МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
им. Д.И. Менделеева
Издательский центр
РАСЧЕТ УСТАНОВОК МЕМБРАННОГО
РАЗДЕЛЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Москва 2001
Министерство образования Российской Федерации
Российский химико-технологический университет им. Д И. Менделеева
л п к Г
1 I' L J
РАСЧЕТ УСТАНОВОК МЕМБРАННОГО
РАЗДЕЛЕНИЯ ЖИДКИХ СМЕСЕЙ
(методические указания)
МОСКВА 2001
Сост лвители Р.Г. Кочаров, Г.Г. Каграманов
УДК 66 067.38
ББК 35.113
Р24
Рецензент
Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического
университета им. Д.И. Менделеева
А. В Беспалов
Р 24 Расчет установок мембранного разделения жидких смесей /
Сост.: Р.Г. Кочаров, Г.Г. Каграманов; РХТУ им. Д. И. Менделеева. — М.,
2001. -128 с.
Рассмотрено большинство вопросов, связанных с технологическим и
гидравлическим расчётом установок мембранного разделения жидких сме-
сей. Даны выводы расчётных формул с необходимыми обоснованиями и по-
яснениями, примеры расчетов и вопросы для самоконтроля, что облегчает
самостоятельную работу над изложенным материалом. Пособие снабжено
приложением, где собраны табличные значения физико-химических свойств
растворов, используемых при расчетах.
УДК 66.067.38
ББК 35.113
©Российский химико-технологический
университет им. Д. И. Менделеева, 2001
©Кочаров Р.Г., Каграманов Г.Г., 2001
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................... 4
1.	Классификация установок мембранного разделения жидких смесей.... 5
2.	Определение расходов потоков, их концентраций и рабочей поверх-
ности мембран для основного варианта проведения процесса мем-
бранного разделения при идеализированных условиях............. 8
3.	Учет условий в реальных аппаратах.......................... 20
4.	Определение гидравлического сопротивления напорных и дренажных
каналов...................................................... 28
5.	Секционирование аппаратов в установке...................... 50
6.	Последовательность расчёта одноступенчатой мембранной установ-
ки........................................................... 63
7.	Специфические варианты проведения процессов мембранного
разделения................................................... 70
7.1	Установки с циркуляционным контуром................... 70
7.2	Двухступенчатые установки............................. 79
7.3	Фракционирование...................................... 88
7.4	Диафильтрация........................................  95
Список литературы........................................ 121
ПРИЛОЖЕНИЕ. Некоторые физико-химические свойства водных
растворов при 25°С....................................... 122
4
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время при изучении курса «Расчет и конструирование мем-
бранных аппаратов и установок», при работе над курсовыми проектами по спе-
циальности и над дипломами студенты пользуются конспектами лекций и се-
минарских занятий по упомянутому курсу и лишь в небольшой степени прибе-
гают к помощи монографий Ю.И. Дытнерского [1, 2] и пособия по проектиро-
ванию [3]. Связано это с тем, что монографии были рассчитаны главным обра-
зом на работников научно-исследовательских и проектных организаций и час-
тично устарели, пособие по проектированию включает только 3 примера расче-
та мембранных установок, поскольку предназначено для работы студентов над
курсовыми проектами в общем курсе процессов и аппаратов химической тех-
нологии.
Ликвидировать указанные пробелы, а также оказаи помощь аспирантам
и научным сотрудникам при решении вопросов, связанных с расчетом мем-
бранных установок и призвано настоящее пособие, где материал излагается с
современных позиций, выводы расчетных формул даются в подробном виде,
облегчающем их восприятие. Кроме того, пособие содержит некоторые новые
выводы, выполненные специально для курса «Расчёт и конструирование мем-
бранных аппаратов и установок» и ранее не опубликованные.
Помимо теоретической части пособие включает примеры расчётов и во-
просы для самоконтроля, приводимые в конце глав или параграфов. Пособие
снабжено Приложением, где даются физико-химические свойства неконцен-
трированных растворов в большем объёме, чем было опубликовано ранее в [1 -
3].
5
1. КЛАССИФИКАЦИЯ УСТАНОВОК МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ
ЖИДКИХ СМЕСЕЙ
Установки мембранного разделения жидких смесей классифицируются
по типу осуществляемого процесса, по назначению, по режиму работы, по
кратности циркуляции, по числу ступеней и по организации потока разделяе-
мой смеси.
По типу осуществляемого процесса различают установки обратного ос-
моса, ультрафильтрации, испарения через мембрану и т.д.
По назначению различают промышленные и опытные установки, а также
опреснительные, для концентрирования растворов, очистки сточных вод и т.д
По режиму работы установки делятся на непрерывные и периодические.
Большинство промышленных мембранных установок являются установками
непрерывного действия.
По кратности циркуляции различают прямоточные и циркуляционные
установки (рис. 1.1.)
Рис. 1.1. Принципиальная схема прямоточной (а) и циркуляционной (б)
установок
6
В прямоточной установке разделяемая смесь однократно проходит через
напорный канал мембранного аппарата (или аппаратов, если их несколько), в
циркуляционном — многократно, для чего предусмотрен специальный цирку-
ляционный контур с насосом. Циркуляционные установки применяются, когда
крайне необходимо обеспечить высокую скорость потока в напорном канале
(например, чтобы не происходило образование геля на мембране в процессе
ультрафильтрации).
По числу ступеней установки подразделяются на одноступенчатые и мно-
гоступенчатые. При этом под ступенью понимается часть технологической
схемы процесса мембранного разделения, в которой происходит однократное
проникновение вещества через мембрану. Многоступенчатые установки ис-
пользуют, когда одноступенчатый процесс не обеспечивает выполнения требо-
ваний к качеству разделения. На рис. 1.2 показан простейший вариант много-
ступенчатой установки на примере двухступенчатого процесса.
Рис. 1.2. Принципиальная схема двухступенчатой установки
По организации потока разделяемой смеси различают секционированные
и несекционированные установки. В секционированных установках все аппара-
ты группируются по секциям, в каждой из которых аппараты соединены парад-
7
дельно, но сами секции соединены последовательно. Секционирование позво-
ляет поддерживать среднюю линейную скорость потока в напорном канале ап-
паратов на одном достаточно высоком уровне благодаря тому, что по мере со-
кращения расхода разделяемой смеси из-за перехода части потока в пермеат
соответственно уменьшается число аппаратов в секции (см. рис. 1.3).
Рис. 1.3. Принципиальная схема трёхсекционной мембранной установки
Вопросы для самоконтроля.
1.	Перечислите основные позиции, по которым классифицируются уста-
новки мембранного разделения жидких смесей.
2.	Как называется часть технологической схемы процесса мембранного
разделения, в которой происходит однократное проникновение вещест-
ва через мембрану?
3.	К какому виду классификации относятся прямоточные установки: по
кратности циркуляции или по организации потока разделяемой смеси?
8
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДОВ ПОТОКОВ, ИХ КОНЦЕНТРАЦИЙ И
РАБОЧЕЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕМБРАН ДЛЯ ОСНОВНОГО
ВАРИАНТА ПРОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССА МЕМБРАННОГО
РАЗДЕЛЕНИЯ ПРИ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ УСЛОВИЯХ
Рассмотрим основной вариант проведения мембранных процессов разде-
ления растворов (рис. 2.1).
Исходный
раствор
Концентрат
(ретант)
Пермеат
Рис. 2.1. Принципиальная схема основного варианта мембранного разде-
ления растворов
Исходный раствор поступает на вход мембранного аппарата (или группы
аппаратов), где установлена мембрана с достаточно высокой селективностью
по всем растворённым веществам. Проходя по напорному каналу, раствор кон-
центрируется, а выходящий пермеат обеднён растворёнными веществами. По
такой схеме осуществляют 2 операции — очистку воды и концентрирование
растворённых веществ. Процессы эти проходят одновременно, поэтому назва-
ние схеме дают по той операции, которая более важна с точки зрения постав-
ленной задачи. Например, если целью является получение пресной воды из
морской, то говорят «схема очистки» («обессоливания», «опреснения»). Если
необходимо повысить концентрацию растворённого вещества в технологиче-
ском растворе, то говорят «схема концентрирования».
Примем, что в напорном канале аппарата раствор движется в режиме иде-
ального вытеснения. Это означает, что концентрации и скорости постоянны в
„побей точке поперечного сечения напорного канала, продольное перемешива-
9
ние отсутствует, концентрация плавно изменяется от входа в аппарат до выхода
из него. Примем также, что пермеат отводится перпендикулярно потоку разде-
ляемого раствора и процесс идёт при постоянном давлении и температуре.
При сделанных допущениях концентрация пермеата и удельная произво-
дительность мембраны являются функциями только концентрации разделяемо-
го раствора:
X2=g(xi);	(21>
G = Цх,).	(2-2)
Здесь Xi— массовая доля растворённого вещества в разделяемом раство-
ре в произвольном сечении аппарата, Хг — массовая доля растворённого веще-
ства в пермеате в том же сечении, G—удельная производительность.
Запишем уравнения материального баланса по всему веществу и по рас-
творённому компоненту для аппарата в целом:
Ln = Woe + LK;	(2.3)
^н^1н ~~ Wo6^2	•	(2-4)
Здесь LH, LK — соответственно, массовые расходы исходного раствора и
концентрата, — массовый расход пермеата со всего аппарата, Х2—массо-
вая доля растворённого вещества в пермеате, Х]ю х1г — соответственно, массо-
вые доли растворённого вещества в исходном растворе и концентрате.
При расчёте известны расход исходного раствора и его концентрация и
обычно задаётся х1к. Требуется найти расходы концентрата и пермеата и кон-
центрацию растворённого вещества в пермеате. Таким образом, имеем три не-
известных, но только два уравнения. Получим недостающее третье уравнение с
помощыо следующего вывода.
Рассмотрим участок от входа в аппарат до какого-либо произвольного се-
чения (рис 2.2.)
10
>л2
Рис. 2.2. Схема потоков и концентраций растворов в аппарате идеального
вытеснения
Пусть L — массовый расход разделяемого раствора в выбранном произ-
вольном сечении, Xj — массовая доля растворённого вещества в разделяемом
растворе в этом сечении, W — массовый расход пермеата на участке от входа в
аппарат до рассматриваемого сечения, Х2 — массовая доля растворённого ве-
щества в пермеате, характеризуемом расходом W, т.е. средняя концентрация на
участке от входа в аппарат до рассматриваемого сечения.
Пусть на элементе поверхности dF в рассматриваемом произвольном се-
чении образуется пермеат с расходом dW и концентрацией х2 растворённого
вещества, и за счёт этого изменение его расхода с пермеатом составляет
d(Wx2), поэтому можно приравнять
dWx2=d(Wx2).	(25)
Образование пермеата сопровождается соответствующей убылью расхода
разделяемого раствора. Это же относится и к растворённому веществу, поэтому
можно записать:
dW=-dL; d(Wx2)=-d(L-Xi).
Перепишем с учётом этого выражение (2.5):
- dL-x2 = - d(L-Xi).
11
Отсюда: х2 =
d(L-Xi)
dL
Учтём, что в соответствии с (2.1) х2 = g(X{):
dL
Приведём это выражение к виду, удобному для интегрирования:
dL • Xi + Ldxi	/ \	L .	/ \
-----1=gta); *i+= gta).
dL _ dxj
L g(xi)-x(’
(2.6)
Проинтегрируем левую часть уравнения (2.6) от L^ до LK, а правую — от
Х]Н до Х|к, т.е. по всей длине мембраны в аппарате:
(2.7)
Полученное уравнение (2.7) и является недостающим третьим уравнени-
ем материального баланса. Непосредственно с его помощью определяем расход
концентрата. Подстановкой (2.7) в (2.3) находим общий расход пермеата:
' X1F dx '
wo6 = LH -LK = LH 1-exp J-7-тг— •	(2.8)
J g(xl)-xl
\ x1h	7
Решением уравнения (2.4) относительно x2 с учёгом (2.7) и (2.8) получа-
ем выражение, определяющее средний состав пермеата:
12
*1к
Lhx1h "LHXiKexp J-у
^НХ1н ~~ ^КХ1К _ х1н g
Xf dX1
Wo6
Х1н
*1к
х1н
- V	Х1н
х1н
х1к
(2.9)
Х1Н ' "
Интеграл, входящий в выражения (2.7) - (2.9), в общем случае находим
путём численного или графического интегрирования. В частных случаях, когда
функция х2= g(xi) имеет простой вид, возможны аналитические решения.
Рассмотрим один такой важный частный случай, распространённый в
процессах обратного осмоса и ультрафильтрации на широком диапазоне изме-
нения концентрации, когда селективность <р сохраняется постоянной при изме-
нении концентрации растворённого вещества:
ф = 1----- = const
Тогда- х2 - g(xi) = Xj (1 — ф) и упомянутый интеграл имеет следующее
решение:
Подставив (2.10) в (2.7), (2.8) и (2 9), получим
(2.Ю)
13
1
(2.Н)
(2.12)
(2.13)
При подстановке мы учитываем, что ехр|
Преобразованием выражения (2.13), можно получить формулу, опреде-
ляющую селективность мембраны, необходимую для концентрирования рас-
твора от х1н до Х1К при условии, чтобы концентрация растворённого вещества в
пермеате не превышала некоторой величины х2 •
Перепишем (2.13) в виде:
*2 = х1н
Далее проводим следующие преобразования:
14
\х1нУ
--!-ln^=lnX1H *2
Ф х1н х1к - х2
1п^- = ф1пХ1к *2;
х1н х1н “ х2
1 х1к
1П —-
Х1н
Ф =-------(2.14)
In Ml
х1н “ х2
Соотношение (2.14) и будет искомой расчётной формулой.
Найдём теперь выражения, позволяющие рассчитать рабочую поверх-
ность мембран, требуемую для концентрирования раствора от XiH до х1к.
Вновь обратимся к произвольному сечению аппарата с бесконечно малой
поверхностью dF. Расход пермеата в этом сечении можно представить как про-
изведение
dW = GdF,	(2.15)
где удельная производительность мембраны G дана в кг/(м2-с) или гаДм^ч) в
зависимости от того, в какой размерности выражаются расходы — кг/с или
кг/ч.
15
Выше мы показали, что dW = - dL. Из (2.6) dL = L—?—ю (2.
g(xl)“xl
G ~ f(X|). С учётом этого, выражение (2.15) приобретает вид:
= -f(X1)dF.
g(xl)“xl
Отсюда
Проинтегрируем уравнение (2 6) для участка от входа в аппарат до рас
сматриваемого произвольного сечения:
XI
L = LHexp J
х1н
dxj
Подставим полученное выражение в уравнение для dF:
Проинтегрируем по всей рабочей поверхности:
16
(2.16)
Выражение (2.16) позволяет определить рабочую поверхность мембраны,
необходимую для концентрирования раствора от концентрации х-1Н до х1к. Зна-
чение интеграла находится путём численного или графического интегрирова-
ния.
В частном случае, когда селективность мембраны не изменяется с ростом
концентрации, а удельная производительность линейно снижается в соответст-
вии с уравнением- G = Go - cxj»
где Gq— удельная производительность по чистой воде, кг/(м2-с) или кг/(м2-ч), с
— константа, кг/(м2-с) или кг/^-ч), выражение (2.16) существенно упрощается:
Т .хф X1?	dv
_ьн х1н [________QX1_______
ф J	1+<Р
X1h(G0-cx1)-x1’>
(2.17)
Значение интеграла в уравнении (2.17) в общем случае находится путём
численного или графического интегрирования.
Однако если ф>0,9, то с достаточной для технических расчётов точно-
стью можно использовать аналитическое решение, полученное при ф = 1:
17
F = LHx1H
n in
dx
X1H
(Go-cxJ-xf
Ik x1h x1k _
(2.18)
1 1
В заключение следует отметить, что расчёты по вышеприведённым для
модели идеального вытеснения формулам имеют физический смысл при вы-
полнении следующих условий:
g(x!H)<X2<XiH<Xllt.
Примеры
1.	В аппарате идеального вытеснения проводится концентрирование 10 кг/с
раствора соли от концентрации 0,1 до 1 мае. % При этом селективность не
меняется и составляет 0,96.
Определить расход пермеата и концентрацию в нём соли.
Решение
Для расчёта используем формулы (2.12) и (2.13). Для удобства вычис-
лений сразу определим отношение Х]К \]н :
х1к/х1н = 0,01/0,001 =10.
Wo6=10-l-10 °-96
= 9,0915 кг/с.
18
0.96-1
1 — 10
х2 = 0,001————=1,006-10 ’4 мае. долей = 1,006-10 2 мае. %.
1-10 °>96
2.	Определить необходимую рабочую поверхность мембран в аппарате идеаль-
ного вытеснения, если расход разделяемого раствора — 5 кг/с, концентрация
его повышается от 0,5 до 2 мае. % при селективности 0,98, зависимость
удельной производительности от концентрации описывается уравнением: G
= 0,005 — 0,04X1, кг/м^с, где хь мае. доли.
Решение
Используем уравнение (2.18):
5 • 0,005 Г 0,04 (0,005 - 0,04 - 0,02)- 0,005	1_______1_‘
0,005	0,005 (0,005 - 0,04-0,005)-0,02 + 0,005 0,02
= 810,8 м2.
3.	Определить селективность при проведении процесса концентрирования рас-
твора в мембранном аппарате идеального вытеснения, если при увеличении
концентрации в 5 раз расход раствора уменьшается в 6 раз.
Решение
Используя уравнение (2.11):
19
In^s
In—= —In—;	ф=-^!и.=—= 0,898.
LK Ф x)H In— ,n6
LK
Вопросы для самоконтроля
1.	Какие операции осуществляют при проведении основного варианта мем-
бранного разделения растворов?
2.	Проведите самостоятельно вывод уравнения материального баланса, с по-
мощью которого определяется расход концентрата.
3.	Преобразуйте выражение, определяющее рабочую поверхность мембраны
для общего случая, к частному, когда селективность не изменяется с ростом
концсн грации, а удельная производительность снижается линейно.
20
3. УЧЁТ УСЛОВИЙ В РЕАЛЬНЫХ АППАРАТАХ
При выводе расчётных соотношений в предыдущей главе был сделан ряд
упрощающих допущений. Рассмотрим, в какой мере они применимы к услови-
ям, существующим в реальных аппаратах.
Постоянство температуры. Постоянство температуры в непрерывных
процессах мембранного разделения жидких смесей — это вполне оправданное
допущение. Изменение температуры в обратном осмосе и ультрафильтрации,
проводимых при температуре окружающей среды, может быть связано только с
теплотой концентрирования и на практике не превышает долей градуса. Если
процессы проводятся при повышенных температурах, то изменение температу-
ры может быть связано с теплонотерями в окружающую среду и достигать не-
скольких градусов. Однако если в расчётах использовать селективность и
удельную производительность при среднем значении температуры, то измене-
ние температуры практически не отразится на результатах расчётов по приве-
денным формулам.
Процесс испарения через мембрану в промышленных условиях прово-
дится в ряде последовательно соединённых аппаратов, между которыми распо-
лагаются теплообменники, нагревающие жидкость до первоначальной темпера-
туры. Поэтому снижение температуры в каждом аппарате невелико и расчёты
можно вести при средней температуре без большой погрешности.
Постоянство давления. Постоянство давления — менее оправданное
допущение, поскольку по лшнс аппарата давление всегда снижается из-за гид-
равлического сопротивления. И при расчёте обратного осмоса и ультрафильт-
рации, где давление сказывается и на селективности, и на удельной производи-
21
тельности, это надо учитывать. Следует вести расчеты или исходя из среднего
перепада рабочего давления через мембрану в аппарате, или же из минимально-
го, который имеет место в выходном сечении аппарата. Последний вариант
обеспечит некоторый запас селективности и удельной производительности на
возможные дефекты в мембранах промышленного аппарата.
Если гидравлическое сопротивление окажется настолько большим, что
потери давления будут соизмеримы с рабочим давлением, то следует мысленно
разделить аппарат на несколько частей и рассчитать каждую часть отдельно
при среднем рабочем давлении в этой части.
Модель идеального вытеснения (МИВ). В аппаратах проточного тина
— с рулонными фильтрующими элементами, с трубчатыми фильтрующими
элементами, с плоскими фильтрующими элементами (типа «фильтр-пресс») и с
мембранами в виде полых волокон — разделяемый раствор проходит в длин-
ных каналах с малым эквивалентным диаметром. Это сводит к минимуму об-
ратное перемешивание, что приближает структуру потока к МИВ по длине на-
порного канала. Основное отличие реальной структуры потока от МИВ связано
с концентрационной поляризацией, которая приводит к изменению концентра-
ций по поперечному сечению напорного канала.
По этим причинам формулы, полученные для расчёта расходов потоков,
их концентраций и рабочей поверхности мембран на основе МИВ, могут быть
применены к реальным аппаратам, если внести корректировку в зависимости
G = f(X]) и Х2 — g(Xj), связанную с учётом величины концентрационной поля-
ризации (КП). При этом расчёты необходимо выполнять методом последова-
тельных приближений. В первом приближении, без учёта КП, производится
выбор вида мембран и аппаратов, рабочего давления и температуры, рассчиты-
ваются величины расходов потоков и их концентраций, определяется рабочая
поверхность мембран, аппараты распределяются по секциям, а затем, исходя из
22
найденных гидродинамтеских условий в напорных каналах, рассчитывается
коэффициент массоотдачи растворённого вещества от поверхности мембраны в
ядро потока разделяемого раствора с использованием известных критериальных
уравнений. На основе коэффициента массоотдачи рассчитывается КП. После
этого вносится корректировка в зависимости f(xi) и g(xj) и проводится новый
цикл расчёта. Расчёты повторяются до сходимости результатов предыдущего
цикла с последующим
Проиллюстрируем с помощью трафиков, как можно вносить корректи-
ровку в ука«энные зависимости, учитывающие КП На рисунке сплошной жир-
ной линией показаны зависимости G = f(xi) и Х2 = g(x-), получаемые при от-
сутствии влияния концентрационной поляризации
Графический учёт КП при корректировке зависимостей удельной произ-
водительности (а) и концентрации (б) пермеата от концентрации разделяемого
раствора
Отложим на оси абсцисс значения концентраций исходного раствора и
концентрата, XiH и х1к. Фактически у поверхности мембраны на входе будет
концентрация х3н = Х]Н-КПН и на выходе х3к = х1к-КПх, где КПР, КПк— со-
ответственно, величина концентрационной поляризации в аппарате на входе
23
исходного раствора и выходе кончен грата. Восстановим перпендикуляры из
всех точек на оси абсцисс. Проведя параллель от точки, где перпендикуляры из
Хз пересекаются с кривыми зависимостей G = f(xj) и х^= g(xi), до перпенди-
куляров из X], получаем точки, соответствующие фактическим значениям G и
х2 на входе и выходе. Аналогично, учитывая КП для промежуточных концен-
траций, получаем скорректированные зависимости G — f(Xj) и х2 = g(Xi), ко-
торые и следует использовать в расчётных формулах (пунктирные кривые).
В частном случае, когда зависимость G = f(Xj) линейна и описывается
уравнением G — Go - cxj, то можно рассчитать КП при xlH, XiK и G по уравне-
нию переноса с учётом КП при этих концентрациях, определить значения кон-
станты с при х1н и х1к и вести необходимые расчёты по уравнению G = Go -
СсрХь где Сер — среднеарифметическое значение константы, рассчитанной с
учётом КП при начальной и конечной концентрациях.
В частном случае, когда селективность не зависит от концентрации, мож-
но перейти от истинной селективности <ри к наблюдаемой <р, которую и следует
использовать в расчётных формулах, приведённых в предыдущей главе, с по-
мощью уравнения:
. 1-(р G . 1-фи
In—- =—+ In——.	(3.1)
Ф₽ Фи
Здесь Р —коэффициент массоотдачи, м/с, G — удельная производитель-
ность, рассчитанная по уравнениям переноса с учётом КП, м/с.
Коэффициент массоотдачи находится из диффузионного критерия Нус-
сельта:
Nu' = Si-,	(3.2)
D
где D - коэффициент диффузии, м2/с; d3 — эквивалентный диаметр, м.
24
В плоских кольцевых и щелевых каналах среднее по длине канала значе-
ние Ni в ламинарном режиме можно рассчи гать по уравнению:
z . \0,30
Nu,=l,67-Re°'34 Pr'°’ (--	(3.3)
\ I J
Здесь Re — критерий Рейнольдса, Рг'—диффузионный критерий Пран-
дтля, / — длина напорного канала в модуле, м, d3 — эквивалентный диаметр
канала, м.
Уравнение (3.3) получено для полых каналов, но приближенно может ис-
пользоваться и для каналов с сепарирующими сетками, если подставлять в ка-
честве скорости фиктивную скорость, а эквивалентный диаметр считать равным
удвоенной высоте полого канала. При этом получаются немного заниженные
значения коэффициента массоотдачи, что обеспечивает некоторый запас на
возможные дефекты в мембранах.
Для различных режимов течения и профилей напорного канала критери-
альные уравнения приводятся в монографиях [1,2].
Примеры
1. В аппарате обратного осмоса проводится очистка водопроводной воды от
растворённых солей. Расход водопроводной воды 5 кг/с, концентрация солей
в ней 0,02 мае. %, в концентрате содержится 0,06 мае. % солей. Истинная се-
лективность используемой мембраны (средняя по всем солям) нс изменяется
в этом диапазоне концентраций и составляет 0,95. Расчёты показали, что ве-
личина концентрационной поляризации практически постоянна по длине на-
порного канала и равняется 2.
Рассчитайте расходы концентрата и пермеата и концентрацию солей в
пермеате.
25
Решение
„	х3 - х2 х, - х2 _	, х2
По определению: фи = —----ф = —1Отсюда: 1 — фч =
X3	Xi	Х3
1 Х2
1 — ф = —=-
Х1
кп^=^-.
х, 1-<ри
С помощью последнего соотношения лайдём наблюдаемую селектив-
ность:
1 - ф = (1 - фй)КП = (1 - 0,95)2 = 0,1;
ф=1— 0,1=0,9.
Используем теперь уравнения (2.11) — (2.13), подставляя в качестве се-
лективности значение наблюдаемой селективности:
zo,ooo6A 0,9
k0,0002)
= 1,475 кг/с;
Wos = 5 — 1,475 = 3,525 кг/с.
0,9-1
1 — 3
х2 = 0,0002----------— = 3,26-10 5 мае. долей = 3,26-10 2 3 * мае. %.
i-з'
2. В аппарате обратного осмоса типа «фильтр-пресс» предполагается концен-
трировать раствор соли, поступающий с расходом 500 кг/ч от 0,1 до 0,5 мае.
% Удельная производительность мембраны, рассчитанная с учётом КП, на
26
входе раствора в аппарат 36 кг'(м2 ч) и на выходе пз него 28,2 кг/(м2-ч).
Удельная производительность мембраны по чистой воде при тех же давлении
и температуре, что и в аппарате, 38 кг/^-ч). Наблюдаемая селективность
мембраны в аппарате практически не меняется и составляет 0,94
Определите необходимую рабочую поверхность мембран в аппарате.
Решение
Проверим применимость линейного уравнения G = Go - СХ] к рассматри-
ваемому случаю.
На входе в аппарат Х]Н = 0,001 мае. долей
С = 2о G.H = 38 36 = 2000
х1ч 0,001
На выходе из аппарата Х]К = 0,005 мае. долей.
с =Go Gk=38 28,2=j960.
х1к 0,005
Значения сн и cR достаточно близки (расхождение намного меньше до-
пустимых 10%), поэтому можно считать, что снижение удельной производи-
тельности мембраны с ростом концентрации раствора соли происходит линей-
но. Найдём Сер.
С = Sl±S_ = 2000+1960
ср 2	2
Уравнение, связывающее удельную производительность мембраны с
концентрацией раствора, имеет вид:
G = 38 - 1980-х^, кг/(м2-ч).
27
Поскольку селективность более 0,9, используем для расчёта поверхности
мембраны уравнение (2.18):
500 0,001 Г 1980 (38-1980 0,005)-0,001 + 1 _ 1	=
38	[	38 ” (38-1980-0,001)-0,005 0,001 0,005
= 11,8 м2.
Вопросы для самоконтроля
1.	Поясните, почему при расчёте непрерывных процессов мембранного раз-
деления жидких смесей справедливо допущение постоянства температу-
ры.
2.	Укажите основную причину, по которой давление в напорном канале
мембранных аппаратов изменяется по длине канала. Как это обстоятель-
ство учитывается при расчёте аппаратов ультрафильтрации?
3.	С чем связано основное отличие структуры потоков в напорных каналах
мембранных аппаратов от модели идеального вытеснения?
4.	Ниже указаны значения удельной производительности мембраны при
различных концентрациях раствора, наблюдаемые в аппарате идеального
вытеснения, и значения величины концентрационной поляризации, соот-
ветствующие этим концентрациям в реальном мембранном аппарате. По-
стройте график зависимости удельной производительности мембраны от
концентрации раствора в реальном аппарате, если раствор концентриру-
ется от 1 до 4 мае. %.
Хь мае. доли	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06
G, кг/(м2-ч)	27	25	22	17,5	13	8
КП	2	1,75	1,60	1,5		
28
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
НАПОРНЫХ И ДРЕНАЖНЫХ КАНАЛОВ
Расчёт гидравлического сопротивления прежде всею необходим для на-
хождения давления, которое должен развивать насос для подачи раствора в
мембранный аппарат. Кроме того, от гидравлического сопротивления зависит
фактическая величина избыточного дав ления в аппарате, а её нужно знать при
механических расчётах (определение толщины стенок корпуса, фланцев и т.п.),
при оценке возможного уплотнения мембраны, в ряде случаев — для корректи-
ровки величины удельной производительности и селективности мембран.
Развиваемое насосом давление Дрн расходуется в баромембранных про-
цессах на создание перепада рабочего давления через мембрану Дрм, во всех
случаях — на преодоление гидрав тического сопротивления потоку разделяемо-
го раствора в аппарате Дра и потоку пермеата в дренажах Ард, а также на ком-
пенсацию потерь давления на трение и местные сопротивления в трубопрово-
дах и арматуре Дрп и подъём раствора на опредетённую геометрическую высо-
туДрг:
Дрн=Дрм+Дра+Дря+Дрп+Дрг.	(41)
Величина Арм выбирается на основании паспортных данных мембран,
концентрации раствора и с учётом других обстоятельств, изложенных в литера-
туре [1,2] и подробно излагаемых студентам на IV курсе, когда они знакомятся
с теоретическими основами обратного осмоса и ультрафильтрации.
Величина Арп рассчитывается по формулам, известным из общего курса
«Процессы и аппараты химической технологии».
Поэтому в настоящем пособии мы ограничимся рассмотрением подхода
к расчёту гидравлического сопротивления напорных и дренажных каналов не-
29
которых типовых мембранных аппаратов и для ряда наиболее важных случаев
дадим вывод расчётных уравнений.
Аппараты с трубчатыми фильтрующими элементами
В большинстве таких аппаратов мембраны распо. тагаются на внутренней
поверхности труб с пористыми стенками. Сопротивлением дренажного канала в
таких аппаратах обычно можно пренебречь, поскольку щть пермеата в дренаже
равен толщине пористой стенки и не превышает нескольких миллиметров.
Сопротивление напорного канала, представляющего собой полую трубу
длиной не более нескольких метров, также нс велико. Расчёт можег быть вы-
полнен на основе соотношений, известных из курса процессов и аппаратов хи-
мической технологии, с учётом того обстоятельства, что в напорных каналах
мембранных аппаратов скорость потока снижается по длине канала из-за выхо-
да пермеата.
Получим выражение, позволяющее рассчитывать гидравлическое сопро-
тивление напорного канала аппаратов с трубчагымп фильтрующими элемента-
ми с мембранами на внутренней поверхности труб для случая ламинарного по-
тока.
Из гидродинамики известно основное выражение, определяющее поз ерю
давления на трение в каналах:
а л I pw2
Ар = X-——.	(4.2)
аэ 2
Здесь Л. — безразмерный коэффициент трения; / — длина канала, м; d3 —
эквивалентный диаметр канала, м; р —плотность жидкости, кг/м3; м> —средняя
(по сечению) скорость в канале, м/с.
30
Пусть на вход трубчатого мембранного аппарата, содержащего п груб
внутренним диаметром d и длиной поступает поток с расходом LBX, кг/с, а
удельная производительность мембраны постоянна по длине напорного канала
и составляет G, кг/(м2-с) Будем считать постоянными также плотность жид-
кости р и вязкость Ц.
Тогда массовый расход в напорном канале в произвольном сечении на
расстоянии / от входа составит
L = LBX - G F = LBX - G-Tt d r/ Z,
где F = я-d-zrZ — поверхность мембран на пути потока от входа в аппа-
рат до рассматриваемою сечения, м2.
Скорость в сечении каждой трубы на расстоянии / от входа будет равна
L 4L 4LBX 4G^'d*wZ 4G-Z
= — =-------~2~ Ч-------75----------Т5----= wbx------у -	(4.3)
p-S p-jc-d -п р-л-d -и р-л-d -и	P*d
О е K’d2	2
Здесь S =----п— поперечное сечение напорного канала аппарата, м,
4
wBX — скорость на входе в трубу, м/с.
Запишем уравнение (4 2) для участка бесконечно малой длины dZ в про-
извольном сечении на расстоянии Z от входа в трубу:
dp = Л.
dZ р- w2
d ~2~
(4.4)
Как известно, в случае ламинарного потока в каналах круглого сечения:
64 _ 64 ц
(4-5)
Re w•d•р
Подссавим в (4.4) сначала коэффициент трения X, определяемый (4 5), а
затем скорость, определяемую (4.3):
31
64 • ц d/ р • w2
w’*d*p d 2
QO H Al ao и A1( 4G-/A
= 32—z- • al • w = 32Ш• al wRY-=
d2	d2 I Bx P*d J
128|aG
= 32^r- • d/------ZdZ.
d2	вл _ j3
p- d
Проинтегрируем уравнение (4.6) по всей длине напорного канала:
Дра
* WBX
f/d/;
О Р'“ О
О
u.-wKY-lm 64ii-G-/~
Лра=32—2----------“ -Д..	(4.7)
d2 p-d3
По выражению (4.7) можно рассчитывать гидравлическое сопротивление
напорного канала в аппаратах с трубчатыми фильтрующими элементами при
ламинарном потоке. Если по длине аппарата происходит резкое изменение
удельной производительности мембраны, либо вязкости раствора, то следует
мысленно разделить аппарат на несколько частей, провести расчёт гидравличе-
ского сопротивления каждой части отдельно, используя средние для этой части
значения G и ц, а затем просуммировать полученные значения гидравлических
сопротивлений.
Аппараты с рулонными фильтрующими элементами
В напорных и дренажных каналах рулонных модулей располагаются со-
ответственно сепарирующие и дренажные сетки сложной геометрической кон-
фигурации. Применяются сетки узелковые и безузелковые с различной толщи-
ной волокон и их ориентацией, различным размером ячеек. Аналитический
расчёт гидравлического сопротивления каналов с такими сетками практически
невозможен.
32
Рассмотрим метод расчёта гидравлического сопротивления канатов с сет-
ками, который применим в случае ламинарного поз ока, требующий для своего
использования минимальный объём экспериментов.
В основе метода лежит допущение, подтверждённое экспериментами на
десятках видов сеток, что гидравлическое сопротивление канала, образованное
сеткой, Дрс, может быть найдено как произведение:
Дрс=Дрт<	(4.8)
где Арпх — гидравлическое сопротивление полого канала той же длины и
высоты, — коэффициент сопротивления сетки.
Величина коэффициента зависит от вида сетки и определяется экспери-
ментально. Для этого на отдельном модуле промышленного аппарата или в
плоском канале, где между двумя фланцами зажимается исследуемая сетка, за-
меряется гидравлическое сопротивление при некоторой скорости потока, соот-
ветствующей ламинарному режиму, и таким образом находится Дрс. Затем с
помощью формулы (4.2) рассчитывается сопротивление полого канала Дрпк.
_	ИХ ДРс
Далее находится ч =----— •
Ар ПК
Используя найденное таким способом значение с помощью формулы
(4.8) можно рассчитывать гидравлическое сопротивление канала с сеткой при
любых значениях скорости, вязкости и плотности потока в пределах ламинар-
ного режима. Обычно для сепарирующих сегок = 5 10, а для дренажных —
= 100 4- 200. Отсюда видно, что сопротивление напорных каналов на порядок,
а дренажных каналов — на 2 порядка больше, чем сопро гивление плоских ще-
левых каналов.
В подавляющем большинстве случаев в напорном канале аппаратов с ру-
лонными фильтрующими элементами разделяемый раствор движется ламинар-
33
но. Канал образован множеством витков скрученной в спираль сепарирующей
сетки и может рассматриваться как кольцевой с высотой, равной толщине сепа-
рирующей сетки 5С.
Коэффициент трения в этом случае равен:
л 96	v	„	vv • d, • р	w • 25с • р
Л, = —, а критерий	Рейнольдса Re =------— =--------—.
Re	ц ц
Примем, что плотность и вязкость потока постоянны по длине напорного
канала, тогда формула (4.2) трансформируется к виду:
96ц I р-w2 _
w26c-p28c 2
Получим выражение для расчета гидравлического сопротивления полого
канала, учитывающее изменение скорости, связанное с выходом пермеата.
Примем, что удельная производительность мембраны в аппарате является
постоянной, и пренебрежём небольшой поверхностью мембраны в области
склейки пакетов (элементов) по сравнению с рабочей поверхностью.
Тогда расход в произвольном сечении на расстоянии / от входа в напор-
ный канал можно выразить следующим образом:
L = LBX-GF=LK[-G-2w3-/1I/.	(410)
Здесь LBX — массовый расход на входе в канал, кг/с
—поверхность мембраны на пути от входа в канал до рассматриваемого сече-
ния, м2, /п — длина пакета (спирали, в которую скручен элемент из двух мем-
бран, опирающихся на дренажную сетку, совместно с сепарирующей сеткой,
создающей канал для прохода разделяемого раствора), м, п3 — число элементов
в модуле.
Обозначим через b ширину мембранного полотна, из которой скручен
рулон. Она равна длине пути потока в рулонном модуле. Если аппарат включа-
34
ет несколько последовательно соединенных модулей, то o6j цая длина напорно-
го канала аппарата будет равна пм Ь. где пы — число модулей.
С учетом сказанного, скорость потока в напорном канале в произвольном
сечении на расстоянии I от входа можно выразить с помощью уравнения (4.10)
следующим образом:
w _ L _ L _ LBX _ G - 2иэ • Z„ • I 
р • S р • 5С • 7П • йэ	р • 6С • /п • иэ р • 5с • 7П *
^вх
(4.11)
где Wjjx — скорость на входе в канал, S = бс-7п-нэ — сечение напорного
канала.
Запишем уравнение (4 9) для участка бесконечно малой длины dZ в рас-
сматриваемом произвольном сечении:
,	ц • dZ • w
dp=l2^-r-
Подставим сюда скорость w, определяемую (4.11):
= 12^fwBX-G^-') = 12^-4R^-dZ- 24^-/d/.
6С2 I “	Р-8С)	8С2	р-82
Проин гегрируем (4.13) по всей длине напорного канала:
(4-12)
(4-13)
ДРпк =12^4 b - 12^(лм -ь)2.
бс	р ’ ос
(4.14)
С помощью выражения (4.14) можно рассчитывать сопротивление полого
напорного канала аппарата рулонного типа. Как упоминалось выше, для полу-
35
чения значения полного гидравлического сопротивления надо полученную ве-
личину умножить на коэффициент сопротивления сепарирующей сетки.
Если по длине напорного канала происходит резкое снижение удельной
производительности мембраны, связанное с концентрированием раствора, либо
значительное увеличение вязкости, то следует мысленно разделить напорный
канал на несколько частей, провести расчёт гидравлического сопротивления
каждой части отдельно, используя средние для этой части значения G и ц, а за-
тем просуммировать полученные величины.
Изменение плотности при концентрировании растворов мембранными
методами обычно незначительно и расчёты выполняются при среднем значении
плотности раствора по длине аппарата.
Если удельная производительность мембраны или вязкость раствора ме-
няются в аппарате не более, чем на несколько десязков процентов, то в расчё-
тах также используется их среднее значение.
Рассмотрим теперь как рассчитать гидравлическое сопротивление полого
канала применительно к дренажному слою. Здесь надо будет учесть, что ско-
рость пермеата изменяется от нуля на внешней поверхности рулонного элемен-
та до максимального значения при входе в пермеэтоотводящую трубку. При
выводе формул будем считать постоянными удельную производительность
мембраны, а также плотность и вязкость пермеата.
Запишем выражение для перепада давления на участке бесконечно малой
длины в произвольном сечении полого щелевого канала в случае ламинарного
режима:
dp = 12^^d/.	(4.15)
36
Здесь мы использовали полученное выше уравнение (4.12), поскольку X и
d3 определяются одинаковым образом для щелевых и кольцевых каналов, и
только учли, что высота полого канала равна толщине дренажного слоя 6Д.
Скорость пермеата в произвольном сечении связана с текущей , шиной
дренажного канала Z, которую мы отсчитываем от внешней поверхности спира-
ли, следующим образом:
GF G-2bZ 2G-Z
^ = —— =—Г =	<4-16)
р • 8Д	р • 5Д • b	р • бд
где G-F —массовый расход пермеата на рабочей поверхности мембран от
внешней поверхности спирали до произвольного сечения на расстоянии Z, при
этом рабочая поверхность определяется как ширина рулонного модуля, умно-
женная на длину спирали и на два, поскольку к дренажу примыкают две мем-
браны; Бд — 5д-Ь — площадь поперечного сечения дренажного канала.
Подставим (4.16) в (4.15):
dp = 12-t^^d/= 24-^/d/.
8д Р-8Д Р-53д
Проинтегрируем по всей длине мембранного пакета (спирали):
АРпк	рМ
jdp = 24^-r pd/;
О	р  * д о
Лп = 72 H~G,2	(417)
Дрпк	a Zn.
Р-5Д
По уравнению (4.17) и следует рассчитывать гидравлическое сопротивле-
ние полого канала, образованного дренажным слоем. Умножив полученную ве-
личину на коэффициент сопротивления дренажной сетки, получим полное гид-
равлическое сопротивление дренажного канала.
37
Из выражения (4.17) видно, что сопротивление дренажного канала про-
порционально квадрату длины пакета рулонного элемента. Поэтому, используя
модули, например, с 6 совместно навитыми рулонными элементами, мы снижа-
ем путь пермеата в дренаже в 6 раз, а гидравлическое сопротивление в 36 раз
при той же рабочей поверхности по сравнению с одноэлементным модулем.
Аппараты с плоскими фильтрующими элементами типа «фильтр-пресс»
Если напорные каналы прямоугольного сечения и полые, то сопротив те-
ние рассчитывается по обычным формулам, известным из гидродинамики. Не-
обходимо только учесть снижение скорости по длине напорного канала, анало-
гично тому, как было сделано выше. 11ри наличии в канале сепарирующей сет-
ки гидравлическое сопротивление определяется по формуле (4.8).
В аппаратах с круговыми фильтрующими элементами происходит изме-
нение поперечного сечения напорного канала от минимального в области пере-
точных отверстий до максимального в центральной части. Соответственно ско-
рость потока меняется от максимальной в области входа и выхода до мини-
мальной в средней части элемента. Мы рекомендуем вести расчёты, используя
среднеинтегральное значение скорости, получаемое делением расхода на сред-
нее поперечное сечение Scp. Оно находится делением площади крута на диа-
метр и умножением полученной средней ш Ирины кругового сечения на высоту
канала:
л’дм
scp = h = 7I'dM'h = 0.785 • dM • h,
dM	4
где dM — диаметр крут ового элемента, м h —- высота канала, м.
3«
При наличии в канале сепарирующей сетки высота канала принимается
равной ей толщине.
Сопротивление дренажных каналов в аппаратах с прямоугольными
фильтрующими элементами зависит от способа отвода пермеата, который в
разных конструкциях осуществляется по разному. Поэтому для каждого от-
дельного случая надо получить свою расчётную формулу, учитывающую спе-
цифику пути пермеата в дренаже и зависимость расхода пермеата от пути
В большинстве конструкций аппаратов с круговыми фильтрующими эле-
ментами пермеат движется от центра к периферии в радиальном направлении и
отводится по всей окружности элемента
Выведем расчётное выражение для этого типичного случая.
Аналогично тому, как мы делали выше (см. (4.9) и (4.12)), выразим пере-
пад давления при ламинарном режиме течения в произвольном сечении дре-
нажного канала на расстоянии г от центра элемента на участке бесконечно ма-
лой длины dr следующим образом:
dp = 12-^dr>
(4.18)
где w — скорость пермеата, м/с, на расстоянии г, м, от центра элемента.
Она связана с текущим радиусом г следующим образом:
GF G-2nr2 G-r
w =-----=---------=-----.
р-Бд р-2лг-8д р-8д
(4.19)
(Удельную производительность мембраны G, плотность р и вязкость ц
пермеата мы принимаем постоянными, как и в ранее приведённых выводах).
В формуле (4.19) использованы обозначения: Р=2лг2 — поверхность
двух мембран от центра элемента до рассматриваемого сечения (без учёта не-
большой части поверхности, теряемой в области переточных отверстий), 8Д =
39
2лтбц — площадь поперечного сечения дренажного канала на расстоянии г от
центра элемента.
Подставим (4.19) в (4.18)
dp = 12-^-^-r-dr.
p-si
Проинтегрируем левую часть от 0 до Ар^, а правую - от 0 до радиуса
элемента гм:
По уравнению (4.20) рассчитывается гидравлическое сопротивление по-
лого дренажного канала. Умножая его на коэффициент сопротивления дренаж-
ной сетки, получаем полное гидравлическое сопротивление дренажного канала.
Аппараты с мембранами в виде полых волокон
При использовании волокон диаметром порядка 1 v 2 мм разделяемый
раствор подаётся внутрь волокон и расчёт гидравлического сопротивления на-
порного канала идентичен тому расчёту, который мы рассмотрели примени-
тельно к аппаратам с трубчатыми фильтрующими элементами с мембранами на
внутренней поверхности труб.
Значительно сложнее обстоит дело с расчётом аппаратов, где напорный
канал представляет собой межволоконное пространство пучка, собранного из
волокон диаметром порядка 50т200 мкм, который различными способами раз-
мещается в трубчатом корпусе. Волокна малого диаметра изгибаются, скручи-
40
ваются в спирали, что делает невозможным аналитический расчёт гидравличе-
ского сопротивления напорного канала даже в простейшем варианте укладки
пучка — параллельно оси аппарата Тем не менее, если есть возможность про-
ведения экспериментов по замеру гидравлического сопротивления напорного
канала реального аппарата с пучком волокон, расположенным параллельно оси,
то на основе всего двух экспериментов можно получить два коэффициента, с
помощью которых становится возможным расчёт гидравлического сопротивле-
ния при любых других значениях скорости, вязкости и плотности раствора в
напорном канале подобного аппарата.
Дело в том, что сопротивление межволоконного пространства описывает-
ся следующим уравнением:
2
Лра=Ь~Г’	(4.21)
оэ 2
Здесь X — общий коэффициент сопротивления, который учитывает поте-
ри на трение и местные сопротивления, связанные с изгибами волокон и скру-
чиванием их в спирали, w — средняя истинная скорость потока в межволокон-
ном пространстве, d3 — эквивалентный диаметр напорного канала, I —длина
канала, р — плотность жидкости. Эквивалентный диаметр находится как учет-
верённая площадь сечения потока, делённая на смоченный периметр:
d?p-°d2H
d_ +n-dH
и
(4.22)
Здесь djp — внутренний диаметр корпуса, du — наружный диаметр во-
локна, п — число волокон в аппарате, расположенных параллельно оси.
41
Зависимость X от критерия Рейнольдса выражается формулой такого же
вида, как и в случае неподвижного зернистого слоя:
Х = —+ В.	(4.23)
Re
Коэффициент А связан с трением, а В — с местными сопротивлениями.
Эти коэффициенты зависят от диаметра волокон, плотности их упаковки в
мембранном аппарате и других факторов и для каждого типа аппарата должны
определяться экспериментально. В простейшем случае замеряется перепад дав-
лений при двух значениях скорости. Затем с помощью уравнения (4.21) рассчи-
тываются два значения X и далее решаются два уравнения вида (4.23) с .двумя
неизвестными А и В.
При выполнении расчётов по уравнению (4.21) средняя истинная ско-
рость в межволоконном пространстве находится делением среднеарифметиче-
ского значения массового расхода в канале на площадь поперечного сечения
потока.
Значительно проще определяется гидравлическое сопротивление дренаж-
ного канала. Он представ: (яст собой цилиндр диаметром, равным внутреннему
диаметру волокна dB, и длиной, равной длине пучка волокон /в при односто-
роннем отводе пермеата или IJ2 при двустороннем.
Рассмотрим вариант с односторонним отводом пермеата. Такой вариант
встречается, когда пучок волокон складывается пополам или же волокна с од-
ного конца заклеиваются (рисунок).
42
Варианты одностороннего отвода пермеата
В обоих случаях пермеат проходит внутри волокна круглого сечения,
причем его расход меняется от нуля в крайней правой точке до максимальной
величины при выходе из волокна.
Рассмотрим бесконечно малый участок d/ в произвольном сечении на
расстоянии / от крайней правой точки. Перепад давления на этом участке мож-
но выразить уравнением:
d/ рм>2
(4-24)
где А, — коэффициент трения, w — скорость пермеата внутри волокна в
рассматриваемом сечении
Плотность пермеата р, его вязкость ц и удельную производительность
волоконной мембраны G будем считать постоянными по длине волокна, при-
чем G отнесена к внутренней поверхности волокон и имеет размерность
кг/(м2-с).
Режим течения пермеата внутри волокна заведомо ламинарный, поэтому
коэффициент трения:
64 _ 64ц
Re w • de • р
43
Подставим это выражение в (4.24):
,	64ц dZp-w2 _op-dZ-w
dp =---------------— 32-----—
w'dB*pd 2	d2
Выразим скорость через расход пермеата:
G-F G-7UL-Z 4GZ
W=----=-------5=— =----.
p-s ndB p-dB
Р‘ 4
Подставим в (4 25):
dp = 32^3^ = 128-^/d/.
dBz p-dB p-dB
(4-25)
(4-26)
Проинrei’pwpyем правую часть от нуля до длины пучка волокон, а левую
- от нуля до соггротивления дренажного канала Дрд:
лРд	г /в
fdp = 128-^—z- [ZdZ;
0J Pd» 0J
Дрд=64^.	(4.27)
P ‘ dB
Полученное выражение (4.27) позволяет рассчитывать гидравлическое
сопротивление дренажного канала при одностороннем отводе пермеата внутри
волокна. При использовании модулей с двухсторонним отводом пермеата гид-
равлическое сопротивление при прочих равных условиях будет в 4 раза мень-
ше, поскольку длина пути пермеата уменьшится в 2 раза, а она входит в форму-
лу (4.27) во второй степени.
Тот подход к расчёту гидравлическою сопротивления, который мы рас-
смотрели, позволяет находить полные гидравлические сопротивления напорно-
го и дренажного каналов. Поэтому, используя формулу (4 1) для нахождения
давления, которое должно развиваться насосом, мы можем быть уверены, что в
44
любом сечении аппарата обеспечивается перепад давления через мембрану не
менее величины Дрм. при которой в обратном осмосе и ультрафильтрации рас-
считываются удельная производительность и селективность мембран. Однако
иногда возникает задача определения средних значений гидравлического со-
противления, например, для расчёта давления, развиваемого насосом, при кото-
ром средний перепад рабочего давления через мембрану будет равен выбран-
ной величине Дрм.
Рассмотрим, как можно получить средние сопротивления напорного и
дренажного каналов на примере аппаратов с рулонными фильтрующими эле-
ментами.
Для определения среднего сопротивления полого напорного канала возь-
мём за основу уравнение (4 13) и проинтегрируем его от входа в канал до про-
извольного сечения на расстоянии I от входа. При этом получим:
Р«с
Л„ _ |2М%Х . 12gG,2
^Рпк „2	1 ”
Sc
Среднее сопротивление может быть найдено по формуле:
пм-Ь
]*АРпк *
Ар ПК,ср ~	~ Г 
пм ' Ь
(4.28)
(4-29)
Подставим (4.28) в (4.29)
Ар ПК , ср
Пм-Ь
Пгг'Ь	_ — Пкд’Ь
-фа f/d/-^£ f/2dZ
s; 0	pSc oJ
пм’Ь
Н^вх-Пм-Ь л • ьУ
8?	рб’
45
АРпк.ср
Выведем теперь формулу для расчёта среднего сопротивления полого
дренажного канала рулонного модуля. Возьмём за основу выражение (4.17), но
запишем его для произвольного сечения на расстоянии / от внешней поверхно-
сти спирали:
ДРпк=12н , 	(4.31)
р-бд
Среднее сопротивление в данном случае определяется формулой:
]4Pm<dZ	(432)
Ар ПК,ср ~	•
*п
Подставим (4.31) в (4.32)
Р*д о _ 1 pG/n2	<433)
/„ рб3 '
Используя указанный подход, нетрудно получить выражения для средних
сопротивлений других типов напорных и дренажных каналов, рассмотренных в
этой главе.
В заключение главы следует обратить внимание на то обстоятельство, что
при выводе формул для расчёта гидравлического сопротивления каналов мы не
учитывали влияние поперечного потока, связанного с выходом пермеата. В то
же время в напорном канале за счёт поперечного потока увеличиваются гради-
ент скорости у стенки и коэффициент трения. Но зато жидкость, покидающая
канал в качестве пермеата, передаёт импульс основному потоку, который мо-
жет превысить потери на трение и вызвать рост давления. В дренажном канале
градиент скорости снижается и уменьшается коэффициент трения, но возника-
ют дополнительные затраты энергии на разгон инжектируемой в канал жидко-
46
сти, что увеличивает сопротивление. В зависимости от условий проведения
процесса может преобладать как эффект, связанный с поверхностным трением,
так и эффект, связанный с импульсом.
Обычно в типовых мембранных процессах поперечный поток на 4-^6 по-
рядков меньше, чем поток, параллельный мембране, благодаря чему его влия-
нием на гидравлическое сопротивление можно пренебречь.
Примеры
1. В напорный канал трубчатого керамического ультрафильтра, состоящего из
20 трубок внутренним диаметром 4 мм и длиной 2 м. поступает водный рас-
твор белка с плотностью 1000 кг/м3 и вязкостью 1-10'3 Па-с с расходом 0,1256
кг/с. Удельная производительность мембраны 54 кг/(м2-ч).
Пренебрегая местными сопротивлениями (вход в трубы и выход из них),
определите полное гидравлическое сопрогивление напорного канала ульгра-
фильтра.
Решение
LBX-4	0,1256-4	.
м'вх=—-------------------------------=0,5 м/с;
p-nd-n 1000 • 3,1416-(0,004/- 20
1-10"3
и 11»-’
Режим ламинарный. Используем формулу 0.7):
.	„11О-3 ОЗ-2 1-10'3-54-4	„„„„
Дра = 32—------г-----64----------------— = 2000 - 60 = 1940 Па.
(0,004/	3600 1000- (0,004/
48
ЛРпК —
1,5-10~3-21,6-0,52
ЗбОО-ЮОО^З-Ю"4/
1000 Па.
Сопротивление дренажного канала с сеткой:
Дрдр=1000 120 =120000 Па = 120 кПа.
3. Рассчитайте гидравлическое сопротивление дренажного канала в щттипдрп-
ческом аппарате типа «фильтр-пресс» с диаметром мембраны 0,42 м при ра-
диальном отводе пермеата. Толщина дренажной сетки 9,3 мм, её коэффици-
ент сопротивления 180, удельная производительность мембраны 54 кг/(м2-ч),
плотность пермеата 998 кг/м3, вязкость —1,005-10'3 Па-с.
Решение
Используем формулу (4.20) для нахождения сопротивления полого кана-
ла:
1>51,оо5фм-оф148Па
3600-998-(з10"4)Г
Сопротивление канала с сеткой:
ApOT=148-180 = 26640 Па.
4. Рассчитайте сопротивление дре] гажного канала аппарата с мембраной в виде
полых волокон, если отвод пермеата односторонний, длина пучка волокон
1м, внутренний диаметр волокна 60 мкм, удельная производительность, от-
несённая к внутренней поверхности волокон 2,4 кг/(м2-ч), плотность пермеа-
та 996 кг/м3, а вязкость — 0.804 -10'3 Па-с.
Решение
Используем формулу (4.27):
49
0 804-10"3-2 4-12
Ар^ = 64 -	’	=159453 Па = 159’5 кПа-
3600-996-(6 10_J
Вопросы для самоконтроля
1.	Покажите, что в случае ламинарного потока расчет гидравлического сопро-
тивления по формуле (4.2) с использованием среднеарифметического значе-
ния скорости в канале дает такие же результаты, как и расчёт по формуле
(4-7).
2.	Почему аппараты с рулонными фильтрующими элементами очень редко ис-
пользуются при ультрафильтрации, хотя в практике обратного осмоса они
широко распространены?
3.	На каком допущении, подтвержденном экспериментами, основан предлагае-
мый метод расчета гидравлического сопротивления щелевых и кольцевых
каналов с сетками?
4.	Выведите самостоятельно уравнения для расчёта средних сопротивлений
дренажных каналов в аппарате типа «фильтр-пресс» с радиальным отводом
пермеата и в аппарате с мембранами в виде полых волокон при односторон-
нем отводе пермеата. Убедитесь, что во всех рассмотренных случаях среднее
сопротивление дренажного канала в три раза меньше полного сопротивле-
ния.
5.	Почему при выводе уравнений для расчёта гидравлических сопротивлений
напорных и дренажных каналов не учитывался поперечный поток, связанный
с образованием пермеата?
6	Чти в большей степени влияет на гидравлическое сопротивление каналов при
ламинарном режиме течения жидкости в них: длина канала или его эквива-
лентный диаметр?
50
5. СЕКЦИОНИРОВАНИЕ АППАРАТОВ В УСТАНОВКЕ
Рассматривая классификацию установок мембранного разделения, мы
говорили, что установки по организации потока разделяемой смеси бывают
двух типов: секционированные и несекционированные. Последние применя-
ются редко и только в тех случаях, когда потребное число аппаратов невели-
ко, а концентрирование раствора в установке происходит не более, чем в 1,5
+ 2 раза. При этом исходный раствор обычно подаётся сразу на вход всех ап-
паратов, т.е. параллельно, и лишь в редких случаях, когда установка включа-
ет мало аппаратов, они все могут соединяться последовательно.
В крупных промышленных установках, насчитывающих десятки и сот-
ни трубчатых аппаратов (иногда ошибочно называемых «модулями») с ру-
лонными фильтрующими элементами или с мембранами в виде полых воло-
кон, когда происходит концентрирование раствора в несколько раз и уж тем
более в несколько десятков раз, проведение секционирования является со-
вершенно необходимым.
Дело в том, что при параллельном соединении всех аппаратов получа-
ются низкие линейные скорости в напорном канале, что приводит к большой
величине концентрационной поляризации, и главное, будет происходить рез-
кое снижение скорости по ходу потока из-за выхода пермеата, что помимо
роста величины концентрационной поляризации, вызовет образование на
мембране осадков малорастворимых соединений и отложение на ней взве-
шенных микрочастиц. Всё это приведёт к значительному снижению удельной
производительности и наблюдаемой селективности мембран, быстрому вы-
ходу их из строя.
51
При последовательном	соединении большого числа
аппаратов будет чрезмерно большим гидравлическое сопротивление напор-
ного канала, к тому же применяемые в аппаратах модули обычно рассчитаны
на перепад давления порядка 0,1-5- 0,2 МПа и выходят из строя при превыше-
нии этих величин.
Рассмотрим методику секционирования, при которой должны быть со-
блюдены два важных условия: обеспечено равенство средних скоростей по-
тока в напорном канале аппаратов каждой секции и постоянство отношения
скоростей потока на входе и выходе из каждого аппарата.
Соблюдение этих требований позволяет создать во всех аппаратах
близкую гидродинамическую обстановку, что, при прочих равных условиях,
способствует минимизации гидравлического сопротивления, уменьшению
осадкообразования и предотвращению выхода из строя отдельных мембран.
Указанные условия можно записать в следующей форме:
w • 4- w •
= const;	(5.1)
2
q = —— = const.	(5.2)
^Ki
Здесь и Wjd — соответственно средняя, начальная и конечная
скорости потока в напорном канале аппарата i-й секции (i = 1,2,..., m), q —
величина отношения скоростей потока на входе и выходе из каждого аппара-
та i-й секции.
Примем допущение постоянства плотности разделяемого раствора в
процессе его концентрирования и будем считать, что в установке использу-
ются аппараты одного типа и размера. Тогда скорости можно выразить через
массовые расходы следующим образом:
52
__Hi— w . = - LkL_
р-S-n/ K1 pS-n/
t LHj + LKj
1 2p-S-ni’
где Lni и Ljd соответственно, начальный и конечный расходы разделяе-
мой смеси в i-й секции, кг/с явмвй; S— сечение аппарата, по которому
проходит разделяемая смесь, м2; р — плотность смеси; п, —число аппаратов
в i-й секции.
Перепишем выражения (5.1) и (5.2):
1 х2
ф = 1-----— = const ;
*1
L LHi + Lxi = const
2n;
(5.3)
где L, = WjpS — средний массовый расход потока в каждом аппарате
i-й секции.
LHi/pSnj LI{i	(5.4)
q = —hi/г—L = _hl = const.
LKi/pSni LKj
Представим расход потока на выходе из секции как разность между
расходом потока на входе в неё и расходом пермеата в этой секции. При
этом расход пермеата в каждом аппарате Lna будем считать постоянным.
Пи — LHj- Lna*nj.	(5-5)
Подставляем сюда значение из (5.4):
_ т ,_т	,п.
~ ^па ni-
q
Решим это уравнение относительно п,:
53
LHi f, П	(5.6)
^na Lna \ q>
Выражение (5.6) определяет число аппаратов в каждой секции, озве-
чающее заданной величине снижения расхода по длине напорного канала ап-
парата q, при известной величине расхода на входе в секцию Ьщ.
Начальный расход разделяемой смеси в каждой секции, начиная со
второй, равен конечному расходу предыдущей секции:
Запишем (5.4) в виде:
Тогда
(5.7)
т _ ИУ~У _ Н
;_i •
q q‘ 1
Выражение (5.7) определяет начальный расход в каждой секции в зави-
симости от исходного расхода раствора, поступающего на разделение Ьц,
номера секции i и значения q.
Преобразуем (5.6) с учётом (5.7):
LH Ti П
П; =---1-------
Lna.q-4 qj
(5.8)
С помощью выражения (5.8) можно определить число аппаратов в i-й
секции. Для упрощения расчётов определим по этой формуле число аппара-
тов в первой секции:
54
(5.9)
Из сопоставления (5.8) и (5.9) находим:
П1
niV
(5.Ю)
Таким образом, определив по формуле (5.9) число аппаратов в первой
секции (из дальнейшего будет ясно, что П1 находится и другим путём), далее
можно по простой формуле (5.10) рассчитывать число аппаратов в после-
дующих секциях.
При выводе было использовано только одно условие (5.4). Покажем,
что проведённый вывод обеспечивает и соблюдение условия (5.3). Для этого
подставим в (5.3) найденные выше значения величин:
Поскольку при сделанных допущениях q и - величины постоянные,
величина Lj также постоянная и, таким образом, условие (5.3) соблюдается.
Получим теперь выражение для расчёта необходимого числа секций т.
Общее число аппаратов в установке п равно сумме ш членов геометри-
ческой прогрессии:
55
Hi 111	Hi
m=nj+-^+4-+...+-^
q q2 q 1
= П7 14
m-1
2
q
Эта сумма определяется выражением:
n = nj
Выразим отсюда Ш:

1
п
пГ 1
П1
q
n^q
n (1
m =
Очевидно, что найденное по формуле (5.12) число будет дробным и его
следует округлить до ближайшего целого числа в большую или меньшую
сторону.
Для непосредственного проведения операции секционирования необ-
ходимо задаться величиной q. С увеличением q будет снижаться средняя
56
скорость потока в аппаратах, а значит возрастать величина
концентрационной поляризации. Кроме того, следует учитывать, что значи-
тельное снижение скорости потока по длине аппарата, соответствующее вы-
соким значениям q, может приводить к осаждению на поверхности мембран
взвешенных в растворе микрочастиц и осадков малорастворимых солей. Это
вызывает необходимость частой промывки мембран, сокращает срок их
службы. С другой стороны, снижение q, сопровождаемое увеличением ско-
рости в напорном канале, приводит к росту гидравлического coi  ротивления
и, следовательно, затрат энергии на перекачивание жидкости, увеличению
числа секций, что усложняет конструкцию установки.
Поэтому наиболее правильный путь — это выбор значения q на осно-
вании технико-экономических расчётов.
Предположим, что выбор q осуществлён. Тогда расчёты проводятся в
следующей последовательности.
Исходя из заданного расхода разделяемого раствора, его состава и
сформулированной задачи разделения выбирается мембрана и тип аппарата,
рассчитывается общий расход пермеата, производительность каждого аппа-
рата по пермеату и затем общее число аппаратов в установке.
Далее по формуле (5.9) рассчитывается число аппаратов в первой сек-
ции и по формуле (5.10) число аппаратов в последующих секциях, причем
общее число секций находится по формуле (5.12). Точное соответствие меж-
ду имеющимся числом аппаратов и полученным в результате секционирова-
ния может быть достигнуто только случайно. Обычно же оказывается, что в
m секциях не достаёт некоторого числа аппаратов до величины п или же
имеется их избыток. Тогда следует перераспределить недостающие или из-
57
быточные аппараты, добавляя или убавляя их в секциях '
пропорционально расчётному числу аппаратов в секциях.
В первом приближении расчёты выполняют на основе идеализирован-
ной модели структуры потоков и ряде других, рассмотренных выше упро-
щающих допущений, после проведения секционирования определяют КП и
выполняют уточняющие расчёты.
Для ряда промышленных типов аппаратов, в частности — с рулонными
фильтрующими элементами, в паспортных данных задаётся оптимальный
расход раствора на входе в аппарат, обеспечивающий минимизацию концен-
трационной поляризации при приемлемой величине гидравлического сопро-
тивления. В таких случаях секционирование проводят следующим образом.
Определяют число аппаратов в первой секции по формуле:
где ЬОпт — оптимальный расход раствора на входе в аппараг.
Далее на основании формулы (5.9) находят q:
‘ ^па . _L _ j 	~ ^па . J_ _ ।  ^па .
Q	q ^опт
1
Ч~1_Ьа_’	(5.В)
^О1ГГ
Используя это значение q, мы можем по формуле (5.10) определить
число аппаратов в последующих секциях.
В ряде случаев полученное при секционировании распределение аппа-
ратов по секциям должно быть скорректировано с учётом специфики кон-
58
ются осадками. При этом снижается выход пермеата и соответственно увели-
чивается расход концентрируемого раствора. Это повышает линейную ско-
рость в напорном канале, особенно значительно - в последних секциях. Рост
гидравлического сопротивления, связанный с увеличением скорости, может
превысить величину, допустимую для используемых мембранных модулей.
(Рулонные модули, например, разрушаются при перепаде давления свыше 0,2
МПа).
Ч10бы не допустить выхода аппаратов из строя, следует отойти от по-
лученного при секционировании варианта распределения аппаратов, увеличив
число аппаратов в последних секциях за счёт сокращения их числа в первых
секциях. Разумеется, отход от оптимального секционирования не останется
без отрицательных последствий: в начальном периоде эксплуатации, когда
мембраны ещё будут достаточно чистыми, аппараты последних секций будут
работать с недогрузкой, что приведёт к повышенной величине концентраци-
онной поляризации и, соответственно, снижению наблюдаемой селективно-
сти и удельной производительности мембран.
В заключение этой главы следует напомнить, что при выводе расчёт-
ных соотношений принимался постоянным расход пермеата с каждого аппа-
рата. Поэтому, строго говоря, рассмотренная методика применима в случае
разделения разбавленных растворов, например, в процессах получения особо
чистой воды из водопроводной или природной воды с помощью обратного
осмоса. Однако на практике её можно применять всегда, когда удельная про-
изводительность мембран снижается не более чем на 10 - 20%. При этом в
расчётах Lna берётся при средней производительности. Если снижение удель-
ной производительности значительно, то секционирование сильно усложняет-
ся 4pl
59
^ИИЧ|ИИИИИ1 вИИИИ|ИИИРИЧИИИИ1
При этом необходимо последовательно вести расчёты
от первой к последней секции, неоднократно используя метод последова-
тельных приближений, в частности, для уточнения удельной производитель-
ности и конечной концентрации раствора на каждой секции.
Примеры
1. Проведите секционирование установки для получения питьевой воды из
речной методом обратного осмоса по следующим данным: производитель-
ность установки по исходной воде 42000 кг/ч, используются 200 трубча-
тых аппаратов, содержащих по 2 рулонных модуля каждый, с производи-
тельностью одного модуля по пермеату 80 кг/ч. Оптимальная величина
снижения расхода разделяемой смеси по длине напорного канала аппарата
составляет 1,28.
Решение
Расход пермеата с одного аппарата:
Lna =2-80 = 160 кг/ч.
Число аппаратов в 1-й секции по формуле (5.9):
42000(
п, =-------
1	160 I
= 57,42 = 57.
1,28
Число секций по формуле (5.12):
60
200 f 1'
57,42V1,28 >
= 5,8 = 6.
Далее по формуле (5.10):
57,42 .. o/: . _	44,86 Л_ __
n9 =-----= 44,86 = 45; гь =-------= 35,05 = 35;
2	1,28	3 1,28
П4= 27,38 = 28; n5=21,39 = 21; Пб= 16,71 = 17.
Суммируя, находим:
6
= 57+45+35+28+21+17 = 203.
1=1
Это на три больше имеющегося числа аппаратов. Перераспределим ап-
параты, вычтя избыточные аппараты из секций, пропорционально числу ап-
паратов в них:
3	• 57 42
1-ясекция	- ’ =0,849=1;
203
2-я секция	44,86 д^^ _ ।.
203
3-35 05
^-я секция ’ =0,518=1.
~	203
Таким образом, вычитаем по одному аппарату из первых трёх секций и
в итоге получаем:
61
№ секции	1
Число аппаратов	56
2	3	4	5	6
44	34	28	21	17
2. Проведите секционирование установки для получения особо чистой воды
из артезианской методом обратного осмоса по следующим данным: произ-
водительность установки по артезианской воде 60000 кг/ч, производитель-
ность каждого аппарата по пермеату 200 кг/ч, число аппаратов в установке
составляет 250.
По паспортным данным оптимальный расход воды на входе в каждый
аппарат равен 1000 кг/ч.
Решение
Число аппаратов в первой секции:
LH 60000 z
Hi = —— =---------= б
L0OT 1000
величина q по формуле (5.13):
q=t 200 = 1,25'
1 1000
Число секций по формуле (5.12):
62
60 ло
п2 =-----= 48,
2 1,25
48
1,25
= 38,4 = 38,
щ= 30,7 = 31,
n7=15,7=16,
п5 = 24,6 = 25,
п<>=19,7 = 20,
п8=12,6=13.
Суммируя, находим:
8
60+48+38+31+25+20+16+13 = 251.
i-1
Один избыточный аппарат вычитаем из первой секции и получаем:
№ секции	12345678
Число аппаратов 59	48	38	31	25	20	16	13
Вопросы для самоконтроля:
1.	В каких случаях возникает необходимость секционирования аппаратов в
мембранной установке?
2.	Какие недостатки имеет вариант последовательного соединения всех аппа-
ратов установки и вариант их параллельного соединения?
3.	На соблюдении каких двух основных условий основан рассмотренный в
главе способ секционирования?
4.	Проведите самостоятельно вывод формулы, определяющей число аппара-
тов в i-й секции.
5.	Опишите последовательность проведения операции секционирования.
6.	В каких случаях возникает необходимость изменения рассчитанного опти-
мального варианта секционирования?
7.	В каких случаях описанная выше методика секционирования непримени-
ма?
63
6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЁТА ОДНОСТУПЕНЧАТОЙ
МЕМБРАННОЙ УСТАНОВКИ
Для определения понятий и терминов рассмотрим эту последователь-
ность на примере установки обратного осмоса, работающей по основному
варианту (см. главу 2). Сходная последовательность имеет место и при рас-
чёте установок для ряда других мембранных методов разделения растворов.
Пусть нам задан расход раствора, поступающего на разделение и его
концентрация по растворённому веществу XiH. Кроме того, строго задаётся
ещё одна из концентраций: пермеата х2 или концентрата XiK, а другая кон-
центрация задаётся неравенством: XiK> 3i или х2^ а2, где aj, а2 — гранич-
ные значения концентраций, определяемые условиями технологического
процесса, требованиями к качеству очищенной воды и т.п. Обеспечить ра-
венство определённым величинам одновременно х2 и XiK в одноступенчатом
процессе невозможно из-за дискретности набора существующих мембран по
их селективности.
На первом этапе проводится выбор мембраны, рабочей температуры и
перепада рабочего давления через мембрану. Детально эти вопросы рассмат-
риваются при изучении теоретических основ мембранного разделения на IV
курсе. Поэтому отраничимся некоторыми общими соображениями.
С увеличением температуры в диапазоне от нуля до 40°С, в котором
могут работать подавляющее большинство выпускаемых ныне мембран, се-
лективность изменяется мало, а удельная производительность мембран уве-
личивается в первом приближении обратно пропорционально вязкости пер-
64
меата. Однако с увеличением температуры возрастает скорость
гидролиза многих типов полимерных мембран и сокращается срок их служ-
бы. Кроме того, использование теплообменников усложняет и удорожает
процесс разделения. Поэтому наиболее целесообразно проводить обратный
осмос при температуре окружающей среды, обычно это 15 ч- 25°С. В случаях,
когда технологический раствор, подлежащий разделению, уже имеет повы-
шенную температуру, допустимую для полимерных мембран, экономически
целесообразно выбирать именно эту температуру.
С увеличением перепада рабочего давления через мембрану возрастает
движущая сила обратного осмоса и увеличивается удельная производитель-
ность и селективность мембран. Однако одновременно возрастают затраты
энергии, потребляемой насосом. При высоких давлениях полимерные мем-
браны могут подвергнуться уплотнению, быстрее загрязниться осадками
взвешенных частиц и малорастворимых солей, что приведёт к быстрому
снижению удельной производительности со временем. Обычно для ацетат-
целлюлозных и подобных им мембран оптимальное рабочее давление со-
ставляет величину порядка 5 МПа, для композитных мембран — порядка 3
МПа, для низконапорных мембран — порядка 1,5 МПа.
При выборе мембраны исходят из того, чтобы она в наибольшей степе-
ни отвечала задаче разделения: мембрана должна обладать максимальной
удельной производительностью при селективности, обеспечивающей выпол-
нение требований к качеству разделения в одноступенчатом процессе. Кроме
того, мембрана должна обладать химической стойкостью по отношению к
разделяемому раствору и реагентам, используемым для растворения осадков,
образуемых в процессе эксплуатации на поверхности мембраны из разделяе-
мого раствора.
65
Подбор	мембран	предварительно проводится
по истинной селективности, от которой затем переходят к наблюдаемой по
методике, рассмотренной в главе 3.
Если разделению подвергаются бинарные растворы сильных электро-
литов, то селективность может быть рассчитана исходя из теплот гидратации
ионов, а удельная производительность — на основе уравнения переноса воды
через мембрану. В остальных случаях необходима постановка эксперимен-
тов. Простейший вариант — это проведение экспериментов в лабораторной
ячейке при интенсивном перемешивании разделяемого раствора, когда при
выбранных температуре и давлении проводится концентрирование раствора
от начальной концентрации до концентрации в 2 ч- 3 раза выше конечной.
Полученные при этом значения селективности можно считать значениями
истинной селективности, поскольку при интенсивном перемешивании рас-
твора величина концентрационной поляризации близка к единице. Одновре-
менно снимается зависимость удельной производительности мембран от
концентрации раствора.
Примем для определённости, что в рабочем диапазоне концентраций
растворённого вещества истинная селективность мембраны остаётся посто-
янной, а снижение удельной производительности мембраны с ростом кон-
центрации происходит линейно.
Тогда проверку пригодности мембраны к задаче разделения можно
провести с помощью формулы (2.14). Оптимальная мембрана должна иметь
максимальную удельную производительность среди мембран, селективность
которых больше, чем определённая по формуле (2.14). (Если наиболее селек-
тивная мембрана из тех, какими мы располагаем, не отвечает последнему
требованию, го необходим переход к двухступенчатому процессу обратного
66
осмоса или же сочетанию обратного осмоса с другими
методами разделения, например, с ионным обменом).
Итак, будем считать, что мы выбрали мембрану, знаем её истинную се-
лективность и зависимость удельной производительности мембраны от кон-
центрации растворённого вещества.
Рассчитаем далее расход пермеата по формуле (2.12). В первом
приближении в этой формуле используем вместо наблюдаемой истинную се-
лективность. Затем находим рабочую поверхность мембраны, считая в пер-
вом приближении удельную производительность как среднюю арифметиче-
скую величину между её значениями при начальной и конечной концентра-
циях, по формуле:
F = —
^ср
Исходя из полученной величины F, выбираем тип аппарата. Предполо-
жим, что F составляет сотни или тысячи квадратных метров. При такой
большой поверхности используются аппараты с рулонными фильтрующими
элементами. Число аппаратов найдём, разделив общую рабочую поверхность
мембран на поверхность мембран в одном аппарате:
F
Далее проводим секционирование установки по методике, описанной в
5-й главе. Необходимое для этого значение расхода пермеата с одного аппа-
рата Lna в первом приближении возьмём как произведение:
I =G -F
‘-'па ^ср ‘а-
67
Будем считать также	известным оптимальный
расход раствора на входе в аппарат Lorrr.
После выполнения секционирования становится возможным расчёт
скоростей и величин критерия Рейнольдса в напорных каналах аппаратов,
выбор соответствующего критериального уравнения, расчёт с его помощью
коэффициентов массоотдачи и наблюдаемой селективности по формуле (3.1).
Поскольку при секционировании обеспечиваются близкие гидродинамиче-
ские условия во всех аппаратах установки, расчёты достаточно выполнить
для двух сечений: на входе в аппараты первой секции и на выходе из аппара-
тов последней секции. Для последующих расчётов необходимо использовать
среднее арифметическое значение селективности по двум указанным сечени-
ям.
Теперь следует проверить пригодность выбранной мембраны для целей
разделения, подставляя в выражение (2.14) значение наблюдаемой селектив-
ности. Если требования к качеству разделения не выполняются, необходимо
выбрать более селективную мембрану и провести для неё все расчёты снача-
ла.
Предположим, что указанные требования выполняются, тогда мы пере-
ходим к уточнённым расчётам. При этом, найдя величину концентрационной
поляризации по простому соотношению КП = (1-ф)/(1-фи), мы определяем
удельную производительность мембраны по методике, изложенной в 3-й гла-
ве, если основывались на экспериментальной зависимости удельной произ-
водительности от концентрации в ячейке с интенсивным перемешиванием,
или же, учитываем КП в уравнении переноса воды через мембрану. В резуль-
тате мы получаем уравнение, связывающее удельную производительность с
концентрацией G = Go - cxj, где константа с рассчитана с учётом КП.
68
После этого определяем	рабочую поверхность
мембран по формуле (2.17). Полученное значение сравниваем со значением
поверхности из первого приближения. Если расхождение превысит 5 10%,
необходимо перейти к третьему приближению, начиная с определения числа
аппаратов. По достижении сходимости рассчитываем расходы пермеата и
концентрата и фактическую концентрацию пермеата (или концентрата) (см.
пример 1. гл. 3).
На завершающем этапе расчётов определяется гидравлическое сопро-
тивление установки с использованием формул, приведённых в 4-й главе. При
этом следует иметь в виду, что в секционированной установке общее сопро-
тивление напорного канала может быть найдено как произведение сопротив-
ления одного аппарата на число секций, поскольку гидродинамические усло-
вия во всех аппаратах практически одинаковы, а соединяются секции после-
довательно. Гидравлическое сопротивление дренажного канала в установке
равно сопротивлению дренажного канала одного аппарата, поскольку все
дренажные каналы параллельны.
Если общее гидравлическое сопротивление установки окажется значи-
тельным (порядка 20 4- 30 % от величины перепада рабочего давления через
мембрану), то возникает необходимость проведения перерасчёта. Связано это
с рядом обстоятельств. Во-первых, насосы, которыми обеспечиваются уста-
новки, имеют обычно напор только на 20% больше, чем перепад рабочего
давления через мембрану. Во-вторых, большое гидравлическое сопротивле-
ние вносит заметный вклад в рост энергозатрат на процесс разделения. В-
третьих, первые секции установки будут работать в условиях сравнительно
высоких давлений, что может привести к уплотнению мембран и снижению
их удельной производительности.
69
Перерасчёт проводится за	счёт отхода от оптимального
секционирования посредством искусственного уменьшения числа секций,
пока гидравлическое сопротивление не снизится до приемлемого уровня.
Уменьшение числа секций будет сопровождаться снижением скорости пото-
ка в напорных каналах и увеличением КП, что должно быть учтено в оконча-
тельном варианте расчёта установки.
Вопросы для самоконтроля .
1.	Какие параметры при выдаче исходных данных для расчёта установки за-
даются в виде неравенств и почему?
2.	После расчёта какого параметра проверяется пригодность выбранной мем-
браны для целей разделения?
3.	Каким образом в секционированной установке находится общее сопротив-
ление напорного канала и общее сопротивление дренажного канала?
4.	Почему в окончательном варианте расчёта установки общее гидравличе-
ское сопротивление не должно превышать 20 ч- 30% от перепада рабочего
давления через мембрану?
5.	Когда заканчивается тот этап расчётов,, который связан с использованием
метода последовательных приближений?
70
7. СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ВАРИАНТЫ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОЦЕССОВ
МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ
7.1. Установки с циркуляционным контуром
В ряде случаев возникает необходимость создания высоких скоростей
потока в напорном канале, которые не обеспечиваются насосом высокого
давления, подающим разделяемый раствор в установку. Высокие скорости
требуются, например, для того, чтобы предотвратить гелеобразование в про-
цессе ультрафильтрации, приводящее к резкому снижению удельной произ-
водительности мембран, уменьшить загрязнение мембран осадками малорас-
творимых соединений в процессе обратного осмоса.
Для создания высоких скоростей потока в схему включается циркуля-
ционный насос, обладающий высокой подачей, но сравнительно небольшим
напором, требуемым лишь для преодоления гидравлического сопротивления
напорного канала.
На рис. 7.1 показана схема установки с циркуляционным контуром.
Рис. 7.1. Схема установки с циркуляционным контуром
71
Исходный раствор с массовым расходом LH и концентрацией XjH пода-
ётся насосом высокого давления на вход мембранного аппарата. Перед вхо-
дом в аппарат к исходному раствору добавляется циркулирующий поток с
расходом r-LH, где г — кратность циркуляции. После смешения образуется
раствор с расходом LbX и концентрацией XiBX, который и поступает в аппа-
рат, где происходит его концентрирование до концентрации XiK. При этом
образуется пермеат с расходом Wog и концентрацией Х2. Из аппарата рас-
твор выходит с расходом LBbK и концентрацией XiK. Часть его выводится из
установки в виде концентрата с расходом LK, другая часть направляется цир-
куляционным насосом на смешение с и^одным раствором.
Расчёт такой схемы при не слишком большой кратности циркуляции
проводится на основе модели идеального вытеснения (см главу 2). К тем
двум уравнениям материального баланса, которые имелись ((2.3) и (2.4)) и
формально соответствовали г = 0, необходимо добавить три новых, посколь-
ку возникло три новых переменных: x1BX, LBX, Ьвых (кратность циркуляции г
мы считаем заданной):
^ВЫХ “	+ г *	»
h’^Ih + T’L'h'Xik — Lbx’Xjbx.
(7.1)
(7.2)
(73)
Подставим в последнее уравнение LBX, определяемое (7.1), и выразим
из него Х1вх:
72
(7.4)
Проводя преобразования, аналогичные тем, которые мы делали для мо-
дели идеального вытеснения в схеме без циркуляции, приходим к следую-
щим расчётным выражениям:
= (1 + r)LH exp
\х1вх
^вых
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
73
Используемая в уравнениях (7.5) — (7.9) концентрация Х1вх рассчиты-
вается по (7.4) на основе заданных концентраций исходного раствора и кон-
центрата и кратности циркуляции, которая подбирается так, чтобы обеспе-
чить необходимые гидродинамические условия в напорном канале мембран-
ного аппарата.
В частном случае, когда селективность с увеличением концентрации
остаётся постоянной, выражения (7.5) — (7.8) приобретают следующий вид:
(7-Ю)
(7.11)
(7-12)
х2 = Х1вх
(7ЛЗ)
74
Если при постоянстве селективности удельная производительность
мембраны линейно снижается с увеличением концентрации, выражение (7.9)
приобретает вид:
1
F = (l + r)LH
Хф Х1£	Нх
Х1вх Г	QXj
ф J	1+ф'
4“(G0-cx1)x1*
(7-14)
Проводя расчёты, следует учитывать влияние концентрационной поля-
ризации теми способами, о которых говорилось в 3-й главе.
При большой кратности циркуляции (теоретически — при г—>оо, прак-
тически, когда г превышает несколько десятков) расчёт схемы с циркуляцией
выполняется на основе модели идеального смешения. Связано это с практи-
ческим постоянством концентрации в напорном канале аппарата и её при-
ближением к XjK. Соответственно, в любом сечении аппарата будет практи-
чески постоянен и состав пермеата Х2, и величина удельной производитель-
ности G, поскольку они будут являться функцией одной конечной концен-
трации:
G = f(xiK) = const;
Х2= X2=g(xlr) = Const
Расчёт такого варианта тривиален. На основе уравнений материального
баланса для схемы в целом легко получить выражения:
75
Х1к “ X2
(7.15)
(7.16)
Поверхность мембраны определяется как:
(7-17)
Расход раствора на входе в мембранный аппарат будет практически ра-
вен расходу на выходе из него и составит:
вых
r*LH
(7.18)
Проводя расчёты при большой кратности циркуляции следует иметь в
виду, что величина концентрационной поляризации в ряде случаев может
существенно отличаться от единицы. То есть, при практическом постоянстве
концентраций по длине напорного канала они могут изменяться по его сече-
нию вблизи поверхности мембраны. В таких случаях следует проводить рас-
чёты с учётом КП, выражая G и х2 следующим образом:
G = Цх1к-КП) - const;
х2 = х2= g(xiK-KTI) = const.
76
Примеры
1.В установке обратного осмоса, снабженной циркуляционным насосом,
производится концентрирование раствора соли, поступающего с расходом
10000 кг/ч от концентрации 0,1 до 1 мае. % Истинная селективность мем-
браны 0,98. Величина концентрационной поляризации при кратности цир-
куляции, равной 5, составляет КП = 1,6.
Определите при этой кратности циркуляции расход пермеата и концен-
трацию соли в нём.
Решение
Используем формулы (7.12) и (7.13), подставляя в них наблюдаемую
селективность, которую можно определить с помощью известного соот-
ношения: КП = ———. Отсюда:
1 -<Ри
<р = 1 — КП(1 — фи) = I — 1,6(1 — 0,98) = 0,968.
Найдём х1вх по формуле (7.4):
х1вх =	=8,5 • 1 о-3
мае. долей.
По формуле (7.12):
77
0,968
= 9273 кг/ч.
По формуле (7.13):
х2=8,5 1(Г3
110~2
^,5-КГ3,
1
0,968
- 2,947-10 мае. долей.
2. В установке ультрафильтрации с циркуляцией проводится концентрирова-
ние 100 кг/ч раствора белка от концентрации 0,05 до 0,1 мае. % Истинная
селективность мембраны 0,999, влиянием концентрационной поляризации
при используемом высоком значении кратности циркуляции, равном 50,
можно пренебречь.
Определите потери белка с пермеатом в процентах от количества бел-
ка, поступающего в установку.
Решение
Потери белка будут представлять собой произведение расхода пермеа-
та на концентрацию в нём белка.
Определим возможность использования для решения задачи простых
формул, отвечающих модели идеального смешения. Для этого найдём XiBX по
формуле (7.4).
78
0,0005 + 50 0,001 „„,„-4	- _Л,Л.2
= 9,9 • 10	мае. долей = 9,9-10 мае. %.
1 + 50
Эта величина практически равна концентрации белка в концентрате.
Поэтому целесообразно вести расчёты на основе модели идеального смеше-
НИЯ.
Концентрация белка в пермеате:
х2= g(xiK) = (1 — ф)-Х1К =(1 — 0,999)0,001 - 1 10 мае. долей.
Расход пермеата по формуле (7.15):
100(0.001-0.0005).я
0,001-0,000001
Потери белка в кг/ч:
50,05-1-10 •б = 5-10 5 кг/ч.
С исходным раствором поступает белка:
100-510'4 = 510'2кг/ч.
Потери белка в %:
5-Ю”5
- -о -100=0,1%.
5-Ю"2
Вопросы для самоконтроля
1.	В каких случаях применяется циркуляционной контур в установках ульт-
рафильтрации и обратного осмоса?
2.	Преобразуйте уравнения (7.6) — (7.9) для случая г = 0 и убедитесь, что
получаются выражения, идентичные выведенным в главе 2.
79
3.	В каких случаях расчёт схем с циркуляцией целесообразно выполнять на
основе модели идеального смешения?
7.2. Двухступенчатые установки
Ступенью процесса мембранного разделения жидких смесей называет-
ся часть техноло1ической схемы процесса мембранного разделения, в кото-
рой происходит однократное проникновение вещества через мембрану. При
последовательном соединении ступеней получаются многоступенчатые схе-
мы, называемые также каскадами.
Многоступенчатые схемы обычно применяются в случаях, когда необ-
ходимое качество разделения не достигается на одной ступени. Кроме того,
многоступенчатые схемы бывают экономически оправданными, когда позво-
ляют использовать высокопроизводительные мембраны со сравнительно
низкой селективностью вместо мембран с высокой селективностью, но на
порядок меньшей удельной производительностью.
В практике обратного осмоса и ультрафильтрации нашли применение
двухступенчатые схемы. Это связано с тем обстоятельством, что благодаря
высокой экономической эффективности обратного осмоса и ультрафильтра-
ции двухступенчатые схемы с их использованием оказываются часто дешев-
ле, чем схемы с применением конкурирующих методов разделения. В то же
время, при большем необходимом числе ступеней, как правило, выгоднее
конкурирующие процессы или же их сочетание с мембранными.
Рассмотрим две двухступенчатые схемы с рециркуляцией потоков.
80
(Ц+W,),
ХСМ
W.x,
Пермеат
ТТЛ
Концентрат
^2’Xw2
Исходный А
раствор *“
Рис. 7.2. Двухступенчатые схемы с рециркуляцией потоков
На рис 7.2 и далее по тексту использованы следующие обозначения: L
— массовые потоки разделяемых растворов, W — массовые потоки пермеа-
тов, х — концентрации растворённого вещества в массовых долях, нижние
индексы «о», «w» и «к» относятся соответственно к исходному’ раствору,
пермеату и концентрату для схемы в целом, «см» — к раствору, полученно-
му при смешении потоков, «1» и «2» — соответственно к первой и второй
ступеням.
В первой схеме концентрат первой ступени поступает на вход второй
ступени, а пермеаг второй ступени возвращается на вход первой. Эта схема
обеспечивает преимущественно повышение степени концентрирования рас-
81
твора, которая характеризуется коэффициентом концентрирования Кк =
хк/хо.
Во второй схеме пермеаз из первой ступени направляется на вход вто-
рой, а концентрат второй ступени возвращается на вход первой. Эта схема
обеспечивает повышенную степень очистки раствора, которая характеризу-
ется коэффициентом очистки К, — Xq/xw.
Проведённый анализ показал, что области существования схем на зна-
чительном пространстве пересекаются, в связи с чем возникает задача пра-
вильного выбора схемы. Для её решения было проведено сопоставление эф-
фективности схем при использовании в качестве критерия оптимизации сум-
марного расхода пермеата с двух ступеней, поскольку этой величине про-
порциональны общая поверхность мембран и энергетические расходы [4].
3 результате было установлено, что в области совместного существо-
вания схем целесообразность выбора первой или второй схемы определяется
требуемой степенью очистки и практически не зависит от степени концен-
трирования.
Так, если Ко < —5—, по минимуму критерия оптимизации предпочти-
1-ф
тельна первая схема, если же Ко > —-—, то вторая. В случаях, когда Ко
1-ф
' 1
близок к величине-----. .1учгае выбирать первую схему из дополнительных
1-ф
соображений — она позволяет обойтись одним насосом высокого давления.
Вопрос же о необходимости перехода от одноступенчатой к двухсту-
пенчатой схеме решается с помощью уравнения (2.14). Как уже указывалось
82
в 6-й главе, если селективность мембраны, которой мы располагаем, меньше,
чем рассчитанная по уравнению (2.14), то в одноступенчатом процессе нель-
зя осуществить поставленную задачу очис пси и концентрирования раствора.
Рассмотрим, как проводить расчёт схем для случая, когда структура
потоков в аппаратах соответствует МИВ, с увеличением концентрации ис-
тинная селективность мембран не изменяется, а удельная производитель-
ность линейно снижается.
Используя подходы, применённые к выводам формул в 2-й главе, по-
лучаем, что первая схема может быть описана следующей системой незави-
симых уравнений:
LK + W = L0;	(7.19)
LKxK + Wxw = L0-x0;	(7.20)
LK + W2 = Lb	(7.21)
LkXk + W2-xw2 = Lrxi;	(7.22)
L0-xo + W2-xw2 = (Lo+ W2)-XcM;	(723)
£
LK _ хк ф.	(7.24)
L1 IX1 J
_ 1
LI = X1 I ф.	(7.25)
L0 + W2 IxcmJ
1
F _(Lq+ W2) x* 4 dx
1	ф	.’22
XcMx ’ (G0-cx)
83
Ф хк
(7.27)
XI ф
X v
Здесь и ниже в формулах для расчёта рабочей поверхности мембран
через х без индекса обозначена текущая концентрация в напорном канале.
Вторая схема описывается следующей системой:
LK + W = L0;
Lk*Хк W-Xw Lq’Xq,
L2-x2 + W-xw = WrxVI;
Lq-xo + L2x2 = (Lo+ L2)XcM;
(7.19')
(7.20')
(7.2Г)
(7.22')
(7.23)
(7.24')
(7.25')
(7.26')

84
WrxXiX| dx
2	<p J !±ф
Xw,x ’ (G0-cx)
(7.27')
Можно видеть, что каждая схема описывается девятью уравнениями.
Считая известными ф, Go и с, получаем, что в каждой схеме 13 переменных (в
первой схеме Lu- L^, Lj, AV, W2, Xq, x^, Xw, x^yo, Xj, Ход, Fj, F2, во вто-
рой—Lo, К, L2, W, Wb Xo, XK, Xw, XwJ, X2, Ход, F], F2).
Таким образом, должно быть задано 4 переменных, чтобы решить 9
уравнений с 9 неизвестными.
Обычно задаётся расход исходного раствора Lft, его концентрация Хо, а
также концентрация пермеата xw и концентрата хк.
Тогда расчёт двухступенчатой схемы выполняется в следующем по-
рядке:
С помощью уравнений (7.19') и (7.20') находятся расход концентрата
LK и пермеата W. Затем методом последовательных приближений решаются
уравнения (7.21) — (7.25) в первой схеме или (7.2Г) — (7.25') во второй. Ко-
гда все потоки и их концентрации будут найдены, по уравнениям (7.26),
(7.27) или (7.26'), (7.27') определяется рабочая поверхность мембраны каж-
дой ступени.
Далее последовательность расчёта не отличается принципиально от
рассмотренной в главе 6-й: каждая ступень секционируется, после чего для
неё проводятся уточняющие расчёты и т.д. Единственной существенной
особенностью расчёта двухступенчатой схемы является то, что после опреде-
ления наблюдаемой селективности на каждой ступени в дальнейших расчё-
тах используется среднеарифметическое значение селективности по двум
85
ступеням, а сходимость считается достигнутой, когда на каждой из двух сту-
пеней расхождение по рабочей поверхности мембран не превышает указан-
ной величины (5 - 10%).
Если расчёт одной схемы приводит к абсурдным результатам, не
имеющим физического смысла, то это означает, что мы вышли из области
физического существования данной схемы. В таком случае целесообразно
выбрать другую схему.
Примеры
1. Определите, можно ли в одноступенчатой схеме сконцентрировать раствор
от 0,1 до 0,5 мае. % при селективности мембраны 0,986, если концентра-
ция растворённого вещества в пермеате не должна превышать 0,001 мае. %
Если нельзя, то выберите тип двухступенчатой схемы, которую целесооб-
разно использовать.
Решение
Определим критическое значение селективности по формуле (2.14):
0,5 10~2
0,1 • 10"2
, 0,5 10*2-110‘5
1п------z-------?
0,1 • 10~2 -1 • 10"5
= 0,995.
Селективность мембраны, которой мы располагаем, меньше этой вели-
чины, поэтому одноступенчатая схема непригодна.
86
Для выбора типа двухступенчатой схемы определим Ко и
х0 0,110"2
О	9
Xw 0,001-10-2
1 1
1-ф“ 1-0,986
= 71,43.
Ко>-----, поэтому выбираем вторую схему, обеспечивающую повы-
1-ф
шенную степень очистки раствора.
2. На вход двухступенчатой установки обратного осмоса, работающей по
первому типу (обеспечивающему преимущественно повышенную степень
концентрирования), поступает 60000 кг/ч раствора с концентрацией 0,2
мае. %. Коэффициент концентрирования, достигаемый в установке, равен
5. Требуемый коэффициент очистки составляет 100 при селективности
0,9948.
Рассчитать все расходы потоков и концентрацию растворённого веще-
ства в них, если при решении уравнений (7.21) — (7.25) методом последо-
вательных приближений найдено, что Li = 13010 кг/ч.
Решение
хк = хо-Кк = 2-10"3-5 = 1 • 10'2 мае. долей;
xw = Хо/Ко = 2-10'3/100 = 2-10’5 мае. долей.
87
Подставим в (7.20) LK, определяемое из (7.19): LK = Lq — W.
(Lo 5V)-xK + W*Xw Lq-Xo,
L0-xK—W-xK + W- xw = LCrXo.
Отсюда, W = Lo^J2Eo = 6oooo!-°—	- = 48100 кг/ч.
xK-xw l-10“2-2-10~5
Из (7.19)
LK = 60000—48100 = 11900 кг/ч.
Из (7.21)
W2 = Li—Lk- 13010-11900= 1110 кг/ч.
Таким образом, расходы всех потоков найдены. Определим неизвест-
ные концентрации:
Из уравнения (7.24):
Х1
= 110'2
fl 1900У’9948
ч13О1о)
= 9,154-10'3 мае. долей.
Из уравнения (7.25)
( L1 Y О1СЛ 1Л-зГ 13010 f
хгм = xd-------— = 9,154-10 ----------------
см \l0 + W2J	<60000 + 1100
=1,965-10 ’3 мае. долей.
Xw2 найдём, преобразовав (7.22):
88
LiXi -L„xK 13010 • 9,154 • 10“3 -11900 • 1 • 10“2
w2~ W2 "	1100
= 4,841 • 10'5 мае. долей.
Вопросы для самоконтроля
1.	В каких случаях при мембранном разделении применяются многоступен-
чатые схемы?
2.	Почему в практике обратного осмоса и ультрафильтрации почти никогда
не используются схемы с числом ступеней больше двух?
3.	Каким образом решается вопрос о необходимости перехода от односту-
пенчатых к двухступенчатым схемам?
4.	Каким образом выбирается тип двухступенчатой схемы?
5.	Насколько различается количество параметров, которые жестко задаются
при расчёте двухступенчатой и одноступенчатой схем?
6.	Опишите последовательность расчёта двухступенчатой установки.
7.3.	Фракционирование
При мембранном разделении многокомпонентных растворов нередко
возникает задача фракционирования растворённых веществ, под которой по-
нимается разделение раствора на части, каждая из которых обогащена одним
из компонентов, содержащихся в исходном растворе.
Фракционирование проводится по схемам типа, изображенного на рис.
7.3.
89
Раствор
компонентов
А,В.С
в,с
Раствор компонента А
примеси В,С
Раствор!
компонентов В,С
Раствор
компонента С
в
Раствор
компонента В,
примесь С
Рис. 7.3. Схема фракционирования трехкомпонентного раствора
Представленная схема иллюстрирует процесс фракционирования на
примере разделения по фракциям трёх растворённых веществ — А, В и С.
Исходный раствор поступает в I-й аппарат (или установку), где мембрана
высокоселективна по компоненту А, но малоселективна или неселективна по
компонентам В и С. Здесь происходит концентрирование компонента А.
Концентрация же компонентов В и С сохраняется практически на исходном
уровне. Поэтому ретант представляет собой раствор, обогащённый компо-
нентом А, содержащий в качестве примесей компоненты В и С.
Пермеат из 1-го аппарата (установки) представляет собой раствор ком-
понентов В и С и может не содержать компонента А, если фд=1 (как показа-
но на рисунке). Этот раствор поступает во И-й аппарат (или установку), где
мембрана высокоселективна по компоненту В, но неселективна или малосе-
лективна по компоненту С. Здесь получаются ретант, обогащённый компо-
нентом В, с примесью компонента С и пермеат, представляющий собой рас-
твор практически чистого компонента С.
90
Если чистота компонента А в ретанте первого аппарата (установки) или
компонента В в ретанте второго нас не удовлетворяет, то их можно очистить
до необходимого уровня диафильтрацией, используя те же мембраны, что
применялись при фракционировании.
Расчёт схемы фракционирования сводится к последовательному расчё-
ту нескольких схем концентрирования растворённых веществ, то есть схем,
работающих по основному варианту мембранного разделения. Особенность
расчёта будет заключаться в том, что потребуется рассчитывать концентра-
ции компонентов в ретантах и пермеатах, исходя из своего значения селек-
тивности каждого компонента на каждой мембране. При этом балансовые
расчёты расходов потоков должны выполняться на основе селективности по
ключевому компоненту. (В изображенной на рис. 7.3 схеме в первом аппара-
те (установке) ключевым является компонент А, во втором — компонент В.)
Число ступеней фракционирования может быть найдено как число
компонентов исходного раствора, подлежащих фракционированию, минус
единица.
Пример
Производится фракционирование молочной сыворотки, содержащей
0,8 мае. % белка, 4,7 мае. % лактозы, 1 мае. % минеральных солей и низкомо-
лекулярных примесей. Расход сыворотки 1000 кг/ч. На первой ступени фрак-
ционирования используется установка ультрафильтрации с селективностью
мембраны по белку 99,9%, по лактозе 10% и по солям и другим примесям
0%. На второй ступени фракционирования применяется установка обратного
91
осмоса с мембраной, имеющей селективность по белку 100%, по лактозе 96%
и суммарно по минеральным солям и низкомолекулярным примесям 50%.
Требуется повысить концентрацию белка в 10 раз на первой ступени и
довести концентрацию лакт озы до 25 мае. % на второй ступени.
Найдите расходы всех потоков в установках и их составы по всем ком-
понентам.
Решение
На первой ступени ключевым компонентом является белок. Его конеч-
ная концентрация x^g = xHg-10 = 8 мае. %. Определим с помощью формулы
(2.11) расход ретанта первой ступени, переписав формулу в следующем виде:
L к = L
I Хк,б
1
Фб
Здесь верхний индекс «I» определяет номер ступени, нижний индекс
«б» определяет компонент — белок (далее для лактозы будет использован
индекс «л», для солей вместе с примесями — «с»).
l‘k = 1000- (1О)",/'о’999= 99,77 кг/ч.
Расход пермеата на первой ступени найдём как разность расходов ис-
ходного раствора и ретанта:
W1 = L’H -L!K=1000 — 99,77 = 900,2 кг/ч.
Найдём концентрацию лактозы в ретанте первой ступени:
92
( J \"Фл
-0,1
хк,л хн,л
Uooo
=5,918 мае. %
(Здесь и далее мы проводим расчёты, используя мае. % вместо мае. до-
лей, поскольку это в данной задаче не приводит к ошибкам, но упрощает за-
пись).
Концентрация солей и примесей из-за нулевой селективности мембра-
ны будет как в ретанте, так и в пермеате первой ступени равна концентрации,
содержащейся в исходном растворе: х* с =1%, х„,с = 1 мае. %.
Определим концентрацию белка и лактозы в пермеате первой ступени,
используя формулу (2.13):
Фб -1
1-
хк,б
кЛн,б/
= 0,8
0,999-1
1-10 °>9"
— =2,044-10'3 мае. %;
1-
1 _ ю °-999
1-
хк,л
i
Фл~1
Фл
0,1-1
Г5,918Л о,1
= 4.Л	j = 4,7 I 4,7 ' ] = 4,565 мае. %
Гх1 Г h , (5,918 V oj
, Ак.л л 1 — —---------------
1-
лк,л
Х1
\ЛН,Л 7
I 4,7 J
Проведём теперь аналогичные расчёты для второй ступени, исходя из
того, что для неё исходным раствором является пермеат первой ступени,
ключевым компонентом—лактоза.
93
Найдём расход ретанта второй cryi тени:
900,2
4,565 J
0,96=153,1 кг/ч.
Расход пермеата второй ступени:
Wn = W1— L1' = 900,2 — 153,1 = 747,1 кг/ч.
Концентрация белка в ретанте второй ступени:
= 2,044-10’^-^^-'
<900,2)
=1,2021О'2 мае. %.
Концентрация минеральных солей вместе с низкомолекулярными при-
месями в ретанте второй ступени:
ХП = Х*
лк,с лп,с
( т II А Фс
ьк
,w'.
г 153,1
,900,2
-0,5
= 2,425 мае. %.
Определим теперь состав пермеата второй ступени.
Концентрация белка xjjg = 0, поскольку селективнеегь обратноосмо-
тической мембраны по белку равна 100%.
Концентрация лактозы:
. Фл —1
Фл
1-
хп = х‘ —
лп,л лп,л
К,Л
= 4,565
к,л
Фл
0,96-1
0,96
-у- = 0,3762 мае. %.
0,96

94
Концентрация солей и примесей:
1-
( II \
хк,с
х1
Фс;1
Фс
0,5-1
г2,425^ 0,5
= 0,708 мае. %.
1-
Г2,425^ о,5
Итого: ретант первой ступени: его расход 99,77 кг/ч, концентрация
бейка в нём 8 мае. %, лактозы — 5,918 мае. %, минеральных солей и других
примесей — 1 мае. %;
ретант второй ступени: его расход 153,1 кг/час, концентрация белка в
нём 0,012 мае. %, концентрация лактлзы — 25 мае. %, концентрация солей и
примесей 2,425 мае. %;
пермеат, образующий третью фракцию (выходящий из второй ступе-
ни): его расход 747,1 кг/ч, концентрация белка в нём 0%, концентрация лак-
тозы 0,3762 мае. %, концентрация солей и примесей 0,708 мае. %
Вопросы для самоконтроля:
1.	Почему при фракционировании в пермеатах может содержаться на один
компонент меньше, чем в ретантах?
2.	К чему сводится расчёт схемы фракционирования?
3.	Как можно охарактеризовать ключевой компонент?
4.	Сколько ступеней фракционирования понадобится, чтобы разделить по
фракциям пять растворённых веществ?
95
7.4.	Диафильтрация
Диафильтрация — это такой вариант мембранного разделения, при ко-
тором происходит очистка одного или нескольких компонентов раствора от
примесей другого (других) компонентов. При диафильтрации в раствор вво-
дится растворитель (обычно — чистая вода) с расходом, равным расходу от-
бираемого пермеата. Тот из компонентов, по отношению к которому мем-
брана высокоселективна, задерживается мембраной и очищается от компо-
нента, по отношению к которому мембрана низкоселективна, поскольку он
переходит вместе с растворителем в пермеат.
Непрерывную диафильтрацию осуществляют по схемам с перекрёст- '
ным током, противотоком и комбинированным током раствора и растворите-
ля.
На рис. 7.4 показана схема с перекрёстным током.
Рис. 7.4. Принципиальная схема диафильтрации с перекрёстным током рас-
твора и раствори толя: О — смеситель
Исходный раствор вводится в схему, состоящую из ряда ступеней, ка-
ждая из которых представляет собой отдельный аппарат или группу аппара-
тов. В аппаратах установлены мембраны, обладающие высокой селективно-
стью по одному растворённому веществу и низкой селективностью по дру-
96
тому. Перед входом на каждую ступень к раствору добавляется растворитель,
смешиваясь с раствором в смесителе. (В случае турбулентного течения рас-
твора и растворителя можно обойтись без смесителя, поскольку достаточно
хорошее перемешивание произойдёт в самом трубопроводе). Расход раство-
рителя, вводимого на каждой ступени, равен расходу пермеата на этой сту-
пени. Компонент, по отношению к которому мембрана обладает низкой се-
лективностью, переходит вместе с растворителем в пермеат, перемещаясь от
ступени к ступени, раствор очищается от этого компонента, и при опреде-
лённом числе ступеней можно получить заданную степень очистки компо-
нента, по отношению к которому мембрана высокоселективна. Рассмотрен-
ная схема, где на каждой ступени используется чистый растворитель, сопря-
жена с повышенным расходом растворителя. В этом отношении лучше про-
тивоточная система, изображенная на рис. 7.5.
Растворитель
Исходный
раствор
Очищенный
раствор
♦
Пермеат
Рис. 7.5. Принципиальная схема диафильтрации с противотоком раствора и
растворителя
В противоточной схеме растворитель используется для разбавления
раствора только на последней ступени, а во всех остальных ступенях — пер-
меат, поступающий с последующей ступени. Хотя противоточная схема эко-
97
номит растворитель, для её использования требуется существенно большая
рабочая поверхность мембраны, чем в схеме с перекрёстным током.
В комбинированных схемах диафильтрации возможны различные со-
четания противотока и перекрёстного тока, может применяться предвари-
тельное концентрирование очищаемого раствора на мембране, селективной
по всем компонентам.
Расчёт диафильтрации довольно специфичен. Помимо того, что она
проводится по целом} ряду схем, на практике довольно часто встречается
периодическая диафильтрация и возможны случаи, когда структура потока в
аппаратах близка как к модели идеального вытеснения, так и к модели иде-
ального смешения. В настоящем пособии мы рассмотрим варианты, наиболее
распространённые на практике: это непрерывная диафильтрация с перекрё-
стным током раствора и растворителя и периодическая диафильтрация. Пер-
вая используется в случаях большой производительности и, поскольку рас-
творитель — чистая вода — сравнительно дешев, имеет экономическое пре-
имущество перед противоточной диафильтрацией благодаря меньшей по-
верхности мембран. Периодическая диафильтрация применяется при не-
большой потребной производительности (очистке растворов белков, других
высокомолекулярных соединений в фармацевтике, медицине и т.п.)
Изобразим схему непрерывной диафильтрации с перекрёстным током с
обозначениями потоков, концентраций и ступеней (рис. 7.6.).
98
Растворитель Wo6
Очищенный
раствор
Пермеат
Wofl*n
Рис. 7.6. К расчёту схемы диафильтрации с перекрёстным током раствора и
растворителя
В схеме использованы следующие обозначения для расходов и концен-
траций (причём все расходы массовые, а концентрации даны в массовых до-
лях растворённых компонентов):
Lo _ расход исходного раствора,
Хф — концентрация растворённого вещества в нём,
Ьщ, Lj — расход раствора поступающего в i-ю ступень и выходящего из i-й
ступени соответственно (i = 1,2,..., m),
Wi — расход пермеата на i-й ступени и одновременно расход раствори-
теля, поступающего в смеситель перед i-й ступенью,
Wo6 — общий расход пермеата и одновременно общий расход раствори-
теля,
х,н, Xj — концентрация компонента в растворе, поступающем на i-ю сту-
пень и выходящем из i-й ступени соответственно,
хп,,хп — концентрация компонента в пермеате i-й ступени и общем пер-
меате со всех ступеней соответственно.
99
Обозначим через НС и ВС компоненты, по отношению к которым мем-
брана имеет соответственно низкую и высокую селективность.
Пусть нам задан расход исходного раствора Lq, его состав по компо-
НС ВС	11
нентам х0 и х0 , а также коэффициент очистки раствора от компонента
НС, Ко:
хнс
Ко=~|с-	П-28)
хт
Найдём соотношения, определяющие необходимый расход растворите-
ля, рабочую поверхность мембран и концентрацию компонентов в пермеате
и очищенном растворе.
При выводе будем исходить из допущений, что растворитель чистый, а
селективное гь и удельная производительность мембран при очистке раствора
от компонента НС остаются постоянными. Кроме того, примем, что на каж-
дой ступени рабочая поверхность мембран одинакова:
Gi = const = G, <Pi = const = ф, Fj = const = F.
С учётом этих допущений справедливы следующие соотношения:
Wi = Gi-Fj = GF = const = W;	(7.29)
Ц = Lo;	(730)
L1H = L0 + W.	(731)
Для вывода расчётных формул примем сначала, что в схеме использу-
ются аппараты идеального вытеснения.
Тогда, преобразуя ранее полученное выражение (2.11), приходим к со-
отношению:
100

1
ф
(7.32)
ш
Возведём всё в степень (-ф):
\Ф
in
*i
ХШ
Перепишем это выражение для компонента НС с учётом (7.30) и (7.31):
НС
YHC
Ai___
VHC
Ain
0
(7.33)
Запишем уравнение материального баланса смешения с учётом того,
что используется чистый растворитель:
т ..НС /г , „ А НС
Отсюда:
VHC
Лш
VHC
xi-l
О
Перемножим левые и правые части уравнений (7.33) и (7.34):
НС ,
\Ф
YHC YHC
Ai AiH _
YHC YHC
лш ’Ai-1
О
(7.34)
НС
Сократим числитель и знаменатель левой части на х,н и возведём обе
части в степень (-1):
VHC
xi-l _
VHC
Ai
НС
О
О
(7.35)
101
С учётом последнего выражения перепишем (7.28) в следующей фор-
ме:
„НС
Ат
х0 _ *i-l
НС
НС
(736)
0
Решим (736) относительно W:
0
1
( 1 „НС
ml 1—ф
0
0
1
mfl «НС
ml 1—<p
0
(737)
Это выражение определяет расход растворителя и одновременно пер-
меата для каждой ступени.
В целом для установки, состоящей их m ступеней:
Wo6=m-L0-
1
«НС
ml 1—ф
0
(738)
Рабочая поверхность мембран на одной ступени:
( 1
тГ1-фН^1
Lo- Kov >-1
(739)
W
F = —
G
102
Общая рабочая поверхность мембран:
(7.40)
С увеличением числа ступеней, как можно увидеть из анализа полу-
ченных уравнений, расход растворителя и рабочая поверхность мембран
снижаются. Минимальные величины, получаемые при m -> оо, определяются
выражениями:
\V г
т’об,мин
F л =
1 об,мин
(7.41)
(7.42)
Найдём теперь выражение, определяющее концентрацию компонента
ВС в очищенном растворе.
Для этого преобразуем выражение (7.32) таким же образом, как было
сделано при получении (7.36):
(7.43)
Ln + W
Выразим —-----из (7.36) и подставим в (7.43):
к
—-----т	l-<pDV
Lo + W	).x?c_v^hc
~r	’'BC"K0	’
Lo	Xm
103
1-фвс
VBC _ ВС к 1-<рНС
Ат ~ А0 #Гк0
(7.44)
Теперь нам осталось най1и выражения, определяющие концентрации
компонентов в пермеате.
Запишем уравнение материального баланса для всей схемы:
Lo-xo = L0-xm + W^-Xn.
Отсюда:
(7.45)
Запишем (7.45) для компонента НС, учитывая (7.28):
Используя (7.38), получаем:
VHC _
Ап
m
(7-46)
Для нахождения расчётного выражения концентрации в пермеате ком-
понента ВС, подставим в (7.45) Wog, определяемое (7.38), и х^ , даваемое
(7.44):
104
_ 1-фвс'
ВС YBC-K- 1-фНС
хо -хо хо
ВС
х0
1-фвс
1-фнс
(7-47)
Рассмотрим теперь вариант, когда используются аппараты идеального
смешения. В лабораторных условиях к ним близки аппараты с мешалками
при интенсивном перемешивании раствора, особенно — вблизи поверхности
мембраны, в промышленности — аппараты проточного типа, снабжённые
циркуляционным насосом, при большой величине кратности циркуляции.
Запишем уравнение материального баланса по растворённому вещест-
ву для i-й ступени:
ni
(7.48)
Учтём соотношения (7.29) — (7.31), а также то, что в аппарате идеаль-
ного смешения
xni = Xj(l- <р).
Тогда из (7.48) получим:
(Lo + W)-XiH = Lo-Xj + W- x,'(l - <p).
Запишем уравнение материального баланса смешения:
Lo’xi-1 (Lq “Ь W)-XiH.
(7.49)
(7.50)
Выразим отсюда Хщ:
105
Подставим в (7.50):
Lq(Lq + w)
Lo + W
Xj_! = Loxi + Wxi(l-q>).
Проведём сокращения и разделим на LoXf
(7.51)
Очевидно, что для схемы в целом:
(7.52)
Решим (7.52) относительно W, исходя из селективности по компоненту
НС и учитывая, что в соответствии с (7.28) Ко = Хр / xJJ .
1+	(1 —<pHl-J= KJ1;
М)
W = L0
Koro-1
1-Фнс’
(7.53)
Это выражение определяет расход растворителя и одновременно пер-
меата для одной ступени.
Для схемы в целом:
¥Уоб
= mL(l
Knm-1
1 —q>HC
(7.54)
106
Рабочая поверхность мембраны на одной ступени:
(7.55)
Для всей схемы:
(7.56)
Выражения (7.54) и (7.56) достигают минимальных величин при т-хх,
причём так же, как и для аппаратов идеального вытеснения справедливы вы-
ражения (7 41) и (7.42).
Выведем теперь выражения для расчёта концентраций:
Запишем (7.52) относительно компонента ВС*
ВС
х0 _
ВС
хт
т
Подставляя сюда W, определяемое (7.53), и проводя несложные преоб-
разования. получаем выражение для расчёта концентрации компонента ВС в
очищенном растворе:
107
вс _
m ~
ВС
*0
(7.57)
Для получения выражений, определяющих концентрации компонентов
в пермеате, используем (7.45). Запишем его для компонента НС, учитывая
(7.28) и (7.54):
НС
Сокращая числитель и знаменатель на Lq и вынося Xq за скобки, по-
лучаем:
-НС _ НС______\ ко>
хп х0 /	1	>
m К^-1
\ >
(7.58)
Применительно к компоненту ВС подставим в (7.45) W^, рассчитан-
ное по (7.54) и х*С по (7.57).
После сокращений и некоторого упрощения записей получаем:
108
Основным параметром, определяющим экономичность диафильтрации,
является удельный расход растворителя (пермеата) ——. Его снижение при-
водит не только к сокращению расхода растворителя — обычно чистой воды
высокого качества — и пермеата, представляющего собой в большинстве
случаев сточную воду, но и к снижению рабочей поверхности мембран,
уменьшению энергозатрат.
При заданной величине коэффициента очистки и выбранном типе мем-
бран единственным параметром, с помощью которого можно воздействовать
Wo6
на величину——является число ступеней диафильграции. С увеличением
L0
Wo6
этого числа отношение —~ • сначала резко уменьшается, затем снижение
становится незначительным.
Выбор числа ступеней является задачей технико-экономического рас-
чёта. При отсутствии исходных данных, требуемых для выполнения такого
расчёта, можно в качестве рабочего выбирать число ступеней, при котором
приблизительно в 1,5 раза больше минимальной величины, определяе-
мой (7.41). Обычно это от 5 до 10 ступеней.
109
Перейдём теперь к рассмотрению периодической диафильтрации, уп-
рощённая схема которой изображена на рис. 7.7.
РАСТВОРИТЕЛЬ
ПЕРМЕАТ
Рис. 7.7. Схема периодической диафильтрации
Мембранный аппарат заполняется раствором, который нужно очистить.
После этого в аппарат посредством насоса подаётся растворитель, причём
расход растворителя равен расходу пермеата. Раствор в аппарате интенсивно
перемешивается, так что можно считать его состав постоянным в каждый
момент времени в любом сечении аппарата, что соответствует модели иде-
ального смешения. Температура и давление в аппарате также поддерживают-
ся постоянными.
Пусть нам заданы количество исходного раствора Lq, кг, его концен-
НС ВС ,,
трации по компонентам х0 и х0 и коэффициент очистки раствора от
компонента НС Kq = Xq С/х^ С , где х^С — концентрация компонента НС
в очищенном растворе. Здесь и далее все концентрации выражены в массо-
вых долях. Примем для общности, что растворитель может быть с примесями
110
компонентов НС и ВС, концентрации их в растворит еле и х®С. (Заме-
г	г
гим, что должно выполняться ограничение на концентрацию в растворителе
компонента НС: ХрС < х^С(1 - фНС)). Будем считать, что удельная произ-
«нс вс
водительность мембраны и и ее селективность по компонентам <р и ф
нам известны и в процессе диафильтрации остаются постоянными.
Выведем при этих условиях формулы, необходимые для определения
количества растворителя и пермеата, концентрации компонентов в пермеате,
концентрации компонента ВС в очищенном растворе, и получим выражения,
позволяющие найти время диафильтрации в аппарате с известной поверхно-
стью мембраны или поверхность мембраны, необходимую для проведения
процесса в заданное время.
Пусть в момент времени т концентрации в аппарате имеют некоторые
нс вс
текущие значения х и х , а текущая концентрация компонента НС в пер-
НС тт	г,
меате хп . Для аппарата идеального смешения она будет равна
хп С = (1 “ фНС • За время dx от х до x+dx в аппарат войдёт dW Хр с кг
компонента НС и выйдет dW- х„С кг компонента НС, где dW — количество
растворителя и пермеата за время dx. За это же время dx количество компо-
нента НС в аппарате изменится на Lo*dxHC. Таким образом, можно записать
следующее уравнение:
L0-dxHC = dW- х«с- dW- х£с = dW- х£с— dW- (1 - фНС )кнс. (7.60)
Разделим переменные:
Ill
Hc_dW нс dWZ. нс\нс dWf нс hcYhc
xp v-ф > =T“lxP "V-ф Л
Cq	Lq	Lq
dW = dxHC
Lo хЧС_(1_фнс).хнс-
Проинтегрируем левую часть от 0 до конечного количества раствори-
теля (или пермеата) WK, а правую — от	до xJj?C.
WK
О
VHC
dW = "f dxHC
i J Zhc (. „нс) нс 
Ьо vHCxp ~у-ф M
х0
Ч- 1 Л-фИу-ХрГС
т	, ,ЛНС h „НС1НС НС’
ьо 1-ф	(1-ф JX.O -Хр
ч =
т 6 ,Лнс)нс vhc
Lp 1пУ-Ф >0 -ХР
! НС , к НС
*~ф h_fnHCi—0_______YHC
V ф / IZ ’ Хр
ко
(7.61)
С помощью (7.61) можно рассчитать количество растворителя или
пермеата за весь период диафильтрации.
Проводя рассуждения, использованные при выводе уравнения (7.60),
применительно к компоненту ВС, можно получить уравнение:
L0-dxBC=dW-XpC—dW^l-q»80^.	(7.62)
Решая его так, как мы сделали выше для компонента НС, получаем:
W - kg j у Ф /Хр хр	.
Wk 1-фвс (1-рвсквс_хвс-	(7-63)
1	уЧ7 у^к Лр
112
Поскольку величина WK уже известна из уравнения (7.61) с помощью
(7.63) можно найти концентрацию компонента ВС в очищенном растворе
Мы получили искомую формулу. Найдём теперь выражения, опреде-
ляющие концентрации компонентов в пермеате, собранном за весь период
диафильтрации, х’.^С и х®С.
Для этого запишем следующее уравнение материального баланса:
LoxK = Loxo + WKxp - WKxn.
(7.65)
Смысл этого уравнения заключается в том, что количество компонента,
оставшееся в аппарате в конце диафильтрации, равно тому количеству, кото-
113
рое было в начале, плюс то, что пришло с растворителем, минус то, что ушло
с пермеатом. Выразим из (7.65) концентрацию компонента в пермеате:
Запишем (7.66) для отдельных компонентов:
VHC
Лп
о LHC н
Г\х0 “хк
к
НС
Р
VBC _ Lp / вс _ век VBC
Au»-»	'
(7.66)
(7.67)
(7.68)
__t_rp
Подставляя в (7.67) WK из (7.63), найдём хп , а подставляя в (7.68)
WK из (7.63) и х®С из (7.64), найдём х„ С.
Получим теперь выражение для определения рабочей поверхности
мембран или времени диафильтрации. Поскольку G = const, количество пер-
меата (или растворителя) определится соотношением:
WK = GFtk,
где тк — время завершенного процесса диафильтрации.
W
Отсюда: F • тк = —-
Подставим сюда WK из (7.61):
к
НС 1нс VHC
> Ло ” хр
ч НС
НС|Хр VHC
---Хп
/ v Р
(7.69)
114
С помощью (7.69) можно рассчитать рабочую поверхность мембран F
при заданном тк или же время процесса диафильтрации тк в аппарате с из-
вестной поверхностью мембран.
В случаях, когда используется чистый растворитель, Хр С =0, хВС =0 и
расчётные выражения существенно упрощаются.
Так, (7.61) приобретает вид:
W =
”к
WK0-
1 - фнс
(7.70)
Параметр X преобразуется к виду:
о
= ехр
1-фвс
JV*
In Ко
(1-фвс
о
ВС
Выражение (7.64) с учётом упрощённого X и х° =0 запишется в фор-
ме:
VBC _ х0
к  (1-Фвсу
Ко
Выражение (7.67):
vhc LoLhc_ нН
АП	ж, г \Х0 АК Г
(7.71)
(7.72)
Выражение (7.68):
115
VBC___ LoLbC „вс)
хп	\х0 хк /
(7.73)
Выражение (7.69):
F’T‘=p7«^InK
(7.74)
Интересно отметить, что выражение (7.70> аналогично выражению
(7.41), характеризующему минимальный расход растворителя (или пермеата)
при непрерывной диафильтрации.
Примеры
1. Водный раствор неорганической соли необходимо очистить от приме-
сей низкомолекулярных органических веществ, для чего предполагается ис-
пользовать непрерывную диафильтрацию с перекрестным током раствора и
растворителя с применением аппаратов обратного осмоса с рулонными
фильтрующими элементами. Расход исходного раствора 6000 кг/ч, концен-
трация в нём соли 1 мае. %, концентрация органических вешеств 0.5 мае. %.
В очищенном растворе концентрация органических веществ не должна пре-
вышать 0,05 мае. %. Диафильтрацию предполагается проводить на 7 ступе-
нях. В рабочих условиях удельная производительность мембраны 30 кг/ч, её
селективность по неорганической соли 99,5%, по органическим веществам
20%. Диафильтрация проводится чистой водой.
Определите расход воды и установите, во сколько раз он больше ми-
нимального, найдите рабочую поверхность мембран в установке, концентра-
цию соли в очищенном растворе и пермеате и концентрацию органических
веществ в пермеате.
116
Решение
Принимаем модель идеального вытеснения, поскольку используются
аппараты проточного типа, а удельная производительность и селективность
заданы в рабочих условиях, т.е. с учётом КП.
К< оффициент очистки раствора от органических веществ:
VHC с ,1П-3
Ко=^ = ^Ц- = 1О.
х*- 5-Ю-4
Общий расход воды по формуле (7.38):
( 1
=7-6000 107(1-о,2)-1 = 21360кг/ч.
Минимальный расход по формуле (7.41):
^-=17270 Л/ч;
Wo6 мин = 6000
W
об,мин
= 1,237.
17270
Рабочая поверхность мембраны по (7.40):
Fo6 = W^=21360=712m2
06 G 30
Концентрация соли в очищенном растворе по (7.44):
1-0,995
х®с =0,01-10 1-0’2 = 9,857-10'3 мае. долей.
Концентрация соли в пермеате по (7.47):
117
0,01 1-10
1-0,995
1-0,2
-ВС
хп =
- = 4,013 • 1 О*5 мае. долей.
Концентрация органических веществ в пермеате по (7.46):
0,005| 1 - — |
х»с =	~\= 1,264-10'3 мае. долей.
7 Ю7^0’2)-!
I )
2. Водный раствор белка очищается от примесей низкомолекулярных ор-
ганических веществ посредством перекрёстноточной диафильтрации с ис-
пользованием аппаратов идеального смешения. В качестве растворителя ис-
пользуется чистая вода. В исходном растворе содержится 1 мае. % белка и 2
мае. % примесей. Допустимое содержание примесей в очищенном растворе
белка 0,01 мае. % Селективность мембраны по белку 99,95%, по примесям
8%. Число ступеней равно 8.
Определите концентрацию белка в очищенном растворе и пермеате и
концентрацию примесей в пермеате.
Решение
Коэффициент очистки
2 10~2
°~ ЫО’4
= 200.
118
Для нахождения концентрации белка в очищенном растворе использу-
ем формулу (7.57):
= 9,959-10‘3 * * мае. долей.
Концентрацию белка в пермеате найдём по формуле (7.59):
-ВС
Хп =
(1-0,08)-0,01
8 2008 -1
-0,08)
= 4,989-1О*
мае. долей.
Концентрация примесей в пермеате определяется соотношением (7.58):
(1 -0.08М—— ]
х«с = 0,02-----= 2,437-10'3 мае. долей.
8 2008 -1
3. Водный раствор фермента предполагается очистить от низкомолеку-
лярных примесей с помощью периодической диафильтрации в аппарате с ин-
тенсивным перемешиванием. Количество исходного раствора 1 кг, концен-
119
трация фермента в нём 2 мае. %, концентрация примесей 0,5 мае. %. Допус-
тимая концентрация примесей в очищенном растворе 0,025 мае. %. Селек-
тивность мембраны в рабочих условиях по ферменту 99,9%, по примесям 6%,
удельная производительность в процессе диафильтрации остаётся практиче-
ски постоянной и равной 108 кг/(ъ^-ч). Рабочая поверхность мембраны в ап-
парате 0,005 м2. В качестве растворителя используется дистиллированная во-
да.
Определите концентрацию фермента в очищенном растворе и пермеа-
те, концентрацию примесей в пермеат г, количество дистиллированной воды,
требуемой для диафильтрации, и время процесса.
Решение
Коэффициент очистки Кл =	20.
х"с 2,5 10"4
Л	л
Количество воды по формуле (7.70):
WK = —’—1п20 = 3,187 кг.
к 1-0,06
Концентрация фермента в очищенном растворе по формуле (7.71):
хкС = "ГЪЪад = 1,994 10"2 мае. долей.
201-()’06
Концентрация фермента в пермеате по формуле (7.73):
х*с = - — (0,02 - 0,01994) = 2 10’5 мае. долей.
3,187
Концентрация примесей в пермеате по (7.72):
120
х„с = ——(0,005 - 0,00025)— 1,4904С 5 мае. долей.
3,187
Время процесса диафильтра] щи*
WK ЗД87 с ОЛО
= —— =-------------="5,902 ч.
к GF 108 0,005
Вопросы для самоконтроля
1.	Почему схема диафильтрации с перекрёстным током раствора и раствори-
теля используется чаще, чем схема с противотоком?
2.	Укажите допущения, которые были сделаны при выводе уравнений для
расчёта непрерывной и периодической диафильтрации. В каком случае
число допущений меньше?
3.	Какой параметр, определяющий экономичность диафильтрации, мы счита-
ем основным и почему?
4.	Проведите самостоятельно вывод расчётных уравнений для диафильтра-
ции с перекрёстным током при использовании аппаратов идеального вы-
теснения.
5.	Проанализируйте, как меняется расход чистой воды, используемой в каче-
стве растворителя при периодической диафилырации, с изменением се-
лективности по компоненту НС. Во сколько раз этот расход будет больше
минимально возможного, если фНС = 0,2; 0,5 и 0,8?
6.	Преобразуйте выражения (7.72) и (7.73) к такому виду, чтобы можно было
определить концентрации компонентов в пермеате, не используя количе-
ства исходного раствора и растворителя.
121
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Дытнерский Ю И. Обратный осмос и ультрафильтрация. — М.: Химия,
1978. — 352 с., ил.
2.	Дытнерский Ю. И. Баромембранные процессы. Теория и расчёт. — М.:
Химия, 1986. — 272 с.
3.	Основные процессы и аппараты химической технологии: пособие по про-
ектированию./Под ред. Ю. И. Дытнерского. 2-е изд., перераб. и дополн. М.:
Химия, 1991. —496 с.
4.	Кочаров Р. Г., Карцев Е. В. Мембранные процессы разделения жидких и
газовых смесей.// Тр. МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1982. Вып. 122. С. 82 -
90.
122
ПРИЛОЖЕ

Таблица
Некоторые физико-химические свойства водных растворов при 25°С
Концентрация			Осмоти- ческое давление, МПа	Плотность раствора, кг/м3		Кинемати- ческая вяз- кость, хЮ6, м2/с	Коэффици- ент диффу- зии, хЮ9, м2/с
моляль- ность		мае. %					
1			2	3		4	5
Сахароза							
0		0	0	997,1		0,8963	0,523
0,1		3,097	0,25	1010,0		0,9615	0,509
0,2		6,407	0,50	1022,2		1,0352	0,499
0,3		9,313	0,76	1033,9		1,1151	0.490
0,4		12,043	1,02	1045,3		1,2053	0,483
0,5		14,614	1,28	1056,0		1,3033	0,477
0,6		17,039	1,55	1066,5		1,4124	0,472
0,7		19,330	1,83	1076,4		1,5530	0,467
0,8		21,497	2,10	1086,2		1,6639	0,463
0,9		23,552	2,38	10953		1,8083	0,459
1,0		25301	2,67	1104,2		1,9658	0,455
13		29,116	3,24	1121,0		23270	0,448
Карбамид							
0	0		0	997,1	0,8963		1,3817
0,1	0,597		0,25	998,6	0,8983		1,3739
0,2	1,187		0.49	1000^2	0,8998		13663
0,3	1,770		0,73	1001,7	0,9005		1,3591
0,4	2,346		0,97	1003,3	0,9025		1,3520
0,5	2,915		1.21	1004,8	0,9037		1,3453
0,6	3,478		1,45	1006,3	0,9058		1,3380
0,7	4,035		1,68	1007,8	0,9074		13311
0,8	4,584		1.92	1009,2	0,9096		13243
0,9 _	5,128		2,15	1010,7	0,9117		1,3180
L0	5,666		2,39	1012,1	0,9144		1,3110
1Д	6,723		2,84	1015,0	0,9187		1,2987
123
Продолжение таблицы
1		2	3	4	5
Глицерин					
од	0,913	0,25	999,3	0,9106	0,9368
0,2	1,809	0,50	1001,4	0,9287	0.9239
0,3	2,689	0,75	1003,5	0,9467	0,9138
0,4	3,553	0,99	1605,5	0,9647	0,9041
0,5	4,402	1,25	1007,5	0,9876	0,8964
0,6	5,237	1,50	1009,5	1,0054	0,8894
0,7	6,056	1,75	1011,5	1,0282	0,8834
0,8	6,862	2,00	1013,4	1,0480	0,8778
0,9	7,654	2,25	1015,2	1,0088	0,8733
1,0	8,433	2,50	1017,0	1,0865	0,8688
1,2	9,952	3,01	1020,6	1,1268	0,8621
NaCi					
0	0	0	997,1	0,8963	1,610
0,1	0,581	0,46	1001,1	0,9009	1,483
0,2	1,156	0,92	1005,2	0,9054	1,475
0,3	1,723	1,37	1009,1	0,9100	1,475
0,4	2,285	1,82	1013,0	0,9147	1,475
0,5	2,840	2,28	1016,9	0,9193	1,475
0,6	3,388	2,75	1020.8	0,9242	1,475
0,7	3,931	3,22	1024,8	0,9290	1,475
0,8	4,467	3,68	1028,6	0,9338	1,477
0,9	4,998	4,16	1032,2	0,9389	1,480
1,0	5,522	4,64	1035,7	0,9440	1,483
1,2	6,554	5,62	1042,7	0,9567	1,488
КС1					
0	0	0	997,1	0,8963	1,993
0,1	0,740	0,46	1001,8	0,8912	1,844
0,2	1,469	0,90	1006,4	0,8867	1,838
0,3	2,188	1,35	1011,0	0,8822	1,838
0,4	2,896	1,79	1015,5	0,8779	1,844
0,5	3,594	2,23	1020,0	0,8735	1,849
0,6	4,282	2,67	1024,4	0,8694	1,857
0,7	4,960	3.12	1028,7	0,8655	1,865
0,8	5,628	3,56	1033,0	0,8615	1,873
0,9	6,288	4,01	1037,3	0,8576	1,881
1,0	6,938	4,45	1041,5	0,8538	1,889
1Д	8,211	5,35	1049,9	0,8482	1,907
124
Продолжение таблицы
1		2	3	4	5
LiC!					
0	0	0	997,1	0,8963	1,366
0,1	0,422	0,46	999,6	0,9066	1,269
0,2	0,841	0,93	1002,0	0,9169	1,267
0,3	1,256	1,41	1004,4	0,9270	1,269
0.4	1,668	1,89	1006,8	0,9368	1,273
0,5	2,076	2,39	1009,1	0,9468	1,277
0,6	2,481	2,89	1011,5	0,9574	U83
0,7	2,882	3,07	1013,8	0,9681	1,288
0,8	3,281	3,95	1016,1	0,9787	1,292
0,9	3,676	4,48	1018,3	0,9895	1,296
1,0	4,068	5,04	1020,6	1,0000	1,301
1,2	4,842	6,20	1025,0	1,0236	1,312
NaNO3					
0	0	0	997,1	0,8963	1,568
0,1	0,843	0,46	1002,7	0,8958	1,443
0,2	1,672	0,90	1008,2	0,8950	1,427
0,3	2,487	1,32	1013,7	0,8943	1,414
0,4	3,289	_	1,75	_	1019,1	0,8937	1,407
0,5	4,077	2,17	1024,5	0,8941	1,403
0,6	4,853	2,58	1029,7	0,8960	1,399
0,7	5,616	2,99	1035,1	0,8977	1,394
0,8	6,368	3,41	1040,1	0,8997	1,389
0,9	7,107	3,82	1045,3	0,9016	1,384
1,0	7,835	4,23	1050,3	0,9036	1,379
U	9,257	5,04	1060,3	0,9138	1,371
KNO3					
0	0	0	997,1	0,8963	1,886
0,1	1,001	0,45	1007,5	0,8905	1,831
0,2	1,982	0,86	1011,2	0,8900	1,787
0,3	2,944	1,26	1011,6	0,8906	1,760
0,4	3,887	1,65	1022,2	0,8824	1,736
0,5	4,812	2,02	1027,1	0,8782	1,718
0,6	5,720	2,38	1032,5	0,8732	1,701
0,7	6,610	2,74	1038,0	0,8670	1,689
0,8	7,484	3,08	1043,6	0,8566	1,683
0,9	8,341	3,43	1049,0	0,8446	1,679
1,0	9,182	3,75	1055,0	0,8341	1,674
1,2	10,820	4,39	1065,6	0,8262	1,654
125
Продолжение таблицы
1		2	3	4	5
LiNO3					
0	0	0	997,1	0,8963	1,336
0,1	0,685	0,46	1000,0	0,9035	1,240
0.2	1,360	0,92	1004,0	0,9097	1,243
0.3	2,026	1,39	1007,5	0,9252	1,248
0,4	2,684	1,88	1011,0	0,9211	U54
0,5	3,332	2,36	1015,0	0,9271	1,260
0,6	3,972	2,86	1018,5	0,9313	1,267
0,7	4,604	3,36	1022,0	0,9400	1,274
0,8	5,227	3,88	1026,0	0.9450	1,280
0,9	5,842	4,40	1029,5	0,9505	1,286
1,0	6,449	4,94	1033,0	0,9603	1,293
13	7,641	6,03	1040,0	0.9727	1,303
Na2SO4					
0	0	0	997,1	0,8963	1,230
0,1	1,461	0,59	1009,7	0,9236	1,042
0,2	2,762	1,12	1022,0	0,9511	1,008
0,3	4,087	1,62	1034,0	0,9793	0,975
0,4	5,376	2,10	1045,8	10101	0,941
0,5	6,632	2,57	1057,4	1,0426	0,909
0,6	7,854	3.03	1068,7	1,0767	0,889
0,7	9,044	3,48	1080,0	1,1128	0,874
0,8	10,204	3,92	1091,0	1,1502	0,861
0,9	11,335	4,36	1101,9	1,1953	0,848
1,0	12,438	4,79	1112,6	1,2423	0,836
1,2	14,564	5,65	1133,5	1,3399	—
K2SO4					
0	0	0	997,1	0,8963	1,954
0,1	1,713	0,58	1016,5	0,9067	1301
0,2	3,368	1,10	1022,5	0,9150	1,245
0,3	4,968	1,61	1037,0	0,9214	1,198
. 0,4	6,516	2,09	1049,0	0,9316	1,164
0,5	8,015	2,57	1061,0	0,9388	1,141
0,6	9,466	3,04	1073,5	—	—
0,7	10,873	3,49	1085,5	—	—
126
Продолжение таблицы
1		2	3	4	5
о /Г		/Г	СаС12 Р	У		
0	0	0	997,1	0,8963	1,335
0,1	1.098	0,63	1006,1	0,9167	1,285
03	2,172	138	1014-9	0,9373	1381
03	3^222	1.95	1023,7	0,9562	1,292
0,4	4,251	2,66	1032,3	0,9755	1,304
0,5	5358	3,41	1040,8	0,9959	1,318
0,6	6,244	4,19	10493	1,0159	1,334
0,7	7,209	5,01	1057,5	1,0355	1.350
0,8	8,155	5,87	1065,7	1,0576	1,362
0,9	9,082	6,80	1073,8	1,0800	1,376
1,0	9,990	7,77	1081,7	1,1028	1,389
13	11,753	9,87	1097,5	1,1513	1.414
MgCh					
0	0	0	997,1	0,8963	1,249
0,1	0,943	0,64	1004,8	0,9197	1,074
03	1,869	1,30	1012,3	0,9475	1,051
0,3	2,778	2,00	1019.8	0,9766	1,041
04	3,670	2,74	1027,1	1,0069	1,040
0,5	4,545	3,53	1034,3	1,0368	1,039
0,6	5,405	4,36	1041,4	1,0758	1,039
0,7	6-250	5,24	1048,4	1,1143	1,039
08	7,079	6,18	1055,4	1,1524	1,039
0,9	7,894	7,20	1062,2	1,1901	1,040
1,0	8,695	8,27	1069,0	13273	1.040
13	10356	10,62	10823	13385	1,042
			BaCh								
0	0	0	997,1	0,8963	1,385
0,1	2,040	0,63	1018,0	0,0002	1,159
оз _	3,999	1,24	1032,0	6,9053	1,150
03	5,887	1,88	1050,0	0,9115	1,151
0,4	7,690	2,53	1068,0	0,9170	1,155
0,5	9,432	3,21	1085,0	0,9248	1,160
0,6	11,108	3,91	1101,0	0,9297	1,164
0,7	12,724	4,63	1119,0	0,9391	1,168
0,8	14,282	5,38	1134,0	0,9491	1,П1
	15.786	6,13	1150,0	0.9604	1,175
1,0	17,237	6,93	1167,0	0,9625	1,177
13	19,995	8,62	1193.0	0.9978	1,179
127
Окончание таблицы
1		2	3	4	5
C«(NOsh					
0,1	1,614	0,61	1007,5	0,8730	1,103
од	3,178	1,21	1019,0	0,8636	1.086
03	4,692	1,82	1030,0	0,8544	1,081
0,4	6,159	2,44	1041,0	0,8597	1,065
0,5	7,582	3,06	1053,0	0,8737	1,060
0,6	8,963	3,71	1065,0	0,9015	1,043
0,7	10,303	4,35	1075.5	0,9158	1.045
0,8	11,604	5,01	1087,0	0,9475	1,033
0,9	12.868	5,69	1097.0	0,9754	1,033
1,0	14,096	6,38	1108,0	1,0018	1,033
13	16,451	7,84	1129,5	1,0624	1,010
MglNQah						
0	0	0	997,1	0,8963	1,602
0,1	1,462	0,64	1008,0	0,9120	1,047
ОД	2,881	1,29	1018,5	0,9350	1,032
0,3	4,260	1,98	1029,0	0,9640	1,029
0,4	5601	272	1	1038,5	0,9920	1,028
0,5	6,904	3,49	1049.0	1,0250	1,028
0.6	8,172	4,31	1057,0	1,0650	1,029
. ,02		9,406	5,15	1067,0	1,1050	1,031
0,8	10,608	6,04	1077,0	1,1500	1,033
0,9	11,777	6,99	1085,0	1,1900	1,034
1,0	12,917	7,98	10Q5.0	1,2300	1,035
1,2	15,110	10,11	1113,0	1,3200	1,036
MrSO4					
0	0	0	997,1	0,8963	0,849
0,1	1,190	0,30	1009,1	0,9335	0,602
.0,2	2,351	0,56	1020,9	0,9707	0,602
0,3	3,486	0,80	1032,5	1,0107	0,586
0.4	4,594	1,05	1044.0	1,0541	0,571
0,5	5,678	1Д9 .	10553	1,1005	0,556
0,6	6,731	1,54	1,066,5	1,1447	0,550
0,7	7,772	1,79	1077,6	1,1991	0,543
0,8	8,785	2,06	1088,5	1,2585	0,533
0,9	9,776	2,32	1099,3	1,3192	0,519
1,0	10,745	2,61	1110,0	1,3786	0,504
1Д	12,623	3,24	1131,0	1,5326	0,493
Учебное издание
РАСЧЁТ УСТАНОВОК МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ЖИДКИХ
СМЕСЕЙ
(методические указания)
Составители:	Кочаров Рубен I еоргиевич,
Каграманов Георгий Гайкович
Редактор Р.Г. Чиркова
Лицензия ЯР № 020714 от 02.02.98 г.
Подписано в печать 18.06.01. Формат 60x84 1/16
Бумага ZOOM. Отпечатано на ризографе.
У с л. печ. л. 7(44 Уч. изд. л. 6,13 Тираж 150 экз.
Заказ 4572
Российский химико-технологический университет
им. Д. И. Менделеева
Издательский центр.
Адрес университета и издательского центра 125047
М скпа, Миусская пл.,9