B.H. БАЙЕР, В.М. КАТКОВ, В.С.ФАДИН
ИЗЛУЧЕНИЕ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ
ЭЛЕКТРОНОВ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1973

УДК 539.124
Байер В. Н., Катков В. М., Фа дин
В. С. Излучение релятивистских электронов. М., Атом-
издат, 1973, с. 376.
Книга посвящена систематизированному изложению
теории тормозного излучения н рождения пар при про-
прохождении энергичной частицы через внешнее поле или
при столкновении заряженных частиц высокой энергии
с учетом поляризационных и спиновых эффектов. Вы-
Выделены особенности электромагнитных процессов при
высоких энергиях, существенно упрощающие их изу-
изучение. Книга является первой монографией, детально
освещающей эту область электромагнитных явлений.
Таблиц 4. Рисунков ?9. Библиографии 126.
0237—016
034@1)-73

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена систематизированному изложению
теории тормозного излучения и рождения пар при прохождении
энергичной частицы через внешнее поле или при столкновении
заряженных частиц высокой энергии, причем значительное внимание
уделено обсуждению поляризационных и спиновых явлений. Рас-
Рассмотренный круг вопросов находит все более широкое приложение
по мере роста энергии ускорителей и расширения эксперименталь-
экспериментальных исследований электромагнитных явлений, в частности в ускори-
ускорителях со встречными пучками, а также в астрофизике.
fad Авторы стремились последовательно выделить особенности элек-
электромагнитных процессов при высоких энергиях, существенно упро-
упрощающие их изучение. Тормозное излучение и рождение пар во
внешнем поле рассмотрены в рамках операторного квазиклассиче-
квазиклассического метода, позволяющего с единой точки зрения описывать
процессы в любом поле. Процесс тормозного излучения частиц
большой энергии во внешнем поле проанализирован сначала в клас-
классической теории, многие черты которой сохраняются и в квантовой
теории. Наряду с этим рассмотрен ряд специфических вопросов:
радиационная поляризация, движение спина во внешнем поле,
воздействие излучения на движение частиц в поле, влияние среды
(многократного рассеяния, поляризации среды, поглощения фото-
фотона в среде) на изучаемые процессы, радиационные эффекты во внеш-
внешнем поле. Кроме общих методов рассмотрения процессов при столк-
столкновении частиц (приближение классических токов, метод инвариант-
инвариантного интегрирования, метод эквивалентных фотонов) проведен де-
детальный анализ процессов однократного и двойного тормозного
излучения,, а также процессов фото- и электророждения. При вы-
выполнении вычислений (весьма трудоемких) мы старались обратить
внимание на все нетривиальные методические моменты. Для пол-
полноты и удобства пользования книгой в ней приведены необходимые
сведения из квантовой электродинамики.
Значительная часть книги основана на работах авторов и изла-
излагается в монографической литературе впервые, в то же время
авторы стремились учесть все новейшие результаты в этой об-
области.

Мы благодарны В. М. Страховенко за большую помощь при со-
составлении § 13, 14. Авторы весьма признательны акад. Г. И. Буд-
керу за внимание и поддержку.
Эта книга — результат коллективного труда, и содержание ее
обсуждалось всеми авторами. Непосредственное разделение труда
было таким: § 1—4, 5.1—5.7, 9—19 и Приложения Б, В, Д, Е, Ж
написаны В. Н. Байером и В. М. Катковым; §5.8—5.15, 6—8, 20—27
и Приложения А, Г написаны В. Н. Байером и В. С. Фадиным.
Авторы
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Четырехмерные векторные и тензорные индексы обозначаются греческими
буквами ц, v ... , пробегающими ^значения 0, 1,2, 3. Представление 4-век-
тора дается в виде а^ = (а° а). Трехмерные векторные и тензорные индексы
обозначаются латинскими буквами, скалярное произведение 3-векторов обоз-
обозначается ab, векторное [ab]. Принята метрика goo—1> Ян = Я22 = Язз = — 1,
т. е. аР Ь„ = ab = a°b" = ab, например, kx = k°t — kx, аУ'— контраварнант-
ный вектор, а^= ёц^/йУ—ковариантный вектор.
Операция дифференцирования 3 = d/dxli'= (dj, V), оператор 0=3 3" =
Коммутатор обозначается [a, b] = ab—ba, антикоммутатор {а, 6} =
= ab-\-ba.
Везде, где не оговорено особо, принята система единиц % = с=\, однако
в ряде мест, где было необходимо подчеркнуть переход от квантовых ве-
величин к классическим, сохранена постоянная Планка % и, наконец, иногда
(в скобках) величины приведены в системе СГСЭ. Используется хевисайдова
система единиц, в которой ос = е2/4п^с= 1/137,036, закон Кулона /? = е2/4яг2,
энергия электромагнитного поля ?/ = (?2-|-#2)/2. Связь с гауссовой (г) си-
системой единиц, обычно используемой в классической электродинамике, сле-
следующая: (е2/4п)хев = (е2)г, (Я, Е)хев = (Н/У 4л", Е/уТп)г.

Г Л А В А I
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 1. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
1.1. Основные уравнения. Классическая теория
излучения* основана на уравнениях Максвелла для электромагнит-
электромагнитного поля. В ковариантной записи эти уравнения имеют вид:
e^v^F^W'O; dyF^(x) = — \* (*).} A.1)
Компоненты определяемого этими уравнениями антисимметрич-
антисимметричного тензора электромагнитного поля F^v(x) (\i, v = 0, 1, 2, 3)
выражаются через компоненты электрического поля Ek и маг-
магнитного поля Ни следующим образом:
A.2)
а компонентами вектора плотности тока j^(x) являются плот-
плотность заряда р и 3-вектор тока j: j* = (р, j).
Для описания электромагнитного поля удобно ввести вектор-
потенциал поля At* (х) = (ф, А), через который выражается тензор
поля F»y:
Fw(x) = &A>(x) — &»A*(x). A.3)
Тогда первое из уравнений A.1) (первая пара уравнений Максвел-
Максвелла) удовлетворяется тождественно, а второе уравнение (вторая
пара уравнений Максвелла) приобретает вид
dv dv А* (х) —д» dv А* (х) = /> (х). A.4)
Введение потенциала A.3) неоднозначно, так как тензор элек-
электромагнитного поля F»-V(x) не меняется при калибровочном пре-
преобразовании А» (х) -> А*'(х) = А* (х) + д» Л (х), где Л (х) — про-
произвольная скалярная функция. Это обстоятельство позволяет вы-
* Имеется большое число книг, посвященных классической электроди-
электродинамике [54, 57, 65, 84, 95].

брать удобное для решения данного круга задач представление
потенциала. В частности, в задачах излучения оказывается удоб-
удобным наложить на потенциалы условия
дуА*(х)=0, A.5)
для чего достаточно выбрать скалярную функцию Л (х), удовлетво-
удовлетворяющую уравнению д& д^А (х) = —д^А^ (х).
Условие A.5) называют условием Лоренца, а соответствующий
выбор потенциала — потенциалом в лоренцевой калибровке. Сле-
Следует отметить, что и после наложения условия A.5) выбор потен-
потенциала остается неоднозначным, однако функция Л (х) должна
удовлетворять теперь волновому уравнению (уравнению д'Аламбера)
д*д»А(х)=0. A.6)
В дальнейшем будем выбирать потенциал А^ в лоренцевой кали-
калибровке A.5). Тогда уравнение A.4) переходит в неоднородное вол-
волновое уравнение
дУ dv А» (х) = ПА» (*) = /•* (*). A.7)
Для описания электромагнитных волн [электромагнитное поле в ва-
вакууме, когда /> (х) — 0] часто используют тот факт, что потенциал
поля А& (х) и функция калибровочного преобразования Л (х)
удовлетворяют однородному волновому уравнению. Тогда в.фикси-
в.фиксированной лоренцевой системе всегда можно выбрать калибровоч-
калибровочную функцию так, чтобы скалярная компонента потенциала <р = 0.
При этом условие Лоренца A.5) переходит в нековариантное
условие
divA(x)=0. A.8)
Такую калибровку потенциала называют кулоновской или попереч-
поперечной, и она, очевидно, представляет частный случай лоренцевой.
1.2. Запаздывающие потенциалы. Перейдем
к решению уравнений A.7) для потенциала. Решение граничных за-
задач для неоднородного волнового уравнения, в частности задач
излучения, где граничные условия ставятся, как правило, при
t-*¦ ± оо, весьма удобно проводить с помощью метода функций
Грина. Фундаментальную роль в этом методе играет функция Грина
D (х — х'), которая для неограниченного пространства удовлетво-
удовлетворяет уравнению
nxD(x-x') = b(x-x'). A.9)
Решение его определено с точностью до произвольного решения одно-
однородного волнового уравнения, подбирая которое, можно удовлетво-

рить нужным граничным условиям. Если известна функция Гри-
Грина, то решение уравнения A.7) выражается интегралом:
A.10)
где А§ (х) — решение однородного волнового уравнения. В этом
можно убедиться, подставляя A.10) в A.7) с учетом A.9).
Существенным моментом в нахождении функций Грина являет-
является выбор граничных условий, для определения которых можно вос-
воспользоваться следующими соображениями. Решение уравнения
A.8) рассмотрим как волну, которая вызывается точечным источ-
источником в точке х = х , действующим мгновенно в момент времени
t = t'. Такой источник порождает сферическую волну, распростра-
распространяющуюся со скоростью света. Исходя из этой картины, потребуем,
чтобы:
1) функция Грина
D(x—x')=0 при t<t'\ A.11)
2) D (х — х') представляло сферическую волну при t > t'.
Решение уравнения A.9) найдем с применением преобразований
Фурье:
Подставляя это значение в уравнение A.9), получаемТ) (k) =
= —Ilk2, так что функция Грина
D (х) = [— 1/Bя)«] J [exp (i kx)/k2] d* k. A.13)
Последнее выражение является формальным решением уравнения
A.9). Однако при выполнении интегрирования по k сталкиваемся
с особенностью подынтегрального выражения при со2 = k2, так что
решение A.13) имеет смысл только в случае, если заданы правила
обращения с этой особенностью. Интеграл по со = k0 можно пред-
представить в виде интеграла Коши в комплексной плоскости со
(рис. 1). Для этого необходимо, чтобы при х0 = t < 0 контур за-
замыкался в верхнюю полуплоскость, а при х0 = t > 0 — в нижнюю,
так как в этих случаях вклад интеграла по полуокружности ра-
радиуса R -*¦ оо экспоненциально стремится к нулю. Значение инте-
интеграла определяется тем, как пройдет контур интегрирования от-
относительно полюсов в точках со = ± k. Для того чтобы выполня-
выполнялось условие A.11), необходимо, чтобы контур интегрирования
проходил несколько выше вещественной оси (см. рис. 1). Это же
получается, если контур интегрирования проходит по веществен-

ной оси, но полюса смещаются на б^конечномалую величину
е > 0 в нижнюю полуплоскость со -»¦ со + «е, так чш
DreiW = [__l/Bn)*] J d*k j dcoexp(i^)/[(co + i6J-k2]- A.14)
= 0 A.11), а при
взяв
Грина*
D t
Запд
узкую сферическую
Грина -
/
/
1
1
1
Imcd
4
\
\
\
t
/Red)
^^Д^у
конусе, направленном в будущее Под-
Подставляя это выражение в A.10), по-
получаем следующее выражение для
запаздывающих потенциалов:
и х <
0
X^(r..«|.|tt A.16)
Эта формула отражает причин-
причинную связь событий: наблюдаемый
в точке х (г, 0 потенциал A%t(x) вы-
зывается возмущением, происшедшим
^ЪТ:™<,??>° ране, в точке г„ в= („, при,»
0 для функции ?>ге* (ж), времена * и ^0 различаются на вре
мя необходимое для распростране-
распространения сигнала из точки г0 в точку г:
i в (l.lu; ии^ощоси./! ^ 4j*i~, — ч , чтом случае вы-
ражение^лятокГисточника'в ковар^тной записи имеет вид
ум. (х) = е ] d% {dx^ldx) 8* (х — х0 (т)), (' • 17а)
где xi» (*)- координаты Тастицы, зависящие от собственного
мени V dx^ldx — uP—4-скорость частицы, «>* — i^nn,
ev/m), '«^„=1; 8-энергия частицы; т-ее масса.
* функция 0 определена так: О (х) ¦= | 1 х > О,

Выполняя интегрирование по собственному времени, получаем
-r0(t)], A.176)
где г = г0 (f) — траектория частицы. Подставляя это выражение
в A.16) и выполняя интегрирование по г0, находим выражение
для запаздывающих потенциалов точечной частицы (падающее
поле А§ (х) опущено):
A%t (х) = е J d% (dxjdx) D(x—x0 (т)) =
= (е/2п) J dx (dx»Jdx) 6 ([х—х0 (т)]2) d (x—x0 (t)) =
A.18а)
Взяв интеграл по t0* , получаем потенциалы поля произвольно дви-
движущейся точечной частицы:
A»et (х) = (elАл) {ти» (*0)/e [R (f0)—v (t0) R (t0)]} =
= (el in) [u» (t,,)//?,, (т0) и» (т0)], A.186)
где R(g=r — r0(t0); R = \R\; Rv=(t — t0, r— r0); R»R,,. = 0;
v—скорость частицы, величины берутся в момент времени
to=t—R(to), A.19)
которому соответствует собственное время т0 на мировой линии ча-
частицы (рис. 2).
Переходя к трехмерным обозначениям, получаем
Фге,=е/4я(Я-уК),0; Д.,4 = (е/4я)[у/(/?—vR),.].} A.20)
Потенциалы поля в форме A.20) называются потенциалами Лиена-
ра—Вихерта.
Для вычисления напряженностей поля воспользуемся форму-
формулами A.3), A.2), которые в трехмерной записи имеют вид
Е=—аА^/й-gradqv,,; H = rotAre,.} A.21)
Дифференцирование здесь ведется по координатам (г, t) точки
наблюдения. В то же время все величины в правой части формул
зависят от времени t0 и только с учетом соотношения A.19) выража-
* Воспользуемся формулой f б [ф Ш dt = 2 7~.—Г. где ts —
s |ф (ts)\
корни функции ф: ф (ts) = 0. Входящая в аргумент б (ф) функция имеет
единственный корень, соответствующий точке пересечения мировой линии
частицы со световым конусом с вершиной в точке наблюдения. Так как ско-
скорость частицы v < с, то пересечение может произойти в одной точке (см. рис. 2).
9

ются через (г, f). Конкретное вычисление проведем для напряжен-
напряженности электрического поля:
Е =(—е/Щ {[(dv(to)/dto)/s—v (to)(ds/ dto)!s2] (dto!dt)—grads/s2}.
где s = R — vR. Для вычисления входящего сюда grad s следует
учесть, что s зависит от г как явно, так и через связь с t0. Тогда
grad s = R/R—v + (dsidt0) grad t0.
Величины dtjdt, grad t0 можно вычислить с помощью прямого при-
применения операций дифференцирования к равенству A.19):
dRidt = (dR/dto)(dtoldt) =
х(г) = [—Rv (to)IR) (dtjdt) = 1 —dtjdt;
— grad ^0 = grad R = RIR +
—gradto-Rv (tu)IR,
x2 отсюда получаем
dto/dt =
grad/0=—R/s. A.22)
Подставляя найденные значения в
формулу для напряженности элек-
электрического поля, получаем
— v2)l(R—RvK](R —
Рис. 2. Световой конус с вер-
вершиной в точке наблюдения.
Поле в точке х (т) опреде-
определяется только мировой лини-
линией частицы до точки пересе-
пересечения с конусом х (т').
Вычисление напряженности магнитного поля проводится анало-
аналогично:
H = [RE]/#, A.24)
Ковариантную запись для напряженностей электрического и маг-
магнитного полей можно получить, если выполнить операцию диффе-
дифференцирования в формуле A.3), подставив туда ковариантное выра-
выражение для потенциалов Лиенара—Вихерта A.18), с учетом условия
Ru. Rn = 0. Она имеет вид*
}, A-25)
Трехмерная за-
где w» = du^/dT — 4-ускорение; (Ru) ==
пись этого выражения дает A.23) и A.24).
* Формулу A.25) можно получить также дифференцированием пред-
представления потенциала в форме A.186), из которого, проведя дифференциро-
дифференцирование и интегрирование по частям, легко получить
(Ru) ' dx I (Ru)
10

Найденное выражение, для электрического поля A.23) состоит
из суммы двух членов различного характера. Первый член зависит
от скорости (но не от ускорения) и на больших от источника рас-
расстояниях убывает как 1/R2. Следует учесть, что при постоянной
скорости движения частицы величина
есть расстояние от заряда до точки наблюдения в самый момент на-
наблюдения. Тогда имеем
R—VR= VIZI —
где •& — угол между Ro и v. Заметим, что поле равномерно движу-
движущегося заряда, получаемое лоренцевым пересчетом электростатиче-
электростатического поля покоящегося заряда, имеет вид
Е =eR0 A — v2)/R3B A—v* sin2 ftK/2. A.26)
Сопоставляя это выражение с первым членом A.23), видим, что он
соответствует полю, создаваемому равномерно движущимся зарядом.
Второй член в A.23) зависит от ускорения и на больших рас-
расстояниях убывает как IIR. Кроме того, векторы Е и Н перпенди-
перпендикулярны радиус-вектору R. Поэтому это поле имеет характер сфе-
сферической электромагнитной волны.
1.4. Излучение электромагнитных волн.
Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в ограниченной об-
области, и поле заряда на расстояниях, больших по сравнению с раз-
размерами системы. В этом случае можно выбрать начало координат
внутри системы и провести разложение входящих величин по сте-
степеням rQlr:
R = | г—г01« г [1 —(пг0 (*„))//•], A.27)
где п = г/г; г = |г|. Для потенциалов Лиенара—Вихерта A.18)
на больших расстояниях от частицы имеем
A?et=eulxm/4nre[l—v(t0)n]=ep»/4nr(e — pn), A.28)
где ^определяется из равенства [ср. A.19)]
*о—пго (/„) = * — /¦. A.29)
Здесь в знаменателе A.28) пренебрегли членом nro/r, поскольку
выделяем старшие по Mr члены, в то же время такое пренебрежение
нельзя сделать в A.29), поскольку именно член пг0 содержит ин-
информацию о движении частицы [г0 (t0) — траектория частицы].
И

Поля на больших расстояниях от частицы, где следует сохранять
только медленно убывающие члены ~ Mr, имеют вид [см. A.23)
и A.24>1
E=4i;-Tr^[n[(n-V)vl]; H=[nE1' (К30)
причем величины в правой части берутся в момент времени t0,
определяемый A.29). Эти поля удовлетворяют соотношениям
EH =nE = nH=0; |
[ЕН]=Е2п=Н2п, ) '
т. е. n, E, H образуют правую тройку ортогональных векторов,
что характерно для плоской электромагнитной волны, распростра-
распространяющейся на больших по сравнению с размерами системы и длиной
излучаемых волн расстояниях (в так называемой волновой зоне
излучения), небольшие участки расходящейся сферической волны
можно рассматривать как плоскую волну. Поскольку Е = [Н, п]
и Н = rot А, то ясно, что в волновой зоне для описания электро-
электромагнитного поля достаточно знать только вектор-потенциал
А (г, t).
Интенсивность излучения dl в элементе телесного угла dQ
определяется как количество энергии, протекающей в единицу вре-
времени через элемент шаровой поверхности dS = r2dQ с центром в на-
начале координат, и выражается через вектор Пойнтинга S = [EHJ =
= ?2п:
d/ = ?V<iQ. A.32)
Если же нас интересует полное излучение за все время движения
заряда, то необходимо проинтегрировать интенсивность по времени.
При этом надо учесть, что величины в правой части зависят от вре-
времени t0. Учитывая, что [ср. A.22) или A.29)]
dto = (l-nv)dto, A.33)
получаем для энергии, излучаемой частицей в единицу «времени
частицы»* (в момент излучения) t0:
^М.^ -? ! {2 (wv) (wn) A —nv) +
dt0 DяJ (l-nvM1 v M M '
+ пу2A— nvJ—A— u2)(nwJ}dQ, A.34)
где w = v.
* Физический смысл дополнительного множителя A — nv) следующий:
поле, излучаемое электроном за время dt0, расположено между двумя сфери-
сферическими поверхностями с радиусами г и г — dt0, центры которых совпадают
с положениями электрона в моменты tB и tB-\-dt0. Чтобы найти излученную за
время dto энергию, необходимо вычислить энергию электромагнитного поля
в шаровом слое между указанными поверхностями. Элемент объема шарового
слоя dV — r4Qdl, где dl = (I — nv) dt0, т. е. множитель A — nv) учитывает
деформацию слоя вследствие движения частицы (учет эффекта Допплера).
12

Интегрирование этого выражения по углам удобно провести в тен-
тензорном виде с использованием инвариантности по отношению к трех-
трехмерным вращениям [см. Приложение Б (Б.9), (Б. 10)]:
\ 5_А_ dQ, = [(Sffe (I — v2) 4- 6vf vb];
J A—nv)s 3A— vy lV lkK ' l ki'
J A—nv)« "~3(l-t»2)s&'' J A-nvK ~A-и2J*
1.35)
Подставляя эти интегралы в A.34), имеем для интенсивности
излучения в единицу времени частицы
[el4(v)][(\Mvf + (lv2)w2]. A.36)
О
Это выражение можно записать в ковариантной форме *:
dE/dt0 = 2- (е2/4я). (du» (ro)/dxoJ
3
или A.37)
(
3
Выражение A.36), записанное через компоненты электрического
и магнитного полей, имеет вид
&/#„=— И4ят2A— y2)J{(E + [vH]J — (EvJ}, A.38)
О
или в ковариантной форме
dzldt0 = [ — 2е*/3 Dл) т2] (Т7^ иУ)г
2 A.39)
— (е*/4ят2) (f1^ «vJ «t*.
О
Рассмотрим излучение в частных случаях.
1. Скорость и ускорение частицы параллельны. Тогда из A.30)
следует, что
Н = —.— [wn]. A.40)
4яг A—nvK K '
Учитывая A.31)—A.33), имеем для энергии, излучаемой частицей
в единицу времени:
)g! ¦"Wft
dt0 DяJ A—o
где # — угол между п и v. Интенсивность излучения (как и энер-
энергия, излучаемая в единицу времени) симметрична относительно на-
—излученный 4-импульс.
13

правления движения v (w) и обращается в нуль при Ф = 0, я.
Энергия излучения в единицу времени
A.42)
dt0 3 4я (I—г,2K
Примером такого движения является движение в электрическом
поле (Н = 0), если v || E. Тогда
^.. A.43)
dt0 3 4я m2 V '
2. Скорость и ускорение перпендикулярны. Тогда из A.34)
следует, что
— = -?— . "*' [[(I— DcosflJ—(I— &2)sin2ft-cos2<p]rfQ,
A.44)
где ф — азимутальный угол между вектором п и плоскостью (v, w).
Интенсивность излучения, как и энергия, излучаемая в единицу
времени, симметрична относительно плоскости (v, w) и обращает-
обращается в нуль в двух направлениях этой плоскости при углей = arccos v.
В данном случае энергия, излучаемая в единицу времени
de 2 е2 аJ ., ,cv
— = —. — . A-45)
dt0 3 4я A—о2J v r
Примером такого движения является движение в магнитном поле
при Е = 0. Если v_LH, то
±±**!? A.46)
dt0 3 4я /к2 A-й2)
1.5. С п е к т р а л ь н о е разложение поля излу-
излучения. Поля, создаваемые движущимися зарядами, можно раз-
разложить на монохроматические волны. С этой целью поля представ-
представляются в виде интегралов Фурье (в случае периодического движе-
движения — в виде рядов Фурье). Для векторного потенциала такое раз-
разложение запишем в виде
оо
А?н(ш, г)= J A?et(t,r)exi)[i(Bt]dt. A.47)
— оо
Подставляя это представление в выражение для A%t (r, f) A.16),
получаем
A%t (со, г) = "^ J [6 (| г—г„| + /0—0/1г—го II Я1 (го, t0) exp \Ш] х
14

Для точечной частицы с учетом A.17) имеем
A%t (©, г) = (е/4я) j [ти»ЦIв (t) | г —r0 @|J exp {i ю [/ + | г—г0 @1} Л.
A.49)
Рассматривая поле на больших расстояниях и оставляя главные
члены разложения по Mr [см. A.27I, получаем выражение для
фурье-компонент потенциала в виде интеграла по траектории ча-
частицы г0 = г„ (t):
A%t (со, г) = -L • ^i
4я г
или в трехмерной записи
e (/)
exp {i И-kr, @1} Л, A -50)
A.51)
Фге/ (со, г) = ^ . e-^ii^I j exp {i [co^-K @1} Л.
где k = nco — волновой вектор. Учитывая, что [ср. с A.30I
H = [An]; E=[[An]n],} A.52)
получаем фурье-компоненты полей:
Н (со) =i [kA (со)] = — . exp[imr] Г [nv (t)] exp {i [co^ —kr0 @1} dt =
4я г J
= ше ^expti^ Гехр{;и_кГо(О]}МГо]; A.53)
4я r J
Е (со) = [Н (со) п] = — . ехр [i юг] Г [V—n (nv)] exp {i [co^-kr0 (t)]} dt=
4я г J
= ко, exHi^ Г(?_п)ехр{1И_кГо(О]}Л. A.54)
4л r J
В последнем равенстве член с nv был проинтегрирован по
частям с учетом того, что
[1 -nv @1 ехр {i [arf— kr0 @1} = т^- • -jt exp {i [co^—kr0 @]}.
15

Для периодического движения поле разлагается в ряд Фурье.
Компоненты Фурье полей для частоты о) = т<о0 = 2ят/Т имеют
вид:
Г/2
"г/2 A.55)
Г/2 V '
j
-Г/2
Большой интерес представляет спектральное распределение
интенсивности излучения. Пусть дано поле, разложенное в инте-
интеграл Фурье. Такое разложение встречается при рассмотрении излу-
излучения, сопровождающего столкновение заряженных частиц или
прохождение заряженных частиц через внешние поля. Наиболее
интересно знать полное количество энергии, излученной за все
время процесса. Если dz (n, со) — энергия, излученная в элемент
телесного угла dQ в виде волн с частотами о, co+dw за все время
процесса, то аналог формулы A.32) имеет вид*
^ ^^r2. A.56)
В случае же периодического движения заряженных частиц, когда
поле излучения разлагается вряд Фурье [см. A.55)], интенсивность
излучения** в элемент телесного угла dQ с частотой со = тсоо
есть
d/ra = 2|EmpWQ. A.57)
оо
1 г
Воспользуемся здесь тем, что для /(<)=—- \ fa exp [—i at]
dt
имеет место
j
О
оо
** Учтем, что при разложении в ряд Фурье f (t)= 2 fm exp [i mcoo (j,
m = — oo
772
—
-TJ2
причем
7
f(t)exp[im<o0t],
TJ2
T1
7"
T12
7"/2 W= — oo /7Z= I
16

Подставляя в A.56) явное выражение для компоненты Фурье Е (со)
A.54), находим
[v&) —n][v(f2)—п]-ехр {![«)(*!—/8)—
-к [г0 &)-!•„(*,)]]) -^ dtl(U2, (
причем здесь г0 (^), r0 (t2) — положения частицы на траектории
в моменты tx и 1г. Интегрируя члены с v (tx) п и v(/2) n no частям,
получаем для спектрального распределения энергии излучения
йг (п, со) =
г (tj) v (t2) — l]exp{t [со (tt—^2) — к(гх — r2)]} x
х
Bл)«
A.59)
где &* (*) = со^ — кг0 (<).
Подставляя в A.57) явный вид разложения поля в случае пе-
периодического движения A.55), имеем для интенсивности излуче-
излучения т гармоники
Г/2 Г/2
d/m=?'f?! J dtl J ^tv^v^-ljx
— Г/2 —Г/2
X exp [i {/WDoft—*„)—kM*!)—ro(*2)]}] dQ- (^бО)
При получении этой формулы были по частям проинтегрированы
члены вида v (t±) n.
1.6. Поляризационные свойства излуче-
излучения. Поскольку электромагнитное поле описывается векторами
Е и Н, перпендикулярными направлению распространения п, то
наряду со спектральным составом свойства излучения определяются
направлениями этих векторов (обычно для определенности выбирает-
выбирается вектор Е). Эта важная характеристика электромагнитных волн
называется поляризацией.
Для описания поляризационных свойств излучения можно спро-
спроектировать фурье-компоненту электрического поля на два взаимно
ортогональных единичных (вообще говоря, комплексных) вектора
ех (Ъ = 1,2), которые находятся в плоскости, перпендикулярной
направлению распространения волны п. Тогда для спектрального
распределения энергии излучения с определенной поляризацией
получаем [см. A.58)]
йг(п, со, к) =
^. A.61)
IT

Наряду с таким способом описания поляризации, применимым
для определения поляризационных свойств монохроматических
волн, поляризацию можно описывать с помощью двухрядной поля-
поляризационной матрицы Jtk = Et (со) Е? (со), естественно содержа-
содержащей информацию о направлении вектора поля Е. Такой подход
удобен не только потому, что он не связан с определенным выбором
ортов ех, но и потому, что он допускает обобщение на случай ча-
частичной поляризации.
Рассмотрим свойства поляризационной матрицы для монохрома-
монохроматической волны. Всякую двухрядную матрицу можно разложить
по полной системе двухрядных матриц. В качестве такой системы
можно выбрать единичную матрицу / (/,* = 6ik) и три эрмитовые
матрицы %i со следом, равным нулю (матрицы Паули):
/О 1\ /О —А /1 0\ ., ._.
Ид о) И. о) х-% -i)- (Ш)
Тогда
A.63)
Поскольку матрица Iih, по определению, является эрмитовой
Iik—I*ki, а значит, и pjft = pl/, то введенные выше параметры ?п
являются вещественными. Так как из явного вида A.63)
det (Iih) = 0, то отсюда
Si —1&Л ,|_|2ч/4 = 0, A.64)
1—?в /
з
где |2—формальная запись |2= 2 ?п- В формуле A.63) явно
2
выделен множитель / = Sp(/,-ft)= 2 Л-» = ЕЕ*, определяющий
плотность потока энергии в волне и не имеющий прямого отно-
отношения к поляризационным свойствам.
Таким образом, поляризационные свойства монохроматической
плоской (распространяющейся вдоль направления п) волны, кото-
которая, по определению, полностью поляризована, можно описывать
с помощью трех вещественных параметров ?„, называемых парамет-
з
рами Стокеа и удовлетворяющих условию |2 = У ?„2 = 1. Вы-
Выясним физический смысл этих параметров. Пусть волна распростра-
распространяется вдоль оси х3. Волна поляризована по кругу, если компоненты
электрического вектора волны удовлетворяют условию Е02 =
18

что соответствует ортам е± = — (ех ± ie2), причем знаки «±» со-
соответствуют правовинтовой (левовинтовой) поляризации. В этом
случае A.63) приобретает вид
A.65)
т. е. при круговой (правовинтовой и левовинтовой) поляризации па-
параметры Стокса ^ = ?3 = 0; ?2 = ± 1.
При линейной поляризации вдоль оси х± (по е^) или х2 (по е2)
из A.63) имеем
р= ( 1 = —(/+т3) Для поляризации вдоль хг\
' 2 1A.66>
р — I =— (У—т3) для поляризации вдоль х2.
В этом случае Zi — ?2 = 0. ^з = ±1 (знак «+» или «—» соответст-
соответствует поляризации вдоль оси х± или х2).
Рассмотрим, наконец, линейную поляризацию волны под углом
я/4 к направлению ег (оси х-,). Тогда орты направлены вдоль век-
векторов е,, , = ^= (ех ± е2) и
--^-A + ^), A.67)
т. е. при волне, линейно поляризованной под углом я/4 к оси хг,
параметры Стокса 5а = 5з = 0> ?i = ± 1 (знак «+» соответствует
поляризации вдоль оси, угол которой с вектором ех равен я/4,
знак «—» — поляризации вдоль оси, угол которой с вектором ег
равен я/4). При линейной поляризации под некоторым углом q>
к оси хх имеем
1 /
2 \
1+соз2ф sin2Ф
sin2<p 1—
причем ^ = sin 2ф; %3 = соэ2ф; ^2 + 1зг = 1>т- е. при вращении
в плоскости, перпендикулярной вектору п, параметры |х и ?2, ме-
меняются, но ?г2 + |32 остается постоянной. Циркуляционная по-
поляризация ?2 при таких вращениях не меняется. Величины ?х2 +
+ ?з2 и 1г характеризуют степень линейной и круговой поляриза-
поляризации излучения и как объективные характеристики остаются по-

стоянными не только при указанных преобразованиях, но и при
произвольных преобразованиях Лоренца.
Если волна не является монохроматической, то измеряются не-
некоторые средние значения тензора Ith. Поляризационная матрица
записывается в том же виде A.63):
A.69)
Только теперь Iik не есть произведение компонент векторов, так
что условие det (Iih) = 0, вообще говоря, не выполняется, но
тогда не выполняется и A.64). Если волна не поляризована, то
в ней направление в плоскости, перпендикулярной п (оси х3),
эквивалентны, т. е.
pift = 8ift/2; det p =1/4. A.70)
В общем случае произвольной поляризации det p имеет
величину между крайними значениями: 0 A.64) — полностью по-
поляризованная волна и 1/4 A.70) — неполяризованная волна. От-
Отсюда [см. A.64)] ясно, что 0=^?2<11. В случае произвольной
поляризации матрицу A.69) часто представляют в виде
A.71)
где первый член описывает неполяризованную часть волны A.71)
[см. A.70)], а второй — полностью поляризованную часть волны.
Очевидно, что степень поляризации характеризует [|| = > |2 =
Если известна поляризационная матрица, то характеризующий
поляризацию «вектор» есть
| = SppT. A.72)
В этом легко убедиться, если учесть, что Sp т = 0, Sp t,t; = 26^.
Перейдем теперь к описанию спектральных свойств излучения.
В соответствии со сказанным выше и результатами предыдущего
раздела поляризационные свойства излучения полностью опреде-
определяются матрицей [см. A.54), A.58), A.69)]:
deik (я, со) = (е»/4я) J dtj. j dtt (v (/,)— n)t X
X (v(tt)—n)ftexp [iJfefo—*s)] (d3k/Bnf). A.73)
Вместо непосредственного использования квадратичных комбина-
комбинаций вида EiE*k, как-в A.63) и A.69), мы перешли в этой формуле
к прямому использованию энергий излучения (интенсивностей),
которые естественно содержат квадратичные комбинации полей.
Этот способ адекватный, поскольку именно изменение интенсивности
обычно используется для наблюдения поляризационных явлений.
20

Поляризационную матрицу de^ (n, to) можно представить
в стандартном виде:
m± A.74)
тде параметры ?„ определяют поляризацию излучения. Если для
введенного в A.61) вектора е составить матрицу [аналог A.63)]
€i*eh = -g- (/ + i\t)hi, |л| = 1. то выражение A.61) можно пред-
представить в виде
, со, r]) = d&ihefeh= de(n, to) Sp [(I + %x
= de(n, to) [1-111 + 111A+ соз2ф)]. A.75)
Это выражение можно интерпретировать как проектирование излу-
излучения с поляризационными параметрами | на оси, соответствующие
полностью поляризованному излучению с параметрами г\. Введен-
Введенный в A.75) угол ф есть угол в плоскости, перпендикулярной век-
вектору п между векторами поляризации, соответствующими пара-
параметрам ?ь ?3 и %, т]3. Если излучение полностью поляризовано
||| =1, то для ц = | имеем
Л(п, to, E) = rfe(n, to). A.76)
В любом другом случае энергия излучения de (n, со, г}) меньше пол-
полной энергии излучения de (n, to).
§ 2. ИЗЛУЧЕНИЕ УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
2.1. Особенности излучения в ультраре-
ультрарелятивистской области. Излучение ультрарелятивистс-
ультрарелятивистских частиц (y^>1, у=е/т) обладает замечательной особенностью,
состоящей в том, что влияние продольной компоненты внешней
силы (по отношению к направлению движения частицы) пренебре-
пренебрежимо мало по сравнению с ролью перпендикулярной (поперечной)
компоненты.
Действительно, сила в релятивистской механике
т
^ |y+
B.1)
Отсюда для продольной (по отношению к скорости) компоненты
ускорения имеем
B.2а)
21

а для поперечной компоненты
v± =F±f(my)- B-26)
Из этих формул следует, что продольная сила ускоряет в у2 раз
слабее, чем поперечная. Подставляя эти выражения соответственно
в A.42) и A.45), видим, что при одинаковом порядке величины
продольной и поперечной компонент силы излучение, вызванное
продольной составляющей, пренебрежимо мало (порядка l/у2) по
сравнению с излучением, вызванным поперечной составляющей-
силы. При этих условиях можно пренебречь продольной составляю-
составляющей силы (а следовательно, и продольным ускорением) и прибли-
приближенно считать, что интенсивность излучения полностью определяет-
определяется только поперечной силой (поперечным ускорением)*. В этом
приближении (vv) — -к~ ' -тг (у2) = 0, т. е. v2 сохраняется. Таким
свойством обладает движение по окружности, причем v_l = w2/R sw
« l/R (R — радиус окружности, в ультрарелятивистском случае
v2 = 1 — 1/у2 » 1). Иными словами, излучение заряженной ча-
частицы при произвольном плоском ультрарелятивистском движении
приближенно совпадает с излучением заряда, движущегося по
дуге окружности с мгновенным радиусом кривизны R = 1/\±. Для
поперечной составляющей силы
Fl = (dpldtf — A /v2) (wdpldtf = (dp/dtJ — (l/v2) (de/dtf =
--=-(lV)(dP|1/dtHl+O(l/vs)]. B-3>
Отсюда в ультрарелятивистском пределе следует, что
A Im2) (F1 у2) = (v± 72J = -A /т2) {dpjdxf = inv B.4)
есть инвариант преобразований Лоренца. Это обстоятельство ока-
оказывается весьма важным при рассмотрении излучения ультрареля-
ультрарелятивистских частиц.
Угловое распределение энергии, излучаемой частицей в еди-
единицу времени t0, следует из формулы A.34). С учетом сделанных
приближений
de (п) е2 1 Г '2 л \2 1 / " \г! лп /о К\
dto DяJ A —nvM L 72 J
В этом выражении в знаменателях обоих членов содержатся высо-
высокие степени величины 1 — nv = 1 — и cos ft. Эта величина при-
принимает минимальное значение при "О1 = 0, когда она равна 1 — v =
= A — &2)/A + v) ж 1/2у2. Малость знаменателя приводит к рез-
резкому росту выражения B.5). Поэтому для выделения главных по
* Случай, когда сила F направлена почти по скорости, так что F ц
требует отдельного рассмотрения. Излучение в этом случае того же порядка,
что и при продольном ускорении.
22

членов в энергии излучения можно провести разложение
— nv = 1-й cos #»-~
+ #2) + 0A/y4). B.6)
Подставляя B.6) в B.5), приходим к заключению, что угловое
распределение излучения ультрарелятивистской частицы пред-
представляет узкий, иглообразный конус с углом раствора & ~ 1/у
с осью,^ направленной вдоль вектора мгновенной скорости частицы.
По этой причине, чтобы найти главные по My характеристики излу-
излучения, всегда можно проводить разложение B.6) и оставлять глав-
главные члены разложения.
Рис. 3. Системы отсчета углов при рассмотрении угловых ха-
характеристик излучения, углы г|), Р удобны для описания из-
излучения быстрых частиц.
Для детального рассмотрения углового распределения излуче-
излучения удобно ввести систему отсчета углов, несколько отличную от
принятой в разделе 1.4. А именно, введем |3 — угол между плос-
плоскостью (v, v) и векторомп иг]з — угол между проекцией вектора п
на плоскость (v, v) и вектором v (рис. 3). Входящие скалярные
комбинации имеют вид:
nv = wcosp-cos*|>; j
nvx = Vj_ cos p • sin i|). J
Такая система отсчета углов удобна потому, что основной вклад
в излучение дают малые (~ \1у) углы |3 и г|з в соответствии с тем,
что угол между векторами п и v порядка 1/у, в то же время при ис-
использовании углов Ф и ф ¦& ~ 1/у, 0 <; ф < 2я.
Подставляя B.7) в B.5) и учитывая, что р, -ф — 1/у<С 1, полу-
получаем для углового распределения излучаемой энергии*
dt0
№2-i
B.8)
где ц2 = 1/у2 + р2. Часто представляет интерес распределение,
* Напомним, что здесь рассматривается случай, когда продольная и по-
поперечная компоненты силы имеют одни порядок величины,
23

проинтегрированное по азимутальному углуг]з. Выполняя это инте-
интегрирование, имеем* (рис. 4)
:.2 „2 ;.2
ф. B.9)
dt0
Наконец, проинтегрировав по углу р, получим
' de е2 2 d
B.10)
Эта формула совпадает с A.45). Полная интенсивность излучения
B.10) инвариантна при преобразованиях Лоренца [см. A.39)].
2.2. Поляризация из-
излучения в ультраре-
ультрарелятивистской области.
Очевидно, что просуммирован-
просуммированная по всем частотам энергия
излучения может иметь только
линейную поляризацию, которая
характеризует среднее направле-
направление вектора Е в плоскости, пер-
перпендикулярной вектору п. Для
описания поляризации (см. раз-
раздел 1.6) разложим вектор электри-
электрического поля A.30) по двум вза-
взаимно ортогональным единичным
векторам:
B.11)
Рис. 4. Зависимость интенсив-
интенсивности излучения от полярного *
угла (в единицах 7е2а176/64я). где S = w/ш, W = V. Такой выбор
системы ортов удобен для ис-
использования принятой системы отсчетов углов (см. рис. 3). Строго
говоря, вектор Е не ортогонален вектору п, однако эта неточность
порядка \1у, так что разложение B.11) можно использовать для
вычисления главных членов (с точностью 1/у).
Разлагая вектор Е [см. A.30I по векторам s, [ns], получаем
ew
4ягA — п\K
ew
4пгA — nvK
(n [vsj) (ns).
B.12)
* При интегрировании по углам г|), Р основной вклад дают гр, р ~ \[у;
ввиду быстрой сходимости интегралов для вычисления главных членов раз-
разложения по 1/7 можно устремить верхний предел интегрирования к беско-
бесконечности. Дальнейшее вычисление элементарно, если воспользоваться фор-
формулой
я,-!8«-1л Г (s+ 1/2) Г (у-д-1/2)
(а2
24

Подставляя B.12) в A.63) и A.73) и выражая входящие в них ком-
комбинации через углы р, 1|э B.7), получаем общее представление по-
поляризационной матрицы для излучения ультрарелятивистских
частиц:
deih(n)
dt0
Естественно, что
P2
Sp(deik(n)/dt0)=dB(n)/dt0
B.13)
B.14)
«сть полная энергия, излучаемая в единицу времени. Определяемые
с помощью A.72) и B.13) параметры Стокса будут следующие:
B.15)
Видно, что круговая поляри-
поляризация отсутствует, это очевидно
было и ранее. Из B.15) следует,
что li2 + 5з2 = 1» т. е. излучение
ультрарелятивистской частицы яв-
является полностью линейно поля-
поляризованным под углом ф к оси s,
причем угол ф находится из соот-
соотношения
-n2). B.16)
Рис. 5. Зависимость степени
линейной поляризации излу-
излучения вдоль направления
ускорения от полярного угла»
Проинтегрировав поляризаци-
поляризационную матрицу плотности B.13)
по азимутальному углу ty, получим поляризационные свойства
излучения в зависимости от полярного угла излучения Р по отно-
отношению к плоскости (v, w). Это интегрирование выполняется так же,
как в формуле B.9), причем недиагональные члены выпадают вслед-
вследствие нечетности подынтегральной функции
dt0
64it
7р.2 О
О 5р2
B.17)
отсюда для параметров Стокса имеем
У2)-} B.18)
Таким образом, излучение полностью линейно поляризовано
вдоль направления ускорения w при р = 0 и частично поляризо-
поляризовано вдоль этого направления, если р Ф О, причем при Р ^> 1/7
25

степень поляризации стремится к Ve (рис. 5). Наконец, выполняя
интегрирование по полярному углу |3, получаем
B.19)
и для
параметров
deih
dt0
Стокса
6я |
52=0;
Г 7/8
[о
5« =
0
1/8
= 3/4.
B.20)
Итак, излучение ультрарелятивистских частиц в целом (незави-
(независимо от взаимоотношения между направлением излучения п и кине-
кинематическими характеристиками частицы v, w) частично поляризо-
поляризовано вдоль направления ускорения w, причем степень поляризации
S3 — If
§ 3. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ
3.1. Характерные случаи излучения. В пре-
предыдущем параграфе было показано, что ультрарелятивистская ча-
частица излучает в основном вперед, в узкий конус с осью, направлен-
направленной вдоль скорости частицы v и углом раствора "б1 ~ \1у. В соот-
соответствии с этим для нахождения спектрального разложения излу-
излучения ультрарелятивистской частицы оказывается существенным
взаимоотношение между полным углом отклонения частицы во
внешнем* поле и углом 1/у. Задачи излучения разбиваются на два
характерных случая.
I. Полный угол отклонения частицы в поле велик по сравнению
с l/у. Тогда в данном направлении п частица излучает с небольшого
участка траектории, на котором направление скорости частицы ме-
меняется на угол ~ \1у. Этот участок траектории будем называть
длиной формирования излучения (длиной когерентности). При этом
предположим, что можно пренебречь изменением-внешнего поля,
действующего на частицу, на длине излучения, т. е. что
F|A*/F<1, C.1)
где F — изменение внешнего поля на траектории; Д^ — время
поворота на угол \1у. Введя мгновенный радиус кривизны R, имеем
А^ « vAt ж R/y. Тогда критерий C.1) можно записать в виде
l> C-2)
где введена безразмерная характеристика неоднородности внешнего
поля ft = |F| R/F ~ \VF\R/F. При выполнении этого1 условия
можно получить универсальные выражения, справедливые для лю-
* Ниже под внешним полем понимается электромагнитное поле, созда-
создаваемое внешними источниками, в котором движется излучающая заряженная
частица.
26

<бого поля. Все характеристики излучения зависят только от мгновен-
мгновенных значений v и v, поскольку эти величины почти не меняются на
длине излучения. Такое положение имеет место, например, в маг-
нитотормозном излучении.
II. Полный угол отклонения частицы во внешнем поле меньше
или порядка характерного угла излучения. Тогда все излучение
частиц проходит в узкий конус с углом раствора ~ \1у и опреде-
определяются почти всей траекторией частицы. В этом случае также можно
получить ряд общих характеристик излучения, хотя здесь излуче-
излучение более чувствительно к специфике внешнего поля. Такая ситуа-
ситуация имеет место, например, в случае тормозного излучения в куло-
новском поле.
3.2. Качественная картина излучения в
случае I. Излучение происходит с небольшого участка траек-
траектории, на котором скорость частицы поворачивается на угол ~ 1/у.
Разность фаз волн, испущенных частицей в направлении п в момен-
моменты времени ^ и t2:
АФ = а){^-/1-п[гD)-г(/1)]}. C.3)
Как только разность фаз становится порядка единицы, излуче-
излучение из разных точек становится некогерентным, и происходит срыв
излучения. Учтем теперь, что излучение происходит с небольшого
участка траектории, на котором Av « v/y « 1/у, и проведем раз-
разложение входящих в C.2) величин по разности времен t2 — tx = т.
Тогда имеем
Дер да сот [1— nv— nvx/2—n vx2/6] «
«сот[1— nv—nvt/2+vV/6]. C.4)
При получении последнего равенства воспользовались тем, что
силу, действующую на частицу, можно считать поперечной, т. е.
(vv) =0. Тогда с точностью до членов ~ \1уг
(nv)=-v2. C.5)
Выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле C.4), имеет
порядок величины 1/у2. Действительно: а) величина 1 — nv ~ 1 —
— v л< 1/2у2; б) как уже отмечалось, излучение происходит с не-
небольшого участка траектории, на котором изменение скорости
| Av | = | v | т ~ 1/у; т — 1 /] v | у; C.6)
27

в) с точностью до членов порядка 1Ау2 имеем (v v) = 0, но тогда
(nv) ~ \v\/y, так как вектор п направлен почти по вектору скоро-
скорости v. Таким образом, разность фаз
Аф ~со/1 v | у3- C.7)
Условие срыва излучения Аф ~ 1 определяет границу частот,
которые могут изучаться при данном движении (характеризуемом
скоростью v и ускорением v). Из C.7) граничная частота
со ~ сос = | v | у3. C.8)
Для более высоких частот разность фаз становится порядка еди-
единицы внутри конуса излучения, так что в нем есть волны с данной
частотой, идущие в противофазе. Интерференция таких волн при-
приводит к гашению излучения и в итоге к падению интенсивности
излучения при частотах to > соо. Спектральные разложения энер-
энергии поля излучения содержат интегралы вида ехр AДф) dt, при
больших частотах подынтегральная функция быстро осциллирует,
а это означает взаимное гашение волн. Поскольку интегралы такого
типа экспоненциально малы, отсюда следует, что интенсивность
излучения при со-<сос падает экспоненциально. Для частот
со •< со с разность фаз Аф мала и экспоненциальный член ехр AАф)
можно заменить на единицу; таким образом, поведение излучения
определяется предэкспоненциальным множителем. Если этот мно-
множитель растет с увеличением частоты, то максимум распределения
интенсивности излучения по частотам лежит при со ~ юс. Следо-
Следовательно, при больших энергиях частицы в основном излучают вы-
высокие гармоники по сравнению с характерными частотами движе-
движения, которые задаются величиной jv] (например, для кругового
движения |v| « MR ж too — частота обращения).
Соотношение C.8) получается также из следующих простых
соображений. Вклад в излучение в заданном направлении дает
участок траектории, определенный формулой C.6). Отсюда харак-
характерные излучаемые частоты в системе отсчета, связанной с частицей,
суть сог ~ 1/т ~ \\\у. В лабораторной системе вследствие эф-
эффекта Допплера (частица движется на наблюдателя) принимается
частота в у2 раз больше. Иными словами, длительность излучения
в Л-системе [см. A.33)]
At = (dt/dx)x = (l — nv)T~T/y2; со ~ I/At ~ | v | ys. C.9)
Таким образом, картина излучения в данном направлении при
произвольном движении ультрарелятивистской частицы представ-
представляет собой краткий импульс (или краткую вспышку) излучения (по-
(последовательность таких вспышек при периодическом движении)
длительностью А^ (рис. 6) с набором частот вплоть до со ~ |v| у3.
Ввиду малости времени формирования импульса можно говорить
о мгновенных характеристиках излучения с частотой со в направле-
28

нии п. Эти характеристики при выполнении условий C.1) и C.2)
являются универсальными и определяются только частотой и уско-
ускорением частицы v.
3.3. Спектральное распределение и поля-
поляризационные свойства излучения в слу-
случае I. Будем здесь исходить из спектрального разложения
О
о
Рис. 6. Временные (а) и частотные (б) характери-
характеристики излучения ультрарелятивистской частицы.
A.73). Для дальнейшего рассмотрения задачи излучения в случае Г
оказывается удобным ввести переменные:
C.10).
Как уже говорилось выше, время излучения в данном направлении
много меньше, чем времена, характеризующие движение частицы.
Имея это в виду, можно разложить кинематические характеристики
частицы по степеням т:
Vl = v — vt/2+vt2/8;
v2 = v+vt/2+vt2/8;
r2—r1 = vt -f vt3/24.
C.11)
где v1 = v (ti) и т. д.
Подставляя это разложение в формулу A.73), получаем для интен-
интенсивности излучения ультрарелятивистской частицы (энергии, излу-
излучаемой в единицу времени частицы) с учетом поляризационных
свойств излучения следующее выражение:
— n — vt/2+ vt2/8);x
X(v—n+ vt/2+ vT2/8)feexp[ —itoT(l—nv + v2t2/24)]x
xdTd3k/Bn)\ C.12)
29''

где мы перешли к переменным т, t0 и при преобразовании показате-
показателя экспоненты воспользовались формулой C.5). Отметим, что хотя
разложение C.11) справедливо в узком интервале относительно
момента времени t0, интеграл по т C.12) можно распространить на
бесконечный интервал, поскольку область больших т дает прене-
пренебрежимо малый вклад ввиду быстрых осцилляции подынтегральной
функции. Для того чтобы выписать поляризационную матрицу
в явном виде, введем, как и в предыдущем параграфе [см. B.7)],
углы р и г]з (см. рис. 3), тогда C.12) приобретает вид
dlik(n,a>)= (e*/4n)-(
—со
т, C.13)
где w — \mv\, матрица
1 J~VP(*—
игг/2)
Для просуммированной по поляризациям интенсивности излучения
получаем [ср. формулы A.58) и A.59)]
dl (п, со) = Sp (dlik) = (е2/4я) • {dskl{2nf) x
со
X J [2A— nv)—1/72—ш2т2/4]ехр[ — icot(l— nv + ш2 т2/24)] dr.
C.15)
Наконец, проинтегрировав по частям член с 1 — nv [аналогично
переходу от формулы A.58) к формуле A.59)], или, что то же самое,
подставив разложения C.11) в формулу A.59), имеем для интенсив-
интенсивности излучения*
ОС
d/(n,co)=— {e*/4ri)(dsk/BnJ) J A/72 + ш2т2/2)х
—ос
X ехр { — icox [A —nv) + w2 т2/24]} dx = — (e2/4it) (#?/BяJ) х
X J (l/Y2 + w2T2/2)exp[ —icoT(fj,2 + TM2 + ffiJT2/12)/2]dT. C.16)
* Из формулы C.16) снова можно получить оценки C.6) и C.9). Дейст-
Действительно, основной вклад в интеграл дает область изменения т, где подынте-
подынтегральное выражение не осциллирует, т. е. когда ш2т2 ~ A — nv) ~ 1/уг,
откуда со ~ 72/т ~ lvl 73-
30

Входящие в формулы C.13)—C.16) интегралы по т берутся с по-
помощью следующих соотношений (см. [52], с. 412, 984):
J cos(Ьх + ах3)dx = 2/3]/~b/aКi/з(B/3/3)F8/2/а1
—'ОО
J х sin (to + ar>) dx = B/3 , 3) ф/а) К2/з(B/ЗКЗ ) F3/a/ai /2)). Cл 7)
—оо
ОО ОО
J х2 cos (bx + ojc8) dx = — (b/3a) J cos (bx + ял;8) ^л:.
ОО CO
Здесь Kv (?) — функция Бесселя мнимого аргумента (функция
Макдональда).
Интегрируя C.15) и C.16) по т, получаем для просуммированной
по поляризации интенсивности излучения
dl (n, со) = (е2/4я)(d3klBnfL У2/3(yl—nv/w) [4A — nv) —
- 1/Y2] /Ci/з (I) = (е2/4я) (d8 ^/1/3 я2) (y'jlH^Va») X
X[2(ij>« + |i2)-l/v8]/Ci/8(g), C.18)
где ? = D/2/3)(со/ш)A-пуK/2 = B/3)(ш/ш)(г);2 + ц2K/2. C.19)
Интегрируя поляризационную матрицу C.13) и C.14), находим
dlik (п, а) = (е2/4я) (d3 k/BnJ) 4 V2/3 (У 1—nv/a») X
ns)* + 2(l-nv)]/Ci/3(g) (n[vs])[(ns)/Ci/3F)-
X -
I (n[vsl)[(ns)/Ci/8F)+
где s = v//w. Учитывая, что с нашей точностью [см. B.7)]
l-nv = № + n2)/2; tA2^p2+l/Y2; (n[vs]) = p; (ns) = ij>,} C.21)
имеем представление поляризационной матрицы через углы
d/Ife (п, со) = (е2/4я) (d3 k/1 3 я2) (У ц2 + гр2/ш) х
1 /з (g) + i V|*2 + */C2/3 (Ю]
C.22)
Естественно, что dl (п, со) = Sp (d/,-fe (n, со). Выражение C.18)
описывает дифференциальное по всем углам спектральное распре-
распределение интенсивности излучения. Иными словами, задаются мгно-
мгновенные свойства излучения в момент времени t0, для которого вектор
31

¦скорости, являющийся одним из реперов системы отсчета углов,
v (t0). Аргумент Kv (i) в формулах C.18)—C.22) в конусе излуче-
излучения, т. е. когда 1 — nv ~ 1/у2, имеет порядок
? ~ (o/wy3 = ю/юс. C.23)
Учтем теперь, что разложение функций Kv (z) при больших и малых
значениях аргумента (см. [52], с. 975, 977)
—z), г>1; Kv(z) = [Г»/2] B/z)V< 1.
C.24)
Итак, при | <С 1, т. е. при малых частотах to С сос при фиксирован-
фиксированных углах внутри конуса излучения, когда if2 + ц2 ~ (I/y2)!^2 +
+ И2)мин — 1/у2Ь спектральное распределение интенсивности из-
излучения имеет вид
Л/ (n, ®)=(е*/4п) (ЖмфЖ|>/2я2) (Г A/3) со^з/З1/6 ш2/3) [2 (г|52+и-2)—1/Y2]-
C.25)
Как функция излучаемой частоты это выражение растет пропор-
пропорционально to5''3. При ? ^> 1, т. е. при больших частотах to ^> сос
.внутри конуса излучения (гр2 + ц2) ~ 1/у2 или при больших углах
излучения:
dl (n, to) = (еЩл.) (d(od$dty2n2) (y'naW/Yw (р2 + гр2I/4) х
X [2 (гр2 + и-2) — 1/Y2] ехр [—Bщ/3ш) (ti2+ Ч>2K'2]. C.26)
В этой области интенсивность экспоненциально падает, что, как
уже отмечалось, связано с взаимным гашением волн, излучаемых
в противофазе. Для поляризационной матрицы C.22) параметры
Стокса, определяемые по формуле A.72), следующие:
+ И-2)!—1/Y2! * 1/з (I)}- C.27)
Таким образом, излучение в данном направлении является, вообще
говоря, частично поляризованным. При р* = 0 [излучение в направ-
направлении п, лежащем в плоскости (v, w), см. рис. 3] параметры
li = 0. 1з = 1. т- е- излучение полностью линейно поляризовано
вдоль направления ускорения.
Следует, однако, иметь в виду, что в данном направлении на-
наблюдается излучение, испускаемое не в одной точке, а с участка
траектории, на котором частица поворачивается на угол ~ \/у
(см. рис. 6). Для того чтобы найти соответствующие характеристи-
характеристики, представляющие особый интерес при наблюдении излучения
ультрарелятивистских частиц, необходимо просуммировать из-
излучение по всем углам поворота, т. е. проинтегрировать выраже-
32

ния C.18) и C.22) по углуг|з. Ввиду быстрого затухания функций
при больших углах г|5 интегрирование погр, как и интегрирование
по относительному времени т, можно распространить на бесконеч-
бесконечный интервал. Оказывается, что вычисление существенно упрощает-
упрощается, если интегрировать не выражения C.18) и C.22), а провести
одновременно интегрирование по т и if в формулах C.13) и C.16).
Найдем спектральное распределение интенсивности излучения
C.16), просуммированное по поляризациям
dl ф, со) = ,С dl (n, со) = — (е*/Щ (со2 сЫР/BяJ) х
ОО ОО
X J dip J dT(l/Y2+co2T2/2)exp{—1сот(ц2 + г|;2 + &у2т2/12)/2}. C.28)
гнные:
C.29)
—ОО
Для выполнения интегрирования введем следующие переменные:
(х, у) | = б2/а
тогда
dl (Р, со)=—(е2/4я)>2<Шр/BяJ) (82/оу) х
ОО ОО
X _? d*_]" Л/ [ 1 /у2 + S2 (x + ym\ exp {- i [|i2 (x + г/)/б2 +
+ (дг3+^)/3]}. C.30)
Этот интеграл легко берется с помощью формул C.17):
dl (Р, со) = {ёЧЩ (со2 dcodp/Зя2) ([х2/ш) [Р2 /Ci/з (Л) + \>? К1,ъ (ч)] =
= (е2/4я) (со2 dco dp/Зя2) (^/w) [ц2 (/Cf/з (ч) + К\ц (ч)) — /С?/з D)/V*l.
C.31)
где
т] = сор.3/3ш. C.32)
Рассмотрим свойства спектрального распределения излучения C.31)
Внутри конуса излучения (ц2 ~ Ну2) аргумент /(-функций
Т] ~ (д/wy3 = СО/СОС, C.33)
как и в C.23). Тогда, используя формулы C.24), можно получить
асимптотические представления C.31) при ti<^1hti^>1.B обла-
области малых частот (п <С 1)
dl (Р, со) = (е2/4я) (dco dp/Зл2) (9/2J/3 Г2 B/3) со2/3 w1'3. C.34)
При больших частотах внутри конуса излучения (со ^> сос) или
при больших углах излучения (т] ^> 1)
dl ф, со) = (е»/4я) (dcodp/2n) со [р + р2/ц)] ехр [—2tojA3/3ay]. C.35)
Как следует из C.31)—C.35), максимум функции dl ф, to)/dpdto до-
достигается при т) ~ 1- Рассмотрим излучение под разными углами
Pi и р2. Из C.32) следует, что с ростом частоты величина ч^ — 1
2 Зак. 979 ' 33

достигается тем раньше, чем больше угол излучения. Иными слова-
словами, чем больше угол р, тем излучение «краснее» (рис. 7).
Поляризационная матрица, проинтегрированная по углуг|з, вы-
вычисляется так же, как выражение C.31). Проделаем в C.13) и C.14)
замену C.29), тогда матрица U C.14) будет
-6*
ху ~
и поляризационная матрица
dhh (Р.ю) = (е2/4я) (со2 dcodP/Зп2)
XI
(т])\
J
C.36)
C.37)
Очевидно, dl (p, to) = Sp (d/;fe (р, со)). Параметры Стокса для поля-
поляризационной матрицы C.37) следующие:
li = 0; |2 = 2р^С,/3 (т1)К2/з(л)/(Р2 /Cf/з + И2 /С#/з); ?3 =
!/з(л) + Р2*!/з(т1)]. C-38)
Излучение полностью поля-
поляризовано, поскольку ?22 +
+ ?32=1 (см. раздел 1.6). По-
Поляризация в общем случае
является эллиптической, при-
причем поскольку §3 > 0, то
большая полуось эллипса на-
направлена вдоль направле-
направления ускорения. При р = О
[вектор п лежит в плоскости
lx wH ?, = Е =0 ? =1
\* г ")> Ы Ь2 "« ЬЗ — 1»
т. е. излучение полностью ли-
линейно поляризовано вдоль
направления ускорения [см.
C.27)]. Выполнение условия
Ц2К§/з — Р2Л1 /з=0 невоз-
невозможно, так что поляризация
не может стремиться к кру-
круговой.
Важной характеристикой
процесса излучения являет-
является спектральное распределе-
распределение интенсивности излуче-
излучения, проинтегрированное по
всем углам излучения. Соответствующее вычисление удобно прове-
провести, интегрируя одновременно по ijj и |3 выражения C.18) и C.22).
Рис. 7. Зависимость спектрального
распределения интенсивности излу-
излучения от частоты при разных поляр-
полярных углах излучения. Чем больше
угол, тем «краснее» излучение в
максимуме.
рру др j и |3 выражен
Проведем в C.18) замену переменных и =tyy, v
тогда
Py
dl (со) = Jdl (п, со) = (е2/4я) (со2 da/УЗ я21 w \ у5) J du Jdvx
C.39)
34

где
х = 2@/3 w у3 = 2со/3оос. C.40)
Видно, что интеграл C.39) рационально вычислять в полярных
координатах: г2 = и2 + и2, ф = arctg (v/u):
оо 2я
dl (со) = (е2/4я) (со2 dco/У 3~я2 шу5) J dr2/2 J Жр /1 + г2 A + 2г2) X
о е
X/CI/3x(l+r2K/2) =
00
= (е2/4я)Bсо2Ло/3]/3~яшу5) j dsBs2/3 — I)/Сi/з (xs). C.41)
Воспользовавшись соотношением для /(-функций (см. [52], с. 964)
4- [s2/3 Кг/з (xs)] = - xs2/3 Ki/3 (xs), C.42)
получим следующее выражение для спектрального распределения
интенсивности излучения:
(>с)—f dl/Ci/3(g)]- C.43)
Принимая во внимание, что (см. [52], с. 984)
2 d/dz/G/з (z) +/C1/3 (г) = -/E/з (г), C.44)
окончательно имеем
d/ (со) = (е2/4я) (codco/>/'3 яу2) f Кь/з (I) dg =
оо
= (е2/4я) C1 3/4я) ш2 у* dx x J K5/3 (I) dg. C.45)
Спектральное распределение интенсивности излучения ведет себя
по-разному в зависимости от взаимоотношения между излучаемой
частотой со и частотой со с. При малых частотах (со <^С со с)
dl (co)/dco = (е2/4я) (З1/6 ГB/3)/я) w2'3 со1/3 C.46)
и при больших частотах (со!^>соо)
dl (co)/dco = (е2/8я) "(/сош/яу ехр [ —2со/ 3wy3], C.47)
так что качественное поведение спектральных распределений C.25),
C.26), C.34), C.35) и C.46), C.47) имеет одинаковый характер.
2* 35

Поскольку dl ((o)/da> падает и при малых, и при больших частотах,
то dl (co)/dto имеет максимум при со ~ fi>e. Именно в этой области со-
сосредоточена основная часть излучения*. Явный вид входящей в фор-
00
мулу C.45) комбинации C/3х/4я) J Кб/з(%Щ приведен на рис. 8.
и
Если проинтегрируем
C.45) по частоте, восполь-
воспользовавшись формулами
jxdx|/(i)di=f/(iLjWx=
О и 0 0
оо
= J/(i)(|2/2)d| C.48)
2,5 и (см. [52], с. 698)
Рис. 8. Зависимость спектрального
распределения интенсивности от ча-
2 ю\
сготы (х = -дг-—).
то придем к формуле B.10)
C.49)
Проинтегрированная по всем углам поляризационная матрица вы-
вычисляется аналогично C.41), исходя из C.22):
d/ik (ю) =
со2 da/ /3 я2 шуБ) j dr2/2 J йф A + г2I/2 X
= (е2/4я) Bсо2 Ло/3 уЛ
-
) J dsKi /з (xs)
3s2/3
1 0
s2/3
\
C.50)
* Сравнивая формулы C.25), C.34) и C.46), видим, что основной вклад
в излучение в случае « < «с дают углы р — -ф — (<вс/юI/3 A/v), так что
время формирования импульса (длина когерентности) At ~ (R/y) (<ос/шI/3.
Тогда условие C.1) приводит к более жесткому ограничению, чем C.2), на
неоднородность поля: п < v (<e/<ocI/3- Только при выполнении последнего
критерия справедливы формулы C.34) и C.46).
36

Недиагональные члены выпали вследствие нечетности подынтеграль-
подынтегральной функции; ясно, что dl (со) = Sp [dlih (to)]. Воспользовавшись
C.42) и C.44), получим
d/ih(a) = (e2/4n)(ad®
3/С2/3(Х) —f/Cl/зС
C.51)
Параметры Стокса в этом случае
Рис. 9. Зависимость степени
линейной поляризации излуче-
излучения от частоты.
C.52)
Таким образом, после интегри-
интегрирования по полярному углу кру-
круговая поляризация выпадает, так
что излучение в целом частично
линейно поляризовано вдоль на-
направления ускорения. Воспользо-
Воспользовавшись формулами C.24), имеем,
что при малых частотах (со < w с)
степень линейной поляризации
?з -*¦ 1/2, а при больших частотах
(оэ >.tt>c) ?3->- 1- Общая картина
зависимости степени поляризации
от частоты приведена на рис. 9.
Проведя в C.51) с помощью формул
C.48), C.49) интегрирование по частоте, находим формулы B.19)
3.4. Примеры излучения в случае I. а. Маг-
нитотормозное излучение (vJ_H). Это один из наиболее важных
и часто встречающихся в приложениях случаев излучения. Как
известно, электрон в постоянном и однородном магнитном поле
движется по окружности радиуса R с частотой ©0:
R = p/eH = mvy/eH; ao = v/R = eH/e; w = (e/e)[vH], C.53)
rflew— ускорение; Н — напряженность магнитного поля. В ультра-
ультрарелятивистском пределе
C.54)
37

Угловое распределение интенсивности излучения дается формулой
A.44), а полная интенсивность излучения — формулами A.45) и
A.46). Поскольку электрон совершает периодическое движение с
частотой оо0 = 2JT/T, то он излучает набор частот, кратных
(о0: ю = па0. Интенсивность п гармоники излучения вычисляется
согласно формуле A.60). В этом случае (см. рис. 3) угол \\i — a>ot,
так что [ср. B.7)];
nr0 (t) = (v/щ) cos p sin ю01;
v (*i) v (t2) = v2 cos co0 (i1 —t2) =
= v2 [cos (o0 tt cos co0t2 + sin coo tx sin fiHt2].
C.55)
Подставляя эти соотношения в A.60) и используя стандартные ин-
интегральные представления функции Бесселя Jn (см. [52], с. 968):
Г/2
| exp {i [па>01 — kr0 (t)]} dt —
-Г/2
—Я
Г/2
J exp{i[moo t — kro(t)]} sin w0 tdt — Bni/a>0)Jn (nv cos P);
-Г/2
Г/2
I exp{i[/K»of—kro(f)]} cos a>otdt = Bя/юоу cos ft)JJnv cos P),
—Г/2
имеем для интенсивности излучения п гармоники формулу, полу-
полученную Шоттом еще в 1912 г.:
dln = (е2/4я) • (е2Я2 n2/2ne2)[tg2 РЛ («w cos Р) + v4'a2 {nv cos P) ]. C.57)
Эту формулу можно использовать непосредственно при малых энер-
энергиях (у ~ 1), когда излучаются низшие гармоники. Положение су-
существенно меняется в области высоких энергий (у > 1). Как было
показано выше, в случае I в ультрарелятивистском пределе всегда
излучаются очень высокие гармоники* а> да fi>oY3> так что спектр
излучения состоит из очень большого числа линий, частоты которых
велики по сравнению с расстоянием между соседними линиями щ.
Иными словами, спектр излучения имеет квазинепрерывный харак-
характер. Для нахождения формул, которые описывают излучение ча-
частицы, движущейся по окружности, в ультрарелятивистском пре-
пределе можно исходить из C.57), взяв асимптотические представления
функций Бесселя при больших значениях индекса и аргумента.
Следует, однако, иметь в виду, что излучение в данном направлении
происходит с небольшого участка окружности и не зависит от харак-
* На эту особенность магнитотормозного излучения частиц высокой
энергии впервые указали Л. А. Арцимович и И. Я- Померанчук [2].
38

тера движения на остальной части траектории. Поэтому сам факт
движения по окружности становится несущественным. Отсюда
следует, что в указанной процедуре нет необходимости, поскольку
в разделе 3.3 были получены универсальные формулы, определяю-
определяющие излучение в рассматриваемой ситуации*. Таким образом, в ульт-
ультрарелятивистском пределе магнитотормозное излучение, включая
все спектральные и поляризационные характеристики, описывается
формулами C.10)—C.52), куда в качестве ускорения надо поста-
поставить C.54). Очевидно, что эти формулы, в отличие от C.57), спра-
справедливы и при движении в неоднородном магнитном поле, если его
можно считать постоянным на длине формирования импульса излу-
излучения [условия C.1) и C.2)], причем свойства излучения определяют-
определяются магнитным полем на данном участке траектории**.
б. Магнитотормозное излучение (vH) Ф 0. В случае, когда ча-
частица имеет продольную по отношению к направлению магнитного
поля Н компоненту скорости v ц = v sin 0, она движется в одно-
однородном и постоянном магнитном поле по винтовой линии. Излуче-
Излучение описывается формулами раздела 3.3, куда в качестве ускорения
надо подставить
We = (е/е) \ vH]; Wq — (е/е) vH cos 0 =
= (e/e)vj_H=(e/e)vH±}, C.58)
поскольку не делалось предположения об угле между скоростью
и внешним полем. Необходимо только, чтобы выполнялось условие
л/2—0^>1/у, так как если частица движется под углом ~ 1/укполю
(почти вдоль него), то энергия поперечного движения будет порядка
массы частицы, и по этой причине излучение частицы теряет особен-
особенности, свойственные излучению ультрарелятивистских частиц.
При винтовом движении вектор скорости частицы v описывает конус
с углом при вершине я — 20, излучение сконцентрировано вблизи
этого конуса, а не сосредоточено в плоскости, как при вращении
электрона по окружности. Наличие продольной компоненты ско-
скорости, на которую не действует внешняя сила, приводит к дополни-
дополнительному эффекту Допплера, связанному с переносным движением,
так что для неподвижного наблюдения частота сдвигается:
юв || — Юо/О — v || sin 6) «fi>0/cos2 9» C.59)
Для выяснения специфики излучения при движении по винтовой
линии рассмотрим два варианта. В первом из них фиксирована пер-
перпендикулярная к полю составляющая импульса рх, т. е. рассма-
* Заметим, что мы аппроксимировали участки траектории дугами окруж-
окружности с мгновенным радиусом кривизны R = l/w.
** Спектральное распределение интенсивности излучения электронов
большой энергии в магнитном поле было рассмотрено в работах [58, 104].
39

тривается излучение в разных инерциальных системах, получаю-
получающихся одна из другой преобразованием Лоренца вдоль направле-
направления магнитного поля (поле при этом не меняется). Заметим, что
полная интенсивность излучения de/dt0 B.10) является инвариантом
преобразований Лоренца [это очевидно из A.37) и A.39)]. При
вычислении спектрального распределения интенсивности излучения
C.45) следует учесть, что
—t»f, = e cos 0; 1 . .
<¦ ;
где 80, w0 — энергия и ускорение в системе (оц = 0). Тогда полу-
получаем для характерной частоты
(сос)е = A/со5в)(сосH, C.61)
т. е. максимум спектрального распределения сдвигается в коротко-
коротковолновую область. В соответствии с этим меняется и поляризация
излучения C.52). Аналогично проводится анализ и для дифферен-
дифференциальных характеристик излучения, включая поляризацию, где
необходимо наряду с преобразованием энергии учесть преобразова-
преобразование углов, отсчет которых в каждой конкретной системе связан
с плоскостью (v, w).
Во втором варианте частицы с одинаковой энергией попадают
в магнитное поле со скоростью, направленной под разными углами
к нему (я/2 — 6). В этом случае характерная частота излучения
(<вс)в = we Y3= Щ у3 cos 0 = (<веH cos 0, C.62)
т. е. чем меньше угол между v и Н, тем больше максимум излучения
сдвигается в длинноволновую область. Полная интенсивность излу-
излучения также падает с ростом угла:
dee/dt = (е2/6л) wl y4 = (е2/6л) wl у4 cos2 0. C.63)
в. Движение частицы под углом к электрическому полю (попе-
(поперечный импульс р±: р\ > т2). Частица, вошедшая в электрическое
поле под углом к нему, движется по кривой, заворачивающей в сто-
сторону поля, причем угол между скоростью и полем я/2 — 0 зависит
от времени:
cos 0 @ = Р±/р @ = pjVpl + (рЛ + eEtf apjmy (t). C.64)
где
Y @ = i V@ + m2]/m2; C-65)
Заметим, что условие я/2 — 0 > 1/у (f) выполняется всегда, если
рх > т (поскольку пропорционально росту энергии сужается ха-
характерный угол излучения), а именно, это необходимо для приме-
применения формул, полученных в разделе 3.3. В соответствии со сказан-
40

ным выше (см. раздел 2.1) излучение определяется поперечной со-
составляющей ускорения |?j_| = E cos 6 (t), так что в формулы раз-
раздела 3.3 необходимо подставить
w@ = е 1 Е± 1 /ту (t) = eE cos 9 (t)/my (t) = eEpJm* у2 (/). C.66)
Излучение в этом случае характеризуется следующими особен-
особенностями: 1) оно сосредоточено в узком конусе вокруг направления
скорости, причем угол раствора конуса непрерывно сужается
(~ 1/7 @); 2) характерная частота излучения непрерывно растет:
wc (t) = w (t) yz (t) = (eEpJm2) у (t) = eEpUm* cos 6 (t), C.6 7)
так что максимум спектрального распределения сдвигается в корот-
коротковолновую область. Формула C.67) имеет такой же вид, как
C.61). Это связано с тем, что обе они могут быть получены с помощью
релятивистского преобразования частоты за счет движения вдоль
поля; 3) полная излучаемая в единицу времени энергия не зависит
от времени, что очевидно, если подставить C.66) в B.10). Этот ре-
результат вытекает также из следующих соображений. Интенсив-
Интенсивность излучения инвариантна относительно преобразований Лоренца
[см. A.37)], а в каждый момент времени можно выбрать преобразова-
преобразование Лоренца вдоль поля, чтобы продольная скорость равнялась
нулю. Поскольку интенсивность излучения при этом не изме-
изменится, то излучение в любой момент времени совпадет с излуче-
излучением частицы, движущейся с заданным импульсом поперек поля.
г. Излучение ультрарелятивистской частицы в скрещенных
полях Е J_ H, ?2 = Я2. Задача об излучении частицы при движе-
движении во взаимно перпендикулярных электрическом Е и магнитном
Н полях, если они не одинаковы по величине, соответствующим пре-
преобразованием Лоренца сводится к задаче об излучении в чисто элек-
электрическом или чисто магнитном поле [Еа — Н2, (ЕН) суть
инварианты преобразования Лоренца]. Эти случаи были обсуждены
выше. Поэтому интересно еще рассмотреть случай так называемых
скрещенных полей ((ЕН) = 0, Е2 — Н2 = 0].
Если выбрать для определенности, что напряженность магнит-
магнитного поля Н направлена по оси z, а электрического поля Е — по оси
у, то при движении в скрещенном поле интегралами движения яв-
являются (см. [65, 84])
рг — const: e—рж = const.} C.68)
Подставляя выбранную конфигурацию полей в A.38), получаем, что
de/dt0 = (е2/6я) (<??/т2J (е—pxf; C.69)
таким образом, полная интенсивность излучения не меняется во
времени [и, естественно, есть лоренц-инвариант A.39I. Отметим,
что если частица входит в скрещенные поля с импульсом, направлен-
направленным по оси х (перпендикулярно обоим полям), то при р\ > /гаа

имеем е — рх « т/у, т. е. излучение падает с ростом энергии ча-
частицы.
При выполнении условия е — рх > т/у излучение ультраре-
лятивистских частиц в скрещенных полях определяется формулами,
найденными в разделе 3.3, куда в качестве ускорения следует под-
подставить
w = (еЕ/тг у2) (е—рх) C.70)
[ср. B.4) и C.69)]. Характерная частота излучения сос = coy3 уве-
увеличивается с ростом энергии как у, так что максимум спектраль-
спектрального распределения интенсивности излучения непрерывно смещает-
смещается в коротковолновую область. Угол раствора конуса излучения
соответственно сужается.
3.5. Траектория частицы во внешнем по-
поле в приближении малых углов. Перейдем к рас-
рассмотрению излучения ультрарелятивистских частиц в случае, когда
полный угол отклонения частицы в поле в данном направлении
определяется всей траекторией частицы. Для решения этой задачи
необходимо знать движение частицы в потенциале V (г) (V (г) -> 0),
/¦-> те
так что на больших расстояниях частица является свободной. Тра-
Траектория ультрарелятивистских частиц находится значительно проще
вследствие того, что основной вклад в ускорение частицы дает по-
поперечная составляющая силы. Тогда зависимость импульса от
времени во внешнем поле V (г) в первом приближении по передан-
переданному импульсу (в нулевом приближении берется прямолинейная
траектория)
P(O = Pi-q@ = Pi+ J (dV(r)/dP2J9dt, C-71)
где р — прицельный параметр; г = уАр2 + v2t2. С этой же точно-
точностью отклонение траектории частицы от прямолинейной в поле
V (г) имеет вид
t t t'
xq (t) = — f q (t) dt/e = f dt'/e f (dV/др2) 2pdt" +1 const, C.72)
b b b
где полагаем, что xq @) = 0. Заменяя порядок интегрирования
J dx]dyF (у) = Sdy$dxF (у) = | dy (t -у) F (у), C.73)
0 0 0 у 0
выражение C.72) приводим к следующей форме:
xq (t) = (He) J dy (t—y) (dV (Vp2+v2y2/dp2) 2p =
о
= Bp/e) t J (dV/др*) dy—V (r)/21 + i const. C.74)
42

Кроме передачи импульса q (t) и отклонения частицы xq (t) в даль-
дальнейшем будем интересоваться также величиной kx (t), которую
с учетом C.74) представим в виде
kx (t) = сгг+с2 (е/2р2) pxq (t) + kx0, C.75)
где kx0 — константа. Коэффициенты сх и с2 можно определить
из условий при t-*¦ ± оо. При t-+-— оо частица двигалась со
скоростью \ъ так что (kx) -> (kvjt, где мы ввели iP = р»/е =
= A, v), vvvp = m2/e2 = 1/у2. Подставляя это в C.75), имеем
?Dl = Cl_c2J (dVjdp2)dy = c1—c2d. C.76)
о
При /-»¦ оо частица движется со скоростью v; = v (t-+¦ оо), т. е,
kx = kVjt, тогда
kvf = ci + c2d. C.77)
Таким образом,
kx = (fo>! + kvf) t/2 + (kVj—kv-i) g (t)/2 + kx0, C.78)
где
C.79)
Следует заметить, что в ультрарелятивистском пределе, когда
v2 = 1 (с точностью до членов ~ 1/у2), g (/) не зависит от динамиче-
динамических переменных частицы, а определяется только видом потенциа-
потенциала V (г) и прицельным параметром р. Для кулоновского поля легко
найти
T^ C-80)
3.6. Спектральное и угловое распределе-
распределение энергии излучения в случае II. Для опи-
описания излучения будем исходить из спектрального распределения
энергии A.61). Показатель экспоненты в интервале A.61) в области,
где движение частицы можно рассматривать как прямолинейное,
т. е. вне области поворота частицы, имеет вид kx (t) = со A — nv)^ ~
~ (?>t/2y2, так что основной вклад в интеграл дает интервал времени
* ~ 2у2/со (при больших значениях времени t подынтегральная функ-
функция быстро осциллирует, и они дают пренебрежимо малый вклад).
В случае II следует различать две характерные области угла откло-
43

нения частицы 8: 1) 6 ? My и 2) 0 С My. Для кулоновского поля
угол отклонения
оо
8» J q(t)dt/p&Ze*/inpB. C.81)
00
В области 1
р Э: Ze2/4n/n. C.82)
При энергиях и частотах, удовлетворяющих условию
C.83)
длина излучения ct > р, т. е. длина излучения значительно пре-
превышает размеры области, где происходит поворот частицы; следо-
следовательно, излучение происходит на участке траектории, на котором
движение можно рассматривать как прямолинейное. Для полей,
убывающих с расстоянием быстрее, чем кулоновское поле, размеры
области поворота еще меньше, поэтому это условие тем более вы-
выполняется. В такой ситуации интегрирование в A.61) можно про-
проводить по траектории в виде угла, т. е.
= Pi = P(—°°); &*@ = &yi^+c°nst; 1
= рг = р ( + «>); kx(t) = kv2t +const, i ^3'84*
Выполняя интегрирование в A.61) при этих условиях, имеем
о
de(n,(o,e) = (e2/4n)(d3 &/BлJ) J
—-ос
ОО 2
+ f et,\2exp[\kv2t]dt =
"о
c/v r I* г\ ^^ ^Л г2'^г2 * \ ^*ОО1
Удобно представить это выражение в явно поперечном виде.
Тогда
йг (п, to, е) = )
C.86)
причем е*. п = 0. При замене е -> к выражение C.86) обра-
обращается в нуль.
В области 2 частица почти не отклоняется во внешнем поле, в то
время как угол излучения, естественно, всегда имеет порядок 1/у,
так что угол между импульсами в начальном и конечном состояниях
рх и р2 много меньше угла между направлением излучения й рх, р2:
kpt та kp2 ft? eco A — nv) — с(о/Bу2) ¦= (om2/Be). C.87)
44

Скорость частицы согласно C.71)
t
I (dV(r)/dp*Jpdt. C.88)
Подставляя C.87) и C.88) в A.61), получаем в области 2:
de (п, со, е) = (е2/4п) (ds k/[Bn)* е2]) | ея I dt' exp [ikvx t'\ X
X J {dV/dpiJpdt
= (е2/4л) (d» *ЛBя)« (kPlf\) | е* р/р |21 (в/ др) X
X I ехрП^П V(r)d/|». C.89)
Введем теперь характерный угол, соответствующий границе
применимости области 1 [см. C.81) и C.83)]:
рс = 2у2/со; 9c = Ze2/4npce = Ze2a/8nmys. C.90)
Естественно, что формулы C.85) и C.86) применимы при 0 > 9С-
С другой стороны, формула C.89) справедлива при 9 <^ \1у. В об-
области
1/Y>e>9c, C.91)
вообще говоря, можно пользоваться обеими формулами. Нетрудно
видеть, что они в области C.91) переходят в
de (n, со, е) = (еУАл) (d4/Bnf) [l/(^J] \exq\\ C.92)
где q = р! ¦— р2 — передача импульса. Действительно, если угол
отклонения 9 удовлетворяет условию C.91), то он значительно
меньше угла излучения, так что в C.85) можно вынести знаменатель.
С другой стороны, величина
dt (] ^dt)'1 ] exp[i*OnЛч-l
C.93)
i J exp[iH*] — dt= (] dt) ] exp[i*Oln
q —<x dp \—oo dp j —oo dp
при выполнении условия C.91), поскольку в этой области можно
заменить экспоненциальный множитель на единицу. Тогда из C.89)
немедленно следует C.92). Поскольку формулы C.85), C.86) и
C.89) имеют область перекрытия, в которой они переходят в C.92),
45

то можно написать единое выражение, справедливое во всей области
углов отклонения частицы 0<С 8 <_ 1/у:
de (n, со, е) = (е2/4я) (d3 k/Bnf) \ ек [prfkpi — pjkpt] \2 Ф, C.94)
где
^л) ' ] exp [i/(to,) (fc>a)*]^ Я
др ] ар
C.95)
Здесь мы симметризовали величину Ф по параметрам vt и v2, вос-
воспользовавшись тем обстоятельством, что при kv-i Ф kv2 Ф = 1,
а в области, где Ф Ф 1 @ ^ 0С), kvx да kv2. В областях 1 и 2 фор-
формула C.94) переходит соответственно в C.85) и C.89).
Рассмотрим отдельно кулоновский потенциал ввиду его особой
важности. В этом случае интегрирование по t в A.61) можно про-
провести непосредственно, без разбиения на области 1 и 2.
Для вычисления входящего в выражение A.61) интеграла по
времени учтем, что в кулоновском потенциале из C.71) (для притя-
притяжения) имеем
J
=v1-(l/2e)q.(l
C.96)
dV
г dV
где va = v1 —q/e: q= (—p/p) J —dt. Здесь и в дальнейшем
—с» dp
используется обозначение
. C.97)
Таким образом, [ср. C.78) и C.80)]:
kx (t) = (kOi + kv2) t/2 + (kvt—ko^ Ур2 +t2/2. C.98)
Интеграл A.61) с таким значением показателя экспоненты и ско-
скорости вычисляется в явном виде, это удобно сделать, воспользо-
воспользовавшись заменой переменных:
sh (л — т]0) = t/p; th т|0 = (kv2—kv^\(kv2 + кох), C.99)
тогда получаем
] v(t)exp[ikx(t)]dt = (l/V(kVl)-(kv2))-(p/2) ] {[v,^)-
—оо
—\1(kv2)]shr\+ [v2(kv1) + v1(kv2)]cbr
C.100)
46

Учитывая, что (см. [51] с. 433)
оо
| ch т) exp [\a sh r\] dr\ = 2nd (а):
— эо
оо
J sh г] exp [iashrjjdr] — 2\Ki(a),
C.101)
находим для энергии излучения ультрарелятивистской частицы
в кулоновском поле
de (п, со, е) = (е2/4л) 0s klBnf) | e^ К/Ьх — v2/b2) |2 а2 К! (а), C.101)
где a = pY(kv1)(kv2). При а<^1 a/Ci(a)->-l, и формула C.102)
совпадает с C.85). Причина этого очевидна:
в согласии с C.83), так что мы действительно находимся в области
1. При а ^ 1 условие C.83) нарушается, и мы переходим в область
2, где kvx « ког. Результат интегрирования C.89) для кулоновско-
го потенциала совпадает с получаемым из C.102) при kvx я* kv2-
Таким образом, мы провели прямое вычисление энергии излучения
в кулоновском поле; естественно, что формула C.102) следует также
непосредственно из формулы C.94), если в формулу C.95) подставить
кулоновский потенциал.
3.7. Энергетическое сечение, излучения.
В задаче излучения частиц при движении в потенциале V (г), таком,
что V (г) -*¦ 0 при г -> оо, основной интерес представляет энергия
излучения, просуммированная по всем прицельным параметрам.
При этом удобно ввести характеристику, которую мы будем назы-
называть энергетическим сечением и обозначать
d S (п, и, е) = de (n, со, е, р) сР р. C.103)
Поскольку в классической теории существует определенная
связь между переданным импульсом q = рх —¦ р2 (углом отклоне-
отклонения частицы) и прицельным параметром, выражение C.103) можно
представить в виде
(q), C.104)
где
C.105)
есть сечение рассеяния частицы на потенциале V (г).
Все полученные в разделе 3.6 формулы применены при углах
отклонения частицы Э ^ My. Для широкого класса потенциалов
47

(куда входит, например, кулоновский потенциал; V (г) — а/гп и т. д.)
этот интервал углов дает основной вклад в энергетическое сечение
излучения,, поскольку при 0 > 1/у падает сечение рассеяния. Тогда
для определения старшего (по 1/v) вклада в энергетическое сече-
сечение излучения можно пользоваться найденными выше формулами.
В дальнейшем будем для определенности рассматривать энерге-
энергетическое сечение излучения в кулоновском потенциале. В этом слу-
случае (для притяжения) [ср. C.71) и C.96)]
q = -2|р/р2; р = -2&q/<A C.106)
где использовано обозначение ? C.97).
Тогда для сечения рассеяния частииы имеем
da (q) = сР р (q) = | # p/d2 q | d1 q = | д fp/dq*1 & Я = 4?2 & q/f- C-l О7)
Подставляя C.102) и C.107) в C.104), имеем для дифференциального
энергетического сечения излучения в кулоновском поле
d 2 (k, q, е) = (ег/4л3) (gV) & kd? q (epJkft—eMkptf Фс1 (у), C.108)
где
{v'!l). C.109)
Здесь введена характерная переменная
y = (kv1)(kut)fq1, C.110)
которую будем широко использовать при описании процесса излу-
излучения в кулоновском поле, в том числе и в квантовой теории.
Специфическая особенность излучения ультрарелятивистской
частицы в кулоновском поле (как и для всего случая II) заключается
в малости углов отклонения частицы и излучения, вследствие чего
задача оказывается по существу двумерной, причем выделенной
оказывается плоскость, перпендикулярная внешнему направлению
(для определенности выберем плоскость, перпендикулярную на-
направлению излучения п). Для выполнения' интегрирования сече-
сечения C.108) по угловым переменным проведем замену переменных.
Введем ти, т\ — проекции импульсов соответственно рх и р2 на
выделенную плоскость; ф—угол между векторами и и v; фх — угол
между векторами е и и (рис. 10), тогда
= (ат%/2е; (kp2) = com2 т)/2е;
ер! = mu cos ф2; ep2 = mv cos (ф + Фх);
Я± = (mu—mvJ = m2 (u2 + v2—2uv cos ф);
Я\\ = [n (Pi-p2)]2 = m2 (u — vf (u + u)
48
C.111)

Учитывая определение C.110), имеем также
6 = com/2e2.
C.112)
Принимая во внимание, что (<?1)мин = т2 (и—DJ> получаем
Ч\\ I Q± ^ (и -\- у) /4у . C.113)
Поскольку величина переменных и и v не превышает единицы
($! = и/у — 1/у), то в классической задаче излучения всегда можно
пренебречь продольной ком-
компонентой передачи импульса q ц
по сравнению с поперечной
компонентой q±, т. е. считать,
что q2 = q\. В качестве оконча-
окончательного набора переменных
выберем Z,, т), у, q>v
Преобразование дифферен-
дифференциала угловых переменных к
новым переменным можно про-
провести с помощью методики, опи-
описанной в приложении Е, в ре-
результате имеем:
Рис. 10. Переменные для описания
излучения частицы в случае II.
C.114)
где
5 = [2Чт](? + Т]-2)-(^Т]J-^-Т]J]'/2; Я, = 6*/У. C.115)
Область интегрирования по т) и \ определяется следующими соот-
соотношениями:
I =МИН
Л
У >
0,
C.116)
а область интегрирования по у = mWZ,r]/q2 следует из C.116) и того,.
ЧТО ^ин = 0, <?макс = 4е2 (р2 = — Рх),
"мин " i Ук
¦ о°,
C.117)
причем мы здесь учли, что при q = qMaKC имеем р2 = —рх и, сле-
следовательно, kp2 = 2сое. Преобразуя выражение C.108) в соответст-
соответствие с формулами C.111) и C.114), получаем энергетическое сече-
сечение излучения в кулоновском поле:
? (k, q, е) = Z2 (е2
X
C.118)
49.

Следует иметь в виду, что формула C.118) представляет сечение
излучения с определенной поляризацией е^,. В соответствии с фор-
формулой A.75) энергетическое сечение излучения, просуммированно
по поляризациям излученной волны, имеет вид
C.119)
3.8. Интегральное энергетическое сечение,
поляризационные свойства излучения в
кулоновском поле. Часто представляет интерес энерге-
энергетическое сечение излучения, проинтегрированное по углам, харак-
характеризующим движение частицы после столкновения. Поскольку
Рг = Pi — Q. то это означает интегрирование по передаче импульса
(jcP<7), что соответствует интегрированию по прицельному парамет-
параметру (jcPp). На языке введенных выше переменных интегрирование
необходимо провести по ц и у. Пределы интегрирования по т) в соот-
соответствии с C.116) определяются корнями уравнения 5 = 0, по-
поскольку эти корни T)lf2 вещественны и Tib2 ]> 1. Входящие инте-
интегралы вида
C.120)
Til Tli
удобно вычислить с помощью перехода в комплексную плоскость
т), где интегрирование ведется по контуру вокруг точек ветвления
Ix = n/Y~a = я/?; /2 = — (п/2а) {Ь \ '^о) =
;-2I;
C.121)
/, = (л/8а2 /—а) (Зй2—4ас) =
Подставляя эти интегралы в C.118), получаем для энергетического
сечения излучения
d Sv {К У, е) = Z2 (e2/Anf (da> dy dtd^/m2 yi?n) x
X {1-[2(C-1) + Я(^-6^ + 6)]/С2-2 cos 2ф1(^-1)A -ЗЩ2}ФС,A/).
C.122)
Чтобы выполнить интегрирование по у [к = 62/у, формула C.115)],
необходимо вычислить интегралы
Gn = I (dyly») Фы (у), п = 1,2. C.123)
в*
50

Если учесть, что при 4?2г/ <g 1 Фс1 (у) ->¦ 1 [см. C.109)] и при боль-
больших у D12г/ ^> 1) Фсг (у) падает экспоненциально, то ясно, что ос-
основной вклад в интеграл G2 дает область у ~ б2 вблизи нижнего
предела интегрирования. Поэтому при вычислении интеграла G2
можно положить U>ci(y) — 1 (интеграл по области у ~ 1 содержит
дополнительный малый множитель б2, такими членами ~ 1/у2 мы
пренебрегаем). С учетом этого
G2=l/62. C.124)
Принимая во внимание, что (см. [52], с. 648)
jzKnz)dz = z*[K2i(z)-Ko(z)K2(zW, C.125)
получаем (при ?6 <^ 1)
C.126)
где С — постоянная Эйлера, ес = 1,781 ... Подставляя C.124)
и C.126) в C.122), имеем для энергетического сечения излучения,
проинтегрированного по углам вылета частицы после столкновения:
d % (к, е) = Z2 (е2/4лK (dw/m*) (dyjn) (</?/?») X
3)} C.127)
и для просуммированного по поляризациям излучения энергетиче-
энергетического сечения излучения [см. C.119)]:
(k) = 2Z2 (е2/4яK (da/tn*) (%/я) (d?/Z?) [Gj — 1 —
C.128)
Сечение C.127) полностью определяет характеристики электро-
электромагнитного излучения при кулоновском соударении (частоту, угол
излучения и поляризацию). Обсудим теперь поляризационные
свойства излучения. Перепишем C.127) в виде
(k, e) = d% (k) A -11| cos2фО/2, C.129)
где
||| = 2(?-l)(G1-3)/[(G1-l)S2-2(^-l)(G1-3)]. C.130)
Заметим, что была спроектирована фурье-компонента электриче-
электрического поля излученной волны на вектор е*, [ср. A.54) и A.61)].
Таким образом, сечение C.127) определяет один из элементов поля-
поляризационной матрицы, чтобы получить остальные компоненты
[см. A.61) и A.63)], необходимо взять еще проекцию на вектор
е*/_|_ е*,. Однако в этом фактически нет необходимости, поскольку
фурье-компонента поля излучения [см. C.100) и C.101)] чисто
мнимая, так что круговая поляризация отсутствует, а для опреде-
N 51

ления параметров линейной поляризации вполне достаточно форму-
формулы C.129). Действительно, если вектор е^, направлен параллельно
преимущественному направлению фурье-компоненты электрического
поля, то сечение максимально, а если вектор перпендикулярен
этому направлению, то сечение минимально. Степень поляризации
определяется разностью этих сечений, а направление — направле-
направлением вектора е*,, при котором сечение максимально. Отсюда сле-
следует, что излучение при кулоновском соударении является линейно
поляризованным в направлении,
перпендикулярном плоскости из-
излучения (плоскости, задаваемой
векторами рх и п), когда фх = л/2,
а степень поляризации есть |||
[ср. A.75)]. Если в качестве орта
е2 выбрать u/|u|, то этот же ре-
результат на языке параметров Сток-
са приобретает вид
Ei = Es = O; E3=-III-C-131)
Степень поляризации ||| C.130)
зависит от угла излучения ?
явно, а от прочих характеристик
процесса — через величину Gx
(Gt > 1). Степень поляризации ||| =
= 0 при ? = 1, когда излучение
распространяется вдоль направления движения падающей части-
частицы рь ||| ->- 0, когда ? > 1 (большие углы отклонения), и дости-
достигает максимума при ? = 2 (Ьг = \1у), причем значение степени
поляризации в максимуме
Рис. 11. Зависимость степени
линейной поляризации от
угла излучения в случае II,
С = 1 + v2V, G, = 13.
C.132)
близко к единице (рис. 11).
Выполняя элементарное интегрирование по Z, (верхний предел
у2 ввиду сходимости интегралов при больших ? можно за-
заменить на ?макс ->¦ со, при этом отбрасываются члены ~ My2, ко-
которыми систематически пренебрегаем), находим
d 2jy («в, е) = Z2 (е2/4яK (dw/m2) (dyjn) [Gl~
—1— (Gx — 3)(l+cos291)/3]. C.133)
Поляризация излучения в целом (проинтегрированного по всем
углам излучения) определяется параметрами Стокса
Ei = E, = O; 6а A—3/Gx)/2. C.134)
Таким образом, излучение в целом при кулоновском соударении
существенно поляризовано.
52

Суммируя по поляризациям излучения и интегрируя по опре-
определяющему поляризацию углу q>lf получаем полное энергетическое
сечение излучения с частотой со при кулоновском соударении:
d Sv (со) = (8Z2/3);(e2/4n)8 (d<ajm2) Gx =
= 16Z2 (e*/4nf (dco/m2) [In (8ne2/Zea corned)—1/2]/3. C.135)
3.9. Излучение малых частот. Рассмотрим из-
излучение при столкновении электромагнитной волны с частотой со,
которая много меньше всех характерных частот движения частицы.
Тогда излучение формируется на расстояниях, значительно пре-
превышающих область взаимодействия частицы с внешним полем
{область, где происходит поворот частицы) и, следовательно, не
зависит от конкретного механизма взаимодействия и определяется
только величиной переданного импульса. Это означает, что в пре-
пределе со -v 0 соотношение 2уа/со ^> р выполняется всегда. Следова-
Следовательно, можно использовать представление траектории в виде угла
C.84), т. е. для энергии излучения справедлива формула C.85):
d% (n, со, е) = (е2/4я) (d3 k/An2) | ер1/(Ар1)—ер2/(Ар2) |а =
= (d3k/(o2n) г* | е (Ax—A,) |2, C.136)
где А12 — потенциал Лиенара—Вихерта частицы до и после
соударения.
Если воспользоваться тем, что elf e2, n образут ортонормирован-
ную тройку векторов, для которых выполняется условие полноты
Ъ/1е\ + щпк = Ь1к, C.137)
то после суммирования по поляризациям выражение C.136)
получаем
2) {п
1—А2)]2. C.138)
Это же выражение немедленно получается, если подставить
выражение для магнитного поля A.52) в следующий интеграл:
Нш= JH(t)exp[iwt]dt, C.139)
при со-уО
оо
He= J Н@Л = [(Аа—А^п], C.140)
и подставить Н^ в A.56).
53

Учитывая, что
[п(р1/(^р1) — РгД&Рг))]2
— (сое—&р2
имеем
de(n, co)=— (e2t
Из записи выражения
de (n, со) = (е2/4я) [d
= (Р
)/(*/
14 л)
C.
codQ
i/(^
hW
138)
hh-pJikPi
= —(PiJ(
г/Dя2)] [рй|
в форме
s)J—A/шJ[(<ве—*Л)/(*Л)—
kpl) — p2tl/(kp2)J' C.141)
J(kpi)—PnJ(kp2)]2. C.142)
l-nvJ-fnvJAl-nv,)J
C.143)
видно, что коэффициент при da> не содержит частоты. Иными сло-
словами, de (n, (?>)/d(?> ->¦ const при со -> 0, т. е. спектральное распре-
распределение излученной энергии при со -> 0 не зависит от частоты и стре-
стремится к постоянному пределу.
Заметим еще, что был рассмотрен случай прохождения частицы
через поле. Поскольку выражение C.136) не зависит от механизма
взаимодействия, то оно в записи через потенциалы Лиенара—
Вихерта сохраняет свой вид и при столкновении частиц (только
теперь в качестве А необходимо взять сумму потенциалов Лиенара—
Вихерта всех сталкивающихся зарядов), тогда получаем
(к (п, со, е) = (в*/4я) [d3?/Bя)«] 2 (epln!kpln-ep2jkp2nJ. C.144)
§ 4. РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
4.1. Воздействие излучаемого поля на'за-
р я д. Ускоренное движение заряженной частицы во внешнем поле
всегда сопровождается излучением. Это излучение уносит энергию
и импульс частицы и поэтому влияет на последующее движение ча-
частицы, так что само движение в какой-то мере определяется харак-
характером возникающего излучения. Указанное обратное действие из-
излучения на заряд называется реакцией излучения или торможением,
излучением,.
Проблема воздействия излучения на движение заряда тесно
связана с самодействием, т. е. с действием поля заряда на сам заряд.
Рассмотрим поле заряда в точке, где он находится. Запаздывающий
тензор электромагнитного поля A.25) представим в виде
F% = (F% + F22.)/2 + (F%-F%e)/2, D-1)
где Fadv — опережающий тензор электромагнитного поля. Этот
тензор находится из опережающих потенциалов, для получения
которых в формулу A.10) необходимо подставить D (х — х') =
= Dadv (x — *')> тогда
Dad^r,0 = S(*W-*o)/2K = (l/4ji|r|N(|r| + 0. D.2)
54

Опережающая функция Грина D.2) представляет собой бесконечно
узкую сферическую сходящуюся волну, т. е. она отлична от нуля
только на световом конусе, направленном в прошлое. Выражение
для опережающих потенциалов имеет вид Гер. A.14)—A.16)]
Опережающий тензор электромагнитного поля проще всего полу-
получить, если воспользоваться способом, приведенным в сноске
к стр. 10. Тогда
v = д* Avadv(x)-dv ASdv (*) = —(е/4я) (l/Ru) (d/dx)
— Rvu»-)/Ru) = — (e/4n){(R»wv—Rv w»)/(RuJ+
+ (Rw—l)(Rvu»—R»uv)/(RuK}, D.4)
где выражение в правой части берется в запаздывающей точке
t-to=-R; # = |г-г0Г. D.5)
Приступим к вычислению полуразности запаздывающего и опе-
опережающего потенциалов в D.1). Ясно, что, не нарушая общности,
можно положить to = O. Тогда, сравнивая D.4), D.5) и A.19), A.25),
получаем, что F^et (R) = —F^dv (—R)- Для того чтобы вычислить
1/2 (Ffet — Fadv) в точке нахождения частицы [х^ = х§ (т0),
ср. A.18)], удобно воспользоваться представлением запаздывающих
и опережающих потенциалов до вычисления производных по г
1см. D.4) и сноску на стр. 10], положив для простоты г0 = 0 и раз-
разложив все величины по степеням г — т0 = г -*- 0. Тогда
)
поскольку
Ru 11== о = 0 (R = 0); d2 (Ru)/dx21 T==o = ^ Ыц + #¦"• йа»ц/^т = 0;
Значения отличных от нуля производных содержатся в форму-
формуле D.6). Учитывая, это при принятых условиях [ср. D.4) и A.25)]
55

F?Ot(x) =—F%dv(—т.), подставляя полученные разложения в 1/2 х
X {F*ret—Falv) и проводя необходимые вычисления, имеем
D.8)
При вычислении этого выражения были сохранены в разложе-
разложениях D.6) только члены, не обращающиеся в нуль при т -*- 0.
Члены в правой части D.1) имеют разный физический смысл.
Полусумма запаздывающего и опережающего полей расходится
в точке, где находится заряд, она связана с электромагнитной энер-
энергией частицы, движущейся во внешнем поле. Попытки решить проб-
проблему собственной электромагнитной энергии в классической элек-
электродинамике носят крайне искусственный характер. Поэтому не
будем здесь рассматривать первый член в D.1) (напомним, что дви-
движение частицы и ее масса считаются заданными). Полуразность за-
запаздывающего и опережающего полей D.8) конечна во всей области.
Сейчас мы увидим, что именно она связана с потерей энергии за
счет излучения. Заметим, что разбиение D.1), предложенное Дира-
Дираком [55], является, очевидно, релятивистски инвариантным, причем
первый член меняет знак при отражении времени, а второй не
меняет. Для учета реакции излучения в уравнение движения части-
частицы наряду с внешним полем Л*г включим также поле самого заряда
в точке, где он находится (в виде F^d), тогда
mdu^/dx = е (F»v + Ffad) «v - eF»v щ + B/3) (е2/4я) (dw^/dx —
—и* uv dwv/dx) = eF»v «v + B/3) (е2/4л) (dw^/dx + 0l wv wv) =
4 D.9)
Выражение для 4-силы реакции излучения g» можно переписать
в другом виде, если выразить производные через тензор действую-
действующего на частицу внешнего поля, учитывая малость силы реакции
излучения по сравнению с внешней силой (только в этом случае
применим весь подход, так как излучение рассматривалось при
заданном движении):
g» = B/3) И4л) [(elm) (dF^/dxx) uv ux + (e2/m2) F»* FvX ф +
+ (e2/m2) u»Fv%uxFvpup]. D.10)
Интеграл от 4-силы g&, взятый по мировой линии заряда, про-
пролетающего в данном внешнем поле, совпадает (с обратным знаком)
с полным излученным зарядом 4-импульсом Ар»* [см. A.39)]. В этом
можно убедиться так: первый член в g*1 [в форме D.9)] при интегри-
56

ровании обращается в нуль, поскольку предполагается, что на беско-
бесконечности частица не имеет ускорения (du^ldx^l^ = 0), второй член
дает
— j gt>. &х = — B/3) (е2/4я) \ (duv/d-c) (du^/dx) u»dx, D.11)
что совпадает* с A.37). Таким образом, сила gv действительно
учитывает воздействие излучения на заряд. В нерелятивистском
пределе среднее значение работы силы f [g(l = gr(l(f vy, fy)] совпа-
совпадает с интенсивностью дипольного излучения**.
Следует иметь в виду, что сила реакции излучения [а следова-
следовательно, и уравнение D.9)] имеет ограниченную область примени-.
мости. Сначала было рассмотрено излучение при заданном движе-
движении, а затем была введена сила, учитывающая потерю энергии при
излучении. Это возможно только в том случае, когда сила реакции
излучения значительно меньше силы, действующей со стороны
внешнего поля. Рассмотрим теперь смысл такого условия. Сравне-
Сравнение компонент одного 4-вектора силы F»x и компонент другого
(gu) не является ковариантной операцией. Поэтому обычно проводят
сравнение векторов силы в системе покоя частицы, в которой долж-
должно быть |g |сп « [Fjcn. Так как F»^ = 0, Fo = Fu/u0 = Fv,
имеем в системе покоя Fo = 0, и тогда условие применимости запи-
запишем в виде
FtxFw D.12)
Ввиду инвариантности квадрата 4-вектора сравнение можно
проводить в любой системе. Подставляя в D.12) явный вид входя-
входящих величин, имеем
(еЩлт) V^—(dwldxf <cVz:aJi. D.13)
Отсюда в нерелятивистском приближении получаем е2ш/4я/п < 1,
где со — частота изменения внешнего поля, т. е. оно должно слабо
меняться на длине порядка классического радиуса частицй (клас-
(классический радиус электрона г0 = е2/Dлтс2) = 2,818-Ю^13 см). За-
Заметим, что на существенно больших расстояниях ~%1т (ке = %1тес =
= 3,86Ы0~11 см) начинают проявляться квантовые эффекты.
Другое условие, следующее из D.13), имеет вид
т2/е3, D.14)
* Детальный анализ проблемы реакции излучения, в частности попытка
придать физический смысл появлению опережающих потенциалов в формуле
Днрака, был проведен в работе [97].
it f2 .
** Введем силу f такую, что Г ivdt = — (е2/6я) j v dt. Интегрируя правую
часть по частям при (v v) |Jj = 0, имеем f = (еа/6я) v. Это же вытекает из
D.9) при v < 1.
57

т. е. внешнее поле должно быть мало по сравнению с граничным
полем классической электродинамики (полем электрона на клас-
классическом радиусе):
?сг=Ясг = 4я/п2с4/е3 = е/4го-§, D.15)
Рассмотрим теперь этот критерий в ультрарелятивистском пределе.
Следует иметь в виду, что [см. B.2)]
v<r/\v±\ = Fl\/(F±y*). D.16)
поэтому если действующая сила удовлетворяет критерию*
F\\/yF±<U D-17)
то комбинации v v/|v_i_| весьма мала (~1/у2). В этом'случае порядок
величин (у > 1) в D.13) следующий: (dwl&xf ~ у'в, а»4 ~ у8, так
что членом с производной можно пренебречь. Тогда неравенство
D.13) можно переписать в виде
(е2/4пт) у — w2 < 1; (е3/4лт2) у — (F^ «vJ <g 1. D.18)
Если F — величина электрического или магнитного внешнего поля,
то D.18) удобно представить так:
e3Fy/Dnm2)<^l; y=\lV I— v2. D.19)
Это же неравенство следует из D.14), если учесть, что в последнее
входит поле в системе покоя, порядок величины которого yF.
Отметим, что условие, при котором квантовые эффекты** малы,
в ковариантной записи имеет следующий вид:
(еА/т2) 1' — (F»vuvf <g 1. D.20)
Сравнение критериев D.18) и D.20) показывает, что квантовые
эффекты появляются при полях, в а (е2/DпНс) «s 1/137 раза мень-
меньших, чем поля, нарушающие неравенства D.18).
Приведем еще выражение для 3-вектора силы реакции излуче-
излучения D.10) в ультрарелятивистском пределе:
fUR = -B/3) (е*/4лт2) у2 v [(Е + [vH]J-(vEJ] = v B/3) (е2/4я) а;*.
D.21)
Сравнивая с формулой A.38), получаем
iuR=—\d&/dt0. D.22)
Следовательно, в этом случае сила fc/«: а) является продольной
(относительно v) и направлена против скорости, т. е. является си-
силой торможения; б) пропорциональна квадрату энергии частицы
\ ~ ^ «/у по существу является нерелятивистским,
поскольку при пересчете таких полей в систему покоя они существенно не
меняются.
** Детальный анализ квантовых эффектов будет проведен ниже (см. раз-
раздел 5.3).
58

72; в) равна по величине интенсивности излучения частицы в задан-
заданном внешнем поле*. Отношение силы реакции излучения D.21)
к внешней силе имеет порядок e?y2F/Dnm2).
Приведенное отношение может быть существенно больше едини-
единицы и при выполнении неравенства D.19). Это ни в коей мере не
противоречит критерию D.18), поскольку сила реакции излучения
D.21) является продольной [см.-D.17)]. Тем самым возможна си-
ситуация, при которой потеря энергии ультрарелятивистской части-
частицей во внешнем поле определяется в основном силой реакции излу-
излучения. Ниже рассмотрим важный случай, в котором существенна
реакция излучения.
4.2. Радиационное затухание колебаний
в ускорителях. В циклических ускорителях элементарные
частицы движутся в неоднородном магнитном поле, которое удер-
удерживает (фокусирует) частицы вблизи некоторой (равновесной) тра-
траектории. При движении в таком поле частицы совершают малые
вертикальные г, радиальные р (бетатронные) и фазовые X (синхро-
тронные) колебания, каждые из которых можно рассматривать как
колебания в соответствующей (z, p, X) потенциальной яме. При вы-
высоких энергиях у > 1 существенное влияние на движение легких
частиц (электронов) в циклических ускорителях оказывает их из-
излучение в магнитном поле. Рассмотрим это влияние, полагая ча-
частицы ультрарелятивистскими (у ^> 1) и оставляя только главные
члены разложения по My. С этой точностью, как отмечалось в раз-
разделе 4.1, можно воспользоваться силой реакции излучения в форме
D.21) и D.22), так что сила торможения направлена против ско-
скорости. Излучение электрона, совершающего малые колебания, уно-
уносит полный импульс, а ускоряющая система ускорителя возобнов-
возобновляет только продольный (касательный к равновесной траектории)
импульс. В результате бетатронные колебания затухают. Следует
также учесть, что радиальная и фазовая потенциальные ямы за-
зависят от энергии, так что потеря энергии вследствие излучения и по-
последующее ее возобновление также могут привести к затуханию
(или возбуждению) р- и Х-колебаний.
При конкретном рассмотрении воздействия излучения на коле-
колебания предположим для простоты, что колебания (г, р, X) в отсутст-
отсутствие излучения независимы и полная энергия электрона в среднем
не меняется. Поскольку энергия каждого из колебательных дви-
движений однозначно связана с его амплитудой, в данной задаче удоб-
удобно воспользоваться гамильтоновым формализмом. Гамильтониан
каждого из колебательных движений запишем в виде** [23]
Ж} = Р?/2е + U, (q}) = Tj + U,. D.23)
* Работу силы реакции излучения следует сравнить с потерей энергии
на длине когерентности (см. раздел 3.1), с которой уходит независимый им-
импульс электромагнитного излучения. В старшем по \/у приближении длина
когерентности (~ 1/^) стремится к нулю. По этой причине D.22) является
локальным.
** Такое представление справедливо только для малых колебаний.
59

С учетом сказанного выше имеем [см. D.21) и D.9)]
е Tad ^ dzldt | Tad = B/3) (еЩп) at=-I, D.24)
причем
е= e(-n + erad; Pi= pjrad+Pi m = Pjrad A — btx). D.25)
Последнее равенство имеет место в силу того, что возобновляется
только продольный импульс электромагнитного поля. Гамильтониан
Ж] является в отсутствие излучения и ускоряющего поля инте-
интегралом движения, так что изменение его во времени:
dMj/dt = (р^ъ) (dpj/dt) + (dUj/dqj) (dqj/ek) e =
= -2T, (//e) A -6tx) + {dUj/dqj) (dqj/dz)k, D.26)
где использованы формулы D.24) и D.25). Учитывая, что е «
7n(de,ldqj) qj, поскольку на равновесной траектории движение ста-
стационарно, eq=o = 0, и проводя усреднение по времени с учетом
//e<a>j, D.27)
где (fy — частота /-колебаний, и используя теорему вириала
|^=277 D.28)
получаем
Это выражение справедливо для произвольного потенциала, т. е.
произвольного неоднородного фокусирующего поля (при условии
независимости колебаний).
Для осцилляторных потенциалов 2Т} = &j. Подставляя это
соотношение в D.29) и используя то, что р = г — R; X = R — Ro,
причем г, ф, г — цилиндрические координаты частицы; R — мгно-
мгновенный радиус кривизны; Ro — радиус равновесной траектории,
и что для вертикальных колебаний г потенциальная яма не зависит
от энергии, имеем из D.29)
dep/dt = [—(dR/de) (дв/дг)—Цв] ер; |
dex/dt = {dR/de)[dk/dr + {dkfde)(d&/dR)]ex; | D-30)
Здесь учтено, что e = e[r, e (R)]. Все уравнения D.30) имеют вид
dk/dt=—rjEj, D.31)
60

где величины Г,- не зависят от е^, поэтому
] D.32)
Парциальные энергии г} пропорциональны квадратам амплиту-
амплитуды uj соответствующих колебаний, итак, из D.32) следует, что
D.33)
Величины Г,- называются декрементами (при Г,- > 0) или инкре-
инкрементами (при Г^ < 0) соответствующих колебаний.
Учитывая, что dt/ds = derad/de = —df/ds, получаем из D.31)
следующее выражение для суммы декрементов:
Гр + Гх + Гг == / B + д 1п I/д In e)/e. D.34)
Таким образом, сумма декрементов колебаний не зависит от
конкретных свойств системы, а определеляется только соотношением
между интенсивностью излучения и энергией.
Вычислим декременты в случае слабо неоднородного азимуталь-
но-симметричного магнитного поля с показателем неоднородности п:
Я = Я0(^0/г)"; п=—д\пН(г)/д\пг. D.35)
Учитывая, что еН (R)/& = а = l/R, получаем (следует иметь в ви-
виду, что рассматриваются малые колебания (г — Ro)/Ro С 1. сле-
следовательно вычисляется величина вблизи равновесной траектории):
ds/dR = eH(R)[l+d\nH (R)/dR) = еН A —п) ^ е0 A — n)/RQ. D.36)
Имеем также
е = IoRo/r-/(r,B (R)), D.37)
где [см. A.47) и B.10)]
/ (г, е) = B/3) (е2/4я) и2 Y4 = B/3) (е*/4п) (Я2е2//и4);
/0 — интенсивность излучения на равновесной траектории. От-
Отсюда следует
дв/дгж/0(— l+2n)/RQ; ds/деж — 2/0/е0. D.38)
Подставляя найденные величины в формулы для инкрементов
D.30), получаем для Г/
Гр = [(dR/de) (де/дг) + /0/е0] = [п/A -п)] (/0/е0);
Гх = (—dR/de) [дЁ/дг + (де/дг) (de/dR)] = 39
Гг =/0/е0-
61

Г Л А В А II
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
5.1. У р а в н е н и е Дирака во внешнем элек-
электромагнитном поле. Волновые уравнения для свобод-
свободных частиц отображают свойства, связанные с общими требования-
требованиями пространственно-временной симметрии для частиц с данным спи-
спином. Физические же процессы в той или иной форме связаны с вза-
взаимодействием частиц. В некоторых случаях взаимодействие можно
ввести с помощью понятия внешнего электромагнитного поля, по-
посредством которого аппроксимируется воздействие на данную
частицу со стороны другой частицы или совокупности других ча-
частиц. Понятием внешнего поля можно, как правило, пользоваться
до тех пор, пока движение заданной частицы не влияет на состоя-
состояние частиц, являющихся источниками электромагнитного поля,
так что внешнее поле является неизменным и классическим (не-
квантованным).
Волновое уравнение для электрона в заданном внешнем поле
можно получить, как в классической электродинамике и в нереля-
нерелятивистской квантовой механике, с помощью операции «удлинения»
производной
Рц-^-Рц^Рц—еАц'' Pn = i<V E.1)
где Рр, —¦ кинематический импульс; Ац (х) — вектор-потенциал
внешнего поля, так что уравнение Дирака во внешнем поле имеет
вид
(V»Ptl—m)V(x) = [y»(idtl — eAll) — m]Tp(x) = DATp = O, E.2)
а гамильтониан приобретает вид
HF = y°y(— iv—eA) + Y°m + ap. E.3)
При калибровочном преобразовании А^-*- А^ + дц % необходи-
необходимо одновременно произвести калибровочное фазовое преобразова-
преобразование г|з (х) -»- ехр [•—\е %(x)]ty (х). Вид выражения для плотности
тока не меняется, т. е. в присутствии электромагнитного поля
РЧх)=Ъ(х)у*Ъ(х), E.4)
где ty (x) — решение уравнения E.2). Уравнение E.2) содержит
заряд частицые со своим знаком (е < 0 для электронов). Уравнение
для позитронов отличается знаком заряда.
62

От уравнения первого порядка можно перейти к уравнению
второго порядка, применяя к E.2) оператор (Р^ + т):
[P^P^—m!i~ea^Fli.v/2]\i>(x) = 0. E.5)
Уравнение Клейна—Гордона во внешнем поле также находится с по-
помощью операции удлинения производной E.1):
(PuP^-m2) cp(x) = O. E.6)
Дополнительный член в E.5) eaWF^fe связан с наличием у элек-
электронов спина. В трехмерной записи
iaE). E.7)
Подставляя в E.5), имеем
[РцР*—m2 + e2H— ieaEH(x) = 0. E-8)
Для постоянных (не зависящих от времени) внешних полей
можно перейти к стационарным волновым уравнениям, решение
которых принадлежит к дискретному [е| < т и к непрерывному
спектру |е| > т. Если связь во внешнем поле не слишком силь-
сильная, так что энергия связанных состояний не доходит до е = 0, то,
как и при описании свободных частиц, можно провести разбиение
волновой функции на части с положительной (е > 0) и отрицатель-
отрицательной частотами (е < 0). Схема вторичного квантования строится,
как для свободных частиц, заменой плоских волн на нормированные
решения в данном внешнем поле:
2 \ ^ ехр [ — ieL+) /] + b+ ^ exp [ie^ *]};
-
exp [i4+) /] +Ът^ ехр [-ief» /]}
где знаки «+» и «—» относятся соответственно к положительным
и отрицательным частотам, а„(Ьт) и ат (Ьт) — операторы рожде-
рождения и уничтожения частиц в состоянии с квантовыми числами т.
Описанный подход применим до тех пор, пока в задаче несущест-
несущественно рождение электрон-позитронных пар внешним полем. В про-
противном случае рассмотрение следует вести в полном (многочастич-
(многочастичном) аспекте квантовой электродинамики.
5.2. Спиновые операторы во внешнем по-
поле. В Приложении А приведены поляризационные операторы для
свободных частиц со спином 1/2 (операторы, коммутирующие с урав-
уравнением Дирака и имеющие собственные значения ± 1)- Рассмотрим
63

¦еще одну форму записи поляризационного оператора, особенно
удобную при рассмотрении задач во внешнем поле. Введем [100]
Т^ = уъ(ту^—р^Iт, E.10)
где*р^=(#°, p)=(ihdt— Шу). Как легко убедиться, этот оператор
коммутирует с гамильтонианом одночастичного уравнения Дирака:
[7>, Я»] = 0, E.11)
здесь Н° = 7° (\'Р + т)- Отметим, что операторы определены на
классе функций, удовлетворяющих уравнению Дирака. Поэтому,
сворачивая 7> с 4-вектором спина s^, имеем
-7>^1,2(Р, Q=S»SllqU2(p, ?) = ±%>2(p, ?), E.12)
т. е. скалярное произведение (—Tv-s^) имеет такие же собственные
значения, как и векторный оператор спина (S%,). Оператор 7>
обладает следующими свойствами:
7n7V=-3; 7>рц = 0, E.13)
которые следуют прямо из определения E.10). Учитывая E.12)
и E.13), легко убедиться, что
^,2(Р, ?OV%,2(P, ?) = ±V E.14)
Кроме того, с учетом у0 2 = y6Y имеем
Т=—Y5p/m+Y°s; Г° = 2р/т. E.15)
Последние выражения позволяют дать следующую физическую
интерпретацию оператора Г'1. Если О [см. Приложение А, (А. 12)] есть
поляризационный оператор (для движущейся частицы), среднее
значение которого дает вектор спина ? в системе покоя, то 7> — поля-
поляризационный оператор (для движущейся частицы), его среднее
значение есть вектор s^, получающийся при преобразовании Ло-
Лоренца вектора ? из системы покоя. В этом смысле оператор 7> яв-
является ковариантным обобщением 3-вектора поляризация О.
Ковариантныи оператор поляризации 7> во внешнем поле полу-
получается из E.10) с помощью операции «удлинения» производной E.1):
E.16)
причем Р|х = Рц—&4ц,; P0 = HF—eAQ. В трехмерной записи
T = y°S—Y5P/m; Г° = 2Р/т. E.17)
* В разделах 5.2, 5.3 и 5.5 использована система единиц с=1.
64

Оператор Т* во внешнем поле обладает следующими свойствами:
Г* Т» = — 3—eh (S H — ioE);
—iaE)/m. j EЛ8)
Учитывая, что
*, HF\; dT»/dt = (l/m)ybe(dA»/dt), E.19)
воспользовавшись E.3), нетрудно получить
d7>/d* = — еуъ у0 yv F^/m, E.20)
или в трехмерной записи
]— Y5E)/m; dT°/dt = eBE)/m. E.21)
Отсюда следует, что во внешнем электромагнитном поле в общем
случае поляризационный оператор не является интегралом дви-
движения. Однако в некоторых частных случаях существуют поляри-
поляризационные интегралы движения. Это:
а) Е = 0, тогда очевидно, что Т° = const. Из E.17) видно, что
Т° характеризует поляризацию на направление движения;
б) Е = 0; Н/|Н| = const, тогда Т° = const; TH/|H| = const,
последняя величина характеризует поляризацию по направлению
поля;
в) Н = 0, Е в некотором фиксированном направлении обращает-
обращается в нуль (Е пе = 0), тогда Т ne = const.
При выборе поляризационных состояний частицы в магнитном
поле часто оказываются полезными собственные состояния опера-
оператора О, или оператора, отличающегося от него на слагаемое, про-
пропорциональное уравнение Дирака:
О = у0 2—Y5 P/e—Y0 B р) р/[е (e-fm)]. E.22)
Проводя здесь «удлинение» производных (в магнитном поле только
р ->¦ Р), получим
О = y° S—Y5 Р/е—Y0 B Р) Р/[е(е + т)\. E.23)
Из приведенного выше анализа следует, что для магнитного поля,
направленного по оси 3, интегралами движения являются О3 и ОР.
Поляризационные состояния, определяемые оператором О3, при
переходе в систему покоя соответствуют спину электрона, по и про-
против направления магнитного поля, а поляризационные состояния,
определяемые оператором ОР, соответствуют спину электрона, по
и против направления движения.
5.3. Анализ квантовых эффектов при дви-
движении частиц в магнитном поле. При движении
заряженных частиц в магнитном поле основные закономерности
являются общими для частиц с любым спином. Наличие у электро-
-3 Зак. 979 65

на спина дает добавку еИНс в квадрат энергии [см. E.8)] (относитель-
(относительная величина ее /шо/е, где ю0 = еН/г = (еНс/е) = vJR — лармо-
рова частота; vt-—компонента скорости, перпендикулярная магнит-
магнитному полю; R — радиус кривизны в магнитном поле) и при высо-
высокой энергии с указанной точностью (Дсоо/е) не сказывается на дви-
движении частицы. Заметим, что анализ динамических переменных
с гамильтонианом Дирака даже для случая свободного движения
требует искусственных манипуляций с а-матрицами для устране-
устранения «дрожания» (Zitterbewegung). Поэтому для анализа свойств
квантованного движения частицы во внешнем магнитном поле
будем рассматривать наиболее простой случай скалярной частицы,
гамильтониан которой получается из классического выражения пе-
переходом от величин к операторам:
E.24)
где Р = —Шу—еА. Оператор скорости имеет вид
v=r = (l/ift)[r, Ж]. E.25)
Воспользовавшись тождеством
[г, Ж*] ={[г, Ж], Ж}, E.26)
получим операторное уравнение для v:
. E.27)
Поскольку входящий коммутатор пропорционален постоянной
Планка h, это уравнение удобно для проведения итераций по сте-
степеням Й. Решая его, имеем
со
у = РЯМ + 2 (—ЩЖ, [Ж...[Ж, Р]...]]Ж-п-1/2п. E.28)
„=, l й • i
Компоненты оператора Рт удовлетворяют соотношениям
[Рт, Pn] = iehEmnhHh E.29)
и
[Р2, PJ = [2 Рт. Рп\ = ieAemnk 2Hh Pmt E.30)
где Н — напряженность магнитного поля; rot H = 0.
Исходя из тождества E.26), можно получить уравнение
Ъ]Ж-{=сЖ~К E.31)
где b = Ш, Р1; с = [Ж\ Р].
66

Это уравнение решается аналогично уравнению E.27):
Ъ = сЖ~Ч2+ 2 ( — \)п\Ж, [Ж...[Ж, с]...]1 ^-"-1/2"+!. E.32)
Коммутатор с вычисляется из E.30):
E.33)
Подставляя это выражение в E.32), получаем уравнение, содержа-
содержащее только коммутатор Ь. Это уравнение может решаться с помощью
метода последовательных приближений, с точностью до членов
~ Н3 решение уравнения имеет вид
b = [Ж, Р] = ieh [HP] Ж-1 — (iehf [H (HP) —Н2Р] Ж~3/2 —
—(ЩаН2 [НР1Ж-5/2 + ...+
+ е(ШJ[{дН/дхт, Рт}Р]Ж-3/4 + .... E.34)
Это выражение содержит два типа членов, один из которых зависит
от напряженности магнитного поля Н, а второй — от неоднород-
неоднородности этого поля. Разложение для обоих типов членов идет по сте-
степеням efiH/Ж2, т. е. по степеням
2) = П.<ао/г, E.35)
где
Яо = m2/eft ( = mV/eft) = 1,24-1013 абс. хев. ед. = 4,4Ы013 в E.36)
— критическое магнитное поле (для электрона).
Найдем теперь коммутатор компонент скорости в низшем по % по-
порядке. Из E.28) имеем
l^> vn] = {[Pm,Pn]-P^-lW, Рп] + РпЖ~1№, Рт]}Ж~2.E.37)
Воспользовавшись формулами E.29) и E.34), получаем в низшем
по % порядке
[vv] = ieft [H A — v2) + v (vH)]/M2, E.38)
так что соотношение неопределенности для компонент скорости
AviAvh~ehH/e? = H/(Hof) = h<ao/E. E.39)
Заметим, что с той же точностью
[rm, vn\ = \h[bmn-vmvn\lX. E.40)
Из приведенного выше рассмотрения следует, что определяющая
величину квантовых эффектов некоммутативность динамических
переменных частицы, движущейся в произвольном магнитном поле,
имеет порядок Н1{Н0у2) = Кщ1г (в общем случае ряда по степеням
з* 67

(/коо/е). Отсюда вытекает, что с ростом энергии величина кванто-
квантовых эффектов уменьшается, т. е. движение частицы становится
все более «классическим». Это важное обстоятельство будет систе-
систематически использоваться в теории излучения.
5.4. Инвариантные характеристики движения
частицы во внешнем поле. Как было показано выше,
движение частиц высокой энергии во внешних полях является
квазиклассическим, и по этой причине состояние частицы в поле
можно характеризовать 4-импульсом р^.
Инвариантные характеристики процессов, просуммированные
по спиновым состояниям частицы, могут зависеть лишь от инвари-
инвариантов, которые можно построить из 4-вектора р^ и постоянного
4-тензора внешнего поля F^v (поскольку речь идет об электро-
электромагнитных взаимодействиях, то входит комбинация eF»v). Мож-
Можно построить три безразмерных инварианта
m«= A/Hgm2) [([рН] +р0ЕJ-(рЕJ]; )
= (Н2 — Е2)/Я§; g2= — е^ар/^х
где Но задается формулой E.36). Для скрещенного внешнего по-
поля / = ?=0(это определение скрещенного электромагнитного по-
поля), для магнитного поля f = H/H0, g=0. Если рассматривается
движение ультрарелятивистской частицы (р0 ^> т), причем вектор
р составляет с полями Е,Н углы v^>m/p0, то х2^*/2. ?2(ДРУ-
гими словами, для ультрарелявистской частицы почти для всех
направлений любое постоянное поле выглядит как скрещенное).
Если, кроме того, поля Е,Н много меньше критического [Но= Ео =
= т2с3/(еЩ], to |/|, |g'|<^l. Тогда инвариантная характеристика
процесса W может быть разложена:
, f, g)=W0(X, 0, 0) + /^ (х, 0, 0)+gWt (X, 0, 0) + ..., E.42>
где Wo (x) описывает процесс в скрещенном внешнем поле. В этом
смысле характеристика процесса в скрещенном внешнем поле
описывает процесс в любом постоянном поле*. Это утверждение
перестает быть справедливым, если имеется зависимость от дру-
других параметровв(например, спиновые явления).
В неоднородных внешних (в 4-мерном смысле) полях можно
построить дополнительные инварианты, содержащие члены вида
dF^/dx^ (члены типа даРа$, eopTs d&Fib выпадают вследствие урав-
уравнений Максвелла). Однако если за характерное время процесса
(или на характерных длинах процесса) величины Л*у и р^ ме-
меняются слабо, то инвариантные характеристики будут по-прежнему
* Это связано с тем, что для ультрарелятивистского электрона, угол импуль-
импульса которого р с полями Е,Н будет Ь^>М~\, любое постоянное внешнее поле
в системе покоя выглядит как скрещенное.
68

зависеть от E.41), где Fiiv, рм. — локальные значения соответствую-
соответствующих величин. Тогда приведенные выше соображения остаются спра-
справедливыми и для неоднородных внешних полей.
Приведем несколько форм записи параметра % в магнитном
поле:
X = (Я/Яо) (Pjmc) = (h/mc*) (| v \/с) у2 = (hwo/e) y3 (vt/c). E.43)
5.5. Движение спина в магнитном поле.
Формула E.20) определяет уравнение движения для 4-вектора по-
поляризации. Однако часто представляют интерес уравнения движе-
движения для среднего значения 4-вектора поляризации в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении.
Переход к квазиклассическому приближению осуществляется
с помощью подстановки в уравнение E.5) волновой функции в виде
i|) = «exp[iS/ft], E.44)
где S — скаляр; и — медленно меняющийся спинор. Разлагая
S = So + (h/i) S1 + ..., получаем уравнения
[2 (дц So) Ci* SJ + д» d^S0 + 2е (А^ SJ + eo^F^/2] и = 0. J ( >
Первое из них — классическое уравнение Гамильтона—Якоби, не
зависящее, естественно, от спиновых переменных (пропорциональ-
(пропорциональных %). Второе уравнение в квазиклассическом приближении яв-
является уравнением для квантовых поправок, оно зависит от спино-
спиновых переменных. Иными словами, влияние спина на движение того
же порядка, что и квантовые поправки к движению (~ %).
В такой ситуации приобретает смысл задача о поведении спина
электрона (например, среднего значения 4-вектора поляризации)
при заданном квазиклассическом движении, т. е. тогда, когда ча-
частица локализована так, что ее волновая функция представляет
собой квазиклассический пакет [100]. Для этого должны выпол-
выполняться следующие условия: 1) волновая функция мала повсюду,
кроме небольшой области, которую можно понимать как положение
классической частицы; 2) волновой функции соответствует доста-
достаточно узкое распределение по импульсам, т. е. можно считать, что
Р*№> *) = <Р^Ц(х, t). E.46)
где <Рц> — классическое значение 4-импульса, меняющееся на
классической орбите, но факторизуемое из интегралов по волновой
функции. Это условие налагает требование на размеры волнового
пакета. Если размеры пакета а, то должно быть
<Р>2»ВД; E.47)
3) поля и потенциалы являются плавными, причем их иаменением
на длинах порядка размеров пакета можно пренебречь. При выпол-
69

нении этого условия можнр считать, что на частицу действует поле
в точке, где она находится; 4) напряженности поля Е и Я малы
по сравнению с напряженностью критического поля E.36)*.
?«?0; Н€Н0. E.48)
В противном случае член e^o^v/r|XV/2 _> т2, и им нельзя пренебрегать
при переходе от уравнения E.5) к первому уравнению E.45). Дело
в том, что при Е ~ Е0(Н ~ Но) коэффициент А при члене eowF^ft
сокращается с множителем %, входящим в критическое поле, так
что спин влияет на движение уже в нулевом по % порядке. Иными
словами, при полях порядка критических попадаем в существенно
квантовую область. При выполнении условия E.48) из уравнения
E.45) следует
m2. E.49)
Исходя из этого, можно ввести классические характеристики
е = (Роу = т ]Л — v2 = ту. E.50)
Для перехода к квазиклассическим уравнениям движения следует
иметь в виду, что для любого эрмитова оператора Q
J гр+Q (HF—e<p) ф д?х + J [Q (HF—e<p) i|)]+ ф сРх =
= 2 <HF—еф) ^ гр+ Qi|; (fix = 2 <Р0> j 1|з+ <?1|з d3 x, E.51)
где HF дается формулой E.3). Это выражение можно записать в виде
<{(Q, Я*-«р)}> = <{Q, Ро}> = 2 <Р0> <Q>. E.52)
Отсюда немедленно следует
E.53)
так что гейзенберговские уравнения движения для операторов
a) E.54)
после усреднения E.53) переходят в классические уравнения дви-
движения.
* Напомним, что напряженность критического магнитного поля Но =
= 4,41 • 1013 9, а критического электрического поля Ео = 1,32- 101в в/см
(в гауссовой системе единиц).
70

Рассмотрим теперь уравнения движения для спина. Воспользо-
Воспользовавшись соотношениями коммутации у-матриц, нетрудно получить
{у<УУ\ HF—ey} = 2mT*. E.55)
где Tv- — ковариантный оператор поляризации во внешнем поле
E.16) и E.17). Подставив это выражение в формулу усреднения
E.52), найдем
<y°yV> = —<Г">. E-56)
В
Проведя усреднение уравнения E.20) и воспользовавшись E.56),
имеем уравнение движения для среднего квазиклассического опе-
оператора поляризации
d<T»->/dx = (e/m)Fw(Tv), E.57)
где мы перешли к дифференцированию по собственному времени
dt = ydx. Здесь введено <Т^> как среднее по одночастичным со-
состояниям. Однако, поскольку в уравнении E.57) (Т^) входит ли-
линейно в каждый член, можно провести усреднение по некогерентной
смеси состояний и рассматривать (Т^у как среднюю поляризацию
пучка частиц. Теперь воспользуемся формулой E.14), положив
(Tvy = s». E.58)
Из представления оператора поляризации E.17) имеем в системе
покоя частицы
<Г°> = 0; <Т> = <у0Е> = ?. E.59)
Среднее значение <Т^> = su обладает свойствами 4-вектора поля-
поляризации. Действительно, из E.57) и классических уравнений дви-
движения [ср. E.54)] следует, что
=-?2( = const);
—
dx
E.60)
причем s* в произвольной системе выражается через g с помощью
формул (А. 13) (см. приложение А). Уравнение E.57), записанное
в ковариантной форме, можно переписать в виде
ds/<# = e(E(sv) + [sH])/e; dsjdt = e(Es)/e. E.61)
Обычно оказывается удобным использовать уравнение для измене-
изменения вектора g, среднего значения поляризационного оператора О
71

частицы E.22). Чтобы получить его, необходимо подставить в E.61)
представление (А. 13) и использовать классические уравнения дви-
движения. В результате
] =(е/в) [gH?], E.62)
где Н? — эффективное поле, действующее на вектор спина g:
Нв = Н + [1/A + 1/Y)] [Evl. E.63)
Вследствие взаимодействия частицы приобретают дополнитель-
дополнительный (аномальный) магнитный момент A\i — (g — 2) е%Ц2т) (со-
(согласно уравнению Дирака g = 2). Для того чтобы найти уравнение
движения спина с учетом аномального магнитного момента, можно
добавить соответствующий член в уравнение Дирака, а затем осу-
осуществить переход к квазиклассическому приближению* [100].
В результате получаем уравнение движения для классического век-
вектора спина (КВС):
ds^/dx =-- (elm) {gFw sv/2 + и* (g/2 — 1) Л* sk wv}. E.64)
Это же уравнение можно найти как прямое обобщение классиче-
классического уравнения движения магнитного момента в магнитном поле
J = [цН] [31]. Из уравнения E.64) следует, что второй член, за-
зависящий от аномальной части магнитного момента, имеет структуру,
отличную от первого, в частности при высоких энергиях (и ~ у)
второй член становится доминирующим. Переход к уравнению для
вектора g производится так же, как и в E.62). В результате простых,
но довольно громоздких вычислений получаем трехмерную форму
уравнения КВС:
dC/# = [5F]; F = (e/e)[H? + fe/2-l)Hj,], E.65)
где НЕ дается E.63) и
НЛ = (ё/т){Н—v(vH)/A + 1/y) + [Ev]}. E.66)
Заметим, что Нд — напряженность магнитного поля в системе по-
покоя электрона (если в лабораторной системе поля Е и Н). Обсудим
правую часть уравнения КВС в форме E.65). На магнитный момент
частицы действует магнитное поле Нд в системе покоя частицы.
Следует, однако, иметь в виду, что приращение вектора спина
Д? = (d%ldt)kt состоит из двух частей, одна из которых обязана
вращению в поле Нд, а вторая является кинематической и связана
с «поворотом» вектора спина g в системе покоя из-за того, что дви-
движение электрона во внешнем поле является ускоренным, так что
* В § 14 будет дан прямой вывод соответствующего уравнения с учетом
квантовых поправок. Обширная библиография работ, посвященных переходу
от уравнения Дирака к ковариантному уравнению движения магнитного
момента, содержится в статье [94].
72

системы покоя в моменты времени t и t ~\- At различны и повернуты
одна относительно другой [26]:
(*»«„ = IY/A + 1 /Y)l [S Iv Vv]]. E.67)
Полное изменение вектора g в соответствии со сказанным выше
= (е/г) (g/2) [gH*] + [Y/(l + 1 /yI [g [vv]] =
E.68)
Отсюда видно, что фактически поле Н# воздействует только на
аномальную часть магнитного момента, в то время как эффективное
поле Не, которое можно считать действующим на «врожденный»
магнитный момент спинорной частицы, оказывается при больших
энергиях (y > 1) сильно ослабленным по сравнению с H#. Именно
поэтому, хотя аномальный магнитный момент электрона весьма мал
(g/2— 1) = а/2я + ..., члены с ним весьма существенны, по-
поскольку содержат дополнительную степень Y-
5.6. Взаимодействие заряженных частиц
с электромагнитным полем, 5-м а т р и ц а. Вве-
Введенное выше понятие внешнего поля является простейшей формой
описания взаимодействия, пригодной в случае, когда состояние
источников электромагнитного поля не меняется в процессе взаи-
взаимодействия. (Внешнее поле является классическим.) В общем же
случае, рассматриваемом в квантовой электродинамике, как элек-
электроны, так и фотоны описываются квантованными полями. При этом
часто используется представление взаимодействия, в котором опе-
операторы удовлетворяют свободным уравнениям движения, а эво-
эволюция вектора состояния во времени определяется только
взаимодействием. Эта эволюция задается ^/-матрицей:
to)Vi(Q, E.69)
причем [3, 31]
U(t, to) = Texp\-i$dixW,(x}\, E.70)
где Mi(x) — плотность гамильтониана взаимодействия; Т — сим-
символ хронологического произведения, упорядочивающий операторы
таким образом, чтобы временнйе аргументы их убывали слева
направо. Формальная запись типа E.70) всегда определена как
разложение экспоненты в степенной ряд по степеням гамильто-
гамильтониана взаимодействия.
За взаимодействием элементарных частиц, происходящим в чрез-
чрезвычайно короткое время и на малых расстояниях, можно наблюдать
например, с помощью реакций рассеяния на очень больших рас-
73

стояниях и за большие времена. Поэтому, как правило, нельзя
проследить за деталями взаимодействия, следующими из знания
матрицы U (t, t0), и можно определить результат взаимодействия
соответственно постановке задачи рассеяния в квантовой механике
^0->- — оо, ^->оо. В соответствии с этим фундаментальное значе-
значение имеет 5-матрица:
S = U(+oo, —оо), E.71)
определяемая формулой
= Гехр{
E.72)
Оператор 5 является релятивистским инвариантом. Это следует
из того, что Hj(x) — релятивистский инвариант, например в спи-
норной электродинамике
Ж,(х)=-?,(х)=
=j»(д) A^x); j» (x) = е/2 ft(х) у», ф (х)}, E.73)
где операторы г|з (х), Л^ (л:) — решения свободных уравнений дви-
движения. Интегрирование в E.72) инвариантно, поскольку операторы
полей коммутируют (антикоммутируют) при пространственно по-
подобных интервалах (см. приложение А).
Следует отметить, что унитарность оператора S, необходимая
для сохранения вероятности (нормировки), обеспечивается в дан-
данном случае эрмитовостью гамильтониана взаимодействия.
Знание {/-матрицы позволяет определить вероятность перехода
из состояния Wt в состояние Wf. В самом деле, разложим состояние,
получившееся в результате взаимодействия по полной системе
функций (в конечном состоянии):
V(/, to)% = ^cfVf, E.74)
очевидно, что коэффициенты разложения cf = (WfU (t, t0) ?,). при-
причем |cy|2 — вероятность найти систему в состоянии Wf, т. е. ве-
вероятность перехода из состояния Уг в состояние Ч^:
Wft = \VtU(t,t0)Vt\: E.75)
При to~*-—оо, t ->oo вероятность перехода из состояния Т(- в со-
состояние Wf будет
Wfi = \SH\*; S^CPfSVii. E.76)
5.7. Диаграммная, техника. В оператор E.72) вхо-
входят величины 1|э (х), А (х) и т. д., содержащие операторы рождения
и уничтожения. Для вычисления матричных элементов перехода
E.76) берется элемент разложения 5-матрицы в степенной ряд
между конечным и начальным векторами состояния. Вычисление
проводится следующим образом: операторы уничтожения из S-мат-
рицы выносятся с использованием соотношений коммутации напра-
направо вплоть до образования членов, содержащих ат {р) Ч*^ (ат (р)—
74

оператор уничтожения; Wo—вектор состояния вакуума)_и т. д.,
которые обращаются в нуль. Последовательно выполняя эту опе-
операцию, можно исключить все операторы рождения и уничтожения.
Для такого вычисления желательно иметь 5-матрицу, записанную
в форме нормального произведения*, когда операторы рождения
стоят слева от операторов уничтожения. Однако в исходное выра-
выражение E.72) естественно входят члены вида аа+, когда частица как
бы рождается, а затем уничтожается «внутри 5-матрицы». Такие
частицы называются виртуальными. Существует методика, позво-
позволяющая выделить все виртуальные процессы в явном виде, т. е.
методика преобразования хронологического произведения в сумму
нормальных произведений. Существует одно и только одно нормаль-
нормальное произведение, матричный элемент которого для перехода между
некоторыми заданными состояниями отличен от нуля. Таким обра-
образом, разложение 5-матрицы на сумму нормальных произведений
эквивалентно перечислению всех матричных элементов S-матрицы
в представлении, диагональном по числам заполнения свободных
частиц. Отдельные члены разложения на сумму нормальных произ-
произведений весьма удобно представить графически в виде диаграмм
Фейнмана, на которых частицы и фотоны изображаются линиями,
а взаимодействие происходит в вершинах. Общие правила диаграм-
диаграммной техники в импульсном пространстве для спинорнои электро-
электродинамики следующие.
1. Чтобы рассмотреть определенный физический процесс (т. е.
при заданных внешних фермионных и фотонных линиях) в данном
порядке теории возмущений по константе связи е, необходимо вы-
выписать все диаграммы с данным числом вершин с учетом симметри-
симметризации (антисимметризации) для тождественных частиц.
2. Матричный элемент процесса есть сумма матричных элемен-
элементов диаграмм, причем каждой диаграмме сопоставляется матричный
элемент** согласно правилам, приведенным в табл. 1.
3. Вдоль каждой непрерывной последовательности фермионных
линий (линии данного фермиона) стрелки имеют неизменное на-
направление, а расположение биспинорных индексов (биспиноры и у-
матрицы) вдоль них соответствует записи матриц слева направо
при движении по линии против стрелок. Замкнутой фермионной
петле отвечает след произведения расположенных вдоль нее
матриц.
4. Численный множитель матричного элемента представляется
в виде
Л = Ре"@аBах)Р(—1)е, E.77)
где Р — знак перестановки линий фермионов (общий знак диаграм-
диаграммы в этом случае не определен, это обстоятельство не сказывается
* Нормальное произведение операторов А1г ..., А^ обозначается
N (Аг Ak) употребляется также термин «iV-упорядочениё».
** Определение входящих величин см. в Приложении А.
75

Таблица 1
Компонента диаграммы
Множитель в матричном
элементе
Вершина
Внутренняя фер-
мионная линия •-
(фермионный про-
пагатор)
Внутренн яя фо-
фотонная линия (фо-
(фотонный пропага-
тор)
Внешняя фотон-
фотонная линия
Внешняя фер-
мионная линия
'-р-к)
для выходящего фо-
фотона
для входящего фо-
фотона
~\/т\гр us (p) для входящего
электрона с им-
импульсом +р
~\/т1вр us (p) для выходящего
электрона с им-
импульсом -4г р
vs(p) для входящего
позитрона с им-
импульсом -J* р
~[/m/epv(p) для выходящего
позитрона с им-
импульсом + р
76

на физических результатах); п — число вершин;
р = 4я-4Р|-4/?,—3F./2-3P./2; ) E>?8)
Ft — число внутренних фермионных линий; Fe — число внеш-
внешних фермионных линий; Pt — число внутренних фотонных линий;
Ре — число внешних фотонных линий; /—число замкнутых фер-
фермионных петель.
5. Если в процессе, представленном диаграммой, в конечном
состоянии имеется п тождественных частиц (фотонов, электронов,
позитронов), то в матричном элементе появляется дополнительный
множитель 1/< nl. Выделим этот множитель отдельно, поскольку
он часто не выписывается, но при рассмотрении простейших двух-
двухчастичных процессов результат интегрирования по конечным со-
состояниям делится на d 2J = 2. (Конечное состояние, в котором
имеются тождественные частицы, обладает дополнительными свой-
свойствами симметрии, например для двух частиц в /(-системе распре-
распределение конечных частиц симметрично относительно плоскости
ft = at/2 (ft — угол между импульсами начальных и конечных ча-
частиц), поэтому тот же результат дает интегрирование по ft до я/2).
Если частиц в общем случае п, то после интегрирования по конечным
состояниям результат следует разделить на nl, это эквивалентно
множителю 1/j/ nl в матричном элементе. Следует иметь в виду, что,
вводя множитель II\ nl, мы допускаем все возможные области из-
изменения кинематических параметров (например, углов). Это необ-
необходимо учитывать в дифференциальных сечениях*.
6. Должно быть проведено интегрирование по импульсам всех
внутренних линий. Часть этих интегрирований является тривиаль-
тривиальной операцией, так как интегрируются б-функции, стоящие в вер-
вершинах, что фиксирует импульсы внутренних линий. Если число
этих линий на единицу меньше, чем число вершин, то все интегри-
интегрирования являются тривиальными. В результате появляется
б-функция, выражающая закон сохранения энергии-импульса в про-
процессе б (Pi — Pj) (Pt — начальный, а Р/ — конечный 4-импульс),
а импульсы внутренних линий следует выписывать с учетом закона
сохранения 4-импульса. Такая ситуация имеет место всегда для
«древовидных» диаграмм (диаграмм, на которых внутренние линии
не образуют замкнутых контуров), которые определяют данный
процесс в низшем возможном порядке теории возмущений.
7. Приведенные выше правила годятся и для описания электро-
электромагнитных взаимодействий мюона (или, в более общей постановке,
в квантовой электродинамике с двумя заряженными частицами),
только биспиноры и пропагатор для мюона входят с- его массой.
* Фактически при рассмотрении дифференциальных сечений множитель
1/л! часто опускают, но зато допускают область изменения параметров с уче-
учетом симметрии состояния,
77

Мюонная линия нигде не переходит в электронную, поскольку нет
вершин вида (д.->е;ц—^е + уи т. д., а есть только ц -> ц + у
или ц+ + ц~ —>- у, как и для электрона.
8. Любую из фермионных внешних линий можно рассматривать
(без изменения направления стрелки) как частицу в начальном
или античастицу в конечном состоянии либо как частицу в конечном
или античастицу в начальном состоянии, а фотонную линию можно
рассматривать как поглощение и излучение фотона. Переход от
одних физических процессов к другим осуществляется с помощью
правила подстановки, выражая собой кросс-инвариантность
амплитуд в квантовой электродинамике.
9. При составлении матричного элемента можно не рассматривать
петли с нечетным числом вершин (теорема Фарри). Это связано с тем,
что зарядовая четность системы из т фотонов равна (—1)т, а заря-
зарядовая четность в электромагнитных процессах сохраняется.
Соответственно формулируются правила и в электродинамике
частиц со спинами 0 и 1 (вектоны), приведенные в табл. 2.
Бозонные линии образуют непрерывную последовательность, на-
направление стрелок на которой не меняется. Античастицы, как и в
случае спинорных частиц, движутся против направления стрелки
с противоположным импульсом. Численный множитель матричного
элемента можно представить в виде
Ав = exp(n+2d) ?B{2nfB (—\fB 2d~b, E.79)
где п — число вершин; d — число двойных вершин; b — число пар
двойных вершин, в которых оба фотона одной двойной вершины
замкнуты на два фотона другой двойной вершины, т. е. b — число
фотонных петель, образованных двойными вершинами;
рв =4d + 4n—4Pt — 4Bi — 2>Bel2—3Pe/2, E.80)
здесь Pit Pe — число фотонных линий (внутренних и внешних);
Bt, Be — число бозонных линий, внутренних и внешних:
aB = n + d + Pi+Bi; 8B = n + Bi. E.81)
Если в процессе участвуют одновременно частицы с разными
спинами, то следует пользоваться соответствующей комбинацией
выведенных здесь правил диаграммной техники.
5.8. Общие выражения для сечений и ве-
вероятностей. Вероятности перехода определяются элемента-
элементами S-матрицы Sft E.76), которые обычно представляются в виде
Sfi = 8u + H2n)*6(Pt-Pt)Tft, E.82)
где выделена б-функция, выражающая закон сохранения энергии
импульса. В недиагональных элементах, т. е. когда конечное состоя-
состояние отлично от начального, остается только второй член. Обычно
78

Таблица 2
Компонента диаграммы
Вершина (бозо- ft
ны со спином 0) ц r^svw*
Двойная верши- ^"*""U
на (бозоны со спи- <^
ном 0) г^
Одинарная вер- ^^пу/ч/ч/х^
шина (вектоны) fit к
и к
Двойная вершн- "^"^лл.
на (вектоны) Тг-1*
Внутренняя фо- -?v-w>
тонная линия
Внутренняя бо-
зонная линия (бо- •
зонный пропага-
пропагатор, спин 0)
Внутренняя ли-
линия векторной час- «
тицы (вектонный /т
пропагатор)
Л
учли»
Ч с у
—¦ 5-»
Множитель в матричном
элементе
g 6 (р' Р k И')
— \(р„ -\- р ') Ма.&~~~~Ргх. SuR —
•
79

Продолжение табл. 2
Компонента диаграммы
Множитель в матричном
элементе
Внешняя фотон-
фотонная линия
Внешняя бозон-
ная линия (спин 0)
Внешняя линия
векторной частицы
У /?
7/Г
е* для выходящего
| фотона
е„ для входящего
фотона
для внешних бозон-
ных линий
е„ для выходящего
вектона
еа для входящего
вектона
по
Tft называются амплитудами рассеяния. При возведении Sfi по
модулю в квадрат появляется квадрат б-функции, который следует
понимать следующим образом:
Если нас интересует вероятность перехода в единице объема в еди-
единицу времени, то при f ф i имеем
w
n
= | S/, |2/VT = Bя)*6 (Pf-Pt) | Тп |
E.84)
Прежде чем перейти от этой записи к конкретным случаям, за-
заметим, что выписанные выше правила диаграммной техники имеют
дело с определенным выбором нормировки входящих величин
E.77)—E.81), в частности, все операторы содержат множитель
l/BatK/2, т. е. нормированы на объем l/BatK:
Sfi = BnKs/2Mfi8(Pf—Pi): E.85)
Здесь g— число частиц в начальном состоянии; Mft находится
по приведенным выше, правилам.
80

Таким образом, выражение для вероятности в единице объема в еди-
единицу времени будет следующим:
wfi = Bя)»*-«1 Мп |а б (Pf-Pt). E.86>
В принятой нормировке плотность конечных состояний
E.87>
Учитывая, что полная вероятность перехода есть вероят-
вероятность перехода в определенное состояние, умноженная на E.87),
получаем
dWg = Bn)^-*\Mfi\4(Pf—Pt)TlcPpt. E.88>
Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии имеется одна
частица (распад) и две частицы (столкновение). В первом случае
вероятность распада
dW = (I/2л) \Mfi\4(Pf—Pjn^Pi. E.89)
В случае столкновения частиц (g = 2) интересующей нас величиной
будет сечение процесса
da = dW/J = [BnJ/J) \Мп\Ч(Pf—Pt)Пdpt, E.90)
где J — поток падающих частиц. Выражение для потока, пригод-
пригодное для во всех системах (если скорости направлены вдоль одной
прямой):
—miml. E.91)
где рх, р2; nil, m2 — 4-импульсы и массы сталкивающихся частиц.
В Л-системе (рг — 0)
c2- E.92)
В /(-системе сталкивающихся частиц (р! = —р2 ^ р)
J = \p\(llB1+l/s2) = v1 + v2. E.93)
Тем самым окончательное выражение для сечения
da = BяJ k е, //(PiР2J-т\ mi] | МУ1 Iя 6 (Р,—Pf)Пd»p,. E.94) .
Следует иметь в виду, что все операторы бозонов («внешние ли-
линии») имеют нормировочный множитель \ly 2eg и операторы ферми-
онов — у 2m/2eq. Кроме того, при выполнении операций с биспи-
норами мы переходим к матрицам плотности, приведенным в При-
Приложении А [см. (А. 15)], которые содержат множитель \12т. Выно-
Вынося все эти множители, а также множители 1/BяK/2 (для входящих
81

и выходящих частиц), мы оставляем релятивистски инвариантный
квадрат матричного элемента Mft (в который входят комбинации
векторов задачи*):
-Pi) n [* Pil2&p>{2пП
»
E.95)
Это выражение для сечений является явно релятивистски инва-
инвариантным. Матричные элементы Mfi и Мц связаны следующим
образом:
Mfl = Mn П [1//2^ Bя)8/2], E.96)
1
где Л' — число частиц, участвующих в реакции.
В Мц, очевидно, все бозонные операторы не содержат \ly 2e, a
биспиноры и нормированы на |/2т: ии — 2т**.
Аналогичное представление вероятности
\\2[2ep. BяK]}. E.97)
Интеграл от этого выражения есть обратное время жизни распадаю-
распадающейся частицы, которое при переходе из системы в систему пересчи-
тывается в соответствии с релятивистскими преобразованиями.
5.9. Сечение для реакций с поляризован-
поляризованными частицами. Рассмотрим здесь несколько примеров
вычисления сечений для поляризованных частиц. Пусть в началь-
начальном и конечном состояниях имеется по одному электрону, тогда
Мп = п(р2)Ои(Р1), E.98)
где О — некоторая матрица. Сечение процесса содержит \Mfi\2:
), E.99)
где***
O = Y°O+y°. E.100)
* В спинорной электродинамике это следы, содержащие 4-вектора
sl (Рг)> и пропагаторы, также содержащие 4-вектора.
** Такая нормировка принята в книге [31]. В ней используется гауссова
(а не хевисайдова, как здесь) система единиц, в которой &lhc = а. Поскольку
в каждую вершину входит одна фотонная линия, то для перехода к гауссовой
системе единиц от хевисайдовой необходимо каждой внешней фотонной ли-
линии приписать дополнительный множитель У^я и каждому фотонному про-
пагатору дополнительный множитель 4зт.
*** Легко видеть, что у>* = yii, yii yb ... ^а = уа ... ук у11, -f = — yi,
77
82

В случае, когда электрон находится в смешанном (частично поляри-
поляризованном) состоянии, то, переходя к матрице плотности, получим
| Мп |2 = ы„ (р2) ОаР щ (рх) щ (рх) Оув щ (р2) =
[6] E.101)
Если начальный и конечный электроны не поляризованы, то
необходимо усреднить по поляризациям начальных частиц и про-
просуммировать по поляризациям конечных:
5рГ^±^О^±^о1 E.102)
2|М/г) 5рО
2 пол ' 2 F [ 2т 2т
Когда в процессе рождается электрон-позитронная пара с импуль-
импульсами р2 и Рх, то
/ E.ЮЗ)
I Mti |2 = -Sp [P+ (p2) Op_(ft) O]. E.104)
Если электрон и позитрон не поляризованы, то необходимо про-
просуммировать по поляризациям частиц в конечном состоянии:
E.105)
O
2т 2т
Матрица плотности в начальном состоянии определяет поляриза-
поляризационные свойства сталкивающихся частиц, т. е. зависит от того,
как оно было «приготовлено». Матрица плотнссти в конечном со-
состоянии «выбирает» некоторое конечное состояние с определенной
поляризацией. Иными словами, находится вероятность того, что
конечный электрон будет иметь поляризацию ?2. Такой отбор произ-
производится детектором поляризации, так что матрица плотности в ко-
конечном состоянии р+ (р2) задается свойствами детектора поляриза-
поляризации [подобная ситуация уже была рассмотрена —см. A.75)]. Наряду
с такой постановкой вопроса интересно знать поляризационное
состояние электрона, в которое он приводится самим процессом
взаимодействия. Если р+ — матрица плотности этого состояния, то
вероятность детектирования электрона в состоянии р+ (р2) пропор-
пропорциональна проекции р+ на р+ (р2), т. е. пропорциональна
Sp p+p-f (p2). Этой же величине пропорционально соответствующее
сечение, т. е. |АЬ;|2.
Часто оказывается полезным для описания поляризационных
свойств электронов при рассеянии пользоваться двухкомпонент-
ным формализмом, поскольку поляризационные свойства опреде-
определяются двухкомпонентными спинорами ф (?) [см. (А.8)], которые
83

зависят от направления вектора ?. Матричный элемент E.98)
в двухкомпонентной записи имеет вид
Мп = u(pt) Ou (Pl) = <р+ (О G<p &), E.106)
где ф (g2) [ф (gj)] зависят от поляризации конечных (начальных)
частиц, G — 2 х 2-матрица, выражающаяся через вектора задачи.
Проекционный оператор на состояние с проекцией +1 на ось Б
будет следующим:
Ф(?)Ф+(^) = A+о?)/2. E.107)
Смешанные состояния представляются поляризационной матрицей
плотности
E.108)
п
где wn — относительный вес состояния с поляризацией ?„, 2oj" = 1;
п
но теперь уже 0 ^ |Б| < 1. Учитывая, что произвольную 2 X 2-ма-
трицу можно разложить по матрицам Паули и единичной матрице,
представим
G = A + ioh. E.109)
Тогда
I Мп |2 = Ф+ (g2) ОФ (Е0 Ф+ (Ь) G+ф (Б,) =
E.110)
Эта формула полностью эквивалентна выражению E.101), но опре-
определена через 2 X 2-матрицы. Вычислив след матрицы, получим
E.111)
Отметим, что если коэффициенты Л и В вещественны, то выпадают
все члены, содержащие вектора поляризации линейно. Отсюда для
вещественных коэффициентов Л и В сразу следует, что если на-
начальные электроны были не поляризованы, то конечные также
не поляризованы, так как сечение не зависит от ориентации поля-
поляризации детектора [см. обсуждение после формулы E.105)].
Интерес представляют переходы без переворота спина
/ И -ЛВ*) E.112)
и переходы с переворотом спина (Ех = —?2 = ?)
|М/г|2 = ВВ*-(ЕВ)(ЕВ*)-1Е[ВВ*]. E.113)
-84

Отметим, что переходы с переворотом спина зависят только от В.
Матрица плотности конечного состояния в двухкомпонентной форме
/см. рассуждения после E.105)]
р/ = Gp (У G+/Sp (Gp (&) G+). E.114)
Учитывая, что g = Sp (ре), находим поляризацию, приобретен-
приобретенную в результате взаимодействия:
V = Sp (Gp fo) G+o)/Sp (Gp (CO G+). E.115)
Поляризацию ?f можно найти также из E.111) с помощью следую-
следующих соображений. Представим
\Мп\* = а + ЪЪ. E.116)
С другой стороны, \Mtif со Sp (p (?2) p (?,)), и ввиду реляти-
релятивистской инвариантности этой величины ее можно вычислить в лю-
любой системе отсчета. Взяв систему покоя конечного электрона,
находим
lAI^l» со Sp
= Sp [(I + org2) (I + org/)]/4 = A + ga ^)/2- E.117)
Сравнивая с E.116), находим
Б/ = Ь/а. E.118)
К этому же результату можно прийти из E.115). Действительно,
в знаменатель входят члены из E.111), не содержащие ?2, т. е. с,
а в числитель — члены пропорциональные ?2, т. е. Ь.
Перейдем теперь к обсуждению поляризационных состояний
фотонов. В квадрат матричного элемента поляризации каждого из
фотонов входят в виде комбинации е^ (k, К) е4 (k, Я). Элементы ма-
матрицы плотности pth = eieh* (pih = phi*) зависят от трех вещест-
вещественных параметров, в качестве которых выбираются параметры
Стокса A.69), тогда
Эта матрица плотности по виду совпадает с E.108), поэтому со-
сохраняют силу полученные выше результаты E.116)—E.118). Сле-
Следует отличать поляризацию конечного фотона, выделяемую де-
детектором |2. от поляризации конечного фотона как такового %f,
причем
\М„\* = а + Ъ%2 . E.120)
и
\f = bla. E.121)
85

5.10. Д и а г р а м м н а я техника во внешнем
электромагнитном поле. Во многих случаях пред-
представляет интерес взаимодействие заряженных частиц в присутствии
внешнего электромагнитного (классического) поля. Это взаимо-
взаимодействие можно учесть, добавив к оператору Ац (х) в гамильтониа-
гамильтониане [см. E.72)] потенциал внешнего поля А^:
AVk(x)-*AVk(x) + A^x). E.122)
Тогда на диаграммах Фейнмана появятся дополнительные линии,
изображающие внешнее поле (рис. 12). В матричных элементах
этим линиям будет соответствовать множи-
множитель
Pz
*] J exp[iqx]Aell(x)dix, E.123)
а в вершине диаграммы рис. 12 в случае спи-
норной частицы будет стоять обычный множи-
Рис. 12. Диаграмма тель у^8 (р2 — рг — q). Линия, изображающая
рассеяния на внеш- внешнее поле, является «внутренней», так что
нем поле в первом » «
борновском прибли- по импульсам всех таких линии должно быть
жении. проведено интегрирование. Все остальные пра-
правила такие же, как в разделе 5.7.
В наиболее важном для приложений случае, когда потенциал
Ар(х) от времени не зависит, имеем
Al (q) = [1/BяK] $ Лм (х) ехр [—iqx] <Px A/2я) X
X J ехр [i<70 х0] dxQ = а^ (q) б (q0), E.124)
так что в вершине взаимодействия с внешним полем сохраняется
энергия частиц. Примером такого потенциала является потенциал
*
кулоновского поля ядра*
Л = 0; AQ(r) = Z\e\/4nr. E.125)
Подставляя в E.124), получаем
a(q) = 0; aQ(q)^-J-.^i pxp [-iqx] _l_ ZH , EЛ26)
¦ 0KH> BяK 4я J |х| Bл)« q2 V ;
Приведем несколько примеров матричных элементов.
а. Упругое рассеяние электрона в кулоновском поле (это про-
простейший процесс, идущий уже в первом приближении теории воз-
* Ясно, что поле заряженной частицы можно считать кулоновским до
тех пор, пока она остается в процессах неподвижной, т. е. |q| /М < 1, где-
М — масса частицы, прн формальном переходе к кулоновскому полю М -»оо.
86

мущений — первое борновское приближение) изображается одной
диаграммой (см. рис. 12):
Sf = [i
т2/(е1 в2)п(ра) Y°«
-е2), E.127)
где q = Pi — p2
б. Тормозное излучение при рассеянии электронов в кулоновском
поле изображается в нижнем порядке теории возмущений двумя
диаграммами (рис. 13, а):
е1г2)п(р2) {У [(p2+k+m)/Bkp2)] y°
\Рг
лШ\Г<^
Рис. 13. Диаграмма тормозного излучения (а) и
рождение пар (б) во внешнем поле (первое бор-
борновское приближение).
-г7°
= My6(pl-pa-k-q).
E.128)
в. Рождение электрон-позитронной пары фотоном в кулоновском
поле также изображается двумя диаграммами (см. рис. 13, б):
q2]
X
]
Xv(p1)8(k~Pl-p2~q).
x)} e) x
E.129)
Этот матричный элемент можно получить из матричного элемента
тормозного излучения с помощью правила подстановки:
k-^—k;
—pi, e
e*;
E.130)
87

Обсудим теперь форму записи вероятностей и сечений для про-
процессов во внешнем поле. Элементы матрицы S можно представить
в виде [ср. E.127)]
Sfi = BnKe/2 Mfi8(ef—8|). E.131)
Рассуждая так же, как в разделе 5.8, находим, что вероятность
процесса, отнесенная к единице времени, имеет вид
\Mfi\4(ef—8|), E.132)
а вместо формулы E.88) имеем
}, E.133)
где g — как и раньше, число частиц в начальном состоянии. В слу-
случае процесса рассеяния во внешнем поле имеем g = 1 и, разделив
на поток, равный скорости налетающей частицы v [см. E.92)], по-
получаем выражение для сечения процессов во внешнем поле:
da = Bл)а | Мп |" б (в,—в,) П (Ppf/v. E.134)
5.11. Рассеяние заряженной частицы во
внешнем поле. Подставляя E.127) в E.134) и суммируя
(усредняя) по спинам конечного (начального) электрона [см. E.102)],
получаем сечение рассеяния электрона в кулоновском поле
(формула Мотта):
dae = [Z2a2/De V sin4 0/2)] A — v2 sin2 0/2) dQ2, E.135)
где О = pjp2 — угол между Pj и р2. Здесь было проведено инте-
интегрирование по энергии с учетом, что (Рр^ = p^^dz^dQ.^. Сечение
рассеяния скалярной частицы в кулоновском поле, которое полу-
получается, если заменить в E.127) ток спинорной частицы на ток ска-
скалярной m«27°Mi/ei -*" (Pi + />aH/2elf совпадает с резерфордовским
сечением
das = Z2a2/De2D4 sin4 0/2) dQ2. E.136>
Отметим, что сечение рассеяния в кулоновском поле можно полу-
получить из сечения электромагнитного рассеяния частицы на частице,,
если масса рассеивателя М-*- оо. Результат не зависит от спина
рассеивателя.
В задачах рассеяния часто приходится иметь дело с экраниро-
экранированным кулоновским потенциалом, т. е. таким, который на малых
расстояниях совпадает с кулоновским, а на больших расстояниях
стремится к нулю. Такая ситуация возникает, например, при учете-
88

электронных оболочек атома. Простейшую модель экранирования
можно ввести, модифицировав потенциал E.125):
A(r) = 0; AQ(r) = Z\e\exp[-r/a]/4nr, E.137)
где а — радиус экранирования, который обычно выбирают в виде
a = a0Z-VS; ao=l/ma; E.138)
а0 — боровский радиус в водороде. Подставив E.137) в E.126),
получим
a 0(q) = — *ilL_. E.139)
Сечение рассеяния электрона на экранированном кулоновском по-
потенциале вычисляется так же, как E.135), следует только заменить
с|2 —v q2 + a~2-
da? = {Z2a2/[4e2a4 (sin2 ft/2 + Я2J]} A — v2 sin2 0/2) dQ2, E.140)
де Я = amZl/3/2p. При интегрировании сечения E.136) по углам
полное сечение рассеяния расходится, что связано с недостаточно
•быстрым убыванием кулоновского потенциала при г-*- оо. В экра-
экранированном потенциале E.137) полное сечение, очевидно, конечно.
В случае малых углов рассеяния, которые наиболее существен-
существенны при больших энергиях, сечения E.135) и E.136) можно записать
в виде
dc = 4Z2a2dQ2/(eVft4). E.141)
При проведении приближенных вычислений в случае больших энер-
энергий можно учесть эффекты экранирования, а также размер ядра,
используя сечение E.141) и считая, однако, углы рассеяния Ф огра-
ограниченными снизу углом ¦&! = 2% [см. E.140I, что обусловлено
экранированием заряда ядра электронами, а сверху углом
E.142)
где R — радиус ядра, который можно взять в виде
, E.143)
тогда
ft2 = 2m/(aZ'/3p). E.144)
Заметим, что приведенные соображения справедливы при #1,2 С 1.
Это условие всегда выполняется при достаточно больших энергиях.
5.12. Многократное рассеяние зар я ж е н н о й
частицы. Заряженная частица, проходя через слой вещества,
89

претерпевает ряд столкновений. Представляет интерес вероят-
вероятность того, что в результате последовательных столкновений ча-
частица выйдет из вещества с некоторым боковым смещением и под
некоторым углом отклонения. Сначала вычислим средний квадрат
угла отклонения при прохождении единицы длины вещества с плот-
плотностью атомов в единице объема п. Учитывая, что акты рассеяния
независимы и рассеяние происходит на малые углы, имеем для
среднего угла отклонения на единицу длины
й?Цйх = б2 = \ № dw @) = л $ #2 da (Ф), E.145)
#. #,
где dw (Ф) = nda (Ф)—вероятность рассеяния на угол Ф на единице
длины. Подставляя сюда сечение E.141) в случае больших энергий
v ж 1, е « р, находим
d?lldx = 62=16nrt(Z2a2/e2)lnA90Z-1/3). E.146)
В приближении, когда можно считать, что энергия частицы при
прохождении вещества на глубину / не меняется, имеем
Наряду со средним углом отклонения часто необходимо знать
также пространственное и угловое распределения частиц после
прохождения слоя вещества толщиной х. Для простоты при реше-
решении указанной задачи* будем рассматривать отклонения на малые
углы. Возьмем декартову систему координат с началом в точке па-
падения; пусть ось х совпадает с направлением падающих частиц.
Рассмотрим проекцию на плоскость (х, у). Пусть Р (х, у, $у) dydfty
есть число частиц** на глубине х, имеющих боковое смещение
в интервале (у, y+dy) и движущихся под углом (®у, &y+d®y) к оси
х. Проходя через слой dx, некоторые из этих частиц рассеиваются
и выходят из интервала d$y, а некоторые частицы, находящиеся
вне интервала, попадут в результате рассеяния в интервале ($у,
$у + d$y). Учитывая эти два обстоятельства, получаем для изме-
изменения числа частиц
dydbydx\[P(x, у, Ъу + Ъ'у)-Р{х, у, %)]dw(W), E.148)
где dw @) = nda (¦&);$ = у ^ + Ф!- Пространственное распре-
распределение частиц меняется за счет того, что в слое dx частицы, дви-
* Детально этот вопрос обсуждается в обзоре [93].
** В силу симметрии задачи такая же функция Р описывает пространст-
пространственное и угловое распределения в плоскости (х, 2).
90

гаясь под углом Фу, приобретают боковое смещение dy = y
Таким образом, на глубине x-\-dx боковое смещение у имеют те
частицы, которые на глубине х имели боковое смещение у — Ф dx.
Поэтому в результате прохождения слоя dx происходит следующее
изменение числа частиц в интервале (у, у + dy):
Р(х, y—dy, %)dyd%-P(x, у,
= —bydx (дР/ду) dy d®y. E.149)
Складывая эффекты рассеяния и смещения, находим для Р (х, у, ®у)
следующее уравнение:
дР/дх= —%1(% у)
y,V',,)]dw(V). E.150)
Принимая во внимание, что dw (О1') описывает вероятность рас-
рассеяния на малые углы •&', можно разложить Р в ряд по Ф^ и учесть
только два первых члена разложения. Используя также, что
\i>vdw(b)=--0; JQldw(Щ = J ft2dw(ф)/2 = 62/2, E.151)
имеем из E.150) следующее дифференциальное уравнение (уравне-
(уравнение Фоккера—Планка):
дР/дх= —ЪудР/ду + ф2/4)д2Р/д®1. E.152)
Прямой подстановкой нетрудно убедиться, что решение этого урав-
уравнения имеет вид
Р(х, У, <>„)= [2 ТАЗ/(я92х2)] ехр {(_4/92)(^/х-
)}. E.153)
Проинтегрировав функцию распределения Р по у, находим
функцию Q (х, ®у), представляющую угловое распределение без-
безотносительно к боковому смещению:
оо
Q(x, %)= J Р{х, у, ®v)dy= _L ._L_exp[-O5/e2*)]. E.154)
¦ ¦ _« /я е ух
Аналогично, интегрируя функцию Р по ®у, имеем распределение
в пространстве независимо от углов:
S(x,y)=
E.155)
91

Нетрудно убедиться, что все полученные распределения нормиро-
нормированы:
(х, у, <у d% dy = lQ (x, %) d$y =
— оо
00
= \S(x,y)dy=\. E.156)
—оо
В пределе х -»- О Q = 0 для всех ®у, кроме ®у = О, S = 0 для
всех у, кроме у = 0. С учетом условия нормировки E.156) ясно,,
что имеем представление б-функций:
Q (О, %) = S (%)-, S @, у) = б («/). E.157>
Таким образом, решение E.153) соответствует частице, падающей
на рассеиватель в точке х = 0, у = 0.
5.13. Представление Фарри. Во многих случаях
теория возмущений по внешнему электромагнитному полю неприме-
неприменима (например, при движении в магнитном поле, кулоновском
поле при больших Za; при рассмотрении связанных состояний и т. д.),
поэтому следует использовать подход, отличный от приведенного
в разделе 5.10. Представление, в котором внешнее поле учитывается
точно, называется представлением Фарри, в нем [/-матрица имеет
вид
Г г2
I J V МО (
' — 1 \ т FI \
L и
Uf (/„ h) = Т ехр | - i \ Шп (х) # х I, E.158)
где
XFI = e[^F /,^]Л^/2, E.159)
а typ (x) является решением уравнения Дирака во внешнем поле.
Оператор Uf (t2, ti) можно снова анализировать на языке диа-
диаграмм Фейнмана, только теперь в качестве фермионного пропага-
тора следует взять (см. раздел 5.7)
WF0)] =
{x^\r4xi), ta<tlt E.160)
где WFo — «вакуум» в данном внешнем поле; здесь использовано1
разложение решения уравнения Дирака во внешнем поле E.9). Так,
определенная Gf(x2, хг) есть функция Грина электрона в данном
внешнем поле, она больше не является функцией разности коор-
координат (как в случае свободных частиц).
92

Поскольку формально все выражения в представлении Фарри
совпадают с выражениями для свободных частиц, то диаграммная
техника (в координатном пространстве) полностью переносится
в представление Фарри [только следует заменить пропагатор ферми-
она Sf (хг — хг) -+¦ GF (х2, хг)}. i'v!
В качестве примера приведем матричные элементы излучения
фотона электроном (в отличие от случая свободных частиц этот
процесс идет уже в первом порядке по ё) и рождения электрон-по-
зитронной пары фотоном во внешнем поле. Каждый из процессов.
а
Рис. 14. Диаграммы излучения фотона (а) и рож-
рождение пары (б) во внешнем поле (представление
Фарри).
представляется одной диаграммой (рис. 14), где двойной линией
обозначен электрон во внешнем поле.
Матричный элемент, соответствующий диаграмме рис. 14, а
имеет вид
\ xltir^x), E.161)
а матричный элемент для рождения пары частиц получается из
этого выражения заменой &->¦—k, e~+e*, ifjr' ->-я|^+).
Вероятность излучения фотона в соответствии с правилами диа-
диаграммной техники (см. раздел 5.8)
dw4 = \Mn>n\*d*k. E.162)
5.14. Радиационные эффекты в е2-порядке.
При анализе S-матрицы в е2-порядке теории возмущений наряду
с диаграммами, описывающими физические процессы, появляются
диаграммы собственной энергии и поляризация вакуума (рис. 15
и 16). Они входят в качестве блоков в диаграммы любого процесса
при учете высших порядков теории возмущений. Вклады таких
диаграмм, содержащие нетривиальное интегрирование по импульсу
виртуальных частиц, расходятся при больших значениях импуль-
импульса. Последнее обстоятельство является органической трудностью
теории, которая устраняется с помощью формальной процедуры,
называемой перенормировкой. Рассмотрим ее на примере диаграммы
собственной энергии (см. рис. 15) в е2-порядке, которой сопостав-

ляется элемент S-матрицы между одночастичными состояниями:
E.163)
SB) = _j Bя) б (р'-р) (т/в) п (р) 22 (р) и (р);
р'~*р
(р) = [—i е»/Bя)*] J d* kDFilv (k) у» SF ф—k) yv.
Величину 2 2 (p) обычно называют массовым оператором (при любых
р). Входящий в E.163) интеграл логарифмически расходится при
Рис. 15. Диаграмма собственной
энергии в е2-порядке.
Рис. 16. Диаграмма поля-
ризации вакуума в е2-по-
рядке.
больших k. Для понимания физической ситуации учтем, что в пред-
представлении взаимодействия эволюция рассматриваемого одночастич-
ного состояния во времени описывается с помощью {/-матрицы
1см. E.70)]. В результате взаимодействия с квантованным электро-
электромагнитным полем энергия состояния меняется. Приращение энергии
Ае определяется соотношением
, и
g, т (t0)) =
= exp[ —
E.164)
где
Разлагая входящие экспоненциальные выражения, получаем
Де (*—*„) =
= i ( y (g, г - i S Я/ (о л mf (*0) j / (^ (g, v (g). E.165)
При большей величине разности ? — t0B правой части этой формулы
можно перейти к S-матрице, тогда, сравнивая с E.163), получаем
Ае = тп (р) 22 (р) и (р)/е.
E.166)
S4

У свободной частицы изменение энергии (при неизменном импульсе)
обусловлено приращением массы:
Ae^mAm/e. E.167)
Следовательно, диаграмма собственной энергии приводит к изме-
изменению массы частицы (вследствие взаимодействия с полем излуче-
излучения), так что масса т физической частицы, для которой взаимодейст-
взаимодействие не может быть выключено, не совпадает с массой электрона
т0, входившей в свободное уравнение Дирака. Процедура перенор-
перенормировки состоит в том, что во всех выражениях мы переходим от
т0 к т. Формально эта операция сводится к тому, что из Е2 (р)
вычитается бесконечная величина 22 (р = т) +d22/dp|^=m(p — т),
после чего оставшееся выражение не содержит расходимостей при
больших k. Указанное вычитание соответствует изменению массы
и нормировки волновой функции частицы. Аналогичное вычитание
производится и во вкладе диаграммы поляризации вакуума, кото-
которая приводит к изменению эффективного заряда.
Таким образом, в результате взаимодействия с полем излучения
масса свободного электрона т0 и его заряд е0 меняются, причем
добавки содержат расходящиеся выражения. Проводя ряд манипу-
манипуляций с этими расходимостями, можно показать [3, 361, что заряд
и массу можно переопределить (перенормировать) с учетом взаимо-
взаимодействия, т. е. перейти к наблюдаемым заряду и массе таким обра-
образом, что теория становится свободной от расходимостей.
Рассмотрим еще диаграмму поляризации вакуума (см. рис. 16).
Соответствующий матричный элемент (поляризационный оператор)
имеет вид
$ . E.168)
Из соображений релятивистской инвариантности имеем наиболее
общий вид
)=tew-к v*2) ni ^+к K>ki)п2 т. E.169)
Вследствие калибровочной инвариантности физический смысл имеет
только поперечная часть тензора П{Д,' (k). Свертывая H$(k) с по-
поперечным тензором gvvk2 — k&kv, имеем
Пх (*«) = A/3 Л2) (g^^-^^n^ (»)(*). E.170)
Величина Лг (k2) расходится, для получения конечных результатов
из нее необходимо вычесть Г^ @) + ^2П'1 @).
Рассмотрим взаимодействие заряженной частицы с внешним
электромагнитным полем с учетом поляризации вакуума в ^-по-
^-порядке (рис. 17):
A"» (k) - А% (k) DvX (k) П$ (k). E.171)
95

Второй член в этом выражении можно рассматривать как изменение
внешнего поля вследствие поляризации вакуума:
. E.172)
Учитывая, что потенциал внешнего поля удовлетворяет уравнению
DAl = Jl. E.173)
этот результат можно интерпретировать так же, как изменение
внешнего тока:
<k2; E.174)
явный вид Иг (k2) будет найден в следующем разделе.
5.15. Соотношение унитарно-
^ с т и. Матрица рассеяния S E.72) является уни-
унитарной SS+ = 5+S = / или
Si& = fi/f. E.175)
V^ Переходя к инвариантной амплитуде Т
[см. E.82) и E.96)], имеем
п
Рис. 17. Вза- Суммирование по п здесь включает суммирова-
имодействие с ние по всем промежуточным состояниям, пере-
с учетом поля- х°ды в которые разрешены при фиксированных
ризации ваку- квантовых числах состояний i и / [интегриро-
ума. вание по импульсам р и суммирование по спинам
(поляризациям) s].
В явном виде
2 = 2 П \ {d3ph/[2shBny]\ 2 , E.177)
где m — число частиц в промежуточном состоянии. Положив / = i,
имеем
2 J {(Pph/[2ekBn)>]}T8(P*-Pt)\Ttn\*. E.178)
m ft sA
Если в начальном состоянии было две частицы с импульсами plt
р2, то, сравнивая с E.82), E.85). E.95), видим, что
lm Т,, = 2 /(Plp2J-m?mi о, E.179)
где а = 2 от — полное сечение процесса. Утверждение E.179)
называется оптической теоремой, а входящая в него Гп — ом-
96

плитудой рассеяния вперед. Приведенные результаты являются точ-
точными. В квантовой электродинамике, где возможно разложение
по степеням константы связи е, можно брать амплитуду, а следо-
следовательно, и приведенные соотношения с точностью до членов опре-
определенного порядка по е. Рассмотрим амплитуду Ttf в ет-порядке.
Тогда, если низший возможный порядок произведения TtnTnf (при
любых допустимых п) есть ет\ то из E.176) следует, что при
т<Ст\ выполняется соотношение
Тп = П. E.180)
Отсюда вытекает, что амплитуда рассеяния вперед Тц при этих
условиях является вещественной. Соотношение E.180) выполняется
в низшем порядке теории возмущений для амплитуд процессов рас-
рассеяния электрона на электроне и позитроне, рассеяния фотона на
электроне, двухквантовой аннигиляции, тормозного излучения,
фоторождения пары*. Заметим, что для процесса рассеяния света
на свете низший порядок амплитуды упругого процесса будет е4,
в то время как амплитуда процесса превращения двух фотонов в
электрон-позитронную пару имеет порядок ег. Поэтому если сум-
суммарная энергия фотонов в /(-системе щ + со2 > 2т, то для ам-
амплитуды рассеяния света на свете соотношения E.180) не выпол-
выполняется даже в низшем порядке теории возмущений, а для щ + со2 <
< 2т выполняется вплоть до величин порядка ё1.
Формула E.178) позволяет найти мнимые части амплитуд рас-
рассеяния вперед по полным сечениям процессов в соответствующем
порядке. Например, амплитуда рассеяния вперед света в кулонов-
ском поле в низшем по е порядке (е6) выражается через полное
сечение фоторождения пары в кулоновском поле.
Соотношение унитарности можно получить и для процессов во
внешнем поле. Рассмотрим не зависящие от времени внешнее поле
со стационарным вакуумом (например, магнитное). Элемент 5-ма-
трицы запишем в виде
|—8/) Тп. E.181)
Тогда соотношение унитарности
Bn)Tfnnl. E.182)
Рассмотрим, например, амплитуду перехода электрона в элек-
электрон с тем же импульсом и спином в е2-порядке по взаимодействию
с квантованным электромагнитным полем. В этом случае [ср. E.163)]
Tit=— mull и/в, E.183)
* Соотношение E.180) выполняется всегда для амплитуд, соответствую-
соответствующих древовидным диаграммам.
4 Зак. 979 97

где 21 — массовый оператор во внешнем поле. Из соотношения
унитарности E.182) имеем [ср. E.166) и E.167I
2 Im Ти = — 2 (т/г) Im п 2| и = — 2 Im Ae =
,—ef)\Tin\2 = We, E.184)
где №е — полная вероятность излучения во внешнем поле в еди-
единицу времени. Точно так же, если рассматривать переход фотона
в фотон во внешнем поле в е2-порядке при со > 2т, получим, что
фотон приобретает массу, мнимая часть которой определяется так
же, как в E.184):
E.185)
где Wv — полная вероятность рождения пар фотоном в поле в еди-
единицу времени, пр «показатель преломления», характеризующий
внешнее электромагнитное поле F^v, k2 — со2 — к2 = со2 A — п}).
Соотношение унитарности E.178), найденное для физических
значений импульса, можно обобщить на нефизические значения им-
импульса, например рассматривать фотон с импульсом k2 Ф 0. Тогда
при к? > 4т2 становится возможным процесс превращения фотона
в пару частиц. Из соотношения унитарности для рассеяния фотона
вперед имеем для мнимой части амплитуды [ср. E.169)]
2 Im rV (k2) = 2 (g^- кц kjk?) Im П, (k2) =
= —<*Bn)l\{<Pp1/[2B1BnJ>]} {d3p2/[2e2BnK]} x
X Sp [(ft +m) y^ (m—p2) yj б (k—Pi—p2) =
= ~(^v-^ Kik2){2al?,){k* + 2m2)([k2-4m4lk2yi*. E.186)
Инвариантная амплитуда является аналитической функцией
вида / (г*) = /* (г) в комплексной плоскости z с теми особенностя-
особенностями, которые определяются условием унитарности. Для П^ (k2)
в отсутствие внешнего поля видим, что особенность (появление
у Пг (k2) мнимой части на действительной оси ft2) возникает при
к2 > 4т2, Х- е. функция Пг (k2) определена в комплексной плоскости
k2 с разрезом 4/n2^ k2 < оо. Скачок на разрезе* дается формулой
E.186). Запишем для П! (k2) соотношение Коши по контуру, изо-
изображенному на рис. 18. Тогда получим дисперсионное соотношение
$ mU^k'^dk'2 /(k'z— k2), E.187)
где предполагается, что П^ (k2) убывает на бесконечности достаточно
быстро, следовательно, интеграл по контуру CR вклада не дает.
Если IIj (k2) недостаточно быстро убывает на бесконечности, то
соотношение Коши следует брать для функции вида -р- П^ (k2) или
* Формула E.186) определяет мнимую часть на верхнем берегу разреза.
98

убывающей еще более быстро при k2 ->¦ оо. Эта операция эквивалент-
эквивалентна вычитанию Пх (k2) -»- ITj (&2) — ITj @) и т. д. При подстановке
E.186) в E.187) видно, что Пх (k2) убывает на бесконечности недо-
недостаточно быстро, т. е. необходимо провести два вычитания,
тогда имеем
(k2) -Пх @) —п; @) k2 = Щ (k2) =
Im Пх(
х
4m2
х dk'2 / [kA(k'2—k2)] = — (а/Зя) {5/3+1//—
-^ {arctg[B/-1)/
+ л/2)} = (а/л) [ 1/9 —A —Э ctg Э) B?2+4m2)/3fc2],E.188)
где / = k2IAm2 = sin2 Э. Точно так же находятся дисперсионные
соотношения и в случае процессов во внешнем поле.
Рис. 18. Контур интег-
интегрирования в соотноше-
соотношении Коши для Пх (&2).
Существование дисперсионных соотношений следует из весьма
общих предположений теории (см., например, [35, 36]).
§ 6. ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ
6.1. Излучение мягкого фотона при рас-
рассеянии в кулоновско м поле. Процесс излучения
фотона при рассеянии электрона в кулоновском поле в низшем при-
приближении теории возмущений представляется двумя диаграммами
(см. рис. 13, а). Матричный элемент, соответствующий им, дается
E.128). При k -*¦ 0 матричный элемент. Му расходится. Выделим
в нем сингулярные члены, воспользовавшись уравнениями [см. При-
Приложение А, (А.5)], ри (р) = ти (р), и (р) р = и (р) т и соотноше-
соотношением ek = —Ъе:
My={iZes/[BnO'2q2])fmV(e1s2) (l/
х
+ у [ek yo/(kp2) + уо ke
и (рг),
F.1)
99

где q = Pi — p2— к- Оставляя в формуле F.1) только сигнулярные
члены при k ->¦ 0, получим
М'ч = М0[\^Цк)/^Ш], F.2)
где Мо — матричный элемент упругого рассеяния (без излучения
фотона), вычисленный в борновском приближении;
/^ (k) = [i е/BяK/»] Ip1A/(ftpi)-p2ll/(*P2)]. F.3)
Таким образом, при малых k сечение излучения фотона можно пред-
представить в виде
da4 = da0 dW (k); dW (k) = (efc f) {e\ }»)* d3 k/2<o, F.4)
где do0 — сечение упругого (без излучения фотонов) рассеяния.
Очевидно, матричный элемент F.2) является калибровочно инва-
инвариантным, так что при суммировании по поляризациям можно вос-
воспользоваться формулой (А. 18) [см. Приложение А]. В результате
получаем для излучения фотонов с произвольной поляризацией
dW (k) = — jv. (k) /' (k) ds k/2a. F.5)
Величина dW (k) — вероятность излучения фотона в процессе,
характеризуемом сечением da0 F.4). Эта вероятность представляет
собой не что иное, как отношение энергии излученного классиче-
классического электромагнитного поля в случае малой частоты C.142)
к этой частоте. Такой результат совершенно естествен, так как
стремление энергии фотона со к 0 в некотором смысле эквивалентно
стремлению постоянной Планка % к 0.
6.2. Излучение мягких фотонов в кванто-
квантовой электродинамике. Формула F.4), выражающая
сечение процесса с излучением в области малых частот через сече-
сечение упругого (безрадиационного) процесса, может быть без труда
обобщена на случай произвольных процессов с любым числом фото-
фотонов. Для этого воспользуемся выражением для 5-матрицы E.72)
и E.73), записав его в форме
S = Г„, ТА ехр [ - i \ /„ (*) А» (х) # х], F.6)
где Гф, Та — операторы хронологического произведения соот-
соответственно для операторов частиц и для операторов электромаг-
электромагнитного поля; электрический заряд е включен здесь в /> (х). Заме-
Заметим, что под знаком Ту с оператором jv- (x) можно обращаться, как
с с-числом.
В дальнейшем удобно воспользоваться операторным соотноше-
соотношением [см. Приложение В, (В.9I
/ев = ехр{[Л, В]/2) ехр (А+В), F.7)
100

где Л и В — операторы; коммутатор [А, В] — с-число. Очевид-
Очевидным обобщением F.7) является соотношение
/' eA*... eAn = ехр [ ? At 1 ехр [-±- 2 [At, Aj)}. F.8)
Из определения Т^-оператора следует, что
= ...ехр
— i
x
*
X ехр | — i \ d^ d3 xjp I
F.9)
Теперь можно применить к полученному произведению экспонен-
экспоненциальных множителей формулу F.8), учитывая, что коммутатор
операторов электромагнитного поля есть с-число. В результате
имеем [во всех этих операциях не будем затрагивать операторы тока
X ехр {--LI d* х I d< yj» (x) j- (У) * (Хо
-Уо) X
F.10)
Первый из операторов в коммутаторе во втором множителе
в правой части в соответствии с F.7)—F.9) должен зависеть от бо-
более позднего времени. Разбивая оператор А^ (х) на положительно
и отрицательно частотные части А^ (х) = А^(х) + А^ (х), при-
причем Ар (х) — оператор уничтожения, А^ (х) — оператор рожде-
рождения фотона, и применяя снова соотношение F.7), получаем
ехр
ехр [ — i jjd4
X ехр {-1
/¦*(*) [Л< + > (x)+AJr) (x)]} =
/" (х) А^ (х)] ехр [ — i ^dlxj» (x) Al+) (x)] X
d* х $ d* yj* (x) /v (у) [Al~) (x), A[+ > (у)] j. F.11)
101

Первые два множителя являются N-упорядоченными, поскольку
операторы уничтожения стоят справа от операторов рождения.
Подставляя F.11) в F.10) и учитывая, что
?H*-</)- F.12)
находим следующее представление S-матрицы:
X Wexp [ — i ldixj^(x)All (x)]}. F.13)
Это выражение является точным и может использоваться наряду
с F.6) и E.72). Но особенно удобно такое представление 5-ма-
трицы в случае, когда токи являются с-числами (не операторами),
что имеет место при заданном движении зарядов, тогда оператор
Тф можно опустить, и проделанные выше операции позволяют найти
разложение S-матрицы в виде Г-произведения на сумму нормальных
произведений в замкнутом виде.
Заметим теперь, что для безрадиационного процесса остается
только первый сомножитель в формуле F.13). Если ограничимся
рассмотрением излучения фотонов с малыми частотами, то их излу-
излучение практически не сказывается на движении излучающих ча-
частиц. Таким образом, движение частиц можно считать заданным,
и оно определяется первым сомножителем в F.13), т. е. можно счи-
считать заданным ток во втором множителе. Перейдем в интеграле
в показателе экспоненты этого множителя в импульсное пространст-
пространство. Разлагая А^ (х) по операторам рождения ct{k) и уничтожения
с% (к), получаем
- i J d* xj» (x) A» (*) = - i $ (ds k/V2^)J el (k) [ex (*) f> (k) +
+ c?(k)i»*(k)], F.14)
где заданный «классический» ток
/i* (*) = f 1 /BяK/2] $ /V (jc) exp [ — i Ax] d* *; Ы-*) =/Л (*)• F-15)
Найдем теперь /t1 (k) для рассеяния одной заряженной частицы.
Как уже отмечалось, при излучении фотонов малых частот можно
брать траекторию в виде «угла». C.84). Пусть будет начальный им-
импульс частицы р1; конечный импульс р2, тогда
/|4(*) = е[(Л14/е)б(г-у10О(—0 + (Psii/e)e(r—v,/)O@1- F-16)
102

Вводя представление Ф-функции
со О
¦0@= $ 6(*—x)dt; #(—0= § б(*—t)dt; F.17)
о
имеем
Г °
\v№ J б*(л;—
L -co
4x—vtx)dx\, F.18)
где под Рц понимается vll = (l,v). Вычисляя входящий интеграл
ехр [ — ikv2x]dx =
о
d* A [exp (iAx)]/(l Аоа), F.19)
находим в результате выражение для тока
Ь (дс) = [1/Bя)б/2] J d« A exp [i **]/,,(*); /|i(A) =
= [i е/Bя)з/2] (pn/kh-Pw/kpi). F.20)
Фурье-компонента тока /й (А) совпадает с «током» F.3). Обобщение
на случай, когда в начальном состоянии имеется пх частиц с заря-
зарядами Zu, а в конечном состоянии имеется /г2 частиц с зарядами Z2i,
очевидно:
2 uppu) 2 У р^(р^) . F.21)
=i ;=« J
Этот ток является сохраняющимся (HZ^ = 2Z2i). Матричный
элемент Л/^-произведения в F.13) с учетом F.14) между состоянием
с п фотонами и фотонным вакуумом [ср. F.2I будет следующим:
"] П A //2^) /> (А,) ^ (А,). F.22)
81
8=1
Следовательно, согласно F.13) сечение любого процесса с излуче-
излучением п мягких фотонов можно представить в виде
da = dao(l/n\) П dW(kt), F.23)
i 1
)
i= 1
где da0 — сечение процесса без излучения фотонов; dW (k) дается
формулами F.4), F.5) и F.21).
103

Последний результат можно также найти с помощью диаграммной
техники. Для этого необходимо учесть, что диаграммы с излуче-
излучением фотона получаются из диаграмм упругого (безрадиационного)
процесса с помощью всех возможных присоединений фотонной ли-
линии к линиям заряженных частиц. Тогда будут возникать допол-
дополнительные пропагаторы типа
ll(p*—m*±2kp). F.24)
Ясно, что полюсные члены вида V(kp) дает только присоедине-
присоединение фотонной линии к внешним линиям заряженных частиц
(р2 = /и2), а для внутренних линий р2 Ф т? и при k -*¦ О членом kp
можно пренебречь. Качественно это связано с тем, что, как уже
отмечалось в разделе 3.6, длинноволновое излучение формируется
на больших расстояниях, т. е. за длительные времена. Отсюда
следует, что для излучения одного фотона
fM = Moie?jll(k)lV2^,* F.25)
где /ц (k) определяется F.21). Для излучения п фотонов необходимо
присоединить к каждой внешней линии заряженной частицы фотон-
фотонные линии всеми возможными способами и воспользоваться тож-
тождеством
1 . 1 1
= П —!—, F.26)
i=l (ftip)
после чего немедленно приходим к F.22) и F.23).
6.3. Общие свойства процесса излучения
мягких фотонов. Инфракрасная расходи-
расходимость. Проведем интегрирование вероятности излучения фото-
фотона при рассеянии электрона F.5):
Й й
= [а/BяJ](Ло/со) jj со2 dQ, [2a ft/(*ft) (*ft) -
—m2f(kp1J—fri*[(kp2J]. F.27)
Для вычисления этого интеграла учтем, что интеграл общего вида
"tl {kqi) 6(Jfe#—a), F.28)
где 5s — произвольный 4-вектор; a — константа, очевидно являет-
является инвариантным. Выполняя интегрирование по со, получаем
104
A/2а)$ (Й_П (гр. — pin) "п (z4j—q,-n).

Последний интеграл того же типа, что F.27), следовательно, инте-
интеграл по углам в F.27) можно вычислить в произвольной системе
отсчета. Наиболее удобно это сделать в системе, где одна из частиц
покоится:
со2
= \ со
= jj (о2
= jj (о
(о2
2) = 4я;
,) (kp2)] = ^ со2 dQ/[mom (e2—| р21 cos #)] =
2л
«а—1 Ра I
4л
p2f — р\р\
• F.29)
где мы учли, что при переходе из системы покоя частицы 1
в произвольную систему т [ р21 = ]^(Pi р2)а—/
Таким образом,
F3О)
л со
где 4/rt2*2 == —(рх — р2J = 4|р2| sin2 -&/2; # — угол между рх и р2
[поскольку мы пренебрегаем влиянием излучения на электрон, то
энергия электрона не меняется: рх (е, pt), р2 (е, р2), |р| = {p^j =
= |р2|]. Универсальная функция Ф (л;2) определяет зависимость
вероятности от передачи импульса, она встречается во всех зада-
задачах об излучении мягких фотонов. При угле рассеяния ft Ф 0, т. е.
ф (л;2) ф 0, интеграл по w в F.30) расходится на нижнем пределе.
Эта расходимость, получившая название «инфракрасная катастрофа»
вызвана неприменимостью разложения теории возмущений по кон-
константе связи е в области малых частот фотонов, где параметром раз-
разложения является в действительности величина (а/л) In (е/со)Ф (л;2).
В самом деле, из F.30) имеем, что вероятность излучения фотона
с энергией, большей со, имеет порядок (а/я) In (е/со) Ф (л:2); анало-
аналогично для двух фотонов [(а/я) In (е/со) Ф (л:2)]2 и т. д. Неадекватность
аппарата теории возмущений связана с тем, что в области малых
частот важно не число излученных фотонов, а полная уносимая ими
энергия, поскольку при экспериментальном исследовании процес-
* Первый анализ проблемы инфракрасной расходимости и излучения
мягких фотонов был проведен в работе [34], а рассмотрение инфракрасной
расходимости в рамках диаграммной техники в работе [108]. Наконец, об-
общий анализ проблемы (с использованием разиых подходов) был опубликован
[ 1961 г. [6, 59, 107]. Излучение классическими токами рассмотрено в работе:
48].
105

са взаимодействия энергия конечных частиц известна с некоторым
разбросом Ае, внутри которого нельзя разделить упругие процессы
от неупругих независимо от того, какие фотоны при этом излучены.
При достаточно малых частотах можно пользоваться классической
формулой C.142) для энергии излучения de (п, со). Обозначая,
\d& (n, со) = е (со) dco, имеем, что среднее число фотонов в еди-
единичном интервале частоты есть е (со)/Й-со, но при со -> 0 е (со) -> const
и, следовательно, е (со)/&со -*¦ оо. Таким образом, в процессе рас-
рассеяния на ненулевой угол всегда излучается бесконечное число
фотонов с нулевой частотой. Иными словами, при ускорении, кото-
которое испытывает заряженная частица при рассеянии, она всегда
излучает, так что вероятность упругого (без излучения фотона)
рассеяния на ненулевой угол всегда равна нулю. Нетрудно убедить-
убедиться, что da0, вычисленное в первом порядке теории возмущений как
сечение упругого рассеяния, представляет собой сечение процес-
процесса с испусканием любого числа мягких квантов. Действительно,
поскольку мягкие фотоны испускаются статистически независимо,
вероятность излучения п фотонов в интервале частот со2 -т- сох
дается формулой Пуассона:
w(n) = (ля/л!)е-«, F.31)
где п — среднее число излучаемых фотонов:
"п = ^ е(со) dco/Йсо. F.32)
со,
Сечение процесса рассеяния с испусканием п фотонов представляет-
представляется в виде
da = daow(n), F.33)
так как при cot -*¦ О, п -у оо сечение рассеяния с испусканием лю-
любого конечного числа бесконечно мягких квантов есть нуль. В то же
время, поскольку 2до (я) = 1, da0 — сечение процесса'рассеяния,
сопровождаемого излучением любого числа мягких квантов.
В дальнейшем всегда будем предполагать применимость теории
возмущений, т. е. не будем рассматривать область очень мягких
квантов. Область применимости формул типа F.23) ограничена
также требованием отсутствия влияния излучения на движение
частиц, для чего необходимо, чтобы энергия фотона была много
меньше энергии излучающей его частицы. Кроме того, изменение
передачи импульса, вызванное излучением, должно быть мало по
сравнению с величиной этой передачи.
6.4. Тормозное излучение мягких фото-
фотонов. Рассмотрим несколько примеров получения из F.23) инте-
интегральных характеристик процесса, таких, например, как спектр
излучения для ультрарелятивистских частиц [7]. Начнем с излуче-
106

ния при кулоновском рассеянии. После интегрирования по углам
вылета фотона F.30) имеем
dacx = da% dlc (со, *). F.34)
В предельных случаях больших и малых передач импульса
dlc (со, х) = (8а/3я) хг (dco/co); х < 1;
F.35)
dlc (со, х) = Bо/я) [In 4лг2 — 1 ] (Жо/со); х » 1. '
Чтобы вычислить спектр излученных фотонов, необходимо проинте-
проинтегрировать сечение da{ = dac0 dl (со, х) по углам вылета электрона
[или, что то же самое, по передачам импульса х2 = —A/4т2) (рг —
— Рг? = |р|2 sin2 (d/2)/m2].
Сечение упругого рассеяния dac0 в переменных л: имеет вид
[ср. E.135I
da% = nZ2 r\ A —m2 л;2/е2) dxVx*. F.36)
Таким образом, сечение da[ при л;2 < 1 ведет себя как dx2/x2,
а при л:2 > 1 — как dx* In л;2/^. Отсюда следует, что основной
(логарифмический) вклад в сечение дает область х2 < 1. Для вы-
выполнения интегрирования по х необходим нижний предел интегри-
интегрирования по х2. Для упругого рассеяния д?ин = 0. Однако здесь
необходимо учитывать, что рассматривается процесс с излучением
фотона, следовательно, в знаменателе выражения для сечения из-
излучения стоит степень передачи 4-импульса q = рх — р2 — /г,
причем et = е2 + со. Таким образом,
(?2=_q2=_(p1_p2_kJ. F.37)
Эта величина принимает минимальное значение, когда все векторы
коллинеарны, так что
- 4m2xSHH = (|pi|-ip2|-|k|J = co2mV4e4. F.38)
Верхний же предел с логарифмической точностью, когда сохраняют-
сохраняются лишь члены, содержащие большие по сравнению с единицей лога-
логарифмы*, можно положить равным единице (область х1 ^> 1 вклада
не дает, поскольку сечение в ней быстро убывает). Выполняя в F.34)
интегрирование по х [см. F.35) и F.36)], получаем
= \
2
(О
= A6/3)Z2 ar20 (dco/co) In De2/mco). F.39)
* Большей точности рассматриваемый способ вычисления спектра излу-
излученных фотонов дать здесь не может из-за сильной расходимости упругого
сечения при х2 -> 0.
107

Обсудим этот результат. Заметим прежде всего, что х2<1 со-
соответствует весьма малым углам рассеяния электрона (л; = 1,
ft = 2/п/е; х < 1, -& < 2т/е = 2/у), следовательно, основной вклад
дали члены, наиболее сингулярные по I/ft (~ I/O4), в то время
как члены ~ 1/Ф2 (Ух2) в dac0 уже не могут дать вклад требуемого
порядка (к такому типу относятся члены с'sin2О в числителе).
Логарифмическая точность, которую имеет результат, связана не
только с определением пределов интегрирования с точностью до
коэффициентов ~ 1, но и с тем, что при х ~ хмаз нельзя пользо-
пользоваться выражением с классическими токами, поскольку изменение
величины передачи импульса, вызванное излучением, порядка
величины передачи без излучения.
Подобным образом можно рассмотреть излучение при рассея-
рассеянии электрона на электроне и позитроне. В этом случае
k), F.40)
где do% — сечение упругого рассеяния;
dWe (k) = (сс/2я2) [Рш/(кР1) +-рш1(кр2)~р3»/(!гр3)-
-pm/(kp4)]cPkf2(o; F.41)
Pi. Pi — входящие импульсы; р3, pt — выходящие импульсы. Вы-
Выполняя интегрирование по углам вылета фотона, получаем [вос-
[воспользовавшись F.29)]
zrT)—ll, F.42)
J
^ ln
г/г2-1
где 4/п2л:2=-(р1-рзJ; 4may2= -(Pl-
Рассмотрим процесс излучения в Л'-системе, в которой до столк-
столкновения одна из частиц покоилась р2 = 0. С точностью до членов
~ т/г (е — энергия в ^-системе) сечение рассеяния электрона на
электроне
причем z2 — х2 — у2 = 1. Ввиду симметрии этого сечения и dle (со, Ф)
F.42) относительно перестановки х, у область х -*¦ 0 дает вклад,
одинаковый с областью у -> 0 (эта область связана с вкладом об-
обменной диаграммы).
108

Следует иметь в виду, что при х2 -»- 0 у2 = z2 + 0 (т/е), а при
у% -> 0 л;2 = z2 + 0 (т/е). Отсюда вытекает, что интерференцион-
интерференционный член диаграммы рассеяния и обменной диаграммы 1/(;А/2)
вклада не дает, поскольку z2 ~ e/m. Поэтому с принятой точностью
вклад в спектр дают только члены l/xi и 1/у* в F.43). В соответствии
со сказанным члены в F.42), содержащие (у, z) при х->0и
(х, z) при у -у 0, взаимно компенсируются. Тогда сечение излуче-
излучения при электрон-электронном соударении с заданной передачей
импульса можно записать в виде
'у ^Л^, F.44)
При вычислении спектра излучения оба члена в сечении F.44)
дают одинаковый вклад, поэтому можно оставить только первый
член, опустив перед ним множитель 1/2. В Л-систеие передача им-
импульса зависит от того, какая из частиц излучает: быстрая (нале-
(налетающая) или частица отдачи. Если излучает налетающая частица,
*
то*
4т2^Ин=-(р1-р3-^)мин=со2/п*/4е*. F.45)
Если излучает частица отдачи, то
4т2х1ин=-(р.2—р4—*)*„ =со2т2/2е2. F.46)
Теперь следует учесть, что вклад в выражение F.44) дают члены
Первый из этих членов определяет излучение быстрой частицы,
так что предел интегрирования по х2 определяется F.45), а второй
член — излучение частицы отдачи, следовательно, в качестве лйин
следует взять F.46). Верхний предел, как и прежде, можно поло-
положить равным единице. Итак, с учетом F.35) имеем для излучения
быстрой частицы
^. f
со J
F.47)
и для излучения частицы отдачи
Ed« Ё!! f а (Ло/со) In Be/co). F.48)
0)
* Минимум передачи достигается при р3,4. к, направленных по рх. Из
законов сохранения можно найти e3l4.
109

Полный спектр излучения фотонов в Л-системе
da{ = <fo«<i> +dof 2>. F.49)
Полученный результат в равной степени описывает излучение при
электрон-позитронном столкновении, поскольку вклад диаграмм
аннигиляционного типа пренебрежимо (~ ml г) мал при высоких
энергиях. Отметим, что быстрый электрон излучает так же, как при
рассеянии на ядре F.39). Этот результат легко понять, поскольку
основной вклад в излучение дают столь малые передачи импульса,
что движение электрона-мишени несущественно. Видно, что сече-
сечения излучения мягких фотонов быстрой частицей и частицей отда:
чи различаются только на множитель в аргументе логарифма.
В /(-системе обе частицы излучают одинаково (каждая в направ-
направлении своего движения). Минимальная передача
4т*х2мии = -(Pi—Р3— ?)
= т6со2/16е6, F.50)
где е — энергия электрона в Д-системе. Из F.44) получаем спектр
в Д-системе.
3 со J
•^мин
= 32ar2 (dco/co) In (8e3/m2 co)/3. F.51)
Обсудим еще угловое распределение излученных фотонов.
Ультрарелятивистские частицы излучают вперед в угол ~ 1/у от-
относительно направления движения. Поскольку углы отклонения
частиц < 1/у, то во всех рассмотренных случаях излучение сосре-
сосредоточено в конусах ~» 1/у относительно направления движения ча-
частиц. Исключение составляет излучение частицы отдачи. При пере-
передаче импульса х2 ~ 1 энергия частицы отдачи е4 ~ т, следователь-
следовательно, угловое распределение излучения этой частицы почти изотроп-
изотропно (рис. 19).
Изложенный метод можно использовать для вычисления инте-
интегральных сечений процессов с излучением большего числа фотонов.
Интегрирование по углам вылета каждого из фотонов может быть
проведено независимо, так что
п
dan = da0(l/n\) П й1(аг, х). F.52)
i= 1
Особый интерес представляет сечение двойного тормозного из-
излучения — излучения двух фотонов при столкновении частиц. Рас-
Рассмотрим этот процесс в Д-системе. Отметим прежде всего, что основ-
основной вклад дают малые передачи х2 ~ 1 (у2 ~ 1). На основании
ПО

аргументов, изложенных после формул F.43) и F.44), можно не
рассматривать вклада обменных диаграмм (области у2 -> 0) и опу-
опустить в F.43) множитель 1/2!, причем отброшенные члены имеют
порядок т2/е2. Таким образом, приходим к сечению
dol^nrl— • — Г— <
2 ° х4 2! L я
где Ф (х2) дается формулой F.30). При х2 -> 0 da| /dx2 не содержит
сингулярности, поэтому в отличие от случая однократного тормоз-
тормозного излучения поведение
при х2 -> 0 не существенно и
можно с высокой степенью
ТОЧНОСТИ ПОЛОЖИТЬ ЛТмин = 0.
Следовательно: 1) сечение do\
не содержит больших лога-
логарифмов, которые входят в се-
сечение однократного тормоз-
тормозного излучения; 2) величина
da% может быть найдена со
степенной точностью (отбро-
(отброшенные члены ~ т2/е2); 3)
основной вклад в do\ дают
передачи импульса х2 ~ 1,
значит, при вычислении
спектра двойного тормозного
излучения необходимо интег-
интегрировать точное выражение
Рис. 19. Угловое распределение од-
однократного тормозного излучения в
кулоновском поле (а); при элек-
электрон-электронном (позитронном) со-
соударении в /(-системе (б), в Л-сн-
стеме (в).
F.53). При X2 » 1
ведет себя
как
сечение
dx2
In2 х2, поэтому верхний предел х2
&21т2
т2/е2
ввиду сходимости интеграла можно с точностью до членов
положить Хмакс->-°°- Входящий интеграл является, таким обра-
образом, константой:
shychy
F.54)
где сделана замена х = sh у. Последний интеграл вычисляется не-
непосредственно ([52], с. 140, 362). Следует только иметь в виду, что
отдельные члены в F.54) квадратично расходятся при у -> 0; таким
образом, интегрирование следует вести от некоторой малой величи-
величины б, а затем в полном выражении перейти к пределу б -> 0. В итоге
1
, F.55)
111
4a\2 du>
я) щ
1 dco.
;• о2 vB
16а2 ^ do
'' Я 0)
1)! d(D2
'1 СО,
1 ь
L 4
У
1
1 8
где I C) — дзета-функция Римана; 7? C)/8 = 1,052.

Выражение F.55) в равной степени описывает двойное тормоз-
тормозное излучение при электрон-электронном и электрон-позитронном
соударениях, поскольку оно определяется только диаграммой рас-
рассеяния, вклад которой не зависит от знака заряда.
Аналогичным способом можно получить сечение излучения боль-
большего числа фотонов. Из проведенного выше анализа, очевидно,
следует, что качественные особенности сечения такие же, как для
п = 2 (отсутствие больших логарифмов, степенная точность
~ /п2/е2, возможность перейти к пределам х1ш = 0, х^акс ~~>" °°)-
Сечение излучения п фотонов
dan = 2яго Da/л)"j_LJ L...—2. t F.56)
где постоянная v(ri) дается выражением
-syly^sh*y+\)/(shychy)—\]«. F.57)
Величина v (я) вычисляется так же, как v B) .F.54), в частности,
vC) = 3[8SC)-l]/5. F.58)
Следует учитывать, что вклад в сечение дают члены (p\l(pik) ¦—
—рзКрък)J и iPzKpzfy—pJipJi)J, первый из которых связан с излу-
излучением вдоль импульса первой частицы, второй — вдоль второй
частицы. Простой комбинаторный подсчет дает, что сечение
излучения т фотонов вдоль первой частицы и п — т — вдоль
второй—а'п (т, п — т) будет следующим:
doen(m, л—m) = C5idaJ/2". F.59)
Для двойного тормозного излучения сечение в случае, когда
фотоны летят в противоположные стороны, da% A,1) = Лг|/2, а
когда фотоны летят в одну сторону da% B,0)=da?@,2)=da|/4.
Перейдем теперь к поляризации мягких фотонов. В случае одн .-
кратного тормозного излучения в кулоновском поле рассмотрение
этого вопроса можно провести аналогично проведенному в разделе
3.7. Можно исходить непосредственно из формулы C.122), разделив
на со и опустив множитель Фс/ (у) и все члены с Я (последние'дают не-
нелогарифмические вклады, которыми пренебрегаем). При интегри-
интегрировании по у необходимо обрезать нижний предел (вместо дйии = О
взять ^мин = ю2 m*/4e4 = m2 62О), тогда г/макс= 1 (г/мин = б?). Эти
соотношения следует сравнить с C.117). После выполнения ин-
интегрирования по у, которое совместно с интегрированием по т) есть
интегрирование по углам вылета конечного электрона, получа-
получаем сечение излучения мягких фотонов, дифференциальное по углам
m

и частоте фотона:
Это сечение перепишем в виде [ср. C.129)]
dai (X) = (da-/2) A — 111 cos 2Vl), F.61)
где
1)], F.62)
Повторяя рассуждения, приведенные после формулы C.130),
приходим к утверждению, что мягкие фотоны, излучаемые при ку-
лоновском соударении, обладают линейной поляризацией в на-
направлении, перпендикулярном плоскости излучения (плоскости,
проходящей через ръ к). Если в качестве орта ех выбрать проекцию
рх на плоскость, перпендикулярную вектору к, то
?i = 12 = 0; 6,= -|g|. F.63)
Зависимость степени поляризации от полярного угла вылета фотона
близка к приведенной на рис. 11. После интегрирования по поляр-
полярному углу вылета фотона (?) получаем],у
_ _ cos 2Ф1) 1п - , F.64)
)
так что параметры Стокса излучения
li = |2 = 0; 6,=-1/2. F.65)
Следовательно, мягкие фотоны обладают заметной линейной поля-
поляризацией. Проинтегрировав F.64) по углу фх и просуммировав по
поляризациям (множитель 2), приходим к F.39).
Аналогично может быть рассмотрена и поляризация излучения
при столкновениях частиц.
§ 7. МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7.1. Однофотонный обмен. Квадраты матричных
элементов процессов, для которых диаграммы Фейнмана содержат
внутренние фотонные линии, представляют собой свертки тензо-
тензоров, сопоставляемых блокам, соединенным фотонными линиями.
При вычислении полных сечений часто оказывается очень удобным
проводить интегрирование по конечным состояниям до сворачива-
сворачивания тензоров друг с другом, т. е. интегрировать отдельные блоки
в тензорном виде, используя свойства инвариантности теорий
(в квантовой электродинамике эго релятивистская, калибровоч-
калибровочная, Р- и Г-инвариантность).
Интегрирование выражений в тензорном виде удобно в двух
отношениях: 1) упрощается вычисление входящих следов матриц
113

(для спинорных частиц), так как вычислять приходится не полный
тензор, а только некоторые его свертки, причем лишь с теми векто-
векторами, которые уже в нем содержатся; 2) упрощается вычисление
интегралов, поскольку дело сводится к интегрированию скалярных
выражений, зависящих только от тех векторов, которые входят
в интегрируемый тензор. Свойство релятивистской инвариантности
позволяет выполнять интегрирование в наиболее удобной системе.
Рассмотрим квадрат матричного элемента для диаграммы, при-
приведенной на рис. 20, где все частицы с импульсами pk конечные.
Среди частиц с импульсами
qi могут быть начальные и
конечные, причем если какая-
либо частица конечная, то ее
импульс следует взять с об-
обратным знаком (имеет место
закон сохранения 2 pk =
k
— 2 qt). Диаграммы такого
Рис. 20.
Диаграмма
перехода.
однофотонного
типа описывают, например,
превращение пары частиц в пару частиц другого вида в низшем
приближении теории возмущений (блок / рис. 20 является состав-
составной частью диаграмм многих процессов). Вклад в сечение этой диа-
диаграммы, просуммированный по поляризациям частиц pk и проин-
проинтегрированный по их импульсам, можно представить в виде
G.1)
где тензор Т^ (q{) соответствует блоку // диаграммы, он может
зависеть от поляризаций частиц ^ь тензор F^(pk) представляет
блок /; 1/Д4 от фотонного пропагатора включено в F^v (ph). От-
Отметим, что в G.1) явно выписаны нормировочные множители внеш-
внешних линий pk. Перепишем G.1) в виде:
6 (Л-
G.2)
Поскольку F^ (ph) есть 4-тензор и интегрирование по сРр/2е =
= #pfi (р2 — т2) •& (р0) является релятивистски инвариантной опе-
операцией, то /nv (А) представляет собой 4-тензор, зависящий только
от 4-вектора Дд, так как по всем векторам ph проведено интегриро-
интегрирование. Наиболее общий вид тензора второго ранга, зависящего
от одного 4-вектора, следующий:
(А) = ах (A2) gw +a2 (А2)
G.3)
114

Из калибровочной инвариантности (или сохранения тока)
/^(A)A(i=/^(A)Av = 0, G.4)
так что при А2 Ф О имеем а2 — —аг/А2 = / (А2)/А2. Следовательно,
с учетом калибровочной инвариантности имеем
f*v(A) = — (g^ —A^ Av/A2)f (A2). G.5)
Для вычисления / (А2) достаточно свернуть /^v с g^:
= [-BяK/3] J^F^Wn [d*pk/Bnr2ePk]6(A-Zph). G.6)
Используя калибровочную инвариантность Tllv(qh)(TtlvA>x =
7\iVAv = 0), получаем для вклада в сечение процесса G.2)
G.7)
Найдем теперь f (А2) в нескольких простейших случаях. Оче-
Очевидно, что если /(А2)=/0(Д2) = Ф(А0)8(А2), то da G.7) является
сечением излучения фотона. В этом случае сама фотонная линия
оказывается внешней:
/>v (pk) -
(Д) = Bn)s( — g»v) J б(A — k)d3k/BnK2co =
G.8)
Если блок / диаграммы описывает рождение пары с импульса-
импульсами р] , р2 , ТО
р2IЛ (p1~p2)v G.9)
при рождении пары скалярных частиц и
^/2) = (е2/А4) 5р [051-m)vl4(p, + m)vv] G.10)
для рождения пары фермионов со спином 1/2. Величину /(А2)
можно вычислить согласно формуле G.6). Это интегрирование
весьма просто проводится в системе, где А = 0, так как gnVF^v
зависит только от квадратов масс и рхр2 = (А2 — рх2 — р\I2 (А =
— Pi + Рг)- Тогда, интегрирование сводится к вычислению
115

интеграла по фазовому объему
— 1
dpi
поскольку в /(-системе конечных чистиц (рх -)- р2 = Д = 0)
е = ]/~Д5/2, /? = ]/А2—4m2/2. С учетом этого для рождения пары
скалярных частиц
() G.12)
12я Д2 \ Д2 / V ;
и для рождения пары фермионов *:
В § 5 было показано, что сумма квадратов матричных элементов
диаграмм, на которых фотон превращается в пару частиц, опре-
определяет мнимую часть поляризационного оператора в еа-порядке
теории возмущений. Учитывая это, формулу G.7) можно переписать
в виде
JblW)._^r. G.14)
Вычислим / (А2) еще в случае, когда блок / описывает превраще-
превращение виртуального фотона в пару частиц и фотон, причем этот фотон,
в свою очередь, превращается «в любое возможное состояние».
Диаграммы этого процесса приведены на рис. .21, где введен «блок
излучения» (а) для спинорных частиц, в случае скалярных частиц
к нему надо добавить диаграмму (б).
Используя полученные выше результаты для блока / (см. рис 20),
имеем [см. G.7) и G.6)]
д i
1Bя)82б1 BяK2е2
=^-^dAldAlV Df (AJ) g^(Al Af, A2), G.15)
где 7W(S> •— свертки комптоновского тензора для частиц со спи-
спином S, когда оба фотона имеют массу, с g^g00, D = (AAiJ—
—A2A!2. Комптоновский тензор для канала рассеяния приведен ни-
* Вычисление g^FJ^J2^ заметно упрощается, если сначала свернуть
тензор -Рц!/2' с g|VV) а затем вычислять след.
116

же [см. G.34)—G.36)], для рассматриваемого случая он получает-
получается заменой р1 -> —рх и изменением знака в случае спинорных
частиц, а свертки для канала рассеяния даны формулами G.38)—
G.39), причем M<s> =( —1JS & Л</> (рх-> — д). В формуле G.15)
BяK2в2
в (Л,-Л -
V 2 F1
G.16)
/ + WU\ ^
и/
Рис. 21. Диаграмма однофотонного перехода с образованием па-
пары и виртуального фотона, выраженная через «блок излучения»
(везде вместо pt должно быть — pi).
Интегрирование просто проводится в системе, где Д2 = 0 (см. При-
Приложение Г). Явный вид функций g<s> следующий:
ё[
XBm2-A2/2-A2/2)}];
G.17)
H <aa'+"¦'»-<4Д')" -
где
; Т1 = ДД1; D = (AAtf - А2 А? =
G.18)
117

В формуле G.15) мы перешли от дифференциала d*Aa (в системе, где
b = 0)Kdi&1=dA21dAldcosMq>]/D/4&2 (см. Приложение Г). Инте-
Интегрирование по углам является тривиальным, область изменения
переменных А*, Д§ определяется неравенствами А| ^> 4m2, BmiJ ^
^ Д2, А2 > ("|AAf -(- У А|J, гдетг—массы частиц, в которые пере-
переходит фотон Ах.
Выше вычислялись сечения, просуммированные по всем состоя-
состояниям частиц рн- Ясно, что процедура инвариантного интегрирования
тензоров остается такой же, если необходимо получить сечение, диф-
дифференциальное по какой-либо инвариантной характеристике, на-
например ргр2. В этом случае достаточно заменить F*v (ph) -*¦
-*~ Г F^"i>(ph) 8 (t — Р1Р2) dt и не проводить интегрирования по t.
7.2. Однофотонный обмен (случай фикси-
фиксированного импульса). Обратимся теперь к случаю, когда
импульс одной из частиц pk для определенности рг фиксирован
(либо это начальная частица, либо мы хотим получить дифферен-
дифференциальное по р! сечение). В этом случае суммирование ведется
по всем состояниям частиц блока / (см. рис. 20), кроме частицы
с импульсом рг (для определенности начальной), для которой про-
проводится усреднение по поляризациям. Вклад в сечение рассмат-
рассматриваемой диаграммы можно записать в виде [см. G.2)]
= J (d4 А/А4) Гдv fa,, px) S B <7*—Д) X
n
— 2Pfe) П d3/0fe/[BitK2ePfe]. G.19>
Здесь явно выделен пропагатор фотона A/А4), зависимость тензора
блока // от рх содержится только в потоке (pi— начальная частица),
множитель от усреднения по поляризациям р1 включен в
Гцу (<7г, Pi)- После интегрирования по импульсам конечных частиц.
в G.19) получается тензор, зависящий только от рх и А:
2ePk]. G.20У
Наиболее общий вид тензора 1^(р1г А), следующий из релятивист-
релятивистской и Р-инвариантности:
Условие калибровочной инвариантности
/i*v Ац = /nv A v == 0 G.22)--
налагает следующие связи на коэффициенты;
1 i\ 1 > 2 з о > i G.23);
118

Откуда находим:
сл = с1', с4=—qAVftA; ci=~[
В результате тензор G.21) приобретает вид
/¦« (Pl, А) = Cl (Л2, А А) [рч Av + pi А» -
— (tf/Pi A) р? #] +с2 (А2, А А) (Ди Av-grnv Д2)_
G.24)
Для того чтобы найти функции сг и с2, достаточно свернуть G.20)
с g^v и р$ pi и решить полученные уравнения. В итоге имеем:
с, = —
1
G.26)
где
14" А—2pft) П d&
/2(Д2, p1A)=pUlpivI>i
п
G.27)
Заметим, что при А2 = 0 %^(рь) описывает процесс столкновения
фотона с частицей с импульсом pv Поэтому тензор /^v при А2 = 0
имеет физический смысл: свертка I^g^ пропорциональна сечению
фотонного процесса, усредненного по поляризациям фотона и ча-
частицы рх и просуммированного по всем состояниям конечных ча-
частиц ph (k = 2...):
Bл)*
2SX+1
Bп)«
8 (Pl Д)
G.28)
Используя выражения G.25) — G.27) для /^ и свойства кали-
калибровочной инвариантности Г^ (FMV Av = I\lv A^ = 0), формулу G.19)
можно переписать в виде
Р1Д
2 [(Р1ДJ-Р?Д21
212
X
119

x
Г ЗА*
Г ЗА*
+ НрТД
где
1—-pf Д2] +
1\]}, G.29)
G.30)
Найдем теперь функции 1Х и /2 в простейших случаях. Если
блок / описывает поглощение фотона А частицей ft, то
= -С (А. Л) =
ц (Pi
= 4V2
= 2
Yv] =
(ft, p2) + e2 (giLV A2 -Лд Av)],
G.31)
где A = —ft + p2 соответственно для скалярных и спинорных
частиц [см. G.9) и G.10)]. В этом случае в G.27) интегрирование ве-
ведется по dsp2, в результате получаем:
;
G 32)
Если блок / описывает рассеяние виртуального фотона на части-
частице (виртуальный комптон-эффект) с последующим превращением вир-
виртуального фотона «во все возможные состояния» (см. рис. 21, где
следует положить ft -> ft), то блок превращения виртуального
фотона можно взять из полученных выше результатов (см. рис. 20),
представив 55^ в виде
*
G.33)
где kn — импульсы частиц, в которые переходит виртуальный фо-
фотон (см. рис. 21); К$ра — тензор виртуального комптон-эффек-
120

та (оба фотона имеют массу) для скалярных @) и спинорных A/2)
частиц:
(D D Д Л^ ,4BPl + A)^Bp2 + Al)p I
(Pi, Pz, &, I±i) — e ^ (Pl + дJ _ OT2 Г
~PU
G.34)
(Pi, Pa. A» Ai) = e4 Sp [(p8 + m) L№P (px + m) Lv a];
где
m2 =p?,
Pi —Ai + m n pi + A +
Pi-Ai)«-m«Y +Y (Pl + AJ_
/735)
G.36)
Подставляя представление G.33) в G.20) и проводя суммирование
по конечным состояниям частиц kn с помощью формул G.2), G.5)
и G.6), получаем
G.37)
Тензор /(.IV выражается через величины Ix, /2 согласно формулам
G.25) — G.27). Найдем теперь 11г /2 для рассматриваемого случая.
При сворачивании gpa K$po с g^, рЧ р\, получаем функции, за-
зависящие от Д2, Д?, (р1+ДJ = ш2, (рг—ДйJ = ^2 (остальные ска-
скалярные произведения выражаются через эти инварианты с по-
помощью закона сохранения A^ )

где
[Bда2—А! + 2т2) Bда2 —А2 + 2т2)] —
— 2A2 —
(ud2 — m2)
4- члены (да2<-: q2) -{- ¦
X
(и2 — m2) (q2 — m2
— 2A2—А2,)(ш2 + ^24-2т2—2А? —A2);
= 77 V-4^B^2-A?+2m2) (да2 4-3m2-A2J-
l
— (да2 + 3m2 — А2) Bда2 + q2—2A2—A\ + m2) -
>2 —m2)
4- 4m2 H l- B^2 -
4 {q2 — m2J
ХB^ + ш2-2А2_Д2 + т2J--^—г x
X (q2 4-3/n2— A 2) B??24-ш2—2А2—A2 4-m2) 4-
¦-— 1~—2 г (да2 + ^2 + 2m2—2A2—Af) x
x (да2 4-3m2—А2) (да2 42<72 4-m2 — 2Д2—A2);
. G.39)
(w2—m2J
¦ m2)] 4- члены (q2 ^ да2) 4-.
16
X
x {(да2+<72) (A2 + Af) - (A2 4- A2J 4
4-/п2[даг+?24-2(т2-А2-А2)]};
4- m2 (Зда2 + 4A2 _ 2 A2 + 5m2)} H —
(q2 — m2)
¦~m2) [2A2 (да2—A2)—3AJ +m2 (да2—2А2
— A^ (да2 — A2—Д2) 4-m2 A2 (Д2 — Д2)
-ЗА2)} + -
X
X
X {(^2—т2)(ш24-ЗД2— Д2_^ + 4т2) — 2да2А2 +
* + А4 — 2Д4 4-т2 Bда2 — 4А2 4- 5т2)}.
Выражения для л!°2 находятся непосредственно, при вычислении
A\[i следует сначала выполнить операцию свертки и упростить
получающееся выражение, используя свойства у-матриц, а затем
122

вычислять след. Подставляя G.38) в G.27), имеем
pJ. G.40)
Преобразуем теперь дифференциал с13р2/2гРг к инвариантным
переменным. В системе, где рх + А = р2 + Дх = 0, интегрирова-
интегрирование по азимутальному углу дает 2я. В этой системе легко опре-
определяются все кинематические характеристики:
—Д*)/2ю;
-2е2А0-^2)/2|р2||А|;
—m2)/2w; |A| = A/2ш) /(да2—А2—т2J—4т2Д2;
Р2=| р2 | = A /Й») ]/"(да2_т2_Д2J_4т2 Д2 f
где # — угол между рх и р2. С учетом полученных соотношений иско-
искомое преобразование просто провести следующим образом:
/2е2)б (Af—w2 — 2е2ю—т2)х
X dA2 б (</2—т2 — А2 + 2е2 Ао + 2 |р2| |А| cos
яр2
^ я ,dA2d|?
82 2ffiJp2 | Д | 2 -^(аJ _ Д2 _ т2J _ 4т2 Д2 '
Принимая во внимание G.42), можно переписать G.40) в виде
dl\s\ «^
dq2dAl Bл)8 ~[/(w2 — Д2 - m2J — 4m2 Л2 ' '
Пределы изменения переменной ^2 при фиксированном А^ просто
определяются в системе, где А + рх = 0, в которой угол между
pi и р2 может принимать любые значения, тогда из G.41) следует:
qLKc = m2 + А2—2е2 Ао ± 2 | р211 А |. G.44)
мин
Все входящие сюда величины приведены в G.41). Для определе-
определения пределов изменения А? учтем, что А^ =B&пJ, поскольку
knt kn. > mt rrij, то минимальное значение
А?мин = Bт„J. G.45)
Максимальное значение определяется из условия, что в системе
Pi + A=0 и p^=Ai>0, тогда из G.41) следует:
А?маКс = (да— mf. G.46)
При выполнении интегрирования по q2 в G.43), где A\s\
123

даются формулами G.39), встречаются интегралы
(>d<72 =^-
J иJ
X
2o>2
G.47)
(q2-m2) = In |
q2—т2J= а/[т2 (да2—т2J—Д2Д ? (да2+3т2 -Д2—Л»)].
Здесь
а = /(да2_т2 — Д2J — 4m2A2Y(^2—т2 — Д?J—4т2Л? , G.48)
^макс дается G.44).
Как уже отмечалось [см. G.28)], при А2 = 0 1^ определяет
физическую величину, характеризующую взаимодействие фотона
с заряженной частицей. Если / (Дй2) = б (Дй2) ¦& (Д10), то этой ве-
величиной является интегральное сечение комптон-эффекта. Из G.43),
куда следует подставить G.39) и использовать G.47), получаем при
/(Д12) = б(Д12)*(Д10), Д2=0:
= 0 = [ —8р,А/Bя)«] {Bяа2/т2) [I/*2 +
)/[х2A +2х)] —A +хIпA +2х)/хЦ} =
= -[8лД/Bя)*]ог(<»; G.49)
2 = 0 = [ —16а А/Bя)«] -[2яа2/т2] {[A +x)/x3] x
Х[2хA +х)/A +2х) — 1пA +2х)] + 1пA +2д:)/2д;—
—A +Зх)/A +2хJ} = [-16р1Д/Bя)*]сг('/2)) G.50)
где х = р1А/т2; oV — интегральные сечения комптон-эффекта
на скалярной и спинорной частицах. Выражения G.39), G.43)
и G.47) для /х, /2 можно использовать при вычислении различных
сечений, таких, как тормозное излучение, рождение пар фотоном
на частице, рождение пар при столкновении.
Рассмотрим еще случай, когда начальная частица в блоке /
фотон, так что блок / описывает превращение пары фотонов, один
из которых реальный (импульс Дх, Ax2 = 0), а другой виртуальный
с импульсом А, в пару частиц с импульсами plt p2. Сечение по-преж-
по-прежнему дается формулами G.29), G.30), G.26) и G.27) с заменой
рх ->¦ А1( и в качестве ЗС^Оэа) следует подставить
4v)(Pft)=(-lJS+1<v)po(-A. P» A, -^)gpa' G.51)
где комптоновский тензор К$ро определяется G.34) и G.35),
в которых следует заменить Дх -» Аь рх -» ру. При вычисле-
вычислении /iB согласно формуле G.27) опять удобно использовать си-
124

стему А + At = 0, причем интегрирование (с учетом б-функции)
сводится к интегрированию по полярному углу, выполняя которое,
получаем:
G.52)
X {[(А2—4т2)/4] [(ю2—2m2)L,—
J—L, [ю2 (А2 + 2т2)
+ 2 (AiAJ — 4m4—2т2 А2]};
/и/2) = [а2/BяK] 8 ро(ш2—2т2 LJ,
G.53)
где
= (А + A tJ = А2 + 2AAX.
При Д2 = 0 получаем
G.54)
G.55)
Здесь a<s>— полное сечение превращения пары фотонов в пару
частиц со спином S и массой т:
= [яа2 /2со2] {/1 —т2/со2A +т2/со2)—
— (т2/со2)B—m2/co2)ln(co/m+ /coVm2 — l)};
od/2) =[Яа2/(»2]{B + 2т2/со2—т4/ю4)х
х1п(со/т+Усо2/т2 — l) — /l— m2/co2(l+m2/co2)},
G.56)
где со2 = (AA!)/2 = ш2/4. Выражения G.52) и G.53) можно ис-
использовать при вычислении сечений рождения пар фотоном и се-
сечений тормозного излучения (в последнем случае Ах — конечный
импульс, следовательно, необходимо заменить Аг ->¦ —Аь причем
полученные формулы представляют сечения, дифференциальные
по Ax).
7.3. Двухфотонный обмен. Перейдем теперь к бо-
более сложному случаю двух промежуточных фотонов (рис. 22),
где все частицы ph — конечные. Вклад этой диаграммы в сечение,
просуммированный по состояниям частиц р&, можно записать
в виде
da =
Л2) A /Л* А*).
G.57)
125

где
Врор'С (Ль Л2) =
- (ph, Лх Л2) X
G.58)
Здесь Мрор'о—тензор, описывающий блок А диаграммы и удов-
удовлетворяющий условиям калибровочной инвариантности:
J = Mp(Tp'a' Л?' =
=0;
G.59)
Л2 — импульсы фотонных линий. Общее выражение для
'а', выписанное с учетом релятивистской и Р-инвариантно-
стей, содержит 43 члена, каж-
каждый из которых состоит из ко-
коэффициента, умноженного на
тензор, построенный из векто-
векторов задачи. Условия калибро-
калибровочной инвариантности накла-
накладывают 33 связи на коэффи-
Рис. 22. Диаграмма двухфотонного циенты [ср. G.23)], С учетом
перехода. которых все коэффициенты вы-
выражаются через 10; требование
Т-инвариантности сводит число независимых коэффициентов к 8.
Можно, однако, записать общий вид калибровочно-инвариант-
ного тензора, не решая соответствующих уравнений для коэф-
коэффициентов, если сразу использовать калибровочно-инвариантные
комбинации (см., например, [125]).
Введем обозначения
Yd
G.60)
. )
Легко видеть, что выполняются следующие соотношения:
D°. D ^V-v О.
G.61)
126

Используя G.60), G.61), можно построить 8 калибровочно-инва-
риантных взаимно ортогональных тензоров:
G.62)
по которым разлагается тензор Врогр а
^'0', G.63)
?рср'о' __ пРР' раа'¦ ^рор'а'_ nP<J nP'f PptT'Ppor;
SfP' °' = [R<>aF><>' °' +?>ix" #P'°_?PP' д«ю']/2;
Sfp'°'= A2KPKP2' Raa'/D- Sfp'°'= A'tfW Rpp' ID;
spap'o> = Д2 ^ра^р'^а' + ^p' o'^g ^aJ/D;
i = 1
причем очевидно, что
? cpap'tr'
д P?P5«
=
о opap'a'
ipap'a' °i
G.64)
Формулы G.60)—G.64) решают задачу о нахождении тензора
Врор'о'- При Aj2 = Л22 = 0 тензор fipap'tr' пропорционален
сечению процесса у + у ->- 2р^. Усредняя по поляризациям фото-
фотонов, получаем
cfavv = Bn)*B1/4(A1A2). G.65)
Тензор fipap-a' можно использовать при вычислении сече-
сечений многих процессов.
В случае, когда блок А (см. рис. 22) представляет собой
превращение двух фотонов в пару частиц со спином 1/2,
Мрср-а' (ph, Ль Л2)^ — Kpp^oo'i — Pi, Pi, Л2, — A^fcM. G.35)]r
интегрирование по конечным состояниям родившейся пары
дает [15] (см. также [126]):
Bi = (a?/2Tis)$bi, G.66)
где
ЗЛ4Л?Л| Г 3AAJA| AAgAg
4ZJ 4 (Ax A2) I 2D2 D
X (A2 + 2Л2 + 2Л2 + 4m2) + A* + (A? + Л|J + 4m2 (A2—2m2)}; j
J I
127

b 3AAJAg (Af-Al) + 2mA
3 4ZJ ID
l гзд4л1л| д»а;
(А Л) L 8D2
(Ах Л,) L 8D2 2D
b l_^Jb__A_^L+ ? Х
2Z) g 2A2(AA)
X
X (A5
X
^(А1А^+Д1А1Л1 __L_
1 2D ~" g 4(Ai A,)
I"—2(Л! Л2) (Л? + А\ + 2т2) ± 2Л» Л* — зда А* л^л» л^) 1.
G.67)
здесь
L(ikM±U^ . G.68)
d
§ 8. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
8.1. Полюсное приближение для одно-
фотонного обмена (ковариантный подход).
Рассмотрим процесс изображенный на диаграмме рис. 23, а,
ръ <7i — импульсы сталкивающихся частиц; р2 ... рп — импульсы
образующихся частиц. При относительной скорости начальных
частиц, близкой к скорости света, т. е. при выполнении ус-
условия
(Pi<7iJ»Pi2<7? (8.1)
можно связать сечение этого процесса с сечением фотопроцесса*
(рис. 23, б), т. е. с реакцией, проходящей при столкновении фото-
фотона с импульсом А с частицей рг.
* Основная идея метода была высказана Ферми, сам метод был разрабо-
разработан Вейцзекером [38] и Вильямсом [39]. В ковариантной формулировке ме-
метод обсуждался в работах [4, 51, 53, 86].
128

Вклад в сечение диаграммы рис. 23, а, усредненный по поляри-
поляризациям начальных частиц и просуммированный по поляризациям
конечных, а также проинтегрированный по импульсам частиц
Л
Рк(«>2)
в
Рг
¦ Л
¦рк(К»3)
Чг
г
Рис. 23. Диаграмма однофотонного обмена, описываемая
методом эквивалентных фотонов (а), и соответствующая
диаграмма фотопроцесса (б), диаграмма, описываемая двой-
двойным методом эквивалентных фотонов (в) и связанная с
ней диаграмма фотопроцесса (г).
pk (k ^ 2), как было показано в предыдущем параграфе, можно
представить в виде [ср. G.29)]:
do
X
X
\ б (ах—а* —Л) ^
J Д* m V2 ;BлK 2
где
А,
(8.2)
(Р1 д)/-рг
Д2 {2v2-2v (Л А) -р; B?12 -А«/2) +
Д4
[(Р1ДJ-р?Д21
X
}. (8.3)
Здесь v = pift, Spl, Sgl — спины @ или 1/2) начальных частиц;
/1>2 определены формулами G.27), причем тензор 3Ctlv нормиро-
5 Зак. 97Й
129

ван так, что выполняется G.28); использован явный вид тензора
BnL J»v(<li, Яг) . d3q2 ,g
где Jp-v — токовый тензор G.31).
Перейдем в (8.2) к ковариантным переменным Si = (рг +
+ АJ = р\ -+- 2рхА + А2 и А2. Эта операция и определение об-
области изменения s1 и А2 содержатся в Приложении Г. Выполняя
тривиальное интегрирование по азимутальному углу вектора qt,
получаем
d3qj2eq2 = nds1 dA2/4 V^~Pl qb (8-5)
причем
(/s - /^fJ > Sl > M2; | А2 |макс > | A21 > | А2 |мин;
± [B(v2~pi^2)_(s_p2)(v_^)J_^s(Si_
где M2 = (J1 mhJ', s= (pi + ^iJ. Мы будем считать, что
(иначе частица рх нестабильна). Из (8.6) следует, что процесс,
изображенный на рис. 23, а, возможен лишь при v ^ vlh:
vth=[M2-pl + 2VqTM]/2. (8.7)
В дальнейшем не будем касаться пороговой области, а ограничим-
ограничимся случаем
2»^2M2. (8.8)
Рассмотрим сечение do/ds^A2 в области изменения slt определяе-
определяемой неравенством:
2»^Sl, (8.9)
[ср. (8.8)], напомним, что sx^AI2. Из (8.6) и (8.9) следует, что
в этом случае
|A2Ukc = 4v(v-t1)/S; |A2|miih = ^t12/(v-t1)v; (8.10)
I А макс 3> | А Мин>
где Ял—р1 = 2ч]. При значениях |А2|, удовлетворяющих условию
|А2|«и2; x^minltiVs!, |А2|макс}, (8.11)
130

0?iAJ—р\Аг wtf и выражение для А (8.3) существенно упро-
упрощается:
^ 2]. (8.12)
Рассмотрим теперь соотношение между величинами 1Х и /2. Из
вывода их [см. G.27)] ясно, что они конечны при А2 = 0. Кроме
того, они зависят от slf А2, но не от v. Поэтому можно считать,
что /2 < /jSx (отношение 1г11х имеет размерность квадрата массы,
a sx — наибольший квадрат массы, имеющийся в нашем распоря-
распоряжении). Тогда в области, определяемой неравенствами (8.9)—(8.11),
членом с /2 в (8.12) можно пренебречь.
Мы не учли, однако, то обстоятельство, что в коэффициенте
перед /х в (8.12) при значениях |А2|, близких к |А2|МИН, имеет ме-
место сокращение между первым и последним членами. Поэтому
«деланные пренебрежения справедливы лишь при исключении об-
области, близкой к |А2|МИН, а именно при выполнении условия
|Л2|-|Л21мин»|А2|мин??^4^-г,J. (8.13)
При выполнении неравенства (8.9) исключаемая область очень
узкая и не дает вклада в интегральное по А2 сечение.
При условиях (8.9), (8.11), (8.13) сечение (8.2) можно записать
в виде
A2 r\)] [1 _T)/v + Sgl rf/v2 + ^T]2/(v2A2)]x
(8.14)
При A2 = 0 выражение в фигурных скобках равно сечению фото-
фотопроцесса [см. рис. 23, б и G.28)]. Если зависимостью It от А2 пре-
пренебречь, что можно сделать при |А2| <^ mlf, где масса mef за-
зависит от характера процесса, то формула (8.14) приобретает вид
—А2т))][1 —T)/ g
+ ^r,2/(v2A2)]av(r,), (8.15)
где av (tj) — сечение фотопроцесса. Отметим, что формула (8.14)
имеет более широкую область применимости, чем (8.15).
Мы рассматривали сечение do/dA2dr\. Перейдем теперь к инте-
интегральному сечению. Здесь важным является вопрос о поведении
функций /jt2 при А2 Ф 0. Предположим, что они не растут с ро-
ростом |А2|. Тогда интегрируя (8.14), можно получить главный лога-
логарифмический вклад в сечение. Здесь следует различать следующие
5* 131

варианты. Если /п2е/ > и2, то можно воспользоваться непосредствен-
непосредственно (8.15): ~
da = (а/я) (drj/т,) In (| А2 |е//| А2 |мин) A -tj/v + Sel r,2/v*) av (r,), (8.16)
где |А2|е^ = к2. Если /п2е/ С н2, а в области |А2| > m2ei функция
/х падает так быстро, что интеграл по этой области не дает большого
логарифма, то получим снова (8.16), где надо полагать ]Д2| ef =
= nief. Если же область |А2| >, те2 дает в сечение большие ло-
логарифмы, то сечение do не выражается через <xv (т)) и необходимо
знать конкретный вид /х.
Проинтегрировав (8.16) по г\, получим логарифмически глав-
главный вклад в полное сечение, если основной вклад в интеграл по tj
дает область, удовлетворяющая (8.9).
Сечение в форме (8.16) составляет основной результат метода
эквивалентных фотонов, название которого обусловлено тем, что
электромагнитное поле быстро движущейся частицы близко по
своим свойствам к полю световой волны. Обычно принято рассма-
рассматривать случай, когда r)/v <^ 1, хотя метод [в форме (8.16)] спра-
справедлив и при Tj/v ~ 1.
В качестве примера рассмотрим случай, когда блок R на
рис. 23, а описывает рождение пары частиц с массой т и спинами
О или 1/2 двумя фотонами, один из которых реальный (р^ = 0),
а второй — виртуальный (А2 < 0). Здесь ситуация достаточно про-
проста: поскольку /i зависит только от slt А2 и т2 (sx ^ 4/п2), то зави-
зависимостью 1г от А2 можно пренебречь во всяком случае до А2 <С т2.
В этом можно убедиться и непосредственно, так как функ'ции 1\г2
для рассматриваемого случая приведены выше G.52), G.53), где
следует положить Ах -*• ръ до2—>- 2т]. Из этих формул следует, что
насамомделе зависимостью/! от А2 можно пренебречь при |А2| <<( т),
т. е. m|f=T), так что /пе/^и2 (для этого случая x2=min (т), 4vx
X(v—r])/Bv+<7i2)). Поэтому дифференциальное по т) сечение дает-
дается (8.16), причем | А2|е/ = и2, а av (r\) определено формулой G.56).
Рассмотрим теперь различные соотношения между массами — слу-
случаи <7i2 >, т2 и <7i2 С /- В первом случае условие (8.8) означает,
что при~л> ^> /п2 верхний предел по т) (8.6) значительно превышает
нижний, а так как оу (т)) со 1/т), то в интегральное сечение основ-
основной вклад дает область т) ~ 2/п2, в которой неравенство (8.9) выпол-
выполняется. В этом случае в (8.16) можно пренебречь членами t]/v,
(tj/vJ и интеграл по т) брать в пределах 2/п2 ^ т) < оо. В результате
получим независимо от спина Sq,:
ad/2) = A4a3/9/n2) In (vVqlm2); ) g
a<°) = Ba3/9/n2) In {v2lq\ /n2), }
индекс в сечении a<s/> обозначает спин частиц пары. В случае
q-i <C т2 ситуация существенно меняется. Выполнение неравенст-
неравенства (8.8) отнюдь не означает, что v ^> т2. Более того, допускается,
что v — 2т2 < т2, т. е. пороговая (в масштабе т2) область [в ма-
132

сштабе массы <7i2 зта область лежит, естественно, далеко от поро-
порога, так как (v — 2/и2J > q^m2]. В этой области г\ — 2/п2 < 2/п2,
поскольку (у' 2v + ft2 — у ft2J ]> 2т] ^ 4/n2, тогда
Основной вклад в полное сечение дает область v — r\ ~ v — 2/п2,
в которой неравенство (8.9) выполняется. Проводя, с учетом ска-
сказанного выше, интегрирование в (8.16), получаем в рассматривае-
рассматриваемой области:
= Ba3/15/n2)[(v/2/n2 — lM'2 + 5Sql(v/2m2 — 1K/2/2]х
X ln[(v—2mifl{qlmt)\; a<i/2> = 2a<°>. (8.19)
В отличие от (8.17) этот результат существенно зависит от спина sqi.
В области же v » ш2 результат естественно совпадает с (8.17).
Промежуточная область v также может быть рассмотрена, однако
результат для нее получается более громоздкий, и мы не будем
на этом останавливаться.
Обратимся теперь к важному частному случаю процесса
рис. 23, а, изображенному на рис. 23, в. В этом случае сечение
(8.15) можно подвергнуть дальнейшим преобразованиям с тем, чтобы
сечение процесса рис. 23, в выразить через сечение фотопроцесса
ОуУ рис. 23, г. С этой целью можно сечение av в (8.15) выразить по
аналогии с самой формулой (8.15) через avv. В результате получим
da = (a/яJ [I *-ij/v + Sql rf/v2 + q{ if/(v2A2)] x
X [l-x/T] + Splx2/r,2 + ^X2/Br]2A2)]-^ X
где х = (А + ЛJ/2 ж (АЛ). Область применимости этой формулы
ограничена неравенствами (8.8), (8.9), (8.11), (8.13) и аналогичными
им:
Bт,-М'2J » р1М>'; (т)-ХJ » р\ х; ]
| Л |2 « и'"; и'* = min (%, |Л2|макс)
|Л2|-|Л2|мин»|Л2|минР2х/(т)_хJ) j
где
2
*>3
(8.21)
(8.22)
133

Проводя в (8.20) интегрирование по А2, Л2, получаем аналог
формулы (8.16):
da = (а/яJ A -T)/v + S91ti2/v2) A -х/т) + Spl flrf) x
х ±L . JjL . in [| д^ |e//| д2 |мин] 1п ц Л* у\ Л* |мин] avv (x). (8.23)
I л
8.2. Полюсное приближение для однофотон-
ного обмена (нековариантный подход). Можно
дать и другой вывод соотношения, связывающего сечение процесса
рис. 23, а с сечением фотопроцесса рис. 23, б. Сечение процесса,
изображенного на рис. 23, а, дается формулами G.19), (8.4). Рас-
Рассмотрим систему, где частица qx является ультрарелятивистской
[например, в системе, где рх = 0, если такая существует: рг2ФО].
В силу калибровочной инвариантности тензора 2>v к токовому
тензору jw можно добавлять члены, пропорциональные Л*\ Av,
при этом выражение G.19) не меняется. Воспользовавшись этим,
приведем токовый тензор (8.4) к виду
gA2^v]. (8.24)
где величина Q^ =q^—(q10IA0)A^ имеет следующие компоненты:
(8.25)
Здесь Q\i = Qz; Q.±(QX, Qy) — компоненты вектора Q, параллель-
параллельные и перпендикулярные вектору qx. В области
Ар B<7к> — Ао) + AJ
|д,» (8.26)
Имеем
) Д2] lqlo!(qlo-Ao)]; \
Обратимся теперь к тензору Ж^. Определим
dT^ (Ао> А,,, Ах) = {Bя)*/[4 BSpl + 1) (дАI}Х
X &4ph)8 (Pl + A -2й)П Л9" , (8.28)
134

так что
doPy = e»ev*dT^(A0, Ao, 0) (8.29)
является дифференциальным сечением фотопроцесса для поляризо-
поляризованных фотонов (е%) с импульсом, направленным по оси г. Физиче-
Физические векторы поляризации имеют только поперечные компоненты
(по х, у). Из калибровочной инвариантности следует, что dT00 =
= dTzz, поэтому сечение фотопроцесса, усредненное по поляриза-
поляризациям фотона, есть
doy= —gvvdTv.v/2 = 8ikdTik/2, (i, k = x, у). (8.30)
Из G.19), (8.4), (8.25), (8.28) получаем, что в области значений А±
и Ао, где можно пренебречь продольной компонентой Q^ в свертке
J»4 в форме (8.24) с dT^y и положить dT^ (Ао, Дц, &.±)=
—d Гц (Ао, А0) 0), сечение процесса, изображенного на рис. 23, а,
представляется в виде
do = [aqjn (fto-Ao)] [Aj.iA±»-(Sel A?/2^ae) А2 б№] X
XdTih(A0, Ao, 0)[dAodAx/(nAoAi)], (8.31)
где мы учли, что /v2—plq\tt v « ql0 [p10 +1 Pi | ]
d3q2/sq2=dA\\dA±/(q10—Ao); 1
AA + AI/29 |
Формула (8.31) выражает дифференциальное сечение процесса на
рис. 23, а через дифференциальное сечение фотопроцесса с поляри-
поляризованными фотонами.
Вопрос об области применимости (8.31) является далеко не
тривиальным и зависит от характера процесса. Рассмотрим этот
вопрос в системе, где р1 =0. Из б-функции в (8.28) следует,
что для выполнения условия dT^ (Ао> Ац, Ах) та dT^ (Ао, Ао, 0),
нужно, чтобы (Ац — До) « А0) Al « А%, \ А21 «jp? + 2 (Pl А)], что
можно представить как | А21 <^ А 2, | Д21 <g у р% До или
(о. оо)
q\ (YpJ + Ао) )
Для того, чтобы можно было пренебречь продольной компонен-
компонентой Q^ в свертке Q»QV dT^, необходимо знать соотношение между
продольными и поперечными компонентами dT^. Выше, при ко-
вариантном выводе, мы предполагали, что /2 ? /д; это соответствует

р< i.- При этом условии для того, чтобы можно было пре-
пренебречь Qи, необходимо
**№ + *№*) (8.34)
Еще раз отметим здесь, что область применимости формулы (8.31)
зависит от характера процесса; поэтому следует определять ее для
каждого конкретного случая, не полагаясь на полученные из об-
общих соображений (и при некоторых предположениях) критерии
(8.33) — (8.35).
Проведя в (8.31) интегрирование по азимутальному углу век-
вектора Д±, получим с учетом (8.27), (8.30):
а (<7ю — До)
Яю
Ai+V
Яю (Яю — До)
dav
X
х-ХГТ^ иг--V»^' (8-36)
do = — •
1 + —— А2
q* °
Легко показать соответствие этой формулы полученной выше (8.14).
Сечение (8.36) можно представить в форме
da = n(A±, A0)dAxdA0dor (8.37)
Физический смысл этого результата состоит в том, что электромаг-
электромагнитное поле заряженной ультрарелятивистской частицы является
поперечным и поэтому может быть представлено в виде совокуп-
совокупности «квазифотонов» с энергией Ао. Число этих фотонов на ин-
интервал энергии есть
п (До) dA0 = (j n (Al, Ao) dAl) dA0. (8.38)
Аналогично может быть рассмотрен и процесс, изображенный
на рис. 23, в, где следует рассмотреть свертку J^JpadM»vi>a. Про-
Проведя в системе, где частицы qlt plt ультрарелятивистские, пре-
преобразования (8.24) токовых тензоров и далее пренебрегая продоль-
продольными компонентами Q^, получаем:
do = (a/яJ {<7ioPio/[(<7i8—Ао) (р10— Ло)] X
X [АХ1А±к-(8д1АЫ2д1в)А*81к]{А±1А±т-(8р1А1/2р10)АЧ1т] х
где
136

ГЛАВА III
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
в макроскопических внешних полях
§ 9. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИИ МЕТОД ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
ЧАСТИЦ БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИИ
9.1. Типы квантовых эффектов в задаче
излучения. В квантовой теории, описывающей частицы, ко-
которые находятся во внешнем электромагнитном поле, расчет эффек-
эффектов взаимодействия частиц с полем излучения без применения тео-
теории возмущений по внешнему полю проводится обычно в представ-
представлении Фарри, которое строится по образцу теории для свободных
частиц с использованием решений соответствующих волновых урав-
уравнений (Дирака, Клейна—Гордона и др.) в данном поле (см. раздел
5.13). В частности, S-матрица в спинорной электродинамике E.72)
и E.73) имеет в представлении Фарри вид E.158)
S = Texp[~(ie/H)^xVF(x)y^F(x)Al/L(x)], (9.1)
где \Р> (х) — оператор электрон-позитронного поля в заданном
внешнем поле* [см., например, E.9)]. Разложение Т произведения
на сумму нормальных произведений формулируется так же, как
для свободных частиц, но свертка фермионных операторов будет
теперь функцией Грина в заданном поле**. Следует иметь в виду,
что решение волновых уравнений известно только для некоторых
специфических полей (кулоновское поле, постоянное и однородное
магнитное поле, поле плоской электромагнитной волны, постоянные
скрещенные электрическое и магнитное поля). Но даже для приве-
приведенных полей использование решений волновых уравнений для
вычисления характеристик излучения — достаточно сложная в ма-
математическом отношении задача. В случае частиц высокой энер-
энергии (у ^> 1) самым существенным однако является то, что все ре-
результаты получаются с помощью асимптотических приближений
найденных функций, а это соответствует переходу к квазиклассиче-
квазиклассическому приближению.
Из сказанного следует, что более последовательным подходом
к задаче об излучении частицы высокой энергии во внешнем элек-
электромагнитном поле будет формализм, использующий квазиклассиче-
* В § 9 и 10 использована система единиц а = 1.
** См. обсуждение в разделе 5.13.
137

ское приближение с самого начала. Такой подход был предложен
авторами [16, 17, 21], в его основе лежит тот факт, что имеется два
типа квантовых эффектов при излучении частицы высокой энергии
во внешнем поле. Первый из них связан с квантованием самого
движения частицы в этом поле. Связанная с ним некоммутатив-
некоммутативность динамических переменных частицы была детально рассмотре-
рассмотрена в разделе 5.3, где показано на примере движения в произвольном
магнитном поле, что она имеет порядок ^соо/е = Н/(Н0у2) (в общем
случае ряд по %(ло1ъ), так что с ростом энергии движение становит-
становится все более классическим.
Перепишем параметр разложения в виде %(ло1& = %1(гр), где р —
характерный размер задачи; k/(ep) — Afe/(pi>), Яй = him — комп-
тоновская длина волны. Учитывая, что ер ~ %1 есть момент количе-
количества движения частицы, получаем
Йсоо/е = Й/(ер) = Яь/(РУ) = 1//- (9.2)
В магнитном поле, где р — радиус кривизны, который обычно
является макроскопической величиной, это отношение очень мало
(при е = 100 Мэв и напряженности магнитного поля Я = 10* э
Й-соо/е ~ 10~14). При тормозном излучении на кулоновском
центре, где р — прицельный параметр, основной вклад в излучение
дает р > Kh [ср. C.82)], тогда имеем / _> у.
Второй тип квантовых эффектов связан с отдачей частицы при
излучении и имеет порядок Асо/е, где Дсо — частота излученного
фотона. При излучении в магнитном поле энергия излученного фо-
фотона зависит от значения параметра % (см. E.41)]. При % < 1 отда-
отдача, а следовательно, и величина квантовых эффектов, мала, причем
характерные частоты излучения «а ~ а0у3 [как в классической
теории C.8)]. При % :> 1 энергия излученного фотона fia ~ е, эта
область является существенно квантовой. Таким образом, при
больших энергиях (у ^> 1) квантовые эффекты первого.типа нич-
ничтожно малы по сравнению с эффектами излучения, так что ими мож-
можно пренебречь. Если в теории имеются квантовые эффекты двух
типов, одним из которых сразу пренебрегаем, то для этого особен-
особенно удобна операторная формулировка квантовой механики. Дей-
Действительно, необходимо пренебречь некоммутативностью операторов
динамических переменных частицы между собой (величина Нщ/е)
и учитывать только коммутаторы их с оператором ехр (—ikr), свя-
связанным с полем излученного фотона (величины ~ 7ш/е).
Поскольку существенны большие орбитальные моменты, то
можно пренебречь членами типа взаимодействия спин—поле [для
частиц со спином 1/2 это члены ehow F ^12 [(ср. E.5)], относитель-
относительный вклад которых в энергию sftcoo/e (s — величина спина), т. е.
для частиц с низшими спинами того же порядка, что квантовые эф-
эффекты первого типа (9.2)]. В итоге оказывается возможным прове-
провести единым образом рассмотрение для частиц с любым спином, а вы-
вычисление всех спиновых эффектов, которые определяются структу-
138

рой тока, по форме совпадает с расчетом для свободных частиц.
При таком подходе не требуется знания явного вида решений вол-
волновых уравнений, а конкретные вычисления с определенного этапа
становятся сходными с классическими.
9.2. Вероятность излучения в стационар-
стационарном внешнем, поле. Матричный элемент излучения фото-
фотона заряженной частицей во внешнем поле в первом порядке теории
возмущения по взаимодействию с полем излучения следует из раз-
разложения 5-матрицы вида (9.1) и может быть для частиц с любым
спином представлен в форме [ср. E.161)]:
Si = з/L— f dt f d'rFt*' W x
BяK/2У2йш
Xexp [ie,t/H] (e*j)exp[i (со*—kr)] exp(—ie, t/П)Fis(r), (9.3)
где Fts (г) — решение волнового уравнения* в данном поле с энер-
энергией е,- и спиновым состоянием s; ец — вектор поляризации фото-
фотона; /ц — вектор тока.
Для интересующих нас состояний с большими орбитальными мо-
моментами / можно приближенно представить:
ехр (—1в, t/П) Fis (г) = ?s (P) ехр [-Ш/Й] | О, (9.4)
где Ч^ (Р) — операторная форма волновой функции частицы в спи-
спиновом состоянии s во внешнем поле. Эта форма получается из сво-
свободных волновых функций заменой переменных на операторы:
р ->¦ Р, е —>- 3^ = j/ P2 + т*. Вектор состояния \i > определяет
состояние частицы в поле (за исключением спиновых). В формуле
(9.4) пренебрегаем членами взаимодействия типа спин — поле. Про-
Проиллюстрируем формулу (9.4) на примере уравнения Дирака во
внешнем поле E.2). Если в «квадрированном» уравнении Дирака
E.5), E.8) отбросить члены взаимодействия типа спин — поле
(eUawF^Jfy, то это уравнение переходит в уравнение Клейна—
Гордона в том же поле E.6), так что выражение
Ч(х) = с(у*Р» + т)Ф(х), (9.5)
где Ф (х) — решение уравнения Клейна—Гордона; с ¦— нормиро-
нормировочная константа, автоматически удовлетворяет уравнению Ди-
Дирака в поле. Сравнивая с формулой (А.7), убеждаемся, что (9.5)
имеет ту же матричную структуру, что и решение свободного урав-
уравнения, причем величины р, е заменены на операторы. Итак, в ко-
координатном представлении |( > есть решение уравнения Клейна—
Гордона в данном поле.
* Заметим, что в отличие от случая свободных частиц, где матричный
элемент первого порядка обращается в нуль, поскольку не может выполнять-
выполняться закон сохранения энергии-импульса, здесь часть импульса отдачи берет
на себя поле вследствие чего Uji фО.
139

Подставляя (9.4) в (9.3) и учитывая, что шредингеровские
операторы, стоящие между экспоненциальными множителями
exp±(i, ЖШ), переходят в зависящие явно от времени гейзенбергов-
гейзенберговские операторы динамических переменных частицы в данном поле,
получаем следующее выражение для матричного элемента (9.3):
Ufi=1^т^/ш ^dt ехр (Ш) м @1|- >' (9<6)
где
M® ^ (р) №й ехР t-
@ / @> г @ — гейзенберговские операторы импульса, тока
и координаты частицы соответственно, скобки { } означают сим-
метризованное произведение операторов (половина антикоммута-
антикоммутатора). Например, для частицы со спином 0 (s) имеем*
^^ (9.8)
Для частицы со спином 1/2 (ё)
Ме = Vm\M uS' (Р) е* ехр (—ikr) и„ (Р) Ут\Ж, (9.9)
где для канонического набора Y-матриц** [см. (А.7), (А.З) Приложе-
Приложения А]
Ф IS(O'—двухкомпонентный спинор [см. (А.8), (А.9) Приложе-
Приложения А], описывающий спиновые состояния частицы в момент вре-
времени t [в квазиклассическом пределе эволюция вектора % во вре-
времени определяется уравнением E.62)].
Для частицы со спином l(v) имеем***
Mv
уж
-в'^П exp[-ikr]}(e?)v-L:, (9-11)
уж
где ef, e%v — вектора поляризации начальной и конечной вектор-
векторных частиц. Аналогично выписываются выражения и для частиц
с высшими спинами.
* См. правило диаграммной техники для одиофотонной вершины для
скалярных частиц.
** Для частиц со спином 0, 1/2 удобно пользоваться кулоновской калиб-
калибровкой электромагнитного поля.
*** Ср. правило диаграммной техники для однофотонной вершины для
векторных частиц.
140

Будем интересоваться вероятностью перехода с излучением фо-
фотона, просуммированной по конечным состояниям частицы. Вы-
Выполняя такое суммирование* с использованием условия полноты**
векторов состояния 2 I/ X /I = 1 > получаем для вероятности
перехода с излучением фотона:
dw=?а' т5^ \f IJdtl $dt*exp [i@ (tl~t2)] M+ {ti) M {ti
(9.12)
Умножая это выражение на энергию излученного фотона, получаем
дифференциальное выражение для излученной энергии:
de(<u) = h6idw. (9.13)
Для дальнейшего вычисления необходимо провести ряд дейст-
действий с операторами, входящими в формулу (9.12). Вынесем оператор
ехр [—ikr (f|)] в М (tj налево, а оператор exp [ikr (t2)] в М+ (t2) —
направо, для чего воспользуемся соотношением
/(Р)ехр( — ikr) = exp(—ikr) /(Р—ftk);
exp (ikr) / (P) = / (P—ftk) exp (ikr), (9.14)
которое является следствием того, что ехр (—ikr) — оператор
сдвига в импульсном пространстве, в чем можно убедиться, исполь-
используя перестановочные соотношения [тт, рп] = \%Ьтп и разлагая
ехр (—ikr) и / (Р) в ряд Тейлора. Изменение функции / (Р) в (9.14)
при коммутации с ехр (—ikr) («полем» излученного фотона) со-
соответствует учету отдачи при излучении. После того как будет про-
проведена эта операция, в каждом из матричных элементов остаются
только коммутирующие [с точностью до членов ~ %щ1г A//)] опе-
операторы, и дальнейшая задача сведется к рассмотрению возникаю-
возникающей комбинации ехр [ikr (/2)] ехр [—ikr (^)l.
Гейзенберговские операторы г (?2) и г (tj, взятые в разные мо-
моменты времени, не коммутируют между собой, эта некоммутатив-
некоммутативность существенна, так что для нахождения указанной комбинации
нельзя ограничиться разложением по низшим коммутаторам. Вы-
Вычисление операторных экспоненциальных выражений принято на-
называть «распутыванием». Одним из основных положений описывае-
описываемого подхода является распутывание операторного выражения
* Заметим, что можно фиксировать, если необходимо, любое из кванто-
квантовых чисел конечной частицы, используя операторы проектирования.
В координатном представлении: </ |... | /> = \ ds хФ^~ (х) ... Ф,- (х);
+
2
141

exp [ikr (t2)] exp [—ikr (^)l. Представим это выражение в виде
exp (ikr2) exp (—ikXj) = exp [iMx/fr] exp (ikrx) x
xexp[ —i#t/ft]exp(—Hoi), (9.15)
где x = t2 — ti, здесь и в дальнейшем индексы 1, 2 означают за-
зависимость от соответствующих времен. Это представление является
следствием того, что ехр {\Жх1Щ — оператор сдвига по времени.
Учитывая соотношение (9.14),[имеем
exp (ikr,) exp {—\Ж (Р^т/Й) exp ( — ikrx) =
= ехр[ — 1Ж(Р1—hk)x/H]. (9.16)
Подставляя это выражение в (9.15) и вводя обозначение
Le(x) — ехр (— icot) exp (ikr2) exp (—1кгх) = ехр (—ikx2) exp (\kx-j),
(9.17)
где kxx = «^—кгь получаем
Le (т) = ехр {i (Ж—Н<о)т/Н) ехр { — \Ж (Pt—ftk) t/Й}. (9.18)
Для проведения распутывания в комбинации (9.15), очевидно,
достаточно вычислить Le (т). Чтобы получить явное выражение для
Le (т), необходимо продифференцировать (9.18) по т:
—ftk)] ехр [ — \Ж (Рх—ftk) x/i] = i [Ж—%<а—Ж (Р2—
e(x)lh, (9.19)
где мы снова воспользовались тем, что ехр [\Жх1Н) — оператор
сдвига по времени. Учтем, что
2hkP2—fl2k2,
(9.20)
здесь kP2 = Ж® — Р2 к; k2 = «2 — к2.
Для реальных фотонов k2 = 0, кроме того, согласно E.28)
кР2 = Ж<йA—пР2/Ж) = Жа>[1— nv2 + O(/ko0/e)], (9.21)
где n = k/w — единичный вектор в направлении распространения
фотона. Уравнение (9.19) по виду аналогично уравнению для S-ма-
трицы [операторы при L (х) в правой части не коммутируют между
собой в разные моменты времени]. Поэтому формальное решение
142

уравнения (9.19) имеет вид E.70)
т
Le(т) = Тexp[(\l%) j («Р—?w — /(Р& + т')—
о
j
о
(9.22)
где Т — оператор хронологического произведения* с учетом, что
L @) = 1. Представление (9.20) и решение (9.22) являются точными;
выражение (9.21) справедливо с точностью до членов ~ Нщ/г
(это точность принятого приближения). Однако в дальнейшем явно
необходимо учитывать особенности излучения ультрарелятивист-
ультрарелятивистских частиц, т. е., как и в гл. I, проводить разложение по парамет-
параметру Ну. В классической теории частица излучает в угол ~ 1/у, тогда
1 — nv ~ 1/у2. В квантовой теории средние значения операторов
типа <1 — nv>~ lly2", в этом смысле можно считать, что оператор
1 — nv имеет малость 1Ау2. С учетом этого обстоятельства можно
провести разложение
(9.23)
Очевидно, что это разложение справедливо, если среднее значение
<1 — %<л1ЖУ ~ 1, т. е. фотон не уносит всю энергию начальной ча-
частицы, так что конечная частица является ультрарелятивистской.
Подставляя разложение (9.23) в решение в форме (9.22), видим, что
главные члены в показателе экспоненты взаимно компенсируются;
таким образом, для реальных фотонов (k2 = 0)
(9.24)
где ко = ю A —nv). Под интегралом в показателе экспоненты стоит
величина ~ 1/у2, при вычислении с такой точностью можно прене-
пренебречь некоммутативностью оператора скорости в разные моменты
времени и опустить знак Т произведения, тогда
—kxj)}. (9.25a)
В случае, когда фотоны не являются реальными, имеем из (9.23)
Le(x) = eKTp{[ — iX/(X—'hai)](kxt-~kx1) + ihk?x/2Ce~'h<a)}. (9.26)
Проделанный вывод выражения для Le (т) не основывался на
каких-либо свойствах внешнего поля, было использовано только
то, что ультрарелятивистская частица излучает в конус с углом
~ 1/у. Поэтому полученный результат справедлив для излучения
* Заметим, что для свободных частиц символ Т можно опустить, так как
операторы импульса, взятые в разные моменты времени, коммутируют между
собой.
143

частиц большой энергии в произвольном внешнем поле, причем
изменение величин при коммутации (9.14) соответствует учету
изменения энергии и импульса частиц (отдача) при излучении*.
Таким образом, в результате проведения операции распутыва-
распутывания имеем (9.17) и (9.25):
ехр (—кот) exp (ikr2) ехр( — iki^) = ехр (— \kx2) e
= ехр{[ — \Ж1{Ж—Ы)\ {kx^—kx^}. (9.256)
Ввиду компенсации главных членов в показателе экспоненты
(9.26) комбинация ехр (ikr2) ехр (—ikrx) коммутирует с точностью
до членов ~ 1/у2 со всеми операторами, входящими в М^М^ Тем
самым все операторы в выражении (9.12) оказываются коммутиру-
коммутирующими [с точностью до членов более высокого порядка поЦ/в
и 1/у2], и поэтому после проведения операции распутывания все
они, стоящие в обкладках начального состояния (средние в состоя-
состоянии с большими квантовыми числами), могут быть заменены на
соответствующие классические значения (с-числа).
С учетом этого выражения для вероятности перехода (9.12) можно
записать в виде
. — fd/i f Л2КЗ Д1ехЯ—ie(**a—**i)/(e—&»)}. (9.27)
со J J
BяJ
где
R (t) = ' чр (p' @) K/ (p' (t))+e*i (p@)] vs (p@); (9.28)
21/e'e
e, p, e' =K p'2'-fm2; p'=p—^k—уже не операторы, а с-числа.
При операции распутывания совершенно не затрагиваются со-
содержащиеся в функции R (t) спиновые характеристики частиц.
Это связано с тем, что в нашем приближении пренебрегается влия-
влиянием на движение частицы взаимодействия спина с внешним полем
[члены ~ 7шо/е A//)]. Описывающая же спиновые состояния функ-
функция R (t) имеет форму матричного элемента перехода для свободных
частиц с учетом закона сохранения импульса. Это позволяет еди-
единым образом рассматривать задачи для любого спина, так что фор-
формулы (9.27) и (9.28) применимы для частиц с произвольным спином,
в частности для описания всех типов поляризационных и спиновых
явлений.
Следовательно, все особенности излучения во внешнем поле
в (9.28) состоят в следующем: 1)в показателе экспоненты появляется
множитель е/(е — hw) (учет отдачи, универсальный для всех
внешних полей); 2) специфика поля проявляется в (9.28) в том, что
р = р (t), kx = kx (t), причем эволюция импульса и координаты
во времени берутся в данном поле.
* Ввиду важности этой задачи в Приложении Д приведена операция
распутывания для магнитного и кулоновского полей.
144

Выражение для квазиклассического матричного элемента
R (t) exp {iekx (t)/(e—Йсо)} (9.27) существенно проще, чем получаю-
получающееся при непосредственном интегрировании точных решений вол-
волнового уравнения в (9.1), а то, что это выражение зависит от вре-
времени через р (t) и х (t), в определенном смысле аналогично класси-
классической теории [см. A.59)], поскольку описывает излучение в терми-
терминах траектории. Поэтому в данном подходе, так же как в классиче-
классической теории излучения (см. гл. I), оказывается существенным вза-
взаимоотношение между полным углом отклонения частицы во внеш-
внешнем поле и углом Ну (см. раздел 3.1). Вследствие этого отдельно рас-
рассмотрим два характерных случая: 1) полный угол отклонения ве-
велик по сравнению с 1/у (случай движения в макроскопическом внеш-
внешнем поле, например в магнитном) и 2) полный угол отклонения ча-
частицы в поле< 1/у (случай движения в микроскопическом внешнем
поле, например кулоновском).
9.3. Излучение в нестационарных состоя-
состояниях. Рассмотрим теперь процесс излучения в произвольном внеш-
внешУ
нем поле, когда Ж = У?2 + т? + еср, энергия зависит от времени
и состояние является нестационарным. Решение уравнения
(9.29)
запишем в операторной форме:
t \
(9.30)
Перейдем от операторов в шредингеровском представлении к гей-
гейзенберговским операторам:
4(9= Г exp
\\а0 Техр ( — \11)\ж& . (9.31)
Матричный элемент излучения в произвольном внешнем элек-
электромагнитном поле F^y с учетом сказанного выше совпадает по
форме с матричным элементом в стационарном случае (9.3), (9.6)
и (9.7), если понимать под операторами р, г соответствующие гей-
гейзенберговские операторы в смысле (9.31).
Обратимся к операции распутывания. Основное выражение
(9.15) теперь запишется в виде
i/% f Ж (т) dx
exp(ikr2)exp(—ikr^ = \Тexp i/П)Ж(х)йх\\х
xexp(ikrx) Гехр — i% \ж(х)йх\ ехр[ —ikrj, (9.32)
где Ж@) = Ж(Рг). Основной вклад в матричный элемент излучения
дают малые времена, определяемые условием | Av | ~ My, так что-
145

можно провести разложение по степеням т вида
_i?iL. (9.зз)
n=0 0 rt=0
Если угол между вектором импульса р и силой Лоренца F
ftpF > Ну, то условие | Av | <, 1 /у приводит к Av < 1 /у\"(при ftpF ~
~ 1 Ау ~1/у3) и ряд (9.33) является рядом по степеням 1/у; с этой
точностью при проведении операции распутывания можно ограни-
ограничиться первым членом разложения в (9.33):
т
§Ж(т)йт=Ж@)тA+ОA1у)), (9.34)
о
. после чего дальнейшее рассмотрение [см. (9.16)] идентично прове-
проведенному для стационарного случая.
Когда угол отклонения частицы в поле <^1/у, излучение су-
существенно зависит от деталей структуры внешнего поля. Задача из-
случения в квантовой области при выполнении условия квазиклас-
квазиклассичности иЙ» у(оо (Q — характерная частота изменения поля) ре-
решается с помощью методики, развитой в § 9. Так как характер-
характерная частота излучения co — Qy2, квантовые эффекты излучения
определяются параметром ftQy2/e. При вычислении характеристик
излучения может непосредственно использоваться формула (9.27).
Этот круг вопросов рассмотрен в работе [124].
Наконец, отметим, что развиваемый подход применим, когда
частица после излучения является ультрарелятивистской [см. (9.21)
и (9.23)]. Ниже покажем, что это условие всегда выполняется, если
поля удовлетворяют условию
Я/Яо«1. (9.35)
§ 10. МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
10.1. Дифференциальные вероятность и ин-
интенсивность для электрона. В этом параграфе будет
рассмотрено излучение ультрарелятивистских частиц в случае 1
при тех же предположениях [выполнение неравенств C.1) и C.2)],
при которых рассматривались соответствующая классическая зада-
задача (постоянство поля на длине когерентности).
В случае 1 в квантовой теории, так же как и в классической, из-
излучение происходит с небольшого участка траектории, на котором
частица поворачивается на угол ~1/у, поэтому снова введем пере-
переменные C.10):
t = (ti + t,)/2; т = Ь—Ь; t^t—x/2; tt = t+t/2. A0.1)
При этом дифференциал |<#х §dt2 = jdtjdr. Интегрирование по t
можно рассматривать как интегрирование характеристики излуче-
146

ния в единицу времени. Тогда для вероятности излучения в единицу
времени (9.27) имеем
dW = dw/dt = -~ . ^ Г drR* (t + т/2) R (t—x/2) x
Хехр{ — \(г/е})[1гху + т/2)—kx(t—т/2)]}, A0.2)
где zf = 8 — %<й. Перейдем к вычислению этого общего выражения
для частиц с определенным спином.
Для частиц со спином 1/2 согласно (9.9) имеем (напомним, что
используется кулоновская калибровка)
Re = У~^' up (p') e*a«s (p)
B)cps) A0.3)
где мы перешли к двухкомпонентным спинорам, воспользовавшись
явным видом и (р) [см. (9.10)}, причем
B=VF + m)(e'+m)/e8'{[e*p]/(e+m)-[e*p']/(8'+m)}/2. A0.4)
Если воспользоваться уравнением движения спина E.65)*, то легко-
убедиться, что g (t) с точностью до членов ~ 1/у прецессирует с той
же частотой, что и скорость. Характерное время излучения имеет
порядок, как и в классической электродинамике: т ~ l/wy = 1/со0у.
Таким образом,
т/2 + ...=
(Ю.5)
поскольку в соответствии со сказанным выше 1?j|t~|v|t~ 1/у.
Учитывая этот результат, получаем из A0.3):
R*e (t + т/2) #е (^-т /2) - #| #х =
^ ], A0.6)
где A + ?°)/2 — двухкомпонентная поляризационная матрица
плотности. Это выражение можно использовать для вычисления
любых характеристик излучения, в том числе поляризационных
и спиновых, при излучении электрона во внешнем поле.
Начнем с рассмотрения интенсивности и вероятности излучения,
просуммированных по поляризациям фотона и конечного электрона
* Обратим внимание, что следует пользоваться именно уравнением
(9.123), а не уравнением с учетом аномального магнитного момента, поскольку
последний для электронов является высшей поправкой по а и его следует
учитывать только при решении задачи в а2-порядке.
14?

и усредненных по поляризациям начального электрона. Тогда
^ B1, A0.7)
и после суммирования по поляризациям фотона
^A = 1/4A +e/e/J(vav1- 1);
v,v1-l +2/Y2). (Ю.8)
Здесь пренебрегалось членами более высокого порядка по 1/у, а так-
также использовалось то, что входящие выражения типа nv^ nv2
можно представить в виде
nv2exp(—iBkxJSf)= ( — . 1- 1 ) exp( — iekxJSf), A0.9)
\(ое dt2 J
причем член с производной в правой части A0.9) при интегрирова-
интегрировании по времени (в бесконечных пределах) обращается в нуль
[ср. A.54)]. Проводя разложение входящих в A0.2) членов, полу-
получаем [ср. C.11)]:
.; )
г (*± т/2) = г @ ± vt/2 + wt2/8 ± wt3/48 +..., J
а также учитывая, что vv = 0A/y2), nv=—v2+0(l/y) [см. C.5)],
имеем
v2v1=l — 1/y2 — wH/2; )
(ЮН)
Подставляя A0.7), A0.8) и A0.11) в A0.2), получаем
xexp{ — i(ust/A)(l— nv + ^T2^)}, A0.12)
где и = fc<ulef = ft(n/(e—%<a). При % ->0 эта формула переходит в
dl (n,w)/it со C.16). Взяв интеграл по т с помощью C.17), нахо-
находим
k). .x
w я2 © \ 3 т
X {-A +«VY2+2A -nv) [1 +A +«)»!)Ki/з(Б), A0.13)
148

где
i±(l _nvK/2 = — . — [2Y2
wh 3 x
5 ^(l nv)
3 wh 3
3 X
При Й-*0 имеем dl (n, со)/Й(о в C.18) и C.19).
Как и в классической электродинамике, интерес представляет
вероятность излучения, проинтегрированная по азимутальному
углу. Введем переменные такие же, как и в главе I [см. формулу
B.7), рис. 3]. Так же, как и в классической теории, оказывается
удобным одновременно проводить интегрирование по г|) и т, причем
первое тоже распространим на бесконечный интервал, поскольку
основной вклад дает область чр ¦—¦ Ну. Введем переменные х, у
[см. C.29)]:
A0.15)
В этих переменных A0.12) принимает вид
оо оо
—00 —ОО
dWe($, са)=[—a/Bn)H(82/w)a>d®d$ jdx J dyx
A0.16)
Воспользовавшись интегралами C.17), получим
где
h A0.18)
Выражения для интенсивности излучения (энергии, излучаемой
частицей в единицу времени) следуют из приведенных формул
[см. (9.13I:
dl = de/dt = %в> dw/dt = 1itodW = eud,W/(l+u). A0.19)
Из формулы A0.13) имеем следующие выражения для дифференци-
дифференциального распределения интенсивности излучения электронов во
внешнем поле:
X [1 +A +«J1-A +")/Y2l Кi/з (I), (Ю.20)
149

а из формулы A0.17) — распределение интенсивности излучения по
полярному углу Р и энергии излученного фотона %<а = е«/A + и):
d/e(p, а>) = —.- ^— .—"—у?х
4я Зя2й3а> A+иL
X |ц»( 1 + « + -у) |/C?/s СП)Ч-/С1/3 (л)]-A +м)/С?/з(т1)/Т2}^^р .
A0.21)
При % -*- 0 эти выражения переходят в соответствующие классиче-
классические распределения C.18) и C.31).
Для получения спектрального распределения вероятности удоб-
удобно воспользоваться выражением A0.13) и угловыми характеристика-
характеристиками излучения, #, ф (см. рис. 3). Интегрирование по азимутальному
углу ф выполняется тривиально, поскольку подынтегральное вы-
выражение от ф не зависит. Для интегрирования поФ перейдем к пере-
переменной
z = [2y2A— nv)]3/2. A0.22)
Нижний предел интегрирования по г есть г @) = [2у2 A — уK/2] =
= 1+0 A/у2), а верхний предел — z (я) = 8у3 A+0 A/у2));
ввиду того, что при больших z подынтегральное выражение экспо-
экспоненциально падает, можно заменить верхний предел г(я) беско-
бесконечностью. Таким образом, с точностью до членов ~ 1/у2 получаем
A0.23)
Используя формулу C.42), преобразуем это выражение .к виду
Х/С2/3 I ^-\ -{!+")? dyKi/3(y)\. A0.24)
Еще одну форму записи спектрального распределения вероятности,
будем иметь из A0.24), если воспользуемся рекуррентным соотно-
соотношением C.44):
am2 du
A0.25)
150

Воспользовавшись формулой A0.19), напишем соответствующие
формулы для спектрального распределения интенсивности излуче-
излучения:
^) ? \ (Ю.26)
2Я/8Х
xj J ^Кб/з^ + ^-^/з^)}. (Ю.27)
При % -»- 0 эти формулы переходят соответственно в C.43) и C.45).
Прежде чем перейти к интегральным характеристикам процес-
процесса излучения, проведем анализ полученных выражений. Картина
излучения зависит от соотношения между величинами u = Aco/(e—
— Ясо) и %. При и < % имеем [(ср. C.24)]
1; <1а28)
при и ~^> % согласно C.24) получаем
В области х С 1 [или см. E.43), %аз0у3 <^ е] во всей существенной
области и < 1 (или Йсо < е), причем и/% = ю/(йс [см. C.40)], пере-
переход к этой области совпадает с переходом % —>¦ 0 (и —>¦ &со/е, 1 + и ->-
->- 1), тогда формулы A0.28) и A0.29) переходят в C.46) и C.47).
Следовательно, при х <^ 1 картина излучения такая же, как в клас-
классической электродинамике (с малыми квантовыми поправками),
причем в существенной области (и ~ %) энергия фотонов много
меньше энергии излучаемой частицы. По мере роста энергии зна-
значение величины %wf, растущей как у2, достигает значения энергии
е (это область % = hwfls j> 1), тогда качественная картина про-
процесса излучения перестраивается и становится совершенно отличной
от классической. При % — 1 в существенной области и ~ х ~ 1»
Лю ~ е. Несколько отличная ситуация имеет место при % > 1,
151

как это видно из A0.28), приы > 1 dle (и) ~ du/ub/3 и в интеграл
пом основной вклад дает и ~ 1. Таким образом, при любых х ^ 1
энергия излучаемого фотона Ню ~ е (но и е — Лч> ~ е), т. е. энер-
энергия конечного электрона также порядка энергии начального*.
Частица в этой ситуации теряет энергию квантами с энергией поряд-
порядка энергии е, но не так, чтобы в одном акте потерять большую часть
энергии. Очевидно, что область х >_ 1 является квантовой. Карти-
Картина зависимости dl e (и) от м
при разных х приведена не
рис. 24.
Перейдем к угловому рас-
распределению излучения A0.21).
При г] С 1 имеем [ср. C.24I
3'/3Г2B/3)
Х-
r,2/3 ,
Рис. 24. Зависимость спектрального
распределения интенсивности от ча-
частоты A0.26) при разных %.
A0.30)
при 11 > 1
-(l+M)/Y2]exP[-2M(WK/3x].
A0.31)
Основной вклад дает область г] -—- 1. При % < 1 (и/% ~ со/со с) имеем
ixy — I (p ~ 1/v), эта ситуация совпадает с классической и формулы
A0.30) и A0.31) переходят в C.34) и C.35). Такое же угловое рас-
распределение сохраняется при % ~ 1, но при % ^> 1 в существенной
области и ~ 1, т. е. f^Y — х1/3- Это означает, что угловое распре-
распределение расширяется р* ~ xi/3/y- Тот же вид, как это следует из
A0.20), имеет угловое распределение по азимутальному углу г|5:
при х > 1 Ч> ~ Х1/3/у (рис. 25).
10.2. Интегральные характеристики про-
процесса излучения электрона. Преобразуем формулу
A0.25) к виду, удобному для интегрирования по и. Для этого вос-
* При х > 1. если и ~ х > 1 (при больших и излучение экспоненци-
экспоненциально подавлено), то йо> > е — йш = ef, т. е. е/е/ ~ уН1Н0 и е; ~ Нот1Н.
Когда #/#0 < 1, то конечная частица является ультрарелятивистской, и мож-
можно определенно утверждать, что полученные результаты применимы для всего
спектра. Если же это условие не выполняется, то конец спектра не описывает-
описывается приведенными формулами и, следовательно, применяемый здесь метод,
перестает быть замкнутым.
152

пользуемся очевидной формулой [ср. C.48)]
]f{x)dx J tf(y)dy= j
0 x/l 0
]
тогда
<*>*-j-
0 ' ' u/6 0
где | = 3%/2. Используя фор-
формулу (см. [52], с. 984)
f(x)dx, A0.32)
<10-33>
A0.34)
преобразуем интеграл A0.33)
к виду
Рис. 25. Зависимость углового рас-
распределения от угла A0.21) при раз-
^ ных х-
iu. A0.35)
Подставляя в A0.25), имеем окончательное выражение для полной
вероятности процесса излучения:
W, = [сст2/C /3 пПг
/С2/з Bы
A0.36)
Для вычисления этого интеграла удобно воспользоваться пред-
представлением (см. [52], с. 671)
Я+ioo
j
s)/r(m)]usds, A0.37)
Я—i»
где 1 — m <С Я < 0, после чего интегралы легко вычисляются
с помощью формулы C.49):
*е =
Я+i
3/ЗяЛ82я! „ J
ГC)
X
153

oo ram2
X Г Eы2 + 7u + 5) К2/3 Bu/3x) «s rf« = — • ~r '¦
+
_L Г r(-s)rC+s)-Cxrti{5r
2jti J Г C) 4 X W
,я+1
X
2ni
X—lcx>
+ 5 (ЗхJ Г [(s + 2)/2 + 5/6] Г [(s + 2)/2 + 1 /6]} =
Я+ioo
8 /ЗяАе 2я* J.
л—1 OO
ХГ( — s)T(s+ 1) Г (s/2+ 1/6) Г (s/2 + 5/6) ds. A0.38)
При получении последнего выражения была проведена замена
переменных во втором и третьем членах в фигурных скобках
s+ 1 —у s, s + 2 —у s соответственно.
При х С 1. замыкая контур интегрирования направо, имеем
симптотический ряд по степеням х:
We= amL\
8 / 3 пПг
' п=0
2/3 .
A0.39)
-При х 3> 1 контур интегрирования следует замкнуть налево, тогда
особенности Г-функций будут лежать при s < 0, и будем получать
ряды по обратным степеням х:
{ 9Л!Г(Л+1/3)
_2я_
1/я ¦
9/г!Г(/г + 5/3)
= 14ГB/3)ат«
28ГB/3)
+ 15ГA/3) (ад-4/,_21б?Т Зх-б/.+ ...]. (Ю.40)
^ 7ГB/3) V А/ 35ГB/3) А J V ;
Наряду с приведенными выше интегральными представлениями
для полной вероятности процесса излучения в единицу времени
и ее асимптотическими разложениями удается получить также зам-
154

кнутые выражения для We. Представим A0.36) в виде
оо
We= [am2t/{3 VWnfa)] j [3?2х2/A-Нл:K-3?*/A+|*J+5/A+^)] x
о
X K2/3 (x)dx = [cem2i/C /3"я
e
(g), A0.41)
где
F (?) = j [Я2/3 W/(l + gJt)] <fe. A0.42)
Учитывая, что (см. [52], с. 691)
i/Б), (Ю.43)
j
о
где
Ov (г) = exp (- inv/2) (Jv (z) — Jv B)) +
+ exp(ircv/2)[/_vB)-J_vB)]; A0.44)
Ov = O_v; J
A- — функции Бесселя; J' — функции Ангера [см. [52], с. 1002],
получаем для F (Щ [см. A0.42)]
/=-(|) = Bя2/3|)Ф2/зA/1). A0.45)
Переходя к переменной 2 = i/? и воспользовавшись тем, что
= iz2d/dz; d%ldg=- — г*сР/еЬ? — 2z3d/dz; d3/d|3 =
= — 6iz4/dz — Qiz42/dz2—iz«d3/dz3, A0.46)
можно переписать представление A0.41) в виде
W, = [2ал т2/(9/3 Пег)] [3/2 (г2 d*/dz2) + 5] [2Ф2/3 (г)] -
], A0.47)
где Ф^ = — Фгит. д. Воспользовавшись рекуррентными соотно-
соотношениями для функций Фv (г), имеем
Фг/з=—1Ф1/3 —2Ф2/з/32—|//2лг;
2). A0.48)
155

Подставляя эти соотношения в A0.47) и переходя к переменной
2 = 2i/3%, получаем выражение для полной вероятности излучения
электроном во внешнем поле в единицу времени:
W, =¦- [an m2/(9 /3 Йв)] {-1 G + 1 /х2) Ф2/з Bi/3X) +
+ -Ф1/зB1/3Х)-3/(лХ)-Кз72л]. A0.49)
Перейдем к рассмотрению полной интенсивности излучения.
Исходя из формулы A0.27) и повторяя рассуждения [см. A0.32)—
A0.35)], которые привели нас к формуле A0.36), получаем для пол-
полной интенсивности излучения:
оо
J 2 54 X
(Ю.50)
Воспользовавшись формулами A0.37) и C.49) и проведя выкладку,
как в A0.38), приходим к следующему выражению для полной ин-
интенсивности излучения:
Я+i оо
/е=[е2/Зт2х2/C2л2Й22л1)] $ CX)s(s2 + 2s + 8) x
ХГ( —s)r(s + 2)r(s/2 + 2/3)r(s/2 + 4/3)ds. ' A0.51)
При х <х 1. замыкая контур интегрирования направо, получаем
асимптотический ряд по степеням %:
2 ( )( + )( + + ) X
хГ.(й/2+2/3)Г(й/2+4/3)(Зх)* =
+ ...}. A0.52)
Первый член в этом разложении не содержит постоянной Планка
и представляет собой классическую интенсивность излучения B.10)
[см. E.43)], которая естественно не зависит от спина частицы; вто-
второй член — первая квантовая поправка*, которая также не зави-
зависит от спина частицы, такая зависимость появляется начиная с чле-
членов х2 (члены ~ л2).
* Первая квантовая поправка к классической формуле была определена
А. А. Соколовым, Н. Г. Клепиковым, И. М. Терновым [90] и несколько позд-
позднее Швингером [105]. Полное решение квантовбй задачи о магнитотормоз-
ном излучении получено впервые (с использованием точных волновых функ-
функций) в работе [61]. Интенсивность и вероятность излучения в поле плоской
электромагнитной волны и постоянных скрещенных электрических и магнит-
магнитных полей вычислены с использованием точных волновых функций в работах
[78, 79]. Как уже отмечалось выше, в разделе 5.3, в квазиклассическом пре-
пределе оба эти результата совпадают [см. E.41I.
156

При х > 1 контур интегрирования следует замкнуть налево,
так что особенности Г-функций лежат при s<0 и получаются
ряды по обратным степеням %:
Уз~е2 /я2 х2 у f 8Fn-H)(9n2 + 3n-fl6)
^ 81п!Г(п+1/3)
п„ч_2и-в/з_
81п!Г(п+5/3)
[2-(-1)"] Г (п/2+ 1/6) Г (п/2+5/6)
81
16ГB/3)
_165ПШ)_3+...]. A0.53)
^ 16ГB/3) v Л ^ J v л
Наряду с полученными выше формулами можно, как и для ве-
вероятности процесса излучения, определить замкнутые выражения
для интенсивности процесса излучения. Аналогично A0.41) пред-
представим A0.50) в виде
?!^т ^+.31.^1+4-^A). A0.54)
е 121/3 я*»Ч 2 d|3 2 d|2 d?J V/ V 7
где F (|) дается A0.42). Переходя к переменной z = ill, и вос-
воспользовавшись формулами A0.46), имеем
Используя формулы A0.48), а также то, что
Ф;,я = E/Зг-80/27г3) Ф2/з + i (I -22/9z»)
+ A— 40/9г2) (уГ3"/2лг)—3i/n22, A0.56)
получаем окончательное выражение для интенсивности магнитс-
тормозного излучения электронов (г = 2i/3x):
1в = [е* т2/C* 2я?г2)] {Bл/3 К3)[A6 + 13/х2) Ф2/з Bi/3X) +
+ _LD7 + 2/x2)Oi/3Bi/3x)]-19-6/3/7-l/x2}. (Ю.67>
Л
Чтобы найти асимптотические разложения Iе при х 3> 1. X С 1*
наиболее удобно интегральное представление A0.51), а для анали-
анализа поведения 1е вблизи х ~ 1, следует использовать интегральное
представление A0.50) или замкнутое выражение A0.57). Отношение
1е1 Id {Ici = е2т2х2/6л&2) всегда меньше 1 (рис. 26).
10.3. М а г н и т о т о р м о з н о е излучение ска-
скалярных частиц. В этом случае рассмотрение проводится,
Г57

как и для электрона, исходя из формулы A0.2), в которую следует
подставить
P')> - A0.58)
причем вычисления оказываются более простыми. Воспользовавшись
разложениями A0.10), получаем [ср. A0.12)] после суммирования
по поляризациям фотона F
dr(l+u)(l/y2
оо
w2r2/2)exp{— щетA —
(Ю.59)
Проводя вычисление интеграла по
т C.17), получаем
X [У!—nv/(wy2)](l -j-ы)[4-у2 A
— nv)—ll/Ci/stt), A0.60)
где-? определено A0.14). Проводя
интегрирование по т, -ф, как в
Рис. 26. Отношение /е//с; как A°-15)> A0.16), находим распре-
функция х- деление вероятности по частоте
и полярному углу:
dWs = {а е2 и/[3п2 wh2(l+ и?]} ц2 [ii2 GCT/8 (л) +
A0.61)
где т|, р. определены формулой A0.18). Расчет спектрального рас-
распределения вероятности проводится аналогично A0 22)—A0 25)
в результате имеем
оо
\ Кб,з(у)с1у. A0.62)
Заметим, что все приведенные формулы можно получить из соот-
соответствующих формул для электронов, если в них отбросить члены
с и в числителе. Формула для полной вероятности излучения ска-
скалярной частицы во внешнем поле [ср. A0.35), A0.41)—A0.47)] еле-
дующая^
оо
W. = [а/п2/C У3 яйв)] J [E + 2и)/A + нJ] /С2/3 Bи/3Х) rfw =
о
2 я/(9 УЗ"Й8)] {4 [2Ф Bi/3)
= [am2 я
158
{4 [2Ф2/3 Bi/3X)— — ФI/3 Bi/3X)] +
КЗ/я}. A0.63)

Все выражения для интенсивности излучения можно найти из
A0.59)—A0.62) с помощью соотношения A0.19). Для полной ин-
интенсивности излучения, исходя из A0.62) с помощью A0.32), имеем
= [е2 т2/A2 У3 йя)] {Bя/9) [2A - 1/х2) Ф2/з Bi/3x) —
-OI/3Bi/3X)]-/3/6+ 1/x}. A0.64)
Как и в случае электронов, воспользовавшись формулами A0.37)
и C.49), из левой части формул A0.63) и A0.64) можно получить-
представления вероятности и интенсивности излучения скалярной,
частицей, из которых легко следуют ряды:
при % С 1
Я+i оо
$ CX)S Г(—s) T(s+ 1) х
Я—i оо
' ds A0.65)
и при х » 1
Я+I оо
/8=[е23/Зт2х2/A6л2Й2-2я1)] $ (ЗхMГ(—s) x
A —i оо
хГ(« + 2)Г(«/2 + 2/3)Г(8/2 + 7/3L .A0.66)
Замыкая контур интегрирования направо, при % <^ 1 получаем
оо
1/6)Г(п/2 + И/6) X
11х2/4+ ...); A0.67)
+ 1)Г(я/2 + 2/3)х
X Г (п/2 + 7/3) (Зх)« = [е2 /и2 Х2/FяЙ2)] A —
..)¦ A0.68)
Два первых члена в этих разложениях совпадают с соответствую-
соответствующими членами в выражениях для электронов A0.39) и A0.52).
Замыкая контур интегрирования налево, при х > 1 находим ..>
разложения по обратным степеням %:
W, = [4Г B/3) am2 C%Jг3/Ш] [ 1 — 3 (Зх)'2'3/4Г B/3) 4-
+ 9КЗ~(Зх)-5/3/10ГB/3)-3(Зх)-2/2+ ...]; A0.69)
159

/,= [е2 Г B/3)т2/54яй2] (ЗхJ/3 [1 — 9 (Зх)-5'3/4Г B/3) —
]• "A0.70)
Качественные особенности излучения скалярных частиц такие же,
как и для частиц со спином 1/2, описанные в конце раздела 10.1.
При рассмотрении излучения векторных частиц вычисления про-
проводятся так же, как и для частиц со спинами 1/2 и 0, после подста-
подстановки в формулу A0.2) Rv в виде [см. (9.11)]
Rv= ±
Если представить интенсивность излучения векторной частицей
в виде
где dle — интенсивность излучения частицы со спином 1/2
1см. A0.21)], то
dIL = [(е*/4п) е3 и*/[9я2 wh3 A + иL]] ц.4 [ы2/4 A + ы)+
+ YV A +м2/2 A +«))] [К\п (Л) + /С!/з (Л)! ^«^- (Ю.71)
Добавка к полной интенсивности
Я+i °о
J CХ)8Г(—s)x
A—i оо
s. A0.72)
Асимптотическое разложение при % <^ 1 имеет вид
Iv = [е»т*х*/6яйа] [1 -55 /3Х/16 + Ю5Х2/2 ...] A0.73)
и при х > 1
.... A0.74
Обратим внимание, что при х > 1 h растет с % быстрее, чем для
частиц со спинами 0, 1/2. Такая ситуация характерна для квантовой
электродинамики векторной частицы.
10.4. Поляризационные свойства магнит о-
тормозного излучения. В§3 были рассмотрены поля-
поляризационные свойства излучения частиц большой энергии в клас-
классической теории. Здесь рассмотрим поляризационные эффекты

в квантовой теории*. Сначала получим выражения для поляриза-
поляризационной матрицы плотности, просуммированные по спинам ко-
конечных электронов и усредненные по спинам начальных. Восполь-
Воспользовавшись формулами A0.2), A0.4), и A0.6) и учитывая, что dl =
= AadW, имеем
[[ — ie(kx2 — fccJ/еД A0.75)
где
L (t) = [(e + e'J (e* v,) (ev2)]/4e'2_[(e-8'J (e* v2) (eVl)]/4e'2 +
+ [(e—e'J(e*e)(v2Vl —l + l/Y2)]/4e'2. A0.76)
В этих формулах мы отбросили члены ~ 1/у3; ef = e—На;
е'= к р'2 + т2; р' = р—ftk; индексы 1, 2 означают зависимость
от времени ^—-t—x/2; t2 = t-j-x/2.
Исходя из A0.75), можно представить поляризационную мат-
матрицу в виде
dllk = (е2/4л) [<Pk/Bn)*} $Л1№(т)ехр [ — i e (kx2—kx1)/eJ], A0.77)
где
Lih = (l +u/2J (v1-n)i(v2-n)h-u*(v2-n)i(v1-n)h/4 +
ui{bih—nink)(v2v1~ 1 +l/Y2)/4. A0.78)
Тензор dlik является поперечным («*/,-& = tih hh = 0), по-
поскольку выражения (пуг— 1), (nv2— 1), возникающие при свертке
в первых двух членах L^ согласно формуле A0.9), пропорциональ-
пропорциональны полной производной и, следовательно, обращаются в нуль при
интегрировании по tj; и т, третий член в Lih явно поперечен.
Проводя разложения по степеням т [см. A0.10) и A0.11)] и вво-
вводя углы |3 иг|з [см. B.7), рис. 3], находим
( +/ 0 +)) / Р^+Р С +/ ( +)) /\.
j7—рA +«2/2A +«)) дат/2 Р2 — («2/8A+«))ш2т2 /'
A0.79)
Если ы == i^co/(e — %<а) -*¦ 0 (переход к классическому пределу),
то L переходит в формулу C.14). Проводя интегрирование по
относительному времени т с помощью формул C.17), имеем
(ср. A0.20)]
dlik = (е*/4л3) /2/3 (Vl —nv/a»)(l +u)cPkFik, A0.80)
* Ряд результатов для магнитотормозного излучения с учетом поляриза-
поляризации фотонов и спиновых состояний электронов приведен в книге [92], в кото-
которой дана подробная библиография.
€ Зак. 979 161

где
-i [1 + u2/2 A +u)] /2 A - nv) tf2/3 (g)};
A0.81)
1 — nv = (ф2 + P2)/2, ? задается формулой A0.14), при и-*- 0
A0.81) переходит в C.22).
Как уже отмечалось, чтобы получить наблюдаемые характери-
характеристики (излучения с длины когерентности), необходимо провести
интегрирование по азимутальному углу т|з, которое, как и раньше,
удобно проводить одновременно с интегрированием по т. Переходя
к переменным х, у —[см. A0.15I и выполняя интегрирование, как
в A0.16), получаем
dI =_?!_._?!_. ^±^_ , G
lh 12№> wh» A^мK Г h
где
Gri = Ц2 /С1/з (л) +«2 )
G22 = Э2 /С!/з (Л) +«21*2 [/С!/з (Л) + /СВ/з (т})]/4 A +ы); A0.83)
Здесь tj дается формулой A0.18). Параметры Стокса, определяемые
согласно формуле A.72), для поляризационной матрицы A0.82)
и A0.83) имеют вид
где
G = G11 + G22 = fx2[l+«2/2(l+u)] [K\,i + Kllz\-K\izlf. A0.85)
При и -*- 0 формулы A0.82) и A0.84) переходят соответственно»
в C.37) и C.38).
При % С 1 [см. анализ после формулы A0.29)] все выражения
переходят в соответствующие классические выражения (с малыми
квантовыми поправками, представляющими ряды по %, вычисление
которых проводится так же, как соответствующий расчет в разде-
разделах 10.1 и 10.2 для полной интенсивности и вероятности).
При % >, 1 поляризационные свойства излучения отличаются от
классических. Прежде всего излучение не является полностью по-
поляризованным (?2 <С 1). В определенном смысле это связано с тем,.
что мы считаем электроны неполяризованными, а при % >, 1 спи-
спиновые свойства частиц имеют существенное значение (при % <^ 1
спиновые члены имеют порядок и2 ^ 1). При % j> 1 основной вклад
162

дает область ц~1 и излучаемые фотоны частично эллиптически
поляризованы, причем при fi = 0 исчезает круговая часть поляри-
поляризации. В целом при п~ 1 отличие поляризационных свойств от
классических в основном количественное [см. обсуждение после
формулы C.38)].
Иная ситуация возникает при % > 1 и и > 1. В этой области,
где интенсивность меняется как и—2/3 по сравнению с основной, а
фотоны уносят большую часть энергии частицы %а > е — %а, по-
появляются новые качественные особенности* поляризации. В част-
частности, поляризация является только круговой:
X
A0.86)
Наконец, проводя интегрирование по углу р, что удобно сделать
по формуле A0.80) совместно с интегрированием по ij), получаем:
2U/3JC
AU.B7)
2u/3%
+ [ -1 + uV(l + и)] К2,з Bu/3%) j.
При и -»- 0 эти формулы переходят в C.51).
Проведя интегрирование по и, имеем
/- = /« — /и = I*2 ™2/6 УЗ Й2) [2 A + 1/х2) Ф2р B i/3x)/9 +
,Bi/3%) —7]/3/12я--1/2ях1;
* = I* A0.88)
где /е дается формулой A0.57). Как и в классической теории, при
интегрировании по углам круговая поляризация исчезает. Степень
линейной поляризации зависит от и, % в A0.87) и от % в A0.88).
При х 4С 1 выражения переходят в соответствующие классические.
При х 3> 1. учитывая, что основной вклад дает область и ~ 1, и
* Более подробно эта область обсуждается прн рассмотрении излучения
поляризованных электронов.
6*
163

используя разложение /Г-функции в A0.87) при малых аргументах
C.24), имеем
$
о
= (е2т2/4я 27Й2) Г B/3) (ЗхJ/3. A0.89)
Тот же результат получается, если применять асимптотики функ-
функций Ф в A0.88) при х~^> 1. Воспользовавшись формулой A0.53), име-
имеем при % ^> 1
Si = ?, = 0; Б,- /_//. = 9/32. A0.90)
10.5. Свойства излучения поляризованных
электронов. Рассмотрим излучение в случае, когда начальные
электроны поляризованы, а по спиновым состояниям конечных элек-
электронов проведено суммирование.
Используя формулу A0.6), где gf = ?,, а по ?/ проведено сум-
суммирование, имеем
где первый член — излучение неполяризованного электрона, а вто-
второй — зависящая от спина добавка.
Представим стоящий в формуле A0.77) тензор Lfk в виде
L?k = Lth + L}k, A0.92)
где Vtk — поляризационная матрица для электронов со спином ?,.
причем Lth дается формулой A0.79) (член, описывающий излучение
неполяризованных электронов), a l}ik — зависящие от спина до-
добавки, для которых имеем из A0.91):
1Л. = L\x — Ц% = — i wxu (gvs)/2y;
A0.93)
где (gvs)—смешанное произведение (?[vs]), s = w/a).
164

Выполняя интегрирование по относительному времени т, при-
приходим к формуле A0.80) с Fpik = Fih + F)k, причем зависящие
от спина добавки к Fik A0.81) имеют вид:
^
A0.94)
/* =F\, -F\, = [ -у 2 A - nv) и (gvs) К2/з (g)l/V;
*?. + 1 = t/2(i-nv) и (gs) K2/3 (E)] /v;
^ l +«)J-2u B+u)(l-nv)/(l +«)] (gv)+
Интегрируя по углу if), что удобно сделать в формуле A0.93), про-
проводя интегрирование одновременно по т, и т|з, получаем для (fik =
= G^ + G?й в формуле A0.82) зависящее от спина добавки к
A0.83):
A0.95)
-Fvs)/vl /С1/3 (Л) Кцг (т|)/A + и);
Gi = G^-GS, = -|ш (gvs) /C1/8 С-П) /C2/3 (Л)/У!
-GSi = -i {[«B+u) ц2[/Cf/з (i\)+Kl,zШ/2A +«)-
1 +«)]Fv)-uP(gvs)/C?/3(T|)/Y(l
причем параметры Стокса | определяются соотношениями
[ср. A.72)]:
A0.96)
где Gp = Sp (Of*) = Gf 1 + G?2 = G + G^.
В случае ц « 1 w ~ x « 1 и все члены, содержащие вектор по-
поляризации g (и имеющие порядок и ~ х ^ 1). можно опустить
(естественно, члены, зависящие от спина, содержат дополнительную
степень %). В случае % > 1 основной вклад в изучение дает область
и~ 1 и члены с ы становятся существенными. В частности, при
|3 = 0 круговая часть поляризации излучения не обращается в нуль
и становится пропорциональной величине проекции спина электро-
электрона на направление движения (gv).
В области 1 << и ? х. которая, как отмечалось, дает вклад в из-
излучение порядка х~2/3 п0 сравнению с основной областью и ~ 1,
165

имеем из A0.96):
?/8 (Л) +/CS#8 (л)) +2p/Ci/3 (Л) ^2/з (Л)/!*] /5;
(Ю.97)
где
G = 2GP (и » 1}/Ы1х2 =
+ /С!#8
Видно, что в рассматриваемом случае спиновые характеристики в
значительной степени определяют поляризацию излучения. Напри-
Например, в случае, когда вектор спина параллелен скорости v и ?2 = 1
(с релятивистсткой точностью |v| = 1), имеем:
6i-E« = 0; ?i-Fv)=±l,> A0.98)
так что излучение полностью поляризовано по кругу.
Если gv = 0, то излучение является частично эллиптически по-
ляризованным, причем степень линейной поляризации |/ 1г2 + ?32
и степень круговой поляризации ?2 следующие:
= B/|*v) ^Ci/8D) /Ca/s (Л)/[/С!/а 1Л) +
, = Bp/|*)/Ci/з (л) К2/з (ц)/[К\/г (Л)'+ M/r /1- A°'99)
6 =/I5 = [2/С1/з(Л)/С2/8(Л)//С1/8(Л)+М
где угол ф характеризует направление линейной поляризации
[см. A.68)] и отсчитывается от направления ускорения в плоскости,
перпендикулярнрй v; | — степень поляризации излучения.
Проинтегрированное по всем углам выражение для поляриза-
поляризационной матрицы плотности имеет вид:
dl = (е2/4я2) (т2/УЗ Щ (uduftl +ы)8) X
X
dli,—dlu= -1(е2/4я2)(яг2//3 Й2) х
A0.100)
2«/3Х
—«(gvs)/Ci/3Bu/3x)/(l+u)];
[^ — (е2/4л2) (m2lY3 ^2) (udu/(l +иK) X
)-«Fve)/Ci/8Bu/3x)l;
Х(ы2
166
«L) $ /Сб/8
L2H/3X
(gv).
J

При х ^С 1 основной вклад в излучение дает область и ~ %, и по-
поскольку все зависящие от спина члены содержат лишнюю степень и,
то это означает, что в основной области они содержат дополнитель-
дополнительную степень %. Такое же утверждение сохраняется и для проинтегри-
проинтегрированных по частотам (и) выражениям для интенсивности.
При х ^> 1 основной вклад в излучение дает область и ~ 1. Раз-
Разлагая в A0.100) /Cv-функции в области малых значений аргумента
C.24), получаем
dl = ((?/8п2)т2 Г B/3) (ЗхJ'3 и1'3 [1 + A +
A0.101)
dliz—dl21 = —i (ез/вя2) m2 Г B/3) CХJ'3 «4'3B +
+ u)(gv)du/[K3ft2(l +u)*].
Следовательно, при % ^> 1 параметры Стокса
A0.102)
Проинтегрировав A0.101) по и, найдем главные члены разложения
величин по обратным степеням %:
/ = (ег/я)(8ГB/3)/36)(«
/_ = (е2/я)(ГB/3)/4-33)(т2/Й2)(ЗхJ^3; | A0.103)
I12-I21 = -i (е*/2я)A1Г B/3)/36)(/тг2/Й2) CХJ'3 (gv),
так что параметры Стокса:
При ?v =0 приходим к A0.90), при ?v = ± 1 степень поляризации
излучения I = YY = 1^565/32 « 3/4.
Обсудим теперь полученные выше результаты с точки зрения
инвариантности относительно дискретных Р- и Г-преобразований.
Свойства входящих комбинаций приведены в табл. 3.1. Эти свойст-
свойства очевидны, специального комментария требуют, пожалуй, только
свойства параметров Стокса ?г. Дело в том , что мы вводим под-
подвижные оси поляризации s = w/ш и [ns] [см. B.11)], причем комби-
комбинация вида (es) (e [ns]) меняет знак при Р- и Г-преобразованиях.
Поэтому параметр Стокса |ь связанный с компонентами поляриза-
поляризационной матрицы р12 + р21, обладает указанными в таблице свойст-
свойствами. Параметр Стокса |3, связанный с компонентами рп — р22,
очевидно, не меняется при Р- и Т-преобразованиях, как и комбина-
комбинации (es) (es) и (ens) (ens). Параметр Стокса ?2 — среднее значение
спиральности, это определяет его свойства.
167

Свойства величин
Р- и Т-преобразова-
Т-преобразованиях
С принятой точностью (ns)=ij5, (nvs)=p и легко убедиться в том,
что в полученные выше формулы A0.79)—A0.104) входят комби-
комбинации величин в согласии с табл. 3. Обсудим в качестве примера
формулы A0.100). Интенсивности dl и d/_ A3) должны быть Р, Т
четны, так что спин в них входит только в виде Р, Т четной комби-
комбинации (gvs), комбинация dl12 + dl21 (lt) должна быть Р, Т нечет-
нечетной (единственная возможная комбинация gs), а комбинация
Т а б л и ц а 3 d/i2 — dl21 (Б,) Р — нечетна, Т — четна
(комбинация gv).
10.6. Поляризационные
свойства излучения ска-
скалярных частиц. Как уже отме-
отмечалось ранее выражения для интенсив-
интенсивности и вероятности излучения скалярных
частиц получаются из соответствующих
формул для электронов, если в последних
отбросить члены с и2. Такая же ситуация
имеет место и для поляризационной мат-
матрицы излучения скалярных частиц. Если
в формулах A0.79), A0.81), A0.83), A0.84)
и A0.87) отбросить члены с и2, то они по
форме будут совпадать с соответствующими
классическими выражениями. Отличия
имеются только в показателе экспонен-
экспоненциального множителя в A0.79) (фактор е/е^)
и в аргументах /Cv-функций [где %ы/е -> %а/(е — па)], а также
в общем множителе (фактор е/еу). С учетом этого обстоятельства
для параметров Стокса до интегрирования по частоте фотона можно
пользоваться классическими формулами.
Для проинтегрированной по частоте интенсивности имеем
hi — hi = 0; /s = hi + hi найдено выше [см. A0.64) и A0.67)],
а /_ для скалярных частиц такое же, как для электронов [см. A0.88)
и A0.89)]. При х > 1 имеем
Величина
Cv
С [vi]
n s
n[vs[
ll
h
p
—
4-
4-
—
—
4-
T
4-
4-
_
4-
^=1г = 0; Б, = /_//. = 1/2.
A0.105)
§ 11. РОЖДЕНИЕ ПАРЫ ФОТОНОМ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
11.1. Метод рассмотрения. Развитый в § 9 метод
рассмотрения процесса излучения во внешнем поле можно без труда
обобщить для рассмотрения других электромагнитных процессов.
В низшем порядке теории возмущений по взаимодействию с полем
излучения такими процессами являются рождение пары фотоном
и однофотонная аннигиляция пары во внешнем поле.
Матричный элемент процесса рождения пары имеет вид [ср. (9.6)].
l — i(ot\»M(t)dt\q>, A1.1)
168

где
М (t) = ехр (i Mi) (l/YW) V+ (P, Ж) [ej (P, Ж) exp (i kr)/2 +
+ exp (i kr) ej (P, — Ж)/2] Wj (P, — Ж) A/УЩ exp (i Щ. A1.2)
Здесь в электромагнитной вершине рождается частица [с положи-
положительной частотой Yg (P, Ж)\ и античастица [с отрицательной часто-
частотой *PS (P, —Ж)]; \q>,\ <7> — вектора состояния, описывающие
волновые пакеты частицы и античастицы; s, s — индексы спиновых
состояний.
Пронося оператор ехр(Щ^) в A1.2) направо, что соответ-
соответствует переходу к гейзенберговским операторам (exp (ifflt) A =
= ехр (Ш) А ехр (—\ЖГ) ехр(Ш) =A(t) exp (Ш)), получаем:
М (t) = -j=- Ys+ [P (t), Ж) \ {ej [P (t), Ж] ехр [i kr (/)] +
+ ехр [ikr @1 eY/ IP @. —^1} Yf (P @, -Я?):^=-ехрBШ). A1.3)
Перенося в выражении A1.3) ехр [ikr (t)] направо с помощью соот-
соотношения (9.14), имеем
М (t) = —^- Ys+ (Р) -L [ej (Р) + ej (-P')j VS(~P') x
X A//Ж')ехр [i kr (t)] exp {2\Жг), A1.4)
где
P' = k—P; Ж' = Ж{к—Р); Р =
Р' = (Ж(к—P), k—P)=(^', P').
Нас будет интересовать^вероятность перехода, просуммирован-
просуммированная по конечным состояниям родившейся пары. Процедуру сумми-
суммирования будем проводить в два этапа. Прежде всего просуммируем
по конечным состояниям античастицы, воспользовавшись условием
полноты 21?><?| = I Гер. (9.12)], тогда получим
A1.5)
Рассмотрим входящую в это выражение комбинацию [ср.
(9.15)]:
Lp (t) = ехр (—i сот) ехр (i kr2) ехр B\Жх) ехр (—i kr^, A1.6)
169

которую мы представим в виде
Lp (т) = ехр(—i сот) exp (i Жх) ехр (i krx) exp (i Жх) ехр (—iki^) =
= exp [i (Ж — <о)х] ехр [\Ж (Px — k)t|, A1.7)
где мы воспользовались тем, что ехр (\Жх) — оператор сдвига
по времени, а ехр (ikr) — оператор сдвига в импульсном простран-
пространстве. Дальнейшее рассмотрение аналогично проведенному в § 9.
Продифференцировав A1.7) по т, находим
dLp/dx = i exp [i (Ж—со) т] [Ж~а> + Ж(Р1—к)] ехр \\Ж (Рх—к)т] =
к)]Ьр(х). A1.8)
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия Lp @) = 1,
имеем
J M[P(t)-k]dt . A1.9)
где Т — оператор хронологического произведения.
Далее следует учесть, что (как и в § 9) мы будем рассматривать
случай, когда родившиеся частица и античастица являются ультра-
ультрарелятивистскими. Ниже убедимся, что при #/#„ < 1 только такой
случай представляет физический интерес. В такой ситуации основ-
основной вклад в вероятность процесса дает область скоростей конечной
частицы, для которой 1 — nv ~ 1/у2, где п — направление движе-
движения начального фотона. Физически это означает, что родившаяся ча-
частица движется в начальный момент времени в направлении движе-
движения фотона, а взаимодействие фотон-частица остается существен-
существенным, пока частица не повернется на угол ~ 1/у, так что картина
весьма похожа на картину магнитотормозного излучения, а взаимо-
взаимодействие на длине поворота на угол — Ну соответствует излучению
с длины когерентности. Учитывая, что для реальных фотонов
k* = 0, имеем [см. (9.20) и (9.23)]
Ж(Р—k) = /(k— PJ+m2= /(со—
= (со—Ж)[\-\-кР1{а—Ж)+ ...]. A1.10)
На основании аргументов, которые привели нас от формулы (9.22)
к формуле (9.25), имеем
Lp(T)=exp{i^(&A:2—kXl)/((o—Ж)}. A1.11)
Подставляя этот результат в формулу A1.5) и переходя к классиче-
классическим средним [см. (9.27)], получаем вероятности рождения пары
170

в единицу времени:
dW=*dwldt = [ad3 pl{2nf со] J dx exp [i e (йлс,— йл^/е,] х
х«,(Уйр(У.- (H-12)
где
^ /^7 (ПЛЗ)
= й)—е; е'= ]/р'г + тг; р' = к—р.
В формуле A1.12) проводится суммирование по конечным со-
состояниям частицы с учетом того, что 2~»- &Р- К формулам A1.12)
q
и A1.13) можно прийти от формул (9.27) и (9.28) с помощью правил
подстановки р' -»- р (замена обозначений для выходящей частицы);
р -»—р', &-> k, s' -»- s, s->-s (правило подстановки); ^ «-> tf2
(переход к однотипной записи). При замене р—>—р' Y- (р) -*¦
-*¦ W- (—р') (переход от входящей частицы к выходящей античасти-
античастице, при такой замене волна с положительной частотой ехр (—хрх) -*¦
-*¦ ехр (ip'x), т. е. волну с отрицательной частотой), так что W- (—р')
описывает выходящую античастицу.
Для частиц со спином 1/2 выражение для R (t) [см. A0.3)] имеет
вид
R @ = mus (р) ещ (— ff)/V~eP =
и для частиц со спином 0 [см. A0.58)]
R(t) = (ep—ep')/2y7s~'. A1.15)
Наконец, отметим, что в соответствии с результатами § 9 раз-
развитый подход пригоден для рассмотрения процесса рождения пары
фотоном в любом квазистационарном, не слишком неоднородном
[см. C.1), C.2)] поле (фактически в любом макроскопическом элек-
электромагнитном поле).
11.2. Рождение пар частиц поляризован-
поляризованным фотоном. Рассмотрим рождение электрон-позитронной
пары* поляризованным фотоном. В качестве векторов, на которые
будем проектировать поляризацию фотона, выберем единичные век-
векторы, перпендикулярные* направлению движения фотона п:
Ex = E-n(nE). A1.16)
* Эти вектора зависят от времени. Но для полей, удовлетворяющих не-
неравенствам C.1), C.2), с принятой точностью их можно считать постоянными
в течение процесса.
171

Подставляя A1.14) в A1.12), выполняя суммированяе по спи-
спинам родившейся электрон-позитронной пары, проводя разложение
типа A0.10), A0.11) и переходя к углам г|з, |3, получаем для вероятно-
вероятности рождения пары выражение
00
e(e) = l — a/BnJ]-[d3p/«>]-№/Zf} J dx{ |ее212 [г|зг +
— оо
(е2 + ef) да2 т2/(8ее,)] +1 ее2 |2 [02 + <о2 да2 т2/(8ее,)] +
+ (е* еО (ее2) ft [-ф—(е2 + е?) art/(8eey)] +
+ (е* е2) (eej) ДО + (е2 + ef) шт/(8вву)] 0} х
Xexp{ieoT(l— nv + K»8T*/24)/ey}, A1.17)
где углы Р, ij), характеризующие движение электрона, вводятся так
же, как для случая излучения. Форма записи в A1.17) эквивалентна
записи в виде поляризационной матрицы, причем коэффициенты
при (е*е,) (ее*) суть компонента (ik) поляризационной матрицы.
Формулу A1.17) можно получить из формул A0.77) и A0.79) за-
заменой A + и) -> г/tf, и2 -*¦ ш2/е/, что является следствием упо-
упоминавшегося выше правила подстановки, а также d3k —*- (Pp. Усред-
Усредняя по поляризациям фотона, имеем
(e2 + ef) X
X w2 T2/Deey)l exp {i ешт A —nv + w2 T2/24)/e/}. A1.18)
Эту же формулу можно найти из A0.12) с помощью тех же замен:
Проинтегрировав по относительному времени т и азимуталь-
азимутальному углуф [см. A0.15) и A0.16)], найдем для вероятности рождения
пары поляризованным фотоном во внешнем поле в единицу времени: t
dWe (e) - [4/Зп2] • [ат2/<ои] dxdyctf х {| ев! |г ch2 x [ch2 уК\/з (ч) +
+ I ee212 [ch2 x [sh2 уК\,г (ц) +ch2 уК\,ь (л)! +
—i [(е* е,) (еег)—(е* е2) (ееО1 X
где
•к = fffej./ff0 т =е Y\ F^v ^v |2/m3;
ър т]=4сп2г/-сп3*/3и;
172
A1.20)

Усредняя по поляризациям фотона, получаем
dWe = [2/Зя2] • [am2/шх] dx dy F (х, у) ch3 x, A1.21)
здесь
]. A1.22)
Эта формула следует также из A0.17), если учесть, что и = ю%/е
с помощью указанных выше замен. Такое же соотношение и между
формулами A0.82), A0.83) и A1.19).
Выражение A1.19) удобно представить через параметры Стокса
фотона % [ср. A.75)]:
l+&), A1-23)
где
Я3 = [sh2x/Ci/з (ц) —ch2 хКЬ/з (vi)]IF (*>
Вычисление спектра конечных частиц производится аналогично
расчету, проведенному в § 10 [см. A0.24) и A0.25)], в результате
получаем
(ee1J|Dch2r/-l)/C2/3(i)-
2я УЗ со cha у
- J Кь/з (х) dx 1 + (ее2J ГDсЬ2 у + 1) Кцг (I)-
|Лс Uy, (П-25)
где
| = 8сЬгг//Зк, — схэ<г/<схэ. A1.26)
Заметим, что, как и в случае магнитотормозного излучения, после
интегрирования по полярному углу вылета конечной частицы пропа-
пропадает зависимость от циркулярной поляризации фотона. Выражение
A1.25) находим также из A0.87) с помощью указанных выше за-
замен, причем udu/(l + иK -*¦ dy/2 ch2 у.
. Усредняя по поляризациям фотона, получаем
173

Для выполнения интегрирования по спектру следует в интегра-
лах по у, содержащих J Кь/зйх, провести интегрирование по частям
и воспользоваться рекуррентным соотношением ([52], с. 984])
K5/3(z)=/Ci/3(z) + 4/C2/3(z)/3z. A1.28)
В результате находим полную вероятность рождения электрон-пози-
тронной пары поляризованным фотоном во внешнем поле:
We (е) = -2Ц?- 1 {(ее^2 [C-5 th2 у/3) К2/з (©-
У Злю g
—16 sh2 yKi/з (?)/Зх] + (еег)а [E— 11 th2у/3) К2,з (?)—
— 16sh2r//Ci/3(i)/3x]}dr/. A1.29)
Наконец, усредняя по поляризациям, имеем
U7e= 4am2//~3mo J [(I —2th2 у/3)К2/з (?) —
A1.30)
Рассмотрим полную вероятность в зависимости от значений пара-
параметра и. При и« 1 и при любых у | = 8 ch2 у/Зк ^> 1, поэтому во
всей области изменения у можно пользоваться асимптотическим
разложением /Cv B) при г ^> 1 C.24). Тогда интегралы в A1.19)
и A1.30) легко вычисляются, если учесть, что основной вклад в них
дают значения у < 1, т. е. можно разложить входящие гиперболи-
гиперболические функции. В результате находим ряды по степеням к, глав-
главный член которых для поляризованных фотонов
We (е) = (am2 х/а>) A/8) 1//2 ехр (—8/Зх)
(ее2J], х«1 A1.31)
и для усреднений по поляризациям вероятности
Й7е=[з/ат2и/Aб/2со)]ехр(—8/Зх). A1.32)
В области и <^ 1 вероятность процесса экспоненциально мала.
Такая ситуация характерна для всех процессов с конечным скач-
скачком квадрата 4-импульса системы (инвариантной массы системы).
Проведем с этой точки зрения сравнение процесса рождения пар
с процессом излучения во внешнем поле. Для процесса рождения
пары скачок 4-импульса системы Ар = (р + р'J — k2 = {р + р'J,
(Ар)мин — 4/п2, в то время как для процесса излучения Д? = (р' +
+ k)* — р2 = 2kp' = 2е'<о A — nv')«mo (I + у'Ч2Iу'. Итак,
174

при заданной частоте (A'W = та/у'. Если при % < 1 излучае-
излучаемые частоты E.43) <о ~ щуг<^ е, то у' ~ у и (Д?)мии « (Л?)мин.
Так как скачок инвариантной массы обусловлен передачей импульса
полю, то из приведенных соображений следует, что когда передача
импульса полю (или скачок инвариантной массы) становится зна-
значительным, вероятность процесса при х « 1 (х << 1) экспоненци-
экспоненциально подавляется (в частности это
относится к излучению фотонов
с большой частотой). ~>
При % > 1 и у ~ 1 имеем
dWJdy ~ и2/3 и при ch2 у ~ и ^
dWeldy ~ 1, так что основной ^
вклад в величину We дает область §
у ~ 1 (аналогичная ситуация ^
имеет место и в магнитотормоз- ^
ном излучении). Воспользовавшись
асимптотическим разложением
/Cv-функций C.24) и проводя со-
ответствующие интегрирования, \
получаем вероятность рождения Рис. 27. ^Вероятность рождения
пары поляризованным фотоном: паР в единицах атН1Н0.
и для усредненной по поляризациям вероятности
_5ГE/6)B/3)'/3.
~ ИГ G/6)
(".33)
AL34)
Функция We (x)/(amH/H0) приведена на рис. 27. Эта функция до-
достигает максимума, равного 0,11 при и ж 11.
Рождение пар скалярных частиц можно рассмотреть аналогич-
аналогично изложенному выше с учетом того, что на каждом этапе указы-
указывается способ перехода от формул, описывающих магнитотормоз-
ное излучение (см. раздел 10.6), к формулам для рождения пар,
поэтому ограничимся здесь только результатом. Вероятность рож-
рождения пары скалярных частиц поляризованным фотоном имеет вид:
A1.35)
\ A1.36)
U ' A2'-
2-8hxch«*1/3X2
38
175

Здесь введены те же обозначения, что и в A1.20). В этом случае
к2 = 1, и при t = Л, вероятность рождения пары максимальна:
dWs (к) = 2WS при 1 = — к величина dWs (—к) = 0.
Асимптотические значения полной вероятности [ср. A1.32)
и A1.34)] рождения пары скалярных частиц неполяризованным
фотоном:
W W/6(x«l); 1
11.3. Однофотонная аннигиляция э л е к -
трон-позитронной пары. Рассмотрим процесс, об-
обратный процессу рождения пары во внешнем поле, — однофотон-
ную аннигиляцию пары, возможную также только во внешнем
поле. Матричный элемент этого процесса — эрмитово сопряженный
от Ufi A1.1). Входящая в выражение для вероятности процесса
форма Ufi Ufi содержит комбинацию \q > < q\. Воспользуемся
искусственным приемом
A1.39)
где Р — оператор импульса, после чего выражение для вероят-
вероятности сводится к среднему по одночастичным состояниям, как A1.5).
Поскольку рассматривается однофотонная аннигиляция пары
частиц, движущихся по криволинейным траекториям в магнитном
поле, затруднительно описать этот процесс (в отличие от процесса
однофотонной аннигиляции в кулоновском поле) в терминах сече-
сечений. Удобным способом здесь является введение времени жизни
частиц, движущихся в среде античастиц в магнитном поле (или на-
наоборот).
Все выкладки с операторами, очевидно, тождественны с проведен-
проведенными для случая рождения пары фотоном, так что можно исходить
непосредственно из формулы A1.12), согласно которой вероятность
процесса однофотонной аннигиляции может быть записана в виде
ОО
dWa = [а/BяJ] • [d3?/<o] j dx exp [—ie {kx2—kxj)/ef] x
— oo
X^(yi?o(^)S(p + p'-k). A1.40)
Это выражение можно использовать для частиц с любым спином.
Интегрирование по конечным состояниям фотона сводится к интегри-
интегрированию б-функции. После интегрирования по т получается выра-
выражение, зависящее от характеристик движения электрона. Однако
так же, как в случае магнитотормозного излучения, интерес пред-
представляет вероятность, усредненная по азимутальному движению,
которое, так же как при выводе формул A0.17) и A1.19), удобно
176

проводить одновременно с интегрированием по т. Результат следует
из формулы A0.17), где положим
(И
и учтем, что A1.40) необходимо умножить на BnKn/2nR' (IIR' =
= |w'|, а BяK возникает из нормировки на объем 1/BпK; п —
плотность потока античастиц; множитель \l2nR' учитывает движе-
движение античастиц), а также разделить на 1/4п (усреднение по спину
античастиц и углу). В результате
получаем для времени жизни
= [а/6я] -{[пт4/[е3 е-3
{[(е+е'J+(е2+
A1.42»
(
= A/Зи)-Г(е4-
A1.43)
Рис. 28. Функция / (т]0), описы-
описывающая однофотонную аннигиля-
аннигиляцию электрон-позитронной пары.
причем предполагается, что pz = p sin р < е (рг — проекция им-
импульса электрона и позитрона в системе, где фотон летит перпенди-
перпендикулярно полю). Основной вклад в выражение A1.42) дает область,
когда электрон и позитрон движутся в одном направлении и угол
между их импульсами ~ \1у.
При к < 1 т] > 1 и эффект экспоненциально мал в соответствии
с утверждением, сделанным после формулы A1.32). В частности,
при рг = 0 и s = е'
Ч = тH = 2тН0/ЗеН, A1.44)
и выражение для времени жизни можно представить в виде [61]
где
т = (сш/т)(Я/Я0M/(т,0),
О 1
A1.45)
A1.46)
Функция / (т]0) приведена на рис. 28. Воспользовавшись формула-
формулами C.24), легко получить, что
= [3*РB/3)/2/2'я] Т]П/з, по«1. I ( " У
Вероятность аннигиляции достигает максимума'прие = 0,33 тН0/Н.
177

§ 12. МАССА И АНОМАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
12.1. Д и а г р а м м а собственной энергии во
внешнем поле. В квантовой электродинамике учет высших
порядков поТвзаимодействию с полем излучения приводит, в част-
частности, к перенормировке массы и появлению у частиц аномального
магнитного момента (см. разд. 5.14). Рассмотрим, как модифициру-
модифицируются эти эффекты в присутствии внешнего электромагнитного поля
в низшем (~ а) порядке теории воз-
с\Г\г% мущений по взаимодействию с полем
ryjut/?O излучения*. Вычислим амплитуду,
?О с>}. отвечающую диаграмме собственной
j энергии электрона во внешнем поле
(рис. 29, а). Для простоты положим
. внешнее поле магнитным, хотя факти-
фактически результаты можно будет при-
^ЛДЛ^УЧУЧ.^ЧЛ^У^Ч.
"Рис. 29. Диаграмма собственной энергии электрона во внешнем поле (а)
и диаграммы процессов высшего порядка: рожденные пары частицей (б)
н расщепление фотона во внешнем поле (в),
менять и в произвольном внешнем поле. Переход к произвольному
электромагнитному полю можно совершить также и при тех же
ограничениях, как это было проведено в разделе 9.3.
Амплитуду, соответствующую диаграмме рис. 29, а можно за-
записать в виде
= ie2
x'), A2.1)
где Wg (x) — решение волнового уравнения для электрона во
внешнем поле в состоянии с квантовыми числами q; G (х, х') — функ-
функция Грина электрона в этом поле; Df^v (х, х') — пропагатор фо-
фотона; в низшем порядке по а в качестве DFllv следует взять пропа-
пропагатор фотона в отсутствие внешнего поля DFllv (х — х'). Восполь-
d* x J d* x' Wq (x) у» G (x, x')\yv Vg (*') x
* В § 12 н 13 будем следовать работе [27].
1178

зуемся представлением функции Грина, следующим из ее определе-
определения E.160):
G(x, x') =
xQ>x'o;
A2.2)
и подставим это выражение в A2.1). Вычислим Tqq' для ультра-
ультрарелятивистских фермионов, движущихся во внешнем магнитном
поле, когда применим операторный метод, развитый в § 9. Записав
решения волнового уравнения в операторном виде, проделав не-
необходимые коммутации и распутывание в каждой вершине (х и х'}
и перейдя к средним, как это было проведено для матричного эле-
элемента излучения (9.3), находим для A2.1)
Т% = [ег1{2п?\ 2 J d*fe/(fe« + i e) X
оо
' х J dt j dx [й (E, p,)^ и (Б',р2)й (?'. Pi) 7и и (Б, Pi) Le (т)—
о
—«(E.Pi)Y|1o(E'. -Pi) о (Б'. -Р2)ТдИ(Б.Р^^,(*I. A2.3)
где Le (т), Lp (т) задаются формулами (9.22) и A1.9), в которых
следует перейти от операторов к средним (Ж -»- е, Р -»- р); рх = р (^i);
рг = р (^г); ^ = t — т/2; /2 = t + т/2; р' = р — к. Интегрируя
в A2.3) по dk0, что соответствует переходу к нековариантной теории
возмущений, в которой масса сохраняется, т. е. k2 = 0, но энергия
не сохраняется, получаем
00
T2qq = [ia/BnJ] 2 J (Pk/ti) J Л J Л [п (Б, рг) у»1« (Б', Рг) X
>1)^»(Б'. -Pl)X
x й(Б', Pi) Yn " (Ei, Pi) ^ (t) - u
Xo(E', -P
здесь
L1(t) =
L,(t)±=expj-i
x/2
j
j
j
') •
A2.4)
A2.5)
Если в выражении A2.4) устремить внешнее поле к нулю, та
получающаяся амплитуда Т$ будет точной амплитудой для сво-
свободных частиц, поскольку для свободных частиц операторы импуль-
179

са, взятые в разные моменты времени, коммутируют между собой.
Для частиц в поле эти выражения определены с точностью до
членов ~ &юо/е. Члены в A2.4), не зависящие от внешнего поля,
приводят к перенормировке массы свободной частицы. Здесь будем
интересоваться только добавочным эффектом, связанным с при-
присутствием внешнего поля. Считая, что проведена перенормировка
массы свободной частицы, вычтем из Tffl A2.4) амплитуду для
свободных частиц Г^H, т. е. члены, не зависящие от поля.
Перейдем к вычислению Т1^', ограничившись старшими чле-
членами разложения по 1Ау2. Показатель экспоненты в L2 (т) никогда не
бывает малым, поскольку «большие» члены (е + со) складываются.
Это приводит к тому, что в A2.4) вклад члена с L2 в у2 раз меньше,
чем вклад члена с Llt т. е. член с L2 можно отбросить. Интегрирова-
Интегрирование поав^ A2.5) ведется в пределах 0 ^ ш ^ оо, однако, при
<в > е в показателе экспоненты в Lx отсутствует компенсация,
что так же приводит к подавлению интеграла по т при а > е в у2
раз, следовательно, с принятой точностью можно интегрировать
в пределах 0 ^ ш ^ е. Таким образом, с искомой точностью выра-
выражение A2.4) принимает вид
е
= [i ос/BяJ] J J Л J ©da) J dUh ]dxu (g, ps) Г и (?', p'2) x
E'_ о о
x«(g',pi)Yii«(E,i»L)M*). A2.6)
Как будет видно из дальнейшего, Т$ не содержит расходимостей.
Вычислим Т$ в тех же предположениях, при которых проводи-
проводились вычисления вероятности магнитотормозного излучения (см. § 9
и 10). Подынтегральное выражение в A2.6) имеет такой же вид,
как квадрат матричного элемента излучения поляризованных в на-
начальном состоянии частиц, так что, переходя к двухкомпонентной
записи для входящих в A2.6) спиноров, получаем
и(Р2, Г)« (Pi. E')?i.«(Pi. Е) =
(?), A2.7)
где
). A2.8)
Из A2.7) находим
^о + 1\?, A2.9)
где первый член не зависит от спина. Найденное выражение совпа-
совпадает с вычисленным выше квадратом матричного элемента A0.91).
Отметим здесь однозначное соответствие коэффициентов при ? и а
в A2.7) и A2.9).
180

Явный вид членов No и N был получен выше [для не зависящей
от поляризации части NQ A0.12) и для зависящей от поляризации
части ?N, Z.S в A0.93)]. С учетом этого можно записать A2.6)
в виде
ОО ОО
dT^ldt = [ — ае/2я2 %] J udul{\ + иK J dQ, J dx x
X exp { —i uz {x+x3/3)/%}{iz1'3
Здесь
A2.10)
= [2y2A—
= [2y2A
; s = w/a>; n = k/co;
В этой формуле мы перешли к новой переменной т ->- 23/2 A —
— nv) x/w и опустили члены, обращающиеся в нуль при интегриро-
интегрировании по углам. Разобьем Т$ на два члена:
A2.11)
и проведем интегрирование по т, воспользовавшись формулами
C.17), а также следующими соотношениями:
J dxxcos[3a(x + ж3/3)/2] = L2/3 (a);
о
оо оо
j* dxsin [y" (^ + *3/3)] = 2/За— J dxx2 X
A2.12)
где функции Li/3 (a), L2/3 (а) выражаются через функции Kv
и функции Бесселя и Ангера Jv B) ([52], стр. 1002):
L2/3 (a) = A /3) {K2/3 (а) +2я [ J2/3 (ia)—J2/3 (ia) -f-
A2.13)
181

В результате получаем для Т^ и
lm Т[2) = [ —ае
X [1+ы
Re Г<20> = [— ае/Bл2
я2 %)] j udu/(l + uf JdQz1/3 x
+ 2u + u2)) Ki/3Buz/3%);
00
J udul(\ + uf J
x
00
= [ае/Bя2Х)] J u2dul{\ + «)
uzf3%) —
A2.14)
-iK2,3Buz/3%)/Y~3}.
Интегрирование по углам в выражениях для Im Tq2), Т[ } будем?
проводить так же, как при вычислении вероятности магнитотормоз-
ного излучения [см. A0.22) и A0.23)]. Если направить ось 3 по
скорости v, то интегрирование по азимутальному углу q> выполняет-
выполняется тривиально, поскольку подынтегральное выражение от q> не
зависит, а для интегрирования по углу ft перейдем к переменной
z = [2у2 A —nv)]3/2, которая с релятивистской точностью меняется
в интервале 1 ^ z ^ оо. Что касается выражения для Re 7^2>,
то ввиду недостаточно быстрого убывания Li/з при больших z его
необходимо вычислять в конечных пределах, сохраняя старшие
члены по My. Учитывая, что dQ = 2ndzl{3y2zl/3), приходим к сле-
следующим выражениям:
lm Г{,2) = [—ат/C КЗ пух)] j udul{\ + иK \dzx
х {i +ц_г2/э[1 +A +i)«j}iCI/3Bwr/3x);
оо
ReT^2)= [—ат/Cщ%)] Jшй//A + иK Jdz x
х {[
X
о i _
X [L2/3 B«г/3х) -1*2/3 Bиг/3х)/ / 3].
182

Отметим, что второй член ReT<2) не зависит от поля. Используя
соотношения:
j-(xv
A2.16)
а также формулу A0.32), получаем
= [ama/Fne)] J [E«2 + 7
о
X [-L2#8 Bu/3%) + i/C2/3
+ыK] х
A2.17)
В соответствии с принятым выше условием из формул A2.17) ис-
исключены члены, не зависящие от поля.
Выражение A2.11) для амплитуды dT$ldt через Г*2» и Т%\
определяемые формулами A2.17), удовлетворяет вытекающей из
условия унитарности 5-матрицы оптической теореме (см. раздел 5.15)
в приближении порядка а по взаимодействию с полем излучения:
21m(dT^24di) = W (%), A2.18)
где в правой части стоит полная вероятность излучения поляризо-
поляризованного электрона в единицу времени [см. A0.36)] для не зависящей
от поляризации части и A0.100) для части, пропорциональной
(gvs); в последней формуле необходимо перейти от интенсивности
¦к вероятности с помощью соотношения A0.19).
Перепишем смешанное произведение (gvs) в явно ковариантной
форме.. С точностью до членов более высокого порядка по 1/у это
можно сделать однозначно:
Fvs) = -
= -2m,(gH«)/(mx), A2Л9)
где F^v = ецтр FaP; s» — 4-вектор поляризации [см. (А. 13)].
цо = е/2т; Нд—магнитное поле в системе покоя частицы E.66).
Заметим, что инвариант A2.19) имеет порядок еН0у(?Н)[(т2Ну)=
= ?Н/#, т. е. не зависит от энергии частицы и величины маг-
магнитного поля (не меняется с изменением %).
183

Учтем теперь, что вклад диаграммы рис. 29, а представляет
собой поправку к собственной энергии электрона (см. § 5), т. е.
dT$Idt=—mAM/e.] A2.20)
Подставляя в A2.20) выражения A2.11) и A2.17), получаем зави-
зависящую от поля F^v часть поправки к массе, обусловленную взаимо-
взаимодействием электрона, находящегося во внешнем поле, с полем из-
излучения AM. Представим AM в виде суммы
A2.21)
где только Ат^ явно зависит от ориентации спина электрона. Тогда
имеем:
Am = (am/бя) j [dul(\ + иK] Eи2 + 7и + 5)
х
х[12/зB«/3х)-1*2/зB«/Зх)/}^з]; ¦ A222)
= [—атн-о EНЛ)/(лтзс)] X j udul A + «K X
В системе покоя частицы величину Re Amj, зависящую от ориен-
ориентации спина, можно рассматривать как энергию взаимодействия
аномального магнитного момента, возникшего в результате взаимо-
взаимодействия с полем излучения, с магнитным полем HR:
ReAmt = — ц'EНЯ). A2.23)
Отсюда получаем выражение для аномального магнитного момента
электрона, обусловленного радиационными эффектами (в е2 порядке)
и взаимодействием с внешним полем:
A2.24)
Для того чтобы найти явное выражение для ц', используем форму-
формулу A0.37) и интегральное представление для комбинации Jv(z) —
— /v B), входящей в Li/з и L2/3 ([52], с. 357):
оо
Jv (z)—Jv B) = (sin nv/я) J exp ( — vt—z sht)dt. A2.25)
0
После этого интегралы по и и t в A2.24) можно легко вычислить,
и получим выражение, удобное для нахождения разложений*, когда
* Подобно тому, как это имело место при рассмотрении магнитотормоз-
ного излучения A0.38).
184

параметр % С 1 или % ^> 1. Для аномального магнитного момента
ц' имеем
— 1— 0 + ioo
j
j
_l_0 —ioo
X [(s + 2) (s+ l)/cosa (ns/2)] Г (s/2 + 7/б) Г (s/2 + 5/6). A2.26)
Аналогичные вычисления дают для Am;
{—0+ioo
5 f ds[(s+l)(s+2)/cos2(ns/2)jX
-O-loo
_l_0+ioo
X (Зх)^1 Г (s/2+5/6) Г (s/2 + 1/6) —7 j ds x
l0 i
_l_0 —ioo
X [(s +1) (s + 2)/sin2 (ns/2)j C%У+2 Г (s/2 + 4/3) Г (s/2 + 2/3) +
— 2 -f-O + ioc
+ 5 J <2s[(s + l)(s + 2)/cos2(ns/2)]x
— 2+0 —ioo
r(/2 + ll/6)r(/2 7/6)} A2.27)
ImAm= [—amx/F4K3ji)J(l/2ni) J dsC%)s Cs2 + 3s+ 10) x
— 0 —ioo
X Г (—s) Г (s + 1) Г (s/2 +1 /6) Г (s/2 +5/6) A2.28)
и для ImAmr
— 0 + ioo
1тДтс = [ ат16пУЩ [(gvs)/2nij $ ds C%)s+2 x
— 0 —ioo
X [Г (—s) Г (s + 3)/Г C)] Г (s/2 + 7/6) Г (s/2 +5/6). A2.29)
При X С 1> замыкая контур интегрирования A2.26)—A2.29)
направо, получаем асимптотические ряды по степеням %. Для ано-
аномального магнитного момента имеем
(л'/|ло = (а/2я)[1 — 12х2Aп1/х+С + AпЗ)/2 —37/12) + ...], A2.30)
где С—постоянная Эйлера, С = 0,577...
Для Am имеем
Re Am = Dатх2/3я) (In l/%+ С + (In 3)/2 — 33/16) + ...;!
185

и для Im Д/nj
)(f | а/2 + ...). A2.32)
При х > 1 контур интегрирования следует замкнуть налево,
тогда особенности Г-функций будут находиться прив<0 и получим
сходящиеся ряды по обратным степеням %. Выпишем первые члены
соответствующих разложений. Для аномального магнитного мо-
момента
(х'/(х0 = [аГA/3)/9/3CХJ/3]Х
X {1 + [6Г B/3)/Г A /3)] (Зх)-2'3 +.-}; A2.33)
для Am
Am = [7Г B/3) A — i |/ 3) am/27 У 3] (ЗхJ/3 +... A2.34)
и для ImAm^;
Im Amc = [amY A/3) (ЗхI/3 (gvs)/54] x
2/Н ••-}. A2.35)
Обсудим теперь полученные результаты. Зависящие от поля
поправки к массе задаются формулами A2.22), а аномальный маг-
магнитный момент электрона во внешнем поле — формулой A2.24).
Выражения A2.30)—A2.35) дают представление о величине эффек-
эффектов при % < 1 и х > 1 и наглядно иллюстрируют следующие факты:
1) Re Am > 0 и монотонно возрастает с увеличением х (при
X > 1 Re Am растет как х2/3); 2) Im Am < 0 и |Im Am| монотонно
возрастает с увеличением %, причем при % ^> 1 реальная и мнимая
части Am отличаются только множителем — У; 3) знак Amj опре-
определяется знаком (gvs), |im Amj| возрастает с увеличением х;
4) наконец, аномальный магнитный момент (в. боровских магне-
магнетонах) н//(а0 монотонно падает от швингеровского значения а/2я при
% -> 0 до 0 при х -> оо (рис. 30). Заметим, что при х С 1 разложе-
разложение ц'/цо начинается с члена х2 1П %> чт0 делает ввиду малости х
в реальных условиях чрезвычайно затруднительным наблюдение
этой поправки.
В скрещенном внешнем поле |Е| = |Н|, ЕН = 0 инварианты'
/ = g = 0 E.41). Проводившееся разложение по степеням 1/у
в инвариантном виде соответствует разложению по f/%. И поскольку
в скрещенном поле / == 0, то для такого поля приведенные выше
результаты являются точными. Расчет радиационных эффектов
в скрещенном поле с использованием точных волновых функций был
проведен в работе [88].
186

12.2. Определение радиационных поправок
во внешнем поле с помощью дисперсион-
дисперсионных соотношений. Рассмотрим полученные в предыдущем
разделе результаты с точки зрения аналитических свойств входящих
функций. Формулы A2.12) справедливы при а > 0, так же как и за-
записанные в форме A2.12)
интегральные представления
Kv функций C.17). Для того
чтобы рассмотреть Am, Amj
A2.22) при комплексных зна-
значениях х, необходимо вер-
вернуться к интегральным пред-
представлениям Lv и Kv Отме-
Отметим, что при цыводе формул
A2.22) были использованы
только рекуррентные соот-
соотношения для L4, Ky (спра-
(справедливые при любых зна-
значениях аргумента) и не пред-
предполагалась положительность
а. Вернувшись к записи Lv, Kv через их интегральные представле-
представления C.17), A2.12), получим из A2.22):
A2.36)
где
A2.37)
Рис. 30. Зависимость аномального маг-
магнитного момента от параметра %•
= (ат/6л) j du[Eu2+ 7u+5IA + иK] М
оо •
= [a/n(gvs)/2ari]. J [udul{\ +uK]f0(l/%, и),
+T3/3)];
Функции fx (z, u), f0 (z, и) — целые трансцендентные функции,
экспоненциально падающие в нижней полуплоскости переменной
г — \/% при Imz-> с». Поэтому на действительной оси реаль-
реальная и мнимая части / (г, и) связаны преобразованием Гильберта
Re/B) = (—
z'—z))dz'.
A2.38)
Точно такие же соотношения имеют место для Am, Amj. Справедли-
Справедливость формулы A2.38) можно без труда проверить прямой подста-
187

новкой. Таким образом, поскольку известен явный вид функции
/ B, и), то сам факт существования дисперсионного соотношения
A2.38) очевиден.
Однако существование дисперсионных соотношений в квантовой
электродинамике следует из весьма общих соображений, отнюдь
не опирающихся на явный вид входящих функций. Поэтому к вы-
вычислению поправок Am, Ат$ можно подойти иным путем, опираясь
на дисперсионные соотношения (см. [88]). При таком подходе ис-
исходным пунктом является процесс излучения фотона электроном,
полная вероятность которого связана с мнимой частью амплитуды
диаграммы рис. 29, а (амплитуда упругого рассеяния электрона
во внешнем поле в е2-приближении) оптической теоремой A2.18).
Указанная амплитуда определяет поправку к массе согласно
A2.20), так что [ср. E.185)]:
1тДуИ = (—e/2m)We(x). A2.39)
Вероятность излучения фотона электроном была вычислена в § 10.
Она состоит из двух частей: полной вероятности Wе (у) A0.36) и за-
зависящей от ориентации спина части We^ (%) A0.100). Подставляя
1ш Д/л и Im Amz, в дисперсионные соотношения A2.38), получаем
Re Am и Re Am , т. е. восстановим явный вид Am и Amj [см. A2.36)
и A2.37)].
В качестве примера найдем поправку к массе скалярной части-
частицы во внешнем электромагнитном поле, исходя из вероятности из-
излучения Wb в форме A0.63). Подставляя в A2.39), получаем
^ Im Ams =
оо
= (— am/6 V 3 я) j [dul{\ +uf] E+2w) Кцъ B«/3x). A2.40)
о
Дисперсионное соотношение A2.38) дает для ReAms
Ь2/зBи/3%). A2.41)
Первые члены разложения ReAms при х« 1 и X 3> 1 сле-
следующие:
A2.42)
ReAms = 2атГ B/3)C^J/3/9 }/3 (х>1). !
Сравнивая эти выражения с A2.31) и A2.34), видим, что поправка
к массе скалярной частицы во внешнем поле только численно от-
отличается от поправки к массе электрона Am.
188

§ 13. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СРЕДЫ ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ
ПОЛЕМ
Область пространства, занятая электромагнитным полем, во
многом аналогична материальной среде. Это проявляется, в част-
частности, в том, что в поле, как и в среде, происходят процессы тор-
тормозного излучения и рождения пар. Поляризация вакуума в при-
присутствии внешнего поля изменяется, при распространении электро-
электромагнитных волн во внешнем поле это приводит к ряду явлений, при-
присущих обычным средам (двойное лучепреломление, излучение Ва-
Вавилова—Черенкова и т. д.). Исследование подобных явлений можно
провести с помощью тензора поляризации nM,v (&)• Расходящаяся
часть П(п> (к), не зависящая от поля, приводит к перенормировке
заряда. Конечная часть дает поправку к внешнему току, а завися-
зависящая от поля часть приводит к дополнительной поправке к току, ко-
который индуцируется падающей электромагнитной волной 6Д,, =
=n?v A4 (q) (ср. § 5.14—5.15), где Лv — поле волны. Добавку б/^
следует дописать в уравнение Максвелла для волны, причем она
аналогична току, наводимому полем в среде. Поэтому дальнейшее
рассмотрение ведется так же, как в макроскопической электро-
электродинамике: вводится тензор диэлектрической проницаемости гц (Dt =
= ZijEj), связывающий индукцию D с полем волны Е, и решается
система уравнений Максвелла*.
Ранее уже отмечалось, что наряду с прямым вычислением (с ис-
использованием функций Грина электрона И фотона в поле) можно
пользоваться также методом дисперсионных соотношений. В разде-
разделе 12.2 мнимая часть изменения массы электрона в поле связывалась
с вероятностью излучения фотона электроном [см. A2.39)]. В данной
задаче будет использована связь мнимой части появляющейся у фо-
фотона массы k2 = со2 — к2 = со2 A — п2) с вероятностью процесса
у-*- е+ + е~ в поле [ср. E.185)]:
lmk2=—aWe, A3.1)
где We определяется формулами A1.27)—A1.30). Вводя пока-
показатель преломления 7г = |к|/со, получаем
lmn2=We/(o.
Аналитические свойства функции п2 такие же, как у функций Д, /„,
A0.47), т. е. я2 не имеет особенностей в нижней полуплоскости ком-
* Поляризация вакуума внешним полем рассмотрена в пионерской рабо-
работе Швингера [104], исходя из результатов этой работы Мингуззи [72, 73] провел
прямое вычисление тока б/ , индуцируемого совместным действием слабого
переменного поля и постоянного поля, являющегося в определенной системе
чисто магнитным. Затем были исследованы [74] аналитические свойства по-
показателя преломления поля п в комплексной плоскости со. Конкретные вы-
вычисления для скрещенных электрического и магнитного полей проведены
в работе [77], где использовано выражение для функций Грина электрона,
найденного Швингером. [104].
189

плексной переменной z = 1/х [где х —определяется формулой
{11.20)] и достаточно быстро спадает при больших |Im z\, что вы-
вытекает из принципа причинности и, естественно, подтверждается
прямым вычислением.
Дисперсионное соотношение имеет вид [ср. A2.38)]
оо
Ren2(z) = l — (SP/n) j [lmn2(z')/(z'—z)]dz', A3.3)
где учтено, что Ren2(oo)=l. Подставляя сюда Imn2(z) из A3.2)
и We из A1.29), получаем
оо
я2 = 1 + [2а/[Зя(хЯ0J]] J (dy/ctf у) [(i//3 )Kw® —
о
-L2/3(g)][(eF1JDch2r/-l) + (eF2)aDch2r/+2)], A3.4)
тде g = 8ch2r//3x; F^E^ + tnH]; F^EnFJ [ср. A1.16)], функ-
функция Lv(l) определена формулой A2.13). Уравнение Максвелла
в среде для монохроматической волны Dm = D^exp [i(kr—atf)]
имеют в импульсном пространстве вид
Dm = (— l/co)[kBm]; kDm=-0; Bm = (l/co)[kE@]; kB^^O. A3.5)
Исключая поле Bm, находим
D«» = (— l/coa)[k[kEm]]=(l/co2)[k2Em — k(kEm)]. A3.6)
Подставляя сюда Df ~etjEf, имеем уравнение
[a*sa-k4iu + ktkj]Ef = Q,t A3.7)
которое можно переписать с учетом того, что к = сояп, в виде
[ea-n*Fu-ntn,)]Ef = 0. A3.8)
Эта система однородных алгебраических уравнений имеет нетри-
нетривиальное решение только при условии равенства нулю определите-
определителя
кг-п>Fу-л,л,)| = 0. A3.9)
Решение этого дисперсионного уравнения определяет типы волн,
которые могут распространяться в среде. Уравнение A3.8) можно
переписать в виде
^=eJj?f?y/[FJ,-nl«j)?f?j>]. A3.10)
190

Фактически выражение A3.4) представляет уравнение такого типа.
Теперь учтем, что вычисление проводим в первом порядке по а
[причем Bij — 8и ~ О (а) и т. д.], и, пренебрегая членами ~ а2,
получаем из A3.10) и A3.4)
/f\ A3.11)
где
gl (и) = {а/13я (иЯ0J ]} J (ф/ch2 у) D ch2 у— 1) X
о
g2 («) = {«/[Зя (х#0J)} f (dy/ch2 у) D ch2 у + 2) х
б
X [0//3) /С2/3 (I) - Un (g)]. A3.12)
По самому способу получения уравнение A3.4) содержит инфор-
информацию только о поперечных компонентах тензора гг]\ естественно,,
что мы нашли только указанные компоненты. Этого, однако, доста-
достаточно для определения основных характеристик в первом порядке
по а, поскольку, .если подставить в уравнение A3.9) тензор е^
общего вида и учесть, что ги — 6^ ~0 (а), то нетрудно убедиться
в том, что вклад непоперечных компонент в п будет ~ а2.
Дисперсионное уравнение A3.9) удобно записывать в осях
(Fx/jFx|, F2/|F2|, n). Подставляя в него A3.11), находим решение
«1.2=l+gl>2[Fl,2|2. . A3.13)
Полученное значение я1>2 соответствуют двум волнам, которые
распространяются в поле при заданном направлении волнового'
вектора. Этим волнам соответствует следующее значение частот;
coli2 = coo(l— gif2|Fi.2|a), A3.14)
где co0 = |k|.
Когда затухание волны мало, можно ввести групповую скорость
распространения соотношением
. A3.15)
Подставляя сюда coi,2 A3.14), получаем
>2], A3.16)
191

где
= H—n(Hn); Нц=п(пН);
= {а/[3я (к Hof]} f
ch2 у— 1) x
{а/[3п (хЯ0J)}T (ф/ch2 у) D ch2у + 2) х
о
A3.17)
Представление о величине эффектов можно получить из табл. 4.
При и« 1, как показано выше A3.2), A1.31), величины Im nt_,
экспоненциально малы. При х ^> 1 вклад в интегралы по у
дает область ch у ~ 1 и старший по х вклад дает только член /Сг/з
из L2/3 [см. A2.13I, который входит с множителем 1/3, т. е. реальная
и мнимая часть поправок к /г, , при х ^> 1 отличаются множите-
множителем (— 1/УЗ), причем ReTi^ , < 1.
Таблица 4
Предельные значения показателя преломления nli2
г/ групповой скорости v1f2 во внешнем электромагнитном поле
Характе-
Характеристика
п
i
п
V,
'¦
X ^ 1
1 -\- 2pF
1 _|_ 7pF j2
„A-2p,,) + 4pp,,/|Pl
2
2
l+3(i
1+9 (i
-A-a,
n(l-3aFz
к > 1
Уз—i)o
У3-1)а
/4)-3w,
,./*
/IFtl'
a/2|F2|2
Вектора групповой скорости совпадают по направлению с п, толь-
только если s = 0 [см. A3.17)], например, в случае чисто магнитного
поля s = 0, если п направлено по (против) магнитному полю, а
волна распространяется как в отсутствие поля (ni,2 = 1( v = п).
192

Когда nH = 0, также s = 0, в этом случае волна уже «чувствует»
поле (tti,2=7^1) и т. д. В случае скрещенного поля* невозмущенное
движение волны происходит, если п направлено по [ЕН]; если п
направлено по — [ЕН], движение волны уже отличается от свобод-
свободного, это связано с тем, что п (о, к) Ф и (о, —к) для всех направле-
направлений с (п [ЕН]) ф 0 (при отражении времени необходимо также про-
проводить замену [ЕН] -» [ЕН]). В чисто магнитном поле волна
вдоль любого направления распространяется в обе стороны оди-
одинаково.
Выражение для показателя преломления и групповой скорости
в магнитном поле получается из табл. 4, куда следует подставить
IF^2 = Hi [см. A3.4)].
Из полученных результатов следует, что движение достаточно
быстрой частицы в поле будет сопровождаться, кроме тормозного
излучения, еще и излучением Вавилова—Черенкова. Исследование
этого излучения следует проводить с учетом анизотропии и диспер-
дисперсии, характерных для области пространства, занятой полем, так
что картина излучения Вавилова—Черенкова оказывается доста-
достаточно сложной. В полях |Н|, |Е| <С Но всегда A«i,2 = (Re «1,2 —
—1) <^ 1, излучение Вавилова—Черенкова возникает для очень
быстрых частиц, для которых пороговое условие по порядку вели-
величины vn > 1 можно переписать в виде An > l/yh- Используя
табл. 4, имеем yth > HJH. Для такой частицы % ~ уН/Н0 > 1.
Интенсивность излучения Вавилова—Черенкова ничтожно мала
по сравнению с интенсивностью тормозного излучения, а при срав-
сравнении их угловых распределений следует учитывать, что при % ^> 1
тормозное излучение идет в конус с раствором %]/3/у (см. § 10.1).
В заключение отметим, что вне существенно квантовой области,
т. е. при Н/Но С 1. все рассмотренные эффекты весьма малы при
любых значениях х.
13.2. Рождение пары частиц заряженной
частицей. Представляет также интерес рождение пары части-
частицей, движущейся во внешнем поле. Это процесс второго порядка
по а (в то время как рассмотренные выше первого порядка по а)
и изображается диаграммой на рис. 29, б. Для изучения этого
процесса в случае большой энергии начальной частицы можно ис-
использовать развитое выше квазиклассическое приближение [112].
Вероятность процесса в единицу времени представим в виде
A3.18)
где тензор № описывает излучение (в единицу времени) начальной
частицей поляризованного фотона с массой k2 [ср. (9.27), (9.28)];
IInv — перенормированный поляризационный тензор, который свя-
* Результаты для скрещенного поля получены в работе [77].
7 Зак. 979 193

зан с рождением пары частиц поляризованным фотоном следующим
образом [см. A1.12), A1.14) и A1.15)]:
Wp = e»evlmllliv{k)/w. A3.19)
Поскольку рассматриваемый процесс разрешен уже тогда, когда
или падающие частицы, или родившаяся пара находятся в поле,
было проведено разбиение вероятности на три части, в которых
первые индексы соответствуют начальным частицам, при вычисле-
вычислении WF0, Wqf одна из вершин рассматривается свободной, a Wff
обращается в нуль при выключении поля для любой из участвую-
участвующих частиц.
Выражение A3.18) линейно расходится во времени. Это связано
с тем, что в нем содержится вероятность излучения реального фото-
фотона, который нестабилен и в поле достаточной протяженности обя-
обязательно образует пару. Эта ситуация может описываться в тер-
терминах каскадной теории при известных вероятностях излучения
фотона и рождения фотоном пары A0.25) и A1.27), но для рассмо-
рассмотрения этого вопроса нельзя пользоваться теорией возмущений.
Нас же будет интересовать только вклад виртуальных фотонов.
Точные выражения для W получены в работе [112], здесь же при-
приведем асимптотические значения для вероятности в области малых
и больших значений параметров %. В области ОС С 1 при доста-
достаточном различии между массами начальной т и конечной ц ча-
частицами основной вклад дают вероятности WFo или WoF, когда
в поле берется наиболее легкая из частиц, а в случае равных
масс основной вклад дает вероятность Wff- При ц = т
' I/2) = WfF 0) = [a2 m2 X3/2/(l6 V ^ e)] exp [- 16/3X], A3.20)
где верхние индексы в WFf обозначают спин начальной частицы
и частиц родившейся пары соответственно; в случае (л ^> т
F4 Y 3/X) fr/mJ Wf°o 0) = [a2 m2 X5/2/B6 35'4 /He)] X
. A3.21)
В случае % > 1, %m3/ii3 > 1 основной вклад дают вероятности Wff
и Wof- Это обсуловлено тем, что существенны малые передачи им-
импульса. По этой причине для вычисления (с логарифмической точ-
точностью) можно пользоваться методом эквивалентных фотонов с уче-
194

том того обстоятельства, что спектр эквивалентных фотонов меняет-
меняется в присутствии поля
> 0)/5=[13а2/п2/9|/Зке] х
= [ 13а2 m2/6 /Зле] х (m/и) In [% (т/ц)«]. A3.22)
13.3. Р а с щ е п л е н и е фотона на два фотона
во внешнем электромагнитном поле. Фотон
во внешнем электромагнитном поле нестабилен, поскольку он может
превратиться в электрон-позитронную пару (при со > 2т, см. § 11).
Кроме того, в более высоком порядке по а возможно расщепление
фотона на два без ограничений на со (рис. 29, в).
Как показано в разделе 13.1, присутствие электромагнитного
поля сказывается на распространении фотона таким образом, что
для заданного волнового вектора к появляется два решения с по-
поляризациями, направленными по векторам Fx и F2 [в дальнейшем
соответственно параллельная (||) и перпендикулярная (J_) поляри-
поляризации]. Для каждого из этих решений существует свой закон дис-
дисперсии A3.13), причем ||-фотон оказывается «тяжелее». По этой
причине распады _!_-фотонов, а также переход || ->-1| + || за-
запрещены. Из соображений СР-инвариантности запрещены распады
с участием нечетного числа _1_-фотонов. В результате единственный
разрешенный распад || ->-_!_ + _L, т. е. расщепление фотона является
механизмом получения линейно поляризованных фотонов. Эта за-
задача рассматривалась в работах [115, 123] (атакжесм. работу [116]).
Здесь приведем асимптотические значения для вероятности при
Н/Но <<( 1, так что полученные выражения являются только функ-
функциями инвариантного параметра к A1.19).
При х <^ 1 получаем для вероятности расщепления [123]
W( Ц—>- ± + ±) = (а3/60л2Д26/315J(/п2/со)х6. A3.23)
При к ^> 1 имеем следующее асимптотическое выражение
С « 0,3. A3.24)
Отметим, что в области малых значений к вероятность рождения
пары заряженных частиц фотоном экспоненциально мала, и про-
процесс расщепления является доминирующим.
Все результаты, найденные в этой главе, справедливы при усло-
условии /, g С 1 (И С Но). Представляют интерес точные по х, /, g
7* 195

выражения для характеристик процессов во внешнем поле, что
позволяет, в частности, оценить точность полученных выше резуль-
результатов. В последнее время получен ряд результатов в этом направле-
направлении. Точные выражения для П^ в произвольном постоянном поле
были приведены в [122], а учет членов Н/Но для показателя прелом-
преломления и расщепления фотона был проведен в ]115] при © < 2т.
§ 14. РАДИАЦИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ
14.1. Излучение с переворотом спин а. Магни-
тотормозное излучение приводит к поляризации движущихся в маг-
магнитном поле электронов и позитронов. Поляризация возникает по-
потому, что вероятность радиационного перехода с переворотом спина
зависит от ориентации начального спина. Начнем с вычисления ве-
вероятности процесса излучения, когда полностью поляризованный
электрон с направлением поляризации %% = ? (?2 = 1) меняет на-
направление спина на обратное ?/ = —? (переход с переворотом спи-
спина). Указанную вероятность можно получить непосредственно из
формул (Ю.2) и A0.6), куда следует подставить & = 5, S/ = —5-
Из A0.6) имеем
«S /?i |,у = Bi В5 —(gB.) (gBS) —i (g [Вх В5]). A4.1)
Вычисление В из A0.4) дает
B=(ft/2e,)[e*q]; q = [pco/(e + /n)]—k = a>{[v/(l + 1/v)]—n}, A4.2)
где опущены члены более высокого порядка по l/у. Если учесть, что
электрическое поле излученного фотона Е ~ сое, а магнитное поле
[см. A.30)] Н = [пЕ] ~ © [пе], то комбинация [eq] ~ {[Ev]/A +
+ 1/?)} + Н = НЕ [см. E.63)]. С другой стороны, в разделе 5.5
мы показали, что на спин электрона Дирака во внешнем поле дейст-
действует эффективное поле НЕ. Таким образом, причина переворота спи-
спина [член <гВ в матричном элементе излучения A0.3)] заключается
в действии на спин эффективного поля Не излученного фотона
(<гВ ос оНЕ).
Выполнив в A4.1) суммирование по поляризациям фотона с по-
помощью соотношения (А. 19) [см. Приложение А] и подставив В в фор-
форме A4.2), получим для вероятности излучения с переворотом спина
в единицу времени [см. A0.2) и A0.10)]:
X
X ехр[( — i ыет/й) (I —nv + w2 т2/24)], A4.3)
196

где
2^^ik = (
Л
+ [(?к)/со2] [(<ь g) (q2 к) + (q2 g) (q, к)] -
-i[?-k(Sk)/co2][qiq2]}. A4.4)
Взяв величины q12 в форме A4.2), подставив в них расложения
A0.10) с точностью до членов — 1/у2 и воспользовавшись соотно-
соотношениями B.17) и gn-p(gvs) -f [(gv)/|v|](l — р2/2 - f72)+
-j-i|;(gs), получим следующее выражение:
)}, A4.5)
где u = H(o/ef; s = w/ ш; (gvs) = (g[vs]).
Интегрируя A4.3) после подстановки A4.5) по относительному
времени т и углам вылета фотона, точно так же как это делалось при
выводе формул A0.13) и A0.24), находим
= [а/п2/B /3 яйе)] [ы2^/A +«K] {[1 -(gv)
A4.6)
+ (?vJ J
2«/3x
Это выражение как функция % является точным.
При х € 1 во всей существенной области и « 1 [при и > 1 вы-
выражение экспоненциально мало, см. C.24)]. Поэтому для вычисле-
вычисления старшего члена разложения по % можно опустить и рядом с еди-
единицей. Переходя к переменной х = 2и/3%, получаем:
W^= [91/Зсс/п2х3/A6пЙе)] f хЧх {[1 — (gvJ] K2/3 (х) +
где при преобразовании второго члена в фигурных скобках мы вос-
воспользовались формулой A0.32). Интегралы в формуле A4.7) эле-
элементарно вычисляются ([52], с. 698). В результате получаем для
вероятности радиационного перехода с переворотом спина
W* = A/2Г) [1 _2(gvJ/9+ 8 (g [vs])/5 /3], A4.8)
197

где
\/Т = 5 ) 3 am2 х3/(8.*ге) = E /Зсс^/в/п2) у51 w
|3 =
= 5 -|/auV/(8m2 R3) = (puny'/h) {HJHof, A4.9)
здесь R — мгновенный радиус кривизны в магнитном поле; Но —
напряженность критического магнитного поля E.36). Отметим, что
этот результат имеет место для произвольного магнитного поля [при
выполнении слабых ограничений C.1) и C.2)]. Видно, что W% про-
пропорционально квадрату постоянной Планка.
Проведем анализ полученного выражения. Для продольной по-
поляризации ? || v, (g [vs]) = 0; остающиеся члены 1 —2 (?vJ/9
не зависят от того, направлен спин по скорости или против нее, так
что в результате излучения не может возникнуть продольная поля-
поляризация. Иное положение возникает в случае поперечной поляри-
поляризации, в этом случае вероятность перехода зависит от ориентации
спина. Из A4.18) следует, что вероятность перехода из состояния,
в котором спин направлен по вектору [vs], больше вероятности пере-
перехода из состояния, в котором спин направлен против вектора [vs].
Таким образом, возникающая поляризация* («радиационная поля-
поляризация») является поперечной** и направлена против направления
[vs]. Чтобы определить степень поляризации, необходимо решить
соответствующее кинетическое уравнение, это будет сделано в сле-
следующем разделе.
При вычислении старшего члена разложения по % при х « 1
[см. A4.7) и A4.8)], имеющего порядок &2, можно воспользоваться
другим способом: в выражении 2^2*#i ^см- A4.4)] коэффициент
, я
%г вынесен явно так, чтобы во всех остальных членах внутри инте-
интеграла A4.3) можно было опустить &со, т. е. е/-> е, в частности в по-
показателе экспоненты. Подставляя в A4.4) разложение A0.10) и вы-
выполняя интегрирование по конечным состояниям фотона до интегри-
интегрирования по относительному времени т с помощью формулы
%-iEJ-y2]} A4.10)
здесь г/0 = т; y = r2 — iy, z/2 = z/* —у2 = т2 A/у2 + ш2т2/12), полу-
* На существование эффекта радиационной поляризации впервые ука-
указали А. А. Соколов и И. М. Тернов [91], которые провели расчет традицион-
традиционным образом с использованием точных решений уравнения Дирака в однород-
однородном магнитном поле. Приведенный вывод, применимый и для неоднородных
полей, основывается на работах [18, 19].
** Это обстоятельство очевидно заранее: аксиальный вектор возникаю-
возникающей поляризации может быть направлен лишь вдоль единственного аксиаль
ного вектора, фигурирующего в задаче [v s].
198

чаем следующее выражение * для вероятности перехода с перево-
переворотом спина в единицу времени:
W' = [(а/л) (Й2/т2)] у5 w3 § [dz,'(l + z2/12K] [3/z4—5/12Z2 -|-
A4.11)
где сделана замена z = дату, а контур интегрирования проходит ниже
вещественной оси и замыкается в нижней полуплоскости. Отсюда
видно, что основной вклад в интеграл дает область wx ~ \1у. Вхо-
Входящие в формулу A4.11) контурные интегралы легко вычисляются,
и в результате имеем
Х[(п+ 1)/2+1]... [(n+ l)/2 + m—2]. A4.12)
Подставляя интегралы A4.12) в A4.11), приходим к A4.8). Именно
этот способ был использован первоначально авторами [18, 19].
14.2. Уравнение для вектора спина с уче-
учетом затухания. Из формулы A4.8) вытекает возможность
возникновения поперечной поляризации электронов и позитронов
во внешнем поле. Для того чтобы выяснить, как реализуется эта
возможность, необходимо получить и решить кинетическое уравне-
уравнение для поляризационной матрицы плотности с учетом взаимодейст-
взаимодействия с полем излучения. Учитывая квазиклассический характер дви-
движения электрона большой энергии во внешнем поле, это уравнение
удобно представить в виде уравнения для вектора спина (среднего
значения оператора спина в системе покоя электрона). Таким обра-
образом, речь идет о получении уравнения типа КВС E.64) с учетом
взаимодействия с полем излучения.
Введем гейзенберговский оператор спина электрона в системе
покоя a (t) (a+ (t) = a (()), среднее значение которого
Ь>(О = ('оИ')|/о> A4-13)
есть вектор спина в системе покоя частицы. Без учета взаимодейст-
взаимодействия с полем излучения изменение этого вектора во времени для
частиц с заданным аномальным магнитным моментом определяется
уравнением КВС E.64), а для частиц, удовлетворяющих уравнению
Дирака, — уравнением E.57) [в квазиклассическом пределе, т. е.
для полей, слабо меняющихся на длинах порядка А/тс, и узких
волновых пакетов (см. раздел 5.5I.
* Заметим, что формулами типа A4.10) можно пользоваться только
в случае, когда показатель экспоненты в интеграле не содержит членов Йсо
(кроме общего фактора). Такая ситуация возникает непосредственно при вы-
вычислении членов низшего порядка (~ й° при вычислении полной вероят-
вероятности, ~ h2 прн вычислении вероятности перехода с переворотом спина). Од-
Однако эта формула может быть полезна и при вычислении поправок следующих
порядков, для чего необходимо члены в экспоненте, содержащие Йсо, разло-
разложить в степенной ряд.
199

После включения взаимодействия с полем излучения эволюция
вектора состояния во времени определяется матрицей U (t, t0)
\t)=U(t,to)\to>. A4.14)
Изменение среднего значения спина дираковского электрона во
времени с учетом взаимодействия с полем излучения следующее
, to)a(t)U(t, to)\to)-
- (to I or (t0) I ^0> - (t01U+ (t, to)'[a (t), U (t, t0)} 110) +
-f<*e|o-@-o-(*0)|<o>. A4Л5)
Здесь последний член определяет изменение среднего спина
в отсутствие поля излучения. Представим матрицу О (t, t0) в виде
разложения теории возмущений по электромагнитной константе
связи е:
U(t,to) = I+iT(t,to) = I + i[T1(t, to) + T2(t,to) + ...). A4.16)
Из условия унитарности матрицы рассеяния получаем* (ср. раз-
раздел 5.15)
T1 — Tt = 0; i(T? — Г2) = П7\ ==21тГ2. A4.17)
С учетом этих соотношений и A4.13) можно переписать A4.15) в виде
7'1а-(9)/2 +
причем ^0 (/0) = ?, (t0), поскольку взаимодействие с полем излучения
включается в момент времени t0.
Приступим к вычислению отдельных членов в A4.18). В матрицу
7\ входит оператор рождения или уничтожения фотона, поэтому
матричный элемент
</p|71il<o> = O, A4.19)
поскольку вектор состояния \t0 > описывает состояния электрона
во внешнем поле при отсутствии поля излучения. Это обстоятель-
обстоятельство учтено в A4.18). При вычислении членов, содержащих комби-
комбинацию Tf Tj, следует учесть, что отличны от нуля только матричные
элементы 7\ для перехода в однофотонные состояния:
A4.20)
* Отметим, что введенный вектор состояния является двухкомпонентным
спинором, a U (t, t0) — матрица 2X2, действующая в пространстве этих
спиноров. Re Г2 и Im Г2 означают соответственно эрмитову и деленную на i
антиэрмнтову части оператора Г2.
200

где интегрирование ведется по импульсам фотона, а суммирование
по спинам электрона sf и поляризациям фотона Я, </, k |7\| /0>—
матричный элемент перехода в однофотонное состояние с фотоном
(k, Я) [излучение фотона, ср. (9.6), A0.2) и A0.3)]. В соответствии
с результатами § 9 и 10 [см. A0.2)—A0.4)] этот матричный элемент
имеет вид
A4.21)
На основании аргументов, которые приводят к формуле A0.6)
и в используемых выше терминах означают, что характерное
время изменения матричных элементов операторов 7\ есть время
излучения (т ~ l/wy ~ Т/у), тогда как характерное время измене-
изменения a (t) (g (t)) есть Т (Т — например, период обращения), можно
с точностью до членов ~ My пренебречь зависимостью a (f) от вре-
времени. С учетом этого обстоятельства и A4.20), A4.21) имеем:
= <*,1 {Tt aT.-iaTfT, + Tt 7\ or]/2> | to> =
t t
= (е2/4яА) J [d3 kl{2nf и] J Лх j df, 2 S exp {(—i e/e,)
X
где
Воспользовавшись соотношением
нетрудно вычислить след A4.23):
SB = -2 i [B? BJ + BI (gBi) +
-2g (Щ BO-
iX
A4.22)
. A4.23)
A4.24)
A4.25)
Полученное выражение для S содержит члены двух типов: квад-
квадратичные по В (SB ~ %2) и линейные по В (SA —л). Рассмотрим их
отдельно. Умножим S A4.23) на ?:
= —2jRS /?i l»f, A4.26)
так что член (SB g) выражается через квадрат матричного элемента
радиационного перехода с переворотом спина A4.1). Заметим, что
201

в отличие от предыдущего раздела, где была рассмотрена задача
для одного электрона (g2 = 1), здесь мы ведем рассмотрение для
ансамбля электронов (на языке одного из представлений матрицы
плотности), так что |g| Ф 1. Дальнейшее вычисление интеграла
A4.22) совпадает с проделанным в предыдущем разделе*, поскольку
члены при заданных структурах с g выделяются однозначно. Таким
образом, ответ следует прямо из формулы A4.8):
, A4.27)
где Т задано формулой A4.9).
Рассмотрим теперь член Д^д/ЛЛ Как видно из A4.25), струк-
структура этого члена [Fyigl; как уже отмечалось, члены такого типа опи-
описывают вращение, а не изменение jg| в отличие от AZ,iiB/At
A4.27). Используя явное выражение для А, В A0.4), A4.2), прове-
проведя суммирование по поляризациям фотона и разложения A0.10),
находим, сохраняя члены до порядка 1/у2 [это порядок членов
ЛЛ* 2* (Ю8]
= [?« (е + E/)/2e
Разлагая вектор [nv] по векторам s, [vs], получаем [nv] = a|>[sv] + |3s.
Подставляя это значение [nv] в выражение для '^(Л1Ъ*2 + А*2В1),
я,
а затем в Бд A4.25), после чего полученное выражение — в инте-
интеграл A4.22), видим, что подынтегральная функция является нечет-
нечетной функцией углов вылета фотона и, следовательно, обращается
в нуль при интегрировании по конечным состояниям фотона.
Таким образом,
Д5,,Л/Д* = 0. A4.28)
Это обстоятельство не случайно и связано с инвариантностью относи-
относительно отражения времени. Действительно, при tx -*¦ —tx и t2 -*¦ —12
имеем g ->- — ^,dt,Jdt -^ d^/dt, в то время как интеграл j 2 (А*2^1 +
Л
+ А1В*2) в A4.22) не меняет знака при этой замене.
Перейдем теперь к вычислению числа с Re T2 в A4.18). По опре-
определению (tQ \T2\ t0) есть матричный элемент матрицы рассеяния второ-
второго по константе связи е порядка, взятый между одночастичными со-
состояниями, т. е. вклад диаграммы собственной энергии (см. рис. 29,а),
который был рассмотрен в § 12. Учитывая, что здесь использовано
представление, в котором вектор состояния является двухкомпонент-
* Необходимо, чтобы разность времен t — 10 > т ~ 1/wy.
202

ным спинором, т. е. |^0> = <p|t>, имеем с учетом A2.6)—A2.8) и
A2.11):
<*„1 Т21 to> = Т™ = J<tf [T(o2) + 7tB)(g [vs]) =
i>L!. A4.29)
и
Как уже отмечалось, имеется однозначная связь между 7"о2)
и NQ, Т^2) [vs] и N. Воспользовавшись явным видом Tj2) (Б v s),
A2.17) и A2.19), получим, что
<i | [а/BяJ] f (d2k/(o) f dt ReПЦ i> = \x' H*/y, A4.30)
о
где учтено представление A2.24). Используя явный вид Re T2 A4.29)
и A4.30) и проведя простые вычисления при тех же предположениях
о or (t), что и в A4.22), найдем
</01 i[or, Re Г2] | *0> = <i | ф+ i [or, Re T2] ф | i> =
= <i | Sp {[A + Бсг)/2] i [a, Re T2]} | i> =
t
= J Л Sp {[A + ?a)/2] (h'/y) i [a, <rH«]} =
= J dt (\x'/\xo)(e/my) [БН^]. A4.31)
Отсюда получаем для приращения вектора ?(/) [см. A4.18)]:
dydt = (ц'/Цо) (в/е) [БН*], A4.32)
т. е. определяем член вращения, пропорциональный аномальному
магнитному моменту электрона в поле.
Наконец, входящая в A4.18) разность ?0 (t) — So (^o) =
= (dt,Q/dt) dt описывает изменение вектора спина электрона во внеш-
внешнем поле в отсутствие взаимодействия с полем излучения [см. E.62)
и E.63)].
Таким образом, картина рассматриваемого явления следующая.
В отсутствие взаимодействия с полем излучения спин прецессирует
согласно уравнениям E.62), E.63).
Включение взаимодействия с полем излучения приводит к эф-
эффектам двух типов.
1. Возникают новые члены вращения, связанные с появлением
у электрона вследствие взаимодействия с полем излучения аномаль-
аномального магнитного момента \i' A2.24). Сумма E.62) и A4.32) дает урав-
уравнение движения для вектора Б (среднего значения поляризационного
оператора or в системе покоя) для электрона с аномальным магнит-
203

ным моментом. Если сохранить только члены нулевого по постоян-
постоянной Планка 1ь порядка (jx'/jx0 = а/2л), то сумма A4.31) и A4.32)
дает уравнение КВС E.65)*.
2. Кроме того, появляются члены нового типа, не сводящиеся
к вращению (члены затухания), которые меняют |?| A4.27).
Рассмотрим вопрос о квантовых поправках к уравнению КВС
при Н С Но [в противном случае само уравнение КВС не имеет
смысла, см. E.48) и последующее обсуждение], которые можно найти
из полученных результатов. При X <^ 1 поправки представляют
собой ряды по степеням %. Отметим, что поскольку d?liA/dt=0 [см.
A4.28) и ниже], то поправки по степеням % в члены вращения вхо-
входят только через зависимость от % аномального магнитного момента
A2.30). Поправки к членам затухания можно определить непосред-
непосредственно из A4.6). Следует иметь в виду, что старший член вращения
имеет порядок %° (%°), в то время как члены затухания начинаются
с порядка W (х2) [см. A4.9)]. Тем не менее их следует учитывать и в
приближении, когда ограничиваемся только членами старшего
порядка (именно это приближение представляет практический инте-
интерес), поскольку они приводят к новым качественным эффектам —
изменению |?|. В указанном приближении уравнение для движе-
движения спина [24, 25] имеет вид [см. E.62), A4.27), A4.32)]
= (е/г) [g (ц' Н
/ A4.33)
Противоположный случай % ^> 1 будет обсужден ниже.
14.3. Решение кинетического уравнения.
Рассмотрим решение уравнения A4.33) в магнитном поле (Е = 0)
в случае больших энергий у > 1, поскольку только в этом случае
имеет смысл учитывать члены, связанные с затуханием. Оказывается
удобным ввести систему осей еа = v/|v|; е2 = v/|vj; e3 = [v, v]/|v| |v|,
тогда уравнение A4.33) можно переписать в виде [24, 25]:
A4.34)
где
Q= tjy| v|; U) = r\eHu/e + v H/|v \H±\; r\=g/2— 1; \i'=r\\i0;
l/T определяется A4.9). Система A4.34) описывает движение спи-
спина ансамбля электронов с учетом затухания в произвольном
магнитном поле**.
* В этом смысле проведенный расчет представляет прямой вывод урав-
уравнения КВС.
** Простую оценку кинетики радиационной поляризации можно прове-
провести с помощью элементарных уравнений баланса [91].
204

В качестве простейшей иллюстрации характера решений систе-
системы уравнения A4.34) рассмотрим движение электрона в однородном
магнитном поле при Vj. Н. В этом случае Q = цущ (ш0 = w — еН/&—
ларморова частота), <в = 0, причем Q, Т не зависят от времени. Ре-
Решение системы в этом случае:
Ei = Е± @) cos (Q/ + Фо) ехр [ - 8t/9T];
U = ?j_ @) sin (Qt + ф0) ехр [—8t/9T];
Is = (Es @) + 8/5 > 3) ехр [ - t/T] - 8/5 у' 3,
A4.35)
где мы учли, что Q > \1Т (отброшены члены ~ /*). Отсюда выте-
вытекает, что компоненты Ei @» ?2 @ затухают за характерное время
t ~ Т [см. A4.9)], в то время, как компонента ?3 @ выживает, при-
причем через t ^> T имеем:
Si = E2 = 0; ^з=— 8/5/3 =-0,924- A4.36)
Этот результат не зависит от начальной поляризации электронов.
В частности, если в начале электроны были не поляризованы, то
Бх@ = Е2_@ = 0; A4.3,7)
Ев @ = (-8/5/3)A-ехр Е-^
Выражения A4.35)—A4.37) определяют кинетику радиационной
поляризации в однородном поле*. Заметим, что для электронов
(е < 0) вектор [vs] направлен по полю, т. е. возникающая поляри-
поляризация ориентирована против магнитного поля, для позитронов
(е > 0) вектор [vs] направлен против поля, а возникающая поляриза-
поляризация ориентирована по полю. Таким образом мы действительно убе-
убедились, что последний член в формуле A4.33) имеет природу, со-
совершенно отличную от остальных членов. В то время как эти члены
приводят к вращению спина, не меняя его модуля, члене 1/Гв A4.33)
изменяет модуль g. Процесс радиационной поляризации протекает
так, что на быструю прецессию вектора спина во внешнем поле на-
накладывается медленный процесс затухания поперечных компонент
спина **. Еще одно замечание касается зависимости от времени
величины степени поляризации. Из A4.37) следует, что |^з (°°)| ^
= 0,924; |Б8(Л|= 0,584; |Е3 GУ4)| =0,204.
Если электрон движется в однородном поле по винтовой линии
(vH Ф 0), и поскольку это движение можно получить из кругового
преобразованием Лоренца вдоль поля и g2 = —s2 (квадрат 4-век-
* При г/т = у= 103 и величине ?Г± — 2-10* э, время Т ¦х- 30 мин.
** Большое различие в периодах прецессии и затухания можно исполь-
использовать при решении кинетического уравнения A4.34) в общем случае, напри-
например, можно провести усреднение по времени (по быстрому движению) в ко-
коэффициентах члена с затуханием.
205

тора), то асимптотическая степень поляризации такая же, как при
круговом движении. В большинстве практически интересных слу-
случаев электроны совершают малые колебания в неоднородном поле
вокруг равновесной (круговой) орбиты, причем |<o/Q| ~ zJRx\y < 1
(z0 — амплитуда колебаний; R — средний радиус орбиты). Тогда
система A4.34) может решаться с помощью теории возмущений*
[25]. Поправки к асимптотической степени поляризации имеют по-
порядок (zjRf.
14.4. Переходы с переворотом спина при
X 3> 1. Оставляя в A4.6) главные члены разложения по степеням
1/х [для этого можно воспользоваться разложением K.v (z) по сте-
степеням z C.24), сохраняя старшие члены], получаем
Г ее
ГB/З)CхJ/3A — (gvJ) f [и«/з/п +uf\ du +
[ b
+ 21nX(gvJJ/С./з (*) dx + Г A/3) (ЗхI/3 (Б vs) J [a5/3/(l + *uf]du) =
0 0 " )
= [Г B/3)/27] [am2Cx)^e]{(l_(gv)")-h [91п х/2ГB/3) CxJ/3](gv)^
+ [5Г A/3)/2Г B/3) (ЗхI/3] (gvs)}, A4.38)
где при вычислении второго члена мы воспользовались соотноше-
соотношением A0.32) и оставили только главный член (In x). Сравнивая
A4.43) с A0.40), видим, что при х > 1 вероятность перехода
с переворотом спина того же порядка, что и полная вероятность
излучения, в то время как при % С 1 эта вероятность была поряд-
порядка х2 по сравнению с полной. Если при х С 1 член с (gvs) такого же
порядка, как остальные в вероятности перехода с переворотом спи-
спина, что приводит к появлению преимущественной ориентации спина,
то при jo 3> 1 этот член порядка Х~1/3 по сравнению с главным, сле-
следовательно," степень поляризации в этом случае порядка Х~1/3.
Отметим, что когда электрон обладает определенной спираль-
ностью [(?vJ == 1], вероятность перехода с переворотом спина су-
существенно уменьшается (в х2/3 раз), т. е. с точностью до членов по-
порядка %—2/3 спиральность сохраняется. Это обстоятельство связано
с правилом сохранения спиральности при электромагнитном взаимо-
взаимодействии релятивистских электронов, которое нарушается в про-
процессах, связанных с фотонами в случае, когда фотоны излучаются
в конус с углом ? 1/у по направлению движения. Однако при % > 1
угол конуса становится порядка %х/3/у, так что с точностью до чле-
членов порядка х~2/3 спиральность сохраняется.
* Процесс радиационной поляризации проанализирован в обзоре [26]«
206

§ 15. РЕАКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОИ ТЕОРИИ
15.1. Квазиклассическое уравнение, опре-
определяющее воздействие излучения на за-
заряд. В § 4 было рассмотрено воздействие излучения на движение
заряженных частиц в классической теории. При больших энергиях
(у ^> 1) для силы реакции излучения можно использовать локаль-
локальное выражение D.22), которое является следствием того, что форми-
формирование импульса излучения происходит на длине когерентности,
которая стремится к нулю как 1/у. Для- учета квантовых свойств
излучения частиц большой энергии можно использовать развитый
выше квазиклассический метод. Описание формирования фотона
во времени содержится в формуле A0.12), причем подынтегральная
функция ф (т) в A0.12) дает зависимость плотности вероятности
излучения фотона от времени т. Эта функция является быстроосцил-
лирующей, следовательно, в интеграл A0.12) вклад дают т < l/wy =*&
да 1/©OY (oH — ларморова частота), что и определяет время форми-
формирования фотона, которое такое же, как в классической теории
1см. C.6)]. При интегрировании <р (т) совместно с произвольной
плавной функцией g (т) имеем
J g (т) Ф (т) dx « g @) [ 1 + const (q/y)] J Ф (т) dx, A5.1)
где Qg = (noq = \g' @)/g @)| — характерная частота изменения
функции g (т). Отсюда видно, что с точностью до членов ~ q/y плот-
плотность вероятности излучения обладает свойствами б-функции.
Это соответствует указанному выше свойству классического излу-
излучения.
Среднее число фотонов, излученных в единицах времени (рас-
(рассмотрим ниже случай % <^ 1), определяется W = \dW A0.39),
так что среднее время между излучениями фотона есть \IW =
= 1/а?(о0. Таким образом, картина излучения во времени представ-
представляет всплески длительностью ~ Ищу, разделенные средним ин-
интервалом ~ \1аущ, а возможность представления ее в виде последо-
последовательности отдельных всплесков связана с малостью константы
взаимодействия а. Здесь было рассмотрено излучение при заданном
движении частицы, характеризуемом v (t), w (t), т. е. излучение
«классическим током». Как было показано в § 6, в данном случае
последовательные акты излучения статически независимы. Это сле-
следует из того, что вероятность излучения п фотонов описывается
распределением Пуассона F.31).
Таким образом, пространственно-временная картина процесса
излучения в квантовой теории во многом аналогична классической.
Имеются, однако, весьма существенные различия, связанные с ди-
дискретным характером излучения и конечностью энергии, уносимой
фотоном.
Найдем в рамках метода, развитого в § 9, изменение средне-
среднего от функции оператора импульса F(Pll(t)) для состояний до
207

и после излучения \to> и \t) = U(t,to)\to>, U(t,to) = l — i ] х
to
XdtiHlni(ti) ..., где Ншуг) — гамильтониан взаимодействия ча-
частицы в магнитном поле с полем излучения E.69), тогда
-F (/V Со)) I *о> = <t01U+ [F (Р„. {t)), U] + F (Р„ (О) -
- A5.2)
Для вычисления входящего в A5.2) коммутатора учтем, что:
1) с оператором/7 (P^t)) не коммутирует только член ехр [—ikr (tj)]
в Hint (t^) [см. (9.14I; 2) процесс излучения происходит за очень
короткое время, так что интервал t — t0 можно выбрать малым и
в коммутаторе провести разложение по разности времен и оставить
только старший член разложения; 3) имеет место* </0 \[F (P^),
U]\t0) « 0. Тогда находим
<*, \U+[F (Р„), U] \ to> = <t01 J dty I dU Htm (h) Htnt (tj [F(P»-
t, t,
-Jlk^-F {P^Wt,-}. A5.3)
Проводя дальнейшие вычисления, как при рассмотрении магнито-
тормозного излучения (§ 10), и заменяя операторы в обкладках на
их классические значения, получаем
dF {PiL)ldt =]dW[F (Рц (f)-Uv)-F(pVL (Щ + (dF/dt)u A5.4)
где последний член описывает изменение функции F, не связанное
с излучением. Уравнение A5.4) есть квазиклассическое обобщение
реакции излучения. Область применимости этого уравнения такая же
как всех формул для магнитотормозного излучения. С помощью
уравнения A5.4) можно решить любую задачу о воздействии излу-
излучения на движение частиц большой энергии (у ^> 1) во внешнем
поле.
15.2. Воздействие излучения на движе-
движение электронов в ускорителях. Мы применим
уравнение A5.4) к рассмотрению динамики электронов в ускорите-
ускорителях. С одной стороны (этот вопрос рассмотрен в разделе 4.2), излу-
излучение приводит к затуханию (иногда к раскачке) поперечных коле-
колебаний. С другой, вследствие дискретного характера процесса излу-
* В этом соотношении член нулевого порядка в разложении ^/-матрицы
не дает вклада, поскольку коммутатор обращается в нуль, член первого по-
порядка выпадает в силу соотношения A4.19), член второго порядка не дает
вклада, так как для того, чтобы среднее по одночастичиым состояниям не
обращалось в нуль, следует взять члены, содержащие по одному операто-
оператору рождения и уничтожения, но в них входит комбинация в виде
ехр [ikr (?2)]ехр [ — ikr (у], которая, как показано в § 9 [см. обсуждение
после (9.256)], коммутирует с F (Р)
208

чения энергия (и, следовательно, равновесный радиус R) меняется
скачком, совокупность таких толчков приводит к статической рас-
раскачке р- и Х-колебаний, так называемая квантовая раскачка. Рас-
Раскачка вертикальных z-колебаний происходит за счет малой попереч-
поперечной отдачи электрона при излучении, для р- и Х-колебаний эффек-
эффектом отдачи можно пренебречь.
Перейдем к конкретному рассмотрению воздействия излучения
на колебания. Для простоты предположим, как и в разделе 5.2,
что колебания в отсутствие излучение независимы и что полная
энергия электрона в среднем не меняется. Подставляя гамильтониан
колебательного движения D.24) в A5.4), получаем
dMj/dt = A /2е) J(—2pl%k1 + РЩ) <Ш + J [Uj (qj(&—Йсо)) —
e))l + (dUj/dqj) (dqj/de) (dz/df)t. A5.5)
Решая задачу при )[« 1 и сохраняя старшие члены разложения
до второго порядка по (%ы/&), а также учитывая, что 8 = —/ +
+ (de/dt)i, где / = J %&dW [см. A0.52)] — интенсивность излучения,
и % *\kjdW ж (vj + const A/y2)) /, находим
dM}ldt = —27V (II*) + (l/2e) I fl2 kf dW + idUj/dqj) (dqj/de) e +
+ A /2) [d* Uj/dq) (dqjld&f + (dUj/dqj) (d* qj/ds*)] J %* «2 dW. A5.6)
Это уравнение является квантовомеханическим обобщением урав-
уравнения D.27) и может решаться при тех же предположениях.»С уче-
учетом теоремы вириала D.29) в итоге находим
= ((dqj/de)(de/dqi)-I/e) 2 f (Ж,
+ A /2) (d?Uj/dqf) (dq}/deJ f%2 «2 dW. A5.7)
Это уравнение есть обобщение уравнения D.30) и применимо для
любого потенциала. Для осцилляторных потенциалов 2Т}- = ej
имеем
=((—dR/d&)(deldr)—//е)ер+E5а/48 УТ) Ра>е ((ор/ш0) X
A5.8)
где использованы соотношения D.31). Последний член в каждом
из уравнений дает квантовую раскачку*, остальные члены являют-
dex/dt = [(dR/дг) (de/dr) + д е/де] ех + E5а/48/3 ) %*ах X
X (сох/со0) (d In Rid In eJ (©g/m) y6;
dejdt = — (//e) e2 + A За/48 » 3 ) P
* На явление квантовой раскачки впервые указали А. А. Соколов и
И. М. Тернов [92].
209

ся классическими D.32). Все эти уравнения можно записать в форме
[см. D.33)]
de,/dt= — Г>7- + Ау. A5.9)
Решение последнего уравнения имеет вид:
в, (Г) = [Г dt' Aj (Г) ехр [ J Г, (Оdt"\} х
хехр[ — STi(t')dt'] + Bj(O)exp[—/Гул]. A5.10)
В простейшем случае, когда Г,- и Ау- — постоянные, имеем
(-Г,0. A5.11)
Через время < ^> 1/Гу энергия поперечных колебаний стремится
к конечному пределу:
/Г,) = Д,/Г,. A5.12)
Физический смысл полученного результата следующий. Квантовые
толчки раскачивают поперечные колебания, а радиационное зату-
затухание подавляет их. В результате конкуренции этих двух факторов
устанавливается стационарный равновесный размер A5.12), ины-
иными словами, процесс раскачки может идти только до момента вре-
времени t ^> 1/Гу, после чего вступает в силу радиационное затухание.
Рассмотрим в качестве примера движение в поле D.37), для
которого с учетом D.39):
A5.13)
Ар = E5а/48 /3 ) {^cog/[m(l —л)]} y6;
Ах = E5а/48 /3) [%а\ со0/[A —nf m]}Y6;
Аг= A За/48 | '3)(ha3o/m)y4.
Подставляя приведенные величины, а также Г,- из D.43) в формулу
A5.12), находим равновесное значение соответствующей поперечной
энергии. Учитывая, что амплитуда колебаний связана с энергией
соотношением [роль массы играет полная энергия, ср. D.24)]
af = 2в,/е<о), A5.14)
можно найти равновесное значение амплитуд колебаний.
210

ГЛАВА IV
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
в кулоновском поле
§ 16. ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА В МИКРОСКОПИЧЕСКОМ
ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
16.1. Общее выражение для сечения из-
излучения. В предыдущей главе был сформулирован квазиклас-
квазиклассический метод рассмотрения процесса излучения частиц большой
энергии во внешнем поле и проведен анализ излучения в полях,
в которых угол отклонения частицы велик по сравнению с характер-
характерным углом излучения \1у (случай I). В другом случае (II) рассея-
рассеяние происходит на углы, меньшие или того же порядка, что и
характерный угол излучения. Случаи I и II, очевидно, включают
в себя все возможные виды внешних полей. Ниже будет рассмот-
рассмотрен процесс излучения в ситуации, когда внешнее поле велико
в небольшой области пространства, т. е. в микроскопическом внеш-
внешнем поле. Наиболее важным примером такого поля является
кулоновское.
После проведения операции распутывания* вероятность пере-
перехода с излучением фотона имеет вид (9.27), (9.28). В случае I вклад
в излучение дает небольшой отрезок траектории («длина когерент-
когерентности), и поэтому излучение удобно характеризовать вероятностью
излучения в единицу времени. Соответственно было проведено ин-
интегрирование по времени квадрата матричного элемента с переходом
к относительному времени т = t2 — tx. В случае II вклад в излуче-
излучение дает вся траектория частицы (длина когерентности стремится
к бесконечности), так что излучение характеризуется вероятностью
излучения «за все время». Поэтому оказывается удобным интегри-
интегрировать по времени непосредственно матричный элемент, используя
траекторию частицы в приближении малых углов, найденную в раз-
разделе 4.1. Вероятность перехода с излучением фотона представим
в виде [см. (9.27), (9.28)]
dw = \M\2dsk, (l6.1)
где
Л*=[е/BяK/21/2а>] J R @ exp{i [e/(e—<a)]kx(t)}, A6.2)
* В § 9 была проведена операция распутывания в общем виде для про-
произвольного внешнего поля. Распутывание (и, соответственно, особенности
квантовых явлений) в случае кулоновского поля приведено в Приложении Д.
211

причем R (t) = R (p (t)) [cm. (9.28), A0.3) и A0.58)], а зависимости
p (t) и kx (t) определены формулами D.1) и D.8) соответственно.
Отметим, что в приближении малых углов, которым мы поль-
пользуемся в классической (§ 3) и квантовой задаче излучения в слу-
чаеП, зависимость от времени подынтегрального выражения в A6.2)
заметно упрощается, так как с принятой точностью ее необходи-
необходимо учитывать только в главных членах разложения по Ну. В ин-
интеграл A6.2) вклад дают времена Этакие, что [е/(е — со)] kx {t)~\t
отсюда получается оценка для характерного времени излуче-
излучения t ~ t с = 2е (е — со)/(т2со) [при м«е эта оценка переходит
в полученную в классической теории (см. раздел 3.6)].
Дальнейшее рассмотрение существенно зависит от величины
переданного импульса q. Можно выделить две специфические обла-
области значений q в зависимости от соотношения величин q и <7МИН, где
<7MIffl=l/^ = com2/[2e(e-co)]; A6.3)
минимальное значение переданного полю импульса. В первой обла-
области q ^> <7МИН, во второй q ~ <7Мин- Учитывая связь прицельного
параметра р и переданного импульса q, qp ~ 1, получаем, что
в первой области tc — 1/<7мин > р, а во второй — t с — 1/<7мин ~ р.
Это проясняет смысл разбиения на области. Поскольку рассеяние
происходит за времена порядка t ~ p (скорость v ж 1), а электрон
находится почти на массовой оболочке* (с точностью до членов
~ Ну2), to время излучения в первой области значительно превы-
превышает время рассеяния, т. е. процесс рассеяния в этой области не
зависит от процесса излучения, а траекторию частицы, как и в соот-
соответствующей классической задаче, можно представить в виде угла
[см. C.83), C.84)]. Необходимо отметить, что в этом случае полем
передается только поперечный импульс. Наличие продольного
импульса связано с явлением квантовомеханической дифракции
в процессе рассеяния. Угол дифракции определяется неопределен-
неопределенностью импульса на участке траектории, который дает основной
вклад в излучение фотона. Учитывая, что скорость электрона о» 1,
т. е. длина этого участка ~ tc, имеем
<7„~ Др~ 1ДС = <7М
В результате вклад продольной передачи импульса в выражение
для сечения рассеяния в первой области оказывается несуществен-
несущественным, а сечение излучения, в силу независимости процесса рассея-
рассеяния от процесса излучения, можно представить в виде
doy = do0 (qx) dw (q, k) = da0 (q) dw (q, k) = do0 (q) | M \2 d3 k A6.5)
где do0 (q) — сечение процесса рассеяния; dw (q, k) — вероятность
излучения на траектории в виде угла для данного переданного им-
импульса q.
* Напомним, что рассматриваем рассеяние на малые углы ^ 1/v, кото-
которые дают основной вклад в сечение.
212

Перейдем ко второй области, в которой q ~ <7МИН = \ltc. В этой
области tc ~ р и рассеяние происходит за те же времена (на тех
же длинах), что и излучение, следовательно, его уже нельзя счи-
считать независимым. Подобная ситуация имеет место и в классической
теории (см. раздел § 3.6). Наряду с этим во второй области становит-
становится существенным явление квантовой механической дифракции, по-
поскольку
qi~bp~llte = qmK~q. A6.6)
Из-за дифракции величина переданного импульса уже не опреде-
определяется углом рассеяния частицы. Поэтому, чтобы получить матрич-
матричный элемент излучения с данным переданным импульсом, необхо-
необходимо провести суммирование по траекториям [парциальным ампли-
амплитудам М(р)]. Для этого воспользуемся методом прицельного пара-
параметра (см. Приложение Ж). Тогда выражение для сечения процес-
процесса излучения можно записать в виде
do = | М (q) I2 сР kd2q±, A6.7)
где
М (q) = A/2я1) jcPpexp ['щ± р + i%(p)] M (р); A6.8)
% (р) — фаза рассеяния в данном поле:
X(P)=-J V(p,z)dz. A6.9)
—оо
Приступим к вычислению интеграла A6.2) в первой области
Введем следующие обозначения:
р(_оо) = р1; р( + оо) = р/ = р1 —q;
р'( + оо) = pf — k = p! — q — k = p2;
e( — oo) = e1; е2 = Вх—со;
Ямин = I Pi I — iРз| — |k| -com2/2e(e —со).
A6.10)
Поскольку импульс зависит от времени, то следует различать им-
импульсы частицы после рассеяния pf = рх — q и импульс частицы
в конечном состоянии (после рассеяния и излучения) р'(+ оо) = рх—
— q — к. Ясно, что <7МИН — минимальная передача импульса при
заданных кинетических условиях. Соотношение между е2 = г1 — со
и г = У(р — кJ + т2 дается формулой (9.23), где необходимо
перейти от операторов к классическим средним. С принятой точ-
точностью (до членов ~ 1 /у2), учитывая зависимость от времени только
главных членов, имеем
M(q)= (е/[BяK/2К2сое1е2]) J R (Qexp [i (ejejkx (t)\ dt =
= (e/ [BnK/2Vr2(»e1e8])(ie2/e1) [{Ri/kvJ — iRf/kv,)], A6.11)
213

где
?=, WR; Ri=R( — oo); #f=?( + oo). A6.12)
Проводя разложение по 1/у2 и оставляя главные члены, имеем
kvf = со A — nv,) = © [1 — (п (р2 + к)//(р|
Ь2. A6.13)
Во второй области q ~ <7мин> откуда kvf ж &их. Принимая во
внимание последнее соотношение и A6.13), получаем
<7Н = nq = kq/co = (kp2—kp1)/(o = [(e1/e2) kp1~kp1]/(M=
= kp1/e2 = (e1/e2)kv1. A6.14)
С учетом этого результата и близости траектории к прямой, направ-
направленной вдоль уь формула A6.2) приобретает вид
М(р) = [е/BяK/21/2008!е2 J J ^(^)exp [i^,, <]Л. A6.15)
При вычислении этого интеграла учтем, что
R(t)=Rl-{dR1/dPl)qp(t) + ..., A6.16)
где qp (t) — переданный импульс как функция времени при дан-
данном прицельном параметре C.71):
qp@ = (-p/p)(d/dp) I V(Yi?+t2)dt. .A6.17)
Проинтегрировав A6.15) по частям с учетом того, что
exp
получим
со
M{?) = {pR9lp)(dld9) j F(l/p^+72)exp[i<7^],' A6.18)
где
D* = [el [BяK/2 У~2^ч]} (l/i<7n) (dRi/dPl), A6.19)
Подставляя A6.18) в A6.8), находим
M (q) = DRqx A(q), A6.20)
где
A (q) = A/<7_0 JpdpA (<7_l p) exp [i x (p)] X
oo
Xd/rfp jK(v''pMTa)exp[i<7U<]^; A6.21)
— oo
214

A (<7j.P) — функция Бесселя. Сечение излучения в области q ~ <7МИН
1см. A6.7)] теперь можно представить в виде
doy= | DR qx |2 ds k | A (q) |2 Ф q±. A6.22)
Для выявления смысла входящих величин рассмотрим выражение
\А (q)\2d2qj_ в промежуточной области q )>> <7МИН ~ q ц, где еще,
однако, справедливо представление A6.15). В этой области
00
A (q) « — (Hq±) J pdp^i (<7± P) exp [ix (p)] d% (р)/ф =
о
[ix(p)J dpJt {qx p)/dp =
= A/1) J pdp^o(<7j.P)exp[ix(p)], A6.23)
о
здесь Jo, Jx —- функции Бесселя. Это выражение (с точностью до
множителя р) совпадает с амплитудой упругого рассеяния в мето-
методе прицельного параметра [ср. с формулой (Ж-18) Приложения Ж1.
Учитывая, что d2q± = q±dq±d<p = pffltfHbrfly = p22dQ2, имеем
\A(q)\*d* q± = \РйА (q) |2 dQ2=da0 (q±) « do0 (q). A6.24)
Тем самым в промежуточной области сечения A6.22) приобретает
такой же вид, как A6.5):
doy = \DRqL\2d3kda0(q). A6.25)
Теперь сопоставим D^ qx с М (q) в области, где начальная и конеч-
конечная частица движутся почти по одной прямой (kv/ я* kv±), но
Я > ?МИн - Ц\\ ¦ тогДа из A6.11) следует:
М(q) « [е/BлK/2 у 2шхе2] [e2/iei (tox)] (Ri—Rf) «
« [е/BяK/2 f 2^77] j^- • ^ q± = D« qx, A6.26)
"? || dpi v ;
где было использовано соотношение A6.14) и учтено, что при
Я » 7мнн
^i-.«f=^-1«LL. A6.27)
Это вытекает из A6.16), когда t-*- <x>. Из сказанного следует, что
комбинацию \А (<7)|2^2<7_l можно использовать в обеих областях,
так как она непосредственно возникает во второй области и пере-
переходит в правильное выражение [см. A6.23), A6.24)] в первой. Одно-
215

временно выражение dw = \M (q)\2d3k также справедливо в обеих
областях, поскольку оно исходит из первой области и переходит
в правильную комбинацию A6.26) во второй. Таким образом, во
всей области передач q, дающей основной вклад, сечение излучения
аппроксимируется формулой [21]
i2q±, A6.28)
где
dw=\M(q)\2dsk=(aeJBnJe-,)\-r^- — • -A- (d3k/co) A6.29)
и Л (q) определяется формулой A6.21). Выражение для dw (q, к)
имеет универсальную форму и не зависит от конкретного вида поля.
Для того чтобы найти явный вид dw (q, k), следует подставить R
в A6.29). Используя A0.3), A0.58) и проводя вычисления с точ-
точностью до членов ~ 1/у4, получаем для скалярных частиц
dws=[ajBnJe1e2]\e*\\2d3k/(x> AG.30)
и для спинорных частиц
dwe = [а/BлJ Ё1 е2] | ср2+ {[^ + е„)/2 /^] е*1 +
A6.31)
где
l = e2[p1 — (e1 + m)n]/kp1 — E1[p2—(e2 + myn}/kp2—n. A6.32)
При малых передачах импульса, когда q<^m, т. е.
(e1/e2)kv1x(e2/E1)kv2 = q\\ [ср. A6.14)], имеем
1л;(р1 — Р2— к—п<7ц)/<7| =qj_/<70- A6.33)
С другой стороны, функция A (q) определяется только внешним
полем и передаваемым импульсом и совершенно не зависит от спина
частиц, участвующих в реакции, и поляризованных состояний из-
излученного фотона. Вся зависимость от указанных характеристик
содержится в dw.
16.2. Переход к классической теории. Се-
Сечение рассеяния в приближении прицельного параметра A6.23),
A6.24) имеет вид [ср. (Ж. 15) Приложения Ж]
dao = |Id2pexp[iqxp + ix(p)]|2d2^/BnJ. A6.34)
При х (р) 3> 1 в классическом пределе"интеграл в A6.34) можно най-
найти с помощью метода стационарной фазы. Показатель экспоненци-
экспоненциального выражения экстремален при
qx = (-d/dp0) J V{YpfF?)dt; cos<p0=-l. A6.35)
—оо
216

Проведя разложение, находим
Jd2pexp[iq_i_р + iX(p)] = JpdpJdcpехр [ — iЯхР + ix(р) +
+ i<7_L РФ2/2] = V2n/qx exp [in/A] J Vp dp exp [— \qx p + ix (p)] =
= 2я / р0 фо/9-L dq± exp [ — i^x p0 + i% (p0)], A6.36)
причем связь qx и р определяется условием экстремума A6.35).
Такая связь имеет место в классической теории [ср. C.96)]. Подстав-
Подставляя A6.36) в A6.34), получаем классическое сечение D.35):
dao=(pdp/q± dqx) qx dqx dtp = d2 p. A6.37)
Подобный переход можно провести и в сечении A6.28). Для того
чтобы убедиться в этом, учтем, что если в классическом пределе
8i = е2 умножить dw A6.30)—A6.31) на энергию фотона, то найдем
выражение для излучаемой энергии C.94) без множителя Ф, а про-
проделав в A6.21) такой же переход, как в A6.34) с учетом A6.14),
получим сРрФ, следовательно, умноженное на энергию фотона се-
сечение A6.28) переходит в энергетическое сечение излучения C.104).
§ 17. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
17.1. Сечение для неполяризованнных ча-
частиц. Рассмотрим теперь представляющий основной практиче-
практический интерес случай излучения при рассеянии частиц большой
энергии в кулоновском поле, для которого
Х(р)= - J V{y
—я
где а — параметр регуляризации для кулоновского потенциала,
который будем считать много больше всех характерных размеров
задачи и от которого сечение не зависит.
Как уже отмечалось, в общем выражении для сечения излуче-
излучения A6.28) множитель dw (q, k) не зависит от вида поля [см. A6.30),
A6.31)], поэтому необходимо найти лишь A(q) [см. A6.21)]. Учиты-
Учитывая, что (см. [52], с. 433)
J (d/dp)V(Vp^+t2)exp[ifli t) =
— 3©
= -? J [pexp(i<7i|0/(p2 + <1K/2]^=-2&7i,/C1(<7iiP), A7.2)
где Kx — функция Макдональда, и используя явный вид фазы рас-
рассеяния в кулоновском поле A7.1), получаем для A (q) [см. A6.21)
217

и [52], с. 707]:
А (д) = (-2&7Ц /д± а2' 1) ? pi+"S Л (^ р) К, (?ц р) rfp=
i?) Г3 A + i?) x
A7.3)
где /•" (a, b; c, z) — гипергеометрическая функция. Здесь мы вос-
воспользовались преобразованием гипергеометрических функций
(см. [52], с. 1057) от аргумента A — \1у) к аргументу A —у):
F{2 + [l,\+il\2,\-lly) = yx + *F(-il,\ + H;2;\-y). A7.4)
Для входящей в A8.3) гипергеометрической функции имеет место
соотношение
A + Щ F (~М, 1 + ig; 2; 1-у) = V(y) + ityW(y), A7.5)
где
= l\lV)dV(y)ldy, A7.6)
следующее из преобразований сдвига параметров для гипергеоме-
гипергеометрических функций (см. [41], с. 71).
Удобно использовать переменную
y = (kPl)(kp2)/q*e1s2, A7.7)
которая в классическом пределе (e2~^Bi) переходит в C.110).
При <7~<7мин
уъяЪ1<Р = \-<&(р\ <72 = <7?i +ql, A7.8)
следовательно, в этой области
где
ФЙ0 , A7.10)
Ki" V2@)
причем
у-2 @) = Р A — Ц) П A + ig) = (ng/sh я^J. A7.11)
При г/« 1, что означает, что q]_ ~ q2, т. е. <7 > q ц, имеем Ф (г/) ->- 1.
По этой причине представление A7.9) можно использовать во всей
области существенных передач q (с подобной ситуацией мы уже стал-
сталкивались в классической теории). Напомним, наконец, что A (q) не
зависит от спина излучающей частицы, поэтому сечение излучения
218

ультрарелятивистской частицы в кулоновском поле имеет вид
[см. A6.28), A7.9)]
day{s, с) = №2/Я*) Ф (У) d2 q± dwSi e (q, k) = doBis,e) Ф (у), A7.12)
где dOy(S,e) — сечение излучения в первом борновском приближе-
приближении (низшем приближении теории возмущений). Действительно,
когда ? -»- 0 (именно в этой области применимо борновское прибли-
приближение), то Ф (у) ->¦ 1. Учитывая, что сечение do0 (q) из A6.5) в ку-
кулоновском поле
dao = DZVqi)<Pq±, A7.13)
видим, что в области поперечных передач импульса q ^> <7ц сече-
сечение излучения в кулоновском поле совпадает с сечением в борнов-
борновском приближении:
do$(,.e)=do0(q)dw{s.e) (q,k) = D2/qi)dws,e(q,k)d*qx. A7.14)
Это обстоятельство связчно с тем, что сечение рассеяния в кулонов-
кулоновском поле совпадает с борновским. Сечение A7.14) естественно
можно получить с помощью диаграммной техники, изложенной
в разделе 5.7 (см. диаграммы рис. 13), если в найденном сечении
(в первом порядке по взаимодействию с внешним полем и точном по
импульсам частиц) оставить старшие по 1/у2 члены [3]. В этом смыс-
смысле вероятность излучения на траектории в виде угла (с учетом отда-
отдачи!) представляет* собой в случае больших энергий старший по
1/у2 вклад двух диаграмм (см. рис. 13, а), без фактора 4|2/<74, со-
соответствующего внешнему полю [ср. A6.5) и A7.14)]. Замечательно,
что после суммирования по всем порядкам взаимодействия с внеш-
внешним полем (сумма вкладов бесконечного числа диаграмм) получаем
сечение в борновском приближении A7.12), умножаемое на уни-
универсальный фактор Ф (у), не зависящий от спинов и поляризацион-
поляризационных состояний и отличный от единицы только при q ~ <7мин-
Учитывая, что d?q± = e22dQ2, и проводя простые преобразова-
преобразования в A6.30) и A6.31) находим для скалярных частиц:
daBvs = [4Z2 а3 е2/BяJ qi ej | е2 ер1/х1—е1 ер2/и212 (d2 /г/со) dQ2, A7.15)
где -кх = kpi; x2 = kp2. Просуммировав по поляризациям фотона
[см. (А. 19) Приложения А], получим
daBys = [4Z2 а3 е2/BлJ q* ej [ — (<?2 вг е2)/(х1 х2) —
—(m2/xfx|)(e1x1 —е2и2J—1] (d3k/w)dQ2. A7.16)
Аналогично для частиц со спином 1/2 после усреднения по спинам
начальных и суммирования по спинам конечных частиц, что удоб-
219

но сделать непосредственно в двухкомпонентной записи A6.31)
имеем
doye = [4Z2 а3 е„/BяJ q4 ej {| е2 ePl /х1—е1 ер2/х212 +
2] [k (Pl-p2)]2}(d36/cu)dQ2. A7.17)
В этой формуле первый член в фигурных скобках совпадает с соот-
соответствующим членом в сечении излучения скалярной частицы, вто-
второй является спиновой добавкой. Просуммировав по поляризациям
фотона [см. (А. 19)], найдем
doBye = [4Z2 a2e2/Bn)V ej [(—m2/x? xjj) (Bl xx—ea x2J —
—(9V2X! x2) (ef + e3)—A/2) К/и2 + xjxj] (d3 й/со) dQ2 =
= [2Z2 a3 e2/BлJ ф ex] { — 2m2 ef/x! — Bm2 el/xf) A — со/е^2 +
+ [4e? A —<e/ei) m2—?2e? [1 +A — a/etf]]/*! x2-
A7.18)
Для вычисления интегральных сечений, в частности спектра
излученных фотонов, удобно перейти к переменным у [см. A7.7)] и
^ —¦ yLc/yl CO/7Z ^ /Cj, I] — ^Zc2/OJr/i ^ X2, ^1 ' . 1 J/
в которых* сечение для скалярных частиц A7.12) и A7.16) с точ-
точностью до членов, дающих вклад в спектр, имеет вид
do = [4Z2 а3 е3 dcudy dt, dr\/(nm2 ех со5^т])] [1/у— 1 —
—•(? —Т)JД;2Т1262]Ф(#)> A7.20)
где
5 = 1 ... _. . _.. „
A7.21)
При тех же условиях сечение тормозного излучения электронов
в используемых переменных имеет вид
daYe = [2Z2 a3 e2 dco d# dt dx\l{nm2 &1 wSt,r\)] X
X [(ef+е|)/е1е2г/—^/-Пб!—^/^-га-л^^б2] Ф(г/).
A7.22)
Интегрирование по х\ проводится между нулями 5 [см. A7.21),
а также (Г.40) и (Г.41) Приложения Г]. В рассматриваемые сече-
сечения входят интегралы вида
". я=1.2,3, A7-23)
* Переход к инвариантным переменным дан с помощью методики, при-
приведенной в Приложении Г.
220

вычисляя которые, имеем
X [A — Ю*—6Х A-Я) (?— 1)]; В] = 2я A — Я)/A — %1)\
:—Л); В5 = Bя/?) X A — X) (?—1).
A7.24)
Три последних интеграла понадобятся нам в дальнейшем. При
интегрировании по у встречаются интегралы вида
I Ф (У) (V62) dy = J Ф (у) [A -г/)/г/] ф; f ф (у) (**/6*) ф. A7.25)
е« б2 б2
Воспользовавшись гипергеометрическим уравнением (см. [52],
с. 1059), нетрудно показать, что
f Ф (У) [A —У)/У] dy= [A — y)lV°- @)] [VW+ V2—у A — у) I2 W2h] =
б2
= 2(lnl/6—1/2—/(?)), A7.26)
где
S (L(+)g« = i»f l/[n(n2 + g2)]. A7.27)
Здесыр (ж) = In Г (x)/dx; t, Bn + 1) — дзета-функция Римана. При
получении правой части A7.26) мы использовали известные асим-
асимптотические разложения гипергеометрических функций (см. [41],
с. 85) и оставили только старшие члены разложения. При вычисле-
вычислении другого интеграла A7.25) следует иметь в виду, что вклад в него
дает (с точностью до членов более высокого порядка по б2) тол ько
область малых у ~ б2, так что
1 1
) dy « б2 J dy/y* =1+0 (б2), A7.28)
в2
где было учтено, что Ф (у) = 1 + О (у) при у < 1.
Выполнив интегрирование сечений A7.20) и A7.22) с помощью
формул A7.23)—A7.26) и взяв элементарные интегралы по ?, полу-
получим (с точностью до членов ~ 1/-у2) спектр тормозного излучения
при рассеянии скалярной частицы в кулоновском поле
da^s = A6Z2 a3/3m2) (e2/8l) (dala) [In 1/6—1/2—/ (?)] A7.29)
221

и спектр* тормозного излучения электронов большой энергии в ку-
лоновском поле:
— 2/3) [In 1/6— A7.30)
-1/2-/A)],
где / (|) определяется формулой A7.27). При 5 ->¦ 0, / (?) -»- 0 по-
получаем спектр излучения в борновском приближении.
При | > 1 имеем / (?) -»- In ? + С, где С — постоянная Эйле-
Эйлера, С = 0,577. Этот случай соответствует переходу к классической
теории (Za = Ze^lhc > 1 при % -»- 0). Учитывая, что е2 -»- еъ ви-
видим: оба сечения A7.29) и A7.30) переходят в D.65). В классиче-
классической теории имеется жесткая связь между р и q± (см. раздел A6.2),
Ф (у) -+ФЫ (у) [см. D.39)]. Тогда в интегралы A7.25) основной
вклад дает область у ~ 1/4|2 <^ 1, причем происходит экспоненци-
экспоненциальное обрезание области с минимальной передачей импульса, где
существенны квантовые эффекты.
Полученные сечения логарифмически растут с энергией. Отме-
Отметим, что в выражениях для сечений A7.16), A7.18) содержатся
члены, квадратично растущие с энергией, которые, однако, взаим-
взаимно компенсируются. Именно поэтому удобны выражения, содержа-
содержащие член (е^ — 82х2J, в котором указанная компенсация про-
происходит внутри. При малых со сечения ведут себя как dco/©; обра-
обратим внимание, что в сечениях A7.16), A7.18) имеются члены [1 и
(хг/х2 + х2/щ)/2 соответственно], которые ведут себя как ©cf©.
Однако при интегрировании по ф вклад дает нижний предел
A/<7мин ~ 4у4/со2), поэтому в спектр эти члены дают вклад вида
dti>/&. Основной вклад в интегралы дают области <7мии < <72 < tn2;
г], ? ~ 1. Это означает, что угол отклонения частицы лежит в ин-
интервале 0 < Ф _< mis , а углы излучения < 1/у.
17.2. Поляризационные и спиновые эффек-
эффекты в тормозном излучении. Формула A7.12) опре-
определяет сечение рассеяния для произвольно поляризованных элек-
электронов, если в нее подставить соответствующим образом преобразо-
преобразованное выражение dwe [см. A6.31)]. Введем обозначения, которые
уже использовались в разделе 3.7 (см. рис. 10):
= p2—n(np2); n = k/oo, A7.31)
* Сечение тормозного излучения для неполяризованных электронов
[см. A7.12), A7.30)] было впервые найдено Бете и Максимоном [33], которые
проводили вычисления в представлении Фарри с использованием приближен-
приближенных / > 1 волновых функций электрона в кулоновском поле. Спектр A7.30)
затем получен в работе [811. Формулы A7.12), A7.30), для электронов были
найдены также в работе [82], в которой вычисления проводились с использо-
использованием квазиклассических волновых функций. Приведенное изложение сле-
следует работе [21]. Сечение в борновском приближении было вычислено Бете
и Гайтлером [32] и часто носит имя этих авторов.
222

в терминах которых I [см. A6.32)] приобретает вид [см. A7.19),
A7.21)]
1 = (т/<7мнн)[(и-п)/?-(у-п)/л]. A7.32)
Тогда сечения для скалярных частиц и электронов можно предста-
представить в виде
Jg!^^rf^Ls.e, A7.зз)
ш
Здесь [см. A6.30), A6.31)]
Ls = |e*I|2; A7.34)
= (l/8e1e2)Sp{[(e1 + e2)eI — icoe[al]] A+ ?
X [(е! + в2) е* I + кое [al]] A + Ei о)} =
—^ Re (el) (Ei I) (?2e*) + ^ Re (el) (?21) (^
[](E1 + Es)
*]I(E2I), A7.35)
i[ee]I(EiI)ip[ee]I(E2I),
48! 4S2
где En S2 — вектора поляризации электрона в начальном и ко-
конечном состояниях. Выбирая в плоскости перпендикулярной п оси
е1 = и/ы; е2 = [Ф\—u(av)]/uYu2v2 — (uvJ,
получаем для соответствующих параметров Стокса, характеризую-
характеризующих поляризацию излучения (см. раздел 1.6):
2?
пол
X (/A) ?2B) + /B) ?2A)) + (»/2е2) (?2 I) G2 ?l B) + /B) ?1 A)) —
223

— /B) ?2B)) + (
- (co/26l) (& I )/C) - (co/2e2) (?, I) /<3)}, A7.36)
где сумма по поляризациям фотона
2 Le = \ {[(в* + e*)/B8l в,)] Р- /?а, + (I2- /?з>) (& S.) +
пол 2
+ (e>/8i) (gl I) /C) ?2C, -(<0/в2) (?, I) /C, ?l C, +
+ K/2eies)I8SiC,E2C,}. A7.37)
Для входящих в эти выражения векторов введены обозначе-
обозначения
(ae2) = aB); (ап) = аC).
Отметим, что если мы рассматриваем чистые состояния элект-
электрона
Наряду с сечением A7.33) интерес представляют также сечения,
проинтегрированные по углам вылета конечного электрона dQz или
в новых переменных dt\dy. Интегрирование по г\ ведется согласно
формулам A7.23), A7.24), а интегрирование по у — согласно фор-
формулам A7.25)—A7.27). Для интегрирования сечения A7.33) до-
достаточно найти тензор
'ilj, A7.38)
поскольку остальные факторы от у и ц не зависят. Учитывая, что
после интегрирования в нашем распоряжении имеются два вектора
п и и и что Ttj = Тп, можно представить тензор T,j в виде
ТИ = С! 6а + С2 Щ Щ +С3 (nt Uj + tlj Ut) + C4 Щ Щ.
Для определения коэффициентов сг — с4 достаточно свернуть
A7.37) с тензорными комбинациями, входящими в A7.38), тогда
224

получим:
P;
Подставляя в эти интегралы I A7.32) и воспользовавшись форму-
формулами A7.23)—A7.27), получаем:
/1 = (я/Е»)[4Г(?-!) + ?*]; /, = Bя/?»)Г(?-1)(Б-2);
/, = (я/С)BГ + 3); /4 = (я/0(?-
где
A7.41)
Используя найденные значения /х — /4 в системе уравне-
уравнений для коэффициентов сх — с4 A7.39) и решая ее, имеем для
тензора Тц A7.38) следующее выражение:
где
Та = (я/?;3) [(Г + 1) Е«б|,-4Га»,
—5/2)п.
A7.42)
A7.43)
Подставляя Ту в A7.33), находим сечение тормозного излучения,
проинтегрированное по углам вылета конечной частицы:
; A7.44)
—^ Г A + & gs) | ей |« +1
в,]
i^
-©^ Re (ego (e*g2)--i^ Г Re (e*u)x
X [в! (glW) (egO—в, (glW) (eg,)] + 1, [в» (Г + 3/2) Fl (gin) +e2 (g,n)) +
A7.45)
Зак. 979
225

где
l,= i[ee*ln A7.46)
спиральность [ср. (А. 17) Приложения А], характеризующая круго-
круговую поляризацию фотона*. Отметим, что в полученных выражениях
с точностью до членов ~ \1у можно заменить (?2 п) и (?2п) на (^v)
и (?2V)> гДе v — vii и п0 т°й же причине положить
— ?/2)v. A7.47)
Суммируя по поляризациям конечного электрона, получаем
da(Pl, ?lf к, е)=-
A7.48)
Просуммировав по поляризациям фотона, находим угловое распре-
распределение излученных фотонов:
davs (Pl, к) = *??-. is-. ^ . ij [Г (Е*-2?+2) + ?]; A7.49)
1)]}. A7.50)
Для описания поляризации фотона введем, как и прежде, орты
е!=и/ы [лежит в плоскости (к, рх) (плоскость излучения)! и e2_Leu
которые были использованы в классической теории (§ 3). Из полу-
полученных сечений A7.33), A7.44), A7.45), A7.48) следует, что излу-
излучение скалярной частицы линейно поляризовано в плоскости, пер-
перпендикулярной плоскости излучения, а излучение электронов
является в общем случае эллиптически поляризованным, причем
большая ось эллипса перпендикулярна плоскости излучения (по-
* Сечение тормозного излучения в борцовском приближении с учетом
всех поляризационных и спиновых корреляций имеет очень громоздкий вид.
После суммирования по спину конечного электрона оно приведено в книге
[3]. В некоторых работах проводилось интегрирование по импульсам и сумми-
суммирование по спину конечного электрона, с тем чтобы найти средние характе-
характеристики тормозного излучения (включая и поляризацию): [49] (для неполяри-
зованных электронов); [42, 30, 102] (для произвольно поляризованных элек-
электронов) и [66, 67] (для продольно поляризованных электронов). Поляриза-
Поляризационные и спиновые эффекты при тормозном излучении частиц большой энер-
энергии получены в работе [83].
226

скольку в обоих случаях коэффициент при |еи|2 отрицательный).
Основной интерес представляют средние параметры Стокса излуче-
излучения, т. е. для сечения, проинтегрированного по углам вылета ко-
конечной частицы и просуммированного по спинам конечного электро-
электрона, из A7.44), A7.48) имеем:
]; A7.51)
{[(е1+е2)BГ + 3)—2в,A + 4(?—
f A7.52)
1)Г/?*]. A7.53)
Из найденных выражений следует, что линейная поляризация
излучения не зависит от спина начального электрона. Легко убедить-
убедиться, что в классическом пределе (|= Za. > 1, е2 ->- Ej), 2Г -»- Gx — 3
[см. A7.27), A7.4) и C.126)], тогда ?| = \% = ?? C.130), C.131).
Отсюда вытекает, что линейная поляризация тормозного излучения
имеет классическое происхождение. Круговая поляризация возни-
возникает только при излучении поляризованных электронов, так что по
степени круговой поляризации излучения можно определить вели-
величину поляризации начальных электронов. Все найденные характе-
характеристики зависят от угла излучения (? = 1 + ^i^Yi2). Для электро-
электрона имеется также зависимость от © (и Ei Для круговой поляризации),
величина же поля входит только в величину Г. Поэтому качествен-
качественно поляризационные эффекты такие, как в борновском приближе-
приближении, когда / (I) -* 0 и Г -* Гв = In A/6) — 2.
В случае больших энергий (Г > 1) линейная поляризация излу-
излучения скалярной частицы достигает максимума при ? = 2 (в1^ =
= 1/yi), при ? = 1 и при ? -»- оо поляризация излучения исчезает.
В максимуме поляризация излучения приближается к единице:
Гз (С = 2) = — 2Г/BГ+4)~—A-2/Г). A7.54)
Для электронов при Г )>> 1 имеем
|| = -4вх е2 (Е- 1)/№ (ef + в?) -48le2 (С-1)]. A7.55)
Степень линейной |||| также достигает максимума при ? = 2,
но, в отличие от случая скалярных частиц, она падает с ростом ча-
частоты фотона (рис. 31): при (в->-0|?|| -»-1, при 82 = 8! — ux^ejill -»-•
~^г2/е1<^ 1 (заметим, что все формулы справедливы, если e2fe1 ^>
> 1/ух , т. е. е2 > т). По этой причине при е2 < ех эллиптическая
8* 227

поляризация переходит в круговую,
что в этом случае
из A7.52), A7.53) вытекает,
A7.56)
Таким образом, излучение
тронов (^v = ± 1) при е2 < E
продольно поляризованных элек-
полностью поляризовано по кругу,
а знак ?2 совпадает со знаком про-
проекции спина на направление дви-
движения. Проинтегрировав сечения
A7.44), A7.48) по полярному углу
вылета фотона (с релятивистской
точностью можно считать 1 ^ ? ^
^ оо), получим сечения, характе-
характеризующие поляризационные свой-
свойства в целом:
0,1 tyt 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 CLS ш/ег
Рис. 31. Зависимость, степени ли-
линейной поляризации от частоты
фотона при Г » 1, С = 2 без
учёта экранирования.
х
ЗП/П2
Г, 1
1--
(О
1 /17С7Ч
1 ; A7.57)
j
A7.58)
Напомним здесь, что <рг — угол между направлением и и ex. Видно,
что это сечение не зависит от поперечной поляризации начальных
электронов. Параметры Стокса, характеризующие излучение в це-
целом, следующие:
?s t* n. ?s_ 1 __?_• A7.59)
2 Г + 3/2
0> A7.60)
где
A7.61)
Видно, что излучение существенно поляризовано. В классическом
пределе (e,-*-elf 2r-^Gi—3)^ = ^3 = ^' [см. C.134)]. Прие2 « 8Х>
". a iI-»-?iV.
228

Проинтегрировав по азимутальному углу *q>i, что соответствует
суммированию по линейным поляризациям, имеем для скалярных
частиц сечение A7.29), а для электронов
i ). A7.62)
где dafv дается A7.30). Очевидно, что формулы A7.29), A7.30)
можно также получить, проинтегрировав по углу вылета фотона
сечения A7.49), A7.50).
Обсудим теперь найденные результаты с точки зрения дискрет-
дискретных симметрии. Параметр ?2 является псевдоскаляром (см. при-
приложения А), поэтому в сечение член с ?2 может входить лишь в ком-
комбинации с другим псевдоскаляром, составленным из векторов за-
задачи. Такие псевдоскаляры — скалярные произведения векторов
спина ?2 и ?2 и полярных векторов задачи (рь р2, к, е) [см. A7.35),
A7.45), A7.48), A7.58), A7.62)]. Поскольку в данной задаче имеется
три независимых вектора р1( р2, к, то из них также можно построить
псевдоскаляр вида ([крх]р2). Члены такого вида не инвариантны
относительно изменения знака всех импульсов и поэтому отсутствуют
в первом борновском приближении, в котором эта операция экви-
эквивалентна преобразованию отражения времени. Поскольку в рассма-
рассматриваемом случае учет высших борновских приближений сводится
к умножению борцовского сечения на универсальный множитель
Ф (у), не зависящий от поляризаций A7.12), то в итоге не могут
возникнуть новые корреляционные члены по сравнению с имеющимися
в борновском приближении. Согласно соображениям, изложенным
в разделе 7.3, параметр^ является Р- и Г-инвариантом и соображе-
соображениями симметрии не запрещается. Из векторов задачи u, v, а также
из векторов спина ?ъ ?2 можно построить несимметричные комби-
комбинации типа (eu) (e*v), (el) (е* ?2) и т. д. в сечениях A7.33), A7.35)
и (eu) (e*gj) и т. д. в сечении A7.45), т. е. появляются члены, со-
содержащие параметр Стокса 1г [см. A7.36)]; этот параметр при вы-
выбранных осях еь е2 является Р- и Г-инвариантным, следователь-
следовательно, излучаемый фотон обладает линейной поляризацией обоих видов
как по осям е2 и е2, так и в «диагональных» направлениях под углом
45° к этим осям. Однако это имеет место, пока регистрируется на-
направление вылета или спин конечного электрона. После суммирова-
суммирования по конечным состояниям электрона член с li выпадает, что, оче-
очевидно, следует из соображений симметрии: имеется одна выделен-
выделенная плоскость (к, р2) и нормаль к ней (ej, а «диагональные» направ-
направления становятся эквивалентными. Что же касается корреляций
вида ??2 (так же, как и ?г Е8), то, поскольку ?2 входит линейно,
можно построить только один псевдоскаляр типа ?iv(H3 двух остав-
оставшихся после интегрирования по р2 векторов plt n нельзя построить
псевдоскаляр). Таким образом, члены такого вида не инвариантны
относительно инверсии. Из A7.48) вытекает, что степень линейной
229

поляризации не зависит от поляризации электрона, если по состоя-
состояниям конечного электрона проведено суммирование.
Рассмотрим теперь сечение A7.45), проинтегрированное по
углам вылета фотона (?, фх):
dave (plf ;if ;2, е) = i^-. *?- (Г + 3/2) {в? + 8| _ 2в1 82/3 +
//2 ? | СО
+ (8i + е2J (Ei У/3-2©2 Re (egO (e* g2)/3 +
Г ех/3) (?2v)]}. A7.63)
Корреляционные члены (спинов и поляризации фотона), содержащие-
содержащиеся в этом сечении, совпадают с имеющимися в борновском прибли-
приближении, поскольку зависящий от внешнего поля член (Г + 3/2) вы-
выделен в виде общего фактора. Просуммировав A7.63) по поляриза-
поляризациям фотона, получим сечение, содержащее возможные спиновые
корреляции:
EiV) (Esv)/3} = ^L x
^ A7.64)
Отметим, что сечения A7.63), A7.64) легко получить из дифферен-
дифференциального сечения A7.35), если учесть, что [ср. A7.38) — A7.43)]:
X [(Г + 1) 6„ - Я1 wt w^ = 2я^ [(Г + 1) - Г/3] 6„- =
= Dя2/3)(Г + 3/2)б0. A7,65)
Параметры Стокса, совпадающие, как отмечалось, с борновскими,
имеют вид
= B-^w [(8l + е,/3) (Exv) + (е2 + ex/3) (g2v)];
'(EiV)(E,v)/3. A7.66)
Отсюда вытекает, что линейная поляризация излучения в целом
(при фиксированных спиновых состояниях) максимальна, когда
SiV = ?2v = 0, gx = — Е2, Vut = 1- В этом случае В = со2 и
|= 1/3 для всех со.Циркулярная поляризация максимальна, когда
230

(gxv) = — (g2v) = ± 1. В этом случае ?2 = ^v, т. е. излучение пол-
полностью поляризовано по кругу, причем спиральности фотона и элек-
электрона совпадают.
В жесткой части спектра, где е2 > е2) параметры Стокса при-
принимают простой вид:
6 = I Си. 11 C2j_|/[3 + (Siv) (eav)]; A7.67)
В заключение рассмотрим деполяризацию электронов при излу-
излучении. Степень деполяризации излучившего электрона определяет-
определяется соотношением
A7.68)
Подставляя сюда A7.64), получаем
+ i52-2e1e2/3]. A7.69)
В случае излучения мягких фотонов шС^, D~(n\jz\ <g 1, т. е.
деполяризация весьма мала. В случае же е2 < е2 (жесткая часть
спектра) деполяризация максимальна и ее степень D » 2/3 для
продольно поляризованных электронов и D — 1 для поперечно
поляризованных электронов.
§ 18. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В ЭКРАНИРОВАННОМ КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
18.1. Сечения с учетом экранирования. Рас-
Рассмотрим теперь задачу об излучении в реалистических условиях,
т. е. с учетом экранирования заряда ядра атомными электронами*,
что приводит к уменьшению сечения излучения. Радиус экраниро-
экранирования г, очевидно, порядка размеров атома. Рассмотрим такие г,
что г ^> 1/т, тогда при q ~ т (р ~ \1т) экранирование не сказы-
сказывается, а сечение излучения в этой области [A7.12) при j« 1]
при отсутствии экранирования совпадают с борновским. Поэтому
необходимо провести анализ в области 0 <; q± ^ q0, IIг С <7о <S т.
В этой области [ср. A6.16)]
Учитывая
= (u—vJ+2uv(l— coscp) < 1, A8.2)
* Эти вопросы рассматривались в работе [83].
231

видим, что и~ v < 1, 1— cos<p<l, так что/?/ж/?1 + -г— •— <7i
"Pi u
K— 1/fey) — A /fe^) (a/^i/api) (u/«) <7± »
)<7±. A8.3)
Сечение излучения, проинтегрированное по углам вылета ко-
конечного электрона, имеет с учетом A8.3) вид [см. A6.21), A6.22)]:
оо оо
dav = j рх фх j р2 фа Jx (q^px) Л {q±pd exp {i [% (px) — x (p,)]} X
о о
____ \ /i/ I /j/ fiyn fi/Tn 1/ - / 11 I/ I 1 ' /\2 l У ^ 11/ |i f\? I /^1 \^
<3pi dp2 J J
—00 —00
В интеграле по dQ2 перейдем к переменным E = /n(u—v)lqxvi
q , тогда dQi = mivdvdylz\mtriiudvdqlsl-*-d$q1, dq (ъ\ yfHTftT
т. е. в этих переменных от <7± зависит только dfi2 и Ji{q,,pl 2)-
Рассмотрим интеграл
q°.
% Ы ^ j Pi Фх р2 Фа j q± dqx Ji {qx Pi) Jx (<?± P2) x
0
X[exp{i[x(p1)-X(Pi)]}-H, A8-5)
который представим в виде
L0 <?» -I
Нетрудно убедиться, что здесь первый интеграл обращается в нуль.
Действительно, 5?(оо) можно представить в форме:
X(оо) = I d2pjd2p2d2q cosфгcosф2х
BлK J x
X exp [iqx (Pl — p2)] [exp {i [% (Pl)
= 7^-1 d2 Pi ^2 P2 cos ф2 cos ф2 б (px—p2) [exp {i [% (pt) —
Таким образом,
2 foo) =]dq±[...}= -]dq±[...). A8.7)
232
]
0 <7o

Заметим, что разность [exp {i [% (рх) — % (p2)J) — 1], входящая
в интеграл A8.5), входит в разность точного и борновского сечений
излучения [ср. A6.23)]. Поскольку этот интеграл можно представить
в виде A8.7), в котором эффекты экранирования в подынтегральном
выражении уже не существенны, можно сделать вывод, что разность
точного и борновского сечений излучения от экранирования не за-
зависит. Иными словами, учет высших борновских приближений и эк-
экранирования можно провести независимо.
Из цепочки равенств
\do» = J [do** + da»—do*c] = j da*«-f-J -[dor™'—dcrf"«] =
= j do"°sc+ [ [da^sc— doB"°sc] A8.8)
вытекает, что вся информация об экранировании входит в борнов-
ское сечение излучения. Поскольку J do™' найдено в § 17, нам
остается вычислить второй интеграл A8.8), но уже в борновском
приближении.
В случае экранирования вместо величины l/q2, которая входит
в амплитуду рассеяния на неэкранированном потенциале, мы долж-
должны ввести в матричный элемент множитель [1 — F (q) ]/q2, где F (q) —
форм-фактор атомных электронов, следовательно, в сечеыии излу-
излучения вместо величины \1ф будет стоять [1 — F (q^/q*, а разность
в A8.8) будет содержать {[1 — F (q) Р — \\lcf.
В области малых передач импульса, где интеграл Г [dOySC —
— da^nosc] отличен от нуля, передачу импульса q можно предста-
представить [см. A7.8), A7.19), A7.21)] в виде qlm = ЬУУу, поскольку
в этой области ? « т|. Поэтому интегрирование по переменной т)
проводится, как в A7.23), A7.24). При интегрировании по у вместо
интегралов вида A7.25) будут входить следующие:
= 2 J [A — F (mje))«— I] [<jks —?*вя)/х»] Лс, A8.9)
причем в интеграле, содержащем [1 — F (х)]2, можно положить
нижний предел равным нулю, поскольку [1 — F (x)] cv> x и инте-
интеграл сходится на нижнем пределе.
Учитывая все сказанное выше, получаем, что тензор Ти A7.37)-^-
A7.42) при учете экранирования имеет такой же вид, как и раньше,
но к функции Г A7.41), возникавшей при интегрировании по у,
следует добавить интеграл по у от второго члена в A8.8), т. е. A8.9).
233

Это возможно потому, что Точное сечение представляло борновское
сечение, умноженное на Ф (у) A7.12), а сечение с экранированием
представляет борновское сечение, умноженное на [1—F (т?5/|/г/)]2.
Итак,
Г^Г,с = Г + Я?6) = 1п1/8-2-/® + Я?6). A8.10)
Для явного вычисления § (?5) воспользуемся видом атомного
форм-фактора в модели Томаса—Ферми [75]
где
а^О.10; a2 = 0,55; a3 = 0,35;
Подставляя A8.11) в A8.9), получаем в результате простых вычис-
вычислений
=—1-2 <*? In (!
1/2), A8.13)
где
В, = Р,./?б/п. A8.14)
В случае полного экранирования, когда В, = Pj/5?m ^> 1 (это
означает, что радиус экранирования много меньше расстояния, со-
соответствующего минимальной передаче, следовательно, область
минимальных передач импульса обрезается), из A8.13) получаем
следующее выражение:
ln(lllZ-I/4S). A8.15)
Подставляя в A8.10), находим, что
rw=ln(lllZ-'/4)-2-f(?) A8.16)
уже не зависит от энергии (эта зависимость входила через 6).
Как уже отмечалось, сечение тормозного излучения, проинте-
проинтегрированное по углам вылета конечной частицы, имеет одинаковый
вид при отсутствии экранирования и при учете экранирования, и раз-
различие состоит только в том, что в первом случае Г определяется
формулой A7.41), а во втором Г = Fsc — формулами A8.10),
A8.13), так что можно непосредственно использовать A7.44)—
234

A7.56). Спектр излученных фотонов [см. A7.50), A8.10) и A8.13)]
в свинце при е = 50 Мэв,^1к = т1ъх приведен на рис. 32. На рис. 33
дана степень линейной поляризации излучения |?|| A7.52), а на
рис. 34 — степень круговой поляризации при излучении продольно
поляризованных электронов — |||| A7.52) в тех же условиях.
20г~
0 0,2 В-,4- 0,6 0,8co/sf
Рис. 32. Спектр излучения в
свинце как функция частоты при
угле излучения Ь^ = ml г, (С =2),
в! = 50 Мае, а0 = 2%2а:
а—по A7.50), A8.10). A8.13); б —
борновском приближении с учетом эк-
экранирования.
Рис. 33. Линейная поляриза-
поляризация излучения в направлении,
перпендикулярном плоскости
излучения |||
= 50 Мэв,
а—по A7.52); б —в борновском
приближении с учетом экранирова-
экранирования; в —в борновском приближении
в пренебрежении экранированием.
|||| в свинце
Наконец, на рис. 35 приведена степень линейной поляризации,
а также степень круговой поляризации для продольно или попереч-
поперечно поляризованных электронов при 8 = 50 Мэв, #lft = 0,41 т\гх
в свинце.
Для нахождения спектра излучения (сечения, проинтегрирован-
проинтегрированного по углам вылета фотона) будем исходить из A7.65):
2) wt'wj]. A8.17)
Отличие потенциала от кулоновского приводит к тому, что в тензо-
тензоре Uj появляется наряду с изотропной 8tj еще и продольная (по
отношению к скорости электрона) часть:
If, =
A8.18)
где
A8.19)
235

Отсюда видно, что если Г не зависит от ? (как это имеет место при
отсутствии экранирования), то 1Х = /2 = Г и ltj = 4я2(Г + 3/2) 8^/3
[ср. A7.65)].
0,2 0,4 0,6 0,8@^
Рис. 34. Круговая поляриза-
поляризация тормозного излучения про-
продольно поляризованных элек-
электронов в свинце (&у = 50 Мзв,
Qlh = m/&i); а и в см. рис. 33.
0
Рис. 35. Линейная поляриза-
поляризация тормозного излучения \%%\,
круговая поляризация тормоз-
тормозного излучения для продольно
(поперечно) поляризованных
электронов i\long(%2tr) в свин-
свинце при ег = 50 Мэв, djfc =
= 0,41 m/ej [согласно A7.52),
A8.10), A8.13)].
Выражение.A8.18) удобно представить в виде
1а = 2я2 [(Ч>1 - ЧУ 3) 8tj
A8.20)
где
A8.21)
В случае полного экранировани-я (для достаточно больших энергий),
подставляя сюда Tsc A8.10), A8.15), имеем:
A8.22)
Подставляя найденный тензор 1\) A7.65), A8.20) в A7.33),
A7.35), получаем сечение тормозного излучения с учетом экра-
экранирования, которое проинтегрировано по углам вылета фото-
фотона и содержит все возможные спиновые и поляризационные
236

корреляции:
dosye (plt Ei. Б», е) = (P a»/m« eJ) (Ло/ш) {(e? + eg) ^ -
-2Bl82ip2/3 + [2exe2 (ifc -яр2/3) + со2 ip2/3] (^ ?,) +
+ »2 (Ф1-*,) (Si v) F, v)- B<o« ф,/3) Re (eg,) (e* g2) +
+ Г2 <» [(ex ^ + e2 (^_2^,/3)) ((dv) + (e2 ^ +
)]}. A8.23)
Суммируя по поляризациям фотона, найдем сечение, содержащее
возможные спиновые корреляции:
1, El, S2) -^S • — {(8?
ТП Е j СО
-Ъ/З) (EiE.)
= ^.^-Q. A8.24)
а для параметров Стокса имеем из A8.23) [ср. с A7.66)]:
+ [e2 tyi + ё! (ih—2лр2/3)] (E«v)}/Q. A8.25)
В жесткой части спектра (е2 <^ et) параметры Стокса имеют вид:
Г = Ф, | Eijl II Б»л |/[Зф! + (Зфх-2*,) (Si v) (S,v)];
A8.26)
В случае, когда начальные электроны полностью продольно
поляризованы, ?sc = О, ^|С = EiV, т. е. излучение полностью
циркулярно поляризовано [ср. A7.56)], причем это утверждение
не зависит от конкретных свойств потенциала.
Основной практический интерес представляет сечение, просум-
просуммированное по спину конечного электрона. Из A8.23) находим
{18.27)
237
Ei, е) = -^.^Ц(е* + е2)ф1-

Параметры Стокса в этом случае:
Г = 0; If = со [в!
A8.28)
Наконец, усреднив по спину начального электрона и просуммиро-
просуммировав по поляризациям фотона, получим спектр тормозного излуче-
излучения в кулоновском поле с учетом кулоновских поправок при про-
произвольном экранировании (для электронов е и скалярных s
частиц:
(О
A8.29)
Спектр излученных фотонов в случае полного экранирования:
«1*8?
3m2
A8.30)
Средние потери энергии на единице длины пути электрона в веще-
веществе с плотностью атомов п характеризуется радиационной длиной
L = х7ай, где
ei—т
L = Trad = n J (со/еО (da/da) da. A8.31)
В отсутствие экранирования из A7.30) имеем
L' = DZ2a3n/m2)[lnB81//n) —1/3—/
и в случае полного экранирования имеем из A8.33)
= DZ2 a» n//n2) [In A83Z~1/3)—f(|) +
A8.32)
A8.33)
18.2. Деполяризация при излучении. Вы-
Выражение для степени деполяризации A7.68) в случае экранирования
следует из A8.24):
D = со2 [Ъ—fov)» (*! —
? +82) гр!—
]. A8.34)
238

В конце спектра D да 211J/3113! для продольно поляризованных элек-
электронов и ?)ж 1 для поперечно поляризованных электронов. За-
Зависимости круговой поляризации тормозного излучения продольно
поляризованных электронов и деполяризации продольно и попереч-
поперечно поляризованных электронов от частоты для энергии ех = 20 Мэв
и гх = 10 Гэв приведены на
рис. 36.
Аналогично радиационной дли-
длине введем длину деполяризации,
характеризующую среднюю депо-
деполяризацию на единицу длины пути
электрона в веществе
Ldep =
A8.35)
где oflip — полное сечение излу-
излучения с переворотом спина:
8,-01
отр = j ^(?1,— ЕО-Ло/Ло.
о
A8.36)
В случае отсутствия экранирова-
экранирования имеем из A7.64)
. r_i 2Z2a3n ,,
X [1пBг1/т) — 3/2—f(t)]. A8.37)
0,1 0,4- 0,6
Рис. 36. Круговая поляризация
тормозного излучения продольно
поляризованных электронов ?|с
A8.28), деполяризация продоль-
продольно D || и поперечно D^ поляризо-
поляризованных электронов A8.34) с уче-
учетом кулоновских поправок и эк-
экранирования. Графики для is2Ciong
и D^ годятся для любых энер-
энергий и элементов, D ц слабо за-
зависит от энергии электрона.
В случае полного экранирования имеем из A8.24), A8.22)
A8.38)
откуда длина деполяризации
'-dep —
mz
— 1/9}. A8.39)
Если пренебречь в A8.33), A8.39) малыми величинами 1/18 и 1/9,
то получим простое соотношение между длиной деполяризации
и радиационной длиной:
-dep
A8.40)
239

§ 19. РОЖДЕНИЕ ПАР ЧАСТИЦ ФОТОНОМ
В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
Процесс рождения пары во внешнем поле отличается от процес-
процесса тормозного излучения заменой выходящего фотона на входящий
и входящей частицы на выходящую. Поэтому сечение рождения
пары можно получить из сечения тормозного излучения с помощью
правил подстановки. Была продемонстрирована возможность ис-
использования правил подстановки для задач во внешнем поле на
примере связи вероятностей магнитотормозного излучения и рож-
рождения пары фотоном в магнитном поле [см. A1.13) и последующее
обсуждение] для вероятности, просуммированной по конечным со-
состояниям одной из частиц пары (для определенности позитрона).
Точно так же сечение тормозного излучения после интегрирования
по углам вылета конечной частицы легко пересчитывается в сечение
рождения пары* с помощью следующих замен: ех, рь Ei, -> —ги —ри
—$1, ш, k, e -v , —со, —к, е* (|2 -*—12) [ср. A7.46)]; co2dco -> еД/е^
С помощью этих замен из A7.44) и A7.45) имеем
A9Л)
2я/л2
Г (ElW) (E,w) +<** Re (egO (e*g2) + ^- rRe(e*u) [e1(g2w
+ 4 ilx w) (eg2)] + f2 [со (Г + 3/2) (Bl (E^) + e2 (g2n)) -
A9.2)
где w определяется также A7.47), а функция Г совпадает с найден-
найденной в случае излучения для всех рассмотренных видов потенциалов.
Все последующие интегрирования в формулах A9.1), A9.2) нет
необходимости проводить в явном виде, поскольку все результаты
можно получить из найденных для тормозного излучения в § 17,
18 с помощью указанных выше замен.
* Литературу см, в сноске на с. 222.
240

Так, сечение рождения пары, когда электрон имеет импульс
и спин ^ получается из A7.48):
dope (к, е, Pl, gj = -Ц.. i^.. .? <% {(„2 +62) (Г + 3/2) +в,
лт2 ш3 Са
A9.3)
Сечения рождения пары неполяризованным фотоном следует из
A7.49), A7.50):
dape (к, Рх) = ^ • f • ^f {(ef + в») (Г + 3/2) +
+ ei в» A +4Г (С—1)/?»)>; A9.4)
daps(k, Pl) = ^!.?i^!i.p^ + r(^-2S + 2)]. A9.5)
Поскольку после суммирования по поляризациям фотона резуль-
результат не зависит от спина электрона, мы провели по нему суммирова-
суммирование (фактор 2).
В случае линейной поляризации фотона электроны рождаются
преимущественно в плоскости поляризации фотона. Эту ситуацию
удобно описывать показателем асимметрии, который легко найти
из формулы A9.3) (для линейно поляризованных фотонов |2 = 0):
Re = [dape (ue = u)—dape (ue = 0)]/[dape (ue = u) + d<Jpe (ue = 0)] =
где учтено, что и2 = ? — 1. Показатель асимметрии максимален,
когда энергии электрона и позитрона одинаковы, и стремится к
нулю, когда одна из частиц уносит почти всю энергию. Но даже
максимальное значение Re не слишком велико*, и для экранирован-
экранированного кулоновского потенциала оно не превышает 20%.
Для скалярных частиц наблюдается обратная ситуация. Сече-
Сечение daps(k, e, рх) A9.1) максимально в случае, когда рг лежит в пло-
плоскости, перпендикулярной плоскости поляризации (ей = 0). По-
Показатель асимметрии в этом случае
#s = №Рв (ue = 0)—daps (ue = u)]/[daps (ue = 0) + daps (ue = u)\ =
A9.7)
Отсюда видно, что при Г > 1 и ? = 2, Rs « 1, следовательно, для
скалярных частиц асимметрия заметно больше, чем в случае элек-
электронов.
* При Г > 1 максимальное значение #^акс ж 1/3.
241

Если фотоны циркулярно поляризованы, то рождающиеся
электроны также обладают поляризацией (в отличие от случая ли-
линейной поляризации фотона, когда электроны рождаются неполя-
ризованными, поскольку, как уже
отмечалось в разделе 17.2, отсут-
отсутствуют корреляции типа Ei?i»
?i?8). Из сечения A9.3) можно най-
найти средний спин:
.0,8-
0,6-
0,4-
OJ-
-0,2-
-0,4,
til
i // i i
/
0,5
к
1 1 1
— —¦
0,5
1
>
1
n)]- A9.8)
0 0,2 0,4 0,6
Рис. 37. Продольная и попереч-
поперечная поляризации электронов, рож-
рождаемых циркулярно поляризован-
поляризованными фотонами с энергией 500 Мэв
в свинце для некоторых углов
(углы даны в милирадианах). Уч-
тены кулоновские поправки и
экранирование.
При увеличении энергии электрона
степень поляризации электрона ра-
растет и достигает на верхнем преде-
пределе ех « со, е2 < со максимального
значения ?х = ?2п, причем из
A9.8), очевидно, следует, что элек-
электроны рождаются в основном
продольно поляризованными. По
мере уменьшения энергии элек-
электрона степень продольной поля-
поляризации падает и при некотором значении энергии проходит через
нуль, а затем меняет знак. При энергии, когда ^п = 0, остается
только поперечная поляризация, т. е. электроны рождаются попе-
поперечно поляризованными только в узком интервале энергий.
Зависимость продольной и поперечной поляризаций электрона
от энергии электрона при ю = 500 Мэв (со 1т = 103) приведена
на рис. 37.
Проинтегрировав сечение A9.2) по углам вылета конечного элек-
электрона (cfJjcfcpJ, [к этому же результату можно придти, если проделать
соответствующие замены в A8.23)], найдем поляризационные и спи-
спиновые корреляции при рождении электрон-позитронной пары в
целом:
<Ц*(к.е,?1,Б,) = ?нг '
+ [2в! е2 (-фх — ijJ/ 3) ¦
+ 2co2^2Re(eE1)(e*
со
где функции
242
/3} (b ?2)-co2
[( -e2 (^—2
n)]!,
г|J были определены выше A8.21).
—^ (^ n) (g2n) +
A9.9)

Усредняя это выражение по поляризациям фотона и суммируя-
по спинам пары, получаем распределение рождаемых частиц по
энергиям [ср. A8.29)]:
~
m2
<oJ
A9.10)
A9.11)
Обратим внимание, что эти ре-
результаты (рис. 38) симметричны
относительно энергий частиц
и античастиц.
Коэффициент корреляции спи-
спинов электрон-позитронной пары
для неполяризованных фотонов
Рис. 39. Продольная поляризация
электронов ?1И и коэффициент
корреляции продольных и по-
перечных спинов в электрон-пози-
тронной паре (ш=20 Мае, 1 Гае).
Учтены кулоновские поправки
и экранирование.
0,2 0,4 0,6 0,8 е/ш
Рис. 38. Дифференциальное по
энергии сечение рождения для
алюминия (Z = 13) и свинца.
Учтены кулоновские поправки и
экранирование.
дается выражением
2^2/3) X
e,V3]. A9.12)
Суммируя сечение A9.9) по g2) получаем для среднего значения спи-
спина электрона в зависимости от циркулярной поляризации фотона
?2 и энергии электрона ех
& = 12 0I^^—«. (*i—2ih/3)] n/[(e* + elIp1 + 2e1ea1h!3\ A9.13)
Поперечная поляризация в этом случае естественно отсутствует
(в задаче отсутствует выделенное поперечное направление). Ко-
243

эффициент корреляции С и степень продольной поляризации
?i II = ?in слабо зависят от энергии начального фотона. Это показано
на рис. 39, где приведены эти характеристики как функции энер-
энергии электрона.
Наконец, приведем значения для полных сечений рождения пар
заряженных частиц фотоном в кулоновском поле. При отсутствии
экранирования (рис. 40)
0/ао, 1 имеем из A9.10), A9.11):
daps
о
4Z2a3
-13/6];. A9.14)
' 10й 10
со ,
da,
¦J
'ре
О
Рис. 40. Полное сечение рождения па- 28Z2 а3
ры в свинце: = g 2 [In Bco//n) — f (?)—
а — по формуле A9.17); с — борновское при-
ближение без экранирования, а„ = 22г|сс. —11)9/42], A9.15)
и в случае полного экранирования
_ 4Z2a3
°ps~~ 9m2
28Z2 a3
9т2
A9.16)
[Inimz-1'*)—f(g)— 1/42]. A9.17)
§ 20. ВЛИЯНИЕ СРЕДЫ НА ПРОЦЕССЫ ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
И РОЖДЕНИЯ ПАР
20.1. Качественный анализ эффектов сре-
д ы. Полученные выше, в § 16—19, сечения тормозного излучения
и рождения пар фотоном на кулоновском центре с учетом экраниро-
экранирования хорошо описывает эти процессы при любых энергиях в слу-
случае изолированных атомов. Неоднократно уже обращалось внимание
на то, что при высоких энергиях, когда направления импульсов
частиц, участвующих в процессе, почти совпадают, для тормозного
излучения и рождения пар существенны большие продольные рас-
расстояния (см. разделы 3.6, 16,1). Так, при излучении тормозного кван-
кванта с длиной волны % оказывается существенной продольная длина
/ ~ Ху2 [см. A6.3)]. В случае, когда характерная длина / достигает
размеров порядка расстояния между рассеивающими центрами,
картина процесса приобретает новые качественные черты, которые
проявляются тем раньше, чем выше плотность рассеивающих цент-
244

ров, так что фактически при разумных значениях энергии е речь
будет идти о процессах в конденсированных средах. Л. Д. Ландау
и И. Я. Померанчук [63, 64] показали, что при движении частицы
в среде многократное рассеяние на характерной длине / приводит
к существенному уменьшению вероятности элементарного процес-
процесса. Наряду с многократным рассеянием излучающей частицы следует
учитывать еще влияние среды на электромагнитное поле. Вслед-
Вследствие того, что в задаче существенны большие длины, это влияние
можно учитывать феноменологически введением диэлектрической
постоянной $(со). Тер-Микаэ-
лян [96] показал, что в случае
мягких фотонов отличие ди-
диэлектрической постоянной от
единицы также приводит к
уменьшению вероятности про-
процесса.
В. М. Галицкий, И. И. Гуре-
вич [43] дали простой качествен- Рис. 41. Углы в задаче из-
ный анализ этих эффектов. Рас- лучения в среде,
смотрим выражение для энергии
классического излучения в среде [см. A.56), A.58)]:
4я Bя)«
j [nv(/)]exp[i(a>/ —кг (/))]*
B0.1)
где к = пю}/Ай'(со), $(со)—диэлектрическая постоянная;
B0.2)
здесь п — плотность атомов среды.
Ниже будем рассматривать только область высоких частот
© ^> о)о- Переходя к относительному времени т и проводя простые
преобразования, как в разделе 1.5, получаем
ds(n, со) =
4л BяJ
с» оо
Г Л Г dx [v (t) v (* + х) — nv @ со/А;]
x
— оо О
B0.3)
При учете многократного рассеяния направление скорости в среде
меняется. Разлагая вектор скорости v (/ + х) и направление
излучения фотона п по вектору скорости v (t) = v и перпендику-
перпендикулярным ему единичным векторам es, e (рис. 41) в существенной
245

области малых углов, находим:
v
(т) fls (т);
= Ь A-62/2) f(l_
L
H-
B0.4)
Входящий в эти формулы угол fts (т) является, очевидно, случай-
случайной величиной. Чтобы получить представляющие физический инте-
интерес результаты, необходимо провести в B0.3) с учетом B0.4) усред-
усреднение по расположению рассеивающих центров. Для качественного
анализа можно проделать усреднение независимо в показателе.
экспоненты и в предэкспоненциальном множителе. Процесс много-
многократного рассеяния был рассмотрен в разделе 5.12, полученный
там результат E.147) имеет вид
L-1=4an(Zr0JlnA90Z-'/3),
где / = т (в обычных единицах I ~ сх) — длина, на которой рас-
рассматривается многократное рассеяние. В результате усреднения
имеем с точностью до малых более высокого порядка:
ют—к(г(/ + т)—г@) =
+ ©2 е2/со2 т2 + О» (т) е2/2т2];
v @ v (/ + т) — nv (t) (aIk = — (m2/2e2)[ 1 -f со2, e2/©2 m2 —
— 02e2/m2] — es2 т/2е2 L,
B0.5)
где черта показывает усреднение. Подставляя B0.5) в B0.3) и про-
проводя в предэкспоненциальном выражении B0.3) преобразования,
так чтобы в первом члене выделилась производная от показателя
экспоненты, и проводя интегрирование по частям, находим
d*k е| в2 1
de (n, со) =
со <
С f dt
Bя)«
X
— т) ехр{—i (m2 ют/2е2) [1+Э2е2/т2 ¦
2е2/ю2т2 + ^(т)е2/2т2]}.
B0.6)
246

Основной вклад в энергию излучения дает время (длина), при котором
показатель экспоненты порядка единицы {длина когерентности).
Для качественных оценок, которые мы здесь проведем, можно счи-
считать, что интеграл в B0.6) равен квадрату этой длины. В случае,
когда эффекты среды^ несущественны, т. е. со0 = 0 и в показателе
экспоненты в B0.6) Ь\ = 0, длина когерентности
/о(со, 0) = 1/(со[1_nv]) = 2e2/[com2(l+62e2/m2)]. B0.7)
При этих условиях для интенсивности излучения из B0.6) следует
deo(n, co)/dt = Al20doidQ; B0.8)
с другой стороны, эту же характеристику можно представить в виде
deo(n, w)/dt = noidOye(n, со), B0.9)
где dciye (n, о>) — сечение излучения на изолированном атоме при
полном экранировании A7.50), A8.16). Для качественных оценок
можно пренебречь зависимостью А от углов, а саму величину А
можно найти после выполнения интегрирования по углам при срав-
сравнении B0.8) с B0.9).
Те же соображения применимы и при учете эффектов среды.
Согласно формуле B0.6) длина когерентности в этом случае
/(со, 0) =
= Bе2/т2со) [1/A+в2е2/т2+аJе2/(о2/и2+:в;|е2/2т2)] =
о2 + е1Г(со, 0)/2m2L + e2 02/m2)]. B0.10)
\ яг2 со
Интенсивность излучения можно записать в виде [ср. B0.8I:
de(n, a>)/dt=Al2(a>, Q)dwdQ. B0.11)
Заметим, что длина когерентности определена с точностью до чис-
численного коэффициента порядка единицы, величина которого, так
же как значение коэффициента, возникающего при усреднении перед
Ф| [см. B0.5)], не сказываются на качественном описании особен-
особенностей процесса излучения*. По существу формулы B0.8), B0.11)
¦следует рассматривать как интерполяционные. Точность их ока-
оказывается, однако, достаточной для качественного описания эффек-
эффектов среды.
* Для представления о порядках входящих величин приведем некоторые
оценки. Для свинца ш0 = 60 эв, Lcoo = 1,5- 10е, Lo02 ж 108 эв, ер =
= т (m/esJ, Ьщ= 5-Ю8 эв, е0 = (т/щ)гр = 4-Ю12 эв, L = 0,5 см, гс =
= 4oo0Les ж 1,3- 10й эв.
247

Найдем теперь величину А в области частот и энергии, где эффек-
эффектами среды можно пренебречь B0.7), B0.8). В этом случае для ин-г
тенсивности, проинтегрированной по углам излучения, имеем
de0 («>)/<# = Ada j/?(«), 6)сЮ = 4яе2 А/ю/т2©2. B0.12)
С другой стороны, эта величина есть потеря энергии частицы в едиг-
ницу времени на излучение при прохождении через вещество при
условии полного экранирования A8.33):
de0 (и)/dt = пю dOye (со) = 4cfco/3L, B0.13>
где doSye (со) — сечение тормозного излучения для случая мяг-
мягких фотонов (со/е С 1) и полного экранирования, имеющее с лога-
логарифмической точностью вид* [см. A8.30)]
dasyce= A6/3) (Zrof а (Жо/со) lnA90Z-I/3). B0.14)
Приравнивая B0.13) и B0.12), находим
1. B0.15)
Введем теперь редукционный множитель, с помощью которого
будем описывать эффекты среды [см. B0.7), B0.10)]:
<7г=/(со, 0)//о(ю,0) = 1/[1+е2ю2о/т2аJ + е?/(со, 0)/2m2L]<l, B0.16)
или, подставляя в правую часть / (о>, 0):
qr= l/[l+e2«J/m2co2 + efe2^/m4coL]. B0.17)
Тогда длину когерентности можно представить в виде
/(о), 6) =/„(«>, 0)^/A+<?ге262/т2);
de (со, @)/dt =Al* (a), 0)?2/[l +?(ев//пJ]2 1 и'10'
где 10(ы, 0) = 2e2/m2co. Проинтегрировав по углам, имеем
de (&)/dt = j йв(©,0)/Л=^Ло(ю)/Л=1/(а),О)//о(A),О)][Ло (©)/Л]. B0.19)
Эффекты поляризации среды и множественного рассеяния в средб
уменьшают длину когерентности, поскольку они увеличивают фа-
фазовую скорость света и уменьшают продольную скорость частиц.
Оба эффекта, как это следует из B0.19), приводят к уменьшены!»
* Логарифмические факторы, входящие в выражение для угла много-
многократного рассеяния и сечение излучения в случае полного экранирования,
почти совпадают, и в пределах вычислений с логарифмической точностью их
можно считать одинаковыми.
248

интенсивности тормозного излучения. Существенная область углов
в B0.18) 6~A/)/<7г) (т/е), таким образом, эффекты среды приводят
также к уширению эффективного угла излучения.
Решая уравнение B0.17) относительно qr, получаем
X \УA+е*а>20/т*(оу + 4е? e2/m*&>L — (I + e2&>*/m2co2)]. B0.20)
В области, где многократное рассеяние еще не существенно, т. е.
когда
A+е2оJ/т2аJ)>еве/т2/©Г, B0.21)
имеем
qr = 1 /[ 1 + е2 cojj/m2©2]. B0.22)
Если при этом е2аJ/та(о2 > 1, то приходим к результату
работы [96] [см. B0.19), B0.13)];
deP (a>)/dt = 4m2 со2 Ло/Cе2 &20 L). B0.23)
Характерно, что в этом случае сечение не содержит подъема в об-
области малых частот, кроме того, de {<a)ldt пропорционально Z и не
зависит от «, а эффективный угол излучения ®~{\lYqr) (tnle)~a>0/®.
Если неравенство B0.21) выполняется, но е2а>1/т2&2 < 1, то
<7Г « 1 и de (a>)/dt = de0 ((o)/dt. При выполнении неравенства, об-
обратного B0.21), имеем
qr = m2V®L/ees. B0.24)
В этом случае из B0.19) (с точностью до численного множителя)
следует результат работ [63, 64]:
^5(со)/Л = Dт2/Збе8)/^/1?/со. B0.25)
Как видно из этой -формулы, интенсивность излучения в этом
случае пропорциональна Z и Yn ta не ^2 и п> как ^ео (<*>)/dt B0.13)],
излучаемая энергия падает как \^а> с уменьшением со (отсутствует
инфракрасная расходимость), эффективный угол излучения
Э ~ A /Vql) {mlг) - /Ve [ 1 /(©L)' !*].
Перепишем неравенство B0.21) в виде
1 + (в//^)« (е^/е2) » (в//^), B0.26)
где
е0 = m4 L/e?; ер = т3 LaH/e| = ю0 ео/т С е0. B0.27)
249

Отсюда видно, что при е <С ер эффекты многократного рассеяния
отсутствуют и при ю >, (о0 е//и выражение для энергии излучения
B0.19), в котором учтена поляризация среды, переходит в выраже-
выражение для энергии излучения на изолированных центрах de0 (w)fdt
B0.13).
При е ^> ер имеется три области частот, в которых интенсивность
излучения задается соответственно формулами: 1) описывающей из-
излучение на изолированных центрах deo(a))/dt B0.13) (область IR);
2) учитывающей многократное рассеяние\deMs((>>)/dt, B0.25), область
MS]; 3) учитывающей поляризацию среды [dep(a>)/dt, B0.23), область
Р]. Из B0.26) следует, что при малых со излучение находится в об-
области Р, при со >, е2/3е4р3/е0 происходит переход в область MSt
откуда при со >, е2/е0 происходит переход в область IR. Область
IR имеется лишь при е <, е0; если е ^> е0, то е2/е0 ^> е > ю, так
что неравенство о» >, е2/е0 становится невозможным. Следователь-
Следовательно, при е > е0 имеется только две области: Р — при малых часто-
частотах (до со ~ е2/3ер/3/е0) и MS — при больших частотах.
Выше было рассмотрено влияние среды на процесс излучения
свободного фотона. Учтем теперь, что фотон в среде имеет конечное
время жизни, которое (в области достаточно больших частот) опре-
определяется сечением рождения пар частиц на ядрах среды. В случае,
когда эффекты среды еще не сказываются на процессе рождения,
это время жизни равно 1/яст, где а — сечение рождения пар
[см. A9.17)], т. е. время жизни имеет тот же порядок величины, что
и L. Если длина когерентности / (со, 0), определяемая формулой
B0.10), достигает величины L, то время излучения определяется
уже временем жизни фотона. В этих условиях B0.19) переходит
в следующее выражение [ср. B0.13), B0.19)]:
deA (w)/dt ~[{Lfl0 (со, 0)) (de0 (ю)/Л) — /и2 соЛо/е2, B0.28)
и энергия излучения перестает зависеть от е, п и Z. В области MS
I (ю, 0) = qrl0 (со, 0) = (e/es) YLIus, так что при ю С eV(e|L) имеем,
что / (ю, 0) ^> L, т. е. область MS переходит в область А, где основ-
основное значение имеет конечное время жизни фотона*. Поскольку при
е > Z = el L неравенство со < ea/(ef L) выполняется для любых
со < е, то это означает, что при е > е область MS вообще не сущест-
существует. В области Р (область малых частот) I (со, 0) ~ со/со02 и падает
с уменьшением частоты, так что в этой области поглощение не су-
существенно, но при © > g>o2 L мы переходим в область А. Следо-
Следовательно, для возникновения области поглощения должны выпол-
выполняться критерии перехода в нее из области Р и из области MS:
co§L < со < е2/ (es2 L), т. е. е2/ (ef L) > cogL, или е > ес =
4co0Les > ep. |
* Этот эффект указан в работе [63], мы следуем анализу работы [43]-
250

Все перечисленные области изображены на рис. 42 в плоскости
(со, г). Зависимость длины когерентности от частоты при разных
значениях энергии приведена на рис. 43.
20.2. Теория электромагнитных эффектов
в среде. Был проведен качественный анализ влияния среды на
радиационные эффекты. Количественное рассмотрение процессов
тормозного излучения
и образования пар в гл „..^г, Л(йай
средедля релятивист-
релятивистских электронов и
квантов произвольной
энергии было прове-
проведено А. Б. Мигдалом
[68—71]. Весьма удоб-
удобный подход к рассмот-
рассмотрению этого круга во-
вопросов—развитый вы-
выше квазиклассический
метод рассмотрения
процессов излучения
и рождения пар ча-
частиц (см. §9, 10, 16). Рис. 42. Области частот фотона и энергий части-
частицы, при которых осуществлены различные эф-
2Loi -¦ ^ У==
Вероятность излуче-
излучения фотона электро-
электроном большой энергии
в единицу времени,
усредненная по поля-
поляризациям начального
электрона и просум-
просуммированная по поляризациям конечных частиц,
A0.2), A0.3)]
фекты среды:
/—поляризациясреды (Я), dzp(u>)dt«m2a2 d«>l(s2 @02L);
2 — излучение на изолированном центре (IR), dEjn (»)<й~
ж da/L; 3 — многократное рассеяние (MS), ^Ед^»')/^»
~i,m2/ees) YaJLda; 4—поглощение фотона (A), ds^(,a)dt=
= m2 ((o/e2 da).
имеет вид [ср.
BяJ 2(й
IT J J
T
J
— T
где
), p@), B0.29)
/г0=есо/(е — со) — (со2 — к2)/2(е—со); е—со > т,
к = ек/(е—со);
X(p(t2), p(t1)) = X*(p(t1), p(t2))= J!iR*(ti)R(ti);\ B0.30)
s, s', X
= /m/ep_k us+- (p @-^
Xus(p(t))Ytn/ep;
X
251

*u (о, к) — импульс фотона; k2 Ф 0; k2 « (е — соJ; s, s', X — по-
поляризационные индексы частиц. Отметим, что k2 ф 0, т. е. мы рас-
рассматриваем фотон не на массовой оболочке (но вблизи нее), следо-
следовательно, при проведении операции распутывания необходимо ис-
использовать (9.26), в которой величины должны быть заменены на
классические средние. Если рассматривается распространение света
в, среде, характеризуемой диэлектрической постоянной % = 1 —
— соо2/(в2 B0.2), то k2 = coo2. (В 20.29) учитывается воздействие
Рис. 43. Длина когерентности как функция частоты при разных
энергиях:
'¦ < е„
а-гр<,
ь0; б — гс < в <е.
среды на траекторию. Именно анализ в терминах траектории, при-
принятый в развитом выше методе рассмотрения процесса излучения,,
весьма удобен для учета влияния среды.
Формула B0.29) определяет вероятность излучения при движе-
движении электрона по заданной траектории и должна быть усреднена
по всем возможным траекториям. Эта операция осуществляется
при помощи функции распределения, усредненной по расположе-
расположению атомов рассеивающей среды и удовлетворяющей обычному
кинетическому уравнению:
—т о
xdrdr'X{p', p)Wx{r, v, f)Wt(r', V, т; г, v) x
xexp[ik(r' — r)]. B0.31)
Здесь < > означает усреднение; р = mvy; р' = tnv'y; |v| = |v'|;
(энергия при столкновениях сохраняется); Wx (r, v, t) — вероят-
вероятность того, что частица в момент времени t имеет координату г и ско-
скорость v; Wz — вероятность того, что в более поздний момент време-
времени t -ft координата и скорость есть г', v', если в момент времени
t эти величины были г и v. Вероятности Wx и W2 удовлетворяют
кинетическому уравнению
dW(r, v, t)/dt+vdW(r, v, /)/3r =
= ло|ог(у, v')[W(r, v', t) — W(r, v, i)]dv', B0.32)
252

условию нормировки
§drdvW(r, v) = l B0.33>
и начальному условию
Wt(r', v', 0; г, v)=6(r—r'N(v — V). B0.34)
При вычислении ?(р', р) удобно перейти к двухкомпонентной
форме записи [ср. (9.10), A0.3I. Если направить к по оси z и учесть,
что 2ф5+ф* = 1, то с точностью до членов ml г получим*:
s
2(р', p) = -L 2 5р{[агег(р'-к)/(ер,_к+т) +
4 /=1,2
+ ар' <V(ep. +tn)] [at ар/(ер +т) + а (р—к) аг/(ер_к + т)\). B0.35)-
Если ввести обозначения
А = р'/(еР- + т); В = р к/[ер._к + от]; С
J '
то в результате вычисления следа в B0.35) имеем
Х(р', p) = (D,-C1)(B1-A1) + BaD1 + A,C,f B0.37)
где Аг || k;A2_Lk; А = Аг + А2, аналогично разлагаются вектора В,
С, D. Запись в форме B0.37) удобна потому, что в существенной для
излучения области малых углов между векторами р, р', к явно'
видны сокращения между членами. В приближении малых углов
разложим вектора скорости по вектору n = k/|k| и перпендикуляр-
перпендикулярным ему направлениям:
) + O; v' t/n(lO'a/2) + r; j
и выразим входящие в B0.37) величины через углы Ф, О1':
а'-^в'-Г'ГГ ^ = DI».V%t~e-";-1 B0-39)
es=eD так что
* Способ вычисления вероятности B0.31) несколько отличен от исполь-
использованного выше в § 16,17. Это связано с тем, что в данном случае частица испы-
испытывает на траектории воздействие среды (многократное рассеяние), и необ-
необходимо провести усреднение до выполнения интегрирования по времени.
253-

В формуле для вероятности излучения проведем интегрирова-
интегрирование по drd(r' — г), воспользовавшись тем, что W2(r', v', т; г, v)
может зависеть только от разности г'—г:
= -^- — -Re(l/2T) f dtldxUvdv'x B0.41)
Bя) со J^T J J
^(v'> x'< v)>
где
V7(y', x; v) = Jdr'exp[iC(r'-r)]lF2(r', v', т; г, v) x BQ
X exp [—i?0-r].
При этом
Vt(V, т; v) = */(*', *; т)б(| v' |_| v|); } ^
Уравнение для t/ (d', ¦*; т) вытекает из уравнения B0.32), куда
в качестве 0 (v, v') следует подставить сечение рассеяния на ку-
лоновском поле с учетом экранирования [см. E.140)]:
0(v, v') = 6(|v| — |v'|Le2Z2a2/[(p' — pJ+x2]2,. B0.44)
где х = I/a (a — радиус экранирования, в приближении Томаса—
Ферми а ~ Z-'/3/ma). Интегрируя B0.32) по координатам, имеем
в приближении малых углов:
dU/dx + i [k0—|k|(y—d'2/2)] U =
= DnZ2a2/82) Jd<r(?/(<r, *; x) —
B0.45)
где ¦&1 = х/е. Разлагая U{&", ¦&; x) в окрестности d" = #' no
степеням 'fl'"—ft', получаем дифференциальное уравнение Фок-
кера—Планка:
dU/дх + i (a + 6*'2/2) f/ - ^» U, B0.46)
где*
iv/9p (p мУ I
B0.47)
I
—со);
* Заметим, что q-~s^Us2L при iJ~ 2m/eaZl/3.
254

А„< — оператор Лапласа; величина &2 определяется из условия
применимости разложения и будет конкретизирована ниже. Реше-
Решение уравнения B0.46) будем искать в виде [50]
U (¦&', О; г) = ехр [а (т) О'2 + р (т) М' + У (т)] • B0.48}
Подставляя это выражение в B0.46), находим систему уравнений
для а, р, у:
Решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям,
имеем вид:
а(т)= —Yib/8qcth(V2ibqx);
0(т) = fTbWqsh-' (У~2Щт);
у(т)= —i ах— lnsh(yr2 i^r) —
—W VTb/Wq cth (V2Tbq%) + In /i 6/8я2 q,
B0.50)
в чем нетрудно убедиться прямой подстановкой.
Определим существенные области т, •&' и •&, записав U (¦&', %¦; т)
в виде
С/(О', д; т) = f\ 6/8я2qr(ехр (—i ax)/sh (")/2 i bqт)) х
X ехр {— ViWq [*' — d/c
B0.51)
Существенные значения т определяются минимальной из величин
1/а, \iy~bq. Условие
Vbq/a |ш ^ е ~ (eejtn2 j Leo) [1/A + со? e2/m2co2)] < 1, B0.52)
совпадающее с условием B0.21), означает, что рассматривается или
область IR, или область Р. При выполнении обратного условия
Ybqla > 1 изучается область MS. В первом случае (\^bq/a<^ 1) мож-
можно разложить входящие в B0.51) гиперболические функции. Учи-
Учитывая, что т ~ 1/а, имеем:
~а/Ь.
B0.53)
' — flJ ~<7/a; fl2 ~ alb =¦. (ql а) (а/УЩ2 » q/a, т. е.
Во втором случае (Ybq/a^> l) имеем
B0.54)
255

Таким образом, для применимости приближения малых углов,
должны выполняться условия:
<< 1); 1 B0 55)
« 1 (К^/а » О- I
С учетом alb ~ m2/e2 + <во2/ша первое из этих неравенств выпол-
выполняется всегда при са > са0. Второе неравенство B0.55) есть требова-
требование малости угла многократного рассеяния за время излучения.
Действительно, поскольку при -yrbqla ^> 1 т ~ У Vbq, имеем
[ср. B0.4)]:
Yqjb~qT'^s1 t/82L. B0.56)
Указанное неравенство также выполняется всегда при са > са0, так
как qlb « 8sV(ca0Le2) < 1.
Определим теперь величину й2. Первый член разложения в
B0.45) порядка
«(In Oj/dx) Afr' G/4; B0.57)
следующий член
44^4^, B0.58)
где ft'2ef — некоторое эффективное значение ft'2. Условие приме-
применимости разложения имеет вид
«i/«;J < In «,/Ox = /. B0.59)
Тогда при ]/б<7/а< 1 имеем #2 ~ ^а/б /'/2, а при Ybqla > 1
"^2 ~ Y qlb Iх12- При достаточно больших энергиях угол $ъ сравни-
сравнивается с углом дифракции на атомных ядрах, равным 1/е/?. Верхний
предел интегрирования по {&" — й'J в B0.45) определяется вели-
величиной 1/(е#J (R ж OXZ'/s) и / = In в,/*! ж 2 In A90 Z-'/3). Верх-
Верхний предел интегрирования по ¦&' в B0.41) оказывается в области
экспоненциального падения, и интегрирование можно проводить
в бесконечных пределах. В результате интегрирования
Т оо
dWA = (ad3k /BяJсо) Re(l/2T) j dt f dt f dvVx (v, 0 X
-г о
X [/?! ft («2, T) + R2g2 (&, t)], B0.60)
256

где
?i(*2. t) = Jdv'Vr(v', т; v) = jd*'i/(*',*; г) =
= |ехр[—i aT]/ch(/2Tft^t)Jexp { —
?2(fl2> t) = jdv' <H>' Vr(v', t, v) =
= B i /6) exp [—i at] (d/dx) expj —Vib/8q fl2 th(^Ш?t)J,
B0.61)
здесь Rlt #2, даются формулами B0.40).
Принимая во внимание, что ft — угол между векторами к и v,
можно выполнить интегрирование по dv, а кроме того, по времени
dt и азимутальному углу вылета фотона. Воспользовавшись усло-
условием нормировки [см. B0.33), B0.42)], а также проинтегрировав
по частям по т в члене с R2, получим:
dWA = (a/An) УёЩакЬ Re § dx j dW [Rlgl (ft2, x)+R2g2 (#а, т)] =
0
oo
= (a/4n) УЩа) codco Re j dx exp [ — i ax] [Rjch (/2 i bqx) —
о
х)}. B0.62)
Интегрирование по ft2 удобно распространить до бесконечности,
введя дополнительный обрезающий множитель ехр (—Aft2) (Я > 0),
для того чтобы устранить расходимость интеграла по ft2 при т = 0
и в окончательном выражении % -*¦ 0. Для интегрирования по т
введем новую переменную z = y2\bq т и повернем контур интегри-
интегрирования по z так, чтобы он проходил по вещественной положитель-
положительной оси, это возможно при а > 0. Проведя такие операции, полу-
получаем выражение для вероятности излучения в единицу времени!
оо
dWA = (о/2я) УЖЩ~(«>й&1Ь) Re f (dx/i) {exp [—l/T2sx]/[th* +
о
+ Я |/8<7/i б]} [/?!/ch x—2aR2/b] = (а/2я) v'lH (codco/b) x
^i я/4 — — §dx [exp (~sx) sinsa:/sh (*/2)] — Ba/b) R2 X
Г oo IT
X |я/4—-у j cth(A:/2) -exp(—sx) sin sxdx) =
?Jri) («>d«>/b)[(bq/3a2) RtG (s) +Dq/3a) Я2Ф (s)], B0.63)
Зак. 979 257

где
<D(s)
= 12s2 f
cth*/2exp( — sx) sin sxdx
[со
n/2-fexp(-s
о
—я/2 ,
B0.64)
Функции Ф (s) и G (s) введены в работе [71]. Они выражаются че-
через логарифмическую производную. Г-функции:
Ф (s) = 12s2 {—Im № (s — i s) +q (s+ 1 — i s)]~я/2} =
G (s) = 48s2 [я/4 + Im Ц) (s + 1 /2—i s)] =
= 12jts2—48s3
k = 0
1/2J
B0.65)
Эти формулы удобны для табулирования. Графики функций Ф (s)»
G (s) приведены на рис. 44, а численные значения содержатся
10 в табл. 4.1.
0,8
0,6
0,4
02
0
_<P(s)
/
1
1
/ i
/
60s)
0,4
1
===
0,3
1
1,0 1Г
Асимптотическое поведение
функций Ф
лами:
при s->-0
O(s)^6s;
при s—>
Ф(?
? G(s)-
При s;
(s), G (s) дается форму-
G(s)-^12xts2; } B0.66>
- oo
0-vl—0,012/s1;
>1—0,029/s4. B0.67>
> 1 Ф (s) и G (s) ничтожно-
Рис. 44. Функции O(s), G (s) мало отличаются от 1.Тогда
B0.64), B0.65). положив также соо = 0 (#(<») = 1),
из B0.63) получим
dWA = Bа/ЗяЕ2) В (dco/co) {со2 + 2 [е2 + (е—соJ]}, B0.68)
где B =
B0.69)-
Оценка й2 при s> 1, т. е. 4]/б^/а<1, проводилась после B0.59),
йх = х/е ^^ та2'/3/е. Это выражение для вероятности отличается
от формулы излучения на изолированных атомах [полное экрани-
экранирование, см. A8.30)] только коэффициентом порядка единицы под.
258

Функции Ф (s) и G(s)
Таблица 5
S
0
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Ф (s)
0
0,258
0,446
0,686
0,805
0,880
0,93
a (s)
0
0,094
0,206-
0,475
0,695
0,800
0,875
s
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
2,0
<J>(S)
0 95
0,965
0,975
0,985
0,990
0,998
0,999
С (s)
0,917
0,945
0,963
0,975
0,985
0,994
0,998
аргументом логарифма. Неопределенность множителя под знаком
логарифма — результат перехода от точного ' уравнения B0.45)
к уравнению Фоккера—Планка B0.46), так как величина #2 опре-
определяется условием применимости разложения с точностью до чис-
численного коэффициента. Более точные, формулы можно получить
в результате решения уравнения B0.45), но эта задача — сущест-
существенно более сложная.
Поскольку речь идет о численном коэффициенте, определим его
так, чтобы при s > 1, что в явном виде B0.47) есть
Des/m2) /e(e—<
где L$l —4an (Zr0J —
<^ e2/m2 <в2) -1 < 1, B0.70)
> формула B0.68) переходила в фор-
формулу для излучения на изолированных атомах* A8.30). Для
этого необходимо, чтобы при s> 1 / = 1п^2/'в'1 = 1пA902~1/3).
При s1<s< 1 имеемtf2H?/6)I/4/1/2~K«7&('I/2/s^2) [ср. B0.59)],
откуда ; = ln#2/^i = lnA90Z-1/3/s1/2) [ср. B0.69)], s± — значение,
при котором ft2 достигает \/eR. Как уже отмечалось, при
= 1п
In
= 21n A90Z-1'3).
Для описания приведенной ситуации введем функцию
такую, что
/ = ln#2/#1 = g(s)/0; /0 = lnA90Z-1/3);
= 2(s<s1);
B0.71)
* Сравнивая это неравенство с B0.21), видим, что при со0 = 0 условие
B0.70) можно рассматривать как обобщение на произвольные частоты усло-
условия того, что на длине когерентности угол многократного рассеяния меньше
m/в. Это означает, что многократное рассеяние не влияет на процесс излуче-
излучения.
259

где s~v2= A90Z-'/3). Используя такую нормировку угла ft2, полу-
получаем для вероятности излучения B0.63) в единицу времени в среде
B0.72)
3L
где
s = A + со2 гг/ыгт2)У т4 coL/8ef 8 (е ~ со) g (s),
L, ef определены формулой B0.4), g (s) — B0.71), Ф (s), G (s) —
B0.64)—B0.67). В формуле B0.72) отброшены члены вида со02/со2 ¦<
•С 1, <uo2/m2 <<( 1; заметим, что члены типа 1 + со02е(е — оо)/оо2т2
можно записать как 1 + соо2е2/т2со2, поскольку второе слагаемое
существенно только при са/е <^ 1 (действительно, при са ~ е член
(й02е(е — <u)/co2m2 ~ co02/m2 <^ 1), по той же причине множители
этого типа опущены при члене (oc>2/e2)G (s), который вообще не су-
существен в области малых частот, где основное значение приобретают
эффекты поляризации среды. При са <^ е формула B0.72) имеет
вид
dWA =D? (s)/3L) (<Ыш) {Ф (s)/[1+oj2 82/са2т2]}, B0.73)
где s = (l +uige2/qJm2)(m2/28se) VcoL/2g(s). При s>l, что озна-
означает (l+uj2e2/co2m2)>BEge/m2)/гТюГ [ср. B0.21I, i(s) = U
Ф (s) = 1 и B0.73) переходит в B0.19) с учетом B0.13) и B0.22).
Таким образом, полученная из чисто качественных соображений
формула оказывается в этом случае точной. При s < 1 становятся
также существенными эффекты многократного рассеяния.
При са ~ е имеем
10 {2 [б2 + (б ШJ]
где s = (m2/2es) j/ooZ,/2e(e — oj) | (s) - Если энергии и частоты
таковы, что возможно ьыполнение неравенства s>l(m2/2es>
Y (e—(o)/mL) , то B0. 74) переходит в формулу B0.68), в
противном случае область MS тянется до конца спектра, крите-
критерием этого служит s <С 1 или
ео/8е<еA— ca/e)?(s)/co, B0.75)
где е0 дается B0.27). Наконец, при s-Cl, когда эффекты много-
многократного рассеяния весьма существенны, имеем Ф (s) = 6s B0.66),
функция G(s) ~ s2 может быть отброшена при s <^ 1, получаем: -
dWA = (УЯп2! ees) (dco//coL A — co/e) | (s)) 11 + A — ш/еI].
B0.76)
Следовательно, найденная выше качественная формула B0.25)
удовлетворительно описывает ситуацию.
260

Рассмотрим теперь влияние многократного рассеяния на процесс
рождения пар. Как известно (см. § 19), вероятность рождения фото-
фотоном электрон-позитронной пары, дифференциальная по энергии
конечного электрона и просуммированная по конечным состояниям
позитрона, может быть получена из dWа заменой to -»—to, е -*~ —е
с умножением на отношение статистических весов e2de/to2dto. Поэто-
Поэтому вероятность рождения фотоном с энергией to электрон-позитрон-
электрон-позитронной пары с энергией электрона е следует прямо из B0.72):
dWA = (l(s)de/3La)[G(s) +2 [е2/со2 + A — е/соJ] ФA) }, B0.77)
где s = у mi coL/8e (со — е) е? ? (s) . Заметим, что члены, относя-
относящиеся к поляризации среды, со;*е(с<) — e)/co2m2~~ со;-/т2 <g 1.
При ~s > 1 это выражение переходит в формулу для рождения
пар на изолированных центрах [при полном экранировании ср.
A9.10)]:
dWpA = (de/3Lto) [3 + 4e2/to2 —4e/to]. B0.78)
Интегрирование dWA по энергиям электрона от т до ы дает
B0.79)
В области, где эффекты многократного рассеяния весьма существен-
существенный < 1, Ф (s) = 6s, G(s) ~ s2], имеем
X
X[e2/co2+(l—e/coJ]. B0.80)
20.3. Учет конечного времени жизни фо-
фотона в среде. Если время излучения становится порядка
или больше времени жизни фотона в среде, то при решении задачи
об излучении нельзя рассматривать фотон как стабильную частицу.
В этих условиях сама задача об излучении свободного фотона яв-
является некорректно поставленной, и следует рассматривать более
общую задачу об энергетических потерях при движении частиц
в среде.
Время жизни фотона в среде определяется его взаимодействием
с электронами атомных оболочек (возбуждение, ионизация) и рож-
рождением электрон-позитронных пар на ядрах (атомах). При боль-
больших энергиях фотона основное значение приобретает процесс рож-
рождения пар. Мнимая часть ©2 диэлектрической постоянной 8— ёг +
+ i<D2» определяющая время жизни фотона, равна Wpa/(o, где Wpa—
вероятность рождения пары в единицу времени.
Задачу об энергетических потерях можно также решить приме-
применявшимся здесь методом. Впервые она была рассмотрена в работе
[46], где электромагнитное поле считалось классическим.
261

Потерю энергии электроном в интервале частоты to -f- to + dot
в единицу времени можно условно разделить на потерю на излуче-
излучение dQT и потерю на образование пар dQn. Конечность времени
жизни фотона , в согласии с качественным рассмотрением, сказы-
сказывается при
e»ec = 4Lcooes; Leo2 « со «-ItoJeVe?. } B0.81)
При этом
dQT&G • 16/9){[82 + (е — соJ]/е(е— со)} (т^е2)©^, B0.82)
считая е — со ~ е [ср. B0.28) и последующее обсуждение]. С лога-
логарифмической точностью
c(Qn=(a/2nL)c(coln{m4/[((o2m2/82-f 8со/^со+co2J + co2/L2]}. B0.83)
Такой результат весьма естествен с точки зрения анализа в терми-
терминах когерентной длины. Из него, в частности, можно определить
области е, со, где будут доминировать эффекты поляризации среды
(член со02), многократного рассеяния (член соУ^со), поглощение фо-
фотонов (член to2/!2), а также область, где нет зависимости от эффек-
эффектов среды (член со2т2/е2).
Приведем, наконец, все критерии для границ областей, которые
изображены на рис. 42:
1) область, где эффекты среды не сказываются (IR):
e«L3co3m3/e?, co>co0e/m; j B0 84)
L3to3m3/e?«e«L3to2mVe?, o> > e? e2/L3 to2, m4; j
первый из критериев относится к границе между областями IR и Р,
второй — к границе между областями IR и MS;
2) область поляризации (Р):
B0.85)
L3 0K m8/e? « e « ec) ш « L@2 (е/есJ/з.
e > ec, со С La>l;
первый из этих критериев относится к границе областей IR и Р,
второй — к границе областей MS и Р, третий — к границе обла-
областей А и Р;
3) область многократного рассеяния (MS):
L3 to2 т3/е?<< е « ec, to
e»ec, co»Lto02e2/e?;
262

первый из критериев относится к границе областей MS и IR,
второй — к границе областей MS и Р, третий — к границе
областей MS и Л;
4) область поглощения (Л):
e»e?/Lco2, со» Leo*; }
первый из критериев относится к границе областей MS и Л, второй—
к границе областей Р и А.

ГЛАВА V
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И РОЖДЕНИЕ ПАР
ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ ЧАСТИЦ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ
§ 21. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ МЮОН-ЭЛЕКТРОННОМ
СОУДАРЕНИИ
21.1. Испускание фотона мюоном. В § 16—18
было исследовано тормозное излучение частицы при рассеянии на
кулоновском центре (на тяжелой частице, когда масса последней
М ->¦ оо). Здесь рассмотрим противоположный случай излучения
при столкновении тяжелой частицы (для определенности мюон с мас-
<
Pi
Рг
Рис. 45. Блочные диаграммы тормозного излучения
при мюон-электронном соударении.
сой/и) с покоящейся легкой частицей (электрон с те=1) [44, 45]. В
низшем порядке теории возмущений этот процесс представляется
двумя блочными диаграммами (рис. 45), где использованы «блоки
излучения» рис.21. Обозначим р1 (ps) импульс начального (конеч-
(конечного) электрона; р2 (р,) — импульс начального (конечного) мюо-
на; k, е% — импульс и поляризацию излученного фотона; Ах2 =
= - <7i2 = -{Pi ~ Pzf\ V = -?22 = —(Р, - PiY-
В конечном счете будем вычислять спектр тормозного излуче-
излучения, т. е. сечение, проинтегрированное по всем переменным, кро-
кроме частоты, в системе покоя электрона, причем мюон в этой системе
является ультрарелятивистским (е ~^> пг, в ковариантной форме
Р1Р2 > m). Обозначая вклады диаграмм, на которых излучает элек-
электрон (мюон) через dae (da^) и интерференционный член da^e, имеем
для сечения процесса
da = dae-\-dall-{-daeil. B1.1)
264

В соответствии с правилами диаграммной техники (раздел 5.7)
матричный элемент диаграмм, на которых излучает мюон, есть
М = — [ies/Bny/*] [m//2coEie2e3e4] u(p3)Yll X
X "(Pi)«(p4) [у» \(?2-k+m)/[(p2-kf-m*}\ Yv +
m)/[(Pi+k)*-m2)} y»] u(p2)ev/Al B1.2)
После суммирования и усреднения по поляризациям частиц, кото-
которые выполняются стандартным образом (см. раздел 5.8), da^ можно
представить в виде
V2))l)KA/2)llVp<JB, р4, qltk)X
X [б(Рх + р2 - Рз-Р4-^)/BяM/(р1р2J-т2 ] X
X A /A*) (d3 Рз/2г3) (ds p4/2e4) (ds fe/2co). B1.3)
Здесь j|iv2) — токовый тензор спинорной частицы (электрона)
G.31):
Л, Рз)/4 = е2 Sp [A + л) Yll A + р3) Yv] /4 =
B1.4)
^Ifvpa — комптоновский тензор спинорной частицы (мюона)
A7.35), причем один из фотонов (ft) — тяжелый. После суммирова-
суммирования по поляризациям фотона (свертка с gpo) этот тензор может быть
записан в виде:
[—т2 AJ/2 +
]+т2 [2 (р2—%(р2—/г)у+(р2—
—ЩАРъ—*)vl—2m2 ^^v+
2—%?iv +
}t B1.5)
где введены обозначения
к, = Лр,. B1.6)
Заметим, что члены с х| в знаменателе получаются из членов с х22
в знаменателе заменой р2 *-* —р4, члены с х2х4 в знаменателе сим-
симметричны относительно этой замены.
265

Сворачивая тензоры в B1.3) и выражая все скалярные произ-
произведения через пять независимых, в качестве которых удобно вы-
выбрать рхр2 = v, щ = kpx = со, х2, х4, АД получаем сечение излу-
излучения мюоном, выраженное через независимые переменные. Удобно
перейти к этим же переменным в выражении для фазового объема
[см. Приложение Г, вывод (Г.37)]:
(Pi + Рг - Рз ~ Pi - k) (d3 р3/2в3)(сР p4/2e4)(d3 Шсо) =
= [я/4 У(РгР2J-т2] J dxt dx, dx, db*l /- S(plt p2, p,,
где S выражается хъ x2, x4, Ax2 и v = p^a и ее можно записать
как квадратическую функцию по любой из этих переменных. Пред-
Представим (Г.39):
S = Qfx?-2^Kf+/?,f B1.8)
где i = 1, 2, 4 (нет суммирования); Qh SPi, Ri не зависят от Xj.
Чтобы получить спектр, необходимо провести трехкратное ин-
интегрирование по х2, х4, Ax2. Если интересоваться только спектром,
то порядок интегрирования можно выбирать, руководствуясь лишь
соображениями удобства, по-разному в отдельных членах dap.
Кроме спектра представляют интерес и другие характеристики про-
процесса, например угловое распределение фотонов (дифференциал
dx1dx2= mpdiod cos'd, Ь—угол между к и р2 в системе, где элек-
электрон покоится), распределение по энергиям вторичных электронов
(дифференциал dx^Aj2 = 2 dcode3). Проведем вычисления для по-
последнего случая, т. е. проинтегрируем сначала по ха, х4 (в произ-
произвольном порядке) при фиксированной величине Aj2.
Как показано в Приложении Г, первое интегрирование по х2
(или х4) производится между корнями уравнения S = 0 с помощью
формул [см. (Г.40), (Г.41)]:
= $ к?
B1.9)
Заметим, что после выполнения свертки в формуле для сечения
B1.3) возникают только приведенные выражения.
Явное представление функций Qt, SPi, Ri для i = 4 дается фор-
формулой (Г.45), где следует положить т2 = 1, m22 = m2, v = (pip2) =
= е; k2 = 0, х = хх + х2, в результате получаем:
Q4=(v—xxf — т2 +2х2; ^4 = х2 [v (v — xx) + x2—m2] —
2)]/2;
(v2—m2). B1.10)
266

Учитывая, что S = Q4 х| — 2аР4х4 + #4, можно перегруппировать
члены к виду S = Q2x2 —2 ?Рах2+/?2; отметим, что Q2, #>2, #2
получаются из Q4, —Эа4, #4 заменой р2<->—р4.
Рассмотрим области интегрирования. Если интегрирование ведет-
ведется сначала по х4, то необходимо установить область изменения (х2,
А!2). Ее можно найти из кинематических условий [см. (Г.46)]
а) |c.ospik|^l (система Pi + p2 = 0);
б) |cosp^ps|<l (система pi+p2—k = 0).
Выразив эти косинусы через инварианты [ср. (Г.44)], получим
уравнения для границы области (рис. 46):
B1.11)
(а) х|—
(б) х| + х2А2(е—со —1—А2/2)-АП(е-«J —
— т2—А? B (е—(o)-f-m2 + 1)/4] = О,
B1.12)
где мы учли, что в системе, где электрон покоится, хх = со, v = e.
Взаимное расположение граничных линий (а) и (б) меняется в за-
зависимости от частоты фотона. Частота
со* = (е — т)/(е + р + 1) ж 1/2,
B1.13)
где р = У е2 — т2, является граничной; при этой частоте прямая
х2 = to (е + р) касается кривой (б). При со < to* эти линии пере-
Рис, 46. Область' изменения переменных щ,
Д]2 при со > со*.
секаются, а при to > to* прямая лежит выше кривой (б). Поскольку
прямая х2 = со (е + р) соответствует кинематической ситуации
[см. B1.11)], когда фотон вылетает против движения начального
мюона, заключаем, что фотоны с энергией со > to* не могут испус-
испускаться против движения начального мюона. Смысл этого легко
понять, если учесть, что to* — это максимальная частота фотона,
который испускается в /(-системе мюона и электрона в направлении
267

движения электрона, пересчитанная в систему покоя электрона.
Если же мы сначала проинтегрируем по х2, то необходимо уста-
установить область изменения переменных х4, АД Ее также можно
найти из кинематических условий [см. (Г.49)]:
{в)
(г)
jcos
I COS
Pi к
PlP
1 (система рх + р2 — р3 = 0);
1 (система р2 +р2 = 0).
B1.14)
Выразив косинусы через инварианты [ср. Г.44)], получим (рис. 47):
(в) xl — 2tox4(e — со — Д2/
(г)
B1.15)
При to > to* B1.13) верхняя ветвь гиперболы (в) лежит выше гипер-
гиперболы (г). Необходимо определить еще точки пересечения граничных
кривых для обоих рассмотренных случаев, для чего решим систе-
системы уравнений B1.12) или B1.15). Заметим, однако, что точки пере-
пересечения граничных кривых соответствуют таким кинематическим
ситуациям, когда все вектора импульсов коллинеарны [см. B1.11),
B1.14)] и, следовательно, величина Ах2 в точках пересечения будет
Рис. 47. Область изменения переменных щ,
при со < со*.
одна и та же для обоих случаев. Поскольку систему B1.12) решать
гораздо удобнее, то можем найти из нее АД а затем определить х4
из любого уравнения B1.15).
Можно поступить и другим образом — найти е3 и е4 для кине-
кинематических ситуаций, соответствующих точкам пересечения гра-
граничных кривых непосредственно из законов сохранения, которые
выглядят так:
e4+co; р =
B1.16)
268

где р = |р2|. Заметим, что р3 > 0, р4 > О (против направления
р2 не могут лететь ни мюон, ни электрон). Эта система решается
элементарно, и получаем для знака (+):
—2со)] [(е — co + l)(e + m2 — a>e1)± (p
—2со)][(р—to)(e + m2—toe1)±(e—t
— 2co)] [(e — ©+ l)(e+ 1 — ©ej ± (p—co)g];
—<ов1)±(8+1—<o)gl, B1.17)
где ^ = 6—1
Решения для знака (—) перед to получаются из B1.17) заменой
р -> р. Как мы видим, при фиксированном знаке и величине to
есть два решения для конечных энергий электрона и мюона. Знак
(—) соответствует тому, что фотон летит против р2) физические ре-
решения существуют только при со < а>* B1.13) (при ю = ю* оба
решения сливаются). Для знака (+) в B1.16), когда фотон летит
вперед, решения существуют при to < tom, где
com = (e-m)/(e-p+l) B1-18)
максимальная энергия фотона, который может быть излучен мюо-
ном. При to = tom решения сливаются. Из B1.17) легко найти коор-
координаты точек пересечения:
Если вычислять сечение, дифференциальное по йАг2, то из вида
областей следует, что при to <Z to* второе интегрирование (по х2
или х4) будет проводиться в разных (аналитически) пределах в раз-
различных областях Ах2, поэтому сечение daJdA^ не будет даваться
единым аналитическим выражением. При to > to* имеет место
обратная ситуация.
Следует выбирать наиболее рациональный способ вычисления,
учитывая особенности областей интегрирования и входящих выра-
выражений. Для сечения do/dx^Aj2 имеет смысл выбирать порядок ин-
интегрирования так, чтобы в формулах B1.9) не возникали громозд-
громоздкие выражения с^в числителе, поскольку сами свойства области
изменения переменных не выделяют какого-либо определенного
порядка интегрирования по х2, х*. Вычисления существенно об-
облегчаются, если воспользоваться свойствами симметрии. Как уже
отмечалось, выражение B1.5) симметрично относительно замены
* Если не интересоваться da/dx^dAj2, то область x2Ai2 предпочтительнее,
так как единым образом можно провести интегрирование по Aj2 при всех и2.
269

p2 <->• —p4, эта симметрия сохраняется и в выражении для сечения
B1.3), которое после свертки тензоров с учетом B1.7) имеет вид
» = [а3/я
j, dx2 dx,
"^S ] (A +A%
B1.20)
где
A = axlx\ +ajx2 x4 + a3 x2/x4 + а4/х2; А' = А (p2<->—p4);
ai = m2 { — 2 (в—соJ + Д? [2 (e—со) + т2 + l]/2—A*/4};
«2 = 2m2 e (e — со) + A? [e2 + (e—соJ —
— m2Be — to + m2+l)]/2—Д*Bе—со
а3= — A— AJ/2); а4=
B1.21)
Замена p2 «-» —p4 означает здесь x2 ¦-> —и4, е <-> —e4 = —(e + 1 —
— со — e3) = —(e — to — Ai2/2), так как Ах2 = 2(e3 — 1) в систе-
системе, где рх = 0. Выражение для S также симметрично относительно
замены р2 <-» —р4, как и d%idx.i (в системе, где рх = 0, dx2dxt =
= со2|р2| |р4| dcos (kp2) dcos (kp4)) и область изменения х2, х4.
Поэтому интеграл по dy,idy.i от А' получается из интеграла от А
заменой рг <-> ¦—р4, так что фактически необходимо вычислить инте-
интеграл от А. Проводя первое интегрирование по х4 с помощью формул
B1.9), получаем выражение, содержащее /10), /'V, так что необ-
необходимо взять только четыре типа интегралов:
B1.22)
где Q4, Rb даются формулами B1.10). Для вычисления этих инте-
интегралов необходимы значения Q4, Rt на граничных кривых, для чего
в B1.10) следует подставить решение уравнений B1.12). Имеется,
однако, более простой способ. Интеграл l{n) можно записать как
[см. (Г.42) Приложения Г]
+p2—p3-p4-k) x1(dsp3/e3) x
B1.23)
Условие границы (а) B1.11) (со знаком равенства) означает, что
в системе рх = 0 фотон летит по или против р2, а условие B1.11),
(б) означает в той же системе, что вектор р3 направлен по р4
(против р4 он направлен быть не может из законов сохранения).
Воспользовавшись этими соображениями, просто провести вычис-
270

ления; например, в системе рх = 0 для /40>найдем
/10)=я/<г1/2 = 2я^6(Б + 1— со — е3—
— Y P23+m2+(p2-kf—2|p3|]p2-k|cosd)x
X(|ps|/e4)de,dcos«6(Af—2 + 2е,) = я/|ра—к| = я/|р, + р4|,B1.24)
отсюда для границы B1.11), (а) имеем Q4 = (p±<*>J, а Для
- Подставляя сюда
- е-со + 1-б3;
B1.25)
получаем Q4 на границе. Аналогично находятся значения i?4 на
границе; в итоге имеем
+V д?
/?4 (б) =||/.Д2A+Д2/4) [^—ше—А? Bе—в>)/2 +
+ Д4/4]-(Д?/2)(Б-1-Д2/2)/(е-@-Д2/2J—/тг2}2-
B1.26)
Знак (+) соответствует верхней ветви граничной прямой (а). Здесь
рассмотрим случай с» > со*, тогда во всем интервале Ax2 интегри-
интегрирование пои2 идет от нижней прямой (а) до кривой (б). Подставляя
в интегралы B1.22) значения B1.26), получаем
+ (Д2/2) (е-со + 1) р4}/Д2 \р\ + А? Bе4-т2- 1)/4]]/?2;
е-т2-
L3 + р3 (р\
_ Д2 (е_ 1 _ Д2/2) Pi/2—ap (б—Д2/2) +
B1.27)
где
х
+Д2 (еБ4_т2_(Д2
1))]};
271

-mi; Q2=(e-A2/2)8-ma;B1.28)
Сечение излучения фотона мюоном при столкновении с покоящимся
электроном B1.20) с учетом B1.21), B1.27), B1.28) можно записать
в виде
d(VdA2rfo>=(a3/p2A?) ( 2 а J, + члены (ft «- —ft)). B1.29)
\» = i
Замена р2<->— р4 означает, что е<->—е4=—(е—со—Af/2),
р<г+ — р4 = —У el — /п2.
Все полученные выше результаты являются точными и могут
быть использованы для анализа процесса излучения при столк-
столкновении частиц с любыми массами и произвольными энергиями.
Чтобы определить спектр излученных фотонов, необходимо про-
проинтегрировать B1.29) по Aj2 в пределах B1.19), B1.17). Рассмотрим
область сот — со > атт/г [величина сот определена B1.18)], т. е. не
будем касаться пока конца спектра. Тогда
А?Мин « а>2т4/2е Bе +т2) (е—со) (сот—со);
B1.30)
А? макс«2(а>т — СО).
Вся задача решается в приближении е > т, однако если учесть,
что т ^> 1, то соотношение е и т2 не фиксировано, малыми пара-
параметрами в задаче являются \1т, 1/е, /тг/е (но не /тг2/е).
Поскольку интегрирование по Ах2 приводит к весьма громозд-
громоздким выражениям, начнем с анализа сечения B1.29), исходя из
того, что главный член в сечении do^ld® имеет вид а3/т2в> [см., на-
например, приближение мягких фотонов F.47)]. Обратим внимание
на специфическую особенность члена
B1.31)
состоящую в том, что этот член дает вклад в спектр ~ 1/ео, хотя
в дифференциальном виде он не имеет полюса при a ->• 0 (см. раз-
раздел 17.1). Член ajt дает вклад ~ а3/е2 [см. B1.21), B1.27)].
Его следует оставлять при е <, яг2, так как тогда 1/е2 ~ 1//?г2сот,
и отбрасывать при е > /?г2. В членах aj1 и a2f2 имеются растущие
272

с энергией члены с «неправильным поведением» вида а3&2/а>3тв (та-
(такая же ситуация имеется и в сечении тормозного излучения на ку-
лоновском центре), вклады этих членов (с учетом замены р2 <-» —р4)
2т2 {—(е — соJ/х2 + 2е(е — а>)/х2х4 — е2/*!}
взаимно сокращаются и остается вклад нормального типа.
Из B1.29), B1.30) следует, что при е//п2^1 существенна вся
область интегрирования по Af, а при е//?г2 5> 1 (мюон является
ультрарелятивистским в Д-системе электрона и мюона) вклад
дает область А? до А^ — /?г2(Д*макс~е). Максимальный угол при
упругом рассеянии мюона на электроне cos frMaKC = \^т2—\ltn,
т. е. ^макс « 1/т; при излучении фотона мюоном ^ма^ только
уменьшается (прие/т2^1 ¦&макс^т/е, при е//?г2>1'&макс>/?г/е),
причем Af — m2 соответствует углу рассеяния —т/е (это озна-
означает, что углы рассеяния ¦& ^> tn/s не дают вклада в излучение).
В случае 2е//?г2 = |>1, е — со>/?г2 формула B1.29) существенно
упрощается:
= a3
a3 J (Л/т8) {[4 A —дс)/дс] Ф (|т/4) +
1—д;Jт —
—1/A —л:) — A —л:)] + [^/Eg A —хI1птг/тмин}, B1.32)
где Ъ = 2г/т2, дс=©/е, т =AJ/2e, Ф(л;2) дается формулой F.30),
нижний предел интегрирования тмин==х2/2б^2 A—xf, а верхний
предел можно положить тмакс-> оо, поскольку все интегралы
сходятся при т—>-оо и основной вклад дает область т ^ 1 /|<^тмакс.
(как в задаче об излучении мягких фотонов, см. § 6).
Проводя интегрирование в B1.29), имеем:
= B/р) {A-р) [1—дс +1/A —дс)—2/3] A +р/2) +
+ 5рA+4р/5)/3 + р[1—дс + 1/A— х)+2р]1пр}х
X In [2е (л;0—х)//шс] + [A —р)/р] [ — A —х + 11A — х)—2/3) х
ХA+4/?2A— х))— Шр/3 + 8р2/3-[4/3A-д;) + 4 +
+д;2/2 A —xf\ll — 3A — л;0)—г//л;] — [2—jc+х/2 A — х) +
) х
X [21х+ 1/A — х)—x/(l —xf) + A — дс) A — xo)
х)\ — уй]} In [A—х)/A—хо)] +
27а

+ (l/x)(x0-x-y0)\n(x0/x)-(l + 2/g)/(l-x) x
Х[\прЫ{(х0-х)Ч[ху0A-хТ]} +2f (p) + f (yo)-f (у)-я*/
- lB~x + 2ll)lx] [In (y/x) lnp—In (x/x0) In A — xo).+
X {2 lnpln[(l-x)/(*0-*)]-2f(-(l-*)/*) +
+ 2/(-1/|)-2/(р) + я2/3}, B1.33)
где
g = 2e/m2; x = co/e; p = x/[g(l—*)];
x0 = 1 /(e — /> + 1) « g/(l + g) « com/e;
# = x A — *0)/(l — xx0); y0 = x0 A — *)/(! — xx0);
л:
f(x)=—jln[|l — t\lt]dt. B1.34)
о
В предельном случае g ^> 1, и для частот е — to ^> m2 сечение
da^ приобретает вид формулы для излучения на кулоновском цент-
центре A7.30), что можно получить непосредственно из B1.32):
da^/dw = Da3lm2©)A —х)[\—х + 1/A — х) — 2/3] х
ХAп[2еA — хIтх\—1/2). B1.35)
Обратим внимание на то, что в знаменателе выражения для сечения
стоит квадрат массы излучающей частицы, это обстоятельство яв-
является универсальным. Переход к формуле B1.35) отражает тот
факт, что при 5 ^> 1 разложение в B1.29) ведется фактически по
I/eg, 1/g (но не g/e, 1/е), в случае же рассеяния мюона на кулонов-
кулоновском поле I/eg = ш2/2е2; 1/? = 0 (дело в том, что g содержит массу
электрона те g = 2etne/tn2, при переходе к кулоновскому полю
те ->• оо). С физической точки зрения это означает: 1) отдача
(передача энергии электрону) не существенна; 2) спиновые эффек-
эффекты пренебрежимо малы. В самом деле, в выражении для тока B1.4)
вклад в B1.3) дают только члены без ^ (ибо ^/С^р0 =0); если
рассматривается рассеяние на кулоновском поле, то масса части-
частицы 1 те -v оо (см. раздел 5.11), тогда в Jp,v остается первый член,
а в б-функции появляется б (<70). В случае же g ^> 1 основной вклад
дают углы рассеяния ? ml г (А^ < яг2), но тогда свертка g^ с
K»v<xsgpa не может дать больших величин типа рхрг > т2, и по
этой причине основной вклад в J^v дает первый член, а А^/2 =
= —<7„ <, т2 <^ г, т. е. передача энергии не существенна и возни-
возникает такая же ситуация как при рассеянии на кулоновском поле.
Заметим, что p^pv пропорционально токовому тензору скалярной
274

частицы, следовательно, исчезает зависимость от спина частицы,
на которой рассеивается налетающая частица.
Выше были вычислены сечения da^/dA^da и dojda>, т. е. найдены
спектр излученных мюоном фотонов и распределение по энергиям
электронов отдачи. Обсудим теперь кратко некоторые черты
углового распределения излученных фотонов, т. е. сечение
daIJ,/dx2dx1, которое можно получить, если проинтегрировать
B1.20) по х4 с помощью формул B1.9)—B1.10), а затем результат
проинтегрировать по Aj2. В общем случае da/dy.1dx2 go 1/x22. При
| ? 1 из B1.12) (я), (б) следует, что при со ~ сот верхний и ниж-
нижний пределы по х2 одного порядка, следовательно, вклад дает вся
область интегрирования по х2. Это означает, что фотоны испускают-
испускаются с равной интенсивностью во всех кинематически допустимых на-
направлениях. Для понимания этого факта следует учесть, что наи-
болыпий кинематически допустимый угол ftc да; УA— со/со^/со,
если A — co/com)~l и со -~-сот, то $с~ (яг/е)У + |. При | < 1
кинематические условия ограничивают предельный угол излучения
как раз на характерном угле излучения ультрарелятивистской ча-
частицы ft ~ т/г. При Ъ, > 1 вклад дает нижний предел интегрирова-
интегрирования по х2, а верхний (с точностью до членов ~ 1/?) можно заменить,
на оо .
Сечение в этом случае при е — а>~^>тг выглядит так:
dojdx = a3 (^х2/и|) {L [2 A —x) + x2—2m2x A —x)/x2 +
+ m4x2 A ~x)lx\\ -f (тЧх%) A-х) [—Эх^/яг4 -f
где
L = 21п2б(б—co)/com. B1.37)
Подобная ситуация имеет место и при интегрировании в порядке:
х2, АД х4. Тогда при ? ? 1 и со ~ сот вклад дает вся область инте-
интегрирования по х4, а при | ^> 1 — только нижний предел.
При со < со* спектр излучения также дается формулой B1.33),
но она значительно упрощается, так как х<, 1/е. В этом случае
верхний предел по х2 ~ 2есо, он в 4т2/е2 раз больше нижнего и по-
потому вклада не дает, т. е. мягкие фотоны могут испускаться под
большими углами, но основная часть фотонов испускается внутри
угла ~ т/г.
Нами получен спектр при com—а>^> атт/Е, т. е. не рассмотрен
конец спектра. Изучим теперь область сот—со^сотA-—сот/е),
которая частично перекрывается с первой, поскольку всегда
существует интервал а>тт/г <^ сот—со < сотA — com/e). Найдем
значение х2, х4, Af в конце спектра. Из B1.17) — B1.19) имеем:
*4~com(™2+2e)/2e; j ^^
2ет/(т2 + 2е) да х0 т. )
275

Пределы интегрирования по А2
Л!мин = е(хо-х±/(*о-*J—х1т21е*), B1.39)
г. е. интервал изменения такого же порядка, как сама величина.
Интервал же изменения х2) и4 в конце спектра много меньше этих
величин. Учитывая это, можно вычислить dajd® следующим обра-
образом. В формулах B1.20), B1.21) положим
«е; а> = ел:0, B1.40)
и считая, что 1 < Af <^ е/A + ?), произведем отбор главных чле-
членов. В результате имеем
= (а3/л/?2) J [dx2 dx4 Л\2/2Д2 /^S] X.
X [ 1 -х0 + 1 /A -х0)] = (а3?/2р3) J (dx2 ЙД»/Д2) х
*o)l/Jto. B1-41)
Здесь мы провели 'интегрирование по х4 и положили Q^2«
w г (\ — х^) та zxjl,. Пределы интегрирования по х2 при фиксиро-
фиксированном Af могут быть найдены из B1.12):
«2макс->'2„йн = A/2А12^)(А?|макс-А?)(А12-А?мин). B1.42)
Проводя элементарное интегрирование с учетом B1.39), B1.42),
получаем
dopldx = (ее3 Цгх1) [1 —х0 +1 /A —х0)] [(дс0-дс) L/-20], B1.43)
где
= In [E(xo—x+zo)/mxa];\ {
В промежуточной области <лтш1г ^ ит—©<^сотA—©т/е) вы-
выражения B1.33), B1.43) сшиваются:
dojdx = {а?Цгх0) A — xlx0) [1 — х0 + 1/A —х0)] х
Х[1п[2е(д;0—д;)/отд;0] —1]. B1.45)
21.2. Испускание фотона электроном. Мат-
Матричный элемент процесса получается из формулы B1.2) заменой
Рх ¦^ Ра Рз •<-»¦ Р4> те +-* т, а сечение dae можно найти из B1.20),
B1.21) с помощью этой же замены, причем со = kp1 = хх <-> хг,
276

x4-^> x3, Aj2 <-> A22, tn2 <-> tne2 (массу электрона нетрудно восста-
восстановить по размерности). Дальнейшее интегрирование можно вести
как для случая излучения мюоном, начиная с формул B1.9). Одна-
Однако продемонстрируем здесь другой подход. Запишем сечение в виде
B1.3)
8, к) х
х
х
ptl2B^)(cPkl2a>N(pl+p1—pa—pt —
B1.46)
и проведем интегрирование в тензорном виде, введя для фикса-
фиксации частоты фотона б (со—kpx):
B1.47)
(Л, Рз. <?2, fe)(^p3/e3) x
X(d3kl(oN(p1+p2—p3~pi—k)8(w~kp1).
Тензор J'xv зависит от двух векторов q2 и ^ Общий вид его со-
содержит пять скалярных функций [ср. G.21)], а условие калиб-
калибровочной инвариантности q2v. /^ = <72v № =0 сводит число независи-
независимых функций до двух G.25), а эти последние выражаются через
свертки /„v с g»v и p4pl G.26):
где
x (piv.—
— <7il) X
+ C<722/[(<72 ptf-qlX) X
B1.48)
B1.49)
Итак, для определения 1^ достаточно вычислить интегралы от
двух скалярных функций. Сворачивая gpaK{i/2) ^ра (ръ р3. <7г> Щ
[B1.5) после выполнения указанных выше замен] и полагая щ =
— со, находим-
B1-50)
(Л, Рз. <72, к) = 8е* [х3/со
+ A— 2ш) A— А22/2)/со2—B — 2со — со2 +
(l-A22/2)/x2];
X [х3 B—3© + 2со2)/2оJ + [ 1 —4со + оJ + со3 + А| х
X A —бсо — 2со2)/4]/со2 + [ — 2+Зсо+со2/2 + А22 (©—3)/2
где к3 = pxq2 — А22/2. Интеграл B1.47) с учетом B1.48) легко
взять, поскольку величины /С1( /С2 B1.50) могут быть вынесены за
277

знак интеграла, а оставшийся интеграл элементарно берется в Ц-си-
стеме фотона и электрона (р3 + к = 0):
) B1.51)
Перемножив тензоры /^ и j\?-J2) (p2> P<i)> получим сечение излу-
излучения фотона электроном в виде
г [Л2-2т2 +
+ [AVQ (А2)] Bе2-2 (щ + Л|/2) е - A*I2)]-K* Af/Q (A8) X
B1.52)
Здесь введено обозначение Q (А2) = (х3 + А22/2J + А22, прове-
проведена замена переменных dspi/si = dA22dx3d((>/2p и выполнено
интегрирование по углу ф. Этот же результат можно получить,
если в формулах типа B1.20), B1.21) произвести интегрирование па
к2, пользуясь интегралами типа B1.9), правда, необходим еще инте-
интеграл
Определим теперь область изменения переменных х3, А22, поль-
пользуясь, как и для B1.11), B1.14), кинематическими условиями,,
[см. (Г.46) Приложение Г]:
[(a) IcoskpjKl (система ft+Р2-р4 = 0); 1 B1 53>
(б) |cosp2p4|<l (система р+р 0) J
Выразив косинусы через инварианты, получим для границы обла-
области (рис. 48):
а) х!Bсо-1)-2х3со(со-1-Д2/2)-а>2 = 0; 1 B1 54>
б) х2т2 + х3Д2(я2+)+Л|B + 1+т2)/4A22 OJ
Отметим, что при со > со* верхняя ветвь гиперболы (с) лежит
выше гиперболы (б), а при со = в>т B1.18) нижняя ветвь (а) касается
гиперболы (б), следовательно, область интегрирования обращается,
в нуль. Так же, как и в предыдущем разделе, точки пересечения
кривых соответствуют кинематической ситуации, когда все части-
частицы летят по одной прямой. Исходя из B1.17), получаем для пары
нижних точек
1-2©)] [а + р/(е
~ш) E — со)] [[р + со(е— р— 1)]/(е — р
(?)] B1.55)
где со = (е + тI(г — р + 1). Для пары верхних точек значения
получаются заменой в B1.55) р ->- —р, включая замену в со и сот-
278

Интегрирование сечения B1.52) по области, изображенной на
рис. 48, оказывается трудновыполнимым из-за сложности как подын-
подынтегрального выражения, так и области интегрирования, а получаю-
получающиеся формулы очень громоздки. Это в определенной степени свя-
связано с тем, что электрон излучает во всех кинематически допустимых
направлениях с почти одинаковой
интенсивностью [это видно непо-
непосредственно из B1.52)], что,
в свою очередь, приводит к не-
необходимости раздельно рассмат-
рассматривать интервалы со: со < со* и
а)>со*. По этим причинам мы
проведем вычисление для двух пре-
пре* *
*3.
у р
дельных случаев: со <^ со*, со ^> со*
[ б J> m, то со*
д
[если
1/2
<
В области со 4^ со* применимо
приближение классических токов
(§6), а выражение для сечения
можно представить в виде F.48).
Этот же результат вытекает из
B1.52), если в нем перейти к пре-
пределу со -v 0 и оставить лишь
наиболее сингулярные (по 1/со)
члены:
B1.56)
Рис. 48. Область изменения пере-
переменных х3, Л]2, (А) при со < со*
(Б) в конце спектра.
где
da0 =
е2 —(Д2/2)A +2e+m2)+A|/4]; ">
= [а/2я1/А22A+А|/4)]
змакс
'змин
B1.57)
Пределы интегрирования легко находятся из B1.54), если учесть
что со < 1/2:
B1.58)
измакс = «в [1 + AJ/2 ± VK A + А22/4)]; |
мии К
т2 со2//?2 < А22 < 4/?2/Bе +т2 +1). )
При получении второго из этих соотношений следует учесть, что
ну-
279
.Д!мин С 1> а А^акс ^> 1. Предел А!мин нельзя устремить к ну-

лю, так как doe при этом расходится. После интегрирования по
(углу вылета фотона) имеем [ср. F.30)]
B1.59)
Учитывая свойство Ф (я2) F.35), видим, что основной вклад в инте-
интеграл B1.56) после подстановки в него B1.59) дают Аа2 <, 1 (эта
(Pi Я г)
е(е-со) Г-х„
Рис. 49. Область изменения переменных
А22 (о » <й*).
ситуация является общей для задачи излучения одного фотона,
см. раздел 6.5). Вычисляя, как F.39), находим
doe = A6a3<fo/3co) In (e/mco) = A6ctr§<ico/3o)) In (e/mco). B1.60)
В соответствии с общим правилом (см. § 6 и раздел 17.1), чтобы по-
получить большую точность, чем логарифмическая, в формуле B1.60)
необходимо в исходном выражении для сечения B1.52) учесть и не-
некоторые члены, несингулярные при ©->• 0 [см. B1.31)].
В другом предельном случае со > со* = 1/2 разобьем область
надве перекрывающиеся: 1) о>т — со > ^тт1ъ и 2) ют— © < югох
ХA — ют/е) (область 2 относится к концу спектра). В области 1
удобно перейти к переменным А22, р^2 = х3 + А22/2; из B1.54)
находим уравнения для границы области (рис. 49):
(а') (р1G2JBсо-1)-2р1G2[со(со-1)+А22(со-1)/2]-|
—(а)+А22/2J + 0JА2 = 0; B1.61)
(б') J
Заметим, что верхняя точка кривой (б') соответствует остановке
мюона и поэтому никогда не может лежать в физической области.
Из B1.61) (см. рис. 49) видно, что при © ^> со* в существенной
280

области Д22 > 1, р$2 > 1, следовательно, можно провести разло-
разложение в B1.52) по обратным степеням этих величин и оставить
только старшие члены разложения. Следует обратить особое вни-
внимание на члены, содержащие к3 в знаменателе, так как
хзмин~ Н^змин ~ о) (е3 — Рз) = ю /(е3 + Рз))- В результате по-
получаем
dajdx = (а3/е) J(dy/y)(dt/t*){[t(l/2 — l/y + l/у2)~ 1 /I] X
X \ylx + tlx + xlin—t)~2tl{y~t)+2illx{y—t) —
-t/E(y-t)*]+[2t(y-x)/y*][t(l/2-3/y + 3/y*)~Vt]}, B1.62)
где
# = РгЯг/ь; t = Д^/2е; л; = <о/е.
Переменные у, t изменяются в следующих пределах:
*<#<хо«Е/A+Е); у*/1A-у)<^Ц^у-х/2е(у~х), B1.63)
где нижний предел интегрирования по t следует из (б'), B1.61),
верхний находится из разложения (а') (неточность разложения ска-
сказывается в интервале бг/ ~ 1/е и не влияет на dae). Вычисляя эле-
элементарные интегралы, имеем:
doe/dx=(a*/e){2(l— х/хо)[4/3хг+E/6х0+х0)/х~1/6х20+ 1/2] X
X \n[2e(x0—x)ltnxo]~[(l/2xo + l)/x — l/xo~l/2]X
х ln[(l—*)/A— *0)] — [(l/x0—x0)/x + 2/x* — 2Jx0 —1/2 —
-A + 1 /хх0) [A/2) In (хх0) In (д;0/х) +/ (х0) -f (x)]~(l +2/хх0) X
X [/ (xjxo)—f (xjx) + In(xjx) In 2e] +A — x/x0) X
X [ -4/3x2 -B/3x0 +1 + 3xo)/x + B/3x0-1 /2)/ж0]}. B1.64)
в предельном случае о) <^(от выражение для сечения сильно упро-
упрощается:
dojda = 8a3(ln2e/m—l/2)/3co2, B1.65)
т. е. dojd(o падает как 1/со2 (при излучении налетающей частицы
dajdu) or) 1/со). Этот факт можно объяснить так. В Д-системе элек-
электрона и мюона электрон является ультрарелятивистским [ес =
= A + е)/}^2е -f m2 + 1 > 1], и его излучение, с точностью до
членов ~ 1/е с, сосредоточено в конусе с углом ~1/ес. Но, как
отмечалось, фотоны с максимальной в /(-системе энергией, испус-
испускаемые в направлении движения электрона, имеют в «/7-системе
энергию го* я» 1/2. Поэтому и > 1/2 в «/^-системе могут иметь толь-
281

ко фотоны, испускаемые в /(-системе под большим углом к направ-
направлению движения электрона, а такое излучение подавлено.
В области B) введем переменные t = А22/2е; г = к3/е и найдем
область из B1.54). Если 1 — со/сот <С 1 — сот/е, то t ~ х0, г ~ х0 — х
[проще всего в этом убедиться из B1.17) при со -*¦ сот, когда А22 ==
= —2т2 + 2ее4 — 2рр^,%3 = со (е3-—р3).такчтох3 = (е — m)/(l-f
+ m); А22 = 2m (е —m)/ (m + 1) (е — р + 1) при со = сот]. В вы-
жении для da е можно положить w = (om, А22 = А22 (ю = &„}
и учитывать только изменение к3 (его изменение порядка самой ве-
величины). Область интегрирования задается выражениями,
(см. рис. 48, б):
*о)] [xox±V(xxo)lmlz ]; I /о1 _й,
J. B1.6b)
'макс 'мин1^ (гмакс' z) (гмин' z)(l xo)lz- I
Выделяя главные члены, получаем:
dajdx = (а3/2д;0 е) J (<fe/z) Л = (а3/еА:0) [(*о—х) ^~го\, B1.67)
обозначения такие же, как в B1.44). Области A) и B) перекры-
перекрываются. В промежуточной области сот т/е <<( сот — со <С ют A —
— сот/е) сечения B1.64) и B1.67) дают одинаковый результат:
dajdx = (a3/e) A — х/х0) {In [2е (х0—х)/тхо]~ 1}. B1.68)
21.3. Анализ результатов. Для оценки интерферен-
интерференционного члена запишем амплитуду диаграмм излучения мюоном
и электроном в приближении классических токов (см. § 6):
К =
B1.69)
где Лс= — (ie2/A2)tT4Y(i«2u3Yn«i; «* = «(/>*)•
Тогда интерференционный член в сечении излучения:
(AeAt)x
^K 2e3
^^р3-р4-^)- B1.70)
Выполнив интегрирование, при котором полезна формула F.29),.
получим вклад в спектр интерференционного члена в случае мяг-
мягких фотонов (с точностью до логарифмического множителя):
doeix/d(n ~ a3/eio. B1.71)
282

Для оценки интерференционного члена при больших частотах
воспользуемся неравенством Шварца:
dcx^/dco scC 2 ^d.K2Ydae/(k)dx2-dalx/d(odx2- B1.72)
Уже отмечалось 1см., например, B1.36)], что da^/da ~ a3dx2/ex22,
т. е. сечение излучения мюоном имеет резкие пики вперед (излучает
ультрарелятивистская частица). Электрон же излучает в кинема-
кинематически допустимых направлениях почти равномерно, так что
dajda ~ a3dx2/co2e. Подставляя в B1.72), имеем
daeilfdx < а3/со = 2а?/т*1х, B1.73)
Эта оценка по порядку величины справедлива для всех частот.
Проведем теперь обсуждение полученных результатов. Сравнивая
сечение излучения мягких фотонов (со < 1/2) [см. B1.33), B1.34),
B1.60) и B1.71)], видим, что dae ~2> da^, dae ^> daell, т. е. мягкие
фотоны излучаются в основном электроном. Это связано с тем, что
сечение излучения электроном содержит 1/соте2, а не 1/сот2, 1/соете.
При со > 1/2 следует сравнивать B1.33), B1.34), B1.64) и B1.73).
Отношение сечений dajda^ ~ т2/со — 2/'х\. Если \ <^ 1, то
сота « 2е2/т2= eg и dajda^ ^ тг/сот> 1, т. е. если Е<<A, то элек-
электрон всегда излучает больше мюона. Точно так же doe/da^ -~е/со^>1
при Е <С 1- Сечение излучения мюоном может конкурировать с се-
сечением излучения электроном только при ? ^> 1 для жестких
фотонов, когда com ~ e и dajday, ~ т2/со <^ 1 при со J> m2. Из
B1.72) очевидно следует, что вклад интерференционного члена
такого же порядка, как остальные, если da^ ~ dae и угловые рас-
распределения излученных фотонов одинаковы.
Угловое распределение фотонов, испускаемых мюоном, пред-
представляет собой конус с углом ~ т/г B1.36), причем в некоторых
случаях только этот конус кинематически допустим. Угловое рас-
распределение фотонов, испускаемых электроном, существенно более
плавное (в кинематически допустимой области, которая при со •< со*
охватывает все углы, а при со > со* переходит в конус в направле-
направлении импульса мюона, сужающийся по мере роста частоты). В конце
спектра фотоны излучаются в направлении импульса мюона.
Энергия электронов отдачи при излучении фотона мюоном со-
согласно B1.19) достигает е3 ~ А* ~ е (при ? <, 1) и е3 ~ Ах2 ~
~ т2 (при | 3> 1)> в последнем случае Aj2 ^> т2 не дают вклада
в сечение [см. B1.29), B1.30) и ниже].
§ 22. ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА В АННИГИЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССАХ
22.1. Спектр излучения фотонов. Рассмо-
Рассмотрим излучение при электрон-мюонном взаимодействии, однако
в другом канале, а именно при аннигиляции электрон-позитронной
пары в пару мюонов [10—12]. Процесс представляется теми же диа-
диаграммами (см. рис. 45), что и в § 21, только необходимо проделать
283

замену р2 ->¦ —Рз> Рз ~*~ —Pi- Сечение снова запишем в виде B1.1).
Сечения dae и da^ легко вычисляются с помощью методики инва-
инвариантного интегрирования тензоров (§ 7). Интерференционный член
антисимметричен при замене р3 *-* pt и поэтому обращается в нуль
при интегрировании по конечным состояниям lj (d^pje^) {<PpJ&d x
X б (р1 + Pi — Рз — Р4 — ?)!• Эта антисимметрия вовникает по-
потому, что пара конечных частиц рождается в состояниях с разной
С-четностью (С-четность фотона отрицательна) в зависимости от
того, излучается фотон начальными частицами (С-четность отрица-
отрицательна) или конечными (С-четность положительна). Совершенно
аналогичная ситуация имеет место при рождении (или аннигиля-
аннигиляции) пары скалярных частиц.
Сечение излучения начальными частицами согласно результатам
§ 7 имеет вид
nJ]/v2—m4] (—
X K$Upi-p»-k, A2) (d3k/2io) (-(g*"-AJ A?/A|) f?f) (AD), B2.1)
где m — масса начальной частицы; А2 = ps + pt; st — спин на-
начальных частиц; sf — спин конечных частиц; функция /Гf оп-
определена равенствами G.12), G.13), и комптоновский тензор
К (ft, — рг, —К А2) дается G.34) и G.35), ti<°> = 1, ti<'/*> = —1/4
[изменение знака обусловлено тем, что тензор G.35) приведен в ка-
канале рассеяния]. Переходя к переменным иь х2 [ср. G.42I
= л dxj dx^/v2—m4, B2.2>
учитывая калибровочную инвариантность тензора К^ра(КцчРа&§=
= ^Сцл>рсА? = 0) и выполняя операцию свертки, получаем сечение
излучения начальными частицами:
[т)Eг) е4/8 Bя) (v2—m4)] A['t)fct) ёххёк2, B2.3>
где в выражениях для Л(*«) G.39) необходимо заменить
Приведем явный вид сечения B2.3) для спинорных частиц в
/(-системе начальных частиц:
d cos Ok = (a3co/6ep) [B\i2
xl) + 2m2(l/x2 + l/x1) +
s}, B2.4>
284

где ftft — угол между к и рх; \i — масса конечной частицы, в этой
системе Д22 = 4е (е— <о); е — энергия начальной частицы, р =
= "Ке2— т2.
Выполняя простое интегрирование по углу вылета фотона,
имеем
) + m2 [L Bco/e —m2/e2)—2]}, B2.5)
где
L = (e/p) In [(e+p)/(e-p)]. B2.6)
Чтобы вычислить вклад диаграмм, на которых излучают конечные
частицы, необходимо проинтегрировать комптоновский тензор
К&ра(—Рз, Pv Да, *), где Ax=ft + ft, ?2 = 0 [см. G.34), G.35)]:
, p2)/4 /^=^Г4] (d3^/2(o) x
X $-gpo 4vpc (-Рз, Л, Да, Л) A /BлN) б (Л + р2 -
2e4), B2.7)
где F»*v(st) дается формулами G.9)—G.10). Проводя интегриро-
интегрирование в тензорном виде, как в § 7.2 [см. G.19)—G.30)], и переходя
к инвариантным переменным B2.2), находим [см. G.29)]:
dan = [n21 тр/)|dx1 dxa/4(v2-
+A? /Is/) [lf*> + ЗА? ФЬ(кАгJ] /(MaJ). B2.8)
Здесь I^i\ дается формулами G.52) — G.54), где следует положить
!&|2—•-А2,, Д2->-Д2, (AAjJ —>-(МхJ = х2 = (Xj-j-x2J, в B2.8) входит
| T)(s/) |, так как в /^ уже учтено изменение знака; функции:
\'. ~~8'?v*\s^1'Pl)' B2>9)
а их явный вид
1 1/ 1' г 1 г; I» I .„2 jq\
pi/2__ 4е2(A2'-(-2/7j2)/A4' Г*1^2) —8e2x x /A4 I \^^-ikji
В /(-системе начальных частиц сечение B2.8) для спинорных
частиц можно записать в форме
dan/d(udcos #ь = (а3/8сое3р) f(Af — 4u2)/A2]1/2 x ,
¦ i C22 1П
Х{ —A +/пг/2е2)а1 + (х1хг/2егш2)(а1 ' Л u ' ^^'1U
285

где
ах = А! B + jx2/2e2) + 2tf~Lx [А* A
— ц4/е2];
B2.12)
Lj дается формулой G.54) с w2 = A22, остальные обозначения,
как в B2.4). Проинтегрировав сечение B2.11) по углу, найдем
dan/da = (a3 dco/6e3pco) (I + m2/2e2) [(Д| —4ц2)/Д2]1/2 x
B2.13)
Заметим, что спектр излучения конечными частицами можно
просто получить с помощью следующего варианта методики инва-
инвариантного интегрирования тензоров. Представим B2.7) в виде
dan = [2лт)E/) F»v (s«) (ръ р2)/4 /v2—m4] Я?/> Ло/2<о, B2.14)
где
Я&} = S »2 ^* (^з/2е3) №V2e4) X
X [б (А + p2-p3-Pi-k)/Bn)°] (-gpaК$Ъ, (-Рз. Р4. Aj- *)) B2.15)
может зависеть только от 4-вектора, фиксирующего систему отсче-
отсчета, в которой выбрана энергия фотона [ср. F.28I. Таким вектором
в /(-системе является п^ = A, 0, 0, 0) = Ai^/y^2. Учитывая
калибровочную инвариантность, имеем
## = fenv- А,ц Aiv/A?) /IV • B2.16)
Величина /д| вычисляется, как обычно, сверткой с g^v. Исполь-
Используя G.38), G.39), получаем для скалярных конечных частиц:
А? = Bа2/3 BлJ) [(А|-4^)/А2]1/2 X
X {[(A|-2ji2) Lj—Л?] A — ^2/е2) + 4со2}. B2.17)
Подставляя B2.16), B2.17) в B2.14), получаем спектр излучения
конечными частицами при превращении электрон-позитронной
*
р
пары в пару скалярных частиц*:
da\V = (а3/24е3/?) (Ло/со) [(Д2 — 4p,2)/A2]!/2 (I +m2/2e2) x
X {[(Al-2fi2) Lx—Af] A —fi2/e2) + 4ш2}. B2.18)
* Здесь рассмотрено излучение при аннигиляции пары частиц со спином
О, 1/2 в пару точечных , удовлетворяющих квантовой электродинамике частиц
со спином 0 или 1/2. Точно так же можно найти сечение излучения начальными
частицами с учетом структуры (форм-факторов) конечных частиц, это сече-
сечение выражается через две функции этих форм-факторов [11].
286

Сечения B2.5), B2.13), B2.18) вычислены без каких-либо пренебре-
пренебрежений.
Обсудим особенности излучения при аннигиляции. Вблизи по-
порога реакции (если ц. > т, е2 ~ р,2, <о < е) имеем из B2.5), B2.13):
da? = Bа3/е2) (dco/co) 0О [In Be/m—1 /2];
do?i = 4а3 dcop3/3e2o), B2.19)
где р0 = [(Д22 — 4(i2)/A22]1/2, G.5), вблизи порога ро < 1, следова-
следовательно, сечение излучения конечными частицами имеет допол-
дополнительную малость, пропорциональную квадрату скорости этих
частиц, как и должно быть, поскольку излучение тяжелых ча-
частиц вблизи порога является дипольным.
При е>ц.(и ю<е имеем):
dax = Dа3 dco/3e2<o) [In Be/m) — 1 /2];
Жт„ = Dа3 doj/3e2co) [In Be/|i)— 1 /2]. B2.20)
В этом случае отношение сечений сводится к отношению входящих,
логарифмов, и поэтому не мало.
Существенной особенностью полученных формул, качественно
отличающей случай излучения при аннигиляции от случая тормоз-
тормозного излучения (см. § 6 и 21), является убывание спектра излучения
с ростом энергии как In (e/m)/e2, в то время как спектр тормозного
излучения растет как In (г/т). Это связано с тем, что основной вклад
в сечение тормозного излучения дают малые передачи импульса.
В данном же случае передача импульса не может быть малой (она.
больше 2(г), что и приводит к тому, что множитель 1/е2 не компенси-
компенсируется. Очевидно, такое утверждение не связано со спином частиц.
22.2. Особенности излучения начальны-
начальными частицами. Сечение процесса излучения при аннигиля-
аннигиляции содержит в знаменателе четвертую степень передачи импульса
(Дх4 или А24). Величина АД входящая в сечение dan, постоянна
и очень велика (Ax2 == 4e2 в /(-системе). Однако в случае излучения
фотона начальными частицами (сечение da\) положение меняется,
поскольку по мере роста энергии фотона величина переданного
импульса А22 падает и в пределе жестких фотонов может стать ма-
малой. В /(-системе фотон обладает максимальной энергией; когда
он и обе конечные частицы разлетаются в противоположные сторо-
стороны и конечные частицы имеют равные импульсы, тогда
сот = (е2-^)/е. B2.21)
Учитывая, что А22 = 4е (е — <о), при <о = <от имеем А22 = 4ц2..
По этой причине по мере роста энергии фотона вклад излучения на-
287

чальными частицами возрастает [12]. Особенно сильно этот эффект
выражен в случае, когда начальные частицы тяжелые (т ^> \и).
Для проведения количественного анализа следует сравнить
сечения B2.5), B2.13). При А22 = 4ц2 (на границе спектра) сече-
сечения do\ и do и обращаются в нуль вследствие наличия кинемати-
кинематического фактора (А22— 4ц.2I/2. Однако вблизи этой точки поведе-
поведение этих сечений качественно различно: сечение dan плавно
падает до нуля, а сечение da\
имеет острый максимум при
А22 = 5,6ц2 (рис. 50). Отноше-
Отношение сечений в точке максимума
= (8Б2/5ц2IпBе/т)
(e ~ т).
B2.22)
Отсюда следует, что самые жест-
жесткие фотоны с большим преиму-
преимуществом излучаются начальными
частицами. Пик в сечении da\
асимметричен и очень узкий.
В сторону больших частот da\
падает до нуля, когда А22 изменяется в интервале 1,6|г2, с другой
стороны полуширина пика равна 9,5р.2. Сечение da\ тем самым
имеет минимум при А22 ~ е2 (см. рис. 50, щ = 0,6е при е ^> т
и <оо = 0,8е при е ~ т). Если т > ц, то мягкие фотоны излуча-
излучаются в основном легкими (конечными) частицами, при со <? г
сот со
Рис. 50. Зависимость сечений
излучения начальными dOj и
конечными ddjj частицами от ча-
частоты.
dai/dan = In Be/m)/ln
(е > m);
= 2и2/3 In Bе/ц.) (е ж т).
B2.23)
где v — скорость начальных частиц. Интересно отметить, что
в случае, когда начальные частицы являются нерелятивистскими,
они излучают мягкие фотоны дипольным образом (~ у2) и в то же
время с большой вероятностью излучают жесткие фотоны
[см. B2.22)].
Представляет интерес интегральный (по частоте) вклад пика.
Для того чтобы найти его, следует учесть: в сечении B2.5) в районе
пика меняется лишь фактор [(А22 — 4ц.2)/А22]'/2 [Bц.2 + А22)/А24]
[происходящий из функции f[l/2) G.13)], а остальные члены практи-
практически постоянны. Проводя интегрирование, получаем
= Ba3/3e2)(L— 1) (е > т).
B2.24)
Появление пика при малых значениях А22 имеет простой физи-
физический смысл. В этом случай фотон и пара конечных частиц разле-
2 88

таются в противоположные стороны, так что данный процесс
близок к двухквантовой аннигиляции пары начальных частиц,
когда один из фотонов конвертируется в пару частиц, причем угол
между их импульсами ~ji/e, a e3 ~ е4- Как следует из вывода
G.7)—G.13), процесс конверсии фотона в пару, по конечным со-
состояниям которой проведено интегрирование, при данной передаче
импульса описывается функциями G.12)—G.13) независимо от
процесса, в котором излучается фотон.
Сравнение B2.24) с интегральным сечением двухквантовой анни-
аннигиляции дает
^ da1/a2y = 4а/3л. B2.25)
Это выражение можно рассматривать как относительную вероят-
вероятность превращения фотона, излученного в любом процессе в пару
частиц.
§ 23. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА
ПРИ ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННЫХ И ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННЫХ
СОУДАРЕНИЯХ
23.1. Тормозное излучение вне области
конца спектра. В низшем порядке теории возмущений при
электрон-электронном соударении процесс тормозного излучения
представляется четырьмя «блочными» диаграммами (рис. 51) (две
прямых и две обменных), а в случае электрон-позитронных соударе-
соударений на диаграммах следует сделать замену р2 «-> —/?4, тогда обмен-
обменные диаграммы переходят в аннигиляционные*.
Будем искать спектр и угловое распределение излученных фото-
фотонов [1, 13], которые можно получить из сечения* da/d^dx^ в систе-
системе покоя электрона («/7-система, рх = 0) и /(-системе рх + р2 = 0.
Будем считать частицы ультрарелятивистскими в /(-системе,
т. е. v = ptp2 > 1 (масса электрона те = 1), проводить рассмотре-
рассмотрение для неполяризованных частиц и не касаться области частот
в конце спектра, т. е. будем полагать, что в /(-системе б (е — о) ^> 1,
а в ,/7-системе е — <о > 1 (в инвариантном виде v — х ~ v > 1).
Будем систематически разлагать все величины по степеням 1/v и ос-
оставлять только старшие члены разложения.
Вычислим вклады блочных диаграм А, А', В, В', (йал и т. д.),
каждая из которых описывает излучение определенной линией, как
это делалось и в § 21 и 22. Именно вклады этих диаграмм (но не
каждой фейнмановской диаграммы в отдельности) являются кали-
бровочно инвариантными, поэтому, в частности, ковариантное пра-
правило суммирования по поляризациям [см. (А. 18) Приложение А]
может применяться только к вкладам блочных диаграмм. Но осо-
особенно удобна такая группировка членов при приближенных вы-
* Здесь использованы обозначения, как в § 21 [см. B1.6)].
10 зак. 979 289

Рг
Pi
Рз
Pi
Pi
числениях, поскольку тогда просто следить за сохранением кали-
калибровочной инвариантности. С другой стороны, поскольку ультраре-
ультрарелятивистская частица излучает в узкий конус в направлении
движения с углом ~ 1/е, то вклад интерференции между излу-
излучением различных частиц, определяемый степенью перекрытия
этих конусов, имеет порядок 1/v, так же как и интерференции
прямых и обменных
(аннигиляционных) диа-
диаграмм вдали от жесткого
конца спектра. Тем са-
самым можно ограни-
ограничиться вычислением
вкладов указанных блоч-
блочных диаграмм. Более
детальные количествен-
количественные оценки будут при-
приведены ниже.
В случае электрон-
электронных соударений
после интегрирования
по импульсам конечных
фермионов da a = da а-,
da в = da В'. В силу
тождественности элект-
электронов суммарный вклад,
прямых и обменных
диаграмм следует раз-
разделить на два (см. раздел
5.7). Поэтому при пренебрежении интерференцией можно рассматри-
рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности
электронов. В случае электрон-позитронных соударений вклад ан-
аннигиляционных диаграмм Л', В' был вычислен в § 22 [см. B2.5),
B2.13)], там же отмечалось, что этот вклад мал (имеет порядок
1/v) вне области конца спектра, следовательно, в данном случае
также можно ограничиться рассмотрением прямых диаграмм А, В.
Вклад диаграммы А в сечение в случае электрон-электронного
соударения можно получить из B1.3)—B1.5) или после перехода
к ковариантным переменным из B1.20), B1.21), где следует положить
т = 1, и = х1г е = рхр2 = v. В случае электрон-позитронного-
соударения в этих формулах следует заменить р2 <-> — /?4, но фор-
формулы симметричны относительно такой замены. Вклад диаграммы В
получается из вклада диаграммы А заменой рх <->¦ рг для обоих
указанных случаев. Следовательно, вне области конца спектра при
v ^> 1 излучение при электрон-электронном соударении такое же,
как при электрон-позитронном соударении. В формуле, получаемой:
из B1.20), необходимо сначала провести интегрирование по х4>
Ai2, тогда получим daAl&Y.x&y.%. Чтобы определить вклад диаграммы
В, следует провести замену р1 <-> р2.
290
Рис. 51. Блочные диаграммы тормозного
излучения при электрон-электронном соу-
соударении (</!2= — Ах2 и т. д.).

Обсудим теперь порядок интегрирования. Первое интегрирование
ведется между корнями уравнения S (хх, к2, щ, АД v) = 0 с по-
помощью формул (Г.40), (Г.41) Приложения Г. Если это интегрирова-
интегрирование ведется по и4, то пределы изменения Af даются формулами
/\
(Г.46) Приложения Г. Выражая cos р2р3 через инварианты
{см. (Г.44) Приложения Г], получаем
= (v-X1-l)(l ± У l-
мин
= (v-xx-l) [l"± [l/(v —xx —I)] f(v-x-l)/(v-x
B3.1)
Область изменения щ, к2 определяется вторым из неравенств
(Г. 46) Приложения Г, которое в инвариантном виде записывается
как
B3.2)
а также условием существования области по Ах2
V—х—1>0. B3.3)
Последнее равенство означает, что относительный импульс конечных
фермионов в их /(-системе равен нулю, поскольку (р3 -f- р4J =
= (Pi + Pi — *02 = 2 (v + 1 — к) = 2 (v — к — 1) + 4, откуда,
в свою очередь, следует, что частицы пары движутся с равными ско-
скоростями в любой системе. Условие B3.3) дает максимальную энер-
энергию фотона в Д-системе:
соГ = (г—1)/2е = е—1/е. B3.4)
Если же первое интегрирование проводить по АД то область
изменения х4, х?, щ определяется неравенствами (Г.47). Первое из
определяет область по х4:
с = И [1 ± /(V —X — 1)/(V —X + 1)]/2, . B3.5)
мин
а второе дает B3.2).
Функции Q4, i?4, SPi в представлении S = Q4xi — 2^4 х4 + R4
даются формулами B1.10), где следует положить т = 1, а» = щ,
е = v. Произведя перегруппировку членов, можно привести S
к виду
S = QAA*-2PAA{ + RA, B3.6)
где
<2д=х2/4; ^A = x[X2(v + i)_ x]/2 — x4[2x2(v + l— х/2) —
— x(v + l—х)]/2;' /?a = x?[(v—х^+гх, — 1]-
_2xax4[v(v-x1) + x,-l]+x5(va-l). B3.7)
10* 291

Наряду с проведенным выше определением области изменения
переменных для вычисления необходимо отобрать в B1.20) стар-
старшие члены, отбросив члены, дающие вклад ~ 1/v. Малый вклад
~ 1/v дают члены типа
Д2у/х2; Д2у/х2; Д* v/щ х4; А{ v/x4; A» v/xj; AJv/x2x4.s B3.8)
В этом можно убедиться, например, следующим образом. Возьмем
сечение B1.20) и будем подставлять в него вместо (А -j- А') пере-
перечисленные в B3.8) члены. Первое интегрирование проведем по Д^.
Учитывая, что в сечении B1.20) стоит общий множитель 1/ДД
видим, что последний член в B3.8) дает вклад n/Q1^2, а остальные
члены дают вклад n/Rl/2. Член, содержащий I/Qa2, после интегриро-
интегрирования по и4 в пределах B3.5) дает вклад* в сечение ~ (a3d'a1dy.ilvmi^).
Этот член можно опустить, поскольку в /(-системе после инте-
интегрирования по щ (или и2) при фиксированном и = 2сое вклад этого
члена ~ (a3dx/vx), т. е. ~ 1/v по сравнению с основным (a3rfx/x).
Область интегрирования по к±л= и — к2>1 определяется из B3.2):
и (l-f(v—l)/(v+l))/2 < щ ,2 < х A + j/(V- l)(v+l))/2. B3.9)
Аналогично в Л-системе Pt == 0 роль частоты играет щ, а область
изменения щ определяется из B3.2), B3.3):
(а) x^v-Kv^^iXx^x^v + fvi);]
(б) x^v-^-l, f B3Л0)
т. е. при х1<и0, где
( /^=T) B3.11)
пределы интегрирования по щ определяются B3.10, а), а при
^1>Щ нижний предел задается B3.10, а), а верхний предел —
B3.10, б). Величина Xq имеет тот же смысл, что и ю* B1.13), по-
поэтому в Л-системе фотоны с частотой а» = хх > щ не могут лететь
против р2, следовательно, вступает в действие предел B3.10, б).
Максимальное значение частоты в Л-системе находится из условия
существования области по х2 (на границе верхний и нижний пре-
пределы совпадают):
B3.12)
* Отбрасываются члены, имеющие степенную малость,'так что логарифми-
логарифмические факторы не влияют на оценку членов и потому при анализе поряд-
порядка величин выписываться не будут.
292

с учетом этого вклад в сечение в Л-системе будет (АЦ/Ч^, т. е.
~ 1/v по сравнению с основным.
Результаты для системы, где р2 = 0, получаются из найден-
найденных заменой 1 <-> 2 (как уже отмечалось, с помощью такой замены
можно найти da в из da а).
Таким же образом можно провести оценку 1—4-го членов в
B3.8), содержащих I/Ra2, если учесть, что интегралы по щ:
¦0;
B3.13)
с, с>0,
где не выписаны логарифмы. Оценку пятого члена можно провести
с помощью замены х| -> и4 И4МИН> при которой член только уве-
увеличивается.
Отметим, что первый и второй члены в B3.8) имеют порядок
малости в /(-системе l/(v — к) и их можно отбросить только
вне области конца спектра, когда (v — и) ~ v [в Л-системе рх = 0,
их порядок l/(v — xj]. Отбрасывая члены B3.8) и заведомо мень-
меньшие члены вида А12/х2, A12x4/'t2i и т- Д-» получаем выражение, даю-
дающее с принятой точностью вклад в di
daA = (т\ a/nv2) \ [rfxx dx2 dx4 Щ/Ь* V^S] T, B3.14)
где
Т = — 2v2/*4 + Dv2/*2 щ) A -щ/v)—Bv2/xl) (I —o^/vJ —
x^v)».-!-!]. B3.15)
Аналогичный результат найден и в § 21 для излучения мюоном при
| Э- При этом в комптоновском тензоре B1.5) в членах с g^v сле-
следует остановить только х2х4 и отбросить все члены с A1(i, .A1V- Такой
«укороченный тензор» имеет вид
x4) {[ft pl+ {p2-k)» {pt—ky\ B + A?)-2^ k?}. B3.16)
В токовом тензоре остаются только члены с pXvPi\, т. е. результат
не зависит от спина рассеивающей частицы (но, естественно, за-
зависит от спина излучающей).
Перейдем к интегрированию сечения B3.14). Учитывая, что при
малых Ах2 имеет место компенсация в первых трех членах B3.15)
293

{см. обсуждение после B1.31)], удобно переписать Т:
= —2i?A v2/(v2 — 1) х| х? + 4vx/(v2— 1) х2 х4—
— 2(v— х
B3.17)
где R& приведено в B3.7). Первое интегрирование будем проводить
в первом члене по АД а в остальных по х4. При такой группиров-
группировке членов компенсации происходят в первом члене, а в остальных
не появляется Rl/Z в знаменателе. После выполнения первого
интегрирования с помощью формул (Г.40), (Г.41) приходим к сле-
следующим интегралам:
= \ dx4/x4Ri'2 =
\ R\'2 =L/jc, 1Л
= [Rl<2 (х4мако)/(-х4мако)
[[v(v — Х1) + х,—1 l/x5(v« — IK/2] L;
= [/?|/2 (А?макс)/(-
н)/А?Мин|/ X2 (V2— 1) +
[x[xt(v+ l)_x]/2xE(v2 — 1K/2]L;
?мин)
B3.18)
где
L = In {[v(v — x)— 1 + /v2^!-J/"(V—xJ— l]/[v(v — к)— 1 —
= 21n{[v(v—x) —
B3.19)
Значения функций R& на границе области можно получить подста-
подстановкой пределов B3.1), B3.5) в B3.7). Существует другой, более
простой путь (см. § 21). Учтем, что [см. (Г.42) Приложения П:
X [d3p3
e3 ej =
B3.20)
294

вычисляя этот интеграл в системе, где рх + р2 — к = р3 + р4 = О,
получим [см. (Г.43) Приложения Г]:
R\/Z = (ei +e2—<») I Pi I t(e4 со—| р411 к | cos (рГк)cos (рГр4)J—
-(|р4||к|51п(рГк)зт(р7р4)J]1/2' B3.21)
причем пределы интегрирования по А| в этой системе [см. Г.46;]
•ч хч
соответствуют cos (рх р4) = —cos (р2 р3) = + 1, т. е.
1макс ) =
мин
= (ei +е3—со) | Рх! (е4 со =F | р41 со cos (p^k)).
B3.22)
Выражая входящие величины через инварианты [(Г. 44), Приложе-
Приложение Г.], имеем
(v—^4-1)
= xQ4/2/2±1/(v-x— l)/(v—
Аналогично можно найти
\ мин )
= {X (v — %!— I) ±
B3.23)
. B3.24)
Подставляя все эти результаты в B3.14) и сохраняя члены, даю
щи е вклад, получаем сечение излучения фотона электроном
где
= (r* a/v3) (djtx
v (v—
x
—4x2]/xi—v2}.
Здесь
L=21n[2v(v—x)/x].
Полное выражение для сечения
da = da a + daB; daB ==daA(l^2).
B3.25)
B3.
B3.27)
B3.28)
295

Сечения B3.25)—B3.28) дают спектр и угловое распределение излу-
излученных фотонов при столкновениях электронов и позитронов. Отме-
Отметим, что в /(-системе со = (хх + х2)/2е = х/2е, в ^-системе, где
рх = 0, со = хх, а при р2 = 0 со = х2. В /(-системе область измене-
изменения хЬ2 = со (е — р cosftli2) определяется при фиксированной
величине к формулой B3.9). В Л-системе рх = 0, область изменения
х2 = со (е — р cos #) находится при
фиксированной величине Xj форму-
формулами B3.10). Область изменения пере-
переменных х^ х2 приведена на рис. 52,
на котором угловые точки имеют
координатыxo.xf [см. B3.11), B3.12)].
Для дальнейшего рассмотрим от-
отдельно разные системы.
1. В /(-системе угловое распреде-
распределение характеризуется резкими пика-
пиками в направлении движения каждой
из частиц (вдоль р2 в do а и вдоль рх
в do в), поскольку в знаменателе сто-
стоят высокие степени х2 (или хх). Поэ-
Поэтому основной вклад в интеграл по
х2 (для da а) дает нижний предел интегрирования. В результате
интегрирования получаем для спектра излучения вдоль р2:
0
Рис. 52. Область изменения
переменных щ, к2.
docA = 4r20 a (da/ca) [(e — и )/8][е/(е — о») +
+(е—(о)/е—2/3]{1п [4е2(е—со)/со] — 1/2};
B3.29)
Очевидно, что угловое и спектральное распределения излучен-
излученных фотонов вдоль рх и р2 одинаковы, т. е. dosfda = dcVdco.
2. В Л-системе (рх = 0) следует отдельно рассмотреть излуче-
излучение быстрой (doA) и покоившейся в начале частицы (daB). Угло-
Угловое распределение фотонов, излучаемых быстрой частицей, имеет
резкий пик вдоль р2 (высокие степени х2 в знаменателе), вклад в
интеграл дает нижний предел по и2 и результат не зависит от
соотношения между щ и щ:
dolA = Arl a (dajea) [(e—<в)/е] [е/(е — со) +
+ (е—со)/е—2/3]{1п[2е(е—со)/со] —1/2).
B3.30)
Излучение частицы, которая вначале покоилась, следует из B3.26),
если положить к2 = со, хх = а (е — р cos ft*). Видно, что угловое
распределение излучения частиц отдачи весьма плавное. Поэтому
вклад в спектр дает вся область интегрирования, и результат за-
зависит от соотношения между сох и щ:
296

([4— l/co + l/4co2] x
X In2e—2+2/@— 5/8со2};
d(Ts=(r2 a/3) (dco/co) {16A— co+»2) lne/co— f B3.31)
—2A—,2(o)ln(l—2<в)[1/4<в3—1/2<в2+3/со-
—2 + 4co] — 1 A»2 + 3/@—4 + 4@—8(O2};
При jtj = Xq оба сечения совпадают. Сечения B3.30), B3.31) сле-
следует подставить в B3.28).
Обсудим полученные результаты. 1. С принятой точностью излу-
излучение в электрон -электронном и в электрон-позитронном соударе-
соударениях одинаково 2. Существенна область передач импульса
Ai2 ? 1 (на диаграмме А это видно, например, из того, что член
Ax4v/x2x4 дает вклад ~ 1/v, a A/v2/*^,, ~ 1). 3. Излучение в
Д-системе направлено в два конуса вдоль импульсов сталкиваю-
сталкивающихся частиц, а в ^-системе налетающая частица излучает в
узкий конус, а угловое распределение излучения частицы отдачи
является плавным. 4. Вклад диаграмм, на которых излучает
частица 2 (daа), не зависит от спина частицы 1 и наоборот. Такая
же ситуация уже встречалась в §21 при | > 1 [см. B1.35)
и далее]. Причина этого заключается в малости передач импульса.
5. Излучение частицы отдачи при <в>х0 падает как 1/ю2. Это
связано с тем, что такие фотоны в Д-системе излучаются вне конуса
вперед [ср. B1.65) и последующий анализ]. 6. Сечения B3.29)
и B3.30) совпадают с точностью до релятивистского пересчета энер-
энергии в аргументе логарифма. Более того, можно зафиксировать пере-
переменную т) = Их + ах2 @ < а ^ 1). Это означает, что частота
фиксирована в системе, где движутся обе частицы (при а = 1
Д-система, при а = 0 Л-система). Если провести теперь в B3.26)
интегрирование по х2, то получим B3.30), где следует положить
(о/е -> tj/v и провести соответствующее преобразование энергии
в аргументе логарифма, т. е. хотя спектр излучения не есть реляти-
релятивистски инвариантная величина, тем не менее для быстрых частиц
в силу излучения фотона в узкие конуса оказывается возможным
пересчет спектра из системы в систему.
23.2. Общие характеристики излучения
фотона при рассеянии релятивистской ча-
частицы. На основании проделанного анализа (§ 21—23) можно
дать общие характеристики процесса излучения фотона ультра-
ультрарелятивистскими частицами вне области конца спектра. Из вида
отброшенных членов B3.8) по сравнению с оставленными B3.15)
следует, что в существенной области вклада диаграмм ЛАХ2 <Д,
х4 < 1 (соответственно Д22 <, 1, х3 <, 1 для вклада диаграмм В).
Эти неравенства определяют кинематические особенности процесса
излучения.
297

Рассмотрим /(-систему и диаграмму А. Из Дх2 = 2(е1е3 —
— рхр3 cos д13—1) <, 1 следует, что е3 > 1 и угол рассеяния
^13 ^ 1/ез *С 1. т. е. вектор р3 направлен почти по рх. Поскольку
щ существенны вблизи нижнего предела, то фотон летит в на-
направлении движения излучающей частицы р2. Составляющая р4,
перпендикулярная р2, мала (<. 1), т. е. после излучения частица
движется вдоль направления импульса р2, поскольку в существен-
существенной области и4 < 1. Рассмотрим еще передачу энергии от излучаю-
излучающего электрона к рассеивающему. Из (рх + р2 — р3J = (Pi + &J
имеем 4е (е — е3) = и4 ^ 1, т. е. е — е3 <. 1/е. Отсюда вытекает,
что рассеивающий электрон практически не меняет энергию и,
следовательно, фотон получает энергию за счет излучающего элек-
электрона. Таким образом, картина излучения для диаграммы А сле-
следующая: электрон с импульсом рх после взаимодействия движется
с импульсом р3, причем последний по величине и по направлению
почти совпадает* с рх, а электрон с импульсом р2 после взаимодейст-
взаимодействия «делит» свою энергию между электроном и излученным фотоном,
т. е. е4 = е — с» + 0 A/е). При этом как фотон, так и конечный
электрон движутся в направлении р2, угол отклонения фотона
порядка 1/е, а угол отклонения конечного электрона ? 1/е4 « 1/(е —
— со); обратим внимание, что угол вылета конечного электрона
определяется его энергией. Для диаграммы В получаются идентич-
идентичные результаты, только следует заменить р1 <-> р2, р3 •*-> р4.
В Л-системе для диаграммы А (ра = 0) из Дх2 = 2 (е3 — 1) <, 1
следует, что покоящаяся до взаимодействия частица приобретает
энергию порядка массы (|р3| ? 1). Поэтому е4 «* е — со, фотон
и конечный электрон движутся вдоль р2, угол отклонения фото-
фотона <. 1/е, а угол отклонения электрона <, 1/е4 ^ 1/(8 —т)- Идентич-
Идентичные результаты имеют место для диаграммы А' (для электрон-элек-
электрон-электронного рассеяния) после замены р3 -е-» р4. В случае частиц с раз-
разной массой Дх2 <, /п2, где /п2 — масса налетающей частицы [см. об-
обсуждение после B1.35) в § 21], т. е. в этом случае е3 ~ tn2lme (tne —
масса элактрона). Излучение частицы отдачи (диаграммы В) при
© > Xq « 1/2 подавлено [см. B3.31)], что, как уже отмечалось, свя-
связано с тем, что в /(-системе фотоны с такой энергией испускаются
под большим углом. Вклад диаграмм А и В становится одного по-
порядка при со <, 1, при этом для диаграмм В (г — е4) ~ 1, р4 на-
направлен под углом ,< 1/екр2, фотон с почти одинаковой вероят-
вероятностью движется в любом из кинематически допустимых направле-
направлений.
Проведенное обсуждение позволяет понять некоторые характер-
характерные черты формул B3.29)—B3.31). Сечения B3.29), B3.30) совпадают
(кроме аргумента логарифма), поскольку при излучении быстрых
* Таким образом, передача импульса рассеивающему электрону очень ма-
мала, т. е. время процесса велико. Если рассеивающий электрон за время из-
излучения преобретает дополнительный импульс, сравнимый с указанной пере-
передачей импульса (например, если столкновение электронов происходит во
внешнем электромагнитном поле), то сечение излучения уменьшается [114].
298

частиц можно считать, что все частицы движутся вдоль направления
начального импульса, тогда (rfco/co) с = (dco/co);; (<в/е)с = (со/е)г
и 2гг = 4ес2 (для аргумента логарифма), здесь с я I относятся
к Д- и Л-системе соответственно. Сечение doA/dA^da» в Л-систе-
ме можно получить из B1.32), положив т = 1:
da А = 2а3 (dx^) (Щ/Ь*) {4A- х
[4Х? Д2/Л;2 |/Д2(Д2 + 4)] 1п (/Д2/4
+ 2A- x^v) AiMHH In (Д? /Л?мии)}, B3.32)
где А?мин = Xj2/4v4 A — x/vJ, пределы изменения Дх2: от А?мин
до величины порядка v — х^ Поскольку интеграл по Дх2 сходится
при больших Дх2, то для получения спектра dadd-x^ можно устре-
устремить верхний предел интегрирования к бесконечности. Если заме-
заменить в B3.32) кх ->х, то получим сечение в /(-системе. Это следует
из того, что в Д-системе дают вклад х2 ~ x/v = (xx -j- x2)/v як xjv,
причиной этого является малость угла излучения как в Л-системе,
так и в Д-системе. Проинтегрировав в пределах Д!мин •< AVC оо,
получим спектр излучения в Д-системе B3.29). Отметим, что после
интегрирования по Д^ зависимость от Д?мин остается только в пер-
первых двух членах в фигурных скобках B3.32), которые при Ах2 < 1
ведут себя как АД что и дает в сечение —In AiMnB.
Характернейшей чертой спектра излучения быстрой частицы
в Л-системе является совпадение его со спектром излучения на
кулоновском центре [ср. B3.30) и A7.30)]. Это означает отсутствие
зависимости от спина рассеивающей частицы и малость отдачи (пере-
(передачи энергии). Несущественность спиновых эффектов можно по-
понять, например, в Д-системе, где рассеивающая частица теряет
энергию ~ 1/е (е — е3 ~ 1/е), а ее импульс поворачивается на
угол ~ 1/е, т. е. движение ее квазиклассично (см. § 9). Влияние
отдачи в Л-системе в формулах B3.14), B3.15) состоит в том, чтс
при фиксированной Aj2 меняется и4 = со (е4 — р4 cos ^4)» поскольку
без учета отдачи е4 = е — со, ас учетом ее е4 = е — со — Дх2/2.
Однако в существенной области Ах2 <. 1, и при е — со > 1 величи-
величина х4 меняется на относительную величину Дх2/(е — to) <^ 1, т. е.
Т B3.15) с учетом или без учета отдачи различается на члены вида
vAj2^2, vAx2/x2x4 и т. д., которые все равно вклада не дают
[см. B3.8I. Нижний же предел Ах2 не меняется при учете отдачи.
В частности, при излучении мюона Д?мин = <в2т4/4е2 (е — соJ
при | = 2е/т2 > 1 B1.30), так что А!мин не зависит от массы рас-
рассеивающей частицы, а это означает, что величина Д!мив такая же,
как в случае излучения в кулоновском поле, когда масса бесконеч
на. В результате вышеизложенного спектр B3.30) совпадает со
299

спектром излучения в кулоновском поле в борновском приближении,
а спектр в Zf-системе, как мы видели, можно получить из B3.30)
прямым пересчетом. Более того, если известно сечение излучения
на кулоновском центре da/dwd cos # с точностью до членов ~ 1/е,
то можно найти все формулы B3.29)—B3.31). Действительно, если
положить в B3.25)—B3.27) щ — а, х2 = ю (е2 —р2 cos#2), v=e,
то мы получим сечение излучения на кулоновском центре. Причина
этого для излучения быстрых частиц была изложена выше. Остается
обсудить излучение электрона отдачи (в системе, где рх = 0). Но
в силу симметрии задачи в системе, где р2 = 0, электрон с импуль-
импульсом рг излучает так же, как электрон с импульсом р2 в «/^-системе,
а при пересчете сечения da/da d cos ¦& со и cos ft преобразуются друг
через друга. Возникает еще вопрос: не могут ли отброшенные члены
~ 1/v, щЫ2 стать существенными после перехода из системы в си-
систему Ы2 = с», щ = со (е — р cos ftj) ~ x2/v в существенной обла-
области]. Это нетак, поскольку и в системе , где рх = 0, можно счи-
считать хх/х2 ~ 1/v, поскольку вклад дает верхний предел по х2.
23.3. Анализ интер ф е ренционных членов.
В случае электрон-электронных соударений оценку интерферен-
интерференционных членов можно провести с помощью неравенства Шварца
[ср. B1.72)]. Например, вклад интерференции диаграмм, на которых
излучают разные начальные частицы [(А, В), (А', В'), (АВ'), (А'В)],
можно оценить с помощью неравенства
x2 < 2 У (daA/dx1 dx2) (doB jdv.x dx2). B3.33)
Подставив сюда doA B3.25)—B3.27) и йав = daA A «-» 2) и взяв
старшие члены разложений, получим (с точностью до коэффициента)
<кш< if\ *WJA*il*i) (dx2/x2)L. B3.34)
Членами такого типа пренебрегали. Малость интерференционных
членов обусловлена тем, что в /(-системе: 1) существенный вклад
дают только малые углы рассеяния; 2) все частицы являются ультра-
ультрарелятивистскими и излучают в узкие конусы в направлении своего
движения. Остается рассмотреть интерференцию прямых и обмен-
обменных диаграмм (АА1), {ВВ'), на которых излучает одна и та же на-
начальная частица, и поэтому не имеет смысла пользоваться неравен-
неравенством B3.33). В этом случае малость интерференции следует,
например, из того, что для диаграммы А Дх2 <1, а для диаграммы А'
АB < 1 в существенной области, но А/2 = —Аг2 + 2 (v — хх — 1)
и вне области конца спектра v—их ~ v (в конце спектра v — щ ~ 1),
поэтому в области, где Ax2 <, 1, А/2 ~ v, следовательно, нет об-
области передач импульса, где одновременно оба сечения doA и d<JA'
были бы велики. Поскольку излучают разные конечные частицы,
то для оценки интерференционного члена можно воспользоваться
неравенством Шварца, но для сечений doA/dudx^ и т. д. Эти
соображения применимы для интерференции диаграмм В, В'.
300

В случае электрон-позитронных соударений интерференция диа-
диаграмм (АВ) выпадает согласно B3.24). Вклад аннигиляционных диа-
диаграмм найден в § 22 [см. B2.4), B2.11)], где следует положить
т = ц = 1. Проведенный там анализ показал, что порядок сече-
сечения для диаграмм, на которых излучает конечная частица (не вы-
выписывая логарифмического фактора),
doа> < («3/v) • (Ж*! dx2/x2), B3.35)
а для диаграмм, на которых излучает начальная частица*,
daB. < [a3/(v—к)] [d^ dx2/x1 х2]. B3.36)
Если v — % ~ v, то это члены ~ 1/v. Такой же порядок имеет и ин-
интерференция диаграмм А, В с аннигиляционными, что следует для
интерференции диаграмм** (А, А') из B3.33). Однако для установле-
установления этого факта для интерференции диаграмм (АВ'), (ВВ') неравен-
неравенства B3.33) недостаточно (оно дает ~ l/|^v), поскольку фотоны
летят в конусы вокруг рг и р2, хотя эти конусы «логарифмические».
Резюмируя полученные результаты, имеем, что в случае элек-
электрон-электронного столкновения интерференционные члены диа-
диаграмм (АВ), (А'В'), (АВ'), (А' В) имеют малость 1/v, а интерферен-
интерференционные члены для диаграмм (АА'), (ВВ') имеют порядок l/(v — х)
(/(-система) и l/(v — щ) (ЛГ-система). В случае электрон-позитрон-
ного рассеяния вклад диаграмм Л' и их интерференции с А, В
(как и интерференции А и В) ~ 1/v, интерференция с В' равна нулю,
а вклад диаграмм В' и их интерференции с А, В ~ l/(v—к)
(/(-система), ~ l/(v — кг) (с/7-система).
23.4. Жесткий конец спектра. Полный спектр
тормозного излучения с учетом жесткого конца спектра вычислен
в [20]. Используя его, можно оценить также границу применимости
принятого выше приближения. В конце спектра v — % = 1 B3.3),
B3.4), поэтому необходимо учесть вклады, опущенные по критерию
l/(v—к) ~ 1/v. Для электрон-электронного соударения (dae) это
вклады интерференции диаграмм АА', ВВ'; для электрон-позитрон-
ного соударения (dop) — вклады интерференции диаграмм АВ',
ВВ' и вклад аннигиляционной диаграммы В', так что сечения dae
и dap различны:
dae = daА + — daAA ¦
dap = da a + dcr^s- + A <-* 2) -f daB'
B3.37)
* Обратим внимание на тот факт, что излучаемые фотоны как при тор-
тормозном излучении, так и в анннгиляционном процессе летят в конуса в на-
направлении движения начальных частиц. Однако эти конусы существенно
различны: в первом случае они степенные (dx2/x22), а во втором только лога-
логарифмические (<ЫгЫ2).
* Если применять неравенство Шварца не к дифференциальным по %у,
х2 сечениям, а к спектрам, то получится менее сильное утверждение, что
daint (A A') <? (a3/Vv) (^©/©).
301

60
50
SO
10
V
3
Я
S
ч
>
r
f i
~La103/o
Физически понятна существенность интерференции в конце спек-
спектра. Для вклада диаграммы А вклад дают Дх2 = — (р± — р3J < 1,
а для вклада диаграммы А' — Д/2 = — (рх — р4J < 1. Интерфе-
Интерференция дает вклад, когда р3 и р4 направлены почти по рь что
действительно имеет место в конце спектра. При сог = 2е (е
— 1)/Bе—1) электрон после излучения может остановиться, а при
со = со? B3.4) оба
конечных электрона
летят по одной пря-
прямой в направлении,
обратном к. Явный
вид сечений приведен
в [20]. Только doB'
содержит большой ло-
логарифм In Bv), а ос-
остальные вклады bdoe,
dop B3.37)—нет. Поэ-
Поэтому dOp значительно
превышает doe, что
видно на рис. 53, где
при б = 2-Ю3 приве-
приведены doe, dop и do e
B3.28), B3.29).
Отметим в заклю-
Рис. 53. Форма конца спектра тормозного из-
излучения прн электрон-электронном соударе-
соударении B) и электрон-позитронном соударении
C) прн энергии е = 1 Гэв в Д-системе. Для
сравнения приведено сечение B3.28)—B3.29)
(/), p=r s2(l— ю/8—1/е2), значение р=0 соответ-
соответствует концу спектра.
чение, что сечения
dae, dav отличаются
от приближенной
формулы B3.28),
B3.29) только при
е — © < 1. Эта об-
область частот вносит
весьма малый вклад в интегральное по частоте сечение. Поэтому
аппроксимация всего спектра формулами типа B3 28) B3 29) яв-
является достаточно хорошей, если не интересоваться 'специально
самым концом спектра.
§ 24. ДВОЙНОЕ ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
ПРИ ЭЛЕКТРОННЫХ СТОЛКНОВЕНИЯХ
24.1. Спектр двойного тормозного излу-
излучения. Процесс двойного тормозного излучения, т. е излучения
двух фотонов при электрон-электронном или электрон-позитронном
соударении, уже обсуждался нами в случае мягких фотонов в раз-
разделе о.4. Теперь рассмотрим эту задачу для фотонов с произвольной
частотой [», У, И, 22J. Процесс двойного тормозного излучения пред-
представляется сорока феинмановскими диаграммами B0 прямых 20 об-
обменных или аннигиляционных). Из двадцати диаграмм двенадцать
отвечают излучению обоих фотонов одним из электронов, а восемь —
302

излучению фотонов разными электронами, из них четыре изображе-
изображены в виде блочной диаграммы на рис. 54, другие четыре получаются
перестановкой фотонных линий.
Обозначим ри р2 — импульсы начальных частиц, а р8, pi—им-
pi—импульсы конечных, kx (©!, к±), k2 (co2, k2)—импульсы фотонов, масса
электрона те = 1. Рассмотрение будем вести в Д-системе сталкиваю-
сталкивающихся частиц в предположении, что (рир2) = v = е2 + р2 > 1
'Pi = (е» Р). Рг = (е» — Р)]. и не рассматривать жесткий конец
спектра, т. е. е — со1>2 ^> 1, тогда конечные частицы будут ультра^
релятивистскими (е3,4 > !)• Заметим, что в процессе двойного
тормозного излучения возможно из-
излучение одного или двух жестких
фотона с энергией со ^ (е — 1). Для
того чтобы убедиться в этом, найдем
область кинематически допустимых
значений со17 со2. Очевидно, что при
фиксированной энергии со2 величина
щ будет достигать максимального
значения в том случае, когда р3>
р4, к2 будут направлены против
направления импульса кь причем
|Рз| = |Р4|- Взяв равенство (рг +
+ Рг — К — hf = (Рз + PiJ при
ЭТИХ условиях, получим уравнение Рнс. 54. Блочная диаграмма
Границы двойного тормозного излу-
излучения.
(е—coi)(e—¦ еоа) = 1. B4.1)
Область в плоскости (щ, со2) приведена на рис. 55. В случае, когда
о)! = со2 = е — 1, конечные фермионы покоятся, т. е. фотоны при-
принимают всю кинетическую энергию начальных частиц. Область
вблизи конца спектра обсудим ниже.
Проведенный в разделе 23.2 анализ процесса однократного тор-
тормозного излучения позволяет составить простую качественную кар-
картину рассматриваемого процесса. Действительно, так как сущест-
существенны малые углы рассеяния и малые углы излучения, то и в слу-
случае излучения двух фотонов они будут испускаться в узкие кону-
конусы вдоль направлений рх = р и р2 = —р. Ясно, что они могут ис-
испускаться в один конус, т. е. в одном направлении в том случае,
когда они излучаются одной частицей, и в два конуса, т. е. в про-
противоположных направлениях, в том случае, когда фотоны излучаются
разными частицами (см. рис. 54).
Основной практический интерес представляет случай, когда
фотоны разлетаются в противоположные стороны. В соответствии
с этим будем вычислять дифференциальное по частотам и углам вы-
вылета фотонов сечение при произвольных частотах (при условии
е — io1;2 ^> 1) и в противоположные конусы. Такая постановка во-
вопроса определяет отбор диаграмм. Вклад будут давать только диа-
диаграммы, на которых излучают разные частицы. Более того, можно
зоз

ограничиться рассмотрением блочной диаграммы на рис. 54 (т. е.
четырех фейнмановских диаграмм). В самом деле, обменные диаграм-
диаграммы (в случае электрон-электронного столкновения) после интегри-
интегрирования по конечным состояниям электронов дают такой же вклад,
как и прямые, а в силу тождественности электронов результат сле-
следует разделить на 2, поэтому можно рассматривать только прямые
диаграммы и не учитывать тождественности электронов. При излу-
излучении не слишком жестких фото-
фотонов передаваемый импульс на
аннигиляционных диаграммах
(в случае электрон-позитронных
столкновений), как уже неодно-
неоднократно отмечалось в § 22 и 23,
имеет порядок е~2, и, следова-
следовательно, вклад этих диаграмм
мал. Таким образом, получен-
полученные результаты будут одина-
одинаково справедливы для случая
электрон-позитронного и элек-
электрон-электронного столкновений,
поскольку интерференционные
члены между прямыми и обмен-
обменными диаграммами и прямыми
со,
E-1/S
Е-1
Л
о
Г-1 F-1/F
Рис. 55. Область допустимых зна-
значений энергии фотонов при двой-
двойном тормозном излучении.
и аннигиляционными диаграм-
диаграммами малы по тем же причинам,
что и для процесса однократного
тормозного излучения. Итак, рассмотрим диаграмму рис. 54, доба-
добавив к ней диаграмму, на которой переставлены фотонные импульсы,
и разделим на 2 в силу тождественности фотонов. Поскольку ин-
интерференция между этими диаграммами мала, так как фотоны ле-
летят в разные конусы, то можно рассматривать только диаграмму
на рис. 54 и не учитывать тождественность фотонов.
Вклад диаграммы рис. 54 в сечение можно записать в виде
Ь **) X
' (ft, р„ -q,
—k,— кг) (d3p3/2e
B4.2)
где q = рх — р3 — k; A2= — q2; тензор gpO/CA/2>|ivpo определен
формулой B1.5), в которой следует положить т = 1. Как уже от-
отмечалось, в сечение однократного тормозного излучения дает вклад
«укороченный тензор» B3.16). При переходе к двойному тормозному
излучению происходят дальнейшие упрощения. Для того чтобы
убедиться в этом, рассмотрим частный случай, когда один из фото-
фотонов является мягким, следовательно, его излучение можно найти с
помощью метода, изложенного в разделе 6.4, а второй обладает
304

произвольной частотой. В соответствии с общим правилом F.23)
сечение процесса в случае, когда жесткий фотон испускается
частицей р2,
da = daAdW(kj), B4.43)
где daA — вклад диаграммы А (см. рис. 51) в сечение однократ-
однократного тормозного излучения. Воспользовавшись для него формулой
B3.32) и проведя интегрирование в dW (k^ по углу вылета фотона
F.30), приходим к выражению
da = 4яа2 (dA2/A4) dU (A2, co2) dl (А2, щ), B.24)
где
dU (А2, щ) = Bа Лй2/яа>2) {A —©2/е) Ф (А2/4) +
+ [со2. А2/е2]ЛД2(Д2 + 4) ] 1п (/А2/!" + VТ+~ЕП~А) +
+ ©2 А*ин/4е2 + 2 A — Ш./В) АЛ ~&
;[A+A—»2/eJ]/2 +
+ A — со2/еI(Д?ин/2) In (Д2/Д?„„)}; B4.5)
dl (А2, щ) = Ba dwjnwj Ф (A2/4). B4.6)
Здесь Амин = to22/16e6 A —to2/eJ, в формуле B3.32) мы положили
щ/v = со2/е; dxx /xx = dco2/co2, Ax2 = А2. Обсудим теперь сечение
do B4.4). Чтобы получить спектр излученных фотонов, необходима
провести интегрирование по А2 (АМИн < А2 <: ALkc). При А2 < 1
Ф(Д2/4)=DД2/3)[1+О(Д2)] [см. F.35)]. Отсюда видно, что dl (А2,щ)
ndU (A2, io2) ведут себя при А2<1 так, что область Д2~ДМИН не дает
вклада в интеграл по А2 (входят члены вида J dA2, AMzH J dA2/A2
Д^ин Дмин
и т. д.), т. е. имеет место та же ситуация, которая была в задаче
об излучении двух мягких фотонов. Поскольку АМии ~ 1/е4, то
при вычислении главных по 1/е2 членов в выражении для сечения
можно положить АМин = 0. При Дг » 1 Ф (Д2/4) — In А, следо-
следовательно, ввиду сходимости интеграла А2 ^> 1 также вклада не
дают. Учитывая, что Дмакс ~ е2, можно с этой точностью положить
Амакс -*¦ ооi как и в разделе 6.4. Следовательно, существенной об-
областью передач импульса является Амин < А2 -~ 1 < Амакс- По
этой причине в выражении для dU (А2, со2) можно отбросить все
члены, содержащие Амин (их порядок ~ 1/е2), так что выражение
для dU (А2, со2) заметно упрощается:
dU (А2, со,) = Ba da>2/na>2) {(-1 —со2/е) Ф (А2/4) + ,
+ [«of А2/е2 /А2 (А2 + 4) ] In {fWi+У I +A2/4)}. B4.7)
Если бы анализ велся на более раннем этапе (до интегрирования
по углам вылета фотонов), то точно так же легко установить,
305

что в квадрате матричного элемента [см., например, B3.15)] можно
отбросить члены, которые стали существенными из-за вклада об-
области А2 ~ А^лд. Такими членами являются х2/х4 и и4/х2 [ср. B1.31)
и ниже], а все остальные члены дают вклад.
Выполняя интегрирование по А2 в B4.4), получаем [ср. F.55),
F.59)] спектр двойного тормозного излучения при электрон-элек-
электрон-электронных и электрон-позитронных соударениях:
do = 4яа2 ^ (dA2/A4) dU (A2, co2) dl (A2, coj =
о
-=-- (8/-2 a2 In) (dxo1 d©,/©! со2) {tu A — со2/е) + i\t cof/e2}, B4.8)
где константы
B4.9)
?C) — дзета-функция Римана; 7 ? C)/8 = цъ = 1,052.
Для получения спектра в случае обоих жестких фотонов вос-
воспользуемся следующими соображениями. Формула B4.4) имеет
такой же вид, как F.53) (х2 = А2/4), только одна из функций
41 (А2, со) ->- dU (А2, со), она может быть интерпретирована так
же, как F.53): множитель 4яси?Д2/Д4 — вероятность процесса рас-
рассеяния с передачей A2, dl (A2, со^ — вероятность излучения мягкого
фотона при заданной передаче A2; dU (А2, со) — вероятность излу-
излучения жесткого фотона при заданной передаче А2. Именно такой
смысл имеет величина dU (А2, со2) в B4.4). Мультипликативный
характер формулы B4.4) обусловлен следующими причинами. Как
указывалось в разделе 23.2, в ультрарелятивистской области бы-
быстрая излучающая частица сама «обеспечивает» энергией излучае-
излучаемый фотон, а процесс излучения совершенно не зависит от того,
каким механизмом обеспечивается передача импульса А2, причем
А2 существенно малы. А такая ситуация как раз характерна для
излучения мягких фотонов, где сечение излучения всегда имеет
мультипликативную форму. Поэтому формы dU (А2, со) B4.5)
и B4,7) являются прямым обобщением* dl (А2, со) F.30), оче-
очевидно, что dU (А2, со) -> dl (А2, со) при со -*- 0. Напомним, что в вы-
выражении для dU (А2, со) учитывались законы сохранения энергии
импульса при излучении фотона, но пренебрегалось передачей
энергии от одной заряженной частицы к другой, так как эта
передача оказывается малой. Поскольку в рассматриваемом слу-
случае каждый из электронов излучает по одному фотону, то в соот-
соответствии с приведенными соображениями процесс излучения при
заданной передаче импульса А2 протекает независимо для каждой
из заряженных частиц**. Поэтому сечение двойного тормозного
* Область применимости ill (Д2, со), конечно, существенно уже, чем
dl (Д2, со).
** Более строго это показано в работах [8, 9].
306

излучения можно представить в виде
do = 4nr20 J dA2 dU (Д2, с^) dU (Д2, со2)/Д4. B4.10)
Как и в рассмотренном выше случае, в интеграл по А2 основной
вклад дает область А2 ~ 1, а интегрирование можно вести от 0 до оо.
Проводя интегрирование, получаем [ср. F.55), F.59)] спектр
двойного тормозного излучения в случае жестких фотонов:
da= (Ъг\ a2 In) (йщ/щ) (Жо2/со2) {A — щ/г) A — «2/е) Ч1 +
+ [A— «1/фJ/е2 +
+A -щ/е) ©2/е2] п2 + со? «,2 ^/^j. B4.11)
Константы Т1 приведены в B4.9), при щ/е < 1 формула B4.11) пере-
переходит в B4.8), а при coli2/e << 1 — в F.55).
Заметим, что в рамках принятых приближений выражение для
сечения do/dA2 имеет строго мультипликативную форму, т. е.
является произведением двух множителей, каждый из которых
зависит от частоты только одного из фотонов. Вследствие того, что
имеется некоторая корреляция в зависимости сечения dcr/dA2
от iolj2 и А2, сечение B4.11) не имеет мультипликативной формы.
Однако эта корреляция весьма мала, и с хорошей численной
точностью (< 1%) сечение B4.11) можно представить в мульти-
мультипликативной форме (т. е. г\22 = )
dcr- (8r2 a2/я) R (щ) R (a>2) (dxojcoj(da>2/©2), B4.12)
где
Г У^J/е2. B4.13)
24.2. Угловое распределение излучаемых
фотонов. Перейдем теперь к вычислению сечения, дифферен-
дифференциального по углам вылета фотона. Будем исходить из формулы
B4.2). При проведении свертки с «укороченным тензором» B3.16)
имеют место дальнейшие упрощения, связанные с тем, что А2 ~ АмИн
не дают вклада. В свертке gpaK(^pa (Рг. Pi, й, k2) B3.16) можно
считать, что и24, и22, А2 ~ 1 Ыпт — (knpm)\, компоненты векторов
р2> (&г) ~ е> (®2)> компоненты вектора q ~ 1 (q2 = —А2), кроме
того, существенны малые углы между р2 и к2, т. е. можно положить
k2I = со2р2М,/е. Учитывая это и оставляя в тензоре только старшие
члены, получаем
(p2, pt, q, К) = 8е* p2VL p2V N2, B4.14)"
где
+ {A2[l+(l-aJ/eJ]/2 + 2(l— ©2/8)}/x22 x24, B4.15)
307

и аналогично для gpa /CjiVpo (pi, Рз, —Q< ^i)- Подставляя эти
свертки в формулу B4.2), получаем дифференциальное сечение
двойного тормозного излучения, которое справедливо с точностью
до членов, дакйцих вклад в спектр ~ е~2:
6«1) X
B4.16)
где iV2 дается формулой B4.15); Л^ = N2 B -> 1, 4-> 3). В фор-
формуле B4.16) была введена дополнительная 6-функция, чтобы раз-
разделить вклады излучения каждой из частиц. Перейдем теперь к ко-
вариантным переменным. Последний интеграл в B4.16) такого же
типа, как рассмотренный в Приложении Г интеграл Уг2 (Г. 11)—
(Г. 19), где в качестве «постороннего» вектора входит рг [в N2 B4.15)
входит оо2 = k2 {рг + p2)/V(Pi + РгJ]- С учетом этого можно
записать:
Iб (р2 + q-pt—К
= 4e }N2 dn22 dco2/ у —S^, p2, p4, &2). B4.17)
Функция 5 (рь p2, p^ k2) выражается через ковариантные перемен-
переменные v, х21, и22, х24, А2 = —q2 и (p!pi). Остановимся на последней
зависимости. Если бы фотон кг не излучился, то рхр^ выражалась бы
с помощью соотношения рг {рг + р2 — р3 — Pi — k2) = 0, т. е.
PiPi — v — И21 — Д2/2. В нашем случае (рхр^) = v — х21 — А2/2 —
— х13. Учитывая, однако, что в существенной области малых углов
(~ 1/е) излучения и рассеяния х13 ~ 1, а главные члены в 5 ~ е4,
можно с точностью до членов ~ 1/е2 использовать для функции 5
то же выражение, что и для однократного тормозного излучения
[см. B1.10), B3.6), B3.7)], упростив его с учетом того, что малые
передачи импульса А2 вклада не дают. Тогда в B1.10) можно оста-
оставить только старшие члены ~ е4, в результате чего найдем
S = (c2X24—2&2х24 + агLе4, B4.18)
где
. / 1 . 1",л /о\*' Л) -— I 1 ГЛ / о\ Г V 1 Л 2 г ¦» /Opl *\
I B4.1 У)
Все выражения для интеграла cJVjB B4.16) получаются заменой
2-> 1, 4-> 3. Перейдем к обсуждению интеграла jd*q. В системе,
рде рх = 0, можно провести следующие преобразования:
rV = J d*tfi (A2-q2+ql)8(n13+A2/2 + q0)8 (x24 +
+ А2/2—q0 e2 + | q | | p2 | cos ft) dA2
5 lx2i. B4.20)
308

Подставляя B4.17), B4.20) в B4.16), имеем
da = [32г2е а2 е2/BяK] йщ йщ dx22 d%11 § dA* dRx dR2/A\ B4.21)
где
—S(Pl, p2, p4, k2); dR1 = dR2B-^l, 4->3). B4.22)
Функции N2 и S (pu p2, pit k2) приведены выше B4.15) и B4.18).
Интегралы §dR2, J dRt берутся как стандартный первый интеграл
задачи о тормозном излучении, согласно (Г.40), (Г.41) Приложе-
Приложения Г. В итоге
Ri^nNitfe2, B4.23)
где
N± = N2 B -> 1, 4 -v 3);
значения а2, b2, c2 приведены выше B4.19). В результате имеем
da = (г2, а2/яе2) а'щ da2 dnn dx22 \ dA2 N2 NjA*; B4.25)
Чтобы получить дифференциальное по углам вылета и частотам
фотонов сечение, необходимо взять интеграл по А2 @ < А2 ¦< оо).
Однако практический интерес представляет интегральное по за-
заданному телесному углу сечение двойного тормозного излучения.
Очевидно, что когда этот угол будет существенно превышать 1/е,
то в него будут попадать почти все излученные фотоны, и мы при-
придем к сечению B4.11) и B4.12). Положение меняется, если размеры
телесного угла, излучение фотонов в который мы рассматриваем,
¦сравнимы с 1/е. Ясно, что зависимость сечения от размеров телес-
телесного угла является характеристикой, которую можно непосредст-
непосредственно сравнить с опытом. В соответствии со сказанным найдем из-
излучение в углы 0 ^ ¦&! ^ ft™, 0 ^ Ф2 < ft-jo для фотонов щ и со2
соответственно. Это означает в терминах х22 = со2 (е — р cos ^j)
со2/2е < у.22 ^ со2хо2)/е. Если представить ft-jo —п21г, то при п2 ¦< е
имеем и^2)= л22/2. Проводя простое интегрирование по хи и х22
в B4.25) в указанных пределах, получаем следующее выражение
для сечения двойного тормозного излучения:
da = (8г2 а2/я) (dgx/Si) {dl2l\2) x
xl(dx/xs)[(l~ НХ)Ф (х2) + [?2 xfYT+1?] In (X+Yl+ x2) —
)}, B4.26)
309

где
F(x,n0, Z1) = \[((l-t1
Xln[{2x(l +х*)-ххо
-A -gx) A + l/x,+ A -xo + 2^)//^))/4; B4.27)
Видно, что при Ко ->- оо функция Z7 (л;, щ, Е^ -> 0, так что фор-
формула B4.26) переходит в формулу B4.10). Легко видеть, что при
х ->- 0 слагаемое F (x, x0, ?i), подобно остальной части выражения,
стоящего в фигурных скобках, пропорционально хг, следовательно,
как и прежде, нижний предел интегрирования по х можно положить
равным нулю, аналогично верхний предел интегрирования по л: —
равным бесконечности.
Входящие в формулу B4.26) интегралы не удается вычислить,
в аналитическом виде. Поэтому они были найдены численно как
функция п0 (п) [14]. В случае, когда рассматривается излучение
в одинаковые телесные углы п2 = пг, сечение двойного тормозного
излучения в заданный угол представим в виде
da = (8r20 a?In) {A —щ1г) A — о,/е) % (п) +
+ [A — щ/е) ©2/б2 + A —©2/е) ©2/е2] т]я (п) +
щу B4.28>
В области значений 1 « л С 8 оказывается возможным полу-
получить асимптотические выражения для коэффициентов цт (п) в фор-
формуле B4.28)
B4.29)
— [10 In2 л — я2/2+П/2]/л2;
—[101п2/г + 51пп—я2/2 + 9/2]/2л2;
Т13 (п) = К C)/8— [5 In2 п + 5 In /г—д2/4 + 5/2]/2л2.
Начиная с п = 4 результаты, получаемые с помощью формул
B4.29), находятся в хорошем соответствии с результатами числен-
численного расчета [14].
Зависимость коэффициентов г\т (п) в B4.28) от п приведена*
на рис. 56. Заметим, что сечение B4.28) с малой численной пог-
погрешностью (<Г 2%) можно представить в форме B4.12) и B4.13).
Проведем теперь анализ полученных результатов. Как и в слу-
случае однократного тормозного излучения, при излучении фотона раз-
разными частицами (см. диаграмму рис. 54) каждый электрон передает
* Аналогично проводится рассмотрение, когда Ид ф п2, предельный;
случай $20 ~S> 1/8' Фш ~1/е проанализирован в работе [14].
310

« е, конечные
имеют энергию
массы, а когда
энергию излучаемому им самим фотону, следовательно, е3,4 = е —
— со1>2 (в области, дающей существенный вклад), фотоны излучают-
излучаются под углом ~ 1/е к направлению движения излучающего началь-
начального электрона, угол отклонения конечного электрона порядка
его обратной энергии, т. е. ~ 1/е8 =1/(е — с^) (~1/е4 =1/(е — со2)).
Это означает, что поперечные импульсы конечных частиц — поряд-
порядка их массы.
Как и в случае однократного тормозного излучения, использо-
использованный подход неприменим в конце спектра. В частности, когда оба
-фотона жесткие о^ ^ со2 ж
электроны Чт
порядка
= со2 = - 0
— е — 1, они вообще по- '
коятся. В этой области ста-
становится существенной ин- 1,5
терференция с обменными
по электронным линиям
диаграммами (уже отмеча-
лось, что интерференция
•существенна, если совпада-
ют угловые распределения
фотонов и электронов, в
конце спектра фотоны ле-
тят вперед, а конечные
электроны распределены рис. 56. Зависимость коэффициентов
ллавно). По указанным в формуле B4.28) от п.
причинам не существенна
интерференция диаграмм, отличающихся перестановкой фотон-
фотонных линий. Следует учитывать также, как в разделе 23.4,
•аннигиляционные диаграммы, на которых излучают началь-
начальные частицы (для электрон-позитронных соударений). Таким обра-
образом, картина излучения вблизи границы спектра меняется. Можно
показать*, что, как и в случае однократного тормозного излуче-
излучения (см. раздел 23.4), полученные выше сечения неприменимы толь-
только в узкой полосе вблизи границы спектра шириной ~ 1. В этой
полосе сечение не имеет высоких пиков, которые при интегрирова-
интегрировании по интервалу с шириной ~ 1 давали бы в сечение вклад типа
г02а2. Следовательно, сечения B4.11), B4.28) и B4.30) применимы
.для всего спектра, если вблизи границы спектра брать интеграл по
интервалу частот б со ^> 1.
Сделаем еще замечание относительно диаграмм, на которых
•оба фотона испускаются одним электроном и летят в одну сторону
в направлении импульса электрона. Если фотоны мягкие, то сече-
сечение процесса дается F.55) и F.59) и отличается только численным
50 п
2|8
122].
* Подробный анализ области вблизи границы спектра проведен в работе
311

множителем от сечения излучения в разные стороны. Такая ситуа-
ситуация сохраняется, пока щ + со2 < 8- Если же щ + со2 > 8> т0:
1) фотоны не могут излучаться в одну сторону в силу закона
сохранения импульса;
2) часть энергии фотонов берется от неизлучающего электро-
электрона, т. е. передача импульса становится большой. По этим причи-
причинам сечение излучения падает и при coi,2 ~ е оказывается ~ 1/е2.
§ 25. РОЖДЕНИЕ ПАР ЧАСТИЦ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ФОТОНА
С ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕЙ
В § 19 было рассмотрено рождение пары частиц фотоном в ку-
лоновском поле. Теперь проведем анализ процесса рождения пары
при взаимодействии фотона с заряженной частицей [15] (фоторожде-
II
Рис. 57. Блочные диаграммы процесса фоторождения пары заря-
заряженных частиц.
ние пары частиц). Положим все частицы, участвующие в процессе,
неполяризованными. В низшем порядке теории возмущений про-
процесс представляется двумя блочными диаграммами (рис. 57), где
использованы «блоки излучения» (см. рис. 21). Обозначим k —
импульс фотона; рх (р2) — импульс начальной (конечной) заряжен-
заряженной частицы (рг2 = р22 = т2); st—ее спин; р3, р4 — импульсы ро-
родившейся пары (р32 = Р24 = И-2); s/—их спин и будем полагать,
что в процессе участвуют различные частицы. Вклад в сечение диа-
диаграмм I и II (см. рис. 57) обозначим соответственно doi и йац.
Поскольку пара на диаграммах I и II рождается в состояниях с про-
противоположной С-четностью, так как С-четность фотона отрицатель-
отрицательна, то интерференционный член вкладов диаграмм I и II
меняет знак при перестановке ря <-* р4. По этой причине он обра-
обращается в нуль после суммирования по состояниям родившейся
пары*.
Таким образом, просуммированное по состояниям родившейся
пары сечение процесса можно представить в виде
B5.1)
* На том же основании интерференционный член исчезает, если при детек-
детектировании процесса не различается знак заряда частиц родившейся пары,
312

Для получения искомого сечения весьма удобен изложенный в § 7
метод инвариантного интегрирования тензоров, аналогично тому
как это делалось в задаче об излучении фотона в аннигиляционных
процессах, причем сечения day и dan можно получить из формул
§ 22 с помощью правила подстановки и преобразования соответст-
соответствующих фазовых объемов. А именно da\ получается из B2.1), а
dou — из B2.7) с помощью замены
X
B5.2)
где щ = kpt; si —спин аннигилирующих частиц. После перехода
к ковариантным переменным согласно (Г.31), (Г.32) Приложения Г
те же замены выглядят как
Приведем теперь явный вид сечений:
B5.5)
где
+ (A2—2т>1х2
B5.6)
и сечение
B5.7)
313

где
/<? = [4/(Л2+Д2J] {(A2+4li2)[(A2-2lA2)L1-A2]-(A2 + Л2J};
— 16ц4]};
( ^ U . О P
) = 4m*-2A2; Г< 2/2) = 4х, х2.
Область изменения переменных А2, Л2 определена неравенствами!
4ц2 < А2 < (Ут2 + 2к1—тJ;
Л2 ^- Д2 ^- Д2
мин ¦**¦ ¦'»• ¦**¦ •'»-макС)
)] КB^—A2)—m2A2 ±
— А2J—4/и2 А2 ] •
B5.9)
Подставляя dai и dan в .,B5.1), получаем сечение, дифференциаль-
дифференциальное по передаче импульса и массе родившейся пары, причем все
вычисления проводились точно.
Представляет интерес соотношение между вкладами do\ и dan
при различных значениях ц2, т2 и параметра щ, величина которого,
должна превышать пороговое значение их ^ щ\
x, = 2|*(m + |i). B5.10)
При анализе не будем рассматривать припороговую область, т. е.
будем полагать, \ что xx — щ J> и,. Удобно ввести простые при-
приближенные выражения для сечений dai и dau, поведение которых
обладает теми же качественными особенностями, что и точные сече-
сечения doi, dan (отношение da/da ограничено сверху и снизу некото-
некоторыми числами). Такими выражениями во всей рассматриваемой об-
области изменения xi и при значениях переменных А2, Л2 вдали от
границы B5.9), т. е. когда А2 — 4fx2 >, ц2, Л2 — Л?и Л?
могут служить следующие:
?ин >, Л?ин>.
da \l w = [a3 dA2/x?A2] dA2 t^/x2,
независимо от спина конечных частиц. В области А2 — 4р.2 С 4ц2",.
которую не будем рассматривать и которая несущественна в инте-
314

тральном смысле, если не касаться реакции на пороге, появляется
зависимость и от спина родившихся частиц. Для сечения dan:
da\lf=%) = a3 (dA2/A2) [ЛД2/(Д2 + Л2J] Lx;
daIi/=O) = a3(dA2/A2)[dA2/(A2+A2J]x B5Л2)
X[1+A2A2L1/(A2 + A2J1
независимо от спина начальной частицы.
Обратим внимание, что при А2 <С А2
danT /danf «Li- . B5.13)
Это отношение при А2 ~^> 4р.2 логарифмически велико, что является
отображением того факта, что сечение рождения спинорной пары
двумя фотонами содержит в старшем по т/г члене In г/т, а старший
член в сечении рождения пары скалярных частиц не содержит этого
логарифмического фактора [ср. G.56)]. Аналогичная ситуация имеет
место и для do\\ если в B5.11) провести интегрирование по А8
в пределах B5.9), то при Д2 <^ % и kx >/иа сечение da(ii=1/2) лога-
логарифмически велико по сравнению с сечением da*?»^0*, как и се-
сечение комптоновского рассеяния на частице со спином 1/2 по срав-
сравнению с рассеянием на частице со спином 0 [ср. G.49), G.50)].
Рассмотрим соотношение сечений do\ и dan в случаях:
1) ц ~ т, 2) ц <Z "г, 3) (х > т, каждый из которых разобьем на
две области: а) v.x ~ к( B5.10) и б) хх > щ.
1а) (а ~ т, %! ~ щ ~ ц2. Из B5.9) получаем, что максималь-
максимальные и минимальные значения А2, А2 одного порядка (т2 и ц2).
Учитывая, что х2 = кг — (А2 + Д2 )/2, находим из B5.9) область
изменения щ при фиксированном значении Д2:
^—Д2J—4т2Аг ]. B5.14)
Переменная к2 достигает абсолютных максимального и минималь-
минимального значений при А2 = 4ц2, эти значения ~ m2, \i2. Отсюда сле-
следует, что во всей области doi ~ dan- После интегрирования по
А2, Л2 имеем для полных сечений
al^oll^a3/^2. B5.15)
16) \i ~ т, кг > и,. В этом случае Л?акс ~ Д^акс ^ «ь
Л„ин — m2\flY.\. В области Л2 + Аг<и1 имеем dax ^ don незави-
независимо от спина. Именно эта область (Д2 — (г2, Л2<,ц2) дает
основной вклад в полное сечение процесса. Выполнив интегриро-
интегрирование, находим
ап — a3 In (Kjmii)/^2 B5.16)
315

независимо от спина частиц. Это утверждение ни в коей мере не-
противоречит сделанному выше B5.13), поскольку сечения для слу-
случаев sf = 0 и sf = 1/2 логарифмически отличались лишь в области
А2 >4ц2, которая не дает вклада в интегральное сечение. Разумеет-
Разумеется, сечение B5.16) найдено лишь с точностью до численного коэффи-
коэффициента. Найдем теперь, что представляет область, дающая основной
вклад в системе, где начальная частица покоилась. Из того, что
Л2 <, ц2, имеем е2 <, т + ц2/2яг, следовательно, весьма небольшая
часть энергии передается частице отдачи, а остальную часть энер-
энергии фотона получают частицы родившейся пары: Л°=со—(е2—т)«(».
Из закона сохранения импульса следует, что суммарный им-
импульс пары направлен почти вдоль к, а из условия Д2 ~ 4ц2 вы-
вытекает, что угол разлета частиц пары мал (~ fx/co) и обе частицы
пары являются ультрарелятивистскими (е3 ^> ц; е4 ~ со —е3 3>
> ц; е3 ~ е4.) Таковы особенности основной области.
Если фиксировать Л2 ~ 4\i2 и увеличивать Л2 от Л2 ~ ц2, то
вклад dou будет падать как 1/Л6 и сравняется с вкладом doi
при Л6 ~ Л2^2. Далее при Л2 ~ Xj.dan ¦Cdai в этой области е2 ~ со.
Если же Д2 ~ щ, то при х2 = их — (Л2+ Д2)/2 ^ щ и Л2 С щ dan >
> da\, а при Иа^И! и Л2 ~ щ dan ~ da\\ при Л2 ~ %ъ х2 <С х,
имеем dan < dai. Вклад о\ в полное сечение [см. B5.1)]
(Xj ' ^ a3 In (Kjtn2)/^; I
<S« = ^) 31 , , 241 / , 24, B5.17)
a,' ~asln(x1/m2)ln(x1/(i2)/x1 j
пренебрежимо мал по сравнению с ап B5.16).
2а) (i -С т, щ ~ xt ~ fi,m. В этом случае Д?акс ^ Д^ии ~
Л-Л^ии'^М'2; Иг^И! и во всей области Л2, Д2 имеем
Вклад в полное сечение
стп~а3/ц2; al^as/m2 B5.18)
независимо от спина частиц.
26) fi С /и, Xi > ц'"- Здесь имеем Д?акс ^ A,JaKc > ц2, а
Л^ии ^^ w2 (А4/х^ <5( (а2. Аналогично случаю 16) в основной области
Л2< 4ц2, А2 — 4ц2 всегда dou^dov Интегральные сечения:
an~a3ln(x1/rn[i)/(i2;
3 In (Xi
In (х^
a\Si=0) ~ o\*i= Vi) ~ a3 In (Xi/mnJ/m2 (xx < m2);
За) ц > w> Х1~х4~ц2. В этом случае Д^акс ~ ДмИН —
~-ЛмакС'—(А2, Л^ин — т2. Отношение donldal ~ х2/Л2 меняется
от m2/fi2 до \i2/m2, поскольку х2миН ~ALh ~ т2.
316

Вклады в интегральные сечения одного порядка:
ai ~ аи ~ «3 ln (ц/т)/ц2.
B5.20)
36) ц ^> т, у.х 3> ц2. Этот случай обладает такими же особен-
особенностями, как случаи 16) и 26). Существенный вклад дает область
Л2 ? [г2, Л2 ~ 4ц2. Интегральные сечения даются формулами B5.16),
B5.17), а соотношения между дифференциальными сечениями та-
такие же, как в 16) и 26).
Приведенные выше сечения B5.5), B5.7) удается точно про-
проинтегрировать по передаче импульса Л2. В результате получаем се-
сечения, дифференциальные по массе родившейся пары:
g
iaf\
B5.21)
где р0, g-(s/' определены B5.6), а
?{о> = Dт2—А2) (Д2 —2т2 — i
+ 4ЧDт2—А2)/2 + 2и2/(
2т2 + А2) (А2—2т2—2х1)/х1 ] Lt + B5.22)
2*! + 2т2—А2)/2 B*! +т2J]/Х!;
^4 == '^ (И2макс/И2мин)'
здесь Х= 1^B^—А2J—4т2 А2; и2макс определены в B5.14). Для
сечения dan имеем:
где
л=1
B5.23).
•¦= fi2 [A2 A-L,
c(i/2) = 2—Bц2/А2 + 1/2) Li;
LJ/Д4;
») = —1/2;
?><«/2) = 8А2 т2 (L8—L,) + 21 Bт2 + А2) А2/^;
»/2) == 21 [2 Dкх—А2)—А2 (А2 + 2т2)/и1]/3;
() = D(
B5.24)
317'

Здесь ?2 = 1п(Л?акс/Л*„„);
L8 = In [(Л2 + Л*аКс)/(А2
2
/^определены в B5.8); Лмакс даны в B5.9). Подставляя найденные
doi и dan в B5.1), получаем точные выражения для сечения фото-
фоторождения пары частиц со спином 0 или 1/2 на частице со спином
О или 1/2, дифференциальные по массе родившейся пары.
Интегрирование сечений B5.21), B5.23) приводит к очень гро-
громоздким выражениям. Поэтому ограничимся здесь рассмотрением
случая больших энергий, когда щ > тц, щ > ц2, т. е. з^ > щ
B5.10). Мы уже видели, что при этих условиях в интегральном се-
сечении доминирует вклад dan, причем существенные значения А3
суть А2 ~ 4ц2. Для получения интегрального сечения фоторождения
пар в этом случае в B5.23) можно провести разложение по степеням
ji2/^, т2^2/^2 и полагать при анализе величины членов, что
А2 ~ \i2. Отметим, что коэффициенты сп ~ 1, а предельные значе-
значения Л2 следуют из B5.9):
Из B5.24) вытекает, что главные члены в функциях Dn не зависят
от спина частицы, с которой взаимодействует падающий фотон.
Отсюда следует, что сечение фоторождения пары с точностью до
членов относительного порядка \к Ыъ т2112/к12 в существенной об-
области не зависит от спина начальной частицы, и его можно предста-
представить в виде
= dan/dA2 = Dа3 ро/А4) [(ср} + 4с[У) In (m2 A2/4x?) +
+ 2c[sf] + 344s/» /3 + 4<?/> / 3]. B5.26)
^ определены формулой B5.24). Для получения полного
(интегрального) сечения интегрирование по А2 можно проводить
в интервале 4ц2 ^ А2^ оо ввиду сходимости интеграла при боль-
больших А2. В результате имеем полное сечение фоторождения пары
частиц со спином 1/2:
а<1/2) = (а3/^2) [28 In (г^/т^/Э —218/27] B5.27)
и полное сечение фоторождения пары частиц со спином 0:
26/27), B5.28)
причем в системе, где pi = 0, кг = со/и. В этой системе найден-
найденные сечения не зависят от массы частицы, на которой происходит
318

рождение пары, и следовательно, совпадают с сечением фоторожде-
фоторождения на кулоновском центре (т -v oo). Эта ситуация совершенно
аналогична той, на которую было указано при рассмотрении тормоз-
тормозного излучения в релятивистской области: 1) малость отдачи;
2) независимость от спина рассеивающей частицы. Такое положе-
положение обусловлено тем, что существенной областью изменения пере-
переменных является Л2 <_ (г2, Л2 ~ \i2. В этой области, как уже отме-
отмечалось, практически вся энергия фотона передается паре А0 = со—
—Л2/2т ж со, так как А2/2тсо = Л2/2х! ;< fi2/2>«i <^1, что и приво-
приводит к несущественности отдачи. Отсутствие зависимости от спина
нетрудно понять в системе, где рй + к = 0, в которой
Sl-e2 = (k + pj (px—p2)/Y{k + Pif =
= A«/2 /2x,+m«~ [fi2/(m2 + щ)] [(m2 + x1)/fm2 + 2x1 J =
= [i281/(m2 + x,)«8,, B5.29)
т. е. происходит потеря энергии относительного порядка ц2/(т2 +
+ хх); из того, что Л2 <, \i2, следует, что угол отклонения импульса
р2 в этой системе 02 < ц2/(т2 +щ) < 1, т. е. движение частицы с им-
импульсом рх в этой системе можно считать равномерным и прямо-
прямолинейным.
В силу изложенного при выполнении условий Xj ^> ц2, хх ^> т\ь
можно в существенной области, т. е. в области, которая дает
вклад в интегральное сечение, пользоваться найденными в § 19 фор-
формулами для процесса фоторождения в кулоновском поле (для уг-
углового и энергетического распределений частиц пары и т. д.).
Сделаем еще замечание относительно случая тождественных
частиц* при том же условии кг ^> т2 (массы одинаковые). Тогда
к диаграммам рис. 57 необходимо добавить обменные (применить
правило подстановки к диаграммам (рис. 51) и учесть следующие
обстоятельства: 1) диаграммы типа / вклада не дадут по указанным,
выше причинам, соответственно мала и интерференция диаграмм
/ и //; 2) обменная к типу// диаграмма дает такой же вклад, как
и прямая, но в силу тождественности конечных частиц результат
нужно разделить на 2; 3) интерференция прямых и обменных диа-
диаграмм мала, поскольку они отличаются перестановкой одной из
частиц пары, которая является ультрарелятивистской, и частицы
отдачи, энергия которой в системе, где р!=0, Е%~т, а это означает,,
что существенные области не перекрываются. Следовательно, и для
тождественных частиц применимы все полученные выше результаты.
* Фоторождение электрон-позитронной пары на электроне обсуждается
в обзоре [76].
31»

§ 26. РОЖДЕНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИИ
ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
26.1. Общие формулы для сечения. Процесс
образования пары при столкновении двух заряженных частиц
(процесс электророждения пары) описывается в низшем прибли-
приближении теории возмущений тремя блочными диаграммами (рис. 58),
гДе Pi.2 (Рз,д — импульсы начальных (конечных) частиц, рь (р6)—
импульсы частицы (античастицы) родившейся пары. Все частицы
будем полагать разными: рг2 = р2 — гщ2; р2 = р\ = т22; р\ =
= р\ = ft2. Будем рассматривать только процессы с неполяризо-
ванными частицами. После проведения соответствующих операций
т
гй
*d
V
<Рис. 58. Блочные диаграммы процесса электророждения пары заряженных
частиц.
усреднения и суммирования по поляризациям вклад [в сечение
диаграммы I (см. рис. 58) можно представить в виде
do, =
(Ре,
(Pi-
2, Pi. Яг, А)
0 Bs
dp, B6.1)
где
dp = б (p1+p2~p3~Pi—pb—p6) (d8 p3/2e3) x
X (d»p4/2e4)(d8p6/2e6)(d»p,/2ee); B6.2)
Ai,2=— G1,2; ?i, 2 = Pi, 2—Рз, 4; A==p5 + p6;
si,2,/ — спины начальных частиц A,3 и 2, 4) и спин частиц родив-
родившейся пары (s1>2>^ = 0 или 1/2). Для этих спинов входящие в се-
сечение doi тензора даются формулами: G.9), G.10) — Fpa, G.31) —
•^мл» G.34), G.35) — /Сцд,рсг- Вклад диаграммы II, очевидно, дается
той же формулой с заменой р1-3 <-* ргл, вклад диаграммы III
в этих же обозначениях
da (
111 1
dp
B6.3)
:320

Что касается интерференционных членов между вкладами диаграмм
I, II, III, то ограничимся здесь замечанием, что на диаграмме III
пара рождается с положительной С-четностью (С-четность двух фо-
фотонов), а на диаграммах I, II—с отрицательной С-четностью (С-чет-
(С-четность одного фотона). Поэтому интерференция между вкладами диа-
диаграмм I или II и III меняет знак при замене рв <->¦ рь. При исследо-
исследовании процесса электророждения пар частиц нас в основном будут
интересовать следующие характеристики процесса: полное сече-
сечение, сечение, дифференциальное по квадрату массы Д2 родившейся
пары, энергетическое распределение родившихся частиц в систе-
системе, где одна из начальных частиц (для определенности р^) покоилась.
В первых двух случаях вклад интерференции диаграмм I или II
и III равен нулю, в последнем этот вклад меняет знак при замене
е5 ^-> ев.
В B6.1) можно выделить множитель, равный сечению тормоз-
тормозного излучения виртуального фотона с импульсом А при соударении
заряженных частиц:
4 Bя)« У{Рг Ръ?-т\ ml Д« ( 2s, +1) Bs2 +
Х^.^-.^А, B6.4)
2е3 2е4 2Д„ '
где Ао = УА2 + А2. Тогда
B6.5)
Интегрирование по импульсам рождающейся пары в B6.5) удобно
провести в тензорном виде. Если для наших целей пару достаточно
характеризовать ее суммарным импульсом Д, то интегрирование
проводится, как в разделе 7.1, и имеем
da, = — /<s/> (A2) dA2 do^ gpa, B6.6)
где /<s/' дается формулами G.12), G.13). Если же интересоваться
индивидуальными характеристиками частиц пары (например, энер-
энергией е6 в системе, где рх = 0), то интегрирование можно провести
с введением дополнительной б-функции, фиксирующей эту характе-
характеристику (энергию е6 в указанном примере):
dar = do(plj de6 dA2 K^ pa, B6.7)
где
f
хфНр^Рь)- B6.8)
11 Зак. 979 321

Тензор KpJ^ может зависеть от векторов рх, А; по вектору А он
удовлетворяет условию калибровочной инвариантности, и поэтому
его можно представить в виде [ср. G.25)—G.27)]:
-((PiA)/[(p1A)a-Aam2])[3(plpAc
—ApAa(ml/p1A + 2p1A/A*)]}, B6.9)
где
Ko" B6.10)
) {(А2—4ц")/[(Л АJ—т\ А
= (- сс/яД*) {(А2 + 2fi2) mJKp, AJ- ml
можно найти» свернув обе стороны формулы B6.8) и выполнив инте-
интегрирование в правой части. Последнее сводится к интегрированию
выражений с б-функциями, поскольку свертки Fpc выражаются
А2, (р1} А), рг рв, и элементарно проводится в системе, где А = 0.
В результате
B6.11)
где въ = \(р1А)—т1 е6] 1тх—энергия частицы пары р5 в системе,
где рх = О.
Произведя свертку в B6.7) do$ К^^рс с учетом того, что
сечение do^J удовлетворяет условию калибровочной инвариант-
инвариантности по вектору А, имеем
do, = [do$ ?р° (К, + A2 Kt/ [(Pi AJ-m? A2])/2 +
+ №? р; pi A2/2 [(Pl AJ- ml A2]} X
х (Ki+3A*KJl(Pi&J—m*A*])dA2dse. B6.12)
В свертках сечения do$ B6.4) с g^ и р? р% удобно перейти
к ковариантным переменным: А^ (знаменатель фотонного пропага-
тора), ха = р,А — AV2, х4 = р4А + А2/2 (знаменатели пропага-
322

торов частиц), щ = рхА (ху/гщ — энергия пары в системе, где рх =
= 0). Будем также пользоваться обозначениями х = кг + х2,
•v = ргр2. Переход к этим переменным проведен в Приложении
Г (Г.37), где надо заменить k ->¦ А:
+р2 — р3—р4—Д) [d3p3d3p4dsA/2z3 2е4 2А0] =
pa; рз> р4); B6.13)
где S дается формулами (Г.37).
Обратимся теперь к сечению dom B6.3). Выделим из него мно-
множитель, равный вкладу диаграммы типа рис. 57 (//) в сечение обра-
образования пары виртуальным фотоном с импульсом q2 на частице
с импульсом р-у.
= № (р2> р4)</о<3> о°У(р1д,)*+т1:АУ[BлГ X
х yV_ m? m22 Д4 Bs2+1)]] (d3 p4/2e4), B6.14)
где
X К(Л ^??(i + )J]] (р1 + 72Рзр5р6)
е62е6]. B6.15)
Если в B6.15) провести интегрирование по конечным состояниям,
то получится тензор, зависящий от векторов рь <72 и удовлетворяю-
удовлетворяющий условию калибровочной инвариантности по вектору <72. По-
Поскольку ситуация аналогична имевшей место для B6.8), то соот
ветствующий тензор находится из B6.9) заменой /Срс ->- do$,
А -^<72; он полностью определяется своими свертками do(pV tfa,
dojw Px Pi- Произведя в B6.14) переход к ковариантным перемен-
переменным [ср. G.42)] с одновременным интегрированием по азимуталь-
азимутальному углу
сР р4/2е4 -> nd (p1 qt) dA2J2 /v2— m\ m\ B6.16)
и выполнив с учетом калибровочной инвариантности свертку
«/рог) с сг<3> р0 в форме, полученной из B6.9), найдем
11* 323

daw = A/32 я2) [У(Plq2f + m? A */(va - m\ ml)} [d (Pl q2) dAllA\\ X
X
- {A2 o$ p? p?/[(Pl <72J + ml A»]} x
X (f(,s°>-3Af f BSl)/[(plG2)a + mfAJ])} = da(,!l + da\l\, B6.17)
где
ГB0) = e2[4v2- 4v (A q2) + (Pi «?3J];
B6.18)
В свертках Op^ gpa, 0$ pi pi, которые получаются из B6.15),
переход к ковариантным переменным осуществляется аналогич-
аналогично B6.13).
В предыдущем обсуждении мы считали, что сечение! dcrp</
B6.15) проинтегрировано по всем конечным состояниям. Однако
все сказанное остается в силе и для дифференциального по каким-
либо ковариантным переменным сечения do}^, если эти перемен-
переменные выражаются только через вектора, содержащиеся в B6.15), на-
например do$ldA2, do{p3J/d (pipe) и т. д.
26.2. Р о ж д е н и е пар заряженной частицей
при столкновении с кулоновским цент-
центром. Вначале рассмотрим процесс рождения пары, когда масса
одной из начальных частиц очень велика (тг ->- оо). Тогда вклад
дают только диаграммы I, III, а соответствующие сечения полу-
получаются из найденных выше формул предельным переходом т1 -*- оо.
Будем искать сечение с дифференциалами dzbdz6.
Начнем с сечения da\, где надо вычислить dcrA>pc gpalda,
dcTpa' p? pVm\d(a, где а> = к1/т1 = р1А/т1 — энергия пары в систе-.
ме, где Pj=O. Взяв выражение для do$ B6.4), произведя в нем
необходимые свертки и перейдя к ковариантным переменным
[см. B6.13)], найдем в пределе т^оо [когда /^(pi, />3)/Bsi+l)->-
-»-4pinPiv независимо от спина]:
do
p?
ff
где pa = e
= e2
m2
Bа3/я) J [dx2dA\ dxjp*A\ V~—8] N^, B6.19)
= p1pjm1 = \/m1—энергия частицы р2 в системе
324

= (m| +A2/2) [e/x4 —(e—co)/x2J
x{2/xa —2/x4—(m
+ Д2_Д2)/>сах4};
= [е(е— и) + Д2/4][е/х4—(е — w)/x2]2 +
+ {(A2/4x2 x4) [2e (e — <a) + coz + A2/2] —
-(Д2/4) [e (e-co) + A2/4] A /xj + 1 /xJ)+[2 (e-coJ+
+ 2e(e —o)) + x4/2]/2x2—[2e2 +
+ 2e(e—w)—x2/2]/2x4—1/2};
{°) = (mj — A2/4) [e/x4 — (e — co)/x2]2 —
—Д2е(е — ю)/х2х4 + 1;
= [Be—(o)[e/x4—(e—(o)/xa]/2—I]2;
5 = lim 5 (plt p%, p3,
B6.20)
Ри4 = иа[е(е—со)—/п2
+ (А2/2)[со(е— ш) — х2+А2/2];
RKi = А* (ш2 — А2)/4 - А2 [со (ех2 — т\ со) -
—А2 (е2—ml—we + х2/2)— А4/4] +
Функцию S можно представить в форме (Г.39). Если в ней в ка-
качестве \ взять х4, то:
B6.21)
Если первое интегрирование проводить по х4 [между нулями S,
см. (Г.40), (Г. 41)], а затем по А2 и х4, то пределы по А2 будут,
очевидно,
Д?± = (р2-АJ +Р1 ± 2 | р41 | ра—Д |. B6.22)
Здесь величины взяты в системе, где pi = 0, т. е.
па — р5 гп2 — (р ml2 m2-
(р2—ДJ==(е—соJ—(ра—ДJ = (е— юJ— т
так что
B6.23)
B6.24)
Пределы интегрирования по ха будут
х2± = е(й—А2/2 ±|ра| |
= еш—А2/2 ±
11В Зак. 979
е2— ml
— А2
B6.25)
325

Если же интегрирование вести сначала по х2, а потом по А22 и х4,
то пределы по Ах2 получаются из B6.24) заменой ра -»—р4, т. е.
е -» е + и и ха -> —х4, а пределы по х4 — той же заменой из
B6.25).
Во всех приведенных выше выражениях ничем не пренебрегали.
Теперь перейдем к рассмотрению случая ультрарелятивистских
частиц, т. е. будем везде считать, что
е » Щ, е > ц, B6.26)
не делая предположений о соотношении между т2 и (г, и будем
отбрасывать члены, имеющие порядок m22/e2, ц2/е2 (по сравнению
с единицей). Будем считать также, что налетающая частица после
взаимодействия остается ультрарелятивистской, т. е. е4 > т2
(е — со <-' г). Как будет видно из дальнейшего, можно считать Лг
порядка большей из величин т22, ц2. Рассмотрим случай, когда
частицы пары обладают большой энергией со2 %> А2, и можно про-
проводить разложение по А2/в2, А2/©2.
Вычисление интегралов B6.19) во многом аналогично вычисле-
вычислению спектра тормозного излучения. Так же, как там, в существен-
существенной области х2>4 ~ ха,4мин < ха,4макс, А^ < А?макс. Конкретнее,
существенны значения x2i4 ~ max (/п22, ц.2) и А^ <, max (m22, ц.2).
Нижний предел по Ax2 ~ max (/n2*, \ь?Iгг соответствует кинемати-
кинематической ситуации, когда все частицы летят по одной прямой, при
этом х4/ха да el {г — со), так что входящие в B6.20) члены е/х4
и (е — о))/ха взаимно компенсируются. Так же, как в сечении тор-
тормозного излучения, члены ха/х4 и х4/х2 в выражении для N[/2
дают вклад лишь в области Дх2 ~ Л^цш, и их можно заменить на
e/(s— со) и (е— w)/e. Произведя в B6.19), B6.20) отбор главных
членов в соответствии с вышесказанным, можно записать сечения
в виде
"• -- г -s2) , . (sj) г 1. 1
•* X ~Т~ ^2 «* 2 J * I
(s«) г I
з А. ;
где
' = /п|—А2/4; е^°) = 8(е—со);
B6.28)
(в—«J]/
«
Л = § [dxt с?А? cfx4/!A* У— S ] (е/х4—(е—ю)/х2J;
x)
/a = j [dx2'dAl dMt/A* У^-S] A /e (e — «)— A?/x2x4).
Запишем входящее в /х выражение в виде
[е/х4—(е—o))/x2]2 = (s—юJ/х2—е(е—ю)/х2х4—
—s(e—co)/x4xa + s2/xi B6.29)
326

последние два члена получаются из двух первых заменой ра *-»• —р4.
Так как дифференциал в интеграле Jx и область интегрирования
также симметричны при этой замене, то можно интегрировать толь-
только два первых члена, а остальные получать заменой. При интегри-
интегрировании в порядке х4, АД х2 первый интеграл стандартный
[см. (Г.41) Приложения Г], причем с принятой точностью можно
положить
Xi = Д* со2/4 — Д2 [со (ех2—т\ а») —
— Да е (е—со)] + xi (е2 —т\),
B6.30)
а интегрирование по Дха вести от х22/(е— соJ до оо. Приведем
входящие интегралы:
J
lJ* = (e — соJ/ Y^^ml v.\ — w/2e2 x2
+ [(fflexa—mj со2 Г0/2х» е8] (Нг— 1),
B6.31)
где
B6.32)
I\ = 1 + Д2 e (?-ffl)/mf со2;
Я1 = 1п[4еа(е—coJ/m2ffl2l
В последнем интеграле сохранены члены относительного порядка
/па2/е2, х2/е2,;. Д 2/еа, так как старшие члены в Jt велики и взаимно
компенсируются. Проведя явно эту компенсацию с помощью раз-
разложения ]/^e2 — m22 и \^Qxt и взяв элементарные интегралы по
ка (в качестве пределов можно взять /п22ю2Г1/2е(о ^ х2 <] оо), по-
получим
Jt = [яе (е—©)//п* ©Г?] [(//j —1)/3 +
+ 4(е2— (е- со)«)/Зсо«Г1—(е + (е—с
+ члены (е *-* — (е— со))] = 2яе (е — со) (ЯА — l)/3m* ©Г?;
2= Zn(n1 1)//П2 ©1 1.
Подставляя эти значения в B6.27) получаем для s2 = 1/2:
= [ — 2а3//я2, ©ГЛ [1 -j-((e—ю)/еJ —
-[2(е-©)/ЗеГ1]A+Д2/2/п22)](Я1-1);
/?? pVm\ da> = 4а3 (е — юJ {Нг — \IЪт\ ©Г?
B6.33)
B6.34)
и для sa =
= I — 4а3 (е — co)/m22 соГа в] X
х[1_A_Д2/4/п2)/ЗГ1](Я1 — 1);
[do$ pi pVm\ da] = [о* Bе—шJ х
X (e — (o)/3/n| соГ? e] {H1 — 1).
B6.35)
11B*
327

При А2 = 0 первые из приведенных формул B6.34), B6.35) дают
(естественно, с обратным знаком) просуммированный по поляриза-
поляризациям спектр тормозного излучения в кулоновском поле для час-
частиц со спинами 0 и 1/2. Подставив B6.34) и B6.35) в B6.6), получим
сечение рождения пары (вклад диаграммы I), дифференциальное
по инвариантной массе пары и ее энергии для спина s2= 1/2:
6а\ = Bа8/т22 cuI\) [1 +((е— ш)/еJ—[2 (е— со)/ЗеГ1] X
X A + Д2/2т2)] (tfi—1) fsf] (A2) dA2 d(o, B6.36)
и для спина s2 = 0:
<toi = [4а3(е—a)/ml <аГг в] [1—A—A2/4m2)/3rj x
X (#!— 1) /(s'> (A2) dA2 cfo, B6.37)
где /(s/} (А2) даются формулами G.12), G.13).
Формулы B6.34), B6.35), а следовательно, и B6.36), B6.37),
получены в предположении, что |р4| ^> тг,; в частности, при их
вьюоде отбрасывались члены типа /п22/(е — иJ и А2/е (е — со).
Возникает вопрос, можно ли использовать их для вычисления пол-
полного сечения. Для анализа существенной области можно считать,
что
u2r1A2. B6.38)
Инвариантная масса и энергия пары изменяются в пределах*
4ц2<Аа<(е —m2J; 1/Д"<ео< e—m2.
Найдем с помощью B6.38) существенный интервал е — со. Видно,
что при fi2 ~ ет2 > т-? можно считать da\ ~ a4o)do)dA2/e (e —
— со) Д4, откуда следует, что интервал е — со ~ та существен.
Поэтому при таких значениях ц.2 уже нельзя пользоваться форму-
формулами B6.36), B6.37) для вычисления полного сечения. Более того,
при ц2^>/пае прямое использование B6.38) дает неправильный ре-
результат о ~ a4/m2e (а не a — aVfi2). Это связано с тем, что в выра-
выражении для х2_ B6.25) нельзя пренебречь А2 по сравнению се (е — со).
Точное выражение
хя_ = (ml со2 + А2 [е (е —со) + Д2/4—т2])/(есо— Д2/2 +
+ /е2 — ml |/соа — А2)
дает следующее выражение для 1\:
Гх = 1 + (Аа//п2 »2) [е (е—») + А2/4—т|]ж1 +
+ (А2/т| со2) [е (е — со) + Д2/4]. B6.39)
* Из формулы B6.38) видно, что существенна область изменения Д2
до Д2т ~ max (ц2, /n22<D2/e (е — <о). Отсюда следует Д2/е2 С 1 и для ультра-
ультрарелятивистских конечных частиц Д2/<в2 С 1.
328

поскольку всегда е (е — со) > ет2 > т22, то член т22 можно опу-
опустить. Чтобы найти полное сечение, необходимо использовать
именно эту формулу для 1\. При вычислении функций J\,2 прово-
проводилось еще разложение по х2/(е — соJ, однако если использовать
точные пределы, то можно обойтись и без этого разложения, и,
действуя, как выше B6.28)—B6.33), можно получить точные вы-
выражения для У 1>2:
Л = [2я 1/ю2 —Д2 рр' I Ът\ со2 Г?] х
X [ее' (ш2—А2) Н\х1рр' со2— 1 + А4 Dее'+оJ)/т2 со4 TJ; | B6.40)
= [—2л / со2—А2рр'/ее' т22 со2Тг] (ее' Н\х1рр' — \),
где е' = е — со; р = ]/е2— mf; р' =|/"е'2—т\; 1\ дается B6.39) и
#«= In [(ее'+ рр' —m^ + A^/mJeoTj. B6.41)
Подставляя B6.40) в B6.27), получаем точное выражение для
dopogpa/dw в случае скалярных частиц (s2 = 0), воспользовав-
воспользовавшись которым, можно найти точное выражение для сечения
doildA 2dco B6.6). В случае, когда спин налетающей частицы s2 = 1/2,
точное выражение для do^ag^lds) значительно более громоздко,
поскольку оно выражается не только через /i,2 [ср. B6.20)]. Срав-
Сравнивая точное выражение do\ldA 2da с приближенным B6.37), видим,
что точность приближения для вычисления полного сечения хо-
хорошая при [х2 <С1 ще, (max (m22, ц2)/т2е), а при |х2 ? т2г точно-
точность приближения [с использованием корректного выражения
B6.39)], становится логарифмической. То же справедливо и для
s2 = 1/2.
Приступим к вычислению дифференциального по энергиям ча-
частиц пары сечения. Чтобы найти do\, следует подставить B6.34),
B6.35) в B6.12), перейти к пределу т^ ч-оои выполнить интегри-
интегрирование по А2, а для dam необходимо еще найти dopVgfo/dsg,
dolp3a}ppp°/mlde6. Но, очевидно, эти сечения можно получить
с помощью правил подстановки, а именно:
gp°,dee = [(-lJsfBsf
(sa-»-s,, mf-^ix2, А2-* — Д2, co-v—oo, e-*— ee)} B6.42)
и аналогично для do^ pp р\1т\ dse. Для s, = 1/2 [см. B6.34),
B6.35)]
gpa/de6 =(—4a3/fi2 соз Г3) [е|
B6.43)
329
+ Be5 е6/ЗГ3) A - A!/2^2)] (H3-1);

'и для sy = (
do$ g(K5ldz6 = (—4а3/ц2 со3) х
X [(е, е6)/Г3] [1 -A + А|/4ц2)/ЗГ8]
р?
со3] X
Х[е5б6/П](Яз-1),
B6.44)
где
85 = со—е6;
2; Я3 = 1п[4е1е§/ц2(й2Г3].}
B6.45)
Естественно, первые выражения в B6.43), B6.44) представляют
при Аа2 = 0 сечение фоторождения пары (с коэффициентом —2).
Формулы B6.43) и B6.44) получены в предположении, что fvYel.e^
<С1, A S/e|. e^ 1. Ниже покажем, что существенной областью А22
является Aj < ц\ следовательно, все формулы справедливы, когда
частицы пары являются ультрарелятивистскими.
Пределы интегрирования по А2 и А22 находятся элементарно:
B6.46)
или для ультрарелятивистских частиц:
ца ю2/е5 е6 < А2 < 4е5 е6; т\ ю2/ее'
е5 е6; т\
; е'=84=8—со.
4ее';
B6.47)
После подстановки B6.34) и B6.35) в B6.12) и B6.43) и B6.44)
в B6.17) и перехода к пределу т^ -*- оо, получим следующие уни-
универсальные выражения для сечений электророждения пары на
кулоновском поле [60]:
X
l = BаЧт1 я) (de6 сЫА2е7(й2е) х
X Hi (ml/A2 —ее'/Гх оо2) +Bi co2/?ee' А4 +
+ С,ее'/Г?@2](Я1-1);
ni = Ba*/fi2 я) (rfe6 rfco dA* e'/co2 e) x
,„ (fi2/A22- e5 е6/Г3 @2)/fi2 + Bui |(oV/Д} e5 e6
йJ](Яз— 1).
B6.48)
Здесь | = /П2е5е6/ц2ее'; коэффициенты Лг, Bt, Ct зависят от спи-
спинов участвующих частиц и не зависят от А2, А,2. Приведем значения
этих коэффициентов в разных случаях:
330

•= A /2—e5 e6/co2) D/3 + со2/ее') — D[i2/3/ra?) A + ее'/сэ2);
!-(co2/3ee')(l/2-e6ee/co2);
= A -4е6е6/3со2) A + со2/2ее') +46A—вве6/со2)/3;
= 4е5ев/3со2 — 1;
, =_|/з_со2/6ее'—(е6—евJ/3<о2.
II. (s,= l/2; s, = 0)
B6.49)
. Л, = (е8ев/со2)B/3 + с
5i = (—е6 ев/со2) B/3 + со2/2ее');
Ci = (e5-e6J/6co2—e6ee/6ee'— ц»//п»;
Лш = 2 A +1 + о2/2ее') е8ев/3со2;
Вш = —2е6 ев/3со2; Сш = (е6—евJ/6со2.
III. (s2 = 0, .s/==l/2)
+ее'/со2);
B6.50)
4 A /2—е6 ев/со2)/3—4ц2 ee'/3mj со2;
4е5 ee/3co2; d = Dе5 е6/3со2) A + со2/4ее');
1 — 4е5ев/Зсо2 + 4?]A — е6ев/со2)/3;
6 е6/3ее'.
Сш = —(е6-е6J/3со2—
IV. (8, = О, S;=0)
B6.51)
5i = — 2е5 ев/3со2;С, = [(е5 — евJ/6со2] A + со2/4ее');
Am = [2е5 е6/3со2] A +1); Бш = —2е5 е6/3со2;
Сш =[(е5-евJ/6со2]A +со2/4ее').
B6.52)
Напомним для удобства, что е (е') — начальная (конечная) энергия
налетающей частиц; es,6 — энергия образовавшихся частиц;
т2 (м>) — масса налетающей (родившейся) частицы, «в == е5 + ев =
= е — е'.
331

Взяв интегралы по Д2, Д22 от сечений B6.48), причем интеграл
по Д22 сходится при больших Д22 и существенной областью является
Д22 < [х2, получим спектр родившихся частиц [60]:
//raf n)(dee йгь е'/а2 е) {2 (In [2ее'//п2(о]/1 + 1/|]—
—1/2) [Л, In A н- g) н-В, h-Ci 5/A н-5)] —
г- B6.53)
dam = Ba4/[i2 я) (ds& dee e'/co2 e) {2 (In [2еБ ев/цшу1 +6]
-1/2) [Am In A + 1/6) H-flni +Cih/A + 6I —
-i4mf(l/(H-E))-flinEln(l
где f(x) = — f (In 11 — f|/fyft [cm. B1.34)]. Обратим внимание,
6
что при /и2^>ц сечение doi (~ l/m22) мало по сравнению с сече-
сечением dam (~ 1/ц2)- Что касается интерференции между вкладами
диаграмм I и III doi ш, то, как уже отмечалось, doi ш(е5, е6) =
= —da\ ш(е6, е6), следовательно, этот член можно устранить
симметризацией опыта и, очевидно, он не дает вклада в полное
сечение.
Напомним, что все полученные выражения справедливы, если
е ^> [i, т2, 65,6 2> [А, е — «в ^> т2, кроме того, при вычислении
da\ использовано, что е (е — со) ^> ц2.
Обсудим теперь изменения, которые возникнут, если масса т1
конечна. Очевидно, что тогда будет иметь место отдача частицы /
(е3 Ф mj. Можно сразу указать, когда отдача несущественна. При
вычислении сечения da\ существенны значения Дх2 < max (tn22, \i2)
[Ах2 = 2тх (е3 — nti)], и для того чтобы передачей энергии
es — т < max (m22, \i2)lmx можно было пренебречь, необходимо,
чтобы она была много меньше, чем е и е — «в (сопоставления с es.e,
как и разложения по AjVco2, здесь нет). В сечение dom основной
вклад дают передачи Дх2 < [х2, и для несущественности отдачи не-
необходимо, чтобы 65,6 ^> H2/mlt т. е. должно быть г ^§> рЧщ. При вы-
выполнении этих условий можно пользоваться B6.53), и в случае
столкновения с частицей конечной массы мы уже сталкивались
с такой ситуацией для процесса фоторождения пар. Кроме того,
дополнительный вклад даст диаграмма II; этот вклад следует рас-
рассматривать лишь при тх < [х, поскольку при т1 ~^> ц он мал
(dam ~ l/[i2; dorn~ \/щ*)Г
Частица отдачи будет рождать пару с энергиями -~ \&1тх. Это
можно понять из анализа, проведенного для диаграммы I. Основ-
Основной вклад дают х2 ~ х2-, т. е. когда р2А ~ max ([i2, /га22). В
системе же, где р2 = 0, р2А = /п2Д°, т. е. в этой системе энергия
пары порядка max (m2, \i?lm2), а вклад диаграммы II получается
из вклада диаграмм I заменой 1 ¦«-> 2. Интерференционный член
dan ш обладает теми же свойствами, что и da\ ш, а интерферен-
332

ционный член da\ ц мал, поскольку существенные области doi и
dan не перекрываются.
Из обсуждения после формулы B6.38) следует, что полное сече-
сечение о\ можно получить из B6.53) только с логарифмической точ-
точностью. Та же ситуация имеет место и для о-ць поскольку после
интегрирования (по ds6 или de6) при фиксированном о получим,
что dam -~ dco/co.
26.3. Полные сечения и сечения da/dA2. Бу-
Будем искать сечения электророждения пары частиц при условии, что
v=p!P2^> тхтг; тхц, т2ц, рА Не нарушая общности, можно считать,
что т1^т2- Уже из B6.53) следует, что при больших энергиях сече-
сечение ведет себя как In3 [v/щт^]. Наличие высокой степени логариф-
логарифма обычно означает, что вычисление сечения сопряжено с большими
математическими трудностями. Поэтому будем проводить вычисления
с «дважды логарифмической» точностью, т. е. сохранять в сечении
члены , содержащие произведение трех и двух больших логарифмов
(большими могут быть логарифмы отношения энергии к массе и ло-
логарифмы отношения масс), и отбрасывать члены, содержащие один
логарифм и константы. Естественно, такое приближение достаточно
точно лишь при высоких энергиях.
Наряду с полным сечением важной характеристикой процесса
электророждения является сечение da/dA2, дающее распределение
родившихся частиц по инвариантной массе. Поэтому вычисления
будут проводиться так, чтобы последнее интегрирование велось по
А2. Главный (трижды логарифмический) вклад в сечение дает диа-
диаграмма III (см. рис. 56), вклады диаграмм I и II содержат не больше
двух логарифмов. В сечении dam B6.17) рассмотрим сначала член
с dapV gc°, daPV дается формулой B6.15). Вычисление da^V g^ldA*
проще всего провести с помощью методики инвариантного интегри-
интегрирования тензоров (§ 7), так же как это делалось в § 25 для рождения
пары фотоном, только теперь фотон с импульсом q% имеет массу
У—Д22. Получаем
gpa/dA* = — (a3 dA2j8nAl) x
B6.54)
где
r<S) r(s) (IV. r<S) Ц V r<S).
e* /« =(- 1JS g^ J (d? pb/2eb)(d3Рб/2е6) х
X о (qx -\- q%— ps— /76)
B6.55)
333-

Для частиц со спинами 0 и 1/2 имеем [ср. G.17), G.18)]:
!\°> = _(яр/2) {-8-2 Dц2 + Д?) Dц2 +Af) Д2
)-Dц2+2Д2+Д2)х
+ [2 Dц2 + ДI + 2qt q2) - fa цг + Д?) X
X Dц2
[2ц2 (^ - qr q2) - {qr q2f + Д2 (Д*
X
X
p
=_2яр {2Д2-2Д*Д22 B^2-Д|)/§-
+ [А|/(9, qt)] [2v? (Д2-Д?) + Д2 (Af p
= Д? [2 (ft <72J- 2 (Pl ?2) (9l q2) + Д,2 AJ/21 - 2щ\D;
l- Д!-ЗД![2 (ft 92J-2(ft ?1) (9l <72)+Д? AJ/2] ID;
Здесь
Д2 A?
( D; D =
In [
/(Д2—4ц2)/Д2.
A?
B6.57)
Приведенные выражения являются точными. Теперь упростим
их, сохранив только члены дающие дважды логарифмический вклад.
¦Обсудим прежде всего происхождение трех логарифмов в сечении
<тш. Два из них получаются при интегрировании по передачам им-
лульса dA^/Ai2, ^Д22/Д22, а третий — при интегрировании по
d (Pi <7г) fs задаче электророждения на кулоновском центре
тг -*¦ оо, рг qjmx = «в, интегрирование по da в B6.53) дает ло-
логарифм]. Для вычисления с принятой точностью можно пренебречь
Д!2Д22 по сравнению с (<7i<72J = ЦД2 + Ai2 + A22)/2]2, поскольку
при разложении по степеням А12А22/(^192J исчезают сразу два ло-
логарифма. Это обстоятельство существенно упрощает расчет, тогда
<имеем
D = (qiq2f; Lp =
[A +Р)/A -Р)].
B6.58)
Аналогично, в произведении /</> R[l> можно опустить все члены
вида А? Д2.
В числителях /^s) и /?^> можно опустить все члены, содержащие
Д22 (положить Д22 = 0), так как член с /^s) не дает логарифма при
интегрировании по Д^. Кроме того, можно положить g — 4ц2 (ОдгJ»
опустив Д12Д22Д2, поскольку существенная область изменения
Д2 - 4ц2.
334

Пределы интегрирования по Д^ находятся из условия обращения
угла между ft и р3 в @, л) в системе q2 + р2 = 0. В инвариантной
форме
l Д22] [(w2—т\—А2J—Ьт\ A2]}/2w2, B6.59)
где
С принятой точностью можно положить:
Д? _ = ml (Д2 + ADV4 (р,
После сделанных пренебрежений интегралы по Д22 от B6.54) вы-
вычисляются элементарно. Не будем приводить здесь довольно гро-
громоздкий результат интегрирования, ограничившись замечанием, что
зависимость этого результата от Д22 весьма проста, поскольку
в аргументе логарифма, возникающего при интегрировании по ДД
можно положить Д22 = 0; кроме того, можно пренебречь членами
т^А^ по сравнению с (pi<72J.
Далее следует подставить сечение йо'-Ц gP°/dA2 в B6.17) (сечение
da\\y) и провести интегрирование по Д22. Область изменения Д22,
(Pi 9ъ) ПРИ фиксированном значении Д2 находится стандартным
образом (см. приложение Г) и определяется неравенствами:
где Д|± получаются из B6.59) заменой w2 -> (рг + р2J = s'
А|->- — ml, т1-*-т%, Д2->оА С принятой точностью можно по-
положить:
v2; Д!+ = оо. B6.62)
Обратимся теперь к сечению daii]B B6.17) (член с о$ pf pfj.
Из формулы B6.17) следует, что в этом члене интегрирование по
Д22 не дает логарифма. Поэтому логарифмы должны возникать при
интегрировании по Дх2 иЯ= ptq2 (иначе вклад не будет дважды ло-
логарифмическим). Из B6.17) видно, что логарифмическим поведением
по X обладают члены, которые в CpS'p? p\ ведут себя как %2 при
больших %. Для выделения этих членов удобно воспользоваться ре-
результатами § 7. Свернув B6.15) с р? р\ и преобразовав d?
-> пйАЧАх212Уг? + /И12ДД получим
Ч рЧ = {^Д2 dA*J[2 Dя)* Д* (Я2 + ml A»)]} X
X [р? p?/Bs1 +1)] J(s'> ^ (Pl, p3) Gga, B6.63)
335

где
X
X
(—Рв> Рь> Яг, —ft)- B6.64)
Теперь воспользуемся результатами раздела 7.3, где получено
выражение для G^f1 через его свертки. Вторую степень А в B6.63)
дадут лишь те члены в тензоре G's^' , которые содержат
Ячм <72v <72р <72<г- При этом те из них, которые пропорциональны Д*
не дадут логарифмов при интегрировании по Д^ и, следовательно,
в принятом приближении могут быть отброшены. Из G.60)—G.63)
находим, что единственным членом, дающим вклад, является
(BJD3) Д2 (qx q2J q2il ^2v ?2p qia, причем в D ив выражении для
Bi G.64) можно положить q\ = 0, т. е. Б4Д2 (q1q2JlD3=g^vqPqa1X
]- Величина же g^qiqiG^ получается в силу
симметрии тензора G<s/' относительно замены (ц, v <-> р, а,
из е4 7^)
B6.57) заменой
окончательно имеем:
(qx
причем можно положить Д| = 0 в
дует, что с дважды логарифмической точностью
= [За
p?
->Ajj), B6.65)
. Из B6.17) сле-
B6.66)
Интегрирование этого выражения по Д^ и А§ в пределах, опреде.
ляемых B6.60) и B6.62), проводится элементарно.
В результате для йощ— da[\\+ da\2i\ получаем
, B6.67)
где
/0/А2]/2;
= 11/3 + 22 н-2/ЗД2 — E/3+10н-2/Д2—44 н-4/ЗД4)/0;
4°) = [ — 11 /3 — 22и-2/ЗД2 + B/3 + 10н-2/Д2 —
/2 = In [{т\ I2 + A2v2)/mf X2];
[ B6.68)
336

Отметим, что величина 4а2я|к^)/Д2 = а^ — сечение пре-
превращения двух фотонов в пару частиц, а член, содержащий 1Х, 1г
в B6.67), можно получить с помощью метода эквивалентных фото-
фотонов. Выполняя интегрирование по А, в пределах, которые опреде-
определяются формулой B6.61) и имеют с принятой точностью вид
УД? (тх + /А*/2) < А, < v, B6.69)
получаем сечение, дифференциальное по инвариантной массе ро-
родившейся пары:
— In Bv/m1 m2) [In2 (I +A/m1) + In2 A + A/m2)] +
+ 2 [lns(l +Д//га1) + 1п3A +Д/т2)]/3—
— lnBv//ra1m2)ln[v/(/ra1+A)(m2 + A)]—B —
— sj ln(v/m2 Д) In [1 + Д/mJ — B—s2) ln(v//rax Д) ln(l +
+ Д /m2)] + df/> In Bv/m1 m2) In [v/(m1 + Д) (m2 + Д)]}, B6.70)
где Д = угД2, rfIj2 даются B6.68).
Полученное сечение dom/dA2 пригодно для любого соотношения
между массами частиц. Интегральное сечение от имеет разный вид
в зависимости от этого соотношения. В случае, когда ц ^> /п1>2,
имеем (логарифм отношения [i//rab2 считается «большим»)
от = (
-ap) L (L, + L2) +a['t) (Ц + L{) +
B6.71)
где
B6.72)
= 258;
aE1/2)=84.
В случае, когда т1 >, ц, т2 >, ц, следует в B6.71) положить Lx=
= L2 = 0, тогда получим*, независимо от спинов ^ s2
B6.73)
* Трижды логарифмический член при т\, т«^ у. при s/ = 1/2 был по-
получен впервые Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [62]. Изложение разделов 1
и 3 этого параграфа следует работе [28],
337

В случае, когда тцч) >, $¦, ц > tn2<,i), следует в B6.71) положить
/,1B) = 0. Из полученных результатов видно, что члены, квадра-
квадратичные по логарифмам, входят с отрицательными знаками и боль-
большими коэффициентами. Поэтому в широкой области энергий они
весьма существенны и могут компенсировать трижды логарифмиче-
логарифмические члены (при этом уже нельзя пользоваться приведенными выше
формулами и надо проводить более точный расчет).
В некоторых случаях можно получить простые формулы для ant
и с однологарифмической точностью (когда в сечении сохраняются
все члены, содержащие большие логарифмы). Для этого удобно
воспользоваться результатами второго раздела этого параграфа,-
Интегрируя формулу B6.53) для damldebidee по е6 (или е6) при;
фиксированном со от нуля до «в, получаем энергетический спектр
родившихся пар doni/d® для случая рождения пары на кулоновс-
ком центре, имеющий степенную точность при со ^> ц, в —
— со > тг. Приведем этот спектр для некоторых случаев:
I. (та = ц, s2=sf)
B6.74)
где
&- —218/3;
—22/g+2+9g]/5;
/g» + 3/2^ + 49/4— 10g +
+ 515-/Ю—96/[4B—?)]];
g{°) = -26/3;
— 11/g2 +22/6—63/4+ 19g/4]/3;
_23/g + 29/2— 116/2 + 4g2/5;
= я2/2-121/9; T = (l-
B6.75)
II.
Bо*/9яц»6)
*») In B(в
338
In Bш/ц) In [A — 6)
/•¦•) In
B6.76)*

где
= 14т;
/jCo.s2)==_26r/3.
B6.77)
III.
[2а*/(9яц*Б)] {e[st) lnz In Be//n,) +e^ In Be//ra2) +
| In [(f4 + z"»H-z)/2] In Be/m,)/(z /4+"?)} +
z*)}, B6.78)
где
; e»/2> = — 28— 32г2/5;
B6.79)
4 (__i —22/5); e^°) = —4A
ei°> = 4 D4/22 + 23 + 7г2 + z*)/5; eE0) = 11.
Эти сечения приведены с точностью до членов, дающих логариф-
логарифмический вклад в полное сечение, и справедливы при «в ^> ц,
е — и > т2. Поэтому, чтобы вычислить полное сечение, необхо-
необходимо отдельно рассмотреть область «в ~ ц. Эта область дает одно-
логарифмический вклад, который можно найти с помощью метода
эквивалентных фотонов:
dam (со — fx) = Bо/я) In (е/со) (Ло/со) oW (со),
B6.80)
Точное
где do^f\(a) — сечение фоторождения пары на ядре.
выражение для da^f\(a)/d А2 получено в B5.23), B5.24), где следует
положить /га—>-оо. Такой же вид B6.80) (с логарифмической точно-
точностью) приобретают при со ~ ц и сечения B6.74) — B6.79), только
в них будут входить o^*f\<u ^> [i), взятые с точностью до кон-
константы B5.27), B5.28). Чтобы избежать сшивки, следует в B6.80)
из ст(*^(сэ) вычесть а^\(о > ц), тогда полученное в результате
выражение будет вести себя как 1/со2 при со ^> ц. Для получения
полных сечений с однологарифмической точностью следует это вы-
выражение проинтегрировать в пределах 2jx < со < оо и добавить
к нему интегралы от сечений B6.74)—B6.79) в пределах 2ц <С со < е
339

{нетрудно видеть, что основной вклад дает область е — «в ~ е, что
позволяет использовать формулы B6.74)—B6.79) во всем интервале].
В итоге приходим к сечению электророждения пары в кулоновском
поле. Однако найденные результаты можно использовать также и для
получения сечений электророждения при столкновении двух ча-
частиц. В самом деле, как уже говорилось в конце предыдущего раз-
раздела, формулой B6.53) для dam можно пользоваться и в случае,
когда тх конечна, если кроме es.e > Ц е — со ~ е выполнено еще
условие 65.6 3> \)?/mv Следовательно, при о ^> ц, е — со ~ е,
со _> \хг1тг справедливы и формулы B6.74)—B6.79), причем
«в = p1q2/m1 = Х/т^
Обсудим теперь процедуру вычисления полных сечений электро-
электророждения пары при столкновении двух частиц. В случае тх = ц
это вычисление проводится так же, как в кулоновском поле, только
в качестве (/^(со) в B6.80) следует подставить сечение фоторож-
дения на частице с массой щ и спином sx [дифференциальное по Д2
сечение дается B5.23), B5.24)] и учесть, что в этом случае область
изменения со определяется из 2ц {\и-{-1щ) ¦< к^у. Соответствующую
процедуру можно развить и для пг1 <Сц, но этого можно и не делать,
если учесть, что результат должен быть симметричным относительно
замены (plt ^ <-> р2, s2). Это позволяет найти вклад при малых А,,
воспользовавшись результатами при т2 < Ц-
В результате довольно громоздких вычислений приходим к
сечениям в однологарифмическом приближении*. Для получения
явного вида их к сечениям B6.71)—B6.73) следует добавить
A<fo$W si) = К/27яц2)w(sf) (slt s2), B6.81)
где при ni! > ц, щ > \i
при т1 >
При /TZj ^>
при щ =
[х, /га2 =
2 1
Л<°> = [
И, ^2 = Р
и
Gn2-f370)L; ш<0' = Ct2 + 22)L;
H,s2=sf
'\
ш<°) = (—27я2/2 + 100) L; j
i
— 7л2 + 223/3 + 43s2J L +А21'2> L2;
—7я2 + 3917/3—303s,l;
-я2 —311/12 + Ils2/21L+ A^)L2\
— я2 + 2183/12 —75s2/2];
I, S1 = S2 = S/
B6.82)
B6.83)
B6 84)
B6.85)
* Эти сечения для случая соударения электрона с электроном (позитро-
(позитроном) приведены на рис. 59.
340

При
При
= (-103jt2/2+403/3 + 43s2) L+Atf /2> L2;
=(_31я2/3+625/12+1 Is2/2)L + Л<°> L2;
B6.86)
w(°) = [—3n2—443/6+11 (sx+s2)/2] L+A^Lz+A^Lu \ B6.87)
A Ale _*_ с 1
Нам осталось рассмотреть вклады диаграмм I и II. Достаточно
вычислить do\/dA2 и сть поскольку dou/d/S.2 = dai/dA2 (I <-> 2)
<ти = (^ (I <-»• 2). Вклад диаграмм I имеет смысл вычислять толь-
только при условии /п2 <, jj,. В противном случае этот вклад мал
как \i2/m22 по сравнению с вкладом диаграммы III [ср. B6.53)],
б„,СМ2г:
10"
10''
и
! 1 1
——- ¦¦'¦
в ju ju
.—— ^
ЯГ
^,5" /,^ 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 е.Гэв
Рис. 59. Сечение сш образования пар мюонов
(ц), пионов (я), каонов (К), Для двух последних
частиц предполагалось точечное электромагнитное
взаимодействие, при столкновениях электронов
(или электрона и позитрона) как функция энер-
энергии электрона в Д-системе.
последний результат получен в предельном случае тх -*¦ со, но
он сохраняет силу и для конечных значений ту [см. после
B6.53)]. Итак, будем полагать p1p2=v>m| (у нас было усло-
341

вие v > р.2). Искомое сечение возьмем в форме B6.6), где
dOfngw есть сечение излучения фотона с массой У А2. Вычисление
этого сечения проводится так же, как и в безмассовом случае (§ 23),
причем переход к ковариантным переменным
= р2Д-Д2/2; х = (р1 + р2)Д_Д/2;|
4 р4 + /; 1(р1р3), J
получение сечения dOpV g^ldx, отбор членов, определение гра-
границ областей проводятся, как в § 23. В случае, когда
v(v —х)>/л2Д2; V—x>m1m2 B6.89)
независимо от спина частицы с импульсом ри получаем для
82=1/2
do(Po gP& = [ -2а3 d%l{m\ xfr)] [1 + A -x/vJ-
~2(l-x/v)(l +Д2/2/л|)/Зр1](/з-1) B6.90)
и для s2 = 0
da$ gpa = [—4а3 dx/(ml xfr)] A —x/v) x
X [1-A-Д2/4/л2)/Зр1](/3-1), B6.91)
где
/3=ln [4v2 (v—y.fl(m{ m22 x2 p^]: px « 1 + A2v (v —x)/x2 m\. B6.92)
При Д2 = 0 сечение B6.90) переходит (с обратным знаком) в форму-
формулу для спектра тормозного излучения в /(-системе B3.29). При
тх ->- оо выражения B6.90), B6.91) совпадают с выражениями
B6.34), B6.35), поскольку при тг ->- сх> х1тх -^- со, р^ръ1тх -^- е;
имеет место ситуация, с которой мы уже сталкивались при рассмо-
рассмотрении тормозного излучения: сечения, найденные для взаимодейст-
взаимодействия с кулоновским центром, могут на самом деле пересчитываться
из системы в систему.
При вычислении интегрального сечения мы сталкиваемся с си-
ситуацией, с которой имели дело в задаче рождения пары на кулонов-
ском центре [см. обсуждение после B6.41)]. А именно, формулы
B6.90), B6.91) дают степенную точность для вычисления полного
сечения <3\ при v ^ \i2m1/m2 (до членов ~ yiim1/m2v), при v <,
<, ii2mjm2 следует использовать точное выражение для рх:
рх = 1 +(Д2/х2 ml) [v (v —х) + т\ Д2/4], B6.93)
и точность (при использовании этого выражения для рх) будет ло-
логарифмической. Дифференциальное по инвариантной массе родив-
родившейся пары сечение получим, подставив B6.90), B6.91) в B6.6) и вы-
выполнив интегрирование по х. Пределы этого интегрирования опре-
определяются, с одной стороны, условием
(Pi +Р2-ДJ -(Рз + Рд2 > {mi+«h? B6.94)
342

и с другой, условием того, что в системе
т. е.
= 0 До >
-AJ <(/(p!+ p^-l/A2J. B6.95)
Приведем здесь результат интегрирования для случая т2 <; р,
с однологарифмической точностью (с этой точностью можно поло-
положить 0 <; х <; v):
Жг, = (a3 dA2/A2) f(*/> (A2) {z^Un [4v2/(m2 ц2)] +
+ 2BSj) [in2 A + A2/m2)— In2 (l + m2 A4/Dm2 v2))] +
In A + A2/m2) + z[u) In A + m\ A4/Dmf v2))}, B6.96)
где
— 5A«l3m62) In (A2/
4A2/(A2—
X /A2/(A2—4ml)
+ 8A2/(A2— Ami)
Z(O) = (—
х
—4m2/2m2] +
In (
2) x
X 1/"A2/(A2—4m|) In [/A2" + /A2— 4m|/2m2] —
B6.97)
причем при А2 > 4ml
2p = 41n(A2/m2)/3 + 2/9; z<°> = In(A2/m2)/3+19/18, B6.98)
так что существенной является область А2 ~ 4ц2 и интегрировать
по А2 можно в пределах 4ц2 ^Д2 < оо.
Из B6.96) и B6.97) следует, что а\ является дважды логарифмиче-
логарифмическим лишь при \л ^> т2. В этом случае с однологарифмической точ-
точностью имеем
а, = (а4/45я|л2NA5г> S0 {In (ц,2/т|) In Dv2 m2/m2 |л3) +
2 ¦ l г i
:v2)— 1п(ц2/т2)]/15}, B6.99)
где
6E4. ») = 4;
= 1/2;
6<o. и) = 86; bi°- °) = 187/2;
6^. o) = 229/2; ^°- ») = 7
= 199/2;
B6.100)
343

При m2 = ji сечение а, является однологарифмическим:
c(sf) lnBv/m1jx), B6.101)
где
С<*> = B31*-2198)/2; 1
е<°> = D25—42jt2)/4. J V
Сечения danldA2, аи получаются из B6.96)—B6.102) заменой
s1 *-> s2, т1 *-> т2. Интерференция вкладов диаграмм I и II мала, что
легко понять в /(-системе, где родившаяся пара летит по направле-
направлению движения той частицы, которая ее испускает. Сумма
o = oI + oll + alll B6.103)
дает полное сечение рождения пары частиц*.
Сделаем еще замечание относительно углового и энергетического
распределений частиц родившейся пары. Пусть в /(-системе сталки-
сталкиваются частицы с массами т1 ~ т2. Начнем с вклада диаграм-
диаграммы III. В существенной области АД Д22 <, Д2, А2 ~ 4ц2, отсюда
следует, что перпендикулярные (по отношению рх = —р2) состав-
составляющие импульсов конечных частиц \pi±\ < \i (i = 3—6). Из того,
что существенна вся область изменения переменных Я. = pxq2,
(р2 ^i) [см. B6.69I, вытекает, что энергетический спектр частиц
родившейся пары имеет вид dco/co (со = е5 -f- e6). Если со ^> ц,
то угол разлета частиц родившейся пары ~ jj,/co, e5 ~ e6 ~ со, ча-
частицы пары летят вдоль направления движения одной из начальных
частиц, причем энергию паре передает в основном та частица,
вдоль направления импульса которой пара движется. Энерге-
Энергетическое и угловое распределения вкладов в сечение диаграмм II
и I являются существенно иными. При р^щ,2 существенна область
изменения Д2~4|Д со~е; при р,<т1,2 существенна область измене-
изменения (на соответствующих диаграммах) 4ц2<А2<;т1>2)со.~еУД2/т1,2)
так что частицы пары рождаются ультрарелятивистскими, а угол
разлета их мал [см. B6.90), B6.91)]. Пара летит в направлении дви-
движения рождающей ее частицы и получает в основном от нее энергию.
Угол отклонения неизлучающей частицы имеет вид ~ max (ц/г,
тЬ2/?)-
Рассмотрим теперь, как изменится сечение B6.103), если в
реакции участвуют тождественные частицы. Если тождественны
начальные частицы, но они отличны от родившихся, то сечение
со степенной точностью по-прежнему дается формулой B6.103).
Действительно, вклад интерференции диаграмм III и III' (штри-
(штрихом будем обозначать обменные диаграммы) с I, IP, II, IP обра-
* При т12 >ц, Sf= 1/2 [118] и т1 = тг<^1л., s1=s2=s/=l/2 [111, 117]
полное сечение электророждения найдено со степенной точностью. Процессу
электророждения посвящены также работы [109. 110, ИЗ, 119, 120].
344

щаются в нуль вследствие С-инвариантности; вклад интерферен-
интерференции прямых и обменных диаграмм (I и I' и т. д.) имеет степен-
степенную малость, поскольку существенные области для импульсов
р3 и р4 не перекрываются, интерференционный член вкладов диаг-
диаграмм Г и II' равен соответствующему вкладу диаграмм I и II и
мал по той же причине. В общем случае, когда рождающиеся
частицы тождественны по крайней мере одной из начальных, как
показывает анализ выражений для сечений и существенных ки-
кинематических областей, сечение B6.103) справедливо с дважды
логарифмической точностью.
§ 27. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПРОЦЕССАХ
ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ И ФОТОРОЖДЕНИЯ
ПАР ЧАСТИЦ
Как неоднократно отмечалось выше, процессы тормозного излу-
излучения при столкновении электронов высокой энергии и рождения
пары частиц при взаимодействии фотона с заряженной частицей
в случае со > ц, ц.2//п (со — энергия фотона в ,/7-системе; ц — масса
родившейся частицы; т — масса частицы отдачи) во многом
аналогичны таким же процессам в кулоновском поле. В частности,
в разделе 23.2 показано, что угловое и энергетическое распреде-
распределения фотонов тормозного излучения в кулоновском поле позво-
позволяют получить соответствующие характеристики и при столкнове-
столкновении электронов высокой энергии как в ЛГ-системе (для быстрой
частицы и частицы отдачи), так и в Д-системе прямым пересчетом.
Такая же ситуация сохраняется и в случае, когда частицы являются
поляризованными. Реакции с участием поляризованных частиц
в кулоновском поле детально обсуждались в § 17 и 19. Воспользу-
Воспользуемся найденными там результатами для получения сечений указан-
указанных выше процессов при столкновении частиц.
Начнем с тормозного излучения в Л- системе, где следует
различать излучение быстрой частицы и частицы отдачи. Будем
использовать обозначения, принятые в § 23, и не рассматривать
поляризаций конечных электронов1, введя вектора спина электрона
Si, ?2 для электронов с импульсами plt p2. Сечение излучения бы-
быстрой частицы при учете поляризации начальных электронов и из-
излученных фотонов можно получить из формулы A7.48), в которой
нужно провести замену 1 -> 2, и положить в функции Г [см. A7.41)]
f (I) = 0, Z = т = 1, ? = 2еи2/со, е2 = е — со. Отметим, что сече-
сечение не зависит от спина электрона отдачи. В ковариантной записи
это сечение с принятой точностью (до членов ~ 1/v) имеет вид
do2 = (a3/v3) (dxj dxjy.1) (Лр/2я) {[v2 + (v—x^2] (I
+l2x1[(L—x1/v)s2/>1/2 +
+ [и? (v-xj/v2 Kg] A/2—2) A —vXj/kO [2 A/v —
-x2/*i) (s, Pi) + v (s2 *)/*!]]>, B7.1)
12 Зак. 979 345

где
% p\ = i ([e e*] n); L == 2 In [2v (v—
[см. B3.27)]; s2 — 4-вектор спина электрона с импульсом р2. Что-
Чтобы получить излучение частицы отдачи, воспользуемся этой же
формулой, сделав замену 1 <-> 2 и перейдя в систему pj = 0. Имеем
+A— х2/еJ] х
X(Z/-l)/2-(l-x2/e){l+(|ep2|2/e2)(L'-4)}
х2/есо) (L'-4) [(p2 &/е) A -з^/е©)-!^]}}, B7.2)
где
I' = L A — 2) = 2 In [2v (v—x2)/x2].
Быстрая частица излучает фотоны в узкий конус в направлении
импульса падающей частицы, а угловое распределение фотонов,
излучаемых частицей отдачи, является плавным. Поэтому можно
отдельно рассматривать параметры Стокса для этих случаев. Пара- .
метры Стокса излучения быстрой частицы после проведения указан-
указанной выше замены следуют из A7.52) и A7.53). Параметры Стокса
излучения частицы отдачи (ось ех= р2±/\ Р2± |> е2 _L ex _L n) следуют
из сечения B7.2) и имеют вид:
+ A —к,/е) A —х2/8со) (!'—4) [Bр. &/е) A—х2/есо)—ngj};
— x2/eJ](L' — 1)—A— х2/е)[2 +
— 1)(L'—4)]. B7.3)
В Д-системе фотоны излучаются в два узких конуса в направле-
направлении движения начальных частиц. Поэтому можно рассматривать
поляризационные свойства излучения в каждый из конусов (для
определенности вдоль р2). Сечение дается формулой B7.1), которая
в Д-системе имеет вид
Лт2 = (а3ю/2яе) dq> (da/о) (dx2/x22) {[I + A — со/еJ] [(L —1)/2] —
_A -с/е) [ 1 + (со2/е2)( | ер2 |2/х|) (L-4)] + (f2 co/e) [(v2 gs/2) x
X (L— ffl/e) + A/2) A -со/8) A —co/8x2) (L-4) ((v2 g2) X
X[l —C0/(8X2)] = ug2C0/(8X2))]}, B7.4)
где u=^p2—n(np2).
346

Отсюда следуют параметры Стокса (е, = р2±/ \ P2j_|)> которые
можно получить и из A7.52), A7.53):
?3 = [—С co2/(e2 xl)\ Bex2/co — 1) A — co/e) (L—4);
: (C-1 co/e) (v2 ?2 (L—co/e) + (l-co/e) [1 —co/(ex2)] x
X(L —4) [v2g2(l—с
— A -со/е) [2 + (со2/е2 xl) Bех2/со-1) (L—4)].
B7.5)
Особенности поляризации в /(-системе такие же, как при тормоз-
тормозном излучении в кулоновском поле [см. обсуждение после A7.53I.
Отметим, что, измеряя круговую поляризацию фотонов (со ~ е) при
заданных углах вылета фотона (¦&, ср), можно определить степень
продольной и поперечной поляризации электрона.
Поляризационные свойства излучения в целом (после интегри-
интегрирования по полярному углу вылета фотона) в Д-системе и для излу-
излучения быстрой частицы в ^7-системе можно найти из формул A7.58),
{17.60) и A7.61) с помощью тех же замен, которые проводились
в B7.1).
Поляризационные эффекты в процессе фоторождения пары на
покоящейся частице описываются непосредственно формулами § 19,
поскольку, как было показано в § 25, диаграмма рис. 57 (/) в при-
принятых предположениях вклада не дает, а вклад диаграммы рис. 57
(II) обладает теми же свойствами, что и сечение фоторождения в ку-
кулоновском поле.
Что касается поляризационных эффектов в двойном тормозном
излучении, то этот процесс является существенно более сложным,
хотя и здесь можно использовать формулы § 17. Случай, когда фик-
фиксированы все поляризации, приводит к весьма громоздким выраже-
выражениям, поэтому ограничимся рассмотрением случая, когда по спинам
конечных электронов и поляризациям одного из фотонов (для опре-
определенности с импульсом k2) проведено суммирование. Как и в § 24,
будем рассматривать фотоны, излучаемые в противоположных на-
направлениях. Воспользуемся формулой B4.2), где в комптоновском
тензоре фотона kt не проведено суммирование по поляризациям
фотона и усреднение по спину начального электрона. Для второго
комптоновского тензора можно использовать формулы B4.14) и
B4.15). Свертка входящей в B4.14) комбинации p2V,p2v с первым
комптоновским тензором пропорциональна с нашей точностью
квадрату матричного элемента однократного тормозного излучения
(для поляризованных частиц), для которого можно использовать
результаты, найденные в § 17. Интегрирование по конечным состоя-
состояниям фотона k2 проводится, как в § 24, причем в формуле B4.20)
12* 347

не следует проводить интегрирование по азимутальному углу фото-
фотона с импульсом кг. В результате получаем
da = (I6r§ а2/BяK) (dco2/co2) (dA2/A*) {A —со2/е) Ф (А2/4) +
+ [а>2 /Д2 / (е2 уТ+Д8")] In (/Д2^ + /1 + А2/4)) х
X Lx {d©xdxn dcp dx13 / [e3 у—S(plt p2, p3, kx) ]), B7.6)
где Ьг получается пересчетом из Le A7.35) и имеет с принятой
точностью вид
U = (v2/2) { | е 1г |2 + со2 If/[4e (8-00,)]}+ Г<" (v2 щ/4г) X
X {[B8-0H/2 (е-©!)] (Vl ?x) If-K Ix) (Ь У}, B7.7)
где
1Х = [A —©/е)/хи] [рх—пх (е+ 1I —[Рз—»»i (е—©
Отметим, что с принятой точностью е3 = е — со, тогда направле-
направление р3 определяется переменными А2 и х13 (при фиксированном кг).
Интегрирование комбинации \ dxi3 Ilt /^-/У —S (между кор-
корнями S) проводится так же, как в формуле A7.38), в итоге
получаем
+ [6 А2 [А2 A + 2и2)+2 A +и4)] —8ы4 Л4]/[а3'2 A + ы2J]}/ы2;
g3 = _ 2 A —и2) gj{\ + и2J + {й А2 [2 A —и2)—А2] +
+ 2А*(Зи2 —1
{ю128/2я(8 — со,)} \ dxto/У—S Li /ц = й 6j(+fir2w,«7 +
где и = р!—nx (fij pi); и2 = гехц/©! — 1;
B7.9)
+ [А2 Ь Dи2 + А2)—8и2 А4]/[а3/2 A +и2J];
]; а = й2 —4и2А2; й=1+и
В результате получаем сечение двойного тормозного излучения
в случае, когда один из фотонов и излучающий его начальный
электрон являются поляризованными:
da = [4/-2 а2/BяJ] (cK/c^) (dco2/co2) du2 d<p (dA2/A4) X
X [(е-coi)/8] {A -а>2/е)Ф (A2/4) + (co2/82) (У А2"/ УТ+^) х
Xln(/A2"/2 + /l+A2/4)j {4g1+2^2«2 +
eu |2-и2/2) + (Ц!> co^e) [(Be-©x
] B7.10)
348

ПРИЛОЖЕНИЕ А
ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ
АЛ. Электроны и позитроны. В ковариантнои записи уравнение Дирака
имеет вид
0 7**д —m) *|>(ж) = О, id 1>(дс) 7№+ли|)(дс)=0, J (АЛ)
где if (х) = г|э+ (х) 7°- Матрицы 7 удовлетворяют условиям антикоммутации
(А.2)
Часто удобно использовать каноническое представление:
(А.З)
з Y* VV
. 70=L_/); 7* = 7°<
0 ak
ah 0
Здесь Ой — матрицы Паули; / — единичная матрица. Решение уравнения
Дирака в виде плоских волн
(А.4)
где ер =угр2-\-т2—энергия. Биспиноры и (р), v (p) удовлетворяют уравне-
уравнениям:
(р — т) и (р) = и (р) (р—т) = 0;
m)w(p)="iu(p)(p+ m) = 0,
(А.5)
где p=7M'pli = 70P0 — VP; po=Vp2+m2=ep.
Имеют место соотношения ортонормировки:
пг (р) «* (р) == -~г (р) о* (р)=б".
(А.6)
Явный вид спиноров
или
V (Р) = [1/ /2т (е + т)] (-р + т) ( °,г]
иг(р)=У(г+т)/2т\
\
^е+ т
/ер
3L,ni
ф
(А.7)
349

Функции q/, ф'г описывают поляризационные состояния.
Если ось квантования есть единичный вектор J (О, <р), то спиноры с опре-
определенной проекцией (по и против этой оси) суть
) (А.8)
причем
(A.9)
т. е. (?в) —поляризационный оператор в системе покоя. Он же в 4-компо -
нентной записи
fa 0\
где Г= I ). В произвольной системе отсчета поляризационные операторы
где
5 (p/m)[T»Ip/(e +
(A. 12)
7s v3 s11—4-вектор поляризации sp = 0; s |ОИот.покоя = @, S):
Операторы (А. 11) коммутируют с (i д у*1 — m) и имеют собственные значе-
значения ± 1. Для оператора О это означает, что собственные значения проек-
проекции на ось ? будут ±1.
Поляризационная матрица плотности для электронов и позитронов
(А. 14)
а явный ее вид
Р± (Р) = [(т ± р)/2т] [A-Y5 ?)/2j, (A. 15)
причем для чистых состояний |?| = 1, а для смешанных (частично поляри-
поляризованных) 1 < | ? | < 0.
А.2. Фотоны. Поляризационные свойства фотона определяются векто-
векторами поляризации е^ (k, X). Произвольный вектор поляризации можно раз-
разложить по двум взаимно перпендикулярным векторам ортогональным вектору
к:
e = e1e<1>-fe2e<2» = eA»cosa-f e<2»sinaexp[ipi, (A.16)
где |ejj2 и |е2|2 определяют вероятности иметь "фотону поляризации е' '
и е'2'. Если р = 0, то фотон линейно поляризован под углом а к е'1', если
350

P = ± л/2, а = я/4, то фотон циркулярно поляризован вправо (R) или
влево (L). Для частицы, движущейся со скоростью света, имеется аксиальная
симметрия, при которой сохраняется лишь спиральность — проекция пол-
полного момента на направление движения. Циркулярно поляризованные со-
состояния — состояния с определенной спиральностью. Смешанные состояния
описываются матрицей плотности р,^ = е^е*^ через параметры Стокса S
(Si. I2. §з) E.119). Физический смысл их рассмотрен в разделе 1.6. Вероят-
Вероятность того, что фотои поляризован по оси е'1), есть A + Ез)/2, а по оси
еB) — A — 1з)/2. Величины A ± |х)/2 дают те же характеристики, но для
осей, повернутых на я/4 относительно еA*, еB*. Параметр |2 — степень цир-
циркулярной (круговой) поляризации, т. е. среднее значение спиральности. Для
чистого состояния
|2=i[ee*]n, (A.17)
где n = k/|k|. При инверсии %г ->¦ —12, а при отражении времени Т — ?2 -*•
-*¦ |2- Параметр |3 -> Е3 ПРИ Р" и ^-преобразованиях, а свойства li зави-
зависят от свойств преобразования осей еA\ еB).
Суммирование по поляризациям фотона проводится одним из двух экви-
эквивалентных способов:
в произвольной калибровке и
*>ejW = e№-/i?/ift (A. 19)
в кулоновской калибровке (е° = 0),
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ВЫРАЖЕНИИ
Интегралы вида
J nh... п1тл_х f (nv) dQ= rf-V^, (Б.2)
где «г — компоненты единичного вектора, по которому идет интегрирование
(^Рп = dQ), а v — некоторый фиксированный вектор, можно вычислить, если
учесть, что тензор Т симметричен по всем индексам и что в нашем распоряже-
распоряжении после интегрирования имеются лишь теизор б;к и вектор Dj. Самый общий
вид тензора Т, полученный с учетом этих обстоятельств, можно записать
следующим образом:
-f ...chvilvi2...vi2h); (Б.З)
-f - • -c'k-n- i
+ ---c'k-iVi1Vi2...vi2k_1), (Б.4)
351

где сумма берется по всем перестановкам индексов. Сворачивая выражения
(Б.1) и (Б.2) с соответствующими комбинациями в (Б.З) и (Б.4), получаем
(k + 1)-, fe-уравиений для такого же числа коэффициентов, причем эти сверт-
свертки выражаются через интегралы типа
)xmf(x)dx.
(Б.5)
Решая эту систему уравнений, находим явный вид тензора Т. Вычислим,
например, интегралы
vk; (Б.6)
(Б.7)
Сворачивая (Б.6) с
ЗСо ¦? Ci о* = Bя,
СофсхО* = Bя/
б;;, и tij t)y, получаем
V
/о) J dxl(\— л:N = 4яA-ф'Г
—V
V
v3) J x4xl(\ — хN=4я A <
>2)/A— о2L;
f-5o*)/3(l—о2L
отсюда
Точно так же для (Б.7) найдем
J[nj/A— nv)*]dQ=16at»j/3(l— и2K.
(Б.8)
(Б.9)
(Б.10)
ПРИЛОЖЕНИЕ В
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ОПЕРАТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Рассмотрим комбинацию вида в°в , где а к b — некоммутирующие опе-
опеВ L (
р ц д
раторы. Введем оператор L (т)
т(а-И)]ехр(та)ехр(т&).
Очевидно, что
Дифференцируя (В.1) по т, получаем уравнение
dL/di = exp[—r(a-f b)][exp(ta), 6] ехр (тб)
с граничным условием
L@) = l.
Умножив (В.З) на Z-, находим
L-1 rfL/dt = exp (—тб) [6—ехр (—та) 6 ехр (та)] ехр (тб) =
= 6—ехр (—тЬ) ехр (—та) 6 ехр (та) ехр (ib) =
= 6—ехр(—тй)^(т)
352
(В.2)
(В.З)
(B.4)
(В.5)

Операторную функцию /(т) = ехр(—та) 6 ехр (та) можно разложить вряд
по степеням т:
оо
/ (т) s ехр (—та) b ехр (та) = 2 (т"/«!) id"
п=о
= Ц [(-г)»/п!1[а,[а...[а, *]...]]. (В.6)
л = 0
Подставляя это разложение в уравнение (В.5), получаем уравнение для L,
выраженное через коммутаторы входящих операторов. Общее решение этого
уравнения является крайне сложным, поэтому ограничимся некоторыми част-
частными случаями.
1. Отличен от нуля только коммутатор [а, Ь] (являющийся с-числом),
а все остальные коммутаторы равны нулю. В этом случае / (т) (В.6)
f(r) = b—t[a,b]. (B.7)
Решая уравнение (В.5) с граничным условием (В.4), получаем
(B.8)
так что [48]
b (B.9)
Если отличны от нуля также коммутаторы [а, [а, Ь]] и [[а, b], b], то Дт)
имеет вид
ехр [ —тЬ] f (т) ехр [тй] = Ь—ехр [ — Щ [т [а, Ь\—т2 [а, [а, Ь]]/2] ехр [ib\ =
= 6 — x[a,b] — т2[[а, Ь],6]^т2[а. [а,Ь]]/2. (В.10)
В этом случае в результате решения уравнения (В.5) получаем:
= ехр(а^Н)ехр {[а, Ь]/2^[[а, Ь], 6]/3— [а, [а, 6]]/6}. (В.11)
2. Отличны от нуля только коммутаторы вида [а, [а, [а ... [а, Ь] ... ]]],
т. е. все они коммутируют друг с другом и с Ь. Тогда / (т) [и L (т)] также ком-
коммутируют с b и между собой. В этом случае
[х 1
тб—J7(t')<*t' (В. 12)
о J
и
Г ' 1
eae* = exp(a-t-6) ехр \Ь—J7 (т) <*т • (В.13)
L о J
Частным случаем является ситуация, когда
[а,[а...[а, &].. .]] = с„ А," 6, с,= 1. (В. 14)
Здесь Я. — оператор, коммутирующий с Ь; сп — численные коэффициенты.
Подставляя этот коммутатор в (В.6), получаем
!(т)=Ь 2 cn(~U)nln\
п = 0
353

С учетом этого L (т) (В. 12) принимает вид
т. е. [см. (В. 12)]
или
L (т) = ехр \b (т - J ф (Ят')Л') ,
[/ 1 \ I
6 11—|ф (Ях) Л I I
\ о / J
Г 1
ехр (а-4- Ь) = ехр (а) ехр 6 J ф (Ят) Л .
L о
В случае сп = 1 имеем для (В.15) — (В.17):
ф(А,х)= 2 (—^т)"/я!=ехр[— Ят];
ехр (а+6) = ехр (а) ехр [6 A —ехр (—к))/к],
и в случае сп = (га^1)! получаем
(В.16)
(В. 17)
(В. 18)
(В.19)
ехр
[6/A-
(В. 20)
ехр (Ь4-а) = ехр [Ь (еК — 1)/Я] ехр (а) (сп = 1);
)(ед = (п*-1I).
Проводя эрмитовое сопряжение в формулах (В. 19) и (В.20) и переходя
к новым обозначениям входящих операторов, имеем другую форму записи:
(В.21)
(в-22)
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
ФАЗОВЫЕ ОБЪЕМЫ В ИНВАРИАНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть 1Ъ 12 — импульсы начальных частиц; I-,2 == fij2, l22 = Ца2>
Р = Zj + /2 — полный импульс начального состояния, <7i, ?a> ?з--- —
импульсы конечных частиц, дг2 = /Я]2, ?22 = m22, q32 = т32 ••-. Напом-
Напомним, что из п импульсов, связанных законами сохранения, при я > 3
можно построить кроме их квадратов Зп — 10 независимых величин. Рас-
Рассмотрим ниже несколько примеров представления фазовых объемов через
инвариантные переменные в типичных выражениях для сечений различных
процессов.
B простейшем случае
= J б* fc-
354

Сечение процесса с двумя частицами в конечном состоянии можно [записать
в виде
V2 = j6*('i4-^-?i-?2)(rf3?i^?io)(ds?2/2?2o)i2(/i.'2.?i,92). (Г.2)
где ~g (/1? /2, <7i> Ч2) — скалярная функция входящих векторов. В качестве
инвариантов в даииой четырехчастичной задаче выберем следующие два:
s = (к + /*)* = (ft + q*?\ t = (/х — ftJ, тогда ?2 &, /., 9l, G,) = gi (s, f).
Интеграл (Г.2) удобно вычислять в /(-системе: Р = \г + 12 = qx + qa = 0.
Проинтегрировав векторную часть б-функции, получим
0/9,») cos
1
= fl(P0— mi — m2)[2nq/4(ql0-&q20)] J d cos ¦& g2 (s, <), (Г.З)
— 1
где ¦& — угол между 1Х и qj, 9 = |qj| = |qa|. Задача обладает азимутальной
симметрией (рассматривается случай иеполяризованных частиц), так что ин-
интегрирование по ф дало 2я. Величины q, q10, qi0 выражаются через инвари-
инварианты и массы с помощью законов сохранения. Следует учесть, что в /(-сис-
/(-системе (Ql + q2 = \г + 12 = 0) s = (ft0 + ?2oJ = P<? = do + /2oJ; ?io2=92+
+ "*i2; 9202 = ?2 + /w22. Тогда легко получить
?10 = (s^m?-m|)/2"l/s; q20=(s-$-m22-m21)/2Vs; 1
^ = [(S-m2-m|J-4m21mi]/4S. J
Если g2 не зависит от < (это имеет место, если g2 (Г.2) разбивается иа произве-
произведение двух функций, одна из которых зависит только от llt /2, а вторая —
только от qlt q2), то g2 не зависит от угла. В этом случае
-mJ-mi) « (Ре) (n/2s)/"(s-i«s-m2)8-4m2i«2ft; (Г.5)
при равных массах ту = т2 = т
V2°> = « (VJ-2т) О (Ро) (я/2) V;(s-4m2)/sg2. (Г.6)
Когда g2 зависит от t, перейдем от интегрирования по cos ¦& к интегрирова-
интегрированию по t. Для этого воспользуемся следующим приемом:
1 1
Jdcosdg2(s, t)= j d cos ft § dt 8 (t—nl — ml-t2li0q10—
'макс
-2|l| |q|cosG)ft(s, 9 = A/2|1| |q|) J dtg2(s,t). (Г.7)
'мин
Пределы интегрирования по t определяются из условия обращения в нуль
аргумента б-фуикцин при |cos ¦б1! < 1, т. е.
*макС = (г2^т2-2/1од10±2]1| |q|, (Г.8)
или в инвариантном виде
(Г.9)
355

[заметим, что 110, 1г0, |1| получаются из (Г.4) заменой mh -* цк, t^c не
-> 1г, q1 <-> q2, что очевидно, та
имеем
У2 = О (Vs— mx - т2) О (Ро) X
h ц ^
меняется при замене 1Х <-> 1г, q1 <-> q2, что очевидно, так как t = (lt — q{f =
= Са — 9гJ]- В итоге имеем
х[я/2/(8-|г2_ц2)я_4ц214я] | dtg2(s,t). (Г.10)
'мии
Азимутальная симметрия, которой мы пользовались выше, может от-
отсутствовать, если в задаче имеется «посторонний» вектор (роль такого век-
вектора может, например, играть вектор поляризации). Рассмотрим вычисление
F2 при наличии такого вектора. Пусть
где г — «посторонний» вектор. Переменными будут инварианты, содержащие
<7х, <7а- Учитывая, что qt = lx -f- 12 —qx и 1гг, 12г — постоянные, получаем, что
переменными являются два инварианта t — (^ — q{fww — {qx + rf, осталь-
остальные инварианты или выражаются через них, или являются постоянными. Пе-
Перейдем в (Г.11) к интегрированию по явно инвариантным переменным dt dw.
В /(-системе 1г + h = qi + q2 = 0 направим ось г по 1х, плоскость xz вы-
выберем так, чтобы в ней лежал вектор г, его полярный угол обозначим 0у. Ин-
Интегрируя б-функцию как в (Г.З), получаем:
1 2Я
J cos«40 Jdq>
1
-f 2|q| |r| (cos#cosdr -^sinO sindr coscp)) g<^) (t, w).
Я 2Я
Интеграл по ш можно разбить на \ + J , вклады обоих интегралов равны,
'о я
так что можио рассматривать удвоенный первый. В интервале [0, я] вторая
б-фуикция в (Г.12) может иметь только один нуль в аргументе, так как cos cp
в этом интервале меняется монотонно. Пределы определяются из условия
обращения в нуль аргументов б-функций. Для <макс это (Г.8), (Г.9), для
мин
переменной w макс это
мин
о—2|q| |г| (cosd cos Or T sin d sin ЪТ), (Г.13)
где <710, |q| даются формулами (Г.4); sin ¦&, cos ¦& выражаются через инварианты
с помощью первой б-функции, r0, \r\, cos ву можно выразить через инвари-
инварианты с помощью соотношений
r/i = ro/io—|rl 11х|со8«г. J
В итоге имеем
S56
I^i1 > = О (Vs- «х-пц) [О (Ро)/8] X
'макс "'макс
X J dt j" ^g<i)(<,a.)/(/;^/2°)|r||1||q||sin«sin«rsinV|. (Г.15)

Знаменатель подынтегрального выражения должен быть представлен через
инварианты. Заметим, что |q| Jl| |r| |sin d sin дг sin <p| есть модуль смешан-
смешанного произведения векторов (г^У) и, следовательно, модуль определите-
определителя, составленного из компонент этих векторов. Поскольку в /(-системе
Р = >! + 12 = 0, то знаменатель подынтегрального выражения в (Г. 15) есть
модуль определителя:
uetT(P,lltq1r)=
ho hx hy hz
йю <7ix 4iy Q\z
ro rx ry rz
(Г.16)
Так как величины /1( l2, qlt q%, P связаны между собой однородными линей-
линейными соотношениями, то в первых трех строках можно без изменения вели-
величины модуля определителя писать любые три независимых из них. Рассмо-
Рассмотрим определитель матрицы TgTT, где g — матрица метрического тензора:
det TgTT =
hh
Qih
rh
hh
К
Qih
rh
hr
(Г.17)
Учитывая, что det (rg7'7') = det Tdetgdet Г=—(det ГJ, имеем
] det 74 = y-S (/ь
где S = det (TgTT). Очевидно, что S
S (P, /x, qlt г) и т. д. Следовательно,
!, г), (Г-18)
, qu r) = S (lu qlt q%, r)=
макс
I dt
мии
"макс
(t, w)/V-S
, qltr)].
(Г.19)
По определению w
мин
соответствуют cos ф = ±1 (sin ф = 0), т. е. они
и
являются корнями S, если S выразить через t, w и постоянные инварианты
и разрешить уравнение относительно w. Слияние этих корней, т. е. появ-
появление у S кратного корня, возникает, очевидно, при sin О = 0 (cos О = ± 1),
т. е. при t = tMaKC и, следовательно, определяет пределы интегрирования
мин
no t.
Пределы интегрирования в обратном порядке также можно получить
из выражения для S. Тогда необходимо решить уравнение S = 0 относитель-
относительно t, а затем иайти точки слияния этих корней относительно ш*.
* Законность такой операции видна, например, из того, что при вычисле-
вычислении Vj1' мы смогли ось z направить по г, Ь, взять в плоскости хг. Эта опера-
операция переставляет местами t, w, не меняя S.
357

Обратимся теперь к рассмотрению интегралов с тремя частицами в ко-
конечном состоянии:
X(d3qi/2q10) (d3q2/2qi0) (d3 q3/2q30)g3 (Iи qn). (Г-20)
где g3 — скалярная функция. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если
is (к, ?n)=i(s4'i. h, <7зI?з2> (<7i> <7а). то интегрирование в (Г.20) удобно
проводить в следующем порядке:
X J б (Л-fc-ft) (d» ?1/2?10) {d* ?
-mt- m,)« (Ao) (я/2Л2) /(A2-m2_m2J ^
Здесь мы воспользовались тем, что интеграл по qlt q2 соответствует рассмо-
рассмотренному выше случаю F20> (Г.5). Оставшийся интеграл зависит от четырех
векторов (/j, l2, q3, Л), следовательно, имеется три независимых скалярных
инварианта (один из них Л2), поэтому g^Kk' h> <7з) ga2) (Л2) = h3 (s, %, и),
где sx = Л2, и = (Z2 — ^3J. s = (/i + /аJ- Перейдем теперь в (Г.21) к ин-
интегрированию по si, и:
I lt-q,-A) О (Ac) (d3 ?з/2?зо) =
в (Sl-A2) б* (/x-f l2-q3~A) О (Ao) d4 A (d» ?з/2?зо), (Г.22>
и поскольку rf4AO (Ло) б (Л2 — Sj) = ?РЛ/2Ло; Ло = ~\/\2 -f s^ внутренний
интеграл в правой части можно вычислить как и2 (замены: q2 -*¦ ?з> ?i ~* А,
Л2 = Sj), имеем [ср. (Г. 10)]:
ц2-[г2J_4ц2 ^2] Х
(,) макс
X j" (<*Vsx) J dBy(s1-i«2-i«2)*-4i«2i«2A3(sIslfB), (Г.23)
(m. + m.) «мип
где икакс получаются из (Г.9) заменой тх2 ->¦ slt m22 -»• /п32; пределы инте-
мин
грирования по Sj задаются ¦d-функциями из (Г.21), (Г. 10), причем в (Г. 10)
следует заменить т.]2 -*¦ slt m22 -»• т32.
В случае h3 = 1 полученное выражение представляет фазовый объем:
= (л2/4) [О(Ро) О (Vs- mi-m2— ma)/s] X
X
J
f (dSi/sO^^-ma —m2J-4m2m2v (s_Sl —m2J_4m2Sl. (Г-24)
Рассмотрим теперь другой случай, когда 1г и Z2 входят в (Г.20) только
в виде суммы Р = 1Х-{- 1а. В этом случае
) = J (d3q3/2q30) | б4 (P-qi-q2
Х?з (Я, ?ь ft, ft) (ds ft/2fto) (d3 ?2/2?20) • (Г-25)
358

Внутренний интеграл совпадает с интегралом (Г. 10) после замены 1±-> Р,
12^—<7з и дается формулами (Г.9), (Г.10), где следует проделать замену
ji|-*p* = s; [г!-ml; s = (h + l2)* -> (P-q,)* = iql + qi)* = sl; t = (l1-q1J -*
(PJ (+J = ^i; g2(s,t)^g3(s,s1,t1). Итак, получаем
X j <«!*,(«. «i.'i). (Г.26)
'lMHH
где <iMaKC дается формулой (Г.9) с указанными заменами. Подынтерраль-
мин
ное выражение зависит от q3 через s^. Перейдем к интегрированию по Sj
в системе, где Р = 0:
j d3 q3/2q30 = j" dsj, б (sx —s—m| -f ^o Po) (ds q3/2q30) =
= J dSl (л | q3 |/Po) « ((«^m| -s1)/2P0-m3). (Г.27)
Область интегрирования по sx определяется ¦^-функциями в (Г.26) и (Г.27),
Выражая [^3| и Ро через инварианты
Po=V~s; l43l lo |(l)^
(/i)/"(r-28)
получаем
(Vs-maJ 'макс
j" J d^ ( slt
(Г.29)
Заметим, что в системе Р = 0,^ = —2Padq30 и d^ = —2Padqlu, т. е. эле-
элемент фазового объема dsjd4 ~ dq10dq3u. Так как qu + q20 + ^Зо = ^о = const,
то можно взять dq2adq30, dq10dq20. Полагая в (Г.29) g3 = 1, приходим к фор-
формуле (Г.24).
Рассмотрим еще один случай. Пусть^ (h, qn)^^ (h, q3) 8а*ЧЬ<!1<<1г)у
в этом случае удобно интегрировать в следующей последовательности:
F<33>=j d* Лб^ A,-q,- ЛЩ1' (/., q3) (d%/2q30)X
д1-д2)^) (lu qi, q2) (d»ft/2?10) (d3?2/2?20). (Г.30)
Последний интеграл в (Г.30) вычисляется как V2 с заменой /2 — Л. Обозна-
Обозначая gl,2)(Ji. ft, <72) = 42) (*i. 't «). гдеs^foiH-,J = (*!-+¦ ЛJ; < = (/i-?iJ,
« = (Z2—9зJ = Л2; получаем
3) ^ ?¦) (d*q3/2q30)
(Г.31)
359

Здесь <макс определяется формулой (Г.9), в которой необходимо заменить
мин _
s -* Si, Ш2 ->«• Положив g3i-> {li, q3) gC2> {slt t, u) = g3 {t, sx, и), перейдем
к интегрированию по slt и. Отличие от случая F<,2) состоит в том, что под ин-
интегралом есть зависимость от и (угловой переменной в системе Р = 0). Так
как после выполнеиия интегрироваиия по t подынтегральная функция будет
зависеть от si. и, переход от (Г.31) к интегралам по этим переменным можно
осуществить как переход от (Г.21) к (Г.23) (это ясно, если в (Г.31) заменить
Л -»• Л — lj) ив результате имеем
(Ys—m,J "макс 'макс
X J dSl j (dujy (Sj—ц2-ц)а-4ы|х2) j dtga(t, Sl,u). (Г.32)
(т,+т2)* нмип <Mlffl
Как уже отмечалось, <макс дается формулой (Г.9), где надо заменить s ->- Sj,
мин
\i22 ->- «; «Макс Дается т°й же формулой (Г.9) с заменой mf -* slt m22 -¦>¦ m32.
мин
Если g3 ие зависит от <, то, выполняя интегрирование по t, приходим к (Г.23).
Перейдем теперь к обсуждению общего случая. Ранее установлено, что
при вычислении, V^1* (Г.23) и V!,2' (Г.29) остается два нетривиальных интегра-
интеграла, при вычислении (Г.32) — три. В общем случае g3 (It, qn) зависят от пяти
кинематических инвариантов, одни из которых есть квадрат полной энергии
в /(-системе s = (lx + /2J, а по четырем остальным необходимо проводить
четыре нетривиальных интегрирования [другое рассуждение следующее:
из девятикратного интеграла по конечным состояниям в (Г.20) четыре инте-
интегрирования необходимы для того, чтобы проинтегрировать 6-функцию, одно
тривиальное интегрирование по общему азимутальному углу в /(-системе,
остается четыре нетривиальных интеграла]. Интегрирование можно прово-
проводить следующим образом:
X g3 (It, qn) (d3 <7i/2<jr10) (d* q2/2q2a). (Г.ЗЗ)
Внутренний интеграл здесь является подобным V^1' с «посторонним» вектором
г, в качестве которого можно выбрать любую линейную комбинацию векторов
li, qn, не выражающуюся через векторы, стоящие в б-функции внутреннего
интеграла, например l2, qs, la + q3 (ио не /2 — qs = Л), lx + t2 + q3 и т. д.
Не будем здесь конкретизировать вектор г и выберем в качестве независи-
независимых переменных t = (/х — ftJ, sx = (q1 + q2f, и = (l2-- q3f\ w = (qx + rf.
Как уже отмечалось, внутренний интеграл можно вычислить как Vj11, остаю-
остающийся интеграл, очевидно, тот же, что и при вычислении V33> (Г.31), (Г.32).
Используя'эти обстоятельства, можно сразу же написать результат:
(Vs— ms)« "макс 'макс шмакс
X j" dSl J du j dt J dwg3(t,s1,u,w)/V—S{l1,q1,q2,r),
(тп^-\-т^ • ммин 'мин шмин
(Г.34)
где, как в (Г.32), <Макс определяются формулой (Г.9), в которой следует по-
положить s -9- Si, Ц22 -*¦ «; «макс следует из той же формулы после замены
мии _
mi2 -*¦ Si,, т2г -* т3\ g3 (t, sx, и, w)= g3 (lt, qn); wuaKC, как и в (Г. 19),
мин
360

определяются корнями уравнения S = 0 (выражение для S задается форму-
формулами (Г. 17), (Г. 18)), в системе, где 1Х + Л= 1Х + 12 — q3 = 0, явный вид
юмакс следует из формулы (Г. 13), в которой все величины необходимо
ми и
выразить через инварианты. В частности, если взять в качестве г вектор
q3, то w = ((?! + <?3J, тогда S (llt qlr q2, r) = S (/lt qlt q2, q3) = S (tlt l2,
qlt q2) и т. д.
Как уже отмечалось, пределы интегрирования по to и < можно определить
прямо из выражения для S. Более того, из этого выражения можно также
иайтн пределы по переменным и и sx. В этом можно убедиться, если учесть,
что пределы интегрирования по и соответствуют в системе 1Х + Ig = 0 слу-
случаю l2q3 = ± |12| |qs|, а пределы интегрирования по Si соответствуют илн
kil = Ы = 0 в системе lt + h — Чз = ° (ПРИ этом условии q, н q2 кол-
лннеарны в любой системе), или q3 = 0 в системе, где lx + h = 0 [ср. (Г.22),
(Г.23)]. С другой стороны, пользуясь инвариантностью S н тем, что S не
меняется при заменах, оставляющих постоянным модуль определителя из
компонент векторов [см. (Г. 16)—(Г. 18)] можно (с точностью до коэффициента),
представить S как (qx [l2q3]) в системе 1Х + h = 0, откуда видно, что S
обращается в нуль на границах области по и, Sj.
Рассмотрим теперь выражение для фазового объема в форме, удобной
для задач тормозного излучения и рождения пар частиц. Пусть рх + р2 =
= Рз + р* + k, p\3 = /rax2; pl,4 = mi; k2 ф 0 (в общем случае). В каче-
качестве независимых переменных выберем
— #72;
:; Д1 = -(Й-Й)«.
Одним нз возможных способов перехода от (Г.34) к этому набору является
следующий:
к, 2 ¦* Pi. 2, ?i, г -* Ръ, t\ <7з -* к; т= —(Pi+p2).
Тогда
— Щ2 = s—
(Г.36>
i2-
S (к, qi, q2, r)-<-S (рър3, pl,—p1~p2)=:S (plt pit ps, Pi) и т. д.
Формулу (Г.34) теперь можно записать в виде [будем считать, что реак-
реакция кинематически возможна («канал открыт») и будем опускать О-функции}.
X (d3 k/2a>) g3 (Pi, i)=[ji/4l/v8-ra1sffl8i] X
Xj [dx dx2 dAi dx4/y — S (plt p2, p3, Pl)] gs (v, и, и2, x4, Ai]- (Г-37)
Если функцию S выразить через независимые инварианты, то она оказывает-
оказывается квадратичной по каждому нз них. Это следует прямо из выражения для
S в виде определителя (Г. 17), (Г. 18), но можно использовать н иной способ.
361

Запишем 5 как 5 (рх + р2 — k, plt k, pt) в системе pt + р2 — к = р3 + Р4 =
= 0, pj-вектор направлен по 2, вектор к лежите плоскости xz. Тогда [ср. (Г. 15)]
-5= [(Pl+p2-fe)o | Pl || k || р4 | ]«sin2 (рГк) sin» (рГр4) sin2 ф, (Г.38)
где ф — азимутальный угол вектора р4. Выражая величины через инвариан-
инварианты, видим, что, например, зависимость от у.^ содержится только в sin2 <p =
/ч /ч /ч /х
= 1 — cos2 ф, причем х4= ше4 —|k ||p4| (cos pxp4 cos kpx + sin P!p4sin kpjX
Xcos ф) +fe2/2, так что cos ф линеен по и4, значит, (—5) квадратична по х4
и т. д. Итак,
(Г.39)
где \ — любая переменная из (Г.35). В (Г.37) первое интегрирование про-
проводится между корнями уравнения S = 0 [ср. (Г. 19)], рассмотрим интеграл
4") = {^dg/V=5, (Г.40)
который удобно брать переходом к контурному* с последующим вычисле-
вычислением вычетов:
Явный вид S (Q, 9>, R) можно получить нз (Г. 17) и (Г. 18) или (Г.38). Укажем
еще один способ, в котором интегралы (Г.40) вычислятся в определенной си-
системе, а затем ответ выражается через ннварнанты. Для нахождения QXt,
?PXt, RXt вычислим IxnJ. При фиксированных у,, и2, А]2 интегрирование по
и4 — интегрирование по азимутальному углу вектора р4 в системе, где
Pi + р2 — к = р3 + Р4 = 0 [см. (Г.38)]:
X б (Д? + (Pl - р3J) (d3 р3/в3) (d3 pjej =
2л
= j [йф/2(е1-^82-сй)|р1|][(йе4^/г2/2-|к||р4|х
о
X (cos (рГк) cos (рГр4) -Ф- sin (p7 к) sin (p?p4) cos <p)j "• (Г.42)
Отсюда находим
-[ к 11 р4 | cos (k9i) cos (pTpiM/tei-fei-m) I Pi I;
-(D) I Pi 11 [(«я cu^fe2/2-| к || p4 |x
>ч >ч s\ s*< —1 /2
Xcos(kPl)cos(p1p4)J-(|k||P4|sin(kp1)sin(p1p4)J] . (Г.43)
* Интеграл по азимутальному углу до перехода К инвариантным пере-
переменным по существу является контурным.
362

Выражая входящие величины через инварианты, имеем
е4 = (v—
ш = Bх—
—2х;
—2x;
cos (kpi)= (co8l—х+ х2)/1 к || Pl |; cos
= Bmf-28183+Ai)/2|p1
е2—ш —s4;
p3|
(Г.44)
Подставляя эти выражения в (Г.38) или в (Г.43) с учетом (Г.41), найдем
—xj)—mf
—x2—
- A?
—Ai {x (x2 v—
tm Xi) —
[mi
2 —
m\
] —mi
(Г.45)
где xx = x —x2. Выражения для функций 0g, #|, R^ при других | можно
получить перегруппировкой членов в выражении для S.
Порядок интегрирования в (Г.37) определяется свойствами функции g3-
Если выполнять интегрирование в том порядке, в котором записаны диффе-
дифференциалы в (Г.37), то пределы интегрирования можно получить нз (Г.34)
заменами (Г.36). Используя замены, можно найти пределы интегрирования
в ином порядке, онн, как уже отмечалось, определяются также из S. Проще,
однако, находить область изменения переменных прямо нз кинематических
условий, нз которых мы фактически исходили [см. (Г.7), (Г.8)]. Рассмотрим
несколько примеров. После выполнения интегрирования по х4 согласно
(Г.40) н (Г.41) ограничения на область интегрирования по А]2, х2) х можно
получить из условий:
I COS (
| cos
р3)
^ к)
< 1 (система
< 1 (система
^—к = 0);
(Г.46)
Действительно, интегрирование по х4 при фиксированных Ax2, x1, и—
интегрирование по азимутальному углу вектора р4 в системе рх + р2 — к =
= р3 -f- р4 = 0. Очевидно, что полярные углы вектора р3 = — р4 могут
быть любыми, так как р3 + Р4 = 0 и, следовательно, выпадают из аргумента
б-функции, содержащей законы сохранения, которые и определят искомую
область. Итак, граничные значения cos (Pxp3) есть ± 1, они определяют
экстремумы Ах2 = —(р1 ¦— р3J, причем, поскольку все энергии выражаются
через х, х2 (Г.44), то получаем А21макс = 2[ех s3 ± |Рх| |р3| — т?\ при фиксн-
мии
рованных х, х2. Чтобы реакция могла идти, необходимо (е3 + е4J > (т^ +
+ т2J, т. е. (щ + т2J <(е3 + s4J = (ех + е2 - шJ = (Pl + р2 - k)\ Это
дает ограничение на х. После интегрирования по Дх2 вектор к может иметь
любое направление в системе Pi + р2 = 0 [второе условие (Г.46)], причем
363

cos (kpj = ± 1 соответствует экстремумам и2макс = ше2 ± |k| |p2| — k2/2.
мин
Величина Y. = ш (е3 + 82) — #72 ограничивается условием ш2 > й2. От-
Отметим, что при Р4, Рз = 0 в системе р + р2 — к = 0 интервал изменения Дх2
уменьшается до нуля, а при к = 0 в системе Pi + р2 = О интервал по и2
падает до нуля, поэтому ограничения на у. получаются из условия сущест-
существования областей по Д2, х2.
Если же первое интегрирование (Г.40), (Г.41) проведено по ДД то об-
область изменения х4, и2, и можно найти из условий:
|cos(kp4)|<l (система px^-pss—к = 0); 1
fcos(kp2)|<l (система ф 0) >
Если первое интегрирование проведено по х2, то область х, Дг, х4 следует из
условий:
|cos(kp3)|<l (система pt + р2—ps = 0);
I cos (pi Рз) | < 1 (система Pi > р2 = 0).
И, наконец, если первое интегрирование проводить по х2, но фиксировать не
и, a Xj = и — х2 (<fautxz = rf^i^z). то функцию S в (Г.40) необходимо выра-
выразить через >«!, и2, Д^, х4, s, и выражение для Q, ?P, R будет меняться. Пределы
интегрирования по щ, АД х4 находятся из условий
| cos (kpi) I < 1 (система Р]. + р2—Рз = 0); i (Г.49)
I cos (Pi^s) I < 1 (система px + p2 = 0).
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
РАСПУТЫВАНИЕ КОМБИНАЦИИ ехр [—i kx Aг)} ехр [\kx
\, Магнитное поле. Введем обозначения
В этих обозначениях
exp[-i/jx(y]exp[ifce(^)] = exp(& + a)exp(— a). (Д.2)
В коммутатор [а, Ь] входят только пространственные компоненты х„ (t):
[а, bj = -[kr, kp], (Д.З)
где р = г (t2) — г (ti). Разлагая р по степеням т до нужного порядка
[ср. C.11), A0.10)], получаем
. (Д.4)
Воспользовавшись гейзенберговскими уравнениями движения с учетом
связи v и Р E.28), а также выражением для коммутатора г и v E.40), полу-
получаем
[а, 6] = 2^шЬ/^?. (Д.5)
364

При вычислении этого коммутатора отбрасывались члены порядка
/UOo/в и 1/y2, входящие в (Д.5) операторы 2№ и Ь с точностью до членов ~ fuajs
коммутируют между собой. Если учесть, что с принятой степенью точности
коммутатор
(Д.6)
п
то для коммутатора [а[а ... [а,Ь] ...]] имеем
[а, [а...[а, Ь] ...]] = (п+1)\ (На/Ж)п Ь. (Д.7)
Этот случай был рассмотрен нами в приложении В [см. В. 14), (В.20), (В.22)],
где сп = (п + 1)!, X—ha/^. Воспользовавшись формулой (В.22), получаем
exp [—i kx(ti)]exp [i kx(tt)] = exp F+а) ехр (— а) =
= ехр[6/A —X)]=exp{i^f[to (h) — kx {tt)]i(M—ha)}. (Д.8)
2. Кулоновское поле. В этом случае коммутатор [а, Ь] можно вычислить,
если использовать явный вид kx, который можно получить, решая гейзенбер-
гейзенберговские уравнения движения, для чего достаточно заменить величины в клас-
классическом выражении для kx (t) C.78) на операторы
kx= (&4 + &V) f/2-+- (kvf-kvj g @/2+ kxc, (Д.9)
где
g (t) = | J ev (VFF^vy/Ф2 -1 It f (aF/aP2)dj/-y (r)/2 V щ. io)
Операторы (кх>{) и {kvА коммутируют друг с другом. Функция g (t) с точно
стью до членов ~ \/у* (ч2 = 1—0A /у2)) является с-числом и зависит только
от вида поля. По этой причине вычисление коммутатора [а, Ь] сводится к вы
числению [kxc, kvj], [kxc, kvj]. Используя соотношения
v = P/i/P2 + m2, [xci, Ph\ = iUih, (Д.11)
получаем с точностью до членов ~ 1/y2 и ЙйH/е
[kxc, Aoll/]
так что с указанной точностью приходим к формуле (Д.5). Последующее рас-
рассмотрение и результат совпадают со случаем магнитного поля.
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
МЕТОД ПРИЦЕЛЬНОГО ПАРАМЕТРА
Рассмотрим упругое рассеяние частиц высокой энергии на статическом
потенциале V (г), локализованном в некоторой области, характерные раз-
размеры которой ~ d. Рассмотрим рассеяние только на малые углы, т. е. будем
считать, что характерные расстояния гс, такие, что V (гс) <С е. Предполагает-
Предполагается также, что потенциал убывает с расстоянием не медленнее, чем кулонов-
ский.
365

Уравнение Клейна—Гордона во внешнем поле имеет внд E.6). В случае
стационарных состояний для координатной части волновой функции имеем
[(е-У(г))* + у*-т*]у(г) = 0. (E.I)
В случае рассеяния на малые углы, учитывая, что V (г) <[е, и оставляя
только линейный по потенциалу член, приходим к уравнению Шредингера:
0, (E.2)
которое будем решать с асимптотическим условием:
ф (г) « exp [i р г]ч(-/ (») ехр [\pr\jr (г - оо ), (Е.З)
причем сечение рассеяния выражается через / (О) следующим образом:
da = \f(b)\2dQ. (E.4>
Уравнение (Е.2) с условием (Е.З) можно представить в виде интегрального-
уравнения:
f (г) = ехр [1рг]-(е/2я) J {ехр [ip | г-г' | ]/1 г - г' | } V (г') ф (г') d*r'. (Е.Б>
Учитывая, что при /¦ -> оо | г—г' | л; г—г' г/г, получаем
i|) (г) ж ехр [ipr]—(8/2яг) ехр [ipr] j ехр [—ipr'] V (г') ij) (r') d3 r', (E.6>
так что
где | р' | = | р | . Представим волновую функцию в виде
i|>(r) = exp[ipr]cp(r). (E.8)
Тогда, подставляя (Е.8) в (Е.5), получаем
Ф (г)= 1 —(е/2я) j { ехр [i (рг'-рг')]/г'} V (г—г') Ф (г-г') d3 г'. (Е.9)
Для нахождения амплитуды рассеяния нам достаточно знать <р (г) в об-
области, где потенциал отличен от нуля. В этой области основной вклад в (Е.9)
дают такие г' (в случае малых углов рассеяния), что рг' > 1. Принимая во
внимание, что функции V и ер меняются по сравнению с быстро осциллирую-
осциллирующей экспонентой медленно, видим, что основной вклад определяется стацио-
стационарной по углам О' (#'—угол между векторами р и г') фазой cos О' = ± 1,
причем вклад cos #' = —1 мал, поскольку при интегрировании по г'
подынтегральное выражение быстро осциллирует. Окончательно имеем
оо
Ф(г) ~ 1 — 18 f V(r— рг')ф(г — pr')dr'/p, (E.10)
¦i
где р = р/|р| — единичный вектор вдоль направления падающей волны.
Выбирая ось 2 вдоль этого направления, перепишем (ЕЛО) в виде
Ф(р,г) = 1-1 J У(р,г')ф(р,г')<*2'Л>- (Е.11)
—оо
366

,z) = exp (—i/o) Г V(p, z')dz'
L -» J
Решение уравнения (E.I 1) имеет вид
Ф(Р
Подставляя (Е.12) в (Е.8), получаем
Г z -1
i|>(p, г) = ехр ipr— (i/o) J V(p,z')dz' , (E.13)
а для амплитуды рассеяния имеем
/(Р'.Р) = (—e/2ii)Jexp{i(p — р') (р + Р2)}У(р,г) X
Хехр (—i/o) J V (р, г') dz' dzd* p. (E.14)
L — °° J
В экспоненте подынтегрального выражения (Е.14) можно пренебречь
членом (р—р') pz, поскольку он квадратичен по углу рассеяния. Проведя
после этого тривиальное интегрирование по г, получаем
/(р'.Р) = (Р/2ш) Jexp[iqpJ [exp [ix(p)] —1] d2p, (E.15)
где
ОО
q = p — р', X (Р) = — | V(p,z)dz/v. (E.16)
ОО
В потенциале, обладающем аксиальной симметрией по отношению к оси,
9,1 (р) = 1 (РЬ Учитывая, что qp = qp cos ср, и то, что
2л
J exp(i<7pcoscp)Ap = 2ji./|)(Gp), (E.17)
о
где Jt—функция Бесселя, находим
с»
/(?) = —ipj ^o(P?)(exp[ix(P)]-l)pdp. (E.18)
о
В случае кулоновского потенциала
V (r) = Ze*/inr. (E.19)
В этом случае фаза % логарифмически расходится, чтобы избавиться от этой
трудности, введем параметр обрезания а, такой, что V (г) определяется фор-
формулой (Е.19) при т < а и равен нулю при г > а, тогда
I (р < а); (Е.20)
3 67

здесь
g=Za/u, а = е2/4я=1/137.
Считая а много больше всех характерных размеров задачи и разлагая
X (р) по степеням р/a, получаем
Х(Р)«2&1п(р/2я). (Е.21)
Подставляя фазу % в (Е.18), находим для амплитуды рассеяния
/(<?) = (-2|p/^)exp{-2i[iln(a9)-argr(l^ii)]}, (E.22)
а сечение рассеяния совпадает с формулой Резерфорда E.136) »
Что касается рассеяния спинорных частиц, то, поскольку вклад в сече-
сечение дают большие орбитальные моменты (в случае малых углов рассеяния)
рр ~ / > 1, сечение не зависит от спнна н амплитуда рассеяния определяет-
определяется формулой (Е.15).

ЛИТЕРАТУРА
1. Altarelli С, Buchella F. Nuovo cimento, 1964, 34, 1337.
2. Арцимович Л. А., Померанчук И. Я. J. Phys. USSR, 1945, 9, 267; «Ж.
эксперим. и теор. фнз.>, 1946, 16, 379.
3. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.,
«Наука», 1969.
4. Бадалян А. М., Смородииский Я. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1961, 40,
1231.
5. Байер В. Н., Хейфец С. А. «Ж. эксперим.' н теор. физ.», 1961, 40, 613.
6. Байер В. Н., Хейфец С. А. «Ж. эксперим и теор. физ.», 1961, 40, 715.
7. Bayer V. N., Galitsky V. М. Phys. Lett., 1964, 13, 355.
8. Байер В. Н.. Галицкий В. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1965, 49, 661.
9. Байер В. Н., Галнцкий В. М. «Письма ЖЭТФ», 1965,2,259.
10. Байер В. Н., Хозе В. А. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1965, 48, 946.
П. Байер В. Н., Хозе В. А. «Ж. эксперим. н теор. физ.», 1965, 48, 1708.
12. Байер В. Н., Хозе В. А. «Ядерная физика», 1965, 2, 287.
13. Байер В. Н., Фадин В. С, Хозе В. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1966,
51, 1135.
14. Байер В. Н., Фаднн В. С, Хозе В. А. «Ж. эксперим. н теор. физ.», 1966,
50, 1611.
15. Байер В. Нм Фадии В. С, Хозе В. А. «Ж- эксперим. н теор. фнз.», 1966,
50, 156.
16. Bayer V. N.. Katkov V. М. Phys. Lett., 1967, 25А, 492.
17. Байер В. Н., Катков В. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1967, 53, 1478.
18. Байер В. Н., Катков В. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1967, 52, 1422.
19. Bayer V. N.. Katkov V. М. Phys. Lett., 1967, 24А, 327.
20. Байер В. Н., Фадин В. С, Хозе В. А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1967,
53, 2194.
21. Байер В. Н., Катков В. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1968, 55, 1542.
22. Банер В. Н. и др. «Ядерная физика», 1968, 8, 1174.
23. Байер В. Н., Катков В. М. «Докл. АН СССР», 1969, 188, 56.
24. Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. «Ж- эксперим. н теор.
физ.», 1970, 58, 1695.
25. Bayer V. N.. Katkov V. М., Strachovenko V. М. Phys. Lett., 1970, 31А, 198.
26. Байер В. Н. «Успехи физ. наук», 1971, 105, 441.
27. Байер В. Н., Катков В. М., Страховеико В. М. «Докл. АН СССР», 1971,
1§7, 66.
369

28. Байер В. Н., Фадин В. С. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1971, 61, 476.
29. Bargman V., Michel L., Telegdi V. Phys. Rev. Lett., 1959, 2, 435.
3Q. Banerjee H. Phys. Rev., 1958, 111, 532.
31. Берестецкий Б. В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская
квантовая теория. Ч. I. M., «Наука», 1968.
32. Bethe H., Heitler M. Proc. Roy. Soc, 1934, А146, 83.
33. Bethe H., Maximon L. Phys. Rev., 1954, 93, 768.
34. Bloch F., Nordsiek A. Phys. Rev., 1937, 52, 54.
35. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.
М., Гостехтеориздат, 1957.
36. Bjorken J., Drell S. Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill Book
Company, 1965.
37. Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций. Ч. I. Перев. с англ. М.,
Изд-во иностр. лит., 1949.
38. Weizsecker С. Z. Phys., 1934, 88, 612.
39. Williams E. Phys. Rev., 1934, 45, 729.
40. Volkov D. Z. Phys., 1935, ,94, 250.
41. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. М., «Наука»,
1965.
42. Высоцкий В. Л., Креснин А. А., Розенцвейг Л. Н. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 1957, 32, 1078.
43. Calitsky V. М., Gurevich I. I. Nuovo cimento, 1964, 32, 396.
44. Галицкий В. М., Кельнер С. Р. «Ж- эксперим. нтеор. физ.», 1967, 52, 1427
45. Галнцкий В. М., Кельнер С. Р. «Изв. АН СССР, Сер. физ.», 1967, 31,
1565.
46. Галицкий В. М., Якимец В. В. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1964, 46, 1966.
47. Гинзбург В. Л. «Успехи физ. наук», 1969, 98, 569.
48. Glauber R. Phys. Rev., 1961, 84, 395.
49. Gluckstern R., Hull M., Breit G. Phys. Rev., 1953, 90, 1026, 1030.
50. Гольдмаи И. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1960, 38, 1866.
51. Gorge V., Locher M., Rollnik H. Nuovo cimento, 1963, 27, 929.
52. Градштейи И . С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов н про-
произведений. М., Физматгиз, 1962.
53. Грибов В. Н. и др. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1961, 41, 1839.
54. Джексон Д. Классическая электродинамика. Перев. с англ. М., «Мир»,
1965.
55. Dirac P. A. M. Proc. Roy. Soc. (London), 1938, А167, 148.
56. Зельдович Я . Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1961, 41, 912.
57. Зоммерфельд А. Электродинамика. Перев. с нем. М., Изд-во иностр. лит.,
1958.
58. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. «Докл. АН СССР», 1948, 59, 1551.
59. Yennie D., Frautschi S., Suura H. Ann. Phys., 1961, 13, 379.
60. Кельиер С. Р. «Ядерная физика», 1967, 5, 1092.
61. Клепиков Н. Г. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1954, 26, 19.
62. Landau L. D., Lifshitz E. M. Physikalische Zeitschrift der Soviet Union
1934, 6, 244.
63. Ландау Л. Д., Померанчук И. Я. «Докл. АН СССР», 1953, 92, 535.
64. Ландау Л. Д., Помераичук И. Я. «Докл. АН СССР», 1953, 92, 735.
370

65. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М., «Наука», 1967. Щ
66. McVoy К- Phys. Rev., 1957, 106, 828.
67. McVoy К. Phys. Rev., 1958, 111, 1333.
68. Мигдал А. Б. «Докл. АН СССР», 1954, 96, 49.
69. Мигдал А. Б. «Докл. АН СССР», 1955, 105, 77.
70. Migdal А. В. Phys. Rev., 1956, 103, 1811.
71. Мигдал А. Б. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1957, 32, 633.
72. Minguzzi A. Nuovo cimento, 1956, 4, 476.
73. Minguzzi A. Nuovo cimento, 1957, 6, 501.
74. Minguzzi A. Nuovo cimento, 1958, 9, 145.
75. Moliere G. Z. Naturforsch., 1947, 2a, 133.
76. Motz J., Olsen H., Koch H. Rev. Mod. Phys., 1969, 41, 581.
77. Нарожный Н. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 1968, 55, 714.
78. Никишов А. Н., Ритус В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1964, 46, 776.
79. Никишов А. Н., Ритус В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1964, 46, 1768.
80. Никишов А. Н., Ритус В. И. «Ж. эксперим и теор. физ.», 1969, 56, 2035.
81. Olsen H. Phys. Rev., 1955, 99, 1335.
82. Olsen H., Maximon L., Wergeland H. Phys. Rev., 1957, 106, 27.
83. Olsen H., Maximon L. Phys. Rev., 1959, 114, 887.
84. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М., Физмат
гиз, 1963.
85. Померанчук И. Я. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1939, 9, 915.
86. Pomeranchuk I. Ya., Shmushkevich I. M. Nucl. Phys., 1961, 23, 452.
87. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.
Физматгиз, 1961.
88. Ритус В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1969, 57, 2176.
89. Cere Г. Ортогональные многочлены. М., Физматгиз, 1962.
90. Соколов А. А., Клепиков Н. Г., Тернов И. М. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
1952, 23, 632.
91. Соколов А. А., Териов И. М. «Докл. АН СССР», 1963, 153, 1052.
92. Соколов А. А., Тернов И. М. Синхротронное излучение. М., «Наука»
1966.
93. Scott W. Rev. Mod. Phys., 1963, 35, 231.
94. Stuttorp L., de Groot S. Nuovo cimento, 1970, 65, 245.
95. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., Гостехиздат, 1957.
96. Тер-Мнкаэлян М. Л. «Докл. АН СССР», 1954, 94, 1033.
97. Wheeler J., Feynman R. Rev. Mod. Phys., 1945, 17, 157.
98. Furry W. Phys. Rev., 1937, 51, 125.
99. Furry W. Phys. Rev., 1951, 81, 115.
100. Fradkin D., Good R. Rev. Mod. Phys., 1961, 33, 343.
101. Frenkel Ja. Z. Phys., 1926, 37, 243.
102. Fronsdall C, Uberall H. Phys. Rev., 1953, 111, 580.
103. Fulton Т., Rohrlich R. Ann. Phys., 1960, 9, 499.
104. Schwinger J. Phys. Rev., 1949, 75, 1912.
105. Schwinger J. Proc. Nat. Acad. Sci., 1954, 40, 132.
106. Schott G. A. Electromagnetic Radiation, Cambrige, 1912.
107. Erikson K- Nuovo cimento, 1961, 19, 1010.
108. Jauch J., Rohrlich F. Helv. Phys. Acta, 1954, 27, 613.
371

109. Байер В. Н., Фадии В. С. «Письма в ЖЭТФ», 1971, 13, 293.
ПО. Bayer V. Н., Fadin V. S. Nuovo cimento Lett., 1971, 1, 481.
111. Bayer V. H., Fadin V. S. Phys. Lett., 1971, 35B, 156.
112. Байер В. Н., Катков В. М., Страховеико В. М. «Ядерная физика», 1971,
14, 1020.
113. Байер В. Н., Фадин В. С. «Ядерная физика», 1972, 15, 95.
114. Байер В. Н., Катков В. М. «Докл. АН СССР», 1972, 207, 68.
115. Adler S. L. Ann. phys., 1971, 67, 599.
116. Папян В. О., Ритус В. И. «Ж. эксперим. и теор. физики», 1971, 61, 2231.
117. Кураев Э. А., Липатов А. Н. «Письма в ЖЭТФ», 1972, 15, 229.
118. Racah G. Nuovo cimento, 1937, 14, 93.
119. Brodsky S., Kinoshita Т., Terazawa H. Phys. Rev., 1971, D4, 1532.
120. Arteaga-Romero H., Jaccarini A., Terazawa H. Phys. Rev., 1971, D3,
1569.
121. Erber T. Rev. mod. phys., 1966, 38, 626.
122. Баталии И. А., Шабад А. Е. «Ж- эксперим. и теор. физики», 1971, 60,
894.
123. Adler S. L. e. a. Phys. Rev. Lett., 1970, 25, 1061.
124 Банер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. «Ж- эксперим. и теор.
физики», 1972, 63, № 12.
125. Bardeen W., Tung W. Phys. Rev., 1968, 173, 1923.
126. Зима В. Г. «Ядерная физика», 1972, 16, 1051.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 5
§ 1. Излучение заряженной частицы 5
§ 2. Излучение ультрарелятивистских частиц 21
§ 3. Спектральное распределение излучения ультрарелятивист-
ультрарелятивистских частиц 26
. § 4; Реакция излучения 54
Глава П. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА . . ; 62
i § 5. Основные положения квантовой электродинамики 62
§ 6. Излучение мягких фотонов 99
§ 7. Метод инвариантного интегрирования 113
§ 8. Метод эквивалентных фотонов 128
Глава III. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В МАКРО-
МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ВНЕШНИХ ПОЛЯХ 137
§ 9. Квазиклассический метод для описания излучения частиц
большой энергии . 137
§ 10. Магнитотормозное излучение 146
§ 11. Рождение пары фотоном во внешнем поле 168
i § 12. Масса и аномальный магнитный момент электрона во внеш-
внешнем поле 178
§ 13. Поляризация среды внешним электромагнитным полем 189
§ 14. Радиационная поляризация „• • • 196
§ 15. Реакция излучения в квазиклассической теории 207
Глава IV. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В КУЛО-
НОВСКОМ ПОЛЕ '. . . 211
§ 16. Излучение фотона в микроскопическом внешнем поле . .211
§ 17. Тормозное излучение частицы в кулоновском поле .... 217
§ 18. Тормозное излучение электронов в экранированном куло-
кулоновском поле 231
§ 19. Рождение пар частиц фотоном в кулоновском поле .... 240
§ 20. Влияние среды на процессы тормозного излучения и рож-
рождения пар 244
373

Глава V. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧ ЕНИЕ И РОЖДЕНИЕ ПАР ПРИ
СТОЛКНОВЕНИИ ЧАСТИЦ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ 264
§21. Тормозное излучение при мюон-электрониом соударении 264
§ 22. Излучение фотона в аннигиляционных процессах .... 283
§ 23. Тормозное излучение фотона при электрон-электронных
и электрон-позитронных соударениях 289
§ 24. Двойное тормозное излучение при электронных столкнове-
столкновениях 302
§ 25. Рождение пар частиц при взаимодействии фотона с заряжен-
заряженной частицей 312
§ 26. Рождение пар при столкновении двух заряженных частиц 320
§ 27. Поляризационные эффекты в процессах тормозного излу-
излучения и фоторождения пар частиц 345
Приложение А. Волновые уравнения для свободных частиц . . . 349
Приложение Б. Интегрирование трехмерных тензорных выражений 351
Приложение В. Некоторые формулы операторного исчисления . . 352
Приложение Г. Фазовые объемы в инвариантных переменных . . . 354
Приложение Д. Распутывание комбинаций ехр [—ikx(t2)][exp [ikx (^)] 364
Приложение Е. Метод прицельного параметра 365
Литература 369

Список замеченных опечаток
Стр.
68
68
68
232
253
291
299
320
338
346
Строка,
формула.
рисунок
Формула
E.41)
То же
23 св.
10 св.
11 св.
Формула
B3.6)
3 сн.
8 св.
Рис. 58
5 сн.
2 сн.
Напечатано
JC2 =
... = A/н2 т2)...
... углы v>...
.. .—dp?i, d?^...
...S = pk...
...—2 РДД|+...
. ¦ ..%д = . . .
...-Х!Л0/(Д21минK/*
Рисунок необходимо
...-44/5|3/22|2
...]=иС«...
Должно быть
Х2= ••¦
...=A/Я02 т»)...
... углы ¦&>...
... — dp?! dq^...
. ¦ -B — pL k...
...— 2&>. Д|+...
. . .^д = . . .
повернуть на 180°
...-44/5|3+22/|2...
...]—и;2со...
Зак, 979