ШШСТЕРСТВО ВШ1ШГО К СРВДЖГО СПВДАЛЬШГО
ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
Ленинградский ордена Ленина
и ордена Трудового Краоного Знамена
государственный университет им.А.А.Жданова
Р.Г.БАРАНЦЕВ
Гвдерзвуковая аэродинамика
идеаленого газа
Учебное пособие
Ленинград
[983

Печатается по постановление
Тед.;кгио1-1но-изаательского
еы ота .Ьетшградоксто
университета
Рассматривается внешняя задача стационарного обтекания
тел невязким газом с большой сверхзвуковой скоростью. Основ-
Основное внимание уделяется аналитическим методам исследования и
двумерным задачам с плоской иди осевой симметрией.
Учебное пособие написано на основе курса лекций,которые
автор читал на математико-механическом факультете Ленинград-
Ленинградского университета с I960 года. Рассчитано на студентов, ас-
аспирантов и преподавателей университетов и авиационных вузов.
i Леиингредокай уиаверсиает,
1983

ПРЕДИСЛОВИЕ
Гиперэвуковая аэродинамика изучает течения rasa около
тел, движущихся с большими сверхзвуковыми скоростями. Самосто-
Самостоятельность этого раздела газовой динамики обусловлена особен-
особенностями постановки и решения задач, связанными с большими зна-
значениями числа Махе. Практический интерес- к это?, теории вызван
развитием авиационной и космической техники.
Квита возникла аз курса лекций, которые автор начал чи-
читать яа математвко-механическом факультете Ленинградского уни-
университета в I960 г. Программа курса создавалась до появления
первых монографий по гияерзвуковой аэродинамике [0.4, 0.8,0.d|i
С течение» времени она менялась, во в своей основе сохранила ~
независимые черты.
Главная цель книги состоят в исследовании г развитии ана-
аналитических методов решений лшерзвуковых задач. Автор предпо-
предпочитает теть дело скорее с точдам решением приближенно постав-
леышх задач, чем с приближенным решением точно поставленных
зядач. Приближенная постанеяка'означает'не размытость формули-
формулировок, а сужение физического,Содержания., На этом этапе интуи-
интуиция'воплощается в математические" формулировки. Перенос прибли-
приближение ?и в постановку задачи освобождает аналитические методы
от губительной громоздкости в способствует созданию интенсив-
интенсивных теоретических моделей.
Модель вдеальаого газа ори больших скоростях полета на
практике становится надоегвгоадай» ?ая аак с ростом твмивра*у-
ры в реальном газа возникаю фйзико-хдмичаскве пронесен» Одна-
Однако метода фЕзико-хшичеокой газодинамики не исключают,а допол-
sam методы диламики адеельного газа, являясь их развитием а
обобщением. Поэтому гаперзауковая аэродинамике идеального газа
остается теоретическим фундаментом тех направлений, которые
учитывают свойства реальных газов [0.2j.
Содержание книги ограничивается ввешней задачей стаиио-
3

нарного обтекания тел невязким газом. Рассматриваются главным
образом двумерные течения с плоской или осевой симметрией.Ре-
симметрией.Результаты, связанные с асимптотической теорией тонкого ударно-
ударного сдоя, заслуживают отдельного издания в оставлены для этой
цели.
Изложение ведется от простого к сложному как в целом,так
и в отдельных главах. После постановки задачи выделяются ос-
основные варианты, которые исследуются детально, прочие возмож-
возможности только систематизируются. Иными словами, проводится
принцип: сначала много о немногом, а затем немного о многом.
Новые результаты содержатся почти во всех главах. Разде-
Разделы, достаточно полно освещенные в других книгах, но необходи-
необходимые для полноты, излагаются конспективно. Стремление убирать
лишнее проявлялось как заметная черта отидя. Каждой главе
предшествует вступление, которое, наряду с оглавлением и вве-
введением, должно помочь читатели быстрее понять и найти нужные
места.
Литература разделена по главам [l-У] , выделен также об-
общий раздел [о]. Ссылке внутри главы даются порядковым номером
в квадратных скобках, ссылки на работу из другой главы или
общего раздела предваряются соответствующим номером. Упомина-
Упоминаются лишь основные и новейшие работы. Более долпая библиогра-
библиография дана в обзоре [O.l]. Для ссылок на формулы аз других глав
употребляется тройная нумерация, первая цифра означает номер
главы.
Работа над лекциями и книгой протекала в коллективе сот-
сотрудников кафедры гидроаэромеханики и аэродинамической лабора-
лаборатории ЛГУ при постоянном притоке свежих студенческих сил. Ав-
Автор с признательностью вспоминает всех людей» который ой обя-
обязан появлением этой книги.
Апрель 1976 г.

ВВЕДЕНИЕ
Основной безразмерный параметр газовой динамиги - число
Маха - есть отношение скорости газа к скорости звука в данной
точке М~ if/a. Гиперзвуковые течения характеризуются нера-
неравенством Ь1»1. физически это условие означает, что кинети-
кинетическая энергия газа велика по сравнению с внутренней энерги-
энергией. Действительно, для идеального газа с постоянными теолоем-
костями кинетическая энергия единицы массы Екин = ~Jl/z , a
внутренняя энергия Е)ц" CV~T, где Су -удельная теплоем-
теплоемкость при постоянном объеме, Т - абсолютная температура.Поль-
температура.Пользуясь известными соотношениями Яг = х %~Г , Я - Cfi - cv ,
/г
с
а» = Cp/Cv , имеем
хин
При у - 1,4 и п = Ю это отношение равно 28.
Торможение чаотида газа при встрече с телом сопровоада-
»:ся переходом канетичеоной эцергии во внутреннюю. И чем бо-
больше число М , тем о«Ш»аа© может возрасти внутренняя зчергия.
Повышение температуря означает увеличение скорссти теплового
движенля молекул, С"родкнов88ия с высокими скоростями розбуж-
дают внутренние отвпав? свободы молекул, в обычных условиях
замороженные, т.е. не рзствувдие в энергообмене, С появлени-
появлением колебаний, двоооциавди, ионизации и т.д. содержание внут-
внутренней энергий вое бодэе обогащается и объект газодинамики
усложняется. Активизация внутренних .степеней свободы меняет
уравнение энергии. Распад молекул и атомов создает смесь га-
газов. Процесс включения новых степеней свободы описывается ре-
релаксационными уравнениями, С аоявдеаием заряженных частиц до-
добавляется уравнения Малсведла,
Обогащаясь физичеоким1 содержанием, гиперзвуковая газоди-
5

намика расширяется и разветвляется. Образуются новые самосто-
самостоятельные отрасли, изучающие равновесные и неравновесные явле-
явления в реальном rase. Однако сердцевккол, стержнем, на котором
вырастает эти современные науки, по-прежнему остается динами-
динамика идеального газа. Будучи основным объектом для развития ме-
методов гиперзвуковой аэродинамики, модель идеального газе в то
же время с успехом используется и для практических целей. Это
удается благодаря тому, что в ограниченных интервалах измене-
изменения давления и температуры отношение удельных тешюеыкостей
можно с хорошей точностью заменять некоторым эффективным зна-
значением 3e.^"=ccnsi [0.2].
Итак, гиперзвуковая аэродинамика идеального rasa есть та
часть классической теории обтекания тел идеальным газом,кото-
газом,которая соответствует большим значениям числа Маха в набегающем
потоке М„ц Всякая крайность, как известно, является упроще-
упрощением, но и в то же время дает возможность глубже исследовать
объект в рассматриваемой узкой области. Условие Woc->i-^ оз-
означает, что гиоерзвуковая аяродиаамкка имеет асимптотический
характер. Область ее действия определяется требуемой точно-
точностью и вовффицжентамв асимптотических разложений исследуемых
величие» эаваслщдаж от обтекаемого тела, В среднем очитаюг,
ч*о гишр9В)шоэаа область начинается е Mj»5, для тонких
тел эта грани» одаагевтея выше.
Воэраотаадв чвола Маха может быть обусловлено как умень-
уменьшением акфоот» ssy&a, так я увеличениру скорости газа. Эти
ведаша сБв^вы тякг ообов иятегралом Бврнулли
Вдоль дааии гояв непрерывного течения сохраняется также энтро-
энтропия, т.е.
•?-«"«*.	C)
Из С2> в <3) о учетом ооотиовевй сР^хр/р, p<=.j>RT, М-
=. гГ/ft аояучаотся оледувдвв варагвавя для отаооителышх пра-
ращаиий дарденяя, адотвооги, температуры в скорости звука в
трубке ?ова:
6

So
= se —^ -
Y
D)
Отсюда видно,что при больших М малке возмущения скорости вы-
вызывают большие изменения указанных газодинамических величал.
Перед обтекаемым телом при Mx > 1 . как известно, обра-
образуется головная ударная волна. С ростом М^ она приближается
к телу, но чем больше fioo • тем меньше заметно это приближе-
приближение. На рис.1, взятом из [0.6J , показано положение ударной
, ее ш /,
Рис.1
волны перед сферой и тонким конусом Л7М = 2, 3, 5, 10, оо .
Гиперэвуковая аэродинамика началась в 40-х годах с теории
обтекания тонких тел. История этого периода и дальнейшего раз-
развития возникшей ветви газодинамики изложена в книгах [0.3-0.5].
Длительное время аналитические исследования были сосредоточены
на задаче обтекания носка затупленного тела. Эта задача нахо-
находится в центре внимания данной книги.
После обсуждения постановки задачи сначала рассматривает-
рассматривается простейшие приближенные методы решения, имеющие в основном
локальный характер. Далее излагается метод аппроксимации по
отдельным координатам, который является обобщением моментного-
метода. В случае заостренных и тонких тел используются как об-
общие методы, так и специальные. Асимптотические решения при
X -> L не рассматриваются, так как им будет посвящено отдель-
отдельное исследование.	7

Задача установившегося обтекания коночного тела равноме-
равномерным сверхзвуковым потоком идеального газа еще не имеет тео-
теорем существования и единственности. Класс непрерывных функций
узок для теоремы существования, а класс разрывных функци? ши-
широк для теоремы единственности. До тех пор, пока класс един-
единственности обобщенного решенля этой задачи не найден, прихо-
приходится дополнять постановку задачи предсказанием структуры
разрывов и условиями совместности на них. Гиперзвуковая пос-
постановка задачи получается из общей сверхзвуковой путем асимп-
асимптотического разложения при М --*. со , равномерного в некото-
некоторой ограниченной области. В главе I детально рассматриваются
асимптотические граничные услоаия на головной ударной волне и
формулируются варианты постановки двумерной задачи о плоской
или осевой симметрией.
Глава П содержит приближенные методы решения, опирающие-
опирающиеся на гипотезы локального характера. Прежде всего рассматри-
рассматриваются формулы, аппроксимирующие зависимость давления о? мест-
местного угла наклона поверхности, на основе которых вычисляются
аэродинамические коэффициенты осесишетричных тел. Включена
новая ветвь теории Ньютона, открывающая общие дифференциаль-
дифференциальные, соотношения меаду аэродинамическими коэффициентами. Реша-
Решается вариационная задача в предположении, что давление на по-
поверхности определяется по формуле Ньютона или методом местных
конусов. В окрестности точки тормояения используется предпо-
предположение о постоянстве плотности, которое дает возможность по-
получить точное аналитическое решение задачи обтекания сферы и
цилиндра.
Метод аппроксимации искомого решения по отдельным коор-
координатам, излагаемый в главе Ш, в значительной мере является
аналитическим. Приближенное решение точно поставленной задачи
с методологической точки зрения целесообразно рассматривать
как точное решение приближенно поставленной задачи. Исследо-
Исследование постановки задачи на аппроксимационном уровне оказыва-
оказывается очень полезным для открытия аналитических моделей. Выде-
Выделяются три этапа: выбор аппроксимации, выбор уравнений для
новых функций и выбор граничных условий для этих уравнений.
Всо эти вопросы обсуждаются и решаются на примере квадратич-
8

ной и линейной аппроксимации функции тока по поперечной коор-
координате. В линейном варианте находится аналитическое решение
для широкого класса контуров. Известный метод интегральных
соотношений анализируется с точки зрения неединственности вы-
выбора на трех этапах аппроксимационной постановки задачи. Рас-
Рассматривается также обратная задача, для которой метод аппрок-
аппроксимации является некорректным.
Обтекание заостренных тел может происходить как с присо-
присоединенной, так и с отделанной ударной волной. В первом случав
задача существенно упрощается, особенно когда теченхе полно-
полностью сверхзвуковое. Е главе 1У сначала рассматривается специ-
специальный класс конических течений и решается задача симметрич-
симметричного обтекания кругового конуса. Далее излагается метод ап-
аппроксимации по координатам, который применяется при любом по-
положении ударной волны» В конце главы дан обзор результатов по
несимметричным коническим течениям.
Теория тонких тел излагается в главе У. В этой асимпто-
асимптотической теории малый параметр Г.связан с относительной тол-
толщиной тела. Прекде всего, определяются порядки возмущений га-
газодинамических функций и их производных в гиперзвуковом пото-
потоке. Упрощенная постановка задачи остается нелинейной, но об-
обладает такими замечательными свойствами как закон плоских се-
сечений и аналогия с нестационарным движением. Рассматриваются
также эффекты тупого носка, большие углы атаки и правила пло-
площадей для трехмерных течений.

ГЛАВА I. Постановка задачи
Теоретическое изложение гиперзвуковой аэродинамики полез-
полезно начать о обсуждения постановки задачи. Это тем более важно,
что вопросы существования и единственности еще не решены и в
общей сверхзвуковой газодинамике (§ I). Гиперзвуковая постано-
постановка задачи получается из общей путем асимптотического разложе-
разложения при А/со-* °° , равномерного в некоторой ограниченной обла-
области (§ 2). Вид асимптотики говорит о том, что во многих случа-
случаях достаточна предельная постановка задачи.
В § 3 детально рассматриваются граничные условия на голо-
головной ударной волне. Изучаются локальные свойства ударной волны
и поведение газодинамических величин при больших /'/,.„ . В § 4
исследуются возможности упрощения уравнений газодинамики, об-
обусловленные интегралом энергии, и формулируется вариант пос-
постановки двумерной задачи с уравнением для функции тока.
§ I. Общая постановка задачи сверхзвуковою обтекания тел
Рассмотрим установившееся обтекание конечного тела с ку-
кусочно-гладкой поверхностью В равномерный сверхзвуковым пото-
потоком идеального газа (рис.2). Стационарное движение идеального
газа описывается уравнениями
где j> - плотность, у - скорость, р - давление,»- ср /cv-
отношенле удельных теплоемкостей,
В набегающем потоке задаются значения о„ г?„ о_ ; на
поверхности обтекаемого тела
10
Or> j

Будем считать, что плотность отнесена к J^^ , скорость -
к Vtx, , давление к уэ^, V^ , координаты х у g - к харак-
характерному размеру тела R , Тогда условие на бесконечности запи-
запишется в виде
¦ X, ~ i 1 о о I р -* i./(x мг ^ х ~* ~ °°, A-3)
1 v-
Рис.2
ГДе Мао - tfx, , а<х - ЧИСЛО
Маха в набегающем потоке,
а - скорость звука. При
этом использовано известное
соотношение а*'- * °/j} ¦
С физической точки зре-
зрения условия A.2), A.3) на
первый взгляд кажутся доста-
достаточными для однозначного определения того решения уравнений
(I.i), которое описывает течение около данного тела в рамках
подели идеального газа.Но какому классу функций должно при-
принадлежать это репеняе? Зная о наличии ударных волн, естест-
естественно ожидать, что в классе непрерывных функций искомого ре-
решения не существует, и рассматривать класс разрывных функций,
понимая решение в обобщенном смысле. Известная в газодинами-
газодинамике теорема Цемглена [з] утверждает, что в силу второго зако-
закона термодинамика возможны только скачки уплотнения. Однако
это cj-ение еще не гарантирует единственности. Математичес-
Математические исследования на модельных уравнениях показывают,что нуж-
нужны дополнительные ограничения.
Итак, класс непрерывных функций узок для теоремы сущест-
вован.уя, а класс разрывных функций широк для теоремы единст-
единственности. Очеы> заманчиво было бы иметь условия, обеспечиваю-
обеспечивающие единственность обобщенного решения задачи A.1)-A.3), к
получать из этих условий однозначно структуру разрывов. Но, к
сожалению, тлкие условия пока не сформулированы. Поиски их ве-
ведутся от более об^их постановок задач: с исчезающей вязкостью
или установлением во времени [0.4]. Искомое решение рассмат-
II

ривается как предел диссипативного либо нестационарного тече-
течения. При атом класс единственности связывается с путями преде-
предельного перехода. Оба подхода требуют решения соответствующих
вопросов для более сложных уравнений. Тем не ыенее введение
вязкости позволило развать методы сквозного счета разрывных
решений и широко развернуть численный эксперимент. Продолжают-
Продолжаются и аналитические исследования на модельных уравнениях. Неко-
Некоторые результаты исследований единственности обобщенного реше-
решения задачи Коши для квазилинейных уравнений отмечены в обзоре
[0.1].
До тех пор, пока класс единственности обобщенного решения
задачи AЛ)-A.3) не найден, приходится дополнять постановку
задачи предсказанием структуры разрывов и условиями совместно-
совместности на них. В газодинамике известны два типа поверхностей си-
сильного разрыва: ударные водны и тангенциальные разрывы [з].
Условия на ударной волне запишем, выражал газодинамические ве-
величины за скачком через их значения перед скачком
ал)
Нормаль 7} в ударной волне считается направленной вниз по пото-
потоку.
На тангенциальном разрыве условия совместности имеют бо-
более простой вид
При Мъ,>1. равномерный поток сохраняется вплоть до го-
головной ударной волны S • Поэтому имеет смысл рассматривать
только.область за головной ударной волной и вместо A.3) ста-
ставить соответствующие условия на S • Эти условия получаются из
A.4), если положить jo <= i > if^^tf^n^- nx }О,~ аоо =
12

~ i/ Moo , V, = ^c • Опуская индекс 2, имеем
A.6)
'"¦ - ^
В области .Q между В и «5 возможно появление ударных
волн и тангенциальных разрывов, конфигурация которых зависит
от формы тела. Вне этих поверхностей разрыва действуют уравне-
уравнения (I.I), Задача состоит в том, чтобы найти решение уравнений
(I.I) в <Г2 , удовлетворяющее условию A.2) на В , условиям
A.6) на S и условиям совместности A.4), A.5) на внутренних
ударных волнах и тангенциальных разрывах. Форма поверхностей
разрыва, включая S , подлежит определению в ходе решения.
§ 2. Предельная постановка задачи
При фиксированной форме тела задача (I.I), A.2), A.4) -
A.6) содержит два безразмерных параметра: st и М^.Ъ гипер-
гиперзвуковой аэродинамике Л/с» 1 • Поэтому целесообразно рассмот-
рассмотреть предельный случай А700->°с>. Параметр У^ входит явно
только в условия на головной ударной волне A.6). Формальный
переход к пределу осложняется тем, что произведение л^ Mqo »
вообл, говоря, поровдает неопределенность типа О-со . Дейст-
Действительно, при удалении от тела сильный разрыв вырождается в
слабый, на котором Пу~ М^~ [з]. Следовательно, указанная
неопределенность на различных участках головной ударной волны
рас*гивается по-разьому. Однако, если интересоваться не всем
течением, а лишь той его частью, которая оказывает влияние на
тело, то нет необходимости уходить во головной ударной волне
далеко вниз по потоку. В конечной области, ограниченной неко-
некоторой характеристическоЁ поверхностью С .имеем tfx z> Hxmin >О?
и равномерный переход к пределу становится возможным ?0.4].
Поверхность С , оставляющую тело выше по потоку, для опреде-
определенности будем считать такой, при которой область L2g ,заклю-
13

ченная меаду ? , S & С > минимальна (см. рис.2). Еозможные
дозвуковые и застойные зоны должны входить в ?2$ ¦
Переходя в A.6) к пределу при Л/,»-» со ,в области С2^
получаем
у +' —¦ ¦—¦ 2. —'	*— и^ /	р
Остальные элементы задачи при предельном переходе формально
не изменяются.
Если рассматривать асимптотическую постановку задачи при
больших Mw , то на основании A.6) естественно ожидать,что
поправочные члены решения в ?2^ будут иметь порядок M^f .
Это предположение практически оправдывается, и в гиперзвуко-
гиперзвуковой аэродинамике обычно достаточно решать предельную задачу,
вводя при необходимости асимптотические поправки. Такая необ-
необходимость возникает прежде всего при обтекании тонких тел,
когда fixnin становится очень малым. Оценка поправки вида
О (Мао) означает, что приближение к предельному состоянию
с ростом Ma, происходит довольно быстро. Этот факт называ-
называется принципом гиперзвуковой стабилизации или принципом неза-
независимости от числа Маха [0.8, 0.2]..
Около носка тела в общем случае имеется дозвуковая об-
дасть, у затупленного тела она есть всегда. Сдвигая замыкаю-
замыкающую харчктеристическую поверхность вдоль тела вверх по пото-
потоку до предельно возможного положения Ст , получим минималь-
минимальную область влияния С2П,, течение в которой трансзвуковое
[ij. Здесь.каадая точка влияет на все остальные. Построение
решения в этой области является наиболее трудной частью за-
задачи. Однако с нее приходится начинать. Сверхзвуковое продол-
продолжение потока можно строить послойно методом характеристик
[3].
Сформулируем предельную постановку задачи в ь?„ в дву-
двумерном случав плоской иди осевой симметрии (рис.3).Нужно най-
найти решение системы уравнений
3L
<~дх
U

B.2)
удовлетворяющее следующим граничным условиям:
B.3)
B.4)
S , <е
B.5)
особенностей нет, других ус-
усЕсли в сверхзвуковой части ь.2
ловий не требуется.
С математической точки
зрения задача B.2)-B.5)
есть краевая задача для сис-
системы квазилинейных уравнений
в частных производных смешан-
смешанного эллиптико-гиперболичес-
кого типа со свободной грани-
границей. Нелинейность, смешанный
тип и неизвестность границы
5 - основные компоненты сложности этой задачи. Отсутствие
условий на предельной характеристике Ст , физически понят-
понятное, является типичным для смешанных краевых задач трансзвуко-
трансзвуковой газодинамики [ij.
Сверхзвуковая часть области От выглядит по-разному в
15

зависимости от формы тела [0.7, 0.8]. Общая точка звуковой ли-
линии и предельной характеристики может находиться: I) на удар-
ударной волне, 2) внутри потока, 3) на теле. С ростом М^ эта
точка движется по направлению к телу. При больших Moo B плос-
плоском случае реализуется второй тип течения; в осесшметричном,
как правило, - третий (см. рис.3). Основные результаты иссле-
исследований формы ?2т при всех М^i содержатся в [2,4].
Численный эксперимент показал, что в сверхзвуковой части
С2т могут появляться вторичные скачки уплотнения. С анали-
аналитической точки зрения этот вопрос исследуется в работах [2,7].
§ 3. Головная ударная волна
Исследуем граничные условия A.6) на головной ударной
волна, записывая ах в плоскости {% ,Ъ) в виде
C.2)
Последние слагаемые ори больших М&, являются малыми поправка-
поправками к предельным граничным условиям B.5).
Для нормальной и касательной кбмпонент скорости имеем
C>5)
ТЯ»? +%<**?= SrO)f	C.6)
Вычисляя величину скорости с точностью до О (Мм ) . получим
16

C'7>
Найдем звуковую точку $л на ударной волне. Величина критиче-
критической скорости ащ в принятых безразмерных единицах может быть
определена из интеграла Бернулли [3J
AL,	C.8)
Отсюда
C.9)
Приравнивая выражения C.7) и C.9), получаем то значение угла
^ — % • при котором за головной ударной волной достигается
звуковая скорость,
(ЗЛО)
гг. = 1,4 имеем овз<% = /б/7 и <? «22°13'. Зави-
ЗавиЛ^= оо показана на рис.4.
Для Af_= с
симость ^ 01 х при М = 5
Положение звуковой точки на
головной ударной волне зави-
зависит от формы тела, но угол
наклона tp вполне опреде-
определяется параметрами Jc nAfM.
У^ол поворота потока ?
определяется из соотношения
~L*%~ Ц//К' в предельном
случае
ty' ^?&<e ¦ (ЗЛ1)
Исключив из C.2),
C.3) угол ? . найдем удар-
ударную поляру, связывающую ком-
компоненты скорости ва головной
ударной волной [3J :
\
\
1
2<f
0
/
t
——*^--
ia.
/
¦—¦
==»
Рис.4
17

ft -
Таким образом, в гиперзвуковой аэродинамике ударная поляра с
точностью до O(M~J) является окружностью. На рис.4 изображе-
изображена ударная поляра при А/оо= °° . Движение вдоль ударной волны
соответствует в плоскости годографа перемещению вдоль поляры.
При движении от вершины if и % монотонно возрастают, a g и
Vy , как видно на рис.5, проходят через максимальные значе-
значения %т a iCVm) • ^ыт = ^(^т) ' С ПОМОЩЬЮ C.12) ПОЛу-
чаем
C.13)
C.14)
Для
со , зе ш 1,4 имеем
5/7 в ?и * 4Ь°35*. Зави-
Зависимость ут ОТ Зе При
-V = 5 и М — оо по-
показана на рис.4.
Значение ^ опре-
определяется из равенства
C.15)
Согласно C.15) и(ЗЛО),
Рис.5
C.16)
Следовательно, точка максимального поворота потока при конеч-
18

них М„ находится в дозвуковой области, а при Мо^- <а слива-
сливается со звуковой точкой.
Значение с? определяется из равенства \(f^)*¦ 3t/(x.+l)
c*s*<fm = А * ff*	C.17)
Эта точка находится обычно вне области С?„ »
Интересно проследить, что происходит, когда число аффек-
аффективных степеней свободы увеличивается и *-*/. Как'видно из
C.1), C.4), C.5), C.7), C.10), C.14), C.15), при этом
В частности, для M^ do при х -*¦ ?
J>-*°°> *»— v,%-~<J,h — */г ,?т->0. C.19)
Эти соотношения послужат фундаментом теории тонкого ударного
сдоя.
Наряду с величинами, зависящими от угла наклона f .пред-
.представляют интерес также некоторые свойства головной ударной
волны, связанные с ее кривизной. В работе [8] на ударной вол-
волне, к^оке S» . выделяются точка К . где кривизна линии тока
равна нулю, и точка Q- , в которой обращается в нудь градиент
скорости. До точки К линии тока на выпуклой ударной волне яв-
являются вогнутыми, после нее - выпуклыми. В плоском случав эта
точка дозвуковая и с ростом Mw приближается к S# , в осесим-
мэтричном случае она, вообще говоря, сверхзвуковая и с ростом
Мр, отдаляется от S* . В точке Q изолинии основных газоди-
газодинамических величин имеют одинаковый угол наклона, скорость в.
ней всегда меньше, чем в К • Отношение кривизны линии тика к
кривизне выпуклой ударной волны в плоском случае с ростом угла
(f при любом Мт убывает от нуля до отрицательного минимума,
19

затем увеличивается. В звуковой точке отношение кривизн с рос-
ростом Mqq увеличивается до максимума, затем асимптотически убы-
убывает до нуля.
Выпуклость начального участка головной ударной волны пе-
перед выпуклым профилем строго доказана пока только для ограни-
ограниченных М^ [б] при условии, что ударная волна гладкая и грани-
па дозвуковой области не содержит вторичных скачков уплотнения.
Кроме того, предполагается, что в случав гладкого профиля кри-
критическая точка единственна» а в случае заостренного профиля об-
обтекание происходит с присоединенной ударной волной.
ООщиа формулы для производных газодинамических величин за
головной ударной волной о явной зависимостью от М^ и главных
кривизн поверхности разрыва получены в [б].
Для определения формы сверхзвуковой части области Qm име-
имеет значение угол $ между звуковой линией и вектором скорости
на ударной волне. При больших М^, этот угол, как правило,оотрый.
Подробные сведения о У для плоских в осесимметричных течений
можно найти в [0.8] и [2].
§ 4. Уравнения и функция тока
Уравнения газодинамики (I.I) не содержат явно параметра
Мек> • и предельная постановка задачи в области С2т не вносит
упрощений в эти уравнения. Энтропия на криволинейной ударной
волне меняется существенно, так что течение в общем случае вих-
вихревое. Изэнтропвчеекие ашцюксшащш возможны при обтекании за-
заостренных тел с малой кривизной, либо вдали от тела, где кри-
кривизна в интенсивность скачка угасают. Однако, поскольку энталь-
энтальпия на скачке не рвется и набегающий поток равномерный, то во
всем течении имеет место интеграл Бернулли C.8) [3J. Это коне-
конечное соотношение позволяет снизить порядок системы дифференциа-
дифференциальных уравнений A*1) на единицу. Реализуем эту возможность пу-
твм исключения из системы неизвестной Р .
Из C.8) с учетом соотношения а - хр/р при М^ас имеем
f
Запишем серое уравнение системы (I.I) в виде
20

Так как
Р - \ -hr
7o = о
у
Р
to в силу D.1) и (I.I) получим
4
<Jtv7+-? en?L-vt)lt-1 = о.
Пользуясь известной формулой векторного аааляза
dl)f(CV') ~ С с/л V -ь Y-°*adc ,
приходим к уравнению
"^1 ]()	D.2)
Исключая о из второго уравнения (I.I), подучаем
~d-t
Порядок системы D.2), D.3) о неизвестными W ,р на едини-
единицу меньше, чем в (I.I). В двумерном случае плоской ( 5> = 0)
или осевой ( Р = I) симметрии имеем три уравнения для ^,^р:
Неизвестную о можно исключить путем перекрестного дифферен-
дифференцирования уравнений D.5), поделенных на (I -#*), однако при
этом получится уравнение второго порядка, так что в целом
третий порядок системы \fx , % сохранится.
Уравнение D.4) позволяет ввести функцию тока f (Оп-
(Определяемую соотношениями
21

Обычно в газодинамике вводится функция тока t на основе пер-
первого уравнения (I.I)
Обе функции постоянны вдоль линий тока, но при переходе от
одной лиши тока к другой меняются по-разному [9]. Это видно
из интеграла Бернулли, записанного в форме
f-f^U-^y^}	D#8)
где рл(^) - плотность торможения на данной линии тока [з]. В
отличие от обычной функции тока f величина *3р называется
функцией тока Крсшко,
Последнее уравнение сиотеьш (I.I) легко проинтегрировать
вдоль линии тока. Следуя [з], запишем результат в виде
prw 9C+) связана о энтропией S простым соотношением S =
к С ?п&. С помошью D.9) порядок системы понижается еще на
единицу, и в двумерном олучае можно получать одно уравнение
второго порядка для аакоЯ-либо фушодив тока. Более простым
оказывается уравнение для функции тока Крокко [9]. Получим
это уравнение.
- Дифференцируя соотношения D.6) по X в по У , инеем
четыре равенства;
и.»

& *'- A- f!) J
D.12)
в которых, согласно D.1),
D.14)
Найдем теперь выражение для вихря. Пользуясь известной в
векторном анализе формулой
аэ второго уравнения системы (I.I) с учетом D.1) получим
Так как р/р = .51 р1-*'1^'" , то
J—^л
8 рассматриваемом двумерном случае г«?г? имеет только одну
2 -компоненту. Поэтому иэ последнего векторного равенства о
учетом D.6) получается
Искомое уравнение для ^р найдем, исключив из пяти ра-
равенств D.I0)-D.I3), D.I5) четыре производныхЭ^/^с^Ду,
^/Jx,?^,^». Умножая равенство D.10) на A- V1ll/at),& D.I3)
на Ti - тГ^/а2) и вычитая первое из второго, имеем
23

) г] • т«,
Выражения во вторых квадратных скобках преобразуются о помо-
помощью D.II)-, D.12) » виду
Собирая коэффициенты яри вихре
?-л
в учетом <4»15) в D.6) в итоге подучим
D.Z6)
Здесь я2 BHpaasetoa через tf' во <4.14), а г^ , *? - через
^ , ^ до f4.6); заавйимость .9(^определяется йа голов-
головной ударной волне. Такта образом, D.16) есть квазилинейное
уравнение второго порядка для фуккйии токе Крокка.
Вношем Г|аяичшз условна для ^ на ударной волне. На
ооаове С4.6) е шшзщш <3.5)Ч3.7) ври М^<х> имеем

riS ~ ^X "" ' ' ГШ"" " U*-*i-)'j *+l К'/ . v*w/
Видно, что в олооком случав производные от ^ на ударной вол-
волне выражаются только через угол наклона V и эе , а в осесиы-
метричноы участвует переменная У . Бели х = l(-y) - уравнение
ударной волю!, то связь между ц> в У определяется соотноше-
соотношением
Чтобы найти ^ на ударной волне, надо иро!штегрироватьD.18)
вдоль волны, оря этом знание С (и) потребуется как в оевсишег-
ричаом. так к в плоской случае. В качестве независимого пара-
параметра возьмем у . Тогда, учитывая, что
из D.18), D.17) получим
Для обычной функции тока f- условий ва ударной волна значи-
значительно проще, но усложняется само уравнение D.16).
Так как $ ~ cv tn(p/a*-) , *© оогдасво C.4) и C.1>
при М оо
S! -
равенства D.20) и D.22) мокно рассматривать вал параметри-
параметрическое задание зависимости между S * *Р » вивВДв* место не
25

только на ударной волне, но и во всей области Qg . Эта за--
виоимость подразумевается в уравнения D.16) при вычислении
производной dS/d^ • Так как ^ , ^ , $о содержат неиз-
неизвестную функцию ё(у) , то форма ударной волны входит как в
граничные условия D.20),D.21),так и в само уравнение D.16).
Полная предельная постановка двумерной задачи для *2> в
?2т (см. рис.3) включает уравнение D.16), условия D.20),
D.21) на головной ударной волне и граничное условие
Это обобщенная задача Трвкоми со свободной границей для ква-
квазилинейного уравнения второго порядка смешанного типа [ij.
Неизвестность ударной волны компенсируется двойным условием
на вей.

ГЛАВА П. Приближенные локальные методы решения
Аналитическое исследование поставленной задачи естествен-
естественно начать с простейших приближенных методов решения. На прак-
практике такой подход нередко дает результаты, достаточные для ин-
инженерных расчетов. Для более точной теории этот шаг является
рекогносцировочным.
Основные простейшие методы гиперзвуковой аэродинамики
имеют локальный характер. Так как строгое замыкание постанов-
постановка задачи достигается в области не меньшей ?2т , то локаль-
локальные методы дают вполне определенное решение только при нали-
наличии дополнительных гипотез.
Прежде всего, прочное место в гиперзвуковой аэродинамике
занимает формула Ньютона и ее эмпирические модификации, удачно
аппроксимирующие зависимость давления от местного угла наклона
поверхности (§ I). В § 2 на основе модифицированной формулы
Ньютона вычисляются аэродинамические коэффициенты осесимметри-
чных тел под углом атаки. Простой вид зависимости р(9) обус-
обуславливает некоторые общие соотношения между аэродинамическими
кс-л^фициентамв, справедливые для широкого класса тел произво-
произвольной формы (§3). При больших & формулу Ньютона дополняет и
уточвя°т метод местных конусов (§ 4). В § 5 решается вариаци-
вариационная задача нахождения тела наименьшего сопротивления в пред-
предположении, что давление на поверхности определяется по какой-
либо локальной теории.
Большие в интересные возможности для локального анализа
таит в себе окрестность точки тормоиения. Направление, осно-
основанное на предположении о постоянстве плотности, представлено
в § 6. Даны решения задач обтекания сферы и кругового цилиндра.
Методы, связанные с разложением по координатам, оставлены до
гл.Ш.
27

§ I. формула Ньютона и ее обобщения
В инженерных аэродинамических расчетах часто использует-
используется формула Ньютона для давленая на поверхности обтекаемого
тела. Предложенная почти триста лет назад на основе простой
схемы взаимодействия (см. [0.8]) эта формула нашла теперь ши-
широкое применение в гиперзвукоэой аэродинамике.
Ньютоновская схема обтекания no-существу сводится к то-
му, что частица гага, достигая поверхности тела без возмуще-
возмущений, передает телу всю нормальную компоненту импульса и сох-
сохраняет всю касательную. При этом на единичную площадку в еди-
единицу времени попадают частицы газа, находящиеся в элементар-
элементарном цилиндре объема У^сезО , где О ~/_(И,-Ц») (см. рис.3).
Их импульс равен aif^coiB ¦ у^ . а телу передается
-J>oo V& сы*в • И • В принятых безразмерных единицах для дав-
давления получается
С физической точки зрения эта схема обтекания вызывает
массу возражений [0.7]], но результат довольно хорошо согла-
согласуется с экспериментом для широкого класса затупленных тел
?0.4]. В такой ситуации вместо поисков оправдения схемы луч-
лучше принимать результат как удачную аппроксимацию типичной за-
зависимости давления от местного угла падения. Причину удачи
можно видеть в тон, что влияние нелокальных факторов оказыва-
оказывается слабым.
В инженерной практике обычно принимается уточненная, или
модифицированная формула Ньютона
р~р0соз*6,	A.2)
где р0 - давление в точке торможения затупленного тела.Коэф-
тела.Коэффициент Ро легко находится из интегралов A.3.8) и A.4.9)
ва критической линяв тока:
28

л =
J-2
X+l
Эг.1
я
A.4)
Исключая из A.3), A.4) _p0 , получаем известную формулу Рэ-
лея [1.3], которая в гиперзвуковом приближении имеет вид
л
Для Мю* оо р0 = 0,920 при х = 1.4 и д-» ? при *-» i .
На рис.6, взятом из [0.9J, кривые (I.I) в A.2) сравниваются
с точным распределением давления на сфере при М^ ¦= °° ,
Л = 1,4.
Из A.2) с помощью A.3), A.4) можно найти распределе-
распределение плотности и скорости на поверхности тела, соответствующее
модифицированной теории Ньютона:
В звуковой точке на теле р
согласно A.7) и
A.3.9):
(Uf
При х_= 1,4
= E/6O'4 И
~43°22'; при .
9Л~ 38°5Г.
В случае заострен-
заостренного симметричного вы-
выпуклого тела с углом
при вершине р0 вместо
о** ¦
oL.
29

{1.2) употребляется формула
р = Doc»s% c*i$0 ,	A.9)
где Во ~ -5 - /*, > а ^ - давление торможения, если обтека-
обтекание происходит с отделенной головной ударней волной. Если же
ударная волна присоединена, то р0 определяется как давление
на поверхности клина (9=0) или конуса (>> = I) с углом по-
полураствора в0.
В (I.I), A.2), A.9) подразумевается, что О ^ 6 &'"/2,
т.е. рассматривается только та часть тела, которая видна со
стороны набегающего потока. На теневой части поверхности
предполагается
р=о, vz <e^Ti.	AЛ0)
Коэффициент в A.2) определяется из условия совпадения
приближенной кривой с точной в точке 0 = 0. Более совер -
шенным является способ определения подгоночных параметров из
условия наилучшего приближения в среднем. Число параметров
можно увеличивать, усложняя аппроксимационную формулу для
Р F) . Однако точность такой аппроксимации ограничена пред-
предположением о локальности взаимодействия. В [i] испытывается
формула
fC	) О? &&'>?/?,	Cl.Il)
и коэффициенты р0 , рг находятся методом наименьших квадра-
квадратов оо численным данным. При Mw^ °°, эе = 1,4 для пяти раз-
различных тел нолучается р„ = 0,90 + 0,01, а р2 порядка I0 и
явно коррелирует со средним значением угла падения <9е , ко-
которое зависит от формы тела. Этот факт показывает пределы
разумного усложнения формулы Ньютона и одновременно подска-
подсказывает путь возможного уточнения локальной теории.
Многоаараметрические аппроксимации зависимости р(б)
имеют смысл для специальных класоов тел. В [7] рассматривают-
рассматриваются конуоа под углом атаки и используется формула
p e /	attc&s*Oi o<=G&Ti.	A.12)
Коэффициенты а^ определяются вз условий />@)~Р0
30

р(&т)~ 0 . Координаты точки минимума (dmipm) находятся
методом наименьших квадратов по данным для конуса с углом по-
полураствора ji = 5° при углах атаки d = 0 ¦ 60°, Afc = 5,93.
Допуская слабую зависимость параметров аппроксимации от угла
атаки, авторы получили Э„ = 134° - 0,3od, рт = ро{ -0,096 +
+ 0,000423 ol).
В работе fllj предлагается формула
AЛЗ)
$ - расстояние вдоль тела от точки торможения, S - расстоя-
расстояние до звуковой точки. Эта формула дает точное значение р
как в точке торможения, так и в звуковой точке. Через & в
нее входит эффект нелокальности. Исследуя распределение дав-
давления на толстых конусах и сферических затуплениях при об =
= 0 + 1Ь°, авторы раооты [I4J вносят в (I.I3) поправку на
угол атаки, вводя в экспоненте множитель f(ei)= I - 0,02125,?,
Обобщение теории Ньютона на тела в неравномерном потоке
газа дано в [8], где изучается также влияние М<х не ха-
характеристики устойчивости тонких затупленных конусов.
§ 2. Аэродинамические коэффициенты оеесимметричных тел
локальные формулы для р(В) дают возможность вычислять
суммарные аэродинамические коэффициенты путем интегрирования
по поверхности тела без исследования поля течения газа.
Рассмотрим поверхность 3 , образованную вращением ку-
кусочно-гладкой кривой ОМ вокруг оси I (рис.7). Пусть ОК.
задана в параметрической форме
1~1(К)ъО, г--г(х)*О,' Хб[Ув> YM] , B.1)
причем 1ГHу{1} - Ь , max {г} — R . Если Ч> - угол
поворота, то на поверхности S
С =, t^')j Т -~ ?(Х)ал <Pt г - z(Y)sfnf} <f? [0,27/), B.2)
31

Погожи*
г/*'-^э.	B.3)
Для выпуклой поверхности - /Г/? < а ле /Г/&. Вычисляя направ-
направляющее конусы внешней нормали и площадь элемента поверхности,
ямвом
B.5)
Рве .7
Qyotb вектор OKopootB набегающего потока Ww направлвв
в шюоаоо»а Ц,г) аод углом атаке U& Го,7г] « оов I . В
оиороетаой ойомш кооииша* (х , У ,г)
Не эдвшвяервув шкададку <//3 дейотлуот е»родявамвчвекая овла,
равная --/>Й . 0S8OC» сумжарнр) вшу и момент s дейотаумцьв яа
швм бевразмарвнв 8»родаиаййЧвскйв коэфЗЕищкентн в пвдо

&
В ооесимметричном случае с, ~ стх = Сту =¦- О ; ociaesee
JfPi*®
в
*/0«* W (8.10)
где /?у , /Ту оврвдвлена в B.6). B.7), а ?-компонента
векторного провзввдеввя ?х«- вычислена о помощь» B.2),
B.4). Явхеград ва поверхности тела, согласяо B,5) в благо-
благодаря симметрии, можно замсать в форме	'
в *0 о
Пусть р определяете» по моднфицированно! формуле Йьюто-
ва, т.е.
р(В) ~
[ о
Тогда область шчп	ш вр^ятттчоя ю» чаегш оовэр-
хиост» в , нагори	it) здоровы вабвгаюцего вота> Рри-
авца ее овред»яйв№ь. ;еьызашм eee^s 0» ОкруявостЬ,
эдаяся » евчааиз ?" <» <&«w.s-t » Moset бить в зависимости
а ^ ада да»даос?ш оеввдааа, вдв оезвдава чаотвчно, шш
ас» находнадеа в теав {ов, ркЛК 1'воотввтетвв» о эта»
ававвй й$йД(*а вкгвэдроэвния в B*11) ва V
ваяв

О
f' 1%-м) а О
' V. * i % , Sift ( К - J\ <: 0 < Stn ('1 + ^ ,
Лп
* О
ег»
B.13)
B.14)
В результате
4 ^
B.15)
B.16)
B.17)
xa»
сел € « -
B.18)
*o so <f приходится интегрировать, вообще говоря, кубический
поливом от
B.19)
Следовательно, внутренние интегралы в B,15)-B.17) берутся
аналитически для произвольного осеоимметричного тела. Интегри-
34

рованав ао t , естественно, зависит от формы кривой ОК,
Когда aL = 0, остается один аэродинамический коэффициент
Сх . При этом пу ¦ - jfoa , а интеграл ао ? дает 7? .Так
ак (е1****)'* >= z'/si»p , то
как (е1****)'* >= z'/si»p , то
*.о - ^ '	<2-2Q)
где ^ соответствует границе тени {р * 0).
Аналогичная формула для плоского случая не оодерхит мно-
множителя 2-7/?. Объединяя ах, имеем в общем случав плоской или
осевой симметрии
X
Рассмотрим несколько примеров.
I) C|ega. He уменьшая общности, можно считать «d « 0. В
качестве параметра У возьмем угол 9 . Тогда
Ш)~R(l-an){)>z()() = Rst»X) Ус^О> if -= 7i/z . B.22)
Из B.20) имеем
С = ?рд icos^tfsftiXefb ~р0 .	B.23)
Таким образом, ньютоновский коэффициент сопротивления сферы
равен давление в точке торможения.
В плоском случае для поперечно обтекаемого кругового цм-
лиадра из B.21) при 9 =0 получается Сх
2) Тело^степенной |йрмн ир_а аС = 0. Пусть
Ео-аффшдиент с определяется га уедеаия L = с- % • Вводе удли-
авнив А = L /^ Л). «шда* с = <2Д Л-*-* . Т»а как f(Y) »
35

» Цб , то с*$*е
замени У= Я.1 имеем
+ (сю
. Из B.21) после
i
Л.
B.25)
При ft» я 2 для параболоида и параболического цилиндра получа-
При Ш ш I для конуса и клина результат одинаков:
B.27)
Чаоленные значения Сх/р0 для ряда значений т и ^ приввде-
ш в табл.1.
Таблица I
>
9
1
Q
>
0,5
I
2
0,5
I
г
i
1,000
0,400
0,118
1,000
0,400
0,118
6/5
0,971
0,353
0,102
1,017'
0,425
0,139
4/3
0,880
0,338
0,098
1,028
0,460
0,156
т
3/2
0,846
0,330
0,099
1,048
0,512
0,201
2
0,805
0,354
0,130
1,107
0,663
0,362
3
0,833
0,469
0,248
1,212
0,889
0,636
4
0,899
0,589
0,378
1,297
1,041
0,831
Видно, что с ростом А коэффициент сопротивления уменьшается.
При изменении m в ооесимматричном случае имеется минимум, в
плоском случае сх (т) монотонно возрастает. Результаты для
конуса и сферы при одинаковом удлинении Л = 0,5 совпадают.
3) Цилиндр, под углом атаки. Положим
1СХ)В*Х) t()S) «г Л t ?0 = О, %.** L .	B.28)
36

Тогда Ji = 0, о/в
Пу ~ e*W с*н У . % = Т//^ при О ¦? << < If . Выполняя интег-
интегрирование в B.15)-B.17), получим
^ 77 Л^^ ^Р«^™<^§ **&. B-29)
Вклад от оснований цилиндра вычисляется отдельно.
Й§м атаюи. Пусть
Ш) = Ye4tjfi, г(г) =X>X0 = 0>X^R;0~p<7,/?. B.30)
При этом etB = YdXitf/smu , % =-О для U*
для р *s *< & л-р . Когда к >Т/~р , коническая поверхность
не видна. Так как /? - сюля*, то интегралы по У в B.15)-
B.17) берутся тривиально. В результате остается
с к zAEsl. (смвсмЩ? B.31)
тг Зт2)
Эта интегралы берутся аналитически в форме B.1Э). На рис.8
аоказана зависимость сК , Су , С/пг от угла атакам при
р, = 10°. Вклад от основания конуса, появляющийся
можно вычислить отдельно.
к 3. Связь между аэродинамическими коэффициентами
Аэродинамические коэффициенты силы и момента B.8)в оду-
чае B.12) можно записать в форме
{ЗЛ)
где 3+ - поверхность тела, видимая со стороны набегающего
потока. Пусть единичный вектор скорости Ц, в системе (fes)
имеет компоненты
37

C.2)
Дифференцируя С по ^ в ^ „ находим
этой дифференцирование во пределам шпвграла вклада не да-
Рис.8
99, так как подыатегряльное выраяенне на границе тени обраща-
обращайся в нудь.	_
Умножая g на '?&. я г$&- , а вроваводяые C.3) на Wo ,
получаем	J*f JH
38

•	С3-6)
соотношения между овлой в ее производным» справедливы для
<?вл любой формы.	_
Умножая теперь 5 на % , а производные C.3) на соот-
соответствующие производные от % , получаем
В силу C.2) выражение в квадратных скобках сводятся ж вдавя-
цв, и оставтоя интеграл
равны! площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную
набегающему потоку. В результате из C.5) вмееи соотношение
зависящее от формы тела только через 3 .
Для ?¦„ аналогично получается (см.[10|)
C.8)
_и г\	C.9)
. В осесимметричном случае
причем СЛ , Су , Ст^ не завасят от >( , так что

fTMlJ]
В силу C.2) векторы i? , —Ц- ,-?-* взаимно ортогональны,
Поэтому соотношения C.5), C.9) превращаются в тождества, в
из C.4), C.8) получаем
C.12)
Исключая отсюда Су , приходим к одному дифференциальному
уравнению, связывающему с с В1'
В плоском случае соотношение C.II) сохраняется, а вмас-
to C.I2) и C.13) имеем
C.14)
Подученные соотношения позволяют уменьшать объем вычис-
вычислений при расчете аэродинамических сил по теории Ньютона. Ве-
Вели извеогна зависимость д'С^)* *0 можно получить Сл?4) ъ
C^QO, не зная во всех деталях геометрии тела. Кроме того,
40

найденные связи позволяют установить законы подобия афинно-не-
подобных тел в ньютоновском потоке. С этой целью в [ioj вводят-
вводятся понятия дополнительности и кратной дополнительности конту-
контуров. Два контура называются дополнительными ло некоторому па-
параметру J , если при соответствующих значениях j углы накло-
наклона являются дополнительными, т.е. 9jQ) + 9г (%) ** Т/з,. Допол-
Дополнительность достаточна для существования однозначной связи ме-
вду аэродинамическими коэффициентами контуров .В случае z-al*
дополнительные контуры при ?= { z,i> таковы
г - с, е*~\ г - сл 1*/(*«-*>г г » с, 1Х/\	О.»)
коэффициенты С, выражаются явно через а и к .
В [13] вводятся аппроксимации зависимости в'(^), позво-
позволяющие получить из C.13) аналитические выражения СК(М). В
трехмерном случае выводится уравнение Пуассона для Ск в плос-
плоскости углов атаки U к свольденвя -f- , решение которого стро-
строится путем разложения во функциям Лежандра от лЛгти . Коэффици-
Коэффициенты подъемной и боковой сил находятся затеи простым дифферен-
дифференцированием:
В работе [2] выводятся дифференциальные соотношения между
аэродинамическими коэффициентами ори аппроксшваци* р(в) в ви-
виде	N	к
Соответствующие обобщенные законы подобия устанавливаются в
работе [3J.
Для углов атаки, ври которых рассматриваемая поверхность
осесимметричного тела обтекается без затенения, можно получить
конечные соотношения между аэродинамическими коэффициентами
сил [0,2]. Действительно, проектируя ? аа оси I и т , в си-
силу B.4) инеем
41

Прв % * 0 интегралы от нечетных отепеней c#if иочв&ают.Пола-
иочв&ают.Полагая fat , Уе = 0 , Vt~L х пользуясь B.18), B.6), B.11),
B.3), получаем
}
О
U-1)
Перехода в Сх , Су ы формулам
получш
Пр»«<-»0 и C.20)« C.22) вытеяают простые ооотношваяя.мЯ-
двйвые в [5JJ
$4, Метод мвотнц!' яовуоов
Рассмотрим тело вращенвя, аадаияов шрамвиричвокамв ура-
ввешшмя B.2), В аопервчном «вчввш t^umri. шевн /s^oHitt.
Коауо о углом полураствора уа навнвав*оя ывотвым конусом для
данного сечены. Метод мвсхвнх конусов соотоаг в том, что
давжвкм ва повврхно«а хела вращения в сечвнш Уж cnuct
«оадвствгяотоя в дмаввявм m поверхности меотного ионуоа.

При оС = 0 оно постоянно, при наклонном обтекании р за-
зависит от f так же, как на поверхности местного конуса.
В плоском олучае аналогично формулируется метод местных
клиньев. При^дЬ О вместо азимутального угла появляются два
значения угла отклонения потока /з± оС .
Таким образом, задача сводится к определению давления на
поверхности местного конуса или клина. При этом значительное
упрощение достигается тогда, когда течение в приведенной за-
задаче происходит с присоединенной ударной волной. В противном
случае метод практически теряет смысл. Поэтому им пользуются
обычно в тех сечениях 'з г рт , для которых местный конус или
клин обтекается с присоединенной ударной волной. При /?о=0° .
i = 1,4 в плоском случае рт = ут = 45°34',в осасимметричном
(см., например,[1У.З]) /д/г|= 57°32*. Метод местных конусов
(клиньев) хорошо дополняет формулу Ньютона для небольших зна-
значений р= ?-& t при которых ее точность снижается.
В случае клина при Л^= са нетрудно найти явную завись-
мость p(fi) , р &¦ рт . Действительно, поток за ударной волной
течет равномерно вдоль ската клина, так что при симметричном
обтекании х = в . Из A.3.II) имеем
^<f = -a ¦+¦ аъа>/Г1(эе i'iv/j) t	D.1)
после чего из A.2.5) получаем
р ¦= JL. jj+e&s[-/i *¦ akci/n(XM/})]j _	D.2)
При,* ->>1 эта формула сливается с формулой Ньютона. Задача с
наклог шм обтеканием сводится к симметричной, так как вместо
одного клина с углом полураствора р под углом атаки Л можно
рассматривать два клина с углами полураствора /г *Л. без угла
атаки. Важно лишь, чтобы /з t-J. не превысило /im .
В случае коауса явной зависимости p(fi) нет и приходится
пользоваться либо таблицами (например, [I7.3J), либо аналити-
аналитическими аппроксимациями этой функций (гл.Ш). Графическая за-
зависимость р(р> для конуса и клина в сравнении с формулой
Ньютона изображена на рис.9. Удовлетворительная точность ме-
метода при расчете давления на телах оживальной формы демонст-
демонстрируется в [0.4].
43

Метод местных конусов появился ь сверхзвуковой газодина-
газодинамике в конце сороковых годов. Оцшил из первых его создателей
был С.З.Валландер, который
предложил этот метод как пер-
первое приближение при разложении
задачи по отношению ординаты к
местному радиусу кривизны в
осевой плоскости. Хотя следую-
следующие приближения оказались
громоздкими, первое приближз-
ние осталось жить в гиперзву-
гиперзвуковой аэродинамике.
Попытка уточнения метода
местных конусов появляются в
различных направлениях. В ра-
работе [4] вносятся поправки на
поперечную кривизну при нак-
лонном обтекании гладких осе-
сишетричных тел. В [б] пред-
предлагается модификация метода
для симметричного обтекания оживальных тел. Давление опреде-
определяется в предположении, что происходит тзчение расширения
Прандтля - Майера от угла полурастЕора вписанного конуса с
основанием, проходящим через данную точку, до местного угла
наклона контура.
§ 5. Тела наименьшего сопротивления
Пуоть контур тела ОН задан уравнением I ~ it г), так что
в B.1) У-г , причем X-Re, XK~R • Предположим, что дав-
давление на поверхности тела определяется по какой-либо локаль-
локальной теории и зависит только от местного угла наклона. Тогда
при oi ш Q согласно B.21):
I)

Считая концы контура заданными в точках О(О^е)ж K(L,R),
будем искать форму контура,обеспечивающую наименьшее значение
коэффициента сопротивления. Для этого нужно найти экстремаль
функционала E.1) с фиксированными концами, т.е. решить прос-
простейшую задачу зариационного исчисления.
Sean аодыинтегральное выражение имеет вид Ffz^ tjt') •
то экотрамадь, как известно ?l5j , находится среди решений
уравнения Эйлера
It - A-1L -п
гдС Sr г О С
В E.1) f~ не зависит от С , и сразу же можно написать пер-
ВЫЙ кнтеграл уравнения Эйлера
При } = 0 получается конечное уравнение для С , реше-
аие которого должно иметь вид /?'— comd . Следовательно, по
локальной теории в плоском случае телом наименьшего сопроти-
сопротивления может быть только клин. Это'т результат согласуется с
данными табл.1 (§ 2).
6 осесимметричном случае решение уравнения E.2) должно
иметь вид V - Q(cz) , т.е.
t^JG(ze)<!z>	E.3)
К
ор»че( с определяется из условия i(R)~ L • При Re ¦ 0 вве-
жт функцию	г
jG(t)<ft	E'4)
после замены cc = t из E.3) имеем
С С - У/(Сг)	E.5)
-, все экстремали получаются из одной кривой
E.4) чуте* азмеиеиия масштаба и наклон их в вершине одина-
одинаков; tVt)) \\'(С) . Из E.2) также видно, что
45

.ГО,	— ¦	E'6)
Допустим, что р(С') определяется по методу местных конусов, и
обозначим угол полураствора конической ударной волны через С.
Записывая р/1')~ р {с[в (?')]} и пользуясь равенствами
<r~^-if , р^ -JLj. и/>го~ • fi - a istiy t' ¦ находим
zJL ±ВЩ 4-	E.7)
Яоно, что обращение в бесконечность может произойти только за
счет производной УсГ/^Ь . Зависимость /з(сг) , как известно
?l.3j, имеет куполообразную форму, так что cfp/ckr обраща-
обращается в нуль только в точке максимума. Таким образом, если те-
тело наименьшего сопротивления определяется по методу местных
конусов, то экстремаль имеет в вершина угол рт , т.е. макси-
максимальный угол, при котором возможно обтекание с присоединенной
ударной волной. Этот результат (полученный С.В.Валландером в
конце сороковых годов) распространяется и на конечное числа
Маха М^ •
Рассмотрим теперь случай, когда р{?') определяется по
модифицированной формуле Ньютона, т.е.
E.8)
Уравнение E.2) при атом приобретает вид
С (л -г с J — Со	(О.У)
Это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка не
оодержит явно самой функции t(i) . Вводя параметр Т - (\ име-
'	E.10)
46

Равенства E.10) и E.II) представляют собой параметрическое
решение задачи. Обозначим
*,fr)* (i+?*ffl , <Л) = - &r + r% $ г" E.12)
Все экстремали получаются из E.12) путем преобразования по-
подобия и сдвига по оси I , Вид этой кривой показан на рис.10.
В точке возврата ?'= ?-- 3~'/г. Записывая условие Лвхандра
1152	rff _ i^il^h)
где1*' а + г)г '	EЛЗ)
видим, что минимум Сх монет обеспечить только правея ветвь
''/?
кривой, на которой t > -3"
Условия на концах дают четыре уравнения:
С,
с,
о
L
с,
Я
E.14)
для определения постоянных с, , с,
Как видно еще в E.9), нью-
ньютоновские экстремали не выходят
на ось ~с ш 0, так что в постано-
постановке задачи приходится брать R,40,
а участок [0,Rs) в случав необ-
необходимости достраивать из других
соображений.
Упрощенное решение задача
вплоть до оси получается для тон-
тонких тел, когда (с/г/е/С)г « 1^
[15, УД] .При этом р ¦=¦ ptt'&
и решение уравнения E.2) имеет
простой вид
^C?*/j. E.I5)
Вели искать экстремаль в степенной форме, so, как видно из
табл.1, при заданном удлинении Л существуем оптимальный по-
показатель т . который с уменьшением А от 2 до 1/2 увеличи-
увеличивается примерно от 4/3 до 2.
47
1
/
и
9 Я *
¦> 1
Рис.10

Постановка вариационной задачи для функционала E.1) со-
содержит дополнительные ограничения. Фиксированными могут быть
длина тедаг диаметр, площадь поверхности, объем и т.д. Есте-
Естественно задавать какие-либо две из этих величин. В рассмот-
рассмотренном варианте фактически были заданы длина и диаметр.Лругав
варианты можно найти в книге [l5j .
§ 6. Окрестность точки торможения
Вблизи точки торможения число Маха мало, и многие лока-
локальные исследования опираются на уравнения несжимаемой жидкос-
жидкости. Оцени* точность этих уравнений на осевой линии тока,опре-
тока,определяя давление торможения при условии,что _/> — (**d) /(х-А =
~ c&niyt , Из интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости с
учетом (US.5) имеем
z J> /2 (. **j/ *+-* *+± ^	FЛ)
Отсюда
*+3 _ t _
^P	F.2)
При at» 1-4 /4* 0,917, что достаточно близко к точному
значонвЕ а 0,920. С уменьшением at точность увеличивается.
Epe.t оение о постоянстве плотности дает возможность
получше ше аналитические решения для таких простейших
тел, кав 'о (план) и сфера (цилиндр) [0.8]. Эти решения
могут 6t.' шользованЕ ари анализе течения около точки тор-
торможения ;: 1, форма носка которых близка к простейшей.
Haw решения с постоянной плотностью для сферы и кру-
кругового цшпцдра. Приу>= c*ytw4 от уравнений A.1} остают-
Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам,в рас -
сматриваегАом оеченви положим
xs-zwf^ , у~ гип9	F,4)
48

Уравнение неразрывности в этих координатных системах яяевт вид
ВДВ
1ф *" г" o^f *--?-= О > ) - С,	F.6)
Проекции уравнения движения в обоих случаях выглядят одинаково:
>
г.	/¦ г99 F.8)
Вышашем граничные условия для ifz	, tfg , p . На контуре тела:
^г - С? , г = i .	F.9)
На оси:
%^О t 9--0.	(б.Ю)
Допустим, что форма ударной волны такая же, как у тела. Тогда
на ней согласно B.5)
Расстояикв S" остается неизвестным.
искать решение для компонент скоростЕ в виде
Из F.5) и F.6) имеем
Исключая уо из F.7) и F.8), получаем
?> О.	F.14)
49

Подстановка выражения F.13) в F.14) дает одао ураявеш»
третьего порядка для / (г)
ЯЛ*??)'+ &ПГ- ±?П-о «
Граничные уоловвя находятся аз F.9) и F.II) в виде
Уравнение F.15) допускает простые первые интегралы:
Интегрируя далее, ври $ « I с учетом второго и третьего уо-
ловкй F.16) получаем
Перов ва условий F.16} дает алгебраическое уравнение гштсй
згедвна дхя S'/V). Решая его асимптотичеока для малых $ . ва-
ватт	с d	x-i
При л а ?.4 {от Ь\ отсюда ? * 0,1, в то время как точное
8вачввна ?.|--1« ОД 18.
В случае $ «О м F.18) после замены j
г**}$г шиучаевся уравнеше Беоселя г."-rZ'/j -f
решение которого о учетом граничных условий F.16) после воз-
возвращения 1г. i^ амаат авд

.Параметр S находится из условия f(l)-O. Для малых S , по-
пользуясь асимптотическими формулами
получим
" ''	F.23)
При х.» 1,4 отсюда S ~ 0,21, в то время как точное значе-
значение 8 » 0,2607 ...
Зная j-Cz) i нетрудно найти все газодинамические величины
о помощью F.13), F.12), F.7), F.8). Оценки точности этого
решения содержатся в [0.8]. Теряя силу при отходе от точки
тормокения, оно вое ке правильно улавливает основные качест-
качественные особенности течения, в частности, логарифмический ха-
характер зависимости F.23). Детальное исследование полученного
решани,. выполнено в [12], где вычислены скорость, давление,
температура, число Маха, градиент скорости в точке торможе-
торможения, звуковые точки на теле и ударной волне, коэффициент соп-
сопротивления и другие характеристики течения с учетом Моо •
Б работе [9J допущение о постоянстве плотности использу-
используется для решения задачи обтекания тел типа конуса и цилиндра
со сферическим затуплением или плоским торцом. Задача сводит-
сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению третьего по-
порядка, котороз в ряде случаев реоено аналитически. Ударная
волна аппроксимируется гиперболой по известной аоимптоте и
условию в вершине.
51

ГЛАВА Ш, Аппроксимация по отдельным координатам
Бели зависимость искомого решения от некоторых перемен-
переменных может быть с хорошей точностью предсказана,то имоет смысл
свести постановку задачи к отысканию зависимости только от
остальных переманных. При этом функции нескольких переменных
представляются через функции от меньшего числа аргументов, и
для них получается упрощенная постановка задачи на основе ис-
исходной. Принципиальные черты такого подхода анализируются в
§ I на примере квадратичной аппроксимации функции тока по по-
поперечной координате. Различаются три этапа: выбор аппрокси-
аппроксимации, выбор уравнений для новых функций в выбор граничных
условий для этих уравнений. На каадом этапе возникает харак-
характерная ситуация неединственности»
При линейной аппроксимации t no поперечной координате
(§2) задача сводится к нелинейному обыкновенному дифференци-
дифференциальному уравнению первого порядка с одним свободным парамет-
параметром и двумя граничными условиями: на оси в в трансзвуковой
зоне. В случав тел, образованных коническими сечениями, это
уравнение интегрируется аналитически-
В § 3 излагается известный метод интегральных соотноше-
соотношений. Внимание обращается на постановку аппроксимационной за-
задачи и аналитические аспекты метода. Аппроксимационный подход
обладает определенной гибкостью, но, сужая возможности, моке*
порождать особенности, отсутствовавшие в исходной постановка
задачи.
Обратная задача рассматривается в § 4. Обсуждается метод
преодоления некорректности путем выхода в комплексное прост-
пространство при аналитическом задании ударной волны. Приведенв
некоторые результаты аналитического исследования рядов Тейло-
Тейлора для параболической ударной волны с использованием дробей
52

§ I. К постановке задачи
Зависимость искомых функций от отдельных координат име-
имеет, воооще говоря, различную степень сложности. Этот факт
служит естественным источником одного из наиболее распростра-
распространенных приближенных аналитических методов решения граничных
задач. Прозрачные связи моделируются простыми функциями и за-
задача сводитоя к отысканию более сложной зависимости от оста-
остальных переменных. Такой подход особенно важен в многомерных
задачах, где приходится решать проблему прецстрвленкл функций
многих переменных через функции от меньшего числа аргументов.
Но и в задачах с небольшим числом независимых переменных воз-
возможность априорного представления некоторых зависимостей дает
значительный эффект.
Приближенное решение точно поставленной задачи с методо-
методологической точки зрения целесообразно рассматривать как точ-
точное решение приближенно поставленной задачи. При этом аппрок-
аппроксимации дополняют те упрощения, которые привели к исходной
постановке задачи, и вместо количественных оценок определяю-
определяющую роль играет их убедительность, обусловленная физическим
смыслом и внутренним совершенством. Существенно также,что ап-
аппроксимация вносит неоднозначность, и вопрос о завершенности
аостановки задачи после упрощения нужно решать заново.
Полезно различать три этапа постановки задачи в методе
представлений. Прежде всего, выбирается подходящая аппрокси-
аппроксимация зависимости искомых функций от некоторых переменных.
Коэффициенты аппроксимационных формул зависят от остальных
переменных, так что эти формулы представляют искомые функции
через функций от меньшего числа аргументов. Второй этап -
выбор уравнений для представляющих функций. Дело в том, что
произвол, допускаемый при аппроксимации, не дает возможности,
точно удовлетворить всем условиям ксходноЛ задачи. Поэтому
действительно приходится выбирать из бесконечного числа ва-
вариантов. Такое же положение создается с гранвчьши условиями.
Таким образом, на каадом этапе имеет место ситуация неедин-
53

ственноств, в которой обычно руководствуются принципом макси-
максимальной простоты на принятом уровне точности.
Рассмотрим более подробно принципиальные черты такого
подхода к двумерной задаче для функции тока -р . Формулировка
задачи в области Сст (см. рис.3) содержит квазилинейное ура-
уравнение второго порядка
и граничные условия на 3 . А , & . Введем наряду с (^ ,У )
систему координат (s ,n), связанную с ударной волной так,что
X » l(ys) + пш. <?{ss) f у -. ifs- hun Ч'(^) f	A.2)
j u	<1.3)
о
При этом согласно A.4.7)
где Я - радиус кривизны ударной волны.
Система координат E ,п ) удобна тем, что в ней наиболее
просто записываются основные граничные условия. Кроме того,
благодаря гладкости ударной волны такие координаты мохно ис-
использовать в в случае негладких тел. Правда, возникают неко-
некоторые неудобства, обусловленные неизвестностью функции ?/U,j,
В частности, заданный контур тела описывается неизвестной
функцией f)i*B(s)f
Запишем граничные условия не оси и контуре тела в пере-
переменных (s ,п):
& = О у S- О ¦	A.5)
На ударной волне из A.4) в силу A.2.5) имеем
54

Так как els сал V = ifys , то пооло интегрирования перво-
первого равенства вдоль ударно! волнн получим на ней следующие гра-
граничные условия:
. О;
r--o
гг>л
Связь между функциями V/A ) и ?ль> можно установить, записывая
уравнение контура тела с учетом соотношений A.2):
?	/ - ?^V^	A.9)
Такву образом, постановка задачи для t($tn} включает
уравнение (I.I), граничные условия A.5)-A.8) и равенство
A.9). Функция у в системе координат, связанной с вершиной
ударной волны, определена с точностью до аддитивной постоянной
4-(о) =8@).
Перейдем к аппроксимации искомой функции и постановке за-
задачи на соответствующем уровне. Пусть, например, rfs,/?) пред-
представлена в виде
Т(\ ") - %{*) +¦ t(S)n -ь T}{s)H'it	A.10)
так лто видесто одной функцпч от двух переменных будем теть
дело с тремя функциями от одной аере«рнной. Кроме того, в за-
задаче остаются неизвестные функции tC(^) и %') .
Конечно, приняв приближенное представление (I.10).невоз-
(I.10).невозможно в точности удовлетворить всем условиям поставленной за-
задачи. Следовательно, существуют различные способы определения
функций f-t , V , Ь" путем частичного выполнения этих условий.
Уравнения для них можно получать как'из уравнения A.1),так и
из условий A.6)-A.9), причем (I.I) порождает бесконечное
количество уравь^кий по nepeveHHofl s в различных сечениях
я= n^ii) , к - 0,1,2,..., или после интегрирования по л о
весом гт , гг> - 0,1,2,... Из ^той бесконечной совокупности
н;'?, достаточно выйрчть только пять. Стремясь к просто-
55

те, воспользуемся, преаде всего, граничными условиями на уда-
ударней волне. Из A.7) и A.8) имеем
Если (I.I) записать на ударной Еолне, то получим также
Уравнения (I.II)-(I.I3) уже разрешены относительно функций
Vj (s) , i я О, I, 2. В случае обратной задачи, когда Vfa)
задана, эти три равенства вместе с A.10) вполне определяют
'fd,^) , а форма тела находится пз условия A.6), приводяще-
приводящего к квадратному уравнению для d(s} :
+¦ \ (s) o(s) + % (s)b*(s) - О.	A.14
В прямой задаче *?{¦%) неизвестна, но задана форма тела .фигу-
.фигурирующая в равенстве A.9). Решая уравнение (I.I4) относите-
относительно S(s) и подставляя результат в A.9), с учетом (I.II)-
(I.I3) и A.3) получаем уравнение ввда
,?,е\*н) = 0.	(i.i5)
Таким образом, в качестве" пяти требуемых уравнений для пяти
функций, зависящих от продольной координаты, использованы
граничные условия A.6)-(Т.8), соотношение A,9) и уравнение
(I.I) в сечении /<? » 0. Эта система свелась к одному обыкно-
обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для С(УЪ),
Теперь нужно поставить надлежащие граничные условия для
решения уравнения (I.I5). В точке У$ = 0 при отошедшзй удар-
ударной волне имеем i я О, I' - 0. Но этого недостаточно для
однозначного решения уравнения (I.I5), так как оно содержит
неопределенный параметр -f(O). Кроме того, можно показать,
что точка .у ш 0 является особой точкой уравнения (I.I5) и
требуется еще одно дополнительное условие.
56

Источником постановки задачи для С(У$) служит исходная
постановка задачи для 'tfx^} . Однако в ней условия A.6)-
A.9) полностью использованы, а A.5) автоматически выполня-
выполняется в силу (I.II)-(I.I3). Неиспользованным остается уравне-
уравнение (I.I) вне ударной волны. Следовательно, дополнительные
условия для решения уравнения (I.I5) можно черпать только из
уравнения (I.I) при п{0*
Где ставить эти условия - вопрос принципиальный, ибо для
достижения удовлетворчтсльной точности необходимо сохранять
основные качественные свойства искомого решения. Одним из су-
существенных свойств точного решения является взаимозависимость
его во всех точках области влияния ?2т • Поэтому для уравне-
уравнения (I.I5) естественной будет не задача Коши, а такая гранич-
граничная задача, решение которой в каждой точке должно зависеть от
поведения функции j на всеу интервале в области влияния.Ины-
влияния.Иными словами, помм/ю условий в точке у. = 0 должны быть еще ус-
условия, обеспечивающие обратное влияние трансзвуковой зоны да
область торможения. Такие условия можно получить, записывая
уравнение (I.I) в точках трансзвуковой зоны или интегрируя
его по поперечным сечениям этой зоны или даже по всей области
С2т • Внбира1ь из множества возможных вариантов приходится и
на этом , завершающем этап? аппроксимационной постановки за-
задачи.
На первой взгляд кажется парадоксальным, что уравнения
аплроксимацпонной задачи ло/.учаются из граничных условий ис-
исходной ьадачи, а rpair/чные условия - лз уравнений. С другой
сторг -ч, иначе было бы неясно, откуда броть условия в транс-
трансзвуковой зоне для апироксимацнонных уравнений, так как в ис-
исходной постановке зьдечя эта сторона области свободна от гра-
граничных условий. Есо эти вопросы разрешаются при анализе пос-
тачпки задачг на аппрокеимацаонном уровне.
Существует много различных попыток приближенного анали-
аналитического решения рассматриваемой задачи методом представле-
представлений. В [5] используется линейная аппроксимация плотности и
скорости по нрза?исимой переменной -у . в [7,13} - разложе-
разложение по степеням ё , ъ [9J - разложение по степеням квадрата
ciауса полярного угла, отсчитываемого от оси симметрии. Сис-
57

тема обыкновенных дифференциальных уравнений замыкается с по
мощью дополнительных аппроксимаций. В некоторых случаях уда-
удалось получить аналитическое решение, однако постановке задача
на аппроксшационном уровне е работах этого направления уде-
уделялось недостаточно внимания.
§ 2. Поперечная линеаризация функции тока
Исследуем возможности аналитического решения задачи в
случае ливейиой аппроксимации функции тока по поперечной коор-
координате [l]
t(&tn) = +t(s)^ +,(s)n.	B.1)
Функций %(s) и "^(s) определим из условий A.7), A.8) в виде
(I.II), A.12). Вмзсто (I.I4) из условия A.6) име»м
Отсюда с учетом (I.II) и (I.I2) псдучаем
Подставляя это внрааение в A.9), приходим к дифференциальному
уравнении первого порядка для
B.4)
где
Q) = 777" T7~l '	B.5)
Для тел с отошедшей ударной волной из B.3) или B.4) при \-*О
вытекает простое равеистро
Q)/t"(o),	B.6)
которое означает, что отношение отхода ударной волны к радиусу
ее кривизны в носке равно константе B.5). Любопытно также,что
58

левая часть уравнения B.4), вычисляемая в точке у, , опре-
определяется значением / в точке, сдвинутой вниз на величину
Ду ys . Равенства B.3) и B.4) допускают простую гзометриче-
ску» интерпретацию. Они представляют собой ьлемантараые соот-
соотношения между сторонами прямоугольного треугольника с верши-
вершинами в точках (UV^JU+te-"**)'* '"**) > (* <>¦*> >
ys - cty Ул ) , Суть аппроксимации геометрически выражается в
том, что нормаль к ударной волне достигает к нтура тела в то-
точке с ординатой
Щ = (*-<*>)»*.	B.7)
Перепишем уравнение B.4) в виде
При выводе его использованы только условия A.6)-A.9) и со-
совершенно не использовано само уравнение (I.I), которое оста-
остается здинствеьным источником граничных условий для уравнения
B.8). Хотя это уравнение первого порядка, очевидных условий
Е(о)=О . ?'@)*0 недостаточно для однозначного построения ре-
решения, так как второе условие при ?(О)фО вытекает из перво-
первого в силу уравнения B.8), а 1*@) содержи* неопределенны?!
параметр -f(O) .
Требуемое дополнительное условие можно извлекать аз ура-
уравнения (I.I) по-разному. В выборе его снова проявляется есте-
естественный для метода произвол. Сохраняя эллиптический характер
задачи, нужно ставить дополнительное условие в трансзвуковой
области. Простой вариант получаете?, если записать уравнение
(I.I) в звуковой точке на ударной волне. Введем с этой целью
вектор
1	J	'	B.9)
Из A.4) с учетом A.4.8) имеем
59

BЛ1)
Функцияс>о(+-) определяется с помояью A.2.5), A.3), (Г.7) в
виде	±
Дифференцируя t по s и по п я действуя далее как в § 1.4,
подучим
B*13)
В звуковых точках правая часть этого равенства обращается в
нуль. Подставляя в B.13) вместо ts и tn выражения B.10),
B.II) и пользуясь представлением B.1), в звуковой точке на
ударной волне находим
Этот результат можно получить и из уравнения A.4.16).исполь-
A.4.16).используя соотношение
и()№B.15)
Конечно, максимальную точность в трансзвуковой области
важнее обеспечить на теле, чем на ударной волне, особенно для
контуров с изломом. Именно в этом случае удается написать до-
достаточно простое дополнительное условие, так как угловая точ-
точка является звуковой, если до излома скорость была дозвуковая.
Зная положение звуковой точки на теле, нетрудно найти угол
V^», той нормали к ударной волне,которая прйхбдит в эту точ-
тсу. Из A.4) и B.1) имеем
60

На контуре тела \fs - l^ c« (&--€) , fy = (l-o,)% . тад что
J>t-flc*i(O-<p)(i-Qi)*= ^j-HrtV.	B.16)
Отсюда для звуковой точке
где
Е угловой точке ^ определяется как предельное значение в
при подходе снизу.
Таким образом, аппроксимацвовная постановка задачи в из-
избранном варианте свелась к уравнению B.8), которое нужно ре-
решать при условия
°	B.19)
и дополнительном условии B.14) или B.17), компенсирующем
неопределенность параметра f(O).
Переходя к решению поставленной задачи, исследуем предав
всего, для каких контуров уравнение B.8) интегрируется в
квадратурах. После замены
№t)-t (К) = №)*&)	B.20)
приходим к уравнению
в котором переменные г и „Ч, разделяются, если д и ¦f удов-
удовлетворяют соотношениям

Действительно, при этом
о, \~-1
^-С, f f/V.? +%f(»s)<t*s - О.	B.22)
В случае с,«о о - сел it и контур является параболичес-
ким. При с^О имеем'
B.23)
т.е. всэ остальные конические сечения. Следовательно, урав-
уравнение B.3) легко интегрируется, когда контуры являются кри-
кривыми второго порядка.
Рассмотрим для примера задачу обтекания торца. Пусть
B-24)
Решая уравнение B.8) при условии B.19), получаем эллипс
(i--f (O)f + О, <// - ffO).	B.25)
Параметр -С(О) определяется из условия B.17) в виде
При X = 1,4 f(O)= 0.&7I для )> = 0, a -f(o) = 0,476 для
V -1.
На контуре тела из B.16) и B.25) имеем
) [Ц)г+Ъ)а>$] * B.27)
Так как j>( — рс(О)(±-lff)	, то отсюда определяет-
определяется зависимость" Vi (У<) , после чего находится р( =
Pe/J-Ve)*^*-^ . На рис.II показаны кривые ?(^) ?
Pi(fy)/p0 при >> = I в сравйии с точными, взятыми из [3^ и
fiy.I5j. Видно, что аппроксимация B.1) несколько завышает
I и занижает pg . Для сферы к эллипсоидов соответствующее
решение, полученное в [ij с использованном условия B.14).на-
B.14).наоборот, занижает t
62

Таким образом, поперечная (Линеаризация функции тока для
многих контуров дает возможность получать приближенное оеше-
ние в аналитической форме. Более высокая точность на том же
уровне простоты, по-видимому, достижима путем оптимизация ви-
виas
1—
РФ.
с

•—»¦
CffJl
***
¦II11 II
1
а——
-	,
С»
** ^ IT**
"—«ч
\
]
1
—_
Рис.Ц
бора на каждом из трех этапов аппроксимационной постановка
задачи. При выборе представлений целесообразно попользовать
ликерные форда других газ^динаштских величин, в частности,
функций тока сопряженных течений Гх>9].
§ 3. Метол иятегралышх соо«йошений
Полиномиальная впвроксрмацяв некоторых величин по тем
или иным координатам лежит в оововв широко распространенного
метода интегральных соотношений {2,3]. Рассмотрим одну №
схем этого метода, обращая иьимание на постановку аппрокспма-
цпонной задачи и онелитичесяир аспекта методе.

полярных координатах
,мк
х = -
-uv.a уравнений A.2,2) принимает вид
связанных с С л ,у) соот-
C.1)
C.2)
C.3)
C.4)
C.5)
Контур тела задается уравнением Z - ?с(-9) » а ударная волна
z * Z(&i) -* Zo(8) +${-9) . we функция $(&) неиэвестна(рис.12).
Граничные у еловая на оси к на теле
записываются в вид»
У -О. Я* О:	C.6)
.-Л
Ряс.12
а на ударной волне
гГ - -
¦ ~-
^ ~ аГТТ "" ' > ,7" ~ а. - ^
причем ? и V3 связаны соотношением
*C.8)
C.9)
C.10)
64

Преобразуем постановку задач», ниш фащщшю тока
функцию
Согласно C.2) на любой линия z~z($) имеем
В силу C.5)
9>=9}№,	C.13)
где (^ определяется по условиям на ударной волне.
В оставшихся двух уравнениях перейдем к дивергентной
форме. Умножив C.4) на pz. (^ и-»®)* , а C.2) на j/t .пос-
.после сложения получи*:
В качвотве второго дивергентного уравнения возьмем A.4.2),
Исключим о i ос помощью (ЗЛГ) и интеграла Бернулли,
Тогда C.I2)-C.I5) - система уравнений с неизвестшшв ^ ,?,
"f , Ср . Граничные условия для нее содержат больше данных яа
оси, чем в C.6). Действительно, при Э = Q
*f - О
65

На контуре теле
На ударной волне остаются условие C.8), а вместо C.9) имеем
Равенство C.10) сохраняется.
Пересам к построению внтеграаьвых соотношений. Область
?2% разобьем на N долос, ироводя /V -I равноотстоящих по &
линий
Т ~- rL(9) = ?./*>>? Ъ(ф> I ^ (M-i *-1)/А/у <-*Л. ,У C.20)
При I » I получается ударная волна.
Зайшем уравнения C.14), C.15) в общем виде
Проинтегрируем C.21) вдоль произвольного луча B = c»mit от
тела до каддой из линий г «= "zi {&) , включая ударную волну. В
результате получаем
C.22)
где Д -
В отличав от § I, где рассуждение начиналось с аппрокси-
аппроксимации, здесь до сих пор все соотношения были точными. Необхо-
Необходимость в аппроксимации возникает в связи с целью замкнуть
систему уравнений на уровне функций, зависящих только от -9 .
Для этого функции А(-91) и htyz) в C.22) аппроксимируются
интерполяционными полиномами степени /V по г:
6S

с узлами интерполяции на границах полос. Коэффициенты ^«ф)
путем решения линейной алгебраической системы выражаются че-
через At(-9) » а интегралы в C.22) легко берутся. Запишем еще
равенства C.12) и C.13) вдоль каждой из внутренних линий
C,24)
/' - 9 4	hi
Система (ЗЛО), C.22), C.24) содержит 1
'-I уравнений для 4A/-I функций: S ,^, 1&„; ^- , ^ ^
ф, ; i в 2,3,...,N.
Из C.17) следует, что при ф » О
If _ ^ О . •*• - О, Ш -О>, (О) , I = 2,3,.../C.25)
Кроне того, здесь
^=0, ^e^0-	C3.26)
Значения S и ^ , i * 2,3,...,/V, ври <© ¦ 0 вввзвеотны. 3
C.25), C.26) содерхится 3A/-I условий, так что для задача
Коши ае Хватает N условий, Чтобы сохранить взаимозависимость
решения в области С2т , вушо ставить эта условия в транс-
трансзвуковой зове.
Разрешая ураваеная C,22) относительно производных os
неизвестных функций, моано записать шс в следующем вэдо:[2,з]
7 ~ ~$t * 79* ~ ^1 ' ^ =2,3»,...У, (Зс28)
где ?0 , f^,, ^. , /^ , 0О i Q - pei-удярные в области интегри-
интегрирования функции от 9 и искомых вблшчщ, apia^oii ®д л ЖУ ой-

решаются в н^ль в окрестности звуковой линии. Для ограничен-
ограниченности производных необходимо потребовать, чтобы в этих точках
обращались в нуль также ?о , Еу , ?t . Равенство Е* = 0 явля-
является следствием ?о~0 и ?>„=<? , поэтому имеем N независи-
независимых условий
?0 = 0 при 0С = 0;	C.29)
EL = 0 при Q.t = О, i = O,3,...,V ,	C.30)
которыми обычно замыкают постановку аппроксимационной задачи.
Точки, где ставятся эти условия, отзываются подвижными осо-
особыми точками типа седла.
В случае А/ = I остаются три неизвестные функции: Ъ , <Р)
%0 ; три уравнений: C.10) и два из C.22); и три граничные
условия: C.26) при & = 0 и C.29) в особой точке. Уравнение
C.22) принимает вид
C.31)
где /)-J>yslfz(Ztt)>-d) в случаеC.14)И/^-^G-/г)*"-'('?л*!?/)
в случае C.15). Найдем 2>с , ограничиваясь для простоты кру-
круговым контуром, когда ZB~oen&t ,1Ггс~ О и произвоаная
cfif90 /ot$ появляется только в C.15) при дифференцирова-
дифференцировании выражения
f (± - тгг )и/<*~-*/ . Так как
" ifefe' ЧТ~Л {i' ^] C>32)
то Ю «= -/~ ~й^/й* обращается в нудь в звуковой точке на
теле.
Полезно проанализировать метод интегральных соотношений
о точки зрения изложенных в § I соображений о неединственнос-
неединственности выбора не трех этапах аппроксимационной постановки задачи.
Следует отметить, что сначала здесь пишутся уравнения, а за-
затем делается аппроксимация. В связи с этим аппроксимируются
68

не сами искомые функции,а образованные из них комплексы, обо-
обозначенные в C.21) через А и h ^ Произвол в выборе предста-
представлений с ходу разрешается в пользу полиномов. Способ выбора
аппроксимирующих уравнений, давший название методу, оставляет
некоторую свободу комбинирования слоев в весов при интегриро-
интегрировании уравнений C.21), которая тоже не обсуждается. Гранич-
Граничные условия на теле и ударной волне фактически используются
для исключения функций Vzo , сро , Ц и %, ,Yr, , % , щ .
Наиболее интересен вопрос о выборе дополнительных условий в
трансзвуковой гоне. Как в в § I, источником этих условий яв-
являются не полностью использованные уравнения исходной поста-
постановки задачи. Однако в методе интегральных соотношений выбо-
выбора как будто не остается, ибо требование ограниченности гра-
градиентов однозначно определяет дополнительные условия.Но, во-
первых, можно аппроксимировать и разрывными функциями. Кроме
того, как видно иг B.13), ограниченность градиентов связана
с точным выполнением уравнений на звуковой линии.Поэтому ес-
если интегральные соотношения строить путем интегрирования не
по заданным координатным линиям, а по линиям равной скороо-
ти, то возможности выбора расширятся в в классе непрерывных
функций„
Аппроксимацвонная постановка задачи обладает определен-
определенной гибкостью и даже допускает особенности, отсутствовавшие
в исходной постановке задачи. Исследование возможностей как
при выборе аппроксимаций, так и при выборе уравнений е гра-
граничных условий необходимо для полного понимания свойств мо-
модели и отыскания оптимальных численны* и аналдаичаоних вари-
вариантов,- Узкий взгляд на зги лещи может порождать скептическую
крвтш v типа [15] в тормозить развитие метода..
При численной реализации метода интегральных соотноше-
соотношений основные трудности связаны о прохождением особых точек.В
[9] и [4] предложен способ устранения особенности вз диффе-
дифферента лышх уравнений путем введения специальных переменных,
в частности t{- )f{ (l- %I^("~л^ Bitecto if/ . При отом осо-
особенность переходит в алгебраические уравнения, которые при-
приходите» решать попутно. Склейка их решений дает У уочовий
в трансзвуковой зоне. Этот способ использовался, например, ?
68

при рвшааии задача обтекания выпуклых и вогнутых затуп-
затупленных тел о угловой звуковой точкой.
Методом интегральных соотношений получено большое коли-
количество численных результатов (см. [г, 3, O.I, 0.8J). Использо-
Использовались аппроксимации как по поперечное координате, так и по
продольной, а также по обеим сразу. Например.в [il] однополос-
однополости пг перечный вариант дополняется аппроксимациями Г - Sc+
+ ?,?*+ S^ S , )ficз- if, & + tS3 6¦* ¦ Хорошая точность практически
достигается при Ы ¦ 3 для Р * 0 и при hi ж 2 для $ в I, a
в ряде задач и при Н * I. Точность однополюсного варианта
метода интегральных соотношений естественно выше, чем при ли-
линеаризации функции тока, так как в C.23) появляется шесть
функций от продольной координаты вместо двух в B.1). Однако
аналитического решения, в отличие от § 2, найти не удается.На
стыке этих вариантов целесообразно дальнейшее развитие метода
в поисках аналитического решения приемлемой точности.
% 4. Обратная задача
Постановка обратной задачи содержит те же уравнения а
граничные уоловия A.2.2)-A.2.5),ао в ней ударная волна счи-
считается заданной, а форма тала должна определяться в ходе ре-
решения. С прикладной точки зрения такой подход мокно расцени-
расценивать как обратный метод решения реальных прямых задач. Однако
обратная задача представляет интерес и с теоретической точки
зрения» поскольку это'задача Коши для системы уравнений сме-
смешанного эллидтияо-гиаерболетвского типа.
Граничные условия A.2.5) определяют значения всех газо-
газодинамических величин на заданной ударной волне, а уравнения
A.2.2) позволяют найти нормальные производные. Бела ударная
волна задана аналитической функцией, то можно построить реше-
решение в виде радов Тейлора, сходимость которых в некоторой ок-
окрестности гарантируется теоремой Коши - Ковалевской. Радиус
сходимости определяется расстоянием до ближайшей особой точ-
точки, причем надо рассматривать не только область С2.т , но и
аналитическое продолжение решения за ударную волну вверх по
70

течению. Вели особая точка расположена ближе, чем контур те-
тела, то приходится обращаться к методам аналитического продол-
продолжения степенных рядов.
К сожалению, точных решений таким путем пока не найдено.
А в численных методах, точность которых заведомо ограничена,
существенно проявляется неустойчивость задачи Коши для урав-
уравнений эллиптического типа. Так, в [16] при решении обратной
задачи с параболической ударной годной за II шахов ошибка во-
возрастала в 160 раз, за 24 шага она могла бы распространиться
на 8 значащих цифр.
Существует красивый метод преодоления неустойчивости,оо-
нованной на выходе в комплексное пространство [8]. Рассмотрим
идею этого метода на примере 8адачи Копт для уравнения Лапла-
Лапласа	г г
D.3,
Вводя комплексную переменную у * ^ +1^ , прододхим функции
J в j на вою комплзконую плоонооть,
Воли в пространстве (*,*,,*,) брать оечения Hf » cwiStt то в
них уравнение D.1) имеет гиперболический тип,
•2fe' 2jV , О	<4.6)
и задача Коши решается корректно. Застроив вое пространство
такими сечениями, получим в частности решение в в шшовоотЕ
У, -0.
Однако столь легкое превращение неустойчивой аадачи в
устойчивую выанвает крамольный вопрос - по оущесгяу ЛА тогда
неккоректнооть в постановке задачи D.1), D.2). Иввеотный
71

пример Адама pa убеждает в ejmeetseaeoera этого свойства. Дей-
Действительно, функция
u(Xjii) = rfyskt7X ?*Zfty	D.6)
является решением задачи Кошв дад уравнений D,1) о иачадыш-
ми данными:
u(ot*)~O г Q иго *} = /Г\ илу	D<?)
и при я -» оо дает большое возмущэиав репвяю ЭДАйЧИ D.1),
D.2) для xj= О при малом возмущении вачад*ищ уежевий.
Следовательно, свойство некоррекэдооти должно еоедюфи
оя и в изложенном выше методе. Как отмечено в [Ю]> оно при-
присутствует при аналитическом продолжении функций j ш $ на
комплексную плоскооть. Дело в том, что процвоо аналитического
продолжения о ввщеотвенной оси является по существу решением
задачи Коши для уравнения Лапласа. Действительно, каждая из
функций /, , •/_? , gt , (jz удовлетворяет уравневвю Лапласа во
переменным j; , уг в известным начальным условиям ври У;«0.
Эти условия получаются из D.3), D.4). Например» вз D,3)
имеем
а пооле дифференцирования D.3) no JA :
получаем
Если -f(y) и 9(у) заданы в аналитической ф©|жа» та она мм
самым определены во всей комплексной плоскости У; <¦ i У- й Фзр»-
ции /( 1 /г i| i^ легко находятся без решения задачи Ковв,
Бели же начальные условия заданы в виде таблиц, графикор влв
вообще любым способом с ограниченной точностью, то- для продол-
продолжения ИХ В КОМПЛвКОНуЮ ПЛОСКОСТЬ ПрИХОДадО» ДОИЗД
ные задачи Коши с уравнением Лапласа,
72

В рассматривавшей eugasHuft задаче уеде*Ш1 A.2.5) имеют
аналитическую форму, Если ударная ышъ такжз задается анали-
аналитическим выражением, то метод ваходе в «тдйлексйое простран-
пространство действительно позволяет избежать неустойчивости. Но даже
в том случае,когда ограниченная *Очйоо*ь зйданйя ударной вол-
ш служит источником быстро рао*ушах ашвдк, не pa нос неустой-
неустойчивости на аналитическое продолжение начальник данных облег-
облегчает задачу, так как на самом ответственном этипе дело прохо-
проходит с простым уравнением Лапласа. Правда га эхо приходится
платить увеличением числа независимых переменных и соответст-
соответственно объемом работы.
В настоящее время существуют устойчивые алгоритмы чис-
ленного решения некорректных задач в классе ограниченных фун-
функций [0.7J. Эти алгоритмы позволяют обосновать решение обрат-
обратной задачи и без выхода в комплексное пространство. Подробное
обсуждение вопросов численного решения обратной задачи можно
найти в [0.8].
Аналитическое построение и исследование рядов Тейлоде в
окрестности параболической ударной волны выполнено в работе
[14]. Используются параболические координаты (j , # ), связан-
связанные о ( X , у ) соотношениями:
)	DЛ0)
Ударная волна задается уравнением л « I, а решение отроится
в виде ряда по степеням ? ~ g -1 , врачей коэффициенты оказы-
оказываются полиномами по переменной ж- A + ?г)~л . Для функции
тока при х т 1,4 получено продолжение разложения [1б]:
С помощью рекуррентных соотношений коэффициенты этого ряде
вычислены до членов порядка гг* . Радиус оходимоевй «Мфбд&ля-
егся, как расстояние до ближайшей особой точки в йомал»й«шсй
плоскости ? . Так как он меньше, чем расстояние ДО ЛЛ*, SO
используется аналитическое продолжение с помощьв дроб*1 Неде.
Ряд вида
73

заменяется f»",«J -аппроксимантой Паце
и
где коэффициента /J , ф однозначно определяются через п- в
аналитической форме.
С большой точностью вычислено расстояние от ударной вол-
волны до тела в единицах радауоа кривизны ударной волны в носке
г/Ч Г 0.I8S0848I ... ,Ь0,
Ь#)« 4	(эе »I»4) , D.I4)
' ^ 0,09897763082 ,..,)- I
Построенное аналитическое решение при ) = I действует далеко
вниз по потоку. Пра ) ¦ 0 в сверхзвуковой области появляются
нрвдельаыв линии, свидетельствующие о внутренних разрывах.
Освобождение ос некорректности при аналитической $орме
ударной волны фактически означает, что сам выбор аналитичес-
аналитической формы является некорректным этапом решения обратной зада-
задачи. Решение очень чувсгвйтодьно к виду ударной волны и для
близких акалятвчбоких форм могут подучаться заметно разные
результата. Этот вывод в значительной мере распространяется и
на выбор арвдотавдвний оря вппроксимацноаной постановке обра-
обратной задачи. Например, в [6J оказалось, что в рамках одного-
одноголосного варианте метода интегральных соотношений для парабо-
параболоида льной унарной волны решения построить не удается. Таким
образом, при решении обратной задача метод аппроксимации по
отдельным координатам явдяетоя неустойчивым и многое зависят
о« удачного выбора аналитических форм.
74

ГЛАВА 1У. Обтекание заостренных тел
Симметричное обтекание заостренных тел о углом в ноове
ре >д происходит о отделенной ударной волной. Для х = 1.4 в
М&э*°° А" 45°35* в плоском олучае ид» 57°32' в осесим-
матричном. Локальное уодовав д-s в являете необходимым
для ирисоздиввния ударной волны,ао, вообще говоря, не доста-
достаточным. Отделение скачка может зависеть также от граничных
условии ниже do потоку. Если ударная волна присоединена,зада-
присоединена,задача общественно упрощается, особенно когда течение полностью
сверхзвуковое. Метод характеристик и метод волн разрежения,
равработашшв для часто сверхзвуковых течений, подробно изло-
изложены в существующих монографиях. Рассмотрим методы, не огра-
ограниченные сверхзвуковым режимом оотекавв«
Существует широкий длгос конических течений, в которш
отсутствует вависимооть от радиальной координаты. При осевой
оимметрши аадача отановитоя одномерной. В § I всоледувтея два
ааалитичеодих подхода к реюевив этой задачи. Один иг них ос
нован на линеаризации, другой - на разложен»! по отепеням уз-
узловой коордииати
Метод анпрокоиызции по координатам применятся в fe 2 каи
при д^ вт , так в прв д > д, . Ливеариэаоия функции тока
но поперечной координате ведет ж вналотвчеокому решению дд
контуров второго порядкь Случай конуса и «ленв расомотре.
оодробни
$ 3 оодвржат краткое Ьодожвние. влаоввчвоввх ревулыгагоз
по наклонному обтеканию кояуой я обзор пооледаих работ по ни»
оимметричшм коничвокик'.
§ 1, Сшшатричное обтвкакие нррового кояуоа
Задача оотеяания подубеоковвчмых ховиявоках тел не со-
содержит характерного размера, велвдотвив чего решение че вави-
ожт от радиальной ксюрдшштн. Этот клаоо выроаденвых течений
составляет оамоотоятеЯьный раздел класоичвокой газовой дщш-
маяв A.3](<вму посвящена мояог^фия [4]1. Сущеогвую* иодроб-

вые таблицы сверхзвукового обтекания яоаусов для различных
значений числа Маха На, , угла полураствора р , параметра
je а угла атаки и [1,3]. Однако наличие таблиц не исключает
аналитических построений и исследований конических течений.
Большинство существующих приближенных решений изложено в кни-
книге [4]. Рассиотрвм две аналитических подхода к решению задачи
оимметричного гиперзврового обтекания кругового нонуоа о при-
присоединенной ударной волной.
Постановка задачи, благодаря коничности, существенно уп-
упрощается. Правде всего .независимость от радиальной хоординаты
в частности, означает, что ударная водна тоне является кони-
конической о некоторым углом полураствора <Г . Так как f * "п/z -
- <r = cormt t то окачок антрошш всюду одинаков и течение яв-
является безвихревым. Поэтому оиотема A.2.2) сводится к двум
уравнениям:
где о определяется as интеграла Беряудди. Далее, переходя в
плоскости (X .У) я полярным координатам (z ,9) в соответст-
соответствующим компонентам скорости {\ft,tfM), естественно воспользова-
воспользоваться отсутствием зависимости от г , записывая
Q
A.3)
В результате уравнения (I.I),S(I.2) принимают вид
*'-•?> ^'^^v^^^' ал)
76

Us интеграла Бернулли имеем
Подставляя это выражение в A.4) в исключая !/^ , подучаем
где ври Моа= °°
Граничные условия для гГ. о учетом A.4) находятся вз A.2.3),
A.3.5), A.3.6) в виде
Таким образом,имеем дело о двухточечной краевой задачей для
нелинейного уравнения A.6) в интервале Эе Гр,с~\ оо свободным
правым донцом, на котором задается дополнительное условие.
Именно эта задача решалась численно при составлении таблиц.
В поисках аналитических упрощений внимание обращается
прежде всего на нелинейность уравнения A.6), создаваемую чле-
членом ^г/аг. Оценим эту в&яячаяу на концах интервала.ПриЭ^р
она равна нуле. При Э^ с ооглаово A.8) и A,7) 4'/^^(x-tiZ&ty.
Внутри интервала, как показано в [21], скорость потока моно-
монотонно возрастает, а скорость звука монотонно убывает. Отсюда
нетрудно сделать вывод, что рассматриваемая величина также ме-
меняется монотонно а ее значение на правок конце является мавсв-
кшльным. При ое » 1,4 оно ^авно 1/7. Среднее значение на ин-
тервпш заведомо меньше. Следовательно, нелинейные члены в
A.6) малы по сравнению о первыми слагаемыми в скобках и в
первом приближении ими можно пренебречь. Уравнение A.6) тогда
упрощаетсяs
В силу A.5) темой же результат Получается, если предположить,
что р = й**Я (ом» [0.8J).
77

Легко задеть, что одним as решения линейного уравнения
A.9) является
S
A.10)
Второе решение отроится по формуле
В итоге
где с, г *?, находятоя из уаловий A.8) вывозе о (Г, Длв аави-
ошостй <7(р) подучается траноцввдеатаое уравнение
/	U- (X.B)
Определял с, 1С{| имеаи
в чаотнооти,
Угловая комдонавта скороаги вычаодяетоя путем дифференцирова-
аия ^ - ^' i а давление в пдотаооть находятся из соотношаний
в виде	х	_^
78

*~*,	AЛ8)
где Рв - давление торможения за прямым скачвом, определяемое
формулой (ВЛ.5), a j>c * Д ?я/(ъ-л).
Такиы образом, в линейном дрвбд^яенни задача решена. Пе-
Перенося нелинейные члены уравнения С 1.6) в правую часть а вычис-
вычисляя их на основе подучеаного решения, можно отроить следующее
приближение. Это сделано в [1б].
Однако решение (I.I3), A.14) ааудобно «ем, что ает явной
завис шести <Т(р) в отсутствуют анааятвческае аритерии точиооти
сделанного приближения, Истгааем другой путь, который свободен
от этих недостатков. Опираясь не то, что ара больших Мж угод
S^-G-je наДс будем искеть решение задачи A.6)-{1.8) в виде
разложения по отепеням 9-р
*, * % **> (Я 'ft + %. (#^f * «S #>-/»Л • • •	(I.»)
Первое вз условна A,8) сразу дает \rt * 0. Подставляя теперь
разломана AЛ9) в A,6), шошви уравнения нулевого в первого
порядка
Этв уравнеаая в» еодеряаг вкладе велннейноа чйотвг влаянве ко-
которой начнется о «хеков оледушщз1ч> ворддиа. Определяй as A,20)
t4 я ^ черве ^ , вмвем
Остается навтв гГ0 и СГ в» двух вооявдвах уодовий A,8). Разла-
Разлагая эти равеястаа so стевенлм F# » запишем т оиачала о точдо-
отьв до 4Laeeoa первого порядка
Здеоь важно уяовить, что, поскольку параметр ?„ не является
заданнш.маяооть его яолквв быта обусловлена какими-то другими
79

Определяя эта величины с учетом O(t *), получаем
оараметрами.входящими в постановку задачи.Как видно из A.23),
источником малости Ьх может бвть либо 6^ (х-?)/(•*+?) , либо
в . В рассматриваемой задача U/з = 0A) . Поэтому фактически
о* - О(ё) и в A,23) второе слагаемое справа можно пока отбро-
отбросить. В резу^тате с точностью до членов первого порядка
A.24)
A.25)
Аналогично строятся следующие члвнн разложения, в калдом приб-
приближении :ъ находится на (I.2I), fa ~ У~г' , а давление и плот-
плотность - по формулам (I.I7), (I.I8), где
В частности,
A.26)
$г-- V?+ig
Табл.2 содержит приближенные значения С , )ff/s) - tf0 и (р)
для й я 15, 30, 45° при а, = 1,4 с учетом членов первого (I)
Таблица 2
/
15
30
45
С
I Н Т
16°Г?' 1в°27* 16°2?'
32 45 33 II 33 13
49 46 SO 46 51 04
Щр)
I П Т
0,960 0,960 0,960
0,842 0,839 0,839
0,648 0,638,0,635
rffi)
I П Т
0,070 0,070 0,070
0,260 0,262 0,262
0,521 0,526 0,528
и второго (Щ порядка, а также точные значения (Т), взятые из
C) . Видно, что сделанное разложение оказывается весьма эф-
эффективным.
80

Коэффициенты разложения (I.I9) вплоть до пятого порядна
были вычислены еще в [23]. Зависимость от ?t начинается с !^ .
В [27] построено разложение для tfz(9)/u(P) и найден общий
вед зависимости коэффициентов от угла fi и местного числа Маха
М? - MfP) • Зависимость от х у такого разложения начинается
о if{ г практически не ощутима. Б связи с этим таблицы обтека-
ней конусов можно сократить, оставляя в качестве входов лить
?> , р и Mg . Значения Мм и с для каздого л. находятся из
аналитических соотношений. Случай х =1, таким образом, ста-
становится каноническим.
Рад (I.I9) шеет особенности вне интервала/**?> s ст.Вы-
ст.Выделение их с помощью дробей Наде делает аналитическое пред-
представление решения более аффективным. Таким путем в ?27] полу-
получше формула для ifl (?>r /i,Mg) , погрешность которой не пре-
превосходит одного процента. Исследована также сивгудярность при
/3 *О .
Аналитические аппроксимации зависимости С и и от р, ,х
s Мж , достаточные для инженерных расчетов,предложены в [28,
19]. Отношение р (р) /р(<г) при М^ <» почте не завасит от о
в интервале а. = 5 ¦ 50°. Зависалость от jc аппроксимирована
в [18], где анализируется также картина в плоскости годографа.
Яблоковидная кривая хорошо аппроксимируется окружностью ради-
уоа l/(/x-*-d) о центром в точке ¦&/({?+?) . Ира этом *'»/^3"
°2* ° клинои, рио.5).
§ 2. Дплроксшации по координатам
Развивая метод аппроксимации до отдельным координатам
примунвтаяьно к решению задачи обтекания заостренных тел,рас-
тел,рассмотрим сначала течения с присоединенной ударной волной. Есла
приаять линейную зависимость функций тока от воиеречаоЁ коор-
координаты и ставать задачу как в § Ш.2, то для ударной волны по-
получается дифференциальное уравнение (ffl.2.8),которое нужно ре-
решать при уоловии (Ш.2.19). Второго уоловия не требуется, так
как -f@)-=0> Это означает, в частности, отоутотвиа обратного
влияния трансзвуковой зоны в .самках линейного приближения прв
81

обтекании о присоединенной ударной волной. Для всех контуров
второго порядка задача решается в квадратурах.
Остановимся на случае конуса и клина.При зтш J(ty)~ycdf/s
и нужно искать решение уравнения
$'(у ) - а iC ffj- &)У clip ~ /У-^)]	B.1)
удовлетворяющее начальному условию 1@/ -- О . Полагая
(¦("s)= ^ М9СГ(	\а«2)
для еЛ(Г получим квадратное уравнение
м/<Г ~fj- в*) civil cli>{r+ Oj - О	B.3)
из которого
B.4)
Решение вещественно, зола
(As p. -s iv/
^ * *9Д. * 1Г-Г •	{2-5>
Тек как согласно (Ш.2.5) a}-
to при Ъ ш О величина рт , оарвдегляемая B.5), совпадает о
точным зваченавм Д, = attunl*/*}. При >> ¦ I для е = 1,4
из B.5) получается. Д,* 57°48' вместо точного значения р„ =
57°32'.
Если параметр а^ очатать малш, чо разложение ао степе-
степеням яу упрощает решение B.4). Прв этом главный члев асимато-
тикй для 5( = СГ-л нолучаетея гоадым. Однако это разложение не-
неравномерно при А -*Дп , а формула B.4) свраведлива вплоть до
- р.т , прачем
Г^4^^	B.6)
Численные значения <Г , найденные ао C.4) .ля эе. =¦ 1,4 и^=15,
30, 45° равны оооететставяво I6°24*; 33°07', вО°Б1*. Сравнение
с табл.2 доказывает, что формула C.4) точнее перого члена
разложения ао е (.1.24), а о ростом р она становится точнее и
второго приближения A.25).
82

В работе [з] приближенное аналитическое решение задачи по-
получено в предположении линейной зависимости между модулем ско-
скорости и давлением. Хорошая точность при эс. » 1,4 достигается
как для больших, так и для умеренных М^.
Течение около неконических тел зависит не только от попе-
поперечной, во и от продольной координаты. Поведение решения при
$-* О определяется радиусом кривизны контура в носяе Яо .В по-
последней из работ [4] для заостренных тел о kohl шым Ro газо-
газодинамические величавы представляются в виде
где дс соответствуют течению около конуса.касающегося поверх-
поверхности тела в его вершина. При малых 6 зто представление иссле-
исследуется как асимптотическое. Показано, что ^ пропорциональны
R'J , а при подходе к поверхности тела продольная скорость и
энтропия ведут себя ток, что
В плоском случае течение около клина равномерно а тем бо-
более целесообразно певать бдизкие решения методом возмущений.
Такой подход развит в работах [13]. Подробно рассмотрен случай
параболического крыла, близкого я клину. Построено аналитичес-
аналитическое решение с линейкой зависимость» от координат, ударная вол-
волна получилась квадратичной.
Перейдем к задаче обтекания заостренных тел с отделенной
ударной волной. Постановка задачи в переменных {S ,л ),связан-
),связанных с ударной волной, охватывает этот случай. Аппроксимацион-
ная постановка задачи для (/акции рока в рамках линейного при-
приближения включает уравнение (Ш.2,8), условие 1@)- О и допол-
дополнительное условие для определения параметра {@)^0 . При на-
наличии угловой точки таким условием служит равенство (Ш.2.1?).
Найдем аналитическое решение задачи для конуоа в клина.
Замена
ведет к уравнению
83

Условие ^70)«0 принимает вид
Решая задачу B.10), B.11), подучаем
гда
Условие (Ш.2.17) после перехода о» i к г записывается в ви-
виде	п
где конотанта ^ о&редвлвва so (Ш.2.18),
Отсюда
( fa*ct?ф?)BЛ5)
f
Болв одцивату угловой гочви дриаять за вдшшцу to %ъA~?$*
Значвнвя /^0) , энчиолвнянв ао (З.Ш для х. = 1,4, даны в
табл.3> Яри уЗ я fo° формула {2,Ш совпадав? о (Ш.2.26).
Таблица 3
S
=1
60
0,337
0,013
65
0,425
0,074
Q,52g 0
0Д5У Q,l
83	90
0,775 0,871
0,382 0,476
Форма удвраой волна ваходитсп ио B.12),C.9), На рис.13
изображены кривые t(Jfs) да» ^ « 60, 70, 80° при j> =1. Срав-
64

нелве с результатами из jis]
показывает V4to о зшвньвевмм
t увеличивается.
y 8(f и 90° (см. рио.11)
точность даяейаой аворокияма-
№е. 13
На понтуре хеяа во (Ш.2Д6) швее
где
B.Ю)
с * "г '	B.Ш
Определяя отсюда ^ /5^ , «айдем вагем роорвдоявше девдевия

<:;
B.19)
На рис.14 показаны кривые Pt(^c)/pe для нескольких значений
/> , на рис.15 - C^ffl) . Там же нанесены некоторые результа-
результаты работ ?2,14], полученные в первом приближении метода инте-
интегральных соотношений. Применение этого метода к задаче обте-
обтекания конечного конусе или клина облегчается тем, что вместо
У<„ можно задавать Ъ(о) и решать задачу Ковш [0.8.3.
Рис. 14
46
/
/
— — — —"
0 SO SO ?0 SO SO Ao
Рис. 15

В работе [2] решается задача обтекания клина при/з =60-85?
Мд, ш з + 20. Вычислено распределение давления на поверхности
тела, коэффициент сопротивления и градиент скорости в носке. В
[25] используется полярная система координат с началом в вер-
вершине ударной волны, которая вблизи вершина аппроксимируется
параболой. Найдена форма ударной волгы и давление на поверхно-
поверхности конуса при р а 60 и 70° для трех значений А^=2,98, 3.95,
4,63. Результаты сравниваются с эксперимента/".ными. В [14] ох-
охвачен более широкий диапазон углов /3 ¦ 40 *• 120° и чисел Маха
Мл - 2,5 +оо как для клина, так и для вонуса.
§ 3. Возмущения симметричного конического течения
Течения, близкие к симметричному обтеканию кругового ко-
конуса, естественно исследовать методом малых возмущений. Возму-
Возмущения могут происходить от нарушения нак овмметрии, так и ко-
нпчности. Основные усилия до сих пор были направлены на иосле-
дование несимметричных конических течений.
Наиболее интересное возмущение вносятся углом атаки °6 .
При этом разложение газодинамических величин по степеням мало-
малого параметра U {решение Стоуна [29]} оправдывается не во всех
частях области. Вблизи поверхности конуса образуется тонкий
вихревой слов, в котором порядки возмущений некоторых величин
отличаются от обычных. Однако это? слой влияет не на все па-
параметры потока. В частности, давление правильно определяется
решением Стоуне.
Кроме вихревого слоя, ;уществуют особенности семейства
лияш- постоянной энтропии, предсказанные еще в 1946г. А.Феррв.
На надетреннои отороне образуется особенность типа седла, на
подветренной - типа узла, куда сходятся все линии постоянной
энтропии.
Подробное изложение результатов исследований, выполненных
до 1968 г., содержится в монографии [4J. В [5] задача наклон-
наклонного обтекания кругового конуса решается путем разложения по
степеня отношения и/р с точностью до членов второго порядка.
Более тщательный анализ уравнения для внтрошш. позволяет избе-
87

*.ать особенностей решения Стоуна в ви::ревом слое .Численные ре-
результаты, полученные для J. -5 и 10°, р =20 и 30°, Н„= 3, 5,
7, 9, 13 хорошо согласуются с точными. В [9] находятся главные
члены возмущений по ^ без предположения о степенной форме ра-
разложения. Результат для давления и угловой составляющей скоро-
скорости совпадав, с решением Стоуна. Добавки к р , $г z1)fa/ei
имеют порядок -J. у поверхности конуса и порядок Лг вдали от
поверхности. Авторы работы [20] в качестве малого параметра по-
попользуют отношение синусов л и /з . В исходном приближении
плотность считается постоянной и задача получается линеЯной,
благодаря чему возмущенное решение, в отличие от решения Стоу-
Стоуна, строится в аналитической йорме. Вихревой слой остается не-
незастроенным, однако разложены; для давления и нормальной со-
составляющей скорости являются, как и у Стоуна, равномерными
вплоть до поверхности конуса.
В _аботе [3l] рассматривается обтекание слабо эллиптичес-
эллиптического конуса под малым углом атаки. Разложение по двум калым
параметрам строится как вне, так и внутри вихревого слоя.Нахо-
слоя.Находится также возмущенное решение, равномерно пригодное с точно-
точностью до малых первох порядка во всей области течения мевду
ударной волной и конусом.
Одновременное разложение по двум параметрам ш^/шр в
г =(x-j)/(b*i) было предпринято в работе [17]. Особенность
энтропии на поверхности конуса устраняется специальной аппрок-
оимацией. Во всей области течения найдены перв г члены возму-
возмущения всех газодинамических величин и вторые члены для давле-
давления и окружной составляющей скорости. В [12] построено в замк-
замкнутой форме аолаое решение задачи с точностью до величин вто-
второго порядка включительно, пригодное во всей области,кроме не-
небольшой окрестности особенности Ферри. Такой результат дости-
достигается благодаря введению вспомогательной функции у , для ко-
которой получается равномерное приближение вплоть до поверхности
конуса. Этот метод применяется также к произвольным коническим
ж освеимметричным нвконическим наклонным телам, мало отличаю-
отличающаяся от кругового конуса.
Теория тонкого ударного слоя для конических течений, не
ставящая существенных ограничений на величину ы. и форму попе-
поперечного сечения, была развита в работах [?J . В качестве иеза-

висимых переменных используются угловая координата и функция
тока на единичной сфера. При этом первые члены разложения по
степеням i удается построить в квадратурах. Однако само раз-
разложение оказывается неравномерным вблизи поверхности тела,где
существует тонкий вихревой слой, в котором зависимость от е
описывается функциями вида **p(-e/t) , с >-0 . Решение зада-
задачи как без учета, так и с учетом вихревого слоя изложено в
книге [4]. В последующих статьях [4] находятся .лавные члены
решения внутри слоя в предположении, что на поверхности тела
параметры потока известны.Развитие теории применительно к ко-
коническим крыльям подытожено в обзоре [?].
В работе [ю] используются тригонометрические ряды по
азимутальному углу, а уравнения для коэффициентов упрощаются
путем разложения по степеням S . В [32] задача обтекания кру-
rcteoro конуса под углом атаки решается методом интегральных
соотношений. В [24] рассматриваются конические течения, урав-
нвнгл которых в угловых переменных имеют эллиптический тип.
Для удобства описания вихревого слоя в качестве независимых
переменных используются два функции токо. Решение раскладыва-
раскладывается вблизи плоскости симметрии по степеням т t , и система
обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов ре-
решается методом итераций.
Существуют также аналитические аппроксимации некоторых
результатов численных решений. В [30] дана приближенная фор-
формула для утла наклона ударной волны сс на наветренной стороне
конуса
обобщающая аналогичную формулу из [0.4] для симметричного об-
обтекания. В [22] предложена аналитическая аппроксимация для
давления на поверхности конуоа при М^в 1,5 ¦ 20, р %¦ 25°,
J ^ 0,8/3, с погрешностью, не превышающей 4,%.
89

ГЛАВА У. Тонкие тела
Теория обтекания гонких тел является асимптотической те-
теорией в которой малый параметр 7 связан с относительной тол-
толщиной тела. Исторически эта теория была первой главой гипер-
гиперзвуковой аэродинамики.
При асимптотическом подходе целесообразно различать сле-
следующие этапы: определение порядков возмущений, получение уп-
упрощенной постановки задачи для главных членов асимптотики и
решение этой задачи. В § I находятся порядки возмущений газо-
газодинамических функций и их производных с помощью метода поряд-
порядковых угшвнений. Упрощенная постановка задачи (§2) остается
нелинейной. Однако она обладает такими замечательными свойст-
свойствами, как закон плоских сечений и аналогия с одномерным не-
нестационарным движением.
Обобщения теории излагаются в § 3. Ореаде всего в гипер-
звуковой аэродинамике необходимо учитывать эффект затупления,
который проявляется через суммарный импульс, сообщаемый газу
при прохождении носка, и энтропийный слой, где асимптотика по
7 становится неравномерной. Затупление существенно влияет и
на асимптотику ао ? , Рассматриваются также топкие тела под
большим углом атаки и правила площадей для пространственных
гидерзвуковнх течений.
§ I, Порядки возмущений гиперзвукового потока
Тонкое тело слабо возмущает набегающий поток, и естест-
естественно улростить задачу, пользуясь методом малых возмущений.
Упрощение достигается путем отбрасывания членов высшего по-
порядка малости. Однако относительные порядка возмущенных функ-
функций и их производных заранее неизвестны, и пользоваться этим
методом практически непросто. Обычно порядки возмущений уга-
90

дываются на основе физических соображений,из эксперимента или
известных частных решений. При бонев общем подходе полезно
расщепить асимптотическую постановку задачи на два этапа:сна-
этапа:сначала найти точные порядки возмущений и лишь затем получать
упрощенную постановку задачи для главных членов асимптотики.
Информация о порядках дается легче, чем о самих возмущениях,а
о ней легче преодолевается и следующий этап.
Для, определения порядков возмущений существует метод по-
порядковых уравнений [i.l], примененный в [2] к задаче обтека-
обтекания тонкого профиля равномерным гилерэвуковым потоком газа о
fi^j-- оо . Изложим этот метод, следуя [2|. Исходная постановка
задачи содержит, правде всего, уравнения A.2.2) ври v . о.
Считая головную ударную волну присоединенной, рассмотрим лишь
верхнюю часть области Q{ . Уравнение верхней дужки профиля
пусть имеет вид
где Т - малый параметр, роль которого может играть относите-
относительная толщина профиля, наклон контура в носке, угод атаки и
др. В общем случае Т входит в / произвольным обрезом. Пуоть
Функции Jt (t) , i ш 0,1,2, определяют порядка мвдоотя толщи-
толщины, наклона и кривизны профиля соответственно. Вообще говоря,
они не одинаковы. Например, еоли •f(xt) -I Pib (t*x) , to
На контуре тела имеем граничное условие
Уравнение ударной водны по аналогии с профилем вапшпем в
виде
91

У- (!(x,T)--SjT)tr<x,ryi	A.4)
арвчем
Так как функция i(x^) заранее неизвестна,то я порядковые
функция Ь)(?) , i • 0,1,2, также являются неизвестными.
Граничные условия ее ударной волне
e
В «ввовмущвнном потоке г^ »I, rf »0, о »0, р «I» Воаму-
двнвов рвшеаив представим а виде
(I.W
f	i " 1.2,3,4. Предполагайся, что
порядки воэмущений искомых функций не завиоят от координат.
Для производных аввлогичао запшвм
%* -
%
92

Постановка задачи аа этом этапе асимптотического анализа сво-
сводится а определению неизвестных аорядаовых функций ?,(?).
t^jC?) *%(r) черев аавеетаие аорздвовнв функции^ (ту .
Найдем сначала i\(r) a §<Г?) , аояьвуись граничными ус-
условиям» на геле а ударной волне, fa» пак /г , ^ , иг опре-
определена о точностью дв величав порядка едааида, то при записи
порядковых уравнений ковффвцвдиташ* мозно вренеОрегать.Сохра-
вренеОрегать.Сохраняя ять порядни гдаваых чданов, as (I,3> в (I.P) имеем
Решая эту oaorawy iwpaHKOBia уревнений, волучаем
Возмущение адогноогй овваывае«са as малкы г приходитоя отка-
отказаться os ирвдполокения, одо ^ Сг^ т^ё*" ^ • 8*о снижает эф-
фектгакость метода, однаио остаются Бозглоашости упрощений,о<5-
уолоЕлзнныв иъяаачш эоэмущенай других в&дичшп Как видно из
A,10), вслед за шютаоотыз становятся заметными возмущения
поперечной окороета в наклона ударной ЕОДны.Наиболев слабс
возмущаются продольная скорость & давление. Порядка всех этих
величин определяются функцией $г(?) * т.е. порядком наклона
профиля.
Перейдем я отысканию порядковых функций <S. /г) в ^
Иа уравнваай < 1.8.2) о учетом (I.IO) швам
алх>
Остальные уравнения, необходимые для зашшааия оаотекы, полу-
получим, ародаффереицироБав граничнна условия bs арофиле и ударной
волне

р
Отвода
(I.BJ
Таким образом, имеем девять уравнений (I.II), A.12) для девя-
девяти Неизвестных порядковых функций S, (г) , 5j fr) . Хотя эта
система довольно велика, решать ее практически значительно
проще, чем обычные : шейные системы алгебраических уравнений,
так как по ходу дела можно в каждой сумме оохранять только
главные члены. Решение получается таким:
e*~hh > *« * & > <v ж L > ?j>* - Ll\
(I.I3)
Видно, что порядки возмущений производных газодинамических ве-
величин определяются как наклоном, так и кривизной профиля. В
случае, когда J, «* ОС$&), приходится отказываться от предполо-
предположения о малости возмущений ^/"г* , Пуэ/Ък , <bj>/^>if .
Функция fc(ir) в A.10) и A.13) не входит и непосредст-
непосредственно влияет только на Ц,(г). Пра постановке задачи на ъоая/-
щение равномерного потока эта функция ве требуется.
Полученные результаты целесообразно расположить а виде
табл.4.
94

функция
р
г
г'
Порядок
возмущения
1'
1,
1
1
Таблица 4
Порядок производной
ПО X
? *
ь
по у
и1
и*
Нетрудно заметить, что изменение порядка при дифференцировании
одинаково для всех функций. Дифференцирование по X меняет по-
порядок на $л]~* , по ^ - на j^ },~a •
В случае ,?„=), = .?.=Т подучается известные соотношения
(ом. [0.4] и др.), открытие которых в 40-х годах полонило на-
начало гипарзвуковой аэродинамике.
Если число Маха Мх велико, но не бесконечно,в постанов-
постановке задачи присутствует второй малый параметр
Записывая граничные условия на ударной волне (I.3.IMI.3.4) о
точностью до порядков возмущений, имеев
Отсюда видно, что до тех пор, пока ? = *>($*) , число Маха не
влияет на главные члены дозмущэввй. Эффекты обоих параметров
становятся сравнимы, иогда л - $*, т.е. t> ~ >а.
с	С- <*'

§ 2. Зевов плоских сечения в нестационарная аналогия
Определив порядки возмущений, можно переходить к поста-
постановке эадачи для главных членов асимптотики. Порядковые функ-
функции удобно выделить так, чтобы работать о величинами порядка
единицы. Поэтому, учитывая A.7) и A.10), положим
^c'^iX. w* > p-i'P- -f-f>- Bл)
Пусть также
/- %/> = lfJ< > *'~ {/^^ •	B.2)
Пользуясь тем, что изменение порядков при дифференцировании
всех функций по каждой координате одинаково,удобно ввести не-
завиог до переменные
г
B>3)
диф4'врвнцирование ло которым не будет менять порядков функций.
Перейдем к tTxl(J.2). ^, Ц^У . Р,(}, ?) ,J>.A1> B У^2"
нениях A.2.2) при ^ = 0. Сохраняв только главные члены, имеем
О	B.4)
dl
1Гв^(	,25)
Не ионтуре тела, согласно A.3), B.1) й B.2),
v^-л	B-8)
Обращаяоь к условиям на ударной волне, рассмотрим общий
96

чай, когда вклад в главные члены дают оба малых параметра: Т
и У . Полагая
I /%о=/<>	B.9)
из (I.3.I)-(I.3.4) на ударной волне имеем
B.10)
Таким образом,постановка задачи для возмущенного течения,
включающая уравнения B.4)-B.7) и граничные условия B.8),
B.10)-B.13), содержит, наряжу о х. , безразмерннй параметр
К • Через этот параметр гиперзвукового подобия аэродинамичес-
аэродинамические характеристики будут зависеть от М^ и малого параметра
Т . В частности,
с. -
Так как с©з </?,*)-~ }, , с<&4(п^) ^ 1 ,то С^Моо и CyAfc, за-
зависят только от х. и К . Таков закон гиперавукового подобия
тонких тел.
Из-за того, что порядки возмущений газодинамических вели-
величин различны, уравнения B.4)-B.7) остались нелинвйныш.Одна-
ко они все же проще, чем исходные. Основное упрощение состоит
в том, что iSXj входит только в одно уравнение B.5), так что
система расщепляется. Соответствующее расщепление происходит и
в граничных условиях: упрощенное условие на тела B.8) уже не
97

содержит V'xi • Ьоотому есть возможность отделить постановку за-
задачи для j>, , i?, , р, и кг, в виде уравнений B.4),B.6),B.7*
и граничных условий B.8). B.10), B.12), B.13). Для >ГХ1 ос-
останется линейная задача Коши о уравнением B.5) и условием
B.II) на определенной ударной волне.
Первая задача, не содержащая \fx, , описывает движение га-
газа в произвольном поперечном сечении. Возможность рассматри-
рассматривать это движение отдельно от продольного была обнаружена в
40-х годах (см. [0.3] в др.). Сам факт, что при гилерзвуковом
обтекании тонкого тела частицы газа движутоя прежде всего в
поперечных направлениях, называется законом плоских сечений.
Если в уравнениях B.4), B.6), B.7) переменную ^ ин-
интерпретировать как время, то эти уравнения совпадут с системой
нестационарных уравнений одномерной газодинамики.Условие B.8)
на контуре тела при такой интерпретации становится условием
ненротекания на некоторой границе, закон движения которой оп-
определяется уравнением контура. Соотношения B.10),B.12),B.13)
сохраняют смысл условий динамической совместности, во токе на
движущейся ударной волне. Все это движение происходят в фикси-
фиксированном поперечном сечении, через которое проходит рассматри-
рассматриваемое тело. Когда носик тела входит в эту плоскость, в ней как
бы начинает расширяться поршень, вытесняющий газ, а перед ном
бежит ударная волаа. После прохождения миделя поршень сужает-
сужается, но движение газа продолжает расширяться.
Таким образом, двумерная стационарная задача гиперзвуково-
го обтекания тонкого профиля в первом приближении эквивалентна
одномерной нестационарной задаче о расширении поршня. Это свой-
свойство распространяется а на осасимметрачный случай, для которого
поршень является цилиндрическим.
Аналогия о нестационарным движением дает возможность испо-
использовать достижения одномерной нестационарной теории в гипер-
звуковоЁ аэродинамике тонких тел. Так, в нестационарной газоди-
газодинамике существует широкий влево выроадвнных (автомодельных) ре-
решений, получающихся ари некоторых, законах да.левая поршня. Эти
решения описывают шгарзвуковые течения около тел соответствую-
соответствующей форма. Автомолвдьность имеет место, например, для тел ств-
венной форда if sax" при 2./C+f)< K*i . Известно также авто-
98

модельное решение задачи о сильном взрыве. Оно аналогично те-
течению около пластинки или цилиндра с плоским торцом. Поршня
здесь нет, а взрыву соответствует прохождение торца через
рассматриваемую плоскость.
Закон подобия, закон плоских сечений и нестационарная
аналогия, являющиеся фундаментальными достижениями гиперэву-
йоеой теории гонках тел,подробно изложены в существующих уче-
учебниках [0.2, 0.4, 0.7, 0.8]. Эта теория продола* эт развивать-
развиваться. В [7] найдено аналитическое решение для с.епенного профи-
профиля при к ж 3/5, з«. = 7/5. В [12 ] решается плоская обратная
задача для экспоненциальной ударной волны, в [15] - для лога-
логарифмической. Приближенное аналитическое решение задачи гипер-
гиперзвукового обтекания тонких тел о присоединенной ударной вол-
вой предлагается в [ю]. В прямой постановке используется ме-
метод волн разрежеыщ, в обратной строится решение задачи Коши
в виде ряда. Тонкие конические тела рассматриваются в [19].
Линейная теория дает главный член внешнего разложения,который
имеет особенность на поверхности конуса Маха,всходящего из
носка тела. В окрестности этой поверхности строится внутрен-
внутреннее разложение,которое сращивается с внешним. В книге [i] oo-
браны результаты исследований сверхзвукового обтекания тел
врадения степенной сармы, имеющих минимальное лобовое сопро-
сопротивление .
§ 3. Эффект тупого носка и трехмерные течения
У реального тонкого тепа передняя кромка всегда имеет
некоторое затупление. Поэтому теория обтекания тонких тел ну-
ждавия в поправках, связанных о учетом влияния, тупого носка.
При умеренных сверхзвуковых скоростях эта задача решается
сравнительно легче, потому что такие поправки аддитивны.В ги-
дерзвукопой аэродинамике дело обстоит сложнее.
При больших М^ затупление существенно сказывается не
только вблизи носка. Однако в масштабе всего тела носов все
же мал и действие его на поток должно проявляться через ка-
какие-то осредненные характеристики. Аналогия с одномерным не-
99

стацшнареым движением подсказывает, что эффект тупого носка
можно сравнивать с эффектом взрыва, который проявляется через
импульс и энергию, выделившиеся при взрыве.В стационарной за-
задаче соответствующими величинами являются поперечный и продо-
продольный импульсы, сообщенные газу при прохождении тупого носка.
Теория, учитывающая эти интегральные эффекты затупления, была
разв. :а в [0.4]. Она содеряит дополнительный параметр подо-
подобия, связанный с ззтуплением. Класс автомодельных решений в
этой теории сужается. Результаты для пластины и цилиндра с
плоским торцом, а также для затупленных клиньев и конусов по-
подробно изложены в [0.4] и [0.2].
Введение суммарного импульса не исчерпывает эффектов ту-
тупого носка. Дело в том, что влияние затупления, распростроняю-
распростроняющееся в тонком слое волизи тела, где плотность мала,а энтро-
энтропия вепика, изменяет порядки возмущений в этом энтропийном
слое. Поэтому эквивалентность решений стационарной и нестаци-
нестационарной задач в этой области нарушается. Эотраполяция решения,
построенного методом аналогии, уменьшает тоддилу тела. Соот-
Соответствие мокет быт* восстановлено путем введения толщины вы-
вытеснения энтропийного слоя [9,13,11]. Иными словами, асимпто-
асимптотика по 7 становится неравномерной при подходе к поверхности
тонкого затупленного тела.Внутри энтропийного слоя разложение
должно иметь другой вид.
В [4] энтропийные поправки вносятся в фо му уаарной вол-
волны, которая выбирается из условия совпадения полей стационар-
стационарного и нестационарного решений, а форма тела соответствует
траектории частицы нестационарного течения с энтропией,равной
энтропия за прямым скачком уплотнения. В [8] показано,что для
степенной ударной волны.с показателем к - 2/C ->¦>>,) нестацио-
нестационарную аналогию в первом приближении можно применять во всей
области вплоть до тела, контур которого образуется указанным
способом, но в общем случав таков определение контура не при-
приводят в правильным результатам. Более точно рассматриваемая
обратная задача решается методом сращивания внешних и внут-
внутренних асимптотических разложений. В случае ударной волны,ма-
волны,мало отличающейся от взрывной, решение строится таким методом
вплоть до тела, контур которого при х-»^<» находится в виде
100

У=«Х<?+о^а;, где
В [7] при решении обратной лдачи для устранения особен-
особенности энтропии на контуре тела используется метод деформации
координат. Этот же метод применяется в работе [з], где реша-
решается задача гиперзвукового обтекания тонких затупленных тел,
близких к двумерным. Без деформации координат энтропия обра-
обращается в бесконечность на поверхности тела. Деформация коор-
координат устраняет эту особенность и дает асимптоти-.у, равномер-
равномерную во всей области. Ланий тока при этом смещаются и особен-
особенность уходит внутрь тела.
В работе [18] рассматривается задача гиперзвукового об-
обтекания тонких затупленных клиньев. Уравнения для границы эн-
энтропийного слоя и давления по ней интегрируются приближенно в
аналитической форме. В [17] получена численная оценка рассто-
расстояний, на которых толщина энтропийного слоя на затупленных ко-
конусах равна заданной части ударного слоя.Если угол р не
очень мал, энтропийный слой становится очень тонким сравните-
сравнительно быстро.
Асимптотика по * + 1 также существенно зависит от затуп-
затуплении Даже предельное решение не допускает вблизи воска обы-
обычных упрощений. Формальное применение приближения Буземана к
степенным телам У{- l х% , О <¦ /< < 1, дает
л re, о) ~ ? /< [к(г+» -1] в
*";»
Это давление на поверхности тела имеет сингулярность ащ$>0
и положительно только для к •> J /(? + ¦>>) . Вычисляя коэффици-
коэффициент сопротивления на участке О ? Хг s i , при к > 2/СЗ +9~)
получво-м
2?*;<г {2+9)K-~i . C.2)
'о
При к ? 2/C *-i>) сингулярность в носке делает интеграл рас-
расходящимся. Эти условные результаты подоказывают, на каких ин-
интервалах параметра к следует ожидать качественно разлячную
асимптотику.
101

Исследование гиперзвукового обтекания тонких тел степен-
степенной формы при х ¦* i выполнено в работах [14, 6]. В [14] пока-
эано, что при к <¦ 2/C, »->>) существует точка отрыва ударного
слоя, получено распределение давления по телу в зависимости
от к и >> обсуждается переход от области свободного удар-
вого слоя я области автомодельного течения. В [б] изучается
структура неравномерной асимптотики при **i ix-> + « .Стро-
.Строится решение на таком удалении от носка тела, где оторвавший-
оторвавшийся ударный слой взаимодействует с поверхностью тела через да-
давление. Дается следующая классификация течений около тел сте-
степенной формы: при к. >л/Тз + )>) ударный слой не отрывается от
тела; при 1/B^) =ь /г i 2./(Зу^~) ударный слой отрывается, но
не является свободным, а сразу взаимодействует о телом; при
К<1/B-^^) оторвавшийся ударный слой сначала свободный и
взаимогчйствувт с телом лишь на достаточном удалении от носка.
Изучается второй режим и его сопряжение с соседними. Пра к <
<2/(i t-P) и достаточно больших х решение аналогично сильно-
сильному взрыву. Однако с энергией взрыва следует отождествлять не
полное,а .некоторое -$фективнов сопротивление тела .которое мо-
может оказаться больше даже по порядку величины,если K^l/^ti).
Закон плоских сечений и нестационарная аналогия допуска-
допускают обобщение на случай обтекания тонких тел под большими уг-
углами атака °1 [9] (см. также 1.0.5] и [0.2]). Возмущения при
этом не малы, но возмущенная область, сказываю ;ая влияние на
тело, имеет толщину порядка толщины тела. Это позволяет ввес-
ввести деформированные координаты типа B.3) и отделить уравнения
движения в плоскости, поперечной телу, которые аналогичны
уравнениям одномерной нестационарной газодинамики. Такая тео-
теория содержит два параметра подобия: Км - М^мл и kf-l-j{fJ
Пространственные течения газа около тонких тел исследую-
исследуются в монографии [5], где вводился гиперзвукоЕ^е правило пло-
щадей.связыващеэ аэродинамические характеристики тел с оди-
одинаковым изменением площади поперечного сечения и позволяющее
находить Сх без знания локального распределения давления.
Аналогичное правило формулируется в [16] для треугольного кры-
крыла с коническим фюзеляжем на стороне сжатия псд углом атаки.
Утверждается, что изменение аэродинамического качества, выз-
102

ванное добавлением фюзеляжа, прямо пропорционально объему те-
тела е не зависит от формн его поперечного сечения.Задача опре-
определения давления сводится к краевой задаче для уравнения Лап-
Лапласа в поперечном сечении. В [15] это правило распространяет-
распространяется на все аэродинамические силы я умеренно большие числа Маха.
В зависимости от величины параметра гиперзвукового подобия К
возможно как уменьшение, так и увеличение аэродинамического
качества за очет интерференции, Ряд новых результатов по про-
пространственному гаперзвуковому обтеканию тонких затупленных
тел изложен в книге [0.2J.
Произвольное тело со следом можно рассматривать как тон-
тонкое и течение при больших X отроить с помощью нестационарной
аналогии.Обобщение взрывной аналогия на тела,обладающие подъ-
подъемной силой, сдечано в работах [8] на основе понятие направ-
направленного взрыва.

Л И Т В Р А ТУРА
0. 0 б щ а я
1.	БАРАНЦКВ Р.Г. Гиперзвуковые движения газа. - В кн.: Итоги
науки и техники. Гидромеханика, том 9, М., 1976, с.5-53.
2.	ЛУНЕВ В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., 1975, 328 с.
3.	МЕРКУЛОВА Н.М. Развитие газовой динамики в СССР. М., 1966,
152 о.
4.	ЧЕРНЫЙ Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скорос-
скоростью. М., 1959. 220 с.
5.	ЧЕРНЫЙ Г.Г. Теория сверхзвуковых течений газа. - В кн.:
Механика в СССР за 50 лет, том 2, Т., 1970, с.153-206.
6 СОХ R.N., CRABTREE b.f. Elements oi hypersonic aerodynamics.
N.Y.-L., 1965, 243 P.
7.	ГИРО 1. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. Ш.,
1965. 299 с.
8.	ХЕЙЗ У .Д., ПРОБСТКН Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. Л.,
1962. 607 с.
9.	TBUITT R.W. Hypersonic aerodynamics. K.Y-, 1959» 462 p.
Ю. 2IEEEP J. Theorie der schallnaher und hype^schallstrdraun-
gen. Karlsruhe, 1966. 188 S.
I. К ГЛАВЕ I
1.	БАРАНЦЕВ Р.Г. Лекции по трансзвуковой газодинамике. Л.,
1965. 216 с.
2.	БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ О.М. .ШФРШЭ.Г. Трансзвуковые течения за
отошедшей ударной волной. - Яурн.вычксл. мат. и мат. физ.,
1969, Т.9, Л 4, С.908-931.
104

3.	КОЧКН Н.Е., КИБЕЛЬ И.А., РОЗЯ Н.В. Теоретическая гидромеха-
гидромеханика. Том 11. М., 1963. 727 с.
4.	РУСАНОВ В.В. Некоторые свойства трансзвукового течения гяза
в окрестности звуковой поверхности. - Ин-т прикл. мат. АН
СССР. Препринт & 19, М., 1973. 49 с.
5.	РУСАЫОВ В.В. Производные газодинамических функций за искри-
искривленной ударной волной. - Ин-т прикл. мат. АН СССР.Препринт
# 18. М., 1973. 18 с.
6.	ШИвРКН Э.Г. О выпуклости ударной волны на дозвуковом отрез-
отрезке в плоском течении. - Прикл. мат. и мех., 1969,т.ЗЗ, * I,
с.158-162.
7.	ШИФИШ Э.Г. Образование висячего скачка уплотнения при об-
обтекании профиля с изломом образующей. - Прикл. мат. и мех.,
1970, т.34, №6, C.II59-II67.
8.	RAO P.P. Streamiine curvature and velocity gradient behind
curved shock.- AIAA Journal,1973,vol.11,Mo.9,p.1352-135*.
9.	CBPPKH Да. Математические основы классической механики жид-
жидкости. М., 1963. 256 с.
П. К ГЛАВЕ П
1.	БАРАНЦЕВ Р.Г. О выборе зависимости потока импульса
ного угла падения в теории локального взаимодействия. - В
ьн.: Аэродинамика разреженных газов. Вып.7, Д.,1974, 0.168-
179.
2.	БУНЛМОВЙЧ А.И. Соотношения между силами, действующими на
тела .движущиеся в разреженном газе, в потоке овета и в ги-
сер звуков ом ньютоновском потоке. - Изв. АН СССР. Механика
жидкости и газа, 1973, й 4, с.89-95.
3.	БУНКМОВИЧ А.И., ДУБИНСКИй А.В. Обобщенные законы подобия
при обтекании тел в условиях пзакона локальности". - Прикл.
мат. и мех., 1973, т.37, J* 5, с.857-863.
4.	МАХИН Н.А., СЯГАЕВ В.Ф. Об одном приближенной методе расче-
расчета аэродинамических характеристик гладких тел, обтекаемых
под различными углами атаки сверхзвуковым потоком газа. -
Уч. зап. Центр, аэрогидродинам. ин-та, 1971, т.2, .46,с.116-
Ш-	'	105

5.	CHAPlIAN U.Т. A eimple relationship between the drag near
zero lift and the initial normal-force-curve slope obtai-
obtained from Newtonian theory. - AIAA Journal, 1965, vol.3,
No.6, p.494-1195.
6.	CUVSOLO D., MARCONI P. 41cerca dl una conveniente appros-
simazione per la distribuzlone di pre';sione eu ?i una ogi-
vi aceialsirametrica. - Aerotecnlca, 1170, vol.49, No.3-6,
p.54-64.
7.	DIAMANT В., CHAN'l P.K. Hypersonic characteristics of charp
cones at angles of attack. - J.Snacecx (ft ,ind Rockets,
1971, vol.8, No.11, p.110>-1106.
8.	URICSSON L.n, Generalized unsteady embedded ilewtoaian flow.
- AIAA Paper, 1975, No.210, 14 p.
9.	GILLY J.-P. Contribution a l'etude deb feeoulements hyoer-
soniquee autour d'ob6tacles femouee^o. These doct,sci.nhys.
Fac.scl.Univ.Toulouse, 1969, 117 p.
10.	JASLOW H. Aerodynamic relationchip inherent In flewtonini
impact theory. - AIAA Journal, 1968, vol.6, N0.4, t>.608-
612; Lift and drag o? flat-top conTigurations of arbitrary
cross section. - AIAA Journal, 1966, vol.6, No.10, p.20^9-
20t|0; Nonaffine similarity laws for ролег-lnw bodies. -
AIAA Journal, 1971, vol.9, No.12, p.2^66-21*63.
11.	LOVE E.S., "raODS W.C., RAIVKY R.',V., ASHBY G.C., Jr. Sone
topics in hypersonic body shaping. - AIAA Paper, 1969,
No.181, 17 p.
12.	NATH G. Hypersonic flow past a circular cylinder. - J.In-
J.Indian Kflth, Soc, 1966, vol.30, No.1, n.9-14; Flow about
spheres at very high speeds. - J. Indian "ath.i>oc, 1966,
vol.30, No.3, p.179-185.
13.	PIKE J. The lift and drag of axisyminetric bodies in New-
Newtonian flow. - Л1АА Journal, 1969, vol.7, 1N0.I, p.lS5-186j
Newtonian lift and drag of blunt-cone cylinder bodies. -
AIAA Journal, 1972, vol.10, No.?, p.176-180; Newtonian ae-
aerodynamic forces from Poisson's equati 1, - Л1ЛА Journal,
1973» vol.111 Ко.k, p.499-504; Moments find forcer on gene-
general convex bodies in hypersonic flow. - AIAA Journpl,
1974, vol.12, No.9, p.1241-1247.
106

14.	-'iTALLING R.L.Jr, САК"ВПЛ J.F", Лп nnproxiraato method for
predicting pressure distribution on blunt bodl*e at angle
of attack. - J.Spacecraft and dockets, 1970, vol.7, No.11,
p.13^6-1310.
15.	Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. А.Мие-
ле. Ы., 1969. 507 о.
Ш. К ГЛАВЕ Ш
1.	АДККСЕНКО И.И., НАРАНЦКВ Р.Г., ПАНТЕЛЕЕВА И.Н. Метод по-
поперечной аппроксимации в гиперзвуковой аэродинамике. -
Вестн. Ленингр. ун-та, 1962, № 19, с.62-78.
2.	БЕЛОЦЕРКОВСЫ''! О.Ы. Обтекание симметричного профиля с
отошедшей ударной волной. - Прикл. мат. и мех.,1958,т.22,
JS 2, с.206-219; Расчет обтекания осе симметричных тел о
отошедшей ударной волной. М., 1961, 56 с; Численные мето-
методы решения стационарных уравнений газовой динамики. - В
сб.: Численные методы решения задач механики сплошных
срец. М., 1969, с.101-213.
3.	БЕЛОЦЕРКОВСКИй О.М., ЧУШКИН П.И. Сверхзвуковое обтекание
Затупленных тел. - Arch.Mech.Stos.,19Ь2,vol.14,р.461-490;
'''he numerical solution ol problems in %аь dynamics."*- In:
Basic developments in fluid dynamics,vol.1,N.Y.1965>126p.
4.	JliHbKHH Ю.П.. ПОПОВ Ф.Д., ТИМОФЕЕВА Т.Я., ЛИЫЩКИЙ Ю.М.
Проход особых точек при численном решении задач о оверх-
звуковом обтекании тел. - Труды Ленингр. политехн.ин-та,
IS55, № 248, с.7-13.
5.	3P0N A. Eine Inttgralruethode zur elnheitlichen Berech-
nung der Unter- und Uberschallegebleto In absner und ach-'
eensymtnotrlechen Hyoerechallstrbmung. - Z.Flugwise., 197<2,
id.20, No.5, S.173-179» DLR-FB, 1973, No.75, 165 S.
6.	" ?"XT'"R J.K., LUCZYWEK E. Inverse blunt-body proolem by
tho method of integral rclptlone. - Fluid Dynam.Trans.,
vol.k, iVarszawa, 1969, p. 155-162.
107

7. CHOU Y.8. Inviscid hypersonic flow past blunt bodies. -
AIAA Journal, 1969, vol.?, Ro.1, p.149-150.
Й. ГАРАВДШ П. Численное построение отошедших ударных воля,
- ь.ехатша, 1958, !!• 6, о.23-3b. ;v,, I structure of solu-
solutions in the inverse detached shock ягоЫеое . - В КН. :
Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. 1^69,
п. 120-132.
9. КАО Н.С. A new technique for the direct calculation of
blunt-body flow fields.- AIA.A Journal ,1465, vol.5,No.1,
p.161-163; An analytic approach to the method of series
truncation for the supersonic blunt-body problem. - J.
Fluxd Mech., 1967, vol.27, No.4, p.789-815-
10.	Л1ШЬ Ц. Заметка о работе Гарабедяна „Численное построение
отошедших ударных волн". - Механика, № 6, о.36—10.
11.	ПРОСНАК В., БРВЙТЕР Д. Метод быстрого определения рассто-
расстояния ударной волны, основанный на методе интегральных со-
соотношений. -Механика, 1967, JS3, с.70-81.
12.	RAO P.P. Supersonic flow around concave and convex blunt
bodies.- Trans.ASMB, 1975, ser.1, vol.95, p.159-161.
та SAIDA N. An approximate solution of flow around blunt bo-
bodies with detached shock waves.- Trans.Japan Soc.Aeron.
and space Set., 1969, vol.12, Mo.20, p.17-37.
14.	SCHWARTZ L.W. Hypersonic flow generated, by parabolic and
paraboloidal shock waves.- Ehys,Fluids,1974,vol.17,По.10,
p.1816-1821.
15.	SCHW1DBRSKI E.W. Deficiencies in Dorodnicyn's method of
integral relations,- In: Relativistic Fluid Mech.and Mag-
netohydrodynaaics, Proc.Symp.,fl.Y.-L.,1963, p.179-186.
16.	BAH ДАЙК М. Проблема сверхзвукового обтеяанад тупоносного
Тела. - МехаВИКа, 1958, Л 5, С.3-22. The blunt-body prob-
problem revisted.- In: Fund.Fhen.Нуpers.Plow,S.I.,1966,52-69.
108

1У. К ГЛАВЕ 1У
1.	БАБЕНКО К.И., ВОСКРЕСЕНСКИЙ Г.П.. ЛЮБИМОВ А.Н. .РУСАНОВ В.В.
Пространственное обтекание глада,их тел идеальным газом. М.,
1964, 505 с.
2.	БУКОВШИН В.Г. Обтекание клиновидного профиля с отсоединен-
отсоединенной ударной волной. - Изв. АН СССР, Механика жидкости и га-
газа, 1969, № 2, С.83-85.
3.	БУКОВШИН В.Г., ШУСТОВ В.И. Таблицы параметров течения газа
около круглых конусов для чисел М от 2 до 100 и для значе-
значений х. от 1,т до 1,67. - Тр. Центр, аэрогвдродшшм. ия-та,
1970, вып. 1274, 94 с.
4.	БУЛАХ 5.М. Нелинейные конические течения газа. М., 1970,
343 с. О вихревом слое на круговом конусе. - Изв. АН СССР,
Механика жидкости и газа, 1971, № I, с.103-108; 0 вихревых
слоях на конических телах о некруговыми поперечными сечени-
сечениями. - Изв. АН СССР, Мех. жидкости и газа, 1974,№ Ь, с.162-
164; К теории осасимметричного обтекания заостренного тела
вращения сверхзвуковым потоком газа. - Прикл. мат. и мех.,
1977, т.41, № I, с.186-188.	v
5.	ВАСИЛЬЕВ М.М. Сверхзвуковое обтекание конусе под углом ата-
кЧ« - Ин-т прикл. мат. АН СССР, 1968, 97 о.{ ")бтенание ко-
Нуба сверхзвуковым потоком газа под углом атаки. - Изв. АН
ССОР, Механика жидкости и газа, 1970, J8 I, с.33-39.
6.	ГОФМАН Qtttt ДАВЫДОВ В.И. Определение аэродинамических ха-
Г.акте|(йбтйЛ конуса о произвольными малыми отклонениями по-
поверхности* - Изв. вузов. Авиационная техника, 1975, №4,
6.66-62*
7.	1'ОЙОР AJL Обтекание конуса под углом атаки о большой сверх-
сверхзвуковой бяоростью. - Изв. АН СССР, отд. техн. наук, 1958,
Л 7# e.I02-*I05s Theory of hypersonic flow about a wing. -
Progf. Aerosj». Sci., 1973, vol.14, p.109-175.
8.	,ШЮ?йВ А.С. Аналитическое решение задачи об обтекании сверх-
109

звуковым потоком газа. - Вестн. Ленингр. ун-та,1962, Я 7,
с.105-112.
9. МОЛЧАНОВА В.Л. Метод расчета обтекания кругового конуса
под малым углом атаки. - Тр. Центр, аэрогидродинам.ин-та,
вып. 1348, 1971, с.3-50; Метод итераций решения дифферен-
дифференциального уравнения в задаче об обтекании кругового кону-
ла сверхзвуковым потоком, - Там же, с.51-81.
10.	МОНАХОВ Н..М. Обтекание конических тел гилерзвуковым пото-
потоком газа. - Изв. вузов, Авиационная техника, I9S6, № I,
с.3-15.
11.	РАДВОГИН Ю.Б. Структура потока вблизи вершины при сверх-
сверхзвуковом обтекании заостренных тел. - Ин-т прикл. мат. АН
СССР. Препринт № 13, М., 1977, 86 с.
12.	СА11УНК0В Я.Г. Круговой конус под углом атаки в гиперзву-
гиперзвуковом потоке газа. - Прикладная математика и механика,
1а63, т.27, «5, с.930-939; Обтекание кон/.ческих тел, ма-
мало отличающихся от кругового конуса, гиперзвуковьш пото-
потоком газа. - В сб.: Трансзвуковые течения газа. Вып.2, Са-
Саратов, 1968, с.114-127; Обтеканке тел враленля, мало от-
отличающихся от кругового конуса, гилерзвуковым потоком га-
газа. - Там жз, с. 128-139.
13.	ФОЛЛЭ М.И. Произвольное тело, близкое ь клину, в сверх-
сверхзвуковом потоке. - Изв. АН СССР, Механика жидкости и га-
газа, I&74, И 4, с.109-117; Параболическое крыло,близкое к
клину, в сверхзвуковом потоке. - Научн. труды Ия-та мех.
Моск. ун-та, 1Э74, № 32, с.127-135; Антисимметричное кры-
крыло, близкое к клину, в сверхзвуковом потоке. - Там же,
№ 44, с.36-42, 1976.
14.	ЧУШКИН П.И. Отошедшая ударная волна перед клином или ко-
конусом. - Журя, вычисл. мат. и мат. физ., 1974, т.14, $ 6,
с.1600-1605.
1$>. BOHACHEVSKY 1.0. , KQSTOFF R.H. Hyperaonic flow over cones
with attached and detached shock waves. - AIAA Paper,1971,
No.55, 71 p.
16. CARAFOLI E., BERBENTE C. On the supersonic motion past
the circular cone with aero incidence.- Rev.roum.sci.
techn.Ser.mec.appl., 1970, vol.15, No.2, p.355-569.
110

17.	ПН"Чв Н.К. Hypersonic flow pf**t a yawed clrculur cone and
other pointed bodies. - J. Fluid Keeh., b>fc2» vol.12,
'.'Q.2, p.i6*-f9t.
18.	С!,ЧАЯТ J.V. "/edge and cone theory for MA * ©O . - AlAA Jou-
Journal, *965, vol.3, Mo.10, p.1983-199^.
'9. DAVIS S.S, Approximate analytic isolation for the position
and strength of shock waves about cones is suiorsonic flow.
- AIAA Journal, »9?»* vol.9, NO.U, v,2?&7 2289.
20. DOTY Я.Т., RASWJSSEH M.L. Approximafcioa for hypersonic flow
past an Inclined сове, - AIAA Journal, 1973, vol.il. No.9,
21. FAN D.R., KAPUR J.K. Some theoreae on T&ylor-Maccoll flowe.
Trans. ASHE, »9?2, vol, 39, Mo,2t p»fi0A-606.
22» Jooee b,J. A resaure formula for an taellned circular co-
cone in eunersonlc flow, Jf ¦ 1,4» - AIAA Journal, 1972,
vol.10, No.2, p,23i»-236,
23. MACCOLL J.W, The coaicol bhock wave foreed by a cone moving
at high speed, - Proc.Roy.Soe,,1937»vol.A»59» p.^59-472.
2i>. NADIR S. Solution of conical subsonic flows by f.he me'.hod
of series truncation. - ii.angew.Kath. und pliys., 1975,
Bd,26, Ho.l, S.I-И.
25.	RAO P.P. Supersonic fJ.o* past large-angle pointed coaes. -
AIAA Journal, 1972, vol.10, No.12, p.l?»3-17t6.	^
26.	nCUASPFER D.S. Supereoale flow past a nearly stralgnt wedge,
-	Duke Math, J., 1976» vol.43» йо.З» р.637-670
27.	SCWARTZ b.W. On the analytic structure of №e Taylor-
-MaccoXl coaical-flow solution.. - Z.aagev.Math* und Pays.,
1975, Bd.26, No.4, S.kO.-k\k. '
23. ЯГШ 'S.E., WALTER L.A. ApproKlnatloas for supersonic flow
over oones. - AIAA Jottrn^l» J963» vol.», Ha.7, p.1696-1698.
?9. STONE A.H» On suD«r6Q»ic flow past a alightly yawing cone,
-	J.Math.Phye,, iyit3, vol.27, Mo.t, i>.67«8U 1952, vol.30,
4o.ii., p.20O-2i3j 1953» vol.31, Ho.<+, p.300.
УЭ. WILLIAMS u.B. A oorrectioii of the wind-ward shock angle on
yawed cones. - AIAA Journal» *9б9, 4rol.7s No.7, p.1398.
31. 4I00BS B«A, The cuperconio flow paefe aa alliptle сале, »
Aeronaut.Quart., 1969, vol.20, Wo.ktl p,3B?-ifik.

32. ZANDBERGEN P.J., BAURDOUX H.I. An application of the »-
-strip method of integral relations for analyzing the
t low around a circular cone. - J.Bngng Math., 1969,vol.
3, No.5, p.189-208.
У. К ГЛАВЕ У
1.	Аэромеханика сверхзвукового обтекангя твд вращения отвпек-
ной Формы /Под ред. Г.Л.Гродзовокого, U., 1975. 184 с,
2.	ЕАРАНЦЕВ Р.Г., КАЧАЕВА И.Н. К определению порядков возмуще-
возмущений в равномерном гиперзвуковом потоке. - ЗапЛещшгр.горн.
ин-та, 1974, т.52, № 3, 0.97-100.
3.	ЕРМОЛИН Н.Е. Об энтропийном слое в задаче гаоерздукоаага
обтекания тонких притуплённых тел, близких к двумерным. -
Ихурн. врикл. мех. и техн. физ.,1975, J8 3, с,?4>81; Об эн-
энтропийном слое в авумерных течениях. - Там же. 1976, * 6,
с.3848.
4.	КОГАН М.Н., МИХАЙЛОВ В.В. О применении нестационарной ана-
аналогии при построении гиперзвуковых течений около затуплен-
затупленных тол. - Прикл. мат. и мех., 1970, т.34, X 6, с.1053-
1057; Об автомодельных решениях при выделении энергии в до-
токе газа. - Ивв. АН СССР. Механкка жидкости и газа, 1974,
№ 6, 0.I06-II3.
5.	ЛАДЫЖЕНСКИЕ U.S.. Пространственные пшерзвуковые течения га-
газе. If.., I968. 120 с.
6.	МИХАЙЛОВ В.В. Обтекание тонких затуаявннк.. тел с оторва»-
шимся ударным олоем. - Изв. АН СССР. Механика жидкости R
газа, 1973, К 2, 0.104-Ш; Обтекание степейных тел при си-
сильном сжатии в ударном слое. - Изв. АН СССР. Механика жид-
жидкостей и газа, 1873, № 4, С.104-Ш.
XI3

7.	!,iOILV\OB II. M. Об одном аналитическом решений задачи обтека-
обтекания тонкого профиля гиперзвуковшл потокoti саза,- Изв. вы-
высших учвбн. заведений. - Авиац. техн., 147^,№4, с.14-20;
К решению обратной задачи обтекания тонкого затупленного
тела гиперзвуковым потоком га?а» - Изв. вузов. АгиаЦион-
ная техника, 1975, Л 2, с.69-77; К решению задрчи обтека-
обтекания тонкого затупленного тела вращения гиперзвуковым по-
потоком газа. - Там же, 1С76, № 2, с.68-73.
8.	PU^OB O.C., ТВРЙГГЬЕВ ?»Д. О применении взрывной аналогии
к расчету гиперзвуковых течений. - Прикл. мат, и мех,»
1969, т.33, И 4, с,622-630$ Об энтропийном слое в гйдер-
звуковых течениях оо скачками уплотнения, форма которых
задается степенной функцией. - Там же, 1970, 1.34, Л 3,
с.491-507. К теории высокоэнтропийного слоя в гиперзвуко-
вих течениях. - Курн. вычиол. кат. и мот. фйз.,1971,тЛ1»
О* 2, с.462-4ъО; К общеП теории Нестационарных течений,
близких к аьтомодельнкм. - Прйкл. мат. и мех*,197&, т.37»
№ I, c»65-74i 0 гиперзвуковом оотеканш несущего профиля*
- Там же» 1974, т.38, .'* I, с.92-104; 0 пространственных
гигшрзвуковых течениях. - Там же, 1Э7э, т.39,№ 3, о»4Бв-
465.
9.	С1Л?В В.В. Пространствешше гкпарзвуковые течения газя
около тонких теп при оольших углах атаки. - Прикл. \ат. и
мех., I960, т.24, №2, с.205-212; 0 методе малых возмуще-
возмущений в задачах обтекания тонких затупленных т п гшюрзву-
ковым потоком хазе. - Нурн, пр!дкл. мех. и техн. физ.,1962,
№ 6, с.50-59.
10.	Х1'УЩ й.К. Обратный ме1 д расчота шгоских и ооесшллетрич-
1 .х течений газа. № 351-75 Дел. от 13 сревр. 1975,ВИНИТИ.
Осесимметричное гилерзвуковое обтекание тонких тел.№ 352-
75 кьй. от 13 фенр. IS75, ВИШТМ.
11.	CHENG H.K. Hypersonic gas dynamics of slender bodies.-In:
Modern developments in gas dynamic», M.Y.-L., 1969.
перевод: ЧдВН X. Гиперзвуковая газодина.шша тонких «©»¦. -
В сб.: Современные проблемы газовой динамики. M.v
о.137-190.
113

12. cole j.'j., ATOt;scy J. Hypertonie eimllartty solutions for
airfoils supporting exponential shock waves. - Л1АА Journal,
1970, vol.8, No.2, p.308-315.
1?. GOIHAUD J.P, Effet d'6moueeeraent en hypersoniquo. - Arch.
Kech.Stosow., 196k, vol.16, ffo.2, p.2%3-271} /.syoptotic
theory in 'ypersonlc flow. - In: Fund,Phen.Hypere.Flow,
N.y., 1966, p.70-89.
H. HORHuifQ H.O. Some aepecte of hypersonic flow over power law
bodies. - J,Fluid Mech., 1969, vol.39, No.», p»!i»3-l62.
15.	HUI W.H, A solution for hypersonic flow past slender bodlea,
-	J.Fluid Meeh., 1971, vol.W, No.1, р.23-в1» Unified area
rule for hypersonic end nupereonic wing-bodies. «• AIAA Jou*
rnol, 1973, vol.10, No.7, p.961-962.
16.	MALKUTH N. A n<>w aren rule for hypersonic wing-bodie&. -
AIAA Journal, 1971, vol.9, No.t2, p.2i»6O-2i*62} Pressure
field г over hypersonic vting-bodiee at moderate incidence. -
J. Fluid Keen., 1973, vol.59» Ko.i», p.673-691.
17.	MORFTn a., PAWDObFI M. Entropy layers. - Comput, and
Fluids, 1973, vol.J, No.1, p.19-35.
18.	MURTHY A.V, Hypersonic flow over blunted slender wedges. -
J.Aircraft, 197*t, Vol.H, No.it, p.2W-251.
19.	ZAHALAK G,y., MSTEas M.K. Coaical flo* near singular rays.
-	J.Fluid Mech.» 19?<i, vol.63, No.3, p.537-561} On the ac-
accuracy of Whlthaa's method. - AIAA Journal, 197^t vol.12,
No.2, p.20>20?.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 3
Введение 	 5
Глава I. Постановка задачи	 10
§ I. Общая постановка задачи сверхзвукового обтека-
обтекания тел		-
§ 2. Предельная постановка задачи ,		13
§ 3. Голов-ая ударная волна 		16
§ 4. Уравнения и функция тока 		20
Глава П. Приближенные локальные методы решения ....	27
§ I. Формула Ньютона иве обобщения 		28
§ 2. Аэродинамические коэффициенты ооесимметричных
тел		31
§ 3. Связь мезсцу аэродинамическими коэффициентами.,	э?
§ 4. Метод местных конуоов	^..	42
§ 5. Тела наименьшего сопротивления 		44
§ 6. Окрестность точки торможения		48
Глава Ш. Аппроксимация по отдельным координатам.... 52
§ I. К постановке зе ачи		53
§ 2. Поперечная линеаризация функции тока		53
§ 3. Метод интегральных соотношений ....;„,...,....	53
§ 4. Обратная задача 		70
Г л а в а 1У. Обтекание заостренных тел	 75
§ I. Симметричное обтекание кругового конуса 	 -
¦ § 2. Аппроксимации по координатам	 gj
§ 3. Возмущения симмехричного конического течения ..в7
115

Главе У. Тонкие тела	,	, qq
§ I. Порядки возмущваий гипврзврового потока .... -
2. Закон плоокйх сечений и нестационарная анало-
аналогия ..,	 96
§ 3. Эффект тупого носка и трехмерные течения .... 99
Литература	Ю4
Рэм Георгиевич Баранцев
ГЙПЕРЗВУКОВАЯ АЗРОДШШКА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА, "Учебное яо
Редактор М.И.Лаптева, технический редактор Л.и.Нлямик
Подписано в печать 30.05.83.	<тоомат 60x84/16.
Бум,тип.$ 3. Печать офсетная, ^.-изд.л. 5. Печ.д.'Г
Тира» 500 экз. Темшюи 1983 г., поз. ЕГ6. Сл :аэ ."
Цена 15 копеек.
Редакционно-издательскки отдел ЛГУ.
I99I64, Ленинград, Университетская яаб,, 7/9.
Фотоо'Ьсетная лаборатория ЛГУ.
I99I64, Ленинград, паб. Макарова, 6.