ей}™ — ортонормированная система, а си-
система Г={хй}™ принадлежит линейной оболочке L(A), то
| |<1еиГ|.
Еще более общим образом:
97. Если система Г=[хк}™ принадлежит линейной обо-
оболочке L(A) линейно независимой системы A={eft}™, то
Г| ГД
Отсюда:
98. Для любого линейного оператора | det А |=|| ЛА || /|| А ||.
Отсюда видно, что унимодулярные операторы (и только
они) сохраняют объем. В частности, все унитарные опера-
операторы сохраняют объем. Отметим, что, аналогично унитарным,
унимодулярные операторы образуют группу относительно
умножения.
Рассмотрим функциональные свойства объема.
99. Объем системы векторов не изменяется при пере-
перестановках:
|| Х)\' •••• Х)т II == " Xv •'¦• Xm\V
Это свойство нельзя усмотреть непосредственно из опре-
определения объема.
100. Объем системы является абсолютно однородным
функционалом:
/ т \
'1*1 *mll-
101. Объем системы не изменится, если к какому-нибудь
из векторов системы прибавить линейную комбинацию осталь-
остальных векторов, не меняя этих последних.

262 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА 1102
Функциональные свойства 100, 101 и нормировка 94
однозначно определяют объем:
102. Если функционал v(T) на множестве систем Г= [хк}™
1) абсолютно однороден, т. е.
i хтУ.
2) инвариантен относительно прибавления к произволь-
: ному вектору системы линейной комбинации остальных;
3) v (Г) = 1 для ортонормированных систем Г,
то «(Г) = ||Г||.
Теорема 97 описывает на языке детерминантов не сами
объемы, а их отношения. Можно указать и «абсолютное»
описание.
Пусть Г — какая-нибудь линейно независимая система,
Г* — биортогональная система, принадлежащая Ь(Г).
103. Если Д — ортонормированный базис в Ь(Д), то
detA Г* • detA Г=1.
104. Имеет место формула || Г |] = y^detr* Г.
В частности, здесь утверждается, что detp» Г > 0. Послед-
Последний детерминант называется детерминантом Грама системы Г
и совпадает с детерминантом ее матрицы Грама.
Вследствие 104:
105. ||Г1.||Г||=1.
Теорию объемов можно положить в основу доказательства
существования базиса Ауэрбаха в произвольном нормированном
пространстве (см. § 4 гл. IV). Рассмотрим в пространстве Е
какую-нибудь (не связанную с заданным унитарным строением)
норму. Обозначим через 91 множество базисов, нормирован-
нормированных в смысле этой нормы, В силу обычных соображений
компактности:
106. Функционал ||Д|| (Д?91) достигает на 91 максимума.
107. Если До 6 91 и || Дц || = max || Д ||; ' то До — базис
Ауэрбаха.
Заметим, что может существовать нормированный базис
Ауэрбаха, не максимизирующий объема.,

110| § 6. НОРМЫ В ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ 263
§ 6. Нормы в тензорных произведениях пространств
Этот параграф соприкасается с § 10 гл. IV. Так же как и
в случае пространства операторов, можно рассматривать
индуцированные нормы в пространствах вида Е{ ® .. . ® Ер.
Ер индуцирует норму
f р) — полилинейный функ-
функfP)\
Каждый
в Ej® ..
ционал на
набор
• ®Е,:
норм
если
¦ • X
в
ф(Д.
El, т
(в Е^ действуют индуцированные нормы).
108. ||*!® ... ®*,|| = |l*ill---KII (ср. 267 гл. IV).
Каждая норма в Е{ ® ... ® Ер, обладающая свойством 108
(при заданных нормах в Ev ... Ер), называется кросс-нормой.
Рассмотрим задачу описания кросс-норм. Для простоты по-
положим р = 2.
Для каждого элемента и ? Е: ® Е2 будем рассматривать
все его представления в виде
Множество таких представлений обозначим через <&~ (и).
109. Для любой кросс-нормы имеет место неравенство
ПО. Функционал N(и)= inf 2 IUS*'I • II4*'I («6Ei®E2)
является кросс-нормой.
Таким образом N есть наибольшая кросс-норма в Et ® Е2
при обычном понимании порядка в множестве норм. Наи-
Наименьшей кросс-нормы не существует. Однако при некотором
естественном сужении класса кросс-норм наименьшая кросс-
норма появляется и, как и следовало ожидать, ею оказы-
оказывается индуцированная норма.

264 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА ЦП
Пусть в Е, ®Е2 задана какая-нибудь норма. Она инду-
индуцирует норму в (Е,®Е2)/ и — с помощью канонического
изоморфизма — в Ei®E2. Полученная таким путем норма
в Е[ ® Е2 называется двойственной исходной. Повторение
этого процесса (с учетом канонических изоморфизмов Ei =& Е1(
Е2 =& E2) приводит к исходной норме.
Заметим, что Е] ® Е2 отождествляется с пространством
93 (Ej, E2) билинейных функционалов. После этого двойствен-
двойственную норму можно описать явно:
111. Двойственная норма билинейного функционала
Я?23(Е,, Е2) равна норме линейного функционала FB ?
?(Е,®Е2)', связанного с В формулой
В (х,. х2) = FB (*! ® х2) (х, ? Е,. x2 ? Е2).
Из этой интерпретации легко получить, что:
112. Норма в Е^Ег. двойственная индуцированной норме
в Е,®Е2, является кросс-нормой (относительно индуциро-
индуцированных норм в е[ и е'2).
Более того:
113. Если в Ej ® Е2 задана кросс-норма, мажорирующая
индуцированную норму, то двойственная ей норма в Е,®Е2
также является кросс-нормой.
Обратно:
114. Пусть норма в Е,®Е2 такова, что двойственная ей
норма Е!®Е2 является кросс-нормой. Тогда исходная норма
мажорирует индуцированную.
Итак:
115. Индуцированная норма Ej<g)E2 является наименьшей
кросс-нормой, двойственная к которой также является кросс-
нормой (теорема .Ш а т т е н а).
Вычислим норму, двойственную наибольшей кросс-норме N.
116. Норма, двойственная N, совпадает с индуцированной
нормой в Е! ®Ег.
Итак, кросс-нормы, двойственные к которым также
являются кросс-нормами, - это те и только те кросс-нормы,
которые заключены между индуцированной нормой и нор-
нормой N.

U7| $ 7. ФОРМАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 265
§ 7. Формальные полиномы и степенные ряды
от нескольких переменных
Формальным полиномом от букв («независимых пере-
переменных») zl zm называется выражение вида
где формальное суммирование распространяется на некоторое
конечное множество ffn систем индексов (jv . . ., Js) (s за-
зависит от системы), а }s —числовые коэффициенты. Целе-
Целесообразно допустить включение в состав формального поли-
полинома свободного члена а и принять, что этому члену соот-
соответствует s = 0 (т. е. пустой набор индексов). Целесообразно
также допустить случай пустого множества 0'я и полагать
в этом случае я = 0.
Число max{s|a-'i 's ф 0} называется степенью фор-
формального полинома лфО и обозначается degn. Если все
члены формального полинома имеют одну и ту же степень,
то он называется однородным.
Два формальных полинома называются равными, если их
коэффициенты соответственно равны.
Для формальных полиномов естественно определяются
операции сложения и умножения на число.
117. Формальные полиномы от т переменных степени,
не большей р, образуют линейное пространство размерности
mp+i_l
=—. Оно является прямой суммой подпространств одно-
однородных формальных полиномов степеней 0, 1 р.
Произведением двух формальных полиномов
Хт) =
называется формальный полином
(яр) (Лч хт) =
= У ау»' •"' -V1 "'zj, ... zj zt ... гк .

266 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА A18
118.
Умножение формальных полиномов дистрибутивно, пере-
перестановочно со скалярными множителями и ассоциативно, но
не коммутативно. Рассмотрим проблему деления.
Деление формальных полиномов, как правило, неосуще-
неосуществимо:
119. Если яр=1, то degrt = degp = O.
Ситуация может быть исправлена путем присоединения
к формальным полиномам новых объектов. Этими объектами
являются формальные степенные ряды. Они определяются
точно так же, как формальные полиномы, но множество си-
систем индексов с7я теперь уже может быть бесконечным',
Вводя, если нужно, нулевые коэффициенты, можно всегда
считать, что 0Я состоит из всех систем индексов (у р ..., js)
A<УА</«; k=\ s; s = 0, 1, ...). Равенство фор-
формальных степенных рядов определяется так же, как для фор-
формальных полиномов, и действия над формальными степенными
рядами производятся по тем же правилам, что и над формаль-
формальными полиномами. Сверх того, для формальных степенных
рядов имеет смысл операция сложения бесконечного множе-
множества слагаемых, если только в каждой однородной компо-
компоненте она приводит к сложению конечного числа слагаемых.
Обозначим свободный член формального степенного ряда а
через ф(й).
120. ф(й*) = ф(а)ф(й).
Поэтому формальный степенной ряд со свободным членом,
отличным от нуля, не может делиться на ряд без свободного
члена. Однако любой формальный степенной ряд делится на
ряд со свободным членом, отличным от нуля:
121. Если ф(а) ф 0, то существует и единствен формаль-
формальный степенной ряд а, удовлетворяющий соотношениям
ааг1 = 1, а~1а = 1.
Таким образом, степенные ряды со свободным членом,
отличным от нуля, образуют группу. В ней выделяется под-
подгруппа рядов со свободным членом 1.
На основе формальных степенных рядов можно развить
наиболее общую форму операторного исчисления. Каждое
соотношение, справедливое для формальных степенных рядов,
автоматически переносится на неформальные (сходящиеся
в том или ином смысле) степенные ряды в любой ассоциа-
ассоциативной алгебре, в частности, в алгебре операторов 9№(Е).

1*1 § 7. ФОРМАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 267
В дальнейшем условимся говорить кратко «степенной ряд»,
«полином», опуская слово «формальный». Условимся также
писать сокращенно ak вместо а ... а и, как обычно, а°= 1.
Общее операторное исчисление получается присоединением
к алгебраическим операциям над степенными рядами операции
суперпозиции, т. е. подстановки в степенной ряд вместо аргу-
аргументов 2, zm произвольных степенных рядов без свобод-
свободных членов. Эта операция выполняется по естественным прави-
правилам. Определим, в частности, функцию от степенного ряда.
Пусть / (Я) — скалярная функция, голоморфная в окрест-
окрестности нуля:
Тогда для любого степенного ряда а без свободного члена
122. Пусть ф(о) Ф 0, /(A,) = (<p(fl) -f А,). Тогда
f(a — (f(a)) = a-\
123. Если /, (X), /2(А,)— две скалярные функции, голо-
голоморфные в окрестности нуля, / (К) = f1 (к) /2 (к), то f(a) =
= /,(я)/2(я) (Ф(«) = 0).
124. Если /, (к), /2(Я,) — две скалярные функции, голо-
голоморфные в окрестности нуля, причем /2@)=0, и f(X) =
= /i (/2 (>¦)). то / (а) = /, (/2 (а)) (Ф (а) = 0).
125. Если /'@)ф0, то для того, чтобы уравнение
было разрешимо относительно а (ф(а) = 0), необходимо и
достаточно, чтобы ф(с) = /@). Если уравнение (*) разре-
разрешимо, то его решение единственно.
В частности:
126. Формула с = е" определяет взаимно однозначное ото-
отображение множества степенных рядов без свободного члена
на группу рядов со свободным членом 1. Обратное отобра-
отображение определяется формулой а = In (I -f (с — 1)).
Правую часть этой формулы обозначим просто через In с

268 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ЙНЕШНЯЯ АЛГЕБРА [127
127. Если ф(д) = ф(й) —0 и ab — ba, то еаеь = еа+ь.
В высшей степени замечательно, что, отбросив условие
ab = ba, можно все-таки написать явную формулу для произ-
произведения экспонент. Мы это сделаем после того, как изложим
необходимые сведения об алгебре Ли степенных рядов. Эти
сведения представляют и самостоятельный интерес.
Коммутатор степенных рядов а, Ь определяется стан-
стандартным образом:
[a, b\ — ab — ba.
128. ф([й, b\) = 0.
Назовем степенной ряд (полином) без свободного члена
лиевским, если он может быть представлен в виде
(при s=l коммутаторные скобки отсутствуют).
Каждому степенному ряду а = 2а'1 zj ••• Z'j есте-
естественно отвечает лиевский ряд
Очевидно,
Поведение отображения Q относительно умножения рядов
более сложно.
129. Если а — лиевский, b—любой степенной ряд, то
Q(ab) = [a, Qb].
Отсюда:
130. Если а и b—лиевские ряды, то
Q([a, b\) = [Qa. b] + [a, Qb].
Обозначим через Qs ограничение отображения Q на про-
пространство Ils однородных полиномов степени s > 0 и по-
положим Р. = — Q.,
s s s
С помощью формулы 130 нетрудно доказать, что:
131. Оператор Ps проектирует пространство П5 на под-
подпространство Lt лиевских однородных полиномов степени s.

131»] § 7. ФОРМАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 269
Модифицируем отображение Q, полагая
для рядов а без свободного члена.
132. Для того чтобы степенной ряд а был лиевским,
необходимо и достаточно, чтобы Ра = а.
Существует еще один важный критерий «лиевости». Для
того чтобы его сформулировать, нужно ввести тензорное
умножение степенных рядов.
Исходя из обычных свойств
2) аа ® b = а ® ab = а (а ® Ь)
и свойства
3) (a®b)(c®d) = ac®bd,
достаточно определить произведения вида
Zj ®Zh, \®Zh, Zj®\, 1 ® 1 • (*)
Требуемое определение состоит в том, что эти произведения
(кроме 1 ® 1) объявляются новыми независимыми перемен-
переменными и, кроме того, 1®1 = 1. Таким образом, тензорное
произведение двух степенных рядов от zx, ...
пенной ряд от (т-\-\J— 1 новых букв.
Сопоставим теперь с каждым степенным рядом
ряд
где положено
hzk = zk®\ + \®zk (k — 1 т.).
133. Для того чтобы степенной ряд был лиевским, необ-
необходимо и достаточно, чтобы ha = a® I -f-1 ® a.
Отсюда:
134. Экспоненциальное отображение b = ea взаимно одно-
однозначно отображает множество лиевских рядов на множество
степенных рядов со свободным членом 1, удовлетворяющих
соотношению hb = b®b.
Теперь легко проверить, что:
135. Степенной ряд In (ez>ez*) является лиевским.

270 ГЛ. V. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ И ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА A36
Он имеет вид:
136. In(e^ez-)==S. V ', 2,'" ' , г , .
Отсюда применением оператора Р (см. 132) и подстанов-
подстановкой z1->a, z2-+b получается формула Кэмпбелла—
Хаусдорфа — Дынкина:
137. ln(eee»)= ]?¦
«-1
1
Здесь использованы следующие обозначения:
[ир, У\Ш[и. [в. .... [д. •»]....]].
р
[ир, г;«] = 0 (^ > 1), [up, v°] = up.
Выпишем начальный отрезок ряда 137:
ln(eV) = a-M+i-[«. b] + r
(г - степенной ряд, не содержащий членов ниже третьей
степени и исчезающий, если аЬ = Ьа).
138. В алгебре операторов 3№(Е) существует такая окре-
окрестность нуля SB, что ряд Кэмпбелла — Хаусдорфа — Дынкина
с подстановкой а -*¦ А. Ь-*-В (А, В ? 2В) сходится и его
сумма равна оператору 1п(еАев).

Г Л А В А VI
ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В предыдущих главах мы имели дело с комплексным
линейным пространством. Это означало, что элементы про-
пространства (векторы) можно умножать на любые комплексные
числа; В более общей ситуации скалярами могут служить
элементы любого поля, и тогда речь идет о пространстве
над данным полем. Для анализа наиболее существенны слу-
случаи поля комплексных чисел и поля вещественных чисел.
Сейчас наступил момент, когда мы должны остановиться на
втором случае и обсудить его специфику. Нетрудно понять,
что подавляющее большинство определений и теорем из пред-
предшествующих глав без изменений переносятся на вещественные
пространства (а многое — и на пространство над произволь-
произвольным полем). В особенности это относится к гл. I, III—V.
В гл. II построение спектральной теории было тесно связано
с существованием корней полиномов и вообще с аппаратом
теории аналитических функций. Напротив, в гл. V, напри-
например, «комплексность» совершенно никакой роли не играла,
и эта глава может быть дословно перенесена на веществен-
вещественные пространства.
§ 1. Комплексификация
Между вещественными и комплексными пространствами
существует тесная связь, вытекающая из связи между ве-
вещественными и комплексными числами. Это обстоятельство
позволяет систематически сводить проблематику веществен-
вещественных пространств к уже решенным вопросам для комплексных
пространств (и наоборот). Разумеется, такое сведение не
всегда необходимо и удобно, по в ряде случаев оно быстро
ведет к цели.

272 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |1
В этой главе мы будем обозначать основное веществен-
вещественное пространство через R, его размерность (как веществен-
вещественного пространства) *) через п.
1. Поле комплексных чисел С является двумерным вещест-
вещественным линейным пространством.
2. Тензорное произведение R(c) = С <g) R является комплекс-
комплексным **) линейным пространством при естественном опреде-
определении умножения на скаляр: а ф <g) х) = ар ® я.
Комплексное пространство R называется комплексной
оболочкой пространства R, а переход от R к R — ком-
плексификацией пространства R.
В дальнейшем мы будем для краткости писать сиг (а ? С,
д; ? R) вместо а ® х. Исходное пространство R можно отож-
отождествить с подмножеством {у|у==1д;} в R(c). Оно является
подпространством вещественного пространства R(c).
3. Если система \хг, х2, .... xk) векторов в R линейно
независима, то система [xlt ..., xk, ixit ..., lxk) в R
линейно независима.'
4. Комплексная размерность пространства R(c) равна п
(т. е. вещественной размерности пространства R).
Вместе с тем, очевидно, вещественная размерность про-
пространства R(c) равна 2я.
б. Каждый вектор z ? R(c) однозначно представим в виде
Векторы я, у называются соответственно вещественной
и мнимой частью вектора г. Теорема 5 говорит о том,
что вещественное пространство R(c) является прямой суммой
своих подпространств R и /R.
Если z = jc —|— 1у{х, у ? R), то вектор z = x — iy назы-
называется сопряженным с вектором z.
6. Если a = p-f-/o (р, о — вещественные), z = x -f iy
(х, у ? R), то az = (рх — ay) -f i (ax f РУ).
*) Определяемую точно так же, как для комплексного простран-
пространства. В дальнейшем мы будем, если необходимо, употреблять тер-
термины «вещественная размерность», «комплексная размерность».
**) И. очевидно, также вещественным.

HI § 1. КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ 273
7. Отображение сопряжения jz = z является эрмитовым
изоморфизмом RM-»-R(c) и инволюцией.
Если L — подпространство в R, то под его комплекс-
комплексной оболочкой L(<?) понимается его образ при тензорном умно-
умножении, т. е. множество векторов вида cu;(a?C, x?L).
8. Комплексная оболочка L(c) является подпространством
в R(c).
При этом:
9. Комплексная размерность подпространства L равна ве-
вещественной размерности подпространства L.
В силу 9 и 4 автономная комплексификация подпро-
подпространства L и комплексификация, индуцированная компле-
ксификацией всего пространства R, приводят к изоморфным
пространствам.
10. Пусть R, и R2 —два вещественных пространства,
/z?Hom(Rj, R2). Гомоморфизм h однозначно продолжается
до гомоморфизма Л(с) комплексной оболочки R.\c) в комплекс-
комплексную оболочку R2C).
Гомоморфизм А(с> называется комплексным продолжением
гомоморфизма h. Переход от Л к Л(С) называется комплекси-
фикацией гомоморфизма h.
И. КегЛ(с) = (Кег/г)(с), Im Л(с) = Aт hf\
Следовательно:
12. def ft(c)= def/г, rg h(c) = xgh.
Параллельно с комплексификацией гомоморфизма суще-
существует сопряженная процедура — эрмитова комплексифи-
кация:
13. Пусть R, и R2 — два вещественных пространства,
A?Hom(R,, R2). Гомоморфизм h однозначно продолжается
до эрмитова гомоморфизма комплексной оболочки R] в ком-
комплексную оболочку R^'.
Сказанное по поводу гомоморфизмов, в частности, от-
относится к линейным функционалам.
Для билинейных функционалов под комплексификацией
удобно понимать продолжение до эрмитово-билинейного функ-
функционала.
14. Пусть Rj и R2 — два вещественных пространства,
В — билинейный функционал на Rj X f?2- Функционал в
18 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

274 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [15
однозначно продолжается до эрмитово-билинейного функ-
функционала В{с) на R{c) X R?}.
15. При комплексификации билинейного функционала
ранг и дефекты не изменяются.
16. Если В — симметричный билинейный функционал
в R, то
B{c\z, z) = B(x. x) + B(y, у) (г = * + /у).
17. При комплексификации симметричного билинейного
функционала получается эрмитово-симметричный билинейный
функционал.
18. Пусть Q— квадратичный функционал в R. Функци-
Функционал Q однозначно продолжается до вещественного (в смысле
§ 2 гл. III) эрмитово-квадратичного функционала Q(c) в R(c).
19. Для каждого симметричного билинейного функцио-
функционала В в R существует такая система векторов feft)JcR
г = rg В > 0), что
г
В (х, у) = У1гкВ (х, ek) В (ek, у) (в„ = ± 1).
20. Для каждого квадратичного функционала Q в R
существует такая линейно независимая система f/ftK
(r = rgQ>0) линейных функционалов, что
г
Q(x)=yitk\fk{x)Y (e*=±l).
Теоремы 19, 20 можно доказать путем комплексификации
(тогда они сведутся к теоремам 41, 43 гл. Ш), но, конечно,
их можно доказать «без выхода из R» по образцу соответ-
соответствующих теорем для комплексного пространства.
Подчеркнем, что закон инерции квадратичных функцио-
функционалов без изменений переносится на вещественный случай.
21. При комплексификации квадратичного функционала
индексы инерции не изменяются.
В частности, комплексификация положительного функ-
функционала приводит к положительному функционалу.
22. Если R — унитарное пространство, то комплексифи-
комплексификация скалярного произведения превращает R в комплексное
унитарное пространство.

28] § I. КОМПЛЕКСИФИКАЦИХ 275
Рассмотрим теперь комплексификацию нормы. Комплекс-
Комплексным продолжением нормы в R называется норма в R(c),
совпадающая в R с исходной нормой.
23. Пусть R — евклидово пространство. Формула
определяет евклидово комплексное продолжение нормы.
Этот случай уникален в том смысле, что:
24. Если R — нормированное пространство и норма в R(c)
имеет вид
II*-»-/У111 =v(||*||. ||у||) (*. y?R).
то
v (а, р) = const • У а2 -+ р2,
a R — евклидово пространство A2 гл. IV).
Таким образом, комплексификация неевклидовой нормы
не может быть согласована с представлением z = x-\-iy.
Но существует ли она вообще? Утвердительный ответ вы-
вытекает из теории кросс-норм (§ 6 гл. V).
Будем считать нормой в С модуль комплексного числа.
25. Если R нормировано, то множество комплексных
продолжений нормы совпадает с классом кросс-норм в С ® R.
Следовательно,
26. Функционал
где нижняя грань берется по всем представлениям
2 (а*6 С, **6Ю.
является наибольшим комплексным продолжением нормы.
27. Индуцированная норма в С ® R имеет вид
Из теоремы Шаттена следует:
28. Индуцированная норма является наименьшим комплекс-
комплексным продолжением нормы в R, согласованным с комплекси-
фикацией линейных функционалов:
18»

2?б ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [Й
Сопоставим с каждым вектором z = x-\-iy гомоморфизм
z: R'^-C по формуле z/= /(*) + '/00-
29. Индуцированная норма в R(e) совпадает с нормой
гомоморфизма z.
30. Если норма в R(e) является комплексным продолже-
продолжением нормы в R, согласованным с комплексификацией ли-
линейных функционалов, то || z \\<C\\ z II-
Рассмотрим два вещественных пространства R, и R2 и
комплексификацию гомоморфизмов /z?Hom(R,, R2).
31. Каждая комплексификация норм в R, и R2, согласо-
согласованная с комплексификацией линейных функционалов, со-
согласована также с комплексификацией гомоморфизмов:
|| AM || = || h || (h 6 Нот (R,, R2)).
§ 2. Декомплексификация
Этот термин призван обозначать процедуру, в некотором
смысле обратную комплексификации.
32. Каждое комплексное «-мерное пространство Е является
2«-мерным вещественным пространством.
В этой роли мы обозначим его через Е . Переход от Е
к Е( называется декомплексификацией пространства Е.
33. Каждое /я-мерное подпространство LcE является 2т-
мерным подпространством в Е(г).
В этой роли мы обозначим его через L(r).
34. Умножение на i в Е является автоморфизмом про-
пространства Е(г).
Этот автоморфизм мы обозначим через J.
35. У2= —/.
36. Для того чтобы подпространство в Е ' совпадало
с некоторым L(r\ необходимо и достаточно, чтобы оно было
инвариантно относительно оператора J.
Такие подпространства в Е(г) назовем комплексифици-
руемыми.
37. Если М — подпространство в Е(г), то наименьшее под-
подпространство М в Е, содержащее М, равно сумме М-(- УМ.

§ 2. ДЕКОМПЛЕКСИФИКАЦИЙ 277
38. -|- dimM<dimM<dimM.
~ 1
39. Равенство dim M ==-^-dimM достигается тогда и
только тогда, когда М комплексифицируемо.
40. Равенство dim М = dim M достигается только тогда,
когда УМ П М = 0.
Такие подпространства в Е(г) назовем комплексифици-
рующими. Очевидно, каждое подпространство комплексифи-
цирующего подпространства является комплексифицирую-
щим.
41. Если М—комплексифицирующее подпространство,
то dim M-<re.
42. Если М — комплексифицирующее подпространство и
dim M < п, то существует комплексифицирующее подпрост-
подпространство MjIdM, такое, что dimM1 = dim M-f-1.
43. Для каждого /га-^ге существует комплексифицирую-
комплексифицирующее подпространство размерности т.
44. Для того чтобы комплексифицирующее подпростран-
подпространство М было максимальным, необходимо и достаточно, чтобы
dim M—re.
45. Если R — максимальное комплексифицирующее под-
подпространство, то каждый вектор z ? Е однозначно предста-
представим в виде z = x-\-ty (х, y?R).
Тем самым устанавливается естественный изоморфизм
между Е и комплексной оболочкой R(c). Однако подпрост-
подпространство R не определено однозначно.
Теорема 45 обращается:
46. Если подпространство R в Е(г) таково, что каждый
вектор z ? Е однозначно представим в виде z — x-\- iy, то
R — максимальное комплексифицирующее подпространство.
Описание комплексифицируемых подпространств можно
произвести в двойственных терминах комплексифицирующих
подпространств.
47. Каждое комплексифицируемое подпространство имеет
четную размерность.
48. Если подпространство М комплексифицируемо, то
в нем существует такое комплексифицирующее подпростран-
подпространство К, что М = К4-УК.
Обратно:

278 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |49
49. Для любого комплексифицирующего подпространства К
сумма К -f- УК — прямая и является комплексифицируемым
подпространством.
50. Если М — комплексифицируемое подпространство и
dimM>0, то существует такое комплексифицируемое под-
подпространство М,с:М, что dim М, = dim M — 2.
61. Для каждого т <^ге существует комплексифицируемое
подпространство размерности 2т.
52. Для того чтобы М было минимальным нетривиальным
комплексифицируемым подпространством, необходимо и до-
достаточно, чтобы dimM = 2.
53. Каждое нетривиальное комплексифицируемое подпро-
подпространство, в частности Е , разлагается в прямую сумму
двумерных комплексифицируемых подпространств.
Рассмотрим декомплексификацию гомоморфизмов и функ-
функционалов.
54. Пусть Ер Е2 — комплексные пространства, ото-
отображение А?Нот(ЕрЕ2). Тогда h—гомоморфизм Е]Г) в Е2Г)-
В этой роли мы обозначим его через ft(r). Переход от h
к Л(г) называется декомплексификацией гомоморфизма ft.
Обозначим через У,, У2 операторы, порождаемые умноже-
умножением на / в Е]Г) и Егг 'соответственно.
55. ft(fVi=y2ft(f).
Гомоморфизм g? Horn(Е({\ Е^'), удовлетворяющий, усло-
условию gJ1=J2g, называется комплексифицируемым.
56. Если g ? Horn (е[г\ Е^г)) — комплексифицируемый го-
гомоморфизм, то существует и единствен такой гомоморфизм
h 6 Horn (Ер Е2), что g = h{r).
57. Если / — линейный функционал в Е, то /(г) (я) =
==Ш f (х) — линейный функционал в Е(г).
Это — декомплексификация линейного функционала. Она
не редуцируется к декомплексификации гомоморфизмов.
58. Декомплексификация устанавливает взаимно однознач-
однозначное соответствие между сопряженными пространствами Е' и
(Е(Г)У.
59. Если В — эрмитово-билинейный функционал на Е, X Е2,
то В{г) (х, у) = Ш В {х, у) — билинейный функционал на

651 § 3. ОПЕРАТОРЫ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 279
60. Декомплексификация устанавливает взаимно однознач-
однозначное соответствие между пространством эрмитово-билинейных
функционалов на Е,ХЕ2 и пространством билинейных функ-
функционалов на Е]Г) X Е^г).
61. Если Е — унитарное пространство, то при декомплек-
сификацин скалярного произведения пространство Е(г) также
становится унитарным.
Наконец:
62. Если Е — нормированное пространство, то норма в Е
является нормой и в Е(г).
В евклидовом случае декомплексификация нормы и ска-
скалярного произведения согласованы.
Очевидно:
63. Декомплексификация гомоморфизма сохраняет норму:
\\h<r)\\ = \\h\\.
64. Декомплексифнкация линейного функционала сохра-
сохраняет норму.
§ 3. Операторы в вещественном пространстве
Специфика теории операторов в вещественном простран-
пространстве определяется тем, что поле вещественных чисел в от-
отличие от поля комплексных чисел не замкнуто алгебраически:
уравнение с вещественными коэффициентами не обязательно
имеет вещественные корни. Поэтому линейный оператор
в вещественном пространстве R может не иметь собственных
векторов. Но после комплексификации собственные векторы
появляются, и остается «спроектировать» спектральную тео-
теорию в пространство R.
В этом параграфе А означает линейный оператор в R.
Его собственными значениями называются собственные значе-
значения его комплексного продолжения А в R . В этом же
смысле употребляются термин «спектральный радиус» и дру-
другие термины спектральной теории.
Обозначим через J отображение сопряжения в R(c):
jz = z.
65. Оператор Л(с) коммутирует с у:

280 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [66
Положим
W*(X) = Кег(А(с) -Xl)s (s==I. 2. ...)•
66. Подпространства Ws (X) и Ws (X) изоморфны.
67. Если X— собственное значение оператора А, то X—
собственное значение той же кратности, что и X.
68. Характеристический полином оператора А веществен-
вещественный.
69. Минимальный полином оператора А вещественный.
70. Если X — вещественное собственное значение опера-
оператора А, то каждое из подпространств WS(X) имеет веще-
вещественный базис, т. е. базис из векторов, принадлежащих R.
71. Если все собственные значения оператора А веще-
вещественны, то оператор А имеет жорданов базис в R.
Обратное утверждение тривиально.
72. Для того чтобы оператор А имел собственный базис,
необходимо и достаточно, чтобы корни его минимального
полинома были вещественными и простыми.
73. Каждый оператор А имеет инвариантное подпростран-
подпространство размерности, не большей 2.
Будем говорить, что инвариантное подпространство мини-
минимально, если оно отлично от нуля и не содержит других
инвариантных подпространств. Согласно 73 размерность ми-
минимального инвариантного подпространства не больше 2.
Если эта размерность равна 1, то инвариантное подпростран-
подпространство собственное.
74. Для того чтобы двумерное инвариантное подпро-
подпространство L было минимальным, необходимо и достаточно,
чтобы в некотором базисе этого подпространства матрица
оператора A\L имела вид
'а -р\
а)
где р Ф 0. Для всех таких базисов числа а, Р одинаковы.
75. Для оператора А существует цепь инвариантных под-
подпространств
0=J0cJ,c ...cJm = R
такая, что
0<dimJft+, -climJ^<2 F = 0, 1, ..., m— I).

821 3. ОПЕРАТОРЫ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 281
Это — вещественный аналог теоремы о треугольном пред-
представлении E8 гл. II). Соответствующая матрица получается,
вообще говоря, не треугольной, а блочно-треугольной, но
порядки диагональных блоков не превосходят 2. В случае
порядка 2 диагональным блокам можно придать указанный
выше вид. Теорема 7б находится в том же отношении к тео-
теореме 58 гл. II, как теорема о разложении вещественного
полинома на линейные и квадратичные множители к теореме
о разложении комплексного полинома на линейные множи-
множители.
76. Если корни минимального полинома оператора А про-
простые, то пространство R разлагается в прямую сумму инва-
инвариантных подпространств размерности, не большей 2.
Обратное утверждение также верно.
77. Если размерность пространства R нечетна, то опера-
оператор А имеет собственный вектор.
78. В четномерном пространстве существует оператор
без собственных векторов.
Предположим теперь, что пространство R унитарно.
Тогда и R унитарно каноническим образом (см. 22)-
Оператор А в R называется симметричным, если
(Ах, у) = (х, Ау) (х, y?R).
79. Если А - симметричный оператор, то Л(с>—самосо-
Л(с>—самосопряженный оператор, и обратно.
80. Спектр симметричного оператора вещественный.
81. Симметричный оператор А обладает ортонормирован-
ным собственным базисом.
Этот результат, так же как и всю остальную теорию
симметричных операторов, можно получить без комплекси-
фикации, действуя в R совершенно аналогично комплексному
случаю. Но при этом существование собственных значений
должно быть установлено «вещественным» методом. Оказы-
Оказывается, не выходя из R, можно доказать, что:
82. Число к = min (Ax, х) является собственным зна-
(дг, дг)-1
чением симметричного оператора А в R.
Оператор А называется ортогональным, если
(Ах, Ау) = (х. у) (х, y?R).

282 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО 183
83. Если А — ортогональный оператор, то Л(с)—унитар-
Л(с)—унитарный оператор, и обратно.
84. Спектр ортогонального оператора унитарный.
86. Для любого ортогонального оператора пространство R.
разлагается в ортогональную сумму инвариантных подпро-
подпространств размерности, не большей 2.
86. В одномерном инвариантном подпространстве ортого-
ортогональный оператор совпадает с оператором умножения на 1
или —1.
87. В двумерном минимальном инвариантном подпростран-
подпространстве матрица ортогонального оператора относительно любого
©ртонормированного базиса имеет вид
/coscp —sincp\
\sincp coscp/ '
где 0 < ф < л. Угол ф не зависит от выбора базиса.
88. Детерминант ортогонального оператора равен 1 или
— 1.
Таким образом, ортогональные операторы унимодулярны.
Ортогональный оператор А с детерминантом 1 называется
собственно ортогональным или вращением. Вектор х ф О
называется осью вращения, если Ах — х.
89. В нечетномерном пространстве каждое вращение имеет
ось.
90. В четномерном пространстве существуют вращения,
не имеющие оси.
Заметим теперь, что:
91. Ортогональные операторы образуют группу относи-
относительно умножения.
92. Вращения образуют подгруппу группы всех ортого-
ортогональных операторов.
93. Группа вращений связна.
94. Компонентами связности группы ортогональных опе-
операторов являются группа вращений и ее дополнение, т. е.
множество несобственно ортогональных операторов.
В соответствии с этим:
96. Множество ортонормированных базисов в R распа-
распадается на две компоненты связности (ср. 167 гл. IV).
Базисы одной компоненты (выбранной произвольно) можно
назвать «правыми», тогда базисы другой компоненты будут

103J § 3. ОПЕРАТОРЫ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 28*
называться «левыми». Выбор компоненты называется ориен-
ориентацией пространства R. Таким образом, вещественное про-
пространство имеет две «противоположные» ориентации.
Отметим, что теорема 95 без труда распространяется на
любые базисы.
Ортогональные операторы тесно связаны с антисиммет-
антисимметричными операторами, т. е. такими, что
{Ах, у) = — (х, Ау).
96. Если А—антисимметричный оператор, то 1А —само-
—самосопряженный оператор и обратно.
97. Спектр антисимметричного оператора чисто мнимый.
98. В нечетномерном пространстве каждый антисимметрич-
антисимметричный оператор нерегулярен.
99. В четномерном пространстве существуют регулярные
антисимметричные операторы.
100. Для любого антисимметричного оператора А
clet A > 0.
101. Для любого антисимметричного оператора А про-
пространство R разлагается в ортогональную сумму
В свою очередь 1т А разлагается в ортогональную сумму
двумерных минимальных инвариантных подпространств.
102. В двумерном минимальном инвариантном подпро-
подпространстве матрица антисимметричного оператора относительно
/О — р\
любого ортонормированного базиса имеет вид , где
\Р и/
р Ф 0. Число р не зависит от выбора базиса.
Связь между ортогональными и антисимметричными опе-
операторами устанавливается преобразованием Кэли (несколько
модифицированным по сравнению с § 6 гл. III).
103. Если А — антисимметричный оператор, то оператор
U = (/-г А) (/ — А)~х является вращением. Все вращения
могут быть представлены в указанном виде.
Симметричные, антисимметричные и ортогональные опера-
операторы принадлежат классу вещественных нормальных опера-
операторов, который можно было бы определить аналогично § 7

284 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО Ц04
гл. III. Вещественные нормальные операторы со спектральной
точки зрения характеризуются тем, что они являются орто-
ортогональными суммами неприводимых операторов, действую-
действующих в подпространствах размерности, не большей 2.
§ 4. Дифференцируемые отображения. Гладкие нормы
Пусть даны вещественные пространства R,, R2 и откры-
открытое множество GcRj. Отображение F множества G в про-
пространство R2 называется дифференцируемым в точке xo?G,
если существует такой гомоморфизм /z?Hom(R,, Rj), что
\\Fx — Fxo — h(x—xo)\\
llm ~U
llm \\x~x II
т. е.
104. Гомоморфизм h при заданных F и х0 определен
однозначно.
Он называется производной отображения F в точке х0 и
обозначается F'(х0). Обычно в анализе пишут
х -xo = dx, F'(xo)dx = dF
и величины dx, dF называют дифференциалами.
105. Если A16Hom(R,! R2) и h^F'(x0), то
г- \\Fx—Fxo~hs(jc — xo)\\ 0
хТх. И-«—«о II >
В этом смысле производная дает наилучшее линейное
приближение отображения F в точке х0.
106. Если F — линейное отображение R! в R2, т. е.
F ? Horn (Rj, R2), то оно дифференцируемо в каждой точке
х^Щ и
F'(x) = F
107. Пусть F ¦— отображение в R2, Ф — отображение
из Я2. Если отображение F дифференцируемо в точке х,
а отображение Ф дифференцируемо в точке Fx, то их про-
произведение Ф/7 дифференцируемо в точке х и
(Ф/7)' (дг) = Ф' (Fx) F' (х).

Ш1: § 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 285
Это — теорема о производной от сложной функции.
Отображение F: G -> R2 называется дифференцируемым,
если оно дифференцируемо в каждой точке множества G.
Отображение называется постоянным, если множество
{/\*|х?О} СОСТОИТ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ.
108. Постоянное отображение дифференцируемо, и его
производная равна нулю.
Обратно:
109. Если отображение дифференцируемо и его произ-
производная равна нулю, то оно постоянно.
Таким образом, так же как в скалярном анализе, диффе-
дифференцируемое отображение однозначно определяется своей
производной и своим значением в одной точке. Восстановле-
Восстановление отображения по производной — интегрирование—произ-
интегрирование—производится как в скалярном случае и Сводится к этому случаю.
Ради простоты формулировок мы рассматриваем ниже только
отображения всего пространства Rj в R2.
ПО. Если F— дифференцируемое отображение, то
1
Fx = Fx0 + J F' (x0 + / (x — xo))(x - x0)dt.
о
Одно из интересных следствий этой формулы состоит
в оценке расстояния между точками Fxx и Fx2-
111. Пусть F—дифференцируемое отображение. Тогда
где
<М = sup ||/"(*) I
€1 ]
и [хх, х2] — отрезок, соединяющий хг с х2'-
[х„ xa] = [x\x = x
Предложение 111 играет роль теоремы о среднем в много-
многомерном дифференциальном исчислении. Отметим одно его
применение.
Отображение F называется сжимающим, если
х, - х21| (х,. х2 е R0.

286 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [Ш
112. Для того чтобы дифференцируемое отображение F
было сжимающим, необходимо и достаточно, чтобы
т. е. чтобы производная F' была сжатием в каждой точке.
Отображение F называется строго сжимающим, если
|| Fxx — Fx21| < || х, — х21| (*,, х2 ? R,. л;, Ф х2),
и равномерно сжимающим, если существует такое число q
< 1), что
Аналогично 112:
113. Для того чтобы дифференцируемое отображение F
было равномерно сжимающим, необходимо и достаточно,
чтобы sup || F' (х) ||< 1.
Особый интерес представляют равномерно сжимающие
отображения пространства в себя. Дело в том, что для та-
таких отображений имеет место принцип неподвижной
точки:
114. Если F — равномерно сжимающее отображение про-
пространства R в себя, то уравнение
имеет и притом единственное решение.
Рассмотрим теперь производные высших порядков. Если
F — дифференцируемое отображение R, в R2, то оно поро-
порождает отображение пространства Rj в пространство Horn (R,, R2)
по формуле h = F'(x). Если это отображение в свою оче-
очередь дифференцируемо в точке х, то его производная назы-
называется второй производной отображения F в точке х и обо-
обозначается F" (х). Очевидно,
F"(x)e^om(Rl, HomCR,, R2)).
Повторяя это построение, можно ввести производную Z7'"" (x)
любого порядка т. Это есть гомоморфизм из R, в простран-
пространство Нт_, гомоморфизмов, которому принадлежит /^т~1)(д:I
Термин «т раз дифференцируемое (в точке) отображение»
не нуждается в особом пояснении.

118] § 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 287
Дифференциал т-го порядка в точке х0 определяется
по производной того же порядка следующим образом:
dmF = (... ((F(m) (*„) dx) dx)...)dx (dx = x — x0).
115. Если отображение F имеет вид
Fx = (...((Q)x)x)...)x (ФбНт),
m
то оно т раз дифференцируемо и
а производные порядка, меньшего т, равны нулю в точке
* = 0.
116. Если отображение F т раз дифференцируемо
в точке х0 и
F' (xQ) = F" (хо)= ... = F(m) (xQ) = О,
то
117. Для любого отображения F, т раз дифференцируе-
дифференцируемого в точке х0, имеет место формула Тейлора с остаточ-
остаточным членом в форме Пеано:
... +-L
Изложенная теория, в частности, применима к функцио-
функционалам. Производная функционала есть линейный функционал.
Он называется градиентом исходного функционала ср и обо-
обозначается Уф. Итак, если функционал ер дифференцируем
в точке х0, то
Ф (х) = Ф (*0) + (Уф IJ (х - х0) + о (|| х - л;01|).
Вторая производная функционала в каждой точке является
гомоморфизмом из R в R'. Она называется гессианом функ-
функционала.
118. Пусть Д—базис в R, А' — сопряженный базис в R'.
Матрица гессиана относительно пары базисов Д, Д' симмет-
симметрична (теорема Г. Шварца).
Если пространство R евклидово, то гессиан можно рас-
рассматривать как оператор в Е. В силу теоремы Шварца этот
оператор самосопряженный.

288 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО |И9
Рассмотрим теперь дифференцирование нормы в простран-
пространстве R. Заметим, что ни одна норма не дифференцируема
в точке х = 0.
Норма называется гладкой, если она дифференцируема
при х Ф 0.
119. Все /р-нормы при 1 < р < со являются гладкими.
120. с-норма и /-норма не гладкие.
121. Градиент любой гладкой нормы всюду имеет норму,
равную 1.
Например:
X
122. Градиент евклидовой нормы равен -—- (х Ф 0)
II -^ II
(при каноническом отождествлении линейных функционалов
с векторами).
Даже не гладкие нормы дифференцируемы в некотором
более общем смысле. Введем соответствующие определения.
Производной отображения F в точке х по направлению
вектора е называется вектор
F'(x\ — li F(x+te) — F (X)
Соответственно определяется дифференцируемость по направ-
направлению.
123. Если в точке х отображение F дифференцируемо,
то оно дифференцируемо по каждому направлению и F'e(x) =
= F'(x)e.
124. Каждая норма дифференцируема по всем направле-
направлениям во всех точках х Ф 0.
Производная от нормы в данной точке х ф 0 по направ-
направлению вектора е, рассматриваемая как функционал от аргу-
аргумента е, по-прежнему называется градиентом.
125. Градиент у(е) нормы в любой точке х Ф 0 обла-
обладает следующими свойствами:
2) Y(«i + e2) = Y (»i) + Y (e2);
3) sup | Y O)|= 1.
llell-l
126. Для того чтобы норма была дифференцируемой в точке
х ф 0, необходимо и достаточно, чтобы ее градиент у(е)
в этой точке был антисимметричным: y (— в) = — Y (е)-

1331 § 4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 289
Свойство дифференцируемое™ нормы имеет простой гео-
геометрический смысл:
127. Для того чтобы норма была дифференцируемой
в точке х Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы все опор-
опорные функционалы в точке х были пропорциональны.
Иначе говоря, для дифференцируемое™ нормы в точке х
необходимо и достаточно, чтобы линейный функционал /х,
удовлетворяющий условиям fx(x)=l, \\/х\\-\\х\\=1, был
единствен. В случае гладкой нормы тем самым определено
отображение инверсии y = fx (x? R, хфО).
128. В случае евклидовой нормы инверсия имеет вид
||
129. Пусть дана гладкая норма и пусть ух — ее градиент
в точке х. Тогда fх = .
11-^11
Отсюда видно, что дифференцируемость инверсии экви-
эквивалентна двукратной дифференцируемости нормы.
130. Инверсия является непрерывным взаимно однознач-
однозначным отображением R \ {0} на R'\{0). При этом единич-
единичной сфере пространства R соответствует единичная сфера
пространства R'.
131. Если норма дважды дифференцируема, то повтор-
повторная инверсия возращает в исходную точку.
Тем самым инверсия реализует двойственность нормиро-
нормированных пространств.
В заключение параграфа вычислим градиенты двух важных
функционалов в евклидовом пространстве R. Пусть 5 — сим-
симметричный оператор, y6R.
132. Градиент неоднородного квадратичного функционала
равен Уф (х) = 5л; — у.
133. Градиент функционала Рэлея
равен
Уф О) = 5.*:— у(х)х, т. е.
где Я—ортопроектор на подпространство, ортогональное к х.
И. М. Глазиан, Ю. И. Любич

290 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО [131
§ 5. Дифференцирование функций от оператора
Пусть C (Е) — вещественное пространство всех самосо-
самосопряженных операторов в комплексном или вещественном
унитарном пространстве Е (см. 131 гл. III) и ф(^) —веще-
—вещественная скалярная функция, определенная на некотором
открытом подмножестве <?? вещественной оси. Положим
Функция ф (X) индуцирует отображение ф: © -> B (Е) по
формуле T = (p(S).
В этом параграфе мы займемся специализацией дифферен-
дифференциального исчисления применительно к описанным индуци-
индуцированным отображениям. Пусть функции фE), \J) E) диф-
дифференцируемы в точке S. Тогда, очевидно,
1) d [Ф E) + S S
2) d[aq>(S)]
Кроме того,
3) d [ф E) ф (S)} = Ф (S)
Наконец:
134. </[фEI1
Указанные правила дифференцирования позволяют по-
построить простейшие примеры дифференцируемых функций от
оператора.
136. Функция фE) = 5т (т — натуральное число) диффе-
дифференцируема и
136. Если ф(Я,) — полином, то функция фE) дифферен-
дифференцируема.
137. Если ф(Я,) — рациональная функция, то функция фE)
дифференцируема.
Отправляясь от 136, можно указать класс функций ф(Х),
порождающих дифференцируемые функции ФE).
Прежде всего отметим, что из 136 следует:
138. Для любого полинома ф(^) имеет место формула*)
*) Здесь и далее разностные отношения при совпадении узлов
следует заменять соответствующими производными.

142) § 5, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРА 291
где Pj — ортопроектор на одномерное собственное подпро-
подпространство оператора 5, порождаемое собственным векто-
вектором ej из ортонормированного собственного базиса {ек)\ опе-
оператора S; Xj — соответствующее собственное значение.
Далее:
139. Если функция ф(Х) имеет непрерывную производную
в замкнутой окрестности спектра a(S), то
2
<P(Xj) — <p(Xk)
г г P- ¦ dSPb < max
Kj — Ajfc '
(норма слева — операторная, справа—гильбертова), где ф (к)—
любое продолжение функции ф(^) на интервал (a, p)z>oE)
с сохранением непрерывной дифференцируемое™.
Наконец:
140. Если функция ф(^) имеет непрерывную производ-
производную в окрестности спектра o(S), то функция (f(S) диффе-
дифференцируема в точке 5 и для d(f(S) имеет место формула 138.
141. Если функция S(t) вещественного параметра t со
значениями в <S (E) имеет непрерывную производную в ок-
окрестности точки /0, а функция ф(^) имеет непрерывную про-
производную в окрестности спектра оператора S = 5 (t0), то
существует производная
<*Ф (S (t)) 1 _
Предложения 140, 141 нетрудно обобщить на производ-
производные и дифференциалы высших порядков. Для удобства даль-
дальнейших формулировок введем для скалярной функции
обозначения:
X —
и т. д.
142. Если оператор-функция S(t) имеет непрерывную вто-
вторую производную в окрестности точки /0, а функция
19*

292 ГЛ. VI. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО (ИЗ
имеет непрерывную вторую производную в окрестности
спектра оператора S — S(t0), то существует производная
= 2 ^Ф'2' &.,. К К)PjS'(/о)P*S'С
где под знаками сумм каждый из аргументов Ху-, Яй, Хг про-
пробегает спектр о (S) *).
Аналогично:
143. Если функция ф(Х) имеет непрерывную вторую про-
производную в окрестности спектра о (S), то функция фE)
в точке S дважды дифференцируема и
d2(f (S) = 2 2 Ф'21 (Л;. Хй. М Я; dSPk dSPT.
Более общим образом:
144. Если функция ф(Я) имеет непрерывную /я-ю про-
производную в окрестности спектра о E), то функция ф E)
в точке 5 дифференцируема т раз и
j dSP, dS ... Р, .
Таким образом, если функция ф(Х) имеет непрерывную
wt-ю производную в окрестности спектра оператора 5. то
справедлива формула Тейлора
146. Остаточный член формулы Тейлора равен нулю
тогда и только тогда, когда функция ср(Х) в окрестности
спектра a (S) совпадает с некоторым полиномом степени <^ /я.
*) Аналогичное соглашение действует в аналогичных формулах
ниже.

147] § 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ ОПЕРАТОРА 291
146. Если AS^S, то
Для того чтобы аналогичным образом детализировать
формулу Тейлора в общем случае, положим
= 2
и определим операцию шуровского умножения элементов
ft+i ft
из ® <? (Е) на элементы из ® 3 (Е) по формуле
G\ ® Г2 ® ... ® ГЛ+1) с (Sx ® S2 ® ... ® Sk) =
т Р т С 7*
— ' 1°1' 2°2 • • ' ' ft + 1*
147. фE-(-Д5) = фE)-(-ф111E)оД5 +
+ ^ ФР1 (S) о Д5<2) + .. • + -^ ф1т' (S) о Д5С»' Н- о (|| AS |Г).
Заметим, между прочим, что для матрицы первого диффе-
дифференциала в собственном базисе Д оператора S имеем
\ А/ — Aft /у, ft-1
где о — знак шуровского произведения матриц, определяе-
определяемого формулой
Рассмотрим применения формулы Тейлора к теории воз-
возмущений самосопряженных операторов (другие применения
будут приведены в § 9 гл. VIII).
Пусть S, Г?6(Е) и S (е) = S 4-еГ Тогда, если функ-
функция ф(Х) равна единице в окрестности точки X, и нулю в ок-
окрестности отличных от Я-! точек спектра о E), то при
достаточно малых | е | оператор Р (е)=ф (S (г)) будет ортопро-
ектором на линейную оболочку собственных векторов опе-
оператора -S(e), соответствующих его собственным значениям из
окрестности точки Xv При этом в качестве ф(Я,) можно

294 гл. vi. вещественное Линейное пространство |Ш
использовать сколь угодно гладкую функцию. Разложение Р (е)
в ряд Тейлора дает ключ к теории возмущений.
148. Если Я., — простое собственное значение опера»
тора S, то
ft-2
где разложение может быть доведено до членов сколь угодно
высокого порядка.
При тех же предположениях:
149. Собственное значение Кг (е) для достаточно малых |е|
является простым собственным значением оператора 5(е), и
соответствующий собственный вектор ех (е) имеет вид
160. kl{e)=kl+e(Tel. «,)+ ...
161. Для любой функции ф(Я,), обладающей /и-й непре-
непрерывной производной,
sp <р E + еГ) = sp Ф E) + е jj Ф'
2
е
§ 6. Теорема Штейница о векторных рядах
Эта теорема была сформулирована еще в § 12 гл. I. Оче-
Очевидно, при доказательстве можно, не ограничивая общности,
считать Е вещественным евклидовым пространством. Кроме
того, можно считать сумму условно сходящегося ряда равной
нулю. В этих предположениях теорема Штейница фор-
формулируется так:
со со
162. Если 2** = 0> 2IIХь\\ = оо, то множество F сумм
fc-i ft-i
сходящихся рядов, образованных из данного векторного ряда

157) § 6. ТЕОРЕМА ШТЕЙНИЦА О ВЕКТОРНЫХ РЯДАХ 295
путем перестановки его членов, есть ортогональное допол-
дополнение к его области безусловной сходимости N.
В соответствии с § 12 гл. IN есть наибольшее из под-
пространств LcE, для которых сходится ряд 2||'>-**И> гДе
Р — ортопроектор на L.
Отметим, что 152 при п — \ совпадает с классической
теоремой Римана, а при л = 2 дает ее обобщение на числовые
ряды с комплексными членами.
Ниже приводится одна из схем доказательства теоремы
Штейница. Основным элементом этой схемы является лемма:
153. Любую систему векторов Г={хк}™, удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям
JU* = O, ||jfft||<l (*=1. 2 т),
можно переупорядочить так, чтобы
" I (г = 1, 2 т),
II-
где I не зависит от системы Г.
Геометрически лемма 163 означает: если стороны замкну-
замкнутой ломаной не превосходят 1, то можно так переставить их,
что диаметр полученной ломаной не превзойдет 11. Доказа-
Доказательство можно получить индукцией по размерности линейной
оболочки системы Г.
154. Если вектор s является пределом некоторой подпо-
подпоследовательности частичных сумм векторного ряда 162» то
166. Если Sj?F и S2^F, то
A — a)s,-f-as2? F (— оо < a < оо).
Следовательно, F — подпространство.
156. dimF ФО.
157. Если N = 0, то F = E.
Из 167 уже нетрудно получить общую теорему 152.

ГЛАВА VII
ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА В ВЕЩЕСТВЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Клинья и конусы
На протяжении этой главы через Е, пока нет специальных
указаний, обозначается произвольное вещественное линейное
пространство.
Наряду с линейными комбинациями, коэффициенты кото-
которых—любые вещественные числа, здесь будут рассматриваться
неотрицательные (и, в частности, положительные) линейные
комбинации. Неотрицательной {положительной) называется
линейная комбинация с неотрицательными (соответственно,
положительными) коэффициентами.
Неотрицательной линейной оболочкой любого конечного
или бесконечного множества векторов FcE называется мно-
множество неотрицательных линейных комбинаций векторов из F.
Положительной линейной оболочкой конечного множества
векторов FczE называется множество положительных линей-
линейных комбинаций этих векторов, дополненное нулем. Векторы
[xk\™ назовем положительно линейно независимыми, если
любая их неотрицательная линейная комбинация, за исключе-
исключением тривиальной, отлична от нуля.
Множество КсЕ называется клином, если 1) из хх, х2? К
следует jc, -f- х2 ? К. 2) из х ? К при любом а ^ 0 следует
ах ? К- Клин К называется конусом*), если из х?К (О
следует —х?К**)-
*) Более удачными были бы термины «выпуклый клин» и «вы-
«выпуклый коиус», но они мало распространены.
**) Точно так же определяются клии и коиус в комплексном
пространстве.

5) §!. КЛИНЬЯ И КОНУСЫ 297
Очевидно, любое подпространство (в частности, 0 и Е)
является клином, но не конусом, если оно отлично от
нуля.
Размерностью (или верхней размерностью) dim К клина К
называется размерность наименьшего подпространства, содер-
содержащего этот клин. Клинья максимальной размерности dim K=ra
называются телесными.
Простым примером клина (не совпадающего с подпростран-
подпространством), является множество К.= {ах\а^0\ при х?Е (хфО).
Этот клин имеет размерность 1 и называется полупрямой
(или лучом). Очевидно, полупрямая является конусом. Двой-
Двойственный пример — множество К= {х\ f(x)^- 0} при /?Е'
(/ ф 0). Этот клин имеет размерность п — 1 и называется
замкнутым полупространством.
Множество всех опорных линейных функционалов к еди-
единичной сфере нормированного пространства Е в точке х0,
для которых / (х0) > 0, также является клином (в Е').
Суммой (или векторной суммой) конечного множества
подмножеств {Fft}™ пространства Е называется множество
т
всех сумм вида 2 xk (xk 6 *%)• Если множество подмножеств
ft-i
FvcE бесконечно, то определять сумму имеет смысл лишь
при условии, что все подмножества Fv (кроме, быть может,
конечного числа) содержат нулевой вектор. В этом случае
суммой называется множество всех конечных сумм вида 2 x\h
(xv ? Fv , Vft попарно различны).
1. Сумма K = 2KV множества клиньев {Kv} есть клин.
Этот клин является наименьшим из клиньев, содержащих все Kv.
Двойственным образом:
2. Пересечение К— flKv множества клиньев {Kv} есть
клин. Этот клин является наибольшим из клиньев, содержа-
содержащихся во всех Kv.
3. Сумма конечного или бесконечного множества полу-
полупрямых есть клин.
Двойственным образом:
4. Пересечение конечного или бесконечного множества
замкнутых полупространств есть клин.
б. Положительная линейная оболочка любого конечного
множества векторов FcE есть клин.

298 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА |6
Двойственным образом:
6. Пусть F' — конечное множество функционалов из Е'.
Тогда множество {лг|/(лг)>0, /6F'}U{0) есть клин.
Если в 6 множество F' состоит из одного функционала
/ ф 0, то соответствующий клин называется открытым полу-
полупространством *).
7. Пусть (jCft)f — линейно независимая система векторов
из Е (т ^> 2). Множество
So. im>o
|2Л &SJ
есть клин. Множество
-4|бл. ?-2Ц>
дополненное нулем, также есть клин. При т = п оба клина
являются телесными конусами {конусы Минковского).
8. Если векторы, определяющие полупрямые в 3, линейно
независимы, то соответствующий клин является конусом. Если
векторы множества F в 5 линейно независимы, то соответ-
соответствующий клин является конусом.
9. Пересечение любого множества конусов есть конус.
10. Среди подпространств L, содержащихся в клине К,
существует наибольшее.
Наибольшее из линейных подпространств L, содержащихся
в клине К. называется его линейной частью, а число dimL —
его нижней размерностью.
11. Если К — клин, a L — подпространство, то множество
{[x]L I х ? К} есть клин в фактор-пространстве E/L.
12. Если L — линейная часть клина К. то множество
f[,v]L|je?K} есть конус в E/L.
Из 12 следует, что:
13. Каждый клин представим в виде суммы своей линей-
линейной части и некоторого конуса.
14. Если клин представлен в виде суммы подпространства
и конуса, то это подпространство является его линейной частью.
*) Открытое полупространство не является открытым множе-
множеством, ио становится таковым после удаления нуля.

201 5 1. КЛИНЬЯ И КОНУСЫ $9$
Таким образом, для того чтобы клин был конусом, необ-
необходимо и достаточно, чтобы его линейная часть равнялась
нулю.
Клин, представимый в виде суммы конечного числа полу-
полупрямых, называется конечным кланом. Нулевое подпростран-
подпространство считается конечным клином по определению. Конечный
клин иначе называют многогранным клином. Примером конеч-
конечного клина может служить положительный гипероктант,
определяемый относительно какого-нибудь базиса {ek}" си-
системой неравенств |й^>0(й=1, 2, ...,л). Очевидно, поло-
положительный гипероктант является конусом.
Любое множество векторов, неотрицательная линейная обо-
оболочка которого совпадает с конечным клином К, называется
остовом этого клина. Минимальный (по числу векторов)
остов называется базисом конечного клина. Число векторов
базиса клина К называется порядком (или аффинным рангом)
клина К и обозначается через ord К- Очевидно, ord К ^ dim К-
15. Любое подпространство L есть конечный клин по-
порядка dimL -)- 1.
16. Любое замкнутое полупространство есть конечный
клин порядка п -f- 1.
Отметим, что клин, определенный в б, конечен лишь при
rgF<4, а клин, определенный в 6, конечен лишь тогда,
когда его размерность ^ 1. В 7 первый клин конечен лишь
при т = 2, а второй не конечен.
Вектор *о€К (*о ?= 0) называется крайним (или экстре-
экстремальным) вектором клина К. если он не может быть пред-
представлен в виде х0 = jCj -j~ х2, где хг и х2 — линейно незави-
независимые векторы из К. Вместе с х0 экстремальным является
вектор ах0 (a > 0).
17. Конечный конус К есть неотрицательная линейная
оболочка множества своих крайних векторов. Порядок ко-
конуса К равен максимальному числу положительно линейно
независимых экстремальных векторов конуса К-
18. Если L — линейная часть клина К. то
ordK = ordL-f ordK/L.
19. Сумма конечного числа конечных клиньев есть конеч-
конечный клин.
20. Пересечение конечного числа конечных клиньев есть
конечный клин.

300 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 121
В частности:
21. Пересечение конечного числа замкнутых полупро-
полупространств есть конечный клин.
Обращение этой теоремы будет рассмотрено в § 3.
Пусть L — наименьшее подпространство, содержащее
клин К- В дальнейшем термины «внутренняя (граничная) точка
клина» и др. мы употребляем в смысле топологии в L. Оче-
Очевидно, любой конечный клин замкнут.
22. Для того чтобы клин К был замкнутым, необходимо
и достаточно, чтобы его пересечение с любым двумерным
подпространством было конечным клином.
Множество внутренних точек клина К обозначим через
IntK.
23. Если клин К замкнут, то равенство К = Int К имеет
место тогда и только тогда, когда К — подпространство.
24. Пересечение любого множества замкнутых клиньев
есть замкнутый клин.
25. Сумма конечного числа замкнутых клиньев есть замк-
замкнутый клин.
26. Замыкание К любого клина К есть клин. Например,
в 7 замыкание второго клина есть первый клин.
Легко видеть, что замыкание конуса не всегда является
конусом.
27. Если h ? Нош (Е, Ej) и К — клин в Е, то множе-
множество ЛК есть клин в Ег
28. Если клип К конечный, то АК также конечный клин.
29. dim AK < dim К.
30. Если клин К конечный, то ord AK -^ ord К.
31. Если К - конус и КегЛ = О, то и АК. — конус.
Более общим образом:
32. Для того чтобы клин АК был конусом, необходимо
и достаточно, чтобы LcKerA, где L — линейная часть клина К.
33. Если К — клин в Е, то множество
есть клин в Е'.
Клин К' называется сопряженным по отношению к К-
34. Сопряженный клин всегда замкнут: К' = К'-
35. (К)' = К'.
36. Если клин L есть подпространство, то L =L^-.

44) § 1. КЛИНЬЯ И КОНУСЫ 301
37. Если клин К конечный, то и клин К' конечный.
38. С точностью до канонического изоморфизма, для лю-
любого клина К
К с К".
39. (Ki ~4~ Кг) г= Ki П Кг-
40. (К1ПК2/3К1ЧК2.
Если в 38 и 40 клинья К, Kj, K2 являются подпростран-
подпространствами, то включение можно заменить равенством (см. 182,
184 гл. I). Но в общем случае этого сделать нельзя. Соот-
Соответствующие примеры легко построить, используя незамкнутые
клинья. В § 3 выяснится, что для замкнутых клиньев в 38
и 40 имеет место равенство. Тогда соотношения 39 и 40 станут
взаимно двойственными, а соотношение 38 — самодвой-
самодвойственным.
41. Отображение (') является монотонно убывающим: если
К1СК2, то К1ЗК2 (ср. 183 гл. I).
42. Для того чтобы клин К' был телесным, необходимо
и достаточно, чтобы клин К был конусом.
Более общим образом:
43. Если т — верхняя размерность клина К, а т' — ниж-
нижняя размерность сопряженного клина К', то справедлива фор-
формула дополнения
т-\- т' = «
(ср. 181 гл. I).
44. Если конус К задан в некотором базисе Д неравен-
неравенством
\i/p
то конус К' в сопряженном базисе Д' определяется неравен-
неравенством
\1А7
где \jp+\lq=\ (ср- Ю4 гл. IV).
В заключение этого параграфа остановимся на случае,
когда Е — евклидово пространство. Тогда можно считать
К'сЕ.

302 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА |45
45. К4-К' = Е.
46. Если АГП(— К') = °. т0 К есть подпространстве.
Клин К евклидова пространства Е называется острым.
если (х, у) ^> О для любых х, у ? К, и тупым, если для лю-
любого у ? К. существует х ? К такой, что (х, у) < 0. Клин
назовем прямым, если он является одновременно острым и
тупым.
47. Острый клин является конусом.
48. Тупой клин телесен.
49. Для того чтобы клин К был острым, необходимо и
достаточно, чтобы К.с: К/.
50. Для того чтобы клин К был тупым, необходимо и
достаточно, чтобы К^К/.
Клин К называется самосопряженным, если К = К'- Оче-
Очевидно, для того чтобы клин был прямым, необходимо и до-
достаточно, чтобы он был самосопряженным. Простым примером
самосопряженного клина является положительный гипероктант
относительно ортонормированного базиса. Он называется по-
положительным ортантом.
51. Для того чтобы клин К был тупым, необходимо и
достаточно, чтобы клин К' был острым.
Определим в ортонормированном базисе конус К„
/я-1 \1/р
A < р < со) неравенством | > 2 I In П •
52. К'Р = К<, A//?4-1/<7=1).
53. Конус Кр острый при 1 <; р < 2 и тупой при
2</?<оо.
Таким образом, конус Кг прямой. Он называется круглым
конусом Минковского.
§ 2. Выпуклые множества
Клинья и абсолютно выпуклые множества в вещественном
пространстве *) являются частными случаями выпуклых мно-
множеств, определяемых следующим образом**).
*) Абсолютно выпуклые множества в вещественном и комплекс-
комплексном пространствах определяются одинаково.
**) Это определение сохраняется для выпуклых множеств в ком-
комплексном пространстве.

59J § 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 303
Множество WсЕ называется выпуклым, если из хх, х2? W
следует
w (о<е<о.
Аффинным многообразием G в Е называется сумма
G = х0 + L,
где х0 — вектор, a L — подпространство. Размерностью
аффинного многообразия G называется число dimG = dimL.
При dim G = я — 1 аффинное многообразие называется ги-
перплоскостью.
Каждая гиперплоскость может быть задана уравнением
f(x) = a (/?E', /фО) и, наоборот, каждое такое уравнение
задает некоторую гиперплоскость. Гиперплоскость /(д:) = а
разбивает пространство Е на два открытых полупростран-
полупространства *) / (*) > а и / (*) < а.
Очевидно, аффинное многообразие выпукло.
Линейной размерностью (или размерностью) dim F произ-
произвольного (в частности, выпуклого) множества FcE называется
размерность наименьшего аффинного многообразия, содержа-
содержащего F.
Выпуклое множество размерности п называется выпуклым
телом.
54. Выпуклое множество W является абсолютно выпуклым
тогда и только тогда, когда оно симметрично относительно
нуля (т. е. вместе с х содержит — х).
55. Если множество W выпукло, то и множество aW
выпукло.
56. Для того чтобы выпуклое множество W было клином,
необходимо и достаточно, чтобы aWcW (a^>0).
57. Если W — выпуклое множество в Е и й?Нот(Е, Е^,
то множество AW выпукло в Е^
58. Если W — выпуклое множество, то множество (JaW
a>0
является йлином (конусом, если 0 ? W).
59. Ебли W — выпуклое множество, то при каждом хп? Е
множество xo+W также выпукло.
*) Значение термина «открытое полупространстве» здесь отли-
отличается от Сказанного в предыдущем параграфе.

304 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [вО
Из Б8 и 59 следует:
60. Если E = E-j-E! (dimEi=l), W — выпуклое множе-
множество в Е и yo?Ej, то множество К== (Ja(yo-)-W) является
а>0
клином в Е (конусом, если у0 Ф 0).
Расширение выпуклого множества WcE до клина К.
описанное в 60, позволяет редуцировать некоторые теоремы
о выпуклых множествах к соответствующим теоремам о клиньях.
Для обратной редукции может быть использовано сужение
клина К до исходного выпуклого множества W.
61. Пересечение W = fl Wv произвольного множества {Wv}
выпуклых множеств есть выпуклое множество. При этом W есть
наибольшее выпуклое множество, содержащееся во всех Wv.
62. Сумма W = 2 Wv произвольного множества {Wv} вы-
выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Заметим, что (в отличие от 1) сумма W, вообще говоря,
не содержит множеств Wv.
Выпуклой комбинацией векторов [xk}^ называется сумма
вида
т / т
2 akxk K>0, 2aft =
ft-i \ a=i
Выпуклой оболочкой Со F множества FcE называется
множество выпуклых комбинаций векторов из F.
63. Co(F1-)-F2) = CoFI-|-CoF2, Co(aF) = aCoF.
64. Со (Fj U F2) = Со (Со F, U Co F2),
ССРСР
66. Выпуклая оболочка Со F есть наименьшее выпуклое
множество, содержащее F.
В частности:
66. Выпуклая оболочка Co(UFv) объединения произволь-
произвольных множеств FvcE является наименьшим выпуклым множе-
множеством, содержащим все Fv.
Пусть G — наименьшее аффинное многообразие, содержа-
содержащее выпуклое множество WcE. Все топологические термины,
относящиеся к W, мы будем понимать в смысле топологии,
естественно индуцируемой в G топологией пространства Е.
Множество внутренних точек множества W обозначим через
Int W. Замыкание Со F множества Со F называется замкнутой
выпуклой оболочкой множества FcE.

751 § 2 ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 305
67. Пересечение П -Wv произвольного множества замкну-
замкнутых выпуклых множеств есть замкнутое выпуклое множество.
68. Сумма W = 2 Wft конечного числа замкнутых вы-
выпуклых множеств есть замкнутое выпуклое множество.
69. Выпуклая оболочка Со(U Fft) объединения конечного
множества {Fft-} замкнутых множеств замкнута.
70. Если dim F = т, то каждая точка х ? Со F является
выпуклой комбинацией т-\- 1 точек из F (зависящих, вообще
говоря, от л: и не обязательно различных).
При некоторых дополнительных ограничениях теорема 70
допускает уточнение, а именно:
71. Если множество F связно (или имеет не более т связ-
связных компонент), то каждая точка х ? Со F является выпуклой
комбинацией т точек из F (теорема Каратеодори).
72. Если множество FcE содержит по крайней мере
я -J— 2 различных точек, то его можно разбить на такие
непустые части FlP F2 (F = F, U F2. F,nF2=0), что
CoF1nCoF2=?b0.
73. Если пересечение любых л—(— 1 из k (k ^> n -\- 2) ком-
компактных выпуклых тел пространства Е не пусто, то пересе-
пересечение всех k тел также не пусто (теорема Хелли).
Для доказательства можно воспользоваться индукцией
по k. Теорема Хелли остается справедливой и при k == оо.
Двойственный по отношению к 73 характер носит сле-
следующее предложение (вытекающее из 73):
74. Если компактное выпуклое тело WcE покрыто неко-
некоторым конечным множеством открытых полупространств, то
из этого множества можно выделить п -f-1 полупространств,
покрывающих W.
Последние предложения относятся к комбинаторной
геометрии, которой мы более касаться не будем. Но с од-
одним частным случаем теоремы 73 в алгебраическом аспекте мы
еще встретимся (см. 52 гл. VIII).
Выпуклая оболочка W конечного множества F<zE назы-
называется выпуклым многогранником, а множество F — его
остовом. Выпуклые многогранники аналогичны конечным
клиньям (но никакой клин К^=0 не является выпуклым много-
многогранником).
75. Выпуклый многогранник является компактным множе-
множеством.
20 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

306 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [76
76. Если W — выпуклый многогранник, то aW — также
выпуклый многогранник.
77. Если W—выпуклый многогранник в Е и h ? Нот (Е, Е,),
то множество AW является выпуклым многогранником
в Ej.
78. Сумма, пересечение и выпуклая оболочка конечного
множества выпуклых многогранников являются выпуклыми
многогранниками.
79. Для того чтобы выпуклое множество W было вы-
выпуклым многогранником, необходимо и достаточно, чтобы его
расширение до клина было конечным конусом.
80. Если пересечение W конечного числа замкнутых полу-
полупространств есть ограниченное множество, то оно является
выпуклым многогранником.
Обращение этой теоремы будет дано далее в 99.
В заключение рассмотрим вопрос о характеризации евкли-
евклидова пространства в терминах проекционных констант (см. 71
гл. IV).
Пусть Е — нормированное пространство и норма в Е
дважды дифференцируема, причем ее вторая производная
является изоморфизмом Е->Е'.
81. Если проекционные константы всех подпространств
коразмерности 1 равны единице, то пространство Е евкли-
евклидово.
Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда
Е — трехмерное пространство. В этом случае можно ввести
в Е какое-нибудь скалярное произведение и установить сле-
следующие геометрические леммы.
82. Если одно из плоских сечений тела W есть круг, то
все параллельные ему плоские сечения также являются кру-
круговыми.
83. Для каждой граничной точки ;с0 тела W существует
линейный оператор Ао, удовлетворяющий условию А0х0 = х0
и преобразующий тело W в такое тело, для которого jc0 есть
точка округления границы (т. е. в точке ;с0 кривизна всех
нормальных сечений границы одинакова).
Отметим, что теорема 81 остается справедливой без каких-
либо предположений о норме *).
*) См. S. К а к u t а п 1, Some characterisations of Euclidean space-
Japan J. Math. 16 A939), 93—97.

91) § 3. ТЕОРЕМЫ ОТДЕЛИМСЯй 30?
§ 3. Теоремы отделимости
Пусть К — клин в Е и подпространство LcE таково, что
dim (К П L) ^-1. Линейный функционал /?L' называется не-
неотрицательным относительно К, если / (jc) ^> 0 при всех
x^KflL и /(;с)>0 для некоторого х^КПЬ.
84. Если подпространство L содержит внутреннюю точку
клина К, то любой неотрицательный линейный функционал
на L допускает продолжение до неотрицательного линейного
функционала /(jc), определенного на всем Е (теорема
М. Г. К рей на).
Доказательство легко провести по индукции относительно
dimL, если воспользоваться следующим замечанием.
85. Если jc ? L, то в L существуют векторы х' и х" .та-
.такие, что jc — х' ? К, х" — х ? К. При этом
sup/(*')<inf/(*")•
X' X"
Можно также воспользоваться обобщением теоремы Хана —
Банаха на преднормированные пространства (см. 96 гл. IV).
Из теоремы Крейна, в частности, следует:
86. Для любого клина К ф Е существует по крайней мере
один неотрицательный относительно него функционал / ? Е'.
Таким образом, если К=?Е, то К' фО.
Из теоремы Крейна также следует теорема об отде-
отделяющей гиперплоскости:
87. Если К — замкнутый клин в Е и jc ? К, то существует
функционал /?К такой, что /О)<0.
Теперь мы можем дополнить теоремы 38, 21 и 40.
88. Для справедливости соотношения К = К" необходима
и достаточна замкнутость клина К (ср. 38).
89. Для любого клина К
Поэтому:
90. Замкнутый клин К является пересечением множества
всех замкнутых полупространств, содержащих К. Для произ-
произвольного клина К это пересечение есть К1
В частности, имеет место обращение теоремы 21:
91. Любой конечный клин является пересечением конеч-
конечного числа замкнутых полупространств.
20»

308 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 192
92. Если клинья Kj и К2 замкнуты, то
(ср. 40).
Отметим, что теорема 87 об отделяющей гиперплоскости
содержит нетривиальную часть следующих предложений о ко-
конечных клиньях.
93. Для любого конечного клина К
(теорема Фаркаша).
94. Для любого конечного клина QcE' существует клин
КсЕ такой, что K' = Q (теорема Минковского).
95. Для любого конечного клина QcE' существует клин
КсЕ такой, что K' = Q и Q' = K (теорема Г. В ей ля).
96. Отображение сопряжения является взаимно однознач-
однозначным и монотонным отображением множества всех конечных
клиньев пространства Е на множество всех конечных клиньев
пространства Е'.
Как уже частично отмечалось выше, все эти предложения
верны для множества всех замкнутых, а не только конечных
клиньев.
Имеет также место следующий аналог теоремы 90:
97. Замкнутое выпуклое множество W является пересече-
пересечением всех замкнутых полупространств, содержащих W. Для
произвольного выпуклого множества W это пересечение
есть W.
Далее:
98. Замкнутая выпуклая оболочка любого множества FcE
совпадает с пересечением всех замкнутых полупространств,
содержащих F.
Следующее предложение обращает 80:
99. Любой выпуклый многогранник является пересечением
конечного числа замкнутых полупространств (ср. 91).
Теорема об отделяющей гиперплоскости допускает развитие:
100. Если для клиньев Кг и Кг
IntKInintK2=0.
to существует функционал /?Е' (/ф0) такой, что
при x?Ki и /(д:)<0 при х?К2.

104J § 3. ТЕОРЕМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 309
В частности:
101. Если подпространство L не содержит внутренних
точек клина К, то существует неотрицательный функционал
/?Е' такой, что /(д:) = 0 при x?L.
Это предложение обобщается на произвольные выпуклые
множества. Соответствующую формулировку мы приведем на
геометрическом языке:
102. Если аффинное многообразие G не содержит вну-
внутренних точек выпуклого множества W, то существует гипер-
гиперплоскость HraG такая, что W расположено по одну сторону
от Н.
Это — более общая формулировка теоремы Асколи — Ма-
зура (см. 82, 83 гл. IV). Если G сводится к одной точке
х0 ? W, то Н превращается в опорную гиперплоскость к мно-
множеству W в точке х0.
Развитие теоремы Крейна завершается следующим предло-
предложением об отделимости выпуклых множеств.
103. Если для выпуклых множеств W, и W2
IntW,nintW2==0,
то существует гиперплоскость, отделяющая Wj от W2, т. е.
существует функционал /?Е' (/=? 0), для которого
sup /(*j)< inf f(x2).
Рассмотрим некоторые приложения теорем отделимости
к проблемам моментов.
Пусть {хч} — некоторое множество векторов нормирован-
нормированного пространства Е, {av} - некоторое множество веществен-
вещественных чисел.
104. Для существования функционала /?Е' с нормой
р, удовлетворяющего неравенствам
/(*v)>av
при всех v, необходимо и достаточно, чтобы для любого ко-
конечного набора индексов v,, v2, .... vm и любых положи-
положительных Kv А,2, .... Хт было
2I

316 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТЙА |1<№
10б. Пусть К— клин. Если при некотором v = v0
xVo 6 Int К, ccVo > О,
то для существования неотрицательного относительно К функ-
функционала /?Е', удовлетворяющего уравнениям
при всех v, необходимо и достаточно, чтобы для любого ко-
конечного набора индексов vlf v2, . .., vm и любых веществен-
вещественных Я-р к2, .... Хт, для которых
было
к-\
106. Пусть [Sv]—некоторое множество самосопряженных
операторов в унитарном пространстве, {av} — некоторое мно-
множество вещественных чисел. Если при некотором v = v0 опе-
оператор 5Vo положителен и aVo > 0, то для существования не-
неотрицательного самосопряженного оператора С, удовлетво-
удовлетворяющего уравнениям
sp(C5v) = av
при всех v, необходимо и достаточно, чтобы для любого
конечного набора индексов vp v2 vm и любых вещест-
вещественных Я.Ц к2, ..., Хт, для которых
2 Mv.=
оператор
fc-1
не был положительным.
Рассмотрим попутно так называемую ^-проблему мо-
моментов:

1121 § 4. КРАЙНИЕ ТОЧКИ 311
107. Пусть {^й)™=1 {т < п) — линейно независимая система
векторов нормированного пространства Е, а,, а2 ат —
вещественные числа. Положим
= inf
Для существования функционала /?Е', удовлетворяющего
условиям
/(**) = а» (*=1. 2 и). Ц/К-?.
необходимо и достаточно выполнения неравенства ^^-1/ji.
108. Если J2* > l/(i, то решения „^-проблемы моментов
образуют (я — т)-мерное выпуклое множество, являющееся
пересечением единичного шара с некоторым (я — т)-мерным
аффинным многообразием.
109. Если пространство Е' строго нормировано, то для
единственности решения „^-проблемы моментов необходимо
и достаточно, чтобы _2'=1/|1.
§ 4. Крайние точки
Пусть W— выпуклое множество. Точка х? W называется
крайней (или экстремальной) точкой множества W, если
представление jc == A — в) х, -f вх2, где 0 < в < 1, л:,, х2 ? W,
возможно лишь при xl = x2. Если все граничные точки мно-
множества W являются крайними, то W называется строго вы-
выпуклым множеством.
110. Для того чтобы точка x?W была крайней, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы из
следовало xt = х2 = х.
111. Каждая крайняя точка выпуклого многогранника при-
принадлежит любому его остову.
112. Выпуклый многогранник совпадает с выпуклой обо-
оболочкой множества своих крайних точек.
Таким образом, множество крайних точек выпуклого мно-
многогранника является его наименьшим остовом {базисом). Число

312 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА A13
крайних точек выпуклого многогранника W называется его
порядком (или аффинным рангом) и обозначается через ord W.
113. Каждое компактное выпуклое множество W имеет
крайнюю точку.
Например:
114. Если у ? W, то наиболее удаленная от у точка х? W
является крайней.
Отметим, что множество крайних точек выпуклого ком-
компакта может быть незамкнутым.
115. Любое компактное выпуклое множество совпадает
с замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних
точек (теорема Крейна — Мильмана).
Из этой теоремы и теорем 70-, 71 непосредственно выте-
вытекает:
116. Если W — компактное выпуклое множество и
dim W — т, то каждая точка х ? W является выпуклой ком-
комбинацией некоторых т -\- 1 его крайних точек. Если мно-
множество крайних точек связно (или имеет не более т связных
компонент), то каждая точка x?W является выпуклой ком-
комбинацией т крайних точек.
Ниже мы рассмотрим некоторые применения теорем
о выпуклых множествах. Предварительно введем два спе-
специальных класса операторов и изучим их спектральные свой-
свойства. Зафиксируем некоторый базис А.
Оператор 7"?2К(Е) называется г.ермутатором относи-
относительно базиса А, если он осуществляет перестановку векто-
векторов базиса А. Множество пермутаторов относительно базиса А
обозначим через ф. Оператор А?Ш(Е) называется стоха-
стохастическим относительно базиса А, если элементы aJk
(у, k — \, 2 т) его матрицы в этом базисе неотрица-
неотрицательны и удовлетворяют соотношениям
п
2 а}к=\ (/=1. 2, .... и).
ft=»i
Если, кроме того,
2о,»=1 (А = 1, 2. ...,«),
/1
то оператор А называется дважды стохастическим (бисто-
хастическим) относительно базиса Д. Матрица (а^}" сто-.

124) § 4. КРАЙНИЕ ТОЧКИ 313
хаотического (дважды стохастического) оператора в базисе Л
называется стохастической (соответственно дважды стоха-
стохастической или бистохастической). Множество дважды сто-
стохастических операторов относительно базиса А обозначим
через Ш. Очевидно, ^cz2B.
Пусть Т^у, A={*ft)", Tek = eJk (й = 1, 2 я) и
разложение подстановки
1, 2 п\
Л. Л- •••¦ h)
на независимые циклы есть
(
SV
117. Оператор Т* является пермутатором, и его подста-
подстановка о* обратна подстановке о.
118. Имеет место равенство Тр=1, где р — наименьшее
кратное порядков циклов подстановки о.
119. Каждое собственное значение пермутатора есть на-
натуральный корень из единицы.
120. Кратность собственного значения %= 1 пермута-
пермутатора Т равна числу циклов подстановки о.
Заметим, что из 44 гл. II следует, что пермутатор является
оператором скалярного типа. Следующее предложение со-
содержит 119 и 120.
121. Характеристический полином пермутатора Т равен
3(Х; Т) = (*Л — l)(b — l) • ... . (x"m — l).
Обратно:
122. Если характеристический полином оператора Т ска-
скалярного типа имеет вид 121, то Т — пермутатор относительно
некоторого базиса в Е(<7).
Остановимся на спектральных свойствах стохастических
операторов.
123. Спектральный радиус стохастического оператора
равен единице.
124. Характеристический полином стохастического опера-
оператора А имеет вид
Q)(К; A) = (lm

314 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА A25
где Q(k) — полином, корни которого лежат внутри единич-
единичного круга.
Исследуем строение множества 2В дважды стохастических
операторов.
125. Множество 2В есть выпуклый компакт, dim2B =
= (»-l)*.
126. Множество крайних точек множества 2В совпадает с ^.
Таким образом, Ш есть многогранник и ord2B=ft !. Итак:
127. Множество дважды стохастических операторов со-
совпадает с выпуклой оболочкой множества пермутаторов
(теорема Г. Биркгофа).
128. Каждый дважды стохастический оператор является
выпуклой комбинацией некоторых п2 — 2п-\-2 пермутаторов.
Отметим один аналог теоремы Биркгофа. Назовем опера-
оператор квазипермутатором относительно базиса Л = \ek\", если
Tek=±e ' (* = 1. 2 п),
где /j, j2 jn — перестановка индексов 1, 2, .... п.
129. Если оператор Т является сжатием в с-норме и
в /-норме относительно базиса Л, то он принадлежит выпук-
выпуклой оболочке квазипермутаторов относительно Л, и обратно.
Для любой последовательности вещественных чисел (ау-}"
условимся через {а/}" обозначать числа а/, перенумерованные
в порядке невозрастания. Пусть х, у ? R", х = {!,•}". у = [i\j\ "¦
Условимся писать х «^ у, если
St<S^ (*=1. 2 я),
а в случае, когда при этом
будем писать х-^у. Очевидно, <^ и -^ суть отношения по-
порядка.
При фиксированном векторе У = {'П/К' из R" обозначим
через W множество векторов х ? R", удовлетворяющих со-
соотношению

136) § 4. КРАЙНИЕ ТОЧКИ 315
130. Множество W является выпуклым компактом.
131. Для того чтобы точка x?W была крайней точкой
множества W, необходимо и достаточно, чтобы
где j\, J2 )n — какая-нибудь перестановка индексов 1,
2, .... п.
Следовательно, множество W есть многогранник и
ord W < п !.
Итак:
132. Для любого вектора y?R" множество W векторов
x?R", удовлетворяющих соотношению х-^у, совпадает
с выпуклой оболочкой множества векторов, получаемых из
вектора у с помощью перестановки его координат (теорема
Радо).
Между теоремами Биркгофа и Радо имеется следующая
связь, которую также можно использовать для доказательства
теоремы Радо.
' 133. Для того чтобы х << у, необходимо и достаточно,
чтобы х — Ау, где А — дважды стохастический оператор
относительно канонического базиса пространства R".
Результаты 130—132 допускают развитие.
134. Множество W векторов х={|у}", которые при фиксит
рованном у 6 R" удовлетворяют соотношению *) | х | <^ ( у |,
является выпуклым компактом.
135. Для того чтобы точка х ? W была крайней точкой мно-
множества W, необходимо и достаточно, чтобы х— {^k^j^i-v
где j\, /2, .... Jn — какая-нибудь перестановка индексов 1.
2 п и eft= ± 1.
Следовательно, множество W есть многогранник и
ordW<2"ft!.
Итак:
136. Для любого y?R" множество W векторов х ? R",
удовлетворяющих соотношению | х |«^| у |, совпадает с выпук-
выпуклой оболочкой множества векторов, получаемых из вектора | у |
с помощью перестановки его координат и умножения их на ±1
(теорема А. С. Маркуса).
*) Знак модуля означает здесь замену координат вектора их
абсолютными значениями.

316 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [136
§ 5. Неравенства между собственными значениями
и сингулярными числами
Мы рассмотрим здесь неравенства между собственными
значениями и s-числами, связанные с отношениями по-
порядка -< и <<.
Пусть KczR" есть клин, определяемый равенством
Если х, у?К, x={|ft}j, У={%\1> то отношение х
равносильно системе неравенств
2 ?*<2 % (m = l, 2 я).
Систему собственных значений X(S)= {Я,й(S)}" самосо-
самосопряженного оператора S мы будем рассматривать как вектор
пространства R". Аналогично вводится вектор s (A):
Таким образом, для любых операторов S?<S(E),
в комплексном евклидовом пространстве Е
Я. E) ? К. 5(ЛNК.
Для любого оператора А занумеруем его собственные
значения, взятые с учетом кратности, в порядке невозраста-
невозрастания их модулей и обозначим через <ak{A) модуль ft-ro соб-
собственного значения (А=1, 2, ..., п). В частности, (й!(Л) =
= р(А). Введем вектор <о(Л) = {ий(Л)]" ^ R"- Очевидно,
ш (Л) ? К.
Если, наконец, ф(|) — неубывающая функция, то при
Следующий признак монотонности функционала, опреде-
определенного на клине К. является, источником ряда. неравенств,
связывающих собственные значения с .^-числами.

141] § 5. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ *.' И S-ЧИСЛАМИ 317
137. Если функционал Ф(*) определен на К. дифферен-
дифференцируем и
то из соотношения х-^.у (х, у ? К) следует неравенство
Доказательство можно провести с помощью замены пере-
k
менных С* =2 I/ (*=1. 2 я).
7-1
Применения теоремы 137 основаны на следующих заме-
замечательных неравенствах Г. Вейля:
138. Д Щ(А)< Д 8к(А) (т= 1. 2 я).
Для доказательства можно использовать внешние степени
оператора (см. 89 гл. V).
139. В неравенствах 138 при m^tgA имеет место знак
равенства. Для того чтобы знак равенства имел место во
всех неравенствах 138, необходимо и достаточно, чтобы опе-
оператор А был нормален (см. 252 гл. III).
Неравенства Вейля являются точными в том смысле, что:
140. Для любых комплексных чисел XVX2, ..., Я,„ (| A.t |^>
^1^^| А.„ |) и неотрицательных чисел S1^-s2^...^sn,
удовлетворяющих соотношениям
IJ m nt
П =l, 2, .... я—1),
существует оператор А с собственными значениями {кк}" и
сингулярными числами {sft}" (теорема Хор на).
Неравенства Вейля можно также получить из следующей
теоремы, непосредственно вытекающей из перемежаемости
собственных значений (см. 232 гл. III).
141. Для любой ортонормированной системы векторов [е^
П sk (A).

318 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА A42
Более общим образом:
142. Для любой системы векторов {ek}™ (тг^п)
det ((Аер Аек) /» *_, < Щ sk (Л)) det ((в;, е„) )т}> ,_,.
При т — п имеет место знак равенства.
Рассмотрим теперь применения теоремы 137.
143. Пусть функционал F (у), определенный на пересече-
пересечении клина К с положительным гипероктантом, порождает
функционал
Ф (*) = />(«*) (
удовлетворяющий условиям теоремы 137. Тогда
/=¦(© (Л) )</=¦(« (А))
(теорема Островского).
Из теоремы Островского следует:
144. Если функция
ФF) = /И (-оо<|<оо)
выпукла, то
т т
2 /(ю*(Л))<2 /(**<Л)) (»я=1. 2 п)
h=\ k-i
(теорема Г. В е й л я).
В частности:
145. ((о(Л))р^E(Л))р (р>0).
В развернутом виде соотношение 145 означает, что
т т
2 <о?И)<2 s?G4) (m=l. 2 ft). (*)
n=i " ft-i я
При jo = 1 и /? = 2 последнее из этих неравенств уже встре-
встречалось ранее (см. 257, 259 гл. III). Заметим также, что при
р = 2 все указанные неравенства можно установить непо-
непосредственно, используя базис Шура.
146. Пусть Fr(xv т2 тт) — г-я элементарная
симметрическая функция:
F(x,,
т. т.

1511 S 5. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ Я- И «ЧИСЛАМИ 319
Тогда
/>,(*!(Л), s2(A) sm(A))
Неравенства (*) при р = 1 позволяют обобщить тео-
теорему 265 гл. Ill:
147. Для любого т < п
sup 2л (UAek, ек)
m
= 2 sk(A).
где верхняя грань берется по всем U ? U (?) и всем орто-
нормированным системам {ек}™.
В частности, имеют место неравенства
т
2
=l. 2 я).
Из этих неравенств и теоремы Островского следует:
148. Для любой ортонормированной системы [ек\™
(К*., ч)Г}"<
Из неравенств (*) (при /?=1) и 147 вытекают также
Следующие неравенства Фань Цзи (ср. 264 гл. Ill):
149. 5( 5 5
В частности:
150. Для S,
Это соотношение для неотрицательных S, Т можно полу-
получить независимо от 137 из следующей теоремы:
151. Для S, 7е<5Е)
(теорема Виландта).
Теорему Виландта можно установить индуктивно, опи-
опираясь на теорию Фишера — Куранта.

320 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА |152
152. Пусть А?Ш(Е), и Л?ЗК(Ё), где Ё = Е4 Е, опре-
определен блочной матрицей
Тогда собственные значения оператора А равны ± sk (A)
(*=1, 2 и).
Из этого замечания и теоремы Виландта следует:
153. Для А, В?Ж(Е)
{\sk(A-{-B)-sk(B)\}?^s(A)
(теорема Мирского).
Из теоремы Мирского снова следуют неравенства Фань Цзи.
Дальнейшие теоремы являются мультипликативными ана-
аналогами предложений 149, 150, 153, 151.
154. Для регулярных операторов A, B??Dl(E)
In5(АВ)< Ins(A)-\-lns(В)
(неравенства Хорна).
155. Для положительных операторов S,
1п А, E7^-< In Я, E)-+¦ In Я, (Г).
166. Для регулярных операторов А,
{\\nsk(АВ) — Insk(В) |}" 4 Ins(A)
(теорема Амир-Моэза).
157. Для положительных операторов S, 7"?©(Е)
§ 6. Выпуклые множества в задачах локализации
спектра самосопряженных операторов
Очевидно, образ пространства <3(Е) при отображении
%: <?> (Е) -> R" (к = к (S)) совпадает с клином К, определен-
определенным в предыдущем параграфе.
Задача локализации спектра оператора S, отнесенного
к некоторому множеству -§> с: S (Е), состоит в описании
образа к$

1611 § 6. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СПЕКТРА 321
Условимся называть внешним диаметром конечной после-
последовательности вещественных чисел разность между наиболь-
наибольшим и наименьшим из них, а внутренним диаметром — наи-
наименьшую из абсолютных величин разностей двух чисел этой
последовательности.
Начнем с локализации спектра суммы операторов с фик-
фиксированными спектрами.
Пусть а — [ak]", b = {pft}" — фиксированные векторы
из К и
Б=(С|С==5-)-Г; S, Г?®(Е), k(S) = a, Я(Т) = *)-
158. Множество ХB) связно.
Из теорем Виландта и Радо вытекает теорема Л и д-
с к о г о о локализации спектра суммы двух самосопряженных
операторов:
159. Пусть U, и U2 — выпуклые оболочки множеств
векторов вида [ak-{-^j )п и [pft-(-а,- ]п соответственно,
где у,, j2 jn пробегает множество перестановок индек-
индексов 1, 2, .... и. Тогда
Между прочим, отсюда сразу вытекает, что:
160. Если внешний диаметр спектра одного из самосо-
самосопряженных операторов S, Т меньше внутреннего диаметра
спектра другого оператора, то оператор S-\-T не имеет
кратных собственных значений.
В теореме Лидского знак включения нельзя, вообще говоря,
заменить знаком равенства (даже тогда, когда U1(\U2cz К).
Однако:
161. Если внешний диаметр одной из последователь-
последовательностей a, b меньше внутреннего диаметра другой, то
Таким образом, в условиях теоремы 161 множество
выпукло.
Перейдем теперь к задаче локализации спектра произве-
произведения операторов.
Пусть o = {aft}", b — {Pft}" — фиксированные векторы
с положительными координатами, принадлежащие конусу К и
= 5Г; S, Т?<5(Е)
21 И. М. Глазман, Ю. И. Любнч

322 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА A62
162. Множество К (Я) связно.
Из теорем Амир-Моэза и Маркуса вытекает теорема
Лидского о локализации спектра произведения двух опе-
операторов:
163. Пусть Vx и V2 — выпуклые оболочки множеств
векторов вида (lnaft~Hnp^j" i и {lnpft4- lnayj" соот-
соответственно, где j\, j2 jn пробегает множество пере-
перестановок индексов 1, 2 п. Тогда
164. Пусть S а Т— положительные операторы. Если
внешний диаметр последовательности координат одного из
векторов \аХ(S), In?.(Г) меньше внутреннего диаметра после-
последовательности координат другого, то оператор ST не имеет
кратных собственных значений.
165. Если внешний диаметр последовательности координат
одного из векторов In a, InЪ меньше внутреннего диаметра
последовательности координат другого, то
Таким образом, в условиях теоремы 165 множество к(И)
выпукло.
Отметим еще две теоремы Маркуса о локализации
s-чисел суммы и произведения операторов, аналогичные тео-
теоремам Лидского.
166. Пусть а — {ак}", Ъ — {$к}" — фиксированные век-
векторы из К с неотрицательными координатами и
2={С|С = Л +Я; А, Я?ЗК(Е), s(A) = a, s(B) = b}.
Тогда
*B)cU,nU2>
где U[ и U2 — выпуклые оболочки множеств векторов вида
{а*-М*Ру^=1 и {P* + efta4}ft_i соответственно; здесь у1,,
у2 у„ пробегает множество перестановок индексов 1,
2 и и гк = ± 1.
167. Пусть a={aft},n, Ъ = {$к}" — фиксированные век-
векторы из К с положительными координатами и
П={С\С=:АВ; А, В€Ш(Е), s(A) = a, s(B) = b).

1711 § 6. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СПЕКТРА 323
Тогда
ln*(n)cV,nV2,
— выпуклые оболочки множеств векторов вида
^ i и {lnp^-f lnay-ft}" ] соответственно; здесь
У], у2 jn пробегает множество перестановок индексов
1, 2, .... п.
Существует также аналог теоремы Лидского 163 для уни-
унитарных операторов, но этого мы не будем касаться.
Рассмотрим теперь одну обратную задачу локализации.
Вообще обратная задача локализации состоит в описании
множества операторов, спектр каждого из которых удовле-
удовлетворяет заданному ограничению.
Пусть А — произвольное множество в пространстве R".
Через SB (Л) обозначим множество самосопряженных опера-
операторов, собственные значения каждого из которых при любом
порядке нумерации представляют точку из Л. Вместе с 28 (Л)
введем множество 2$0(А) самосопряженных операторов, соб-
собственные значения каждого из которых, занумерованные
в подходящем порядке, представляют точку из Л.
168. Если множество Л замкнуто и выпукло, то и мно-
множество 2В(Л) замкнуто и выпукло.
Эта теорема следует из 169 и 170.
169. Если Л есть пересечение произвольного множе-
множества (Av) замкнутых полупространств пространства R"
Л = П Av.
то 2B(A) = nSB(Av).
170. Если Л—замкнутое полупространство простран-
пространства R", определяемое неравенством
то 2В (Л) совпадает с множеством самосопряженных операто-
операторов S, удовлетворяющих неравенству
sp (AS) > a (A ? S (Е), в (А) = [а^).
Нетривиальную часть этой теоремы можно установить
с помощью теоремы Биркгофа.
Теорема 168 допускает следующее развитие.
171. Если множество AcR инвариантно относительно
всевозможных перестановок координат точек {^}" и-является
21*

324 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [112
замкнутой выпуклой оболочкой некоторого множества McR",
то 9В(Л) = Со80(М).
Отсюда и из теоремы Каратеодори следует:
172. Если М — коническое множество пространства R"
(т. е. уМсМ при Y^>0). T0 SB (Л) есть множество опера-
операторов, представимых в виде суммы п операторов из 23О(М).
В частности, здесь содержится очевидное следствие спек-
спектральной теоремы для самосопряженных операторов:
173. Каждый неотрицательный оператор представим в виде
суммы п неотрицательных операторов ранга <; 1.
§ 7. Унитарио-нивариантные нормы
и симметрично-выпуклые тела
В этом параграфе Е по-прежнему означает комплексное *)
евклидово пространство. Норма в пространстве Ш(Е) назы-
называется унитарно-инвариантной, если при любом
174. Операторная норма || Л || = s, (Л) унитарно-инва-
унитарно-инвариантна.
176. Гильбертова норма
унитарно-инвариантна.
п
176. Функционал р(А) = % sk(A) (А?Ш(Е)) является
унитарно-инвариантной нормой (см. 264 гл. 111).
Ниже || . || означает произвольную унитарно-инвариантную
норму. При одновременном рассмотрении нормы || . || и опе-
операторной нормы последнюю будем обозначать через | . |.
Унитарно-инвариантная норма оператора зависит лишь от
его операторного модуля:
177. \\A\\\\'\\
Далее:
*) Излагаемая ниже теория без изменений переносится на слу-
случай вещественного пространства Е, но, разумеется, роль унитарных
операторов будут играть ортогональные операторы.

183] § 7. УНИТАРНО-ИНВАРИАНТНЫЕ НОРМЫ 325
178. Если при некотором у^-Ь
sk(A)<ysk(B) (Л=1. 2, .... л),
то ||y4||<Y||fl||.
Отсюда следует, что унитарно-инвариантная норма опе-
оператора зависит лишь от его s-чисел:
179. Если sk(A)==sk(B) (k= I, 2, ..., я), то || А || = ||Я||.
Из 266 гл. III и 178 следует, что:
180. ||ВЛС||<|5|- |С|-||Л||.
Между прочим, любая норма в 9Й(Е), удовлетворяющая
неравенству 180, унитарно-инвариантна.
181. Если TgA—l, то || А || = а| А |, где а — положи-
положительное число, не зависящее от А.
Норму N (А) в Щ (Е), удовлетворяющую условию
N(A) = \A\ (rgA=l).
назовем кросс-нормой в Ш (Е). Это определение согласуется
с общим определением кросс-нормы при учете канонического
изоморфизма ЗЯ(Е)=*г Е'® Е.
182. Любая унитарно-инвариантная кросс-норма удовле-
удовлетворяет неравенству
(см, 250 гл. III).
Очевидно, любая норма, удовлетворяющая неравенству 182,
является кросс-нормой.
Таким образом, множество унитарно-инвариантных кросс-
норм обладает наименьшим и наибольшим элементами:
Отметим, что из 180 и 182 следует:
183. Все унитарно-инвариантные кросс-нормы кольцевые.
Как уже было отмечено, любая унитарно-инвариантная
норма является функцией от s-чисел:
\\A\\=p(s(A)). (*)
где р — некоторый функционал, определенный" на конуса

326 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА A84
Возникает задача описания класса функционалов р, по-
порождающих по формуле (*) унитарно-инвариантные нормы.
Ключ к решению этой задачи дает теорема 189, которой мы
предпошлем необходимые определения и некоторые простые
предложения.
Обозначим через X множество векторов, получающихся
из вектора x—{l,k)" путем перестановок его координат и
умножения их на ±1. Через х обозначим тот вектор мно-
множества X, который принадлежит конусу К+.
Преднорму р{х) в R" назовем симметричной, если она
инвариантна относительно перестановок координат вектора х
и умножения их на ±1, т. е. р(х)= р(х).
Замкнутое выпуклое множество W a R" назовем симме-
симметрично-выпуклым, если из x?W следует XcW.
184. Симметрично-выпуклое множество, отличное от {0},
является выпуклым телом.
Поэтому вместо термина «симметрично-выпуклое множе-
множество» мы ниже будем употреблять термин симметрично-вы-
симметрично-выпуклое тело.
185. Для того чтобы преднорма р была симметричной,
необходимо и достаточно, чтобы единичный р-шар был сим-
симметрично-выпуклым телом.
186. Норма в вещественном пространстве 1Р A <^/><^оэ)
является симметричной преднормой.
Поэтому:
187. Единичный шар вещественного пространства 1Р
A -^р^оо) является симметрично-выпуклым телом.
Любая симметричная преднорма р монотонна в том
смысле, что:
188. Если р — симметричная преднорма и х<^.у*), то
С помощью теоремы Радо это предложение можно суще-
существенно усилить:
189. Если р — симметричная преднорма и х<^у, то
Р(х)*Ср(у) (теорема Фань Цзи).
Если некоторый функционал р Ф 0 определен лишь на
конусе К \ то условимся через р обозначать его симметричное
*) То есть каждая координата вектора х не превосходит соот-
соответствующей координаты вектора у.

192| § 7. УНИТАРНО-ИНВАРИАНТНЫЕ НОРМЫ 327
продолжение на все R", определяемое однозначно условием
190. Для того чтобы функционал р был симметричной
преднормой, необходимо и достаточно, чтобы функционал р
при х, у ? К+ удовлетворял условиям:
1) ;?(*)>0 (лг^О);
2)
3)
4) р(х)^р (у) при х < у.
191. Для того чтобы функционал р, определенный на
конусе К+, порождался по формуле (*) некоторой унитарно-
инвариантной нормой, необходимо и достаточно, чтобы его
симметричное продолжение р было преднормой (теорема
Ш а т т е н а).
Неравенство треугольника, составляющее нетривиальную
часть теоремы Шаттена, следует из 264 гл. III и теоремы 189.
Симметрично-выпуклое тело назовем нормированным,
если соответствующая преднорма р (х) удовлетворяет условию
/»(«)=! («={1. 0 0}).
В силу теоремы Шаттена унитарно-инвариантные кросс-
нормы в ЗЙ(Е) находятся во взаимно однозначном соответствии
с нормированными симметрично-выпуклыми телами в R".
В этом соответствии теореме 182 отвечает следующее пред-
предложение, которое можно установить и независимо:
192. Каждое нормированное симметрично-выпуклое тело
W с: R" удовлетворяет соотношению
где
W,cWc
Таким образом, множество нормированных симметрично-
выпуклых тел обладает наименьшим и наибольшим элемен-
элементами: wmln = w,. wmix = wee.

328 ГЛ. VII. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА |193
Из теоремы Шаттена в частном случае симметричной
преднормы
следует неравенство:
193.
р Г~п р Г~п р Г—
г ft—1 Г ft = l r ft = l
Это неравенство для р = 1, 2, оо уже встречалось
ранее. Пространство Ш(Е), наделенное унитарно-инвариант-
унитарно-инвариантной нормой
обозначается через Sp(E). Пространство Sp(E) является опе-
операторным аналогом пространства 1Р. Поэтому естественно
ожидать, что пространства SP(E) и S?(E) при \\р -|- 1/<? = 1
взаимно сопряжены.
Для проверки этого предположения рассмотрим более
общую задачу об отыскании нормы в пространстве, сопря-
сопряженном к пространству Ш(Е)с заданной унитарно-инвариант-
унитарно-инвариантной нормой.
Для произвольной симметричной преднормы р в R" по-
положим
/ я \
р (у) = sup
при у?К+. у = {"Пл) "•
Пользуясь предложением 190, можно установить, что:
194. Функционал р*{у) есть симметричная преднорма в R".
195. Пространство, сопряженное пространству R", наде-
наделенному нормой р, изометрично пространству R", наделен-
наделенному нормой р*.
196. Если р — симметричная преднорма в R", то про-
пространство, сопряженное пространству Ш(Е) с нормой
p(s(A)), изометрично пространству 2№(Е) с нормой p*(s(A))
(см. 203 гл. II).

199) § 7. УНИТАРНО-ИНВАРИАНТНЫЕ НОРМЫ 329
В частности:
197. Пространства Sp(E) и S?(E) при 1/р +1/? = 1
A-^р-^оо) взаимно сопряжены.
В заключение сформулируем две интерполяцион-
интерполяционные теоремы. Пусть А — линейный оператор в R" и
\\A\\p—его операторная норма в 1Р относительно канониче-
канонического базиса. Скалярное произведение в R" введем стандарт-
стандартным образом.
198. Если || А ||, <С 1 и || Л 11^-^1, то для любой унитарно-
инвариантной нормы, сохраняющей единицу, ЦЛЦ-^1 (тео-
(теорема Митягина).
В частности:
199. Если ||Л||,<1, М||оо<1, то |И||р<1 при всех
р^-\ (теорема М. Рисе а).
Для доказательства можно воспользоваться теоремой 129.
В 198 вместо унитарной инвариантности достаточно пред-
предполагать лишь, что нормы всех квазипермутаторов (относи-
(относительно канонического базиса) равны 1. Отметим, что теоремы
198—199 переносятся на случай комплексного пространства.

ГЛАВА VIII
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Отношение порядка в линейном пространстве
Вещественное линейное пространство Е называется квази-
упорядоченным, если в нем выделен некоторый клин К (на-
(называемый положительным) и отношение квазипорядка опре-
определяется правилом: х ^> у (или у <^ х) тогда и только тогда,
когда х - у ? К- Если К — положительный клин, то, оче-
очевидно,
Векторы х ^> 0 будем называть неотрицательными, а век-
векторы х <; 0 — неположительными. В случае, когда х ^> О,
х Ф 0, будем писать .v >- 0. Аналогичный смысл имеет нера-
неравенство х -< 0.
Если положительный клин К телесный, то условимся пи-
писать х > 0 при x?IntK и х < 0 при -AT^IntK- Векторы
х > 0 будем называть положительными, а векторы л: < 0—
отрицательными. Неравенство х > у означает, что
х — у > 0.
Отношение <^ обладает свойствами квазипорядка:
1) х<^х (рефлексивность);
2) если х <; }> и у <^z, то х <^.z (транзитив-
(транзитивность).
Кроме того:
3) если х<^.у, то ах<^.ау при любом а^-0 (поло-
(положительная однородность);
4) если хх <; yi и х.х ^ у2, то хх -f- х2 < .yj + >'г (а Д-
дитивность),

6] § I- ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА 331
1. Если в Е задано отношение квазипорядка, удовлетво-
удовлетворяющее условиям 3) — 4), то неравенство х ^> 0 определяет
клин, порождающий это отношение.
2. Если клин К является конусом, то:
5) из х <^ у и у <^ х следует х = у (антисимме-
(антисимметричность).
Таким образом, если положительный клин является кону-
конусом, то определяемый им квазипорядок является порядком,
а пространство Е в этом случае называется упорядоченным *).
3. Если в Е задано отношение порядка, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям 3) — 4), то неравенство х ^> 0 определяет ко-
конус, порождающий это отношение.
4. Если положительный клин К телесен, то:
6) для любого х ? Е существует у > х.
Обратно, если отношение квазипорядка удовлетворяет
условию 6), то положительный клин телесен.
5. Если положительный клин К замкнут, то:
7) из хк ^> 0, limxft = x следует „v^>0.
fc->co
Обратно, если отношение квазипорядка удовлетворяет
условию 7), то положительный клин замкнут.
6. Если в Е определено отношение порядка, удовлетво-
удовлетворяющее условиям 3) — 4), и любые х, у?Е сравнимы, то
dim E= 1.
Если отношение -^ в пространстве Е удовлетворяет
аксиомам 1)—7), то упорядоченное пространство Е будем
называть пространством Канторовича.
Из сформулированных выше предложений следует, что
пространства Канторовича совпадают с упорядоченными про-
пространствами, в которых отношение порядка определяется
замкнутым телесным конусом К-
Если для векторов х, у из пространства Канторовича
существует вектор z такой, что z J> x, z^> у и для лю-
любого w, удовлетворяющего неравенствам w*^> x, w^> у,
имеет место соотношение z <^.w, то будем писать z —
= sup [х, у}. Аналогично определяется inf {.v, у].
Для произвольного множества FcE понятия sup F и inf F
вводятся таким же образом, как и для множества из двух
элементов.
*) Упорядоченное пространство назызают также полуупорядо-
полуупорядоченным.

332 ГЛ. VltJ. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА G
7. Если элемент z = sup{x, у} существует, то он опре-
определяется однозначно".
8. Если существует z = sup{x, у), то
z-\-u = sup {x -f- и, у-\-и\ («6 е)-
9. Если существуют sup [х, у) и inf {лг. у), то
supjx, y} + inf{x, y}^
10. Если sup {x, у] существует для любых х, у, то для
любых х, у существует также inf [х, у} = — sup {— х, —у).
Замкнутый телесный конус К называется миниэдральным,
если для любых х, у?К существует sup [x, у}.
11. Положительный гипероктант в R является миниэд-
миниэдральным конусом.
12. Конус Кр (§ 1 гл. VII) миниэдрален при р=1, со
и не миниэдрален при 1 < р < со.
13. Для того чтобы замкнутый телесный конус был ми-
миниэдральным, необходимо и достаточно, чтобы для любых
х> У 6 К существовал такой z ? К, что
При этом z = sup{x, у).
14. Для того чтобы замкнутый телесный конус К был
миниэдральным, необходимо и достаточно, чтобы он был
конечным конусом порядка п.
Таким образом:
15. Пространство Канторовича Е с миниэдральным поло-
положительным конусом изотонно изоморфно арифметическому
пространству R", в котором отношение порядка порождается
положительным гипероктантом, т. е. существует изоморфизм
Е«кR", сохраняющий порядок (теорема Юдина).
16. Если Е — пространство Канторовича с миниэцраль-
ным конусом, то для любого х ? Е существует и единственно
разложение
такое, что если х = х' — х", дг'^>0, х"^>0, то х'^>х+,
X ^> Х_.
Разложение с указанными свойствами называется мини-
минимальным. Векторы д;+ и д;_ называются положительной

24] § 2. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 333
и отрицательной частью вектора х, а вектор
называется абсолютным значением вектора х.
17. х | = sup (x, — х).
18. — *| = |jt|.
19. *-г-у[<|*| + |у|.
Сделаем некоторые замечания, относящиеся к предель-
предельному переходу в пространстве Канторовича.
20. Если неубывающая последовательность векторов \хк\™
ограничена сверху, т. е. существует такой х, что xk ^ х
(?=1, 2, . . .), то она сходится и lira xk = supxft.
ft->oo ft
CO
21. Если ряд 2У* с неотрицательными членами сходится,
то он сходится безусловно.
22. Если для ряда
со
2 ч (*>
ft-1
со
существует такой сходящийся ряд 2 У* с неотрицательными
членами, что
— У ft *^ *~ ? *^ У й V" — 1 > /, о | . . .),
то ряд (*) сходится безусловно.
23. Если положительный конус — миниэдральный и ряд
оо со
2 | xk | сходится, то ряд 2 хк сходится безусловно.
ft-1 ft=l
В заключение отметим, что:
24. В пространстве Канторовича с миниэдральным поло-
положительным конусом существует sup F для любого множе-
множества F, ограниченного сверху.
§ 2. Теория линейных неравенств
Пусть квазипорядок в пространстве Е определен замкну-
замкнутым клином К- Сопряженный клин К' определяет сопряжен-
сопряженный квазипорядок в Е'. Будем считать, что в сопряженном
пространстве квазипорядок всегда вводится таким способом

334 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |25
Пусть, далее, Е и Е, — квазиупорядоченные пространства
с положительными клиньями К и К] и пусть h ? Нот (Е, Ej).
Положим
25. Если К = Е, то 1т+/г = Iro/г и Ker+ h' = Ker ti.
Двойственным образом:
26. Если Ki = 0, то Кег+Л = Кег/г и Im+A'= Im/г'.
Впредь в этом параграфе пространства Е и Е, считаются
пространствами Канторовича. Тогда пространства Е' и Ei
также будут пространствами Канторовича (см. 42 гл. VII).
27. dimlm+ h = xgh.
Следующая теорема обобщает фундаментальные соотно-
соотношения 197 гл. I. Для ее доказательства можно использовать
теорему отделимости выпуклых множеств.
28. 1т+/г'^Кег h)'', Ker+ h' = (Im ' /г)'.
Распространим теорию Фредгольма на линейные неравенства.
Следующие теоремы B9—31) являются аналогами третьей
теоремы Фредгольма. Из 28 вытекает:
29. Для того чтобы неоднородное уравнение hx = y
имело неотрицательное решение, необходимо и достаточно,
чтобы для любого решения g однородного неравенства
h'g > 0 было g {у) > 0.
30. Для того чтобы неоднородное неравенство hx ^> у
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы для любого
неотрицательного решения однородного уравнения k'g = 0
было g (у)<!0.
Теорему 30 можно вывести из 29, рассматривая про-
пространство E = E-f R1 и определяя гомоморфизм h формулой
Аналогичным путем можно установить теоремы 31, 33 и 34.
31. Для того чтобы неоднородное неравенство hx~^> у
имело неотрицательное решение, необходимо и достаточно,
чтобы для любого неотрицательного решения однородного
неравенства h'g <; 0 было g(y)-^.®-
Ближайшие предложения 32—34 являются аналогами пер-
первой теоремы Фредгольма.
32. Для того чтобы неоднородное уравнение hx = y при
любом у?Е, имело неотрицательное решение, необходимо и

39] § 2. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 335
достаточно, чтобы однородное неравенство h'g ^> 0 имело
только тривиальное решение g = 0.
В частности, необходимо, чтобы h' был мономорфизмом.
33. Для того чтобы неоднородное неравенство hx ^> у
имело решение при любом y?Ej, необходимо и достаточно,
чтобы однородное уравнение h'g = 0 имело только тривиаль-
тривиальное неотрицательное решение.
В частности, достаточно, чтобы h' был мономорфизмом.
34. Для того чтобы неоднородное неравенство hx~^> у
при любом у ? Ej имело неотрицательное решение, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы однородное неравенство h'g <J О
имело только тривиальное неотрицательное решение.
Следующие три предложения об однородных уравнениях
и неравенствах можно отнести к аналогам второй теоремы
Фредгольма.
35. Для того чтобы однородное уравнение hx — О имело
нетривиальное неотрицательное решение *), необходимо и
достаточно, чтобы неравенство h'g > 0 не имело ре-
решений.
36. Для того чтобы неравенство hx >- О имело решение,
необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение h'g—О
не имело положительных решений.
37. Для того чтобы однородное неравенство hx <^ О
имело нетривиальное неотрицательное решение, необходимо
и достаточно, чтобы неравенство h'g < 0 не имело неотри-
неотрицательных решений.
38. Множества FcE, тех у, для которых разрешимы
уравнения или неравенства в 29, 30, 31, замкнуты.
Как и в случае уравнений, можно перейти от языка гомо-
гомоморфизмов к языку функционалов. При этом Е, становится
/и-мерным вещественным арифметическим пространством Rm.
В качестве положительного конуса в R возьмем положи-
положительный гипероктант.
Перевод на язык функционалов предложений 29—37 при-
приводит к результатам 39—47, где /ft6E' (k=l, 2, .... т).
39. Для того чтобы система уравнений
Мх) = а„ (А=1. 2 т)
*) То есть решение х >~ 0.

336 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА D0
имела неотрицательное решение, необходимо и достаточно,
чтобы из неравенства
т
fc=l
вытекало неравенство
40. Для того чтобы система неравенств
* (* = 1. 2 т)
имела решение, необходимо и достаточно, чтобы из равенства
ПРИ Y* ^ 0 вытекало неравенство
4Ь Для того чтобы система неравенств
/*(*)>«* (*=1. 2 /я)
имела неотрицательное решение, необходимо и достаточно,
чтобы из неравенства
т
ПРИ Y* > 0 вытекало неравенство
42. Для того чтобы система уравнений
«i (ft=l. 2 m)

46] § 2. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 337
при любых правых частях имела неотрицательное решение,
необходимо и достаточно, чтобы из неравенства
вытекало ук = 0 (k = 1, 2, ..., т.).
43. Для того чтобы система неравенств
/*(*)> a* (ft = l, 2 /и)
имела решение при любых правых частях, необходимо и до-
достаточно, чтобы из равенства
пРи Yt^° вытекало Yft = ° (A=l. 2 /и).
44. Для того чтобы система неравенств
fk x)>aft (*= 1. 2 т)
имела неотрицательное решение при любых правых частях
необходимо и достаточно, чтобы из неравенства
Svft/ft < о
при ук >- 0 вытекало у* = О (А = 1, 2, ..., т).
45. Для того чтобы система уравнений
/к(х) = 0 (А=1, 2 т)
имела нетривиальное неотрицательное решение, необходимо
и достаточно, чтобы неравенство
не выполнялось ни при каких у„.
46. Для того чтобы система неравенств
/*(*)>0 (ft=l, 2
22 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

338 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |47
имела /-нетривиальное решение, необходимо и достаточно,
чтобы уравнение
не выполнялось ни при каких yk > О (решение называется
j-нетривиальным, если fk{x) не равны нулю одновременно).
47. Для того чтобы система неравенств
/»(*)> 0 (ft=l. 2 т)
имела нетривиальное неотрицательное решение, необходимо
и достаточно, чтобы неравенство
2
ft-I
не выполнялось ни при каких yk ^> 0.
Язык функционалов удобен, когда приходится индивидуа-
индивидуализировать отдельные уравнения системы. Рассмотрим не-
несколько примеров такого рода.
48. Пусть система
/*(*) = а* (А=1. 2 т-\),
fm(x)>am
совместна. Для того чтобы все решения системы
/*(*) = <** (А=1. 2 m— 1)
удовлетворяли неравенству
/т(ж)>ам.
необходимо и достаточно, чтобы функционал /т был линей-
линейной комбинацией функционалов /,, /2 /т-р
49. Пусть система
AW>«t (*=1. 2 /я) (•)
совместна и rg {fv /2, .... fm) = r >- 1. Тогда можно
из функционалов {/й}{™ выбрать подсистему /j , Д /А
такую, что каждое решение системы уравнений
/*,(f) = a*, (s=l, 2. .... г)

54] § 2. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 339
будет решением системы неравенств (*) (п р и н ц и п гранич-
граничных решени и)-
50. Пусть система
/*(лг)>ай (ft=l. 2 m-1) (••)
совместна. Если неравенство
/ш(х)>аш (***)
является следствием этой системы, но не следует ни из какой
ее подсистемы, то
rg{/i. /2 /m-i)=« —1-
51. Для того чтобы неравенство (***) следовало из сов-
совместной системы (**), необходимо и достаточно существова-
существования чисел Yt^O (A=l, 2 т—1) таких, что
т -I m-I
/m = 2 Yft/й и 2 у А > <
52. Для совместности системы
/*(*)>a* (*=1. 2 *)
необходима и достаточна совместность каждой ее подсистемы
из я-)-1 неравенств.
Отсюда снова следует теорема Хелли.
Система (*) называется неприводимо несовместной, если
она несовместна, но любая ее собственная подсистема сов-
совместна.
53. Система (*) неприводимо несовместна тогда и только
тогда, когда любые т - 1 из функционалов /,, /2, .... /т
линейно независимы и существуют числа Y* > 0 такие, что
т
= о и 2>o
Если пространства Е и Е, евклидовы и положительные
конусы КсЕ, К!сЕ, — самосопряженные, то предложения
29—37 принимают вид 54—59.
64. Для того чтобы неоднородное урапнение Их —у
имело решение х 1> 0, необходимо и достаточно, чтобы для
любого решения однородного неравенства h'z !> 0 было
(у, г) >- 0. Для глобальной разрешимости необходимо
22*

340 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [5J
и достаточно, чтобы неравенство b!' z ^> 0 имело только три-
тривиальное решение z = 0.
55. Для того чтобы неоднородное неравенство fix ^> у
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы для любого
решения z~^>0 однородного уравнения h'z = 0 было (у, г) -^ 0
Для глобальной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы
это уравнение имело только тривиальное неотрицательное
решение.
66. Для того чтобы неоднородное неравенство hx~^>y
имело решение х ;> 0, необходимо и достаточно, чтобы
для любого решения z J> 0 однородного неравенства h'z^Q
было (у, z) -^ 0. Для глобальной разрешимости необходимо
и достаточно, чтобы однородное неравенство h'z <; 0 имело
только тривиальное неотрицательное решение.
57. Для того чтобы однородное уравнение Лх = 0 имела
решение х >- 0, необходимо и достаточно, чтобы неравен-
ство h'z > 0 не имело решений.
58. Для того чтобы неравенство hx >¦ 0 имело реше
ние, необходимо и достаточно, чтобы однородное уравненн
h'z = 0 не имело положительных решений.
69. Для того чтобы однородное неравенство hx~^> 0 имел»
решение х >- 0, необходимо и достаточно, чтобы неравен-
неравенство h'z < 0 не имело неотрицательных решений.
В частности:
60. Если Е = Ej и h — антисимметричный оператор,
то однородное неравенство hx <^ 0 имеет решение х >- (X
Вернемся теперь к первоначальному языку гомоморфизмов
и изучим структуру множества решений неравенства hx^>yt
61. Множество V решений неравенства hx^>y выпукло.
62. Множество Q решений однородного неравенства
^ 0 есть клин.
63. Множество Q есть векторная сумма Q = KerA + K.
где К - некоторый конус.
64. Если множество Q представлено в виде векторной
суммы подпространства и конуса Q —L-fK. то Ь = КегЛ
и КПЬ = 0.
65. В любом представлении 64 разложение x?Q по фор-
формуле х = х1-{-х2 (х,?К. x2?L) единственно.
66. Множество V решений неравенства hx J> у ограничено
тогда и только тогда, когда однородное неравенство hx ~^> 0
имеет только тривиальное решение.

72] § 3. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 341
67. Множество V есть векторная сумма V = W-)-Q,
где W — некоторое компактное выпуклое тело.
68. Если множество V представлено в виде векторной
суммы ограниченного выпуклого множества и клина V=WI-f Qj,
то Q, = Q.
69. В любом представлении 68 разложение х ? V по фор-
формуле х = хи-)- z (xQ?W, z?Q) единственно.
70. Множество V решений неравенства hx i> у имеет вид
V = W-r-K + L,
где W — компактное выпуклое тело, К — конус, L = Ker h.
71. В любом представлении 70 разложение х ? V по формуле
х = хо-\-х1-\-х2 (xo?W, -к, 6К, x2?L)
единственно.
72. Если положительный конус пространства Ej конечен,
то в 70 W — многогранник, К — конечный конус и общее
решение уравнения hx^> у имеет вид
2 ч№ 2 h\k\
k-\ ft-1 *
p
где aft^>0, 2ctft=l> P*^0, Y* — произвольные вещест-
венные числа, {xOft)^ — базис многогранника W, {xIft}* — ба-
базис конуса К, {*2ftli—базис подпространства L. Значения
всех коэффициентов aft, f>k, yk определяются вектором х?\1
однозначно (теорема Моцкина).
§ 3. Линейные и выпуклые задачи на экстремум
Вещественный функционал р (х), определенный на выпу-
выпуклом множестве WcE, называется выпуклым, если при лю-
любых х,, х2? W
Если в этом соотношении знак равенства имеет место лишь
при хх = х2, то функционал р называется строго выпуклым.
Любой линейный функционал является выпуклым (но не строго
выпуклым).

342 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Р
73. Если р0, рх -- выпуклые функционалы в W, то и
функционалы рх={\—т) po-Jrtpl @ < т < 1) выпуклы.
74. Если {pv\ — множество выпуклых функционалов в W
и при каждом x?W числовое множество {pv(x)} ограничено,
то функционал
выпуклый.
76. Выпуклый функционал непрерывен.
76. Пусть функционал р непрерывен в W и дифферен-
дифференцируем в IntW, а функционал /ху?Е' определен равенством
/,,, = //(*)-/>'(У) (х, У6IntW).
Для выпуклости функционала р необходимо и достаточно,
чтобы
/*.,(*-У)>0 {х, у 6 IntW). ¦
77. Пусть функционал р непрерывен в W и дважды диф-
дифференцируем в IntW, а гомоморфизм ЛЛ.?Нот(Е, Е') и
функционал*^ у ? Е' определены равенствами
hx = p"(x), gx,y = hxy (x, у 6 IntW).
Для выпуклости функционала р необходимо и достаточно,
чтобы
gx,y(y)>0 (х, у6IntW).
Впредь область определения W выпуклого функционала р
предполагается замкнутой.
78. Все точки локального максимума строго выпуклого
функционала являются крайними точками его области опре-
определения.
79. Каждая точка локального минимума выпуклого функ-
функционала р является точкой глобального минимума (т. е. в ней
р (х) принимает наименьшее значение).
80. Множество Vp точек глобального минимума выпуклого
функционала р замкнуто и выпукло.
81. Если р — строго выпуклый функционал, то множество
Vp содержит не более одной точки.
82. Линейный функционал / Ф 0 не имеет на замкнутом
выпуклом множестве W локальных экстремумов, отличных

88| § 3. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 343
от глобальных экстремумов, которые могут достигаться лишь
на границе множества W.
При этом:
83. Крайние точки множества V^ являются крайними
точками множества W.
Следовательно, если множество W строго выпукло, то
Vf состоит не более чем из одной точки.
Очевидно, аналогичные утверждения справедливы для
множества точек глобального максимума функционала /
на W.
Остановимся на специальном случае квадратичного функ-
функционала
q{x) = {Sx. x)-2(y, х)
в евклидовом пространстве Е. Здесь 5 — самосопряженный
оператор и у(Е.
84. Для того чтобы квадратичный функционал q был
выпуклым (строго выпуклым), необходимо и достаточно,
чтобы оператор 5 был неотрицательным (положительным).
86. Если 5 — неотрицательный оператор и у = 0, то
86. Если 5 — положительный оператор, то точка мини-
минимума функционала q единственна и совпадает с решением
уравнения
5л: = у. (*)
87. Если 5 — неотрицательный оператор и уравнение (*)
не имеет решения, то функционал q не ограничен снизу.
88. Если 5 — неотрицательный оператор и уравнение (*)
разрешимо, то функционал q ограничен снизу и множество Vq
совпадает с аффинным многообразием решений уравнения (*).
Итак, во всех случаях Vq = \x\Sx = у].
Пусть теперь Е и Е, — пространства Канторовича, /?Е\
Л?Нот(Е, Ej) и у?Е,. Исследуем задачу отыскания мини-
минимума
min/(x) (л-?Е) (I)
при ограничениях
hx>y, (II)
. (III)

344 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |89
Эту задачу (называемую задачей линейной оптимиза-
оптимизации *)), в которой /, h и у заданы, мы будем обозначать
{/. л. у).
Вектор х называется допустимым вектором задачи
(/, h, у), если он удовлетворяет условиям (II), (III). Если
задача имеет допустимый вектор, то она называется допу-
допустимой. Если для допустимой задачи функционал / ограничен
снизу на множестве допустимых векторов, то она называется
ограниченной.
89. Если задача (/, h, у) ограничена, то существует
min/(x).
X
Величина minf(x) называется значением задачи, а вектор,
X
на котором это значение достигается, — оптимальным.
90. Множество оптимальных векторов задачи (/, Л> у)
выпукло.
Задача, двойственная к (/, h, у), состоит в отыскании
максимума
тах^(у) (*6Е() (Г)
8
при ограничениях
h'g<f, (W)
g>0. (Ill')
Данные выше определения естественным образом пере-
переносятся на двойственную задачу (у, Л', /).
91. Пусть х?Е и g^E' — допустимые векторы задач
(/, Л, у) и (у, ti /) соответственно. Тогда f(x)^g(y).
92. Если в 91 имеет место знак равенства, то х и g
являются оптимальными векторами соответствующих задач
(признак оптимальности).
93. Если, одна из двух взаимно двойственных задач
(/, Л, у) и (у, h', /) не является допустимой, то другая
не имеет оптимальных векторов (т. е. она недопустима или
допустима, но не ограничена).
94. Если обе взаимно двойственные задачи линейной опти-
оптимизации допустимы, то обе они имеют оптимальные векторы
и одинаковое значение (теорема двойственности).
*) Или задачей линейного программирования.

97] § 3. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 345
Для доказательства достаточно установить существование
неотрицательного решения х~^> О, g^> О у системы неравенств
e(y)-f(x)>o.
которую можно представить в виде
Здесь h — понятный гомоморфизм из Е-(- Е' в Ej-f E'-f- R1,
порядок в R1 обычный, декартовы суммы упорядочиваются
покомпонентно.
Предложения 93 и 94 можно объединить в виде сле-
следующей теоремы существования:
95. Для того чтобы задача линейной оптимизации имела
оптимальный вектор, необходимо и достаточно, чтобы она
была допустима вместе с двойственной задачей.
С помощью 94 можно также установить следующее пред-
предложение.
96, Пусть х есть оптимальный вектор задачи (/, h, у),
-y) = 0, g>0]
Z={z\g(z) = 0,
Если g есть оптимальный вектор двойственной задачи
(у, h' /), то g(z) = 0 при всех z?Z.
Следующее, более законченное, предложение называется
теоремой равновесия.
97. Для того чтобы допустимые векторы х0 и g0 задач
(/. h, у) и (у, h', f) были оптимальными, необходимо и
достаточно, чтобы
go(z) = O при всех z?Z,
0 при всех

346 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |98
где
Z={z\g(z) = 0. g?G], G={g\g(hxo-y) = O,
и
Функционал (или функция) Лагранжа пары взаимно
двойственных задач (/, h, у) и (у, h'', /) определяется на
Е X Е' при х > 0, g > 0 равенством
Если заменить в (II) знак неравенства равенством, то
, g) превращается в известную из анализа функцию
Лагранжа для задачи на условный экстремум *).
Пара (л:0, gQ) называется седловой точкой функционала
ф(х, g), если при всех х > О, >0
Ф(*о. ^)<Ф(ло-
Очевидно, Седловая точка функции ф (х, g) является ее
стационарной точкой в смысле дифференциального исчисления.
Значение функционала Лагранжа для задач линейной опти-
оптимизации определяется предложениями 98 и 99. Первое из них
устанавливается непосредственно, а второе можно вывести
из теоремы двойственности 94 или установить с помощью
теоремы об отделимости выпуклых множеств.
98. Если (xQ, g0)—седловая точка функционала Лагранжа
ф(х, g), то х0 и g0 — оптимальные векторы задач (/, h, у)
и (у, h', /). При этом ф (х0, g0) есть общее значение этих
задач.
Обратно:
99. Если ^ и^0 — оптимальные векторы задач (/, h, у)
и (у, h'', /), то ф(х0, g0) есть общее значение этих задач
и (х0, gQ) — седловая точка функционала Лагранжа.
Результаты 98, 99 можно также представить в минимакс-
минимаксной форме:
*) Роль лагранжевых множителей играют: для задачи (/, h, у) —
функционал g, а для задачи {у, h', f)—вектор х.

104] § 3. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 347
100. Если задачи (/, Л, у) и (у, Л', /) допустимы, то
max minq)(x, g)= min тахф(х, g),
0 x>0 x>0 g>0
и обратно, из этого равенства следует допустимость обеих
задач. При этом общее значение обеих частей равенства
совпадает с общим значением обеих задач.
Теперь перейдем к выпуклым задачам на экстремум. При
этом отображение F: Е —>• Е, назовем вогнутым, если для
любых xlt х2 ? Е и 0 < 0 < 1
F((\ — 9)д;1-(-ед;2)>A — Q)Fx1 + QFx2.
101. Вогнутое отображение непрерывно.
102. Если отображение F вогнуто, то множество реше-
решений неравенства Fx J> 0 замкнуто и выпукло.
Исследуем задачу (р, F) (называемую задачей выпуклой
оптимизации*)), состоящую в отыскании
min p (х),
X
где р — выпуклый функционал на Е, при ограничениях
/7х>0, л:>0,
где F: Е-^-Е, — вогнутое отображение.
Терминология, введенная ранее для задачи (/, Л, у),
переносится естественным путем на задачу (р, F).
Функционал (или функция) Лагранжа задачи (/?, F)
определяется на Е -f- Ei при х ^> 0, g^>0 равенством
103. Если (хп, g0) — седловая точка функционала Лагранжа
ф(дг, g) задачи (/?, F), то л:0 есть оптимальный вектор этой
задачи, а ф(х0, ^0)—ее значение.
Обратно:
104. Если Fx > 0 при некотором х ^> 0, то из опти-
оптимальности вектора х0 следует существование функционала
?о6Еь goj>0 такого, что (xo, gQ) есть седловая точка
функционала Лагранжа ф(л:, g) задачи (р, F).
*) Или задачей выпуклого программирования.

348 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [105
Для доказательства можно определить в пространстве
Ё = Е f R1 выпуклые множества
'-{
ч
и воспользоваться теоремой отделимости.
Объединение предложений 103 и 104 составляет теорему
Куна—Таккера. Эта теорема и предложение 100 являются
модификацией следующей теоремы Неймана о седло-
вой точке.
105. Пусть Л?Нот(Е, Ej), U и V—компактные вы-
выпуклые множества в Е и Е,. Тогда
min maxg'(Ax)= max min ? (Ах).
Отметим родственную теорему:
106. Пусть U и V — компактные выпуклые множества
в Е и Ej. Тогда
min max| /(х) | = max
Рассмотрим еще в плане выпуклой и линейной оптимизации
одну задачу чебышевского приближения. Назовем
чебышевской точкой системы уравнений
', *=!, 2 т)
вектор х^Е, для которого
max | Д (х) — o.k\ = min max | fk (x) — ah \.
ft x?E ft
Если система (*) имеет решение, то множество ее чебы-
шевских точек совпадает с множеством ее решений. В отличие
от решения, чебышевская точка существует у любой системы (*).
Так как функционал
(**)

ПО] § 3. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 349
выпуклый, то отыскание чебышевской точки системы (*) есть
задача выпуклой оптимизации. Однако ее можно свести
к задаче линейной оптимизации:
107. Пусть E = E-(-R1 и функционал /?Ё' определен
~ (х\
равенством /(*) = ? при x = l J, х ?Е, |?R'. Множе-
ство чебышевских точек системы уравнений (*) совпадает
с множеством векторов х ? Е, для которых вектор х
является решением задачи минимизации линейного функцио-
функционала }(х) при линейных ограничениях
!/*(*) —«*1<6 (* = !¦ 2 т).
108. Для того чтобы чебышевская точка системы урав-
уравнений (*) при любых правых частях была единственной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг системы функционалов
{fk} был равен «(условие Хаара).
109. Пусть х—чебышевская точка системы (*) и
.2* = max |/»(*)-а* |.
к
Если m > n и выполнено условие Xaapa, то по крайней
мере для п -j- 1 значений индекса k имеет место равенство
Заметим, что аналогичное предложению 107 приведение
задачи выпуклой оптимизации к задаче линейной оптимизации
возможно всегда, когда функционал является кусочно ли-
линейным. Таковы, в частности, задачи отыскания чебышевской
точки, удовлетворяющей дополнительным линейным связям
в виде равенств (задача Маркова) или неравенств.
В заключение параграфа остановимся кратко на задаче
минимизации «произвольного» функционала при «любых»
ограничениях (но теперь уже в локальном, а не в глобальном
смысле). Предварительно отметим одно общее предложение,
вытекающее из теорем отделимости.
ПО. Пусть Ко, Кр .... Кт — открытые телесные клинья,
т-\ I
а Km+i —замкнутый клин. Для того чтобы f")Kj = O,
/-о

350 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |1Ш
необходимо и достаточно, чтобы существовали функциональ-
/убК'у (у=0, 1 /и-f-l), не все равные нулю и удо-
m+I
влетворяющие условию ^ fj = O.
Задача локальной минимизации состоит в отыскании ло-
локальных минимумов функционала Ф(л;) при ограничениях
Ф;(*)>0 (у = 1, 2 т), (*)
Ч>*(*) = 0 (k=l, 2 г), (**)
где функционалы Ф(х), фу(лг), tyk(x) предполагаются опре-
определенными и непрерывными во всем Е.
Мы ограничимся лишь необходимыми условиями минимума.
Вектор у0ф0 называется запрещенной вариацией вточкел;0,
если для всех у из некоторой окрестности точки у0 и всех
е > 0 из некоторой окрестности нуля
Вектор у0 Ф 0 называется допустимой вариацией по ограни-
ограничению ф(л:)^0 в точке х0, если для всех у из некоторой
окрестности точки у0 и всех е > 0 из некоторой окрест-
окрестности нуля
Вектор у0 Ф 0 называется допустимой вариацией по ограни-
ограничению \|)(jc) = O, если для любой окрестности U точки у0
и любого ?q > 0 найдутся число е @ < е < е0) и вектор у ? U
такие, что
Определенные выше множества вариаций обозначим череа
Кф, Кф и Кф соответственно. Присоединив к каждому из них
точку у0 —0, получим множества КФ, Кф, Кф. Эти множестваг
вообще говоря, не являются клиньями, но:
111. Если у?Кф (или у6КФ, или убКф), то ау?К<в
(соответственно ау^Кф и ау ?!<,,,) при а>0.
112. Если множества Кф. Кф, Кф выпуклы и Кф=?0*
Кф^0. то Кф и Кф — открытые телесные клинья, а К$—замк»
нутый кдиц.

1151 § 4. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ 351
113. Пусть в точке х0, удовлетворяющей ограничениям
(*), (**), функционал Ф(х) имеет локальный минимум, т. е.
Ф (х0) <; Ф (х) для любой точки х, удовлетворяющей (*), (**),
и принадлежащей некоторой окрестности точки х0. Если мно-
множества вариаций Кф, К<р,, КфА G=1,2 /»; Л = 1, 2,..., г)
выпуклы, то существуют функционалы /06Кф, /-6К'.
/т+»6Кф , не исе равные нулю и удовлетворяющие условию
т+г
2 /;(*) = О
(уравнение Эйлера — Лагранжа).
§ 4. Задачи на экстремум в пространстве операторов
В этом параграфе мы рассмотрим несколько различных
задач на экстремум в нормированном пространстве 2№(Е),
где Е — комплексное евклидово пространство и норма в 9И(Ё)
есть соответствующая операторная норма или любая унитарно-
инвариантная норма. При этом, как и в § 7 гл. VII, мы будем
обозначать операторную норму через | • |.
Начнем с одной задачи, относящейся к нормальным опе-
операторам.
Пусть Ао — нормальный оператор со спектром о(А0) =
= {XS)" и ортонормированным собственным базисом Д= {ек}",
a {\ik}"— заданная система точек комплексной плоскости.
Через 23 обозначим множество нормальных операторов В
со спектром о(Я) = {(Xs)". Требуется вычислить наименьшее
и наибольшее значения гильбертовой нормы || Ао—В \\ при В ? 23.
Решение этой задачи содержится в 114 —118.
Пусть В0?В. Очевидно, множество 23 совпадает с мно-
множеством операторов, унитарно подобных оператору Во.
114. Если («yj)" есть матрица унитарного оператора U
в базисе А, то
= sP (аоа;+ЗД) + | (kfik+Ipk) | ujk p.
116. Матрица (\ujk\2) — дважды стохастическая.

352 гл. vnr. упорядоченные пространства |И6
Множество операторов, определяемых в каноническом
базисе Ло арифметического пространства R" всевозможными
матрицами (| ujk p) (U ? U (Е)), обозначим через 2В0.
116. Множество Шо содержит все пермутаторы относи-
относительно Ао.
117. Наименьшее и наибольшее значения величины || Ло—Bfl
при В ? 8 достигаются на одном из операторов В ? 8, обла-
обладающих собственным базисом Д.
Поэтому:
118. Имеют место равенства
min || Ло — В || = min 2 I ^* — \>чь I2
*-i' " '*'
/ я
max|| Ло — jB||—max! 2
где минимум и максимум в правых частях берутся по все-
всевозможным перестановкам у,, у2 у'„ индексов 1, 2, .. ., п.
119. Если оператор Ао самосопряженный и вещественные
числа \Xk}", \\xk}" занумерованы в порядке убывания, то
max || Ло - В 1| = ( J2 I К - Vn-k + i I2) ' •
Оператор Л^9И(Е) назовем ортогонализующим норми-
нормированный базис Л пространства Е, если ЛЛ — ортонормиро-
ванный базис. Множество операторов, ортогонализующих
базис А, обозначим через Од- Если Л^Од, t/^U(E), то
UA?Од. Далее, если А\, Лгб^д и Uv U2 — правые фазо-
фазовые множители в полярных представлениях операторов Av A,,
то ?/,"%:= ?/2-%.
120. Если А—[ик)" — нормированный базис, то
min
е 5—оператор, порождаемый матрицей Грама системы А
каком-нибудь ортонормированном базисе. Минимум дости-
где 5 —
в

124| 5 4. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ 353
гается при A=U~*B, где ??Од и U — правый фазовый
множитель в полярном представлении оператора В (теорема
М. Г. Крейна).
121. Если 5?3(Е) и coI>co2> ... > со„ - модули
собственных значений оператора 5, то
min \S--X
rg X«m
= СО
'/я+1-
Минимум достигается при X = Р5, где Я — ортопроектор
на линейную оболочку собственных векторов оператора S,
соответствующих его т наибольшим по модулю собственным
значениям.
122. Значение минимума в 121 и точка его достижения
не изменяются при более широком варьировании: Y3J?
rg X = т.
123. Для каждого А?Ш(Е)
min \A — X\ = sm + l(A).
xe>jni(E),
rg X-*m
Минимум достигается на отрезке разложения Шмидта
124. Пусть А?Т1(Е) и $mc3K(E) -множество орто-
проекторов ранга т. Тогда
min max || у - Ху || = sm+,(Л)
max \\у —
АХ,
1
при Я=2(-
ft-1
Таким образом, линейная оболочка системы векторов {eft|™
есть те-мерное подпространство, наименее уклоняющееся от
Л-образа единичного шара пространства Е.
Следующее предложение является обобщением теоремы 123
на произвольные унитарно-инвариантные нормы.
23 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

354 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |125
126. Если р(х) = р(|[, |2 1п) — симметричная пред-
норма в R" и Л?Э№(Е), то
min p(s(A-X)) = p@,0 0, sm+l(A) sn(A)).
Xe5J((E),
g X- т
Минимум достигается на отрезке разложения Шмидта
В частности:
126. Для каждого
min p( )( ) 2
Ле»((Е), k-m +
rg X-m
m
Минимум достигается при X =¦¦ 2 5S(^)(-. e'k)ek-
В заключение остановимся на экстремальных свойствах
декартова и полярного представлений оператора А?Т1(Е).
127. Если Л = 5-|-/Г (S, Г?3(Е)), то для произволь-
произвольной унитарно-инвариантной нормы
min \\A-X\\ = \\A-S\\.
128. Если A = UR, где U—унитарный оператор, /? — не-
неотрицательный самосопряженный оператор, то для любой
унитарно-инвариантной нормы
min || Л— Л" || = || Л — U ||, max || Л — Л1=|| Л + ?/||.
Теорему 128 можно редуцировать к неравенствам
129. ия_/||<ця_*||<ЛЯ + /!| (Jf6U(E)).
Эти неравенства вытекают из теоремы 189 гл. VII и не-
неравенств
m
1зо. 2
(/»= 1, 2 я).
Для доказательства правых неравенств 130 достаточно,
пользуясь теоремой 263 гл. Ill, установить, что:

1381 § 5. МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 355
131. sk(R - X)^sk(/? + /) (k = l, 2 n).
Для доказательства левых неравенств 130 можно приме-
применить теорему Виландта к операторам S = R - X и T = R—[,
где знак ~ имеет тот же смысл, что и в теореме 162 гл. VII.
§ 5. Монотонные операторы
Пусть Е — пространство Канторовича с положительным
конусом К. Отображение F: Е->Е называется монотонным.,
если Fxl^>Fx2 при х1 ;> х2 (х{, дг2?Е).
132. Для того чтобы оператор А ?9Й(Е) был монотонным,
необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял условию
Лл:>0 (jc?E, дг>0).
Последнее условие означает, что конус К инвариантен
относительно оператора А
АК<=К.
133. Множество ft монотонных операторов является зам-
замкнутым телесным конусом в ЗЙ(Е).
Поэтому пространство Ш (Е), в котором порядок задан
конусом ft, является пространством Канторовича. Монотон-
Монотонность оператора А, рассматриваемого как элемент этого про-
пространства, равносильна его неотрицательности *). Употребляе-
Употребляемые в этом параграфе соотношения А ^2> 0 (А > 0) понимаются
в смысле указанного порядка в 2К (Е). Аналогично упорядо-
упорядочивается пространство ЗЙ(Е').
Целью этого параграфа является исследование спектраль-
спектральных свойств операторов, неотрицательных в ЗЯ(Е).
134. Для того чтобы было А > 0, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для всех х >- 0 было Ах > 0.
136. Неравенства А^>0 и A' J> 0 эквивалентны. Ана-
Аналогично неравенства А > 0 и А' > 0 эквивалентны.
136. Для того чтобы конус $с9ЭТ(Е) был конечным,
необходимо и достаточно, чтобы был конечным конус К.с=Е.
137. Если конус К миниэдральный и А^>0, то | Ах | «^
•^ А | х | при любом х?Е.
138. Если Л>0, то RK(A)<^0 при Х>р(А).
*) Для самосопряженных операторов так определяемая неотри-
неотрицательность не совпадает с неотрицательностью и смысле § 5 гл. III.
23*

356 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |139
139. Если оператор А ^> О имеет положительное собствен-
собственное значение р = р(Л) порядка г, то в разложении Лорана
резольвенты
коэффициент с_г неположителен.
140. При условиях теоремы 139 собственному значению
р = р(Л) соответствует по крайней мере один собственный
вектор хо;>О оператора А.
Теорема 140 представляет собой предварительный вариант
теоремы Фробениуса (см. 143), в окончательной формулировке
которой принадлежность р(Л) к спектру следует из неотри-
неотрицательности оператора А, а не предполагается заранее.
В случае, когда на окружности \Х\ = р(А) имеется собствен-
собственное значение X, для которого argX соизмерим с 2я, теорема
Фробениуса следует из 141, а в общем случае — из 141 и 142.
141. Если Л>0 и для некоторого натурального р
ЛРУ = W (ц > 0, у >- 0),
то для
р
при р = У^>0 будет Ах = рх, х >- 0.
142. Если X (\Х\~р(А)) есть собственное значение опе-
оператора А ^> 0, имеющее наибольшую вещественную часть
среди всех собственных значений с модулем р(А), то при
достаточно малом е>0 числа Х-\-гХ2 и ~X~\-zX2 являются
наибольшими по модулю собственными значениями опера-
оператора А-\-гА2.
143. Для любого неотрицательного оператора А спек-
спектральный радиус р(А) является собственным значением.
Этому собственному значению соответствует по крайней мере
один неотрицательный собственный вектор х0 (теорема
Фробениуса).
Первую часть теоремы Фробениуса можно также доказать,
применяя к разложению резольвенты
ft-0

150| § 5. МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 357
теорему Прингсгейма: радиус сходимости степенного
ряда с неотрицательными коэффициентами является особой
точкой суммы ряда.
В случае миниэдрального конуса К можно сделать сле-
следующее интересное заключение о наибольших по модулю
собственных значениях оператора А.
144. Если конус КсЕ миниэдральный и оператор А не-
неотрицательный, то каждое его собственное значение, равное
по модулю р==р(Л), имеет вид ра, где а — некоторый
натуральный корень из единицы. При этом все точки ра>к
(&=1, 2, ...) принадлежат спектру о (А).
Описывая К системой неравенств fk(x)~^>0 (fk?Er;
k= 1, 2, ..., п) и комплексифицируя пространство Е, можно
с помощью 124 гл. VII свести 144 к:
146. Если в условиях 144 р(Л)=1, Ах0 — х0 (хо^>О)
и А(с)х = е1а х, то
eiafj}(x) = 2 aJkff (x) (j= 1. 2, .... я).
где функционалы /? (х) нормированы условием
/<с>(х0)=1 (ft=l. 2 п)
и (ajk)"j k-i "" стохастическая матрица.
Если А > 0, то теорема Фробениуса допускает ряд уточ-
уточнений, которые мы рассмотрим шаг за шагом, а окончатель-
окончательный результат сформулируем в 156.
146. Если А > 0, то р(А) > 0.
Таким образом, положительный оператор не может быть
нильпотентным.
147. Оператор А > 0 не имеет собственных векторов
на границе <?К конуса К-
148. Порядок собственного значения р(А) оператора А > 0
равен единице.
149. Кратность собственного значения р(А) оператора
А > 0 равна единице.
150. Собственный вектор х0 оператора А > 0, соот-
соответствующий собственному значению р(А), является един-
единственным *) неотрицательным собственным вектором опе-
оператора А. Вектор х0 положителен.
*) С точностью до скалярного множителя.

358 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |151
Последнее можно установить, опираясь на следующее
вспомогательное предложение.
151. Если А ^> О и Ax = \ix (\i > 0, х > 0), то для
любого у > О последовательность {ц~т/1гау}] не имеет пре-
предельных точек на <Ж-
Предложение 151 в свою очередь вытекает из следующего
простого замечания:
152. Для любых х > 0 и у > 0 при достаточно малом
а > 0 имеет место неравенство у J> ax.
153. Если А > 0, то собственное значение р(А) больше
модуля любого другого собственного значения.
Для доказательства 153 можно использовать вспомога-
вспомогательные предложения 154—156, а также 151.
154. Если X=reia @<г<р, 0 < а < 2л) есть некото-
некоторое собственное значение оператора А > 0, а х1-\- ix2
{xv jc2?E) — соответствующий собственный вектор, то веще-
вещественная линейная оболочка векторов xv x2 пересекается
с конусом К лишь в его вершине.
155. Для любого х > 0 при- некоторых вещественных
ар а2 будет х -Ьа^, -\- а2х2? <Ж.
156. Если в 163 pa=2qn (p, q — натуральные), то
г<9(А).
Окончательно получаем:
157. Любой оператор А > 0 имеет единственный неотри-
неотрицательный собственный вектор Jt0. Этот вектор положителен.
Соответствующее собственное значение р является простым
и больше модуля любого другого собственного значения опе-
оператора А (теорема Перрона).
Следующее предложение является обобщением теоремы 146.
158. Если Л^>0, х > 0 и при некотором а>0
Ах J> ax,
то р(Л)>а.
Уточняя это предложение, можно прийти к следующему
аналогу экстремального свойства наибольшего собственного
значения самосопряженного оператора.
. 159, Спектральный радиус оператора А~^>0 равен
р(А) — max а,

IG6J S В. МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 359
где Л = {а | Ах J> a.v для некоторого х > 0}. Он равен также
где JF = {р | Ах <^ рдг для некоторого л:>0}.
Поэтому:
160. При любом х > 0 из неравенств сие <! Лл: и рх J> Лл;
вытекают неравенства а<;р(Л) и E]>р(Л).
Из 169 можно получить следующие две формулы для р(Л):
161. р(Л) = inf sup *??-. р(Л)== sup ini
Таким образом:
162. Для функционала ф(л;, g)= 8 ^^ в Е X Е' имеет
место соотношение
inf sup<j)(;t, ^) = 8ир inf ф(л;, g)
(ср. 105).
163. Нижняя грань в левой части и верхняя грань в пра-
правой части соотношения 161 достигаются на соответствующих
собственных векторах операторов А и А'.
Используя 159, легко также получить следующие тео-
теоремы:
164. Спектральный радиус р(Л) при Л J> 0 есть моно-
монотонная функция от А, т. е. р(Л2)^-р(Л1), если Л2]> At^>0.
165. Если Л>0 и #х(Л)<0, то X > р(Л) (ср. 138).
Приведем одно применение теорем 138 и 165 к исследо-
исследованию устойчивости операторов. Оператор 5?ЗМ(Е) назы-
называется строго устойчивым, если его спектр а (В) лежит
в открытой левой полуплоскости. Оператор В? 9И(Е) назовем
трансляционно положительным, если при некотором ц > 0
166. Для того чтобы трансляционно положительный опе-
оператор В был строго устойчивым, необходимо и достаточно
выполнения неравенства В~ <^ 0.
Оператор A J> 0 называется примитивным, если Ар > 0
при некотором натуральном /?.

360 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА A67
167. Все утверждения теоремы Перрона остаются спра-
справедливыми при замене условия положительности оператора Л
условием его примитивности.
Это обобщение является окончательным в том смысле, что:
168. Если оператор Л ^> О обладает положительным про-
простым собственным значением, которое больше модулей осталь-
остальных собственных значений, а соответствующие собственные
векторы операторов Л и Л' положительны, то оператор Л
примитивен.
В заключение параграфа отметим одно предложение, пред-
представляющее собой развитие теоремы Перрона. С этой целью
г
рассмотрим внешнюю степень Д Е с положительным кону-
г
сом Л К. Оператор Л?3№(Е) называется вполне положи-
т
тельным, если /\ А > 0 (/-=1, 2, ..., п).
Из 89 гл. V и теоремы Перрона следует:
169. Все собственные значения вполне положительного
оператора положительные и простые (теорема Гант-
махера — Крейна).
§ 6. Отношения порядка в пространстве операторов
Каждый замкнутый телесный конус К,сЕ индуцирует
в Ш. (Е) порядок, определяемый конусом
монотонных операторов. Такие порядки в 3№(Е) мы будем
называть операторными. Операторные порядки занимают по
отношению к произвольным упорядочениям пространства Ш (Е)
место, аналогичное месту операторных норм среди произволь-
произвольных норм в 9?{(Е). Постановка задач и результаты этого пара-
параграфа аналогичны изложенным в § 10 гл. IV (см. также § 6
гл. V).
Конус $ = 2#(Е) назовем кольцевым, если ЛЯ?$ при
Л, ??&.
170. Конус Я (К) является кольцевым и содержит единич-
единичный оператор.
171. Конус Int5l(K) также кольцевой, но не содержит
единичною оператора.

177) § 6. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ 361
Порядок в 5Ш(Е) будем называть кольцевым, если ^
при А ^> 0, 5^0. Согласно 170 любой операторный поря>
док является кольцевым и, кроме того, / ^> 0.
Исследуем строение сопряженного конуса ft'= [ft (К)]'.
Это приведет нас к одной из характеризаций операторного
порядка.
Пусть /6е'. х?Е. Рассмотрим в 3№(Е) линейный функ-
функционал ф, определяемый формулой
Функционал такого вида можно трактовать как тензорное
произведение и соответственно обозначать f ®х. Вместе с тем
это произведение можно трактовать и как оператор в Е:
Выбор интерпретации тензорного произведения f®x будет
каждый раз ясен из контекста.
172. Если *?К, /?К', то /®х?Г.
Обратно:
173. Если /®jc?ft', то *?К, /6 К' (или — х?К,
-/€К').
Обозначим через §' множество всех функционалов вида
f®x (х?Е, /6е')- В силу 172 g'cft'. но Ъ'ф&', ибо
множество §' не является клином. Однако:
174. Конус К' есть выпуклая оболочка множества g':
ft'= Cog'.
176. Если л:?К и / ? К' — экстремальные векторы ко-
конусов К и К', то функционал f®x является экстремальным
вектором конуса $'.
Обратно:
176. Если ip есть экстремальный вектор конуса ft', то
i|3==/(gijfl где х и / — некоторые экстремальные векторы
конусов К и К'.
Теоремы 172—176 с очевидными изменениями в форму-
формулировке переносятся на операторную интерпретацию тензор-
тензорного произведения f®x.
177. Для того чтобы замкнутый телесный конус Q.c3№(E)
был представим в виде Q. = ft (К), необходимо и достаточно
выполнения следующих условий:

362 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1178
1) если
К, = {х|х?Е, /®x?Q. при некотором /?Е'},
К2={/|/?Е', /®x?Q/ при некотором х?Е},
то К] — замкнутый телесный конус и К-2 = Ki-
2) Q/ есть выпуклая оболочка множества всех функ-
функционалов вида f®x, принадлежащих Q..
Таким образом, мы получили характеристику операторных
порядков в терминах пары конусов Q., Q/. Результатом даль-
дальнейших теорем будет характеризация таких порядков в тер-
терминах самого конуса &.
178. Если Кр К2—замкнутые телесные конусы в Е, то
конусы К1 = К(К1) и $2 = $(К,2) либо несравнимы (т. е.
ни один из них не является собственной частью другого),
либо совпадают. В последнем случае К2 —Ki или К2 = — Кр
Далее:
179. Если О. — замкнутый телесный кольцевой конус
в 3№(Е), то существуют такие /?Е', х?Е (/фО, хфб),
что /®x?Q..
Таким образом:
180. Множество
К=(х|х?Е, /®х?О. при некотором /6Е'}
есть замкнутый конус в Е.
181. Имеет место соотношение Q.c$(K).
Следовательно, конус К телесный.
Из 178 и 181 следует:
182. Для того чтобы замкнутый телесный кольцевой конус
Q.c90f(E) определял в Щ(Е) операторный порядок, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он был максимальным по вклю-
включению.
Теперь легко установить существование неоператорных
кольцевых порядков в 3№(Е), удовлетворяющих условию /J>0.
Например:
183. Если Kj и К2 ф К! — замкнутые телесные конусы в Е
и конус Ki П К2 также телесный, то пересечение $(Ki)n$(K2)
является замкнутым телесным кольцевым конусом, содержа-
содержащим единицу, но определяемый им порядок не является опе-
операторным.

193] § 7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА 363
§ 7. Упорядоченное пространство самосопряженных
операторов
Рассмотрим неотрицательность (положительность) само-
самосопряженных операторов в смысле § 5 гл. III с точки зрения
теории упорядоченных пространств.
184. Множество ®+ (Е) неотрицательных операторов есть
замкнутый телесный конус в в (Е).
Таким образом, пространство ® (Е) с отношением порядка,
определяемым конусом ®+ (Е), является пространством Кан-
Канторовича. Соответствующее отношение порядка в ® (Е) назо-
назовем спектральным.
185. Множество положительных операторов совпадает
с Int ?+ (E).
186. При я ^-2 конус ©f (E) не является конечным.
187. При ге^>2 конус ®+(Е) не является кольцевым.
Таким образом, спектральный порядок не является опера-
операторным.
188. Конус <5+(Е) унитарно инвариантен: если 5 ? <S+(E), то
189. Общий вид линейного неотрицательного функционала
в пространстве 3 (Е) определяется формулой / E) = sp (CS),
где C = S+(E).
Таким образом:
190. Конус в f (E) — самосопряженный (при естественном
отождествлении пространств [3 (Е)]' и 3 (Е)).
191. Пусть А — самосопряженный оператор. Тогда мно-
множество операторов вида 5 = ф(Л), где ф - произвольная ве-
вещественная функция, есть подпространство в -5 (Е), а его
пересечение с конусом 34 (Е) есть конечный конус.
192. Если 5, > 0, S2 > 0 и S, о 52, то StS2 > 0.
Условие 5, ^ S2 не может быть опущено, т. е. из 5, ^> 0,
52^>0 не следует 5,52^0. Этого «недостатка» лишено
шуровское произведение матриц.
193. Если операторы Sv S2 неотрицательны и их матрицы
в некотором ортонормированием базисе суть §] и ё2, то само-
самосопряженный оператор S, определяемый в этом же базисе
матрицей ё = 8, ° в2, неотрицателен. Если при этом Sx > 0,
S2 > 0, то и 5 > 0.

364 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |194
194. Если Sj ^ S2, S 1> О и 5 kj 5,, 5 kj S2 (или по край-
крайней мере 5 о (S, — 52)), то SjS < S2S.
Введем положительную и отрицательную части самосопря-
самосопряженного оператора 5 формулами
S+ = />+ E), где р+(Х)
5_ = р_E), где />_ (А,) = тах{0, — А,}.
Заметим, что правый и левый операторные модули само-
самосопряженного оператора 5 совпадают и равны
Вместе с тем
195. Оператор |5| удовлетворяет соотношениям | 5 | о S,
— | 5 | <^ 5 <^ | 5 | и является наименьшим из операторов, удо-
удовлетворяющих таким соотношениям при данном 5 (ср. 17).
196. Оператор 5+ удовлетворяет соотношениям 5+ о S,
S+>5 и является наименьшим из операторов, удовлетворяю-
удовлетворяющих таким соотношениям при данном S.
Аналогичным образом характеризуется оператор 5_.
Эти предложения являются частными случаями следующей
теоремы:
197. Если 5, l-> S2, то в классе самосопряженных операто-
операторов, коммутирующих с 5, и S2,
lnf{5,, S2}=-5(
Рассмотрим отношение спектрального порядка для орто-
ортопроекторов.
198. Для ортопроекторов неравенство P<^.Q эквивалентно
соотношению Im Pc Im Q.
Таким образом, из соотношения Р ^ Q следует Р kjQ.
199. Если ортопроекторы Я, и Р2 коммутируют, то в классе
всех ортопроекторов, коммутирующих с Р, и Р2,
sup {Р„ Р2\ = Я, + Р2 - Р,Р2, inf [Pv P2] = Р,Р2.

2071 § 7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА 365
200. Ортопроектор Р = Р Aщ S) монотонно зависит от S
при S ^> 0:
P(ImS1)<P(Im52) @<S,<52).
Следующие теоремы относятся в существенном к верхним
и нижним граням бесконечных множеств в о(Е). Пусть
ф — какое-нибудь множество в в (Е).
201. Если Г—sup.g>, то
(Тх, x) = sup(Sx, х)
(Тх, x)=sup(Sx, х)
Обратно:
202. Если
то Т = sup?.
203. Если
sup(S.r, д;)<оо
и для любых 5Р S.2?Sp существует в ф мажоранта 5
S^>S2), то множество .§> обладает верхней гранью.
Необходимость условия (*) очевидна.
204. Если Т = sup .§>, то для любого е > 0 существует
оператор 5е?ф такой, что для всех S??>, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию S^>Se, выполняется неравенство [| Т — 5||^е.
Предложения, аналогичные 201—204, справедливы для
нижней грани.
Рассмотрим некоторые специальные задачи на отыскание
верхней грани.
Положим 21 -=(S|S?6(E), S</1, KerSzjL), где L—под-
L—подпространство, A J> 0.
Обозначим через Q ортопроектор на ортогональное допол-
дополнение к подпространству л'АЬ.
205. Al'2QA''2 621.
206. Для любого
(Sx. x) < I A'kx - А<1гу I {x 6 E, у 6 L).
207. Для любого S?%
s < a'W1.

366 ГЛ VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [208
Таким образом, sup % = a'/!Qa'12, и верхняя грань дости-
достигается.
Отметим еще, что:
208. Im A'kQA''2 = L1 fl Ira A''2.
В заключение рассмотрим итерационный процесс извлече-
извлечения квадратного корня из оператора.
209. Если 0 <. S <[ /, то последовательность
5ft+1=5ft+iE-52ft) (А = 0, 1, 2, ...; S0 = 0)
имеет предел lim Sk = sup Sk = S/2 (см. 20).
§ 8. Положительные операторы и неравенства
для собственных значений
Мы посвятим этот параграф разным задачам, связанным
со спектральным порядком в пространстве 3(Е). Некоторые
из них примыкают к теории Фишера — Куранта.
Пусть 5 > 0. Положим %х = A,, (S), Ъп = Ъп (S).
210. min {(Sx, x)(S'1x, х)} = 1.
liOfll-l
211. шах{E;с, x)(S-lx. x)} = {ll + KY¦
||1 ЧЛ1Лл
||
Это — неравенство Канторовича.
212. max j || 5* |р - E*. xf}= <Л'~Я"J,
|l 4
min
mm
Отметим еще следующее неравенство.
214. Если § = (Syft)" k_l — матрица оператора 5 в каком-
нибудь ортонормированием базисе и
dm = det(Syft)" _, (m=l, 2, .... и; do= 1),
то
й-1

219) • § 8. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 367
где знак равенства имеет место лишь в случае диагональной
матрицы 3 (неравенство М. Г. Крейна).
Эта теорема легко выводится из 265 гл. III, если вос-
воспользоваться следующими двумя замечаниями.
215. Если {uk}"— базис и fl;—матрица Грама системы
векторов Y]=\uk\'v то расстояние ру вектора и} от линей-
линейной оболочки системы Гу-_г (Ь(Г0) = 0) равно
dit^T 0=1.2 я; det fo =1).
216. Если ортонормированная система {ек)" получена из
системы {ик}" с помощью процесса ортогонализации Сонина —
Шмидта, то (е;-, м;) = р;- (/=1, 2 и).
Отметим теперь обобщение неравенства Шварца (см. 9
гл. IV).
217. Если 7">0, то
I (Тх. у) Р < (Тх, х) (Ту, у) (х, у 6 Е).
Отсюда:
218. Если (Тх, х) — 0, то Тх = 0.
Пусть Т > 0. Тогда функционал \х, у] = (Тх, у) является
новым скалярным произведением в Е. Соответствующее уни-
унитарное пространство обозначим через Е [Т] и назовем про-
пространством Фридрихса.
219. Формула А = T~1S устанавливает взаимно однозначное
соответствие между E(Е) и 3(Е [Т]). При этом конус 6+ (Е)
переходит в конус ®+(Е[Г]).
Спектр оператора Т~ S совпадает с множеством значений
X, для которых уравнение
Sx— XTx = 0 (*)
имеет решение х Ф 0, а сами решения совпадают с соответ-
соответствующими собственными пекторами. Оператор-функция S—XT
называется линейным операторным пучком, а указанные
выше значения X и решения уравнения (*) его собствен-
собственными значениями и собственными векторами.

368 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [220
220. Собственные значения операторного пучка S — XT
(Т > 0) вещественны, а собственные векторы, отвечающие раз-
различным собственным значениям, Г-ортогональны: Gа, v) = 0.
221. Существует Г-ортонормированный базис из собст-
собственных векторов операторного пучка S—XT (T > 0).
Отсюда, между прочим, следует:
222. Если S — самосопряженный и Т — положительный
оператор в Е, то А = TS — оператор скалярного типа с ве-
вещественным спектром.
223. Для того чтобы собственные значения пучка S — ^7"
(Т > 0) были заключены в интервале (a, |i), необходимо и
достаточно, чтобы 5- а7">0, |}7" — S > 0.
В частности:
224. Если S > 0, Т > 0, то собственные значения пучка
5 — XT положительны.
Рассмотрим в заключение неравенства для собственных
значений как функционалов на 6 (Е).
225. Спектры операторов S и T^-S удовлетворяют
неравенствам
MSXM7") (*=1. 2 и).
226. Число знаков равенства в последних соотношениях
не превосходит defG" —5). В частности, из
lk(S) = Xk(T) (A=l. 2 я)
и Т ^> S следует T = S.
Первое и последнее собственные значения (в отличие от
промежуточных) обладают следующим свойством:
227. Функционал Я,, E)— вогнутый, а функционал Хп (S) —
выпуклый: при 0 < 0 < 1
?., (A - 6) s, ч 052) < A - 0) х, (S,)+е?., (S2),
хп(A -6)s, 4 es2)>(i — в)хп(S,)-f еья(S2).
Оценим возмущение спектра самосопряженного оператора
через норму или ранг возмущения оператора.
228. \Xk(T)-Xk(S)\<\\T- S\\.
229. Если S<7" и rgG — S)<r, то
h(TXh-r(S) (* = r-\-l п).

235| § 9. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 369
В частности:
230. Если S<7 и rgG — 5)== 1, то
M7")<**-i(S) (* = 2 «).
Таким образом, спектры операторов S и Т перемежаются:
x,(r)>x,(S)>x2(r)>...:-xB(S)
(ср. 231 гл. III).
Теоремы 228 и 230 не допускают обращения, но:
231. Если
IMr)-MS)|<e (*=l. 2 я; е > 0).
то существует унитарный оператор U такой, что
Иг/гы1 —s || <е.
При этом если 5 <^ Т, то оператор U можно выбрать так,
чтобы S^UTU'1.
232. Если S < Т и
iCS) (A = 2, .... я),
где хотя бы одно из неравенств строгое, то существует уни-
унитарный оператор Uтакой, чтоS^UTU'1 и xg{UTU~l—S) = l.
При доказательстве можно ограничиться случаем веще-
вещественного пространства Е и искать оператор U в виде вра-
вращения.
§ 9. Монотонные и выпуклые функции
от самосопряженного оператора
Пусть ф(Я) — скалярная вещественная функция, опреде-
определенная на конечном или бесконечном интервале (a, |i).
Функция фE) от оператора S?<S(E) называется моно-
монотонной в интервале (а/, |}/)= \S\aI <; S <.|i/}, если из
S<7-; S, rg(o/, |}/) следует фE)<фG1).
233. Функция фE) = — S~x монотонна в интервалах
S>0 и S<0.
234. Функция фE) = — R\(S) монотонна в интервалах
5 > U и 5 < XI.
235. Дробно-линейная функция
Ф E) = (y,,S + Y,2/) (Y21
24 И. М. Глазман, Ю. И. Любнм

370 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [236
где 4jk вещественны и Y11Y22 — V12Y21 > 0> монотонна в интер-
интервалах 5 > —^- / и 5 < J^L /.
Y21 Y21
236. Рациональная функция
т
ФE) = р0/Ч-
где Р^-0, Р,^>0, Yft^O. 3maft = 0, монотонна в каждом
интервале, не содержащем ее «полюсов» akl (k= I, 2 те).
237. Функция фE) = 51/2 монотонна на полуоси 5^>0.
Это вытекает из следующих предложений:
238. Если 0<^5<^7\ то вещественная часть оператора
при любом ц > 0 положительна.
239. Если Sv S2?<3(E) и S] > 0, то оператор S1-\-iS2
обратим (см. 224).
Общие критерии монотонности можно получить с помощью
формулы Тейлора для функций от оператора.
240. Если*) ф(^)^(?!(а, Р), то для монотонности функ-
функции фE) необходимо и достаточно выполнения неравенства
;д5) >о
dt
при всех S? (a/, p/) и Д5>0.
241. Если Ф(^)?(?,(а, р), то для монотонности функ-
функции фE) необходимо и достаточно выполнения неравенства
при всех S?(a/, p/) и
Это условие равносильно неравенству
242. Если ф(^N^1(а- Р)> т0 для монотонности функ-
функции фE) необходима и достаточна неотрицательность квад-
квадратичной формы
к
при любых \ > Я,2 > ... > Я,„ из интервала (a, P).
*) (?i (a, P) — класс скалярных функций, непрерывно дифферен-
дифференцируемых в интервале (a, P).

249] § 9. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 371
Ниже мы укажем еще одно необходимое условие моно-
монотонности. При его выводе дифференцируемость функции ф(^)
не предполагается. Более того, можно рассматривать функ-
функцию Ф(Я-), определенную на любом точечном множестве
&с.{а, Р), содержащем не менее 2я различных точек. При
этом функция фE) будет определена лишь на множестве
{.S|a(.S)C6f}. Предварительно отметим следующую простую
лемму.
243. Если функция фE) монотонна в 3(Е), то она моно-
монотонна в <5(Е,) при dim E, <dimE.
244. Если функция фE) монотонна, то квадратичная
форма
неотрицательна при любых ц, > Д., > [л2 > ... > цп > Д,п из §f.
Для доказательства можно использовать 232, после чего
вычислить матрицу оператора (f(i/'lSU)—фE) в собствен-
собственном базисе оператора 5.
Теорема 244 позволяет обнаружить ряд неожиданных
свойств монотонных функций, из которых наиболее значи-
значительны 248 и 249. В теоремах 245—249 предполагается
dimE>l. В силу 243 можно при доказательстве считать
dimE = 2.
245. Любая монотонная в интервале (а/, р/) функция ф E),
отличная от константы, возрастает строго, т. е. фE)<ф(Г)
при 5 < Т.
Таким образом, функция ф(Я-) обратима. Однако обратная
функция ф~'E), вообще говоря, не является монотонной:
246. Если функция фE) монотонна вместе со своей
обратной, то ф E) = (y,,5 -f yl7f) (y2lS -j- у22/)~ \
В частности:
247. Единственной монотонной на всей оси (—со/, оо/)
функцией фE), обладающей монотонным обращением, является
линейная функция ф (S) = ро/ -j- p,6\
248. Если функция фE) монотонна в интервале (а/, р/),
то функция Ф(Я-) непрерывна в интервале (a, P).
Более того:
249. Если функция ф E) монотонна в интервале (а/, р/), то
функция (р(Х) непрерывно дифференцируема в интервале (a, P).
24*

372 ГЛ. VIII. УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |250
Отсюда следует, что можно усилить критерий 242:
250. Для того чтобы функция фE) была монотонна
в интервале (а/, р/), необходимо и достаточно, чтобы она
была непрерывно дифференцируемой и чтобы квадратичная
форма
Ц — ф (Л*)
была неотрицательной при любых Кх >- Х2 >- .. . ^- ка из (а, Р).
Изложенные нами теоремы о монотонных функциях от
оператора представляют начала теории Лёвнера. Наиболее
замечательные результаты этой теории относятся к свойствам
гладкости и аналитичности. Оказывается, что в условиях 249
функция ф(Д-) обладает не только первой, но и следующими
непрерывными производными вплоть до (я—1)-го порядка.
А если функция фE) монотонна в интервале (a/, f!/) при
любой размерности пространства Е, то функция у (к) ана-
литична в интервале (а, Р), продолжаема в верхнюю полу-
полуплоскость и имеет там неотрицательную мнимую часть (т. е.
является е/^-функцией). Последнее свойство является харак-
характеристическим для функций ф(А-), порождающих функции фE),
монотонных при всех п.
Перейдем теперь к выпуклым функциям от оператора.
Функция фE) называется выпуклой в интервале (а/, р/),
если для любых операторов 5 и Т из интервала (а/, р/)
ф(A-0M+вГ)<A-0)фE)+вф(Г) (О<0<1).
251. Функция фE) = 52 выпукла на оси (—оо/, оо/).
252. Функция фE) = |5| выпукла в интервале (а/, р/)
тогда (и при dim Е > 1 только тогда), когда интервал (а, Р)
не содержит нуля.
253. Если*) ф(Д-NС2(а, Р), то для выпуклости функ-
функции фE) необходимо и достаточно выполнения неравенства
L>°
• dP
при всех S?(a/, p/) и AS?<2(E) (ср. 240).
*) 6?(а, Р) — класс скалярных функций, дважды непрерывно
дифференцируемых в интервале (a, P).

2561 § 9. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА 373
254. Если ф (Д.) €С2 (а, Р), то для выпуклости функции фE)
необходимо и достаточно выполнения неравенства
Ф|2) F') о dS{2) > О
при всех 5?(а/, р/) и tfS?©(E) (ср. 24!).
255. Если фA)?(?2(а> Р). то для выпуклости функ-
функции фE) необходима и достаточна неотрицательность квадра-
квадратичных форм
при любых Xq, Xl Я,я из интервала (а, Р) (ср. 242).
256. Если ф(Д-Nб?2(а, р), то для выпуклости функции фE)
необходима и достаточна монотонность функции ф^ E) :=:
= ф'1'(ц, 5) при любом [х?(а, р).

ГЛАВА IX
РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Линейные операторы, действующие
с подпространства линейного пространства
В этой главе изучаются гомоморфизмы Л ? Нот (DA, E),
где D^ — подпространство комплексного пространства Е. При
DA = E гомоморфизм Л является оператором в смысле гл. II.
Этот же термин сохраняется при DA ф Е (хотя более есте-
естественны были бы названия «частичный оператор» или «пред-
оператор»). Теперь, в отличие от гл. II, вектор Ах суще-
существует лишь при x?DA, а соотношения
А (хг -\- х2) = Ахх -f Ах2, А (ах) = аАх
должны иметь место при всех xv x2, x ? DA и любом ком-
комплексном а.
Подпространство DA называется областью определения
оператора и в дальнейшем обозначается Dom А. Его кораз-
коразмерность называется дефектным числом оператора А и
обозначается б (Л). Образ Im А называется областью значений
оператора А. Вся терминология введенная для гомоморфизмов
в гл. I, сохраняет смысл для операторов, определенных на
подпространстве.
Операторы Л, и Л2 называются равными, если
ОотЛ, = ОотЛ2 и Ахх =
при всех возможных л:.
Оператор А (в соответствии с определением гл. I) назы-
называется расширением оператора Л (на Dom Л), а оператор
Л — сужением оператора Л (на Dom А), если
и Ах = Ах (х ? Dom Л).

11] § I. ЛИНЕЙНЫЕ ЧАСТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 375
При этом будем писать Ас А. Расширение ЛзЛ называется
полным, если
Dom A — E.
1. Множество всех полных расширений оператора А
выпукло.
Рассмотрим сначала арифметические действия над опе-
операторами.
Приводимые ниже определения суммы (разности) и произ-
произведения операторов согласуются с действиями над гомомор-
гомоморфизмами, введенными в гл. I. За операторами 0 и / сохра-
сохраняется их первоначальный смысл, указанный в гл. II (так
что DomO = E, Dom/ = E).
Сумма и разность А = Al ± А, операторов Аг и А2
определяются равенствами
Ах= А:х + А2х
на подпространстве
Dom A = Dom Л, П Dom Аг.
2. (Л, + А2) Н- Л3 = Ах + (А2 + Л3).
3. А1-\-А2=А2-{-А1.
4. Л 4-0 = Л.
О» Ау г^2 === ^ 1 ~\ \ ^2/*
6. Л —ЛсО.
7. (Л, - Л2)+ A2cAv
Произведение А = Л2Л, операторов Ах и Л2 определяется
равенством
Ах = А2(А1х)
на подпространстве
D^ = {x |x?Dom Л,, Л,х^ОотЛ2}.
Если А1А2 = A2AV to операторы Ах и Л2 называются
коммутирующими; как и прежде, это записывается в виде
Л, о Л2. Произведение те одинаковых множителей Л обозна-
обозначается через Ат.
8. (Л,Л2) А, = А (АИз)-
9. (/1, + Да)/1з=Л,/1з+^2^з-
Однако:
10. АДЛ^ Л^зЛзЛ^ЛзЛз-
П. /Л = Л/ = Л.

376 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |12
12. dim (Dom АХА2) = dim (Dom Al П Im A2) + def A2
(ср. 133 — 136 гл. I).
13. Если А^1 существует, то
dim (Dom AXA^ =
— dim (Dom A{)-\- dim (Dom A2) — dim (Dom A\-)- Dom Л2).
По поводу степеней оператора отметим лишь, что:
14. При любом натуральном т
Если при некотором натуральном щ в этом соотношении
имеет место знак равенства, то он сохраняется при всех
/я> т0.
15. Иц + ^ЛХя.
Подпространство LcDom/1 называется инвариантным
относительно А, если Ax?L при любом x?L.
16. Подпространство
л-1 т„
LA = f) Dom Ak = f) Dom Ak
ft-i ft=i
инвариантно относительно А.
17. Подпространство LA не является частью какого-либо
другого инвариантного подпространства оператора А.
18. Подпространство LA содержит любое инвариантное
подпространство оператора А.
Таким образом, LA есть наибольшее инвариантное под-
подпространство оператора А.
Оператор А называется простым, если он не имеет
отличных от нуля инвариантных подпространств.
19. Для того чтобы оператор А был простым, необхо-
л-1
димо и достаточно, чтобы f*|Dom Л* = 0.
В частности:
20. Если Кег А — 0 и Dom А П Im А = 0, то оператор А
простой.
21. Любое сужение простого оператора есть простой
оператор.
Используемые в этой главе понятия собственного вектора
И подпространства определяются обычным образом.

26| § 2. ЧАСТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПР-ВЕ 377
22. Для того чтобы оператор был простым, необходимо
и достаточно, чтобы он не имел собственных векторов.
23. Если оператор А простой, то кратность каждого
собственного значения любого полного расширения А опе-
оператора А не превосходит дефектного числа 6(Л).
Обратно:
24. Если кратность каждого собственного значения любого
полного расширения А оператора А не превосходит 6(Л),
то оператор А простой.
Для доказательства достаточно воспользоваться следующим
предложением:
25. Пусть L—какое-нибудь дополнение подпространства
Dom А. Для полного расширения ЛзЛ, определяемого ра-
равенством Ах = 0 (х ? L), будет
Ker A = Ker A -j- L.
Оператор А называется прямой суммой операторов Ах и А,:
А = Л,-|- А2,
если подпространства Dom Л, и Dom Л2 взаимно независимы и
Dom Л = Dom Ax -\- Dom Л2, Лх = Л^-j -f- Л2х2,
где х = х, -(- х2, х, ? Dom Лр х2 ? Dom Л2.
§ 2. Линейные операторы, действующие
с подпространства унитарного пространства
В этом параграфе Е означает унитарное пространство.
Оператор 5 называется эрмитовым, если
(Sx, у) — (х, Sy) (х, у ? Dom S).
При Dom5 = E эрмитов оператор 5 — самосопряженный.
Оператор V называется изометрическим, если
При DomV = E изометрический оператор V — унитарный.
26. Любое сужение самосопряженного оператора является
эрмитовым оператором.

378 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |Й
27. Любое сужение унитарного оператора является изо-
изометрическим оператором.
Обратно:
28. Любой изометрический оператор допускает унитарные
расширения.
Вопрос об обращении теоремы 26 откладывается до § 4.
Следующие предложения являются обобщениями соответ-
соответствующих теорем § 5 и 6 гл. III.
29. Для того чтобы оператор 5 был эрмитовым, необхо-
необходимо и достаточно выполнения условия
%m(Sx, х) = 0 (x6DomS).
30. Если оператор 5 эрмитов, то оператор aS эрмитов
при любом вещественном а.
31. Сумма эрмитовых операторов есть эрмитов оператор.
32. Если эрмитов оператор 5 обратим, то оператор 5
также является эрмитовым.
33. Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
34. Собственные векторы эрмитова оператора, соответ-
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
35. Для того чтобы оператор V был изометрическим,
необходимо и достаточно выполнения условия
(Ух, Vy) = (х, у) (х, у ? Dotn V).
36. Если оператор V изометрический, то при |а|=1
оператор aV также изометрический.
37. Произведение изометрических операторов есть изо-
изометрический оператор.
38. Оператор, обратный к изометрическому, существует
и является изометрическим.
39. Собственные значения изометрического оператора по
модулю равны единице.
40. Собственные векторы изометрического оператора,
соответствующие различным собственным значениям, орто-
ортогональны.
41. Для любого оператора А существует и единствен
сопряженный оператор А*, определенный на всем Е и удо-
удовлетворяющий условиям:
1) (Ах. у) = (х. А"у) (х?ОотЛ,
2) lmA*cDomA.

551 § 2. ЧАСТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПР-ВЕ 379
42. АсА**.
43. Если полное расширение А оператора А определено
равенством Ах = О (х ? (Dom ЛI), то А* = А *.
Обратно:
44. Если В есть полное расширение оператора А и В* = Л*.
то В=А.
45. 1тЛфКегЛ* = Е.
¦ В следующих задачах РА означает ортопроектор на D^.
46. Если операторы А и В связаны соотношением
(Ах, у) = (х, By) (х 6 Dom А, у ? Dom В),
то РАВсА*.
Обратно:
47. Если РАВсА*, то операторы Л и В связаны соот-
соотношением
(Ах, у) = (х, By) (x ? Dom Л, у 6 Dom В).
48. Для того чтобы оператор Л был эрмитовым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы РААсА*.
49. Для того чтобы оператор В был сопряженным к не-
некоторому эрмитову оператору, необходимо и достаточно,
чтобы он имел вид B = PS, где 5 — самосопряженный опе-
оператор, Р — ортопроектор.
50. Пусть S, §—эрмитовы операторы и Dom .SmDomS.
Для того чтобы было 5з5, необходимо и достаточно, чтобы
PsScS*.
51. Если DB3DA и РАВ* = А*. то ВзЛ.
Обратно:
52. Если ВзЛ, то РАВ*=А*.
53. Пусть 5 — эрмитов, S — самосопряженный оператор.
Для того чтобы 5 был расширением оператора S, необходимо
и достаточно, чтобы PSS = S*.
54. Множество всех самосопряженных расширений задан-
заданного эрмитова оператора выпукло (ср. 1).
55. Каков бы ни был оператор Л, операторы А* А и Л Л*
являются самосопряженными (первый — в Dom Л, второй —
в Е) и неотрицательными.

380 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |56
56. Для положительности оператора А*А (в Dom А) не-
необходимо и достаточно, чтобы Кег А = 0.
57. Для положительности оператора АА* (в Е) необходимо
и достаточно, чтобы Dom А = Е.
58. Для изометричности оператора V необходимо и доста-
достаточно, чтобы V*VcI.
59. Если V — изометрический оператор, то VV* есть орто-
проектор на область значений оператора V.
60. Для того чтобы оператор В был сопряженным к не-
некоторому изометрическому оператору, необходимо и доста-
достаточно, чтобы он имел вид B = PU, где U—унитарный
оператор, Р — ортопроектор.
61. Если V — изометрический оператор, то V~lcV*.
Обратно:
62. Если оператор V обратим и V~ czV , то V — изо-
изометрический оператор.
63. Пусть V, V — изометрические операторы и Dom V з
. Для того чтобы было Vz)V, необходимо и доста-
достаточно, чтобы V~1cV .
64. Пусть V—изометрический, V—унитарный оператор.
Для того чтобы V был расширением оператора V, необхо-
необходимо и достаточно равенства V V=PV.
Оператор В, определенный на всем Е, называется ча-
частично изометрическим, если он является расширением
некоторого изометрического оператора V и Вх = 0 при
х ? (Dom VI- Например, частично изометрическим является
оператор, сопряженный к любому изометрическому.
65. Если В - частично изометрический оператор, то и
В* — частично изометрический оператор.
66. Если В—частично изометрический оператор, то
В*В = Р, BB* — Q, где Р и Q — ортопроекторы на Dom#
и Im В соответственно.
67. Если оператор В определен на всем Е и В*В (или ВВ*)
есть ортопроектор, то В — частично изометрический оператор.
68. Для того чтобы оператор S(Dom B = E) был частично
изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы его опера-
операторный модуль был ортопроектором.
л-1
69- Li = 2 ОП* (Dom Л)' (см. 16).

75] § 2. ЧАСТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПР-ВЕ 381
70. Если Bz>A, то
я-1
A)L.
71. Если 5 — эрмитов оператор, а 5 — какое-нибудь его
самосопряженное расширение, то
я-1
L{ = 2 S* (Dom S)\
t-o
72. Если V — изометрический оператор, а ?/ — какое-
нибудь его унитарное расширение, то
Из 69 и 72 можно получить критерии простоты опера-
оператора. Введем понятие порождающего подпространства.
Подпространство L называется порождающим для опера-
оператора Т (ЪотТ—Е), если
л-1
2 7*L = Е
(ср. § 3 гл. II).
73. Для того чтобы оператор А был простым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы подпространство (Dom Л)-1- было
порождающим для А*.
74. Для того чтобы симметрический оператор 5 был про-
простым, необходимо, чтобы подпространство (Dom 5I. было
порождающим для любого самосопряженного расширения
3>гэ5, и достаточно, чтобы оно было порождающим для
какого-нибудь самосопряженного расширения Sz}S.
75. Для того чтобы изометрический оператор V был про-
простым, необходимо, чтобы подпространство (Dom V) было
порождающим для любого унитарного расширения Vz>V~l, и
достаточно, чтобы оно было порождающим для какого-нибудь
унитарного расширения

382 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |76
§ 3. Обобщенный обратный оператор
Пусть А — произвольный оператор, определенный на всем
унитарном пространстве Е. Оператор А~ может не суще-
существовать, но, сужая А до оператора Ло с областью опреде-
определения Dom Aq = (Кег Л)-Ц получим обратимый оператор
Aocz А. Однако при этом оператор Aq1 будет, вообще го-
говоря, определен не во всем Е. Расширение Л1' оператора Aq1
на все Е, определяемое формулой
где Р — ортопроектор на Im А, называется обобщенным об-
обратным оператором к А.
76. Если оператор А существует, то Л~1)=А'\
77. 1тА{-и = (К<х АI, Кег А{~1}= (Im A)L.
78. АА{-Ц = Р.
Обозначим через Q ортопроектор на (Кег Л)-*-.
79. A{'l)A==Q.
80. Л(-1)Р = (ЗЛ(-1)=:Л(-1).
81. Оператор Л*' удовлетворяет системе независимых
уравнений
АХА = А, ХАХ=А, АХ = Х*А*. ХА = А*Х*.
82. Система уравнений 81 не имеет решений, отличных
от Л*».
83. [Л(
84. 1А'[]
85. Если оператор В обратим и подпространство Im Л
инвариантно относительно В*В, то [ВА]{'и = А(~1]В~\
86. Если оператор В обратим и подпространство Кег А
инвариантно относительно ВВ*, то [АВ]{~1}= В~1А(-~1\
87. Для того чтобы имело место равенство А '=Л*,
необходимо и достаточно, чтобы оператор Л был частично
изометрическим.
Значение обобщенных обратных операторов для решения
неоднородного уравнения
Ах = у (*)
определяется дальнейшими предложениями.

94| § 4. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ 383
88. Для разрешимости уравнения (*) необходимо и до-
достаточно, чтобы АА~Х)у = у.
89. Общее решение однородного уравнения
Ах = 0
дается формулой х=[/—Л'1^] г (z?E).
90. Если уравнение (*) разрешимо, то его общее реше-
решение дается формулой
91. При любом у вектор х, определяемый формулой 90,
является решением уравнения (*) в смысле принципа
наименьших квадратов, т. е. *)
|| Ах — у || = min || Ах — у ||.
лгбЕ
Переходя от векторных уравнений к операторным, можно
¦получить следующее предложение, которое полнее характе-
характеризует экстремальные свойства обобщенного обратного опе-
оператора.
92. Цлл'' —/||= min ||AY—/||.
Х{ -Ш(Е)
93. Функционал р(Х) — \\АХ—/|| имеет единственную
точку минимума в ЗЯ(Е).
94. Для любого ??9Я(Е)
|| А(Л(-1)В) — В\= min \\AX — B\\
и минимум достигается только при X = А^'^В.
Понятие обобщенного обратного оператора можно рас-
распространить на случай Dom А ф Е, определяя Л(-1) той же
формулой, что и при Dom А = Е. При этом теоремы 88—94
остаются в силе.
§ 4. Теория расширений эрмитовых
и изометрических операторов
Прямая сумма операторов Ах и А2 в унитарном простран-
пространстве Е называется ортогональной, если Dom Ax J_ Dom Л2.
Ортогональная сумма операторов обозначается знаком 0.
*) Ср. с задачей чебышевского приближения (§ 3 гл. VIII),
а также 127 гл. IV.

384 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |95
96. Формула А = AQB, где В пробегает множество всех
операторов с областью определения (Dom Л)-*-, устанавливает
взаимно однозначное соответствие между полными расшире-
расширениями Л оператора А и операторами В.
96. Если V — изометрический оператор, то формула
V — VQB, где В пробегает множество всех изометрических
операторов, для которых
Dom В = (Dom VI, lm В = (Im V)L,
устанавливает взаимно однозначное соответствие между уни-
унитарными расширениями V оператора V и операторами В.
97. Если 5—эрмитов оператор, то формула
5 = 50E*+ Л),
где Л пробегает множество всех самосопряженных операто-
операторов в подпространстве (Dom S)~4 устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между самосопряженными расшире-
расширениями 5 оператора 5 и операторами Л.
Заметим, что из 96 непосредственно вытекает описание
всех изометрических расширений оператора V:
98. Если V— изометрический оператор, то формула
{/ = У0В, где В пробегает множество всех изометрических
операторов, для которых
Dom fie (Dom K)L, lm Вc(lmV)L,
устанавливает взаимно однозначное соответствие между изо-
изометрическими расширениями V оператора V и операторами В.
В отличие от 98 предложение 97 непосредственно не
приводит к описанию всех эрмитовых расширений опера-
оператора 5. Последнее можно получить с помощью преобразо-
преобразования Кэли, которое для случая самосопряженных и унитар-
унитарных операторов уже было определено ранее (см. § 6 гл. III).
Преобразование Кэли Va эрмитова оператора 5 назы-
называется оператор
где

10б| § 4. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЙ 385
99. Оператор Va изометрический и
Dom Va = Im (S - ©/),
100. Единица не является собственным значением опера-
оператора Va.
101. Оператор 5 выражается через свое преобразование
Кэли Va по формуле
Если V — изометрический оператор, для которого еди-
единица не является собственным значением, то при 3jm a> Ф 0
существует оператор
5e = (fflV-5/)(K —/Г1.
называемый преобразованием Кэли изометрического опера-
оператора V.
102. Оператор Sa эрмитов и
103. Оператор V выражается через свое преобразование
Кэли Sa по формуле
Заметим, что формулы для введенных выше преобразова-
преобразований Кэли, в отличие от соответствующих формул § 6 гл. III,
не допускают, вообще говоря, перестановки сомножителей.
104. Для того чтобы эрмитов оператор был простым,
необходимо и достаточно, чтобы было простым его преобра-
преобразование Кэли.
105. Если S есть эрмитово (самосопряженное) расшире-
расширение эрмитова оператора 5, то преобразование Кэли опера-
оператора 5 является изометрическим (соответственно унитарным)
расширением преобразования Кэли оператора S:
106. Если V есть изометрическое (унитарное) расширение
изометрического оператора V и единица не является соб-
собственным значением оператора V, то преобразование Кэли
оператора V является эрмитовым (соответственно унитарным)
расширением преобразования Кэли оператора V.
25 И. М. Глазиан, Ю. И. Любич

386 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ [107
107. Если 5 — эрмитов оператор и число X не является
его собственным значением (в частности, если %тХ Ф 0), то
SU) 6S
Таким образом:
108. Число vg(S—XI) не зависит от X при X?a(S).
Подпространство
Nl = (\m(S -X/)I
при Ago(S) называется дефектным подпространством опе-
оператора S в точке X. Предложение 108 есть теорема об
инвариантности размерности дефектного под-
подпространства.
109. Дефектное подпространство N^ совпадает с множе-
множеством решений уравнения
S*x = XPx,
где Р — ортопроектор на Dom S.
ПО. Для самосопряженности эрмитова оператора S необ-
необходимо и достаточно, чтобы его дефектное число равнялось
нулю.
111. Если Vk есть преобразование Кэли эрмитова опера-
оператора 5, то
(Dom VK)] = Nx, (Im V^ = Nx Cm X Ф 0).
Из 111 следует, что дефектное число является инвариан-
инвариантом преобразования Кэли.
Теперь из 98 вытекает следующее описание эрмитовых
расширений оператора S:
112. Пусть V} преобразование Кэли оператора S.
Положим V}—VXQ)B, где В — изометрический оператор,
DomBcN^, ImBcNj, и такой, что единица не является
собственным значением оператора VK. Тогда формула
устанавливает взаимно однозначное соответствие между эрми-
эрмитовыми расширениями S оператора S и операторами В.
Дальнейшие построения имеют целью заменить условие
lgo(V\) более обозримым ограничением на оператор В.
Окончательный результат содержится в 119.

120] § 4. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИИ 387
113. \
114. Если Qx — ортопроектор на N^, то
VxQxx = Qkx {х 6 (Dom S)-1-).
115. Формулы
определяют изометрический оператор W=Wk с областью
определения Dom^ = N^ и областью значений Im и^ = %.
116. Пусть Vx — изометрическое расширение преобразо-
преобразования Кэли Vk оператора S. Если существует вектор
у 6 Dom Wk П Dom Vk (у ф 0)
такой, что VKy = W^y, то единица является собственным
значением оператора Vk.
Это предложение легко обратить, заметив сначала, что:
117. Если Vkx=x, то xZiDomSI.
118. Если единица является собственным значением опе-
оператора VK, то существует вектор
у 6 Dom Wk П Dom VK (у Ф 0)
такой, что Vxy = W}y.
Теперь 112 можно представить в следующем виде:
119. Пусть 93 — множество всех изометрических операто-
операторов В с DomBcN^, ImBcN^. удовлетворяющих условию
(В - WJ у ф 0 {уф 0). Тогда формула
где Vk = VKQB, устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между множеством эрмитовых расширений о опе-
оператора S и множеством 93.
120. Для того чтобы в 119 расширение S было самосо-
самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы Dom В = N^.
Полученные результаты можно также выразить параме-
параметрическими формулами Неймана:
25»

388 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ [121
121. Если расширение 3 соответствует оператору 5 ?23.
то любой х ? Dom 5 однозначно представим в виде
x = u-\-v — Bv (и ? Dom 5, i/
§ 5. Самосопряженные расширения с сохранением нормы
Согласно гл. IV норма оператора А как гомоморфизма
определяется соотношением
II Л* II
II Л 11= max
Х^ЪотА
Далее, как и в гл. IV, имеет место:
122. II Л 11= max ' Ш' у)
А. "* "И У»
123. || Л* || = || А ||
124. Если йэЛ, то || В ||>|| Д ||.
«Продолжение нулем» сохраняет норму оператора:
125. Оператор А — А@С, где Dom С = (Dom ЛI и
С = 0, есть расширение оператора А на все пространство
с сохранением нормы: ||Л|| = ||Л|| (ср. 72 гл. IV).
126. Если оператор 5 эрмитов и ImScDomS, то его
расширение 5 по формуле 125 является самосопряженным.
При этом 5 = 5*.
Переходя к построению теории самосопряженных расши-
расширений с сохранением нормы для произвольного эрмитова
оператора 5, будем, не ограничивая общности, считать
При этом сначала примиримся с малым увеличением нормы,
имея в виду впоследствии избавиться от него с помощью
предельного перехода.
Представим оператор 5 в виде 5 = S, + 52> где 5, = PS,
S2 = P^-S (P — ортопроектор на Dom 5), и будем в отдель-
отдельности расширять 5j и 52.
127. Оператор 4i = 5i есть полное расширение опера-
оператора 5j с нормой || Л} ||^1.

135| § Б. РАСШИРЕНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ НОРМЫ 389
.128. Пусть 0 < р < 1 и Gp = [im (/ — pS?)]1. Тогда
Введем проектор R на подпространство Dom«S парал-
параллельно подпространству Gp.
129. Оператор A2 — S2R есть полное расширение опера-
оператора S2 и удовлетворяет неравенству
130. Оператор А = Л, -\- А2 есть полное расширение опе-
оператора 5 и || А || ^ 1 -)- е. где е = 1 — р2.
131. Оператор А* является расширением оператора 5.
132. Оператор S = ^(А-\- А*) является самосопряжен-
самосопряженным расширением оператора 5 и || $~\\ -^ 1 -\- е (е= 1 —р2).
Отсюда с помощью предельного перехода р—> 1 получаем
следующий фундаментальный результат:
133. Любой эрмитов оператор допускает самосопряженное
расширение с сохранением нормы.
Однако, получив 133 из 132 путем предельного перехода,
мы утратили конструкцию, ибо при р=1 не верно 128 и,
следовательно, теряют смысл дальнейшие построения. Для
получения конструктивной формы теоремы существования 133
используем технику фактор-пространств.
Определяя At как в 127, введем оператор / — А\А1'^>0
и положим Ker(/ — AiAi) = L.
Далее образуем фактор-пространство Е /L и превратим
его в унитарное пространство, вводя скалярное произведе-
произведение тю формуле
<М. M> = ({/-4^i}*, у).
134. Если х, y?DomS и x = y(modL), то 52х = 52у.
Тем самым S2 можно рассматривать как гомоморфизм из
Dom5/L в (DomSI.
135. Пусть А2 есть расширение гомоморфизма
, (DomS)-1-)

390 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ ЦЗв
на все Е / L, определяемое равенством А2 = S2Q, где Q—орто-
проектор в Е / L на Dom S / L. Тогда при любом [х\ ? Е / L
(А2[х], A2lx])^{[Q[x),Q[x)).
136. || Л,||< 1.
Теперь для получения неравенства 129 с р=1 остается
превратить естественным образом гомоморфизм
Л2еНот(Е/Ь, (DomSI)
в оператор А2 ? Ш (Е).
С этой целью положим А2х = А2 [х] (х ? Е).
137. Оператор А2 есть полное расширение оператора S2
и удовлетворяет неравенству || Л2л;||2-<|| х ||2 — Ц^лЦ2.
Остается сделать два очевидных шага, соответствующих
130 и 131.
138. Оператор /4 = А: -f- A2 есть полное расширение опе-
оператора 5 и || А || -< 1.
139. Оператор А* является расширением оператора S.
Теперь мы получаем усиление теоремы 132:
140. Оператор S = -х-(А-\- А*) является самосопряжен-
самосопряженным расширением оператора 5 и || 511=1.
Обозначим через 3® множество всех самосопряженных
расширении оператора 5 с сохранением нормы.
141. Множество Щ выпукло.
Поэтому:
142. Если самосопряженное расширение с сохранением
нормы не единственно, то множество таких расширений бес-
бесконечно.
Отметим один простой частный признак неединственности
самосопряженного расширения с сохранением нормы:
143. Если хотя бы одно из чисел Х= + 1 не является
собственным значением эрмитова оператора S, то самосопря-
самосопряженное расширение $z>S с сохранением нормы не един-
единственно.
К общим критериям единственности мы перейдем после
исследования структуры множества 2В.
144. Пусть 5?2В. Для того чтобы Т?Ш, необходимо и
достаточно, чтобы оператор Т был представим в виде

1491 § 5. РАСШИРЕНИЯ С СОХРАНЕНИЕМ НОРМЫ 391
T=S~\-C, где С — самосопряженный оператор, удовлетво-
удовлетворяющий условиям
Кег С => Dotn S, — (/ +. 5)< С < (/ — §).
Теперь естественно воспользоваться результатами 204 —207
гл. VIII.
145. Пусть Г?2В и Q12 — ортопроекторы па ортого-
ортогональные дополнения подпространств (/ ± S) Dotn 5 соответ-
соответственно. Тогда операторы
принадлежат 2В.
146. Для того чтобы самосопряженное расширение Т опе-
оператора 5 принадлежало 2В, необходимо и достаточно, чтобы
оно удовлетворяло неравенству
S' < Т < S".
Отсюда, между прочим, вытекает, что построенные в 145
операторы S' и S" не зависят от выбора расширения 5 ? 28.
Следующее предложение позволит улучшить результат 146.
147. Любой самосопряженный оператор Т, удовлетворяю-
удовлетворяющий неравенству 146, является расширением оператора S.
Таким образом, окончательное описание всех самосопря-
самосопряженных расширений оператора S с сохранением нормы при-
принимает следующий вид:
148. Множество 28 есть замкнутый интсфвал [S', S"] в упо-
упорядоченном пространстве 3 (Е) (теорема М. Г. К рей на).
149. Для того чтобы оператор ? был единственным само-
самосопряженным расширением оператора S с сохранением нормы,
необходимо и достаточно, чтббы
(/ + SI' Q, (/ 4 ЗI''1 == 0. (/ - S)h Q3 (/ - 5)'/г = 0. .
Недостаток полученного критерия единственности состоит
и том, что он сформулирован в терминах 51 а не 5. Пред-
Предложение 149 мы используем как промежуточный результат
для получения критерия в терминах самого S,

392 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 1150
150. Если в 145 заменить 5 на 50 = уE' -j- S"), то будет
§0)''' Q, (/ +¦ S0)'h = (/ - SQf Q2 (/ - SoO'.
151. Пусть x0?DomS и ||дго||= 1, ||5jco||= 1. Тогда при
любом Т ? 2В имеет место представление хо= х1~{- х2, где
152. Если оператор 50 определен как в 150, а вектор х0 —
как в 151, то при любом у ф 0 из области значений опера-
тора (/-50I/г<?2(/- 50)'/2 будет (Sx0, y) = 0.
153. Если для всех векторов xQ, удовлетворяющих усло-
условиям 151, при некотором у ? (Dotn S)^-, уФО, выполняется
соотношение (SxQ, у) = 0, то самосопряженное расширение
оператора с сохранением нормы не единственно.
При доказательстве 153 удобно вначале рассмотреть слу-
случай 6E)= 1.
Окончательный критерий единственности имеет вид:
154. Для того чтобы оператор 5 допускал единственное
самосопряженное расширение с сохранением нормы, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для каждого y?(Dom«SH, у ф 0,
существовал такой вектор х, удовлетворяющий условиям
?S |||| |5|=1, что (Sx, y) = 0.
§ 6. Спектры самосопряженных н унитарных расширений
В этом параграфе 5 означает эрмитов оператор с дефект-
дефектным числом о (S) = m.
Интервал (а, Р) (— оо < а < р < оо) называется спек-
спектральной лакуной (или люком) эрмитова оператора S, если
о
Sx
Ct -j- Р
155. Спектральная лакуна не содержит собственных зна-
значений.
При /я = 0 верно и обратное:
156. Если интервал (а, Р) не содержит собственных зна-
значений самосопряженного оператора, то (а, Р) — его спек-
спектральная лакуна.
При т > 0 можно лишь утверждать, что:

163| § 6. СПЕКТРЫ РАСШИРЕНИИ 393
• 157. Если вещественная точка Хо не является собствен-
собственным значением оператора S, то некоторая окрестность этой
точки является спектральной лакуной оператора S.
Если при всех x^DornS
а(х, л;)<Eх, х)<*(х, х),
то интервалы (— со, а) и (Ь, оо) называются полубесконеч-
полубесконечными спектральными лакунами оператора S. Предложе-
Предложения 155 — 156 очевидным образом переносятся на случай
полубесконечных лакун.
Ближайшие предложения основаны на оценке размерности
пересечения Doin S(\F при условии
dimF>6(S).
где подпространство F выбирается подходящим образом.
158. Сумма кратностей собственных значений любого само-
самосопряженного расширения 5гэ5, лежащих в спектральной
лакуне (о, Р) оператора S, не превосходит т.
159. Сумма кратностей собственных значений любого само-
самосопряженного расширения 5 гэ S, лежащих в полубесконечной
спектральной лакуне оператора S, не превосходит т.
160. Сумма кратностей собственных значений любого само-
самосопряженного расширения S э S. по модулю ббльших ||5||,
не превосходит т.
161. Если v есть максимальная размерность подпро-
подпространств L с Dom S, на которых
Az^||x|| {ХФО).
то сумма кратностей собственных значений любого самосопря-
самосопряженного расширения Sd5, лежащих в интервале (а, Р), не
превосходит \-\-m.
162. В условиях 161 сумма кратностей собственных зна-
значений любого самосопряженного расширения S з S. лежащих
в интервале (а, Р), не менее v.
163. Если v—максимальная размерность подпространств
L с Е, на которых Eл\ х) < а(х, х) (х Ф 0), то сумма крат-
кратностей собственных значений любого самосопряженного расши-
расширения 5э5, лежащих левее точки а, не превосходит v-i-m-

394 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |164
164. В условиях 163 сумма кратностей собственных зна-
значений любого самосопряженного расширения S z> S, лежащих
левее точки а, не менее v.
165. Если v—максимальная размерность подпространств
LcE, на которых || Sx || > р || х || (х ^ 0), то сумма крат-
кратностей собственных значений любого самосопряженного рас-
расширения, по модулю ббльших р, не превосходит v -\- т.
166. В условиях 165 сумма кратностей собственных зна-
значений любого самосопряженного расширения, по модулю ббль-
ббльших р, не менее v.
167. Если некоторый интервал (а, р) содержит (с учетом
кратности) г собственных значений некоторого самосопря-
самосопряженного расширения S гэ S, то этот интервал содержит
(с учетом кратности) не менее г — т собственных значений
любого другого самосопряженного расширения оператора 5.
168. При т—\ спектры двух любых самосопряженных
расширений оператора 5 перемежаются.
169. Для строгой перемежаемости спектров в 168 необ-
необходима и достаточна простота оператора S,
Перейдем к некоторым задачам на построение самосопря-
самосопряженных расширений с заданными спектральными свойствами.
170. Пусть Ker5 = 0, (Dom SI f] Im 5 = 0. Тогда
Dom5-j-(ImS)-L = E.
171. В условиях 170 расширение 5 э S, определяемое соот-
соотношением 5х = 0 (х ? (Im S)^), является самосопряженным.
Положим Lx = (Dotn S)^ fl N^-.
172. Если вещественное число X не является собственным
значением оператора 5 и Lx==0, то существует самосопря-
самосопряженное расширение S тэ S, для которого число X является
собственным значением кратности т.
Обратно:
173. Если вещественное число X не является собственным
значением оператора 5 и существует самосопряженное рас-
расширение SdS, для которого число X является собственным
значением кратности т, то Lx = 0.
174. Если число X является r-кратным собственным зна-
значением оператора 5 и L\ — 0, то существует самосопряжен-

183] $ 6. СПЕКТРЫ РАСШИРЕНИЙ ,j(J.j
ное расширение 5dS, для которого число X является соб-
собственным значением кратности г -f- "*.
Обратно:
175. Если число % является r-кратным собственным зна-
значением оператора S и существует самосопряженное расшире-
расширение Sz>5, для которого число % является собственным зна-
значением кратности г-\ т, то Lx = 0. '
176. Если вещественное число % не является собственным
значением оператора 5 и dim L>. = s < /и, то существует
самосопряженное расширение 5 з S, для которого число к
является (т — «)-кратным собственным значением.
Обратно:
177. Если вещественное число к не является собственным
значением оператора 5 и максимальная кратность собствен-
собственного значения к в спектрах a(S) всевозможных самосопря-
самосопряженных расширений S Z3 S равна /я — s > О, то dim La. = s.
178. Если число к является собственным значением опе-
оператора 5 кратности г < т и dim L>. = s < т -\- г, то суще-
существует самосопряженное расширение 5з5, для которого
число % является собственным значением кратности т -\-г—S.
Обратно:
179. Если число к является собственным значением опе-
оператора 5 кратности г < т и максимальная кратность соб-
собственного значения к в спектрах о (S) всевозможных само-
самосопряженных расширений SdS равна т -\- г—s > 0, то
L>. = s.
180. Если вещественное число % удовлетворяет неравенству
, x)<(Sx, х) (x?DomS, хфО),
то подпространства DomS и N?. взаимно независимы.
181. В условиях 180 Dom5-fNx = E.
182. Оператор Sz>S, определяемый в условиях 180 ра-
равенством Sx = kx (jt?Nj), является самосопряженным рас-
расширением оператора S.
Таким образом (если еще учесть 159) установлено:
183. Если точка к принадлежит одной из полубесконеч-
полубесконечных лакун (— оо, а) или (Ь, оо) оператора S, то существует
самосопряженное расширение SzzS, для которого число Я

396 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 1184
является собственным значением кратности т. Любое такое
расширение не имеет других собственных значений в соот-
соответствующей лакуне.
Для дальнейшего удобно специализировать 183:
184. Если 5^>0 и X < 0, то существует самосопряжен-
самосопряженное расширение 5з5, для которого число X является соб-
собственным значением кратности т. Любое такое расширение
не имеет других отрицательных собственных значений.
185. Если Я>||5||, то существует самосопряженное рас-
расширение 5з5, для которого число X является собственным
значением кратности /и. Любое такое расширение не имеет
других собственных значений, превосходящих || 51| по модулю.
Заметим, что с помощью предельного перехода X—>\\S\]
из 185 можно снова получить 133, но аналогичный предель-
предельный переход Х->0 в 184 возможен не всегда, и самосопря-
самосопряженные расширения, сохраняющие нижнюю грань оператора,
могут не существовать.
Развитие приема, описанного в 180 —182, позволяет по-
получить следующее обобщение теоремы 184.
186. Если SI>0, то для произвольно заданных отрица-
отрицательных %к и натуральных гь (k = 1, ..., р).
существует самосопряженное расширение 5гэ5, для которого
числа Хк являются собственными значениями кратности гк
F=1, ..., р). Любое такое расширение не имеет других
отрицательных собственных значений.
187. Расширение 5 в 186 определяется однозначно тогда
и только тогда, когда /я=1.
Результат 186 можно очевидным образом переформулиро-
переформулировать на случай произвольной полубесконечной лакуны. В 191
этот результат переносится на область Я,>||5|| с помощью
теорем 188 и 189 о дробно-линейном преобразовании.
188. Если оператор 5 эрмитов и ||5||< 1, то оператор
с областью определения Dotn Т = 1ш (/ — S) также эрмитов;
и Т > 0. При этом 6 ('/') = 6 {S).

W4| § 6. СПЕКТРЫ РАСШИРЕНИИ 397
Обратно:
189. Если оператор Т эрмитов и Т > О, то оператор
с областью определения Dotn S = Im (T -f- /) также эрмитов
и ||5||< 1. При этом 6E)==6(Г).
190. Если спектр самосопряженного расширения f опе-
оператора Т < 0 не содержит точку Х = —1, то оператор
является самосопряженным расширением оператора
191. Для произвольно заданных вещественных Хк, таких,
что |^*|>||5||, и натуральных гк (&=1 р)
р
2
существует самосопряженное расширение 5э5, для которого
числа %k являются собственными значениями кратности rk.
Любое такое расширение не имеет других собственных зна-
значений, превосходящих || S || по модулю.
192. Расширение S в 191 определяется однозначно тогда
и только тогда, когда т=\.
193. Если вещественные последовательности f Я,1 Iя и
\Х"Лп перемежаются, то существуют эрмитов оператор S
с дефектным числом т=\ и самосопряженные расширения
, S^zdS такие, что
Обратная спектральная задача 193 имеет в существенном
единственное решение:
194. Оператор 5 в 193 определяется двумя заданными
спектрами однозначно с точностью до унитарного подобия.
В дальнейшем V означает изометрический оператор с де?
фектным числом 6 (У) — т.

398 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ [195
Дугу*) (е1а. е1^) @<^а<р) единичной окружности на-
назовем спектральной лакуной (или люком) изометрического
оператора V, если
II ta+l II „
\Vx-e 2 xl^^
195. Если две дуги в совокупности покрывают единич-
единичную окружность, то хотя бы одна из них не является спек-
спектральной лакуной.
196. Спектральная лакуна не содержит собственных зна-
значений. При т = 0 верно и обратное:
197. Если дуга единичной окружности не содержит соб-
собственных значений унитарного оператора, то она является его
спектральной лакуной.
При т > 0 можно лишь утверждать, что:
198. Если точка ^0(j^g|=l) не является собственным
значением оператора V, то некоторая дуга единичной окруж-
окружности, содержащая эту точку, является спектральной лакуной
оператора V.
199. Сумма кратностей собственных значений любого уни-
унитарного расширения 1?z>V, лежащих в спектральной лакуне
оператора V, не превосходит т.
200. Если v — максимальная размерность подпространств
LcDomV, на которых
то сумма кратностей собственных значений любого унитар-
унитарного расширения Vz>V, лежащих на дуге (eia, e®), не пре-
превосходит v -\-т.
201. В условиях 200 сумма кратностей собственных зна-
значений любого унитарного расширения VzzV, лежащих на дуге
(eia, e'P), не менее v.
202. Если дуга единичной окружности содержит (с учетом
кратности) г собственных значений некоторого унитарного
расширения Vz>V, то эта дуга содержит (с учетом крат-
кратности) не менее г — т собственных значений любого дру-
другого унитарного расширения оператора V.
*) Дугу мы всегда считаем открытой.

210| § 6. СПЕКТРЫ РАСШИРЕНИИ 399
203. При т = 1 спектры двух любых унитарных расши-
расширений оператора V перемежаются.
204. Для строгой перемежаемости спектров в 203 необ-
необходима и достаточна простота оператора V.
Рассмотрим несколько задач на построение унитарных
расширений с заданными спектральными свойствами.
I i — 1Щ
205. Если \е 2, е 2 ) — спектральная лакуна изометри-
изометрического оператора V, то его преобразование Кэли
S = t(V-{-I)(V — I)'1
есть эрмитов оператор с нормой ||5||^1. При этом
6 (S) = 6 (V).
206. Если эрмитов оператор 5 удовлетворяет неравенству
( I - ; i5 \
[J5||<;i, то дуга \е 2, е 2 ' является спектральной лаку-
лакуной его преобразования Кэли
-И)'1
207. Для произвольно заданных чисел Xk (|А,Й|=1), ле-
лежащих в спектральной лакуне изометрического оператора V,
I р \
и натуральных rk [k= I р; 2 rk = m) существует
^ *=i /
унитарное расширение VzzV, для которого числа Xk являются
собственными значениями кратности rk. Любое такое расши-
расширение не имеет в этой лакуне других собственных значений.
Из 207, в частности, следует:
208. Если число Хо (|А.0|=1) не является собственным
значением оператора V, то существует унитарное расширение
VzzV, для которого число Яо является собственным значением
кратности т.
209. Каковы бы ни были числа Kk (|Xft|=l; k=\, ...
..., т), существует унитарное расширение V^V, для ко-
которого числа Xk являются простыми собственными значе-
значениями.
210. Расширение V в 207 определяется однозначно тогда
и только тогда, когда /я —1.

400 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРЛТОРОП |211
Из 207 предельным переходом можно получить:
211. Среди унитарных расширений изометрического опе-
оператора V со спектральной лакуной (е'а, еЩ существует рас-
расширение, сохраняющее эту спектральную лакуну.
*)a_i и l^*jft=i точек
на единичной окружности перемежаются, то существуют изо-
изометрический оператор V с дефектным числом т = 1 и уни-
унитарные расширения V^V, V2z>V такие, что
213. Оператор V в 212 определяется двумя заданными
спектрами однозначно с точностью до унитарного подобия.
§ 7. Квазисамосопряженные и квазиунитарные
расширения
Полное расширение S эрмитова оператора 5 называется
квазисамосопряженным, если ScS*. Рангом несамосопря-
несамосопряженности любого оператора А, определенного на всем про-
пространстве Е, называется rg(A — A*).
214. Ранг несамосопряженности любого квазисамосопряжен-
квазисамосопряженного расширения S эрмитова оператора 5 не превосходит его
дефектного числа т.
216. Любой оператор А с рангом несамосопряженности т
является квазисамосопряженным расширением некоторого эр-
эрмитова оператора 5 с дефектным числом т.
216. Пусть А — линейный оператор, определенный
на всем Е. Среди подпространств LcE, которые инвариантны
относительно Л и Л* и на которых Ах — А*х, существует
наибольшее.
Обозначим его через LA.
217. Сужение A\LA является самосопряженным операто-
оператором.
Это сужение называется самосопряженной компонентой
оператора Л. При LA = 0 оператор Л называется простым
не с а мо сопряженным. Сужение Л|Ьд является максимальной
простой несамосопряженной частью оператора А,
218. L4 = L4*.

2311 § 7. КВАЗИСАМОСОПР. И КВАЗИУНИТ. РАСШИРЕНИЯ 401
219. ЬлсКег(Л — А*).
я-1
220. L\ = 2 Ak\\m{A — A*)}.
ft=-0
221. Подпространство L^ инвариантно относительно А и
сужение А \ L\ является простым несамосопряженным опера-
оператором.
222. Спектры двух различных квазисамосопряженных рас-
расширений простого эрмитова оператора 5 с дефектным чи-
числом 6E)= 1 не имеют общих точек (ср. 168, 169).
Расширение V изометрического оператора V на все про-
пространство Е называется квазиунитарным, если V*VcI.
Рангом неунитарности любого оператора В, определенного
на всем Е, называется rg(/ — В*В).
223. Ранг неунитарности любого квазиунитарного расши-
расширения V изометрического оператора V не превосходит его
дефектного числа т.
224. Любой оператор В с рангом неунитарности т
является квазиунитарным расширением некоторого изометри-
изометрического оператора V с дефектным числом т.
225. Пусть В — произвольный линейный оператор, опре-
определенный на всем Е. Среди подпространств МсЕ, которые
инвариантны относительно В и В* и на которых В*Вх — х,
существует наибольшее.
Обозначим его через Мв.
226. Сужение В\ШВ является унитарным оператором.
Это сужение называется унитарной компонентой опера-
оператора В. При Мв = 0 оператор В называется простым не-
неунитарным. Сужение В | Жв является максимальной простой
неунитарной частью оператора В.
227. МВ = МВ,.
228. Мвс Кег (/ — В В*) П Кег (/ — В* В).
л-1
229. М^ = 2 Bk Urn (/ — В В*) fl Im (/ — В* В)).
230. Подпространство М^ инвариантно относительно В и
сужение В | М^ является простым неунитарным оператором.
231. Спектры двух различных квазиунитарных расширений
простого изометрического оператора V с дефектным числом
V=1 не имеют общих точек.
26 И. М. Глазман, Ю. И. Любнч

402 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |232
232. Если 5 — квазисамосопряженное расширение эрми-
эрмитова оператора 5 и невещественное число ы не принадлежит
спектру о (S), то оператор
V==(S _ш/)E — со/)
является квазиунитарным расширением изометрического опе-
оператора
e 1
и 1
233. Если V — квазиунитарное расширение изометриче-
изометрического оператора V и 1 ? о (V), то при любом невеществен-
невещественном о) оператор
5 = (соК—©/)(V— /Г1
является квазисамосопряженным расширением эрмитова опе-
оператора
u l
и о) б о E).
234. Если S — эрмитов оператор, числа а, р, у, б веще-
вещественны и не является собственным значением опера-
оператора S, то оператор
также эрмитов и б (Т) = б (S).
236. Если в условиях 232 S есть квазисамосопряженное
расширение оператора 5 и ^оE), то оператор
является квазисамосопряженным расширением оператора Т.
236. Если V — изометрический оператор, число а не
является собственным значением V и | у | = 1, то оператор
W = у (V — а/) (/ — aVy1
также изометрический и б(№) — 6(V).

242| § 7. КВАЗИСАМОСОПР. И КВАЗИУНИТ. РАСШИРЕНИЯ 403
237. Если в условиях 234 V есть квазиунитарное рас-
расширение оператора V и a~l^a(V), то оператор
— а УI
является квазиунитарным расширением оператора W.
В 238—244 V — простой изометрический оператор с де-
дефектным числом б (V) = 1, a Uo — его фиксированное уни-
унитарное расширение.
238. При любом y^(DomV)-1-, у Ф 0, формула и^у =
= e'fUoy устанавливает взаимно однозначное соответствие
между полуинтервалом 0 -^ ф < 2я и множеством унитарных
расширений ?/ гэ1Л
239. Пусть RK[Uy] — резольвента расширения U^V и
Я (/?„[?/,,] У. у)
<V*0
Тогда w<f(l) Q
240. Множество корней функции wQ(X) совпадает со спек-
спектром квазиунитарного расширения VP^V, где Р — орто-
проектор на DomV.
241. Если оператор V пробегает множество унитарных
расширений оператора V, то точка (Rk [V] у, у) пробегает
окружность C?b(V). определяемую формулой
Если к ? о (VP), то эта окружность не вырождается в точку
и соответствие между множеством унитарных расширений
V^}V и окружностью Gx(V) взаимно однозначно.
Круг ^/.(V), ограниченный окружностью GK(V) при
k?a(VP), назовем кругом Вейля — Гамбургера. Следующее
предложение дополняет теорему 241.
242. Внутренность круга Вейля — Гамбургера Ъ°Х(У) на-
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством
квазиунитарных расширений V^V, для которых V*V'-< I'.
Внешность круга W\(V) находится во взаимно однозначном
26*

404 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |24Э
соответствии с множеством квазиунитарных расширений
ViiV, для которых V*V >- /.
Функция wo(i), определенная в 239, называется харак-
характеристической функцией простого изометрического опера-
оператора V. Очевидно, tu>Q(k) — рациональная функция. Из 239
следует, что характеристическая функция оператора V опре-
определяется этим оператором с точностью до постоянного мно-
множителя, равного по модулю единице. В дальнейшем вместо
wo(k) будем писать <w{%; V).
243. Характеристическая функция да {%; V) регулярна
в единичном круге и отображает его на себя; при этом
w(Q; V) = Q.
Следующие два предложения выражают фундаментальные
свойства характеристических функций.
244. Если V — квазиунитарное расширение оператора V,
определяемое формулой Vy — aUoy (\а\Ф 1), то спектр
a(V) совпадает с множеством корней уравнения
да (Я,; V) = a.
246. Для того чтобы простые изометрические операторы
V1 и V2 были унитарно подобны, необходимо и достаточно,
чтобы их характеристические функции да (А.; Уг) и да (A,; V2)
совпадали с точностью до постоянного множителя, равного
по модулю единице.
В 246—251 результаты 238—245 переносятся на эрми-
эрмитовы операторы. Доказательства можно получить с помощью
преобразования Кэли. В 246—250 5 — простой эрмитов опе-
оператор с дефектным числом 6E) = 1.
246. Пусть
U-—оператор, определенный в 238 и S^ — его преобразо-
преобразование Кэли:
a R^ [S-] — резольвента оператора S^. Тогда для функции
w (Я,) из 239 при вещественных ц имеет место равенство
i —i ({/-f-(n — 0
y. у)

26Ц $ 1. КВАЗИСАМОСОПР. И КВАЗИУННТ. РАСШИРЕНИЯ 405
247. Если оператор 5 пробегает множество самосопря-
самосопряженных расширений оператора S, то точка (/?M[Sjy, у) про-
пробегает некоторую окружность GU(S). Если число ц. не при-
принадлежит спектру преобразования Кэли оператора VP
(Р — ортопроектор на DomV), то эта окружность не выро-
вырождается в точку и соответствие между множеством самосо-
самосопряженных расширений SdSh окружностью W'^iS) взаимно
однозначно.
Соответствующий круг 7^E) по-прежнему называется
кругом Вейля—Гамбургера. Следующее предложение до-
дополняет теорему 247.
248. Внутренность круга Вейля — Гамбургера Ж'^ (S) на-
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством
квазисамосопряженных расширений SdS, для которых
5 — S* >- 0. Внешность круга W^fS) находится во взаимно
однозначном соответствии с множеством квазисамосопряжен-
квазисамосопряженных расширений 5 гэ S, для которых § — S* -< 0.
Функция
называется характеристической функцией простого эрми-
эрмитова оператора 5. Очевидно, v(\i; S) — рациональная функ-
функция. Характеристическая функция v(\i; S) определяется опе-
оператором 5 с точностью до постоянного множителя, равного
по модулю единице.
249. Характеристическая функция v(\i; S) регулярна
в верхней полуплоскости и отображает ее на единичный
круг; при этом v(l; 5) = 0.
260. Если квазисамосопряженное расширение S^> S опре-
определяется формулой
где V?3V и Vy = aUoy (|о|=1), то спектр o(S) совпа-
совпадает с множеством корней уравнения v(\i; S) = a.
261. Для того чтобы простые эрмитовы операторы 5} и S2
были унитарно подобны, необходимо и достаточно, чтобы их
характеристические функции v(\i; SJ и v(\i; S2) совпадали
с точностью до постоянного множителя, равного по модулю
единице.

406 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОР06 |2S2
Результаты 238—245 и 246—251 можно обобщить на
изометрические и эрмитовы операторы с произвольным де-
дефектным числом. Мы намечаем это обобщение в 252—263,
ограничиваясь изометрическими операторами. Пусть V — про-
простой изометрический оператор, b(V) = m. Для некоторого
унитарного расширения Uo z> V введем оператор-функцию
где Q — ортопроектор на (Dotn V)^-. Аналогично 239 опре-
определим характеристическую оператор-функцию W0(k) —
= W (к; V) оператора V формулой
Очевидно, W (к; V) — рациональная оператор-функция от А,
и Г (О, V) = 0.
252. При |А,|< 1 вещественная часть оператора -g-
+ kR0 0$ неотрицательна.
253. Оператор W (К; V) является строгим сжатием при
| Я, |< 1 и унитарен при | к \ = 1.
254. Если О0 — унитарное расширение оператора V, то
при любом y^(DomV)-1-, у Ф 0, формула ифу = е'фи^у
устанавливает взаимно однозначное соответствие между мно-
множеством самосопряженных операторов Ф в пространстве
QmV)^-, удовлетворяющих неравенству 0<^Ф-<2л/, и мно-
множеством унитарных расширений иф э V.
255. Если
?ф (Я.) = QRk [ИФ\ | (Dom V)L
и
W9 (I) = kRv, (к) (/ -f kRv (к))~\
то и^ф (к) = W (к; V)O, где U — унитарный оператор в про-
пространстве (DomV) .
256. Множество корней уравнения det Wo (к) = 0 совпа-
совпадает со спектром квазиунитарного расширения VP э V, где
Р — ортопроектор на DomV.
Положим при к ? о (VP) для любого квазиунитарного рас-
расширения V э V

261] § 8. БЛОЧНО-ТРЕУГОЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 407
257. Если оператор V пробегает множество квазиунитар-
квазиунитарных расширений оператора V, то оператор R(k; V) пробе-
пробегает множество, описываемое формулой
R (I; V) = 1 Wo (I) Z(/-Wo (I) Z),
где Z пробегает пространство операторов в (Dom V)^-.
258. В 257 унитарные расширения V гэ V находятся во
взаимно однозначном соответствии с унитарными операто-
операторами Z.
Кроме того:
259. Оператор V является сжатием тогда и только тогда,
когда Z является сжатием.
Множество операторов
2В = {#(*,; V)|Z*Z</}
является операторным аналогом круга Вейля — Гамбургера.
260. Пусть V — квазиунитарное расширение оператора V,
определенное формулой
Vy = AUoy (у g (Dom V)L. уфО).
где А — оператор в (Im V)^-. Тогда спектр a(V) совпадает
с множеством корней уравнения
V)— A}=0.
261. Для того чтобы простые изометрические операторы
V\ и V2 были унитарно подобны, необходимо и достаточно,
чтобы их характеристические оператор-функции W (A,; V^) и
W(X; V2) совпадали с точностью до постоянных унитарных
множителей слева и справа (теорема Лившица).
§ 8. Блочно-треугольиое представление операторов
с ненулевым рангом несамосопряженности
В этом параграфе А есть оператор, определенный на
всем Е и m — tg(A — А*). При т = 0 треугольное предста-
представление Шура (см. § 9 гл. III) оператора А совпадает с диа-
диагональным, так что в этом случае диагональные элементы
треугольного представления Шура определяют А с точностью

408 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |262
до унитарного подобия. Это свойство, вообще говоря, не
сохраняется при т > 0. Однако в определенном смысле оно
может быть восстановлено путем надлежащего обобщения
треугольного представления. Впрочем, при т = 1 обобщения
не потребуется.
262. Пусть т ¦=¦ 1 и ц — отличное от нуля собственное
значение оператора -г (А — А*). Если \ек)" — какой-нибудь
базис Шура оператора А, то матрица a —(a;ft)y kml опера-
оператора А в этом базисе имеет вид
a*+y IY* I2sign Ji (/ = *),
sign ц (J > A),
0 (/ < k),
где aft вещественны, а yk не все равны нулю.
263. В условиях 262 существует ортонормированный ба-
базис, в котором матрица а имеет вид
0
sign
2 sign ц
М-
С/ =
(/>
и<
k).
k).
k),
где а,, вещественны, a pft неотрицательны и не все равны
нулю.
Треугольное представление 263 мы будем считать кано-
каноническим.
Из 263 следует:
264. Если спектры двух операторов ранга несамосопря-
несамосопряженности единица совпадают, то эти операторы унитарно
подобны.
При т > 1 мы перейдем от обычных к блочным треуголь-
треугольным представлениям.
Обозначим через \xk {k=\, .... т) отличные от нуля
Собственные значения оператора
S(AA*}

266]
5 8. БЛОЧНОТРЕУГОЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
409
Пусть [ек)"—некоторый базис Шура оператора.А1 $ =
= {syft}/! ft=1 — матрица оператора 5 в этом базисе и j — диа-
диагональная матрица с диагональю
Диагональные
элементы матрицы оператора /?= —(Л 4-^*) в том же ба-
базисе обозначим через ak (k=l, ..., re).
Пусть Е = Е 4-Е, (dimE = rem) и {*;}["" —ортонорми-
-рованный базис пространства Е, в котором e(k_x) m+1=ek
,(й=1, .... re). Обозначим через §?Ш(Ё) расширение опе-
оператора S, определенное условием 5|Ег = 0.
265. Матрица S оператора 5 в базисе {ej}'"" имеет вид
где
(Aj, k)\m
(Г=1, S=l).
(Г ф 1 ИЛИ S ф 1).
266. Если u = (Ujk)" ft-1 —унитарная матрица, приводящая
матрицу в к диагональному виду, так что
t о ... о о ... о
ц2 ... О 0 ... О
О О ... О О ... О
то
ГД(
,10 0 ... .0
.0 0 ... О
(/'= .1. ..... я; . v=i т).

410
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ
|267
Пусть /??2№(Е) есть расширение оператора R, опреде-
определенное формулами
&(*-»m+v = <V(fc-i)m+v (*=»! »; v=l т.).
~ ~ i ~
Расширение А = R-\--^S оператора А будем считать
каноническим.
267. Каноническое расширение А оператора А есть орто-
ортогональная сумма этого оператора и некоторого самосопря-
самосопряженного оператора в Е. Матрица а оператора А в базисе
{ej}™" имеет блочно-треугольный вид
где
0
U==k)'
U > А).
U < ft)
и е — единичная матрица m-ro порядка.
Полученное представление аналогично 262. Из него можно
вывести блочно-треугольпое представление, соответствую-
соответствующее 263:
268. В ортонормированном базисе
где Ьд есть левый фазовый множитель в полярном представ-
представлении \k = bftbft, матрица а оператора А имеет вид
где
ibj\bk
0
(J — k).
(j > к),
U < к).
Ранги блоков
не превосходят единицы.

271| § 9. ПРОГ.ЛЕМА МОМЕНТОВ 411
Описанное в 268 блочно-треугольное представление также
считается каноническим.
269. Пусть аA) и аB)—матрицы вида
() №*_, (/>=»• 2).
О (У < ft).
где Ь(/' — самосопряженные неотрицательные матрицы и
Тогда, если ft^ = a($ (А=1 я), то аA) = аB).
Операторы Av A2?3R(E) с одинаковым рангом несамо-
несамосопряженности назовем стабильно унитарно подобными, если
их канонические расширения унитарно подобны.
270. Если диагональные блоки канонических блочно-тре-
угольных представлений операторов Av A2?3R(E) совпа-
совпадают, то эти операторы стабильно унитарно подобны.
Таким образом:
271. Если диагональные блоки канонических блочно-тре-
угольных представлений операторов Л,, Л2?2Я(Е) совпадают,
то их максимальные простые несамосопряженные части уни-
унитарно подобны (теорема Лившица).
§ 9. Проблема моментов
Пусть S?<3(E), x?E. Вещественные числа
sk = (Skx, х) (й = 0, 1, ...)
называются моментами оператора 5 на векторе х. Задача
отыскания самосопряженного оператора 5 с простым спект-
спектром, который на каком-нибудь порождающем векторе х имеет
заданные моменты
sk=*(S*x. х) (й = 0, 1 р; р<оо), (*)
представляет операторную интерпретацию степенной
проблемы моментов. Если 5 решение проблемы

412 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |272
моментов (*). то оператор USU~* при ?/?U (E) также является
решением этой проблемы моментов. Унитарно подобные решения
не считаются различными. Проблема моментов (*) называется
определенной, если она имеет единственное решение, и
неопределенной, если она имеет более одного решения.
Аналитическим аппаратом исследования проблемы моментов
являются вещественные эрмитово-квадратичные формы вида
называемые ганкелевыми формами.
272. Если проблема моментов (*) имеет решение, то ган-
келева форма &\р/2+ц неотрицательна и
, n) (m=\ jjL
273. Если р = 2п—1 и проблема моментов (*) имеет ре-
решения Su S2, то их характеристические полиномы совпадают.
Поэтому:
274. Если р — 2п — 1 и проблема моментов (*) разре-
разрешима, то она является определенной.
275. Пусть р = 2п — 2 и проблема моментов (*) имеет
решение S, а Т есть сужение оператора 5 на линейную обо-
оболочку системы векторов {5*л:}д~ . Тогда множество решений
проблемы моментов (*) совпадает с множеством самосопря-
самосопряженных расширений Т оператора Т.
Поэтому:
276. Если р = 2п — 2 и проблема моментов (*) разре-
разрешима, то она является неопределенной.
277. В условиях теоремы 276 проблема моментов (*) имеет
континуум решений и спектры двух различных решений строго
перемежаются.
'278; В условиях теоремы 275 формула
sp+I={fp+1x; х)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между само-
самосопряженными расширениями Т оператора Т и точками ^+1
вещественной оси. ;

2821 § 9. ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ 413
Таким образом:
279. Если р = 2га — 2 и проблема моментов (*) разре-
разрешима, то расширенная проблема моментов, получаемая при-
присоединением к (*) дополнительного уравнения
(Sp+1x, x) =
P+V
также разрешима при любом вещественном spn.
Ключ к исследованию разрешимости проблемы моментов
дает теорема 280.
Пусть заданные моменты sk (k = 0, 1 2» —- 2) таковы,
что ганкелева форма .f»n положительна. Введем в простран-
пространстве полиномов П" скалярное произведение
/, *-о \ у-о '
и рассмотрим оператор Т умножения на Я,:
ft-0 / 4-0
280. Оператор Т — простой эрмитов, его дефектное число
равно единице и моменты оператора Т на полиноме S? (К) =¦ 1
равны sk (k — 0, I In — 2).
Теперь уже легко провести полное исследование проблемы
моментов (*).
281. Для разрешимости проблемы моментов (*) необходимо
и достаточно, чтобы ганкелева форма ф[Р/2+1| была неотри-
неотрицательна и
, n) [m=\
282. Если проблема моментов (*) разрешима, то для ее
определенности необходимо и достаточно, чтобы р^-2п— 1.
Аналогичным образом можно рассмотреть операторную
интерпретацию тригонометрической проблемы мо-
моментов. Она состоит в отыскании унитарного оператора U
с простым спектром, который на каком-нибудь порождающем
векторе х имеет заданные моменты
ck=^(Ukx, х) (? = 0, 1 р, р-4-Оо). •(**)

414 ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ |283
Вместе с U любой оператор, унитарно подобный оператору U,
также является решением проблемы моментов (**). Уни-
Унитарно подобные решения не считаются различными. Проблема
моментов (**) называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она
имеет более одного решения. Аналитическим аппаратом иссле-
исследования проблемы моментов (**) являются вещественные эрми-
тово-квадратичные формы вида
m-l _ _
$m= 2of/-*Mi* (C-k = Ck),
называемые теплицевыми формами.
283. Если проблема моментов (**) имеет решение, то
теплицева форма %ptX неотрицательна и
rg?m = min(m, n) (т=\ р+1).
284. Если р = п и проблема моментов (**) разрешима,
то она является определенной.
285. Пусть р = га — 1 и проблема моментов (**) имеет
решение U, а V есть сужение оператора U на линейную
оболочку системы векторов {Ukx)^~ . Тогда множество реше-
решений проблемы моментов (**) совпадает с множеством уни-
унитарных расширений V оператора V.
Поэтому:
286. Если р = п — 1 и проблема моментов (**) разрешима,
то она является неопределенной.
287. В условиях теоремы 286 проблема моментов имеет
континуум решений и спектры двух ее различных решений
строго перемежаются.
288. В условиях теоремы 285 формула
устанавливает взаимно однозначное соответствие между уни-
унитарными расширениями 1? оператора V и точками ср+, окруж-
окружности
det
Z C!_n ... C_! Co
:0. (***)

292| § 9. ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ 415
Таким образом:
289. Если р = га — 1 и проблема моментов (**) разрешима,
то расширенная проблема моментов, получаемая присоедине-
присоединением к (**) дополнительного уравнения
также разрешима при любом комплексном с/>+1, лежащем на
окружности (***).
Пусть заданные моменты ск (? = 0, 1, . . ., п — 1) таковы,
что теплицева форма %п положительна. Введем в прост-
ранстве Т" тригонометрических полиномов 2'^*е'*8 скаляр-
ное произведение
j, ft-0 V /-0 *-0 /
и рассмотрим оператор V умножения на ет.
290. Оператор V — простой изометрический, его дефект-
дефектное число равно единице и моменты оператора V на поли-
полиноме <^F)=1 равны ск (А = 0, 1 п — 1).
Окончательно имеем:
291. Для разрешимости проблемы моментов (**) необ-
необходимо и достаточно, чтобы теплицева форма Жри была
неотрицательна и
292. Если проблема моментов (**) разрешима, то для ев
определенности необходимо и достаточно, чтобы р^- га.

ГЛАВА X
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Диссипативные операторы и сжатия
в евклидовом пространстве
Оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е,
называется диссипативным, если
1. Множество диссипативных операторов есть телесный
клин в 9К(Е). Его линейная часть есть <?(Е).
2. Если S — квазисамосопряженное расширение эрмитова
оператора 5 с дефектным числом 6E)= 1, то по крайней
мере один из операторов 5 или — 5 диссипативен.
3. В полуплоскости 3>п Я, < 0 резольвента Rx любого
диссипативного оператора А удовлетворяет неравенству
11**11 <^щ <•>
(ср. 236 гл. IV).
Обратно:
4. Если резольвента /?х некоторого оператора А удо-
удовлетворяет неравенству (*) в полуплоскости 3'пА<0, то
оператор А диссипативен (ср. 237 гл. IV).
5. Спектр диссипативного оператора лежит в полупло-
полуплоскости 3mM>0.
6. Если х, у — собственные векторы диссипативного опе-
оператора, соответствующие собственным значениям X, jj, и
М11. то
К*. у)Р

HI ? I. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И СЖАТИЯ 417
В частности:
7. Собственные векторы диссипативного оператора, соот-
соответствующие различным вещественным собственным значе-
значениям, ортогональны.
8. Среди инвариантных подпространств L диссипативного
оператора А, на которых оператор A\L самосопряжен, суще-
существует наибольшее и оно совпадает с подпространством LA,
определенным в § 7 гл. IX.
При Ьд=0 оператор А называется простым диссипа-
тавным оператором.
9. Каждый диссипативный оператор является ортогональ-
ортогональной суммой самосопряженного и простого диссипативного опе-
оператора.
10. Для того чтобы диссипативный оператор А был про-
простым диссипативным, необходимо и достаточно, чтобы его
спектр лежал в открытой верхней полуплоскости.
Параллельно с диссипативными операторами мы будем
рассматривать сжатия. Они играют по отношению к унитар-
унитарным операторам такую же роль, как диссипативные операторы
по отношению к самосопряженным. В евклидовом пространстве
сжатия характеризуются неравенством / - В*В J> 0.
11. Множество сжатий есть выпуклое тело в 3)J(E). Мно-
Множество его крайних точек совпадает с U (Е).
12. Если V—квазиунитарное расширение изометрического
оператора V с дефектным числом 6(У)=1, то по крайней
мере один из операторов V или V~ является сжатием (если V
не является сжатием, то V'1 существует).
Спектральные свойства сжатий (см. 204—206 гл. IV) ана-
аналогичны спектральным свойствам диссипативных операторов.
Отметим аналог теоремы 6:
13. Если х. у (|| х \\ = \\ у ||= 1)—собственные векторы
сжатия, соответствующие собственным значениям X, ц, то
14. Среди инвариантных подпространств М сжатия В
на которых оператор 5|М унитарен, существует наибольшее
и оно совпадает с подпространством Мв, определенным
в § 7 гл. IX.
При Мв = 0 сжатие В называется простым.
27 И. М. Глазман. 10. И. Любич

418 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |15
15. Каждое сжатие является ортогональной суммой уни-
унитарного оператора и простого сжатия.
16. Для того чтобы сжатие В было простым, необходимо
и достаточно, чтобы его спектр лежал в открытом единичном
круге.
Между диссипативными операторами и сжатиями может
быть установлена связь с помощью преобразования Кэли:
17. Если А — диссипативный оператор, то при 2ИП(о<О
преобразование Кэли
В = (А — Ы)(А — и/)
является сжатием и 1 ?о(В).
Обратно:
18. Если В — сжатие и 1?а(В), то при Зтю<0 пре-
преобразование Кэли
А = (аВ- -о/) (В— /Г1
является диссипативным оператором.
Следующие две теоремы соответствуют дробно-линейным
преобразованиям полуплоскости и круга на себя.
19. Если А—диссипативный оператор, числа а, р, у, 6
вещественны, аб — PY > О и —Ь1\^_а(А), то оператор
также диссипативен. Если оператор А самосопряженный, то
D также самосопряженный.
20. Если В — сжатие и числа a, Y удовлетворяют условиям
|а|<1, |y|=1, l/a?a(B), то оператор
C = y(B — a/)(/— аВ)'1
также является сжатием. Если оператор В унитарный, то С
также унитарный.
21. Пусть ЕзЕ, Р— ортопроектор на Е в Е, Q —про-
—произвольный ортопроектор в Е. Тогда оператор PQ\E является
неотрицательным самосопряженным сжатием в Е.
Кроме того:
22. Если 0 — унитарный оператор в пространстве Ё,
то PU\E — сжатие в Е.
Обращения этих двух очевидных предложений содержатся
в 23 и 25.

28|
§ 1. ДИССИПАТИВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И СЖАТИЯ
419
23. Если оператор 5 является неотрицательным самосо-
самосопряженным сжатием, то существуют пространство Ez>E и
ортопроектор Q?3ft(E) такие, что 5 = PQ|E, где Р — орто-
ортопроектор на Е в Е.
Эта теорема вытекает из следующего предложения, содер-
содержащего эффективное построение пространства Ё и опера-
оператора Q.
24. В пространстве Ё = Е-(-Е блочная матрица
определяет ортопроектор Q.
25. Если В ? ЭЯ (Е) — сжатие, то существуют пространства
Ё=>Е и унитарный оператор U в Ё такие, что B — t
где Р — ортопроектор на Е в Ё.
Эта теорема вытекает из следующего построения.
26. В пространстве Ё = Е -(- Е блочная матрица
В (/ _ ВВ*L''
, — (/ — В*В)Чг В*
определяет унитарный оператор U.
Предложение 25 содержится также в более общей тео-
теореме 27, которую можно установить с помощью 28 и 29.
27. Если В ? ЭЯ (Е) — сжатие и т — натуральное число,
то существуют пространство ЁэЕ и унитарный оператор
U ? 11 (Ё) такие, что
Bk = PUl!\E (*= 1 /и),
где Р — ортопроектор наЕвЁ (теорема Секефальви-
Н а д я).
28. В пространстве Ё = Е -f E -j- ... -(- Е блочная матрица
В
0
0
-S,
0
0
в*
0
— У
0
0
пг + 1
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
-/
0
27»

420 ГЛ X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |29
где Sl = (l — ВВ*)'\ S2 = {1 — В*В)'1г, определяет унитарный
оператор.
29. Первая строка блочной матрицы оператора ?/*
(k = 1 т) имеет вид
(в", b"-1sv —b*-2sv в*~% (—о*-1^, о о).
т-к
§ 2. Спектральные множества
Замкнутое множество Л комплексной плоскости называется
спектральным множеством оператора Т, действующего в
евклидовом пространстве Е, если оG)с:Л и для любой го-
голоморфной в окрестности множества функции ф(Я.), удовле-
удовлетворяющей неравенству
|ф(А.)|<1 (Я.6 Л),
имеет место соотношение
30. Если Л — спектральное множество оператора Т и
замкнутое множество Л содержит Л, то Л — также спектраль-
спектральное множество оператора Т.
Следующее предложение аналогично теореме об отобра-
отображении спектров (§ 5 гл. II).
81. Если Л — спектральное множество оператора Т и
функция 1|>(А,) голоморфна в окрестности множества Л, то
множество х|з (Л) является спектральным для оператора ty(T).
32. Единичная окружность является спектральным мно-
множеством любого унитарного оператора. Вещественная ось
является спектральным множеством любого самосопряженного
оператора.
Точнее (и более общим образом):
33. Если Т — нормальный (в частности, унитарный или
самосопряженный) оператор, то спектр а (Г) является его
спектральным множеством.
Если множество Л является спектральным для любого
сжатия, то, очевидно, оно содержит единичный круг | % \ -^ 1.
Оказывается, это замечание обращается:

42] § 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА 421
34. Единичный круг | А, | -^ 1 является спектральным мно-
множеством для любого сжатия (теорема Неймана).
Одно из возможных доказательств основано на 27. Из
теоремы Неймана вытекает:
35. Полуплоскость %т'к~^>§ является спектральным мно-
множеством для любого диссипативного оператора.
Наоборот, из теоремы 35 можно вывести теорему Ней-
Неймана. Отметим также, что из 35 следует:
36. Если Я,о — регулярная точка оператора Т, то мно-
множество
является спектральным для /.
Поэтому:
37. Пересечение всех спектральных множеств любого
оператора Т совпадает со спектром а (Г).
Из теоремы Неймана с помощью теоремы об отображении
спектральных множеств нетрудно получить:
38. Если А—диссипативный оператор, то В — е1А—
сжатие.
Обратно:
39. Если регулярный оператор В является сжатием, то
существует диссипативный оператор А такой, что В = е1А.
Необходимость условия регулярности очевидна.
Теперь можно обратить теорему 32.
40. Если единичная окружность является спектральным
множеством оператора Т, то Т — унитарный оператор.
41. Если вещественная ось является спектральным мно-
множеством оператора Т, то Т — самосопряженный оператор.
Следующее предложение содержит обращение теоре-
теоремы 33:
42. Если оператор Т обладает конечным спектральным
множеством (в частности, если спектр о(Т) является спект-
спектральным множеством), то оператор Т нормален.
В заключение параграфа рассмотрим задачи, связанные
с развитием теоремы Неймана при переходе от евклидова
пространства к произвольным нормированным простран-
пространствам. При этом определение спектрального множества пере-
переносится на нормированные пространства без изменений.
Прежде всего, отметим, что 34 имеет место не в любом
нормированном пространстве. Например:
28 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

422 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |43
43. Если оператор В в двумерном пространстве I опре-
определен формулой B{lv |2} = {|2. lib то ||5||=1, но
хотя
Более того, теорема Неймана имеет место только в евкли-
евклидовом пространстве:
44. Если единичный круг является спектральным мно-
множеством для всех сжатий нормированного пространства Е,
то пространство Е евклидово (теорема Фойаша).
Эта теорема редуцируется к более простой формулировке:
45. Если для всех сжатий В нормированного простран-
пространства Е дробно-линейное преобразование
(В — а/)(/ — аВ)-1
при каждом а(|а|<1) также является сжатием, то про-
пространство Е евклидово.
Доказательство можно получить, следуя 46—47.
46. Если в условиях 45 оператор В определен равенством
Вх = /0(х)х0
гДе II /о IIII •*<> II ^ ! (•*<> 6 Е> /о 6 Е')> т0 при каждом а (| а | ^ 1)
II /о (*) *Ь — а* 1|< II * — а/о (*) *Ь II (х 6 Е).
47. При тех же условиях для любых х, у ? Е (| х \
||
¦при ||*|| — |
|| у — ал; || = || л; — ау ||
для любого а.
Из 47, учитывая предложение 12 гл. IV, легко вывести
евклидовость пространства Е.
Полученные результаты естественным образом приводят
к вопросу: существуют ли вообще в любом нормированном

60] § 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА 42*
пространстве спектральные множества всех сжатий, отличные
от всей плоскости?
Назовем круг |А,|-^р (р > 0) кругом Бора, если для
оо
любой функции ф (Я.) =2 ttjA*. голоморфной в этом круге
и удовлетворяющей неравенству |<р(А,)|-<1. выполняется
со
неравенство 21 аь I -^ '•
*-о
48. Каждый круг Бора является спектральным множество»
для всех сжатий в любом нормированном пространстве.
Обратно:
49. Пусть оператор В определен формулой
Век=ек+1 (А = 0, 1 л—1), Веп = 0
относительно некоторого базиса {еи\\ пространства Е. Тогда
в с-норме относительно этого базиса
для любой функции
к-0
голоморфной в круге |А,|<;1.
Поэтому:
50. Если круг | к | ^ р является спектральным множеством
для всех сжатий во всех нормированных пространствах, та
он является кругом Бора.
Из теоремы Фойаша следует, что круг |Я.|-^1 не явля-
является кругом Бора. Очевидно также, что если | к \ •< Pq —
круг Бора, то |А.|~^р (р>Рь) — тоже круг Бора. Обозна-
Обозначим через оЗГ круг Бора наименьшего радиуса. В силу 4&
круг еЯГ является спектральным множеством для всех сжатий
в любом нормированном пространстве *).
*) Радиус этого круга равен 3 (см. Е. Landau. Darstellung und
Begrundung elnlger neurerer Ergebnlsse der Functionentheorle, Ber-
Berlin, Verl. J. Springer, 1916).
28*

424 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ [51
§ 3. Абстрактная задача Коши и связанные с нею классы
операторов в нормированном пространстве
Пусть F(t, х) при каждом значении вещественного пе-
переменного t является отображением нормированного *) про-
пространства Е в себя. Дифференциальное уравнение
4jL = F(f.x) (to<t<tl)
относительно вектор-функции x = x(t) вместе с начальным
условием
* Со) = *o
составляют абстрактную задачу Коши. Мы будем
заниматься только линейной задачей, когда
F(t, x)=A(f)x,
где A (t) — функция, значениями которой являются линейные
операторы в Е. Для простоты будем считать функцию A(t)
непрерывной, а решение x(t)— принадлежащим классу век-
вектор-функций с непрерывной производной на [^0, ?,). Для
определенности положим to = O, tl~oo и будем писать
[ ~ = A(t)x @<*<oo),
1
Термин «абстрактная задача Коши» в дальнейшем относится
только к этой линейной задаче.
51. Для любого решения абстрактной задачи Коши вы-
выполняется оценка
i
$\\A(s)l\ds
II* (О IK 11*ь К
52. Если решение абстрактной задачи Коши существует,
то оно единственно.
*) Наличие нормы используется далеко не во всех задачах
^этого параграфа.

§ 3. АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА КОШИ 425
63. Ряд
I
/ -t J A (s) ds I J A (s) ds J A (s,) dsl +• ...
сходится равномерно на каждом отрезке [0, а] @ < а < оо).
Сумму этого ряда обозначим через Ut\ при каждом t —
это линейный оператор в Е.
54. Операторная функция Ut на [0, оо) непрерывна и
имеет непрерывную производную. При этом
Кроме того, очевидно, ?/0 = /.
55. Формула л; (/) = Utx0 определяет решение абстрактной
задачи Коши.
Оператор Ut называется эволюционным.
Итак, рассматриваемая абстрактная задача Коши при лю-
любом начальном векторе х0 имеет единственное решение.
56. Решения абстрактной задачи Коши, отвечающие все-
всевозможным начальным векторам, образуют линейное прост-
пространство относительно естественных операций сложения и
умножения на число.
57. Пространство решений изоморфно основному про-
пространству Е.
Таким образом, существуют такие л линейно независи-
независимых решений, что каждое решение является их линейной
комбинацией. Это — основная теорема теории обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений.
Особый интерес представляет случай, когда A (t) — по-
постоянный оператор: A{t)=A.
В этом предположении *):
58. Uu+u=*UtiUu.
Таким образом, множество {?Л)^>о есть однопараметри-
ческая полугруппа. Для нее можно написать явную формулу:
59. Ut = eAt.
*) Которое сохраняется и дальше, если ие рговореио про-
противное.
29 И. М. Глазман, Ю. И. Любич

426 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ 16*
Поэтому:
60. Имеет место формула
00
J t/,e-« dt = — RK (А) (Ш Я. > а),
о
,— 1п\\еА'\\
где а = 1пп—^Ц—-.
Эта формула связывает эволюционный оператор с резоль-
резольвентой оператора А. Интеграл, фигурирующий слева, есть
преобразование Лапласа функции Ut.
Между прочим:
61. а = sup Ote Я-.
Хё(Л)
По существу, все однопараметрические полугруппы опе-
операторов могут быть получены путем, указанным в 59:
62. Если Ut(t^-O) — непрерывная однопараметрическая
полугруппа, U0 = I, то существует и единствен такой опе-
оператор А, что U, = eAi'.
Оператор А называется инфинитезимальным оператором
полугруппы.
Для доказательства 62 можно использовать преобразова-
преобразование Лапласа и теорему 133 гл. II. Действительно:
63. Если Ut(t^>0) — непрерывная однопараметрическая
полугруппа, то ее преобразование Лапласа
00
V(A.)= J Ute~udt
о
в некоторой полуплоскости Я? с А, > р удовлетворяет уравнению
Отметим, что из 62 следует:
64. Любая непрерывная однопараметрическая полугруппа Ut,
для которой U0 = I, имеет непрерывную производную.
Непрерывность и условие U0 = f подразумеваются вы-
выполненными для всех рассматриваемых ниже однопараметри-
ческих полугрупп операторов.
Полугруппа Ut называется сжимающей, если оператор Ut
при каждом t является сжатием.

681 § 3. АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА КОШИ 427
65. Для того чтобы полугруппа Ut в евклидовом про-
пространстве была сжимающей, необходимо и достаточно, чтобы
ее инфинитезимальный оператор имел вид A = cD, где D —
диссипативный оператор (ср. 38, 39).
Отправляясь от 3, 4, назовем оператор в любом норми-
нормированном пространстве диссипативным, если он не имеет
спектра в открытой нижней полуплоскости и его резольвента
удовлетворяет неравенству
<ЗтЯ.<0).
66. Для того чтобы полугруппа Ut в нормированном про-
пространстве была сжимающей, необходимо и достаточно, чтобы
ее инфинитезимальный оператор имел вид A=iD, где D —дис-
—диссипативный оператор.
Полугруппа Ut называется изометрической, если опе-
оператор U\ при каждом t является изометрическим.
67. Для того чтобы полугруппа Ut в евклидовом про-
пространстве была изометрической, необходимо и достаточно,
чтобы ее инфинитезимальный оператор имел вид А = iS, где
5 — самосопряженный оператор (ср. 196, 197 гл. III).
Отправляясь от 236, 237 гл. IV, назовем оператор в лю-
любом нормированном пространстве консервативным, если он
не имеет невещественного спектра и его резольвента удо-
удовлетворяет неравенству
68. Для того чтобы полугруппа Ut в любом нормированном
пространстве была изометрической, необходимо и достаточно,
чтобы ее инфинитезимальный оператор имел вид A =iS,
где 5 — консервативный оператор.
Свойства диссипативности и консервативности легко ин-
интерпретировать в терминах абстрактной задачи Коши. Дис-
сипативность означает, что нормы решений не возрастают.
Консервативность означает, что нормы решений сохра-
сохраняются.
Абстрактная задача Коши называется устойчивой,
если норма эволюционного оператора ограничена:
29*

428 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ 169
Для устойчивости достаточна (но, конечно, не необходима)
диссипативность оператора — 1А.
69. Для устойчивости абстрактной задачи Коши необхо-
необходимо и достаточно, чтобы спектр оператора А лежал в полу-
полуплоскости 9?еЯ,<^0 и часть оператора, соответствующая
мнимым точкам спектра, была скалярного типа.
Оператор А, обладающий указанными свойствами, назы-
называется устойчивым. В § 5 гл. VIII мы встречались с поня-
понятием строго устойчивого оператора. Такому оператору соот-
соответствует асимптотически устойчивая абстрактная
задача Коши, т. е. такая, что
70. Если абстрактная задача Коши устойчива, то суще-
существует норма в Е, относительно которой оператор —1А
диссипативен.
В евклидовом пространстве этот результат можно усилить:
71. Если в евклидовом пространстве абстрактная задача
Коши устойчива, то оператор — 1А подобен диссипативному.
Теоремы 69—71 являются континуальными аналогами не-
некоторых результатов § 8 гл. IV. Остановимся еще на случае
строго устойчивого оператора.
72. Для того чтобы оператор А в евклидовом простран-
пространстве был строго устойчивым, необходимо и достаточно суще-
существования оператора С > 0 такого, что оператор — iCA
диссипативен (теорема Ляпунова).
Достаточность очевидна. Для доказательства необходи-
необходимости можно предварительно проверить, что:
73. Если оператор А строго устойчив, то для любого
В > 0 оператор
оо
С =2 | еА*<ВеА< dt
о
удовлетворяет уравнению Ляпунова
А*С -\- С А = — 2В.
Интересно, что некоторые из полученных фактов распро-
распространяются на общий случай переменного оператора A (t).

78] ¦ § 3. АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА КОШИ 429
74. Если оператор —iA(t) при каждом значении t дис-
сипативен. то Ut является сжатием при каждом t.
75. Если оператор — 1А (t) при каждом значении t кон-
консервативен, то Ut является изометрическим при каждом t.
Теоремы 74 и 75 иллюстрируют так называемый прин-
принцип замораживания коэффициентов. Заметим, однако,
что проблема устойчивости не может быть решена путем
замораживания. Теорему 69 можно заменить лишь более сла-
слабыми утверждениями. Например:
76. Если существует такое со > 0, что при всех t резоль-
резольвента R^ = R^ (A (t)) удовлетворяет неравенству
Н*11< (Я>0)
то абстрактная задача Коши асимптотически устойчива и, более
того, j|t/,t|O-w< (f>0).
Отметим, что:
77. В евклидовом пространстве условие
эквивалентно тому, что хаусдорфово множество оператора А
лежит в полуплоскости Шс % < — со.
Теорема 77 наталкивает на обобщение понятия хаусдор-
фова множества оператора А, относящееся к любому норми-
нормированному пространству. Возьмем какой-нибудь луч h — pel9
(О •< 9 < 2л) и рассмотрим все такие вещественные значе-
значения а, для каждого из которых
HK^IKpZ^T C^P*'9. Р>р(а)>с0-
Нижнюю грань значений а обозначим через а (9; А).
78. В евклидовом пространстве хаусдорфово множество
оператора А совпадает с пересечением полуплоскостей
Ш (Ке~ю) < а (О; А) @ < 9 < 2л).
В произвольном нормированном пространстве полученное
описание можно принять за определение: хаусдорфовым мно-
множеством оператора А называется пересечение полуплоскостей
Ш(ке~«>)<а(8; А) @<9 < 2л).
Оно, очевидно, выпукло и содержит спектр.

430 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАС.СЫ ОПЕРАТОРОВ 179
79. Для любого оператора А
lim ' , = ct(8; А).
argS-6
Таким образом, а@; А) совпадает с так называемым
индикатором роста целой функции ед?, а хаусдорфово мно-
множество — с ее индикаторной диаграммой *).
§ 4. Псевдометрика
Пусть Е снова означает евклидово пространство и
/? Tt (E)—самосопряженный оператор с двумя точками спектра
Я.= ±1, а Р±—ортопроекторы на соответствующие соб-
собственные подпространства Е± (dimE+=и).
Билинейный функционал
[х, у] = (Jx, у)
называется псевдометрикой (или, иначе, индефинитной метри-
метрикой) в Е. Пространство Е, наделенное псевдометрикой, назы-
называется пространством Понтрягина (или индефинитным
пространством).
Этот параграф является введением к § 5 и 6, где изучаются
некоторые классы операторов в пространстве Понтрягина.
Приведем сначала необходимые определения.
В соответствии с терминологией § 2 гл. III, подпростран-
подпространство LcE называется ./-неотрицательным (./-положительным,
/-неположительным, /-отрицательным, J-нейтральным), если
[х, х]^0 (соответственно \х, х] > 0 при д; Ф 0, [я, х] ^ О,
[х, х] < 0 при х ф 0, [х, х] = 0) при х ? L. ./-ортогональное
дополнение подпространства L будем обозначать через LA).
Вектор х ? L называется изотропным вектором подпро-
подпространства L, если [х, у] = 0 при всех у ? L. Множество N
всех изотропных векторов подпространства L является под-
подпространством; оно называется изотропным подпространством
подпространства L.
*) По поводу понятий индикатора роста н индикаторной диа-
диаграммы см. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций,
Гостехиздат. М., 1956.

¦aai § 4. псевдометрика 431
Теоремы этого параграфа примыкают к предложениям § 2
гл. III и частично содержатся в них, но сформулированы
в терминах геометрии пространства Понтрягина.
80. Для любого подпространства L
81. Пространства L и L*1' обладают общим изотропным
подпространством N = L П L(±).
82. Равенство L -j- L = Е имеет место тогда и только
тогда, когда L П Ьш = 0.
83. Если L — произвольное ./-неотрицательное подпро-
подпространство, то ортопроектор Р+ осуществляет взаимно одно-
однозначное отображение подпространства L на P+L.
84. Для того чтобы У-неотрицательное подпростран-
подпространство L было максимальным, необходимо и достаточно, чтобы
P+L = E+.
85. Для того чтобы У-нейтральное подпространство L было
максимальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
хотя бы одно из соотношений P+L = E+, P_L = E_.
86. Все максимальные У-неотрицательные и У-положитель-
ные подпространства имеют размерность и. Все максимальные
У-неположительные и У-отрицательные подпространства имеют
размерность п — х. Все максимальные У-нейтральные под-
подпространства имеют размерность min (и, п — х).
87. Любое максимальное У-нейтральное подпространство L
является либо максимальным У-неотрицательным, либо макси-
максимальным У-неположительным, либо обладает обоими этими
•свойствами.
В последнем случае подпространство L называется гипер-
гипермаксимальным У- нейтральным.
88. Подпространство L является гипермаксимальным У-ней-
тральным тогда и только тогда, когда L = L(-\ Это возможно
лишь при п = 2х.
89. Если L — максимальное У-неотрицательное (У-положи-
тельное) подпространство, то L — максимальное У-неполо-
жительное (У-отрицательное) подпространство.
Если для подпространства L существует оператор К ? Tt (E)
такой, что
/СЕ+с:Е_, Кег/С=>Е_, L = (/-j- АГ)Е+.

432 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ [90
то К называется угловым оператором подпространства L
относительно Е + . Аналогично определяется угловой оператор
относительно Е_. Угловой оператор не единствен.
90. Если К — какой-нибудь угловой оператор подпро-
подпространства L относительно Е+, то К*—угловой оператор под-
подпространства L относительно Е_.
91. Для того чтобы подпространство L было максималь-
максимальным У-неотрицательным, необходимо и достаточно, чтобы
существовал угловой оператор К подпространства L относи-
относительно Е + , являющийся сжатием.
92. В условиях 91 подпространство L будет максималь-
максимальным У-положительным тогда и только тогда, когда || Кх \\ < j| x ||
93. В условиях 91 подпространство L будет максималь-
максимальным У-неЙтральным тогда и только тогда, когда j] Кх \\ = \\х ||
Если подпространство L У-положительно, то таковыми же
будут подпространства, близкие к L в смысле раствора.
Точнее:
94. Если подпространство L У-положительно и
1 1 II iS II
6(L. M)<
то подпространство М также ./-положительно.
Эта оценка точна.
§ 5. Псевдосамосопряженные и псевдоунитарные
операторы
Введем аналоги самосопряженного и унитарного опера-
операторов в пространстве Понтрягина.
Оператор 5 называется псевдосамосопряженным (или
J-самосопряэюенным), если
[Sx, у] = [х, Sy\ (х, у ? Е).
т. е. S = JS*J.
Оператор U называется псевдоунитарным (или J-уни-
тарным), если
[Ux, Uy] = [х, у\ <*.
т. е. U*JU

105) § 5. ПСЕВДОСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 433'.
95. Если подпространство L приводит псевдосамосопряжен-
псевдосамосопряженный оператор 5, то подпространство L*-1-' также приводит 5.
96. Если подпространство L приводит псевдоунитарный
оператор U, то подпространство L также приводит LJ.
97. Спектр псевдосамосопряженного оператора симметри-
симметричен относительно вещественной оси.
98. Спектр псевдоунитарного оператора симметричен отно-
относительно единичной окружности (т. е. если X?a(U), то
ЯГ16 о (?/))•
99. Если 5 — псевдосамосопряженный оператор и ш ? a (S),
то его преобразование Кэли
есть псевдоунитарный оператор и
Обратно:
100. Если U — псевдоунитарный оператор и 1?а(?/>
то его преобразование Кэли
S = (cot/—ю/)(С/ —/)"*
есть псевдосамосопряженный оператор.
101. Если 5 — псевдосамосопряженный оператор, то опе-
оператор U = eiS псевдоунитарный.
Обратно:
102. Если U — псевдоунитарный оператор, то существует
псевдосамосопряж*енный оператор 5 такой, что U=eiS.
103. Если спектр псевдосамосопряженного оператора 5
положителен, то оператор S{ с положительным спектром,
удовлетворяющий уравнению Si = 5, также псевдосамо-
псевдосамосопряженный.
Существование и единственность оператора Sx обеспе-
обеспечиваются теоремами 150, 190 гл. II.
104. Если псевдосамосопряженный оператор 5 псевдо-
неотрицателен, т. е. [Sx, х] ^ 0 (л; ? Е), то его спектр
вещественный.
Два подпространства называются косо-связанными, если
ни в одном из них нет вектора х ФО, У-ортогонального-
другому подпространству.
105. Корневые подпространства W.(t/) и Wuj(U) псевдо-
псевдоунитарного оператора U при | ? | Ф 1 косо-связаны.

434 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |106
106. Корневые подпространства WAE) и Wj(S) псевдо-
псевдосамосопряженного оператора 5 при КфХ косо-связаны.
107. Если "кФу.~х, то корневые подпространства Vfx(U)
и W^iU) псевдоунитарного оператора U У-ортогональны.
В частности, при |?|=?1 корневое подпространство
7-ортогонально к себе.
108. Если к Фу, то корневые подпространства WxE)
и WjE) псевдосамосопряженного оператора 5 У-ортого-
У-ортогональны. В частности, при к Ф % корневое подпространство
WxE) У-ортогонально к себе.
¦109. Кратность каждого собственного значения ?(|?|^= 1)
псевдоунитарного оператора не превосходит min (и, n — и).
ПО. Кратность каждого собственного значения % (к Ф X)
псевдосамосопряженного оператора не превосходит
min(x, re —x).
111. Число не равных по модулю единице различных
собственных значений псевдоунитарного оператора не пре-
превосходит 2 min (x, re — и).
112. Число различных невещественных собственных зна-
значений псевдосамосопряженного оператора не превосходит
2 min (и, ге — х).
Предложения 109—112 можно обобщить:
113. Если U — псевдоунитарный оператор и L — сумма
всех его корневых подпространств W^(U) при |?|> 1 (или
при |С|< 1). то dimL-^ min(х, п — х).
114. Если 5—псевдосамосопряженный оператор и L—сумма
всех его корневых подпространств WK(S) при 1тЯ>0 (или
при 1тА<0), то dim L <; min (х, п — х).
§ 6. Инвариантные подпространства
псевдосамосопряженных и псевдоунитарных операторов
Этот параграф посвящен вопросу о существовании и свой-
свойствах знакопостоянных инвариантных подпространств. Мы
сначала исследуем его для одного специального класса опе-
операторов (так называемых строгих псевдорастяжений), мно-
множество предельных точек которого содержит псевдоунитарные
операторы. Таким образом можно будет установить существо-
существование упомянутых подпространств для псевдоунитарных one-

1181 § 6. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 435
раторов путем предельного перехода. Перенести полученный
результат на псевдосамосопряженные операторы можно с по-
помощью преобразования Кэли 99.
Оператор В называется псевдорастяжением, если
[Вх, 5х]>[х, х] (х?Е).
Псевдорастяжение В называется строгим, если в этом соот-
соотношении знак равенства имеет место лишь при х = 0. Ана-
Аналогично определяются псевдосжатие и строгое псевдосжа-
псевдосжатие. Очевидно, если В — обратимое псевдосжатие (строгое
псевдосжатие), то В~1 — псевдорастяжение (соответственно
строгое псевдорастяжение).
115. Если В — строгое псевдорастяжение, то прямая сумма
корневых подпространств, соответствующих его собственным
значениям Я, для которых | А, | < 1 (|Я|> 1), есть ./-отрица-
./-отрицательное (соответственно ./-положительное) подпространство.
Доказательство можно получить, итерируя неравенство
[Вх, Вх] > [х, х].
116. Любое строгое псевдорастяжение обладает макси-
максимальным ./-положительным инвариантным подпространством
М+(dimM+=и) и максимальным У-отрицательным инвариант-
инвариантным подпространством М_ (dimM_ = /j—и). При этом
М+ -j-M_ = Е и спектр а (В\ М + ) лежит в области | Я | > 1,
а спектр <тE|М_)— в области | Я | < 1.
117. Любое псевдорастяжение В обладает максимальным
./-неотрицательным инвариантным подпространством, в кото-
котором все его собственные значения по модулю не меньше
единицы.
Доказательство можно получить с помощью предельного
перехода.
118. Любое обратимое псевдорастяжение В обладает макси-
максимальным У-неотрицательным инвариантным подпространством
М+ (dim ЛА+=и) и максимальным ./-неположительным инва-
инвариантным подпространством М_ (dimM_=/t— к). При этом
а (В |М+) лежит в замкнутой области | X \ ~^> 1, а а (В |М_) —
в замкнутой области |Я|^1.
Формулировка соответствующих предложений для псевдо-
псевдосжатий не представляет труда и может быть опущена.

436 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |119
Так как любой псевдоунитарный оператор является обра-
обратимым псевдорастяжением, то:
119. Любой псевдоунитарный оператор U обладает макси-
максимальными ./-неотрицательным и ./-неположительным инвариант-
инвариантными подпространствами.
А так как оператор U одновременно является обратимым
псевдосжатием, то при и^я — %:
120. Любой псевдоунитарный оператор U обладает х-мер-
ными ./-неотрицательными подпространствами Ме и М, такими,
что a (U | Ме) лежит в замкнутой области | к | !> 1, a a (U | М,) —
в замкнутой области | А. | <Г 1.
121. Подпространство Ме содержит все корневые под-
подпространства Wj(t/) с |?|> 1, а подпространство М(. — все
корневые подпространства Wg(L/) с |?|< 1.
Прямая сумма М всех корневых подпространств псевдо-
псевдоунитарного оператора U, соответствующих собственным зна-
значениям С с | ? | ?= 1. называется гиперболическим инвариант-
инвариантным подпространством оператора U.
122. Подпространства М П Me, M f) M, косо-связаны и
М==(МПМ,L-(МПМ,).
123. Если М - гиперболическое инвариантное подпро-
подпространство псевдоунитарного оператора, то M-j-M*-'-' = E.
124. Спектр a(U\Ni^) лежит на единичной окружности.
125. Имеет место равенство
dim (M n Me) = dim (M fl M,)
и существуют в М П Ме и М П Мг базисы Де = {gj}[ и Д,=
= {hk}[ такие, что
В базисе {gx g(, /г, hr) блочная матрица псевдо-
псевдоунитарного оператора U имеет вид
'V О
О (У*)'1,
126. Жордановы структуры псевдоунитарного оператора U
в корневых подпространствах Wt(t/) и Wj,^ (?/) при \?\ф 1
одинаковы.

134| § 6. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА 437
127. Любой псевдосамосопряженный оператор 5 обладает
максимальными ./-неотрицательным и ./-неположительным инва-
инвариантными подпространствами.
128. Любой псевдосамосопряженный оператор 5 обладает
х-мерными (при х^я—х) ./-неотрицательными подпростран-
подпространствами L; и Le такими, что a(S\Ll) лежит в замкнутой
области Зго^^-О- a a(S\Le) в замкнутой области Зш^-^О.
129. Подпространство L, содержит все корневые подпро-
подпространства WxE) с 3mA,>0, а подпространство Le — все
корневые подпространства Wk(S) с 3m^<0-
Прямая сумма L всех корневых подпространств псевдо-
псевдосамосопряженного оператора S, соответствующих невещест-
невещественным собственным значениям, называется гиперболическим
инвариантным подпространством оператора 5.
130. Подпространства LflL,, L П Le косо-связаны и
L = (LnL,)-f (LRL,).
131. Если L—гиперболическое инвариантное подпростран-
подпространство псевдосамосопряженного оператора S, то L-j-L(J-) = E.
132. Спектр aE|L(i)) вещественный.
133. Имеет место равенство
dim (L П Ц) = dim (L fl Le)
и существуют в L fl L; и L П Le базисы At = [Sj}[ и /\,=
= {hk}[ такие, что
[gj. hk]=6Jk С/. *=» r).
В базисе [gx gr, A, hr) блочная матрица псевдо-
псевдосамосопряженного оператора 5 имеет вид
Т О
О Г
134. Жордановы структуры псевдосамосопряженного опе-
оператора 5 в корневых подпространствах WA (S) и Wj (S) при
%ткфО одинаковы.
В заключение параграфа отметим, что теоремы о суще-
существовании знакопостоянных инвариантных подпространств
имеют место и при более широких предположениях, чем

438 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ [135
принимавшиеся выше. Так, например, в 115 можно, не меняя
доказательства, предполагать, что неравенство
\Вх, Вх\ > [х, х]
выполняется лишь при [х, х\ ^> 0 (х Ф 0). Еще более общий
характер носит приводимая ниже теорема 135.
Пусть А — произвольный оператор и Д — его жорданов
базис. Отберем из Д ./-положительные собственные векторы
и векторы, присоединенные к ним. Линейную оболочку вы-
выбранных векторов обозначим через М+. Аналогично построим
подпространство М_.
135. Если оператор А удовлетворяет условию
[Ах, Ах] > 0 ([х, х\ > 0, х Ф 0),
то пространство М+ — максимальное У-положительное, прост-
пространство М_—максимальное ./-отрицательное и М+ -j-M_ — Е.
Для доказательства можно использовать леммы 136 и 137.
136. Если модули собственных значений некоторого опе-
оператора Т ? Ш (Е) различны, то для любого вектора х ? Б
(а; Ф 0) найдется вещественная числовая последовательность
{ak\T такая> что существует и отличен от нуля предел
lim akTkx.
ft->00
Этот предел, очевидно, является собственным вектором
оператора Т.
137. Множество операторов А, удовлетворяющих условию
[Ах, Ах]>0 ([х, *]>0, хфО), открыто в Ш(Е).
Отметим, что из 135 предельным переходом получается:
138. Если оператор А удовлетворяет условию [Ах, Ах]^0
(|лг, х] ^> 0), то он обладает максимальным У-неотрицатель-
У-неотрицательным инвариантным подпространством.
Укажем еще на связь рассматриваемых вопросов с опера-
операторными дробно-линейными преобразованиями:
139. Пусть оператор А удовлетворяет условиям 136 и
обратим. Если L — произвольное максимальное /-неотрица-
/-неотрицательное подпространство, то Ah—также максимальное J—не-
J—неотрицательное подпространство.
140. Если в условиях 136 К — угловой оператор подпро-
подпространства L относительно Е +, то оператор
Ф (К) = (Аи + А12К) <ЛЯ -

145) § 7. КВАДРАТИЧНЫЙ ПУЧОК ОПЕРАТОРОВ 439
где Ап = Р_АР+, А12 = Р_АР_, А21 = Р,АР+, А22 =
= Р+АР_, является угловым оператором подпространства AL
относительно Е+.
Согласно 91 при Ц/СЦ-^1 выполняется неравенство
|| Ф (К) ||-^ 1, и теорема 140 сводится к существованию не-
неподвижной точки у преобразования Ф в «операторном круге»
|
§ 7. Квадратичный пучок самосопряженных операторов
Квадратичным пучком самосопряженных операторов назы-
называется квадратный трехчлен
К (к) = 14 + 1В + С
с самосопряженными коэффициентами В, С. Если при неко-
некотором комплексном к0 уравнение
имеет нетривиальное решение, то число к0 называется соб-
собственным значением пучка К (к). Количество различных соб-
собственных значений пучка К (к) не превосходит 2я. Множество
собственных значений пучка К (к) назовем его спектром и
будем обозначать <т (К).
Определим в пространстве Е = Е -\- Е оператор А с по-
помощью блочной матрицы
где Y^ — какой-нибудь квадратный корень из С. Опера-
Оператор А называется ассоциированным с пучком К (к).
141. а(К) = а(А).
142. Спектр а (К) симметричен относительно веществен-
вещественной оси.
143. Если С<^0, то спектр о (К) вещественный.
144. Если Б > О Q> 0), то спектр а (К) лежит в откры-
открытой (замкнутой) левой полуплоскости.
145. Если В2 < 462С @ < 6 < 1), то спектр а (К) лежит
в области | я/2 ± arg k | < а, где а = arcsin 0.

440 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ [146
С квадратичным пучком К (к) ассоциируется также опера-
операторное квадратное уравнение
= 0. (*)
146. Если оператор Z является корнем уравнения (*), то
<s{Z)ca{K).
147. Если Zj — корень уравнения (*) и Z2= —{В 4- Zi), то
/Г (Л.) = (X/ - Zl)(l/ - Zx).
При этом оператор Z2 также является корнем уравнения (*)
и имеют место «операторные формулы Виета»
Z, -+ Z*. = - В, Z\ZX = С.
Корни Z,, Z2 называются взаимно сопутствующими.
Если С^>0 и при всех х Ф 0
(Вх, х)'2 > 4 (Слг, х) (х, х),
то пучок К (X) называется сильно демпфированным.
148. Собственные значения сильно демпфированного пучка
К (к) отрицательны.
149. Если К (к) — сильно демпфированный пучок, то ассо-
ассоциированный с ним оператор А является ./-самосопряженным,
где оператор J определяется в Ё=Е-+Е блочной матрицей
/ 0
0 —/
150. Если К (А,) — сильно демпфированный пучок, а К —
угловой оператор максимального ./-неотрицательного инва-
инвариантного подпространства оператора А, то оператор Z[ =
— К У^С является корнем квадратного уравнения (*).
В дальнейших задачах этого параграфа пучок К (к) пред-
предполагается сильно демпфированным.
151. Корень Zj удовлетворяет неравенству ZiZi <^ С.
Сопутствующий корень Z2 удовлетворяет неравенству ZiZ'i^C,
152. Корни уравнения (*), удовлетворяющие неравенст-
неравенствам 161, определяются однозначно и являются взаимно сопут-
сопутствующими.
153. Z2 — Z!>0.

157| § 8. ОПЕРАТОРНАЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 441
154. Операторы Z, и Z2 являются самосопряженными
в пространстве Фридрихса Е [Z, — Zx\.
155. o(/O = a(Z,)Ua(Z2).
Занумеруем собственные значения к^ и Ai2) (k= 1, ..., п)
операторов Z, и Z2 обычным образом.
Собственные значения к\1) %(}\ ^2) У$ квадра-
квадратичного пучка К {к) обладают минимаксимальными свойствами,
аналогичными соответствующим свойствам для самосопряжен-
самосопряженного оператора S, но теперь роль (Sx, х) будет играть пара
функционалов
р(\, 2) (jc) = _ (Вх> Х) - Y(Bx, хJ — 4 (Сх, х) (х. х).
156. Имеют место формулы Даффина:
Х[1)= max pa\x), ^й+1=тах min p0}(x) (k = 2, ...,«),
l L l
$•= max pB)(^). ^л-й+1 = тах min pB)(jr) (& = 2 «),
IUII-1. L 11*11-1,
x?E jffL
где L пробегает множество подпространств коразмерности
k - 1.
При этом:
,,._ ,A| ^ «B)
167. Л] < Лл .
§ 8. Дробно-линейные преобразования с операторными
коэффициентами
Мы уже встречались с этими преобразованиями в 140 и
§ 7 гл. IX. Здесь мы рассмотрим такие преобразования в связи
с операторными окружностями.
Операторной окружностью называется множество опера-
операторов Z?2#(E), определяемое уравнением
ZMZ+Z'B + fi'Z-t-C = O A)
или уравнением
ZAZ*~\-ZB + B*Z*-\-C = O, (Г)
где А > О, С = С*.
Операторные окружности A) и (Г) взаимно двойственны.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением окружностей
вида A).

442 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ |158
158. Для того чтобы операторная окружность была не-
непустым множеством, необходимо и достаточно, чтобы
В*АВ— С>0.
Последнее неравенство всюду ниже предполагается вы-
выполненным.
159. Общее решение уравнения A) имеет вид
Z = Z0+ /
где
Zo= — A'[B. R1 = A~'1'. R2
Оператор Zo называется центром операторной окружности,
а /?, и R2 — ее левым и правым радиусами.
160. Если Z0?2K(E) и Rl > 0, R2 > 0. то точка Z =
= Z0-\-RlUR2, где U пробегает множество унитарных опе-
операторов, пробегает операторную окружность с центром
в точке Zo и левым и правым радиусами /?р R2.
161. Линейная функция W = WQ_f-FZQ с любым WQ?
^ Tt (E) и обратимыми коэффициентами F, О преобразует
операторную окружность в операторную окружность.
162. Инверсия W = Z~* преобразует операторную окруж-
окружность в операторную окружность, если С > 0.
В простейшем случае, когда уравнение A) имеет вид
Z*Z = I, операторная окружность превращается в множество
U(E) унитарных операторов, а область
называемая единичным открытым операторным кругом, —
в множество строгих сжатий. Замыкание этой области есть
единичный замкнутый операторный круг
Операторный круг $t и его замыкание Я совпадают соответ-
соответственно с открытым и замкнутым единичным шаром простран-
пространства Т1(Е) в операторной норме. Подчеркнем, что окруж-
окружность Z*Z = I не совпадает с границей круга Z*Z<^I, а со-
составляет лишь ее часть (а именно, множество всех крайних
точек этого круга как выпуклого тела, см. 11).
Займемся изучением дробно-линейных преобразований
круга Л на себя.

1691 § 8. ОПЕРАТОРНАЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 443
Следующая теорема является обобщением теоремы 20:
163. При любом Я?Ж преобразование
W = (/ — ВВ*)~*'' (Z — В) (/ — S*Z)-1 (/ — B*B)k
отображает взаимно однозначно каждое из множеств Л, Я и
U(E) на себя.
Для доказательства можно воспользоваться тем, что:
164. Имеет место равенство
/ _ w*W = Т* (/ — Z*Z) Т,
где Т = (/ — B*Z)~\I — В*В)'1.
Обозначим для краткости дробно-линейное преобразова-
преобразование 163 через W = O\Z; В].
165. Если r = 0>[Z; В] (Z, В?8), то
Z = Q>[W; —В].
166. Если Z6K, В?Ж и ?/?И(Е), то
B] = U<X>[Z; U*B],
B]=<$[Z; BU*\U.
167. Если Z6^. Bx, B2?R, то
; 5,]; 52]=V^O[Z; Ф [fi2; -Д
С = (/ - В\
где
168. Оператор V унитарный.
Подведем итог:
169. Пусть (§ — множество преобразований вида
?/,Ф [ о ; В] U2,
где* B?R, Ux, t/2^U(E). Это множество обладает следую-
следующими свойствами:
1) каждое преобразование из & отображает взаимно
однозначно круг Ж (а также множества Л и U (Е)) на себя;
2) вместе с каждым преобразованием множество @ со-
содержит обратное преобразование;

444 ГЛ. X. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ fl70
3) произведение двух преобразований из © также при-
принадлежит ©.
Таким образом, © есть группа.
170. Если дробно-линейное преобразование
отображает взаимно однозначно операторный круг Ж на себя,
то оно принадлежит ©.
Как известно, в скалярном случае имеет место более силь-
сильное утверждение: если аналитическая функция w(z) взаимно
Однозначно отображает единичный круг на себя, то она
имеет вид
w(*)=Y"rrs7 Clvl = 1. IP!<l).
Это предложение также может быть распространено на опе-
операторный случай *).
*) См. С. L. Si eg el, Syraplectic geometry. Amer. J. Math. 45
A943). 1-86.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
ОБЩИЕ РУКОВОДСТВА
Алгебра
1. Биркгоф Г., Теория структур, ИЛ, 1952.
2. Бур баки Н., Алгебра (Модули, кольца, формы), «Наука»,
1966.
3. Б э р Р., Линейная алгебра и проективная геометрия, ИЛ, 1955.
4. В аи дер Варден, Современная алгебра, I, II, Гостехиздат,
1947.
5. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.
6. Курош А. Г., Теория групп, изд. 3, доп., «Наука», 1967.
Анализ
7. Б у р б а к и Н„ Функции действительного переменного, «Наука»,
1965.
8. Дьедонне Ж., Основы современного анализа, «Мир», 1964.
9. Рудин У., Основы математического анализа, «Мир», 1966.
Топология
10. А л е кса н д ро в П. С, Введение в общую теорию множеств и
функций, Гостехиздат, 1948.
П.Бурбаки Н.. Общая топология. Основные структуры, Физ-
Физматгиз, 1958.
12. Хаусдорф Ф., Теория множеств, ОНТИ, 1937.
Линейная алгебра
13. Бурбаки Н., Алгебра (Алгебраические структуры. Линейная
и полилинейная алгебра), Физматгиз, 1962.
14. Г а и т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, «Наука», 1966.
15. Г е л ь ф а и д И. М., Лекции по линейной алгебре, изд. 3, «Нау-
«Наука», 1966.
30 И. М. Глааман, Ю. И. Любич

446 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
16. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1948.
17. Халмош П., Конечномерные векторные пространства, Физмат-
гиз, 1963.
18. Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств, Гос-
техиздат, 1952.
19. Шрейер О., Шпернер Е., Введение в линейную алгебру
в геометрическом изложении, ОНТИ, 1934.
20. Шрейер О., Шпернер Е., Теория матриц, ОНТИ, 1936.
Функциональный анализ
21. Ахиезер Н. И., Глазмаи И. М., Теория линейных опера-
операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1966.
22. Б а н а х С. С., Курс функционального аиал1зу, «Рад. школа»,
¦ 1948.
23. Б у р б а к и Н., Топологические векторные пространства, ИЛ,
1959.
24. В у л и х Б. 3., Введение в функциональный анализ, «Наука»,
1967.
25. Даифорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы (общая
теория), ИЛ, 1962.
26. Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы (спект-
(спектральная теория), «Мир», 1966.
27. Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, ИЛ, 1961.
28. И о с и д а К., Функциональный анализ, «Мир», 1967.
29. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ
в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.
30. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций
и функционального анализа, «Наука», 1968.
31. Л ю стер ни к Л. А., Соболев В. И., Элементы функционалы
иого анализа, «Наука», 1965.
32. Морен К., Методы гильбертова пространства, «Мир», 1965.
33. П л е с и е р А. И., Спектральная теория линейных операторов,
«Наука», 1965.
34. Райков Д. А., Векторные пространства, Физматгиз, 1962.
35. Рисе Ф., Се к е ф а л ь в и - Н а д ь Б., Лекции по функциональ-
функциональному анализу, ИЛ, 1954.
36. С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. V, Физматгиз,
1959,
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА *)
К главе I
1 АроншайнН., Квадратичные формы иа векторных простран-
пространствах, Сб. перев. «Математика» 8:5 A964), 102—155 [8, 9, 10].
*) В квадратных скобках указываются номера параграфов,
к которым относится цитируемый источник. Если такого указания
нет, то соответствующий источник относится к главе в целом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 447
2. Гельфаид И. М., Abstrakte Funktionen und lineare Operato-
ren, Мат. сб. 4 A938), 235—286 [12].
3. Гельфанд И, М, Шилов Г. Е., Категории конечномерных
пространств, Вестник МГУ, сер. мат. № 4 A963), 27—48.
4. Гохберг И. Ц., К р е и н М. Г., Основные положения о де-
дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных опера-
операторов, УМН XII, вып. 2 G4) A957), 43—118 [4, 7, 8].
5. Г р о т е и д и к А., Теория Фредгольма, Сб. перев. «Математика»,
2:5 A958), 51—103 [4, 7].
6. Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, ИЛ,
1960 [5, 8].
7. Рнсс Ф., О линейных функциональных уравнениях, УМН 1
A936), 175—199 [4, 7].
8. Скорняков Л. А., Дедекиидовы структуры с дополнениями
и регулярные кольца, Физматгиз, 1961 [3].
9. Ш м у л ь я и В. Л., Линейные топологические пространства и
нх связь с пространствами типа (В), ДАН СССР 22 A939),
475—477 [12].
10. Dun ford N., Integration in general analysis, Trans. Amer.
Math. Soc, 37 П935), 441—453 [12].
11. Frendholm 1., Sur une classe d' equations fonctionelles, Ada
Math. 27 A903), 365-390 [4, 7].
12. G r ot h e n d i ck A., Produits tensoriels topologiques et spaces
nucleates, Memoirs Amer. Math. Soc., № 16 A955) [8].
13. Hilbert D., Grundzuge einer allgemeinen Theorie des linearen
Integralgleichungen, Verl. Teubner, 1912.
14. N e u m a n n J. v о n, On complete topological space, Trans. Amer.
Math. Soc. 37 A937), 1—20 [11].
15. Schauder J., Ober lineare vollstetige Funktional-operationen,
Studia Math. 2 A930), 183—196 [4, 7].
16. Stelnitz E., Bedingt konvergente Reihen und convexe Systeme,
J. reine und angew. Math. 143 A914—1916), 144 [12].
К главе II
1. Ароишайн Н., Смит К. Т., Инвариантные подпространства
вполне непрерывных операторов, Сб. перев. «Математика», 2 : 1
A958), 97-102 [2].
2. Бродский М. С, О жордановых клетках бесконечномерных
операторов, ДАН СССР 111 A956), 926—929 [4, 5].
3. Бродский М. С, Об одноклеточности оператора интегрирова-
интегрирования и одной теореме Титчмарша, УМН XX, вып. 5 A965), 189—
192 [4, 5].
4. В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и представле-
представления, ИЛ, 1947.
5. Гохберг И. Ц., К р е й и М. Г., Введение в теорию линейных
иесамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве,
«Наука», 1965.
6. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Теория вольтерровых опера-
операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, «Наука»,
1967.
ао*

448 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
7. Д а н ф о р д Н., Обзор теории спектральных операторов, Сб.
перев. «Математика» 4 : 1 A960), 53—100 [3, 8].
8. Джекобсои Н., Теория колец, ИЛ, 1947 [1, 6].
9. Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, «Мир», 1964 [7].
10. Лаппо-Даиилевский И. А., Теория функций от матриц
и системы лииейиых дифференциальных уравнений, Гостехиздат,
1934 [5, 6, 10].
11. Любич Ю. И., Мацаев В. И., Об операторах с отделимым
спектром, Мат. сб. 56 A962), 433—468 [3].
12. Н а й м а р к М. А., Континуальный аналог леммы Шура и
его применение к формуле Плаишереля для комплексных клас-
классических групп, Изв. АН СССР, сер. мат. 20 A956), 3—
16 [1].
13. Рисе Ф., О функциях эрмитовых операторов в пространстве
Гильберта, УМН IX A941), 182—190 [6].
Н.Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, Гостехиздат,
1949 [1].
15. Friedrichs К. О., Perturbations of spectra in Hilbert space,
Amer. Math. Soc, 1965 [9].
16. Halmos P. R., Commutators of operators, I, Amer. J. Math. 74
A952), 237—240; Amer. J. Math. 76 A954), 191—198 [7].-
17. Kato Т., Perturbation theory for linear operators, Springer —
Verlag, 1966 [9].
18. Koch H. von, Sur quelques points de la theorie des determi-
determinants infinis, Acta Math. 24, A900), 89—122 [10].
19. Nelson H., Lectures on invariant subspaces, Acad. Press,
New-York — London, 1964 [2, 3].
20. Neumann J. von, Zur algebra der Funktionaloperationen und
der Theorie der normalen Operatoren, Math. Ann. 102 A929),
370—427 [1-6].
21. Neumann J. von, Ober Funktionen von Funktionaloperatoren,
Ann. Math. 32 A931), 191—226 [5, 6].
22. Neumann J. von, Ober einen Satz von Herrn M. Stone, Ann.
Math. 33 A932), 567—573 [6].
23. Put m a n С R., On commutators of bounded matrices, Amer. J.
Math. 73 A951), 127—131 [7].
24. P u t m a n С R., On the spectra of commutators, Proc. Amer.
Math. Soc. 5 A954), 929-931 [7].
25. S с h u r I., Neue Begrundung der Theorie der Gruppencharaktere,
Sitzungsber. Preuss. Akad., A905), 406 [1, 6].
26. Sikorski R., On Lezanski's determinantes of linear equation in
Banach spaces, Studia Math. 14 A958), 24—48 [10].
27. Stampfli G., Sums of projections, Duke Math. J. 31, 3 A964),
455—461 [8].
28. Sz.-Nagy В., Spektraldarstellung linearer Transformationen
des Hilbertschen Raums, Erg. d. Math., Berlin, 1942 [6].
29. T а у 1 о г А. Е., Spectral theory of unbounded closed operators,
Proc. symp. Oklahoma A951), 267—275 [5].
30. W e r m e r J., The existence of invariant subspaces, Duke Math.
J. 19, 4 A952), 615-622 [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 449
К главе III
1. Ароншайн Н., Квадратичные формы на векторных простран-
пространствах, Сб. перев. «Математика» 8:5 A964), 102—155 [1, 2].
2. Бродский М. С, О треугольном представлении вполне непре-
непрерывных операторов с одной точкой спектра, УМН XVI, вып. 1
A961), 135—141 [9].
3. В е и л ь Г., Классические группы, их инварианты и представ-
представления, ИЛ, 1947.
4. Гохберг И. Ц., К р е и н М. Г., Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве,
«Наука», 1965.
5. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики,
т. 1, Гостехиздат, 1951.
6. Н е й м а н И. фон, Математические основы квантовой меха-
механики, «Наука», 1964.
7. С а х н о в и ч Л. А., Исследование треугольной модели несамо-
несамосопряженных операторов, Изв. вузов, Математика, № 4 A959),
141—149 [9].
8. Carleman Т., Sur les equations integrates singulieres a noyau
reel et symmetrique, Uppsala, 1923 [5].
9. Fischer E., Ober quadratische Formen mit reelen Koeffizienten,
Monatsh. Math. Physik 16 A905), 234—249 [8].
10. Frobenius G., Ober unitare Matrizen, Sitzungsber. Коп.
Preuss. Akad. Wiss. XVI A911), 373—378 [6].
11. Gram J. P., Ueber die Entwickelung reeler Funktionen in Reihen
mittelst der Methode der kleinsten Quadrate, J. Crelle XCIV
П883), 41-73 [3].
12. H a u s d о г f f F., Der Wertevorrat einer Bilinearform, Math. Z.
3 A919), 314—316 [10].
13. Hildebrandt S., Ober numerischen Wertebereich eines Opera-
Operators, Math. Ann. 163, № 3 A966) [10].
14. Kaczmarz S.-, Angenaherte Auflosung von Systemen linearer
Gleichungen, Bull. Internat. Acad. Polon. Sci., Ser. A A937),
355-357 [5].
15. К у Fan, Maximum properties and inequalities for the eigenva-
eigenvalues of completely continuous operator, Proc. Nat. Acad. Sci. USA
37 A951), 760—766 [9].
16. Mirsky L., The spread of a matrix, Mathematica 3, № 6
A956), 127—130 [9].
17 Neumann J. von, Allgemeine eigenwerttheorie Hermitescher
Funktionaloperatoren, Math. Ann. 102 A929—1930), 49—131.
18. Neumann J. von, Zur Algebra der Funktionaloperatoren und
der Theorie der normalen Operatoren, Math. Ann. 102 A929),
370—427.
19. S с h u r I., Ober die charakteristischen Wurzeln einer linearen Sub-
Substitution mit einer Anwendung auf die Theorie der Integralgleich-
ungen, Math. Ann. 66 A909), 488—510 [9].
20 Weierstrass K., Zur Theorie der bilinearen und quadrati-
schen Formen, Monatsh. Akad, Wiss., Berlin A867), 310—338
[1, 2, 5).

450 библиографический указатель
21. W е у 1 Н., Das asymptotische yerteilungsgesetz der Eigenwerte
linearer partieller Differentialgleichungen, Math. Ann. 71 A912),
441—479 [8].
22. W i e 1 a n d t H., An extremum property of sums of eigenvalues,
Proc. Amer. Math. Soc. 6, № 1 A955), 106—110 [8].
К главе IV
1. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука»,
1965 [6].
2. Б е л и ц к и й Г. Р., О цепях матричных норм, ДАН СССР 151
A963), 9-10 [10].
3. Б е л и ц к и й Г. Р., Об автоморфизмах структуры порядка на
множестве норм матриц, Мат. сб. 73 A967) [10].
4. Б е р н ш т е й н С. Н., Sur le probleme inverse de la theorie de
la meilleure approximation des fonctions continues, С R. Acad.
Sci. 206 A938), 1520—1523 [6].
5. В и н е р Н., П э л и Р., Преобразование Фурье в комплексной
области, «Наука», 1964 [7].
6. Гельфаид И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., Коммута-
Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1960 [9, 10].
7. Гохберг И. Ц., Маркус А. С, Две теоремы о растворе
подпространств банахова пространства, УМН 14, вып. 5 A959),
135—140 [7].
8. Г у р а р и й В. И., Пространства универсального расположения,
ДАН СССР 163 A965), 1050-1053 [5].
9. Г у р а р и й В. И., О наклонах подпространств и существовании
ортогонального базиса в пространстве Банаха, Уч. зап. Харьк.
мат. об-ва 30 A964), 34—37 [7].
10. Гурарий В. И., О растворах и наклонах подпространств
банахова пространства. Теория функций, функц. ан. и прил.,
вып. 1 A965), 194—204 [6, 7].
И. Гурарий В. И., Кадец М. И., Мацаев В. И., О расстоя-
расстояниях между конечномерными аналогами пространств Lv, Мат.
сб. 170 A966), 481-489 [5].
12. Кадец М. И., Доказательство топологической эквивалентности
всех сепарабельных бесконечномерных пространств Банаха.
Функциональный анализ и его приложения, 1 вып. I A967),
61—70 [5].
13. Кадец М. И., О гомеоморфизме некоторых пространств Бана-
Банаха, ДАН СССР 92 A953), 465—468 [6].
14. Колмогоров А. Н., Zur Normierbarkeit eines allgemeinen to-
pologischen linearen Raunies, Studia Math. 5 A934), 29—33 [1,
2, 3].
15. Колмогоров А. Н., О неравенствах между верхними гранями
последовательных производных произвольной функции на беско-
бесконечном интервале. Уч. зап. МГУ 30 A939), 3—16 [11].
16. Красносельский М. А., Рутнцкий Я. Б., Выпуклые фун-
функции и пространства Орлича, Физматгиз, 1959 [1, 2, 3, 5].
17. Крейи М. Г., О базисах Бари пространства Гильберта, УМН
XII, вып. 3 A957), 333-341 [7].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 451
18. Крейн М. Г., Красносельский М. А., Мильман Д. П.,
О дефектных числах линейных операторов в банаховом прост-
пространстве и некоторых геометрических вопросах. Сб. трудов Ин-та
мат. АН УССР 11 A948), 97—112 [7].
19. Крейн М. Г., Мильман Д. П., Рутман М. А., Об одном
свойстве базиса в пространстве Banacha, Уч. зап Харьк. мат.
об-ва, сер. 4, 16 A940), 106—110 [7].
20. Л е в и т а н Б. М., Почти периодические функции, Гостехиздат,
1953 [8].
21. Любич Ю. И., Почти периодические функции в спектральном
анализе операторов, ДАН СССР 132 A960), 518—520 [8].
22. Любич Ю. И., Об операторных нормах матриц, УМН XVIII,
вып. 4 A963), 161—164 [10].
23. Любич Ю. И., О неравенствах между степенями линейного опе-
оператора, Изв. АН СССР, сер. мат. 24 A960), 825—864 [11].
24. Любич Ю. И., Одна теорема об операторах класса К, Теория
функций, функц. ан. и прил., вып. 1 A965), 212—218 [11].
25. Пич А., Ядерные локально-выпуклые пространства, «Мир»,
19С7.
26. Соло мяк М. 3., Об ортогональном базисе в пространстве Ба-
Банаха, Вестник ЛГУ, сер. мат. 1 A957), 27—36 [6].
27. Урысон П. С, Sur un espace metrique universel, Bull, de Sci.
Math. 51 A927), 1—38 [5].
28. Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, ИЛ, 1959 [8].
29. Харди Г. Г., Литтльвуд Д, Е., Полна Г., Неравенства,
ИЛ, 1948 [1,5, 11].
30. Хаусдорф Ф., Добавление к теории линейных метрических
пространств, в книге «Теория множеств», ОНТИ, 1937, 266—
290 [1].
31. Ascoli G., SugH spazi lineari metrici e le loro varieta Hneari,
Ann. Mat. Рига Appl. 10 A932), 33—81, 203—232 [4].
32 Banach S., Sur les operations dans les ensembles abstraits et
leur application anx equations integrates, Fund. Math. 3 A922),
133—181.
33. DvoretzkyA., RogersC. A., Absolute and unconditional con-
convergence in normed linear sp3ces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36
A950), 192—197 [1].
34. Hahn H., Ueber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen,
J. Crelie CLVU A927), 214—229 [4].
35. James R. C, Orthogonality and linear functionals in normed li-
linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 61 A947), 261—292 [4].
36. Jordan P., N e и m a n n J. von, On line inner products in li-
linear metric spaces, Ann. Math. 36 A935), 719—723 [1].
37. M a z и r S., Ober convexe Mengen in linearen normierten Raumen,
Studia Math. 4 A933), 70-84 [4].
38. M a z и r S., U I a m S., Sur ies transformations isometriques
d'espace vectoriel normes, С R., Acad. Sci. Paris 194 A932),
946—948 [5].
39. Minkowski H., Gesammelte Abhandlungen, v. II, 1911.
40. Neumann J. von, On complete topological space, Trans. Amer.
Math. Soc. 37 A937), 1-20 [1, 2, 3].

452 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
41. Rutovitz D., Some parameters associated with finite dimen-
dimensional Banach spaces, J. Lond. Math. Soc. 40 A965), 241—
255 [5].
42. S z. - N a g у В., Perturbations des transformations autoadjointes
dans l'espace de Hilbert, Comm. Math. Helv. 19 A947), 347—366
43. Sz.-Nagy В., On uniformly bounded linear transformations in
Hilbert space, Acta Sci. Math. Szeged 11 A947), 152—157 [8].
44. Wiener N., Limit in terms of continuous transformations, Bull.
Soc. Math. France 50 A922), 124—134 [1].
К главе V
1. В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и представле-
представления, ИЛ, 1947.
2. Д е Рам Ж-, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956, [3].
3. Джекобсон Н., Алгебры Ли, «Мир», 1964 [7].
4. К а р т а н Э., Геометрия римаиовых пространств, ОНТИ, 1936 [3].
5. К а р т ь е П., Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта, в сб.
«Теория алгебр Ли, Топология групп Ли» под ред. Дынкина Е. Б.,
ИЛ, 1962, 9—22 [7].
6. Картье П., Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа, в сб. «Теория
алгебр Ли. Топология групп Ли», под ред. Дынкина Е. Б., ИЛ,
1962, 259-264 [7].
7. Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, ИЛ, 1960 [3],
8. Ф а в а р Ж-, Курс локальной дифференциальной геометрии, ИЛ,
1960.
9. Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, ОНТИ, 1940 [7].
10. Широков П. А., Тензорное исчисление, Гостехиздат, 1934.
11. Neumann J. von, Some matrix inequalities and metrization of
matrix space, Изв. Ин-та мат. и мех. Томск, ун-та 1 A937), 286—
300 [6].
12. Schatten R., A theory of cross-spaces, Princeton, 1950 [6].
13. Weil A., Sur les theorems de de Rham, Comm. Math. Helv. 26
A952), 119—145 [3].
К главе VI
1. Дале цк ни Ю. Л., Интегрирование и дифференцирование опе-
операторов, зависящих от параметров, УМН XII, вып. 1 A957),
182—186 [5].
2. Далецкий Ю. Л., Крейн С. Г., Интегрирование и дифферен-
дифференцирование функций эрмитовых операторов и приложения к тео-
теории возмущений, Тр. Воронеж, ун-та, вып. 1 A956), 81—105 [5].
3. К а р т а н Э„ Теория спиноров, ИЛ, 1947 [3].
4. Немыцкий В. В., Метод неподвижных точек в анализе, УМН
1 A936), 141—175 [4].
5. П е р о в А. И., О многомерных линейных дифференциальных урав-
уравнениях с постоянными коэффициентами, ДАН СССР 154 A964),
1266—1269 [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 453
6. Шмульян Ю. Л., О дифференцируемое™ нормы в пространстве
Банаха, ДАН СССР 27 A940), 643—648 [4].
7. Steinitz E., Bedingt konvergente Reihen und convexe Systeme,
J. reine und angew. Math. 143 A914—1916), 144 [6].
К главе VII
1. Ахиезер Н. и Крейн М., О некоторых вопросах теории мо-
моментов, ДНТВУ, 1938 [3].
2. В е й л ь Г., Элементарная теория выпуклых многогранников, в
сб. «Матричные игры» под ред. Воробьева Н. Н., Физматгиз,
1961,254—273 [2, 3].
3. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов, «Наука», 1965 [5].
4. Дмитриев Н. А., Д ы н к и н Е. Б., Характеристические корни
стохастических матриц, Изв. АН СССР, сер. мат. 10 A946),
167-184 [4].
5. Карпелевич Ф. И., О характеристических корнях матрицы с
неотрицательными элементами, Изв АН СССР, сер. мат. 15
A951), 361—383 [4].
6. Крейн М. Г., О некоторых вопросах геометрии выпуклых ан-
ансамблей, принадлежащих линейному нормированному и полно-
полному пространству, ДАН СССР XIV A937), 5—8 [3].
7. Крейн М. Г., Про позитивш адитквш функшонали в лшиних
нормованих просторах, Уч. зап. Харьк. мат. об-ва XIV A937),
227-237 [3].
8. Крейн М. Г., Мильман Д. П., On extreme points of regu-
regularly convex set, Studia Math. 9 A940), 133—138 [4].
9. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Шкалы банаховых пространств,
УМН XXI, вып. 2 A966), 89-168 [7].
10. Лидский В. Б., О собственных значениях суммы и произведе-
произведения симметрических матриц, ДАН СССР 75 A950), 769—
772 [6].
11. М а р к у с А. С, Собственные и сингулярные числа суммы и про-
произведения линейных операторов, УМН XIX, вып. 4 A964), 93—
123 [4, 5].
12. Митягин Б. С, Интерполяционная теорема для модулярных
пространств, Мат. сб. 66 A965), 473—482 [7].
13. Нудельман А. А., Шварцман П. А.. О спектре произве-
произведения унитарных матриц, УМН XIII, вып. 6 A958), 111 — 117 [6].
14. Па род и М., Локализация характеристических чисел матриц
и ее применения, ИЛ, 1960 [6].
15. Романовский В. И., Дискретные цепи Маркова, Гостехиз-
дат, 1948 [4].
16. Фань Цзи, О системах линейных неравенств, в сб. «Линейные
неравенства», под ред. Канторовича Л. В. и Новожилова В. В.,
ИЛ, 1959, 214—262 [3].
17. X а д в и г е р Г., Д е б р у н н е р Г., Комбинаторная геометрия пло-
плоскости, «Наука», 1965 [2].
18. Хелли Э., О совокупностях выпуклых тел с общими точками,
УМН II A936), 80—81 [2].

454 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
19. Aniir-Moez A., Extreme properties of eigenvalues of a Her-
mitian transformations and singular values of the sum and pro-
product of linear transformations, Duke Math. J. 23 A956), 463—476
[5, 6].
20. В i г к h о f f G., Tres observations Sobre el algebra lineal, Rev.
Univ. Nac. Tukuman 5 A946), 147—151 [4].
21. Bonnes en Т., Fen с he I W., Theorie der konvexen Korper,
Springer — Verlag, 1934.
22. Eidelheit M., Zur Theorie der konvexen Mengen in linearen
normierten Raumen, Studia Math. 6 A936), 104—111 [3].
23. F а г к a s J., Theorie der einfachen Unfleichungen, J. reine und
angew. Math. 124 A901), 1—27 [3].
24. Horn A., Eigenvalues of sums of Hermitian matrices, Pacif. J.
Math. 12 A962), 225-241 [5, 6].
25. Horn A., On the eigenvalues of a matrix with prescribed singu-
singular values, Proc. Amer. Math. Soc. 5 A954), 4—7 [5].
26. Horn A., On the singular values of product of completely con-
continuous operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36 A950), 374—
375 [5, 6].
27. John F., On symmetric matrices whose eigenvalues satisfy li-
linear inequalities, Proc. Amer. Math. Soc. 17, 5 A966), 1140—
1145 [6].
28. К у Fan, On a theorem of Weyl concerning eigenvalues of li-
linear transformations, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 35 A949), 652—
655 [5].
29. К у Fan, Maximum properties and inequalities for eigenvalues
of completely continuous operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 37
A951), 760—766 [5, 6].
30. Minkowski H., Gesammelte Abhandlungen, v. 11, 1911.
31. Mirsky L., Symmetric gauge functions and unitarily invariant
norms, Quart, J. Math. II (I960), 50—59 [5, 6, 7].
32. Ostrowski A., Sur quelques applications des fonctions conve-
xes et concages au sens de I. Schur, J. Math. pur. et appl. 31
A952), 253—292 [5].
33. Rado R., An inequality, J. Lond. Math. Soc. 27 A952), 1—6 [4].
34. R i e s M., Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fon-
ctionelies iineaires, Acta Math. 49, A926), 465—497 [7].
35. Schatten R., Norm ideals of completely continuous operator,
Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1961 [7].
36. Weyl H., Inequalities between the two kinds of eigenvalues of
a linear transformation, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 35 A949),
408—411 [5].
37. W i e i a n d t H., An extremum property of sums of eigenvalues,
Proc. Amer. Math. Soc. 6 A955), 106—110 [5, 6].
К главе VIII
1. Беккенбах 3., Беллмаи Р., Неравенства, «Мир», 1965 [5].
2. Г а н т м а х е р Ф. Р., К р е й н М. Г., Осцилляционные матрицы
и ядра и малые колебания механических систем, Гостехиздат,
1950 15].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 455
3. Гей л Д., Теория лииейиых экономических моделей, ИЛ, 1963
[2, 3].
4. Гохберг И. Ц., Крейи М. Г., Введение в теорию лииейиых
иесамосопряжеииых операторов, «Наука», 1965 [4].
5. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А., Задачи иа экстремум
при наличии ограничений, Жури. выч. мат. и мат. физ. 5 A965),
395—493 [3].
6. К а и т о р о в и ч Л. В., О полуупорядочеиных лииейиых прост-
пространствах и их применениях в теории линейных операций, ДАН
СССР IV A935), 11—14 [1].
7. Канторович Л. В., By л их Б. 3., Пиискер А. Г., Функ-
Функциональный анализ в полуупорядочеиных пространствах, Гос-
техиздат, 1950.
¦8. Кар л ии С, Математические методы в теории игр, программи-
программировании и экономике, «Мир», 1964 [2, 3].
9. Крейи М. Г., О базисах Бари пространства Гильберта, УМН
XII, вып. 3 A957), 333—34! [4].
10. Крейи М. Г., Рутмаи М. А., Линейные операторы, остав-
оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН 111,
вып. 1 A948), 3—95 [5].
11. Фаиь Цзи, О системах лииейиых неравенств, в сб. «Линейные
неравенства», под ред. Канторовича Л. В. и Новожилова В. В.,
ИЛ, 1959. 214-262 [2].
12. Ш м у л ь я н Ю. Л., Операторный интеграл Хеллиигера, Мат. сб.
49 A959), 381—430 [7].
13. Юдин А., Решение двух проблем теории полуупорядочениых
пространств, ДАН СССР XXIII 1939, 418—422 [I].
14. Davis С, Notions generalising convexity for functions defined
on spaces of matrices, в сб. «Convexity», Amer. Math. Soc. A963),
187-20! [9].
15. Frobenius G., Uber Matrizen aus nicht negativen Elementen,
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. A912), 456—477 [5].
16. Haar A., Die Minkowskische Geometrie und die Annaherung
an stetige Funktionen, Math. Ann. 78 A918) [3].
17. Hoffman A. J., W i e 1 a n d t H. W., The variation of spectrum
of a normal matrix, Duke Math. J. 20 A953), 37—39 [4].
18. Kraus F., Uber konvexe Matrixfunktionen, Math. Zeitschr. 41
A936), 18—42 [9].
19. К У Fan, H о f f m a n A. J., Some metric inequalities in the space
of matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 6 A955), 111 — 116 [4].
20. Lowner K., Uber monotone Matrixfunktionen, Math. Zeitschr.
38 A934), 177—216 [9].
2! M о t z k i n T. S., Beitrage zur Theorie der linearen Ungleichungen,
Jerusalem, 1936 [2].
22. Neumann J. von, M о r g e n s t e r n O., Theory of games and
economic behavior, Princeton Univ. Press, 1953 [2, 3].
23 Perron O., Jacobischer Kettenbruchalgorithmus, Math. Ann. 64
A907), 1—76 [5].
24 Sz -Nagy В., Sur les latic lineiares de dimension fini, Comm.
Math. HeFv. 17 A944—1945), 209-213 [I].

456 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
К главе IX
1. Ахиезер Н. И., Классическая проблема моментов, Физматгйз,
1961 [9].
2. Ахиезер Н. И., К Р е й н М. Г., О некоторых вопросах теории
моментов, ДНТВУ, 1938 [9]
3. Б и р м а н М. С., О спектре сингулярных граничных задач, Мат.
сб. 55 A961), 125—170 [6].
4. Бродский М. С, Лившиц М. С, Спектральный анализ не-
несамосопряженных операторов и промежуточные системы, УМН
XIII, вып. 1 A958), 3—86 [8].
5. Глазман И. М., Прямые методы качественного спектрального
анализа сингулярных дифференциальных операторов, Физматгйз,
1963 [6].
6. Глазман И. М., Об одном классе решений классической проб-
проблемы моментов, Уч. зап. Харьк. мат. об-ва XX A959), 95—98 [9].
7. Глазман И. М., Н а й м а н П. Б., О выпуклой оболочке ор-
ортогональных спектральных функций, ДАН СССР 102 A955), 445—
448 [9].
8. Красносельский М. А., О самосопряженных расширениях
эрмитовых операторов, УМЖ, № 1 A949), 21—38 [4].
9. К Р е й н М. Г., Основные положения теории представления эр-
эрмитовых операторов с индексом дефекта (т, т), УМЖ, № 2
A949), 3—66 [4].
10. Крейн М. Г., Теория самосопряженных расширений полуогра-
полуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения, I, Мат. сб.
20 A947), 431—498; II, Мат. сб. 88 A947), 365—404 [5].
11. Крейн М. Г., Красносельский М. А., Основные теоремы
о расширении эрмитовых операторов и некоторые их применения
к теории ортогональных полиномов и проблеме моментов, УМН
II, вып. 3 A947), 60—105 [5, 9].
12. Л и в ш и ц М. С., Об одном классе линейных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве, Мат. сб. 19 A946), 239—262 [7].
13. Лившиц М. С., К теории изометрических операторов с равны-
равными дефектными числами, ДАН СССР, 58 A947), 13—15 [7].
14. Лившиц М. С, О спектральном разложении линейных неса-
несамосопряженных операторов, Маг. сб. 34 A954), 145—199 [8].
15. Лившиц М. С, Операторы, колебания, волны, «Наука», 1966
[8].
16/Наймарк М. А., Спектральные функции симметрического опе-
оператора, Изв. АН СССР 4 A940), 277—318 [7].
17. Наймарк М. А., Экстремальные спектральные функции сим-
симметрического оператора, Изв. АН СССР II A947), 327—344 [7].
18. Штраус А. В., Характеристические функции линейных опера-
операторов, Изв. АН СССР 24 A960), 43—74 [7].
19. Friedrichs К. О., Spectraltlieorie halbbeschrankten Operato-
геп, Math. Ann. 109 A934), 465—487, 685—713; ПО A935), 777—
779 [5].
20. К i 1 p i Y., Ober selbstadjungierte Vortsetzungen symmetrischen
Transformationen im Hilbertschen Raum, Ann. Acad. Fenn. 23
A959), [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 457
21. Neumann J. von, Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitiesche
Funktionaloperatoren, Math. Ann. 102 A929—1930), 49—131.
22. Pen rose R., On best approximate solutions of linear matrix equ-
equations, Proc. Cambr. Phil. Soc. 52 A956), 17—19 [3].
К главе Х
1. Беллман Р., Теория устойчивости решении дифференциаль-
дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954 [3].
2. Глазман И. М., О разложимости по системе собственных эле-
элементов диссипативных операторов, УМН XIII, вып. 3 A958),
179—181 [1].
3. Гинзбург Ю. И., Иохвидов И. С, Исследования по гео-
геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой,
УМН XVIII, вып. 4 A962), 3—56 [4].
4. Иохвидов И. С, Крейи М. Г., Спектральная теория опера-
операторов в пространстве с индефинитной метрикой, Тр. Моск. мат.
об-ва 5 A956), 367—432; 8 A959), 413—496 [4, 5, 6].
5. К а ц и е л ь с о и В. Э., Об условиях базисности корневых векто-
векторов в некоторых классах несамосопряжеиных операторов, Фуикц.
ан. и прил., I, вып. 2 A967), 39—59 [1].
6. Кацнельсон В. Э., Мацаев В. И., О спектральных множе-
множествах операторов в банаховом пространстве и оценках функций
от конечномерных операторов, Теория функций, функц. ан. и
прил., вып. 3 A966), 3—10 [2].
7. К р е й н М. Г., Лекции по теории устойчивости решений диффе-
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Изд-во АН
УССР, 1964 [3].
8. К р е й и М. Г., Л а н г е р Г. К., О некоторых математических
принципах линейной теории демпфированных колебаний конти-
континуумов, Тр. межд. симп. по прим. теории функций в мех. спл.
среды A965), 283—322 [7].
9. Л умер Г., Фил липе Р., Дисснпативиые операторы в банахо-
банаховом пространстве, Сб. перев. «Математика» 7 : 6 A963), 81—98[3].
10. Л ю б и ч Ю. И., Классическое и локальное преобразование Ла-
Лапласа в абстрактной задаче Коши, УМН XXI, вып. 3 A966),
3—51 [3].
11. Люби ч Ю. И., Консервативные операторы, УМН XX, вып. 5
A965), 221—225 [3].
12. Маркус А. С, Некоторые признаки полноты системы корневых
векторов линейного оператора в банаховом пространстве, Мат.
сб. 70 A966), 526-561 [1].
13. Нейман Дж., Спектральная теория общих операторов в уни-
унитарном пространстве, Сб. перев. «Математика» 4:1 (I960),
101—124 [2].
14. Понтрягин Л. С, Эрмитовы операторы в пространстве с ин-
индефинитной метрикой, Изв. АН СССР 8 A944), 243—280
[4, 5, 6].
15. П о т а п о в В. П., Мультипликативная структура /-иерастягнваю-
щих матрпц-функций, Тр. Моск. мат. об-ва 4 A955), 125—236
[8].

458 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
16. П я т е ц к и й - Ш а п и р о И. И., Геометрия классических обла-
областей и теория автоморфиых функций, Физматгиз, 1961 [8].
17. Секефа льв и -Надь Б., О сжатиях гильбертова простран-
пространства, Сб. перев. «Математика» 3:6 A959), 73—77, 79—89 [1].
18. Филлипс Р., Диссипативные операторы и гиперболические си-
системы дифференциальных уравнений в частных производных, Сб.
перев. «Математика» 6 : 4 A962), 11—70 [1].
19. Ф о й а ш К., О некоторых теоремах Дж. Неймана, касающихся
спектральных множеств, Сб. перев. «Математика» 4: 1 A960),
125-129 [2].
20. Хуа Л о Кен, Гармонический анализ функций комплексных пе-
переменных в классических областях, ИЛ, 1959 [8].
21. 111м улья и Ю. Л., Нерастягивающие операторы в конечномер-
конечномерном пространстве с индефинитной метрикой, УМН XVIII, вып. 6
A963), 225—230 [5, 6].
22. D u f f i п R. J., A minimax theory for overdamped networks, J.
Rat. Mech. and Anal. 4 A955), 221—233 [7].
23. H i 11 e E., Le probleme abstrait de Cauchy, Rand. Sem. Mat.
Univ. e Politech. Torino, 12 A953), 95—103 [3].

СЛОВАРЬ ОБЩИХ ПОНЯТИЙ
Группа — множество О, наделенное операцией умножения,
которая относит каждой упорядоченной nape g]t g2?E произве-
произведение g = gigi? О. причем должны быть выполнены следующие
аксиомы:
1) (gigi) g$ = g\ (gigi) (ассоциативный закон);
2) существует единица, е?О. обладающая тем свой-
свойством, что ge — eg = g (g? О);
3) для каждого g?Q существует обратный элемент
g~l. обладающий тем свойством, что gg~l = g~lg = e.
Легко доказать, что единица и обратный элемент определены
однозначно.
Из аксиом группы непосредственно следует однозначная раз-
разрешимость уравнений
gx = h. yg=h.
Именно: x = g-ih, y = hg~i. Тем самым определены операции
левого и правого делений соответственно.
Группа называется абелевой, если в ней выполняется
коммутативный закон: gtg2 = SiSv
В абелевой группе левое и правое деления совпадают.
Гомоморфизмом группы О, в группу О2 называется
отображение q>: G,->G2, обладающее тем свойством, что
Очевидно, при этом <ре — е, <f(g~l)~{yg)~l.
Категория (в узком смысле) — класс множеств Mv с семей-
семейством отображений Нра = {фра}. удовлетворяющий следующим усло-
условиям:
1) фва отображает Ма в М„ при любом v;
2) йроизведенне фурфоа принадлежит семейству Нуа при
любых а, р, у. М>. v;
3) Наа содержит единичное отображение Ма -> Ма при
любом а.
Квазипорядок — бинарное отношение х -< у на каком-нибудь
множестве М, удовлетворяющее условиям:
1)ёЬлил:-<уи у-<г, то x-e^z (транзитивность);
2) Л<х для всех л:?М(рефлексивность).

460 СЛОВАРЬ ОБЩИХ ПОНЯТИЙ
Множество, наделенное квазипорядком, называется к в а з н-
упорядоченным.
Квазипорядок называется порядком, если нз того, что х ¦< у
и у •< х, следует х=-у. Множество, наделенное порядком, назы-
называется упорядоченным.
Элементы х, у коазиупорядоченного множества называются
сравнимыми, если х-Су или у¦<х.
Кольцо — множество R, наделенное операциями сложения и
умножения, причем
1) R является абелевой группой относительно сложения;
2) имеют место дистрибутивные законы:
A~1+г3) г = rs +г2г, г (г, +г2) = /т, +ггг.
Оставляя в кольце только операцию сложения, получаем адди-
аддитивную группу кольца. Ее единица называется нулем
кольца и обычно обозначается через 0. Элемент, обратный к г
в аддитивной группе кольца, называется противоположным
к г и обозначается через —г. Таким образом,
Термин «деление» в аддитивной группе кольца заменяется терми-
термином «вычитание». Соответственно пишут г — s = r-\-(— s).
Кольцо называется коммутативным, если умножение в
нем коммутативно; оно называется ассоциативным, если
умножение ассоциативно.
Кольцо R называется полем, если множество R\{0} является
абелевой группой относительно умножения.
Метрическое Пространство — множество, наделенное метри-
метрикой, т. е. числовой функцией р (х, у), удовлетворяющей условиям:
1) р{х,у)>6 (хфу), р(х,х) = 0;
2) р (у, х) = р (х, у);
3) р(х,г)^р(х, y) + f>(y.z).
Последнее неравенство называется неравенством тре-
треугольника.
Величина р(х, у) называется расстоянием между точ-
точками х, у.
Пусть х0 ? М, е > 0. Множества
{х | р (х, хй) < е}, {х | р (х, х0) < е}, {х \ р {х, х0) = е}
называются открытым шаром, замкнутым шаром и
сферой соответственно. Точка ^называется центром, число
е — радиусом.
Последовательность {л^}" в метрическом пространстве назы-
называется сходящейся к х, если
lim р (хь, х) = 0.
Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна:
lim р(хь, xj)=0. Метрическое пространство называется пол-
j, k -» оо

СЛОВАРЬ ОБЩИХ ПОНЯТИЙ 461
я ы м, еслн в нем каждая фундаментальная последовательность
сходится.
Отношение эквивалентности — бинарное отношение х ~ у на
каком-нибудь множестве М, удовлетворяющее условиям:
1) если х ~> у и у~г, то x~z (транзитивность);
2) если х ~> у, то у~х (симметричность);
3) х ~ х (рефлексивность).
Каждое отношение эквивалентности на М определяет разбиение
множества М на классы эквивалентности Ка:
Классы должны быть непустыми, н при этом условии разбиение
однозначно характеризуется тем, что х ~у тогда и только тогда,
когда х и у входят в один класс.
Полугруппа — множество, наделенное ассоциативным умно-
умножением.
Топологическое пространство — множество X, наделенное
топологией. Это означает, что в X выделено множество под-
подмножеств Оа, называемых открытыми множествами,
с соблюдением следующих требований:
1) объединение любого множества открытых множеств
открыто;
2) пересечение конечного множества открытых множеств
открыто;
3) множества 0, X открыты.
Множество F в топологическом пространстве называется зам-
замкнутым, если его дополнение открыто. Имеют место следующие
основные утверждения о замкнутых множествах:
1') пересечение любого множества замкнутых множеств
замкнуто;
2') объединение конечного множества замкнутых множеств
замкнуто;
3') множества X, 0 замкнуты.
Топологическое пространство X называется связным, если
в нем не существует множеств, являющихся одновременно откры-
открытыми и замкнутыми, кроме X и 0. Замкнутое множество М в то-
топологическом пространстве X называется связным, еслн его
нельзя разбить на две пепустыо замкнутые непересекающиеся
части.
Подмножество В множества непустых открытых множеств
называется базой, а его элементы окрестностями, еслн
каждое непустое открытое множество является объединением не-
некоторого множества элементов из В. Прн этом элемент V?B
называется окрестностью точки х, если х?V.
Пусть в некотором множестве X выделено множество В не-
непустых подмножеств с соблюдением следующих свойств:
1) если V,, V2fB, то существует такое V.?B, что
V П V2;
по
1)
31 И. М. Глазиан. Ю. И. Любич

462 СЛОВАРЬ ОБЩИХ ПОНЯТИИ
2) для каждой точки х существует такое V?B, что x?V.
Тогда множество X можно наделить (и притом единственным
образом) такой топологией, для которой В будет базой. Эта про-
процедура называется заданием топологии с помощью ок-
окрестностей. В каждом метрическом пространстве естественно
определяется топология с помощью окрестностей вида
V (ха, е) = {х | р (х, х0) < е},
т. е. всевозможных открытых шаров.
Если одно и то же множество X наделено двумя топологиями
и если каждое множество, открытое в одной топологии, является
открытым и в другой топологии, то говорят, что первая топология
слабее второй (а вторая сильнее первой).
Пусть М — какое-нибудь подмножество топологического про-
пространства X. Точка х?л называется предельной точкой
множества М, если каждое открытое множество, содержащее то-
точку х, содержит некоторую точку у?М, у = х. Множество пре-
предельных точек множества М называется производным мно-
множеством множества М и обозначается через М'. Множество
М = M|JM' называется замыканием множества М. Оно совпа-
совпадает с пересечением всех замкнутых множеств, содержащих М.
Множество дМ — М \ М называется границей множества М,
а его точки — граничными точками множества М. Множе-
Множество Int М = М \ д!Л называется внутренностью множества М,
а его точки — внутренними точками множества М.
Говорят, что множества Н„ с X образуют покрытие мно-
множества М, если Me U На. Покрытие называется открытым,
а
если все его элементы открыты.
Топологическое пространство называется отделимым (нли
хаусдорфовым), если для любых двух точек *,, х2?Х, хх ф х2
существуют такие открытые множества О,, О2, что
*,€(}„ x2?Q2, 0,002 = 0-
Множество М в отделимом топологическом пространстве назы-
называется компактным (или компактом), если каждое его
открытое покрытие {Н„} содержит некоторое конечное покрытие
На(> Ни2> ..., На^. Компактное множество замкнуто. Множество М
называется предкомпактным, если его замыкание М ком-
компактно.
Если X, Y — два топологических пространства, то их топ о-
логнческнм произведением называется декартово произ-
произведение XXY (т. е. множество пар {х, у}, где *?X, y?Y),
наделенное топологией, в которой открытые множестна имеют вид
О X Н, где О с: X, Н с: Y — открытые множества.
Отображение ф: X -> Y топологических пространств называется
непрерывным, если для любого открытого множества Н cz Y его
полный прообраз <р~' Н открыт.

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
== равенство по определению.
а нестрогое включение.
IntF подмножество внутренних
точек множества F.
dF граница множества F.
Э?е вещественная часть ком-
комплексного числа.
Qm мнимая часть комплексного
числа.
Е линейное пространство.
п размерность пространства Е.
С арифметическое пространство
размерности п.
L (Г) линейная оболочка системы
векторов Г.
Со выпуклая оболочка.
E/L фактор-пространство Е по
модулю L.
Нот (Е, Е,) пространство го-
гомоморфизмов из Е в Е,.
33 (Е,, Е2) пространство билиней-
билинейных функционалов на Е| X Е2.
Ш (Е) пространство операторов
в Е.
о (А) спектр оператора А,
%рА след оператора А.
Rfc R^ (А) резольвента операто-
оператора А.
Dom А область определения опе-
оператора А.
А | L сужение оператора на под-
подпространство L.
6 (Л) дефектное число опера-
оператора А.
А расширение оператора А.
Р проектор.
Р проектор, дополнительный к Р.
Я-L проектор, ортогональный к
проектору Р.
S самосопряженный (эрмитов)
оператор.
U унитарный оператор.
[А, В] коммутатор операторов
А и В.
-}-_
прямая сумма.
ф, 0 ортогональная сумма.
(х, у) скалярное произведение
векторов х л у.
|| || норма.
@ (Е) пространство самосопря-
самосопряженных операторов в Е.
Ц (Е) пространство унитарных
операторов в Е.
dimL размерность подпростран-
подпространства L.
codim L коразмерность подпро-
подпространства L.
Ker h ядро гомоморфизма h.
lm h образ гомоморфизма Л.
rg h ранг гомоморфизма Л.
def/г дефект гомоморфизма h.
ind h индекс гомоморфизма h.
Е' пространство, сопряженное
пространству Е.
h' гомоморфизм, сопряженный
гомоморфизму Л.
К' клин, сопряженный клину К.
а' транспонированная матрица.
L 1 подпространство, ортогональ-
ортогональное подпространству L.
Е* пространство, эрмитово-со-
эрмитово-сопряженное подпростран-
подпространству Е.
А* оператор, эрмитово-сопря-
женный оператору А.
31*

464
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
р (А) спектральный радиус опе-
оператора А.
X декартово произведение.
я
(g), ® тензорное произведение.
Л внешнее произведенве.
о шуровское произведение.
О отношение коммутирования.
<^ отношение квазипорядка в
линейном пространстве.
< строгое отношение поряд-
порядка в линейном простран-
пространстве.
_< полустрогое отношение по-
порядка в линейном простран-
пространстве.
<; отношение квазипорядка в
произвольном множестве.
« изоморфизм пространств или
подобие операторов.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕОРЕМ*)
Теорема:
Абеля I, 334.
Адамара V, 92.
Амир-Моэза VII, 156.
Асколи — Мазура IV, 83; VII, 102.
Бернштейна С. Н. IV, 139.
Бесселя III, 75, 80.
Биркгофа Г. VII, 127.
Болышно—Вейерштрасса I, 287.
Бродского М. С. Ill, 246.
Качмажа — Неймана III, 168.
Коши I, 306.
Коши — Адамара I, 333; IV, 26.
Крейна М. Г. VII, 84; VIII, 120,
214; IX, 148.
Крейна — Мильмана VII, 115.
Крейна — Мильмана — Рутмана
IV, 176.
Куна —Таккера VIII, 103, 104.
Кэмпбелла — Хаусдорфа —
Дынкина V, 137
Вейля Г. III, 242; VII, 95, 138,
144.
Виландта III, 240, 241; VII, 151.
Винера —Пэли IV, 175.
Лагранжа — Сильвестра II, 234.
Лившица IX, 261, 271.
Лидского VII, 159, 163.
Ляпунова X, 72.
Гамильтона — Кэли II, 74.
Гантыахера — Крейна VIII, /69.
Гельфанда IV, 215.
Гильберта II, 129.
Грассмана I, 60.
Гурарпя — Кадеца — Мацаева
IV, 113.
Даффнпа X, 156.
Жордана II, 91, 93.
Маркуса А. С. VII, 136, 166,
167.
Минковского IV, 89; VII, 94.
Мирского III, 261; VII, 153.
Митягина VII, 198.
Моцкина VIII, 72.
Неймана Дж. VIII, 105; X, 34.
Островского VII, 143.
Канторовича VIII, 211.
Каратеодори VII, 71.
Парсеваля III, 57, 80, 96.
Перрона VIII, 157.
*) Здесь ссылки даются на номер главы и номер задачи.

466
именной указатель теорем
Радо VII, 132.
Рнсса М. VII, 199.
Рисса Ф. II, 229; III, 48.
Хаусдорфа III, 274.
Хеллн VII, 73.
Хорна VII, 140, 154.
Секефальвн-Надя IV, 152; X, 27.
Сильвестра I, 139.
Сильвестра — Якобн III, 233.
Сонина — Шмидта III, 89.
Фань Цзи VII, 149, 189.
Фаркаша VII, 93.
Фойаша X, 44.
Фредгольма I, 97, 199, 202.
Фробениуса II, 97; VIII, 143.
Хаара VIII, 108.
Хана = Банаха IV, 88.
Шаттена V, 115; VII, 191.
Шварца Г. IV, 9; VI, 118.
Шмидта III, 250.
Штейница I, 17; IV, 152.
Шура II, 1; III, 243, 259.
Эйлера — Лагранжа VIII, 113.
Эйлера — Фурье III, 78.
Юдина VIII, 15.
Якобн II, 215.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Абсолютное значение вектора 333
Автоморфизм 87
Адъюнкт системы относительно
базиса 254
Алгебра 41
— ассоциативная 41
— Ли 132
Арифметический корень из опе-
оператора 128
Аффинное многообразие 303
Аффинный ранг выпуклого мно-
многогранника 312
— — клина 299
База подалгебры 89
Базис абсолютный 229
— Ауэрбаха 213
— выпуклого многогранника 311
— диагонального представления
96
— жорданов 110
— канонический арифметическо-
арифметического пространства 19
— клина 299
— наилучшего приближения 221
— ортогональный 164, 213
— ортонормированный 164
— полуортогональнып 213
— пространства 19
— сопряженный 49
— треугольного представления
100
— Фробениуса 107
— Шура 192
Базисная система подпро-
подпространств 28, 30
Билинейная форма 145
Биортогональные системы векто-
векторов и функционалов 54, 167
Валентность тензора 243
Вектор допустимый 344
— изотропный 430
— нормированный 188, 204
— оптимальный 344
Векторы линейного пространства
— неотрицательные 330
— неположительные 330
— отрицательные 330
— положительно линейно неза-
независимые 296
— положительные 330
Вещественная часть вектора 272
оператора 172
Взаимная ортогональность век-
векторов 157
Вложение 32
Внешнее произведение векторов
252
Внешняя степень пространства
252
— форма 254
Выпуклая комбинация векторов
304
— оболочка 304
замкнутая 304
Выпуклое абсолютно множество
207
тело 207
— множество 303
— тело 303
Выпуклый многогранник 305
— строго функционал 341
— функционал 341
Ганкелевы формы 412
Генератор билинейного функци<
онала левый, правый 59

468
алфавитный указатель терминов
Гессиан функционала 287
Гипероктант положительный
299
Гиперплоскость 303
— опорная 309
Гиперслой 217
Главное значение логарифма опе-
оператора 128
Гомоморфизм 32
— вырожденный 75
— граничный 256
— двусторонне обратимый 43
— комплексифицируемый 278
— левый обратный 42
— обратимый 43
— слева, справа 43
— обратный 43
— ортогональный слева, справа
46
— правый обратный 42
— сопряженный 56
— фредгольмов 35
— эрмитов 65
— эрмитово-сопряженный 66
Градиент функционала 287
Граница цепи 256
Декартово представление опера-
оператора 172
Декомплексифнкация гомомор-
гомоморфизма 278
— линейного функционала 278
— пространства 276
Делитель гомоморфизма левый,
правый 46
Детерминант Грама 262
— оператора 141
— системы векторов 249
Дефект билинейного функциона-
функционала левый, правый 60
— гомоморфизма 34
— фредгольмова билинейного
функционала 60
Дефектное подпространство 386
— число оператора 374
Дифференциал отображения 284
— цепи 256
Дополнение подпространства 28
Единичная сфера 204
Единичный шар 208
Жорданов канонический вид 110
Жорданова структура 113
Задача выпуклой оптимизации 347
¦— двойственная 344
¦— допустимая 344
— линейной оптимизации 344
— ограниченная 344
Значение задачи 344
Идеал двусторонний 92
— левый, правый 92
— тривиальный 92
Изометрия 214
Изоморфизм канонический про-
пространств Е и Е" 50
Е и Е** 66
— пространств 22
— эрмитов канонический про-
пространств Е и Е' 157
Изоморфные пространства. 22
Инверсия 289
Индекс билинейного функциона-
функционала 60
— гомоморфизма 35
Каноническое комплексное соп-
сопряжение 65
Квадратичная форма 147
Квазипермутатор 314
Квазипорядок сопряженный 333
Класс гомологии 256
— по модулю данного подпро-
подпространства 31
Клетка Жордана 109
Клин 296
— конечный 299
— многогранный 299
— острый 302
— положительный 330
— прямой 302
— самосопряженный 302
— сопряженный 300
— телесный 297
— тупой 302
Коммутатор 88
— групповой 143
— степенных рядов 268
Комплексификация' гомоморфиз-
гомоморфизма 273
— пространства 27?

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
469
Комплексификация эрмитова 273
Комплексная оболочка простран-
пространства 272
Комплексное продолжение гомо-
гомоморфизма 273
— — нормы 275
Конус 296
— кольцевой 360
— миниэдралышй 332
— Минковского 298
— — круглый 302
Кообраз гомоморфизма 33
Координаты вектора 20
Коразмерность подпространства
28
Коэффициент Фурье 162
Коядро гомоморфизма 33
Крайний вектор клина 299
Крайняя точка выпуклого мно-
множества 311
Кратность собственного значе-
значения 104
Кронекеровское произведение го-
гомоморфизмов 63
Кросс-норма 263
— в 9Й(Е) 325
Круг Вейля — Гамбургера 403,
405
— сходимости векторного сте-
степенного ряда 86
Линейная комбинация векторов
12
— нетривиальная 12
— тривиальная 12
неотрицательная 296
— — положительная 296
— независимость векторов по мо-
модулю 32
— оболочка множества векторов
25
неотрицательная 296
— — положительная 296
системы векторов 13
— размерность множества век-
векторов 303
— форма 50
— часть клина 298
Линейно зависимые векторы 13
— минимальное множество век-
векторов 19
Линейно независимые векторы
13
Линейный функционал неотрица-
неотрицательный 307
Луч 297
Матрица 20
— антисимметричная 146
— билинейного функционала 145
— относительно пары ба-
базисов 61
— бистохастическая 313
— гомоморфизма 39
— Грама 166
— дважды стохастическая 313
— диагональная 96
— единичная 21
— квадратичного функционала
147
— неособенная 95
— обратная 96
— оператора 95
— регулярная 95
— самосопряженная 153
— симметричная 147
— системы относительно базиса
21
— сопряженная 152
— стохастическая 313
— тензора 246
— транспонированная 145
— унитарная 179
— эрмитово-билинейного функ-
функционала 151
— эрмитово-квадратнчного функ-
функционала 152
Мера неевклидовости нормиро-
нормированного пространства 201, 206
— неизометричности 215
Минимальное разложение векто-
векторов в упорядоченном прост-
пространстве 332
Минор системы векторов относи-
относительно базиса 254
Мнимая часть вектора 272
• оператора 172
Многообразие Грассмана 225
— Штифеля 225
Множество ограниченное 73
Моменты оператора 411, 412
Мономорфизм 32

470
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Независимая система подпро-
подпространств 27
Нижняя размерность клина 298
Нильпотентная часть оператора
125
Норма 198
— билинейного функционала 206
— гильбертова (абсолютная) 237
— гладкая 288
— гомоморфизма 205
— двойственная 264
— евклидова 200
— квадратичного функционала
206
— кольцевая 236
— — минимальная 239
— линейного оператора 205
— — функционала 206
— операторная 236
/237
с 237
— равномерная 199
— сохраняющая единицу 236
— унктарно-инварнантная 324
— функционала 204
— эрмитово-билинейного функ-
функционала 206
— эрмитово-квадратичного функ-
функционала 206
— с 198
— / 198
— /р 198
Носитель билинейного функцио-
функционала левый, правый 59
Область безусловной сходимости
векторного ряда 81
— значений частичного операто-
оператора 374
— определения частичного опе-
оператора 374
— сходимости векторного ряда 79
Образ гомоморфизма 33
— подпространства 36
Образующие подалгебры 89
Объем системы векторов 260
Ограничение гомоморфизма 42
Окрестность билинейного функ-
функционала 73
— вектора 71
— гомоморфизма 73
Окрестность кубическая 71
Оператор 87
— антнеимметризации 251
— антисимметричный 283
— бистохастичеекпй 312
— вольтерров 123
— вполне положительный 360
— вращения 282
— дважды стохастический 312
— диссипативный 416, 427
простой 417
— единичный 87
— изометрический 228, 377
— инфинитезимальиый 426
— класса Ж 240
— консервативный 427
— линейный 87
— наилучшего приближения 220
— неотрицательный 176
— нильпотентиый 123
— нормальный 184
— нулевой 90
— обобщенный обратный 382
— обратный 87
— одноклеточный 108
— одноточечный 102
— ортогонализующий 352
— ортогонально неприводимый
171
— ортогональный 281
— положительный 177
— приводимый 108
— примитивный 359
— простой 376
несамосопряженный 400
иеуиитарный 401
— псевдосамосопряженный 432
— псеодоунитарный 432
— регулярный 87
— самосопряженный 171
— симметризации 249
— симметризуемый 174
— симметричный 281
— скалярного типа 96
— скалярный 88
— собственно ортогональный 282
унимодулярный 143
— сопряженный 87, 169, 378
—сосредоточенный в точке 102
— стохастический 312
— строго устойчивый 359

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
471
Оператор трансляционно положи-
положительный 359
— угловой 432
— унимодулярный 143
— унитарный 179
— устойчивый 428
— частично изометрический 380
— эволюционный 425
— эргодический 230
— эрмитов 377
— эрмитово-сопряженный 87
— /-самосопряженный 432
— /-унитарный 432
Операторная окружность 441
Операторный круг единичный
442
— модуль левый, правый 183
— пучок квадратичный 439
линейный 367
— — сильно демпфированный
440
Операторы коммутирующие 88,
375
— подобные ПО, 114
Операция суперпозиции формаль-
формальных степенных рядов 267
Ориентация пространства 283
Ортогональная проекция 159
— система векторов 162
подпространств 158
— — проекторов 133
Ортогональное дополнение к под-
подпространству 52
— разложение единицы 160
F-ортогональное дополнение ле-
левое, правое 68
Ортогональность вектора и ли-
линейного функционала 51
— векторов 157, 211
— подпространств к вектору 213
нормированного простран-
пространства 211
— проекторов 133
F-ортогональность векторов 68
— подпространств 68
Ортоиормированная система век-
векторов 162
Ортопроектор 159, 210
— нелинейный 220
Остов выпуклого многогранника
305
Остов конечного клина 299
Ось вращения 282
Отображение билинейное 243
— вогнутое 347
— дифференцируемое 285
в точке 284
— монотонное 355
— полилинейное 243
— постоянное 285
— равномерно сжимающее 286
— сжимающее 285
— строго сжимающее 286
Отрицательная часть вектора 333
Отрицательный индекс инерции
функционала 155
Пермутатор 312
Поглощающее множество 209
Подалгебра 88
Подпространства взаимно допол-
дополнительные 28
независимые 27
— изометричиые 214
— косо-связанные 433
Подпространство 23
— гиперболическое 436, 437
— гипермаксимальное 431
— изотропное 430
— инвариантное 376
— комплексифицнруемое 276
— комплексифицирующее 277
— корневое 103
— — усеченное 106
— максимальное 25
— минимальное 25
— наибольшее 25
— наименьшее 25
— /-нейтральное 431
— /(-нейтральное 156
— /(-неотрицательное 155
— /(-неположительное 155
— нулевое 23
— ортогонально приводящее опе-
оператор 170
— /(-отрицательное 155
— /(-положительное 155
— порождающее 381
— приводящее оператор 108
— В-регулярное 148
— Я-регулярное 153
— тривиальное 23

472
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Подпространство циклическое 107
Подсистема базисная 14
— векторов 13
— полная 13
Подчиненность норм 202
— преднорм 204
Полилинейная форма 247
Полином, аннулирующий опера-
оператор 90
—, • на векторе 90
— минимальный вектора 90
— — оператора 90
— от оператора 89
— характеристический 104
Полная система подпространств 27
Полный прообраз подпростран-
подпространства 36
Положительная часть вектора
332
Положительный индекс инерции
функционала 155
— ортант 302
Полугруппа операторов изомет-
изометрическая 426
сжимающая 426
Полунорма 203
Полупространство замкнутое 297
— открытое 298, 303
Полупрямая 297
Поляра квадратичного функцио-
функционала 147
— эрмитово-билинейиого функ-
функционала 152
Полярное представление опера-
оператора 183
Порождающий вектор оператора
107
Порядок вектора относительно
оператора 90
— выпуклого многогранника 312
— квадратной матрицы 20
— клина 299
— кольцевой 361
— оператора 90
— операторный 360
— собственного значения 103
— спектральный 363
Предел верхний 225
— нижний 224
— последовательности векторов
75
на
Преднорм а 203
— обобщенная 208
— симметричная 326
Преобразование Кэли 182, 384
Приближение наилучшее 218
Присоединенный вектор (k—1)-го
порядка 109
Продолжение гомоморфизма 42
— функционала 50
Проектирование, параллельное
подпространству 133
Проектор 132
— дополнительный 133
— корневой 134
Проекторы вазимно ортогональ-
ортогональные 133
Проекционная константа 210
Произведение гомоморфизма
число 38
— гомоморфизмов 40
— матриц шуровское 293, 363
— частичных операторов 375
Производная норма 237
— отображения 284
— по направлению 288
Производящее множесТ!
ров 19
Пространство арифметическое
12
— бесконечномерное 19
— гомологии 256
— евклидово 200
. — индефинитное 430
— Канторовича 331
— комплексное линейное 11
— конечномерное 19
— линейное квазиупорядоченное
330
— /р, /, с 199
— Минковского 198
•— п-мерное 21
— нормированное 198
— Поитрягина 430
— сопряженное 49
— строго нормированное 219
— универсальное 216
— е-универсальное 218
— унитарное 156
— упорядоченное 331
— Фрндрихса 367
<— эрмитово-сопряженное 65
множество векто-

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
473
Псевдометрика 430
— индефинитная 430
Псевдорастяжение 435
— строгое 435
Псевдосжатие 435
— строгое 435
Равномерно ограниченная после-
последовательность вектор-функ-
вектор-функций 84
Радиус сходимости векторного
степенного ряда 86
Разложение вектора по-базису 20
— Данфорда 123
— единицы 134
— оператора 134
— резольвенты 135
Размерность аффинного много-
многообразия 303
— клина 297
верхняя 297
— пространства 21
Разность частичных операторов
375
Ранг билинейного функционала
60
— гомоморфизма 34
— несамосопряженности 400
— неунитарности 401
— системы векторов 16
Расстояние Банаха — Мазура 216
— вектора от подпространства
205
Раствор подпространств 222
— сферический 223
— шаровой 224
Расширение выпуклого множе-
множества до клина 304
— гомоморфизма 42
— квазисамосопряженное 400
— квазнупптарное 401
— оператора 374
— — полное 375
Резольвента 115
Ряд векторный абсолютно сходя-
сходящийся 203
— — безусловно сходящийся 81
вполне расходящийся 79
равномерно сходящийся 84
— — сходящийся 79
условнр расходящийся 81
Ряд векторный условно сходя-
сходящийся 81
— Неймана 122
Самосопряженная компонента
оператора 400
Свертка тензоров 248
Седловая точка функционала
Лагранжа 346
Сжатие 228
— простое 417
— строгое 228
Симметрично-выпуклое множе-
множество 326
— тело 326
— — нормированное 327
Симметричный многогранник
Bш-гранннк) 217
Сингулярные числа (s-числа) 192
Система векторов 13
— — нормированная 204
— — полная 19
В-регулярная 148
Я-регулярная 153
— — треугольная относительно
базиса 250
— главных осей функционала 174
— подпространств ортогональ-
ортогональная 158
— уравнений неприводнмо несо-
несовместная 339
— функционалов тотальная 51
Системы векторов биортогональ-
ные 167
— — взаимно независимые 18
эквивалентные 16
Скалярная часть оператора 125
Скалярное произведение 156
След оператора 129
Собственное значение оператора
94
кратное 104
— — — простое 104
— — операторного пучка 367,
439
— подпространство оператора 94
— число оператора 94
Собственный базис оператора 96
— вектор оператора 94
операторного пучка 367
Сопряженный вектор 272

474
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Спектр оператора 94
простой 98
— операторного пучка 439
— унитарный 180
Спектральная лакуна (люк) 392,
398
полубесконечная 393
Спектральное множество опера-
оператора 420
— разложение оператора 103,
135
Спектральный радиус 116
Сравнимость векторов по моду-
модулю 31
Степень формального полинома
265
Строго выпуклое множество 311
Структурные константы 247
Стягивание пространства по мо-
модулю 33, 34 ¦
Сужение гомоморфизма 42
— клина до выпуклого множе-
множества 304
— оператора 374
Сумма векторная множества под-
подмножеств 297
— векторного ряда 79, 80, 82
— гомоморфизмов 38
— операторов ортогональная 171,
383
— — прямая 101, 377
— подпространств 25
прямая 27, 29
— пространств декартова 58
ортогональная 158
— частичных операторов 375
Сходимость по норме 202
— последовательности векторов
75
Тензор 243
— антисимметричный 249
— ковариантный 245
но данному аргументу 245
— контравариантнын 245
— — по данному аргументу 245
— симметричный 249
Тензорная степень пространства
252
Тензорное произведение векто-
векторов 62, 244
Тензорное произведение гомо-
гомоморфизмов 63
линейных функционалов 61
— — пространств 243
тензоров 247
Теплицевы формы 414
Топология слабая 201
Точка линейного пространства
11
Точная пара гомоморфизмов 46
— последовательность гомомор-
гомоморфизмов 46
Унитарная группа 179
— компонента оператора 401
Унитарно подобные операторы
184
Фазовый множитель левый, пра-
правый 183
Фактор-оператор 99
Фактор-пространство 31
Формальное разложение вектора
160
— — по системе подпространств
160
Формальный полином 265
лиевскнй 268
— — однородный 265
— степенной ряд 266
— лиевский 268
Формальных полиномов произве-
произведение 265
равенство 265
Фробениусов канонический вид
107
Фундаментальная последователь-
последовательность векторов 77
Функционал 12
— билинейный 59, 145
— — антисимметричный 146
симметричный 146
— — фредгольмов 60
регулярный 69
— вырожденный 151
— квадратичный 146
— линейный 49
— Минковского 208
— мультипликативный 143
— опорный 213
— полилинейный 243

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
475
Функционал эрмичово-билиней-
ный 67
антисимметричный 152
— — симметричный 152
— эрмитово-квадратичный 152
вещественный 153
— — — дефинитный 156
— индефинитный 156
неотрицательный 156
неположительный 156
— — — отрицательный 156
— — — положительный 156
— эрмнтово-линейный 65
Функция Лагранжа 346, 347
— от оператора 123
— выпуклая 369
— — — монотонная 369
— — степенного ряда 267
Характер перестановки индексов
251
Характеристика базисной систе-
системы подпространств 30
Характеристическая оператор-
функция 406
— функция 404, 405
Хаусдорфово множество 195, 429
Центр алгебры 88
Цепи 256
Цепь максимальная 24
— подпространств 24
Циклы 256
— гомологичные 256
Частное от деления гомоморфиз-
гомоморфизмов слева, справа 46
Часть оператора 99
Чебышевская точка 348
Числовая область оператора 195
Шуровское умножение 293
Эквивалентность норм 202
— преднорм 205
Экстремальная точка выпуклого
множества 311
Экстремальный вектор клииа 299
Эндоморфизм 35
— единичный 40
Эпиморфизм 33
Эрмитова изометрия 214
— форма билинейная 151
вещественная 153
— — квадратичная 152
Ядро билинейного функциона-
функционала левое, правое 60
— гомоморфизма 33

Израиль Маркович Глазман
Юрий Ильич Любич
Конечномерный линейный анализ
М., 1969 г., 476 стр.
Редакторы А. 3. Рывкин и Л. Я- Цлаф
Техн. редактор А. А. Благовещенская
Корректор М. Ф. Алексеева
Сдано в набор 23/1V 1968 г. Подписано к пе-
печати 27/XI 1968 г. Бумага 84х1087з2. Физ. печ.
л. 14,875. Условн. печ. л. 24,99. Уч.-изд. л. 23,70.
Тираж 17 000 экз. Т-15892. Цена книги 1 р. 69 к.
Заказ № 1229.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография Ks 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрона
Комитета по печати
при Совете Министров СССР,
Измайловский проспект. 29.